Казанский государственный университет. Физический факультет. Шапошникова Т.С., Царевский С.Л. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ. (Учебно-методическое пособие) Казань 2009. Публикуется по решению Редакционно-издательского совета физического факультета. УДК 530.1: 51 - 72; 531. Шапошникова Т.С., Царевский С.Л. ТЕСТОВЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ. Учебно-методическое Царевского С.Л. Казань. 2009. - 12 с. ЗАДАНИЯ пособие. Шод ПО ред. В данном учебно-методическом пособии приведены тестовые задания по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред». которые обычно используются при определении «остаточных знаний» на следующих курсах теоретической физики. Такие задания могут быть использованы студентами для самоподготовки и самостоятельной проверки знаний. Предназначено в качестве учебнометодического пособия для студентов Ш - ПУ курсов физического факультета. Рецензент: Тагиров Л.Р., д.ф.м.н., проф., зав. каф. физики твердого тела Казанского госуниверситета. Авторы благодарны Министерству образования и науки РФ за частичную поддержку (грант №2.1.1/2985 по программе "Развитие научного потенциала высшей школы"). г Физический факультет Казанского госуниверситета, 2008. Тестовые задачи по курсу "Электродинамика". 1. Заряд Записать заряда. Ответ: 4 равномерно распределен по поверхности шара радиуса К. выражение для поверхностной оз и р объемной плотности < ==: ° =©д(и-Ю) 4лЕ? р=09('Е) = а < -0(и-РЮ). тв? ) 2. Пусть п - вектор единичной длины, все направления которого в пространстве — равновероятны. Найти усредненные значения произведений п, Ин, ‚где и, - проекция вектора п на ось г. о И, = 0, пп, =—0.. ее Ответ: 3. Найти распределение заряда Ю(Г) и полный заряд системы О, потенциал которой равен: Ф(Г) = (9) ехр(- 7/,) Ответ: Атех), и р) = 48) — 050 4. Найти потенциал системы Ф из трех заряженных частиц (до квадрупольного приближения включительно) на больших расстояниях г >> а - Бот нее. Первая частица имеет заряд 24а и расположена в точке (а,0,0), вторая частица имеет заряд а и расположена в точке (0,Ь,0), третья частица имеет заряд -З4 и расположена в точке (-а, 0,0). Ответ: р-Ч64 +8) | 3 _ Ч (2ай +6?) (а +25)’ (В) |. 2х 5. Два коаксиальных равномерно круглой проволоки, с радиусами а иб заряженных кольца из тонкой зарядами +4 и-4 ‚расположены в одной плоскости. расстояниях Найти скалярный потенциал Ф на больших 7>>Ь>а от такой системы зарядов. Ответ: Р _ а -а”) (3Со5'0-1. 47° 6. Найти энергию взаимодействия Ох: двух точечных р›. расположенных на расстоянии г друг от друга. Ответ: диполей р, И г _ РР. -ЗРр.). ии 7. Найти — г 5 векторный потенциал и магнитное поле (тт 2 — Э(тки-гт Н = ) и т шара радиуса К, равномерно заряженного по объему зарядом 4 и врашающегося с постоянной угловой скоростью ® вокруг оси, проходящей через центр, на больших расстояниях г, 7>>А. Ответ: [тхх — А==— =, | 5 г „2 — 97, 5с — 2 8$. Найти силу Е и вращательный момент № приложенные электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда 4. - Заг(рг векторный потенциал Ответ: 9. Найти двумя Ё =- прямолинейными противоположных Ответ: в +. Аи р - я-ЧР, магнитное параллельными направлениях. А (0.0.4). Расстояние А= Г Н, поле — су токами — н, у ‚ между А | Н 1 (а-ху+у —^ | токами (ах) +, с — Н(Н.Н,,0), рхи — вы ры] к создаваемые текушими 2а. В 10. Плотность тока, создаваемого в атоме водорода спиновым магнитным моментом электрона, описывается функцией 1=с-тоКр(")а)., где а -постоянный вектор, с — электродинамическая постоянная, а р — объемная плотность распределения заряда в атоме: величина р зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора г и обращается в нуль на бесконечности. Показать, что магнитное поле в начале координат равно 8л _ -^^< 20).а р(0).