Вучэбны дапаможнік для 10 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання Да ушчана Міні эр ва адукац і э ублікі Белару Мінск «Народная асвета» 2019 Правообладатель Народная асвета УДК 512(075.3 161.3) ББК 22.144я721 А89 Пераклад з рускай мовы Н. М. Алганава Р э ц э н з е н т ы: кафедра вышэйшай алгебры і абароны інфармацыі механіка-матэматычнага факультэта Беларускага дзяржаўнага ўніверсітэта (доктар фізіка-матэматычных навук, прафесар, загадчык кафедры В. В. Беняш Кр вец); настаўнік матэматыкі кваліфікацыйнай катэгорыі «настаўнік-метадыст» ліцэя Беларускага нацыянальнага тэхнічнага ўніверсітэта А. . бул ка ISBN 978-985-03-3153-3 Арэф’ева І. Г., Пірутка В. М., 2019 Алганава Н. М., пераклад на беларускую мову, 2019 Афармленне. УП «Народная асвета», 2019 Правообладатель Народная асвета ано ныя дзеся ікласнікі Па гэтай кнізе вы працягнеце вывучэнне алгебры. Кніга складаецца з чатырох раздзелаў, кожны з якіх падзелены на параграфы, дзе вы сустрэнеце наступныя ўмоўныя абазначэнні: — заданні на паўтарэнне для падрыхтоўкі да вывучэння новага матэрыялу; — новы тэарэтычны матэрыял і метады яго прымянення; — алгарытмы; — важныя правілы і сцверджанні; — дадатковы матэрыял для паглыблення матэматычных ведаў; — асноўныя прыклады з рашэннямі і падрабязным апісаннем паслядоўнасці дзеянняў; — вусныя пытанні і заданні; — заданні для работы ў класе; — заданні для дамашняй работы; — заданні для паўтарэння; * — заданні павышанай складанасці. Кожны раздзел вучэбнага дапаможніка заканчваецца рубрыкай «Выніковая самаацэнка», у якой вы знойдзеце пералік патрабаванняў да засваення тэарэтычнага матэрыялу і практычныя заданні для самаправеркі. Для абагульнення раней вывучанага матэрыялу ў вучэбным дапаможніку дадзены раздзел «Паўтарэнне курса алгебры 7—9-х класаў». У раздзеле «Матэматыка вакол нас» змешчаны задачы на прымяненне матэматыкі ў розных галінах жыцця. Для тых, хто вывучае матэматыку на павышаным узроўні, дадатковы тэарэтычны матэрыял і заданні па алгебры размешчаны ў вучэбным дапаможніку «Зборнік задач па алгебры, 10 кл.». адаем поспехаў Правообладатель Народная асвета 1. Вызначце, якія з пунктаў A(−5; 8); B(5; −8); (−5; −8); (8; −5); E(5; 8) сіметрычныя адносна: а) восі абсцыс; б) восі ардынат; в) пачатку каардынат. 2. Ці праўда, што: а) 3 ∈ N; б) 0 ∈ N; в) −2,6 ∈ Z; г) −7 ∈ Z; д) 5 ∈ Q; е) 8,(3) ∈ Q; ж) 7 ∈ I; з) p ∈ I; і) 2 ∈ R; к) – 13 ∈ R ? 3. Знайдзіце значэнне выразу ным выглядзе. 4. Скараціце дроб a2 2 a 1 a2 7 a 6 330 10−3 22 102 7 . Вынік запішыце ў стандарт- . 5. Рашыце ўраўненне: а) в) x4 x1 3; 3 2 x1 4 1; x3 x2 9 б) x 4 2x 7; 2 г) 9 x4 8 x2 1 0. 6. Знайдзіце значэнне выразу: а) 18 2 ; 2 б) 3 6 2 2 3 6 ; в) x 2, 7. Рашыце сукупнасць няроўнасцей 2x 1 7. 8. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y 9. Метадам інтэрвалаў рашыце няроўнасць 2 y x 2, 10. Рашыце сістэму ўраўненняў 2xy 3. 11. На рысунку 1 паказаны графік функцыі y = f (x), зададзенай на мностве [−8; 7]. Знайдзіце: а) мноства значэнняў функцыі; б) нулі функцыі; в) прамежкі знакапастаянства функцыі; г) прамежкі манатоннасці функцыі; д) значэнне выразу f (−5) + f (3); е) усе карані ўраўнення f (x) = −2. 21 20 . 125 − 45 4 x2 5 x 1 . x 42 x 5 x 1 Рыс. 1 Правообладатель Народная асвета 0. Па тарэнне курса алге ры 7 9- класа 12. Запішыце формулу функцыі, графік якой атрымліваецца з графіка функцыі y = x зрухам яго: а) на 6 адзінак улева ўздоўж восі абсцыс і на 4 адзінкі ўверх уздоўж восі ардынат; б) на 5 адзінак управа ўздоўж восі абсцыс і на 2 адзінкі ўніз уздоўж восі ардынат; в) на 1 адзінку ўлева ўздоўж восі абсцыс; г) на 9 адзінак уверх уздоўж восі ардынат. 13. У адной сістэме каардынат пабудуйце графікі функцый: y = −(x + 5)2; y = 1 x2 – 4; y = −2(x − 6)2 + 3; y = (x − 1)2 + 2. 2 кая з дадзеных функцый з’яўляецца цотнай 3 – 2 6 4 3 . 2 14. Знайдзіце значэнне выразу 2 15. Вылічыце: (0,0001) −4 10−15. 16. Скараціце дроб x2 − 2 x − 8 x2 − 16 . 17. Рашыце ўраўненне: а) 5 x 1 3 3x 4; б) 4x x 0. x5 x 25 18. Знайдзіце значэнне выразу: а) 27 3 ; 2 2 б) 2 5 1 1 2 5 . 19. Рашыце няроўнасць: а) 7 x 1 4 x 2 ; б) 6 x2 − x − 1 G 0; в) x 22 x 3x 1 0. 20. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y 16 x2 . x2 y 15, 21. Рашыце сістэму ўраўненняў y x 5. 2 22. Пабудуйце парабалу y = −x + 4 і прамую y = x − 2 і знайдзіце каардынаты пунктаў перасячэння гэтых графікаў. 23. Вызначце, рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу 3 – 2 8 – 6 2 . 2 2 Дадатковыя матэрыялы да вучэбнага дапаможніка «Алгебра, 10» можна знайсці на сайце tt :// .a . , курс «Матэматыка. 10 клас». Правообладатель Народная асвета 5 6 ы А А ы 1. Адзінкавая акру нас ь. градусная і радыянная мера адвольнага вугла 1.1. Вызначце, якія з дадзеных пунктаў каардынатнай плоскасці знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад пачатку каардынат: A(−4; 3); B(3; 4); (4; −3); (0,75; −0,4); E 3 ; 2 . 4 5 1.2. Назавіце каардынаты пунктаў, сіметрычных пунктам A(3; 1) і B(−1; 5) адносна: а) восі ардынат; б) восі абсцыс; в) пачатку каардынат. На рысунку 2 адлюстраваны ваганні маятніка і паказаны відарыс графіка функцыі, якая апісвае зрушэнне маятніка ад становішча раўнавагі ў залежнасці ад часу. Вывучэнне працэсу вагання маятніка, а таксама многіх іншых працэсаў у фізіцы (механічныя, электрамагнітныя ваганні, хвалі і г. д.) прыводзіць да неабходнасці разглядаць трыганаметрычныя функцыі рэчаіснага аргумента. Для вывучэння трыганаметрычных функцый выкарыстоўваецца паняцце адзінкавай акружнасці. Адзінкавую акружнасць называюць таксама каардынатнай акружнасцю. y Азна энне. Акружнасць на каардынатнай плоскасці адзінкавага радыуса з цэнтрам у пачатку каардынат (рыс. 3) называецца адзінкавай акру нас ю. t Рыс. 2 y 1 Для таго каб задаць каардынатную акружнасць, трэба пазначыць: пачатак адліку — пункт P0(1; 0); напрамак руху пункта па акружнасці (супраць гадзіннікавай стрэлкі — дадатны, а па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўны (рыс. 4)). Правообладатель Народная асвета R=1 Рыс. 3 x Трыганаметрыя y y + R=1 Р P0(1; 0) x R=1 x – Рыс. 4 Рыс. 5 Пункты на акружнасці будзем атрымліваць y шляхам павароту пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на зададзены вугал. P Пункт Pa (рыс. 5) атрыманы паваротам пункта P0(1; 0) (пазначаецца пункт, які паварочваецца) P0(1; 0) x вакол пачатку каардынат (пазначаецца цэнтр павароту) на вугал a (пазначаецца, на які вугал выконваецца паварот — вугал павароту). Такім чынам, пры павароце пункта P0 вакол паРыс. 6 чатку каардынат на вугал a у зададзеным напрамку атрымліваецца пункт Pa адзінкавай акружнасці. Пр клад . Пабудаваць на адзінкавай акружнасці пункт P120°. ашэнне. Пункт P120° атрымліваем паваротам супра ь гадзіннікавай стрэлкі пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 120° (рыс. 6). Пр клад . Пабудаваць на адзінкавай акружнасці пункт P−120°. ашэнне. Пункт P−120° атрымліваем паваротам па гадзіннікавай стрэлцы пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 120° (рыс. 7). Пр клад . Пабудаваць на адзінкавай акружРыс. 7 насці пункт: б) P630°; в) P990°. а) P360°; ашэнне. а) Паколькі паварот на 360° адпавядае аднаму поўнаму абароту, то неабходна выканаць паварот пункта P0(1; 0) супраць гадзіннікавай стрэлкі на 360° (поўны абарот). Пункт P360° супадае з пунктам P0 (рыс. 8, а). Правообладатель Народная асвета 8 Раздзел 1 а) y б) в) y P0(1; 0) P x y P0(1; 0) x P0(1; 0) x P P Рыс. 8 б) Паколькі 630° = 360° + 270°, то неабходна выканаць адзін поўны абарот і яшчэ паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал 270° (рыс. 8, б). в) Паколькі 990° = 2 360° + 270°, то трэба y выканаць два поўныя абароты і яшчэ паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал 270° (рыс. 8, в). Пр клад . Пабудаваць на адзінкавай P0(1; 0) акружнасці пункт P−1200°. x ашэнне. −1200° = −360° 3 + (−120° , таму трэба выканаць тры поўныя абароты і яшчэ паварот пункта 0(1; 0) вакол пачатку каардынат P–1200° па гадзіннікавай стрэлцы на вугал 120° (рыс. 9). Рыс. 9 Радыяннае вымярэнне вугло Па формуле даўжыні акружнасці = 2pR атрымаем, што даўжыня адзінкавай акружнасці (R = 1) роўна 2p. На адзінкавай акружнасці (рыс. 10) лёгка адзначыць пункты Pp ; Pp ; P3 p ; P2 p , якія адпа2 y π 2 2 вядаюць вуглам павароту 90° (чвэрць акружнасці), 180° (палова акружнасці), 270° (тры чвэрці акружнасці), 360° (уся акружнасць). ікі p ; p; 3 p ; 2 p — гэта радыянная мера 2 2 вуглоў, градусная мера якіх адпаведна роўна 90°, 180°, 270°, 360°. π Правообладатель Народная асвета 2π 3π 2 Рыс. 10 x Трыганаметрыя Вугал у 1 радыян (ад лац. radius — прамень, радыус) — гэта цэнтральны вугал, які абапіраецца на дугу, даўжыня якой роўна радыусу акружнасці. На рысунку 11 адзначаны пункт адзінкавай акружнасці, які адпавядае вуглу ў 1 радыян. Даўжыня дугі адзінкавай акружнасці, якая адпавядае вуглу ў 1 радыян, роўна 1. Паколькі 2p радыян адпавядае 360°, то градусная мера вугла ў 1 радыян роўна: y 1 180 рад; Скарочанае абазначэнне радыяна «рад» часцей за ўсё не пішуць. Каб выразіць градусную меру вугла n° у радыяннай, трэба n° памножыць на . 180 Напрыклад, 30 30 ; 180 6 450 450 5 . 180 2 Каб выразіць радыянную меру вугла a у градуснай, трэба лік a памножыць на 180 . x Рыс. 11 1 рад 360 180 57. 2 н ыя ад 1р 1 рад; 1 рад 180 180 2 180 3 225 225 5 180 4 120 120 9 9 180 405 4 180 5 рад 5 5 57 285 4 Напрыклад, 180 45; 4 4 2 рад 2 180 2 57 114. π На рысунку 12 паказана адпаведнасць паміж градуснай і радыяннай мерай некаторых вуглоў. Пр клад . Пабудаваць на адзінкавай акружнасці пункт P2 p . 3 Правообладатель Народная асвета 2π Рыс. 12 Раздзел 1 ашэнне. Пункт P2 p атрымліваем паваротам супраць гадзіннікавай 3 стрэлкі пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 2 120 (рыс. 13). 3 y y II x I x III IV Рыс. 13 Рыс. 14 У залежнасці ад таго, у якую чвэрць каардынатнай плоскасці пападае пункт Pa, гавораць, што ў такой жа чвэрці знаходзіцца вугал a. Напрыклад, вуглы 53° і 378° знаходзяцца ў першай чвэрці, вуглы 128° і −930° знаходзяцца ў другой чвэрці, вуглы 259° і −140° знаходзяцца ў трэцяй чвэрці, а вугал 337° знаходзіцца ў чацвёртай чвэрці (рыс. 14). Вуглы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°; адпавядаюць межам чвэрцяў. Пр клад . Вызначце, у якой чвэрці знаходзіцца вугал 3 рад. ашэнне. 3 рад ≈ 3 57° = 171°. Паколькі 90° H 171° H 180° H 3 рад H , 2 то дадзены вугал знаходзіцца ў другой чвэрці. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. На адзінкавай акружнасці адзначце пункт, які атрымліваецца пава- ротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: а) 50°; б) −220°; в) −90°; г) 190°. Рашэнне. а) Пункт P50° атрымліваем паваротам супра ь гадзіннікавай стрэлкі пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 50° (рыс. 15, а). б) Пункт P−220° атрымліваем паваротам па гадзіннікавай стрэлцы пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 220° (гл. рыс. 15, а). в) Пункт P−90° атрымліваем паваротам па гадзіннікавай стрэлцы пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 90° (рыс. 15, б). Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя y а) P–220° y б) P50° P0 (1; 0) P0 (1; 0) x x P190° P–90° Рыс. 15 г) Пункт P190° атрымліваем паваротам супра ь гадзіннікавай стрэлкі пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 190° (гл. рыс. 15, б). 2. Пакажыце, што пункты: а) P40° і P400°; б) P−10° і P−730° — адзінкавай акружнасці супадаюць. Рашэнне. а) Паколькі 400° = 360° + 40°, то, для таго каб атрымаць пункт P400°, трэба выканаць адзін поўны абарот і яшчэ паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал 40° (рыс. 16, а). б) −730° = −360° 2 + (−10°) (рыс. 16, б). a) y б) y P ;P P0(1; 0) x P ;P P0(1; 0) x Рыс. 16 3. На адзінкавай акружнасці адзначце пункт, які атрымліваецца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: а) 550°; б) −1300°. Правообладатель Народная асвета P550 Раздзел 1 P550 Рыс. 17 Рашэнне. а) Паколькі 550° = 360° + 190°, то выканаем адзін поўны абарот і яшчэ паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал 190° (рыс. 17, а). б) Паколькі −1300° = −360° 3 + (−220°), то выканаем тры поўныя абароты і яшчэ паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат па гадзіннікавай стрэлцы на вугал 220° (рыс. 17, б). 4. Запішыце ўсе вуглы a, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: а) P90°; б) P−217°. Рашэнне. а) Адзначым на адзінкавай акружнасці пункт P90°. Паколькі, напрыклад, 450° = 90° + 360°, 810° = 90° + 2 360°, −270° = 90° − 360° і да т. п., то пункты адзінкавай акружнасці P450°, P810°, P−270° супадаюць з пунктам P90° адзінкавай 90° акружнасці. Відавочна, што існуе бя+360° ¨360° сконца многа вуглоў a, для якіх пункты адзінкавай акружнасці Pa і P90° супадаюць. Гэтыя вуглы могуць быць атрыманы ў выніку павароту пункта P90° на цэлы лік поўных абаротаў па або супраць гадзіннікавай стрэлкі (рыс. 18), такім чынам, 90 360 n, n Z. Рыс. 18 б) 217 360 n, n Z. 5. Выразіце ў радыянах вугал: а) 150°; б) 20°; в) −80°; г) 2000°. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Рашэнне. а) 150 80 в) 5 ; 180 6 4 ; 180 9 ; 180 9 г) 2000 100 . 180 9 б) 20 6. Выразіце ў градусах вугал: а) p ; б) 2 4 Рашэнне. в) 7 p ; ; г) 4 p ; 18 3 а) 180 90; б) в) г) 2 2 7 7 180 70; 18 18 д) 4 рад 4 57 228 ; е) д) 4; е) −3. 180 45 ; 4 4 4 4 180 240; 3 3 3 рад 3 57 171 . 7. На адзінкавай акружнасці адзначце пункт, які атрымліваецца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: б) 13 p . а) 5 p ; 6 6 Рашэнне. а) Паколькі 5 150, 6 то выканаем паварот пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 150° (рыс. 19, а). б) Паколькі 13 6 (рыс. 19, б). 2 6 , то пункт P13 p супадае з пунктам Pp 6 а) 6 б) 6 O O Рыс. 19 1. Выберыце вуглы, якія адпавядаюць пункту P0(1; 0) адзінкавай акружнасці: а) 0°; б) 180°; в) 90°; г) −360°. 2. кія з дадзеных пунктаў адзінкавай акружнасці супадаюць: а) Pa; б) P 180 ; в) P 360 ; г) P 90 ? Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 1.3. Знайдзіце градусную меру вугла, паказанага на рысунку 20. Рыс. 20 1.4. Начарціце адзінкавую акружнасць і адзначце пункты, якія атрымліваюцца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: а) 150°; 210°; 540°; −45°; −135°; −720°; б) −43°; 137°; −456°; 280°; −189°; 763°. 1.5. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb і Pg, якія адпавядаюць вуглам павароту a, b і g (рыс. 21). Запішыце градусныя меры вуглоў a, b і g, калі вядома, што яны змяшчаюцца ў прамежку: а) ад 0° да 360°; б) ад −360° да 0°; в) ад 720° да 1080°. Рыс. 21 1.6. Запішыце два дадатныя і два адмоўныя вуглы a, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: б) P−330°. а) P45°; 1.7. Сярод вуглоў павароту a, роўных 770°; 480°; −50°; 1560°; −240°; −310°, знайдзіце такія, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: б) P120°. а) P50°; 1.8. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa і Pb, якія адпавядаюць вуглам павароту a і b (рыс. 22) Запішыце ўсе такія вуглы a і b. Правообладатель Народная асвета Рыс. 22 Трыганаметрыя 1.9. Запішыце ўсе вуглы a, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: б) P117°; в) P245°; г) P−107°. а) P180°; 1.10. Выразіце ў градусах вугал, радыянная мера якога роўна: б) p ; а) −p; в) 7 p ; 3 12 г) 3 . 5 1.11. Выразіце ў радыянах вугал: а) 10°; б) −135°; в) −1200°; г) 720°. 1.12. Выразіце ў градусах вугал: а) 3 рад; б) 0,8 рад; в) −6 рад; г) −1,1 рад. 1.13. Начарціце адзінкавую акружнасць і адзначце пункты, якія атрымліваюцца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: ; ; 3 ; 7 ; 9 ; 7 . Колькі розных пунктаў атрымалася 6 4 2 6 4 6 1.14. Вызначце, вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: а) a = 126°; 11 5 е) ; б) a = −189°; в) a = 722°; г) ж) a = 2; з) a = −4; і) a = 7; 3 ; 3 ; 4 д) к) a = −3. 1.15. Вызначце, у якой чвэрці знаходзіцца вугал a, калі: а) H H3 ; 2 б) 2 H H ; в) 3 H 2 H2 ; г) 3 2 H H . 1.16. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa і Pb, якія адпавядаюць вуглам павароту a і b (рыс. 23). Запішыце радыянныя меры вуглоў a і b, калі вядома, што яны змяшчаюцца ў прамежку: а) ад 0 да 2p; б) ад −2p да 0; в) ад 2p да 4p. 1.17. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa і Pb, якія адпавядаюць вуглам павароту a і b (рыс. 24). Запішыце (у радыянах) усе такія вуглы a і b. Рыс. 23 Правообладатель Народная асвета Рыс. 24 Раздзел 1 1.18. Начарціце адзінкавую акружнасць і адзначце пункты, якія атрымліваюцца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал 1 рад; 3 рад; −4 рад; 6 рад. 1.19. Колькі поўных абаротаў утрымлівае вугал, радыянная мера якога роўна: 4p; −6p; 12p; −100p У якім напрамку пункт P0(1; 0) рухаецца па акружнасці ў кожным выпадку 1.20. к размешчаны на адзінкавай акружнасці пункты, атрыманыя паваротам пункта P0(1; 0) на вуглы: а) a і a + 2p; б) a і a + p; в) a і −a 1.21. Вызначце від трохвугольніка, калі радыянная мера двух яго вуглоў роўна 2 p і 3 p . 5 10 1.22. Выразіце ў градусах і радыянах вугал, на які паварочваецца мінутная стрэлка гадзінніка за 15, 20, 30 і 60 мінут. 1.23. Выразіце ў градусах і радыянах вугал, на які на працягу адных сутак паварочваецца: а) гадзіннікавая стрэлка гадзінніка; б) мінутная стрэлка гадзінніка. 1.24. Знайдзіце градусную меру вугла, паказанага на рысунку 25. Рыс. 25 1.25. Начарціце адзінкавую акружнасць і адзначце пункты, якія атрымліваюцца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: а) 120°; −90°; 450°; 240°; б) 38°; 185°; −295°; 724°. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.26. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa і Pb, якія адпавядаюць вуглам павароту a і b (рыс. 26). Запішыце градусныя меры вуглоў a і b, калі вядома, што яны знаходзяцца ў прамежку: а) ад 0° да 360°; б) ад −360° да 0°; в) ад 360° да 720°. 1.27. Запішыце два дадатныя і два адмоўныя вуглы a, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: б) P−60°. а) P225°; 1.28. Запішыце ўсе вуглы a, для якіх пункт Pa супадае з пунктам: а) P90°; б) P−68°; в) P318°; г) P−125°. 1.29. Выразіце ў градусах вугал: а) p ; б) Рыс. 26 11 ; в) 18 4 5 . 2 1.30. Выразіце ў радыянах вугал: а) 18°; б) −60°; в) −1080°. 1.31. Выразіце ў градусах вугал: а) 4 рад; б) −0,5 рад. 1.32. Начарціце адзінкавую акружнасць і адзначце пункты, якія атрымліваюцца паваротам пункта P0(1; 0) вакол пачатку каардынат на вугал: ; 3 ; ; 7 ; 7 . 3 4 6 3 1.33. Вызначце, вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: 7 г) а) a = 213°; б) a = −352°; в) ; ; д) a = 4; е) a = −1; 10 ж) a = 9; 6 з) a = −5. 1.34. Вызначце, у якой чвэрці знаходзіцца вугал a, калі: а) 0° H a H 90°; б) 180° H a H 270°; в) −180° H a H −90°; г) 360° H a H 450°. 1.35. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa і Pb, якія адпавядаюць вуглам павароту a і b (рыс. 27). Запішыце ўсе такія вуглы a і b, выкарыстаўшы радыянную меру. 1.36. Знайдзіце градусную меру ўсіх вуглоў трохвугольніка, калі радыянная мера двух яго вуглоў роўна p і 3 p . 15 15 1.37. Выразіце ў градусах і радыянах вугал, на які на працягу дзвюх гадзін павернецца: а) мінутная стрэлка гадзінніка; б) секундная стрэлка гадзінніка. Правообладатель Народная асвета Рыс. 27 Раздзел 1 1.38. З дадзеных пунктаў выберыце пункт з адмоўнай абсцысай: а) A(−2; 3); б) B(5; −8); в) (0; −7); г) (4; 0). 1.39. Знайдзіце значэнне выразу: а) 9 + 2 3 ; 8 б) 9 − 2 3 ; 8 в) 2 3 − 9; 8 г) −9 − 2 3 ; д) 2 3 9. 8 8 2. Азна энне сінуса і косінуса адвольнага вугла 1.40. З пунктаў A(−4; 0); B(0; 3); пункты, якія ляжаць на восі: а) абсцыс; б) ардынат. (4; 1); (1; 0); 0; 1 2 выберыце 1.41. З пунктаў A(−4; 6); B(3; −7); (−1; −10); (0,1; −0,4); E(−0,3; −0,4); (1; 0,5) выберыце пункты, якія ляжаць у: а) першай чвэрці; б) другой чвэрці; в) трэцяй чвэрці; г) чацвёртай чвэрці. 1.42. Назавіце некалькі пунктаў, якія ляжаць: а) на восі ардынат; б) на восі абсцыс; в) у трэцяй чвэрці; г) у чацвёртай чвэрці. Пры вывучэнні геаметрыі вы разглядалі адносіны старон у прамавугольным трохвугольніку і пазнаёміліся з паняццямі сінуса, косінуса, тангенса і катангенса вострага вугла (рыс. 28). Пабудуем пункт Pa(xa; ya) адзінкавай акружнасці паваротам пункта P0 вакол пачатку каардынат на вугал a (рыс. 29). sin cos tg ctg a; c b; c a; b b a Рыс. 28 Правообладатель Народная асвета Рыс. 29 Трыганаметрыя Разгледзім прамавугольны трохвугольнік a Н, у якім гіпатэнуза a роўна 1 (радыусу адзінкавай акружнасці). Па азначэнні сінуса і косінуса вострага вугла атрымаем: sin , cos 1 . 1 Такім чынам, сінус вугла a роўны ардынаце пункта a, а косінус вугла a роўны абсцысе пункта a. Паколькі ў трыганаметрыі разглядаюцца вуглы a ∈ (−u; +u), то дадзім азначэнне сінуса і косінуса для любога вугла a. Азна энне. інусам вугла a называецца ардыната пункта a, атрыманага паваротам пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a: sin a = ya (рыс. 30). Косінусам вугла a называецца а с ыса пункта a, атрыманага паваротам пункта 0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a: cos a = xa (гл. рыс. 30). ; Рыс. 30 Для таго ка знайс і сінус і косінус адвольнага вугла a, трэ а Пабудаваць пункт акружнасці. a адзінкавай Знайсці ардынату пункта Знайдзіце сінус і косінус вугла a = 215°. a: sin a = ya. Знайсці абсцысу пункта a: cos a = xa. cos 215 sin 215 215 sin 215 y 215 0, 6. cos 215 x 215 0, 8. Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 Значэнні сінуса і косінуса адвольнага вугла з дапамогай адзінкавай акружнасці ў асноўным можна вызначыць толькі прыбліжана. Аднак для некаторых вуглоў значэнні сінуса і косінуса можна вызначыць дакладна. Знойдзем значэнні сінуса і косінуса для вуглоў, якія адпавядаюць пунктам перасячэння акружнасці з восямі каардынат (0; p ; p; 3 p 2 2 адпавядае пункт p , які мае і 2p). Вызначым sin p і cos p . Вуглу 2 2 2 2 каардынаты (0; 1). Па азначэнні сінус вугла роўны ардынаце пункта p , значыць, 2 sin 2 2 1. Косінус вугла се пункта p, 2 г. зн. cos 2 роўны абсцы- Выкарыстаўшы азначэнне сінуса і косінуса вугла a, атрымаем, што: sin 0 = 0; cos 0 = 1; sin 0; cos 1; sin 3 1; cos 3 0; 2 sin 2 0; cos 2 P2π Pπ 0 (рыс. 31). 2 P3 2 Рыс. 31 1. Паколькі ардынаты і абсцысы пунктаў адзінкавай акружнасці змяняюцца ад −1 да 1, то значэнні сінуса і косінуса адвольнага вугла належаць прамежку [−1; 1], г. зн. 1 sin 1 і 1 cos 1. Напрыклад, высветлім, ці можа sin a прымаць значэнні, роўныя: 1 ; 3 ; − 2; − 0,7. 1 sin 1 1 cos 1 3 Значэнні сінуса адвольнага вугла належаць адрэзку [−1; 1], значыць, sin a можа прымаць значэнні, роўныя 1 і −0,7, бо 1 3 0,7 1; 1 . Паколькі 3 1; 1 і 2 3 1; 1 і 1; 1 , то sin a не можа пры- маць значэнні, роўныя 3 і −2. Па азначэнні сінуса і косінуса вугла a, сінус вугла a роўны ардынаце пункта Pa, а косінус вугла a роўны абсцысе гэтага пункта. Значыць, знакі sin a і cos a супадаюць са знакамі ардынаты і абсцысы пункта Pa адпаведна. Пр клад . Вызначце знак выразу: а) sin 130°; б) cos 258°; в) sin (−150°); г) cos (−340°). ашэнне. а) Паколькі 130° — вугал другой чвэрці (рыс. 32), а ардынаты пунктаў адзінкавай акружнасці, якія знаходзяцца ў другой чвэрці, дадатныя, то sin 130° G 0. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя б) Паколькі 258° — вугал трэцяй чвэрці (гл. рыс. 32), а абсцысы пунктаў адзінкавай акружнасці, якія знаходзяцца ў трэцяй чвэрці, адмоўныя, то cos 258° H 0. в) Паколькі −150° — вугал трэцяй чвэрці (гл. рыс. 32), а ардынаты пунктаў адзінкавай акружнасці, якія знаходзяцца ў трэцяй чвэрці, адмоўныя, то sin (−150°) H 0. г) Паколькі −340° — вугал першай чвэрці (гл. рыс. 32), а абсцысы пунктаў адзінкавай акружнасці, якія знаходзяцца ў першай чвэрці, Рыс. 32 дадатныя, то cos (−340°) G 0. З геаметрыі нам вядомы значэнні сінусаў і косінусаў вострых вуглоў (гл. табл.). Градусы 30° 45° 60° Радыяны p 6 p 4 p 3 sin a 1 2 2 2 3 2 cos a 3 2 2 2 1 2 З дапамогай гэтых значэнняў можна знаходзіць значэнні сінусаў і косінусаў некаторых іншых вуглоў a. Пр клад . Вылічыце: б) sin 120° і cos 120°; а) sin ( 60 ) і cos( 60 ); в) sin 240° і cos 240°; г) sin 420° і cos 420°. ашэнне. а) Адзначым на адзінкавай акружнасці пункт P60°. Паколькі вядома, што sin 60 3 , 2 на а cos 60 1 , 2 то ардыната пункта P60° роў- 3 , а абсцыса гэтага пункта роўна 1 . 2 2 Пункты P60° і P−60° адзінкавай акружнасці сіметрычныя адносна восі абсцыс (рыс. 33), значыць, іх ардынаты (сінусы вуглоў 60° і −60°) процілеглыя, а абсцысы (косінусы вуглоў 60° і −60°) роўныя. Рыс. 33 Такім чынам, sin ( 60 ) 3 , а cos( 2 Правообладатель Народная асвета 60 ) 1 . 2 Раздзел 1 Рыс. 34 Рыс. 35 Рыс. 36 б) Паколькі 120° = 180° − 60°, то пункты P60° і P120° адзінкавай акружнасці сіметрычныя адносна восі ардынат (рыс. 34). Тады іх ардынаты (сінусы вуглоў 60° і 120°) роўныя, а абсцысы (косінусы вуглоў 60° і 3 1 120°) процілеглыя. Значыць, sin 120 , а cos 120 . 2 2 в) Пункты P60° і P240° адзінкавай акружнасці сіметрычныя адносна пачатку каардынат (рыс. 35), паколькі 240° = 180° + 60°. Тады і іх 3 , 2 ардынаты процілеглыя, і іх абсцысы процілеглыя, г. зн. sin 240 1 а cos 240 . 2 г) Паколькі 420° = 60° + 360°, то пункты P60° і P420° адзінкавай акружнасці супадаюць (рыс. 36), а значыць, іх каардынаты роўныя. Тады 3 , а cos 420 2 sin 420 1 . 2 Пр клад . Вылічыце: а) cos 9 p ; 4 б) cos 3 4 ашэнне. а) Паколькі 9 4 9π . 8 2 4 4 , то пункт P9 p адзінкавай акружнасці супадае з пунк4 3π 4 там Pp (рыс. 37). 4 Паколькі cos 4 2 , то cos 9 4 2 2 . 2 Рыс. 37 б) Пункты P 3 і Pp адзінкавай акружнасці сіметрычныя адносна пачат4 4 ку каардынат (гл. рыс. 37), а значыць, іх абсцысы (косінусы вуглоў p і 4 адрозніваюцца толькі знакам. Паколькі cos 4 2 , 2 Правообладатель Народная асвета то cos 3 4 3 ) 4 2 . 2 Трыганаметрыя Пр клад . Пабудуйце адзін з вуглоў, калі: 1 б) cos а) sin 0, 8. ; 4 sin , то на восі ардынат адзначым 1 . 4 Правядзём прамую, паралельную восі абсцыс, і знойдзем на адзінкавай ашэнне. а) Паколькі y акружнасці пункты Pa1 і Pa2, ардыната кожнага з якіх роўна 1 . Адзна4 чым адзін з вуглоў, які адпавядае пунктам Pa1 або Pa2 (рыс. 38, а). cos , то на восі абсцыс адзначым 0,8. Правядзём б) Паколькі x прамую, паралельную восі ардынат, і знойдзем на адзінкавай акружнасці пункты Pa1 і Pa2, абсцыса кожнага з якіх роўна 0,8. Адзначым адзін з вуглоў, які адпавядае пунктам Pa1 або Pa2 (рыс. 38, б). ) ) 0 (1; 0) 0 (1; 0) 1 ; 5 2 6 5 Рыс. 38 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты . Выкарыстаўшы азначэнне сінуса і косінуса адвольнага вугла, знайдзіце sin a і cos a. Рашэнне. Сінусам вугла a называецца ардыната пункта Pa, атрыманага паваротам пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a. Па ўмове ардыната пункта Pa роўна − 2 6 , значыць, sin 2 6 . 5 Правообладатель Народная асвета 5 Раздзел 1 Косінусам вугла a называецца абсцыса пункта Pa, атрыманага паваротам пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a. Па ўмове абсцыса пункта Pa роўна 1 , значыць, 5 1 cos . 5 2. Калі sin a = −1, то вугал a можа быць P–270 роўны: а) 180°; б) 90°; в) −90°; г) −180°; д) −270°. P180 P–180 Выберыце правільны адказ. Рашэнне. Паколькі сінусам вугла a называецца ардыната пункта Pa, атрыманага паваротам пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a, то трэба знайсці пункт адзінкавай акружнасці, ардыната якога роўна −1. Гэты пункт ляжыць на восі ардынат, і з дадзеных вуглоў яму адпавядае вугал a = −90° (рыс. 39). Правільны адказ в). P90 (0; –1) P–90 Рыс. 39 (0; –1) P450 3. Калі cos a = 0, то вугал a можа быць роўны: P–360 P180 а) 180°; б) 360°; в) 450°; P360 P900 г) 900°; д) −360°. Выберыце правільны адказ. Рашэнне. Паколькі косінусам вугла a называецца абсцыса пункта Pa, атрыманаРыс. 40 га паваротам пункта P0(1; 0) адзінкавай акружнасці вакол пачатку каардынат на вугал a, то трэба знайсці пункт адзінкавай акружнасці, абсцыса якога роўна 0. Гэты пункт ляжыць на восі ардынат, і з дадзеных вуглоў яму адпавядае вугал a = 450° (рыс. 40). Правільны адказ в). 4. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 180° + sin 90°; б) cos 2 sin 3 2 . Рашэнне. а) Абсцыса пункта P180°, які адпавядае вуглу 180°, роўна −1 (рыс. 41), значыць, cos 180° = −1. Ардыната пункта P90°, які адпа- Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя вядае вуглу 90°, роўна 1 (гл. рыс. 41), г. зн. sin 90° = 1. Значыць, cos 180 sin 90 1 1 0. Рыс. 42 Рыс. 41 б) cos 2 0, а sin 3 2 1 (рыс. 42), тады cos 2 sin 3 2 = 0 − 1 = −1. 5. Ці можа cos a быць роўным: а) 1,2; б) 0,89; г) − 3 ? в) − 5; 7 Рашэнне. Паколькі 1 cos 1, то cos a: а) не можа быць роўным 1,2, бо 1,2 1; 1 ; б) можа быць роўным 0,89, бо 0, 89 1; 1 ; в) не можа быць роўным − 5, бо 5 г) можа быць роўным − 3 , бо 7 1; 1 . 6. Вызначце знак выразу: а) cos (−49°); б) cos (−297°); 3 7 1; 1 ; в) sin 18 p ; 19 г) sin 6. Рашэнне. а) cos (−49°) G 0, паколькі −49° — вугал чацвёртай чвэрці, а косінус у чацвёртай чвэрці дадатны; б) cos (−297°) G 0, паколькі −297° — вугал першай чвэрці, а косінус у першай чвэрці дадатны; в) sin 18 p G 0, паколькі 18 p — вугал другой чвэрці, а сінус у другой 19 19 чвэрці дадатны; Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 г) sin 6 H 0, паколькі 6 радыян — вугал чацвёртай чвэрці, а сінус у чацвёртай чвэрці адмоўны. 7. Параўнайце: а) sin 122° і sin 170°; б) cos p і cos 10 p . 8 9 Рашэнне. а) Адзначым на адзінкавай акружнасці пункты, якія ад- павядаюць вуглам 122° і 170°, і параўнаем ардынаты гэтых пунктаў. Ардыната пункта P122° большая за ардынату пункта P170° (рыс. 43), значыць, sin 122° G sin 170°. б) Параўнаем абсцысы пунктаў адзінкавай акружнасці 10 p і p . 9 Паколькі абсцыса пункта (рыс. 44), то cos p G cos 10 p . 8 p 8 большая за абсцысу пункта 8 10 p 9 9 122 122 10π 9 10π 9 Рыс. 43 Рыс. 44 8. З дапамогай адзінкавай акружнасці знайдзіце значэнне: а) sin 5 p ; б) cos 5 p . 6 6 Рашэнне. а) Ардыната пункта P5 p роўна ардынаце пункта sin 5 6 sin 1 . 2 6 Pp 6 (рыс. 45), таму 6 б) Абсцыса пункта P5 p процілеглая абсцысе пункта Pp P0 (1; 0) 6 (гл. рыс. 45), таму 6 cos 5 6 cos 6 3 . 2 Правообладатель Народная асвета Рыс. 45 Трыганаметрыя 1. Абсцыса пункта Pa адзінкавай акружнасці роўна 0,3. Тады правільная роўнасць: а) sin б) sin в) cos г) cos 0, 3; 0, 3; 0, 3; 0, 3. Выберыце правільны адказ. 3; 4 і 1 ; 15 . Вы2. Вядома, што вуглам a і b адпавядаюць пункты 5 5 4 4 берыце ўсе правільныя роўнасці: 15 . 4; 3; 1; б) sin в) cos г) cos а) sin 5 5 4 4 1.43. Выкарыстаўшы азначэнне сінуса і косінуса адвольнага вугла, знайдзіце sin a і cos a, калі вядома, што пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты: а) 3 4 ; ; 5 5 в) 1 ; 7 4 3 7 ; б) 5 ; 13 12 ; 13 г) 0, 8; 0, 6 . У якой каардынатнай чвэрці размешчаны кожны пункт 1.44. З дапамогай адзінкавай акружнасці (рыс. 46) знайдзіце прыбліжаныя значэнні сінуса і косінуса вугла: а) 40°; б) 170°; в) 250°; г) −70°. 1.45. З дапамогай адзінкавай акружнасці (рыс. 47) знайдзіце прыбліжанае значэнне выразу: а) sin 2 p ; 5 б) cos 8 ; в) sin 13 p ; г) cos 0,6p. 10 1.46. Для некаторага вугла a вядома, што sin a = 1. Тады вугал a можа быць роўным: а) 90°; б) 270°; в) −180°; г) 450°. Выберыце правільны адказ. Назавіце яшчэ два дадатныя і два адмоўныя вуглы a, для якіх правільная роўнасць sin a = 1. π 2 5π π 2π 7π 4π Рыс. 46 3π Рыс. 47 Правообладатель Народная асвета 5π Раздзел 1 1.47. Адзначце на адзінкавай акружнасці пункты, якія адпавядаюць усім такім вуглам a, для кожнага з якіх справядлівая роўнасць: а) sin a = 0; б) sin г) cos a = 1; д) cos 1 ; 2 2 ; 5 1 ; 3 3 . 5 в) sin е) cos 1.48. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 180° − sin 270°; б) sin 0° − cos 0°; в) 2cos (−180°) − sin 360°; г) sin (−180°) + 5sin (−270°); д) −sin 90° + 3cos 0°; е) 8sin 180° − 6cos (−270°). 1.49. Вылічыце: а) cos 360° cos 30° sin 45°; в) cos б) sin 2 90 90 cos 60 г) sin 450 cos 30 ; sin 30 ; sin2 45 . cos 60 1.50. Знайдзіце значэнне выразу: а) sin 2 в) sin 3 2 д) sin ; б) cos sin 3 2 2 cos ; г) 2 sin 2 cos cos cos 2 ; е) sin sin 2 2 ; ; 8 sin 2 cos 2 . 1.51. Вылічыце: а) sin 3 sin ; в) sin 2 2 б) 6 sin 4 ; cos 2 cos ; 4 г) 3 cos 5 sin 6 cos . 3 1.52. Ці праўда, што: а) sin 2 в) cos sin ; б) sin 3 sin cos ; г) cos cos 3 ? 2 2 2 2 ; y 2 1.53. кія значэнні можа прымаць сінус адвольнага вугла З лікаў 3 ; −5; 1,2; −0,8; 7 3 ; 0; 1 выберыце тыя, якім можа быць P P 5 роўны sin a. P 1.54. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb, Pg і Pj, якія адпавядаюць вуглам павароту a, b, g і j (рыс. 48). Параўнайце з нулём значэнні сінуса і косінуса гэтых вуглоў. Правообладатель Народная асвета P Рыс. 48 x Трыганаметрыя 1.55. Вызначце знак выразу: 2 9 а) cos 811°; б) sin в) sin 4; г) cos 6. ; 1.56. Вызначце знак выразу: а) cos 451° sin (−92° ; б) sin 7 9 cos 1,1 . 1.57. Вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: а) sin a G 0 і cos a G 0; б) sin a H 0 і cos a G 0 1.58. Параўнайце: а) sin 40° і sin 50°; в) sin (−20°) і sin (−40°); б) sin 100° і sin 110°; г) sin 192° і sin 48°. 1.59. Параўнайце: а) cos p і cos 5 p ; 8 в) cos б) cos 0,7p і cos 0,8p; 8 3 10 7 ; 10 і cos 1.60. Параўнайце: а) sin 3 і sin p; г) cos 1,1p і cos 0,1p. б) cos 4 і cos 5; 1.61. Ці праўда, што: а) sin (−45°) = −sin 45°; в) sin 120° = sin 60°; в) sin 1 і cos 1. б) cos (−60°) = −cos 60°; г) cos 135° = −cos 45° 1.62. З дапамогай адзінкавай акружнасці знайдзіце: а) sin (−30°) і cos (−30°); б) sin 150° і cos 150°; в) sin 210° і cos 210°; г) sin 390° і cos 390°. 1.63. З вуглоў 60°; 120°; 300°; −60°; −210°; 420°; −780° выберыце тыя, косінусы якіх роўны 1 . 2 1.64. Пабудуйце адзін з вуглоў a, для якога: а) sin a = 0,6; 2 . 3 б) cos 1.65*. З дапамогай адзінкавай акружнасці і значэнняў сінусаў і косінусаў вуглоў p , p і p (гл. табл. на с. 21) вылічыце: 6 4 3 а) sin 3 p ; 4 б) cos 7 p ; 5 3 г) cos 19 p . 6 в) sin 6 ; Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 1.66. Выкарыстаўшы азначэнне сінуса і косінуса адвольнага вугла, знайдзіце sin a і cos a, калі вядома, што пункт Pa адзінкавай акружнасці 0, 6; 0, 8 ; б) мае каардынаты: а) 8 ; 17 15 . 17 У якой каардынатнай чвэрці размешчаны кожны пункт 1.67. З дапамогай адзінкавай акружнасці (гл. рыс. 46) знайдзіце прыбліжаныя значэнні сінуса і косінуса вугла: а) 70°; б) 220°; в) −80°. 1.68. З дапамогай адзінкавай акружнасці (гл. рыс. 47) знайдзіце прыбліжанае значэнне выразу: а) cos p ; 3 5 б) sin 5 в) cos 11p . ; y 9 P 1.69. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb, Pg і Pj, якія адпавядаюць вуглам павароту a, b, g і j (рыс. 49). Знайдзіце: а) sin a; б) cos j; в) sin g; г) cos g; д) sin b; е) cos b. P P 1.70. Назавіце два дадатныя і два адмоўныя вуглы a, для якіх правільная роўнасць sin a = 0. P 1.71. Адзначце на адзінкавай акружнасці пункты, якія адпавядаюць усім вуглам a, для кожнага з якіх справядлівая роўнасць: 1 в) sin a = −1; ; а) cos a = 0; б) cos Рыс. 49 г) sin 2 1.72. Знайдзіце значэнне выразу: а) sin 90 cos 180 ; б) cos в) sin 180 5 cos 270 ; д) cos 0° sin 45° cos 45°; 180 2 sin 270 ; г) cos 180 cos 60 ; е) sin sin2 60 . 90 1.73. Вылічыце: а) sin 2 cos 2 в) cos д) sin 3 2 2 ; б) sin 3 6 cos 3 ; 2 г) cos p cos p ; 6 2 cos ; cos 2 sin ; 3 е) sin cos2 x 4 . Правообладатель Народная асвета 1 . 4 Трыганаметрыя 1.74. кія значэнні можа прымаць косінус адвольнага вугла Сярод лікаў 2 ; −3; 2,4; 5 −0,3; 2 ; 1; 1 выберыце тыя, якім можа y P P 7 быць роўны cos a. 1.75. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb, Pg і Pj, якія адпавядаюць вуглам a, b, g і j (рыс. 50). Параўнайце з нулём значэнні сінуса і косінуса гэтых вуглоў. 1.76. Вызначце знак выразу: 12 17 а) cos 1125°; б) sin в) sin 3; г) cos 15 p . P P x Рыс. 50 ; 8 1.77. Параўнайце: а) sin 130° і sin 140°; б) cos 40° і cos 50°; в) cos (−80°) і cos (−81°); г) sin (−22°) і sin (−43°). 1.78. Вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: б) sin a H 0 і cos a H 0 ? а) sin a G 0 і cos a H 0; 1.79. З дапамогай адзінкавай акружнасці знайдзіце: а) sin 45 і cos 45 ; б) sin135° і cos 135°; в) sin225° і cos 225°; г) sin 405° і cos 405°. 1.80. З вуглоў 30 ; 120 ; 60 ; 210 ; 330 ; 750 сінусы якіх роўны 1 . 2 1.81. Пабудуйце адзін з вуглоў a, для якога: а) cos 1.82*. Вылічыце: а) cos 2 p ; 3 б) sin 7 p ; в) sin 6 1.83. Для функцыі g x x4 5 x2 x 1 4 2 7 3 ; выберыце тыя, 3 ; б) sin a = −0,2. 4 г) cos 21p . 4 знайдзіце, калі гэта магчыма: а) (0); б) (−1); в) (−2); г) (1). 1.84. Выберыце функцыю, графік якой атрыманы з графіка функцыі y = −7x2 зрухам яго на 4 адзінкі ўніз уздоўж восі ардынат: б) y = −7(x + 4)2; а) y = −7x2 + 4; 2 в) y = −7x − 4; г) y = −(7x + 4)2. Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 3. Азна энне тангенса і катангенса адвольнага вугла 1.85. З дадзеных выразаў выберыце тыя, абсягі вызначэння якіх супадаюць: а) г) 4 ; x x 2 12 x 1 x2 + 1 ; д) 3x ; 7 x + 14 в) 82 б) x3 − 4x2 + 2; x 15 . x2 − 4 1.86. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y x 1 x 3 . 1.87. З дадзеных функцый выберыце функцыі, якія дасягаюць найменшага значэння пры x = 1: б) (x) = −3(x − 1)2; а) (x) = 2(x − 1)2; в) (x) = (x − 1)2 − 5; г) (x) = (x − 1)2 + 5. y Пабудуем пункт Pa(xa; ya) адзінкавай акружнасці паваротам пункта P0 вакол пачатку каардынат на вугал a. Разгледзім прамавугольны трохвугольнік a Н, у якім гіпароўна 1 (радыусу адзінкавай тэнуза a акружнасці), а катэты роўны: cos , sin (рыс. 51). Па азначэнні тангенса вострага вугла атрыsin cos маем: tg Р H P0(1; 0) x Рыс. 51 . Азна энне. Тангенсам вугла a называецца адносіна сінуса вугла a sin да косінуса вугла a: tg . cos Напрыклад, tg 0 = sin 0 = cos 0 0 = 1 0, tg sin 6 cos 1 2 6 3 2 6 1 . 3 Выкарыстаўшы азначэнне тангенса вугла і значэнні сінуса і косінуса гэтага вугла, знойдзем таксама значэнні тангенсаў вуглоў p p : tg sin 4 cos 2 2 4 2 2 1, tg 4 Паколькі cos 2 sin 3 cos 3 3 2 1 2 3. 3 0, то tg p не існуе. 2 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Праз пункт P0 правядзём прамую, перпендыкулярную восі абсцыс, і прадоўжым прамень OPa да перасячэння з гэтай прамой у пункце A (рыс. 52). Атрымаем трохвугольнік OAP0, падобны трохвугольніку OPaH. З падобнасці трохвугольнікаў OAP0 і запішам роўнасць адносін іх стаOPa рон: 0 0 AP0 sin cos , або AP0 1 sin cos y A Р P x H . Паколькі tg , то ардыната пункта A роўна тангенсу вугла a. Прамая, перпендыкулярная восі абсцыс, Рыс. 52 якая праходзіць праз пункт P0, называецца воссю тангенса . Для таго ка знайс і тангенс адвольнага вугла a з дапамогай восі тангенса , трэ а Пабудаваць пункт Pa на адзінкавай акружнасці. Знайдзіце тангенс вугла a = 52°. y Прадоўжыць прамую OPa да перасячэння з воссю тангенсаў. tg52 A Р Знайсці ардынату пункта перасячэння прамой OPa з воссю тангенсаў. 2 1 P0(1; 0) x tg 52° ≈ 1,3. Значэнне тангенса адвольнага вугла з дапамогай восі тангенсаў можна знайсці толькі прыбліжана. Для знаходжання значэння тангенса адвольнага вугла карыстаюцца таксама чатырохзначнымі табліцамі значэнняў тангенса (сінуса, косінуса)* або калькулятарамі. Метады вышэйшай матэматыкі дазваляюць вылічваць значэнні тангенса (сінуса, косінуса) з любой зададзенай ступенню дакладнасці. * Брад с В. М. етырехзначные математ ческ е табл цы. — 13-е М. : Дрофа, 2010. — 96 с. Правообладатель Народная асвета зд., стер. — Раздзел 1 Пр клад . Вызначце з дапамогай восі тангенсаў: а) tg 40°; б) tg 160°; ашэнне. а) tg 40° ≈ 0,8 (рыс. 53); в) tg 6 0, 6 (рыс. 54); в) tg 6 г) tg 4 p . ; 3 б) tg 160° ≈ −0,4 (гл. рыс. 53); г) tg 4 3 1,7 (гл. рыс. 54). A4 tg 4 3 3 Р P4 tg 6 A 6 6 3 Рыс. 53 Рыс. 54 Пр клад . З дапамогай восі тангенсаў параўнайце значэнні выразаў tg 30° і tg 160°. ашэнне. Адзначым на восі тангенсаў пункты, якія адпавядаюць вуглам 30° і 160° (рыс. 55), і параўнаем ардынаты гэтых пунктаў. Ардыната пункта A30° большая за ардынату пункта A160°, значыць, tg 30° G tg 160°. Для вуглоў p 3p 5p ; ; ; ... 2 2 2 y A 30 tg30 P160 P30 tg160 P0(1; 0) x A 160 тангенс не існуе, паколькі косінусы гэтых вуглоў роўны нулю. Напрыклад, tg 630°, tg 2 не існуюць. Рыс. 55 Пабудуем пункт a(xa; ya) адзінкавай акружнасці паваротам пункта 0 вакол пачатку каардынат на вугал a. Разгледзім прамавугольны трохвугольнік a Н, у якім гіпатэнуза a роўна 1 (радыусу адзінкавай Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя y акружнасці), а катэты роўны: cos , sin (рыс. 56). Па азначэнні катангенса вострага вугла атрымаем: Р H Азна энне. Катангенсам вугла a называецца адносіна косінуса вугла a да сінуса вугла a: P0(1; 0) x Рыс. 56 Напрыклад, Паколькі tg sin cos , а то Выкарыстаем атрыманую роўнасць і знойдзем значэнні катангенсаў 1 1 вуглоў p і p : . 4 3 tg 3 3 Паколькі sin 0 = 0, то ctg 0 не існуе. Знойдзеныя значэнні сінуса, косінуса, тангенса і катангенса вуглоў 0°; 30°; 45°; 60° і 90° запішам у табліцу. Градусы 0° 30° 45° 60° 90° Радыяны 0 p 6 p 4 p 3 p 2 sin a 0 1 2 2 = 1 2 2 3 2 1 cos a 1 3 2 2 = 1 2 2 1 2 0 tg a 0 3 = 1 3 3 1 3 не існуе ctg a не існуе 3 1 3 = 1 3 3 0 Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 Пр клад . Знайдзіце значэнне выразу ctg 45° + ctg 30° − tg 60° 2 sin 30 . ашэнне. y x H Праз пункт P90°(0; 1) правядзём прамую, перпендыкулярную восі ардынат, і прадоўжым прамень OPa да перасячэння з гэтай прамой у пункце A (рыс. 57). Атрымаем трохвугольнік OAP90°, падобны трохвугольніку PaOH. З падобнасці трохвугольнікаў OAP90° і PaOH запішам роўнасць адносін іх старон: 90 , або 90 AP90 1 AP Рыс. 57 cos sin . Паколькі то абсцыса пункта A роўна катангенсу вугла a. Прамая, перпендыкулярная восі ардынат, якая праходзіць праз пункт P90°, называецца воссю катангенса . Для таго ка знайс і катангенс адвольнага вугла a з дапамогай восі катангенса , трэ а Пабудаваць пункт Pa на адзінкавай акружнасці. Знайдзіце катангенс вугла a = 24°. y A24 2 Прадоўжыць прамую OPa да перасячэння з воссю катангенсаў. P24 Знайсці абсцысу пункта перасячэння прамой OPa з воссю катангенсаў. 1 P0(1; 0) ctg24 x ctg 24° ≈ 2,2. Значэнне катангенса адвольнага вугла з дапамогай восі катангенсаў можна знайсці толькі прыбліжана. Пр клад . Вызначце з дапамогай восі катангенсаў: а) ctg 40°; б) ctg 140°; в) ctg 6 ; г) ctg 4 p . Правообладатель Народная асвета 3 Трыганаметрыя ашэнне. а) ctg 40° ≈ 1,2 (рыс. 58); б) ctg 140° ≈ −1,2 (гл. рыс. 58); в) ctg г) ctg 4 6 1,7 (рыс. 59); 0, 6 (гл. рыс. 59). 3 A 140 A 40 140 40 140 Рыс. 58 A 4π A 6 ctg 3 6 P 6 Рыс. 59 Пр клад . З дапамогай восі катангенсаў параўнайце значэнні выразаў ctg 2 p і ctg 2 p . 5 15 ашэнне. Адзначым на восі катангенсаў пункты, якія адпавядаюць вуглам 2p 5 і 2p 15 (рыс. 60), і параўнаем абсцысы гэтых пунктаў. Абсцыса пункта А 2 p большая за абсцысу пун15 кта А 2 p , значыць, p G p y A2 A2 5 15 P2 5 P2 15 ctg 2 5 P0(1; 0) Рыс. 60 5 Правообладатель Народная асвета ctg 2 15 x Раздзел 1 Для вуглоў 0, p, 2p і г. д. катангенс не існуе, паколькі сінусы гэтых вуглоў роўны нулю. Напрыклад, ctg 900°, ctg (−3p) не існуюць. Пр клад . З дапамогай восі: а) тангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, тангенс якога роўны 3 ; 4 б) катангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, катангенс якога роўны − 5 . 