МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Ж.Л.Мальцева, С.В.Мальцева, М.В.Фокин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - III семестр
Приложения дифференциальных уравнений в естественных науках
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Новосибирск
2013
Предлагаемое учебное пособие является изложением основ курса дифференциальных уравнений, читаемого на факультете естественных наук
(биология) в рамках курса математического анализа.
В пособии излагаются элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка, линейных дифференциальных уравнений и систем
высших порядков, теории устойчивости, уравнений в частных производных, а также приведены примеры приложений теории дифференциальных уравнений к задачам химии и биологии.
Учебное пособие содержит теоретический материал по курсу дифференциальных уравнений, излагаемый на лекциях студентам ФЕН НГУ
(специальность "биология") в течение третьего семестра второго курса.
Наряду с теоретическим материалом предложено большое число наглядных примеров и иллюстраций. Данный материал является последней частью единого курса, читаемого на ФЕН в течение трех семестров.
Предназначено для студентов 2 курса ФЕН НГУ, а также студентов
других нематематических специальностей и преподавателей математического анализа на непрофильных факультетах.
Пособие разработано в рамках реализации Программы развития НИУНГУ
c
⃝Новосибирский
государственный университет
2013 г.
Содержание
Введение
6
1 Дифференциальные уравнения первого порядка
9
2 Уравнения с разделяющимися переменными
11
3 Однородные уравнения
13
4 Линейные уравнения первого порядка
17
4.1 Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Уравнения в полных дифференциалах
19
5.1 Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Теорема существования и единственности решения задачи Коши
22
7 Дифференциальные уравнения высших порядков
28
7.1 Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Основные свойства линейных однородных уравнений . . . 29
8 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
33
9 Свойства решений линейных однородных уравнений n-го
порядка
38
9.1 Структура общего решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка . . . . . . 44
10 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
45
11 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка
48
11.1 Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12 Дифференциальное уравнение свободных колебаний
58
12.1 Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
13 Системы дифференциальных уравнений
65
14 Линейные системы дифференциальных уравнений
67
14.1 Общие свойства линейных систем . . . . . . . . . . . . . . 68
15 Линейная зависимость вектор-функций
69
16 Общее решение линейной системы
71
16.1 Построение частного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
17 Системы уравнений с постоянными коэффициентами
73
18 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
82
18.1 Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами 82
18.2 Уравнение колебания маятника . . . . . . . . . . . . . . . . 84
19 Краевые задачи
86
20 Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
90
20.1 Устойчивость тривиального решения однородной системы
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
20.2 Устойчивость по линейному приближению . . . . . . . . . 101
21 Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных
производных первого порядка
110
22 Применение дифференциальных уравнений для описания развития популяций
117
22.1 Развитие изолированной популяции
(модель Ферхюльста) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
22.2 Развитие двух видов в условиях конкуренции за источники
существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
22.3 Развитие популяций хищник–жертва . . . . . . . . . . . . . 125
22.3.1 Модель Вольтерра — Лотка . . . . . . . . . . . . . . 125
22.3.2 Модель Холлинга — Теннера . . . . . . . . . . . . . 131
23 Волновое уравнение
131
23.1 Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4
23.2 Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения 137
24 Дифференциальные уравнения химической кинетики. Законы сохранения
139
25 Математическая модель хроматографа
145
25.1 Задача о поглощении газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
25.2 Равновесная сорбция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
25.3 Разделение смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
26 Уравнение распространения тепла
5
159
Введение
Дифференциальные уравнения описывают многие природные процессы
— распространение тепла, волновые движения, развитие биологических
популяций, колебания маятника и так далее. Дифференциальные уравнения — основной аппарат математического моделирования. Как правило, математическое моделирование происходит следующим образом.
При изучении явления выделяют те факторы, которые существенно влияют на процесс, а второстепенными факторами пренебрегают. С учетом
этого строится математическая модель явления, записанная с помощью
дифференциальных уравнений. Решая построенные дифференциальные
уравнения, получают искомые закономерности.
Пусть y = f (x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, описывая это явление, невозможно сразу установить y(x), но
иногда можно установить связь между x, y, y ..., y (n) . Эта связь называется дифференциальным уравнением.
Будем в дальнейшем рассматривать следующие вопросы.
1. Существование решений обыкновенных дифференциальных уравнений (решение может не существовать, например, если рассматривать уравнение (y ′ )2 + 1 = 0).
2. Построение явной формулы для решений (это не всегда удается).
3. Построение приближенных решений (как правило, в окрестности
начальных данных).
4. Дополнительная информация — как из множества решений выделить решение с заданными начальными условиями.
5. Если решение не находится в явном виде, как тем не менее хотя
бы предсказать и описать некоторые его свойства, например, устойчивость положения равновесия (качественное исследование дифференциальных уравнений).
Пример. Тело массы m падает вниз с некоторой высоты. Определить
закон изменения скорости v(t), если на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления F , пропорциональная скорости тела v с коэффициентом k. При этом предполагается, что коэффициент зависит
от формы тела, его поверхности (шероховатости), плотности воздуха и других величин.
6
Рис. 1: Схема движения
Решение. Изобразим силы, действующие на тело. Из второго закона
Ньютона F = ma получаем соотношение
mg − kv = mv̇,
которое является дифференциальным уравнением. Это уравнение описывает движение некоторых типов парашютов.
Определение. Решить дифференциальное уравнение — значит найти
функцию, которая тождественно ему удовлетворяет. Таких функций
бесконечное множество.
Можно проверить, что функция
v = Ce− m t +
k
mg
k
удовлетворяет этому дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной C.
Для того, чтобы из множества всех функций выделить нужное решение, нужно воспользоваться начальными условиями. В данном случае
известно начальное значение скорости (возможно, равное нулю). То есть
искомая функция должна быть такой, чтобы при t = 0 выполнялось
условие v(0) = v0 . Подставим эти значения в формулу для v(t). Тогда
получим
mg
v0 = C +
.
k
Отсюда
(
mg )
.
C = v0 −
k
В итоге искомая зависимость
(
mg ) − kt mg
e m+
.
(0.1)
v(t) = v0 −
k
k
7
Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и заданному начальному условию. При t → +∞ скорость v(t) стремится к знаmg
чению
независимо от значения v0 .
k
Рассмотрим частный случай, когда нет сопротивления воздуха, то
есть k = 0. Это соответствует или тому, что воздуха нет, или тому, что
тело очень обтекаемо. Возможные методы решения:
1. Сразу подставить k = 0 в исходное уравнение. Тогда оно упростится,
mv̇ = mg,
отсюда следует
v = v0 + gt.
2. Предельный переход в (0.1). Трудность этого предельного перехода
в том, что в формуле (0.1) коэффициент k стоит в знаменателе.
Чтобы преодолеть эту сложность, разложим экспоненту по формуле
Тейлора,
kt k 2 t2
− kt
m
e
=1−
+
− ...
m 2m2
Тогда
(
)
(
mg )
kt k 2 t2
mg
v = v0 −
1−
+
−
...
+
.
k
m 2m2
k
Предельный переход дает искомое выражение v = v0 + gt.
В данном случае мы рассматривали дифференциальное уравнение,
связывающее v(t) и ее производную. Независимая переменная t не входила в уравнение. Встречаются более сложные уравнения
F (x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x), ..., y (n) (x)) = 0
или системы дифференциальных уравнений
{ ′
x = F1 (x, y, t),
y ′ = F2 (x, y, t).
Мы будем также изучать так называемые уравнения в частных производных
∂z
∂z
a(x, y, z)
+ b(x, y, z)
= c(x, y, z),
∂x
∂y
где искомая функция z(x, y) зависит от двух переменных.
8
1
Дифференциальные уравнения первого порядка
Соотношение вида
F (x, y, y ′ ) = 0
называется дифференциальным уравнением первого порядка. Например,
y ′ + xy − x2 = 0,
y ′2 + y − 1 = 0.
Если уравнение имеет вид
y ′ = f (x, y),
(1.1)
то оно называется уравнением, разрешенным относительно производной.
Важно: Уравнения первого порядка делятся на несколько типов. Для
успешного решения уравнения необходимо выяснить, к какому типу оно
принадлежит. Это определяет метод решения.
Рассмотрим уравнение (1.1) для функции y(x). Пусть правая часть
задана в некоторой области D ⊂ R2 , в точке (x, y) ∈ D вычисляем
значение f (x, y), это есть значение производной y ′ , то есть геометрически — тангенс угла наклона касательной к графику функции y(x) в
точке (x, y). Рассматривая функцию f (x, y) на всей области D, получим
систему черточек (отрезков касательных). По ним можно приблизительно восстановить множество искомых функций y(x).
Определение. Это семейство графиков функций называется интегральными кривыми уравнения y ′ = f (x, y).
Определение. Уравнение
y ′ = f (x, y)с начальным условием y(x0 ) = y0
(1.2)
называется задачей Коши.
Теорема. Если в уравнении (1.1) правая часть f (x, y) и ее производная
fy (x, y) непрерывны в D, (x0 , y0 ) ∈ D, то существует единственное решение этого уравнения y = y(x) такое, что y(x0 ) = y0 . Геометрически это
соответствует тому, что существует единственная функция y(x), график
которой проходит через точку (x0 , y0 ).
Определение. Общим решением уравнения (1.1) называется функция
y(x; C), которая удовлетворяет условиям:
1. Для любого значения C она тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению.
9
Рис. 2: Интегральная кривая в окрестности точки (x0 , y0 )
2. Для любых начальных данных (x0 , y0 ) можно найти такое значение постоянной C = C0 , что y0 = y(x; C0 ) будет удовлетворять
этому начальному условию. При этом начальные данные должны
лежать в области, где выполнены условия теоремы существования и единственности.
Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение
y ′ = 3y 3/2
с начальными условиями y(0) = 0.
Решением этого дифференциального уравнения будут, например, функции
y1 (x) ≡ 0,
y2 (x) = {
x3 ,
x3 , x > 0,
y3 (x) =
0, x ≤ 0.
Имеем пример неединственности решения дифференциального уравнения с начальным условием.
Если уравнение записано как
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,
(1.3)
то говорят, что оно записано в симметрической форме. Это соответствует
уравнению
M (x, y)
y′ = −
,
N (x, y)
10
разрешенному относительно производной. В уравнении (1.3) величины x
и y равноправны и можно искать его решение как в виде y(x), так и x(y)
и даже в неявной форме F (x, y) = 0.
2
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
y ′ = f (x)g(y)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
1. Если g(y) ̸= 0, то уравнение приводится к
dy
= f (x) · g(y),
dx
dy
= f (x)dx,
g(y)
что есть равенство двух дифференциалов. То есть функции отличаются на константу C,
∫
∫
dy
= f (x)dx + C.
g(y)
2. Если в некоторых точках y1 , y2 , ..., yn функция g(y) = 0, то каждой точке соответствует набор частных решений y1 (x) ≡ y1 , y2 (x) ≡
y2 , ..., yn (x) ≡ yn . Это проверяется непосредственной подстановкой
в исходное уравнение.
3. Уравнение вида y ′ = f (ax+by) сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = ax + by. При этом для проведения
замены переменных (x, y(x)) → (x, z(x)) в уравнение необходимо
подставить выражение dy через dz и dx.
Пример. Дано уравнение
y ′ = p(x)y.
1. y ̸= 0. Разделяем переменные,
dy
= p(x)dx,
y
∫
∫
dy
= p(x)dx,
y
11
∫
ln |y| =
p(x)dx + C,
∫
|y| = C1 e p(x)dx ,
∫
C1 = eC > 0,
y = Ce p(x)dx .
(2.1)
(2.2)
В силу того, что произвольная постоянная C может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, можно опустить
знак модуля в формуле (2.1).
2. y = 0. Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что это решение. Однако это решение может быть получено
из общей формулы (2.2) при C = 0.
Пример.
y ′ = αy,
dy
= αdx,
y
ln |y| = αx + C,
|y| = eαx+C = eC · eαx , eC > 0.
Переобозначая eC = C и опуская знак модуля, считая, что C принимает
уже любые значения, получаем
y = Ceαx .
Пример.
y′ = 1 + y2,
∫
∫
dy
= dx, arctg y = x + C,
1 + y2
y = tg(x + C).
Пример.
∫
∫
xdx + ydy = 0,
x2
y2
= − + C, x2 + y 2 = C.
2
2
Получили семейство интегральных кривых — концентрические окружности с центром в начале координат.
ydy = −
xdx,
12
3
Однородные уравнения
Определение. Функция f (x, y) называется однородной степени α, если
для всех положительных k и x2 + y 2 ̸= 0 выполнено равенство
f (kx, ky) = k α f (x, y).
Примеры.
√
f1 (x, y) = 3 x2 + y 2 ,
f2 (x, y) = 2xy − y 2 ,
x2 − y 2
f3 (x, y) =
.
xy
Определение. Уравнение, записанное в симметрической форме (1.3),
где M (x, y) и N (x, y) — функции одной степени однородности, называется однородным дифференциальным уравнением.
Преобразуем уравнение,
y
y
)
)
M (x, |x| |x|
|x|α M (±1, ± |x|
dy
M (x, y)
=−
=−
=
−
≡ f (y/x).
y
y
dx
N (x, y)
N (x, |x| |x|
)
|x|α N (±1, ± |x|
)
Таким образом, однородное уравнение может быть записано в виде
y ′ = f (y/x).
Сделаем замену y = tx. Заметим, что в исходном уравнении переменными были (x, y(x)), в преобразованном уравнении переменные будут
(x, t(x)), y ′ = t′ (x)x + t(x).
Уравнение приводится к виду
t′ x + t = f (t),
t′ x = f (t) − t,
dx
dt
=
,
(3.1)
f (t) − t
x
то есть преобразовалось к уравнению с разделяющимися переменными.
Таким образом, такая замена в однородном уравнении приводит к уравнению с разделяющимися переменными. Возможно, в процессе преобразований было потеряно решение f (t) = t. Проинтегрируем уравнение
(3.1), после этого вернемся к исходным переменным (x, y).
13
Пример. Решить уравнение
y′ =
y
y
y
+ tg . D(f ) : x ̸= 0, ̸= π/2 + πk, k ∈ Z.
x
x
x
Сделаем замену y = tx.
xt′ + t = t + tg t,
xt′ = tg t.
1) tg t = 0 ⇒ t(x) ≡ πk, k ∈ Z,
∫
∫
cos tdt
dx
2)
=
,
sin t
x
ln | sin t| = ln |x| + C,
| sin t| = C1 |x|,
sin t = Cx.
Решения t(x) ≡ πk соответствуют C = 0. Его в ответе отдельно приводить не нужно. Возвращаясь к исходным переменным, получаем решение
в виде
y
sin = Cx.
x
Если однородное уравнение записано в симметрической форме, то
упомянутая замена (dy = tdx + xdt) приводит уравнение к виду
M (x, tx)dx + N (x, tx)(tdx + xdt) = 0.
Полученное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными.
Пример.
(x2 + y 2 )dx + xydy = 0,
y = tx ⇒
(x2 + t2 x2 )dx + xtx(tdx + xdt) = 0,
dx(x2 + t2 x2 + t2 x2 ) + dt · x3 t = 0,
dx · x2 (1 + 2t2 ) + x3 tdt = 0.
Делим на x2 , учтем при записи ответа, что x(t) ≡ 0 является решением
исходного уравнения.
(1 + 2t2 )dx + xtdt = 0.
14
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
∫
∫
dx
tdt
=−
,
x
1 + 2t2
1
ln(2t2 + 1),
4
C = x4 (1 + 2(y/x)2 ),
− ln Cx =
2t2 + 1 = Cx4 ,
Ответ получается в неявном виде:
C = x4 + 2x2 y 2 .
Пусть дано уравнение
dy
ax + by + c
=
.
dx a1 x + b1 y + c1
Очевидно, что оно будет однородным при c = c1 = 0. Пусть они одновременно не равны нулю. Сделаем замену x = u + x0 , y = v + y0 с пока
неопределенными x0 , y0 . Получим
au + bv + (ax0 + by0 + c)
dv
a(u + x0 ) + b(v + y0 ) + c
=
=
,
du a1 (u + x0 ) + b1 (v + y0 ) + c1
a1 u + b1 v + (a1 x0 + b1 y0 + c1 )
группируя в числителе и знаменателе слагаемые при u и v. Выбором
параметров x0 , y0 иногда можно добиться, что свободные члены в числителе и знаменателе будут равны нулю, то есть уравнение станет однородным. Для этого нужно решить систему линейных алгебраических
уравнений
{
ax0 + by0 + c = 0,
a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0.
Графически каждое уравнение этой системы задает прямую на плоскости (x, y). Решение системы — точка пересечения этих прямых. Если
прямые непараллельны, то эта точка существует и единственна. Ее координаты и есть искомые параметры замены (x0 , y0 ).
Если прямые не пересекаются, то есть параллельны, тогда
ax + by = k(a1 x + b1 y).
В этом случае можно сделать замену z = ax + by, это приведет к уравнению с разделяющимися переменными.
15
Рис. 3: Замена переменных (x, y) → (u, v)
Аналогично решается уравнение вида
(
)
dy
ax + by + c
,
=f
dx
a1 x + b1 y + c1
где f — дифференцируемая функция.
Пример.
y′ =
Решаем систему
{
x+y−3
.
x−y−1
x + y − 3 = 0,
x − y − 1 = 0,
Получаем x = 2, y = 1. Новые переменные u = x − 2, v = y − 1, du =
dx, dv = dy. Уравнение приводится к
dv
(u + 2) + (v + 1) − 3
u+v
=
=
,
du (u + 2) − (v − 1) − 1 u − v
то есть привелось к однородному. Сделаем теперь замену v = tu, dv =
tdu + udt.
(tdu + udt)(u − tu) = (u + tu)du,
du(tu − t2 u − u − tu) = udt(tu − u).
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается.
Пример.
y′ =
2x + y − 1
.
4x + 2y + 5
16
Прямые 2x+y−1 = 0 и 4x+2y+5 = 0 параллельны. Замена z = 2x+y
приводит к уравнению с разделяющимися переменными
z′ − 2 =
4
z−1
.
2z + 5
Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной,
y ′ + p(x)y = q(x).
(4.1)
Если q(x) ≡ 0, то линейное уравнение называется однородным.
Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
ищется в два этапа.
1. Решаем однородное уравнение, соответствующее исходному, y ′ +p(x)y =
0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общим решением будет функция
y0 (x) = Ce
∫
− p(x)dx
.
2. Выбираем какое-нибудь частное решение ỹ(x) исходного неоднородного уравнения. Его можно, например, искать методом вариации
произвольной постоянной. Он состоит в том, что частное решение
неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и найденное
общее решение однородного уравнения, но с множителем C(x), зависящим от x,
∫
− p(x)dx
ỹ(x) = C(x)e
.
Подставляя эту формулу в исходное уравнение (4.1), получим уравнение для C(x),
C ′ (x)y0 (x) + C(x)y0′ (x) + C(x)p(x)y0 (x) = q(x).
В силу того, что y0 (x) является решением однородного уравнения,
имеем
C ′ (x)y0 (x) = q(x),
∫
где y0 (x) = e− p(x)dx . Это соотношение дает функцию C(x) и, таким
образом, частное решение ỹ(x).
17
Замечание. Частное решение определяется неоднозначно.
Общее решение исходного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения,
y(x) = y0 (x) + ỹ(x).
Пример.
y ′ − y ctg x = 2x sin x.
Решаем однородное уравнение
y ′ = y ctg x,
dy
dy
cos x
= y ctg x,
=
dx,
dx
y
sin x
ln Cy = ln | sin x|,
y = Celn | sin x| = C| sin x| = C sin x.
Таким образом, общее решение однородного уравнения есть
y0 (x) = C sin x.
Методом вариации произвольной постоянной находим частное решение
неоднородного уравнения. Ищем частное решение ỹ(x) в виде
ỹ(x) = C(x) sin x.
Подстановка в исходное уравнение дает
C ′ (x) sin x + C(x) cos x − C(x) sin x
C ′ (x) = 2x,
C(x) = x2 ,
cos x
= 2x sin x,
sin x
ỹ(x) = x2 sin x.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения есть
y(x) = y0 (x) + ỹ(x) = C sin x + x2 sin x.
Пример.
y ′ (2x + y 3 ) = y.
Это уравнение не является линейным относительно y. Перепишем его в
симметрической форме
(2x + y 3 )dy = ydx.
18
Легко видеть, что это уравнение будет линейным относительно x. Можно
переписать его в виде
dx
y
= 2x + y 3 .
dy
Решая однородное уравнение yx′ = 2x, находим x0 (y) = Cy 2 . Частное
решение неоднородного уравнения также ищем методом вариации постоянной, x̃ = C(y)y 2 . Подстановка в исходное уравнение приводит к
C(y) = y, то есть получаем
x(y) = Cy 2 + y · y 2 = Cy 2 + y 3 .
Отметим, что частное решение тоже многочлен третьей степени, как
и правая часть.
4.1
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y ′ (x) + p(x)y = f (x)y α ,
α ̸= 0, α ̸= 1.
Поделим уравнение на y α . Обозначая z(x) = y 1−α , z ′ = (1 − α)y ′ /y α ,
получим
z′
+ p(x)z = f (x).
1−α
Получили линейное уравнение первого порядка.
Пример.
y
x2
y −
= .
2x 2y
Это уравнение Бернулли с α = −1. Домножая на 2y и делая замену
z = y 2 , получим линейное уравнение первого порядка
′
z′ −
z
= x2 ,
x
которое может быть решено вышеприведенным способом.
5
Уравнения в полных дифференциалах
Пусть дано уравнение в симметрической форме
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
19
Если найдется такая функция U (x, y), что для заданных функций
∂U
M (x, y), N (x, y) выполнены равенства M (x, y) = ∂U
∂x , N (x, y) = ∂y , то
уравнение запишется в виде
∂U
∂U
dx +
dy = 0,
∂x
∂y
dU (x, y) = 0.
Такая функция U (x, y) называется потенциалом. Тогда решение уравнения запишется в виде неявного соотношения U (x, y) = const, а исходное
уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Необходимо выяснить при каких условиях на функции M (x, y), N (x, y) существует потенциал.
Запишем выражение полного дифференциала для функции двух переменных
∂U
∂U
dU (x, y) =
dx +
dy.
∂x
∂y
Поскольку dx и dy произвольны, то должны выполняться соотношения
M (x, y) =
∂U
∂U
, N (x, y) =
∂x
∂y
Дифференцируя первое из них по y, а второе по x, получаем
(
)
(
)
∂U
∂U
∂ 2U
∂ 2U
My =
=
, Nx =
=
.
∂x y ∂y∂x
∂y x ∂x∂y
Из условия равенства смешанных производных получаем, что для существования потенциала необходимо выполнение равенства
∂M (x, y) ∂N (x, y)
=
.
∂y
∂x
Можно показать, что это условие является и достаточным (для односвязных областей).
Пусть есть уравнение в полных дифференциалах. Построим его решение.
(x,y)
, интегрируя, получаем
1. Так как M (x, y) = ∂U∂x
∫
U (x, y) = M (x, y)dx + φ(y)
с произвольной функцией φ(y).
20
2. Дифференцируя по y и приравнивая полученное выражение к N (x, y),
находим соотношение на φ(y). Решение записывается в виде
U (x, y) = C. Отметим, что потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Пример. Решить уравнение
(x + y − 1)dx + (x − y 3 + 3)dy = 0.
Здесь M (x, y) = x + y − 1, N (x, y) = x − y 3 + 3, My = 1 = Nx , то есть
уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Вычислим
потенциал
∫
U (x, y) = M (x, y)dx = x2 /2 + xy − x + φ(y).
Дифференцируя полученное выражение по y и приравнивая к известной
функции N (x, y), получим
x + φ′ (y) = x − y 3 + 3,
φ′ (y) = −y 3 + 3.
Отсюда
φ(y) = −y 4 /4 + 3y,
U (x, y) = x2 /2 + xy − x − y 4 /4 + 3y.
Тогда решение можно записать в виде
x2 /2 + xy − x − y 4 /4 + 3y = C.
Можно построить решение следующим способом.
1. То же самое.
2*. Интегрируем N (x, y), вспоминая, что это производная ∂U/∂y.
Сравнивая слагаемые в полученных интегралах, получаем искомое
выражение для потенциала.
Пример. Для разобранного выше примера 2* дает
∫
U (x, y) = (x − y 3 + 3)dy = xy − y 4 /4 + 3y + ψ(x).
Отсюда, сравнивая выражения, получаем
φ(y) = −y 4 /4 + 3y,
ψ(x) = x2 /2 − x.
Иногда удается построить решение, выделяя в исходном симметрическом уравнении интегрируемые комбинации.
21
Пример.
(x + y + 1/x)dx + (x + cos y)dy = 0,
xdx + dx/x + (ydx + xdy) + cos ydy = d(x2 /2 + ln |x| + xy + sin y) = 0,
тогда решение этого уравнения есть
x2 /2 + ln |x| + xy + sin y = C.
5.1
Интегрирующий множитель
Иногда удается подобрать такую функцию µ(x, y), что при домножении
на нее исходного уравнения (1.3) оно преобразуется в уравнение в полных
дифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множителем. При этом должно выполняться соотношение (µ(x, y)M (x, y))y =
(µ(x, y)N (x, y))x . В общем случае это уравнение гораздо более сложное,
чем исходное (содержит две независимые переменные и называется уравнением в частных производных). Однако в некоторых случаях интегрирующий множитель легко находится.
Пусть µ зависит только от x, µ = µ(x). Тогда уравнение для интегрирующего множителя приводится к виду
(µ(x)M (x, y))y = (µ(x)N (x, y))x ,
µMy = µ′ N + µNx ,
µ(My − Nx ) = µ′ N,
µ′
My − N x
=
.
µ
N
Так как левая часть есть функция только от x, то для того, чтобы
µ = µ(x), необходимо
My − N x
= F (x).
N
Аналогично рассматривается случай µ = µ(y).
6
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение
y ′ = f (x.y)
22
(6.1)
с начальным условием
y(x0 ) = y0 .
(6.2)
f (x, y) определена в прямоугольнике
Π = {(x, y)||x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b} .
Определение. Говорят, что функция f (x, y) удовлетворяет в Π условию Липшица по переменной y, если существует число N (постоянная
Липшица) такое, что при любом выборе точек (x, y1 ) ∈ Π, (x, y2 ) ∈ Π
выполнено неравенство
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |.
Утверждение. Если существует ограниченная в Π производная fy , |fy | ≤
N, то условие Липшица выполнено.
Доказательство. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤
∂f
(x, ξ)(y1 − y2 ) ≤ N |y1 − y2 |,
∂y
y1 < ξ < y 2 .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть для задачи Коши (6.1)–(6.2) известно, что
1. f (x, y) определена и непрерывна в Π. Тогда по теореме Вейерштрасса о непрерывной функции существует число M такое, что
|f (x, y)| ≤ M
для всех (x, y) ∈ Π.
2. f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по y в прямоугольнике Π.
Положим h = min(a, b/M ). Тогда для |x − x0 | < h существует решение
задачи Коши (6.1)–(6.2), которое определяется единственным образом.
Укажем один из способов построения приближенного решения, так называемый метод ломаных. Функция f (x, y) определяется из уравнения
(6.1), то есть в каждой точке (x, y) ∈ Π задан угол наклона интегральной кривой к оси Ox . Пусть ∆ — шаг по x, x1 = x0 + ∆. На прямой
(касательной к интегральной кривой в точке (x0 , y0 ), tg α0 = f (x0 , y0 ))
берем точку
y1 = y0 + ∆ · tg α0 = y0 + ∆ · f (x0 , y0 ).
