Aripov

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ
УЗБЕКИСТАН
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
ИМЕНИ МИРЗО УЛУГБЕКА
М.М.Арипов, Ш.А.Садуллаева
(Монография)
Ташкент
“Университет”
2020
УДК: 31.36
А 75
ББК 31.31
М.Арипов, Ш.Садуллаева “Компьютернное моделирование
нелинейных процессов диффузии”, Монография. –Т.: Изд.
“Университет”, 2020, 750 стр.
Рецензенты:
зав. кафедрой вычислительных технологий и математического
моделирования Национального университета Узбекистана им.
М.Улугбека, доктор физико-математических наук
- Алоев Р. Д.
зав. кафедрой математического моделирования информационных
технологий, Университет мировой экономики и дипломатии, доктор -Расулов А.С.
физико-математических наук, профессор
Монография предназначена магистрам, докторантам, научным сотрудникам,
специалистам в области математического моделирования и преподавателям вузов,
читающим курсы по математическому моделированию
В монографии рассматриваются вопросы компьютерного моделирования
нелинейных процессов, встречающихся в различных приложениях моделируемые
посредством нелинейных вырождающихся параболических уравнений или системами
таких уравнений - трудными как для аналитического, так и численного анализа решений.
На основе качественного исследования, основанного на автомодельном анализе и
принципа сравнения, эталонных уравнений изучены новые качественные свойства
нелинейных моделей теплопроводности, реакции диффузии, фильтрации жидкости и газа,
биологической популяции и в других как конечная скорость распространения,
пространственная локализация решения, в однородных и в неоднородных в одно и
двухкомпонентных нелинейных средах.
Предложен универсальный алгоритм получения критической экспоненты как для
системы реакции диффузии с двойной нелинейностью с источником или поглощением так
для одного уравнения параболического типа с двойной нелинейностью с поглощением или
источником, с учетом конвективного переноса, неоднородности среды.
Приводятся асимптотики различных типов решений, вычислительные схемы,
алгоритмы и комплексы программ для решения круга рассмотренных задач, позволяющих
получить решения в визуализированной форме.
Монография рекомендована для публикации Научным советом
Национального университета Узбекистана имени М. Улугбека протокол
№ 10 от 11 декабр 2020 г.
ISBN: 978-9943-6556-6-9
Изд.«Университет», Ташкент 2020 г.
Данная монография написана на основе сотрудничества с
профессором Мюнхенского технического университета – И. Бунгардц,
профессором Венского технического университета–Х.Файсом, доктором
А. Прянишниковой и профессорами Казахского национального
университета им. Аль-Фараби моим близким другом покойным чл. корр
АН Казахстана Данаевым Н.Т. и профессорами С.Мухамаджановым и
Ахмад Заки Дархан. Советы академика А., А.Самарского и академика
Джураева Т. Д., член корр АН России С. П. Курдюмова (ИПМ РАН),
професоров М. В. Федорюка (МФТИ), А. С. Калашникова (МГУ) дали
хороший импульс при написании этой монографии и для развития этого
направления науки.
При написании монографии и подготовки материала неоценимую
помощь оказали мои ученики доктора физико-математичсских наук
Садуллаева Ш. А., Рахмонов З., Матякубов А. С., Утебаев Д., доктор
технических наук Муҳаммадиева Д. Қ.; и.о. профессора Ж.
Мухаммадиев, доценты: Т. Каюмов, А. Хайдаров, Д. Ш. Эшметов
(Шаисламов Д.), Ф.Кабилжанова, Л. Ф. Ташпулатов, М.Хожимуродова
старшие преподаватели кафедры: А. Тиллаев, А. Нурумова, Т.Хожиев;
докторанты: Д. Назирова, О.Сахобидинова, М. Сайфуллаева, Н.Саидова,
Ж.Раимбеков, А. Мукимов, Д. Нигманова, О. Жабборов некоторые
совместные результаты которых включены в монографию.
Авторы выражают всем перечисленным выше лицам свои
искренние благодарности.
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Процессы диффузии встречаются почти везде. Многие
диффузионные процессы в прикладных науках моделируются
посредством нелинейных параболических уравнений или системами
таких уравнений. Когда задаются подходящие дополнительные условия
– обычно, начальные и граничные условия, то мы имеем дело с
корректно поставленными задачами. Многие из большинства важных
моделей в науке, на практике как, правило, описываются нелинейными
уравнениями и системами в частных производных. Эти уравнения и
системы, как правило, нелинейные, вырождающиеся, обладают
свойствами, которые отсутствуют в линейной теории и поэтому делают
их довольно трудными, как для аналитического, так и численного
анализа решения. Кроме того, эти нелинейные свойства часто
связываются с существенными особенностями явлений реального мира;
линейное приближение - только процедура первого шага, чтобы
подготовиться более реалистичному нелинейному анализу.
Исследование нелинейных процессов было непрерывным
источником новых проблем и это мотивировало введение новых методов
в областях математического анализа, в уравнения в частичных
производных и другие дисциплины, становясь самой активной областью
математических исследований, начиная с прошлого века. Одно из самых
замечательных свойств, которые отличают нелинейные проблемы от
линейных - возможность возникновения особенностей, даже при
наличии совершенно гладких данных, или более точно, в классе данных,
для которых теория существования, единственности и непрерывной
зависимости может быть установлена в малых временных интервалах,
так называемых задач с хорошо-поставленных в малом. В то время как в
линейных проблемах особенности могут возникнуть из-за особенностей
в коэффициентах или данных задачах. Напротив, в нелинейной системе
они могут явиться результатом нелинейных механизмов, из-за чего
могут возникать неограниченные по времени решения (режимы с
обострением) при гладких данных и коэффициентов уравнений и систем.
На основе качественного исследования путем автомодельного
анализа и принципа сравнения изучены качественные свойства
нелинейной модели реакции диффузии, фильтрации, теплопроводности,
как в однородной, так и в неоднородной среде.
Настоящая монография посвящена исследованию качественных
свойств обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений типа
Эмдена-Фаулера второго и третьего порядков, возникших из
астрофизики, атомной физики, теории тонких плёнок и др. Выяснилось,
4
что они тесным образом связаны как решение автомодельных уравнений
в частных производных параболического, эллиптического и
гиперболического типа на основе на этих автомодельных уравнений
были установлены новые нелинейные эффекты, конечная скорость
распространения возмущения (КСРВ), пространственная локализация
решения, локализация неограниченных решений в нелинейных моделях
теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, нелинейной диффузии
с двойной нелинейностью в изотропных и для сред с переменной
плотностью, путем построения автомодельного решения типа
Зельдовича-Баренблатта. В настоящей монографии установлено, что
причиной этих новых явлений являются нелинейность, вырождение
дважды нелинейного уравнения и системы уравнений параболического
типа, действие конвективного переноса, скорость которого зависит от
времени или наличие поглощения. Показано, что свойства КСРВ и
локализации проявляются в движущейся нелинейной среде, скорость
которой зависит от времени.
Для нелинейной модели реакции диффузии в средах с поглощением
или источником установлено возникновение локализованной волновой
структуры. Установлено свойство КСРВ и пространственной
локализации для математической модели систем реакции-диффузии с
двойной нелинейностью и с переменной плотностью. Исследованы
свойств blow up (неограниченных) автомодельных решений уравнений.
Получены оценки обобщённых решений в имеющих физический смысл
класса решений и фронтов для одного уравнения и системы с двойной
нелинейностью в зависимости от параметров нелинейной среды.
Доказана глобальная разрешимость типа Фужита для задачи Коши
для рассмотренных классов задач для систем реакции диффузии с
двойной нелинейностью с источником или поглощением в однородных
и неоднородных средах в одно и двухкомпонентных средах. Предложен
универсальный алгоритм получения критической экспоненты как для
системы реакции диффузии с двойной нелинейностью с источником или
поглощением так для одного уравнения параболического типа с двойной
нелинейностью с поглощением или источником, с учетом конвективного
переноса, неоднородности среды.
На основе исследования качественных свойств нелинейной
математической модели системы реакции-диффузии проведено
компьютерное
моделирование
процессов
реакции-диффузии.
Разработаны вычислительные схемы, алгоритмы и комплексы программ
для решения вырождающихся параболических уравнений и систем,
основанных на вычислительных схемах А. А. Самарского, И. М. Соболя
и метода переменных направлений. Разработаны пакеты прикладных
5
программ для решения указанного выше класса нелинейных задач,
позволяющих получить решения в визуализированной форме.
При исследовании нелинейной модели реакции-диффузии,
фильтрации, теплопроводности, как в однородной, так и в неоднородной
среде, на основе теоретического исследования путем автомодельного
анализа и принципа сравнения, анализа применения вычислительных
алгоритмов и комплексов программ выделены своеобразные свойства.
Предложенные методы служат для изучения свойств КСРВ и
локализации решения нелинейной модели реакции-диффузии с двойной
нелинейностью для сред с переменной плотностью путем построения
решения типа Зельдовича-Баренблатта. Показано, что имеет место
свойство blow up для решений системы автомодельных уравнений
реакции-диффузии с двойной нелинейностью.
Построены асимптотики обобщенных решений с компактным
носителем и исчезающих на бесконечности решений автомодельных
уравнений или систем с двойной нелинейностью. Доказана глобальная
разрешимость таких задач для систем реакции-диффузии с двойной
нелинейностью с источником или поглощением. При получении
критической экспоненты для системы реакции-диффузии с двойной
нелинейностью с источником или поглощением и конвективным
переносом применяем универсальный алгоритм. Построено решение
типа Зельдовича-Баренблатта для нелинейной кросс-системы со
свойством КСРВ и пространственной локализацией решения.
Разработанный комплекс программ дает возможность провести
компьютерное моделирование для изучения на основе качественных
свойств нелинейной математической модели систем реакции-диффузии.
Разработанные вычислительные схемы, алгоритмы и комплексы
программ для решения системы параболических уравнений с двойной
нелинейностью дают высокую производительность при изучении теории
и процессов численного решения таких задач.
Авторы
6
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
1. Основные принципы моделирования
1.1 Определение и свойства моделей
Известно, что термин «Математическое моделирование»
применяется по отношению к области прикладной математики,
включающей в себя как построение и исследование математических
моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ,
реализующих эти алгоритмы на ЭВМ. Как уже указывалось, мы будем
заниматься только первой сферой, тем более что для качественных
исследований всегда предпочтительнее ограничиться пусть слегка
упрощенной, но точной аналитической моделью, базирующейся на
фундаментальных принципах (подобии, симметрии и др.).
Пусть мы собираемся исследовать совокупность S свойств
некоторого реального объекта a математическими методами (термин
реальный объект включает в себя как собственно объект, так и ситуацию,
явление, процесс и т.д.). Для этого мы должны “перевести” объект a на
математический язык, т.е. построить в каком-то смысле отображение
a→a0, где a0–математический объект (система соотношений,
дифференциальных уравнений и их систем или геометрических фигур).
Если исследование математического объекта a0 позволяет сделать
содержательные выводы о свойствах S реального объекта a, объект a0
называется математической моделью объекта a относительно
совокупности S его свойств.
Процесс построения математической модели проходит через
несколько стадий, первой из которых является наблюдение. В результате
наблюдения интересующих нас свойств реального объекта мы
формулируем их на языке той отрасли науки, которая изучает эти
свойства – строим механическую, физическую, химическую,
биологическую, экономическую или иную модель объекта. Такая модель
называется содержательной. При построении содержательной модели
формулируются и используются соответствующие гипотезы (или
постулаты). При этом несущественное для описания интересующих нас
свойств отбрасывается. На основе содержательной модели и принятых
определяющих соотношений составляется
соответствующие ей
обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными
производными, преимущественно, нелинейные уравнения, тем самым
создается модель на формальном математическом языке. В качестве
определяющих соотношений, как правило, используются универсальные
физические законы (законы сохранения массы, тепла, импульса,
7
симметрии, правила размерности феноменологические законы,
присущие данной более узкой отрасли науки (типа законов Гука, Фурье,
Стефана, законов сохранения).
Проводится качественный анализ свойства решений полученного
уравнения в сочетаний с начальными и граничными условиями в
зависимости типа уравнений и систем полученного решения с точки
зрения физического смысла. По существу, это следующий (и
необходимый) этап математического моделирования-интерпретация
(истолкование) результата исследования математической модели. Этот
этап, как правило, включает в себя и верификацию модели – контроль
правильности модели на основе сравнения результата с другими
известными фактами, в частности, с экспериментальными данными.
Все указанные этапы взаимосвязаны – при построении
математической модели мы априори ориентируемся на предполагаемый
метод решения математической задачи и на качественные свойства
получаемого решения (например, точное аналитическое решение,
пригодное для глубоких исследований зависимостей от различных
параметров, или численный результат для непосредственного
применения в конструировании).
1.2 Основные требования к модели
Важнейшим требованием, предъявляемым к модели, является
требование ее адекватности, т.е. правильного соответствия изучаемому
реальному объекту a относительно выбранной системы S его свойств.
Под этим прежде всего понимается
1) Правильное качественное описание рассматриваемых свойств
объекта: например, на основании исследования модели сделать
правильный
вывод
о
направлении
изменения
каких-либо
количественных характеристик этих свойств, о их взаимосвязи, о
характере колебаний объекта, об устойчивости его состояния или
эволюции и т.п. Кроме того, в требование адекватности обычно входит
2) правильное количественное описание этих свойств с некоторой
разумной точностью.
В соответствии с тем, ставится условие 2) или нет, говорят
соответственно о количественных или качественных моделях. Вместо
количественной адекватности говорят также о точности модели.
Немаловажно также требование правдоподобности модели. Оно
тесно связано с требованием адекватности, однако далеко не
эквивалентно ему.
8
Следующим важным требованием является требование достаточной
простоты. На первый взгляд, это требование прямо противоречит
адекватности – чем модель сложнее, тем более подробно она описывает
реальный объект, так как мы можем учесть большее´ число факторов.
Вместе с тем часто возникают случаи, когда усложнение модели
одновременно снижает ее адекватность. Рассмотрим задачу о колебании
маятника. Без учета трения колебание маятника описывается уравнением
d2y
+ k sin y = 0 .
dt 2
(1.1)
В предположении малости амплитуды колебаний (величины
отклонения маятника от точки равновесия) обычно полагают siny ∼ y, в
результате чего получаем линеаризованное уравнение. Однако точность
такой линеаризованной модели оказывается в ряде случаев явно
недостаточной. Тогда в уравнение добавляют второй член разложения
функции siny в ряд Тейлора

d2y
y3 
+k y −  = 0.
dt 2
3! 

(1.2)
И получаем уже нелинейное уравнение. Если результат попрежнему неудовлетворителен, то возьмем третий член в разложение
Тэйлора

d2y
y3 y5 
+ky− + =0.
dt 2
3! 5! 

(1.3)
Но уже уравнение опять усложняется за счет добавления нового
члена в уравнение. Внимательное рассмотрение получившихся моделей
приводит нас к выводу, что модель (1.3) ничем не проще модели (1.2),
так как решение обоих уравнений можно записать через эллиптические
функции. Модель же (1.3) оказывается значительно сложнее – общее
решение представимо через гиперэллиптические интегралы, которые
изучены явно недостаточно для использования в приложениях. А по
адекватности модели (1.2) и (1.3) явно уступают модели (1.1): как по
точности (модель (1.1) учитывает реальную траекторию движения конца
маятника), так и по качественным характеристикам (в модели (1.1)
вторая производная пропорциональна функции, ограниченной на всей
прямой, что соответствует действительности, тогда как в моделях (1.2) и
(1.3) это условие не выполняется). Легко видеть, что к некорректным
моделям (1.2) и (1.3) мы приходим из-за шаблонности мышления –
алгебраические
функции
кажутся
предпочтительнее,
чем
трансцендентные.
9
Приведем некоторые другие требования к моделям. Свойство
полноты математической модели состоит в том, что эта модель дает
принципиальную возможность с помощью математических методов
получить все интересующие нас утверждения. Так, модель (1.2) полна,
если нас интересует только частота колебаний. Если нас интересует еще
и амплитуда, то эта модель будет неполной. Свойство продуктивности
следует из доступности исходных данных – параметров и зависимостей,
которые мы задаем априори. Если мы не можем реально измерить и тем
самым задать исходные данные, то решение задачи математического
моделирования даст нам ответ на вопрос – какими свойствами могут
обладать объекты рассматриваемого класса, но описание конкретного
объекта может оказаться затруднительным. Наконец, желательным (хотя
и необязательным) является свойство наглядности математической
модели. Под этим подразумевается непосредственный содержательный
смысл ее компонент, что позволяет в ряде случаев использовать эту
информацию для более успешного решения модельного уравнения.
Заметим, что всякая хорошая модель является для талантливого
исследователя источником новых идей, а в ряде случаев и результатов,
получение которых при разработке этой модели не планировалось.
Академик А. Н. Тихонов говорил “опыт показывает, что во многих
случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более чем
наполовину” [3].
1.3 Классификация моделей
1.3.1 Структурные и функциональные модели. Обычно в
математической модели отражается структура (устройство) реального
объекта, интересующие нас свойства и взаимосвязи компонентов. Такая
модель называется структурной. Если же модель отражает только то,
как объект функционирует, в частности, как реагирует на внешние
воздействия, она называется функциональной или иначе “черным
ящиком”. Часто в этом случае исходными данными является “сигнал на
входе”, объектом моделирования – “сигнал на выходе”.
1.3.2 Дискретные и непрерывные модели. Хорошо известно, что
различные реальные переменные могут быть двух основных типов –
дискретные, когда точка, отвечающая заданному значению переменной,
всегда имеет окрестность, не содержащую никаких других значений этой
переменной, и непрерывные, когда переменная принимает все значения
из некоторого интервала. Значения дискретной переменной можно
перенумеровать, тогда как значения непрерывной переменной имеют
мощность континуума. Точно так же и модели – как содержательные, так
10
и математические – могут быть либо дискретными, либо непрерывными,
хотя между этими типами никакого принципиального барьера нет. Дело
в том, что при непосредственной работе с моделью (уточнении или
видоизменении) дискретная картина может стать непрерывной и
обратно. Очевидно, то же может произойти и в процессе решения
математической задачи (при этом естественно происходит и смена
математического аппарата: конечные разности, производные, конечные
суммы, интегралы). Классическим примером “дуализма” дискретного и
непрерывного является моделирование жидкости по Лагранжу и по
Эйлеру – в подходе Лагранжа каждая частица в отдельности
характеризовалась своим набором координат и скоростей xn(t), yn(t), zn(t),
x˙n(t), y˙n(t), z˙n(t), тогда как в подходе Эйлера жидкость рассматривалась
как сплошная среда и характеризовалась полем скоростей v(x,y,z).
Лагранжев подход безусловно проще, но приводит к очень большому (в
идеале – бесконечному) набору модельных уравнений. В эйлеровом
подходе число уравнений измеряется единицами, но возникает
принципиальная нелинейность из-за наличия субстанциональной части
в полной производной по времени.
Переход от дискретной модели к непрерывной называется
осреднением, обратный дискретизацией. Осреднение применяется также
в непрерывных моделях для упрощения быстроколеблющихся
зависимостей. Так, в небесной механике (теория движения
искусственных спутников) помимо перехода от текущих декартовых
координат к оскулирующим, проводится осреднение за период
обращения или по нескольким периодам с тем, чтобы скомпенсировать
короткопериодические колебания орбит. Вообще, подобные переходы
могут существенно упростить исследование, однако они могут и внести
неадекватность в модель.
1.3.3 Линейные и нелинейные модели. Модель называется
линейной, если выполняется принцип линейной суперпозиции, т. е.
решением является всякая линейная комбинация других решений (с
произвольными постоянными коэффициентами). Это свойство
существенно упрощает построение и исследование решения
математической задачи – мы хорошо знаем структуру и свойства общего
решения, для построения частных решений существует множество
весьма эффективных методов (например, метод разделения переменных
– метод Фурье – в классической математической физике). Однако
следует помнить, что большинство феноменологических законов,
которые применяются при моделировании – закон Гука, закон Ома,
закон теплового расширения – линейны лишь в первом приближении.
11
Поэтому
линейные
модели,
как
правило,
оказываются
несостоятельными при анализе реальных объектов в околокритических
областях, при значениях параметров, которые уже нельзя считать
малыми и т. п. Общеизвестным примером являются релятивистские
модели, которые справедливы, когда величиной v/c нельзя пренебречь по
сравнению с единицей (v – скорость объекта, c – скорость света).
1.3.4 Детерминированные
и
вероятностные
модели.
Математическая модель может включать случайные компоненты –
случайные скалярные или векторные величины, случайные функции и
т.п., удовлетворяющие статистическим законам. Такие модели
называются вероятностными или стохастическими, в отличие от
детерминированных моделей, которые таких компонентов не содержат.
Вероятностные модели изучаются с помощью методов теории
вероятностей. Для изучения таких моделей часто применяется метод
статистического моделирования (метод Монте-Карло).
1.3.5 Статические и динамические модели.
Обычно различают статические и динамические модели. Для второго
типа
моделей
предметом
изучения
является
изменение
рассматриваемого объекта во времени. В частности, многие
динамические модели представляют собой как уравнения в частных
производных следующего общего вида
с
u
u  2u
= f (t , x, y, z, u, , 2 )
t
x x
(1.4)
которые называются эволюционными. В частности, на практике имеют
дело с полулинейным уравнением параболического типа
с
где с  плотность среды,
u
= u + f (t , x, y, z , u )
t
 = 1
N

xi2
(1.5)
N -мерный оператор Лапласа, теория
которого достаточно хорошо разработана [105].
Примером статических уравнений является стационарное (не
зависящиеся от времени дифференциальные уравнения и системы таких
уравнений). Например, нелинейное уравнение
u  2u
f (t , x, y, z, u, , 2 ) = 0
x x
(1.6)
или полулинейное эллиптическое уравнение
u + f ( x, y, z, u ) = 0
12
(1.7)
1.3.6 Математическая адекватность модели
В данном разделе мы коснемся вопроса, казалось бы, достаточно
отвлеченного: какой метод решения модельного уравнения должен
выбрать исследователь? С математической точки зрения, например,
безразлично, разложить ли решение в ряд Тейлора, в ряд Фурье или
использовать другие ортогональные разложения – надо лишь проверить,
будет ли этот ряд сходиться в нужном интервале.
В качестве примера рассмотрим уравнение колебаний струны
 2u
 2u
=a 2
t 2
x
(1.8)
Как известно, использование метода разделения переменных (ряда
Фурье) приводит к разложению решения в ряд Фурье, который имеет
прозрачный физический смысл – каждая гармоника решения может быть
“услышана” в отдельности. Вместе с тем ничто не мешает нам
применить численный метод решения этого уравнения и записать
разложение в ряд Тейлора. И становится очевидным, что использование
“нефизичного”, не адекватного метода решения превращает удачную
структурную модель, по существу, в “черный ящик”.
В то же время для уравнения теплопроводности
u
 2u
=a 2
t
x
(1.9)
где а постоянный коэффициент теплпроводности, решение в виде
разложения в ряд Фурье по sin, cos имеет гораздо более туманный смысл.
Можно, конечно, говорить о тепловых волнах и т.п., но все-таки процесс
распространения тепла имеет монотонный характер. И не случайно
решения многих краевых задач для уравнения теплопроводности,
записанные в виде рядов Фурье, очень плохо сходятся. Настолько плохо,
что приходится догадываться, как выделить в замкнутом виде плохо
сходящуюся часть.
Хорошей параллелью к вышесказанному является историческое
“противостояние” системы мира Птолемея и системы мира Коперника
[3]. Заметим, что с чисто математической точки зрения обе системы
абсолютно эквивалентны. В самом деле, добавление достаточного
количества эпициклов и дифферентов позволяет добиться в системе
Птолемея сколь угодно высокой точности описания видимого
положения планет и их спутников в Солнечной системе. Другое дело,
что эта система больше ничего описать не может и, тем более, с ее
13
помощью ничего нельзя прогнозировать, тогда как на основе системы
Коперника можно найти все параметры орбит всех объектов Солнечной
системы, а также обнаруживать еще не найденные объекты (вспомните
открытие планеты Нептун “на кончике пера”). Тем не менее, и в той, и в
другой системе уточнение производится, по существу, методами теории
возмущений, что и привело к известным трудностям в решении задачи
об устойчивости Солнечной системы – в разложениях появляются
вековые (секулярные) члены вида t sint и т.п.
Поэтому одной из задач специалиста по математическому
моделированию является построение промежуточных моделей,
имеющих ясный физический смысл и решение модельных уравнений в
замкнутом аналитическом виде.
1.4 Аналогия
Говоря об общих принципах моделирования, уместно остановиться
на аналогии – мощном, но “обоюдоостром” инструменте. Заметим, что
во многом именно на аналогии базируется принцип единства и
множественности моделей, точнее, та его составляющая, которая
декларирует возможность одним и тем же уравнением описывать самые
разнообразные явления из различных областей естествознания.
Аналогия успешно применяется в тех случаях, когда исходные
предположения при построении разных моделей совпадают. Так,
классическая (линейная) математическая физика опирается на
модельные уравнения трех типов: параболических, эллиптических и
гиперболических при этом в полулинейном случае составной частью
большинства их оказывается оператор Лапласа, который в декартовых
координатах записывается в виде
с
u
= u + f (t , x, y, z , u )
t
(1.10)
Абсолютно аналогично выглядит уравнение диффузии (при
постоянном коэффициенте диффузии и с учетом закона Нернста) и
нестационарное уравнение Шредингера
ih
u
2
= a 2 u + u u
t
(1.11)
Для неоднородных анизотропных сред модель усложняется, так как
вместо
лапласиана
появляется
оператор
с
переменными
коэффициентами, и уравнение (1.10) приобретает вид
с
u 
u
u
u
= (k1 + k2 + k3 ) + f (t , x, y, z, u )
t x x
y
z
14
(1.12)
Здесь ki ( x, y, z) i = 1,3 ) – коэффициент теплопроводности, cρ –
теплоемкость единицы объема, f (t , x, y, z, u ) означает мощность внешных
воздействий, который также зависит от неизвестной функции (решения).
В этом случае уравнение (1.12) носит название полулинейной так как в
гланом члене уравнения стоит линейная часть (оператор Лапласа) В
случае когда ki = k ( x, y, z, u ), i = 1,3 , то уравнение (1.12) приобретает вид
с
u
= div(k ( x, y, z , u ) gradu ) + f (t , x, y, z , u )
t
(1.13)
В случае задания начальных и краевых данных, эти уравнения
совместно с начальными и краевыми условиями, превращаюся в
математическую модель процессов теплопроводности, диффузии,
фильтрации жидкости и других линейных или нелинейных процессов в
однородных и неоднородных средах. Обращаем внимание на то, что
одно и тоже уравнение описывает разные процессы. Поэтому изучение
одного из них годится для изучения других процессов. Ярким примером
этого является то, что три разных автора не зная, что сделано в теории
нелинейной теплопроводности установили один и тот же нелинейный
эффект конечную скорость распространения возмущения полученное
впервые для уравнения теплопроводности (Зельдович, Компанейц,
1950), для уравнения фильтрации (Баренблатт, 1952), для уравнения
нелинейной диффузии (Pattle, 1958)
В случае когда в уравнении (1.13) коэффициент k ( x, y, z , u )
обращается в ноль в какой-то части рассматриваемой области, то
уравнение (1.13) превращается в вырождающиеся параболическое
уравнение, которое называется квазилинейным параболическим
уравнением и является источником новых физических эффектов и
явлений, теория которой ещё не до конца разработана. В последние годы
исследованию различных качественных и численных свойств этих
моделей посвящено огромное количество работ различных авторов (см.
например [105], [85-86], [1-7] и ссылки там)
Таким образом оказывается, что количество основных модельных
уравнений в классической математической физике не превышает десяти,
и многочисленные явления и процессы описываются на основе глубоких
аналогий между различными отраслями прикладных наук.
Аналогии в приведенных выше примерах основаны исключительно
на фундаментальных законах и на выбранных исходных
предположениях. Значительно сложнее ситуация в случаях, когда
фундаментальный закон имеет, кроме количественной, качественную
составляющую. Такой характер имеет, например, периодическая
15
система элементов Менделеева. Она устанавливает фундаментальную
систематику химических элементов и декларирует ряд возможных
свойств элементов и тенденции их изменения при росте их атомного
веса.
1.5 Некоторые проблемы эволюции звезд и уравнение Эмдена
Фаулера
Моделирование процессов, происходящих на, практически
бесконечно удаленном расстоянии, является весьма сложной и
практически трудно реализуемой задачей. Тем не менее, существуют
математические подходы моделирующие процессы, происходящие во
вселенной. На основе правдоподобных рассуждений, законов физики и
математических методов можно свести воедино достаточно “пестрые”,
хотя и многочисленные данные наблюдений столь удаленных и
недоступных объектов, как звезды.
Точное расстояние, так же как масса и радиус, уверенно измеряются
непосредственно лишь для очень немногих звезд. Поэтому для
подавляющего числа звезд единственным источником информации
является приходящее к нам излучение. Оно дает некоторое
представление о температуре и химическом составе поверхностных
слоев звезд и о полной мощности излучения (светимости) для звезд с
известным расстоянием до Земли. Непосредственная информация о
физических условиях в звездных недрах практически отсутствует, хотя,
возможно, удастся зафиксировать нейтринное излучение из центра
Солнца.
Однако существует фактор, который очень помогает теоретикамастрофизикам – огромное количество звезд, поддающихся наблюдениям.
Оно настолько велико, что мы можем ограничиться расчетом эволюции
некоторого усредненного представителя некоторого класса звезд вместо
того, чтобы объяснять “устройство” отдельной звезды. Тем более, что по
современным теоретическим идеям, лишь несколько характеристик
звезды существенно определяют ее строение и эволюцию. И даже среди
этих немногих характеристик не все являются независимыми. Например,
радиус, светимость и температура поверхности не независимы, так как
энергия, излучаемая единицей поверхности звезды, определяется тем,
насколько она горяча. Если рассматривать массу, светимость и
температуру поверхности как три независимые величины, то можно
нарисовать связывающие их две независимые диаграммы.
Диаграмма «масса – светимость» показывает, что подавляющее
большинство звезд располагается в очень узкой полосе: более массивные
16
звезды имеют более высокие светимости, чем менее массивные (рис. 6).
Диаграмма «спектр – светимость» (иногда строятся диаграммы
«показатель цвета – светимость» или «температура – светимость»
сложнее – на ней имеется несколько полос, соответствующих различным
зависимостям
между
этими
параметрами.
Это,
очевидно,
свидетельствует о том, что имеется несколько классов звезд,
существенно отличающихся своими физическими данными.
Пусть P – давление и ρ – плотность внутри звезды. Эти величины
зависят от расстояния r от центра звезды. Уравнение равновесия под
действием указанных сил (уравнение гидростатического равновесия)
имеет вид
dP = − g  dr ,
(1.14)
где g – ускорение силы тяжести в данном месте звезды, которое в случае
сферической симметрии определяется формулой
M
g = 2r ,
(1.15)
r
где γ – постоянная тяготения, и Mr – масса, заключенная внутри сферы
радиуса r, т. е.
r
M r = 4  pr 2 dr .
(1.16)
0
Подставляя (1.15) в (1.14) и учитывая (1.16), приходим к уравнению
механического равновесия
1 d  r 2 dP 

 = −4 .
r 2 dr  p dr 
(1.17)
В это уравнение входит две неизвестные величины – давление P и
плотность ρ. Для того, чтобы уравнение стало определенным, вводится
некоторая зависимость между этими величинами, например,
политропную: P = Cρk, где C и k – константы. Таким образом, одной из
простейших моделей звезды является политропный газовый шар.
Выполним подстановку ρk−1=u и зададимся значением u0 = u|r=0 –
значением u в центре звезды. Тогда, переходя к без слитно размерным
переменным u = u0 y, x=λr, получим уравнение
1 d  2 dy 
n
x
 = −y
2
x dx  dx 
которое называется уравнением Эмдена-Фаулера.
17
(1.18)
Величина n называется политропным индексом. При значениях
n=0,1,5 уравнение разрешимо в квадратурах. Обобщением уравнения
(1.18) является уравнение Эмдена-Фаулера вида [13-15]
u = q( x) u u n , m, n  R
m
(1.19)
используемое не только в более сложных моделях звезд, но и в
различных приложениях.
1.6 Симметрия как фундаментальное свойство
Под симметрией понимается свойство оставаться неизменным (т.е.
инвариантным) под действием некоторых преобразований. Симметрия в
той или иной форме присуща всем реальным объектам, поэтому
симметрийные свойства часто оказываются определяющими факторами
как при построении модели, так и при проверке ее на адекватность. Более
того, большинство фундаментальных законов само по себе является
симметриями: например, любой закон сохранения, определяя некоторую
сохраняющуюся величину, гарантирует ее неизменность, т.е.
инвариантность, во всей области существования. В частности, таким
свойством обладают первые интегралы дифференциальных уравнений.
Математически симметрия может быть определена как инвариант
группы преобразований. В переносном смысле симметрией называют
саму группу преобразований, и, если она непрерывна, то и
соответствующий ей инфинитезимальный оператор, представляющий
собой оператор бесконечно малого преобразования, принадлежащего
этой группе. Поэтому и область математического анализа, изучающая
симметрии различных уравнений, называется групповым анализом.
Заметим, что в классическом групповом анализе (введенным в
математическую практику в конце XIX века Софусом Ли),
рассматриваются не столько “чистые” инварианты, сколько уравнения,
инвариантные на многообразии своих собственных решений – для
модельных задач этого, как правило, достаточно.
Модельные уравнения, описывающие фундаментальные законы, как
правило, обладают высокой симметрией (т.е. являются инвариантными
относительно нескольких различных групп преобразований). Так, в
подавляющее множество модельных уравнений не входят явно ни
пространственные переменные, ни время. Причина проста:
фундаментальный физический закон не зависит от выбора начала
координат, он инвариантен относительно произвольных сдвигов любых
независимых переменных. Косвенно это означает еще и устойчивость
решения относительно различных флюктуаций – произвольная
18
трансляция переводит решение снова в решение, т.е. физическая
сущность “сдвинутого” решения сохраняется.
Проверка адекватности модели с точки зрения сохранения
симметрии описываемого реального объекта может производиться
двумя методами:
а) поиском симметрий полученного модельного уравнения, и
б) построением модельного уравнения, уже имеющего априорную
симметрию реального объекта.
Первый метод предполагает решение прямой задачи группового
анализа для построенного модельного уравнения – по заданному
уравнению или классу уравнений ищется допускаемый им
инфинитезимальный оператор непрерывной симметрии, первый
интеграл или дискретная группа эквивалентности. Дальнейшим
развитием этого метода является поиск решений, инвариантных
относительно найденной симметрии – такие инвариантные решения, как
правило, имеют достаточно “прозрачный” физический смысл. Даже если
это и не так, полученные в замкнутой форме аналитические решения
могут служить нулевыми приближениями или тестами для эффективной
реализации численных алгоритмов.
Для применения второго метода необходимо решение обратной
задачи группового анализа – ищется класс уравнений, имеющий
априорно заданную симметрию. При таком подходе любая построенная
модель заведомо будет иметь требуемую симметрию, и задача
моделирования сводится к проблеме выбора искомой модели из
широкого класса уравнений. Решение обратной задачи применяется
также для описания возможно более широких классов уравнений,
интегрируемых в замкнутой форме, т.е. для поиска потенциальных
классов удобных модельных уравнений.
Мощным инструментом исследования нелинейных моделей
является симметричный анализ дифференциальных уравнений. Знание
симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения,
которые могут быть эффективно использованы при решении задач
идентификации модели и разработки стратегии управления процессом,
описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные,
относительно группы симметрии, решения в большинстве случаев
можно эффективно построить, и часто они оказываются единственными
известными точными решениями. Найденные аналитические решения,
даже не имея явных физических приложений, могут использоваться, к
примеру, для тестирования численных алгоритмов решения исходных
уравнений.
19
Работы ряда авторов позволили хорошо изучить симметричные
свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с
источником. Были изучены отдельные классы систем уравнений:
диагональный случай с n=2 или специальные виды матрицы
диффузионных коэффициентов. Однако, это не охватывает многие
практически важные случаи. Поэтому актуальным является выделение
среди этих систем моделей, замечательных по своим симметричным
свойствам в общем случае - с произвольным набором компонент и
недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.
Важными частными случаями инвариантных решений являются
автомодельные решения – решения, допускающие (неравномерное)
растяжение по всем зависимым и независимым переменным, входящим
в модельное уравнение. Их востребованность в моделировании
возникает как следствие того, что практически все физически значимые
измеряемые величины имеют размерность. Например, в системе CGS
размерность всех физических величин имеет вид степенного одночлена
(монома) LlMmTt. Покажем, что такой вид формулы размерности
определяется следующим физическим условием: отношение двух
численных значений какой-нибудь производной величины не должно
зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. Для
основных величин это условие является составной частью определения
единицы измерения и удовлетворяется само собой.
Пусть y – некоторая размерная производная величина; для простоты
примем сначала, что она является геометрической и поэтому зависит
только от длин, т.е. у = f (x1, x2, ..., xn). Обозначим символом y0 значение
величины y, соответствующее значениям аргументов x1, x2 , ..., xn .
Числовое значение y, а также y0, зависит от единицы измерения для
расстояний x1, x2, ..., xn. Уменьшим эту единицу или масштаб расстояний
в α раз. Тогда согласно с формулированному выше условию мы должны
иметь
f ( x1, x2 ,..., xn )
f ( x1a, x2 a,..., xn )
y
=
=
y
f ( x1 , x2 ,..., xn )
f ( x1 , x2 ,..., xn )
(1.20)
т.е. отношение y0/y должно быть одинаковым при любом значении
масштаба длин α. Отсюда получаем
f ( x1 2 ,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xn )
=
f ( x1, x2 ,..., xn )
f ( x1, x2 ,..., xn )
или
20
y ( ) y( )
=
=  ( )
y (1)
y(1)
Следовательно, отношение числовых значений производных
геометрической величины, измеренной в различных масштабах длины,
зависит только от отношения масштабов длин. Вид функции (α) легко
находится – из
y (1 )
=  (1 ),
y (1)
y ( 2 )
=  ( 2 ) ,
y (1)
Откуда
 
 (1 )
= 1 
 ( 2 )
 2 
так как при
(1.21)
x1 = x1 2 , x2 = x2 2 , ..., xn = xn 2
имеем
 
y1  1 

 
y (1 )
=  2  = 1 
y ( 2 )
y1(1)
 2 
(1.22)
Дифференцируя уравнение (1.21) по α1 и полагая α1 = α2 = α,
получаем
1 d 1  d ( ) 
m
= 
 =
 ( ) d   d  =1 
(1.23)
Интегрируя, находим  = Cαm. Так как при α = 1 имеем  = 1, то C =
1, т.е.  = αm. Этот вывод справедлив для любой размерной величины,
зависящей от нескольких основных величин, если мы будем менять
только один масштаб. Нетрудно видеть, что в случае изменения
масштабов α,β,γ трех основных величин, то функция  будет иметь вид
 = αmβnγt. По существу, это и означает, что решение модельного
уравнения должно допускать (неравномерное) растяжение.
1.7 Моделирование в гуманитарных науках
XX век характеризуется в связи с бурным развитием прикладной
математики, т.е. по существу, математизацией всех без исключения
отраслей науки, в том числе и гуманитарных. Причем наибольший успех
достигается в тех областях, где применение математических методов не
носит самодовлеющего характера, а органически вплетается в процесс
научного поиска. Математика не может доказывать неформализованные
21
утверждения, но может помочь вскрыть новые факты и закономерности,
а также оценить степень их достоверности в рамках исходных начальных
данных и предположений.
1.7.1 Математика и музыка
В античные времена математика и музыка представляли собой одну
область человеческих знаний. И даже скорее не “алгеброй поверяли
гармонию”, а гармонией – алгебру. Известно, в частности, что
древнейшим предшественником современного рояля является монохорд
– простой однострунный инструмент древнегреческих теоретиков,
служивший им для математических вычислений и определения звуковых
интервалов.
Существенно то, что практически любое музыкальное произведение
объективно соотносится с временным процессом, с интервалом времени,
и такой интервал можно измерить. Это приводит к определению
численных характеристик трудоемкости сочинения, что позволяет не
только провести статистическую обработку, но и попытаться построить
усредненную (детерминированную) модель, особенно, если удалось
измерить несколько существенно различных численных характеристик
творчества. Если в первом приближении рассматривать динамику двух
параметров творчества – продуктивности и поисковой активности, то
весьма плодотворной оказывается уже простейшая модель, применяемая
для изучения экологического равновесия в замкнутой системе “хищникжертва”. Запишем систему в следующей форме
 x = 1 x −  1 xy,

 y = − 2 y +  2 xy
Действительно, использование (“поедание”) новых идей и
переработка их в продукт творчества (“размножение хищника”) в
известной степени аналогичны процессам, протекающим при
взаимодействии популяции “хищника” с популяцией “жертвы” [3].
Таким образом, при разумном введении численных параметров
продуктивности и активности (творческого поиска), например,
композитора, можно использовать не только мощный аппарат
статистики, но и логичную простую модель. В этой модели динамики
творческого процесса x(t) – творческая активность (количество
инноваций), y(t) – продуктивность, т.е. объем нового (сочиненного)
материала. Коэффициенты в системе имеют следующий смысл: α1 –
интенсивность “фоновой” генерации идей, γ1 – интенсивность
“выедания” за счет реализации, от слитно браковки и морального
старения идей, α2 – естественная убыль продуктивности за счет
22
уменьшения набора инноваций, усталости и т.п., γ2 – увеличение
продуктивности за счет “свежих” инноваций. Нетрудно видеть аналогию
с моделью Вольтерры – например, скорость “выедания”, т.е.
использования идей, пропорциональна произведению продуктивности и
творческой активности.
Альтернативными моделями к модели [3] является система
уравнений Лесли
 x = 1 x −  1 xy,


y2
 y = − 2 x +  2
x

– здесь продуктивность зависит от числа идей на единицу продукции – и
более общая система
 x = f ( x ) − Ф( x) y,

 y = − 2 y + kФ( x) y,
где Φ(x) – интенсивность “хищничества”, k – эффективность
превращения жертвы в хищника, и f(x) – скорость генерации идей
независимо от их использования. Мы не будем подробно рассматривать
эти модели, так как для анализа музыкального творчества более
удобными оказываются модели, построенные на основе модели
Вольтерры.
Фазовый сдвиг можно объяснить и в терминах модели творчества: у
композиторов первого типа быстрое “выедание” появляющихся идей не
дает им накопиться, т.е. при резком увеличении продуктивности набор
идей так же резко обедняется (антифазность); у композиторов второго
типа пик продуктивности соответствует “выеданию” ранее накопленных
идей, а сам процесс сочинения генерирует новые идеи, остающиеся пока
неиспользованными (синфазность). В качестве уточненной модели была
предложена обобщенная система Вольтерры [3]
 x = 1 x + 1 y −  1 xy − 1 ,

2
2
 y =  2 x −  2 y +  2 xy −  2 +  x −  y
Но вернемся к биоритмам. Прежде чем обсуждать результаты
спектрального анализа построенных характеристик, укажем, что
творчество любого композитора многокомпонентной, и сочинения,
написанные вследствие неодинаковых причин, принадлежат различным
компонентам. В наследии В.А.Моцарта можно условно выделить три
компоненты:
1) творчество“ на заказ”;
23
2) творчество под влиянием внутренних причин;
3) творчество под влиянием внешних случайных причин (реакция
на события и окружение).
Лишь вторая компонента должна быть в точности периодической,
следуя закономерным переходам от подъемов творческой активности к
спадам. Однако логично предположить, что продуктивность в первой
компоненте также сильно зависела от фазы творческого ритма, так как
композитор имел некоторую свободу выбора – принять заказ или нет,
варьировать в известной степени форму и информационное содержание,
а следовательно – и объем сочинения. И лишь третья компонента имела,
по-видимому, чисто случайный характер: объем принадлежащих ей
сочинений зависел не столько от фазы творческого периода, сколько от
характера реакции композитора на случившееся событие. На практике
оказалось далеко не всегда возможным определить принадлежность
каждого произведения конкретной компоненте. Поэтому спектральный
анализ (представление временной´ зависимости в виде суммы
элементарных колебаний – синусоид, каждая из которых задана набором
трех величин – амплитудой, частотой и фазой) был проведен для двух
кривых продуктивности, построенных отдельно для сочинений,
написанных в мажоре и в миноре.
1.8 Вычислительный эксперимент
Ни одно техническое достижение не повлияло так на
интеллектуальную деятельность человека, как компьютеры. Увеличив в
десятки и сотни миллиардов раз скорость выполнения арифметических
и логических операций, колоссально повысив тем самым
производительность интеллектуального труда человека, компьютеры
вызвали коренные изменения в области переработки информации и
произвели «информационную революцию». В настоящее время
компьютеры проникают во все сферы интеллектуальной деятельности
человека, становятся одним из решающих факторов ускорения темпов
научно-технического прогресса, в управление, экономику, и во все
другие отрасли. Особую роль компьютеры играют в связи с переходом в
цифровую экономику, без внедрения которой невозможно достичь
значительного прогресса во всех сферах.
Следует особо отметить, что первые крупные научные задачи, для
решения которых успешно использовались компьютеры, а точнее, для
решения которых они и создавались, были связаны с овладением
ядерной энергией и освоением космического пространства.
24
На долю прикладной математики и первых, еще несовершенных
компьютеров выпало решение сложных математических задач ядерной
физики, баллистики, прикладной небесной механики. Именно при
решении этих задач было осознано, что компьютер-это не гигантский
сверхбыстрый арифмометр, что количество-резкое увеличение
производительности вычислительного трудасулит переход к новому
качеству-новому способу проведения теоретических исследований на
основе компьютерного моделирования.
В дальнейшем, развиваясь и совершенствуясь при решении
разнообразных актуальных, прежде всего, физических задач, этот стиль
теоретического анализа трансформировался в новую современную
технологию и методологию проведения теоретических исследований,
которая получила название вычислительного эксперимента. "Основой
вычислительного
эксперимента
является
математическое
моделирование, теоретической базой - прикладная математика, а
технической - мощные компьютеры. Как сказал академик
А.А.Самарский математическое моделирование держится на триаде
«модель-алгоритм-программа».
Технология
математического
моделирования впервые была предложена А.А.Самарским на примере
решения сложных физических задач физики плазмы. В нашей
республике технология математического моделирования была развита
академиком В.К.Кабуловым на примере ими предложенного и развитого
метода алгоритмизации задач механики сплошных сред.
Использование вычислительного эксперимента как средства
решения сложных прикладных проблем имеет в случае каждой
конкретной задачи и каждого конкретного научного коллектива свои
специфические особенности. И, тем не менее, всегда четко
просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие
говорить о единой структуре этого процесса. В настоящее время
технологический цикл вычислительного эксперимента принято
подразделять на ряд этапов. И хотя такое деление в значительной
степени условно, тем не менее, оно позволяет лучше понять существо
этого метода проведения теоретических исследований.
На этапе 1 для исследуемого объекта строится модель. Сначала
физическая, фиксирующая разделение всех действующих в
рассматриваемом явлении факторов на главные, которые учитываются,
и второстепенные, которые на данном этапе исследования
отбрасываются. Одновременно формулируются допущения, или рамки
применимости модели, в которых будут справедливы полученные на ее
основе результаты. Эта модель записывается в математических
25
терминах,
как
правило,
в
виде
дифференциальных
как
детерминированных,
так
и
стохастических
или
интегродифференциальных
уравнений.
Работа
по
конструированию
математической модели чаще всего проводится объединенными
усилиями физиков, химиков, биологов, медиков, экономистов,
производственников), т.е. специалистов, хорошо знающих свою
предметную область, и математиков, представляющих себе уровень
развития соответствующего раздела прикладной математики и
способных
оценить
возможность
решения
возникающей
математической задачи. Важно подчеркнуть, что вычислительный
эксперимент не только не отвергает традиционных классических
методов анализа, но и, напротив, предполагает их самое активное
использование. Кроме того, на долю математиков выпадает и
предварительное исследование математической модели: корректно ли
поставлена задача, имеет ли она решение, единственно ли оно, имеет ли
точное решение и т.д. К сожалению, для актуальных сложных задач,
которые в изобилии представляет современная наука и техника,
подобное исследование удается выполнить лишь в исключительных
случаях, Гораздо чаще приходится довольствоваться рассуждениями
типа: «Раз в природе ситуация, которую мы хотим получить в качестве
решения, наблюдается, то следует ожидать, что и математическая задача
будет однозначно разрешима». При этом вынужденно закрывают глаза
на такую «деталь»: ни одна математическая модель, сколь бы
совершенной она нам ни казалась, не адекватна реальности. Природа
гораздо богаче и разнообразнее в своих проявлениях, нежели любые
модели, являющиеся лишь ее бледными копиями. Однако отношение к
задачам в современной прикладной математике весьма отличается от
положения в математике классической. К примеру, знаменитые
проблемы Д. Гильберта могли ждать своего решения годами и
десятилетиями. Многие задачи ядерной физики, экономики, управления
и др. приходятся решать в короткие сроки, предусмотренные
соответствующими планами.
Поэтому к решению задач, имеющих прикладной характер,
зачастую приступают, не имея детального исследования ее
математических свойств или изучив их лишь на частных упрощенных
вариантах исходной постановки задачи. При этом существенную роль
играет интуиция, опыт, знание.
Второй этап вычислительного эксперимента связан с разработкой
метода расчета сформулированной математической задачи, или, как
говорят, вычислительного алгоритма. Фактически он представляет
26
собой совокупность цепочек алгебраических формул, по которым
ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить
нужную последовательность применения этих формул.
Как правило, для одной и той же математической задачи можно
предложить великое множество вычислительных алгоритмов. Даже
человек, знакомый лишь поверхностно с численными методами, может
без большого труда сочинить свой собственный вычислительный
процесс. Это обстоятельство не может не настораживать, ибо довольно
очевидно, что среди большого разнообразия алгоритмов не все
одинаковы по своим качествам. Есть алгоритмы хорошие и плохие, и
нужно уметь отличать одни от других, причем делать это, не тратя
времени на программирование и расчеты, а заранее, априори, по, так
сказать, их внешнему виду.
А для этого, прежде всего нужно сформулировать, «что такое
хорошо и что такое плохо» в данном случае т.е. определить критерии для
оценки качества вычислительных алгоритмов. Эти вопросы и
составляют предмет теории численных методов - раздела
вычислительной математики, который стал особенно интенсивно
развиваться с появлением ЭВМ.
Общая цель этой теории - построение эффективных
вычислительных методов, которые позволяют получить решение
поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество
действий, (арифметических, логических), т.е. с минимальными
затратами машинного времени. Это весьма существенно.
Вычислительный эксперимент имеет «многовариантный» характер.
Действительно, решение любой прикладной задачи зависит от
многочисленных входных параметров. Например, если рассчитывается
какая-нибудь будущая промышленная установка, то имеется множество
различных конструктивных, технологических и других параметров,
среди которых нужно определить их оптимальный набор,
обеспечивающий режим работы этой установки.
Получить решение соответствующей математической задачи в виде
формулы, содержащей явную зависимость от параметров, для реальных
задач, как уже говорилось выше, не удается. При использовании методов
вычислительного эксперимента каждый конкретный расчет проводится
при фиксированных значениях параметров. Проектируя оптимальную
установку, т.е. определяя в «пространстве параметров» точку,
соответствующую оптимальному режиму, приходится проводить
большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся
значениями некоторых параметров. Поэтому необходимо, чтобы на один
вариант задачи затрачивалось как можно меньше машинного времени.
27
Вот почему, проводя вычислительный эксперимент, так важно опираться
на эффективные численные методы.
Какими бы фантастическими ни казались неспециалисту
возможности современных ЭВМ - миллионы и более операций в
секунду! - тем не менее для проведения серьезных прикладных
исследований этого уже не хватает. Спрос математиков-вычислителей
пока превышает предложения, которые исходят от создателей ЭВМ.
Чересчур стремительно развитие науки и техники, слишком быстро
растет сложность задач, которые они ставят I перед прикладной
математикой.
Иногда, когда говорят о математике прикладной и математике
«чистой», пытаются противопоставить эти направления. Вряд ли такое
противопоставление уместно, и уж, во всяком случае, оно совершенно
неплодотворно. Примером тому служит теория численных методов. По
мере своего развития этот раздел математики все увереннее берет па
вооружение и достижения классической математики, включая самые,
казалось бы, абстрактные ее области.
В теории численных методов многое сделано, особенно в последние
годы, но еще больше предстоит сделать. Пока здесь теория в долгу перед
практикой, которая зачастую за неимением достаточно развитой теории
вынуждена обращаться к эмпирике, к здравому смыслу, интуиции и т.д.
На каждом этапе вычислительного эксперимента ученым
приходится широко использовать различные разделы современной
математики. Однако есть и обратное влияние. Результаты многих
исследований, в которых принципиальную роль сыграло широкое
использование ЭВМ, привели к возникновению новых идей, понятий,
методов, к появлению новых математических теорий. Применение
компьютеров привело не только к бурному развитию вычислительной и
дискретной математики, теории автоматов и других разделов,
непосредственно связанных с использованием ЭВМ, но и к новым
важным результатам в традиционных, «классических» областях
математики.
Третий этап вычислительного эксперимента - создание программы
для реализации разработанного алгоритма на ЭВМ. Когда-то, на заре
машинной эпохи это выглядело так. Формулы алгоритма разбивались на
отдельные операции: сложить, разделить, сравнить два числа по
величине и т. д., и каждая операция программировалась отдельно.
Однообразная, утомительная работа, занимавшая у программистов
много рабочего времени и требующая большой аккуратности и
внимания. Каждую ошибку или описку приходилось потом подолгу
«вылавливать» в тестовых расчетах.
28
Поэтому развитие программирования шло по линии упрощения
процесса общения человека с машиной, приближения форм этого
общения к естественным, привычным для человека. Так появились
машинные языки, с помощью которых вести диалог с ЭВМ стало
существенно легче. Именно языки, а не один язык, ибо каждый из них
ориентирован на свой тип машин, на свой класс математических задач.
Программное обеспечение (или математическое обеспечение)
современной электронной вычислительной машины представляет собой
сложное хозяйство, включающее языки, трансляторы, операционные
системы, библиотеки стандартных программ и пр. Это обеспечение
составляет неотъемлемую часть ЭВМ, часто по стоимости
превышающую стоимость собственно оборудования.
Современное программирование - это уже не ремесло, где все
определяется искусством и опытом исполнителя, а самостоятельная
наука со своими фундаментальными принципами, подходами, методами.
Четвертый этап - собственно проведение расчетов на компьютере.
Это тот самый этап вычислительного эксперимента, когда наиболее
отчетливо проявляется его сходство с экспериментом натурным. Только
если в лаборатории экспериментатор с помощью специально
построенной установки задает вопросы природе, то специалисты по
вычислительному эксперименту с помощью ЭВМ ставят эти вопросы
математической модели. Ответ в обоих случаях получается в виде
некоторой цифровой информации, которую предстоит еще
расшифровать. Причем в современных физических экспериментах со
сложными
объектами
или
процессами,
протекающими
в
экспериментальных условиях, каждое измерение температуры,
плотности, скорости и т.д. даётся с большим трудом. Зачастую нужную
информацию приходится извлекать из косвенных данных. Точность
полученных результатов, как правило, невелика.
Иное-дело вычислительный эксперимент. ЭВМ в процессе расчета
может выдавать любую информацию, представляющую интерес для
исследователя. Конечно, точность этой информации определяется
достоверностью самой модели. Именно по этой причине в серьезных
прикладных
исследованиях
никогда
не
начинают
вести
полномасштабные, или, как говорят, производственные, расчеты сразу
же по только что написанной программе. Им всегда предшествует
период проведения тестовых расчетов, на известных примерах. Они
необходимы не только для того, чтобы «отладить» программу, т.е.
отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные как при
создании алгоритма, так и при его программной реализации.
29
В этих предварительных расчетах тестируется также сама математическая модель, выясняется, насколько хорошо она описывает изучаемый
класс явлений, в какой степени адекватна она реальности. Для этого
проводится «обсчет» некоторых контрольных экспериментов, но
которым имеются достаточно надежные измерения. Как правило, эти
эксперименты бывают выполнены в области, так сказать, умеренных
значений параметров, где отсутствуют те трудности, которые «в полный
рост» встанут при полномасштабных исследованиях. Сопоставление
этих данных с результатами расчетов позволяет уточнить
математическую модель, обрести уверенность в правильности
предсказаний, которые - будут получены с ее помощью.
Только после проведения этой длительной кропотливой работы в
вычислительном эксперименте наступает фаза прогноза - с помощью
математического
моделирования
предсказывается
поведение
исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не
проводились или где они вообще невозможны.
Хотелось бы отметить, что проведение расчетов - это не
тривиальный процесс типа «сдал программу на счет - получил
результаты». Это исследовательская работа, поиск, имеющий свою
стратегию. Фактически в процессе расчетов осуществляется диалог
человек - машина.
Пятый этап. Обработка результатов расчетов, их анализ. К
четвертому тесно примыкает пятый этап вычислительного эксперимента
- обработка результатов расчетов, их всесторонний анализ и, наконец,
выводы. Эти выводы бывают в основном двух типов: или становится
ясна необходимость уточнения модели, или результаты, пройдя
проверку на разумность и надежность, передаются заказчику, где «идут
в дело». Однако чаще всего эти две стороны переплетаются - выясняются
какие-либо необычные формы протекания изучаемого процесса,
неожиданные режимы работы проектируемой установки, в результате
чего появляется желание уточнить те или иные детали процесса.
Математическая модель модифицируется, как правило, усложняется, и
начинается
новый
цикл
вычислительного
эксперимента.
Технологические циклы вычислительного эксперимента схематически
представлены на рис. 1.
30
1. Построение
математической
модели
5. Сравнение
результатов расчёта с
данными опыта,
уточнение моделей
2. Составление
разностной
схемы
3. Программирование
4. Расчёт на
ЭВМ
Рис. 1. Схема технологического цикла вычислительного
эксперимента
Иногда возникает и такая ситуация. После нескольких описанных
циклов вычислительного эксперимента поведение исследуемого объекта
становится достаточно ясным и понятным. На очереди оптимизация
рассматриваемого режима или процесса по параметрам, количество
которых, как уже упоминалось, может быть значительным. Проведение
для этого больших расчетов может оказаться чересчур дорогим. И здесь
идут на упрощение модели, на построение своего рода «инженерных
формул», но опирающихся на сложные модели и расчеты и дающих
возможность получить необходимую информацию значительно более
дешевым способом.
Поэтому порой дело доходит до парадоксов типа «зачем вся эта
сложная математика, если ответ можно получить таким простым
путем?» Эти наивные вопросы не учитывают огромной предварительной
работы по анализу сложных моделей, квинтэссенцией которой и
являются простые на первый взгляд формулы.
1.9. Вычислительный эксперимент и открытие
На страницах научно-популярных и специальных изданий довольно
интенсивно обсуждаются вопрос о магнитогидродинамических (МГД)
генераторах, о непосредственном преобразовании с их помощью
тепловой энергии в электрическую.
Принцип работы МГД - генератора весьма прост и основан на
известном еще со школы законе физики, который гласит, что, если
31
проводник при своем движении пересекает силовые линии магнитного
поля, между его концами возникает электродвижущая сила.
Эффективность преобразования тепловой и кинетической энергии
газа в электрическую в МГД-генераторе определяется уровнем
электропроводности газа, а она, в свою очередь, температурой. Если
температура газа, текущего в канале, будет ниже критической
температуры T*, то проводимость его будет ничтожной и магнитное
поле не будет «замечать» текущий газ, так что электрический ток во
внешней цепи не возникнет. Казалось бы, выход ясен, нужно подавать
на вход газ погорячее - настоящую плазму. Но в этом случае, как это
часто бывает в технике, неприятности начинаются с другой стороны.
При высокой температуре газа стенки канала не выдерживают
длительного контакта с ним - они быстро прогорают, требуется
остановка генератора, замена канала.
Для того, чтобы обойти эти трудности, предлагались различные
пути, в частности добавлять в поток легкоионизирующиеся добавки,
делающие газ проводящим при более низких температурах.
В то время, в середине 60-х годов, в Институте прикладной
математики РАН проводилось изучение с помощью методов
математического моделирования возможностей одной конкретной
схемы МГД - генератора.
При построении математической модели и планировании первых
расчетов предполагалось, прежде всего, дать ответ на следующий
вопрос: насколько эффективно в рассматриваемой конструкции МГД генератора преобразование тепловой энергии газа в электрическую? На
первых порах модель предельно упрощалась - делались «максимально
благоприятные» допущения, обеспечивающие наибольший полезный
эффект, в данном случае максимальную степень перехода тепла в
электричество.
На начальной стадии вычислительного эксперимента это обычная
практика. Ведь если окажется, что даже в такой «улучшенной» модели
не удается достичь нужного результата, то дальнейшие исследования на
этом пути особого смысла не имеют.
Начались длительные кропотливые исследования на различных
моделях. Каково влияние на T-слой таких факторов, как
теплопроводность, излучение, особенности уравнений состояния,
геометрия установки и пр. Иными словами, в полном масштабе пошел
вычислительный эксперимент, отдельные стадии которого были
описаны выше. В результате было установлено, что детальный учет
физических особенностей течения плазмы в магнитном поле снижает
рост температуры в T-слое, ограничивает условия его существования, но
32
не уничтожает его. Выяснилось также, что возникновение T-слоя можно
искусственно инициировать, вводя возмущения температуры или
проводимости в потоке. Наконец, было показано, что образование Т-слоя
- это не особенность частной задачи о расширении плазменного
цилиндра в магнитном поле, а общее свойство магнитогидродинамических течений. Образование T-слоев было отмечено в
нескольких задачах, и с помощью этого эффекта удалось пролить свет на
ряд явлений, до той поры не находивших достаточно убедительного
объяснения.
В результате вычислительных экспериментов стало понятным,
почему этот эффект не был до сих пор обнаружен в лабораторных
экспериментах. Оказалось, что для его образования нужны были
значительные магнитные поля, большие скорости течения и т.д., что не
так просто получить в эксперименте. Так впервые в мировой практике с
помощью вычислительного эксперимента удалось установить открытое
названное эффектом T-слоя (авторы А.Н.Тихонов, А.А.Самарский,
Л.М.Дегтярев, Л.А.Заклязьминский, С.П.Курдюмов, В.С.Соколов,
А.П.Фаворском, П.П.Волосевич).
Прошло несколько лет, и целенаправленные поиски позволили
обнаружить эффект T-слоя в эксперименте, на который был
израсходован огромные деньги. Три различных научных коллектива
независимо друг от друга на различных установках зарегистрировали это
явление, существование которого было «предсказано» компьютером.
Нелишне отметить, что все эти экспериментальные работы велись в
тесном контакте с авторами открытия. Их расчеты помогли установить
диапазоны изменения параметров установок, где следовало искать Tслой, позволили разобраться в тонкостях механизма наблюдаемого
эффекта. Один из авторов открытия - великолепный ученый и
обаятельный человек член корреспондент Российской академии наук
С.П.Курдюмов-директор института Прикладной математики РАН
рассказал мне как в после 8 часов обсуждения в Комитете науки и
техники России было признано первое теоретическое открытие без
проведения физического эксперимента на основе математического
моделирования и вычислительного эксперимента.
Пример с обнаружением и изучением эффекта Т-слоя достаточно
наглядно демонстрирует содержание понятия «вычислительный
эксперимент», технологию его проведения.
В серьезных прикладных исследованиях вычислительный
эксперимент, вычислительная математика играют роль средства, с
помощью которого добываются рекомендации, необходимые для
практики. Однако и математика не остается в слитно накладе от этого
33
союза. Так было и в давние времена, когда целые новые разделы
математики рождались при решении еще неизведанных задач механики,
гидродинамики. Так появились на свет дифференциальное и
интегральное исчисление, теория функций комплексного переменного и
т.д.
Так раздельно же обстоит дело и сейчас. Современная прикладная
математика потому так быстро и прогрессирует, что вынуждена
постоянно искать ответы на трудные задачи, которые в изобилии
поставляют современная наука и техника.
1.10 Применение вычислительного эксперимента
В современной науке и технике появляется все больше областей,
задачи в которых можно и нужно решать методом вычислительного
эксперимента, с помощью математического моделирования. Обратим
внимание на некоторые из них.
Энергетическая проблема. Прогнозирование атомных и
термоядерных реакторов на основе детального математического
моделирования происходящих в них физических процессов. В этой
области работа ведется очень успешно. Вычислительный эксперимент
тесно сопрягается с натурным экспериментом и помогает, заменяет и
удешевляет весь исследовательский цикл, существенно его ускоряя.
Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов,
задачи обтекания, системы автоматического проектирования.
Обработка
данных
натурного
эксперимента,
например
радиолокационных данных, изображений со спутников, диагностика
плазмы.
Здесь очень важной оказывается проблема повышения качества
приборов, и в частности измерительной аппаратуры. Между тем в
настоящее время показано, что, используя измерительный прибор
среднего качества и присоединив к нему ЭВМ, можно на основе
специального алгоритма получить результаты, которые далои бы
измерительный прибор очень высокого качества. Таким образом,
сочетание измерительного прибора с компьютером открывает новые
возможности.
Технологические процессы. Получение кристаллов и пленок,
которые, кстати, нужны для создания вычислительной техники, для
решения проблем в области элементной базы (что невозможно без
математического моделирования); моделирование теплового режима
конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной
34
плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами (одна
из основных задач любой технологии).
Экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и
управления экологическими системами могут решаться лишь на основе
математического моделирования, поскольку эти системы существуют в
«единственном экземпляре».
Гео и астрофизические явления. Моделирование климата,
долгосрочный прогноз погоды, землетрясений и цунами, моделирование
развития звезд и солнечной активности, фундаментальные проблемы
происхождения и развития Вселенной.
Xимия. Расчет химических реакций, определение их констант,
исследование химических процессов на макро и микро уровне для
интенсификации химической технологии (очень многое, по - видимому,
можно сделать уже на основе полученных моделей).
Биология. Особо следует отметить интерес к математическому
моделированию в связи с изучением фундаментальных проблем этой
науки (генетики, морфогенеза) и разработкой новых методов
биотехнологии.
Существуют три проблемы биотехнологии, решение которых имеет
огромное научное и прикладное значение:
− оптимизация установок по производству кормового белка;
− производство этанола, метанола - проблема горючего;
− производство лекарств.
Нужно подчеркнуть, что современная биотехника - это новая
крупномасштабная отрасль промышленности с новым рабочим телом средой из клеток. Существует альтернатива - развитие технологии в этой
области методом проб и ошибок, многолетнее, без большой гарантии на
успех или моделирование и оптимизация процессов. В качестве примера
можно привести процесс производства биомассы с использованием
подсветки реактора для стимулирования биоконвекции.
Для оптимизации этого процесса успешно используются
математическое моделирование. Это огромная область деятельности,
актуальность которой не вызывает сомнений.
Классической областью математического моделирования является
физика. До недавнего времени в физике микромира (в квантовой теории
поля) «вычислительный эксперимент» не применялся, так как было
принято использовать метод малого параметра, каким является
постоянная тонкой структуры. Однако сейчас физики-теоретики пришли
к выводу, что процессы в микромире сильно нелинейные, поэтому
35
необходимо переходить к численным методам, и для этой цели даже
разрабатываются специальные компьютеры.
Анализ математических моделей с помощью вычислительного
эксперимента с каждым годом завоевывает новые позиции. В 1982 г.
Нобелевская премия по физике была присуждена К. Вильсону,
предложившему ряд фундаментальных моделей в теории элементарных
частиц и критических явлений, которые необходимо исследовать
численно. В 1979 г. Нобелевской премии по медицине была удостоена
работа в области вычислительной томографии (восстановление
объемного предмета по набору его сечений).
В 1982 г. Нобелевской премией по химии отмечена работа, в
которой методами вычислительной томографии восстанавливалась
структура вируса по данным электронной микроскопии.
Каждая из этих работ приводит к постановке глубоких
математических
задач,
для
решения
которых
необходим
вычислительный эксперимент. При постановке вычислительного
эксперимента в различных областях сегодня все чаще используются
пакеты прикладных программ.
Остановимся несколько подробнее на этом важном па-правлении
современного программирования. Чтобы лучше ощутить существующие
здесь проблемы и понять пути их решения, обратимся к истории вопроса,
благо история эта еще весьма коротка и развивалась на памяти
нынешнего поколения математиков-прикладников.
Как уже говорилось, первые программы писались «вручную», в
командах. Однако уже тогда зарождавшийся вычислительный
эксперимент характеризовался многомодельностью. Это означало, что в
процессе расчетов математическая модель, или вычислительный
алгоритм, постоянно модифицировалась, видоизменялась. Все это в
первую очередь сказывалось на программе, в которую; необходимо было
вносить соответствующие изменения, Программист - автор программы,
конечно же, не переписывал ее каждый раз заново: в соответствующее
место делалась нужная вставка, в программе появлялась очередная
«заплата». Помимо основного задания на программирование, заводилась
специальная «тетрадь изменений», куда, чтобы не запутаться,
заносились все исправления и переделки.
Если математическая модель и претерпевала заметные изменения
(например, в уравнениях магнитной гидродинамики требовалось учесть
не одну, а две компоненты вектора напряженности магнитного поля или
дополнительно учесть излучение), то также естественно было не
создавать новую программу, а «надстраивать» старую, уже хорошо
зарекомендовавшую себя в расчетах.
36
Программа разрасталась, разветвлялась, ее возможности
повышались. С помощью такого комбайна можно было решать и
прежние простые задачи. Чем сложнее становился программный
комбайн, чем большими возможностями он обладал, тем обширнее
становилась таблица ключевых параметров.
Постепенно программа превращалась в эдакого монстра,
нашпигованного ключевыми параметрами. Новые «заплаты» ставились
на старые, и в этих дебрях начинал путаться сам автор программы. В
конце концов принималось решение переписать программу заново, а это
означало, что придется повторно тратить немалое время и силы на
большую трудоемкую работу.
Одним из средств борьбы с такими непроизводительными потерями
являются пакеты прикладных программ - программ направленные на
решения не одной задачи, а комплекса задач из предметной области. В
настоящее время разработана большое количество пакетов прикладных
программ в предметных областях, что существенно облегчил задачу
специалистов работающих в различных отраслях для решения
прикладных задач на компьютере. Для освоения его достаточно умения
пользоваться ими.
Вычислительный эксперимент в настоящее время все шире
используется при решении технологических задач. Приведем
несколько примеров.
Первый пример связан с лазерно-плазменной обработкой металлов.
Существуют ставшие уже традиционными лазерная и плазменная
обработка материалов. В последние годы появилось новое техническое
направление: лазерно-плазменная обработка. При такой обработке
достигаются высокие (порядка нескольких десятков тысяч градусов)
температуры плазмы и на обрабатываемые материалы воздействуют как
лазерное излучение, так и ионные потоки, идущие из плазмы. Если
металл обрабатывается в атмосфере азота, то высокоэнергетические
ионы азота внедряются в металл. При этом создается нитридный слой
толщиной порядка 100 мкм. В результате микро твердость и
износоустойчивость стали повышается в несколько раз.
Вычислительный эксперимент сегодня все шире применяется при
решении задач, связанных с созданием самых компьютеров.
На первый взгляд в создании и развитии методов для решения задач,
Это, конечно, не прогноз, а всего лишь предположение, но сквозящая в
сказанном
мысль
ное
подлежит
сомнению:
методологии
вычислительного эксперимента суждено завоевывать все новые области
научного исследования.
37
Компьютеры перестали быть атрибутом лишь научноисследовательских учреждений. Последние достижения в области
вычислительной техники, прикладной математики, программного
обеспечения стали активно внедряться на промышленных предприятиях.
Широкая математизация знаний не у всех вызывает энтузиазм.
Привыкнув работать по старинке, некоторые научные работники
неодобрительно встречают новую технику, несущую дополнительные
хлопоты и заботы. Порой наблюдается и противоположная тенденция.
Встречается и неправильное понимание роли компьютера. Никакая
вычислительная техника не способна, как наивно полагают некоторые,
подменить собою творческую мысль ученого, конструктора,
организатора производства. Компьютер - всего лишь орудие, пусть очень
мощное, но орудие. Он позволяет лучше, быстрее, качественнее решить
поставленную передней задачу. Но сама постановка задачи - прерогатива
человека, владеющего вычислительной техникой. Прежде всего, он
должен быть хорошим специалистом своего дела. Обращаясь за
помощью к ЭВМ, он должен ясно понимать, что же он от нее ожидает,
знать особенности математической постановки решаемых им задач,
представлять возможности машины.
Вообще проблема кадров, способных квалифицированно применять
современную вычислительную технику в науке, народном хозяйстве,
стоит очень остро, и решать ее нужно без промедления. Поэтому
Президент нашей республики Ш. М. Мирзиеёв остро ставит вопросы
компьютеризации всех отраслей, особенно внедрение методов цифровой
экономики. Постановление Президента о развитии математики и
применение математического моделирования к решению прикладных
задач индустрии, экономики, сельского хозяйства, интеллектуализации
всей деятельности человечества, разработка и внедрение смарт
технологий. Всё это связано с подготовкой, образно говоря
программистов. Поэтому принятая Программа подготовки миллион
программистов тому свидетельство, и она осуществляется успешно.
Созданы АйТи парки. Безусловно всё это в ближайшее время даст свои
плоды.
Для этого, прежде всего, необходима определенная перестройка
высшего образования. Причем изменение учебных программ должно
затронуть не только подготовку будущих математиков, а в еще большей
степени обучение представителей нематематических специальностей
(химиков, биологов, медиков, экономистов и т.д.). Будущие специалисты
в этих областях науки и практики должны осваивать язык, математики,
становящийся сейчас междисциплинарным, чтобы уметь потом
формулировать на нем свои задачи.
38
Язык математики это словосочетание с некоторых пор стало
расхожим, общепонятным. Между тем при всей своей общепонятности
оно способно ввести в заблуждение. Это предупреждение стоит
разъяснить подробнее.
Тот, кто пытался разбираться в структуре математики, знает, что в
основе каждой математической теории лежит свод аксиом - истин,
принимаемых без доказательства. Из аксиом логическим путем
выводятся теоремы - утверждения, подлежащие доказательству.
Доказать теорему - значит построить этот путь, ведущий к ней. Каждая
математическая теория фактически представляет собой совокупность
теорем.
Применение математических выводов на практике обусловлено
интерпретацией теорем и аксиом. Есть, например, в геометрии аксиома:
через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Точки можно интерпретировать как крохотные пятнышки на листе
бумаги, прямую - как след, оставленный на бумаге карандашом,
скользнувшим вдоль линейки. Линейка при этом действительно может
быть расположена лишь единственным образом.
Физик же, привыкший объединять пространство и время в единую
четырехмерную" сущность, истолковывает точку как событие - нечто
характеризующее некоторую точку пространства в некоторый момент
времени, а - прямую - как некоторое равномерное прямолинейное
движение. Вышеупомянутую геометрическую аксиому физик толкует
так: выйдя из некоторой точки пространства в определенный момент
времени, мы сможем попасть в другую точку пространства в
назначенный последующий момент времени в результате одногоединственного равномерного прямолинейного движения.
У химика геометрические аксиомы могут найти свое толкование, у
биолога и экономиста - свое. Но всякий раз, строго оговорив
интерпретацию аксиом, специалист может уверенно распространять ее
на теоремы, выведенные из аксиом. Переформулируя их в рамках
принятой интерпретации, указывая, что подразумевается, скажем, под
точками и прямыми, специалист получает утверждения о предмете своих
занятий, зачастую далеко не очевидные прежде.
Понятно, что исследователи, берущие на вооружение математику,
заинтересованы в том, чтобы арсенал математических теорем был как
можно обширнее. И огромной ценностью обладает труд математиков,
которые выводят все новые теоремы из аксиом, обогащая сокровищницу
точного знания, где языком математики описан господствующий в
природе порядок вещей.
39
Но математика - это не только язык для описания, но и мощный
инструмент для совершенствования окружающего мира.
Эта истина особенно справедлива для вычислительной математики,
в которой преобладают не теоремы, а именно алгоритмы. Разумеется,
здесь весьма существенно знание языка математики, таких ее разделов,
как линейная алгебра, теория дифференциальных уравнений и т.д. Не
будет преувеличением сказать, что в современной вычислительной
математике так или иначе находит применение многое из аппарата
математики классической. Но все созданные в классической математике
теоремы нужны в вычислительной для того, чтобы обслуживать
алгоритмы. И если математик-классик, рассматривая задачу, доказывает,
что ее решение существует и единственно, математик-вычислитель
должен это решение найти, должен разработать оптимальный алгоритм,
позволяющий это решение получить.
Практика - исследовательская и народно хозяйственная - ставит
проблемы перед математиком-вычислителем, практика предъявляет и
свои критерии качества к решениям полученных проблем. Наряду с
этими двумя факторами, определяющими для вычислительного
эксперимента, необходимо упомянуть и третий - фактор времени.
Проблемы, для решения которых проводятся вычислительные
эксперименты, как правило, не могут ждать последующих поколений,
как это бывало в других областях математики. Предельно сжатые сроки
диктуются здесь порой соображениями высшей, государственной
важности.
Математик, решающий ту или иную задачу средствами вычислительного эксперимента, работает в тесном взаимодействии со
специалистами из других областей науки и техники, поставившими эту
задачу. Он должен понимать их запросы и, значит, свой результат
представить в виде, удобном для заказчиков. Успеху дела при этом очень
способствует такое качество, как коммуникабельность, умение находить
общий язык с представителями самых разных специальностей, людей
самых разных темпераментов, короче говоря, способность к
коллективной работе. Такая работа имеет свои трудности, но, с другой
стороны, у нее есть и свои достоинства. Перекрестный контроль,
здоровая конкуренция приводят к взаимообогащению членов научного
коллектива и к значительному ускорению темпов исследования.
Совместная работа двух ученых нередко позволяет получать результаты
не в два, а в три-четыре раза быстрее, чем если бы они работали
поодиночке. Происходит своеобразное нелинейное взаимное усиление
интеллектов.
40
Требования к специалисту по вычислительному эксперименту, как
видим, высоки. Но и сама специальность заманчива. Тот, кто владеет ею,
никогда не останется без интересной работы и всегда найдет дело по
душе: ведь к вычислительному эксперименту, к этому современному
средству научного исследования сегодня обращаются все более
разнообразные отрасли науки и техники, выдвигая сложные актуальные
задачи.
1.11 Математические модели с конвективным массопереносом
По аналогии с переносом теплоты теплопроводностью и конвекцией
поле может быть одно, двух и трехмерным, а также стационарным и
нестационарным. Как и в теории теплопроводности, уравнения
массообмена получают при совместном рассмотрении дифференциального
уравнения переноса массы с соответствующими условиями однозначности,
задаваемыми начальными и граничными условиями.
Дифференциальное уравнение конвективного массообмена можно
написать сразу по аналогии с уравнением конвективного теплопереноса:
c
c
c
c   2c  2c  2c 
+ wx + wy
+ wz
=
+
+
.

x
y
z  x 2 y 2 z 2 
(1.24)
здесь wx , wy , wz означает скорости конвективного переноса, которые
могут зависеть от времени, пространственной координаты.
Если в движущемся потоке идет химическая реакция, то в уравнение
диффузии необходимо ввести слагаемое, характеризующее скорость
химического взаимодействия. Поэтому для одномерного потока можно
записать уравнение
c
c
c
c   2c  2c  2c 
+ wx + wy
+ wz
=
+
+
  f i (c )

x
y
z  x 2 y 2 z 2 
(1.25)
в котором fi (c) определяет скорость изменения компонентов в единице
объема среды в результате химической реакции. Он выполняет роль
своеобразного "источника" или "стока" массы.
По своему физическому смыслу дифференциальное уравнение
конвективного массообмена является частным случаем закона сохранения
массы компонента, концентрация которого равна с.
Если фаза неподвижна, то проекции скоростей на оси координат
wx = wv = wz = 0
.
Поэтому дифференциальное уравнение упростится и примет вид
41
c   2c  2c  2c 
=
+
+
  f i (c )
  x 2 y 2 z 2 
(1.26)
Это уравнение, справедливое для молекулярной диффузии, обычно
называют вторым законом Фика. По записи оно аналогично
дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье.
Уравнение (1.25) необходимо рассматривать совместно с уравнениями
неразрывности и Навье - Стокса, а также и условиями однозначности. Это
позволит получить единственное и конкретное решение задачи
конвективного массообмена.
1.12 Нелинейные математические модели
Важное свойство линейных задач, облегчающее их исследование и
решение, состоит в том, что для них выполнен принцип суперпозиции. Это
означает, что сумма двух решений линейного уравнения вновь является
решением, и, кроме того, решение, умноженное на любое число, также
удовлетворяет уравнению. Как следствие сумма любого числа решений
линейной задачи есть решение. Это дает возможность строить общее
решение линейной задачи в виде суммы частных, простых, хорошо
изученных решений.
Для нелинейных уравнений принцип суперпозиции несправедлив, и
вся техника построения решений в виде сумм, столь хорошо развитая для
линейного случая, уже не работает. Не имеет места функция Грина,
играющая важную роль при исследовании линейных дифференциальных
уравнений и их систем Поэтому приходится искать новые методы
исследования нелинейных задач.
Пользуясь геометрическими образами, можно сказать, что решение
линейной задачи в некотором смысле подобно прямой линии - по любому
ее отрезку без труда восстанавливается вся линия. Если кривая имеет
достаточно замысловатый вид, то представить ее ход нельзя иначе, как
решая соответствующее ей уравнение. Итак, нелинейные задачи
представляют большую трудность для изучения и решения. Традиционные
аналитические методы, такие как суперпозиция решений, методы Грина,
сведение задач к эквивалентному интегральному уравнению (помимо
полулинейного случая) здесь уже, как правило, не работают. В редких
случаях удается решить уравнение в частных производных аналитически до
конца. Точное решение серьезных нелинейных проблем единичны. В этой
ситуации приходится полагаться лишь на вычислительные методы. Между
тем математические модели, порождаемые современными задачами науки
и техники, как правило, нелинейные. Нелинейные математические
42
уравнения являются главным источником новых открытый и явлений. Это
обстоятельство является еще одной причиной того, что вычислительный
эксперимент сейчас становится практически единственным средством
проведения теоретических исследований в прикладных задачах.
В последние годы интенсивно стали изучать свойства нелинейных
математических моделей основы которых составляет вырождающиеся
дважды нелинейное параболическое уравнение вида
(
u
+ div(vu ) =  u m ( u k
t
p −2
)
u )  u 
и их систем
(
u
+ div(cu ) =  u m1 ( u k
t
(
v
+ div(cv) =  v m2 ( v k
t
p −2
p −2
)
u )  u1 v 1
)
v)  u  2 v 2
где числовые параметры m, k  1, p  2, mi  1, i = 1, 2 характеризуют
нелинейную среду, i , i , i = 1, 2 функция с(t,x) – скорость конвективного
переноса, (.) = grad x (.) . Это уравнение служит для описания многих
нелинейных процессов с которыми связаны новые нелинейные эффекты:
конечная скорость распространение возмущения, пространственная
локализация решения, понижение температуры за конечное время,
пространственная локализация неограниченных решений, явление стены
[А.А.Самарский, С.П.Курдюмов, В.А.Галактионов А.П.Михайлов,
А.С.Калашников, М.Арипов и др.]
Литература
[1] Зайцев В. Ф. Математические модели в точных и гуманитарных
науках. Санкт-Петербург ООО Книжный дом 2006, 110 стр.
[2] Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной
математике. – М.: Наука, 1979.
[3] Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. – М.:
Наука, 1987.
43
ГЛАВА 2. МЕТОД ЭТАЛОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Метод эталонных уравнений
При исследовании свойств решений уравнений параболического
типа важную роль играет автомодельное решение, определяемое как
решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
определенного вида.
В этой главе методом эталонных уравнений исследуются решения
[13-22] некоторых классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков.
При доказательстве теорем использованы методы, развитые в [90-91].
Сначала рассмотрим обобщенное уравнение типа Эмдена-Фаулера
y ( l ) + p ( x ) y - g ( x ) y n y m = 0
где
(2.1)
и p( x) - некоторые гладкие функции.
В различных частных случаях уравнение (2.1) было предметом
многочисленных исследований (см. например обзор в работе [15]). В
случае p( x) = 0, m = 0, l = 2, g ( x) = x оно известно как уравнение Эмдена Фаулера, при  = -1/ 2, n = 3 / 2 – как уравнение Томаса-Ферми [8].
Асимптотика решений уравнения Эмдена - Фаулера при x→∞ получена
в [90]. Различные свойства решения уравнения (2.1): колеблемость,
существование монотонных решений, асимптотика решений (
p( x) = 0, l = 2, m = 0 при n  1 ) получены в работе [15], а в случае 0  n  1 в
[15,87]. Дороджницын А. [83] предложил метод «эталонных» уравнений
(ВКБ - метод) для задачи Штурма - Лиувилля.
Результаты, относящиеся к установлению асимптотики решений
уравнения (2.1) (l = 2, p( x) = 0, g ( x) = x ) , можно найти в [109-110], более
общий случай в [15].
Метод ВКБ (эталонных уравнений) для линейных обыкновенных
уравнений произвольного порядка обоснован Федорюком М. В.[109-110
].
2.1 Построение ВКБ – решений
l  2, 0  n  1, g ( x)  0
Займемся построением ВКБ - решений. Термин ВКБ - решение,
обычно употребляемый для линейных уравнений, будем использовать и
в нелинейном случае, поскольку по форме ВКБ - решения в линейном и
нелинейном случаях одинаковы.
Рассмотрим два варианты ВКБ - решений.
44
Определение 2.1. Функцию
y1 = z (x )
(2.2)
x
где  (x, x0 ) =  g 1 /(l −m ) (t )dtz - решение уравнения
x0
dlz
− z n zm = 0 ,
l
d
(2.3)
назовем ВКБ - решением уравнения (2.1) в форме Харди, а функцию
y2 ( x, x0 ) =   ( x, x0 ) 
−
l −1
2
 z  ( x, x0 ) ,
(2.4)
где
2
x
 ( x, x0 ) =  g 2(l −m )+(l −1)( n−1+ m ) (t )dt ,
x0
2(l − m) + (l − 1)(n − 1 + m)  0,
назовем ВКБ - решением.
Функция (2.4) при n = 1, m = 0 превращается в ВКБ - решение
линейного уравнения l -го порядка.
Отметим одно интересное свойство функции (2.4) в случае m = 0
Пусть


 , x =  − 3   
 2   
2
– инвариант или производная Шварца функции  ( x, x0 ) по
функция (2.4) в случае l = 2,3, 4 удовлетворяет уравнениям
(2.5)
x.
Тогда
y2 +  , x y2 − q( x) y n = 0,
d
 , x y2 − g ( x) y 2n = 0,
dx
3 d2
d
9
2
IV
y2 + 5 , x y2 + 5  , x y2 + 
 , x +  , x  y2 − g ( x) y2 = 0.
2 
dx
4
 2 dx

В частности, если  , x = 0 , то ВКБ - решение (2.4) является точным
y2 + 2  , x y21 +
решением исходного уравнения (2.1) ( p ( x)  0 ). Таким образом в случае
l = 3, 4, если g ( x) = (cx + d )-2( n +3) , (l = 3) и g ( x) = (cx + d )-(3n +5) , то ВКБ - решение
(2.4) есть точное решение этого уравнения.
45
Условие
p( x) =
1
 , x
2
есть условие интегрируемости уравнения (2.1)
при l = 2, m = 0 . Из него при n = -1 вытекает условие интегрируемости Леко
[15].
Укажем теперь способ построения функций (2.2), (2.4).
Ищем решение (2.1) в виде
y( x) = z ( x) ,
(2.6)
где  ( x) – пока неопределенная функция, подставляя ее в (2.1), имеем
( )l z (l ) + ... + g ( x) m z n z  m = 0 .
Отсюда выберем  ( x) из условия
( )
x
l
= g ( x )  , т.е  ( x, x 0 ) = c +  g
m
1
l −m
(t )dt ,
x0
а z удовлетворяет уравнению (2.3).
Заметим, что тот же результат будет получен, если воспользоваться
замечательным результатом
Теоремы Харди [78]. Пусть f ( x ) – функция, принадлежащая телу
Харди. Тогда
а) если f имеет бесконечный порядок относительно x , то для
любого целого n  0
f ( n ) ( x) ~ [ f '( x)]n /[ f ( x)]n-1;
б) если
f
(2.7)
имеет относительно x конечный порядок  , то для любого
n0
f
(n )
( x) ~  ( − z )...(  − n + 1)
f ( x) n ( - 1)...( − n + 1)
 f ( x)n / f ( x)n −1 ,
/x ~
x
n − 1
кроме того случая, когда  – целое положительное число и
Здесь и всюду в дальнейшем
f ( x) ~  ( x)
означает, что
(2.8)
n.
lim f ( x) / ( x) = 1 ,
x →
если  ( x)  0 , и f ( x) = 0 , если  ( x) = 0 .
Теперь займемся построением функции (2.4). для этой цели имеем
y ( x) = f ( x) z[ ( x)],
где f ( x),  ( x) – пока не определенные дифференцируемые на
функции, а z ( ) – решение уравнения (2.3).
Подставляя y ( x) в (2.1), имеем
46
[ x0 , ]
f  l
d l z l (l − 1)
+[
f  l −2 + lf  l −1 ] + ... + g ( x) f n [ f z + f  z]m z n = 0 .
d l
2
Выберем теперь
f
(2.9)
и  из условий
l (l − 1) f  l −2  + lf  l −1 = 0 ,
(2.10)
 (l ) = g ( z ) f n −1+ m .
Интегрирование системы (2.10) дает
f ( x) =  ( x, x0 )
− ( l −1) / 2
x
 ( x, x0 ) =  g
2
2 ( l − m ) + ( l −1)( n −1+ m )
,
(t )dt .
x0
Отметим, что (2.3) имеет однопараметрическое семейство решений
z ( ) = [b + (( − 1)...( − (l − 1) 1− m ) −1 / l − m  ] ,
l −m
,
=
1 − ( m + n)
(2.11)
где b  0 – произвольная константа.
В этой главе мы займемся обоснованием метода эталонных
уравнений для обобщенного уравнения типа Эмдена - Фаулера второго
и третьего порядков.
При этом будут использованы построенные выше ВКБ - решения
первого и второго типов.
2.2 Метод «эталонных» уравнений для нелинейного
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Рассмотрим в
[ x0 , ]
обобщенное уравнение типа Эмдена - Фаулера:
y + p( x) y − g ( x) y n ym = 0 .
(2.12)
Приведем некоторые определения [15].
Определение 2.2. Решение уравнения (2.12) называется
продолжаемым, если определено на некотором бесконечном промежутке
( x0 , ) , и непродолжаемым, если определено на некотором конечном
промежутке ( x0 , x1 ) и его нельзя продолжить за точку x1 ..
Определение 2.3. Решение уравнения (2.12) называется
неколеблющимся, если на рассматриваемом интервале не имеет более
одного нуля, и колеблющимся, если обращается в нуль по крайней мере
в двух точках рассматриваемого интервала.
47
Определения 2.4. Решение уравнения (2.12) называется особым
(финитным), если оно отлично от нуля на конечном интервале ( x0 , x1 ) и
тождественно равно нулю при x  x1 .
Докажем, что построенные выше ВКБ - решения дают асимптотику
продолжаемых и непродолжаемых и особых решений уравнения (2.12).
Из (2.4) при n → 1, m = 0 вытекает обычное ВКБ – решение известное
только для линейного уравнения.
Отметим, что при исследовании асимптотики решений уравнения
вида (2.1) существенную роль играет преобразование вида
y = f ( x) z[ ( x)] ( ( x)) ,
где
(2.13)
и  ( x ) - известные функции, причем  ( x) →  при
x → x0 , x0  + или x0 → + , что позволяет исследовать асимптотическую
устойчивость решения (2.1) при  → + . Тогда полученное относительно
 ( ) дифференциальное уравнение при соответствующем подборе
f ( x), [z ( )] и  ( x ) становится при  → + почти автономным, а иногда и
автономным, что позволяет понизит порядок дифференциального
уравнения.
Рассмотрим уравнение
f ( x), z ( )
d 2
d
+ b1 ( )
+ b2 ( ) − b3 ( ) n = 0 ,
2
d
d
(2.14)
полученное из (2.12) преобразованием (2.13) при m = 0 .
B дальнейшем нам потребуются следующие леммы из [90-91].
Лемма 2.1. Пусть функция b1 ( ) непрерывная, а функции b2 ( ), b3 ( )
интегрируемы на каждом конечном отрезке положительной полуоси.
Пусть далее при  → + имеем
b1 ( ) ~ b1  , b( ) = b1  −1 ,
bi ( ) ~ bi (i = 2,3) , где 0    1, bi  0 .
Если уравнение
d 2v
dv
+ b1 ( )
+ b2 ( ) v = 0
2
d
d
не имеет колеблющегося решения, то для любого нетривиального
неколеблющегося продолжаемого решения  ( ) уравнения (2.14) при
 → + либо  ( ) ~ (b2 / b3 )1/( n-1) , либо  ( )~ ( )~0 , где  ( ) - какое-нибудь
нетривиальное решение последнего линейного уравнения.
48
Лемма 2.2. Если функции bk ( ) (k = 1, 2,3) интегрируемы на каждом
конечном отрезке промежутка (0, + ) и b3 ( )  b3  0, b2 ( ) / b3 ( ) ~ b  0, то
любое неколеблющееся решение уравнения (2.14) стремится при  → +
к b1/( n-1) .
Из леммы 2.2 вытекает
Следствие 2.1. Если p( x) / g ( x) → c  0 при x → + , то правильные
решения уравнения (2.12) ( m = 0 ) имеют асимптотику
y ( x) ~ c1/( n-1) .
Пользуясь методами, изложенными в [15], легко получить
асимптотику продолжаемых и непродолжаемых решений в виде ВКБ решений
 (x, x0 )
1
−
2


n −1
 (x, x0 )
a 
2(n + 1)


−
2
n −1
,
где
x
 ( x, x0 ) =  g
2
n +1
(t ) dt .
x0
Отсюда, в частности, при
lim   ( x, x0 ) 
n →1
1
−
2
a = 1, n → 1
имеем


n −1
1 
 ( x, x0 ) 


2 ( n + 1)
−
2
n −1
 x 1

= g ( x) exp  −  g 2 (t )dt  ,
 x

 0

−
1
4
т.е. известное в линейном случае ВКБ - решение [15].
Докажем, что при выполнении некоторых условий на g ( x), p ( x) ВКБ
- решение в форме Харди будет асимптотикой продолжаемых решений
уравнения (2.12).
x
1
Теорема 2.1. Пусть  (x, x0 ) =  g 2 (t )dt
и выполнены условия
x0
 ( x, x0 ) → + ,
n −1 
2   
n − 1  
p ( x) −
→ c1  −1 ,
→ c2  −1


2
(n − 1)   
2(n + 1) 
n + 3  2
2
при x → + .
Тогда продолжаемое решение уравнения (2.12) ( m = 0 ) при x → +
имеет асимптотику
y ( x) ~
1
2
2( n − 1)
−
n −1  ( x, x ) n −1 .
(
)
1
+
c
1
0
( n − 1) 2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем искать решение (2.12) в виде
49
y ( x) =
2
−
2( n − 1)
n −1   ,  x = ln x, x

x
,
x


( 0),
(
)
( ) ( )
0 
(n − 1) 2 
(2.15)
где
x
1
2
 ( x, x0 ) =  g (t )dt .
x0
Тогда (2.12) примет вид (2.14) с b1 ( ) =
 1
2 
b2 ( ) =  1 +  p( x) −
(n − 1)
 
n + 3  
,
+
n − 1  2
 2 
2(n + 1)
 2  , b3 =  =
.
2
  
( n − 1)
В силу условий теоремы 2.1 выполняются все условия леммы 2.2 и
1
 ~ (1 + c1 ) n −1
при  → + . На основании (2.15) убеждаемся в
справедливости теоремы 2.2.
Асимптотику решений уравнения (2.12) в случае 0  n  1, m = 0 в виде
ВКБ - решений и ВКБ - решений в форме Харди можно получить с
помощью следующих лемм [90-91].
Лемма 2.3. Пусть для уравнения (2.14) выполнены условия:
b1 ( ), b2 ( ) абсолютно непрерывны на каждом конечном отрезке
промежутка [0, +); при x → + b1 ( ) ~ b1  , b1( ) ~ b1  -1, b2 ( ) ~ b2 , где
b2 ( )  L(0, ) , 0    1 , −   b1  0 , 0  b2  + и b3 ~ 1.
Если, кроме того, уравнение
z( ) + b2 z( ) + b3 z ( ) = 0
не имеет колеблющихся решений (если  = 0 , то b12 − 4b2  0 , если  =1 , то
b1 + b2  0 ), тогда для любого правильного, неколеблющего решения  ( )
1
уравнения (2.14) имеем либо |  ( ) |~ b21-n , либо  ( ) ~ z ( ) ~  , где z ( ) какоенибудь решение последнего уравнения.
Лемма 2.4. Пусть для коэффициентов уравнения (2.14) выполнены
условия леммы 2.3 и 0    1 , 0  b1 , b2  + . Тогда для любого
правильного неколеблющегося решения (2.14) имеем
|  ( ) |~ b21/1-n .
Асимптотика решений уравнения (2.12) при x → + имеет вид ВКБ решения


1− n
A (x, x0 ) 1 
 (x, x0 )
2(n + 1)


1
−
2
50
−
2
n −1
,
2
x
где  (x, x0 ) =  g n + 3 (t )dt при n → 1 , переходящие в известное в линейном
x0
случае [90] ВКБ - решение. Асимптотику особых решений уравнения
(2.12) ( m = 0 ) в виде ВКБ - решений в форме Харди, существование
которых доказывается как в [83], дает
Теорема 2.2. Пусть 0  g ( x)  C 1 (x0 ,  ) , g  ( x )  0 в (x0 ,  ) , p(x )  Cx0 , ) .
Тогда особое решение уравнения (2.12) при x → x1 , определяемое из
x
1
  g 2 (t )dt = c , приобретает асимптотическое представление
x0
y ( x) ~ c -  ( x, x0 ) 
2
1− n
x
1
2
,  ( x, x0 ) =  g (t )dt ,
x0
где постоянная c  0 ,  = (1- n ) / 2 ( n + 1) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. ВКБ - решение в форме Харди в этом случае
имеет вид
2
y ( x) = c -  ( x, x0 )  1− n
Покажем, что в левой окрестности точки x1 функция y (x) есть
асимптотика особых решений уравнения (2.12). Ищем решение (2.12) в
виде
y ( x) = y ( x) ( ) ,  = -ln ( c -  ( x, x0 ) ) .
Затем для  ( ) после подстановки

 − 1 −

y ( x)
в уравнение (2.12) получим

2 exp ( − )   ( x, x0 )
1   ( x, x0 )
1
exp(− )    + 2 ( −  n ) +
=0
2
   ( x, x0 )

 (1 − n )  2 ( x, x0 )

По определению функции  (x, x0 ) при x → x1 ,  → + . Поэтому мы
вправе применить к последнему уравнению лемму 2.5. При  → + имеем
 ~1 , что доказывает справедливость теоремы 2.2.
Аналогично, если потребовать от g ( x) большую гладкость,
например 0  g (x )  C 2 (x0 ,  ) , доказывается, что особые решения уравнения
(2.12) при x → x1 , имеют асимптотику
2
y ( x) ~ g
Точка
1
−
n +3
x
2

 1− n
( x) b +   g n +3 (t )dt  .


x0
x
x1
определяется из решения уравнения   g
x0
Отсюда при b = 1, n → 1
51
2
n −1
(t ) dt = −b
 x 1

y ( x) ~ g ( x) exp −  g 2 (t )dt  ,
 x

 0

-
1
4
снова получим известное в линейном случае ВКБ - решение. Таким
образом, ВКБ - решение из разряда приближенного частного решения
уравнения (2.12) при m = 0 переходит в охватывающие его общие
свойства, т. е. для достаточно широкого класса g ( x) решение исходного
уравнения при x → x1 ( x1  +) стремится именно к его ВКБ - решениям.
Займемся теперь исследованием асимптотики в виде ВКБ - решений
(2.4) уравнения
y = g ( x) y n ym , x  a, b) , (b  +)
(2.16)
где m , n  R , m  2, n  -1, m - n  3, m + n  1,  = 1 . Асимптотика решений
уравнения (2.16) в виде ВКБ - решения в форме Харди была получена
Евтуховым В [15].
Прежде чем перейти к установлению асимптотики решения
уравнения (2.16), рассмотрим систему дифференциальных уравнений

u1 = f1 ( ) + c11 ( ) u1 + c12 ( ) u2 + g1 ( ) X 1 ( , u1 , u2 )


u2 = f 2 ( ) + c21 ( ) u1 + c22 ( ) u2 + g 2 ( ) X 2 ( , u1 , u2 )
(2.17)
fi :  0 ,+ ) → R ,
функции
gi :  0 , +) → R ( i = 1, 2 ) ,
cij :  0 , + ) → R(i, j = 1, 2)
X i :  → R(i = 1,2)
непрерывны, а функции
непрерывны по совокупности переменных в области
в
которой
 =  0 , + )  D = ( u1 , u2 ) :| u1 |  ,| u2 |  ,0    R .
Предполагается еще, что функции
Липшица
X i (i = 1, 2)
удовлетворяют условию
2
X i ( , u10 , u20 ) − X i ( , u11 , u12 )    u 0 − u1
=1
где 0    R ,    0 и (u10 ,u20 ) , (u11 ,u12 ) ~ любые точки из области D и такие, что
X i ( , 0, 0 )  0(i = 1, 2) . Имеет место следующее утверждение
X i (i = 1, 2)
Теорема 2.3. Пусть функции
удовлетворяют
приведенному условию Липшица при любом   0 , а функции
fi , gi , cij (i, j = 1, 2) удовлетворяют условиям:
f i ( ) = 0 ,
а) lim
→+
lim gi ( ) = const ,
 →+
(i = 1, 2) ;
cij ( ) = cij0 , | cij0 | +, (i, j = 1, 2) ;
б) lim
→+
в) корни 1 , 2 характеристического уравнения
52
det ( cij0 −  ij )
2
i , j =1
= 0,
где  ij - символ Кронекера, имеют ненулевые вещественные части. Тогда
у системы уравнений (2.17) существует по крайней мере одно
вещественное решение (u1 ( ),u2 ( )) , стремящееся к нулю при  → + . Если
же, кроме того, Re i  0 хотя бы для одного i , то у системы уравнений
(2.17) существует бесконечное множество вещественных решений,
стремящихся к нулю при  → + .
Теорема 2.4. Пусть функции X i (i = 1, 2) удовлетворяют условию
Липшица при любом   0 , а функции fi , gi , cij (i, j = 1, 2) удовлетворяют
условиям:
а)
cii ( )  0 ,
+
 | c ( ) | d = +(i = 1,2) ;
ii
0
б)
в)
lim fi ( ) / cii ( ) = 0 , lim gi ( ) / cii ( ) = const (i = 1, 2) ;
 → +
 →+
lim c21 ( ) / c22 ( ) = b10 , lim c12 ( )c21 ( ) = b20 ,
 → +
 → +
c11 ( )c22 ( )
где | b10 | 1, | b20 | 1 . Тогда у системы уравнений (2.17) существует хотя бы
одно вещественное решение (u1 ( ),u2 ( )) , стремящееся к нулю при  → + .
Введем обозначение
x
 ( x0 , x ) =  g 2 / (3+ n −m) ( t ) dt .
x0
Рассмотрим случай  (x0 , b )  + . Выберем число m равным
2m1 − 1
2m2 + 1
m−2
k=
m + n −1
k 1,
m1
2m2 + 1
при 0  k  1,
при k  0 , где
m1 , m2 -
2m1
2m2 − 1
при
целые числа,
Теорема 2.5. Пусть выполнены условия
A( )  k , lim A( ) = a0 , | a0 | + , a0  k
 → +
где
1 d 2  d 
A( ) = A ( ( x ) ) = −


2 1 dx 2  dx 
 1 = [(−k ) k (k − 1)]
−m
1
m−2
и одно из соотношений
53
−2
c −  1  ;
c = const  0 ,
 0,  = − ln[c −  1 ( x0 , x )]
(2.18)
k − a0  (m − 1)(k + a0 − 1) ,
и
k − a0 = (m − 1)(k + a0 − 1)
(2.19)
(k − a0 )(k + a0 − 1)(m + n − 1)  0
Тогда для существования ВКБ - решений уравнения (2.16) с асимптотикой
 d 
y ( x) = v0 

 dx 
где
v0 = 
−k
1
−
1
2
c −  1 (x0 , x )k (1 + 0(1)) ,
1
1− m m + n −1
| (1 − k − a0 )(a0 − k )
|
(2.20)
необходимо и достаточно, чтобы
 (a0 - k )1-m (1- k - a0 )  0 .
(**)
При этом имеет место асимптотическое представление (а. п.)
1
k −1
 d  2
y( x) = v0 1 (a0 − k ) 
  c −  1  (1 + 0(1)) .
 dx 
(2.21)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала необходимость условия
(**). Подстановкой
 d 
y ( x) = 

 dx 
−
1
2
c −  1 ( x0 , x )  v ( ) ,
k
(2.22)
 ( x ) = − ln c −  1 ( x0 , x ) 
преобразуем уравнение (2.16) к виду
m
v + (1 − 2k )v + k (k − 1) + A1 ( )v = 1m− 2vn v − (k − A( ))v ,
(2.23)
где A1 ( ) = A( ) + A( ) - A ( ) . Заметим, что здесь k  0, k  1/ 2 и k  1 . He
нарушая общности, будем считать  (x0 , b ) = c /  1 . Поскольку  '( x)  0 ,
lim ( x) = + , то изучение решений уравнения (2.16) равносильно
x →b
2
изучению тех решений  ( ) уравнения (2.23), каждое из которых в
некотором промежутке  0 ,+ ) обладает следующими свойствами:
()  0,   ( ) − (k − A( )) ( )  0.
Учитывая условие (2.18), покажем, что такие решения  ( )
уравнения (2.23) имеют отличный от нуля конечный предел  0 при  → +
только при выполнении неравенства (**). В самом деле, подставляя
любое из этих решений в (2.23) и полагая
u ( ) =   ( ) − ( k − A ( ) ) ( ) ,
получим тождество
u   1m−2 nu m − 1 − k − A ( ) u.
54
Рассмотрим соответствующую правой
соотношения вспомогательную функцию
части
последнего
F ( c0 , ) =  1m−2 n ( ) c0m − 1 − k − A( ) c0
где c0 – вещественное число. Очевидно, при каждом значении
отличном от значений c0 , удовлетворяющих уравнению
c0 ,
 1m−20n c0m + ( k +  0 − 1) c0 = 0
функция
F (c0 , )
сохраняет знак на некотором промежутке [ c ,+ ).
0
Следовательно для каждого фиксированного значения и u = c0 либо
u '( )  0 , либо u '( )  0 на промежутке [  c ,+ ). Поэтому для функции u ( )
0
существует
предел
при
на
 → +
[ c ,+ ).
0
Тогда
u ( )
( 0 − k )
 ( ) ~ 0 ( 0 − k ) при  → + . Отсюда и из выражения для u ( ) следует, что
производная функции ( ) имеет конечный предел, при  → + равный,
очевидно, только нулю. Следовательно,


lim u ( ) = lim  1m−2 n ( ) u m ( ) − 1 − k − A ( )  u ( ) = 0
 →+
 →+
или
 1m−20m+n ( 0 − k ) + 0 ( 0 − k )( k +  0 − 1) = 0
m
Далее получим
0m+n−1 =  12−m (0 − k )
1− m
(1 − k − 0 ) .
Поскольку 0  0 , то из последнего равенства следует, что условие
(**) необходимо для (2.22). В силу преобразования (2.22) и связи u ( ) и
() необходимость условия (**) доказана.
Предположим, теперь, что условие (**) выполнено. С помощью
преобразования
 ( ) = 0 1 + u1 ( ) , 1 ( ) + ( A ( ) − k ) ( ) = 0 ( a0 − k ) 1 + u2 ( )
сведем к системе уравнений
 u1 = f1 ( ) + c11 ( ) u1 + c12 ( ) u2 ,
 u  = − f  + c  u + c  u + (1 − k − a ) X u , u ,
( 1 2)
1( )
21 ( ) 1
22 ( ) 2
0
 2
где
f1 ( ) = a0 − A ( ) ; c11 ( ) = k − A ( ) ; c12 ( )  a0 − k ; c21 ( )  n(1 − k − a0 );
c22 ( ) = A ( ) − a0 − (m − 1)(k + a0 − 1);
X ( u1 , u2 ) = 1 + u1  1 + u2  − 1 + nu1 + mu2 .
n
55
m
(2.17')
Эту систему уравнений рассмотрим в области  =  0 , +)  D,
1
1

D = ( u1 , u2 ) : u1  , u2   .
2
2

Так как

 X ( u1 , u2 ) → 0
ui
при u1 + u2 → 0, то в
области D функция X ( u1 , u2 ) удовлетворяет условию Липшица при любом
  0 . Заметим, что X (0, 0)  0 . В силу (2.18) условия а) и б) теоремы 2.3
выполняются, остается исследовать условие в).
Рассмотрим «предельное характеристическое уравнение»
det ( cij0 −  ij )
2
i , j =1
= 0,
0
0
c120 = −c110 ,
c22
= −(m − 1)  ( k + a0 − 1)
где
c110 = k − a0 ,
c21
= −n(k + a0 −1) ,
(соответствующее линейной части системы уравнений (2. 17'). Это
уравнение имеет корни:
1,2 = 0,5  k − a0 − (m − 1)(k + a0 − 1)  
 0, 25  k − a0 − (m − 1)(k + a0 − 1)  + (k − a0 )(k + a0 − 1)(m + n − 1)
2
Учитывая соотношения (2.19), исследуем возможные случаи для
корней 1 и  2 : А) ( k − a0 )( k + a0 − 1) (m + n − 1)  0 , т.е. корни 1 и  2 ,
действительные и разных знаков. Согласно теореме 2.3 система
уравнений (2. 17') имеет бесконечное множество вещественных решений
(u1 ( ) , u2 ( )) , стремящихся к нулю при  → +; Б) k − a0  (m − 1)(k + a0 − 1) и
( k −  0 )(k +  0 − 1)(m + n − 1)  0 ) . Корни 1 и  2 имеют положительные
вещественные части. Поэтому на основании теоремы 2.3 у системы
уравнений (2.17') существует по крайней мере одно вещественное
решение ( u1 ( ) , u2 ( ) ) , стремящееся к нулю при  → +; В)
k − a0  (m − 1)  (k + a0 − 1) и ( k − a0 ) (k + a0 − 1)(m + n − 1)  0. В этом случае корни 1 и  2
имеют отрицательные вещественные части. Согласно теореме 2.2.1
существуют постоянные 1   0 и   0 (0,5   ) такие, что каждое решение
(u1 ( ) , u2 ( )) , удовлетворяющее начальному условию
ui ( )   , i = 1, 2
стремится к нулю при  → + .
Таким образом, учитывая преобразования, связывающие () с
u1 ( ) , u2 ( ) и (2.22), устанавливаем, что достаточность условия (**)
доказана.
Теорема 2.6. Пусть выполнено условие (2.18) и соотношения
( k − a0 ) = (m − 1)(k + a0 − 1) и ( k − a0 )(k + a0 −1)(m + n −1)  0 . Тогда для существования
56
ВКБ- решений вида (2.20) уравнения (2.16) необходимо выполнение
условия (**). Если наряду с условием (**) имеет место
lim  2 ( a0 − A ( ) ) = 0 ,
 →+
то уравнение (2.16) имеет ВКБ- решения, которые допускаю а. п. (2.20)
и (2.21).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства этой теоремы
достаточно, что при выполнении условий (2.18), (**) и у уравнения (2.16)
существуют ВКБ- решения, для которых имеет место (2.20) и (2.21).
Из соотношений k − a0 = (m − 1)(k + a0 − 1) и (k −  0 )(k +  0 − 1)(m + n − 1)  0
следует, что корни 1 и 2 “предельного характеристического уравнения”
чисто мнимые, т. е. Re 1 =Re 2 =0. Поэтому подстановкой
sin 
cos 


 u1 ( )  1 
  1 ( ) 


 u ( )  =  sin  − 0 cos  cos  + 0 sin     ( )  ,
c11
c11
 2
 
 2 


где  = ( k −  0 )( k +  0 − 1)( m + n − 1) ,
приведем к виду
систему уравнений для
~
~
~

cos 
Y ( , 1 , 2 )
 1 = f 2 ( ) + c11 ( ) 1 + c22 ( ) 2 + c110 (1 − k −  0 )



~
~
~
   = f  + c   + c   + c 0 1 − k −  sin  Y ( ,  ,  ).
)
)
(
(
2
21
1
22 ( ) 2
11 (
0)
1
2
 2

Здесь
f1 ( ) =  ( 0 − A ( ) ) ( sin  + 2c110  −1 cos  ) ;
~
c11 ( ) =
1

+  ( ) ;  ( ) = c110  −1 ( 0 − A ( ) ) ( sin 2 +  (c110 ) −1 cos 2 ) ;
c12 ( ) = ( 0 − A ( ) ) ( sin 2 + 2c110  −1 cos2  ) ;
~
f 2 ( ) =  ( 0 − A ( ) ) ( cos  − 2c110  −1 sin  ) ;
~
c21 ( ) = ( 0 − A ( ) ) ( sin 2 − 2c110  −1 sin 2  ) ;
~
~
c22 ( ) =
1

−  ( ) ;
  sin 
cos  
Y ( , w1 , w2 ) =   1 +
1 +
2 




n
2
m
 1

 

1

1 +  sin  − 0 cos   1 +  cos  + 0 sin   2  −
c11

c11

 
 
57
u1 , u2
 1

  
m
1
m
− 1 +  (m + n)sin  − 0 cos   1 +  (m + n) cos  + 0 sin   2   .
c11

c11

  
 
Теперь
легко видеть, что при выполнении условия
lim   ( 0 − A ( ) ) = 0 для последней системы уравнений в области
 →+
2
1
1


Q = ( , 1 , 2 ) : 1  , 2  ,  1
2
2


выполнены все условия теоремы 2.4.
Следовательно, в силу преобразований, связывающих u1 , u2 , и
 ( ) , y ( x ) легко убедимся в справедливости утверждения теоремы 2.6.
Теорема доказана.
Следствие 2.2. Любое ВКБ - решение вида (2.20) уравнения (2.16)
допускает при x → b а.п.
1
1
2

I ( x, )  1−m−n
 d 
y ( x ) = 0 
(1 + 0(1) )

 c −  1 ( x0 , x )  ( m + n − 1)( k +  0 − 1) 
I ( x,  ) 
 dx 

−
k
где

t


I ( x, ) =  exp (1 − m − n )  (1 − k − A( s) ) ds  dt ;


x
0
=

, I ( 0 , + ) = +
+, I ( 0 , +)  +.
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из u( ) =   ( ) − ( k − A ( ) ) ( ) и
u ( ) ~ ( 0 − k ) ( ) ~ 0 ( 0 − k )  → +
имеем  ( ) =
u ( )
(1 + 0 (1) )
0 − k
при  → + .
Подставив () в правую часть u =  1m−2 nu m − 1 − k − A( ) u получим
z + (1 − k − A( )) z =  1m−2 ( 0 − k )m−1 z m+ n (1 + 0(1) ) ,
где z ( ) = u ( ) / ( 0 − k ) .
Интегрируя это уравнение и учитывая, что  ( ) =
u ( )
0 − k
(1 + 0(1))
(2.22),
получим нужное а. п.
Случай  ( x0 , b ) = + . Здесь m есть число вида m = p / q , где q нечетное, p - четное, если k  0 , и любое, если k  1 . Кроме того, k  0,1.
Формулируем следующие утверждения.
Теорема 2.7. Если выполнено условие
58
B(t )  −k , lim B(t ) = b0 , b0  +, b0  k , = 0,
(2.24)
t →+
где
−2
1  d  d 2
B (t ) = B (t ( x)) = −
c1 +  2 ( x0 , x )  ,


2 2  dx  dx 2 
c1 = const  0,  2 =  k ( k − 1) 
t ( x) = ln ( c1 +  2 ( x0 , x ) ) ,
1− m
1
m−2
,
условий: k + b0  ( m − 1)( k − b0 − 1) ; k + b0 = (m −1)  ( k + b0 − 1) и
( k + b0 )( k − b0 − 1)( m + n − 1)  0 , то для существования у уравнивания (2.16)
ВКБ- решений вида
и
один
из
 d 
y ( x ) = 0 

 dx 
где
w0 = 
−k
2
−
1
2
c1 +  2 ( x0 , x )  (1 + 0(1)) .
1
1− m m + n −1
( k − b0 − 1)( k + b0 )
k
,
(2.25)
необходимо и достаточно, чтобы
 ( k − b0 − 1)( k + b0 )
1− m
 0,
(***)
причем для первой производной каждого такого решения имеет место а.
п.
1
k −1
 d  2
y ( x ) = 0 2 ( k + b0 ) 
  c1 +  2 ( x0 , x)  (1 + 0(1)).
 dx 
Теорема 2.8. Пусть выполнено условие (2.24), k + b0 = (m -1)(k + b0 -1)
и (k + b0 )(k - b0 -1)(m + n - l )  0 . Тогда для существования ВКБ- решений
вида (2.25) уравнения (2.16) необходимо, чтобы соблюдалось условие
t 2 ( b0 − B ( t ) ) = 0 , то уравнение
(***). Если же наряду с (***) имеет место lim
→+
(2.16) имеет ВКБ - решение вида (2.25) и первая производная такого
решения допускает а. п., как в теореме 2.7.
Следствие 2.3. Любое ВКБ - решение вида (2.25) уравнения (2.16)
допускает при x → b а. п.
1
2

I ( , t ) 
 d 
y( x) = 0   c1 +  2 ( x0 , x )   ( k − b0 − 1) (1 − m − n)

I  ( , t ) 
 dx 

−
где
59
1
1− m − n
(1 + 0 (1)) ,


t
s

I (  , t ) =  exp (1 − m − n )  ( k − 1 − B ( ) ) d  ds,



t0


 t , I (t0 , +) = +
= 0
+, I (t0 , +)  +
Для доказательства приведенных утверждений, используя замену
 d 
y ( x) = 

 dx 
и учитывая, что
−
1
2
c1 +  2 ( x0 , x) w ( t ) , t = t ( x) = ln c1 +  2 ( x0 , x) 
k
t ( x)  0 , lim t ( x) = +
x →b
изучение решений уравнения
(2.16) сведем к изучению тех решений  (t ) уравнения
  − (1 − 2k )  +  k (k − 1) + B ( t ) − B ( t ) − B 2 ( t )   =  2m − 2 n   + ( k + B (t ) )  ,
m
каждое из которых в некотором промежутке
следующими свойствами:
(t0 , +)
обладает
 (t )  0,  ( t ) + (k + B(t )) (t )  0.
Далее, исследуем существование у последнего уравнения решений,
имеющих отличный от нуля конечный предел 0 при t → + .
2.3. Асимптотика решения задачи Томаса-Ферми
Задача Томаса-Ферми:
1
2
3
2
x y = y , y (0) = 1, y () = 0
(2.26)
была предметом многочисленных исследований. Ранее [см. 8] для ее
решения была получена следующая асимптотика при x →  :
y (1 + z ) −3,886 , z =
x 0,776
3
144
(2.27)
Для решения задачи (2.26) ниже будет доказана следующая
асимптотическая формула
y (1 +
3
2
3 5
x 4 ) −4 , x
+
Для этой цели применим метод эталонных уравнений. [15].
Решения уравнения (2.28) будем искать в виде:
y = z[ ( x)]
60
(2.28)
(2.29)
где  ( x ) - пока неопределенная дифференцируемая на [0,+] функция, а
z - частное решение эталонного уравнения
2
d 2z
3
=
z
d 2
(2.30)
Как уравнение (2.30) имеет решение:
z ( ) = 400( + c)-4 ;
где с - постоянная
(2.31)
Подставляя (2.26) в (2.29) имеем
1
2
x 
1
3
2d 2 z
dz
2 
+x 
− z2 = 0
d 2
d
Выберем  ( x) так, чтобы
 ( x) =
1
x 2 2 = 1,
(2.32)
т.е.
3 34
x ;
4
(2.33)
1
2
Тогда в уравнении (2.32) некомпенсированным будет член x  
который при x → +  имеет вид
имеем:
o( x
4
3

y ( x) 1 +
x 
 3 20 4 
15
−4
).
dz
,
d
Учитывая (2.29), (2.31), (2.33)
−4

x
(2.34)
Покажем справедливость (2.28). Для этого осуществим в (2.26)
преобразование
t = Ln ( x)
y( x) = y( x)W (t ),
Обозначим через  = 1 +
(2.35)
1

20
Тогда получим следующее уравнение
y
2
− W  = (
1
 2
4   12
8  2
 
 2
2
−
) x yW + yx (−
+
−
)W  +
2
2
2
 + c1 ( + c1 )2
20 
20 
+y
 2
( + c1 ) 2
1
x 2W 
или
1
d 2W
8 2
  2  2 dW
2
−
(
−
x
+ 2)
+
dt 2

 dt
20 
4 12
+(1 −
x −  ( + c1 ))W − W n = 0
20
61
(2.36)
Так как
1
1 1 −5
1 2 −5
1 −3
x 2  = − x 2 x 4 = − x 4 = − x 4 → 0
4
4
4
при x → +  , то в силу
леммы Кигурадзе [90-91] любое решение W уравнения (2.36) стремится
к 1; т.е. W →1 при t →  , что означает справедливость асимптотики (2.34).
2.4 Уравнение Эмдена –Фаулера и газодинамические процессы
Известно, что многие задачи физики, теплопроводности, диффузии,
гидродинамики, газовой динамики описываются нелинейными
уравнениями в частных производных. Именно нелинейные уравнения
более точно описывают реальную картину изучаемого явления и
приводит к новым физическим эффектам. Такие эффекты как конечная
распространения возмущений, локализация конечных и бесконечных
решений (режим с обострением) впервые были обнаружены в работах
[110] на примере уравнений нелинейной теплопроводности, нелинейной
фильтрации и нелинейной диффузии. Эффекты локализации
газодинамических процессов и образования газодинамических структур
проявляющиеся в результате действия степенных граничных режимов с
обострением на среду со степенным распределение энтропии были
установлены в работе [111].Они показали, что локализация
применительно к газодинамическим задачам означает, что
газодинамическое движение распространяется лишь на конечную массу
газа, лежащую перед поршнем, несмотря на неограниченное возрастание
давления (и скорости) на поршне. Глубина локализации (масса
сжимаемого газа) определяется параметрами среды и граничного
режима. Ими также были установлены второй эффект – образование
газодинамических структур (локализованных экстремумов температуры
или плотности), самоподдерживающихся в процессе сжатия среды.
Структуры появляются благодаря неизоэнтропичности среды и
локализации («инерции») газодинамических процессов (последнее
объединяет их с нестационарными тепловыми структурами).
Дополнительный стимул к исследованию граничных режимов с
обострением в газовой динамике – возможность адиабатического
(оптимального) сжатия газа, реализующаяся при следующем законе
роста давления на поршне в режиме с обострением.
p(0, t ) = p0 (t f − t ) ns , ns = −2
N +1
 + 1 + N ( − 1)
где p-давление,  -показатель адиабаты, N = 0,1, 2 -индекс симметрии, p0размерностный параметр, t f   - момент обострения, t – время.
В работе [111] изучено воздействие граничного режима с
обострением (0.1) на среду с произвольным распределением энтропии (в
62
плоском случае). Разнообразные профили энтропии в среде могут быть
созданы процессе движения ударных волн с переменными скоростями, в
результате первоначального прогрева среды и в силу ряда других
причин.
Одним из основных задач является не только определения
структуры решения, а также получение оценки поведение фронта в
газодинамических процессах. В настоящей работе путем построения
верхнего решения получены оценки решений сверху для достаточно
широкого класса автомодельных задач. Проведены численные расчеты
на их основе Результаты численных экспериментов показывают
эффективность предложенного метода.
1. Постановка задачи.
1. Одномерное плоское адиабатическое движение газа описывается
системой уравнений [111]:
  1  U
,
 =
t    x
U
p
=− ,
t
x

p  − ) = 0,
(
t
(2.37)
-давление, плотность и скорость газа, -показатель адиабаты,
x  0 - лагранжевая массовая координата.
Общее решение последнего уравнения системы (2.37) (интеграл
адиабатичности) можно записать в виде:
где
p, q, U
р − =   (х)
(2.38)
где  ( х)  0 - произвольная суммируемая функция, описывающая
распределение энтропии по массе газа: s = Ln (x) .
Так, степенные распределения энтропии возникают в случае выхода
ударной волны на поверхность звезды, кумуляции ударных волн на
центр или ось симметрии. При движении ударной волны в атмосфере
функция  (х ) имеет – экспоненциальный вид. В дальнейшем
предполагается, что  (х ) - произвольная суммируемая функция с
конечным числом разрывов (соответствующих контактным разрывам).
Решение системы (2.37) в разделяющихся переменных x и t имеет вид:
p( x, t ) = (t f − t ) n П ( x),
U ( x, t ) = −n(t f − t ) n −1V ( x)
n
 ( x, t ) = (t f − t ) g ( x)

63
(2.39)
Из (2.39) следует, что в момент времени t = − давление и скорость
газа равны нулю, все его частицы находятся на бесконечности. При t → t f
( t f -момент обострения) давление и скорость газа неограниченно
возрастают, а радиус стремится к нулю. Процесс может рассматриваться,
также, с момента t  − если начальные данные имеют автомодельный
вид.
Пространственное распределение газодинамических функций
описывается дифференциальным уравнением второго порядка типа
Эмдена Фаулера:
 −  ( x)
''
xx
−
1

= 0,
V = − ,
(2.40)
'
x
1
g ( x) =  −1 ( x)  ,
2. Газ сжимается плоским поршнем, расположенным в точке x = 0 ,
давление на котором, в соответствии с (0.1) растёт по закону:
p(0, t ) = p0 (t f − t )
−
2
 +1
(2.41)
при этом функция  (х) имеет размерность константы р0 ; Скорость
поршня ограничена при всех t  t f ; |  (0) | c = const . Из (2.39) и (2.41)
имеем  (0) = р0 = сonst .
Ищутся решения, для которых  ( x)  0, V ( x) = − x'  0, при 0  х  хф ( xф  0 координата фронта волны сжатия, отделяющая движущееся газ от
невозмущенного), а при х = хф давления и скорость газа обращаются в
нуль:  ( хф ) =  ' ( xф ) = 0
Если величина хф конечна, то имеет место эффект локализации.
х  хф
Действительно,
при
решением
системы
(2.37):
 ( x, t ) = 0 = const,U ( x, t ) = p( x, t ) = 0.
Следовательно,
при
(в
области
локализации)
0  х  хф
газодинамические функции растут в режиме с обострением, а при х  хф
находится неподвижное холодное вещество (отделенное от фронта
волны контактным разрывом), в которое возмущения от поршня не
проникают. Примером является решение для случая  ( x)  M = const
(изоэнтропическое сжатие [111]).
64
2
 ( x) = P0 (1 −
P0 = ( x
x  +1
) ,
x
М ( + 1)
)
2 ( − 1)
2
2
 +1
0  х  хф
(2.42)
,
Если же величина xф бесконечна, то локализация отсутствует –
сжатию подвергается вся масса, лежащая перед поршнем.
Исследуемое дифференциальное уравнение второго порядка типа
Эмдена-Фаулера
1
 −  ( x) = 0,

''
(2.43)
и граничные условия имеют вид:
 (0) = P0 ,  ' (0)  ,
 ' ( x ) =  ( x ) = 0,
(2.44)
(2.45)
Рассматриваются газодинамические течения, для которых давление
и скорость непрерывны, а плотность может иметь конечное число
разрывов. В соответствии с этим под решением задачи (2.43)- (2.45)
будем понимать непрерывно дифференцируемую функцию  (х) с
кусочно-непрерывной второй производной и удовлетворяющую в точках
непрерывности уравнению (2.43).
В краевых условиях (2.44), (2.45) имеются два, вообще говоря,
зависимых между собой параметра: P0 и xф . В процессе решения
уравнения (2.43) необходимо задать один из них (т.е. одно граничное
условие из (2.44), (2.45)) и определить значение другого параметра, при
котором выполняется второе условие.
Таким образом, возможны 2 постановки задач, соответствующие
двум различным физическим ситуациям.
Задача I.
Локализация безударного сжатия на заданной массе газа.
Пусть из всей массы газа, лежащей перед поршнем (  (х), - заданы)
необходимо сжать безударным образом лишь некоторую ее часть (
0  x  x , x - задано). Следует найти решение (2.43) удовлетворяющее
(2.44), (2.45) и установить соответствующую константу Р0 масштаб
давления на поршне.
Задача II
Определение глубины локализации при заданном граничном
режиме.
65
Пусть задано давление на поршне (т.е. величина Р0 (2.44)).
Требуется определить результат воздействия граничного режима на
среду с заданным  (х) и  т.е. найти условия существования решения
уравнения (2.44) и значение глубины локализации (константы хф в (2.45).
2.4.1 Локализация сжатия на заданной массе газа
1. Рассматривается задача "2.43". Требуется (при заданном значении
хф - массы сжимаемого газа) найти решение уравнения (2.43),
удовлетворяющее граничным условиям.
Предварительно заметим, что если  ( х)  М  0 при 0  x  xф , то
решение поставленной задачи имеет вид (2.42). В дальнейшем решение
1
(2.42) будем всюду обозначать  М ( х, хф ) . Если же  ( x) = ( x − x) M ,   − 1

что необходимо для непрерывности ' ( x) при x = x (и выполнения
условия (2.45)), то решение задачи I имеет вид:

x 
 ( х) = А 1 − 
 x 
ф 

( + 2) 
 +1
,
2 

  +1 
М ( + 1) 2
 1+ 2 
А =  xф 
 
 ( +  − 1)( + 2)  



(2.46)
2. Теорема 2.9.(существования)
Пусть   С(х  0) , тогда для любого хф  0 существует Р0  0 и решение
( x) (0  x  xф ) уравнения (2.43) такое, что (0) = Р0 и  ( x) =  ' ( X ф ) = 0 , т.е.
решение задачи 1 существует.
3. Теорема 2.10. (о единственности)
Решение задачи I единственно
4. Из теорем 2.9 и 2.10 следует непрерывная зависимость решения
задачи 1 от точки xф и правой части (т.е. от  ( х) и  ).
Теорема 2.11. (о непрерывной зависимости)
Для любого   0 можно указать   0 такое, что если
'
xф − хф'' +  ' −  '' + 1 ( x) − 2 ( x)   , x  0, max( xф' , xф'' )  то решения задачи 1(  1 ( х) и
 1 ( х ) −  2 ( х)  
будут удовлетворять неравенству:
при
 1 ( х) )
x  [0, min( x'ф , x' 'ф )] и, следовательно Р01 − Р02  
66
Замечание. Теорема 2.9-2.11 были доказаны в предположении, что
 ( xф )  0 . Немного боле сложным образом аналогичные доказательство
проводятся для случая, в окрестности точки xф функция  (x) допускает
представление вида:  ( х) = ( хф − х)  ( х) , где  (х) - непрерывна
1
 ( хф )  0,   −(1 − ) .

5. Результаты 2.1 показывает, что если задана глубина локализации
(масса сжимаемого вещества хф ) и распределение энтропии ( (х), ) , то
всегда существует единственный граничный режим вида (2.41) зависит
от глубины локализации хф и распределения энтропии в среде (  (x) и  )
непрерывным образом.
2.4.2 Определение глубины локализации сжатия при заданном
граничном режиме
1. Из теорем 2.9-2.11 2.2 следует, что для любого x  0 существует
P0  0 , для которого задача 1 (о локализации сжатия на заданной массе
газа) разрешима.
Этого нельзя сказать о задаче II т.е. нельзя утверждать, что в общем
случае для любого P0  0 найдётся соответствующее хф , для которого
существует её решение. Такие примеры легко построить. Ввиду этого
формулируем условия, при которых решение задачи II существует и
единственно.
Теорема 2.12 (существование) Пусть  (x) такова, что  ( х)  m  0 при
x  x1  0 . Тогда для любого P0  0
найдётся по крайней мере одно
значение хф , для которого задача II разрешена.
Замечание. Более сложными рассуждениями можно показать, что
для любого Р0 найдётся по крайней мере одно значение хф , для которого
задача II разрешима, если функция  ( х)  0
такова, что
xф
  (s)ds → ;
xф → + .
0
2. В общем случае для заданного P0  0 может существовать
несколько значений хф , для которых существует решение задачи II.
Теорема (условия локализации)
Если  (x) удовлетворяет условиям теоремы 2.10, то задача II ни при
каких значениях р0 не может решения  ( х) отвечающее условиям:
 (0) = p0 ,  () = 0
67
(2.47)
Теорема (условия отсутствия локализации).
Пусть найдутся такие числа M , p, q,   0 , что
 ( x)  M ( p + qx)−2− , 0  x  
Тогда задача II для
(2.47).
P0  0
(2.48)
имеет решение, удовлетворяющее условию
2.4.3 Сложные газодинамические структуры. Некоторые
оценки и свойства решений
Степень сжатия (нагрева) участка среды определяется давлением и
энтропией. При неоднородном распределении энтропии появляется
возможность достичь большей степени сжатия (нагрева) в областях с
меньшим давлением – возникают газодинамические структуры –
локализованные экстремумы температуры и плотности, растущие в
режиме с обострением.
В силу непрерывной зависимости решений от правой части,
положения точки хф (размера области локализации) возможно, построить
широкий класс оценок.
В частности, если имеется мажорантная оценка:
 m ( xф , x)   ( x)   M ( xф , x) .
(2.49)
Следующая теорема обобщает неравенство (2.49).
Теорема 2.13. Пусть (х) - решение задачи (2.43) – (2.45) .
Предположим далее, что существует непрерывно дифференцируемые
функции m ( x) и M ( x) такие, что:
 'M ( x)  0,  ( x)   M ( x),
 'm ( x)  0, m ( x)   ( x),
для всех
x  [0, x ],
для всех
x  [0, x ].
(2.50)
Тогда при 0  х  хф справедливо:  m ( x, xф )   ( х)   M ( x, xф )
 −1
 −1
2
2
m ( x)( m ( x, x ) 2  − '( x) 
 M ( x)( M ( x, x )) 2
 −1
 −1
(2.51)
где
2
 ( + 1) 2 xф
  +1
 M ( x, x ) = 
 M ( s)ds 
 2 ( − 1) x

(2.52)
2
 ( + 1) 2 xф
  +1
 m ( x, x ) = 

(
s
)
ds

 m
 2 ( − 1) x

68
(2.53)
Неравенства (2.50) и (2.52) получаются в результате интегрирования
1
 −1

2
уравнения  ' ( x)   2 M   M ( x, x )  2
  −1 
функции  ( х) .
(при  → 0 ) и мажорирование
2.5. Приближенное решение на основе ВКБ решения
Рассмотрим задачу
 ''−  ( x)
 (0) =  0 ,
−
1

=0
 '(0)  +;
(2.54)
(2.55)
 '( x ) =  ( x ) = 0;
Пусть, 1)  ( x) = M ( x1 + x)
2)  ( x) = Me x


Существование и единственные решение этой задачи доказана при
 ( x)  C[0, ) в [15].
Займемся теперь нахождением приближенного решения задачи
(2.54). Для этого воспользуемся ВКБ решением типа Харди, для чего
формально заменим y' ' согласно формулы Харди. Тогда имеем
−
 '2
−  ( x)  = 0

1
1
−1
т.е   '


 +1
2
2
=  ( x)

1
2
 ' =  ( x);
 +1
 ( x)dx;
2 0
x
=C−
или
1−
2
(2.56)
 ( x) = [C −
1
2
 + 1 x 12
 ( y )dy ]2 /( +1) ;
2 0
где C  0 – постоянная интегрирования.
Таким образом, найдено приближенное решение задачи (2.43)-(2.45):
2
 ( x) = [C −
 + 1 x 12
 ( x)dx] +1 ;

2 0
(2.57)
Если   0 ,  −1;
1
2
В случае  = −1 имеем   ' =  ( x); ln  = C    ( x)dx;
−2
2
x
 ( x) = e
69

1
C   2 ( y ) dy
0
;
которые удовлетворяет условию
 (0) = C ;  () = 0;
x
если  
1
2
( x)dx → +; x → +;
Теперь определим константу из условии
0
2
 +1
 (0) =  0 = С  +1 , т.е. С =  02 ;
Поэтому перепишем (2.57) в виде
2

  +1
x
1

+
1
1
 ( x) =  0 1 −
 2 ( x)dx  ;
 +1 
2


 02 0
теперь размер глубины локализации
т.е.
xф
xф
  −1;
определяется из условия.  ( x ) = 0
 +1
2
2
0  ( x)dx =  + 1  0 ;
1
2
(2.58)
В качестве примера возьмём  (x) в виде


 ( x) = М ( x1 + x) ;
Тогда из (2.58) имеем

1
2
М ( x1 + xф )

2
Отсюда определим
+1
2

1
+1
-
М 2 ( x1 ) 2

+1
2
+1
 +1
=
2
 02 ;
 +1
xф

 +1

1
+1
+1
 2
 + 2
2  
2
2
2
=
; М ( x1 + xф )
=
+
1

+
М
(
x
)
;
0
1
 +1
 + 1  2 
 +1
2
 1 2


x = 
 + 1  0

 2 М ( + 1)  2
− ( x1 )

+1
2

− x1 

2 +1

;
2

  + 2
 +1

1
+1

 2
2

2 2 
x =
+ 1  0 + M x1
− x1 ;

 1

2



2
 M ( + 1)

 + 2

1
 0;
+ 1  0;   2 + 1;   − ;
2
2 ( + 1)
2 + 1
Теперь определим константу из условии  (0) =  0 = C
Поэтому перепишем (2.57) в виде
70
2
 +1
,
т.е.
 +1
2
C = 0
2

  +1
x
1

+
1
1
 ( x) =  0 1 −
 2 ( x)dx  ;
 +1 
2


 02 0
Причем размер глубины локализации
 ( x ) = 0 т.е.
xф
xф
  −1;
определяется из условия.
 +1
2
2
0  ( x)dx =  + 1  0 ;
1
2
(2.59)
В качестве примера возьмём функцию  (x) в виде

 ( x) = М ( x1 + x)  ;
Тогда из (2.59) имеем
Отсюда определим

1
2
M ( x1 + x )
2
+1
−

+1
2

1
2
M ( x1 )
2
+1

+1
2
 +1
2
=
 2 ;
 +1 0
xф

=
 +1

1
+1
+1
 2
 + 2
2  
2
; М ( x1 + x ) 2 =
+
1

+
М
( x1 ) 2 ;

 0
 +1
 + 1  2 
 +1

+1
 1 2


 2
2
x = 
− x1 
 + 1  0 − ( x1 )

 2 М ( + 1)  2

2 +1

;
2

  + 2
 +1

1
+1


2


x =  1
+ 1  02 + M 2 x1 2 
− x1 ;



2



2
 M ( + 1)

 + 2

1
 0;
+ 1  0;   2 + 1;   − ;
2
2 ( + 1)
2 + 1
В случае когда  ( x) = Me x вычисляя интеграл
xф
1
x
 М 2 е 2 dx =
0
 +1
2
 02 ;
 +1
Отсюда
1
2М 2

xф
е
2
 xф
е
2
=
2
1
2
М ( + 1)
 +1
2
0 −
1
2М 2

;
 +1
 +1
 


2  
2
=
 0 − 1; xф = ln 
 02 − 1;
  M ( + 1)


 M ( + 1)
Пусть  ( x) = M (к − x) 
71
Тогда вычисление интеграла дает
xф

1
2
 +1
2
2

0  М (к − x)  dx =  + 1  0 ;
1
2
М (к − x) 2

2
xф
+1
 +1
2
=
 02 ;
 +1
+1

2
+ 1  0;
0
а в случае когда  ( x) = C0 x вычисляя интеграл
xф
 +1

2
2
0 С x 2 dx =  + 1  0 ;
1
2
0
 +2
для фронта имеем x
2
ф
=
 (2 +  )
1
2
C 0 ( + 1)
1
2
0
 + 2 xф
C x
2
0
 +1
2 2 +  2
=
 ;
 +1 2 0
 +1
2
 0 ; отсюда найдем выражение для
фронта
2

  + 2  +1

(2
+

)
  ( + 2) ;
xф =  1
0


 C02 ( + 1) 
Возможны следующие случаи
 + 1  0;

 + 2  0;
 + 1  0;

 + 2  0;
 + 1  0;

 + 2  0;
 + 1  0;

 + 2  0;
функция
 ( x) = [C −
2
 +1 x 2
 ( x)dx]  +1 ;

2 0
1
при определенных предположениях относительно функция  (x) дает
асимптотику решения вблизи точки фронта x ф , определяемой из условия
 ф ( x) = 0 .
Для доказательства этого факта используется следующее
преобразование
2
1

 1− n
x
x
1
2


1
−
n
1− n


2 dx ;
 ( x) = С −

(
y
)
dy
W
(

(
x
));

=
−
ln
C
−

(
x
)








2 0
2 0




Тогда уравнение относительно сводится к такому виду, к которому
можно применить вышеприведенную теорему 2.5.
2.5.1 Двухсторонняя оценка решения задач Коши для
уравнения теплопроводности с нелинейным поглощением
72
Рассмотрим в Q = {(t , x) : t  0, x  R N } задачу Коши
Lu = −
u
+ u − k (t , x) f (u , x) = 0 ,
t
u t =0 = u0 ( x)  0, x  R N .
(2.60)
(2.61)
Задача
(2.60),
(2.61)
описывает
различные
процессы
теплопроводности, диффузии фильтрации и др. при наличие
поглощения, мощность которого равна k (t , x) f (u, x) .
Частному случаю задачи (2.60), (2.61) когда k (t , x) = 1, f (u, x) = u 
посвящена работа [1-2], где всестороннее исследованы свойства
решения этой задачи, путем анализа свойств автомодельных решений и
показан, что характер, асимптотики решения носит весьма сложный
характер, из-за нелинейного члена. При этом установлено, что свойства
решения зависит от значения параметра  , размерности пространств и
гладкости u0 ( x) .
В настоящей работе исследуется глобальная разрешимость задачи
(2.60), (2.61). Получены условия локализации решения, оценки решения
задачи (2.60), (2.61) сверху, снизу. Предложен метод построения
верхнего и нижнего решения.
1. Пусть
k (t , x) = k (t ), f (u , x ) = f (u ) .
В этом случае имеет место
Теорема 2.14. Пусть k (t )  0, t  0, f (u)  0 , при u  0 , а u (t ) решение
уравнения
−
du
= − k (t ) f (u ) ,
dt
(2.62)
и выполняется условие
k (t )(t + T )u −1 f (u ) 
N
,
2
где T  0 постоянная.
Тогда задача (2.60), (2.61) глобально разрешима и для решения
справедлива оценка
u (t , x)  u+ (t , x) = u (t ) w(t , x) ,
~(t , x)
если u0  u+ ( x,0), x  R N , где w
фундаментальное решение уравнения
w
= w .
t
73
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы ищем решение
задачи (2.60), (2.61) в виде
u (t , x) = u (t ) w(t , x) .
Тогда уравнения (2.60) с учётом (2.72) приводится к виду
u −1 L1 w = −
w
k (t )
 f (u ) − f (u w) = 0 ,
+ w +
t
u
(2.63)
Переходя в (2.63) к её радиально-симметрической форме, а затем
полагая
x
w(t , x) = f ( ),  =
(T + t )
1
2
,
(2.64)
уравнение (2.63) перепишется в виде
u −1 (T + t ) L1 f   1− N
d
d

 N −1 df  (T + t )k (t )
 
+
f (u ) − f (u w)
d 
u

В силу условие теоремы имеем L1 f  0 в Q.
сравнений решение [1]
u (t , x )  u + (t , x ) = u (t )e
−
.
Тогда по теореме
| x| 2
4 (T +t )
Теорема доказана.