4 ашэнне. а) Адзначым на восі тангенсаў пункт Aa, ардыната якога 3 (рыс. 61). роўна 4 Злучым гэты пункт з пачаткам каардынат. Знойдзем адпаведны пункт Pa на адзінкавай акружнасці. Адзначым адзін з вуглоў, які адпавядае гэтаму пункту (гл. рыс. 61). Адзначым на восі катангенсаў пункт Aa, абсцыса якога роўна − 5 б) 4 (рыс. 62). Злучым гэты пункт з пачаткам каардынат. Знойдзем адпаведны пункт Pa на адзінкавай акружнасці. Адзначым адзін з вуглоў, які адпавядае гэтаму пункту (гл. рыс. 62). y 1 3 4 A P 1 –1 x –1 –1 Рыс. 61 Рыс. 62 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты 4 3 ; . 5 5 Выкарыстаўшы азначэнне тангенса і катангенса адвольнага вугла, знайдзіце tg a і ctg a. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Рашэнне. Паколькі пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты 4 3 ; , то sin 5 5 3 , а cos 5 sin cos Па азначэнні тангенса: tg 4 . 5 , г. зн. tg Па азначэнні катангенса: 3 5 4 5 3 . 4 значыць, 2. Знайдзіце значэнне выразу Рашэнне. 2 3 3 3 3. 6 6 3. Знайдзіце, калі гэта магчыма, значэнне выразу: а) tg p; б) ctg 2p; Рашэнне. а) tg sin cos 5 2 в) tg 0 1 ; г) ctg (−8,5p). 0; б) ctg 2p не існуе, паколькі sin 2p = 0; в) tg 5 2 г) ctg 8,5 не існуе, паколькі cos cos 8,5 sin 8,5 0 1 5 2 0; 0. 4. Калі tg a = 0, то a можа быць роўны: а) 180°; б) 90°; в) −90°; Выберыце правільныя адказы. г) −180°; y Рашэнне. Паколькі тангенсам вугла a называецца адносіна сінуса вугла a да косінуса вугла a, то трэба знайсці тыя вуглы a, сінус якіх роўны нулю. Сярод прапанаваных вуглоў гэта вуглы −180° і 180°. Можна таксама выкарыстаць вось тангенсаў: знайсці пункт на восі тангенсаў, у якога ардыната роўна нулю (рыс. 63), і вызначыць адпаведныя вуглы. Правільныя адказы а) і г). д) −270°. (0; 1) 180 (–1; 0) –180 (0; –1) Рыс. 63 Правообладатель Народная асвета (1; 0) x Раздзел 1 y y A 330 A 290 ctg330 ctg290 x x Р330 Р290 Рыс. 65 5. Размясціце ў парадку нарастання: tg 110°; tg 140° і tg 230°. Рашэнне. Адзначым на восі тангенсаў пункты, якія адпавядаюць вуглам 110°, 140° і 230° (рыс. 64), і параўнаем ардынаты гэтых пунктаў. Паколькі ардыната Рыс. 64 пункта A110° меншая за ардынату пункта A140°, а ардыната пункта A140° меншая за ардынату пункта A230°, то tg 110° H tg 140° H tg 230°. 6. Ці праўда, што °G ° Рашэнне. Адзначым на восі катангенсаў пункты, якія адпавядаюць вуглам 290° і 330° (рыс. 65), і параўнаем абсцысы гэтых пунктаў. Паколькі абсцыса пункта А290° большая за абсцысу пункта А330° , то °G няроўнасць ° правільная. 7. Вызначце знак выразу: а) tg 118°; б) ctg (−149°). Рашэнне. а) П е р ш ы с п о с а б. Па азначэнні tg 118 sin 118 . cos 118 тангенса: Паколькі вугал 118° знаходзіцца ў другой чвэр- ці, то sin 118° G 0, а cos 118° H 0, значыць, tg 118° H 0. Д р у г і с п о с а б. Адзначым на восі тангенсаў пункт, які адпавядае вуглу 118° (рыс. 66). Ардыната пункта A118° роўна tg 118°. Паколькі пункт A118° мае адмоўную ардынату, то tg 118° H 0. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя y y A –149 Р118 x x ctg(–149 P–149 Рыс. 67 A118 tg118 б) П е р ш ы с п о с а б. Па азначэнні катангенса: Рыс. 66 Паколькі ву- гал −149° знаходзіцца ў трэцяй чвэрці, то sin 149 H 0 і cos 149 H 0, значыць, G Д р у г і с п о с а б. Адзначым на восі катангенсаў пункт, які адпавядае вуглу −149° (рыс. 67). Абсцыса пункта A−149° роўна ctg (−149°). Паколькі пункт A−149° мае дадатную абсцысу, то G 8. Вызначце знак здабытку Рашэнне. Паколькі вугал 3 радыяны знаходзіцца ў другой чвэрці, а вугал 4 радыяны — у трэцяй, то H а tg 4 G 0, значыць, 1. На адзінкавай акружнасці зададзены пункт Pa(0; −1). Тады для вугла a правільнымі з’яўляюцца роўнасці: а) sin a = 0; б) cos a = 0; в) tg a = 0; г) ctg a = 0; д) ctg a = −1. Выберыце правільны адказ. 2. На адзінкавай акружнасці зададзены пункт Pa(0,6; 0,8). Тады для вугла a правільнымі з’яўляюцца роўнасці: 4; а) sin б) cos в) tg г) д) 0, 6; 0, 6; 3 Выберыце правільны адказ. Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 1.88. Выкарыстаўшы азначэнне тангенса і катангенса адвольнага вугла, знайдзіце tg a і ctg a, калі вядома, што пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты: а) 5 ; 13 12 ; 13 в) 0, 8; 1 4 3 ; 7 7 б) 0, 6 ; ; 3 1 ; . 2 2 г) 1.89. З дапамогай восі тангенсаў (рыс. 68) знайдзіце прыбліжаныя значэнні тангенса вугла: а) 25°; б) 160°; в) 230°; г) −55°. y 1 y 1 P160 P35 P25 –1 1 P–160 P0,7π P7π Pπ 9 5 –1 1 x x 8 P230 P13π P–55 –1 10 Рыс. 68 –1 Рыс. 69 1.90. З дапамогай восі катангенсаў (рыс. 69) знайдзіце прыбліжанае значэнне выразу: а) ctg p ; б) ctg 5 4 9 в) ctg 13 p ; ; г) ctg 0,7p. 10 1.91. Знайдзіце значэнне выразу: а) в) 6tg 6 б) sin2 4 cos 3 4 ctg 6 sin ; 3 9 ctg . 3 1.92. З дапамогай адзінкавай акружнасці знайдзіце значэнне выразу (калі гэта магчыма): а) ctg 90°; б) tg 3p; в) tg 2 ; г) ctg (−540°). 1.93. Для якіх вуглоў a не існуе tg a; ctg a Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.94. Знайдзіце значэнне выразу: а) tg p cos p ; б) г) д) sin 2 в) 2 5ctg ; 4 е) 1.95. Знайдзіце некалькі значэнняў a, пры якіх: а) ctg a = 1; б) tg a = 0. y 1.96. Параўнайце: а) tg 47° і tg 53°; в) tg 189° і tg 242°; г) ctg (−13°) і ctg (−25°). б) ctg 32° і ctg 58°; 1.97. Размясціце ў парадку спадання: ctg 46°; ctg 118° і ctg 79°. 1.98. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb, Pg і Pj, якія адпавядаюць вуглам павароту a, b, g і j (рыс. 70). Параўнайце з нулём значэнні тангенса і катангенса гэтых вуглоў. 1.99. Вызначце знак здабытку: а) tg 10 p tg 14 p ; 11 б) ctg (−401°) ctg (−739°); 13 x Рыс. 70 в) ctg 4 tg 3. 1.100. Вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: а) tg a G 0 і cos a H 0; б) sin a H 0 і ctg a H 0 1.101. З дапамогай восі тангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, тангенс якога роўны: а) 5 ; б) − 2 . 3 5 1.102. З дапамогай восі катангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, катангенс якога роўны: а) 2; б) − 2 . 3 1.103. Ці праўда, што: а) tg 4 в) tg 2 3 tg 4 ; б) tg ; г) 3 1.104. Выкарыстаўшы азначэнне тангенса і катангенса адвольнага вугла, знайдзіце tg a і ctg a, калі вядома, што пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты: а) 15 ; 17 8 ; 17 б) 0, 6; 0, 8 . Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 1.105. З дапамогай восі тангенсаў на рысунку 68 (восі катангенсаў на рысунку 69) знайдзіце прыбліжанае значэнне выразу: б) ctg 7 p ; а) tg 35°; в) tg (−160°); 9 г) ctg 3 8 . 1.106. Знайдзіце значэнне выразу: а) б) 1.107. З дапамогай адзінкавай акружнасці знайдзіце значэнне выразу (калі гэта магчыма): б) tg p ; а) ctg 180°; в) tg (−3p); 2 г) ctg (−450°). 1.108. Знайдзіце значэнне выразу: а) tg p + cos p; б) в) sin г) 6 tg 2 ; 1.109. Знайдзіце некалькі значэнняў a, пры якіх: а) ctg a = 0; б) tg 3 . 3 1.110. Параўнайце: а) ctg 55° і ctg 63°; б) tg 42° і tg 68°; в) ctg 200° і ctg 225°; г) tg (−35°) і tg (−55°). 1.111. На адзінкавай акружнасці адзначаны пункты Pa, Pb, Pg і Pj, якія адпавядаюць вуглам a, b, g і (рыс. 71). Параўнайце з нулём значэнні тангенса і катангенса гэтых вуглоў. 1.112. Вызначце знак здабытку: а) ctg 8 p ctg 11p ; 9 10 y x б) tg (−511°) tg (−183°); в) ctg 2 tg 5. 1.113. Вуглом якой чвэрці з’яўляецца вугал a, калі: Рыс. 71 а) ctg a G 0 і cos a H 0; б) sin a G 0 і tg a H 0 1.114. З дапамогай восі тангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, тангенс якога роўны 4 . 5 1.115. З дапамогай восі катангенсаў знайдзіце адзін з вуглоў, катангенс якога роўны −1,5. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.116. Ці праўда, што: а) цэнтрам акружнасці, зададзенай ураўненнем (x − 4) + (y + 8) = 16, з’яўляецца пункт (4; −8); б) цэнтрам акружнасці, зададзенай ураўненнем x + (y − 9) = 36, з’яўляецца пункт (0; −9); в) цэнтрам акружнасці, зададзенай ураўненнем x + y = 8, з’яўляецца пункт (0; 0); г) радыус акружнасці, зададзенай ураўненнем (x + 5) + y = 16, роўны 4 1.117. Знайдзіце ўсе значэнні зменнай t, пры якіх: а) t = 9; б) 16t = 1; в) t = 5; г) t = 0,75. 1.118. Скараціце дроб: а) c2 c 2 a a2 2 2 ac ; б) 5x 7 x2 5y 2 xy x 7 xy . 4. уадносіны памі сінусам, косінусам, тангенсам і катангенсам аднаго і таго вугла (трыганаметры ныя тоеснас і) 1.119. Знайдзіце ўсе значэнні зменнай m, пры якіх правільная роўнасць: а) m = 1; б) m2 = 49 ; в) m = 2; 64 г) m2 = 1 . 3 1.120. Вызначце каардынаты цэнтра і радыус акружнасці, зададзенай ураўненнем: а) (x − 1) + (y − 3) = 16; б) x + (y + 2) = 9; в) (x + 5) + y = 7; г) x + y = 1. 1.121. Скараціце дроб 4 a2 b2 4 ab + b2 4 a2 x2 + y2 = 1 . Установім суадносіны паміж сінусам, косінусам, тангенсам і катангенсам аднаго і таго ж вугла. Паколькі цэнтрам адзінкавай акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат, а яе радыус роўны 1 (рыс. 72), то ўраўненне адзінкавай акружнасці мае выгляд x + y = 1. Правообладатель Народная асвета Рыс. 72 45 46 Раздзел 1 Каардынаты любога пункта Pa(x0; y0) адзінкавай акружнасці задавальняюць ураўненне гэтай акружнасці. Па азначэнні сінуса і косінуса вугла a пункт Pa(x0; y0) мае каардынаты x0 = a і y0 = a. Падставім каардынаты пункта Pa(x0; y0) ва ўраўненне адзінкавай акружнасці і атрымаем формулу sin a + a = 1. Атрыманую формулу называюць асно най трыa+ a= ганаметры най тоеснас ю, а таксама трыганаметрычнай адзінкай. Пры дапамозе асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці, ведаючы значэнне сінуса (косінуса) вугла a, можна знайсці косінус (сінус) гэтага ж вугла. 1 Напрыклад, знойдзем cos a, калі вядома, што sin . 3 Для гэтага з формулы sin a + a= − a. Паколькі sin 2 2 3 Тады cos або cos чвэрці знаходзіцца вугал a. a = 1 выразім cos a і атрымаем 2 1 , то знойдзем cos2 1 1 1 1 8. 3 3 9 9 2 2 . Знак cos a залежыць ад таго, у якой 3 Пр клад . Вядома, што cos 3 . Знайдзіце sin a, калі 5 3 ;2 2 ашэнне. З асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці sin a + выразім sin a і атрымаем sin a = − a. Па ўмове sin 4 5 або sin 3 ;2 2 Па ўмове sin 3 , 5 4 . 5 cos 4 . 5 тады sin2 1 3 5 2 1 Па азначэнні тангенса вугла a атрымаем формулу Формула sin cos такіх, што tg 2 16 . 25 a= Значыць, (чацвёртая чвэрць), тады sin a H 0, значыць, 4 . 5 Адказ: sin 9 25 sin cos tg . справядлівая для ўсіх вуглоў a n, n . Z. Паколькі пры 2 n, sin cos tg n ∈ Z, абсцыса адпаведных пунктаў адзінкавай акружнасці роўна нулю, то cos a = 0 пры n, n Z, 2 sin a г. зн. дроб пры гэтых значэннях a не мае сэнсу. cos a Правообладатель Народная асвета 2 n, n Z Трыганаметрыя Па азначэнні катангенса вугла a атрымаем формулу cos sin Формула такіх, што ctg справядлівая для ўсіх вуглоў a n, n Z. Паколькі пры cos sin ctg . cos sin ctg Z, ардыната адпаведных пунк- n, n n, n Z ctg 1 n ,n 2 Z таў адзінкавай акружнасці роўна нулю, то sin a = 0 пры cos a пры гэтых значэннях a не n, n Z, г. зн. дроб sin a мае сэнсу. sin cos Паколькі cos sin 1, то tg a ctg a = 1. tg Формула tg a ctg a = 1 справядлівая для ўсіх n вуглоў a такіх, што , n Z. 2 Падзелім абедзве часткі асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці sin a + a = 1 на cos a і атрымаем: sin2 cos2 2 cos sin2 cos2 дзе 1 n, n 2 1 cos2 2 ; sin2 1 cos2 ; 1 cos2 cos2 cos tg2 1 cos2 1 cos2 ; 1 , 1 cos2 tg2 2 n, n Z Z. Падзяліўшы абедзве часткі асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці на sin a, атрымаем формулу n n Z n n Z Формулы (тры анаметры ныя тоеснас і), што мы вывелі, апісваюць суадносіны паміж сінусам, косінусам, тангенсам і катангенсам аднаго і таго ж вугла. Атрыманыя формулы дазваляюць знаходзіць значэнні sin a, cos a, tg a, ctg a, калі вядома адно з гэтых значэнняў. Пр клад . Знайдзіце значэнні sin a, cos a, ctg a вугла a, калі tg a = 0,75, ; 3 2 . ашэнне. З формулы tg a ctg a = 1 выразім Паколькі па ўмове tg 0,75 3 , то 4 Правообладатель Народная асвета 47 48 Раздзел 1 Па формуле 1 3 4 1 2 1 cos2 1 cos2 tg2 ; 25 1 cos2 16 ; 3 Паколькі 4 5 выразім sin tg cos 4 5 16 , значыць, cos 25 ; cos2 або cos 4 . 5 4 . 5 (трэцяя чвэрць), то cos 2 З формулы sin 3 4 знойдзем cos a: tg cos і знойдзем sin a = 3 . 5 3 , 5 Адказ: sin 4 , 5 cos Разгледзім, як трыганаметрычныя тоеснасці выкарыстоўваюцца для спрашчэння выразаў. Пр клад . Спрасціце выраз: а) 3 в) sin2 1 cos2 cos2 ; tg 2 ашэнне. а) 3 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2 cos2 tg2 1. 3 1 2; a; в) 1 cos2 г) 1 =− г) 1 ; 3 б) = б) tg2 sin2 tg2 sin2 1 1 cos2 tg2 tg2 2 sin2 a. cos 1 sin2 1 sin2 sin2 1 1 cos2 ; sin2 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Ці могуць сінус і косінус аднаго вугла быць роўнымі адпаведна: а) 5 і 12 ; 13 13 б) −0,3 і 0,4; в) 0,8 і 0,6 Рашэнне. Для адказу на пытанне дастаткова праверыць, ці cos2 1 (г. зн. ці выконваецца ўмова правільная роўнасць sin2 прыналежнасці пункта Pa адзінкавай акружнасці). Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя а) 5 13 2 12 13 2 25 144 169 1, могуць; б) 0, 3 0, 4 0, 09 0,16 2 в) 0, 8 2 2 0, 6 2 0, 64 0,25 1, не могуць; 1, могуць. 0, 36 2. Знайдзіце: 5 13 а) cos b, калі sin і 3 H H2 ; 2 б) sin a, калі tg a = 2 і 180 H H 270 . Рашэнне. а) З роўнасці sin2 cos2 5 , 13 Паколькі sin 12 . 13 або cos cos то cos2 2 144 . 169 sin2 . 1 Тады cos 12 . 13 то 1 2 2 З формулы 1 sin2 5 4 ; 1 sin2 , 4 . 5 sin2 Паколькі H 270 , а значэнні сінуса вугла ў трэцяй чвэрці адмоўныя, 2 . 5 3. Спрасціце выраз: а) cos2 sin2 б) 7; 2 sin cos 1 ; sin cos г) sin4 в) Рашэнне. а) cos2 б) 12 13 (вугал чацвёртай чвэрці), то 2 знойдзем sin a: 1 то sin 5 13 1 Паколькі 3 H H 2 б) Паколькі 180 H 1 выразім cos2 2 sin cos 1 sin cos sin2 7 1 7 2 sin cos sin 2 2 sin cos cos sin2 cos2 . 6; = sin sin cos cos 2 sin в) + = 4; Правообладатель Народная асвета cos ; 49 50 Раздзел 1 г) sin4 sin2 cos2 = sin2 1 sin2 cos2 sin2 cos2 = cos2 sin2 cos 4 cos 2 1 sin 2 cos 2 4* . Знайдзіце значэнне выразу 2 cos 3 sin sin cos 2 cos 1 3 sin sin cos 2 cos sin cos 14 cos 7 cos 3 5 cos cos 5 cos 2 cos Калі tg a = −2, то: а) сtg a = −2; б) сtg a = 2; Выберыце правільны адказ. . , калі tg a = 5. Рашэнне. Вядома, што tg a = 5, г. зн. Значыць, cos2 5, тады sin a = a. 2. в) г) 1.122. Ці могуць сінус і косінус аднаго і таго ж вугла быць роўнымі адпаведна: а) 0,6 і −0,8; б) 0,2 і 0,4 1.123. Ці могуць тангенс і катангенс аднаго і таго ж вугла быць роўнымі адпаведна: а) 4 і 0,25; б) 7 і − 1 ? 7 4 і H 5 2 12 і 2 H 13 1.124. Знайдзіце sin a, tg a, ctg a, калі cos 1.125. Знайдзіце cos a, tg a, ctg a, калі sin 1.126. Спрасціце выраз: а) 1 − a; б) cos a − 1; в) 2sin a + г) a − 7; д) cos a tg a; ж) 1 − і) sin2 1 2 cos 1 2 cos2 е) sin a a + tg a 1 2 sin2 tg ctg ; a; з) к) ; a tg a − 1; 2 1 sin a sin a cos a cos2 1 2 cos tg a; sin2 Правообладатель Народная асвета 1. H . H5 . 2 Трыганаметрыя 1.127. Знайдзіце значэнне выразу: а) 49(1 − a), калі sin б) 36 sin2 1 , калі cos 5 ; 7 2 . 3 7 24 1.128. Знайдзіце sin a, cos a, ctg a, калі tg і 3 H 2 H2 . 1.129. Дакажыце тоеснасць: а) (1 + tg a)cos a + a = 1; б) (1 + ctg a)(1 − a) = ctg a. 1.130. Спрасціце выраз: 2 а) в) д) ж) sin cos 1 2 sin cos cos4 sin2 cos2 sin2 cos г) ; 1 cos2 sin cos sin3 3 1 б) ; cos sin 2 1 1 е) ; cos з) ; sin2 sin4 2 sin2 1 sin2 1 cos sin tg ; sin 1 cos sin 1 cos 1 tg 1 ; ctg tg2 1 1 3 ctg2 5 12 1.131. Знайдзіце sin a, cos a, ctg a, калі tg 1.132. Знайдзіце 9 2 cos a, калі sin ; . і 5 H 2 H3 . і tg a H 0. 1.133. Дакажыце тоеснасць: а) cos4 sin4 1 cos2 2tg2 2 cos ; б) tg tg sin2 . ctg 1.134. Спрасціце выраз (tg a − 3ctg a) − (tg a + 3ctg a) . 1.135. Спрасціце выраз: а) (1 − a)(1 + в) cos a + д) sin3 a sin4 a a)tg a; a a+ sin a cos2 a cos4 a ; б) tg a ctg a − (cos a tg a) ; a; г) е) tg 1 tg sin ctg 2 ctg2 ctg 1 ; 2 cos 1 . sin cos 1.136. Знайдзіце sin a і tg a, калі вядома, што cos не ў другой чвэрці. Правообладатель Народная асвета 2 5 і a ляжыць 51 52 Раздзел 1 1.137. Дакажыце тоеснасць: а) sin a + a− в) (sin a + a = 1; a) + (sin a − 1.138*. Знайдзіце 2 sin 3 cos б) a) = 2. 3 cos 2 sin ctg ctg tg cos2 ; , калі tg a = 7. 1.139. Знайдзіце cos a, tg a, ctg a, калі sin a = −0,6 і 1.140. Спрасціце выраз: а) 1 − a; б) sin a − 1; в) 5sin a + г) a + 3; д) sin a ctg a; ж) 1 − a + ctg a 3 3 cos2 a 1 sin2 a е) 1 − з) (1 − a; a 2 ; a ctg a; a)tg a + − tg a. 5 12 1.141. Знайдзіце sin a, cos a, tg a, калі ctg 1.142. Дакажыце тоеснасць: а) (1 + ctg a)sin a + a = 1; H3 . H б) (1 − і 2 H H . a)(1 + tg a) = tg a. 1.143. Спрасціце выраз: а) 1 cos2 a sin a cos a ctg a; б) г) sin 1 cos ctg ; д) 3 cos 1 sin ж) 3 cos 1 sin cos4 2 cos2 1 2 1 cos sin4 sin2 cos2 sin 2 cos2 в) ; е) ; sin4 cos2 sin2 cos2 1 cos sin ; 1 1 cos sin ; cos . 1.144. Знайдзіце sin a, cos a, tg a, калі ctg a = і sin a H 0. 1.145. Спрасціце выраз: а) (1 − a)(1 + a)ctg a; б) tg a ctg a − (sin a ctg a) ; в) 1 1 tg2 1 1 ctg2 . 1.146. Знайдзіце cos a і ctg a, калі вядома, што sin a = 1 і a не ля3 жыць у першай чвэрці. 1.147*. Знайдзіце ctg a, калі 4 sin 2 cos 3 cos 3 sin 3. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.148. Знайдзіце, не выконваючы пабудовы графіка, пункты перасячэння з восямі каардынат графіка функцыі: x2 3 x 2 а) (x) = − x; б) (x) = x + x − 1; в) f x . x 2 1.149. Дадзена функцыя y = (x). Вядома, што (−2) = 3, а (9) = 7. Знайдзіце значэнне выразу 5 (2) − (−9), калі функцыя y = (x) з’яўляецца: а) цотнай; б) няцотнай. 1.150. Па графіку функцыі y = (x), паказанаму на рысунку 73, знайдзіце: а) абсяг вызначэння функцыі; б) мноства значэнняў функцыі; в) нулі функцыі; г) прамежкі знакапастаянства функцыі; д) прамежкі нарастання і спадання функцыі; е) найбольшае і найменшае значэнні функцыі. y 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3–2–1 –1 –2 –3 –4 –5 x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рыс. 73 5. унк ыі y = sin x і y = cos x. І улас івас і і графікі 1.151. Вядома, што функцыя y = (x) няцотная, а функцыя y = (x) цотная і (2) = −5; (7) = 9. Знайдзіце значэнне выразу (−2) + (−7). 1.152. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y 1 x2 . 2x 1 1.153. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі y = x + x − 6. Правообладатель Народная асвета 53 54 Раздзел 1 унк ыя y = sin x. Улас івас і і графік Разглядаючы адвольны рэчаісны лік x, мы можам паставіць яму ў адпаведнасць вугал у x радыян і вызначыць значэнне сінуса гэтага вугла. Такім чынам мы ўстановім адпаведнасць паміж мноствам рэчаісных лікаў і мноствам значэнняў сінусаў вуглоў. Кожнаму рэчаіснаму ліку адпавядае адзінае значэнне сінуса. Такая адпаведнасць задае трыганаметрычную функцыю y = x. Азна энне. Залежнасць, пры якой кожнаму рэчаіснаму ліку x адпавядае значэнне sin x, называецца функцыяй y = x. Разгледзім уласцівасці функцыі y = x і пабудуем яе графік. 1. А сягам вызна эння функцыі y = x з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў, паколькі для D(sin x) = R любога x ∈ R існуе sin x. Графічна гэта азначае, што для любой абсцысы знойдзецца пункт графіка функцыі y = x. E(sin x) = [−1; 1] 2. ноствам зна эння функцыі y = x з’яўляецца прамежак [−1; 1], паколькі ардынаты пунктаў адзінкавай акружнасці (значэнні сінусаў лікаў) змяняюцца ад −1 да 1. Графічна гэта азначае, што графік функцыі y = x размешчаны ў паласе паміж прамымі y = −1 і y = 1 (рыс. 74). y y 1 x x –1 Рыс. 74 Рыс. 75 3. Перыяды нас ь функ ыі y = sin x. Пункты адзінкавай акружнасці Pa, Pa + p, Pa − p супадаюць для любога a (рыс. 75), значыць, значэнні сінусаў гэтых вуглоў таксама супадаюць, г. зн. sin a = sin (a + p) = sin (a − p). Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Гавораць, што лік 2p з’яўляецца перыядам функцыі y = x. Азна энне. Функцыя y = (x) называецца перыяды най функ ыяй з перыядам T ≠ 0, калі для любога значэння х з абсягу вызначэння функцыі лікі x + T і x − T таксама належаць абсягу вызначэння і пры гэтым правільная роўнасць (x + T) = (x − T) = (x). Каб вызначыць, ці з’яўляецца функцыя перыядычнай з перыядам T ≠ 0, неабходна праверыць: 1) ці належаць абсягу вызначэння функцыі лікі x + T і x − T, калі x належыць абсягу вызначэння функцыі; 2) ці выконваецца роўнасць (x + T) = (x − T) = (x). Вызначым, ці праўда, што лік p з’яўляецца перыядам функцыі y = 1) x. ікі x + p і x − p належаць абсягу вызначэння функцыі, паколькі D(sin x) = R. 2) Праверым, ці выконваецца роўнасць sin (x + p) = Няхай x 2 , тады sin 2 sin 2 1, а sin x для ўсіх х. 2 1, г. зн. sin sin . 2 2 Значыць, лік p не з’яўляецца перыядам функцыі y = x. Перыядам функцыі y = x з’яўляюцца лікі выгляду 2pn, дзе ∈ Z, n ≠ 0. з’яўляецца найменшым дадатным перыядам функцыі y = x. Функцыя y = x з’яўляецца перыядычнай з найменшым дадатным перыядам T = p (рыс. 76). Гэта азначае, што яе графік складаецца з частак, якія паўтараюцца, таму дастаткова яго пабудаваць на адрэзку даўжынёй 2p (напрыклад, [−p; p]), а затым паўтарыць пабудову на кожным наступным адрэзку даўжынёй 2p. 4. отнас ь (ня отнас ь) функ ыі. D(y) = R — абсяг вызначэння сіметрычны адносна нуля. Паколькі пункты Pa і P−a адзінкавай акружнасці сіметрычныя T= p Рыс. 76 Правообладатель Народная асвета ік 2p 55 56 Раздзел 1 адносна восі абсцыс для любога a ≠ pn, n ∈ Z, то ардынаты гэтых пунктаў процілеглыя, г. зн. sin (−a) = − a (рыс. 77). Значыць, функцыя y= x ня отная. sin (−a) = − a, функцыя няцотная Pπ (–1; 0) Рыс. 77 P0 (1; 0) Рыс. 78 Для пабудовы графіка функцыі y = x дастаткова пабудаваць яго частку для неадмоўных значэнняў аргумента і адлюстраваць гэту частку сіметрычна адносна пачатку каардынат. 5. улі функ ыі. Ардынаты пунктаў P0(1; 0) і Нулі функцыі: Pp(−1; 0) роўны нулю. Значыць, sin x = 0 у пунктах x = pn, n ∈ Z x = pn, n ∈ Z (рыс. 78), г. зн. графік функцыі перасякае вось абсцыс у пунктах з абсцысамі x = pn, n ∈ Z. 6. Праме кі знакапастаянства функ ыі. На прамежках (2pn; p + pn), ∈ Z, функцыя y = прымае дадатныя значэнні, паколькі ардынаты пунктаў адзінкавай акружнасці дадатныя ў першай і другой чвэрцях (рыс. 79, а). На прамежках (p + pn; 2p + pn), ∈ Z, функцыя y = x прымае адмоўныя значэнні, паколькі ардынаты пунктаў адзінкавай акружнасці адмоўныя ў трэцяй і чацвёртай чвэрцях (рыс. 79, б). ) π 0 2π y G 0 пры x ∈ (2pn; p + pn), ∈Z y H 0 пры x ∈ (p + pn; 2p + pn), ∈Z Рыс. 79 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 7. анатоннас ь функ ыі. Паколькі ардынаты пунктаў адзінкавай да p акружнасці павялічваюцца ад −1 да 1 пры змяненні вугла ад (рыс. 80, а) і памяншаюцца ад 1 да −1 пры змяненні вугла ад p да 3 p 2 (рыс. 80, б), то з улікам перыядычнасці вызначым прамежкі нарастання функцыі y = функцыі y = x: x: 2 2 2 n; 2 n; 3 2 2 2 n ,n 2 n ,n ) Z, і прамежкі спадання Z. Функцыя y = x нарастае на прамежках 2 2 n; 2 2 n ,n Z, і спадае на прамежках 3π 2 2 n; 3 2 2 n ,n Z Рыс. 80 ай оль ае зна энне функ ыі y = ктах 2 n, n Z. x роўна 1 і дасягаецца ў пун- аймен ае зна энне функ ыі y = ктах 2 n, n Z. роўна −1 і дасягаецца ў пун- 2 2 На падставе праведзенага даследавання пабудуем графік функцыі y= на адрэзку ад −p да p, даўжыня якога роўна 2p, г. зн. даўжыні перыяду функцыі y = x. На гэтым перыядзе функцыя y = x: роўна нулю ў пунктах −p; 0; p; дасягае значэнняў, роўных 1 і −1, адпаведна ў пунктах p і ; 2 прымае дадатныя значэнні пры значэннях аргумента ад 0 да p, а адмоўныя — пры значэннях аргумента ад −p да 0; 1 нарастае ад да p і спадае ад −p да – і ад p да p. На рысунку 81 паказана частка графіка функцыі y = x на прамежку ад −p да p. –1 Рыс. 81 Правообладатель Народная асвета 57 58 Раздзел 1 y= Перанясём гэту частку на іншыя перыяды і атрымаем графік функцыі x (рыс. 82). Графік функцыі y = x называецца іну оіда . Рыс. 82 унк ыя y = cos x. Улас івас і і графік Азна энне. Залежнасць, пры якой кожнаму рэчаіснаму ліку x адпавядае значэнне cos x, называецца функцыяй y = x. Некаторыя ўласцівасці функцыі y = x супадаюць з уласцівасцямі функцыі y = x. Напрыклад, абсягам вызначэння функцыі y = x з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў, мноствам значэнняў функцыі y = x з’яўляецца адрэзак [−1; 1], найменшы дадатны перыяд функцыі y = x роўны 2p. Уласцівасці функцыі y = x прыведзены ў табліцы. 1. А сяг вызна эння функ ыі D = (−u; +u) 2. ноства зна эння функ ыі E = [−1; 1] 3. Перыяды нас ь функ ыі Перыядычная з перыядам T = p 2 2 2 Правообладатель Народная асвета 2 Трыганаметрыя 4. отнас ь (ня отнас ь) функ ыі 5. D(y) = R — сіметрычны адносна нуля. cos (−a) = a. Цотная x = 0 пры улі функ ыі x 2 n, n Z 3π 6. Праме кі знакапастаянства функыі y G 0 пры x y H 0 пры x 2 2 2 n; 2 2 n; 3 2 2 n ,n Z 2 n ,n Z 3π Правообладатель Народная асвета 59 60 Раздзел 1 7. анатоннас ь функ ыі Функцыя нарастае на прамежках [−p + pn; 2pn], ∈ Z Функцыя спадае на прамежках [2pn; p + pn], ∈ ай оль ае і наймен ае зна энні функ ыі yнайб = 1 пры x = pn, n ∈ Z yнайм = −1 пры x = p + pn, n ∈ Z Графік функцыі y = x паказаны на рысунку 83. Гэты графік можна атрымаць шляхам пераўтварэння (зруху) графіка функцыі y = x. Рыс. 83 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Вызначце, ці належыць графіку функцыі y = а) А ;1 ; 2 б) В 4 ; 2 2 ; x пункт: в) C(−p; 0); г) D 3 ; 1 . 2 Рашэнне. а) Падставім у формулу y = та x x значэнне аргумені знойдзем адпаведнае значэнне функцыі y sin 1. 2 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Атрыманае значэнне функцыі роўна ардынаце пункта А ; 1 , значыць, пункт А б) Пры x ;1 2 2 належыць графіку функцыі y = атрымаем y sin 2 2 4 належыць графіку функцыі y = в) Пры x = −p атрымаем y sin графіку функцыі y = x. г) Пры x 3 2 атрымаем y 2 . Пункт 2 В 4 2 2 ; не x. 0. Пункт C(−p; 0) належыць sin 3 лежыць графіку функцыі y = x. 1. Пункт D 3 ; 1 не на- 1 2 2 x. 2. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) f x 2 sin 5x; б) g x sin x 7. 3 Рашэнне. а) Паколькі абсяг вызначэння функцыі y = t — усе рэчаісныя лікі, г. зн. t u; u , то і 5x u; u , значыць, x u; u . Такім чынам, D f u; u . Мноствам значэнняў функцыі y = t з’яўляецца адрэзак [−1; 1], значыць, −1 sin t 1, г. зн. −1 sin 5x 1. Тады па ўласцівасці няроўнасцей −2 2 sin 5x 2. Такім чынам, 2; 2 . б) D g sin x u; u . Паколькі −1 −1 − 7 sin x − 7 1 − 7; няроўнасцей 3 3 −8 1, то па sin x − 7 3 ўласцівасці − 6, г. зн. 8; 6 . 3. Знайдзіце найбольшае значэнне функцыі y 2 sin x 5. Рашэнне. Паколькі −1 sin x 1, значыць, −2 − 2 sin x 2, тады 2 5 2 sin x 5 2 5. Такім чынам, маем: 3 2 sin x 5 Найбольшае значэнне функцыі y 2 sin x 5 роўна 7. 7. 4. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі f x а) sin 9 p ; 4 sin x: б) sin 13 p ; 3 в) sin 21p . 2 Рашэнне. Паколькі лік 2p з’яўляецца найменшым дадатным перыядам функцыі y = x, то sin 2 n sin , n Z. Тады: Правообладатель Народная асвета 61 62 Раздзел 1 а) sin 9 sin 4 13 б) sin 3 8 sin в) sin 21 sin 2 sin 2 4 12 sin 4 3 20 sin 4 sin 2 2 3 sin 10 2 2 ; 2 4 2 sin 3 sin 2 5 2 3 ; 2 3 sin 2 1. 5. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі y = x: а) sin б) sin 6 ; 5 2 . Рашэнне. Паколькі функцыя y = x няцотная, то sin sin . Тады: а) sin б) sin sin 6 5 2 1 ; 2 6 sin 5 sin 2 2 2 sin 1. 2 6. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) f x 2 sin 6 x; 4 x sin 3x б) g x 8. Рашэнне. а) D f R — абсяг вызначэння сіметрычны адносна нуля; f x 2 sin 6 x 2 sin 6 x 2 sin 6 x f x , значыць, функцыя з’яўляецца няцотнай. R — абсяг вызначэння сіметрычны адносна нуля; б) D g g x 4 x sin 3x 8 4 x sin 3x 8 4 x sin 3x 8 g x , значыць, функцыя з’яўляецца цотнай. 7. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = x; б) y sin x 10 . Рашэнне. а) Няхай 5x = t. Нулямі функцыі y = t з’яўляюцца лікі n t n, n Z. Тады 5x n, n Z, значыць, x , n Z. Такім 5 n x. чынам, лікі x , n Z, з’яўляюцца нулямі функцыі y = 5 б) Няхай x t n, n 10 t. Нулямі функцыі y = Z. Тады x 10 n, n t з’яўляюцца лікі Z, значыць, x Правообладатель Народная асвета 10 n, n Z. Трыганаметрыя Такім чынам, лікі x y sin x 10 10 n, n з’яўляюцца нулямі функцыі . 8. Вызначце знак здабытку sin 4 sin 2 sin 1. Рашэнне. Паколькі 3,14, то p H 4 H 3 p , г. зн. вугал 4 радыя- 2 ны належыць прамежку ; 3 , на якім функцыя y = 2 x прымае адмоўныя значэнні, значыць, sin 4 H 0. Вуглы 2 радыяны і 1 радыян належаць прамежку (0; p), на якім функцыя y = x прымае дадатныя значэнні, г. зн. sin2 G 0 і sin 1 G 0. Значыць, sin 4 sin 2 sin 1 0. 9. то больш: sin 37° ці sin 67° Рашэнне. Паколькі функцыя y = 90 ; 90 і 37 90 ; 90 , 67 x нарастае на прамежку 90 ; 90 , то з таго, што 37° H 67°, вынікае, што sin 37° H sin 67°. 10. Пабудуйце графік функцыі: а) y sin x 3 ; б) y = Рашэнне. а) Графік функцыі y функцыі y = x + 2. sin x 3 атрымліваем з графіка x зрухам яго ўздоўж восі абсцыс на p улева (рыс. 84). б) Графік функцыі y = x + 2 атрымліваем з графіка функцыі y= x зрухам яго ўздоўж восі ардынат на 2 адзінкі ўверх (рыс. 85). Рыс. 84 Рыс. 85 Правообладатель Народная асвета 63 64 Раздзел 1 11. Вызначце, якія з дадзеных пунктаў належаць графіку функцыі y= x: б) В ; 1 ; а) A(p; −1); 3 г) D ; 0 . в) C(0; 0); 2 2 Рашэнне. а) Падставім у формулу y = x значэнне аргумента x = p і знойдзем адпаведнае значэнне функцыі y cos 1 . Атрыманае значэнне функцыі роўна ардынаце пункта A(p; −1), значыць, пункт A(p; −1) належыць графіку функцыі y = x. б) Пры x атрымаем y cos 3 1 . 2 належыць Пункт В ; 1 3 2 графіку функцыі y = x. в) Пры x = 0 атрымаем y = cos 0 = 1. Пункт C(0; 0) не належыць графіку функцыі y = x. г) Пры x атрымаем y графіку функцыі y = cos 2 належыць 0. Пункт D ; 0 2 x. 12. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі y= x − 4. Рашэнне. Абсягам вызначэння функцыі з’яўляецца мноства ўсіх R. рэчаісных лікаў, г. зн. D y Мноствам значэнняў функцыі y = x з’яўляецца адрэзак [−1; 1], значыць, −1 cos x 1. Тады па ўласцівасці няроўнасцей −3 3 cos x 3 і −7 3 cos x − 4 −1. Такім чынам, 7; 1 . 13. Знайдзіце найменшае значэнне функцыі y cos x 5. Рашэнне. Паколькі −1 cos x 1, значыць, −1 − cos x −6 − cos x − 5 − 4. Найменшае значэнне функцыі y cos x 5 роўна −6. 1, тады 14. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі f x cos x, знайдзіце значэнне выразу: а) cos 9 p ; б) cos 19 p ; 4 3 в) cos17p. Рашэнне. Паколькі лік 2p з’яўляецца найменшым дадатным перыядам функцыі y = а) cos 9 4 cos 8 4 x, то cos 2 n cos 2 4 cos , n cos 4 Z. Тады: 2 ; 2 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 18 б) cos 19 cos в) cos 17 cos 16 3 cos 6 3 cos 2 3 3 cos 2 8 cos 3 cos 3 1 ; 2 1. 15. Выкарыстаўшы ўласцівасць цотнасці функцыі y = x, знайдзіце значэнне выразу: а) cos 4 б) cos ; 9 . Рашэнне. Паколькі функцыя y = x цотная, то cos cos . Тады: а) cos cos 4 б) cos 9 2 ; 2 4 cos 9 cos 8 cos 1. 16. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) f x 2 cos 2x 5x cos 7 x. б) g x 1; Рашэнне. а) D(f) = R — абсяг вызначэння сіметрычны адносна нуля; f x 2 cos 2x 1 2 cos 2x 1 f x , значыць, функцыя з’яўляецца цотнай. б) D(g) = R — абсяг вызначэння сіметрычны адносна нуля; g x 5 x cos 7 x 5x cos 7 x g x , з’яўляецца няцотнай. значыць, функцыя 17. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = cos x ; б) y 2 Рашэнне. а) Няхай лікі t n, n x 2 n, n 2 cos 3x 5 . x = t. 2 Нулямі функцыі y = Z. Тады x 2 n, n 2 Z. Такім чынам, лікі x 2 n, n t з’яўляюцца Z, значыць, Z, з’яўляюцца нулямі функцыі y = cos x . 2 б) Няхай лікі t 3x 5 3x 2 2 5 n, n n, n t. Нулямі функцыі y= t з’яўляюцца Z. Тады 3x n, n Z, значыць, 10 n ,n 3 Z; 3x 3 10 n, n 5 2 Z; x Правообладатель Народная асвета Z. 65 66 Раздзел 1 Такім чынам, лікі x y cos 3x 5 10 n ,n 3 Z, з’яўляюцца нулямі функцыі . 18. Вызначце знак здабытку cos 4,5 cos 2 cos 7. Рашэнне. Паколькі 3,14, то p H H p і p H 4,5 H 3 p , г. зн. ву- глы 4,5 радыяна і 2 радыяны належаць прамежку 2 3 ; , на якім 2 2 функцыя y = прымае адмоўныя значэнні, значыць, cos 4,5 H 0 і cos 2 H 0. Вугал 7 радыян належыць прамежку, на якім функцыя y= прымае дадатныя значэнні, г. зн. cos 7 G 0. Значыць, cos 4,5 cos 2 cos 7 0. 19. то больш: cos137° ці cos167° Рашэнне. Паколькі функцыя y = спадае на прамежку [0°; 180°] 0 ; 180 , 167 0 ; 180 , то з таго, што 137° H 167°, вынікае, што cos137° G cos167°. і 137 20. Пабудуйце графік функцыі: а) y cos x 6 ; б) y cos x 2. Рашэнне. а) Графік функцыі y функцыі y = cos x 6 атрымліваем з графіка зрухам яго ўздоўж восі абсцыс на p улева (рыс. 86). б) Графік функцыі y = x − 2 атрымліваем з графіка функцыі y= x зрухам яго ўздоўж восі ардынат на 2 адзінкі ўніз (рыс. 87). Рыс. 86 Рыс. 87 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1. Ці магчыма роўнасць: а) sin x = 2; б) sin x 5 ; 2. Ці магчыма роўнасць: а) cos x = −1,2; б) cos x = 7 ; в) sin x = 1 ; 2 г) sin x 1 ? 3 в) cos x 3 ; 2 г) cos x = 0,4 1.154. З дадзеных пунктаў выберыце тыя, што належаць графіку функцыі y = x: а) А ; 2 ; 4 2 б) В 3 3 2 ; в) C(−p; 0); ; г) D 2 ; 1. 1.155. З дапамогай графіка функцыі y = x вызначце, ці праўда, што: p а) пры значэнні аргумента, роўным , значэнне функцыі роўна 1 ; 6 2 б) лікі p; 2p з’яўляюцца нулямі функцыі; 3 2 в) sin y= г) sin 5 1; 1 . 2 6 1.156. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя x прымае значэнне, роўнае: б) −1; а) 0; 2 ; 2 в) г) − 1 . 2 1.157. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y = x − 6; б) y = x + 2; в) y = − . 1.158. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) f x 3 sin 2x; в) h x sin 9 x 5; б) g x sin x г) p x 2 sin 7 x 5; 2 6. 1.159. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі: а) y = x; б) y 1,5 sin x в) y = x + 8; г) y 0,5 sin x 6 ; 8 1,2. 1.160. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) sin 13 p ; 6 б) sin 19 p ; 3 в) sin 17 p ; 4 x, г) sin 13 p . 2 Ці праўда, што лікі −10p; − p; − p; 2p; 16p; 100p з’яўляюцца перыядамі дадзенай функцыі 1.161. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = x, дакажыце, што sin (−20°) = sin 340°. Правообладатель Народная асвета 67 68 Раздзел 1 1.162. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) sin 765°; б) sin (− °); в) sin (1080°); г) sin (−810°). x, (x) = x, 1.163. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі знайдзіце: а) sin 4 б) sin ; 2 в) sin ; 9 2 г) sin 2 ; . 1.164. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) (x) = − x; б) g x 5x sin 2x; в) h x г) p x 8 x sin x; 5 sin 7 x 1. 1.165. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = x, знайдзіце: а) f 13 2 б) f 47 2 10 ; 7 ; 2 ; 1.166. З лікаў няцотнасці 13 6 в) f ; 3 ; 2 ; 4 і перыядычнасці г) (− p). ; ; 0; 5 ; 6 выберыце: 2 а) нулі функцыі (x) = x; б) значэнні аргумента, пры якіх функцыя (x) = прымае найбольшае значэнне. sin 11 1.167. Знайдзіце значэнне выразу sin 7 1.168. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = в) y x; sin x ; 5 10 3 1.169. З лікаў ; б) y sin x г) y sin 3x 5 ; 2 11 6 ; 0; 2 б) x ; . 3 . 5 ; 4 4 ; 0; 7 ; 13 ; 5 8 12 2 выберыце x прымае адмоўныя значэнні. 2 ; 3 ; ? 2 1.171. Вызначце знак выразу sin 8 p sin 13 p sin 3 p . 7 6 5 в) x 5 ;3 2 5 ; 2 9 2 ; 4 значэнні аргумента, пры якіх функцыя y = 1.170. Ці праўда, што sin x G 0, калі: а) x sin 2 г) x ; 1.172. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = а) sin 15° H °; б) sin 100° H sin 140°. 1.173. Параўнайце значэнні выразаў: а) sin 7 p і sin 5 p ; 6 6 б) sin 11 6 і sin 3 2 . Правообладатель Народная асвета x, дакажыце, што: Трыганаметрыя 1.174. Размясціце ў парадку нарастання лікі sin (−3), sin (−3,2) і sin (−1,6). 1.175. Пабудуйце графік функцыі: а) y sin x г) y = y= 6 ; x − 1; б) y sin x д) y sin x 2; 3; 6 в) y sin x е) y sin x 2 3 ; 3 1. 1.176. Вызначце, якія з дадзеных пунктаў належаць графіку функцыі x: б) В ; 1 ; а) А ; 2 ; 4 2 в) С 2 6 3 2 ; ; г) D ; 1. 1.177. З дапамогай графіка функцыі y = вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным p, значэнне функцыі роўна −1; б) лік 5 p з’яўляецца нулём функцыі; 2 в) cos 3 2 . 2 г) cos 3 1 ; 2 4 1.178. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y = x + 2; б) y = 3,5cos x − 4; в) y = − x. 1.179. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) f x 2 cos 3x; в) h x cos 2x 7; б) g x cos x г) p x 3 cos 5x 4; 3 2. 1.180. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі: а) y = x; в) y = cos 7x − 3; y= б) y 2,5 cos x г) y 1,5 cos x 6 ; 10 1, 3. 1.181. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя x прымае значэнне, роўнае: а) 1 ; б) 0; 2 в) 1; г) 3 . 2 1.182. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) cos 7 p ; 3 б) cos 25 p ; 6 в) cos 17 p ; 4 x, г) cos19p. Ці праўда, што лік 8p з’яўляецца перыядам дадзенай функцыі 1.183. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = дакажыце, што cos 3 2 cos 5 . 2 Правообладатель Народная асвета x, 69 70 Раздзел 1 1.184. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) cos 420°; б) cos (−405°); в) cos 720°; г) cos (−1170°). x, (x) = x, 1.185. Выкарыстаўшы знайдзіце: а) cos б) cos ; 3 ўласцівасць 2 цотнасці в) cos ; функцыі г) cos ; 20 . 1.186. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) (x) = x; б) g x x cos 2x; x2 в) h x cos x; cos x г) p x x. 5 1.187. Выкарыстаўшы ўласцівасці цотнасці і перыядычнасці функцыі (x) = x, знайдзіце: а) f 25 4 б) f 63 ; 7 3 в) f ; . 1.188. Ці праўда, што нулямі функцыі (x) = а) p ; 2 б) p; 9p ; 2 в) г) − p; з’яўляюцца лікі: д) − p; е) 11 2 ? З дадзеных лікаў выберыце значэнні аргумента, пры якіх функцыя (x) = прымае найменшае значэнне. 1.189. Знайдзіце значэнне выразу cos 7 cos 11 cos 13 . 2 1.190. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = в) y x; cos x 3 1.191. З 4 лікаў ; 10 3 б) y cos x г) y cos 2x ; 5 ; 2 11 6 6 ; ; 5 . 5 ; 4 значэнні аргумента, пры якіх функцыя y = 1.192. Ці праўда, што cos x H 0, калі: а) x 0; 2 б) x ; ; 2 в) x ; 4 ; 0; 7 ; ; 13 8 12 выберыце x прымае дадатныя значэнні. ;3 ; 2 г) x 5 ; 2 2 ? 1.193. Вызначце знак выразу cos (−3) cos (−2) cos (−1). 1.194. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = x, дакажыце, што: а) cos p G cos 7 p ; 8 8 б) cos 5 7 H cos 2 7 . 1.195. Параўнайце значэнні выразаў: а) cos 20° і cos 70°; б) cos 183° і cos 243°. 1.196. Размясціце ў парадку спадання лікі cos 1,8, cos 2,3 і cos 2. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.197. Пабудуйце графік функцыі: а) y cos x г) y = 6 ; x + 3; б) y cos x д) y cos x 2 3 в) y = ; x − 1; 2. 3 1.198. Не выконваючы пабудову, знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) y 7 sin x 1 cos x 3 б) y 2; 6 2 . 3 4 1.199. Не выконваючы пабудову, знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца: а) y = 1 sin x; б) y = − 2 в) y = 0,2cos x; x; 1.200. Пабудуйце графік функцыі y sin x 3 г) y = − x. . Выкарыстаўшы гра- фік, вызначце: а) нулі функцыі; б) прамежкі спадання і нарастання функцыі; в) найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца; г) прамежкі знакапастаянства функцыі. 1.201. Пабудуйце графік функцыі y = x + 2,5. Выкарыстаўшы графік, вызначце: а) прамежкі спадання і нарастання функцыі; б) найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца; в) нулі функцыі; г) мноства значэнняў функцыі. 1.202*. Знайдзіце найменшае і найбольшае цэлыя значэнні функцыі: а) y 1,2 cos x 3; 5 б) y 3,28 sin 9 x 12 1. 1.203. Ці праўда, што пункты A ; 2 , B(−p 0) і C 3 ; 1 належаць 2 4 2 графіку функцыі y = x 1.204. З дапамогай графіка функцыі y = x вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным p , значэнне функцыі роўна 1; 2 б) лікі − p; p з’яўляюцца нулямі функцыі; в) sin y= 1 . 2 6 1.205. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя x прымае значэнне, роўнае: а) 1; б) 3 . 2 Правообладатель Народная асвета 71 72 Раздзел 1 1.206. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y = x − 5; б) y = x + 3; в) y = г) y = − x; д) y = 1,5sin x − 2; е) y = x − 7; − 3,2sin x. 1.207. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) (x) = 4sin 7x; sin x б) g x в) h(x) = − 3; 5 x + 7. 1.208. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі: а) y = x; б) y 2 sin x в) y = − ; 3 x + 5. 1.209. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: б) sin 17 p ; а) sin 7 p ; в) sin 25 p ; 4 3 г) sin 7 p . 6 2 1.210. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = дакажыце, што sin 75° = sin (− °). 1.211. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) sin 3 3 2 б) sin ; в) sin ; x, 4 г) sin ; 2 x, x, . 1.212. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) (x) = x; б) g x x sin x; в) h x 2x sin 3x; г) p x sin x 9. 1.213. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = а) f 19 2 б) f ; 37 2 9 4 в) f ; г) (− p). ; 1.214. Ці праўда, што нулямі функцыі (x) = а) 2p; б) 5p ; 2 в) − p; г) p ; 2 x, знайдзіце: x з’яўляюцца лікі: д) 9 ; 2 е) 11p З дадзеных лікаў выберыце значэнні аргумента, пры якіх функцыя (x) = x прымае найменшае значэнне. 1.215. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = x; б) y sin x 6 . 1.216. Параўнайце з нулём значэнне выразу: а) sin 8 ; б) sin 7 p ; 6 в) sin 1.217. Вызначце знак здабытку sin 2 3 2 ; г) sin 11p . sin 4. Правообладатель Народная асвета 5 Трыганаметрыя (x) = 1.218. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі значэнні выразаў: а) sin і sin 2 p ; б) sin 3 p і sin 9 p . 7 7 5 10 °), sin(−100°) і sin(− 1.219. Размясціце ў парадку спадання лікі sin(− 1.220. Пабудуйце графік функцыі: а) y sin x 3 x, параўнайце б) y = ; x − 3; в) y sin x 6 °). 2. 1.221. Ці праўда, што пункты A ; 3 , B 3 ; 0 і C(2p −1) належаць 6 2 2 графіку функцыі y = x 1.222. З дапамогай графіка функцыі y = вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным 0, значэнне функцыі роўна 1; з’яўляюцца нулямі функцыі; б) лікі 3 ; 2 в) cos y= 2 1 . 2 3 1.223. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя x прымае значэнне, роўнае: а) 2 ; б) −1. 2 1.224. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y = − 5; б) y в) y = x − 3,2; г) y = 1 cos x 2 3; − x. 1.225. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) (x) = x; cos x б) g x 5; 7 в) h x 5 cos 8 x 3. 1.226. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі: а) y = x; б) y 3 cos x 3 в) y = − ; x − 1. 1.227. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = знайдзіце: а) cos 13 p ; б) cos 19 p ; 6 в) cos 33 p ; 3 4 x, г) cos11p. 1.228. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = x, дакажыце, што cos (− °) = cos 237°. 1.229. Выкарыстаўшы ўласцівасць цотнасці функцыі (x) = x, знайдзіце: а) cos 6 ; б) cos 3 2 . Правообладатель Народная асвета 73 74 Раздзел 1 1.230. Даследуйце функцыю на цотнасць (няцотнасць): а) (x) = x; б) g x x cos 7 x; 3 x2 в) h x cos x; cos x г) p x 4 x. 6 1.231. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = 37 6 б) f а) (−47p); 11 2 1.232. З лікаў ; в) f ; 4 ; 9 4 3 ; 2 ; 3 x, знайдзіце: . ; 0; 3 ; 9 выберыце: 2 а) нулі функцыі (x) = x; б) значэнні аргумента, пры якіх функцыя (x) = прымае найбольшае значэнне. 1.233. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = x; б) y cos x 3 . 1.234. Параўнайце з нулём значэнне выразу: а) cos 5 б) cos 5 p ; ; 7 8 в) cos 6 1.235. Вызначце знак здабытку cos 9 8 ; cos г) cos 15 p . 7 4 cos . 5 5 1.236. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = x, параўнайце значэнні выразаў: а) cos 0,5 і cos 1; б) cos (−2) і cos (−1). 1.237. Размясціце ў парадку нарастання лікі cos 20°, cos 57° і cos 32°. 1.238. Пабудуйце графік функцыі: а) y г) y = cos x 3 ; x + 1; б) y cos x д) y cos x 5 6 2 3 в) y = ; x − 2; 3. 1.239. Не выконваючы пабудову, знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) y 4 cos x 6 3; б) y 1 sin x 2 4 1,5. 1.240. Не выконваючы пабудову, знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца: а) y = x; б) y = − x; в) y = 8,7cos x; г) y 1 cos x. 5 1.241. Пабудуйце графік функцыі y cos x . Выкарыстаўшы гра6 фік, вызначце: а) нулі функцыі; б) прамежкі спадання і нарастання функцыі; Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя в) найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца; г) прамежкі знакапастаянства функцыі. 1.242. Пабудуйце графік функцыі y = x − 1,5. Выкарыстаўшы графік, вызначце: а) прамежкі спадання і нарастання функцыі; б) найбольшае і найменшае значэнні функцыі і значэнні аргумента, пры якіх яны дасягаюцца; в) нулі функцыі; г) мноства значэнняў функцыі. 1.243. Рашыце няроўнасць x+ x 3 4 x 2 3. Ці праўда, што няроўнасць 0 раўназначна дадзенай няроўнасці 1.244. Знайдзіце значэнне выразу 311 93 275 . 1.245. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі f x 1.246. Рашыце сістэму ўраўненняў 6. x2 2x2 3xy y2 y 2x 4. 4 7x 6 . 12, унк ыі y = tg x і y = ctg x. І улас івас і і графікі 13 1.247. З лікаў ; 2 функцыі: а) y = x; б) y = 6 ; 5 ; 2 ; 3 ; 0; 2 ; 7 2 выберыце нулі x. x2 1 1.248. Даследуйце на цотнасць (няцотнасць) функцыю y . 1.249. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y 2 . x 9 x 2 Азна энне. Залежнасць, пры якой кожнаму рэчаіснаму ліку x 2 n, n ∈ Z, адпавядае значэнне tg x, называецца функцыяй y = tg x. Азна энне. Залежнасць, пры якой кожнаму рэчаіснаму ліку x n, n ∈ Z, адпавядае значэнне ctg x, называецца функцыяй y = ctg x. Правообладатель Народная асвета 75 76 Раздзел 1 Разгледзім уласцівасці гэтых функцый. Функцыя y = tg x Функцыя y = ctg x 1. А сяг вызна эння функ ыі Усе рэчаісныя лікі, акрамя x 2 n ∈ Z. sin x Паколькі tg x = , то cos x ≠ 0, cos x г. зн. x 2 n, n, n ∈ Z. 2. Усе рэчаісныя лікі, акрамя x = pn, n ∈ Z. x то sin x ≠ 0, Паколькі x= x г. зн. x n, n ∈ Z. ноства зна эння функ ыі tg u; u tg a — гэта ардыната пункта А на восі тангенсаў. Пры руху пункта Pa па адзінкавай акружнасці ардыната адпаведнага пункта А змяняецца ад −u да +u. ctg u; u ctg a — гэта абсцыса пункта А на восі катангенсаў. Пры руху пункта Pa па адзінкавай акружнасці абсцыса адпаведнага пункта А змяняецца ад −u да +u. 3. Перыяды нас ь функ ыі Найменшы дадатны перыяд T = p. Калі x ∈ , то і (x + p) ∈ , і (x − p) ∈ . tg x Найменшы дадатны перыяд T = p. Калі x ∈ , то і (x + p) ∈ , і (x − p) ∈ . sin x cos x x x x sin x tg x. cos x Правообладатель Народная асвета x x x Трыганаметрыя 4. отнас ь (ня отнас ь) функ ыі Няцотная Няцотная Абсяг вызначэння — усе рэчаісныя Абсяг вызначэння — усе рэчаісныя лікі, акрамя x n, n Z. лікі, акрамя x tg x n, n 2 Z. 5. x tg x = sin x , cos x n, n x x x sin x sin x tg x. cos x cos x x n, n x улі функ ыі Z x = 0 пры x x x Z. x x x= x n, n 2 x = 0 пры n, n 2 Z Z. 6. Праме кі знакапастаянства функ ыі y G 0 пры x y H 0 пры x Пры x n; 2 n ,n n; n , n 2 y G 0 пры x Z y H 0 пры x Z n , n Z, (першая і трэ2 цяя чвэрці) значэнні sin x і cos x маюць аднолькавыя знакі, значыць, n; tg x = sin x G 0. cos x Пры x n; 2 n ,n 2 n; Z n ,n Z n , n Z, (першая 2 і трэцяя чвэрці) значэнні sin x і cos x маюць аднолькавыя знакі, значыць, xG x= x n; Пры x Пры x n; n , n (другая і Z, 2 чацвёртая чвэрці) значэнні sin x і cos x маюць розныя знакі, значыць, tg x = sin x H 0. cos x 7. анатоннас ь функ ыі Функцыя нарастае на кожным з прамежкаў 2 n; 2 n ,n n; n , n Z, (дру2 гая і чацвёртая чвэрці) значэнні sin x і cos x маюць розныя знакі, значыць, xH x= x Z. Функцыя не мае найбольшага і найменшага значэнняў. Функцыя спадае на кожным з прамежкаў x n; n , n Z. Функцыя не мае найбольшага і найменшага значэнняў. Правообладатель Народная асвета 77 78 Раздзел 1 Графік функцыі y = tg x паказаны на рысунку 88. анген оіда . н называецца Рыс. 88 Графік функцыі y = ctg x паказаны на рысунку 89. Гэты графік можа быць атрыманы пераўтварэннем графіка функцыі y = tg x. Рыс. 89 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Вызначце, ці належыць графіку функцыі y = tg x пункт: а) A(0; 0); б) В 4 ; 1; в) С 3 ; 0 . 2 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Рашэнне. а) Падставім у формулу y = tg x значэнне аргумента x = 0 і знойдзем адпаведнае значэнне функцыі y = tg 0 = 0. Атрыманае значэнне функцыі роўна ардынаце пункта A(0; 0), значыць, пункт A(0; 0) належыць графіку функцыі y = tg x. б) Пры x атрымаем y tg 1. Пункт В 1 4 жыць графіку функцыі y = tg x. 3 2 в) Пры x tg 3 атрымаем y 2 4 ; 1 не нале- — не існуе. Пункт С 3 ; 0 не належыць графіку функцыі y = tg x. 2 2. Ці праўда, што графік функцыі y = ctg x праходзіць праз пункт: а) А 2 ;0 ; б) В ; 3 ; 6 3 в) C(−p; 0) Рашэнне. а) Падставім у формулу y = ctg x значэнне аргумента x і знойдзем адпаведнае значэнне функцыі y Атрыманае значэнне функцыі роўна ардынаце пункта А значыць, графік функцыі y = ctg x праходзіць праз пункт А 2 2 ;0 , ;0 . Праўда. б) Пры x атрымаем y Графік функцыі y = ctg x не праходзіць праз пункт В ; 3 . Няпраўда. 6 3 в) Пры x = −p атрымаем y = ctg (−p) — не існуе. Графік функцыі y = ctg x не праходзіць праз пункт C(−p; 0). Няпраўда. 3. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) y = ctg 3x; б) y = tg x . 5 Рашэнне. а) Паколькі абсяг вызначэння функцыі y = ctg t гэта ўсе рэчаісныя лікі, акрамя лікаў выгляду t n, n Z, то n 3x n, n Z, значыць, x , n Z. Такім чынам, абсяг вызна3 чэння дадзенай функцыі — гэта ўсе рэчаісныя лікі, акрамя лікаў выгляду n , n Z. 3 Правообладатель Народная асвета 79 80 Раздзел 1 б) Абсягам вызначэння функцыі y = tg t з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў, акрамя лікаў выгляду t n, n Z. Значыць, x 5 n, n 2 2 5 2 x Z; 5 n, n Z. Абсяг вызначэння дадзе- най функцыі — гэта ўсе рэчаісныя лікі, акрамя лікаў выгляду 5 5 n, n Z. 2 4. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y = tg 2 x ; б) y = ctg 8x. 7 Рашэнне. а) Паколькі мноства значэнняў функцыі y = tg t — гэта tg 2 мноства ўсіх рэчаісных лікаў, то і u; u . 7 б) Паколькі мноства значэнняў функцыі y = ctg t — гэта мноства ўсіх рэчаісных лікаў, то і E(ctg 8x) = R. 5. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцый y = tg y = ctg x, знайдзіце: б) а) tg 4 p ; p в) tg 31p ; 3 p г) 6 і Рашэнне. Паколькі лік p з’яўляецца найменшым дадатным пе- рыядам функцый y = tg x і y = ctg x, то tg (pn + a) = tg a, n ∈ Z, і ctg (pn + a) = ctg a, n ∈ Z. Тады: а) tg 4 tg 3 3 tg 3 tg 3 3; 3 б) в) tg 31 tg 6 30 6 tg 5 6 tg 6 3 ; 3 г) 6. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцый y = tg x і y = ctg x, знайдзіце: а) tg 3 ; в) tg (− p); б) г) Рашэнне. Паколькі функцыі y = tg x і y = ctg x з’яўляюцца ня- цотнымі, то tg а) tg 3 tg tg 3 3; і Тады: б) Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя в) tg 2 tg 2 0; г) 7. Вызначце знак здабытку Рашэнне. Паколькі p ≈ 3,14, то ны належыць прамежку p H 2 H p, 2 г. зн. вугал 2 радыя- на якім функцыя y = tg x прымае ; , 2 адмоўныя значэнні, значыць, tg 2 H 0. Вугал 4,5 радыяна належыць прамежку ; 3 , на якім функцыя y = ctg 2 прымае дадатныя значэнні, значыць, ctg 4,5 G 0. Вугал 7 радыян належыць прамежку 2; , на якім функ5 2 цыя y = tg x прымае дадатныя значэнні, г. зн. tg 7 G 0. Значыць, tg 2 ctg 4,5 tg 7 H 0. 8. то больш: ctg 151° ці ctg 178° Рашэнне. Паколькі вуглы 151° і 178° належаць прамежку (0°; 180°), на якім функцыя y = ctg x спадае, і 151° H 178°, то ctg 151° G ctg 178°. 9. Пабудуйце графік функцыі: а) y tg x 3 ; б) y = ctg x + 1. Рашэнне. а) Графік функцыі y tg x 3 атрымліваем зрухам графіка функцыі y = tg x уздоўж восі абсцыс на p управа (рыс. 90). Рыс. 90 Правообладатель Народная асвета 81 82 Раздзел 1 б) Графік функцыі y = ctg x + 1 атрымліваем зрухам графіка функцыі y = ctg x уздоўж восі ардынат на 1 адзінку ўверх (рыс. 91). Рыс. 91 9 ; 3 ; 5 ; 2 2 функцыі: а) y = tg x; б) y = ctg x кія з лікаў ; 2 ; 0; 3 ; 4 2 не належаць абсягу вызначэння 1.250. Вызначце, якія з дадзеных пунктаў належаць графіку функцыі y = tg x: а) A(p; 0); б) В в) С ; г) D ; 1; ;1 . 3 ; 4 2 3 1.251. З дапамогай графіка функцыі y = tg x вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным p , значэнне функцыі роўна 1; 4 б) лікі p; 2p з’яўляюцца нулямі функцыі; в) tg 5 6 3. 1.252. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя y = tg x прымае значэнне, роўнае −1. 1.253. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) y = tg 3x; б) y = tg x . 4 1.254. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) tg 13 p ; 6 б) tg 16 p ; в) tg 9 p ; 3 Ці праўда, што лікі 9 ; дадзенай функцыі 4 4 ; г) tg 19p. ; 2 ; 15 ; 100 з’яўляюцца перыядамі Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.255. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) tg 405°; б) tg 240°; в) tg 720°; г) tg 1110°. 1.256. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) tg 4 б) tg ; 6 в) tg ; г) tg ; 5 . 1.257. Выкарыстаўшы ўласцівасці перыядычнасці і няцотнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: 7 3 а) f б) f ; 1.258. З лікаў 12 ; цыі (x) = tg x. 7 ; 3 1.259. З лікаў 33 ; 4 7 ; 2 2 3 ; 4 6 67 6 в) f ; 2 ; 0; 8 ; 4 г) f ; 57 . ; 0; 9 ; 5 выберыце нулі функ2 ; 5 ;2 выберыце значэнні аргумен- 6 та, пры якіх функцыя y = tg x прымае адмоўныя значэнні. 1.260. Ці праўда, што tg x G 0, калі: а) x 0; в) x 5 ;3 2 2 ; ; б) x 5 ; 2 г) x ; 2 ; 2 ? 1.261. Вызначце знак выразу tg (− °) tg (− °) tg 197°. 1.262. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі y = tg x, параўнайце лікі: а) tg p і tg 3 p ; 7 5 6 б) tg 7 7 6 і tg . 1.263. Размясціце ў парадку нарастання лікі tg (−0,5), tg 1,4 і tg 0,3. 1.264. З дапамогай графіка функцыі y = tg x пабудуйце графік функцыі: а) y tg x 3 б) y = tg x − 1. ; 1.265. Ці праўда, што графік функцыі y = ctg x праходзіць праз пункт: а) А ; 0 ; 2 б) В ; 3 3 3 ; в) С 4 ;1; г) D ; 1? 1.266. З дапамогай графіка функцыі y = ctg x вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным 3 p , значэнне функцыі роўна 0; 2 б) лікі − p; p з’яўляюцца нулямі функцыі; в) 1.267. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя y = ctg x прымае значэнне, роўнае 3. Правообладатель Народная асвета 83 84 Раздзел 1 1.268. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: б) y = ctg x . а) y = ctg 5x; 3 1.269. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = ctg x, знайдзіце: а) ctg 19 p ; б) ctg 21p ; 6 в) ctg 28 p ; 4 г) ctg 11p . 3 2 1.270. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі знайдзіце: а) ctg 3 2 б) ctg ; 6 (x) = ctg x, . 1.271. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = ctg x, знайдзіце: а) f 49 2 б) f ; 37 6 в) f ; 9 4 . 11 1.272. З лікаў выберыце нулі ; 5 ; 3 ; ; ; 0; 3 ; 9 2 2 3 2 функцыі (x) = ctg x. 5 выберыце значэнні ; 3 ; ; ; ; 2 ; 3 1.273. Сярод лікаў 3 4 3 8 б) x 5 ; 2 2 ; г) x ; 2 3 2 аргумента, пры якіх функцыя y = ctg x прымае дадатныя значэнні. 1.274. Ці праўда, што ctg H 0, калі: а) x 0; в) x 5 ;3 2 2 ; ; 2 1.275. Вызначце знак выразу ctg ? 5 7 ctg 13 . 7 1.276. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі y = ctg x, параўнайце лікі: а) ctg 20° і ctg 130°; б) ctg (− °) і ctg (−100°). 1.277. Размясціце ў парадку спадання лікі ctg 1, ctg 3 і ctg 2. 1.278. Пабудуйце графік функцыі y x Выкарыстаўшы гра- фік, вызначце: а) нулі функцыі; б) прамежкі спадання і нарастання функцыі; в) прамежкі знакапастаянства функцыі. 1.279. Ці праўда, што графік функцыі y = tg x праходзіць праз пункт: а) А ; 1 ; 4 б) B 2 ; 0; в) С 2 ; 1? 1.280. З дапамогай графіка функцыі y = tg x вызначце, ці праўда, што: Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя а) пры значэнні аргумента, роўным −p, значэнне функцыі роўна 0; б) лік p з’яўляецца нулём функцыі; в) tg 4 1. 1.281. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя y = tg x прымае значэнне, роўнае 3. 1.282. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: а) y = tg 2x; б) y = tg x . 8 1.283. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) tg 4 p ; б) tg 17 p ; в) tg 19 p ; г) tg 7p. 3 4 6 1.284. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) tg б) tg (− p). ; 6 1.285. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = tg x, знайдзіце: а) (− p); б) f 21 4 19 3 в) f ; . 1.286. Ці праўда, што нулямі функцыі (x) = tg x з’яўляюцца лікі: б) 5 p ; а) 2p; 2 г) p ; в) − p; д) 2 9 ; 2 е) 11p 1.287. Вызначце знак выразу tg (−1) tg 0,5 tg 1. 1.288. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі y = tg x, параўнайце лікі p tg і tg 4 p . 5 9 1.289. Размясціце ў парадку спадання лікі tg (−37°), tg 67° і tg 23°. 1.290. З дапамогай графіка функцыі y = tg x пабудуйце графік функцыі: а) y tg x 6 ; б) y = tg x + 2. 1.291. Вызначце, ці належыць графіку функцыі y = ctg x пункт: а) А 4 ; 1; б) В 3 ; 0 ; 2 в) C 2 ; 0. 1.292. З дапамогай графіка функцыі y = ctg x вызначце, ці праўда, што: а) пры значэнні аргумента, роўным p, значэнне функцыі роўна 0; б) лік 5 p з’яўляецца нулём функцыі; в) ctg 3 1. 2 4 1.293. Знайдзіце некалькі значэнняў аргумента, пры якіх функцыя y = ctg x прымае значэнне, роўнае 1. 1.294. Знайдзіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў функцыі: x а) y = ctg 8x; б) y = Правообладатель Народная асвета 85 86 Раздзел 1 1.295. Выкарыстаўшы ўласцівасць перыядычнасці функцыі (x) = ctg x, знайдзіце: а) ctg 7 p ; б) ctg 31p ; в) ctg 13 p ; г) ctg 19 p . 3 6 4 2 Ці праўда, што лік 7p з’яўляецца перыядам дадзенай функцыі 1.296. Выкарыстаўшы ўласцівасць няцотнасці функцыі (x) = ctg x, знайдзіце: а) б) в) г) 1.297. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі (x) = ctg x, знайдзіце: 19 3 б) f а) (−7,5p); в) f ; 25 4 . 1.298. Ці праўда, што нулямі функцыі (x) = ctg x з’яўляюцца лікі: а) p ; б) 5p; 2 в) 9 ; 2 г) p; д) −7p; 1.299. Вызначце знак выразу е) 11p ? 2 1.300. Выкарыстаўшы ўласцівасці функцыі y = ctg x, параўнайце лікі ctg (−100°) і ctg (−30°). 1.301. Размясціце ў парадку нарастання лікі ctg 1, ctg 0,5 і ctg 2. 1.302. З дапамогай графіка функцыі y = ctg x пабудуйце графік функцыі: а) y ctg x 6 б) y = ctg x − 1. ; 1.303. Пабудуйце графік функцыі y 2 3 tg x . Выкарыстаўшы гра- фік, вызначце: а) нулі функцыі; б) прамежкі спадання і нарастання функцыі; в) прамежкі знакапастаянства функцыі. 1.304. Не вылічваючы каранёў x і x ураўнення x + знайдзіце значэнне выразу 1.305. Спрасціце выраз: а) 6 7 − 28 ; в) 2 5 2 18 ; x1 + x2 . 4 x1x2 x− = 0, 20 5 ; г) 27 75 2 3 . 2 б) x 4 1 x 1.306. Рашыце сістэму няроўнасцей x 2 2, x 2 3 1. 1.307. У геаметрычнай прагрэсіі b = 0,125, q = 2. Знайдзіце b10 і S10. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 7. Арксінус, арккосінус, арктангенс і арккатангенс ліку 1.308. Пры якім значэнні аргумента значэнне функцыі y = x − роўна: а) 0; б) 6; в) −3; г) 1,5 1.309. Ці існуе значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі y = x роўна: а) 8; б) −8; в) 32; г) 0 1.310. Колькі значэнняў аргумента адпавядаюць значэнню функцыі y = x , роўнаму: а) 2,5; б) 3 ; в) −10; 7 г) 0 Пры вывучэнні трыганаметрычных функцый часта паўстае пытанне аб знаходжанні значэння аргумента, пры якім значэнне функцыі роўна зададзенаму ліку. Напрыклад, знойдзем усе значэнні аргумента, пры якіх значэнне функцыі y = x роўна 1 , г. зн. выконваецца 2 роўнасць sin x = 1 . Паколькі ya = чым 1 2 2 a, то на восі ардынат адзна- і праз пункт 0; 1 2 правядзём прамую, 2 5 1 1 паралельную восі абсцыс (рыс. 92). На адзінкавай акружнасці знойдзем пункты Pa і Pa2 , ардынаты якіх роўны 1 . Гэтым 2 пунктам адпавядаюць вуглы 5 6 6 2 n, n ∈ Z, і 2 n, n ∈ Z, і такіх вуглоў бясконца многа. Аднак, калі разгледзець прамежак 2 ; 2 Рыс. 92 , то на ім функцыя y = x нарастае і прымае ўсе значэнні ад −1 да 1. Таму для любога ліку a з прамежку [−1; 1] існуе адзіны лік x ; 2 2 такі, што sin x = a. існуе адзінае знаТак, на прамежку ; 2 2 чэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі y= x роўна 1 , — гэта вугал, роўны p 2 (рыс. 93). Правообладатель Народная асвета Рыс. 93 87 88 Раздзел 1 Азна энне. Арксінусам ліку a называецца вугал, які належыць прамежку 2 ; 2 , сінус якога роўны a (рыс. 94). Гэты вугал абазначаюць arcsin a. Так, arcsin 1 sin 2 1 . 2 6 6 паколькі , 6 2 ; і 2 arcsin a = a, калі Пр клад . Вылічыце: 2 а) arcsin 2 ; ; 2 і sin a = a 2 б) arcsin 1. Рыс. 94 ашэнне. а) arcsin 2 2 4 2 ; і sin 2 б) arcsin 1 2 4 , паколькі 2 ; 2 4 , бо 2 2 ; і sin 2 1. 2 Пр клад . Знайдзіце значэнне выразу: б) arcsin 2 . а) arcsin 1 ; 2 2 1 2 ашэнне. а) arcsin 6 2 ; б) arcsin і sin 4 2 і sin 2 2 4 2 2 6 , паколькі 1 2 6 (рыс. 95, а); , паколькі 4 2 ; 2 (рыс. 95, б). Заўважым, што arcsin 1 arcsin 1 , 2 2 arcsin 2 arcsin 2 (гл. рыс. 95). 2 2 Паколькі вуглы, што адпавядаюць пунктам Рыс. 95 Pa і P−a, дзе 2 ; 2 , з ардынатамі a і −a Правообладатель Народная асвета 89 Трыганаметрыя адрозніваюцца толькі знакам, то arcsin (−a) = arcsin (−a) = −arcsin a = −arcsin a, для любога ліку a ∈ [−1; 1] (рыс. 96). Няхай a = arcsin a, тады і sin a = a. ; 2 2 Паколькі пункты Pa і P−a маюць процілеглыя ардынаты, то sin (−a) = −a. і sin (−a) = −a, то па азначэнні ; 2 2 арксінуса arcsin (−a) = −a. Паколькі Паколькі a = arcsin a, то arcsin (−a) = −arcsin a для 1; 1 . любога ліку a Выкарыстаем атрыманую роўнасць і знойдзем значэнне выразу Рыс. 96 arcsin 1 arcsin 3 . 2 Паколькі arcsin то arcsin 1 1 arcsin arcsin 1 3 2 2 2 3 3 2 і arcsin 2 3 Падкрэслім, што абсягам вызначэння выразу arcsin a з’яўляецца адрэзак [−1; 1]. Калі a G 1, то выраз arcsin a не мае сэнсу. Напрыклад, выразы arcsin 3, arcsin (−5), arcsin p не маюць сэнсу, паколькі 3 1; 1 , 5 1; 1 , 1; 1 . 6 arcsin 3 2 3 , . Выраз arcsin (−1,7) не мае сэнсу, паколькі 1,7 1; 1 З азначэння арксінуса ліку вынікае, што sin (arcsin a) = a, калі a 1; 1 , і arcsin (sin a) = a пры Напрыклад, sin arcsin 1 2 а arcsin sin 4 4 1 , 2 , arcsin sin 2 ; 2 , sin arcsin 1 5 . 3 5 1 3 . Разгледзім прамежак [0; p], на якім функцыя y = x нарастае і прымае ўсе значэнні ад −1 да 1. Для любога ліку a з прамежку [−1; 1] існуе адзіны лік x ∈ [0; p] такі, што cos x = a. Правообладатель Народная асвета 90 Раздзел 1 Азна энне. Арккосінусам ліку a называецца вугал, які належыць прамежку [0; p], косінус якога роўны a (рыс. 97). Гэты вугал абазначаюць arccos a. Напрыклад, arccos 2 arccos a cos arc π 2 a 0 і cos 4 , паколькі 0; 4 2 . 2 4 arccos a = a, калі a ∈ [0; p] і cos a = a Пр клад . Вылічыце: а) arccos 1 ; 2 Рыс. 97 б) arccos 0. ашэнне. а) arccos 1 2 і cos 3 3 , паколькі 0; 3 1 ; 2 б) arccos0 2 , бо 0; 2 і cos 0. 2 Пр клад . Знайдзіце значэнне выразу: а) arccos 1 ; 2 б) arccos 2 . 2 1 2 ашэнне. а) arccos 3π 4 π 4 2 3 і cos 2 0; 2 2 б) arccos 2 2 і cos 3 4 Заўважым, Рыс. 98 arccos 1 2 3 2 2 2 , паколькі 3 (рыс. 98, а); 3 , паколькі 3 4 4 0; (рыс. 98, б). што arccos 1 2 arccos 1 , arccos 2 (гл. рыс. 98). 2 Правообладатель Народная асвета 2 91 Трыганаметрыя Няхай a = arccos a, тады a ∈ [0; p] і cos a = a. Паколькі пункты Pa і Pp − a маюць процілеглыя абсцысы, то cos (p − a) = −a. Паколькі p − a ∈ [0; p] і cos (p − a) = −a, то па азначэнні арккосінуса arccos a . Паколькі a = arccos a, то arccos ( a) arccos( a) arccos a arccos a arccos (–a) для любога ліку a ∈ [−1; 1] (рыс. 99). arccos a Выкарыстаем атрыманую роўнасць і знойдзем значэнне выразу arccos 1 2arccos 3 . 2 Паколькі arccos 1 і arccos то arccos 1 arccos 1 3 2 0 Рыс. 99 arccos 3 2 3 2 2arccos 5 , 6 6 2 5 5 3 6 Абсягам вызначэння выразу arccos a з’яўляецца адрэзак [−1; 1]. Калі a G 1, то выраз arccos a не мае сэнсу. Напрыклад, выразы arccos 1,5, arccos (−8), arccos p не маюць сэнсу, паколькі 1; 1 , 8 1; 1 , Выраз arccos 3 не мае сэнсу, паколькі 3 2 1,5 8 . 3 1; 1 1; 1 . 2 З азначэння арккосінуса ліку вынікае, што cos (arccos a) = a, калі a ∈ [−1; 1], і arccos (cos a) = a пры a ∈ [0; p]. Напрыклад, cos arccos 1 2 arccos cos 7 8 , а arccos cos 1 , cos arccos 1 2 3 1 3 4 4 , 7 . 8 На прамежку манатоннасці 2 ; 2 функцыі y = tg x існуе адзіны ву- гал, тангенс якога роўны некатораму дадзенаму ліку a. Правообладатель Народная асвета 92 Раздзел 1 Азна энне. Арктангенсам ліку a называецца вугал, які належыць прамежку 2 ; 2 , тангенс якога роўны a (рыс. 100). Гэты вугал абазначаюць arctg a. Так, arctg1 tg 1. 4 паколькі , 4 2 ; 2 і 4 a ctg Пр клад . Вылічыце: а) arctg 3; б) arctg 0; в) arctg (−1). ашэнне. а) arctg 3 ar Рыс. 100 3 2 ; і tg 2 2 3 в) arctg tg і tg a = a 2 3; 3 1 ; , паколькі б) arctg 0 = 0, паколькі 0 arctg (−a) = −arctg a a arctg a = a, калі 4 2 , паколькі ; 2 і tg 0 = 0; 4 2 ; 2 і 1. 4 Для любога ліку a ∈ R правільная роўнасць arctg (−a) = −arctg a (рыс. 101). Пр клад 2 . Знайдзіце значэнне выразу 5arctg 3 1 arctg 3 . 3 ашэнне. Паколькі arctg arctg 3 arctg 3 3 і arctg 5arctg 5 3 Рыс. 101 3 3 3 1 arctg 2 21 12 12 arctg 3 3 3 5 3 3 arctg 3 6 3 , то 1 2 6 7 . 4 З азначэння арктангенса ліку вынікае, што tg (arctg a) = a пры a ∈ R і arctg (tg a) = a пры 2 ; 2 . Правообладатель Народная асвета 3 93 Трыганаметрыя Напрыклад, tg arctg 3 3 , 3 3 arctg tg 5 5 , а arctg tg tg arctg 1 1 3 3 4 4 , . На прамежку манатоннасці (0; p) функцыі y = ctg x існуе адзіны вугал, катангенс якога роўны некатораму дадзенаму ліку a. Азна энне. Арккатангенсам ліку a называецца вугал, які належыць прамежку (0; p), катангенс якога роўны a (рыс. 102). Гэты вугал абазначаюць arcctg a. Напрыклад, arcctg 3 6 0; 6 , паколькі P arcctg a і c arc Пр клад . Вылічыце: а) arcctg 1; б) arcctg 0; в) arcctg 3 . ашэнне. а) arcctg1 0; 4 , паколькі 2 , паколькі 2 0; і в) arcctg 2 3 0; arcctg a = a, калі a ∈ (0; p і ctg a = a і б) arcctg 0 0 Рыс. 102 3 4 tg a 3 3 arcctg (−a) = p − arcctg a 2 , паколькі 3 arcctg і arcctg a Для любога ліку a ∈ R правільная роўнасць arcctg (−a) = p − arcctg a (рыс. 103). Пр клад . Знайдзіце значэнне выразу 3arcctg 1 arcctg 3 . Правообладатель Народная асвета Рыс. 103 94 Раздзел 1 ашэнне. Паколькі arcctg arcctg 3 3 3 4 5 6 9 4 5 6 6 5 , 6 1 arcctg 1 то 3arcctg 4 1 3 4 arcctg 3 3 5 6 і arcctg 3 3 4 17 . 12 З азначэння арккатангенса ліку вынікае, што ctg (arcctg a) = a, калі 0; . a ∈ R, і arcctg (ctg a) = a пры Напрыклад, а Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Ці праўда, што: а) arcsin 3 в) arctg б) arccos 1 = 0; ; 2 3 1 3 ; 4 г) arcctg Рашэнне. а) Праўда, паколькі 3 3 3 2 ; б) праўда, паколькі 0 ∈ [0; p] і cos 0 = 1; в) няпраўда, паколькі 3 4 г) няпраўда, паколькі 2. Вылічыце: 2 ; 0; 3 2 в) arctg (−1); г) arcctg 3 . Рашэнне. а) arcsin 1 в) arctg 1 3 ; б) arccos 2 ; 2 2 і sin . а) arcsin (−1); б) arccos 2 ? arcsin 1 arccos 2 2 arctg 1 2 4 2 4 ; 3 ; 4 ; Правообладатель Народная асвета 3 ; 2 9 4 5 6 Трыганаметрыя г) arcctg 3 arcctg 3 5 . 6 6 3. Знайдзіце значэнне выразу: а) arccos (−1) + arcsin (−1) + arctg (−1); б) arccos 0 1 2 arcsin arctg 0. Рашэнне. а) arccos (−1) + arcsin (−1) + arctg (−1) = б) arccos 0 1 2 arcsin arctg 0 2 4. Ацаніце значэнне выразу arctgx 0 6 3 2 4 4 ; . 3 . 4 Рашэнне. Па азначэнні арктангенса ліку 2 H arctgx H 2 . Выкарыстаем уласцівасці лікавых няроўнасцей і атрымаем: 3 3 H arctgx 3 H ; 5 H arctgx 3 H . 2 4 4 2 4 4 4 4 5. Знайдзіце абсяг вызначэння выразу: а) arcsin x 1; б) arccos 2x 5 . Рашэнне. а) Па азначэнні арксінуса ліку arcsin (x − 1) — гэта вугал, сінус якога роўны (x − 1), г. зн. −1 x − 1 1, 0 x 2, x 0; 2 . б) Па азначэнні арккосінуса ліку arccos (2x + 5) — гэта вугал, косінус якога роўны (2x + 5), г. зн. 1 2x 5 1, −6 2x − 4, −3 x − 2, x 3; 2. 6. Знайдзіце значэнне выразу: а) arccos sin 2 ; б) Рашэнне. а) arccos sin 2 arccos 0 2 ; б) 7. Вылічыце sin 3arccos 2 2 Рашэнне. sin 3arccos 2 2 4 4 . sin 3 4 4 sin 3 4 Правообладатель Народная асвета 4 sin 2 1. 95 96 Раздзел 1 8* . Знайдзіце значэнне выразу arccos cos 11 . 5 Рашэнне. Выкарыстаем формулу arccos (cos a) = a пры a ∈ [0; p]. Паколькі 11 0; 5 , то гэтай формулай адразу карыстацца нельга. Паколькі cos 11 cos 2 5 arccos cos 5 5 cos 5 5 і 5 0; , то arccos cos 11 5 . 9* . Знайдзіце значэнне выразу Рашэнне. Паколькі sin (arcsin a) = a пры a ∈ [−1; 1] і ctg (arcctg a) = a пры a ∈ R, то 1. З лікаў 2 2. З лікаў p ; 7 . 2 7 3 7 1 7 ; 0 і p выберыце лік, які не можа быць значэннем выразу arcsin b. 3 8 і 5 p выберыце лік, які можа быць значэннем выразу arcctg a. 9 1.311. Ці праўда, што: а) arccos 2 2 в) arctg 4 3 б) arcsin 1 ; 3 ; г) arcctg 2 3 2 ; 3 ? 1.312. Выкарыстайце азначэнне arcsin a, arccos a, arctg a або arcctg a і знайдзіце значэнне выразу: а) arcsin 3 ; 2 д) arccos 1 ; 2 е) arccos ; б) arcsin 2 ; 2 3 2 в) arcsin 0; г) arcsin (−1); ж) arccos 1; з) arccos 0; м) arctg 1 ; і) arctg 1; к) arctg 3; л) arctg 0; н) arcctg 3 ; 3 о) arcctg 0; п) arcctg 3 ; Правообладатель Народная асвета 3 р) arcctg (−1). Трыганаметрыя 1.313. Знайдзіце значэнне выразу: 3 2 а) arcsin в) arctg 2 ; 3 3 ; 4 1 б) arccos 2 2 г) arcctg 3 3 4 ; 2 . 1.314. Выкарыстайце азначэнні arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a і вылічыце: а) arctg 1 + 3arccos 1; б) 2arctg (−1) − arcsin (−1); arcctg . г) 2arctg 1 в) 4arccos (−0,5) + arcsin (−0,5); 1.315. Ацаніце значэнне выразу: а) arctg b 8 4 . 15 б) 2arccosb ; 1 3 3 1.316. Знайдзіце абсяг вызначэння выразу: а) arcsin (2x − 3); б) arccos (5 − x). 1.317. Вызначце паслядоўнасць дзеянняў для вылічэння значэння выразу і вылічыце: г) arcsin 2cos ; а) arctg ctg ; б) arctg sin 3 ; в) arccos sin 2 д) arccos 3sin ; е) arcctg 3 2 3 ; 3 cos 4 . 1.318. Вызначце паслядоўнасць дзеянняў і знайдзіце значэнне выразу: а) tg 2arcsin 1 ; б) cos 8 arcsin 1 ; в) sin 11arcctg 1; г) tg 2arctg 2 2 д) sin arcsin 1 arccos 1 ; 2 2 1 3 6 ; е) cos arccos 3 1 arcsin 3 . 2 2 2 1.319. Выкарыстайце азначэнні arcsin a, arccos a, arctg a і знайдзіце значэнне выразу 2arcsin 2 2 2 2 arccos 3arctg 3 arccos 0. sin 3arccos . 1.320. Вылічыце: ctg 2arcsin 1 2 3 2 1.321. Знайдзіце значэнне выразу: а) arcsin 0 + arccos 0 + arctg 0 + arcctg 0 − p; б) arcsin (−1) + 2arccos (−1) + 4arctg (−1) + 2arcctg (−1) + Правообладатель Народная асвета p. 97 98 Раздзел 1 1.322. Выкарыстайце азначэнне arcsin a, arccos a, arctg a або arcctg a і знайдзіце значэнне выразу: д) arcsin ; б) arccos 2 ; а) arcsin 1 ; 2 2 3 2 г) arcctg 1; ж) arcsin 1; з) arccos (−1); в) arctg – 3 ; е) arcctg 3 ; 3 і) arctg 0. 1.323. Выкарыстайце азначэнні arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a і вылічыце: 3 2 а) arccos 3 ; 4 3 3 б) arcctg 2 . 1.324. Знайдзіце значэнне выразу: а) arctg (−1) − arcctg (−1); б) arccos 0 − arcsin 0; в) arctg 3 2arcctg 3; г) 2arccos 2 3arcsin 3 . 2 2 1.325. Ацаніце значэнне выразу: а) arcctg b − p; б) 3arcsin b 6 1.326. Знайдзіце абсяг вызначэння выразу: . б) arcsin 7 x . а) arccos (8x + 1); 2 1.327. Выберыце паслядоўнасць дзеянняў і знайдзіце значэнне выразу: б) arccos ctg ; а) arcctg tg ; 6 в) arcsin 1 tg 2 3 4 г) arctg (2sin 3p). ; 1.328. Вылічыце значэнне трыганаметрычнай функцыі, выкарыстаўшы значэнні arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a: а) sin arccos 1 ; б) cos (2arctg 1); в) г) cos arccos 2 д) tg 2arctg 3 3 6 ; 1 2 3 ; е) sin arcctg 3 2arccos 1 . 3 Правообладатель Народная асвета 2 Трыганаметрыя 1.329. Знайдзіце значэнне выразу 2 arcsin 1 3arccos 2 5arcctg –1 arccos 1. 2 1.330. Вылічыце: а) 5arcsin 2 arccos 2 4 arctg – 3 arcsin 0; б) 2 2 1.331. Перавядзіце 1 234 500 км у метры і запішыце вынік у стандартным выглядзе. 1.332. Знайдзіце карані ўраўнення x2 x 49 7 0. 1.333. Раскладзіце на множнікі: а) 7a − a; б) 4m − n ; в) b − b + b − 1; г) x − x + 8. 1.334. Знайдзіце нуль функцыі y 3 x 12. Прывядзіце прыклад 4 лінейнай функцыі, якая не мае нулёў. x2 4 0, 1.335. Рашыце сукупнасць няроўнасцей 7 x 14 0. 1.336. Знайдзіце значэнне выразу 9 3 . 13 2 4 13 1.337. Знайдзіце каардынаты пункта, сіметрычнага пункту A(8; −5) адносна восі сіметрыі парабалы y = x + x + 3. 8. Трыганаметры ныя ра ненні 1.338. Колькі каранёў мае ўраўненне: а) x 1 x 2,1 x 1,5 0; 1.339. З лікаў −3; − 3 ; − 1; 0; 1; x4 4 x2 3 0. 1.340. Ці праўда, што ўраўненні 2x б) x = −3 3 ; 3 выберыце карані ўраўнення 12 0 і x2 x 36 6 0 раўназначныя Правообладатель Народная асвета 99 100 Раздзел 1 Пры вывучэнні фізічных працэсаў, звязаных з гарманічнымі ваганнямі, разглядаюць функцыю f (t ) A cos( t ), дзе A — амплітуда вагання, — частата вагання, j — пачатковая фаза вагання. Напрыклад, f t 3 cos 2t 6 ,A 3, 2, 6 . Адна з задач, якую рашаюць пры вывучэнні працэсу вагання, заключаецца ў тым, каб знайсці моманты часу t, у якія амплітуда вагання дасягае некаторага значэння, напрыклад роўнага 2. Для рашэння гэтай задачы трэба рашыць ураўненне: 3 cos 2t 2. Гэта ўраўненне адносіцца 6 да трыганаметрычных. Разгледзім метады рашэння трыганаметрычных ураўненняў. айпрас ей ыя трыганаметры ныя ра ненні Найпрасцейшыя трыганаметрычныя ўраўненні — гэта ўраўненні выгляду sin x = a, cos x = a, tg x = a і ctg x = a. Напрыклад, ураўненні x x x x з’яўля- юцца найпрасцейшымі трыганаметрычнымі ўраўненнямі. Ура ненне x=a 1. Пры a G 1, г. зн. a H − або a G 1, ураўненне sin x = a не мае каранёў, паколькі мноствам значэнняў функцыі y = x з’яўляецца прамежак [−1; 1]. Напрыклад, ураўненні x = −2, sin x = 1,2 не маюць sin x = 5 , каранёў. 2. Разгледзім прыватныя выпадкі рашэння ўраўнення sin x = a для a = 0, a = 1 і a = −1. а) Рэшым ураўненне sin x = 0. Сінус ліку роўны нулю (г. зн. ардыната пункта, які адпавядае ліку, роўна нулю) толькі ў двух пунктах адзінкавай акружнасці (рыс. 104). Гэтыя пункты атрыманы з пункта P0(1; 0) у Рыс. 104 выніку паваротаў на вуглы 0; p; 2p; 3p; або −p; − p; − p; . x=0 Такім чынам, атрымаем, што sin x = 0 x = pn, n ∈ Z пры x = pn, дзе n ∈ Z. Правообладатель Народная асвета 101 Трыганаметрыя Рыс. 105 x 2 Рыс. 106 x= 2 n, n ∈ Z x 2 x=− 2 n, n ∈ Z б) Рэшым ураўненне sin x = 1. Сінус ліку роўны 1 для x ардыната пункта функцыі y = p 2 , паколькі роўна 1 (рыс. 105). Улічыўшы перыядычнасць x, атрымаем, што sin x = 1 пры x 2 2 n, дзе n ∈ Z. в) Рэшым ураўненне sin x = −1. Сінус ліку роўны −1 для x паколькі ардыната пункта 2 , роўна −1 (рыс. 106). У адпаведнасці з уласцівасцю перыядычнасці функцыі сінус атрымаем, што ўсе рашэнні ўраўнення sin x = −1 — гэта лікі выгляду x 2 2 n, дзе n ∈ Z. 3. Рэшым ураўненне sin x = a для 0 H a H 1, г. зн. для −1 H a H 0 або 0 H a H 1. Разгледзім рашэнне ўраўнення sin x = a на arcsin a прамежку [−p; p], роўным перыяду функцыі π – arcsin a y= x. На прамежку нарастання функцыі y = x, які належыць гэтаму перыяду, існуе адзінае значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі роўна а, гэта x = arcsin a (рыс. 107). На прамежку спадання функцыі y = x з гэтага перыяду існуе адзінае значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі роўна а, гэта Рыс. 107 Правообладатель Народная асвета 102 Раздзел 1 x = p − arcsin a (гл. рыс. 107). Улічыўшы перыядычнасць функцыі y = x, атрымаем усе рашэнні гэтага ўраўнення: x x arcsin a 2 k, arcsin a 2 k, k x = a, 0 H a H 1, n x 1 arcsin a Z. n, n∈Z Запішам атрыманыя рашэнні ў выглядзе x x 2k, arcsin a 2k arcsin a 1 ,k (1) (2) Z, n і аб’яднаем гэтыя дзве формулы ў адну: x 1 arcsin a n, n Z. З яе пры цотным n атрымаем формулу (1), а пры няцотным — формулу (2). Такім чынам, атрыманы ўсе рашэнні ўраўнення sin x = a пры любых значэннях a: x=a Ра энні ра нення a a Няма каранёў a=0 x a= x a x 1, a x 0 n, n 2 Z 2 n, n Z 2 n, n Z 2 n 1 arcsin a n, n Z Пр клад . Рашыце ўраўненне: а) sin x = 2, 4; б) sin x = 0; 3 ; 2 д) sin x = 2 . г) sin 2x = 5 в) sin 3x 1; 7 ашэнне. а) Паколькі 2,4 G 1, то ўраўненне sin x = 2,4 не мае каранёў. Адказ: няма каранёў. б) sin x = 0; x 5 5 n, n Z. Памно- sin x = 2 2 n 1 arcsin 2 x 2 жым абедзве часткі гэтага ўраўнення на 5 і атрымаем: x 5 n, n Адказ: 5 n, n Z. Z. x 1 Правообладатель Народная асвета n 4 n, n ∈ Z n, n ∈ Z Трыганаметрыя в) sin 3x 1; 3x 2 n, n ∈ Z. 2 Падзелім абедзве часткі гэтага ўраўнення на 3 і атрымаем: x 2 n , n Z. 3 2 n ,n 6 3 6 Адказ: sin x 2 2 n n arcsin 2 n, n ∈ Z 1 2 x n, n x 1 1 n n x 2 1 1 Адказ: 1 6 n, n ∈ Z 4 n 1 n, n ∈ Z 4 n, n Z, 2x 1 n n, n 3 абедзве часткі гэтага ўраўнення на 2 і атрымаем: x n n, n ∈ Z 4 Z. n 1 arcsin 3 Тады 2x n, n ∈ Z x рыстаем формулу каранёў трыганаметрычнага ўраўнення 1 arcsin a 2 2 1 arcsin Z. г) Паколькі 0 H 3 H 1, то для ра2 шэння ўраўнення sin2x = 3 выка2 x n x 1 Z. Падзелім n ,n 2 n n , n ∈ Z. 2 6 Z. д) Паколькі 0 H 2 H 1, то па формуле каранёў трыганаметрычнага ўраў7 нення x Адказ: n 1 arcsin a n, n Z, атрымаем: x 1 arcsin 2 n, n Z. Ура ненне x=a n 7 1. Пры a G 1, г. зн. a H − або a G 1, ураўненне cos x = a не мае каранёў, паколькі мноствам значэнняў функцыі y = x з’яўляецца прамежак [−1; 1]. Напрыклад, ураўненні cos x = 7, cos x = x = −p не маюць каранёў. = 6, 1 arcsin 2 n n, n 7 Z. Pπ 2 Pπ 2. Прыватныя выпадкі рашэння ўраўнення cos x = a для a = 0, a = 1 і a = − адзначаны на адзінкавай акружнасці (рыс. 108) і прыведзены ў табліцы. Правообладатель Народная асвета P0; P2π P3π 2 Рыс. 108 103 104 Раздзел 1 а) cos x = 0 x б) cos x = x в) cos x = − x n, n 2 2 n, n Z Z 2 n, n Z 3. Рэшым ураўненне cos x = a для 0 H a H 1, г. зн. для −1 H a H 0 або 0 H a H 1. Разгледзім рашэнне ўраўнення cos x = a на прамежку [−p; p]. Для x ∈ [0; p] існуе адзінае значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі y = x роўна а, гэта x = arccos a, яно з’яўляецца адзіным рашэннем ураўнення cos x = a на гэтым прамежку (рыс. 109). Паколькі функцыя y = x цотная, то x = −arccos a таксама з’яўляецца рашэннем гэтага ўраўнення. Улічыўшы перыядычнасць функцыі y = x, атрымаем усе рашэнні гэтага ўраўнення: x = arccos a + pn, n ∈ Z. Рыс. 109 x = a, 0 H a H 1, x = arccos a + pn, n∈Z Такім чынам, атрыманы ўсе рашэнні ўраўнення x = a пры любых значэннях a. Запішам іх у табліцу. x=a Ра энні ра нення a Няма каранёў a=0 x a= x a x x a H 1, a ≠ 0 n, n 2 2 n, n 2 n, n arccosa Z Z Z 2 n, n Z Пр клад . Рашыце ўраўненне: а) cos x 2 ; б) cos 7x = 0; г) cos 3x д) cos x = 0, 9. 2 ; 2 в) cos 2 x = 1; 9 8 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя ашэнне. а) Паколькі − 2 H − 1, то ўраўненне cos x 2 не мае каранёў. Адказ: няма каранёў. б) cos 7x = 0; 7 x n x , n Z. 14 7 n Адказ: ,n 14 7 в) cos 2 x = 1; 2 x 9 2 arccos 1 2 x Z; x Z; x n, n 9 косінус і атрымаем ураўненне cos 3x = Z; x 2 2 arccos 2 2 12 Z; x 2 n, n 12 2 n ,n 3 x атрымаем: Адказ: 8 arccos 0, 9 arccos 1 2 n, n Z Z; x 2 n, n 3 x 16 n, n Z x Z. 2 n, n 2 n, n 2 Z. arccos 0, 9 1 2 arccos x x= Z; 2 n ,n 3 2 д) Паколькі 0 H 0, 9 H 1, то па формуле каранёў трыганаметрычнага ўраўнення x x 8 Z. cos x 1 ўраўнення cos3x = 2 выкарыстаем фор2 мулу каранёў трыганаметрычнага ўраўнення x arccosa 2 n, n Z, і атры- Адказ: 9 n, n 2 . 2 2 4 Z улічым цотнасць функцыі Паколькі 0 H 2 H 1, то для рашэння 2 n, n 2 n, n 3 Z Z. г) Для рашэння ўраўнення cos 3x маем: 3x 2 n, n Z. 2 n, n 9 Адказ: 9 n, n n, n 2 cos x = 1 2 3 2 n, n arccosa 8 arccos 0, 9 Z Z 2 n, n 16 n, n Z, Z. Z. Ура ненне x=a Мноствам значэнняў функцыі y = tg x з’яўляецца прамежак (−u; +u). Разгледзім рашэнне ўраўнення tg x = a на прамежку Пры любым a ∈ R на прамежку 2 ; 2 2 ; 2 . існуе адзінае значэнне ар- гумента, пры якім значэнне функцыі y = tg x роўна а, гэта x = arctg a, Правообладатель Народная асвета 105 106 Раздзел 1 яно з’яўляецца адзіным рашэннем ураўнення tg x = a на гэтым прамежку (рыс. 110). Улічыўшы перыядычнасць функцыі y = tg x, атрымаем усе рашэнні гэтага ўраўнення: x = arctg a + pn, n ∈ Z. Пр клад . Рашыце ўраўненне: а) tg x = 3 ; 3 б) tg2x 3 ; в) tg x 5; г) tg x = 0. 3 4 ашэнне. а) Па формуле x = arctg a + pn, n ∈ Z, атрымаем: x x n, n ∈ Z. 6 Адказ: б) 2x 2x 6 arctg 3 12 3 3 Рыс. 110 n, n ∈ Z; 3 tg x = a x = arctg a + pn, n ∈ Z n, n ∈ Z. arctg 3 Адказ: arctg 3 n, n ∈ Z; n, n ∈ Z; 2x 6 n, n ∈ Z; x 12 n , 2 n ∈ Z. n , n ∈ Z. 2 в) Для рашэння ўраўнення tg x 5 улічым няцотнасць функцыі тангенс і атрымаем: tg x 5; tg x 5. Тады x arctg 5 n, n ∈ Z; x arctg5 n, n Z. Адказ: arctg5 n, n ∈ Z. x г) arctg 0 n, n ∈ Z; x n, n ∈ Z; 4 4 arcctg a x = pn, n ∈ Z. Адказ: 4pn, n ∈ Z. Ура ненне x=a Мноствам значэнняў функцыі y = ctg x з’яўляецца прамежак (−u; +u). Усе рашэнні ўраўнення ctg x = a можна знайсці па формуле x = arcctg a + pn, n ∈ Z (рыс. 111). Пр клад . Рашыце ўраўненне: x а) ctg x = 1; б) ctg x = −1; в) = Рыс. 111 ctg x = a x = arcctg a + pn, n ∈ Z Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя ашэнне. а) Па формуле x = arcctg a + pn, n ∈ Z, атрымаем: x = arcctg 1 + pn, n ∈ Z; x n, n Z. 4 Адказ: n, n Z. 4 б) x = arcctg (−1) + pn, n ∈ Z; x = p − arcctg 1 + pn, n ∈ Z; x n ∈ Z; x 3 n, n Z. Адказ: 4 3 4 в) 3 x arcctg 0 7 x n, n n, Z. n, n 7 n , n Z. 3 7 n Адказ: 7 ,n 6 3 4 Z ; 3x 7 n, n 2 Z ; 3x 7 2 7 n, n Z; 7 6 Z. Трыганаметрычныя ўраўненні пры рашэнні, як правіла, зводзяцца да больш простых. екаторыя віды трыганаметры ны ура нення 1. Ура ненні, у які мо на выкана ь замену зменнай Разгледзім ураўненні выгляду (x) + (x) + c = 0, дзе a, , — некаторыя рэчаісныя лікі, a ≠ 0, (x) — адна з трыганаметрычных функцый. Напрыклад, рэшым ураўненне 4 sin2 x 5 sin x 1 0. Увядзём новую зменную t = x, тады дадзенае ўраўненне можна запісаць у выглядзе 4t2 5t 1 0. Рэшым атрыманае квадратнае 1, t ўраўненне: D 9, 1 t . 4 Падставім знойдзеныя значэнні t у роўнасць t = sin x прасцейшыя трыганаметрычныя ўраўненні: sin x Рашэнні першага ўраўнення сукупнасці: x Рашэнні другога ўраўнення: x Адказ: 2 2 n, n ∈ Z; 1 k 1 1 k 1 2 arcsin 1 4 arcsin 1 4 x і атрымаем най1, 1 . 4 2 n, n ∈ Z. k, k∈ Z. k, k ∈ Z. Правообладатель Народная асвета 107 108 Раздзел 1 2. Аднародныя трыганаметры ныя ра ненні Аднародныя трыганаметрычныя ўраўненні другой ступені — гэта ўраўненні, якія можна прывесці да выгляду a sin2 x b sin x cos x k cos2 x 0, дзе a, , — некаторыя рэчаісныя лікі, a ≠ 0, k ≠ 0. Заўважым, што ў аднародным ураўненні cos x ≠ 0. У адваротным выпадку, калі cos x = 0, то ўраўненне прымае выгляд a x = 0, а значыць, x = 0, але роўнасці cos x = 0 і sin x = 0 адначасова выконвацца не могуць. Рэшым ураўненне sin2 x 3 sin x cos x 2 cos2 x 0. Падзелім абедзве часткі ўраўнення на cos2 x cos2 x 2 0: 2 sin x cos x sin x 3 2 cos2 x 0 і атрымаем ураўненне tg2 x 3tgx 2 0. cos2 x cos2 x cos x Выканаўшы замену зменнай tg x = t, атрымаем квадратнае ўраўненне t2 3t 2 0, каранямі якога з’яўляюцца лікі t = 1 і t = 2. Значыць, tg x = 1 або tg x = 2. Рэшым ураўненне tg x = 1 і атрымаем x n, n ∈ Z. 4 Каранямі ўраўнення tg x = 2 з’яўляюцца лікі x Адказ: k, k ∈ Z. n, n ∈ Z; arctg2 arctg2 k, k ∈ Z. 4 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Рашыце ўраўненне: а) sin 4x = 0,5; в) cos x 2 4 д) tg x 5 6 б) sin 3 ; 2 3 г) cos 0; е) 3 4 1 ; 2 x 10 x 0; x Рашэнне. а) Паколькі 0 H 1 H 1, то па формуле x n ∈ Z, маем: 4 x n 2 1 arcsin 0,5 n 1 arcsin a n, n ∈ Z, г. зн. 4 x 1 n 6 n, n, n ∈ Z. Падзелім абедзве часткі гэтага ўраўнення на 4 і атрымаем: x 1 n 24 n , n ∈ Z. 4 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя б) Паколькі функцыя сінус з’яўляецца няцотнай функцыяй, то sin x дадзенае ўраўненне раўназначна ўраўненню 1 . Памно2 3 жым абедзве часткі гэтага ўраўнення на (−1) і атрымаем ураўненне sin x x x 1 . 2 3 n 1 3 n 1 3 n, 6 1 1 arcsin 3 n ∈ Z; n, n ∈ Z; x 6 1 2 n x Тады x n 3 1 3 n n ∈ Z; n, 1 1 1 n, n ∈ Z. 6 6 n, n ∈ Z; в) Паколькі −1 H − 3 H 0, то для рашэння дадзенага ўраўнення 2 выкарыстаем формулу x 2 + x 2 3 2 arccos 4 pn, n ∈ Z; x 2 4 5 6 x arccosa 2 n, 2 n, n ∈ Z. Тады x 2 4 2 6 n, n ∈ Z; x 2 n ∈ Z, і атрымаем: arccos 3 4 2 5 6 4 2 n, n ∈ Z; 2 n, n ∈ Z. Памножым абедзве часткі гэтага ўраў- нення на 2 і атрымаем: x 2 5 3 4 n, n ∈ Z. г) Улічым цотнасць функцыі косінус і атрымаем ураўненне cos 10 x 4 n ∈ Z; 10 x 0, раўназначнае дадзенаму. Тады 10 x 4 2 n, n ∈ Z; 10 x 3 4 4 2 n, n, n ∈ Z. Падзелім n , n ∈ Z. 10 д) Запішам ураўненне tg x 5 3 0 у выглядзе tg x 5 3 6 6 і па формуле x arctg a n, n ∈ Z, атрымаем: x 5 arctg 3 n, 6 n ∈ Z; x 5 arctg 3 n, n ∈ Z; x 5 n, n ∈ Z; 6 6 3 5 7 x n, n ∈ Z; x n, n ∈ Z. 6 3 6 абедзве часткі ўраўнення на 10 і атрымаем: x 3 40 е) Улічым няцотнасць функцыі катангенс і атрымаем ураўненне x тады x Правообладатель Народная асвета Па формуле 109 110 Раздзел 1 x = arcctg a + pn, n ∈ Z, маем: 3x arcctg 3 2 3 2 3 3x 3x 2 3 4 9 n ∈ Z; x n 5 3 4 е) 4 9 3x 2 3 2 3 3 3 3 n, n ∈ Z; n ∈ Z; n, n, n ∈ Z; 3x 4 3 n, n , n ∈ Z. 3 1 2 2 3 n, n ∈ Z; 3x Адказ: а) в) arcctg n ∈ Z; n, 3 2 3 n 1 n , n ∈ Z; б) 1 4 3 6 3 n n, n ∈ Z; г) , n ∈ Z; д) 40 10 n, n ∈ Z; 24 7 6 n, n ∈ Z; n , n ∈ Z. 3 2. Рашыце ўраўненне: а) 6 cos2 x 5 sin x б) 2tg x 7; ctg x 3. Рашэнне. а) Выкарыстаем асноўную трыганаметрычную тоеснасць і заменім cos2 x на 1 − sin2 x. Тады ўраўненне прыме выгляд: 6(1 − x) + x = 7; 6sin x − x + = 0. Няхай sin x = t, тады 6t − t + t = 0; t 1 , 3 1 . 2 Падставім знойдзеныя значэнні t у роўнасць sin x = , атрымаем і рэшым найпрасцейшыя трыганаметрычныя ўраўненні: sin x sin x Адказ: 1 , 3 1 ; 2 1 arcsin 1 n x 1 arcsin 1 x 1 n, n 3 n n, n 3 Z; k k, k 6 1 k 6 Z, Z. k, k Z. б) Паколькі ctg x = 1 , то ўраўненне можна запісаць у выглядзе tg x 2tg x 1 tg x 3. Няхай tg x = t, тады 2t 1 t 3; 2t2 3t t 0; 1 0, t 1, t 1 . 2 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Падставім знойдзеныя значэнні t у роўнасць tg x = , атрымаем і рэшым сукупнасць найпрасцейшых трыганаметрычных ураўненняў: Адказ: 1, x tgx 1 ; 2 x n, n 4 Z, arctg 1 k, k 2 Z; arctg 1 n, n 4 tgx k, k 2 Z. Z. 3. Рашыце ўраўненне: x = 0; а) cos Рашэнне. а) cos x = 0; 3x sin 3x 0, cos x 0; n ,n 3 Адказ: 3 sin x б) 3 sin x = cos2 x sin x. б) ; x n, n n, n 2 x Z, Z; x n ,n 3 Z, k, k Z. sin x 0, 2 k, k 2 cos2 x sin x 0; sin x 3 cos2 x 0; cos2 x Другое ўраўненне сукупнасці не мае каранёў, паколькі x = 0; x = pn, n ∈ Z. Адказ: pn, n ∈ Z. 3. 