23
Рис. 4: Окрестность точки (x0 , y0 )
Рис. 5: Приближенное построение интегральной кривой
Аналогично строим
x2 = x1 + ∆ = x0 + 2∆,
y2 = y1 + ∆ · f (x1 , y1 )
и так далее.
На k-м шаге получаем
xk+1 = xk + ∆ = x0 + (k + 1)∆,
yk+1 = yk + ∆ · f (xk , yk ).
таким образом, построили точки ломаной, приближающей нашу интегральную кривую. Аналогично строим точки влево от начальной точки (x0 , y0 ). Это простой и наглядный способ построения приближенного
решения задачи Коши. Отметим, что чем меньше шаг ∆, тем точнее
построенная ломаная описывает решение задачи Коши.
Пусть y(x) — решение задачи Коши (6.1)–(6.2). Подставляя его в уравнение, получаем верное равенство.
y ′ (x) = f (x, y(x).
24
Проинтегрируем его в пределах от 0 до произвольного значения x,
∫x
∫x
y ′ (ξ)dξ = f (ξ, y(ξ))dξ,
x0
x0
∫x
y(x) − y(x0 ) =
f (ξ, y(ξ))dξ.
x0
Учитывая, что y(x0 ) = y0 , получаем
∫x
y(x) = y0 +
f (ξ, y(ξ))dξ,
|x − x0 | < h.
(6.3)
x0
Полученное соотношение называют интегральным уравнением. Задача
Коши (6.1)–(6.2) ему эквивалентна.
Будем строить последовательные приближения по правилу
y0 (x) ≡ y0 ,
∫x
y1 (x) = y0 +
f (ξ, y0 (ξ))dξ,
x0
∫x
y2 (x) = y0 +
f (ξ, y1 (ξ))dξ,
...
x0
∫x
yn (x) = y0 +
f (ξ, yn−1 (ξ))dξ.
x0
Построенные таким образом функции yk (x) определены и непрерывны
при |x − x0 | < h, их графики не выходят из прямоугольника Π. Докажем
это индукцией по n. Функция y0 (x) определена и непрерывна при |x −
x0 | ≤ a (и тем более при |x − x0 | < h),
∫x
|y1 (x) − y0 | =
∫x
f (ξ, y0 (ξ))dξ ≤
x0
|f (ξ, y0 (ξ))|dξ ≤
x0
∫x
≤M
dξ ≤ M |x − x0 | ≤ M h ≤ M
x0
25
b
= b,
m
следовательно, график y1 (x) не выходит из Π.
Пусть данное утверждение верно для yn−1 , то есть при |x − x0 | ≤ h
график функции yn−1 не выходит из Π, и функция непрерывна. При таких x определена и непрерывна функция f (x, yn−1 (x)), следовательно,
определена и непрерывна yn (x) (по построению). Докажем, что ограничено
∫x
∫x
|yn (x) − y0 | =
f (ξ, yn−1 )dξ ≤ |f (ξ, yn−1 )|dξ ≤
x0
x0
≤ M |x − x0 | ≤ b,
Далее, докажем равномерную сходимость последовательности yn (x). Рассмотрим ряд
y0 (x) + (y1 (x) − y0 (x)) + (y2 (x) − y1 (x)) + ... + (yn (x) − yn−1 (x)) + ...
yn (x) = Sn (x) — его частичная сумма. Оценим члены этого ряда:
|y1 − y0 | ≤ M |x − x0 | ≤ M h,
∫x
|y2 − y1 | ≤
∫x
f (ξ, y1 ) − f (ξ, y0 )dξ ≤ N
x0
∫x
≤ MN
(y1 − y0 )dξ ≤
x0
h2
(x − x0 )2
≤ MN ,
(ξ − ξ0 )dξ = M N
2
2!
x0
..................
n
n
n−1 (x − x0 )
n−1 h
|yn − yn−1 | ≤ M N
≤ MN
.
n!
n!
Таким образом, построили мажорантный числовой ряд
|y0 | + M h + ... + M N
n−1 h
n
+ ...
n!
Исследуем его сходимость. Воспользуемся признаком Даламбера,
an+1
M N n hn+1 n!
Nh
lim
= lim
=
lim
= 0 < 1,
n→∞ an
n→∞ (n + 1)!M N hn
n→∞ n + 1
то есть мажорантный числовой ряд сходится.
Для функциональных рядов применим признак Вейерштрасса. Если функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, то
он равномерно сходится. Таким образом, yn ⇒ y, то есть
26
1. ∃ lim = y(x);
n→∞
2. y(x) — непрерывная функция (как предел равномерно сходящегося
ряда).
Осталось доказать, что график y(x) не выходит за пределы прямоугольника Π при |x − x0 | ≤ h и является решением интегрального уравнения
(6.3).
Так как ∀n выполняется |yn (x) − y0 | ≤ b при |x − x0 | ≤ h, то (предельный переход в неравенстве) выполнено неравенство
|y(x) − y0 | ≤ b.
Докажем, что
∫x
lim
∫x
f (ξ, yn (ξ))dξ =
n→∞
x0
f (ξ, y(ξ))dξ :
x0
yn ⇒ yn при|x − x0 | ≤ h ⇔
∀ε > 0∃N ; ∀n > N, ∀|x − x0 | ≤ h
выполнено |yn (x) − y(x)| < ε.
∫x
∫x
f (ξ, yn )dξ −
x0
∫x
f (ξ, yn ) − f (ξ, y)dξ ≤
f (ξ, y)dξ =
x0
x0
∫x
|yn − y|dξ ≤ N ε|x − x0 | ≤ Lεh → 0
N
x0
при ε → 0. Таким образом,
∫x
∫x
f (ξ, yn−1 (ξ))dξ ⇒ y(x) = y0 +
yn (x) = y0 +
x0
f (ξ, y(ξ))dξ.
x0
Докажем единственность решения задачи Коши. Пусть есть другое
решение ȳ(x) такое, что ȳ(x0 ) = y0 . Будем считать, что значения x, где
ȳ(x) ̸= y(x), лежат правее точки x0 . Пусть ε > 0, причем в области
x0 ≤ x ≤ x0 + ε не везде ȳ(x) = y(x), тогда обозначим
max |ȳ − y| = θ > 0.
[x0 ,x0 +ε]
27
Пусть x∗ — точка, где это значение θ достигается.
θ = |ȳ(x∗ )| ≤
∫x∗
∫x∗
|f (x, y)−f (x, ȳ)|dx ≤ N
x0
x∫0 +ε
|y− ȳ| dx ≤ N
x0
θdx = N εθ,
x0
то есть θ ≤ N εθ, следовательно, ε ≥ 1/N. Но по предположению ε сколь
угодно мало. Таким образом, получили противоречие со сделанным предположением, значит, не существует такого x∗ , что |y(x∗ ) − ȳ(x∗ )| = θ.
Теорема доказана.
7
Дифференциальные уравнения высших порядков
В общем виде дифференциальное уравнение порядка n записывается в
неявной форме в виде
F (x, y, y ′ , ..., y (n) ) = 0
или в виде, разрешенном относительно производной,
y (n) = f (x, y, y ′ , ..., y (n−1) ).
(7.1)
Для такого уравнения имеет место теорема существования и единственности.
Теорема (без доказательства). Е сли в уравнении (7.1) правая часть
f и ее производные по y, y ′ , ..., y (n−1) непрерывны в некоторой области,
(1) (2)
(n−1)
содержащей значения y0 , y0 , y0 , ..., y0
, то существует единственное
решение уравнения (7.1) с начальными условиями
y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y0 , ..., y (n−1) (x0 ) = y0
(1)
(n−1)
.
В частности, для уравнения
y ′′ = f (x, y, y ′ )
начальные условия (данные Коши) ставятся следующим образом: y(x0 ) =
y0 , y ′ (x0 ) = y01 . Геометрически это соответствует тому, что требуется найти решение уравнения (7.1), проходящее через данную точку (x0 , y0 ) и
имеющее в этой точке угол наклона, соответствующий y01 .
Из приведенной теоремы следует, что решение существует и единственно. Если задавать разные значения производной y01 (x0 ) при фиксированных y0 , то получим бесконечное множество интегральных кривых,
соответствующих разным углам наклона.
28
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го
порядка называется такая функция y = φ(x; C1 , ..., Cn ), что
1. Эта функция удовлетворяет уравнению (7.1) для любого набора
постоянных C1 , ...Cn .
(1)
(n−1)
2. При заданных начальных условиях y0 , y0 , ..., y0
можно подобрать соответствующие постоянные (при условии, что начальные данные лежат в области, где правая часть удовлетворяет
условиям теоремы существования и единственности), такие, что
φ(x; C1 , ..., Cn ) будет решением задачи Коши.
Определение. Всякая функция, полученная из общего решения при
конкретных значениях постоянных C1 , ..., Cn , называется частным решением (7.1). График частного решения называется интегральной кривой.
7.1
Линейные однородные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение вида
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = f (x)
называется линейным.
Здесь ai (x) и f (x) — заданные функции от x или постоянные, причем an (x) ̸= 0 нигде в области, где рассматривается уравнение. Далее в
рассуждениях предположим, что an (x) ≡ 1 и ai (x) (i = 1, ..., n), f (x) —
непрерывны.
Определение. Если f (x) ≡ 0, то уравнение называется однородным.
7.2
Основные свойства линейных однородных уравнений
Рассмотрим на примере уравнения второго порядка.
y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0.
(7.2)
Теорема. Если y1 (x) и y2 (x) — решения уравнения (7.2), то их линейная
комбинация C1 y1 (x) + C2 y2 (x) — тоже решение (7.2).
29
Определение. Два решения линейного однородного уравнения (7.2) называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные
C1 и C2 , C12 + C22 ̸= 0, что
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) ≡ 0.
Напротив, они называются линейно независимыми, если это равенство выполнено только при C1 = C2 = 0.
Определение. Определитель вида
W (x) =
y1 (x) y2 (x)
(7.3)
y1′ (x) y2′ (x)
называется определителем Вронского (или вронскианом) для функций
y1 (x) и y2 (x).
Теорема. Если y1 (x) и y2 (x) — линейно зависимы на [a, b] то W (x) ≡ 0
на [a, b].
Доказательство. Пусть y1 (x) и y2 (x) — линейно зависимы. Это значит,
что y2 (x) = λy1 (x), x ∈ [a, b]. Следовательно,
W (x) =
y1 (x) λy1 (x)
y1′ (x) λy1′ (x)
= 0.
Теорема . Если для решений (7.2) с непрерывными коэффициентами
W (x0 ) ̸= 0 для некоторого x0 из [a, b], то W (x) ̸= 0 для любого x из
[a, b].
Доказательство. Имеем
y1′′ + a1 (x)y1′ + a0 (x)y1 = 0,
y2′′ + a1 (x)y2′ + a0 (x)y2 = 0.
Умножая первое уравнение на y2 , второе на y1 и вычитая, получаем
y1′′ y2 − y2′′ y1 + a1 (y1′ y2 − y2′ y1 ) = 0.
Вычислим W ′ (x):
W (x) = y1 y2′ − y2 y1′ ,
W ′ (x) = y1′ y2′ + y1 y2′′ − (y2′ y1′ + y2 y1′′ ),
то есть получаем
W ′ (x) = −a1 W (x).
30
Это линейное однородное уравнение первого порядка. Решая его, получим
dW
= −a1 (x)dx,
W
∫x
W
ln
= − a1 (x)dx,
C
x0
−
∫x
a1 (x) dx
W (x) = Ce x0
.
(7.4)
По условию
W (x0 ) = Ce0 = C ̸= 0.
Тогда W (x) ̸= 0, поскольку показательная функция нигде не равна 0, а
постоянная C не равна нулю по условию теоремы.
Замечание. Попутно получаем, что если W (x0 ) = 0, то W (x) ≡ 0.
Теорема. Если y1 (x) и y2 (x) — линейно независимые решения (7.2) для
x ∈ [a, b], то W (x) ̸= 0 нигде на [a, b].
Доказательство. От противного. Пусть W (x) = 0 в некоторой точке
x0 отрезка [a, b]. Тогда по предыдущей теореме определитель равен нулю
всюду на [a, b], то есть
y1 y2′ − y1′ y2 = 0.
Рассмотрим точки, где y1 ̸= 0. Тогда
y1 y2′ − y2 y1′
= 0,
y12
( )′
y2
= 0,
y1
то есть y2 = λy1 в точках, где y1 ̸= 0.
Теорема . Если y1 (x) и y2 (x) — линейно независимые решения, то их
линейная комбинация C1 y1 (x) + C2 y2 (x) есть общее решение этого уравнения.
Доказательство.
1. При любом выборе C1 , C2 указанная функция будет решением.
2. Докажем, что для любых начальных условий
y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y01
31
(7.5)
можно подобрать постоянные C1 и C2 так, что y(x) удовлетворяет этим
начальным условиям.
Из (7.5) следует, что
y0 = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ),
y 1 = C y ′ (x ) + C y ′ (x ).
0
1 1
0
2 2
0
Это неоднородная система линейных уравнений для определения постоянных C1 и C2 . Ее определитель W (x0 ) ̸= 0 в силу линейной независимости y1 (x) и y2 (x). Значит, эта система имеет единственное решение
C1 , C 2 .
Теорема. Если известно одно частное решение (7.2), то можно понизить
порядок этого уравнения.
Доказательство. Пусть дано уравнение
y ′′ + a1 y ′ + a0 (x)y = 0
и известно y1 (x) — его частное решение. Из доказательства вышеизложенной теоремы следует, что
∫
′
′
− a1 (x)dx
y2 y1 − y2 y1 = Ce
.
Так как y1 известно, то это уравнение первого порядка для y2 (x). Делим
на y12 .
y2′ y1 − y2 y1′
C − ∫ a1 (x)dx
= 2e
,
y12
y1
( )′
y2
C − ∫ a1 (x)dx
= 2e
,
y1
y1
)
∫ (
C − ∫ a1 (x)dx
y2
=
e
dx + C1 .
y1
y12
Так как ищем какое-нибудь частное решение, то можно принять C1 =
0, C = 1. Получим
∫ − ∫ a1 (x)dx
e
y2 = y1
dx.
y12
Очевидно, построенная система функций линейно независима, так как
∫ − ∫ a1 (x)dx
y2
e
=
dx ̸= const.
y1
y12
32
Общее решение имеет вид
∫
y = C1 y 1 + C2 y 2 = C1 y 1 + C2 y 1
∫
e− a1 (x)dx
dx.
y12
Пример.
1
1
y ′′ + y ′ − 2 y = 0.
x
x
У этого уравнения есть частное решение
y1 = x,
что проверяется непосредственной подстановкой. Ищем второе решение,
понизив предложенным способом порядок уравнения,
(
)′
C −
= 2e
x
∫ dx
c 1
c
C
C − ln x
−1
e
= 2 eln x = 2 = 3 .
2
x
x
x x x
∫
y2
C
1
=
dx
=
−
,
y1
x3
2x2
если, как и ранее, примем C = 1, то второе решение
y2
y1
x =
y2 = −
1
x
1
y
=
−
=
−
.
1
2x2
2x2
2x
Подставим найденное y2 (x) в уравнение, при этом y1′ = 2x1 2 , y2′′ = − x13 .
Получим тождество.
8
Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение
y ′′ + py ′ + qy = 0,
p = const, q = const, p ∈ R, q ∈ R.
(8.1)
По доказанной ранее теореме для нахождения общего решения необходимо найти два линейно независимых решения. Попытаемся искать
частное решение этого уравнения в виде
y = eλx ,
где
λ = const,
33
подставляя эту функцию в уравнение (8.1) (при этом y ′ = λeλx , y ′′ =
λ2 eλx ) получим
eλx (λ2 + λp + q) = 0.
Так как ни при каких λ множитель eλx ̸= 0, сокращая на этот множитель,
получим алгебраическое уравнение для определения чисел λ
λ2 + λp + q = 0.
(8.2)
Определение.Уравнение (8.2) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (8.1).
Вычисляя числа λi , i = 1, 2, из (8.2), получим частные решения дифференциального уравнения (8.1) в виде eλi x .
Так как в данном случае характеристическое уравнение является квадратным, возможны следующие варианты.
1. λ1 ̸= λ2 , λi ∈ R. Тогда получаем, что функции eλ1 x и eλ2 x являются
решениями исходного дифференциального уравнения (8.1).
Очевидно, что эти функции линейно независимы, следовательно,
составляют фундаментальную систему решений исходного дифференциального уравнения второго порядка.
Тогда его общее решение есть двухпараметрическое семейство функций
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x .
Пример.
y ′′ + y ′ − 2y = 0.
Составляем характеристическое уравнение
λ2 + λ − 2 = 0.
λ1 = 1, λ2 = −2,
y = C1 ex + C2 e−2x .
2. Корни характеристического уравнения — комплексно-сопряженные,
λ1,2 = α ± iβ.
Строим частное решение
y1 (x) = eλ1 x = e(α+iβ)x = eαx eiβx =
34
(
)
= eαx cos(βx) + i sin(βx) = u + iv.
Проводя аналогичные действия с y2 (x) = eλ2 x , получаем
(
)
y2 = eαx cos(βx) − i sin(βx) = u − iv,
то есть y1 (x) и y2 (x) — комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению.
Подставим частное решение y1 (x) в уравнение.
(u(x) + iv(x))′′ + p(u(x) + iv(x))′ + q(u(x) + iv(x)) ≡ 0,
(u′′ (x) + pu′ (x) + qu(x)) + i(v ′′ (x) + pv ′ (x) + qv(x)) ≡ 0
— тождество, следовательно, действительная и мнимая части выражения равны нулю, то есть действительные функции u(x) и v(x) —
решения исходного уравнения.
Таким образом, решениями уравнения (8.1) при комплексно-сопряженных
λ будут вещественные функции
eαx cos(βx), eαx sin(βx).
В силу их линейной независимости они составляют фундаментальную систему решений, так что общее решение уравнения (8.1) запишется в виде
y = C1 eαx cos(βx) + C2 eαx sin(βx).
Пример. Найти общее решение уравнения
y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
и решение задачи Коши с начальными условиями
y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
Выписываем характеристическое уравнение
λ2 + 2λ + 5 = 0.
Его корни — λ1 = −1 − 2i, λ2 = −1 + 2i. Тогда фундаментальная
система решений — функции
e−x cos(2x), e−x sin(2x),
35
А общее решение есть
y = e−x (C1 cos(2x) + C2 sin(2x)).
(8.3)
Перейдем к решению задачи Коши. Подставляя начальное условие
y(0) = 0 в общее решение, получим
0 = e0 (C1 cos(0) + C2 sin(0)) = C1 .
Продифференцируем общее решение (8.3)) и подставим в него второе условие Коши:
y ′ (x) = −e−x (C1 cos(2x)+C2 sin(2x))+e−x (−2C1 sin(2x)+2C2 cos(2x)) =
= e−x ((C2 − 2C1 ) sin(2x) + (C1 + 2C2 ) cos(2x)),
1 = y ′ (0) = e0 (C2 − 0) sin 0 + (0 + 2C2 ) cos 0) = 2C2 .
Таким образом,
C1 = 0, C2 = 1/2.
Следовательно, решением задачи Коши будет (8.3) при C1 = 0 и
C2 = 1/2, то есть функция
1
y(x) = e−2x sin(2x).
2
На рисунке представлен ее график.
Рис. 6: Решение задачи Коши
3. Пусть квадратное уравнение имеет кратный корень, λ1 = λ2 = λ ∈
R.
36
Тогда y1 = eλx — решение исходного дифференциального уравнения.
Будем искать второе линейно независимое решение в виде
y2 (x) = u(x)eλx .
Тогда
y2′ (x) = u′ (x)eλx + u(x)λeλx = eλx (u′ (x) + λu(x)),
y2′′ (x) = λeλx (u′ (x) + λu(x)) + eλx (u′′ (x) + λu′ (x)).
Подстановка в (8.1) дает
0 = λeλx (u′ (x)+λu(x))+eλx (u′′ (x)+λu′ (x)+peλx (u′ (x)+λu(x))+qu(x)λx =
(
)
= eλx u′′ (x) + u′ (x)(λ + λ + p) + u(x)(λ2 + λp + q) = u′′ (x)eλx ,
(здесь учтено, что λ — кратный корень квадратного уравнения λ2 +
λp + q = 0, поэтому λ = −p/2), то есть u′′ (x) = 0. Тогда u(x) =
Ax + B. Например, можно взять u(x) = x. Тогда фундаментальной
системой решений дифференциального уравнения будут функции
y1 (x) = eλx , y2 (x) = xeλx .
Отметим, что второе решение уравнения можно искать по формуле
Остроградского — Лиувилля (7.4),
∫
Ce− pdx
y2
=
, p = const, y1 = eλx .
2
y1
y1
y2
= Ce−px (e−λx )2 = Ce−2λx−px = Ce−x(p+2λ) = Ce0 = C,
y1
y2
= Cx + C1 , y2 = (Cx + c1 )y1 = (Cx + C1 )eλx .
y1
Упражнение. Доказать линейную независимость функций eλx , xeλx .
Пример. Решить уравнение
y ′′ − 4y ′ + 4y = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
λ2 − 4λ + 4 = 0, λ1,2 = 2,
фундаментальная система решений —
y1 = e2x , y2 = xe2x .
Общее решение
y = C1 e2x + C2 xe2x .
37
9
Свойства решений линейных однородных уравнений n-го порядка
Рассмотрим уравнение
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0.
(9.1)
Теорема. Пусть y1 (x) и y2 (x) — решения уравнения (9.1). Тогда их линейная комбинация
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
тоже является решением уравнения (9.1).
Доказательство. Очевидно в силу линейности оператора левой части
уравнения.
Следствие. Любая линейная комбинация решений
n
∑
Ci yi (x)
0
уравнения (9.1) тоже является его решением.
Таким образом, множество решений линейного однородного уравнения n-го порядка является линейным пространством. Возникает естественный вопрос — какова его размерность? Как строить его базис?
Определение. Система функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) называется линейно зависимой на промежутке, x ∈ [a, b], если существуют такие
постоянные C1 , C2 , ..., Cn , одновременно не равные нулю, что для любого x ∈ [a, b] выполнено тождество
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) ≡ 0.
(9.2)
Если это тождество справедливо только для постоянных C1 = C2 =
... = Cn = 0, то система функций называется линейно независимой.
Пример.
1. Рассмотрим набор функций
y1 (x) = ex , y2 (x) = e2x , y3 (x) = 2ex .
Очевидно, что
2y1 + 0 · y2 − 1 · y3 ≡ 0,
таким образом, эта система функций линейно зависима.
38
2. Пусть y1 = 1, y2 = x. Тогда равенство (9.2) примет вид
C1 + C2 x = 0.
Оно выполняется при всех x только тогда, когда C1 = C2 = 0. Таким
образом, рассматриваемая система функций линейно независима.
3. Рассмотрим систему функций
1, x, x2 , x3 , ...xn .
Если не все C1 , ..., Cn равны нулю, то равенство (9.2) выполнено не
более, чем в n точках — корнях соответствующего многочлена. Таким образом, система функций 1, x, x2 , x3 , ...xn линейно независима.
4. Пусть дана система функций
ek1 x , ek2 x , ..., ekn x ,
где все числа k1 , k2 , ..., kn различные. Попробуем подобрать постоянные Ci , i = 1, ..., n, чтоб было выполнено равенство (9.2).
Не ограничивая общности, можно считать, что Cn ̸= 0. Делим полученное равенство на ek1 x .
Дифференцируя по x, получим аналогичное равенство, но с меньшим числом слагаемых. Продолжая этот процесс аналогичным образом, в итоге получим
Cn (kn − k1 )(kn − k2 )...(kn − kn−1 )e(kn −kn−1 )x = 0.
Но равенство нулю не может быть выполнено, так как ki ̸= kj , i ̸= j.
Следовательно, исходная система функций линейно независима.
5. Рассмотрим систему функций
y1 = sin kx, y2 = cos kx.
Она линейно независима. Предположим обратное. Тогда выполнено
для всех x
C1 sin kx + C2 cos kx = 0.
Дифференцируя это соотношение по x, получим однородную систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных C1 , C2 ,
C1 sin kx + C2 cos kx = 0,
39
kC1 cos kx − kC2 sin kx = 0.
Определитель этой системы
sin kx cos kx
= − sin2 kx − cos2 kx = −1 ̸= 0.
cos kx − sin kx
Следовательно, система имеет только тривиальное решение, то есть
функции sin kx, cos kx линейно независимы.
Определение. Пусть дана система функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x). Определитель квадратной матрицы
W (x) =
y1 (x)
y2 (x)
...
yn (x)
y1′ (x)
y2′ (x)
...
yn′ (x)
...
...
...
...
(n−1)
(x) ... yn
(n−1)
y1
(x) y2
(n−1)
(x)
называется определителем Вронского.
Теорема. Пусть y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) — линейно зависимая система функций на [a, b] и существуют производные всех функций до (n−1) порядка.
Тогда W (x) ≡ 0.
Доказательство.
Так как система функций линейно зависима, то для всех x ∈ [a, b]
выполнено равенство (9.2).
Дифференцируя это равенство (n − 1) раз, получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно Ci , i = 1, ..., n.
C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) = 0,
C1 y1′ (x) + C2 y2′ (x) + ... + Cn yn′ (x) = 0,
(9.3)
............
(n−1)
(n−1)
(n−1)
C1 y 1
(x) + C2 y2
(x) + ... + Cn yn (x) = 0.
Так как по условию теоремы система функций линейно зависима, то
у системы (9.3) есть нетривиальное решение. Следовательно, определитель системы равен нулю. Выписывая его, убеждаемся, что это и есть
определитель Вронского для системы функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x).
Замечание. Если W (x) ̸= 0 хотя бы в одной точке x ∈ [a, b], то система
функций линейно независима на [a, b].
40
Теорема . Пусть дана система функций y1 (x), y2 (x), ...yn (x). Известно,
что
1. Эти функции линейно независимы на [a, b].
2. Являются решениями дифференциального уравнения (9.1).
Тогда W (x) ̸= 0 ∀x ∈ [a, b].
Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пусть
в некоторой точке x0 выполнено равенство W (x0 ) = 0.
Выберем постоянные Ci как нетривиальное решение системы
C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + ... + Cn yn (x0 ) = 0,
C1 y1′ (x0 ) + C2 y2′ (x0 ) + ... + Cn yn′ (0 ) = 0,
(9.4)
............
(n−1)
(n−1)
(n−1)
C1 y 1
(x0 ) + C2 y2
(x0 ) + ... + Cn yn (x0 ) = 0.
Рассмотрим функцию
ỹ = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x).
Эта функция является решением уравнения (9.1) и удовлетворяет нулевым начальным данным,
ỹ(x0 ) = ỹ ′ (x0 ) = ... = ỹ (n−1) (x0 ) = 0.
По теореме существования и единственности задача Коши для (9.1) с
нулевым начальным условием имеет единственное решение ỹ ≡ 0, следовательно,
n
∑
ỹ =
Ci yi (x) ≡ 0, x ∈ [a, b],
i=0
то есть функции y1 (x), y2 (x), ...yn (x) линейно зависимы. Получили противоречие с предположением, то есть такой точки x0 , что W (x0 ) = 0, не
существует. Таким образом, W (x) ̸= 0 для любых x ∈ [a, b].