Теорема 2.15. Пусть f (u ) = u ,
уравнений
u (t ), w(t ) ,
соответственно решения
du
= − k (t )u  ,
dt
dw
=
dt
k (t )
t
(2.65)
(w − w  )
T + (  − 1)  k (t )dt
,
(2.66)
0
И выполнены условия
(  − 1) T
N
 1 , u 0 ( x )  u − (0, x ), x  R , w (t )  1 ,
0
(T + t )k (t )
t
T + (  + 1)  k (t )dt
0
Тогда для решение задачи (2.60)-(2.61) имеет место оценка
w(t )u (t ) w  u (t , x )  u (t ) w в Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим в (2.63)
74

N
2 .
x
w(t , x) = f ( ),  =
(T + t )
1
2
Тогда с учетом условия теоремы 2.15 для f ( ) из (2.64) имеем
Lf   1− N
d
d
 N −1 dt
 
d

  dt
(T + t )k (t )
 +
+
(f − f ) = 0
t
 2 d T + (  − 1) k (t )dt

0
Возьмём теперь функцию f ( ) = e
Lf = −
N
f+
2
−

2
. Тогда легко вычислить, что
4
(T + t )k (t )
t
T + (  − 1)  k (t )dt
(f − f ).
0
Поэтому в силу условия теоремы имеем
Lf  0,   (0, ) .
Применение теоремый сравнение решений [1] даёт
u(t , x)  u+ (t , x) = u (t ) f ( ) в Q .
Теперь легко видеть, что функция w (t )u (t )w~ , где
w (t ), u (t )
выше
~
w
~
~
определенные функции, а w решение уравнения t = w будет нижним
решением задачи (2.60), (2.61). Суммируя, получим доказательство
теоремы 2.15.
Следствие 2.4. Пусть  = 1 и выполнено условие
k (t )(T + t )u  −1 
N
,
2
Тогда задача (2.60), (2.61) глобально разрешима.
Следствие 2.5. Пусть   1 , функции u (t ) и w (t ) являются
соответственно решениями уравнений
du
= −ku  ,
dt
dw
1
=
w(1 − w −1 ) ,
dt (  − 1)(T0 + t )
где константа Т0 такова, что T0 ( − 1)  1 .
Тогда для решений задачи (2.60), (2.61) справедлива оценка,
w(t )u (t ) w  u (t , x)  u (t ) w ,
75
где w~ фундаментальная решение уравнения
w
= w ,
t
если начальные
данные u0 ( x)  1.
Случай f (u, x) = g ( x) f (u) . Имеет место
Теорема 2.16. Пусть функция u (x) , решение уравнения
u

0
du
u f (u )
x
1
= c −   2 ( x)dx ,
(2.67)
0
где c  0 , постоянная, f (0) = 0, f (u)  c(0, ),  '( x)  0, fu (u)  0 и функция
 ( x  g ( x), x  (0, ) .
Тогда для решений задачи (2.60), (2.61) имеет место оценка
u(t , x)  u ( x) x  (0, ), t  0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства вычислим u '' и
подставим её в (2.60). Тогда из (2.67) имеем
Lu ( x) = − ' u f (u ) + [ ( x) − g ( x)] f (u ) −  ( x)uf u
В силу условий теоремы, из последнего выражения видно, что
Lu ( x)  0 в D = (0, ) . Следовательно, по теореме сравнение решений [110]
имеем
u (t , x)  u ( x)
если u0 ( x)  u ( x) x  (0, ) . Пусть
Эмдена-Фаулера
вQ
f (u ) = u  . Тогда мы имеем уравнении типа
Следствие 2.6. Пусть функция  (x), такова, что для неё выполнены
условия  '  0, g ( x)   ( x), x  (0, ) . Тогда для решения задачи (2.60), (2.61)
имеет место оценка
2
 1 −  x 12
 1−
u (t , x)  c −

(
t
)
dt
 , x  (0, ), t  0 ,
2 0


Доказано, также, что эта верхняя оценка при выполнении условия


1
2
( x)dx = 
является асимптотикой продолжаемых, особых и не
продолжаемых решений, стационарного уравнения (2.60) в точке
x → x0   , в зависимости от значения   1, 0    1 .
2.5.2 Связь уравнения Эмдена-Фаулера с нелинейным
гиперболическим уравнением
Рассмотрим уравнение
76
 2u    +1 u 
=  a0u

t 2 x 
x 
(2.68)
которое возникает при исследование газогидродинамических задач
[111]. Ниже мы увидим, что после разделение переменных мы получим
уравнение типа Эмдена-Фаулера. Используя решение уравнения типа
Эмдена-Фаулера установим одно важное свойство решения уравнения
(2.68), заключающиеся в локализации неограниченных решений. Для
этого ищем решения (2.68) в виде разделяющихся переменных
u ( t , x ) = T ( t ) ( x )
(2.69)
Тогда после подстановки (2.69) в (2.68) имеем
T  = T  +2
Отсюда для T ( t ) , ( x )
уравнения
d 
 +1 d 
 (x )

dx 
dx 
после разделения переменных получим
T  = T  +2 ,
d 
 +1 d 
 a0
 =  ( x )
dx 
dx 
интегрирование последних уравнений для T ( t ) и  (x ) получим

 ( + 1) 
T ( t ) =  C1 −
t
 + 3 

−
2
 +1
2

 +1
2
1  ( +1)
 ( x ) = C2 

x
2 ( + 2 ) a0  + 3 

Поэтому для u ( t , x ) имеем
1
2
−1

   +1
 +1  
 +1
2
1
u ( t , x ) =  C1 − 
t  C −

x 
 + 3   2 2 ( + 2 )  0  + 3  + 



где
произвольные постоянные, а обозначение a+ означает
a+ = max(0, a) .Это решение обладает свойством неограниченности за
конечное время (по английки-«blow-up» по времени) с не
распространяющимся фронтом.
C1 , C2  0 -
2.5.3 Кинетика химической реакции в условиях диффузии
Приведем пример из химической кинетики приводяющиеся к
уравнению типа Эмдена-Фаулера.
77
Пусть поток вещества со скоростью v поступает в реактор, где
одновременно с диффузией протекает реакция p-го порядка. Диффузия,
протекающая в подвижной среде, называется конвективной.
Требуется построить математическую модель конвективной
диффузии, сопровождающейся химической к направлению потока,
условия процесса одинаковые (рис. 2.1) и перенос массы в результате
диффузии описывается следующим соотношением:
m = −D
dc
S t.
dx
где m -масса диффундирующего вещества; D  0 -коэффициент
диффузии; c -концентрация диффундирующего вещества; S -площадь
поперечного сечения потока; t -время; t -продолжительность процесса.
Рис.2.1
Для построения математической модели выделим внутри реактора в
точке x слой толщиной x площадь которого S.
Определим теперь количество вещества, протекающего через
сечение x в результате питания реактора со скоростью v и диффузии:
m ( x ) = vc ( x ) S t − D
dc ( x )
S t
dx
и через сечение x + x
m ( x + x ) = vc ( x + x ) S t − D
dc ( x + x )
S t.
dc
В последнем равенстве, применив формулу Лагранжа о конечном
приращении, величины
dc ( x + x )
c ( x + x ) и
dx
представим следующим образом:
78
dc( x)
x;
dx
dc( x + x) dc( x) d 2 c( x)
=
+
x
dx
dx
dx 2
c( x + x) = c( x) +
Поэтому
dc
dc d 2 c
m( x + x) =  (c + x) S t − D ( + 2 x ) S t .
dx
dx dx
Отсюда накопление вещества в выделенном объеме
m = m( x) − m( x + x)
или
m = D
d 2c
dc
xS t −
xS t
2
dx
dx
Накопившееся в этом объеме вещество исчезает в силу реакции p-го
порядка. Количества вещества, исчезнувшего за время t ,
m = kc p S xt
где k  0 константа скорости реакции.
Приравняв друг к другу правые части двух последних равенств и
сократив их на произведение DS xt , получим уравнение типа ЭмденаФаулера
d 2c
dc
− a2
−  2c p = 0
2
dx
dx
где
a2 =

D
 0;  2 =
k
 0.
D
Таким образом, математической моделью конвективной диффузии,
сопровождающейся химической реакцией, является ОДУ типа ЭмденаФаулера. Это уравнение будет линейным с постоянными
коэффициентами, если p = 1 , т.е. реакция будет первого порядка. В этом
случае решение уравнения можно найти в явном виде. В случае р
2.5.4 Асимптотическое представление решений одного класса
уравнение типа Эмдена-Фаулера, описывающие газодинамические
процессы
Рассмотрим oбобщенное уравнение типа Эмдена-Фаулера
y '' =q ( x ) y n y 'm
79
имеет ряд важных физических приложений в теории нелинейной
теплопроводности , диффузии, фильтрации жидкости и, газа в газогидродинамике и в других областях. и асимптотические свойства его
решений в случае, когда m + n  1, исследованы достаточно подробно
(при m=0 и n  1 см. [1−3], а при m + n  1 [4−11]).
Отметим, что большое количество работ посвящены исследованию
свойств решений задачи Коши для параболического уравнения с
демпфированием [4−11]).
ut = div(u m- 1 С u k
p- 2
p1
С u ) - q ( x) С u m u q1
u (0, x) = u0 ( x), x О R N
где
заданные
m, k і 1, p і 2, n, p1, q1 і 0
характеризующие нелинейную среду
числовые
С (.) = grad x (.) ,
параметры,
p
а
С um uq
1
1
демпфирование. Рассмотренные выше уравнения является также
частным случаем уравнения с демпфированием в одномерном случае.
d m- 1 du k
(u
dx
dx
p- 2
p
1
d
d
u ) - q( x) u m u q1 = 0
dx
dx
Исследование качественных свойств последнего уравнения
показывает, что даже в частном случае, когда р=2, m=1 решение
уравнения носит весьма сложный характер. Покажем это на примере
уравнения
y '' =q ( x ) y1−m y 'm
в случае когда m + n = 1,
y '' =q ( x ) y1−m y 'm
где m1,2 , m =
(2.70)
m1
, m1 , m2 -целые числа, причем m2 нечетное,
m2
q ( x ) =  q0 ( x ) 1 + r0 ( x )  , −1,1 , q0 :  x0 , b → 0, + − k раз непрерывно
дифференцируемая функция, k  2,3 , r0 :  x0 , b → −1, + −непрерывная
функция со свойством limr0 ( x ) = 0 , −  x0  b  + . Вещественное
x→b
решение у уравнения (2.70), заданное в  x0 , b , предполагается
удовлетворяющим в некоторой окрестности b условиям y ( x )  0 и
y '( x )  0 .
Введем функции
x
 ( x0 , x ) =  q0
1
( 2− m )
−2
( t ) dt ,  ( x ) = 0,5 ''( x0 , x )  ' ( x0 , x ) ,
x0
80
−1
−2
F ( x ) =  ' ( x )  ' ( x0 , x )  − ( x ) ,   −1,1 , ( ' = d dx ) .
Предположим, что выполнено одно из условий Yi (i = 1, 2) :
Y1 ) k=2,  ( x0 , b )  +, lim ( b, x ) ( x ) = l , 0  l  + ,
x→b
Y2 ) k=3,  ( x0 , b )  +, l = + и существует lim F ( x ) = F0 .
x→b
Замечание. Если lim ( x ) =  0 ,  0  + , то заведомо  ( x0 , b ) = + .
x→b
Поэтому в условиях Yi (i = 1,2)  0 = + . Кроме того, l = 0 возможно
только при b  + .
Уравнение (2.70), содержащее в правой части модули искомой
функции и ее производной, при  ( x0 , b ) = + исследованы в [12].
Введем обозначения:
 b
 x0 ,  q ( x ) dx = +,
 x , b = +,
1, b = +,
 x
 =
1 =  0
2 =  b 0
−1, b  +;
b, b  +;
b, q x dx  +,
  ( )
 x0
−1/ 2
 1 = sign (  − ( x ) ) , Y ( x) = [ '( x0 , x)] exp[  ( x0 , x)];
t


1 ( 1 , x) =  q (t )exp (1 − m)1 (t )   ' ( x0 , s )  −  ( s ) ds  dt ,
1
x0


x
1

 x0 , i ( x0 , b ) = +
 2 ( 2 , x) =   (1 − m ) 1 ( 1 , t )  1−m dt ,  i = 
( i = 1,2 ) ,
b
,

x
,
b

+
(
)

2
i
0

 x

m −1
P ( x) = exp    '( x0 , t )(1 + r0 (t ))  −  ( t ) (2 1 + 2 (t )) m−1 dt  ,
 x0

x
1


1
−
 1 = sign   (1 − m ) 1 (  1 , t )  m  , i : [ x0 , b[→ R −непрерывные функции


такие, что lim i ( x ) = 0 ( i = 1,2 ) .
x →b
Назовем решение y уравнения (2.70) решением типа yi , если при
x → b оно удовлетворяет асимптотическим соотношениям (2.71 i), i1,
2, 3, 4, 5, где
y ( x ) = c1  2 (  2 , x ) (1 + o (1) )
( c1  0 ) , y ' ( x ) =  2c1 '2 (  2 , x ) (1 + o (1) )
81
 2 

 2 =
 ; 2.711)
x 

1
y ( x ) = c1 (1 + o (1) )
x

 1− m
c

0
,
y
'
x
=
c

1
−
m
q
t
dt
( 1 ) ( ) 1 (
)  ( )  (1 + o (1) ) ;
2


(2.712)
y ( x ) = c1 (1 + o (1) ) y ' ( x ) = c2 (1 + o (1) ) ( c1  0, c2  0 ) ;
y ( x ) =  c1 ( x − 1 ) (1 + o (1) ) y ' ( x ) =  c1 (1 + o (1) ) ( c1  0 ) ;
(2.713)
(2.714)
y ( x ) = c1  ' ( x0 , x ) 
−1
−1
−1
 − ( x )  2 1 + 2 ( x )  P ( x ) , y ' ( x ) = P ( x ) ,
(2.715)
где
c1 , c2 −постоянные.
Теорема 2 . 1 7 . Если выполнено условие Y1 ), то каждое решение y
уравнения (2.70) является решением типа yi , i 2,3 − sign (1 +  ) , 4 . При
этом если m  2 и l  0,5 ,то уравнение (2.70) не имеет решений типа y4
Теорема 2 . 1 8 . Если выполнено условие Y2 ), то каждое решение y
уравнения (2.70) является решением типа yi , i 1, 2, 2 −  ,5 . При этом если
m  2 , то уравнение (2.70) не имеет решений типа y5 .
Теорема 2 . 1 9 . Если соблюдается условие Y2 ), то для существования
y уравнения (2.70) является решением типа y1 необходимо и если
существует непрерывно дифференцируемая функция H :[ x0 , b[→ R со
свойствами:
lim H ( x) = 0,
x →b
lim
x →b
lim
x →b
H '( x) = 0
= H 0  0,
 '( x0 , x)  − ( x) H ( x)
 '2 ( 2 , x )
 '( x0 , x)  − ( x) H ( x) 2 ( 2 , x )
= 0,
то достаточно, чтобы  2 sign ( 2 ( 2 , x ) )  0 и
x


lim  2 (  2 , x ) exp  −1 ( x )   ' ( x0 , t )  − ( x) dt  =  2 .
x →b


x0
Теорема 2 . 2 1 . Пусть выполнено условие Y2 ), i  1, 2 . Тогда для
существования y уравнения (2.70) решений типа y2 необходимо и
достаточно, чтобы либо m  [1, 2] и l = 0 или l  0,5 ( m −1)−1 , либо
−1
l = 0,5 ( m − 1) и
82
1
b

x0
при
i = 1, m  [1, 2]
b

 1− m
dx  +
 (1 − m )  q ( t ) dt 
2


(2.72)
и справедливо (2.72) при i = 2 .
З а м е ч а н и е . При
l = 0,5 ( m − 1)
−1
и m  2 условие (2.72) выполняется.
Теорема 2 . 2 2 . Если b  + и соблюдается условие Yi ), i  1, 2 , то для
существования y уравнения (2.70) решений типа y3 необходимо и
достаточно, чтобы либо l = 0,5 и m − 2 + ( m − 1)( 2l − 1)  0 , либо l = 0,5 и m  2 ,
либо l = 0,5 ( m −1)−1 , m  [1, 2] и 2 = b при i = 1, m  1 и  0 = + при i = 2 .
Теорема 2 . 2 3 . Если соблюдается условие Y1 ), то для существования
y уравнения (2.70) является решением типа y 4 необходимо и
достаточно, чтобы либо m  2 и l  0,5 , либо l = 0,5 и
b
 q( x) x − 
1− m
1
dx  + .
x0
Теорема 2 . 2 4 . Пусть m  2 и выполнено условие Y2 ). Тогда y
уравнения (2.70) существует решение типа y5 . Более того, если
b
  ' ( x )  − ( x )
m −1
dx  +
x0
То каждое решения типа
b
  ( 2 )
1
x0
m −1
 − ( x )
m−2
r0 ( x ) +
y5 )
является также решением типа
y4 ,
если же
 1 '( x)
 + ( x)
+
−  ' ( x0 , x )  − ( x) dx  +
2
 − ( x ) 1
 ' ( x0 , x )  − ( x)
то для любого решение типа
представление при x → b :
y5
справедливо асимптотическое
1
 x

2− m
y ( x) = c0  exp 2  (  − ( t ) ) q0 ( t ) dt  (1 + o(1)) .
 x0

2.6. Вспомогательные утверждения
Рассмотрим уравнение
[ '+ a1 ( ) ]'+ a2 ( )[ '+ a1 ( ) ] =  a3 ( ) 1 + r ( )  1−m[ '+ a1 ( ) ]m ,
m
где   −1,1 , m  1, 2 , m = 1 , m1 , m2 − целые числа, причем
m2
83
(2.73)
m2
нечетное,
ai :  0 , + → R (i = 1, 2), a3 :  0 , + → 0, +
функция
непрерывно
дифференцируемы, функция r :  0 , + → −1, + непрерывна и lim
r ( ) = 0
→+
Предположим, что функция
условий S j ( j = 1, 2,3) :
S j ) (j=1,2) lim a1 ( ) = a10 , 0  a10
 →+
ai ( ) (i = 1, 2,3)
удовлетворяют одному из
 +, ( a10 = 1 при j = 2 ) ,
a2 ( ) = 1 + 2  j −1 +  exp ( − ) − a1 ( ),  −1,1 , a3 ( ) = exp ( m − 2 )  ;
S 3 ) lim ai ( ) = ai0 ( i = 1, 2,3) , a10 = −a20 =  1 ,  1  −1,1 ,
 →+
0 при m  2,
a30 = 
+ при m  2,
lim
 →+
a '3 ( )
= 0.
a3 ( )
Под решением уравнения (2.73) будем понимать только его
решения, каждое из которых в некоторой окрестности + обладает
свойствами:  ( )  0 и  '( ) + a1 ( ) ( )  0 .
Будем называть решение  уравнения (2.73) Di -решением, i  1, 2 ,
 ' ( )

если rlim
+ a1 ( )  = di , где d1 = 0, d2 = a10 − a20 .

→+  ( )


Введем обозначения:


K1 (1 , ) =  exp G1 ( t ) − G2 ( t )  dt , Gi ( t ) =  ai ( t ) dt ( i = 1, 2 ) ,
1
0

K 2 (2 , ) =  a3 (t )(1 + r (t ))  K '1 ( 0 , t ) 
m −1
dt ,
2


K3 (3 , ) =  K '2 ( 0 , t ) exp (1 − m )  ( t )  dt , Q ( t ) =  K '2 ( 0 , t ) K '1 (1 , t )
3
1− m
dt
3

K 

K 4 (4 , ) =  K '1 ( 0 , t ) [ (1 − m ) K3 (3 , t )]1/(1− m ) dt ,  K 'i = i  ,
 

4
1
1− m
 = s i gn([ (1 − m) K3 (3 , )]
 0 , Ki ( 0 , +) = +,
), i = 
(i = 1, 4),
+, Ki ( 0 , +)  +,
 :  0 , + → R − непрерывная функция такая, что lim  −1 ( ) = 0
 →+
Л е м м а 2 . 5 . Если выполнено условие S j ), j 1, 2,3 , то каждое
решение уравнения (2.73) является либо D1 -решением, либо D2 решением.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделаем в уравнении (2.73) замену
 ' ( )
(2.74)
u ( ) =
+ a ( ) ,
 ( ) 1
тогда оно примет вид
84
u ' =  a3 ( )(1 + r ( ))u m − u 2 + (a1 ( ) − a2 ( ))u .
(2.75)
Каждое решение u уравнения (2.75) имеет (конечный или
бесконечный) предел u0 при  → + (см. рассуждения из [15, §1.2; 12]).
Пусть u0  di , где i 1, 2 , d1 = 0, d2 = a10 − a20 . В этом случае из (2.75) видно, что
для производной функции u существует от нуля предел при  → +
u '( )u −2 ( ) = u1 , 0  u1  + , чего не может
Поэтому u( ) → + . Но тогда lim
→+
быть. Следовательно, наше предположение о том, что имеет место u0  di
, i  1, 2 неверно. Значит, в силу (2.74) любое решени е уравнения (2.73)
является либо D1 -решением, либо D2 -решением. Лемма доказана.
2.6.1 О
D1 -решениях
Предположим, что
 :  0 , + → 0, + . Тогда
уравнение
уравнения (2.73).
(2.73)
имеет
D1 -решение
 ' ( )
+ a ( ) = 1 ( ) и lim 1 ( ) = 0 .
 →+
 ( ) 1
(2.76)
Отсюда имеем
1 ( ) = c exp[ ( ) − G1 ( )], c  0,
(2.77)

где  ( ) =  1 ( t ) dt . Подставляя (2.77) в правую часть уравнения (2.73),
0
находим, что
 ( ) + a1 ( ) ( ) = exp[−G2 ( )]{c0 +  (1 − m)c1−m K3 (3 , )}1/(1−m) .
(2.78)
Рассмотрим сначала случай, когда либо K3 ( 0 , + ) = +, либо
K3 ( 0 , + )  + и c0 = 0.
Тогда из (2.78) получим
 ( ) + a1 ( ) ( ) = c exp[−G2 ( )][ (1 − m) K 3 (3 , )]1/(1−m ) (1 +  (1)) (2.79)
при  → +. Отсюда вытекает, что либо
 ( ) = c exp[−G1 ( )]K4 (4 , )(1 +  (1)),  → +,
(2.80)
где  такова, что  = signK4 (4 , ), либо
 ( ) = c exp[−G1 ( )](1 +  (1)),  → +
Из предельных соотношений
85
(2.81)
 a ( )

K3 (3 , )
= lim  3
+ (1 − m)(a2 ( ) − a1 ( ))  ,
 →+ K ( , )
 →+ a ( )
3
3
 3

lim
 K3 (3 , )

K 4 (4 , )
= lim 
+ a1 ( ) − a2 ( ) 
 →+ K ( , )
 →+ (1 − m) K ( , )
4
4
3
3


lim
(2.82)
следует, что представления (2.79) и (2.80) не противоречат (2.76) лишь
тогда, когда выполнено условие S3). Ясно, что при этом функция 
должна, быть такой, что
lim K 4 ( 4 , )exp[ − ( )] =  .
(2.83)
 →+
Покажем, что решения, удовлетворяющие (2.79) и (2.80),
существуют. Учитывая, что  = signK4 (4 , ), осуществим замену
 ( ) = c exp[−G1 ( )] K 4 (4 , ) [1 + ( )u1 ( )],
  ( ) + a1 ( ) ( ) = c exp[−G1 ( )] K 4 (4 , ) [1 + u2 ( )],
(2.84)
где H :[ , +] → R \ {0} — непрерывно дифференцируемая функция
со свойствами
K 4 ( 4 , )
= 0,
 →+ H ( ) K ( , )
4
4
lim H ( ) = 0,
H ( )
= H 0  0.
 →+ H ( )
lim
 →+
lim
(2.85)
В результате получим систему уравнений
u1 = c11 ( )u1 + c12 ( )u2 , u2 = f ( ) + c21( )u1 + c22 ( )u2 + g ( ) X ( , u1, u2 ), (2.86)
в которой
c11 ( ) = −H ( ) / H ( ) − K4 (4 , ) / K4 (4 , ), c12 ( ) = K4 (4 , ) /( H ( ) K4 (4 , )),
g ( ) = [ K4 (4 , ) exp(−( ))]1/(1−m) g1 ( ), g1 ( ) = K3 (3 , ) /((1 − m) K3 (3 , )),
f ( ) = g ( ) − g1 ( ), c21 ( ) = (1 − m) H ( ) g ( ), c22 ( ) = mg ( ) − g1( ),
X ( , u1 , u2 ) = −1 − (1 − m) H ( )u1 − mu2 + [1 + H ( )u1 ]1−m [1 + u2 ]m .
Здесь X ( ,0,0)  0 на промежутке [T , +[ (T   0 ), где число Т
H ( )  0,5
настолько большое, что
при   T . Поскольку
X ( , u1, u2 ) / ui → 0 (i = 1,2) при u1 + u2 → 0 равномерно по  [T , +[ , то
функция X в области  = [T , +[D, D = {(u1 , u2 ) : ui  0,5, i = 1,2}
удовлетворяет условию Липшица
2
X ( , u , u ) − X ( , u , u )    ui0 − ui1 ,
0
1
0
2
1
1
1
2
(2.87)
i =1
где (u10 , u20 ), (u11 , u12 ) — любые точки из D, 0   —некоторое число.
Выберем   0,5  m − 1 . Тогда в силу условия S3), (2.82), (2.83) и (2.85) на
86
основании леммы 2 из [15] функции Ai и Bi (i = 1, 2) , определенные в
работе [15] и соответствующие системе уравнений (17), удовлетворяют
условиям:
lim Ai ( ,T ) = 0 (i = 1,2), lim B1 ( ,T ) = 0, lim B2 ( ,T ) = 2 / m − 1  1.
 →+
 →+
 →+
Поэтому, согласно теореме А работы [90-91], система уравнений
(2.86) имеет хотя бы одно вещественное решение (u1 ( ), u2 ( ))
стремящееся к нулю при  → + . Отсюда в силу преобразования (2.84)
следует, что уравнение (2.73) имеет решение, удовлетворяющее
асимптотическим соотношениям (2.79) и (2.80). Таким образом оно,
справедливо
Лемма 2.6. Если соблюдается условие. S3), то для существования у
уравнения (2.73) D1 -решений, удовлетворяющих асимптотическим
соотношениям (2.79) и (2.80), необходимо и если существует
непрерывно дифференцируемая функция H :[ 0 , +[→ R \ {0} со свойством
(2.85), то достаточно, чтобы выполнилось (2.83) и  = signK4 (4 ,T ).
Из (2.77), (2.79) и (2.81) следует, что
 ( ) + a1 ( ) ( ) = c exp[−G2 ( )][ (1 − m) K 2 (2 , )]1/(1−m ) (1 +  (1))
(2.88)
при  → + . Для  представления (2.81) и (2.88) возможны и не
противоречат (2.76) лишь тогда, когда
+
 K (
1
0
, ) [ (1 − m) K 2 (2 , )]1/(1−m ) d  +
(2.89)
0
при любом из условий S j ), j {1,2,3} . Более того, такие решения
существуют. В самом деле, сделав в уравнении (2.73) замену
 ( ) = c exp[−G1 ( )][1 + u2 ( )],
 ( ) + a1 ( ) ( ) = c exp[−G2 ( )][ (1 − m) K 2 (2 , )]1/(1−m ) (1 + u1 ( ) + u2 ( )),
(2.90)
получим систему
где
u1 = f ( )[1 + u1 + u2 ] , u2 = − f ( )(1 + u1 ) − [ f ( ) + (1 − m) g ( )]u2 + g ( ) X (u1, u2 ),
f ( ) = K1( 0 , )[ (1 − m) K 2 ( 2 , )]1/(1−m ) ,
g ( ) = (1 − m) −1 K 2−1 (2 , ),
X (u1 , u2 ) = [1 + u1 ]1−m [1 + u1 + u2 ]m − [1 + u1 + mu2 ] , для которой можно показать,
следуя доказательству теоремы 3 работы [15], что существует хотя бы
одно решение (u1 ( ), u2 ( )) . стремящееся к нулю при  → + .
Следовательно, в силу преобразования (2.90), исследовав возможность
выполнения (2.89) при каждом из условий S j ), j {1,2,3} , имеем
утверждения.
87
Лемма 2.7. Пусть выполнено условие S j ), j {1,2,3} . Тогда для
существования у уравнения (2.73) D1 -решений, удовлетворяющих
асимптотическим соотношениям (2.81) и (2.88), необходимо и
m  [1,2] и a10  0,5(m − 1) −1 ,
достаточно, чтобы либо
либо
a10 = 0,5(m − 1) −1 и справедливо (2.89), если j = 1 , или m[1,2] , если j = 2 ,
или m[1,2] и справедливо (2.89), если j = 3 .
Замечание. Если выполнено S1), a10 = 0,5(m − 1) −1 и m  2 , то условие
(2.89) имеет место.
Рассмотрим теперь случай, когда K3 ( 0 , +)  + и c0  0 т. е. когда
(2.78) примет вид
  ( ) + a1 ( ) ( ) = c0 exp[−G2 ( )](1 +  (1)), t → + .
(2.91)
Отсюда следует, что  допускает либо представление (2.81), либо
 ( ) = c0 exp[−G1 ( )]K1 (1 , )(1 +  (1)), t → + ,
(2.92)
где 0  c0  R и signc0 = sign K2 (2 , ).
Нетрудно заметить, что представления (2.81) и (2.92) возможны и не
противоречат (2.76) лишь тогда, когда K i ( 0 , +)  + где i = 1,2 . Также
легко видеть, что  допускает представления (2.91) и (2.92) только при
Q ( 0 , + )  + и для выполнения условия (2.76) необходимо, чтобы
соблюдалось условие S1) и a10 = 0,5 .
D1 -решений,
Доказательство
фактического
существования
удовлетворяющих асимптотическим соотношениям (2.81), (2.88) и
(2.91), (2.92), проводится по следующей схеме. Уравнение (2.73)
соответствующим преобразованием сводится к системе уравнений
первого порядка. Далее, используя леммы 1 и 2 из [15], на основании
теоремы А работы [15] устанавливаем существование у полученной
системы решений, стремящихся к нулю при  → + . В результате
получим следующие утверждения.
Лемма 2.8. Если выполнено условие S j ), j {1,3} , то для
существования у уравнения (2.73) D1 -решений, удовлетворяющих
асимптотическим соотношениям (2.81) и (2.91), необходимо и
достаточно, чтобы либо a10  0,5 и m − 2 + (m − 1)(2a10 − 1)  0 , либо
a10 = 0,5, K1 ( 0 , +)  + и m  2 ,либо a10 = 0,5(m − 1)−1, m [1,2] и K 2 ( 0 , +)  + ,
если j = 1 , или 1 = −1 и m  1, если j=3. Если же выполнено S2), то
уравнение (2.73) имеет D1 -решений, допускающих представления (2.81)
и (2.91).
88
Лемма 2.9. Если выполнено условие S1), то для существования D1 решений, удовлетворяющих асимптотическим соотношениям, (2.91) и
(2.92), необходимо и достаточно, чтобы a10 = 0,5 и Q( o , +)  + .
Лемма 2.10. Произвольное D1 -решение уравнения (2.73)
удовлетворяет
1) либо представлениям (2.81) и (2.88), либо (2.81) и (2.91), либо
(2.91) и (2.92), если выполнено условие S1);
2) либо представлениям (2.81) и (2.88), либо (2.81) и (2.91). Eсли
выполнено условие S2);
3) либо представлениям (2.79) и (2.80), либо (2.81) и (2.88), либо
(2.81) и (2.91), если выполнено условие Sз).
2.6.2 О D2 -решениях уравнения (2.73).
Пусть  :[ 0 , +[→]0, +[ − D2 -решение уравнения (2.73), т.е.
  ( ) /  ( ) + a1 ( ) = a10 − a20 +  2 ( ), lim  2 ( ) = 0.
 →+
(2.93)
Заметим, что только при условии Sj) и a10 = 0,5 D2 -решения
совпадают с D1 -решениями. Следовательно, этот случай исключим из
рассмотрения. Из рассуждений при доказательстве леммы 1 вытекает
Лемма 2.11. Пусть выполнено условие Sj), j = {1,2,3}, и
a  0,5 при j = 1 . Тогда для существования y уравнения (2.73) D2 решений необходимо, чтобы т<2.
0
1
Лемма 2.12. Пусть т<2, выполнено условие Sj), j = {1,2,3}, и
a  0,5 при j = 1 . Тогда любое D2 -решение уравнения (2.73) допускает
асимптотические представления
0
1
 ( ) = c(d +  2 ( ))−1 exp[−G2 ( ) + P( )],
  ( ) + a1 ( ) ( ) = c exp[−G2 ( ) + P( )],
(2.94)
(2.95)
где

d =a −a ,
0
1
0
2
P( ) =  a3 (t )(1 + r (t ))(d +  2 (t )) m−1 dt ,
0
 2 - функция из (2.93), постоянная c  0 такова, что signc = sign d . Более
того, таких решений y уравнения (2.73) существует хотя бы одно, и
если
89
+
  d
a3 ( )(1 + r ( )) + a1 ( ) − a2 ( ) − d d  +,
m −1
0
то для функции  2 :[1, +[→ R (1   0 ) из (2.94) и (2.95) справедливо
+
 
2
( )d  + .
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (2.93) вытекает
 ( ) = (d +  2 ( )) −1[ ( ) + a1 ( ) ( )]
(2.96)
при  → + . Подставляя (2.96) в правую часть уравнения (2.73), находим
(2.95), и, следовательно, в силу (2.96) справедливо (2.94). Для
доказательства последнего утверждения леммы 8 уравнение (2.73) с
помощью замены ( ) / ( ) + a1 ( ) = d +  2 ( ) , где  2 - новая неизвестная
функция, сведем к уравнению  2 = f ( ) + C( ) 2 + X ( , 2 ) , в котором
f ( ) = ad m a3 ( )(1 + r ( )) + d (a1 ( ) − a2 ( ) − d ),
C ( ) =  md m−1a3 ( )(1 + r ( )) − 2d + a1 ( ) − a2 ( ),
X ( ,  2 ) = − 22 +  d m a3 ( )(1 + r ( ))[(1 + d −1 2 ) m − 1 − md −1 2 ] .
Теперь, поступая точно так же, как и в доказательстве леммы 2.5
работы [91], убеждаемся в справедливости леммы 8.
Легко заметить, что в случае, когда P(+)  +, D2 -решения могут
быть представлены в более удобном виде, чем (2.94) и (2.95), а именно
справедлива
+
Лемма 2.13. Пусть выполнены условия леммы 8 и
 a ( )d  + при
3
0
j = 1 . Тогда то любое D2 -решение уравнения (2.73) при  → +
удовлетворяет асимптотическим соотношениям
 ( ) = c0 exp[−G1 ( )]K1 (1 , )(1 +  (1)),   ( ) + a1 ( ) ( ) = c0 exp[−G2 ( )](1 +  (1)),
где c0  0 и signc0 = signK1 (1, ).
2.6.3 Доказательство основных теорем
Yi ), i  {1,2}.
Пусть выполнено условие
уравнению (2.70) преобразование
Тогда, применяя к
(2.97)
y( x) = Yi ( x) ( ),  = ti ( x),
где
1 где l  0,
2 где l = 0,
t1 ( x) = − ln  ( x, b), Y1 ( x)[ ( x, b)]1− j , j = 
90
x
−1
t2 ( x) =   ( x0 , t )  − ( ) dt , Y2 ( x) = Y ( x) −1 ( x, b)  − ( x) ,
x0
получим уравнение (2.73), в котором
a1( ) = a1(t1( x)) = j − 1 + ( x, b)( − ( x)), a3 ( ) = exp[(m − 2) ], r( ) = r(t1( x)) = r0 ( x),
если i = 1 , и
a1 ( ) = a1 (t2 ( x )) =  1 +  −1 ( x, b)  −  ( x)
a2 ( ) = a2 (t2 ( x )) =  −1 ( x, b)  −  ( x )
a3 ( ) = a3 (t2 ( x)) =  −  ( x)
m−2
−1
−1
+  1 ( x) /( ( x0 , x)(  −  ( x)) 2 ),
+ (  +  ( x)) /  −  ( x) ,
, r ( ) = r (t2 ( x)) = r0 ( x) , если i = 2 .
В силу условия Yi ), i {1,2} , функция ti ( x ) обладает свойствами
ti( x)  0
при x [ x0 , b[ и lim ti ( x) = +
x →b
(2.98)
Лемма 2.14. Если выполнено условие Y2), mo F0 = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливо равенство
g ( ) / g 2 ( ) = [ ( x, b)(  − ( x))]−1 − F ( x),
(2.99)
где g ( ) = g (t2 ( x)) = − ( x, b)( − ( x)) . Поскольку существует предел
функции F ( x) при x → b , то существует предел функции слева в
равенстве (2.99) при  → + , который может быть равен только кулю.
Отсюда и следует справедливость утверждения леммы.
Таким образом, при выполнении условия Y ), i {1, 2} , уравнение
(2.70) с помощью преобразования. (2.97) сводится к уравнению (2.73).
коэффициенты которого удовлетворяют условию S j ), j {1,2,3}. Тогда,
используя результаты из §2, соотношения (2.97) и условия (2.98), легко
убеждаемся в справедливости утверждений из §1.
i
91
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЧИСЛЕНОЕ
РЕШЕНИЕ
3.1 Некоторые сведения из теории уравнения
теплопроводности
При рассмотрении задач теплопроводности используют различные
линейные и нелинейные модели теплопроводности. Сложный процесс
переноса теплоты разбивают на ряд более простых: теплопроводность,
конвекция и теплообмен излучением. Различают молекулярный и
конвективный механизмы переноса теплоты. Молекулярный перенос
теплоты осуществляется посредством теплового движения микрочастиц
в среде с неоднородным распределением температуры.
Конвективный перенос теплоты осуществляется в среде с
неоднородным
распределением
скорости
и
температуры
макроскопическими элементами среды при их перемещении.
Теплопроводностью называют молекулярный перенос теплоты в
сплошной среде, обусловленный наличием градиента температуры
(закон Фурье).
Конвективным теплообменом называют процесс, обусловленный
совместным действием конвективного и молекулярного переноса
теплоты. В инженерной практике большое значение имеет частный
случай этого способа переноса теплоты, а именно: теплоотдача –
конвективный теплообмен между движущейся средой и поверхностью
ее раздела с другой средой: твердым телом, жидкостью или газом [1].
Теплообмен излучением – это процесс, который происходит
следующим образом: внутренняя энергия вещества превращается в
энергию излучения (энергия фотонов или электромагнитных волн,
излучаемых телом или средой), далее происходит распространение
излучения в пространстве (процесс переноса излучения), далее энергия
излучения поглощается веществом, которое оказалось на пути фотонов
или электромагнитных волн[1, глава 1].
Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается
следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:
c
  2u ( x, y, t ) u 2 ( x, y, t ) 
u ( x, y, t )
 + Qw ( x, y, t , u ).
=  
+
t
x 2
y 2


(3.1)
Это уравнение устанавливает связь между временным и
пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь
 – плотность, с – удельная теплоемкость, λ – коэффициент
92
теплопроводности , u – температура, x, y – декартовы координаты, t –
время, Qw (x, y, t , u ) – мощность внутренних источников тепловыделения.
Уравнение (3.1) описывает множество вариантов развития процесса
конвективного теплопереноса (теплопроводности). Чтобы из большого
количества этих вариантов выбрать один и дать его полное
математическое описание, к соотношению (3.1) необходимо добавить
условия однозначности, которые содержат геометрические, физические,
начальные и граничные условия.
Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в
котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют
теплофизические характеристики тела  ,  , c . Временные (начальные)
условия содержат распределение: t = 0 : u = f (x, y ) – в общем виде.
При равномерном распределении температуры в теле начальное
условие упрощается: t = 0 : u = u 0 = const . Граничные условия определяют
особенности протекания процесса на поверхности тела и могут быть
заданы несколькими способами.
1. Граничные условия первого рода – задается распределение
температуры на поверхности (или границе) тела для каждого момента
времен:
u = uw (x, y, t )
где u w – температура на поверхности тела. Во многих практически
значимых вариантах uw = const .
2. Граничные условия второго рода – задается значение теплового
потока для каждой точки поверхности (или границы) тела в любой
момент времени (закон Фурье):
 u 
−    = qw (x, y, t ) ,
 n  w
где n – нормаль к поверхности тела, qw – тепловой поток. Наиболее часто
используется условие qw = const .
3. Граничные условия третьего рода – задается взаимосвязь между
потоком тепла за счет теплопроводности от твердой стенки и тепловым
потоком из окружающей среды за счет температурного напора (закон
Ньютона – Рихмана):
 T 
− 
 =  (uw − ue ),

n

w
93
где  – коэффициент теплообмена ue – температура окружающей среды
вблизи поверхности тела.
4. Граничные условия четвертого рода – для определения теплового
взаимодействия
между
элементами,
имеющими
различные
теплофизические характеристики, задают условия равенства температур
и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела:

 u1 
 u 
 = −2  2  ;
− 1 
 n  − 0
 n  + 0

u ( x , y , t ) = u ( x , y , t ).
2
+0
+0
 1  −0  −0
где x , y – координаты границы раздела сред; u1 , u2 –температуры
соприкасающихся сред. Это условие применяется, например, при
решении задач теплопроводности для многослойных пластин.
Дифференциальное уравнение (3.1) вместе с условиями
однозначности дает полную математическую формулировку краевой
задачи теплопроводности.
3.2. Метод конечных разностей (МКР)
Одним из универсальных методов решения краевых задач при
решении дифференциального уравнения в частных производных и
обыкновенных дифференциальных уравнений используется метод
конечных разностей (МКР). Идея МКР решения краевых задач весьма
проста и видна уже из самого названия: вместо производных в
дифференциальном уравнении используются их конечно разностные
аппроксимации. При построении дискретных аппроксимаций краевых
дифференциальных задач нужно стремиться увязать две, возможно,
противоречивые цели: хорошее качество аппроксимации и эффективное
устойчивое решение получающихся при этом алгебраических систем.
При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело
представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя)
частные производные дифференциального уравнения (3.1) конечными
разностями, получают систему линейных алгебраических уравнений для
определения температуры как локальной характеристики в каждом узле
сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыкания
используют разностное представление граничных условий. В результате
получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений,
которую решают известными численными методами с помощью ЭВМ.
94
3.3. Линейные задачи теплопроводности
3.3.1 Двумерное уравнение теплопроводности
В качестве примера применения метода конечных разностей
рассмотрим задачу на основе двумерного нестационарного уравнения
теплопроводности. Анализируется задача теплообмена между
высокотемпературной струей и пластиной из конструкционного
материала (КМ), внешняя поверхность которого подвергается
воздействию высокотемпературной высокоскоростной одно- или
двухфазной струи с заданными параметрами.
Рис. 8. Область решения задачи: x, y –декартовы координаты; Lx –
ширина пластины; L y – толщина пластины; lg – протяженность
области воздействия струи; Qg – высокотемпературный поток; A, B,C,
D, E – граничные точки
При постановке задачи были приняты следующие допущения:
1. Вклад радиационной составляющей в теплообмен на внешней
поверхности не учитывается.
2. Возможные процессы плавления и окисления материала преграды
активными компонентами газового потока не рассматриваются.
3. Влияние конденсированной фазы в струе на теплообмен
учитывается через коэффициент теплообмена a g на разрушающейся
поверхности.
4. Теплофизические характеристики (λ, ρ, с) КМ постоянны.
Математическая модель, описывающая в рамках сформулированной
задачи процесс прогрева КМ, включает нестационарное двумерное
уравнение теплопроводности (3.2) с соответствующими начальными
(3.3) и граничными условиями (3.4)-(3.8):
95
 s cs
us ( x, y, t )
  2 u s ( x , y , t )  2 u s ( x, y , t ) 
= s 
+
,
2
2
t

x

y


0  t  tk ;0  x  Lx ;0  y  Ly
(3.2)
Начальное условие:
us ( x, y ) = u0  const ,
(3.3)
Граничные условия:
– условие (II род) симметрии на оси 0Y (AB):
x = 0, 0  y  Ly : s
us ( x, y, t )
= 0,
y
(3.4)
– условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена газового
потока с поверхностью КМ:
0  x  lg , y = Ly : s
us ( x, y, t )
=  g ( u g − u s ( x, y , t ) ) ,
y
(3.5)
– условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом
на нагреваемой поверхности (CD):
lg  x  lx , y = Ly : s
us ( x, y, t )
=  e ( ue − us ( x, y, t ) ) ,
y
(3.6)
– условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом
на боковой поверхности (DE):
x = Lg , 0  y  Ly : s
us ( x, y, t )
=  e ( ue − us ( x, y, t ) ) ,
x
(3.7)
– условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом
на тыльной стороне пластины (AE):
u ( x, y, t )
0  x  Lx , y = 0 : −s s
=  e ( ue − us ( x, y, t ) ) ,
y
(3.8)
где u – температура; t – время; ρ – плотность; с – коэффициент удельной
теплоемкости; λ – коэффициент теплопроводности; α – коэффициент
теплообмена. Индексы "g", "e" и " s" относятся к характеристикам струи,
окружающей среды и материала пластины соответственно.
96
3.4 Алгоритм численного решения (метод “расщепления по
пространственным координатам”)
Для численного решения задачи (3.2) – (3.8) воспользуемся методом
Письмена–Рекфорда (метод расщепления по пространственным
координатам). Для аппроксимации дифференциального уравнения (3.2)
разностным методом введем пространственное–временную сетку с
координатами xi = i·hx ; y j = j·hy , tk = k· , где hx , hy – шаги по пространству,
 – шаг по времени;
________
________
________
и k = 0, K . Таким образом, вся
расчетная область покрывается сеткой (рис. 2.
i = 0, N x , j = 0, N y
Рис. 2 Разностная сетка области решения
Введем следующее обозначение: u ( xi , y j , tk ) = uik, j дискретизацию
уравнения (3.2) будем проводить на основе локально-одномерной схемы
А.А.Самарского, которая является абсолютно устойчивой и обладает
свойством суммарной аппроксимации. Суть этого подхода состоит в
том, что шаг по времени реализуется в два этапа – на промежуточном
(полу-шаге τ/2) временном шаге проводим дискретизацию двумерного
уравнения (3.2) только в направлении оси х и получаем одномерное
уравнение, после его решения проводим вновь дискретизацию
уравнения (3.2), но уже в направлении оси у и, решая полученное
одномерное уравнение, определяем поле температуры на целом шаге по
времени. Представим (3.2) в разностном виде, используя неявную схему
на каждом полушаге по времени:
 uik++1,1 j2 − 2uik, +j 1 2 + uik−+1,1 j2 
c
= 
 ,

 2
hx2


k +1
k +1 2
k +1
k +1
k +1
 ui , j +1 − 2ui , j + ui , j −1 
ui , j − ui , j
c
=
 ,
2

 2
h
y


uik, +j 1 2 − uik, j
97
(3.9)
(3.10)
Аппроксимация граничных условий (3.3) – (3.8):
i = 0, 0  j  N y : 
uik+1, j − uik, j
0  i  N xlg , j = N y : 
uip, j − uip, j −1
N xlg  i  N x , j = N y : 
hy
hy
hy
(3.12)
=  e ( ue − uik, j ) ,
(3.13)
=  e ( ue − uik, j ) ,
(3.14)
=  e ( ue − uik, j ) ,
(3.15)
hx
uik, j +1 − uik, j
(3.11)
=  g ( u g − uip, j ) ,
uik, j − uik, j −1
uik, j − uik−1, j
i = Nx , 0  j  N y :
0  i  N x , j = 0 : −
= 0,
hx
Разностные уравнения (3.9), (3.10) сводятся к стандартному
трехдиагональному виду и решаются последовательно методом
прогонки. Сначала для всей области решается уравнение (3.9), после
того, как его решение будет найдено, переходят к решению уравнения
(3.10).
3.5 Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом прогонки
Рассмотрим решение уравнения (3.9) методом прогонки. Приведем
это уравнение к виду:
ai uik, +j 1 2 = bi uik++1,1 j2 + ci uik−+1,1 j2 + di
(3.16)
Преобразуем уравнение (3.9):
c
uik, +j 1 2
 2
+
2uik, +j 1 2
hx2
=
uik−+1,1 j2
hx2
+ c
uik, j
 2
,
Затем
 c  2  k +1 2    k +1 2    k +1 2 c  k
+ 2  ui , j =  2  ui +1, j +  2  ui −1, j +
ui , j .


2
h
h
h

2
x 

 x
 x
Тогда
 c  

ai = 2 
+ 2  , bi = ci = 2
hx 
hx
 
и di =
2c 

uik, j
(3.17)
Для границ (АВ) и (СD) (см. рис. 2) для точек 0 и N x мы должны
записать выражение (3.16) в виде:
a0u0,k +j1 2 = b0u1,k +j 1 2 + d0 ,
98
(3.18)
aN uNk +, 1j 2 = cN uNk +−11,2j + d N ,
(3.19)
Так как граничные точки имеются только по одной соседней точке,
то выражения (3.18) и (3.19) могут рассматриваться в виде (3.16), если
положить c0 = 0 для (3.18) и bN = 0 для (3.19).
Для реализации граничных условий (3.11) и (3.14) на
соответствующих границах мы должны положить коэффициенты
a0 , b0 , d0 , aN , cN , d N , входящие в (3.18), (3.19), следующие:
a0 = 1, b0 = 1, d 0 = 0, aN = 1 +
 e hx
h
, cN = 1, d N = e x ue


(3.20)
Алгоритм прогонки начинается с записи уравнения (3.18) в виде:
u0,k +j1 2 = P0u1,k +j 1 2 + Q0 ,
(3.21)
где
P0 = b0 a0 и Q0 = d0 a0
(3.22)
Соотношение (3.21) подставляется в (3.16) для i = 0. В результате
k +1 2
получается, что u0, j
выражается через u1,k +j 1 2 . Продолжая процесс
последовательной подстановки (или прямой прогонки), можно выразить
uik, +j 1 2 через uik++1,1 j2 :
k +1 2
uik, +j 1 2 = Pu
i i +1, j + Qi ,
(3.23)
где Pi и Qi – новые коэффициенты, появившиеся в процессе подстановки.
Представим, что мы находимся на стадии процесса подстановок,
когда только что выразили u
1
2
i −1, j
k+
в виде
uik−+1,1/2j + Pi −1uik, +j 1/2 = Qi −1
(3.24)
Если подставить (3.24) в (3.16), то получается выражение
aiuik, +j 1/2 = bi uik++11/2 + ci ( Pi −1uik, +j 1/2 + Qi )uik−+1,1/2j + di
(3.25)
которое может быть переписано в форме (3.23). Таким образом, можно
получить формулы для рекуррентного определения Pi и Qi
Pi =
Qi =
bi
ai − ci Pi −1
(3.26)
d i + cQi −1
ai − ci Pi −1
(3.26а)
99
В нелинейном случае метод прогонки используется
путем
линеаризации нелинейного уравнения, а затем применяют итерацию
относительно линеаризованного уравнения. При этом важным является
выбор начального приближения для начало итерационно процесса.
3.5.1 Пример. Решение уравнение типа Эмдена-Фаулера
методом прогонки
1. Дано нелинейная задача вида
y − g ( x) y y  = 0,
1) y (0) = const , y () = 0,
(3.27)
2) y (0) = const , y (b) = 0, b  +,
3) y (0) = const , y (1) = 0,
линеаризовать при  = 0
y − g ( x) y = f ( x), y (0) = C1  0,
y (1) = C2  0.
(3.27`)
В уравнение (3.27`) заменим (аппроксимируем) дифференциальные
операторы отношением конечных разностей
y 
yi +1 − yi + yi −1
, h = 1/ N ,
h2
И подставляя в уравнение (3.27`) имеем
yi +1 − yi + yi −1
− g i yi = 0, yi +1 − ( 2 + g i h 2 ) yi + yi −1 = 0, i = 1, 2.... .
2
h
Введем Ai = 1, Bi = 1, Ci = 2 + gi h2 , i = 1,2,..., N.
Тогда получим систему алгебраических уравнений
yi =  i ( i + yi +1 ) , yi −1 =  i −1 ( i −1 + yi ) , i = 1, 2,...., N
 Ai yi +1 − Ci yi + Bi yi −1 = 0,

 y0 = C1 , yN = C2 ,
 Ai − Ci i +  i −1 i i = 0,

 i i Ci −  i −1i −1i −  i −1 i i Bi = 0.
Отсюда получим
i =
Ai
Ci − i −1i
, i =
i −1i −1i
Отметим, что
1 =
By
A1
, 1 = 1 0 .
C1
C11
Тогда для yi имеем
100
Ai
.
yi = i ( i + yi +1 ) ,
yN = C2 ,
где i = N −1..1.
2. Решить методом Пикара при   1
yi +1 − 2 yi + yi −1 − gi h2− ( yi − yi −1 ) yi = 0

(
yi +1 − 2 + gi h 2− y0  ( y1 − y0 )
 −1
) y + (1 + g h
i
2 −
i
y0  ( y1 − y0 )
 −1
)y
i −1
= 0,
y  = y0  y, yi +1 = yi −1 yi +1 ,
y  − g ( x) y = 0, y (0) = C2 ,
y N = C2 ,
Вычислительная схема
Результат
0  x 1
0  x 1
n = 30
n = 20
y ( 0) = 0
y ( 0) = 3
y (1) = 2
y (1) = 1
g ( x) = x + 1
g ( x) = x 2
3.5.2 Пример. Решение уравнения пористой среды методом
прогонки на основе схемы Самарского-Соболя.
Примеры численног о расчета температурных волн
Рассмотрим уравнение пористой среды в анизотропной среде,
описывающий вырождающимися уравнением параболического типа
p
u

=
t  =1 x

u 
 K (u )

x 

101
(3.28)
для случаев р = 1, 2, 3. Как правило, всюду предполагается, что
K (u ) = N u   ,
где    1, N  0 . Хотя уравнение (3.28) встречается в различных
областях математической физики, мы, для определенности, будем
называть функцию u = u(t, x1,..., x p ) температурой. В [109] показано, что
уравнение (3.28) в случае p = 1 имеет решения, производные которых в
точках, где и ( t , х ) обращается в нуль, разрывные, а поток К ( и ) ди / дх
непрерывен, т.е. существует фронт температуры u = 0 (фиг. 1), который
распространяется с конечной скоростью (см. [110]). Классического
решения уравнение в этом случае не имеет. Существование
обобщенного решения задачи Коши и краевых задач доказано в [110]. В
[109] доказана сходимость одной явной разностной схемы для уравнения
вида
u  2 F (u )
=
t
x 2
(3.29)
в классе обобщенных решений (эти результаты, вероятно, могут быть
распространены и на случай неявных схем). Обобщенное решение
уравнения вида (3.29) сосчитано методом интегральных соотношений
А.А.Дородницына.
Для расчета таких обобщенных решений (которые называются
температурными волнами или просто решениями) используется
однородные разностные схемы сквозного счета, не предусматривающие
явного выделения точек слабого разрыва. Однако все доказательства
сходимости предполагают, что K (u )  c  0, и, несмотря на большую
общность этих теорем (допускающих даже разрывные функции
K = K (t , x, u )) , к случаю, когда K (u ) обращается в нуль, они
неприменимы.
Показано, что эти схемы пригодны и для расчета температурных
волн. Такие схемы позволяют вести счет крупным шагом по времени,
хорошо передают скорость распространения фронта, а при достаточно
подробной сетке - и сам профиль фронта.
В случае нескольких пространственных переменных ( p  1)
пользуется локально-одномерный метод переменных направлений,
изложенным.
j
j +1
Шаг по времени t  t  t
разбивается на р слоев одинаковой
толщины («дробных шагов»)
t j + ( −1)/p  t  t j + / p ,
102
 = 1, 2,..., p.
В слое номер  решается одномерное уравнение
1 u
 
u 
=
K
(
u
)
 
.
p t x 
x 
(3.30)
При этом все другие координаты x , отличные от x , играют роль
параметров. На этом этапе в качестве краевых условий используются
значения краевых функций в точках пересечения прямых, параллельных
оси ox , с границей области интегрирования, а в качестве начальных
значений берутся значения, полученные при расчете предыдущего слоя.
Фактически для решения всех уравнений (3.30) используется одна и та
же одномерная программа (ОП), в которой уравнение (3.30) заменено
неявной однородной разностной схемой.
Авторы омечают что, в настоящее время нет практически более
удобного метода для решения многомерных квазилинейных
параболических уравнений. Этот метод применим к произвольным
областям (а не только к: параллелепипедам) и сохраняет порядок
точности на неравномерных сетках. Он годится для квазилинейных
параболических уравнений общего вида даже при наличии в
коэффициентах разрывов (I рода). При такой широкой области
применения метод переменных направлений обладает еще целым рядом
практических достоинств: простота программы; пониженные (по
сравнению с большинством других схем) требования к объему
оперативной памяти; устойчивость счета при очень крупных шагах по
времено., позволяющая, в частности, быстро решать сложные задачи, где
не требуется большая точность.
Вычисления по любой разностной схеме вместо точного профиля
волны дают какой-то свой, разностный профиль (тем более точный, чем
мельче сетка). Чтобы исследовать строение этого профиля при очень
крупной сетке и оценить эффективную ширину фронта, в § 5 для случая
p=1 построена разностная бегущая волна - аналог известного решения
вида u=f(ct–x), называемого бегущей волной (постоянная c – скорость
волны).
При использование этого метода сетки по пространству в некоторых
примерах грубые, в других - достаточно подробные. Шаг по времени
может быть крупным.
3.6 Одномерные задачи
3.6.1 О скорости распространения температурного фронта
Рассмотрим вырождающееся параболическое уравнение
103
 (u )  
u 
=  K (u )  ,
t
x 
x 
(3.31)
где K (0) =  (0) = 0; K (u )  0 ,  (u )  0 при u  0 ;
lim[ K (u) /  (u)] = 0.
u →0
Распространение фронта тепла в этом случае происходит с конечной
скоростью. Обозначим положение фронта в момент t через  (t ) .
Дифференцируя тождество  (и (t ,  (t ))  0 и учитывая условие
непрерывности потока на фронте
 K (u)u / xx= (t )  0,
можно вывести следующее выражение для скорости фронта:
 K (u ) u 

= − lim 
.
x
→

е
  (u ) x 
(3.32)
Ниже, в примере 1, начальный профиль при t0 = 0.1
 10(1 − 2 x),
u=
0,
0  x  0.5,
0.5  x  1.
Очевидно,  (t 0 ) = 0.5 и по формуле (3.32) d / dt = 5.
В примере 2 начальный профиль при t0 = 0.1

 10(1 − 2 x),
u=

0,
0  x  0.5,
0.5  x  1.
И здесь  (t0 ) = 0.5, однако по формуле (3.32) получим d / dt = 0.
Соответствующее решение в первом случае (фиг. 2) представляет собой
волну, распространяющуюся с постоянной скоростью, а во втором
случае (фиг. 3), несмотря на быстрый рост температуры, фронт не
распространяется.
3.6.2 Вычислительная схема
Программа ОП составлена для решения уравнения (3.31), несколько
более общего, чем уравнение (3.28) при р = 1 , с краевыми условиями I
рода
u (t , 0) =  (t ),
u (t , l ) =  (t ).
Предполагается, что  (u ) = ut
104
Уравнение (3.31) заменяется однородной разностной схемой (см.
[109]) с опережением:
 (i ) −  (i ) = Ai +1 (i +1 − i ) − Ai (i − i −1 ),
(3.33)
где
Ai =
  +
K  i −1 i
h
 2

2

;

(3.34)
Величины без «галок» считаются на шаге j + 1 , а величина с «галкой»
на шаге j . Сетка предполагается равномерной: xi = ih, 0  i  N ; t j = j . Для
такой схемы устойчивость имеет место при любом шаге  .
Система уравнений (3.33) при i = 1, 2,..., N − 1 на каждом шаге j + 1
решается следующим методом итераций. Пусть s - номер итерации;
Полагая
(s +1)
(s)
(s +1)
(s)
s
 ( i ) =  (i ) + ( i − i ) (i ),
перепишем уравнение (3.33) в виде линейного уравнения относительно
(s +1)
i опуская
для краткости индексы (s) над всеми остальными
величинами:
( s +1)
(s +1)
( s +1)
Ai +1 i +1 − (Ai +1 + Ai + Bi ) i + Ai i −1 + Fi = 0.
(3.35)
Здесь A i определяются формулой (2,4),
Bi =  (i ),
Fi =  (i ) −  (i ) + i Bi .
Каждая итерация требует решения системы (3.35) при
Это осуществляется методом прогонки по формулам:
1 = 0;
 i +1 =
Ai +1
,
Ai +1 + Ai (1 −  i ) + Bi
i = 1, 2,..., N − 1;
1 = 0 ;
 i +1 =
Ai Bi + Fi
,
Ai +1 + Ai (1 −  i ) + Bi
i = 1, 2,..., N − 1;
(s +1)
N = N ;
(s +1)
(s +1)
i =  i +1 i +1 +  i +1,
i = 1, 2,..., N − 1
i = N − 1, N − 1,...,1.
Значения 0 и  N заданы краевыми условиями:
0 =  (j ),
 N =  (j ).
В качестве нулевой итерации выбираются значения с предыдущего
(0)
шага: i = i . Условие окончания итераций
105
( s +1)
(s)
max i − i   .
1 i  N −1
Во всех расчетах мы полагали  = 10−3.
Для каждого примера считается фактическое число итераций v j и
так
называемое
«отношение
Куранта»
 = max  K (u) / h2  ,
характеризующее размер шага по времени.
3.6.3. Пример. Волна, раcпространяющаяся с постоянной
скоростью
Используется аналитическое решение уравнения
u  
u 
=  N 0u 
,
t x 
x 
u (t , x) = f ( ),  = ct + x1 − x
(3.36)
представляющее собой бегущую волну:
1/
[ cN 0−1 (ct + x1 − x)]
u=
0,
при
x  x1 + ct ,
x1 + ct  x.
(3.37)
Параметры расчета:  = 2, N0 = 0.5, c = 5, x1 = 0.
Из решения (3.37) были выбраны начальные значения при t0 = 0.100 и
краевые условия
u (t , xN ) = 0.
u (t , 0) = 10 t ,
Сетка достаточно мелкая: h = 0.02, N = 50. Расчет-проводился до
t = 0.200 шагом  = 2 10−4 (  = 5.0). Аналитическое решение и результаты
расчета нанесены на фиг. 5.2. Всюду, кроме нескольких ближайших к
фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от точного не
превосходит 0.005.2. Число итераций v  3.
3.6.4 Пример. Не распространяющийся фронт
Используется аналитическое решение уравнения (3.36) при −  t  c :
1/
   ( x1 − x) 2



  2 N 0 ( + 2)(c − t ) 

0,
при
x  x1 ,
x1  x.
Это решение строится следующим образом
u (t , x) = T (t ) ( x),
T (t ) = T  +1 ,
106
(3.38)
 =

 +1
d
d
1
d 2  +1
( N 0 
)=
N0
,
dx
dx
 +1
dx 2
= y ( x),  ( x) = y
1
 +1
,
d y  +1 n
1
−
 y = 0, n =
 1.
2
dx
N0
 +1
2
Параметры расчета:  = 2, N0 = 0.5, x1 = 0.5, c = 0.1125. Шаг сетки
h = 0.02 , число узлов N = 50 . Из решения (3.38) были взяты начальные
значения при t0 = 0.100 и краевые условия
u(t ,0) = 1/ 0.9 − 8t,
u (t , xN ) = 0.
Счет проводился до t = 0.110 шагом  = 10−4 (  = 6.2) .
Абсолютная погрешность при t = 0.110 не превосходит 0.03. Число
итераций v  3. Обращаем внимание на то, что начальные и краевые
условия в примерах 1 и 2 весьма схожи.
107
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ,
ОПИСЫВАЕМЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫМИ
ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ
4.1 Об автомодельных решениях нелинейного уравнения
реакции диффузии
Существенную роль при исследовании задачи Коши и краевых задач
для уравнения играют автомодельные решения. Показано, что знание их
играет порой решающую роль в исследовании различных свойств
решений исходного уравнения.
Оценка и асимптотика решений и свободной границы, сходимость
к автомодельным решениям.
Численное моделирование задач реакции-диффузии в неоднородной
среде с поглощением и с источником.
Приводится численные схемы, способы линеаризации, методы
решения и устойчивость метода прогонки для процесса реакциидиффузии в неоднородной среде с поглощением или источником для
одномерного и двумерного случаев. Проведены вычислительные
эксперименты для различных значений входящих в уравнение
параметров. Смоделирована картина эволюции процесса по времени на
персональном компьютере с использованием Mathcad.
Численные схемы и методы решения нелинейных задач и
визуализация процесса реакции диффузии.
Глобальная разрешимость задача Коши и условие локализации
решения.
В последние годы для исследования нелинейных задач интенсивно
стали заниматься автомодельными и приближенно автомодельными
решениями, так как исследование автомодельных уравнений
относительно проще по сравнении с уравнениями в частных
производных. Поэтому удается изучить качественные свойства решений
исходных уравнений в частных производных посредством построения
различных автомодельных уравнений. Используя их на примере
нелинейной теплопроводности, фильтрации и диффузии были
установлены новые нелинейные эффекты. В настоящее время эта теория
благодаря работам А.А.Самарского, С.П.Курдюмова, А.П.Михайлова,
В.А.Галактионова, Г.И.Баренблатта, Л.К.Мартинсона, К.Павлова,
V.A.Bertsch и других весьма продвинута. Нами предложен один метод
построения автомодельных и приближенно автомодельных уравнений.
Этот метод позволяет, построить автомодельные и приближенно
автомодельные уравнения для многих классов не только нелинейных
108
параболических уравнений но и для гиперболических, эллиптических
уравнений, которые являются основой для моделирования различных
нелинейных процессов. Этот подход позволяет также изучать свойства
некоторого класса нелинейных систем типа реакции-диффузии, а также
уравнений высокого порядка и их систем.
Рассмотрим в области QT = [0, T )  R N (Т может быть и бесконечным)
нелинейное вырождающееся параболическое уравнение
N
u
 2u 

= u = 
,  1
2
t
i =1 xi
N
где   1,  = 
i =1
2
xi2
(4.1)
– оператор Лапласа
N
u

u
= ( u  −1u ) =  ( u  −1
)
t
xi
i =1 xi
 

 = grad x (.) = ( ,
,...,
)
x1 x2
xN
, дивергентный вид.
В одномерном случае (N=1) исходное уравнение можно записать так
Au  −
u   m−1 u 
+ u
 = 0, m  1
t x 
x 
Уравнение (4.1) вырождающегося типа, так как при u=0 оно
вырождается в уравнение первого порядка. Оно описывает процессы
нелинейной реакции диффузии, теплопроводности, фильтрации и др.
Задача Коши и краевые условия задачи для уравнения (4.1) в
одномерном и многомерном случаях при различных начальных и
граничных условиях были исследованы многими авторами [15]. Интерес
к исследованию различных свойств уравнения (4.1) объясняется
многочисленными областями его применения.
Существенную роль при исследовании задачи Коши и краевых задач
для уравнения (4.1) играют автомодельные решения [15]. Под
автомодельным в дальнейшем понимаются частные решения уравнения
(4.1), зависящие от комбинации t и x. Знание их играет порой решающую
роль в исследовании различных свойств решений исходного уравнения.
Несмотря на то, что автомодельные решения удовлетворяют
специальным начальным и граничным условиям, они часто
превращаются в глобальные характеристики уравнения (4.1) благодаря
теоремам сравнения решений. Доказано [110], что при t → + решения
задачи Коши с начальными данными из широкого класса сходятся в
определенных нормах к автомодельным. Представляет большой интерес
109
исследование автомодельных решений – решений, удовлетворяющих
обыкновенному дифференциальному уравнению.
Отметим, что часто автомодельные решения называются также
инвариантно-групповыми.
Рассмотрим следующие автомодельные решения уравнения (4.1).
I. u1 (t , x) = (T + t ) f1 ( ) ,
(4.2)
x
=
(T + t )
1+ (  −1)
2
,
t  0 , T  0.
II. u2 (t , x) = (T − t ) f 2 ( ) ,
(4.3)
x
=
(T − t )
1+ (  −1)
2
, t T .
III. u3 (t , x) = e (t +T ) f 3 ( ) ,
= xe
−
(4.4)
 (  −1)( t +T )
2
,
t  0, T  0.
Подставляя u1 , u2 , u3 в уравнение (4.1), для f1 ( ), f 2 ( ), f 3 ( ) имеем
нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения
d  N −1 df1

d 
d
 1− N
(4.5)
 N −1 df2  
df
 
 − 1 +  (  − 1) 2 + f 2 = 0 ,
d  2
d

df
d  N −1 df3  
 
 +  (  − 1) 3 − f 3 = 0 .
d 
d  2
d
 1− N
 1− N
 
df
 + 1 +  (  − 1) 1 − f1 = 0 ,
d
 2
d
d
(4.6)
(4.7)
Свойства решения краевых задач для этих автомодельных
уравнений в случае N=1 были изучены в [15]. Инвариантно-групповой
анализ [15] выявил существование для уравнения (4.1) еще трех
автомодельных решений:
u4 (t , x) = f 4 ( ) ,
N
u6 (t , x ) = (T + t )
f 6 ( ) ,
T +t
a
i =1
1
 −1
x
N
 = ct −  ai xi ,
u 5 (t , x) = f 5 ( ) ,
−
=
i =1
N
 =  a ln(T + t ) −  bi xi ;
i =1
2
i
;
 0,
a 0,
c  0;
N
b
i =1
2
i
 0.
При этом f 4 , f 5 , f 6 соответственно удовлетворяют уравнениям
 1− N
d
d
 N −1 df4
 
d

  df4
 +
=0,
 2 d
110
(4.8)
d 2 f 5
df
+ c 5 = 0,
2
d
d
(4.9)
d 2 f 6
df
+ a 6 = 0.
2
d
d
(4.10)
В [326] доказано, что краевая задача
d2 f 
df
+ p
− qf = 0 ,
2
d
d
f ( 0) = a ,
(4.11)
f ( ) = 0 ,
где p  0 и q произвольные постоянные, при a  0 имеет единственное
слабое решение с компактным носителем тогда и только тогда, когда
2 p + q  0 . Причем это решение в интервале f  0 удовлетворяет
уравнению (4.26) в классическом смысле. Под слабым (обобщенным)
решением уравнения (4.26) понимается непрерывная, ограниченная на
d 
[0,  ) функция f, имеющая непрерывную производную
f на [0,  ) и
d
удовлетворяющая интегральному тождеству


  ( f ) + pf d + ( p + q)  f d = 0

0
0
0
Для любого  C1[0, ) .
Отметим, что преобразование
2
fi = 
Приводит
 −1
уравнения
wi ( ) ,  = ln  , i = 1, 4
(4.2)
–
(4.8),
(4.12)
(4.11)
к
виду
i = 1, 3 ,
(4.13)
 3 − 1
 d   (  + N − 1) 
 2 pi

d
d
wi + 
+ N − 1
wi +
wi + pi
wi + 
   wi = 0 ,
2
d
 −1
d
  −1
 d
  −1

2
 d  2(  + N − 1)  1 dw4
d 2   3 − 1
1
w4 + 
+ N − 1
w4 +
w4 +
+
w4 = 0 ,
2
d
 −1
2 d  − 1
  −1
 d
где p1 =
1 +  (  − 1)
,
2
p2 = −
1 +  (  − 1)
,
2
p3 =
(4.14)
 (  − 1)
, знак минус перед a в
2
уравнении (4.13) относится к случаю i=1, 3, знак плюс – к случаю i=5.
Таким образом, преобразование (4.12) приводит уравнения (4.2) –
(4.8) к автономному виду, что позволяет анализировать решения
исходных уравнений путем понижения их порядка.
Рассмотрим теперь уравнение (4.8) и исследуем его решения,
заданные на промежутке [0, a) и обладающие свойствами y ( )  0 , y( )  0
, где y( ) – решение уравнения
111

1− N
d
d
−1
 1− N dy  1 
 
 +
yy  = 0 ,
d   2

1
f 4 ( ) = y ( )
(4.15)
в некоторой левой окрестности точки a. Заменой
y ( ) = v( ) (t ) , t = t ( ) ,
(4.16)
где
t ( ) = − ln(1 −  2 ) ,
1
2 n
v( ) = (1 −  )
n = 1−
,
1

,
1
4
 = n.
Уравнение (4.8) приведем к виду
2

1 1


1
1 
  −  − A(t )  +  − A(t ) = −  −n   −   .
n n
n
n 
n



Здесь
lim t ( ) = + ,
 →a
N t
(e − 1) −1 . Поскольку
2
1
, изучение решения
a=

A(t ) = 1 +
где
v ( ) ,
(4.17)
t ( )  0
при
a  0,
уравнения (4.8), обладающего
свойствами y ( )  0 , y( )  0 в окрестности точки a, равносильно
изучению таких решений  (t ) уравнения (4.6), каждое из которых в
промежутке [0, + ) обладает следующими свойствами:
1
n
 (t ) −  (t )  0 .
 (t )  0 ,
Теорема 4.1 Любое правильное неколеблющееся решение
уравнения (4.6) имеет асимптотическое представление
 (t ) ~ 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (4.6) перепишем в виде
2
n
  −  − A(t ) −
Так как
1 −n 
1
   = 2  1− n [1 −  (1 − nA(t )) n ] .
n
n

lim A(t ) = 1 ,
t →+
то из
(2.52) следует,
(4.18)
что каждый экстремум
функции  (t ) выше прямой  = (1 +  )1/ n должен быть максимумом, а ниже
прямой  = (1 −  )1/ n – минимумом. Здесь  – достаточно малое
положительное число.
Следовательно, без ограничения общности можно считать, что для
решения  (t ) при t  t могут представиться три случая:
1)  (t )  (1 +  )1/ n ;
2) (1 −  )1/ n   (t )  (1 +  )1/ n ;
3) 0   (t )  (1 −  )1/ n .
112
Покажем, что случаев 1) и 3) не может быть. В самом деле, если
предположить противное, то функция  (t ) имеет конечные пределы
lim  (t )  (1 +  )1/ n ,
так как  (t )  0 при t  t ,
(4.19)
lim  (t )  (1 −  )1/ n ,
так как  (t )  0 при t  t ,
(4.20)
t → +
и
t → +
при соблюдении одного из условий 1) или 3).
Следующая лемма показывает невозможность случаев (4.19), (4.20).
Лемма 3. Если у решения уравнения (4.36) существует отличный от
нуля конечный предел r0 при t → + , то r0 =1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что у уравнения (4.6) существуют
решения с отличным от нуля конечным пределом при t → + . Подставляя
любое из этих решений в уравнение (4.6) и полагая
1
u (t ) =  (t ) −  (t ) ,
n
получим тождество
1

1
u(t )  u (t )  − A(t ) −  − n (t ) ,
n
n

(4.21)
откуда видно, что для каждого фиксированного отличного от нуля
значения u(t) правая часть тождества (4.21) сохраняет знак на некотором
промежутке [t r , +  ) , т. е. u  0 , или u  0 на [t r , +  ) , если только
0
1
1 −n
−1 −
r0  0 .
n
n
0
Поэтому для функции u(t) существует предел при t → + .
1
n
Но поскольку u (t ) =  (t ) −  (t ) и решение  уравнения (5. 6) имеет
отличный от нуля конечный предел, то для производной решения 
уравнения (4.6) также существует предел при t → + , который, очевидно,
может быть равен только нулю. Следовательно,
r
1
1
u (t ) =  (t ) −  (t ) ~ −  (t ) ~ − 0
n
n
n
(4.22)
при t → + . Ввиду этого из тождества (4.21) следует, что производная
функции u(t) обладает конечным пределом при t → + , который также
может быть равен только нулю, т.е.

1

1
lim u (t )  − A(t ) −  − n (t )  = 0 .
t → +
n
n


Отсюда с учетом (4.22) получим
113
1
1 −n
−1 −
r0 = 0
n
n
или
 1
r0− n =  − n =  −  1 −  = 1 ,
 
т.е. r0 =1. Лемма 3 доказана.
Таким образом, из леммы вытекает, что случаи (4.19) и (4.20)
невозможны, следовательно, неравенства 1), 3) не имеют места.
Если для любого произвольно малого   0 при t  t соблюдается
условие 2), то  (t ) ~ 1 . Отсюда и из леммы, учитывая (4.22), приходим к
утверждению теорема 4.1.
Теорема 4.1 дает асимптотику решения уравнения (4.8) в левой
окрестности фронта, и для фронта x (t ) имеем x (t ) ~ 2

 −1
(T + t )1 / 2 → 
при  → 1 , t  0 . Доказывается, что f1 , f 2 , f 3 при 1 +  (  − 1)  0 ,
1 +  (  − 1)  0 имеет в левой окрестности фронта асимптотику

 − 1 1 +  (  − 1) 2 
f1 ~  A −
 

4


1 /(  −1)

 − 1 1 +  (  − 1) 2 
f2 ~ B −
 

4



 (  − 1) 2  2 
f 3 ~ C −


4

, A0;
1 /(  −1)
, B 0,
1/(  −1)
, C  0.
Функции f1 , f 2 , f 3 найдены методом эталонных уравнений,
изложенных в гл. 1.
Из последних формул также видно, что x (t ) → + при  → 1 . Это
хорошо согласуется с физикой процесса, поскольку при  → 1
автомодельные уравнения становятся линейными, а скорость
распространения температурных возмущений – бесконечной.
4.1.1 Метод нелинейного расщепления для построения
автомодельных и приближенно автомодельных решений.
В настоящем пункте изучается асимптотическое поведение (при
t→+∞) решений задачи Коши для вырождающегося параболического
уравнения, описывающего процессы политропической фильтрации в
нелинейной среде с нелинейным поглощением или источником
114
L ( u )  ut − ( x u u) +  (t )u  = 0, t  0, x  R N ,
m
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0,
u0  C ( R N ) ,
x  RN ,
sup u0  .
(4.23)
(4.24)
Здесь t≥0 и x  R N - соответственно временные, пространственные
(.) − grad x (.)
  0 -фиксированная
координаты,
постоянная,
0   ( t )  C(0, ) . Относительно начальной функции u 0 ( x ) в (1.4)
предполагается, что u0 ( x) → 0 при x → + . Ограниченное решение
задачи (4.23), (1.4) существует, является единственным и классическим
в любой области вида  , + )  R N ,   0 (см., например, [110]).
Отметим, что случай уравнения (4.23), когда m = 0 ,  (t ) = const ,
 = 0,   1,  = −1 , подробно изучен в [110].
Физический смысл данной задачи заключается в следующим: в
неограниченную фильтрационную среду с нелинейным поглощением,
фильтрация которой описывается уравнением (4.23), внесено извне
некоторое начальное возмущение u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, u0  0 достаточно
произвольного вида. Какова дальнейшая судьба этого возмущения?
Авторы работы [110], изучая задачу Коши на примере уравнения
теплопроводности при частном значении параметров, входящих в
уравнение, показали, что по истечении определенного времени в среде,
как правило, формируется некоторое устойчивое пространственнонеоднородное образование – нестационарная тепловая структура со
своими законами эволюции при больших t. Каждой из них отвечает свое
множество притяжений A в пространстве начальных функций, при этом
законы эволюции решения при больших временах не зависят от
специфики начального возмущения (т.е. они одни и те же для любых
u0A). Другими словами, можно сказать, что данная нелинейная среда
имеет свой набор устойчивых «собственных функций» (сокращенно
с.ф.), которые определяют асимптотическое поведение решений задачи
(4.23)-(4.24) при достаточно произвольных начальных возмущениях u0.
Поскольку для (4.23) рассматривается задача Коши, т.е. задача без
краевых условий, то можно говорить именно о с.ф. среды, не
подверженной каким-либо внешним воздействиям. Разумеется, эта
постановка является естественной и с позиций качественной теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Авторы этой
работы особо отметили, что понятие с.ф. нелинейной среды играет
важную роль в описании сложных нестационарных физических,
химических, биологических и других процессов, в частности, процесса
115
морфогенеза в активных биологических средах (см. об этом в [110] и
приведенную там литературу).
Возникает вопрос, что представляет из себя набор с.ф.
рассматриваемой нелинейной среды (4.23) и отвечающее каждой из них
множество притяжения A в пространстве начальных возмущений
(4.24). Другими словами, ставится проблема конструктивного описания
аттрактора нелинейного эволюционного параболического уравнения
(4.23).
Отметим отдельные полученные в [110] результаты. Они
исследовали радиально-симметричные автомодельные, приближенноавтомодельные решении уравнения (4.23) следующего вида:
u A ( t , x ) = (T + t )
−
1
 −1
 A ( ) ,
=
x
(T + t )
1
,
(4.25)
2
где T  0 - произвольная постоянная, а функция  A ( )  0 определяется
путем интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения,
которое получается после подстановки (4.25) в исходное уравнение
(4.23):
1
1
L( A )   A +  A'  +
 A −  A = 0 ,   0 ,
2
 −1
(4.26)
где  - оператор Лапласа в радиально-симметричном случае
 =  1− N
d N −1  d
 
d
 d

 . Оно имеет однородное решение

 A ( ) =  H  (  − 1)
−
1
 −1
  0,
,
(4.27)
все остальные должны удовлетворять краевым условиям
 A' (0) = 0 ,
 A (+) = 0 .
(4.28)
В силу первого из них функция (4.25) является решением уравнения
(4.23) всюду в R+1  R N . Они установили существование бесконечного
набора различных нетривиальных автомодельных функций  A ( )  0 ,
определенных при любых   0; они показали, что структура семейства
{A} различна в случаях   1 +
2
2
и 1    1 + , причем это различие в
N
N
конечном итоге определяет главные особенности асимптотического
поведения решений задачи при   1 +
2
N

и   1 , 1 +

2
 . Также доказано,
N
что каждое автомодельное решение, вообще говоря, является «центром
116
притяжения» широкого множества решений задачи (4.23)-(4.24),
отвечающих
различным
«неавтомодельным»
начальным
распределениям u0 ( x) , т.е. частные решения u A (t , x) являются
асимптотически устойчивыми относительно не слишком «больших»
u A (0, x), не
возмущений «автомодельной» начальной функции
выводящих u0 ( x) из множества притяжения A. Тем самым, функции
u A (t , x) - искомые (автомодельные) с.ф. нелинейной среды и являются
элементами аттрактора эволюционного уравнения. Показано, что при
2

  1 , 1 +  автомодельные решения исчерпывают все множество

N
радиально-симметричных с.ф. При этом структура множества
притяжения A
отвечающая решению (4.25) с фиксированной
автомодельной функцией  A ( ) , определяется с помощью верхних  + ( )
1
и нижних  − ( ) (+ ( )  − ( ) в R+ ) решений уравнения (4.26), на
основе которых доказали существование данного решения задачи (4.26)(4.28) .
В случае   1 +
2
выделены классы решений задачи (4.23)-(4.24),
N
которые эволюционируют при
t → +
по другим, чем в (4.25),
«неавтомодельным законам». При   1 +
2
асимптотическое поведение
N
большинства из них описывается семейством различных автомодельных
решений уравнения теплопроводности без стока
v t = v ,
t  0,
x R N
(4.29)
но, как уже упоминалось выше, существуют и такие решения,
асимптотическая эволюция которых описывается нетривиальными
приближенно – автомодельными уравнениями (п.а.р.) Для крити-ческого
случая   1 +
2
N
выделено семейство решений задачи (4.23)-(4.24),
асимптотическое поведение которых при t → + описывается п. а. р.
−N
u a ( t, x) = [(T + t ) ln(T + t )] 2 g * () ,
=
x
(T + t )
1
,
2
(4.30)
 2 
где g* ( ) = exp  −  .
 4 
Причем п.а.р. (4.30) удовлетворяет не исходному уравнению а
параболическому уравнению
117
u a
ua
N
= u a −
.
t
2 (T + t ) ln(T + t )
Это весьма любопытный факт, который имеет место и для решений
с обострением.
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : 0  t  +, x  R N } задачу Коши для
уравнения (4.23), когда P (u ) = 1
(
Lu  −u t +  x
m
)
K(u )u +  (t )F(u ) = 0 , x  R N
u(0, x) = u0 ( x )  0 , x  R N
(4.31)
(4.32)
Здесь K(u) = u , F(u) = u , и числовые параметры   0 ,   1 , m  0 ,
N  1,  = 1 .
Будем
рассматривать
теперь
приближенно-автомодельное
уравнение в случае  = −1 , полученное методом нелинейного
расщепления [15]. Согласно этому методу приближенно-автомодельное
уравнение для (4.23) ищется в виде
u A (t, x ) = u(t )f A () ,
(4.33)
где u (t ) является решением уравнения
du
= − (t )u 
dt
т.е. u ( t ) = (T + ( − 1)   (t ) ) −1 ,
−
1
а приближенно-автомодельная переменная  определяется так
=
( x )
( t ) 
1/ 2
,
где
2
( x ) =
x
2−m
2−m
2 ,
 (t ) =  u  (t )dt
(4.34)
m  2, T  0.
Тогда функция f ( )  0 определяется путем интегрирования
приближенно автомодельного уравнения:
A
Lf =  1− s
где s =
d  s −1  df A   df A
+  (t ) (t )u (  − −1) ( f A − f A  ) ,   R N ,
 fA
+
d 
d  2 d
(4.35)
2N
, которое получается после подстановки (4.33) в исходное
2−m
уравнение (4.31)
Легко подсчитать, что в частном случае, когда (t ) = (T + t ) и при
  1 + ( + 1)
приближенно–автомодельное
уравнение
(4.31)
превращается в точное автомодельное уравнение
118
L R (f A )  1− s
d  s −1  df A   df A
 +1
  f A
 +
+
f A − f A ,
d 
d  2 d  − 1 − ( + 1)
(
)
  0,
(4.36)
а
 −1− (  +1) 
− 

−1   −1
−1


(T + t )  −1

   +1  −1−( +1)
(t ) =  1
 −  +1 ln(T + t )


,если
 − 1 − ( + 1)  0,
, если
 − 1 − ( + 1) = 0.
В силу уравнения (4.35) функция (4.33) является решением задачи
(4.31)-(4.30) всюду в Q. Существование различных решений уравнения
(4.31) при  = 0 достаточно подробно исследованы в [110].
Рассмотрим теперь случай  = 0 . В этом случае для уравнения
(4.36) справедлива теорема.
Теорема 4.2 Пусть  + 1  0,  − 1  0 . Тогда любое продолжаемое
решение уравнения (1.24) f A ( ) при  → + имеет одну из асимптотик:
либо f ( ) → 1 , либо f ( ) стремится к стремящимся при  →  к нулю
решению линейного уравнения
Lf = 1−s
d  s−1 df A   df A  + 1
  fA
+
+
fA .
d 
d  2 d
 −1
(4.37)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема доказывается методом И.
Кигурадзе, приведенным в [15].
Из последнего уравнения легко видеть, что функция f A ( ) = exp(− 2 )
является его точным решением, если
 +1 s
= .
 −1 2
Установлено существование бесконечного набора различных
нетривиальных автомодельных функций f A ()  0 , определенных при
любых   0 . Показано, что структура семейства {fA} различна в случаях
 = 1 + (1 + ),
2−m

1 + ( + 1)    1 + (1 + )  +
,
N 

 2−m
  1 + (1 +  )   +
 причем
N 

это различие в конечном итоге определяет главные особенности
асимптотического поведения решений задачи. Для случая
 2−m
* = 1 + (1 +  )   +

N 

для
задачи
(4.32)-(4.33)
асимптотическое поведение решений
приближенно-автомодельным решением
119
при
доказывается,
t → +
что
описывается
−  +−s1
ua (t , x) = [(T + t ) ln(T + t )]

f ( ) ,
=
( x )
T + t 1 / 2
(4.38)
1

2− m

где f () =  a − 2  , (x) = 2 x 2 .
2−m
4 +

4.2 Оценка и асимптотика решений и свободной границы
Ниже для случая   −1, m<2, N  1 изучается влияние
неоднородности (проницаемости) и поглощения к эволюцию
фильтрационного процесса. Оценивается поведение свободной границы
 = 1 + (1 +  ) ,
и
слабого
решения
для
случаев
2−m

1 + ( + 1)    1 + (1 + )  +
 . В случае m = −2( N − 1) , N  2 показано
N 

что, поведение свободной границы зависит только от размерности
пространства и начальной функции.
Рассмотрим в области Q = {( t, x) : t  0, x  R N } задачу Коши для
уравнения (4.23)-(4.24), когда P(u ) = 1 .
Решение задачи (4.23)-(4.24) из-за вырождения и нелинейности
обладает следующим свойством: существует непрерывная функция
l ( t )  0 для которого u (t , x)  0 при x  l ( t ) , означающая конечную
скорость распространения фильтрационных возмущений, что не имеет
место в линейном случае (в (4.23))  = 0,  = 1 ). x = l (t ) - называется
фронтом возмущений.
Нами доказано следующее
Теорема 4.3 Пусть m  2 и u0 ( x) удовлетворяют условию (1.5). Тогда
существуют константы A и BR+, что для свободной границы l (t ) при
t  1 имеет место оценка
At
p1
 l ( t )  Bt
p1
l( t )  cln( T + t )
где p1 =
1
, если 1 + (  + 1)     1 + (  + 1)  +
( 2−m )
, если
2−m
N
 = 1 + (  + 1) 
 − 1 − ( + 1)
.
2( − 1)(2 − m )
Пусть m = −2( N − 1) , N  2 . Тогда справедлива
Теорема 4.4 Пусть u0 ( x) удовлетворяют условию (1.5). Тогда для
l (t ) имеет место оценки
120
A(T + t ) P  l (t )  B(T + t ) P
1
A(ln t )
P1 =
1
N
1
 l (t )  B (ln t )
1
если 1 + ( + 1)    3 + ( + 1) ,
если
N
 − 1 − ( + 1)
.
4(  − 1) N
 = 1 + ( + 1) ,
Отметим, что теорема 4.4 свидетельствует о появлении нового типа
фронта лишь в случае, когда N  2 .
Доказательство теоремы 4.3. Для доказательства теоремы 4.3 ищем
решение задачи (1.11)-(1.12) в виде
u(t, x ) = u(t )w((t ), x) , где u (t ) решение уравнения u ( t ) = −(T + t ) u  ,
  +1 
где u ( t ) = 

  −1 
−
1
 −1
 (T + t )
−
 +1
 −1
, в (1.11) имеем
 −1− (  +1) 
− 

−1   −1
−1

 −1

(T + t )


−1−( +1)
(t ) =    +11 
,если
−
   +1 ln(T + t )

,если

Тогда уравнение (4.23) принимает вид
(
w
= x

m

)
 w w +
(
)
 − 1 − ( + 1)  0,
(4.39)
 − 1 − ( + 1) = 0.
(
)
 +1

w − w , если   1 + ( + 1) ,
 ( t )  ( − 1 − (  + 1)  )
w
m
=  x  w  w +  − .( +1) w − w  , если  = 1 + ( + 1) ,  + 1  0 . (4.40)

Полагая в первом уравнении (4.40)
w ( , x ) = f () ,
2
 ( x)
x
где  = 1 2 , ( x ) =
2
−
m

2−m
2
(4.41)
, m<2, при   1 + ( + 1) уравнение (4.40)
принимает вид
(T + t )
− ( +1)
где s =
Lt f =  1− s
d  s −1  df   df
 +1
+
f − f )=0
(
 f
+
d 
d  2 d  − 1 − ( + 1) 
2N
. А в случае
2−m
(4.42)
легко видеть, что (4.40)
m = −2( N − 1)
превращается в одномерное (плоское) уравнение
− 
w
   w 
 w
 +  (  +1) w − w 
=

 
 
(
которое допускает автомодельное решение вида
121
)
(4.43)
w () = f (),
где
f ()
где  = −c +  ,  > 0
удовлетворяет автомодельному уравнению

−
d   df 
df
 f
 + c
+   +1 f − f  = 0
d  d 
d
(
)
(4.44)
Теперь для доказательства первой части теоремы 4.2 воспользуемся
теоремой сравнения решений. Легко видеть, что для функции
z − (t, x) = u ( t )f ()
(4.45)
1
где u (t ) вышеопределенная функция, а
  

( x )
f ( ) =  a −  2  ,  =
4 +

( t )12
, а
функция (t) задана первой формулой (4.39), в силу условия теоремы
имеем
Lz − = u ( t )
− (  +1)
 s

 +1
f − +
1 − f −1   0
 2  − 1 − ( + 1)

(

a



в D = (t , x) : t  0, x  2
 (t )
1
2


,


 −1

если a 
Поэтому по теореме сравнения решений
теоремы 4.2 имеем
)
 +1
s
− .
 − 1 − ( + 1) 2
[110] в силу условия
u(t, x)  z − (t, x)
как только
u ( 0, x )  z − (0, x ) , т.е l ( t )  2
Теперь покажем, x → l ( t ) = 2
a
 ( t )  1 2 .

a
 ( t )  1 2 что

В самом деле, решение (4.44) ищем в виде
f = f (  ) z ( ),
 2

 = − ln  a −  
4 

Тогда вычисление показывает, что для
уравнение
z ( )
(4.46)
из (4.38) получим
−
 −1

d 
s  
1
e  
  +1
 z ( z − z )  +  −2


+
z
(
z
−
z
)
+
z
−
z
−
z = 0,
(
)

 2 
d
 a − e−  
a − e−

122
из которого видно, что
a
 ( t )  1 2

x →2
z→

4( + 1)
при
 → +

a
 → 2  ,

 

т.е. при
. Это в силу (4.46) показывает справедливость
теоремы 4.2.
Для доказательства второй части теоремы 4.2 рассмотрим функцию
z1 ( t , x ) = u ( t )f 0 ()
(4.47)
где u (t ) заданная выше функция, а  (t ) определена второй частью
формулы (4.40).
Тогда легко видеть, что
Lz 1 = u ( t )
− (  +1)


в D1 = (t , x) : t  0,


x 2
(
)
 s

f 0 − + ( t ) 1 − f 0 −1   0 , если f0 −1  1
 2

a

 (t )
1
( 2− m )





для достаточно больших t, так как
( t ) → + .
Тогда по теореме сравнения решений [15,110] имеем
u ( t , x )  z1 ( t , x ) в Q если только u(0, x)  z1 (0, x)
Отсюда имеем x(t )  2
a

 (t ) 
1
( 2− m )
Теорема 4.3 полностью доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 4.4. Первая часть теоремы 4.4
доказывается методами, примененными в [15,110], а также методом,
примененным при доказательстве теоремы 4.3
Для доказательства второй части теоремы 4.4 рассмотрим функцию
f () = (a − c)+ 
1
(4.48)
Преобразованием
 = − ln(a − c)
f () = f () w (),
уравнение (4.43) сводится к виду
(
)
d 
w (w  − w ) + (c + 1)(w  − w ) − c( + 1) w  (w  − w ) − e −( +1) w  = 0
d
из которого видно, что
при  →
 c +1 
w→

 c (  + 1) 
1
a
.
c
123

при  → + , что означает
f ( ) → 0
То есть в силу (4.48)
x
N
N
→ A ln(T + t ) ,
где А=
a
>0 постоянная.
c
Вторая часть теоремы 4.4 также доказана.
Эта теорема показывает, что при переменной проницаемости
свободная граница имеет вид логарифмической функции t и она
возникает только при размерности пространства N  2, что является
новым нелинейным эффектом, для случая переменной проницаемости.
4.3 Сходимость к автомодельным решениям.
Отметим, что раньше на автомодельные решения смотрели как на
некое частное решение. Работы многих авторов [см. 110 и ссылки]
показывают, что это не совсем так, особенно в нелинейных задачах.
Другими словами, автомодельные и приближенно-автомодельные
решения являются асимптотиками классов решений. Приводимые, ниже
теоремы свидетельствуют об этом.
2−m
  1+
Рассмотрим, как пример, случай
. При   1 + 2 − m
N
N
определим условия устойчивости автомодельных решений. Ниже
доказаны теоремы о равномерной по RN стабилизации f T (t, ) → f A при
t→+, где f T ( t, ) = (T + t )1 /(−1) u ( t, (T + t )1 / 2 ) .
Теорема 4.5 Пусть при   1 +
2−m
существует такое Т>0, что
N
u 0 (x) − u A (0, x; T)  L1 (R N ).
(4.49)
Тогда
 − 2−Nm + 1−1 
,
f T ( t, ) − f A () C ( R N ) = O t





N
1
 − + 
f T ( t, ) − f A () L1 ( R N ) = O t 2− m −1  ⎯⎯
⎯→ 0.

 t →+


(4.50)
(4.51)
Доказательство. Для доказательства теоремы применим метод
предложенный в [15, 110]. Для чего положим
w 0+ (x) = maxu 0 (x), u A (0, x; T) , w 0− (x) = minu 0 (x), u A (0, x; T)
и через w  (t, x) обозначим решения уравнения (1.11) с начальными
условиями w  (0, x) = w 0 (x), x  R N . Очевидно, что w + (t, x)  u A (t, x; T),
w − ( t , x )  u A ( t , x; T ) .
Рассмотрим функцию z+ = w + − u A  0 , которая
удовлетворяет задаче
124
(
+
)
(
)
z t (t, x) =  x z + − (w + )    x z + , ,
m
m
xRN ,
t  0,
z  (0, x) = z 0 (x) = w 0+ (x) − u A (0, x; T)  L1 (R N ) .
Отсюда получаем
1
+
z (t, x) 
(ct)
где
N
2−m
 y 2−m
Nexp − 4t
R

(
c =  exp − x
RN
2−m

z + ( x + y)dy  1
z 0+
N
 0

(ct) 2 − m
L1 ( R N )
 − 2 −Nm 
 , (4.52)
= O t



) dx.
−
Аналогично выводится оценка снизу функции z (t , x) . Теперь,
учитывая, z −  u − u A  z + и
u − uA
C x (R N )
= (T + t )
−
1
 −1
f T ( t , ) − f A ( )
C (R N )
,
(4.53)
приходим к оценке (4.50).
Вторая оценка получается еще проще. Аналогично предыдущему из
уравнений для функций z имеем
u(t, x) − u A (t, x; T)
L1x ( R N )
 u 0 (x) − u A (0, x; T)
L1 ( R N )
,
Отсюда, поскольку
u −uA
L1x ( R N )
= (T + t )
Теорема 4.6 Пусть
−
  1+
1
N
+
 −1 2 − m
2−m
N
T − A
L1 ( R N )
и, кроме того,
N
 N


− 1 
2−m
 2−m

т.е.   1 +

, вытекает (4.51).
(4.54)
2−m

N

, +   при N = 1 или N = 2 и   1 + 2 − m ,
 при N  3 .
N
N
N+m-2


 1
N 
,

  −1 2 - m 
Пусть существует   
и такие положительные постоянные Т
, М и А, что
u 0 (x) − u A (0, x; T)  L1 (R N ) ,
u 0 (x)  Au A (0, x; T)
x R N .
Тогда f T (t, ) − f A () L ( R ) → 0 при
1

(4.55)
(4.56)
N
t → + .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим z = uA − u . Тогда для z получаем
уравнение
125
(
)
z +t ( t, x ) =  x z + − u  , t  0 ,
Положим z + = max z 0, x  0 ,
Очевидно, что z(t )
1
L (R
N
x  RN
; z(0, x )  L1 (R N ) .
(4.57)
z − = min z 0, x  0 , t  0 , x  R N .
+
−
=
z
(
t
)
+
z
(t ) L ( R ) , причем, в силу (4.58)
)
L (R )
1
N
1
N
z  (0, x )  L1 (R N ) .
Из (1.45) непосредственно следует, что
d +
z (t )
dt
1
N
L (R )

u
R

( t, x )dx ,
N
d −
z (t)
dt
L1 ( R N )
0
(4.59)
(эти
неравенства выводятся при естественных предположениях
1
1
N
 z (t , x)  L1 ( R N ) , z  C (R + , R ). Из (4.57) на основе принципа максимума
заключаем, что u  A vA в R 1+  R N и тогда из первой оценки (4.59)
следует неравенство
d +
z (t)
dt
1
N
L (R )
 A
 v A (t, x; T)dx = (T + t )

R
−  +
N
2
A fa

L ( R N )
,
t  0.
N
4.3.1 Уравнение нелинейной фильтрации с источником.
Развитые специальные методы исследования нелинейных
параболических уравнений [15, 110] позволяют провести достаточно
подробное исследование неограниченных решений уравнения
фильтрации (1.11) с источником ( = +1) .
Это, в первую очередь, касается: 1) условий возникновения режимов
с обострением, 2) условий на F (u ) , K (u ) при котором проявляется
эффект локализации фильтрационного возмущения, 3) в возникновении
других типов решений.
В частности, большой интерес с точки зрения приложений
представляет изучение фильтрационных режимов с обострением,
которым отвечают неограниченные решения уравнения (1.11),
существующие в течение конечного времени, с амплитудой,
неограниченно возрастающей на конечном интервале изменении
времени: sup u ( t , x ) → + при t → T0−  + ( t = Т 0 - момент обострения).
x
Было установлено, что в задаче Коши для (1.11) при значениях
параметров нелинейной среды   1 +  , неограниченные решения
−
локализованы в пространстве в том смысле, что u ( t , x ) → + , t = Т 0 в
ограниченной области.
Рассмотрим автомодельные решения уравнения (1.11) следующего
вида:
126
u A (t , x ) = (T − t )
=
−
 +1
 −1
f A ( ) ,
( x )
( t ) 1 / 2
(4.60)
( x ) =
,
 −1− (  +1 ) 
   +1  −1
−1
 −1
  −1  −1−(  +1)  ( T − t )
(t ) =  − 1+1
ln(T − t )


2
x
2−m
2−m
2

, если
 − 1 − ( + 1)  0
, если
 − 1 − ( + 1) = 0
(4.61)
функция f A ( )  0 удовлетворяет эллиптическому уравнению, также при
  1 + ( + 1) :
1− s
где
d  s −1  df A   df A
 +1
  f A
 +
−
f A − f A = 0 ,   R N , (4.62)
d 
d  2 d  − 1 − ( + 1)
(
s=
2N
2−m
)
. Оно при  = 0 имеет точное решение
f A () = A  ,  = −
2
 − ( + 1)
(4.63)
f A ( ) → 0 при  → + ,    + 1 .
4.4 Численное моделирование УПС в неоднородной среде с
поглощением и с источником
В этом параграфе представлены результаты расчетов, которые
выполнены для исследуемых задач. Разработаны численные схемы,
алгоритмы и программы с помощью универсального математического
пакета MathCAD.
Приведены численные схемы, способы линеаризации, методы
решения и устойчивость метода для процесса реакции-диффузии в
неоднородной среде с поглощением или источником для случаев N = 1 и
N = 2 . Проведены вычислительные эксперименты для различных
значений входящих в уравнение параметров. Смоделирована картина
эволюции процесса по времени на персональном компьютере с
использованием MathCAD. Полученные здесь результаты служат для
дополнения MathCAD новыми возможностями - численным решением
нелинейных задач.
4.4.1 Численные схемы и методы решения
Рассмотрим в области  = (t , x) :
127
0  t  T , 0  x  b уравнение
(
Lu  −ut +  x
m
)
K (u )u +   (t , x )Q (u ) = 0 ,
x  RN
,
(4.64)
с начальными и краевыми условиями
u (0, x) =  ( x )  0,
0  x b,
 u (t , 0) = 1 (t )  0
,

u (t , b) = 2 (t ) = 0
(4.65)
t   0, T  ,
(4.66)
которые в случае вырождающегося эквивалентна задаче Коши с
финитной начальной функцией u0 ( x )  0, x  l  0 .


Здесь K (u) = u , Q(u) = u - достаточно гладкие функции, m  0 ,
0   (t , x)  C (0, +)  R N ,  = 1 .
Сначала рассмотрим одномерный случай ( N = 1 ).
В  построим равномерную сетку h по x с шагом h :
h =  xi = ih, h  0, i = 0,1,..., n, hn = b ,
и временную сетку
 = t j = j ,   0,
j = 0,1,..., m,  m = T  , T  0 .
Заменим задачу (4.64)-(4.66), с применением метода баланса,
неявной разностной схемой и получим разностную задачу с
2
погрешностью (h +  ) :
 yij +1 − yij 1 
m
m
= 2 xi +1 ai +1 ( y j +1 )( yij++11 − yij +1 ) − xi ai ( y j +1 )( yij +1 − yij−+11 )  +
 

h 

+ ( t j , xi ) bi ( y j +1 ) ,
i = 1, 2,..., n − 1; j = 0,1,..., m − 1,


 y0 = u ( x ) ,
i = 0,1,..., n,
0
i
 i
 y0j = 1 ( t j ) ,
j = 1, 2,..., m,

 ynj = 2 ( t j ) ,
j = 1, 2,..., m,
(4.67)
где bi ( y ) = ( yi ) и для вычисления a ( y ) используется одна из
следующих формул
j +1
а)
б)
j +1 
y +y 
ai ( y ) = K  i −1 i  ,
 2 
K ( yi −1 ) + K ( yi
ai ( y ) =
2
).
128
Система алгебраических уравнений (4.4) нелинейная относительно
j +1
y .
Для решения системы нелинейных уравнений применим различные
итерационные методы и получим:
s +1
j +1
i
y − yij
=

где
m
1 
 ys j +1  sy+1j +1 − sy+1j +1  − x
x
a
( i+1 ) i+1  
 ( i
i +1
i
h2 


)
m
s
s +1
s +1

j +1
ai  y j +1 
y
−
yij−+11   +
 i



j +1
+ ( t j , xi ) bi ( y ) , (4.68)
s = 0,1, 2,... .

s
1) bi ( y ) =  y i  - метод Пикара,
 
j +1
 −1
 ys 
b
y
=
y
) i  i  - специальный метод,
2) i (
s +1
j +1
3) bi ( y

j +1
s
s
) =  y i  +   y i 
Относительно
s +1
yi
 −1
разностная схема (4.68) линейна. В качестве
s +1
начальной итерации для
0
 sy+1 − ys 
- метод Ньютона.
 i
i 


y i берется y из предыдущего шага по
времени: y = y . При счете по итерационной схеме задаются точность
итерации и процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится
условие
j +1
j
s +1
s
max y i − y i   .
0i  n
Замечание. Во всех численных расчетах мы полагали  = 10 .
В (4.68) введем обозначения
1) для метода Пикара
−3
s
Ai =
s
s
  ( xi −1 )
s
h2
C i = Ai + B i + 1 ,
m

 sy j +1 + ys j +1 
i −1 
 i
,


2


s
Bi =
  ( xi +1 )
h2

 ys j +1 + ys j +1 
 i +1 i  ,


2



s
F i = yi +    ( t j , xi )  yi j +1  ,


s
m
s
s = 0,1,2... ,
i = 1,2,..., n .
2) для специального метода

s
Ai =
s
s
m
  ( xi −1 )  yij +1 + yij−+11 


h2


2



,
129
s
Bi =
s
s
m
  ( xi +1 )  yij++11 + yij +1 


h2


2


,
s
s
s
s
C i = Ai + B i + 1 −    ( t j , xi )  yi j +1 


 −1
s
s
F i = yij +1 , s = 0,1,2... , i = 1,2,..., n .
,
3) для метода Ньютона

s
Ai =
s
s
m
  ( xi −1 )  yij +1 + yij−+11 




h2


2

s
Bi =
,
 −1
s
s
s
s
C i = Ai + B i + 1 −    ( t j , xi )  yij +1  ,


s
s
m
  ( xi +1 )  yij++11 + yij +1 


h2


2


,

s
 s j +1  


j +1 
F i = yi +    ( t j , xi )  yi  −   yi   ,


 

s
s = 0,1,2... ,
s
i = 1, 2,..., n .
Условимся о следующих обозначениях
yj = y,
y j +1 = y .
Разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s
Ai yi −1 − C i yi + Bi yi +1 = − F i ,
i = 1, 2,..., n − 1 .
(4.69)
Для численного решения системы уравнений (4.69) применяется
метод прогонки. Из граничных условий из (4.67) имеем
y0 = 1 ( t j +1 ) ,
yn = 2 ( t j +1 ) .
Пусть
yi = i ( i + yi +1 ) ,
(4.70)
где  i ,  i - неизвестные пока коэффициенты.
Величины  i ,  i находятся следующим образом:
Подставляя (4.70) в обозначениях i и i −1 точках в уравнение (4.69)
( A −C
i
i
i
+ Bii −1i )  yi +1 + ( −Cii i + Bii −1i −1 + Bii −1i i + Fi ) = 0 ,
равенство (4.69) будет выполнено, если потребовать
 Ai − Ci i + Bi i −1 i = 0
.

−Ci i  i + Bi i −1  i −1 + Bi i −1 i  i + Fi = 0
Отсюда находится прогоночные коэффициенты  i ,  i :
Ai

 i = C −  B

i
i −1 i

  = Bi i −1 i −1 + Fi
i

Ai

____
i = 2, n .
,
Величины 1 , 1 находятся из (4.70) и (4.69) при i = 1 :
130
(4.71)
y1 = 1 ( 1 + y2 ) ,
y1 =
A1 y2 + B1 y0 + F1
.
C1
Отсюда
A1

1 = C

1

  = B11 + F1
1

A1

.
(4.72)
Таким образом, находятся коэффициенты  i ,  i i = 1, n .
Решение системы (4.67) находятся по рекуррентной формуле (4.70).
Значение yn получаем из краевого условия (4.67)
____
 yn = 2
y =
 n −1 + yn )
n −1
n −1 (



y =  ( + y )
i
i
i +1
 i


.
(4.73)
Для возможности применения метода прогонки достаточно
потребовать, чтобы коэффициенты системы (4.69) удовлетворяли
условию [26]
Ai  0,
Bi  0,
Ci  Ai + Bi ,
____
i = 1, n .
(4.74)
Для итерационной схемы (4.68) метод прогонки устойчив и дает
единственное решение.
Теперь в области  = (t , x) : 0  t  T , 0  x  b ,  = 1, 2 рассмотрим
уравнение (4.64) в случае N = 2
u   m  u    m  u 

=
 x u
+
 x u
 +    (t , x)u
t x1 
x1  x2 
x2 
(4.75)
с начальным условием
u (0, x) = u0 ( x )  0,
В

и h2 =
0  x  b ,
 = 1, 2 .
построим равномерную сетку h по x ( 
= 1, 2 )
(4.76)
с шагами h1 =
b2
:
n2


h = xij = ( x1i , x2j ) , x1i = ih1 , x2j = jh2 , i, j = 0,1,..., n ,  = 1, 2 ,
131
b1
n1
и временную сетку
 = tk = k ,   0, k = 0,1,..., m,  m = T  , T  0 .
Для численного решения задачи (4.74)-(4.76) применяется метод
переменных направлений, так называемой схемой Писмена-Речфорда
 yik, +j 2 − yik, j

1
1
= 1 y k + 2 +  2 y k +  tk + 12 , xi , j yik, +j 2

 0.5 
 k +1
k+1

1
 yi , j − yi , j 2
= 1 y k + 2 +  2 y k +1 +  ( tk +1 , xi , j ) ( yik, +j 1 )

 0.5 
1
1 y k + 2 =
1
2 yk =
(
(
m
1 
1
x
ai +1, j y k + 2
2  i +1, j
h1 
m
1 
x
bi , j +1 ( y k )
2  i , j +1
h2 
i, j = 1,2,..., n − 1,
) (y
k + 12
i +1, j
(y
k
i , j +1
− yik, +j
1
2
)− x
)(
(
m
ai , j y k +
i, j
− yik, j ) − xi , j bi , j ( y k )
m
(y
k
i, j
1
2
)
) (y
k + 12
i, j
(4.77)
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j −1 )  ,

 = 1,2.
В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе (4.77) определяют промежуточные значения yik, +j
. На втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , находится
y ik, +j 1 .
Начальное и краевое условия перепишем следующим образом
1
2
1
2
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 k +1
k +1
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2
 k + 12
k + 12
 yi , j =  , при i = 0 и i = n1
где
 =
(4.78)
1 k +1
( +  k ) − 4  2 ( k +1 −  k ) .
2
Перепишем (4.77) в виде
 yik, +j 2
1
= 1 y k + 2 + Fi ,kj ,

 0.5 
 k +1
 yi , j
k + 12
k +1
 0.5  =  2 y + Fi , j ,
1
Fi ,kj =
2

2
Fi ,kj =
(
yik, j +  2 y k +  tk + 12 , xi , j

k + 12
i, j
y
+ 1 y
k + 12
)( y )
k 
i, j
(
+  ( tk +1 , xi , j ) y
k + 12
i, j
)
(4.79)

Условимся о следующих обозначениях
y k = y , y k + = y , y k +1 = y€ .
1
2
Для решения получающейся системы уравнений (4.79) нелинейных
уравнений также применяем итерационный метод и получим схему
132
s +1
y i, j
0.5 
=
1 
 xi +1, j
h12 
m
s +1

 s   s +1
ai +1, j  y   y i +1, j − y i , j  − xi , j
  

m
s +1
 s
 s   s +1
ai , j  y   y i , j − y i −1, j   + F i , j = 0
  

(4.80)
s +1
y€ i, j
0.5 
=
1 
 x i, j+1
2
h 2 
m
s +1 
 s  s +1
b i, j+1  y€ y€ i, j+1 − y€ i, j  − x i, j

 

m
s +1
 s
 s  s +1
b i, j  y€ y€ i, j − y€ i, j−1  + Fi, j = 0

 

(4.81)
 yi −1, j + yi , j 
 yi , j −1 + yi , j 
 , bi , j ( y ) = K 
 , i, j = 1, 2, ..., n − 1,  = 1, 2 .
2
2




где ai , j ( y ) = K 
s +1
s +1
Разностная схема (4.80) относительно y i , j , а (4.81)относительно y€ i , j
s +1
линейна. В качестве начальной итерации в (4.80) для y i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
max y
0  i  n1
0  j  n2
s
i, j
− y i, j  
.
s +1
Также в качестве начальной итерации в (4.81)для y€ i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y€i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y€ i , j − y€i , j  
0  i  n1
0  j  n2
.
В (4.80) вводя обозначения
s
Ai , j =
0.5  xi +1, j
m
h12
s
s
s
s
 s
y
+
y
i, j
 i +1, j

2

C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,


s
 , B i , j = 0.5  xi , j

h12

s = 0,1,2... ,
m
s
 s
y
+
y
i −1, j
 i, j

2



 ,


i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s

 Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j


 y =  , при i = 0, n1
i, j = 1, 2, ..., n − 1,  = 1, 2 .
Соответственно (4.81)запишем в виде
133
(4.82)
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
€
€
€
Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j

 y€ =  , при j = 0, n2
где
0.5  xi , j +1
s
Ai , j =
s
m
h22
s
s
 s€
y
+
y
 i , j +1 €i , j

2






s
0.5  xi , j
s
, B i, j =
h22
m
(4.83)

s
 s€

y
+
y
 i , j €i , j −1  ,


2


i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
C i , j = Ai , j + B i , j + 1 , s = 0,1,2... ,
Для численного решения системы (4.82) и (4.83) применяется метод
прогонки. Система уравнений (4.82) решается вдоль строк j = 1, 2,..., n2 − 1 ,
и определяется y во всех узлах сетки h . Затем решается система
уравнений (4.83) вдоль столбцов i = 1, 2,..., n1 − 1 определяя y
€ во всех
узлах сетки h .
При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
Теперь рассмотрим в области  уравнение
Lu  −
(
)
u
m
+ P (u ) x u +   (t , x )Q (u ) = 0
t
(4.84)
с начальными и краевыми условиями
u (0, x) =  ( x )  0,
 u (t , 0) = 1 (t )  0

,
u (t , b) = 2 (t ) = 0
0  x b,
t   0, T  ,
(4.85)
(4.86)
которые в случае вырождающегося эквивалентна задаче Коши с
финитной начальной функцией u0 ( x )  0, x  l  0 .
Здесь P(u) = u p , Q(u) = u  - достаточно гладкие функции, m  0 ,  = 1 .
Сначала рассмотрим одномерный случай ( N = 1).
В  построим равномерную сетку h по x с шагом h :
h =  xi = ih, h  0, i = 0,1,..., n, hn = b ,
и временную сетку
 = t j = j ,   0,
j = 0,1,..., m,  m = T  .
Заменим задачу (4.1)-(4.66), с применением метода баланса, неявной
разностной схемой и получим разностную задачу с погрешностью
( h 2 +  ) :
134
 y j +1 − y j a ( yij +1 )
i
 xi +1 m ( yij++11 − yij +1 ) − xi m ( yij +1 − yij−+11 )  +
 i
=
2


h
 

+  ( t j , xi ) bi ( y j +1 ) , i = 1, 2,..., n − 1; j = 0,1,..., m − 1,

 y0 = u x ,
i = 0,1,..., n,
0( i)
 i
 y0j = 1 ( t j ) ,
j = 1, 2,..., m,

 ynj = 2 ( t j ) ,
j = 1, 2,..., m,

(4.87)
j +1
j +1
где a ( yi ) = ( yi ) , bi ( y j +1 ) = ( yij +1 ) .
Система алгебраических уравнений (4.87) нелинейна относительно
j+1
y .
Для решения системы нелинейных уравнений применяем различные
итерационные методы и получим:
p
 s j +1 
a  yi 
s +1
s +1

m
y − yij

=  2  ( xi +1 )  yij++11 − yij +1  − ( xi

h



s +1
j +1
i
)
m
 s +1j +1 s +1j +1  
 yi − yi −1   +


+ ( t j , xi ) bi ( y j +1 ) ,
(4.88)
где s = 0, 1, 2, ... .
s +1
Относительно y i разностная схема (4.88) линейна. В качестве
s +1
начальной итерации для y i берется y из предыдущего шага по времени:
0
y j +1 = y j . При счете по итерационной схеме задается точность итерации
и процесс продолжается до тех пор, пока не выполняется условие
s +1
s
max y i − y i  
0i  n
.
Замечание. Во всех численных расчетах мы полагали
В (4.88) вводим обозначения:
1) для метода Пикара
  ( xi −1 )  s
m
s
Ai =
s
s
h2
C i = Ai + Bi + 1 ,

 ,

  ( xi +1 )  s
m
s
Bi =
 yi

h2
j +1



p
,

 s j +1 
F i = yi +    ( t j , xi )  yi  ,


s
s
 yi

p
j +1
s
s = 0,1,2... ,
2) для специального метода
  ( xi −1 )  s
m
s
Ai =
h2
 = 10 −3 .
 yi

p
j +1

 ,

135
  ( xi +1 )  s j +1  p
Bi =
 yi  ,
h2


m
s
i = 1,2,..., n .
 s 
C i = Ai + B i + 1 −    ( t j , xi )  yij +1 


s
s
s
 −1
s
s
, F i = yij +1 ,
s = 0,1,2... ,
i = 1,2,..., n .
3) для метода Ньютона
  ( xi −1 )  s
m
s
Ai =
h2
 yi

 s 
C i = Ai + B i + 1 −    ( t j , xi )  yij +1 


s
s
s
p
j +1

 ,

  ( xi +1 )  s
m
s
Bi =
h2
 yi

j +1



p
,

 s j +1  
 s j +1  
F i = yi +    ( t j , xi )  yi  −   yi   ,


 

 −1
s
,
s = 0,1,2... ,
s
i = 1, 2, ..., n .
Условимся о следующих обозначениях
yj = y,
y j +1 = y .
Разностное уравнение (4.88) можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s
Ai yi −1 − C i yi + B i yi +1 = − F i , i = 1, 2,..., n − 1 .
(4.89)
Для численного решения системы уравнений (4.89) применяется
метод прогонки.
Теперь в области  = (t, x) : 0  t  T , 0  x  b ,  = 1, 2 рассмотрим
уравнение (4.84)в двумерном случае ( N = 2 )
u
  m u  p   m u 

= up
 x
+u
 x
 +    (t , x)u
t
x1 
x1 
x2 
x2 
(4.90)
с начальным условием
u (0, x) = u0 ( x )  0,
В
и h2 =

0  x  b ,
 = 1, 2 .
(4.91)
построим равномерную сетку h по x (  = 1, 2 ) с шагами h1 =
b1
n1
b2
:
n2


h = xij = ( x1i , x2j ) , x1i = ih1 , x2j = jh2 , i, j = 0,1,..., n ,  = 1, 2 ,
и временную сетку  = tk = k ,   0, k = 0,1,..., m,  m = T  , T  0 .
Для численного решения задачи (4.90)-(4.91) применяется метод
переменных направлений, так называемой схемы Писмена-Речфорда
136
 yik, +j 2 − yik, j

1
1
= 1 y k + 2 +  2 y k +  tk + 12 , xi , j yik, +j 2

 0.5 
 k +1
,
k+1
 yi , j − yi , j 2
k + 12
k +1
k +1 
= 1 y
+  2 y +  ( tk +1 , xi , j ) ( yi , j )

 0.5 
1
1 y k + 2 =
1
2 yk
(
(
yik++1, j2
1
)
h
k
i +1, j
x
 i +1, j
p
m
x
 i , j +1
2
2
h
)
(4.92)
p
2
1
(y )
=
)(
m
(y
k + 12
i +1, j
(y
k
i , j +1
− yik, +j
1
2
)− x
(y
m
k + 12
i, j
i, j
− yik, j ) − xi , j
m
(y
k
i, j
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j −1 )  ,

i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
Краевую задачу перепишем следующим образом
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 k +1
k +1
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2 ,
 k + 12
k + 12
 yi , j =  , при i = 0 и i = n1 ,
где
=
,
(4.93)
1 k +1

 +  k ) −  2 ( k +1 −  k ) .
(
2
4
Обозначим через
(
)

2 k
yi , j +  2 y k +  tk + 12 , xi , j ( yik, j ) ,

2 1
1
1
Fi ,kj = yik, +j 2 + 1 y k + 2 +  ( tk +1 , xi , j ) yik, +j 2

Fi ,kj =
(
)

(4.94)
.
также условимся о следующих обозначениях
y k = y , y k + = y , y k +1 = y€ .
1
2
Для решения получающейся (4.92) схемы нелинейных уравнений
применяем итерационный метод и получим схему
p
s 
y
y i , j  i , j  
=
 xi +1, j
0.5 
h12 
s +1
m
s +1 
s +1
m  s +1
 s +1
 s
 y i +1, j − y i , j  − xi , j  y i , j − y i −1, j   + F i , j = 0 , (4.95)




p
 €s 
y
s +1 
s +1
y€ i , j  i , j  
m  s +1
m  s +1
 s
€
€
€
€
=
x
y
−
y
−
x
y
−
y

 i , j +1
 i, j
i , j +1
i, j
i, j 
i , j −1   + Fi , j = 0 , (4.96)
0.5 
h22 




s +1
i , j = 1, 2,..., n  − 1,  = 1,2 .
В (4.95) введем обозначения
137
0.5  xi +1, j
s
Ai , j =
s
m
h12
s
s
C i , j = A i , j + B i , j + 1,
p
s 
 y i, j  ,


s
Bi, j =
s = 0,1,2... ,
0.5  xi , j
m
h12
p
s 
 y i, j  ,


i, j = 1, 2, ..., n − 1,  = 1, 2 .
разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s

 Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j


 y =  , при i = 0, n1
(4.97)
i, j = 1, 2, ..., n − 1,  = 1,2 .
Соответственно (4.96) запишем в виде
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
€
€
€
Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j

 y€ =  , при j = 0, n2
s
где Ai , j =
0.5  xi , j +1
m
h22
p
s
 s€ 
0.5  xi , j
 yi, j  , B i, j =


h22
m
 s€ 
 yi, j 


p
,
s
(4.98)
s
s
C i , j = Ai , j + B i , j + 1 , s = 0,1, 2...
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Для численного решения системы (4.97) и (4.98) применяется метод
прогонки. Система уравнений (4.97) решается вдоль строк j = 1, 2,..., n2 − 1
и определяется y во всех узлах сетки h . Затем решается система
€ во всех
уравнений (4.98) вдоль столбцов i = 1, 2,..., n − 1 определяя y
узлах сетки h .
При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета повторяется.
1
4.4.2 Вычислительные эксперименты (численные расчеты)
В этом параграфе представлены результаты расчетов, которые
выполнены для задачи, исследуемой выше. Проведено математическое
моделирование изучаемого процесса реакции-диффузии на основе
полученных оценок решений разработаны алгоритм и программы с
использованием современных средств программирования. Предложены
численные схемы решения задачи. Программы разработаны на языке
универсальной математической среды MathCAD.
Проведено численное моделирование фильтрационных процессов в
неоднородной среде с поглощением или источником для случаев
одномерного и двумерного случаев. Проведены вычислительные
эксперименты для различных значений входящих в уравнения
параметров. Смоделирована картина эволюции процесса по времени на
компьютере с использованием MathCAD.
138
В ходе численного решения уравнения (4.64) для случаев
одномерного и двумерного проведены множество экспериментов.
1) Ниже приведем результаты расчетов (4.64)-(4.66) в случае  = −1
(случай испарения):
Начальное приближение взято в виде:
u0 ( x ) = u (0) f A ( ) ,
где
 ( x)
=
1/2
 (0)
  −1 
 ( 0) = 

  +1 
− −1
,
 

f A ( ) =  a −  2 
4 

 ( x) =

 −1
T
 − 1 − ( + 1)
−1−(  +1) 
 −1
1

,
  − 1  +1 
u (0) = 
T

 + 1
−
1
 −1
,
2− m
2
x 2 ,
2−m
в случае
  1 + ( + 1)
.
Приведем некоторые сравнительные численные результаты для
различных значениях параметров. В таблице 4.1 приведены результаты
для значения параметров σ=1, β=6, α=1, m=0, T=2 в N=2. В таблице 4.2
приведены результаты для значения параметров σ=1, β=6, α=1, m=1, T=2
в N=2. Сетка достаточно мелкая: h = L/10, L -значение фронта в t = T
Расчет проводился по t шагом  = 0.2 . Всюду, кроме нескольких
ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от
s +1
s
y i − yi   ,
точного не превосходит 10-2. Счет проводился до 1max
 i  n −1
итераций  .
Соответственно в рисунке 4.1 и в рисунке 4.2 можно сравнить эти
численные результаты для значений m=0 и m=1.
 = 0.001. Число
Рис. 4.1. Результаты вычислений Рис. 4.2. Результаты вычислений
для значений параметров σ=1,
β=6, α=1, m=0, T=2.
для значений параметров σ=1,
β=6, α=1, m=1, T=2.
2) Результаты расчетов (4.64)-(4.66) в случае  = −1 (случай
испарения):
Начальное приближение взято в виде:
139
u0 ( x ) = u (0) f A ( ) ,
где
f A ( ) = a  (t ) −  ( x) ,
1
 ( x) =
  − 1  +1 
u (0) = 
T 
 + 1

2−m
−
2
x 2 ,  ( 0 ) =   +1 ln(T ) ,
2−m
в случае
 = 1 + ( + 1)
−
1
 −1
,
.
Приведем некоторые сравнительные численные результаты для
различных значений параметров. В таблице 4.3 приведены результаты
для значения параметров σ=0.7,  = 1 + ( + 1) , α=1, m=0, T=2 в N=2. В
таблице 4.4 приведены результаты для значения параметров σ=0.7,
 = 1 + ( + 1) , α=1, m=1, T=2 в N=2. Сетка достаточна мелкая: h = L/10, L значение фронта в t = T . Расчет проводился по t шагом  = 0.2 Всюду,
кроме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного
решения от точного не превосходит 10-2. Счет проводился до
s +1
s
max y i − y i   ,  = 0.001. Число итераций
1 i  n −1
.
0
0,11
0,22
T
0
0,12
0,18
0,24
0,3
0,36
0,41
0,4
0,4
0,06 0,4
0,4
0
8E04
точн.
рез.
в
(5;5)
0
0
0
точн.
рез.
в
(5;5)
погр.
число
итар.
T
числ.
рез.
в
(5;5)
0
0
0
числ.
рез.
в
(5;5)
фронт
0
0
0
1
7
4
2,176
2,251
2,321
погр.
Числ
о итар.
Соответственно в рисунке 4.3 и в рисунке 4.4 можно сравнить эти
численные результаты для значений m=0 и m=1.
фронт
1
1,18
6
1,27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Продолжение таблица 4.4.
0,39 0,39 0
0
0
0,39 0,39 4E-04 0
0
0,39 0,39 0
0,01 0
0,38 0,38 2E-04 0
0
0,38 0,38 0
0,02 0
0,37 0,37 1E-04 0,01 0
0
0
0,01
0
0,02
0,01
140
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
6
3
7
3
1,35
1,42
1,49
1,56
1,63
8
1,7
0,47 0,36
0,36
0,53 0,36
0,59 0,35
0,36
0,35
0,65 0,35
0,71 0,34
0,35
0,34
0,77
0,83
0,89
0,95
0,33
0,33
0,32
0,32
0,33
0,33
0,32
0,32
1,01 0,31
0,31
1,07 0,31
1,12 0,3
1,18 0,3
0,31
0,3
0,3
0 0,03
3E-05 0,02
0 0,04
0,01
0,01
0
0
0
0,03
0,03
0
0
0
0,01
0
0
0
0,01
0,04
0,05
0,01
0,01
0,01
0,02
0
0
0,01
0,02
0,06
0,06
0,07
0,07
0,01
0,02
0,01
0,03
0,02
0,02
0,04
0
0,01
0,02
0,02
0,03
0,02
0,01
0,02
0,02
0,06
0,08
0,01
0,06
0,03
0,03
6E-17 0,05
6E-05 0
0
0,05
0,08
0,08
0,08
0,03
0,08
0,03
0
0
0
0,04
0,04
0,05
0,04
0,04
0,05
1E-05
0,04
0 0,04
4E-05 0,05
6E-17 0,04
5E-05 0,05
6E-17 0,04
6E-05
Рис. 4.3. Результаты вычислений
3
8
3
1,76
1,82
1,88
9
1,93
4
9
4
19
13
1,99
2,04
2,09
2,14
2,19
15
2,23
12
13
4
2,28
2,32
2,37
Рис. 4.4. Результаты вычислений
для значений параметров σ=.7,
 = ( + 1)  , α=1, m=0, T=2.
для значений параметров σ=.7,
 = ( + 1)  , α=1, m=1, T=2.
3) Результаты расчетов (4.90)-(4.91) в случае  = −1 (случай
испарения):
Начальное приближение взято в виде:
u0 ( x ) = u (0) f A ( ) ,
где
 ( 0) =
p 

f A ( ) =  a −  2 
4 

1
p
,
u (0) = T
−
1
 −1
,
=
 ( x)
1/2
 (0)
,
 ( x) =
2−m
2
x 2 ,
2−m
 −(1+ p )
1
T  −1 в случае   1 + p .
 − (1 + p)
Приведем некоторые сравнительные численные результаты для
различных значениях параметров. В таблице 4.5 приведены результаты
141
для значения параметров р=0.1, β=4, α=1, m=0, T=2 в N=2. В таблице 4.6
приведены результаты для значения параметров р=0.1, β=4, α=1, m=1,
T=2 в N=2. Сетка достаточна мелкая: h = L/10, L -значение фронта в t = T .
Расчет проводился по t шагом  = 0.2 . Всюду, кроме нескольких
ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от
s +1
s
точного не превосходит 10-2. Счет проводился до 1max
y i − yi   ,
 i  n −1
 . Соответственно в рисунке 4.5 и в рисунке
4.6 можно сравнить эти численные результаты для значений m=0 и m=1.
В рисунке 4.7 и в рисунке 4.8 можно сравнить эти численные результаты
для значений р=0.1 и р=0.9.
 = 0.001. Число итераций
a)
t=0
l( 1)
b)
t=0.2
l( 5)
c)
t=0.4
l( 10)
d)
t=0.6
l( 15)
e)
t=0.8
a)
Рис. 4.5. Численные
результаты для значения
параметров p=0.1, β=4, α=1, m=0,
T=2: a) t=0; b) t=0,2; c) t=0,4;
d) t=0,6; e) t=0,8.
t=0
l( 1)
b)
t=0.2
l( 5)
c)
t=0.4
l( 10)
d)
t=0.6
l( 15)
e)
t=0.8
Рис. 4.6. Численные
результаты для значения
параметров p=0.1, β=4, α=1, m=1,
T=2. a) t=0; b) t=0,2; c) t=0,4; d)
t=0,6; e) t=0,8.
В рисунке 4.7 и в рисунке 4.8 можно сравнить численные результаты
для значений р=0.1 и р=0.9.
142
a)
a)
t=0
t=0
l( 1)
b)
t=0.2
l( 1)
b)
t=0.2
l( 5)
c)
t=0.4
l( 5)
c)
t=0.4
l( 10)
d)
t=0.6
l( 10)
d)
t=0.6
l( 15)
e)
t=0.8
l( 15)
e)
t=0.8
Рис. 4.7. Численные
результаты для значения
параметров p=0.1, β=4, α=1, m=0,
T=2: a) t=0; b) t=0,2; с) е=0,4.
в) е=0,5. у) е=0,8.
Рис. 4.8. Численные
результаты для значения
параметров p=0.9, β=4, α=1, m=0,
T=2. a) t=0; b) t=0,2; с) е=0,4.
в) е=0,5. у) е=0,8.
Приведенные данные многочисленных экспериментов показывают,
что применение ПК в задачах реакции-диффузии для широких
диапазонов изменения входных параметров дает возможность получить
результаты с большой степенью точности и с незначительной затратой
машинного времени. Результаты экспериментов показывают, что в
большинстве случаях решения автомодельного и приближенноавтомодельного уравнений, являются точными или приближенными
решениями искомого уравнения.
При решении автомодельного уравнения
 1− s
d
d
 s −1  df  1 df
 +1
+
f  f )=0,
(
 f
+ 
d   2 d   − ( + 1)( + 1)

s=
2N
.
2−m
(4.99)
возникает необходимость решать нелинейную систему вида
f ( A) 
  +1
4
N  
1
 +1
+1−
A −
+
(1  A −1 ) = 0 .