3 G 1. Тады 4. Рашыце ўраўненне: 3 sin 2x а) cos 2x б) 8 sin2 x 0; sin x cos x cos2 x 3. Рашэнне. а) Ураўненне 3 sin 2x cos 2x 0 з’яўляецца аднародным ураўненнем першай ступені. Паколькі значэнні зменнай, пры якіх x = 0, не з’яўляюцца каранямі дадзенага ўраўнення, то падзелім абедзве часткі ўраўнення на cos 2x і атрымаем: 3 sin 2 x cos 2 x 2x Адказ: 6 12 cos 2 x cos 2 x 0; n, n Z; x n , 2 3tg2x 12 1 0; tg2x n ,n 2 3 ; 3 Z. ∈ Z. б) Выкарыстаем асноўную трыганаметрычную тоеснасць і атрымаем: 8 sin2 x sin x cos x cos2 x 3 sin2 x cos2 x ; Правообладатель Народная асвета 111 112 Раздзел 1 5 sin2 x sin x cos x 4 cos2 x 2 на cos2 x ≠ 0. Тады 5 sin2 x tg x = t, tgx tgx Адказ: x 1, 4 ; 5 4 5t − t − тады n, n 4 x arctg 4 n, n Z; 2 sin x cos x cos2 x cos x Няхай 0. Падзелім абедзве часткі ўраўнення 4 cos2 x cos x t = 0; t Z, k, k 5 0; 5tg2 x 1, 4 . 5 tgx Такім 4 0. чынам, Z. arctg 4 k, k 5 Z. 5* . Знайдзіце (у градусах) найменшы дадатны корань ураўнення cos 2x 12 0. Рашэнне. cos 2x 12 0; 2x 12 2x 102 180 n, n Z; x 51 корань ураўнення роўны 51°. Адказ: 51°. 180 n, n 90 90 n, n Z; Z. Найменшы дадатны 1. З дадзеных ураўненняў выберыце ўраўненні, якія не маюць каранёў: а) sin x = 2; б) cos x = 2; в) tg x = 2; г) ctgx = 2. 2. Мноства лікаў x Z, з’яўляецца рашэннем ураўнення: k, k 2 а) sin x = 1; б) cos x = 0; Выберыце правільны адказ. в) tg x = 0; г) ctgx = 0. 1.341. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы формулы рашэння найпрасцейшых трыганаметрычных ураўненняў: а) sin x = 1 ; б) sin x 3 ; в) sin x = 1; г) sin x = 1,5; д) sin 2x = 0; е) cos x = ж) cos x 1 ; з) cos x = −1; к) cos 4x = 0; л) sin x = 1; 2 2 2 н) sin 3x = 2 ; 2 4 2 ; 2 і) cos x = 1 ; 3 2x м) cos = 3; 5 2 о) cos 5x = 2 ; п) sin 8 x 2, 3. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.342. Знайдзіце карані ўраўнення: а) sin x в) sin x д) sin 2x 3 10 1; б) cos x 2 ; 7 г) cos x 5 1 ; 2 4 1; 9 2 ; 2 8 2 3 е) cos 4 x 0,5 0. 1.343. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы формулы рашэння найпрасцейшых трыганаметрычных ураўненняў: а) tg x = б) ctg x = 1; 3; г) ctg x = 0; д) tg 2x 3 ж) ctg 4 x 3 ; 3 8 з) в) tg 5x = 0; 3tg 3x е) tg x 3 ; 3 9 1 12 5 4 1; 0. 1.344. Выкарыстайце ўласцівасць цотнасці (няцотнасці) трыганаметрычных функцый і рашыце ўраўненне: а) sin 2x 1 ; б) cos x 1; в) tg 7 x 3 ; г) sin 2 5 5 x 2 2 . 2 1.345. Знайдзіце нулі функцыі f x 2 cos 5x 1. 12 1.346. Рашыце ўраўненне: а) sin x + x − = 0; б) 2cos x + x + = 0; в) 2sin x − 7cos x − = 0; г) 2cos x − x + = 0; 3 д) tg x − 2tg x − = 0; е) 3tg x 3 . 2 cos x 1.347. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы спосаб раскладання выразу на множнікі: а) (sin x − 0,5)(sin x + 1) = 0; б) 3 cos x 4 cos2 x 0; в) 3tg2 x д) 4sin x = tgx 0; x; г) 3 − е) 3 3 x = 0; 3 sin 3x = 2 cos x sin 3x. 1.348. Вызначце, ці можна прывесці ўраўненне да аднароднага, і рашыце ўраўненне: а) sin x + x = 0; б) 3 sin x cos x 0; в) 3sin x + x x= x; г) 6cos x + x x = 1; д) sin x + x x− x = 0; е) 2sin x + x+ x x = 3. Правообладатель Народная асвета 113 114 Раздзел 1 1.349*. Знайдзіце (у градусах) найменшы дадатны і найбольшы адмоўны карані ўраўнення: а) sin (60° + x) = −1; б) cos 30 в) tg x 2 ; 2 5x 45 3. 3 sin x cos x 0, 2 1.350*. Знайдзіце (у градусах) карані ўраўнення cos2 x што належаць прамежку [−180°; 60°]. 1.351. Рашыце найпрасцейшае трыганаметрычнае ўраўненне: а) sin x = 2 ; 2 г) cos 2x 2 ; д) sin x ж) sin x = 5 ; з) cos x 2 6 в) sin x = 3 ; 2 б) cos x = 1 ; 2 9 е) cos x 3; 10 і) sin 3x 1; 4 3 ; 2 4 3 0. 1.352. Знайдзіце ўсе карані ўраўнення: а) tgx 1 ; б) ctgx 3 ; в) tg x г) tg x = 7; д) ctg 5x = 2; е) tg x 8 3 3 3 1; 3 0. 10 1.353. Выкарыстайце ўласцівасць цотнасці (няцотнасці) трыганаметрычных функцый і рашыце ўраўненне: а) sin (− x) = −1; б) tg 2 3 3x 1.354. Знайдзіце нулі функцыі f x 3 в) cos 0; 2 cos 3x 4 8 x 4 2 . 2 3. 1.355. Рашыце ўраўненне, выканаўшы замену зменнай: а) cos2 x cos x 2 0; б) 2 cos2 x cos x 1 0; в) sin2 x 4 sin x 5 0; г) 2 cos2 x 3 cos x 1 0; 2 д) 8 cos x 6 sin x 3 0; е) 3cos x = x; ж) tg x + 2tg x − = 0; з) tg x 1 cos2 x 3. 1.356. Выкарыстайце спосаб раскладання на множнікі і рашыце ўраўненне: а) (cos x + 0,5)(cos x − 1) = 0; б) 2 sin x = 3 sin2 x ; в) 3tg2 x г) 1 − 4 д) 9cos x = 9 0; x x; 2 е) sin x = 2 x = 0; x Правообладатель Народная асвета x. Трыганаметрыя 1.357. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы метад рашэння аднародных ураўненняў: а) sin x − x = 0; 3 cos x 0; б) 3 sin x в) sin x − x x= x; г) 3cos x + x x+ x = 2. 1.358*. Знайдзіце (у градусах) найменшы дадатны і найбольшы адмоўны карані ўраўнення: 1 ; 2 x а) sin 30 в) tg x б) cos (45° − x) = 0; 1.359. Знайдзіце 25 ад ліку 7 10 . 1.360. Рашыце двайную няроўнасць 7 x 60 3 x2 − 8 1. 3x − 4. 1.361. Размясціце ў парадку нарастання лікі −2 50 , − 4 18 і − 162. 1.362. Выкарыстайце метад замены зменнай і рашыце ўраўненне (x + x + 1)(x + x + 3) + = 0. 1.363. Плошча прамавугольнай пляцоўкі, адна са старон якой на 3 м большая за другую, роўна 54 м . Знайдзіце (у метрах) даўжыню агароджы, якая спатрэбіцца для абгароджвання ўсёй пляцоўкі па перыметры. 1.364. Выканайце складанне рацыянальных дробаў: 9. 2 x2 7 x 5 1 . x1 ормулы прывядзення кой каардынатнай чвэрці належыць вугал a, калі: 1.365. а) H x2 4 H3 ; б) 2 2 H H ; H в) H 2 ; 1.366. Вызначце знак sin a, калі: а) H H3 ; в) 3 2 H H H б) 2 ; г) 3 H 2 H 2 ; H2 . 1.367. Вызначце знак ctg a, калі: а) H H3 ; в) 3 2 H H H б) 2 ; г) 3 H 2 H 2 ; H2 . Правообладатель Народная асвета г) 3 H 2 H2 ? 115 116 Раздзел 1 Пры вывучэнні геаметрыі вы ўстанавілі, што sin cos , cos 2 sin 2 і калі a — востры вугал (рыс. 112). Уласцівасць перыядычнасці трыганаметрычных функцый дазваляе звесці вылічэнне значэнняў сінуса, косінуса, тангенса і катангенса адвольнага вугла да вылічэння значэнняў гэтых функцый пры значэннях аргумента, што належаць прамежку [0; 2p]. Напрыклад, sin 390 sin 360 30 sin 30 b c a c b a a b 1 , 2 Рыс. 112 На практыцы прынята зводзіць значэнні трыганаметрычных функцый адвольнага вугла да вылічэння значэнняў гэтых функцый для вугла, што належыць прамежку 0; 2 . Гэта можна рабіць з дапамогай ормул прывядзення. Разгледзім прамежак 2 ; . юбы лік j з гэтага прамежку можна запісаць у выглядзе j = p − a, дзе клад, 5 6 6 , 5 0; 2 . Напры- 3 . 8 8 Паколькі ардынаты пунктаў Pa і Pp − a роўныя, а абсцысы адрозніваюцца толькі знакам, то: sin sin , а cos =− Рыс. 113 a (рыс. 113). атрымаем, што Тады для tg sin cos sin cos sin cos tg , г. зн. tg І для a ≠ 0 маем: г. зн. Правообладатель Народная асвета tg . Трыганаметрыя Разам з тым любы лік j з прамежку 2 можна таксама запісаць у выглядзе ; , 2 5 6 2 3 дзе , 5 8 0; 2 8 2 Напрыклад, . . Паколькі ардыната пункта P роўна абсцысе пункта Pa, а абсцыса пункта адрозніваецца ад ардынаты пункP Рыс. 114 та Pa толькі знакам (рыс. 114), то: sin cos , а cos 2 Для a ≠ 0 і sin . 2 атрымаем: г. зн. г. зн. Паколькі любы лік j з прамежку j = p + a або 3 2 , дзе 0; 2 ; 3 2 можна запісаць у выглядзе , то, разважаючы аналагічна, атры- маем формулы прывядзення: sin sin cos cos tg tg Правообладатель Народная асвета 117 118 Раздзел 1 sin 3 cos cos 3 sin 2 2 Паколькі любы лік j з прамежку або 3 2 , дзе sin 2 sin cos 2 cos tg 2 tg 0; 3 ;2 2 2 можна запісаць у выглядзе , то атрымаем: 2 2 sin 3 2 cos 3 2 cos sin Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Прааналізаваўшы атрыманыя формулы, можна заўважыць заканамернасці, што даюць магчымасць сфармуляваць правіла, якое дазваляе карыстацца формуламі прывядзення, не запамінаючы іх: У правай частцы формулы прывядзення ставіцца той знак, які мае ў адпаведнай чвэрці зыходная функцыя, калі лічыць, што вугал a — востры. Калі ў формуле прывядзення аргумент мае выгляд: або 2 , то назва функцыі не мяняецца; 3 або , то назва функцыі мяняецца (сінус на косінус, 2 косінус на сінус, тангенс на катангенс, катангенс на тангенс). Напрыклад, прыменім атрыманае правіла да выразу cos 3 . 2 3 Калі лічыць, што вугал a — востры, то — вугал трэцяй 2 чвэрці. У трэцяй чвэрці косінус (зыходная функцыя) адмоўны, значыць, у правай частцы роўнасці трэба паставіць знак «мінус». Паколькі аргумент мае выгляд 3 2 , то назву функцыі «косінус» трэба па- мяняць на «сінус». Такім чынам, атрымаем: cos 3 sin . 2 Пр клад . Прывядзіце выраз да трыганаметрычнай функцыі вугла a, прымяніўшы формулы прывядзення: а) cos 2 б) tg 3 ; 2 ; в) sin . ашэнне. Прыменім правіла: а) Паколькі 2p − a — вугал чацвёртай чвэрці, у якой косінус дадатны, то ў правай частцы роўнасці не трэба ставіць знак «мінус». Паколькі аргумент мае выгляд p − a, то назва функцыі «косінус» не мяняецца. Значыць, cos 2 cos . б) Паколькі 3 2 — вугал чацвёр- тай чвэрці, у якой тангенс адмоўны, то ў правай частцы роўнасці трэба паставіць знак «мінус». Правообладатель Народная асвета 119 120 Раздзел 1 Паколькі аргумент мае выгляд 3 , назву функцыі «тангенс» 2 трэба памяняць на «катангенс». Тады в) Паколькі p − a — вугал другой чвэрці, у якой сінус дадатны, то ў правай частцы роўнасці не трэба ставіць знак «мінус». Паколькі аргумент мае выгляд p − a, то назва функцыі «сінус» не мяняецца. Значыць, sin sin . Пр клад . Выкарыстайце формулы прывядзення і знайдзіце значэнне выразу: б) tg 7 p ; в) cos 240°; г) ctg 300°. а) sin 3 p ; 4 6 ашэнне. а) sin 3 4 sin 4 або sin 3 sin 4 2 4 . П е р ш ы с п о с а б. Паколькі — вугал другой чвэрці, у якой сінус дадатны, то ў правай частцы роўнасці не трэба ставіць знак «мінус». Паколькі аргумент мае выгляд мяняецца. Значыць, sin 3 sin 4 4 4 , то назва функцыі «сінус» не sin 4 2 . 2 Д р у г і с п о с а б. б) tg 7 6 tg 6 tg 6 3 3 (у трэцяй чвэрці тангенс дадатны, на- зва функцыі не мяняецца). в) cos 240 cos 180 60 cos 60 адмоўны, назва функцыі не мяняецца). 1 2 (у трэцяй чвэрці косінус (у чацвёртай чвэрці каг) тангенс адмоўны, назва функцыі не мяняецца). Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Вылічыце, выкарыстаўшы формулы прывядзення: а) cos 315°; б) sin 120°; Рашэнне. а) cos 315 в) ctg 210°; cos 360 45 г) tg 330°. 2 2 cos 45 (у чацвёртай чвэрці косінус дадатны, назва функцыі не мяняецца); б) sin 120 sin 180 60 3 2 sin 60 (у другой чвэрці сінус да- датны, назва функцыі не мяняецца); (у трэцяй чвэрці катангенс в) дадатны, назва функцыі мяняецца); г) tg 330 tg 360 30 3 3 tg 30 (у чацвёртай чвэрці тан- генс адмоўны, назва функцыі не мяняецца). 2. Знайдзіце значэнне выразу: 4 3 а) sin ; 11 6 б) cos в) tg 8 p ; ; г) 3 Рашэнне. а) Паколькі сінус — няцотная функцыя, то 4 3 sin sin 4 . 3 Прыменім формулы прывядзення: sin 4 sin 3 sin 3 sin 3 3 . 2 3 б) Выкарыстаем уласцівасць цотнасці косінуса і атрымаем: 11 6 cos cos 11 . 6 Па формулах прывядзення: cos 11 6 cos 2 cos 6 3 . 2 6 в) Выкарыстаем уласцівасць перыядычнасці тангенса і атрымаем: tg 8 3 tg 2 2 3 tg 2 . 3 Прыменім формулы прывядзення: tg 2 3 tg 3 г) Паколькі катангенс — няцотная функцыя, то Правообладатель Народная асвета tg 3 3. 121 122 Раздзел 1 Выкарыстаем уласцівасць перыядычнасці катангенса і атрымаем: Па формулах прывядзення: 3. Прывядзіце да трыганаметрычнай функцыі вугла a: а) cos 7 ; в) tg 2 б) ; 11 2 г) sin . Рашэнне. а) Выкарыстаем уласцівасць перыядычнасці косінуса і атрымаем: cos 7 cos 6 cos Па формулах прывядзення: cos . cos . б) Выкарыстаем уласцівасць перыядычнасці катангенса: Прыменім формулы прывядзення: в) Паколькі тангенс — няцотная функцыя, то tg 2 tg Па формулах прывядзення: г) Паколькі сінус — няцотная функцыя, то 11 2 sin sin 11 . 2 Выкарыстаем уласцівасць перыядычнасці сінуса і атрымаем: sin 11 sin 4 2 3 2 Па формулах прывядзення: sin 3 . 2 sin 3 cos 2 cos . 4. Прывядзіце да трыганаметрычнай функцыі вугла a: а) cos2 3 2 б) tg2 ; Рашэнне. а) cos2 3 2 17 2 3 cos 2 . 2 sin 2 Правообладатель Народная асвета sin2 ; 2 . Трыганаметрыя 17 2 б) tg2 2 tg 8 2 2 17 2 tg 2 2 = tg 2 tg 17 = 2 = tg 17 2 = = 2 5. Вылічыце: °; а) sin б) ctg 210°. Рашэнне. а) sin2 225 2 = sin 45 2 2 2 sin 225 2 ; б) cos2 3 sin 180 2 45 sin 45 2 1 ; 2 б) 6. Спрасціце выраз: а) sin cos в) tg 180 2 sin 270 cos 90 ; cos2 7 2 ; г) Рашэнне. а) Прыменім формулы прывядзення: sin cos 2 cos cos б) Улічым перыядычнасць прывядзення і атрымаем: cos2 7 cos2 3 0. косінуса, cos2 2 cos2 выкарыстаем cos2 2 формулы sin2 1. в) Прыменім формулы прывядзення: sin 270 cos sin tg 180 cos 90 tg cos sin tg г) Улічым перыядычнасць тангенса, няцотнасць катангенса і формулы прывядзення: 7. Рашыце ўраўненне cos 3 2 x 2 sin x cos x. Правообладатель Народная асвета 123 124 Раздзел 1 Рашэнне. Прыменім формулы прывядзення і атрымаем: cos 3 x 2 sin x sin x 1 2 cos x sin x 0, 1 2 cos x 2 Адказ: n, n 0 Z; 4 sin x cos x 2 sin x cos x 0 sin x 0, x cos x 2 2 x 2 k, k Z. n, n , 2 k, k 4 , sin 3 , cos 2 2 2 функцыі пасля прымянення формул прывядзення будзе «косінус» 1. У якіх выразах sin , cos , sin назва пасля , sin 3 , cos 2 2 2 прымянення формул прывядзення ў правай частцы роўнасці будзе пастаўлены знак «мінус» 2. У якіх выразах sin , cos , sin 1.368. Выкарыстайце формулы прывядзення і прывядзіце да трыганаметрычнай функцыі вугла a: а) sin 2 ; г) sin (p + a); б) cos 2 ; д) cos (2p + a); в) tg (p + a); е) ctg 3 . 2 1.369. Прывядзіце да трыганаметрычнай функцыі вугла a: а) cos (270° − a); б) tg (180° − a); в) sin (a − 90°); г) cos (a − 180°); д) ctg (a − 360°); е) tg (a − 270°). 1.370. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы формулы прывядзення: а) tg 240°; б) sin 210°; в) ctg (−300°); г) cos (−120°); д) sin (−840°); е) tg (−570°). 1.371. Выкарыстайце формулы прывядзення і пераўтварыце выраз: а) cos (p + a); б) sin (90° − a); в) ctg2 5 2 . 1.372. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы перыядычнасць трыганаметрычных функцый і формулы прывядзення: Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя а) sin 7 p ; б) cos 5 p ; 6 61 4 г) cos в) tg 11p ; 3 2 29 p д) sin ; 4 ; 4 е) ctg 40 3 2 1.373. Спрасціце выраз: а) cos (p + a) + cos (−a); в) tg 3 cos 3 2 sin б) sin 2 cos 2 . ; г) cos2 ; 1.374. Параўнайце значэнні выразаў: а) sin 32° і cos 58°; б) sin 28° і cos 42°; cos2 . 2 в) tg 44° і ctg 46°. 1.375. Выкарыстайце формулы прывядзення і рашыце ўраўненне: а) tg (p + x) = 1; в) 2sin x б) cos 2 2 г) 3ctg 2x 0; 3 ; 2 x 2 3 2 3 0. 1.376. Знайдзіце значэнне выразу: а) sin (−300°) tg (−210°); б) 2 sin 870 tg2 420 . 2 3 cos 570 1.377. Спрасціце выраз: а) tg (360° − a) − ctg (270° − a); б) ctg (180° − a) cos (90° − a) − sin (270° + a); в) ctg (90° − a) tg (270° + a) + a; г) sin 90 tg 180 . cos 270 1.378. Вядома, што cos 3 4 5 2 і 2 H H . Знайдзіце tg a. 1.379. Спрасціце выраз: sin tg 2 а) ; cos cos в) cos ctg г) 1 tg 3 ; 2 2 tg 2 ; 1 д) б) 1 sin 2 2 cos 3 2 sin ; е) cos2 ctg ctg 3 2 ctg sin sin 3 2 tg 3 2 2 . Правообладатель Народная асвета ; 125 126 Раздзел 1 1.380. Для функцыі f (x) = а) f ; 3 x + 1 знайдзіце: 5 . 16 б) f 1.381. Рашыце ўраўненне: а) 2sin (2p − x) − x = −3; в) sin2 x x 5 cos 2 6 0; б) cos x 3 cos г) 4 sin2 x 4 sin 2 x 0; x 1 2 0. 1.382. Знайдзіце ўсе карані ўраўнення: а) sin 2 cos 3 x x 2 1 x б) sin 2 0; sin 2 x 2. 1.383. Пабудуйце графік функцыі: sin 3 а) f x 2 x б) f x 1; cos x 1. 2 3 3 sin 2 . 2 1.384*. Знайдзіце значэнне выразу: а) tg 3 2 б) cos arcctg 7 ; arccos 2 sin 1.385*. Знайдзіце значэнне выразу cos 4 cos , калі tg a = 3. 2 1.386. Прывядзіце да трыганаметрычнай функцыі вугла a выраз: а) cos 2 г) cos (p + a); ; б) sin 2 ; д) sin (2p + a); в) ctg (p + a ; е) tg 3 2 . 1.387. Выкарыстайце формулы прывядзення і запішыце трыганаметрычную функцыю вугла a: а) sin (270° − a); б) ctg (180° − a); в) cos (a − 90°); г) sin (a − 180°); д) tg (a − 360°); е) ctg (a − 270°). 1.388. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы перыядычнасць трыганаметрычных функцый і формулы прывядзення: а) sin 315°; б) ctg 300°; в) tg (−240°); г) cos 480°; д) tg (−570°); е) ctg (− °); ж) tg 1050°; з) sin (−690°). 1.389. Знайдзіце значэнне выразу: а) tg 5 p ; 4 б) sin 17 p ; 6 в) cos 7 4 ; Правообладатель Народная асвета г) sin 5 3 ; Трыганаметрыя 11 6 д) ctg е) sin 19 p ; ; 13 4 ж) cos2 6 29 4 з) ctg ; . 1.390. Пераўтварыце выраз: а) tg2 3 б) sin (5p − a); ; 2 в) cos (630° + a). 1.391. Спрасціце выраз: а) sin (270° − a) − cos (180° + a); б) tg (270° − a) sin (180° − a) + cos (180° + a). 1.392. Спрасціце выраз: а) sin (p + a) − sin (−a); б) sin 2 cos a − sin (2p − a); в) tg (−a) ; 2 г) sin2 sin2 2 . 1.393. Выкарыстайце формулы прывядзення і рашыце ўраўненне: x а) 2 cos в) 3tg 4 x б) 2 sin 3 3; 3 2 x 2 x г) 5ctg 0; 1 3 0; 0. 1.394. Знайдзіце значэнне выразу: °) ctg (−120°); а) cos (− 4 3 sin 660 ctg2 30 . tg 90 sin 180 cos 180 . б) 4 cos 840 1.395. Спрасціце выраз: а) tg (180° + a) ctg (360° − a) + a; 1.396. Вядома, што sin 3 5 13 2 і б) H 3 . Знайдзіце tg a. H 2 1.397. Спрасціце выраз: cos а) ctg 2 ; sin sin в) д) tg ctg 3 г) 1 tg ; 2 2 ctg 2 1 б) 1 ; cos 3 2 sin 3 2 cos ; sin 2 е) sin2 tg tg 3 2 cos cos 3 2 ctg 2 . Правообладатель Народная асвета ; 127 128 Раздзел 1 1.398. Рашыце ўраўненне: cos 3 x а) 4 sin 2 x 2 sin 3 3 sin x б) 5; x 2 0. 1.399. Знайдзіце ўсе карані ўраўнення: x а) cos 2 в) 2 cos2 x sin 2 x x б) cos 2 3; sin 3 2 x 1; x. 3 sin 1,5 3 sin 1.400*. Знайдзіце значэнне выразу 2 cos 2 3 cos 3 2 2 sin , калі ctg a = 5. 1.401. З дробаў 3 ; 13 ; 9 ; 1 ; 2 ; 19 выберыце ўсе няправільныя дробы. 7 13 4 9 17 3 1.402. Знайдзіце НАК (48, 30). 1.403. Знайдзіце значэнне выразу: 513 510 2 128 . 5 272 215 x2 5 x 1.404. Рашыце няроўнасць H 0 і выберыце яе найменшае цэлае 3 6x а) 31 б) ; адмоўнае рашэнне. 1.405. Знайдзіце нулі функцыі f (x) = x − 10x + 9. 1.406. Раскладзіце на множнікі квадратны трохчлен: а) −x − x − 10; б) 8a + a − 1. 1.407. Знайдзіце значэнне выразу 1 2 10. 1 2 2 3. 2 інус, косінус, тангенс сумы і рознас і 1.408. Знайдзіце вышыню трохвугольніка, калі яна ў два разы большая за старану, да якой праведзена, а плошча трохвугольніка роўна 32 см . 1.409. У прамавугольным трохвугольніку адносіна аднаго з катэтаў да гіпатэнузы роўна 0,6. Знайдзіце адносіну другога катэта да гіпатэнузы. Вядомыя значэнні сінуса, косінуса, тангенса вуглоў можна выкарыстоўваць для вылічэння значэнняў сінуса, косінуса, тангенса іншых вуглоў. Вугал 75° можна запісаць у выглядзе 75° = ° + 30°, але sin 75° = sin (45 30 ) sin 45 sin 30 , паколькі sin 45 sin 30 Правообладатель Народная асвета 2 1 G 1. 2 Трыганаметрыя Выведзем формулу sin (a + b) — сінуса сумы двух вуглоў. Разгледзім выпадак, калі a і b — вострыя вуглы ў трохвугольніку ABC (рыс. 115). Рыс. 115 Выразім плошчу трохвугольніка ABC двойчы: SABC 1 ab sin 2 1 ab sin 2 1 2 1 ab sin 2 1 2 Трохвугольнік ВСН — прамавугольны, тады З прамавугольнага трохвугольніка АСН cos . Тады SABC 1 a sin 2 b cos 1 b sin 2 a cos 1 ab (sin 2 . і sin маем: cos (1) , cos . і sin cos ). sin (2) Прыраўнуем правыя часткі роўнасцей (1) і (2): 1 ab sin 2 = 1 ab sin cos sin 2 cos . Падзелім абедзве часткі роўнасці на 1 ab і атрымаем формулу сінуса 2 сумы двух вуглоў: sin sin cos cos sin . Калі вуглы a і b не з’яўляюцца вострымі, то можна карыстацца ўласцівасцю перыядычнасці сінуса і формуламі прывядзення. Напрыклад, калі a і b з’яўляюцца вугламі другой чвэрці, то p − a і p − b — вострыя вуглы. Прыменім да іх выведзеную для вострых вуглоў формулу сінуса сумы: sin sin cos sin cos . (3) Выкарыстаем формулы прывядзення ў левай частцы роўнасці (3) і атрымаем: sin sin 2 sin . Прыменім формулы прывядзення да правай часткі роўнасці (3): sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin cos sin cos sin cos sin cos . Правообладатель Народная асвета 129 130 Раздзел 1 Такім чынам, ) sin cos cos sin — формула sin sin cos sin cos або sin( сінуса сумы дву вугло . Астатнія выпадкі прыналежнасці вуглоў розным чвэрцям разглядаюцца аналагічна папярэдняму. Выкарыстаем атрыманую формулу і вылічым sin 75°. sin 75 sin 45 30 інус сумы sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 sin sin cos cos sin 6 2 2 2 1 cos 45 sin 30 3 . 2 2 2 2 4 Выведзем формулу сінуса рознасці двух вуглоў. Для гэтага sin (a − b) запішам у выглядзе sin (a + (−b)) і прыменім формулу сінуса сумы двух вуглоў: sin sin cos cos sin sin cos cos sin . Атрымалі формулу сінуса рознас і дву вугло sin sin cos cos sin . Вылічым, напрыклад, sin 15°. sin 15 sin 45 30 sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 6 2 2 3 2 1 . 2 2 2 2 інус рознас і sin cos cos sin sin 4 Для вываду формулы косінуса сумы двух вуглоў выкарыстаем формулы прывядзення і атрымаем: cos sin sin 2 . 2 Тады па формуле сінуса рознасці двух вуглоў маем: sin sin 2 cos 2 cos 2 sin cos cos sin sin . Атрымалі формулу косінуса сумы дву вугло : cos cos cos sin sin . Прыменім атрыманую формулу і вылічым, напрыклад, cos 105°. cos 105 cos 60 45 Косінус сумы cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 cos cos cos sin sin 2 6 3 2 2 1 . 2 2 2 2 4 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Запісаўшы рознасць a − b у выглядзе сумы a + (−b), можна атрымаць формулу косінуса рознас і дву вугло cos cos cos sin sin . Знойдзем, напрыклад, cos 15°. cos 15 cos 45 30 cos 45 cos 30 2 3 2 2 6 2 4 Пр клад . Вылічыце: а) sin 5 cos cos 5 sin 12 12 12 в) cos 7 cos 2 9 cos sin 45 sin 30 2 1 2 2 . 12 б) sin 5 cos ; 18 sin 7 sin 2 ; 9 9 Косінус рознас і cos cos sin sin г) cos 9 30 cos 36 5 cos 5 sin 18 sin 30 36 ; sin . 5 ашэнне. Выкарыстаем атрыманыя формулы «справа налева»: а) sin 5 cos 12 б) sin 5 cos 18 12 36 cos 5 sin 12 cos 5 sin 18 sin 7 sin 2 г) cos sin 30 9 cos 5 9 30 12 9 sin 18 36 cos 7 2 9 9 cos 5 12 sin 5 36 в) cos 7 cos 2 9 sin 5 12 30 5 sin 6 sin sin 9 sin cos 1; 5 30 cos 12 36 cos 1; 2 2 ; 2 4 cos 6 6 3 . 2 Выведзем формулы тангенса сумы і тангенса рознасці двух вуглоў. sin cos tg sin cos cos cos cos sin sin sin Падзелім лічнік і назоўнік дробу на cos a тады: sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin n cos sin cos . b, cos a ≠ 0, cos b ≠ 0, tg tg 1 tg tg . Такім чынам, атрымалі формулу тангенса сумы дву вугло : tg tg tg 1 tg tg . Правообладатель Народная асвета 131 132 Раздзел 1 Выкарыстаем формулу тангенса сумы і вылічым, напрыклад, tg 105°. tg105 3 tg 60 1 3 1 1 tg 60 tg 45 1 tg 60 tg 45 45 2 3 1 3 3 Тангенс сумы 4 1 2 3 2 tg tg 1 tg tg tg 2 3. Запісаўшы рознасць a − b у выглядзе сумы a + (−b , можна атрымаць формулу тангенса рознас і дву вугло tg tg 1 tg tg tg . Знойдзем, напрыклад, tg 15°. tg15 tg 60 tg 60 tg 45 1 tg 60 tg 45 45 3 1 1 3 3 Пр клад . Вылічыце: а) tg 2 15 1 tg 5 ; 2 tg tg 15 5 б) 1 1 3 1 2 3. Тангенс рознас і tg 7 16 tg 3 16 . 7 tg tg 3 16 16 1 2 3 tg tg tg 1 tg tg ашэнне. Выкарыстаем формулы тангенса сумы і тангенса рознасці «справа налева»: а) б) tg 2 15 tg 5 tg 2 tg 15 5 7 tg tg 3 16 16 7 1 tg tg 3 16 16 1 tg 2 15 tg 7 16 5 3 16 tg 5 tg 15 tg 4 16 3; 3 tg 4 1. Атрыманыя формулы сінуса сумы, сінуса рознасці, косінуса сумы, косінуса рознасці, тангенса сумы, тангенса рознасці двух вуглоў называюць формуламі складання. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. З дапамогай формул складання пераўтварыце выраз: а) sin 6 ; б) tg 45 . Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Рашэнне. а) Па формуле сінуса рознасці атрымаем: sin sin sin cos 6 3 2 cos sin 6 3 sin 2 1 2 cos 6 1 cos . 2 б) Прыменім формулу тангенса сумы: tg 45 tg 1 tg 45 tg tg 45 1 1 tg tg . 2. Знайдзіце значэнне выразу: а) sin 56 cos 34 cos 56 sin 34 ; б) cos 28 cos 88 sin 88 sin 208 ; в) Рашэнне. а) Па формуле сінуса сумы атрымаем: sin 56 cos 34 cos 56 sin 34 sin 56 34 sin 90 1. б) Па формулах прывядзення атрымаем, што sin 208 sin 180 28 sin 28 . Тады cos 28 cos 88 sin 88 sin 208 cos 28 cos 88 sin 88 sin 28 cos 28 cos 88 sin 88 sin 28 . Выкарыстаем формулу косінуса рознасці і атрымаем: cos 28 cos 88 sin 88 sin 28 cos 28 88 cos 60 cos 60 в) Па формулах прывядзення Тады Па формуле тангенса рознасці: tg 20 tg 65 1 tg 20 tg 65 3. Вылічыце: а) sin 7 p ; 12 tg 20 tg 45 tg 45 1. б) tg 23 p . 12 Рашэнне. а) sin 7 12 3 2 2 2 65 1 2 2 2 sin 6 3 2 4 4 sin cos 3 4 cos sin 3 4 . Правообладатель Народная асвета 1 . 2 133 134 Раздзел 1 б) Па формулах прывядзення: tg 23 tg 2 12 tg 12 12 . Па формуле тангенса рознасці атрымаем: tg tg 12 tg 3 42 3 2 4 1 tg 3 tg 3 3 4 tg 1 3 1 4 1 2 3 1 3 3 1 3 2. Такім чынам, tg 23 3 12 2. 4. Спрасціце выраз: а) sin sin cos ; б) cos 2 cos . 4 Рашэнне. а) Выкарыстаем няцотнасць сінуса і формулу косінуса рознасці: sin sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos . sin sin sin sin б) Прыменім формулу косінуса рознасці і атрымаем: cos 2 cos = cos 2 cos 4 2 cos 2 2 cos cos sin sin cos sin 2 sin 2 4 4 cos =− a. 5. Рашыце ўраўненне cos 5x sin 8 x = cos 8 x sin 5x. Рашэнне. Запішам ураўненне ў выглядзе sin 8 x cos 5x cos 8 x sin 5x і па формуле сінуса рознасці атрымаем: sin 8 x 5x 0; n x = pn, n ∈ Z; x ,n Адказ: 0 x = 0; 3 n ,n 3 Z. 6. Вылічыце cos 4 , калі sin 4 , 5 2 ; . Рашэнне. Прыменім формулу косінуса рознасці: cos 4 cos cos 4 sin sin 4 2 cos 2 2 sin 2 Правообладатель Народная асвета 2 2 cos sin . Трыганаметрыя З асноўнай трыганаметрычнай тоеснасці выразім cos a 4 , то cos a 5 і знойдзем cos a. Паколькі sin 3 5 cos 3 . Паколькі 5 або cos 3 . Тады 5 гой чвэрці, то cos 2 2 2 2 sin2 9 . Значыць, 25 , г. зн. a — вугал дру- ; cos 4 5 1 1 2 2 sin 3 5 4 5 2 . 10 7. Дакажыце тоеснасць Рашэнне. Выкарыстаем формулы складання і атрымаем: 3 sin 2 cos 60 = 3 sin 2 sin 60 3 cos 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 1 sin 2 3 cos = 3 2 cos 2 2 cos 60 cos 2 sin 60 cos = sin 60 sin cos 60 sin 3 sin 3 cos = 3 coss cos sin 3 sin 3 cos = 8. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 310 cos 50 sin 390 cos 20 sin 310 sin 50 ; cos 390 sin 20 б) cos 67 cos 7 cos 128 sin 68 cos 83 cos 23 . cos 38 sin 22 Рашэнне. а) cos 270 10 sin 360 10 cos 310 cos 50 sin 390 cos 20 sin 10 sin 10 б) cos 67 cos 7 cos 83 cos 23 cos 128 sin 68 cos 38 sin 22 = sin 23 cos 7 sin 38 cos 22 sin 7 cos 23 cos 38 sin 22 sin 310 sin 50 cos 390 sin 20 cos 310 50 sin 390 20 cos 260 sin 370 1; cos 90 23 cos 7 cos 90 38 sin 90 = sin 23 sin 22 7 38 = cos 90 7 cos 23 22 cos 38 sin 22 sin 16 sin 16 sin 16 sin 16 9. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі f x sin 7 x cos 5x cos 7 x sin 5x 5. Правообладатель Народная асвета = 1. 135 136 Раздзел 1 Рашэнне. Прыменім формулу сінуса рознасці і запішам функцыю ў выглядзе f x sin 7 x Паколькі −1 sin 2x маем: 4 sin 2x + 5 5x 5, або f x sin 2x 1, то 1 5 sin 2x 5 6, г. зн. E f 4; 6 . 5. 1 5. Такім чынам, Выберыце роўнасць, правільную для любых вуглоў a і b: а) sin (a − b) = a− b; б) sin (a − b) = в) sin (a − b) = a b− a b; г) sin (a − b) = a− b; a b− a b. 1.410. З дапамогай формул складання пераўтварыце выраз: а) sin ; 3 б) cos (30° + a); в) tg . 4 1.411. Вылічыце, выкарыстаўшы формулы складання: а) sin 46° °+ ° °; б) cos 17° ° − sin 17° в) °; tg 26 tg 19 . 1 tg 19 tg 26 1.412. Спрасціце выраз: а) sin (a − b) − cos (−a sin (−b ; б) cos sin cos . 2 1.413. Вылічыце значэнне выразу, прывёўшы яго да сінуса (косінуса) сумы (рознасці): а) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°; б) sin 53° cos 7 − ° sin (−7°); в) sin (−75°) cos 15° + cos 75° °. 1.414. Вылічыце: а) sin 75°; б) cos 105°; в) tg 15°. 1.415. Рашыце ўраўненне: x= а) sin x в) sin 2x cos 3x x б) sin x cos 5 x = cos x sin 5 x ; x; cos 2x sin 3x 2 1 ; 2 г) 2 tg x tg 2 x 1 . 1 tg x tg 2 x 3 1.416. Вылічыце sin (60° + a), выкарыстаўшы формулу сінуса сумы, калі cos 5 13 і 630° H a H 720°. Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.417. Вылічыце, пераўтварыўшы выраз з дапамогай формул складання: а) cos в) 14 cos 5 sin 28 sin 5 ; 14 б) sin 14 cos 2 28 9 cos 14 sin 9 9 2 9 ; tg 5 18 . 5 tg tg 1 18 18 tg 18 1.418. Спрасціце выраз, выкарыстаўшы формулы складання і значэнні трыганаметрычных функцый: а) 1 cos 2 sin б) 2 cos 60 ; 6 3 sin cos . 1.419. Спрасціце выраз cos (120° + a) + cos (a − 60°). 1.420. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі f x cos x cos 4 x sin x sin 4 x 5. 1.421. Рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу: а) sin 40 sin 5 sin 20 cos 40 cos 40 cos 5 ; sin 40 cos 20 б) cos 120 cos 50 cos 25 cos 45 sin 120 sin 50 ? sin 25 sin 45 1.422. Знайдзіце значэнне выразу: 3 , sin 5 а) cos (a + b), калі cos б) tg a, калі вядома, што tg – 5 , прычым 13 2 H 2. 4 1.423. Рашыце ўраўненне: а) sin 5x sin б) cos 2x 4x 2 cos 5x sin 4 x cos x 4 в) sin 6 x cos x sin г) cos 7 x cos 10 x 9 sin 2x 2 1; 7x 9 9 2 2 ; 2 sin x 6 x sin x cos 3 9 4 1; sin 10 x 3 . 2 1.424. Дакажыце тоеснасць: а) sin cos 4 б) sin в) 6 cos sin 4 cos cos 2 sin 45 cos 2 cos 45 sin 6 cos 3 3 sin 1 ; 2 2 ; tg . Правообладатель Народная асвета H , H H3 ; 2 137 138 Раздзел 1 1.425. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = x x+ x x + 1; б) y sin 2 2x cos x sin 2x sin 3 . 2 x 1.426. Пабудуйце графік функцыі y cos 2x cos x sin x 3 1.427. Вылічыце: а) cos 57 30 cos 27 30 3 sin 2x. sin 57 30 sin 27 30 ; б) sin 200° sin 310° + cos 340° cos 50°; в) 1.428. Спрасціце выраз: а) sin sin cos cos б) ; cos cos cos cos sin sin . 1.429. Вылічыце значэнне трыганаметрычнай функцыі, выкарыстаўшы формулы прывядзення і формулы складання: а) sin 195°; б) tg 285°. 1.430. Знайдзіце значэнне выразу 2 cos 1.431. Дакажыце тоеснасць 1.432. Вылічыце 2 sin sin 56 sin 124 cos 28 cos 88 cos 7 cos 24 8 sin cos 3 5 10 2 cos 6 sin 7 24 . cos sin 3 5 10 sin 8 4 2tg . 3 sin sin 34 cos 236 . cos 178 sin 208 1.433. Спрасціце выраз: а) cos 2 3 cos 3 ; б) tg 4 tg 4 . 12 , 13 1.434. Вядома, што a і b — вуглы другой чвэрці і cos Знайдзіце tg (a + b). 1.435*. Знайдзіце суму каранёў ураўнення sin 3x што належаць прамежку [−p; p]. 1.436*. Знайдзіце tg 4 , калі вядома, што sin Правообладатель Народная асвета x= 2 5 і 2 cos 4 . 5 x x, H H . Трыганаметрыя 1.437. Вылічыце, выкарыстаўшы формулы складання: а) sin 61° °− ° °; б) cos 29° cos 74° + в) ° sin 74°; tg1 tg 46 . 1 tg1 tg 46 1.438. Спрасціце выраз: а) cos (a + b) + sin (−a) sin (−b); б) sin sin 2 cos 2 . 1.439. Вылічыце, запісаўшы вугал у выглядзе сумы або рознасці: а) sin 105°; б) cos 15°; в) tg 75°. 1.440. Складзіце план і рашыце ўраўненне: а) sin x cos x sin x cos x; 2 в) б) sin 5x cos x 2 cos 5x sin x 1 ; 2 tg 5 x tg 2 x 1. 1 tg 5 x tg 2 x 1.441. Вылічыце, выкарыстаўшы формулы складання: а) cos б) sin 6 , калі cos a = 0,6 і 3 H 2 8 17 , калі sin 3 і 2 H H2 ; H . 1.442. Рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу: а) sin cos 3 5 в) tg 1 10 sin 3 cos ; 10 5 б) sin 8 cos 2 cos 8 sin б) sin 2 sin 45 9 9 9 2 9 ; tg 9 28 ? tg tg 9 14 28 14 1.443. Спрасціце выраз: а) 1 sin 2 cos ; 6 cos 1.444. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі f x sin 7 x cos 2x cos 7 x sin 2x 8. 1.445. Вылічыце: а) sin 17 cos 13 cos 20 cos 25 sin 13 cos 17 ; sin 20 sin 25 б) sin 5 cos 15 cos 80 cos 150 cos 5 cos 15 . sin 80 sin 150 Правообладатель Народная асвета . 139 140 Раздзел 1 1.446. Знайдзіце значэнне выразу: 4 , sin 5 а) sin (a − b), калі cos – 5 , прычым a і b — вуглы адной чвэрці; 13 б) tg b, калі вядома, што tg (a + b) = −1, tg a = 3. 1.447. Рашыце ўраўненне, прывёўшы яго з дапамогай формул складання да найпрасцейшага: а) cos 4x x+ x x = 1; б) sin 2x cos x 3 cos 2x 3 3 . 2 sin x 1.448. Знайдзіце ўсе карані ўраўнення cos 5x sin 2x 2 1 . 2 sin 5x sin 2x 1.449. Дакажыце тоеснасць: а) sin 6 sin б) cos в) cos 3 2 sin 2 cos cos 6 cos 30 sin 7 sin 1 ; 2 2 3 cos 30 sin 3 ; 3. 3 cos 1.450. Знайдзіце нулі функцыі: а) y = x− x + 1; б) y cos 3 2 4 x cos 3x cos 4 x sin 3x. 1.451. Пабудуйце графік функцыі y sin 3x cos 2x 6 sin 2x 6 cos 3x. 1.452. Вылічыце: а) cos 19 30 cos 25 30 sin 19 30 sin 25 30 ; б) sin 113° ° + cos 247° cos 307°; в) 1.453. Спрасціце выраз 2 cos sin sin 2 cos cos cos 1.454. Вылічыце cos 255°. 1.455. Вылічыце sin 7 cos 24 24 cos cos 4 7 21 cos 7 sin 24 24 . sin sin 4 7 21 cos 1.456. Дакажыце тоеснасць . 2 sin 2 cos 6 4 tg . 3 sin Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя 1.457. Вылічыце: sin 22 cos 8 sin 23 cos 7 cos 158 cos 98 . cos 157 cos 97 2 3 1.458. Спрасціце выраз sin sin . 3 1.459*. Знайдзіце суму каранёў ураўнення sin 5 што належаць прамежку (0; p). 1.460*. Знайдзіце tg 1.461. Запішыце трохчлен 49a − члена. 1.463. Спрасціце выраз x 2 5 і 0H , калі вядома, што cos 4 1.462. Рашыце ўраўненне x= x, H 2 . ab + b у выглядзе квадрата двух- 3x 2 x1 3 7x . 5 2 10 a3 2 a 2 a 7 1 a 1 4 2 . 1.464. Знайдзіце значэнне выразу sin a − a пры 1.465. Метадам інтэрвалаў рашыце няроўнасць 2 . x 1x 2 0. x 32 1.466. Знайдзіце суму бясконца спадальнай геаметрычнай прагрэсіі 5; 1; 1 ; ... . 5 1.467. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый y = x − x + 25 і y = x − 5. 1.468. Унясіце множнік пад знак кораня: а) 2 18 ; б) 1 b ; b 3 г) 7 a 1 ; a 7 в) x a2 , калі x H 0; д) x − x3 . 11. ормулы двайнога аргумента 1.469. Параўнайце значэнні выразаў sin 30° і sin 60°. 1.470. Ці праўда, што cos 120° G cos 60° ? 1.471. Знайдзіце значэнне выразу tg tg 2 . 3 3 Пераўтварэнні трыганаметрычных выразаў можна спрасціць, калі разгледзець прыватныя выпадкі агульных формул. Правообладатель Народная асвета 141 142 Раздзел 1 Разгледзім формулу сінуса сумы sin (a + b) = a b+ a b для выпадку a = b. Тады: sin 2 sin sin cos cos sin 2sin cos . Атрымалі формулу сінуса двайнога аргумента: sin 2 2 sin cos . Выведзем формулу косінуса двайнога аргумента. Выкарыстаем формулу косінуса сумы cos cos cos sin sin для выпадку a = b і атрымаем: cos 2 cos cos cos sin sin cos2 sin2 . Формула косінуса двайнога аргумента: cos 2 cos2 sin2 . Для вываду формулы тангенса двайнога аргумента разгледзім формулу tg tg 1 tg tg пры a = b. У гэтым выпадку маем: tg tg tg 1 tg tg тангенса сумы tg tg 2 2 tg 1 . tg2 2 tg Атрымалі формулу тангенса двайнога аргумента: tg 2 1 Пр клад . Спрасціце выраз: а) sin 2a ; б) sin2 sin a в) 1 tg2 tg2 cos 2 ; . tg2 1. 2 ашэнне. Прыменім формулы двайнога аргумента: а) sin 2 2 sin cos sin б) sin2 cos 2 sin sin2 в) 1 tg2 tg2 1 2 tg tg2 1 2 cos ; tg2 cos2 sin2 cos2 ; 2 tg 1 2 1 tg2 tg2 1 1 ормулы двайнога аргумента sin 2 2 sin cos cos 2 cos2 2 tg tg 2 tg . sin2 1 tg2 Пр клад . Вылічыце: а) 2 sin 15° cos 15°; б) cos2 sin2 8 8 в) ; 2 tg 75 1 tg2 75 . ашэнне. Прыменім формулы двайнога аргумента «справа налева»: а) 2 sin 15 cos 15 sin 2 15 б) cos2 cos 2 в) 8 2 tg 75 1 tg2 75 sin2 8 tg 2 75 8 sin 30 cos tg150 4 1 ; 2 2 ; 2 tg 180 30 Правообладатель Народная асвета tg 30 3 . 3 Трыганаметрыя Пр клад . Знайдзіце значэнне выразу sin 120° двума спосабамі. ашэнне. П е р ш ы с п о с а б . Прыменім формулы прывядзення: sin 120 sin (180 60 ) 3 . 2 sin 60 Д р у г і с п о с а б. Прыменім формулу сінуса двайнога аргумента: 2 sin 60 cos 60 = 2 1 3 = sin 2 60 sin 120 2 2 3 . 2 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Запішыце дадзены вугал у выглядзе 2t: а) 30°; е) p . б) 45°; в) b; г) 3b; д) p; °; б) 45° = 22,5°; в) 2 ; ; е) 2 16 Рашэнне. а) 30° = 2 г) 3 3 ; 2 2 д) 2 2 16 32 . 2. Пераўтварыце кожны з выразаў з дапамогай формул двайнога вугла: а) sin 10a; г) cos a ; б) sin 7a; д) tg 3a; 2 в) cos 6a; е) tg a . 4 Рашэнне. Запішам вугал у кожным з выразаў у выглядзе 2t і прыменім формулу двайнога аргумента: а) sin 10 sin 2 5 2 sin 5 cos 5 ; б) sin 7 sin 2 7 2 sin 7 cos 7 ; в) cos 6 cos 2 3 г) cos cos 2 2 2 tg 2 1,5 е) tg tg 2 cos2 sin2 3 ; sin2 4 2 tg 1,5 1 2 tg 8 2 cos 3 4 д) tg 3 4 2 2 1 tg2 1,5 8 tg2 4 ; ; . 8 Правообладатель Народная асвета 143 144 Раздзел 1 3. Спрасціце выраз: а) 2 sin cos sin 2 ; г) cos 8 2 б) sin22 a ; 2 sin 4 ; д) tg 5 tg2 5 1 cos2 3 в) cos 6 sin a 6tg 3 4 е) 2 3 1 tg 4 ; sin2 3 ; . Рашэнне. Прыменім формулы двайнога аргумента і атрымаем: а) 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2 0; б) в) cos 6 cos2 3 cos 6 cos 2 3 cos 6 cos 6 0; г) cos 8 2 sin2 4 cos2 4 sin2 4 2 sin2 4 д) tg 5 1 sin2 3 2tg 5 1 2 1 tg2 5 2 tg 5 6tg 3 4 е) 2 3 1 tg 4 cos2 3 cos 6 1 tg 2 5 2 2tg 3 4 3 2 3 1 tg 4 sin2 3 cos2 4 1 tg 10 2 sin2 4 ; 3 tg 2 3 4 4. Знайдзіце значэнне выразу: °; а) sin 15° в) 10sin 75° cos 75°; г) Рашэнне. а) sin 15 cos 15 1 sin 30 2 б) 1 2 sin2 cos 2 12 1 1 2 2 12 sin2 cos 2 sin2 б) 1 6 8 tg tg 2 8 1 12 ; . 8 1 2 sin 15 cos 15 2 1 sin 2 15 2 1 ; 4 12 cos2 12 2 sin2 12 cos2 12 3 ; 2 Правообладатель Народная асвета sin2 12 1; Трыганаметрыя 5 2 sin 75 cos 75 в) 10 sin 75 cos 75 5 sin 180 г) 8 tg tg 8 2 4 tg 2tg 1 8 tg 4 1 4 5 1 5 sin 30 4 1 8 30 8 2tg 8 tg2 1 5 sin 150 2,5; 2 4 2 5 sin 2 75 4 tg 2 8 8 4. 5. Вылічыце tg 2a, калі tg a = 2. Рашэнне. Прыменім формулу тангенса двайнога аргумента і атры- cos 2 tg2 1 6. Вылічыце: а) 2 22 1 4 2 tg маем: tg 2 sin 8 2 2 2 cos 2 2 1 а) sin 8 2 8 2 cos sin 8 11. 3 8 sin2 17 cos2 15 . б) 1 ; 8 Рашэнне. 4 3 16 2 2 cos2 2 2 1 8 cos 16 Тады 1 1 cos 2 8 sin2 2 sin2 cos 16 8 16 cos2 sin2 2 sin cos2 8 7. Вылічыце tg 2a, калі cos Рашэнне. 1) sin2 3 , то sin2 5 Паколькі cos sin 4 . Паколькі H 5 2 2) tg sin cos ; tg 4 5 і 2 1 2 H 8 1. sin2 16 1 16 8 2 2 sin2 cos2 8 sin2 2 sin 1 3 5 2 cos2 . 16 ; 25 4 . 5 sin 4 . 3 Правообладатель Народная асвета 4 5 і 8 cos 8 16 2 H . H , то sin 3 5 1 cos 16 1; sin2 cos2 2 2 16 2 sin2 3 5 8 sin2 17 . sin2 8 4 2 2 sin 1 16 8 16 2 cos sin 8 б) Па формулах прывядзення 2 15 16 або 4 2 . 2 145 146 Раздзел 1 3) tg 2 tg2 1 4 3 2 2 tg ; tg 2 4 3 1 Адказ: 3 3 . 8 3 1 16 9 2 8 3 9 7 24 7 3 3. 7 7 8. Рашыце ўраўненне sin 2x sin x 2 cos x 1. Рашэнне. Выкарыстаем формулу сінуса двайнога аргумента: sin 2x sin x 2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 2 sin x cos x 2 cos x sin x 1 0 0 2 cos x sin x 1 sin x 1 2 cos x 1 0, sin x 1 0 cos x 1 , 2 x sin x 1 x Z; 2 n, n Адказ: 3 2 k, k 2 2 cos x 1 sin x 1 0 2 k, k Z, 2 n, n Z. 3 2 0 Z. 9. Рашыце ўраўненне cos2 x 7 sin2 x 3 sin 2x. Рашэнне. Выкарыстаем формулу сінуса двайнога вугла і атрымаем cos2 x 7 sin2 x 6 sin x cos x, або 7 sin2 x 6 sin x cos x cos2 x 0. Паколькі значэнні зменнай, пры якіх cos x = 0, не з’яўляюцца каранямі дадзенага ўраўнення, то падзелім абедзве часткі ўраўнення на cos x і атрымаем 7tg x + 6tg x − = 0. Няхай t = tg x, тады ўраўненне прыме выгляд 7t + t − = 0; D= − 7 (−1) = 64; t 1 , 7 t 1, адкуль Адказ: arctg 1 7 tgx 1 , 7 x tgx 1; x k, k Z; arctg 1 n, n 4 n, n 4 10* . Дакажыце тоеснасць cos cos 2 cos 4 7 k, k 7 7 7 Z, Z. Z. 1 . 8 Правообладатель Народная асвета Трыганаметрыя Рашэнне. Памножым і падзелім выраз cos p cos 2 p cos 4 p на 2 sin p і 7 7 прыменім формулу сінуса двайнога аргумента: cos cos 2 cos 4 7 7 7 2 sin 4 cos 4 7 7 2 2 2 sin 7 2 sin cos cos 2 cos 4 7 7 7 7 2 sin 2 cos 2 cos 4 7 7 7 2 sin 2 2 sin sin 7 8 sin 7 7 7 7 1 . 8 7 Выберыце роўнасць, правільную для любога вугла b: а) sin 2b = b; б) sin 2b = b; в) sin 2b = b b; г) sin 2b = b. 1.472. З дапамогай формулы сінуса двайнога вугла спрасціце выраз: a; а) 2sin 3a б) sin a г) sin 22 a ; д) cos a a; в) 2 sin sin 2 2 sin cos 1 е) sin 2 ; cos 4 sin sin ; 4 . 2 1.473. З дапамогай формулы косінуса двайнога вугла спрасціце выраз: а) cos2 sin2 2 в) cos2 д) 2 cos cos 2 2 cos 1 a− б) sin ; г) ; 2 е) ; cos 2 sin cos a; ; cos 2 sin2 2 cos2 2 sin . 1.474. З дапамогай формулы тангенса двайнога вугла спрасціце выраз: а) 2 tg 7 1 tg2 7 2 tg б) ; 1 в) tg 2a(tg a − 1); 4 tg2 ; 4 г) tg 4a ctg 2a. 1.475. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы формулы двайных вуглоў: а) 2 sin p cos p ; б) 6sin 15° °; в) cos °− °; 8 г) sin2 8 8 cos2 8 ; д) 2 tg tg 12 2 12 1 ; е) 2 tg 165 1 tg2 165 Правообладатель Народная асвета . 147 148 Раздзел 1 1.476. Знайдзіце: а) sin 2a, калі sin a = −0,6 і H H3 ; 2 2 . 9 б) cos 2a, калі cos 1.477. Выкарыстайце формулы двайных вуглоў і рашыце ўраўненне: а) 4 sin x cos x 3 ; в) sin x cos x 2 2 д) sin 2x = 1,5; 2 x; б) sin2 x cos2 x г) cos2 x 2 2 sin2 x е) ж) 6 tg 15 1 2 tg 15 210°; 2 cos2 x. 1 tg 22 30 з) 1 1.479. Дакажыце тоеснасць: а) 1 − (sin a − a) = a; в) 2 sin2 ctg cos2 sin2 °; в) cos 15° cos 75°; ° − 1; д) 2cos ; 3 ; 2 cos2 x 1.478. Знайдзіце значэнне выразу: а) 2sin 67,5° cos 67,5°; б) 8cos 165° г) cos 210° − 2 ; 2 2 tg 22 30 і) ; a+ б) 2sin 2 sin2 е) 1 1 tg tg 2 8 ; 12 . 12 a = 1; tg 2 . 1.480. Рашыце ўраўненне: а) sin2 x 1 sin 2x 2 в) 2sin x + x= д) cos 2x = x; б) sin 2x = 2 3 sin2 x; г) cos 2x + x= x; е) 1 + x= x. 0; x + 1; 1.481. Спрасціце выраз: а) sin 8 sin 4 в) cos д) cos 2 cos2 2 ; a+ 2 a sin б) a; 2 tg 2 tg tg 2 tg ; г) cos (5p − a) + ctg a tg 2 ; 1.482. Пабудуйце графік функцыі y е) 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin x 1.483. Знайдзіце ўсе карані ўраўнення sin4 x 2 6 2 cos x cos4 x Правообладатель Народная асвета 2 2 cos 1 . 2 . 2 6 a; . 149 Трыганаметрыя 1.484. Спрасціце выраз: а) (sin a − a) − + a; б) sin в) (tg a + ctg a) sin 2a; г) 1 tg 4 cos ctg 2 tg ctg 4 sin cos 4 4 ; . 1.485. Знайдзіце значэнне выразу: а) (sin 75° − cos 75°) ; б) sin 15 в) tg г) sin 75° 8 cos 15 ; cos 5 sin 5 ctg ; 8 °. 1.486. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) = xіy= x; б) y = xіy= x. 2 sin 2 3 cos 2 1.487. Знайдзіце значэнне выразу , калі вядома, што 4 sin 2 5 cos 2 tg a = 3. 1 1.488. Знайдзіце sin 2a, калі вядома, што sin cos . 2 1.489. Рашыце ўраўненне: а) cos x sin x в) cos x + 1 ; 2 2 б) cos 2x = x= г) (sin x + x; x − 1,5; x) = x. 1.490. Спрасціце выраз: а) cos 6 cos 2 sin 6 sin 2 в) sin2 2; cos2 б) cos a a− 1 sin2 2 4 3 2 a a; . 1.491. Знайдзіце значэнне выразу: а) (sin 15° + °) ; б) sin3 12 cos cos3 12 12 2 sin 1.492. Дакажыце, што значэнне выразу не залежыць ад a. 1.493. Рашыце ўраўненне: а) sin x cos x cos 2x 1 ; б) 3sin x − 8 1.494. Дакажыце тоеснасць 1 1 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 sin 12 . sin cos 2 sin cos cos2 x+ x = 2. tg . 1.495. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4sin 25° sin 65° ; cos 40° б) 10 cos 10° ; sin 40° sin 230° в)* cos 20° cos 40° cos 80°. Правообладатель Народная асвета 1 150 Раздзел 1 1.496. Спрасціце выраз, выкарыстаўшы формулы двайных вуглоў: a; а) 2sin 6a г) 1 sin 2 cos2 2tg a; 4 1 tg2 cos 4 a− д) cos ; ж) 2cos a − к) б) 2 sin з) (1 + 2 в) 2 cos a ; ; 4 sin 2 a a; е) sin2 a) tg a; і) cos2 2 2tg 4 1 tg2 4 2 ; л) tg 2a ctg a. ; 4 1.497. Знайдзіце значэнне выразу: б) cos 75° − а) 2sin 22,5° cos 22,5°; 75°; в) 1.498. Знайдзіце: а) sin 2a, калі cos a = −0,6 і H H3 ; 2tg 1 8 tg2 . 8 б) cos 2a, калі cos 2 1 . 7 1.499. Выкарыстайце формулы двайных вуглоў і рашыце ўраўненне: x = 0,25; а) sin x б) sin2 x cos2 x г) sin2 x 2 в) 7cos x + x = 0; д) (sin x + x) = 1; 2 е) 2 sin2 x г) 1 2 sin 12 д) ; 2tg 105 tg2 105 1.501. Дакажыце тоеснасць: а) (sin a + a) − a = 1; в) 2 cos2 tg sin2 1 б) 2cos 3. в) 2cos 75° − 1; е) ; 2 ; 2 sin2 x 2 cos2 x 1.500. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4sin 75° cos 75°; б) 2cos ° tg 15°; 2 1 ; 2 2 tg2 1 tg a− 8. 8 a = 1; tg 2 . cos2 1.502. Рашыце ўраўненне: а) cos2 x в) 2sin x − д) cos 2x = 1 sin 2x 2 x= x; 0; x − 1; б) 3 sin 2x = 2 sin2 x; г) sin4 x cos4 x е) 1 − x= Правообладатель Народная асвета 3 ; 2 x. ; Трыганаметрыя 1.503. Спрасціце выраз: а) 1 2 cos в) 2 sin sin sin 2 2 б) cos 2a + tg a ; 2 sin cos 3 г) ; 2 sin a; sin 2 2 sin 2 . 