Замечание. Если функции y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) не являются решениями
одного и того же уравнения (9.1), то теорема не верна.
Пример. Рассмотрим функции
{
(x − 1)2 , 0 ≤ x ≤ 1,
y1 (x) =
0,
1 < x ≤ 2,
41
Рис. 7: График функции y1 (x)
{
y2 (x) =
0,
0 ≤ x ≤ 1,
(x − 1)2 , 1 < x ≤ 2.
Рис. 8: График функции y1 (x)
Вычислим вронскиан системы функций на [0,1] и [1,2];
W (x)
=
[0,1]
(x − 1)2 0
2(x − 1) 0
= 0,
W (x)
=
[1,2]
0 (x − 1)2
0 2(x − 1)
= 0.
Непосредственное вычисление показывает, что функции линейно независимы. Действительно, имеем:
{
C1 (x − 1)2 + C2 · 0, 0 ≤ x ≤ 1,
C1 y 1 + C2 y 2 =
C1 · 0 + C2 (x − 1)2 , 1 < x ≤ 2.
Приравнивая линейную комбинацию функций к нулю при x = 0 и x = 2,
отсюда получаем C1 = 0, C2 = 0.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эти функции
являются решениями дифференциального уравнения
y ′′ −
2
y = 0.
(x − 1)2
42
Однако коэффициент при y(x) не является непрерывным в точке x = 1,
то есть в окрестности этой точки не выполнены условия теоремы существования и единственности. В частности, решением этого дифференциального уравнения с начальными условиями y(1) = 0, y ′ (1) = 0 являются функции y(x) ≡ 0 и y(x) = (x − 1)2 , из частей которых и был
построен данный пример.
9.1
Структура общего решения
Теорема. Если y1 (x), ..., yn (x) — линейно независимые на [a, b] решения
линейного уравнения n-го порядка с непрерывными коэффициентами, то
функция
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x)
— его общее решение, то есть
1. y(x) — решение уравнения,
2. любое решение этого уравнения представимо в таком виде при соответствующем выборе произвольных постоянных C1 , ..., Cn .
Доказательство.
1. Очевидно в силу линейности оператора уравнения.
2. Пусть y = y(x) — решение уравнения Ln [y] = 0. Положим
y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y0 , ..., y (n−1) (x0 ) = y0
(1)
(1)
(n−1)
.
(n−1)
Для чисел y0 , y0 , ..., y0
составим систему
C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + ... + Cn yn (x0 ) = y0 ,
C1 y1′ (x0 ) + C2 y2′ (x0 ) + ... + Cn yn′ (x0 ) = y0(1) ,
............................
C y (n−1) (x ) + C y (n−1) (x ) + ... + C y (n−1) (x ) = y (n−1) .
1 1
0
2 2
0
n n
0
0
Определитель этой системы есть
W (x0 ) ̸= 0
по условию теоремы (так как система функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) линейно независима на [a, b]). Тогда существует набор чисел C1 , C2 , ..., Cn
— решение этой системы. Таким образом, функция
ỹ(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x)
43
является решением уравнения Ln [y] = 0 с заданными начальными условиями.
На основании теоремы существования и единственности решения получаем y(x) = ỹ(x), x ∈ [a, b], что доказывает теорему.
Таким образом, для построения общего решения однородного уравнения (9.1) достаточно найти какие-нибудь n линейно независимых решений и составить их линейную комбинацию
Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения равно его порядку, то есть размерность пространства
решений уравнения (9.1) есть n.
Проиллюстрируем это утверждение на примере уравнения второго порядка.
Пусть для x ∈ R дано уравнение
y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0.
(9.5)
Задавая данные Коши y(0) = 1, y ′ (0) = 0, получим решение y1 (x).
Если изменить данные, задав y(0) = 0, y ′ (0) = 1, решением соответствующей задачи Коши для уравнения (9.5) будет функция y2 (x). Полученные функции y1 (x) и y2 (x) — линейно независимы. Действительно,
выписывая соотношение C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = 0 в точке x = 0, получим
C1 = 0. Аналогично, дифференцируя и подставляя в него x = 0, получим
C1 y1′ (0) + C2 y2′ (0) = 0, то есть C2 = 0.
Тогда общее решение уравнения (9.5) есть
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x),
любое решение уравнения (9.5) выражается через найденные y1 (x) и
y2 (x), то есть третьего решения (9.5), линейно независимого с y1 и y2 ,
не существует.
9.2
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка
Если для линейного однородного уравнения n-го порядка найдены n линейно независимых решений, то общее решение неоднородного уравнения
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y ′ + a0 (x)y ≡ L[y(x)] = f (x)
(9.6)
может быть найдено по формуле
y(x) =
n
∑
Ci yi (x) + ỹ(x) ≡ y0 (x) + ỹ(x),
i=1
44
(9.7)
где y0 (x) — общее решение соответствующего однородного уравнения, а
ỹ(x) — любое частное решение неоднородного уравнения.
В самом деле, в силу линейности оператора уравнения Ln [y]
Ln [y] = Ln [ỹ] +
n
∑
Ci L[yi ] = f (x) +
n
∑
0 = f (x),
1
i=1
то есть такая функция y(x) является решением неоднородного уравнения.
С другой стороны, если функция y(x) — решение неоднородного уравнения (9.6), то
Ln [y − ỹ] = Ln [y] − Ln [ỹ] = f (x) − f (x) = 0,
то есть функция y(x) − ỹ(x) является решением соответствующего однородного уравнения, и существуют такие постоянные Ci , i = 1, ..., n,
что
n
∑
y(x) − ỹ(x) =
Ci yi (x).
i=1
Это равенство доказывает утверждение (9.7).
10
Линейные однородные уравнения n-го порядка с
постоянными коэффициентами
Определение.Уравнение вида
y (n) +an−1 y (n−1) +...+a1 y ′ +a0 y = 0,
ai = const, i = 0, 1, ..., n−1 (10.1)
— линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Для того, чтобы решить уравнение (10.1), нужно найти его n линейно
независимых решений (фундаментальную систему решений, далее ФСР),
тогда общим решением будет
y0 = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x).
(10.2)
с произвольными постоянными Ci , y = 1, ..., n (n-параметрическое семейство решений).
45
Аналогично приведенному выше случаю для n=2 ищем частное решение уравнения (10.1) в виде y = eλx , подстановка в (10.1) дает характеристическое уравнение, которое запишем в виде
χn (λ) = λn + an−1 λn−1 + ... + a1 λ + a0 = 0.
Известно, что многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их
кратности, то есть
n
∏
(λ − λj ).
χn (λ) =
j=1
Лемма. Функция yi = eλi x , где χ(λi ) = 0, есть решение уравнения (10.1).
Доказательство. Прямой подстановкой yi (x) = eλi x в уравнение (10.1),
при этом производные
(k)
yi = λki eλi x ,
убеждаемся, что
L[yi ] = eλi x
∑
ak λki = eλi x χ(λi ) = 0.
i
Ранее было доказано, что функции eλ1 x , eλ2 x , ..., eλn x линейно независимы, если λi ̸= λj . Следовательно, если характеристическое уравнение
имеет n различных корней (вещественных или комплексных), то тем самым искомые n линейно независимых функций найдены. Они и составляют фундаментальную систему решений уравнения (10.1).
Таким образом, функции eλ1 x , eλ2 x , ..., eλn x есть фундаментальная система решений уравнения (10.1), тогда его общее решение имеет вид
y0 =
n
∑
Ci eλi x .
0
Случай 1.1. Если все собственные числа λi , i = 1, ..., n — вещественные
и различные, тогда ФСР имеет вид {eλ1 x , eλ2 x , ..., eλn x }.
Случай 1.2. Пусть среди собственных чисел есть комплексное число λ1 = α + iβ. Тогда по теореме алгебры о корнях полинома с вещественными коэффициентами в множестве собственных чисел есть и
комплексно-сопряженное число λ2 = α−iβ, то есть среди решений (10.1)
есть z1,2 = ex(α±iβ) . Воспользуемся леммой о том, что вещественная и
46
мнимая части комплексного решения есть решения, получаем, что вместо функций z1,2 в ФСР можно включить элементы
y1 = eαx cos βx, y2 = eαx sin βx.
Случай 2. Среди λi есть кратное. В таком случае этому собственному
числу λ1 кратности k сопоставим k функций
eλ1 x , xeλ1 x , ..., xk−1 eλ1 x .
Покажем, что все эти функции являются решениями уравнения (10.1).
Действительно, в этом случае
χ(λ) = (λ − λ1 )k χ1 (λ), χ1 (λ1 ) ̸= 0.
Очевидно, что
L[y1 ] = eλ1 x χ(λ1 ) = 0.
Возьмем функцию y2 = xeλ1 x . Вычислим ее производные.
(
)′
y2′ = xeλ1 x = eλ1 x + λ1 xeλ1 x ,
y2′′ = 2λ1 eλ1 x + λ21 xeλ1 x ,
...............................
(n)
y2 = nλ1 eλ1 x + λn1 xeλ1 x .
Тогда
L[y2 ] = eλ1 x (xχ(λ1 ) + χ′ (λ1 )) = 0.
Далее доказательство по индукции. Если для yp−1 утверждение верно,
то есть L[yp−1 ] = 0, то для yp получаем
(
)
λ1 x
p−1
p−2 ′
(p−2)
(p−1)
L[yp ] = e
x χ(λ1 ) + x χ (λ1 x) + ... + xχ
(λ1 ) + χ
(λ1 ) = 0,
поскольку корень λ1 кратности k обращает в нуль как саму функцию
χ(λ1 ), так и ее производные до порядка (k − 1) включительно.
Остается доказать, что функции eλ1 x , xeλ1 x , ..., xk−1 eλ1 x линейно независимы. Это утверждение предлагается доказать в качестве упражнения.
47
11
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка
Рассмотрим уравнение
L[y] ≡ y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = f (x),
(11.1)
здесь ai = ai (x), f (x) — непрерывные на [a, b] функции.
Свойства решений уравнения (11.1).
1. Пусть y1 (x) — частное решение неоднородного уравнения (11.1),
y2 (x) — общее решение соответствующего однородного уравнения.
Тогда y1 (x) + y2 (x) — общее решение неоднородного уравнения.
2. Пусть имеем m уравнений вида
L[y(x)] = fα (x), α = 1, ..., m
и yα (x) — решение соответствующего уравнения с правой частью
fα (x), L[yα (x)] = fα (x).
Тогда линейная комбинация
y=
m
∑
Dα yα
(11.2)
α=1
есть решение уравнения
L[y] =
m
∑
Dα fα .
α=1
3. Если уравнение L[y] = U (x) + iV (x) с вещественными коэффициентами и вещественными функциями U (x), V (x) имеет решение
y = u(x) + iv(x), то
L[u] = U, L[v] = V.
Доказательство. Утверждение следует очевидным образом из линейности левой части уравнения.
В предыдущем параграфе было показано, что общее решение однородного уравнения есть линейная комбинация элементов фундаментальной системы решений. Таким образом, для построения общего решения
неоднородного уравнения в соответствии с формулой (9.7) необходимо
48
каким-то образом построить частное решение неоднородного уравнения.
Например, можно воспользоваться следующей теоремой.
Теорема (метод вариации произвольных постоянных). Пусть
y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) — фундаментальная система решений линейного однородного уравнения L[y] = 0. Тогда частное решение неоднородного
уравнения можно искать в виде
ỹ =
n
∑
Ck (x)yk (x),
1
где функции Ck (x) такие, что производные Ck′ (x) удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений.
Доказательство. Определим Ck′ (x) оптимальным образом. Пусть частn
∑
ное решение представлено в виде y = Ck (x)yk (x). Продифференциру1
ем это соотношение n раз и, накладывая некоторые условия, подставим
результат дифференцирования в исходное уравнение n-го порядка (11.1).
Результат вычисления производных и соответствующих условий, накладываемых на искомые функции, представим в виде таблицы.
шаг
производная
1
y′ =
2
y ′′ =
∑
∑
...
(n − 1)
Ck yk′ +
Ck yk′′ +
∑
требуем
∑
Ck′ yk
∑
∑
Ck′ yk′
...
y (n−1) =
∑
(n−1)
Ck yk
тогда производная...
Ck′ yk = 0
y′ =
Ck′ yk′ = 0
y ′′ =
...
+
∑
Ck′ yk
(n−2)
∑
Ck′ yk
∑
∑
Ck yk′
Ck yk′′
...
(n−2)
y (n−1) =
=0
∑
(n−1)
Ck yk
.... что получается из уравнения (11.1)
(n)
y (n) =
∑
(n)
Ck yk +
∑
Ck′ yk
(n−1)
∑
Ck′ yk
(n−1)
= f (x)
Эти условия (колонка "требуем") в совокупности с соотношением, полученным при их подстановке в исходное неоднородное уравнение, дают
неоднородную систему линейных алгебраических уравнений для опреде-
49
ления Ck′ (x).
′
C1 y1 + C2′ y2 + ... + Cn′ yn = 0,
C1′ y1′ + C2′ y2′ + ... + Cn′ yn′ = 0,
.....................................
′ (n−1)
(n−1)
(n−1)
+ C2′ y2
+ ... + Cn′ yn
= f (x).
C1 y 1
Определитель этой системы есть вронскиан функций
W [y1 , y2 , ..., yn ](x) ̸= 0
по свойству линейно независимых функций. Таким образом, система
имеет единственное решение C1′ (x), C2′ (x), ..., Cn′ (x). Сами функции Ck (x)
находятся
интегрированием
после
того,
как
определены
′
′
′
C1 (x), C2 (x), ..., Cn (x).
11.1
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение (9.6) при ai = const, i = 0, ..., n − 1 есть предмет исследования
этого пункта. В соответствии с формулой (9.7), для построения решения этого уравнения необходимо построить общее решение однородного
уравнения и частное решение неоднородного уравнения.
Метод построения y(x), y(x) = y0 (x) + ỹ(x) (общего решения неоднородного уравнения) рассмотрен в параграфе 9.2. Кратко он состоит в
следующем.
1. Выписываем характеристическое уравнение, оно будет иметь вид
λn + an−1 λn−1 + ...a1 λ + a0 = 0,
(11.3)
находим его корни λ1 , λ2 , ..., λn .
2. Строим фундаментальную систему решений однородного уравнения. Ее структура зависит от типа собственных чисел λ.
(a) Если все собственные числа вещественные и различные, λi ̸=
λj , i ̸= j, то фундаментальная система решений состоит из функций
y1 = eλ1 x , y2 = eλ2 x , ..., yn = eλn x ,
и тогда общее решение уравнения (9.6) представимо в виде
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + ... + Cn eλn x .
50
(11.4)
(b) Если среди собственных чисел уравнения есть λ — кратное и
действительное, которое имеет кратность k, то этому собственному числу соответствуют k решений, которые можно строить
следующим образом:
y1 = eλx , y2 = xeλx , ..., yk = xk−1 eλx ,
Тогда часть общего решения, соответствующая кратному собственному числу λ , есть
y = C1 eλx + C2 xeλx + ... + Ck xk−1 eλx .
(11.5)
(c) Если все коэффициенты уравнения вещественны и соответствующее характеристическое уравнение имеет комплексный корень
λ1 = α + iβ, то число λ2 = α − iβ также является корнем
характеристического уравнения. Тогда общее решение уравнения можно записать в вещественном виде. Построим часть решения, соответствующую паре комплексно-сопряженных чисел
λ1,2 = α ± iβ ,
ỹ = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x =
(
)
= eαx C1 (cos βx + i sin βx) + C2 (cos βx − i sin βx) =
(
)
= eαx cos βx(C1 + C2 ) + i(C1 − C2 ) sin βx) =
= Aeαx cos βx + Beαx sin βx.
Если пара комплексно-сопряженных чисел имеет кратность k,
то
ỹ = Pk−1 eαx cos βx + Qk−1 eαx sin βx,
где P, Q — многочлены от x степени k − 1 с произвольными
коэффициентами.
3. Строим частное решение неоднородного уравнения. Возможны следующие способы построения частного решения. (Отметим, однако,
что этими способами не исчерпываются все методы нахождения ỹ.
Если, например, из физических соображений известен общий вид
решения, можно этим воспользоваться.)
(a) Можно использовать метод вариации произвольных постоянных, описанный в предыдущем разделе. Рассмотрим его на примере уравнения второго порядка.
51
Пример.
1
.
cos x
Выписываем характеристическое уравнение
y ′′ + y =
λ2 + 1 = 0
и находим его корни
λ = ±i.
В качестве фундаментальной системы решений однородного уравнения y ′′ + y = 0 можно взять функции
y1 = cos x, y2 = sin x.
Тогда общее решение однородного уравнения
y = C1 cos x + C2 sin x.
Применяя метод вариации произвольных постоянных, для C1′ , C2′
выписываем систему
′
′
C1 cos x + C2 sin x = 0,
−C1′ sin x + C2′ cos x =
Отсюда
1
.
cos x
C2′ = 0, C1′ = tg x,
то есть
C1 = ln | cos x| + C10 , C2 = x + C20 .
Тогда общее решение неоднородного уравнения есть
y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ln | cos x| + x sin x.
Нужно отметить, что метод вариации произвольных постоянных универсален, однако в некоторых случаях интегрирование
не всегда возможно, а иногда приводит к неоптимальным результатам. Поэтому в некоторых случаях возможно применить
следующий способ нахождения частного решения.
(b) Если правая часть уравнения имеет специальный вид,
f (x) = aeλ0 x ,
52
это дает возможность определить вид частного решения и искать его методом неопределенных коэффициентов.
1. Пусть λ0 не является корнем характеристического уравнения
(11.3). Тогда частное решение уравнения (11.1) есть
ỹ = Aeλ0 x
с неопределенной (пока) постоянной A. Проверим это утверждение непосредственной подстановкой.
ỹ ′ = Aλ0 eλ0 x , ỹ ′′ = Aλ20 eλ0 x , ..., ỹ (n) = Aλn0 eλ0 x .
Подстановка в уравнение приводит к
Aχ(λ0 )eλ0 x = aeλ0 x ,
сокращая на ненулевой множитель eλ0 x , получаем
Aχ(λ0 ) = a,
то есть неопределенная ранее постоянная равна
A=
a
.
χ(λ0 )
Замечание. Эта формула не требует запоминания, она лишь иллюстрирует алгоритм нахождения коэффициента.
Пример.
y ′′ + y = e2x ,
Характеристическое уравнение
λ2 + 1 = 0,
имеет корни λ = ±i, тогда общее решение однородного уравнения
y0 = C1 cos x + C2 sin x.
Ищем частное решение ỹ(x) в виде правой части, λ = 2 — не корень
характеристического уравнения,
ỹ(x) = Ae2x .
53
Подставляя частное решение в таком виде в уравнение,
4Ae2x + Ae2x = e2x ,
сокращая на неравный нулю множитель e2x , получим
5A = 1, A = 1/5.
Таким образом,
ỹ = e2x /5,
e2x
y = y0 + ỹ = C1 cos x + C2 sin x +
.
5
Пример.
y ′′ + y = cos 2x.
Используя обращение формулы Эйлера, получим
e2ix e−2ix
cos 2x =
+
,
2
2
то есть cos 2x есть сумма экспонент с комплексным показателем. Отметим этот важный факт для дальнейших рассуждений.
Тогда в соответствии с (11.2) ищем частное решение в виде суммы,
каждое слагаемое которой отвечает своей правой части. Получаем
ỹ = Ae2ix + Be−2ix = A(cos 2x + i sin 2x) + B(cos 2x − i sin 2x) =
= (A + B) cos 2x + (A − B)i sin 2x.
Таким образом,
y = M cos 2x + N i sin 2x, где M = A + B, N = A − B.
Отметим, что если в правой части стоит sin kx или cos kx, то частное
решение нужно искать в виде линейной комбинации и sin kx, и cos kx.
Лемма. Если правая часть представлена в виде квазиполинома, то есть
произведения многочлена на экспоненту, f (x) = eγx Pm (x), то частное
решение можно искать в виде
ỹ = xs eγx Qm (x),
(11.6)
где s — кратность γ как корня характеристического уравнения χ(λ) = 0,
то есть s = 0, если γ — не корень характеристического уравнения и s = k,
если γ — корень уравнения кратности k.
54
Частный случай. Пусть уравнение имеет вид
y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a1 y ′ + a0 y = Ps (x),
Ps (x) = As xs + ... + A0 .
Если a0 ̸= 0, то есть χ(0) ̸= 0, то существует частное решение дифференциального уравнения в виде многочлена степени s,
ỹ = B0 xs + B1 xs−1 + ... + Bs .
Приведем алгоритм вычисления коэффициентов частного решения. Для
этого подставим решение ỹ и его производные
y ′ = B0 sxs−1 + B1 xs−2 (s − 1) + ... + Bs−1 ,
y ′′ = B0 s(s − 1)xs−2 + B1 (s − 1)(s − 2)xs−3 + ... + Bs−2 ,
..........................
y (n) = B0 s!
в неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях x,
xs :
an B0 = A0 , B0 = A0 /an ,
xs−1 : an B1 + san−1 B0 = A1 , B1 = An −saann−1 B0 ,
xs−2 : an B2 + (s − 1)an−1 B1 + s(s − 1)an−2 B0 = A2 , B1 = An −saann−1 B0 ,
...
...
x0 :
an Bs + ... = As .
Таким образом, коэффициенты частного решения могут быть определены из полученной системы.
Обобщая сказанное, можно сформулировать следующее утверждение.
Лемма. Пусть правая часть линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
(
)
αx
f (x) = e Pm (x) cos βx + Qm sin βx .
Тогда, если комплексное число γ = α + iβ не является корнем характеристического уравнения, частное решение имеет вид
(
)
αx
ỹ = e Tm (x) cos βx + Rm sin βx ,
55
и
k αx
(
ỹ = x e
)
Tm (x) cos βx + Rm sin βx ,
если число α + iβ есть корень характеристического уравнения кратности
k.
Доказательство. Основано на представлении функций cos βx и sin βx
по формулам Эйлера
eiβx − e−iβx
eiβx + e−iβx
, sin βx =
.
cos βx =
2
2
Таким образом, правая часть есть
(
(
)
)
Q
Q
(α+iβ)x P
(α−iβ)x P
f (x) = e
+
+e
−
= e(α+iβ)x A(x)+e(α−iβ)x B(x).
2
2i
2
2i
A(x), B(x) — многочлены, имеющие степень, равную максимальной из
степеней многочленов P (x) и Q(x).
Из рассуждений леммы следует, что мы должны определить, является
ли комплексное число γ = α±iβ корнем характеристического уравнения.
Отсюда очевидно следует, что
1. если γ — не корень уравнения, то
ỹ = u(x)eαx cos βx + v(x)eαx sin βx.
2. если γ — корень уравнения кратности s, то
(
)
ỹ = xs u(x)eαx cos βx + v(x)eαx sin βx .
(11.7)
(11.8)
Здесь u(x), v(x) — многочлены с неопределенными коэффициентами, их степень равна степени A(x) и B(x).
Замечание. Конструкции (11.7) и (11.8) верны и в случае P ≡ 0 (или
Q ≡ 0), что соответствует правой части f (x) = eαx Pm (x) cos βx (или
f (x) = eαx Qm (x) sin βx). В этом случае решение также ищется в виде
(11.7) или (11.8), то есть содержит и cos βx, и sin βx.
Пример. Решить уравнение
y ′′ + 2y ′ + 5y = 2 cos x.
Характеристическое уравнение имеет вид
λ2 + 2λ + 5 = 0,
56
его корни —
λ = −1 ± 2i,
то есть общее решение однородного уравнения —
y0 = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x).
Так как в правой части присутствует cos x, это соответствует показателю
экспоненты
γ = ±i.
Числа γ не являются корнями характеристического уравнения. Таким
образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
ỹ = A cos x + B sin x
с неопределенными коэффициентами A и B. Дифференцируя это выражение и подставляя вычисленные
ỹ ′ = −A sin x + B cos x,
и
ỹ ′′ = −A cos x − B sin x
в неоднородное уравнение, получим соотношение
−A cos x − B sin x + 2(−A sin x + S cos x) + 5(A cos x + B sin x) = 2 cos x,
(11.9)
которое выполнено при любых значениях x. Воспользуемся тем, что
функции sin x и cos x являются линейно независимыми. Собирая коэффициенты в (11.9) при sin x и cos x и приравнивая коэффициенты в левой
и правой частях соотношения, получим
cos x(−A + 2B + 5A) + sin x(−B − 2A + 5B) = 2 cos x,
то есть имеем систему уравнений для определения A и B,
{
2B + 4A = 2,
−2A + 4B = 0.
Отсюда A = 2/5, B = 1/5, то есть частное решение
ỹ =
2
1
cos x + sin x,
5
5
57
и общее решение исходного уравнения
y = C1 cos 2x + C2 sin 2x +
2
1
cos x + sin x.
5
5
Пример. Решить уравнение
y ′′ + 4y = cos 2x.
Применяя вышеописанный метод, получим
λ2 + 4 = 0, λ = ±2i,
y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x.
Здесь показатель γ экспоненты в правой части есть ±2i, это корень характеристического уравнения. Тогда частное решение приобретает множитель x и имеет вид
ỹ = x(A cos 2x + B sin 2x).
Аналогично предыдущему примеру, дифференцируем ỹ и подставляем в
неоднородное уравнение,
ỹ ′ = x(−2A sin 2x + 2B cos 2x) + A cos 2x + B sin 2x.
ỹ ′′ = −2A sin 2x+2B cos 2x+(−2A sin 2x+2B cos 2x)+x(−4A cos 2x−4B sin 2x) =
= −4A sin 2x + 4B cos 2x − 4x(A cos 2x + B sin 2x).
Отсюда
−4A sin 2x + 4B cos 2x = cos 2x,
A = 0, B = 1/4,
x
ỹ = sin 2x,
4
y = C1 cos 2x + C2 sin 2x +
12
x
sin 2x.
4
Дифференциальное уравнение свободных колебаний
Уравнение, описывающее колебательную систему типа представленной
на рис. 9, есть
y ′′ + py ′ + qy = 0, y = y(t).
58
Рис. 9: Схема пружинного маятника
Здесь y(t) — отклонение тела (материальной точки) от положения равновесия, p — коэффициент сопротивления среды, q — жесткость пружины,
p ≥ 0, q > 0.
Характеристическое уравнение
λ2 + pλ + q = 0
имеет корни
√
p
p2
λ1,2 = − ±
− q.
2
4
Рассмотрим различные случаи корней этого уравнения.
2
1. p4 > q, то есть сила сопротивления велика по сравнению с жесткостью.
Тогда λ1,2 < 0. Этот результат можно получить из теоремы Виета,
λ1 λ2 = q > 0, значит, корни одного знака. Их сумма λ1 + λ2 = −p < 0,
значит, они оба отрицательны. Общее решение есть
y
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
t
10
20
30
40
50
Рис. 10: Колебания маятника, q = 1, p = 2.5
59
y = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t .
Оба показателя экспоненты отрицательны, при возрастании времени t
отклонение резко убывает (рис. 10).
2
2. p4 = q,тогда характеристическое уравнение имеет кратный корень
λ1,2 = p2 /4, общее решение есть
y = (C1 + C2 t)e−pt/2 .