а. 11]. Заряд е совершает гармонические колебания вдоль оси 2 с амплитудой а и частотой ©, (а << с/о). Найти полную интенсивность и угловое распределение излучения, усредненные по периоду. Исследовать поляризацию. Ответ: 22: Ч _ е'а`в 40 8лс 2 51-0, 224 г’а`@ 1 Зв, .. поляризация линейна эс 12. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью окружности радиуса К . Найти угловое распределение и интенсивность излучения. Ответ: АГ (+050), _ ев АО ®Фх по полную 2е? К? 1== И. — 8лс Зс 13. Электрический диполь р гармонически колеблется вдоль своей оси (оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой а и частотой ®. Найти частоту излучения и энергию, излучаемую за период. 2,25 Ответ: Частота излучения равна ®. АИ’ = 2лар’о 5с 14. Найти напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической электромагнитной волны частоты ©, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х в среде с диэлектрической 5 и магнитной поляризованной по кругу влево. и проницаемостями и Ответ: = ин. : = Азш(оЕ + Ах). Е, =. Е: | „= Асоз(ст + Ах) , 0 где | К=—/5И. [@ 15. Найти фазовую волнового пакета У› в И групповую среде. у. скорости диэлектрическая распространения проницаемость которой равна =(о)=1+-— на больших @>> Фо ималых [о Ро, ©, - ©” © << о частотах. Ответ: при © << в: У, при ® >> с =— 7 5/20) оо” 2=(0)0 = |< с ” У, =— * с /2(0)\ (1 [1- 3050” = 2=(0) } |< с ” 0%: У 16. (1 г1- Найти =С | потенциалы ©, +? Ф.А, >С. у. =С точечного | @, -50 заряда < с. е, движущегося вдоль оси 2 равномерно со скоростью У Ответ: Фф= е 2 уе 2 +уаВ?)2 +(2-И) 2 ‚ - И А=- д. с 17. Учитывая преобразования Лоренца и используя закон преобразования тензора второго ранга, найти формулы преобразования компонент Е.Н при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой вдоль осих со скоростью У. Ответ: Е'=Е,, Е’ = | Е’ Н'=Н,; Е,-ВН, у РР. Н' 1- В. = Е, 2 р = | +РВН, >, Н,+рЕ, у р, 1-р. Н'’ Н,-РВЕ = 2 В у 18. Обобщить закон преобразования векторов Е и Н при преобразовании Лоренца на случай произвольного направления вектора относительной скорости 7. Ответ: ВЕ, й'-Й; _ Вкй] ‚ Н!= „ Я, ЛР [Е] Е' =— 19. В лабораторной системе координат угол между напряженностями полей Е и Н равен ф. Найти систему координат, в которой они параллельны. Всегда ли задача имеет решение? Единственно ли оно? Ответ: _ ГЕЯ]. — Е? УГ РЕ’ -ЖЕ,НУ | 2] ЕхН | 20. Частица с массой т; и скоростью т› , Первоначально покоившейся. образовавшейся частицы. Ответ: ту т т, +т. Лу, > /с 2_ поглощается Найти 5 ‚ массу > М 5 М=т+т+ = - Г = у, частицей массы и скорость 2тт. Е У 21. Квант света с частотой о рассеивается электроне. Найти зависимость частоты рассеяния 6. ‹ на покоящемся рассеянного свободном фотона от угла Ответ: @ = |9) о 1 “% (1— Соз6) тс 22. Покоящееся ядра т. энергия свободное возбужденное ядро (масса возбужденного возбуждения ДЕ) излучает \у-квант. Найти частоту 7- кванта. Ответ: @ = 23. Найти ДА5 ДЕ 1- Йй массу 2тс - системы, состоящей из двух фотонов одинаковой частоты ©, если угол между их волновыми векторами равен 6. Ответ: 2йо м==— 50/2). Гб 24. Релятивистская частица с зарядом е и массой т движется с релятивистской скоростью в однородном электрическом поле Е(ЁЕ.0.0). При { = 0 частица находилась в начале координат и имела импульс Ро(0.ро.0).. Найти закон движения частицы - явную зависимость Г(Р) и 70. Ответ: У(у, (1), (1,0), у, (®) = тс РО, У(@),0); се! РИ = + ср. +(сеЕГ)” > с У, (1) — тс ) 4 + с рь + (сеЕ” 7 Ро 7 х(г) = ут е +с ру | ^ 7 се! СРо =——^ и Агуй уУ(Р) (В) 7 7 +(сеЕй` — \т-с* +с р. } 7 7 р 1 \/т 2 4 2.2 со+с р 25. Точечный заряд 4 находится на расстоянии а от центра заземленного проводящего шара радиуса К . Найти потенциал ф, плотность поверхностных зарядов 05 и полный заряд О, индуцированный на шаре, энергию И; и силу взаимодействия ЕР точечного заряда с шаром. Ответ: = + \/-2 +а’‘—2агСо59 \/-2 ча“ —-2атСо5@ К ‚_ е=-е—, а =- 9; В а=-—; а _ а? В? р, ) 94а 4лК(а` + В` -2аКСо50)`^ р ИИ Ч К 5 Е 2(а-В°) — ИО (а -Ю) 26. Внутри сферического конденсатора с радиусами диэлектрическая проницаемость меняется по закону (5) = &1= сои5Ё приа<г<с, &2= при с<г<Ь. с0п$ , О=—аК/а; обкладок аи где а<с<Б. Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов буи полный связанный заряд в диэлектрике. Ответ: Связанные с] заряды находятся в местах неоднородности т.е. на сферах радиусов а, Ь, с: асе а 4ла` а, 2 = 2“ рев— чем, 4лЬ” 2 5. 2 ссв — а 2 4 лс” где 4 — заряд внутренней обкладки внутренний заряд конденсатора равен 0. (2, Е Е) диэлектрика, 2 конденсатора. Полный 27. Проводяший шар радиуса К разрезан на два полушария, соединенные между собой, и помещен во внешнее однородное поле Ёу, направленное перпендикулярно плоскости разреза. Найти силу, действующую на каждое из полушарий. Ответ: ЕВЕ. 16 28. Заряд Ч расположен в точке а(0,0,а) на расстоянии а от плоской границы раздела 2=0 двух полупространств с диэлектрическими проницаемостями =: (при 7>0) и => (при 7<0). Найти потенциал ф и силу ЕК, действующую на заряд. Ответ: & —5, о-о--9 +_@ =" ф=ф, = Е (0.0.Е)) 29. &(8 2 +=, Е= Диэлектрический 2.9 +85.) а -—, Г, 5>а, 5, 2<а, _ пЕг-а, в о =и+а] 2 = —&, ИНЬ 4а* &в(в-в,) шар радиуса 10 а с диэлектрической проницаемостью = помещен Ед. Найти потенциал. в однородное внешнее электрическое поле Ответ: 3 = _ =-——.(Е!г) (<а,), +2 ФФ, = (ВР)_ +,р)и 30. Собственные емкости _ =-1 БЕТ ФЕ (и>а) +2 двух проводников, находящихся в однородном диэлектрике с проницаемостью &, равны Ср и С2 ,‚ их потенциалы Г) и Г, расстояние между проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними силу Р. Ответ: =: С.С. (Е-ГИ, — С.Г, Х=-гИ, - СУ.) Е = — (2 -сс,} > 31. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса Б находится коаксиальный провод радиуса а, магнитная проницаемость которого 1. Пространство между проводом и оболочкой заполнено веществом с магнитной проницаемостью и. Найти коэффициент самоиндукции Г такой линии на единицу длины. 1 Ь Ответ: Е = - %+2иш-. 2 32. а Найти радиусами а взаимную и Б индукцию ‚ лежащих между плоскостями толшина провода. в тонких параллельных И . Рассмотреть случай коаксиальных колец плоскостях. Расстояние Йй >> а - >> г, где с г- Ответ: [= этача 13‘ 33. Плотность >. функцией электронного _ е р(е)= _—° л поляризуемость деформацией В . облака 2 Е |-> а Я атома электронного в в атоме ‚ где слабом облака. 11 Как ао - водорода описывается постоянная. Вычислить внешнем поле. изменится пренебрегая поляризуемость, если считать, что электронное сферы имеет постоянную плотность внутри ао? 3 Ответ: В=т а. Если заряд электрона внутри сферы с радиусом ау. то 34. Атом помещен в поле около со сферически однородное ядра, где Ф(0)- симметричным обусловленное е электронами, е И и поле Н. распределением Показать. диамагнитным током, что заряда добавочное равно: ©(0). Зтс электростатический атомными равномерно В=а. магнитное АН =- распределен потенциал, - заряд и масса создаваемый около ядра электрона. 35. Две молекулы в газе имеют дипольные моменты р! и ри находятся на расстоянии К друг от друга. Вследствие столкновений с другими молекулами их ориентации будут меняться. Вероятность данной взаимной ориентации определяется больцмановским множителем, в котором И следует считать энергией взаимодействия двух диполей. Предполагая выполненным условие (И<<АТ, что величина 0, усредненная по распределению Больцмана, показать, имеет вид: _2р:> Е) = ррке Литература. 1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. "Сборник задач по электродинамике". Москва. РХД. 2002, 640 стр. 2. Батыгин часть В. В., Топтыгин 1. Микроскопическая И. Н. Современная теория: Учебное электродинамика, пособие. — Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 736 стр.