2 1.504. Пабудуйце графік функцыі y sin2 x cos2 x . 2 2 1.505. Спрасціце выраз: а) (sin a + в) ctg a a) + a− − a. a; б) 1 1 cos 2 cos 2 1.506. Знайдзіце значэнне выразу: а) tg 15° + ctg 15°; б) sin °− y= ; °. 1.507. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый xіy= x. 1.508. Знайдзіце 3 sin 2 5 cos 2 4 cos 2 sin 2 , калі вядома, што tg a = 3. 1.509. Знайдзіце sin 2a, калі вядома, што sin 1 . 3 cos 1.510. Рашыце ўраўненне: а) sin x cos x 3 ; в) sin x − x= б) 1 + 4 x+ г) (sin x − x; x = 0; x) = x. 1.511. Спрасціце выраз: а) sin 9 sin 3 в) 8 sin2 cos 9 cos 3 б) 2; sin2 3 1 sin cos sin 2 cos 2 ; 1. 2 x+ 1.512. Рашыце ўраўненне sin x = 0. 1.513. Вызначце, рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу a , a і 3a 2 пры a 2 . 1.514. Вылічыце: 5 4 1 . 2 3 5 3 8 Правообладатель Народная асвета 151 152 Раздзел 1 1.515. Рашыце квадратную няроўнасць: а) x − x − G 0; в) x − 0; б) x + 7x 0; г) x − x + H 0. 2 y x 5, 1.516. Рашыце сістэму ўраўненняў 2 2 x xy y 29. 1.517. Выберыце функцыі, графікі якіх паралельныя: а) y = x + 1; б) y = − + x; в) y = + x; г) y 6x 5 . 3 12. ормулы пера тварэння сумы і рознас і сінуса (косінуса ) у зда ытак 2x 3x 1.518. Рашыце сістэму ўраўненняў 7y 5y 3, спосабам складання. 1 1.519. Параўнайце значэнні выразаў sin 30° + sin 60° і sin 90°. 1.520. Ці праўда, што cos 90° − cos 30° G cos 60° Формулы сінуса сумы і сінуса рознасці двух вуглоў можна выкарыстаць для атрымання новых формул, неабходных для рашэння ўраўненняў, вывучэння ўласцівасцей функцый і да т. п. Напрыклад, рэшым ураўненне sin x + x = 0. Для рашэння дадзенага ўраўнення суму sin x + x зручна запісаць у выглядзе здабытку і затым выкарыстаць умову роўнасці нулю здабытку. Выведзем формулу пераўтварэння сумы сінусаў у здабытак. Складзём пачленна дзве роўнасці: + sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin (a + b) + sin (a − b) = a b x, y: Абазначым a + b = x, a − b = y і рэшым сістэму ўраўненняў x, y 2 x, x y x 2 x, x y x x y 2 y 2 Правообладатель Народная асвета , x y 2 x y 2 , . Трыганаметрыя = Падставім выразы для a і b у роўнасць sin (a + b) + sin (a − b) = a b і атрымаем формулу сумы сінуса дву вугло : sin x + y= 2 sin x y 2 cos x y 2 . Вернемся да рашэння ўраўнення sin x + сумы сінусаў: sin x + x=0 2 sin x x cos (− x) = 0 sin 3x cos 2x Адказ: n ,n 3 Z; 3x 0, 0 2x 4 k , k 2 x = 0 і прыменім формулу 5x x 5x cos 2 2 x=0 x n, n x Z, k, k 2 0 Z x n , n Z, 3 k , k 4 2 Z. Z. Адняўшы ад роўнасці sin (a + b) = a b+ a b роўнасць sin (a − b) = a b− a b, можна атрымаць формулу рознас і сінуса дву вугло : sin x − y = 2 sin xy xy cos . 2 2 Аналагічна, з дапамогай роўнасцей cos (a + b) = a b− cos (a − b) = a b+ a b можна атрымаць формулы x+ сумы косінуса дву вугло y x− рознас і косінуса дву вугло Пр клад . Запішыце ў выглядзе здабытку: а) sin 7x + x; б) sin 7x − x; в) cos 7x + x; г) cos 7x − x. ашэнне. Выкарыстаем формулы пераўтварэння сумы і рознасці ў здабытак і атрымаем: 7x 3x 7x 2 cos y x y 2 cos 2 sin x y x x+ y 2 sin x− y 2 sin x+ y 2 cos x− y 2 sin 3x 2 sin 5x cos 2x; 3x 2 sin 2x cos 5x; x x 2 sin в) cos 7x + 3x 7 x 3x cos 2 cos 5x cos 2x; 2 2 7 x 3x 7 x 3x x 2 sin sin 2 sin 2x sin 5x. 2 2 г) cos 7x − x 2 cos 3x 2 cos 7x 2 7x Правообладатель Народная асвета y 2 б) sin 7x − 7x y x 2 sin 2 sin 2 x cos y 2 2 а) sin 7x + 2 x a y 2 x ; x y 2 cos cos cos y 2 bі . x y 2 x y 2 x sin y 2 x y 2 153 154 Раздзел 1 sin 6 x sin 6 x Пр клад . Скараціце дроб sin 8 x . sin 8 x ашэнне. Прыменім формулы сумы і рознасці сінусаў двух вуглоў: sin 6 x sin 6 x 2 sin7 x cos sin 8 x sin 8 x x sin 7 x cos x sin x cos7 x x cos7 x 2 sin tg 7 x ctg x. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце значэнне выразу cos 75° + °. Рашэнне. Прыменім формулу сумы косінусаў: cos 75° + ° 2 cos 75 15 2 cos 75 15 2 cos 45 cos 30 2 =2 2 3 = 6. 2 2 2 sin 3 cos 3 2. Дакажыце тоеснасць sin 5 cos 5 tg 4 . Рашэнне. Выкарыстаем формулы сумы сінусаў і сумы косінусаў двух вуглоў: sin 3 cos 3 3 2 sin sin 5 cos 5 2 cos 3 sin 32 sin 58 ; sin 13 Рашэнне. а) 5 2 3. Вылічыце: а) 5 2 б) cos cos 3 3 5 2 2 sin 4 cos 2 cos 4 cos 2 sin 32 58 2 2 2 б) cos 74 sin 74 14 74 14 sin 2 2 74 14 74 14 2 sin cos 2 2 = tg 30 3 . 3 cos 32 58 2 2 sin 13 cos 45 sin 13 2 cos 45 2 sin tg 4 . cos 14 . sin 14 2 sin 13 cos 45 sin 13 cos 14 sin 14 sin 4 cos 4 2 cos 74 sin 74 sin 32 sin 58 sin 13 = 5 2 sin 13 2; 74 = 2 sin 30 sin 44 2 sin 44 cos 30 sin 30 cos 30 4. Рашыце ўраўненне: а) sin 3x + x= x; б) 2 sin 2x cos 5x cos 9 x 0. Правообладатель Народная асвета = Трыганаметрыя Рашэнне. а) Запішам ураўненне ў выглядзе sin 3x − x+ x=0 і прыменім формулу рознасці сінусаў: (sin 3x − x) + x = 0; 2sin x x+ x = 0; cos 2 x 0, cos 2x 0, x (2sin x + 1) = 0; 1 ; 2 sin x 1 0; sin x 2 2x 2 x 1 Адказ: n k, k Z, 1 n, n Z; Z; 1 6 k ,k 2 4 x n 4 x 1 1 k , k 2 Z, n n, n 1 6 n, n 6 Z. Z. б) Выкарыстаем формулу рознасці косінусаў і атрымаем: 2 sin 2x cos 5x 2 sin 2x 2 sin 7 x sin 2x sin 2x cos 9 x 0; sin 2x sin 2x 0, 2 2 sin 7 x 2x k, k 7x 1 n Адказ: k , k 2 n, n 4 Z; 1 n 0; 2 ; 2 Z, 1 2 sin 7 x 2 0, sin 7 x 0; 2 sin 2x 2 sin 7 x sin 2x 0; 0; Z; x k , k 2 x 1 n ,n 7 1 28 n Z, 1 28 n ,n 7 Z. Z. Выберыце роўнасць, правільную для любых вуглоў a і b: а) cos a − b = cos (a − b); б) cos a − b = sin (a − b); в) cos a − b= 2 sin 2 sin 2 ; г) cos a − b= 2 cos 1.521. Пераўтварыце ў здабытак: а) cos 5a + a; б) sin 4a − sin 10a; в) cos a − a; г) sin 0,5a + sin 1,5a. 1.522. Вылічыце: а) sin 15° + sin 105°; б) cos 12 cos 7 . 12 Правообладатель Народная асвета 2 cos 2 . 155 156 Раздзел 1 1.523. Дакажыце тоеснасць: а) sin cos sin 5 cos 5 sin cos б) tg 2 ; sin cos tg . 2 1.524. Рашыце ўраўненне: а) sin 4x = sin 10x; в) sin 4 x sin б) cos 2x x 12 cos 4 x; 4 1. 1.525. Знайдзіце значэнне выразу: б) cos 17 а) sin 10° + sin 50° − cos 20°; в) sin 35 sin 85 ; cos 25 cos 7 36 36 cos 59 cos 1 . sin 59 sin 1 г) cos 5 ; 36 1.526. Спрасціце выраз: а) sin sin 4 sin 3 sin cos б) ; sin 1.527. Дакажыце тоеснасць sin sin 4 sin 4 2 sin 2 2 cos 2 sin 3 cos 3 4 ctg . . 4 1.528. Знайдзіце значэнне выразу: а) sin 58 в) cos 28 sin 5 12 cos cos 6 12 sin б) 3 cos 2 ; 12 sin sin 6 12 sin 7 18 cos 7 18 sin cos 9; 9 . 1.529. Рашыце ўраўненне: а) cos x − x= x; в) sin x x− x x= б) 5sin 2x = г) sin 3x + x; 1.530. Пераўтварыце ў здабытак: а) cos a − a+ a; б) 2cos a a+ x− x= x; x. a. 1.531. Вылічыце: а) sin 75° + cos 75°; б) sin 15° + 1.532. Спрасціце выраз sin cos 2 cos sin 2 °; sin 7 sin cos в) sin 5 12 . Правообладатель Народная асвета cos 5 . 12 Трыганаметрыя 1.533. Пераўтварыце ў здабытак: а) cos 8a + a; б) sin 2a − a; в) cos a − a; г) sin a + sin 10a. 1.534. Вылічыце: а) sin 105° − sin 75°; б) sin 75° + 1.535. Дакажыце тоеснасць: а) sin cos sin 3 cos 3 cos б) tg 2 ; cos °. cos 4 cos 4 4 ctg . 4 1.536. Рашыце ўраўненне: а) cos 5x = cos 7x; б) sin 6 x sin 2x 3 ; 4 в) cos (40° − x) + cos (80° + x) = 1. 1.537. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 85° + в) °− °; cos 24 cos 84 ; sin 54 б) sin sin 5 18 cos ; 18 г) cos 89 sin 89 ; в) 9 cos 1 . sin 1 1.538. Спрасціце выраз: а) sin cos sin cos б) ; sin 4 cos 3 cos sin cos 1.539. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 80 б) cos 47 cos 40 cos 20 ; в) cos 29 cos 91 ; sin 31 г) д) cos 25 cos 15 cos 100 е) sin 25 sin 15 ; cos 20 sin 77 sin 5 cos 5 . 3 cos 17 ; sin 5 18 cos 5 18 1.540. Рашыце ўраўненне: а) cos x − cos 7x = x; в) cos x x+ x x= x; sin sin 2 cos cos 2 1.541. Спрасціце выраз sin 3 cos 3 sin 2 9 ; cos 2 9 5 cos cos 12 12 cos cos 3 12 sin sin 3 12 . б) 7sin 2x = sin 7x − г) cos x + x+ cos cos 7 sin . Правообладатель Народная асвета x; x = 0. 157 158 Раздзел 1 1.542. Знайдзіце значэнне выразу: а) cos 70° + sin 140° − cos 10°; б) 1.543. Знайдзіце значэнне выразу sin2 49 cos 53 cos2 49 . cos 37 45 11 1 1 61 1 . 4 1.544. Знайдзіце здабытак каранёў ураўнення 4 x4 x 0. x5 x2 25 1.545. Кошт тавару спачатку павялічылі на 10 , а затым паменшылі на 25 у параўнанні з павялічаным коштам. У выніку тавар стаў таннейшым на 7 р. Знайдзіце, колькі каштаваў тавар першапачаткова. Выніковая самаа энка Пасля вывучэння гэтага раздзела я павінен: ведаць азначэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса вугла; ведаць уласцівасці трыганаметрычных функцый; ведаць формулы трыганаметрыі; умець тлумачыць азначэнне і ўласцівасці сінуса, косінуса, тангенса, катангенса з дапамогай трыганаметрычнай акружнасці; умець карыстацца формуламі для рашэння найпрасцейшых трыганаметрычных ураўненняў; умець карыстацца алгарытмамі рашэння трыганаметрычных ураўненняў асноўных тыпаў; умець выконваць пабудову графікаў трыганаметрычных функцый і пераўтвараць графікі трыганаметрычных функцый; умець выконваць пераўтварэнні трыганаметрычных выразаў з дапамогай формул прывядзення, складання, сумы і рознасці, двайнога аргумента, аднаго аргумента; умець выконваць заданні на прымяненне формул трыганаметрыі для рашэння ўраўненняў, вылічэння значэнняў выразаў; умець прымяняць правілы і алгарытмы пераўтварэння трыганаметрычных выразаў для вывучэння ўласцівасцей функцый. Я правяраю свае веды 1. Пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты P Выберыце правільныя роўнасці: а) sin 1 ; 3 б) sin 2 2 ; 3 в) cos 1 ; 3 Правообладатель Народная асвета г) cos 1 2 2 ; 3 3 . 2 2 . 3 Трыганаметрыя 2. а) Выразіце ў градусах вугал 7 p рад; б) выразіце ў градусах ву18 гал −2,8 рад; в) выразіце ў радыянах вугал −240°. 3. Знайдзіце значэнне выразу: а) 8 sin cos 3 в) cos 180 6 ; б) tg ctg ; б) sin 4 2 sin2 3 6 ; sin 270 . 4. Спрасціце выраз: а) cos cos в) tg2 sin2 cos sin2 3 2 ; . 2 5. Знайдзіце значэнне выразу: а) б) в) cos 139 cos 19 г) sin 139 sin 19 ; д) 2 cos 105° sin 105°; 3 sin 4 tg2 5 ; 3 1 tg 12 tg 48 ; tg 12 tg 48 е) cos2 112,5 4 sin2 112,5 . 12 4 6. Вядома, што a і b — вуглы трэцяй чвэрці і cos , sin . 13 5 Знайдзіце sin (a − b). 7. Рашыце ўраўненне: а) 2 cos2 x 5 cos x 3 0; б) 5 cos2 x 2 sin2 x 0,5 sin 2x 3; в) cos 10x = cos x; г) sin 9 x cos x cos 9 x sin x 0,5; д) 2 sin x = sin 2x; ж) cos 2x 4 cos x е) sin sin 2x cos 8. Спрасціце выраз sin пры . 4 cos 2 sin 2 12 sin x 2 . 2 cos 4 sin 4 cos 5 sin 5 x sin x 0; і знайдзіце яго значэнне 18 9. Пабудуйце графік функцыі y sin x 1 і запішыце яе ўлас6 цівасці. 10. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння прамой y = − і графіка функцыі y = x+ x. Дадатковыя матэрыялы да вучэбнага дапаможніка «Алгебра, 10» можна знайсці на сайце tt :// .a . , курс «Матэматыка. 10 клас». Правообладатель Народная асвета 159 к А з к 13. Корань n-й ступені з ліку а (n 2, n ∈ N) 2.1. Колькі каранёў мае ўраўненне: б) x2 0, 01; в) x2 = 0 ? а) x2 = 0, 81; 2.2. Знайдзіце значэнне выразу 0, 02 90 000 − 17 − 0,5 2,89 144 . 2.3. Выкарыстаўшы ўласцівасці ступені, вылічыце: а) 38 35 2 ; б) 1 2 9 0,5 7 в) 1,219 1,2−18 120. 4 1; Разгледзім некалькі задач. адача 1. Кубічны экалагічны рэзервуар для захоўвання вады мае аб’ём 3 3 м . Знайдзіце даўжыню канта 8 куба. ашэнне. Абазначым даўжыню канта куба праз x м, тады аб’ём куба роўны x м . Атрымаем ураўненне x3 = 3 3 . Для яго рашэння трэба знай8 сці такі лік, куб якога роўны 3 3 . Паколькі 3 8 2 3 27 8 3 3 , то гэта ўраў- ненне мае корань x = 3 , які задавальняе ўмову задачы. 8 2 Адказ: даўжыня канта куба роўна 1,5 м. адача 2. Укладчык паклаў m рублёў на банкаўскі рахунак, па якім сума ўкладу павялічваецца штогод на p . Праз 4 гады сума на рахунку склала k рублёў. Вызначце працэнт p, пад які зроблены ўклад, калі вядомы першапачатковы ўклад m і сума на рахунку k праз 4 гады. ашэнне. Грашовы ўклад штогод павялічваецца на p , г. зн. у 1 раза. Праз 4 гады ён будзе роўны m 1 . Па ўмове задачы p 100 m 1 p 100 p 100 4 k, адкуль 1 p 100 4 k . m 4 Для вызначэння p спачатку трэба знайсці такі лік, чацвёртая ступень якога роўна k . m Многія задачы, як і разгледжаныя вышэй, прыводзяць да неабходнасці здабывання кораня n-й ступені з рэчаіснага ліку. Азна энне. Няхай n ∈ , n G 1, a ∈ . Коранем n-й ступені з ліку a называецца лік, n-я ступень якога роўна a. Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Напрыклад: коранем трэцяй ступені з ліку 125 з’яўляецца лік 5, паколькі 5 = 125; коранем пятай ступені з ліку −32 з’яўляецца лік −2, паколькі 5 −2) = −32; каранямі чацвёртай ступені з ліку 81 з’яўляюцца лікі 3 і −3, паколь4 4 кі 3 = 81 і 3 81. З азначэння вынікае, што для знаходжання кораня n-й ступені з рэчаіснага ліку трэба рашыць ураўненне xn = a. Высветлім, колькі каранёў можа мець гэта ўраўненне ў залежнасці ад n і ад а. 1. Корань отнай ступені з рэ аіснага ліку Разгледзім ураўненне x2 k = a, дзе k — натуральны лік. 2 a) Калі a H 0, то ўраўненне не мае каранёў, паколькі x2 k x k 0. Такім чынам, не існуе кораня отнай ступені з адмо нага ліку. б) Калі a = 0, то ўраўненне x2 k = 0 мае адзіны корань, роўны нулю. Значыць, існуе адзіны корань отнай ступені з ліку нуль. в) Калі a G 0, то ўраўненне x2 k = a мае два сапраўдныя карані: адзін дадатны, а другі — процілеглы яму — адмоўны. Разгледзім функцыю f ( x) = x2 k , дзе k ∈ N. Мы разглядалі прыватны выпадак гэтай функцыі — y = x2. Уласцівасці і графік функцыі f ( x) = x2 k аналагічныя ўласцівасцям і графіку функцыі y = x2. k Паколькі функцыя f ( x) = x2 k нарастае на мностве неадмоўных лікаў і a — значэнне, якое прымае гэта функцыя a 0; u , то ўраўненне x2k = a мае адзіны сапраўдны корань пры любым a 0; u . Няхай x1 — дадатны корань ураўнення x2k = a (рыс. 116), значыць, лікавая роўнасць x12 k = a з’яўляецца правільx1 2k 2k a, а значыць, лік −x1 таксама най. Паколькі x12 k лікавая роўнасць x1 , то правільнай з’яўляецца і з’яўляецца коранем ураўнення x2k = a. Правообладатель Народная асвета Рыс. 116 161 Раздзел 2 Такім чынам, існуюць роўна два карані цотнай ступені з дадатнага ліку. Адзін з каранёў з’яўляецца дадатным лікам, а другі — процілеглым яму лікам. Азна энне. Арыфметы ным коранем n-й ступені з ліку a называецца неадмоўны лік, n-я ступень якога роўна a. n a =b b 0, bn = a Напрыклад, 2 — арыфметычны корань чацвёртай ступені з ліку 16, паколькі G = Арыфметычны корань n-й ступені з ліку a абазначаецца n a і чытаецца: «арыфметычны корань n-й ступені з ліку a». ік n называецца паказчыкам кораня, лік a — падкарэнным выразам. ытаецМожна, выкарыстоўваючы абазначэнні, запісаць 4 16 = 2. ца: «арыфметычны корань чацвёртай ступені з ліку 16 роўны 2». Слова «арыфметычны», як правіла, прапускаюць. Корань другой ступені з ліку прынята называць квадратным коранем (яго ўласцівасці вывучаліся ў 8-м класе). Паказчык кораня другой ступені не пазначаюць. Напрыклад, корань другой ступені з 13 запісваюць 13 і вымаўляюць: «квадратны корань з 13». Дзеянне знаходжання арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку a называецца зда ываннем кораня з ліку. Пр клад. Выканайце дзеянне здабывання кораня: 4 = 81 3= ; 8 256 2; а) шостай ступені з ліку 64; 12 = 0 0= ; 10 1 1; б) восьмай ступені з ліку 0,00000001. ашэнне: а) 6 64 = 2; 6 64 = 2 ; 4 0,0625 = 0,5 3 729 б) 8 0, 00000001 = 0,1. Такія лікі, як 4 17 , 8 100 і да т. п., з’яўляюцца ірацыянальнымі. З дапамогай дзесятковых набліжэнняў можна знайсці іх значэнні з любой зададзенай ступенню дакладнасці. 2. Корань ня отнай ступені з рэ аіснага ліку Разгледзім ураўненне x2 k 1 ўраўненне мае адзіны корань. a, дзе k — натуральны лік. Гэта Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Разгледзім функцыю f ( x) x2 k 1 , дзе k ∈ N. Гэта функцыя з’яўляецца нарастальнай на мностве ўсіх рэчаісных лікаў і прымае ўсе значэнні з прамежку a u; u . k Паколькі функцыя f ( x) x2 k 1 нарастае на R і a — значэнне, якое прымае гэта функцыя a u; u , то ўраўненне x2 k 1 a мае адзіны сапраўдны корань пры любым a (рыс. 117). Існуе адзіны сапраўдны корань няцотнай ступені з любога рэчаіснага ліку. Гэты корань для неадмоўнага ліку а называецца арыфметы ным і абазначаецца гэтаксама, як корань цотнай ступені. Напрыклад, 3 8 = 2; 5 243 = 3. Рыс. 117 3 = 27 3= ; 5 32 2; 7 = 0 0= ; 9 1 1; Такія лікі, як 5 25 ; 7 19 і да т. п., з’яўляюцца ірацыянальнымі лікамі. 4; 3 64 = 125 5 Корань трэцяй ступені з ліку называ7 0, 0000001 = 0,1 юць кубічным коранем. Напрыклад, 3 15 — кубічны корань з 15. Корань няцотнай ступені з адмоўнага ліку прынята запісваць у выглядзе 5 −243 , не называючы яго арыфметычным коранем (чытаецца: «корань пятай ступені з ліку −243»). А выражаюць яго праз арыфметычны корань 5 243 3; з процілеглага яму дадатнага ліку. Напрыклад, 5 243 7 7 128 128 2. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Вызначце, колькі існуе каранёў: а) чацвёртай ступені з ліку 25; в) восьмай ступені з ліку −256; б) пятай ступені з ліку 46; г) сёмай ступені з ліку −1. Рашэнне. а) Паколькі 25 — дадатны лік, то існуюць два карані чацвёртай (цотнай) ступені з ліку 25; Правообладатель Народная асвета 163 164 Раздзел 2 б) паколькі існуе толькі адзін корань няцотнай ступені з рэчаіснага ліку, то існуе толькі адзін корань пятай ступені з ліку 46; в) паколькі лік −256 — адмоўны, то не існуе кораня восьмай ступені з ліку −256, бо не існуе кораня цотнай ступені з адмоўнага ліку; г) паколькі існуе толькі адзін корань няцотнай ступені з рэчаіснага ліку, то існуе толькі адзін корань сёмай ступені з ліку −1. 2. Назавіце паказчык кораня, падкарэнны выраз, прачытайце дадзены выраз: а) 3 2 ; в) 8 a4 b3 . б) 6 4 x2 − 1 ; Рашэнне. а) Паказчык кораня роўны 3, падкарэнны выраз 2, да- дзены выраз: «кубічны корань з двух»; б) паказчык кораня роўны 6, падкарэнны выраз 4x2 − 1, дадзены выраз: «корань шостай ступені з рознасці 4x2 і 1»; в) паказчык кораня роўны 8, падкарэнны выраз a4 b3 , дадзены выраз: «корань восьмай ступені са здабытку ступеней a4 і b ». 3. кія з наступных роўнасцей: а) 4 81 = 3; б) 3 125 = 5; — з’яўляюцца правільнымі в) 3 125 г) 6 729 3 5; Рашэнне. а) 4 81 = 3, паколькі 3 G 0 і 34 = 81, то па азначэнні арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку роўнасць правільная; б) 3 125 = 5, паколькі 5 G 0 і 53 = 125, то па азначэнні арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку роўнасць правільная; в) 3 125 правільная; 5, паколькі 3 125 3 125 5, то роўнасць г) 6 729 3, паколькі па азначэнні арыфметычны корань цотнай ступені з ліку роўны неадмоўнаму ліку, то роўнасць няправільная. 4. кія з дадзеных выразаў: а) 10 10 ; б) 7 128 ; в) 4 −81 ; г) 7 −128 — не маюць сэнсу Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Рашэнне. а) Выраз 10 10 ёсць арыфметычны корань дзясятай ступені з дадатнага ліку 10, ён мае сэнс; б) выраз 7 128 ёсць арыфметычны корань сёмай ступені з дадатнага ліку 128, ён мае сэнс; в) падкарэнны выраз арыфметычнага кораня чацвёртай ступені роўны адмоўнаму ліку −81, дадзены выраз не мае сэнсу, паколькі не існуе кораня цотнай ступені з адмоўнага ліку; г) выраз 7 −128 мае сэнс, паколькі існуе корань няцотнай ступені з адмоўнага ліку. 5. Колькі каранёў мае ўраўненне: а) x4 = 6; б) x3 = 6; г) x3 6 ? в) x4 6; Рашэнне. а) Ураўненне мае два карані x1 = 4 6 і x2 4 6 ; б) ураўненне мае адзін корань x = 3 6 ; в) ураўненне не мае каранёў; г) ураўненне мае адзін корань x 3 6 . 6. Рашыце ўраўненне: а) x4 в) x3 625 216 б) x6 г) x3 0; 0; Рашэнне. а) x4 245 0; 27 0. 0; x4 625 625; Адказ: −5; 5. б) x6 245 0; x6 Адказ: − 245 ; 6 6 245; x x 6 x x 4 625 , 4 625 ; x x 5, 5. 245 , 6 245 . 245 . в) x3 216 = 0; x3 216 = ; x 3 216 = ; x 6. Адказ: 6. г) x3 27 0; x3 27; x 3 27 ; x 3 27 ; x 3. Адказ: −3. Вызначце, цотным ці няцотным з’яўляецца лік n, калі вядома, што ўраўненне xn = a мае: а) два розныя карані; б) толькі адзін корань. Правообладатель Народная асвета 165 166 Раздзел 2 2.4. Выберыце правільныя сцверджанні: а) лік −5 з’яўляецца коранем трэцяй ступені з ліку −125; б) лік 0 з’яўляецца коранем пятай ступені з ліку 0; в) лік −2 з’яўляецца коранем чацвёртай ступені з ліку −16; г) лік 7 з’яўляецца коранем трэцяй ступені з ліку 343. 2.5. Прачытайце выраз: а) 5 8 ; б) 3 12 ; в) 4 x9 ; г) 10 a − b . Назавіце паказчык кораня, падкарэнны выраз. 2.6. З дапамогай азначэння арыфметычнага кораня n-й ступені дакажыце, што: а) 6 64 = 2; б) 3 125 = 5; г) 5 32 = 2 . в) 4 0, 0081 = 0, 3; 243 3 2.7. Ці правільная роўнасць: в) 8 1 = 1; б) 3 0, 027 = 0, 3; 3; а) 4 81 Адказ абгрунтуйце. 2.8. Ці мае сэнс выраз: б) 4 3 ; в) 7 −3 ; а) 5 3 ; г) 7 1 128 1 ? 2 г) 6 −3 ? 2.9. Выберыце ўраўненні, якія маюць два карані: а) x4 = 81; б) x5 = 32; в) x6 = 10; г) x8 = 0; д) x10 1; е) x7 5. Знайдзіце карані гэтых ураўненняў. 2.10. Рашыце ўраўненне: а) x8 12 0; б) x4 16 5 0; 9 в) x 29 0; г) x 13 0. Карані якіх з дадзеных ураўненняў з’яўляюцца рацыянальнымі лікамі 2.11. Выканайце дзеянне здабывання кораня: а) 4 16 ; б) 4 1 ; 6 10 д) 64 ; і) 3 125 ; 81 е) 1; к) 7 1 ; 128 в) 4 10 000 ; ж) 5 32 ; л) 9 0 ; г) 4 1 ; 625 з) 3 0, 001 ; м) 3 216 . 2.12. Знайдзіце значэнне кораня: а) 4 16 ; 625 б) 3 − 8 ; 27 в) 3 1 91 ; 125 г) 3 −3 3 ; Правообладатель Народная асвета 8 Корань n-й ступені з ліку д) 4 5 1 ; е) 4 3 13 ; 16 ж) 3 −5 23 ; 81 з) 5 −7 19 . 64 32 2.13. Знайдзіце значэнні выразаў 3 m , 3 8 m , 3 −0, 008 m , калі: б) m 1; в) m = 125; г) m 1000. а) m = 1; 2.14. Выканайце дзеянні: а) 4 81 − 6; б) 19 − 3 8 ; в) 3 − 1 − 1 2 ; г) 3 0,125 − 3,5; д) 4 16 − 3 125 ; е) 3 0, 008 + 5 32 ; ж) 3 1 − 6 1 ; з) 7 1 − 9 1 ; і) 7 0 − 4 1 . 8 64 27 128 3 81 2.15. Знайдзіце значэнне выразу a + a , калі: а) a = 1; б) a = 0; в) a = 64; г) a = 0,000001. 2.16. Вылічыце: 6 3 а) 5 100 000 − 4 0, 0625 ; б) 3 0, 001 6 1 ; в) 3 − 1 − 5 0, 00001 ; г) − 4 0, 0016 3 8000 ; д) − 3 −343 5 −1024 ; е) 6 27 ж) 6 0, 000064 3 3 −3 3 ; 8 з) 5 − 32 −0, 064 ; 3 243 0,216 . 2.17. Знайдзіце значэнне выразу 3 6 m 0,5 5 n пры: а) m = 64, n = 243; б) m 0, n 1; в) m = 0, 000001, n = 0, 00032. 2.18. Вылічыце: а) 3 6 cos p ; 6 б) 5 tg 7 p . 4 2.19. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4 6 4 5 б) ; 4 д) 2 4 11 ; 5 13 ; 5 е) 5 3 ; в) 8 6 ; 8 г) 6 ж) 1 6 5 ; 2 ; 7 7 4 з) 3 4 0,2 . 2 2.20. Вылічыце: б) 1 4 1296 − 3 −0, 064 ; а) 2 4 0, 0625 − 5 −243 ; в) 10 д) 4 2 0, 0081 − 0,2 3 −1 61 ; 64 0, 64 8 3 15 5 8 24 81 ; 3 г) 1 9 е) 5 1 243 3 3 2 10 27 14 256 ; 8 45 3 0, 001 Правообладатель Народная асвета 5 4 0, 0016 . 167 168 Раздзел 2 2.21. Аб’ём шара вылічваецца па формуле V 4 R 3 (рыс. 118). Выразіце з гэтай формулы 3 R — радыус шара. 2.22. Знайдзіце значэнне выразу: а) 0, 6 4 10 000 3 7 128 4 8 6 б) 2 3 5 10 12 8 . 3 12 12 3 ; 8 3 Рыс. 118 2.23*. Вылічыце: а) 4 10 + 3 3 8 ; б) 10 0,7 + 3 5 0, 00001 ; в) 3 3 0,125 3 27 . 512 2.24. З дапамогай азначэння арыфметычнага квадратнага кораня n-й ступені выберыце ўсе правільныя роўнасці: а) 4 16 = 2; г) 3 8 2 ; 125 5 б) 3 27 = 3; в) 5 0, 00032 = 0,2; д) 4 1 = 1; е) 10 0 = 0. 2.25. Выберыце выразы, якія маюць сэнс: а) 6 12 ; б) 8 −1 ; г) 7 −11 ; в) 5 6 ; 2.26. Рашыце ўраўненне: б) x6 = 0; а) x4 = 7; в) x7 4 0; д) 4 0 . г) x10 1 0. 2.27. Знайдзіце значэнне кораня: а) 4 81 ; б) 4 1 ; в) 6 1 000 000 ; г) 5 32 ; д) 3 64 ; е) 3 −27 ; ж) 5 −1 ; з) 3 0, 008 ; і) 3 −0,125 ; к) 7 0 ; л) 5 −0, 00001 ; м) 3 −27 000 ; н) 8 256 ; о) 3 −0,216 . 16 2.28. Знайдзіце значэнне выразу x + 3 x , калі: а) x = 0; б) x = −1; в) x = 8; г) x = −27; д) x = 0,001; е) x = 64 . 125 Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.29. Вылічыце: б) 4 7 58 ; а) 3 125 ; в) 3 −15 5 . 81 216 8 2.30. Знайдзіце значэнні выразаў 3 a , 3 1000 a , 3 −0, 001a , калі: а) a = 8; б) a = −0,125. 2.31. Выканайце дзеянні: а) 3 27 − 2; в) 0,5 + 3 1 ; б) 10 + 4 16 ; 8 125 15; д) ж) 3 − 1 − 4 1 ; з) 5 к) − 5 0, 00001 л) 4 81 5 0, 00032 ; г) 3 125 81 3 −8 ; 4 1 − 216 ; е) 1 − 7 0; 100 000 і) 4 10 000 3 3 0, 064 − 5 243 ; 3 0,125 ; м) 5 −7 19 3 27 000 . 32 625 2.32. Знайдзіце значэнне выразу 2 4 x − 1 3 y пры: = = , y 343; а) x 16 б) x 0, y 1; 3 в) x 0, 0081, y 0,125. 2.33. Вылічыце: а) 4 32 sin p ; б) 3 8 cos p . 6 2.34. Знайдзіце значэнне выразу: а) г) 6 7 6 б) ; 7 ; 3 3 3 3 4 в) 4 5 ; 10 ; 6 е) 1 4 6 д) 2 6 3 ; 3 . 4 2.35. Вылічыце: а) 3 −0,125 − 1 6 64 ; б) 5 32 в) 3 4 1 4 0, 0625 ; г) 5 −100 000 − 4 4 0, 0256 . 8 81 0,25 3 0,216 ; 2.36. Аб’ём куба вылічваецца па формуле V = a3 . Выразіце з гэтай формулы a — даўжыню канта куба. 2.37. Знайдзіце значэнне выразу: а) 400 3 0, 001 0,5 5 0, 00032 3 2 4 5 б) 4 4 7 58 2 5 0,1 81 10 . 5 7 ; 4 7 Правообладатель Народная асвета 169 170 Раздзел 2 2.38. Знайдзіце значэнне выразу: 2 а) 3 в) 6 ; 54 2 5 2 ; б) 16, 9 10 ; г) 24 6 + 7 7. 9 3 2.39. Знайдзіце значэнне выразу sin 2 1 2.40. Рашыце няроўнасць 4 − x G . x −1 4 cos 5 sin 8 . n-й ступені (n G 1, n ∈ N) 14. Улас івас і каран 2.41. Знайдзіце значэнне выразу: а) 3 75 ; б) 72 ; 2 12 − 3. в) 2.42. Вылічыце: а) 42 ; б) 1732 − 522 . 2.43. Пры якіх значэннях а) t = t; 2 б) (t 1) правільная роўнасць: 2 1 t? Разгледзім дзве ўласцівасці каранёў n-й ступені, аналагічныя ўласцівасцям квадратных каранёў. Улас івас ь 1. Корань n-й ступені са зда ытку неадмоўных множнікаў ро ны зда ытку каран n-й ступені з гэтых множнікаў: n ab = n a n b , дзе a 0, b 0, n ∈ N, n 1. Улас івас ь 2. Корань n-й ступені з дзелі ро ны дзелі каран n-й ступені дзялімага і дзельніка, калі дзялімае — неадмоўны лік, а дзельнік — дадатны лік: n a b n = n a , дзе a b 0, b 0, n ∈ N, n 1. Дакажам уласцівасць 1 для каранёў n-й ступені са здабытку двух множнікаў: n ab = n a n b , дзе a 0, b 0, n ∈ N, n 1. Доказ. Пры доказе будзем карыстацца азначэннем арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку і ўласцівасцямі ступені з цэлым паказчыкам. Абазначым n a n b = t і пакажам, што t 0 і tn = ab. Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 1) Па азначэнні арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку маем: n a 0 і n b 0, а паколькі здабытак двух неадмоўных множнікаў ёсць неадмоўны лік, то n a n b 0, значыць, t 0. 2) Па ўласцівасці ступені з цэлым паказчыкам атрымаем: tn n a nb n n n a nb n n a n nb n , а па азначэнні n-й кораня ступені з ліку ab, г. зн. tn = ab. Такім чынам, уласцівасць даказана. Уласцівасць 2 дакажыце самастойна. Пр клад . Вылічыце: б) 4 36 4 4 ; а) 5 243 32 ; в) 3 36 3 48 . 9 ашэнне. а) 5 243 32 = 5 243 5= 32 3= 2 6; 4 4 б) 4 36 = 9 в) 3 36 = 3 48 4 36= 4 9 n ab = n a n b = 16 2; 4 3= 36 48 3= 216 8 3 3 216 = 8 6= 2 12. Пр клад . Вылічыце: а) 4 81 ; б) 256 5 n a 64 . 2 b n = na b 5 5 4 81 3 = ; 81 ашэнне. а) 4= 4 256 256 64 б) = 5 4 64 5= 2 2 = 32 2. 5 Улас івас ь 3. Значэнне кораня са ступені не зменіцца, калі і паказчык кораня, і паказчык падкарэннага выразу памножыць на адзін і той жа натуральны лік або падзяліць на іх агульны дзельнік: nk n r am = am k ; n am = am r , дзе а 0, n ∈ , m ∈ , k ∈ , r — агульны натуральны дзельнік лікаў і n, n G 1, k G 1 і r G 1. n n nk nk Дакажам, што am = amk або amk = mk чэння кораня ступені nk з ліку a . n am . Доказ правядзём на падставе азна- n Абазначым am = t, пакажам, што t 0 і tnk = amk . Відавочна, што t 0 па азначэнні арыфметычнага кораня. Пакажам, што tnk n am nk amk . Па ўласцівасці ступені з цэлым паказчыкам і азначэнні кораня справядлівыя роўнасці: n am nk n am n k Правообладатель Народная асвета am k amk . 171 Раздзел 2 Пр клад . Спрасціце выраз 21 128 . ашэнне 21 128 = 37 = 2 21 = 2 7 7 3 n am = nk am k n am = n r am r 2. Улас івас ь 4. Каб здабыць корань k-й ступені з кораня n-й ступені з неадмоўнага ліку, дастаткова здабыць корань ступені nk з гэтага ліку: k n a = kn a для любых натуральных n G 1 і k G 1, а 0. Для доказу дастаткова паказаць, што kn a nk a. Па ўласцівасці ступені з натуральным паказчыкам маем: Па азначэнні кораня атрымаем: kn a k n n a n kn a nk kn a k n . a. Уласцівасць даказана. Пр клад . Спрасціце выраз 3 4 15 . ашэнне = 15 3 4 k n 34 = 15 12 a = kn a 15 . Улас івас ь 5. Для любога рэчаіснага a і натуральнага n G 1 справядлівая роўнасць n Сапраўды, калі n — цотны лік, то a = an . Калі n — няцотны лік, то an = an . Такім чынам, на падставе азначэння кораня n-й ступені ўласцівасць даказана. Пр клад . Вылічыце: а) 8 ( −3)8 ; б) 5 ( −3)5 . ашэнне. а) 8 ( 3)8 3 3; б) 5 ( 3)5 3. Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4 81 625 ; б) 5 0, 00032 3125 . Рашэнне. а) 4 81 625 = 4 81 4 625 = 3= 5 15; б) 5 0, 00032 3125 = 5 0, 00032 5 = 3125 0= ,2 5 1. 2. Вылічыце: а) 6 0, 000243 6 19,2 ; б) 3 144 3 12 . Рашэнне. а) 6 0, 000243 6 19,2 = 6 0, 000243 19,2 = = 6 0, 000243 0, 3 64 = 6 0, 35 0,= 3 64 0= , 3 2 0, 6; 3 б) 3 144 = 12 3 3 122= 12 = 123 12. 3. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4 0,0625 ; б) 3 810 000 216 000 . 0,001 4 0,0625 ,5 = 0= Рашэнне. а) 4 0,0625 = б) 3 216 000 = 0,001 810 000 4 810 000 3 216 000 60 = 0,1 = 3 0,001 1 ; 60 30 600. 4. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4 128 ; 8 б) 4 5 0,000064 5 0,2 4 128 Рашэнне. а) 4= 128 4 = 5 0,000064 5 0,2 = 16 2; 4 8 8 б) . = 5 0,000064 = 5 0, 00032 = 0,2. 0,2 5. Спрасціце выраз: а) 6 16 ; б) 4 252 ; Рашэнне. а) = 16 = 2 = 2 6 6 в) 3 4 = 2 6 6 6 42 = 2 4 г) 3 6 . в) 3 4 6 2 ; 3 4 6 2 24= 2 3 6 2 б) 4; = 25 6 4 2 25 = = 25 5; 32 ; Правообладатель Народная асвета 173 174 Раздзел 2 4 6 г)= 3 2 12 3 6 = 12 12 23 33 4 27 12 = = 4 2 12 2 2 13,5 . 6. Спрасціце выраз: а) 3 5 a ; 8 б) в) 9 a3 . a; Рашэнне. а) 3 5 a = 15 a ; в) 9 = a3 18 = a3 6 8 б) = a 28 = a 16 a; a. 7. Знайдзіце значэнне выразу: а) 6 ( −5)6 ; б) 13 ( −7)13 . Рашэнне. а) 6 ( 5)6 5 б) 13 ( 7)13 5; 7. 8. Замяніце выраз на тоесна роўны яму: k k Рашэнне. а) k= а) б) p p p p б) k= k p k p 6 1. Пры якіх значэннях a і b правільная роўнасць 6 a = 6 a ? b b 2. Пры якіх значэннях m правільная роўнасць 8 m8 m ? 2.44. Вылічыце з дапамогай уласцівасці кораня n-й ступені са здабытку: а) 3 8 27 ; б) 3 64 125 ; в) 4 0, 0625 81 ; г) 5 32 0, 00243 ; д) 3 0, 027 153 ; е) 4 625 38 ; ж) 3 0, 001 64 343 ; з) 4 0, 0016 625 74 . 2.45. Знайдзіце значэнне здабытку: а) 3 25 3 5 ; б) 3 2 3 500 ; в) 5 2 5 16 ; г) 3 2,7 3 10 ; д) 5 0, 32 5 100 ; е) 4 0, 8 4 20 ; ж) 3 0,1 3 0, 08 ; з) 3 4 3 8 3 −2 . Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.46. Знайдзіце значэнне выразу з дапамогай уласцівасці кораня n-й ступені з дзелі: б) 3 0,064 ; 81 ; 0,0625 а) 4 3 200 000 ; 0,00243 в) 5 1000 г) 3 0,343 . 125 2.47. Знайдзіце значэнне дзелі: а) 5 3 96 ; 3 б) 3 2 ; 5 4 4,8 г) 4 0,3 в) 54 д) 3 5 ; 36 3 3 400 ; 50 3 е) 3 7 1 6 ; 25 5 3 − 1 . 30 2.48. Параўнайце значэнні выразаў 4 ab і 4 a , калі: b 4 б) a 256, b 0, 0081; в) a 7= = = , b 625; = , b 38. а) a 16 Ці можна знайсці значэнні дадзеных выразаў, калі лікі a і b розных знакаў 2.49. Вылічыце: б) 3 8 4 0,0625 . а) 3 27 125 − 4 16 81 ; 343 256 2.50. Знайдзіце значэнне выразу: 0,0016 256 ; 810 000 а) 4 б) 3 0,008 . 27 0,125 2.51. Знайдзіце значэнне здабытку: а) 3 12 3 18 ; б) 4 72 4 18 ; в) 3 75 3 45 ; г) 5 160 5 625 ; д) 3 4 3 −6 3 9 ; е) 4 4 4 27 4 12 . 2.52. Знайдзіце значэнне дзелі: 3 а) 3 16 ; б) 250 4 486 ; 96 4 3 в) 3 3125 ; 5400 5 6,4 г) 5 48,6 . 3 2.53. Знайдзіце значэнне выразу 4 2 4 8 + 3 3 , выкарыстаўшы ўлас81 цівасці кораня. 2.54. Знайдзіце, у колькі разоў лік: а) 6 128 большы за лік 6 2 ; б) лік 3 4 меншы за лік 3 108 . 2.55. Знайдзіце значэнне выразу: а) 5 3 3 3 9 ; в) 3 3 7 3 49 ; б) −6 5 4 3 5 8 ; г) 5 4 10 0, 3 4 1000 . Правообладатель Народная асвета 175 176 Раздзел 2 2.56. Вызначце, ці з’яўляюцца ўзаемна адваротнымі лікі: а) 3 5 і 3 25 ; 5 б) 2 4 2 і 4 1 ; в) 5 64 і − 5 1 . 32 64 2.57. Знайдзіце значэнне выразу на падставе ўласцівасцей кораня n-й ступені: а) 4 17802 − 7802 ; б) 3 0, 692 − 0,512 ; в) 4 34 3 2 4 34 3 2 ; г) 3 5 3 11 3 5 3 11 . 2.58. Запішыце выраз 3 2 у выглядзе кораня: а) шостай ступені; б) дзявятай ступені; в) дванаццатай ступені; г) васямнаццатай ступені. 2.59. Запішыце выраз а) чацвёртай ступені; в) дзясятай ступені; a у выглядзе кораня: б) шостай ступені; г) шаснаццатай ступені. 2.60. Запішыце ў выглядзе каранёў адной і той жа ступені лікі: а) 3 2 , 5 і 6 3 ; б) 4 2 , 8 3 і 12 7 . 2.61. Запішыце выраз у выглядзе кораня з меншым паказчыкам: а) 6 24 ; д) 4 25 ; б) 15 79 ; е) 6 81 ; в) 8 34 ; ж) 6 125 ; г) 24 128 ; з) 12 27 . 2.62. Вылічыце: а) 6 493 ; б) 6 1252 ; в) 100 950 ; г) 24 748 . 2.63. Запішыце ў выглядзе кораня: а) 4 2 8 0,5 ; г) 10 5 50 ; 5 в) д) 8 2 12 3 ; е) 6 5 6 80 ; 4 4 б) 6 3 3 1 ; 4 2. 2.64. Вызначце, рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу: б) 7 −5 14 25 ; в) 3 2 6 2 6 8 ; а) 3 4 6 4 ; г) 3 6 3 12 3 ; д) 2.65. Спрасціце выраз: 3 7 4 343 12 7 ; е) 8 83 40 8 5 5 84 . a2 ; а) 3 3 a ; б) 4 a ; в) г) 5 6 a10 ; д) 3 4 a a ; е) 4 a 6 4 a . Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.66 Вылічыце: а) 3 3 9 9 37 ; б) 4 3 25 6 55 ; 3 в) 3 2.67. Знайдзіце значэнне выразу: а) 4 17 ; б) 5 10 ; 4 4 2 15 + 5 2 . 3 в) 6 7 ; 5 2 г) 7 13 . 6 7 2.68. Спрасціце выраз: а) 4 a4 , калі a 0; б) 6 b6 , калі b H 0; в) 4 81m 4 , калі m 0; г) 8 c , калі c H 0; д) −3 4 16b4 , калі b H 0; е) −2a 4 a , калі a 0. 8 256 4 625 2.69. Запішыце выраз у выглядзе адначлена: а) 7 a7 ; б) −4 3 8 a3 ; в) 12a 9 − a9 ; г) 5a2 5 −32a5 . 2.70. Спрасціце выраз: б) 6 x6 − 3 x3 , калі x а) 4 x4 − x, калі x 0; 2.71. Спрасціце выраз 3 343x3 не пры x 0,5. 2.72. Спрасціце выраз: 4 81x4 64 x2 і знайдзіце яго значэн- б) 3 8 b9 ; а) 4 a12 , калі a 0; в) 4 16m 8 ; 18 е) −8 a 6 a д) −6 4 625b20 , калі b H 0; 0. 64 , калі a 0. 2.73. Спрасціце выраз 4 1 a4 b12 , калі a і b: 81 а) лікі аднаго знака; б) лікі розных знакаў. 2.74. Спрасціце выраз: а) 4 a 7 4 пры a 7; в) 8 y 3 4 y 5 8 4 б) 6 a 8 6 y пры 3 пры a H − 8; 5. 2.75*. Вылічыце: 120 11 120 11 ; б) 4 6 10 4 6 10 20. 4 а) 4 6 6 4 4 6 6 Правообладатель Народная асвета 16 г) 4 c 81 ; 177 178 Раздзел 2 2.76. Вылічыце з дапамогай уласцівасці кораня n-й ступені са здабытку: б) 4 81 256 ; в) 5 243 0, 00001 ; а) 3 27 125 ; г) 3 0, 064 343 ; д) 5 32 65 ; е) 3 0, 008 27 96 . 2.77. Знайдзіце значэнне здабытку: а) 3 4 3 2 ; б) 3 3,2 3 20 ; в) 4 6,25 4 100 ; г) 5 24, 3 5 10 ; д) 4 0,5 4 0,125 ; е) 5 3 5 9 5 −9 . 2.78. Знайдзіце значэнне выразу з дапамогай уласцівасці кораня n-й ступені з дзелі: 16 ; 0,0081 а) 4 б) 3 27 000 ; 0,008 в) 5 0,00001 ; г) 4 625 . 32 0,0016 2.79. Знайдзіце значэнне дзелі: а) 3 7 16 ; 2 б) 7 2 ; 3 в) 256 4 2.80. Знайдзіце значэнні выразаў а) m 125 = = , n 0, 027; 3 г) 3 −128 . 1250 ; 4 2 2000 mn і 3 m , калі: n б) m 10 = = , n 23. 6 2.81. Знайдзіце значэнне выразу: а) 3 125 343 ; 0,027 б) 4 160 000 . 81 625 2.82. Знайдзіце значэнне выразу, выкарыстаўшы ўласцівасці кораня n-й ступені: а) 3 24 3 9 ; б) 4 48 4 27 ; г) 5 48 5 162 ; д) 2.83. Вылічыце: а) 7 3 2 3 4 ; в) 8 3 10 3 100 ; 3 625 ; 40 3 в) 3 −15 3 225 ; 4 е) 4 648 . 128 б) −2 5 9 5 5 27 ; г) 0, 4 4 5 7 4 125 . 2.84. Знайдзіце значэнне выразу на падставе ўласцівасцей кораня n-й ступені: а) 4 1752 − 1682 ; б) 3 7 22 3 7 22 . Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.85. Запішыце выраз 4 3 у выглядзе кораня: а) восьмай ступені; б) дванаццатай ступені; в) шаснаццатай ступені. 2.86. Запішыце ў выглядзе каранёў адной і той жа ступені лікі: а) 5 7 , б) 4 3 , 6 5 і 8 7 . 2 і 10 3 ; 2.87. Запішыце выраз у выглядзе кораня з меншым паказчыкам: б) 8 56 ; а) 12 33 ; в) 4 72 ; г) 12 36 ; е) 15 32 . д) 6 27 ; 2.88. Вылічыце: а) 8 254 ; г) 16 1032 . в) 30 8115 ; б) 12 274 ; 2.89. Вызначце, рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу: а) 3 36 6 36 ; б) 5 16 10 4 ; в) 3 5 6 5 12 5 ; г) 2.90. Спрасціце выраз: б) 3 b ; а) 4 4 b ; в) 7 3 39 6 3 . г) 3 4 b6 . b2 ; 2.91. Знайдзіце значэнне выразу: а) 3 3 16 9 25 ; 8 б) 3 5 ; 3 3 5 2.92. Знайдзіце значэнне выразу: а) 8 19 ; 3 21 в) 7 3 5 + б) 3 4 9 6 35 ; в) 4 2 ; 4 81 . 9 г) 5 11 . 5 2.93. Спрасціце выраз: а) 8 m 8 , калі m 0; б) 4 c4 , калі c H 0; в) 6 64 x6 , калі x 0; г) 4 a , калі a H 0; д) −2 4 625 y4 , калі y H 0; е) −3b 8 b , калі b 0. 4 81 8 256 2.94. Запішыце выраз у выглядзе адначлена: а) 3 x3 ; б) −2 5 32b5 ; в) 10 c 11 − c11 ; г) 3 y5 7 −128 y7 . 2.95. Спрасціце выраз 4 625c4 5 32c5 36 c2 і знайдзіце яго значэнне пры c 1 . 13 Правообладатель Народная асвета 179 180 Раздзел 2 2.96. Спрасціце выраз: а) 6 a18 , калі a 0; б) 3 27 m 6 ; в) 6 64 a12 ; 24 е) −8n 8 n д) −2 4 81b12 , калі b H 0; 256 г) 4 a 48 16 ; , калі n 0. 2.97. Спрасціце выраз 4 16 m 8 n20 , калі: 81 а) n 0; б) n H 0. Растлумачце, чаму знак значэння дадзенага выразу не залежыць ад знака зменнай m. 2.98*. Запішыце ў выглядзе мнагачлена выраз: а) 4 a 4 4 б) 6 b 2 6 пры a G 4; в) 8 3b 10,2 10,2 пры −3 8 b пры b H −2; 3. 3 x 5 1 13 − 10 2.99. Знайдзіце суму каранёў ураўнення 2.100. Параўнайце значэнні выразаў 2.101. Ведаючы, што a выразе: а) 3 a2 ; 0, b 7 b2 ; б) 1 і 4 x2 10 x 1 . 14 − 11 25 . 0, вынесіце множнік за знак кораня ў 50 a6 b4 ; в) г) 49 a5 b2 . 64 2.102. У выразе a 5 унясіце множнік пад знак кораня, калі: б) a H 0. а) a 0; 2.103. Скараціце дроб 5a 2b 2 2 5 ab 5 ab 2b . 5a 2.104. На рысунку 119 паказаны графік функцыі y = f (x), зададзенай на адрэзку [−6; 6]. Пабудуйце графік функцыі: а) y = f (x − 2); б) y = f (x + 1); в) y = f (x) − 3; г) y = f (x) + 4. 2.105. Вылічыце: а) tg 2arccos 3 2 б) ctg 2arcsin 2 2 ; . Рыс. 119 Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку n-й ступені 15. Прымяненне лас івас ей каран для пера тварэння выраза 2.106. Не здабываючы каранёў, вызначце, які з лікаў большы: 2 3 ці 3 2 ? 2.107. Спрасціце выраз 50 5 8 18 3 2 . 1 2.108. Дакажыце, што значэнне выразу 2 3 цыянальным лікам. 2 3 1 з’яўляецца ра- Вынясенне мно ніка за знак кораня Пры выкананні пераўтварэнняў ірацыянальных выразаў, якія змяшчаюць карані n-й ступені, падкарэнныя выразы раскладаюць на множнікі, некаторыя з якіх уяўляюць сабой ступень з паказчыкам, роўным паказчыку кораня. Тады можна выканаць 3 дзеянне, якое называецца вынясеннем = 24 3= 8 3 3 8= 33 мно ніка за знак кораня. 3 3 2 3 3 23 3; Вынесем множнік за знак кораня = = ў выразе 3 54 . Для гэтага лік 54 за4 = 162 4= 81 2 4 81 = 42 пішам у выглядзе здабытку двух множнікаў, адзін з якіх з’яўляецца ку- = 4= 34 4 2 3 4 2 ; бам некаторага выразу. Тады 3 54 = 3 5 27 = 3 2 3 3= 3 2 33 2. = 96 У гэтым выпадку гавораць, што = множнік 3 вынеслі за знак кораня. = 3= 27 2 3 5= 32 3 5 32 = 53 5 = 25 5 3 2 5 3 Ка вынес і мно нік за знак кораня, трэ а Запісаць падкарэнны выраз у выглядзе здабытку, які змяшчае ступені выразаў з паказчыкам, роўным паказчыку кораня. Прымяніць уласцівасць кораня са здабытку. Знайсці корань n-й ступені з выразу ў ступені n. Запісаць здабытак атрыманага множніка і кораня. Вынесіце множнік за знак кораня ў выразе 5 160 . 5 = 160 5= 32 5 5 5 5 25 5 = 5 25 5 5 = 2 5 5 . 5 160 = 25 5 . 25 5 . 25 5 5 . Правообладатель Народная асвета 181 Раздзел 2 Унясенне мно ніка пад знак кораня Пры выкананні вылічэнняў і пераўтварэнняў, параўнанні значэнняў выразаў часам трэба выконваць дзеянне, адваротнае дзеянню вынясення множніка за знак кораня. но называецца нясеннем мно ніка пад знак кораня. Унясём множнік 2 пад знак кораня ў выразе 2 3 7 . = 2 3 7 3 23= 3 7 3 8= 3 7 3= 8 7 3 56 . У выразе a 4 b , дзе b G 0, a 0, унясём множнік a пад знак кораня. Калі a G 0, то 4 = a4 b = a4 4 b 4 a4 b . = 43 3 3 3 4= 33 3= 64 3 3 192 ; = 34 5 4 4 3= 45 4= 81 5 4 405 Калі a H 0, то a b ( a) b a b . 4 4 4 4 4 4 Ка унес і мно нік пад знак кораня, трэ а Унясіце множнік пад знак кораня ў выразе 5 4 2 . Запісаць неадмоўны множнік у выглядзе кораня n-й ступені з n-й ступені гэтага множніка. 54 2 = Здабытак каранёў замяніць коранем са здабытку. 4 4 54 4 2 ; 54 4 2 = 4 625 2 ; 4 625 2 = 4 1250 . Запісаць корань са здабытку. 5 4 2 = 4 1250 . Пера тварэнне выраза , якія змя Пр клад . Знайдзіце суму 6 4 ашэнне. = 6 22 6 4 3 125 2 3 128 = 3 2 64 = 32 2 686 2 3 2 343 2 3 686 250 3 3 250 3 аю ь карані n-й ступені 53 2 3 128 . 14 3 2 4 3 2 = −12 3 2 . 3 2 3 2 3 2 . ашэнне. 3 2 3 2 3 2 = 3 2 3 2 = = 3 2 3 2 = 3 2 3 2 = 3 2 3 2 1. Пр клад . Спрасціце выраз 4 4 2 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 2 Правообладатель Народная асвета 2 2 Корань n-й ступені з ліку Пр клад . Раскладзіце на множнікі 2 3 16 + 6 500 . ашэнне. 2 3 16 + 6 500 = 2 3 8 2 + 6 125 4 = 2 2 3 2 532 32 4 5 . 6 53 22 43 2 3 . Скараціце дроб b3 ab . 5 Пр клад a 3 3 3 3 3 b a 3b b a b 3 ашэнне. b3 ab 3 5 a a a 2 a 3a b3 b . a3 a 2 Паз а ленне ад іра ыянальнас і назо ніку дро у Калі ў назоўніку дробу ёсць выразы з каранямі, выконваюць пераўтварэнні, якія прыводзяць да дробаў без выразаў з каранямі ў назоўніку. Традыцыя такога пераўтварэння каранёў, з аднаго боку, звязана з набліжанымі вылічэннямі, а з другога — з больш зручным (рацыянальным) спрашчэннем выразаў. Пр клад . Пазбавіцца ад кораня ў назоўніку дробу 43 . 3 ашэнне. = 4 8 34 2 = 4 8 42 34 2 = 4 16 34 2 . 2 8 Пр клад *. Пазбавіцца ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу 2 4 6 45 6 5 2 4 6 4 5 = 6 4 5 6 5 4 6 4 5 4 6 4 5 6 5 6 5 6 5 ашэнне. 4 . 2 2 46 45 = 2 46 45 . Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 5 a5 b2 ; б) 4 a4 b3 пры a H 0. Рашэнне. а) 5 a5 b2 = 5 a5 5 b2 = a 5 b2 ; б) 4 a4 b3 4 a4 4 b3 a 4 b3 a 4 b3 , паколькі a H 0. Правообладатель Народная асвета 183 184 Раздзел 2 2. Унясіце множнік пад знак кораня: б) 2a 4 − a . а) −2 3 2 ; Рашэнне. а) 2 3 2 б) 2a 4 a 23 2 ( 2a) 4 a 4 ( 2 a )4 ( a ) 3. Спрасціце выраз: а) 3 16 3 23 2 3 54 Рашэнне. а) 3 33 2 3 3 24 ; 4 4 16( a )5 16 a5 . б) 2 4 5 4 27 4 3 2 4 15 . 2; 16 54 2 3 8 2 3 27 2 3 2 3 3 3 43 2; 2 б) 2 4 5 4 27 4 3 2 4 15 2 4 5 4 3 4 27 4 3 2 4 15 2 15 81 2 4 15 4 81 3. 4 4 a b a b a b . Рашэнне. a b a b a b a b a b 4. Выканайце дзеянні: 4 4 a b a Рашэнне. 6 a2 6 32 2 23 2 2 4 b. 32 + 3 2 23 2 3 2 4 b 5. Скараціце дроб 4 . 684 3 2 23 2 = 3 3 2 2 3 2 2 23 2 2 1 2 1 . 2 23 2 6. Пазбаўцеся ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу 4 2 . Рашэнне. 2 = 4 125 24 5 = 4 125 4 5 7. Спрасціце выраз 4 Рашэнне. 4 = 24 5 = 4 625 1 4 14 . 7 43 7 3 1 4 14 7 43 7 3 = 4 4 7 3 = 24 7 7 3 7 3 7 3 7 3 24 7 125 24 5 . 5 7 4 3 4 7 4 3 4 7 4 3 7 4 3 4 7 7 3 2 = 24 7 7 − 3 . Правообладатель Народная асвета = Корань n-й ступені з ліку Ці праўда, што: 6 6 a) b 6 b = b2 ; 6 6 б) b 6 b = b6 ; г) b 6 b = b7 ? в) b 6 b = b12 ; 2.109. Выкарыстаўшы алгарытм, вынесіце множнік за знак кораня: б) 3 500 ; в) 4 80 ; г) 4 810 ; а) 3 16 ; е) 5 486 ; д) 4 162 ; ж) 5 700 000 ; з) 7 256 . 2.110. Спрасціце выраз: б) 5 3 54 ; а) 16 3 24 ; г) 5 200 000 5 в) −0,5 4 48 ; 6 5 7 е) − 640 . д) − 5 96 ; ; 6 8 2.111. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 4 7 a4 ; б) 6 13b12 ; в) 4 32m 4 n12 ; г) 3 27 ck6 d9 . 2.112. Запішыце некалькі значэнняў зменнай, для якіх правільная роўнасць: а) 4 7 k4 = k 4 7 ; б) 6 3 p6 p 6 3 ; в) 8 2m16 = m2 8 2 ; г) 5 7 a15 = a3 5 7 . 2.113. Ведаючы, што a выразе: 0, b 0, вынесіце множнік за знак кораня ў а) 4 2a4 ; б) 6 7 b6 ; в) 4 32a12 b8 ; г) 8 256 a17 b16 ; д) 10 5a20 b40 ; е) 8 2a24 b40 . 