Оно также стремится к нулю с ростом времени.
3. p = 0, то есть нет силы сопротивления. Характеристическое уравнение
λ2 + q = 0
имеет комплексно-сопряженные корни
√
λ1,2 = ±i q,
что дает общее решение
y(t) = C1 cos
√
√
qt + C2 sin qt.
Используя метод введения фиктивного угла, получаем
(
)
√
C1
C
√
√
√ 2
cos
qt
+
sin
qt =
y = C12 + C22 √ 2
C1 + C22
C12 + C22
√
√
√
= C12 + C22 sin( qt + φ0 ) = A sin( qt + φ0 ),
где
C1
C
√ 2
,
cos
φ
=
,
0
C12 + C22
C12 + C22
следовательно, тело совершает
гармонические колебания с периодом T =
√
√
2
2π/ q, амплитудой A = C1 + C22 и начальной фазой φ0 .
4. Пусть
p2
p ̸= 0, < q.
4
Уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
sin φ0 = √
при этом α = − p2 , β =
√
λ1,2 = α ± iβ,
2
q − p4 . Общее решение имеет вид
y = eαt (C1 cos βt + C2 sin βt) = Aeαt sin(βt + φ0 ).
Так как амплитудный множитель есть экспонента с отрицательным показателем α, то колебания со временем затухают (функция sin βt модулируется функцией eαt ) (рис. 11).
60
y
1.5
1.0
0.5
t
10
20
30
40
50
- 0.5
Рис. 11: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2
12.1
Вынужденные колебания
Если к колеблющемуся телу приложена внешняя сила f , зависящая от
времени, то уравнение приобретет вид
y ′′ + py ′ + qy = f (t).
Пусть внешняя сила периодична по времени,
f (t) = a sin ωt.
Рассмотрим различные соотношения параметров.
1. Пусть p ̸= 0, p2 /4 < q. Как уже было показано,
y0 (t) = Aeαt sin(βt + φ0 ).
здесь A, φ0 — произвольные постоянные (решение уравнения второго порядка есть двухпараметрическое семейство функций). Частное решение
имеет вид
ỹ = M cos ωt + N sin ωt.
Читателю предлагается вычислить постоянные частного решения M и
N.
С известными постоянными M и N , используя приведенное ранее правило нахождения частного решения в виде квазиполинома, ỹ можно записать в виде
ỹ = C sin(ωt + φ∗ ).
Тогда общее решение есть
y = Aeαt sin(βt + φ0 ) + C sin(ωt + φ∗ ).
61
Так как α < 0 и с ростом t множитель eαt быстро стремится к нулю, то
второе слагаемое с какого-то момента времени станет главным. То есть
вне зависимости от амплитуды приложенной силы колебания тела будут
происходить с частотой внешней силы ω — вынужденные колебания. Зависимости амплитуды колебаний от времени при различных значениях
параметров приведены на рисунках 12–14.
y
2.0
1.5
1.0
0.5
t
10
20
30
40
50
- 0.5
- 1.0
Рис. 12: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 0.3, ω = 1
y
5
4
3
2
1
t
10
20
30
40
50
-1
-2
Рис. 13: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 1, ω = 5
Если при этих же условиях p = 0, что соответствует отсутствию сопротивления, q = β 2 > 0, то уравнение примет вид
y ′′ + qy = a sin ωt,
общее решение однородного уравнения
y0 = C1 cos βt + C2 sin βt.
Возможны случаи
1. β ̸= ω. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
Ỹ = M cos ωt + N sin ωt.
62
y
4
2
t
50
100
150
200
-2
-4
Рис. 14: Колебания маятника, q = 0.26, p = 0.2, a = 1, ω = 0.05
(Упражнение. Вычислить M и N .)
Тогда y = y0 +ỹ — сумма двух синусоид. Некоторые возможные случаи
приведены на рисунках 15–16.
y
4
2
t
20
40
60
80
100
-2
-4
Рис. 15: Колебания маятника без трения
y
1.5
1.0
0.5
t
20
40
60
80
100
- 0.5
- 1.0
- 1.5
Рис. 16: Колебания маятника без трения
2. Интересен случай β = ω. Тогда частное решение ищем в виде
ỹ = t(M cos ωt + N sin ωt).
Вычисляя производные и подставляя в неоднородное уравнение, полу63
чим
ỹ ′ = M cos ωt + N sin ωt + t(−ωM sin ωt + N ω cos ωt),
ỹ ′′ = −M ω sin ωt + N ω cos ωt + (−ωM sin ωt + N ω cos ωt)+
+t(−ω 2 M sin ωt − N ω 2 sin ωt),
то есть
−M ω sin ωt + N ω cos ωt + (−ωM sin ωt + N ω cos ωt)+
+t(−ω 2 M cos ωt − ω 2 N sin ωt) + β 2 t(M cos ωt + N sin ωt) = a sin ωt,
−M ω sin ωt + N ω cos ωt + (−ωM sin ωt + N ω cos ωt) = a sin ωt,
{
−2ωM = a,
2ωN = 0,
a
M = − , N = 0.
2ω
То есть частное решение
ỹ = −
a
t cos ωt.
2β
Тогда общее решение
y = A sin(βt + φ0 ) −
a
t cos ωt.
2β
Первое слагаемое ограничено, второе резко растет с увеличением времени. Наблюдается резонанс (рис. 17).
y
20
10
t
10
20
30
40
50
- 10
- 20
Рис. 17: Колебания маятника, явление резонанса: q = 1, p = 0, a = 1, ω = 1
64
13
Системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему
′
x1 = f1 (t, x1 , ..., xn ),
x′2 = f2 (t, x1 , ..., xn ),
(13.1)
........
′
xn = fn (t, x1 , ..., xn ),
для определения n неизвестных функций x1 (t), x2 (t), ..., xn (t).
Определение. Если, как в данном случае, производные x′i (t) выражены
явно через независимую переменную t и искомые функции, то система
записана в нормальной форме по Коши.
С введением вектор-функций
x1 (t)
x2 (t)
X(t) =
...
xn (t)
система запишется в виде
f1 (t, x1 , ..., xn )
f2 (t, x1 , ..., xn )
X ′ = F (t, X) =
..............
fn (t, x1 , ..., xn )
Пример. Система
{
x′1 = −x2 ,
x′2 = x1 ,
имеет частное решение x1 = cos t, x2 = sin t, что проверяется непосредственной подстановкой. В трехмерном пространстве интегральная кривая представлена на рис. 18.
Это винтовая линия, выходящая из точки (1,0). Проекция интегральной кривой на плоскость (x1 , x2 ) называется траекторией системы и в
данном случае представляет собой окружность x21 + x22 = 1.
65
Рис. 18: Интегральная кривая в фазовом пространстве. Проекция на фазовую плоскость
Кроме приведенного, есть еще решение
x1 ≡ 0, x2 ≡ 0,
то есть ось Ot тоже является интегральной кривой.
Определение. Если правая часть системы явно не зависит от t, то
система называется автономной.
Тогда система принимает вид
′
x1 = f1 (x1 , ..., xn ),
x′2 = f2 (x1 , ..., xn ),
........
′
xn = fn (x1 , ..., xn ),
или
X ′ = F (X).
Определим вектор
f1 (x1 , ..., xn ),
f2 (x1 , ..., xn ),
F (X) =
.
...
fn (x1 , ..., xn )
66
Решение X(t) описывает траекторию движения точки в n-мерном пространстве, причем вектор скорости X ′ в момент прохождения точки через (x1 , x2 , ..., xn ) совпадает с F (X).
Определение. Пространство размерности n, состоящее из точек
(x1 , x2 , ..., xn ), в котором решения представляются в виде траекторий,
называется фазовым пространством. Траектории при этом есть фазовые траектории, компоненты вектора F (X) — фазовые скорости.
Для системы дифференциальных уравнений, записанной в нормальной форме по Коши, справедлива
Теорема (существования и единственности решения).. Пусть координатные функции F (t, X) определены, непрерывны и имеют непре∂fk
рывные частные производные по координатам (x1 , ..., xn ) вида
(k, j =
∂xj
1, 2, ..., n) в параллелепипеде
Π = {(t, x1 , ..., xn ) : |t − t0 | ≤ a, |xj − x0j | ≤ b, j = 1, 2, ..., n}.
Тогда на некотором промежутке |t − t0 | < h существует решение X(t)
задачи Коши (13.1) с начальными условиями xi (t0 ) = x0i , i = 1, ..., n,
которое определяется единственным образом.
14
Линейные системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную систему в нормальной форме
dx1
dt = a11 (t)x1 + ... + a1n (t)xn + f1 (t),
...
dxn = an1 (t)x1 + ... + ann (t)xn + fn (t),
dt
(14.1)
или в векторной записи
Ẋ = A(t)X + F,
где
x1
f1
a11 . . . a1n
X = ... , F = ... , A = ... . . . ...
xn
fn
an1 . . . ann ,
67
(14.2)
aij ∈ R, fi — непрерывны на a < t < b. Здесь точкой обозначено дифференцирование по времени.
Так как будут рассматриваться как вещественные решения, так и комплексные, приведем некоторые факты.
Лемма 1.. Если A(t) — вещественная матрица, то
1. Вещественная и мнимая части любого комплексного решения системы Ẋ = A(t)X — ее вещественные решения, X(t) = U (t) + iV (t).
2. Если F (t) = g(t) + ih(t), то U и V — решения систем
U̇ = AU + g, V̇ = AV + h
(14.3)
3. Справедливо обратное. Если U, V — решения , то X = U + iV —
решение с F = g + ih.
Доказательство. 2) Пусть (U + iV )′ = A(U + iV ) + (g + ih).
Отделяем вещественную и мнимую части, получаем 3).
При g = h = 0 из 2) следует 1).
Умножая в 3) второе соотношение на i, вместе в первым получаем 3).
Теорема существования и единственности.. Для любого начального
условия X(t) = X0 система имеет единственное решение. Все ее решения
продолжаются на весь интервал (a, b).
14.1
Общие свойства линейных систем
Определение. Если F (t) = 0, то система называется однородной.
Перенесем слагаемое AX в левую часть уравнения (14.2), запишем
систему в виде
L[X] = f,
L — линейный оператор, f, X — элементы линейного пространства непрерывных (X — непрерывно дифференцируемых) n-мерных вектор-функций
на (a, b). Оператор L обладает следующими свойствами:
L[u + v] = L[u] + L[v]; L[γu] = γL[u]
для любых u, v из линейного пространства, γ = const.
Таким образом получаем, что если X 1 , ..., X k — решения L[X] = 0,
γ1 , ..., γk — числа, то X 1 + X 2 , X 1 − X 2 , γ1 X 1 + ... + γk X k — тоже решения
однородного уравнения.
68
Если X 1 , ..., X k — решения неоднородной системы L[X i ] = F i , то X =
γ1 X 1 + ... + γk X k — решение системы
L[X] = γ1 F 1 + ... + γk F k .
В частности, если Lu = 0, Lv = f , то L[u + v] = f . Если Lv 1 = f, Lv 2 =
f , то L[v 1 − v 2 ] = 0. То есть сумма решений линейного однородного
уравнения и линейного неоднородного уравнения — решение неоднородного, разность решений неоднородного уравнения — решение однородного уравнения.
Эти свойства справедливы как для линейных систем, так и для линейных уравнений.
15
Линейная зависимость вектор-функций
Вектор-функции X 1 (t), ..., X k (t) называются линейно зависимыми на (a, b),
если существуют такие постоянные C1 , ..., Ck , не равные нулю одновременно , что для любого t ∈ (a, b) выполнено равенство
C1 X 1 (t) + ... + Ck X k (t) ≡ 0.
Вектор-функции называются линейно независимыми, если это равенство выполнено только при C1 = ... = Ck = 0.
Понятие линейной зависимости вектор-функций на множестве, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия
линейной зависимости векторов. Если вектор-функции X 1 (t), ..., X k (t)
линейно зависимы на множестве M , то ∀t ∈ M их значения — линейно
зависимые вектора. Обратное неверно.
( )
( )
1
t
Пример. X 1 =
, X2 =
∀t — линейно зависимые вектора:
1
t
при t = t1 (фиксированное число) C1 X 1 (t1 ) + C2 X 2 (t1 ) = 0, если C1 =
t1 , C2 = −1. Но как вектор- функции они линейно независимые, так как
при постоянных C1 , C2 равенство C1 · 1 + C1 · t ≡ 0, ∀t ∈ (a, b) возможно
только при C1 = C2 ≡ 0.
k
X1
k
Пусть вектор-функция X (t) = .... .
Xnk
Определение. Определителем Вронского для вектор-функций
X 1 (t), X 2 (t), ..., X n (t)
69
называется
2 n
1
X
X1
X1
1
( 1) ( n)
= .... .... ... .... .
W (t) = X .. X
Xn1
Xn2
Xnn
Лемма . Если вектор-функции X 1 (t), ..., X n (t) линейно зависимы, то
W (t) ≡ 0.
Доказательство. Столбцы линейно зависимы, следовательно, определитель равен нулю.
Следствие. Если W (t0 ) ̸= 0 в некоторой точке t0 , то вектор-функции
X 1 (t), ..., X n (t) линейно независимы.
Лемма. Если вектор-функции X 1 (t), ..., X n (t) — решения системы Ẋ =
A(t)X с переменной матрицей A(t) и W (t) = 0 хотя бы при одном значении t, то эти вектор-функции линейно зависимы и W (t) ≡ 0.
Доказательство. Пусть W (t1 ) = 0, следовательно, столбцы X 1 (t), ..., X n (t)
линейно зависимы, то есть существуют C1 , ..., Cn , не все равные нулю, что
C1 X 1 (t1 ) + ... + Cn X n (t1 ) = 0.
С этими C1 , ..., Cn составим вектор-функцию
X(t) = C1 X 1 (t) + ... + Cn X n (t).
(15.1)
Она является решением системы
Ẋ = A(t)X
с начальным условием X(t1 ) = 0. Кроме того, этому же уравнению с
начальным условием Z(t1 ) = 0 удовлетворяет функция Z(t) ≡ 0. По теореме единственности X(t) ≡ Z(t) ≡ 0. Следовательно вектор-функция
из (15.1) тождественно равна нулю, то есть X 1 (t), ..., X n (t) — линейно
зависимы.
Замечание. Для вектор-функций, не являющихся решениями, это утверждение неверно. В частности, для
( )
( )
t
1
, X 2 (t) =
X 1 (t) =
t
1
W ≡ 0, а они линейно независимы.
70
16
Общее решение линейной системы
Определение. Фундаментальной системой решений для системы
Ẋ = AX
называется любые n ее линейно независимых решений.
Покажем, что фундаментальная система решений существует. Возьмем произвольное значение t0 ∈ [a, b] и n линейно независимых векторов
b1 , b2 , ..., bn ∈ Rn .
Пусть X 1 (t), X 2 (t), ..., X n (t) — решения системы
Ẋ = A(t)X
с соответствующими начальными условиями
X j (t0 ) = bj , j = 1, ..., n.
Эти вектор-функции линейно независимы, так как при t = t0 их значения
есть линейно независимые вектора b1 , b2 , ..., bn , следовательно,
C1 = C2 = ... = Cn = 0.
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений называется множество вектор-функций, содержащее все решения
этой системы (и только их).
Теорема. Пусть X 1 (t), X 2 (t), ..., X n (t) — n линейно независимых решений однородной системы
Ẋ = A(t)X.
(16.1)
Тогда общее решение системы есть линейная комбинация
X(t) = C1 X 1 (t) + C2 X 2 (t) + ... + Cn X n (t),
(16.2)
где C1 , ..., Cn — произвольные постоянные.
Доказательство. В силу свойств линейной системы вектор-функция
X(t) является решением системы для любых значений постоянных C1 , ..., Cn .
Покажем, что любое решение системы (16.1) содержится в (16.2).
71
Выберем произвольное t0 ∈ (a, b). Так как вектор-функции
X (t), X 2 (t), ..., X n (t) линейно независимы, то W (t0 ) ̸= 0. Расписав вектор X(t0 ) по координатам, имеем
x1 (t0 ) = C1 X11 (t0 ) + ... + Cn X1n (t0 ),
1
n
x2 (t0 ) = C1 X2 (t0 ) + ... + Cn X2 (t0 ),
1
..............
1
n
xn (t0 ) = C1 Xn (t0 ) + ... + Cn Xn (t0 ).
Так как W (t0 ) ̸= 0 — определитель неоднородной системы, то постоянные C1 , ..., Cn определяются единственным образом.
С этими постоянными C1 , ..., Cn для X(t) при t = t0 справедливо равенство из условия теоремы. Обе части этого равенства — решения системы (16.1) с начальными данными xi (t0 ) = x0i . По теореме существования
и единственности они совпадают для любого значения t.
Таким образом, множество решений системы является n-мерным линейным пространством. Базисом при этом является любая фундаментальная система решений.
Теорема. Общее решение неоднородной системы
Ẋ = A(t)X(t) + F (t)
(16.3)
есть
X(t) = X0 (t) + X̃(t),
где
X0 (t) =
n
∑
Ck X k (t)
k=1
— общее решение однородной системы, X̃(t) — частное решение неоднородной системы.
Берем произвольные начальные данные. Тогда
X(t0 ) =
n
∑
Ck X k (t0 ) + X̃(t0 ).
k=1
Приравнивая к начальному вектору X0 , в силу W ̸= 0 единственным
образом находим C1 , ..., Cn .
72
16.1
Построение частного решения
Частное решение X̃ может быть построено, например, методом вариации
произвольных постоянных. Пусть общее решение линейной однородной
системы X0 (t) найдено в виде
n
∑
X0 =
Ck X k (t).
k=1
Частное решение ищем в виде
X̃ =
n
∑
Ck (t)X k (t).
k=1
Подставляя X̃ в неоднородную систему (16.3), имеем
( n
)
n
n
∑
∑
∑
Ck′ X k +
Ck Ẋ k = A
Ck X k + F,
k=1
k=1
n
∑
k=1
Ck′ X k +
k=1
n
∑
(
Ck Ẋ − AX
k
k
)
= F,
k=1
n
∑
Ck′ X k = F.
k=1
Это неоднородная система n уравнений относительно Ck′ (t),
′ 1
C1 X1 + C2′ X12 + ... + Cn′ X1n = f1 (t),
....................
′ 1
′ 2
′
n
C1 Xn + C2 Xn + ... + Cn Xn = fn (t).
В силу неравенства нулю определителя системы W величины Ck′ определяются единственным образом для каждого t. Интегрируя полученные
выражения, получаем Ck (t).
17
Системы уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему
dX
= A · X, aij = const.
dt
73
(17.1)
Здесь A = (aij ) — постоянная матрица, X(t) — искомый вектор.
Методом исключения неизвестных эту систему можно свести к одному уравнению. Однако этот метод практически применим только для
достаточно простых систем.
Пример.
ẋ = y + t
ẏ = x − 2et .
Выражаем из второго уравнения y = ẋ − t, подставляем в первое уравнение,
ẍ − 1 = x − 2et .
Решение этого уравнения с постоянными коэффициентами
x = C1 et + C2 e−t − tet − 1,
тогда
y = ẋ − t = C1 et − C2 e−t − (t + 1)et − 1.
В общем случае все же рекомендуется решать систему непосредственно, не сводя ее к уравнению.
Лемма. Вектор-функция
q1
q2
X = Qeλt , Q =
... ,
qn
(17.2)
где Q — комплексный вектор, есть решение системы (17.1) тогда и только
тогда, если λ есть собственное число, а Q — собственный вектор матрицы
системы.
Доказательство. Продифференцируем выражение (17.2) и подставим
X и Ẋ в систему (17.1),
Ẋ = λQeλt ,
λQeλt = AQeλt ,
eλt (A − λE)Q = 0.
Так как вектор Q ненулевой, то
det(A − λE) = 0,
74
(17.3)
то есть λ является собственным числом матрицы A. Тогда из (17.3) следует, что Q есть собственный вектор, соответствующий этому собственному числу.
Из этой леммы следует алгоритм построения ФСР и, соответственно,
общего решения линейной системы как линейной комбинации построенных элементов ФСР.
Находим все собственные числа матрицы системы. Функции из ФСР
строятся в зависимости от вида и кратности собственных чисел.
1. Пусть все собственные числа λj (j = 1, ..., n) матрицы A вещественные и различные,
λi ̸= λj , при i ̸= j.
Тогда, как известно из курса высшей алгебры, существует n линейно
независимых собственных векторов Qj . Искомую систему n линейно
независимых функций можно строить по формуле
X k = Qk eλk t , k = 1, 2, ..., n.
(17.4)
2. Среди собственных чисел λj есть комплексные. Из линейной алгебры известно, что если у матрицы с вещественными коэффициентами
есть комплексное собственное число λ = α+iβ, то число α−iβ тоже
есть собственное число матрицы, причем Q2 = Q∗1 . Действительно,
пусть AQ1 = λ1 Q1 . Применим операцию комплексного сопряжения,
(AQ1 )∗ = (λ1 Q1 )∗ ,
AQ∗1 = λ2 Q∗1 .
Следовательно, можно выбрать
Q2 = Q∗1 .
Таким образом, рассмотрим, как строить собственные функции, соответствующие паре комплексно-сопряженных собственных чисел.
Как и ранее, строим решение, соответствующее собственному числу
λ = α + iβ и собственному вектору Q1 = u + iv, u ∈ Rn , v ∈ Rn .,
z1 = Q1 eλ1 t = (u + iv)e(α+iβ)t = eαt (cos βt + i sin βt)(u + iv) =
= eαt ((u cos βt − v sin βt) + i(v cos βt + u sin βt)).
75
Отделяя вещественную и мнимую части, получим две вещественные
вектор-функции, соответствующие паре комплексно-сопряженных
собственных чисел,
X 1 = eαt (u cos βt − v sin βt),
X 2 = eαt (v cos βt + u sin βt).
Пример. Рассмотрим систему
{
ẋ1 = x1 − 5x2 ,
ẋ2 = 2x1 − x2 .
Выписываем матрицу системы
(
A=
1 −5
)
2 −1
и вычисляем собственные числа,
|A − λE| =
1−λ
−5
2
−1 − λ
= λ2 + 9 = 0, λ = ±3i.
Строим собственный вектор, соответствующий собственному числу
λ = 3i.
)( )
(
u
1 − 3i
−5
= 0,
2
−1 − 3i
v
{
(1 − 3i)u − 5v = 0,
2v + (−1 − 3i)v = 0.
Можно взять в качестве собственного вектор с координатами
u = 5, v = (1 − 3i). Решение, соответствующее λ = 3i, есть
(
) (
)
5
5(cos 3t + i sin 3t)
e3it
=
=
1 − 3i
(1 − 3i)(cos 3t + i sin 3t)
(
)
(
)
5 cos 3t
5 sin 3t
=
+i
.
cos 3t + 3 sin 3t
−3 cos 3t + sin 3t
76
Отделяя вещественную и мнимую части, получим два элемента ФСР
)
(
)
(
5 cos 3t
5 sin 3t
, X2 =
.
X1 =
cos 3t + 3 sin 3t
−3 cos 3t + sin 3t
Тогда общее решение системы есть
(
)
(
)
5 cos 3t
5 sin 3t
X = C1 X 1 +C2 X 2 = C1
+C2
=
cos 3t + 3 sin 3t
−3 cos 3t + sin 3t
(
)
5C1 cos 3t + 5C2 sin 3t
=
.
C1 (cos 3t + 3 sin 3t) + C2 (−3 cos 3t + sin 3t)
3. Кратные вещественные собственные числа. Рассмотрим эту ситуацию на простом примере
Пример. А. Дана система
{
y1′ = y1 ,
y2′ = y2 .
Матрица системы
(
A=
1 0
0 1
)
имеет собственные числа λ1 = λ2 = 1. Вычисляем собственные вектора
(
)( )
0 0
u
= 0,
0 0
v
u · 0 + v · 0 = 0,
u · 0 + v · 0 = 0.
Таким образом, для этой матрицы существует два (имеется в виду
независимых!) собственных вектора
( )
( )
0
1
,
и
1
0
и общее решение исходной системы имеет вид
)
)
(
( )
( ) (
x
C
e
y1
1
0
1
.
= C1 ex
+ C2 ex
=
C2 ex
y2
0
1
77
Пример. В. Пусть дана система
{ ′
y1 = y1 + y2 ,
y2′ = y2 .
Матрица системы
(
A=
1 1
0 1
)
.
Как и ранее, собственные числа есть λ1 = λ2 = 1 но собственный
вектор в данном случае единственный,
(
)( )
0 1
u
= 0,
0 0
v
u · 0 + v · 1 = 0,
u · 0 + v · 0 = 0,
( )
1
.
0
Таким образом, количество линейно независимых собственных векторов зависит не только от кратности собственного числа.
Лемма. Число линейно независимых собственных векторов равно
(n − r), где n — порядок матрицы, r — ранг матрицы (A − λE).
Действительно, в примере А
(
A − λE =
в примере В —
(
A − λE =
0 0
0 0
0 1
0 0
)
, r = 0,
)
, r = 1.
Итак, если число линейно независимых собственных векторов совпадает с кратностью собственного числа λ, то формула для построения ФСР та же, что и в случае простых собственных чисел, то есть
(17.4).
Если собственных векторов меньше, чем k, то часть решения, соответствующую этому кратному собственному числу, можно строить
78
по формуле, аналогичной случаю кратных корней для уравнения с
постоянными коэффициентами,
a0 + a1 x + ... + ak−1 xk−1
λx
Y =
e .
...................
b0 + b1 x. .. + bk−1 xk−1
Здесь коэффициенты вектора в правой части — полиномы степени
(k − 1) с неопределенными (пока) коэффициентами. Всего этих коэффициентов n · (k − 1), независимы же из них только k (это есть
кратность собственного числа), а остальные через них выражаются.
В случае примера В имеем
{
y1 = (a0 + a1 x)ex ,
y2 = (b0 + b1 x)ex .
Подстановка этого решения в исходную систему дает
{
(a0 + a1 x) + a1 = (a0 + a1 x) + (b0 + b1 x),
(b0 + b1 x) + b1 = (b0 + b1 x).
Приравнивая коэффициенты при степенях x , имеем
{
a1 = b0 ,
b1 = 0.
Можно взять в качестве независимых постоянных a0 , b0 , тогда общее
решение есть
y1 = (a0 + b0 x)ex ,
y2 = b 0 e x .
Отметим, что в качестве произвольных постоянных можно было
взять другие константы.
Однако уже в случае трех уравнений этот способ не очень удобен в
применении вследствие его громоздкости. Приведем более удобный
альтернативный способ.
4. Кратные вещественные собственные числа (еще один способ построения элементов ФСР).
79
Для этого строим цепочку присоединенных векторов a1 , a2 , ..., ak ,
соответствующих кратному числу λ.
a1 — собственный вектор,
Aa1 = λa1 ,
Aa2 = λa2 + a1 ,
a2 — первый присоединенный вектор;
Aa3 = λa3 + a2
a3 — второй присоединенный вектор,
..................
Aak = λak + ak−1
ak — (k − 1)-й присоединенный вектор.
Тогда элементы фундаментальной системы решений могут быть построены по формулам
Y 1 = eλx a1 ,
(
)
2
λx x
Y =e
a1 + a2 ,
1!
( 2
)
x
3
λx x
Y =e
a1 + a2 + a3 ,
2!
1!
...............
