Вариант 1. Определите тип дифуравнения и найдите общее решение данного уравнения. Если в условии имеется начальное условие, то найдите частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию, т.е., решите задачу Коши. 1. e x 3 y y x y 1 2. (1 2 )dx ( y )dy 0 x x 3. y ytgx cos 2 x y(1) 1 4. x y y y 2 ln x, Решение. 1. e x 3 y y x Запишем уравнение в виде e x 3 y y x e x e3 y y x e3 y y x e x это уравнение с разделяющимися переменными e 3 y dy xe x dx интегрируем его e 3y dy xe x dx Левая часть – это табличный интеграл e 3y 1 dy e 3 y C 3 интеграл в правой части найдем методом интегрирования по частям xe x dx xu x du dx e dx dv v e x xe x e x dx xe x e x C т.о., получаем 1 3y e xe x e x C 3 отсюда выразим общее решение e 3 y 3e x ( x 1) C 1 y ln( 3e x ( x 1) C ) 3 1 Ответ: y ln( 3e x ( x 1) C ) 3 2. (1 y 1 )dx ( y )dy 0 2 x x Проверим, не является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 Для этого находим частные производные M 1 N 1 2, 2 y x x x Производные равны, следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Тогда решением уравнения есть функция F ( x, y ) такая, что F y M 1 2 , x x F 1 N y y x Из первого равенства находим F y M 1 2 x x y y F 1 2 dx x ( y ) x x Продифференцируем полученное выражение по у F 1 ( y ) y x Исходя из второго равенства, получаем 1 1 ( y ) y x x ( y) y ( y) ydy y2 C 2 Т.о., общий интеграл уравнения примет вид F x Ответ: x y y2 C x 2 y y2 C x 2 3. y ytgx cos 2 x Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение ищем в виде суммы двух линейно независимых функций y u ( x)v( x) y u v uv Подставляем в уравнение u v uv uvtgx cos 2 x u v u(v vtgx) cos 2 x Находим v полагая v vtgx 0 dv dv sin x tgxdx dx v v cos x dv d cos x v cos x ln v ln cos x v cos x v vtgx 0 Подставим найденное решение в уравнение, учитывая, что v vtgx 0 , получаем u cos x cos 2 x u cos x du cos xdx u sin x C Т.о., искомое решение примет вид y u ( x)v( x) cos x (sin x C ) Ответ: y cos x (sin x C ) 4. x y y y 2 ln x, y(1) 1 Запишем уравнение в виде x y y y 2 ln x y 1 ln x x y 2 xy это уравнение Бернулли, по этому, делаем замену t 1 y dt dy y2 Получаем уравнение t t ln x x x Это линейное уравнение первого порядка. Следовательно, решение ищем в виде произведения двух функций t u ( x )v ( x ) Подставим найденные выражения в уравнение t u v uv u v uv uv ln x x x v ln x u v u (v ) x x Для определения v (x ) можно решить уравнение v v 0 x dv dx v x vx Подставим найденное значение в уравнение, учитывая, что v v 0 x 1 ln x u du dx ln x x u 2 dx 1 1 x dx dv v x x2 ln x 1 ln x 1 2 dx C x x x x ln x u x x В результате общее решение рассматриваемого уравнения принимает вид t uv x( ln x 1 C ) (ln x 1 Cx) x x Откуда, возвращаясь к замене, получаем общее решение заданного уравнения 1 1 y t ln x 1 Cx Теперь воспользуемся начальным условием y (1) 1 1 ln 1 1 C 1 C 1 В итоге получаем искомое решение задачи Коши y Ответ: y 1 ln x 1 2 x 1 ln x 1 2 x C2