 − ( + 1)   − ( + 1)
2− m
 − ( + 1)  − ( + 1)( + 1)
(4.100)
Для решения алгебраического уравнения (4.39) применен
итерационный метод Ньютона. Полагая f ( A) = 0 , были проведены
численные расчеты и доказано существование решений этого уравнения
143
при   1 ,   0 , N  0 , m  2 ,   −1. Проведены вычислительные
эксперименты для различных значений параметров.
4.4.3 Визуализация процесса реакции диффузии
Создание систем визуализации данных, является одним из наиболее
развитых и важных направлений работ для анализа результатов
численного моделирования физических процессов в частности
процессов реакции диффузии. Однако процесс визуализации
нелинейных задач требует предварительного изучения качественных
свойств математической модели, которая описывается нелинейными
уравнениями, затем выбрать вычислительную схему метода реализации.
При этом успех, как правило, зависит от удачного выбора начального
приближения для решений, так как в нелинейном случае как видно было
из построения автомодельных решений процесс в зависимости от
значение параметров может протекать по разному. В настоящее время
существует множество средств, предназначенных для графического
представления результатов расчетов задач математической физики.
Одним из них является Универсальная математическая среда MathCAD,
которое расположен на работу с сеточными математическими моделями.
Программы для численного моделирования политропной реакциидиффузии в неоднородной среде разработаны в MathCAD. Программы
являются компактными. Пользователем задаются необходимые
числовые параметры. В конце рабочего файла автоматически выводятся
результаты расчета в виде матриц и графиков. В этом же месте запустив
команду анимации можно проследить за эволюцией процесса по
времени.
Проведены вычислительные эксперименты для различных значений
параметров   0 ,   1 , m  −2 , N  1,  = 1 и функции 0   (t )  C (0, ) .
Ввиду их громоздкости ограничимся лишь в двух случаев. Результаты
визуализации (анимация), протекания процессов реакции-диффузии для
конкретного примера при фиксированных значениях t показаны на
рисунках 4.5 и 4.5.
4.7 Неоднородный случай
Рассмотрим уравнение
u
 
 u 
=
 k ( x)u
 −  (t )u ,
t x 
x 
с начальными и краевыми условиями
144
(4.101)
u t =0 = u0 ( x)  0, x  R+
u x=0 =  (t )  0, t  0
,
(4.102)
которое описывает процесс распространения соли в неоднородной среде
(с переменной проницаемостью) при воздействии поглощение,
мощность которого равна
 (t )u, где 0   (t )  C(0, ) .
Каковы условия на функции  (t ),  (t ) и k ( x) при котором происходит
локализация решений?
Решение задачи (4.101), (4.102) будет искать в виде
 t

u (t , x) =  (t ) exp  −   (t )dt  ( (t ), x)
 0

(4.103)
где  (t ) поле неопределенная функция
Подставляя (4.103) в (4.101) имеем



t
t


t
 
 (t ) exp  −   (t )dt  +  exp  −   (t ) dt  + (t ) exp  −   (t ) dt 

=
 +1

1

0


1
 
=


(t ) exp(− ) −   (t )dt −  (t ) (t ) exp  −   (t ) dt  
0
 0

t
t
Тогда превращается в уравнение
 t

  
  

=  k ( x)
−

(
t
)
exp
−

(
t
)
dt




 x 
x 
 0

(4.104)
(4.105)
 

 (t ) =  (t ) exp  −   ( )d  d
0
 0

t
где
введя новую функцию  ( (t ), x) = z ( ,  ( x)) и выбирая
x
−
1
2
 ( x) =  k ( x)dx
(4.106)
0
Из (4.105) имеем
z =
или
z =
t


   z 
 z



z
+
(
k
(
x
)

(
x
))
z
−

(
t
)
exp
−

 (t )dt  z




   

0


1
 t

   z 
z
2  

z
+
((
k
)
z
)
−

(
t
)
exp
 −   (t )dt  z


   

 0

Положим теперь
145
(4.107)
z ( , ) = f ( ),  =
 ( x)

1
(4.108)
2
Тогда (4.107) превращается в
−
 t

d   df  1 dt
 df
2 

f
+

+

(
k
)

f
−

(
t
)

(
t
)
exp


 −   (t )dt  f =0 (4.109)
d  d  2 d
d
 0

1
 

f = f ( ) =  a −  2 
4 

Легко видеть, что
1
5
удовлетворит при   2
a

уравнению
d
df
df 1
(f
)+
+ f =0
d
d
d 2
(4.110)
Поэтому с учетом этого уравнение (4.110) превращается в
−
1
 (k 2 )  f 
 t

df
−  (t ) (t ) exp  −   (t )dt  f
d
 0

так как f 
1
df



= −  (a −  2 )  = −  f ( )
d
4
4
2
Эти выкладки позволяют легко доказать следующую теорему
Теорема 4.7 Пусть выполнено условие,
t
− (t ) (t ) exp( −   (t ) dt ) 
1
k ( x)  0, x  R
1
2
u0 ( x)  u+ (0, x), x  R+
где
t
u+ (t , x) =  (t ) exp(−   (t )dt ) f ( )
0
где
1
2
 =  ( x) /  (t ) ;
x
 ( x) =  k 2 ( x)dx
1
0
Тогда существует глобальное решение задачи (4.101)-(4.102) для
которого справедлива оценка
u(t,x)  u+(t,x) в Q.
Пусть k(x) = xn тогда
x
2
x
 (x) =  x dx =
2−n
0
− n2
2− n
2
, n<5.2
t
Тогда u+(t,x) =  (t ) exp(−  (t )dt )(a −
0

x 2−n 1
)+
(2 − n)2  (t )
Oтсюда видно, что в случае переменной проницаемости поведения
фронта возмущений даётся следующей оценкой.
146
1
a
 2− n
x(t )   (2 − n ) 2 (t ) 


u  
u 
u
=  k ( x)u
 + p( x)
t x 
x 
x
(4.111)
Имеем решение (4.111) в виде
u (t , x) =  (t , ( x))
(4.112)
Подставляя (4.112) в (4.111) имеем
  
 
   

 
=  k ( x)  
+ k ( x) 2   
 = (k ( x) )
 + p ( x) 
t x 
 

x   

k ( x)
 ( x) = 1
p( x)
 
 (k ( x) )   
= ( 
)+

+
 x

p ( x) 
 
x
 ( x) = 
0
(4.113)
(4.114)
p( x)
dx
k ( x)
так как
(k ( x) ) p( x)      p( x)  
=
= (
)+
+

p( x) 
k ( x)  x
  k ( x)

Пусть
(4.115)
p( x)
= q = костанта . Тогда (4.115) принимает вид
k ( x)
    

= (
)+
+ 
 x
 

(4.116)
Теорема 4.8
Пусть
p ( x)  0, x  0
тогда
локализовано в области  ( x) = A(a −
решение
 x p ( x)
задачи
1
dx)  ,

4 k ( x)
+
(4.111)-(4.112)
0  A постоянная
0
4.8 Некоторые обобщения.
Изучение свойств решения задачи (1.11) позволяет распространить
метод нелинейного расщепления для существенного расширения класса
изучаемых задач до более общего уравнения. Ниже покажем это.
Остановимся на глобальной разрешимости задачи Коши.
N
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : t  0, x  R } задачу Коши
(
)
Lu  −u t +  x K(u)u + (t, x)F(u) = 0
m
147
(4.113)
с начальным условием
x  RN
u (0, x) = u0 ( x )  0,
(4.114)
Здесь  ( t , x )  0 в Q,  = −1 .
Введя преобразование K (u ) = v приведем (4.113) к виду
v
 
=
x
t x 
m
2
v  K ( u ) K  ( u ) 1  v 
v
−

 −  ( t , x ) F ( v ) (4.115)
2
x 
v  x 
K ( u )


−1
где F( v ) = K ( v ) и будем считать, что у функции K(u) существует
обратная к ней.
Применим теперь к (4.115) метод нелинейного расщепления
следующим образом. Найдем решение v ( t ) уравнения
dv
= − F1 (v )
dt
(4.116)
ищем решение (4.115) в виде
v ( t , x ) = v ( t ) w (  ( t ), x )
(4.117)
Тогда подставляя (4.117) в (4.115) с учетом (4.116) имеем
w  
=
x
 x 
m
2
w  K ( u ) K ( u ) 1  w 
1
w
−

 −  ( t , x ) F1 ( v w ) 2
2
x 
w  x 
v (t)
K ( u )


где  (t ) =  v (t )dt .
Полагая
w (, x ) = f () ,
=
( x )

1
2
,
( x ) =
2
x
2−m
2−m
2
в
(4.118)
(4.1181)
превращаем в приближенно-автомодельное уравнение

1−s
2
d  s −1 df   df K ( u ) K  ( u )  ( t )  f 
 f
+

 +
−
2
d 
d  2 d
v f   
K ( u )


(4.119)
+
1
2
v (t)
где s =
 ( t ) F1 ( v )f −  ( t , x ) F1 ( v f ) 
2N
.
2−m
Приведенные выше рассуждения позволяют теперь легко доказать
теорему о глобальной разрешимости задачи (4.113)-(4.114).
148
Теорема 4.9 Пусть K(u) монотонная функция и.
u  0 и 21 ( t ) F1 ( v )  N , m  2 .
2−m
v (t)

Если u 0 ( x )  z ( 0, x ) , где z( t, x ) = v( t ) a −

2
4
K (u)  0 ,
при


+
Тогда существует глобальное решение задачи для которого
справедлива оценка u ( t , x )  z ( t , x ) в Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство основано на теореме
сравнения решений.
Рассмотрим функцию
2



z ( t , x ) = v ( t ) f , где f (  ) =  a −
4


 и вычислим Lz . В силу (4.119) для

+
Lz имеем
Lz = −4
K(u )K (u ) ( t )
2
s


+ f ( t )F1 (v ) / v 2 − ] −  ( t, x )( t )F1 ( v f )
2
2
2
K (u) v a −  4 

(
)
В силу условия теоремы и с учетом выражения для s получим Lz  0
в D = {(t , x) : t  0, x  l (t )} ,
где l ( t ) = 2 a  ( t ) 
1
2
=2 a
 v ( t )dt 
1
2
.
Поэтому согласно теореме сравнения решений имеем u (t , x)  z (t , x)
в Q. Теорема доказана.
Теперь рассмотрим другое уравнение
Lu  −
(
)
u
m
+  x u  u −  (t , x ) F (u ) = 0
t
(4.120)
с начальным условием
u (0, x) = u0 ( x )  0,
x  RN
(4.121)
где F ( 0 ) = 0 , F( u )  0 , u ( t , x )  0 ,  ( t , x )  0 в Q.
Будем заниматься построением приближенно-автомодельного
уравнения для (4.120) методом нелинейного расщепления. Для чего
решим сначала
du
= F (u )
dt
(4.122)
затем ищем решение (4.120) в виде
u (t , x) = u (t ) w( (t ), x)
149
(4.123)
Подставляя (4.123) в (4.120) и выбирая
( t ) =  u ( t ) dt

(4.124)
с учетом (4.122) и полагая w (, x ) = f () из (4.120) имеем приближенноавтомодельное уравнение
u  +1 Lz =  1− s
d
d
+ (t ) u (t ) 
− ( +1)
где s =
 s −1  df   df
+
 f
+
d  2 d

F ( u )  f −  (t , x) F (u f ) 
(4.125)
2N
.
2−m
Теперь пользуясь (4.125) легко доказать следующую теорему о
глобальной разрешимости задачи (4.120)-(4.121).
1
 2 

Теорема 4.10 Пусть z ( t , x ) = u ( t ) a −   , где а>0 постоянная,
4 +

2−m

2
 = 1 / 2 , ( x ) =
x 2 , где u ( t ) ,  ( t ) определенные выше функции
2−m

− (  +1 )
N

Пусть F( u )( t )u ( t )
, m  2.
2−m
Тогда, если u0 ( x)  z (0, x) , x  R N , задача (4.120)-(4.121) глобально
разрешима и имеет место оценка
u (t , x)  z (t , x) в Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию z( t, x ) = u ( t )f ( ) , где
1
 

f ( ) =  a −  2 
4

+
и вычислим Lz. Тогда с учетом (4.125) имеем
u − ( +1) Lz = [ (t ) F (u ) u (t ) 
− ( +1)
s
− ] f −  (t )[u (t )]− ( +1)  (t , x) F (uf )
2
В силу условия теоремы, так как  (t , x) F (u f )  0 имеем
Lz  0 в D = {(t , x) : t  0,
где l (t ) = 2
a

 (t )
1
2
=2
x  l (t )}
1
2
a 

 .
u
(
t
)
dt
(
)


 
Поэтому согласно теореме сравнения решений имеем u ( t , x )  z ( t , x )
в Q. Теорема доказана.
Аналогично можно доказать глобальную разрешимость для случая
 = −1 .
150
Этот результат обобщает результаты работы А. Самарского, Fujite

[15,110,285] доказанное ранее для случая m = 0 , F( u ) = u ,  ( t , x ) = 1 ,
 = 1 .
Следствие. Пусть F(u ) = u  . Тогда условие теоремы дает следующее
условие глобальной разрешимости
   +1+
2−m
, при любом
N
 (t , x)  0 .
4.9 О распределении тепла в нелинейной среде с
распределенными параметрами
Рассматривается процесс распространения тепла в среде с
нелинейной теплопроводностью в симметричной геометрии с объемным
источником тепла и плотностью среды, зависящей степенным образом
от координаты и тепла. Методом «эталонных уравнений» доказаны
теоремы о существовании неограниченных решений краевой задачи
параболического типа с распределенными параметрами, получены
оценки, показывающий существование или отсутствие эффекта
локализации.
Рассматривается процесс распространения тепла в среде с
нелинейной теплопроводностью и объемным источником тепла в
симметричной (плоской, цилиндрически и сферически- симметричной)
геометрии
с
распределенными
параметрами.
Распределение
температуры в пространстве с плотностью среды, зависящей степенным
образом от координаты, удовлетворяет уравнению [10,15]
AU  − r k
U
1  
U  k 
+ N −1   r N −1U 
+ r U ,
t r
r 
r 
(4.126)
где N - размерность пространства, , , k, и  - постоянные, причем
(t, r )  QT = [0, T )  R+1 , с начальным
  0 ,  1 , k  0 ,   0 ,
условием
U (o, r ) = U0 (r )  0, r  R+1 .
(4.127)
На границе области требуется выполнение одного из следующих
условий:
1)
если 0 < r < +  , то на фронте требуется выполнение условий
U  U ]r = rф = 0 ,
U (t , rф ) = 0 ,
0 t T ;
(4.128)
2)
если 0  r  + , то граничное условие в центре симметрии
имеет вид
151
 N −1  U 
r U
 =0 , 0  t T .
r  r =0

(4.129)
Главное внимание в этой работе будет уделено исследованию
неограниченных решений задачи (4.126), (4.127), (4.129), определенных
на конечном промежутке времени t  [O, T ] , причем
lim
supU (t , r ) = +
−
t →T
.
1
rR+
При этом точку r = r0 R+1 , в которой происходит неограниченное
возрастание решения при t → T − , будем называть точкой сингулярности
или точкой обострения, если существует такая последовательность
t k [O,T ] , t k →T − при k → + , что U (tk , r0 ) → + , k → + .
Величина T = T (U0 )  R+1 , которая, естественно, зависит от начальной
функции U 0  0 , называется временем обострения неограниченного
решения.
Множество прикладных задач описывается уравнением (4.126),
например, математические модели биофизики [15, 95], теория
ферментативного анализа, вопросы физики плазмы и т.д., где изучаются
вопросы диссипативных тепловых структур, возникающих в результате
диссипации энергии (сочетание автокаталитического поведения и
процессов переноса, либо совместное действие нелинейных источников,
стоков и процесса диффузии).
Исследования неограниченных решений (в смысле режимов с
обострением) занимают особое место в теории нелинейных
эволюционных уравнений. Нелинейные задачи, допускающие
неограниченные решения, являются глобально (по времени)
неразрешимыми.
Условия неограниченности решений нелинейных параболических
задач впервые получены в работах [15,95,110], а благодаря
предложенных в этих работах методов число публикаций в последние
годы резко возрасло.
Задачи с такими свойствами (неограниченные) также имют
множество
практических
приложений,
например,
проблемы
самофокусировки световых пучков в нелинейных средах, эффект Т-слоя
в низкотемпературной плазме, проблемы безударного сжатия и т.п.
Здесь результаты работы [15], используя метод “эталонных уравнений”,
предложенный в работе [10], обобщается для уравнения (4.126).
152
4.9.1 Методы эталонных уравнений для уравнения
теплопроводности с распределенными параметрами.
Применяя метод эталонных уравнений, предложенний в [15], после
замены переменных
U (t , r ) = r  w(t ,  ),  =  ( x) ,
(4.130)
где  -константа, которая определяется ниже,  (x) -“обобщенная”
пространственная переменная, уравнения (4.126) приводится к виду
AW  −
если  =
2− N
,
1+ 

k +2
,

w 1  s −1  W 

+ s −1   W
 +W ,
t  
 
=
(4.131)
k +  - 
,
k
k − + 2
2( + 2 + N + k )
2
,  ( x) =
r 2 , N 2.
где S =
k −  + 2
k −  + 2
При k + 3 + 4 + 2 N = 2 уравнения (4.131) переходить к “плоскому”
(S=1) виду
AW  −
W 
W
+
(W 
) +W  .
t 

(4.132)
В случае N=2 вместо (4.131) имеем
(k − + 2) 2  2 ( +1) 1  +1
W 
 W
AW  −
+ (W
)+
 2 W +W  , (4.133)
t 

4

где  = −
k +2
.
3 + 4
Заметим, что уравнение (4.131) соответствует хорошо изученныму
многими авторами случаю распространения тепла с постоянными
коэффициентами при наличии источника в S-мерном пространстве с
симметричной геометрии. Кроме того, она удобнее для численной
реализации и анализа решений изучаемой задачи. Поэтому в дальнейшем
вместо задачи (4.126), (4.127), (4.129) изучаем уравнение (4.131) с
начальным условием
W (0, ) = r − U 0 (r ) =W0 ( ),
и условием в центре симметрии
 s −1 W
  W




= 0.
 =0
153
 R1+ ,
(4.134)
(4.135)
В отличие от N- мерного случая здесь S может быть и нецелым.
Уравнение (4.132) описывает процесс распространения тепла в
нелинейной среде при наличии источника в «одномерном», для нового
пространственного переменного  =  (x ) , случае.
Уравнение (4.133) имеет дополнительный источник, коэффициент
при котором с квадратом убывает с радиусом . Из (4.133) можно
сделать такой очевидный вывод: процесс распространения отличается от
«плоского» около центра симметрии и вдали от него, где
дополнительный источник дает малые поправки к решению, почти
совпадает с «плоским» уравнением. Этот факт доказывается при помощи
вычислительных экспериментов.
Таким образом, вместо уравнения (4.126) исследуются «эталонные»
уравнения (4.131), (4.132) или (4.133) для которых легко построятся
автомодельные, частные инвариантные или приближенные решение.
4.9.2 О неограниченных решениях краевой задачи
параболического типа с распределенными параметрами.
Как известно [10,11] задача (4.126), (4.127), (4.129) (соответственно
уравнения (4.131) - (4.133) с условиями (4.134) и (4.135)) может не иметь
решения с гладкостью, предписываемой самым уравнением. Поэтому
решение краевой задачи понимается в обобщенном (слабом) смысле
[10,11].
В следующей лемме сформулированы обычные утверждения о
монотонной зависимости (теорема сравнения) обобщенного решения
уравнения (4.126) (соответственно (4.131)-(4.133)) от начальных данных.
Они доказываются, например, методами [10].
Лемма 5.1. Пусть U(t, r) - обобщенное решение задачи (4.126),
z _(t , r ) ( z+ (t, r )) : DT → R+1 ,
(4.127),
(4.129),
а
функция
где
DT = [0, T )  r : r   (t ) ,
функция,
 (t )  c [o, T ) - некоторая неотрицательная
z (t , r )  Ct1,2
, r ( DT )  C ( D T ) ,
z (t , r )  0
всюду
в
QT\DT,
удовлетворяет в DT неравенству Az−  0 ( Az+  0) . Пусть, кроме того, в
z   +1
QT непрерывна производная
и z− (o, r )  U 0 (r )
r
( z+ (o, r )  U 0 (r )) в
R+1 . Тогда U (t , r )  z− (t , r ) ( U (t, r )  z+ (t , r )) всюду в QT.
Следуя [88-89,110], функцию z _(t , r ) будем называть нижним (
z + (t , r ) верхним) решением задачи (4.126), (4.127), (4.129).
Теорема 4.11 Пусть
154
=
k +  − 
2- N
,  =
, N  2,
k
1+ 
  1+ +
k −  + 2
.
 + 2 + N + k
Тогда существует такое T  + , что в QT решение задачи (4.126),
(4.127), (4.129) является неограниченным.
Д о к а з а т е л ь с т в а. При выполнении условия теоремы
относительно α уравнения (4.126) после замены (4.130) переходит к
уравнению (4.131). Поэтому достаточно показать утверждение теоремы
для задачи (4.131), (4.134)- (4.135).
В качестве вспомогательной функции выберем автомодельное
решение уравнения без источника
Ut =
1
 s −1
 s −1  U
( U
), t  0,   R+1 ,


(4.136)
которое имеет следующий вид
U A (t ,  ) = (T1 + t ) − s /(2+s ) f ( ),
f ( ) = B(02 − 2 )1+/
 = (T1 + t ) −1/(2+s ) ,
1/
(4.137)
 

, B=
, (a) + = max{0, a} ,

 2(2+ s) 
где Т1 и 0 –произвольные положительные постоянные.
Пусть W0 ( )  0 при малых  . Фиксируем Т1 и выберем 0  0 в
1
(4.137) столь малым, чтобы имело место W0 ( )  U A (o,  ) в R+ . Тогда
1
очевидно, W (t ,  )  U a (t ,  ) в R+ при всех допустимых t>0.
Рассмотрим следующую функцию
W _(t ,  ) = (T - t )
-1/(  -1)
 _( ),
 =  (T - t )
-
 -( +1)
2(  -1)
1
2 
+
 _( ) = A(1 −  / a ) ,
2
где
4 A
 +1− 
1  2 A
2 
 -1

,
A

1
+
(
S
+
)

a 2
 −1

a2
 

1− 
  − ( + 1) 4 A 
+ 2 


−
1
a 

155

.
 + −1

(4.138)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что W _(t ,  )
является нижним решением задачи (4.131), (4.134), (4.135) в QT, если
W0 ( ) T
−1
(  −1)
(  - -1)
−



 − T 2(  -1) 




в R+1 , так как AW _  0 . Тогда решение задачи существует в течение
конечного времени T0 = T0 (W0 )  T .
При    + 1 +
2
найдется такое t1  0 , что имеют место следующие
s
неравенства
2

−
s
/
(
2
+

s
)

 (T1 + t1 )
B 0  AT −1/ (  −1) ,

1/ ( 2 + s )

 T (  − −1) / 2(  −1) a.
 0 (T1 + t1 )
(4.139)
1
Тогда U (t ,  ) удовлетворяет неравенству U A (t1,  )  W_(o, ) в R+
при некотором T>0. Следовательно, W (t1,  )  U A (t1,  )  W_(o, ) в QT.
В силу последного следует, что решение задачи (4.131), (4.134), (4.135)
по истечении конечного времени T  t1 + T0 станет неограниченным.
Теперь покажем, что система неравенств (4.139) имеет
нетривиальное решение. Пусть в первом из них имеет место равенство.
Тогда для второго имеем
T
1  
2 
 −  +1+  
2(  −1)  
s 
1
s
+1
B
    0 s ,
 A
−1
2
(4.140)
которое справедливо при всех достаточно больших T>0 , если
   +1+
2
s
. Отсюда с учетом замены переменных и подстановки (4.130) следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 4.12
k +  − 
2- N
k −  + 2
, =
, N  2 и    +1+
Пусть  =
.
k
1+ 
 + 2 + N + k
Тогда при достаточно малых U 0 (r ) задача (4.126), (4.127), (4.129) имеет
-1/ (  -1)
решение, существующее при всех t>0, причем max U (t , r )  At
при
r
t → + , где А-некоторая положительная постоянная.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В области D = [0, )   :    (t)
где  (t ) = a(T0 +t )[  −( +1)] / 2 (  -1) C ( [0, + )) , рассмотрим функцию
156
W+ (t ,  ) = (T0 + t )
−1 / (  -1)
1
A(1−  (t ))+ ,
2
−2
(4.141)
где Т0, А, α –положительные постоянные.
Неравенство AW  0 имеет место, если
+
4 A  − ( +1) 1  2 A
2  2
 2  + −1
 -1
−
+
1
−
(
S
+
)
(
1
−
)
+
A
(
1
−
)+   0
+


 2 a 2 (  −1)   a 2
  a2
a2
(4.142)
Для справедливости (4.142) достаточно выбрать
A  − ( + 1)


,
 2 a2
(  − 1)
4
A
 -1
2s A
1
  2 −
 a
 −1
(4.143)
Так как A>0, из второго неравенства (4.143) вытекает ограничение

2 sA
1

.
2
a
 −1
Оно вместе с первым дает
4 A
 − ( + 1)
 2 2 
.
s (  − 1)  a
(  − 1)
2
Система неравенств имеет решение, если
2
s (  − 1)

 − ( + 1)
,
(  − 1)
или
2 

  − ( + 1 + s ) (  − 1)  0.


Отсюда с учетом
  0,   1
получим
2
s
   +1+ .
Поэтому функция
W+ (t ,  ) является верхним (лемма) решением задачи (4.131), (4.134),
1
(4.135), если W0 ( )  W+ (o,  ) в R+ . При малых финитных W0 ( ) всегда
можно выбрать Т0 так, чтобы имело место W0 ( )  W+ (o,  ) и
W (t,  )  W+ (t,  ) всюду в   . Отсюда следует, что обобщенное решение
задачи (4.131), (4.134), (4.135) (естественно и задачи (4.126), (4.127),
(4.129))
существует
при
всех
t
>0
глобально
и
max W (t , )  A(T0 + t ) −1 / (  -1) . С учетом (4.130) получим утверждение

теоремы. Теорема доказана.
Замечание. Суммируя результаты теорем 1 и 2 приходим к такому
утверждению: при    + 1 + 2 для всех «больших» начальных функций
s
157
задача (4.126), (4.127), (4.129) неразрешима в целом, а при достаточно
“малых” U 0 (r ) существует глобальное решение.
4.9.3 Об эффекте локализации
Определение 1. Обобщенное неограниченное решение называется
локализованным, если для некоторого L  + при всех t  [0, T)
выполняется условие: U (t , r)  0 при r  L . Множество SuppU (T − , r ) в
этом случае будем называть областью локализации.
Теорема 4.13 Пусть   1 +  . Тогда любое неограниченное в QT
решение задачи (4.126), (4.127), (4.129) не является локализованным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующую задачу

V 

 1− s   s −1V 
 + V = 0,
 

V (o) = V0 , V ' (0) = 0 ,
(4.144)
где V 0 -некоторая заданная постоянная. Задача (4.144), радиальносимметричная, при любом V 0 имеет неотрицательное решение,
существующее для всех   [O, F] , где
1/2
F = F (V0 )  +, F (V0 )   2V0 +1−  S / ( + 1)  . Правая часть последного
неравенства при    + 1 и V0 → + стремится к бесконечности.
Теперь V 0 выберем так, чтобы имело место F (V0 )  l и W0 ( ) V ( ) для
всех   F (U 0 ) , где l –носитель начальной функции W0 ( ) . Тогда в силу
неограниченности W (t ,  ) (см. Теорему1.) существует такие t0  (0, T) и
 0  F (V0 ) , что W (t0 , 0 )  0 . Устремляя величину V 0 к бесконечности,
получаем, что W (t0 , + )  0 . Следовательно, возмущения при t → T −
проникают как угодно далеко от точки  = 0 и отсутствует
пространственная локализация возмущения. Или с учетом (4.130)
получим, что локализация возмущений отсутствует и для искомой
задачи. Теорема доказана.
Теорема 4.14 Пусть    + 1, W0 (r ) - финитна и k + 3 + 4 + 2 N = 2 .
Тогда любое неограниченное решение задачи (4.132), (4.134), (4.135)
локализовано, причем, при  = +1 имеет место оценка для носителя
h(T0 ) = h(o) m Ls , а при    + 1 − h(T0 ) = h(o) + *T0 m , где LS = 2 ( +1)1/ 2 /  *
фундаментальная (не зависящий от W0 ) длина, Т0 - время обострения, 
158
- некоторая постоянная зависящая только от  и  , h(0) -носитель
начальной функции, h(T0 ) - носитель W (t , r) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условия k + 3 + 4 + 2 N = 2 равносильно тому,
что параметр S, играющий роль размерности переменного  равен
единицу и уравнения (4.131) переходит к «эталонному плоскому»
уравнению (4.132). Рассмотрим автомодельную решению [15, 110]
−
1
WA (t ,  ) = (T0 − t ) Qs ( )

(4.145)
где
1


 2( + 1)


2   

Qs ( ) =    ( + 2) cos  L   если
 s 

если

0
  Ls / 2
  Ls / 2,
Функция (4.145) при  =  + 1 удовлетворяет уравнению (4.132).
Но решения (4.145) в общем случае периодическая функция, она
обращает в нуль в точках k=(1/2+k)Ls (k=0,1 …), причем, можно
убедиться, что тепловой поток W A
W A
W A
→ 0 при

W A

является непрерывным и
 → k . Поэтому в качестве обобщенного решения
можно взять функцию WA (t ,  ) , состоящую только из одной «волны»
общего решения. В остальных точках можно положить WA (t ,  )  0 .
Функция W (t,  ) локализована в области {  Ls / 2} в течение всего
времени ее существования. Если же mes supp W0 ( )  Ls / 2 то
максимальная длина распространения финитных тепловых возмущений
не превышает Ls / 2 , т.е. mes supp WA (t ,  )  Ls / 2 . Дальнейший ход
A
доказательства теоремы при  =  + 1 аналогичен теореме 1 работы
[110]. Так как U(t,r) и W (t ,  ) связаны заменой (4.130), из
локализованности W (t ,  ) следует, что локализовано и решение задачи
(4.126), (4.127), (4.129). Глубина локализации для искомой задачи
определяется следующим образом:
hU (T0 ) = −1 (h(T0 )),
где  () обратная к  =  (r ) функция (см. подстановка и замена
(4.130)). Теорема доказана.
−1
159
4.10 Приближенное решение краевых задач для
квазилинейных‚ уравнений параболического типа методом
интегральных соотношений
Метод интегральных соотношений (баланса) применим для
приближенного решения краевых задач для квазилинейных уравнений.
Используя этот метод, можно, в частности, установить нелинейные
эффекты:
конечную
скорость
распространения
возмущений,
локализацию решений, а также выход на стационарное решение.
Рассмотрим квазилинейное уравнение
u
= u  +  | u | u 
t
(4.146)
где  - оператор Лапласа,  - символ градиента,  =  1,  > 1,  ,  ,   0
числовые константы. Это уравнение является обобщением уравнений,
рассмотренных в [133, 245,268, 296, 385, 357-407] и описывает многие
физические процессы. Например, в частном случае (а=0) оно описывает
процессы теплопередачи в нелинейной среде при наличии поглощения
(е=-1), источника (+1), а в случае i=0 (а= 1) - процесс распространения
тепла в движущейся нелинейной среде.
Различные нелинейные эффекты, связанные с распространением
тепла, описываемые этим уравнением в отмеченных частных случаях ,
были
изучены
в
[194-196,203,207,232-233,240,264,278208,284,392,451,470-473 и др.]
Ниже мы построим приближенное обобщенное решение уравнения
(4.146) в одномерном случае

u  2 u 
u
=
−
u  , x  0, t  0
2
t
x
x
(4.147)
при условии
u(x,0), u(0,t)=u 0 =const
(4.148)
Отметим выражение

ucm ( x) = u0 (1 − x / xmax ) +  ,
(4.149)
где
=
1 /( 2 − )
2 −
, x max = u 01 /   −11− (  − 1)
 − ( +  )


Удовлетворяет уравнению (4.147) и краевому условию (4.148) при
следующем выборе числовых параметров
160
а)
б)
в)
  +  0
 +
   +
 −1
 +
 +  
 −1
при 1    0;
при 2    1
при   2
Причем в точке x = xmax выполняются условия непрерывности
темпера туры (u) я теплового потока (u  −1u x ) . Учитывая стационарное
распределение (4.149), приближенное решение задачи (4.147) - (4.148)
ищем в виде
u ( x, t ) = u 0 (1 − x /  (t )) + 

Используя интегральное соотношение теплового баланса
d
dt
 (t )

0
u 
u ( x, t )dx = −
x
Для фронта температурной волны
уравнение
 )t )
x =0
 (t )
−

0

u 
u dx
x
получим дифференциальное
 '+ d 2− = c ,
(4.150)
где
c =  ( + 1)u 0 −1 ;
d =  ( + 1) u 0 +  −1 /( − 1).
Уравнение (4.150) перепишем в виде
 =  −1 (c − d 2− )
(4.150’)
Рассмотрим теперь возможные случаи для  . Пусть 2    0 .
Покажем, что фронт  (t ) может перемещаться лишь на конечное
расстояние xmax даже при t → + . действительно, если допустить
противное, т.е.  (t ) → + при t → + , то из уравнения (4.150’) вытекает,
1
что
 ' (t )  0
при x max
 c  2−
= 
  (t ), t  t 0 , т. е. выше прямой xmax функция
d 
убывает. Это противоречит нашему предположению. Кроме того, 
не может стремиться к A  x max .В самом деле, в противном случае мы
получили бы  ' → c0 = const  0 , откуда   c0 t при t → + , что противоречит
ограниченности  при t → + .
Пусть теперь  >2. Покажем, что фронт  (t ) → + при t → + .
Действительно, из уравнения (5.225’) вытекает, что  ' (t )  0 при  (t )  x max
 (t )
161
, поэтому не может  (t ) → xmax при t → + , а для случая  (t ) → A  xmax тем
более, в противно случае имели бы  ' (t ) → c  0 , откуда  (t )  ct , что
противоречит  (t ) → A при t → + .
Таким образом, фронт температурной волны распространяется
сколь угодно, т. е. (  (t ) → + ) при t → + , причем сначала навстречу
движущемуся потоку ( ' (t ) <0). При этом скорость распространения
фронта уменьшается и в некоторый момент времени t0 , где t0 такое, что
 (t 0 ) = xmax , фронт останавливается, проникнув в движущуюся среду на
расстояние xmax . Начиная с t  t 0 движение фронта происходит в
направлении движения среды, при этом скорость фронта
распространения тепла уменьшается.
4.11 Построение разностных схем
При численном решении задачи (4.23), (4.45-4.46) уравнение
аппроксимировалось на сетке по неявной схеме переменных
направлений (для многомерного случая) в сочетании методом баланса
(интегро-интерполяционный метод). Для аппроксимации коэффициента
переноса использовались центральная разность. Итерационные
процессы строились по методу Пикара, Ньютона и специальным
методом. Результаты вычислительных экспериментов показывают, что
все перечисленные итерационные методы эффективны для решения
нелинейных задач. Однако как следовало ожидать, для достижения
одинаковой точности метод Ньютона требует меньшего количества
итераций, чем методы Пикара и специальный за счет удачного выбора
начального приближения.
В отдельных случаях применение
специального метода линеаризации приводит к меньшему числу
итераций, чем метод Пикара, за счет удачного выбора начального
приближения. В качестве начального приближения использовались
автомодельные решения системы (4.23), построенные методом
нелинейного расщепления. В отличие от других начальных данных,
результаты численных экспериментов показали, что количество
итераций в этом случае уменьшается ежели при использование других
начальных данных. В качестве начальных приближений были взяты
приближенное решение системы (4.23) полученное методом
нелинейного расщепления
В прямоугольнике G = {l1  x  l 2 ,  = 1,2} для уравнения (4.23)
рассмотрим следующую краевую задачу
u G =  ( x, t )
(4.151)
162
с начальным условием
u ( x, 0) = u0 ( x) , x  G ,
(4.152)
где G – граница прямоугольника G = G \ G .
Для приближенного решения задачи (4.23) в G построим
равномерную по x сетку  h с неравномерными шагами h1 = {l21 − l11 ) / N1 ,
h2 = {l22 − l12 ) / N 2 ,  - сетка с шагом  = t 0 / n0 на отрезке 0  t  t0 ,
N 1 , N 2 , n0 - количество узлов соответственно по x1,x2 , t .
Задачу (4.1), (4.151), (4.152) на сетке  h x  аппроксимируем по
неявной схеме переменных направлений (продольно-поперечная схема)
в сочетании метода баланса (интегро-интерполяционный метод)
[15,26,29]. Идея схем переменных направлений заключается в
следующем: наряду с основными значениями искомой сеточной
l +1 / 2
функции y(x,t) вводится промежуточное значение y = y
где
y = y l , y€ = y l +1
l- номер слоя, который можно рассматривать как значение y при
t = tl +1/ 2 = tl + / 2 . Тогда переход от слоя l к слою l+1 совершится в два
этапа с шагами 0,5
 y l +1 / 2 − y l
=  1 y l +1 / 2 +  2 y l +  1 y l +1 / 2 +  2 y l + 

0.5


 y l +1 − y l +1 / 2

=  1 y l +1 / 2 +  2 y l +1 +  1 y l +1 / 2 +  2 y l +1 + 
0.5

где  y = (ai yx ) x ,  y = (  y) x ,  =  (t , x, y),




a i определяются по формулам
y + y ,i −1 ( y ,i ) x + ( y ,i−1 ) x

ai = P t , x ,i ,  ,i
,
2
2




или
ai =
(
)
1
P(t , x ,i , y ,i , (y  ,i ) x ) + P(t , x ,i −1 , y ,i −1 , (y  ,i −1 ) x .
2
u k
Здесь P = ka( x)
x
n −1
u 

u k −1 = P t , x, u,  .
x 

В узле i = 1 при вычислении производной
163
(4.153)
( y )
произойдет выход из области, поэтому в этой точке
,0 x

применяется формула односторонной разности с порядком 0(h 2 ) , т.е.
u
x

− 3 y 0 + 4 y1 − y 2
2h
0
.
Тогда в узле i = 1 a i вычисляется по следующей формуле
y ,1 − y ,0 −3 y ,0 + 4 y ,1 − y ,2

+

y ,1 + y ,0
h
2h
a1 = P  t , x ,1 ,
,
2
2







или
-3 y ,0 + 4 y ,1 - y ,2  

1
a1 =  P(t , x ,1 , y ,1 , ( y ,1 ) x ) + P  t , x ,0 , y ,0 ,
 .
2
2h


Первая схема из (4.153) неявна по направлению x1 и явна по x2, а
вторая схема, наоборот, явна по x1 и неявна по x2.
К системе уравнений (4.153) добавим начальные условия:
y ( x, 0) = u0 ( x),
x  h
(4.154)
и разностные краевые условия в виде:
 y l +1 =  l +1 , i2 = 0, i2 = N 2
 l +1 / 2
=  , i1 = 0, i1 = N 1
 y
где
=
1 l +1

 +  l −  2  l +1 −  l
2
4
(
Значения
)

(
,
(4.155)
).
соответствуют выражению
y=
y l +1 + y l  2
( 2 y )t ,i
−
2
4
которая получаются из системы (4.153) после исключения
l +1/ 2
промежуточного значения y
. Отметим, что разностная задача
(4.153)-(4.155) имеет второй порядок аппроксимации по t и по x .
Разностные схемы (4.153) нелинейные относительно функций
l +1 / 2
y
, y l +1 , соответственно. Поэтому для решения системы (4.153) (4.155) используется метод итераций. Итерационный процесс для
функции  можно строит как по методу Пикара (простой итерации) так
и по методу Ньютона. Результаты вычислительных экспериментов
показывают, что оба итерационных метода пригодны для схемы (4.153)
164
- (4.155). Для достижения одинаковой точности метод Ньютона требует
меньше итераций, чем метод Пикара, поскольку имеет место
квадратичная сходимость, при удачном выборе начального
приближения. Безусловная устойчивость схемы достигается путем
измельчения шага по времени. Допустимое значение шага по времени
<0 определяется путем вычислительного эксперимента.
165
ГЛАВА 5
5.1 Задача реакции диффузии с конвективным переносом с
абсорбцией.
Исследуется задача Коши для уравнения реакции диффузии с
конвективным переносом с абсорбцией которое описивается с помощью
квазилинейного параболического уравнения
u  2 u  b(t , x)u 
=
−
− c(t , x)u 
2
t
x
x
  1,   1,   0
(5.1)
Опсывающий процессы реакции диффузии в нелинейной среде с
конвективным переносом со скоростью 
b(t , x)u  −1u
x
или тепло-
проводности в изотропной движущейся среде с коэффициентом
теплопроводности u  −1 и зависящим от температуры, со скоростью среды
b(t , x)u  −1 , движущейся по направлению оси х (в противном случае
заменой х на -х получим уравнение (5.1)), при наличии объемного
поглощения тепла. мощность которого является функцией времени,

пространственной координаты температуры, т.е. c(t , x)u , где c(t , x)  0 .
Получены свойства решений и рассмотрены численные аспекты.
Задачу реакции диффузии с конвективным переносом с абсорбцией
можно описать с помощью квазилинейного параболического уравнения
u  2 u  b(t , x)u 
=
−
− c(t , x)u 
2
t
x
x
  1,   1,   0
(5.11)
которое представляет процессы реакции диффузии в нелинейной среде с
конвективным
переносом
со
скоростью
b(t , x)u  −1u

x
или
теплопроводности в изотропной движущейся среде с коэффициентом
теплопроводности u  −1 и зависящим от температуры, со скоростью среды
b(t , x)u  −1 , движущейся по направлению оси х (в противном случае
заменой х на -х получим уравнение (5.1)), при наличии объемного
поглощения тепла. мощность которого является функцией времени,

пространственной координаты температуры, т.е. c(t , x)u , где c(t , x)  0
Свойства решений задачи Коши и краевых задач для уравнения (5.1)
при b(t , x) = c(t , x) = 0 рассматривались в [88-89], где, в частности, показано,
что в отличие от линейного случая при условии   1 и финитных
начальных условиях температурный фронт распространяется с конечной
166
скоростью, т.е. для любых t  [0, ) существует xф (t ) такое, что u (t , x)  0 ,
если | x | xф (t ) .
В [15] для уравнения (5.1) при b(t , x) = 0, c(t , x) = const впервые был
обнаружен эффект пространственной локализации температурных
возмущений, т.е. существует такое L  + что u (t , x)  0 при | x | L для
всех t  [0, ) , где L – не зависящая от t константа. А в [15] данные [89]
обобщены для случая, когда объёмное поглощение тепла зависит от
температуры с коэффициентом, определяемым временем. Там найдены
условия проявления эффекта остановки фронта температурных волн,
приводящего к пространственной локализации возмущений задачи
Коши для уравнения ut = (u  ) xx − b(u  ) x − cu при произвольной финитной
начальной функции изучались в [89].
Данный параграф посвящён изучению обобщённых решений
1
уравнения (5.1) в D = {(t , x) : 0  t  , x  R } с начальным условием
u(0, x) = u0 ( x), x  R1 .
(5.2)
Относительно функции u0 ( x) предполагаем, что она непрерывна,
неотрицательна, финитна, отлична от тождественного нуля и обладает
ограниченной обобщённой производной.
du0 −1 ( x) / dx.
Уравнение (5.1) параболическое в тех точках области D, где u>0, и
вырождается в уравнение первого порядка в точках D, когда u=0.
Поэтому решение задач (5.1), (5.2) понимается в обобщённом смысле,
так как классического решения может не существовать [89].
Пусть G- замкнутая подобласть D, вообще говоря неограниченная в
частности, G может совпадать с D.
Определение 5.1. Неотрицательная в G функция u (t , x) ,
удовлетворяющая условию Гельдера и ограниченная при ограниченных
t, называется обобщённым решением уравнения (5.1) в G, если для u (t , x)
выполняется интегральное тождество
x1
I (u, f , t0 , t1 , x0 , x1 )   (uf t + u f xx + bu f x − cu f )dtdx −  ufdx |t 1 −
t0
D
x



0
t1
x
−  u f x dt |x1 = 0
0

t0
167
(5.3)
Каковы бы ни были числа t0  t1 , x0  x1 такие, что D = [t0 , t1 ]  [ x0 , x1 ]  G и
функция f (t , x)  Ct1,2,x ( D) , равная нулю при x = x0 и x = x .
1
Определение 5.2 Обобщённым решением задачи Коши (5.1), (5.2)
называется ограниченная функция u (t , x) , являющаяся обобщённым
решением уравнения (5.1) в D и удовлетворяющая условию (5.2).
Теорема 5.1. Пусть выполняются условия
а)   1 ;
б) b(t , x)  C , c(t , x)  C при 0  t  +. x  R1 и 0  b0  b(t , x)  b1  +,
0  c0  c(t , x)  c1  + для всех 0  t  +, x  R1 где b0 , b1 , c0 , c1 - константы.
Тогда обобщенное решение задачи Коши (5.1), (5.2) существует. В тех
внутренних точках D, где u (t , x)  0 , функция u (t , x) удовлетворяет
уравнению (5.1) в обычном смысле.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v0 n ( x) , n=1,2,…. - последовательность
ограниченных, положительных, бесконечно дифференцируемых
функций, которая, монотонно убывая, равномерно сходится при n →  к
функции v0 ( x) = u0 ( x) на каждом конечном отрезке.
Предположим, что sup | dv0n ( x) / dx |  и v0,n ( x) = sup v0 m ( ) = M для | x | n .
m ,
n, x
Обозначим через v = vn (t , x) решение следующей задачи:
v = v (  −1) /  v xx +
−  bx v
(  +  −1) / 
 (  −  ) (  −1−  ) / 
v
(v x ) 2 − b(t , x)v x v (  −1) /  −

− cv
(  +  −1) / 
(5.4)
;
в Dn = (0, n) {| x | n}
v(0, x) = v0 n ( x) 

v(t , x)/ | x |= n = M 
(5.5)
Из теории невырождающихся параболических уравнений известно
[89], что решение задачи (5.4), (5.5) существует и единственно для
_
каждого n, для которого имеет место vn (t , x)  C ( Dn )  Ct1,,x2 ( Dn ) , при |x|<n
обладающее непрерывными производными vnx , vnxxx [89].
Функция un (t, x) = v1 (t, x) удовлетворяет в Dn уравнению (5.1) и,
следовательно, интегральному тождеству (5.3) при n  max(t1 , | x0 |, | x1 |) . Из
принципа максимума [89] следует, что M  vn  vn+1 >0 всюду в Dn (n = 1,2,...)
, M –то же, что в (5.5) и не зависит от n. Поэтому в каждой точке (t , x)  D
168
существует
lim un (t , x) = u(t , x) .
n→
Из сказанного вытекает, что функция
u (t , x )
неотрицательна, ограниченна и удовлетворяет интегральному тождеству
(5.3).
Обозначим через Pn прямоугольник
{(t , x) : 0  t  n, | x | n − 1, n  2}.
Теперь покажем, что в Pn функция un (t , x) удовлетворяет условию
Гельдера с показателем и константой, не зависящей от n. Для этой цели
используем метод С.Н. Бернштейна в форме Аронсона [89].
Положим vn = f ( n ) , где f ( ) = M (4 −  ) . Тогда 0   n  1 и на отрезке
3
[0,1] для функции
f ( )
0  f  M,
выполняются соотношения
2M
4M
2M
 f
, f  = −
3
3
3
 f  
1
,    −
4
 f
(5.6)
Функция  ( x, t ) в Pn удовлетворяет уравнению

 = f (  −1) /  xx +   f (  −1) / 
f   − 
+
f
f


1 (  +  −1) / 
− bf (  −1) /  x − c
f
.
f
(  −1−  ) / 

1 (  −1−  ) / 
f   x2 − bx
f
−
f

(5.7)
Продифференцировав уравнение (5.7) по x, получим
 tx −  f (  −1)/  xxx =

 (  − 1) (  −1−  )/ 
f   −  
f
 x xx + 2  f (  −1− 2  )/   f 2
+
f *

f






 f    −   − 1 2 2  − 1 − 
* x xx +  f (  −1− 2  )/   f 2   +
*
f +
ff   x3 − bx f (  −1)/  x −
  f






 − 1 (  −1−  )/ 
1 (  +  −1)/ 
− b
f
f  x2 −  bf (  −1)/  wxx −  bx  f (  +  −1)/  / f   x −  bxx
f
−

f
−  cx
f
(  +  −1)/ 
f
− c  f

(  +  −1)/ 
(5.8)

/ f   x

Обозначим через  =  (x) гладкую «срезающую функцию со
следующими
свойствами:
окрестностях
прямых
 ( x) = 0 в
| x | n − 1,0   ( x)  1 в Pn , |  ( x) | M 1 , |  xx | M 2 , где M и M не зависят от
n(последние неравенства, очевидно, следуют из свойства гладкости).
Рассмотрим в Dn функцию z(t , x) =  2 x2 . Исследуем функцию z (t , x) в
точке максимума. Если она достигнет максимума в точке t=0, то в точке
максимума выполняется неравенство z  [( f −1 )v0nx ]2  M 3 , где M 3 не
зависит от n. Предположим теперь, что max z достигается в Dn . Тогда в
1
169
2
точке максимума функции z(t,x) выполняются соотношения z x = 0 и
zt − f (  −1) /  z xx  0 . или, подставляя сюда явное выражение для z(t,x),
получаем
 2 x xx = −x x2
(5.9)
 2 x ( tx − f (  −1) /  xxx ) = f (  −1) /  ( x2 x2 +
+ xx x2 + 4x x xx +  2 xx2 ).
(5.10)
Величину, стоящую в левой части (5.10), выразим из уравнения (5.8)
путём умножения обеих частей на  2 x и полученного неравенства на
f (2  −1−  )/  . После некоторой перегруппировки приходим к неравенству







f
(  −  )( − 1 −  ) 2 2  − 1 − 
2

 −   f −
f −
f f  x4 
2
  f





 f 
 (  − 1) 2 2
−  2

 f x xx + 2 2  f 2 +
ff  x xx −


 f

2
−  2bx f (  + 2  −  ) /  x2 − b 2

 − 1 ( +  − ) / 
f
f  x3 −


− b 2 f ( 2  +1−  ) /  f (  +  −1) /  / f   x2 −  2bxx
(5.11)
1 (  +3 −  ) / 
f
x −
f
−  xx x2 + 4 x x xx +  2 xx2 ).
Если   (  − 1,  ) и | cx | +, | bx | +, | bxx | + , то с учётом (5.6) и (5.9) из
(5.11) имеем
 2 x4  c1 |  x | +c2 x2 + c3 |  x |3
(5.12)
Откуда следует неравенство |  x | c4 в Pn и ограниченность v x , а un (t , x)

с учётом u (t , x) = v(t , x) удовлетворяет условию Гельдера в Pn с
показателем
1 
min ,1
 
и константой, не зависящей от n. Как показано в
[89], из этого непосредственно следует, что un (t , x) удовлетворяет
условию Гельдера и по t. Поскольку lim
un (t , x) = u(t , x) , этими же
n→
свойствами.
Обладает функция u (t , x ). По построению функция u (t , x )
удовлетворяет начальному условию (5.1) и, следовательно, является
обобщённым решением задач (5.1) (5.2).
170
Для доказательства последнего утверждения теоремы рассмотрим
внутреннюю для D точку (t 0 , x 0 ) , для которой u(t 0 , x 0 )  0 . Тогда
u  (t , x)    0 в некоторой замкнутой окрестности p 0 точки (t 0 , x 0 ) .
Следовательно, vn (t , x)   (n=1,2…) в p 0 .
Поэтому уравнение (5.4) является равномерно параболическим в p 0
. В силу оценок [89] последовательность {vn } компактна в Ct1,,x2 ( p 0 ) .
Отсюда вытекает, что функция un (t , x) в p 0 удовлетворяет уравнению (5.1)
в обычном классическом стиле. Теорема доказана.
Теорема 5.2 В предположениях теоремы 1 относительно функций
b(t,x), c(t,x) и параметров  ,  , обобщённое решение задачи Коши (5.1),
(5.2) единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u (t , x) - обобщённое решение задачи
(5.1), (5.2) в D  {t  T } , построенное в теореме 5.2, где T  (0, ) произвольное число. Кроме того u(t , x) = lim un (t , x) , где функция u n (t , x)  0
n→
удовлетворяет уравнению (5.1) при | x | n, t  n , следовательно, и
тождеству (5.3), если t  T  n и [ x0 , x1 ]  {| x | n} .
Пусть v(t,x)-другое обобщённое решение этой задачи в D  {t  T } .
Подставим в тождество (5.3) вместо u сначала un (t , x) , затем v и вычтем из
первого равенства второе. Тогда получим:
1
( f
t
+ An f xx + Bn f x − Cn f )(un − v)dxdt −
D
t1
− (u  − v  ) f dt |
t
−  (un − v) fdx | 1
x0
t0
x1
n
x1
x0
x
=0
(5.13)
t0
где
 −1
1
An =   [un + (1 −  )v]
d
0
 −1
1
Bn = b
 u
+ (1 −  )v 
n
d
0
 −1
1
Cn = 
 u
n
+ (1 −  )v 
d
0
В силу предположений относительно  и  , и свойств un (t , x) ,
доказанных в предыдущей теореме, функции An (t , x) и Bn (t , x)
171
удовлетворяют условию Гельдера по обоим аргументам, причём
An    inf u n −1 = mn  0, n = 1,2,...
t,x
Предположим, что u  v . Тогда найдётся такой круг E  D , в котором
разность u − v сохраняет знак. В тождестве (5.13) положим
t0 = 0, t1 = T , x0 = − R, x1 = R . Кроме того, предположим, что числа T и R
настолько велики, что E  D R−1 , где D = [−l , l ]  [0, T ]
Пусть функция g (t, x)  C0 такова, что g (t , x)(u (t , x) − v(t , x))  0 внутри E
и носитель этой функции равен E , т.е. sup g = E .
Обозначим через {CRnk (t , x)} последовательность положительных
гладких функций, которая равномерно сходится к Cn (t , x) при k →  в
цилиндре D R .
R
Рассмотрим первую краевую задачу в Ц
для функции
f (t , x) = f Rnk (t , x) :
 Lf = ft + An f xx + Bn f x − CRnk f = g (t , x),

f |t −1 = f ||x|= R = 0.

(5.14)
Поскольку в (5.14) оператор L равномерно параболический в D R и
его коэффициенты An , Bn удовлетворяют условию Гельдера, а C Rnk и g (t , x )
достаточно гладкие функции, из [89] следует, что задача (8.114) имеет
Rnk
единственное решение f
для любого k=1,2,… .
Rnk
Для оценки решения задачи (5.14) f и f xRnk доказываются
следующие леммы.
Лемма 5.1. Существуют положительные постоянные  и M, не
R
зависящие от R, n, и k, такие, что для решения задачи (5.14) в D имеет
место неравенство
| f (t , x) | M  exp[ − (1 + x 2 )1/ 2 ] .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом, применявшимся в
работе [89]. Введём функцию z1 (t , x) = MT −1 (T − t )  exp[− (1 + x 2 )1/ 2 ] и положим
 (t , x) =  f (t , x) + z (t , x) . Очевидно, что   0 при x = −R и x = R ,и  = 0 при
t=T. Если L  0 в D R при некотором M и  , то в силу принципа
максимума отсюда следует утверждение леммы. Подставляя  в (5.14)
имеем
1
1
1
1
1
1
172
 

x 2
 2 x2 
x
1 

L 1 =  g + z1  An  −
+
+
−
B
−
C
−

n
Rnk
2 1/ 2
(1 + x 2 ) 3 / 2 1 + x 2 
(1 + x 2 )1/ 2
T −t
  (1 + x )
1

  g + z1  An ( +  2 )+ | Bn |  − 
T

(5.15)
−1
2 1/ 2
Предполагаем, что | g (t , x) | MT exp− (1 + x )  при некотором M.
1
2
Так как An и Bn
Равномерно ограничены, то из неравенства (5.15) можно выбрать
  0 настолько маленьким, чтобы L  0 в D R . Тем самым и доказана
лемма 1. Аналогично доказывается
1
Лемма 5.2 Существует положительное число  =  (n) , зависящее
только от n, не зависящее от R и k, такое, что для всех t>T при |x|=R
выполняется
df (t , x)
 

 M (1 + ( R − 1) 2 )1/ 2 exp − (1 + ( R − 1) 2 )1/ 2 
dx | x|= R
 2

где  и M то же, что в лемме 1.
2 1/ 2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B = (1 + ( R − 1) ) , R  2 . Введём
вспомогательную функцию
  
z 2 (t , x ) = M exp − B   exp[B ( x − R )] и положим  2 =  f + z2 .
 2 
Из определения 
2
(t , x)
имеем
  
B
 2 
 2 | x = R −1 = M exp −
 

B − B 
 2

 2 | x = R −1 =  f | x = R −1 + M exp −

 2 


Если exp − B  + exp(− B )  1 , то из леммы 1 следует, что для функции
место неравенство  2 |x = R −1   2 |x = R . Так как по определению
B>1, то достаточно взять    , где   0 определяется равенством
 2 (t , x) имеет
 
exp( − 1 ) = 1 − exp −  ,
 2
1
для
того
1
чтобы
выполнялось
 2 |x = R −1   2 |x = R . Как видно,  1 не зависит от R, n и k. Далее в
L 2 = z2 ( An 2 B 2 + BnB − CRnk )  z 2 ( 0 (n)(R − 1) 2  2 −
− 1 (n) R − CRnk )
173
неравенство
D R \ D R −1
где  0 (n),1 (n) - положительные числа (такая оценка исходит от
гельдеровости An и Bn -оценки относительно An ). Поскольку CRnk
равномерно ограниченно по R и k, то можно выбрать  (n) так, чтобы при
   2 (n) выполнялось неравенство L  0 в D R \ D R −1 . Или объединяя
неравенства для  , получим    (n) = max{ 1 ,  2 } . Тогда из доказанного
выше следует, что
2
2
 2
x
0
x =R
или
f
x
x=R
  
 MB exp − B 
 2 
Для x=-R аналогично получается такая же оценка. Лемма 5.2 доказана.
Вернёмся к тождеству (5.13). На основании леммы 5.1 и 5.2 из
тождества (5.13) следует, что
 g (u
n
− v ) dxdt  M 1
| C − C
Rnk
| exp[ − (1 + x 2 )1/ 2 ]dxdt +
ЦR
E
R
+ M2

| u n (0, x ) − u0 ( x) | exp[ − (1 + x 2 )1/ 2 ]dx +
−R
  
+ M 3 ( n) B exp − B 
 2 
Устремляя здесь к бесконечности сначала k, затем R и, наконец n,
приходим к неравенству
 g (u − v)dxdt  0
E
Это противоречит положительности подынтегральной функции
внутри E. Таким образом, u  v всюду при t  T , а ввиду
произвольности T – всюду в D. Теорема доказана.
Ниже будет доказана теорема о монотонной зависимости
обобщённого решения (5.1) от начальных данных, а так же некоторые
другие утверждения, играющие важную роль в исследовании свойств
обобщённых решений. Так как для задач (5.1), (5.2) в общем не имеет
места принцип максимума (минимума), то при помощи теоремы
сравнения можно получить некоторую качественную картину общей
задачи с использованием частного, автомодельного решения данного
уравнения.
Пусть V – замкнутая подобласть D.
Определение 5.3. Следующая неотрицательная в V функция v(t,х),
удовлетворяющая условию Гельдера и ограниченная при ограниченных
t, называется обобщенным суперрешением уравнения (5.1) в V, если для
174
выполняется неравенство I (v, f ; t0 , t1; x0 , x1 )  0. Каковы бы ни были
числа t0  t1 , x0  x1 такие. что D = {t0 , t1}{x0 , x1} V и неотрицательная
x = x0 и x = x1 .
функция f (t , х)  Ct1,2
, x ( D) равна нулю при
v (t , х )
Здесь, I (v, f ; t0 , t1; x0 , x1 )  0, определяется согласно (5.3).
Замечание.
Пусть
неотрицательная
функция
v(t,
х),
удовлетворяющая в V условию Гельдера и ограниченная при
ограниченных t, является гладкой вне конечного числа непрерывных
кривых вида х=ζ(t) и удовлетворяет там неравенству Lv≤0,
где Ly = − yt + [ y x ] − [b(t, x) y  ] x − c(t, x) y
v 
(физический смысл - поток)
x
И пусть, кроме того, производная
непрерывна при х=ζ(t) Тогда с помощью интегрирования по частям
.iлегко убедиться, что v(t, х) обобщенное суперрешение уравнения (21) в
V.
Теорема 5.3. Пусть v(t, х) - обобщенное решение задачи Коши (5.1),
(5.2), y(t,x) - обобщенное суперрешение уравнения (21) в D.
Предположим, что U0(Х)≤ y(0, х) для х  R1. Тогда u( x, t )  y ( 0, х ) всюду в
D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тогда поскольку
u(x,t) и y ( 0, х ) непрерывны. Существует круг E c D ∩ (t<T) в котором
u ( x, t )  y ( 0, х ) и тем более Uк(x,t) > y(0, х). где Uк(x,t) построенная в
теореме 5.2 последовательность.
Здесь Т - произвольная постоянна причем Т (0,∞). Так как Uк(x,t) а
обобщенное решение уравнения (5.1), имеем
I ( y, f ; t 0 , t1 ; x0 , x1 ) − I (u n , f ; t 0 , t1 ; x0 , x1 )  0
или
( f
t
+ An f xx + Bn f x − C n f )( y − u n )dxdt 
u

x1
 f (y − u
x0
t1
n
)dx | +  f x ( y − u n )dt
t1
t0


x1
x0
(5.16)
,
t0
где А, B и С как в (5.13).
Построим последовательность {C Rnk (t,x)} положительных гладких
функций, которые при k->∞ равномерно сходятся к Cn (t , x) в U R .
Произвольные константы Т и R? выбираются так, чтобы E  U R . Полагая
в (5.16) t 0 = 0, t1 = T ,U = U R ‚ получим неравенство
175
 ( f (t , x) + A
t
U
n
f xx (t , x) + Bn f x (t , x) − C n f (t , x))( y − u n ) 
R
R
 dxdt 
 f (0, x)[u
n
(0, x) − y (0, x)]dx +
−R
 f (C
U
n
− C Rnk ) 
(5.17)
R
T
 ( y − u n )dxdt +  f x (t , x)( y  − u n )
R
−R
0
Здесь следует учесть, что f(t,x) финитна, кроме точек х = х0, х= х1, к
в точке t=t 0 , т.е. при t= Т.
Пусть g(x,t) - произвольная гладкая функция с носителем равным
E(sup g = E ) и g(t,x)<0 в E, a f(t,x)=f Rnk (t,x) -- решение задачи
 f + An f xx + Bn f x −CRnk f )= g
 f t(T , x )− f
| x| = R = 0

(5.18)
Решение задачи (8.118) существует и единственно‚ [89] для любых,
k, n и R. Из принципа максимума [89] следует, что f (t , x)  0 . Подставим
Rnk
решение задачи (8.118) и функцию f = f
в неравенство (5.17):
R
g (t , x)( y − u n )dx, dt 

E
f
Rnk
(0, x)[u n (0, x) − y (0, x)]dx +
−R
+

U
R
T
f
Rnk
(C n − C Rnk )( y − u n )dxdt +  f
Rnk
x


n
( y − u )dt
R
−R
(5.19)
0
Учитывая леммы 1, 2 и устремляя в (5.19) к бесконечности сначала,
затем и, наконец, п, получаем неравенство
 g (t , x)( y(t , x) − u (t , x))dxdt  0
E
которое противоречит исходному положению. Теорема доказана.
Обозначим через H область, заданную неравенствами 0  t  T  ,
1 (t )  x  2 (t ) , где 1 (t ) и 2 (t ) - непрерывные а через dН- ее
параболическую границу.
Теорема 5.4. Пусть u(t,x) - обобщенное решение задач (5.1) и (5.2), а
z (t , x)  Ct1,,x2 ( H \ H )  C ( H ), причем u(t,x)>z(t,x) на dH, а в H \ H
выполнены неравенства z(t,x)>0 и Lz>0. Тогда u(t,x)>z(t,x) всюду в Н.
176
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для последовательности ограниченных,
положительных, бесконечно дифференцируемых функций u n (t , x) ,
построенных в теореме 5.2, которые, монотонно убывая, равномерно
сходятся при n →  .К функции u(t,x), имеет место Lun = 0 в H \ dH и
un (t , x)  z (t , x) на dH. По теореме сравнения [15] следует, что u n (t , x)
u n (t , x)  z (t , x) .
>z(t,x) в Н. Следовательно, по построению u(t,x)= lim
n→
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь задачу о влиянии мгновенного теплового
источника в движущейся среде, помещенного в точке х=0.
Предполагается, что в (5.1) коэффициенты и параметры среды
следующие: b(t,x)=b(t), c(t,x)=c(t),  =  = 1 .Начальное условие
u(0,x)= Q ( x), x  R
1
(5.20)
где Q – мощность источника  ( x) - дельта-функция Дирака.
Замена переменных
t
q
0
v
r = x −  (t ), =  (t ) =  exp( −(  − 1)   c( p)dp)dq ,
t
где  (t ) =  b(q)dq
v
и подстановка
t
u (t , x) =  ( , r ) exp(−  c(q)dq)
(5.21)
v
дает
   2 
,rR1, 0
 =
 t r 2

1
  (0,r )=Q ( r ),rR


(5.22)
Как было показано в (23, 59), задача (5.22) имеет автомодельное
обобщенное решение
1
 Q 2 1+1  − 1
2
2  −1
( y0 − y )] , при y /  y0 ,
[ ] [
w( , r ) =  
2(  + 1)

0,
при y /  y0 .

177
(5.23)
где
y=

 2(  + 1)  1  −(  −1)    +1
, y0 = 
)
 B( ,


  −1  2  −1
x −  (t )
[Q  ]1 /(  +1)
 −1
Выражение (5.23) с учетом замены и (8.121) определяют решение (5.1),
(5.20).
Из (8.123) положение фронтов температурных волн x (t ) и их
скорость x (t ) в любой момент времени t>0 определяются
соотношениями



x (t ) =  y 0 Q  −1 

1
 +1
+ r1 (t ),
x (t ) = b(t )  y 0 Q
 −1
 +1
1
(  + 1) 
−1

 +1
−

 +1
t



 exp − (  − 1)  c(q)dq .
0


(5.24)
Фронт x (t ) перемещается в направлении движения среды ( x (t ) >0)
и в случае с(t)>0 при t →  имеем x (t ) → b(t ) , т.е. в бесконечности
скорости движения фронта и движения среды одинаковы.
Фронт x (t ) температурной области распространяется сначала
навстречу движущемуся потоку. При этом скорость распространения
фронта x (t ) уменьшается так как   1 , и в момент времени t*, где t* решение уравнения x (t ) =0, фронт останавливается проникнув в
движущуюся среду на некоторое конечное расстояние х_(t*). Начиная с
этого момента движение фронта x (t ) происходит в направлении
движения среды. т.е. x (t ) >0 при t>t*момент времени t°, где t° нетривиальное решение уравнения x (t ) =0, фронт x (t ) пересекает
плоскость х=0, и в дальнейшем тепловое возмущение распространяется
в области х>0, образуя так называемый задний фронт волны [88-89].
Следовательно, задний фронт волны возникает благодаря движению
среды. действительно, в случае. когда движение среды отсутствует, т.е.
(b(t),=0. фронт x− (t ) движется от Точки х=0 налево. Он останавливается,
если есть пространственная локализация возмущений. и тогда не
существует задний фронт волны.
Размер возмущенной области, как следует из физики процесса,
зависит от интенсивности возмущения Q и мощности тепловых
поглощений с(t), увеличиваясь с возрастанием Q или с уменьшением с(t).
Пусть теперь для скорости среды b(t) и мощности “стока” с(t) имеет
место равенство
+
+
+
−
−
−
−
−
−
178
−
1
q
t
t
 +1


 




=  b( q ) dq.
 exp − (  − 1)  c( p ) dp dq

0
0

 
0

(5.25)
Тогда в зависимости от интенсивности теплового источника Q и
коэффициента теплопроводности, характеризующего через  , для
фронта возмущенной области задач (5.1), (5.20) имеет место следующее.
Предложение. Пусть для задач (5.1), (5.20) выполняются условия
(5.25). Тогда для фронта возмущенной области:
−
 +1
 −1
−
 +1
 −1
−
1
а) если Q  y 0  , то фронт движется с разными скоростями по
направлению движения среды для всех t>0;
б) если
всех t>0
−
Q  y0
−

 +1
 −1
 −1
−
1
 −1
,
то фронт движется по двум направлениям при
1
в) если Q = y 0  , то фронт движется по направлению среды при
всех t>0; причем в этом случае, также как и в случае б) отсутствует
задний фронт волны.
 −1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно при (5.25) вместо (5.24)
получим
 +1
1

t

+
1

+1 

x  (t ) = 1  y 0 Q 
b(q)dq

 0


−
 +1
 −1
−
(5.26)
1
При Q  y 0 
из (5.26) имеем x (t ) >0 и x (t ) >0. Так как оба
фронта положительны и не равны, он движется по направлению
движения среды с разными скоростями.
 −1
−
−
Теперь положим, что
 +1
 −1
−
+
1
. Тогда из (5.26) получим x− (t ) <0
и x (t ) >0 для всех t>0. Следовательно фронт x− (t ) движется навстречу
движущемуся потоку, а x (t ) по направлению движения среды для всех
Q  y0

 −1
+
+
 +1
−
 −1
1
−
 −1
, имеем x (t ) >0, но x (t ) =0 для всех t>0, и по
t>0. А при Q = y 0 
направлению движения среды движется только x (t ) .
Займемся оценкой решений задач (5.1), (5.2).
+
−
+
Теорема 5.5. Пусть u(t, х) - обобщенное решение задачи Коша (5.1),
(5.2), причем
1) u0 ( x) - финитная, .удовлетворяющая условию Гельдера функция:
u0 ( x) = 0 при |x|>l;
179

2)  b(t )dt = T2
 +;
0
q


3)  exp − (  − 1)  c( p)dp dq = T1  +
0
0



Тогда существует такое L., l  L <+  , что u (t, х) = 0 при |х|  L. для
любого t  [0, ) , т. е. существует пространственная локализация.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменой переменных и подстановкой (5.21)
получим задачу
   2 
1
 t = 2 , rR ,  [0,T1]
  (0,r )=r ( r )u ( x ), rR1
0
0


(5.27)
В силу условия 3) теоремы 5.5 бесконечный промежуток [0,  ) по t
преобразуется в конечный [0, Т ] по  .
Из финитности начального распределения w0 (r ) из теоремы 5.3 из
[89] при  >1 следует, что скорость распространения температурных
возмущений для задачи (5.27) конечная.
Следовательно, за ограниченный промежуток времени   [0, Т ]
фронт температурной волны проникает на конечное расстояние L, т.е.
для любого
  [0, Т ] существует такое L , l  L1  + , что w( , r ) = 0 при |r|  L .
Теперь, переходя к переменным х и учитывая условие З) теоремы 5.5,
получим u(t, х)=0 при |x|  L1 + T2 = L . Тем самым доказано утверждение
теоремы для обобщенного решения u(t, х) задач (5.1), (5.2).
1
1
1
1
1
Теорема 5.6. Пусть u(i, х), i=1, 2 - обобщенное решение задачи Коши
u i  2 u i
u i
=
− b(t )
− ci (t )u i , x  R 1 , t  0
2
t
x
x
u i (0, x) = u i 0 ( x), x  R 1 .
(5.28)
Причем ui 0 (х) = u 20 (х), ui 0 (х)  С(R 1 ), 0  ui 0 ( x)  M i  + , а ui 0
удовлетворяет условию Гельдера при х  R 1 , 0  c (t )  C( [0, ) ), b(t)  C( [0, )
). Пусть, кроме того, c (t )  c (t )  0 . Тогда u (t, x)  u (t, x) в D.
1
1
2
1
2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z(t, х)> 0 решение задачи (5.28),
соответствующее для c (t ) . Тогда для c (t ) имеем
2
1
180
z  2 z 
z 
z  2 z 
v
+
−
b
(
t
)
−
c
(
t
)
z
=
−
+
−
2
t
x
t
x t
x t
z 
− b(t )
− c1 (t ) z v + (c1 (t ) − c 2 (t )) z v = (c1 (t ) − c 2 (t )) z v  0
x
Lz = −
Из
u1 (t , x)  u 2
теоремы 5.4 следует,
(t , x) . Теорема доказана.
что
u 2 (t , x)  z (t , x) .
Следовательно
Теорема 5.7. Пусть ui (t , x) , i= 1, 2 - обобщенное решение задачи Коши
u i  2 u i
u i
Lu i = −
+
− bi (t )
− c(t )u iv = 0
2
t
x
x
1
x  R ,t  0
u i (0, x) = u i 0 ( x), x  R
(5.29)
1
причем u i 0 (х) финитна и u i 0 (х) = u 20 (х), 0< b  C( [0, ) ). Пусть, кроме
того, 0  b1 (t )  b2 (t ) .Тогда Справедливо u1 (t, x)  u2 (t, x) при всех D.
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что у(t, х) - обобщенное
решение задачи (5.29) Для, b (t ) т. е. у(t, х)= u (t, x) . При b (t ) оно является
обобщенным решением суперрешением задачи для i=1. Действительно,
из финитности ui 0 ( x) имеем
2
2
1
y  2 y 
y 
y  2 y 
v
Ly = − +
− b1 (t )
− c (t ) y = − +
−
t
x
t
x t
x t
y 
y v
− b2 (t )
− c (t ) y v + (b1 (t ) − b2 (t )) y v = (b2 (t ) − b1 (t ))
0
x
x
Из полученного неравенства и теоремы З следует утверждение
теоремы 7. Теорема доказана.
5.2 Температура волны в нелинейных движущихся средах
Рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение
u
+ div (| gradu k |n −1 gradu k ) − div (uv) −  (t )u  = 0,
t
k , n  0,   1
Au = −
(5.30)
Описывающие процессы теплопроводности, политропической
фильтрации не подчиняющейся закону Ньютона, в движущейся со
скоростью в нелинейной среде при наличии объемного поглощения

мощность которого равна  (t)u . Уравнение (5.30) описывает также и
181
многие другие процессы [110]. Для определенности будем считать, что
N
u(x,t) означает температуру в момент времени t>0, в точке x  R .
Для процессов описываемых уравнением (5.30), характерно
распространение температурных возмущений с конечной скоростью (т.е.
u(t , x )  0 в некоторой области), образуя фронт температурной волны,
перемещающейся в пространстве.
Представляет интерес проанализировать влияние различных
факторов на скорость распространения температурной волны. В частных
случаях уравнения (5.30) (n=1 или k = 1, v(t ) = v = const ,  (t ) =  = const )
было показано, как наличие поглощения или источника влияет на
скорость распространения температурной волны. При этом объёмное
поглощение уменьшает скорость распространения фронта и в некоторых
случаях проводит к остановке фронта температурной волны. Ясно, что
действие одновременно конвективного переноса и поглощения в (5.30)
приведет к новым явлениям и влияет на скорость распространения
фронта температурной волны.
Настоящая работа посвящена, исследованию этого вопроса, а также
получению оценок обобщенных решений и фронтов, и численному
моделированию на основе построенных решений. Показано, что
действие конвективного переноса и поглощения приведет к новым
эффектам: возникновение «стены» для фронта, заднего фронта,
локализацию ограниченных решений. Получено условия, при котором
возникают эти явления. Выяснено, что поведения решений зависит от
случаев 0  kn  0, kn = 1, kn  1 по этому рассмотрим каждый случай
отдельно, и будем считать, что v=v(t).
Присоединим к уравнению (5.30) начальное условие
u / t =0 = u0 ( x)  0, x  R N
(5.31)
Случай kn  1,  = 1 . Сначала получим точное решение задачи о
мгновенном источнике: т.е. когда u0 ( x ) = Q ( x ) , где Q мощность
источника,  ( x ) - дельта функция Дирака. В одномерном случае (N=1)
оно имеет вид
n
n +1 nk −1
1
 t



−
n
(
k
+
1)
u ( x, t ) = exp  −   (t ) dt   (t ) 
  a − b1 n 

t
 0

1
t


kn − 1  1  n
n ( k +1)
b=

 , 1 =  x −  v(t ) dt  / [ (t )]
k (n + 1)  (n + 1) 
0


1
182
(5.32)
t

0
0
 (t ) =  exp{−(kn − 1)   (t )dt}d ,

a = b

n
−
nk −1
  n, (k + 1) − 1 n  
 Q  B
,
 
nk
−
1
nk − 1  
 
−
2n
+1
nk −1
.
а в случае N>1 u(x,t) имеет вид


− Np 
u ( x, t ) = exp  −   (t )dt  [ (t )]
  a − b | 1 |

 0

t
1
p=
, 1 =
n + 1 + N (kn − 1)
n +1
n
n
nk −1


+
2
t


p
x
−
 i   (t )dt  / [ (t )]

i =1 
0

N
(5.33)

Постоянная a определяется из условия  u( x, t )dx = Q
0
Здесь этот интеграл является N кратным.
Из (5.32) видно, что в одномерном случае для фронта возмущенной
области (u(t, x )  0 при | x | l (t )) где xф =l(t) имеем
1

 n ( k +1)
 n+1
l
 a 

l (t ) =  v(t )     (t ) 
b
0


1
1) Пусть
n
n +1
решения видно, что
(5.34)
четное число. В этом случае из формулы (5.32) для
u (t , x )  0,
при
x  l (t )
и
n
1
 a  n +1
xф =  v(t )dt     (t ) n ( k +1)
b
0
t
(5.35)
Возможны следующие ситуации:
n
1
 a  n +1 n ( k +1)
+
а) Правый фронт xф =  v(t )dt +   
стремится к бесконечности
b 
0
t
вместе с t → + , если любое из слагаемых стремится к бесконечности
(интегралы расходится).
Левый фронт волны
183
n
n
 a  n +1
xф− (t ) =  v(t )dt −    n ( k +1)
b
0
t
−
−
двигается против движения среды, если xф (t )  0 при всех t>0, xф (t ) → 
n
n +1
1
 a  n ( k +1)
→  (Рис.1 а));
при t → + и  v(t )dt −   
b


0
X
t
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
-1
-1,5
-2
-2,5
X+ф(t)
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
t
X-ф(t)
(Рис.1 а)
Имеет место эффекта локализации, если
t
t

0
0
 v(t )dt  L ,  exp(−(kn − 1)  (t )dt )dn  L ,
1
2
0
где L1, L2 постоянные и для глубины локализации имеем следующую
оценку
a nn+1
max x  L = L1 + ( ) L2 .
b
+
Ф
(5.36)
б) существует левосторонняя локализация,
a
если  v(t )dt −  
b
0
t
n
n +1

n
n ( k +1)
→ − L1 при t → + , где
184
L1
постоянная (Рис.1. б)
X
2,5
2
1,5
X+ф(t)
1
X-ф(t)
0,5
t
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-L
5
-1
-1,5
(Рис.1. б);

X
с) существует задний фронт волны, если существует такое t = t при


котором x ф− (t )  0 , а x ф− (t )  0 для t = t и пересекает точку x = 0 при t = t . В
этом случае левый фронт волны сначала двигается против движения
среды и в момент времени t  , где t  удовлетворяет уравнению x ф− (t ) = 0
он останавливается (Рис.1. с));
3
2,5
2
1,5
X+ф(t)
1
X-ф(t)
0,5
t
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-1
(Рис.1. с);
д) левый фронт волны двигается по направлению движения среды,
начиная с t=0, образуя задний фронт волны, если
n
 a  n+1
n +1
v
(
t
)
dt
−
   (t )  0 при всех t>0 (Рис. 1 д));
0
b
t
n
185
X
3,5
3
2,5
X+ф(t)
2
X-ф(t)
1,5
1
0,5
t
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
(Рис. 1 д);
е) существует так называемый эффект «стены», если
n
n
 a  n +1 n ( k +1)
v
(
t
)
dt
=
.
  
0
b
t
X
В этом случае xф− (t ) = 0 т.е. левый фронт волны остается неизменным
при всех t>0 (Рис. 1. е)).
3
2,5
2
X+ф(t)
1,5
X-ф(t)
1
0,5
t
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
(Рис. 1 е)).
Решение «линеаризованной» задачи (5.30)-(5.31).
Показано, что аналогичные эффекты возникает и для
«линеаризованного уравнения» (5.30).
Пусть   1 . Тогда очевидно, что уравнение (5.30) имеет решение


u (t , x) = u (t ) = T  −1 + (  − 1)   (t )dt 
0


t
где T  0 - постоянная.
186
−
1
 −1
(5.37)
«Линеаризируем» уравнение (5.30) вокруг этого решения,

представив член u в (5.30) виде u  = u0 −1u и выберем в качестве u 0
решения (5.36). Тогда нетрудно проверить, что функция


z + (t, x ) =  (T  −1 + (  − 1)   (t )dt 
0


t
где
f ( ) =

a − b | |


n +1
n
−
1
 −1
f ( ) ,
n
nk −1



+
,
1/ 2
2
t
1
N 
 

n +1


 =   xi −  v (t )dt 
/[ (t )]
 i =1

0
 
 
−
(5.38)
 − kn
 −1


 (t ) =  T  −1 + (  − 1)   (t )dt 
/(  − kn) при   kn является решением
0


линеаризованной задачи (5.30)-(5.31). При T=0 (5.37) совпадает с
решением
задачи
(5.30)-(5.31).
Таким
образом,
решение
«линеаризованной» задачи с точностью до постоянной совпадает с
решением (5.30) для случае  = 1 . При  → 1 это решение переходов в уже
построенное решение.
Покажем, что решение «линеаризованной» задачи в случае
n +1
является верхним решенией задачи Коши (5.30)-(5.31).
  kn +
t
N
В N  2 - мерном случае эффект «стены» не наблюдается и
движения фронта описывается по формуле
2
n
t


p
 a  n +1
x
−
 i  v(t )dt  =     (t ) 

b
i =1 
0

N
Условие локализации решения остается в силе. Однако, в этом
случае в любое время температурные волны сосредоточены в сфере
n
радиуса ( a / b ) a +1 [ (t )] p с центром в движущейся со временем точке
t
 v(t )dt
.
0
Это доказывается использованием теоремы сравнения решений,
взяв в качестве верхнего решения функцию z+ (t, x).
В этом случае легко подсчитать, что если   nk + n + 1
N
187
AZ +  0
n
n +1
в D = {(t, x) : t  0, x  l (t )} где l (t ) = (a / b) [ (t )]
1
n +1
Поэтому, согласно теореме сравнения решений имеем, u(t, x)  z (t, x)
как только, u(0, x)  z (0, x), а для фронта возмущенной области получим
оценку
+
+
t
N
 ( x −  v(t )dt)
i =1
i
2
n
n +1
 (a / b) [ (t )]
1
n +1
0

nk −1
где  (t ) =  [u (t )] dt, а
u (t )
определена формулой (5.36).
0
При этом температурная волна распространяется так, что центр
сферы с изменением времени также перемещается.
Благодаря теоремам сравнения решений построенное верхнее
решение используется для оценки решений первой краевой задачи
u | x =0 =  ( t ) .
u |t =0 = u0 ( x )  0, x  R,
Отметим, что преобразование
 t

u (t , x) = exp  −   (t )dt   ( (t ),  ) ,
 0

где  = (1 ,  2 ,....,  N ) ,



i =  xi −  v(t )dt ,  (t ) =  exp  −(kn − 1)   (n)du d
i =1
0
0
0


N
t
t
приведет уравнение (5.30) к виду которое в частности при kn>1 имеет
известное решение типа Зельдовича Компанейца.
5.3 Ободном точном решении одной нелинейной задачи с
сильным поглощением или источником
Ниже приводится один способ нахождения точного решения одной
задачи нелинейной теплопроводности при наличии сильного
поглощения, установлены проявления следующих нелинейных
эффектов:
эффект
конечной
скорости
распространения,
пространственной локализации тепла и остановка фронта
При
исследовании
процессов
переноса
энергии
в
высокотемпературных средах следует учитывать ряд их особых свойств.
Например
зависимость
теплоемкости
и
коэффициента
теплопроводности среды от температуры, необходимо учитывать вклад
188
в энергетический баланс объемного излучения, экзо и эндотермическиее
процессы ионизации, протекания химических реакций, горения и др.
Учет этих факторов обуславливает нелинейность уравнения переноса
энергии. Наряду с этим можно также учитывать конвективный перенос
тепла и его влияние на эволюцию изучаемого процесса. Интенсивное
развитие нелинейной теории переноса стимулировали исследования по
физике плазмы (см.[15,110] и приведенную там литературу). Здесь в
последнее время получены фундаментальные результаты обнаружен ряд
нелинейных эффектов, обуславливающих свойства инерции, и
пространственной локализации тепловых процессов.
Рассмотрим
следующую
задачу
Коши
для
уравнения
теплопроводности в нелинейной среде со степенной зависимостью
коэффициента теплопроводности от температуры при наличии в ней
конвективного переноса, скорость которого зависит от времени и
объемного поглощения или источника тепловой энергии, мощность
которого зависит от температуры и явно от времени. Такой
нестационарный процесс теплопроводности описывается следующей
задачей Коши для квазилинейного параболического уравнения
u
= (u u ) + div(v(t )u ) +  b(t )u q ,
t
u (0, x) = u0 ( x), (t  0, x  R N )  = 1.
(5.39)
Здесь и(х, t) – температура,   0 - параметр нелинейности среды:
b(t )u -мощность объемного поглощения тепла; u0 ( x ) энергия теплового
источника в начальный момент времени;
Отметим, что задача (5.39) в равной мере описывает и процессы
фильтрации газа и жидкости, диффузию в нелинейной среде при
наличии конвективного переноса с вектор скоростью v(t ) и
поглощением (  = −1 ) или источником ( = +1) мощность которого равна
b(t ) u q .

В работе [87] при b(t ) = bt , v(t ) = 0 u0 ( x) = P ( x) , где  ( x) дельтообразная функция, характеризующая начальное распределение
температуры сосредоточенного источника тепла, помещенного в начало
координат, Р>0 мощность источника, установлено, что в
рассматриваемой задаче наблюдается проявление следующих
нелинейных эффектов: инерционный эффект конечной скорости
распространения
тепловых
возмущений
(КСТВ),
эффект
пространственной локализации тепла и эффект конечного времени
существования тепловой структуры в среде с поглощением. Различные
q
189
свойства решений задачи Коши для (5.39) даны в работах [88], в
частности, работа [108] посвящена математической теории уравнения
(5.39).
В настоящей работе найдено точное решение задачи (5.39) для
достаточно произвольной функции v(t ) и b (t ) . Получена оценка
обобщенного решения задачи Коши для имеющего физический смысл
класса, и установлено точное поведение фронта распространения
тепловых возмущений. Получено условие на эти функции, при котором
имеют место приведенные выше нелинейные эффекты полученные в
работе [15]
5.3.1 Построение точного решения
Покажем, что при q = 1 −  , 0    1, 0  q  1 и достаточно общих
общих условиях на скорость распространения конвективного переноса
v (t ) и мощности поглощения или источника равной b(t )u q задача (5.39)
имеет точное аналитическое решение. Для этой цели произведем в (5.39)
замену переменных и функций, полагая
t
u (t , x ) = w(t , ),  =  v( y ) dy − x, x  R N
(5.40)
0
Тогда задача (5.39) превращается в следующую
w
= ( w w) +  b(t ) wq ,
t
u (0, x) = w(0, x) = u0 ( x)  0, (t  0, x  R N ).
(5.41)
Рассмотрим радиально симметрические решения задачи (5.41),
полагая в ней
t
w(t , ) = w(t ,  = r ),  = { 1 [  v( y ) dy − xi ]2 }1/ 2
N
0
Тогда задача (5.41)
симметрической форме
сводится
к
следующей
w
 N −1  w
= r1− N
(r w
) +  b(t ) wq ,
t
r
x
w(0, x) = w(0, x) = u0 ( x)  0, x  R N , N  1.
(5.42)
радиально-
(5.43)
Далее следуя идее работы [533] решение задачи (5.43) ищем в виде
w(t , r ) = a(t )( f (t ) − r  )+1 ,  = 2,  1 = 1/ 
190
(5.44)
где a(t), f(t)-подлежащие определению функции, и использовано
обозначение (n) + = max(0, n) .
Вычисляя производные функции (5.44) и подставляя (5.44) в (5.43),
имеем
w da
df
=
( f (t ) − r  )1 −  1
( f (t ) − r  )1 −1
t
dt
dt
w
= − 1 Na +1r N ( f (t ) − r  )(1 −1) +1 =
r
= − 1 Na r N ( f (t ) − r  )1 = − 1 Na r N w(t , r )  C (Q)
r N −1w
Так как
r1− N
 N −1  w
(r w
) = −( 1 ) Na +1 ( f (t ) − r  )(1 −1) +1 +
r
r
,
 +1 
 ( 1 −1) + 1 −1
+ [( 1 ) 1 a ]r [ f (t ) − r )]
то учитывая, что ( 1 − 1) +  1 =  1 имеем
r1− N
 N −1  w
(r w
) = −( 1 ) Na +1 ( f (t ) − r  )1 − [( 1 ) 1a +1 ]r  [ f (t ) − r  )]1 −1
r
r
Теперь подставляя вычисленные выражения в уравнение (5.40)
получим следующее
da
df
− ( 1 ) p −1 Na +1 ]( f (t ) − r  )1 + [−( 1 )a(t ) −
dt
dt
−[ ( 1 − 1)( 1 )]a +1r  +  b(t )a q ][ f (t ) − r  ]1 −1 = 0,
[
(5.43)
если q 1 =  1 − 1
Выберем теперь функции a(t), f(t) получим систему нелинейных
дифференциальных уравнений
da
+  1[( 1 + N )]a +1 = 0
dt
df
− 1a (t )
+  b(t )a q = ( 1 ) 2 a +1 f (t ).
dt
(5.45)
Тогда интегрирование первой системы (5.45) даёт
a(t ) = [a1 +  1 (( 1 + N )t ]−1/ , a1  0 ,
(5.46)
Для того, чтобы интегрировать второе уравнение (5.45) перепишем
с учетом выражения для а и чисел  ,  1 виде
191
df
+ c1 (t ) f (t ) = −c2 (t ),
dt
(5.47)
где
c1 (t ) = [a1 +
2

(2 +  N )t ]−1 , c2 (t ) =
2
b(t )
2
 [a1 + 2 (2 +  N )t ],
2

Уравнение (5.47) это линейное уравнение первого порядка
относительно f(t). Оно интегрируется и его общее решение имеет вид
t
t
t
t0
t1
t0
f (t ) = exp(−  c1 (t )dt )[c0 +   c2 (t )exp(−  c1 (t )dt )]
(5.48)
или с учетом выражения функций c1 (t ), c2 (t ) из (5.48)имеем
t
f (t ) = (a1 + nt )] [c0 +   c2 (t )[(a1 + nt )]n dt , n =
n
t1
2
(2 +  N )
2
(5.49)
Отсюда, при a1 = 0 для решения задачи (5.39), имеем (5.44), где a(t),
f(t) определениы формулой (5.46), (5.48).
5.3.2 Оценка решения задачи Коши и анализ поведения фронта
Оценка решения задачи Коши (5.39) даётся в следующей теореме
Теорема:
пусть
  0, q = 1 −  , u0 ( x)  z (0, x), z (t , r ) = a(t )( f (t ) − r 2 )1/ +
da
df
+  1[( 1 + N )]a +1  0,  1a(t ) +  b(t )a q − ( 1 ) 2 a +1 f (t )  0
dt
dt
Тогда для обобщённогоо решения задачи (5.39) справедлива оценка
u(t , x)  z(t , r ) в Q ,
где a(t), f(t) определены формулой (5.46), (5.48).
Анализируя характер движения фронта
определяемой из условия u (t , x f ) = 0
где
t
x f (t ) =  v( y ) dy  [ f (t )]1/ 2
0
192
тепловой
волны,
t
f (t ) = (a1 + nt )] [c0 +   c2 (t )[(a1 + nt )]n dt , n =
n
t1
2
(2 +  N )
2
В работе на примере точного решения одной задачи нелинейной
теплопроводности подтвержден известный тезис о том, что нелинейные
задачи являются источником новых нелинейных эффектов.
Сформулированный в теореме результат даёт на основе принципа
сравнения решений значительно расширить класс начальных данных для
которых имеют место нелинейные эффекты конечной скорости
распространения, пространственной локализации тепла и остановка
фронта. Полученная оценка даёт возможность решить вопрос о
подходящем начальном приближении для численного моделирования
изучаемого процесса нелинейной теплопроводности.
5.4 Результаты численных экспериментов и визуализации
Рассмотрим задачу Коши
u   m1 −1 u
= u
t x 
x
p −2
u 
u
p q
 − v1 (t , x) +  ( t ) u 1 v 1 ,
x 
x
v   m2 −1 v
= v
t x 
x
p −2
v 
v
p q
 − v2 (t , x) +  ( t ) u 2 v 2 ,
x 
x
u (0, x) = u0 ( x), x  R,
v(0, x) = v0 ( x), x  R.
Для численного решения этой задачи применяется метод
переменных направлений, со схемой Писмена-Речфорда следующего
вида
193
 yik +1 − yik
1
 y k m1 −1 y k + y k p −2 y k +1 − y k +1 −
=
( i+1 i )
i +1
i
 0.5  
m1 + p −3 2 ( i +1 )

2
h

p −2
m1 −1

− ( yik )
yik + yik−1
( yik, +j 1 − yik−+11 ) −


v1 (k , i ) k +1

k +1
k +1
k p1 −1
k q1
−
y
−
y
+

k
y
y
z
(
)
(
)
(
)
(
) ,
i
+
1
i
i
i
i

h
 k +1 k
1
 z k m2 −1 z k + z k p −2 z k +1 − z k +1 −
 zi − zi =
( i+1 )
( i+1 i )
i +1
i
 0.5  
2m2 + p −3 h 2 

p −2
m2 −1

− ( zik )
zik + yik−1
( zik, +j 1 − zik−+11 ) −


p2
q2 −1
v (k , i ) k +1 k +1

− 1
zi +1 − zi ) +  ( k ) zik +1 ( yik ) ( zik ) ,
(

h
(
(
)
(
(
)
(5.50)
)
)
i = 1, 2,..., n − 1.
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
 yi0 = u0 ( x ) ,
 0
zi = v0 ( x ) , x  h ,
 y k +1 =  k +1 , z k +1 =  k +1 , при i = 0 и i = n,
1
i
2
 i
(5.51)
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений (5.50)
применяем итерационный метод и получим схему
p −2
 s +1 s
s
 s m1 −1 s
 s +1 s +1 
 yi − yi = m + 1p −3 2  yi +1   yi +1 + yi 
 yi +1 − yi  −
 0.5   2 1 h   




p −2
s
s +1 s p1 −1 s q1
  s m1 −1  s
  s +1 s +1   v1 (k , i )  s +1 s +1 
   
 −  yi   yi + yi −1   yi − yi −1   −
 yi +1 − yi  +  ( k ) yi  yi   zi  ,
h 
 

   
 
   
(5.52)
 s +1 s
p
−
2
m
−
1
 s  2  s s 
 zi − zi
1
 s +1 s +1 
=
z
z
+
z

 zi +1 − zi  −
 i +1 i 
m2 + p −3 2  i +1 
0.5


2
h









p −2
m −1
q2 −1
s +1 s p2
  s  2  s s   s +1 s +1   v1 (k , i )  s +1 s +1 
  s
 −  zi   zi + zi −1   zi − zi −1   − h  zi +1 − zi  +  ( k ) zi  zi   zi  .




где
i = 1,2,..., n − 1 .
s +1
s +1
Разностная схема (5.41) относительно y i , z i линейна. При счете по
итерационной схеме задается точность итерации и требуется
выполнение условий
194
s +1
s +1
s
s
 s

 yi +1 + yi 


p −2
s
max y i − y i   ,
max z i − z i   .
0i n1
0i  n1
В (5.41) вводя обозначения

 s 
Ai = m1 + p −2 2  yi +1 
2
h 

s
m1 −1
τ
 s
Bi = m1 + p −2 2  yi 
2
h  
s
m1 −1
s
 s

y
+
y
i
i
−
1




p −1
1
1
 v1 (k , i)
s s
C i = Ai + Bi + 1 −
+  ( k )  yi   zi  ,
2 h
   
s
s
s

 s 
M i = m2 + p −2 2  zi +1 
2
h  
s
τ
m2 −1
s
N i = m2 + p −2 2  zi 
2
h  
s
s
 s

z
+
z
 i +1 i 


m2 −1
где
s
p
s
i = 1,2,..., n − 1
 v1 (k , i )
2
h
,
p −2
,
q
s
F i = 1,
p −2
s
 s

z
+
z
 i i −1 


−
s = 0,1,2... .
 v2 (k , i)
2
h
,
p −2
,
q −1
1
1
 v2 (k , i)
s s
Li = M i + N i + 1 −
+  ( k )  yi   zi  ,
2 h
   
s
−
s
E i = 1,
s = 0,1,2...
.
разностное уравнение можно записать в виде
s s +1
s s +1
s
 s s +1
Ai y i +1 − C i y i + B i y i −1 = − F i , i = 1,2,..., n − 1

 y = 1 , при i = 0, n,
(5.53)
s s +1
s s +1
s
 s s +1
M i z i +1 − Li z i + N i z i −1 = − E i , i = 1,2,..., n − 1,

 z = 2 , при i = 0, n,
Для численного решения системы (5.42) применяется метод прогонки.
Итерационные процессы построены на базе методов Пикара,
Ньютона и специального способа линеаризации, предложенных
М.Ариповым.
195
196
ГЛАВА 6. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ
6.1 Уравнение Фишера и решения типа распространяющейся
волны
Рассмотрим скалярное уравнение
одномерном пространстве [372]
ut = ku (1 − u ) + Du xx ,
реакций
с
диффузией
в
(6.1)
где скалярная функция u(х,t) удовлетворяет заданным начальным и
граничным условиям, а k и D - положительные постоянные. Это
уравнение является важным с исторической и педагогической точек
зрения. Оно было предложено (так же как уравнение с кубической
нелинейностью вместо квадратичной в правой части) Фишером (1937) в
качестве детерминистической версии стохастической модели
распространения благоприятного гена в диплоидной популяции. Он
подробно рассмотрел уравнение и получил ряд полезных результатов,
вывод и применение которых продемонстрирован ниже. Эвристический
и основанный на генетике вывод уравнения привели также А.Н.
Колмогоров, И. Г. Петровский и Н.С. Пискунов, классическая работа
(1937) которых послужила основанием для более строгого
аналитического подхода к уравнению Фишера. Позже, в 1975 году
Аронсон и Вайнбергер, Маккин и Файф, Маклеод и Ларсон рассмотрели
более широкий класс уравнений, в котором член ku (1 − u ) заменен
скалярной функцией F(u), принадлежащей к некоторому естественному
классу функций. Уравнение Фишера - одно из простейших нелинейных
уравнений реакций с диффузией, в котором возникает по крайней мере
один из интересующих нас типов волн, а именно уединенный фронт.
Уравнение (6.1) является простейшей диффузионной моделью для
логистической модели роста популяции. Основная цель исследования
уравнения (6.1) - определить, какое влияние оказывает диффузия на
кинематически распространяющиеся волны, наблюдаемые в отсутствие
диффузии. Волновые решения уравнения (6.1), также носит название
«кинематические».
Ниже приводится результаты, касающиеся исследования
существования и формы решений уравнения (6.1) типа бегущей волны,
для которых 0≤и≤1, и найти скорость распространения таких волн. Если
решение типа бегущей волны существует, оно может быть записано в
форме
u ( x, t ) = f ( z ) ,
z = x + ct ,
197
(6.2)
где с-скорость волны. Поскольку уравнение (6.1) инвариантно
относительно замены х на -х, скорость с может быть положительной или
отрицательной; для определенности будем считать с положительной, так
что (6.2) представляет волну, движущуюся в отрицательном
направлении оси х. После подстановки (6.2) в (6.1) функция f ( z )
удовлетворяет уравнению
Df ''− cf '+ kf (1 − f ) = 0,
(6.3)
где штрих означает дифференцирование по z.
Уравнение (6.2) также называется автомодельным (инвариантногрупповым). Так как (6.1) инвариантно относительно постоянного
смещения по х и t, к z в (6.2) может быть добавлена произвольная
постоянная т.е. u ( x, t ) = f ( z ), где z = x + сt + a, где а постоянная, также
является решением уравнения (6.3) . Мы хотим теперь найти собственное
значение или значения с, такие, что у уравнения (6.3) существует
неотрицательное решение, для которого
lim f ( z ) = 0, lim f ( z ) = 1,
z →−
z →
(6.4)
Важный дополнительный вопрос заключается в следующем; если
такое решение существует, то для любого ли начального профиля, для
которого 0  u ( x,0 )  1 при каждом x, соответствующее решение
уравнения
(6.1),
удовлетворяющее
граничным
условиям
u ( −, t ) = 0, u ( , t ) = 1, с ростом t переходит в решение (6.3) типа бегущей
волны, удовлетворяющее условиям (6.4)
Фишер (1937) нашел, что уравнение (6.3) имеет бесконечное число
решений типа бегущей волны, для которых 0  u  1, с волновыми
скоростями
c  cmin = 2 kD .
(6.5)
А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский и Н.С. Пискунов (1937)
доказали, что при
1, x1  x,

u ( x,0) = h( x), x2  x  x1 ,
0, x  x
 2
0, x  0,
u ( x,0) = 
1, x  0,
(6.6)
198
где x1 и x2 конечны, а функция h(x) монотонна и непрерывна, (6.1) имеет
единственное решение, и это решение развивается в решение (6.3) вида
монотонной бегущей волны, удовлетворяющее (6.4) и обладающее
скоростью c = cmin .
Вообще говоря, поведение u ( x,0 ) при x →  является решающим
для эволюции бегущих волн во времени. Этим вопросом специально
занимались Маккин, Ларсон и Файф и Маклеод.
Чтобы показать, что для c  cmin существуют волновые решения в
форме (6.2), используется для анализа уравнения (6.3) методом фазовой
плоскости (см., например, книги Минорского или Сансоне и Конти) и
будем искать условия, при которых существует непрерывное решение,
удовлетворяющее условиям 0  f  1 и граничным условиям (6.4). Тем
самым для с мы получаем задачу на собственные значения в бесконечной
области.
Перейдем фазовому анализу уравнения (6.3) записав его в форме
уравнение первого порядка
f ' = F , DF ' = cF − kf (1 − f ) ,
Траектории в фазовой плоскости ( f , F ) будут решениями уравнения
dF cF − kf (1 − f )
=
,
df
DF
(6.7)
которое имеет в плоскости две особых точки: (0,0) и (1,0). Волновое
решение уравнения (6.1) соответствует траектории из (0,0) в (1,0),
остающейся в полосе 0  f  1 с производной F  0.
Вблизи точки (0,0) уравнение (6.7) можно линеаризовать, что дает
dF cF − kf
,

df
DF
откуда (0,0) представляет собой неустойчивый узел, если и только если
c  cmin = 2 kD , т.е. (6.5). Если 0<с<cmin, особая точка (0,0) является
неустойчивым фокусом, в то время как при с=0 это центр; в этих случаях
решений f, удовлетворяющих требуемым условиям, не может быть, так
как вблизи (0, 0) на любой траектории найдутся точки, на которых f<0.
Другое необходимое условие заключается в том, что особая точка
(1,0) седловая. Вблизи (1, 0) f≈ 1, и линеаризованная форма (6.7) здесь
имеет вид
199
dF cF + k ( f − 1)

,
df
DF
что соответствует седловой точке для всех c  0, так как k и Dположительные постоянные. Мы видим, что для каждого c  cmin = 2 kD
есть единственная траектория, начинающаяся в точке f = 0 и
движущаяся к f = 1 в полосе 0  f  1, у которой F  0, за исключением
точек и f = 0 и f = 1 где F = 0. При c = cmin узел в точке (0,0) вырожденный
с
двумя
c + ( c 2 − 4kD )1/ 2  / 2 D


наклонами
сливающимися
в
cmin / 2D = k / D.
А.Н.Колмогоров, И.Г.Петровский и Н. С. Пискунов доказали, что
cmin -естественная скорость распространения волнового решения
уравнения Фишера (6.1), если начальные данные имеют вид (6.6). Под
«естественностью» мы понимаем, что решение при таких начальных
данных будет эволюционировать в бегущую волну, и имеющую скорость
c = cmin = 2 kD . Как упоминалось выше, поведение решения на большом
промежутке времени решающим образом зависит от поведения
начальных данных на бесконечности.
6.2 Исследование асимптотической устойчивости волновых
решений
Рассмотрим задачу (6.3), (6.4) и покажем асимптотическую
устойчивость решения этой задачи и найдем асимптотику решения при
lim f ( z ) = 0, lim f ( z ) = 1,
z →−
z →
Простое эвристическое рассуждение, иллюстрирующее, что
начальные данные, выражаемые фактически первым из начальных
условий (6.6), будет эволюционировать в волновое решение с с=cmin,
принадлежит Фишеру. Идея, обладающая намного более широкой
применимостью, состоит в том, что решение u ( x, t ) прежде всего
предполагается развивающимся в волновое решение постоянной формы.
В любой момент времени t общая площадь под кривой слева от точки
x = − R  0 равна
−R
U=
 u ( x, t ) dx,
R  0.
(6.8)
−
В схеме реакции с диффузией U дает общее количество реагента u
слева от x = − R. Для конечного t и достаточно большого R значения U
200
слева от -R будут малыми; для первого варианта начальных данных (6.6)
и первоначально здесь даже равны нулю. Идея Фишера состояла в том,
чтобы зафиксировать некоторое произвольно малое значение U и
определить R как функцию времени так, чтобы U оставалось равным
этому предписанному значению. Таким образом, при фиксированном U
функция R ( t ) определяется из (6.8) и, следовательно, может быть
найдена скорость распространения dR ( t ) / dt . Для малого U и большого
2
R мы находимся в области, где 0  u  1, поэтому u можно пренебречь
по сравнению с u , и уравнение (6.1) аппроксимируется линейным
уравнением
ut = ku + Duxx .
(6.9)
Решая это уравнение для первого варианта начальных условий (6.6)
и оценивая R (t ) или лучше dR / dt из (6.8), можно определить скорость
волны.
6.3 Многомерный случай
Математические выкладки намного упрощаются, если мы будем
следовать тому, что фактически делал Фишер. Он рассмотрел
двумерную симметричную задачу с r  0 в качестве радиальной
координаты и функцией u = u ( r , t ) , удовлетворяющей вместо (6.9)
уравнению
1 

ut = ku + D  urr + ur  , u ( r ,0 ) =  ( r ) ,
r 

(6.10)
где  ( r ) -обычная дельта-функция Дирака. Теперь вместо (6.8) мы
требуем, чтобы площадь под u вне круга r = R была постоянной, т.е.
2

 u ( r , t ) rdr = U = const.
(6.11)
r = R( t )
Чтобы решить (6.10), (6.11) запишем в виде
1 

u ( r , t ) = e kt , t = D   rr +  r  ,  ( r ,0 ) =  ( r ) ;
r 

эта задача имеет фундаментальное решение (см., например, книгу
Куранта и Гильберта)
u ( r,t ) =
1 kt −r 2 / 4 Dt
e
4 Dt
201
Таким образом, R ( t ) может быть получено из (6.11) после
подстановки и из последнего уравнения, т. е. как решение уравнения

2
1
e kt −r / 4 Dt rdr = U .

2 Dt R ( t )
что после интегрирования дает
R (t ) =
4kDt 2 − 4 D ( ln U ) t ~2 kDt  R(t ) = dR / dt ~2 kD .
Следовательно, скорость распространения волны устанавливается
равной 2 kD т.е. cmin из (6.5).
Вместо того чтобы принять (6.11) как определение R(t), мы можем
определить положение R (t ) волны как положение, где и принимает
некоторое фиксированное значение u , не обязательно малое;
естественный выбор u = 1/ 2 . Тогда R (t ) находится из уравнения
u (t ) = 1/(4 Dt )ekt − R
2
/ 4 Dt
а именно
R 2 (t ) = 4kDt 2 − 4 Dt ln 4 uDt
Скорость распространения dR dt для больших времен находится
дифференцированием:
dR
1
= 2 kD + O   (для больших t),
dt
t 
(6.12)
что указывает порядок асимптотической поправки к волновой скорости.
Аналогичный анализ, примененный к (6.8) и (6.9), с начальными
данными, соответствующими первому варианту условий (6.6), требует
применения к интегралам стандартных асимптотических методов (см.,
например, Марри). Вновь для больших |х| и t получаем
dR (t )
1
= 2 kD + O   .
dt
t 
Вопрос о существовании волновых решений со скоростями c>cmin
многократно обсуждался с тех пор, как возможность этого была указана
Фишером и А.Н.Колмогоровым и др. В последние годы значительно
возрос интерес к асимптотическому изучению решений типа бегущей
волны и их устойчивости; В статье Моллисона среди прочего
рассматривается детерминистическая модель Фишера в связи с
моделями пространственного контакта; эта модель рассматривалась
только как аппроксимация более реалистичной стохастической. Хотя
статья Моллисона посвящена прежде всего стохастическим явлениям, он
202
высказывает
интересные
суждения
о
детерминистических
диффузионных моделях и о их отношении к стохастическим. Он
показывает достаточно простым способом, как волновая скорость
установившегося решения типа бегущей волны зависит от начальных
условий; мы приведем здесь основное содержание его анализа.
Как мы видели, предположение Фишера о том, что скорость волны
зависит от ведущей кромки волны, где и мало, было использовано для
2
определения этой скорости. Вновь будем считать u пренебрежимо
малым и начнем с линейного уравнения (6.9). Рассмотрим выражения
u ( x,0 ) = e ax , u ( x, t ) = e
a( x + ct )
(6.13)
,
второе из которых представляет решение в форме волны, движущейся
влево со скоростью с. Отметим фронт или ведущую кромку волны как
зону, в которой и мало, т.е. х+ct<0 и |х+ct| велико. Подставив выражение
для формы бегущей волны (6.13) в уравнение (6.9) и вычеркнув
экспоненты, получим дисперсионное соотношение са=k+Da2 для
зависимости с(а), причем минимальная скорость по-прежнему равна
cmin = 2 kD ; это та скорость, при которой a = a0 k / D . Для значений а из
диапазона 0  a  a0 волновая скорость c  cmin .

ax a x
Рассмотрим теперь min e , e 0

при x  0 и заметим, что для
линейного уравнения (6.9) решения монотонно зависят от начальных
ax
ax
условий. Если a  a0 , то для х<0 e  e 0 , так что скорость
распространения с начальным условием (6.13) и с таким а будет зависеть
от фронта или передней кромки волны. С другой стороны, начальные
ax
ax
условия с а>а0 требуют, чтобы e было ограничено сверху функций e 0
при х<0, и поэтому скорость распространения будет зависеть от хвоста
волны. Иными словами, если для уравнения Фишера (6.1) u ( x,0 )  eax
при x → − для некоторого a  a = k / D , то u ( x, t ) ограничено
a ( x+c t )
псевдоволной со скоростью cmin , а именно e 0 min для всех t≥0. Эти
доводы распространяются и на случай больше чем одного
пространственного измерения.
Приведенные здесь результаты могут быть обобщены в класс
уравнений реакций с диффузией вида
ut = F(u) + Duxx,
(6.14)
где и-скаляр, a F(u) непрерывна для 0  u  1 и
203
1
 F (u)du  0, F (0) = F (1) = 0, F (1)  0 .
(6.15)
0
Эти уравнения подробно обсуждали Аронсон и Вайнбергер,
Хаделер и Роте, которые применяли традиционные методы фазовой
плоскости, Файф и Маклеод и Ларсон; там же можно найти ссылки на
волны эпидемий и ранние обобщения уравнения Фишера особенно на
некоторые задачи горения и на модели распространения нервного
импульса, в которых также возникают решения типа бегущей волны. В
последней модели F(u)=u(1-u)(α-u), где 0    1 . Для (6.14), (6.15) с
помощью простого развития продемонстрированного выше анализа с
использованием метода фазовой плоскости можно показать, что
имеющие смысл волновые решения существуют, только если
c  cmin = 2 DF (0) .
Как упоминалось выше, поскольку уравнение Фишера (6.1)
инвариантно относительно изменения знака х, имеется решение типа
волны, бегущей направо: u ( x, t ) = f ( x − ct ) , c  0, где теперь f(-∞) = 1 и
f(∞)=0. Поэтому естественно, что если мы начнем с конечного
положительного возмущения, в котором u(х,0)=0 вне конечной области,
то волны будут двигаться в обоих направлениях. Заметим, что если для
тех х, где u(х, 0)> 0, выполняется u(x,0)<1, то член ku(1-u) приводит к
росту решения, так что lim u ( x, t ) = 1 для всех х. Можно просто считать
t →
ku(1-u) положительным источником в уравнении диффузии, когда и>0,
как бы мало оно ни было.
Установлено, что уравнение Фишера (6.1) имеет решения u(х, t)
типа бегущей волны со значениями в интервале от 0 до 1 и с волновыми
скоростями с ≥cmin =2√kD. Когда начальные данные 0≤u(х,0)≤1 равны
1 и 0 вне некоторой конечной области, т.е. соответствуют второму
варианту условий (6.6), то решение u(x,t) развивается в решение типа
бегущей волны с минимальной скоростью cmin; оно устойчиво, как и все
другие с с>cmin, только относительно возмущений, отличных от нуля в
конечной области. Эти результаты показывают, что следует тщательно
обдумывать и чисто численную проверку устойчивости. Для
рассматриваемых практических задач она может, однако, оказаться
достаточной.
6.3.1 О некоторых свойствах решений задачи реакции с
диффузией типа Колмогорова-Фишера в гетерогенной среде
Рассмотрим скалярное уравнение реакции с диффузией типа
Колмогорова- Фишера [142-147,372]
204
Lu  −
u   m u 
+  Dx
 + ku (1 − u ) = 0 ,
t x 
x 
(6.16)
описывающий
процесс
диффузии-реакции
в
гетерогенной
(неоднородной) среде с коэффициентом гетерогенности Dx m , где числа
0  m  R , D, k  0 являются соответственно коэффициентами диффузии и
уравнения реакции. Уравнение (6.16) является простейшей
диффузионной моделью для логистической модели роста популяции (
m = 0 ) [372]. Оно может рассматироваться как уравнение нелинейной
фильтрации в гетерогенной (неоднородной) среде при наличие
одновременного воздействие источника и поглощения, мошности
которых соответственно равны ku, −ku 2 .
Целью исследования свойств уравнения (6.16) - определить, какое
влияние оказывает диффузия на кинематически распространяющиеся
волны, наблюдаемые в отсутствие диффузии. Волновые решения
уравнения (6.16), в сущности, еще кинематические.
Это уравнение в случае m=0 было предложено (так же как уравнение
с кубической нелинейностью ku (1 − u 2 ) вместо квадратичной ku (1 − u ) в
уравнение (6.16)) Фишером [372] в качестве детерминистической версии
стохастической модели распространения благоприятного гена в
диплоидной популяции. Он подробно рассмотрел уравнение и получил
ряд полезных результатов. Эвристический и основанный на генетике
вывод уравнения привели также А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский и
Н.С. Пискунов, классическая работа [372] которых послужила
основанием для более строгого аналитического подхода к уравнению
Фишера.
Свойства решения задачи Коши и волновые решения уравнения
(6.16) в случае однородной среды, когда в (6.74) m = 0 , подробно изучены
также многими другими авторами (cм. например [77], где можно найти
ссылки на другие работы).
Были исследованы существование и форма решений уравнения
(6.16) типа бегущей волны, для которых 0≤и≤1, и найдена скорость
распространения таких волн. Если решение типа бегущей волны
существует, оно может быть записано в форме
u ( x, t ) = f ( z ) ,
z = x + ct ,
(6.17)
где с-скорость волны. После подстановки последнего выражения в (6.16)
функция f ( z ) удовлетворяет уравнению
Df ''− cf '+ kf (1 − f ) = 0,
205
(6.18)
где штрих означает дифференцирование по z. Так как (6.16) инвариантно
относительно постоянного смещения по х и t, к z в (6.17) может быть
добавлена произвольная постоянная. Автомодельный подход к
исследованию свойств решение задачи Коши для уравнения (6.16)
приводится в [39, 142-147,372].
Что касается свойств решений начальной задачи для уравнения
(6.16) является недостаточно изученным и поэтому интересно
проследить за эволюцией процесса реакции с диффузией в гетерогенной
среде. Каково влияние гетерогенности, в частности к волновым
решением ? Нас также будет интересовать процесс реакции с диффузией
в многомерном случае уравнения (6.16)
L1u  −
(
)
u
m
+  D x u + ku (1 − u ) = 0 ,
t
(6.19)
где  − grad x (.) -символ градиента, D , k , и m  R заданные числовые
параметры, в случае задания начального условия
u / t =0 = u0 ( x )  0 , x  R N , N  1,
где
(6.20)
- N мерное Евклидовое пространство.
Рассмотрим сначала одномерную задачу (6.16), (6.21). В этом случае
уравнение (6.16) заменой
RN
u (t, x ) = w (t, ( x )) ,
где  ( x ) =
2− m
2
2x
сводится к “радиально-симметрическому” виду
2−m
Lw  −
где
s=
(6.21)
2
2−m
w
 
s −1 w 
+  1− s
 D
 + kw (1 − w ) = 0
t
 
 
(6.22)
, по отношению к которому для определения скорости
распространения волны можно применить идеи метода приведенного в
[]. Однако для исследования свойств решений (6.16), (6.20) мы применим
метод нелинейного расщепления и приближенно-автомодельный подход
[3, 4]. Отметим, что в случае m = 0 в [3] получена оценка скорости
сходимости решение автомодельного уравнения к решению задачи
(6.16), (6.17).
6.3.2 Инвариантное свойство решений уравнения типа
Колмогорова- Фишера
Покажем весьма интересное свойство решение уравнения (6.16). С
этой целью решим уравнение (6.16) без диффузионного члена
206
( )
du
= ku 1 − u ,
dt
которое имеет решение
e kt
u (t ) =
 1 при t  0
1 + e kt
Легко показать, что функция
u(t, x) = u(t )w(t, x)
(6.23)
обладает свойством инвариантности, где u ( t ) , определенная выше
функция, а w ( t , x ) новая неизвестная функция. В самом деле, так как
lim u(t ) = 1 , то w(t , x ) снова удовлетворяет уравнению вида (6.22), т.е.
t →+
Lw  −
w
 
s −1 w 
+  1− s
 D
 + kuw (1 − w ) = 0
t
u 
 
(6.24)
Поэтому функция (6.23) является инвариантом для (6.16), если u ( t )
выбрать как решение уравнения (6.16) без диффузионной части и тогда
уравнение (6.24) совпадает с уравнением (6.16).
Этот процесс может быть продолжен. Если теперь положить
w ( t , x ) = u1 z ( t , x ) ,
(6.25)
где u1 ( t ) является решением уравнения
du1
= kuu1 (1 − u1 )
dt
Как легко видеть после интегрирования последнего уравнения и так
как tlim
u1 ( t ) = 1 , то можно утверждать, что (6.25) является уравнением
→+
(6.24), а следовательно и уравнения (6.16).
6.3.3 Оценка решения задачи (6.16), (6.20).
Теперь займемся получением оценки решения задачи (6.16), (6.20)
сверху. Для этого построим верхнее решение. С этой целью построим
приближенно автомодельное уравнение для (6.22).
Положим в (6.22)
w(t , x) = ekt z (t , x).
Тогда для z(t, x) имеем
e kt L1 z = −
z
  s −1 z 
2 kt 2
+  1− s
 D
 − ke z = 0
t
u 
 
207
(6.26)
Теперь приближенно автомодельное решение уравнения (6.16)
w+ (t ,  ) ищем в виде w+ (t, ) = (T + t ) f ( ),  =  ( x) /(T + t )1/ 2 ,
2− m
2x 2
 ( x) =
,  = − s / 2 где T  0 - постоянная, s = −2 N /(2 − m)
2−m
Тогда из (6.26) легко вычислить, что L1 f , так как функция
удовлетворяет
уравнению
 1− s
Q = ( t , x ) : t  0, x  R имеем
L1 f =  1− s
d
d
 s −1 df
 D
d

  df
s
+ f =0
+
 2 d 2
f ( ) = e
x  R+
− 2
4D
в
d  s −1 df   df s
+ f − (T + t )1− s / 2 ke 2 kt f  0
 D
+
d 
d  2 d 2
Тогда согласно теореме сравнения решений [3] для решения задачи
(6.16), (6.79) справедлива верхняя оценка
u ( t , x )  e kt  (T + t ) − s / 2 e
Если
u0 ( x)  (T )
−s / 2
e
−
−
( x ) 2− m
4 D ( t +T )
в Q = ( t , x ) : t  0, x  R .
,
(6.27)
( x ) 2− m
4 DT
.
−
( x )2−m
4 D( t +T )
Поэтому функция ekt (T + t )− s / 2  e
является верхним решением,
для уравнения (6.16).
Теперь перейдем к оценке нижнего решения. Для этого применим
метод нелинейного расщепления [4], согласно которому решение
уравнения (6.24) ищется в виде (6.23). Тогда подставляя его в (6.24)
получим
L1w 
w 1− s   s −1 w 
+
  D  + kuw (1 − w ) = 0 ;
t
 
t 
s
2
−
(6.28)
2
теперь в (6.28) положим w− (t , x) = (T + t ) e
Тогда легко подсчитать, что L1w− = kuw− (1 − w− )  0 в Q = ( t , x ) : t  0, x  R ,
если T  1 и поэтому согласно теоремы сравнения решений [3] получим
−
u (t , x )  u (t )(T + t )
−s / 2
−
e
( x )2−m
4 D (T +t )
t  0,
4 D (T + t )
xR,
если u0 ( x)  (T ) − s / 2 e − ( ( x )) / 4 DT , , Т  1 .
Объединяя теперь полученные выше оценки сверху и снизу, можем
написать оценку для решения задачи (6.16), (6.20):
2
x 2− m
x 2−m
−
kt −
ekt
−s / 2
−s / 2
4 D (T + t )
4 D (T + t )
T
+
t
e

u
t
,
x

T
+
t
e
(
)
(
)
(
)
kt
1+ e
208
Теперь, поступая также как и в работе [1, 3], для скорости
распространения волны dx из последнего выражения из условия
dt
e
kt − x2−m / 4 D (T +t )
= (1/ 2) (T + t )
s/2
имеем
1
x(t ) = ( 4Dkt ( t + T ) ) 2−m -ln1/2 –(s/2) ln(T+t)
Для скорости движение волны
dx
dt
(6.29)
дифференцирование последнего
выражения при достаточно большом t даёт
2
1
dx
2
1
1/ 2 2 − m −1
2
−
m
=
( 4Dk ) ( t (1 + T / t ) ) (1 + T / t )1/ 2 − (T / 2) (1 + T / t ) −1 ) − ( s / 2)(T + t ) −1
dt 2 − m
t
Что показывает, что если m  0 , то
dx

dt
при t  и потому скорость
движение волны конечна при t>0.
Отметим, что в частном случае когда m = 0 , из последнего выражения
для скорости распространения волны с имеем
dx
= c  2 kD
dt
.
Полученный результат обобщает ранее известный результат
авторов, приведенный в [1]
Таким образом, нами установлено, что волновая скорость в
зависимости от значение параметра m может быть ограниченным или
неограниченным.
6.3.4 Многомерный случай
Рассмотрим многомерное скалярное уравнение диффузии с
реакцией
(
)
u
m
= D x u + ku (1 − u ) ,
t
(6.30)
описывающей процесс диффузии и реакции в неоднородной
(гетерогенной ) среде, где числовой параметр m характеризует
неоднородность среды, D- коэффициент диффузии, а к коэффициент
реакции.
Нас по-прежнему интересует скорость распространения волновых
решений.
С этой целью перейдем в в уравнение (6.28) к его «радиальносимметрическое» форме, положив в (6.30)
u(t , x ) = w(t ,  (x ))
209
где
 ( x) =
m
2
x2,
2−m
 ( x ) : ( −, + ) → ( 0,  ) ,
Тогда нетрудно видеть, что (6.30) можно представить так
w
D   s −1 w 

 + kw(1 − w)
= s −1
t   
 
где числовой параметр
s=
2N
, m  2,
2−m
(6.31)
N- размерность пространства.
Таким образом, мы получили уравнение по форме совпадающее с
радиально симметрическим уравнением (6.30), причем роль радиуса
играет определенная выше функция  (x ), а роль размерности
пространства N играет число s .
В частности, если в (6.31) s = 1 , т.е. m = −2(N − 1) и N  2 , то уравнение
(6.31) принимает «плоский» вид
w
2w
=D
+ kw(1 − w) ,
t
 2
(6.32)
по форме совпадающий с одномерным уравнением реакции с
диффузией, однако, здесь роль переменной х играет функция  (x ) =
Теперь в случае
s =1
w(t ,  ) = f ( ) ,  = −ct + 
x
N
N
уравнение (20) имеет волновое решение
,
(6.33)
где с –скорость распространение волны, а f ( ) удовлетворяет уравнению
Df  + cf  + kf (1 − f ) = 0
(6.34)
Нас интересует асимптотика решений уравнения (6.79) при  →  .
Применение к (6.79) теоремы из (6) даёт следующий результат.
В [4, 5] доказано, что асимптотика решений уравнения (6.34) при
 →  стремится либо к 1, либо к стремящиеся к нулю решение линейного
уравнения.
D f  + c f  + k f = 0
(6.35)
Легко видеть, что последнее уравнение при c  2 kD имеет два
стремящиеся к нулю решения
f1 ( z ) = e1 → 0 , f 2 ( z ) ~ e2 → 0 при  → +
210
где
−c  c 2 − 4kD
1,2 = −
2D
являются
корнями
квадратного
уравнения
Корни этого уравнения 1, 2 отрицательны, если c  2 kD .
Причем уравнение (6.35) имеет решения при  → + с асимптотикой
D 2 + c + k = 0 .
f ( z ) ~ e1 → 0
Таким образом, из выражения 1, 2 видно, что минимальным
значением с при котором уравнение (6.35) имеет вещественные
отрицательные корни является cmin = 2 kD .
Этот результат при m=0 приводится в [1] другими рассуждениями,
на основе анализа фазовых траекторий.
6.4. К решению обобщенного уравнения типа КолмогороваФишера в задаче реакции с диффузией с распределенными
параметрами
Рассмотрим обобщенную задачу реакции с диффузией типа
Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера задачу с конвективным
переносом, скорость которого зависит от времени. В этом случае
уравнение, опиcывающее такой процесс диффузии-реакции можно
записать в виде.
L u  − p( x)
u
m
+ ( D x u ) + kp ( x )u (1 − u  ) = 0
t
u t =0 = u0 ( x )  0 , x  R N , N  1,
(6.36)
(6.37)
где D, к  0,   1 являются соответственно коэффициентами диффузии и
реакции, а p( x) = x 2−n . Уравнение (6.36) является обобщением
простейшей диффузионной модели для логистической модели роста
популяции [1]. Оно может рассматриваться как уравнение нелинейной
фильтрации, теплопроводности в
при наличие одновременного
воздействие источника и поглощения, мощности которых

соответственно равны kp( x)u, kp( x)u .
Это уравнение в случае m=0, k(t)= k >0 постоянное было
предложено (так же как уравнение с кубической нелинейностью вместо
квадратичной в правой части) Фишером [1] в качестве
детерминистической версии стохастической модели распространения
благоприятного гена в диплоидной популяции. Он подробно рассмотрел
уравнение и получил ряд полезных результатов. Эвристический и
основанный на генетике вывод уравнения привели также А. Н.
Колмогоров, И. Г. Петровский и Н.С. Пискунов, классическая работа [2]
211
которых послужила основанием для более строгого аналитического
подхода к уравнению Фишера.
Свойства решения задачи Коши и волновые решения уравнения
(6.36) в случае однородной среды когда в (6.36) m = 0 и k(t)=k -постоянная
подробно изучены также многими другими авторами (cм. например [1],
где можно найти ссылки на другие работы).
Что касается свойств решений начальной задачи для уравнения
(6.36) является малоизученным и поэтому интересно проследить за
эволюцией процесса реакции с диффузией в гетерогенной среде и
исследовать влияние гетерогенности, и случай зависимости
коэффициента реакции от времени, т.е. k= k(t). Нас также будет
интересовать эволюция процесса реакции с диффузией для
многомерного уравнения (6.36), а также для более общего случая
уравнения (6.36).
Настоящая работа посвящена изучению свойств решения задачи
(6.36), (6.37). Выяснены условия на параметр m и коэффициент
диффузии k (t ) , при котором имеет место конечность скорости движения
волны. Получена формула для глубины и скорости распространения
волны, из которых вытекают известные результаты других авторов
полученных ранее для частного случая задачи (6.36), (6.37). Доказана
также двухсторонняя оценка решения задачи (6.36). Показано свойство
инвариантности решения уравнения (6.36).
6.4.1 Свойства инвариантности решения
Покажем, что функция
u(t, x) = u(t )w(t, x)
(6.38)
где u(t ) решение уравнения без диффузной части уравнения (6.36)
t
( )

du
= k (t )u 1 − u , т.е. u ( t ) = e
dt
0
k (t )d (t )
t
 k (t )d (t )
/(1 + e 0
)
(6.39)
снова удовлетворяет уравнению вида (6.36).
В самом деле, после постановки (6.38) в (6.36) с учетом (6.38), (6.39)
легко подсчитать, что для w(t , x) имеем уравнение
Lw  −
w   m w 
+  Dx   + u1 ( t ) w (1 − w ) = 0
t x 
x 
где u1 (t ) = k (t )u(t ) .
212
(6.40)
lim u (t ) = 1 ,
Однако, очевидно, что в силу (6.39)
t →
t
если  k (t )dt
0
существует. Поэтому можно считать, что для достаточно больших t ,
u (t ) ~ k (t ) . т.е. снова получим уравнение (6.36). В силу этого назовем
функцию u (t )w(t , x ) где u(t ) - решение уравнения (6.39), а w(t, x) решение
уравнения (6.40) инвариантом уравнения (6.36).
1
6.4.2 Оценка решения задачи (6.36), (6.37)
Для решения задачи (6.36), (6.37) справедлива
Теорема 1. Пусть 0  u0 ( x )  1, x  R .
Тогда для решения задачи (6.36), (6.37) в
место двухсторонняя оценка
u ( t )(T + t )
−s / 2
−
e
( x )2−m
4 D (T + t )
t
 k (t )d (t )
 u (t, x )  e 0
(T + t )
−s / 2
−
e
где u(t ) определенная выше функция, а число
Q = (t , x ); t  0, x  R
( x )2−m
4 D (T + t )
s=
2
2−m
имеет
(6.41)
:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы получим сначала
оценку сверху. С этой целью в (6.36) произведем замену
t
 k ( t )d ( t )
u (t , x ) = e 0
w1 (t , x ) .
Тогда для
w1 (t , x )
имеем уравнение
L1 w1  −
w1   m w1 
2
+  Dx
 − k (t )w1 = 0
t t 
x 
(6.42)
Легко видеть, что уравнение (6.42) преобразованием u(t, x) = w(t,  (x))
, где  (x ) = 2 x
2− m
2
проводится к «радиально симметрическому» виду
L1w1 = −
w1
  1− s w1 
2
+  1− s
 D
 − k ( t ) w1 = 0
t
 
 
(6.43)
− x 2−m
4 D (T + t )
Поэтому очевидно, что функция w+ ( t , x ) = (T + t ) e
является
верхним решением уравнения (6.42), так как для w+ ( t , x ) имеем
−s / 2
−
x 2−m
4 D (T + t )
в Q при любом постоянном Т>0.
Следовательно, по теореме сравнения решений [3] имеем оценку
сверху
L1w+ = −k ( t )(T + t )
−s / 2
e
0
213
t
 k (t )d (t )
u (t, x )  e 0
w+ ( t , x )
(6.44)
если w+ ( 0, x )  u0 ( x), x  R N
Для того чтобы получить оценку снизу будущее нижнее решение
примененим метода нелинейного расщепления [4]. Согласно этому
методу нижнее решение ищется в виде
в
Q
u ( t , x ) = u ( t ) w− ( t , x ) ,
(6.441)
где u ( t ) вышеопределенная формулой (6.39) функция.
Tогда для Lw− из (6.36) имеем
L1w−  −
w−   m w− 
+  Dx
 + u ( t ) k ( t ) w− (1 − w− ) = 0
t x 
x 
x 2−m
4 D (T + t )
для функции w0 = (T + t ) e
, L1w 0 = u (t ) k (t ) w0 (1 − w0 )  0 в Q , если
постоянная T  1 .
Тогда применяя теорему сравнения решений [3] в силу (6.441) имеем
−
−s / 2
u ( t , x )  u ( t )(T + t )
−s / 2
−
e
x 2−m
4 D (T + t )
что, с учетом (6.43) доказывает справедливость
теоремы 1.
6.4.3 Многомерный и более общий случай
Рассмотрим теперь более общую задачу типа Колмогорова-Фишера
со степенной нелинейностью.
L2 u  −
u
+ Du + k (t )u 1 − u 
t
(
) в t  0, x  R N
u / t =0 = u 0 ( x )
Предлагается что,
задачи справедлива.
 1,
(6.45)
x R N
0  u0 (x )  1 ,
(6.46)
0  k (t ) C (0, ) .
Для решения этой
N
Теорема 2. Пусть 0  u0 (x )  1 x R . Тогда для решения задачи (6.45),
(6.46) u(t , x) в Q имеет место оценка
u ( t )(T0 + t )
−N /2
−
e
x
t
2
4 d (T + t )
 k (t )dt
 u (t , x )  e 0
(T + t )
−N /2
−
e
x
2
4 d (T + t )
(6.47)
,
где u ( t ) -решение уравнения (6.45) без диффузионной части:
(
du
= k (t ) u 1 − u
dt

) ,т.е. u (t ) = ( e
214
t
 k (t )dt
0
t
/(1 +  e
 k (t )dt
0
1
)

(6.48)
а постоянная T0  1 .
Заметим, что последняя оценка (6.47) решения задачи (6.45), (6.46)
отличается от предыдущей оценки в теореме 1 тем, что здесь вместо s в
оценке (6.47) стоит размерность пространство N и другое u ( t ) ,
приведенное выше.
6.4.4 Оценка скорости движения волнового решения
Пусть в (6.36), m = 0 , k (t ) = k -постоянная. В этом случае для скорости
распространения волны с волнового решения уравнения (6.36)
Df  − cf  + f (1 − f  ) = 0
(6.481)
u(t , x ) = f ( ) ,  = ct + x ,
(6.49)
авторы работ [1, 2] получили оценку c  2 kD ;
Ясно, что в случае уравнения (6.45) скорость волны с должна
зависит от t , т.е. c = c(t ).
В этом случае уравнения (6.45) заменой
t
 k (t )dt
u (t , x ) = e 0
w(t , x )
(6.50)
сводится к виду
t
L3 w  −
w
+ Dw − e
t
 k (t )dt

0
w = 0
(6.51)
Поскольку как легко видеть, функция
u(t, x) = u(t )w(t, x)
(6.52)
где u(t ) является решением уравнения (6.39) и для w(t , x) имеем
L4 w  −
w
+ Dw + u ( t ) k ( t ) w (1 − w ) = 0
t
(6.52)
Теперь на основе вышеприведенных рассуждений доказывается
Теорема 3. Пусть в (6.45)   1, 0  k (t ) C(0, ) и 0  u0 (x )  1 . Тогда для
решения задачи (6.45), (6.46) справедлива оценка.
u ( t )(T0 + t )
−N /2
−
e
x
2
4 D (T + t )
t
 k (t )dt
 u (t, x )  e 0
(T
215
+t)
−N /2
−
e
x
2
4 D (T + t )
в Q = (t , x ) : t  0, x  R N , где u(t ) задается формулой (6.48), а для скорости
c ( t ) = d x / dt
распространении
волны
имеет
место
оценка
c (t ) =
d x
dt
 2 Dk ( t ) при достаточно больших t .
В случае когда функции k (t ) = k = const и  = 1 из этого результата
вытекает результат, приведенный в [3]. Эти же методы
распространяются и на случай уравнения
w
m
L5 w  −
+ ( D x w) + k ( t ) w (1 − w ) = 0
t
6.5. Cвойства решений задачи реакции-диффузии типа
Колмогорова- Фишера с конвективным переносом
Ниже изучаются свойства решений задачи реакции с диффузией
типа Колмогорова- Фишера в нелинейной движущейся со скоростью
v = v (t ) среде. Выявлено наличие инварианта решения уравнения (6.53).
Получены оценки скорости волны и решения задачи Коши.
Рассмотрим в Q = {(t , x) :t  0, x  R} задачу
u

u
u
=
( Du
) − v(t )
+ ku (1 − u  )
t x
x
x
(6.53)
u t =0 = u 0 ( x), x  R
(6.54)
которая моделирует процессы реакции с диффузией в нелинейной
движущейся со скоростью v = v(t ) среде. Считаются, что среда двигается
в направление x  0 .
Уравнение (6.53) является простейшей диффузионной моделью для
логистической модели роста популяции (  = 0 , v(t ) = 0),  = 1 ) [1]. Оно
может рассматриваться как уравнение нелинейной фильтрации
(теплопроводности) в нелинейной движущейся среде при наличий
одновременного воздействия источника и поглощения, мощности

которых соответственно равны ku, ku . Это уравнение в случае когда
 = 0 , v(t ) = 0),  = 1 было предложено (так же как уравнение с кубической
нелинейностью ku (1 − u ) вместо квадратичной ku (1 − u ) в уравнение
(6.53) Фишером [1] в качестве детерминистической версии
стохастической модели распространения благоприятного гена в
диплоидной популяции. Он подробно рассмотрел уравнение и получил
ряд полезных результатов. Эвристический и основанный на генетике
вывод уравнения привели также А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский и
Н.С.Пискунов, классическая работа [2] которых послужила основанием
для более строгого аналитического подхода к уравнению Фишера.
2
216
Частные случаи задачи (6.53), (6.54) были предметом
многочисленных исследований (см. [1-3]). Колмогоров, Петровский,
Пискунов и Фишер изучали задачу (6.53), (6.54) для случая 0  u ( x)  1
v(t ) = 0,  = 1,  = 0 . Ими предложен метод исследования волновых
решений уравнения (6.53), получены оценки для скорости движения
волны [2] и показано, что для скорости распространение волны с имеет
место оценка c  2 kD . В [3] показана сходимость автомодельного
решения уравнения (6.53) к неавтомодельному решению задачи (6.53),
(6.54).
В настоящей работе изучаются свойства решений задачи Коши для
уравнения (6.53)-(6.54) являющиеся обобщением уравнения (6.53) для
квазилинейного случая (6.53) когда функция v(t ) : 0  v(t )  C (0, ),   1 .
Выявлено наличие инварианта решение уравнения (6.53). Получены
оценки решения задачи (6.53)-(6.54).
0
6.5.1 Об инварианте решения
Рассмотрим сначала уравнение
u    u 
=  Du
 + ku (1 − u )
t x 
x 
(6.55)
с начальным условием (6.54) и выясним свойства решений этой задачи.
Для этого заменой
u (t , x) = u (t ) w( (t , x)) ,
(6.56)
где u является решением уравнения
du
= ku (1 − u )
dt
,
e kt
u (t ) =
1 + e kt ,
т.е.
уравнение (6.55)преобразуется к виду
w    w 
 +1
= w
 − ku w(1 − w)
 x 
x 
,
(6.57)
в котором вид уравнения (6.53) не меняется, а вместо t в (6.53) берется
новая переменная
 (t ) =  ( ekt /(1 + ekt ) ) dt =

1
(1 + ekt )1− ,   1
k (1 −  )
kt
если  = 1, то  (t ) = (1/ k )ln(1 + e ) , уравнение (6.57) при t → + принимает
асимптотически вид
217
w    w 
= w
 + kw(1 − w)
 x 
x 
(6.58)

так как 0  u  1 при t  0 и при t → + u (t ) = 1.
Это дает основание говорить о том, что преобразование (6.54)
является инвариантом (асимптотическим) уравнения (6.53).
6.5.2 Случай движущееся среды
В случае, когда процесс описывается уравнением
u
 2u
u
= D 2 − v(t ) + ku(1 − u  )
t
x
x
,
Заменой переменных
t
u (t , x) = w(t ,  ),  = x −  v(t )dt
0
(6.59)
это уравнение сводится к виду
w
2w
= D 2 − kw(1 − w  )
t

,
(6.60)
т.е. к изученному ранее выше упомянутыми авторами виду.
При этом начальные условие в силу преобразования (6.59) не меняется
Для волнового решения уравнения (6.60)
w = f ( z ), z = ct  
,
(6.61)
получим автомодельное уравнение
Df ' 'cf '+kf (1 − f  ) = 0 .
(6.62)
Предложение: Пусть в (6.62),   0 . Тогда уравнения (6.62) при
 → + имеет одну из асимптотик: либо f ( ) ~ 1 , либо f ( ) → 0 при  → +
, как стремящиеся к нулю решение линейного уравнения Df ''+ cf '+ kf = 0
Доказательство этого факта вытекает из результата работы [5]. В этом
случае легко видеть, что для скорости распространении волны с имеем
оценку c  2 kD , что соответствует результату, приведенному в [2]
6.5.3 Свойства решения для квазилинейного случая
Рассмотрим теперь более общее уравнение реакции – диффузии
следующего вида
218
u
 
 u 

=
 Du
 + ku (1 − u )
t
x 
x 
,
(6.63)
которое описывает процесс биологической популяции в нелинейной

среде, коэффициент диффузии которого равен Du
Займемся построением автомодельного уравнения для (6.63)–более
простого для исследований уравнения. Автомодельное уравнение
построим методом нелинейного расщепления [4]
Для этого решим уравнение
ut = ku (1 − u  ) ,
(6.64)
а затем решений уравнения (6.63) ищем в виде
u (t , x) = u (t ) w( , x)
(6.65)
Тогда подставляя (6.76) в (6.63) имеем снова уравнение вида (6.63)
w    w 
 −( +1)
= w
w(1 − w  )
 + ku
 x 
x 
.
 (t ) =  [
 e kt
 kt
(6.66)
] /  dt
(1 + e )
с той лишь разницей, что вместо t стоит
, а вместо
 − ( +1)
.
k − ku
Отсюда, если  =  + 1 уравнения (6.66) имеет в точности вид (6.63)
т.е. снова мы получим уравнение вида (6.53)
w    w 

= w
 + kw(1 − w )
 x 
x 
,
однако вместо переменой по времени t стоит функция
волновое решение последнего уравнения имеет вид,
d   dt
f
d 
d

df
+ kf (1 − f  ) = 0
+c
d

,  = −c + x ,
(6.67)
 (t ) =  [u (t )] dt
и
(6.68)
Применённый в работе [2] метод здесь не проходит, поэтому
необходимо для исследования свойств решения уравнения (6.68)
применить другие методы.
k
Замена u(t , x) = e w( (t ), x) приведёт (6.67) к виду:
w    w 
− k (  +1) t  +1
= w
w
 − ke
 x 
x 
,
219
(6.69)
ekt
 (t ) =  e dt =
k ;
где
kt
С учетом выражения для  (t ) уравнение (6.69)перепишется так.
 +1
−
w    w 

= w
−
k
[

k

(
t
)]
w +1

 x 
x 
Различные свойства решений этого уравнения достаточно хорошо
изучены (см. например [3-4]).
6.5.4 Общий случай
Этот способ можно распространить для уравнения (6.53).
В этом случае как и прежде замена (6.59) приведет уравнение (6.53)
к виду (6.63) к которому, применяя метод расщепления, взяв в качестве
1
u (t )

решение уравнения ut = ku (1 − u ) т.е
 e kt  
u (t ) = 
kt 
1 + e 
, и положив как
прежде u (t , x) = u (t ) w( , x) из (6.63) с учётом (6.80) для
уравнение
w 
=
 
w( , x )

 w 
 −

 Dw
 + ku w(1 − w )
 

,
имеем
(6.70)
где переменная  определена формулой (6.59).
Отметим, что u (t ) → 1 при t →  .
Здесь как следствие нелинейности в последнем уравнение вместо
переменной t стоит переменная  (t ) , определенная формулой

  e  kt  
 (t ) =  
dt ,
 kt 
1 +  e 
если
 (t ) = (1/ k )ln(1 + e kt ) , если
 
и
 = .
При  =  уравнение (6.58) принимает вид.
w    w 

= w
 + kw(1 − w )
 x 
x 
,
т.е. снова уравнение (6.74), но с функцией  (t ) при
переменной t.
Волновые решения уравнения (6.62) имеют вид
u ( (t ), x) = f ( ),  = c (t ) + x, ,
220
(6.71)
 =
вместо
(6.72)
d   dt 
dt
 f
  c
+ kf 1 − f
d 
d 
d
(
Отсюда мы имеем f ( ) ~ (a − c )
решения
dx
= ac  v(t )  +,
dt
1

+

)= 0
(6.73)
при
→
a
,
c
скорость волнового
если скорость движения среды ограниченна
при t  0. Здесь использовано обозначение (a)+ = max(0, a).
6.5.5 Популяционная модель диффузии с двойной
нелинейностью
Q = {(t, x) : 0  t, x  R}
В
области
рассмотрим
уравнение
биологической популяции
u   m −1 u
=  Du
t x 
x
Здесь D u
m −1
u
x
p −2
u 

 + ku (1 − u ) , u
x 
t =0
= u0 ( x)  0, x  R . (6.74)
p −2
, m  0, p  0,   0 , u = u (t , x)  0 -решение уравнения
(6.74).
Отметим, что основной особенностью в изучении нелинейных
свойств является получение различных типов оценок решений, а затем
на их основе численное моделирование задачи. В этом большую роль
сыграли автомодельные и приближенно-автомодельные подходы,
широко представленные, в частности в работах А.А.Самарского,
С.П.Курдюмова, В.А.Галактионова, А. П. Михайлова [57-59].
В данном параграфе исследуются вопросы глобальной
разрешимости и качественные свойства решения задачи на основе
автомодельного анализа. Качественный анализ рассматриваемой задачи
проводится на основе исследования качественных свойств
автомодельного уравнения для (6.74) [79-88]. Для построения
автомодельного уравнения используется алгоритм нелинейного
расщепления [1;c.1-30].
Отметим, что замена в (1.36) u (t , x) = ekt v( (t ), x) приведёт (1.36) к виду:
v   m−1 v
=  Dv
 x 
x
p −2
v
v 
(  −( m+ p −3) k t  +1
v ,
 − ke
x 
t =0
= v0 ( x) = u0 ( x)
(6.75)
,
где
 (t ) = e[( m+ p−3) k ]t / (m + p − 3)k , m + p − 3  0 ,
без изменения начальных данных.
221
(6.76)
С учетом (6.76) уравнение (6.75) перепишется в следующем виде:
v   m−1 v
=  Dv
 x 
x
где k1 = k ( (m + p − 3)k ) ,
b=
b
p −2
v 
b  +1
 − k1 v ,
x 
(6.77)
(  − (m + p + 3)
.
m+ p −3
С целью получения автомодельного уравнения для (6.77) применим
алгоритм нелинейного расщепления. Для этого сначала решим
d
= − k1 b  +1.
следующее уравнение
d
Решением этого уравнения будет
 ( ) = c( + T0 ) − , T0  0 .
Здесь:
 k 
с= 1 
 b + 1
−
1

, =
b +1

.
Решение уравнения (6.77) ищем в виде v(t , x) = v(t )w( , x).
Здесь:
t1−[ ( m+ p−3)] / (1 −  (m + p − 3)), если 1 −  (m + p − 3)  0,
t

 (t ) =  v (m + p−3) (t )dt = ln t ,
если 1 −  (m + p − 3) = 0,
t ,

0
если m + p = 3 .
Тогда
p −2
w  
w 
m−1 w
 +1
=  Dw
 +  (w − w ) ,

 x 
x
x 
(6.78)
где
1

,
если 1 − [ (m + p − 3)  0,

 =  (1 − [ (m + p − 3)])
 с − ( ( m+ p −3)) ,
если 1 − [ (m + p − 3) = 0.