)
( k−1
k−2
x
x
a1 +
a2 + ... + xak−1 + ak .
Y k = eλx
(k − 1)!
(k − 2)1!
Покажем, что эти вектор-функции есть решения исходной системы.
Подставим в исходное уравнение вектор-функцию Y2 ,
λe
λx
(x
)
a1 + a2 + eλx a1 = eλx A(xa1 + a2 ) =
1!
= eλx (xAa1 + a2 ) = eλx (xλa1 + λa2 + a1).
Сокращая на ненулевой множитель eλx , получаем тождество.
Для следующих элементов ФСР доказательство проводится по индукции.
80
Вернемся к примеру В. В данном случае собственному вектору соответствует единственный присоединенный вектор,
(
)( ) ( )
0 1
u
1
=
,
0 0
v
0
( ) ( )
u
0
=
,
v
1
и фундаментальная система решений есть
( )
1
1
Y =
ex ,
0
( ( ) ( ))
( )
1
0
x
Y2 = x
+
ex = ex
,
0
1
1
то есть общее решение —
( ) (
( )
)
x
1
C1 ex + C2 xex
+ C2 ex
=
,
Y = C1 ex
1
0
C2 ex
как и было построено ранее.
Кроме того, можно, как и было упомянуто ранее, свести систему к
одному уравнению. Или, воспользовавшись тем, что второе уравнение содержит только переменную y2 , решить отдельно второе уравнение,
y2 = Cex ,
подставить найденную переменную y2 в первое уравнение и получить аналогичный результат.
В завершение раздела приведем два факта.
Теорема . Фундаментальная система решений в произвольном случае
собственных чисел строится как комбинация формул для ФСР, соответствующих рассмотренным ранее случаям.
Теорема . Неоднородную систему линейных уравнений с постоянными
коэффициентами можно решать, например, методом вариации произвольных постоянных. Если вектор правой части системы есть квазиполином Pm eγx , то частное решение может быть найдено в виде
Ỹ = Qm+s eγx ,
81
аналогичном случаю специальной правой части для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
18
Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
18.1
Уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
Предположим, дано дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x).
(18.1)
Пусть функции, входящие в уравнение, представимы в виде сходящихся
при |x| < R степенных рядов,
p(x) =
∞
∑
n
an x ,
q(x) =
n=0
∞
∑
n
bn x ,
f (x) =
n=0
∞
∑
cn xn ,
n=0
и для уравнения (18.1) поставлена задача Коши
y ′ (0) = y1 .
y(0) = y0 ,
Справедлива
Теорема Коши — Ковалевской.. Если функции p(x), q(x), f (x) заданы суммой рядов, сходящихся при |x| < R, то на некотором промежутке
|x| < h решение уравнения y(x) является суммой сходящегося степенного ряда,
∞
∑
y(x) =
dn x n .
(18.2)
n=0
Наша задача — определить коэффициенты ряда dn .
Поскольку степенной ряд сходится равномерно и абсолютно, он допускает почленное дифференцирование, причем
( ∞ )′
∞
∑
∑
(yn′ ) =
yn .
n=0
n=0
Почленно дифференцируя ряд (18.2), подставляем его и результат
дифференцирования в уравнение (18.1). Приравнивая коэффициенты при
82
степенях x, определяем коэффициенты dn . Рассмотрим этот алгоритм на
простом примере.
Пример. Дано уравнение
y ′′ + xy ′ + y = 0.
Ищем его решение в виде
y(x) =
∞
∑
dn x n .
n=0
Дифференцируя по x, получаем
′
y (x) =
∞
∑
n−1
ndn x
′′
,
y (x) =
n=1
∞
∑
n(n − 1)dn xn−2 .
n=2
Подстановка в уравнение дает
∞
∑
n(n − 1)dn x
n−2
n=2
+
∞
∑
n
ndn x +
n=1
∞
∑
dn xn = 0.
n=0
Приравнивая коэффициенты при степенях x, получаем
x0 :
x1 :
d0 + 2 · 1 · d2 = 0,
d1 + d1 + 3 · 2 · d3 = 0,
..............,
следовательно,
d1 + 3d3 = 0,
........................................
xk :
dk + kdk + (k + 2)(k + 1)dk+2 = 0,
то есть
dk + (k + 2)dk+2 = 0.
83
Величины d0 и d1 можно пока оставить произвольными, остальные
коэффициенты через них выражаются,
d0
,
2
d2
d0
d4 = − =
,
4
2·4
...........................
d1
,
3
d3
d1
d5 = − =
,
5
3·5
............................
d2 = −
d2k = (−1)k
d3 = −
d0
=
2 · 4 · ... · 2k
d2k+1 = (−1)k
(−1)k d0
=
(2k)!!
d1
=
3 · 5 · ... · (2k + 1)
(−1)k d1
=
.
(2k + 1)!!
Здесь использованы общепринятые обозначения
(2k)!! = 2 · 4 · ... · 2k, (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... · (2k + 1).
Выберем d0 = 1, d1 = 0. Тогда получим одно из решений уравнения
y1 = 1 −
x2 x4
x6
+
−
+ ....
2
4!! 6!!
Если теперь взять d0 = 0, d1 = 1, получим другое решение
x3
x5
x7
y2 = x −
+
−
+ ....
3!! 5!! 7!!
Вычислим вронскиан W (0) для функций y1 и y2 ,
W (0) = det
y1 y2
= 1,
y1′ y2′
то есть функции y1 и y2 линейно независимы. Таким образом, с помощью степенных рядов построена ФСР уравнения. Отметим, что общее
решение уравнения в элементарных функциях не выражается.
18.2
Уравнение колебания маятника
При изучении колебательных явлений возникает следующее уравнение:
y ′′ + ky = f (x).
Пусть f (x) — 2π-периодическая функция.
84
Разложим правую часть в ряд Фурье
∞
∑
f (x) = a0 +
(an cos nx + bn sin nx).
n=1
Логично искать решение в виде такого же ряда,
∞
∑
y(x) = α0 +
(αn cos nx + βn sin nx).
n=1
При этом предполагается, что это ряды можно почленно дифференцировать.
Вычислим y ′ (x) и y ′′ (x),
∞
∑
′
y (x) =
n(−αn sin nx + βn cos nx),
y ′′ (x) =
n=1
∞
∑
−n2 (αn cos nx + βn sin nx),
n=1
подстановка в уравнение дает
∞
∑
{ 2
}
−n (αn cos nx + βn sin nx) + k(αn cos nx + βn sin nx) + kα0 =
n=1
∞
∑
= a0 +
(an cos nx + bn sin nx),
n=1
kα0 +
∞
∑
{
}
(k − n2 )αn cos nx + (k − n2 )βn sin nx =
n=1
∞
∑
= a0 +
(an cos nx + bn sin nx).
n=1
приравнивая коэффициенты при sin nx и cos nx, получаем цепочку равенств
kα0 = a0 , (k − n2 )αn = an , (k − n2 )βn = bn ,
то есть
αn =
an
bn
,
β
=
,
n
k − n2
k − n2
k ̸= 0, k ̸= n2 .
Отсюда следует, что для того, чтобы коэффициенты αn , βn определялись однозначно, необходимо, чтобы k не являлось квадратом никакого
целого числа. В противном случае это означает, что правая часть содержит слагаемые, соответствующие резонансу.
85
19
Краевые задачи
Как было показано ранее, уравнение второго порядка
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x)
(19.1)
имеет бесконечное множество решений. Для того, чтоб из этого множества выделить единственное решение, задают данные Коши
y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y1 .
Рассматривая уравнение на отрезке [a, b], имеем значения искомой
функции на границе, y(a) = A, y(b) = B. Таким образом, для получения этого же решения можно было задавать не данные Коши, а краевые
условия
y(a) = A, y(b) = B.
Рис. 19: Постановка краевых условий
(не координату y0 и скорость y1 в начальный момент времени x0 , а значения координаты в разные моменты времени). Аналогично, можно задавать скорость точки в разные моменты времени, y ′ (a) = v1 , y ′ (b) = v2 ,
или даже следующие краевые условия:
{
α1 y(a) + β1 y ′ (a) = γ1 ,
(19.2)
′
α2 y(b) + β2 y (b) = γ2 .
Определение. Уравнение (19.1) с краевыми условиями (19.2) называется краевой задачей.
Как было показано, для задачи Коши есть теорема существования и
единственности решения. Для краевой задачи (19.1)—(19.2) такого факта
86
не существует. Как существование, так и единственность решения зависит от конкретной ситуации. Проиллюстрируем это на примерах.
Пример. Рассмотрим уравнение
y ′′ + y = 0, x ∈ [0, π]
с краевыми условиями
{
y(0) = 0,
(19.3)
y(π) = 1.
Как известно, общее решение уравнения есть
y(x) = C1 cos x + C2 sin x.
Подставляя краевые условия, получаем
x = 0 : y(0) = C1 = 0,
x = π : y(π) = C2 sin π = 0.
Таким образом, для любых значений C2 будем иметь y(π) = 0. Для
поставленных краевых условий решения задачи не существует.
Пример. Рассмотрим то же самое уравнение на отрезке [0, π], но краевые
условия возьмем в виде
{
y(0) = A,
(19.4)
y(π) = B.
Подставляя краевые условия в общее решение, имеем
x = 0 : y(0) = C1 = A,
x = π : y(π) = A cos π + C2 sin π = A cos π = B,
то есть для существования решения необходимо
A = −B.
При этом C2 — любое число. Таким образом, решение уравнения с
такими краевыми условиями будет существовать, но не будет единственным.
Если же условие A = −B не выполнено, то решения не существует.
Изменим промежуток. Будем рассматривать уравнение на отрезке
[0, 1] с аналогичными условиями (19.4).
87
Подставляя краевые условия в общее решение, получим
x = 0 : C1 = A,
x = π : A cos 1 + C2 sin 1 = B,
A cos 1 − B
C2 =
,
sin 1
A cos 1 − B
y(x) = A cos x +
sin x.
sin 1
Таким образом, решение определено единственным образом для любых
значений A и B.
Пример. Рассмотрим уравнение
y ′′ + αy = 0
(19.5)
на отрезке [0, A] с краевыми условиями
{
y(0) = 0,
(19.6)
y(A) = 0.
Очевидно, что такая краевая задача для любого α имеет тривиальное решение y(x) ≡ 0. Исследуем, при каких значениях параметра α
существует ненулевое решение y(x).
1. α = 0. Соответственно, уравнение упрощается до
y ′′ = 0,
его характеристическое уравнение имеет вид
λ2 = 0,
λ = 0 — кратный корень. Соответственно, общее решение есть линейная функция
y = C1 x + C2 .
С учетом краевых условий C1 = C2 = 0, следовательно, y(x) ≡ 0.
2. α < 0. Обозначим для определенности α = −µ2 . Характеристическое уравнение есть
λ2 − µ2 = 0, λ = ±µ,
88
что дает фундаментальную систему решений
y1 = eµx , y2 = e−µx
и общее решение
y = C1 eµx + C2 e−µx .
Аналогично, с учетом краевых условий имеем
{
y(0) = C1 + C2 = 0,
y(A) = C1 eµA + C2 e−µA = 0.
Так как определитель этой однородной линейной алгебраической
системы есть
1
1
= eµA − e−µA ̸= 0,
µA
−µA
e
e
то ее решение C1 = C2 = 0 — только тривиальное решение.
3. α = µ2 > 0. Характеристическое уравнение
λ2 + µ2 = 0
дает корни
λ = ±iµ
и общее решение
y(x) = C1 cos µx + C2 sin µx.
С учетом краевые условий получаем
x = 0 : C1 = 0,
x = A : y(A) = C2 sin µA = 0.
Отсюда вывод:
(a) Если sin µA ̸= 0, то с необходимостью C2 = 0, что дает только
тривиальное решение y ≡ 0.
(b) Если sin µA = 0, то константа C2 может быть любой. Это дает
πk
, при этом
ненулевое решение µA = πk, µ =
A
π2k2
αk = 2 ,
λ
89
где k — любое натуральное число.
Таким образом, имеем целую последовательность значений параметра α, при которых задача (19.5) имеет ненулевое решение.
Эта задача (определение собственных чисел и соответствующих
им решений) называется задачей Штурма — Лиувилля.
20
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
В механике устойчивость есть способность системы сохранять текущее
состояние при наличии внешних воздействий. Понятие устойчивости можно легко проиллюстрировать на наглядном физическом опыте. На приведенном рисунке шарик A устойчив, то есть возвращается к своему исходному состоянию при малых отклонениях от положения равновесия.
Шарик B находится в неустойчивом положении равновесия, то есть любые малые отклонения ведут к кардинальным изменениям положения
шарика. Для исследования устойчивости решений дифференциальных
уравнений важно знать условия, при которых малое изменение начальных данных влечет малое изменение решения.
Рис. 20: Положения равновесия
Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных
уравнений
dyi
= fi (x, y1 , y2 , ..., yn ), i = 1, ..., n
(20.1)
dx
с начальными условиями
yi (x0 ) = yi0 ,
i = 1, ..., n.
(20.2)
Условия (20.2) обычно является результатом измерений, следовательно, получены с некоторой точностью, обусловленной как погрешностью
прибора, так и человеческим фактором.
90
Если сколько угодно малые изменения начальных данных способны
сильно изменить решение, то это решение не имеет никакого значения и
даже приближенно не может описать явление.
Пример.
y ′ = αy, y(0) = 0,
следовательно y ≡ 0 — решение задачи Коши. Берем близкое к нулю
начальное значение y(0) = δ, которое возникло вследствие, например,
погрешности измерений. Тогда вместо тождественного нуля получаем
решение
ỹ(x) = δeαx .
При больших x при α > 0 решение стремится к бесконечности. При
значении параметра α = 0 — остается на том же расстоянии от нуля, а
при значении параметра α < 0 — приближается к нулевому решению.
Определение. Решение Y0 (x) задачи Коши (20.1)–(20.2) называется
устойчивым по Ляпунову, если ∀ε > 0 существует δ > 0 такое, что
при любом выборе начальных данных
Y (x0 ) = Ỹ0 ,
(20.3)
таких, что Y0 − Ỹ0 < δ, выполнены условия
1. Решение Ỹ (x) задачи Коши (20.1) с начальным условием (20.3) существует для всех x ≥ x0 ,
2. Для всех x ≥ x0 выполнено неравенство Y (x) − Ỹ (x) < ε.
Определение. Если, помимо этого, выполнено условие
lim Y (x) − Ỹ (x) = 0,
x→∞
то решение называется асимптотически устойчивым.
20.1
Устойчивость тривиального решения однородной системы второго порядка
Определение. Система вида
{
ẋ = f (x, y),
ẏ = g(x, y)
91
(20.4)
называется автономной.
Название определено тем, что решение само управляет своим изменением, так как ẋ и ẏ не зависят от t, а зависят только от положения
системы в данный момент времени — от x и y.
Определение. Точка (x0 , y0 ) такая, что f (x0 , y0 ) = g(x0 , y0 ) = 0, называется положением равновесия, или точкой покоя системы (в этом
случае ẋ = ẏ = 0.)
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения
автономной системы можно свести к исследованию на устойчивость нулевого решения некоторой другой системы. Для этого сделаем замену
z1 = x − x0 , z2 = y − y0 . Следовательно, важный частный случай, требующий внимания — исследование на устойчивость нулевого решения.
Еще более частный, но тем не менее важный вариант — исследование
устойчивости нулевого решения линейной системы.
Пусть дана автономная система линейных дифференциальных уравнений
{
ẋ = a11 x + a12 y,
(20.5)
ẏ = a21 x + a22 y.
Отметим, что (0,0) — точка покоя системы. Используя теорию решения
линейных систем, изложенную ранее, эту систему можно решить в явном
виде. Для этого находим собственные числа матрицы системы, соответствующие им собственные вектора и по ним строим фундаментальную
систему решений и общее решение. Рассмотрим качественно различные
случаи построения ФСР.
1. Пусть собственные числа матрицы системы λ1 , λ2 — вещественные
и различны. Тогда им соответствуют два линейно независимых собственных вектора v1 и v2 , и ФСР может быть построена по формулам
( )
( )
x
x
= v2 eλ2 t .
= v1 eλ1 t ,
y
y 1
2
Общее решение определяется формулой
(
x
y
)
= C1 v1 eλ1 t + C2 v2 eλ2 t .
(20.6)
Вид фазовых кривых в окрестности точки x = y = 0 зависит от знаков
λi .
92
1) λ1 < 0, λ2 < 0. Тогда eλi t → 0, t → ∞,
lim x(t) = lim y(t) = 0.
t→∞
t→∞
Решение асимптотически устойчиво.
Пример.
{
ẋ = −2x,
ẏ = −4y.
(20.7)
λ1 = −2, λ2 = −4. Можно вычислить собственные вектора и строить
ФСР.
Но можно решить и проще. В данной ситуации уравнения независимы,
каждое из них можно решить отдельно. Получаем
x(t) = C1 e−2t , y(t) = C2 e−4t ,
(20.8)
постоянные C1 и C2 определяются начальными данными системы.
Каждое соотношение в (20.8) задает поверхность в пространстве (t, x, y).
Пересечение этих поверхностей (см. рис.21) — кривая в трехмерном пространстве.
Рис. 21:
Рисунок в трехмерном пространстве показывает, что с ростом времени
точка приближается к оси t, то есть расстояние от точки на кривой до
оси времени уменьшается. Решение асимптотически устойчиво.
93
Проекция этой кривой на плоскость (x, y) есть кривая, заданная параметрически. При этом параметр t можно легко исключить,
y = Cx2 .
При различных значениях начальных данных, а значит, и постоянных
C1 и C2 , получаем семейство парабол, изображенное на рисунке. Стрелки обозначают движение по кривой с ростом параметра t и ставятся в
соответствии с системой. Направление стрелок определяет устойчивость
нулевого решения системы. В данном случае решение устойчиво. Такой
тип точки покоя называется устойчивым узлом.
Рис. 22: Устойчивый узел
Замечание. Далеко не всегда можно разрешить автономную систему. Однако, дифференциальные уравнения траекторий можно записать, не решая ее. Поделив одно уравнение (20.4) на другое, получаем
ẏ
dy
g(x, y)
a21 x + a22 y
=
=
= в случае линейной системы =
.
ẋ dx f (x, y)
a11 x + a12 y
В случае примера 1
dy
−4y
2y
=
= .
dx −2x
x
Интегрируя, получаем искомое семейство парабол
y = Cx2 .
94
Осталось на кривых семейства прорисовать стрелки в силу системы и
сделать вывод об асимптотической устойчивости.
2) λ1 > 0, λ2 > 0. Тогда экспоненциальные множители eλi t → ∞
при t → ∞ и точки из δ-окрестности в течением времени удаляются на
достаточно большое расстояние от начала координат.
Для иллюстрации этого случая приведем аналогичный пример.
{
ẋ = 2x,
(20.9)
ẏ = 4y.
Уравнение траекторий совершенно идентичное,
dy
4y
2y
=
= ,
dx 2x
x
но направление стрелок противоположное. Это означает, что все точки
из δ-окрестности с течением времени удаляются от точки (0, 0). Такой
тип точки покоя называется неустойчивым узлом (рис. 23).
Рис. 23: Неустойчивый узел
Приведенная система также легко решается в явном виде, получаем
x(t) = C1 e2t , y(t) = C2 e4t .
Поверхности и их линия пересечения приведены на рисунке 24.
3) λ1 · λ2 < 0 (разные знаки). Так как одно собственное число больше
нуля, следовательно в (20.6) есть слагаемое, бесконечно растущее при
95
Рис. 24:
t → ∞. Тип точки покоя — седло. Вид фазовых кривых рассмотрим на
примере.
Пример.
{
ẋ = 2x,
ẏ = −2y.
(20.10)
Собственные числа
λ1 = 2, λ2 = −2.
Выпишем уравнение фазовых кривых,
dy
−2y
−y
=
=
.
dx
2x
x
Интегрируя, имеем
dy
dx
=− ,
y
x
C
ln y = ln ,
x
xy = C.
Это есть семейство гипербол. Вне зависимости от того, в какую сторону
по гиперболе движется точка, она уходит из δ-окрестности точки (0, 0).
Таким образом, седло всегда неустойчиво.
96
Рис. 25: Седло
2. λ1 = λ2 ∈ R — кратные собственные числа. Если число собственных
векторов меньше кратности собственного числа (в данном случае это
соответствует тому, что имеется только один собственный вектор), то
решение имеет вид
( ) ( (a + bt)eλt )
x
,
(20.11)
=
λt
y
(c + dt)e
в котором только две постоянные независимы, а остальные две через них
выражаются. Напомним, что решение в этом случае может быть также
построено через собственные и присоединенные вектора. Вид решения
при этом остается таким же.
Рассмотрим разные значения собственных чисел.
а) λ < 0. Тогда, очевидно, величина eλt → 0. Слагаемое teλt также
убывает при больших значениях t, так что нулевое решение является
асимптотически устойчивым.
б) При значении собственного числа λ > 0 обе эти величины неограниченно растут с ростом t, так что нулевое решение неустойчиво.
Обобщая эти варианты, получаем, что в случае кратных собственных
чисел точка покоя есть узел — устойчивый или неустойчивый.
Пример.
{
ẋ = x,
ẏ = y.
97
Собственные числа
λ1 = λ2 = 1.
Решение системы очевидно, x = C1 et , y = C2 et . Выпишем уравнение
фазовых кривых,
dy
y
= .
dx x
Интегрируя, имеем
dx
dy
=
,
y
x
y = Cx.
Стрелки на фазовых кривых ставятся в силу системы.
Рис. 26: Неустойчивый узел
3. λ1,2 = α ± iβ. Система, матрица которой имеет такие комплексносопряженные корни, путем замены переменных может быть приведена к
виду
{ ′
u = αu + βv,
(20.12)
v ′ = −βu + αv.
Перейдем к полярным координатам (ρ, φ),
√
ρ(x)
=
u2 (x) + v 2 (x),
u(x)
.
φ(x) = arctg
v(x)
98
Если построено решение u(x), v(x), то по ним вычисляются ρ, φ. Вычислим значение производной
ρ′ (x) = (
√
uu′ + vv ′
u2 α + uββv − vβu + αv 2
√
u2 + v 2 )′ = √
=
=
u2 + v 2
u2 + v 2
√
= α u2 + v 2 = αρ.
Здесь производные u′ = u′ (x) и v ′ = v ′ (x) взяты в силу системы. Аналогично вычисляем
(
u )′
1
v ′ u − u′ v
′
φ (x) = arctg
=
·
=
v
1 + v 2 /u2
u2
−βu2 + αuv − αuv − βv 2
1
1
=
=
(−βu2 − βv 2 ) = −β.
2
2
2
2
2
1 + v /u
u
u +v
Таким образом, в полярных координатах движение точки задается системой
{ ′
ρ = αρ,
φ′ = −β.
Решение этой системы
ρ(x) = ρ0 eαx , φ(x) = φ0 − βx.
Пусть для определенности β < 0, тогда угол φ возрастает с ростом x,
движение точки происходит против часовой стрелки.
1. Если при этом α > 0, то радиус-вектор точки с возрастанием x
увеличивается. Точка движется по спирали, удаляясь от начала координат. Это неустойчивый фокус (рис. 27).
2. Если при этом α < 0, то радиус-вектор точки с возрастанием x
уменьшается. Движение также происходит по спирали, но с возрастанием x точка асимптотически приближается к началу координат.
Такой тип точки покоя называется устойчивый фокус.
3. α = 0, то радиус-вектор точки остается неизменным. Точка движется по окружности радиуса ρ0 . Этот тип точки покоя называется
центр. В общем случае фазовые кривые представляют собой эллипсы.
99
Рис. 27: Неустойчивый фокус
Проиллюстрируем эту ситуацию на примере.
{
ẋ = −y,
ẏ = 2x.
(20.13)
Вычислим собственные числа,
√
0 − λ −1
= λ2 + 2, λ = ±i 2.
2
0−λ
Рис. 28: Центр
Траектории системы описываются дифференциальным уравнением
dy
2x
=− ,
dx
y
100
( 2
)
y
ydy + 2xdx = 0, d
+ x2 = 0.
2
Таким образом, уравнение семейства траекторий — эллипсы (рис. 28)
y2
+ x2 = C.
2
Суммируя вышесказанное, получаем следующий результат. Для автономной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеют место следующие утверждения.
Теорема 1.. Если для собственных чисел матрицы системы все Reλi < 0,
i = 1, ..., n, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво.
Теорема 2.. Если хотя бы для одного собственного числа Reλi > 0, то
нулевое решение системы неустойчиво.
Если собственные числа матрицы системы таковы, что Reλi ≤ 0,
i = 1, ..., n, но среди собственных чисел есть такие, которые лежат на
мнимой оси, то определенный ответ об устойчивости нулевого решения
дать нельзя.
20.2
Устойчивость по линейному приближению
Рассмотрим автономную систему n уравнений
Y ′ = F (Y )
(правая часть явно не зависит от x),
′
y1 = f1 (y1 , ..., yn ),
y2′ = f2 (y1 , ..., yn ),
..............
′
yn = fn (y1 , ..., yn ),
(20.14)
Определение. Стационарная точка (точка покоя) системы (20.14) —
такое постоянное решение
0
y1
0
y2
Y (x) ≡ Y0 =
, yi0 = const,
...
yn0
101
что
f1 (y10 , ..., yn0 ) = f2 (y10 , ..., yn0 ) = ... = fn (y10 , ..., yn0 ) = 0.
Таким образом, координаты точки покоя Y0 находятся из системы
f1 (y10 , ..., yn0 ) = 0,
f2 (y10 , ..., yn0 ) = 0,
(20.15)
.............
fn (y10 , ..., yn0 ) = 0.
Пример. Рассмотрим автономную систему
{ ′
y1 = y1 − y2 + y12 + y22 ,
y2′ = y1 + y2 − y22 .
(20.16)
Очевидно, у этой системы есть тривиальное решение y1 = y2 = 0.
Для определения других постоянных решений ищем точки покоя системы (20.16). Для этого выписываем соотношения (20.15).
{
y1 − y2 + y12 + y22 = 0,
(20.17)
y1 + y2 − y22 = 0.
Складывая уравнения системы (20.17), имеем
2y1 + y12 = 0,
y1 = 0, y1 = −2.
Подставляя величину y1 = 0 во второе уравнение системы (20.17),
получим
y2 − y22 = 0,
y2 − 0, y2 = 1.
Подстановка y1 = −2 во второе уравнение системы (20.17) приводит
к соотношению
y22 − y2 + 2 = 0,
не имеющему вещественных корней.
Таким образом, исходная система имеет две точки покоя — (0,0) и
(0,1).
102
Будем рассматривать поведение решения автономной системы (20.14)
вблизи точек покоя. Пусть правые части системы f1 , ..., fn имеют непрерывные частные производные до второго порядка,
0
y1
0
y2
Y0 =
...
yn0
— точка покоя системы. Разложим функции fi в окрестности точки Y0
по формуле Тейлора
f1 (y1 , y2 , ..., yn ) = f1 (y10 , y20 , ..., yn0 ) +
n
∑
∂f1
j=1
∂yj
(y10 , y20 , ..., yn0 )(yj − yj0 ) + O(ρ2 ),
......................
n
∑
∂fn 0 0
0 0
0
fn (y1 , y2 , ..., yn ) = fn (y1 , y2 , ..., yn ) +
(y1 , y2 , ..., yn0 )(yj − yj0 ) + O(ρ2 ),
∂y
j
j=1
ρ = ∥Y − Y0 ∥.
