UDK 628.3 AYRIM EKOLOGIK JARAYONLARNING DIFFERENSIAL MODELI Kutliboyev Shoxruh (Iqtisodiyot fakulteti 2- bosqich talabasi) Annotatsiya Ekologiya - insonning umuman olgandatirik organizmlarning atrof - muhit bilan o„zaro munosabatini o„rganadi. Ekologiyaning asosiy ob‟ekti populyasiya jarayonidir. Quyida populyasiya jarayonining differensial modeli hakida to„xtalib o„tamiz. Unga ko„ra biror turning ko„payishi yoki qirilib ketishi, shuningdek jarayonda turli turga mansub xayvonlarning birgalikdagi holatlarni o„rganamiz. Tabiatda biror turning ko„payishi yoki qirilib ketishi albatta ozuqa zanjiridagi boshqa bir turning miqdoriga uzviy bog„liqdir. Bunday jarayonlardan biriga “yirtqich - o„lja” modelini[1] misol qilish mumkin. Biror t vaqt momentida populyasiyada ishtirok etayotgan jonzodlar soni x t bo„lsin. Unda birlik vaqt momentida populyasiyadan tug„ilayotgan jonzodlar soni – A, nobud bo„layotganlar soni B bo„lsin. Unda jonzodlar sonining vaqtga bog„liq o„zgarish tenglamasini quyidagicha ifodalashimiz mumkin: dx A B dt (1) Endi A va B larni x ning funksiyalari sifatida karaymiz. Eng sodda hol bu A x, B x. (2) Bu erda va vaqt birligi ichida jonzotlarning mos ravishda ko„payish va nobud bo„lish koeffitsienti. (2) ifodani (1) tenglamaga qo„ysak u quyidagi ko„rinishga keladi: dx x dt t t0 vaqt mamentida populyasiyadagi jonzodlar sonini (3) x x0 deb olib, (3) tenglamani quyidagi ko„rinishga keltiramiz x t x0e t t0 Hosil bo„lgan tenglamadan bo„lganda, t da jonzodlar soni x bo„ladi, agarda bo„lsa, unda x 0 bo„ladi. Keltirilgan model sodda hol bo„lsada, ko„pgina hollarda to„g„ri natija beradi. Amalda hakikiy hodisa va jarayonlarni ifodalovchi modellar nochizikli bo„ladi va (3) – differensial tenglama o„rniga qo„yidagi tenglama qaraladi: dx f x , dt Bu erda f x - chiziqli bo„lmagan funksiya, masalan quyidagicha berilgan bo„lsin dx f x ax bx 2 dt Bu erda a 0, b 0 t t0 vaqt momentida x x0 deb olib, oxirgi tenglamadan quyidagini hosil qilamiz: a b x t a a t t x0 x0 e 0 b x0 Bu erdan t da populyasiyada jonzodlar soni x t ikkita xolat kuzatiladi: (4) a bo„lishini ko„rish mumkin. Bunda b a a x0 va x0 . Bu hollardagi farqni quyidagi jadvalda ko„rishimiz b b mumkin: Ta‟kidlash joizki, (4) formula meva zararkunandalari va ba‟zi turdagi bakteriyalarni populyasiyasini ham ifodalaydi. Endi bir necha turlarning, masalan: katta va kichik xildagi baliqlarni qaraylik bu erda kichik baliqlar katta baliqlar uchun ozuqa vazifasini o„taydi. Har bir tur uchun populyasiyaning tegishli differensial tenglamasini tuzish orqali differensial tenglamalar sistemasiga kelamiz: dxi fi x1 , x2 ,..., xn , dt i 1, 2,..., n. Ikki turdan iborat «Yirtqich - o„lja» modelini qarab chikamiz. Bu model birinchi bolib Volterra tomonidan, dengizdan bir xil davriy oraliqlarda ovlanayotgan baliqlar sonini o„zgarish chastotasini baholash uchun tuzilgan. x katta «yirtqich» baliqlar soni bo„lsin. Ular uchun ozuqa hisoblangan kichik baliqlarni esa y orqali belgilaymiz. Unda katta baliqlar soni toki ozuqa hisoblangan kichik baliqlar soni etarlicha ko„p bo„lgan davrgacha ko„payib