(6.79)
Уравнение (6.78) показывает инвариантность приведенного выше
преобразования.
Рассмотрим теперь автомодельное решение
w( , x) = f ( ),  = x /  1/ p
(6.80)
для уравнения (6.78)
Тогда подставляя (6.80) в (6.78) в случае 1 − [ (m + p − 3)  0,
относительно f ( ) нетрудно получить автомодельное уравнение
d
df
L( f ) =
( f m−1
d
d
p −2
df
 df
1
)+
+  ( f − f  +1 ) = 0,  =
d
p d
1 − [ (m + p − 3)]
222
(6.81)
Займемся построением верхнего решения для уравнения (1.36).
Если  = [3 − ( p + m)] / ( p − 1) , то уравнение (6.81) имеет точное
решение вида f  ( ) = A(a    ) + n , где n = ( p − 1) / ( p + m − 3) ,  = p / ( p − 1) ,
(b) + = max(0, b) .
Свойства решений уравнения (1.43) в случае р=2, m=1 подробно
исследованы в [45-49].
Пусть u(0, x)  z (0, x), x  R. Тогда для решения задачи (6.72) в
области Q имеет место оценка
u (t , x)  z (t , x) = (T + t ) − f  ( ) ,  = x /  1/ p .
Здесь вид f  ( ) приведен выше.
При n  0, m + p − 3  0 имеет место медленная диффузия (рис. 1.1).
В качестве начального приближения брались:
u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + n .
Здесь:
p
b +1
(  − m − p + 3)
( p − 1)
=
, n=
, =
, b=
, m+ p −30.
p −1

(m + p − 3)
m+ p −3
В случае n  0, m + p − 3  0 наблюдается процесс быстрой
диффузии (рис. 1.2).
В качестве начального приближения брались:
p
b +1
(  − m − p + 3)
=
,
u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a +   ) n ,  =
,
, b=
p −1

(m + p − 3)
n=
Значения
параметров
m = 2.7, p = 2.2
( p − 1)
, m + p − 3 0.
m+ p −3
x=2; t=1
x=2; t=20
x=3; t=20
eps = 10−3
 =5
m+ p −30
m = 4.5, p = 2.5
−3
eps = 10
 =1
m+ p −30
time1 ( FRAME + 10)
time1 ( FRAME + 0)
time1 ( FRAME + 10)
time1 ( FRAME + 30)
time1 ( FRAME + 0)
223
time1 ( FRAME + 10)
Рис.1.1. Результаты вычислительного эксперимента в случае
медленной диффузии
Значения
x=1;
параметров
x=1; t=1
t=20
x=3; t=20
m = 1.1, p = 1.7
eps = 10−3
 =5
m+ p −3 0
m = 0.5, p = 1.1
eps = 10−3
 =5
m+ p −3 0
time1 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 10)
time1 ( FRAME + 20)
Рис.1.2. Результаты вычислительного эксперимента в случае
быстрой диффузии
Таким образом, предложены подходящие начальные приближения
для быстрей сходимости итерационного процесса. В дальнейшем был
проведен
аналитический
обзор
многокомпонентных
кроссдиффузионных систем.
time1 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 20)
time1 ( FRAME + 20)
6.6. Численное моделирование популяционной задачи с
нелокальной нелинейностью
Модели реакции- диффузии широко распространены в науке. Они
часто используются для представления системы, компоненты которого
движутся диффузно и взаимодействующие события которых описаны
реакционными членами, могут быть представлены нелинейными
выражениями в макроскопических наблюдаемых объектах, таких, как
плотность системы. Распространенные примеры могут быть найдены в
агрегировании [1], осаждении [2], химической реакции [3], пламени,
горении [4], распространении импульсов в нервах [5], и динамики
популяций [6,7]. Расширения исследований реакционной диффузии в
конвективном переносе [8,9], не диффузионные переносы [10, 11] и
пространственно нелокальные взаимодействия [12, 13] изучались также
в недавнем прошлом. Рассмотрим уравнение реакции диффузии
u ( x, t )
 2u ( x, t )
=D
+ af (u ),
t
x 2
224
(6.82)
где u(x,t) представляет собой профиль плотности вида, выраженные
здесь, как безразмерная величина, D является коэффициентом диффузии,
a скорость роста и f(u) нелинейность. Далее будем предполагать, что
f(0)=f(6.82)=0, которое является свойством нелинейности многих
системных объектов.
Такие уравнения, как 6.74 часто приводят к распространяющимся
волновым фронтам. Класс условий реакции, так как эта функция
довольно широкая, но можно выделить три типа нелинейности [14].
Один тип, в дальнейшем называемый первым типом, соответствует
положительному f(u) при 0<u<1 с f (u )  u при u  0. Известным примером
является уравнение Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова
(ФКПП) [15, 16], член реакции которого F (U) = U (1-U). Другой тип,
далее называемый вторым типом, соответствует отрицательному f(u)
при 0 <u <b, и положительному f(u) при b<u<1, такие как уравнение
Зельдовича-Франк-Каменсткого [17] (ЗФ), также известный в литературе
как приведенное уравнение Нагумо [7], для которого f(u)=u(u-b)(1-u), где
0 <b <1. Это изменение знака в нелинейности несет ответственность за,
так называемый Олли эффект в динамике популяции [18]; пороговая
плотность, ниже которой начальная популяция в конечном итоге
вымирает. Недавние работы на структурообразование с участием
эффекта Олли можно найти в литературе [13]. Наконец, то, что мы
называем третьим типом нелинейности имеет положительную F (U) при
0 <u <1, но является нелинейной по u при малых u. Уравнения реакции
диффузии с этими видами функций реакции, используются, например, в
изучении тепловых волн горения, определенных автокаталитических
химических реакций [20] и отложения кальция в костной системы.
В тепловом сгорании, нелинейный рост может представлять
температурный профиль [4], а также концентрацию реагирующих частиц
[19], в химических реакциях, он представляет порядок автокатализа [20],
а в отложения кальция, кристаллические кластеры которые растут по
объему кости пропорционально квадрату ее массы [21].
В контексте модели биологической популяции, эффект Олли
подробно исследовано, начиная с экспериментальных работ о жуках из
рода Тиболиум, [23] или более поздние по Апис вариантам [24] и китам
[25]. В общем, Олли эффекты определяются как сильные или слабые
[26], в зависимости от темпа роста на душу, f(u)/u
является
соответственно, отрицательным или положительным при низкой
плотности. когда уравнения типа. Этот эффект или функция,
присутствует во многих популяционных системах и означает, что
характер реакции в сценарии реакции диффузии такова, что населению
гразит исчезновение, если она начинается при достаточно низких
225
уровнях плотности популяции, который подавляет рост этой тенденции
на вымирание, если плотность превышает критический уровень, и что
при достаточно высоких уровнях эффект насыщения устанавливается в
противодействии мальтузианскому взрыву. Нелинейный член,
соответствующий этой ситуации кубический по плотности населения (в
отличие от квадратичного как в уравнении ФКПП).
Если член реакции является первым типом, как описано выше, было
показано, что существует минимальная скорость для существования
бегущих фронтов [15, 16].
Такие фронты называются вытаскивающими фронтами в связи с
тем, что их динамика диктуется ростом и распространением фронтового
хвоста [26-28]. Значение асимптотической скорости фронта можно
просто получить, вычисляя распространение малых возмущений вокруг
неустойчивого состояния u=0. Для таких нелинейностей, начальные
условия, чьи фронты достаточно круты, в конце концов, примут форму
бегущего фронта со скоростью 2 Daf ' (0) . С другой стороны, начальные
условия, с мелководными начальными профилями либо достигают
скорости большей, чем минимальная или просто ускоряются [28].
Фронты, получаемые путем взаимодействия членов второго типа
называются бистабильными так как U = 1 и U = 0 линейно устойчивы,
тогда как фронты третьего типа нелинейности обычно называют
толкающими [29]. Эти толкающие фронты получили свое название из-за
того, что динамика в нелинейной области F (U) приводит в движение
фронтовое распространение [27, 28, 30], «подталкивающее» фронтовой
хвост вперед.
Популяционная динамика микроорганизмов дает пример
нелинейной системы, в которой могут возникать эффекты
самоорганизации, обусловленные коллективным поведением большого
числа особей в условиях влияния управляющих внешних воздействий.
Эффекты самоорганизации проявляются в формировании неоднородных
пространственно-временных структур (популяционных агрегаций или
паттернов) [30–32], популяционных волн и других подобных явлений
[33]. Понимание закономерностей возникновения и динамики роста
бактериальных структур важно для выявления основных механизмов
контроля на начальном уровне зарождения и развития бактериальных
инфекций в медицинской практике [34]. Систематические исследования
популяций бактерий, проведенные микробиологами на протяжении
прошлого века, привели к представлению о бактериальной культуре как
о целостной единой системе [35, 36].
226
В работе численными методами исследовано влияние нелокальных
эффектов на динамику популяции в рамках диффузионной модели с
квадратично-нелинейным нелокальным взаимодействием, обобщающей
известную
модель
Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова
(ФКПП) в одномерном и двумерном случае. Для описания нелокального
взаимодействия использовались ядра двух типов: в виде гауссова и
равномерного распределений. Показано, что в обоих случаях образуются
локальные максимумы численности популяции, что указывает на
формирование популяционной структуры.
6.6.1. Популяционная модель с нелокальной нелинейностью в
одномерном случае
В качестве базовой модели пространственно распределенной
популяции, следуя традиционному подходу в динамической теории
популяций [35–37], выберем модель, предложенную независимо Р.
Фишером [38] и А.Н. Колмогоровым, Н.Г. Петровским, Н.С.
Пискуновым [39]. Для простоты будем считать пространство
одномерным. Данное предположение может быть реализовано в
экспериментальных условиях, если область, в которой взаимодействуют
особи микробной популяции, представляет собой узкую и длинную
трубку. Вдоль трубки осуществляются процессы переноса, а в любом ее
поперечном сечении происходит полное внутреннее перемешивание
[36]. В модели Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова динамика
зависящей от времени t и пространственной координаты x кинетической
переменной u(x,t) (биомасса или число организмов данного вида в
единице объема, в одномерном случае – на единицу длины) описывается
эволюционным уравнением, в котором учитываются пространственная
диффузия с постоянным коэффициентом диффузии D, процесс
производства бактерий с постоянным темпом роста (мальтузианским
параметром) a и квадратичными по плотности потерями с
коэффициентом b, обусловленными конкуренцией за ресурс.
В
модель
ФКПП
включены
основные
биологические
закономерности, определяющие популяционную динамику, однако
такие факторы, как неоднородность популяции по составу, в частности
мутация, таксис (подвижность особей), влияние продуктов метаболизма
на рост популяции, влияние неоднородности окружающей среды, в
модели не учитываются. Модель ФКПП не достаточна для объяснения
формирования популяционных агрегаций. Одно из направлений
исследований, имеющих целью объяснить это явление, состоит в
модификации модели ФКПП посредством включения в уравнение
227
модели дополнительных слагаемых, ответственных за указанные выше
дополнительные факторы популяционной динамики.
Пожалуй, самая простая модель f(u) - это логистическая, и в этом
случае Уравнение (6.74) становится одномерным неоднородным
уравнением Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова (ФКПП):

u
u 
 2u
 + D 2
= ru1 −
t
K ( x, t ) 
t

(6.83)
с пространственно и временно зависимым экологическим параметром К
(Х, Т) моделирующий разнообразие местообитаний, которые могут быть
приняты во внимание следующим образом. Так как места обитания
можно условно классифицировать как оптимальные (хвойные / дуб) и
субоптимальные (можжевельник / кустарников / трава), мы можем
моделировать их с помощью кусочно- пространственными
однородными параметрами окружающей среды. Возможная временная
зависимость K(x,t) может колебаться xc (t ) , для того чтобы произвести
соответствующие колебания в диапазоне высокой и низкой плотности
населения. Этот выбор, однако, не представляется наилучшим. Это
потому что xc представляет переход от леса к пастбищу, и это не
колеблется в зависимости от сезона. Как и следовало ожидать в течение
года разумно варьировать значение K. Вероятным выбором будет
 K op если x  xc ,
K ( x, t ) = 
 K so если x  xc .
(6.84)
Уравнения, такие как (6.83), вместе с (6.84) и с начальным условием
в оптимальной среде обитания, как ожидается, имеют решения в виде
растущего фронта, соединяющего область с высокой плотностью
популяции слева с областью с малой численностью популяции справа,
таких, как более простые ситуации, где K является равномерным и
постоянным. Однако, решения типа бегущей волны ФКПП уравнения
распространяются в одну или другую сторону, в зависимости от наклона
фронтового подключения асимптотического равновесия слева и справа.
В нашей ситуации, с оптимальной среды обитания слева, это означает,
что волны будут распространяться всегда вправо (со скоростью, которая
может быть подвержена колебательным K so (t ) приближается к нулю в
течение своих минимумов, эта ситуация сохранится: незначительная
популяция в субоптимальном обитания тотчас берет себя в руки, когда
K SO (t )
снова увеличивается, и фронт продолжает двигаться вперед
вправо. Это недостаток всех моделей с участием логистических термов:
228
нулевое состояние популяции всегда неустойчиво, ситуации могут быть
далеки от реальности, особенно для относительно небольших групп
популяций. Использованная здесь функция f(u) имеет стабильное
состояние u=0, с порогом, ниже которого популяция притягивается к
этому состоянию. Уравнения, в своей простейшей форме,

u
u 
 2u
 + D 2
= ru(u − a( x, t ))1 −
t
x
 K ( x, t ) 
(6.85)
Уравнения (6.85) имеет три равновесия: u=0 (стабильное), u=a
(неустойчивое) и u=K (стабильное). Снижение темпов роста при низкой
плотности представляет собой обычную математическую модель для
эффекта Олли. Динамика небольших популяций и их повышенный риск
вымирания- это проблема, имеющая большое значение для вторжения
популяций и других систем с неоднородными или переменчивыми
местами обитания, и она изучена, как теоретически, так и в области
Предположим, что внешнее воздействие системы, через K(t) и a(t),
является достаточно медленной для обеспечения адиабатического
режима, в котором путешествие фронта отслеживает их с зависящей от
времени скоростью и зависит от времени крутизны, которая имеет место
при определенных системах реакции-диффузии, когда распространение
фронта обладает таким же качественным видом хотя количественно
отличается от того, который наблюдался в асимптотическом режиме.
При таком условии обычные преобразования переменных к
движущейся системе отсчета, в которой стационарные фронты могут
быть взяты в виде: x → x − c( )t , где  представляет медленной шкале
времени адиабатического приближения. Кроме того, с границами
u(z → −) = 1 и u(z → ) = 0 и с K (t ) и  (t ) хранится кусочно-равномерная
функция ниже и выше xc . Уравнение (6.85) имеет решения бегущей
волны со скоростью:
c( ) =
rD
(K ( ) − 2a( ))
2 K ( )
(6.86)
Очевидно, что знак скорости зависит от знака K-2а в уравнении
(6.86). Так что существует возможность фронтов, распространяющихся
в обоих направлениях. Давайте теперь укажем временную изменчивость
среды и субоптимальных пороговых параметров. Мы ожидаем, что в
течение благоприятного сезона (например с лучшей пищей и воднми
ресурсами) параметры среды будут самыми высокими и эффект Олли
будет слабым, с наименьшим порогом Нагумо. В этом контексте мы
можем моделировать эти параметры как противоположные фазы
гармонических колебаний:
229
K SO (t ) = k0 + k1 sin ( 2 t / T ) ,
(6.87)
(6.88)
aSO (t ) = a0 + a1 sin ( 2 t / T +  ) ,
там, где Т является периодом колебаний. Среднюю скорость фронта
можно найти интегрированием уравнения (6.86) вдоль периода:
c =
1 T
c( )d =
T 0
 2k 
 2k 
2rD (2a1 + k1 )  1  − 2(a0 k1 + a1k0 )  1 
  
  

k1 
Следуя [30–35], рассмотрим обобщенную модель популяционной
динамики ФКПП, включающую нелокальное взаимодействие.
Основное уравнение модели записывается в виде
u  
u 
=  D (u )  + k (t , x)u  1 − u 
t x 
x 
.
(
)
(6.89)
Здесь коэффициент прироста k (t , x) являются функциями
пространственной координаты x и времени t, что позволяет расширить
область применения модели (6.82) на случай пространственно
неоднородных условий воспроизводства популяции и потерь,
создаваемых
внешними
факторами
(например,
различной
освещенностью, градиентами температуры и т. д.), κ – параметр
нелинейности. Будем считать величины, входящие в (6.89),
безразмерными.
Уравнение (6.89) является примером уравнения типа «реакция –
диффузия», или уравнением РД-типа. Нелокальность в уравнении
учитывает конечность пространственной области, окружающей особь, в
которой она взаимодействует с соседними особями популяции,
пространственное распределение продуктов метаболизма, таксис,
неоднородность распределения субстрата и другие факторы
окружающей среды в области, занимаемой популяцией.
Разностные схемы для нелокальной популяционной модели.
Исследуем уравнение (6.89) численными методами, используя
соответствующие разностные схемы и алгоритмы численного решения.
Для уравнения (6.89) с коэффициентами общего вида неизвестны точные
решения и законы сохранения, что ограничивает возможности оценки
адекватности построенных численных решений. Данная оценка
проводилась посредством сопоставления результатов расчетов,
полученных на основе явной и неявной разностных схем и метода
конечных элементов.
230
6.6.2 Решение для Гауссова распределения и асимптотических
нулевых граничных условий
Рассмотрим пример численного решения уравнения (6.89).
Начальное распределение численности популяции зададим в виде
гауссовых распределений
u( x,0) = u0 ( x) = f 0 exp(− x 2 /  02 )
(6.90)
Начальное распределение (6.90) локализовано в окрестности начала
координат x=0, область локализации определяется значением параметра
σ0 – дисперсией функции u0(x).
Результаты численного решения уравнения (6.89) при условии
(6.90), приведены на рис. 1, из которого видно, что начальное
возмущение не достигает пространственных границ расчетной области,
что соответствует асимптотическим нулевым граничным условиям
u(x,t)x→±∞=0.
В динамике роста популяции можно выделить следующие стадии.
На первой стадии начальное распределение u0 вида (6.90) (рис. 1, а)
преобразуется в симметричное распределение uI с максимумом в начале
координат x=0 (рис. 1, б). Дополнительно проведенные расчеты
показали, что состояния uI, образующиеся на первой стадии при
различных значениях амплитуды начального распределения f 0 в (6.84),
мало отличаются друг от друга.
На второй стадии центральный максимум распределения
разделяется на два локальных максимума, которые движутся в разные
стороны. Отметим, что амплитуды «вторичных» локальных максимумов
распределения uII (рис. 1, в) меньше, чем амплитуда максимума
состояния uI.
На третьей стадии в центре распределения uII (в начале координат)
возникает локальный максимум, который, в свою очередь, разделяется
на два локальных максимума меньшей величины, чем на второй стадии
(рис. 1, г). Процесс образования центрального максимума и его
разделения может продолжаться и далее. Анализ численных решений
показывает, что амплитуды образовавшихся локальных максимумов со
временем выходят на стационарный уровень, причем амплитуды
максимумов, образовавшихся на более поздних стадиях, меньше, чем
амплитуды максимумов, образовавшихся на более ранних стадиях.
Теперь начальное распределение численности популяции зададим в
виде [41]
t
u0 (t , x) = 1 + (t ) cos(kc );  = x /  1/2 ;  (t ) =   ( )  d ,
0
231

(6.91)
в случае k (t , x) := k (t ) ; k (t ) =
1
,,
(1 + t )
  1.  (t ) находим из уравнения:

−   k ( t ) dt 


 (t ) = 1 + e 0





t
d
= k (t ) (1 −   )
dt
,
−
1

.
time ( FRAME + 0)
time ( FRAME + 10)
а) u0
б) uI
time ( FRAME + 100)
time ( FRAME + 200)
г)
в)
Рис. 1. Численное решение уравнения (6.81) для функций вида (6.90) при
σ0=0,1, σ=1,2, f0=1 в моменты времени: а) 0; б) 10; в) 100; г) 200
Результаты численного решения уравнения (6.89) при условии (6.91)
приведены на рис. 2, из которого видно, что начальное возмущение не
достигает пространственных границ расчетной области, что
соответствует асимптотическим нулевым граничным условиям
u(x,t)x→±∞=0.
232
time ( FRAME + 10)
time ( FRAME + 5)
а) u0
б) uI
time ( FRAME + 15)
time ( FRAME + 20)
в)
г)
Рис. 2. Численное решение уравнения (6.89) для функций вида (6.91) при
σ0=0,1, σ=1,2, f0=1 в моменты времени: а) 0; б) 10; в) 100; г) 200
6.6.3 Двумерная РД-модель с нелокальным взаимодействием
Рассмотрим теперь двумерную задачу реакции с диффузией типа
Колмогорова- Фишера
u
    
    
=
u +
u  + k (t , x)u 1 − u 
u
u
t x1  x1  x2  x2 
(
u = u (x1 , x2 , t ),
x =
(x1 )2 + (x2 )2
)
(6.92)
N
в области D =   ( 0,T ),   R ,  = − b  x  b ,  = 1,2 с начальными и
краевыми условиями
u (0, x) = u0 ( x )  0,
233
(6.93)
u Г = ( x , t )
, t  (0, T ) , Г – граница  .
Здесь кинетическая переменная u(x , x , t ) (массовая) плотность
популяции данного вида, приходящаяся на единицу площади) зависит от
времени t и пространственных координат x , x ; процесс производства
бактерий характеризуется темпом роста k (t , x) . Зависимость
коэффициента k (t , x) от пространственных координат ( x , x ) и времени t
позволяет
учитывать
пространственную
неоднородность
и
нестационарность условий протекания популяционных процессов,
обусловленных внешними факторами. Будем также считать величины,
входящие в уравнение (6.92) безразмерными.
Зададим начальное распределение с центром локализации в точке
(x0 , y0 ) следующим образом:
1
2
1
2
1
2
 (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 
f0

u ( x, y,0) = u0 ( x, y ) =
exp −
2

2 02
2

0


(6.94)
Здесь параметр  0 характеризует степень локализации функции
u ( x, y ,0) , f 0 -амплитуда. Начальное распределение с точками локализации
2
(xi0 , yi 0 ), i = 1,..., n зададим в виде
u ( x, y,0) = u0 ( x, y) =
 (x − xi 0 )2 + ( yi − yi 0 )2 
f0 n

exp
  −
2

202 i =1
2

0


.
(6.95)
Здесь n-количество центров локализации (локальных максимумов)
функции u ( x, y,0) .
Решение уравнения (22) строилось численными методами. В 
построим равномерную сетку h по x , ( = 1,2 ) с шагами
:
h1 =
b1
n1
h2 =
и
b2
n2
h = xij = (x1i , x2j ), x1i = ih1 , x2j = jh2 , i , j = 0,1,..., n ,  = 1,2
,


и временную сетку  = tk = k ,   0, k = 0,1,..., m , m = T , T  0 .
Задачу (6.92) на сетке  h x  аппроксимируем по неявной схеме
переменных направлений (продольно-поперечная схема).
В терминах популяционной динамики функции u ( x, y,0) вида (6.94)
задает начальное распределение плотности популяции при условии
инокуляции в окрестности точки ( x0 , y0 ) . Функция вида (6.95)
234
соответствует инокуляциям в области с центрами в точках ( xi 0 , yi 0 ) .
Диаметры областей инокуляций оценим значением 6 0 . Величиной
плотности u ( x, y,0) вне области локализации будем пренебрегать. Тогда
выражение (6.95) можно рассматривать как совокупность n связных
областей, в которых плотность отлична от нуля (точнее, выше
установленного порога). Если области локализации не перекрываются,
то каждую такую область можно рассматривать как первичную колонию
бактерий, которая является источником роста популяции бактерий.
Первичные колонии не взаимодействуют, если расстояние между их
центрами больше 6 0
Численные решения уравнения (6.92) строились в области,
ограниченной окружностью радиуса R на отрезке времени [0, T0 ] при
следующих значениях параметров уравнения:  0 = 0,3 , f 0 = 0,32
Важная особенность динамики, описываемой уравнением (6.92),
состоит в том, что существует некоторое характерное время τ, названное
временем релаксации, за которое начальное распределение u 0 вида (6.94)
преобразуется в аксиально-симметричное распределение с максимумом
в точке ( ( x0 = 0, y0 = 0), (рис. 3). Начиная с момента времени τ (в
представленных ниже примерах τ≈5), вокруг центрального максимума
функции u ( x, y, ) образуется аксиально-симметричное (кольцеобразное)
распределение, причем динамика формирования этого распределения
существенно зависит от вида нелокального взаимодействия,
определяемого выражениями (6.94) и (148).
Для наглядности на рис. 3 приведены численные решения
распределения u ( x, y, ) в момент времени t = 5, t = 15, t = 25, t = 35.
Если функция конкурентных потерь имеет вид (6.94), центральный
максимум сечения x = 0 уменьшается и разделяется на два локальных
максимума, которые движутся в разные стороны друг относительно
друга. По мере удаления максимумов от начала координат в нем
возникает (вторичный) локальный максимум, который в свою очередь
разделяется на два локальных максимума меньшей величины, чем
крайние (первичные) максимумы и т. д. (рис. 3).
235
time ( 5)
time ( 15)
uI в момент времени t = 5
uII в момент времени t = 15
time ( 25)
time ( 35)
uIV в момент времени t = 35
uIII в момент времени t = 25
Рис. 3. Численное решение уравнения (6.92) для функций вида
(6.94), (6.95) при σ0=0,1, σ=1,2, f0=1 в разные моменты времени.
В случае k (t , x) := k (t ) ; k (t ) =
1
,   1 начальное распределение
(1 + t )
численности популяции зададим в виде
u 0 (t , x) = 1 +  (t ) cos(k c );
 = x / 1/ 2 ;
t
 (t ) =   ( ) d
0
,
(6.96)
где  (t ) является структурной амплитудой и k c критическое значение
волнового числа. Подставляем вышеприведенное соотношение в модель
(6.92) и после несложных расчетов, получаем следующее уравнение для
236
d
= k (t ) (1 −   )
dt
.
амплитуды:

−   k ( t ) dt 


 (t ) = 1 + e 0





t
−
 (t ) находим
из
уравнения
1

.
time ( FRAME + 0)
time ( FRAME + 5)
uI в момент времени t = 0
uII в момент времени t = 5
time ( FRAME + 10)
time ( FRAME + 15)
uIII в момент времени t = 10
uIV в момент времени t = 15
Рис. 4. Численное решение уравнения (6.92) для функций вида
(6.96) при σ0=0,1, σ=1,2, f0=1 в разные моменты времени
6.6.4 Обобщенное уравнение Фишера и решения типа
распространяющейся волны
Рассмотрим в области Q = (t , x) : t  0, x  R N  задачу биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера, описываемой следующей
237
задачей Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью
c конвективным переносом:
Au  −
(
)
p −2
u
+  D0u m−1 u k u l − div ( c (t )u ) + k1 (t )u (1 − u  ) = 0, (6.97)
t
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  R N ,
(6.98)
где   1, n, k, p, m, l – заданные числовые параметры, () = grad () ,
x
0  k1 (t )  C(0, ) . Число D и функция с 0  k1 (t )  C(0, ) являются
соответственно
коэффициентами
диффузии
и
реакции,
N
0  u0 ( x)  1, x  R .
Наиболее часто встречающимся механизмом переноса для систем
реакций является, конечно, диффузия, а именно член D0u m−1 u k
p −2
u l в
уравнение реакций с диффузией (6.100). Уравнение (6.100) является
обобщением простейшей диффузионной модели для логистической
модели роста популяции [45,47] с учетом диффузии, миграции со
скоростью, зависящей от времени (v(t)). Оно может рассматриваться
также как уравнение нелинейной фильтрации, теплопроводности в
нелинейной среде при наличие одновременного воздействия источника
и поглощения.
Эта задача в простейшем случае, когда в уравнение (6.97) при
k1 (t ) = k1, k = 1, p = 2 , m = 1, v(t ) = 0 принимает вид
ut = ku (1 − u ) + Du xx ,
(6.99)
и носит название задачи биологической популяции типа Колмогорова
Фишера, где скалярная функция u(х,t) удовлетворяет заданным
начальным и граничным условиям, а k и D - положительные постоянные.
Это уравнение является важным с исторической и педагогической
точек зрения. Оно было предложено (так же как уравнение с кубической
нелинейностью вместо квадратичной в правой части) Фишером (1937) в
качестве детерминистической версии стохастической модели
распространения благоприятного гена в диплоидной популяции. Он
подробно рассмотрел уравнение и получил ряд полезных результатов
[47]. Эвристический и основанный на генетике вывод уравнения привели
также А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов, классическая
работа (1937) которых послужила основанием для более строгого
аналитического подхода к уравнению Фишера [45].
Уравнение (6.99) является простейшей диффузионной моделью для
логистической модели роста популяции. Основная цель исследования
238
уравнения (6.99) - определить, какое влияние оказывает диффузия на
кинематически распространяющиеся волны, наблюдаемые в отсутствие
диффузии. Волновые решения уравнения (6.99) также носит название
кинематические.
Ниже приводятся результаты, касающихся исследования
существования и форму решений уравнения (6.99) типа бегущей волны,
для которых 0 ≤ и ≤ 1, и найти скорость распространения таких волн.
Если решение типа бегущей волны существует, оно может быть записано
в форме
u ( x, t ) = f ( z ) ,
z = x + ct ,
(6.100)
где с-скорость волны. Поскольку уравнение (6.97) инвариантно
относительно замены х на -х, скорость с может быть положительной или
отрицательной; для определенности считается с положительный, так что
(6.100) представляет волну, движущуюся в отрицательном направлении
оси х. После подстановки (6.100) в (6.99) функция f ( z ) удовлетворяет
уравнению
Df ''− cf '+ kf (1 − f ) = 0,
(6.101)
где штрих означает дифференцирование по z.
Уравнение (6.101) также называется автомодельным (инвариантногрупповым). Так как (6.99) инвариантно относительно постоянного
смещения по x и t , к z в (6.90) может быть добавлена произвольная
постоянная т.е. u ( x,0 ) = f ( z ) , где z = x + ct + a, где а постоянная, также
является решением уравнения (6.99). Необходимо найти собственное
значение или значения с, такие, что у уравнения (6.100) существует
неотрицательное решение, для которого
lim f ( z ) = 0, lim f ( z ) = 1.
z →−
z →
(6.102)
Важный дополнительный вопрос заключается в следующем: если
такое решение существует, то для любого начального профиля, для
которого 0  u ( x,0 )  1 при каждом x, соответствующее решение
уравнения (6.97), удовлетворяющее граничным условиям
u ( −, t ) = 0, u ( , t ) = 1,
с ростом t переходит в решение (6.100) типа бегущей волны,
удовлетворяющее условиям (6.100).
Фишер (1937) нашел, что уравнение (6.99) имеет бесконечное число
решений типа бегущей волны, для которых 0  u  1, с волновыми
скоростями c  cmin = 2 kD .
239
А.Н.Колмогоров, И.Г.Петровский и Н. С. Пискунов [45] доказали,
что cmin-естественная скорость распространения волнового решения
уравнения Фишера, а решения эволюционируют в бегущую волну,
имеющую скорость c = cmin = 2 kD .
Применим теперь этот метод для исследования скорости
распространения волны для случая нелинейной математической модели
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера.
В случае k1 (t ) = k1, k = 1, p = 2 , m  1, v(t ) = 0 она изучалась в работах
[117-119 и приведенные там ссылки].
Как отмечено в [45], если коэффициент диффузии не постоянен и
зависит от решения, то естественно решение системы реакций с
диффузией будет сильно отличаться от случая постоянного
коэффициента диффузии [45]. Появление таких непостоянных
коэффициентов диффузии в системе биологической популяции
рассмотрено в работе (см. [117-119] и приведенные там ссылки).
На основе построения точного автомодельного решения в случае
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0
найдена следующая оценка для фронта
распространения вспышки для задачи биологической популяции,
описываемой задачей (6.97),(6.98).
Под волновым решением понимается решение задачи (6.97),(6.98)
следующего вида
u ( x, t ) = f (  ) ,
N
 =  xi + ct ,
(6.103)
1
Тогда для определения функции f ( ) получим следующее
нелинейное дифференциальное уравнение вырождающего типа
d 
df
 D0 Nf m−1
d 
d
p −2
 df
df
−c
+ k1 f (1 − f  ) = 0.

 d
d

(6.104)
Найдем теперь верхнее решение задачи (6.97), (6.98). Для этого
путем замены
t
 k (t )
u ( x, t ) = e 0

t


0

w( (t ), x), выбирая  (t ) = exp ( k ( p − 2) + m − 3)  k1 ( y )dy 
перепишем уравнение (6.89) в виде
−
(
w
+  D0u m−1 u k

p −2
)
u l − k2 (t ) w ) = 0.
Рассмотрим главную часть уравнения (6.97)
240
(6.105)
(
w
=  D0u m−1 u k

p −2
)
u l .
(6.106)
В параграфе 1 было показано, что последнее уравнение имеет
частное решение
u (t , x) =[ (t )]− N /( p +( k ( p −2)+m+l −2) N ) exp[− p ],
=
(6.107)
x
,  = p / ( p − 1),  1 = ( p − 1) / (k ( p − 2) + m + l − 2),
[ D0t ]1/ p
b1 = (k ( p − 2) + m − 1)(1 / p) p /( p −1) .
Тогда из выражения “глубина распространения волны” x(t )
согласно работе [45], определяется из равенства
[ (t )]
− N /( p + ( k ( p −2) + m +l −2) N )
t

exp   k1 ( y )dy −  p  = 1 / 2.
0

Тогда из этого выражения имеем
1
p
 1

N
x(t )  p( D(t  k1 ( y )dy ) 1 − ln(1 / 2) − (ln t / t )  .
p
 t

0
t
1
p
Отсюда при k1 (t ) = k1
x(t )
c(t ) =
1
p
 [(ln 2) − ( N / p)ln(T + t )] 
p[k1k p−2lD0 ]1/ p t 2/ p 1 +
 , при t → ,
t 2/ p

d x(t )
 2[n1D0 k p −2l ]1/ p t (2/ p )−1 ,
dt
что при p = 2, l = 1 для больших t совпадает с результатом КПП т.е. имеем
d x
=c
dt
2 k1D0 .
Построены численные решения уравнения (6.89) и (6.92),
соответствующие нулевым граничным условиям на бесконечности.
Анализ численных решений, проведенных для различных начальных
распределений u0(x) показал, что процесс эволюции проходит несколько
характерных стадий (см. рис. 1-4). Характерным является
последовательное возникновение локальных максимумов в центре
распределения и последующее их разделение на два локальных
максимума, движущихся в противоположные стороны. Возникает
пространственно периодическая структура с одинаковыми по форме и
241
параметрам пиками. Эти закономерности и особенности связаны с
пространственной неоднородностью лимитирующих рост факторов
(конкуренцией
за
субстраты,
продуктами
метаболизма),
с
взаимодействием различных видов или групп клеток в процессе роста.
6.7. К численному моделированию автомодельных решений
системы реакции-диффузии одной задачи биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера
В настоящее время исследования линейных математических
моделей физических, биологических, химических и других процессов
являются удобными, так как для лежащих в их основе линейных
дифференциальных уравнений в частных производных разработаны
общие методы их решения. В прикладных же задачах реальные
физические процессы являются нелинейными, и для их адекватного
описания следует использовать нелинейные математические модели.
Интересно с точки зрения приложений, изучить такие классы
нелинейных дифференциальных уравнений, в которых неизвестная
функция и производная этой функции входят степенным образом [4144].
Такие типы нелинейностей часто встречаются в задачах
биологической популяции, химии, медицине и др. [41-44]. Популяцию
определяют как группу организмов одного вида (внутри которой особи
могут обмениваться генетической информацией), занимающую
конкретное
пространство
и
функционирующую
как
часть
биологического сообщества.
Рассмотрим модели двух конкурирующих популяций с нелинейной
диффузией. Проблема математического описания биологической
конкуренции имеет длительную историю. Наиболее известной
попыткой описания конкуренции нескольких популяций является
система Вольтера-Лотки [45]. Основным утверждением, относящимся к
конкурирующим сообществам, является принцип Гаузе [46]. Он гласит,
что результатом конкурентного взаимодействия двух видов,
занимающих одну экологическую нишу, будет вытеснение наименее
приспособленного.
В последнее десятилетие, в связи с возрастанием интереса к
проблемам
структурообразования
изучение
моделей
многокомпонентных конкурирующих биологических систем в классе
систем нелинейных уравнений типа реакция-диффузия получило новый
импульс. Введение предположения о пространственности ареала
242
обитания конкурирующих видов позволяет по другому взглянуть на
процессы и результаты конкуренции.
Рассмотрим пространственный аналог системы конкуренции
Вольтерра-Лотки
с
нелинейной
степенной
зависимостью
коэффициента диффузии от плотности популяции. В случае
простейших вольтерровских конкурентных взаимодействий между
популяциями удается построить численно, а в ряде случаев и
аналитически, неоднородные по пространству решения.
Введем обозначения:
6.7.1 Постановка задачи.
Рассмотрим в области Q={(t,x): 0< t < , xR2} параболическую
систему двух квазилинейных уравнений реакции-диффузии задачи
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера
(
)
 u1  
 1 u1 
1
 t = x  D1u1 x  + k1 (t )u1  1 − u2 ,




 u2 =   D u  2 u2  − k (t )u  1 − u  2 ,
2 2
2
2
1
 t
x 
x 
(6.109)
u1 t = 0 = u10 ( x) , u2 t =0 = u20 ( x) ,
(6.110)
(
)
которое описывает процесс биологической популяции в нелинейной

двухкомпонентной среде, коэффициент диффузии которого равен D1u1 и

D2u2 ,  , ,  ,  - положительные вещественные числа, u = u (t , x)  0 ,
u = u (t , x)  0 - искомые решения.
Задача Коши и краевые задачи для системы (6.109) в одномерном и
многомерном случаях исследованы многими авторами [ 47-48 ].
Целью данной работы является исследование качественных свойств
решения задачи (6.109), (6.110) на основе автомодельного анализа и его
численные решения с применением методов современных
компьютерных технологий, исследование способов линеаризации к
сходимости итерационного процесса с дальнейшей визуализацией.
Найдены оценки решений и возникающий при этом свободной границы,
что дает возможность выбрать подходящие начальные приближения [44]
для каждого значения числовых параметров.
Займемся построением автомодельной системы уравнений для
(6.109)-(6.110) – более простого для исследований системы уравнений.
1
2
1
2
2
1
2
1
2
243
1
6.7.2 Построение автомодельных уравнений системы
Автомодельную систему уравнений построим методом нелинейного
расщепления [4].
Замена в (6.101)
u1 (t , x) = e k1t v1 (t , x),
u2 (t , x) = e k 2 t v2 (t , x)
приведёт (6.109) к виду:
v1  
( ( 1 +1) k1 −(1 +1) k2 ) t
1 v1 
v1v2 1 ,
  = x  D1v1 x  + k1e




 v2 =   D v  2 v2  + k (t )e(( 2 +1)k2 −( 2 +1)k1 )t v 2 v ,
1
2
  x  2 2 x  2
(6.111)
v1 t =0 = v10 ( x) , v2 t =0 = v20 ( x) ,
Выбирая 1k1 =  2 k2 , получим следующую систему уравнений,
v1  
1 v1 
b1
1
  = x  D1v1 x  − a1 v1v2 ,




 v2 =   D v  2 v2  − a  b2 v 2 v ,
 2 2
 2 1 2

x 
  x 
где
(6.112)
a1 = (1k1 ) 1 , a2 = ( 2 k2 ) 2
b
b
b1 = [( 1 + 1) k1 − (1 + 1)]k2 / 1k1 ,
b2 = ( 2 + 1) k2 − ( 2 + 1) k1 /  2 k2
Ниже мы опишем один из способов получение автомодельной
системы для системы уравнений (6.112). Он состоит в следующем.
Введем обозначение
 d v1
= −a1 b1 v1v2 1 ,

 d

 d v 2 = −a  b2 v 2 v ,
2
1
2
 d
которая имеет решение вида
v1 (t ) = c1 ( + T )1 , v2 (t ) = c2 ( + T ) 2 , T  0 ,
А затем решение системы (6.111)-(6.112) ищется в виде
v1 (t, x) = v1 (t )w1 ( , x) ,
v2 (t, x) = v 2 (t )w2 ( , x) ,
где  =  (t ) выбирается так
244
1
 (t ) =  v1 (t )dt =
1
 1 1 + 1
(T + t )11 +1 , если  1 1 + 1  0
и  ( t ) = ln (T + t ) ,
если  1 1 + 1 = 0
Тогда для wi ( , x), i = 1,2 получим систему уравнений
  w1 
1 w1
=
(
D
w
) − 1 ( w1w2 1 − w1 )
1
1

 
x
x

,
  w2 =  ( D w 2 w2 ) +  ( w w 1 − w )
2 2
2
2 1
2
 
x
x

1 = b1 + 1 + 1 ( b2 + 1)  0
2 = −  2 ( b1 + 1) + ( b2 + 1)  0
 1 1  0 ,  1 1 =  2 2 , di  0 . В этом случае полагая
wi ( (t ), x) = yi ( ),  =| x | /11/2 , i =1, 2 , и учитывая, что уравнение для
wi (  , x ) без младших членов всегда автомодельно, получим систему
Пусть
 1− N



 1− N


dy
d
 dy1
( N −1 y1 1 1 ) +
− 1 ( y1 − y1 y 21 ) = 0
d
d
21 d
dy
d
 dy2
( N −1 y 2 2 2 ) +
+  2 ( y 2 − y 2 y1 2 ) = 0
d
d
2 2 d
1

=
где i
 i i

при i = 1,
1,
 i =  − 
 1  2 , при
1
(6.113)
2
i = 2.
Исследование качественных свойств системы (6.109)-(6.110)
позволило выполнить численный эксперимент в зависимости от
значений, входящих в систему числовых параметров. Для этой цели как
начальное приближение использовались построенные асимптотические
решения. При численном решении задачи для линеаризации системы
(6.109)-(6.111) использовались линеаризации по методам Ньютона и
Пикара. Для решения задачи биологической популяции предложен
метод нелинейного расщепления.
6.7.3 Вычислительный эксперимент
Для численного
равномерную сетку
решения
задачи
(6.111)-(6.112)
h = xi = ih, h  0, i = 0,1,..., n, hn = l ,
245
построим
и временную сетку h = t j = jh1 , h1  0, j = 0,1,..., n,  m = T  .
Основной проблемой в нелинейных задачах является подходящий
выбор начального приближения и способ линеаризации уравнения
(6.103).
Заменим задачу (6.111)-(6.1114) неявной разностной схемой и
получим разностную задачу с погрешностью O(h 2 + h1 ) .
1


 1 (t ) = v1 (t ), v10 (t , x) =  1 (t )   a −


1
4
 2 (t ) = v2 (t ), v20 (t , x) =  2 (t )   a −
=
x
,
 (t )1/ 2
Запись
(a) +
1/  1

,
+
2
2
4
1/  2

+
2
,
t
 (t ) =   ( y ) dy .
0
означает
(a) + = max( 0, a) .
Созданная на входном языке MathCad программа позволяет
визуально проследить за эволюцией процесса для различных значений
параметров и данных.
Численные расчеты показывают, что и в случае произвольных
коэффициентов  ,  качественные свойства решений не изменяются,
Ниже приводятся результаты численных экспериментов для различных
значений параметров.
Значения
параметров
Результаты
вычислительного
эксперимента в
начальный момент
времени
Результаты
вычислительного
эксперимента в
конечный момент
времени
 = 0.3, p = 2, m = 2
1 = 4, k1 = 0,1
2 = 2, k2 = 0,9
eps = 10−3
time1 ( 1)  time2 ( 1)
time1 ( 100)  time2 ( 100)
246
 = 0.3, p = 2, m = 2
1 = 4, k1 = 0,5
2 = 7, k2 = 0,9
eps = 10−3
time1 ( 1)  time2 ( 1)
time1 ( 100)  time2 ( 100)
time1 ( 1)  time2 ( 1)
time1 ( 100)  time2 ( 100)
time1 ( 1)  time2 ( 1)
time1 ( 100)  time2 ( 100)
 = 0.3, p = 2, m = 2
1 = 2, k1 = 5
 2 = 3, k2 = 9
eps = 10−3
 = 1.3, p = 2.1, m = 2
1 = 2, k1 = 5
 2 = 3, k2 = 9
eps = 10−3
Рис.1. Результаты численных экспериментов
Результаты численных экспериментов показали эффективность
предложенного подхода. Асимптоты различных решений системы типа
(6.109) – (6.110) позволили моделировать процессы взаимной реакциидиффузии в форме визуализации с анимацией.
В заключение подчеркнем важность совместного изучения
миграционных и демографических процессов. Для анализа
популяционной динамики взаимодействующих популяций важно
совместного
изучения
процессов
рождаемости,
смертности,
трофических взаимодействий и различных миграций. Введение
нелинейности в миграционные потоки - первый шаг в направлении
адекватного описания пространственно-временной популяционной
динамики.
247
ГЛАВА 7.
7.1. Методы исследования свойств решений нелинейных
систем реакции-диффузии
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : 0  t  , x  R N } параболическую
систему двух квазилинейных уравнений
vi
=  ( vi i vi ) + v3q−i i
t
(i = 1,2) ,
(7.1)
 = 1,  i , qi (i = 1, 2) -положительные
где
вещественные
числа,
() − grad x (), vi = vi (t , x)  0 (i = 1, 2) искомые решения.
В системе (7.1) описываются многие физические явление: процессы
теплопроводности в двухкомпонентной нелинейной среде, при наличии
источников или поглощения; фильтрацию в нелинейной двухфазной
жидкости и газа подчиненной законам политропии. Члены  v3q−i , i = 1, 2,
соответствуют наличию источников (=+1) или стоков (=-1), мощности
i
которых равны  v3q−i . Функции vi можно трактовать также как
температуры взаимодействующих друг с другом компонент некоторой
горючей смеси [1,2].
Задача Коши и краевые задачи для системы (7.1) в одномерном и
многомерном случаях исследованы многими авторами [1-2].
В настоящей работе построены асимптотические представления
автомодельных решений системы (7.1), найдены необходимые и
достаточные признаки их существования. Под автомодельным
решением понимаются частные решения системы (7.1) специальным
образом зависящие от t и x, и удовлетворяющие систему обыкновенных
дифференциальных уравнений.
i
7.1.1 Асимптотика решения автомодельных уравнения
системы
Автомодельное уравнение системы (7.1), которое получено методом
нелинейного расщепления [5-8] имеет вид,
1− N
где  i =
vi
,
 i (1 + vi  i )
d N −1  i dyi
 dyi
( yi
)+
− i ( yi − y3q−i i ) = 0
d
d 2i d
1 при i = 1,

i = 
− 1
1
d
d 2 2
при i = 2.
248
(7.2)
Согласно, этому методу сначала решается система обыкновенных
дифференциальных уравнений
d vi
q
= v 3i− i , которая имеет решения вида
dt
vi (t ) = di (  + t ) vi , где
di =
1
−
qi
q
[ vi v3− i ]
,
vi = 
1 + qi
,
q
q = 1 − q1q2  0, i = 1,2
(7.3)
Здесь функции v i (t ) - представляют собой «вклады» источников
или стоков в решение системы (7.1). А затем решение системы (7.1)
ищется в виде
vi (t , x) = v i (t ) wi (  , x) (i = 1,2)
где
 = (t )
выбирается так
d11
 (t ) =  v1 (t )dt =
( + t )1+ v11 ,
1 +  v11
1
при 1 + 1v11  0
Тогда для wi (, x) получим систему уравнений
wi
= vi ( wi1 wi ) +  i ( w3q−i i − wi ) ,

Пусть 1 + v11  0 , v1 1 = v2  2 , di  0,
vi

 (1 + v  )  ,
i = 
1 1
v d −1 ,
 i 1
если 1+v11 > 0
(7.4)
если 1+v11 = 0
В этом случае полагая wi ( (t ), x) = yi (),  =| x|/ 1/2 , i = 1,2 и
учитывая, что уравнение для wi (, x) без младших членов всегда
автомодельно, получим систему (7.2).
Теперь займемся асимптотикой решений уравнения (7.2) при  →  0 .
Произведя замену в (7.1)
vi (t , x) = v i (t )  imi () ,
(7.5)
(7.6)
 i () =  i () i ( s) , (i=1,2),
где  =| x| (t )
−
1
2,
1
d1
(t ) =
[ T + t ]1+ 11 ,
1 + v1 1
249
1
v i (t ) = di [T + t ]
di
1 − m1 2 1−m1
1
, T = const  0 , mi =
,
,  1 () = (1 −
 )
1 + i
4m1
 2 () = 11+n(1−m1 ) (), s = −(1 − m1 )ln  i () , n =
1 2 + m2 q1 − 1
[
],
m2 q1
1 − m1
система (7.1) приводится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
3−i qi
[ i' + ai(1s) i ]' + [ai(2s) + ai(3s) imi −1 ][ i' + ai(1s) i ] + ai(4s) imi + ai(5s) m
= 0 i = 1,2 .
3−i
В которой  i ( s)  n(i − 1) − (1 − m1 ) −1 ; ai 2 ( s) = 1 + ai1 ( s) +
N
;
2(e s − 1)
m1
M1
e − k (i −1) s ;  i 4 ( s) = −
;
1 (1 − m1 )
(1 − m1 )(e s − 1)
  a ( s)
1
 24 ( s) = − 2 2 s 23 ; 15 ( s) =
;
m2 (e − 1)
(1 − m1 )(1 − e − s )
 i 3 ( s) =
m1 2 e − ls
1
 25 ( s) = −
; k = 1 + (1 − m2 )[n −
;
−s
1 − m1
m2 (1 − m1 )(1 − e )
l=2+n+
при i = 1
1
m1q2 − 1
 i
, i =
,  i =  − −
1
2
1 − m1
i (1 +  i  1 )
при i = 2
d1 d 2 1
Здесь предполагалось  [ 0 ,  ), 0   0   ,  =
Поэтому функция s( ) обладает свойствами:
s  [ 0 ), s0 = s(0 )  0, lim s() = + .
4m1
1 − m1
s ( )  0
при
Отметим, что выбор преобразования (7.5) основанна функции w1 ()
осуществлен методом эталонных уравнений [15] для уравнения
относительно  1 (  ) .
Займемся теперь исследованием асимптики положительных.
Имеющих отличный от нуля конечный предел при s → + решений
системы (7.6).
7.1.2 Асимптотика автомодельных решений системы
Из теоремы Боля [ ] вытекают следующие утверждение.
Теорема 7.1. Пусть дана система дифференциальных уравнений
4
ui = f i ( s) +  cij ( s)u j + gi ( s) X i ( s, u1 ,..., um ), (i = 1,..., m;
j =1
250
(7.7)
в которой f i :[ s0 , + ) → R, gi :[ s0 ,+] → R (i = 1,.., m) ,
cij :[ s0 , + ) → R (i , j = 1,.., m) непрерывные, а функции i , i k, l:
k = 1 + (1 − m2 )( n −
l =2+n+
m1q2 − 1
1 − m1
- непрерывные по совокупности переменных в
X i : → R ( I = 1,..., M )
области
1
),
1 − m1


.
 = S0 ,+)  D, D = (U1 ,...U M ): U J   , J = 1,..., M ;0    R
Если
1) lim f i (s) = 0, lim gi (s) = const
s →+
s →+
(i = 1,..., m),
lim cji ( s) = cij0 , cij0  + (i , j = 1,..., m);
s →+
2) Корни
о
(i=1,...,m) характеристического уравнения
det
где
3)
шо -

m
i , j =1
= 0,
символ Кронекера ,таковы, что R  j  0 (j=1,...,m);
X i ( s,0,...,0)  0
4) Функции
Липшица

cij0 − ij
(i = 1,..., m)
на промежутке  s0 ,+);
X i ( (i = 1,..., m)
удовлетворяют в области  условию
m
X i ( s, u11 ,..., um1 ) − X i ( s, u12 ,..., um2 )    u1j − u 2j
,
где
0   R
и
j =1
(u11,..., u1m ),(u12 ,..., um2 ) − любые точки из области D, то при достаточно малой
 у системы уравнений (7.7) существует по крайней мере одно
вещественное решение (u1 ( s),..., um ( s)), стремящееся к нулю при s → +.
Если же кроме того, хотя бы для одного j  1,..., m R  j  0, то у системы
уравнений
(7.7) существует бесконечное множество решений
стремящихся к нулю при s → + .
Введем обозначения
b11 =
m1
, b12 = −b11 , b13 = 1 ,
1 − m1
b21 = (n −
b31 =

m1 
m1
1 
1 
)n −
 , b22 =
n−
,
1 − m1 
1 − m1 
 2 (1 − m1 )  1 − m1 
m12
.
m2 (1 − m1 )
Теорема 7.2 Пусть выполнены условия (7.2), (7.3), (7.4)
251
И если =±1, k<0, l<0, то k≠l. Тогда для существование у системы
(1.1) решения (v1 , v2) вида
pi
  | x |12 
vi (t , x) = z vi (t ) 1 −
 (1 +  i (t , x)), (i = 1, 2)
4 ( x) 

mi
i
(7.8)
1
1
0

z

+
,
i
=
1
,
2
;
P
=
,
P
=
m
(
n
+
):
i
1
2
2
где

1− m
1
1
 i (t , x ) -непрерывно
дифференцируемые
функции,
обладающие
| x|
2
→
, необходимо чтобы соблюдалось
свойством  i (t , x ) →0 при
(t )
1
одно из следующих условии Qi (i = 1,...,4):
m
1
Q1 . n =
, либо n = 1 и z2 = c, где 0  c - число при
1 − m1
1 − m1
котором z1 является корнем нелинейного алгебраического уравнения
b11 z1 + b12 z1m1 + b13c m2q1 = 0
(7.9)
Q2. k>0, l=0 и zi (i=1,2) является корнями системы нелинейных
алгебраических уравнений
m1 −1

+ b13z1−1z2m2 q1 = 0
b11 + b12 z1

v1q −1

b21 + b23z1 z2 = 0;
Q3. k = 0, l  0 и zi (i = 1,2)
являются
нелинейных алгебраических уравнений
корнями
системы
m −1
−1 m q

b11 +b12 z1 1 + b13z1 z2 2 1 = 0,

m2 −1

= 0,
b21 +b22 z2
Q4 . k = 0,
l=0
и
zi (i = 1,2)
bi1 + bi 2 zimi −1 + bi 3 zi−1z3m−3i−i qi = 0 (i=1,2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу преобразований (7.5),(7.6) нам
достаточно доказать, что для существования у системы (7.6) решений
(1 ( s ), 2 ( s)) вида
i (s) = zi + 0(1),
s → +
(i = 1, 2)
(7.10)
необходимо, чтобы соблюдалось одно из условий Qi (i = 1, ...,4)
252
Предложим, что система (2.6) имеет решение (1 ( s),2 ( s)) вида
(7.10). Подставляя это решение в систему (7.6) и полагая
ui (s) = i (s) + ai1 (s)i ( s) (i = 1, 2)
(7.11)
получим тождество
ui ( s )  −[ai 2 ( s ) + ai 3 ( s )imi −1 ( s )]ui ( s ) −
−ai 4 ( s )imi ( s ) − ai 5 ( s )3m−3i−iqi ( s ),
Допустим, что для функций ui ( s)
(7.12)
(i = 1, 2)
(i = 1,2) пределы при s → + не
существуют.
Пусть
n
m1
,
1 − m1
n−
если
k  0,
l  0,
(7.13)
m1
m1
+
z2m2 −1  0,
1 − m1  2 (1 − m1 )
если
k = 0,
(7.14)
l0
Не трудно видеть, что соответствующая правой части тождества (7.14)
функция
Fi (ci , s) = −ci [ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ( s)] − ai 4 ( s)
3 − iqi
imi ( s) − ai 5 ( s) m
( s)
3− i
(i = 1,2),
где ci  R, сохраняет знак, т.е. удовлетворяет одному из неравенств
Fi (ci , s)  0, Fi (ci , s)  0
(i = 1,2)
(7.15)
на некотором промежутке [ sci ,+ )  [ s0 ,+ ).
В силу колебаемости функции ui ( s)
(i = 1,2) прямую
ui = ci ее
график бесконечное число раз пересекает на интервале [ sci ,+ ) . Но это
невозможно, т.к. на интервале [ sci ,+ ) справедливо одно из
неравенств (7.15) и поэтому из тождества (7.13) следует, что график
функции ui ( s) (i = 1,2) пересекает прямую ui = ci только один раз на
интервале
[ sci ,+ ) .
Следовательно,
существует предел при s → + ,
253
для
функции
ui ( s)
(i = 1,2)
Рассмотрим теперь случай, когда не выполнено (7.13), либо (7.14).
в этом случае достаточно доказать существование предела при s → +
функции u2 ( s), т.к. функция F1 (c1 , s) сохраняет знак на промежутке
[ sc1 ,+ ) и стало быть для u1 ( s), существует предел при s → + .
Существует последовательность значений
некоторой окрестности
+  , в которых
sj
( j = 1,2,...)
u21 ( si ) = 0
из
( j = 1,2,...).
Следовательно, из тождества (7.13) следует, что в этих точках график
функции u2 ( s) бесконечное число раз пересекается с графиком
функции
b23
m
m q
[ − e ks 2 2 ( s ) + e − ( l −1) s1 1 2 ( s )]
1− e − s
E(s) =
m1
m1
m −1
N
( n−
) es +
+
e(1− k ) s 2 2
(s)
1− m1
2(1− e − s )  2 (1− m1 )
,
Эта функция в случае n = m1 (1 − m1 ) −1 в силу соотношений
k = m2 ,0  m2  1, l  1 , а также в случае k = 0, l  0 стремится к
нулю при s → + . Поэтому среди точек s j ( j = 1,2,...) найдется хотя бы
одна, такая, что либо u2 ( s j )  E ( s j ),
максимума функции
т. е.
s j точка локального
u2 ( s) , либо u2 ( s j )  E ( s j ), т.е.
s j -точка
локального минимума функции u2 ( s) . Но это противоречит условию
u2 ( s j ) = 0
( j = 1,2,...), а значит для функции u2 ( s) существует
предел при s → + . Так как по предположению i ( s)
представление (7.3), а функция ui ( s)
(i = 1,2) имеет
(i = 1,2) определена согласно (7.4)
и имеет предел при s → + , то i ( s) (i = 1,2) также имеет предел при
s → +, причем равный нулю. Тогда
ui ( s) = i ( s) + ai1 ( s) i ( s) = ai01i0 + 0(1)
(i = 1,2)
(7.16)
при s → + и в силу (7.9) производная функции ui ( s) имеет предел
s → + , который очевидно равен нулю. Следовательно,
при
необходимо, чтобы
Lim {[ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ]ui ( s) + ai 4 ( s) imi ( s) +
s → +
3−i qi
+ ai 5 ( s) m
( s)} = 0
3− i
(i = 1,2)
254
Отсюда, с учетом условия теоремы 7.2 и (7.4) легко убедиться в том,
что при k<0, либо l<0 система (7.6) не может иметь решения ( 1 ( s),  2 ( s))
с конечным не равным нулю пределом s → + , при k  0, l  0 для
существование таких решении необходимо, чтобы соблюдалось одно из
условий Qi , i = 1,2,3,4 . Отсюда, с учетом преобразований (7.5), (7.6)
убеждаемся в справедливости теоремы 7.2.
Теорема 7.3 Пусть выполнены условия теоремы 7.2 и одно из
условий Qi ,i = 2,3,4
4 − a 1 3 + a 2 2 − a 3  + a 4 = 0
(3,10)
в котором
a 1 = a + b; a 2 = ab + c + d ; a 3 = ad + bc; a 4 = cd − d ;
где
a = b11 (1 + m1−1 − z1m −1 )
i  {2,3,4};
при
1
c = b112 ( m1−1 − z1m −1 )
при
i  {2,3,4};
b = b11 (1 + m1−1 ) - 2n
при
i = 2; b =
1
b = b11 (1 + m1−1 −  −2 1 z 2m −1 ) - 2n при
2
d = b21
1
=n
1 − m1
i = 4;
при i = 2 ; d = b21 (1- m 2 ) при
d = b21 + m 2 b 22 z m2
2
при i = 3 ; g = 0 при
-1
g = m2 q 1 q 2 b21 b112 (1 − z1m −1 )
1
при i = 3
i = 4;
i = 3;
при i = 2;
g = m2 q 1 q 2 b112 (1 − z1m −1 )(b21 + b 22 z 2m −1 )
1
2
при i = 4;
имеют ненулевые вещественные части, то у системы (7.1) существует по
крайней мере одно решение (v1; v2) допускающее представление (7.5).
Если же кроме того хотя бы для одного j {1,2,3,4} Re  j  0 , то у
системы (7.1) существует бесконечное множество таких решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя к системе уравнений (7.6)
преобразование
i (s) = zi [1+ ui (1)],
i (s) + ai1 (s)i (s) = ai01zi [1 + ui +2 (s)], (i = 1, 2)
(7.17)
получим систему уравнений
4
ui = fi ( s) +  cij (s)u j + gi (s) X i (s, u1 ,..., u4 ),
j =1
в которой
255
(i = 1, 4)
(7.18)
f i ( s)  0, i = 1,2 f i ( s) = −[ai −2,2 ( s) + i −2 ( s) + i −2 ( s) + i −2 ( s)], i = 3,4
 i ( s) = zimi −1ai 3 ( s),  i ( s) =
 i ( s) =
ai 4 ( s) mi −1
zi ,
ai01
1 −1 m3−i vi
zi z3−i ai 5 ( s), i = 1,2;
ai01
cii ( s)  −ai01 , ci ,i +2 ( s)  ai01 , i = 1,2;
cii ( s) = −[ai −2,2 ( s) +  i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,i −2 ( s) = −[(mi −2 − 1)i −2 ( s) + mi −2i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,5−i ( s) = −m5−i qi −2i −2 ( s), i = 3,4;
cij ( s)  0, i , j = 1,..,4;
j  i , i + 2 п ри i = 1,2; и
j  i , i + 2,5 − i п ри i = 3,4
gi ( s)  0, i = 1,2; gi ( s)  −1, i = 3,4;
X i ( s, u1 ,..., u4 )  0, i = 1,2;
X i ( s, u1 ,..., u4 ) =  i −2 ( s)[1 + ui −2 ]mi −2 −1 + [1 + ui ] + i −2 ( s)[1 + ui −2 ]mi −2 +  i −2 ( s)[1 + u5−i ]mi −2 −vi −2 +
+ ci ,i −2 ( s)ui −2 −  i −2 ( s)ui + ci ,5−i ( s)u5−i − [ i −2 ( s) + i −2 ( s) +  i −2 ( s)], i = 3,4; .
Легко видеть, что Xi (s,0,...,0) = 0 на промежутке [s0 ,+] и в силу
i (s),  i ( s), (i = 1,2), частные
ограниченности функции i ( s),
производные
X i ( s, u1 ,..., u4 )
→ 0, (i , j = 1,...,4)
u j
4
при
 |u j | → 0 ,
j =1
равномерно s [ s0 ,+) , следовательно, для достаточно малого   0
существует область
 = [ s0 ,+) XD , D = {(u1 ,..., u4 ):|ui | (), i = 1,...,4; 0  ()  1};
в которой функции Xi (s, u1,..., u4 )
Липшица
| X i (s, u11 ,..., u41 ) −
(i = 1,...,4) удовлетворяют условию
X i (s, u12 ,..., u42 )|
4
  |u1j − u2j |
j=1
где
любые точки области D , при выполнении
любого из условий Qi (i = 2,3,4) выполнено условие 1) теоремы 7.1
Следовательно, используя систему алгебраических уравнений из
Qi (i = 2,3,4) легко видеть, что характеристическое уравнение
det[ cij0 −  i , j ]i4, j =1 = 0 примет вид (7.16). Таким образом, если корни
 j ( j = 1,...,4) уравнения (7.17) имеют ненулевые вещественные части, то
для системы уравнений (7.18) выполнены в области  все условия
(u11 ,..., u41 )
, (u12 ,..., u42 )
256
теоремы 7.1. Тогда, эта система уравнений имеет по крайне мере одно
вещественное решение (u1(s), ..., u4(s)) стремящееся к нулю при s → +
, причем таких решений существует бесконечно много, если Re j  0
хотя бы для одного j {2,3,4} . Поэтому, ввиду преобразований (7.18),
(7.6) и (7.5) у системы уравнений (7.1) существует решения (v1; v2) и
удовлетворяющие асимптотическим соотношениям (7.5), и таких
решений бесконечно много, если Re j  0 хотя бы для одного j {1,2,3,4}
. Теорема 7.3 доказана.
Замечание 7.1. При выполнении условия Q3 алгебраическое
уравнение (3.10) распадается на следующие два уравнения
2 − a + c = 0, 2 − b + d = 0
7.2 Асимптотическое поведение автомодельных решений для
одного класса системы квазилинейных параболических
уравнений
Рассмотрим в области Q={(t,x): 0< t < , xRN} параболическую
систему двух квазилинейных уравнений
vi
= (vi i vi ) +  vi pi v3q−i i ,
t
(i = 1, 2)
(7.19)
где =1, i, pi, qi (i=1,2) - положительные вещественные числа, ()gradx(), vi = vi (t,x) 0 (i=1,2) искомые решения.
Cистема (7.19) описывает многие физические явления: процессы
теплопроводности в двухкомпонентной нелинейной среде, при наличии
источников или поглощений; фильтрацию в нелинейной двухфазной
qi
жидкости и газа, подчиненной законом политропии. Члены  vipi v3−
i, i =
1,2, означает мощность источников или стоков. Функции vi можно
трактовать также как температуры взаимодействующих друг с другом
компонент некоторой горючей смеси [1,2].
В настоящей работе построены асимптотические представления
автомодельных решение системы (7.19)
Отметим что для таких решений вопрос о существовании и
асимптотической устойчивости в этих работах оставался открытым.
При исследовании задачи Коши и краевых задач для системы
уравнений (7.19) играют автомодельные решения которые несмотря на
то, что удовлетворяют специальным начальным условиям, как доказано
в некоторых частных случаях [ ], превращаются в глобальные
характеристики системы (7.19). Под автомодельным решением
257
понимаются частные решение системы (7.19), специальным образом
зависящие от t и x, и удовлетворяющие системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такая система обыкновенных
дифференциальных уравнений в данной работе получена алгоритмом
нелинейного расщепления предложенного в [15]. Далее построены
асимптотические представления автомодельных решений системы
(7.19), найдены необходимые и достаточные признаки существования
этих решений на основе исследования положительных решений
полученной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Причем, для установления главного члена асимптотики использован
метод эталонных уравнений [11].
7.2.1 Алгоритм нелинейного расщепления для параболической
системы квазилинейных уравнений (7.17)
Ниже мы опишем один из способов получения приближенного
автомодельной системы уравнении для (7.19). Он состоит в следующем:
в начале решаются система обыкновенных дифференциальных
уравнений
dvi
= vi pi v3q−i i (i = 1,2)
dt
(7.20)
которая имеет решения вида,
 1− N
dy
d
 dyi
( N −1 yi i i ) +
− i ( yi − yi p i y3q−i i ) = 0
d
d
2 i d 
(7.21)
vi
при i = 1
 1
 i =  − 
 i (1 + vi  i )
 d 1 d 2 при i = 2
Согласно этому методу, сначала решается система обыкновенных
дифференциальных уравнений (7.21), которая имеет решения вида
где  i =
1
2
vi (t ) = di (  + t ) vi ,
где
−
1
q
di = [vi v3q−i i ] ,
vi = 
1 + qi
,
q
q = 1 − q1q2  0, i = 1,2 (7.22)
Здесь функции v i (t ) - представляют собой «вклады» источников
или стоков в решение системы (7.19). А затем решение системы (7.19)
ищется в виде
258
vi (t , x) = vi (t ) wi ( , x),
(i = 1, 2),
где
 =  (t )
выбирается
так
d11
 (t ) =  v1 (t )dt =
( + t )1+ v11 при 1 + 1v1 1  0
1 +  v11
1
Тогда для wi (, x) получим систему уравнений
wi
= wi ( wi1 wi ) + i ( wi pi w3q−i i − wi ) ,
(7.23)

v1 1 = v2  2 , di  0 . В этом случае полагая
Пусть 1 +  v1 1  0 ,
wi ( (t ), x) = f (),
 =| x|/ 1/ 2 , i =1, 2 , и учитывая, что уравнение для
wi (, x) без младших членов всегда автомодельно, получим систему
(7.23).
Теперь займемся асимптотикой решений уравнения (7.21) при  →  0
Произведя замену в (7.19)
vi (t , x) = v i (t )  imi () ,
(7.24)
 i () =  i () i ( s) ,(i=1,2),
где  =| x| (t )
−
1
2,
1
d1
(t ) =
[ T + t ]1+ 11 ,
1 + v1 1
1
v i ( t ) = d i [ T + t ]di ,
T = const  0 ,
1 − m1 2 1−m1
1
,
mi =
,  1 () = (1 −
 )
1 + i
4m1
 2 () = 11+n(1−m1 ) (), s = −(1 − m1 )ln  i () , n =
1 2 + m2 q1 − 1
[
]
m2 q1
1 − m1
система (7.19) приводится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
3−i qi
[ i' + ai(1s) i ]' + [ai(2s) + ai(3s) imi −1 ][ i' + ai(1s) i ] + ai(4s) imi + ai(5s) m
=0
3−i
i = 1,2 ,
в которой  i ( s)  n(i − 1) − (1 − m1 ) −1 ; ai 2 ( s) = 1 + ai1 ( s) +
m1
M1
e − k (i −1) s ;  i 4 ( s) = −
;
s
1 (1 − m1 )
(1 − m1 )(e − 1)
  a ( s)
1
 24 ( s) = − 2 2 s 23 ; 15 ( s) =
;
m2 (e − 1)
(1 − m1 )(1 − e − s )
 i 3 ( s) =
259
N
;
2(e s − 1)
m12 e − ls
1
;
k
=
1
+
(
1
−
m
)[
n
−
];
2
1 − m1
m2 (1 − m1 )(1 − e − s )
при i = 1
1
m q −1
 i
l=2+n+ 1 2
, i =
,  i =  − −
1
2
1 − m1
i (1 +  i  1 )
при i = 2
d1 d 2 1
25 ( s) = −
Здесь предполагалось  [ 0 ,  ), 0   0   ,  =
4m1
1 − m1
Поэтому функция s() обладает свойствами: s()  0 при
s  [ 0 ), s0 = s(  0 )  0 , lim s() = + .
Отметим, что выбор преобразования (7.23) основанна функции
w1 () осуществлен методом эталонных уравнений [15] для уравнения
относительно  1 ( ) .
Займемся теперь исследованием асимптотики положительных.
Имеющих отличный от нуля конечной предел при s → + решений
системы (9,21).
7.2.2 Асимптотика автомодельных решений системы (7.19)
Прежде чем доказать теоремы об асимптотики решение системы
(7.19) приведем, вытекающий из теоремы Боля [ ] один результат
Теорема 7.4 Пусть дана система дифференциальных уравнений
4
ui = f i ( s) +  cij ( s)u j + gi ( s) X i ( s, u1 ,..., um ), (i = 1,..., m;
(7.25)
j =1
в которой f i :[ s0 , + ) → R, gi :[ s0 ,+] → R (i = 1,.., m) ,
cij :[ s0 , + ) → R (i , j = 1,.., m) непрерывные, а функции i , i k, l:
k = 1 + (1 − m2 )( n −
X i : → R ( I = 1,..., M )
1
),
1 − m1
m1q2 − 1
1 − m1
-непрерывные по совокупности переменных в
области  =  S0 ,+)  D, D = (U1 ,...U M ): U J
Если
1) lim f i ( s) = 0, lim gi ( s) = const
s →+
l =2+n+
s →+

  , J = 1,..., M ;0    R
(i = 1,..., m),
lim cji ( s) = cij0 , cij0  + (i , j = 1,..., m);
s →+
2) Корни
о
(i=1,...,m) характеристического уравнения
260

det c − ij
где
0
ij
шо -символ

m
i , j =1
= 0,
Кронекера ,таковы , что R  j  0 (j=1,...,m);
на промежутке  s0 ,+);
X i ( (i = 1,..., m) удовлетворяют в области  условию
3) X i ( s,0,...,0)  0 (i = 1,..., m)
4) Функции
Липшица
m
X i ( s, u11 ,..., um1 ) − X i ( s, u12 ,..., um2 )    u1j − u 2j
j =1
где 0    R и (u ,..., u ),(u ,..., u ) − любые точки из области D, то при
достаточно малой  у системы уравнений (7.25) существует по крайней
мере одно вещественное решение (u1 ( s),..., um ( s)), стремлящееся к нулю
при s → +. Если же кроме того, хотя бы для одного j  1,..., m R  j  0,
то у системы уравнений (7.25) существует бесконечное множество
решений стремящихся к нулю при s → + .
Введем обозначения
1
1
b11 =
2
1
2
m
m1
, b12 = −b11 , b13 = 1 ,
1 − m1
b21 = (n −
b23 =
1
m

1 
m1 
m1
1 
 , b22 =
n −

) n −
1 − m1 
1 − m1 
2 (1 − m1 )  1 − m1 
m12
m2 (1 − m1 )
Теорема 7.5 Пусть выполнены условия (7.19), (7.20), (7.22) и если
=±1, k<0, l<0, то k≠l. Тогда для существование у системы (1.1) решения
(v1 , v2) вида
pi
  | x |12 
v (t , x) = z vi (t ) 1 −
 (1 +  i (t , x)), (i = 1, 2)
4 ( x) 

mi
i
(7.26)
где
0  zi  + , i = 1,2; P1 =
1
1
, P2 = m2 ( n +
):
1
1 − m1
 i (t , x ) -непрерывно
дифференцируемые
функции
обладающие
| x|
2
→
, необходимо чтобы соблюдалось
свойством  i (t , x ) →0 при
(t )
1
одно из следующих условий Qi
(i = 1,...,4):
261
Q1 . n =
1
,
1 − m1
либо
n=
m1
1 − m1
z2 = c,
и
где
0  c - число при
котором z1 является корнем нелинейного алгебраического уравнения
b11 z1 + b12 z1m1 + b13c m2q1 = 0
Q2. k>0, l=0 и zi (i=1,2) является корнями системы нелинейных
алгебраических уравнений
m1 −1

+ b13z1−1z2m2 q1 = 0
b11 + b12 z1

v1q −1

b21 + b23z1 z2 = 0;
Q3. k = 0, l  0 и zi (i = 1,2)
являются
корнями
системы
нелинейных алгебраических уравнений
m −1
−1 m q

b11 +b12 z1 1 + b13z1 z2 2 1 = 0,

m2 −1

= 0,
b21 +b22 z2
Q4 . k = 0, l = 0 и zi (i = 1,2)
bi1 + bi 2 zimi −1 + bi 3 zi−1z3m−3i−i qi = 0 (i=1,2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу преобразований (7.22), (7.23) нам
достаточно доказать, что для существования у системы (7.24) решений
( 1 ( s), 2 ( s)) вида
i ( s) = zi + 0(1),
s → +
(i = 1,2)
(7.27)
необходимо, чтобы соблюдалось одно из условий Qi (i = 1, ...,4)
Предложим, что система (7.6) имеет решение ( 1 ( s), 2 ( s)) вида
(7.27). Подставляя это решение в систему (7.6) и полагая
ui ( s) = i ( s) + ai1 ( s) i ( s)
(i = 1,2)
(7.28)
получим тождество
ui ( s)  −[ ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ( s)]ui ( s) −
−
ai 4 ( s) imi
( s) −
3 − iqi
ai 5 ( s) m
3−i
( s)
Допустим, что для функций ui ( s)
s → + не существуют.
Пусть
262
(i = 1,2)
(7.29)
(i = 1,2) пределы при
n
m1
,
1 − m1
n−
k  0,
если
l  0,
(7.30)
m1
m1
+
z2m2 −1  0,
1 − m1  2 (1 − m1 )
если
k = 0,
(7.31)
l0
Нетрудно видеть, что соответствующая правой части тождества
(7.30) функция
Fi (ci , s) = − ci [ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ( s)] − ai 4 ( s)
3 − iqi
imi ( s) − ai 5 ( s) m
( s)
3− i
(i = 1,2),
где ci  R, сохраняет знак, т.е. удовлетворяет одному из неравенств
Fi ( ci , s)  0, Fi ( ci , s)  0
(i = 1,2)
(7.32)
на некотором промежутке [ sci ,+ )  [ s0 ,+ ).
В силу колеблемости функции ui ( s)
(i = 1,2) прямую
ui = ci ее
график бесконечное число раз пересекает на интервале [ sci ,+ ) . Но
это невозможно, т.к. на интервале [ sci ,+ ) справедливо одно из
неравенств (7.29) и поэтому из тождества (7.26) следует, что график
функции ui(s) (i=1, 2) пересекает прямую ui = ci только один раз на
интервале [ sci ,+ ) . Следовательно, для функции ui(s) (i=1, 2)
существует предел при s → + .
Рассмотрим теперь случай, когда не выполнено (7.27), либо (7.28).
В этом случае достаточно доказать существование предела при
s → + функции u2 ( s), т. к. функция F1 (c1 , s) сохраняет знак на
промежутке [ sc1 ,+ ) и стало быть для u1 ( s), существует предел при
s → + .
Существует последовательность значений s j ( j = 1,2,...) из
некоторой окрестности
+  , в которых
u21 ( si ) = 0
( j = 1,2,...).
Следовательно, из тождества (7.26) следует, что в этих точках график
функции u2 ( s) бесконечное число раз пересекается с графиком
функции
263
b23
m
m q
[ − e ks 2 2 ( s ) + e − ( l −1) s 1 1 2 ( s )]
1− e − s
E ( s) =
m1
m1
m −1
N
(n−
)es +
+
e (1− k ) s 2 2
( s)
1− m1
2 (1− e − s )  2 (1− m1 )
,
Эта функция в случае n = m1 (1 − m1 ) −1 в силу соотношений
k = m2 ,0  m2  1, l  1 , а также в случае k = 0, l  0 стремится к
нулю при s → + . Поэтому среди точек s j ( j = 1,2,...) найдется
хотя бы одна, такая, что либо u2 ( s j )  E ( s j ),
т. е.
sj
точка
локального максимума функции u2 ( s) , либо u2 ( s j )  E ( s j ), т.е. s j точка локального минимума функции u2 ( s) . Но это противоречит
условию u2 ( s j ) = 0 ( j = 1,2,...), а значит для функции u2 ( s)
существует предел при s → + . Так как по предположению
i ( s) (i = 1,2) имеет представление (7.27), а функция ui ( s) (i = 1,2)
определена согласно (7.25) и имеет предел при
i ( s)
s → + , то
(i = 1,2) также имеет предел при s → + , причем равный
нулю. Тогда
ui (s) = i (s) + ai1 (s)i (s) = ai01i0 + 0(1),
(i = 1, 2)
(7.33)
при s → + и в силу (7.26) производная функции ui ( s) имеет предел
при s → + , который очевидно равен нулю. Следовательно,
необходимо, чтобы
Lim {[ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ]ui ( s) + ai 4 ( s) imi ( s) +
s → +
3−i qi
+ ai 5 ( s) m
( s)} = 0
3− i
(i = 1,2)
Отсюда, с учетом условия теоремы (7.25) и (7.33) легко убедиться в
том, что при k<0, либо l<0 система (7.27) не может иметь решения
(1 ( s),2 ( s)) с конечным не равным нулю пределом s → + , при k  0, l  0
для существования таких решений необходимо, чтобы соблюдалось
одно из условий Qi , i = 1,2,3,4 . Отсюда с учетом преобразований
(7.4),(7.5) убеждаемся в справедливости теоремы 7.6
Теорема 7.6 Пусть выполнены условия теоремы 7.5 и одно из
условии Qi ,i = 2,3,4
264
 4 − a1 3 + a2 2 − a3 + a4 = 0
(7.34)
в котором a1 = a + b; a2 = ab + c + d ; a3 = ad + bc; a4 = cd − d ;
где
a = b11 (1 + m1−1 − z1m1 −1 )
c = b112 (m1−1 − z1m1 −1 )
b = b11 (1 + m1−1 ) - 2n
i  {2,3, 4};
при
при
i  {2,3, 4};
при
i = 2; b =
b = b11 (1 + m1−1 −  2−1 z2m2 −1 ) - 2n при
d = b21
при
d = b21 + m2b22 z2m2 -1
1
=n
1 − m1
при i = 3
i = 4;
i = 2 ; d = b21 (1- m2 ) при
при i = 3 ; g = 0 при
g = m2 q1q2b21b112 (1 − z1m1 −1 )
i = 4;
(7.35)
i = 3;
при i = 2;
g = m2 q1q2b112 (1 − z1m1 −1 )(b21 + b22 z2m2 −1 )
при
i = 4;
имеют ненулевые вещественные части, то у системы (7.19) существует,
по крайней мере одно решение (v1; v2) допускающее представление (3.2).
Если же кроме того хотя бы для одного j {1,2,3,4} Re  j  0 , то у
системы (7.19) существует бесконечное множество таких решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя к системе уравнений (7.6)
преобразование
i ( s) = zi [1 + ui (1)],
i (s) + ai1 (s)i (s) = ai01zi [1 + ui +2 (s)],
(i = 1, 2)
(7.36)
получим систему уравнении
4
ui = fi ( s) +  cij ( s)u j + gi ( s) X i ( s, u1 ,..., u4 ),
(i = 1, 4)
j =1
в которой
f i ( s)  0, i = 1,2 f i ( s) = −[ai −2,2 ( s) + i −2 ( s) + i −2 ( s) + i −2 ( s)], i = 3,4
 i ( s) = zimi −1ai 3 ( s),  i ( s) =
 i ( s) =
ai 4 ( s) mi −1
zi ,
ai01
1 −1 m3−i vi
zi z3−i ai 5 ( s), i = 1,2;
ai01
cii ( s)  −ai01 , ci ,i +2 ( s)  ai01 , i = 1,2;
cii ( s) = −[ai −2,2 ( s) +  i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,i −2 ( s) = −[(mi −2 − 1)i −2 ( s) + mi −2i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,5−i ( s) = −m5−i qi −2i −2 ( s), i = 3,4;
265
(7.37)
cij ( s)  0, i , j = 1,..,4; j  i , i + 2 п ри i = 1,2; и j  i , i + 2,5 − i п ри i = 3,4
gi ( s)  0, i = 1,2; gi ( s)  −1, i = 3,4;
X i ( s, u1 ,..., u4 )  0, i = 1,2;
X i ( s, u1 ,..., u4 ) =  i −2 ( s)[1 + ui −2 ]mi −2 −1 + [1 + ui ] + i −2 ( s)[1 + ui −2 ]mi −2 +  i −2 ( s)[1 + u5−i ]mi −2 −vi −2 +
+ ci ,i −2 ( s)ui −2 −  i −2 ( s)ui + ci ,5−i ( s)u5−i − [ i −2 ( s) + i −2 ( s) +  i −2 ( s)], i = 3,4;
легко видеть, что Xi (s,0,...,0) = 0 на промежутке [s0 ,+] и в силу
i (s),  i ( s), (i = 1,2), частные
ограниченности функции i ( s),
производные
X i ( s, u1 ,..., u4 )
→ 0, (i , j = 1,...,4)
u j
4
при
 |u j | → 0
j =1
равномерно s [ s0 ,+) , следовательно, для достаточно малого   0
 = [s0 , +) XD , D = {(u1 ,..., u4 ) :| ui |  ( ), i = 1,..., 4;
существует область
(i = 1,...,4) удовлетворяют
0   ( )  1}; в которой функции X i (s, u1 ,..., u4 )
условию Липшица
| X i (s, u11 ,..., u41 ) −
X i (s, u12 ,..., u42 )|
4
  |u1j − u2j |
j=1
где (u11 ,..., u41 ) , (u12 ,..., u42 ) любые точки области D при выполнении
любого из условий Qi (i = 2,3,4) выполнено условие 1) теоремы 7.5.
Следовательно, используя систему алгебраических уравнены из
Qi (i = 2,3,4) легко видеть, что характеристическое уравнение
det[ cij0 −  i , j ]i4, j =1 = 0 примет вид (7.33). Таким образом, если корни
 j ( j = 1,...,4) уравнения (7.33) имеют ненулевые вещественные части, то
для системы уравнений (7.35) выполнены в области  все условия
теоремы 7.5. Тогда, эта система уравнений имеет по крайне мере одно
вещественное решение (u1(s), ..., u4(s)) стремящееся к нулю при s → +
причем таких решений существуют бесконечно много, если Re j  0
хотя бы для одного j {2,3,4} . Поэтому, ввиду преобразований (7.34),
(7.6) и (7.4) у системы уравнений (7.19) существуют решения (v1; v2) и
удовлетворяющие асимптотическим соотношениям (3.2), и таких
решений бесконечно много, если Re j  0 , хотя бы для одного
j {1,2,3,4} . Теорема 7.6 доказана.
Замечание 7.2 При выполнения условии Q3 алгебраическое
уравнение (3.10) распадается на следующие два уравнения
266
2 − a + c = 0, 2 − b + d = 0
7.3 Асимптотическое поведение автомодельных решений для
одного класса системы квазилинейных параболических
уравнений
Рассмотрим в области Q={(t,x): 0< t < , xRN} параболическую
систему двух квазилинейных уравнений
vi
= (vi i vi ) +  vi pi v3q−i i ,
t
(i = 1, 2)
(7.38)
где =1, i, pi , q i (i=1,2) - положительные вещественные числа, ()gradx(), vi = vi (t,x) 0 (i=1,2) искомые решения.
Cистема (7.38) описывает многие физические явления: процессы
теплопроводности в двухкомпонентной нелинейной среде, при наличии
источников или поглощений; фильтрацию в нелинейной двухфазной
pi qi
v3− i ,
жидкости и газа, подчиненной законам политропии. Члены  vi
i=
1,2, означают мощность источников или стоков. Функции vi можно
трактовать также как температуры взаимодействующих друг с другом
компонент некоторой горючей смеси [1,2].
В настоящей работе построены асимптотические представления
автомодельных решений системы (7.38)
Отметим что для таких решений вопрос о существовании и
асимптотической устойчивости в этих работах оставался открытым.
При исследовании задачи Коши и краевых задач для системы
уравнений (7.38) играют автомодельные решения которые несмотря на
то, что удовлетворяют специальным начальным условиям, как доказано
в некоторых частных случаях [ ], превращаются в глобальные
характеристики системы (7.38). Под автомодельным решением
понимаются частные решения системы (7.38), специальным образом
зависящие от t и x, и удовлетворяющие системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такая система обыкновенных
дифференциальных уравнений в данной работе получена алгоритмом
нелинейного расщепления предложенного в [15]. Далее построены
асимптотические представления автомодельных решений системы
(7.38), найдены необходимые и достаточные признаки существование
этих решений на основе исследования положительных решений
полученной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Причем, для установления главного члена асимптотики использован
метод эталонных уравнений [11].
267
7.3.1 Алгоритм нелинейного расщепления для параболической
системы квазилинейных уравнений (7.38)
Ниже мы опишем один из способов получения приближенного
автомодельной системы уравнений для (7.38). Он состоит в следующем.
В начале решается система обыкновенных дифференциальных
уравнений
dvi
= vi pi v3q−i i
dt
(i = 1,2)
(7.39)
которая имеет решения вида,
 1− N
где  i =
d
 dyi
 dyi
q
( N −1 yi i
)+
− i ( yi − yi p i y3−i i ) = 0
d
d
2i d
vi
 i (1 + vi  i )
(7.391)
при i = 1
 1
 i =  − 
при i = 2
d 1 d 2
1
2
Согласно этому методу сначала решается система обыкновенных
дифференциальных уравнений (7.39), которая имеет решения вида
vi (t ) = di (  + t ) vi , где
1
−
qi
di = [vi v3− i ] q
, vi = 
1 + qi
, q = 1 − q1q2  0,
q
i = 1,2
(7.40)
Здесь функции v i (t ) - представляют собой «вклады» источников
или стоков в решение системы (7.38). А затем решение системы (7.38)
ищется в виде
vi (t , x) = v i (t ) wi (  , x)
(i = 1,2)
где
 = (t )
d11
( + t )1+ v11 при 1 + 1v11  0
выбирается так:  (t ) =  v1 (t )dt =
1 + v11
1
Тогда для wi (, x) получим систему уравнений
wi
= wi ( wi1 wi ) + i ( wi pi w3q−i i − wi ) ,

(7.41)
Пусть 1 +  v1 1  0 , v1 1 = v2  2 , di  0 . В этом случае полагая
wi ( (t ), x) = f ( ),  =| x | / 1/2 , , i =1, 2 , и учитывая, что уравнение
для wi (, x) без младших членов всегда автомодельно, получим систему
(7.41)
268
Теперь займемся асимптотикой решений уравнения (7.39) при  →  0 .
Произведя замену в (7.38)
vi (t , x) = v i (t )  imi () ,
 i () =  i () i ( s) ,(i=1,2), где  =| x| (t )
v i (t ) = di [T + t ]
di
−
, T = const  0 ,
1
2,
(7.42)
1
d1
(t ) =
[ T + t ]1+ 11 ,
1 + v1 1
1
1 − m1 2 1− m1
1
mi =
, 1 ( ) = (1 −
 ) ,
1+ i
4m1
 2 () = 11+n(1−m1 ) (), s = −(1 − m1 )ln  i () , n =
1 2 + m2 q1 − 1
[
]
m2 q1
1 − m1
система (7.38) приводится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
3−i qi
[ i' + ai(1s) i ]' + [ai(2s) + ai(3s) imi −1 ][ i' + ai(1s) i ] + ai(4s) imi + ai(5s) m
=0
3−i
i = 1,2 ,в
которой
 i ( s)  n(i − 1) − (1 − m1 ) −1 ;
a i 2 ( s ) = 1 + a i 1 ( s) +
N
;
2(e s − 1)
m1
M1
e − k (i −1) s ;  i 4 ( s) = −
;
1 (1 − m1 )
(1 − m1 )(e s − 1)
  a ( s)
1
 24 ( s) = − 2 2 s 23 ; 15 ( s) =
;
m2 (e − 1)
(1 − m1 )(1 − e − s )
 i 3 ( s) =
m12 e − ls
1
;
k
=
1
+
(
1
−
m
)[
n
−
];
2
1 − m1
m2 (1 − m1 )(1 − e − s )
при i = 1
1
m q −1
 i
l=2+n+ 1 2
, i =
,  i =  − −
1
2
1 − m1
i (1 +  i  1 )
при i = 2
d1 d 2 1
25 ( s) = −
Здесь предполагалось
 [ 0 ,  ),
0  0   ,
 =
4m1
1 − m1
Поэтому функция s( ) обладает свойствами: s()  0 при
s  [ 0 ), s0 = s(  0 )  0 , lim s() = + .
Отметим, что выбор преобразования (9,20) основан функции
w1 () осуществлен методом эталонных уравнений [15] для уравнения
относительно  1 (  ) .
269
Займемся теперь исследованием асимптотики положительных.
Имеющих отличный от нуля конечной предел при s → + решений
системы (9,21).
7.3.2 Асимптотика автомодельных решений системы (7.38)
Прежде чем доказать теоремы об асимптотие решений системы
(7.38), приведем один результат вытекающий из теоремы Боля [ ]
Теорема 7.7 Пусть дана система дифференциальных уравнений
4
ui = f i ( s) +  cij ( s)u j + gi ( s) X i ( s, u1 ,..., um ), (i = 1,..., m;
(7.44)
j =1
в которой
f i :[ s0 , + ) → R, gi :[ s0 ,+] → R (i = 1,.., m) ,
cij :[ s0 , + ) → R (i , j = 1,.., m)
непрерывные, а функции i , i k, l:
1
),
1 − m1
k = 1 + (1 − m2 )( n −
X i : → R ( I = 1,..., M )
области
l =2+n+
m1q2 − 1
1 − m1
-непрерывные по совокупности переменных в



 = S0 ,+)  D, D = (U1 ,...U M ): U J   , J = 1,..., M ;0    R
Если
1) lim f i ( s) = 0, lim gi ( s) = const
s → +
(i = 1,..., m),
s → +
lim cji ( s) = cij0 , cij0  +
(i , j = 1,..., m);
s → +
2) Корни
о
(i=1,...,m) характеристического уравнения

det c − ij
где
шо -символ
0
ij

m
i , j =1
= 0,
Кронекера ,таковы , что R  j  0 (j=1,...,m);
3) X i (s,0,...,0)  0 (i = 1,..., m) на промежутке  s0 ,+);
4) Функции X i ( (i = 1,..., m) удовлетворяют в области  условию
Липшица
m
X i ( s, u ,..., u ) − X i ( s, u ,..., u )    u1j − u 2j
1
1
1
m
2
1
2
m
j =1
1
1
2
2
где 0    R и (u1 ,..., um ),(u1 ,..., um ) − любые точки из области D, то при
достаточно малой  у системы уравнений (7.44) существует по крайней
270
мере, одно вещественное решение (u1 ( s),..., um ( s)), стремлящееся к нулю
при s → +. Если же кроме того, хотя бы для одного j  1,..., m R  j  0,
то у системы уравнений (7.44) существует бесконечное множество
решений стремящихся к нулю при s → + .
Введем обозначения
b11 =
m1
, b12 = −b11 , b13 = 1 ,
1 − m1
b21 = (n −
b23 =

1 
m1 
m1
1 
 , b22 =
n −

) n −
1 − m1 
1 − m1 
2 (1 − m1 )  1 − m1 
m12
m2 (1 − m1 )
Теорема 7.8. Пусть выполнены условия (7.39), (7.40), (7.42) и если
=±1, k<0, l<0, то k≠l. Тогда для существования у системы (1.1) решения
(v1 , v2) вида
pi
  | x |12 
v (t , x) = z vi (t ) 1 −
 (1 +  i (t , x)), (i = 1, 2)
4

(
x
)


mi
i
(7.45)
1
1
0

z

+
,
i
=
1
,
2
;
P
=
,
P
=
m
(
n
+
):
i
1
2
2
где

1− m
1
1
 i (t , x )
- непрерывно дифференцируемые функции обладающие
| x|
2
→
, необходимо чтобы соблюдалось
свойством  i (t , x ) →0 при
(t )
1
одно из следующих условии Qi
Q1 . n =
1
,
1 − m1
либо
n=
(i = 1,...,4):
m1
1 − m1
и
z2 = c,
где
0  c - число при
котором z1 является корнем нелинейного алгебраического уравнения
b11 z1 + b12 z1m1 + b13c m2q1 = 0
Q2. k>0, l=0 и zi (i=1,2) является корнями системы нелинейных
алгебраических уравнений
m1 −1
−1 m2 q1

b11 + b12 z1 + b13z1 z2 = 0

v1q −1

b
+
b
z
 21 23 1 z2 = 0;
Q3 . k = 0, l  0 и
zi
(i = 1,2) являются корнями системы
нелинейных алгебраических уравнений
271
b11 +b12 z1m1 −1 + b13z1−1z2m2 q1 = 0,

b21 +b22 z2m2 −1 = 0,
Q4 .
k = 0,
l=0
zi (i = 1,2)
и
bi1 + bi 2 zimi −1 + bi 3 zi−1z3m−3i−i qi = 0 (i=1,2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу преобразований (7.16), (7.39) нам
достаточно доказать, что для существования у системы (7.42) решений
(1 ( s),2 ( s)) вида
i (s) = zi + 0(1),
s → +
(i = 1, 2)
(7.46)
необходимо, чтобы соблюдалось одно из условий Qi (i = 1, ...,4)
Предложим, что система (7.6) имеет решение (1 ( s),2 ( s)) вида
(7.46). Подставляя это решение в систему (7.6) и полагая
ui ( s) = i ( s) + ai1 ( s)i ( s)
(i = 1, 2)
(7.47)
получим тождество
ui ( s)  −[ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ( s)]ui ( s) −
3 − iqi
− ai 4 ( s) imi ( s) − ai 5 ( s) m
( s)
3−i
Допустим, что для функций ui ( s)
(i = 1,2)
(7.48)
(i = 1,2) пределы при
s → + не существуют.
Пусть
n
n−
m1
,
1 − m1
если
k  0,
l  0,
m1
m1
+
z2m2 −1  0,
1 − m1  2 (1 − m1 )
если
k = 0,
(7.49)
(7.49`)
l0
Нетрудно видеть, что соответствующая правой части тождества (7.47)
функция
Fi (ci , s) = − ci [ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ( s)] − ai 4 ( s)
3 − iqi
imi ( s) − ai 5 ( s) m
( s)
3− i
(i = 1,2),
272
где ci  R, сохраняет знак, т.е. удовлетворяет одному из неравенств
Fi ( ci , s)  0, Fi ( ci , s)  0
(i = 1,2)
(7.50)
на некотором промежутке [ sci ,+ )  [ s0 ,+ ).
В силу колеблемости функции ui ( s)
(i = 1,2)
прямую ui = ci
ее график бесконечное число раз пересекает на интервале [ sci ,+ ) Но
это невозможно, т.к. на интервале [ sci ,+ ) справедливо одно из
неравенств (7.48) и поэтому из тождества (7.45) следует, что график
функции ui ( s)
раз
на
ui ( s)
ui = ci только один
(i = 1,2) пересекает прямую
интервале
[ sci ,+ ) .
Следовательно,
для
функции
(i = 1,2) существует предел при s → + ,
Рассмотрим теперь случай, когда не выполнено условие (7.46), либо
(7.47).
В этом случае достаточно доказать существование предела при
s → + функции u2 ( s), т. к. функция F1 (c1 , s) сохраняет знак на
промежутке [ sc1 ,+ ) и стало быть для u1 ( s), существует предел при
s → + .
Существует последовательность значений s j ( j = 1,2,...) из
некоторой окрестности
+  , в которых
u21 ( si ) = 0
( j = 1,2,...).
Следовательно, из тождества (7.45) следует, что в этих точках график
функции u2 ( s) бесконечное число раз пересекается с графиком
функции
b23
m
m q
[ − e ks 2 2 ( s ) + e − ( l −1) s 1 1 2 ( s )]
−
s
1− e
E ( s) =
m1
m1
m −1
N
(n−
)es +
+
e (1− k ) s 2 2
( s)
1− m1
2 (1− e − s )  2 (1− m1 )
,
Эта функция в случае n = m1 (1 − m1 ) −1 в силу соотношений
k = m2 ,0  m2  1, l  1 , а также в случае
нулю при s → + . Поэтому среди точек s j
бы одна, такая, что либо u2 ( s j )  E ( s j ),
273
k = 0, l  0 стремится к
( j = 1,2,...) найдется хотя
т. е.
s j точка локального
максимума функции u2 ( s) , либо u2 ( s j )  E ( s j ), т.е. s j - точка
локального минимума функции u2 ( s) . Но это противоречит условию
u2 ( s j ) = 0
( j = 1,2,...), а значит для функции u2 ( s) существует
предел при s → + . Так как по предположению i ( s)
представление (7.46), а функция ui ( s)
(i = 1,2) имеет
(i = 1,2) определена согласно
(7.44) и имеет предел при s → + , то i ( s) (i
предел при s → + , причем равный нулю. Тогда
= 1,2) также имеет
ui ( s) = i ( s) + ai1 ( s) i ( s) = ai01i0 + 0(1)
(i = 1,2) (7.51)
при s → + и в силу (7.45) производная функции ui ( s) имеет предел
при s → + , который очевидно равен нулю. Следовательно,
необходимо, чтобы
Lim {[ai 2 ( s) + ai 3 ( s) imi −1 ]ui ( s) + ai 4 ( s) imi ( s) +
s → +
3−i qi
+ ai 5 ( s) m
( s)} = 0
3− i
(i = 1,2)
Отсюда, с учетом условия теоремы (7.44) и (7.51) легко убедиться в
том, что при k<0 , либо l<0 система (7.46) не может иметь решения
(1 (s), 2 (s)) с конечным не равным нулю пределом s → + , при
k  0, l  0 для существование таких решений необходимо, чтобы
соблюдалось одно из условий Qi , i = 1,2,3,4 . Отсюда с учетом
преобразовании (7.4), (7.5) убеждаемся справедливости теоремы 7.9.
Теорема 7.9 Пусть выполнены условия теоремы 7.8 и одно из
условии Qi ,i = 2,3,4
274
4 − a 1 3 + a 2 2 − a 3  + a 4 = 0
(3,10)
в котором
a 1 = a + b; a 2 = ab + c + d ; a 3 = ad + bc; a 4 = cd − d ;
где
a = b11 (1 + m1−1 − z1m −1 )
i  {2,3,4};
при
1
c = b112 ( m1−1 − z1m −1 )
при
i  {2,3,4};
b = b11 (1 + m1−1 ) - 2n
при
i = 2; b =
1
b = b11 (1 + m1−1 −  −2 1 z 2m −1 ) - 2n при
2
d = b21
1
=n
1 − m1
2
при i = 3 ; g = 0 при
-1
g = m2 q 1 q 2 b21 b112 (1 − z1m −1 )
1
(7.52)
i = 4;
при i = 2 ; d = b21 (1- m 2 ) при
d = b21 + m 2 b 22 z m2
при i = 3
i = 4;
i = 3;
при i = 2;
g = m2 q 1 q 2 b112 (1 − z1m −1 )(b21 + b 22 z 2m −1 )
1
2
при i = 4;
имеют ненулевые вещественные части, то у системы (7.38) существует
по крайней мере одно решение (v1; v2) допускающие представление (3.2).
Если же кроме того хотя бы для одного j {1,2,3,4} Re  j  0 , то у
системы (7.38) существует бесконечное множество таких решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя к системе уравнений (7.6)
преобразование
i (s) = zi [1+ ui (1)],
i (s) + ai1 (s)i (s) = ai01zi [1 + ui +2 (s)], (i = 1, 2)
(7.53)
получим систему уравнении
4
ui = fi ( s) +  cij (s)u j + gi (s) X i (s, u1 ,..., u4 )(i = 1, 4)
(7.54)
j =1
в которой
f i ( s)  0, i = 1,2
f i ( s) = −[ai −2,2 ( s) +  i −2 ( s) + i −2 ( s) + i −2 ( s)], i = 3,4
 i ( s) = zimi −1ai 3 ( s),  i ( s) =
 i ( s) =
ai 4 ( s) mi −1
zi ,
ai01
1 −1 m3−i vi
zi z3−i ai 5 ( s), i = 1,2;
ai01
cii ( s)  −ai01 , ci ,i +2 ( s)  ai01 , i = 1,2;
cii ( s) = −[ai −2,2 ( s) +  i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,i −2 ( s) = −[(mi −2 − 1)i −2 ( s) + mi −2i −2 ( s)], i = 3,4;
ci ,5−i ( s) = −m5−i qi −2i −2 ( s), i = 3,4;
275
cij (s)  0, i, j = 1,... 4, j  i, i + 2 при i = 1, 2; и j  i, i + 2,5 − i при i = 3, 4
gi ( s)  0, i = 1,2; gi ( s)  −1, i = 3,4;
X i ( s, u1 ,..., u4 )  0, i = 1,2;
X i (s, u1 ,..., u4 ) = i −2 (s)[1 + ui −2 ]mi−2 −1 + [1 + ui ] + i −2 (s)[1 + ui −2 ]mi−2 +
+ i −2 ( s)[1 + u5−i ]m −v + ci ,i −2 ( s)ui −2 − i −2 ( s)ui +
i −2
i −2
ci ,5−i (s)u5−i − [i −2 (s) + i −2 (s) +  i −2 (s)], i = 3, 4;
Легко видеть, что Xi (s,0,...,0) = 0 на промежутке [s0 ,+] и в силу
i (s),  i ( s), (i = 1,2), частные
ограниченности функции i ( s),
производные
X i ( s, u1 ,..., u4 )
→ 0, (i , j = 1,...,4)
u j
4
при
 |u j | → 0
j =1
равномерно s [ s0 ,+) , следовательно, для достаточно малого   0
существует область
 = [ s0 ,+) XD , D = {(u1 ,..., u4 ):|ui | (), i = 1,...,4; 0  ()  1}; в
которой функции Xi (s, u1,..., u4 ) (i = 1,...,4) удовлетворяют условию
Липшица
| X i (s, u11 ,..., u41 ) −
X i (s, u12 ,..., u42 )|
4
  |u1j − u2j |
j=1
где (u11 ,..., u41 ) , (u12 ,..., u42 ) любые точки области D , при выполнении
любого из условии Qi (i = 2,3,4) выполнено условие 1) теоремы 7.7
Следовательно, используя систему алгебраических уравнений из
Qi (i = 2,3,4) легко видеть, что характеристическое уравнение
det[ cij0 −  i , j ]i4, j =1 = 0 примет вид (7.31). Таким образом, если корни
 j ( j = 1,...,4) уравнения (7.31) имеют ненулевые вещественные части, то
для системы уравнений (7.33) выполнены в области  все условия
теоремы 7.7. Тогда, эта система уравнений имеет по крайней мере, одно
вещественное решение (u1(s), ..., u4(s)) стремящееся к нулю при s → +
, причем таких решений существуют бесконечно много, если Re j  0
хотя бы для одного j {2,3,4} . Поэтому, ввиду преобразований (7.53),
(7.6) и (7.4) у системы уравнений (7.38) существуют решения (v1; v2) и
удовлетворяющие асимптотическим соотношениям (7.2), и таких
решений бесконечно много, если Re j  0 хотя бы для одного
j {1,2,3,4} . Теорема 7.9 доказана.
276
Замечание 7.3 При выполнения условия Q3 алгебраическое
уравнение (7.31) распадается на следующие два уравнения
2 − a + c = 0, 2 − b + d = 0
7.4. Модель брюсселятора
Классическая термодинамика рассматривала равновесные процессы
в системах, где, как правило, нет обмена массой, энергией и т.д. с
окружающей средой (системы, в которых этот обмен возможен,
называют открытыми). В таких системах, как известно из
статистической физики, свойства большой совокупности (ансамбля)
частиц могут быть предсказаны, если известны свойства отдельной
частицы. Это и позволяет рассматривать не микроскопические величины
(координаты и скорости отдельных частиц), а макроскопические
(концентрации, плотности, температуры).
Большие успехи термодинамики, ее глубокая связь со
статистической физикой, исследованная в конце XIX в., привели к
мысли, что эти методы можно применить и для изучения более широкого
класса систем.
В тридцатые годы были заложены основы линейной неравновесной
термодинамики, которая «охватывает все случаи, когда потоки (или
скорости необратимых процессов) являются линейными функциями
«термодинамических
сил»
(градиентов
температуры
или
концентраций)». Такой подход оказался очень плодотворным.
Однако позже выяснилось, что некоторые процессы в эту схему не
укладываются. Ученые брюссельской научной школы под руководством
бельгийского ученого И. Пригожина для их объяснения предложили
содержательные нелинейные модели, в которых используются
величины,
характерные
для
термодинамики
(концентрации,
температуры и т.д.). Работы И. Пригожина по теории необратимых
процессов в открытых неравновесных системах были удостоены
Нобелевской премии по химии 1977 г.
Модель Брюсселя тора является одной из самых известных
математических моделей синергетики. (Название связано с тем, что она
была предложена в брюссельской научной школе.) Эта модель
описывает распределение по пространству и изменение со временем
реагентов сравнительно узкого класса химических реакций, однако при
ее исследовании были выяснены свойства диссипативных структур во
многих нелинейных системах.
Из школьного курса химии известен закон действующих масс. В
реакции, где два вещества, X и Y реагируя, дают вещество Z ( X + Y → Z ),
277
скорость изменения вещества Z пропорциональна произведению
концентраций веществ XиY . Коэффициент пропоппиональности постоянная реакции к. Обозначая через X , Y , Z концентрации
соответствующих веществ, можно записать
dZ / dt = kXY .
(7.55)
В самом деле, для того чтобы реакция шла, молекулы вещества X
должны сталкиваться с молекулами Y. Очевидно, вероятность этого
пропорциональна числу молекул X в единице объема (т.е. концентрации
X). Точно так же она должна быть пропорциональна концентрации Т.
Коэффициент пропорциональности к зависит от размеров молекул, их
скоростей и т.д. Все это и отражает формула (7.55). Если в реакции п
молекул X взаимодействуют с одной молекулой Y, то изменение
~n~
концентрации вещества Z пропорционально X Y .
Обратимся теперь к самой модели. Пусть в некотором химическом
реакторе превращения идут по следующей схеме:
⎯⎯⎯
→ X,
A ⎯
k1
k −1
k2
⎯⎯
→ Y + D,
B + X ⎯
⎯
k −2
k3
⎯⎯
→ 3X ,
2 X + Y ⎯
⎯
k −3
k4
⎯⎯
→ E.
X ⎯
⎯
k −4
(7.56)
Концентрации веществ А и В в реакторе поддерживаются
постоянными, и некоторым образом удаляются вещества D и Е, т.е.
система является открытой. Будем считать, что скорости обратных
(k k k , k )
реакций −1, −2, −3 −i k-i) гораздо меньше скоростей прямых. В этих
предположениях, обозначая через X концентрацию вещества X, А =»
вещества А и т.д., получим из закона действующих масс следующую
систему уравнений:
2
X t = k1 A − (k2 B + k 4 ) X + k3 X Y + D1 X xx ,
2
Y t = k2 B X − k3 X Y + D 2 Y xx .
Концентрации реагентов X и Y могут быть различными в разных
точках, поэтому в уравнение входят члены DiXgx, D2¥xx, учитывающие
их диффузию. После несложных замен переменных, эквивалентных
переходу к другой системе единиц
(t HOB = k4t , X = (k3 / k4 )1 2 X , Y = (k3 / k4 )1 2 Y ,
A = (k12 k3 / k43 )1 2 A, B = Bk2 k4 , D1 = D1 / k4 , D2 = D 2 / k4 ),
мы придем к системе уравнений в частных производных, называемых
моделью Брюсселя тора:
278
X t = A − ( B + 1) X + X 2Y + D1 X xx ,
Yt BX − X 2Y + D2Yxx .
(7.57)
Вещества X и Y остаются в реакторе, поэтому потребуем
выполнения следующих краевых условий:
X x (0, t ) = X x (l , t ) = 0,
Yx (0, t ) = Yx (l , t ) = 0.
(7.58);
Поведение решений. Посмотрим, есть ли у уравнения (7.57) какиенибудь простые решения, например не меняющиеся со временем (их
называют стационарными) и однородные по пространству. При этом все
производные в (7.57) становятся нулевыми, и мы имеем систему
обычных алгебраических уравнений:
A − ( B + 1) X + X 2Y = 0,
BX − X 2Y = 0.
(7.59)
Ее единственное решение - это X = A, Y = B A.B . Это решение будет
играть особую роль. Будем по аналогии со случаем тепловых структур
менять концентрацию вещества В и начальные распределения
концентраций X ( x, 0), Y ( x, 0) и смотреть, как меняется поведение
решения. Это можно сделать с помощью компьютера.
Если концентрация вещества В невелика, то независимо от
начальных данных через определенное время установятся концентрации
X ( x, t ) = A, Y ( x, t ) = B A.
Оказывается,
такое
замечательное
решение
(устойчивое
стационарное, на которое независимо от начальных данных выходят
изучаемые распределения параметров при небольших внешних
воздействиях) есть у многих нелинейных систем. Оно получило название
термодинамической ветви (в случае брюсселятора это решение X = A, ).
На первый взгляд кажется, что такая картина будет иметь место при
любых В. Однако это не так. Если зафиксировать начальные
концентрации X ( x,0), Y ( x,0) и увеличивать значение В, то мы увидим,
что начиная с некоторого критического значения В происходит выход на
немонотонные стационарные распределения концентраций, например
такие, как показаны на рис. 10 и 11.
279
Рис. 10. Стационарные диссипативные структуры, возникающие в
модели брюсселятора. Параметры
D2 = 8,0 10−3
нелинейной среды:
−3
A = 2, B = 4,6, D1 = 1,6 10 ;
Рис. 11. Распределение концентрации X
( A = 2, B = 4,6, D1 = 1,6 10−3; D2 = 8,0 10−3 )
Два различных типа структур, возможных в одной и той же
нелинейной среде при задании различных данных.
Именно для таких стационарных неоднородных по пространству
устойчивых решений, возникающих вне термодинамической ветви, и
пригожиным и было впервые введено понятие диссипативной
структуры.
Прежде чем разбираться подробнее в свойствах таких решений,
подчеркнем неожиданность полученного результата. Кажется
очевидным, что в реакторе распределение реагирующих веществ по
горизонтали (если сила тяжести направлена по вертикали) будет
однородным по пространству. Модель брюсселятора показывает, что это
не так: в среде могут возникать структуры, одни реагенты могут
оказаться сосредоточены в одних частях реактора, другие - в других.
Здесь встает целый круг вопросов: как меняют структуры характерные
времена реакций? какая концентрация вещества является оптимальной?
И много других. Такие вопросы возникают также при решении ряда
задач химической технологии.
Вернемся к модели брюсселятора. Стационарное решение
X = A, Y = B A удовлетворяет краевой задаче при любых В.
Следовательно, при B  Bc появляется несколько стационарных
решений. Как говорят математики, происходит ветвление решений, или
бифуркация. Аппарат теории бифуркаций, интенсивно развиваемый в
настоящее время, широко используется в синергетике.
Мы зафиксировали начальные концентрации и меняли В. Поступим
по-другому: зафиксируем какое-нибудь значение B  Bc и будем менять
280
профили начальных концентраций X ( x, 0), Y ( x, 0) . При некоторых
значениях В можно наблюдать интересный эффект: при одних
начальных данных имеет место выход на один стационар (стационарное
решение), при других - на другой. Два стационара, возможные при одних
и тех же параметрах, показаны на рис. 11. Причем выход на один и тот
же стационар происходит с целого класса начальных концентраций, т. е.
так же, как в модели тепловых структур здесь имеет место «забывание»
деталей начальных данных. А что будет, если поставить систему в
положение буриданова осла - задать при тех же значениях начальные
условия, приводящие к однородному решению X ( x, 0) = A, Y ( x, 0) = B A
соответствующему термодина-мической ветви.
Роль флюктуации. Если решение X = A, Y = B A «поставлено»
идеально точно, то оно меняться не будет. Однако реально расчеты на
ЭВМ дают другую картину. Даже очень малые отклонения, которые, как
правило, всегда имеют место, быстро нарастают, и далее происходит
выход на один из неоднородных устойчивых стационаров. Такие
отклонения, называемые флюктуациями, всегда есть в физических,
химических и биологических системах. Расчеты на ЭВМ показывают,
что вносимые флюктуации в отличие от равновесных процессов,
изучаемых классической термодинамикой, определяют всю дальнейшую
судьбу нелинейной системы. Термодинамическая ветвь здесь
неустойчива.
Этот процесс можно пояснить следующим примером. Представим
себе маленький шарик в желобе, форма которого показана па рис. 12.
Если поставить его на вершину горба, в точку О, то в соответствии с
законами механики он может оставаться на вершине (это тоже
стационарное решение уравнений, описывающих движение шарика), но
флюктуации выведут его из равновесия и он начнет двигаться.
Постепенно из-за трения энергия шарика будет уменьшаться, и в конце
концов он остановится на дне желоба в точке М или N. В какой именно
точке он окажется, зависит от знака флюктуации, которая вывела шарик
из равновесия. Роль точки О у пас играла термодинамическая ветвь, роль
равновесных положений М и N - стационарные устойчивые решения,
такие, как
281
Рис. 12. Неустойчивое состояние равновесия (точка О)
Флюктуации выводят шарик из равновесия; в точках М и N устойчивые состояния равновесия
Рис. 13. Возможный вид случайной функции F(t)
Показаны на рис. 11. Можно сказать, что причиной возникновения
структур являются внутренние свойства системы, а поводом - вносимые
флюктуации. Такое поведение характерно для многих нелинейных
неравновесных систем.
Флюктуации можно учесть, добавив в правую часть уравнения
(7.57) случайные функции. Они могут отражать процессы, в детали
которых на нашем уровне описания мы не вникаем. Отвлекаясь от их
конкретного вида, приведем простейший пример случайной функции.
Бросаем монету с интервалом времени Д (и считаем, что если в момент
времени t выпадает орел, то F (t ) =  ,  1 до момента t + t , если решка
F (t ) = − ;
- в момент времени t + t мы опять бросаем монету.
Возможный вид функции, полученной таким образом, показан на рис.
13. «Возможный» потому, что точно неизвестно, когда выпадает орел, а
когда решка. Функция действительно случайная. И, бросая монету,
читатели могут получить функцию нисколько не хуже нарисованной
здесь.
Тот факт, что нам, имея дело с термодинамическими величинами,
приходится учитывать флюктуации и случайные процессы малой
амплитуды, очень важен. Возможно, в необходимости учитывать
флюктуации, которые, нарастая, могут изменить основные
характеристики процессов, и кроется одно из важных отличий сложных
систем от простых.
И еще одна параллель: даже слабое воздействие на нелинейную
систему в окрестности Вс может определить ее дальнейшую судьбу, в то
время как вдали от Вс влияние этого воздействия не ощущается. Здесь,
как и в модели тепловых структур, мы сталкиваемся с резонансным
возбуждением - воздействием, согласованным с внутренними
свойствами нелинейной системы и сильно влияющим па нее.
Отметим важное отличие стационарных структур в модели
брюсселятора от нестационарных тепловых структур: тепловые
282
структуры локализованы и изменение краевых условий не меняет их. В
случае стационарных структур изменение граничных условий и
увеличение длины области обычно ведут к перестройке всего решения.
В большей области могут возникать структуры с большим числом
экстремумов. Как же исследовать такие решения? Как предсказать
величину Вс, начиная с которой возникают структуры?
Как найти Bc . Нам надо узнать, где решение X = A, Y − B A теряет
устойчивость. Оказывается, можно построить линейную задачу, в
которой
содержится
вся
информация
об
устойчивости
термодинамической ветви. Не вдаваясь в подробности, укажем простой
рецепт, как это сделать. Представим решение системы уравнений (7.56)
X
X = A + X , Y = B A + Y . Предположим,
в
виде
что
A, Y
B A.
Подставим эти выражения в исследуемое уравнение
1
2
будем пренебрегать всеми членами, куда входит X , Y , XY или их
более высокие степени, считая, что эти члены гораздо меньше всех
остальных. В результате получим линейную задачу
X t = ( B − 1) X + A2Y + D1 X xx ,
Yt = − BX − A2Y + D2Yxx ,
X ( x, 0) = X ( x, 0) − A, Y ( x, 0) = Y ( x, 0) − B A,
X x (0, y ) = X x (l , t ) = 0, Yx (0, t ) = Yx (l , t ) = 0.
(7.60).
Поступим так же, как мы действовали в случае линейного уравнения
теплопроводности, найдем все частные решения вида g (t ) f ( x ). В
качестве
f ( x)
m = 0, 1, 2, ...,
здесь будут фигурировать функции сов (ктх/l),
сами решения будут иметь вид
X m = pm exp(mt ) cos( mx / l ),
Ym = qm exp(mt ) cos( mx / l ), m = 0, 1, 2, ...
(7.61)
Подставив выражение (7.61) в уравнения (7.60), можно убедиться,
что эти функции будут решениями, если % удовлетворяют квадратным
уравнениям
 2 +   A2 − B + 1 + ( D1 + D2 )(m 2 2 / l 2 )  +
+  A2 B − ( A2 + D2 m 2 2 / l 2 )( B − 1 − D1m 2 2 / l 2 )  = 0,
m = 0, 1, 2, ...
283
При каждом конкретном т уравнение имеет два корня, m1 и m 2
которые, вообще говоря, являются комплексными числами. Если то
решение вида (7.61) убывает со временем Re m  0,
А теперь сам рецепт: если Re m1  0, Re m 2  0 для всех т, то
термодинамическая ветвь устойчив а. При малых B все
Re m1  0, Re m 2  0.
Если при некотором B = Bc , m1 = 0, m 2  0,
то при B  Bc возникают структуры.
Таким образом, решая обычные квадратные уравнения, мы можем
узнать, когда в нелинейной среде возникнут диссипативные структуры.
Но почему же все-таки при B  Bc структур нет? Это можно пояснить
так. Пусть отклонения от термодинамической ветви настолько малы, что
нелинейные члены исходного уравнения (7.57) гораздо меньше
линейных. Тогда это уравнение будет близко к линейному. Но для
последнего, как мы знаем, справедлив принцип суперпозиции, и общее
решение можно «сшить» из частных. Если для всех m Re m  0, то
каждое из частных решений убывает, а если система решений полная, то
убывает и общее, и, значит, отклонения от термодинамической ветви
уменьшаются.
Идея использования линеаризованных уравнений для анализа
устойчивости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, принадлежит выдающемуся русскому
математику А.М.Ляпунову.
284
Рис. 14. Колебательный режим в модели брюсселятора.
Распределение концентрации на различные моменты времени
l = 1, A = 2; B = 5, 45; D1 = 8 10−3
В дальнейшем эти методы обобщены на системы уравнений в
частных производных.
Анализ уравнения (7.60) позволяет предсказать и колебательные
режимы в мотели брюсселятора. Если при B = Bc для некоторого
m Re m1 = Re m 2 = 0, Im m1 = Im m 2 ,
то функции X m и Ym периодические. И
возникают колебания. Обычно это происходит, если D1  D2 .
Распределение концентрации Х на различные моменты времени, когда в
системе есть колебательный режим, показаны на рис. 14.
Наверное, читателя удивляет, как много дает анализ линейных
задач. В линейной задаче «заложено» значение параметра Вс, начиная с
которого, будут возникать структуры и их характерные размеры. Какова
же роль нелинейности? И вообще, почему нужно строить нелинейные
модели, если линейные работают так хорошо?
Попробуем ответить на эти вопросы. Дело в том, что нелинейность
стабилизирует процессы, о росте которых говорит линейная задача.
Кроме того, при B  Bc возможно существование нескольких типов
структур. Предсказание спектр решений, их амплитуд, а также их
зависимости от B возможно лишь с помощью нелинейного анализа.
По-видимому, в общем случае дело обстоит так: большинство
реальных систем описывается нелинейными уравнениями. К счастью, у
многих из них есть решения типа термодинамической ветви. Если
линеаризовать уравнения в их окрестности, получаются линейные
соотношения, с которыми обычно и работают ученые. Но этот прием не
годится в том случае, когда воздействия на систему очень интенсивны, а
также если система открыта и далека от равновесия, т. е. как раз в тех
случаях, которые в современной науке и технике представляют
наибольший интерес. Их понимание, безусловно требует нелинейного
анализа, более сложного, трудоемкого, но дающего более полную и
глубокую картину изучаемых явлений.
285
Еще о колебательных процессах: изучению колебательных и
волновых процессов в нелинейных системах сейчас уделяется большое
внимание. Широкое признание получил цикл работ Б. П. Белоусова,
А.М.Жаботинского, Г. Р. Иваницкого, В. И. Кринского, Е. Е. Селькова,
посвященный вопросам по исследованию эффектов самоорганизации в
химических реакциях. Реакция Белоусова - Жаботинского позволила
изучать такие закономерности экспериментально. «Когда реакция
протекает в хорошо перемешиваемой среде, в некоторой области
начальных концентраций наблюдаются незатухающие колебания
концентраций. Колебания имеют период порядка минуты и
продолжаются около часа. Если проводить реакцию в длинной,
вертикально расположенной трубке, то можно наблюдать возникновение
горизонтальных зон, соответствующих чередующимся областям
высоких концентраций». Поскольку эти зоны имеют другую окраску, то
процесс выглядит очень красиво. Так как система не является открытой,
с течением времени она приходит к термодинамическому равновесию колебания прекращаются.
Почему этим работам уделяется большое внимание? Оглядимся
вокруг. Можно сказать, что современная техника невозможна без
колебательных, периодических и близких к ним нестационарных
процессов. Ими удобно управлять, они позволяют в огромное число раз
усиливать слабые сигналы, у них масса других достоинств. Может быть,
по тому же пути шла природа, создавая сложные самоорганизующиеся
системы. Не похож ли механизм «биологических часов» на
колебательные процессы в модели брюсселятора? Эти вопросы пока
ждут отлетов.
Другая причина интереса к модели брюсселятора состоит в том, что
она отражает общие черты многих систем, где возникают структуры и
возможны явления самоорганизации. Необходимые условия такого
поведения обычно формулируют следующим образом.
1. Система является термодинамически открытой, т.е. возможен
обмен энергией, веществом и т.д. с окружающей средой.
2. Макроскопические
процессы
происходят
согласованно
(кооперативно, когерентно). В рассмотренных нами примерах такое
согласование обеспечивали диффузионные процессы.
3. Отклонения от равновесия превышают критическое значение, т.е.
рассматриваются состояния, лежащие вне термодинамической ветви.
4. Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров, когда
для их описания необходимы нелинейные математические модели.
286
7.5 Морфогенез и его математические модели
Одной из наиболее интересных задач, стоящих перед современной
биологией, является исследование процессов, которые управляют
развитием органов, т.е. включают в определенной последовательности и
определенном соотношении механизмы их развития. Иногда эту задачу
называют проблемой морфогенеза.
Трудно найти более загадочное явление, чем формирование
организма. В думайтесь: весь организм, возникнув из одной клетки,
которая делится вначале на две аналогичные, потом на четыре. А
дальше? Ведь все появившиеся вначале клетки одинаковы, почему же
отдаленные потомки одних после многих делений могут стать клетками
мозга, а других - желудка?
Современная биология дает достаточно полную и точную картину
того, как происходит передача генетической информации от одного
поколения клеток к другому и как информация перекодируется в каждой
клетке, обеспечивая синтез ферментов. Однако использование только
этих представлений не дает ответа на другой вопрос: фологически, так и
физиологически, и как происходит фологически, так и физиологически,
и как происходит возникновение этих различий (как идет процесс
клеточной дифференцировки)? Говоря точнее, нужно ответить на
вопросы: «1) как регулируется количество того или иного фермента,
синтезируемого в данной клетке; 2) почему тот или иной фермент
появляется на определенной стадии развития организма и 3) почему в
клетках каждого типа образуются свои специфические комплексы
белков, хотя все клетки многоклеточного организма содержат одну и ту
же генетическую информацию?».
Изучение сложных процессов удобно начинать с анализа наиболее
простых явлений, где имеют место эти процессы. По-видимому, в
проблеме морфогенеза такое явление - регенерация. Ряд животных
обладают способностью не только к заживлению ран, но и к
восстановлению
утраченных
органов.
Такое
восстановление
(регенерация) обусловлено возобновлением морфогенетических.
процессов, которые прекращаются после завершения развития
организма. Высокая способность к регенерации характерна для
дождевых червей, простейших многоклеточных животных - гидр, а
также, например, для тритонов, саламандр, ящериц и др. Эта
способность нашла отражение в одной из первых моделей морфогенеза,
предложенной А. Тьюрингом (1952 г.). В ней также есть аналог
размножения клеток, процессов воспроизведения простейшей
упорядоченности на соседних пространственных масштабах. Для
287
моделирования этих процессов А. Тьюринг использовал систему двух
дифференциальных уравнений частных производных. Остановимся на
более популярной сейчас среди биологов модели, предложенной А.
Гирером и М. Мейнхардтом, где также используется система двух
уравнений. Вначале расскажем о некоторых нужных нам
экспериментальных фактах. Нас будут интересовать морфогенетические
процессы у гидры. Ее организм состоит примерно из 105 клеток 15
различных типов и имеет размеры в несколько миллиметров. На одном
конце гидры расположена «голова». При удалении части головы и
пересадке ее на другое место наблюдается следующая картина. Если
расстояние между пересаженной частью и старой головой невелико, то
новая голова не образуется или, как говорят, рост головы подавляется.
Когда это расстояние велико, то морфогенетические процессы
активируются и формируется новая голова. По-видимому, процессы
регенерации и морфогенеза связаны с выработкой определенных
химических веществ. Для того чтобы описать наблюдаемую картину,
надо рассматривать по крайней мере два типа таких веществ ингибиторы (они не позволяют возникнуть новой голове вблизи старой);
и активаторы. Некоторые экспериментальные данные подтверждают
существование веществ, обладающих такими свойствами.
Будем полагать, что оба вещества производятся в головной области
гидры. Поскольку подавление роста происходит на некотором
расстоянии, то можно считать, что ингибитор обладает способностью к
диффузии. Той же способностью должен обладать и активатор, чтобы он
мог влиять на клетки, окружающие пересаженную часть.
Обозначим концентрацию активатора через а и концентрацию
ингибитора через h . Пусть a и h зависят от пространственной
координаты х и времени t
Посмотрим, как происходит изменение величины а в данной точке.
Это изменение зависит от следующих факторов: генерации активатора
(в области, где формируется голова гидры) с производительностью его
распада, который можно описать слагаемым  −  a, - и диффузии.
Da axx .
Эксперимент показывает, что воздействие ингибитора на активатор
можно описывать членом ka / h (чем больше значение h, тем этот
член меньше). Учитывая все это, получим уравнение для скорости
изменения величины а:
2
at =  − a + ka2 / h + Da axx .
288
(7.62)
Концентрация ингибитора меняется из-за распада, описываемого
членом −vh и диффузии Dh hxx . Будем считать, следуя идее Гирера и
Мейнхардта, что образование ингибитора происходит из-за наличия
активатора и описывается членом са1. B результате получим второе
уравнение:
ht = ca2 − vh + Dh hxx .
(7.63)
Система уравнений (7.62), (7.63) может быть исследована при
помощи ЭВМ. Отметим, что эта система отличается от модели
брюсселятора только видом источников, поэтому многие представления
и методы, развитые при изучении модели брюсселятора, эффективно
работают и здесь.
Исследование системы (7.62), (7.63) показывает, что ингибитор
подавляет все максимумы (новые головы) в некоторой окрестности
первоначального максимума (старой головы). В результате
взаимодействия активатора и ингибитора возникает периодическое по
пространству или близкое к нему распределение. Это согласуется с
результатами некоторых экспериментов. Картина последовательного
рождения структур на соседних пространственных масштабах
представлена на рис. 15. Похожие процессы наблюдаются во многих
двухкомпонентных системах.
Более сложные математические модели морфогенеза, где также
выделяются активатор и ингибитор, приводят к еще более наглядным
результатам. Например, решение четырех уравнений в частных
производных позволяет моделировать рост листьев. Изменение
параметров модели приводит к изменению расположения листьев на
стебле. Эти результаты представляются удивительными. Делая
сравнительно простые допущения, мы можем моделировать многие
важные черты сложных процессов, механизм которых пока до конца не
понят.
И вновь возникает вопрос: почему достаточно простая
математическая модель может хоть что-то описывать и с чем-то
согласовываться? Ведь структура организма сложна, информация,
заключенная в каждой его клетке, огромна, число различных видов очень
велико. Однако среди этого многообразия сейчас уже просматривается
определенное единство. Обобщая результаты работ по морфогенезу,
биологи смогли сформулировать несколько Утверждений, которые
отвечают на наш вопрос. Расскажем о них, не претендуя на полноту и
строгость.
289
7.5.1. Глобальная разрешимость задачи Коши для нелинейной
системы параболического типа с источником
Рассматривается вопрос о существовании и отсутствии глобальных
положительных решений квазилинейных реакционно-диффузионных
систем с начальным условием. Получено условие глобальной
разрешимости типа Фужиты, обобщающее результат [ЭскобФерера1].
На их основе проведены численные расчеты.
Исследуется существование глобального решения задачи Коши для
системы (8.1):
Задача Коши для системы (8.1) при  i = 0, (i = 1, 2), рассматривалась в
[ЭсФер1], поучено условие глобальной разрешимости   N / 2, где
 q +1 p +1 
,

 pq − 1 pq − 1 
 = max 
На основе анализа автомодельных решений построенных методом
нелинейного расщепления [АРип] получено следующее условие
глобальной разрешимости задачи (8.1), (2).
 q +1 p +1 
N
max 
,
(i = 1, 2)

 pq − 1 pq − 1  2 +  i N
что обобщает результат [ЭксФереро].
Построим автомодельную систему уравнений для (8.1) на основе
метода нелинейного расщепления [арип]. Для этого сначала решим,
систему обыкновенных дифференциальных уравнений (без главной
части системы (8.1).
du
dv
= −v p ,
= −u q т.е. u ( t ) = A(T + t ) ; v ( t ) = B (T + t )  (3)
dt
dt
 =−
p +1
q +1
,  =−
pq − 1
pq − 1
где Т  0 - постоянная (время существования решения при ε = -1).
Затем ищем решения задачи в виде
u (t , x) = u (t ) w( (t ), x), v(t , x) = v(t ) z ( (t ), x)
w( (t ) = f ( ), x),
z ( (t ) =  ( ),  =
 ( t ) = 1 ( t ) =  2 ( t ) где 1 ( t ) = u  ( t ) dt ,
,
1
x
( i ( t ))
1
; ( i = 1, 2),
2
 2 ( t ) = v  (t )dt
2
Тогда при  1 =  2  получим систему автомодельных уравнений
290
 1− N
d
d
 N −1 1 df  1 df

p
 f d   + 2  d  + 1 −    f −   = 0


1
 1− N
d
d
 N −  2 d  1 d

q
  d   + 2  d  + 1 −    − f  = 0


2
(5)
Теорема 8.3.
Пусть
p +1
 N /(2 +  i N ), (i = 1, 2), p   1 /  2 , q   2 /  1 , pq  1 . Тогда задача
pq − 1
(8.1), (2) при достаточно малых начальных данных глобально
разрешимо.
Из этого условия при  i = 0, (i = 1, 2) вытекает результат работы [1]. В
этом случае условие p   1 /  2 , q   2 /  1 , pq  1 превращается в условие
p, q  1 .
Доказательство. Доказательство теоремы 3 основано на
автомодельном анализе решения системы (8.1) путем нелинейного
расщепления исходной системы (8.1). Для чего ищем решение системы
(8.1 ) в виде
Построим автомодельную систему уравнений для (8.1) на основе
метода нелинейного расщепления [арип]. Для этого сначала решим,
систему обыкновенных дифференциальных уравнений (без главной
части системы (8.1).
du
= −v p ,
dt
dv
= −u q
dt
 =−
т.е. u ( t ) = A(T + t ) ; v ( t ) = B (T + t ) 
p +1
q +1
,  =−
pq − 1
pq − 1
где Т  0 - постояннени времое существования решения
Затем ищем решения задачи в виде
u (t , x) = u (t ) w( (t ), x),
v(t , x) = v(t ) z ( (t ), x)
w( (t ) = f ( ), x),
z ( (t ) =  ( ),  =
 ( t ) = 1 ( t ) =  2 ( t ) где 1 ( t ) = u  ( t ) dt ,
,
1
x
( i ( t ))
1
; ( i = 1, 2),
2
 2 ( t ) = v  (t )dt
2
Тогда при  1 =  2  получим систему автомодельных уравнений
 1− N
d
d
 N −1 1 df  1 df

 f +  p  = 0
f
+ 
+


d

2
d

1
−




1
 1− N
d
d
 N −  2 d  1 d

q
  d   + 2  d  + 1 −    + f  = 0


2
Легко видеть, что
291
1
u+ (t , x) = u (t ) f ( ), f ( ) = ( a −  ) +
2
1
1
2
v+ (t , x) = v (t ) ( ),  ( ) = (a −  ) + , (b) + = max(0, b)
2
Для достаточно малых начальных данных являются верхним
решением рассматриваемой задачи, при выполнении условий


 N / 2,
 N /2
1 −  1
1 −  2
Эти условия в силу выражений для  ,  означает выполнение
условия теоремы 3. Тогда функции u (t , x), v (t , x) согласно принципу
сравнения решений [Самарс.,Курд.] являются верхними решениями
задачи (8.1), (8.2). Теорема доказана.
Следует отметить, что для численных расчетов нелинейной задачи
весьма важно выбрать подходящее начальное приближение, так как это
гарантирует сходимость с заданной точностью к решению задачи за
минимальное количество итераций. В рассматриваемой нелинейной
задаче важно установить значение числовых параметров, которое меняет
характер решения. Такие значения числовых параметров называются
критическими показателями типа Фужита [Сам.Курд]. Полученная
оценка решений использовалась в качестве начального приближения при
численном решение задачи. возмущений, а происходит взрыв решения
за конечное время, т.е. происходит изменения характера решений.
7.5.2 Cистема типа реакции- диффузии не дивергентного вида.
N
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : t  0, x  R }
систему трех квазилинейних уравнений
параболическую
3
vi
P
= visi (vi i vi ) + div(v(t )vi ) +  v j ji
t
j =1
(7.64)
Система (7.64) не подчиняется закону сохранения, поэтому при
введении обозначения
n
t
 i =  ai −  vi (t )dt
l −S
, ui = vi
она приводится к виду
i =1
0
i
i = 1,2,3
3
u i
P
= (u i i u i ) + C i u i− Pii  u j ji ,
t
j =1
292
i = 1,2,3
(7.65)
где
i =
 i + Si
1 − Si
, Ci = 1 − S i ,
p ji =
q ji
1 − Si
,
i, j = 1,2,3;
Займемся построением автомодельных решений системы (7.64).
Найдём
сначала
решение
обыкновенной
системы
дифференциальных уравнений
3
− pii
d ui
p
= ci u i  u i ji
dt
j =1
i = 1,2,3
(7.66)
вида
ui (t ) = d i [T + t ] i , i = 1,2,3
(7.67)
где
 1 = [(1 + P23 )(1 + P31 ) + ( P21 − P23 )( P32 + 1)] / P
 2 = [(1 + P12 )(1 + P31 ) + ( P32 − P31 )( P13 + 1)] / P
 3 = [(1 + P12 )(1 + P23 ) + ( P13 − P12 )( P21 + 1)] / P
P = P12  P23  P31 − P13  P21  P32 + P12  P21 + P13  P31 + P23  P32 − 1,
d1 = [C1−1 1 ](1− P23 P32 )/ P [C2−1 2 ]( P21 + P23 P31 )/ P [C3−1 3 ]( P31 + P12 P32 )/ P ,
d 2 = [C1−1 1 ]( P12 + P13 P32 )/ P [C2−1 2 ](1− P13 P31 )/ P [C3−1 3 ]( P32 + P12 P31 )/ P ,
d 3 = [C1−1 1 ]( P13 + P12P23 ) / P [C2−1 2 ]( P32 + P13P21) / P [C3−1 3 ](1−P12P21) / P
T>0 постоянная.
Затем решение системы (7.65) ищем в виде
−
ui (t , x) = u i (t )i (t , x), (i=1,2,3)
− 1
 (t ) =  u
и выберем  =  (t ) так
1
−
(t )dt,
где ui (t ) определенная выше функция.
Тогда с учетом (7.67) после интегрирования для  (t ) имеем
 − d11 ( t ) 1 1 +C , если 1−11 O
1− 11

 (t ) =   Ln (T t ), если 1−11 =O


1− 
293
при  (t ) → +  ( t →T или t → +  ) постоянную С выберем равной нулю.
Тогда для i ( , x) i = 1,2,3 получим систему уравнений
3


i
1
P
=  i (i i i ) + i  i− Pii   j ji −  i  , если 1 −  i i  0

ci
j =1


где
 i = d1− d i ,  i =
1
1
i
,
− ( 1 1 + 1)
(7.671)
i = 1,2,3
если 1 −  1 1 = 0
и если 1 −  1 1 = 0 теперь легко видеть, что если положить
i ( , x) = yi ( ) ,  =|  | −1 2 i = 1,2,3 где  = 1 , 2,.... N

то получим автомодельную систему уравнений

i =
1− N
 − Pii 3 Pji yi 
d  N −1  i dyi   dyi
 yi
+
+  i  yi  y j −  = 0 ,
d 
d  2 i d
ci 
j =1

(7.68)
i
, i = 1,2,3;
( − 1 1 + 1) i
где
Для изучения
преобразования
если −  1 1 + 1 0
асимптотики системы (7.68)
осуществим
у i () =  im (),
i
z i () = i ()i ( ),
где
mi = (1 +  i )
1+ k i (1− m i )
i () = 1
−1
 = − ln(1 −
i = 1,2,3,
1 − m1 2
 ),
4m1
 1 − m1 2 
1 () = 1 −
 
4
m


1
1
1− m i
,
(),


1
k i = − 1 +
(1 − m2 p 22 − m3 p33 ) (mi pi , 4−i ) −1 (i = 2,3), k1 = 0;
2(1 − m1 )


Тогда система (7.68) приводится к виду
i' + bi1 ( )i  '+ bi 2 ( ) + bi 3 ( )imi −1  i' + bi1 ( )i  + bi 4 ( )imi +
3
+ bi 5 ( )imi pii  j j
j =1
в котором
294
m p ji
= 0,
(7.69)
bi1 ( ) = (mi − 1) −1 − k i , bi 2 ( ) = 1 + bi1 ( ) +
N
2(e  − 1)
, bi 3 ( ) =
mi
e − d i ,
(1 − mi ) i
mi p i
mi p i
e − d i
e  i
bi 4 ( ) = −
.
, bi 5 ( ) =
.
, i = 1,2,3,
mi (1 − m1 )ci e  − 1
mi (1 − m1 )ci 1 − e −
1 = 0,  i = 1 + (mi − 1)( ki − (m1 − 1) −1 ), i = 2,3
 1 = 0,  i = (1 − m1 )(2 − ki + k s −i ms−i pi ,s −i ) + m1 pi1 + ms −i pi ,s −i − 1, i = 2,3
.
Займемся исследованием асимптотики положительных, имеющих
отличный от нуля конечный предел при  → + решений системы (7.69).
Введем обозначения
a11 = −
m1
, a12 = −a11 , a13 = − 1 .
1 − m1


m1 
m1
1 
1 
 k i +
, ai 2 =  k i +

ai1 = − k i +
,
1 − m1 
1 − m1 
1 − m1  (1 − m1 ) i


ai 3 = −
m1  i
, i = 2,3.
mi (1 − m1 )
Теорема 7.10. Пусть если d i  0,  i  0(i = 2,3), то  i =  i (i = 2,3).
Тогда для существования
(1 ( ), 2 ( ), 3 ( ), )
вида
у
системы
 i ( ) =  i0 + o(1),  → + (i = 1,2,3)
(7.69)
,
решений
(7.70)
0
где 0  i  +(i = 1,2,3) , необходимо, чтобы соблюдалось одно из
условий
0
1.  i = 0,  i  0(i = 2,3),i (i = 1,2,3)
являются соответственно корнями
алгебраических уравнений.
Z i (i = 1,2,3)
системы
нелинейных
Z i (i = 1,2,3)
системы
нелинейных
a11 + a12 Z1m1 −1 + a13 Z1−1Z 2m2 p21 Z 3m3 p31 = 0 ,
ai1 + ai 2 Z imi −1 = 0, i = 2,3
0
2.  i  0,  i  0 (i = 2,3),i (i = 1,2,3)
являются соответственно корнями
алгебраических уравнений.
295
a11 + a12 Z1m1 −1 + a13 Z1−1Z 2m2 p21 Z 3m3 p31 = 0 ,
ai1 + ai 3 Z
−1− mi pii
i
3
m j p ji
j =1
j
Z
= 0, i = 2,3
0
3.  i  0,  i = 0 (i = 2,3),i (i = 1,2,3)
являются соответственно корнями Z i (i = 1,2,3) системы нелинейных
алгебраических уравнений.
ai1 + ai 2 Z
mi −1
i
+ ai 3 Z
−1− mi pii
i
3
Z
j =1
m j p ji
j
0
4.  i  0,  i  0 (i = 2,3), i = ci  0
алгебраических уравнений
3
a11 + a12 1mi −1 + a13 1−1− m1 p11   j j
j =1
m pii
= 0, i = 1,2,3
(i = 2,3)
10 являются корнями
1
=0
.
7.5.3 Система взаимной реакции-диффузии с конвективным
переносом
Рассмотрим n компоненты газа, реагирующего друг с другом в ходе
R независимых реакций с постоянной температурой. Система локальных
уравнений баланса массы в случае n компонентов ui (t , x) (i = 1, n) при
наличии конвективного переноса может быть написана в форме [1-2]
ui
=  u3s3−−ii ui − div(vi (t )ui ) +  uipi u3q−i i , t  0, x  R N ,i=(1-2) (1)
t
(7.71)
(
)
Различные свойства решений системы (7.71): локализация решения,
асимптотическое поведение автомодельных решений изучено.
Численный аспект решение системы (7.71) рассматривают(считают) в
[5]. Они замечают, что некоторые его результаты требуют
настоятельного оправдания.
Исследуются асимптотики решений автомодельных системы (7.71),
полученная методом нелинейного расщепления [3-4].
Построений автомодельной системы
Автомодельная система уравнений для (7.71)
df
1
d  N −1 s3−i dfi 
pi qi
i i +  1− N
  f 3− i
 +  i f i f 3− i − f i = 0
2
d
d 
d 
(
296
)
построена следующим образом
ui (t , x) = ui (t )i ( , x)
i ( , x) = fi ( ),  = ( i =1 ( xi −  vi (t ) dt ))1/ 2 /  1/ 2 (t )
t
N
0
,
где, функции
ui (t ) = di (T  t ) −i ,
выбираюся как решение системы
dui
=  ui pi u3q−i i ,
dt
и
1
(T  t )1−1s1
 =d
, d =  qi  1− p3−i  pi
1s1 − 1
i
 3− i i

s1
1
1s2 =  2 s1 , i = d1s d3−−si ,  i =
1
3−i
, 1s2 − 1  0 ,
 ii
 i si − 1 ,
(7.72)
i = (1 − p3−i + qi ) p −1 , p = q1q2 − (1 − p1 )(1 − p2 ) , i=1,2;
После замен
1
2 si
fi ( ) = fi ( ) yi ( ) ,  = − ln(a −  2 ) , f i ( ) = Ai ( a −  )
из (7.71) имеем систему автомодельных уравнений
[ yi' + ai1 yi ]' + [ai 2 + ai 6 y3−−si3−i + ai 3a3−i ,1 + ai 3 y3−−1i y3' −i ]  [ yi' + ai1 yi ] + ai 4 yi y3−−si3−i + ai 5 yipi y3q−i −i s3−i = 0
(7.73)
ai1 = −
1
N
1
1
, ai 2 = 1 + ai1 +
, ai 3 = s3−i , ai 4 = −  i A3−−si3−i (ae − 1) −1 ,

si
2ae − 2
2
4
qi
pi − 1
1
1
e−li
− s3−i
pi −1 qi − s3−i
l
=
1
+
+
, i=1,2 ;
a
=

A
,
ai 5 =  i Ai A3−i
,
i
i6
i 3− i
−
s
s
4
3− i
i
4
a−e
2 − si
1
1
bi1 =
, bi 2 = −
i A3−−si
bi 3 =  i Aipi −1 A3q−i −i s3−i
2
2 si
4 si
4a
,
3−i
Ограничимся приведением основного результата
Теорема 7.11 Для того, чтобы существовало решение системы (7.73)
в форме:
yi ( ) = yi0 + o(1) ,  → + , i = 1, 2 , 0<yi0  +
необходимо, чтобы числа
yi0
(7.74)
(i=1,2), были соответственно решениями
297
нелинейных алгебраических систем:
li = 0 , bi1 + bi 2 z3−−si3−i + bi 3 zi pi −1 z3q−i −i s3−i = 0
−s
p −1 q − s
−s
l1 = 0 , l2  0 b11 + b12 z2 2 + b13 z1 1 z21 2 = 0 b21 + b22 z1 1 = 0
,
− s2
− s1
q − s p −1
l1  0 , l2 = 0 b11 + b12 z2 = 0 b21 + b22 z1 + b23 z1 2 1 z2 2 = 0
,
− s3−i
li  0 , bi1 + bi 2 z3−i = 0
1.
2.
3.
4.
Исследование качественных свойств системы (7.71) позволило
выполнить численный эксперимент в зависимости от значений,
входящих в систему числовых параметров. Для этой цели как начальное
приближение использовались построенные асимптотические решения.
При численном решении задачи для линеаризации системы (7.71)
использовались линеаризации по методам Ньютона, Пикара и
специальный метод. Результаты численных экспериментов показали
эффективность предложенного подхода.
Асимптоты различных решений системы типа (7.71) позволили
моделировать процессы взаимной реакции-диффузии в форме
визуализации с анимацией.
7.6 Численное решение задачи в двухкомпонентной пористой
среде с переменной плотностью
Рассмотрим задачу Коши
(
v = div ( x
)
v ) +  (t )u
ut = div x u1 u +  (t )u p1 v q1 ,
t
m
m
v
2
p2
q2
(7.75)
v ,
u (0, x) = u0 ( x), x  R N ,
v (0, x ) = v0 ( x), x  R N .
Для численного решения этой задачи применяется метод
переменных направлений, со схемой Писмена-Речфорда следующего
вида
 yik, +j 2 − yik, j
p1 −1
q1
1
1
= 1 y k + 2 +  2 y k +  tk + 12 ( yik, j ) ( zik, j ) yik, +j 2 ,

 0.5  
 k + 12 k
 zi , j − zi , j
k + 12
k
k p2
k q2 −1 k + 1 2
=

z
+

z
+

t
y
z
zi , j ,
1
2
k + 12 ( i , j ) ( i , j )
 0.5  
1
( )
( )
298
(7.751)
 yik, +j 1 − yik, +j 2
p1 −1
q1
1
1
1
=  3 y k + 2 +  4 y k +1 +  ( tk +1 ) yik, +j 2
zik, +j 2 yik, +j 1 ,

 0.5  
(7.76)
 k +1 k + 12
p
q
−
1
z
−
z
2
2
1
1
1
 i, j
i, j
k+ 2
k+ 2
k +1
zik, +j 2
zik, +j 1 ,
 0.5   =  3 z +  4 z +  ( tk +1 ) yi , j
1
(
) (
(
)
) (
)
где в (7.75)
1 y k + 2 =
1
1 z k + 2 =
1
1 
x
1 2  i +1, j
2 h1 
1 
x
 2 2  i +1, j
2 h1 
m
(y
m
k
i +1, j
(z
k
i +1, j
1
(y
− xi , j
m
+ yik, j )
k + 12
i +1, j
2
m
1
m
1 
x
y k + yik, j )
2  i , j +1 ( i , j +1
2 h2 
2
m
1 
x
z k + zik, j )
2  i , j +1 ( i , j +1
2 h2 
(z
k
i , j +1
2
− xi , j
1
2
k + 12
i, j
k
i, j
)−
(z
)
1
− zik−+1, j2  ,

k + 12
i, j
+ yik, j −1 )
(y
1
k
i, j
− yik, j −1 )  ,

− zik, j ) −
k
i, j
+ zik, j −1 )
2
(z
k
i, j
 = 1,2.
i, j = 1,2,..., n − 1,
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j ) −
(y
(z
m
(y
1
2
k
i , j +1
m
)−
2
+ zik−1, j )
k
i, j
(y
1
1
+ yik−1, j )
− zik, +j
(z
− xi , j
2 z k =
k
i, j
k + 12
i +1, j
− xi , j
2 yk =
(y
(z
+ zik, j )
− yik, +j
− zik, j −1 )  ,

и где в (7.75)
3 y k + 2 =
1
1 
x
1 2  i +1, j
2 h1 
m
(y
k + 12
i +1, j
+ yik, +j
1
2
) (y
1
− xi , j
3 z k + 2 =
1
1 
x
 2 2  i +1, j
2 h1 
m
(z
k + 12
i +1, j
+ zik, +j
1
2
k + 12
i +1, j
(y
m
k + 12
i, j
) (z
2
− xi , j
299
k + 12
i +1, j
m
(z
k + 12
i, j
− yik, +j
1
2
+ yik−+1, j2
− zik, +j
1
1
2
) (y
1
k + 12
i, j
)
1
− yik−+1, j2  ,

)−
+ zik−+1, j2
1
)−
) (z
2
k + 12
i, j
)
1
− zik−+1, j2  ,

 4 y k +1 =
(
m
1 
1
1
x
yik, +j +12 + yik, +j 2
1 2  i , j +1
2 h2 
) (y
1
(
m
1 
1
1
x
zik, +j +12 + zik, +j 2
 2 2  i , j +1
2 h2 
(y
m
− xi , j
 4 z k +1 =
k + 12
i, j
) (z
2
k +1
i , j +1
− xi , j
m
− yik, +j 1 ) −
k +1
i , j +1
(z
+ yik, +j −12
1
) (y
1
k +1
i, j
− yik, +j −11 )  ,

− zik, +j 1 ) −
k + 12
i, j
+ zik, +j −12
1
) (z
2
k +1
i, j
− zik, +j −11 )  ,

В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе определяют промежуточные значения yik, +j , zik, +j
. На втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , zik, +j ,
находится yik, +j 1 , zik, +j 1 .
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
1
1
 yi0, j = u0 ( x ) ,
 0
zi , j = v0 ( x ) , x  h ,
 k +1
k +1
k +1
k +1
 yi , j = 1 , zi , j = 2 , при j = 0 и j = n2 ,
 k + 12
k + 12
k + 12
k + 12
y
=

,
z
=

, при i = 0 и i = n1 ,
i
,
j
1
i
,
j
2



где i =
1
2
1
2
1 k +1

i + i k ) −  2 (i k +1 − i k ) , i = 1,2.
(
2
4
 yik, +j 2
yik, j
k + 12
k p1 −1
k q1 k + 1 2
k
k
= 1 y +  tk + 12 ( yi , j ) ( zi , j ) yi , j + Fi , j , где Fi , j =
+ 2 yk ,

 0.5  
0.5  
(7.78)
 k + 12
k
z
z
p
q
−
1
2
2
 i, j
k + 12
k + 12
i, j
k
k
k
k
k
=

z
+

t
y
z
z
+
E
,
где
E
=
+

z
.
(
)
(
)
1
1
i
,
j
i
,
j
i
,
j
i
,
j
i
,
j
2
k
+
 0.5  
2
0.5  
( )
( )
 yik, +j 1
1
=  4 y k +1 +  tk + 12 yik, +j 2

 0.5 
 k +1
 zi , j
k + 12
k +1
=

z
+

t
y
1
4
i
,j
k
+
 0.5 
2
( )( ) ( z )
p1 −1
k+1
2
i, j
( )( ) ( z )
p2
k + 12
i, j
yik, +j 2
1
q1
q2 −1
k+1
k+1
yik, +j 1 + Fi , j 2 , где Fi , j 2 =
zik, +j 1 + Eik, +j 2 , где Eik, +j 2 =
1
1
0.5 
1
zik, +j 2
0.5 
+ 3 y k + 2 ,
1
(7.79)
+ 3 z k + 2 .
1
Введем следующие обозначения
y k = y, z k = z , y k + = y , z k + = z , y k +1 = y, z k +1 = z .
1
1
2
300
2
2
(7.77)
Перепишем (7.25) и (7.66) в виде
1
2
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений также
применяем итерационный метод и получаем схему
 s +1
yi , j
p1 −1
q1 s +1
 y i , j =  sy+1+  t
y
z
y
+
F
,
где
F
=
+  2 y,
(
)
(
)
1
1
i, j
i, j
i, j
i, j
i, j
k+ 2
 0.5  
0.5  

 sz+1
s +1
z
p
q −1 s +1
 i , j = 1 z i , j +  tk + 1 ( yi , j ) 2 ( zi , j ) 2 z i , j + Ei , j , где Ei , j = i , j +  2 z .
2
0.5  
 0.5  
( )
(7.80)
( )
 s +1
 y i , j =  sy+1+  t
4
k + 12
 0.5  

 sz+1
s +1
 i , j =  4 z +  tk + 1
2
 0.5  
( )( y ) ( z )
p1 −1
i, j
q1 s +1
y i , j + Fi , j , где Fi , j =
i, j
( )( y ) ( z )
p2
i, j
q2 −1 s +1
z + Ei , j , где Ei , j =
i, j
yi , j
0.5  
zi , j
0.5  
+ 3 y ,
(7.81)
+ 3 z .
где i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
s +1
s +1
s +1
s +1
Разностные схемы относительно y i , j , z i , j , и относительно y i , j , z i , j
линейны. При счете по итерационной схеме задается точность итерации
и требуется выполнение условий
s +1
s +1
s
s
max y i , j − y i , j   , max z i , j − z i , j   , .
0i  n1
0 j  n2
0i  n1
0 j  n2
а также при счете по итерационной схеме задается точность итерации и
требуется выполнение условия
s +1
s +1
s
s
max y i , j − y i , j   , max z i , j − z i , j   , .
0i  n1
0 j  n2
0i  n1
0 j  n2
В (6) вводя обозначения
s
Ai, j =
τ
2 +1 h12
(x )
m
i +1, j
1
s
s

 y i +1, j + y i, j 


s
s
, Bi, j =
M i, j =
s
N i, j =
τ
2 2 +1 h12
(x )
i, j
m
21 +1 h12
(x )
i, j
m
1
s
s

 y i, j + y i −1, j  ,


s
C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
s
τ
s
τ
2 2 +1 h12
(x )
i +1, j
s = 0,1,2... ,
m
.
2
s
s

 z i +1, j + z i, j 


,
2
s
s
s
s
 s
L
=
M
+
N
i
,
j
i
,
j
,
i, j + 1 ,
z
+
z
i −1, j 
 i, j


s = 0,1,2... ,
.
i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 разностное уравнение можно записать в виде
301
s
s +1
s
s +1
s
 s s +1
Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + Bi , j y i −1, j = − F i , j , i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2,

 y = 1 , при i = 0, n1 ,
(7.82)
s
s +1
s
s +1
s
 s s +1
M i , j z i +1, j − Li , j z i , j + N i , j z i −1, j = − E i , j , i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2,

 z = 2 , при i = 0, n1 ,
Соответственно (7.82) запишем в виде
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j , i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2, (7.83)

 y = 1 , при i = 0, n1 ,
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
M i , j z i +1, j − L i , j z i , j + N i , j z i −1, j = − E i , j , i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2,

 z = 2 , при i = 0, n1 ,
Для численного решения системы (7.82) и (7.83) применяется метод
прогонки. Система уравнений (7.83) решается вдоль строк j = 1,2,..., n2 − 1
, и определяется y , z во всех узлах сетки h . Затем решается система
уравнений (9) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1, определяя y, z во всех
узлах сетки  h . При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
Итерационные процессы построены на базе методов Пикара,
Ньютона и специального способа линеаризации, предложенный нами.
Результаты вычислительных экспериментов показывают, что все
перечисленные итерационные методы эффективны для решения
нелинейных задач и приводят к новым нелинейным эффектам, если
выбрать в качестве начального приближения решения автомодельного
уравнения, построенные выше методом нелинейного расщепления и
методом стандартных уравнений. Как и ожидалось, при применении
метода Ньютона количество итераций были наименьшими, чем в методе
Пикара и специального метода, при подходящем выборе начальной
аппроксимации.
302
Ниже приводятся некоторые результаты численных экспериментов
на основе разработанной нами численных схем и решение, а основе
метода прогонки
303
304
305
ГЛАВА 8. СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ,
ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ С ДВОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Многие процессы в прикладных науках моделируются посредством
нелинейных обыкновенных уравнений, уравнениями
в частных
производных или систем таких уравнений. Когда задаются подходящие
дополнительные условия – обычно, начальные и граничные условия, то
мы имеем дело с корректно поставленными задачами. Многие из
большинства важных моделей в науке, на практике как правило
описывается нелинейными уравнениями и системами в частных
производных. Эти уравнения и системы обладают свойствами, которые
отсутствуют в линейной теориии и поэтому делают их довольно
трудными для решения и анализа. Кроме того, эти нелинейные свойства
часто связываются с существенными особенностями явлений реального
мира; линейное приближение - только процедура первого шага, чтобы
подготовиться более реалистичному нелинейному анализу.
Исследование нелинейных процессов было непрерывным
источником новых проблем и это мотивировало введение новых методов
в областях математического анализа, в уравнения в частичных
производных и другие дисциплины, становясь самой активной областью
математических исследований начиная с прошлого века. Одно из самых
замечательных свойств, которые отличают нелинейные проблемы от
линейных - возможность возникновения особенностей, даже при
наличии совершенно гладких данных, или более точно, в классе данных
для которых теория существования, единственности и непрерывной
зависимости может быть установлены в малых временных интервалов,
так называемых задач с хорошо-поставленных в малом. В то время как в
линейных проблемах особенности могут возникнуть из-за особенностей
в коэффициентах или данных задачах. Напротив, в нелинейной системе
они могут явиться результатом нелинейных механизмов, из-за чего
могут возникать неограниченные по времени решения (режимы с
обострением) при гладких данных и коэффициентов уравнений и систем.
8.1 Решение типа Зельдовича-Баренблатта для уравнения
диффузии с двойной нелинейностью и с переменной
плотностью
Прежде всего, для изложения дальнейшего дадим понятие
автомодельного решения, которым мы всегда будем пользоваться в
рамках данной работы.
306
Определение 8.1 Автомодельное уравнение – уравнение в частных
производных –это обыкновенное дифференциальное уравнение,
получаемое из уравнения в частных производных с помощью
преобразования, в которой входит неизвестная функция одной
переменной аргументом которой является комбинация независимых
переменных.
Как показаны в работах многочисленных авторов (см например [2232,125] и ссылки приведенные там), автомодельные уравнения являясь
более простым для изучения по сравнению с уравнениями в частных
производных играют важную роль при исследовании качественных
свойств решений нелинейных уравнений в частных производных, так
как при помощи автомодельного анализа решений можно обнаружить
характерные свойства новых нелинейных явлений.