Пренебрегаем слагаемыми O(ρ2 ), введем новые переменные
z1
z2
zj = yj − yj0 , Z =
... .
zn
Тогда для вектор-функции Z(x) получаем систему дифференциальных
уравнений
Z ′ = AZ.
(20.18)
Матрица правой части этой системы постоянная, состоит из значений
частных производных функций f1 (y1 , y2 , ..., yn ), f2 (y1 , y2 , ..., yn ), ...,
fn (y1 , y2 , ..., yn ) в точке покоя Y0 , то есть коэффициенты матрицы вычисляются в точке (покоя), в окрестности которой функции правой части
разложили по формуле Тейлора.
Определение. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (20.18) есть система первого приближения для (20.4).
103
Эта система получена линеаризацией исходной системы (20.4) вблизи
точки покоя Y0 . Линеаризация вблизи другой точки покоя (а мы показали, что таких точек может быть несколько), дает другую линейную
систему с другими свойствами.
Изучая линеаризованную систему (20.18), можно исследовать поведение решения исходной автономной системы (20.4). Справедлива
Теорема об устойчивости по первому приближению. Пусть Y0 —
точка покоя автономной системы Y ′ = F (Y ). Рассмотрим систему первого приближения Z ′ = AZ, где A — матрица Якоби, вычисленная в точке
Y0 ,
∂f
∂f1 0 0
1
0
0
0 0
∂y1 (y1 , y2 , ..., yn ) ... ∂yn (y1 , y2 , ..., yn )
...
...
...
A=
(20.19)
.
∂fn 0 0
∂fn 0 0
(y1 , y2 , ..., yn0 ) ...
(y1 , y2 , ..., yn0 )
∂y1
∂yn
Пусть λ1 , ..., λn — корни характеристического уравнения det(A−λE) = 0.
Тогда
1. Если Reλi < 0 для всех i = 1, ..., n, то точка покоя исходной системы
асимптотически устойчива,
2. Если среди корней существует λ∗ такой, что Reλ∗ > 0, то это стационарное решение неустойчиво,
3. Если есть λj на мнимой оси в плоскости комплексных λ, Reλj = 0, то
однозначный ответ об устойчивости исходной нелинейной системы
дать невозможно.
Для рассмотренной выше системы (20.16) было найдено две точки
покоя: (0, 0), (0, 1).
Вычислим матрицу Якоби (20.19) в общем виде,
∂f1 ∂f1
∂y1 ∂y2
1 + 2y1 −1 + 2y2
.
A=
(20.20)
=
∂f2 ∂f2
1
1 − 2y2
∂y1 ∂y2
Вычислим матрицу (20.20) в точке покоя (0, 0), получаем
1 −1
,
A1 =
1 1
104
тогда λ1,2 = 1 ± i, следовательно, решение линейной системы с матрицей
A1 , а вместе с ним и решение исходной системы (20.16) неустойчиво.
В точке покоя (0, 1) матрица линейной части есть
1 1
,
A2 =
1 −1
√
тогда λ1,2 = ± 2, что также дает неустойчивость решения как линейной,
так и исходной систем.
Картина фазовых кривых в окрестности точек покоя приведена на
рисунке.
Рис. 29: Фазовые кривые в окрестности точек покоя: (0,0) — неустойчивый фокус,
(0,1) — седло
Пример. В зависимости от параметров a и b исследуем на устойчивость нулевое решение автономной системы
{ ′
y1 = eay1 − tg by2 − 1,
(20.21)
y2′ = by2 − y1 .
Легко проверить, что (0, 0) есть решение системы (20.21). Спрашивается, при каких значениях (a, b) нулевое решение будет устойчиво. Вычислим матрицу Якоби в точке покоя (0,0),
(
)
b
ay1
a
−b
ae
−
cos2 by2
A=
=
.
−1
b
−1
b
(0,0)
105
Вычислим собственные числа матрицы линеаризованной системы,
a−λ
−b
−1
b−λ
По теореме Виета
= (a − λ)(b − λ) − b = λ2 − (a + b)λ + (ab − b) = 0.
{
λ1 λ2 = ab − b < 0,
λ1 + λ2 = a + b < 0.
Пример. Исследовать устойчивость тривиального решения системы
y1′ = −y2 − y17 ,
y′ = y − y3.
1
2
Матрица линейной части системы
A=
2
0 −1
1
0
с собственными числами λ1,2 = ±i, так что линейное приближение не
дает определенного ответа на вопрос об устойчивости.
Нужно дополнительное исследование. Возьмем близкие к нулю начальные данные
ỹ1
.
ỹ2
Исходная нелинейная система с этими начальными данными дает решение
y1 (x)
,
Ỹ (x) =
y2 (x)
отличное от нулевого.
Устойчивость тривиального решения означает, что ∀ε > 0 существует
такое δ > 0, что если начальные данные различаются меньше, чем на δ,
то при всех x ≥ x0 решение Ỹ (x) существует и для таких x выполняется
неравенство
√
y12 (x) + y22 (x) < ε для x ≥ x0 .
Посмотрим, как будет изменяться при увеличении x квадрат расстояния от точки до начала координат.
106
Обозначим
W (y1 , y2 ) = y12 + y22 = φ(x),
где yi = yi (x) — некоторые дифференцируемые функции, которые определяются из автономной системы.
Вычислим производную от функции φ(x),
φ′ (x) = 2y1 (x)y1′ (x) + 2y2 (x)y2′ (x).
В силу системы возьмем значения производных y1′ (x), y2′ (x). Тогда получим, что
φ′ (x) = 2y1 (−y2 − y17 ) + 2y2 (y1 − y23 ) = −2y18 − 2y24 < 0.
То есть φ′ (x) < 0 ∀x, и φ(x) < φ(0)
y12 (x) + y22 (x) < ỹ12 + ỹ22 .
Таким образом, получили, что функция φ(x) убывающая, то есть если
точка в начальный момент времени находилась в круге радиуса δ с центром в точке (0,0), то она там и остается для всех значений переменной
x ≥ x0 . Геометрически функция φ(x) при этом имеет смысл расстояния
от текущей точки до оси x (рис. 30).
Рис. 30: Изменение по времени функции φ(x)
Изменим систему. Будем теперь рассматривать устойчивость нулевого
решения для
y1′ = −y2 − y17 ,
y ′ = 2y − y 3 .
2
1
107
2
Тогда введенная нами ранее функция расстояния φ(x) не поможет выяснить вопрос устойчивости. Возьмем W = 2y12 + y22 — некоторая вспомогательная функция, которая тоже имеет смысл расстояния. Вычислим
производную по x на некотором решении y1 (x), y2 (x),
dW
∂W ′ ∂W ′
=
y1 +
y2 = 4y1 (−y2 − y17 ) + 2y2 (2y1 − y23 ) = −4y18 − 2y24 < 0.
dx
∂y1
∂y2
Ситуация, аналогичная предыдущему случаю. Таким образом, нулевое решение системы устойчиво.
Рассмотрим общий случай. Пусть Y0 = 0 — точка покоя системы
Y ′ = F (Y ).
Определение. Функция W (y1 , ..., yn ) называется функцией Ляпунова
для системы Y ′ = F (Y ) вблизи точки покоя Y0 , если
1. W — определена, непрерывна и имеет непрерывные производные
первого порядка в некотором шаре |Y | < h,
2. W (Y ) ≥ 0, W (Y ) = 0 тогда и только тогда, если Y = 0.
3. для любого решения Y (x) системы производная функции W (Y (x)),
вычисленная в силу системы, меньше либо равна нулю, то есть
′
W =
n
∑
∂W
∂yj
j=1
yj′ =
n
∑
∂W
∂yj
j=1
fj (y1 , y2 , ..., yn ) ≤ 0.
Отметим, что для вычисления производной решение системы знать
не нужно.
Справедлива
Теорема 1.. Если в окрестности решения Y0 существует функция Ляпунова, то это стационарное решение устойчиво.
Теорема об асимптотической устойчивости. Пусть выполнены условия теоремы 1 с заменой условия (3) на
dW
≤ −v(Y ) < 0.
dx
Тогда решение Y0 асимптотически устойчиво.
108
Таким образом, если исследование устойчивости решения по первому
приближению не дает определенного ответа, можно строить функцию
Ляпунова. Однако можно воспользоваться и другими способами. Рассмотрим следующую систему.
Пример.
√
ẋ = y + x x2 + y 2 ,
√
ẏ = −x + y x2 + y 2 .
(20.22)
Преобразуем систему. Домножая первое уравнение на y, а второе на −x
и складывая, в результате имеем
ẋy − xẏ = x2 + y 2 ,
Аналогично, домножая первое уравнение на x , а второе на y и складывая, получим
xẋ + y ẏ = (x2 + y 2 )3/2 .
С введением новых переменных (полярных координат)
√
y
r = x2 + y 2 , φ = arctg ,
x
так что
xẋ + y ẏ
1
ẏx − ẋy
ẏx − ẋy
ṙ = √
, φ̇ =
·
=
,
1 + y 2 /x2
x2
x2 + y 2
x2 + y 2
система преобразуется к виду
{
φ̇ = −1,
ṙ = r2 ,
что дает решение
φ = −t + C1 .
Заметим, что r с ростом t растет, так как производная по времени ṙ
всегда положительна. Решим это уравнение. Имеем
dr
= dt,
r2
1
− = t + C2 ,
r
1
r=−
.
t + C2
109
Если задано начальное условие r(0) = r0 , то C2 = −1/r0 ,
1
r0
=
→ ∞, t → r0−1 ,
t − 1/r0
1 − r0 t
то есть расстояние не просто растет с ростом времени, а бесконечно увеличивается при конечном значении t0 = r10 . Решение разрушается.
r=−
Рис. 31: Фазовые кривые
Фазовый портрет этот системы приведен на рис. 31.
21
Квазилинейные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка
Рассмотрим уравнение
P (x, y, z)
∂z
∂z
+ Q(x, y, z)
= R(x, y, z),
∂x
∂y
(21.1)
здесь коэффициенты P, Q, R — произвольные функции от переменных
(x, y, z).
Отметим, что частные производные искомой функции входят в уравнение линейным образом, сама же неизвестная функция z(x, y) входит
произвольно.
Предположим, что
110
1. функции P, Q, R непрерывны и имеют непрерывные частные производные в некоторой области Ω.
2. P, Q, R таковы, что все они одновременно не обращаются в ноль, то
есть P 2 + Q2 + R2 ̸= 0.
Рассмотрим пример уравнения в частных производных.
∂z
= 0.
∂x
Его решением будет любая функция z = φ(y). Таким образом, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, где в решение входит одна или несколько произвольных постоянных, в случае уравнений
с частными производными произвол гораздо шире — в решение входит
произвольная функция.
Пусть z(x, y) — решение уравнения (21.1).
Тогда z = z(x, y) в пространстве трех переменных (x, y, z) задает поверхность S с нормалью N = (−zx , −zy , 1)
Рассмотрим в пространстве (x, y, z) векторное поле с координатами
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
Тогда исходное уравнение (21.1) можно переписать в виде
N · F = 0.
Так как вектор N ненулевой, то выполнено условие N ⊥F , то есть вектор
F лежит в касательной плоскости к искомой поверхности. Таким образом, в каждой точке поверхности S вектор (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
является касательным вектором к поверхности (рис. 32).
Значит, решение уравнения (21.1) с геометрической точки зрения предполагает построение поверхности, в каждой точке которой вектор F является касательным.
Основная идея построения решения — выяснить, из каких линий состоит поверхность S и как их строить.
Рассмотрим вспомогательную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений в области Ω,
dx
= P (x, y, z),
dt
dy
(21.2)
= Q(x, y, z),
dt
dz = R(x, y, z),
dt
111
Рис. 32: Искомая поверхность
x(t), y(t), z(t) — решение этой системы. Пусть при t = 0 задано
x = x0 , y = y0 , z = z0 .
Теорема . Пусть z = φ(x, y) — решение уравнения (21.1). Пусть при
t = 0 точка с координатами (x0 , y0 , z0 ) лежит на поверхности S. Тогда,
если (x(t), y(t), z(t)) — решение системы (21.2), то точка с координатами
(x(t), y(t), z(t)) ∈ S для всех t > 0.
Доказательство. Пусть (x(t), y(t), z(t)) — решение системы (21.2). Рассмотрим задачу Коши
dx
= P (x, y, φ(x, y)) = P1 (x, y),
dt
(21.3)
dy
= Q(x, y, φ(x, y)) = Q1 (x, y)
dt
с начальными условиями x(0) = x0 , y(0) = y0 . Пусть x̃(t), ỹ(t) —
решение этой задачи Коши. Возьмем z̃(t) = φ(x̃(t), ỹ(t)). По построению
точка (x̃, ỹ, z̃) ∈ S. Покажем, что (x̃, ỹ, z̃) является решением исходной
системы.
Так как (x0 , y0 , z0 ) ∈ S по условию теоремы, то z0 = φ(x0 , y0 ), то есть
получаем
z̃(0) = z0 .
112
Покажем, что (x̃, ỹ, z̃) является решением системы (21.2). Подстановка
в систему дает
dx̃
= P (x̃, ỹ, φ(x̃, ỹ)) = P (x̃, ỹ, z̃),
dt
dỹ
= Q(x̃, ỹ, φ(x̃, ỹ)) = Q(x̃, ỹ, z̃),
dt
dz̃
d
= φ(x̃(t), ỹ(t)) = φx̃ x̃t +φỹ ỹt = φx̃ P (x̃, ỹ, φ̃)+φỹ Q(x̃, ỹ, φ̃) = R(x̃, ỹ, φ̃),
dt
dt
так как φ(x, y) — решение исходной системы.
Итак, при вычислении мы использовали тот факт, что φ(x, y) — решение уравнения (21.1).
(x, y, z) и (x̃, ỹ, z̃) — решения задачи Коши (21.3). По теореме существования и единственности они совпадают. Теорема доказана.
Исключим из системы (21.2) параметр t, то есть запишем систему в
симметричной форме.
dx
dy
dz
=
=
.
P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
Это есть два обыкновенных дифференциальных уравнения. Интегрируя
их, получаем два первых интеграла
F1 (x, y, z) = C1 ,
F2 (x, y, z) = C2 .
Пересечение этих семейств поверхностей дает двухпараметрическое семейство линий — характеристик системы (21.1). Зададим семейство решений, задав произвольную функцию от этих постоянных
Φ(C1 , C2 ) = 0,
то есть
Φ(F1 (x, y, z), F2 (x, y, z)) = 0,
Это и есть общее решение уравнения в частных производных. Из этого
соотношения иногда можно явным образом выразить z = z(x, y).
Пример.
zx − zy = 1.
Уравнения характеристик
dx
dy
dz
=
= .
1
−1
1
113
Интегрирование дает
dx + dy = 0, dz + dy = 0,
x + y = C1 , z + y = C2 ,
то есть характеристики этого уравнения — два семейства плоскостей. Их
пересечения — прямые линии.
Общее решение можно записать в виде
Φ(x + y, z + y)) = 0,
или, так как искомая функция входит только в один из первых интегралов, решение можно записать в явном виде
z + y = φ(x + y), z = −y + φ(x + y)
с произвольной функцией φ одного переменного.
Проверим, что это действительно есть решение исходного уравнения
при любом выборе функции φ, у которой существует производная φ′ .
∂z
∂z
= φ′ · 1,
= −1 + φ′ · 1,
∂x
∂y
то есть zx − zy = 1.
0
Рис. 33: Искомая поверхность
Пусть теперь при y = 0 задана функция z = φ(x).
114
Значения φ есть постоянная величина вдоль x+y = C. Таким образом,
получаем поверхность типа «шифера» с прямолинейными образующими
(рис.33).
Пример.
∂z
∂z
−y
= 0.
∂y
∂x
Характеристики задаются системой дифференциальных уравнений
x
dx
dy
dz
=
= .
−y
x
0
Решение этой системы — два первых интеграла
x2 + y 2 = C1 , z = C2 .
Общее решение уравнения —
Φ(x2 + y 2 , z) = 0,
или
z = φ(x2 + y 2 ).
Так как z зависит только от x2 + y 2 , расстояния точки до оси Oz, то это
есть поверхность вращения с осью z.
Вид поверхности вращения определяется выбором функции φ.
Поставим начальные условия. Зададим линию, через которую проходит искомая поверхность. Уравнение линии в трехмерном пространстве
можно задать либо параметрически,
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β),
либо как пересечение двух поверхностей
φ1 (x, y, z) = 0,
L:
φ (x, y, z) = 0.
2
1. Для определения пока произвольной функции φ зададим условие
x + y = 0,
L:
z = y2.
115
Тогда подстановка в общее решение дает
y 2 = φ(2y 2 ),
то есть
φ(t) = t/2.
Тогда решение уравнения — поверхность
x2 + y 2
z = φ(x + y ) =
,
2
эллиптический параболоид (рис. 34).
2
2
Рис. 34: Эллиптический параболоид
2. Зададим другие начальные условия,
z = 1,
L:
x2 + y 2 = 3.
Тогда подстановка в общее z = φ(x2 + y 2 ) решение дает
1 = φ(3),
функция φ однозначно не определяется. Можно привести множество примеров функций, что φ(3) = 1 (рис. 35).
116
1
3
Рис. 35:
3. Попробуем задать начальные условия следующим образом:
z = x,
L:
x2 + y 2 = 1.
Подстановка в общее решение дает
x = φ(1),
то есть функция φ не может быть определена.
Таким образом, видим, что линию, через которую должна проходить
поверхность, нельзя задавать произвольным образом. Она не должна
быть характеристикой и касательной к ней. Касательный вектор к линии
L не должен быть пропорционален вектору F = (P, Q, R) ни в одной
точке. Легко проверить, что в случаях 2–3 это условие нарушено.
22
Применение дифференциальных уравнений для
описания развития популяций
Популяцию определяют как группу организмов одного вида, занимающую конкретное пространство (ареал) и функционирующую как часть
биотического сообщества. Основной признак популяции как функциональной единицы эволюции — вероятность обмена генетической информацией, которая существенно выше, чем средняя внутривидовая.
Популяция представляет собой форму существования вида, обеспечивающую приспособленность его к конкретным условиям среды обитания, включая взаимоотношения с другими видами. Наиболее близким
117
по значению к популяции является известное из курса истории понятие
"племя".
Основными экологическими характеристиками популяции являются
1. Величина популяции по занимаемому пространству (ареалу) и по
численности особей;
2. Структура популяции — возрастная, половая, пространственная;
3. Динамика популяции — изменение признаков с течением времени.
Популяция обладает многими признаками, которые характеризуют ее
как целое: численность, рождаемость, смертность, возрастной и половой
состав, характер распределения в пределах ареала.
Численность популяции (число особей на единицу площади или объёма) никогда не бывает произвольной и постоянной в течение длительного времени, и изменяется в пределах определенного диапазона, согласно
правилу Ю. Одума: существуют определённые верхние и нижние пределы численности популяции, которые соблюдаются в природе в условиях
стабильности среды обитания.
Зависимость численности популяции от среды обитания устанавливает правило К.Фридерихса (1927): регулирование численности популяции есть результат комплекса воздействий абиотической и биотической
среды в местообитании вида. Видовую способность к размножению при
отсутствии ограничений со стороны среды характеризует биотический
потенциал популяции.
В данных конкретных условиях живые организмы стремятся максимально реализовать свой биотический потенциал, то есть в каждой популяции имеется тенденция к образованию теоретически максимально
возможного количества новых особей.
22.1
Развитие изолированной популяции
(модель Ферхюльста)
Пусть x(t) — численность некоторой популяции. Предположим, что x(t)
есть непрерывно дифференцируемая функция.
Простейшая модель изолированной популяции строится следующим
образом.
Пусть ∆x — приращение популяции за промежуток времени ∆t. Предполагается, что число рождений и число смертей пропорционально чис118
ленности популяции в данный момент времени,
Nрожд. = αx, Nсм. = −βx, α > 0, β > 0.
Тогда приращение популяции
∆x = x(t + ∆t) − x(x) = [αx(t) − βx(t)] ∆t = (α − β)x(t)∆t.
Поделив обе части этого соотношения на ∆t, переходя к пределу при
∆t → 0 , получаем простейшее дифференциальное уравнение развития
популяции
x′ = εx, ε = α − β.
Естественно поставить для этого уравнения задачу Коши, задав численность популяции в начальный момент времени,
x(0) = x0 .
Тогда численность популяции в момент времени t описывается формулой
x(t) = x0 eεt .
Графики этой функции в зависимости от параметра ε представлены
на рис. 36.
Рис. 36: Численность популяции от времени для различных значений параметра a
Это описание достаточно просто, но не соответствует естественной
ситуации, так как в соответствии с этой математической моделью допускается неограниченный рост популяции, что противоречит реальности.
Усовершенствуем модель, введя в рассмотрение внутривидовую конкуренцию.
119
Любая конкуренция есть взаимодействие между ее особями. Поскольку число взаимодействий пропорционально x2 , то в правой части появится слагаемое −γx2 . Знак минус соответствует тому, что внутривидовая
конкуренция способствует уменьшению численности популяции. Таким
образом, усовершенствованное уравнение будет иметь вид
x′ = εx − γx2
и может быть решено одним из указанных в первой главе способов решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Однако приведем метод исследования свойств решения без его явного
выписывания. Найдем точки покоя этого уравнения.
εx − γx2 = 0,
x1 = 0 — соответствует тому, что популяции нет. x2 = ε/γ — стационарное решение. Обозначим
ε
= h > 0.
γ
Теорема.
1. Если x(0) = x0 > 0, то x(t) > 0 для всех значений t.
2. Если x(0) = x0 > h, то x(t) > h для всех значений t.
3. Если x(0) = x0 < h, то x(t) < h для всех значений t.
Доказательство. 1. Пусть x0 > 0, но при значении t = t1 > 0 имеем
x(t1 ) ≤ 0. Тогда на отрезке [0, t1 ] функция x(t) меняет знак. По теореме
Больцано — Коши о промежуточном значении существует хотя бы один
момент времени t∗ , 0 < t∗ ≤ t1 , что x(t∗ ) = 0. Среди всех таких t∗
выберем наименьшее. Тогда для 0 < t < t∗ выполнено неравенство x(t) >
0. Получаем задачу Коши для определения функции x(t),
x′ = εx − γx2 ,
(22.1)
x(t ) = 0.
∗
Исходная функция x(t) — решение этой задачи Коши. Но помимо
функции x(t), у этой задачи Коши есть еще тривиальное решение, x̃(t) ≡
0, отличное от x(t). В силу теоремы существования и единственности
эти решения совпадают. Тогда возникает противоречие с начальными
120
данными x(0) = x0 > 0. Таким образом, предположение, что существует
момент времени, где x(t1 ) ≤ 0 — неверно.
2. Аналогично. В доказательстве следует лишь заменить 0 на h.
Следствие. Таким образом, решение этой математической модели обладает следующими свойствами.
Если начальная численность популяции x0 взята в пределах от 0 до
h, то 0 < x(t) < h для всех значений t.
Если начальное значение x0 > h, то x(t) > h для всех последующих
значений t.
Далее, вычислим производную
x′ (t) = x(ε − γx) = γx(h − x).
Если 0 < x0 < h, то, как было показано, 0 < x(t) < h, следовательно,
x′ (t) > 0 и функция x(t) возрастает при всех значениях t.
Если x0 > h, то x(t) > h, следовательно, x′ (t) < 0, функция x(t) везде
убывающая.
Вычислим значение второй производной,
(x′ (t))′ = (γhx − γx2 )′ = γhx′ − 2γxx′ = γx′ (h − 2x) = γx(h − xγ)(h − 2x).
Таким образом, при x < h/2 имеем x′′ > 0 и функция выпукла вниз, при
x > h/2 значение второй производной x′′ < 0 и функция выпукла вверх.
Рис. 37: Модель популяции в условиях внутривидовой конкуренции
Если начальные данные таковы, что x0 > h, то таким же способом
можно показать, что x′ (t) < 0 и x′′ (t) > 0, то есть для всех значений t
функция убывающая и выпукла вниз.
Схематическое поведение функции x(t) представлено на рис. 37.
121
22.2
Развитие двух видов в условиях конкуренции за источники существования
Конкуренция — тип биотических взаимоотношений, при котором организмы или виды соперничают между собой в потреблении одних и тех
же, обычно ограниченных, ресурсов. Ресурсы могут быть как пищевого,
так и другого рода: наличие мест для выведения потомства, укрытий и
т. д. В случае конкуренции присутствие другого организма или вида, с
одной стороны, неблагоприятно для каждого из них, так как часть необходимых ресурсов используется соседом, с другой — это есть одно из
проявлений сопротивления среды. Конкуренцию подразделяют на внутривидовую и межвидовую.
Пусть имеется две популяции, которые используют для жизни аналогичные ресурсы. В условиях неограниченности жизненных ресурсов
(отсутствия как внутривидовой, так и межвидовой конкуренции) уравнения численности популяций имеют вид
{ ′
x = ε1 x,
y ′ = ε2 y.
Введем в рассмотрение конкуренцию. Предположим, что жизненных
ресурсов в единицу времени обе популяции потребляют в количестве
λ1 x+λ2 y. Соответственно, в уравнения популяций с отрицательным знаком войдут слагаемые γ1 x(λ1 x + λ2 y), γ2 y(λ1 x + λ2 y). Эти поправки учитывают как внутривидовую, так и межвидовую конкуренцию.
То есть окончательно система примет вид
{ ′
x = ε1 x − γ1 x(λ1 x + λ2 y),
y ′ = ε2 y − γ2 y(λ1 x + λ2 y).
Как частный случай, при отсутствии одного из видов получаем уравнение (22.1) из предыдущего раздела.
Для упрощения анализа системы будем предполагать, что
λ1 = λ2 = 1.
Тогда система упростится до
{ ′
x = ε1 x − γ1 x(x + y),
(22.2)
′
y = ε2 y − γ2 y(x + y).
Найдем точки покоя этой системы.
x(ε1 − γ1 (x + y)) = 0,
122
y(ε2 − γ2 (x + y)) = 0,
ε1
x+y = ,
γ1
ε
x + y = 2.
γ2
Таким образом, система (22.2) имеет точки покоя
(
) (
)
ε2
ε1
(0, 0),
0,
,
,0 .
γ2
γ1
ε1
ε2
Если выполнено соотношение
=
= α, то точки покоя заполняют
γ1
γ2
отрезок прямой в плоскости (x, y) от точки
(
)
ε2
0,
γ2
до точки
)
(
ε1
,0 .
γ1
Без доказательства приведем следующее
Утверждение.
1. Если x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0, то x(t) > 0, y(t) > 0 для всех t,
2. При любом выборе начальных данных (x0 , y0 ) существует такая
постоянная M , что x(t) < M, y(t) < M для всех значений T .
Преобразуем уравнения,
′
x
= ε1 − γ1 (x + y),
x
y′
= ε2 − γ2 (x + y).
y
(22.3)
Далее, домножим первое уравнение системы (22.3) на γ2 , второе на γ1 и
вычтем. В итоге имеем
x′
y′
γ2 − γ1 = ε1 γ2 − ε2 γ1 .
x
y
Интегрируя по t от 0 до текущего значения t, получаем
)
∫t (
y′
x′
dt = t(ε1 γ2 − ε2 γ1 ),
γ2 − γ1
x
y
0
123
t
[γ2 ln x(t) − γ1 ln y(t)] = t(ε1 γ2 − ε2 γ1 ),
0
xγ2
xγ02
ln γ − ln γ1 = t(ε1 γ2 − ε2 γ1 ),
y1
y0
x γ2
xγ02 t(ε1 γ2 −ε2 γ1 )
= γ1 e
.