2.114. Вынесіце множнік за знак кораня ў выразе: а) 3 5a3 ; б) 3 b4 ; в) 5 m7 ; г) 5 x5 y16 ; д) 5 a11 b6 ; е) 3 −54m5 n9 . 2.115. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 4 625m 4 n , калі m H 0; б) 4 162x12 y5 , калі x 0; в) 6 128 a12 b6 , калі a 0, b 0; г) 6 1 000 000 c7 d13 , калі c H 0, d H 0. Правообладатель Народная асвета 185 186 Раздзел 2 2.116. Вынесіце множнік за знак кораня: б) 6 −b7 ; а) 4 a5 ; г) 8 −2m25 . в) 4 x13 y17 ; 2.117. Выкарыстаўшы алгарытм, унясіце множнік пад знак кораня: а) 2 3 5 ; б) 2 4 3 ; в) 2 4 7 ; г) 2 3 54 ; д) 0,25 4 320 ; е) 10 5 0, 456 ; ж) 1 5 96 ; з) 2 6 0,25 . 2 3 2.118. Унясіце множнік пад знак кораня: а) 3 4 a ; б) 2 4 5b ; в) 1 3 27 x ; г) −3 m ; д) − 1 6 160n5 ; 2 е) −0,2 5 100 c . 4 3 2.119. У выразе m 4 2 унясіце множнік пад знак кораня, калі: а) m 0; б) m H 0. 2.120. Унясіце множнік пад знак кораня: а) a 1 4 3 , калі a G −1; б) b 3 6 5 , калі b 7 3; 5 в) a 6 ; г) b b ; д) m 8 m ; е) n 4 − n ; ж) x 1 8 x 1 ; з) y 2 10 2 y . 2.121. Спрасціце выраз: а) б) 4 a 5 a . a3 a ; 2.122. Спрасціце выраз: а) 2 3 3 + 7 3 3 ; б) 4 5 2 − 9 5 2 ; в) 6 4 3 + 4 3 ; г) 3 6 7 − 6 7 ; д) 7 3 6 − 2 3 6 − 4 3 6 ; е) 5 8 10 3 8 10 2.123. Знайдзіце суму, рознасць, здабытак і дзель лікаў: а) 7 3 2 і 3 3 2 ; б) −5 4 3 і 4 3 ; в) − 5 7 і 5 7 . 2.124. Спрасціце выраз: а) 3 24 − 3 3 ; б) 5 7 3 + 7 384 ; в) 3 5 64 − 4 5 486 ; г) 3 250 − 3 16 ; д) 3 625 3 320 3 40 ; е) 3 54 2 3 16 0,1 3 2000 . 2.125. Знайдзіце значэнне выразу: а) 2 32 ; 4 4 2 б) 3 27 ; 4 4 2 Правообладатель Народная асвета 8 8 10 . Корань n-й ступені з ліку 2 2 в) 4 24 4 6 ; г) 3 4 45 . Ці праўда, што значэнне выразу з’яўляецца рацыянальным лікам 2.126. Спрасціце выраз: 16 2 4 ; в) 7 2 4 256 2 ; 3 3 а) 7 7 7 б) 3 5 3 4 5 729 5 3 ; 3 г) 3 2 3 320 135 3 23 5 . 40 2.127. Выканайце дзеянні: а) 3 24 3 50 3 72 б) 6 4 5 8; 20 8 180 25 3 500 . 2.128. Вызначце, рацыянальным ці ірацыянальным лікам з’яўляецца значэнне выразу: а) 3 4 5 3 32 3 3 108 4 3 б) ; 3 4 3 24 5 3 375 3 81 . 2.129. Перыметр прамавугольніка роўны 12 4 2 см, а адна з яго старон роўна 3 4 2 см. Знайдзіце плошчу прамавугольніка. 2.130. Плошча поўнай паверхні куба роўна 3 432 см2. Знайдзіце аб’ём куба. 2.131. Вылічыце: а) 3 2 2 6 2 3 2 ; б) 4 5 3 25 6 25 5 . 2.132. Прымяніце формулу рознасці квадратаў і вылічыце: в) 25 3 5 3 5 3 ; 5 17 5 17 5 17 ; г) 36 1 36 1 36 1. 2.133. Знайдзіце значэнне выразу 1 a a 1 пры a = 27. а) 1 7 1 4 7 1 4 7 ; 4 4 б) 4 8 4 6 2.134. Выканайце дзеянні: а) x2 y x 4 y x 4 y ; б) 4 4 4 8 6 a b b a a b . 4 4 4 4 2.135. Пры a 4 5 1 знайдзіце значэнне выразу: а) a 1 ; 2 б) a2 + 2a. 2.136. Знайдзіце значэнне выразу m2 10m 9 пры m 2.137. Раскладзіце на множнікі выраз: а) 3 16 + 3 24 ; б) 3 3 − 3; в) 4 5 − 15; 4 49 г) 4 45 + 3 . Правообладатель Народная асвета 5. 187 188 Раздзел 2 2.138. Запішыце ў выглядзе здабытку выраз: а) 4 2x 4 3 y 4 2 y 4 3x ; б) 3 a4 3 3 ab3 3 a3 b b4 . 2.139. Раскладзіце на множнікі суму: 6; б) 5 x + 810 x + 12; n 4 4 n 3; г) 2 3 m 5 6 m 2. 8 а) 4 a в) a 2.140. Скараціце дроб: а) 3 11 − 11 3 11 4 48 ; 3+ 43 б) ; в) 3 3 5 +1 г) 4 ; 3 15 + 3 2 − 42 162 − 6 . 2.141. Скараціце дроб: а) 3 10 a − 3 15 3 4a − 3 6 б) ; 4 14 − 4 21b 4 7 b − 4 14 5 в) 5 ; a2 − 5 ab b2 − 5 ab 4 г) 4 ; x2 − 4 xy x 3 − 4 x2 y . 2.142. Знайдзіце значэнне выразу: 4 24 4 6 . б) 2 а) 43 2 4 2 4 8 2 ; 4 33 6 2.143. Скараціце дроб: а) 4 a 1 a 1 б) ; 3 a − b2 4 3 a − b в) ; 12 x 3 6 x 9 г) ; 4 m − m7 m −4m . 2.144. Прымяніце формулы скарочанага множання і скараціце дроб: 3 a 2 4 a 3 b b2 а) 4 3 a b б) ; 3 3 m + 23 n 3 4 n2 + 4 3 mn + m2 . 2.145. Ці праўда, што значэнне выразу з’яўляецца ірацыянальным лікам: а) 3 3 26 3 1 3 9 3 2 3 4 45 ? б) 2 ; 1 24 5 5 2.146. Пазбаўцеся ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу: а) 33 ; 3 б) 32 ; 4 в) 412 ; 8 г) 330 . 15 2.147. Спрасціце выраз: а) 320 + 3 5 ; 25 б) 5 2 − 524 . 16 Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.148. Пазбаўцеся ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу: а) 1 4 3 42 3 2 б)* 4 7 ; 5− 3 . 2.149. Знайдзіце значэнне выразу: а) 3 2 4 24 ; 4 5 43 5 3 б)* 101 10 2 3 10 10. 101 2.150. Выкарыстаўшы алгарытм, вынесіце множнік за знак кораня: а) 3 24 ; б) 3 432 ; в) 4 48 ; г) 4 160 ; д) 4 324 ; е) 5 160 ; ж) 5 500 000 ; з) 7 384 . 2.151. Спрасціце выраз: а) 7 3 16 ; г) 5 900 000 2 ; б) 0, 3 3 500 ; в) −5 4 80 ; 5 7 е) − 256 . д) − 7 486 ; 3 4 2.152. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 4 3b4 ; б) 6 17 a12 ; 2.153. Ведаючы, што m ў выразе: в) 0, n 4 162k8 p4 ; г) 3 8 xy9 z6 . 0, вынесіце множнік за знак кораня а) 4 5n4 ; б) 6 7 m 6 ; в) 4 48 m 8 n12 ; г) 6 3m 6 n13 ; д) 8 2m16 n32 ; е) 10 5m 30 n50 . 2.154. Вынесіце множнік за знак кораня ў выразе: а) 3 7 b3 ; б) 3 a5 ; в) 5 n6 ; г) 5 a5 b18 ; д) 5 m12 n7 ; е) 3 −108 x7 y10 . 2.155. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 4 16 a4 b , калі a G 0; б) 4 32m12 n13 , калі m 0; в) 6 729 x13 y19 , калі x H 0, y H 0. 2.156. Вынесіце множнік за знак кораня: а) 4 3x9 ; б) 6 −y13 ; в) 8 a25 b16 . Правообладатель Народная асвета 189 190 Раздзел 2 2.157. Выкарыстаўшы алгарытм, унясіце множнік пад знак кораня: а) 5 3 2 ; б) 2 4 3 ; 4 д) 0, 3 100 ; г) 1 3 24 ; в) 3 4 5 ; е) 10 0, 0251 ; ж) 5 2 15 486 ; 3 з) 0,1 6 7000000 . 2.158. Унясіце множнік пад знак кораня: б) 1 4 1250 y ; а) 2 4 x ; в) 1 3 54b ; 5 г) − 1 6 128 b5 . 3 2 6 2.159. У выразе k 3 унясіце множнік пад знак кораня, калі: а) k G 0; б) k 0. 2.160. Унясіце множнік пад знак кораня: а) n 4 2 , калі n 0; б) m 8 7 , калі m H 0; в) c 3 2 ; г) k 5 k ; д) x 6 x ; е) a b 4 b a . 2.161. Спрасціце выраз: б) 5 b 4 b . b5 b ; а) 2.162. Спрасціце выраз: а) 5 3 2 + 4 3 2 ; б) 6 4 3 − 9 4 3 ; в) 8 5 6 − 5 6 ; г) 9 6 5 46 5 14 6 5 . 2.163. Знайдзіце суму, рознасць, здабытак і дзель лікаў: б) −3 4 2 і 4 2 ; а) 6 3 3 і 4 3 3 ; в) −2 5 6 і 2 5 6 . 2.164. Спрасціце выраз: а) 3 16 + 3 2 ; б) 4 5 729 − 5 3 ; г) 3 24 − 3 375 ; д) 3 135 в) 5 7 2 − 2 7 256 ; 2 3 320 3 е) 3 128 625 ; 5 3 16 2.165. Знайдзіце значэнне выразу: а) 2 8 ; 4 2 4 б) 27 3 . 4 2 4 2.166. Спрасціце выраз: 24 3 9 ; в) 2 3 3 384 3 ; а) 3 3 7 7 б) 4 4 2 4 162 4 32 ; 3 7 г) 2 3 54 3 3 16 3 128 2.167. Выканайце дзеянні: а) 3 192 − 2 3 375 3 81 ; б) 2 3 4 − 3 3 108 − 3 500 3 4 . Правообладатель Народная асвета 53 2 . 3 54 . Корань n-й ступені з ліку 2.168. Перыметр прамавугольніка роўны 16 6 3 см, а адна з яго старон роўна 2 6 3 см. Знайдзіце плошчу прамавугольніка. 2.169. Аб’ём куба роўны 5 5 см . Знайдзіце плошчу поўнай паверхні куба. 2.170. Знайдзіце значэнне выразу: а) 5 3 3 5 3 10 3 ; 4 7 3 49 б) 6 49 . 7 2.171. Прымяніце формулу рознасці квадратаў і вылічыце: а) 4 5 2 4 5 2 4 5 ; б) 10 3 10 3 10 3 . б) m n m n m n . 4 2.172. Выканайце дзеянні: а) 1 a 1 4 a 1 4 a ; 4 4 4 4 4 4 4 2.173. Раскладзіце на множнікі: а) 3 81 − 3 54 ; б) 3 2 + 2; г) 4 50 + 5 . в) 4 6 − 12; 2.174. Запішыце ў выглядзе здабытку: а) 5 7 a 5 2b 5 7 b 5 2 a ; x 5 4 x 4. б) 2.175. Скараціце дроб: а) 3 6 −6 3 6 б) 5 ; 5 2 +1 5 4+ 2 в) ; 5 64 − 2 5 4 ; г) 4 3 −3 6 − 4 48 . 2.176. Скараціце дроб: а) 3 12 x − 3 18 3 3 18 x − 6 б) ; 4 4 m 3 − m2 n 4 n −4m . 2.177. Прымяніце формулу рознасці квадратаў і скараціце дроб: а) 4 5 m −1 ; m −1 б) 5 x6 − 4 x3 − 2 в) 4 ; a − b b −4a ; г) m −n n −4m . 2.178. Прымяніце формулы скарочанага множання і скараціце дроб: а) 4 a + 2 ab2 + b 4 a + b б) ; 4 b 2 a a2 b a 3 a a 4b . 2.179. Пазбаўцеся ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу: а) 32 ; 2 б) 36 ; 9 в) 416 ; 2 г) 321 . 7 2.180. Спрасціце выраз: а) 38 + 2 3 2 ; 4 б) 5 3 − 515 . 81 Правообладатель Народная асвета 191 Раздзел 2 2.181. Пазбаўцеся ад ірацыянальнасці ў назоўніку дробу: а) 14 4 10 4 3 10 3 ; б)* 4 12 . 5 −1 2.182. Знайдзіце значэнне выразу: а) 5 4 54 ; 4 7 42 7 2 3 б)* 6 35 35 . 2 3 35 6 2.183. Знайдзіце значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі g (x) = 1 − x2 роўна: а) 0; б) 0,19; в) 1. 2.184. Для функцыі h x а) h (0); б) h (2,5); 9 2x знайдзіце, калі гэта магчыма: в) h (−20); г) h (5). 2.185. Знайдзіце, у колькі разоў і на колькі парадкаў лік 1,2 1010 большы за лік 3 107. 2.186. Рашыце ўраўненне 1 2 x2 x 45 5 x 0. 2 2 3 2.187. Пункт Pa адзінкавай акружнасці мае каардынаты P 1 ; 3 Знайдзіце значэнні sin a, cos a, tg a і ctg a. . 2.188. Выкарыстайце метад інтэрвалаў і рашыце няроўнасць: а) (x + 2)(x + 5)2 (2x − 7) 0; б) (x2 − 6x + 5)(x2 − 1) 0. 16. Улас івас і і графік функ ыі = G 2.189. Выберыце пункт, які належыць графіку функцыі y = a) (3; 9); б) (16; 4); в) (9; −3); г) (16; −4). 2.190. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі y 2.191. Мноствам значэнняў функцыі y 2 x a) (0; +u); б) [0; +u); в) [5; +u); Выберыце правільны адказ. x 5 x x: 3 . 5 з’яўляецца прамежак: г) (0; 5); д) (5; +u). Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Залежнасць, пры якой кожнаму неадмоўнаму ліку ставіцца ў адпаведнасць значэнне кораня зададзенай цотнай ступені, задае функцыю y = n x , дзе n — цотны лік. Сапраўды, па ўласцівасцях арыфметычнага кораня існуе адзіны арыфметычны корань цотнай ступені з неадмоўнага ліку, значыць, кожнаму неадмоўнаму x адпавядае адзінае значэнне y = n x . Пры n = 2 функцыя прымае выгляд y = x , уласцівасці якой разглядаліся ў 8-м класе. Для любога рэчаіснага ліку існуе адзіны корань няцотнай ступені (па ўласцівасцях кораня няцотнай ступені). Разгледзім уласцівасці функцыі y = n x паказчыкаў кораня. унк ыя = дзе для цотных і няцотных ∈ 1. А сяг вызна эння функ ыі. Па ўласцівасці арыфметычнага кораня D = [0; +u). 2. ноства зна эння функ ыі. ай оль ае і наймен ае зна энні функ ыі. Па азначэнні арыфметычнага кораня з ліку y 0 і y2 k = x. Па ўласцівасці ступені з натуральным паказчыкам для любога y 0; u існуе значэнне y2 k = x, x 0, г. зн. мноствам значэнняў функцыі y = 2 k x , k ∈ N, з’яўляецца мноства неадмоўных лікаў: E y) = [0; +u). Пры x = 0 функцыя прымае найменшае значэнне y = 0. Найбольшага значэння ў функцыі не існуе. 3. улі функ ыі. Паколькі y = 0, г. зн. 2 k x = 0, пры x = 0, то значэнне x = 0 з’яўляецца адзіным нулём функцыі. 4. Праме кі знакапастаянства функ ыі. y G 0 пры ўсіх x 0; u . 5. Праме кі манатоннас і функ ыі. Функцыя нарастае на ўсім абсягу вызначэння. Сапраўды, калі 0 або 2k x 1 2k x1 2 k x2 2k x2 , то 2 k x1 H 2 k x2 . У адваротным выпадку 2 k x1 2 k x2 , г. зн. x1 x2 . Супярэчнасць даказвае сцверджанне. 6. отнас ь (ня отнас ь) функ ыі. Паколькі абсяг вызначэння функцыі не сіметрычны адносна пачатку каардынат, то функцыя не з’яўляецца цотнай і не з’яўляецца няцотнай. Правообладатель Народная асвета 193 194 Раздзел 2 7. графік функ ыі. Графікі функцый y = n x пры n = 2, n = 4, n = 6 паказаны на рысунку 120. Рыс. 120 унк ыя дзе ∈ 1. А сяг вызна эння функ ыі. Па ўласцівасці кораня няцотнай ступені D = (−u; +u). 2. ноства зна эння функ ыі. ай оль ае і наймен ае зна энні функ ыі. Па азначэнні кораня y2 k 1 x. Па ўласцівасці ступені з натуральным паказчыкам для любога y ( u; u) існуе x. Такім чынам, 2k 1 мноствам значэнняў функцыі y x , дзе k ∈ N, з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў: E = (−u; +u). 2k 1 Найбольшага і найменшага значэнняў у функцыі y x не існуе. 2k 1 x 0, пры x = 0, то значэн3. улі функ ыі. Паколькі y = 0, г. зн. не x = 0 з’яўляецца адзіным нулём функцыі. 4. Праме кі знакапастаянства функ ыі. y G 0, калі x (0; u); y H 0, калі x ∈ (–u; 0). 5. Праме кі манатоннас і функ ыі. Функцыя нарастае на ўсім абсягу вызначэння. Калі x1 H x2 , то 2k 1 x1 2 k 1 2 k +1 2 k 1 x2 x1 H 2 k + 1 x2 . У адваротным выпадку 2 k 1 , г. зн. x1 x2 . 2 k +1 Супярэчнасць x1 2 k + 1 x2 даказвае або сцвер- джанне. 6. цыі y 2k 1 отнас ь (ня отнас ь) функ ыі. Паколькі абсяг вызначэння функ2k 1 x сіметрычны адносна пачатку каардынат і y x y x , то функцыя з’яўляецца няцотнай. адносна пачатку каардынат. x 2k 1 x е графік сіметрычны Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 7. графік функ ыі. Графікі функцый y = n x пры n = 3, n = 5 паказаны на рысунку 121. Рыс. 121 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) y 6 2x2 3x 1 ; б) y 3 2x2 3x 1 . Рашэнне. а) Паколькі абсяг вызначэння кораня цотнай ступені ёсць мноства неадмоўных лікаў, то падкарэнны выраз павінен быць неадмоўным. Рэшым няроўнасць 2x2 3x 1 0, атрымаем x ; 0,5 1; . D ; 0,5 1; . б) Паколькі абсяг вызначэння кораня няцотнай ступені ёсць мноства ўсіх рэчаісных лікаў, то падкарэнны выраз можа прымаць любыя значэнні пры x u; u . D u; u . 2. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) h ( x ) 28 x 3; б) f ( x ) 5 x 7. Рашэнне. а) Мноствам значэнняў функцыі y = 8 x з’яўляецца прамежак [0; +u), г. зн. 8 x 0. Па ўласцівасці няроўнасцей: 2 8 x 0, 2 8 x + 3 3, значыць, E h 3; u . б) Мноствам значэнняў функцыі y = 5 x з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў u; u. Значыць, і мноствам значэнняў функ5 x 7 з’яўляецца мноства ўсіх рэчаісных лікаў, г. зн. цыі f x u; u. 3. Вызначце найменшае значэнне функцыі f ( x) 36 x 7. Правообладатель Народная асвета 195 196 Раздзел 2 Рашэнне. Паколькі функцыя y = n x для цотных n мае найменшае значэнне, роўнае нулю, пры x = 0, то 3 6 x 0, а 3 6 x + 7 7. Значыць, найменшае значэнне дадзенай функцыі роўна 7 і дасягаецца пры x = 0. 4. Знайдзіце нулі функцыі: б) y 7 2 x2 . а) y 6 2x2 3x 1 ; Рашэнне. а) Паколькі значэнне кораня n-й ступені роўна нулю, калі яго падкарэнны выраз роўны нулю, то рэшым ураўненне го карані x = 1 і x = 0,5 з’яўляюцца нулямі 2x2 3x 1 0. функцыі y 6 2x2 3x 1 . б) Паколькі значэнне кораня n-й ступені роўна нулю, калі яго падкарэнны выраз роўны нулю, то рэшым ураўненне 2 x2 0. го 2 і x 2 з’яўляюцца нулямі функцыі y 7 2 x2 . карані x = 5. кія значэнні прымае функцыя на дадзеных прамежках: а) f ( x ) = 5 x , x ∈ [1; 32]; б) g ( x ) = 12 x , x ∈ [−2; 2]; в) h ( x ) = 12 x , x ∈ [−2; 2]; г) p ( x ) = 3 x , x u; u? Рашэнне. а) Паколькі 5 x 0 для 0; u , то f (x) прымае дадатныя значэнні для x ∈ [1; 32]. 0; u , то функцыя g (x) не вызначана для б) Паколькі D (12 x ) адмоўных значэнняў х з прамежку [−2; 2]. в) Паколькі x 0, то функцыя h( x ) = 12 x значэнні для x ∈ [−2; 2]. прымае неадмоўныя г) Паколькі x 0, то функцыя p ( x ) = 3 x прымае неадмоўныя значэнні для x 6. Размясціце лікі u; u. 6 ; 2 6 3 ; 3 15 у парадку нарастання. Рашэнне. Запішам лікі 6 ; 2 6 3 ; 3 15 у выглядзе каранёў з ад- нолькавымі паказчыкамі: = 6 6 = 63 6 216 ;= 26 3 = 26 3 6 6 3 192 ; = 15 6 = 152 Правообладатель Народная асвета 6 225 . Корань n-й ступені з ліку Паколькі функцыя f ( x ) = 6 x нарастае на прамежку [0; +u), то 6 192 H 6 216 H 6 225 , значыць, 2 6 3 H 6 H 3 15 . 7. кой (цотнай ці няцотнай) з’яўляецца функцыя: а) f ( x ) = 5 x ; б) g ( x ) = 12 x ; в) h ( x ) = 12 x ; г) p ( x ) = 3 x ? Рашэнне. а) Функцыя f ( x) = 5 x з’яўляецца няцотнай, паколькі y = n x пры няцотным n ёсць няцотная функцыя. б) Функцыя g ( x ) = 12 x ні цотная, ні няцотная, паколькі y = n x пры цотным n не з’яўляецца цотнай і не з’яўляецца няцотнай функцыяй. в) Паколькі абсяг вызначэння функцыі h ( x ) = 12 x ёсць мноства ўсіх рэчаісных лікаў і h ( x ) h ( x ), то функцыя цотная. г) Паколькі абсяг вызначэння функцыі p ( x ) = 3 x ёсць мноства ўсіх рэчаісных лікаў і p ( x ) p ( x ), то функцыя цотная. 8. Пабудуйце графік функцыі: а) f ( x ) 4 x б) f ( x ) 2; 4 x Рашэнне. а) Графік функцыі f ( x) 2. 4 x 2 атрымліваецца з графіка функцыі y = x зрухам на 2 адзінкі ўверх уздоўж восі ардынат (рыс. 122). б) Графік функцыі f ( x ) 4 x 2 атрымліваецца з графіка функцыі y = 4 x зрухам на 2 адзінкі ўлева ўздоўж восі абсцыс (гл. рыс. 122). 4 2 2 10 12 14 Рыс. 122 9. Пабудуйце графік функцыі: а) g ( x ) 3 x 2; б) g ( x ) 3 x 2 . Правообладатель Народная асвета 197 198 Раздзел 2 Рашэнне. а) Графік функцыі g ( x) 3 x 2 атрымліваецца з графіка функцыі y = (рыс. 123). x зрухам на 2 адзінкі ўніз уздоўж восі ардынат 2 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –2 2 –4 Рыс. 123 б) Графік функцыі g ( x ) x 2 атрымліваецца з графіка функцыі y = x зрухам на 2 адзінкі ўправа ўздоўж восі абсцыс (гл. рыс. 123). 3 Выберыце значэнні зменнай, якія ўваходзяць у абсяг вызначэння функцыі y 2n x , n N : б) −14; a) 7,2; в) 1 − 2 ; г) 5 − 2. x знайдзіце: f (0); f (1); f (−8); f 2.192. Для функцыі f x 2.193. Знайдзіце значэнне функцыі g x мента, роўным: 1; 2; 1 1 ; 82; 1,0625; 10. 4 x 1 ; 216 f 3 3 . 1 пры значэнні аргу- 16 2.194. З лікаў 3; − 2; 3 − 2; 5 5 5 ; 1 − 7 ; 0 выберыце тыя, што не належаць абсягу вызначэння функцыі y = 10 x . 6 2.195. Для функцыі f x x знайдзіце значэнне аргумента, пры якім значэнне функцыі роўна: 0; 1; 1 ; 6 7 ; 3 2 . 2 2.196. Ці можа функцыя y = f (x) прымаць значэнне, роўнае −15, калі: а) f x 8 x; 5 б) f x x? 2.197. Выберыце пункты, праз якія праходзіць графік функцыі y = 4 x : а) A(16; 2); б) B 1 ; 1 ; 81 3 в) C −1; 1); Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку д) E(625; −5); г) D(0,0001; 0,1); е) F 3; 4 3 . Запішыце яшчэ якія-небудзь два пункты, якія належаць графіку функцыі y = 4 x . 2.198. Дадзена функцыя y = n x . Знайдзіце n, калі вядома, што графік дадзенай функцыі праходзіць праз пункт: а) A 1 ; 1 ; 32 2 б) B(0,0081; 0,3); в) C 7 7 ; 7 . 2.199. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: 4 а) f x 7x ; 2 8 в) f x 6 2x 2 3 б) f x 5x 2 г) f x ; 55 6x x x 1 . 5 4 ; 2.200. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) f x 4x 1 4x 5 x2 в) f x 6 д) f x 6 x2 x б) f x ; 3x x 2 1 x 10 4 x2 ; г) f x 2 x 5x 4 2 49 4x е) f x 2 ; 7 10 4 x4 6 x 4; ; 25x2 5x x2 . Запішыце найменшае цэлае значэнне аргумента з абсягу вызначэння кожнай функцыі, калі яно існуе. 2.201. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: а) y 4 x б) y 8 x 4; 5; в) y 5 x 6; г) y 4 6 x 5. 2.202. Знайдзіце найменшае значэнне функцыі: а) f x 6 в) f x 10 x 2x б) f x 4; 7 3; г) f x 4 x 8 7 12; 3 x 5. б) f x 7 8 5x ; г) f x 5 36 x2 . 2.203. Знайдзіце нулі функцыі: а) f x 4 3x 4; в) f x 6 x2 4x 3; 2.204. Ці праўда, што: а) функцыя f x 6 x на прамежку [7; +u) прымае дадатныя значэнні; Правообладатель Народная асвета 199 Раздзел 2 б) функцыя f x значэнні; x 10 в) функцыя f x значэнні; 7 г) функцыя f x на прамежку [−11; −1] прымае адмоўныя x на прамежку [0; 7] прымае толькі дадатныя x прымае адмоўныя значэнні пры любых x H 0 2.205. Дадзена функцыя f x а) f (6) і f (11); n x . Параўнайце: б) f (29,18) і f (31,9). n 2.206. Выкарыстайце ўласцівасць манатоннасці функцыі f x параўнайце лікі: а) 3 2, 3 і 3 2, 9 ; б) 7 −17 і 7 −13 ; в) г) 3 5 і 6 28 ; д) 15 65 і 5 4 ; е) 2 3 3 і 3 3 2 . x і і 4 79 ; 2.207. Знайдзіце два паслядоўныя цэлыя лікі, паміж якімі на каардынатнай прамой знаходзіцца лік: а) 2; г) 3 29 ; б) 3 7 ; в) 4 19 ; д) − 4 83 ; е) − 3 123 . 2.208. Знайдзіце ўсе цэлыя лікі, размешчаныя на каардынатнай прамой паміж лікамі: б) 5 −37 і 6 71 . а) 2 і 3 129 ; 2.209. Параўнайце лікі: а) 3 5 і б) 9 11 і 6 5 ; 3; в) 4 3 і 6 2 7 ; г) і 3 26 . 2.210. Размясціце ў парадку нарастання лікі: а) 3 3 , 2 і 6 5 ; б) 3 5 , 12 3 і 4 8 ; в) 5 3 , 3 2 і 5 3 30 ; г) 15 125 , 5 6 і 6 4 5 4 . 2.211. Вызначце, якія з дадзеных функцый з’яўляюцца цотнымі, а якія — няцотнымі: а) f x 4 x; б) f x 15 x; в) f x 8 x 1; кую ўласцівасць мае графік няцотнай функцыі Правообладатель Народная асвета г) f x 9 x 2. Корань n-й ступені з ліку 2.212. Пабудуйце графік функцыі: а) g x 4 x; г) g x 4 x 4 б) g x 4 д) g x 2; x; x 4 в) g x 1 е)* g x 3; x 2; 4 x. x 3; 2.213. Пабудуйце графік функцыі: а) f x 3 x; г) f x 3 x 3 б) f x 3 д) f x 3; x; x в) f x 2 е)* f x 1; 3 3 x. 2.214. Выберыце прамыя, якія перасякае графік функцыі h x а) y = 3x; б) y = −x + 2; в) y = 2x + 5; 6 x: г) y = −4x − 3. 2.215. У адной сістэме каардынат пабудуйце графікі функцый і знайдзіце каардынаты іх агульных пунктаў: а) y = 4 x і y = 32 ; б) y = x x і y = x. 4 2.216*. Дадзены функцыі f x x і g x выразу: б) g f 0, 000001 . а) f g 64 ; x . Знайдзіце значэнне 6 x пры значэнні аргумента, 2.217. Знайдзіце значэнне функцыі h x роўным: 0; 1; 27; 1 ; 0, 000001. 64 2.218. Для функцыі g x g 1 ;g 32 x 2 знайдзіце: g 1 ; g 1 ; g 0, 00243 ; 25 5 . 2.219. Для функцыі f x якім: f x 5 1; f x 2; f x x знайдзіце значэнне аргумента, пры 1 ; f x 3 3 11 . 2.220. Выберыце пункты, якія належаць графіку функцыі y = 4 x : а) A(0; 0); б) B(16; −2); в) C −10 000; 10); г) D(0,0625; 0,5). 2.221. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) f x в) f x 6 3x ; 8 б) f x 10 4 3x 2 10 x 3 ; г) f x 2 7 2x 3 x x 3 . 6 8 ; Правообладатель Народная асвета Раздзел 2 2.222. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) f x в) f x 6x 8 63 x 8 x2 б) f x ; 4x 4 3 9 x 5 x 33 4 x 7; x2 . 2.223. Знайдзіце мноства значэнняў функцыі: 6 а) y x б) y 4 x 3; 7; в) y 3 x 2; г) y 3 8 x 6. Ці існуе найменшае значэнне кожнай з функцый 2.224. Знайдзіце найменшае значэнне функцыі: а) f x 8 в) f x 8 x б) f x 2; x 1 г) f x 63; 6 x 7 10 10; 4 x 7. б) f x 3 7x 1; г) f x 7 3 x2 x. 2.225. Знайдзіце нулі функцыі: а) f x 6 2 в) f x 4 2 x2 7x ; 5x 2; 2.226. Ці праўда, што: а) функцыя f x 8 x на прамежку [−3; 0] прымае дадатныя значэнні; б) функцыя f x 5 x прымае дадатныя значэнні пры любых x G 0 2.227. Выкарыстаўшы ўласцівасць манатоннасці функцыі f x параўнайце лікі: а) 5 1, 8 і 5 1, 6 ; б) 3 −19 і 3 −23 ; в) 2 і 3 7 ; г) 4 15 і 2; д) 3 28 і 3; е) 15 31 і 3 2 . n x, 2.228. Знайдзіце два паслядоўныя цэлыя лікі, паміж якімі на каардынатнай прамой знаходзіцца лік: а) б) 3 23 ; 5; в) 4 629 ; г) − 5 41 . 2.229. Знайдзіце ўсе цэлыя лікі, размешчаныя на каардынатнай прамой паміж лікамі: а) −3 і 4 89 ; б) 7 −131 і 4 79 . 2.230. Параўнайце лікі: а) в) б) 12 12 і 8 5 ; 2 і 3 3; і 5 247 ; г) 10 7 і 5 2 2 . Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.231. Размясціце ў парадку спадання лікі: а) б) 3 6 , 4 10 і 3 30 . 2, 3 3 і 6 6; 2.232. Вызначце, якія з дадзеных функцый з’яўляюцца цотнымі, а якія — няцотнымі: 8 3 б) f x x; x; а) f x 7 x 4 x в) f x г) f x 9; 13 . кую ўласцівасць мае графік цотнай функцыі 2.233. Пабудуйце графік функцыі: 4 а) g x x б) g x 3; 4 x 1; в) g x 4 x 2 4. 2; в) f x 3 x 1 3. 2.234. Пабудуйце графік функцыі: 3 а) f x x б) f x 2; 3 x 2.235. Вызначце, ці перасякаюцца графік функцыі y = 8 x і прамая: в) y = −7; г) y = 8 13 . а) y = 1; б) y = 1 ; 2 Калі перасякаюцца, то знайдзіце каардынаты пункта перасячэння. і 2.236. У адной сістэме каардынат пабудуйце графікі функцый y = = , знайдзіце каардынаты іх агульных пунктаў. x 5 25. 2 2.237. Знайдзіце значэнне выразу 61 1 1 6 2.238. З дадзеных ураўненняў выберыце ўсе ўраўненні, раўназначныя ўраўненню x 2 x2 4 0: а) 5x − 10 = 0; в) 3(x − 1) + 6 = 7x − 4(x + 2); д) x2 + 9 = 0. б) x2 − x + 7 = 0; г) x 0; x 1 2.239. Пры a = −3 не мае сэнсу выраз: а) a + 3; б) 3 − a; в) a − 3; г) –a − 3 . Выберыце правільны адказ. 2.240. Знайдзіце найменшы дадатны і найбольшы адмоўны карані ўраўнення: а) sin 3 3x 1; б) cos 3 4 x 2 1. Правообладатель Народная асвета Раздзел 2 17. Іра ыянальныя ра ненні 2.241. Рашыце няроўнасць: а) −x −1; б) x2 1. 2.242. Выберыце пару раўназначных ураўненняў: а) x x в) x x x б) x x x Ураўненні, якія змяшчаюць зменную пад знакам кораня, называюцца іра ыянальнымі. Пры рашэнні ірацыянальных ураўненняў не заўсёды атрымліваецца ад дадзенага ўраўнення перайсці да раўназначнага яму ўраўнення. x (A = B). Напрыклад, рэшым ураўненне x 2 П е р ш ы с п о с а б. Узвядзём абедзве часткі ўраўнення ў квадрат, атрымаем ураўненне x + 2 = x2 A 2 B2 . но мае карані −1 і 2. Відавочна, што 2, а лік 2 не з’яўляецца коранем дадзенага ўраўнення, паколькі 2 2 1 2 1 лік −1 — корань дадзенага ўраўнення, паколькі роўнасць з’яўляецца правільнай. Пабочны корань ураўнення (лік 2) з’явіўся таму, што ўраўненне A B, якая можа мець A 2 = B2 раўназначна сукупнасці ўраўненняў A B, больш рашэнняў, чым дадзенае ўраўненне A = B. Таму пасля ўзвядзення абедзвюх частак ураўнення ў цотную ступень без дадатковых умоў трэба выконваць праверку атрыманых каранёў. x 0, x раўназначна сістэме Д р у г і с п о с а б. Ураўненне x 2 x 2 x2 . Сапраўды, абедзве часткі ўраўнення неадмоўныя, таму пры ўзвядзенні ў квадрат атрымаем: x 0, x 0, x 2 x x 1. x 2, x 2 x2 x 1, Т р э ц і с п о с а б. Запішам ураўненне x 2 x у выглядзе x+2 + x 0. Разгледзім функцыю f ( x ) x 2 x. Гэта функцыя нарастае на абсягу вызначэння, значыць, дадзенае ўраўненне не можа мець больш за адзін корань. Аналізуючы ўмову, заўважым, што корань павінен быць Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку адмоўным і не перавышаць па модулі лік 2. Коранем дадзенага ўраўнення з’яўляецца лік −1. Разгледзім некаторыя віды ірацыянальных ураўненняў і метады іх рашэння. 1. Ура ненне выгляду Калі a 0, то f x a2 n , калі a H 0, то каранёў няма. Пр клад . Рашыце ўраўненне: а) 4 x = 3; 2n f x a, n N 16 7 x 11 3; б) Калі a 0, то f x a2 n , x2 в) 12 калі a H 0, то каранёў няма 2. ашэнне. а) 4 x = = 3; x 3= ; x 81. 4 б) 16 x7 11 3, паколькі −3 H 0, то ўраўненне не мае каранёў. 2 в) x 12 2; x2 12 4; x2 16; x Адказ: а) 81; б) няма каранёў; в) −4; 4. 4, x 4. 2. Ура ненне выгляду Ураўненне 2 n 1 f ( x ) a, n N, раўназначна ўраўненню f x a2 n 1 . Пр клад . Рашыце ўраўненне: а) 3 x = 5; 2n 1 f x a, n N 3 б) x 7 2 0. f x a2 n 1 3 ашэнне. а) = x 5= ; x 53= ; x 125. 3 3 б) x 7 2 0; x 7 2; x 7 8; x 1. Адказ: а) 125; б) −1. = 3. Ура ненне выгляду ∈ G Няхай m — цотны лік. Разгледзім спосабы рашэння ўраўнення выгляду 2 n f ( x ) = g ( x ), n ∈ N. П е р ш ы с п о с а б. Дадзенае ўраўненне раўназначна сістэме f x g x 2n , g x 0. Правообладатель Народная асвета Раздзел 2 Пр клад . Рашыце ўраўненне 2 2 x x2 , ашэнне. 2 x x; x 0; x2 x x 0; 2 x x 0, 2, 1, x x x. 2n f (x) = g ( x ), n ∈ N f x g x 2n , g x 0 1. Адказ: 1. x 0; Д р у г і с п о с а б. Ураўненне дадзенага выгляду можна рашыць, узвёўшы абедзве часткі ўраўнення ў ступень 2n з наступнай праверкай каранёў. Пр клад . Рашыце ўраўненне x x 2. x 1, ашэнне. x x 2; x = (x − 2)2; x = x2 − 4x + 4; x2 − 5x + 4 = 0; x 4. Праверка: пры x = 1 роўнасць 1 1 2 няправільная; пры x = 4 роўнасць 4 4 2 правільная. Адказ: 4. Калі m — няцотны лік, то ўраўненне выгляду 2 n 1 f ( x ) g ( x ), x ∈ N, раўназначна ўраўненню f x g x 2n 1 . Пр клад . Рашыце ўраўненне 7 2x7 ашэнне. 1 7 1. 2x7 1 x; 2x7 1 x7 ; x7 1; x x. 2n f (x) g ( x ), n ∈ N f x g x ∈ G 1 2n 1 Адказ: 1. 4. Ура ненне выгляду = Няхай m — цотны лік. Разгледзім спосабы рашэння ўраўнення выгляду 2 n f ( x ) = 2 n g ( x ) , n ∈ N. П е р ш ы с п о с а б. Дадзенае ўраўненне раўназначна адной з сістэм f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), або f (x) 0 g ( x ) 0. 2n f (x) = 2 n g (x) , n ∈ N Пр клад . Рашыце ўраўненне f ( x ) g ( x ), x2 x 1 x . або f (x) 0 ашэнне. f ( x ) g ( x ), x 2 x 1 x, x2 x 1 x g (x) 0 x 0; Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку x x x2 1, x 0; 1, 1, x 1. x 0; Адказ: 1. Д р у г і с п о с а б . Ураўненне гэтага выгляду можна рашыць, узвёўшы абедзве часткі ўраўнення ў ступень 2n з наступнай праверкай каранёў. Пр клад . Рашыце ўраўненне 2x 3 x 2. x 2 ; 2x − 3 = x − 2; x = 1. ашэнне. 2x 3 Праверка: пры x = 1 выразы ў левай і правай частках роўнасці 21 3 1 2 не маюць сэнсу, г. зн. зыходнае ўраўненне не мае каранёў. Адказ: няма каранёў. Калі m — няцотны лік, то ўраўненне выгляду 2 n 1 f ( x ) n ∈ N, раўназначна ўраўненню f (x) = g (x). Пр клад . Рашыце ўраўненне 9 2x2 ашэнне. 9 9 2 x2 5 x2 1 x2 4 x x 1, 1. 2 x2 5 x2 4 5 9 x2 4. 2n 1 f (x) 2n 1 2n 1 g (x) , g (x) , n ∈ N f (x) = g (x) Адказ: −1; 1. 5. Ура ненне выгляду П е р ш ы с п о с а б. Ураўненне выгляду f ( x ) g ( x ) a можна рашыць, узвёўшы абедзве часткі ўраўнення ў квадрат двойчы з наступнай праверкай знойдзеных каранёў. Пр клад . Рашыце ўраўненне 2 x 18 4 x 3 15. ашэнне. Перанясём адно са складаемых у правую частку, для таго каб скараціць пераўтварэнні. 2 x 18 15 4x 4( x 18) 225 30 4 x 3 30 4 x 3; 5 4x 3 ; 150 f (x) g (x) f x g x 3; 4x 3; a 2 Праверка 25 = 4x − 3; x = 7. Правообладатель Народная асвета a2 Раздзел 2 Праверка: 2 7 18 4 7 3 15; 2 5 5 значэнне x = 7 з’яўляецца коранем ураўнення. Адказ: 7. 15; 15 15. Значыць, Д р у г і с п о с а б. Некаторыя ўраўненні гэтага выгляду можна рашыць, выкарыстаўшы ўласцівасці функцый. Пр клад x 3 x 5 4. . Рашыце ўраўненне ашэнне. Функцыя y x 3 x 5 нарастае на ўсім абсягу вызначэння, таму, калі дадзенае ўраўненне мае корань, то толькі адзін. Пры x = 4 дадзенае ўраўненне ператвараецца ў правільную лікавую роўнасць: 4 3 4 5 4. Значыць, лік 4 з’яўляецца адзіным коранем дадзенага ўраўнення. Адказ: 4. етад замены зменнай . Рашыце ўраўненне 4 x Пр клад ашэнне. Няхай t 4 x 1 1 , тады t2 гляд t + 20 = t2; t2 − t − 20 = 0; t t x 4 5, 4; x 20 x 1. 1 і ўраўненне прымае вы1 5, 4 x 1 4. Другое ўраўненне сукупнасці не мае каранёў. Тады 4 x 1 5; x + 1 = 625; x = 624. Адказ: 624. Пр клад . Рашыце ўраўненне x ашэнне. x 4 x 1 3 x2 5x 2 4 x 1 3 x2 5x 2 6. 6; x2 5x 4 3 x2 5x 2 6. t, тады t2 = x2 + 5x + 2 і ўраўненне прымае выt 4, Паколькі t 0, то t = 4, г. зн. гляд t2 + 2 − 3t = 6; t2 – 3t 4 0; t 1. x 7, x2 5x 2 4; x2 + 5x + 2 = 16; x2 + 5x − 14 = 0; x 2. Адказ: −7; 2. Няхай x2 5x 2 Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Рашыце ўраўненне: а) 6 x 1 2; б) 8 2x 4 1 2; x 1 26 ; x Рашэнне. а) 6 x 1 в) 8 3x 0; 1 64; x 5 0. 65. Адказ: 65. б) 8 2x 4 1 0; 8 2x мае каранёў. Адказ: няма каранёў. в) 8 3x 5 1, паколькі −1 H 0, то ўраўненне не 4 0; 3x − 5 = 0; x = 1 2 . 3 Адказ: x = 1 2 . 3 2. Рашыце ўраўненне: а) 3 x2 2 б) 5 7 x 3 1 0; 3; Рашэнне. а) 3 x2 2 3; x2 33 ; x2 2 2 в) 7 x2 4 0. 27; x2 25 0; 5 3 1; x 2 . 7 0, 3; x 3. x x Адказ: −5; 5. б) 5 7 x 3 0; 5 7 x 1 1; 7 x 3 1 ; 7x 3 Адказ: 2 . 5, 5. 7 в) 7 x2 4 0; x2 − 4 = 0; Адказ: −2; 2. x x 2, 2. 3. Рашыце ўраўненне: а) x2 5x 2x 1 5 x2 1 x2 3x 0, б) 1; x; в) 5 x5 2x 1 x 0. Рашэнне. а) x2 5x x2 1 2x 1 , 5x 2x 1 0 Адказ: 3. 1 2 2x 1 x 1 2 x x x 1 2 Правообладатель Народная асвета Раздзел 2 б) Узвядзём абедзве часткі ўраўнення ў квадрат і атрымаем: 5 − x2 = (1 − x)2; 5 − x2 = 1 − 2x + x2; 2x2 − 2x − 4 = 0; x 2, x2 − x − 2 = 0; x –1. 2 Праверка: пры x = −1 атрымаем: 5 1 1 1; 4 2 — правільная роўнасць, значыць, x = −1 — корань дадзенага ўраўнення. Пры x = 2 маем: 5 22 1 2; 1 1 — няправільная роўнасць, значыць, x = 2 не з’яўляецца коранем дадзенага ўраўнення. Адказ: −1. в) 5 x5 2x 1 x 0; 5 x5 2x 1 x; x5 2x 1 x5 ; −2x + 1 = 0; x = 0,5. Адказ: 0,5. 4. Рашыце ўраўненне: а) x2 x 3 1 2 x ; в) 3 2x 1 3 Рашэнне. а) x 2 x 1 2x x 2. x2 x x2 2 x 2 б) x; 1 2x 3 3 1 2x, 0 x2 3x x 1 2 4 x x 4, 1, x 1 2 0, x 4. Адказ: −4. б) Узвядзём абедзве часткі ўраўнення ў квадрат і атрымаем: x 2, x2 2x 2 x; x2 x 2 0; x 1. Праверка: пры x = 1 атрымаем: 12 2 1 2 1 , 1 = 1 — правільна, значыць, x = 1 — корань дадзенага ўраўнення. Пры x = −2 выраз −2 не мае сэнсу, г. зн. x = −2 не з’яўляецца коранем дадзенага ўраўнення. Адказ: 1. x 2; x 1. в) 3 2x 1 3 x 2 ; 2x 1 Адказ: −1. 5. Рашыце ўраўненне: а) x x 5 1; б) 5x 21 3x 28 5. Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку Рашэнне. а) Запішам ураўненне ў выглядзе x x 5 1 і ўзвядзём абедзве часткі атрыманага ўраўнення ў квадрат: x x 5 1 2 x 5; 2 x 5 4; x 5 2; x − 5 = 4; x = 9. З дапамогай праверкі пераканаемся, што x = 9 з’яўляецца коранем зыходнага ўраўнення. Адказ: 9. 5x 21 3x 28 нарастае на ўсім абсягу вызнаб) Функцыя y чэння, таму калі дадзенае ўраўненне мае корань, то толькі адзін. Пры x = −4 дадзенае ўраўненне ператвараецца ў правільную лікавую 20 21 12 28 5. Значыць, лік −4 з’яўляецца роўнасць: адзіным коранем дадзенага ўраўнення. Адказ: −4. 6. Рашыце ўраўненне 3 3 2x 10 36 3 2x . Рашэнне. Няхай t 6 3 2x , тады t2 3 3 2x ўраўненне прымае выгляд t2 = 10 − 3t; t2 + 3t − 10 = 0; t t 6 2, 5; 3 2x і 2, 6 3 2x 5. Другое ўраўненне сукупнасці не мае каранёў. Тады 6 3 3 2x 64; x 30,5. Адказ: −30,5. 1. кія з ураўненняў не маюць каранёў: а) 2 x 3; б) 3 2 x в) 6 2 3; x x; 2. Выберыце сістэму, раўназначную ўраўненню выгляду 2n f x а) f x g x , g x 0; б) f x g x , в) f x 0; f x g x 2n , а) 4 x = 2; 5 б) 5 x 1; 2; д) 8 2x 1 3; 2x 2; г) 7 2 x f x 0; в) 6 x 4 1; е) 3 4 x 1 0. Правообладатель Народная асвета 7 x? g x : г) 2.243. Рашыце ўраўненне: г) 7 x зыходнае f x g x g x 0. 2n , Раздзел 2 2.244. Рашыце ірацыянальнае ўраўненне: 4x а) 1 б) 3 8 x 5; г) 1 3 7 x 0; 31 д) 2 4 3x 2 3; в) 8x 1 1; е) 5 5 9 2x 3 0; 10. 2.245. Рашыце ўраўненне: а) 3 x2 31 3; 3 x2 x 15 в) б) 4 x2 6 x 16 2; 16 x2 г) 3; д) 23 3x 5x2 3; 16 x 29 5; е) 3 x2 14 x 16 4. 2.246. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: 4 а) y 2x 7 і y = 4; б) y 3 x2 15x 6 і y = −2. 2.247. Рашыце ўраўненне: а) 0,5 16 x 1 2; в) x2 3 7 7 2x 9 б) 3 1; г) 3 25 x2 3 3 0. 3; 2.248. Рашыце ўраўненне двума спосабамі: x а) x 2 б) 4; 3 x; 2x в) x 2 3x 4. 2.249. Знайдзіце значэнні зменнай, пры якіх роўны значэнні выразаў: x − 2 і x − 2; а) б) 20 − x і −10 − x; в) x + 2 і 2 x + 5 . 2.250. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) y 2x2 3x 10 і y = x; в) y 8 3x x 2 2 x2 б) y 5x 4 і y = 2x + 2; і y = −x − 2. 2.251. Рашыце ўраўненне: б) 5 2 а) 3 x3 x2 4 x; в) 3 7x x5 1 4x x; x x 5x 4 x. 3 2 2.252. Знайдзіце нулі функцыі: а) y 12 x x; в) y б) y x2 3x2 3x 21 x 5. 2.253. Ці праўда, што ўраўненні раўназначныя: а) 5x 4 2x 5 і 5x 4 2x 5; Правообладатель Народная асвета x 1; Корань n-й ступені з ліку б) 3 x2 5x 1 3 x 4 і x2 5x 1 x 4; в) 4 x2 x 3 4 1 2x і x2 x 3 1 2x ? 2.254. Рашыце ўраўненне: 2x 5 4x 1; б) 3 2x 1 в) 4 2x 3 24 x 3; г) x2 36 2x 1 ; е) 8 x2 4 x 5 8 x 1 . а) д) x2 4 x 16 3 8 x; 2x 1 0; 2.255. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) y 6 x2 3 x 1 і y б) y 6 x2 10 і y 2x 2x 1; x2 x 2. 2.256. Рашыце двума спосабамі ўраўненне 10 x2 2.257. Знайдзіце карані ўраўнення: а) 2x 6 x 1 2; x в) 2 2 7 x 1; 13x 10 9 б) x 5 5 x 4; г) 3x 2 2x 5 5; 7x 9. д) x 1 x 1 2; е) x 3 6 x 3. Для рашэння якіх ураўненняў рацыянальна выкарыстоўваць функцыянальны падыход 2.258. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы ўласцівасці функцый: а) 2x 3 4 x 1 4; в) 2 x 1 x 8 6; б) x 3 3x 2 7; г) 13 4 x 1 x 3. 2.259. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графіка функцыі: а) y x 5 10 x і прамой y = 3; б) y 3 x x 3 2 і прамой y = 7. 2.260. Рашыце ўраўненне з дапамогай метаду замены зменнай: 4 x б) 3 x а) x в) x 3 3 x 3 2 0; 6 0; 4 д) x2 7 x2 7 20; г) 3 56 x 6; x 15 x 15 2; 6 е) x2 x2 2x 2x 8 12. 2.261. Знайдзіце карані ўраўнення: а) 3 x2 x3 3 4,25; x3 x2 б) x2 x 3 1 12 x2 Правообладатель Народная асвета x 3 . Раздзел 2 2.262. Ці праўда, што раўназначныя ўраўненні 3 x 2 x 2 ? 3 x 2 x 2 і 2.263. Знайдзіце карані ўраўнення: 2 x а) x в) x 1 2x 6 x 3; 5 2; б) x 1 x 4 г) x6 2 . x4 2x 6; 2.264*. Рашыце ўраўненне x 3 x 2 4 x2 5x 1 10. 2.265. Рашыце ўраўненне: 3x 4 7; б) 2 3 x 8 1 0; в) 5 4 x2 2; г) 4 x2 3x 81 3; а) 2x2 5x 11 3; д) е) 4 4 x2 6 x 2 2; ж) 3 x2 4 x 50 3; 9 x2 12x 85 9. з) 2.266. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) y 6 5 3x і y = 2; б) y 5 4 x x2 і y = −2. 2.267. Рашыце ўраўненне: б) а) x 2 8 x; x 5 4 x 5 4 x; г) д) x 3 1 x 3; в) x 2 4 x; x 5; е) 8 x 12 x. 2.268. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) y 3x2 11x 20 і y = x − 5; б) y 2x2 x 1 і y = x + 3. 2.269. Рашыце ўраўненне: а) 3 8 x3 x2 9 2x; б) 7 9 4x x7 x. 2.270. Знайдзіце нулі функцыі: а) y x x 3 3; 2.271. Рашыце ўраўненне: x 3; а) 2x 1 в) д) 4 2x 7 4 3 x x2 5 x 1 б) y 2x2 7 x 5 x 1. б) 5 7 2x 5 x 3; x 16 14 x 0; 2 1; г) x 4; е) 6 x2 x 3 6 1 2x . Правообладатель Народная асвета Корань n-й ступені з ліку 2.272. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графікаў функцый: а) y 7 x2 x 2 і y 7 x 2; б) y 3 x2 4x 14 і y x2 x 2. 2.273. Знайдзіце карані ўраўнення: x 5 x 1; б) x 2 2x 3 1; в) 2 3x 2 6 x 2; г) 2x а) x 1 1 1. 2.274. Рашыце ўраўненне, выкарыстаўшы ўласцівасці функцый: а) 3x 2 2x 5 5; б) x в) 3x г) 15 x 3 x 6. 5 x 3 2; 2x 4 6 7; 2.275. Знайдзіце абсцысы пунктаў перасячэння графіка функцыі y 5x 1 7 x і прамой y = 6. 2.276. Рашыце ўраўненне з дапамогай метаду замены зменнай: а) x 4 4 x 12 0; в) x 7 5 x 7 4 0; б) 3 x 4 д) x2 12 2 x2 12 8; 3; x 3 6 3 2; е) x2 5x 5 x2 5x г) 3 26 x x 28 4. 2.277. Знайдзіце карані ўраўнення: а) 3x 1x 1x 5; 2 3x б) 3 x 3 x 7 10 . 3 x 7 x 2.278. Рашыце ўраўненне: 6 x а) x в) x3 x 1 1 б) 3x 6; 5 x 2 x 1; 2x 6. 2.279. Функцыя f (x) зададзена формулай f (x) = x2 − 4x. Знайдзіце: f (2); f (−2); f (0); f (0,5). 8x 3 16 2.280. Рашыце няроўнасць 2.281. Вылічыце: а) cos 7 p ; 4 б) sin 19 6 ; 2x 5 11 7 x . 3 12 в) tg 9 p ; 2.282. Рашыце сістэму ўраўненняў 4 г) ctg x2 y2 2xy x y 6. 4, Правообладатель Народная асвета 23 3 . Раздзел 2 2.283. Скараціце дроб x2 − 2 x − 35 25 − x2 . 2.284. Прывядзіце да стандартнага выгляду 2 1 a4 b8 2 2 1 2 a5 b12 . 7 2.285. Выкарыстайце метад замены зменнай і рашыце ўраўненне 4(x − 7)4 + 3(x − 7)2 − 1 = 0. Выніковая самаа энка Пасля вывучэння гэтага раздзела я павінен: ведаць і ўмець карыстацца азначэннем кораня n-й ступені з ліку; ведаць і ўмець карыстацца азначэннем арыфметычнага кораня n-й ступені з ліку; ведаць і ўмець прымяняць уласцівасці каранёў n-й ступені з ліку; умець будаваць графікі функцый y n x , n N, n G 1, і выконваць іх пераўтварэнні; умець рашаць ірацыянальныя ўраўненні; валодаць рознымі спосабамі аналізу і мадэлявання вучэбных і практычных сітуацый. Я правяраю свае веды 1. Сярод дадзеных выразаў выберыце выразы, якія маюць сэнс: б) 6 −11 ; в) 5 7 ; г) 3 −5 ; д) 10 0 ; е) 9 −1 . а) 8 2 ; 2. Выберыце функцыю, графік якой паказаны на рысунку 124: а) y = x3 ; б) y = 3 x ; в) y = 3x; г) y = 3 . –8 –7 –6 –5–4 –3 –2–1 –2 Рыс. 124 3. Знайдзіце значэнне выразу: а) 3 27 − 4 16 ; б) 5 1 4 1; 32 Правообладатель Народная асвета x Корань n-й ступені з ліку в) 7 128 4 3 −3 3 ; г) 3 0, 008 4 3 . 8 4. Рашыце ўраўненне: а) 4 2x 1 б) 5 2x 3; в) 6 x2 2x 61 2; г) 3 x2 5 x 1; 131 5. 5. Параўнайце лікі: а) б) 10 29 і 5 3 3 ; 5 і 3 10 ; 3 в) 2 і 5 3. 6. Рашыце ўраўненне: а) 2 x2 в) 2x 4 7 x 3; x x; 6 x2 4 x 5 б) г) 2 x 4 2 x x 1; 2 15. 7. Спрасціце выраз: 0,8 x 2 y ; б) x 2 y x 2 y 4 y y . а) 0, 8 4 x 2 y 4 4 2 2 4 4 8 4 7 8 3 8. Знайдзіце абсяг вызначэння функцыі: а) f x 8 в) f x 8 x2 9x x 5 8; 9 49 7x ; б) f x 4 г) f x 10 3 8x 25 x2 7 5x 1 6 x2 ; 6x 5. 9. Унясіце множнік пад знак кораня: а) 2a 6 − a ; б) −m 5 m 3 ; в) − y 6 − y7 ; г) y 2 4 4 2 y . 10. Рашыце ўраўненне x 1 2 x 1 4 3 x 2 2 x2 3 x 1 . Дадатковыя матэрыялы да вучэбнага дапаможніка «Алгебра, 10» можна знайсці на сайце tt :// .a . , курс «Матэматыка. 10 клас». Правообладатель Народная асвета ы А 18. Азна энне вытворнай функ ыі 3.1. З гарадоў А і В насустрач адзін аднаму адначасова выйшлі два паязды. Рухаючыся без прыпынкаў з пастаяннай скорасцю, яны сустрэліся праз 30 г пасля выхаду. Колькі часу спатрэбілася на прахо джанне шляху АВ кожнаму поезду, калі вядома, што першы прыбыў у горад В на 25 г пазней, чым другі прыбыў у горад А 3.2. Дзве брыгады, працуючы разам, апрацавалі ўчастак зямлі за 12 г. За які час магла б апрацаваць гэты ўчастак кожная з брыгад асобна, калі скорасці выканання работы брыгадамі адносяцца як 3 : 2 3.3. Уборку ўраджаю з участка пачаў адзін камбайн. Праз 2 г да яго далучыўся другі камбайн, і за 8 г сумеснай працы яны сабралі 80 ураджаю. За колькі гадзін мог бы сабраць ураджай з участка кожны кам байн асобна, калі вядома, што аднаму на гэта спатрэбіцца на 5 г больш, чым другому У задачах на працэсы (руху, работы, планавання і г. д.), як правіла, скорасць разглядаемага працэсу лічыцца пастаяннай на ўсім пазнача ным ва ўмове задачы прамежку часу. Формула, якая выражае сувязь паміж s (пройдзеным шляхам) і t (ча сам руху) пры пастаяннай скорасці руху (v) мае выгляд s = vt. Гэта залежнасць s ад t лінейная, яе графік зручна паказваць у сістэме каардынат (рыс. 125): гарызантальная вось — вось часу (t), вертыкальная вось — вось s пройдзенага шляху (s). s = vt Графікам лінейнай залежнасці s = vt з’яўляецца прамая. Заўважым, што пройдзены шлях (s0) лікава s0 роўны даўжыні адрэзка AB, час t0 лікава роўны даўжыні адрэзка OB. З прамавуголь нага трохвугольніка адносіна катэта, процілеглага востраму вуглу a, да прылеглага t0 катэта роўна тангенсу вугла a, г. зн. Рыс. 125 tg AB OB s0 t0 v0 . Такім чынам, дзяленнем пройдзенага шляху на затрачаны на гэты шлях час знаходзіцца v0 — сярэдняя скорасць. Правообладатель Народная асвета Вытворная Тангенс вугла a роўны лікаваму значэнню скорасці праходжання пра цэсу, а вугал нахілу прамой OA да восі абсцыс характарызуе скорасць працэсу руху. У рэальных працэсах скорасць руху (іншых працэсаў) не з’яўляецца пастаяннай нават на невялікім прамежку часу. У фізіцы разглядаецца як паняцце сярэдняй скорас і, модуль якой роўны адносіне модуля пера мяшчэння да ўсяго часу перамяшчэння, так і імгненнай скорас і. Разгледзім алгарытм вылічэння гэтых велічынь. Няхай функцыя s(t) — залежнасць пройдзенага шляху ад часу — за дадзена графічна (рыс. 126). Выберам t0 — пачатковы момант часу. Знойдзем s(t0) — адлегласць (пройдзены шлях) у момант t0 ад пачат ку адліку. Выберам Dt — некаторы прамежак часу. s Атрымаем t0 + Dt — новы момант часу. s Адзначым s(t0 + Dt) — адлегласць ∆s у момант часу t0 + D ад пачатку адліку. s Знойдзем Ds — адлегласць, пройдзе ную за прамежак часу Dt: s s t0 t s t0 . Знойдзем сярэднюю скорас ь руху на прамежку Dt: v s t Рыс. 126 Калі прамежак Dt бясконца памяншаецца, гавораць «імкнецца да нуля» (Dt 0), то сярэдняя скорасць Ds імкнецца да імгненнай скорас і Dt (vсяр vімгн). Імгненная скорасць фіксуецца пры руху аўтамабіля на трасе з дапамо гай прыбораў фіксацыі скорасці, напрыклад радара. Па аналогіі з сярэдняй і імгненнай скарасцямі працэсу руху ў матэ матыцы разглядаюцца сярэдняя і імгненная скорасці змянення розных функцый. Для вылічэння значэнняў гэтых велічынь разгледзім, як змяняецца значэнне функцыі пры пераходзе ад аднаго значэння аргумента да друго га, інакш кажучы, знойдзем прыра энне функ ыі. Правообладатель Народная асвета 219 220 Раздзел 3 Для таго ка вылі ы ь прыра Выбраць некаторае значэнне аргумента x0 — першапачатко вае значэнне аргумента. энне функ ыі y = f (x), трэ а Праілюструем этапы знаходжання прырашчэння функцыі на графіке. Знайсці f (x0) — першапачат ковае значэнне функцыі. Змяніць значэнне аргумента, для гэтага выбраць Dx — пры рашчэнне аргумента. 5 6 2 Атрымаць x0 + Dx — нарош чанае значэнне аргумента. Знайсці нарошчанае значэнне функцыі f (x0 + Dx). 3 Знайсці прырашчэнне функцыі Df = f (x0 + Dx) − f (x0). 