N
Рассмотрим в области QT = ( t , x ) : 0  t  T , x  R задачу Коши для
наиболее общего уравнения с двойной нелинейностью
p −2
u
Au  − 1 ( x )
+   2 ( x ) u m−1 u k
u l = 0,
t
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  N , N  1.,
)
(
(8.1)
(8.2)
где m, k , p - числовые параметры характеризирующие нелинейную
среду, () = grad (),
x
1 ( x ) = ( x ) , 2 ( x) = ( x )
n
q
1 ( x ) = (1 + x ) , 2 ( x) = (1 + x )
Мотивацией для рассмотрения такого уравнения является то, что
оно является вырождающимися уравнением в частных производных и
поэтому является источником для появление новых нелинейных
эффектов таких как конечная скорость распространение вомущения,
пространственная локализация ограниченных и неограниченных
решений возникновкнию которых впервые были установлениы в работах
[ЗК, СамС] для частного значения числовых параметов n=q=0, k=1, p=2.
Уравнение ( ) в случае когда p=2 носит название уравнение пористой
среды (УПС), (в англоязычной литературе оно известно как PME
(Porous Medium Equation), которому посвящено огромное количество
работ (см. например [VazqezMon]) и ссылки там).
Уравнение ( ) в случае когда k=1, l=1=2 носит название p-Лапласян
уравнения (см например [Guo] и литературу там)
Уравнение ( ) включает в себя уравнение быстрой (k(p-2)+m-1>0) и
медленной диффузии (k(p-2)+m-1<0)
n
307
q
Задача (8.1), (8.2) моделирует также идругие процессы [ ], например,
процесс распространения тепла, фильтрацию жидкости и газа,
диффузию в нелинейной среде с коэффициентом с двойной
нелинейностью 2 ( x)u m+l −2 u k
p −2
.
p −2
Выражение 2 ( x)u m+l −2 u k
u называется нелинейным потоком
тепла, фильтрируемого или диффундирющего вещества. В частности,
уравнение (8.1) является хорошим сочетанием уравнения медленной
диффузии
быстрой
диффузии
(m + k ( p − 2) + l − 2  0),
(m + k ( p − 2) + l − 2  0) и p-Лаплас уравнения ( k = m ) и уравнения
пористой среды (УПС) при p = 2, k = l = 1.
Уравнение (8.1) описывает множество физических процессов [1, 2,
18, 19, 22-34, 36-40, 48-56, 71-74, 125-127], например, процессов
реакции-диффузии, теплопроводности, политропической фильтрации
газа или жидкости в нелинейной среде.
В области, где u = 0 или u = 0 , уравнение (8.1) вырождается в
уравнение первого порядка. Поэтому необходимо исследовать слабое
решение, потому что в таком случае уравнение (8.1) не имеет смысла в
классическом смысле. Прежде чем численно решить и визуализировать
процесс, описываемым уравнением (8.1), необходимо изучить
различные качественные свойства, такие как конечную скорость
возмущения, локализация решения, асимптотика решений и фронта,
зависящего от значений параметров уравнения (8.1).
С точки зрения физического представления имеет смысл
рассматривать слабое (обобщенное) решение, имеющее свойство
ограниченности, конечности, и удовлетворяющее следующему условию:
0  u (t , x), 2 ( x)u m−1 ( Du k )
p −2
u l  C (Q),
Q = (t , x) : 0  t  T , x  R N 
и интегральному тождеству в смысле распределения [69].
Определение 8.2 Будем говорить, что 𝑢(𝑡, 𝑥) - обобщенное решение
задачи (8.1), (8.2), если 0  u (t , x), 2 ( x)u m−1 u k
p −2
u l  C ( Q ) и u (t , x)
удовлетворяет уравнению (8.1) в смысле распределения:
 (
T
p −2
− 1u t +  2u m−1 u k
0
(
)
u l  dxdt +  u0 ( x ) ( x,0 ) dx = 0

)
0
N
N
для  (t , x)  C1 R  0,T  , где  R .
Различные свойства решений задачи Коши, краевых задач для УПС
и способы их численного решения интенсивно изучались и изучаются в
308
настоящее время (см. [3, 68] и многочисленные ссылки, приведенные
там). О результатах, касающихся свойств различных типов решений,
посвященных р-Лаплас уравнения см. [3, 68, 20, 127-132] и приведенные
там ссылки).
Определение 8.3 Будем говорить, что решение уравнения (8.1)
обладает свойством конечной скорости распространения возмущений
(КСР), если из условия suppu(, t0)<∞ в какой-то момент времени t0≥0
следует, что это свойство сохраняется для всех моментов времени t>t0. В
противном случае будем говорить, что носитель решения (8.1)
разрушается за конечное время.
Впервые Б.Зельдович, А.Koмпанейц [42] используя теорию подобия
и размерности построили следующее точное обобщенное автомодельное
решение задачи (8.1), (8.2)
1
2

 m−1


x
m
−
1
u (t , x) = t − N /(2+ N ( m−1)) 
 a 2 − 2   , x0 (t ) = t1/(2+ N ( m−1)) , (8.3)
x0 (t )  
 2(2 + N (m − 1)) 
+
когда в (8.1),(8.2) p = 2 , k = 1, 1 ( x) = 2 ( x) = 1 и u0 ( x) = q ( x), где  ( x) дельта функция Дирака, q-мощность мгновенного (сосредоточенного)
источника.
Это обобщенное решение обладает свойством конечной скорости
распространения возмущения (КСРВ): u(t , x)  0, при | x | l (t ) = ax0 (t ),
где 0  l (t )  C (0, ) , что не имеет место в линейном случае ( p = 2 , k = 1,
m = 1).
Свойство КСРВ для задачи Коши, когда в (8.1)
уравнения
(
u
= div u m−1 Du
t
p −2
)
Du , где D = (
 

,
,...
),
x1 x2
xN
k = l = 1,
т.е. для
(8.4)
изучили J. Vazquez, А.Ф.Тедеев и ученики [1,2,18,19,40,48-56,114-116],
Guo…… и получили условия на числовые параметры и u0 ( x ) , при
котором имеет место КСВР и разрушение решения за конечное время
(РРКВ).
Фундаментальное решение для УПС.
u
= div ( u m−1Du ) , u (0, x) = q ( x)
t
Построил Б. Я. Зельдович, В. Компанейц (1950), а затем,
рассматривая уравнение ( ) как уравнение политропической фильтрации
Г. И. Баренблатт (1952) получил то же самое решение. Pattle R. (1958)
309
опять решил явно ту же самую задачу рассматривая его как уравнение
нелинейной диффузии.
J. Vazquez [] построил следующее фундаментальное решение для pp −2
Laplcian уравнение u = div Du m Du m , где D = (  ,  ,...  ),
)
(
t
x1 x2
xN
В работе [Арипов Монограф.] было построено фундаментальное
решение для уравнения с двойной нелинейностью уравнение
(
)
u
p −2
= D u m−1 Du Du ,
t
Задачу Коши для уравнения с двойной нелинейностью с переменной
плотностью
 (  ( x)u )
=  u m−1 u
t
(
p −2
)
u , u |t =0 = u0 ( x)  0,
x  R N , N  1,
(8.5)
 ( x) = (1 + x ) ,  ( x) = x , n  0,
−n
−n
исследовал А.Ф. Тедеев и доказал, что при определенных значениях
числовых параметров и начальной функции имеет место КСРВ и
получил условия разрушения решения за конечное время. Он установил,
что в зависимости от поведения переменной плотности на
бесконечности для решения задачи Коши имеют место либо свойство
КСРВ, либо разрушение носителя за конечное время.
Ниже приводится способ построения решения типа Зельдовича
Компанейца, Баренблатта (фундаментальное решение) для уравнения
(8.5) с начальным условием u (0, x) = q ( x) .
8.1.1 Построение решения типа Зельдовича-Баренблатта.
Построим решение типа Зельдовича-Баренблатта для уравнения
(8.5). Для этого ищем решение уравнения (8.1) в виде
(
)
u(t , x) = (T + t )− w  (t ), ( x ) ,
(8.6)
где постоянная T  0, а число   0 и функция  (t ) подлежит
определению.
Тогда подставляя (8.6) в (8.5) для w имеем уравнение
w
(T + t ) −  (t )
= (T + t ) − ( k ( p −2)+ m+l −1) *

*
1− s
  s −1 m−1  wk
 w
  

310
p −2
 wl


 +  (T + t ) − −1 w ,


где функция  ( x) =
( x ) = ( x )
− n/ p
( p − n )/ p
p
x)
(
p−n
выбрана из решения уравнения
.
Поэтому  ( x ) =
1− n / p
p
, если p  n и  ( x ) = ln x , если p = n.
x)
(
p−n
Далее если выбрать  (t ) из условия (T + t )−  (t ) = (T + t ) − ( k ( p −2)+m ) ,
то для  (t ) имеем  (t ) =  (T + t )
− ( k ( p − 2)) + m+l − 2
dt .
Вычисление последнего интеграла для  (t ) даёт
 1
1− 
1 −  (T + t ) , если 1 −   0,

 (t ) = 

T
+
t
,
если
= 0,



ln(T + t ), если  = 1,

где  =  (k ( p − 2) + m + l − 2) .
Тогда уравнение (8.7) соответственно принимает вид
k

w
1− s 
s −1 m −1 w
 w
=

 


k

w
1− s 
s −1 m −1 w
 w
=

 


w
  s −1 m−1 w
 w
=  1− s

 


p−2
k p−2
p −2
w 
 1
+
w, 1 −   0,
  1 −  

w 
 +  w,  = 1,
 

(8.7)
w  

 + w,
= 0.
  


где  =  (k ( p − 2) + m + l − 2) .
Легко видеть, что
w( , x) = f ( ),  =

(8.8)
[ (t )]1/ p
является автомодельным для уравнения
k

w
1− s 
s −1 m −1  w
 w
=

  

p −2
 wl


,


(8.9)
которое имеет вид

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
311
df l   df
+
= 0,
d  p d

(8.10)
где s = p N − n , n  N , p  n играет роль «размерности» пространства и
p−n
представление уравнения (8.1) в виде (8.9) является аналогом радиально
симметрического решения уравнения (8.1), так как при n=0 s=N, т.е.
совпадает с размерностью пространства N.
Исходя из этого, простые вычисления показывают, что при
преобразование (8.8) приведет уравнение (8.7) к следующему
автомодельному уравнению

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l   df

+
+
f = 0.
d   p d  1− 

(8.11)
где  =  (k ( p − 2) + m + l − 2) .
Точное решение уравнения (8.11) в общем случае найти
затруднительно.
Однако, если число  такое, что

s
= ,
1 −  ( k ( p − 2) + m − 1) p
(8.12)
то уравнение (8.11) можно интегрировать один раз и тем самим понизить
его порядок. В этом случае уравнение (8.11) можно переписать в виде
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df  d   s 
+
f  = 0.

d  d  p 

(8.13)
Интегрируя последнее уравнение, имеем
f
m −1
df k
d
p −2
df l

=− f.
d
p
(8.14)
Это уравнение может иметь неотрицательное решение, если df  0.
d
Легко видеть, что интегрирование последнего уравнения даёт
f ( ) = (a − b  ) +1 ,  = p / ( p − 1), где (n) + = max(0, n),
(8.15)
 1 = ( p − 1) / (k ( p − 2)) + m − 1, k ( p − 2)) + m − 1  0,
(8.16)
b = ( k ( p − 2) + m − 1) (1/ p) p /( p−1) .
Тогда в силу (8.12) находим значение  :
 = s /  p + (k ( p − 2) + m − 1) s .
312
(8.17)
Поскольку f=0 также является решением уравнения (8.12), то

продолжим решение нулем при a − b  0 . Тогда функцию f можно
написать так
f ( ) = (a − b  ) +1 , a  0,
(8.18)
где введено обозначение (n) + = max(0, n)
Таким образом, нами построено следующее точное автомодельное
решение уравнения (8.1)
u (t , x) = [T + t ]− s /[ p +( k ( p −2)+ m−1) s ] (a − b  ) +1 ,
=
 ( x) =
(8.19)
 ( x)
N −n
, s= p
, n  N, n  p
1/ p
[ (t )]
p−n
p
( p − n )/ p
p
(k ( p − 2) + m − 1) s
(
k
(
p
−
2)
+ m −1) s .
x
,

(
t
)
=
T
+
t


( )
p
p−n
Отметим, что при n = 0, k=l=1 в (8.19) s = N , поэтому в этом случае
решение (8.19) превращается в следующее известное решение типа
Зельдовича Баренблатта [22-32, 46, 68].
u (t , x) = [T + t ]− N /[ p+( p+m−3) N ] (a − b  ) +1 ,  =
x
,
[ (t )]1/ p
p
p + ( p + m − 3) N
 ( x) = x ,  (t ) =
[T + t ] p+( p+m−3) N .
p
В одномерном случае при T = 0 , N = 1 , k = l = 1 имеем следующее
точное обобщенное автомодельное решение этой задачи:
u (t , x) = w(t , ( x)) = t
− s /( p + ( p + m−3) s )
(a − b  )

1
1
,
( p −1)
1
1− l
s= p
, b1 = (m + p − 3)  
, p  n, l  1,
p−n
p
 
 ( x)
p
( p − n )/ p
=
,  ( x) =
x
,  (t ) = t ( p −n )/( p −n+( p + m−3)) ,
1/ p
[ (t )]
p−n
p −n
 p −1
 2( p − 2) + m p − n   p −1
a=
qb
B
,
1 
 ,
2
 p + m − 3 p − 1 
 ( p − n)
 2( p − 2) + m p − n 
,
где B 
 - бета-функция Эйлера.
p
+
m
−
3
p
−
1


Отметим, что это решение обладает свойством КСРВ:
313
u(t , x)  0, при x  l (t ) = a( p−1)/ p [ (t )]1/ p .
При этом фронт температурной волны возрастает с возрастанием
времени, охватывая все новое пространство. Это утверждение также
справедливо для фильтрационных и диффузионных процессов. Таким
образом, удается точно найти поведение фронта (свободной границы) и
скорость распространения фронта.
В многомерном случае, тем же методом строится решение типа
Зельдовича-Баренблатта в виде
u (t , x) = w(t , ( x)) = t
− s /( p + ( p + m−3) s )
(a − b  )

1
1
,
1/( p −1)
1
b1 = (m + p − 3)  
 p
=
, p  n, n  N ,
 ( x)
p
( p −( n + q ))/ p
,  ( x) =
x
, p  n + q,
1/ p
[ (t )]
p − (n + q)
 (t ) =
p
t ( p −n )/( p +[ k ( p −2)+m−1)] s ) ,
p + [k ( p − 2) + m − 1)]s
а постоянная а находится из условия
 u (t , x)dx = q,
R
где
u (t , x) ,
N
построенное выше решение типа Зельдовича-Баренблата. Однако, в этом
случае
s = p( N − n) / ( p − (n + q)), n  N , p + q  n.
8.1.2. Оценка решений и свободной границы, свойство КСРВ
Рассмотрим задачу Коши (8.1), (8.2) и установим условие, при
котором имеет место свойство КСРВ. Это свойство доказывается
основываясь на принцип сравнения решений.
Рассмотрим функцию
z (t , x) = (T + t ) − f ( ), где   0, T  0,
f ( ) = ( a − b1  )
1
+
1/( p −1)
,  = p / ( p − 1),
1
p −1
b1 = [k ( p − 2) + m + l − 2] 
, 1 =
, k ( p − 2) + m + l − 2  0,
p
k
(
p
−
2)
+
m
+
l
−
2
 
( p − n )/ p
 ( x)
p
=
,  ( x) =
x)
, p  n, n  N ,
(
1/ p
[ (t )]
p−n
1
 (t ) =
(T + t ) 1−  , 1 −   0,  =  (k ( p − 2) + m + l − 2).
1− 
314
Приведем теорему сравнения решений, которой мы будем часто
пользоваться.
Теорема
8.1
Пусть
в
уравнение
(8.1) n  N ,
p  n + q,
k ( p − 2) + m + l − 2  0. Возьмем функцию z (t , x) со свойством
z (t , x)  Ctx1,2 ( D)  C ( D), z (t , x)  0 в QT / D,
где область D = (t , x) : t  0, x  l (t ) , а функция
0  l (t )  C (0, ).
N
Пусть u (0, x)  z (0, x), x  R . Тогда для решения задачи (8.1), (8.2)
имеет место оценка в QT . u (t , x)  z (t , x).
В следующей теореме даётся оценка решения и доказывается
свойство КСРВ.
p  n,
Теорема 8.2. Пусть в уравнении (8.1) n  N ,
k ( p − 2) + m + l − 2  0. Тогда решение задачи (8.1),(8.2) обладает
N
свойством КСРВ, если u (0, x)  z (0, x), x  R .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим определенную выше функцию
z (t , x) = (T + t ) − f ( ).
( p −1)/ p
В силу того, что f ( ) = 0 при   (a / b1 )
, z (t , x)  0 в QT \ D где


( p −1)/ p
[( p − n) / p][ (t )]1/( p−n) .
область D = (t , x) : t  0, x  l (t ) = (a / b1 )
Легко видеть, что
z (t , x )  Ctx1,2 ( D )  C ( D ).
Покажем, что в области D выполняется неравенство
Az (t , x)  0.
В самом деле, подставляя z (t , x) в (8.1), в силу того для функции f ( )
в области   (a / b1 )( p−1)/ p , имеет место

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df   df
s
+
= − f ( ) ,
d  p d
p

для Az (t , x) имеем
 s


Az (t , x) = (T + t ) − k ( p −2)+ m−1  − +
 f ( ) .
p
1
−

(
k
(
p
−
2)
+
m
−
1)


Тогда из выражения (8.20) имеем
315
(8.20)
Az (t , x)  0 в D, если − s +
p
т.е.  

1 −  (k ( p − 2) + m − 1)
 0,
s
.
p + (k ( p − 2) + m − 1) s
Тогда по теореме сравнения решений имеем
u (t , x)  z (t , x) в QT , если u (0, x)  z (0, x), x  R N .
Поэтому в силу Теоремы 8.1 имеем
u(t, x)  z(t, x), в QT .
 
Так как u (t , x)  0, при x   a 
 b1 
( p −1)/ p
 p − n
1/( p − n )
.
 p  [ (t )]


То это означает, что решение задачи (8.1), (8.2) обладает свойством
КСРВ.
Теорема 8.1 доказана.
8.1.3 Асимптотика автомодельных решений
Рассмотрим следующую задачу

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df   df

+
+
f = 0,
d   p d  1 −  (k ( p − 2) + m − 1)

(8.21)
с граничными условиями
f (0) = c  0, f (d ) = 0, d  ,
(8.22)
f (0) = c  0, f () = 0,
(8.23)
f (0) = 0, f () = 0.
(8.24)
Будем изучать асимптотику решений автомодельного уравнения (8.21)
Асимптотика решений с компактным носителем.
Изучим обобщенное решение уравнения (8.21) с компактным
носителем.
Впервые в случае, когда в (8.21) p=2, s=1 существование
обобщенного решения уравнения (8.21) с компактным носителем в
классе
0  f ( ), 
s −1
f
m −1
316
df k
d
p −2
df l
 C (0, )
d
и удовлетворяющее интегральному тождеству

s −1
f
m −1
df k
d
p −2

s
 s −1
df

+  +
 y f ( y )dy = 0,
d  0  p 1 −  (k ( p − 2) + m − 1) 
исследовано в [106] и получено условие существования решения
уравнения (8.21) с компактным носителем.
Асимптотика обобщенного решения задачи (8.21), (8.22)
компактным носителем в случае k=l=1 приведена в работе [3].
Рассмотрим теперь случай медленной диффузии k ( p − 2) + m + l − 2  0 и
изучим асимптотику решения задачи (8.21), (8.22).
Введем функцию
f1 ( ) = ( a −   )
1 =
1
+
,  = p / ( p − 1),
p −1
, k ( p − 2) + m + l − 2  0.
k ( p − 2) + m + l − 2
Легко установить, что функция f1 ( ) обладает свойством
0  f1 ( ), f
m −1
1
df1k
d
p −2
df1l
 C (0, ).
d
При этом функция f1 ( ) удовлетворяет условию (8.21), так как
f1 (0) = (a)1 = c, f1 (d ) = 0, d = c1/1 ,
1/
отсюда a = c 1 .
Теорема 8.3. Пусть k ( p − 2) + m + l − 2  0. Тогда решение задачи
(
( p −1) p
)
(8.21) (8.22) с компактным носителем при  →   → (a
)
имеет
асимптотическое представление
f ( ) = c1 f1 ( )(1 + о(1) )
где постоянная c1 определяется из решения алгебраического уравнения
 k ( p − 2) + m + l − 2 


p −1


p −2
1  p −1
c1k ( p−2)+m+l −2 − 

p p 
( p −1)
( p − 1)
2
p 2 (k ( p − 2) + m + l − 2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы основано на
преобразовании исходного уравнения (8.21) к уравнению с
коэффициентами, стремящимися к постоянному числу, что даёт
317
= 0.
возможность доказать асимптотическую устойчивость решения задачи
(8.21), (8.22).
Для этой цели ищем обобщенное решение f ( ) задачи (8.21), (8.22) в
виде
p


p −1
f ( ) = f ( )W ( ) ,  = − ln  a −   ,




(8.25)
Подставляя (8.25) в (8.21) и учитывая, что
df k
d
p −2
(  −1)( p −1)
df l
dwk
p −1 k ( p − 2) +l 
= f
−  1kwk
 p −1
d
(a −  )
d


1− s
s −1
d s −1 m−1  df k 
 f 

d
 d 
где Lw = w
m −1
f
m −1
p −2
 df k 


 d 
p −2
df l
=  p −1 f
d
dwk
−  1kwk
d
p −2
p −2
dwl
(
−  1lwl ),
d
df l
=  p −1 s f ( ) Lw,
d


s
−



1
a −



d
p
Lw
+

f ( )
Lw,


a
−

d


 dwl
l 
−

lw

,
1
 d

dw

 df  e −
=
f
−

w
Так как
1

 , то подставляя вычисленные
p d p e − − a  d 

выражения в (8.21) для w получим уравнение

p −1

d
e−
  dw
p −1
Lw + ( k ) (
s −  1 ) Lw + 
−  1w  +
−
d
a−e
p  d

(8.26)

e−
+
w = 0.
1 −  (k ( p − 2) + m − 1) a − e −
Анализ решений последнего уравнения показывает, что решения,
 pp−1

стремящиеся при  →    → a  к постоянному числу, отличному от


нуля должно удовлетворять алгебраическому уравнению
 k ( p − 2) + m + l − 2 


p −1


p −2
1  p −1
wk ( p−2)+m+l −2 − 

p p 
318
( p −1)
( p − 1)
2
p 2 (k ( p − 2) + m + l − 2)
= 0.
Из этой теоремы видно, что для фронта (свободной границы) в силу
того, что  =  x =
p
( p − n )/ p
и так, как
x
p−n
 p − n
u (t , x)  0, при x  a ( p −1)/ p 
[ (t )]1/( p −n ) .

 p 
Имеем при 
p
p −1
→ a ,1 −  (k ( p − 2) + m + l − 2)  0
x → a( p−1) p [ (t )]1/( p−n ) = c p /( p−1)[ (t )]1/( p−n ) ,
(8.27)
1
(T + t ) 1− ( k ( p−2)+m−1), 1 −  (k ( p − 2) + m + l − 2)  0. Из
1 −  ( k ( p − 2) + m + l − 2 )
выражения
для
фронта
(8.27)
видно,
что
так
как
1 −  (k ( p − 2) + m + l − 2)  0, то x →  при t → , т.е. температурные
волны с возрастанием времени уходят сколь угодно далеко, охватывая
всё пространство.
Замечание. Задача (8.21), (8.23) есть задача на собственные функции
нелинейной среды в терминологии работы [46]. Поскольку функция
f1 ( ) удовлетворяет условию (8.23), то она является асимптотикой
однопараметрических собственных функций нелинейной среды.
где  (t ) =
Случай быстрой диффузии ( k ( p − 2) + m + l − 2  0 ) .
Рассмотрим функцию
f 2 ( ) = ( a +   ) ,  = p / ( p − 1),  1 =
1
p −1
.
k ( p − 2) + m + l − 2
Здесь функция f 2 ( ) является убывающей при  →  и lim f 2 ( ) = 0.
 →
Решение
уравнения
(8.21)
со
свойством
lim f ( ) = 0 называется
 →
исчезающим на бесконечности решением. Ниже докажем теорему об
асимптотике исчезающих на бесконечности решений уравнения (8.21).
Теорема 8.4. Пусть k ( p − 2) + m + l − 2  0, p  n,
s+
p
 0.
k ( p − 2) + m + l − 2
Тогда исчезающее на бесконечности решение задачи (8.21), (8.22)
при  →  имеет асимптотическое представление
f ( ) = c2 f 2 ( )(1 + о(1) ) ,
319
(8.28)
где постоянная c2 определяется из решения алгебраического уравнения
 k ( p − 2) + m + l − 2 


p −1


p −2
c2
k ( p − 2) + m +l − 2
1  p −1
− 

p p 
( p −1)
*
( p − 1)

* 2
+
= 0,
p (k ( p − 2) + m + l − 2) 1 −  ( k ( p − 2) + m + l − 2 )
2

p −1
(8.29)

d
e
  dw
e
p −1
Lw + ( k ) ( 
s +  1 ) Lw + 
+  1w  + 

d
e −a
p  d
e
−
a



= 0.
1 −  ( k ( p − 2) + m − 1)
Анализируя решения последнего уравнения при  → приходим к
выводу, что постоянная c2 должна находиться из решения
алгебраического уравнения
( k ) p−1 ( s +  1 ) k 1
p −2
 1wk ( p−2)+m−1 +  1 / p +

= 0.
1 −  ( k ( p − 2) + m − 1)
Подставляя значение постоянных  ,  1 , убеждаемся, что c2 должен
удовлетворять алгебраическому уравнению (8.29).
8.2. Свойство КСРВ и локализации в движущейся нелинейной
среде
Рассмотрим задачу Коши в области Q
(
u
=  u m−1 u k
t
p −2
)
u l − div ( v(t )u ) ,
u(0, x) = q ( x),
(8.30)
(8.31)
которая моделирует процесс распространения тепла в среде с двойной
нелинейностью при воздействие конвективного переноса со скоростью
v(t ) , зависящей от времени и под воздействием мгновенного источника с
мощностью q. Эта модель в частном случае, когда k=1, p=2, l=1, а
скорость конвективного переноса v(t) постоянная, была предложена в
работах [37,39] и на основе построения автомодельного решения, в
частности, проведен численный анализ решения.
Они показали наличие асимметрии решения, как видно из самого
уравнения. В случае, когда скорость движущейся среды зависит от
320
времени то как показано в работе [3], найдено условие, при котором
имеет место односторонняя локализация (явление «стены») решения для
уравнения пористой среды. Применительно к задаче (8.30), (8.31) нами
найдено условие, при котором происходит явление КСРВ и
пространственная локализация решения Приведенные выше явление
КСРВ и пространственная локализация решения доказываются на основе
построения точного решения задачи (8.30), (8.31) путем приведения
исходного уравнения к «радиально симметрической форме»,
изложенным выше методом, согласно которому решение этой задачи
имеет вид
u (t , x) = t
− N /( p + ( k ( p − 2) + m +l − 2) N )
( a − b )
1

1
+
(8.32)
,
 = p / ( p − 1), 1 = ( p − 1) / (k ( p − 2) + m + l − 2),
b1 = (k ( p − 2) + m − 1)(1 / p) p /( p −1) ,
=

p + (k ( p − 2) + m + l − 2) N p /( k ( p−2)+m+l −2) N )
,

(
t
)
=
t
.
[ (t )]1/ p
p
t
 =  v( y )dy − x, k ( p − 2) + m + l − 2  0.
0
В одномерном случае значение постоянной а равно
 p −1
 2( p − 2) + m
p 
a =  2 qb1B 
,

 2( p − 2) + m − 1 p − 1  
 p
p
p −1
.
Для N >1 - мерного случая значение постоянной а определяется из
условия
 u (t , x)dx = q.
RN
Ниже приведен способ построения решения (8.32). Для того, чтобы
построить это решение, ищем решение задачи путем замены
t
u (t , x) = w(t ,  ),  =  v( y )dy − x.
(8.33)
0
Тогда уравнение (8.27), с учетом замены, принимает вид
p −2
w
=  wm−1  wk  w .
t
)
(
Причем в силу преобразования (8.33)
321
(8.34)
u(0, x) = w(0, x) = u0 ( x).
Так как мы уже знаем решение типа Зельдовича-Баренблатта для
уравнения (8.34), то решение имеет вид
− N /( p + ( k ( p − 2) + m +l − 2) N )
u (t , x) =[T + t ]
( a − b )
1

1
+
.
(8.35)
При этом здесь автомодельная переменная имеет вид:
t
 = x −  v( y )dy / [ (t )]1/ p .
(8.36)
0
Это представление решения даёт возможность анализировать
поведение решения и фронта.
Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (8.30) с начальным
данным
u (0, x) = u0 ( x), x  R N .
(8.37)
Справедлива
Теорема 8.5 Пусть выполнены условия k ( p − 2) + m + l − 2  0, ,
−
N

+
 0.
p 1 −  (k ( p − 2) + m + l − 2)
Тогда для решения u (t , x) задачи (8.30),(8.37) и фронта xф (t )
справедливы оценки
u(t, x)  z(t, x), в QT ,
t
xф (t ) −  v( y )dy  (a / b1 )( p −1)/ p [ (t )]1/ p
0
,
N
если u (0, x)  z (0, x), x  R , где b1 ,  ,  1 - определенные выше числа и
z (t , x) = [T + t ]− ( a − b1  )
1
,
+
(8.38)
Доказательство. Доказательство Теоремы 8.4 основано на теорему
сравнения решений. В качество сравниваемой берем функцию z (t ,  ),
t
определенную формулой (8.38), где  =  v( y )dy − x . Остальная часть
0
доказательство Теоремы 8.5 доказывается, используя метод
доказательства Теоремы 8.8.
Эта теорема показывает, что для задачи (8.30),(8.36), в силу
полученной оценки, имеет место свойство КСРВ.
322
Установим теперь условие пространственной локализации решения
в задаче (8.30),(8.36). Так как решение (8.25) обладает свойством
u (t , x) = 0 при a − b1  = 0 , т.е.  = (a / b1 )1/ ,
то учитывая выражение для  свободной границы (фронта) xф (t ) в
случае N=1, из оценки фронта имеем
t
xф (t ) = [ (t )]
1/ p
−  v( y )dy.
0
При xф (t )  0 фронт температурной волны распространяется вправо, а
при xф (t )  0 влево. В случае, когда
[ (t )]
t
1/ p
=  v( y )dy, t  0
0
фронт останавливается.
Если же
t
 v( y)dy = [ (t )]
1/ p
+ v1 (t ), t  0 и
v1 (t )  ,
0
то имеет место пространственная локализация решения.
8.3. Пространственная локализация решения задачи Коши для
уравнения с двойной нелинейностью с поглощением и
переменной плотностью
Ниже исследуется вопрос о пространственной локализации температурных возмущений в нелинейной среде с коэффициентом
теплопроводности, зависящим от температуры и градиента температуры
по степенному закону, в случае, когда объемное поглощение тепла
является функцией времени, т. е. уравнение теплопроводности имеет вид
p −2
u
n
=  x u m−1 u k
u l −  (t )u ,
(8.39)
t
)
(
u (0, x) = u0 ( x), x  R N .
(8.40)
Изучим эту задачу и путем построения точного решения покажем,
что наличие поглощения может привести к локализации тепловых
возмущений. Найдено условие, при котором имеет место
пространственная локализация тепла и температурные вольны
распространяются лишь на конечное расстояние при всех t >0.
Займемся построением точного автомодельного решения. При этом
приведем способ, названный нами расщеплением.
Пусть u (t ) решение уравнения
323
 t

du (t )
= −  (t )u (t ), т.е u (t ) = exp  −   ( y)dy  ,
dt
 0

Тогда легко видеть, что преобразование
u(t , x) = u (t ) w  (t ), ( x ) ,
(
)
приведет уравнение (8.39) к виду
w
  s −1 m−1 wk
 w
=  1− s

 


p −2
wl 
pN
, s =
, p  n,
 
p−n

(8.41)
где s = p N , l  p,
p −l
t
( p −ln/ p
p
( x ) =
x)
,  (t ) =  [u ( y )]k ( p −2)+m+l −2dy, p  n,
(
p−n
0
(
)
u(0, x) = w 0, ( x ) = u0 ( x) , x  R N .
Эта методика применяется и для уравнения
 (  ( x)u )
q
p −2
=  x u m−1 u u l −  ( x) (t )u,
t
(
)
(8.42)
где в качестве  ( x) берем функцию
 ( x) = (1 + x ) или  ( x) = x .
−n
−n
Применим способ расщепления уравнения, как и в предыдущем
случае.
В этом случае решение типа Зельдовича Баренблатта для уравнения
(8.42) имеет вид
u (t , x) = [T + t ]− s /[ p +( k ( p −2)+ m−1) s ] ( a − b  ) + 1 ,
s= p
t
N −q
, l  N , p  n + q.
p − (n + q )
 (t ) =  [u ( y )]
k ( p − 2) + m +l − 2
0
 (t ) = T + t , T  0,
(8.43)
t
dy, p  q + n, u (t ) = exp( −   ( y )dy ),
0
если k ( p − 2) + m + l − 2 = 0.
Теорема 8.6 Пусть в уравнении (8.1) n + q  N , p  q + n,
k ( p − 2) + m + l − 2  0,  
s
N −q
.
,s=
p + (k ( p − 2) + m + l − 2) s
p − ( q + n)
324
Тогда решение задачи (8.1),(8.2) обладает свойством КСРВ, если
u (0, x)  z+ (0, x), x  R N , где
z+ (t , x) = [T + t ]− (a − b  ) +1 ,
 =  ( x ) /[ (t )]1/ p , если k ( p − 2) + m + l − 2  0,
( x ) =
( p −( q + n ))/ p
p
x)
,
(
p − ( q + n)

t
t

 (t ) =  [u ( y)]k ( p −2)+m+l −2 dy, p  q + n, u (t ) = exp  −   ( y)dy  ,
 0
 (t ) = T + t , T  0, если k ( p − 2) + m + l − 2 = 0.
Критический случай k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 .
0

Случай k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 назовем критическим.
Теорема 8.6 Пусть в уравнение (8.1) n + q  N , p  q + n,
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0,  
s
N −q
,s=
,N  q .
p
p − (q + n)
Тогда для решение задачи (8.1),(8.2) справедлива оценка
 t

1 p −1
u (t , x)  z1 (t , x) = exp  −   ( y)dy [T + t ]− exp(− p−2 p /( p−1)  p /( p−1) ),  =  ( x ) / (T + t )1/ p
k l p
 0

N
в Q\{0}, если u (0, x)  z1 (0, x), x  R \ {0}
Двойной критический случай k ( p − 2) + m + l − 2 = 0, q+n=p
В этом случае характер решения меняется и имеет место
Теорема 8.6 Пусть в уравнение (8.1) n + q  N , p = q + n,
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0,  
1
, N q.
p
Тогда для решения задачи (8.1),(8.2) справедлива оценка
 t

1 p −1
u (t , x)  z1 (t , x) = exp  −   ( y)dy [T + t ]− exp(− p−2 p /( p−1)  p /( p−1) ),  = ln x / (T + t )1/ p в
k lp
 0

N
Q\{0}, если u (0, x)  z1 (0, x), x  R \ {0}
8.4 Численное моделирование процесса нелинейной диффузии с
источником или поглощением
Для численного решения задачи (8.39)-(8.40) применяется метод
переменных направлений, так называемой схемой Писмена-Речфорда
325
 yik, +j 2 − yik, j
1
1
= 1 y k + 2 +  2 y k +  tk + 12 yik, +j 2 ,

 0.5  
(8.44)
 k +1
k + 12
y
−
y
1
 i, j
i, j
k+ 2
k +1
k +1
 0.5   = 1 y +  2 y +  ( tk +1 ) ( yi , j ) ,
1
( )(
)
где
1 y k + 2 =
1
(
 x
i +1, j
m +1 2 
2 h1 
1
) (y
n
k
i +1, j
+ yik, j )
m −1
( ) (y
− xi , j
2 yk =
(
 x
i , j +1
m +1 2 
2 h2 
1
) (y
n
k
i , j +1
n
+ yik, j )
k
i, j
m −1
n
+ yik−1, j )
m −1
yik, j +1 + yik, j
( ) (y
− xi , j
yik+1, j + yik, j
k
i, j
+ yik, j −1 )
i, j = 1,2,..., n -1,
p −2
k + 12
i +1, j
yik, j + yik−1, j
p −2
m −1
(y
(y
k
i , j +1
− yik, +j
p −2
1
)−
2
(y
k + 12
i, j
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j ) −
yik, j + yik, j −1
p −2
(y
k
i, j
− yik, j −1 )  ,

 = 1,2.
В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе (8.44) определяют промежуточные значения yik, +j
. На втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , находится
1
1
2
2
yik, +j 1 .
Начальное и краевое условия перепишем следующим образом
 yi0, j = u0 ( x ) при x  h ,
 k +1
k +1
при j = 0 и j = n2 ,
 yi , j = 
 k + 12
k + 12
y
=

при i = 0 и i = n1 ,
i
,
j

(8.45)
1 k +1

 +  k ) −  2 ( k +1 −  k ) .
(
2
4
Введем следующие обозначения
где  =
y k = y , y k + 2 = y , y k +1 = y .
1
Для решения получающейся системы уравнений нелинейных
уравнений также применяем итерационный метод и получим схему
326
s +1

= m+1 2  xi +1, j
0.5   2 h1 

y i, j
(
1
( )
− xi , j
s +1
n
)
s
s

y
+
y
 i, j
i −1, j 



 xi , j +1
=
0.5  2m+1 h22 

y i, j
(
1

−  xi , j

( )
s
s

y
+
y
 i +1, j
i, j 


n
)
n
s
s
s
p −2
s
y i , j + y i −1, j
m −1
s
p −2
s
y i +1, j + y i , j
s
s

y
+
y
 i , j +1 i , j 



y i , j + y i , j −1 

n s
m −1
m −1
m −1
s
s
s +1
 s +1
 s
y
−
y
 i, j
i −1, j   + F i , j = 0

 
p −2
s
y i , j +1 + y i , j
p −2
y i , j + y i , j −1
s +1 
 s +1
y
−
 i +1, j y i , j  −


s +1 
 s +1
y
−
 i , j +1 y i , j  −


s +1
 s +1
 s
 y i , j − y i , j −1   + Fi , j = 0

 
(8.46)
(8.47)
где i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
s +1
Разностная схема (8.44) относительно y i , j , а (8.47) относительно
s +1
s +1
y i , j линейна. В качестве начальной итерации в (8.46) для y i , j берется
0
из предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по
итерационной схеме задается точность итерации и требуется
выполнение условия
y
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
s +1
Также в качестве начальной итерации в (8.46) для y i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
В (8.47) вводя обозначения
τ
s
Ai, j =
s
Bi, j =
s
s
2m+ 2 h12
τ
2m+ 2 h12
(x )
i +1, j
(x )
i, j
n
n
s
s

y
+
y
 i +1, j
i, j 


s
s

y
+
y
 i, j
i −1, j 


s
C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
s = 0,1,2... ,
327
m −1
m −1
s
s
p −2
y i +1, j + y i, j
s
s
y i , j + y i −1, j
,
p −2
,
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2.
разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s

 Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j


 y =  , при i = 0, n1
(8.48)
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Соответственно, (8.48) запишем в виде
s
s
s
s
s +1
s +1
s +1

 Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j


 y =  , при j = 0, n2
s
Где
s
B i, j
Ai , j
s
s

= m+ 2 2  y i , j + y i −1, j 
2 h2 

τ
m −1
s
( 8.49)
s
s

= m+ 2 2  y i +1, j + y i, j 
2 h2 

τ
s
p −2
y i , j + y i −1, j
s
s
m −1
s
s
y i +1, j + y i, j
p −2
,
s
, C i , j = Ai , j + B i , j + 1 , s = 0,1,2... ,
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Для численного решения системы (8.48) и (8.49) применяется метод
прогонки. Система уравнений (8.48) решается вдоль строк j = 1,2,..., n2 − 1
, и определяется y во всех узлах сетки  h . Затем решается система
уравнений (8.49) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1 определяя y во всех
узлах сетки  h . При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
Ниже приведены типичные численные результаты свойств явлений
конечной скорости распределения возмущений и пространственной
локализации для решения задач (8.44), (8.45). Случай быстрой диффузия
k ( p − 2) + mi − 1  0 .
В этом случае в качестве начального приближения берется функция
u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a +   ) v0 ( x, t ) = (T + t ) − (a +   ) k ( p − 2) + mi − 1  0
,
,
 = p / ( p − 1),  i = ( p − 1) / (k ( p − 2) + mi − 1), i = 1,2
1
1
2
2
m1 = 1.1, m2 = 1.2, p = 1.2 k = 1 n = 0.1,
,
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
328
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
q = 0.2 ,
eps = 10−3
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
Случай медленной диффузии k ( p − 2) + mi − 1  0 .
В этом случае в качестве начального приближения берется функция


u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + , v0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + , k ( p − 2) + mi − 1 >0
−3
, m = 5.5 , m = 3.2 , p = 4.5 k = 2, n = 1.2, q = 1.1 , eps = 10
1
1
1
2
2
2
Принцип максимума и теоремы сравнения решений.
Принцип максимума характеризует своеобразную «монотонность»
решений параболических уравнений по начальным и краевым функциям.
Принцип максимума для линейных параболических уравнений,
который служит основной доказательства аналогических утверждений
для нелинейных задач подробно изложен во многих учебниках и книгах
(см., например, [124, 157, 21, 247, 253, 136, 170, 219, 258]). Там же можно
найти необходимые ограничения на гладкость и структуру границы 
(они особенно существенны, когда область  неограниченная). Поэтому
прейдем к формулировке утверждений, относящихся к приведенным
выше нелинейным задачам.
Утверждения такого рода объединяются под названием принцип
максимума, поскольку имеют один и тот же физический смысл и
доказываются приблизительно одними и теми же техническими
приемами. Приведенные ниже теоремы сравнения подробно
доказываются, например, в [157, 247, 253]. Формулировки теорем даются
для краевых и задачи Коши.
(1)
(2)
Теорема 5.6 Пусть u , u -неотрицательные классические решения
задачи (8.44), (8.45) в (0, T )   , причем
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
time1 ( FRAME + 2)  time2 ( FRAME + 2)
u(2) (0, x)  u(1) (0, x), ; x  
u(2) (t, x)  u(1) (t, x),
t [0, T ), x   .
(8.51)
Тогда
u(2) (t, x)  u(1) (t, x)
в [0, T )  .
(8.52)
С физической точки зрения теорема легко объяснима.
Действительно, чем больше начальное температурное возмущение и чем
интенсивней граничный тепловой режим, тем температура в среде
должна быть больше.
329
Доказательство теоремы основано
параболического уравнения для разности
на
анализе
линейного
z = u (2) − u (1)
и фактически использует знакоопределенность производной z в точке
экстремума функции z.
Непосредственным следствием теоремы 1 является следующее
Предложение 1. Пусть u(t, x) - классическое решение задачи (8.44)(8.45). Тогда u  0 в [o, T )  .
u (2)
(1)
Действительно, u  0 -решение уравнения (8.45). Тогда, полагая
= u , убеждаемся в справедливости условий (8.49), (8.50), и,
следовательно, u  u  0 всюду в [0, T )  .
Теорема сравнения позволяет сопоставить различные решения
параболического уравнения и тем самым дает возможность с помощью
какого-то одного фиксированного решения описать свойства широкого
класса других решений.
Однако то, что в теореме фигурируют только точные решения
рассматриваемого уравнения, во многом ограничивает ее применимость.
Существенно расширяет возможности исследования нелинейных
параболических уравнений другое утверждение [165, 21, 247, 260].
Теорема 2. Пусть в [0, T )   определено классические решения
u(t , x)  0 задачи (8.1)-(8.2), а также функции
(2)
(1)
u (t , x)  Ctx1,2 ((0, T )  ) C([0, T )  ) ,
удовлетворяющие неравенства
u+ / t  B(u+ ) , u− / t  B(u− ) в (0, T )   ,
(8.52)
и, кроме того,
u− (0, x)  u ( x)  u (0, x) , x   ;
(8.53)
u− (t, x)  u (t, x)  u+ (t, x) , t [0, T ) , x  
1
(8.54)
0
+
Тогда u−  u  u+ в [0, T )   .
Подчеркнем, что речь идет о сравнении решения задачи не с другим
решением того же уравнения, как в теореме 1, а с решениями
соответствующих дифференциальных неравенств (8.52).
Это расширяет возможности исследования свойств решений
нелинейных параболических уравнений, так как найти подходящее
решение дифференциального неравенства значительно проще, чем
какое-либо точное решение параболического уравнения.
330
Функции u+ и u− удовлетворяющие неравенствам (8.52)-(8.54),
называются соответственно верхним решением и нижним решением
задачи (8.45)-(8.47).
Утверждения, аналогичные теоремам 1, 2, справедливы для
нелинейных параболических уравнений второго порядка общего вида, в
том числе для существенно нелинейных (не квазилинейных) уравнений
ut = F (u,u, u,t, x)
где F ( p, q, r, t , x) -функция, непрерывная вместе с частными
R+  R N  R  [0, T )   .
производными в
Условие параболичности
уравнения здесь имеет вид F ( p, q, r, t, x)  0 .
Если в качестве F взять оператор, стоящий в уравнении (8.44) или
(8.45), то условие (13) превращается в неравенства k ( p)  0 , p  0 .
При некоторых дополнительных ограничениях на область  и ее
границу сформулированные выше утверждения справедливы для второй
краевой задачи, когда на  задается условие, например, такого вида:
u
= u2 (t , x) t  (0, T ) x   u  C supu  
,
,
; 2
,
,
(8.55)
2
n
где
к
в
u
n

- обозначение производной по направлению внешней нормали n
. Условие (8.55) имеет смысл, если производные u xi непрерывны
(0, T )  .
При
этом возникает новое условие согласования:
u0 ( x) / n = u2 (0, x) , x   и тогда можно говорить о классическом
решении второй краевой задачи.
В этом случае в теореме 1 вместо неравенства (8.50) должно
выполняться неравенство
u (2) / n  u (1) / n , t [0, T ) , x   .
Поскольку произведение
k (u )
u
n
равно тепловому потоку на
границе, то (14) имеет простой физический смысл.
Соответственно, в случае второй задачи в теореме 2 неравенства
(8.54) заменяются на неравенства
u− u u+


n n n , t [0,T ) , x   ,
(при этом на верхнее и нижнее решения u накладываются
дополнительные условия гладкости).

331
При
соответствующих
изменениях
теоремы
остаются
справедливыми, когда на  задаются более общие нелинейные
краевые условия третьего рода, например
u
= a(u, t , x) t  (0, T ) x  
,
,
,
n
где a(u, t , x) - любая достаточно гладкая функция [157, 247].
Рассмотрим в
QT = [0, T ]  R N
задачу
u
+ (u m −1 | u k | p − 2 u ) +  u  = 0 ,
t
u |t =0 = u 0 ( x), x  R N , sup u 0 ( x)  + ,
Au = −
x
где  = 1,  − grad () ,   0, m, k , p
(8.56)
(8.57)
  1 - заданные константы,
mes sup pu0 ( x)  +, u0m−1 | u0k | p −2 u0  C ( R N ) .
Cформируем теорему сравнение решений для задачи (…..) Пусть
Q = (t , x ) : t  0, x  R N  , D = (t , x ) : t  0, x  l (t )  , где l(t)-непрерывная
положительная функция
Теорем 5.6. Пусть u (t , x)  0 - обобщенное решение задачи (8.56),
(8.57) и функции u  (t , x) таковы, что u   0 в Q, u  = 0 в Q\D,
u   Ct1,,x2 ( D)  C (Q)
| u k | n −1 u k  C (Q)
и в D выполняется неравенство
Au +  0,
Au −  0,
u 0 ( x)  u + (0, x),
u 0 ( x)  u − (0, x) в R N .
Тогда u 0 ( x)  u + (t , x), u 0 ( x)  u − (t , x), в Q.
Функции u + , u − называются соответственно верхним и нижним
решением задачи (8.56), (8.57).
8.5 Cвойства математической модели процессов реакциидиффузии с двойной нелинейностью с источником или
поглощением
На основе автомодельного и приближенно-автомодельного
подходов исследуются свойства решений системы уравнений реакциидиффузии с двойной нелинейностью с учетом конвективного переноса,
поглощения или источника. Показано влияние параметров системы
реакции-диффузии к эволюции процесса. Обосновано существование
решений с компактным носителем и решений, исчезающих на
бесконечности, и получено их асимптотическое представление. Найдена
332
оценка решения и свободной границы для задачи Коши, на основе чего
устанавливаются свойства решения с конечной скоростью
распространения
возмущения,
локализация
ограниченных
и
неограниченных решений, условие глобальной разрешимости задачи
Коши, обобщающее ранее известные результаты. Получена оценка типа
Кнерра-Кершнера для свободной границы. Предложено начальное
приближение, приводящее к быстрой сходимости итерационного
процесса. Приводятся результаты численных экспериментов.
8.5.1. Свойства решений задачи реакции-диффузии с двойной
нелинейностью с конвективным переносом и поглощением
N
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : t  0, x  R } задачу Коши для
параболического уравнения с двойной нелинейностью c конвективным
переносом и поглощением
p −2
u
Au  −
+  u m−1 u k
u − div ( c(t )u ) +  (t )u  = 0,
(8.58)
t
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  R N ,
(8.59)
где   0, n, p, m – заданные параметры, () = grad () , 0   (t )  C (0, ) ,
 = 1.
Эта задача в случае  (t ) = 1, p = 2 ,m  1 подробно изучена в работах
[3,26,28-32], а в случае  (t ) = 1, k = m, m  1 различные свойства решений
исследованы во многочисленных работах [68,100,101,104,105,106,107].
Уравнение (1) описывает множество физических процессов
[68,100,101,104,105,106,107], например, процессов реакции-диффузии,
теплопроводности, политропической фильтрации жидкости и газа в
нелинейной среде, характеризующейся нелинейным коэффициентом
при наличии конвективного переноса со скоростью c (t ) , зависящей от

времени, и поглощения, мощность которого равна  (t )u .
Отличительной чертой уравнения (8.58) является его вырождение: в
области, где u = 0 или u = 0 , уравнение (8.58) является
вырождающимся, что порождает определенные трудности как при
качественном исследовании свойств решений, так и при численном её
решении. В области вырождения задача (8.58), (8.59) может не иметь
классическго решения. Поэтому, в этом случае с физической точки
зрения разумно рассмотреть обобщенные решения, из класса
непрерывных, ограниченных и неотрицательных функций 0  u (t , x) с
(
)
333
p −2
непрерывным потоком: u m−1 u k
u  С (Q)
следующему интегральному тождеству
  ( −u
t
0 
t
+ u m−1 u k
p −2
)
и удовлетворяющих
 − c(t )u −  (t )u  dxdt −  u0 ( x ) ( x, 0 ) dx = 0 (8.3)

N
для  (t , x)  C10 ( R N  0,T ) , где   R .
В работе показано, что прежде чем численно решить и
визуализировать
процессы,
описываемые
уравнением
(8.58),
необходимо изучить качественные свойства решений таких, как
конечная скорость распространения возмущения, локализация решения,
асимптотика решения, поведение свободной границы в зависимости от
значений параметров уравнения (8.58) и начального распределения
u0 ( x ) .
Свойства решений задачи (8.58), (8.59) зависят от значений
параметров уравнения (8.58) и начальной функции u0 ( x ) . В работах
[68,100,101,104,105] достаточно хорошо изучены свойства решений в
частном случае уравнения (8.58), когда   1, 0    1,  (t ) = 1, при k = 1
или p = 2 . В них имеют место разные нелинейные эффекты в
зависимости от значений параметров [68,100,101,104,105,106,107,109,
128].
Ниже показано, что в случае k ( p − 2) + m − 1  0,   1 существует
решение u (t , x) , для которого имеет место конечная скорость
распространения возмущений (КСРВ).
Для установления свойств решений рассматриваемой задачи
применяются автомодельный и приближенно-автомодельный подходы.
Построение приближенно автомодельного и автомодельного
уравнения.
Ниже методом нелинейного расщепления [68,105,106] предложен
способ построения автомодельного и приближенно – автомодельного
уравнения для уравнения (8.58), который значительно облегчает
исследование качественных свойств решений задачи (8.58), (8.59).
Для сведения уравнения (8.58) к автомодельному, приближенноавтомодельному виду сначала путем замены
t
u (t , x) = z (t ,  ),  =  c( y )dy − x
0
приведем (8.58) к виду
z
−
+  z m−1  z k
t
(
p −2
)
 z − div ( c(t ) z ) −  (t ) z  = 0,
334
(8.60)
а затем заменой
где
функция
z (t ,  ) = u (t ) w ( (t ),  ) ,
(8.61)
t


u (t ) = (T + (  − 1)   ( )d ) 
0


−1/(  −1)
,
уравнения (8.58) без её диффузионной части
является
решением
du
= − (t )u  . Сведем
dt
уравнение (8.58) к виду
p −2
w
=  wm−1  wk
 w +  (t )u  −( k ( p −2)+m ) ( w − w ) ,

где функции  (t ) определяется как
)
(
(8.62)
 [u (t )]k ( p −2)+ m−1 dt , если k ( p − 2)m − 1  0,
 (t ) =  
если k ( p − 2)m − 1 = 0.
T + t ,
Отметим, что поскольку для главной части уравнения (8.62) её
радиально симметрические решения w( (t ),  = r имеют вид
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r
p −2
 wl 
,
 r 
(8.63)
то подставляя (8.61) в (8.62), имеем уравнение
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r

 +  (t )u  −( k ( p −2)+ m+l −1) ( w − w ) .
(8.64)


При этом, если  = k ( p − 2) + m + l − 1 , то уравнение (8.64) приобретает вид
p −2
 wl
r
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r
p −2
 wl 
 +  (t ) ( w − w ) .
 r 
Далее полагая
w( , x) = f ( ) ,  =  /  ( t ) ,
1
p
(8.65)
можно легко видеть, что при  = k ( p − 2) + m + l − 1 функция
удовлетворяет приближенно-автомодельному уравнению

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
В том случае, когда
df l   df
+
+  (t ) (t ) ( f − f  ) = 0.
d  p d

 (t ) (t ) u (t ) 
 − ( k ( p − 2) + m )
= c 0,
f ( )
(8.66)
(8.67)
где c0 постоянная, то (8.64) превращается в автомодельное уравнение
335
df l   df
+

+ c0 ( f − f  ) = 0.
(8.68)
d  p d


Например, в частном случае, когда  (t ) = (T + t ) , где  - константа,
1− s
то
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
легко
подсчитать,
что
в
уравнение
(8.68)
( + 1)
c0 =
, а автомодельное уравнение (8.68)
 − 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 1)
имеет следующий вид:
k p −2

df l 
( + 1)
1− s d
s −1 m −1 df
 f
+


d 
d
d   − 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 1)
(8.69)


 ( f − f  ) = 0.
В этом случае
(T + t ) p2 / p2 , если p2  0,

 (t ) = T + t ,
если p2 = 0,
ln(T + t ),
если  = ( + 1)( k ( p − 2) + m − 1),

(8.70)
где p2 = 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 2) / ( − 1) .
Значение  = 1 − ( + 1)( k ( p − 2)m − 1) является сингулярным случаем
уравнения (8.69), свойство положительных решений которого изучал
[110].
Различные свойства обобщенных решений автомодельных решений
уравнение (8.65) в случае когда p = 2 , с граничным условием
f (0) = c  0, f () = 0,
(8.71)
f (0) = c  0, f (b) = 0, b  ,
(8.72)
изучены в [68,100,106]. В работах [68,100,101,104] исследованы свойства
неограниченных решений и существование тепловых структур, а также
рассмотрены вопросы численного решения.
Условие локализации решения задачи Коши. Теперь рассмотрим
задачу о мгновенном источнике для уравнения (8.57) для случая, когда
 = 1,  (t )  0 , u0 ( x ) = q ( x ) , где q-мощность мгновенного источника и
 ( x) - дельта функция Дирака. Путем точного решения задачи (8.57),
(8.58) покажем условие локализации решения задачи.
В этом случае задача (8.57), (8.58) имеет следующее точное
автомодельное решение
−
u (t , x) = u (t )[ (t )]
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
336
f ( ) ,
( 8.73)
(
)
( p −1)/( k ( p −2) + m +l − 2)
p /( p −1)

a
−

,если k ( p − 2) + m +l − 2  0, (8.74)

+
f ( ) = 
p

exp − 1     ,
если k ( p − 2) + m +l − 2=0,
p −2 

p  
lk



где
−
1
p
 =  [ (t )] , (a) + = max(0, a),
(8.75)
а константа а в (8.75) находится из условия
 u(t , x)dx = q.
R
(8.76)
N
Отметим, что из решения (8.18) при p = 2, T = 0 когда u0 ( x)  q ( x),
получится решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта [68].
Покажем теперь способ построение решения (8.74).
Чтобы получить точное решение уравнения (8.57) при  = 1, сделаем
в (8.57) замену
t
u (t , x) = u (t ) w( (t ),  ),  =  c( y )dy − x,
(8.77)
0
где
t
 (t ) =  [u (t )]
k ( p − 2) + m +l − 2)
0
 t

dt , u (t ) = exp  −   ( )d 
 0

(8.78)
является решением уравнения
du
= − (t )u .
dt
(8.79)
Тогда легко видеть, что уравнение (8.57) после замены (8.77) и
выбора  (t ), u (t ) согласно (8.78), (8.79) приобретает вид
p −2
w
=  wm−1  wk
 wl .
(8.24,80)

Решение типа Зельдовича-Баренблатта, которое, как показано в
первой главе имеет вид
)
(
−
w( (t ),  ) = [ (t )]
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
f ( ).
Тогда с учетом замены (8.77) имеем (8.74). Отсюда, таким образом,
доказывается
Теорема 8.1. Пусть u (t )  +, t  0 и  ()  + . Тогда имеет место
локализация решения задачи (8.57), (8.58), если
u0 ( x)  u (0) f ( ) t =0 .
337
Доказательство. Из точного выражения решения уравнения (8.57)
при  = 1, полученного выше согласно принципа сравнения, если в
качестве сравниваемой возьмем функцию
−
z (t , x) = u (t )[ (t )]
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
f ( ),
то для решения задачи (8.57), (8.58) имеем оценку u (t , x)  z (t , x), в
N
области Q = {(t , x) : t  0, x  R } .
Тогда для фронта имеем оценку
t
 c( y)dy − x  (a)
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p ,
(8.25,81)
0
что в силу условия теоремы 8.57 означает локализацию решения в
гиперсфере с радиусом (a)
( p −1)/ p
[ (t )]
1/ p
t
и центром  c( y )dy. Теорема 8.57
0
доказана.
Теорема 8.2. Пусть u (t , x) обобщенное решение задачи (8.57), (8.58)
без члена поглощения и выполняется условие u0 ( x)  u+ (0, x) , где
u+ (t , x) = f ( ) , где f ( ) задана формулой (8.69). Тогда для обобщенного
решения u (t , x) задачи (8.57), (8.58) имеют место следующие оценки для
решения и свободной границы
t
u (t , x)  u+ (t , x) в Q, и  c( y )dy − x  (a)( p−1)/ p (T + t )1/ p , x  R N , t  0.
(8.82)
0
Доказателство. Доказательство теоремы 8.58 проводится на основе
теоремы сравнения решения [68]. В нашем случае в качестве
сравниваемой берется определенная выше формулой (8.75) функция
u+ (t , x) = f ( ),  = x / (T + t )1/ p .
Легко видеть, что Au+ (t , x )  0 , в области D1 = (t , x) : t  0, x  l1 (t ),
( p −1)/ p
a
l1 (t ) =  
[T +  (t )]1/ p , T  0. Тогда в силу условия теоремы 8.57 на
b
основании теоремы сравнения решения [68] имеем u (t , x)  u+ (t , x) в
области Q.
Теорема 8.58 доказана.
Приводимые ниже результаты относятся к случаю   1.
Теорема 8.3. Пусть выполнены условия:
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m +l −1)

N
, t  0, и
p
338
u0 ( x)  z+ (0, x), x  R N .
Тогда существует глобальное решение задачи Коши (8.57) (8.58),
для которой в области Q имеет место оценка
u (t , x)  z+ (t , x) = u (t ) f ( ),
( p −1)/ p
1/ p
a
а для свободной границы оценка    
T +  (t ) , x  R N , t  0, где
b
z+ (t , x), u (t ), f ( ),  (t ) - определенные выше функции.
Следствие.
Пусть
  k ( p − 2) + m + l − 1 +
 (t ) =  = const ,
u0 ( x)  z+ (0, x) ,
x  RN ,
p
и
N
( p −1)(  −1)
k ( p −2) + m−1)
N
1
−
.
(8.83)
p  − (k ( p − 2) + m − 1)
Тогда задача (8.57), (8.58) имеет глобальное обобщенное решение,
для которого в Q имеет место оценка
a

u(t, x)  z+ (t, x).
В частности, из этого следствия вытекает условие глобальной
разрешимости, приведенное в [68]. Этот результат в случае, когда в
уравнении (1), m = 1, p = 2 был в первые получен Фуджитом [76] и носит
теперь название критической экспоненты типа Фуджите. В случае
k = 1, p = 2 наличие глобального решения доказано Самарским А.А.,
Курдюмовым С.П., Галактионовым В.А., Михайловым А.П. [68], а в
случае, когда k = 1, m = 1, Галактионовым В.А. [75].
Из оценки решения (8.27) видно, что чем значение  ближе к
критическому значению типа Фуджита  = * = k ( p − 2) + m + l − 1 + p / N ,
тем для выполнения неравенства u (t , x)  z+ (t , x) начальное значение
должно быть малым.
Доказательства этих теорем и других утверждений для решений
задачи (8.1)-(8.2) основаны на методе нелинейного расщепления [109],
теореме сравнения решений [68] и с использованием того факта, что
функция f ( ) определенная выше, является классическим решением
уравнения
L1 (m, p, N ) f +
a
в области |  |  
b
p −1
p
,
339
N
f =0
p
p −2
d  N −1 m−1 df k
df l 
 f
.
где L1 ( p, m, N ) f = 
d 
d
d 


Заметим, что функция f ( ) удовлетворяет условиям
1− N
0  f ( ), 
1− N
f
m −1

N −1
df k
d
p −2
df l
 C  0,  ) .
d
Асимптотика автомодельных решений. Отметим, что когда в (8.1)
 (t ) =   0
уравнение
(8.9)
становится
автомодельным:

1− N
d  N −1 df

d 
d
p −2
df l   df
1
+
f − f  ) = 0. (8.28,84)
+
(

d  p d  − (k ( p − 2) + m + l − 1)
Рассмотрим теперь это уравнение с граничным условием
f ( 0 ) = c  0, f ( d ) = 0, d  .
(8.2985)
p −1
k ( p − 2) + m −1)
p


p −1
.
Введем функцию f ( ) =  a −  

+
Существование обобщенного решения задачи (8.84), (8.85) когда в
(8.57), N = 1, p=2 было доказано в [68,106].
Теорема 8.4. Пусть, k ( p − 2) + m + l − 2  0 ,   1,   k ( p − 2) + m + l − 1 .
(
Тогда решение задачи (8.28), (8.29) при  →  = − ln ( a − b p /( p−1) )
)
имеет асимптотику
f ( ) = c1 f ( ) (1 + o(1) ) ,
a=c
k ( p − 2) + m +l − 2)
p −1
,
где c1 определяется из решения алгебраического уравнения
1
p ( p − 1) p −2
c k ( p −2)+ m−1 −  
p 1
k ( p − 2) + m + l − 2)
 p
p −1


1
−

p 
 (k ( p − 2) + m + l − 2)  (8.86)
(1 / p ) p −1
−
= 0.
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
Доказательство: Для доказательства теоремы 8.60 в (8.84) сделаем
замену
p


p −1
f ( ) = f ( )W ( ) ,  = − ln  a −  .




Тогда уравнение (8.86) принимает следующий вид
340
 e−
 e −
d
pb1 
pb1 
1  p −1
LW + 
N
−
L
W
+
N
−
L
W
+





−
−
d
p −1
p −1
p p 
a−e
a−e
p −2

− ( p −1)(  −1)

 dW
(( p − 1) / p) p −1
e − 
k 

k ( p − 2) + m +l − 2)

− b1kW  +
W
−
e
W
 = 0,
− 

d


−
(
k
(
p
−
2)
+
m
+
l
−
1)
a
−
e




p −1
m −1 dW
k
− kbW
Где b1 =
, LW = W
1
d
k ( p − 2) + m + l − 2
p −2
 dW
k 
1
 d − kbW
.


Отсюда легко увидеть, что W → c1 при  →  , где c1 находится из
решения уравнения
1
( p − 1) p −2 p
c k ( p −2)+ m−1 −  
p 1
(k ( p − 2) + m + l − 2)
 p
p −1


1

−
k
(
p
−
2)
+
m
+
l
−
2)


p −1
(1 / p )
−
= 0.
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
Теорема 8.4 доказана.
Cлучай быстрой диффузии. Случай k ( p − 2) + m + l − 2  0
называется случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай
и уравнение (8.84) с граничным условием
f ( 0 ) = c  0, f (  ) = 0.
(8.85)
Ниже исследуем асимптотику решений задачи (8.84), (8.85).
Рассмотрим функцию
p / p −1
f  = (a +  ( ) )( p −1)/( k ( p −2)+ m+l −2)) .
Теорема 8.5. Пусть p + b1N  0, k ( p − 2) + m + l  2 . Тогда решение
задачи (8.84), (8.85) при  →  имеет асимптотику
( )
f ( ) = c2 f ( )(1 + o(1) ) ,
где c1 находится из решения уравнения
1
c2
+ b1  
 p
где b1 = k ( p − 2) + m + l − 2.
k ( p − 2) + m−1)
p −1
+
b12 (1 / p) p−1
= 0,
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
Доказательство. Для доказательства в уравнении (8.84) сделаем
замену
p / p −1
f ( ) = f ( )W ( ) ,  = ln a +  ( ) .
(8.86)
(
Тогда оно перепишется в виде
341
)
p

d
e
1  p −1
L1 ( w) +  + 
N  L1 (W ) + 

d
p p 
 b1 e − a 
p −2
 dW p − 1 
+
W +

b1
 d

( p −1)(  −1)

(( p − 1) / p)
e 
b1

+
W
−
e
W

 = 0,

 − (k ( p − 2) + m + l − 1) e − a 


p −1
где L1 ( w) = W
m −1
dW p − 1
+
W
d
b1
p −2
(8.87)
 dW p − 1 
+
W .

d

b

1

Анализ решений этого уравнения при  → показывает, что W → c2
при  → и оно должно удовлетворять алгебраическому уравнению
(8.87).
Теорема 8.5 доказана.
Замечание 8.1. При  =
p − [k ( p − 2) − m + l − 1]
p −1
имеет точное решение f ( ) = A ( a − 
где
m + p −3
A
1 b 
=  1
p p 
p −1
( p ( p + b1N ) )
p −1
a=
p (m − 2) − 1
p 2 ( p + b1 N )
p / p −1
( p + b1N )
)
−1
p −1
( k ( p − 2) + m +l − 2)
+
уравнение (8.87)
,
b1 = k ( p − 2) + m + l − 2  0,
,
p /( p −1)
.
(
Другое точное решение f ( ) = f ( ) = A a + 
p −1
p / p −1 ( k ( p − 2) + m +l − 2)
)
.
Отметим, что в этом случае доказывается, что финитные решения
задачи (8.84), (8.85) имеют такую же асимптотику как в теореме 8.61, но
с коэффициентом, равным 1.
Критическое значение типа Фуджита и двойной критический
случай. Предложенный выше метод нелинейного расщепления
позволяет установить критические значения параметров уравнения
(8.57) типа Фуджита
 (t ) (t ) u (t ) 
и
 −( k ( p − 2) + m +l − 2 )
=
N
,
p
критические
значения параметров при выполнении
k ( p − 2) + m − 1 = 0 , и двойных критических условий:
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m +l −1)
=
N
, t > 0.
p
условия
(8.88)
В критическом случае уравнение (8.57) принимает автомодельный вид
L ( m, p, N ) f +
342
N
f + f  ) = 0.
(
p
В случае выполнения двойного критического случая из (8.88) имеем
 (t )(T + t )[u (t )] −1 =
N
.
p

Например, если  (t ) = (T + t ) ,  −1 , то двойным критическим
условием будут
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 ,  = * = 1 + ( + 1)(k ( p − 2) + m + l − 1)) + p / N . В
этом случае  = * = 1 + ( + 1)( p / N ) .
Свойства решения задачи (8.57), (8.58) в двойном критическим
случае носят иной характер (см. [68]). В частном случае, когда в (8.84) в
критическом случае асимптотика решения задачи (8.57)-(8.58) получена
в [106].
Легко проверить, что в двойном критическом случае определенная
выше функция f ( ) является верхним решением.
Теорема 8.6. Пусть в (8.63) k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 . Тогда асимптотика
решения задачи (8.57)-(8.58) при t → + будет
p
  1


u (t , x) u (t )exp  −  p −2   / (T + t )1/ p  ,

  lk

1
где u (t ) =  (T + t )ln(T + t )   −1 .
Доказательство теоремы 8.6 основано на получении двусторонней
оценки решения. Этот результат в случае, когда в (8.57) p = 2, ранее был
получен Галактионовым В.А., Васкесом Х.Л. [20,127-129], а в случае,
m = 1, k = 1 Галактионовым В.А. [21].
Оценка типа Кнерра – Кершнера. Когда в уравнении (8.1) n = 0 ,
p = 2,  (t ) = 1, N = 1,  = m Кнерр [109] получил следующую оценку для
*
1
2
свободной границы x (t )  a ( ln(t ) ) , t  1, где a  0 некоторая константа.
Другое доказательство этого результата было дано Кершнером [107].
Далее мы докажем следующую
Теорему 8.7. Пусть  = k ( p − 2) + m + l − 1 . Тогда для свободной
границы задачи (8.57)-(8.58) для достаточно больших t справедлива
оценка
a
x(t )   
b
p −1
p
1
−1

t
p

   T + (k ( p − 2) + m + l − 2)   (t )dt  d  .
 0

0



Доказательство. Сделаем в (8.63) замену
w ( , ( x) ) = f ( ),  =  ( x) / 
t
1/ p
,  (t ) =  u ( ) 
0
343
k ( p − 2) + m +l − 2
d.
Тогда из (8.7) в случае при  = k ( p − 2) + m + l − 1
приближенно-автомодельное уравнение
получим
p −2
d  s −1 df k
df l   df

+
L2 ( f ) = 
+  (t ) (t ) ( f − f  ) = 0.
d 
d
d  2 d


Вычислим оператор L2 ( f ) . Тогда, учитывая последнее уравнение,
1− s
непосредственные вычисления дают
 s


L2 ( f ) = f  − +  (t ) (t )  +  (t ) (t ) f  −1  ,

 2

и для достаточно больших t имеем L2 ( f )  0.
Применяя теорему сравнения, из [68] мы получим нужную оценку
для свободной границы.
8.5.2. Исследование свойств решений задачи реакциидиффузии с двойной нелинейностью с переменной плотностью и
источником

N
Рассмотрим в области Q = (t , x) : t  0, x  R

задачу Коши для
параболического уравнения с распределенными параметрами и с
двойной нелинейностью
p −2
q u
n
q
Au  − x
+  x u m−1 u k
u l +  (t ) x u  = 0,
(8.89)
t
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  R N ,
(8.90)
где   0, n, p, m – заданные параметры, () = grad () , 0   (t )  C (0, ) ,
 = 1.
Эта задача в случае  (t ) = 1, p = 2 изучена в работе [46] и
исследованы её собственные функции.
Уравнение (8.89) описывает множество физических процессов
[68,100, 101,104,105-106], например, процессы реакции-диффузии,
теплопроводности, политропической фильтрации жидкости и газа в
нелинейной среде при наличии источника (  = +1 ) или поглощения ( = −1)
мощность которого равно  ( x) (t )u  .
В области, где u = 0 или u = 0, уравнение (8.89) является
вырождающимся. Поэтому, будем исследовать обобщенные решения,
так как в этом случае уравнение (8.35) может не иметь классического
решения. В работе доказано, что прежде чем численно решить и
визуализировать процессы, описываемым уравнением (8.89),
необходимо изучить качественные свойства решений в зависимости от
значений параметров уравнения, таких как конечная скорость
)
(
344
распространения возмущения, локализация решения, асимптотика
решения, поведение свободной границы.
Свойства решений задачи (8.89), (8.90) зависят от значений
параметров уравнения (8.89) и начальной функции u0 ( x ) . В работах
[68,100,101,104,106] достаточно хорошо изучены свойства решений в
частном
случае
уравнения
(8.89),
когда
  1,
0    1,  = +1,  = −1,  (t) = 1 , при m = 1 или p = 2 . В них имеют место
разные нелинейные эффекты в зависимости от значения параметров [74].
С физической точки зрения разумно рассмотреть обобщенные
решения, из класса неотрицательных функций 0  u (t , x) с непрерывным
потоком, т.е. x u m−1 u k
n
p −2
u  C (Q) и удовлетворяющие некоторому
интегральному тождеству [68,105-106].
Построение приближенно автомодельного уравнения. Ниже
методом нелинейного расщепления предложен способ построения
автомодельного и приближенно – автомодельного уравнения для
уравнения (8.89), который значительно облегчает исследование
качественных свойств решений задачи (8.89)-(8.90).
Для сведения уравнения (8.89) к автомодельному или приближенноавтомодельному виду, решим сначала простое уравнение
du
= − (t )u 
dt
(8.91)
Затем ищем решение уравнения (8.89) в виде
u (t , x) = u (t ) w( (t ), ( x)) ,
где
t


u (t ) =  T + (  − 1)   ( ) d 
0


−1/(  −1)
,
(8.92)
является решением уравнения (8.89),
а w( , x) решение уравнения (8.89) без младшего члена, в “радиально
симметричной” форме
w
  s −1 m−1 w
Aw = −
+  1− s
 w

 

p −2
w 
=0,
 
(8.92)
а функции  (t ) определяется как
t
 (t ) =  u k ( p −2)+m+l −2 ( y )dy .
(8.4093)
0
Подставляя (8.92) в (8.89), для w( (t ),  ( x)) имеем уравнение
k p −2
w 1−s   s −1 w
wl 
 −( k ( p − 2) + m+l −1))

 +  (t ) u (t )
=

w − w ,
(8.94)

 

 


(
345
)
( x ) = x
p1
/ p1 , p1 =
p
, p − (n + q)  0.
p − (n + q)
Так как уравнение (8.92) имеет автомодельное решение вида
=
w( , x) = f ( ) ,
 ( x)
 ( t )  p
1
,
(8.95)
то f ( ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
L1 ( s, m, p) f +  (t ) (t ) u (t ) 
 − ( p + m − 2)
где L1 ( s, m, p ) f = 
1− s
( − f + f ) = 0,

d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l   df
+
.
d  p d

Тогда с учетом этого из (8.94) получим приближенно-автомодельное
уравнение
L1 ( s, m, p) f +  (t ) (t )[u(t )] −( p + m−2) (− f + f  ) = 0 .
(8.96)
= const ,(8.96) превращается в
В том случае, когда  (t ) (t ) u (t )
автомодельное уравнение.
Различные свойства обобщенных автомодельных решений
уравнения (8.96) в случае, когда s = 1, p = 2 , с граничным условием
 −( p + m − 2)
f (0) = c  0, f () = 0,
f (0) = c  0, f (b) = 0, b  
(8.97)
(8.98)
изучена в [68,100,106]. В работах [68,100,101,104] исследованы
свойства различных решений и существование тепловых структур, а
также численные их решения.
Условие локализации задачи Коши. Пусть u (t )  +, t  0 и
 ()  + . Тогда имеет место локализация решения задачи (8.89),(8.90),
если u0 ( x)  u (0) f ( ) t =0 и уравнение (8.89) принимает вид (8.93),
которое имеет решение (8.99).
Теорема 8.8. Пусть u (t , x) обобщенное решение задачи (8.89)-(8.90)
без члена поглощения или источника и выполняется условие
u0 ( x)  u+ (0, x) , где u+ (t , x) = f ( ) . Тогда для обобщенного решения u (t , x)
задачи (8.89)-(8.90) имеет место следующая оценка для решения и
свободной границы
u (t , x)  u+ (t , x) в Q,
a
x  
b
( p −1)/ p
 (t )
1/( p + −(2+ n ))
346
N
, x  R ,t  0 .
Доказательство. Доказательство Теоремы 1 проводится на основе
теоремы сравнения решения [68]. В качестве сравниваемой берется
определенная выше функция f ( ) .
Теорема 8.9. Пусть в (8.89)  = −1 и выполнены условия:
 (t ) (t )[u (t )] −( m + p − 2) 
s
N
, t > 0, и u0 ( x)  u+ (0, x) , x  R . Тогда существует
p
глобальное решение задачи Коши (8.89), (8.90) для которой в Q имеет
место оценка
u(t,x)  z+ (t,x) = u (t ) f ( ) ,
(8.99)
а для свободной границы-оценка
( p −1)/ p
1/( p + −(2+ n ))
a
x  
p1  (t )
, x  R N , t  0,
(8.100)
b
где z+ (t , x), u (t ), f ( ), (t ) - вышеопределенные функции.
u0 ( x)  u+ (0, x), x  R N ,  = +1 ,
Теорема
8.10.
Пусть
s
t  0, s = p N − q . Тогда для малых
,
p
p − (n + q )
начальных данных u0 ( x) существует глобальное решение u(t , x) задачи
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m )

Коши (8.89), (8.90), для которого имеет место оценка u (t , x)  u+ (t , x) в Q,
а для свободной границы-оценка
( p −1)/ p
1/( p + −(2+ n ))
a
x  
p1  (t )
.
(8.101)
b
 
В частности, справедливо
Следствие. Пусть  (t ) =  = const , u0 ( x)  z+ (0, x) , x  R N ,  = +1 ,
p
  m+ p−2+ , a
s
( p −1)(  −1)
m+ p −3

s
1
. Тогда задача (8.89),(8.90)
−
p  − (m + p − 2)
имеет глобальное обобщенное решение, для которого в Q имеет место
оценка
u(t , x)  z+ (t , x) .
Этот результат в случае, когда в уравнении (8.89),  (t ) = 1 ,
m = 1, p = 2,  = 2 , n = 0 был получен впервые Фуджита [104], в случае
n = 0, p = 2,  (t ) = 1 ,  = 2 Самарским А.А., Курдюмовым С.П.,
Галактионовым В.А., Михайловым А.П. [68], а в случае, когда
m = 1,  = 2,  (t ) = 1 , n = 0 - Галактионовым В.А. [26-32].
Доказательство этих теорем и других утверждений для решений
задачи (8.89)-(8.90) основаны на методе нелинейного расщепления [2632] и теореме сравнения решений [68] и с использованием факта, что
347
функция f ( ) определенная выше, является классическим решением
s
a
уравнения L1 (m, p, s) f + f = 0, в области n   
p
b
( p −1)/ p
,
где
L1 ( m, p, s ) f = 
1− s
Заметим, что f ( ) , 
1− s
d  s −1 m−1 df
 f
d 
d
f
m −1

s −1
df
d
p−2
p −2
df   df
.
+
d  p d
(8.102)
df
 C 0,  ) .
d
Асимптотика автомодельных решений. Отметим, что когда в (8.89)
 (t ) =   0 уравнение (8.96) становится автомодельным:

1− s
d
d
 s −1 df


d

p −2
df
d
  df

+
+
−f + f)=0
(
 p d   − ( p + m − 2)

Рассмотрим теперь это уравнение с граничным условием
f ( 0 ) = c  0,
f ( d ) = 0, d  .
(8.103)
(8.104)
Введем функцию

f ( ) =  a − 


p
p −1


+
p −1
p + m −3
.
(8.105)
Существование обобщенного решения задачи (8.103)-(8.104), когда
в (8.89) N = 1, n = 0, p = 2,  = −1 , была изучена в [68,106].
Теорема 8.11. Пусть  (t ) = 1 , p + m  3 ,   1,   p + m − 2 . Тогда
(
)
решение задачи (8.103), (8.104) при  →  = − ln ( a − b p /( p−1) ) имеет
асимптотику
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1) ) ,
a=c
p + m −3
p −1
,
(8.106)
где c1 определяется из решения алгебраического уравнения
 p −1 
1 

p
1
(1/ p )
c p + m −3 −   
= 0.


−
2 1
p
+
m
−
3
p
p
+
m
−
3

−
p
+
m
−
2
(
)

 ( p + m − 3)
  

Доказательство. Для доказательства теоремы 8.11 в (8.103) сделаем
p −2
p −1
p


p −1
замену f ( ) = f ( )W ( ) ,  = − ln  a −   .


Тогда уравнение (8.103) принимает следующий вид
348
p −1
d  m−1 dW
p −1
−
W
W
d 
d p + m − 3
p −2
 dW

p −1
−
W  +

 d p + m − 3  
e −
p
dW
p −1
+(
s−
)W m −1
−
W
−
a−e
p +m−3
d p + m − 3
p −2
 dW

p −1
−
W +

 d p + m − 3 
p −2
− ( p −1)(  −1)

 (( p − 1) / p) p −1 e− 
1  p − 1   dW
p −1
( p + m −3)
+ 
−
W
+
W
−
e
W  =0.
 

− 

p  p   d p + m − 3   − (m + p − 2) a − e 

Отсюда легко увидеть, что W → c1 при  →  , где c1 находится из
решения уравнения
 p −1 


 p + m−3
p −2
p
( p + m − 3)
2
p + m −3
1
c
1
− 
 p
p −1


1
(1 / p )
−
= 0.


 p + m − 3   − ( p + m − 2)
p −1
Теорема 8.11 доказана.
Случай быстрой диффузии. Случай 2  m + p  3 называется
случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай и уравнение
(8.101) с граничным условием
f ( 0 ) = c  0,
f (  ) = 0.
(8.107)
Ниже исследуем асимптотику решений задачи (8.105), (8.107).
Рассмотрим функцию ~
f = (a +  p / ( p −1) )( p −1) /( p + m−3) .
Теорема 8.12. Пусть   ( p + m − 2), 2  m + p  3,  = −1 . Тогда
решение задачи (8.105), (8.107) при  →  имеет асимптотику
f ( ) = c2 f ( )(1 + o(1) )
где c1 находится из решения уравнения


p
1
+ s

 p + m−3  p + m−3
p−2
1
1
c2 m + p −3 +  
p+m−3
 p
p −1


1
(1/ p) p −1
+
=0


 p + m − 3   − (m + p − 2)
Доказательство. Для доказательства в уравнении (8.101) сделаем
замену
f ( ) = f ( ) W ( ) ,  = ln(a +  p / ( p −1) )
(8.108)
Тогда оно перепишется в виде
d  m−1 dW
p −1
W
+
W
d 
d p + m − 3
p −2
 dW

p −1

+
W   +
 d p + m − 3  

 dW
p
e
p −1
+ 
+ 
s 
+
W
 p + m − 3 e − a  d p + m − 3
+
1

p 
p −2
 dW

p −1

+
W  +
 d p + m − 3 
p−2
( p −1)(  −1)

 (( p − 1) / p) p −1 e 
p − 1   dW
p −1

( p + m − 3)
 
+
W  +
W
−
e
W
=0.

p   d p + m − 3   − (m + p − 2) e − a 

349
Анализ решений этого уравнения при  → показывает, что
W → c2 при  → . Теорема 8.12 доказана.
Замечание 8.2. При  =
2−m
p −1
уравнение (8.101) имеет точное решение
f ( ) = A(a − 
где A
p + m −3
1  p + m −3
= 

p
p

p −1
p / p −1
)
p −1
p + m −3
( p + ( p + m − 3) N )
−1
,
,
( p ( p + ( p + m − 3) N ) )
p −1
a=
.
p + m − 3 p + m − 3 + p 2 ( p + ( p + m − 3) N )
p /( p −1)
p −1
p / p −1 p + m −3
)
Другое точное решение имеет вид f ( ) = k (q + 
.
Отметим, что в этом случае доказывается, что финитные решения
задачи (8.105)-(8.106) имеют такую же асимтотику как в теореме 8.12, но
с другим коэффициентом.
Предложенной методикой изучены асимптотики финитных,
исчезающих на бесконечности решений уравнения более общего вида
(8.44).
Критический случай. Предложенный выше метод нелинейного
расщепления позволяет установить критическое значение параметров
уравнения (8.89). Критическим значением параметров является условия
p + m − 3 = 0, а двойным критическим выполнением условий:
p + m − 3 = 0,
 (t ) (t) u (t ) 
 −( p + m − 2)
=
s
,
p
t  0.
(8.109)
В критическом случае уравнение (8.89) принимает автомодельный вид
s
L(m, p, s ) f +    ( − f + f  ) = 0.
 p
В случае выполнения двойного критического случая из (8.107) имеем
 (t ) (t) u (t ) 
 −( p + m − 2)
=
s
,
p

Например, если  (t ) = (T + t ) ,   −1 , то двойным критическим будет
p

p + m − 3 = 0,  = * = 1 + ( + 1)  p + m − 3 +  .
s

Свойства решения задачи (8.108), (8.90) в двойном критическим
случае носят имеют иной характер (см. [68]). В частном случае, когда в
(8.89)  (t ) = 1,  = 2, n = 0 ,  = −1 , в критическом случае асимптотика
решения задачи (8.89), (8.90) получена в [5,20,57]. В случае, когда  = +1
350
, доказано, что любое решение задачи (8.89), (8.90) является
неограниченным.
Легко проверить, что в двойном критическом случае определенная
выше функция f ( ) является верхним решением в случае  = −1 и
нижним решением при  = +1.
Теорема 8.8. Пусть в (8.41)  = −1 , p + m − 3 = 0. Тогда асимптотика
решения задачи (8.89)-(8.90) при t → + будет
p

 ( x)  
,
u (t , x) u (t )exp   −
  p (T + t )1/ p  


1/(  -1)
.
где u (t ) = ( (T + t ) ln(T + t ) )
Доказательство теоремы 8.13 основано на получении двусторонней
оценки решения. Этот результат в случае, когда в (8.89)
 (t ) = 1, p =  = 2,  = −1 ранее был получен В.А.Галактионовым,
Х.Л.Васкесом [20], а в случае  (t ) = 1, n =  = 2,  = −1 , m = 1 В.А.
Галактионовым [105,106].
Оценка типа Кнерра-Кершнера. Когда в уравнении (8.89) n = 0 ,
p = 2,  (t ) = 1, N = 1,  = m Кнерр [109] получил следующую оценку для
*
1
свободной границы x(t )  a ( ln(t ) ) 2 , t  1 , где a  0 некоторая константа.
Другое доказательство этого результата был дано Р.Кершнером [43,44].
Далее мы докажем следующее
Теорему 8.14. Пусть  = ( p + m − 2) . Тогда для свободной границы
задачи (8.89)-(8.90) для достаточно больших t справедлива оценка
a
x(t )   
b
p −1
p
1
−1

t
 p+2−( n+ )
  T + ( p + m − 3)  (t )dt  d 
0




0

.
Доказательство. Сделаем в (8.41) замену
w( ,  ( x)) = f ( ),  =  ( x) / 
t
1/ p
,  (t ) =  [u( )] p + m−3 d
0
.
Тогда из (8.41) в случае при  = ( p + m − 2) получим приближенноавтомодельное уравнение
L2 ( f ) = 
1− s
d  s −1 df k

d 
d

p−2
df   df
+
+  (t ) (t ) ( − f + f  ) = 0.
d  2 d

Вычислим оператор L2 ( f ) . Тогда, учитывая последнее уравнение,
при  = −1 непосредственные вычисления дают
351
 s


L2 ( f ) = f  − +  (t ) (t )  +  (t ) (t ) f  −1 

 2

и для достаточно больших t имеем
L2 ( f )  0
.
Применяя теорему сравнения, из [68] мы получим нужную оценку
для свободной границы.
8.5.3. Неограниченные решения задачи реакции-диффузии с
двойной нелинейностью с переменной плотностью и источником
N
Рассмотрим в области QT = {(t , x) : 0  t  T0 , x  R } задачу Коши
 ( x)
(
0
)
p −2
u
=  u m −1 Du k
u − div(v(t )u ) +  ( t ) u  ,
t
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, x  R N ,
(8.110)
(8.111)
где p, m, k ,  - фиксированные постоянные, 0  v(t ),  (t )  C (0, ) .
В последние годы стали интенсивно изучать неограниченные
решения, являющиеся причиной наличия энерговыделения, химической
реакции и др. Во многих физических процессах возникают именно такие
решения (например, процессы горения). В связи с этим А.А. Самарский,
С.П. Курдюмов, Галактионов В. А., Михайлов А. П., Васкес Х. и др.
разработали теорию и практику исследования задач с режимом
обострения применительно к уравнению (8.110) в случае, когда p=2 или
m=1 [68,127-129]. Неограниченные решения были названы режимом с
обострением (blow-up). Были развиты специальные методы
исследования неограниченных решений нелинейных параболических
уравнений, которые позволяют провести достаточно подробное
исследование неограниченных решений на примере уравнения
теплопроводности с источником общего вида.
Уравнение (8.110) можно рассматривать как уравнение диффузии
тепла в сплошной среде с коэффициентом диффузии тепла
p−2
u m −1 Du k
u , зависящим от температуры u (t , x)  0 и градиента
температуры степенным образом, при воздействии конвективного
переноса с вектором скорости v(t). При этом в среде имеется объемное

энерговыделение с мощностью источника,  ( t ) u , 0   ( t )  C (0, ),.
Диффузионный процесс инициируют заданием начального возмущения
u ( 0, x ) .
352
Поведение решений задачи (8.110), (8.111) существенно зависит от
значений числовых параметров и соотношений между числовыми
параметрами, входящими в рассматриваемое уравнение, свойств
функций u0 ( x) ,  (t ) [4,6,7,68,110,19,130-135,136]. Известно [68], что за
счет интенсивного энерговыделения (   1 ) процесс химической реакции
(горения) может происходить в режиме с обострением [68]. Другими
словами, задач Коши (8.110), (8.111) могут не иметь глобального по
времени решения и в некоторый момент времени t = T0  + , который
называется моментом обострения амплитуды становится бесконечно
большой
sup u ( t , x ) → +, t → T0 .
xR N
А.В.Мартыненко и А.Ф.Тедеев рассмотрели квазилинейное
параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью
следующего вида:
 ( x)
в
предположение,
u
= div(u m −1 Du  −1 Du ) + u p
t
p  1, m + p − 3  0,   m + p − 2,
что
−l
 ( x) = 0 ( x) = x , либо  ( x) = (1 + x )−l , l  0, u0 ( x) - неотрицательная
измеримая функция из класса L1,loc (

N
) и такая, что
 ( x)u01+ ( m+ p −3)/( p −1) dx  
.
Они нашли условия на параметры задачи, при которых решение
задачи Коши взрывается за конечное время. Более того, получена точная
универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения
вблизи времени обострения.
Условия глобальный разрешимости и не разрешимости (проблема
Х.Фуджита и Ж. Лионса) и другие качественные свойства решений
задачи (8.110), (8.111) для частных значений параметров (k=1, p=2 или
m=1,  (t ) =  = const ) изучены в работах [4,6,7,68,110,19,130-135,136]. В
случае  (t ) =  = const , k=1, p=2, условие глобальной разрешимости при
N
  1+
2
было получено Фуджита, при p=2 Самарский А.А., Курдюмов
N
С.П., Михайлов А.П. [68] получили условие   m +
Галактионовым В.А. получено условие
  p −1+
2
N
, а при m=1
p
. В частности, I.
N
Kombi [110] исследовал свойства положительных решений задачи
353
(8.110) при m = 1,  (t ) = 1 . При 0    1 , m = 1 условие глобальной
разрешимости задачи (8.110) получено в [110].
Условие глобальной разрешимости задачи (8.110), (8.111) для
другого вида уравнения (8.110) получено в [3], из которого вытекает
ранее известные результаты других авторов. Свойства положительных
решений в сингулярном случае  = p + m − 2 изучены в [108]. В
частности, в [3] при p = 2 или получены следующие условия глобальной
разрешимости задачи (8.110), (8.111)
 ( t ) ( t ) u  −( k ( p −2)+l ) 
N
, (   m( p − 2) + l + p / N ,  (t ) = 1) ,
p
−
(8.112)
1
t

  −1
du
u
(
t
)
=
T
+
(

−
1)

(

)
d

= − (t )u  , а
где
- решение уравнения



dt
0


 (t )
u (t )
функция
определяется
через
функцию
так
1
 (t ) =  u k ( p −2)+m−1 ( )d .
0
Весьма важным является изучение свойства локализации
неограниченных решений задачи (8.110), (8.111) и условия его
возникновения. Локализация и другие свойства решений задачи (8.110),
(8.111) в общем случае выявляются на основе изучения качественных
оценок решений и численных расчетов с помощью анализа
автомодельных и приближенно автомодельных решений задачи (8.110),
(8.111).
Поэтому автомодельное решение уравнения (8.110) ищем в виде
u (t , x) = (T − t )−1/(  −1) w ( t ,  )
(8.113)
t
 = x −  v( y)dy, w(t ,  ) = f ( ),  =  / (T − t )[  −m( p −2)+l ]/(  −1) p
0
Тогда простые вычисления показывают, что уравнение (8.113)
сводится к автомодельному виду

1− N
d  N −1 m −1 df k
 f
d 
d

p −2
df   df
1
+
+
− f + f  ) = 0,   ((8.114)
k ( p − 2 ) + m)
(
d  p d  − ( k ( p − 2 ) + m)

где   k ( p − 2) + m. Как видно из уравнения (8.61), случай
 = k ( p − 2) + m является сингулярным.
(k ( p − 2) + m − 1  0) .
Случай
медленной
диффузии
Ниже
исследуются асимптотические свойства обобщенного решения
автомодельного
уравнения
(8.114)
в
классе
354
0  f ( ), 
N −1
f
m −1
df k
d
p −2
df l
 C (0, )
d
и удовлетворяющее уравнению
(8.115) в смысле распределения:
k

m −1 df

f
0 
d


p −2


df d  N
1

N −1
 = 0, (8.115)
+ +
−
f
+
f


d

)
(

d  d   p  − (k ( p − 2) + m) 

где   C (0, ) - гладкая с компактным носителем функции.
Рассмотрим уравнение (8.114) со следующими граничными условиями
1

1) f (0) = 0, f () = 0
2) f (0) = 0, f (d ) = 0, d  
3) f (0) = c  0, f (d ) = 0, d  
Введем функцию
f ( ) = (a − b
(a )+
p
p −1
p −1 k ( p − 2) + m −1
+
)
(8.116)
(8.117)
(8.118)
, где (n) + = max(0, n)
b = (k ( p − 2) + m − 1) / ( p − p / mk p −2 )1/( p −1)
= max (0, a )
.
Теорема 8.15. Пусть b  0 ,   1 . Тогда решение c компактным
носителем задачи (8.111) при  →  имеет асимптотическое
представление
f ( ) = (1/ p)(1/ bp) p [(k ( p − 2) + m − 1) / ( p − 1)] p −1 f ( ) (1 + o(1)) ,
где f ( ) - определенная выше функция.
Свойства неограниченных решений. Случай медленной
диффузии k ( p − 2) + m + 1  0.
Пусть k ( p − 2) + m − 1  0 . Будем исследовать свойства обобщенного
решения задачи (8.114), (8.116); (8.114), (8.117); (8.114), (8.118).
Ниже займемся изучением асимптотического поведения решений
этих задач и установим асимптотику различных решений. Отметим, что
задача (8.114), (8.117) является нелинейной спектральной задачей [68]. В
случае k=1, р=2 она изучена в [68] и получены асимптотики четырех
групп решений, построены асимптотики решений и исследованы
вопросы численного решения. Однако, на наш взгляд, некоторые эти
результаты требуют строгого обоснования, более того отдельные
результаты имеют место и для более общей задачи.
Докажем существование и асимптотики решений для задачи (8.114),
(8.116) в зависимости от значения числовых параметров, входящих в
уравнение (8.61):
355
 1 ( ) = (a +  p /( p −1) )−( p −1)/(  −( k ( p −2)+ m) .,
Способ построения этих функций f ( ) основан на методе
эталонных уравнений.
Отметим, что уравнение (8.114) удобно для исследований в случае,
когда   (k ( p − 2) + m − 1) .
В случае, когда   (k ( p − 2) + m) имеем следующее автомодельное
представление уравнения (8.57)

1− N
d  N −1 m −1  d k 
  

d 
 d 

p−2
d   − (k ( p − 2) + m) d
1
+
−
 +  = 0, (8.119)
d 
p (  − 1)
d  − 1

которое получится, если в (8.110) положить
u (t , x) = (T − t ) −1/(  −1) ( ),
 = x / [ 1 (t )]1/ p ,  1 (t ) = (T − t )(  −( k ( p −2)+ m)/(  −1)
−1/(  −1)
Отметим, что здесь функция (T − t )
отличается от u ( ) на
постоянную величину. Функция f ( ) удовлетворяет условию (8.116),
k ( p − 2) + m −1
p −1
если a = c
Имеет место
Теорема 8.16. Пусть k ( p − 2) + m − 1  0 ,   k ( p − 2) + m . Тогда
имеет место локализация решения и решение уравнения (8.114) с
 →  ( = − ln(a − b
))
компактным
носителем
при
имеет
асимптотическое представление
 ( ) = c1 f ( ) (1 + o(1)),
p /( p −1)
c1 = {
p −1
(k ( p − 2) + m − 1) 1/( k ( p −2)+ m−1)
[(  − (k ( p − 2) + m − 1) / p(  − 1)](
)}
p
pb
где
f ( ) - вышеопределенная функция.
Теорема 8.17. Пусть
k ( p − 2) + m − 1  0 ,
 1,
  k ( p − 2) + m ,
a = c ( k ( p − 2) + m −1)/( p −1) . Тогда решение задачи (8.61) с компактным
носителем, (8.116) при  →  ( = − ln(a − b
p /( p −1)
) ) имеет асимптотику
 ( ) = c1 ( ) (1 +  (1)) , a = c( k ( p−2)+ m−1) /( p−1) ,
где c1 - вышеопределенная константа.
Из теоремы 2 для свободной границы имеем
x (a / b)( p −1)/ p (T − t )(  −( k ( p −2)+ m))/ p (  −1) , a = c( k ( p −2) + m−1)/( p −1) , т.е.
356
x
(c)( k ( p − 2) + m −1)/ p
p
(T − t )(  −( k ( p − 2) + m ))/ p (  −1)   , t  T
p + m−3
Заметим также, что построенная выше функция является
асимптотикой однопараметрической собственной функцией задачи
(8.118), (8.119), так как она удовлетворяет условию задачи на
собственные значения (8.117).
Таким образом, как видно из формулы (8.119) с возрастанием
времени до времени обострения свободная граница сужается, оставаясь
в ограниченной области по пространственной переменной.
Отметим, что при критическом значении параметра, когда
p + m − 3 → 0 , фронт устремится к бесконечности, что говорит о том, что
хотя решение уравнения с двойной нелинейностью ведет себя как
решение линейного уравнения с гораздо быстрее стремящимся к нулю
решением по сравнению решения линейного уравнения.
Критический случай ( p + m − 3 = 0 ). В этом случае уравнение (8.61)
принимает вид

1− N
d
d
 N −1 m −1  d  p − 2 d   d
1
  
+
−
 +  = 0,  = x (T + t )−1/ p



 d  d  p d  − 1

Теорема 8.18. Пусть k ( p − 2) + m − 1  0 ,   1 . Тогда решение
уравнения (8.61) при  →  имеет асимптотическое представление
 ( ) = c1 exp(−( / p) p )(1 + o(1)),
где c1 -произвольная постоянная.
Случай быстрой диффузии. Случай k ( p − 2) + m − 1  0 называется
случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай и уравнение
(8.114) с граничным условием (8.117).
Теорема 8.19.
p + ( k ( p − 2) + m − 1) N  0 .
  1, k ( p − 2) + m − 1,
Пусть
Тогда
решение задачи (8.117), (8.114) при  →  имеет асимптотику
 ( ) = c3 f ( ) (1 + 0(1))
где f ( ) -определенная выше функция, а с3 находится из решения
уравнения
p
1
( + N)
1
1
p −2
1 k ( p −2)+ m−1
1 1
1
c3
+ p −1 ( ) −
= 0 1 = k ( p − 2) + m − 1
1
p
1  − 1
(8.120)
Теорема 8.20. Пусть  = (2 − m) / ( p − 1), 1 N + p  0 , Тогда решение
задачи (8.116), (8.117) имеет асимптотику
f ( ) = c4 f ( ) (1 + 0(1))
357
где с 4 удовлетворяет алгебраическому уравнению
p −2
p −1
 p
 1
1
(1/ p) p −1
m + p −3
c4
+   + 1
= 0,
 +N
 − 1)
 p
 1
 1
Случай  = (2 − (k + m) / ( p − 1) .
1 = k ( p − 2) + m − 1
При  = (2 − (k + m) / ( p − 1) решение уравнения (8.114) имеет точное
представление
a1
p


p −1
f = q  a −   , a1 = k ( p − 2) + m − 1,




где
q
p + m −3
2 p − 1  a1 
=
 
p  p
p −1
( p + a1 N )
2 p − 1 ( p + a1 N )
, a= p
, a1 = k ( p − 2) + m − 1.
p a1 + p ( p + a1 ) N
p /( p −1)
−1
А в случае  = −1
q
p + m −3
a 
= 1 
 p 
p−2
−a1 − ( p + m)  N
p − 1
a1 /( p −1)
, 
+
, a1 = k ( p − 2) + m − 1.
 a=q
p ( p + a1 N )
p
+
a
N
a

1
1 

Случай  = +1 f = q  a + 

q
p + m −3
2 p −1  p + m − 3 
= a1


p 
p

При  =
2 − (m + k )
>0
p −1
p
p −1



p −1
p + m −3
,
p −2
( p + a1 N )
решение
−1
 N ( 2 p − 1) N

, 
+ p − 1 a + q p −1 = 0,
 a1 p + a1 N

a1 = k ( p − 2) + m − 1.
уравнения
p + m −3
(8.114)
имеет
точное
представление
( p − 1) p1/( p −1) [(k ( p − 2) + m − 1) N + p]2 p /( p −1)
a=
(k ( p − 2) + m − 1)[(k ( p − 2) + m − 1) N + p 2 ((k ( p − 2) + m − 1) N + p )]
q ( k ( p − 2) + m −1) = (
(k ( p − 2) + m − 1) p −1
1
)
[((k ( p − 2) + m − 1) N + p ) / p]−1
p
(k ( p − 2) + m − 1)
Отметим, что в этом случае методом, изложенным выше,
доказывается, что все финитные решения уравнения (8.116) имеют
p −1
p / p −1 ( k ( p − 2) + m −1)
)
(1 + o(1)) .
асимптотику f ( ) = q(a − 
 = (k ( p − 2) + m) называется
Сингулярный случай. Случай
сингулярным случаем. Свойства положительных решений задачи
(8.110), (8.111) в случае k = 1были изучены в [110]. В этой статье
358
исследованы положительные решения для дважды нелинейного
параболического уравнения
p−2
ut = div u m −1 u u + Vu m + p − 2
(
)
в цилиндре   ( 0,T ) , с начальным условием u ( ,0 ) = u0 ( )  0 , которое
обращается в ноль в параболической границе   ( 0,T ) . Здесь   R n
(относительно  n ) ограничена с гладкой
поверхностью,
V  L1loc (),
*
m  R, 1  p  N и m + p − 2  0 . Для критического случая показателя q
найдены и доказаны условия не существование решения для случая
q*  m + p  3 .
8.6. Результаты численных экспериментов и визуализации
Рассмотрим задачу Коши
(
ut = div u m−1 u
p −2
)
u − div(v(t )u ) +  (t )u 
u (0, x) = u0 ( x), x  R N
Для численного решения этой задачи применяется метод
переменных направлений, со схемой Писмена-Речфорда следующего
вида

yik, +j 2 − yik, j
y k + 2 − yik, +j 2
y k − yik, j
k + 12
k
k i +1, j
k i , j +1
= 1 y
+ 2 y − v
−v
+

0.5


h
h
1
2



k + 12
+

t
y
,

i, j
k + 12
8.121)
 k +1
k + 12
k + 12
k + 12
k +1
k +1
 yi , j − yi , j
k + 12
k + 1 2 yi +1, j − yi , j
k + 1 2 yi , j +1 − yi , j
k +1
=

y
+

y
−
v
−
v
+
1
2
 0.5  
h1
h2

k +1 

+

t
y
(
)
(
k +1
i, j ) ,

1
1
1
( )(
где
1 y k + 2 =
1
( y k + y k )m−1 y k + y k
i +1, j
i, j
i +1, j
i, j
2m+1 h12 
1
p −2
− ( yik, j + yik−1, j )
2 yk =
( y k + y k )m−1 y k + y k
i , j +1
i, j
i , j +1
i, j
2m+1 h22 
1
p −2
359
k + 12
i +1, j
m −1
k
i , j +1
m −1
− yik, +j
1
2
yik, j + yik−1, j
(y
− ( yik, j + yik, j −1 )
i, j = 1,2,..., n − 1,
(y
)
p −2
(y
p −2
(y
k + 12
i, j
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j ) −
yik, j + yik, j −1
 = 1,2.
)−
k
i, j
− yik, j −1 )  ,

В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе (1.44) определяют промежуточные значения yik, +j
. На втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , находится
1
1
2
2
yik, +j 1 .
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 k +1
k +1
(8.122)
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2
 k + 12
k + 12
y
=

, при i = 0 и i = n1
i
,
j

1 k +1 k 
 +  ) −  2 ( k +1 −  k ) .
(
2
4
Перепишем (1.44) в виде
1
1
1
 yik, +j 2
y k + 2 − yik, +j 2
k + 12
k i +1, j
= 1 y
−v
+ Fi ,kj ,

h1
 0.5  

y k − yik, j

2 k
k
k
k i , j +1

где Fi , j = yi , j +  2 y − v
+  tk + 1 2 , xi , j ( yik, j ) ,

h2

(8.123)
 k +1
1
1
k+ 2
k+ 2
 yi , j
k + 1 2 yi +1, j − yi , j
k + 12
k +1
=

y
−
v
+
F
, где
2
i
,
j
 0.5  
h1

k +1
k +1


2 k + 12
1
k + 12
k + 1 2 yi , j +1 − yi , j
k
Fi , j = yi , j + 1 y
−v
+  ( tk +1 , xi , j ) yik, +j 2 ,


h2

где  =
(
)
(
)
k
k +1
Введем следующие обозначения y = y , y k + = y , y = y .
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений (1.46)
также применим итерационный метод и получим схему
1
s +1
m −1
 s
s
s
s

= m+1 2  y i +1, j + y i , j  y i +1, j + y i , j
0.5   2 h1 


y i, j
1
s
s

−  y i , j + y i −1, j 


m −1
s
s
p−2
y i , j + y i −1, j
m −1
 s
s
s
 s
= m+1 2  y i , j +1 + y i , j  y i , j +1 + y i , j
0.5  2 h2 


s
s

−  y i , j + y i , j −1 


s
s
y i , j + y i , j −1
p −2
s +1
(8.124)
 s +1 s +1   s y i +1, j − y i , j s
+ F i , j = 0,
 y i , j − y i −1, j   − v
h

1


1
m −1
s +1 
 s +1
y
−
 i +1, j y i , j  −


s +1
s +1
y i, j
p −2
2
p −2
s +1 
 s +1
y
−
 i , j +1 y i , j  −


s +1
s +1
 s +1 s +1   s y i , j +1 − y i , j s
+ Fi , j = 0,
 y i , j − y i , j −1   − v
h2

 
360
(8.125)
где i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
s +1
Разностная схема (1.47) относительно y i , j , а (1.48) относительно
s +1
s +1
y i , j линейна. В качестве начальной итерации в (1.47) для y i , j берется
0
из предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по
итерационной схеме задается точность итерации и требуется
выполнение условия
y
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
s +1
Также в качестве начальной итерации в (1.47) для y i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
В (1.47) вводя обозначения
s
s

Ai, j = m+ 2 2  y i +1, j + y i, j 
2 h1 

τ
s
s
Bi, j
s
s

= m+ 2 2  y i , j + y i −1, j 
2 h1 

τ
m −1
s
m −1
p −2
s
y i , j + y i −1, j
s
p −2
s
y i +1, j + y i, j
s
s
-v
s
τ
2h1
,
s
, C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
s = 0,1,2... ,
i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
 s s +1
Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j ,

 y =  , при i = 0, n1 ,
(8.126)
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Соответственно (1.49) запишем в виде
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j ,

 y =  , при j = 0, n2 ,
s
где Ai , j
s
B i, j
s
s

= m+ 2 2  y i +1, j + y i, j 
2 h2 

τ
s
s

= m+ 2 2  y i , j + y i −1, j 
2 h2 

τ
m −1
s
s
p −2
y i , j + y i −1, j
m −1
s
p −2
s
y i +1, j + y i, j
s
s
s
-v
s
τ
,
2h2
, C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
361
( 8.127)
s = 0,1,2... ,
Для численного решения системы (1.49) и (1.50) применяется метод
прогонки. Система уравнений (1.49) решается вдоль строк j = 1,2,..., n2 − 1
, и определяется y во всех узлах сетки  h . Затем решается система
уравнений (1.50) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1 , определяя y во всех
узлах сетки  h . При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
Итерационные процессы построены на базе методов Пикара,
Ньютона и специального способа линеаризации, предложенных
Ариповым М. [3]. Результаты вычислительных экспериментов
показывают, что все перечисленные итерационные методы эффективны
для решения нелинейных задач и приводят к новым нелинейным
эффектам, если выбрать в качестве начального приближения решения
автомодельного уравнения, построенные выше методом нелинейного
расщепления и методом стандартных уравнений [75,102,109] функции.
Как и ожидалось, при применении метода Ньютона количества итерации
были меньшие, чем в методе Пикара и специальном методе, при
подходящем выборе начальной аппроксимации.
Результаты численных экспериментов представлены в визуальной
форме и с анимацией.
Ниже приведены численные результаты задачи в виде графиков для
одномерного случая при m = 2, p = 3,  = 2,  = +1 . Сетка разбита
достаточно мелко.
1.а) t = 0
1.б) t = 0.3
1.в) t = 0.6
362
1.г) t = 0.9
1.д) t = 1.2
В многомерном случае N = 2 для аппроксимации задачи применен
метод переменных направлений. Ниже приведены численные
m = 2, p = 2.5,  = 0.5,  = −1
результаты
для
случаев
и
m = 2, p = 2.5,  = 0.8,  = +1 для сравнения.
2.а) t = 0
8.а) t = 0
2.б) t = 0.1
8.б) t = 0.1
2.в) t = 0.2
8.в) t = 0.2
2.г) t = 0.4
8.г) t = 0.4
363
2.д) t = 0.5
8.д) t = 0.5
Из анимации видно, что при  = −1 происходит быстрое остывание.
p−2

d
df
df   df
1
1− N
1− N


+
+
 −f + f =0
d  
d
d   p d   − ( p − 1)
(
−
1


=
−
1,

=
,
f = a −b 
1.
p −1

a=
( p − 1)( N ( p − 2) + p )
,
N ( p − 2 ) + ( p − 1) ( N ( p − 2) + p )
 1 


 p−2
p −1
w p−2 +
)
p −1
p
p −1
 p −2




1
b = 

p
N
(
p
−
2)
+
p
(
)


( p − 1)
ab p −1 p p +1
−
w
p−2
p −1
−
1
p −1
p−2
,
p
1
=0
b p −1 p p
Рис 1.1. P=3, N=2
Черная линия - это график начального приближения, график цветной
линии.
364
Рис 1.2. P=2.3, N=3
365
Рис 1.3. P=175, N=2
−
1


=
+
1,

=
,
f = a −b 
2.
p −1

a=
p −1
p
p −1
 p −2




2 p −1
(1 − p )( N ( p − 2) + p )
, b = 

N (2 p − 1) ( p − 2 ) − ( p − 1)( N ( p − 2) + p)
 p ( N ( p − 2) + p ) 
 1 


 p−2
p −1
w p−2 −
( p − 1)
ab
p −1
366
p
p +1
−
w
p−2
p −1
−
1
b
p −1
pp
=0
1
p −1
p−2
,
p
Рис 2.1. P=2.75, N=2
Рис 2.2. P=2.45, N=3

 = −1,   1, f =  a − b 

−
3.
p −1
p
p −1
 p−2

,

Рис 3.1. P=3,
367
 = 4,
1
 p − 2  p−2 p − 2
w=
2 
bp
 bp 
N=2, a=1
Рис 3.2. P=2.5,

4.  = −1, p  2,   p − 1, f =  a + 

−
 = 4,
p
p −1



Рис 4.1. p=2, N=2,
368
−
N=1, a=1
p −1
 − ( p −1)
 = 2,
1
 p − 2  p−2 p − 2
w=
2 
bp
 bp 
a=10
Рис. 4.2. p=2, N=2,
 = 3,
a=10
Рис. 4.1. p=3, N=3,
 = 4,
a=10
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПУТЕМ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
Качественные свойства задачи Коши к параболическому уравнению
вырожденного типа второго порядка устанавливаются с помощью
решения соответствующего уравнени Гамильтона-Якоби уравнения.
Тем самым решается задача выбора подходящего начального
369
приближения для итерационного процесса с сохранением свойств
локализации решений, конечной скорости возмущения распределения.
Одним из самых замечательных свойств, отличающих нелинейные
задачи от линейных, является наличие сингулярности даже при
абсолютно гладких данных, или, точнее, в классе данных, для которых
теория существования, единственности и непрерывной зависимости
может быть установлена в малых временных интервалах. В нелинейных
задачах даже с гладкими коэффициентами могут возникать
неограниченные решения (режимы с обострением)
В данном разделе мы изучаем в области
QT = { ( t , x ) : 0  t  T , x  R+ }
качественные свойства решений на основе автомодельного анализа
следующей задачи для уравнения теплопроводности с двойной
нелинейностью
 u   m −1 u k
u
L (u ) = −
+
 t x 
x
p−2
u 
=0
x 

(8.128)
u |t =0 = u0 ( x)  0, u |x=0 = (T − t )− , 0  t  T ,   0 (2)
(8.129)
где m, p  R числовые параметры нелинейной среды
Свойства решений задач (8.128), (8.129) в случае k=1, p=2
исследованы в работах [1-3] на основе следующего уравнения
Гамильтона-Якоби
u
u
= u m − 2 ( ) 2 , u (0, x) = u0 ( x)  0, x  R+ (3) (8.130)
t
x
Качественные свойства задачи () устанавливаются с помощью
решения соответствующего уравнению (1) следующего уравнения
Гамильтона-Якоби (двойное нелинейное уравнение первого порядка)
k
u
m − 2 u
=u
t
x
p −2
(
u 2
) , u (0, x) = u0 ( x)  0, x  R+ (3) (8.131)
x
Показано, что с помощью решения уравнения Гамильтона Якоби
(8.131) можно установить новые свойства уравнения (8.128), такие как
конечная скорость возмущения распределения, пространственная
локализация ограниченных, неограниченных решений и асимптотику
автомодельных решений.
Результаты
Рассмотрим следующее автомодельное уравнение
u ( t , x ) = (T − t )− f ( ) ,  = x[ (t )]−1/ p , (t ) = (T − t )1−( m+k ( p −1)−2)) (4) (8.132)
d m−1 df k
(f
d
d
p−2
df k
 df
) − [1 − (k ( p − 1) + m − 2) ]
+ f = 0
d
p d
370
(5) (8.133)
где f ( )
удовлетворяет при
 =0
d
df k
( f m−1
d
d
f m−2
df k
d
p −2
(
p −2
df k  df
)+
=0
d
p d
(8.1331)
(5.1)
df 2 (1 − (m + k ( p − 2) − 1) ) df
) −

+  f = 0 (6)
d
p
d
Заметим, что
 ( ) = (b −   )+ , where (n) + = max(0, n),  1 =
1
(8.134)
p −1
p
, =
m + k ( p − 2) − 1
p −1
есть решение уравнения
1−( m + k ( p −1))
,  ( ) = (b −   )1 , b  0
f ( ) =  ( )  ( ) ,  (t ) = (T − t )
(8.135)
При
численном
решении
задачи
исходное
уравнение
аппроксимировалось на равномерной сетке с использованием методам
баланса. Результаты вычислительных экспериментов показывают, сто
рассмотренный метод эффективен для решения рассматриваемых
нелинейных задач и приводят к нелинейным эффектам, если в качестве
начального приближения использовать решения автомодельных
решений уравнений Гамильтона-Якоби
Для численного решения задачи (8.128), (8.129) исходное уравнение
приводилось к следующей системе алгебраических уравнений
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s
Ai yi −1 − C i yi + B i yi +1 = − F i
j +1 k

) − ( yij−+11 ) k
1  j +1 m −1 ( yij++11 ) k − ( yij +1 ) k
j +1 m −1 ( yi

ai +1 = ( yi )
+ ( yi +1 )
2
h
h


p−2
j +1 k
j +1 k p − 2 
1  j +1 m −1 ( yij +1 ) k − ( yij−+11 ) k
j +1 m −1 ( yi −1 ) − ( yi − 2 )

ai = ( yi −1 )
+ ( yi )
2
h
h


p−2
Ai = 2  k
p −2
Bi = 2  k
p −2
m + k ( p −1) − p

yi

yi +1
h
 y − yi −1 
 i

h


m + k ( p −1) − p
h
y − yi
 i +1
h
p−2
p −2
p−2
Ci = Ai + Bi + 1 Fi = −  yi  + yi
Которое дальше решалось методом прогонки
Ниже приводятся результаты численных расчетов для разных
значений числовых параметров
371
372
373
ГЛАВА 9. КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ВОЗМУЩЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
ВОЛНОВЫХ РЕШЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С
ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
9.1 Обобщенное уравнение Фишера и решения типа
распространяющейся волны


N
Рассмотрим в области Q = (t , x) : t  0, x  R задачу биологической
популяции типа Колмогорова-Фишера, описываемой следующей
задачей Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью
c конвективным переносом:
Au  −
(
u
+  D0u m−1 u k
t
p −2
u |t =0 = u0 ( x)  0,
)
u l − div ( c (t )u ) + k1 (t )u (1 − u  ) = 0, (9.1)
x  RN ,
(9.2)
где   1, n, k, p, m, l – заданные числовые параметры, () = grad () ,
x
0  k1 (t )  C(0, ) . Число D и функция с 0  k1 (t )  C(0, ) являются
соответственно
коэффициентами
диффузии
и
реакции,
N
0  u0 ( x)  1, x  R .
Наиболее часто встречающимся механизмом переноса для систем
реакций является, конечно, диффузия, а именно член D0u m−1 u k
p −2
u l в
уравнение реакций с диффузией (9.12). Уравнение (9.12) является
обобщением простейшей диффузионной модели для логистической
модели роста популяции [45,47] с учетом диффузии, миграции со
скоростью, зависящей от времени (v(t)). Оно может рассматриваться
также как уравнение нелинейной фильтрации, теплопроводности в
нелинейной среде при наличие одновременного воздействия источника
и поглощения.
Эта задача в простейшем случае, когда в уравнение (9.1) при
k1 (t ) = k1 , k = 1, p = 2 , m = 1, v(t ) = 0 принимает вид
u
k
u
1
−
u
D
u
,
(
)+
t=
x
x
(9.3)
и носит название задачи биологической популяции типа Колмогорова
Фишера, где скалярная функция u(х,t) удовлетворяет заданным
начальным и граничным условиям, а k и D-положительные постоянные.
Это уравнение является важным с исторической и педагогической
точек зрения. Оно было предложено (так же как уравнение с кубической
нелинейностью вместо квадратичной в правой части) Фишером (1937) в
374
качестве детерминистической версии стохастической модели
распространения благоприятного гена в диплоидной популяции. Он
подробно рассмотрел уравнение и получил ряд полезных результатов
[47]. Эвристический и основанный на генетике вывод уравнения привели
также А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов, классическая
работа (1937) которых послужила основанием для более строгого
аналитического подхода к уравнению Фишера [45].
Уравнение (9.3) является простейшей диффузионной моделью для
логистической модели роста популяции. Основная цель исследования
уравнения (9.3) - определить, какое влияние оказывает диффузия на
кинематически распространяющиеся волны, наблюдаемые в отсутствие
диффузии. Волновые решения уравнения (9.3) также носит название
кинематические.
Ниже приводится результаты, касающиеся исследования
существования и форму решений уравнения (9.3) типа бегущей волны,
для которых 0 ≤ и ≤ 1, и найти скорость распространения таких волн.
Если решение типа бегущей волны существует, оно может быть записано
в форме
u ( x, t ) = f ( z ) ,
z = x + ct ,
(9.4)
где с - скорость волны. Поскольку уравнение (9.1) инвариантно
относительно замены х на -х, скорость с может быть положительной или
отрицательной; для определенности считается с положительный, так что
(9.4) представляет волну, движущуюся в отрицательном направлении
оси х. После подстановки (9.4) в (9.3) функция f ( z ) удовлетворяет
уравнению
Df ''− cf '+ kf (1 − f ) = 0,
(9.5)
где штрих означает дифференцирование по z.
Уравнение (9.5) также называется автомодельным (инвариантногрупповым). Так как (9.3) инвариантно относительно постоянного
смещения по x и t , к z в (9.2) может быть добавлена произвольная
постоянная т.е. u ( x,0 ) = f ( z ) , где z = x + ct + a, где а постоянная, также
является решением уравнения (9.3). Необходимо найти собственное
значение или значения с, такие, что у уравнения (9.4) существует
неотрицательное решение, для которого
lim f ( z ) = 0, lim f ( z ) = 1.
(9.6)
z →−
z →
Важный дополнительный вопрос заключается в следующем: если
такое решение существует, то для любого начального профиля, для
375
которого 0  u ( x,0 )  1 при каждом x, соответствующее решение
уравнения (9.1), удовлетворяющее граничным условиям
u ( −, t ) = 0, u ( , t ) = 1,
с ростом t переходит в решение (9.4) типа бегущей волны,
удовлетворяющее условиям (9.4).
Фишер (1937) нашел, что уравнение (9.3) имеет бесконечное число
решений типа бегущей волны, для которых 0  u  1, с волновыми
скоростями
c  cmin = 2 kD .
А.Н.Колмогоров, И.Г.Петровский и Н. С. Пискунов [45] доказали,
что cmin-естественная скорость распространения волнового решения
уравнения Фишера, а решения эволюционируют в бегущую волну,
имеющую скорость c = cmin = 2 kD .
Применим теперь этот метод для исследования скорости
распространения волны для случая нелинейной математической модели
биологической популяции типа Колмогорова-Фишера.
В случае k1 (t ) = k1, k = 1, p = 2 , m  1, v(t ) = 0 она изучалась в работах
[121-123 и приведенные там ссылки].
Как отмечено в [45], если коэффициент диффузии не постоянен и
зависит от решения, то естественно решение системы реакций с
диффузией будет сильно отличаться от случая постоянного
коэффициента диффузии [45]. Появление таких непостоянных
коэффициентов диффузии в системе биологической популяции
рассмотрено в работе (см. [117-119] и приведенные там ссылки).
На основе построения точного автомодельного решения в случае
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 найдена следующая оценка для фронта
распространения вспышки для задачи биологической популяции,
описываемой задачей (9.1),(9.2).
Под волновым решением понимается решение задачи (9.1),(9.2)
следующего вида
u ( x, t ) = f (  ) ,
N
 =  xi + ct ,
(9.7)
1
Тогда для определения функции f ( )
получим следующее
нелинейное дифференциальное уравнение вырождающего типа
d 
df
 D0 Nf m−1
d 
d
p −2
 df
df
−c
+ k1 f (1 − f  ) = 0.

 d
d

376
(9.8)
Найдем теперь верхнее решение задачи (9.1), (9.2). Для этого путем
замены
t
u ( x, t ) = e
 k (t )
0
t


w( (t ), x), выбирая  (t ) = exp ( k ( p − 2) + m − 3)  k1 ( y )dy 
0


перепишем уравнение (9.1) в виде
−
(
w
+  D0u m−1 u k

p −2
)
u l − k2 (t ) w ) = 0.
(9.9)
Рассмотрим главную часть уравнения (9.9)
(
w
=  D0u m−1 u k

p −2
)
u l .
(9.10)
В параграфе 1 было показано, что последнее уравнение имеет
частное решение
u (t , x) =[ (t )]− N /( p +( k ( p −2)+m+l −2) N ) exp[− p ],
=
(9.11)
x
,  = p / ( p − 1),  1 = ( p − 1) / (k ( p − 2) + m + l − 2),
[ D0t ]1/ p
b1 = (k ( p − 2) + m − 1)(1 / p) p /( p −1) .
Тогда из выражения глубины распространения волны x(t ) согласно
работе [45] определяется из равенства
[ (t )]
− N /( p +( k ( p −2) + m +l −2) N )
t

exp   k1 ( y )dy −  p  = 1 / 2.
0

Тогда из этого выражения имеем
1
p
 1

N
x(t )  p( D(t  k1 ( y )dy ) 1 − ln(1 / 2) − (ln t / t )  .
p
 t

0
t
1
p
Отсюда при k1 (t ) = k1
x(t )
1
p
 [(ln 2) − ( N / p)ln(T + t )] 
p[k1k p−2lD0 ]1/ p t 2/ p 1 +
 ,
t 2/ p

377
при t → ,
c(t ) =
d x(t )
 2[n1D0 k p −2l ]1/ p t (2/ p )−1 ,
dt
что при
больших t совпадает с результатом КПП т.е. имеем
p = 2, l = 1 для
d x
=c
dt
2 k1D0 .
9.2 Локализация волновых решений в задаче
теплопроводности с двойной нелинейностью
В последние годы стали интенсивно изучаться свойства
математических моделей, описываемых следующим параболическим
уравнением с двойной нелинейностью
u
= div(u m−1 u k
t
p −2
u l − (v(t )u )) −  (t )u 
(9.12)
где и(t,x) температура среды в момент t  0 в точке x  R ,  - символ
N
градиента,
u m + l − 2 u k
p −2

температуропроводности,  (t )u
-обобщенный
коэффициент
- коэффициент, характеризующий
объемное поглощение тепла, числовые параметры k , l  1, p  2,   1 .
Обычно в литературе отдельно рассматривается также случай
0    1 , так как в этом случае возникают другие нелинейные эффекты,
например, эффект полного остывания тепла за конечное время: т.е.
u (t , x)  0 при t  T   для x  R N . Отметим, что для доказательство этого
факта используется аппарат сравнения решения и в качестве
сравниваемого решения достаточно выбрать функцию
t
u (t , x) = (T0 − (1 −  )   ( y )dy) +1/(1− ) , T0  0,
0
где использовано обозначение (a ) + = max(0, a ) . Тогда время остывания T
определяется из условия
t
T0 − (1 −  )   ( y )dy = 0.
0
Как было показано в [3, 39, 69], в средах с коэффициентом
теплопроводности, зависящим от температуры по степенному закону,
могут иметь место температурные волны, когда тепловое возмущение
распространяется с конечной скоростью, образуя фронт (свободную
границу) температурной волны. При рассмотрении процессов
теплопроводности в нелинейных средах под воздействием
конвективного переноса, скорость которых зависит от времени, и
378
объемного поглощения тепла в предположение, что мощность тепловых
«стоков» является степенной функцией при некотором значениях
параметров возникает локализация решения даже при отсутствие
поглощения.
Приведем одно точное обобщенное решение для одномерного
уравнения (9.12) при  = (2 − (m + k + l − 2) / ( p − 1) . Это решение интересно
тем, что указывает на существование локализованного обобщенного
решения уравнения (9.12), имеющих вид температурных волн.
Легко видеть, что в этом случае если  (t ) =  , то функция
 ( p −1)/( k ( p −2)+ m−1)

,   ct ,
 A(t − )
u (t , x) = 
c
  ct ,

0,

u   m−1 u k
= u
удовлетворяет уравнению
t x 
x

t
 = x −  v( y )dy
(9.13)
0
p −2
u 
 −  u (2−( m+ k +l −2)/( p −1) ,
x 

и соответствует температурной волне, фронт которой распространяется
с постоянной скоростью с. При этом амплитуда возмущения А и
скорость распространения фронта температурной волны с связаны
соотношением
A( k ( p −2)+m+l −2))/( p−1)b p−1 − c p−1 A( k ( p −2)+ m+l −2)/( p−1) − c p−1 = 0,
(9.14)
b = (k ( p − 2) + m + l − 2)) / ( p − 1).
В многомерном случае решения типа температурных волн имеет вид
1 N

( p −1)/( k ( p − 2) + m +l − 2)) ,
 A(t −  xi )
u (t , x) = 
c 1

0,

N
 x  ct ,
i
1
N
 x  ct ,
(9.15)
i
1
где амплитуда А определяется из решение алгебраического уравнения
Nb p −1 A( k ( p −2)+m−1)) p /( p −1) − c p −1 A( k ( p −2)+ m−1))/( p −1) − c p −1 = 0,
(9.16)
b = (k ( p − 2) + m + l − 2)) / ( p − 1).
При  = 0 соотношения (9.13) и (9.14) переходят в соответствующие
выражения из работ [35-39].
Из полученного выражения решения (9.14) следует, что скорость
распространения фронта с, как и следовало ожидать, увеличивается с
ростом амплитуды возмущения А и уменьшается с увеличением
379
коэффициента поглощения  . Таким образом, объемное поглощение
тепла уменьшает скорость распространения фронта температурной
волны.
В отдельных случаях объемное поглощение тепла может приводить
к остановке фронта волны, распространяющейся от источника тепловых
возмущений.
Случай  = 1.
В этом случае преобразованием
t
u (t , x) = w( (t ),  ),  =  v( y )dy − x ,
(9.17)
0
y


 (t ) =  exp  −(k ( p − 2) + m + l − 2)   ( x)dx  dy
0
0


t
уравнение (9.12) приводится к виду
(
)
w
p −2
=  wm−1 w wl .