boraveradi. Kandaydir momentdan boshlab ozuqa etishmovchiligi tufayli katta baliqlar soni kamayib boradi. Bu esa qandaydir momentdan boshlab kichik baliqlar soni ortib borishini anglatadi. Bundan yana katta baliqlarning sonining oshishi kuzatiladi va bu jarayon davriy ravishda yana takrorlanaveradi. Bu jarayonni ifodalovchi Volterra tomonidan tuzilgan model ko„rinishi kuydagicha: dx ax bxy, dt (5) dx cx dxy dt (6) Bu erda a,b,c,d - musbat o„zgarmas sonlardir. (5) – tenglamadagi b x y katta baliqlar sonini o„sish darajasi kichik baliqlar soniga bog„lik ekanligini anglatadi. (6) - tenglamani dxy kichik baliqlar soni katta baliqlar sonining ortib borish natijada kamayib borishini anglatadi. Oxirgi ikki tenglamani echish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz. u d b a x, y, ct , c a c Natijada (5) va (6) tenglamalar quyidagi ko„rinishga keladi: u u v 1 , v v 1 u (7) Bu erda 0 , shtrix esa bo„yicha differensialni anglatadi. Vaqtning biror 0 momentida har ikkala turning jon soni ma‟lum bo„lsin: u 0 u0 , v 0 v0 (8) Bizni faqat musbat qiymatli echimlar qiziqtiradi. u va v funksiyalar orasida bog„liqlik o„rnatamiz. Buning uchun (7) tenglamalar sistemasidagi birinchi tenglamani ikkinchisiga bo„lamiz va hosil bo„lgan differensial tenglamani integrallab quyidagi ifodani hosil qilamiz: v u ln v u v0 u0 ln v0 u0 H Bu erda H - (8) boshlang„ich shartlar va parametr yordamida aniqlanadigan o„zgarmas son. Quyidagi rasmda H ning turli qiymatlari uchun u funksiyaning v ga bog„liq grafigi tasvirlangan. Rasmdan ko„rinib turibdiki, funksiya u, v grafigi tekisligida faqat yopiq egri chiziqlardan iborat. u0 , v0 boshlang„ich shartlar H H 3 ga mos keluvchi A nuqta orqali berilgan deb faraz qilamiz. u0 1, v0 1 bo„lgani uchun (7) sistemadagi birinchi tenglama u o„zgaruvchining avvaliga kamayishini ko„rsatadi. Xuddi shunga o„xshash tasdiqni v o„zgaruvchi uchun ham keltirishimiz mumkin. u o„zgaruvchi birga teng qiymatni qabul qilganda v 0 bo„ladi va vaqt davomida v o„zgaruvchi o„sib boradi. v 1 qiymatga erishganda u 0 va shu momentdan boshlab u o„zgaruvchi o„sib boradi. Ko„rinib turibdiki u va v o„zgaruvchilar yopiq traektoriyalar bo„yicha harakatlanishadi, bu esa ularning davriy funksiya ekanligini anglatadi. Bunda . u maksimumi v ning maksimumi bilan ustma ust tushmaydi, ya‟ni populyasiya tebranishi turli fazalarda kechadi. u va v ning vaqtga bog„liq namunaviy grafigi quyidagi jadvalda keltirilgan. ( u0 1, v0 1 hol) Xulosa. Turlarni o„zaro bog„liq ravishda o„rganish yanada qiziqarli natijalar beradi. Masalan ikki tur bitta ozuqa manbaasiga (uchinchi tur) nisbattan o„zaro raqobatlashishsin, shunda bitta turning yo„qolib ketishini ko„rsatish mumkin. Agarda ozuqa manbai bo„lmish tur qirilib bitsa, qolgan ikki turni ham xuddi shunday taqdir kutadi. Adabiyotlar ro‘yxati: 1. Ergashev T.G. Differensial tenglamalar. T: “TIQXMMI” – MTU, 2023 -384b. 2. Амелькин В.В. Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения . –Минск: Высшая школа, 1982г. -272с. Ilmiy rahbar: Abdullaev A.A. (“TIQXMMI” – MTU, “Oliy matematika” kafedrasi dotsenti)