4 1 Напрыклад, выкарыстаўшы алгарытм, знойдзем прырашчэнне функцыі f (x) = x2 пры пераходзе ад x0 да x0 + Dx. Выберам некаторае значэнне аргумента x0 — першапачатковае зна чэнне аргумента. Знойдзем f (x0) — першапачатковае значэнне функцыі: f (x0) = x02 . Зменім значэнне аргумента. Выберам Dx — прырашчэнне аргумента. Атрымаем x0 x — нарошчанае значэнне аргумента. Знойдзем нарошчанае значэнне функцыі: f (x0 + Dx) = (x0 + Dx)2 x02 2x0 x x2 . x2 2x0 x Знойдзем прырашчэнне функцыі: Df = f (x0 + Dx) − f (x0) x02 2x0 x x02 x2 . Пр клад . Знайдзіце значэнне прырашчэння функцыі f (x) = x2, калі: а) x0 = 1; Dx = 0,5; в) x0 = 1; Dx = 0,1; f б) x0 = 2; Dx = 0,5; г) x0 = −1; Dx = 0,1. ашэнне. Падставім дадзеныя значэнні x0 і Dx у атрыманы выраз 2x0 x x2 для f (x) = x2. Правообладатель Народная асвета Вытворная а) Пры x0 = 1 і Dx = 0,5 атрымаем f 2 1 0,5 x2 2x0 x 0,25 1,25; б) пры x0 = 2 і Dx = 0,5 атрымаем f x2 = 2 + 0,25 = 2,25; 2x0 x в) пры x0 = 1 і Dx = 0,1 атрымаем f 2x0 x x2 = 0,2 + 0,01 = 0,21; г) пры x0 = −1 і Dx = 0,1 атрымаем f 2x0 x x2 = −0,2 + 0,01 = −0,19. Заўважым, што прырашчэнне функцыі залежыць ад першапачаткова га значэння аргумента і ад прырашчэння аргумента. Для функцыі f (x) = x2 знойдзем адносіну прырашчэння функцыі да прырашчэння аргумента пры пераходзе ад x0 да x0 + Dx: f x x2 2 x0 x x 2x0 x. Няхай Dx бясконца памяншаецца, г. зн. Dx імкнецца да нуля, тады адносіна f x 2x0 x імкнецца да 2x0 f x x x якое ўжо не залежыць ад прырашчэння Dx. Пры x0 = 2 гэты лік роўны 4, пры x0 = 1 гэты лік роўны 2 і г. д. Азна энне. Вытворнай функцыі y = f (x) у пункце называецца лік, да якога імкнецца адносіна прырашчэння функцыі да прырашчэння аргу мента f x пры прырашчэнні аргумента (Dx), якое імкнецца да нуля. Вытворная функцыі абазначаецца f x і чытаецца «эф штрых ад ікс». Паколькі для функцыі f (x) = x2 адносіна f x 2x0 x імкнецца да 2x0 пры Dx, якое імкнецца да нуля, то вытворная гэтай функцыі ў пунк це x0 роўна 2x0. Можна запісать x2 2x (паколькі x0 — адвольны пункт, то індэкс у абазначэнні 2x0 можна не пісаць). Вытворная пры дадзеным значэнні x ёсць лік. Калі вытворная дадзенай функцыі існуе для кожнага x з некато рага прамежку, то яна з’яўляецца функцыяй ад х. Правообладатель Народная асвета 221 222 Раздзел 3 Для таго ка знайс і вытворную функ ыі y = f (x), трэ а Знайдзіце вытворную функцыі f ( x) = 1 . x 1 ; f (x 1 тады f ( x0 ) x ) , 0 x0 x0 x Знайсці прырашчэнне функцыі пры пераходзе ад x0 да x0 + D . Df Знайсці — адносіну прыDx рашчэння функцыі да прыраш чэння аргумента. f f ( x0 x0 f Знайсці вытворную функцыі f ′ ( x0 ) — лік, да якога імкнецца x) x0 x x0 x0 x f x x0 x0 Пры x Df пры ўмове, што Dx імкнецца Dx да нуля. x0 1 x 1 ; x0 x0 x0 x0 x0 x x x0 x0 x 1 f x0 x x x02 0 атрымаем, што f x 1 . x02 f f ( x0 x) f x0 f 5 x0 x 9 f 5 x0 x 5x0 ; f 5x0 5 x 5x0 ; f 5 x. f x 5 x x 5x0 5x 9; f x0 x 5 x0 x 5 x0 9 5x0 9 ; 5x0 x . 1 . x0 x 1 . x2 Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі f x f x0 x x0 x0 x Такім чынам, 1 x ашэнне. x 9. 9, тады 9; 5. Адносіна Df не залежыць ад Dx, яна пастаянная і роўна 5, г. зн. пры x Dx 0 атрымаем, што Такім чынам, 5x 9 f x 5. 5. Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі f ( x ) = 1 у пункце x = 2. x 1 x ашэнне. Паколькі x = 2. Прынятае абазначэнне: f 2 1 , x2 то падставім у выраз − 12 значэнне x 1 22 1. 4 Правообладатель Народная асвета Вытворная Вернемся да імгненнай скорасці руху. Пры Dt, што імкнецца да нуля, сярэдняя скорасць імкнецца да імгненнай (vсяр vімгн пры Dt 0), зна чыць, імгненная скорасць з’яўляецца вытворнай функцыі s(t). Пр клад . Закон руху зададзены функцыяй s (t ) t2 t. Знайдзіце скорасць руху ў момант часу t = 3. ашэнне. Паколькі імгненная скорасць v руху, зададзенага функ цыяй s(t), роўна вытворнай гэтай функцыі ў пункце, то знойдзем вытвор ную функцыі s (t ) t2 t, г. зн. s ′ (t ). Знойдзем прырашчэнне функцыі пры пераходзе ад t0 да t0 + Dt. 2 s t0 t02 t0 ; s t0 t t0 t t0 t , тады s s x0 x s t0 2 s t02 s t s x0 t0 t t0 t02 t0 ; t0 ; t 1. 0 атрымаем, што s t t s t 2t0 t Пры t t0 t02 2t0 t 2t0 t t t 2 2 2 t0 t t02 t t0 ; t. t 2 t t Такім чынам, s t 2t0 t2 t 2t 2t0 1. 1, г. зн. v Скорасць руху ў момант часу t = 3 роўна s 3 s t 23 1 t 5. Наогул кажучы, калі змяненне якой-небудзь велічыні задаецца функцыяй y = f (t), то імгненная скорасць змянення гэтай велічыні пры t = t0 роўна f ′ (t0 ), або коратка: вытворная ёсць скорасць змя нення функцыі. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце прырашчэнне функцыі пры пераходзе ад x0 да x0 + Dx, калі: а) f ( x ) x2 5; б) f ( x ) 2x 3. Рашэнне. а) Выберам некаторае значэнне аргумента x0 — перша пачатковае значэнне аргумента. Знойдзем f x0 f x0 x02 — першапачатковае значэнне функцыі: 5. Правообладатель Народная асвета 224 Раздзел 3 Зменім значэнне аргумента. Выберам Dx — прырашчэнне аргумента. Атрымаем x0 + Dx — нарошчанае значэнне аргумента. Знойдзем нарошчанае значэнне функцыі: f x0 x x0 x 2 x02 5 x2 2x0 x 5. Знойдзем прырашчэнне функцыі: Df = f (x0 + Dx) − f (x0); f x02 2x0 x x2 5 f x02 2x0 x x2 5 2x0 x02 5; x02 5; 3; f x0 x 2 x0 f x0 2 x0 x 3 2x0 3; f 3 2x0 3; 2x0 ; f 2 x. Df 2. Знайдзіце адносіну , калі: Dx б) f ( x ) 2x а) f ( x ) x2 5; 2 x0 x 2x0 ; б) f x0 f f x0 f f x 2 x0 x 2x0 2 x f x2 . 2x0 x x 3, тады 3. Рашэнне. Выкарыстаем вынікі папярэдняга задання і атрымаем: а) f x x2 2 x0 x x x 2 x0 x 2x0 x x; б) f x 2 x x 2. 3. Вызначце, да чаго імкнецца адносіна Df для функцыі: Dx а) f ( x ) x2 5; б) f ( x ) 2x 3, — калі Dx імкнецца да нуля ( x 0). Рашэнне. Выкарыстаем вынікі папярэдняга задання і атрымаем: а) f x 2x0 x, паколькі другое складаемае ў суме імкнецца да нуля, то сума імкнецца да 2x0, г. зн. пры f x б) x 0 атрымаем, што 2x0 . f x 2, паколькі адносіна Df не залежыць ад Dx, то яна паста Dx янная і роўна 2. Такім чынам, пры x 0 атрымаем, што Правообладатель Народная асвета f x 2. Вытворная 4. Знайдзіце вытворную функцыі: а) f ( x ) x2 5; б) f ( x ) 2x 3. Рашэнне. Паколькі вытворная функцыі роўна ліку, да якога імкнецца Df Dx x пры 0, то, выкарыстаўшы вынікі папярэдняга задання, атрымаем: x2 а) f x б) f x 2x; 5 2x 3 2. 5. Вылічыце вытворную функцыі: а) f ( x ) x2 5; б) f ( x ) 3 — у пункце x = 4; −2; 0; 0,5. 2x Рашэнне. Выкарыстаем вынікі, атрыманыя ў папярэднім заданні. а) Паколькі f ( x ) і атрымаем: f (4) 2 4 8; f (0) 2 0 0; 2x, то падставім значэнні зменнай x у выраз 2x f ( 2) 2 ( 2) f (0,5) 2 0,5 4; 1; б) f x 2x 3 2, паколькі вытворная функцыі f ( x ) 2x 3 роўна 2 і не залежыць ад x, то пры любым значэнні зменнай яе зна чэнне роўна 2, г. зн. f (4) f ( 2) f (0) f (0,5) 2. 6. Закон руху зададзены функцыяй: а) s (t ) t2 5; б) s (t ) 2t 3. Знайдзіце скорасць руху ў момант часу t = 5. Рашэнне. а) Паколькі імгненная скорасць руху, зададзенага функ цыяй s(t), роўна вытворнай гэтай функцыі, то v s t v s t У момант t = 5 знойдзем яе значэнне: t б) Паколькі v s t момант часу яна роўна 2. не залежыць ад t, то ў любы t 7. Знайдзіце вытворную лінейнай функцыі f ( x) Рашэнне. f f x0 f x0 x f x0 kx0 kx b. b, тады b; f x0 x k x0 x k x0 b kx0 b; x Правообладатель Народная асвета 225 226 Раздзел 3 f k x0 x b f kx0 k x kx0 ; f x k x x kx0 b; f f k x0 x kx0 ; k x. k. Паколькі адносіна Df не залежыць ад Dx, то яна пастаянная і Dx роўна k, значыць, f x kx b k. 8. Выкарыстайце вынік папярэдняга задання і знайдзіце вытворную функцыі: а) f ( x ) 3x б) f ( x ) = x. 5; Рашэнне. а) f ( x) 5, паколькі k = 3, то 3x 3x б) f ( x ) = x, паколькі k = 1, то x 5 3; 1. 9. Знайдзіце вытворную пастаяннай функцыі y = C. Рашэнне. f x0 x Ці праўда, што: а) (3x 4) 3; б) ( 3 f x0 5x) C 5; C 0, таму C в) ( 7 x) 0. 7; г) 6 0? 3.4. Па графіку функцыі y = x2 (рыс. 127) вызначце прырашчэнне функцыі пры пера ходзе ад значэння аргумента: а) 1 да значэння 2; б) 1 да значэння 1,5; в) −2 да значэння −0,5. 3.5. Знайдзіце з дапамогай алгарытма прырашчэнне функцыі y = x2 пры пераходзе ад значэння аргумента: а) 1 да значэння 2; б) 1 да значэння 1,5; в) −2 да значэння −0,5. –2 Правообладатель Народная асвета Рыс. 127 Вытворная 3.6. Знайдзіце з дапамогай алгарытму прырашчэнне функцыі пры пе раходзе ад x0 да x0 + Dx, калі: б) f ( x ) 3x 2; в) f ( x ) = 3x2 ; г) f ( x ) = 8 . а) f ( x ) x2 1; 3.7. Знайдзіце адносіну а) f ( x ) x2 1; x Df , калі: Dx б) f ( x ) 3x 2; в) f ( x ) = 3x2 ; 3.8. Вызначце, да чаго імкнецца адносіна а) f ( x ) x2 1; б) f ( x ) 3x 2; г) f ( x ) = 8 , — калі Dx імкнецца да нуля x Df Dx г) f ( x ) = 8 . x для функцыі: в) f ( x ) = 3x2 ; x 0. 3.9. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы алгарытм: б) f ( x ) 3x 2; в) f ( x ) = 3x2 ; 3.10. Вылічыце вытворную функцыі: б) f ( x ) 3x 2; а) f ( x ) x2 1; в) f ( x ) = 3x2 ; а) f ( x ) x2 1; г) f ( x ) = 8 . x г) f ( x ) = 8 — у пунктах x 2; 1; 0,5; 8. x 3.11. Закон руху зададзены функцыяй: б) s (t ) t2 7. а) s (t ) 3t 5; Знайдзіце скорасць руху ў момант часу t = 4. 3.12. Выкарыстайце тое, што f ( x ) ( kx ную функцыі: а) f ( x ) 8 x 2; б) f ( x ) x 2; в) f ( x ) x 3; 6 b) k, і знайдзіце вытвор г) f ( x ) 5 x . 4 3.13. Для функцыі f ( x ) 3x2 6 x знайдзіце: а) прырашчэнне функцыі пры пераходзе ад x0 да x0 + Dx; б) прыраш чэнне функцыі, калі x0 = 1; Dx = 0,1; в) адносіну адносіна Df ; г) да чаго імкнецца Dx Df , калі Dx імкнецца да нуля; д) вытворную функцыі; е) вытвор Dx ную функцыі ў пункце x = 5. 3.14. Знайдзіце з дапамогай алгарытму прырашчэнне функцыі пры пе раходзе ад x0 да x0 + Dx, калі: б) f ( x ) 2x 7. а) f ( x ) x2 8; Правообладатель Народная асвета 227 228 Раздзел 3 3.15. Знайдзіце адносіну а) f ( x ) x2 8; Df , калі: Dx б) f ( x ) 2x 7. 3.16. Вызначце, да чаго імкнецца адносіна а) f ( x ) x2 8; Df Dx для функцыі: б) f ( x ) 2x 7, — калі Dx імкнецца да нуля. 3.17. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы алгарытм: б) f ( x ) 2x 7. а) f ( x ) x2 8; 3.18. Вылічыце вытворную функцыі: б) f ( x ) 2x 7 — у пунктах x 3; 0; 1,5; 9. а) f ( x ) x2 8; 3.19. Закон руху зададзены функцыяй s (t ) t2 1. Знайдзіце скорасць руху ў момант часу t = 10. 3.20. Выкарыстайце тое, што f ( x ) ( kx b) k, і знайдзіце вытвор ную функцыі: а) f ( x ) 5x 8; б) f ( x ) 6 x 1; в) f ( x ) 2 x 5; 7 г) f ( x ) 7 x . 9 2 3.21. Для функцыі f ( x ) x 5x знайдзіце: а) прырашчэнне функцыі пры пераходзе ад x0 да x0 + Dx; б) прырашчэнне функцыі, калі x0 = 2; Dx = 0,1; в) адносіну Df ; Dx Df г) да чаго імкнецца адносіна , калі Dx імкнецца да нуля; Dx д) вытворную функцыі; е) вытворную функцыі ў пункце x = −3. 3.22. Сярод лікаў 3; 2 ; 5 3 ; 0; 9; 7 2 ; 5, 23 ; 2 7; ; 7, 8; 15 вы берыце натуральныя, цэлыя, рацыянальныя, ірацыянальныя. кому лікаваму мноству належаць усе гэтыя лікі 3.23. Прамая y = kx + b праходзіць праз пункты A(2; 0) і B(−2; 10). Запішыце ўраўненне гэтай прамой. 3.24. Рашыце ўраўненне 1 9x x2 2 x 3 3x 1 2x . x 1 x3 3.25. Знайдзіце нулі функцыі f ( x ) sin x 3 cos x. Правообладатель Народная асвета Вытворная 19. Правілы вылі эння вытворны 3.26. Рашыце ўраўненне (x2 − 4) (x2 − 5x − 6) = 0. 3.27. Рашыце няроўнасць (x2 − 4) (x2 − 5x − 6) H 0. 3.28. Рашыце няроўнасць x 1 x 23 H 0. Для вылічэння вытворных будзем карыстацца выведзенымі ў папярэднім параграфе формуламі: 2 ; 1 2 ; 1 2 0. Запішам іх у табліцу. ; f (x) x2 kx + b 1 x C f′(x) 2x k − 12 x 0 Разгледзім некалькі правілаў вылічэння вытворных. 1. Вытворная сумы калі функцыі U і V маюць вытворныя, то вы творная сумы роўна суме вытворных, г. зн. U V U V . Доказ. Няхай U + V = W. Разгледзім суму прырашчэнняў функцый U і V: U V U (x x) U (x) V (x x) V (x) U (x x) V (x x) ( V ( x) U ( x))) W (x x) W (x) V W x W . Тады Калі Dx імкнецца да нуля, то W U V x U V. x U V U. x Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі: а) f x x2 5x; б) h x ашэнне. а) f x x2 1 x x2 б) h x x2 5x 1 x x2 U 1 . x x2 5x 2x 1 . x2 2x V U V 5; 2. Вытворная зда ытку калі функцыі U і V маюць вытворныя, то UV U V V U. Правообладатель Народная асвета 229 Раздзел 3 Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі: б) f x x2 3 x x3 x2 x x x2 2x x 1 x2 x2 3 x 1 x3 ; а) f x ашэнне. а) f x x2 x б) f x 1. UV UV V U 3 x2 ; = x2 3 x 1 x2 = 3x 1 = 2 x 3 x 1 3 x 2 6 x 2 2 x 3 x 2 9 x 2 2 x. Вынік. Пастаянны множнік можна выносіць за знак вытворнай: Cf x C f x . Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі: 7 б) f x а) f x 5 x2 ; . x 5 x2 ашэнне. а) f x б) f x 7 1 7 x 5 x2 7 1 x 5 2x 10 x; 1 x2 7 . x2 7 x 3. Вытворная дзелі калі функцыі U і V маюць вытворныя, то UV U V VU V2 . Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі: а) f x 4x 5x 1 ; 6 4x 5x ашэнне. а) f x 4x 1 5x б) f x 5x 6 5x x2 x 1 x2 . x 1 б) f x 6 1 6 6 4x 4 5x 1 2 x2 6 5x x 1 x x 2 1 1 x2 UV U V 5 4x 6 1 2 2x x x 29 5x 1 1 V2 6 2 ; 1 x2 x2 2x 2 x 1 Правообладатель Народная асвета 2 . VU Вытворная 4. Вытворная ступені вытворная ступені роўна здабытку паказчы ка ступені на ступень з той жа асновай і меншым на адзінку паказчы n xn 1 , дзе n ∈ Z. xn кам, г. зн. Пр клад . Знайдзіце вытворную функцыі: а) f x б) f x x8 ; x15 . x8 8 x8 1 15x15 1 15x14 . ашэнне. а) f x x15 б) f x 8 x7 ; xn n xn 1 , на од анне вытворнай функцыі называецца дыферэн ыраваннем функцыі. Правілы 1—4 называюцца правіламі дыферэнцыравання. Імі карыста юцца для вылічэння вытворных розных функцый. Пр клад . Знайдзіце f ′ ( x ), калі: б) f (x) = (3x2 − 7)(4x2 + 9); а) f (x) = 6x2 − 9x + 2; 1 2 x2 в) f ( x ) 4 x2 5 г) f (x) = 4x10. ; ашэнне. а) Знойдзем вытворную функцыі f (x) = 6x2 − 9x + 2 па правілах знаходжання вытворнай сумы, вынясення пастаяннага множніка за знак вытворнай і формул вытворных: 6 x2 9x 6 x2 2 9x 6 x2 2 9 x 6 2x 0 91 12x 9. б) Знойдзем вытворную функцыі f (x) = (3x2 − 7)(4x2 + 9) па правіле зна ходжання вытворнай здабытку: 3 x2 7 4 x2 6 x 4 x2 3 x2 9 8 x 3 x2 7 9 4 x2 9 48 x3 2x. 7 4 x2 3 x2 9 7 1 2 x2 в) Знойдзем вытворную функцыі f ( x ) 2 па правіле знаходжання 4x 5 вытворнай дзелі: = 1 2 x2 4x 2 2 x2 1 4 x2 5 16 x3 20 x 8x 2 2 4x 5 16 x3 5 4 x2 4 x2 2 5 5 1 28 x 4 x2 5 2 2 x2 = 4 x 4 x2 5 8 x 1 2 x2 4 x2 5 . Правообладатель Народная асвета 2 = Раздзел 3 г) Выкарыстаем правіла вынясення пастаяннага множніка за знак вы творнай і правіла знаходжання вытворнай ступені: 4 x10 4 x10 4 10 x10 1 40 x9 . Пр клад . Вылічыце: а) f ′ (1); б) f ′ (4); в) f ( 2); г) f ′ (0), — калі f ( x ) 3x4 0,5x2 . ашэнне. Знойдзем вытворную функцыі f ( x ) 3x4 0,5x2 , выкарыстаўшы правілы знаходжання вытворнай сумы, ступені і вынясення па 3x4 стаяннага множніка: f x = 3x4 0,5x2 0,5x2 12x3 x. Падставіўшы ў выраз 12x − x дадзеныя значэнні зменнай, знойдзем: б) f (4) 768 4 764; а) f (1) 12 1 11; в) f ( 2) г) f (0) 0. 96 2 94; 3 3f ( x ), калі f ( x ) 2x3 3x2 . Пр клад . Рашыце ўраўненне f ( x ) ашэнне. Знойдзем вытворную функцыі f ( x ) 2x3 3x2 , выкарыстаўшы правілы знаходжання вытворнай сумы, ступені і вынясення па 2x3 стаяннага множніка: f x 3 x2 6 x2 6 x. Тады ўраўненне f′(x) = 3 (x) прыме выгляд: 6x2 − 6x = 3 (2x3 − 3x2). Рэшым яго: 6x2 − 6x = 6x3 − 9x2 6x3 − 15x2 + 6x = 0 x(2x − 5x + 2) = 0 2 Адказ: 0; 0,5; 2. x x 0, 2, x 1 . 2 Пр клад . Прамалінейны рух пункта зададзены ўраўненнем s(t) = 2t2 − 8t − 10 (шлях вымяраецца ў метрах, час — у секундах). Знайдзіце скорасць руху ў момант часу, роўны 8 с. ашэнне. Паколькі імгненная скорасць руху, зададзенага функ цыяй s(t) = 2t2 − 8t − 10, роўна вытворнай гэтай функцыі, то у момант часу, роўны 8 с. v s t t t t Знойдзем яе значэнне: v s Адказ: Правообладатель Народная асвета Вытворная Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы правілы дыферэн цыравання: а) f ( x ) x2 5x 2; б) g ( x ) 2x19 0, 3x33 ; в) h ( x ) 3x15 1 ; г) ( ) 5x 2 x Рашэнне. а) f x 2x19 б) g x = 2 19 x18 x2 2x19 0, 3 33x32 38 x18 3x15 1 x = 3 x15 1 x 3 15x14 г) p x x3 8 3x 7 8 1 8 3 x 7 0 1 3 x2 8 x3 8 3 8. 7 x2 0, 3x33 в) h x 3 5x 2x 2 0, 3x33 2 x19 5; 0, 3 x33 9, 9 x32 ; 1 x 3x15 1 x2 45x14 x3 8 3x 7 3 1 7 1 ; x2 8 = 3 2 x 8 3 . 7 2. Вылічыце f (8); f (5); f ( 2); f (0), калі f ( x) 3x . x5 Рашэнне. Знойдзем вытворную функцыі f ( x) 3x . x5 Па правіле знаходжання вытворнай дзелі атрымаем: 3 x f (x) 8 x 5 x 3 x 5 8 2 x Тады f (8) 5 x 5 x x 2 3 x x 5 3 x 2 5 x . 2 8 ; 169 f (5) 3. Рашыце ўраўненне f ( x) Рашэнне. f x 5 5 3 x 3 3x 8 ; 100 f ( 2) 8 ; 9 f ( 0) 8 . 25 3 0, калі f ( x ) x 3x. 3 3 x 3 3x 1 3 x3 3x Правообладатель Народная асвета x2 3. = Раздзел 3 Рэшым ураўненне x2 x2 3 Адказ: 0 x2 3 2 3 0: (x 0 3 )( x 3) = 0 3; − 3. x 3, x 3. 4. Рашыце няроўнасць f x G 0, калі f ( x) x3 0,5x2 4 x. Рашэнне. f x x3 0,5x2 3 x2 4x x 4. Рэшым няроўнасць 3x2 − x − 4 G 0. Знойдзем нулі функцыі y 3x2 x 4, x1 1, x2 1 1 . 3 Дадатныя значэнні функцыя прымае лявей за меншы корань ці правей за большы: x ; 1 ; . Адказ: ; 1 11; 1 3 1 3 5. Рашыце няроўнасць f ′ ( x) H 0, калі f ( x) Рашэнне. f x 2 x3 2x 1 x2 2 x4 x 3 1 . Рэшым няроўнасць 2 x4 1 x 3 x x x Адказ: ( 1; 0) (1; x2 1 x 4 1 x2 x2 . 2x x4 x2 2x G 0 метадам інтэрвалаў: 2 x4 1 3 2 x2 1 x2 G0 1 x2 2 . 1 3 G0 x ( 1; 0) (1; ). ). 6. Закон прамалінейнага руху зададзены функцыяй s t t3 3 3 t2 2 3t. Знайдзіце, пры якіх значэннях часу імгненная скорасць руху боль шая за 1. Рашэнне. Паколькі імгненная скорасць руху, зададзенага функ цыяй s(t), роўна вытворнай гэтай функцыі, то v s t t3 3 3 t2 2 3t t2 3t 3. Правообладатель Народная асвета Вытворная У адпаведнасці з умовай рэшым няроўнасць: t2 − 3t − 3 G 1, t2 − 3t − 4 G 0; t Паколькі t G 0, то t 4; u . Адказ: t ; 1 4; . u. 4; 1. Вытворная функцыі f (x) = x5 роўна: а) x4; б) 4x4; в) 5x6; г) 5x4. Выберыце правільны адказ. 2. Вытворная функцыі f ( x) 7 5x роўна: а) 7 + x; б) −5x; в) −5; г) 7. Выберыце правільны адказ. 3.29. Знайдзіце вытворную функцыі: б) f x а) f x x2 x; x x2 ; г) f x ж) f x 5 x2 ; 2 x 4 д) f x x; з) f x 6 x2 3x; x 8 2 5x 7 в) f x 7 x2 ; е) f x 9 x2 7 x; . 3.30. Знайдзіце f 0 для функцыі: а) f x 8 x2 в) f x 7 д) f x x 4 x 3 x 2x б) f x 2; 5 4; 3 x2 ; x3 x2 x 4 г) f x 12x е) f x 0,1x6 9; 7x 2 x; x . 2 x3 3.31. Рашыце ўраўненне ′(x) = f (1), калі f ( x ) 3x2 x 2. 3.32. Параўнайце f ′(−1) і f ′(1) для функцыі: а) f x x4 1 ; x б) f x x3 6 8 . x 3.33. Знайдзіце вытворную функцыі, знаходжання вытворнай здабытку: а) f x x2 2 x x2 в) f x x 4 5 x2 x; 3; выкарыстаўшы б) f x x3 x2 x2 г) f x 3x7 1 8x ; x9 . Правообладатель Народная асвета правіла Раздзел 3 x2 5 3.34. Ці праўда, што f 2 H g 2 , калі f x x2 x 2 x 3 1 , а g(x) = x 5x3 x ? 6 3.35. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы правіла знаходжання вытворнай дзелі: а) f x 5x 2 ; 5x 2 б) f x в) f x 2x 9 ; x 3 г) f x x2 3 2 3 x ; 4 x2 . 1 x 2x 3.36. Знайдзіце вытворную функцыі f x 3.37. f x x3 Знайдзіце x2 x 2 значэнне x f выразу 5 2x 3 f 4 2 5 . для функцыі . 3.38. Знайдзіце вытворную функцыі y = f (x) у пункце x0, калі: а) f x x6 2x4 в) f x x3 4 x5 x 3, x0 2; б) f x 3x 1 , x0 2; г) f x 5 3.39. Вытворная функцыі f x на 0,25. Знайдзіце (x0). 1 3 x 3 3.40. Рашыце ўраўненне f x 0, калі: а) f x в) f x 2 x 2x ; 5 x 5 x3 2 x; б) f x 5x3 г) f x 5 x 1 x x 2 , x0 6 , x0 x 1; 5. у некаторым пункце x0 роў- 2 x2 1; 20 x. 3.41. Знайдзіце, пры якіх значэннях зменнай роўна нулю вытворная x3 3 функцыі f x x2 2 20 x. 3.42. Рашыце ўраўненне f x а) f x 6x 6x 1 ; 1 б) f x 1, калі: 2 x2 . x 4 3.43. Рашыце няроўнасць f x G 0, калі: а) f x x3 x2 г) f x x ; x2 3 x; б) f x 27 x д) f x x x3 ; 4 ; x в) f x 2 x3 3 е) f x x2 1 . x Правообладатель Народная асвета x2 24; Вытворная 3.44. Знайдзіце, пры якіх значэннях зменнай вытворная функцыі прымае дадатныя значэнні: а) f x x3 48 x; б) f x x x2 ; 2 1 x2 3x 3.45. Рашыце няроўнасць f x 0, калі f x 3x 1 . x в) f x 3 . 1 3.46. Прымяніце формулу квадрата рознасці або квадрата сумы для знаходжання вытворнай функцыі і рашыце ўраўненне f x а) f x 2x 2 1 ; 3x x б) f x 3.47. Дадзена функцыя f x 4x 5 1 0, калі: 2 . 2 13 . Параўнайце f ′(−3) і f 5 . 2 3.48. Рашыце няроўнасць f x 0, калі f x x 2 x 3 . 3.49. Знайдзіце скорасць пункта, які рухаецца прамалінейна па законе s(t) = −t2 + 10t − 7, у момант часу t = 3 с, калі шлях вымяраецца ў метрах. 3.50. Рух пункта адбываецца па законе s(t) = t2 + 4t + 2 (шлях вымяра ецца ў метрах, час — у секундах). Знайдзіце, у які момант часу скорасць руху пункта роўна 8 3.51. Два пункты рухаюцца па законах s1 (t ) 4t2 2 і s2 (t ) 3t2 4t 1 (шлях вымяраецца ў метрах, час — у секундах). Знайдзіце скорасці руху пунктаў у тыя моманты, калі пройдзеныя імі адлегласці роўныя. 3.52. Знайдзіце вытворную функцыі: а) f x б) f x 9 x2 x; в) f x x2 2 x; г) f x 3.53. Знайдзіце f ′(1) для функцыі: а) f x б) f x 5x2 x 3; в) f x 10 x5 3 x2 x; г) f x 8x x2 ; x2 2 9 x. x8 x5 6 x 9 x 2; 4 x2 . 3.54. Параўнайце f ′(2) і f ′(3) для функцыі f x x3 2 . x 3.55. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы правіла знаходжання вытворнай здабытку: а) f x 2 x2 x x2 7; б) f x x2 6 x x3 . Правообладатель Народная асвета Раздзел 3 x4 8 3.56. Знайдзіце f ′(0) для функцыі f x 2 x x2 x. 3.57. Знайдзіце вытворную функцыі, выкарыстаўшы правіла знаходжання вытворнай дзелі: а) f x 7x 7x 3 ; 3 б) f x 5 x2 x . x 2 x4 3.58. Параўнайце f ′(−1) і f ′(−2) для функцыі f x 1 3 x 12 3.59. Вытворная функцыі f x на −0,25. Знайдзіце f(x0). 5x x 3 . у некаторым пункце x0 роў- 3.60. Рашыце ўраўненне f ′(x) = 0, калі: а) f x 8 x2 x; б) f x x5 2x3 x. 3.61. Рашыце ўраўненне f ′(x) = 1, калі: а) f x x x 5 ; 5 б) f x 3x . x 1 3.62. Рашыце няроўнасць f x H 0, калі: а) f x 3 x2 в) f x 9 x 2x; x; б) f x x3 2 x2 г) f x 2x . x2 1 x; 3.63. Знайдзіце, пры якіх значэннях зменнай вытворная функцыі f x x4 x2 2 прымае дадатныя значэнні. 3.64. Рашыце няроўнасць f x 0, калі f x 2 x2 6 . 3x 1 3.65. Прымяніце формулу квадрата рознасці для знаходжання вытвор най функцыі f x 5x 9 2 і параўнайце f ′(1) і f 3.66. Рашыце няроўнасць f x а) f x x 2 7 ; б) f x 5 . 0, калі: x 2 x 1 2 . 3.67. Знайдзіце скорасць пункта, які рухаецца прамалінейна па законе s(t) = −t2 + 9t + 8, у момант часу t = 4 с, калі шлях вымяраецца ў метрах. 3.68. Рух пункта адбываецца па законе s(t) = t2 − 9t + 4 (шлях вымяра ецца ў метрах, час — у секундах). Знайдзіце, у які момант часу скорасць руху пункта роўна 11 Правообладатель Народная асвета Вытворная аму роўны вуглавы каэфіцыент прамой: 3.69. а) y = −x + 3; б) y = x + 3; 5 1 3 1 0,4 3.70. Знайдзіце значэнне выразу 6 3.71. Рашыце ўраўненне: x2 а) 4x 15 x 5 в) y 1 3 2 . 1 б) 4 x 3 12 3; г) y = −8 3; x 3. 3.72. Прымяніце формулы двайнога вугла і знайдзіце значэнне выразу: а) 3 б) cos 7 p sin 7 p ; 6 sin2 5 ; 12 8 в) 8 4 tg 1 tg 12 2 11 . 12 3.73. Рашыце няроўнасць x 9 x 3 0,метадам інтэрвалаў. 2 3.74. Высветліце, цотнай ці няцотнай з’яўляецца функцыя f x cos 3 x . x2 2 20. геаметры ны сэнс вытворнай. увязь памі знакам вытворнай функ ыі і яе нарастаннем і спаданнем 3.75. Для функцыі y x 1 2 а) найменшае значэнне; 5 знайдзіце: б) прамежак нарастання. 3.76. Параўнайце f 2 4 3 і f 3 4 3 , калі f x 9 . x 3.77. Знайдзіце вуглавы каэфіцыент прамой і вызначце, які вугал (вос тры ці тупы) утварае дадзеная прамая з воссю абсцыс: а) y = 3x + 1; б) y = −x + 5; в) y = 8 + 5x. Разгледзім уласцівасці вытворнай функцыі, якія выкарыстоўваюць для вывучэння ўласцівасцей функцыі y = f (x) (рыс. 128 на с. 240). Прамую M0M, што праходзіць праз два пункты графіка функцыі y = f (x), называюць сякучай. Тангенс вугла b нахілу сякучай да восі абсцыс можна вызначыць з прамавугольнага трохвугольніка M0MH: tg f . x Калі Dx імкнецца да нуля, то пункт M, рухаючыся па крывой, набліжаецца да пункта M0. Правообладатель Народная асвета 240 Раздзел 3 Рыс. 128 Рыс. 129 У гранічным становішчы, калі пункт супадае з пунктам 0, пра мая M0M зойме становішча даты най да графіка функцыі ў пункце M0(x0; f (x0)). Тангенс вугла a нахілу датычнай да восі абсцыс роўны ліку, да якога f x імкнецца tg пры ўмове, што Dx імкнецца да нуля, г. зн. вытворнай функцыі y = f (x) у пункце x0. геаметры ны сэнс вытворнай калі функцыя y = f (x) мае вытворную ў пункце x0, то тангенс вугла на ілу да восі а с ыс даты най, праведзенай да графіка функцыі ў пункце (x0; f (x0)), ро ны вытворнай функ ыі ў гэ тым пункце, г. зн. tg f x0 (рыс. 129). Для таго ка знайс і вугал на ілу даты най да восі а с ыс, праведзенай да графіка функ ыі f (x) у пунк е (x0; f (x0)), трэ а Знайсці вытворную функцыі f x . Знайсці значэнне вытворнай у пунк це x0, г. зн. f x0 . Атрыманае значэнне Знайдзіце вугал нахілу да восі абсцыс да тычнай, праведзенай да графіка функцыі f (x) = x2 у пункце з абсцысай x0 = 0,5. роўна тангенсу вугла нахілу a датычнай да восі абсцыс, г. зн. tg f x0 . Параўнаць значэнне f ′(x) з нулём. Калі f x0 G 0, то вугал a востры і arctg f x0 ; калі f x0 H 0, то вугал a тупы і f x0 0, то a = 0. arctg f x0 ; калі tg f x x2 f 0,5 2 0,5 2x. 1. f 0,5 , г. зн. tg a = 1. Паколькі f x0 G 0, то вугал a вос тры і a = arctg 1, значыць, a = 45°. Правообладатель Народная асвета Вытворная Пр клад . Знайдзіце вугал нахілу да восі абсцыс датычнай, праведзе най да графіка функцыі f (x) = 5x2 у пункце з абсцысай x0 = −1. ашэнне. Знойдзем вытворную функцыі: 5 x2 f x 5 2x 10 x. Знойдзем значэнне вытворнай у пункце x0 = −1: f 1 10 1 10. Атрымаем тангенс вугла нахілу датычнай да восі абсцыс: tg f 1 10. Паколькі f x0 H 0, то вугал a тупы, значыць, arctg10. Заўважым, што ва ўраўненні прамой y = kx + b каэфіцыент k = tg a, дзе a — вугал нахілу гэтай прамой да восі абсцыс (рыс. 130). Пр клад . Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі f x x3 1 у пункце x0 = 1. ашэнне. Запішам ураўненне прамой y = kx + b. Калі y = kx + з’яўляецца датычнай да графіка функцыі y = f (x) у дадзеным пункце, то k tg f x0 . Знойдзем значэнне Рыс. 130 вытворнай функцыі f ( x ) x3 1 у пункце x0 = 1: f ( x ) 3x2 , f 1 3, значыць, k = 3. Тады y = 3x + b. Знойдзем значэнне функцыі ў пункце x0 = 1: f 1 13 1 2, г. зн. прамая y = 3x + b праходзіць праз пункт з каардынатамі (1; 2). Падставім знойдзеныя значэнні ва ўраўненне прамой y = 3x + b і атры маем: 2 3 1 b; b 1. Такім чынам, y = 3x − 1 гэта ўраўненне датычнай, праведзенай да графіка функцыі f x x3 1 у пункце x0 = 1. Заўважым, што не ў любым пункце графіка функцыі можна правесці датычную. Напрыклад, у пункце (0; 0) датычнай да графіка функцыі Правообладатель Народная асвета 241 242 Раздзел 3 Рыс. 131 Рыс. 132 y = x не існуе (рыс. 131), значыць, не існуе вытворнай у пункце x0 = 0 функцыі y = x . Разгледзім графік функцыі y = f (x), якая нарастае на некаторым пра межку. Правядзём датычныя ў пунктах графіка гэтай функцыі (рыс. 132) і заўважым, што вуглы, якія ўтвараюць гэтыя датычныя з воссю аб сцыс, — вострыя. Такім чынам, вытворная гэтай функцыі ў кожным пункце гэтага прамежку дадатная. Справядлівая тэарэма, якую мы пры мем без доказу. Тэарэма 1 (прымета нарастання функ ыі) Калі функцыя мае дада ну в ворну ў кожным пункце некаторага прамежку, то яна нара ае на гэтым пра межку. Разгледзім графік функцыі y = f (x), якая спадае на нека торым прамежку. Вуглы, якія ўтвараюць датычныя да графіка гэтай функцыі з воссю абсцыс, — тупыя (рыс. 133). Значыць, вы творная гэтай функцыі ў кож ным пункце гэтага прамежку адмоўная. Рыс. 133 Правообладатель Народная асвета Вытворная Тэарэма 2 (прымета спадання функ ыі) Калі функцыя мае ад о ну в ворну ў кожным пункце некато рага прамежку, то яна адае на гэтым прамежку. Прыметы нарастання і спадання функцыі сфармуляваны для непарыўных функцый. Уяўленне аб непарыўнасці функцыі дае яе графік: яго можна начарціць, не адры ваючы аловак ад паперы. Так, на рысунку 134 паказаны графік непарыўнай функцыі, а на рысунку 135 — графік функцыі, якая не з’яўляецца непарыўнай. Рыс. 134 Рыс. 135 знайс і праме кі манатоннас і функ ыі у = f (x), Для таго ка трэ а Знайсці абсяг вызначэння функцыі D f . Знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі f x x3 27 x. Знайсці вытворную функцыі f x . Рашыць f x H 0. няроўнасці f x G0 і Знакі вытворнай і адпаведныя прамежкі манатоннасці функцыі адзначыць на схеме. Запісаць адказ: рашэнні няроўнасці f x G 0 — гэта прамежкі нарастання дадзенай функцыі; рашэнні няроўнасці f x H 0 — гэта прамежкі спадання дадзенай функцыі. Для непарыўных функцый канцы прамежкаў манатоннасці можна ўключыць у адказ. D f R. f x x3 f x G 0; 3x x 3 x 3 3 x2 27 x 2 27 G 0; x 0; x f x H 0 пры x ; 1 3 x2 x3 3 9 G 0; 3 3; ; 3; 3 . Адказ: функцыя нарастае на пра межках u; 3 і 3; u ; функцыя спадае на прамежку 3; 3 . Пр клад . Знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі f x 27. 2 x4 . 4 Правообладатель Народная асвета 244 Раздзел 3 ашэнне. f x 6x D f R. x2 x3 f x G 0 пры x x x2 x ; 2 0; 3 ; f x H 0 пры x 6 x x 3 x 2. 2; 0 3; . Адзначым на схеме знакі вытворнай і адпаведныя прамежкі манатоннасці функцыі. 0 Адказ: функцыя нарастае на прамежках (−u; −2] і [0; 3] і спадае на прамежках [−2; 0] і [3; +u). Разгледзім функцыю y = f (x), за дадзеную графічна. Высветлім, якую асаблівасць маюць пункты A, , , , M, , адзначаныя на рысунку 136. Паблізу ад абсцысы x1 пункта А ва ўсіх пунктах значэнні функцыі (арды наты пунктаў) большыя, чым у пунк це A. Такую ж уласцівасць маюць пун кты B, C і . Пункты x1, x3, x5, x7 — пункты мінімуму дадзенай функцыі (абазначаецца x ). Рыс. 136 Паблізу ад абсцысы x2 пункта М ва ўсіх пунктах значэнні функцыі (ардынаты пунктаў) меншыя, чым у пункце М. Такую ж уласцівасць маюць пункты і E. Пункты x2, x4, x6 — пункты максімуму дадзенай функцыі (абазначаецца x ). Пункты мінімуму і пункты максімуму называюць пунктамі экстрэмуму функцыі. Так, пункты x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 — пункты экстрэмуму дадзенай функцыі. На рысунку 137 пункт x1 — пункт мінімуму функцыі y = f (x). Значэнне функцыі ў пункце мінімуму f (x1) называю ь мінімумам функ ыі (абазначаюць f ). Пункт x2 — пункт максімуму функцыі y = f (x). Значэнне функцыі ў пункце максімуму f (x2) называю ь максімумам функыі (абазначаюць f ). Мінімумы і максімумы называюць Рыс. 137 экстрэмумамі функцыі. Правообладатель Народная асвета Вытворная Рыс. 138 У пунктах экстрэмуму датычная да графіка функцыі або паралельна восі а с ыс (пункты x1, x2, x4 на рысунку 138), тады вытворная ў гэ тым пункце роўна нулю, або не існуе (пункт x3), гэта азначае, што вытворная ў гэтым пункце не існуе. Заўважым, што злева ад пункта максімуму функцыі y = f (x) значэнні вы творнай дадатныя (функцыя нарастае), а справа — адмоўныя (функцыя спадае). Гавораць: «пры пераходзе праз пункт Рыс. 139 максімуму вытворная мяняе знак з «плюса» на «мінус» (рыс. 139). Калі x0 — пункт мінімуму функцыі y = f (x), то значэнні вытворнай злева ад гэтага пункта адмоўныя (функцыя спа дае), а справа — дадатныя (функцыя на растае). Гавораць: «пры пераходзе праз пункт мінімуму вытворная мяняе знак з «мі­ Рыс. 140 нуса» на «плюс» (рыс. 140). Тэарэма 3 (прымета пункта максімуму функ ыі) Калі функцыя f (x) непарыўная ў пункце x0, а вытворная мяняе знак з «плюса» на «мінус» пры пераходзе праз гэты пункт, то гэты пункт — пункт максімуму функцыі. Правообладатель Народная асвета 245 246 Раздзел 3 Тэарэма 4 (прымета пункта мінімуму функ ыі) Калі функцыя f (x) непарыўная ў пункце x0, а вытворная мяняе знак з «мінуса» на «плюс» пры пераходзе праз гэты пункт, то гэты пункт — пункт мінімуму функцыі. Для таго ка знайс і пункты экстрэмуму функ ыі у = f (x), трэ а Знайсці абсяг вызначэння функцыі Знайдзіце пункты экстрэмуму функцыі f x 2x3 24 x. (f) = R. (f). Знайсці вытворную функцыі f x . Знайсці пункты з абсягу вызначэння, у якіх вытворная роўна нулю або не існуе. Калі функцыя непарыўная ў пункце x0, а вытворная пры пераходзе праз гэты пункт x0 мяняе знак: f x 2 x3 24 x 6 x2 24. f x 0; 6 x2 24 0; x2 4 x 2 x 2 0; x1 2, x2 2. f x існуе на ўсім абсягу вызначэння функцыі y = f (x). з «+» на «−», то гэты пункт — пункт максімуму функцыі; з «−» на «+», то гэты пункт — пункт мінімуму функцыі. xmax 2, xmin 2. Пр клад . Знайдзіце пункты экстрэмуму і экстрэмумы функцыі f x 3x x x2 . 1 ашэнне. 3 f x 2x x ;1 1; . 1 1 3x x2 x2 x 2 1 2x x 1 3 x 2 3 x x 1 1 2 . 0 пры x = −1 і x = 3. f x x D f = −1; x fmax Адказ: x = 3. f 1 = −1; f 3 1 1 = 1; x 1 2 1 = 3; f 0; 1; fmin f 3 3 3 32 3 1 = 9. Правообладатель Народная асвета 9. Вытворная На рысунках 141, а, б, в паказаны датычныя да графікаў функцый у пункце x0. ны паралельны восі абсцыс, значыць, вытворная ў пункце x0 роўна нулю ва ўсіх трох выпадках. Але вытворная функцыі, паказанай на рысунку 141, в, не мяняе знак пры пера ходзе праз гэты пункт, таму ў дадзеным выпадку пункт x0 не з’яўляецца пунктам экстрэмуму функцыі (яна называецца пунктам перагібу). ) Рыс. 141 На рысунках 142, а, б, в паказаны графікі функцый, датычная ў пункце x0 да якіх не існуе, г. зн. не існуе вытворная ў пункце x0 ва ўсіх трох выпадках. Але на рысунках 142, а, б гэтыя пункты з’яўляюцца пунктамі экстрэмуму, а на рысунку 142, в — пункт x0 не з’яўляецца пунктам экстрэмуму функцыі. Рыс. 142 Унутраныя пункты абсягу вызначэння функцыі, у якіх вытворная роўна нулю або не існуе, называюцца яе крыты нымі пунктамі. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Знайдзіце тангенс вугла нахілу да восі абсцыс датычнай, праведзе най да графіка функцыі f ( x ) x2 5x у пункце x0 = −1. Рашэнне. 1) Знойдзем вытворную функцыі: f x x2 2) Знойдзем значэнне вытворнай у пункце x0 = −1: f 1 2 1 5 3. 3) tg f 1 , г. зн. tg 3. Правообладатель Народная асвета 5x 2x 5. 247 248 Раздзел 3 2. Знайдзіце вугал нахілу да восі абсцыс датычнай, праведзенай да графіка функцыі f ( x ) = 1 у пункце N(1; 1). x Рашэнне. Знойдзем вытворную функцыі: f x 1 x Знойдзем значэнне вытворнай у пункце x0 = 1: f 1 tg f 1 1. Паколькі f x0 H 0, то вугал a тупы, значыць, 4 1 . x2 1 12 1. arctg1 3 . 4 3. Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі f ( x) 3x x2 у пункце з абсцысай x0 = 1. Рашэнне. Ураўненне прамой, якая з’яўляецца датычнай да графіка дадзенай функцыі ў дадзеным пункце, мае выгляд y kx b. Паколькі k tg f x0 , то знойдзем значэнне вытворнай дадзе най функцыі ў пункце x0 = 1: f x 3 2x; f 1 3 2 1 1, зна чыць, k = 1. Тады y = x + b. Знойдзем значэнне функцыі ў пункце x0 = 1: f(1) 3 1 12 2, г. зн. прамая y = x + b праходзіць праз пункт з каардынатамі (1; 2). Падставім знойдзеныя значэнні ва ўраўненне прамой y = x + b і атрымаем: 2 = 1 + b; b = 1. Такім чы нам, y = x + 1 гэта ўраўненне шуканай датычнай. 4. Функцыя y = h (x) зададзена графічна (рыс. 143). Вызначце значэнне вытворнай дадзенай функцыі ў пунктах x1, x2, x3. Рашэнне. Паколькі датычныя да графіка функцыі ў пунктах x1, x2, x3 паралель ны восі абсцыс, то вугал нахілу да тычных у гэтых пунктах да восі аб сцыс роўны нулю, г. зн. a = 0, тады tg 0 = 0, а паколькі tg h ( x0 ), то h ( x1 ) h ( x2 ) h ( x3 ) 0. 5. Для графіка функцыі, паказанага на рысун ку 144, выберыце правільныя сцверджанні: 1) f ( x ) 0; 2) f ′ ( x ) H 0; 3) f ′ ( x ) G 0. Правообладатель Народная асвета Рыс. 143 Вытворная Рыс. 144 Рашэнне. а) На рысунку 144, а паказаны графік нарастальнай функцыі. На гэтым графіку няма пункта, у якім датычная да графіка паралельна восі абсцыс, значыць, вытворная функцыі да датная f ′ ( x ) G 0. Правільнае сцверджанне 3). б) На рысунку 144, б паказаны графік пастаяннай функцыі, зна чыць, f ( x ) 0. Правільнае сцверджанне 1). в) На рысунку 144, в паказаны графік спадальнай функцыі. На гэ тым графіку няма пункта, у якім датычная да графіка паралель на восі абсцыс, значыць, вытворная функцыі адмоўная f ′ ( x ) H 0. Правільнае сцверджанне 2). 6. Знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі: а) f x x2 2x Рашэнне. а) f x б) f x 3; x3 4 x2 . 1; ; (f) = R. x2 2x 2x 3 2. f x 0; 2x 2 0; x 1; x f x H 0 пры x u; 1 . Адказ функцыя нарастае на прамежку [−1; +u); функцыя спадае на прамежку (−u; −1]. (f) = R. б) x3 f x f x 3 x2 4 x2 ; f x 8 x; f x f ′ ( x ) G 0 пры x x 3x x3 4 x2 ; 8. 2 2 ; 0 ; f x H 0 пры x 3 ; 22 Правообладатель Народная асвета 3 0; . 249 250 Раздзел 3 0 Адказ функцыя нарастае на прамежку u дае на прамежках u 2 2 ; 0 ; функцыя спа 3 7. Па графіку функцыі y = f (x) (рыс. 145) знайдзіце пункты экстрэ муму і экстрэмумы функцыі. Рашэнне. Пункты мінімуму: −6; −4; 1 і 3. Мінімумы функцыі роўны: f ( 6) 5; f ( 4) 5; = f (1) 1= ,5; f (3) 1. Пункты максімуму: −5; 0 і 2. Максімумы функцыі роўны: f ( 5) 1; f (0) 3; f(2) = 2,5. Рыс. 145 8. Знайдзіце пункты экстрэмуму функцыі f x Рашэнне. а) (f) = R. f x 3 x2 f x 0; x3 2 x2 . 4 x. 3 x2 4x 0; 3x2 4x 0; x 3x 4 0= ; x 0= , x 11. 3 0 1 = xmax 1= , xmin 0. 3 9. Знайдзіце пункты максімуму і мінімуму функцыі f x Рашэнне. 3x4 (f) = R. 18 x2 . f x 12x3 f x 0; 12x3 18 x2 0; 2x3 3 x2 0; x2 2x 3 0; x = 0, x = 1,5. Пры пераходзе праз пункт 0 знак вытворнай не мяняецца. Правообладатель Народная асвета 6 x3 1. Вытворная 0 1,5 xmin = 1,5, пунктаў максімуму функцыя не мае. 10. Знайдзіце прамежкі манатоннасці, пункты экстрэмуму і экстрэму мы функцыі f x Рашэнне. D f f x x 2 4 x x2 4 . x x x x 2 ;0 0; 4 2 x2 2 . x2 x x 4 2 x 2 2 x2 . Функцыя нарастае на прамежках (−u; −2] і [2; +u). Функцыя спадае на прамежках [−2; 0) і (0; 2]. x = 2; x = −2. fmin f 2 22 4 2 4; fmax f 2 1. Калі вытворная ў пункце функцыі y = f (x) роўна: а) 2; б) −1; в) 0; г) 0,1, — то вугал, які ўтварае датычная да графіка функцыі ў гэ тым пункце: 1) тупы; 2) востры; 3) прамы; 4) роўны нулю. Выберыце правільныя адказы. 2. Вызначце знак вытворнай функцыі y = f(x) у пунктах A, B, C, на рысунку 146. 2 2 2 4 4. y f(x) Рыс. 146 3.78. Знайдзіце тангенс вугла нахілу датычнай да графіка функцыі f (x) = x2 − 4x у пункце: а) x0 = 5; б) x0 = −2; в) x0 = 1; г) x0 = 2. Правообладатель Народная асвета 251 252 Раздзел 3 3.79. На рысунку 147 паказаны графік функцыі y = f (x). Запішыце некалькі пунктаў, у якіх датычная да графіка дадзенай функцыі ўтварае з воссю абсцыс: а) востры вугал; б) тупы вугал. У якіх пунктах датычная да графіка дадзенай функцыі паралельна восі абсцыс y 3.80. Знайдзіце тангенс вугла нахілу датычнай да графіка функцыі y = f (x) у пункце x0 = 1, калі: а) f x x3 3 x2 ; 2 x2 б) f x f(x) Рыс. 147 1 ; x в) f x 2x 1 . x 1 3.81. Да графіка функцыі y = f (x) у пункце з абсцысай x0 праведзена датыч ная (рыс. 148). Знайдзіце f ′(x0). 3.82. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце вугал нахілу да восі абсцыс датыч най, праведзенай да графіка функцыі: а) f (x) = x2 у пункце x0 = 0,5; б) f x x2 2 1 у пункце x0 = 3; Рыс. 148 в) f ( x ) x3 x2 у пункце x0 = 1; г) f ( x ) 6x x у пункце x0 = −2. 3.83. Ці праўда, што датычная да графіка функцыі f x пункце x0 = 1 утварае тупы вугал з воссю абсцыс 3.84. У якім пункце графіка функцыі f x 2 x2 3x 3x 2 x 1 у 3 датычная да графіка дадзенай функцыі нахілена да восі абсцыс пад вуглом 60° 3.85. Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі y = f (x) у пункце з абсцысай x0: б) f x x2 4 x 2, x0 = 1; 3x x2 , x0 = 0; а) f x в) f x x3 3 4 x, x0 = −2; г) f x x4 9 x2 , x0 = −1. 3.86. Вызначце паслядоўнасць дзеянняў і складзіце ўраўненне датыч 2 у пункце x0 = −1. най да графіка функцыі f x x 1 Правообладатель Народная асвета Вытворная 3.87. Вызначце, ці належыць пункт графіку функцыі f x 3x 2 , x 1 складзіце ўраўненне датычнай да графіка дадзенай функцыі ў пункце: а) A(1; 0,5); б) A(0; −2). 3.88. Вызначце парадак дзеянняў і складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі y = x3 + 3x2 − 5 у пункце перасячэння гэтага графіка з воссю ардынат. 3.89. На рысунку 149 паказаны графік функцыі y = f (x). Знайдзіце значэнні ар гумента, пры якіх: б) f x H 0. а) f x G 0; 3.90. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі: а) f x 2 x2 5; б) f x x 3 3x; в) f x x4 2 x2 ; Рыс. 149 г) f x 8 6 x2 x4 . 3.91. Знайдзіце прамежкі спадання функцыі f x 3 x 8 x. 3.92. Прымяніце алгарытм і вызначце прамежкі манатоннасці функцыі: б) f x x3 x2 x 7; 4 x x4 ; а) f x в) f x 3 x2 5 x3 3 x4 . 4 3.93. Знайдзіце прамежкі нарастання і прамежкі спадання функцыі: а) f x x 4 x б) f x ; x 5 . 2x 3 3.94. Дакажыце, што функцыя y = f (x) нарастае на ўсім абсягу вызна чэння: б) f x 6 x 5; x3 7 x; а) f x в) f x x3 x2 6x 5; г) f x x7 x4 x 5. 3.95. Прывядзіце прыклад функцыі, якая спадае на ўсім абсягу вызна чэння. 3.96. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце пункты экстрэмуму функцыі: а) f x x2 4x 7; в) f x 5 3x x2 x3 ; 3 б) f x x3 3 x2 ; 2 г) f x 2x4 x. Правообладатель Народная асвета 254 Раздзел 3 3.97. На рысунку 150 паказаны графік функцыі y = f (x), зададзе най на прамежку [−7; 7]. Знайдзіце значэнні аргумента, пры якіх f x 0. 3.98. Функцыя y = f (x) вызначана на мностве рэчаісных лікаў. Вядома, што f′ (x) = x 2 x 3 x 1. Знайдзіце прамежкі нарастання функцыі. Рыс. 150 3.99. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце пункты экстрэмуму і экстрэмумы функцыі: а) f x 8 6x в) f x x 9 ; x x2 ; б) f x 4 x2 г) f x x 2 x4 ; 2 . x 3.100. Дакажыце, што функцыя f x x5 4 x3 не мае экстрэмумаў. 2 3.101. Знайдзіце мінімум функцыі f x x 1 x 2 . 3.102. Знайдзіце прамежкі манатоннасці і пункты экстрэмуму функцыі: а) f x x3 ; 12x б) f x x3 3 x2 3x 1. 3.103. Знайдзіце прамежкі нарастання і прамежкі спадання, а такса ма пункты экстрэмуму функцыі f x x2 8 x . x 1 3.104. Знайдзіце тангенс вугла нахілу датычнай да графіка функцыі f (x) = x2 + 2x у пункце: а) x0 = 2; б) x0 = −1; в) x0 = −3. 3.105. Знайдзіце тангенс вугла нахілу датычнай да графіка функцыі y = f (x) у пункце x0 = −2, калі: а) f x 2x3 x2 ; б) f x 3x 1 ; x в) f x x x 5 . 1 3.106. Да графіка функцыі y = f(x) у пункце з абсцысай x0 праведзена да тычная (рыс. 151). Знайдзіце f x0 . Рыс. 151 Правообладатель Народная асвета Вытворная 3.107. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце вугал нахілу да восі абсцыс датычнай, праведзенай да графіка функцыі: а) f x x2 2 x у пункце x0 = −1; б) f x x3 3x2 у пункце x0 = 1. 3.108. Вызначце паслядоўнасць дзеянняў і знайдзіце, у якім пункце графіка функцыі f x x2 6 x 5 датычная да графіка дадзенай функцыі нахілена да восі абсцыс пад вуглом 45°. 3.109. Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі y = f (x) у пункце з абсцысай x0: а) f x x2 7, x0 = 2; 3x б) f x x4 4 3x, x0 = 0. 3.110. Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі f x у пункце x0 = 2. 2 4 x 7 x 3.111. Складзіце ўраўненне датычнай да графіка функцыі f x x 3 у пункце графіка A(4; 3). 3.112. Выберыце паслядоўнасць дзеянняў і складзіце ўраўненне да тычнай да графіка функцыі y = 3x3 + 2x + 5 у пункце перасячэння гэтага графіка з воссю ардынат. 3.113. Знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі: а) f x 4 x2 2x; б) f x x4 8 x2 ; в) f x 3x x3 . 3.114. Знайдзіце прамежкі нарастання функцыі f x 5x 4 . Ці мож x на запісаць прамежкі спадання гэтай функцыі 3 3 x4 3.115. Знайдзіце прамежкі спадання функцыі f x 1 x2 x . 3 4 3.116. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце прамежкі спадання і прамежкі нарастання функцыі f x 4x 3 . x 1 3.117. На рысунку 152 паказаны графік функцыі y = f (x), зададзенай на прамежку [−7; 7]. Знайдзіце значэнні аргумента, пры якіх f x 0. 