(9.18)
Уравнение (9.12) имеет волновое решение вида
( p −1)/( k ( p − 2) + m −1))
N

 t

1 N 
при  i  c (t ),
 A exp  −   ( y )dy   (t ) −  i 
c 1 

1

0


u (t , x) = 
N

0
при
1 i  c (t ),


которое овладеет свойством u ( x, t )  0, при
N

i
 с (t ) или
1
N
x
i
1
t
 с (t ) −  v( y )dy.
0
Отсюда получим важное свойство волнового решения уравнения
t
(9.12):если k ( p − 2) + m + l − 2  0 и с (t ) −  v( y )dy   для t  0,
0
то волновые решения уравнения (9.12) пространственно локализовано.
Это новое важное свойство нелинейного уравнения (9.12) возникло
благодаря нелинейности уравнения и одновременного действия
поглощения и конвективного переноса, скорость которого зависит от
времени. Это нелинейное явление приводится здесь впервые.
380
В случае когда скорость конвективного переноса является
постоянной, т.е. v(t ) = v, с (t ) − vt   для t  0, также возникает
t
локализация решения, но при выполнении условия  v1 ( y )dy   для t  0
0
для чего функция  (t ) должна иметь вид  (t ) = v / c − v1 (t ).
В случае отсутствия поглощения в уравнение (9.12) при выполнении
условия также возникает пространственная локализация решения
9.3 Локализация тепла в случае отсутствие поглощения и
конвективного переноса
Покажем, что при отсутствии поглощения и конвективного
переноса также может возникать локализация теплового возмущения для
решения уравнения вида
c(t , x)
u
p −2
= div(k (t , x)u m−1 u u l ), u (0, x) = M
t
(9.19)
где с(t,x)-переменная плотность, функция k(t,x) харрактеризует
неоднородность (проницаемость) нелинейной среды.
Частный случай этого уравнения в когда с(t,х)=c(t), k(t,x)=k(t) при
t
выполнении условия
 k ( y) / c( y)dy   при t  0 ,
если коэффициент
0
теплопроводности зависит от времени.
t
В самом деле, полагая в (9.20) u (t , x) = w( (t ), x),  (t ) =  k ( y ) / c( y)dy,
0
перепишем уравнение (9.19) в виде
(
)
w
p −2
= div wm−1 w wl ,

(9.20)
t
где  (t ) =  k ( y ) / c( y )dy
0
Тогда легко построить решение типа Зельдовича-Баренблатта для
уравнения (9.20). Оно имеет вид
u (t , x) = [T +  (t )]− N /[ p +( k ( p −2)+m+l −2)) N ] ( a − b p /( p −1) )
( p −1)/( k ( p −2) + m+l −2))
+
,
(9.21)
 = x / [T +  (t )]1/[ p+( k ( p−2)+m−1))) N ] , b = (k ( p − 2) + m − 1)(1/ p)1/( p−1) .
Это решение обладает свойством
u(t , x)  0 при x  (a / b)( p−1)/ p [T +  (t )]1/[ p+( m+ p−3) N ]
381
В силу того, что  (t )   для t  0 , то это означает локализацию решения.
Локализованная волновая структура
Для волнового решения

( p −1)/( k ( p − 2) + m −1)) ,
 A(c (t ) −  xi )
u (t , x) = 
1

0,

N
 x  c (t ),
N
i
1
N
 x  c (t ).
i
1
также имеет место локализация решения при выполнении условия
 ()  , t  0 .
9.4 Волновые решения в двухкомпонентных нелинейных
средах
Рассмотрим задачу
 u   m −1 u p −2 du 
u
 =  v 1
 − l (t ) −  1 (t )u ,
x
dx 
x
 t x 

p −2
dv 
v
 v   m2 −1 v
=
u
−
l
(
t
)
−  2 (t )v,


 t x 


x
dx

x



u
t =0
= u0 ( x)  0, v
t =0
= v0 ( x)  0, x  R ,
(9.22)
(9.23)
где p, mi R, i  1, i = 1,2 - заданные числовые параметры () = grad ()
x
, 0   (t )  C (0, ) .
Уравнение (9.22) описывает различные физические процессы, в
частности процесс распространения тепла, диффузию, фильтрацию в
нелинейной двухкомпонентной среде с нелинейными коэффициентами
p −2
p −2
m1 −1 u
m2 −1 u
v
, u
диффузии равными соответственно
, и
x
x
конвективным переносом со скоростью l (t ) при наличии поглощений,
1(t )u,  2 (t )u,  i (t ) C(0, ), i = 1,2 , где
мощности которых равны
p, mi  R, i  1, i = 1,2 - заданные числовые параметры () = grad () ,
x
0   (t )  C (0, ) . Будем изучать свойства решений задачи (9.22), (9.23).
Известно, что нелинейные уравнения имеют волновые решения в
виде температурных (диффузионных) волн. Под волновыми понимается
автомодельное решение уравнения (9.22) вида
382
u(t , x) = f ( ), v(t , x) =  ( ),  = ct  x,
где постоянная с - скорость волны.
Такие решения для уравнения (1) при p = 2, m1 = m2 при отсутствии
младших членов в системе уравнений (9.22) были построены в работе
[68], где также были предложены численные схемы и метод для расчета
волновых решений, а в работе [35-39] найдены решения типа
температурных волн для v(t ) = v и  (t ) = 1 в случае одного уравнения.
Известно, что нелинейные модели приводят к новым нелинейным
эффектам, таким как конечная скорость распространения возмущения,
пространственная локализация неограниченных (blow up) [68] решений.
Ниже будет установлено явление локализации, новое для волнового
решения как результат совместного действия поглощения и даже
источника и конвективного переноса, скорость которого зависит от
времени, что является неожиданным новым нелинейным эффектом. Для
установления эффекта пространственной локализации волнового
решения, как результат совместного действия поглощения и даже
источника и конвективного переноса, волновые решения системы (9.22)
ищем в виде
t
t

−  ( ) d
u (t , x) = e
0
w ( (t ),  ) , v(t , x) = e

−  ( ) d
0
t
z ( (t ),  ) ,  = x −  l ( )d ,
(9.24)
0
Найдем условие, при котором имеет место локализация решений
задачи Коши (9.22), (9.23).
Подставляя (9.24) в (9.22), имеем систему без младших членов
p −2
w   m1−1 w dw  z   m2 −1 z
= z
= w
,
 x 
x
dx   x 
x
p −2
dz 
,
dx 
(9.25)
если
t

t

0
0
0
0
 (t ) =  exp[−(m1 + p − 3)   1 ( y )dy ]d =  exp[−(m1 + p − 3)   2 ( y )dy ]d.
Волновое решение системы (9.25) имеет вид
w ( (t ),  ) = f ( ), z ( (t ),  ) =  ( ),  = c   ,
где с - скорость волны
Тогда для функций f ( ),  ( )
уравнений
383
имеем систему автомодельных
d  m1 −1 df

d 
d
p −2
df 
df
d  m2 −1 d
= 0,
+c
f
d 
d
d 
d
p −2
d
d

d
= 0. (9.25)
+c

d


После интегрирования (9.25), получим систему нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка
p −2
p −2
df
d
m1 −1 df
m1 −1 d

+ cf ( ) = 0, f
) + c ( ) = 0.
(9.26)
d
d
d
d
Система (9.26) имеет частное решение вида
f ( ) = A n1 ,  ( ) = B n2 ,
(9.27)
где А и В находятся из системы алгебраических уравнений
( n1 )
p −1
A p + m1 −3 B m1 −1 = c, ( n2 )
n1 =
А
p −1
B p + m2 −3 Am2 −1 = c,
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1).
n2 =
(9.28)
( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n
2
Тогда из (9.24) с учетом выражения для f ( ),  ( ) и  имеем
 t

 t

u (t , x) = exp  −   1 ( y )dy  f ( ) = A exp  −   1 ( y )dy  [c (t ) −  ]+ n1 ,
 0

 0

 t

 t

v(t , x) = exp  −   2 ( y )dy  ( ) = B exp  −   2 ( y )dy  [c (t ) −  ]+ n2 , c  0.
 0

 0

t


В силу того, что b (t ) −  l ( y )dy − x  = 0,
0


t
t




если x  b (t ) −  l ( y )dy   , t  0, x  b (t ) −  l ( y )dy   , t  0 ,
0
0




то
u (t , x)  0, v(t , x)  0.
Поэтому условием локализации решений системы (9.22) есть условия
t
 l ( y)dy  ,  (t )   для t  0.
(9.29)
0
Условия (9.29) и есть условия явления нового эффекта пространственной локализации волновых решений системы (9.22). Если
же условия (9.29) не выполнены, то имеет место явление конечной
скорости распространения возмущения, т.е.
384
u (t , x)  0 при x  b(t ) = [(a)
( p −1)
t

0
0
 (t )] , (t ) =  exp[−(m1 + p − 3)   1 ( y)dy]d ,
1/ p
причем фронт уходит сколь угодно далеко при возрастании времени, так
как
 (t ) →  при t → .
Теперь займемся асимптотикой волновых решений вблизи фронта.
Для этого решение системы (9.25) будем искать в виде
fi ( ) = Ai (a −  ) + ni , i = 1,2, (b) + = max(0, b).
(9.30)
Тогда, подставляя (9.30) в (9.25), находим
n1 =
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,
n
2
а коэффициенты Ai , i = 1,2 определяются
нелинейных алгебраических уравнений
( n1 )
p −1
Ai p −1 A3−i m1 −1 = c, ( n2 )
p −1
из
решения
Ai p −1 A3−i m2 −1 = c, i = 1, 2.
системы
(9.31)
Отметим что, найденное решение является частным обобщенным
решением со свойством:
m1 −1
df1
d
m2 −1
1
df 2
d
0  f1 , f 2
0  f2 , f
p −2
p −2
df1
p −1
= − ( n1 ) Ai p −1 A3−i m1 −1 f1  C (0, ),
d
df 2
p −1
= − ( n2 ) B p −1 Am2 −1 f 2  C (0, ),
d
и удовлетворяющее системе (9.22) в смысле распределения.
Докажем следующие теоремы, которые являются весьма важными,
так как найденное частное решение даёт асимптотику финитных
решений системы (9.22) вблизи фронта. Более точно
Теорема 9.1 Пусть p  2 + [( m1 − 1)( m2 − 1)]1/2 . Тогда все финитные
решения системы (9.25) при  → a− имеют асимптотику
f ( ) = f1 ( ) (1 + o(1) ) ,  ( ) = f 2 ( ) (1 + o(1) ).
(9.32)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы 9.2 в (9.25)
осуществим преобразование
f ( ) = f1 ( )w( ),  ( ) = f 2 ( ) z( ),  = − ln(a −  ).
385
(9.33)
Тогда, после подстановки (9.32) в (9.25) и простых вычислений, для
w( ), z ( ) , получим следующую систему уравнений
L1 (w( ), z( )) + c = 0, L2 (w( ), z( )) + c = 0,
где
L1 ( w( ), z ( )) = z m1 −1 w − n1w
p −2
L2 ( w( ), z ( )) = w
p −2
m2 −1
z − n2 z
( w − n1w),
( z − n2 z ).
(9.34)
Анализ решений этой системы методом, приведенным в [3,117-119],
показывает, что w( ), z ( ) при  → + ( → a− ).являются решением
системы алгебраических уравнений
( n1 )
Поэтому
p −1
z m1 −1w p −1 = c, ( n2 )
p −1
z p −1wm2 −1 = c.
w( ) = (1 + o(1)), z ( ) = (1 + o(1)) при  → .
Теорема 9.1 доказана.
Теорема 9.2 Пусть n1  0, n2  0, n  0 . Тогда волновые решения
t


системы (9.25) при x → b (t ) −  l ( y )dy  имеют асимптотику
0


t
t
0
0
u (t , x) = exp[−   1 ( y )dy ] f ( ) = A exp[ −   1 ( y)dy][b (t ) −  ]+ n1 (1 + o(1)),
t
t
0
0
v(t , x) = exp[−   2 ( y )dy ] ( ) = B exp[−   2 ( y )dy ][b (t ) −  ]+ n2 (1 + o(1)), b  0,
t

t
0
0
0
где  (t ) =  exp[−(m1 + p − 3)   1 ( y )dy ]d  = x −  l ( y )dy ].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы 9.3 основано на
переходе к автомодельной системе путем замен (9.24). Тогда, полагая
f ( ) = A n1 w( y ),  ( ) = B n2 z ( y ), y = − ln ,
приведем систему (9.26) к виду
A p −2 B m1 −1L3 ( w( ), z ( )) + c = 0, B p −2 Am2 −1L4 ( w( ), z ( )) + c = 0,
где
386
(9.35)
L3 ( w( ), z ( )) = − z m1 −1 w − n1w
p −2
L4 ( w( ), z ( )) = − w
p −2
m2 −1
z − n2 z
( w − n1w),
(9.36)
( z − n2 z ),
Анализ решений этой системы методом, приведенным в [3,117-119],
показывает, что функции w( ), z ( ) при  → + ( → 0) должны
удовлетворят системе алгебраических уравнений
( n1 )
p −1
B m1 −1 A p −2 = c, ( n2 )
p −1
Отсюда, в силу преобразований
доказательство Теоремы 9.3.
B p − 2 Am2 −1 = c.
(9.24),
(9.35),
вытекает
9.5 Свойства локализации волновых решений систем с
конвективным переносом и источником
Ниже рассмотрим свойства решений нескольких систем
параболических уравнений, описывающих нелинейные процессы в
двухкомпонентных нелинейных средах при наличии источников и
конвективного переноса, скорость которого зависит от времени.
Покажем, что в таких моделях имеет место явление локализации
решений. Получим асимптотику финитных и исчезающих на
бесконечности решений.
1. Рассмотрим в области
Q = ( t , x ) : t  0, x  R N  следующую
систему параболических уравнений с двойной нелинейностью с
источником и конвективным переносом с вектором скоростью c1 (t ) ,
зависящей от времени
(
(
)
)
u
p −2
= div u m1 −1 u u − div(c1 (t )u ) + v 1 ,
t
v
p −2
= div v m2 −1 v v − div(c1 (t )v) + u 2 ,
t
(9.37)
где p, mi  R, i  1, i = 1,2 -заданные числовые параметры, () = grad () ,
c1 (t ) -непрерывная при t > 0 вектор функция.
Система (9.37) описывает различные физические, химические,
биологические и другие процессы в двухкомпонентных нелинейных
средах при воздействии конвективного переноса, скорость которого
зависит от времени, и при воздействии источника, мощность которого
является нелинейной функцией. Система (9.37) связаны друг с другом


через функции v 1 , u 2 .
387
Покажем
свойство
локализации
и
конечной
скорости
распространения волновых решений системы (9.37) путем явного
построения частного решения системы (9.37).
Для построения автомодельного решения системы положим в (9.37):
t
u (t , x) = u1 (t ,  ), v(t , x) = u2 (t ,  ),  = x −  c1 ( y )dy.
0
Тогда система (9.37), в силу последних замен, приводится к виду
(
u1
= div u1m1 −1  u1
t
p −2
)
 u1 + u2 1 ,
(
u1
= div u2 m1 −1  u2
t
p −2
)
 u2 + u12 .
(9.38)
Далее, полагая в (9.37) u1 (t , ) = f ( ), u2 (t, ) = z( ),  = ct −  ,
из (9.37) имеем автомодельную систему уравнений
d  m1 −1 df
N
f
d 
d
N
d  m1 −1 dz
z
d 
d
p −2
p −2
df 
df
+ z 1 = 0,
−c
d 
d
(9.39)
dz 
dz
+ f 2 = 0.
−c
d 
d
Заметим, что если 1 = ( p + m1 − 3) / ( p + m2 − 3), p + mi − 3  0, i = 1,2,
2 = 1/ 1 то система (9.39) имеет точное решение
f ( ) = A + p1 , p1 =
где pi =
p −1
p −1
,  ( ) = B + p2 , p2 =
,
p + m1 − 3
p + m2 − 3
(9.40)
p −1
, i = 1, 2 если постоянные А и В являются корнями
p + mi − 3
нелинейной алгебраической системы
N (n1 ) m1 + p −3 Am1 + p −2 + B 1 = cA, N (n2 ) m2 + p −3 B m2 + p −2 + A2 = cB
Таким образом найденное решение системы (9.22) в силу (9.24)
обладает свойством локализации решения, если

p + mi − 3  0, i = 1,2,  c1 (t )dt  .
0
2. Рассмотрим теперь следующую систему
388
(
(
)
)
u
p −2
= div v m1 −1 u u − div(c1 (t )u ) + v 1 ,
t
v
p −2
= div u m2 −1 v v − div(c2 (t )v) + u 2 ,
t
(9.41)
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N
Эта система отличается от предыдущей диффузионными членами.
Докажем, что решение этой системы также обладает свойством
конечной скорости распространения возмущения и свойством
пространственной локализации решения.
Для доказательства этого факта положим в (9.40)
t
u (t , x) = u1 (t ,  ), v(t , x) = u2 (t ,  ),  = x −  c1 ( y )dy ( ).
0
Тогда (9.41) превращается в следующую систему
)
(
(
p −2
u1
u
= div u2 m1 −1  u1  u1 + u2 1 , 2 = div u1m2 −1  u2
t
t
p −2
)
 u2 + u12 . (9.42)
Полагая в (9.42), как и раньше,
t
u1 (t ,  ) = f ( ), u2 (t ,  ) = z ( ),  = ct −  = ct +  c1 ( y)dy − x,
0
относительно f ( ), z ( ) получим, систему автомодельных уравнений
d  m1 −1 df
N
z
d 
d
p −2
df 
df
d  m1 −1 dz
1
+ f = 0, N
−c
f
d 
d
d 
d
p −2
dz 
dz
+ z 2 = 0,
−c
d 
d
которая имеет локализованное решение
f ( ) = A+ n1 ,  ( ) = B + n2 ,
n1 =
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,
2
если p  2 + [( m1 − 1)( m2 − 1)]1/2 , p − (mi + 1)  0, i = 1,2,
1 = ( p − (mi + 1)) / ( p − (m2 + 1)), 2 = 1/ 1.
3. Рассмотрим теперь ещё одну систему, которая имеет вид
389
(
(
)
)
u
p −2
= div v m1 −1 u u − div(c1 (t )u ) + u 1 ,
t
v
p −2
= div u m2 −1 v v − div(c1 (t )v) + v 2 ,
t
(9.43)
Эта система отличается от предыдущего последним членом.
Положим в (9.43)
t
u (t , x) = u1 (t ,  ), v(t , x) = u2 (t ,  ),  = x −  c1 ( y )dy
0
Тогда (9.42) превращается в следующую систему
)
(
(
p −2
u1
u
= div u2 m1 −1  u1  u1 + u11 , 2 = div u1m2 −1  u2
t
t
p −2
)
 u 2 + u 2  2 ,
(9.44) Перейдем к автомодельной системе путем замен
u1 (t, ) = f ( ), u2 (t, ) = z( ),  = ct −  .
Тогда относительно f ( ), z ( )
автомодельных уравнений
d  m1 −1 df
N
z
d 
d
p −2
df
d
получим следующую систему

df
d  m1 −1 dz
+ f 1 = 0, N
+c
f


d

d

d


p −2
dz
d

dz
+ z 2 = 0.
+c

d

(9.45)
Функции
f ( ) = A+ n1 ,  ( ) = B + n2
где n1 =
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,
n
2
являются точными решениями системы (9.45), если числа Ai , i = 1,2
определяются из решения системы нелинейных алгебраических
уравнений
N ( n1 )
p −1
Ai p −1 A3−i m1 −1 = c + 1, N ( n2 )
p −1
Ai p −1 A3−i m2 −1 = c + 1, i = 1, 2,
(9.46)
а 1 = 1 − 1/ n1 , 2 = 1 − 1/ n2.
Обратим внимание на то, что система алгебраических уравнений
(9.46) отличается от предыдущей тем, что вместо с стоит с+8.
Случай быстрой диффузии.
Рассмотрим систему (9.25). Случай p  2 + [( m1 − 1)( m2 − 1)]1/2
соответствует случаю быстрой диффузии. В этом случае справедлива
390
Теорема 9.3. Пусть p  2 + [( m1 − 1)( m2 − 1)]1/2 . Тогда все регулярные
решения системы (9.26) при  → имеют асимптотическое
представление
f ( ) = A1 (a +  ) n1 (1 + o(1)),  ( ) = A2 (a +  ) n2 (1 + o(1))
где A1 , A2 находятся из решения системы алгебраических уравнений
( −n1 )
p −1
Ai p −1 A3−i m1 −1 = c, ( − n2 )
p −1
Ai p −1 A3−i m2 −1 = c, i = 1, 2
Д о к а з а т е л ь с т в о: Эта теорема доказывается так же как
доказательство теоремы 9.9. Для этого решение системы ищется в виде
f ( ) = A1 (a +  ) n1 w( ),  ( ) = A2 (a +  ) n2 z ( ).
(9.47)
Тогда, подставляя (9.47) в (9.26), анализируем полученную систему
преобразованных автомодельных уравнений для w( ), z ( ) при  → .
Анализ решений системы показывает: функции w( ), z ( ) при  → 
должны быть корнями нелинейных алгебраических систем
( −n1 )
p −1
w p −1 z m1 −1 = c, ( −n2 )
где L3 ( w, z ) = z m1 −1 w + n1w
p −2
p −1
z p −1wm2 −1 = c, i = 1, 2,
( w + n1w), L4 ( w, z ) = wm2 −1 z + n2 z
И для решений системы w( ), z ( ) при  → имеем
w( ) = (1 + o(1)), z ( ) = (1 + o(1)).
Теорема 9.3 доказана.
391
p −2
( z + n2 z ).
ГЛАВА 10. СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ПРОЦЕССОВ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ДВОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ С ИСТОЧНИКОМ ИЛИ ПОГЛОЩЕНИЕМ
В этой главе, на основе автомодельного и приближенноавтомодельного подходов, исследуются свойства решений системы
уравнений реакции-диффузии с двойной нелинейностью с учетом
конвективного переноса, поглощения или источника. Показано влияние
параметров системы реакции-диффузии к эволюции процесса.
Обосновано существование решений с компактным носителем и
решений, исчезающих на бесконечности, и получены их
асимптотическое представление. Найдена оценка решения и свободной
границы для задачи Коши, на основе чего устанавливаются свойства
решения с конечной скоростью распространения возмущения,
локализация ограниченных и неограниченных решений, условие
глобальной разрешимости задачи Коши, обобщающее ранее известные
результаты. Получена оценка типа Кнерра-Кершнера для свободной
границы. Предложено начальное приближение, приводящее к быстрой
сходимости итерационного процесса. Приводятся результаты численных
экспериментов.
10.1. Свойства решений задачи реакции-диффузии с двойной
нелинейностью с конвективным переносом и поглощением
N
Рассмотрим в области Q = {(t , x) : t  0, x  R } задачу Коши для
параболического уравнения с двойной нелинейностью c конвективным
переносом и поглощением
Au  −
(
u
+  u m−1 u k
t
p −2
)
u − div ( c(t )u ) +  (t )u  = 0,
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  R N ,
(10.1)
(10.2)
где   0, n, p, m – заданные параметры, () = grad () , 0   (t )  C (0, )
,  = 1.
Уравнение (1) описывает множество физических процессов
[68,100,101,104,105,106,107], например, процессов реакции-диффузии,
теплопроводности, политропической фильтрации жидкости и газа в
нелинейной среде, характеризующейся нелинейным коэффициентом
при наличии конвективного переноса со скоростью c (t ) , зависящей от

времени, и поглощения, мощность которого равна  (t )u .
392
Отличительной чертой уравнения (10.1) является его вырождение: в
области, где u = 0 или u = 0 , уравнение (10.1) является
вырождающимся, что порождает определенные трудности как при
качественном исследовании свойств решений, так и при численном её
решении. В области вырождения задача (10.1), (10.2) может не иметь
классического решения. Поэтому, в этом случае с физической точки
зрения, разумно рассмотреть обобщенные решения, из класса
непрерывных, ограниченных и неотрицательных функций 0  u (t , x) с
непрерывным потоком: u m−1 u k
p −2
u  С (Q)
и удовлетворяющих
следующему интегральному тождеству
  ( −u
t
0 
t
+ u m−1 u k
p −2
)
 − c(t )u −  (t )u  dxdt −  u0 ( x ) ( x, 0 ) dx = 0 (10.3)

для любой  (t , x) с компактным носителем
Эта задача в случае с(t ) = 0,  (t ) = 1, p = 2 ,m  1 подробно изучена в
работах [3,26,28-32], а в случае с(t ) = 0,  (t ) = 1, k = m, m  1 различные
свойства решений исследованы во многочисленных работах
[68,100,101,104,105,106,107].
Прежде чем численно решить и визуализировать процессы,
описываемые уравнением (10.1), необходимо изучить качественные
свойства решений таких, как конечная скорость распространения
возмущения, локализация решения, асимптотика решения, поведение
свободной границы в зависимости от значений параметров уравнения
(10.1) и начального распределения u0 ( x ) .
Свойства решений задачи (10.1), (10.2) зависят от значений
параметров уравнения (10.1) и начальной функции u0 ( x ) . В работах
[68,100,101,104,105] достаточно хорошо изучены свойства решений в
частном случае уравнения (10.1), когда   1, 0    1,  (t ) = 1, c(t ) = 0 ,
при k = 1 или p = 2 . В них имеют место разные нелинейные эффекты в
зависимости
от
значений
параметров
[68,100,101,104,
105,106,107,109,128].
Ниже показано, что в случае k ( p − 2) + m − 1  0,   1 существует
решение u (t , x) , для которого имеет место конечная скорость
распространения возмущений (КСРВ).
Для установления свойств решений рассматриваемой задачи
применяются автомодельный и приближенно – автомодельный подход.
Построение приближенно автомодельного и автомодельного
393
уравнения. Ниже методом нелинейного расщепления [68,105,106]
предложен способ построения автомодельного и приближенноавтомодельного уравнения для уравнения (10.1), который значительно
облегчает исследование качественных свойств решений задачи (10.1),
(10.2).
Для сведения уравнения (10.1) к автомодельному, приближенноавтомодельному виду сначала путем замены
t
u (t , x) = z (t ,  ),  =  c( y )dy − x
(10.4)
0
приведем (10.1) к виду
p −2
z
−
+  z m−1  z k
 z − div ( c(t ) z ) −  (t ) z  = 0, а затем заменой
t
)
(
z (t ,  ) = u (t ) w ( (t ),  ) ,
где
функция
t


u (t ) = (T + (  − 1)   ( )d ) 
0


(10.5)
−1/(  −1)
,
уравнения (10.1) без её диффузионной части
является
решением
du
= − (t )u  .
dt
Сведем уравнение (10.1) к виду
(
w
=  wm−1  wk

p −2
)
 w +  (t )u  −( k ( p −2)+m ) ( w − w ) ,
(10.6)
где функции  (t ) определяются как
 [u (t )]k ( p −2)+ m−1 dt , если k ( p − 2)m − 1  0,
 (t ) =  
если k ( p − 2)m − 1 = 0.
T + t ,
Отметим, что поскольку для главной части уравнения (10.6) её
радиально симметрические решения w( (t ),  = r имеют вид
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r
p −2
 wl 
,
 r 
то поставляя (10.5) в (10.6), имеем уравнение
394
(10.7)
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r
p −2
 wl
r

 +  (t )u  −( k ( p −2)+ m+l −1) ( w − w ) .


(10.8)
При этом, если  = k ( p − 2) + m + l − 1 , то уравнение (10.8) приобретает
вид
 w 1− N   N −1 m−1  wk
r w
=r

 r 
r
p −2
 wl 
 +  (t ) ( w − w ) .
 r 
Далее, полагая
w( , x) = f ( ) ,  =  /  ( t ) ,
1
p
(10.9)
можно легко видеть, что при  = k ( p − 2) + m + l − 1 функция
удовлетворяет приближенно-автомодельному уравнению

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l   df
+
+  (t ) (t ) ( f − f  ) = 0.
d  p d

f ( )
(10.10)
В том случае, когда
 (t ) (t ) u (t ) 
 − ( k ( p − 2) + m )
= c 0,
(10.11)
где c0 постоянная, то (10.8) превращается в автомодельное уравнение

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l   df
+
+ c0 ( f − f  ) = 0.
d  p d

(10.12)

Например, в частном случае, когда  (t ) = (T + t ) , где  - константа,
то легко подсчитать, что в уравнение (10.12)
( + 1)
c0 =
,
 − 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 1)
а автомодельное уравнение (10.12) имеет следующий вид:

1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l 
( + 1)
+

d   − 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 1)

 ( f − f  ) = 0.
395
(10.13)
В этом случае
(T + t ) p2 / p2 , если p2  0,

 (t ) = T + t ,
если p2 = 0,
ln(T + t ),
если  = ( + 1)( k ( p − 2) + m − 1),

(10.14)
где p2 = [ − 1 − ( + 1)( k ( p − 2) + m + l − 2)] / ( − 1) .
Значение  = 1 − ( + 1)( k ( p − 2)m + l − 2) является сингулярным
случаем уравнения (10.13), свойство положительных решения которого
при  = 0, l = 1 изучал [Kombi].
Различные свойства обобщенных решений автомодельных решений
уравнение (10.12) в случае когда p = 2 , с граничным условием
f (0) = c  0, f () = 0,
(10.15)
f (0) = c  0, f (b) = 0, b  ,
(10.16)
изучена в [68,100,106]. В работах [68,100,101,104] исследованы свойства
неограниченных решений и существование тепловых структур, а также
рассмотрены вопросы численного решения.
Условие локализации решения задачи Коши. Теперь рассмотрим
задачу о мгновенном источнике для уравнения (10.1) для случае, когда
 = 1,  (t )  0 , u0 ( x ) = q ( x ) , где q-мощность мгновенного источника и
 ( x) -дельта функция Дирака. Путем точного решения задачи (10.1),
(10.2) покажем условие локализации решения задачи.
В этом случае задача (10.1), (10.2) имеет следующее точное
автомодельное решение
−
u (t , x) = u (t )[ (t )]
(
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
f ( ) ,
)
p /( p −1) ( p −1)/(k ( p −2)+ m+l −2)

a
−

,если k ( p − 2) + m +l − 2 0,

+
f ( ) = 
p




1

exp −
если k ( p − 2) + m +l − 2=0,
 ,
  lk p −2  p  

( 10.17)
(10.18)
где
−
1
p
 =  [ (t )] , (a) + = max(0, a),
396
(10.19)
константа а в (10.19) находится из условия
 u(t , x)dx = q.
(10.20)
RN
Отметим, что из решения (10.18) при c(t)=0, l=1, p = 2, T = 0 когда
u0 ( x) = q ( x), получится решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта
[68].
Покажем теперь способ построения решения (10.18).
Чтобы получить точное решение уравнения (10.1) при  = 1, сделаем
в (10.1) замену
t
u (t , x) = u (t ) w( (t ),  ),  =  c( y )dy − x,
(10.21)
0
где
t

t

0

0

 (t ) =  [u (t )]k ( p −2)+m+l −2) dt , u (t ) = exp  −   ( )d 
(10.22)
А u (t ) является решением уравнения
du
= − (t )u .
dt
(10.23)
Тогда легко видеть, что уравнение (10.1) после замены (10.21) и
выбора  (t ), u (t ) согласно (10.22), (10.23) получим уравнение в новых
переменных
(
w
=  wm−1  wk

p −2
)
 wl .
(10.24)
Решение типа Зельдовича-Баренблатта, которое, как показано в
первой главе имеет вид
−
w( (t ),  ) = [ (t )]
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
f ( ).
Тогда с учетом замены (10.21) имеем (10.18). Отсюда, таким
образом, доказывается
397
Теорема 10.1. Пусть k ( p − 2) + m + l − 2  0, u (t )  +, t  0 и
 ()  + . Тогда имеет место пространственная локализация решения
задачи (10.1), (10.2), если
u0 ( x)  u (0) f ( )
t =0
.
Доказательство. Из точного выражения решения уравнения (10.1)
при  = 1, полученного выше согласно принципа сравнения решения для
решения задачи (10.1), (10.2) имеем оценку u (t , x)  z (t , x), в области
Q = {(t , x) : t  0, x  R N } .
Если в качестве сравниваемой возьмем функцию
−
z (t , x) = u (t )[ (t )]
N
p +( k ( p −2) + m+l −2) N
f ( ),
Тогда для фронта имеем оценку
t
 c( y)dy − x  (a)
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p ,
(10.25)
0
что в силу условия теоремы 10.1 означает локализацию решения в
гиперсфере с радиусом (a)
( p −1)/ p
[ (t )]
1/ p
t
и центром  c( y )dy. Теорема 10.1
0
доказана.
Теорема 10.2. Пусть u (t , x) обобщенное решение задачи (10.1), (10.2)
без члена поглощения и выполняется условие u0 ( x)  u+ (0, x) , где
u+ (t , x) = f ( ) , где f ( ) задана формулой (10.13). Тогда для обобщенного
решения u (t , x) задачи (10.1), (10.2) имеют место следующие оценки для
решения и свободной границы
t
u (t , x)  u+ (t , x) в Q, и  c( y )dy − x  (a)( p−1)/ p (T + t )1/ p , x  R N , t  0. (10.26)
0
Доказательство. Доказательство теоремы 10.2 проводится на
основе теоремы сравнения решения [68]. В нашем случае в качестве
сравниваемой берется определенная выше формулой (10.19) функция
u+ (t , x) = f ( ),  = x / (T + t )1/ p .
398
Легко видеть, что Au+ (t , x )  0 , в области D1 = (t , x) : t  0, x  l1 (t ),
( p −1)/ p
a
l1 (t ) =  
[T +  (t )]1/ p , T  0. Тогда в силу условия теоремы 10.1 на
b
основание теоремы сравнения решения [сам] имеем u (t , x)  u+ (t , x) в
области Q.
Теорема 10.2 доказана.
Приводимые ниже результаты относятся к случаю   1.
Теорема 10.2. Пусть выполнены условия:
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m +l −1)

N
, t  0, и
p
u0 ( x)  z+ (0, x), x  R N .
Тогда существует глобальное решение задачи Коши (10.1) (10.2),
для которой в области Q имеет место оценка
u (t , x)  z+ (t , x) = u (t ) f ( ),
( p −1)/ p
1/ p
a
а для свободной границы оценка    
T +  (t ) , x  R N , t  0, где
b
z+ (t , x), u (t ), f ( ),  (t ) - определенные выше функции.
N
Следствие. Пусть  (t ) =  = const , c(t ) = 0 ,l=1 u0 ( x)  z+ (0, x) , x  R ,
  k ( p − 2) + m + l − 1 +
a
( p −1)(  −1)
k ( p −2) + m−1)

p
и
N
N
1
−
.
p  − (k ( p − 2) + m − 1)
(10.27)
Тогда задачи (10.1), (10.2) имеют глобальное обобщенное решение,
для которого в Q имеет место оценка
u(t, x)  z+ (t, x).
В частности, из этого следствия вытекает условие глобальной
разрешимости, приведенное в [Fujita, Samarsk]. Этот результат в случае,
когда в уравнении (1), m = 1, p = 2 был получен впервые Фуджитом [76]
и носит теперь название критической экспоненты типа Фуджита. В
случае c(t)=0, k = 1, p = 2 глобальное решение доказано Самарским А.А.,
399
Курдюмовым С.П., Галактионовым В.А., Михайловым А.П. [68], а в
случае, когда k = 1, m = 1, Галактионовым В.А. [75].
Из оценки решения (10.27) видно, что чем значение  ближе к
критическому значению типа Фуджита  = * = k ( p − 2) + m + l − 1 + p / N
тем для выполнения неравенства u (t , x)  z+ (t , x) начальное значение
должно быть меньше. Случай  = * = k ( p − 2) + m + l − 1 + p / N называется
критической экспонентой типа Фуджита. Фуджита [75]. доказал эту
теорему для случая m=1, p=2, l=1, c(t)=0
Доказательства этих теорем и других утверждений для решений
задачи (10.1)-(10.2) основаны на методе нелинейного расщепления
[Арип], теореме сравнения решений [САм] и с использованием того
факта, что функция f ( ) определенная выше, является классическим
решением уравнения
L1 (m, p, N ) f +
a
в области |  |  
b
p −1
p
, где L1 ( p, m, N ) f = 
N
f =0
p
1− N
d  N −1 m−1 df k
 f
d 
d

p −2
df l 
.
d 

Заметим, что функция f ( ) удовлетворяет условиям
0  f ( ), 
1− N
f
m −1

N −1
df k
d
p −2
df l
 C  0,  ) .
d
Асимптотика автомодельных решений. Отметим, что когда в
(10.1)  (t ) =   0 уравнение (10.9) становится автомодельным:

1− N
d  N −1 df

d 
d
p −2
df l
d
  df
1
+
f − f  ) = 0.
+
(
 p d  − (k ( p − 2) + m + l − 1)

(10.28)
Рассмотрим теперь это уравнение с граничным условием
f ( 0 ) = c  0, f ( d ) = 0, d  .
400
(10.29)
p −1
k ( p − 2) + m −1)


.
Введем функцию f ( ) =  a −  

+
Существование обобщенного решения задачи (10.28), (10.29) когда
в (10.1), N = 1, p=2 было доказано в [68,106].
Теорема 10.4.
Пусть, k ( p − 2) + m + l − 2  0 ,   1,   k ( p − 2) + m + l − 1 Тогда
p
p −1
(
)
решение задачи (10.28), (10.29) при  →  = − ln ( a − b p /( p−1) ) имеет
асимптотику
f ( ) = c1 f ( ) (1 + o(1) ) ,
a=c
k ( p − 2) + m +l − 2)
p −1
,
где c1 определяется из решения алгебраического уравнения
1
p ( p − 1) p −2
c k ( p −2)+ m−1 −  
p 1
k ( p − 2) + m + l − 2)
 p
p −1


1
−

p 
 (k ( p − 2) + m + l − 2) 
(1 / p ) p −1
−
= 0.
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
(10.30)
Доказательство. Для доказательства теоремы 10.4 в (10.28) сделаем
замену
p


p −1
f ( ) = f ( )W ( ) ,  = − ln  a −  .




Тогда уравнение (10.30) принимает следующий вид
 e−
 e −
d
pb1 
pb1 
1  p −1
LW + 
N
−
L
W
+
N
−
L
W
+





−
−
d
p −1
p −1
p p 
a−e
a−e
p −2

− ( p −1)(  −1)

 dW
(( p − 1) / p) p −1
e − 
k 

k ( p − 2) + m +l − 2)

− b1kW  +
W
−
e
W

 = 0,
−
 d
  − (k ( p − 2) + m + l − 1) a − e 

p −1
m −1 dW
k
− kbW
где b1 =
, LW = W
1
d
k ( p − 2) + m + l − 2
p −2
 dW
k 
1
 d − kbW
.


Отсюда легко увидеть, что W → c1 при  →  , где c1 находится из
решения уравнения
401
1
( p − 1) p −2 p
k ( p − 2) + m −1
c
−
1
 
(k ( p − 2) + m + l − 2) p
 p
p −1


1

−
 k ( p − 2) + m + l − 2) 
(1 / p ) p −1
−
= 0.
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
Теорема 10.4 доказана.
Cлучай быстрой диффузии. Случай k ( p − 2) + m + l − 2  0
называется случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай
и уравнение (10.28) с граничным условием
f ( 0 ) = c  0, f (  ) = 0.
(10.31)
Ниже исследуем асимптотику решений задачи (10.28), (10.31).
Рассмотрим функцию
f ( ) = ( a + 
p / ( p −1) ( p −1)/( k ( p − 2) + m +l −2))
)
.
Теорема 10.5. Пусть p + b1N  0, k ( p − 2) + m + l  2 . Тогда решение
задачи (10.28), (10.31) при  →  имеет асимптотику
f ( ) = c2 f ( )(1 + o(1) ) ,
где c1 находится из решения уравнения
c2
k ( p − 2) + m−1)
1
+ b1  
 p
p −1
+
b12 (1 / p) p−1
= 0,
 − (k ( p − 2) + m + l − 1)
p /( p −1)
где b1 = (k ( p − 2) + m + l − 2)(1 / p)
Доказательство. Для доказательства в уравнении (10.28) сделаем
замену
(
f ( ) = f ( )W ( ) ,  = ln a + 
Тогда оно перепишется в виде
402
p / ( p −1)
).
(10.32)
p

d
e
1  p −1
L1 ( w) +  + 
N  L1 (W ) + 

d
p p 
 b1 e − a 
p −2
 dW p − 1 
+
W +

b1
 d

( p −1)(  −1)

(( p − 1) / p)
e 
b1

+
W
−
e
W

 = 0,

 − (k ( p − 2) + m + l − 1) e − a 


p −1
p −2
dW p − 1
+
W
d
b1
где L1 ( w) = W m−1
(10.33)
 dW p − 1 
+
W .

b1
 d

Анализ решений этого уравнения при  → показывает, что W → c2
при  → и оно должно удовлетворять алгебраическому уравнению
(10.33).
Теорема 10.5 доказана.
Замечание 10.1. При  =
p − [k ( p − 2) − m + l − 1]
уравнение (10.33)
p −1
имеет точное решение
f ( ) = A ( a − 
где
m + p −3
A
1 b 
=  1
p p 
p −1
( p ( p + b1N ) )
p −1
a=
p (m − 2) − 1
p 2 ( p + b1 N )
p / p −1
( p + b1N )
−1
)
p −1
( k ( p − 2) + m +l − 2)
+
,
b1 = k ( p − 2) + m + l − 2  0,
,
p /( p −1)
.
Другое точное решение
f ( ) = f ( ) = A ( a + 
p −1
p / p −1 ( k ( p − 2) + m+l −2)
)
.
Отметим, что в этом случае доказывается, что финитные решения
задачи (10.28), (10.29) имеют такую же асимптотику как в теореме 10.5,
но с коэффициентом, равным 1.
Критическое значение типа Фуджита и двойной критический
случай. Предложенный выше метод нелинейного расщепления
позволяет установить критические значения параметров уравнения
(10.1) типа Фуджита
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m +l − 2 )
403
=
N
,
p
и
критические
значения параметров при выполнении
k ( p − 2) + m − 1 = 0 , и двойных критических условий:
 (t ) (t ) u (t ) 
 −( k ( p − 2) + m +l −1)
=
N
, t > 0.
p
условия
(10.34)
В критическом случае уравнение (10.1) принимает автомодельный вид
L ( m, p, N ) f +
N
f + f  ) = 0.
(
p
В случае выполнения двойного критического случая из (10.34) имеем
 (t )(T + t )[u (t )] −1 =
Например, если
условием будут
N
.
p
 (t ) = (T + t ) ,  −1 , то двойным критическим
k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 ,  = * = 1 + ( + 1)(k ( p − 2) + m + l − 1)) + p / N . В
этом случае  = * = 1 + ( + 1)( p / N ) .
Свойства решения задачи (10.1), (10.2) в двойном критическом
случае носят иной характер (см. [68]). В частном случае, когда в (10.28)
в критическом случае асимптотика решения задачи (10.1)-(10.2)
получена в [106].
Легко проверить, что в двойном критическом случае определенная
выше функция f ( ) является верхним решением.
Теорема 10.6. Пусть в (10.7) k ( p − 2) + m + l − 2 = 0 .
асимптотика решения задачи (10.1)-(10.2) при t → + будет
Тогда
p
  1


u (t , x) u (t )exp  −  p −2   / (T + t )1/ p  ,

  lk

1
где u (t ) =  (T + t )ln(T + t )   −1 .
Доказательство теоремы 10.6 основано на получение двусторонней
оценки решения. Этот результат в случае, когда в (10.1) p = 2, ранее был
получен Галактионовым В.А., Васкесом Х.Л. [20,127-129], а в случае,
m = 1, k = 1 Галактионовым В.А. [21].
Оценка типа Кнерра-Кершнера. Когда в уравнении (10.1) n = 0 ,
p = 2,  (t ) = 1, N = 1,  = m Кнерр [109] получил следующую оценку для
*
404
свободной границы
1
x (t )  a ( ln(t ) ) 2 , t  1,
где a  0 некоторая константа. Другое доказательство этого результата
было дано Кершнером [107].
Далее мы докажем следующее:
Теорема 10.7. Пусть  = k ( p − 2) + m + l − 1 . Тогда для свободной
границы задачи (10.1)-(10.2) для достаточно больших t справедлива
оценка
a
x(t )   
b
p −1
p
1
−1

t
p

   T + (k ( p − 2) + m + l − 2)   (t )dt  d  .
 0

0



Доказательство. Сделаем в (10.7) замену
w ( , ( x) ) = f ( ),  =  ( x) / 
t
1/ p
,  (t ) =  u ( ) 
k ( p − 2) + m +l − 2
d.
0
Тогда из (10.7) в случае при  = k ( p − 2) + m + l − 1 получим
приближенно-автомодельное уравнение
L2 ( f ) = 
1− s
d  s −1 df k

d 
d

p −2
df l   df
+
+  (t ) (t ) ( f − f  ) = 0.
d  2 d

Вычислим оператор L2 ( f ) . Тогда, учитывая последнее уравнение,
непосредственные вычисления дают
 s


L2 ( f ) = f  − +  (t ) (t )  +  (t ) (t ) f  −1  ,

 2

и для достаточно больших t имеем L2 ( f )  0.
Применяя теорему сравнения, из [68] мы получим нужную оценку
для свободной границы.
405
10.2. Исследование свойств решений задачи реакции-диффузии
с двойной нелинейностью с переменной плотностью и источником
Рассмотрим в области Q = (t , x) : t  0, x  R N  задачу Коши для
параболического уравнения с распределенными параметрами и с
двойной нелинейностью
Au  − x
q
(
u
n
+  x u m−1 u k
t
p −2
)
u l +  (t ) x u  = 0,
u |t =0 = u0 ( x)  0, x  R N ,
q
(10.35)
(10.36)
где   0, n, p, m – заданные параметры, () = grad () , 0   (t )  C (0, ) ,
 = 1.
Эта задача в случае  (t ) = 1, p = 2 изучена в работе [46] и
исследованы её собственные функции.
Уравнение (10.35) описывает множество физических процессов
[68,100,101,104,105-106], например, процессы реакции-диффузии,
теплопроводности, политропической фильтрации жидкости и газа в
нелинейной среде при наличии источника (  = +1 ) или поглощения ( = −1)
мощность которого равно  ( x) (t )u  .
В области, где u = 0 или u = 0, уравнение (10.35) является
вырождающимся. Поэтому, будем исследовать обобщенные решения,
так как в этом случае уравнение (10.35) может не иметь классического
решения. В работе доказано, что прежде чем численно решить и
визуализировать процессы, описываемым уравнением (10.35),
необходимо изучить качественные свойства решений в зависимости от
значений параметров уравнения, таких как конечная скорость
распространения возмущения, локализация решения, асимптотика
решения, поведение свободной границы.
Свойства решений задачи (10.35), (10.36) зависят от значений
параметров уравнения (10.35) и, и начальной функции u0 ( x ) . В работах
[68,100,101,104,106] достаточно хорошо изучены свойства решений в
частном
случае
уравнения
(10.35),
когда
  1,
0    1,  = +1,  = −1,  (t) = 1 , при m = 1 или p = 2 . В них имеют место
разные нелинейные эффекты в зависимости от значения параметров [74].
С физической точки зрения разумно рассмотреть обобщенные
решения, из класса неотрицательных функций 0  u (t , x) с непрерывным
406
потоком, т.е. x u m−1 u k
n
p −2
u  C (Q) и удовлетворяющее некоторому
интегральному тождеству [68, 105-106].
Построение приближенно автомодельного уравнения. Ниже
методом нелинейного расщепления предложен способ построения
автомодельного и приближенно-автомодельного уравнения для
уравнения (10.35), который значительно облегчает исследование
качественных свойств решений задачи (10.35)-(10.36).
Для сведения уравнения (10.35) к автомодельному либо
приближенно-автомодельному виду решим сначала простое уравнение
du
= − (t )u 
dt
(10.37)
Затем ищем решение уравнения (10.35) в виде
u (t , x) = u (t ) w( (t ), ( x)) ,
(10.38)
−1/(  −1)
t


, является решением уравнения
где u (t ) =  T + (  − 1)   ( )d 
0


(10.35), а w( , x) решение уравнения (10.35) без младшего члена, в
“радиально симметричной” форме
 s −1 m−1 w
w
1− s 
Aw = −
+
 w

 

p −2
w 
=0,
 
(10.39)
а функции  (t ) определяется как
t
 (t ) =  u k ( p −2)+m+l −2 ( y )dy .
0
(10.40)
Подставляя (10.38) в (10.35), для w( (t ),  ( x)) имеем уравнение
k

w
1− s 
s −1 w

=

 


p −2
wl 
 −( k ( p − 2) + m +l −1))
 +  (t ) u (t ) 
w − w ) ,
(
 

(10.41)
( x ) = x
p1
/ p1 , p1 =
p
, p − (n + q)  0.
p − (n + q)
407
Так как уравнение (10.39) имеет автомодельное решение вида
w( , x) = f ( ) ,
=
 ( x)
 ( t )  p
1
,
(10.42)
то f ( ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
L1 ( s, m, p) f +  (t ) (t ) u (t ) 
 − ( p + m − 2)
где L1 ( s, m, p ) f = 
1− s
d  s −1 m−1 df k
 f
d 
d

Тогда с учетом этого
автомодельное уравнение
p −2
из
( − f + f ) = 0,

df l   df
+
.
d  p d

(10.41)
получим
L1 (s, m, p) f +  (t ) (t )[u(t )] −( p + m−2) (− f + f  ) = 0 .
приближенно(10.43)
= const , (10.43) превращается
В том случае, когда  (t ) (t ) u (t )
в автомодельное уравнение.
Различные свойства обобщенных автомодельных решений
уравнения (10.43) в случае, когда s = 1, p = 2 , с граничным условием
 −( p + m − 2)
f (0) = c  0, f () = 0,
f (0) = c  0, f (b) = 0, b  
(10.44)
(10.45)
изучены в [68,100,106]. В работах [68,100,101,104] исследованы свойства
различных решений и существование тепловых структур, а также
численные их решения.
Условие локализации задачи Коши. Пусть u (t )  +, t  0 и
 ()  + . Тогда имеет место локализация решения задачи
(10.35),(10.36), если u0 ( x)  u (0) f ( ) t =0 и уравнение (10.35) принимает
вид (10.39), которое имеет решение (10.46).
Теорема 10.8. Пусть u (t , x) обобщенное решение задачи (10.35)(10.36) без члена поглощения или источника и выполняется условие
u0 ( x)  u+ (0, x) , где u+ (t , x) = f ( ) . Тогда для обобщенного решения u (t , x)
задачи (10.35)-(10.36) имеет место следующая оценка для решения и
свободной границы
408
u (t , x)  u+ (t , x) в Q,
a
x  
b
( p −1)/ p
 (t )
1/( p + −(2+ n ))
, x  R N ,t  0 .
Доказательство. Доказательство Теоремы 1 проводится на основе
теоремы сравнения решения [68]. В качестве сравниваемой берется
определенная выше функция f ( ) .
Теорема 10.9. Пусть в (10.35)  = −1 и выполнены условия:
 (t ) (t )[u (t )] −( m + p − 2) 
s
N
, t > 0, и u0 ( x)  u+ (0, x) , x  R . Тогда существует
p
глобальное решение задачи Коши (10.35), (10.36) для которой в Q имеет
место оценка
u(t,x)  z+ (t,x) = u (t ) f ( ) ,
(10.46)
а для свободной границы-оценка
a
x  
b
( p −1)/ p
p1  (t )
1/( p + −(2+ n ))
, x  R N , t  0,
(10.47)
где z+ (t , x), u (t ), f ( ), (t ) - вышеопределенные функции.
Теорема 10.10.
s
Пусть u0 ( x)  u+ (0, x), x  R N ,  = +1 ,  (t ) (t ) u (t ) −( k ( p−2)+m )  , t  0,
p
s= p
N −q
. Тогда для малых начальных данных u0 ( x ) существует
p − (n + q )
глобальное решение u(t , x) задачи Коши (10.35), (10.36), для которого
имеет место оценка u (t , x)  u+ (t , x) в Q, а для свободной границы-оценка
a
x  
b
( p −1)/ p
p1  (t )
1/( p + −(2+ n ))
.
(10.48)
В частности, справедливо
Следствие. Пусть  (t ) =  = const , u0 ( x)  z+ (0, x) , x  R N ,  = +1 ,
p
  m+ p−2+ , a
s
( p −1)(  −1)
m+ p −3

s
1
. Тогда задача (10.35),(10.36)
−
p  − (m + p − 2)
имеет глобальное обобщенное решение, для которого в Q имеет место
оценка
409
u(t , x)  z+ (t , x) .
Этот результат в случае, когда в уравнении (10.35),  (t ) = 1 ,
m = 1, p = 2,  = 2 , n = 0 был получен впервые Фуджита [104], в случае
n = 0, p = 2,  (t ) = 1 ,  = 2 Самарским А.А., Курдюмовым С.П.,
Галактионовым В.А., Михайловым А.П. [68], а в случае, когда
m = 1,  = 2,  (t ) = 1 , n = 0 -Галактионовым В.А. [26-32].
Доказательство этих теорем и других утверждений для решений
задачи (10.35)-(10.36) основаны на методе нелинейного расщепления
[26-32] и теореме сравнения решений [68] и с использованием факта, что
функция f ( ) определенная выше, является классическим решением
уравнения
L1 (m, p, s ) f +
a
в области n   
b
s
f = 0,
p
( p −1)/ p
, где
L1 ( m, p, s ) f = 
1− s
Заметим, что f ( ) , 
1− s
d  s −1 m−1 df
 f
d 
d
f
m −1

s −1
df
d
p−2
p −2
df   df
.
+
d  p d
(10.49)
df
 C 0,  ) .
d
Асимптотика автомодельных решений. Отметим, что когда в
(10.35)  (t ) =   0 уравнение (10.43) становится автомодельным:

1− s
d
d
 s −1 df


d

p −2
df
d
  df

+
+
−f + f)=0
(
 p d   − ( p + m − 2)

(10.50)
Рассмотрим теперь это уравнение с граничным условием
f ( 0 ) = c  0,
f ( d ) = 0, d  .
(10.51)
Введем функцию

f ( ) =  a − 


p
p −1


+
410
p −1
p + m −3
.
(10.52)
Существование обобщенного решения задачи (10.50)-(10.51), когда
в (10.35) N = 1, n = 0, p = 2,  = −1 , была изучена в [68,106].
Теорема 10.11. Пусть  (t ) = 1 , p + m  3 ,   1,   p + m − 2 . Тогда
(
)
решение задачи (10.50), (10.51) при  →  = − ln ( a − b p /( p−1) ) имеет
асимптотику
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1) ) ,
a=c
p + m −3
p −1
,
(10.53)
где c1 определяется из решения алгебраического уравнения
 p −1 


 p + m−3
p −2
p
( p + m − 3)
2
p + m −3
1
c
1
− 
 p
p −1


1
(1/ p )
−
= 0.


p
+
m
−
3

−
p
+
m
−
2
(
)


p −1
Доказательство. Для доказательства теоремы 10.11 в (10.50)
p


p −1
сделаем замену f ( ) = f ( )W ( ) ,  = − ln  a −   .


Тогда уравнение (10.50) принимает следующий вид
d  m−1 dW
p −1
−
W
W
d 
d p + m − 3
p −2
 dW

p −1
−
W  +

 d p + m − 3  
e −
p
dW
p −1
+(
s−
)W m −1
−
W
−
a−e
p +m−3
d p + m − 3
1  p −1 
+ 

p p 
p −2
 dW

p −1
−
W +

 d p + m − 3 
 dW
 (( p − 1) / p) p −1 e−
p −1
−
W

+
−
 d p + m − 3   − (m + p − 2) a − e
Отсюда легко увидеть, что
решения уравнения
 p −1 


 p + m−3
p −2
p −2
p
( p + m − 3)
2
W → c1
p + m −3
1
c
1
− 
 p
− ( p −1)(  −1)


( p + m −3)
W   = 0.
 W − e



при  →  , где c1 находится из
p −1


1
(1 / p )
= 0.

−
 p + m − 3   − ( p + m − 2)
p −1
Теорема 10.11 доказана.
Случай быстрой диффузии. Случай 2  m + p  3 называется
случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай и уравнение
(10.48) с граничным условием
411
f ( 0 ) = c  0,
f (  ) = 0.
(10.54)
Ниже исследуем асимптотику решений задачи (10.52), (10.54).
Рассмотрим функцию
~
f = (a +  p / ( p −1) )( p −1) /( p + m−3) .
Теорема 10.12. Пусть   ( p + m − 2), 2  m + p  3,  = −1 . Тогда
решение задачи (10.52), (10.54) при  →  имеет асимптотику
f ( ) = c2 f ( )(1 + o(1) )
где c1 находится из решения уравнения


p
1
+ s

 p + m−3  p + m−3
p−2
1
1
c2 m + p −3 +  
p+m−3
 p
p −1


1
(1/ p) p −1
+
=0


 p + m − 3   − (m + p − 2)
Доказательство. Для доказательства в уравнении (10.48) сделаем
замену
f ( ) = f ( ) W ( ) ,  = ln(a +  p / ( p −1) )
(10.55)
Тогда оно перепишется в виде
d  m−1 dW
p −1
W
+
W
d 
d p + m − 3
p −2
 dW

p −1

+
W   +
 d p + m − 3  

 dW
p
e
p −1

+
+ 
s 
+
W
 p + m − 3 e − a  d p + m − 3
1  p −1

+ 
p  p 
p−2
p −2
 dW

p −1

+
W  +
 d p + m − 3 
( p −1)(  −1)

 dW
 (( p − 1) / p) p −1 e 
p −1

( p + m − 3)

+
W  +
W
−
e
W
=0 .


 d p + m − 3   − (m + p − 2) e − a 

Анализ решений этого уравнения при  → показывает, что
W → c2 при  → . Теорема 10.12 доказана.
Замечание 10.2. При  =
2−m
p −1
уравнение (10.48) имеет точное решение
f ( ) = A(a − 
412
p / p −1
)
p −1
p + m −3
,
где A
p + m −3
1  p + m −3
= 

p
p

p −1
( p + ( p + m − 3) N )
−1
,
( p ( p + ( p + m − 3) N ) )
p −1
a=
.
p + m − 3 p + m − 3 + p 2 ( p + ( p + m − 3) N )
p /( p −1)
p −1
p / p −1 p + m −3
)
Другое точное решение имеет вид f ( ) = k (q + 
.
Отметим, что в этом случае доказывается, что финитные решения
задачи (10.52)-(10.53) имеют такую же асимтотику как в теореме 10.12,
но с другим коэффициентом.
Предложенной методикой изучены асимптотики финитных,
исчезающих на бесконечности решений уравнения более общего вида
(10.44).
Критический случай. Предложенный выше метод нелинейного
расщепления позволяет установить критическое значение параметров
уравнения (10.35). Критическим значением параметров является условие
p + m − 3 = 0, а двойным критическим выполнением условий:
p + m − 3 = 0,
 (t ) (t) u (t ) 
 −( p + m − 2)
=
s
,
p
t  0.
(10.56)
В критическом случае уравнение (10.35) принимает автомодельный
вид
s
L(m, p, s ) f +    ( − f + f  ) = 0.
 p
В случае выполнения двойного критического случая из (10.54) имеем
 (t ) (t) u (t ) 
 −( p + m − 2)
=
s
,
p

Например, если  (t ) = (T + t ) ,   −1 , то двойным критическим будет
p

p + m − 3 = 0,  = * = 1 + ( + 1)  p + m − 3 +  .
s

Свойства решения задачи (10.35), (10.36) с двойном критическим
случаем имеют иной характер (см. [68]). В частном случае, когда в
(10.35)  (t ) = 1,  = 2, n = 0 ,  = −1 , в критическом случае асимптотика
решения задачи (10.35), (10.36) получена в [5,20,57]. В случае, когда
413
 = +1, доказано, что любое решение задачи (10.35), (10.36) является
неограниченным.
Легко проверить, что в двойном критическом случае определенная
выше функция f ( ) является верхним решением в случае  = −1 и
нижним решением при  = +1.
Теорема 10.13. Пусть в (10.41)  = −1 , p + m − 3 = 0. Тогда
асимптотика решения задачи (10.35)-(10.36) при t → + будет
p

 ( x)  
,
u (t , x) u (t )exp   −
  p (T + t )1/ p  


1/(  -1)
.
где u (t ) = ( (T + t ) ln(T + t ) )
Доказательство теоремы 10.13 основано на получение двусторонней
оценки решения. Этот результат в случае, когда в (10.35)
 (t ) = 1, p =  = 2,  = −1 ранее был получен В.А.Галактионовым,
Х.Л.Васкесом [20], а в случае  (t ) = 1, n =  = 2,  = −1 , m = 1 В.А.
Галактионовым [105,106].
Оценка типа Кнерра-Кершнера. Когда в уравнении (10.35) n = 0 ,
p = 2,  (t ) = 1, N = 1,  = m Кнерр [109] получил следующую оценку для
свободной границы
*
1
2
x(t )  a ( ln(t ) ) , t  1 ,
где a  0 некоторая константа. Другое доказательство этого результата
было дано Р.Кершнером [43,44].
Далее мы докажем следующее:
Теорема 10.14. Пусть  = ( p + m − 2) . Тогда для свободной границы
задачи (10.35)-(10.36) для достаточно больших t справедлива оценка
a
x(t )   
b
p −1
p
 

  T + ( p + m − 3)  (t )dt  d 
0



0




t
−1
1
p + 2−( n + )
Доказательство. Сделаем в (10.41) замену
w( ,  ( x)) = f ( ),  =  ( x) / 
t
1/ p
,  (t ) =  [u( )] p + m−3 d
0
.
Тогда из (10.41) в случае при  = ( p + m − 2) получим приближенноавтомодельное уравнение
414
L2 ( f ) = 
1− s
d  s −1 df k

d 
d

p−2
df   df
+
+  (t ) (t ) ( − f + f  ) = 0.
d  2 d

Вычислим оператор L2 ( f ) . Тогда, учитывая последнее уравнение,
при  = −1 непосредственные вычисления дают
 s


L2 ( f ) = f  − +  (t ) (t )  +  (t ) (t ) f  −1 

 2

и для достаточно больших t имеем
L2 ( f )  0
.
Применяя теорему сравнения, из [68] мы получим нужную оценку
для свободной границы.
10.3. Неограниченные решения задачи реакции-диффузии с
двойной нелинейностью с переменной плотностью и источником
N
Рассмотрим в области QT = {(t , x) : 0  t  T0 , x  R } задачу Коши:
0
 ( x)
(
u
=  u m −1 Du k
t
p −2
)
u − div(v(t )u ) +  ( t ) u  ,
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, x  R N ,
(10.57)
(10.58)
p, m, k ,  - фиксированные постоянные, 0  v(t ),  (t )  C (0, ) .
В последние годы стали интенсивно изучать неограниченные
решения, являющиеся причиной наличия энерговыделения, химической
реакции и др. Во многих физических процессах возникают именно такие
решения (например, процессы горения). В связи с этим А.А. Самарский,
С.П. Курдюмов, Галактионов В. А., Михайлов А. П., Васкес Х. и др.
разработали теорию и практику исследования задач с режимом
обострения применительно к уравнению (10.57) в случае, когда p=2 или
m=1 [68,127-129]. Неограниченные решения были названы режимом с
обострением (blow-up). Были развиты специальные методы
исследования неограниченных решений нелинейных параболических
уравнений, которые позволяют провести достаточно подробное
исследование неограниченных решений на примере уравнения
теплопроводности с источником общего вида.
где
415
Уравнение (10.57) можно рассматривать как уравнение диффузии
тепла в сплошной среде с коэффициентом диффузии тепла
p−2
u m −1 Du k
u , зависящим от температуры u (t , x)  0 и градиента
температуры степенным образом, при воздействие конвективного
переноса с вектором скорости v(t). При этом в среде имеется объемное

энерговыделение с мощностью источника,  ( t ) u , 0   ( t )  C (0, ),.
Диффузионный процесс инициируют заданием начального возмущения
u ( 0, x ) .
Поведение решений задачи (10.57), (10.58) существенно зависит от
значений числовых параметров и соотношений между числовыми
параметрами, входящими в рассматриваемое уравнение, свойств
функций u0 ( x) ,  (t ) [4,6,7,68,110,19,130-135,136]. Известно [68], что за
счет интенсивного энерговыделения (   1 ) процесс химической реакции
(горения) может происходить в режиме с обострением [68]. Другими
словами, задач Коши (10.57), (10.58) могут не иметь глобального по
времени решения и в некоторый момент времени t = T0  + , который
называется моментом обострения амплитуды становится бесконечно
большой
sup u ( t , x ) → +, t → T0 .
xR N
А.В.Мартыненко,
А.Ф.Тедеев
рассмотрели
квазилинейное
параболическое уравнение с источником и неоднородной плотностью
следующего вида:
 ( x)
u
= div(u m −1 Du
t
 −1
Du ) + u p
−l
предполагая, что p  1, m + p − 3  0,   m + p − 2,  ( x) = 0 ( x) = x ,
−l
либо  ( x) = (1 + x ) , l  0, u0 ( x) -неотрицательная измеримая функция
из класса L1,loc (
N
) и такая, что
  ( x)u
1+ ( m + p −3)/( p −1)
0
N
dx  
.
Они нашли условия задачи, при которых решение задачи Коши
взрывается за конечное время. Более того, получена точная
416
универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка решения
вблизи времени обострения.
Условия глобальный разрешимости и не разрешимости (проблема
Х.Фуджита и Ж. Лионса) и другие качественные свойства решений
задачи (10.57), (10.58) для частных значений параметров (k=1, p=2 или
m=1,  (t ) =  = const ) изучены в работах [4,6,7,68,110,19,130-135,136]. В
случае  (t ) =  = const , k=1, p=2, условие глобальной разрешимости при
  1+
2
N
было получено Фуджитом, при p=2 Самарский А.А.,
Курдюмов С.П., Михайлов А.П. [68] получили условие   m +
m=1 Галактионовым В.А. получено условие   p − 1 +
2
N
, а при
p
. В частности, I.
N
Kombi [110] исследовал свойства положительных решений задачи
(10.57) при m = 1,  (t ) = 1 . При 0    1 , m = 1 условие глобальной
разрешимости задачи (10.57) получено в [110].
Условие глобальной разрешимости задачи (10.57), (10.58) для
другого вида уравнения (10.57) получено в [3], из которого вытекает
ранее известные результаты других авторов. Свойства положительных
решений в сингулярном случае  = p + m − 2 изучены в [108]. В
частности, в [3] при p=2 или получены следующие условия глобальной
разрешимости задачи (10.57), (10.58)
 ( t ) ( t ) u  −( k ( p −2)+l ) 
N
, (   m( p − 2) + l + p / N ,  (t ) = 1) ,
p
−
(10.59)
1
t

  −1
du
= − (t )u  , а
где u (t ) = T + (  − 1)   ( )d  -решение уравнения
dt
0


 (t )
u (t )
функция
определяется
через
функцию
так
1
 (t ) =  u k ( p −2)+m−1 ( )d .
0
Весьма важным является изучение свойства локализации
неограниченных решений задачи (10.57), (10.58) и условия его
возникновения. Локализация и другие свойства решений задач (10.57),
(10.58) в общем случае выявляются на основе изучения качественных
оценок решений и численных расчетов с помощью анализа
автомодельных и приближенно автомодельных решений задачи (10.57),
(10.58).
Поэтому автомодельное решение уравнения (10.57) ищем в виде:
417
u (t , x) = (T − t )−1/(  −1) w ( t ,  )
(10.60)
t
 = x −  v( y)dy, w(t ,  ) = f ( ),  =  / (T − t )[  −m( p −2)+l ]/(  −1) p
0
Тогда простые вычисления показывают, что уравнение (10.60)
сводится к автомодельному виду

1− N
d  N −1 m −1 df k

f
d 
d

p −2
df   df
1
+
+
(− f + f
d  p d  − ( k ( p − 2 ) + m)


 ( k ( p − 2 ) + m)
) = 0,  (10.61)
  k ( p − 2) + m. Как видно из уравнения (10.61), случай
 = k ( p − 2) + m является сингулярным.
где
(k ( p − 2) + m − 1  0) .
Случай
медленной
диффузии
Ниже
исследуются асимптотические свойства обобщенного решения
автомодельного
уравнения
(10.61)
в
классе
0  f ( ), 
N −1
f
m −1
p −2
df k
d
df l
 C (0, )
d
и удовлетворяющее уравнению
(10.62) в смысле распределения:
k

m −1 df

f
0 
d


p −2


df d  N
1

N −1
 = 0, (10.62)
+ +
−
f
+
f


d

(
)


d  d   p  − (k ( p − 2) + m) 

где   C (0, ) - гладкая с компактным носителем функции.
Рассмотрим уравнение (10.61) со следующими граничными
условиями
1

1) f (0) = 0, f () = 0
(10.63)
2) f (0) = 0, f (d ) = 0, d  
(10.64)
f (0) = c  0, f (d ) = 0, d  
3)
(10.65)
Введем функцию
f ( ) = (a − b
p
p −1
p −1 k ( p − 2) + m −1
+
)
b = (k ( p − 2) + m − 1) / ( p
−p
, где (n) + = max(0, n)
/ mk
p − 2 1/( p −1)
)
418
(a )+
= max (0, a )
.
Теорема 10.15. Пусть b  0 ,   1 . Тогда решение c компактным
носителем задачи (10.58) при  →  имеет асимптотическое
представление
f ( ) = (1/ p)(1/ bp) p [(k ( p − 2) + m − 1) / ( p − 1)] p −1 f ( ) (1 + o(1)) ,
где f ( ) -определенная выше функция.
Свойства неограниченных решений. Случай медленной
k ( p − 2) + m − 1  0 .
диффузии
Пусть
Будем
k ( p − 2) + m + 1  0.
исследовать свойства обобщенного решения задачи (10.61), (10.63);
(10.61), (10.64); (10.61), (10.65).
Ниже займемся изучением асимптотического поведения решений
этих задач и установим асимптотику различных решений. Отметим, что
задача (10.61), (10.64) является нелинейной спектральной задачей [68]. В
случае k=1, р=2 она изучена в [68] и получены асимптотики четырех
групп решений, построены асимптотики решений и исследованы
вопросы численного решения. Однако, на наш взгляд, некоторые эти
результаты требуют строгого обоснования, более того отдельные
результаты имеют место и для более общей задачи.
Докажем существование и асимптотики решений для задачи (10.61),
(10.63) в зависимости от значения числовых параметров, входящих в
уравнение (10.61):
 1 ( ) = (a +  p /( p −1) )−( p −1)/(  −( k ( p −2)+ m) .,
Способ построения этих функций f ( ) основан на методе
эталонных уравнений.
Отметим, что уравнение (10.61) удобно для исследований в случае,
когда   (k ( p − 2) + m − 1) .
В случае, когда   (k ( p − 2) + m) имеем следующее автомодельное
представление уравнения (10.57)

1− N
p−2
d  N −1 m −1  d k  d   − (k ( p − 2) + m) d
1
  
+
−
 +  = 0,


d 
d

d

p
(

−
1)
d


−
1




которое получится, если в (10.57) положить
419
(10.66)
u (t , x) = (T − t ) −1/(  −1) ( ),
 = x / [ 1 (t )]1/ p ,  1 (t ) = (T − t )(  −( k ( p −2)+ m)/(  −1)
−1/(  −1)
Отметим, что здесь функция (T − t )
отличается от u ( ) на
постоянную величину. Функция f ( ) удовлетворяет условию (10.63),
k ( p − 2) + m −1
p −1
если a = c
. Имеет место
Теорема 10.16. Пусть k ( p − 2) + m − 1  0 ,   k ( p − 2) + m . Тогда
имеет место локализация решения и решение уравнения (10.61) с
 →  ( = − ln(a − b
))
компактным
носителем
при
имеет
асимптотическое представление
p /( p −1)
 ( ) = c1 f ( ) (1 + o(1)),
c1 = {
p −1
(k ( p − 2) + m − 1) 1/( k ( p −2)+ m−1)
[(  − (k ( p − 2) + m − 1) / p(  − 1)](
)}
p
pb
где f ( ) - вышеопределенная функция.
Теорема 10.17. Пусть k ( p − 2) + m −1  0 ,   1 ,   k ( p − 2) + m ,
a = c ( k ( p − 2) + m −1)/( p −1) . Тогда решение задачи (10.61) с компактным
носителем, (10.63) при  →  ( = − ln(a − b
p /( p −1)
) ) имеет асимптотику
 ( ) = c1 ( ) (1 +  (1)) , a = c( k ( p−2)+ m−1) /( p−1) ,
где c1 - вышеопределенная константа.
Из теоремы 2 для свободной границы имеем
x
(a / b)( p −1)/ p (T − t )(  −( k ( p −2)+ m))/ p (  −1) , a = c( k ( p −2) + m−1)/( p −1) , т.е.
x
(c)( k ( p − 2)+ m−1)/ p
p
(T − t )(  −( k ( p − 2)+ m ))/ p (  −1)   , t  T
p + m−3
Заметим также, что построенная выше функция является
асимптотикой однопараметрической собственной функцией задач
(10.65), (10.64) так как она удовлетворяет условию задачи на
собственные значения (10.64).
420
Таким образом, как видно из формулы (10.66) с возрастанием
времени до времени обострения свободная граница сужается, оставаясь
в ограниченной области по пространственной переменной.
Отметим, что при критическом значении параметра, когда
p + m − 3 → 0 , фронт устремится к бесконечности, что говорит о том, что
хотя решение уравнения с двойной нелинейностью ведет себя как
решение линейного уравнения с гораздо быстро стремящимся к нулю
решением по сравнению решения линейного уравнения.
Критический случай ( p + m − 3 = 0 ). В этом случае уравнение (10.61)
принимает вид

1− N
d
d
 N −1 m −1  d  p − 2 d   d
1
  
+
−
 +  = 0,  = x (T + t )−1/ p


 d   d   p d   − 1

Теорема 10.18. Пусть k ( p − 2) + m − 1  0 ,   1 . Тогда решение
уравнения (10.61) при  →  имеет асимптотическое представление
 ( ) = c1 exp(−( / p) p )(1 + o(1)),
где c1 -произвольная постоянная.
Случай быстрой диффузии. Случай k ( p − 2) + m − 1  0 называется
случаем быстрой диффузии. Теперь рассмотрим этот случай и уравнение
(10.61) с граничным условием (10.64).
Теорема 10.19.
Пусть   1, k ( p − 2) + m − 1, p + ( k ( p − 2) + m − 1) N  0 . Тогда решение
задачи (10.64), (10.61) при  →  имеет асимптотику
 ( ) = c3 f ( ) (1 + 0(1))
где f ( ) -определенная выше функция, а с3 находится из решения
уравнения
(
p
1
+ N)
1
1
p −2
1
1
c3k ( p −2)+ m−1 +
1 1
1
( )−
= 0 1 = k ( p − 2) + m − 1 (10.67)
p −1
p
1  − 1
Теорема 10.20. Пусть  = (2 − m) / ( p − 1), 1 N + p  0 , Тогда решение
задачи
(10.65),
(10.64)
имеет
асимптотику
f ( ) = c4 f ( ) (1 + 0(1))
421
где с 4 удовлетворяет алгебраическому уравнению
p −2
 p
 1
 +N
 1
 1
c4
m + p −3
1
+ 
 p
p −1
(1/ p) p −1
+ 1
= 0,
 − 1)
1 = k ( p − 2) + m − 1
Случай  = (2 − (k + m) / ( p − 1) .
При  = (2 − (k + m) / ( p − 1) решение уравнения (10.61) имеет точное
a1
p


p −1
f = q a −  ,




представление
q
p + m −3
2 p − 1  a1 
=
 
p  p
p −1
( p + a1 N )
a1 = k ( p − 2) + m − 1,
где
2 p − 1 ( p + a1 N )
, a= p
, a1 = k ( p − 2) + m − 1.
p a1 + p ( p + a1 ) N
p /( p −1)
−1
А в случае  = −1
q
p + m −3
a 
= 1 
 p 
p−2
Случай  = +1
q
p + m −3
При
−a1 − ( p + m)  N
p − 1
a1 /( p −1)
, 
+
, a1 = k ( p − 2) + m − 1.
 a=q
p ( p + a1 N )
p
+
a
N
a

1
1 

f = q a + 


2 p −1  p + m − 3 
= a1


p 
p

=
2 − (m + k )
>0
p −1
p
p −1



p −1
p + m −3
,
p −2
( p + a1 N )
−1
 N ( 2 p − 1) N

, 
+ p − 1 a + q p −1 = 0,
 a1 p + a1 N

a1 = k ( p − 2) + m − 1.
p + m −3
решение уравнения (10.61) имеет точное
представление
( p − 1) p1/( p −1) [(k ( p − 2) + m − 1) N + p]2 p /( p −1)
a=
(k ( p − 2) + m − 1)[(k ( p − 2) + m − 1) N + p 2 ((k ( p − 2) + m − 1) N + p )]
q ( k ( p − 2) + m −1) = (
(k ( p − 2) + m − 1) p −1
1
)
[((k ( p − 2) + m − 1) N + p ) / p]−1
p
(k ( p − 2) + m − 1)
Отметим, что в этом случае методом, изложенным выше,
доказывается, что все финитные решения уравнения (10.63) имеют
асимптотику
f ( ) = q(a − 
p −1
p / p −1 ( k ( p − 2) + m −1)
)
422
(1 + o(1)) .
 = (k ( p − 2) + m) называется
Сингулярный случай. Случай
сингулярным случаем. Свойства положительных решений задачи
(10.57), (10.58) в случае k = 1были изучены в [110]. В этой статье
исследованы положительные решения для дважды нелинейного
параболического уравнения
p−2
ut = div u m −1 u u + Vu m + p − 2
(
)
в цилиндре   ( 0,T ) , с начальным условием u ( ,0 ) = u0 ( )  0 , которое
обращается в ноль в параболической границе   ( 0,T ) . Здесь   R n
(относительно  n ) ограничена с гладкой
поверхностью,
V  L1loc (),
m  R, 1  p  N и m + p − 2  0 . Для критического случая показателя q*
найдены и доказаны условия не существования решения для случая
q*  m + p  3 .
10.4. Результаты численных экспериментов и визуализации
Рассмотрим задачу Коши
(
ut = div u m−1 u
p −2
)
u − div(v(t )u ) +  (t )u 
u (0, x) = u0 ( x), x  R N
Для численного решения этой задачи применяется метод
переменных направлений, со схемой Писмена-Речфорда следующего
вида

yik, +j 2 − yik, j
y k + 2 − yik, +j 2
y k − yik, j
k + 12
k
k i +1, j
k i , j +1
= 1 y
+ 2 y − v
−v
+

0.5


h
h
1
2



1
+  tk + 12 yik, +j 2 ,

(10.68)
 k +1
k + 12
k + 12
k + 12
k +1
k +1
y
−
y
y
−
y
y
−
y
1
1
1
 i, j
i, j
i, j
i, j
= 1 y k + 2 +  2 y k +1 − v k + 2 i +1, j
− v k + 2 i , j +1
+
 0.5  
h1
h2

k +1 

+

t
y
(
)
(
k
+
1
i
,j ) ,

1
1
1
( )(
где
423
)
1 y k + 2 =
1
1
2
m +1
( y k + y k )m−1 y k + y k
i +1, j
i, j
i +1, j
i, j
h 
p −2
2
1
− ( yik, j + yik−1, j )
2 yk =
( y k + y k )m−1 y k + y k
i , j +1
i, j
i , j +1
i, j
2m+1 h22 
1
p −2
k + 12
i +1, j
m −1
k
i , j +1
m −1
− yik, +j
1
2
yik, j + yik−1, j
(y
− ( yik, j + yik, j −1 )
i, j = 1,2,..., n − 1,
(y
)−
p −2
(y
p −2
(y
k + 12
i, j
)
1
− yik−+1, j2  ,

− yik, j ) −
yik, j + yik, j −1
k
i, j
 = 1,2.
− yik, j −1 )  ,

В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе (1.44) определяют промежуточные значения yik, +j
. На втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , находится
1
1
2
2
yik, +j 1 .
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 k +1
k +1
(10.69)
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2
 k + 12
k + 12
, при i = 0 и i = n1
 yi , j = 
1 k +1 k 
 +  ) −  2 ( k +1 −  k ) .
(
2
4
Перепишем (1.44) в виде
1
1
1
 yik, +j 2
y k + 2 − yik, +j 2
k + 12
k i +1, j
= 1 y
−v
+ Fi ,kj ,

h1
 0.5  

y k − yik, j

2
k
k
k
k i , j +1

где Fi , j = yi , j +  2 y − v
+  tk + 1 2 , xi , j ( yik, j ) ,

h2

(10.70)
 k +1
k + 12
k + 12
y
y
−
y
1
 i, j
k + 1 2 i +1, j
i, j
k +1
+ Fi ,kj+ 2 , где
 0.5   =  2 y − v
h1

k +1
k +1


2 k + 12
1
k + 12
k + 1 2 yi , j +1 − yi , j
k
Fi , j = yi , j + 1 y
−v
+  ( tk +1 , xi , j ) yik, +j 2 ,


h2

где  =
(
)
(
Введем следующие обозначения
y k = y , y k + = y , y k +1 = y .
1
2
424
)
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений (1.46)
также применяем итерационный метод и получаем схему
s +1
m −1
 s
s
s
 s
= m+1 2  y i +1, j + y i , j  y i +1, j + y i , j
0.5   2 h1 


y i, j
1
s
s

−  y i , j + y i −1, j 


m −1
s
p−2
s
y i , j + y i −1, j
m −1
 s
s
s
 s
= m+1 2  y i , j +1 + y i , j  y i , j +1 + y i , j
0.5  2 h2 


s
s

−  y i , j + y i , j −1 


s
p −2
s
y i , j + y i , j −1
(10.71)
s +1
 s +1 s +1   s y i +1, j − y i , j s
+ F i , j = 0,
 y i , j − y i −1, j   − v
h

1


1
m −1
s +1 
 s +1
y
−
 i +1, j y i , j  −


s +1
s +1
y i, j
p −2
p −2
s +1 
 s +1
y
−
 i , j +1 y i , j  −


s +1
10.72)
s +1
 s +1 s +1   s y i , j +1 − y i , j s
+ Fi , j = 0,
 y i , j − y i , j −1   − v
h

2


где i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
s +1
s +1
Разностная схема (1.47) относительно y i , j , а (1.48) относительно y i , j
s +1
линейна. В качестве начальной итерации в (1.47) для y i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
s +1
Также в качестве начальной итерации в (1.47) для y i , j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − y i , j   .
0i  n1
0 j  n2
В (1.47) вводя обозначения
s
s

Ai, j = m+ 2 2  y i +1, j + y i, j 
2 h1 

s
τ
425
m −1
s
s
y i +1, j + y i, j
p −2
s
-v
τ
2h1
,
s
Bi, j
m −1
p −2
s
s
s
s
s
s
s

, C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
= m+ 2 2  y i , j + y i −1, j 
y i , j + y i −1, j
2 h1 

i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
τ
s = 0,1,2... ,
разностное уравнение можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s

 Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j ,


 y =  , при i = 0, n1 ,
(10.73)
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Соответственно (1.49) запишем в виде
s
s
s
s
s +1
s +1
s +1

 Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j ,


 y =  , при j = 0, n2 ,
s
где
s
B i, j
Ai , j
s
s

= m+ 2 2  y i , j + y i −1, j 
2 h2 

τ
m −1
s
s
s
s

= m+ 2 2  y i +1, j + y i, j 
2 h2 

y i , j + y i −1, j
τ
p −2
s
s
s
( 10.74)
m −1
s
s
y i +1, j + y i, j
, C i , j = Ai , j + B i , j + 1 ,
p −2
s
-v
τ
,
2h2
s = 0,1,2... ,
i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
Для численного решения системы (1.49) и (1.50) применяется метод
прогонки. Система уравнений (1.49) решается вдоль строк j = 1,2,..., n2 − 1
, и определяется y во всех узлах сетки  h . Затем решается система
уравнений (1.50) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1 , определяя y во всех
узлах сетки  h . При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
Итерационные процессы построены на базе методов Пикара,
Ньютона и специального способа линеаризации, предложенных
Ариповым М. [3]. Результаты вычислительных экспериментов
показывают, что все перечисленные итерационные методы эффективны
для решения нелинейных задач и приводят к новым нелинейным
эффектам, если выбрать в качестве начального приближения решения
автомодельного уравнения, построенные выше методом нелинейного
расщепления и методом стандартных уравнений [75,102,109] функции.
Как и ожидалось, при применение метода Ньютона количества итерации
были наименьшие, чем в методе Пикара и специального метода, при
426
подходящем выборе начальной аппроксимации.
Результаты численных экспериментов представлены в визуальной
форме и с анимацией.
Ниже приведены численные результаты задачи в виде графиков для
одномерного случая при m = 2, p = 3,  = 2,  = +1 . Сетка разбита
достаточно мелко.
1.а) t = 0
1.б) t = 0.3
1.в) t = 0.6
1.г) t = 0.9
1.д) t = 1.2
427
В многомерном случае N = 2 для аппроксимации задачи применен
метод переменных направлений. Ниже приведены численные
m = 2, p = 2.5,  = 0.5,  = −1
результаты
для
случаев
и
m = 2, p = 2.5,  = 0.8,  = +1 для сравнения.
2.а) t = 0
10.а) t = 0
2.б) t = 0.1
10.б) t = 0.1
2.в) t = 0.2
10.в) t = 0.2
2.г) t = 0.4
10.г) t = 0.4
2.д) t = 0.5
10.д) t = 0.5
Из анимации видно, что при  = −1 происходит быстрое остывание.
428
10.5. Асимптотика неограниченных решений нелинейной
задачи теплопроводности с градиентной нелинейностью.
Получена асимптотика решений, а также численно-аналитически
изучены свойства одной нелинейной модели теплопроводности,
описываемой следующей задачей Коши
u
p −2
(10.71)
=  ( Du
u ) +  u 
t
u
t =0
= u0 ( x)  0, x  R N
(10.72)
где D = grad x () , p  R ,  -заданные вещественные числа, N-размер
пространства,  = 1, u = u (t , x)  0 искомое решение.
В определенных предположениях (10.71) можно рассматривать как
уравнение диффузии тепла в сплошной среде с коэффициентом
p −2
теплопроводности k = Du  0, зависящим от градиента температуры
u = u (t , x)  0 . При этом в среде имеется объемное энерговыделение,
Q = u   0 -мощность источника тепла (  = +1) или поглощения ( = −1) в
каждой точке пространства определяется величиной температуры.
Известно [1], что за счет интенсивного энерговыделения задача
Коши (1), (2) не имеет глобального решения (по времени). В некоторый
момент времени t = T0  + решения возрастает до бесконечности:
sup u(t , x) → +, t → T0−
(10.73)
xR N
(см. библиографию в [6]). Исследование задач (1) и (2) со свойствами (3)
посвящено большое количество работ [1, 2, 5]. В работе [1, 2] изучены
некоторые общие свойства неограниченных решений задачи Коши, в
частности свойства локализации. Также численно изучена
асимптотическая устойчивость неограниченных автомодельных
решений (1) при   1 . Условия глобальной разрешимости и
неразрешимости в целом задачи Коши (1), (2) получены в [5]. В
литературе обычно случаи  = +1,  = −1,   1, 0    1,   0 , изучаются
отдельно, так как характер решений в этих случаях различаются.
В данной работе получена асимптотика неограниченных и
глобальных решений уравнения (1) на основе анализа автомодельных
решений, построенных методом нелинейного расщепления [3]. Ниже
приведем результаты исследование в случае когда в (1)  = 1 ( p − 1) .
Исследование свойств решений задачи (10.71), (10.72) представляет
весьма сложную задачу [5]. Изучению различных свойств решений
задачи (10.71), (10.72) посвящено огромное количество работ. Обзор
работ посвящённым этой задаче можно найти в [5].
429
Построим автомодельное уравнение для (10.71) на основе метода
нелинейного расщепления. Для этого сначала решим обыкновенное
дифференциальное уравнение (без главной части в уравнения (10.71)
du
= u 
dt
(10.74)
Отсюда имеем:
u (t ) = (T −  (  − 1) t )
−
1
 −1
(10.75)
где T  0 – постоянная.
Полагая в (10.71)
u (t , x) = u (t ) f ( )
(10.76)
где  = x ( (t )) ,  (t ) =  u (t ) dt , получим автомодельное уравнение
p −2
1
p

1− N
d  N −1 df

d  
d
p−2
df
d
  df
1
+
+
 (− f + f  ) = 0
 p d   − ( p − 1)

(10.77)
Из (10.75) видно, что если   1 то функция (6) неограниченно
возрастает при t → T . Покажем, что несмотря на бесконечный рост
температуры тепловые возмущения распространяются на конечную
глубину. Эффективная ширина проникающие тепловой возмущения
сокращается со временем, если   p − 1 :
−
L ( t ) ~(a)( p −1)/ p ( T- (  -1) t )
 −( p −1)
p (  −1)
при t → T .
В соответствии с постановкой исходной задачи нас будут
интересовать как в работе [///] нетривиальные неотрицательные решения
уравнения (10.77) удовлетворяющие следующим условиям:
f ( ) = 0
f (0) = c  0 ,
(10.78)
→0
−
f ( ) = 0
f (0) = 0 ,
f (0) = c  0 ,
f (b) = 0,
(10.79)
b  +
(10.80)
Решая задачу (10.77), (10.78), можем определить конкретный вид
автомодельного решения (10.77) и имеем определённый представления
о характере решения задачи Коши (10.77), (10.78).
В работе [2] приведены численные результаты задачи (10.77),
(10.78) с асимптотическим поведением в одномерном случае N = 1 при
p = 3,  = 3 . А также, для автомодельной задачи (10.77), (10.78)
получены следующее асимптотическое представление решений в
−
окрестности  = + : f ( ) = C
−
p
 −( p −1)
 −  −(pp −1) 
,  → + , (*) где
+ o 


430
C  0 -произвольная
константа,
требующая
определения
и
доказательства. В настоящей части предлагается способ исследования
асимптотики решений задачи (10.77), (10.78), который основан на
получение главного члена асимптотики с помощью метода эталонных
уравнений [3] и дальнейшему преобразованию уравнения (10.77) к
новому уравнению с почти постоянными коэффициентами, которое
удобно для исследований
Теперь займемся изучением асимптотики решений задачи (10.77),
(10.78)
1. Случай p  2,  = +1.
Заметим, что функция

f ( ) =  a − b 

 
 
+ 
p
p −1
p −1
p−2
1/( p −1)


2 p −1
p−2
(1 − p )( N ( p − 2) + p )
где a =
, b = 
,

p
N
(
p
−
2)
+
p
p
N (2 p − 1) ( p − 2 ) − ( p − 1)( N ( p − 2) + p)
(
)


1 p
( p −1) p
 = x ( (t )) , z + = max ( z , 0) , при   ( a b )
, 2  p  ( 2 N − 1) ( N − 1) и N  2
удовлетворяет задаче (10.77), (10.78).
Покажем, что она является асимптотической финитных решений
задачу (10.77), (10.78).
Теорема 1.
p −1 p
Пусть  → ( a b )(− ) и выполнены условия 2  p  ( 2 N − 1) ( N − 1) , N  2 ,
тогда финитное решение задачи (10.77), (10.78) имеет асимптотику

f ( ) ~ C a − b 

p −1
p
p −1
 p −2
 ,

где С-находится из решение следующего алгебраического уравнения
p −1
 1 
( p − 1) w p1−1 − 1 w = 0
p−2
(10.81)
w
w−


 p−2
ab p −1 p p +1
b p −1 p p
Доказательство. Ищем решение уравнения (10.74) в следующем виде
f = f ( ) w( )
(10.82)
где

f ( ) =  a − b 

( p −1)
 → ( a b )−
p −1
p
p −1
 p−2
 ,


 = − ln a − b 


,

причем
 → +
при
что
позволяет
исследовать
асимптотическую
устойчивость решения задачу (4), (5) при  → + . После подстановки
(10.82) в (10.77) для w( ) получим следующее уравнение
p
,
p
p −1
431
d w
w
−
d p − 2 p − 1
+
p −2
N ( p − 1)  w
 w
w   p − 1
w
−
− 1 ( )
−


−
p
 p − 2 p −1   p − 2
 p − 2 p −1
b( p − 1)  w
w  q
1 ( p −1)
−
=0

 + 1 ( ) bw − 2 ( ) b( p − 1) w
Z  p − 2 p −1  Z
(
p p
здесь Z = p b , q = −
)
p −2
 w
w 
−

+
p
−
2
p
−
1


(10.83)
p −1
e−
1
, 1 ( ) =
, где  определено
− , 2 ( ) =
p( p − 2)
a−e
a − e −
выше.
Изучение решения последних уравнений является равносильным
изучению тех решений уравнения (10.70), каждое из которых в
некотором промежутке  0 , +  ) удовлетворяет неравенству:
w ( )  0 ,
w ( ) w ( )
−
0
p − 2 p −1
Покажем, прежде всего, что решения w ( ) уравнения (7) имеют
w0
 → + .
конечный
предел
при
Введем
обозначения
w
w
 ( ) =
−
p − 2 p −1

' =

p−2
 w
w 
−

 . Тогда для уравнения (7) имеем вид
 p − 2 p −1 
N ( p − 1) 
p −1
b( p − 1) 1 ( p −1) q
−  ( )

−
1 ( ) bw − 2 ( ) b( p − 1) w1 ( p −1) = 0
 −
p−2
p
Z
Z

(
)
Рассмотрим вспомготельную функцию
N ( p − 1) 
 p −1
b( p − 1) 1 ( p −1) q
1 p −1
 (  , ) = 
−  ( )

− (1 ( ) bw − 2 ( ) b( p − 1) w ( ) ) = 0
 −
 p−2
p

Z
Z
где  - вещественное число. Отсюда следует, что при каждом значении
 функция  (  , ) сохраняет знак на некотором промежутке
1, +  )  0 , +  ) и при всех   1 , +  ) выполняется одно из неравенств
 ' ( )  0 ,  ' ( )  0 .
Поэтому для функции  ( ) существует предел при   1 , +  ) . Из
выражения для  ( ) следует, что

N ( p − 1) 
b( p − 1) 1 ( p −1) q
 p − 1
lim  ' ( ) = lim 
−  ( )

−
1 ( ) bw − 2 ( ) b( p − 1) w1 ( p −1)
 −
 →+
 →+
p
−
2
p
Z
Z



( p −1) p
1
Отсюда, считая, что lim
,
1 ( ) → 0 , lim 2 ( ) → при  → ( a b )−
→+
 →+
a
(
получим тождество
 p − 1 
b( p − 1) 1 ( p −1) qb( p − 1) 1 ( p −1) 
lim  ' ( ) = lim 
−

+
w
=0

 →+
 →+
Z
Za
 p − 2 

(10.83)
Следствие 1. Любое решение уравнение (10.77) представимо в виде:
w ( ) = w0 + o(1), 0  w0  
432

) = 0

Действительно, если для решения w( ) уравнения (10.81) предел не
существует, то это противоречие в силу (10.82).
В силу (10.76) теорема доказана.
2. Случай 1  p  2,  = +1.
В этом случае задача (7), (8а) имеет в работе [2]. Четыре различных
семейства решений, бесконечно осциллирующих в любой окрестности
точки  = + . Каждому решению из этих семейств соответствует своя
константа С из (*), и эти решения называются собственными функциями
[2]. Ниже приведем одно из них с асимптотическим поведением.
Решение уравнения (10.77) имеет следующее представление

f ( ) = A a + 

p
p −1



p −1
p −2
1
где
 (2 − p )(2 p − 1)  p −2 2 − p

A =  2
p
 p ( p − N (2 − p )) 
, a=
x
(2 − p )( p − N (2 − p ))
A1 p −1 ,  =
1
( p − 1)( p − N (2 − p )) + N (2 − p )
( (t )) p
, если 2N (N + 1)  p  2 и удовлетворяет граничным условиям задачи
(10.77), (10.78),
Теорема 2. Пусть выполнено условие 2N (N + 1)  p  2 . Тогда
решение задачи (10.77), (10.88) при  → + и она имеет единственную
-
асимптотику f ( )~ f ( ) .
Доказательство. Для доказательства теоремы введем в (10.77)
преобразование
f = f ( ) w( )
(10.83)
где f ( ) = A a + 

p −1
p
 p −2 ,
 = ln a +  p−1  .




Отметим, что  →  при  → + , поэтому изучение асимптотики
p
p −1
решение уравнения (10.77) в силу (10.82) приводится к исследованию
асимптотики решений при  → + уравнения имеем следующее
уравнение для w( )
d w
w
+
d p − 2 p − 1
+
p −2
 w
w   N ( p − 1)
p −1  w
w
+
 1 ( ) +
+


+
p
p − 2  p − 2 p −1
 p − 2 p −1  
A( p − 1)  w
w  q ( p − 1)
+
A 1 ( ) w − A w 2 ( ) ) = 0
(

−
Zp  p − 2 p − 1 
Zp
p −2
 w
w 
+

+
 p − 2 p −1 
(10.84)
Которое получается из (10.77) после подстановки (1013) в (7).
Здесь
433
(
)
(
)



p −1
,  1 ( ) = e e − a ,  2 ( ) = 1 e − a ,
p(2 − p)
где новая переменная  определена выше.
Z = ( Ap )
p −1
p, q=
Решение уравнения (10.84) имеет конечный предел (см. доказательство
'
теоремы 1) и так как lim
 1 ( ) → 1 , lim
 2 ( ) → 0 , w = 0 , то для
→ +
→ +
определения w( ) при  → + имеем нелинейное уравнение:
p − N (2 − p)
p (2 − p)
w
p−2
p −2
−
A
( Ap )
p −1
−
p
A ( p − 1)
( Ap )
решение которого с учетом значений
p −1
p2
Aи a
=0.
видно, что w = 1 является
-
решением прследнего уравнения. Поэтому, в силу (13) имеем f ( )~ f ( )
Теорема доказана.
3. Случай p  2,  = −1.

Легко проверить, что функция f ( ) =  a − b 

p
p −1
 
 
+ 
p −1
p −2
1
p −1

 p−2
1
( p − 1)( N ( p − 2) + p )
b = 
,
,

p
N
(
p
−
2)
+
p
p
(
)
N ( p − 2 ) + ( p − 1) ( N ( p − 2) + p )


1 p
 = x ( (t )) , z + = max ( z , 0) , является точным обобщенным решением
задачи (7), (8с)
p −1 p
Теорема 10. Пусть  → ( a b )(− ) , тогда задача (1.77), (10.78) имеет
где
a=
финитное решение с асимптотикой

f ( ) ~ C a − b 

p −1
p
p −1
 p −2
 ,

где постоянная
С-находится из решения следующего алгебраического уравнения
p −1
 1 
( p − 1) w p1−1 − 1 w = 0 .
p−2
w
w+


 p−2
ab p −1 p p +1
b p −1 p p
Остальная часть теоремы доказывается аналогично доказательству
теоремы 1.
4. Случай 1  p  2,  = −1. Функция
1
p −2

f ( ) = A a + 

p −1
p
p −1
 p −2



 2− p
2− p
( p − 1)( p − N (2 − p ))

где A =  2
, a=
A1 p −1 ,
(
(
)
)
p
p
−
N
2
−
p
p
( p − 1)( p − N (2 − p )) − N (2 − p )


1 p
 = x ( (t )) , при (2N + 1) (N + 1)  p  2 является точным решением
задачи (10.77) удовлетворяет граничным условиям задачи (10.77),
(10.78).
434
Теорема 4.
Пусть  → + и выполнены условия (2N + 1) (N + 1)  p  2 , тогда
-
глобальное решение задачи (10.77), (10.78) имеет асимптотику f ( )~ f ( )
.
Теорема доказывается аналогично доказательству теоремы 2.
Известно, что при численном решений автомодельных задач (10.77),
(10.78) возникают следующее проблемы:
- найти “хорошее” приближение к каждому типу решений;
- сконструировать итерационный процесс, который: по
соответствующему начальному приближению сходится всегда к
искомому решению; сходится быстро; обеспечивают достаточную
точность;
- автоматизировать процесс вычислений так, чтобы единообразно и
всегда быстро находить все различные решения при данных параметрах
задачи.
Для преодоления указанных проблем использованы построенные
выше функции в качестве начального приближения. Сконструирован
итерационный процесс с соответствующим методом линеаризации
(Метод Ньютона и Пикара) и получены численные результаты,
подтверждающие быструю сходимость.
Ниже приводятся результаты численных расчетов для
автомодельной задачи В качестве начального приближения взята
функция
(
)
( p −1) ( p −2)
p ( p −1) 

f0 ( ) = a − b 

+ 
a) Случай  = −1, p  2 .
1 ( p −1)


1
( p − 1)( N ( p − 2) + p )
, b = 
a=

N ( p − 2 ) + ( p − 1) ( N ( p − 2) + p )
 p ( N ( p − 2) + p ) 
p−2
p
p=2.3, N=3
p=3, N=2
435
b) Случай  = +1, p  2 .
1 ( p −1)


2 p −1
(1 − p )( N ( p − 2) + p )
, b = 
a=

p
N
(
p
−
2)
+
p
N (2 p − 1) ( p − 2 ) − ( p − 1)( N ( p − 2) + p)
(
)


p−2
p
.
p=2.45, N=3
p=2.75, N=2
В качестве начального приближения берется
p ( p −1) ( p −1) ( p − 2)
f 0 ( ) = A ( a + 
.
)
2.
а) Случай  = +1, p  2 .
1
 (2 − p )(2 p − 1)  p −2 2 − p

A =  2
p
 p ( p − N (2 − p )) 
, a=
(2 − p )( p − N (2 − p ))
A1 p −1
( p − 1)( p − N (2 − p )) + N (2 − p )
p=1.3, N=1
p=1.55, N=1
б) Случай  = −1, p  2 .


2− p

A =  2
(
(
)
)
p
p
−
N
2
−
p


1
p −2
2− p
( p − 1)( p − N (2 − p ))
, a=
A1 p −1
p
( p − 1)( p − N (2 − p )) − N (2 − p )
p=1.7, N=1
p=1.79, N=1
Как видно из графиков во всех вычислительных экспериментах
полученные результаты, достаточно быстро сходятся к точному
436
решению, отражая эффекты нелинейности. Построенные выше функции
являются “хорошим” приближением к искомому решению. Численные
расчеты показали эффективность предложенного подхода.
Использование решения уравнения Гамильтона-Якоби, как
начальное приближение для значения числовых параметров,
приведённых на графике
437
ГЛАВА 11. ЧИСЛЕННОЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ РЕАКЦИИ ДИФФУЗИИ С
ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Нелинейные задачи представляют собой большую трудность для
изучения. Аналитические методы здесь, как правило, не работают. В
этой ситуации необходимо опираться только на вычислительные
методы. Между тем математические модели генерирующиеся
современными проблемами науки и техники, как правило, нелинейные.
Это обстоятельство-еще одна причина этого вычислительного
эксперимента в настоящее время становится почти единственным
средством проведения теоретических исследований в прикладных
задачах. Но прежде, чем численно решать нелинейную задачу требуется
исследование качественных свойств различных типов решений в
зависимости от нелинейных числовых параметров и данных
рассматриваемых проблем.
Рассмотрим
следующую
задачу
Коши
в
области
N
Q = ( t , x ) : t  0, x  R  для вырождающихся параболических систем с
двойной нелинейностью
(
(
)
)
u
p−2
+ div u m1 −1 u
u +  (t )v 1 = 0
t
v
p−2
B (u , v)  − + div v m2 −1 v
v +  (t )u 2 = 0
t
A(u , v)  −
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N .
438
(11.1)
(11.2)
где
mi  R, i = 1,2, 1 ,  2  1 ,
p-числовые
параметры,
() = grad () ,
0  (t )  C (0, ) .
Как отмечалось выше для изучения свойств решений задачи
используем автомодельный и приближенно автомодельный подход.
Ниже предложен один способ построения автомодельного и
приближенно автомодельного уравнения для системы (11.1) и изучается
асимптотические свойства решения и свободной границы для случаев
k ( p − 2) + mi − 1  0, k ( p − 2) + mi − 1  0, k ( p − 2) + mi − 1 = 0, i = 1, 2 Изучена
оценка решения и асимптотическое поведение решения системы для
разных случаев. Показано, что коэффициент основного члена
асимптотики решения удовлетворяет некоторой системе нелинейных
алгебраических уравнений. На основании этих качественных свойств
решений, используя их в качестве начального приближения к решению
проведены численные эксперименты, визуализация процессов,
описываемых системы реакции диффузии (11.1).
11.1. Свойства решений системы реакции-диффузии с двойной
нелинейностью
Будем рассматривать качественные свойства системы реакциидиффузии с двойной нелинейностью с переменной плотностью,
численно исследуемой системы реакции-диффузии с двойной
нелинейностью.
Система уравнений (11.1) лежит в основе многих физических
процессов [СКГМ, А1, ЖАЙ, ВАЙВ, МАВ, ГАЛ, ЛАМ]. Например, эта
система описывает процесс реакции-диффузии, теплопроводности,
политропической фильтрации газа и жидкости (р=2) в нелинейной среде

с источником, мощность которых равна  (t )u , i = 1,2 . Отличительной
особенностью этой системы является ее вырождение. В области, где u = 0
и u = 0 система (11.1) вырождается в уравнение первого порядка.
Поэтому мы должны исследовать слабое решение, так как в этом случае
решение системы (11.1), может не существовать в классическом смысле.
Основным методом для исследования рассматриваемой проблемы
автомодельный и приближенно-автомодельный подход [СКГМ, А1,
ЖАЙ, ВАЙВ, МАВ]. Этот подход интенсивно используется для
исследования свойств решения конечной скорости распространения
возмущения, свойства решений с обострением, локализации решений и
т.д. Для этой цели используется метод нелинейного расщепления [ARIP],
который позволяет построить систему автомодельных уравнений.
i
439
11.2. Построение системы автомодельного и приближенноавтомодельного уравнений
Изучение различных свойств решений системы (11.1) сложная
задача, даже для частного случая системы (11.1) [СКГМ, А1, ЖАЙ,
ВАЙВ, МАВ]. В работах для системы (11.1), (11.2) в случае р=2 была
показана эффектность автомодельного подхода к изучению различных
свойств решений задач (11.1), (11.2). Поэтому ниже предложен метод
нелинейного расщепления для построения автомодельного и
приближенно-автомодельного уравнений. Этот метод дает возможность
относительно простым способом исследовать качественные свойства
решений задачи (11.1), (11.2).
Для построения системы автомодельных и приближенноавтомодельных уравнений системы (11.1) решений u(t , x), v(t , x) системы
уравнений (11.1) будем искать в виде:
u (t , x) = u (t ) w ( (t ), x) ) , v(t , x) = v (t ) z ( (t ), x) ) ,
t
где функции u (t ) = A(T +   ( y )dy )
− ( 1 +1) /( 12 −1)
t
, v (t ) = B(T +  ( y ) dy ) − (2 +1) /(12 −1) .
0
решение системы уравнений
(11.3)
0
du
dv
= − (t )v 1 ,
= − (t )u 2 ,
dt
dt
Функцию  (t ) выберем следующим образом
t
 t m1 + k ( p − 2)−1
 (t ) =   u
( ) d =  v m2 + k ( p − 2) −1 ( ) d , если mi + k ( p − 2) − 1  0, i = 1,2,
0
0
 T + t,
если mi + k ( p − 2) − 1 = 0, i = 1,2,

Рассмотрим случай, когда (t) = 1
11.1.2. Случай медленной диффузии mi + k ( p − 2) − 1  0, i = 1,2
Ищем функции u (t ), v (t ) в виде
u (t ) = (T + t )−( 1 +1) /( 12 −1) ,
440
v (t ) = (T + t )−( 2 +1) /( 12 −1) .
Подставляя (11.3) в уравнение (11.1) получим систему уравнений
(
z
= ( z

w
=  wm1 −1 wk

m2 −1
(
z
= ( z

z k
p−2
p−2
w
=  wm1 −1 wk

m2 −1
z
)
  +1

w +  (t )[u (t )]1 − k ( p − 2) − m1  1
w + z 1  ,
 1 2 − 1

)
  +1

z +  (t )[v (t )]2 − k ( p − 2) − m2  2
z + w2  ,
 1 2 − 1

p−2
k p−2
)
  +1

w + (T + t ) p1  1
w + z 1  ,
 1 2 − 1

)
(11.4)
  +1

z + (T + t )  2
z + w2  ,
 1 2 − 1

p2
где
1 2 − 1 − (k ( p − 2) + m1 − 1)( 1 + 1)
,
1 2 − 1
  − 1 − (k ( p − 2) + m2 − 1)(  2 + 1)
p2 = 2 1
.
1 2 − 1
p1 =
Свойство конечной скорости распространение возмущения:
Введем функции:
u+ ( t , x ) = (T + t ) (a − 
1
p /( p −1)
)+
p −1
m1 + p −3
, v+ ( t , x ) = (T + t ) (a − 
 +1
где  i = − i
 i  3− i − 1
2
, =
x
[ (t )]1/ p
p /( p −1)
)+
p −1
m2 + p − 3
,
 (t ) = (T + t ) / i , i = i (mi + k ( p − 2 − 1), i = 1,2.
Теорема 11. 1.
Пусть mi + k ( p − 2) − 1  0, i  ( p − 1) / (mi + k ( p − 2)), i = 1,2
1
u+ ( 0, x )  u0 ( x ) , v+ ( 0, x )  v0 ( x ) , x  R N .
N
Тогда u+ ( t , x )  u ( t , x ) , v+ ( t , x )  v ( t , x ) , в Q = {(t , x) : t  0, x  R } .
Отсюда получим систему

 +1 
1
u − ( m1 + p − 2) A(u+ , v+ ) =  − A1m1 + p −3 ( 1 ) p −1 N + 1
 f + ,
1 2 − 1 


 +1 
v − ( m2 + p − 2) B(u+ , v+ ) =  − A2 m2 + p −3 ( 2 ) p −1 N + 2
 + f
1 2 − 1 

A1m1 + p−3 ( 1 ) p −1 = a1 , A2m2 + p−3 ( 2 ) p −1 = a2 .
441
2
,
,
Далее мы применим метод сравнения, т.е. для функций u+ , v+
операторы A(u+ , v+ )  0, B(u+ , v+ )  0, в области D = {(t , x) : t  0, x  l (t )}
Если
  ( ) f −1 ( ) = ( a −  p /( p −1) )
1
2
f
−a1 N +
( ) ( ) = ( a −  p /( p −1) )
1 − ( p −1) /( m1 + p −3)
 2 − ( p −1) /( m2 + p − 3)
  − ( p − 1) 
= exp  − 1
 ,
m
+
p
−
3
1


  − ( p − 1) 
= exp  − 2
 ,
m
+
p
−
3
2


1 + 1
 +1
+ 1  0, − a2 N + 2
+ 1  0.
12 − 1
12 − 1
На основе принципа сравнения имеем
u ( t , x )  u+ ( t , x ) , v ( t , x ) = v+ ( t , x ) , в Q.
N
если u+ ( 0, x )  u0 ( x ) , v+ ( 0, x )  v0 ( x ) , x  R .
Теорема 11.1 доказана.
11.1.3. Асимптотика приближенно-автомодельных решений
Для того, чтобы построить систему приближенно-автомодельных
уравнений (11.1) положим
w ( , x ) = f ( ), z ( , x ) =  ( ),
=
x

l/ p
,  = (T + t )l , T  0.
Тогда для функций f ( ),  ( ) из (11.4) мы имеем следующую
систему автомодельных уравнений

1− N
1− N
d  N −1 m1 −1 df
 f
d  
d
d  N −1 m2 −1 d
 
d  
d
p−2
p−2
df
d
d
d

 +1
df
 + a1
+ 1
f +  1 = 0,

d  1 2 − 1


 +1
d
 + a2
+ 2
 + f 2 = 0

d  1 2 − 1

(11.5)
l
l
если (m1 + k ( p − 2)(1 + 1) = (m2 + k ( p − 2))(2 + 1), где a1 = 1 , a2 = 2 ,
p
442
p
l1 = [( 1 2 − 1) − (m1 + k ( p − 2) − 1)( 1 + 1)] / ( 1 2 − 1),
где l = [(   − 1) − (m + k ( p − 2) − 1)(  + 1)] / (   − 1)
2
1 2
2
2
1 2
l = l1 = l2 .
Введем обозначения
qi = ( p − 1)(k ( p − 2) − (mi − 1)) / b,
q2 = ( p − 1)(k ( p − 2) − (m2 − 1)) / b,
2
q = [k ( p − 2)] − (m1 − 1)(m2 − 1),
f ( ) = (a −  p /( p −1) )q+1 ,  ( ) = (a −  p /( p −1) )q+2 ,
a  0.
Теорема 11.2. Пусть k ( p − 2) − (mi − 1)  0, i = 1,2, q  0.
Тогда для слабого решения f ( ),  ( ) системы (11.5), при
 →  ( = − ln(a −  p /( p−1) ) имеем асимптотику
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1)),  ( ) = c2 ( )(1 + o(1)),
Здесь коэффициенты c1 , c2 удовлетворяют системе алгебраических
уравнений
−(q1 ) p −1 c1m1 +k ( p −2)−1 + a1 − p = 0, − (q2 ) p −1 c2m2 +k ( p −2)−1 + a2 − p = 0.
Доказательство. Легко вычислить, что

N −1
f
m1 −1


1− N
1− N
df
d
p−2
df
d
= − N ( q1 ) p −1 f ,  N −1 m2 −1
d
d
d  N −1 m1 −1 df k
 f
d 
d

d  N −1 m2 −1 d
 
d 
d
p−2
d
d
p−2
df
d
p−2
d
= −( q2 ) p −1 N  C (0, ) ,
d


df 
 = −( q1 ) p −1  Nf + 
,

d 




d 
 = −( q2 ) p −1  N + 
,

d




(11.6)
 = p /( p − 1).
Покажем, что функции f ( ),  ( ) должны быть главным членом
асимптотики решения системы (11.5). Для этой цели мы будем искать
решение системы (11.5) в виде
f ( ) = f ( ) w( ),  ( ) =  ( ) z ( ),
(11.7)
443
(
)
 = − ln a −  p /( p−1) .
Используя выражение (11.6) легко получить

N −1
f
m1 −1
df
d
L1 ( w, z ) = w
p −2
m1 −1
df
d
=  p −1 N f L1 ( w, z ),  N −1 m2 −1
d
d
dw
− q1w
d

1− N
d
d
 N −1 m −1 df
 f 1

d


1− N
d
d
 N −1 m −1 d
  2

d

p −2
p−2
p −2
p −2
d
=  p −1 N L2 ( w, z ),
d
 dw

dz
− q1w  , L2 (w, z ) = z m2 −1
− q2 z

d
 d

df
d

 =  p −1 f


d
d
p−2
 dz

− q2 z  ,

 d



 
 d
L
w
+

L
w
 N − q1

1
1 ,
a −  
a −   d





 =  p −1  N − q2

a −





d
L
z
+


L
z
.
 2
2

a
−

d



Поэтому в соответствии с преобразованием (11.7) системы (11.5)
сводится к системе
 N e −

1 + 1 − p e −
d
− p dw
L1 ( w, z ) + 
−
q
L
(
w
,
z
)
+
a

(
−
q
w
)
−

w+

1
1
1
1
−
d
d
1 2 − 1
a − e −
  a−e

e −( q1 + 1 +1) 1
z = 0,
a − e −

 + 1 − p e −
dz
− q2  L2 ( w, z ) + a2 − p (
− q2 z ) − 2

z+
d
1 2 − 1
a − e −

+ −p
 N e −
d
L2 ( w, z ) + 
−
d
  a−e
+  −p
(11.8)
e −( q2 + 2 +1) 2
w = 0,
a − e −
Пусть y1 = L1 ( w, z ), y2 = L2 ( w, z )
Тогда систему (11.8) можно переписать в виде системы первого
порядка
( − q1 + 1 −1)

dy1  N e−
1 + 1 − p e−
− p dw
−p e
= −
− q1  y1 − a1 ( − q1w) +

w−
z 1 ,
−
−
−
d   a − e
d
1 2 − 1 a − e
a−e

( − q2 + 2 −1)
dy2
 2 + 1 − p e−
N e−
− p dz
−p e
= −(
− q2 ) y2 − a2 ( − q2 z ) +

z −
w2 , (11.9)
−
−
−
d
 a−e
d
1 2 − 1 a − e
a−e
Анализ решений последней системы показывает, что при  →  ,
функции w и z должны быть решением следующей системы
алгебраических уравнений
444
−(q1 ) p−1 wm1 + p−2 + a1 − p w = 0, − (q2 ) p−1 z m2 + p−2 + a2 − p z = 0.
Замечание. Доказанная теорема 11.1.1 показывает, что глубина
локализации
x(t )
a( p −1) / p [T + t ] ,  =
12 − 1 − (i + 1)( p + mi − 3)
p(12 − 1)
Поэтому условие локализации [СКГМ ] решения системы (11.1) в
соответствует принципу сравнения ( 1 2 − 1)  ( i + 1)( p + mi − 3), i = 1,2
В случае (12 − 1)  (i + 1)( p + mi − 3), i = 1, 2 происходит конечная
скорость возмущения [СГКМ] и в случае (12 − 1)  (i + 1)( p + mi − 3), i = 1, 2
фронт возмущения x(t ) , при t → 
Пусть b1, b2 решение системы алгебраических уравнений
(m1 + p − 2)b1 − 1b2 = 1, − 2b1 + (m1 + p − 2)b2 = 1,
т.е. b1 =− (m2 + p − 2 + 1)/ b, b2 =− (m1 + p − 2 + 2 )/ b,
где b = 12 − (m1 + p − 2)(m2 + p − 2) .
3. Случай быстрой диффузии: mi + p − 3  0, i = 1, 2 .
Теорема 11.1.3. Пусть q1  0, q2  0 (случай быстрой диффузии).
Тогда
решение
с
компактным
носителем
системы
при
p /(p−1)
1 →  1 = ln(a + 
имеет следующую асимптотику
(
)
(
f ( ) = c3 a +  p /( p −1)
)
q1
(
,  ( ) = c4 a +  p /( p −1)
)
q2
.
Коэффициенты ci  0, i = 3, 4 зависит от численных параметров
системы (11.1) и от размерности пространства.
Теорема 11.1.1 позволяет установить следующие асимптоты для
свободной границы
Tеорема 11.1.11. Пусть b  0 . Тогда решение с компактным
p /(p −1)
) ) имеет асимптотику
носителем системы (11.6) при 1 →  ( 1 = ln(a + r
(
f (r ) = a5 a + r p /( p −1)
)
b1
(
(1 + o(1)) ,  ( ) = a6 a + r p /( p −1)
)
b2
(1 + o(1)).
11. Критический случай mi + p − 3 = 0, i = 1,2 .
В этом случае  (t ) = T + t и система (11.4) имеет следующую форму. Так
как mi + p − 3 = 0, i = 1, 2 , то
445
u −1v 1 =
1
, v −1u  2 =
1


Поэтому система (11.1) после замены (…) превращается в
следующую
(
)
(
)
 z

w
1   +1
1   +1
p −2
p −2
=  wm1 −1 w w +  1
w + z 1  ,
=  z m1 −1 z z +  2
z + w2  ,

  1 2 − 1)
  1 2 − 1)
 

Теорема 11.1.5. Пусть выполнены условия q1  0, q2  0, i 
qi − 1
,
q3−i
mi + p − 3  0, i = 1,2 . Тогда решение системы уравнений (11.5) f ( ),  ( ) с
 →  ( = − ln(a −  p /( p −1) )
компактным
носителем
имеет
при
асимптотическое представление
q 
f ( ) = a1  1 
 
Теорема
p /( m1 + p − 3)
q 
f ( )(1 + o(1)),  ( ) = a2  2 
 
Пусть
11.1.6.
i =
p /( m2 + p − 3)
 ( )(1 + o(1)),
(11.10)
2 − mi
, q1  0, q2  0, i  (qi − 1) / q3−i ,
p −1
mi + p − 3  0, i = 1, 2 . Тогда финитное слабое решение
f ( ),  ( )
p /( p −1)
) имеет асимптотику
системы (11.10) при  →  ( = − ln(a − 
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1)),  ( ) = c2 ( )(1 + o(1)).
(11.11)
где c1, c2 решение системы нелинейных алгебраических уравнений
(q1 ) p w m1 + p−2 − c1w + a−1 z 1 = 0, (q2 ) p z
m1 + p − 2
− c2 z + a−1w2 = 0,
Точное решение
11.2. Свойства решений нелинейной системы двойного
реакции-диффузии с переменной плотностью и источником
Рассмотрим свойства задачи Коши для следующей системы
нелинейных уравнений реакции-диффузии в области
Q = (t , x) :t  0, x  R N 
(
)
u
k
p−2
= div x u m1 −1 u u +  (t )v1 ,
t
(
)
v
k
p −2
= div x v m2 −1 v v +  (t )u 2 , (11.12)
t
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N
446
(11.13)
где
k  R m1 m2  1 1  2  1 p  2
() = grad ()
и
x
заданные положительные числа,
u0 ( x )  0 v0 ( x )  0 0   (t )  C (0 +) . Система (11.12)
описывает различные физические процессы в неоднородных двух
компонентных нелинейных средах. Например, процессы реакциидиффузии, теплопроводности, политропической фильтрации жидкостей
и газов с источником питания, который равен v   u   Случаи когда
k = l p = 2 m1 = m2 = 0 , были рассмотрены в [СКГМ, МАТ3, МАТ2, ТА2,
МШ, ЗАМЛЙЗ, АА2].
Система (11.12) в области, где u = v = 0 вырождена, в области
дегенерации, она может не иметь классического решения. Поэтому, мы
исследовали слабые решения системы (11.12), которые также имеют
k
p −2
k
p −2
физический смысл: 0  u v  C ( Q ) и x u m −1 u u x vm −1 v v  C (Q)
удовлетворять какую-либо интегральную идентичность в смысле
распределения [СКГМ]. Для решения системы (11.12) существуют
явления с конечной скоростью распространения (КСР). То есть
существуют функции l1 ( t )  l2 ( t ) которые удовлетворяют u ( t x )  0 и
v ( t x )  0 at x  l1 ( t ) , x  l2 ( t ) . In В случае l1 ( t )  l2 ( t )   for t  0 , решение
задачи (11.12), (11.13) называется пространственной локализацией
возмущений. Поверхности x = l1 ( t ) и x = l2 ( t ) называют свободной
границей или фронтом, соответственно.
Процесс реакции-диффузии с двойной нелинейностью в случае
одного уравнения была исследована многими авторами (см. [ААС4,
ДАККВ, ККТ, ЭскА, ААрМ, АА6] и ссылки в ней). КСП и blow-up
свойства для уравнений с переменной плотностью
1
1
 ( x)
(
u
= div u m −1 u
t
2
2
)
p−2
u  ( x t )  R N +1  ( x ) = x −l l  0
Были рассмотрены в [А1, ААС11]. Выписана асимптотика
автомодельных решений исследовалась в [АА6]. Мартыненко и
Тедеевым [ААС4, ДАККВ] изучены задача Коши для следующих двух
уравнений с переменными коэффициентами:
 ( x)ut = div(u m−1 u
p −2
u) + u   x  R N  t  0
и  ( x)u = div(u m−1 u p−2u) +  ( x)u   x  R N  t  0
t
−n
где p  1 m + p − 3  0   m + p − 2  ( x) = x  или  ( x) = (1 + x )− n 
447
Они показали, что при определенных ограничениях на параметры и
исходные данные, любое нетривиальное решение задачи Коши
взрывается за конечное время. Кроме того, авторами было установлено
резкое универсальная оценка решения вблизи blow-up точки.
Известно, что качественные свойства решений уравнения,
аналогичные (11.12) не были исследованы досконально. Есть некоторые
результаты в [СКГМ, МАТ3, МАТ2, ТА2, МШ, ЗАМЛЙЗ]
соответствующее случаю p = 2 .
Качественные свойства решений системы (11.12) изучаются на
основе автомодельного и приблизительно автомодельного подхода. Мы
устанавливаем одну границу критического показателя, и свойство
конечной скорости возмущений (КСВ) для системы (11.12).
Асимптотическое свойство финитных решений (с.ф.р.) рассматриваемой
проблемы и поведение свободной границы для случая mi + p − 3  0 i = 1 2
получаются. Доказано существование решения с конечными
свойствами. Получены асимптотики автомодельного решения для
быстрой диффузии в случае
( mi + p − 3  0 i = 1 2 ) и также изучены в критическом случае
mi + p − 3 = 0 i = 1 2 .
2. Приближенные автомодельные и автомодельные уравнения
Ниже мы приводим метод нелинейного расщепления для
построения самоподобных и примерно автомодельные уравнений этого
(11.12) мы ищем решения u (t  x) v(t  x) в виде
u(t , x) = u (t )w ( (t ), ( x ) ) , v(t, x) = v (t ) z ( (t ), ( x ) ) ,
Здесь мы получаем
u (t ) v (t ) в
t


u (t ) = A  T +   ( y )dy 
0


(11.13)
форме
− ( 1 +1) /( 1 2 −1)
t


, v (t ) = B  T +   ( y )dy 
0


− (  2 +1) /( 1 2 −1)
,
которые являются решениями следующих уравнений
du
dv
=  (t )v 1
=  (t )u 2 
dt
dt
Подставляя (11.13), сводим систему (11.12) к следующей системе
уравнений
448
 w

=  1− s
 

 z
=  1− s

 

  s −1 m1 −1 w
 w
 

p −2
w 


 +  (t )v − ( m2 + p −3)u 1  w + z 1  
 
  s −1 m2 −1 z
 z
 

p−2
z 


 +  (t )u − ( m1 + p −3)v 2  z + w2  
 
(11.14)
Где функции  (t )  ( x) выбираются следующим образом
t
 t m1 + p −3
( ) d =  v m2 + p −3( ) d , если mi + p − 3  0 i = 1 2
 u
 (t ) =  0
(11.15)
0

T + t  если mi + p − 3 = 0 i = 1 2.