(22.4)
y γ1
y0
Это есть закон сохранения для системы развития популяций. Таким
образом, численности популяций не могут меняться произвольным образом, они связаны этим соотношением.
Проанализируем полученный результат. Перепишем закон сохранения
в виде
xγ2 = C(x0 , y0 )y γ1 et(ε1 γ2 −ε2 γ1 ) .
Рассмотрим ситуацию
ε1 γ2 − ε2 γ1 < 0,
ε2
ε1
< .
(22.5)
γ1
γ2
Тогда экспоненциальный множитель в правой части стремится к нулю с
ростом t, как следствие, при t → ∞
xγ2 < M (x0 , y0 )γ1 Cet(ε1 γ2 −ε2 γ1 ) → 0,
то есть популяция x(t) вымирает. Проследим, что станет со второй популяцией.
y ′ = ε2 y − γ2 (x + y)y.
Если x(t) → 0 при больших значениях t, то
ε2
y(t) → h2 .
γ2
Соотношение (22.5) означает, что второй вид (y(t)) сильнее в конкуренции, тогда как первый вид вымирает, второй стабилизируется. Противоположная ситуация рассматривается аналогично.
Особый случай —
ε2
ε1
= .
γ1
γ2
Тогда
et(ε1 γ2 −ε2 γ1 ) = 1,
124
закон сохранения принимает форму
xγ2 = C(x0 , y0 )y γ1 ,
x = C1 y γ1 /γ2 .
Рис. 38: Два вида в борьбе за источники существования. Закон сохранения и отрезок
точек покоя
Фазовые кривые — степенные кривые соответствующей степени, выпуклые вверх или вниз в зависимости от значения γ1 /γ2 . С ростом времени положение системы движется к состоянию равновесия, конкретной
точке на отрезке AB. В зависимости от начальных данных задачи (начальных численностей популяций) находимся на фиксированной фазовой кривой в плоскости (x, y), по которой с ростом времени приходим на
отрезок AB (рис. 38).
22.3
Развитие популяций хищник–жертва
22.3.1
Модель Вольтерра — Лотка
Рассмотрим математическую модель развития популяций двух видов.
Одна из них — хищники, другая — их добыча. Пусть x(t) — численность
популяции жертв, y(t) — численность популяции хищников. Будем предполагать, что хищники в отсутствие жертв нежизнеспособны, жертвы же
без хищников процветают. Эти предположения находят математическое
выражение в следующей системе:
{ ′
x = ε1 x − γ1 xy,
(22.6)
′
y = −ε2 y + γ2 xy.
125
Для определенности будем считать, что все коэффициенты системы положительны. Разные знаки перед вторыми слагаемыми свидетельствуют
о том, что встреча между хищником и жертвой идет на пользу популяции хищников, тогда как популяция жертв терпит убытки. Отметим, что
система (22.6) не учитывает внутривидовой конкуренции.
Найдем стационарные точки системы,
{
ε1 x − γ1 xy = 0,
{
−ε2 y + γ2 xy = 0,
x(ε1 − γ1 y) = 0,
−y(ε2 − γ2 x) = 0,
ε2
ε1
y= , x= .
γ1
γ2
Мы здесь не рассматриваем точку покоя с нулевыми координатами ввиду
ее несодержательности.
Справедливо утверждение.
Лемма (без доказательства).. Если в начальный момент времени выполнено x(0) > 0, y(0) > 0, то x(t) > 0, y(t) > 0 для всех значений
времени t.
Преобразуем систему (22.6),
′
x
= ε1 − γ1 y,
x
(22.7)
y′
= −ε2 + γ2 x.
y
Умножая первое уравнение системы (22.7) на ε2 , второе на ε1 и складывая, получим
x′
y′
ε2 + ε1 = ε1 γ2 x − ε2 γ1 y.
(22.8)
x
y
Теперь действуем другим путем. Домножаем первое уравнение системы (22.6) на γ2 , второе на γ1 и складывая, получим
γ2 x′ + γ1 y ′ = ε1 γ2 x − ε2 γ1 y.
(22.9)
Таким образом, выражения в правых частях (22.8) и (22.9) совпадают.
Тогда
x′
y′
ε2 + ε1 = γ2 x′ + γ1 y ′ .
x
y
126
Интегрируя по t от 0 до t, имеем
)
∫t ( ′
∫t
x
y′
ε2 + ε1
dt = (γ2 x′ + γ1 y ′ ) dt,
x
y
0
0
(
)t
ε2 ln x + ε1 ln y
0
t
= (γ2 x + γ1 y) 0 .
Пусть заданы начальные численности популяций
x(0) = x0 , y(0) = y0 .
Тогда
(
) (
)
ε2 ln x(t)+ε1 ln y(t) − ε2 ln x0 +ε1 ln y0 = (γ2 x(t)+γ1 y(t))−(γ2 x0 +γ1 y0 ),
или, группируя слагаемые, зависящие от времени, в левой части уравнения, получаем
(
)
ε2 ln x(t) + ε1 ln y(t) − (γ2 x(t) + γ1 y(t)) = C(x0 , y0 ),
Рис. 39: График функции f (x)g(y)
(
)
ln xε2 y ε1 − ln eγ2 x eγ1 y = C(x0 , y0 ),
xε2 y ε1
·
= C(x0 , y0 ),
eγ2 x eγ1 y
C(x0 , y0 ) определяется начальными данными задачи. Левая часть последнего соотношения есть произведение функций одного переменного.
127
xε2
y ε1
и
g(y)
=
принимают максимальные значения
eγ2 x
eγ1 y
при x = ε2 /γ2 и y = ε1 /γ1 соответственно.
Произведение функций f (x)g(y) имеет максимум в точке (ε2 /γ2 , ε1 /γ1 )
(рис. 39).
Функции f (x) =
Рис. 40: Фазовый портрет
Линии уровня функции двух переменных — замкнутые кривые, окружающие точку (ε2 /γ2 , ε1 /γ1 ). Траектории системы совпадают с этими
линиями уровня.
10
5
0
10
5
0
0
5
10
15
20
Рис. 41: Интегральная кривая системы (22.6)
Траектории системы представлены на рис. 40.
128
2.0
1.5
1.0
0.5
2
4
6
8
10
Рис. 42: Зависимость численности популяций от времени
Интересно, что если уменьшить число хищников в момент их минимума, то переходим на более длинную линию уровня, что соответствует
большему максимуму популяции жертв в соответствующий момент времени. Аналогично, если добавить жертв в тот момент, когда их численность мала, то переходим на более внутреннюю линию уровня, которая
соответствует меньшему разбросу значений численности популяции.
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
Рис. 43: Фазовая кривая системы хищник-жертва в условиях внутривидовой конкуренции
На рисунках также представлены интегральная кривая системы уравнений (22.6) (рис. (41)) и численности популяций хищников и жертв в
зависимости от времени (рис. 42).
Отметим, что если в системе (22.6) учесть внутривидовую конкуренцию, то к правой части добавятся слагаемые δ1 x2 , δ2 y 2 соответственно,
{ ′
x = ε1 x − γ1 xy − δ1 x2 ,
(22.10)
y ′ = −ε2 y + γ2 xy − δ2 y 2 .
129
такая система уже более сложна для анализа. Фазовые кривые и решение
системы приведены на рисунках 43-45.
20
15
10
5
10
5
0
0
5
10
0
Рис. 44: Интегральная кривая системы хищник-жертва в условиях внутривидовой
конкуренции
12
10
8
6
4
2
5
10
15
20
25
30
Рис. 45: Зависимость численности популяций хищников и жертв в условиях внутривидовой конкуренции
130
22.3.2
Модель Холлинга — Теннера
Отметим, однако, явные недостатки системы Вольтерра — Лотка. Слагаемые γ2 xy в правой части второго уравнения системы (22.6) означают
количество жертв, съедаемых в популяции хищников численностью y(t).
При этом хищник ест тем больше, чем больше жертв вокруг и предела
его прожорливости нет. Более разумным представляется предположение,
что существует верхний предел коэффициента хищничества, то есть что
хищник перестает истреблять жертв, когда насыщается. Это достигается
заменой коэффициента прожорливости γ2 x на, например, коэффициент
wx
. Схематическое поведение такой функции приведено на рисунвида D+x
ке 46.
Рис. 46: Зависимость аппетита хищников от времени. На бесконечности наступает
насыщение
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Рис. 47: Фазовые кривые системы хищник-жертва для модели Холлинга — Теннера
131
Итак, усовершенствованная таким образом система имеет вид
wxy
′
2
x = ε1 x − δ1 x − D + x ,
2
y ′ = −ε2 y − δ2 y .
x
Анализ этой системы показывает, что в данном случае существует
предельный цикл, к которому асимптотически стремятся траектории и
снаружи цикла, и изнутри (рис. 47).
23
Волновое уравнение
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной)
среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы
к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний
в пространстве называется волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются
волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется
волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне
частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.
В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением
сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение
как продольных, так и поперечных волн.
Волновое уравнение является одной из наиболее распространенных
математических моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебании в распределённых механических системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечные
колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты электромагнитных векторов и потенциалов, и, следовательно, многие электромагнитные явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере
объясняются свойствами его решений.
В многомерном случае как следствие второго закона Ньютона однородное волновое уравнение записывается в виде
132
1 ∂ 2u
∆u = 2 2 ,
v ∂t
u = u(X, t), X = (x1 , ..., xn ), v — фазовая скорость,
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 + ... + 2 .
∂x1 ∂x2
∂xn
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение
∂ 2u
= v 2 ∆u + f (X, t),
∂t2
где f = f (X, t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).
В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде
utt = a2 uxx .
(23.1)
Здесь предполагается, что струна занимает отрезок [0, l].
Рис. 48: Струна, закрепленная на концах
Для уравнения (23.1) поставим граничные условия
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,
что соответствует тому, что концы струны закреплены. (Вместо этих
условий можно задавать, например, условия
ux (0, t) = 0, ux (l, t) = 0,
что соответствует свободному скольжению концов струны по прямым
x = 0, x = l или условия фиксации одного конца и скольжения другого).
Помимо граничных условий, зададим начальные условия
u(x, 0) = φ(x)
133
(23.2)
— начальное отклонение струны от положения равновесия и начальную
скорость точек струны
ut (x, 0) = ψ(x).
(23.3)
Далее для упрощения вычислений будем считать, что ψ(x) ≡ 0, то
есть струну в начальный момент оттянули от положения равновесия и
отпустили с нулевой скоростью.
23.1
Метод разделения переменных
Решение уравнения (23.1) будем искать в виде
u(x, y) = X(x) · T (t).
Подстановка в уравнение дает
X ′′ T =
то есть
1 ′′
T X,
a2
X ′′ (x)
1 T ′′ (t)
= 2·
.
X(x)
a T (t)
(23.4)
Это соотношение должно быть выполнено для любого x из [0, l] и любого
t ≥ 0.
Так как левая часть (23.5) есть функция только от x, а правая —
функция только от t, то
X ′′
1 T ′′
= 2·
= −λ = const.
X
a T
(23.5)
Таким образом, получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
{ ′′
X (x) + λX(x) = 0,
T ′′ (t) + a2 λT (t) = 0.
Граничные условия преобразуются к
u(x, 0) = X(0)T (t) = 0,
u(x, l) = X(l)T (t) = 0,
то есть
X(0) = X(l) = 0,
134
(23.6)
иначе T (t) ≡ 0, то есть u(x, t) ≡ 0 — тривиальный случай, не заслуживающий рассмотрения.
Граничные условия (23.6) накладывают дополнительные ограничения
на функцию X(x). На функцию T (t) никаких дополнительных условий
не получаем.
Таким образом, для определения функции X(x) имеем следующую
краевую задачу:
{ ′′
X (x) + λX(x) = 0,
(23.7)
X(0) = X(l) = 0.
Это есть задача Штурма — Лиувилля (задача на собственные значения).
Требуется найти такие значения параметра λ, при которых существует нетривиальное решение задачи (23.7), а также найти эти решения.
Определение. Такие значения λ называются собственными значениями задачи (23.7), а соответствующие им нетривиальные решения —
собственными функциями задачи.
Рассмотрим возможные значения параметра λ.
1. λ = −ω 2 < 0. Тогда уравнение (23.7) имеет вид
X ′′ = ω 2 X,
его общее решение —
X = C1 eωx + C2 e−ωx .
С учетом граничных условий
X(0) = X(l) = 0
получаем
X(0) = C1 + C2 = 0,
X(l) = C1 eωl + C2 e−ωl = 0,
то есть
C1 = C2 = 0, X(x) ≡ 0.
2. λ = 0, тогда
X ′′ = 0
и общее решение
X(x) = C1 x + C2
135
дает с учетом краевых условий
X(0) = X(l) = 0
только тривиальное решение
X ≡ 0.
3. λ = ω 2 > 0. Уравнение преобразуется к
X ′′ = −ω 2 X,
X = C1 cos ωx + C2 sin ωx.
Граничные условия дают
X(0) = C1 = 0,
X(l) = C1 cos ωl + C2 sin ωl = C2 sin ωl = 0.
Чтобы постоянная C2 была отлична от нуля, необходимо выполнение
условия
sin ωl = 0,
то есть
πn
,
l
π 2 n2
2
λ=ω = 2 .
l
Тогда имеем последовательность решений (собственных функций)
ωl = πn, ω =
X(x) = C sin x
πn
,
l
соответствующих собственным значениям
λn =
π 2 n2
.
l2
С этими значениями λ теперь решаем уравнение для функции T (t)
T
Его решение —
′′
2 2
2π n
(t) + a 2 T (t) = 0.
l
( πn )
( πn )
Tn = An cos
at + Bn sin
at .
l
l
136
Таким образом, имеем последовательность решений исходного уравнения
(
( πn )
( πn ))
πn
un (x, t) = Tn (t)Xn (x) = An cos
at + Bn sin
at sin
x.
l
l
l
В силу линейности и однородности уравнения (23.1) его общее решение
есть линейная комбинация решений un (x, y),
u(x, t) =
∞
∑
(23.8)
un (x, t)
n=1
с произвольными постоянными An , Bn . Эти постоянные будем определять из начальных условий. Положим в общем решении t = 0. Имеем
∞
∞
( πn )
∑
∑
πn
πn
at sin
x=
x = φ(x).
u(x, 0) =
An sin
An cos
l
l
l
n=1
n=1
Выражение в правой части соответствует разложению в ряд Фурье
нечетной функции φ(x). Напомним, что эта функция задана на отрезке
[0, l]. Продолжая функцию на полуинтервал [−l, 0) нечетным образом,
имеем
∫l
πnx
1
φ(x) sin
An =
dx.
l
l
−l
Таким образом, определены коэффициенты An .
Коэффициенты Bn определяются из второго начального условия. В
нашем случае (ψ ≡ 0) Bn = 0. Подставляя An , Bn в выражение (23.8),
получаем необходимое решение.
23.2
Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения
Зададим начальное отклонение струны функцией
2u x
0
,
0 ≤ x ≤ l/2,
l
φ(x) =
2u − 2u0 x , l/2 < x ≤ l.
0
l
Тогда вычисления дают
1
An =
l
∫l
−l
2
πnx
dx =
φ(x) sin
l
l
∫l
φ(x) sin
0
137
πnx
dx =
l
2
=
l
∫l/2
2u0 x
πnx
2
sin
dx +
l
l
l
0
)
∫l/2(
2u0 x
πnx
sin
dx =
2u0 −
l
l
0
2u0 (
nπ
nπ ) 2u0 (
nπ
nπ
nπ )
= 2 2 −πn cos
+ 2 sin
+ 2 2 nπ cos
+ 2 sin
− 2 sin
=
π n
2
2
π n
2
2
2
0,
n = 2k,
8u0
nπ
=
= 2 2 sin
8u0
π n
2
(−1)k , n = 2k + 1.
2
2
π (2k + 1)
Тогда решение волнового уравнения есть
u(x, t) =
∞
∑
k=1
(2k + 1)π
8u0 (−1)k
aπ
sin
x· 2
t(2k + 1).
cos
l
π (2k + 1)2
l
Последовательные положения струны с ростом времени представлены
на серии рисунков. Здесь взяты 7 первых слагаемых ряда Фурье.
0.08
0.06
0.04
0.02
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.08
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0.04
0.02
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0
3.0
0.5
1.0
0.5
1.5
1.0
2.0
1.5
2.5
2.0
3.0
2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0.5
3.0
1.0
0.0002
-0.002
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-0.02
3.0
-0.04
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.5
3.0
-0.02
-0.02
-0.04
-0.04
-0.06
-0.06
-0.08
-0.10
138
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2.0
1.5
2.5
2.0
3.0
2.5
3.0
24
Дифференциальные уравнения химической кинетики. Законы сохранения
Представление о составе вещества — одно из концептуальных понятий
для химии как естественной науки. Закон постоянства состава химических соединений обосновал английский исследователь Д. Дальтон в своем законе кратных отношений: “Любое определенное химически чистое
соединение независимо от способа его получения состоит из одних и тех
же химических элементов, причем отношения их масс постоянны, а относительные числа их атомов выражаются целыми числами”. Закон постоянства состава вещества использовал Менделеев при разработке периодической системы — постоянство состава соединений, которые может образовывать данный элемент, следует из его положения в таблице
Менделеева. Постоянство состава химических соединений обусловлено
физической природой химических связей, объединяющих атомы в одну квантово-механическую систему — молекулу. Использование строгих
научных принципов относительно состава вещества позволяет развивать
понятие химической реакции как процесса образования новых химических соединений. В химической реакции участвуют исходные вещества,
которых реагируют между собой и в процессе времени, возможно, под
влиянием каких-либо факторов, превращаются в новые вещества, которые называются продуктами реакции. Из закона постоянства состава
вещества следует постоянство не только состава молекул продукта реакций, но и постоянство количественных соотношений исходных веществ.
В уравнении химической реакции используется закон сохранения вещества, открытый независимо М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В математическом выражении закон — масса данного элемента в левой части
равенства равна массе этого же элемента в правой части равенства с
учетом стехиометрических коэффициентов.
Пусть имеется n химических веществ Aj , j = 1, ..., n (реагентов и
продуктов реакций). Предположим, что эти вещества задействованы в
m простейших химических реакциях, схематически описываемых соотношениями
n
∑
j=1
k+
αij Aj ki−
i
n
∑
βij Aj ,
(24.1)
j=1
здесь αij ≥ 0, βij ≥ 0 — целые числа, стехиометрические коэффициен139
ты. Обозначим xj (t) — концентрация вещества Aj в момент времени t.
Рассмотрим гипотетические реакции
k+
2A1 + A2 k1− A3 ,
1
4A2 + A3
k+
k2− A1 + A4 .
2
k+
Значок ki− обозначает, что реакция идет как в прямом, так и в обратi
ном направлении, при этом ki± — константа скорости реакции. Обозначим
wi — скорость реакции,
wi = wi+ − wi− ,
здесь wi± — скорости прямой и обратной реакций соответственно. Согласно закону действующих масс скорость элементарной химической реакции пропорциональна произведению концентраций реагентов в степенях, равных стехиометрическим коэффициентам в уравнении реакции,
то есть
wi+ = ki+ xα1 i1 xα2 i2 ...xαnin ,
wi− = ki− xβ1 i1 xβ2 i2 ...xβnin .
Для примера рассматриваемых гипотетических реакций
w1 = w1+ − w1− = k1+ x21 x2 − k1− x3 ,
w2 = w2+ − w2− = k2+ x42 x3 − k2− x1 x4 .
Введем в рассмотрение вектор концентраций
x1 (t)
x2 (t)
X=
...
xn (t)
и матрицу Γ = (γij ) размера m × n, где коэффициенты определяются по
формулам
γij = βij − αij .
В нашем случае
(
Γ=
−2 −1
1
1
0
−4 −1 1
140
)
.
С введением вектора скоростей реакций
w1
w2
w
⃗ =
...
wn
уравнения для концентраций могут быть записаны в виде
X ′ = Γ∗ w,
⃗
(24.2)
где Γ∗ — транспонированная матрица Γ,
−2 1
−1 −4
Γ∗ =
.
1 −1
0
1
Уравнение (24.2), расписанное по координатам, дает систему
′
x1 = −2w1 + w2 ,
x′2 = −w1 − 4w2 ,
x′3 = w1 − w2 ,
′
x4 = w2 .
Если реактор является открытым, то в этой системе дифференциальных
уравнений появляется правая часть, то есть система принимает вид
′
x1 = −2w1 + w2 + f1 (t),
x′2 = −w1 − 4w2 + f2 (t),
x′3 = w1 − w2 + f3 (t),
′
x4 = w2 + f4 (t).
Предположим, что химические реакции задаются схемой (24.1) и вещество Aj имеет молекулярную массу Mj . Тогда для этих реакций должен быть выполнен закон сохранения массы
141
n
∑
αij Mj =
j=1
n
∑
βij Mj , i = 1, ..., m,
j=1
то есть
m
∑
(βij − αij ) Mj =
j=1
m
∑
γij Mj = 0,
j=1
или с введением вектора
M1
M2
⃗ =
M
,
...
Mn
получаем векторное уравнение
⃗ = 0m ,
ΓM
где 0m — нулевой вектор-столбец длины m. Таким образом, получаем
m соотношений, выражающих законы сохранения. Применим к этому
векторному соотношению операцию транспонирования с учетом свойства
(AB)∗ = B ∗ A∗ ,
⃗ ∗ Γ∗ = 0m ,
M
где 0m — вектор-строка длины m.
⃗ ∗ , тогда
Домножим векторное соотношение (24.2) слева на M
⃗ ∗ · X′ = M
⃗ ∗ · Γ∗ · w
M
⃗ = 0m · w
⃗ = 0.
То есть
M1 x′1 + M2 x′2 + ... + Mn x′n = 0,
таким образом,
(
)′
M1 x1 (t) + M2 x2 (t) + ... + Mn xn (t) = 0,
142
(24.3)
то есть
M1 x1 (t) + M2 x2 (t) + ... + Mn xn (t) = const.
(24.4)
Если число реакций меньше числа реагирующих веществ, то система (24.3) имеет бесконечно много решений. Поскольку концентрации веществ x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) — неотрицательные величины, а соотношение
(24.4) задает гиперплоскость в Rn , то множество возможных состояний
системы — кривая в этой плоскости. Для случая n = 3 имеем симплекс.
Найдем точки покоя автономной системы. Точка детального равновесия x0j — такое решение системы дифференциальных уравнений, что
wi+ = wi− , это есть набор таких концентраций веществ, для которых любая реакция находится в равновесии. Тогда получаем соотношения
ki+ xα1 i1 ...xαnin = ki− xβ1 i1 ...xβnin , i = 1, ..., m.
Введем новые переменные yj = ln xj . Логарифмируя предыдущие соотношения, получаем m линейных уравнений для определения точек покоя,
ln ki+ + αi1 y1 + ... + αin yn = ln ki− + βi1 y1 + ... + βin yn ,
или
n
ki+ ∑
ln − =
γij yi , i = 1, ..., m.
ki
j=1
Далее можно рассматривать вопросы разрешимости этой системы линейных уравнений.
Пример. Рассмотрим процесс окисления угарного газа, в результате
которого образуется углекислый газ CO2 . Данная реакция является обратимой — идет как процесс образования углекислого газа, так и процесс
его распада на угарный газ и кислород. Механизм реакции определяется
следующим уравнением
2CO + O2 2CO2 .
Предположим, реакция протекает в постоянной объеме. Обозначим z1 —
концентрация угарного газа CO, z2 — концентрация кислорода O2 , z3 —
концентрация углекислого газа CO2 .
Выписывая соотношения сохранения вещества, получаем следующие
равенства: Для кислорода —
z1 + 2z2 + z3 = const,
143
(24.5)
для углерода —
z1 + z3 = const.
(24.6)
Как следствие,
2z1 + 2z2 + 2z3 = const.
Эта постоянная определяется из начальных концентраций. Последнее
соотношение описывает плоскость в пространстве R3 , на которой лежат возможные значений концентраций. Дополняя это соотношение равенством (24.6), которое в трехмерном пространстве описывает плоскость, параллельную координатной оси z2 , получим прямую, описывающую возможные состояния системы (рис. 49).
0
Рис. 49: Прямая возможных состояний системы
Далее, пусть реакция протекает при постоянной температуре, ai , i =
1, 2 — константы скорости прямой и обратной реакций соответственно.
Согласно закону действующих масс скорость реакции определяется концентрациями реагирующих веществ в степенях, равных их стехиометрическим коэффициентам, то есть имеем
ω1 = a1 z12 z2 ,
ω2 = a2 z32 .
144
Таким образом, для концентраций получаем систему дифференциальных уравнений
ż1 = −2a1 z12 z2 + 2a2 z32 ,
ż2 = −a1 z12 z2 + a2 z23 ,
(24.7)
ż3 = 2a1 z12 z2 − 2a2 z32 .
В общем случае эта система является нелинейной. Ее устойчивость
можно исследовать описанными ранее способами. Решение можно строить, например, численными или полуаналитическими методами.
25
Математическая модель хроматографа
Адсорбция (от лат. ad — на, при и sorbeo — поглощаю), поглощение вещества из газообразной среды или раствора поверхностным слоем жидкости или твёрдого тела. Например, если поместить в водный раствор
уксусной кислоты кусочек угля, то произойдёт адсорбция — количество
кислоты в растворе уменьшится, молекулы кислоты сконцентрируются
на поверхности угля. Адсорбция и абсорбция — поглощение в объёме тела, объединяются общим термином сорбция. Явление адсорбции стало
изучаться со второй половины 18 в. (Шееле, 1773), хотя несомненно, что
в практической деятельности человечества адсорбция использовалась с
незапамятных времён. Учение об адсорбции является частью более общей теории многокомпонентных гетерогенных систем, основы которой
заложены У. Гиббсом (1876). Явление адсорбции тесно связано с особыми свойствами вещества в поверхностном слое. например, молекулы, лежащие на поверхности раздела фаз жидкость — пар, втягиваются внутрь
жидкости, т. к. испытывают большее притяжение со стороны молекул,
находящихся в объёме жидкости, чем со стороны молекул пара, концентрация которых во много раз меньше концентрации жидкости. Это
внутреннее притяжение заставляет поверхность сокращаться и количественно характеризуется поверхностным натяжением. По той же причине молекулы какого-либо другого вещества, оказавшиеся вблизи поверхности, притянутся к ней и произойдёт адсорбция. После адсорбции
внутреннее притяжение частично компенсируется притяжением со стороны адсорбционного слоя и поверхностное натяжение уменьшается. Гиббс
вывел формулу, связывающую значение адсорбции с изменением поверхностного натяжения. Те вещества, адсорбция которых сильно уменьшает
поверхностное натяжение, принято называть поверхностно-активными.