3.118. Выкарыстайце алгарытм і знайдзіце пункты экстрэмуму функцыі: а) f x x2 6 x 4; б) f x 3 x2 x3 . Рыс. 152 Правообладатель Народная асвета 255 256 Раздзел 3 3.119. Знайдзіце пункты экстрэмуму і экстрэмумы функцыі: а) f x x2 ; 4x 5 б) f x x3 ; 3x в) f x x 1 . x 2 3.120. Знайдзіце максімум функцыі f x x 4 x 1 . Ці можна знайсці мінімум гэтай функцыі 3.121. Знайдзіце прамежкі манатоннасці і пункты экстрэмуму функцыі: б) f x x3 3x; 2x3 6 x2 18 x 5. а) f x 3.122*. Знайдзіце прамежкі нарастання і прамежкі спадання, а такса x2 ма пункты экстрэмуму функцыі f x 9 x . 3.123. Выкарыстайце ўласцівасці каранёў n-й ступені і знайдзіце значэнні выразаў 3 a 3 b і 4 m 4 n , калі: а) a = 25, b = 5, m = 3, n = 243; б) a = 0,27, b = 0,1, m = 0,6, n = 9,6; 4 5 2 в) a 3 = = , b = , m 5= , n . 7 49 8 125 3.124. Знайдзіце прамежкі манатоннасці функцыі: а) f x x 3 2 б) f x 1; –2 x 5 2 7. 3.125. Рашыце ўраўненне: а) sin x 2 1 2 3 б) 0; 2 cos 5x 4 1 0. 3.126. Выканайце дзеянні: 3a a 5 a2 8a 10 a 25 3a 7 a2 25 5a a 25 . 5 21. Прымяненне вытворнай да даследавання функ ый 3.127. Пабудуйце графік функцыі: а) y = 3 ; x б) y = x; в) y = x3 ; г) y = x . 3.128. Прымяніце алгарытм пабудовы графіка функцыі g (x) x2 6 x 2. 3.129. Пабудуйце графік функцыі y = 3(x − 1)2, выкарыстаўшы пераўтварэнне графіка функцыі y = 3x2. Правообладатель Народная асвета Вытворная Даследаванне функцый з дапамогай вытворнай дазваляе вывучаць уласцівасці розных функцый, напрыклад цэлых рацыянальных і дробава-рацыянальных. Алгарытм даследавання функ ыі з дапамогай вытворнай Знайсці абсяг вызначэння функцыі. Даследаваць функцыю на цотнасць. Знайсці, калі магчыма, нулі функцыі (пункты перасячэння графіка з воссю абсцыс), для гэтага рашыць ураўненне f (x) = 0. Знайсці пункт перасячэння графіка з воссю ардынат, для гэтага вылічыць значэнне функцыі ў пункце 0, г. зн. f (0). Знайсці прамежкі манатоннасці, пункты экстрэмуму і экстрэмумы функцыі. Пабудаваць графік, выкарыстаўшы вынікі даследавання. Разгледзім некаторыя прыклады даследавання функцый і пабудовы іх графікаў. Пр клад . Даследуйце функцыю f x x3 4 x2 4 x і пабудуйце яе графік. Знойдзем абсяг вызначэння функцыі: (f) = R. ашэнне. 3 2 Даследуем функцыю на цотнасць: f x x 4 x 4 x f x і f x f x , значыць, функцыя не x3 4 x2 4 x, г. зн. f x з’яўляецца ні цотнай, ні няцотнай. Знойдзем нулі функцыі, для гэтага рэшым ураўненне f (x) = 0: x 0, 2 x3 4 x2 4 x 0; x x2 4 x 4 0; x x 2 0; x 2. Знойдзем пункт перасячэння графіка з воссю ардынат, для гэтага вылічым: f 0 03 4 02 4 0 0. Знойдзем прамежкі манатоннасці, пункты экстрэмуму і экстрэму мы функцыі: f x xmax xmin 2, fmax 2 , 3 fmin 3 x2 f –2 f –2 3 8x –2 4; f x 3 x 3 2 –2 3 4 –2 3 4 –2 3 2 x 4 –2 2 2 . 3 0; 4 –2 3 15 . 27 Правообладатель Народная асвета 257 258 Раздзел 3 Атрыманыя вынікі запішам у табліцу. x u; 2 −2 2; 23 −2 3 23 ; u f x + 0 − 0 + f x нарастае спадае −1 5 27 min нарастае 0 max Пабудуем графік, выкарыстаўшы вынікі даследавання. а) Адзначым пункты перасячэння графіка функцыі з восямі каардынат па выніках пунктаў 3 і 4 даследавання (рыс. 153, а). б) Адзначым экстрэмумы па выніках пункта 5 даследавання (рыс. 153, б). в) Дабудуем графік на прамежках нарастання і спадання функцыі (рыс. 153, в). ) ) Рыс. 153 Пр клад . Даследуйце функцыю f x 0,75x4 x3 3x2 і пабудуйце яе графік. ашэнне. Выкарыстаем алгарытм даследавання графіка функцыі з да памогай вытворнай: (f) = R. 4 3 2 f x 0,75 x x 3 x 0,75x4 x3 3x2 , г. зн. f x f x і f цотнай, ні няцотнай. x f x , значыць, функцыя не з’яўляецца ні Правообладатель Народная асвета Вытворная 0,75x4 x3 x 3 x2 2 4 x3 0, 3 x2 4x f 0 0,75 04 f x 3 3x 0; 3x4 03 3x 2 12 0; 3 02 12x2 0; x2 3x2 x 0, x 2 2 10 , 3 x 2 2 10 ; 3 4x x 0, x x 2, 8, 1, 4. 12 0; 0. 3 x x2 6 x; f x x 2; f x 3x x 2 x 1. x = −1, f = f (−1) = 0,75 (−1)4 − (−1)3 − 3 (−1)2 = −1,25; x = 0, f = f (0) = 0,75 04 − 03 − 3 02 = 0; x = 2, f = f (2) = 0,75 24 − 23 − 3 22 = −8. Вынікі даследавання запішам у табліцу. x (−u; −1) −1 (−1; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +u) f x − 0 + 0 − 0 + спадае −1,25 нарастае f x min 0 max спадае −8 min нарастае Пабудуем графік, выкарыстаўшы вынікі даследавання (рыс. 154). ) ) Рыс. 154 Правообладатель Народная асвета 259 260 Раздзел 3 Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. Пабудуйце графік функцыі, калі некаторыя яе ўласцівасці адлю страваны ў табліцы: x (−u; −2) −2 (−2; 3) 3 (3; +u) f x + 0 − 0 + нарастае 4 max спадае 1 min нарастае f x Рашэнне. Напрыклад: 2. Даследуйце функцыю f x x4 2 4 x2 4,5 і пабудуйце яе графік. Рашэнне. Выкарыстаем алгарытм даследавання графіка функцыі з дапамогай вытворнай: (f) = R. f x x 4 2 4 4 x 4,5 x 4 x2 4,5 f x , значыць, функ 2 2 цыя цотная, г. зн. яе графік сіметрычны адносна восі ардынат. x4 2 4 x2 4,5 0; x4 − 8x2 − 9 = 0. Няхай t = x2 , тады ўраўненне прымае выгляд t 9, x2 9, x 3, 2 ; 9 x t 1; x2 3. x 1; Графік функцыі перасякае вось абсцыс у пунктах (3; 0) і (−3; 0). t2 8t f 0 9 0; 04 2 4 02 4,5 4,5. Графік функцыі перасякае вось ар дынат у пункце (0; −4,5). Правообладатель Народная асвета Вытворная 2x3 f x 2 x x2 8 x; f x 24 4 ; f x 2x x x = −2, f = f (−2) = x = 0, f = f (0) = 0 − 4 02 − 4,5 = −4,5; x = 2, f = f (2) = 2 4 − 4 22 − 4,5 = −12,5. 2 2 2. − 4 (−2)2 − 4,5 = −12,5; 2 4 2 x x (−u; −2) −2 (−2; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +u) f x − 0 + 0 − 0 + спадае −12,5 min нарастае −4,5 max спадае −12,5 min нарастае f x Пабудуем графік функцыі (рыс. 155). Рыс. 155 Правообладатель Народная асвета 261 262 Раздзел 3 3. Даследуйце функцыю f x 3 x5 5x3 4 і пабудуйце яе графік. Рашэнне. Выкарыстаем алгарытм даследавання графіка функцыі з дапамогай вытворнай: (f) = R. f і f x x 3 x 5 5 x 3 4 3 x5 5x3 4, паколькі f x f x f x , то функцыя не з’яўляецца ні цотнай, ні няцотнай. Графік функцыі перасякае вось абсцыс паміж пунктамі −2 і −1, паколькі f( −2) H 0, а f( −1) G 0. f 0 3 05 5 03 нат у пункце (0; 4). f x 15x4 4 4. Графік функцыі перасякае вось арды 15x2 ; f x 15x2 x2 15x2 x 1; f x x x = −1, f = f (−1) = 3 (−1)5 − 5 (−1)3 + 4 = 6; = 1, f = f (1) = 3 15 − 5 13 + 4 = 2. x (−u; −1) −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +u) f x + 0 − 0 − 0 + f x нарастае 6 max спадае 4 *пункт перагібу спадае 2 min нарас тае Пабудуем графік функцыі (рыс. 156). 1 x 1. Рыс. 156 1. Калі на некаторым прамежку з абсягу вызначэння вытворная функцыі f (x) да датная, то: а) f (x) G 0 на гэтым прамежку; б) графік функцыі f (x) не перасякае вось абсцыс на гэтым прамежку; в) функцыя f (x) не спадае. Выберыце правільныя адказы. Правообладатель Народная асвета Вытворная 2. Функцыя y = f (x) зададзена графічна (рыс. 157). Вы значце знак: а) функцыі f (x); б) вытворнай функцыі f x у адзначаных на графіку пунктах. Рыс. 157 3.130. Выкарыстайце алгарытм даследавання графіка функцыі з дапа могай вытворнай і пабудуйце графік функцыі: а) f x x3 3x; б) f x x3 3 x2 ; в) f x x3 3 x2 ; г) f x 2 x2 x3 . 3.131. Даследуйце функцыю і пабудуйце яе графік: а) f x x3 6 x2 9 x; б) f x 2 x2 x3 x; в) f x 2x3 6 x2 4; г) f x x3 3 4x 4. 3.132. З графікаў функцый, паказаных на рысунку 158, выберыце графік функцыі f x x3 x. 1 1 1 1 Рыс. 158 3.133. Вызначце, колькі агульных пунктаў мае прамая y = 2 і графік функцыі: а) f x x4 2 x2 ; б) f x 2x4 x; в) f x 5x4 4 x5 ; г) f x x4 4 x3 9. 3.134. Даследуйце функцыю і пабудуйце яе графік: а) f x x4 8 x2 8; б) f x 24 x2 9 x4 2x6 . Правообладатель Народная асвета 264 Раздзел 3 3.135. Даследуйце функцыю, пабудуйце яе графік і знайдзіце коль касць каранёў ураўнення f x 5, калі: а) f x x 1 2 x 1; 4 x2 x б) f x 3.136. Даследуйце функцыю y x3 3 9 2 x 4 2 2 . 2x 3 і пабудуйце яе графік. 3.137. З графікаў функцый, паказаных на рысунку 159, выберыце графік функцыі f x x3 x2 x. Рыс. 159 3.138. Выкарыстайце алгарытм даследавання графіка функцыі з дапа могай вытворнай і пабудуйце графік функцыі: б) f x x3 3x; 9 x x3 . а) f x 3.139. Даследуйце функцыю і пабудуйце яе графік: а) f x 5x3 3 x5 ; б) f x x3 4 x2 4 x. 3.140. Вызначце, колькі агульных пунктаў маюць прамая y = −1 і графік функцыі f x x 6 3 x 4 9 x2 . 2 3.141. Даследуйце функцыю f x 2x 4 x 1 , пабудуйце яе графік і знайдзіце колькасць каранёў ураўнення f (x) = 4. 3 3.142. Даследуйце функцыю y 6 x 7 x2 5 x і пабудуйце яе графік. 3 4 2 3.143. З графікаў функцый, паказаных на рысунку 159, выберыце графік функцыі f x x3 x2 x. 3.144. Дакажыце тоеснасць sin 6 3.145. Рашыце ўраўненне: а) x x 2; б) x2 x 1 cos 2 3 x. Правообладатель Народная асвета cos . Вытворная 3.146. Вылічыце: а) 162 35 4 12 ; б) 85 34 48 3 ; в) 1510 ; 254 39 г) 103 62 44 54 . 3.147. Скараціце дроб: а) 7 x2 6 x 1 ; 7x 1 22. б) 1 − 4 x2 2 x2 − 5 x − 3 . ай оль ае і наймен ае зна энні функ ыі 3.148. Знайдзіце найменшае значэнне функцыі: б) y = 2 cos 3x; а) y x2 2x 3; в) y 3 sin x 1; г) y x 5. 3.149. Знайдзіце найбольшае значэнне функцыі: б) y = 5cos x; x2 6 x 2; а) g x в) y 2 sin x 1; г) y x 1. Разгледзім задачу. Для ўпакоўкі падарунка вырабілі скрыначку, якая мае форму прама вугольнага паралелепіпеда з квадратнай асновай. Скрыначку ўпрыгожылі, абклеіўшы ўсе яе канты каляровай стужкай (рыс. 160). Усяго спатрэбілася 3,6 м стужкі. Знайдзіце памеры скрыначкі, калі вядома, што яе аб’ём найбольшы. ашэнне. Абазначым старану асновы скрыначкі праз x м (x G 0), а вышыню — праз b м. Тады даўжыня стужкі роўна суме даўжынь усіх Рыс. 160 кантаў скрыначкі: 8x + 4b = 3,6. Аб’ём скрыначкі роўны V(x) = x2b. З роўнасці 8x + 4b = 3,6 выразім b = 0,9 − 2x, тады V(x) = x2(0,9 − 2x) і 0,9 − 2x G 0, г. зн. x H 0,45. Атрымалі функцыю V(x) = x2(0,9 − 2x), для якой трэба знайсці най большае значэнне пры 0 H x H 0,45. Для рашэння задач на адшуканне найбольшага (найменшага) значэння функцыі карыстаюцца вытворнай функцыі. Разгледзім функцыю y = f (x) для x ∈ [a; b]. Калі ўнутры адрэзка [a; b] няма крытычных пунктаў, тады яна нарастае ці спадае на адрэзку [a; b] Правообладатель Народная асвета 265 266 Раздзел 3 (рыс. 161). Такім чынам, найбольшае і найменшае значэнні функцыі y = f (x) на адрэзку [a; b] дасягаюцца на канцах прамежку. Рыс. 161 Калі ж унутры адрэзка [a; b] ёсць канечны лік крытычных пунктаў, то гэтыя пункты разбіваюць адрэзак на канечны лік адрэзкаў (рыс. 162). Унутры кожнага з іх няма крытычных пунктаў, а значыць, на кожным з іх функцыя нарастае ці спадае. Значыць, найбольшае і найменшае значэнні функцыі на кожным з іх дасягаюцца на канцах прамежкаў. Канцы гэтых прамежкаў з’яўляюцца або крытычнымі пунктамі дадзенай функцыі, або канцамі адрэзка [a; b]. Значыць, найбольшае і найменшае значэнні функцыі y = f (x) на адрэзку [a; b] дасягаюцца ў крытычных пун ктах ці на канцах прамежку. Рыс. 162 Для таго ка знайс і най оль ае і наймен ае зна энні функ ыі y = f (x) на адрэзку [a; b], трэ а Знайсці вытворную функцыі f x . Знайсці пункты, у якіх вытворная роўна нулю або не існуе (крытычныя пункты функцыі). Выбраць з гэтых пунктаў тыя, якія на лежаць адрэзку [a; b]. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f x 2 x 3 6 x2 5 на адрэзку [−1; 1]. 6 x2 12x. 2 12x 0; x2 2 0; x1 0, x2 2. f x 6x x x Правообладатель Народная асвета 2x 0; Вытворная Вылічыць значэнні функцыі ў вы браных крытычных пунктах і на канцах адрэзка [a; b]. Пунктаў, у якіх вытворная не існуе, няма. x1 Выбраць з гэтых значэнняў найболь шае значэнне функцыі y = f (x) на адрэзку [a; b] (абазначаецца max f ( x) ) і найменшае f значэнне функцыі y = f (x) на адрэзку [a; b] f 1 a; b 3 2 2 20 f 0 60 5 6 2 3 2 1 2 13 6 12 5 max f x f 0 5; 1 a; b (абазначаецца min f ( x)) . 1; 1 , x2 0 1; 1 min f x f 1 1; 1 1 1; 1 . 5; 5 1; 3. 3. Вернемся да задачы, разгледжанай у пачатку параграфа. Для функцыі V x x2 0, 9 2x знойдзем найбольшае значэнне на адрэзку [0; 0,45] (далучым канцы прамежку). Знойдзем вытворную функцыі V x : V x x2 0, 9 2x3 2x 0, 9 x2 6 x2 1, 8 x. Знойдзем пункты, у якіх вытворная роўна нулю або не існуе (кры тычныя пункты функцыі): x 0, 6 x2 1, 8 x 0; x2 0, 3x 0; x x 0, 3 0; x 0, 3. Пунктаў, у якіх вытворная не існуе, няма. Выберам з гэтых пунктаў тыя, што належаць адрэзку [0; 0,45]: x 0 0; 0, 45 , x 0, 3 0; 0, 45 . Вылічым значэнне функцыі ў выбраных крытычных пунктах і на канцах адрэзка [0; 0,45]: V 0 V 0, 3 02 0, 9 0, 32 0, 9 V 0, 45 2 0, 3 0, 45 0, 9 2 20 0; 0, 09 0, 3 2 0, 45 0, 027; 0. Выберам з гэтых значэнняў найбольшае: max V x V 0, 3 0, 027. 0 ; 0 ,45 Такім чынам, найбольшае значэнне функцыі V x x2 0, 9 2x для x 0; 0, 45 дасягаецца пры x = 0,3. Знойдзем значэнне b. Калі x = 0,3, то b = 0,9 − 2x = 0,9 − 2 0,3 = 0,3. Адказ: скрыначка мае найбольшы аб’ём, калі ўсе яе канты роўны па 0,3 м. Правообладатель Народная асвета 267 268 Раздзел 3 Пр клад . Участак зямлі прамавугольнай формы адной стараной мя жуе з ракой. Пры якіх памерах плошча ўчастка будзе найбольшай, калі для яго абгароджвання набыта сетка даўжынёй 900 м ашэнне. Найбольшае значэнне трэба знайсці для плошчы прамавугольніка. Даўжыня агароджы роўна 2a + b, дзе a і b — даўжыні старон участка прамавугольнай формы, прычым b — старана ўчастка, якая мяжуе з ракой. Плошча прамавугольніка: S = ab. Выразім b з умовы 2a + b = 900 і атрымаем b = 900 − 2a, тады S a a 900 2a . Па сэнсе задачы a G 0 і b G 0, г. зн. 900 − 2a G 0; a H 450, значыць, 0 H a H 450. a 900 2a і знойдзем найбольшае значэн Разгледзім функцыю S a не гэтай функцыі для a S a a 900 0; 450 . 2a 900 a 2 a2 900 4 a. 900 − 4a = 0; a = 225. 225 ∈ [0; 450]. S 225 225 900 2 225 101 250; S 0 0 900 2 0 0; S 450 450 900 2 450 0. max S a 0 ; 450 S 225 101 250. Такім чынам, найбольшае значэнне функцыі S a a 900 2a для a ∈ [0; 450] дасягаецца пры a = 225. Знойдзем значэнне b. Калі a = 225, то b 900 2a 900 2 225 450. Адказ: плошча ўчастка будзе найбольшай, калі старана, якая мяжуе з ракой, будзе роўна 450 м, а другая старана — 225 м. Алгарытм ра эння зада на вылі энне най оль ага і наймен ага зна эння велі ыні Вылучыць ва ўмове задачы велічыню, для якой трэба знайсці най большае (найменшае) значэнне. Запісаць выраз для гэтай велічыні ў адпаведнасці з умовай задачы: атрымаць функцыю ад адной зменнай. Знайсці прамежак змянення зменнай функцыі. Даследаваць функцыю на прамежку. Запісаць адказ у адпаведнасці з умовай задачы. Правообладатель Народная асвета Вытворная Пр клад . На старонцы друкаваны тэкст павінен займаць 150 см2. Верхняе і ніжняе палі старонкі роўны па 3 см, правае і левае — па 2 см. кімі павінны быць памеры старонкі, каб яе агульная плошча была най меншай Найменшае значэнне трэба знайсці для плошчы старонкі. ашэнне. S = ab, дзе a і b — памеры старонкі. 150 Па ўмове задачы (a − 6)(b − 4) = 150, адкуль b 4. Тады S a a a 150 a 6 4 . 6 Па сэнсе задачы a G 6, г. зн. a ∈ (6; +u). Даследуем функцыю S a S a a 150 a 6 8a 126 a a 150 a 4 a2 126 a a 6 4 6 1 4 a2 a 2 6 126 a 4 на прамежку (6; +u). 6 4 a2 126 a a a 4 a2 48 a a 6 756 2 a 6 6 6 4 a2 126 a 2 21 a 4a a 6 9 2 . Пункт a = 21 — адзіны крытычны пункт дадзенай функцыі на пра межку (6; +u), ён з’яўляецца пунктам мінімуму. Такім чынам, у гэтым пункце функцыя S a a 150 a 6 4 на пра межку (6; +u) дасягае найменшага значэння. Агульная плошча старонкі будзе найменшай, калі a = 21 см, а 150 b 4 14 (см). a 6 Адказ: 14 см і 21 см. Прыклады асно ны задання і і ра энні 1. З дапамогай рысунка 163 (гл. с. 270), на якім паказаны графік функцыі y = f (x), знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі на адрэзках: а) [2; 3]; б) [−3; 3]; в) [−7; 1]. Правообладатель Народная асвета 269 270 Раздзел 3 Рыс. 163 Рашэнне. а) max f x f 3 2; 3 3; min f x б) max f x f 3 3; min f x f –1 в) max f x f 1; min f x f 3; 3 7; 1 3; 3 5 f 2 2; 3 7; 1 0; 4; 1 4. 2. Знайдзіце найменшае і найбольшае значэнні функцыі f (x) = 5 + 4x3 − x4 на адрэзку [−1; 4]. Рашэнне. f x f 0 4 03 12x2 4 x3 . 12x2 4 x3 0; 3x2 x3 0; x2 3 x 0= , x2 3. ; x1 0= Пунктаў, у якіх вытворная не існуе, няма. x1 0 1; 4 , x2 3 1; 4 . f 1 5 5 max f x 1; 4 4 1 f 3 04 3 5; f 3 1 4 4 33 5 0; f 4 32; min f x 1; 4 4 43 5 f 34 1 32; 44 5. 0. 3. Адкрыты бак з квадратнай асновай павінен змяшчаць 500 л (дм3) вадкасці. У якім выпадку на яго выраб пойдзе найменшая коль касць матэрыялу Рашэнне. Неабходная колькасць матэрыялу для вырабу бака (без адходаў) роўна плошчы паверхні бака. Найменшае значэнне трэба знайсці для плошчы паверхні бака. Плошча паверхні бака S a2 4 ah, дзе a — старана асновы, h — вышыня. Аб’ём бака V = a2 h. Выразім h і атрымаем h = 500 , a2 2 2000 адкуль S a a . a Правообладатель Народная асвета Вытворная Па сэнсе задачы a G 0, г. зн. a ∈ (0; +u). Даследуем функцыю S a S a 2a 2000 a2 2 a3 2000 a 2 2000 a a2 2 a3 1000 a 2 на прамежку (0; +u). . S a 0 пры a = 10. Пункт a = 10 — адзіны крытычны пункт функцыі S a a2 на прамежку (0; +u), ён з’яўляецца пунктам мінімуму. Значыць, у гэтым пункце функцыя S a a2 2000 a 2000 a на прамежку (0; +u) дасягае найменшага значэння. Такім чынам, у тым выпадку, калі старана асновы бака a = 10 дм, а вышыня бака= h 500 = 5 дм, 2 a на выраб бака пойдзе найменшая колькасць матэрыялу. Адказ: на выраб бака пойдзе найменшая колькасць матэрыялу, калі старана яго асновы будзе роўна 10 дм, а вышыня — 5 дм. 1. Калі функцыя мае на адрэзку пункт максімуму, то гэта функцыя: а) прымае найбольшае значэнне ў гэтым пункце; б) прымае найбольшае значэнне на адным з канцоў адрэзка; в) не прымае найбольшага значэння; г) прымае най большае значэнне на канцы адрэзка ці ў пункце максімуму. Выберыце правільны адказ. 2. Калі функцыя мае на адрэзку пункт мінімуму, то гэта функцыя: а) прымае найменшае значэнне ў гэтым пункце; б) прымае найменшае значэнне на адным з канцоў адрэзка; в) не прымае найменшага значэння; г) прымае най меншае значэнне на канцы адрэзка ці ў пункце мінімуму. Выберыце правільны адказ. 3.150. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f (x) = −x3 + 2 на адрэзку [−1; 4]. 3.151. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f (x) = −2x2 + 8x − 7 на адрэзках: а) [−1; 4]; б) [−5; 1]. Правообладатель Народная асвета 271 272 Раздзел 3 3.152. На адрэзку [−6; −0,5] знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі: а) f x 6 ; x 12 . x б) f x 3.153. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f x x2 6 x 7 на адрэзку: а) [1; 6]; б) [−2; 3]; в) [−1; 7]; г) [5; 7]. 3.154. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f x x4 2x2 1 на адрэзку: а) [−2; 0]; б) [−1; 1]; в) [−2; 4]; г) [−3; −2]. 3.155. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі y = f (x) на адпаведным адрэзку: а) f x в) f x x3 4 x 4 3 x2 8 x2 , 9x 1, 1; 2 ; 4; 4 ; б) f x x3 3 2 x2 3x 1, 2; 4 ; г) f x 3 x5 5x3 1, 2; 2 . 3.156. Знайдзіце два лікі, сума якіх роўна 40, а здабытак — найболь шы з магчымых. 3.157. ік 18 запішыце ў выглядзе сумы двух дадатных складаемых так, каб здабытак першага складаемага і квадрата другога складаемага быў найбольшым. 3.158. Плотам даўжынёй 60 м трэба абгарадзіць прамавугольную пляцоўку найбольшай плошчы. Знайдзіце памеры гэтай пляцоўкі. 3.159. Дэкаратыўнай агароджай даўжынёй 36 м трэба абгарадзіць з трох бакоў прамавугольную клумбу найбольшай плошчы. Знайдзіце па меры гэтай клумбы. 3.160. Плошча прамавугольнага ўчастка, вылучанага для эксперымен тальнага агародніцтва, роўна 1 га. Знайдзіце, якімі павінны быць памеры ўчастка, каб на абгароджванне пайшла найменшая колькасць сеткі. 3.161. Правіламі перавозкі пасажыраў у метрапалітэне прадугледжа на, што бясплатна можна перавозіць ручную паклажу, памеры якой у суме вымярэнняў па даўжыні, шырыні і вышыні не перавышаюць 120 сантыметраў. Знайдзіце памеры скрыні з квадратным дном, якая задаваль няе гэту ўмову і мае найбольшы аб’ём. 3.162. З усіх прамавугольных паралелепіпедаў, у якіх у аснове ляжыць квадрат і плошча поўнай паверхні роўна 24 дм2, знайдзіце паралелепіпед найбольшага аб’ёму. Правообладатель Народная асвета Вытворная 3.163. Металічны кантэйнер з накрыўкай аб’ёмам 72 дм3 мае форму прамавугольнага паралелепіпеда, стораны асновы якога адносяцца як 1 : 2. Пры якіх памерах кантэйнера на афарбоўку яго поўнай паверхні спатрэбіцца менш усяго фарбы 3.164. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f (x) = x3 − 2 на адрэзку [−5; 2]. 3.165. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f (x) = 4x − 24x + 1 на адрэзках: а) [−1; 4]; б) [−5; 1]. 3.166. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f x на адрэзку [−4; −1]. 3.167. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f ( x ) x3 3x2 2 на адрэзку: а) [−1; 3]; б) [−4; −1]; в) [−3; 1]; г) [2; 3]. 8 x 3.168. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f ( x ) x4 8 x2 3 на адрэзку: а) [−3; −1]; б) [−1; 0]; в) [−1; 3]; г) [−3; 3]. 3.169. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f x x3 3 1,5x2 2x 3 на адрэзку [−3; 0]. 3.170. Знайдзіце два лікі, сума якіх роўна 60, а здабытак — найболь шы з магчымых. 3.171. Запішыце лік 10 у выглядзе сумы двух неадмоўных складаемых так, каб сума квадратаў гэтых складаемых была найменшай. 3.172. Плотам даўжынёй 100 м трэба абгарадзіць прамавугольную пляцоўку найбольшай плошчы. Знайдзіце памеры гэтай пляцоўкі. 3.173. Плошча прамавугольніка роўна 81 м2. Знайдзіце найменшы маг чымы перыметр гэтага прамавугольніка. 3.174. Каркас драўлянай скрыні ўмацавалі, аббіўшы ўсе яго канты металічнай стужкай. Усяго выкарыстана 10 м стужкі. Знайдзіце памеры скрыні, ведаючы, што яна мае форму прамавугольнага паралелепіпеда з квадратнай асновай, а яе аб’ём — найбольшы. Правообладатель Народная асвета 274 Раздзел 3 3.175. Вылічыце: а) 5 64 − 3 3 64 ; б) 6 2,25 3 4. 9 3.176. Рашыце ўраўненне: б) 2 cos2 x 3 sin x 3 0. а) 2 cos2 x 5 cos x 2 0; 3.177. Складзіце квадратнае ўраўненне, каранямі якога з’яўляюцца лікі: а) −9 і 7; б) 3 7 + 1 і 3 7 − 1. x y 1, 3.178. Рашыце сістему ўраўненняў x2 y2 41. Выніковая самаа энка Пасля вывучэння гэтага раздзела я павінен: ведаць азначэнне вытворнай функцыі ў пункце; ведаць фізічны сэнс вытворнай; ведаць формулы для вылічэння вытворнай; ведаць правілы дыферэнцыравання; ведаць геаметрычны сэнс вытворнай; умець карыстацца алгарытмам вылічэння вытворнай функцыі па азначэнні; умець прымяняць правілы дыферэнцыравання; умець рашаць задачы на прымяненне фізічнага і геаметрычнага сэн су вытворнай; умець карыстацца алгарытмамі для вызначэння прамежкаў манатоннасці, пунктаў экстрэмуму і экстрэмумаў функцый, пабудовы графікаў функцый; умець прымяняць алгарытмы знаходжання найбольшага і наймен шага значэнняў функцый з дапамогай вытворнай. Я правяраю свае веды 1. Функцыя зададзена формулай f (x) = 5x2 − 6x. Выберыце правільную роўнасць: а) f 1 1; б) f 1 4; в) f 1 5; г) f 1 1. 2. З дапамогай графіка функцыі y = f (x), паказана га на рысунку 164, знайдзіце: а) значэнні аргумента, пры якіх f x 0; Правообладатель Народная асвета Рыс. 164 Вытворная б) значэнні аргумента, пры якіх f x H 0; в) значэнні аргумента, пры якіх f x G 0. 3. Знайдзіце найбольшае і найменшае значэнні функцыі f (x) = 7 − x2 на адрэзку [−1; 2]. 4. Знайдзіце вытворную функцыі: а) f x 3 x в) f x 3 x2 2 ; x 1 2x 1; б) f x 4 x2 x3 г) f x x 3 2 x2 x4 ; 8 5. 5. Знайдзіце тангенс вугла нахілу датычнай да графіка функцыі f (x) = = x + 4x у пункце з абсцысай x0 = 2. 6. Цела рухаецца па законе s(t) = 3t3 − t2 + 5t (шлях вымяраецца ў ме трах, час — у секундах). Знайдзіце скорасць цела праз 3 с пасля пачатку руху. 7. Знайдзіце прамежкі манатоннасці і пункты экстрэмуму функцыі f x 2x3 9 x2 12x 8. 2 8. Даследуйце функцыю f x x3 3 x2 4 і пабудуйце яе графік. 9. Да графіка функцыі f (x) = 6x − x праведзены дзве датычныя. Першая датычная праведзена ў пункце на графіку з абсцысай x0 = 2, другая — у пункце максімуму дадзенай функцыі. Знайдзіце плошчу трохвугольніка, утворанага воссю ардынат і гэтымі датычнымі. 10. Знайдзіце, пры якіх значэннях а функцыя f x 2x3 5x2 ax 9 нарастае для ўсіх рэчаісных х. 2 Дадатковыя матэрыялы да вучэбнага дапаможніка «Алгебра, 10» можна знайсці на сайце tt :// .a . , курс «Матэматыка. 10 клас». атэматыка вакол нас* 1. Музычны строй — гэта сістэма супастаўлення нот і гукавых частот. Перыядам музычнага строю з’яўляецца актава — інтэрвал паміж нотамі, ча стоты якіх адрозніваюцца ў 2 разы. Актава скла даецца з 12 ступеней. На клавіятуры раяля яна прадстаўлена сямю белымі і пяццю чорнымі клавішамі (рыс. 165). Адносіна гукавых частот суседніх * Па матэрыялах інтэрнэт-крыніц. Правообладатель Народная асвета Рыс. 165 275 276 Раздзел 3 нот для фартэпіяна роўна 12 2 . Ноце «ля» першай актавы адпавядае часта та 440 Гц. Знайдзіце частату ноты: а) «до» 2-й актавы; б) «ля» 3-й актавы. 2. к вы думаеце, якую частку аб’ёму апельсіна складае яго лупіна Няхай радыус апельсіна роўны 5 см, а таўшчыня лупіны — 5 мм (рыс. 166). Тады V R V R V V r ≈ Такім чынам, лупіна складае амаль трэць аб’ёму апельсіна Знайдзіце адносіну таўшчыні лупіны да радыуса апельсіна, калі яе аб’ём складае палову аб’ёму апельсіна. Рыс. 166 3. Вядома, што пры аднолькавай шчыльнасці рэчыва памеры двух па добных цел адносяцца як кубічныя карані з іх мас. Так, калі адзін ка вун важыць у два разы больш за другі, то яго дыяметр будзе ўсяго крыху больш чым на чвэрць (на 26 ) перавышаць дыяметр другога кавуна; і на вока будзе здавацца, што розніца ў вазе не такая істотная. Таму пры адсутнасці вагаў (продаж на вока) звычайна больш выгадна купляць большы плод. 4. Калі рулон шпалер разрэзаць наўскос і разгарнуць, то край па перы будзе разрэзаны па сінусоідзе (рыс. 167). На гэтай уласцівасці за снавана рашэнне многіх практыч ных задач. Рыс. 167 Дадатковыя матэрыялы да вучэбнага дапаможніка «Алгебра, 10» можна знайсці на сайце tt :// .a . , курс «Матэматыка. 10 клас». Правообладатель Народная асвета АдкАзы Раздзел 1. Трыганаметрыя 1.24. а) − °; б) − b= ° 1.28. а) a = ° 1.26. а) a = ° b = °; б) a = − ° b=− °; в) a = ° °+ °n n ∈ Z; б) a = − ° + °n n ∈ Z; в) a = °+ °n n ∈ Z; г) a = − °+ °n n ∈ Z 1.29. а) 45°; б) − °; в) − ° 1.30. а) p ; б) ; 10 3 в) − p 1.32. а) ≈ °; б) ≈ − ° 1.33. а) Трэцяй; б) першай; в) другой; г) чацвёртай; д) трэцяй; е) чацвёртай; ж) другой; з) першай. 1.34. а) Першай; б) трэцяй; в) трэцяй; г) першай. 1.35. 2 ° − 5 ° 2 n, n ∈ Z 1.36. ° 4 p 1.66. а) sin a = 0,8; cos a = −0,6; б) sin 2 n, n ∈ Z ° 1.37. а) − ° 15 ; cos 8 . 17 17 1.69. а) 1; б) 1; в) 0; г) − д) −1; е) 0. 1.72. а) 0; б) 1; в) 0; г) − 1 ; д) 1 ; е) − 1 . 1.73. а) −1; б) − 2 2 4 в) 2; г) − 3 ; д) − 1 ; е) − 1 . 1.74. 2 ; − 0, 3; 1; 1 . 1.75. sin a G 0; cos a G 0; sin b = cos b H 2 4 2 5 7 sin g G 0; cos g H 0; sin j H 0; cos j G 1.76. а) cos 1125° G 0; б) sin 12 H 0; в) sin 3 G 17 г) cos 15 p G 0. 1.77. а) sin 130° G sin 140° б) cos 40° G cos 50°; в) cos (− °) G cos (− °); 8 2 , cos 45 2; г) sin (− °) G sin (− °). 1.78. а) Другой; б) трэцяй. 1.79. а) sin 45 2 2 2 , cos 135 2 ; в) sin 225 2 , cos 225 2 ; г) sin 405 2, б) sin 135 2 2 2 2 2 2 . 1.80. ° − ° − ° ° 1.82*. а) − 1 ; б) − 1 ; в) − 3 ; г) − 2 . cos 405 2 2 2 2 2 3 8 15 4 3 1.104. а) tg ; ctg ; б) tg ; ctg . 1.106. а) 2,5; б) − . 1.107. а) Не 3 15 8 3 4 існуе; б) не існуе; в) 0; г) 0. 1.108. а) −1; б) 2; в) 1 ; г) 2 . 1.110. а) ctg 55° G ctg 63° 2 2 б) tg 42° H tg 68°; в) ctg 200° G ctg 225°; г) tg (− °) G tg (− °). 1.111. tg a G 0; ctg a G − p; б) − 1.112. а) ctg 8 p ctg 11p 0; 9 10 1.113. а) Трэцяй; б) другой. 1.139. cosa = − tg b G 0; ctg b G 0; tg g H 0; ctg g H 0; tg j H 0; ctg j H б) tg(− °) tg(− °) H 0; в) ctg2 tg5 G 3 ; ctg 4 . 1.140. а) sin a; б) −cos a; в) 8; г) 3tg a; д) cos a; е) sin a; ж) 2cos a 4 3 1 ; 12 ; cos 5 ; tg 12 . 1.143. а) 1; б) sin a; в) −1; г) з) cos a 1.141. sin sin a 13 13 5 2 ; ж) 6. 1.144. sin 1 ; е) 1 ; cos 2 ; tg 1 . 1.145. а) cos a д) cos a 2 5 5 cos2 a 5 2 2 б) sin a; в) 1. 1.146. cos ; ctg 2 2 . 1.147*. − . 1.204. а) Праўда; б) праўда; 9 3 в) няпраўда. 1.206. а) [− −4]; б) [2; 4]; в) [− −3]; г) [−3; 7]; д) [− −0,5]; е) [− tg 1.207. а) D(f) = R E(f) = [− б) D(g) = R E(g) = [− −2]; в) D(h) = R E(h) = [4; 10]. Правообладатель Народная асвета 278 Адказы 2 3 3 1.208. а) 3; −3; б) 2; −2; в) 9; 1. 1.209. а) ; б) − 2 ; в) 1 ; г) − 1.211 а) − ; 2 2 2 2 б) 1; в) − ; г) 0. 1.212. а) Няцотная; б) цотная; в) няцотная; г) ні цот 2 ная, ні няцотная. 1.213. а) 1; б) − в) − 2 ; г) 0. 1.214. а) Праўда; б) не; 2 9 . 1.215. а) x n , n ∈ Z; б) x в) праўда; г) не; д) не; е) праўда; n, 2 5 6 n∈Z 1.216. а) sin H 0; б) sin 7 p H 0; в) sin 3 G 0; г) sin 11p G 0. 6 5 8 2 3 p 9 p 2 °); 1.217. sin 2 sin 3 sin 4 H 1.218. а) sin G sin . 1.219. sin (− H sin ; б) sin 5 10 7 7 sin(− °); sin(− °). 1.222. а) Праўда; б) праўда; в) праўда. 1.224. а) [− −4]; б) [2,5; 3,5]; в) [− г) [− 1.225. а) D(f) = R E(f) = [−3; 3]; б) D(g) = R E(g) = [4; 6]; в) D(h) = R 3 3 ; б) 1 ; в) 2 ; г) − 1.229. а) ; 2 2 2 2 б) 0. 1.230. а) Цотная; б) няцотная; в) цотная; г) ні цотная, ні няцотная. 1.231. а) − 3 2 . 1.232. а) 11 ; 3 ; 9 ; б) − p n, n ∈ Z 1.233. а) x ; в) б) 2 2 2 2 2 4 2 б) x n, n ∈ Z 1.234. а) cos G 0; б) cos 5 p H 0; в) cos 7 H 0; г) cos 15 p G 0. 6 6 7 5 8 9 4 1.235. cos cos cos 0. 1.236. а) cos 0,5 G cos 1; б) cos (−2) H cos (−1). 8 5 5 1.237. cos 57°; cos 32°; cos 20° 1.239. а) D = R E = [−7; 1]; б) D = R E = [1; 2]. 1.240. а) y = E(h) = [− 1.226. а) 5; −5; б) 3; −3; в) 1; − 1.227. а) 2 n, n ∈ Z y = −6 пры x 2 n, n ∈ Z; б) y = 4 пры x 2 n, 2 2 2 n ∈ Z y = −4 пры x 2 n, n ∈ Z; в) y = 8,7 пры x 2 n, n ∈ Z y = −8,7 пры 2 x 2 n, n ∈ Z; г) y = 1 пры x 2 n, n ∈ Z y = − 1 пры x 2 n, n ∈ Z 5 5 n, n ∈ Z 1.279. а) Праўда; б) праўда; в) не. 1.280. а) Праўда; б) не; в) не. 1.282. а) x 4 2 3 3 E = R; б) x 4 8 n, n ∈ Z E = R 1.283. а) 3; б) 1; в) ; г) 0. 1.284. а) − ; 3 3 б) 0. 1.285. а) 0; б) −1; в) − 3. 1.286. а) Праўда; б) не; в) праўда; г) не; д) не; е) праўда. пры x 1.288. tg p H tg 4 p . 1.289. tg 67°; tg 23°; tg (− °). 1.291. а) На5 9 n, n ∈ Z E = R лежыць; б) належыць; в) не. 1.292. а) Не; б) праўда; в) не. 1.294. а) x 8 б) x ≠ pn n ∈ Z E = R 1.295. а) 3 ; б) 3; в) 1; г) 0. 1.296. а) − 3 ; б) −1; в) 0; 3 3 г) − 3. 1.297. а) 0; б) − 3 ; в) − 1.298. а) Праўда; б) не; в) праўда; г) не; д) не; е) праўда. 3 1.299. ctg 11 ctg ctg 0. 1.300. ctg 100 G ctg 30 . 1.301. ctg 2; ctg 1; 6 5 7 p 3 p ctg 0,5. 1.322. а) ; б) ; в) ; г) p ; д) ; е) 2 p ; ж) p ; з) p; і) 0. 1.323. а) p ; 6 4 4 3 2 12 3 3 8 p p 3 p 4 5 б) . 1.324. а) −p; б) ; в) 0; г) . 1.325. а) (− p −p); б) ; . 1.326. а) [− 3 2 2 3 3 1.287. tg (−1) tg 0,5 tg 1 H Правообладатель Народная асвета Адказы 3 3 б) [12; 16]. 1.327. а) p ; б) 0; в) ; б) 0; в) 0; г) −1; д) − ; г) 0. 1.328. а) ; 2 3 3 3 n е) 0. 1.329. 4 p . 1.330. а) p ; б) 3 . 1.351. а) 1 2 n, n ∈ Z n, n ∈ Z; б) 2 3 3 6 4 n n 1 в) 1 4 1 n, n ∈ Z; д) 4 n, n ∈ Z; г) 3 n, n ∈ Z; е) няма каранёў; 9 6 8 3 n n , n ∈ Z 1.352. а) ж) 1 arc sin 5 2 n, n ∈ Z; і) n, n ∈ Z n, n ∈ Z з) 9 3 4 6 6 n, n ∈ Z б) 2 n, n ∈ Z; в) 14 8 n, n ∈ Z; г) 3arctg 7 + pn n ∈ Z; д) 1 arcctg 2 3 3 5 5 n , n ∈ Z; б) n , n ∈ Z; в) е) n, n ∈ Z 1.353. а) 8 n, n ∈ Z 8 2 9 3 10 2 5 2 n , n ∈ Z 1.355. а) 2pn n ∈ Z; б) p + pk k ∈ Z 1.354. 2 n, n ∈ Z 3 12 18 3 в) 2 n, n ∈ Z; г) 2pn n ∈ Z 2 n ∈ Z; ж) −arctg 3 + pk k ∈ Z 1.356. а) 2pk 4 3 в) 4 n, 3 4 2 k, k ∈ Z; д) 2 2 n, n ∈ Z; б) 2pk 3 k n ∈ Z; г) 1 k, k ∈ Z 6 4 n 1 n, n ∈ Z; е) 6 n, n ∈ Z; з) −arctg 2 + pk k ∈ Z k∈Z k∈Z n ∈ Z; е) pn n ∈ Z 1.357. а) 1 n, n ∈ Z; б) 1 6 n 4 3 2 n, n, n ∈ Z 1 2arcsin 2 2 n, n ∈ Z 3 1 n, n, n ∈ Z; д) 2 6 n n, n ∈ Z; в) arctg 3 + pk k ∈ Z °; б) 67,5° n, n ∈ Z 1.358*. а) 240° − arctg 1 k, k ∈ Z 4 3 − °; в) 495° − ° 1.386. а) sin a; б) cos a; в) ctg a; г) −cos a; д) sin a; е) −ctg a 1.387. а) −cos a; б) −ctg a; в) sin a; г) −sin a; д) tg a; е) −tg a 1.388. а) − 2 ; б) − 3 ; 2 3 3 3 3 2 1 1 1 в) − 3; г) − ; д) − ; г) ; . 1.389. а) 1; б) ; в) ; е) −1; ж) − ; з) 2 2 2 2 2 3 3 д) 3; е) − 1 ; ж) 1 ; з) − 1.390. а) ctg a; б) sin a; в) sin a 1.391. а) 0; б) 0. 1.392. а) 0; 2 2 n, n ∈ Z 5 б) 1; в) 0; г) 1. 1.393. а) 2 n, n ∈ Z; в) 2 n, n ∈ Z; б) 12 4 3 6 6 г) arcctg 3 n, n ∈ Z 1.394. а) − ; б) 7. 1.395. а) −sin a; б) − 1.396. 12 . 1.397. а) − 5 6 5 1 ; в) ctg a; г) ctg a; д) −2; е) tg a 1.398. а) n ∈ Z; б) б) 2 n, n, n ∈ Z 2 6 cos2 a 5 1.399. а) 2 n, n ∈ Z; б) 2 n, n ∈ Z; в) 2 n, n ∈ Z 2 k, k ∈ Z 6 3 6 2 1.400*. 1.437. а) 1 ; б) 2 ; в) − 1.438. а) cosa cosb; б) −sina sinb 1.439. а) 6 + 2 ; 2 4 2 4 n, n ∈ Z; г) n 6+ 2 n, n , n ∈ Z; в) ; в) 2 + 3 . 1.440. а) 2 pn , n ∈ Z б) 1 4 12 3 3 24 4 n ∈ Z 1.441. а) 3 3 + 4 ; б) 15 3 8 . 1.442. а) 1; б) 3 ; в) − 1.443. а) 3 cos a; 10 2 2 34 2 16 ; б) 1. 1.446. а) − б) 2sin a − 2cos a 1.444. E = [7; 9]. 1.445. а) ; б) 2. 1.447. а) 2pn 2 65 б) Правообладатель Народная асвета 279 280 Адказы n ∈ Z; б) б) pn , 7 3 n∈Z 1 n n, n ∈ Z 1.448. 3 1.452. а) 2; 2 9 1 ; в) 2 б) 1.459*. p 2 n , n ∈ Z 1.450. а) 4 3 3 . 3 n, n ∈ Z 1.453. tg (a + b). 1.454. 2 − 6 . 4 1.496. а) sin 12a; б) cos 2a 2 в) ctg a; г) 2ctg a; д) cos 6a; е) −cos a; ж) 1; з) sin 2a; і) tg 8a; к) ctg 2a; л) . 1 tg2 n 2 ; б) − 3 ; в) 1. 1.498. а) 0,96; б) − 47 . 1.499. а) n, n ∈ Z 1.497. а) 1 2 2 12 2 49 б) 2 n, n ∈ Z; г) n, n ∈ Z; д) pn , n ∈ Z; е) 5 2 n, n ∈ Z; в) n, 2 8 3 12 2 3 3 n ∈ Z 1.500. а) 1; б) 1 ; в) − 3 ; г) ; д) − ; е) 2. 1.502. а) k, k ∈ Z 2 2 2 3 2 1.455. 4 г) 2. 1.457. 1.458. n, n ∈ Z; б) pk k∈Z 12 3 1.460*. n, n ∈ Z; в) 2pk n, n ∈ Z; д) 2pk k ∈ Z 2 3 k∈Z 1 n 1 6 2 n, n ∈ Z; е) pk k ∈ Z 2 n, n ∈ Z 2 n, n ∈ Z 1 ; б) 1; в) −sin 2a; г) tg 2a 1.505. а) 2; б) ctg a; в) 1. 1.506. а) 4; 2cos a n 1 n, n ∈ Z б) − 3 . 1.507. n, n ∈ Z 1.508. − 25 . 1.509. 8 . 1.510. а) 1 2 9 23 6 2 2 2 б) n, n ∈ Z; г) n, k, k ∈ Z arctg5 2 n, n ∈ Z; в) k, k ∈ Z 8 8 4 3 2 k , k Z; 1 arctg 2 n, n ∈ Z n ∈ Z 1.511. а) 0; б) tg a; в) −cos 4a 1.512. 9 9 9 1.533. а) 2cos 6a cos 2a; б) 2 sin 3 cos 7 ; в) 2sin 2a sin a; г) 2 sin 11a cos 9 a . 1.534. а) 0; 2 2 2 2 6 k , k ∈ Z 13 n, n ∈ Z б) . 1.536. а) pk , k ∈ Z pn n ∈ Z; б) 7 2 6 48 2 96 4 1.503. а) в) − °+ °n n ∈ Z 1.537. а) 0; б) 0; в) 1; г) 1. 1.538. а) ctg 2 ; б) 2sin a; в) tg 3a n n, n ∈ Z 3. 1.540. а) pk , k ∈ Z 1 3 24 4 k, k ∈ Z 2 б) pn , n ∈ Z; в) pk , k ∈ Z pn n ∈ Z; г) 2 n, n ∈ Z 1.541. −4sin3a 4 2 2 3 2 1.542. а) 0; б) − 2 . 2 1.539. а) 0; б) 0; в) 3; г) 1; д) 1; е) Я правяраю свае веды 4 . 3. а) − 9 3 ; б) 2 3 − 3 ; в) − 4. а) 0; б) 0; 6 3 2 3 6 2 1 1 1 1 в) . 6. − 33 . 7. а) 2 ; д) − ; е) − 2 n, ; б) − ; в) − ; г) . 5. а) − 2 3 3 6 2 2 2 65 cos2 a n n, n ∈ Z; б) −arctg 2 + pk k ∈ Z n, n ∈ Z; в) 2 pk , k ∈ Z 2 pn , n ∈ Z; г) 1 4 11 9 48 8 3 n ∈ Z; д) pk k ∈ Z n, n ∈ Z; ж) 2 n, n ∈ Z; е) 2 n, n ∈ Z 8. 3. 24 4 4 4 3 10. 2 n, n Z. 4 4 1. б); в). 2. а) 70°; б) ≈ − °; в) Правообладатель Народная асвета 281 Адказы Раздзел 2. Корань n-й ступені з ліку 2.24. а); б); в); д); е). 2.25. а); в); г); д). 2.26. а) − 4 7 ; 4 7 ; б) 0; в) 7 4 ; г) няма каранёў. 2.27. а) 3; б) 1 ; в) 10; г) 2; д) 4; е) −3; ж) −1; з) 0,2; і) −0,5; к) 0; л) −0,1; м) −30; н) 2; о) − 2 2.30. а) 2; 20; 2.28. а) 0; б) −2; в) 10; г) −30; д) 0,101; е) 1 39 . 2.29. а) 5 ; б) 1 2 ; в) − 6 125 3 −0,2; б) − − 2.31. а) 1; б) 12; в) 1; г) 10; д) −5; е) −2,6; ж) − 8 ; з) 0,1; і) 20; 15 к) 0,05; л) 0,12; м) − 2.32. а) 1 2 ; б) 1 ; в) 23 . 2.33. а) 2; б) − 2.34. а) 7; б) 10; в) 5; 3 30 3 2 3 г) −7; д) 192; е) 2.37. а) − . 2.35. а) − ; б) 1 17 ; в) −0,5; г) − 27 4 20 13 б) 19 . 2.76. а) 15; б) 12; в) 0,3; г) 2,8; д) 12; е) 48,6. 2.77. а) 2; б) 4; в) 5; г) 3; д) 0,5; 15 е) − 2.78. а) 6 2 ; б) 150; в) 1 ; г) 25. 2.79. а) 2; б) 1 ; в) 5; г) − 2.80. а) 1,5; 20 2 3 16 2 ; б) 200; 50. 2.81. а) 116 2 ; б) 1 1 . 2.82 а) 6; б) 6; в) −15; г) 6; д) 2,5; е) 1,5. 3 3 3 2.83. а) 14; б) −30; в) −80; г) 14. 2.84. а) 7; б) 3. 2.85. а) 8 9 ; б) 12 27 ; в) 16 81 . 2.86. а) в) 7 ; г) 10 49 , 10 32 3; д) і 10 24 і 24 4 б) 3; е) 3 2 . 2.88. а) 5; б) 3; в) 9; г) 100. 2.89. а) 6; б) 2; в) 12 7 2.90. а) 16 b ; б) 6 b ; в) 7 b ; г) б) 729 , 24 625 3; 3; 2.87. а) 343 . 4 53 ; 5 ; г) 3. 2.91. а) 2; б) 3; в) 2. 2.92. а) 19; б) −5; в) 2; г) − b 2.93. а) m; б) −c; в) 2x; г) − a ; д) 10y; е) − b 2.94. а) x; б) − b; в) − c ; г) − y 2.95. 3 12 2.96. а) a ; б) 3m ; в) 2a ; г) a ; д) 6b ; е) − n 2.97. а) 2 m2n5 ; б) − 2 m2n5 . 2.98*. а) a − 2 3 3 б) −b − 2; в) 3b 2.150. а) 2 3 3 ; б) 6 3 2 ; в) 2 4 3 ; г) 2 4 10 ; д) 3 4 4 ; е) 25 5 ; ж) 10 5 5 ; з) 27 3 . 7 2.151. а) 14 3 2 ; б) 1,5 3 4 ; в) −10 4 5 ; г) 55 9 ; д) −7 5 2 ; е) − 2 . 2.152. а) b 4 3 ; б) a2 6 17 ; 2 в) 3k2 p 4 2 ; г) 2 y3 z2 3 x . 2.153. а) n 4 5 ; б) −m 6 7 ; в) 2m2n3 4 3 ; г) −mn2 6 3n ; д) m2n4 8 2; 3 5 5 е) −m3n5 10 5. 2.154. а) b 3 7 ; б) a a2 ; в) n 5 n ; г) ab3 b3 ; д) m2n m2n2 ; е) −3x2 y3 3 4 xy . 2.155. а) 2a 4 b ; б) −2m3n3 4 2n ; в) −3x2 y3 6 xy . 2.156. а) x2 4 3x ; б) y2 6 − y ; в) a3 b2 8 a . 2.157. а) 3 250 ; б) 4 48 ; в) 4 405 ; г) 3 3 ; д) 4 0, 81 ; е) 5 2510 ; ж) 5 2 ; з) 6 7 . 2.158. а) 4 16 x ; 6 б) 4 2 y ; в) 3 2b ; г) − 2b5 . 2.159. а) г) 5 k6 ; д) 6 6 x7 ; е) 4 b a . 2.161. а) 5 6 3k6 ; б) − 3k6 . 2.160. а) 5 4 8 2n4 ; б) − 7 m8 ; в) 3 2c3 ; b3 ; б) 4 b . 2.162. а) 9 3 2 ; б) −3 4 3 ; в) 7 5 6 ; г) − 6 5 . 2.163. а) 10 3 3 ; 2 3 3 ; 24 3 9 ; 1,5; б) −2 4 2 ; − 4 4 2 ; − 3 2 ; − 3; в) 0; − 4 5 6 ; − 4 5 36 ; −1. 2.164. а) 3 3 2 ; б) 11 5 3 ; в) 7 2 ; г) −3 3 3 ; д) 6 3 5 ; е) 11 3 2 . 2.165. а) 3 2 − 4; б) 4 3 + 6. 2.166. а) 9; б) 4 2; в) −4; г) 1,6. 2.167. а) −2; б) − 2.168. 12 3 3 см 2.169. 30 см 2.170. а) 0; б) 1. 2.171. а) 11; б) 7. 2.172. а) 1 − a; б) m − n 2.173. а) 3 3 3 3 2 ; б) 3 2 1 3 4 ; Правообладатель Народная асвета 282 Адказы в) 4 6 1 2 4 216 ; 5 42 1 . г) 1 ; 2 2.175. а) 1 − 3 36 ; б) 5 5 в) 2.174. а) a b 7 2 ; б) x 1 x 4. 16 − 5 8 ; г) 5 5 5 5 4 3 − 1 . 2.176. а) 2 4 2x − 3 3 ; 3x − 1 б) 3 − m 5 2.177. а) 4 1 ; б) x3 + 2; в) − 4 a − 4 b ; г) − 4 m − n . 2.178. а) 4 a + b ; б) a a − 4 b . m +1 2.179. а) 3 4 ; б) 2 3 3 ; в) 8 4 8 ; г) 3 3 49 . 2.180. а) 6 3 2 ; б) −4 5 3 . 2.182. а) 2 4 7 б)* − 3; 1 ; 2 2.217. u; 2 2 ; б) (−u −1,5) 2 (− 3 2.220. а); г). 2.221. а) г) (−u − 2 1 ; 2 − 5 . 2.219. 2 2.218. +u); в) 2 (6; +u). 2.222. а) [−8; 3); б) [−7; 3) 2 (3; +u); в) [− б) (−u; 3]; в) (−u +u); г) [− в) 1 ; 2; г) − 1 ; 3 2 2 +u). 2.224. а) 2; б) −10; в) −63; г) − 7 2 ; − ; 3 1 ; − 27 1; ; 3 2.223. а) [7; +u); 2.225. а) 2 ; б) − 1 ; 7 7 2.226. а) Не; б) праўда. 2.227. а) 5 1, 8 G 5 1, 6 ; б) 3 −19 G 3 −23 ; в) 2 G 3 7 ; г) 4 15 H 2; д) 3 28 G 3; е) 15 31 H 3 2 . 2.228. а) 2; 3; б) 2; 3; в) 5; 6; г) − −1; 0; 1; 2; 3; б) − − 2.230. а) г) 10 7 H 5 2 2 . 2.231. а) 3 3 ; 2 H 3 3 ; б) 12 − 12 G 8 5 ; в) 2.229. а) − 3 H 5 247 ; 2 ; 6 6 ; б) 3 6 ; 4 10 ; 3 30 . 2.232. а) Ні цотная, ні няцот 1 ; 1 ; в) не перасякаюцца; 256 2 г) 13; 8 13 . 2.236. (− −1); (0; 0); (1; 1). 2.265. а) 15; б) −7 7 ; в) −6; 6; г) 0; 3; д) 1 ; 2 8 2.267. а) 6; б) 3; 4; в) 6; г) 1,25; д) 4; е) −3; 1,5; ж) −11; 7; з) 2 . 2.266. а) −19 2 ; б) − 3 3 ная; б) няцотная; в) цотная; г) цотная. 2.235. а) (1; 1); б) е) − 2.268. а) 5; б) − 2.269. а) −3; 3; б) 2,25. 2.270. а) 6; б) 1. 2.271. а) Няма каранёў; б) 1 1 ; в) − 74 ; г) −5; 6; д) 5; е) − 3 79 2.272. а) 6 ; б) − 7 2.274. а) 2; б) 5; в) 3; г) − 2.276. а) 16; б) 729; в) 8; 263; г) −2; д) −2 7 ; 2 7 ; 2.275. 2.273. а) 4; б) 2; в) 2 ; г) 1; 5. 3 2.277. а) 1 ; 4 ; б) − 7 ; 7 7 . 2.278. а) 3; б) 3; в) 5. 13 7 26 26 е) − Я правяраю свае веды 1. а); в); г); д); е). 2. б). 3. а) 1; б) 1 ; в) −1 1 ; г) − 2 3 5 G 3 10 ; б) 10 29 G 5 3 3 ; в) 5. а) б) = [− x 8. а) D = (−u 2 3 4. а) 40; б) −2; в) −1; 3; г) − 2 G 5 3 . 6. а) −2; б) 2; 3; в) 6; г) 83. 7. а) 6, 4 4 x y ; 2 [8; +u); б) D ; 1 1; 3 ; в) D 8 9. а) − −64 a7 ; б) − m8 ; в) 6 −y13 ; г) 4 2 2 y . 10. 6 5 5 Правообладатель Народная асвета 5; 1 2 ; г) D = 7 А89 Арэф’ева, І. г. Алгебра : вучэбны дапаможнік для 10-га класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання / І. Г. Арэф’ева, В. М. Пірутка ; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — Мінск : Народ ная асвета, 2019. — 285 с. : іл. УДК 512(075.3=161.3) ббК 22.144я721 Правообладатель Народная асвета (Назва і нумар установы адукацыі) Навучальны год Імя і прозвішча навучэнца Стан вучэбнага дапаможніка пры атрыманні Правообладатель Народная асвета Адзнака навучэнцу за карыстанне вучэбным дапаможнікам Вучэбнае выданне Арэф’ева Ірына Глебаўна Пірутка Вольга Мікалаеўна АлгебРА Вучэбны дапаможнік для 10 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання Заг. рэдакцыі Г. А. Бабаева. Рэдактар Н. М. Алганава. Мастацкія рэдактары А. М. Багушэвіч, А. А. Праваловіч. Тэхнічнае рэдагаванне і камп’ютарная вёрстка Г. А. Дудко. Карэктары В. С. Бабеня, В. С. Казіцкая, А. П. Тхір, Г. В. Алешка. Падпісана да друку 02.12.2019. Фармат 70 . Папера афсетная. Гарнітура школьная. Друк афсетны. Ум. друк. арк. 21,06 + 0,29 форз. Ул.-выд. арк. 14,62 + 0,38 форз. Тыраж 11 500 экз. Заказ . Выдавецкае рэспубліканскае ўнітарнае прадпрыемства «Народная асвета» Міністэрства інфармацыі Рэспублікі Беларусь. Пасведчанне аб дзяржаўнай рэгістрацыі выдаўца, вытворцы, распаўсюджвальніка друкаваных выданняў № 1/2 ад 08.07.2013. Пр. Пераможцаў, 11, 220004, Мінск, Рэспубліка Беларусь. Рэспубліканскае ўнітарнае прадпрыемства «Выдавецтва «Беларускі Дом друку». Пасведчанне аб дзяржаўнай рэгістрацыі выдаўца, вытворцы, распаўсюджвальніка друкаваных выданняў № 2/102 ад 01.04.2014. Пр. Незалежнасці, 79, 220013, Мінск, Рэспубліка Беларусь. Правообладатель Народная асвета ЗМЕСТ Ад аўтараў Паўтарэнне курса алгебры 7—9-х класаў Раздзел 1 Трыганаметрыя § 1. § 2. § 3. § 4. Адзінкавая акружнасць. Градусная і радыянная мера адвольнага вугла Азначэнне сінуса і косінуса адвольнага вугла Азначэнне тангенса і катангенса адвольнага вугла Суадносіны паміж сінусам, косінусам, тангенсам і катангенсам аднаго і таго ж вугла (трыганаметрычныя тоеснасці) § 5. Функцыі y = sin x і y = cos x. Іх уласцівасці і графікі § 6. Функцыі y = tg x і y = ctg x. Іх уласцівасці і графікі § 7. Арксінус, арккосінус, арктангенс і арккатангенс ліку § 8. Трыганаметрычныя ўраўненні § 9. Формулы прывядзення § 10. Сінус, косінус, тангенс сумы і рознасці § 11. Формулы двайнога аргумента § 12. Формулы пераўтварэння сумы і рознасці сінусаў (косінусаў) у здабытак Выніковая самаацэнка Раздзел 2 Корань n-й ступені з ліку § 13. Корань n-й ступені з ліку а (n n ∈ N) § 14. Уласцівасці каранёў n-й ступені (n G n ∈ N) § 15. Прымяненне ўласцівасцей каранёў n-й ступені для пераўтварэння выразаў § 16. Уласцівасці і графік функцыі y = n x (n G n ∈ N) § 17. Ірацыянальныя ўраўненні Выніковая самаацэнка Раздзел 3 Вытворная § 18. Азначэнне вытворнай функцыі § 19. Правілы вылічэння вытворных § 20. Геаметрычны сэнс вытворнай. Сувязь паміж знакам вытворнай функцыі і яе нарастаннем ці спаданнем § 21. Прымяненне вытворнай да даследавання функцый § 22. Найбольшае і найменшае значэнні функцыі Выніковая самаацэнка Матэматыка вакол нас Адказы Правообладатель Народная асвета