 (r ) =
1
p1
N
x
r 1 r =
p
i =1
2
i
 p1 =
p −k
p
 s= p
N
p −k
 k  p
Нетрудно установить, что система (11.13) имеет приближенные
автомодельные решения вида
w( , ) = f ( ), z( , ) = ( ),
(11.16)
 (r )
и функции f ( )  ( ) удовлетворяют приближенным
1 p
автомодельным системам уравнений
где  =

1− s
 1− s
d
d
 s −1 m −1 df
 f 1

d

d  s −1 m2 −1 d
 
d 
d
p −2
df
d
p −2
  df


+
+  (t ) u − ( m1 + p − 2)v 1  − f + 1  = 0
 p d

d   d


+
+  (t ) v − ( m2 + p − 2)u 2  − + f 2  = 0
d  p d
11.17)
Нетрудно доказать, что при t → 
 (t ) u −( m + p−2)v  → c1 ,  (t ) v −( m + p−2)u  → c2 ,
1
1
2
2
(11.18)
для 0   (t )  H , где H -тело Харди [МАТ3], являются константами. В
этом случае нетрудно показать, что система (11.12) становится
автомодельным при достаточно больших t Поэтому можно
рассматривать систему (11.17) как асимптотически автомодельную
систему уравнений, соответствующую системе (11.12). В частном
случае, когда  (t ) = const примерно в автомодельных системах (7) будет
как автомодельные если
449
( 1 + 1)(m1 + p − 3) = (  2 + 1)(m2 + p − 3)
(11.19)
В этом случае для функций f ( )  ( ) имеем следующие
автомодельные уравнения системы в "радиальной" форме

1− s
 1− s
d  s −1 m1 −1 df
 f
d 
d
d  s −1 m2 −1 d
 
d 
d
df   df
+
+ a1[( 1 + 1) / ( 1 2 − 1) f + 1 ] = 0,
d  p d
p−2
p −2
d
d
  d
+
+ a2 [(  2 + 1) / ( 1 2 − 1) + f 2 ] = 0,
 p d

(11.20)
где
(12 − 1) − (m1 + p − 3)(1 + 1)
(   − 1) − (m2 + p − 3)( 2 + 1)
, a2 = 1 2
,В
12 − 1
12 − 1
случае p = 2 или m = 1 в (11.20) свойства различных решений в качестве
вычислительных элементов системы уравнения (11.20) изучались
многими авторами [А1, ААС11, ААС4, ДАККВ, ККТ, ЭскА, ААрМ,
АА6]. В единственном случае, одно уравнение, когда  = m + p − 2
существование положительного решения уравнения (11.20) было
изучено в [ААрМ].
a1 =
11.2.3. Случай медленной диффузии: mi + p − 3  0, i = 1, 2
(глобальная разрешимость решения)
Мы доказали свойства глобальной разрешимости слабых решений
системы (11.12), используя принцип сравнения (см. [СКГМ]). Для этой
цели мы строим новую систему уравнение, используя стандартный
метод уравнения как в [МАТ2]:
u+ ( t , x ) = (T + t )1 f (), v+ ( t , x ) = (T + t )2 (),
 i = −( i + 1) /(i 3−i − 1),  =  ( x ) /[ (t )]1/ p ,
где
i = 1 − i (mi + p − 3), i = 1,2,
(t ) = (1/ 1 )(T + t )1 ,
В случае 1 (m1 + p − 3) =  2 (m2 + p − 3)
f ( ) = (a −  p /( p −1) )q+2 ,  ( = (a −  p /( p −1) )q+1 ,
p −1
p −1
q
=
,
q
=
где 1 m + p − 3 2 m + p − 3 , a  0, (b)+ = max(0, b).
1
2
450
(11.21)
Критическая экспонента типа Фуджита для системы (11.12)
являются численными параметрами, для которого выполняются
следующие равенства:
( i + 1)  ( i 3−i − 1) = N [ p + ( p + mi − 3) N ] i = 1 2
(11.22)
Этот результат состоит из результата Эскобедо, Гереро [ЭскА] для
случая, когда k = 0 p = 2 p + mi − 3 = 0 i = 1 2 in (11.12).
Теорема 11.2.1. (Глобалная разрешимость). Предположим что
k  p mi + p − 3  0  i 
−
p + m3−i − 3
 i = 1 2
p + mi − 3
N a1 ( 1 + 1)
+
+ a1a q2 1 − q1  0
p 1 2 − 1
−
N a2 (  2 + 1)
+
+ a2 a q12 − q2  0
p
1 2 − 1
u+ ( 0 x )  u0 ( x )  v+ ( 0 x )  v0 ( x )  x  R N 
Тогда для достаточно малых u0 ( x )  v0 ( x ) удовлетворяется следующее:
u ( t , x )  A1u+ ( t , x ) , v ( t , x )  A2v+ ( t , x ) в
Q
(11.23)
Где функции u+ ( t x )  v+ (t x ) определено, как указано выше,
A1  0 A2  0 являются константами.
Доказательство. Для доказательства теоремы 11.2.1 мы
используем принцип сравнения. В качестве сравнительного решения
возьмем функции A1u+ ( t x )  A2v+ ( t x )  где A1  0 A2  0
Легко проверить, что
u
v
− ( m1 + p − 2)

 +1 
m + p −3
1 1
A( A1u+  A2 v+ ) =  − A1 1 ( 1 ) p −1 N + a1 1
 f + a1 A2  


−
1

1 2


 +1 
m + p −3
2 2
B ( A1u+  A2 v+ ) =  − A2 2 ( 2 ) p −1 N + a2 2
 + a2 A1 f 
1 2 − 1 

− ( m2 + p − 2)
если A1 m + p−3( q1 ) p−1 = 1p A2 m + p−3( q2 ) p−1 = 1p
Тогда мы имеем
1
2
451
u − ( m1 + p − 2) A( A1u+ , A2 v+ ) = {[− A1m1 + p −3 ( 1 ) p −1 N + a1[(1 + 1) / (12 − 1)] f + a1 A21 1 }
v − ( m2 + p − 2) B( A1u+ , A2 v+ ) = {[− A2 m2 + p −3 (  2 ) p −1 N + a2 (2 + 1) / (12 − 1)] + a2 A12 f 2 }
Для того, чтобы применить принцип сравнения отметим, что
A(u+  v+ )  0 B(u+  v+ )  0
D = { (t x)  t  0 x  l (t ) = a ( p −1) p [ (t )]1p }
на
Поскольку
 1 () f −1 () = ( a −  p /( p −1) )1q2 − q1 = exp(−[( p − 1)(1 / ( m2 + p − 3)) − 1 / ( m1 + p − 3))]
f
2
() () = ( a −  p /( p −1) )2 q1 − q2 = exp(−[( p − 1)( 2 / ( m1 + p − 3)) − 1 / ( m2 + p − 3))]
Поэтому,
2
max(1 () f −1 ()) = a1q2 −q1 , max f ()() = a2q1 −q2
Тогда согласно условиям теоремы 11.2.1 и принципу сравнения имеем
u ( t x )  Au
1 + ( t  x )  v ( t  x )  A2v+ ( t  x ) in Q
если
N
Au
1 + ( 0 x )  u0 ( x )  A2 v+ ( 0 x )  v0 ( x )  x  R 
Доказательство теоремы завершено.
Мы заметили, что если
i + 1
N
=
 i = 1 2
i  3−i − 1 p + ( p + mi − 3) N
то
u −( m1 + p −2) A( A1u+ , A2v+ ) = A21 1  0, v −( m2 + p −2) B( A1u+ , A2v+ ) = A12 f 2  0
Это означает что
u ( t x )  Au
1 + ( t  x )  v ( t  x )  A2v+ ( t  x ) in Q
N
если u0 ( x )  Au
1 + ( 0 x )  v0 ( x )  A2 v+ ( 0 x )  x  R 
Следствие 1.1. Предположим, что условиям теоремы 11.2.1
сохраняется. Тогда решение задачи (11.12), (11.13) имеют КСВ свойства.
Действительно, для слабого решения задачи (11.12), (11.13) мы имеем
u ( t x )  Au
1 + ( t  x )  v ( t  x )  A2v+ ( t  x ) в Q
452
Отсюда следует, что
u ( t x )  0 v ( t x )  0 в QD
где D = { ( x t )  t  0 x  a ( p−1) p [ (t )]1 ( p−k ) } Это означает, что решение задачи
(11.12), (11.13) имеют КСВ решения.
Критичский случай. Случай mi + p − 3  0 i = 1 2 будет называться
критическим случаем.
Теорема 11.2.2.
Пусть
k  p mi + p − 3  0 i = 1 2
1 + 1
2 + 1 N
N
 
 
1 2 − 1 p 1 2 − 1 p
Тогда
для
достаточно малых u0 ( x )  v0 ( x ) задачи (11.12), (11.13) имеют глобальное
решение и выполняются следующие неравенства в 𝑄
u (t , x)  T + t ) − N / p exp(−( / p) p ),  =  ( x ) /(T + t )1/ p ,
v(t , x)  (T + t ) − N / p ) exp(−( / p) p ),
(11.24)
Доказательство. Доказательство теоремы опирается на принцип
сравнения. Берем для сравнения функций
u+ (t , x) = B1 (T + t )− N / p f ( ), f ( ) = exp( −( / p) p ),  =  /(T + t )1/ p ,,
v+ (t , x) = B2 (T + t )− N / p ) f ( ), Bi  0, i = 1, 2
Легко увидеть что
u
v
− ( m1 + p − 2)
 N
 +1 
1  2 −1 1
A( B1u+  B2v+ ) =  − + 1
 + B2   
 p 1 2 − 1 
 N
 +1 
2
B( B1u+  B2v+ ) =  − + 1
 + B1 f
 p 1 2 − 1 
− ( m2 + p − 2)
1 −1
f 2 
Из гипотезы теоремы 11.2.2 и последнего выражения, которые мы
имеем
A( B1u+ , B2 v+ )  0, B( B1u+ , B2v+ )  0 в Q
если константы
B1  B2
такие что

B1 2  −
 +1
 +1
N
N

+ 1
 B2 1  − + 2

p 1 2 − 1
p 1 2 − 1
453
Это неравенство в силу принципа сравнения и завершает
доказательство теоремы.
Значение 1  2 для которых
( 1 + 1) / ( 1 2 − 1) = N / p, (  2 + 1) / ( 1 2 − 1) = N / p
соответствует Фуджита типа критической экспоненты доказаной ранее
Эскобедо, Херреро [АА6] для случая p=2.
Сейчас мы изучаем асимптотически слабые компактные
поддерживаемые решения (к.п.р.) из системы (11.20) при  (t ) = const 
Рассмотрим эту систему уравнений с граничным условием
f (0) = c1  0, f ( d ) = 0
(11.25)
 (0) = c2  0,  ( d ) = 0
где 0  d  + .
Наличие автомодельных слабых решений задач (11.20), (11.25) в
случае k = 0 p = 2 изучались в [ЗАМЛЙЗ], где получены условия
существования к.с. решение. Будем искать решение системы (11.20) в
виде
f ( ) = f ( ) y1 ( ),  ( ) =  ( ) y2 ( ),
p

p −1 
 = − ln  a −   ,


(11.26)
где
f ( ) = (a −   ) q+1   ( ) = ( a −   ) +2  a  0
q
q1 =
(11.27)
p −1
p −1
p
 q2 =
 =

p + m1 − 3
p + m2 − 3
p −1
Теорема 11.2.3. Предположим что q1  0 q2  0 1q2  q1  2 q1  q2 
Тогда слабо компактные поддерживаемые решения (к.п.р.) f ( )  ( )
системы (11.20) при  →  ( = − ln(a −  p ( p −1) )) имеют асимптотику
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1)),  ( ) = c2 ( )(1 + o(1)),
где
коэффициенты
системе
c1  c2 -удовлетворяют
+ a1 = 0, − (q2 )
уравнений −(q1 ) c
Доказательство. Легко проверить, что
p −1
m1 + p −3
1
−p
454
p −1
c2
m2 + p −3
алгебраических
+ a2 − p = 0,
p −2

N −1
f
m1 −1
 N −1 m −1
2
df
dp − 2
d
d
df
+  N ( q1 ) p −1 f  C (0 )
d
d
+ ( q2 ) p −1 N  C (0 )
d
и

1− N

1− N
d  N −1 m1 −1 df

f
d 
d

d
d
 N −1 m −1 d
  2

d

p −2

df 
df
 = −( q1 ) p −1  Nf + 
d 
d


p −2





d 
p
 = −( q2 ) p −1  N + 

  =

d

p
−
1



d
d
Мы покажем, что функции f ( )  ( ) должны быть главным членом
асимптотического решения системы (11.20). Для этой цели мы ищем
решение системы (11.20) в виде
(
)
f ( ) = f ( )w( ),  ( ) =  ( ) z( ),  = − ln a −  p /( p−1) ,
Используя выражение (11.20), легко проверить, что
 s −1 f m −1
df
d
 
d
d
1
s −1


m2 −1
1− s
1− s
d
d
d
d
p−2
p−2
df
dw
=  p −1 s f L1 ( w), L1 ( w) = wm1 −1
− q1w
d
d
d
dz
=  p −1 s L2 ( z ), L2 ( z ) = z m2 −1
− q2 z
d
d
 s −1 m −1 df
 f 1

d

 s −1 m −1 d
  2

d

p−2
p −2
df
d
d
d



 =  p −1 f  s − q1

a −



 =  p −1


p−2
p−2
 dw

− q1w  ,

 d

 dz

− q2 z  ,

 d



 d
L
w
+

L1w  
 1

a −  d




 

d
L
z
+


L
z
 s − q2


2
2
a − 
a −   d


Поэтому согласно преобразованию (11.26) система (11.20) сводится
к системе
455


 dw
  +1 − p
d
1
 s

L1 ( w) +  1 ( ) − q1  L1 ( w) +  − p1 ( ) 
− q1w  − 1
 1 ( ) w +


d
p
 d
 1 2 − 1


+ −p
e(
− q1 + 1q2 −1)
a − e −
z 1 = 0
11.28)


 dz
  +1 − p
d
1
 s

L2 ( z ) +  1 ( ) − q2  L2 ( z ) +  − p1 ( ) 
− q2 z  − 2
 1 ( ) z +


d
p
 d
 1 2 − 1


+ −p
где
e(
− q2 +  2 q1 −1)
a − e −
w2 = 0
e −
1 ( ) =

a − e −
Анализ решения прошлой системы показывает, что решение
системы w → c1 z → c2  при  →  где константы c1  c2 являются
решениям алгебраического уравнения
−(q1 ) p −1 c1m1 + p −3 + a1 − p = 0, − (q2 ) p −1 c2 m2 + p−3 + a2 − p = 0
Доказательство теоремы завершено.
11.3. Свойства решений системы реакции-диффузии с двойной
нелинейностью, с переменной плотностью и источником
Рассмотрим в области QT = ( t , x ) :0  t  T , x  R N  , 0  T   свойства
неограниченных решений задачи Коши для следующей системы
уравнений реакции-диффузии с двойной нелинейностью, с источником
(
u
= div u m1 −1 u
t
p −2
)
u + v1 ,
(
v
= div v m2 −1 v
t
p −2
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N ,
где m1 , m2 , 1 ,  2  1,
u0 ( x )  0, v0 ( x )  0 ,
p  2,
)
v + u 2 , (11.29)
(11.30)
заданные числовые параметры, (.) − grad(.) , и
x
xR .
N
Система (11.29) описывает разные
физические процессы в двухкомпонентной нелинейной среде при


наличии источника мощность которого равняется v 1 , u 2 . Например,
она описывает процессы реакциии диффузии, теплопроводности,
горения, политрофической фильтрации жидкости и газа с мощностью
456


источника, равным v 1 , u 2 . Случай p = 2, m1 = m2 = 1 был рассмотрен в
[АА2], Поскольку система (11.29) в области, где u, v = 0 является
вырождающейся, то она в области вырождения может не иметь
классического решения. Поэтому изучается обобщенное решение
p −2
p −2
системы обладающей свойством: 0  u, v, u m −1 u , vm −1 v  C ( Q )
и удовлетворяющее системе (11.29) в смысле распределения. Свойства
неограниченных решений задачи (11.29), (11.30) в случае одного
уравнения (p=2 или m=1) изучались многими авторами см. ([СКГМ,
МАТ2, ТА2, МШ, А1, АА2, АА2] и ссылки там). В частности, показано
[СКГМ, МАТ2, ТА2, МШ, А1, АА2, АА2], что имеет место явление
конечной скорости распространения возмущения (КСРВ) для случая
одного уравнения. Применительно к системе (11.29), будем говорить,
что решение системы (11.29) обладает свойством КСРВ, если
существуют такие непрерывные функции l1 ( t ) , l2 ( t ) , такие, что u ( t , x )  0
1
1
и v ( t , x )  0 при x  l1 ( t ) и x  l2 ( t ) . Поверхности x = l1 ( t ) и x = l2 ( t ) назовем
свободной границей или фронтом. В случае, когда l1 ( t ) , l2 ( t )  , для
t  0 , то решение называется пространственно локализованным.
Условие существование и несуществования задачи Коши для
уравнения
 ( x)
(
u
= div u m −1 u
t
p−2
)
u ,
 ( x) = x
−l
,
(11.31)
в случае l=0 исследован в работе [ТА2,], где получено условие
разрушения задачи Коши.
В работах [ТА2, МШ] для следующих уравнений с переменными
коэффициентами:
 ( x)ut = div(u m−1 u
 ( x)ut = div(u m−1 u
p−2
p−2
u ) + u  , x  R N , t  0,
u ) +  ( x)u  , x  R N , t  0
−n
где p  1, m + p − 3  0,   m + p − 2,  ( x) = x , или  ( x) = (1 + x )− n при
некоторых ограничениях на числовые параметры и начальной функции
доказаны, что любое нетривиальное решение задачи Коши взрывается за
конечное время. Кроме того, авторы установили универсальную оценку
решения вблизи точки разрушения.
В настоящей работе изучается качественные свойства
неограниченных решений решений системы (11.29) на основе
автомодельного и приближенно автомодельного подхода. Предложен
способ построения критического показателя типа Фуджита для системы
457
(11.29). Установлены асимптотическое свойство решения с компактным
носителем
рассматриваемой
задачи,
условие
локализации
неограниченного решения и поведение свободной границы асимптотика
неограниченных автомодельных решений для случая медленной
диффузии, особого случая. Показано, что коэффициент главного члена
асимптотики
решения
удовлетворяют
некоторой
системе
алгебраических уравнений
Ниже мы приведен метод нелинейного расщепления для построения
приближенно автомодельного и автомодельного уравнения согласно
которому, решение u (t , x), v(t , x) системы (11.29) ищется в виде
u(t , x) = u (t )w ( (t ), x = r ) , v(t, x) = v (t ) z ( (t ), x = r ) ,
где функции r =
N
x
2
i
i =1
− ( +1)/(  −1)
, v (t ) = (T − t )−( +1)/(  −1) , T  0
, u (t ) = (T − t )
1
являются
решением
системы
уравнений
du
dv
= v 1 ,
= u 2
dt
dt
1 2
2
обыкновенных
1 2
дифференциальных
Тогда подставляя (11.31) в (11.29), имеем систему:
p −2
 z
 w 1− N   N −1 m1−1  w  w   1 + 1)
 
z
r w
 + −
=r
w + z 1  , = r1− N  r N −1z m2 −1


 

   1 2 − 1






где функции
(t ), ( x )
p −2
 (11.32)
 z    2 + 1)
 + −
z + w2  ,
   1 2 − 1

выбраны следующим образом
t
 t m1 + p −3
( ) d =  v m2 + p −3 ( ) d , если mi + p − 3  0, i = 1, 2,
 u
 (t ) =  0
0

T + t , если mi + p − 3  0, i = 1, 2,

(11.33)
Затем, полагая в системе (11.32)
w( , ) = f ( ), z ( , ) =  ( ),
где  =  (r ) −1/ p для функций f ( ), ( )
приближенно автомодельную систему
458
(11.35)
получим следующую
1− N
d
d
 N −1 m −1 df

f 1

d

 1− N
d
d
 N −1 m −1 d
  2

d


p −2
df
d
p −2
  df   + 1)

+
+− 1
f +  1  = 0,
 p d   1 2 − 1


d
d
  d   + 1)
+
+ − 2
+ f
 p d   1 2 − 1

2

 = 0.

(11.36)
если выполнено условие
( 1 + 1)(m1 + p − 3) = (  2 + 1)(m2 + p − 3)
(11.37)
то система (11.36) превращается в следующую автомодельную систему

1− N
d
d
 N −1 m −1 df
 f 1

d


1− N
d
d
 N −1 m −1 d
  2

d

p −2
p−2
df
d
  df
  + 1)

+
+ a1  − 1
f + 1  = 0,
 p d
 1 2 − 1


d
d
  d
  + 1)

+
+ a2  − 2
 + f 2  = 0, (11.38)
 p d
 1 2 − 1


где
a1 =
( 1 2 − 1) − ( m1 + p − 3)( 1 + 1)
0
1  2 − 1
a2 =
( 1  2 − 1) − ( m2 + p − 3)(  2 + 1)
0
1  2 − 1
Свойства неограниченных решений, а также численные аспекты
решения системы (11.38) в случае p=2 или p=2, m=1 изучены в [СКГМ,
АА21, ААС11, ЭскА ].
11.3.1. Свойство КСРВ в случае mi + p − 3  0, i = 1,2
Будем заниматься изучением слабого глобального решения задач
(11.29), (11.30) используя принцип сравнения решений [СКГМ, АА21,
ААС11, ЭскА]. Для этой цели используя метод нелинейного
расщепления и эталонных уравнений [А1] построим в случае
1 (m1 + p − 3) =  2 (m2 + p − 3)
выполнения
соотношения
построим
следующие сравниваемые функции.
u+ ( t , x ) = (T + t )1 f (), v+ ( t , x ) = (T + t )2 (), T  0,
459
где i = −
i + 1
1
,  (t ) = (T + t ) ,
 i  3− i − 1
1
=
1
x
[ (t )]1/ p
i = 1 −  i (mi + p − 3), i = 1,2,
(b) + = max(0, b).
f ( ) = (a −  p /( p−1) )q+2 ,  ( = (a −  p /( p−1) )q+1 , a  0,
Теорема 11.1. Пусть mi + p − 3  0,
2 + 1
a2  N / p.
1 2 − 1
q1 =
i 
p −1
p −1
, q2 =
,
m1 + p − 3
m2 + p − 3
p + m3−i − 3
1 + 1
, i = 1,2,
a1  N / p,
mi + p − 3
1 2 − 1
u+ ( 0, x )  u0 ( x ) , v+ ( 0, x )  v0 ( x ) , x  R N .
Тогда для достаточно малых u0 ( x ) , v0 ( x ) справедливы следующие оценки
u ( t , x )  A1u+ ( t , x ) , v ( t , x )  A2v+ ( t , x ) в
Q,
(11.39)
для решения задачи (11.29), (11.30), где u+ ( t , x ) , v+ ( t , x ) определенные
выше функции, A1  0, A2  0 постоянные.
Теорема
11.2.
  +1
 N
a1  1
+ a q21 − q1   ,
 12 − 1
 p
Пусть
mi + p − 3  0,
  +1
 N
a2  2
+ a q12 − q1  
 12 − 1
 p
u+ ( 0, x )  u0 ( x ) , v+ ( 0, x )  v0 ( x ) , x  R .
i 
p + m3−i − 3
, i = 1,2,
mi + p − 3
,
N
Тогда для достаточно малых начальных данных u0 ( x ) , v0 ( x )
справедливы следующие оценки для слабого решения
u ( t , x )  A3u+ ( t , x ) , v ( t , x )  A4v+ ( t , x ) в
Q
(11.40)
где u+ ( t , x ) , v+ ( t , x ) определенные выше функции, A3  0, A4  0
постоянные. Из теоремы 11.2 получим следующее значение для
критической экспоненты типа Фуджета
i + 1
s
=
, i = 1,2 для
i 3−i − 1 p + ( p + mi − 3)s
системы (11.29).
Случай mi + p − 3 = 0, i = 1,2 будем называть особым случаем. В этом
случае теоремей воспользуемся.
Теорема 11.3.
460
1 + 1 s
 ,
12 − 1 p
Пусть mi + p − 3 = 0, i = 1,2,
2 + 1 s

1 2 − 1 p
Тогда
для
достаточно малых u0 ( x ) , v0 ( x ) в Q справедливы следующие оценки для
решения задачи (11.29), (11.30)
u ( t , x )  (T − t )
здесь
−
1 +1
12 −1
f (), v ( t , x )  (T − t )
−
2 +1
12 −1
f (),
f ( ) = exp(−( / p) p ),  =  ( x ) /(T + t )1/ p .
Теорема 11.3 в случае
работы [АА2].
p = 2, p + mi − 3 = 0, i = 1,2. содержит результат
11.3.2. Асимптотика решения с компактным носителем
Теорема 11.4.
Пусть q1  0, q2  0, 1q2  q1 ,  2 q1  q2 . Тогда решение системы (11.38)
f ( ),  ( ) с компактным носителем при  →  ( = − ln(a −  p /( p −1) ) имеет
асимптотику
находится
f ( ) = c1 f ( )(1 + o(1)),  ( ) = c2 ( )(1 + o(1)),
из
следующих
алгебраических
−(q1 ) p −1 c1m + p −3 + a1 − p = 0, − (q2 ) p −1 c2m + p−3 + a2 − p = 0, где
определенные выше функции.
1
2
461
где c1 , c2
уравнений
f ( ),  ( ) -
– ГЛАВА 12. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СИСТЕМЫ ВЗАИМНОЙ РЕАКЦИИ ДИФФУЗИИ (КРОСС
ДИФФУЗИИ)
В этой главе исследуется свойство решения автомодельных и
приближенно-автомодельных решений системы реакции-диффузии с
двойной нелинейностью. Исследовано влияние параметров системы
реакции-диффузии в процессе эволюции. Доказано, что существуют
некоторые значения параметров, при которых система уравнений имеет
финитное решение. Доказана глобальная разрешимость задачи Коши и
найдена оценка типа Кнерра-Кершнера для свободной границы.
Рассмотрим в области QT = (t , x) = 0  t  T , x  R , T   задачу Коши
для вырождающихся параболической системы с двойной нелинейностью
L1 (u, v)  −
p−2
p−2
u
v
= div v m1 −1 u u = 0, L2 (u, v)  − + div u m2 −1 v v = 0, (12.1)
t
t
(
)
(
u(0, x) = u0 ( x)  0, v(0, x) = v0 ( x)  0, x  R N
)
(12.2)
которая описывает процессы взаимной реакции диффузии (кросс
диффузии).
Система (12.1) описывает ряд физических процессов в двух
компонентной нелинейной среде; например, она описывает процессы
взаимной
реакции-диффузии,
теплопроводности,
горения,
политропической фильтрации жидкости и газа. Система (12.1)
называется также кросс диффузией.
Особенностью этой системы уравнений является наличие
вырождения. В области, где u = 0, u = 0, v = 0, v = 0 уравнение (12.1)
вырождается в уравнение первого порядка. Поэтому необходимо
исследовать слабое решение, так как в этом случае решений (12.1), (12.2)
может не существовать в классическом смысле.
С точки зрения физики разумно рассматривать слабое решение,
которое имеет свойства ограниченности, непрерывности и
удовлетворяющие условиям
0  u(t , x), v(t , x) ,
v m1 −1 u
p−2
u, u m2 −1 v
p−2
v  C (QT ),
(12.3)
и системе (12.1), в смысле интегрального тождества:
p−2

+ v m1 −1 u u −  u0 ]dxdt = 0,
t
0 

t
p−2

m2 −1
[
v
+
u

v
v −  u0 ]dxdt = 0.


t
0 

t
 [u
462
(12.4)
для достаточно гладкой функции  (t , x) с компактным носителем.
В данном параграфе для вырождающиеся параболической системы
(12.1) с двойной нелинейностью устанавливаются следующие
качественные свойства решений: оценка решения и фронта, конечная
скорость распространения возмущения (КСРВ), асимптотическое
поведение главного члена автомодельной системы, в зависимости от
значения числовых параметров. Решена главная проблема-выбор
начального приближения для итерационного процесса при численном
расчете. Показана, быстрая сходимость итерационного процесса при
численных экспериментах.
12.1. Свойство КСРВ системы взаимной реакции диффузии
Ниже мы, на основе построения автомодельного решения типа
Зельдовича Компанейца покажем новое свойство решения системы
(12.1), а именно-свойство КСРВ путем построения решения типа
Зельдовитча-Баренблатта. Для чего решение системы (12.1) ищем в виде:
u(t , x) = (T + t )−1 w( (t ), x), v(t , x) = (T + t ) −2 z( (t ), x),
(12.5)
где  1 , 2 -подлежащие определению числа, а неизвестная функция  (t ) .
После подставления (12.5) в (12.1) и
несложных вычислений,
выбирается следующим образом:
 (t ) =  (T + t )− ( m2 −1)1 −( p−2)2 dt = (T + t )− ( m1 −1)2 −( p−2)1 dt.
При 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0 вычисление интеграла для  (t ) даёт
следующий результат:
 (t ) = (T + t )
p1
/ p1 , p1 = 1 − ( m1 − 1) 2 − ( p − 2)1.
Тогда имеем систему
p−2
w
1
= div z m1 −1 w w +
w,

(1 − (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1 ) (t )
(
)
(12.6)
p−2
z
2
= div wm2 −1 z z +
z,

(1 − (m2 − 1)1 + k ( p − 2) 2 ) (t )
(
)
Отметим, что вычисление интеграла при ( m2 − 1)1 − ( p − 2 ) 2  1 даёт
следующее выражение для  (t )
 (t ) = T + t ,
463
(12.7)
а для случая ( m2 − 1)1 − ( p − 2 ) 2 = 1 ,  (t ) = ln(T + t ) .
В случае ( m2 − 1)1 − ( p − 2 ) 2  1 с учетом выражения для  (t )
уравнение (12.6) перепишется так:
p−2
p−2
w
z
= div z m1 −1 w w + (b1 /  ) w,
= div wm2 −1 z z + (b2 /  ) z,

t
(
)
(
)
1
2
b1 =
, b2 =
,
1 − (m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1
1 − (m1 − 1)1 − k ( p − 2) 2
(12.8)
Далее полагая
w( (t ), x) = f ( ), v( (t ), x) =  ( ),  = x / [ (t )]1/ p
(12.9)
и подставляя (12.9) в (12.6) после несложных вычислений, при
выполнении условия
(m1 − 1)2 + ( p − 2)1 = (m2 − 1)1 + ( p − 2)2
(12.10)
для функций f ( ),  ( ) , имеем следующую систему вырождающихся
автомодельных уравнений.

1− N
 1− N
d  N −1 m1 −1 df k
 
d 
d
d  N −1 m2 −1 d k
 f
d 
d
p−2
df
d
p−2
  df
+ b1 f = 0
 +
p
d


d   d
+ b2 = 0
+
d  p d
(12.11)
где b1 = 1 / [1 − (m1 − 1)2 − k ( p − 2)1 ], b2 = 2 / [1 − (m2 − 1)1 − k ( p − 2)2 ] .
Далее определим числа  1 , 2 из решения системы алгебраических
уравнений (12.10) и из соотношения
1
2
=N/ p ,
= N / p (12.12)
1 − ( m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1
1 − (m2 − 1)1 − k ( p − 2) 2
от
(m2 + 1 − p) N


=
,
2

(m2 + 1 − p)( p + ( p − 2) N + (m2 − 1)(m1 + 1 − p) N )
m1 + 1 − p

(12.13)
1 =
2 , 
(
m
+
1
−
p
)
N
m2 + 1 − p
1
 =
,
 1 (m2 + 1 − p)( p + ( p − 2) N ) + (m2 − 1)(m1 + 1 − p) N )
Вычислим теперь p1 = 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1 .
С учетом (12.13) имеем
p1 = 1 −
[( m1 − 1)(m2 + 1 − p ) + ( p − 2)(m1 + 1 − p )] N
0
( m2 + 1 − p )( p + ( p − 2) N ) + ( m2 − 1)( m1 + 1 − p ) N )
464
(12.14)
т.е  (t ) = (T + t ) p1 / p1 .
Отметим, что функция
f ( ) = Af ( ),  ( ) = B ( ),
(12.15)
где A и B являются корнями алгебраической системы
( 1 ) p −1 Ak ( p −2) B m1 −1 = 1 / p, ( 2 ) p −1 Am1 −1 B k ( p −2) = 1 / p,
(12.16)
удовлетворяют в области   a ( p −1) / p автомодельной системе
 1− N
d  N −1 m1 −1 df
 
d 
d
 1− N
d  N −1 m2 −1 d
 f
d 
d
p−2
df
d
p−2
  df N
+ f = 0,
 +
p
d

p

d   d N
+  = 0,
+
d  p d  p
(12.17)
в
классическом
смысле.
Продолжая
нулем
функции
( p −1)/ p
f ( ) = Af ( ),  ( ) = B ( ), нулем для значения   a
мы получим
следующее решение типа Зельдовича-Кампанейца для системы (12.1)
u (t , x) = A(T + t ) −1 f ( ), v(t , x) = B(T + t ) −2 ( ),
(12.18)
где постоянные A, B, 1 , 2 и функции f ( ),  ( ) были определены
выше. Поэтому построенное нами решение (12.6) с  1 ,  2 заданными
формулой (12.13) при p1  0 является решением типа Зельдовича
Кампанейца для системы (12.1).
В частности, при m1 = m2 из последнего выражения имеем
1 − (m1 − 1) 2 − ( p − 2)1 = 1 −
( p + m − 3) N
p
=
.
( p + ( p + m − 3) N ( p + ( p + m − 3) N
Причем  (t ) имеет вид
p
[ p + ( p + m − 3) N ](T + t ) p +( p + m−3) N
 (t ) =
.
p
Поэтому построенное нами выше решение превращается в
следующее решение Зельдовича–Компанейца и Мартинсона-Павлова
u(t , x) = (T + t )− f ( ),  = N / ( p + ( p + m − 3) N ),  = x / [ (t )]1/ p
 (t ) =
[ p + ( p + m − 3) N ](T + t )
p
p
p + ( p + m −3) N
465
, f ( ) = (a −  p /( p −1) ) +1/( m−1) ,
известного ранее для случая одного уравнения [22-32].
Отметим, что решение типа Зельдовича-Компанейца и МартинсонаПавлова широко используются для сравнения решений, доказательства
глобальной разрешимости и не разрешимости задачи Коши [22, 38, 48,
42, 51-57,70] и свойство КСРВ решения, например, для уравнения вида
p−2
u
= div u m1 −1 u u +  u  ,  = 1.
t
(
)
а также для систем таких уравнений [1,2,12,19,66].
Теперь перейдем к доказательству свойство КСРВ для системы
(12.1). Для того чтобы доказать это свойство введем функции
u+ (t , x) = (T + t )−1 f ( ),  = x / [ (t )]1/ p , v+ (t , x) = (T + t ) −2 ( ),
(m1 + 1 − p ) N
1 =
(m2 + 1 − p)( p + ( p − 2) N ) + ( m2 − 1)( m1 + 1 − p) N )
2 =
(m2 + 1 − p) N
(m2 + 1 − p)( p + ( p − 2) N + ( m2 − 1)( m1 + 1 − p) N )
f ( ) = ( a −   )+ ,  ( ) = ( a −   )+ ,
1
2
f ( ) = ( a +   ) ,  ( ) = ( a +   ) ,  = x /  (t )1/ p ,
1
=
2
p
( p − 1)[ p − (mi + 1)]
, i =
, i = 1, 2, q = ( p − 2) 2 − ( m1 − 1)( m2 − 1),
p −1
q
Заметим, что функции u+ (t, x), v+ (t, x) обладают свойством
u+ (t, x)  0, v+ (t, x)  0
(12.19)
при x  l (t ), v+ (t , x)  l (t ) = a ( p −1)/ p [ (t )]1/ p ,
Теорема 12.1. Пусть  1  0,  2  0,1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0 ,
1
2
 N / p,
N/ p.
1 − ( m1 − 1) 2 − ( p − 2)1
1 − ( m2 − 1)1 − ( p − 2) 2
Тогда решение задачи (12.1) имеет свойство КСРВ, если
u0 ( x)  u+ (o, x), v0 ( x)  v+ (0, x), x  R N
где u+ (t, x), v+ (t, x) и f ( ),  ( ) -определенные выше функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы основаного на
теоремы сравнения решения нам необходимо построить эту функцию.
Рассмотрим функции u+ (t, x), v+ (t, x) определенные выше и подсчитаем
466
L1 (u+ , v+ ), L2 (u+ , v+ )
Тогда из (12.1) имеем
L1 (u+ , v+ ) = u1 (t ){(1 / [1 − (m1 − 1) 2 − ( p − 2)1 ] − N / p )} f ( ),
L2 (u+ , v+ ) = u2 (t ){ 2 / [1 − (m2 − 1)1 − ( p − 2) 2 ] − N / p } ( ),
u1 (t ) = (T + t )− ( m1 −1)2 −( p−2)1 , u2 (t ) = (T + t )− ( m2 −1)1 −( p−2)2
Отсюда в области D = (t , x) : t  0, x  l (t ), l (t ) = a
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p ,
в силу условия теоремы (12.1) имеем L1 (u+ , v+ )  0, L2 (u+ , v+ )  0.
Тогда по принципу сравнения решения имеем
u(t, x)  u+ (t, x), v(t, x)  v+ (t, x) в Q.
Следовательно, u (t , x)  0, v(t , x)  0 при x  l (t ) , что означает
наличие свойства КСРВ у задачи (12.1). Теорема 12.1 доказана.
Из доказанной теоремы видно, что для свободной границы имеет
место оценка
x  l (t ) = a ( p −1)/ p [ (t )]1/ p = a ( p −1)/ p (T + t ) p1 / p / p1 ,
p1 = 1 −
[(m1 − 1)(m2 + 1 − p ) + ( p − 2)(m1 + 1 − p )]N
,
(m2 + 1 − p)( p + ( p − 2) N ) + (m2 − 1)(m1 + 1 − p ) N )
Асимптотика автомодельных решений. Теперь перейдем к
изучению асимптотики решений автомодельных систем (12.9) при
следующих граничных условиях
f (0) = 0, f () = 0,  (0) = 0,  () = 0
f (0) = a1  0, f (d ) = 0,  (0) = a2  0,  (d ) = 0, d  
f (0) = a1  0, f () = 0,  (0) = a2  0,  () = 0
(12.20)
(12.21)
(12.22)
Теорема 12.2. Пусть  1  0,  2  0 . Тогда решение задачи
(12.9),(12.20) при  →  ( = − ln(a − 
) имеет асимптотическое
представление
p /( p −1)
f ( ) = A1 f ( ) (1 + o(1) ) ,  ( ) = A2 ( ) (1 + o(1) ) ,
Ai  0, i = 1,2
где коэффициенты
алгебраических уравнений
являются
решением
A1 p−2 A2 m1 −1 = c1 , c1 = 1/ p( 1 ) p−1 , A1m2 −1 A2 p−2 = c2 , c2 = 1/ p( 2 ) p−1 ,
467
системы
(12.23)
p−2
т.е. A = [c c
2
1
− ( m2 −1)/( p − 2)
2
]
( p − 2)2 − (( m1 −1))( m2 −1)
, A1 = [c1 A2 − ( m1 −1) ]1/( p −2) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства Теоремы 12.2 в (12.17)
произведем замену
f ( ) = f ( ) w( ),  ( ) =  ( ) z ( ),  = − ln ( a −  p /( p −1) ).
(12.24)
Тогда для неизвестных функций w( ), z ( ) из (12.7) имеем
 dw( )

d
L3 ( w( ), z ( ) ) + d1 L3 ( w( ), z ( ) ) + d ( ) 
−  1w  = 0,
d
 d

 dz ( )

d
L4 ( w( ), z ( ) ) + d 2 L4 ( w( ), z ( ) ) + d ( ) 
−  2 z  = 0,
d
 d

где
p −2
 dw

m2 −1` dz
L3 ( w( ), z ( ) ) = z
−

w
,
L
w
(

),
z
(

)
=
w
−  2z
(
)
 d 1  4
d



e −
 e −
p −1  N
di ( ) =  
−  i  , i = 1,2, d ( ) =
.
−
−

a
−
e
p
a
−
e


m1 −1`
dw
−  1w
d
p −2
 dz

−

z
 d 2  ,


Анализ решений системы (12.17) показывает, что функции w и z , при
 →  должны быть решением системы (12.16). Теорема 12.2 доказана.
Отметим, что решение рассмотренной задачи является одной
параметрической собственной функцией нелинейной среды.
Теорема 12.3 Пусть  i  0, N +  i  0, i = 1,2 . Тогда решение задачи
(
p /( p −1)
(12.9), (12.20) при  →   = ln ( a + 
)
)
имеет асимптотическое
представление
f ( ) = A3 ( a +   )
1
(1 + o(1) ) ,  ( ) = A ( a +  ) (1 + o(1) ) ,

2
4
Ai  0, i = 1,2
где коэффициенты
алгебраических уравнений
являются
решением
системы
f ( ) = A1 f ( ) (1 + o(1) ) ,  ( ) = A2 ( ) (1 + o(1) ) ,
Ai  0, i = 1,2
где коэффициенты
алгебраических уравнений
являются
решением
системы
A1 p−2 A2 m1 −1 = c1 , c1 = 1/ p( 1 ) p−1 , A1m2 −1 A2 p−2 = c2 , c2 = 1/ p( 2 ) p−1 ,
p−2
т.е. A = [c c
2
1
2
− ( m2 −1)/( p − 2)
]
( p − 2)2 − (( m1 −1))( m2 −1)
, A1 = [c1 A2 − ( m1 −1) ]1/( p −2) .
468
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы (12.3) в (12.17)
произведем замену
f ( ) = f ( ) w( ),  ( ) =  ( ) z ( ),  = ln ( a +  p / ( p −1) ) .
Тогда для неизвестных функций w( ), z ( ) из (12.7) имеем
 dw( )

d
L5 ( w( ), z ( ) ) + d1 L5 ( w( ), z ( ) ) + d3 ( ) 
+  1w  + b1w = 0
d
 d

 dz ( )

d
L6 ( w( ), z ( ) ) + d 2 L6 ( w( ), z ( ) ) + d 3 ( ) 
+  2 z  + b2 z = 0
d
 d

где
p −2
 dw

m2 −1` dz
L5 ( w( ), z ( ) ) = z
 d +  1w  , L6 ( w( ), z ( ) ) = w d +  2 z



e
 e


d ( ) =   N 
+   , i = 3, 4, d ( ) =
.
e −a
p e − a
m1 −1`
dw
+  1w
d
p −2
 dz

 d +  2 z  ,


p

i
i

3
Анализ решений системы(12.21) показывает, что коэффициенты
A3 , A4 должны быть решениями алгебраической системы (12.25).
Теорема 12.3 доказана.
Случай
( p − 2 ) − (m − 1)(m − 1) = 0 . Применением способы
доказательства теоремы 12.2, 12.3 доказываются следующие теоремы
12.4, 12.12.
2
1
Теорема
12.4
Пусть
2
 1  0,  2  0, a1 = (a2 )( p−( m +1))/( p−( m +1)) .
2
Тогда
1
(
p /( p −1)
решение задач (12.9)-(12.21) при  →   = − ln ( a − 
)
)
имеет
асимптотическое представление
f ( ) = A1 f ( ) (1 + o(1) ) ,  ( ) = A2 ( ) (1 + o(1) ) ,
где коэффициенты Ai  0, i = 1,2
алгебраических уравнений, т.е.
A1 p −2 A2 m1 −1 = c1 , c1 =
A2 =  c1c2
− ( m2 −1)/( p − 2)

являются
1
,
p ( 1 ) p −1
A1m2 −1 A2 p −2 = c2 , c2 =
p−2
( p − 2)2 − (( m1 −1))( m2 −1)
решением
,
A1 =  c1 A2 − ( m1 −1) 
1
,
p( 2 ) p −1
1/( p − 2)
Теорема 12.5. Пусть  i  0, N +  i  0, i = 1,2,
(
системы
.
a1 = ( a2 )
( p − ( m2 +1) ) / ( p − ( m1 +1) )
)
.
p /( p −1)
Тогда решение задачи (12.9),(12.22) при  →   = ln ( a + 
) имеет
асимптотическое представление
469
f ( ) = A3 ( a +   )
1
(1 + o(1) ) ,  ( ) = A ( a +  ) ((1 + o(1) ) ,

2
4
( p − 2)2 − ( m1 −1)( m2 −1)
( p −1)( p − ( m1 +1) )
где коэффициенты a = ( a )
, Ai  0, i = 1,2 являются решением
системы алгебраических уравнений
1
2− p


1
A3 p − 2 A4 m1 −1 = c3 , c3 =  − p −1
+ b1  (  1 ) ,
  p ( N +  1 )

A3 m2 −1 A4 p − 2


1
= c2 , c4 =  − p −1
+ b2  (  2
  p ( N +  2 )

)
2− p
(12.26)
,
полученные результаты распространены для задачи Коши для
следующей системы с переменной плотностью
 ( x)
n
p −2
n
p −2
u
v
= div x v m1 −1 u u ,  ( x) = div x u m2 −1 v v , (12.27)
t
t
(
)
(
)
u (0, x) = u0 ( x)  0, v(0, x) = v0 ( x)  0, x  R N ,  ( x) = x .
l
Предложен способ представления
«радиально-симметрической» форме
u1
 
u
=  1−s   1−s v1m1 −1 1
t
 

где s =
p −2
системы
(12.13)
u1  v1
 
v
=  1−s   1−su1m2 −1 1
 ,
  t
 

p −2
(12.28)
в
виде
v1 
 , (12.29)
 
N −l
.
p − (n + l )
Путем замены
u (t , x) = u1 (t , ), v(t , x) = v1 (t , ),  ( x ) =
( p − ( n + l ))/ p
p
,
x
p − (n + l )
что позволил построить решение Зельдовича Кампанейца для системы
(12.29) в виде
u1+ (t , x) = (T + t ) −1 f1 ( ), v1+ (t , x) = (T + t ) −2 1 ( ),  =
x
,
[ (t )]1/ p
( m1 + 1 − p ) s
,
(m2 + 1 − p )( p + ( p − 2) s + (m2 − 1)(m1 + 1 − p ) s
( m2 + 1 − p ) s
2 =
.
(m2 + 1 − p )( p + ( p − 2) s + (m2 − 1)(m1 + 1 − p ) s )
где  =
1
470
(12.30)
f1 ( ) = ( a −   )+ ,  1 ( ) = ( a −   )+ ,  ( x ) =
1
2
( p − ( n + l ))/ p
p
x
,
p − (n + l )
p
( p − 1)[ p − (mi + 1)]
=
, i =
, i = 1,2, q = ( p − 2) 2 − (m1 − 1)(m2 − 1),
p −1
q
(12.31)
Пусть 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0. Тогда преобразование (12.24)
переводит систему к автомодельной системе вида

1− s
d  s −1 m1 −1 df
 
d 
d
p−2
d 
d
 1− s   s −1 f m2 −1
d 
d
p −2
df
d
  df
+ b1 f = 0,
 +
p
d


(12.32)
d   d
+ b2 = 0,
+
d  p d
N −l
1
, N  l , p  n, b1 =
,
p−n
1 − ( m1 − 1) 2 − ( p − 2)1
2
b2 =
, если (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  1.
1 − ( m2 − 1)1 − ( p − 2) 2
s=
Следующая теорема даёт условие КСРВ для задачи Коши (12.9), (12.22)
Теорема
12.6
1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0 ,
 1  0,  2  0 ,
Пусть
N  l , p  n + 1,
1
N −l
2
N −l

,

.
1 − ( m1 − 1) 2 − ( p − 2)1 p − n 1 − ( m2 − 1)1 − ( p − 2) 2 p − n
Тогда решение задачи (12.9),(12.22) имеет свойство КСРВ если
(
)
(
)
u0 ( x)  u+ 0, ( x ) , v0 ( x)  v+ 0, ( x ) , x  R N ,
где u1+ (t , x), v1+ (t , x) и f1 ( ),  1 ( ) -определенные выше функции,
( x ) =
( p − n − l )/( p )
p
x)
.
(
p −n−l
Случай p = n + l , 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0. В этом случае имеет
место следующая
Теорема 12.7.
Пусть
 1  0,
 2  0, 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0, N  l ,
p = n + 1,
1
N −l
2
N −l

,

.
1 − ( m1 − 1) 2 − ( p − 2)1 p − n 1 − ( m2 − 1)1 − ( p − 2) 2
p− n
Тогда решение задачи (12.9),(12.22), имеет свойство КСРВ, если
471
(
)
(
)
u0 ( x)  u1+ 0, ( x ) , v0 ( x)  v1+ 0, ( x ) , x  R N \ 0,
где
u1+ (t, x), v1+ (t, x)
 ( x ) = ln ( x ) .
f1 ( ),  1 ( ) -определенные
и
выше
функции,
Доказательство
теоремы
12.4 осуществляется
способом,
приведенным как при доказательстве теоремы 12.1, путем получения
оценки для решения
u1 (t , x)  u1+ t , ( x ) , v1 (t , x)  v1+ t , ( x ) , x  R N \ 0.
(
)
(
)
Случай (m1 − 1)2 − ( p − 2)1 = 0 ,  (t ) = T + t . Отметим, что при
(m1 − 1)2 + ( p − 2)1 = 0 функция (t ) имеет вид  (t ) = T + t. Тогда система
(12.4) превращается в систему
p−2
w
= div z m1 −1 w w + 1 (T + t ) −1 w,

p−2
z
= div wm2 −1 z z +  2 (T + t ) −1 z ,  (t ) = T + t ,

(
)
(
)
(12.33)
x
,
(T + t )1/ p
приведет систему (12.33) к следующему автомодельному виду
а преобразование w ( (t ), x ) = f ( ), v ( (t ), x ) =  ( ),  =

1− N
 1− N
d  N −1 m1 −1 df
 
d 
d
d  N −1 m2 −1 d
 f
d 
d
p −2
p−2
df
d
  df
+ 1 f = 0,
 +
p
d


d
d
(12.34)
  d
+  2 = 0.
 +
p
d


Отметим, что здесь автомодельная переменная
=
x
(T + t )1/ p
отличается от предыдущего случая 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1  0 .
В этом случае также имеет место свойство КСРВ для системы (12.1),
при этом 1 =  2 = N / p , а решение имеет вид
u (t , x) = A(T + t ) −1 f ( ), v(t , x) = B(T + t ) −2 ( ),
где
i =
f ( ) = ( a −   ) + ,
1
 ( ) = ( a −   )+ ,
( p − 1)[ p − (mi + 1)]
, i = 1, 2,
q
2
 = x / (T + t )1/ p ,
q = ( p − 2)2 − (m1 − 1)(m2 − 1),
472
 =
при
p
,
p −1
этом
постоянные А и В определяются так же, как и выше из решения системы
алгебраических уравнений
( )
2
p −1
( )
Am1 −1 B p −2 = 1 / p,
1
p −1
A p −2 B m1 −1 = 1 / p.
Теорема 12.8 Пусть  1  0,  2  0 , 1  N / p, 2  N / p . Тогда для
решения задачи (12.1), (12.2) имеет место оценка
u (t , x)  u+ (t , x) = (T + t ) −1 f ( ), v(t , x)  v+ (t , x) = (T + t ) −2 ( ) в Q,
если u0 ( x)  u+ (o, x), v0 ( x)  v+ (0, x), x  R ,
где  = x / (T + t )1/ p , а f ( ),  ( ) -определенные выше функции.
Отметим, что в этом случае для свободной границы имеем оценку
N
x  l (t ) = a ( p −1)/ p  (t ) = a ( p −1)/ p (T + t ) .
1/ p
1/ p
Случай 1 − (m1 − 1)2 − ( p − 2)1 = 0 ,  (t ) = ln(T + t ) . В этом случае
система (12.4) имеет вид:
p −2
w
= div z m1 −1 w w + 1w,

p−2
z
= div wm2 −1 z z +  2 z ,  (t ) = ln(T + t ),

(
)
(
)
(12.35)
т.е. задача (12.1), (12.2) сводится к устойчивости решений при  (t ) → 
(t → ) стационарного уравнения эллиптического типа с двойной
(
нелинейностью div z m1 −1 w
p−2
)
(
w + 1w = 0, div wm2 −1 z
p −2
)
z +  2 z = 0
Отметим, что преобразование (12.7) не приведет систему (12.35) к
автомодельному виду, однако, система (12.35) преобразованием
w ( (t ), x ) = f ( ), v ( (t ), x ) =  ( ),
N
 =  ai xi − c (t ), (t  0, xi  R), i = 1, N , c  0.
1
Сведется к автомодельной системе
d  m1 −1 df
a
1 i d  d

N
d  m2 −1 d
a
1 i d  f d

N
p−2
p−2
df
d

df
+ 1 f = 0
 + c
d


d   d
+  2 = 0,
+
d  p d
волнового типа.
Рассмотрим функции
473
(12.36)
N
a  0
i
1
N
u− (t , x) = A(T + t ) −1 f 3 ( ), v− (t , x) = B(T + t ) −2 3 ( ),  =  ai xi − c (t ), i = 1, N ,
f 3 ( ) = A ( a −  )+ ,  3 ( ) = B ( a −  )+
1
1
2
где А и В решение системы алгебраических уравнений
N
( )  a A
p −1
2
m1 −1
i
B
p−2
= c, (  1 )
1
p −1
N
a A
p−2
i
B m1 −1 = c,
1
2
а  = p ,  = ( p − 1)[ p − (m + 1)] , i = 1, 2, q = ( p − 2) − (m1 − 1)(m2 − 1),
i
p −1
i
q
12.2. Эффекты конечной скорости и локализации решения в
кросс диффузионных процессах с конвективным переносом и
поглощением
Рассмотрим в области Q = ( t , x ) : t  0, x  R  следующую задачу:
N
u
= div v m1 −1 u k
t
v
= div u m2 −1 v k
t
(
(
p−2
p−2
)
v ) − div ( c(t )v ) −  (t )v,
u − div ( c(t )u ) −  1 (t )u ,
(12.37)
2
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N ,
где
k  1, p, mi , i = 1,2,
0  u0 ( x ) , v0 ( x )  C ( R
N
числовые
) , c(t )  0,
(12.38)
параметры,
() = grad ()
x
0   i (t )  C(0, ),
i = 1, 2 -заданные
функции.
Поскольку система (1) в области, где u, v = 0 является
вырождающейся, то она в области вырождения может не иметь
классического решения. Поэтому изучается обобщенное решение
системы обладающей свойством:
0  u, v  C ( Q ) , v
m1 −1
u k
p−2
u
, u
m2 −1
v k
p−2
v  C ( Q ) ,
и удовлетворяющее системе (12.37) в смысле распределения.
Свойства конечной скорости распространения возмущений (КСРВ)
и локализации решения распространяются для параболических систем с
двойной нелинейностью, описывающие нелинейные диффузионные
процессы с конвективным переносом и поглощением. Такие свойства
решений задачи (12.1), (12.2) в случае одного уравнения подробно
приводилась в первой главе. путем построения точного автомодельного
решения.
474
Ниже, путем построения точного решения и принципа сравнения
решений установлены эти новые свойства системы (12.37): конечная
скорость распространения возмущений и локализация решений.
Для установления свойства КСРВ найдем точное автомодельное
решение этой задачи. С этой целью решения системы (12.37) ищем в виде
u (t , x) = (T + t )−1 f 3 ( ), v(t , x) = (T + t ) −2 3 ( ),  =
где  (t ) =

,
[ (t )]1/ p
1
(T + t )1−( m1 −1)2 − k ( p − 2 )1 , T  0,
1 − ( m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1
f3 ( ) = ( a −   )+ ,  3 ( ) = ( a −   )+ ,  =
1
=
2

,
 1/ p
p
p −1
, i =
 p − (mi + 1), i = 1,2.
p −1
q
t
t
0
0
 (t ) =  v1m −1 ( )u1 p − 2 ( )d =  u1m −1 ( )v1 p − 2 ( )d ,




v1 (t ) = exp  −   2 (  )d   , u1 (t ) = exp  −   1 (  )d   ,
 0

 0

s
s
(12.39)
Тогда подставляя (5) в (1) систему можно привести к виду
(
w
=  z m1 −1  u k

p−2
)
u ,
(
z
=  wm2 −1  v k

p−2
)
 v ,
(12.40)
Ниже путем построения точного решения типа ЗельдовичаБаренблатта для системы (1) доказано свойство КСРВ и
пространственная локализация решения. Установлена асимптотика
финитных решений автомодельного уравнения для случая медленной, а
также асимптотика исчезающих решений автомодельного уравнения для
случая быстрой диффузии, а также в критическом случае. Предложен
выбор подходящего начального приближения для итерационного
процесса при численном решении рассматриваемой задачи.
Свойства КСРВ и локализация решения. Выше было доказано,
что система (5) имеет следующее автомодельное решение
u3+ (t , x) = (T + t )−1 f3 ( ), v3+ (t , x) = (T + t ) −2 3 ( ),  =
(T + t )1−( m1 −1)2 +( k ( p −2)1
, если
где  (t ) =
1 −  (m1 − 1) 2 + (k ( p − 2))1 
475
x
,
[ (t )]1/ p
(12.41)
( m1 − 1) 2 + ( k ( p − 2))1 = ( m2 − 1)1 + k ( p − 2) 2
f 3 ( ) = (a −   ) q+1 ,  3 ( ) = (a −   ) +2 , a  0,
q
 = p / ( p − 1), (n)+ = max(0, n),
q1 =
( p − 1)(k ( p − 2) − (m1 − 1))
,
q
( p − 1)(k ( p − 2) − (m2 − 1))
,
q
q2 =
q =  k ( p − 2) − (m1 − 1)(m2 − 1),
2
где числа q1 , q2 определены из решения системы алгебраических
уравнений k ( p − 2)q1 + (m1 − 1)q2 = p − 1, (m2 − 1)q1 + k ( p − 2)q2 = p − 1,
числа
1 =
2 =
N (m1 − 1) 2 − N
,
p + Nk ( p − 2)
k ( p − 2) − (m − 1) N
k ( p − 2) − (m − 1)( p + k ( p − 2) N ) + (m − 1)k ( p − 2) − (m − 1) N
2
2
1
2
являются решениями системы
1
N
= , (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1 = (m2 − 1)1 + k ( p − 2) 2 (12.42)
1 − (m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1 p
Найденное решение обладает свойством КСРВ:
u ( t , x ) , v ( t , x )  0,
при   l ( t ) = a ( p −1)/ p [ (t )]1/ p , 1 − (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1   0 .
Поведение фронта возмущения x f (t ) в одномерном случае
t
определяется из равенства x (t ) =  c( y )dy − a
f
( p −1)/ p
 (t ) 
1/ p
. Поэтому фронт
0
возмущения при выполнении условия
t
 c( y )dy  a
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p , растет в
0
направлении правой оси, заполняя всю правую плоскость, а при
t
 c( y )dy  a
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p . В специальном случае, когда выполняется условие
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p , движение фронта возмущения останавливается.
0
t
 c( y )dy = a
0
Таким образом происходит полная остановка фронта возмущений. Это
новое свойство имеет место только при наличии конвективного переноса
со скоростью, зависящей от времени.
476
Отметим, что если k = 1, m1 = m2 , p = 2, то система (12.39)
превращается в одно уравнение с решением типа ЗельдовичаБаренблатта
x
N
, =
,
2 + (m − 1) N
[ (t )]1/ p
f ( ) = A(a −  p /( p −1) ) +1/( m−1) , [ (t )]1/ p = (T + t )1/( 2+( m−1) N ) .
u (t , x) = (T + t ) − f ( ),  =
Предложенный выше метод построенния решения, благодаря
теоремам сравнения решений позволяет установить новые нелинейные
эффекты для других нелинейных вырождающихся систем.
Локализация решения системы (12.37). Система (12.37) имеет
решение
u(t , x) = (T +  (t ))−1 u1 (t ) f3 ( ), v(t, x) = (T +  (t )) −2 v1 (t ) 3 ( ),

=
1/ p ,
T +  (t )
u1 (t ) = (T +  (t ) ) , v1 (t ) = (T +  (t ) )
− 1
t
−2
,
t
 (t ) =  v1m −1 ( )u1 p − 2 ( )d =  u1m −1 ( )v1 p − 2 ( )d ,
1
0
0
где f 3 ( ),  3 ( ) -выше определенные функции.
Функции u, v обладают свойством
u ( t , x ) , v ( t , x )  0 при   a ( p −1)/ p [ (t )]1/ p , или
t
 c( y)dy − x  l ( t ) = a
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p .
0
Поэтому условиями локализации решения являются следующие
условия
 (t )  ,
t
 c( y )dy  ,
t  0.
0
Ниже мы на основе построения автомодельного решения типа
Зельдовича Компанейца покажем новое свойство решения системы
(12.37), а именно свойство КСРВ. Для чего решение системы (12.37)
ищем в виде:
u (t , x) = (T + t ) −1 w ( (t ), x ) , v(t , x) = (T + t ) −2 z ( (t ), x ) ,
(12.43)
Тогда подставляя (12.43) в (12.37) после несложных вычислений и
выбора функции  (t ) следующим образом
 (t ) =  (T + t )− ( m2 −1)1 −k ( p−2)2 dt = (T + t )− ( m1 −1)2 −k ( p −2)1 dt.
477
При 1 − (m1 − 1)2 − k ( p − 2)1  0 вычисление интеграла для  (t ) даёт
следующий результат
 (t ) =
(T + t )1−( m1 −1) 2 − k ( p − 2 )1
.
1 − ( m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1
Тогда имеем систему
p−2
w
= div z m1 −1 w w + 1 (T + t ) p1 w, p2 = −1 + (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1 ,

(
)
(12.44)
p −2
z
= div wm2 −1 z z +  2 (T + t ) p2 z , p2 = −1 + (m1 − 1)1 + k ( p − 2) 2 .

(
)
Систему можно переписать в виде
p−2
w
1
= div z m1 −1 w w +
w,

1 − (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1  (t )
(
)
p−2
z
2
= div wm2 −1 z z +
z,

1 − (m2 − 1)1 + k ( p − 2) 2  (t )
(
)
Далее полагая
w ( (t ), x ) = f ( ), v ( (t ), x ) =  ( ),  =
x
,
[ (t )]1/ p
(12.45)
и подставляя (12.45) в (12.39) после несложных вычислений, при
выполнении условия
(m1 − 1)2 + k ( p − 2)1 = (m2 − 1)1 + k ( p − 2)2
(12.46)
для функций f ( ),  ( ) имеем следующую систему вырождающихся
автомодельных уравнений.
 1− N
d  N −1 m1 −1 df k
 
d 
d
 1− N
d  N −1 m2 −1 d k
 f
d 
d
p−2
df
d
p−2
  df
+ b1 f = 0
 +
p
d


d   d
+ b2 = 0
+
d  p d
(12.47)
где b1 = 1 / 1 − (m1 − 1) 2 − k ( p − 2)1 , b2 =  2 / 1 − (m2 − 1)1 − k ( p − 2) 2 .
478
Теорема 12.9. Пусть b  N , i = 1,2 , а
1
p
A1 , A2 -решение системы
алгебраического уравнения
A1k ( p −2) A2 m1 −1 = 1 / p (  k 1 ) , A1m2 −1 A2 k ( p −2) = 1 / p (  k 2 )
p −1
p −1
−1
−2
f3 ( )t =0 , v0 ( x) = AT
 3 ( )t =0 , x  R N .
и u0 ( x) = AT
1
2
Тогда решение системы (12.37) обладает свойством КСРВ.
Теорема 12.10. Пусть b  N , i = 1,2 , 1 − (m1 − 1) 2 + k ( p − 2)1   0 , а
1
p
A1 , A2 - решение системы алгебраического уравнения
A1k ( p −2) A2 m1 −1 = 1 / p (  k 1 ) , A1m2 −1 A2 k ( p −2) = 1 / p (  k 2 )
p −1
p −1
−1
−2
f3 ( )t =0 , v0 ( x) = AT
 3 ( )t =0 , x  R N . Тогда решение
и u0 ( x) = AT
1
2
системы пространственно локализовано, если при t>0 выполнены
t
условия  c( y )dy  ,  (t )  .
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этих теорем основано на
принципе сравнения решения. При этом в качестве сравниваемого
используется построенное нами выше решение типа Зельдовича
Кампанейца.
На основе установленных качественных свойств решений
проведены численные вычисления обобщенных решений исходной
задачи.
Численные результаты представлены в визуализированной форме.
Асимптотика автомодельных решений.
Теорема 12.11. Пусть q1  0, q2  0 . Тогда решение системы (12.47) с
компактным
носителем
 →  ( = − ln ( a −  p /( p−1) ) )
при
имеет
асимптотическое представление
f ( ) = A5 f 3 ( ) (1 + o(1) ) ,  ( ) = A6 3 ( ) (1 + o(1) ) ,
Ai  0, i = 5,6
где коэффициенты
алгебраических уравнений
являются
решением
A1k ( p −2) A2 m1 −1 = 1 / p (  k 1 ) , A1m2 −1 A2 k ( p −2) = 1 / p (  k 2 ) ,
p −1
p −1
Из этой теоремы для положения свободной границы имеем
 → l (t ) = a
t
( p −1)/ p
[ (t )] , т.е.
1/ p
 c( y)dy − x → a
0
479
( p −1)/ p
[ (t )]1/ p ,
системы
t


dy, u1 (t ) = exp  −   1 ( y )dy .
 0

t
где  (t ) =  [u1 ( y )]
k ( p − 2) + ( m1 −1)
0
Теорема 12.12. Пусть qi  0, N + kqqi  0, i = 1,2 . Тогда исчезающее
(
p /( p −1)
на бесконечности решение системы (12.47) при  →   = ln ( a + 
)
)
имеет асимптотическое представление
f ( ) = A7 ( a +   )
q1
(1 + o(1) ) ,  ( ) = A ( a +  ) (1 + o(1) ) ,

q2
8
где коэффициенты Ai  0, i = 7,8
алгебраических уравнений
являются
решением
системы
2− p
2− p




1
1
A3k ( p −2) A4 m1 −1 =  − p −1
+ b1  ( k q1 ) , A3 m2 −1 A4 k ( p −2) =  − p −1
+ b2  ( k q2 ) .
  p( N + k q1 ) 
  p ( N + k  q2 )

12.3. Исследованию свойств нелинейной системы
диффузионного уравнения с неоднородной плотностью и
поглощением
Рассмотрим в области
следующую
Q = (t , x) :t  0, x  R 
вырождающуюся дважды нелинейную параболическую задачу с
переменной плотностью и источником:
N
  (  ( x)u )
n
p−2
= div x v m1 −1 u u +  ( x ) (t )u

t

  (  ( x)v ) = div x n u m2 −1 v p − 2 v +  ( x ) (t )v

t
(
)
(
)
u ( 0, x ) = u0 ( x )  0, v ( 0, x ) = v0 ( x )  0, x  R N ,
где m1 , m2, n  R, 1 , 2  1 p  2 -заданные
числовые
(12.48)
(12.49)
параметры,
(.) − grad (.) , u ( x ) , v ( x ) x  R N не равно тождественно нулю функции,
x
0
0
−l
 ( x) = x , 0   (t)  C (0, ) .
Система (1) описывает множество физических процессов, например
процесс
взаимной
реакции-диффузии,
теплопроводности,
политропической фильтрации жидкости и газа в нелинейной среде при
наличии поглощения мощность которого равна  ( x) (t )u ,  ( x) (t ) .
Поскольку система (12.48) в области, где u = v = 0 является
вырождающейся, то она в области вырождения может не иметь
классического решения. Поэтому изучается имеющие физический смысл
обобщенные решения системы (12.48), удовлетворяющие некоторому
480
интегральному тождеству обладающие свойствами: 0  u , v  C ( Q ) и
x v u u, x u v v  C (Q) . Для обобщенных решений
системы (12.48) свойственно наличие явления конечной скорости
распространения возмущений, т.е. существуют такие непрерывные
функции l1 ( t ) , l2 ( t ) , что u ( t , x )  0 и v ( t , x )  0 при x  l1 ( t ) и x  l2 ( t ) ,
соответственно. Поверхности x = l1 ( t ) и x = l2 ( t ) называются свободной
границей или фронтом.
В настоящей работе на основе расщепления исходной системы
построена система автомодельных уравнений, найдены приближенные
решения в зависимости от значения параметров системы (12.48)
установлено асимптотическое поведение обобщенного финитного
решения системы (12.48) и свободной границы l ( t ) . Получены главные
члены асимптотики-автомодельных решений. На основе построенных
автомодельных решений, асимптотик решений и свободной границы
проведены численные расчеты и визуализация процесса реакции
диффузии, описывающей системой (12.48).
Построение автомодельной системы уравнений. Ниже
предложен один способ построения системы автомодельного и
приближенно-автомодельных уравнений для системы (12.48) путем
расщепления исходной системы уравнения в частных производных на
две части, что относительно облегчает исследование качественных
свойств решений задачи (12.48)-(12.49), сохраняя при этом нелинейные
свойства решений исходной системы. Отметим, что хотя исследование
свойств решений системы автомодельных и приближенноавтомодельных уравнений относительно проще, чем исследование
свойств решений исходной системы, но оно имеет самостоятельный
математический интерес, более того даёт характерные черты решения
исходной системы.
Для построения автомодельного и приближенно-автомодельного
уравнения для системы (12.48)решение системы уравнений u (t , x), v(t , x)
ищем в виде
n
m −1
p−2
n
p −2
m −1
u (t , x) = u (t ) w ( (t ), x ) , v(t , x) = v (t ) z ( (t ), x ) ,
где u (t ) =  T +   (t )dt 
0


t
−
1
1 −1


, v (t ) =  T +   (t )dt 
0


t
−
(12.50)
1
 2 −1
, T  0.
Подставляя (12.42) в (1) имеем «радиально симметрическую» систему
481
w
  s −1 m1 −1 w
=  1− s
 z

 

p−2
w 
 − ( p −1) − ( m −1)

 +  (t )u 1 v 1 ( w + w 1 )
 
z
  s −1 m1 −1 z
=  s −1
 w

 

p −2
z 
− ( m −1)  − ( p −1)
( z + z 2 )
 +  (t )u 2 v1 2
 
если  (t ) выбрать так  (t ) =  v
t
m1 −1
( )u
t
p −2
0
 (r ) =
1 p1
r ,
p1
r =
N
x
2
i
(12.51)
( )d =  u m2 −1 ( )v p − 2 ( )d ,
0
, p = p − (n + l ) , s = p
1
p
i =1
Легко видеть, что система (12.51)
автомодельное решение следующего вида
w( , ) = f ( ), z ( , ) =  ( ),  =
имеет
x

N −l
, n + l  p.
p − (n + l )
−1/ p
приближенно
,
(12.52)
а функции f ( ),  ( ) удовлетворяет следующей системе нелинейной
вырождающейся приближенно автомодельной системе уравнений.

1− s
d  s −1 m1 −1 df k
 
d 
d
d 
d k
 1− s   s −1 f m2 −1
d 
d
p−2
df
d
p−2
  df
+  (t ) (t )u 1 −( p −1) v − ( m1 −1) ( f + f 1 ) = 0,
 +
 p d
d   d
+  (t ) (t )v 2 −( p −1)u − ( m2 −1) ( +  2 ) = 0.
 +
d  p d
(12.53)
Если
 (t ) (t )u 1 −( p−1)v − ( m1 −1) → const.,  (t ) (t )v 2 −( p−1)u − ( m2 −1) → const., при t → , (12.54)
система (7) станет автомодельной.
Легко доказать, что если 0   (t )  H , где H - тело Харди, то
выполняется условие (12.54).
Пусть  (t ) = const. Тогда при
(  2 − 1) ( p − (m1 + 1) ) = ( 1 − 1) ( p − (m2 + 1) )
(12.55)
система приближенно-автомодельных уравнений (12.53) превращается в
следующую систему вырождающихся автомодельных уравнений

1− s
d  s −1 m1 −1 df
 
d 
d
d 
d
 1− s   s −1 f m2 −1
d 
d
p−2
p−2
df
d
  df
+ a1 ( f + f 1 ) = 0,
 +
 p d
d   d
+ a2 ( +  2 ) = 0,
 +
d  p d
482
(12.56)
где
a1 = ( 1 − 1)(  2 − 1) / ( 1 − 1)(  2 − 1) − (( m1 − 1)( 1 − 1) + ( p − 2)(  2 − 1)) ,
a2 = ( 1 − 1)(  2 − 1) / ( 1 − 1)(  2 − 1) − (( m2 − 1)(  2 − 1) + ( p − 2)( 1 − 1)) .
Асимптотика автомодельных решений. Теперь займемся
изучением асимптотик финитных решений (решение с компактным
носителем) системы (10). Систему уравнений (10) исследуем
следующими граничными условиями
f (0) = с1  0, f (b) = 0,  (0) = с2  0,  (b) = 0,
(12.57)
где 0  b  +. Существование автомодельного решения задачи (12.56),
(12.57) для случая одного уравнения при n = l = 0, p = 2 изучено в работе
[15, 26, 29-32] и получено условие существования решений с
компактным носителем.
Теперь будем изучать асимптотику решений с компактным
носителем системы (12.56), в случае m1 + p − 3  0, m2 + p − 3  0. Для этого
рассмотрим функции
f ( ) = ( a −   )+ ,  ( ) = ( a −   )+ ,  =
q1
q1 =
q2
( p − 1)( p − (m + 1) ) ,
1
q
q2 =
p
,(n) + = max(0, n),
p −1
( p − 1)( p − (m
2
+ 1) )
q
,
p  m1 + 1, p  m2 + 1, a  0, q = ( p − 2 ) − (m1 − 1)(m2 − 1).
2
Преобразуем систему (10) в удобный для исследований вид, полагая
 f ( ) = f ( ) y1 ( ),

 ( ) =  ( ) y2 ( ),
 = − ln  a − b p −1  ,


p
1
0    a ,
(12.58)
Теорема 12.13. Пусть q1  0, q2  0. Тогда решение с компактным
носителем системы (10) при  → +   → a
1−
1
p

 имеет асимптотику


f ( ) = y10 f ( )(1 + o(1) ) ,  ( ) = y10  ( )(1 + o(1) ) ,
(12.59)
0
где 0  yi  + (i=1,2), когда соблюдается одно из следующих условий:
1)  
i
2−m
и ( y10 , y20 ) являются корнями ( y1 , y2 ) системы нелинейных
p −1
алгебраических уравнений
(y ) (y )
0
2
m1 −1
0
1
p−2
=
1
p −1 ,
p (  q1 )
483
(y ) (y )
0
1
m2 −1
0
2
p−2
=
1
p −1 ,
p (  q2 )


т.е. y = 1  1 
 q   pq 
1
p −2
0
1
1
1
  p − 2 pq p −1 
2


1
 q (  q p ) p −2 
1
 1

m1 − 2
q
p−2
q
 q (  q p ) p−2 
0
y2 =  1 p − 2 1 p −1 
  pq2 


1
,
.
где числа qi , i = 1,2 - были определены выше.
2)  = q − 1 , i = 1, 2, и ( y , y ) является корнями следующей системы
i
i
qi
0
0
1
2
нелинейных алгебраических уравнений
p −1
q1
(y ) (y )
0
2
m1 −1
0
1
a1 ( y10 )
+
a p q1
1 −1
p−2
=
1
p
,
p −1
p −1
q2
(y ) (y )
0
1
m1 −1
0
2
a2 ( y20 )
+
a p q2
 2 −1
p−2
=
1
p p −1
(12.60)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы 1 используем
замену (12.58). В результате автомодельная система (12.56), в силу
преобразования (12.58) приводится к виду:
d
y − q y
s

L1 ( y1 , y2 ) +   ( ) − q1  L1 ( y1 , y2 ) + 1 p −11 1 +
d



a
+ 1p  ( ) ( y1 + 1 ( ) y11 ) = 0,

(12.61)
d
y−q y
s

L2 ( y1 , y2 ) +   ( ) − q2  L2 ( y1 , y2 ) + 2 p −12 2 +
d



a
+ 2p  ( ) ( y2 + 2 ( ) y2 2 ) = 0,

e −
, i ( ) = e − qi ( i −1) , i = 1,2,
где  ( ) =
−
a−e
L1 ( y1 , y2 ) = y
m1 −1
2
L2 ( y1 , y2 ) = y
 dy1

− q1 y1 

 d

m2 −1
1
p−2
 dy2

− q2 y 2 

 d

 dy1

 d − q1 y1  ,


p −2
 dy2

 d − q2 y2  ,


в которой  , qi , ai , i = 1,2 выше определенные числа.
Преобразование (12) позволит свести изучение асимптотики
решений системы (12.56) при  → + к решению системы (12.61) вблизи
+ , удовлетворяющей условию
dyi
− qi yi  0, yi ( )  0, i = 1, 2.
d
Покажем, что решение y1 ( ) , y2 ( ) системы (12.61) имеет при  → +
конечное решение.
Введем обозначение vi ( ) = Li ( y1 , y2 ) , i = 1,2.
484
.
Тогда систему (16) можно переписать в следующем виде
y − q y
a
s

v1 =   ( ) − q1  v1 + 1 p −11 1 + 1p  ( ) ( y1 + 1 ( ) y11 ) = 0,




s

v2 =   ( ) − q2  v1 +


y2 − q2 y2

p −1
+
a2

p
(12.62)
 ( ) ( y2 + 2 ( ) y2  ) = 0,
2
Для анализа решений системы введем вспомогательные функции
s

1 ( 1 , ) = −   ( ) − q1  1 −


s

 2 (  2 , ) = −   ( ) − q2  1 −


y1 − q1 y1

p −1
y2 − q2 y2

p −1
−
−
a1

a2

p
p
 ( ) ( y1 + 1 ( ) y1 ) ,
1
 ( ) ( y2 + 2 ( ) y2  ) ,
2
где i , i = 1,2 -действительные числа. Для каждого значения  i функции
 i ( i , )
сохраняют
свой
знак
на
некотором
интервале
i , +  )  0 , +  ) ( 0  0  i ) и для всех   i , +  ) имеет место одно
из следующих условий: i ( i , )  0, i ( i , )  0.
С учетом теоремы из [13] предел функций vi ( ) находится в
   , +  ) :
i
lim vi ( )  +, lim
v  ( ) = 0.
→+ i
 →+
yi ( ) = yi0  +, lim
yi ( ) = 0.
Таким образом, получим lim
→+
→+
Отсюда мы имеем
lim v1 ( ) =
 →+
 s

y1 − q1 y1 a1

1
= lim
−

(

)
−
q

−
−

(

)
y
+

(

)
y

 = 0,
(
)
1
1
1
1
1

p −1
p
→+







lim v2 ( ) =
 →+
 s

  y2 − q2 y2 a2
2
= lim
−

(

)
−
q

−
−

(

)
y
+

(

)
y

 = 0,
(
)
2 
1
2
2
2

→+
 p −1
p

  

Заметим что при  → +
485
12.63)
qi − 1

 0, if  i  q , i = 1,2,

i
lim

(

)
→
0,
lim

(

)

(

)
=

i
 →+
 →+
 1 , if   qi − 1 , i = 1,2.
i
 a
qi
С учетом последних пределов мы получаем из (12.63) следующую
систему алгебраических уравнений (12.4.14)
(y ) (y )
0
m1 −1
0
2
p −1
q1
(y ) (y )
m1 −1
0
0
2
a ( y0 )
+ 1 1p
a q1
1 −1
p−2
1
=
p−2
1
1
p
p −1
p −1
, q2
= с1 , ( y10 )
m2 −1
m1 −1
1
0
p−2
2
(y ) (y )
0
(y )
0
= с2 ,
a ( y0 )
+ 2 2p
a q2
 2 −1
p−2
2
=
1
p p −1
(12.64)
при  = q − 1 , i = 1, 2.
i
i
qi
Таким образом мы получили асимптотическое представление (12.59).
12.4. Результаты численных экспериментов и визуализации
При численном решении задачи уравнение аппроксимируется на
сетке используя неявную схему переменных направлений (для
многомерного случая) в сочетании с методом баланса. Итерационные
процессы были построены на основе метода Пикара, Ньютона и
специальной методе. Результаты вычислительных экспериментов
показывают, что все перечисленные итерационные методы эффективны
для решения нелинейных задач и приводят к нелинейным эффектам,
если мы будем использовать в качестве начального приближения
решения автомодельные решения, построенные по методу нелинейного
расщепления и методом стандартных уравнений [3,6
Для численного решения задачи применен метод переменных
направлений, со схемой Писмена-Речфорда следующего вида для
первого уравнения системы
𝑟+1⁄2
𝑦𝑖,𝑗
𝑟
−𝑦𝑖,𝑗
0.5⋅𝜏
𝑟+1⁄
𝑟+1⁄2
𝑟
= 1 𝑦𝑖,𝑗+1 2 + 2 𝑦𝑖,𝑗+1
− 𝛾(𝑘 )𝑧𝑖,𝑗
𝑟+1⁄2
𝑟+1
𝑦𝑖,𝑗
−𝑦𝑖,𝑗
=
𝑟+1⁄
1 𝑦𝑖,𝑗+1 2
,
(12.65)
𝑟+1
𝑟+1
+ 2 𝑦𝑖,𝐽+1
− 𝛾(𝑘 )𝑧𝑖,𝑗
.
{
и для второго уравнения системы
0.5⋅𝜏
𝑟+1⁄2
𝑧𝑖,𝑗
𝑟
−𝑧𝑖,𝑗
0.5⋅𝜏
𝑟+1⁄
𝑟+1⁄2
𝑟+1
𝑧𝑖,𝑗
−𝑧𝑖,𝑗
{
0.5⋅𝜏
𝑟+1⁄2
𝑟
= 1 𝑧𝑖,𝑗+12 + 2 𝑧𝑖,𝑗+1
− 𝛾(𝑟)𝑦𝑖,𝑗
=
𝑟+1⁄
1 𝑧𝑖,𝑗+12
,
𝑟+1
𝑟+1
+ 2 𝑧𝑖,𝑗+1
− 𝛾(𝑟)𝑦𝑖,𝑗
.
486
(12.66)
где
𝑟+1⁄2
1 𝑦𝑖,𝑗+1
𝑖 𝑛−𝑙
𝑘+𝑝−2
𝑟+1⁄2
𝑟
𝑟
𝑟
𝑚
−1
1
= 𝑚 +𝑘+𝑝−3 2 [(𝑧𝑖+1 )
(|𝑦𝑖+1,𝑗 + 𝑦𝑖,𝑗 |)
(𝑦𝑖+1,𝑗
2 1
ℎ
𝑘+𝑝−2
𝑟+1⁄
𝑟+1⁄
𝑟+1⁄
𝑟
𝑟
− 𝑦𝑖,𝑗 2 ) − [(𝑧𝑖𝑟 )𝑚1−1 (|𝑦𝑖,𝑗
+ 𝑦𝑖−1,𝑗
|)
(𝑦𝑖,𝑗 2 − 𝑦𝑖−1,𝑗 2 )
𝑘
2 𝑦𝑖,𝑗+1
=
𝑖 𝑛−𝑙
𝑚2 −1
2𝑚2 +𝑝−3 ℎ2
𝑘
[(𝑦𝑖+1
)
𝑚2 −1
− −(𝑦𝑖𝑘 )
𝑝−2
𝑘
(|𝑧𝑖+1
+ 𝑧𝑖𝑘 |)
𝑝−2
𝑘
(|𝑧𝑖𝑘 + 𝑦𝑖−1
|)
i, j = 1,2,..., n − 1,
𝑘+1
(𝑧𝑖+1
− 𝑧𝑖𝑘+1 )
𝑘+1
𝑘+1
(𝑧𝑖,𝑗
− 𝑧𝑖−1
)] − 𝛾(𝑘 )𝑦𝑖𝑘
 = 1,2.
В этой схеме переход от слоя r к слою r+1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе (12.65) определяют промежуточные значения
yir,+j . На втором этапе, пользуясь найденными значениями yir,+j ,
находится yir,+j1 .
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 r +1
r +1
(12.67)
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2
1
1
2
 r + 12
r + 12
y
=

, при i = 0 и i = n1
i
,
j

2
1 r +1

 +  r ) −  2 ( r +1 −  r ) .
(
2
4
1
Введем следующие обозначения y r = y , y r + 2 = y , y r +1 = y .
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений
(12.65,12.66) также применяем итерационный метод и получим схему
где  =
s +1
m −1
 s
s
s
s


=
 y i +1, j + y i , j  y i +1, j + y i , j
0.5   2m+1 h12 


y i, j
1
s
s

−  y i , j + y i −1, j 


m −1
s
s
p−2
y i , j + y i −1, j
s +1
1
s
s

−  y i , j + y i , j −1 


m −1
s
s
y i , j + y i , j −1
p −2
s +1 
 s +1
 y i +1, j − y i , j  −


s +1
s +1
(12.68)
 s +1 s +1   s y i +1, j − y i , j s
+ F i , j = 0,
 y i , j − y i −1, j   − v
h
1

 
m −1
 s
s
s
 s
= m+1 2  y i , j +1 + y i , j  y i , j +1 + y i , j
0.5  2 h2 


y i, j
p −2
p −2
s +1 
 s +1
y
−
 i , j +1 y i , j  −


s +1
s +1
 s +1 s +1   s y i , j +1 − y i , j s
+ Fi , j = 0,
 y i , j − y i , j −1   − v
h
2

 
487
(12.69)
где i, j = 1,2,..., n − 1,  = 1,2 .
s +1
Разностная схема (12.68) относительно y i , j , а в (12.69) относительно
s +1
s +1
y i , j линейна. В качестве начальной итерации в (12.68) для y i , j берется y
0
из предыдущего шага по времени: y i , j = yi , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
i = 1, 2,..., n − 1.
Начальное и краевые условия перепишем следующим образом:
 yi0 = u0 ( x ) ,
 0
zi = v0 ( x ) , x  h ,
 y k +1 =  k +1 , z k +1 =  k +1 , при i = 0 и i = n,
1
i
2
 i
Для решения получающейся системы нелинейных уравнений (12.65)
применяем итерационный метод и получим схему
p −2
 s +1 s
s
 s m1 −1  s
y
−
y
1

 s +1 s +1 
i
i

= m1 + p −3 2  yi +1   yi +1 + yi 
 yi +1 − yi  −
h   
 0.5   2




p −2
m1 −1
1
s

  s +1 s +1  
s  s
s
−  yi   yi + yi −1   yi − yi −1   +  ( k )  zi  ,

  
 
 
 

 s +1 s
 k m2 −1  s s  p −2  s +1 s +1 
 zi − zi
1
= m2 + p −3 2 ( zi +1 )  zi +1 + zi 

 zi +1 − zi  −
0.5


2
h







p −2
m2 −1
2

 s   s s   s +1 s +1  
s
−  zi   zi + zi −1   yi +1 − yi   +  ( k )  yi  .

  
 
 
 

где
i = 1,2,..., n − 1 .
s +1
(12.71)
s +1
Разностная схема (12.71) относительно y i , z i линейна. При счете
по итерационной схеме задается точность итерации и требуется
выполнение условий
s +1
s
max y i − y i   ,
0i n1
s +1
s
max z i − z i  
0i  n1
.
Для численного решения системы (12.68) применяется метод
прогонки.
Результаты вычислительных экспериментов показали, что
итерационные методы эффективны для решения нелинейных задач и
приводят к нелинейным эффектам, если мы будем использовать в
качестве
начального
приближения
автомодельные
решения,
488
построенные по методу стандартных уравнений. Из-за подходящего
выбора начального приближения итерационный процесс сходился
достаточно быстро к решению.
Значения
параметров
t = 20
t = 40
t =1
m1 = 0.7 , m2 = 0.7,
p = 3.3
eps = 10−3 , k=1
 1 = 2.3  0 ,  2 = 2.3  0
m1 = 0.2 , m2 = 0.2,
p = 3.8
time1 ( FRAME + 40)  time2 ( FRAME + 40)
time1 ( FRAME + 0)  time2 ( FRAME + 0)
time1 ( FRAME + 30)  time2 ( FRAME + 30)
eps = 10−3 , k=1
 1 = 2.8  0 ,  2 = 2.8  0
m1 = 1.4 , m2 = 1.4,
p = 2.5
eps = 10−3 , k=1
 1 = 1.667  0
 2 = 1.667  0
m1 = 1.4 , m2 = 1.4,
time1( FRAME + 0)  time2( FRAME + 0)
time1 ( FRAME + 20)  time2 ( FRAME + 20)
time1( FRAME + 40)  time2( FRAME + 40)
,
time1( FRAME + 10)  time2( FRAME + 10)
time1( FRAME + 20)  time2( FRAME + 20)
time1( FRAME + 40)  time2( FRAME + 40)
p=3
k=1, eps = 10
 1 = 1.429  0
−3
,
 2 = 1.429  0
m1 = 0.4 , m2 = 1.4,
time1(FRAME + 20)  time2( FRAME + 20)
time1( FRAME + 40)  time2( FRAME + 40)
time1( FRAME + 0)  time2( FRAME + 0)
p=3
k=1, eps = 10
 1 = 2,581  0 ,
 2 = 0,968  0
−3
time1 ( FRAME + 20)  time2 ( FRAME + 20)
time1( FRAME + 0)  time2( FRAME + 0)
489
time1( FRAME + 40)  time2( FRAME + 40)
m1 = 0.2 , m2 = 0.7,
p=3
k=1, eps = 10
 1 = 4,737  0 ,
−3
 2 = 3,421  0
a)
time1( FRAME + 20)  time2( FRAME + 20)
time1 ( FRAME + 0)  time2 ( FRAME + 0)
time1( FRAME + 40)  time2( FRAME + 40)
Ниже приведены разница меду точными и приближенным решениями
0.8
y
y
y
y
y
y
 0
 10
0.6
y
 20
 50
y
0.4
y
 100
y
0.2
0
− 10
−5
 0 0.6
 10
 20 0.4
 50
 100 0.2
0
− 10
0
5
10
−5
0
x
x
490
5
10
0.8
0.6
0.6
 20
y 0.4
 20
y
0.4
0.2
0.2
0
− 10
−5
0
5
0
− 10
10
−5
0
x
5
10
x
0.8
0.6
0.6
 50
0.4
y
 50
y
0.4
0.2
0.2
0
− 10
−5
0
5
0
− 10
10
−5
x
0
5
10
x
0.8
0.6
0.6
 100
0.4
y
 100
y
0.2
0.2
0
− 10
0.4
−5
0
5
0
− 10
10
x
−5
0
x
491
5
10
Пример 2 Двумерный случай
YY
YY
50  0
50  0
YY
YY
100  0
200  0
492
ГЛАВА 13. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ КРЕСТ-НАКРЕСТ
(CROSSWISE) ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМ
13.1. Глобальная разрешимость задачи Коши и поведение
решений
Рассмотрим в области Q = {( t, x ) : t  0, x  R N } параболическую
систему двух квазилинейных уравнений недивергентного вида
(
(
u
= v m1  u k
t
v
= u m2  v k
t
p−2
p −2
)
v ) ,
u l ,
l
u |t =0 = u0 ( x )  0, v |t =0 = v0 ( x )  0, x  R N
(13. 1)
(13. 2)
где p, m1, m2 , k, l - положительные вещественные числа, u = u ( t , x )  0 ,
v = v ( t , x )  0 - искомые решения.
Эта система была предложена в качестве математической модели
для множества физических задач: например, эту систему можно
использовать для описания развития множественных групп в динамике
биологических групп, где u , v плотности различных групп .
По сравнению с классической дивергентной формой уравнения эта
система более близка к реальным обстоятельствам в некоторых случаях.
Например, для биологических видов, распространение по означает, что
данный вид способен перемещаться ко всем местоположениям в
пределах своей среды с равной вероятностью. Но если мы будем
рассматривать эту проблему с объективными условиями, плотность
популяции будет влияеть на скорость распространения, так что своего
рода "необъективность" уравнения диффузии будет более реалистичной,
для вида диффузии не дивергентной формы, скорость распространения
регулируется плотностью популяции, что возрастает для больших
популяций и снижается для малых популяций.
В работе [Winkler M., 2000, 120 pages] Winkler M. рассмотрел задачу
(13.1)-(13.2). Получены результаты о существовании и единственности
неотрицательных слабых решений, а также показано, что
пространственный носитель решения остается постоянным во времени.
Показано, что в случае стока, решение существует глобально во времени,
и его поведение во времени можно описать точно. При q = p + 1, N = 1
показано, что если длина Ω больше π, то любое решение, развивающееся
из строго положительного значения u0, взрывается за конечное время.
493
Рассмотрена задача Коши для уравнения ut = u p u, p  1, x  R N . В
зависимости от u0 построено глобальное классическое решение, и
показано, что оно единственно. Доказано, что при t→∞ решение u
стремится к нулю.
В работе [Zhou W., Yao Z., 2010, 1679–1686] исследована задачи
Коши
ut = u u xx , x  , t  0,
u ( x,0 )  u0 ( x ) , x  .
,
доказано существование единственного вязкого решения, а в работах
[Wang M., 2002, Pages 424-436], [Wang M.X., Xie C.H., 2004, pp. 741-755]
исследована существование и единственность классического решения
задача Коши для системы уравнений
ut = u1 ( u xx + a v ) , x  , t  0,
vt = v 2 ( vxx + bu ) , x  , t  0,
u  v |  0, t  0,
.
u ( x,0 )  u0 ( x ) , v ( x,0 )  v0 ( x ) , x  .
Доказано локальное существование положительных классических
решений: при {a, b} ≤ λ1 существуют положительные классические
решения, при min {a, b} > λ1 не существует положительных классических
решений.
В работе [Wang M., Wei Y., 2008, P. 621-635] рассмотрена
вырождающаеся
параболическая
система
с
нелинейным
локализованным источником
ut = u ( u + u p ( x, t ) v q ( x0 , t ) ) , vt = v  ( v + v m ( x, t ) u n ( x0 , t ) ) ,
доказано, что система имеет единственное положительное классическое
решение, оценена скорость времени обострения и поведение blow-up
решения. Изучен вопрос установления blow-up решения и скорость
обострения для системы уравнений в радиальной переменной, когда
область имеет вид шара.
В работе [Zhi-wen Duan, Li Zhou, 2000, 263-278] изучается
нелинейная вырождающиеся параболическая система
ut = v1 ( uxx + au ) , vt = u  2 ( vxx + bv )
с граничными условиями Дирихле. Используется метод регуляризации и
методика верхнего-нижнего решения для установления локального
существования
решения
для
нелинейной
вырождающейся
параболической системы. Обсуждается существование глобального
решения, установлены blow-up свойство решения.
494
В работе [Haihua Lu, 2009, 1-14] исследованы положительные
решения вырождающихся квазилинейных параболических систем в
недивергентной форме
uit = fi ( ui +1 )( ui + ai ui ) , x  , t  0, i = 1, 2,..., n − 1,
unt = f n ( u1 )( un + anun ) , x  , t  0
с однородным граничным условием Дирихле и с положительным
начальным условием. Доказаны локальное существование и
единственность
классического
решения.
Показано,
когда
min{a1,..., an}  1 (где 1 является первое собственное значение −  в  с
однородным граничным условием Дирихле), то существует глобальное
положительное классическое решение, и все положительные
классические решения не имеют свойства blow-up. При n 2 выше
приведенная система с однородным граничным условием Дирихле
исследована в работе [Deng W., Li Y., Xie Ch., 2003, 233–244], найдены
необходимые и достаточные условия существования глобального
решения, изучены blow-up решения.
В работе [Chunhua J., Jingxue Y., 2013, 873-893] исследовано
автомодельные решения вырождающегося параболического уравнения в
не дивергентной форме
(
u
= u m div u
t
p−2
)
u , m  1, p  1
Изучены автомодельные решения вида
u ( t , x ) = ( t + 1)
−
f
( ( t + 1)

| x |2
)
Установили существование и единственность решения с
компактным носителем.
В работе [Raimbekov J.R., 2015, 192-200] исследуются некоторые
свойства решений задачи Коши для нелинейного параболического
уравнения в не дивергентной форме с переменной плотностью
( p − 2 )( N + n ) + p + n
n u
p −2
x
= u m div u
u , p  1, 0  m 
и
t
p−N
найдено автомодельное решение типа Баренблатта-ЗельдовичКомпанееца, доказана асимптотика автомодельных решений в случае
быстрой и медленной диффузии, а также приводятся результаты
численных расчетов, подтверждающих наличие свойства конечной
скорости распространения тепла и пространственной локализации
решения задачи Коши.
Асимптотике параболического уравнения не дивергентного вида
(
)
495
(
ut' = u m div u
p −2
)
u +  u q , m  1, p  1, q  0,   0
с граничными условиями Дирихле посвящена работа [Jin, Yin, 2016,-7],
где изучаются три случая в зависмости от значений числовых
параметров и доказана устойчивость стационарных состояний,
обсуждена асимптотическая устойчивость решения с периодическим
источником.
В работах [Wang Ch., Yin J., 2004, 387–404] исследована задача Коши
для уравнения ut = u ( uxx + au ) . Доказано существование глобального
решения, изучены асимптотические свойства решений.
Свойства конечной скорости распространения возмущения и
асимптотика автомодельных решений для дивергентных систем
рассмотрены в работах [Aripov M., Sadullaeva Sh.A., 2015, p. 1-10; Aripov
M., Sadullaeva Sh.A., 1090-1099; Rakhmonov Z., 2016, 236–245].
В работах [Aripov M., Sadulaeva Sh.A., 2013, P. 157-167] в случае
 i  1 , преобразованием
1
vi ( x, t ) = (1 − k )
1− i
i
система уравнений
(
ui1− i ( x, t )
)
ui

qi
= ui i  ui ui +  u3−
i
t
редуцируется к системе с двойной нелинейностью в дивергентной форме
и исследована качественные свойства решений.
В работе [Gao Y., Meng Q., Guo Y., 2016, pp. 1-4] Gao и др.
рассмотрели
следующие
вырожденные
и
квазилинейные
параболические системы в не дивергентной форме
uit uipi ui aiui 1 , i 1, 2,..., m, um 1 u1,
ui x , 0 ui0 x , i 1, 2,..., m, x
,
ui x , t
0, i 1, 2,..., m, x
, t 0
с нулевыми граничными условиями Дирихле и положительными
начальными условиями. Эта система была предложена в качестве
математической модели для множества физических задач. Например, эту
систему можно использовать для описания развития множественных
групп в динамике биологических групп, где u , v плотности различных
групп. В этой работе доказаны локальное существование и
единственность классического решения. Более того, доказано, что все
решения существуют глобально с однородным граничным условием
Дирихле.
496
По сравнению с классической дивергентной формой уравнения
более близки к реальным обстоятельствам в некоторых случаях.
Например, для биологических видов, распространение в дивергентной
форме означает, что данный вид способен перемещаться ко всем
местоположениям в пределах своей среды с равной вероятностью, но
если мы будем рассматривать эту проблему с объективными условиями,
плотность популяции будет влиять на скорость распространения, так что
своего рода "необъективность" уравнения диффузии будет более
реалистичной, для вида диффузии недивергентной формы, скорость
распространения регулируется плотностью популяции, что возрастает
для больших популяций и снижается для малых.
Ниже построены асимптотические представления автомодельных
решений задач (1), (2). В зависимости от значения числовых параметров,
найдены необходимые и достаточные признаки их существования.
Изучаются случаи быстрой и медленной диффузии.
Для построения автомодельных систем предлагается алгоритм
нелинейного расщепления [АрипМон], для чего решение системы (13.1)
ищется в виде
u ( t, x ) = ( T + t )
−1
w ( , x ) ,
v ( t, x ) = ( T + t )
− 2
 ( , x ) ,
(13.3)
где
 ( T + t )1−1( k( p−2 )+l−1)− 2m1

,
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0,
1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1

 ( t ) =  ln ( T + t ) ,
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1 = 0,

1− ( k ( p − 2 )+ l−1)− 2m1
T + t) 1

(
− 1 −  k p − 2 + l − 1 −  m , при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0.
)
) 2 1
1( (

В дальнейшем система (13.1) исследуется при выполнении условий
(
)
(
)
1 k( p−2)+l−1 +  2 m1 =  2 k( p−2)+l−1 + 1m 2 , 1  0,  2  0.
Тогда относительно ( w,  ) получим систему уравнений
(
 ( 
)
 ) + c  w,
p−2
w
= m1 w k w l + c1−1w,


= w m2

k p−2
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0,
497
−1
l
2
(13.4)
(
 ( 
)
 ) − c  w,
p−2
w
= m1 w k w l − c1−1w,


= w m2

k p−2
(13.5)
−1
l
2
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0,
(
 ( 
)
 ) + c ,
p−2
w
= m1 w k w l + c1w,


= w m2

k p−2
(13.6)
l
2
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1 = 0.
Здесь
i

1 −  ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  m , при 1 − i ( k ( p − 2 ) + l − 1) − 3−i mi  0,
i
3−i i
сi = 
 ,
при 1 − i ( k ( p − 2 ) + l − 1) − 3−i mi = 0 (i = 1,2).
 i
Введя в (13.4)-(13.6) преобразование
(13.7)
w(, x) = f (), (, x) = (),
 −1
p

при 1 −  i ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  3−i mi  0,
x  ,
= N
 i x i − , при 1 −  i ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  3−i mi = 0 (i = 1,2),

 i=1
где  − автомодельная переменная, получим автомодельную систему
уравнений
k

1 df
m1 1− N d
N −1 df

 + 
p d
d 
d

p−2
df l 
 + с1f = 0,
d 

k

1 d
m 2 1− N d
N −1 d

 +f 

p d
d 
d

p−2
d 
 + с1 = 0,
d 

k

1 df
m1 1− N d
N −1 df

 + 

p d
d 
d

p−2
df l 
 − с1f = 0,
d 

1 d
d 
d k
 + f m2 1− N   N −1
p d
d 
d

p−2
d 
 − с1 = 0,
d 

при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0,
при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1  0,
498
(13.8)
l
l
(13.9)
 df k
df
m1 d

+ 
d
d  d

p−2
df l 
 + с1f = 0,
d 

d  d k

d  d

p−2
d 
 + с1 = 0,
d 

d
+ f m2
d
(13.10)
l
p
2

при 1 − 1 ( k ( p − 2 ) + l − 1) −  2m1 = 0. Здесь  =   i2  .
 i=1 
N
f ( 0 ) = M1  0,  ( 0 ) = M 2  0, f ( d1 ) =  ( d 2 ) = 0, 0  d1  , 0  d 2   .
(13.11)
Покажем, что она будет асимптотикой решений задачи (13.5), (13.6).
Глобальная разрешимость задачи
Рассмотрим функцию

fi (  ) = Ai  a − 


k p − 2 + l−1
A i ( ) A 3m−ii
i =
p

p −1


+
( p−1)( k( p−2 )+l−1−mi )
( k( p−2 )+l−1)2 −m1m2
, (i = 1,2), a  0,
p −1
p −1
= 2
p l (  i ( k ( p − 2 ) + l ) − ( p − 1) ) pk i
p−2
( p − 1) ( k ( p − 2 ) + l − 1 − mi )
2
( k ( p − 2 ) + l − 1) − m1m 2
p


f i () = f i ()yi (),  = −ln  a −  p−1  ,




(13.13)
p −1
p

 p+i −2
p−1
где fi (  ) = Ai  a −  
, (i = 1,2), a  0,




y1 ( ) , y 2 ( ) – искомые функции.
Теперь займемся асимптотикой решений системы уравнений (13.10p −1
13.12) при  → a p .
После преобразования (13. 13) системы (13.10-13.12) примет вид
y3−i i
d  dyi

+ a i0 ( ) yi
d  d

p−2
 dyi

 dyi

+
a

y
 d i0 ( ) i   + a i2 ( )  d + a i0 (  ) yi  +




p−2
 dy
 dy

i
i
+a i1 ( ) y3−i 
+ a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi   + a i3 (  ) yiqi + a i4 (  ) yi = 0
 d
 d
 

499
(13.14)
(i = 1,2).
В которой a i0 () = −
p −1
,
p + i − 2
 N ( p − 1) e−
( p − 1)(1 −  i ) , при 1 − n p − 2 − n   0,
−
) 21

1(
−
p
p
+

−
2
a
−
e
i

a i1 () = 
−
 ( p − 1) e − ( p − 1)(1 −  i ) ,
при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1 = 0,
 p a − e −
p + i − 2

p −1
 ( p − 1)p−1 −1 − 2−p
−
−
i
p e − bi1 , при 1 − n p − 2 − n   0,
i A3−i Ai a − e

) 21
1(
p
p


p −1
p −1
−
 ( p − 1)
−1 − i 2− p
−
p e − bi1 , при 1 − n p − 2 − n   0,
a i2 () = −
i A3−i Ai a − e
) 21
1(
p
p

 p − 1 p−1
p −1
−
(
)
−
−
1
−
1
2
−
p
−
i
p e − bi1 , при 1 − n p − 2 − n  = 0,

i  A3−i Ai a − e
) 21
1(
p
 p

− bi 2
  p − 1 p
− i 1+ qi − p e
−1
− 
, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0,
 i  i A 3−i A i
a − e −
  p 

p
− bi 2
 p − 1  −1
− i 1+ qi − p e
a i3 () = 
, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0,
 i  i A 3−i Ai
−
p
a
−
e



p

− bi 2
 p − 1  −1 −1 A −i A1+qi −p e
, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1 = 0,
i
3−i i
 p  i
a − e −

−(1+ bi1 )
 p − 1  p
− i 2− p e
−1

, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0,
 i  i A 3−i A i
a − e −
 p 

p
−(1+ bi1 )
  p − 1  −1
− i 2− p e
a i4 () = − 
, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0,
 i  i A 3−i A i
−
p
a
−
e



p

−(1+ bi1 )
 p − 1  −1 −1 A −i A 2−p e
, при 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1 = 0,
i 3−i i
 p  i
a − e −

( p − 1)  i − ( p − 1)  i , b = 1 + ( p − 1)(  i + qi − 1) − ( p − 1)  i i = 1,2 .
bi1 =
(
)
i2
p +  i − 2 p +  3−i − 2
p + i − 2
p +  3−i − 2
(
)
(
)
(
)
(
)
Здесь предполагалось   [0 , 1 ), 0  0  1 , 1 = a
500
p −1
p
.
Поэтому функция () обладает свойствами:  '()  0 при
  [ 0 , 1 ) , 0 = ( 0 )  0 , lim () = + .
→1
Всюду в дальнейшем вспомогательная система уравнений (13.14)
исследуется
при
следующем
ограничении:
0
lim a ij () = a ij
(i = 1, 2; j = 0,1,2,3,4) существуют, конечны и отличны от
→+
нуля, т.е. 0  a ij0  + .
В силу введенных преобразовании (13.5), (13.9), (13.13) и свойства
 → + , изучение решений системы (13. 1) сводится к изучению тех
решений системы (13.14), каждое из которых в некоторой окрестности
+ удовлетворяет неравенствам yi ()  0,
yi' + a i0 () yi  0 (i = 1, 2).
Займемся теперь исследованием асимптотики положительных,
имеющих отличный от нуля конечной предел при  → + решений
системы (13.14).
Основные результаты.
Введем обозначения:
( p − 1)
ci1 = −
(p +
p
p −1
−
− i 2− p
A3−i Ai a p
 i − 2 p pi
)
p − 1 (1 −  i )
p − 1) A 3−−ii A1i +qi −pi
(
, ci2 =
, ci3 = −
,
p + i − 2
p pia
p
p
Пусть yi () = yi0 + o (1) при  → + , где 0  yi0  + (i=1,2) и
выполняется равенство ( q1 − 1)( p − 2 − 1 ) = ( q 2 − 1)( p − 2 −  2 ) . Тогда
справедливы следующие теоремы:
Теорема 13.1.
Пусть 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0 . Тогда автомодельное решение системы
уравнения (13.10) при  → a
p −1
p

fi () = Ai  a − 


имеет следующий вид
p
p −1
p −1
p
+
 i −2



(y
0
i
+ o (1)
)
(13.15)
где yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i (i=1,2) системы
нелинейных алгебраических уравнений
13. ci1 + ci2zip−2z3−i i + ci3ziqi −1 = 0 при 1 =  2 и bi2 = 0 (i=1,2).
501
13. ci1 + ci2zip−2z3−i i = 0 при 1 =  2 и bi2  0 (i=1,2).
3. ci2zip−1z3−i i + ci3ziqi −1 = 0 при b i1  0 и bi2 = 0 (i=1,2).
Следовательно, обобщенное решение системы уравнения (13.1)
p −1 1
p p
имеет асимптотику при x → a  и имеет следующий вид
u iA ( t, x ) = Ai2 ( T + t )
−
1
1−qi
p−1
p
 p+i −2
 p−1

a −  x
 1/p 

 






(y
0
i
+ o (1)
)
i = 1,2.
Теорема 13.2. Пусть 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1  0 . Тогда автомодельное
p −1
p
решение системы уравнения (13.11) при  → a
имеет вид (13.15), где
yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i (i=1,2) системы
нелинейных алгебраических уравнений
13. ci1 − ci2zip−2z3−i i + ci3ziqi −1 = 0 при 1 =  2 и bi2 = 0 (i=1,2).
13. −ci1 + ci2zip−2z3−i i = 0 при 1 =  2 и bi2  0 (i=1,2).
3. ci2zip−1z3−i i − ci3ziqi −1 = 0 при b i1  0 и bi2 = 0 (i=1,2).
Следовательно, обобщенное решение системы уравнения (13.1)
p −1 1
p p
имеет асимптотику при x → a  и имеет следующий вид
u iA ( t, x ) =
Ai2
(T + t )
−
1
1−qi
p−1
p
p
+
 i −2
 p−1

a −  x
 1/p 

 






(y
0
i
+ o (1)
)
i = 1,2.
Теорема 13.3.
Пусть 1 − n1 ( p − 2 ) − n 2 1 = 0 . Тогда автомодельное решение системы
p −1
p
уравнения (13.12) при  → a имеет вид (13.15), где yi0 (i=1,2) являются
соответственно корнями z i (i=1,2) системы нелинейных алгебраических
уравнений
13. ci1 + ci2zip−2z3−i i − ci3ziqi −1 = 0 при 1 =  2 и bi2 = 0 (i=1,2).
13. −1ci1 + ci2zip−2z3−i i = 0 при 1 =  2 и bi2  0 (i=1,2).
502
3. ci2zip−1z3−i i − ci3−1ziqi −1 = 0 при b i1  0 и bi2 = 0 (i=1,2).
Следовательно, обобщенное решение системы уравнения (13.1)
N
имеет асимптотику при
 x
i =1
u iA ( t, x ) =
Ai2
(T + t )
−
i i
1
1−qi
→a

a −



p−1
p
+  и имеет следующий вид
N
 i x i − 
p −1
p
 p+i −2
p −1




i =1
(y
0
i
+ o (1)
)
i = 1,2.
Доказательство. Полагая в системе (13.13)

 dy

dy
vi () = i + a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi  (i=1,2)
d
 d

(13.24)
получим тождество
vi' ()
1
+
 −a i1 ()vi () − a i2 ()vi 1 () − a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i
(i = 1,2).
(13.25)
Рассмотрим теперь функцию
gi (i , ) 
1
+
−a i1 ()i − a i2 ()i 1
− a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i (i = 1,2), (13.26)
где  i  R, (i=1,2).
Пусть сначала s i = 0 (i=1,2). Тогда функция g i ( i , ) (i=1,2)
сохраняет знак на некотором промежутке  1, +  )  0 , +  ) при каждом
фиксированном значении  i (i=1,2), отличном от значений
удовлетворяющих системе
−a i10 i
1
0 +1
− a i2i
( ) (y )
0
− a i3
yi0
− i
( )
qi
0
3−i
0
− a i4
yi0
1− i
= 0 (i = 1,2) .
Пусть теперь s i  0 (i=1,2). Легко видеть, что функция g i ( i , )
(i=1,2) при каждом фиксированном значении  i (i=1,2), отличном от
значений удовлетворяющего систему
0
−a i1
i
1
0 +1
− a i2 i
( )
0
− a i4
yi0
1−i
= 0 (i = 1,2)
сохраняет знак на промежутке  2 , +  )  0 , +  ) .
А в случае s i  0 (i=1,2) функцию g i ( i , ) (i=1,2) перепишем в
следующим виде
g i (i , ) =
1
+
−a i1 ()i − a i2 ()i 1
(
)
−1
− a i3 ()y1i −i yi y3q−i i − a i4 ()a i3
() (i = 1,2).
Отсюда ввиду
503
lim a i1 () = −
→+
(  + 1)(1 −  i )
 + i
1   +1 
, lim a i2 () =


→+
 + 2  b ( + 2) 
lim a i3 () =  , lim a i4 () = 0
→+
→+
+1
i−1 ,
(i = 1, 2 )
следует, что функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на промежутке
2 , +  )  0 , +  ) , где i  0 (i=1,2). Значит, функция g i ( i , ) (i=1,2) для
всех   i , +  ) (i=1,2) удовлетворяет одному из неравенств
g i ( i , )  0 или gi (i , )  0 (i=1,2).
(13.27)
Допустим теперь, что для функции vi () (i=1,2) предел при  → +
не существует. Рассмотрим случай, когда выполнено одно из неравенств
(13.27). В силу колеблемости функции vi () (i=1,2) прямую vi = i
(i=1,2) ее график бесконечное число раз пересекает на интервале  i , +  )
(i=1,2). Но это невозможно, так как на интервале  i , +  ) (i=1,2)
справедливо одно из неравенств (13.27) и поэтому из тождества (13.26)
следует, что график функции vi () (i=1,2) пересекает прямую vi = i
(i=1,2) только один раз на интервале  i , +  ) (i=1,2). Следовательно, для
функции vi () (i=1,2) существует предел при  → + .
По предположению yi () (i=1,2) имеет представления (13.14), а
функция vi () (i=1,2) определена согласно (13.24) и имеет предел при
 → + . Тогда
y'i () (i=1,2) имеет предел при  → + , причем равный

 dy

dy
0 0  0 0
нулю. Тогда vi () = i + a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi  = a i0
yi a i0 yi + o (1)
d
 d

(i=1,2) при  → + и в силу (13.25) производная функции vi () (i=1,2)
имеет предел, при  → + , который очевидно равен нулю.
Следовательно, необходимо, чтобы
1


lim  a i1 ()vi () + a i2 ()vi+1 () + a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i  = 0 (i = 1,2).

→+ 


Отсюда легко убедиться в том, что при si  0, − n i (  i +  ) + 1  0 (i=1,2)
система (13.13) не может иметь решения ( y1 (), y 2 () ) с конечным не
равным нулю пределом, при  → + , а при si  0, − n i (  i +  ) + 1  0 (i=1,2)
для существования таких решений необходимо, чтобы соблюдалось
условие теоремы 13.1, 13.2 и при − n i (  i +  ) + 1 = 0 для существования
таких решений необходимо, чтобы соблюдалось условие теоремы 13.3.
504
Следовательно, в силу введенных преобразований (13.4), (13.8),
(13.12) решение системы уравнения (13.1) имеет асимптотику при
+1
 a  +2
 →   и имеет вид (13.14).
b
Теоремы доказаны.
13.2. Асимптотическое поведение решений нелинейных
параболических систем уравнений недивергентного вида с
источником или поглощением в одномерном случае
В данном параграфе исследуются в области Q={(t,x): 0< t < , xR1}
качественные свойства решений следующих двух квазилинейных
уравнений
недивергентного
вида,
описывающие
диффузии
биологических видов
 u  u 
u
1 
q
=u

 +  v 1 ,
t
x  x x 
(13.28)
 v  v 
v
2 
q2
=v

+u ,
t
x  x x 
где ,  i , q i (i = 1, 2) -положительные вещественные числа,  = 1,
u = u ( t , x )  0, v = v ( t , x )  0 - искомые решения.
Система уравнений (13.28) описывает многие физические явления.
В частности, при q =  + 1,0    1 для одного уравнения в (13.28)
соответствует частному случаю известного уравнения пористой среды
[2,3], при q = 2 появление в физике плазмы показано в [4].
q
q
Члены  v 1 ,  u 2 соответствуют наличию источников (=+1) или
q
q
стоков (=-1), мощности которых равны v 1 , u 2 .
Задача Коши и краевые задачи для одного уравнения
недивергентного вида в одномерном и многомерном случаях
исследованы многими авторами [5-11]. В работах [5,10] задача Коши для
одного уравнения исследована при q =  + 1,  = 0 в (13.1). Доказано
существование глобального решения, изучены асимптотические
свойства решений. В работах [6,7] задача Коши для одного уравнения
исследована при q = 0,  = 0 в (13.28). Доказано существование
единственного вязкое решения [6], изучены некоторые свойства
асимптотических решений [7]. В работах [8,9] задача Коши для одного
уравнения исследована при  = 0 в (13.1), изучена свойства blow-up и
505
асимптотическое поведения решений. В работе [11] задача Коши для
одного уравнения исследована при q = 0 в (13.28), изучена
асимптотическое поведения решений, исследованы случаи быстрой и
медленной диффузии.
В настоящей работе построены асимптотические представления
автомодельных решение системы (13.28), найдены необходимые и
достаточные признаки их существования.
Для исследования решений нелинейной параболической системы
уравнений (13.1) предлагается алгоритм нелинейного расщепления [1],
применение которого приводит системы уравнений (13.28) к
автомодельному виду.
Для того чтобы получить автомодельную систему уравнения для
(13.28), сначала решается система обыкновенных дифференциальных
уравнений
du
= v q1 ,
dt
dv
= u q2 ,
dt
(13.29)
которая имеет решения вида
, T  0,
(13.30)
u ( t ) , v ( t ) -представляют
Здесь функции
собой «вклады»
источников или стоков в решение системы (13.28).
Подставляя (13.30) в (13.29) получим
1
1
 (1 + q1 )
 (1 + q 2 )
n1 =
, n2 =
, A1 =  n1 q1q2  n 2  q2 ,
−q1q 2
−q1q 2
u ( t ) = A1 ( T + t )
n1
, v ( t ) = A 2 ( T + t )
1
n 2
1
A 2 =  n 2 q1q2  n1  q1 .
Введем в (13.28) преобразование
u ( t, x ) = u ( t ) w1 ( , x ) ,
(13.31)
v ( t, x ) = v ( t ) w 2 ( , x ) ,
где
( t ) =
A11 +
( T + t )n (  +)+1
n1 ( 1 +  ) + 1
1
1
и
при
соблюдении
условия
n1 ( 1 +  ) = n 2 (  2 +  ) , получим относительно w1 , w 2 систему уравнений
506
w1
  w1
= 1w11


x  x
w 2
= 2 w 2 2


  w 2

x  x
−( + ) +
Здесь i = A1 1 Ai i ,
w1 
q
−1
 + 1 w 21 − w1 ,
x 
(
)

w 2 
q
−1
 +  2  w1 2 − w 2 .
x 
ni
i =
(i = 1,2) .
( n i (  + i ) + 1) i
(
)
(13.32)
Полагая далее в ( 13.32)
−
1
+ 2
w1 (, x) = f1 (), w 2 ( ,x ) = f 2 (  ) ,  = x
(13.33)
где  − автомодельная переменная, получим автомодельную систему
уравнений
 df
dfi
1
i d
 i

+ i fi
 + 2 d
d  d


df i 
 +  i f3q−i i − fi = 0,
d 

(
)
(i = 1, 2) (13.34)
Ниже займемся изучением асимптотики решений автомодельных
уравнений для системы (13.34). Для чего преобразуем исходную систему
к относительно легко поддающемуся исследованию виду.
Для получения такой вспомогательной системы уравнений
применим к уравнению ( 13.34) следующее преобразования
+ 2


f1 () = f 1 ()y1(), f 2 () = f 2 ()y 2 (),  = −ln  a − b +1  , (13.35)




+ 2
− b +1
+1
+
 i

fi (  ) =  a
, (i = 1,2), a  0, b  0,
y1 ( ) , y 2 ( ) -искомые




функции.
Теперь займемся асимптотикой решений системы уравнения (13.34)
при  →  .
После преобразования (13.35) система (13.34) примет вид
где
yii

 dy

 dy

d  dyi

+ a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi   + a i2 ( )  i + a i0 ( ) yi  +
d  d
 d
 
 d



 dy
 dy

+a i1 ( ) yii  i + a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi   + a i3 ( ) y3q−i i + a i4 ( ) yi = 0
 d
 d
 

(i = 1,2).
507
(13.36)
 +1
 + 1 e−
(  + 1)(1 −  i ) ,
, a i1 () =
−
В которой a i0 () = −
−
 + i
+2 a −e
 + i
1   +1 
a i2 () =


 + 2  b ( + 2) 
  +1 
a i4 () = 

 b ( + 2) 
+1
  +1 
i−1 , a i3 () = 

 b ( + 2) 
+ 2
i−1 i
+ 2
bi−1 ie −si
,
a − e −
(  + 1) qi (  + 1)
be −
,
s
=
1
+
−
i
 +  3− i
 + i
a − e −
( i = 1, 2 ) .
+1
 + 2
a
Здесь предполагалось   [0 , 1 ), 0  0  1 , 1 =  
b
Поэтому функция () обладает свойствами:  '()  0 при
  [ 0 , 1 ) , 0 = ( 0 )  0 , lim () = + .
→1
Всюду в дальнейшем вспомогательная система уравнений (13.36)
исследуется при следующем ограничении:
lim a ij () = a ij0
(i = 1, 2; j = 0,1,2,3,4)
→+
существуют, конечны и отличны от нуля, т.е. 0  a ij0  + .
В силу введенного преобразования (13.31), (13.33), (13.35) и
свойства  → + , изучение решений системы (13.28) сводится к
изучению тех решений системы (13.36), каждое из которых в некоторой
окрестности + удовлетворяет неравенствам
yi ()  0,
yi' + a i1() yi  0 (i = 1, 2)
Займемся теперь исследованием асимптотики положительных,
имеющих отличный от нуля конечной предел при  → + решений
системы ( 13.36).
Основные результаты.
Введем обозначения:
ci1 =
1
(  + 2) (  + i ) b
+ 2
, ci2 =
+1
i − 1
( + i )
, ci3 = −
+ 2
i
ab+1 (  + 2 )
(i = 1,2 ).
С учетом вышеизложенного доказана следующая теорема:
Теорема 13.5.
Пусть (1 + q1 )( 1 +  ) = (1 + q 2 )(  2 +  ) . Тогда для
существования у системы (13.9) решений ( y1 (), y 2 () ) вида
yi () = yi0 + o(1),  → + (i=1,2)
508
(13.37)
где 0  yi0  + (i=1,2,3), необходимо, чтобы соблюдалось одно из
следующих условий:
1. si = 0 и yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i (i=1,2)
системы нелинейных алгебраических уравнений
ci1 + ci2 zi+i + ci3zi z3q−i i = 0
(i=1,2).
(13.38)
2. s i  0 и yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i (i=1,2)
системы нелинейных алгебраических уравнений
ci1 + ci2zi+i = 0
(i=1,2).
(13.39)
3. s1 = 0,s 2  0 и yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i
(i=1,2) системы нелинейных алгебраических уравнений
c11 + c12 z1+1 + c13z1z q21 = 0,
2
c21 + c22 z+
2
(13.40)
=0
4. s1  0,s 2 = 0 и yi0 (i=1,2) являются соответственно корнями z i
(i=1,2) системы нелинейных алгебраических уравнений
2
c21 + c22 z+
+ c23 z 2 z1q2 = 0,
2
(13.41)
c11 + c12 z1+1 = 0.
Доказательство. Предположим, что система (13.9) имеет решение
( y1 (), y2 () ) вида (13.37). Подставляя это решение в систему (13.9) и
полагая

 dy

dy
vi () = i + a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi  (i=1,2)
d
 d

(13.42)
получим тождество
1
vi' ()  −a i1 ()vi () − a i2 ()vi+1 () − a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i
(i = 1,2).
(13.43)
Рассмотрим теперь функцию
1
+
−a i1 ()i − a i2 ()i 1
gi (i , ) 
− a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i (i = 1,2), (13.44)
где  i  R, (i=1,2).
Пусть сначала s i = 0 (i=1,2). Тогда функция g i ( i , ) (i=1,2)
сохраняет знак на некотором промежутке  1, +  )  0 , +  ) при каждом
509
 i (i=1,2),
фиксированном значении
удовлетворяющих системе
−a i10 i
1
0 +1
− a i2 i
отличном
( ) (y )
0
− a i3
yi0
−i
( )
qi
0
3 −i
0
− a i4
yi0
1−i
от
значений
= 0 (i = 1,2) .
Пусть теперь s i  0 (i=1,2). Легко видеть, что функция g i ( i , )
(i=1,2) при каждом фиксированном значении  i (i=1,2), отличном от
значений удовлетворяющих систему
0
−a i1
i
1
0 +1
− a i2 i
( )
0
− a i4
yi0
1−i
= 0 (i = 1,2)
сохраняет знак на промежутке  2 , +  )  0 , +  ) .
А в случае s i  0 (i=1,2) функцию g i ( i , ) (i=1,2) перепишем в
следующим виде
gi (i , ) =
1
+
−a i1 ()i − a i2 ()i 1
(
−1
− a i3 ()y1i −i yi y3q−i i − a i4 () a i3
()
)
(i = 1,2).
Отсюда ввиду
lim a i1 () = −
→+
(  + 1)(1 −  i )
 + i
1   +1 
, lim a i2 () =


→+
 + 2  b ( + 2) 
lim a i3 () =  , lim a i4 () = 0
→+
→+
+1
i−1 ,
(i = 1, 2 )
следует, что функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на промежутке
2 , +  )  0 , +  ) , где i  0 (i=1,2). Значит, функция g i ( i , ) (i=1,2) для
всех   i , +  ) (i=1,2) удовлетворяет одному из неравенств
g i ( i , )  0 или gi (i , )  0 (i=1,2).
(13.45)
Допустим теперь, что для функции vi () (i=1,2) предел при  → +
не существует. Рассмотрим случай, когда выполнено одно из неравенств
(13.45). В силу колеблемости функции vi () (i=1,2) прямую vi = i
(i=1,2) ее график бесконечное число раз пересекает на интервале  i , +  )
(i=1,2). Но это невозможно, так как на интервале  i , +  ) (i=1,2)
справедливо одно из неравенств (13.45) и поэтому из тождества (13.44)
следует, что график функции vi () (i=1,2) пересекает прямую vi = i
(i=1,2) только один раз на интервале  i , +  ) (i=1,2). Следовательно, для
функции vi () (i=1,2) существует предел при  → + .
По предположению yi () (i=1,2) имеет представления (13.37), а
функция vi () (i=1,2) определена согласно (13.42) и имеет предел при
 → + . Тогда
y'i () (i=1,2) имеет предел при  → + , причем равный
510

dy
 dy

0 0 +1
нулю. Тогда vi () = i + a i0 ( ) yi  i + a i0 ( ) yi  = a i0
yi
+ o (1)
d
 d

(i=1,2) при  → + и в силу (13.43) производная функции vi () (i=1,2)
имеет предел, при  → + , который очевидно равен нулю.
(
)
Следовательно, необходимо, чтобы
1

+
lim  a i1 ()vi () + a i2 ()vi 1 () + a i3 ()yi−i y3q−i i − a i4 ()y1i −i
→+ 


=0


(i = 1,2).
Отсюда легко убедиться в том, что при s i  0 (i=1,2) система (13.36) не
может иметь решения ( y1 (), y 2 () ) с конечным не равным нулю
пределом, при  → + , а при s i  0 (i=1,2) для существования таких
решений необходимо, чтобы соблюдалось одно из условий теоремы.
Теорема доказана.
13. 3 Эффект конечной скорости распространения возмущения
для модели крест-накрест диффузионных систем с источником
или с поглощением в многомерном случае
В данном параграфе исследуются в области Q = {( t, x ) : t  0, x  R N }
качественные свойства решений следующей задачи
u
v
= v1  ( u m1 −1u ) +  u 1 ,
= u  2  ( v m2 −1v ) +  v  2 , (13.451)
t
t
(13.46)
u |t =0 = u0 ( x )  0, v |t =0 = v0 ( x )  0, x  R N
где m1 , m2 , 1 , 2 , 1 , 2 -положительные вещественные числа,  = 1,
u = u ( t , x )  0, v = v ( t , x )  0 -искомые решения.
В этой параграфе обсуждается глобальная разрешимость слабого
обобщенного решения для нелинейной системы, в зависимости от
значения численных параметров.
Для построения автомодельных систем предлагается алгоритм
нелинейного расщепления [7], для чего решение системы (13.28) ищется
в виде
−n
−n
u ( t, x ) = A1 ( T + t ) 1 w ( , x ) , v ( t, x ) = A 2 ( T + t ) 2  ( , x ) , ( 13.47)
где n i = −  , A i = ( n i )1/ (i −1) ,
i − 1
511
 ( T + t )1+1n 2 +n1 ( m1 −1)

, при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
1
+

n
+

n
m
−
1
(
)

1 2
1
1

 ( t ) =   ln ( T +  t ) ,
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1) = 0,

1+1n 2 +n1 ( m1 −1)
 (T + t )
− 1 +  n + n ( m − 1) , при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0.
1 2
1
1

Здесь i  1, при  = +1, и i  1, при  = −1.
В дальнейшем система (1) исследуется при выполнении условий
n1 ( m1 − 1) + n 2 1 = n 2 ( m 2 − 1) + n1 2 .
Тогда относительно ( w,  ) получим систему уравнений
n1
w
= b11  w m1 −1w +
−1 w 1 − w ,

1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)
(13.48)
n

2
= b 2 w 2  m2 −1 +
−1 2 −  ,

1 +  2 n1 + n 2 ( m 2 − 1)
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
n1
w
−
= b11  w m1 −1w −
−1 w 1 − w ,

1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)
(13.49) при
n

2
−
= b 2 w 2  m2 −1 −
−1 2 −  ,

1 +  2 n1 + n 2 ( m 2 − 1)
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
w
= b11  w m1 −1w + n1 w 1 − w ,

(
)
(
)

= b 2 w 2  m2 −1 + n 2 2 −  ,

(
)
(
)
(13.50)
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1) = 0 , где bi = Aimi −1A3−i i (i = 1, 2).
Введя в (13.4)-(13.6) преобразование
w(, x) = f (), (, x) = (),
(13.51)
 −1
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
 x  2 ,
=
N
c −  i x i , при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1) = 0,

i =1
где  − автомодельная переменная, получим автомодельную систему
уравнений
512
1 1− N
d  N −1 m1 −1 df   df
 f
+
+ d1 f 1 − f = 0,


d 
d  2b1 d
(
)
d  N −1 m2 −1 d 
 d
f 
 
+
+ d 2 2 −  = 0,


d 
d  2b 2 d
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
(
 2 1− N
1 1− N
)
d  N −1 m1 −1 df   df
 f
−
− d1 f 1 − f = 0,


d 
d  2b1 d
(
)
d 
d   d
f 2 1− N   N −1m2 −1  −
− d 2 2 −  = 0,
d 
d  2b 2 d
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
(
b11
)
d  m1 −1 df 
df
f
− c + n1 f 1 − f = 0,


d 
d 
d
(
(13.52)
(13.53)
)
d  m2 −1 d 
d
b 2 f 2

− c + n 2 2 −  = 0,


d 
d 
d
при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1) = 0.
(
)
(13.54)
N
ni
, i = 1, 2.  =  i2 .
Здесь di =
bi (1 + i n 3−i + n i ( mi − 1) )
i =1
Мы будем рассматривать неотрицательные решения системы
уравнений ( 13.52)-( 13.54), удовлетворяющих следующим условиям:
f ( 0 ) = M1  0,  ( 0 ) = M 2  0, f ( s1 ) =  ( s 2 ) = 0, 0  s1  , 0  s 2   , (13.54)
или удовлетворяющих следующим условиям:
f ' ( 0 ) = 0,  ' ( 0 ) = 0, f (  ) =  (  ) = 0.
(13.55)
Асимптотика решений автомодельных систем уравнений
( 13.52)-( 13.53).
Решение задачи (13.52)-(13.56) определяет конкретный вид
автомодельного решения (13.51) и в конечном итоге дает представление
о характере решения в рассматриваемой нелинейной среде.
1.
Случай  = +1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 .
Отметим, что функция
p
p
f () = ( a −  2 ) , () = ( a −  2 ) ,
(13.56)
+
+
1
2
513
где y+ = max ( y, 0) ,
a  0,
pi =
m3 − i − 1 −  i
, m3−i  1 + i , i = 1, 2
( m1 − 1)( m2 − 1) − 12
при   a удовлетворяет условию (13.56). Покажем, что она будет
асимптотикой решений задачи (13.52), (13.55).
Введем обозначения:
ci1 =
di
p
, ci2 = pi ( mi pi − 1) , ci3 = − i , i = 1, 2.
4a
4bi
(13.57)
Пусть выполняется равенство n1 ( m1 − 1) + n 2 1 = n 2 ( m 2 − 1) + n1 2 .
Тогда справедлива:
Теорема 13.6.
Пусть
 = +1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , i  1, i = 1,2. Тогда решение
с компактном носителем задачи (13.52), (13.55) при  → a имела
асимптотику следующего вида
(
f (  ) = z1 a − 2
) (1 + o (1)) ,  (  ) = z (a −  ) (1 + o (1)) ,
p1
2 p2
2
(13.58)
необходимо чтобы соблюдалось одно из следующих условий:
1. p1 =
1
1
и
, p2 =
1 − 1
1 − 2
z1 , z 2 - являются соответственно корнями
системы нелинейных алгебраических уравнений:
ci1zi i −1 + ci2 zimi −1z3−i i + ci3 = 0, i = 1, 2.
2. pi 
1
, mi pi  1, i = 1, 2 и
1 − i
z1 , z 2 - являются соответственно
корнями системы нелинейных алгебраических уравнений:
ci1zi i −mi + ci2 z3−i i = 0, i = 1, 2.
3. p1 =
1
1
, p2 
, m2 p2  1 и
1 − 1
1 − 2
z1 , z 2 -являются соответственно
корнями системы нелинейных алгебраических уравнений:
c11z11 −1 + c12 z1m1 −1z 2 1 + c13 = 0,

 −m

c 21z 22 2 + c22 z1 2 = 0.
514
4. p1 
1
1
, p2 =
, m1 p1  1 и
1 − 1
1 − 2
z1 , z 2 -являются соответственно
корнями системы нелинейных алгебраических уравнений:
c11z11 − m1 + c12 z 2 1 = 0,

 −1
m −1 
c 21z 22 + c 22 z 2 2 z1 2 + c 23 = 0.
Доказательство. Преобразуем систему (13.52) к сравнительно
легко изучаемому виду. Для этого применяем следующие
преобразования
(
)
f () = f ()y1(), () = ()y2 (),  = −ln a − 2 ,
где f () = ( a − 2 ) 1 ,  (  ) = ( a − 2 ) 2 ,
p
p
a  0,
(13.59)
y1 ( ) , y 2 ( ) -искомые функции.
После преобразования (13.59) система (13.52) примет вид
y3−i i
 dy

d
( Lyi ) + a i1 ( ) y3−i i ( Lyi ) + a i2 ( )  i + a i0 ( ) yi  + a i3 ( ) yi i + (13.60)
d
 d

+ a i4 ( ) yi = 0.
В
a i3 () =
которой
− p (  −1) +1)
di e ( i i
(
4 a − e −
)
ai0 () = −pi ,
a i1 () =
N e −
+ 1 − pi mi ,
2 a − e −
a i4 () = −
1
, a i2 () =
,
4bi
d i e −
(
4 a − e −
)
,
 dy

Lyi = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  , i = 1, 2.
 d

Здесь предполагалось  [0 , 1 ), 0  0  1, 1 = a.
Поэтому функция () обладает свойствами:  '()  0 при
  [ 0 , 1 ) , 0 = ( 0 )  0 , lim () = + .
→1
Полагая в системе (13.17)
 dy

vi () = yimi −1  i + a i0 (  ) yi  (i=1,2)
 d

получим тождество:
(13.61)
vi' ()  −a i1 ()vi () − a i2 ()y3−−ii y1i −mi vi () − a i3 ()yi i y3−−ii − a i4 ()yi y3−−ii . (13.62)
Рассмотрим теперь функцию
−i
i 1− mi
i
gi (i , )  −a i1 ()i − a i2 ()y3−
i − a i3 ()yi i y3−
−i yi
−i − a i4 ()yi y3−i , (13.63)
где  i  R, (i=1,2).
515
Пусть сначала  = +1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , i  1, i = 1,2. Тогда
функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на некотором промежутке
1 , +  )  0 , +  ) при каждом фиксированном значении  i (i=1,2),
отличном от значений удовлетворяющих системе
( ) (y )
0
0
−a i1
i − a i2
yi0
1− mi
−i
0
3− i
( ) (y )
0
i − a i3
yi0
i
−i
0
3 −i
(
0 0
− a i4
yi y30−i
)
−i
= 0 (i = 1,2).
Отсюда ввиду
lim a i1 () = 1 − mi pi , lim a i2 () = 1 , lim a i4 () = 0,
→+
→+
→+
4bi
pi
1
, при pi =
, i = 1, 2.
→+
4bi
1 − i
lim a i3 () = 0, при pi  1 , i = 1, 2.
→+
1 − i
lim a i3 () = −
следует, что функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на промежутке
1 , +  )  0 , +  ) , где i  0 (i=1,2).
А при pi 
1
, i = 1, 2
1 − i
перепишем функцию g i ( i , ) (i=1,2)
следующим образом
gi (i , )  −a i1 ()i − a i2 ()y3−−ii y1i −mi i − a i3 ()y3−−ii yi yi i −1 + a i3−1 ()a i4 () .
(
)
Отсюда следует, что функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на
промежутке  2 , +  )  0 , +  ) , где i  0 (i=1,2).
Значит, функция g i ( i , ) (i=1,2) для всех  0 , +  ) удовлетворяет
одному из неравенств
g i ( i , )  0 или gi (i , )  0 (i=1,2).
(13.64)
Допустим теперь, что для функции vi () (i=1,2) предел при  → +
не существует. Рассмотрим случай, когда выполнено одно из неравенств
(13.64). В силу колеблемости функции vi () (i=1,2) прямую vi = i
(i=1,2) ее график бесконечное число раз пересекает на интервале  0 , +  )
. Но это невозможно, так как на интервале  0 , +  ) справедливо одно из
неравенств (13.64) и поэтому из тождества (13.63) следует, что график
функции vi () (i=1,2) пересекает прямую vi = i (i=1,2) только один раз
на интервале  0 , +  ) . Следовательно, для функции vi () (i=1,2)
существует предел при  → + .
516
По предположению функция vi () (i=1,2) определена согласно
(13.18) и имеет предел при  → + . Тогда y'i () (i=1,2) имеет предел при
 → + , причем равный нулю. Тогда
 dy
 0 0 mi
vi () = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  = a i0
yi
+ o (1) , (i = 1, 2)
 d

при  → + и в силу (13.62) производная функции vi () (i=1,2) имеет
предел, при  → + , который очевидно равен нулю.
Следовательно, необходимо, чтобы
( )
(
)
−i
i 1− mi
i
lim a i1 ()vi () + a i2 ()y3−
vi () + a i3 ()yi i y3−
−i yi
−i + a i4 ()yi y3−i = 0
→+
(i = 1,2).
Отсюда легко убедиться, чтобы система (13.60) имела решение
( y1 (), y2 () ) с конечным не равным нулю пределом при  → +
необходимо, чтобы соблюдалось условие теоремы 13.13. Тогда решение
с компактном носителем задачи (13.52), (13.55) при  → a имеет
асимптотику вида (13.58).
Теорема доказана.
Следствие Обобщенное решение задачи (13.1)-(13.2) имеет
асимптотику
при
1
2
1
2
x →a  ,
 = +1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 ,
i  1, i = 1,2 и имеет следующий вид
u A ( t, x ) = A ( T + t )
vA ( t, x ) = B ( T + t )
n1
n2
(a − ( x  ) )
(a − ( x  ) )
p1
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
p2
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
где A = z1A1 , B = z 2 A 2 и n1 ,n 2 ,p1 ,p2 − определенные выше константы.
Случай  = −1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 .
Отметим, что функция
f () = ( a +  2 ) , () = ( a +  2 ) ,
где
y+ = max ( y, 0) ,
a  0,
p1
p2
+
+
pi =
m3 − i − 1 −  i
,
m
−
1
m
−
1
−


( 1 )( 2 ) 1 2
m i  1 − ,
(  = max{1 ,  2 }) при  → + удовлетворяет условию (13.56). Покажем,
что она будет асимптотикой решений задачи (13.52), (13.56).
Введем обозначения:
517
 1
d  
N
ci4 = 
− i  / 1 − mi pi −  , i = 1, 2.
2
 4bi 4pi  
Пусть выполняется равенство n1 ( m1 − 1) + n 2 1 = n 2 ( m 2 − 1) + n1 2 .
Тогда справедлива:
Теорема 13.7.
Пусть
 = −1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , mi  1 − ,
i  1, i = 1,2. Тогда исчезающие на бесконечности решения задачи
(13.52), (13.56) при  → + имела асимптотику следующего вида
(
f (  ) = z1 a + 2
) (1 + o (1)) ,  (  ) = z ( a +  ) (1 + o (1)) ,
p1
2 p2
2
N
, i = 1, 2 и z1 , z 2 2
которые являются соответственно корнями системы нелинейных
алгебраических уравнений zimi −1z3−i i = ci4 , i = 1, 2.
необходимо чтобы соблюдались условия 1 − mi pi 
Теорема 13.2 доказывается аналогично теореме 13.13.
Следствие 13.13. Обобщенное решение задачи (13.28)-(13.29) имеет
асимптотику при t → T ,  = −1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , i  1, i = 1,2 и
имеет следующий вид
u A ( t, x ) = A ( T − t )
vA ( t, x ) = B ( T − t )
− n1
−n2
(a + ( x  ) )
(a + ( x  ) )
p1
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
p2
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
где A = z1A1 , B = z 2 A 2 и n1 ,n 2 ,p1 ,p2 − определенные выше константы.
3. Случай  = +1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 .
Отметим, что функция
f () = ( a +  2 ) , () = ( a +  2 ) ,
где
y+ = max ( y, 0) ,
p1
p2
+
+
a  0,
pi =
m3 − i − 1 −  i
,
( m1 − 1)( m2 − 1) − 12
m3−i  1 − i , i = 1,2 при  → + удовлетворяет условию (13.56). Покажем,
что она будет асимптотикой решений задачи (13.53), (13.56).
 1
d  N

− i  /  + mi pi − 1 , i = 1, 2.

 4bi 4pi   2
Введем обозначения: ci5 = 
518
Пусть выполняется равенство n1 ( m1 − 1) + n 2 1 = n 2 ( m 2 − 1) + n1 2 .
Тогда справедлива:
Теорема 13.3. Пусть
 = +1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , m3−i  1 +  i ,
i  1, i = 1,2. Тогда неограниченное решение задачи (13.53), (13.56) при
 → + имела асимптотику следующего вида
(
f (  ) = z1 a + 2
) (1 + o (1)) ,  (  ) = z ( a +  ) (1 + o (1)) ,
p1
2 p2
2
N
+ mi pi  1, pi  1 , i = 1, 2 и
2
1 − i
корнями системы нелинейных
необходимо чтобы соблюдались условия
z1 , z 2 -являются соответственно
алгебраических уравнений zimi −1z3−i i = ci5 , i = 1, 2.
Теорема 13.3 доказывается аналогично теореме 13.13.
Следствие 13.3. Обобщенное решение задачи (13.28)-(13.29) имеет
асимптотику
1
при
x /  2 → + ,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 ,
 = +1,
i  1, i = 1,2 и имеет следующий вид
u A ( t, x ) = A ( T + t )
vA ( t, x ) = B ( T + t )
n1
n2
(a + ( x  ) )
(a + ( x  ) )
p1
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
p2
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
где A = z1A1 , B = z 2 A 2 и n1 ,n 2 ,p1 ,p2 − определенные выше константы.
4. Случай  = −1, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 .
Отметим, что функция
f () = ( a −  2 ) , () = ( a −  2 ) ,
где
y+ = max ( y, 0) ,
p1
p2
+
+
a  0,
pi =
m3 − i − 1 −  i
,
( m1 − 1)( m2 − 1) − 12
m3−i  1 − i , i = 1,2 при  → a удовлетворяет условию (13.55). Покажем,
что она будет асимптотикой решений задачи (13.52), (13.54).
1
, i = 1, 2.
Введем обозначения: ci6 =
4bi (1 − mi pi )
Пусть выполняется равенство n1 ( m1 − 1) + n 2 1 = n 2 ( m 2 − 1) + n1 2 .
519
Тогда справедлива:
Теорема 13.4. Пусть
 = −1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 , m3−i  1 +  i ,
i  1, i = 1,2. Тогда решение с компактным носителем задачи (13.9),
(13.11) при  → a имела бы асимптотику следующего вида
(
f (  ) = z1 a − 2
) (1 + o (1)) ,  (  ) = z (a −  ) (1 + o (1)) ,
p1
2 p2
2
необходимо чтобы соблюдалось условия mi pi  1, i = 1,2 и z1 , z 2 -являются
соответственно корнями системы нелинейных алгебраических
уравнений zimi −1z3−i i = ci6 , i = 1, 2.
Теорема 13.4 доказывается аналогично теореме 13.13.
Следствие 13.4. Обобщенное решение задачи (13.1)-(13.2) имеет
асимптотику
1
2
при
1
2
x →a  ,
 = −1,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 ,
i  1, i = 1,2 и имеет следующий вид
u A ( t, x ) = A ( T − t )
vA ( t, x ) = B ( T − t )
− n1
−n2
(a − ( x  ) )
(a − ( x  ) )
p1
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
p2
−1/2 2
(1 + o (1) ) ,
где A = z1A1 , B = z 2 A 2 и n1 ,n 2 ,p1 ,p2 − определенные выше константы.
Оценки решений
Применяя метод сравнения решений [8] и метод стандартных
уравнений [7] для решения задачи (13.8), (13.9), (13.11), (13.12),
получаем оценку решения задачи (13.1) - (13.2).
Заметим, что функции
A a − 2 p1 , при 1 +  n + n ( m − 1)  0,
1 2
1
1

+
f () = 
p
A a + 2 1 , при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,

+
B a − 2 p2 , при 1 +  n + n ( m − 1)  0,
1 2
1
1

+
 () = 
p
B a + 2 2 , при 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,

+
m 3− i − 1 −  i
, i=1,2, (b)+ = max(0,b) удовлетворяют
где pi =
( m1 − 1)( m2 − 1) − 12
условию (13.11), (13.12).
(
(
(
(
)
)
)
)
520
Медленная диффузия (случай m3−i  1 + i , i = 1, 2 ).
Теорема 13. Пусть m3−i  1 + i ,
A m1 −1B1 =
−
m i pi  1, 1 + i n 3−i + n i ( mi − 1)  0,
1
1
, Bm2 −1A2 =
,
4b1 ( p1m1 − 1)
4b 2 ( p 2 m2 − 1)
p1
p2
N
N
p  −1
p  −1
+ A1 −1a 1 ( 1 )  1, −
+ B2 −1a 2 ( 2 )  1,
2 p1m1 − 1
2 p2 m2 − 1
u + ( 0, x )  u 0 ( x ) , v + ( 0, x )  v 0 ( x ) , x  R.
Тогда существует глобальное решение задачи (13.1) - (13.2) в Q и
для него справедлива следующая оценка u ( t, x )  u + ( t, x ) , v ( t, x )  v + ( t, x ) ,
где
−n
−n
(13.22)
u + ( t, x ) = ( T + t ) f (  ) , v + ( t, x ) = ( T + t )  (  )
Доказательство. Теорема 13.5 доказывается методом сравнения
решений [8]. В качестве сравниваемой возьмем функции u + ( t, x ) , v + ( t, x ) ,
определенную формулой (13.22). Тогда в силу (13.3), (13.7), (13.8)
имеем:
1
2
 N
p1
Lu + ( t, x ) =  −
− 1 + f ()
2
p
m
−
1

1 1
(
)
 N
p2
Lv + ( t, x ) =  −
− 1 +  ()
2
p
m
−
1

2
2
(
Имея ввиду в ( 13.23)
( f ( ))
( ( ))
1 −1
= A1 −1 ( a − 2 )
2 −1
= B2 −1 ( a − 2 )
1 −1
)

 f (),

1 −1
p1 (1 −1)
p2 (2 −1)
(13.23)

  (  ).