145
Вещество, на поверхности которого происходит адсорбция, называется адсорбентом, а поглощаемое из объёмной фазы — адсорбатом. В зависимости от характера взаимодействия между молекулой адсорбата и адсорбентом адсорбцию принято подразделять на физическую адсорбцию
и хемосорбцию. Менее прочная физическая адсорбция не сопровождается существенными изменениями молекул адсорбата. Она обусловлена
силами межмолекулярного взаимодействия, которые связывают молекулы в жидкостях и некоторых кристаллах и проявляются в поведении
сильно сжатых газов. При хемосорбции молекулы адсорбата и адсорбента образуют химические соединения. Часто адсорбция обусловлена
и физическими, и химическими силами, поэтому не существует чёткой
границы между физикой адсорбции и хемосорбцией.
С ростом концентрации или давления адсорбата в объёме увеличивается частота попаданий молекул адсорбата на поверхность адсорбента; пропорционально ей возрастает скорость адсорбции и увеличивается
равновесное количество адсорбированных молекул. Кривые зависимости
равновесной адсорбции от концентрации или давления адсорбата при постоянной температуре называются изотермами адсорбции.
Если адсорбат покрывает поверхность слоем толщиной в одну молекулу, адсорбция называется мономолекулярной. Простейшая изотерма
мономолекулярной адсорбции представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат, где на оси абсцисс отложено давление
адсорбата, а на оси ординат степень заполнения поверхности, т. е. доля
поверхности, покрытая адсорбированными молекулами. Эта зависимость
называется изотермой Генри.
Уравнение Генри справедливо при очень низких степенях заполнения
для однородной поверхности. По мере увеличения степени заполнения
всё большую роль начинает играть взаимодействие между адсорбированными молекулами и интенсивность их поверхностной подвижности.
Если молекулы адсорбата притягиваются друг к другу, то каждая вновь
адсорбирующаяся молекула будет испытывать притяжение и адсорбата
и молекул, адсорбированных ранее. Поэтому по мере заполнения поверхности силы, удерживающие адсорбированную молекулу, будут увеличиваться и условия для адсорбции будут всё более и более благоприятными.
В этом случае с ростом давления изотерма всё круче и круче идёт вверх
(см. рис. 50, кривую 1).
Однако по мере заполнения поверхности вновь адсорбирующимися
молекулами становится всё труднее найти свободное (не занятое други146
2
3
1
Рис. 50: Схема движения
ми молекулами адсорбата) место на поверхности. Поэтому с увеличением
давления рост адсорбции замедляется и степень покрытия стремится к
постоянному значению, равному единице (см. кривую 2, которая характерна при отсутствии взаимного притяжения молекул адсорбата). Если
действуют оба эти фактора, то получаются вогнуто-выпуклые изотермы
(см. кривую 3).
Хроматография — динамический сорбционный метод разделения и
анализа смесей веществ, а также изучения физико-химических свойств
веществ. Метод основан на распределении веществ между двумя фазами
— неподвижной (твердая фаза или жидкость, связанная на инертном
носителе) и подвижной (газовая или жидкая фаза, элюент). Название
метода связано с первыми экспериментами по хроматографии, в ходе
которых разработчик метода Михаил Цвет разделял ярко окрашенные
растительные пигменты.
Хроматография есть метод разделения смесей веществ или частиц,
основанный на различиях в скоростях их перемещения в системе несмешивающихся и движущихся относительно друг друга фаз.
Основным конструктивным элементом хроматографов являются колонки — трубки, заполненные неподвижной фазой, по которым во время
выполнения анализа движется подвижная фаза и исследуемый образец.
Именно в колонке происходит разделение компонентов исследуемой смеси.
147
25.1
Задача о поглощении газа
Математически задачи о поглощении газа формулируется следующим
образом.
Введем обозначения: a(x, t) — количество газа, поглощенное единицей объема сорбента, u(x, t) — концентрация газа, находящегося в порах
сорбента в слое x.
Закон сохранения количества вещества
∂
∂t
∫x2
(a + u)dx = −νu|xx21 .
x1
Уравнение кинетики сорбции
∂a
= β(u − y)
∂t
зависит от свойств сорбента. В этом уравнении β — кинетический коэффициент, y — концентрация газа, находящегося в “равновесии” с сорбированным количеством газа. Величины a и y связаны соотношением
a = f (y), определяемым свойством сорбента.
Функция a = f (y) называется изотермой сорбции. Для моделирования процесса часто используются следующие функции.
1) Зависимость
y
f (y) =
u0 + py
называется изотермой Ленгмюра. Эта зависимость справедлива для мономолекулярной адсорбции на однородной поверхности, если можно пренебречь притяжением молекул адсорбата между собой и их подвижностью вдоль поверхности.
1
2) Линейная функция f (y) = y называется изотермой Генри, велиγ
1
чина — коэффициент Генри, зависит главным образом от температуры
γ
и характера взаимодействия адсорбент – адсорбат.
В случае изотермы Генри уравнения сорбции дают систему
{
−νux = ut + at ,
(25.1)
at = β(u − γa)
148
с условиями
a(x, 0) = 0,
u(x, 0) = 0,
u(0, t) = u0 .
Последнее условие задает концентрацию газа на входе.
В этой системе величина ut определяет расход газа на повышение концентрации в порах сорбента, это значение мало по сравнению с at (расход
газа на увеличение сорбированного количества газа). Пренебрегая величиной ut , приходим к задаче
−νux = at ,
at = β(u − γa),
a(x, 0) = 0,
u(0, t) = u0 .
В этой системе можно исключить функцию a(x, t). Для этого дифференцируем первое равенство по t, учитываем второе и приходим к
−νuxt = βut − βγat = βut − βνγuu ,
или
β
uxt + ut + βγux = 0.
ν
Подставляя в первое уравнение системы t = 0, получаем
−νux (x, 0) = βu(x, 0).
Используя последнее условие
u(0, t) = u0 ,
имеем
u(x, 0) = u0 e− ν x .
β
Таким образом, в случае изотермы Генри начально-краевая задача
для концентрации примет вид
β
uxt + ut + βγux = 0,
ν
u(x, 0) = u0 e− ν x ,
β
u(0, t) = u0 .
149
Характеристиками уравнения сорбции являются линии
{
x = const,
t = const.
Отметим, что для уравнения сорбции задано начальное условие u(x, 0)
и граничное условие u(0, t) — условия на характеристиках. Однако, это
именно тот случай, когда можно задавать условия на характеристиках
разных семейств — данные переносятся характеристиками другого семейства. Такой тип задачи называется задача Гурса (задача с условиями
на характеристиках).
Аналогично получается система
β
axt + at + βγax = 0,
ν
a(x, 0) = 0,
)
u0 (
1 − e−βγt .
a(0, t) =
γ
Такая задача встречается при сушке воздушным потоком, прогревании трубы потоком воды и других аналогичных процессах.
Первое равенство в системе можно получить другим способом. Введем
новые переменные
{
x
τ =t− ,
ν
ξ = x,
так что
{
x
t=τ+ ,
ν
x = ξ.
x
При этом t0 = соответствует моменту прихода газовоздушной смеси в
ν
точку с координатой x.
Производные преобразуются следующим образом:
1
ux = uξ − uτ ,
ν
∂
∂
=
.
∂t ∂τ
Тогда система (25.1) преобразуется к
{
−νuξ = aτ ,
aτ = β(u − γa)
150
с начальными условиями
{
u(x, 0) = 0,
ut (x, 0) = 0.
25.2
Равновесная сорбция
Итак, в общем случае задача о сорбции газа описывается уравнением
−νux =
∂
(a + u)
∂t
и уравнением кинетики сорбции
∂a
= β(u − y).
∂t
Здесь a(x, t) — количество газа, поглощенное единицей сорбента, u(x, t) —
концентрация газа, находящегося в порах сорбента в слое x. Изотерма
сорбции описывается функцией a = f (y). Будем искать такое решение,
что at ≈ 0, что соответствует равновесной сорбции. Тогда уравнение кинетики сорбции дает соотношение
u = y.
Первое уравнение задачи о сорбции газа приводится к
−νux =
или, далее,
∂
(u + f (u)),
∂t
ut + f ′ ut + νux = 0,
ut (1 + f ′ ) + νux = 0.
Уравнения характеристик системы есть
dx du
dt
=
=
.
1 + f′
ν
0
Необходимо найти два первых интеграла. Используя первое равенство,
получаем
ν
dx
=
.
(25.2)
dt
1 + f′
Отсюда вычисляем один из первых интегралов u = C1 .
151
Пусть свойства сорбента описываются изотермой Ленгмюра,
f=
Γu
,
1+u
отсюда
Γ
.
(1 + u)2
Используем уже найденный первый интеграл, тогда формула (25.2)
дает
ν
dx
=
= C2 .
Γ
dt
1 + (1+C
2
1)
f′ =
Тогда второй первый интеграл есть
x − C2 (u)t = C3 ,
или, подставляя выражение для C2 ,
ν(1 + u)2
.
x−
t=
Γ
(1 + u)2 + Γ
1 + (1+u)
2
ν
Тогда общее решение исходного уравнения в частных производных
имеет вид
F (u, x − C2 (u)t) = 0.
В этом случае искомую функцию удается выписать в более простом виде,
а именно
u = ϕ(x − c(u)t).
Пусть к данному ранее дифференциальному уравнению в частных
производных добавлено начальное условие, то есть необходимо решить
задачу Коши. Для данной задачи условие Коши имеет смысл начального
распределения. Пусть начальное условие записано в виде
u|t=0 = u0 (x).
Подстановка t = 0 в найденное ранее общее решение дифференциального уравнения дает равенство, из которого требуется найти вид функции ϕ, а именно
ϕ(x) = u0 (x).
Таким образом, решение задачи Коши имеет вид
(
)
νt
u = u0 (x − c(u)t) = u0 x −
.
Γ
1 + (1+u)
2
152
Пример. Рассмотрим более общий случай. Пусть дана задача Коши
{
ut + c(u)ux = 0,
u(x, 0) = c−1 (ax + b).
Система характеристик для дифференциального уравнения записывается следующим образом:
dt
dx
du
=
=
.
1
c(u)
0
Для записи общего решения необходимо найти два первых интеграла.
Из правой части записанной системы получаем первый интеграл
u = C1 .
Из первого равенства с учетом найденного первого интеграла имеем
dt =
dx
,
c(C1 )
отсюда получаем второй первый интеграл
x − c(C1 )t = C2 .
Используя найденные первые интегралы, записываем общее решение
F (u, x − c(C1 )t) = 0,
или в явном виде
u = f (x − c(C1 )t).
Подставляем начальное условие в общее решение,
u(x, 0) = f (x) = c−1 (ax + b).
Из этого соотношения определяем
f (x) = c−1 (ax + b).
Таким образом, решение задачи Коши есть функция
u(x, t) = c−1 (a(x − c(u)t) + b).
Применяя к обеим частям последнего равенства функцию c, получаем
c(u) = a(x − c(u)t) + b,
153
c(u)(1 + at) = ax + b,
ax + b
.
c(u) =
1 + at
Тогда получаем решение в явном виде
(
)
ax
+
b
u = c−1
.
1 + at
Решение такого вида обладает особенностью, называемой градиентной катастрофой. А именно, при некоторых конечных значениях t решение уходит на бесконечность. Такая ситуация возникает при a < 0. Тогда
1
решение существует только до момента времени t = − .
a
25.3
Разделение смеси
Рассмотрим процесс равновесной сорбции смеси, состоящей из двух компонент. Уравнения кинетики сорбции в этом случае будут
∂u1
∂u1 ∂f1 ∂u1 ∂f1 ∂u2
∂t + ∂u ∂t + ∂u ∂t + ν ∂x = 0,
1
2
∂u2 ∂f2 ∂u1 ∂f2 ∂u2
∂u2
+
+
+ν
= 0,
∂t
∂u1 ∂t
∂u2 ∂t
∂x
здесь(fi (u)
1 , u2 ) — изотермы сорбции. Обозначим искомое векторное поле
u1
, матрицу системы
u=
u2
A=
∂f1
∂u1
∂f1
∂u2
∂f2
∂u1
∂f2
∂u2
.
Тогда исходная система может быть записана в векторной форме
ut + Aut + νux = 0,
или
(I + A)ut = −νux ,
ut = −ν(I + A)−1 ux .
Обозначив, C(u) = ν(I + A)−1 , перепишем систему в виде
ut + C(u)ux = 0.
154
Пусть v = ut + Cux . Вычислим
vt − Cvx = utt + Cuxt − Cuxt − C 2 uxx = utt − C 2 uxx .
Таким образом, система
{
vt − Cvx = 0,
ut + Cux = v
сводится к волновому уравнению
utt − C 2 uxx = 0.
Волновое уравнение хорошо известно, в частности, его характеристиками являются линии x ± Ct = c1 . Решение переносится вдоль характеристик.
Выпишем матрицу системы
(
)
−C 0
,
0 C
ее собственные числа λ = ±C.
Определение. Характеристики системы — кривые в плоскости (x, t)
dx
такие, что
= C(x, t), где C — собственные числа матрицы C.
dt
В нашем случае надо искать собственные числа матрицы ν(I + A)−1 .
Из линейной алгебры известно, что если λj — собственные числа матрицы A, то собственные числа матрицы ν(I + A)−1 выражаются через λj
по формуле
ν
Cj =
.
1 + λj
Для разделения смеси на составляющие необходимо, чтобы Cj были различными и действительными. Величины Cj являются скоростями
движения соответствующих компонент. Эти необходимые условия на величины Cj определяются видом матрицы A, которая в свою очередь
определяется функцией f .
Физическим путем добиться разности скоростей компонент можно
или подобрав другой, более подходящий сорбент, или каким-то образом
доработав имеющийся. Возможно это сделать, добавив в сорбент примеси, изменив его структуру или давление в приборе.
В реальных процессах одно уравнение может быть описано изотермой
Генри, а второе — изотермой Ленгмюра.
155
Рассмотрим процесс разделения двухкомпонентной смеси в случае,
когда оба уравнения описываются изотермами Генри. Пусть
f1 =
Тогда
1
1
u1 , f2 = u2 .
γ1
γ2
1
1+
0
γ
1
I +A=
1 .
0
1+
γ2
Если коэффициенты Генри γ1 ̸= γ2 , то собственные числа этой матрицы
будут различными и вещественными.
ν
Таким образом, скорость прохождения j-й компоненты равна
,
1 + λj
где λj — собственные числа матрицы Якоби. Следовательно, скорость
фронта компонента может быть на равна ν. Примером таких разниц
скоростей могут служить звуковые волны и волны потока транспорта.
В случае (m = 2) изотермы Ленгмюра скорость будет зависеть от
u1 , u2 , то есть от концентрации компонент в данный момент в данном
месте.
Покажем, что скорости будут различны и в случае изотерм Ленгмюра.
Пусть
Γ2 u2
Γ1 u1
, f2 =
(0 < Γ1 < Γ2 ).
f1 =
1 + u1 + u2
1 + u1 + u2
∂f
Обозначим p = 1 + u1 + u2 . Вычислим производную
:
∂u
∂f1
Γ1 p − Γ1 u1
Γ1 (p − u1 )
=
=
,
2
∂u1
(1 + u1 + u2 )
p2
∂f1
Γ1 u1 ∂f2
Γ2 u2
=− 2 ,
=− 2 ,
∂u2
p
∂u1
p
∂f2
Γ2 (p − u2 )
=
.
∂u2
p2
Γ1 (p − u1 )
Γ1 u1
− 2
2
p
p
.
Γ2 u2
Γ2 (p − u2 )
− 2
p
p2
156
Вычислим собственные числа матрицы,
(
det
∂f
− λI
∂u
=p
−4
)
=
Γ1 (p − u1 )
Γ1 u1
−
λ
−
p2
p2
=
Γ2 u2
Γ2 (p − u2 )
− 2
−λ
p
p2
Γ1 (p − u1 ) − λp2
−Γ1 u1
−Γ2 u2
Γ2 (p − u2 ) − λp
=
)
(Γ1 (p − u1 ) − λp2 )(Γ2 (p − u2 ) − λp2 ) − Γ1 Γ2 u1 u2 =
(
)
= p−4 (Γ1 p − λp2 − Γ1 u1 )(Γ2 p − λp2 − Γ2 u2 ) − Γ1 Γ2 u1 u2 =
(
)
Γ
u
Γ
u
(Γ1 − λp)(Γ2 − λp)
2 2
1 1
= p−4 (Γ1 p−λp2 )(Γ2 p−λp2 ) 1 −
−
Γ1 p − λp2 Γ2 p − λp2
p2
=p
(
−4
2
Покажем, что множитель (Γ1 − λp)(Γ2 − λp) не может быть равен
Γi
нулю, то есть λ∗i ̸= .
p
Вычислим
Γ1 u1
Γ1 Γ1 u1 Γ1
(
)
− 2
p − p2 − p
∂f Γ1
p
=
det
−
= det
Γ
u
Γ
Γ
u
Γ
∂u
p
2 2
2
2 2
1
− 2
− 2 −
p
p
p
p
−Γ1 u1
1 −Γ1 u1
= 4
=
p −Γ2 u2 (Γ2 − Γ1 )p − Γ2 u2
Γ1 u1
((Γ2 − Γ1 )p − Γ2 u2 + Γ2 u2 ) =
p4
Γ1 u1 (Γ2 − Γ1 )
=−
̸= 0
p3
Γ1
при u1 ̸= 0, 0 < Γ1 < Γ2 . То есть
не может быть собственным числом.
p
Γ2
не может быть собственным числом. Таким образом,
Аналогично,
p
∂f
собственные числа матрицы
даются корнями уравнения F (λ) = 1,
∂u
где
Γ2 u 2
Γ1 u1
+
.
F (λ) =
Γ1 p − λp2 Γ2 p − λp2
=−
157
Рассмотрим свойства функции F (λ). Легко получить следующие свойства.
F (λ) → 0 при λ → ±∞.
Значения λ = λ∗1,2 — вертикальные асимптоты,
lim
F (λ) =
∗
λ→λ1 ±0
F ′ (λ) = p2
(
Γ2 u2
+
Γ2 p − p2 Γp1
Γu
( 1 1 ) = ∓∞.
lim
Γ 1 p2 Γ 1 − λ
p
λ→
±0
p
Γ1 u1
Γ2 u2
+
(Γ1 p − p2 λ)2 (Γ2 p − p2 λ)2
F (0) =
)
> 0, ∀λ (u1 , u2 > 0)
Γ1 u1 Γ2 u2
u1 + u2
u1 + u2
+
=
=
,
Γ1 p
Γ2 p
p
1 + u1 + u2
0 < F (0) < 1
Схематическое поведение функции F (λ) представлено на рис. 51.
Рис. 51: Поведение функции F (λ)
158
Таким образом, однозначно вычисляются значения λ1 , λ2 . С ними вычисляются собственные числа матрицы A — скорости фронтов компонент по формуле
ν
Cj =
, j = 1, 2.
1 + λj
Таким образом, скорости движения компонент вычисляются однозначно, при этом, очевидно, Cj < ν, j = 1, 2; C1 ̸= C2 . Физически это
означает, что, одновременно втекая в трубу, разные компоненты достигают конца колонки в разное время.
26
Уравнение распространения тепла
Процесс распространения тепла в пространстве может быть описан температурой u(x, y, z, t), где x, y, z — пространственные координаты, t —
время. Если температура в некоторой области не является постоянной,
то возникают тепловые потоки, направленные от точек с более высокой
температурой к точкам с менее высокой температурой.
Лемма . Пусть функция f (x) = f (x1 , ..., xn ) определена и непрерывна
в некоторой области∫ из Rn и известно, что для любой области Ω1 ∈ Ω
выполнено условие f (x)dx = 0, тогда f (x) ≡ 0 в Ω.
Ω1
∫
Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, то есть f (x)dx =
Ω1
0. Предположим противное: то есть пусть существует такая точка x0 ∈
Ω1 такая, что f (x0 ) = ε > 0. Тогда по теореме о сохранении знака существует такой шар B(x0 , R), что во всем этом шаре f (x) > ε/2. Тогда
∫
ε
f (x)dx > |B(x0 , R)| > 0,
2
B(x0 ,R)
здесь |B(x0 , R)| — объем n-мерного шара. Получили противоречие с условием леммы. Таким образом, лемма доказана.
Для вывода уравнения теплопроводности рассмотрим область Ω ⊂ R3 .
Обозначим границу области ∂Ω = F . Предполагаем, что тело однородно
и изотропно. В этом случае распространение тепла во все стороны идет
с одинаковой скоростью.
Введем в рассмотрение вектор-градиент
(
)
∂u ∂u ∂u
∇u(x, y, z, t) =
, ,
.
∂x ∂y ∂z
159
Пусть элемент поверхности ∆S имеет внешнюю нормаль
n = (cos α, cos β, cos γ).
Тогда за время ∆t через поверхность ∆S пройдет поток тепла
∆Q = −k
то есть
∂u
|∆S|∆t,
∂n
∂Q
∂u
= −k |∆S|,
∂t
∂n
∂u
— производная по данному направлению. Внутри области Ω выгде
∂n
берем произвольную подобласть Ω1 . Вычислим общее изменение количества энергии за период времени от момента t1 до момента t2
∫∫∫
∫∫∫
∆Q =
γu(x, y, z, t2 )dxdydz −
γu(x, y, z, t1 )dxdydz.
Ω1
Ω1
Отметим, что
∫t2
u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 ) =
∂u
(x, y, z, t)dt,
∂t
t1
тогда количество тепла, поглощенного телом,
t
∫2
∫∫∫
γ ∂u (x, y, z, t)dt dxdydz =
∆Q1 =
∂t
t1
Ω1
∫t2
=
∫∫∫
∂u
γ (x, y, z, t)dxdydz dt.
∂t
t1
Ω1
Количество тепла, выделившееся в ходе реакции,
(
)
∫t2 ∫∫
∂u
∆Q2 =
−k dS dt =
∂n
t1
( S1
) )
(
∫t2
∫∫ ∂u
∂u
∂u
cos α +
cos β +
cos γ dS dt =
=
−k
∂x
∂y
∂z
t1
S
1
(
)
t
2
∫
∫∫
=
−k
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS dt.
t1
S1
160
Так как
∂Q ∂R ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
∂P
+
+
= 2 + 2 + 2,
div(∇u) =
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
то, используя формулу Гаусса —Остроградского, получим
)
∫t2
∫∫∫ ( 2
∂ u ∂ 2u ∂ 2u
∆Q2 = −k
+
+
dxdydz dt
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
t1
Ω1
∆Q = ∆Q1 − ∆Q2 ,
то есть,
(
∫t2 ∫∫∫
t1
Ω
)
(
)
∫t2 ∫∫∫
∂u
γ dxdydz dt =
f (x, y, z, t)dxdydz dt
∂t
t1 ( Ω
( 2
)
)
∫t2 ∫∫∫
∂ u ∂ 2u ∂ 2u
+
k
+ 2 + 2 dxdydz dt
2
∂x
∂y
∂z
t1
Ω
Таким образом,
∫t2
t1
( 2
)
)
∫∫∫ (
∂ u ∂ 2u ∂ 2u
∂u
γ
−k
+
+
− f (x, y, z, t) dxdydz dt =
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Ω
∫t2
=
Φ(t)dt = 0
t1
для фиксированной области Ω1 . В силу доказанной ранее леммы
Φ(t) ≡ 0. Таким образом,
( 2
)
∂u
∂ 2u ∂ 2u
2 ∂ u
=a
+
+
+ f˜(x, y, z, t).
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
k
.
γ
Это есть уравнение теплопроводности для трехмерного тела.
Рассмотрим постановку основных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности в случае одномерного стержня.
Здесь a2 =
161
1. На границе стержня x = 0 задана температура,
u(0, t) = µ(t),
где µ(t) — функция, заданная на отрезке [t0 , t1 ] — промежуток времени, в течение которого рассматривается процесс.
2. На конце x = l задано значение производной
∂u
(l, t) = ν(t).
∂x
Это условие получается, если задана величина теплового потока
Q(l, t), протекающего через торцевую поверхность стержня,
Q(l, t) = −k
∂u
(l, t).
∂x
Отсюда
∂u
(l, t) = ν(t),
∂x
где
ν(t) = −
Q(l, t)
.
k
3. При x = l задана линейная комбинация производной и функции,
∂u
= −λ (u(l, t) − θ(t)) .
∂x
Это граничное условие соответствует теплообмену на поверхности
тела с окружающей средой с известной температурой θ(t). Аналогично можно задавать граничные условия для x = 0.
Рассмотрим метод решения уравнения теплопроводности для одномерного случая в следующей постановке
2
∂u
2∂ u
=a
.
∂t
∂x2
(26.1)
Начальное распределение температуры
u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, π],
(26.2)
u(0, t) = u(π, t) = 0,
(26.3)
162
что соответствует поддержанию нулевой температуры на концах стержня. Воспользуемся методом Фурье разделения переменных. Будем искать
решение уравнения u(x, t) в виде
u(x, t) = X(x)T (t).
(26.4)
Подстановка в уравнение (26.1) дает
X(x)T ′ (t) = a2 X ′′ (x)T (t),
или
T ′ (t)
X ′′ (x)
=
.
a2 T (t)
X(x)
Так как в левой части равенства стоит функция только от t, а в правой
— только от x, а это равенство должно быть выполнено при любых t ∈
[t1 , t2 ] x ∈ [0, π], то
T ′ (t)
X ′′ (x)
=
= λ = const.
a2 T (t)
X(x)
Преобразуем граничные условия. Соотношения (26.3) с учетом формулы
(26.4) дают
X(0) = X(π) = 0.
Таким образом получаем задачу Штурма — Лиувилля для функции
X(x)
X ′′ (x) − λX(x) = 0,
X(0) = 0,
(26.5)
X(π) = 0.
Нетривиальное решение этой задачи существует для значений параметра
λ,
λn = −n2 ,
тогда соответствующие собственные функции
Xn (x) = sin nx.
Далее, для функции T (t) имеем уравнение
T ′ (t) = λa2 T (t),
которое с учетом найденных собственных числе λn преобразуется к
T ′ (t) = −n2 a2 T (t).
163
Решения этого уравнения — последовательность функций
Tn (t) = Cn e−n a t .
2 2
Таким образом, решениями уравнения теплопроводности (26.1) будут
функции
2 2
un (x, t) = Cn e−n a t sin nx,
то есть
u(x, t) =
∞
∑
Cn e−n a t sin nx.
2 2
n=1
Итак, получили решение в виде ряда с коэффициентами, которые будут
определяться из начального условия (26.2). Подстановка t = 0 дает
u(x, 0) =
∞
∑
Cn sin nx = φ(x).
n=1
Последнее равенство можно рассматривать как разложение в ряд Фурье
нечетной на отрезке [−π, π] функции φ(x). При этом коэффициенты
Cn =
1
π
∫π
φ(x) sin nxdx =
−π
2
π
∫π
φ(x) sin nxdx,
0
так как функция φ(x) в силу условия φ(0) = 0 (26.3) может быть продолжена нечетным образом. С вычисленными коэффициентами Cn решение
уравнения (26.1) выражается формулой
π
∫
∞
∑ 2
2 2
u(x, t) =
φ(x) sin nxdx e−n a t sin nx.
π
n=1
0
164
Список литературы
[1] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. ЛКИ, 2008 г.
[2] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 1977.
[3] Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.,
Наука, 1985.
[4] Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Едиториал УРСС, 2007 г.
[5] Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Либроком, 2009 г.
[6] Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. Новосибирск: Наука, 1974.
[7] Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., Мир, 1986.
[8] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений их приложения к газовой динамике. М.: Наука.
[9] Концепции современного естествознания
165