 A1 −1a
p1 (1 −1)
 B2 −1a
p2 (2 −1)
,
,
получим
 N
p1
p  −1 
Lu + ( t, x )   −
− 1 + A 1 −1a 1 ( 1 )  f (  ) ,
 2 p1m1 − 1

 N
p2
p  −1 
Lv + ( t, x )   −
− 1 + B2 −1a 2 ( 2 )   (  ) .
 2 p2 m2 − 1

Из этого выражения следует, что для выполнения условия Lu +  0,
Lv +  0 , достаточно выполнение условия
−
p1
N
p  −1
+ A1 −1a 1 ( 1 )  1,
2 p1m1 − 1
521
−
p2
N
p  −1
+ B2 −1a 2 ( 2 )  1.
2 p2 m2 − 1
Оно в силу условия теоремы выполнено. Тогда, по теореме
сравнения решений задач (13.1)-(13.2) существует глобальное решение в
Q
и
для
него
справедливы
следующие
оценки
u + ( t, x )  u ( t, x ) , v + ( t, x )  v ( t, x ) , x  R .
Теорема доказана.
13.4. Автомодельные решения кросс-диффузионной
параболической системы с переменной плотностью: явные оценки
и асимптотическое поведение
В этом параграфе рассматривается задача Коши для нелинейной
системы уравнений параболического типа недивергентного вида с
источником. Построено решение типа Зельдович-Баренблатта для кроссдиффузионных систем недивергентного вида, с помощью метода
сравнения решений устанавливается свойство конечной скорости
распространения возмущения к задаче Коши; изучается случай
медленной диффузии. Обсуждается глобальная разрешимость слабого
обобщенного решения для нелинейной системы, в зависимости от
значения численных параметров.
n u
k
n
x
= v1  x u m1 −1u + x u 1 ,
t
(13.1)
( t , x )  Q,
n v
k m −1
n 
2
1
2
x
= u  x v v + x v .
t
(
(
)
)
u ( 0, x ) = u0 ( x ) , v ( 0, x ) = v0 ( x ) ,
Q=
где
x  RN ,
(13.2)
( t, x ) : t  0, x  R N , n, k, m , m ,  ,  ,  ,  -положительные
1
2
1
2
1
2
константы,  ( ) = grad x ( ) , u = u ( t , x )  0, v = v ( t , x )  0 -искомые функции.
Ясно, что система (13.1) является вырожденной. Следовательно, она
не имеет классических решений в области, определяемой уравнениями
u = 0, v = 0, u = 0, или v = 0 . Система (13.1) может не иметь
классического решения. Поэтому в данном случае мы рассматриваем
u ( t , x ) , v ( t , x )  0;
слабое
решение,
обладающее
свойством
(
)
(
)
v1  u m1 −1u  C ( Q ) , u 2  v m1 −1v  C ( Q ) .
Система уравнений недивергентной формы часто используются для
описания различных физических явлений, таких как диффузионный
процесс для биологических видов, резистивные явления диффузии в
522
магнитных полях без силы, укорачивание потока, распространение
инфекционных заболеваний, болезни и т.д., см. [2–8].
Обсуждается асимптотическое поведение для решения уравнений
параболической системы кросс-диффузии в недивергентной форме для
случаев медленной и быстрой диффузии в зависимости от значения
числовых параметров. На основе асимптотики решений предлагаются
подходящие начальные приближения для итерационного процесса в
случаях медленной и быстрой диффузии в зависимости от числовых
значений параметров.
Автомодельные уравнения системы (13.1).
Для построения автомодельных систем предлагается алгоритм
нелинейного расщепления [1], введя в (13.1) преобразование
u ( t, x ) = u ( t ) w ( (t), r ) ,
(13.3)
v ( t, x ) = v ( t )  ( (t), r ) .
1/ (1−1 )
1/ (1−2 )
, v ( t ) = (T + t )
.
Затем мы получаем u ( t ) , v ( t ) как u ( t ) = ( T + t )
r= x.
Из уравнений (13.3) и (13.1) получаем следующую систему уравнений:
rn
rn

w

w 
1
n −1  1
= d1 1 r1− N  r N −1+ k w m1 −1
+
b
r

w
−
w

,
 1

r 
r 
1 − 1 




 
1
n −1  2
= d 2 w  2 r1− N  r N −1+ k  m 2 −1
 ,
 + b2r    −

r 
r 
1 − 2 

(13.4)
где
1
 ( t ) = ln ( T + t )
m1 −1
1−1 dt
1
m −1
+ 1
+ 1  0,
1 − 2 1 − 1
1
m −1
+ 1
+ 1 = 0,
при
1 − 2 1 − 1
 ( t ) =  ( T + t )1−2
+
при
−1
 i
m −1 
bi = 
+ i
+ 1 , i = 1, 2. r = x .
1
−

1
−

3−i
i


1
m −1

m −1
+ 1
= 2 + 2
.
1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 − 2
Легко показать, что система (13.4) имеет автомодельное решение,
определяемое:
2− k
−
w(, r) = f (), (, r) = (),  = r ( 2−k ) /2  4−2k + 2n ,
(13.5)
где  − автомодельная переменная и получим автомодельную систему
уравнений:
523
1
1−
 
2N
2− k
2N
2n
+1 df
d  2− k −1 m1 −1 df 
2
2

+
f
 −k
+
d 
d  ( 2 − k )( n + 2 − k )
d


+
2N
1−
2
f  2− k
 2N −1
  2− k m 2 −1
d
d 

2n
2
 −k
4b1
( 2 − k )2
 1

1
f  = 0,
f −
1 − 1 

d 
2
+
d  ( 2 − k )( n + 2 − k )

+
4b 2
( 2 − k )2
2n
 2− k
2n
+1
 2− k
(13.6)
d
+
d
 2

1

−


 = 0.
1 − 2 

Далее мы рассмотрим нетривиальные неотрицательные решения
системы (13.6), удовлетворяющие следующим условиям:
f ( 0 ) = M1 ,  ( 0 ) = M 2 , M1  R + , M 2  R + ,
(13.7)
f ( d1 ) =  ( d 2 ) = 0, 0  d1  , 0  d 2   .
Медленная диффузия (cлучай m3−i  1 + i , i = 1, 2 ). Явные оценки
решения задачи (13.1) - (13.2)
Применяя метод сравнения решений [ ] и метод эталонных
уравнений [ ] для решения задачи (13.6)-(13.7), можно получить оценки
для решения задачи (13.1) - (13.2).
Отметим, что функции
p
где
p
1
2
2n
2n


+2 
+2 
f (  ) = A  a −  2− k  ,  (  ) = B  a −  2− k  , (13.8)





+

+
m3−i − i − 1
pi =
, i = 1, 2,
(b) + = max(0, b) , a p1 A = M1 ,
( m1 − 1)( m2 − 1) − 1 2
a p2 B = M 2 при  
 2n

+2 

2
−
k

a
−1
удовлетворяют условию (4.13.7).
Теорема 4. 13. Пусть m3−i  1 + i , pi mi − 1  0, i = 1, 2,
pi
1
N+n
+
, i = 1, 2,
1 − i n + 2 − k bi ( pi mi − 1)
a
M imi −1M 3−i i =
, i = 1, 2,
2
p
m
−
1
n
+
2
−
k
( i i )(
)
Mi i −1 
524
u + ( 0, x )  u 0 ( x ) , v + ( 0, x )  v 0 ( x ) , x  R N .
Тогда для задачи (13.1)-( 13.2) существует глобальное решение в Q
и для него справедлива оценка
u ( t, x )  u + ( t, x ) = u ( t ) f (  ) ,
(13.9)
v ( t, x )  v + ( t, x ) = v ( t )  (  ) ,
Доказательство. Теорема 13.1 доказывается методом сравнения
решений. В качестве сравниваемой функции возьмем функции
u + ( t, x ) , v + ( t, x ) определенных формулой (13.9). Тогда в силу (13.3),
(13.5) и M imi −1M 3−i i =
a
( pi mi − 1)( n + 2 − k )2
, i = 1, 2,
получим

 2n
4p1 ( N + n )
4b1
  2− k f (  ) +
Lu + ( t, x ) =  −
−
2
2
 ( 2 − k ) ( n + 2 − k )( p m − 1) (1 −  )( 2 − k ) 
1 1
1


+
4b1
( 2 − k )2
2n

 2− k f 1
() ,

 2n
4p 2 ( N + n )
4b 2
  2− k  (  ) +
Lv + ( t, x ) =  −
−
 ( 2 − k )2 ( n + 2 − k )( p m − 1) (1 −  )( 2 − k )2 
2 2
2


+
4b 2
2n

2
 −k  2
(2 − k)
p
Из последнего выражения и неравенств f (  )  Aa
2
1
 (  )  Ba p2 = M 2
следует,
что
для
выполнения
Lu +  0, Lv+  0, достаточно выполнения условий
Mi i −1 
().
= M1 ,
неравенств
pi
1
N+n
+
, i = 1, 2.
1 − i n + 2 − k bi ( pi mi − 1)
В силу условий теоремы эти неравенства выполняется. Тогда по
теореме сравнение решений для задачи (13.1)-(13.2) существует
глобальное решение в Q и для него справедливо оценка
u + ( t, x )  u ( t, x ) , v + ( t, x )  v ( t, x ) , x  R N .
Теорема доказана.
Таким образом мы получили свойство КСРВ решений задачи Коши
(13.1) - (13.2).
525
Асимптотика автомодельных решений задач (13.6)-( 13.7)
Введем обозначения:
bi1 = pi ( pi mi − 1) , bi2 = −
pi
(n + 2 − k)
Пусть выполняется равенство
, bi3 =
2
bi
( n + 2 − k )2 a
, i = 1, 2.
1
m −1

m −1
+ 1
= 2 + 2
. Тогда
1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 − 2
справедливы следующие теоремы:
Теорема 13.2.
Пусть
1
m −1
+ 1
+ 1  0.
1 − 2 1 − 1
Тогда решение с компактным носителем задачи (13.6), (13.7) при
 2n

+2 

 → a  2− k 
−1
имеет асимптотику
2n

+2 
2
−
k


f () = c1 a − 





 (  ) = c2  a


p1
(1 + o (1) ) ,
p2
2n
+2 
−  2− k 


(13.10)
(1 + o (1) ) ,
где параметры pi , i = 1, 2 удовлетворяют одному из следующих условий
1.
p1 =
1
1
, p2 =
,
1 − 1
1 − 2
коэффициенты
ci
(i=1,2)
являются
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
bi1cimi −1c3−i i + bi2 + bi3ci i −1 = 0, i = 1, 2.
2. pi 
1
, pi mi  1, i = 1, 2 , коэффициенты ci (i=1,2) являются
1 − i
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
bi1cimi −1c3−i i + bi2 = 0, i = 1, 2.
3. p1 =
1
1
, p2 
, p 2 m 2  1 , коэффициенты ci (i=1,2) являются
1 − 1
1 − 2
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
526
b11cm1 −1c1 + b12 + b13c1 −1 = 0,
1
2
1

m 2 −1  2
b 21c2 c1 + b 22 = 0.
4. p1 
1
1
, p2 =
, p1m1  1 , коэффициенты ci (i=1,2) являются
1 − 1
1 − 2
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
b11cm1 −1c1 + b12 = 0,
1
2

m −1 
 −1
b 21c2 2 c1 2 + b 22 + b 23c 22 = 0.
Доказательство. Преобразуем исходные системы (13.6)-(13.7) к
относительно легко поддающемуся исследованию виду. Для получения
такой вспомогательных систем уравнений применим следующее
преобразования
2n

+2 
2
−
k

,
f () = f ()y1 (), () = ()y 2 (),  = −ln a − 




p
где
1
2n
2n


+2 
+2 
2
−
k
2
−
k




f () = a − 
,  () = a − 








(13.11)
p2
и
y1 ( ) , y 2 ( ) -новые
функции.
Теперь займемся асимптотикой решений системы уравнений (13.6)
 2n

+2 

2
−
k

 → a
−1
при
.
После преобразования (13.11) система (13.6) примет следующий вид
y3−i i
 dy

d
( Lyi ) + a i2 ( )  i + a i0 ( ) yi  + a i1 ( ) y3−i i Lyi + a i3 ( ) yi +
d
 d

(13.12)
+ a i4 ( ) yi i = 0, (i = 1, 2).
Здесь
 dy

Lyi = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  , ai0 () = −pi ,
 d

n+N
e−
1
a
(

)
=
,
a i1 () =
−
p
m
+
1,
i2
i
i
2
n + 2 − k a − e−
n
+
2
(
)
527
a i3 () = −
a i4 () =
e−
bi
( n + 2 − k ) (1 − i )
− 1+ p (  −1) 
e ( i i )
bi
(n + 2 − k)
a −e
2
a −e
2
−
−
,
, i = 1, 2.
 2n

+2 

2− k 

=a
−1
Здесь предполагалось  [0 , 1 ), 0  0  1 , 
Поэтому функция () обладает свойствами:  '()  0 при
  [  0 , 1 ), 0 = ( 0 )  0 , lim () = + .
→1
Всюду в дальнейшем вспомогательная система уравнений (13.12)
исследуется при следующем ограничении:
lim a ij () = a ij0
(i = 1, 2; j = 0,1,2,3,4)
→+
существуют, конечны и отличны от нуля, т.е. 0  a ij0  + .
В силу  → + изучается те решения системы (13.12), каждое из
которых в некоторой окрестности + удовлетворяет неравенствам
yi ()  0,
yi' + a i0 () yi  0 (i = 1, 2).
Полагая в системе (12)
 dy

vi () = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  , i = 1, 2
 d

получим тождество
1− mi
vi' ()  −a i1 ()vi () − a i2 ()vi () y i
−
(13.13)
−
y 3−ii − a i3 ()y i y 3−ii −

−
− a i4 ()yi i y3−ii , (i = 1,2).
(13.14)
Рассмотрим теперь функцию
− i
i − i
i
(13.15)
g i (i , )  −a i1 () i − a i2 () i y1i − mi y3−
−i − a i3 ()yi y 3−i − a i4 ()y i y 3−i ,
где  i  R, (i=1,2).
1
m −1
+ 1
+ 1  0. Тогда lim a i1 () = −pi mi + 1 ,
→+
1 − 2 1 − 1
1
lim a i2 () =
, lim a i3 () = 0,
→+
( n + 2 − k )2 →+
Пусть сначала
bi

, при 1 + pi ( i − 1) = 0,

2
n
+
2
−
k
lim a i4 () =  (
)
→+

0, при 1 + pi ( i − 1)  0, i = 1, 2
528
и функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на некотором промежутке
1, +  )  0 , +  ) при каждом фиксированном значении  i (i=1,2).
Значит, функция g i ( i , ) (i=1,2) для всех   1 , +  ) удовлетворяет
одному из неравенств
g i ( i , )  0 или gi (i , )  0 (i=1,2).
(13.16)
Допустим теперь, что для функции vi () (i=1,2) предел при  → +
не существует. Рассмотрим случай, когда выполнено одно из неравенств
(13.16). В силу колеблемости функции vi () (i=1,2) прямую vi = i (i=1,2)
ее график бесконечное число раз пересекает на интервале  i , +  ) (i=1,2).
Но это невозможно, так как на интервале  i , +  ) (i=1,2) справедливо
одно из неравенств (13.16) и поэтому из тождества (13.15) следует, что
график функции vi () (i=1,2) пересекает прямую vi = i (i=1,2) только
один раз на интервале  i , +  ) (i=1,2). Следовательно, для функции vi ()
(i=1,2) существует предел при  → + .
По предположению функция vi () (i=1,2) определена согласно
(13.13) и имеет предел при  → + . Тогда y'i () (i=1,2) имеет предел при
 → + , причем равный нулю. Тогда
mi
 dy

0
vi () = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  = a i0
yi0
+ o (1) , i = 1, 2 при  → +
 d

и в силу (13.14) производная функции vi () (i=1,2) имеет предел, при
 → + , который очевидно равен нулю.
( )
Следовательно, необходимо, чтобы
(
)
−i
i
lim a i1 ()vi () + a i2 ()vi () y1i − mi y3−
−i + a i3 ()y i y 3−i +
→+
i
+ lim a i4 ()yi i y3−
−i = 0, (i = 1,2).
→+
Из этого выражения легко убедиться в том, что система (13.12)
имела решения ( y1 ( ) , y2 ( ) ) с конечным ненулевым пределом при,
необходимым для выполнения одного из условий теоремы 4.13.2.
Следовательно, в силу введенных преобразований (13.11), решение с
компактном носителем задачи (13.6)-(13.7) имеет асимптотику при
 2n

+2 

 → a  2− k 
−1
и имеет вид (13.10).
Теорема доказана.
Следствие 4. 13. Обобщенное решение задачи (13.1)-(13.2) имеет
асимптотику при x
1
1
n
+
2
−
k
n
+
→a
 2−k
следующего вида
529
1
u A ( t, x )  с1 ( T + t )1−1
1
v A ( t, x )  с 2 ( T + t )1−2

2− k



2
x

a
−
 2n −1

  2− k + 2 


 



2− k


 x 2

a
−
 2n −1

  2− k + 2 


 


p1
2n
+2 
 2− k 





 ,



p2
2n
+2 
 2− k 





 ,



где c1 , c 2 , p1 , p 2 определенное выше константы.
Быстрая диффузия (cлучай
решения задачи (13.1)-(13.2)
pi  0, i = 1, 2 ).
Явные оценки
Пусть для систем уравнений (13.6) выполняются условия
f ' ( 0 ) = 0,  ' ( 0 ) = 0, f (  ) = 0,  (  ) = 0.
(13.17)
Отметим, что функции
p
p
1
2
2n
2n


+2 
+2 
f (  ) =  a +  2− k  ,  (  ) =  a +  2− k  ,








удовлетворяют условию (13.17), где a  0 .
Введем обозначение: pi =
m 3− i − 1 −  i
, i = 1, 2.
( m1 − 1)( m2 − 1) − 12
p  −1
Теорема 4.13.3. Пусть pi  0, i  1, pi ( n + 2 )( n + N ) − bi + bi a i ( i )  0,

1 
1
1 −
 , i = 1, 2,
mi  ( n + 2 )2 


u 0 ( x )  u − ( 0, x ) , v0 ( x )  v − ( 0, x ) , x  R N .
pi =
Тогда для задачи (13.1)-(13.2) существует глобальное решение в Q и
для него справедливо оценка
u ( t, x )  u − ( t, x ) , v ( t, x )  v − ( t, x ) , x  R N ,
где
530
u − ( t, x ) = u ( t ) f (  ) , v − ( t, x ) = v ( t )  (  ) .
Теорема 4.13.3 доказывается
аналогично теореме 4. 13.
методом
(13.18)
сравнения
решений
Введем обозначения:
pi
pi − bi
 n+N

bi4 = pi 
+ pi mi − 1 , bi5 =
−
, i = 1, 2.
2
2
n+2−k

( n + 2 − k ) 1 − i ( n + 2 − k )
Также
мы
предполагаем
1
m −1
2
m −1
+ 1
=
+ 2
.
1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 −  2
Тогда
справедлива следующая теорема:
Теорема 4.13.4. Пусть
1
m −1
+ 1
+ 1  0,
1 − 2 1 − 1
i  1,
pi  0, i = 1, 2.
Тогда исчезающие на бесконечности решения задачи (4.13.6), (4.13.17)
при  →  имеют асимптотику
p
p
1
2
2n
2n


+2 
+2 
f ( ) = c 3  a +  2 − k  ,  (  ) = c 4  a +  2 − k  ,








где коэффициенты ci (i=1,2) являются решениями системы нелинейных
алгебраических уравнений
bi4 cimi −1c3−i i + bi5 = 0, i = 1, 2.
Теорема 4.13.4 доказывается аналогично теореме 4.13.2.
Следствие 4.13.2. Обобщенное решение задачи (4.13.1)-(4.13.2)
имеет асимптотику при x 
−
1
n + 2−k
→ + следующего вида
531
1
u A ( t, x )  с3 ( T + t )1−1
1
v A ( t, x )  с 4 ( T + t )1−2

2− k



2
x

a
+
 2n −1

  2− k + 2 


 


p1
2n
+2 
 2− k 

2− k


 x 2

a
+
 2n −1

  2− k + 2 


 


p2
2n
+2 
 2− k 









 ,




 ,



где c3 ,c4 , p1, p 2 определенное выше константы.
Получено решение типа Зельдовича-Баренблатта для кроссдиффузионной системы. Свойства конечной скорости задачи Коши для
кросс-диффузионной параболической системы с источником изучены
методом сравнения. Проанализировано асимптотическое поведение
автомодельных решений как для случаев медленной, так и быстрой
диффузии. Показано, что коэффициенты в главном члене асимптотики
решения удовлетворяют системе нелинейных алгебраических
уравнений.
– 13.5. Об асимптотическом поведении решений
параболических систем уравнений недивергентного вида
Этот параграф посвящен построению решения типа ЗельдовичБаренблатта для кросс-диффузионной системы недивергентного вида с
источником и неоднородной плотностью.
n u
k
n
x
= v1  x u m1 −1u + x u 11 v 12 ,
t
N
t  ( 0, T ) , x  R ,
(4.3.1)
n v
k m −1
n 
2

x
= u  x v 1 v + x u 21 v 22 .
t
(
(
)
)
u ( 0, x ) = u0 ( x ) , v ( 0, x ) = v0 ( x ) ,
где
Q=
( t, x ) : t  0, x  R N ,
x  RN ,
(4.3.2)
n, k, m1, m2 , 1, 2 , 11, 12 , 21, 22 -
положительные вещественные числа,  ( ) = grad x ( ) , T  +, the
functions u = u ( t , x )  0, v = v ( t , x )  0 - являются решениями.
Изучается асимптотическое поведение решений с компактном
носителем нелинейной системы. С помощью метода сравнения решений
532
получены условия существования глобальных решений и свойства
конечная скорость распространения возмущений задачи Коши.
Установлено с помощью метода сравнения решений свойство конечная
скорость распространения возмущений к задаче Коши (4.3.1)-(4.3.2),
изучен случай медленной диффузии. Обсуждается глобальная
разрешимость слабого решения для нелинейной системы, в зависимости
от значения числовых параметров.
О радиально симметричных автомодельных системах уравнений
Для построения автомодельной системы для (3.13.) предлагается
алгоритм нелинейного расщепления [13], для чего решение системы
(4.3.1) ищется в виде
Где
u ( t, x ) = ( t + T )
− n1
w ( (t), r ) ,
v ( t, x ) = ( t + T )
−n2
 ( (t), r ) ,
n1 = −
r= x,
(4.3.3)
1 + 12 − 22
,
(1 − 11 )(1 − 22 ) − 2112
1 + 21 − 11
,
(1 − 11 )(1 − 22 ) − 2112
 ( T + t )1+1n 2 + n1 ( m1 −1)

, 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)

 ( t ) = ln ( T + t ) ,
1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1) = 0,

1+ n + n ( m −1)
 (T + t ) 1 2 1 1
− 1 +  n + n m − 1 , 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0.
)
1 2
1( 1

n2 = −
В дальнейшем система (4.3.1) исследуется при выполнении условия
1n 2 + n1 ( m1 − 1) =  2 n1 + n 2 ( m 2 − 1) .
Тогда относительно ( w,  ) получим систему уравнений
(
)
rn
n1
w

w 
=  1 r1− N  r N −1+ k w m1 −1
r n −1 w 11 12 − w ,
+

r 
r  1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)
rn
n2


 
= w 2 r1− N  r N −1+ k  m2 −1
+
r n −1 w 21 22 −  .


r 
r  1 +  2 n1 + n 2 ( m 2 − 1)
(
)
(4.3.4)
Полагая далее в (4.3.4)
2− k
−
w(, r) = f (), (, r) = (),  = r ( 2−k ) /2  4−2k + 2n ,
(4.3.5)
где  − автомодельная переменная, получим автомодельную систему
уравнений
533
1
1−
 
2N
2− k
2N
2n
+1 df
d  2− k −1 m1 −1 df 
2
2

+
f
 −k
+
d 
d  ( 2 − k )( n + 2 − k )
d


+
2N
1−
2
f  2− k
 2N −1
  2− k m 2 −1
d
d 

1 + i n 3−i
(2 − k)
2
( f  
11
d 
2
+
d  ( 2 − k )( n + 2 − k )

+
Здесь bi =
2n
2
 −k
4b1
4b 2
(2 − k)
2
2n
 2− k
(f 
21
12
)
− f = 0,
2n
+1
 2−k
(4.3.6)
d
+
d
)
22 −  = 0.
ni
, i = 1, 2.
+ n i ( mi − 1)
Мы будем рассматривать неотрицательные решения системы
уравнений (4.3.6), удовлетворяющих следующим условиям:
f ( 0 ) = M1 ,  ( 0 ) = M 2 , M1  R + , M 2  R + ,
(4.3.7)
f ( d1 ) =  ( d 2 ) = 0, 0  d1  , 0  d 2   .
f ' ( 0 ) = 0,  ' ( 0 ) = 0, f (  ) = 0,  (  ) = 0.
(4.3.8)
Об асимптотическом поведении автомодельных решений
систем уравнений (4.3.6)
Решения задач (4.3.6)-(4.3.8) определяет конкретный вид
автомодельного решения (4.3.5) и в конечном итоге дает представление
о характере решения в рассматриваемой нелинейной среде.
Отметим, что функции
p
где
p
1
2
2n
2n


+2 
+2 
f (  ) =  a −  2− k  ,  (  ) =  a −  2− k  ,
(4.3.9)





+

+
m 3− i −  i − 1
pi =
, (b) + = max(0, b) , a  0, m3−i  1 +  i ,
( m1 − 1)( m 2 − 1) − 1 2
 2n

+2 

2− k 

a
−1
i = 1,2 при  
удовлетворяют условию (4.3.7). Покажем, что
она будет асимптотикой решений задачи (4.3.6), (4.3.7).
Введем обозначения:
534
bi1 = pi ( pi mi − 1) , bi2 = −
pi
(n + 2 − k)
, bi3 =
2
si = 1 + pi (ii − 1) + p3−ii,3−i , i = 1, 2.
bi
(n + 2 − k)
2
,
a
Пусть выполняется равенство 1n 2 + n1 ( m1 − 1) =  2 n1 + n 2 ( m2 − 1) .
Тогда справедлива:
Теорема 4.3.13. Пусть 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 . Тогда решение с
компактном носителем задачи (4.3.6), (4.3.7) при
асимптотику следующего вида
2n

+2 
2
−
k


f () = c1 a − 




p1
2n

+2 
2
−
k


(1 + o (1) ) ,  (  ) = c2  a − 



 2n

+2 

2
−
k

 → a
−1
имела
p2
(1 + o (1) ) , (4.3.10)
необходимо чтобы соблюдалось одно из следующих условий:
1. s1 = 0,s2 = 0 и коэффициенты ci (i=1,2) являются решениями
системы нелинейных алгебраических уравнений
mi −1 i
c3−i
bi1ci
 −1 
+ bi2 + bi3ci ii c3−i,3i−i = 0, i = 1, 2.
2. si  0, pi mi  1, i = 1, 2 и коэффициенты ci (i=1,2) являются
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
bi1cimi −1c3−i i + bi2 = 0, i = 1, 2.
3. s1 = 0, s2  0, p2m2  1 , коэффициенты ci (i=1,2) являются
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
b11cm1 −1c1 + b12 + b13c11 −1c12 = 0,
1
2
1
2

m 2 −1  2
b 21c2 c1 + b 22 = 0.
4. s1  0, s2 = 0, p1m1  1 , коэффициенты ci (i=1,2)
решениями системы нелинейных алгебраических уравнений
b11cm1 −1c1 + b12 = 0,
1
2

m −1 
  −1
b 21c2 2 c1 2 + b 22 + b 23c1 21 c222 = 0.
535
являются
Доказательство. Для доказательства теоремы 4.3.1 преобразуем
систему (4.3.6) к относительно легко изучаемому виду. Для этого
применим следующее преобразования
2n

+2 
2
−
k

,
f () = f ()y1 (), () = ()y 2 (),  = −ln a − 




p
1
2n
2n


+2 
+2 
2
−
k
2
−
k
 ,  () =  a − 

где f () =  a − 








(4.3.11)
p2
и y1 ( ) , y 2 ( ) -новые
функции.
Теперь займемся асимптотикой решений системы уравнений (4.3.6)
 2n

+2 

 → a  2− k 
−1
при
.
После преобразования (4.3.11) система (4.3.6) примет следующий вид
y3−i i
 dy

d
( Lyi ) + a i1 ( ) y3−i i Lyi + a i2 ( )  i + a i0 ( ) yi  + a i3 ( ) yi +
d
 d

(3.12)

+ a i4 ( ) yi ii y3−i,3i−i = 0, (i = 1, 2).
 dy

Lyi = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  ,
 d

Здесь
ai0 () = −pi ,
n+N
e−
1
a
(

)
=
,
a i1 () =
−
p
m
+
1,
i2
i i
n + 2 − k a − e−
( n + 2 − k )2
a i3 () = −
a i4 () =
e−
bi
( n + 2 − k )2 (1 − i ) a − e−
e − si 
bi
(n + 2 − k)
2
a − e−
,
, i = 1, 2.
 2n

+2 

2− k 

=a
−1
Здесь предполагается  [0 , 1 ), 0  0  1 , 
.
Поэтому функция () обладает свойствами:  '()  0 при
  [  0 , 1 ), 0 = ( 0 )  0 , lim () = + .
→1
Полагая в системе (4.3.12)
 dy

vi () = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  , i = 1, 2
 d

получим тождество
536
(4.3.13)
−i
i
vi' ()  −a i1 ()vi () − a i2 ()vi () y1i −mi y 3−
−i − a i3 ( )y i y 3−i −

− a i4 ()yi ii y3−i,3i−i
−i
(4.3.14)
, (i = 1,2).
Рассмотрим теперь функцию
1− mi
−
gi (i , )  −a i1 ()i − a i2 ()i yi
−


−
y3−ii − a i3 ()yi y3−ii − a i4 ()yi ii y3−i,3i−i i ,
(4.3.15)
где  i  R, (i=1,2).
Пусть сначала 1 + 1n 2 + n1 ( m1 − 1)  0 . Тогда функция g i ( i , ) (i=1,2)
сохраняет знак на некотором промежутке  1, +  )  0 , +  ) при каждом
фиксированном значении  i (i=1,2), отличном от значений
удовлетворяющих системе
( ) ( )


− a i4 () ( yi0 ) ( y30−i )
0
0
−a i1
i − a i2
yi0
1− mi
y30−i
−i
i,3 − i −i
ii
Отсюда ввиду
( )
i − a i3 ()yi0 y30−i
lim a i1 () = −pi mi + 1 ,
→+
−i
−
= 0, (i=1,2).
lim a i2 () =
→+
1
( n + 2 − k )2
,
bi

, при si = 0,

2
lim a i3 () = 0, lim a i4 () =  a ( n + 2 − k )
следует, что
→+
→+

при si  0, i = 1, 2,
0,
функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на некотором промежутке
1, +  )  0 , +  ) , где  i  0 (i=1,2).
А при s i  0 , i=1,2 перепишем функцию g i ( i , ) (i=1,2) следующим
образом
i
gi (i , )  −a i1 () i − a i2 () i y1i − mi y3−
−i −
(

ii i,3 − i
i
− a i4 ()yi y3−
− i y i y 3− i
−i
)
−1
+ a i4
()a i3 () .
Отсюда следует, что функция g i ( i , ) (i=1,2) сохраняет знак на
некотором промежутке  2 , +  )  0 , +  ) , где  i  0 (i=1,2).
Значит, функция g i ( i , ) (i=1,2) для всех   1 , +  ) удовлетворяет
одному из неравенств
g i ( i , )  0 или gi (i , )  0 (i=1,2).
(4.3.16)
Допустим теперь, что для функции vi () (i=1,2) предел при  → +
не существует. Рассмотрим случай, когда выполнено одно из неравенств
(4.3.16). В силу колеблемости функции vi () (i=1,2) прямую vi = i
537
(i=1,2) ее график бесконечное число раз пересекает на интервале  i , +  )
(i=1,2). Но это невозможно, так как на интервале  i , +  ) (i=1,2)
справедливо одно из неравенств (4.3.16) и поэтому из тождества (4.3.15)
следует, что график функции vi () (i=1,2) пересекает прямую vi = i
(i=1,2) только один раз на интервале  i , +  ) (i=1,2). Следовательно, для
функции vi () (i=1,2) существует предел при  → + .
По предположению функция vi () (i=1,2) определена согласно
(4.3.13) и имеет предел при  → + . Тогда y'i () (i=1,2) имеет предел при
 → + , причем равный нулю. Тогда
mi
 dy

0
vi () = yimi −1  i + a i0 ( ) yi  = a i0
yi0
+ o (1) , i = 1, 2 при  → +
 d

и в силу (4.3.14) производная функции vi () (i=1,2) имеет предел, при
 → + , который очевидно равен нулю.
( )
Следовательно, необходимо, чтобы
(
)
−i
i
lim a i1 ()vi () + a i2 ()vi () y1i − mi y3−
−i + a i3 ()y i y 3−i +
→+

+ lim a i4 ()yi ii y3−i,3i−i
−i
→+
= 0, (i = 1,2).
Отсюда легко убедиться в том что чтобы система (4.3.12) имела
решения ( y1 ( ) , y2 ( ) ) с конечным не равным нулю пределом при
 → + , необходимо, чтобы соблюдалось условия теоремы 4.3.13. Тогда
решение с компактном носителем задачи (4.3.6), (4.3.7) при
 2n

+2 

 → a  2− k 
−1
имеет асимптотику вида (4.3.10).
Теорема доказана.
Следствие 4.3.13. Обобщенное решение задачи (4.3.1)-(4.3.2) имеет
асимптотику при x
1
1
→ a n + 2−k  n + 2−k
следующего вида
538

2− k



2
x
−n 
u A ( t, x ) = с1 ( T + t ) 1  a − 
−1
 2n

+
2




  2− k 



2− k


 x 2
−n 
v A ( t, x ) = с 2 ( T + t ) 2  a − 
−1
 2n

+
2




  2− k 


p1
2n
+2 
 2− k 









(1 + o (1) ) ,
p2
2n
+2 
 2−k 









(1 + o (1) ) ,
где c1 , c 2 , p1 , p2 , n1, n 2 определенное выше константы.
Оценки решений
Применяя метод сравнения решений [14] и метод стандартных
уравнений [13] для решения задачи (4.3.6)-(4.3.8), получаем оценку
решения задачи (4.3.1) - (4.3.2). Заметим, что функции
p
где
p
1
2
2n
2n


+2 
+2 
f (  ) = A  a −  2− k  ,  (  ) = B  a −  2− k  , (4.3.17)





+

+
m3−i − i − 1
pi =
, i = 1, 2,
(b) + = max(0, b) , a p1 A = M1 ,
( m1 − 1)( m2 − 1) − 1 2
a p2 B = M 2 при  
 2n

+2 

2− k 

a
−1
удовлетворяют условию (4.3.7), (4.3.8).
Теорема 4.3.2.
Пусть m3−i  1 + i , pi mi − 1  0, 1 + i n 3−i + n i ( mi − 1)  0,

pi
N+n
,
n + 2 − k bi ( pi mi − 1)
a
=
, i = 1, 2,
2
p
m
−
1
n
+
2
−
k
( i i )(
)
Mi ii −1M3−i,3i−i  1 +
M imi −1M 3−i i
u + ( 0, x )  u 0 ( x ) , v + ( 0, x )  v 0 ( x ) , x  R N .
Тогда для задачи (4.13.1)-( 4.13.2) существует глобальное решение в
Q и для него справедлива оценка
u ( t, x )  u + ( t, x ) , v ( t, x )  v + ( t, x ) ,
539
−n
−n
где u + ( t, x ) = ( T + t ) 1 f (  ) , v+ ( t, x ) = ( T + t ) 2  (  ) , (4.3.18)
Доказательство. Теорема 4.3.2 доказывается методом сравнения
решении. В качестве сравниваемой функции возьмем функции
u + ( t, x ) , v + ( t, x ) определенные формулой (4.3.18). Тогда в силу (4.3.3),
(4.3.5), (4.3.6) и M imi −1M 3−i i =
a
( pi mi − 1)( n + 2 − k )2
, i = 1, 2,
имеем
2n

4p1 ( N + n )
4b1  2− k

Lu + ( t, x ) =  −
−
f () +
 ( 2 − k )2 ( n + 2 − k )( p m − 1) ( 2 − k )2 
1 1


+
4b1
( 2 − k )2
2n

2
 − k f 11
12
()  () ,
 2n
  2− k 

4p 2 ( N + n )
4b 2
Lv + ( t, x ) =  −
−
2
 ( 2 − k ) ( n + 2 − k )( p m − 1) ( 2 − k )2 
2 2


+
4b 2
( 2 − k )2
2n

 2− k f 21
(3.19)
() +
22
()  ().
Из того, что в (4.3.19) f (  )  Aa 1 = M1 ,  (  )  Ba p2 = M 2 следует, что
для выполнения неравенств Lu +  0, Lv+  0, достаточно выполнения
условий
p
Mi i −1  1 +
pi
N+n
, i = 1, 2.
n + 2 − k bi ( pi mi − 1)
Оно в силу условия теоремы выполнено. Тогда, по теореме
сравнения решений задачи (4.3.1)-(4.3.2) существует глобальное
решение в Q и для него справедливы следующие оценки
u + ( t, x )  u ( t, x ) , v + ( t, x )  v ( t, x ) , x  R N .
Теорема доказана.
Следствие 4.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.3.2. Тогда
решения задачи (4.3.1)-(4.3.2) обладает свойством конечной скорости
распространения возмущений.
– 13.6 Разностная схема второго порядка точности для
нелинейной системы недивергентного вида с кросс-диффузией
При
решении
начально-краевых
задач
для
уравнений
математической физики разностным методом важным вопросом
540
является выбор порядка аппроксимации по пространственным
координатам и выбор некоторой функции в качестве начального
приближения, а также поиск эффективного алгоритма решения систем
разностных уравнений. В работе построены схемы повышенной
точности для нелинейной системы недивергентного вида. Проведены
вычислительные эксперименты подтверждающие высокий порядок
точности схемы.
Q = (t , x) :0  t  T , 0  x  b
Рассмотрим
в
области
нелинейную систему параболических уравнений недивергентного вида
скросс-диффузией
  k m1 −1 u 
s u
s 1
x
= v 1
x u
+ x u ,
t
x 
x 
(4.4.1)
s v
k m2 −1 v 
s 2
2  
x
=u
x v
+ x v ,
t
x 
x 
с начальными и краевыми условиями
u(0, x) = u0 ( x)  0, v(0, x) = v0 ( x)  0, 0  x  b (4.4.2)
 u(t, 0) = 11 (t)  0, u(t, b) = 12 (t) = 0

 v(t, 0) = 21 (t)  0, v(t, b) = 22 (t) = 0
t   0, T  ,
(4.4.3)
где s, k, m1, m2 , 1, 2 , 1, 2 числовые параметры.
Нелинейные уравнения и системы уравнений недивергентной
формы часто используются для описания различных физических
явлений, таких, как процесс диффузии для биологических видов,
резистивный диффузионных явлений в бессиловых магнитных полей,
кривая потока укорочения, распространение инфекционных заболеваний
и так далее, см. [4-7,10,11]. Система (4.4.1) называется также кросс
диффузией.
Как показано в работах многих авторов [4-11] нелинейные
уравнения являются источником новых нелинейных эффектов, таких как
конечная
скорость
распространения
возмущения
(КСРВ),
пространственная локализация, «blow up» и др. Эти свойства для кросс
системы дивергентного вида исследованы в работе [8,9].
При численном решении начально-краевых задач для нелинейной
системы недивергентного вида разностным методом возникает проблема
выбора того или иного порядка аппроксимации разностной схемы. Чем
выше порядок аппроксимации по пространственным координатам, тем
меньше порядок системы разностных уравнений. При решении
нестационарных задач аппроксимация второй производной по
пространству в системе имеет только второй порядок. Поэтому для
541
получения требуемой точности приходится выбирать достаточно мелкий
шаг.
Численные схемы
В Q = (t , x) : 0  t  T , 0  x  b построим равномерную сетку
h по x с шагом h : h = {xi = ih,h  0,i = 0,1,...,n,hn = b} ,
и временную сетку  = {t j = j,   0, j = 0,1,.., m,  m = T} , T  0 .
Заменим задачу (4.4.1)-(4.4.3), с применением метода баланса,
неявной разностной схемой [1] и получим разностную задачу с
погрешностью (h 2 + ) :
 s yij+1 − yij
= ci
 xi



k
j 1
 − ci z 2 x i a i

h

j+1
j
 s zi − zi
= ci
 xi


 −c y j 1 x k a
i
i
 i
h2
( )
( z ) h1  x
j
2
( y )(y
j+1
( )
( )
yj
i +1
j+1
i
k
( )(
)
a i +1 y j+1 yij++11 − yij+1  −

)
( )
− yij−+11 + x i bi y j+1 ,
s
( )(
)
1 
k
j+1
j+1 
j+1
x
a
z
z
−
z
−
i
+
1
i
+
1
i
+
1
i
2 

h
(z )(z
j+1
j+1
i
)
( )
− zij−+11 + x i bi z j+1 ,
s
(4.4.4)
i = 1, 2,..., n − 1; j = 0,1,..., m − 1,
 0
0
i = 0,1,..., n,
 yi = u 0 ( x i ) , zi = v0 ( x i ) ,
 y j =  t , z j =  t , j = 1, 2,..., m,
21 j
0
 0 11 j
 j
j
 y n = 12 t j , z n = 22 t j , j = 1, 2,..., m,
( )
( )
( )
( )
где bi ( y j+1 ) = ( yij+1 ) 1 , bi ( z j+1 ) = ( zij+1 )

2
и для вычисления a ( y ) , a ( z ) ,
c ( y ) , c ( z ) используется следующие формулы
( )
(z )
a (z) =
ci ( y ) =
2
yij+1
, ci ( z ) =
j+1 m 2 −1
i −1
i
y
j+1
( )
+ zij+1
2
( )
1
z ij+1
(y )
a ( y) =
j+1 m1 −1
i −1
,
i
m 2 −1
( )
+ yij+1
2
m1 −1
,
.
Система алгебраических уравнений (4.4.4) нелинейно относительно
, z j+1 .
542
Для решения системы нелинейных уравнений
итерационные методы и получим:
r +1

j+1
j
 r j+1  1 
 r j+1  r +1j+1 r +1j+1
 s yi − yi
k
= ci  zi  2  x i +1 a i +1  yi  yi +1 − yi
 xi

h 




 



 r 
r +1
 r   r +1

r 
−c  z j+1  1 x k a  y j+1   y j+1 − y j+1  + x s b  y j+1  ,
i
i i 
i −1 
 i  i  h2 i i  i   i
 







r +1

r +1
j+1
j
r  
 r  r +1
 x s zi − zi = c  y j+1  1  x k a  z j+1  z j+1 − z j+1
i i  2
i +1
i +1  i  i +1
i
 i

h 





 r  1
 r j+1  r +1j+1 r +1j+1 
 r j+1 
k
s
j+1
−ci  yi  2 x i a i  zi  zi − zi −1  + x i bi  zi  ,
h





 






где
i = 1,2,...,n − 1;
j = 0,1,...,m − 1,
r +1
Относительно
r +1
i
y i, z
применим

  −
 

  −
 
(4.4.5)
r = 0,1, 2,... .
разностная схема (4.4.5) линейна. В
r +1
r +1
качестве начальной итерации для y i , z i берется из предыдущего шага
0
0
j+1
j+1
по времени: y = y , z = z . При счете по итерационной схеме
задаются точность итерации и процесс продолжается до тех пор, пока не
выполнится условие
j
r +1
j
r
max y i − yi  , max
0i  n
0i  n
r +1
r
z i − zi
.
Замечание. Во всех численных расчетах мы полагали  = 10−3 .
В (4.4.5) введем обозначения
k
x i  r j+1 
A1i = 2  zi 

2h 

r
k
x i  r j+1 
A 2i = 2  yi 

2h 

r
2
1
  r m1 −1  r m1 −1 
  y j+1 
,
+  yij+1 
i
−
1



 






  r m2 −1  r m2 −1 
  z j+1 
,
+  zij+1 
i
−
1



 






543
k
x i +1  r j+1 
B1i =
 zi 
2h 2 

r
k
x i +1  r j+1 
B2i =
y 
2  i 
2h 

r
r
r
r
C1i = A1i + B1i +
r
F2i =
xi

xi

s
r
2
1
  r m1 −1  r m1 −1 
  y j+1 
,
+  yij++11 
i



 






  r m2 −1  r m2 −1 
  z j+1 
,
+  zij++11 
i 










r
r
, C2i = A 2i + B2i +
xi

s
r
, F1i =
xi

s r

yij + x i
s
 r j+1  1
 yi  ,



s r
zij +
xi
s
 r j+1  2
 z i  ,


i = 1,2,...,n, r = 0,1,2,....
Теперь разностную систему (4.4.5) можно записать в виде
r +1
A1i yij−+11
r +1
r
A 2i zij−+11
r
i = 1, 2,..., n − 1 .
r +1
r r +1
r
j+1
j+1
− C1i yi + B1i yi +1 = − F1i ,
r +1
r +1
r
r
r
j+1
− C2i zi + B2i zij++11 = − F2i
r
(4.4.6)
,
Вычислительный эксперимент
Для численного решения системы уравнений (4.4.6) применяется
метод прогонки [1,2]. Из граничных условий из (4.4.4) имеем
y0j+1 = 11 t j+1 , ynj+1 = 12 t j+1 ,
( )
( )
z0j+1 = 21 ( t j+1 ) , z nj+1 = 22 ( t j+1 ) .
Пусть
(
)
(
)
yij+1 = 1i 1i + yij++11 , zij+1 = 2i 2i + zij++11 ,
где 1i , 2i , 1i , 2i -неизвестные пока коэффициенты.
Величины 1i , 2i , 1i , 2i находятся подставляя
обозначениях i и i-1 точках в системе (4.4.6)
(4.4.7)
(4.4.7)
( A1i − C1i 1i + B1i 1,i −11i )  yij++11 + ( −C1i 1i1i + B1i 1,i −11,i −1 ) +

+ ( B1i 1,i −11i1i + F1i ) = 0,

(4.4.8)

j+1
A
−
C

+
B



z
+
−
C


+
B


+
(
)
(
)
 2i
2i 2i
2i 2,i −1 2i
2i 2i 2i
2i 2,i −1 2,i −1
i +1


+ ( B2i  2,i −1 2i2i + F2i ) = 0
равенство (4.4.8) будет выполнено, если потребовать
A1i − C1i 1i + B1i 1,i −11i = 0,

−C1i 1i1i + B1i 1,i −11,i −1 + B1i 1,i −11i1i + F1i = 0,
544
в
A 2i − C2i  2i + B2i  2,i −1 2i = 0,

−C2i  2i2i + B2i  2,i −12,i −1 + B2i  2,i −1 2i2i + F2i = 0.
Отсюда находятся прогоночные коэффициенты 1i , 2i , 1i , 2i :
1i =
1i =
A1i
A 2i
,  2i =
,
C1i − 1,i −1B1i
C2i −  2,i −1B2i
B1i 1,i −11,i −1 + F1i
A1i
, 2i =
B2i  2,i −12,i −1 + F2i
A 2i
.
(4.4.9)
____
i = 2,..., n .
Величины 11 ,  21 , 11 , 21 находятся из (4.4.7) и (4.4.6) при i = 1 :
(
)
(
)
 y j+1 = 11 11 + y j+1 ,
z j+1 =  21 21 + z j+1 ,
1
2
1
2






A11 y 2j+1 + B11 y0j+1 + F11
A 21z 2j+1 + B21z 0j+1 + F21
j+1
j+1
 y1 =
, z1 =
.
C11
C21




Отсюда
A11
B1111 + F11


=
,

=
,
11
11

C11
A11


 = A 21 ,  = B2121 + F21 .
21
21

C21
A 21

(4.4.10)
____
Таким образом находятся коэффициенты 1i , 2i , 1i , 2i , i = 1, n .
Решение системы (4.4.4) находится по рекуррентной формуле
(4.4.7). Значения
ynj+1 , znj+1 получаем из краевого условия (4.4.4)
 y nj+1 = 12 , z nj+1 = 22

 y nj+−11 = 1,n −1 1,n −1 + y nj+1

 z j+1 =  2,n −1 2,n −1 + z nj+1
n −1



 j+1
j+1
 yi = 1i 1i + yi +1 ,

 z ij+1 =  2i 2i + z ij++11 ,



Для возможности применения метода
потребовать, чтобы коэффициенты системы
условию
(
(
(
(
)
)
545
),
),
(4.4.11)
прогонки достаточно
(4.4.6) удовлетворяли
____

A1i  0, B1i  0, C1i  A1i + B1i , i = 1, n .


A 2i  0, B2i  0, C2i  A 2i + B2i
(4.4.12)
Для итерационной схемы (4.4.5) метод прогонки устойчив и дает
единственное решение.
13.7. Визуализация изучаемого процесса
Создание систем визуализации данных, является одним из наиболее
развитых и важных направлений работ для анализа результатов
численного моделирования физических процессов. В настоящее время
существует множество средств, предназначенных для графического
представления результатов расчетов задач математической физики.
Одним из них является пакет прикладных программ для решения задач
технических и математических вычислений и одноимённый язык
программирования-MATLAB, который предназначен для работу с
сеточными математическими моделями [3].
Программы для численного решения нелинейных систем
недивергентного вида в неоднородной среде разработаны в MATLAB.
Программы являются компактными. Пользователем задаются
необходимые числовые параметры. В конце рабочего файла
автоматически выводятся результаты расчета в виде матриц и графиков.
В этом же месте запустив команду анимации можно проследить за
эволюцией процесса по времени.
Приведем некоторые результаты численных экспериментов. Шаг
сетки достаточно мелкий h=0.05, число узлов N=1000 и точность
итерации задается  = 10−3 . Счет проводился до t=2 с шагом  = 0.02 .
Случай медленной диффузии pi  0, ( i = 1, 2 ) .
Начальное приближение взято в виде [10,11]:
u 0 ( x ) = u(0)f A (  ) , v0 ( x ) = v(0)A (  ) ,
p
где
p
1
2
2s
2s


+2 
+2 
f A (  ) = A  a −  2 − k  , A (  ) = B  a −  2 − k  ,





+

+
u(0) = T
−
1
1 −1
, v(0) = T
1
m1 −1
−
+
+1
1
 ( 0) =
T1−2 1−1 ,
1
m −1
+ 1
+1
1 − 2 1 − 1
1
2 −1
2− k
2− k
,  = (x)  (0)  4− 2k + 2s , (x) = x 2 ,
m 3− i −  i − 1
pi =
, i = 1, 2.
( m1 − 1)( m2 − 1) − 1 2
546
−
Рис 13. Численное решение задачи (4.4.1)-(4.4.3) при 1 = 0.2,
2 = 0.7, m1 = 1.8, m2 = 1.3, 1 = 0.2, 2 = 0.2, s = −0.3, k = −0.2 .
На рис. 13 приведены результаты численного решения задачи
(4.4.1)-(4.4.3) при
1
m −1

m −1
+ 1
= 2 + 2
, когда
1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 −  2
m 3− i   i + 1 ,
соответствующей случаю медленной диффузии.
Случай быстрой диффузии pi  0, ( i = 1, 2 ) .
Начальное приближение взято в виде [10,11]:
u 0 ( x ) = u(0)f A (  ) , v0 ( x ) = v(0)A (  ) ,
p
где
p
1
2
2s
2s


+2 
+2 
f A (  ) = A  a +  2 − k  , A (  ) = B  a +  2 − k  ,





+

+
u(0) = T
−
1
1 −1
, v(0) = T
1
m1 −1
−
+
+1
1
 ( 0) =
T1−2 1−1 ,
1
m −1
+ 1
+1
1 − 2 1 − 1
1
2 −1
2− k
2− k
,  = (x)  (0)  4− 2k + 2s , (x) = x 2 ,
m 3− i −  i − 1
pi =
, i = 1, 2.
( m1 − 1)( m2 − 1) − 1 2
547
−
Рис
14.
Рис
15.
Численное
решение задачи (4.4.1)-(4.4.3) при
1 = 0.4,  2 = 0.6, m1 = 0.3, m2 = 0.1, 1 = 1.2, 2 = 1.2, s = −0.5, k = −0.5 .
Численное
решение задачи (4.4.1)-(4.4.3) при
1 = 1.6,  2 = 1.8, m1 = −0.9, m2 = −1.1, 1 = 1.2, 2 = 1.2, s = −0.3, k = −0.1.
На рис. 14 и 15 приведены результаты численного решения задачи
(4.4.1)-(4.4.3)
при
1
m −1

m −1
+ 1
= 2 + 2
,
1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 −  2
когда
pi  0 ,
соответствующей случаю быстрой диффузии. Результаты дают
возможность получить следующую оценку для свободной границы
1
 a  n+2
x(t)   
b
b
(T + t ) n+2
ГЛАВА 14. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
В данной главе, используя решение уравнения Гамильтона Якоби
исследуется оценка и асимптотика решений для уравнения
параболического типа с двойной нелинейностью с демпфированием с
переменным коэффициентом. Получена оценка слабого решения,
асимптотика регулярных, неограниченных и финитных решений
стационарного уравнения. Найдено условие пространственной
локализии решения задачи Коши
При изучении нелинейных процессов интересно проанализировать
влияние различных факторов на скорость распространения
температурного волнового фронта. В работе [1] было показано, как
наличие поглощения или тепловыделения в среде влияет на скорость
распространения фронта температурной волны. В этом случае объемное
поглощение тепла снижает скорость распространения фронта и в ряде
548
случаев приводит к остановке фронта температурной волны [1].
Очевидно, что движение среды, приводящее к конвективной
теплопередаче, должно также влиять на пространственную локализацию
скорости распространения температурной волны. Поэтому интересно
рассмотреть влияние других факторов, приводящих к появлению новых
явлений. Особый интерес представляет исследование нелинейных
процессов с демпфированием изучению которого посвящено большое
количество работ (см . [1, 2] и приведенную там ссылки).
В настоящей работе в области Q = (t , x) : t  0, x  R исследуется
следующая задача Коши:
u  m−1 u k
L(u )  −
+ (u
t x
x
p −2
u
u m
) − g ( x)
x
x
p1
u q1 = 0 ,
(14.1)
u t =0 = u0 ( x)  0, x  R ,
(14.2)
для параболического уравнения с демпфированием [2].
Уравнение (14.1) описывает процессы теплопроводности,
диффузии, нелинейной фильтрации, биологической популяции и другие
различные процессы [1-10]. Частный случай уравнения (m=1, p=2 без
демфирования) был предложен Л. Лейбензоном для описания процессов
нефти и газа. В случае р=2, p1 = 0, g ( x) = 1 представляет собой известное
уравнены пористой среды а в случае. q1 = 0, g ( x) = 1 уравнение
Гамильтона Якоби с поглощением [1-5].
Отличительной чертой изучаемой задачи Коши является вырождение
уравнения (14.1), из-за чего оно в области, где u = 0 или u = 0 может не
x
иметь решение в классическом смысле. Поэтому представляет интерес
изучение слабого решение из имеющего физический смысл класса со
свойством 0  u, u
m −1
u k
x
p −2
u
 C (Q) , и удовлетворяющий задаче (14.1),
x
(14.2) в смысле распределения [1-6].
Различные качественные свойства решения задачи (14.1) (14.2) и
нелинейные явления для частных значенияx числовых параметров и при
g(x)=1 интенсивно изучались многими авторами [1-32]. В частности, в
работе [2] задача рассмотрена в случае
k = m  1,p  2, p  p1, q1 + p1m  m( p − 1)  1, q( x) = 1
Применяя стандартный итерационный метод, автор дал достаточное
условие существования сингулярных автомодельных решений
уравнения (14.1) и. классификацию этих сингулярных автомодельных
решений.
549
Вопросы существования глобального решения, оценка, асимптотика
решения при t →  и нелинейные явления возникающих при различных
значениях частных значенияй числовых параметров интенсивно
изучались многими авторами (см. [1-10] и приведенную там литературу).
Целый ряд работ посвящен исследованию качественных свойств
решения рассматриваемой задачи для частных значений числовых
параметров в случае когда начальное значение u0 ( x ) является гладким.
Имеется ряд работ, посвященных глобальной разрешимости и не
разрешимости задачи Коши (14.1), (14.2) в различных функциональных
пространствах. В качестве примера приведем в частности, работы
Huashui Zhan [8], Z.Wu, J.Zhao, J. Yun.Y.M. Qi [4] и работы. [1, 27,28],
где поглощение имеет степенную градиентную нелинейность. В работе
[2] рассмотрена задача (14.1), (14.2) в случае k=m, p 2, m 1 и
p p1,q1 p1m m(p 1) 1, g ( x) 1 . В этой работе используя стандартный
итерационный метод Пикара дается достаточное условие существования
сингулярных автомодельных решений. Кроме того, в работе дана
классификация этих сингулярных автомодельных решений. H. Zhan [8]
применяя стандартный итерационный метод в случае k = m доказал
достаточное условие, существования сингулярных автомодельных
решений уравнения (14.1). Автор приводит классификацию
сингулярных автомодельных решений. Качественные свойства решения
задачи (14.1) и нелинейные явления при различных частных значениях
числовых параметров интенсивно изучаются многими авторами [10-12].
В работе [19] исследуются критические кривые уравнения с двойной
нелинейностью недивергентного вида с нелинейным граничным
потоком. А именно в ней получена критическая кривая глобального
существования и критическая кривая Фуджита. Асимптотика решения
установлена для критического значения параметра q1 = p − 1 + p N для
задачи (14.1)-(14.2) в случае k = 1, m = 1 в [18]. В работе [13] исследовано
решение для системы уравнений реакции-диффузии с двойной
нелинейностью при наличии источника. Автомодельный подход
используется для обработки качественных свойств нелинейной системы
реакции-диффузии. Показано, что существуют некоторые значения
параметров, для которых может иметь место эффект конечной скорости
возмущения, пространственная локализация решения. В работе [20]
исследовано асимптотическое поведение решений задачи Коши для
нелинейности, описывающей диффузию тепла с нелинейным
поглощением тепла при критическом значении параметра.
А.А.Самарский, И.М.Соболь [31] предложили численные схемы и метод
550
для численного решения, основанные на методе прогонки
автомодельного анализа p 0 .
В данной работе изучается пространственная локализация решения,
асимптотические представления регулярных и неограниченных и
финитных решений стационарного уравнения (14.1), в зависимости от
значении числовых параметров среды k , p, m, p1 , q1 . Предложен способ
оценки решения на основе решения соответствующего уравнения
Гамильтона
Якоби-уравнения
первого
порядка;
получены
асимптотические свойства решений в зависимости от значения числовых
параметров, характеризующих нелинейную среду путем решения
уравнения первого порядка, что решает проблему выбора начальных
приближений при численном решение задачи. Показано, что некоторые
из этих свойств решений уравнения (14.1) можно установить с помощью
решения следующего уравнения Гамильтона Якоби
1
u
m−2
k p−2
du
dx
2
 du 
du m
−
g
(
x
)


dx
 dx 
p1
q1
u =0
(14.3)
Решение которого относительно проще чем решение исходного
уравнения второго порядка.
Легко видеть, что уравнение (14.3) имеет частное решение
u  ( x ) = [c  k
(2 − p )/( p − p1 )
1
k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 )
( g ( y )) p − p1 d y ]1 , c  0,

p − p1
0
x
(mp1 + q1 ) − k ( p − 2) + m)  0, p − p1  0
(14.4)
где
1 =
p − p1
( mp1 + q1 ) − k ( p − 2) + m
(14.5)
с - постоянной интегрирования
u ( x) = exp(−(
 mp
1
k
p−2
(k ( p − 2) + m)
)
1
x
p − p1
 [ g ( y)]
1/( p − p1 )
dy)
xo
В данной работе используя решение уравнения Гамильтона-Якоби,
получена
оценка
слабого
решения
исследуется
свойство
пространственной локализации задачи Коши для задачи (14.1)-(14.2),
асимптотика регулярных, неограниченных и финитных решений
стационарного уравнения (14.1). Показано, что в критическом случае
когда k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 ) = 0 характер решения меняется и имеет вид
экспоненциальной функции.
14.1. Оценка решения и пространственная локализация
решения.
551
Теорема 1
k 2− p m p1 1 p1 − p +1



0
g
(
x
)

0
] p− p1
Пусть 1
,
, b [
( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1))
1
1 =
(14.7)
p − p1
, p  p1 , k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )  0
( mp1 + q1 ) − (k ( p − 2) + m)
Тогда для решения задачи (14.1),(14.2) справедлива оценка
u (t , x)  u+ (t , x) = u ( x) в Q = (t , x) : t  0, x  R ,
где функция u( x) = (a − b ( x)) . Решение пространсвенно локализовано.
Доказательство. Доказательство теоремы основано на принципе
сравнения решений. В качестве сравниваемой рассмотрим функцию
1
u+ (t , x) = ( a − b ( x)) + 1 ,  1 =
p − p1
k ( p − 2) + m − ( p1m + q1 )
Для использования приципа сравнения необходимо определить
сравниваемую функцию u+ (t , x) и показать,что для неё выполняется
условие L(u+ (t , x))  0 в области D = {(t ,) : t  0, ( x)  a / b} . Вычислим
теперь L(u+ (t , x)) и произведем следующие простые вычисления. В самом
деле эти вычисления дают:
u
k p −2
du
dx
m −1
k p −2
d m−1 du
(u
dx
dx
du
= −b 1 ( 1kb) p−2   p−1 (a − b )1[ k ( p −2)+m ]−( p −1)
dx
du
d
) = (b 1 ) p−1 k p−2 (a − b )1[ k ( p−2)+m]− p (  pb( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − (  p−1)(a − b ))
dx
dx
m p1
du
dx
u q1 = (mb 1 ) p1   p1 (a − b )1 ( mp1 + q1 )− p1
Подставляя полученные выражения в уравнение (14.1) для L(u+ (t , x))
имеем
L(u+ (t , x)) = [(b 1 ) p−1 k p−2 (  p b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) −
d
(  p−1 )(a − b )) −
dx
− g ( x)(mb 1 ) p1   p1 ](a − b )( m1 −1) p1 +1q1
(14.9)
Пусть
552
 1[k ( p − 2) + m] − p =  1 (mp1 + q1 ) − p1 т.е.
1 =
L(u+ (t , x)) = −( ) − p1 g −1 ( x)
p − p1
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
d p−1
(  )(a − b ) + [(b 1 ) p−1 k p−2 ( ( p− p1 )b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1))) −
dx
−(mb 1 ) p1 ](a − b )( m1−1) p1+1q1
(14.12)
Выберем функцию   так:
x
 ( p− p1 ) = g ( x),  ( x) = C +  [ g ( y )]1/( p− p1 ) dy, C  0
xo
Тогда из (14.12) имеем:
d
(  p−1 )(a − b )) + [(b 1 ) p−1 k p−2 (b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) −
dx
p1
( m 1 −1) p1 + 1q1
−(mb 1 ) ](a − b )
0
L(u+ (t , x)) = − g −1 ( x)( ) − p1
в области D = {(t , x) : t  0, ( x)  a / b} , если
[(b 1 ) p −1 k p −2 (b( 1 )[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − ( mb 1 ) p ]  0 ,
d
[(b 1 ) p k p −2 ( k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − ( m 1 ) p  0 ,
(  p−1 )  0
dx
Тогда, согласно принципу сравнения решения имеем
1
1
u (t , x)  u+ (t , x)  ( a − b ) +  1  1 =
p − p1
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
в Q = (t , x) : t  0, x  R
Из последнего неравенства имеем u (t , x)  0 при  ( x)  a / b . Это
означает, что для решения задачи (4.1),(4.2) имеет смосл
пространственная локализация решения.Теорема 1 доказана.
Рассмотрим для примера случай g ( x) = x . Отметим, что уравнение
(4.1) в случае p1 = 0, m = 1, p = 2 носит название Эмдена-Фаулера [30],
возникшее из астрофизики, а в случае. p1 = 0, m = 1, p = 2, = 1/ 2
уравнение Томаса-Ферми из атомной физики (см. например [30]).
Найдем решение уравнения (4.1) с использованием с решением
уравнения Гамилтон Якоби.
u
m−2
k p −2
du
dx
2
m p1
 du 
 du

 −x
dx
 dx 
q1
u = 0 =0
553
(14.10)
u  ( x ) = [c  k
2− p
p − p1
u  ( x) = [ k
1 =
2− p
p − p1
( p − p1 )
(k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 ))
x
 + p − p1
( p − p1 )
(k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 ))
x
 + p − p1
p − p1
,
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
 + p − p1
p − p1  1
] ,с  0
 + p − p1
p − p1  1
] ,с = 0
p  p1 , k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 )  0
Теорема.2
Пусть
k 2− p m p1 1 p1 − p +1
p − p1
1  0 b  [
] p− p1 ,  1 =
,
( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1))
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
g ( x ) = x ,  + p − p1  0, p − p1  0
1
тогда для решения задачи (4.1),(4.2) справедлива оценка
u (t , x)  u+ (t , x) = u ( x) в Q = (t , x) : t  0, x  R ,
p − p1
x
где u( x) = (a − b ( x)) ,  ( x ) =
 + p − p1
1
 + p − p1
p − p1
.
Доказательство. Доказательство теоремы основано на принципе
сравнения решений. В качестве сравниваемой рассмотрим функцию
u+ (t , x) = ( a − b ( x)) + 1 ,  1 =
p − p1
k ( p − 2) + m − ( p1m + q1 )
Покажем, что L(u+ (t , x))  0 в области  ( x) 
a
.
b
В самом деле простые вычисления дают следующее:
u
m−1
k p −2
du
dx
k p −2
d m−1 du
(u
dx
dx
du
= −b 1 ( 1kb) p −2   p −1 ( x)(a − b ( x))1[ k ( p −2)+m ]−( p −1)
dx
(4.11)
du
d
) = (b 1 ) p−1 k p−2 (a − b )1[ k ( p−2)+m]− p [b  p ( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − (  p−1)(a − b )] (4.12)
dx
dx
m p1
du
dx
u q1 = (b 1m) p1   p1 (a − b )1 ( mp1 +q1 )− p1
Пусть
 1[m + k ( p − 2)] − ( p − 1) = (mp1 + q1 ) 1 − p1 ,
т.е.  1 =
p − p1
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
554
(4.13)
Тогда подставляя полученные выражения в уравнение (4.1) для
L(u+ (t , x)) с учетом  
p − p1
p − p1
= x ,  ( x) =
x
 + p − p1

 + p − p1
p − p1
имеем

d



L(u+ (t , x)) = (b 1 ) p−1 k p−2 b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − (  p ) −1 (  p−1 )(a − b )  − (b 1m) p1  (a − b )1 ( mp1 +q1 )− p1
dx




(4.13)
Пусть постоянная b удовлетворяет условию
1
(m 1 ) p
p − p если 
b  [ 2− p
]
1  0 т.е.
1
k
( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1))
1

d



L(u+ (t , x)) = (b 1 ) p−1 k p−2 b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1))( x   p1 ) −1  p − ( x   p1 ) −1 (  p−1)(a − b )  − (b 1m) p1  (a − b )1 ( mp1 +q1 )− p1  0
dx




 → a / b , a − b → 0 ,  ( x) = x
 /( p − p1 )
,( ( x))
p −1
=x
( p −1)
p − p1
Учитывая что ( x   p ) −1  p = 1 имеем
1

d


L(u+ (t , x)) = (b 1 ) p −1 k p −2 b( 1[k ( p − 2) + m] − ( p − 1)) − b( 1m) p1 ] − ( x   p1 ) −1 (  p −1 )( a − b )   ( a − b )1 ( mp1 + q1 )− p1  0
dx



 + p − p1
в области D = {(t , x) : t  0, x
p − p1
(
p − p1 −1
) a / b}
 + p − p1
Тогда согласно принципу сравнения решения имеем
p − p1
u (t , x )  ( a − b ) +  ,  1 =
1
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
в Q = (t , x) : t  0, x  R
Из последнего неравенства имеем u (t , x)  0 при
x  [(
 + p − p1 a
p − p1
p − p1
 + p − p1
) ]
b
, p − p1  0,  + p − p1  0 .
Это означает, что для решения задачи (4.1),(4.2) имеет место
пространственная локализация решения. Последнее неравенство даёт
возможность анализировать область локализации решения в
зависимости от значения числовых параметров нелинейной среды и
влияние демпфирования.
14.2. Асимптотика решения стационарного уравнения
Теорема 3 Пусть  1  0
Тогда финитное решение стационарного уравнения (4.1) при
 ( x) →
a
имеет следующее асимптотическое представление
b
u( x) = c(a − b ( x))1 (1 + o(1))
(18)
555
b p1 − p 1 p1 − p+1k 2− p m p1
]1/[ k ( p −2)+m−( mp1 +q1 )] ,
где c = [
(k ( p − 2) + m) 1 − ( p − 1)
число  1 -определено выше.
Доказательство. Доказательство теоремы проводится методом
сравнения решений . В качестве сравниваемой берется функция
u( x) = (a − b ( x)) являющая решением уравнения Гамильтона-Якоби (3)
Решение стационарного уравнения (4.1) ищем в виде:
u(t , x) = u( x)w( ), u( x) = (a − b ( x)) , = − ln(a − b ( x)) ,  ( x) p− p1 = g ( x)
Смысл этого преобразования заключается в том, что  →  при
 ( x) → a / b и задача сводится к асимптотической устойчивости
решения уравнения (4.1) при  →  . Далее простые вычисления дают
следующее
1
1
u
m −1
du 
dx
p −2
du
p −1
 [ k ( p − 2) + m ]− ( p −1)
= b p −1 (  ) ( a − b ) 1
Lw
dx
где
Lw = wm−1 w −  1w
p −2
(19)
( w −  1w) ,
Простые вычисления показывают, что
p −2
d  m−1 du 
du 
d
 k ( p − 2 ) + m  1 −( p −1)
Lw +
u
 = b p −1 (  p −1 ) ( a − b ) 
dx 
dx
dx 
dx
(4.14)
 k ( p − 2 ) + m  1 − p  d

+b p  p (a − b ) 
 Lw − ( ( p − 2 ) + m )  1 − ( p − 1)  Lw 
 d

du m
dx
p1
u q1 = b p1  p1 (a − b )( m1 −1) p1 + q11 wm −  1mwm
p1
wq1
(21)
Поставляя полученное выражение в (*) имеем
d
 k ( p − 2 ) + m  1 −( p −1)
  p −1 ) ( a − b ) 
Lw +
(
dx
 k ( p − 2 ) + m  1 − p  d

+b p (a − b ) 
 Lw − ( ( p − 2 ) + m )  1 − ( p − 1)  Lw  = (4.15)
 d

b p −1 (  p1 ) −1
= b p1 (a − b )( m1 −1) p1 +1q1 wm −  1mwm
p1
wq1
Учитывая, что   p− p1 = g ( x) и так как
(k ( p − 2 ) + m) 1 − p = (m 1 − 1) p1 +  1q1
Последнее уравнение перепишется в виде
556
d
 k ( p − 2 ) + m  1 −( p −1)
  p −1 ) ( a − b )
Lw +
(
dx
 d

+
Lw − ( ( p − 2 ) + m )  1 − ( p − 1)  Lw  = b p1 ( wm −  1mwm
 d

b p −1 (  p1 ) −1
a − b → 0 ,
p1
wq1
d
(  p −1 )(a − b ) → 0 ,
dx
Из (22) получим
d
Lw − ( ( p − 2 ) + m )  1 − ( p − 1)  Lw −
d
−b p1 − p wm −  1mw
m p1
(4.16)
wq1 = 0
Анализ решения уравнения (4.16) показывает, что все решение
уравнения (4.16),стремящиеся к постоянной должны удовлетворять
алгебраическому уравнению
p −2
p1
( ( p − 2 ) + m )  1 − ( p − 1) c m−1 k 1c k  1c = b p1 − p − 1mc m c q1 (4.17)
b p1 − p 1 p1 − p +1k 2− p m p1
]1/[ k ( p −2)+m−( mp1 +q1 )]
т.е. w = c = [
(k ( p − 2) + m) 1 − ( p − 1)
d
так как
Lw = 0 при w=с
d
Следовательно для достаточно больших  имеет место следующее
асимптотическое представлении финитных решений уравнения (4.1)
b p1 − p 1 p1 − p+1k 2− p m p1
u ( x) = [
]k ( p−2)+m−( mp1 +q1 ) (a − b )1 [1 + o(1)] (4.18)
(k ( p − 2) + m) 1 − ( p − 1)

5. Пусть
g
1
p − p1

( x)dx   , тогда
g
1
p − p1
( x)dx → 0 , при x → +
x
x0
при  1  0
Рассмотрим функцию:

u1 ( x) = [  g
1
p − p1
( x)]1  1 =
x
p − p1
k ( p − 2) + m − ( mp1 + q1 )
В этом случае справедлива
Теорема 4. Пусть  1  0 ,

g
x0
1
p − p1
( x)dx   , g
−
p − p1 +1
p − p1

g ( x)(  g
x
557
1
p − p1
dx) → 0 при x → 0
(4.19)
Тогда при x → + стационарное решение уравнения (4.1) имеет
следующее асимптотическое представление
u (t , x) = [
 1 p − p+1m p k 2− p
1
1
 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)
]
1

m+ k ( p −2)−( mp1 + q1 )
[ g
1
p − p1
( x)]1 (1+o(4.1))
x
Доказательство.
Решение уравнения (4.1) будем искать в виде

u ( x) = u ( x) w( ),  ( x) = − ln(  g
1
p − p1
dx)
(4.20)
x
Ясно,что  ( x) →  при x →  в силу сходимости интеграла
x
g
1
p − p1
dx)
0
Подставляя (4.20) в (4.1)после следующих простых вычислений,

1
1
du
= g p− p1 (  g p− p1 dx)1−1[ w −  1w]
dx
x
d
(u wk )
dx
k

( g
1
p − p1
p −2

= − 1k (  g
1
p − p1
dx)1k −1 g
1
p − p1

wk + (  g
x
dx)
 1k −1
g
1
p − p1
1
p − p1
dx)1k wk
x
p −2

= g
[ w −  1kw ]
k
k
x
1
p − p1
dx)
(  1k −1)( p − 2)
g
p −2
p − p1
p −2
d
dx
=
[ wk −  1kwk ] p−2
x
p −2
du k
dx

p −1
1
du
u
= (  g p− p1 dx)1 ( m+k ( p −2))−( p −1) g p − p1 Lw
dx
x
m −1
где Lw = w [ w −  1w][ wk −  1kwk ] p −2
m−1
p −2
d m−1 du k
(u
dx
dx

+(  g
1
p − p1

1
1
p −1
du
) = −[ 1 ( m + k ( p − 2)) − ( p − 1)](  g p − p1 dx)1 ( m+ k ( p −2))− p g p − p1 g p − p1 Lw +
dx
x
dx)1 ( m+ k ( p −2))−( p −1) [
x
p −1
g
p − p1
p1 −1
p − p1
Lw + g
p −1
p − p1
1
p − p1
d
g
Lw  1
]
d
p − p1
 g dx
x
k p −2
d m−1 du
(u
dx
dx

1

du
) = ( g
dx
x
p −1
1
p − p1
dx)

 1 ( m+ k ( p −2))− p
1
(−[ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]g
p
1
p −1
d
p − p1
p − p1
+
(  g dx) g Lw) + (  g p− p1 dx)1 ( m+k ( p −2))− p g p − p1
Lw
p − p1 x
d

x
558
p
p − p1
Lw +

m
1
du
u1q1 = − 1m(  g
dx
x

( g
x
p
m 1
du
dx
1
p − p1
dx)

 1 ( mp1 + q1 )− p1
u q1 = (  g
1
p − p1
1
p − p1
g
dx)1m−1 g
1
p − p1

wm + (  g
1
p − p1
dx)1m−1 wm g
p1
1
p − p1
=
x
p1
p − p1
wm −  1mwm
dx)(1m−1) p1 +1q1 g
p1
p − p1
p1
w
wm −  1mwm
p1
wq1
x

( g
1
p − p1
dx)
 1 ( m+ k ( p −2))− p
(−[ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]g
p
p − p1
x

1
p − p1

p
p − p1

p −1
1
1
p −1
p − p1
p − p1
Lw +
( g dx) g Lw) +
p − p1 x
1
p
1
p1
d
p − p1
(  1m−1) p1 + 1q1 p − p1
+(  g dx)
g
Lw = g (  g dx)
g
wm −  1mwm wq1
d
x
x
Определяя  1 из равенства
 1 ( m+ k ( p −2))− p
 1 ( m + k ( p − 2)) − p =(  1m −1) p1 + 1q1
Имеем следующее
(−[ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]g
=g
p
p − p1
wm −  1mwm
p1
p
p − p1

1

p1
p
wq1
1
−
p −1
p − p1
(−[ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]Lw +
( g dx) g
p − p1 x
= wm −  1mwm
p −1
1
p −1
d
p − p1
p − p1
Lw +
(  g dx) g Lw) + g p − p1
Lw =
p − p1 x
d
p − p1 +1
p − p1
Lw) +
d
Lw =
d
wq1
Так как при x → +

g
1
p − p1
( x)dx → 0 , следовательно  → + .
x
Поэтому согласно условия теоремы уравнение при  → + приобретает
вид
p1
d
(4.21)
Lw − [ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]Lw = wm −  1mwm wq1
d
где Lw = wm−1[ w −  1w][ wk −  1kwk ] p −2
559
Очевидно, что решение уравнения (4.21), стремящиеся к константе
w = c , так как
d
Lс = 0 , то с является решением алгебраического
d
уравнения
[ 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)]c m−1[ 1c][ 1kc k ] p−2 =  1mc m
p1
c q1
(4.22)
Отсюда находим
 1 p1− p+1m p1 k 2− p
c =[
] m+k ( p−2)−( mp1+q1 )
 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)
1
Поэтому стационарное решение
асимптотическое представление

u ( x) = [  g
x
1
p − p1
( x)]1 [
 1 p − p+1m p k 2− p
1
уравнения
1
 1 (m + k ( p − 2)) − ( p − 1)
]
(4.1)
1
m+ k ( p −2)−( mp1 + q1 )
имеет
[1 + o(1)]
(37)
Теорема 2 доказана.
14.3. Оценка решения в критическом случае
Случай k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 ) = 0 назовём критическим. В этом
случае характер и оценка решения меняется.
Покажем, что что функция
1 x
 m p1
p − p1
u2 ( x) = exp(−[ p − 2
]
[ g ( y)]1/( p − p1 ) dy) ,

k (k ( p − 2) + m)
xo
является верхним решение уравнения (4.1) при критическом значение
параметра
Теорема 14.5. Пусть в уравнение (4.1)
k ( p − 2) + m − (mp1 + q1 ) = 0, g ( x)  0, u0 ( x)  Au2 ( x), A  0, x  R .
Тогда для решения задачи (4.1), (4.2) справедлива оценка u (t , x)  u2 ( x) в
Q
Доказательство. Доказательство теоремы основано на принципе
сравнения решения. В качестве сравниваемой рассмотрим функцию
1
 m p1 p − p1 x
u2 ( x) = A exp(−[ p − 2 ]
[ g ( y)]1/( p − p1 ) dy)

k
xo
Для использования приципа сравнения решений покажем, что в
области D = {(t ,) : t  0,0  x  } . выполнится условие L(u2 ( x))  0 . В самом
деле непосредственные вычисления показывают, что.в силу условия
теоремы 5, что
560
L(u2 ( x)) = −ag ( x)[ g ( x)]
p −1
p − p1
x
exp(−a  [ g ( y)]
1/( p − p1 )
dy)  0, a = [
xo
 mp
1
k p −2
]
1
p − p1
в области D = {(t ,) : t  0,0  x  } . Это означает в силу принципа
сравнение решения, что теорема 14.5 доказана.
Численная схема и метод решения задачи с демпфированием.
Рассмотрим в области  уравнение
)
(
p−2
u
=  u m−1 u k
u −  u q1 u m
t
u (0, x) = u0 ( x)  0, x  R N
p1
(14.23)
рассмотрим одномерный случай ( N = 1).
В  построим равномерную сетку h по x с шагом
h
:
h =  xi = ih, h  0, i = 0,1,..., n, hn = b ,
и временную сетку  = t j = j,   0, j = 0,1,..., m, m = T.
Заменим задачу (14.23) с применением метода баланса, неявной
разностной схемой и получим разностную задачу с погрешностью
(h 2 + ) :
 yij +1 − yij 1
= 2  ai +1 ( y j +1 ) ( yij++11 − yij +1 ) − ai ( y j +1 ) ( yij +1 − yij−+11 )  
h
 
p1

q1  yi +1 − yi 
- ( yi ) 

 , i = 1, 2,..., n − 1; j = 0,1,..., m − 1,
h 

 0
i = 0,1,..., n,
 yi = u0 ( xi ) ,
 j
j = 1, 2,..., m,
 y0 = 1 ( t j ) ,
 j
j = 1, 2,..., m,
 yn = 2 ( t j ) ,
(14.24)
для вычисления a ( y ) используется одна из следующих формул
а)
 y + yi
a i (y ) = K i −1
2

б) a i (y ) =
( )

 ,

( )
K y i −1 + K y i
.
2
Система алгебраических уравнений (14.24) нелинейна относительно
j+1
y .
Для решения системы нелинейных
итерационный метод и получим:
561
уравнений
применим
s +1
s +1
s +1
s +1
s +1
s
yij +1 − yij 1  s

j +1  j +1
j +1 
j +1  j +1
= 2  a i +1 ( y )  yi +1 − yi  − ai ( y )  yi − yij−+11   
h 




s


q1  yi +1 − yi 
- ( yi )
 h 


(14.8)
p1
s
где s = 0,1,2,... .
s +1
Относительно y i разностная схема (14.8) линейна. В качестве
s +1
начальной итерации для y i берется y из предыдущего шага по времени:
0
y j+1 = y j . При счете по итерационной схеме задаются точность итерации и
процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие
s +1
s
max y i − y i   .
0i  n
−3
Замечание. Во всех численных расчетах мы полагали  = 10 .
В (2.8) введем обозначения
s
Ai =
s
s
s
C i = A i + Bi + 1,
ai +1
  (yi
s
j +1 k
)
s
s
ai ( y j +1 )
h2
Bi =
,
s

y
− yi
F i = yi −  ( yi ) q1  i +1

h

s
s
j +1 k
j +1 k
m −1 ( y
)
1
i +1 ) − ( yi
= ( yij +1 )
2
h

j +1 k
m −1 ( y
) − ( yij−+11 ) k
1
i
ai = ( yij−+11 )
2
h

p−2
p−2
+
+ ( yi
  ( y ij +1 ) ai +1 ( y j +1 )
k
s




p1
,
(y )
)
,
h2
j +1 m −1
i +1
j +1 m −1
s
i = 1,2,..., n .
s = 0,1,2... ,
( yij +1 ) k − ( yij−+11 ) k
h
( yij−+11 ) k − ( yij−+21 ) k
h
p −2
p−2






На концах отрезка 0≤x≤b более точные значения концевых ординат
можно получить по формулам Милна:
3 y − 4 y n−1 + y n −2
− y2 + 4 y1 − 3 y0 du
du

 n
dx 0
2h
dx n
2h
Эти формулы считаются более точными.
Условимся о следующих обозначениях:
y j = y , y j +1 = y .
Разностное уравнение можно записать в виде:
562
s
s +1
s
s +1
s +1
s
s
Ai yi −1 − C i yi + B i yi +1 = − F i , i = 1, 2,..., n − 1 .
y0 = 1 y1 + 1
y N =  2 y N −1 +  2
(14.25)
Для численного решения системы уравнений (14.25) применяется
метод прогонки.
Теперь в области  = (t, x) : 0  t  T, 0  x   b ,  = 1,2
рассмотрим уравнение (14.1)-(14.2) в случае N = 2
u    m −1 u k
u
=
t  x1 
x1


p −2
u  
+
x1  x2


u k
 u m −1

x2

u | =  ( x, t ) , u (0, x) = u0 ( x )  0, 0  x  b ,
h2 =
В

b2
n2
:
построим равномерную сетку

(
)
h = x ij = x1i , x 2j ,
p −2
u
x2

u
  −  u q1

x

p1
(14.26)
 = 1, 2 .
(  = 1,2 ) с шагами h1 =
h по x 
b1
и
n1
,
x1i = ih1, x 2j = jh 2 ,
i, j = 0,1,..., n  ,  = 1,2
и временную сетку  = t k = k,   0, k = 0,1,..., m, m = T, T  0 .
Для численного решения задачи (3.22)-(3.23) применяется метод
переменных направлений, так называемой схемой Писмена-Рекфорда
 yil,+j 2 − yil, j
1
= 1 y l + 2 +  2 y l + q ( y l )


0.5 
 l +1
l+ 1
1
 yi , j − yi , j 2
= 1 y l + 2 +  2 y l +1 + q ( y l +1 )

 0.5 
1
(14.27)
где
1 y l + 2 =
1
2 yl =
(
1 
1
a
yl+ 2
2  i +1, j
h1
1
b
yl )
2  i , j +1 (
h2
 2 y l +1 =
) (y
l + 12
i +1, j
(y
l
i , j +1
1
b
y l +1 )
2  i , j +1 (
h2
i, j = 1, 2,..., n − 1,
(y
)
1
− yil, j ) − bi , j ( y l )
l +1
i , j +1
(
− yil,+j 2 − ai , j y l +
(y
l
i, j
− yil,+j1 ) − bi , j ( y l +1 )
1
2
) (y
l + 12
i, j
− yil, j −1 )  ,
(y
l +1
i, j
 = 1, 2.
u
q( y ) = − u
x
q1
563
p1
)
1
− yil−+1,2j  ,

− yil,+j1−1 ) 
Для нелинейной части ai, j ( yl ) и ai, j ( yl ) мы будем использовать
следующие аппроксимации
l +1/2 k
l +1/2 k
k
( yil,+j1/2 ) k − ( yil−+11/2
1  l +1/ 2 m −1 ( yi +1, j ) − ( yi , j )
,j )
l +1/2
l +1/ 2 m −1
ai +1, j ( y ) = ( yi , j )
+ ( yi +1, j )
2
h1
h1

p −2
l +1/2 k
l +1/2 k p − 2

( yil−+1,1/2j ) k − ( yil−+21/2, j ) k
1  l +1/ 2 m −1 ( yi , j ) − ( yi −1, j )
l +1/2
l +1/ 2 m −1


ai , j ( y ) = ( yi −1, j )
+ ( yi , j )
2
h1
h1



p
−
2
p
−
2
l
k
l
k
l
k
l
k

m −1 ( yi , j ) − ( yi −1, j )
1  l m −1 ( yi , j +1 ) − ( yi , j )
l
l

bi , j +1 ( y ) = ( yi , j )
+ ( yi +1, j )
2
h2
h2



p−2
l
k
l
k
1  l m −1 ( yi , j ) − ( yi , j −1 )
l
bi , j ( y ) = ( yi , j −1 )
2
h2

p−2
+ ( yil, j )
l +1 k
l +1 k
1  l +1 m −1 ( yi , j +1 ) − ( yi , j )
bi , j +1 ( y ) = ( yi , j )
2
h2

p−2
l +1 k
l +1 k
1  l +1 m −1 ( yi , j ) − ( yi , j −1 )
bi , j ( y ) = ( yi , j −1 )
2
h2

p−2
m −1
( yil, j −1 ) k − ( yil, j −2 ) k
+(y
+( y
p−2
h2
)
m −1
l +1
i +1, j
l +1
l +1
p−2
)
l +1 m −1
i, j
( yil,+j1 ) k − ( yil−+1,1 j ) k




p−2
h2
( yil,+j1−1 ) k − ( yil,+j1−2 ) k
h2




p−2








В этой схеме переход от слоя l к слою l+1 осуществляется в два этапа
На первом этапе ищется значение промежуточного слоя l+1/2 а на
втором этапе находится значение слоя l+1 с помощью слоя l+1/2
Начальное и краевое условия перепишем следующим образом
 yi0, j = u0 ( x ) ,
x  h
 l +1
l +1
 yi , j =  , при j = 0 и j = n2
 l + 12
l + 12
y
=

, при i = 0 и i = n1
i
,
j

где
 =
(14.28)
1 l +1

 +  l ) −  2 ( l +1 −  l ) [29].
(
2
4
Условимся о следующих обозначениях
y l = y , y l + = y , y l +1 = y€ .
1
2
Для решения получающейся системы уравнений (14.28) нелинейных
уравнений применяем итерационный метод и получим схему
s +1
y i, j
0.5 
=
s +1
s +1

 s
1 
 s   s +1
 s   s +1


a
y
y
−
y
−
a
y
y
−
y





i +1, j
i, j
i +1, j
i, j 
i, j
i −1, j  + F i , j = 0
h12 
  
  


564
(14.29)
s +1
y€ i , j
0.5 
s +1
€ i, j
y
=
1
h22
s +1
s +1


 s
 s   s +1
 s   s +1
bi , j +1  y€  y€ i , j +1 − y€ i , j  − bi , j  y€  y€ i , j − y€ i , j −1  + F i , j = 0
 
 



(14.30)
Разностная схема (14.29) относительно sy+1i, j , а (14.30) относительно
линейна. В качестве начальной итерации в (14.29) для sy+1i, j берется y
0
из предыдущего шага по времени: y i , j = y i , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − yi , j  
0i  n1
0  j n 2
s +1
Также в качестве начальной итерации в (14.30) для y€ i, j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y€i , j = y i , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y€ i , j − y€i , j   .
0i  n1
0  j n 2
Разностное уравнение (14.30) можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
s +1
s

 Ai , j y i +1, j − C i , j y i , j + B i , j y i −1, j = − F i , j


 y =  , где i = 0, n1
(14.31)
i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
Соответственно (14.31) запишем в виде:
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
€
€
€
Ai , j y i , j +1 − C i , j y i , j + B i , j y i , j −1 = − F i , j

 y€ =  , где j = 0, n2
(14.32)
После этого мы получаем трехдиагональную матрицу с
коэффициентами A, B, C, F которую можно решить методом прогонки
s
s
Ai =
( ),B =
 ai , j y
l +1/2
2h12
s
s
( ) , C = A + B + 1,
 ai +1, j y
i
s

l
y − yi

F i = y i , j −  ( y i ) q1  i +1

2
h


s
565
l +1/2
s
2h12
p1
s
s

l

 + y
i, j

2


s
i
i
i
( ) +2 y ,


s
l
2
 bi , j ( y€l +1 )
Ai =
2h22
 ai , j +1 ( y€l +1 )
s
s
s
s
, Bi =
2h22
s

y
− yi

F i = y€il,+j1/2 −  ( y i )q1  i +1
2
h


s
s
s
s
, C i = Ai + B i + 1 ,
p1

s
 +   y€l +1/2
1

2


Система уравнений (14.30) решается вдоль строк j = 1,2,..., n 2 − 1 , и
определяется y во всех узлах сетки h . Затем решается система
уравнений (14.31) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1 определяя y
€ во всех
узлах сетки h .
При переходе от слоя l + 1 к слою l + 2 процедура счета
повторяется.
Результаты численных расчтов. Рассмотрим волновые решения. В
качестве начального приближения бралось следующее волновое
решение:
u (t , x) = A(ct − x) ,  =
p −1
, с–скорость волны
k ( p − 2) + m − 1
Постоянная находится из решения нелинейного уравнения
уравнения (k  ) p−2  2 Ak ( p −2)+m−1 − c − p1q1 A p q −1 = 0
Значения А находились методом Ньютона для нелинейных
уравнений
1 1
q1=0.4; p1=0.6; p=3; k=2; m=2; c=2; =0.01;
566
 =1
q1=0.4; p1=0.6; p=3; k=2; m=2; c=2; =0.01;
q1=0.4; p1=0.6; p=3; k=2; m=2; c=2; =0.2;
567
 =1
 =0
q1=4; p1=5; p=3; k=2; m=2; c=2 =0.1; 
=0
q1=0.4; p1=0.6; p=6; k=3; m=3; c=2 =0.01;
568
 =0
pme
q1=0.4; p1=0.6; p=2; k=1; m=2; c=2 =0.2;
 =0
q1=0.4; p1=0.6; p=2; k=1; m=2; c=2 =0.006;
569
 =1
q1=0.4; p1=0.6; p=3; k=1; m=1; c=2 =0.2;
 =0
q1=0.4; p1=0.6; p=3; k=1; m=1; c=2 =0.1;
 =1
570
При значениях p=2; k=1; m=3;
графиками задачи
 = 0 ;A=2;c=2;
графики совпадают с
u
=  (  0u u ) при аналитическом решении
t
u =  c  0 (ct − x ) 
−1
1

 = 2; c = 2; 0 = 1
Теперь в области  = (t, x) : 0  t  T, 0  x   b ,  = 1,2 рассмотрим
уравнение (14.1) в случае N = 2
u    m −1 u
u
=
t  x1 
x1


p −2
u 

+
x1  x2


u
 u m −1

x2

 u
−u 
 x1

p1
q1
p −2
u  
 −
x2  

u
+
x2
p1

,


(14.33)
с начальным условием
u (0, x ) = u 0 (x )  0, 0  x   b  ,  = 1,2 .
В
и h2 =
построим равномерную сетку

b2
n2
h по x 
(14.34)
(  = 1,2 ) с шагами h 1 =
b1
n1
:

(
)
h = x ij = x1i , x 2j ,
x1i = ih1, x 2j = jh 2 ,
,
i, j = 0,1,..., n  ,  = 1,2
и временную сетку  = t k = k,   0, k = 0,1,..., m, m = T, T  0 .
Для численного решения задачи (14.22)-(14.23) применяется метод
переменных направлений, так называемая схема Писмена-Речфорда
571
 yik, +j 2 − yik, j
1
= 1 y k + 2 +  2 y k + q ( y k )


0.5  1
 k +1
k+ 2
y
 i , j − yi , j =  y k + 12 +  y k +1 + q ( y k +1 )
1
2

 0.5 
1
1 y k + 2 =
1

(
)(
)
(
(14.24)
)
)(
1
1
1
1
1
1
1
a i +1, j y k + 2 y ik++1, 2j − y ik, +j 2 − a i , j y k + 2 y ik, +j 2 − y ik−+1, j2 ,
2
h1

( )(
)
)
( )(
1
bi , j +1 y k y ik, j +1 − y ik, j − bi , j y k y ik, j − y ik, j −1 ,
2
h2
2 yk =
i, j = 1,2,..., n  − 1,
 = 1,2.
1
 yi +1 − yi 
 yi +1 − yi 
q( y ) = − ( yi ) 

 +
h


 h1 
p
p1
q1
В этой схеме переход от слоя k к слою k + 1 осуществляется в два
этапа. На первом этапе определяют промежуточные значения yik, +j . На
втором этапе, пользуясь найденными значениями yik, +j , находится y ik,+j 1
Начальное и краевое условия перепишем следующим образом
1
2
1
2
где
=
(
 y 0 = u ( x ),
x  h
0
 i, j
k +1
 k +1
 y i , j =  , при j = 0 и j = n 2
 k + 12
k + 12
, при i = 0 и i = n 1
y i, j = 

)
(
k
k +1
k
1 k +1


+  − 2 
−
2
4
(14.34)
).
Итерационный процесс выполняется по следующим схемам
 s +1 k + 2
1
k
s +1 k + 2
s
 y i , j − yi , j
k
=

y
+

y
+
q
(
y
)
1
2

0.5 
 s +1 k +1
 y − y k + 12
s +1 k +1
s
1
i, j
 i, j
= 1 y k + 2 +  2 y + q( y )
 0.5  
1
(14.35)
Условимся о следующих обозначениях
k
y = y, y
k + 12
= y, y
k +1
= y€ .
Для решения получающейся системы уравнений (14.35) нелинейных
уравнений также применяем итерационный метод и получае схему
s +1
y i, j
0.5 
=
1
h12
s +1
s +1


 s
 s   s +1
 s   s +1


a
y
y
−
y
−
a
y
y
−
y
 i +1, j    i +1, j
i, j   
i, j 
i, j
i −1, j  + F i , j = 0
 






572
(14.36)
s +1
y€ i , j
0.5 
=
1
h22
s +1
s +1


 s
 s   s +1
 s   s +1
bi , j +1  y€  y€ i , j +1 − y€ i , j  − bi , j  y€  y€ i , j − y€ i , j −1  + F i , j = 0
 
 



(14.37)
 yi −1, j + yi, j 
y
+y 
 , b (y ) = K i, j−1 i, j  , i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
 i, j


2
2




где a i, j (y ) = K
s +1
€ i, j
y
Разностная схема (14.27) относительно sy+1i, j , а (14.28) относительно
линейна. В качестве начальной итерации в (14.27)для sy+1i, j берется y
0
из предыдущего шага по времени: y i , j = y i , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y i , j − yi , j   .
0i  n1
0  j n 2
s +1
Также, в качестве начальной итерации в (14.28)для y€ i, j берется y из
0
предыдущего шага по времени: y€i , j = y i , j . При счете по итерационной
схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
s +1
s
max y€ i , j − y€i , j   .
0i  n1
0  j n 2
Разностное уравнение (14.27) можно записать в виде
s
s +1
s
s +1
s
 s s +1
A
y
−
C
y
+
B
y
=
−
F
i
,
j
i
,
j
i, j
i
,
j
i +1, j
i, j
i −1, j





 y = , при i = 0, n 1
(14.38)
i, j = 1,2,..., n  − 1,  = 1,2 .
Соответственно (14.28) запишем в виде
s
s
s
s +1
s +1
 s s +1
€
€
€
A i, j y i, j+1 − C i, j y i, j + B i, j y i, j−1 = − F i, j




 y€ = , при j = 0, n 2
(14.39)
Для численного решения системы (14.29) и (14.30) применяется
метод прогонки. Система уравнений (14.29) решается вдоль строк
j = 1,2,..., n 2 − 1 , и определяется y во всех узлах сетки h . Затем решается
система уравнений (14.30) вдоль столбцов i = 1,2,..., n1 − 1 определяя y
€
во всех узлах сетки h .
573
При переходе от слоя k + 1 к слою k + 2 процедура счета
повторяется.
В качестве начального приближения бралось следующее решение
u (t , x) = A(ct − x 2 + x12 )
=
p −1
k ( p − 2) + m − 1
Значения А при расчетах находятся из решения уравнения
(k  ) p−2  2 Ak ( p −2)+m−1 − c − p1q1 A p1q1 −1 = 0
методом Ньютона для нелинейных уравнений
Приведем численные результаты и графики для различных
параметров
q1=0.4;p1=0.6;p=3;k=2;m=2;c=2;
 = 1 ;tau=0.2
графики по возрастанию
Pиc 1
574
Pиc 2
Pиc 3
q1=4;p1=5;p=3;k=2;m=2;c=2;  = 1 =0.2
графики по возрастанию
575
Pиc1
Pиc 2
576
Pиc3
Замечание. Во всех вычислительных экспериментах
 = 10 −3
577
брались
ГЛАВА 15. СВОЙСТВА КРОСС-ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПОПУЛЯЦИИ С ДВОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И КОНВЕКТИВНЫМ ПЕРЕНОСОМ
15.1. Кросс-диффузионные системы квазилинейных уравнений с
конвективным переносом
В области Q = {(t, x) : 0  t, x  R n} рассмотрим кросс-диффузионную
систему квазилинейных уравнений с конвективным переносом:
(
(
)
p −2
 u1
m1 −1
1
 t =  D1u1 u1 u1 + l (t )u1 + k1 (t )u1 (1 − u2 )

 u2 =  D u m2 −1 u p −2 u + l (t )u + k (t )u (1 − u 2 )
2 2
2
2
2
2
2
1
 t
u1 t =0 = u10 ( x) , u2 t =0 = u20 ( x) .
(15.1)
)
p −2
p −2
Здесь: D1u1m −1 u1 , D2u2m −1 u2
-нелинейные коэффициенты
m1 , m2 , p, 1 ,  2 -числовые
u1 = u1 (t , x )  0 ,
диффузии,
параметры,
u2 = u2 (t , x)  0 -решения системы квазилинейных уравнений.
Задача (15.1) является вырождающаеся в области, где
u1 = 0, u2 = 0, u1 = 0, u2 = 0. Оно вырождается, поэтому необходимо
исследовать обобщение решений из класса u1 (t , x )  0, u2 (t , x)  0,
u1m −1u1  C (Q ), u2m −1u2  C (Q ) , которое удовлетворяет системе (15.1) в
смысле распределения [45-49]. Ниже исследуем качественные свойства
рассматриваемой задачи путем построения автомодельной системы
уравнений для (15.1), изучение свойств решений которых относительно
проще, но представляется как самостоятельная задача.
Используя метод нелинейного расщепления [1] построим систему
уравнений автомодельного вида.
С этой целью проведем в (15.1) замену переменных:
1
1
2
2
t
u1 (t , x) = e

− k1 ( ) d 
0
t
v1 ( (t ), ) , u2 (t , x) = e

− k2 ( ) d 
0
t
v2 ( (t ), ) ,  = x −  l ( )d
0
Замена переменных приведет решение системы (15.1) к решению
следующей задачи:
(
(
)
p −2
 v1
( 1k2 −( m1 + p −3) k1 ) t  1
m1 −1
v1v2 ,
  =  D1v1 v1 v1 − k1e

 v2 =  D v m2 −1 v p −2 v − k e( 2k1 −( m2 + p −3) k2 )t v 2 v ,
2 2
2
2
2
1
2
 
v1 t =0 = v10 ( ) , v2 t =0 = v20 ( ) .
)
Выберем параметр следующим образом:
578
(15.2)
e[( m1 + p −3) k1 ]t
e[( m2 + p −3) k2 ]t
 (t ) =
=
.
(m1 + p − 3)k1 (m2 + p − 3)k2
С учетом выбранного параметра придем к решению системы
уравнений следующего вида:
(
(
)
p −2
 v1
m1 −1
=

D
v

v
v1 − a1 b1 v1v21 ,
1
1
1
 

 v2 =  D v m2 −1 v p −2 v − a  b2 v 2 v .
2 2
2
2
2
1
2
 
)
Здесь:
a1 = k1 ( (m1 + p − 3)k1 ) 1 ,
b
a2 = k2 ( (m2 + p − 3)k2 ) 2 ,
b
b1 =
(15.3)
1k2 − (m1 + p − 3)k1
,
(m1 + p − 3)k1
 k − (m2 + p − 3)k2
b2 = 2 1
.
(m2 + p − 3)k2
Для построения автомодельной системы изначально находим
решение следующей системы:
 d 1
b

 d = −a1  1 2 ,

 d 2 = −a  b    ,
2
1
2
 d
Решение найдем в виде:  1 ( ) =  − ,  2 ( ) =  − .
1
1
2
1
Здесь: 1 =
b2 + 1
,
2 =
2
2
b1 + 1
.
2
1
Далее, используя метод нелинейного расщепления, решение
системы (15.3) ищем в следующем виде:
v1 (t , x) = v1 (t )w1 ( , x), v2 (t , x) = v 2 (t )w2 ( , x).
(15.4)
При выполнение равенства 1 (m1 + p − 3) = 2 (m2 + p − 3) , параметр
 =  (t ) выберем следующим образом:
1

1−[1 ( m1 + p −3)]
, если 1 − [1 (m1 + p − 3)]  0,
1 − [ (m + p − 3)] (T +  )
1
1





( p + m1 −3)
( p + m2 −3)
 ( ) =  v2
(t )dt =  v2
(t )dt = ln(T +  ),
если 1 − [1 ( m1 + p − 3)] = 0,
0
0


если m1 + p = 3.
T +  ,


Затем для переменной wi ( , x), i = 1,2 получим систему уравнений
579
(
(
)
p −2
 w1
m1 −1
=

D
w

w
w1 +  1 ( w1w21 − w1 ),
1
1
1
 

 w2 =  D wm2 −1 w p −2 w +  ( w w2 − w ).
2 2
2
2
2
2 1
2
 
)
(15.5)
Здесь:
1

если 1 − [1 (m1 + p − 3)  0,
 (1 − [ (m + p − 3)]) ,
1 = 
1
1
 с − (1 ( m1 + p −3)) ,
если 1 − [1 (m1 + p − 3) = 0.
 11
(15.6)
1

 (1 − [ (m + p − 3)]) ,
2 = 
2
2
 с − ( 2 ( m2 + p−3)) ,
 21
если 1 − [ 2 (m2 + p − 3)  0,
если 1 − [ 2 (m2 + p − 3) = 0.
Рассмотрим автомодельное решение системы (15.5) вида
w1 (t , x) = f1 ( ), w2 (t , x) = f 2 ( ),  = x / (T +  )1/ p .
(15.7)
Тогда подставляя (15.7) в (15.5) относительно f1 ( ), f 2 ( ) получим
следующую систему нелинейных вырождающихся автомодельных
уравнений:
 1− N



 1− N


d
df
( N −1 f1m1 −1 1
d
d
d
df
( N −1 f 2m2 −1 2
d
d
p −2
df1  df1
)+
+ 1 ( f1 − f1 f 21 ) = 0,
d
p d
p −2
df 2
 df 2
)+
+  2 ( f 2 − f 2 f12 ) = 0.
d
p d
(15.8)
Здесь:
i =
1
 0, mi + p − 3  0, i = 1,2.
1 −  3−i (mi + p − 3)
Далее, для системы (15.8) построим верхнее решение.
При выполнении следующих условий i = [3 − ( p + m3−i )] / ( p − 1) ,
mi + p − 3  0, i = 1,2, уравнение (15.8) имеет локальное решение вида:
f1 ( ) = A(a −   ) + n , f 2 ( ) = B(a −   ) + n , где (b) + = max(0, b) ,
1
2
n1 =
( p − 1)
m1 + p − 3
, n2 =
( p − 1) ,  = p / ( p − 1)
m2 + p − 3
Отметим, что функции f1 ( ), f 2 ( ) обладают свойствами
580
m1 −1
1
f
f2
m2 −1
df1
d
df 2
d
p −2
p −2

d  N −1 m1 −1 df1
  1− N
  f1

d

d


и
 1− N d  N −1 m2 −1 df 2
  f2


d

d


df1
p −1
= − Am1 + p −2 (  1 )  f1  C (0, ),
d
df 2
= − B m2 + p −2 (  2 )  f 2  C (0, ),
d
p −2

df1 
df 
p −1
 = −  1  1 Am1 + p −3  Nf1 +  1  ,
d 
d 


p −2
df 2 
 = −  2
d 
p −1

 2 B m + p −3  Nf 2 + 
2

df 2 
.
d 
Выберем А и В из решения системы нелинейных алгебраических
p −1
p −1
уравнений  2  2 B m + p −2 = 1 / p,  1  1 Am + p −2 = 1 / p . Тогда функции
f1 , f 2 являютя решением типа Зельдовича-Компанейца [1] для системы
(15.5) и в области   (a)( p−1)/ p они являются решением следующей
автомодельной системы уравнений:
1

1− N

1− N
1
d  N −1 m1 −1 df1
  f1
d 
d

p −2
d  N −1 m2 −1 df 2
  f2
d 
d
p −2
df1   df1 N
+
+ f1 = 0,
d  p d p

df 2   df 2 N
+ f2 = 0
+
d  p d p
в классическом смысле.
Выберем постоянные А и В таковыми, чтобы выполнялись
неравенства
 2
p −1
 2 B m + p −2 
1
1
,  1
p
p −1
 1 Am + p −2 
2
1
.
p
(15.9)
Тогда, так как

 N −1 m −1 df p −2 df   df
N
1− N d
1
1
1

  f1 1
+
= − f1  0,
d 
d
d  p d
p




p −2
 1− N d  N −1 m2 −1 df 2
df 2   df 2
N
= − f 2  0,
  f2
+

d 
d
d  p d
p

df
df
  a( p−1)/ p , то в силу того 1  0, 2  0 при   a ( p−1)/ p , из (15.9) имеем
d
d
581


1− N
1− N
d  N −1 m1 −1 df1
  f1
d 
d

p −2
df1   df1
+
 0,
d  p d

d  N −1 m2 −1 df 2
  f2
d 
d
p −2
a
df 2   df 2
 0,
+
d  p d
( p −1)/ p
.
Используя принцип сравнения решений в области Q докажем
следующую теорему:
Теорема 15.1. Если выполняются условия ui (0, x)  ui (0, x), x  R, то
в области Q для решения квазилинейных систем уравнений с
конвективным переносом (15.1) справедливо следующая оценка:
u1 (t , x)  u1+ (t , x) = ek t − f1 ( ),
1
1
u2 (t , x)  u2 + (t , x) = ek2t −2 f 2 ( ),
 = x /  1/ p .
Здесь вид функций f1 ( ), f 2 ( ) и  (t ) определен выше.
Заметим, что решение системы (15.1) при i =
следующее представление при

(15.10)
3 − p − mi
имеет
p −1

a = ( P1 / B ( ,1 + n1 ) ) n1 = ( P2 / B ( ,1 + n2 ) ) n2 ,
где В(а, б)-Бета функция Эйлера.
Доказано, что это представление
автомодельных решений систем (15.1).
 − 1
 1

 1
 − 2


 
 1

 1
 − 2


1 
−
 (a − 

1
) + dx = a
n1
n1

−
 (a − 

1

2
) + dx = a
n2
−

 (a − 

2
) + n2 dx = P2 ,
−
1
1


−
n2

1

−1
n1
1
(1 −  ) d = a 
n1
1
1


1

−1

n2
(1 −  ) d = a 
n2
1
1
B( ,1 + n1 ) = P1 ,

0
1
асимптотикой
) + n1 dx = P1 ,
0

 (a − 

является

1

1
B( ,1 + n2 ) = P2 .


Отсюда a = [ P1 / B(  ,1 + n1 )] = [ P2 / B(  ,1 + n2 )] .
n1
n2
В случае быстрой диффузии для построения итерационного
процесса при численном решении предложено подходящее начальное
582
приближение и в качестве начального приближения брались как
x
u0 ( x, t ) = (T + t ) −1 (a +   ) n1 , v0 ( x, t ) = (T + t ) − 2 (a +   ) n2 ,  =
ni =
p −1
,
qi

1
p
=
p
,
p −1
qi = p + mi − 3  0 , i = 1,2 .
В этом случае выполняются условия: ni  0, qi  0,i = 1,2
Таблица 15.1
Быстрая диффузия
x1 = 3 ;
x1 = 1; x2 = 1 ;
x1 = 2 ; x 2 = 2 ;
x2 = 3 ;
Значения
параметров
m1 = 1.5, m2 = 1.3, p = 0.5
x= 2
x =2 2
x =3 2
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 1,  2 = 1
m1 = 1.1, m2 = 1.2, p = 0.5
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 2,  2 = 2
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1( FRAME + 3)  time2( FRAME + 3)
time1( FRAME + 3)  time2( FRAME + 3)
m1 = 1.5, m2 = 1.3, p = 0.3
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 1,  2 = 1
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1( FRAME + 3)  time2( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
m1 = 1.5, m2 = 1.3, p = 0.3
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 2,  2 = 2
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
583
В случае медленной диффузии в таблице 15.2. для построения
итерационного процесса в качестве начального приближения
x
предложена u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + , v0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + ,  =
1
=
p −1
p
, ni =
,
qi
p −1
1
2
2

1
p
qi = p + mi − 3, qi  0 , i = 1,2 Таблица 15.2
Медленная диффузия
x1 = 1;
x2 = 1 ;
x= 2
Значения
параметров
x1 = 2 ;
x2 = 2 ;
x =2 2
x1 = 3 ; x2 = 3 ;
x =3 2
m1 = 2.3, m2 = 2.2, p = 3.5
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 1,  2 = 1
m1 = 2.3, m2 = 2.2, p = 3.5
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 2,  2 = 2
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
m1 = 3.3, m2 = 3.2, p = 4.5
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 1,  2 = 1
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
m1 = 3.3, m2 = 3.2, p = 4.5
eps = 10−3
qi = p + mi − 3  0
1 = 2,  2 = 2
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
Результаты вычислительного эксперимента показали, что
итерационный процесс имеет достаточно быструю сходимость за счет
удачного начального приближения.
Далее
исследуем
свойства
кросс-диффузионных
систем
биологической популяции с конвективным переносом.
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
584
15.2. Свойства кросс-диффузионных систем биологической
популяции конвективного переноса
В области Q = {(t, x) : 0  t, x  R} рассмотрим кросс-диффузионную
систему биологической популяции:
p −2
 u

u1 
u
m1 −1 u1
1
=  D1u2
+ l (t ) 1 + k1 (t )u1 (1 − u21 ) ,


x
x 
x
 t x 

p −2
u2 
u
 u2  
m2 −1 u2

=
D
u

 + l (t ) 2 + k2 (t )u2 (1 − u1 2 ) ,
 t x  2 1
x
x 
x


u1
m1 −1
1 2
Здесь: D u
u1
x
t =0
= u10 ( x) , u2
p −2
m2 −1
2 1
, Du
u2
x
t =0
(15.11)
= u20 ( x) .
p −2
-коэффициенты диффузии, l (t ) -
скорость конвективного переноса, m1 , m2 , p, 1 ,  2 -положительные
числовые параметры, u1 = u1 (t , x )  0 , u2 = u2 (t, x)  0 решения кроссдиффузионной системы биологической популяции.
Для качественного анализа системы уравнений кросс-диффузии
конвективного переноса (15.11) построена автомодельная система
уравнений.
Для этого использован метод эталонных уравнений и нелинейного
расщепления [1].
Для построения систем автомодельного уравнения в (15.11)
произведем замену переменных:
t
u1 (t , x) = e

− k1 ( ) d 
0
t
t
v1 ( (t ), ) ,  = x −  l ( )d , u2 (t , x) = e

− k2 ( ) d 
0
v2 ( (t ), )
0
t
,  = x −  l ( )d ,
0
Замены переменных приведет решение системы (15.11) к решению
следующей системы уравнений:
p −2
 v
 
v1 
(2− p ) k1 + ( 1 − m1 +1) k2 t
m1 −1 v1
1

=
v1v21 ,
 D1v2
 − k1 (t )e

 
   

p −2
 v2
 
v2 
(  − m +1) k + (2− p ) k2 t  2
m2 −1 v2
=
D
v
v1 v2 ,

 − k2 (t )e 2 2 1
2 1














v1 t =0 = v10 ( ) , v2 t =0 = v20 ( ) .
(15.12)
В этом случае рассматривается обобщенное решение задачи из
585
класса u
m1 −1
2
u1
x
p −2
m2 −1
1
 C (Q), u
u2
x
p −2
 C (Q) и удовлетворяющей системе
в обобщенном смысле. Система (15.11) является вырождающейся в
области, где u1 = 0,
u1
u
= 0, u2 = 0, 2 = 0.
x
x
Система может не иметь классического решения. Поэтому при
выполнении равенства (m1 − 1)k2 + ( p − 2)k1 = (m2 − 1)k1 + ( p − 2)k2 , выберем
параметр следующим образом:
e[( m1 −1) k2 +( p −2) k1 ]t
e[( m2 −1) k1 +( p −2) k2 ]t
 (t ) =
=
.
(m1 − 1)k2 + ( p − 2)k1 (m2 − 1)k1 + ( p − 2)k2
Это приведет к решению системы уравнений:
p −2
 v



v
v1 
 1=
 D1v2m1 −1 1
 − a1 (t ) b1 v1v21 ,


 
   

p −2
 v2
 
v2 
m2 −1 v2
=
D
v

 − a2 ( t ) b2 v12 v2 .
2 1



 
   
(15.13)
Здесь:
(2 − p ) k1 + ( 1 − m1 + 1) k2
,
( p − 2)k1 + (m1 − 1)k2
(  − m2 + 1)k1 + (2 − p) k2
b
a2 = k2 ( (m2 − 1)k1 + ( p − 2) k2 ) 2 , b2 = 2
.
(m2 − 1)k1 + ( p − 2)k2
После выполнения условий: bi = 0 , и ai (t ) = const , i = 1,2 , придем к
a1 = k1 ( ( p − 2)k1 + (m1 − 1)k2 ) 1 , b1 =
b
решению системы уравнений следующего вида:
p −2
 v



v
v1 
 1=
 D1v2m1 −1 1
 − a1 v1v21 ,


 
   

p −2
 v2
 
v2 
m2 −1 v2
=
D
v

 − a2v12 v2 .
2 1



 
   
С целью построения автомодельной системы для кроссдиффузионной системы (15.13) изначально решаем следующую систему
и находим ее решения:
 d 1

 d = −a1 1 2 ,

 d 2 = −a    .
2 1
2
 d
Решение ищем в виде:  1 ( ) = c1 ( + T0 ) − ,  2 ( ) = c2 ( + T0 ) − , T0  0 .
1
2
1
586
2
Здесь: с1 = 1 ,  1 =
1
, с2 = 1 ,  2 =
1
.
2
1
Для нахождения системы (15.1) использован метод нелинейного
расщепления:
v1 (t , ) = v1 (t ) w1 ( , ),
(15.14)
v2 (t , ) = v 2 (t ) w2 ( , ) ,
При выполнении равенства  1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1) =  2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1) ,
параметр =  (t ) выберем следующим образом:
1

1−[ 1 ( p − 2) + 2 ( m1 −1)]
,
1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)] (T +  )
1
2
1


( m1 −1)
( p − 2)
если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)]  0,
 1 ( ) =  v1 (t )v2 (t )dt = 
0
ln(T +  ), если 1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)] = 0,
1
2
1

если p = 2 и m1 = 1.
(T +  ),
После выполнения вышеуказанных условий относительно переменной
wi ( , x), i = 1,2 получим систему квазилинейных уравнений [5]:
p −2
 w
 
w1 
m1 −1 w1
1

=
 D1w2
 +  1 ( w1w21 − w1 ),

 
   
(15.15)

p −2


 w2

w
w2
=
 D2 w1m2 −1 2
 +  2 ( w2 w12 − w2 ).



 
   
Здесь:
1

 (1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)]) , если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 ( m1 − 1)  0,
1 = 
1
2
1
 с − (1−[ 1 ( p −2 ) + 2 ( m1 −1)] ) ,
если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1) = 0,
 11
(15.16)
1

если 1 − [ 2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1)]  0,
 (1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)]) ,
2 = 
2
1
2
 с − (1−[ 2 ( p −2)+1 ( m2 −1)]) ,
если 1 − [ 2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1)] = 0.
 21
Мы пришли от решения системы (15.12) к решению системы (15.15).
 →  и  i → 0 решение системы уравнений асимптотически
стремится к решению следующей системы уравнений [5]:
587
p −2
 w
 
w1 
m1 −1 w1
1

=
 D1w2
,

 
   

p −2
 w2
 
w2 
m2 −1 w2
=
D
w

.

 2 1












(15.17)
При построении итерационного процесса. выбирая начальные
приближения использовали эту особенность. Если справедливо условие
1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)  0 , то волновым решением системы (15.15) имеет
следующий вид:
wi ( (t ), ) = fi ( ) ,  = c   , i = 1,2 .
Здесь с–скорость волны, а решения системы wi ( (t ), ) = fi ( )
находятся из следующих автомодельных систем уравнений [5]:
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df1
d
df 2
d
p −2
df1
df
) + c 1 + 1 ( f1 − f1 f 21 ) = 0,
d
d
(15.18)
p −2
df 2
df
) + c 2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 ) = 0.
d
d
1
, i = 1,2 .
Здесь: i =
(1 − [ i ( p − 2) +  3−i ( mi − 1)])
Автомодельная система уравнений имеет следующего вида
локализованное решение:
f1 = A(a −  ) + n , f 2 = B(a −  ) + n ,
1
n1 =
2
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,
2
При выполнении условия:
p  2 + [( m1 − 1)( m2 − 1)]1/2 , p − (mi + 1)  0, i = 1,2,
1 = 1 / n1 ,  2 = 1 / n1.
Коэффициенты А и В являются решением систем алгебраических
уравнений следующего вида:
(n1 ) p −1 A p −1B m −1 = c ,
(n2 ) p −1 Am −1B p −1 = c .
1
2
t
Так как: u1 (t , x) = e

− k1 ( ) d 
0
t
v1 ( (t ), ) , u2 (t , x) = e
588

− k2 ( ) d 
0
v2 ( (t ), ) ,
то получим:
t
u1 (t , x) = Ae
t

− k1 ( ) d 
0
(c (t ) −  ) n+1 , u2 (t , x) = Be

− k2 ( ) d 
0
(c (t ) −  ) n+2 , c  0 .
t
Учитывая: [b (t ) −  l ( )d − x] = 0 ,
0
при выполнении условий
t
x  [b (t ) −  l ( ) d − x] ,
t  0 ,
0
t
получим u1 (t , x)  0 , u2 (t , x)  0 , x  [b (t ) −  l ( )d − x] , t  0 .
0
Это показывает, что условием локализации для решения системы
кросс-диффузионных уравнений (15.11) является:
е
 l ( y)dy  0 ,
 (t )   для t  0 .
(15.19)
0
При выполнении условия (15.19) получим новый эффект–локализация
волновых решений (15.19). При невыполнении условия (15.19) получим
явление, которое называется конечной скоростью распространения
x  b(t ) ,
возмущения [5]. В этом случае ui (t , x)  0
при

t
 (t ) =  e

− ( m1 + p −3) k1 ( y ) dy
0
d , причем  (t ) →  при t →  .
0
В случае выполнения условий n1  0, n2  0, n  0 происходит процесс
медленной диффузии. С использованием метода нелинейного
расщепления [1] при нахождении решения уравнения (15.19), получены
функции следующего вида:
1 ( ) = (a −  )+ n ,  2 ( ) = (a −  ) + n ,
Здесь: a  0 , ( y ) + = max ( y, 0 ) ,   a .
Известно [1, 2], чтобы глобальные решения кросс-диффузионной
системы (15.11) существовало, должны выполняться следующие
неравенства относительно функции f ( ) :
1
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df1
d
df 2
d
p −2
p −2
2
df1
df
) + c 1 + 1 ( f1 − f1 f 21 )  0,
d
d
df 2
df
) + c 2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 )  0,
d
d
при 1 = 1/ n2 , 2 = 1/ n1 .
Рассмотрим функции 1 ( ),  2 ( ) , и докажем, что эти функции
являются асимптотикой решений системы (15.18) и эти решения
финитны [5].
589
Теорема 15.3.
n1  0, n2  0, n  0
Если
1 ( ) = (a −  )+ n ,  2 ( ) = (a −  ) + n ,
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) , n = ( p − 1)( p − (m2 + 1) ) ,
n1 =
2
n
n
2
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) , то при  → a− финитное решение системы
(15.18) имеет асимптотику fi ( )~i ( )
1
2
Доказательство. Решение уравнения (15.18) ищется в следующем
виде
fi = i ( ) yi ( ), i = 1, 2 .
(15.20)
Здесь:  = − ln ( a −  ) . При  → a− имеет место  → + . Это позволяет
исследовать решения задачи (15.18) на асимптотическую устойчивость
при  → + .
Подставляя (15.20) в (15.18) относительно переменных yi ( )
получим уравнение следующего вида
d 
mi −1
3−i
y
d 

p −2
dyi
− ni yi
d
  e −
  mi −1 dyi
dy
( i − ni yi )  + 
−
n
− ni yi
i   y3−i

  a − e −
d
d



p −2
(

dyi
− ni yi )  +

d

(15.21)
−
e
 dyi

− ni yi  − i
y ( )(1 + e − n3−i i y3−i i ) = 0.
− i
a−e
 d

+c 
Здесь вид функции  определен выше.
Решения систем уравнения (15.18) и (15.21) в интервале 0 , +  )
удовлетворяют неравенствам:
yi ( )  0 ,
dyi
− ni yi  0 .
d
Изначально покажем, что решения yi ( ) систем уравнения (15.21)
имеют при  → + конечный предел y0i . Для этого введем следующие
 e−
−
a−e
i = − 
p −2
 dyi

 d − ni yi 



e −
 dyi

− ni  i − c 
− ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) .
− i
a−e
 d


обозначения i ( ) = y
mi −1
3− i
dyi
− ni yi
d
Для дальнейших исследований введем вспомготельную следующую
новую функцию:
 e−

e−
 dyi

 ( , ) = − 
− ni  − c 
− ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) .
−
− i
a−e
 d

a−e

Здесь  -вещественный числовой параметр. Функция  ( , ) не
590
меняет знак на некотором интервале 1 , +  )  0 , +  ) . Для любого
  1 , +  ) выполняются следующие неравенства
i ( )  0 , i ( )  0 .
Таким образом, функция i ( ) имеет при   1 , +  ) конечный
предел. С учетом выражения для i ( ) имеем [2.5]:
  e−

e−
 dyi

− ni i
3 − i 
−
n

−
c
−
n
y
−

y
(

)(1
+
e
y
)  = 0.
i
i
i
i
i
i
3
−
i

 d

−
a − e−



 a−e

С учетом  → a , lim e− → 0 , lim a − e− → a, i = 0, получим систему
lim i ( ) = lim − 
 →+
 →+
 →+
 →+
алгебраических уравнений
 i  1, i = 1, 2 :
1)
( n1 ) y2m −1 y1p−1 = c,
p −1
( n2 ) y1m −1 y2p−1 = c.
p −1
1
2
Решая систему алгебраических уравнений, получим yi = 1 . Учитывая
[5] (15.21) fi ( ) ~i ( ) .
2)  i = 1 / ni , i = 1, 2. yi должно быть решением системы [5]
( n1 ) y2m −1 y1p−2 + y1n y2n (  −1) = c,
p −1
( n2 ) y1m −1 y2p−2 + y1n (  −1) y2n = c.
p −1
1
1
2
1
2
2
1
2
Решением системы алгебраических уравнений является yi = 1 .
Учитывая (15.21), получим fi ( ) ~i ( ) .
Теорема 15.3 доказана.
В случай n1  0, n2  0, n  0 наблюдается процесс быстрой диффузии.
Для решения системы (15.18) введем следующие функции:
1 ( ) = (a +  )n1 , 2 ( ) = (a +  )n2 .
Здесь a  0 .
Теорема 15.15. Пусть n1  0, n2  0, n  0 . При выполнении условия
 → + асимптотикой исчезающего на бесконечность решения задачи
(15.18) является fi ( )~i ( ), i = 1, 2 .
Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим
преобразование
fi =  i ( ) y ( ), i = 1,2 .
(15.22)
Здесь  = ln ( a +  ) . Тогда подставляя (15.21) в (15.18) система
уравнение (15.19) приводится к виду относительно функций yi ( )
591
d 
mi −1
3−i
y
d 

dyi
− ni yi
d
p −2
  e

dyi
dy
(
− ni yi )  + 
+ ni   y3m−ii−1 i − ni yi



d
d

 a+e
p −2
(

dyi
− ni yi )  +

d

(15.23)
e
 dyi

+c 
+ ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) = 0 ,
 i
a+e
 d

где вид функции  приводится выше.
Cистема уравнений (15.18) и (15.23 на интервале
удовлетворяет следующему неравенству:
yi ( )  0 , dyi − ni yi  0 .
0 , +  )
d
Для доказательства теоремы покажем, что при  → + конечным
y0i .
пределом
является
Введем
обозначения
i ( ) = y
mi −1
3− i
dyi
− ni yi
d
p−2
(
dyi
− ni yi ) .
d
Тогда система уравнений (15.21) имеет
следующий вид [5]:
 e

e
 dyi

i = − 
+ ni  i − c 
+ ni yi  − i
y ( )(1 + e− ni i y3−i 3−i ) .

 i
a+e
 d

a+e

Введем вспомготельную новую функцию:
 e

e
 dyi

 ( , ) = − 
+ n3−i  − c 
+ ni yi  − i
y ( )(1 + e − n3−i 3−i y3−i 3−i ) .

 i
a+e
 d

a+e

Здесь  -вещественный числовой параметр системы уравнения. Для
любого  функция  ( , ) не меняет знак на интервале 1 , +  )  0 , +  ) и
для любого   1 , +  ) выполняется одно из следующих неравенств [5]:
i ( )  0 , i ( )  0 .
Таким образом, при   1 , +  ) для функции i ( ) существует
конечный предел. Учитывая выражение для i ( ) получим [5]:
  e


e
 dyi

lim i ( ) = lim − 
− ni  i − c 
− ni yi  − i
yi ( )(1 + e − ni i y3−i i )  = 0


 →+
a−e
 d


 a−e

 →+
.
C учетом вышеизложенного, при  →  ,  i  1, i = 1, 2 получим
систему нелинейных алгебраических уравнений:
( −n1 ) y2m −1 y1p−1 = c,
p −1
( −n2 ) y1m −1 y2p−1 = c.
p −1
1
2
Решение систем уравнений является
(15.20) получим f ( ) ~i ( ) .
Теорема 15.4 доказана.
592
yi = 1
и учитывая выражение
В области Q={(t,x): 0< t < , xR} рассмотрим кросс-диффузионную
систему квазилинейных уравнений с конвективным переносом:
p −2
 u

u2 
u
m1 −1 u2
1
=  D1u2
+ l (t ) 1 + k1 (t )u1 (1 − u21 )


x
x 
x
 t x 

p −2
u1 
u
 u2  
m2 −1 u1

=
D
u

 + l (t ) 2 + k2 (t )u2 (1 − u1 2 )
 t x  2 1
x
x 
x


u1
Здесь:
m1 −1
1 2
Du
u2
x
t =0
= u10 ( x) , u2
p −2
m2 −1
2 1
,
Du
u1
x
t =0
(15.24)
= u20 ( x) .
p −2
-нелинейные
коэффициенты
диффузии, l (t ) -скорость конвективного переноса, m1 , m2 , p, 1 ,  2 вещественные числовые параметры, u1 = u1 (t , x )  0 , u2 = u2 (t, x)  0 решения систем уравнений кросс-диффузии конвективного переноса.
Для проведения качественного анализа построим автомодельную
систему уравнений, используя метод нелинейного расщепления [1].
Для этого в системе уравнений (15.24) произведем замену
переменных
t
u1 (t , x) = e

− k1 ( ) d 
0
v1 ( (t ), ) ,
t
 = x −  l ( )d ,
0
t
u2 (t , x) = e

− k2 ( ) d 
0
t
v2 ( (t ), ) ,  = x −  l ( )d .
0
Замена приведёт решение системы уравнений (15.24) к задаче:
p −2
 v



v
v2 
(  − m − p +3) k2 t
m
−
1
2
 1=
v1v21 ,
 D1v2 1
 − k1 (t )e 1 1

 
   

p −2
 v2
 
v1 
(  − m − p +3) k1 t  2
m2 −1 v1
=
D
v
v1 v2 ,

 − k2 (t )e 2 2
2 1














v1 t =0 = v10 ( ) , v2 t =0 = v20 ( ) .
(15.25)
e[( m1 + p −3) k2 ]t
e[( m2 + p −3) k1 ]t
=
Выберем параметр  (t ) =
.
(m1 + p − 3)k2 (m2 + p − 3)k1
Тогда придем к решению системы уравнений следующего вида:
593
p −2
 v
 
v2 
m1 −1 v2
1

=
 D1v2
 − a1 (t ) b1 v1v21 ,


 
   

p −2
 v2
 
v1 
m2 −1 v1
=
D
v

 − a2 ( t ) b2 v12 v2 .
2 1



 
   
(15.26)
Здесь:
( 1 − m1 − p + 3)
,
(m1 + p − 3)
(  − m2 − p + 3)
b
a2 = k2 ( (m2 + p − 3)k1 ) 2 , b2 = 2
.
(m2 + p − 3)
Если выполняются условия bi = 0 и ai (t ) = const , i = 1,2 , то придем к
a1 = k1 ( (m1 + p − 3)k 2 ) 1 ,
b
b1 =
решению следующей системы уравнений:
p −2
 v
 
v2 
m1 −1 v2
1

=
 D1v2
 − a1 v1v21 ,


 
   

p −2
 v2
 
v1 
m2 −1 v1
=
D
v

 − a2v12 v2 .
2 1



 
   
При построении автомодельной системы для (15.26) сначала
решаем следующую систему уравнений:
 d 1

=
−
a


,
1
1
2
 d

 d 2 = −a    ,
2 1
2
 d
Решение получим в виде:
 1 ( ) = c1 ( + T0 ) − ,  2 ( ) = c2 ( + T0 ) − , T0  0 .
1
2
1
Здесь: с1 = 1 ,  1 =
1
2
, с2 = 1 ,  2 =
1
.
2
1
Далее следует решение системы (15.26) с использованием метода
нелинейного расщепления, которое ищем в виде:
v1 (t , ) = v1 (t ) w1 ( , ),
(15.27)
v2 (t , ) = v 2 (t ) w2 ( , ).
Если выполняется условие равенства  2 (m1 + p − 3) =  1 (m2 + p − 3) ,
тогда параметр  =  (t ) выберем в следующем виде:
594
1

1−[ 1 ( m1 + p −3)]
, если 1 − [ 2 (m1 + p − 3)]  0,
1 − [ (m + p − 3)] (T +  )
2
1


 1 ( ) =  v2( p−2) (t )v2( m1 −1) (t )dt = ln(T +  ),
если 1 − [ 2 (m1 + p − 3)] = 0,
0
(T +  ),
если m1 + p = 3 ,


Затем получим
wi ( , x), i = 1,2 :
систему
уравнений
относительно
переменных
p −2
 w



w
w2 
m
−
1
2
 1=
 D1w2 1
 +  1 ( w1w21 − w1 ),

 
   

p −2
 w2
 
w1 
m2 −1 w1
=
D
w

 +  2 ( w2 w12 − w2 ).
2 1



 
   
(15.28)
Здесь:
1

,

 1 = 1 − [ 2 (m1 + p − 3)]
 с − ( 2 ( m1 + p−3)) ,
 11
если 1 − [ 2 (m1 + p − 3)  0,
если 1 − [ 2 (m1 + p − 3) = 0,
(15.29)
При
1

если 1 − [ 1 (m2 + p − 3)  0,
1 − [ (m + p − 3)] ,
2 = 
1
2
 с − (1 ( m2 + p −3)) ,
если 1 − [ 1 (m2 + p − 3) = 0.
 11
 →  ,  i → 0 система (15.28) примет вид:
p −2
 w



w
w2 
m
−
1
2
 1=
 D1w2 1
,

 
   

p −2
 w2
 
w1 
m2 −1 w1
=
D
w

.

 2 1












(15.30)
Тогда решение системы уравнений (15.25) стремится к решению
системы уравнений (15.30).
Волновое решение квазилинейных уравнений (15.30) имеет вид
wi ( (t ), ) = fi ( ) ,  = c   , i = 1,2 .
Здесь: с–скорость волны.
1 − [ 2 (m1 + p − 3)  0,
При выполнении условия
построим
автомодельную систему в следующем виде:
595
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df 2
d
df1
d
p −2
p −2
df 2
df
) + c 1 + 1 ( f1 − f1 f 21 ) = 0,
d
d
(15.31)
df1
df
) + c 2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 ) = 0.
d
d
Здесь:
i =
1
.
1 − [ 3−i ( mi + p − 3)]
После интегрирования системы уравнений (15.30) получим
следующую систему уравнений:
 m −1
 f2 1


 m2 −1
 f1

p −2
df 2
d
p −2
df1
d
df 2
+ cf1 = 0,
d
(15.32)
df1
+ cf 2 = 0.
d
Приближенное решение системы (15.32) имеет вид:
f1 = A(a −  ) n , f 2 = B(a −  ) n .
Коэффициенты А и В находятся решением системы уравнений:
(n2 ) p −1 A−1B m + p −2 = c ,
(n1 ) p −1 Am + p −2 B −1 = c ,
1
2
1
2
а n1 =
( p − 1)(1 − (m1 + p ))
( p − 1)(1 − (m2 + p ))
, n2 =
,
1 − (2 − ( m1 + p ))(2 − ( m2 + p ))
1 − (2 − ( m1 + p ))(2 − ( m2 + p))
n = 1 − (2 − (m1 + p))(2 − (m2 + p)) .
Учитывая выражения:
t
u1 (t , x) = e

− k1 ( ) d 
0
v1 ( (t ), ) ,
t
u2 (t , x) = e

− k2 ( ) d 
0
v2 ( (t ), )
получим
t
u1 (t , x) = Ae

− k1 ( ) d 
0
(c (t ) −  ) n+1 ,
t

− k2 ( ) d 
u2 (t , x) = Be 0
n1  0, n2  0, n  0
(c (t ) −  ) n+2 , c  0 .
В случае
наблюдаем процесс медленной
диффузии. Для решения системы уравнения (15.32) получим функции
следующего вида
1 ( ) = (a −  ) + n ,  2 ( ) = ( a −  ) + n .
1
596
2
Здесь a  0 , y+ = max ( y, 0 ) ,   ( a ) . Для существования глобального
решения системы уравнений (15.28) для функции f ( ) должна
выполняться неравенство следующего вида:
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df 2
d
df1
d
p −2
p −2
df 2
df
) + c 1 + 1 ( f1 − f1 f 21 )  0,
d
d
df1
df
) + c 2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 )  0.
d
d
Здесь 1 = 1/ n2 , 2 = 1/ n1 .
Теорема
15.5.
Если
n1 =
1 ( ) = (a −  )+ n ,  2 ( ) = (a −  ) + n ,
1
2
( p − 1)(1 − (m1 + p ))
( p − 1)(1 − (m2 + p ))
, n2 =
,
1 − (2 − ( m1 + p ))(2 − ( m2 + p ))
1 − (2 − ( m1 + p ))(2 − ( m2 + p))
n = 1 − (2 − (m1 + p))(2 − (m2 + p)) , то при  → a− финитное решение
системы уравнений (15.31) имеет асимптотику fi ( )~i ( ) .
Доказательство. Решение системы уравнений (15.31) ищем в
следующем виде:
fi = i ( ) yi ( ), i = 1, 2 .
(15.33)
Здесь:  = − ln ( a −  ) , при  → a− , будет  → + .
Учитывая (15.33) из системы уравнений (15.31), получим
следующее систему уравнений относительно функций yi ( ) [5]:
d 
mi −1
3−i
y
d 

−
 e

−
a−e
dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(

dy3−i
− n3−i y3−i )  +

d

p −2

  mi −1 dy3−i
dy
− ni   y3−i
− n3−i y3−i
( i − n3−i y3−i )  +

d
d
 

−
e
 dy

+ c  i − ni yi  − i
y ( )(1 + e − n3−i i y3−i i ) = 0 .
− i
a−e
 d

(15.34)
Здесь вид функции  задан выше.
Изучение решения системы уравнений (15.34) является
эквивалентным изучению решений систем уравнения (15.31), так как они
в некотором интервале 0 , +  ) удовлетворяет неравенству [5]:
yi ( )  0 ,
dyi
− ni yi  0 .
d
Покажем, что при  → + решения yi ( ) систем уравнения (15.34)
имеют предел y0i . Для этого введем следующие обозначения [5]:
597
i ( ) = y
mi −1
3− i
dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(
dy3−i
− n3−i y3−i ) .
d
Учитывая эти обозначения, система уравнений (15.34) примет
следующий вид [5]:
 e−

e −
 dyi

− ni  i − c 
− ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) .
−
− i
a−e
 d

a−e

i = − 
С целью анализа этого выражения введем вспомоготельную функцию:
 e−

e−
 dyi

 ( , ) = − 
− ni  − c 
− ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) .
−
− i
a−e
 d

a−e

Здесь:  -вещественное число.
Таким образом, при любом значении  функция  ( , ) не меняет
знак на некотором интервале 1 , +  )  0 , +  ) и для любых   1 , +  )
справедливо одно из этих неравенств [5]
i ( )  0 , i ( )  0 .
Это показывает, что функции i ( ) при   1 , +  ) имеют конечный
предел. Из этого выражения для i ( ) получим:
  e−

e−
 dyi

− ni i
3− i 
lim i ( ) = lim − 
−
n

−
c
−
n
y
−

y
(

)(1
+
e
y
) = 0
i i
i i
i
3−i
 d
−
− i
 →+
 →+
a
−
e
a
−
e






−
−
Учитывая, что  → a , lim e → 0 , lim a − e → a, i = 0, приходим к
 →+
 →+
решению следующих систем алгебраических уравнений [5]:
1) i  1, i = 1,2
( n2 ) y2m + p−3 = c,
p −1
( n1 ) y1m + p−3 = c.
p −1
1
2
Решением систем алгебраических уравнений является
выражения (15.33) имеем f ( ) ~ ( ) .
2) i = 1/ ni , i = 1,2
yi = 1
и в силу
( n2 ) y2m + p−3 + y1n y2n (  −1) = c,
p −1
( n1 ) y1m + p−3 + y1n (  −1) y2n = c.
p −1
1
1
2
2
1
2
1
2
.
Решение систем алгебраических уравнений является yi = 1 и в силу
(15.33) получим f ( ) ~ ( ) .
Теорема 15.5 доказана.
В случае n1  0, n2  0, n  0 наблюдается процесс быстрой диффузии.
598
Для этого для решения системы уравнений (15.31) построим следующие
функции:
1 ( ) = (a +  ) + n ,  2 ( ) = (a +  ) + n .
Здесь: a  0 .
Теорема 15.6. Пусть n1  0, n2  0, n  0 . Тогда при  → +
асимптотикой исчезающего на бесконечность решения задачи (15.31)
является fi ( )~ i ( ) .
Доказательство. Для доказательства теоремы производим
преобразование следующего вида
f =  ( ) y ( ) .
(15.35)
Здесь  = ln ( a +  ) .
В системе уравнений (15.35) учитывая (15.31) получим следующее
систему уравнений относительно функции yi ( ) :
1
d 
mi −1
3− i
y
d 

dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(
2

dy3−i
− n3−i y3−i )  +

d

p −2

 e
  mi −1 dy3−i
dy3−i
+ ni   y3−i
− n3−i y3−i
(
− n3−i y3−i )  +



d
d
a+e
 


e
 dy

+ c  i + ni yi  − i
y ( )(1 + e − ni i y3−i i ) = 0 .
 i
a+e
 d


(15.36)
Здесь  -определенная выше функция.
В некотором интервале 0 , +  ) справедливо неравенство:
yi ( )  0 ,
dyi
− ni yi  0 .
d
Покажем, что при  → + решения yi ( ) систем уравнения (15.36)
имеют предел y0i . Введем следующие обозначения:
i ( ) = y
mi −1
3− i
dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(
dy3−i
− n3−i y3−i ) .
d
Тогда система уравнений (15.36) примет следующий вид [5]:
 e

e
 dyi

i = − 
+ ni  i − c 
+ ni yi  − i
y ( )(1 + e− ni i y3−i 3−i ) .

 i
a+e
 d

a+e

Введем вспомоготельную функцию:
 e

e
 dyi

+
n

−
c
−
n
y
−

y ( )(1 + e − n3−i i y3−i 3−i ) .
3−i 
i i
i


 i
a+e
 d

a+e

 ( , ) = − 

Здесь  -вещественное число. Таким образом, при любом значении
функция  ( , ) не меняет знак на некотором интервале
599
1 , +  )  0 , +  ) и для любых
неравенств [5]:
  1 , +  )
справедливо одно из этих
i ( )  0 , i ( )  0 .
Это показывает, что функции i ( ) при   1 , +  ) имеют конечный
предел. Из этого выражения для i ( ) получим: lim i ( ) =
 →+
  e

e
 dyi

− ni i
i 
= lim − 
+
n

−
c
−
n
y
−

y
(

)(1
+
e
y
i i
i i
i
3−i )  = 0 .
 d

 i
 →+
a
−
e
a
−
e






Учитывая вышесказанное, приходим к решению следующих систем
алгебраических уравнений [5]:
1) i  1, i = 1,2
( −n2 ) y2m + p−3 = c,
p −1
( −n1 ) y1m + p−3 = c.
p −1
1
2
Решением систем алгебраических уравнений является
(15.33) имеем f ( ) ~ ( ) .
2) i = 1/ ni , i = 1,2
yi = 1
и в силу
( −n2 ) y2m + p−3 + y1n y2n (  −1) = c,
p −1
( −n1 ) y1m + p−3 + y1n (  −1) y2n = c.
p −1
1
1
2
2
1
2
1
2
Решением систем алгебраических уравнения дает yi 1 и учитывая
(15.35) имеем f ( ) ~ ( ) .
Теорема 15.6 доказана.
Рассмотрим теперь автомодельное решение вида для системы (15.35)
[5]:
u(t , x) = f1 ( ), v(t , x) = f 2 ( ),  = x / (T + t )1/ p
(15.37)
Тогда подставляя (15.37) в (15.28) относительно f1 ( ), f 2 ( ) получим
систему автомодельных уравнений:
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df 2
d
df1
d
p −2
p −2
df 2
df
) +  1 + 1 ( f1 − f1 f 21 ) = 0,
d
d
(15.38)
df1
df
) +  2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 ) = 0.
d
d
Построим верхнее решение для системы (15.38), для чего введем
функции
f1 ( ) = A(a −   ) + n , f 2 ( ) = B(a −   ) + n ,
где
1
600
2
n1 =
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
( p − 1)( p − (m2 + 1) )
n
(15.39)
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,  = p / ( p − 1),
2
(b) + = max(0, b) .
Отметим, что функции f1 ( ), f 2 ( ) обладают свойствами
m1 −1
df 2
d
f1m2 −1
df1
d
f2
p −2
p −2
df 2
p −1
= − B p −1B m2 −1 (  2 )  f1  C (0, )
d
df1
= − Am2 −1 A p −1 (  1 )  f 2  C (0, )
d
и
d 
  f 2 m1 −1
 d 

 d  m2 −1
  f1
 d 
df 2
d
df1
d
p −2
p −2
df 2 
 = −  2
d 

p −1

 2 B p −1B m −1  f1 + 
1

df1 

d 

df1 
df 
p −1
 = −  1  1 Am2 −1 A p −1  f 2 +  2 
d 
d 

Выберем А и В из системы нелинейных алгебраических уравнений
p −1
 2  2 B m + p −2 = 1 / p
1
 1
p −1
 1 Am + p −2 = 1 / p
1
Тогда функции f1 , f 2 являютя решением типа ЗельдовичаКомпанейца для системы (15.28) и в области   (a)( p−1)/ p они
удовлетворяют системе уравнений
d 
  f 2 m1 −1
 d 

 d  m2 −1
  f1
 d 
df 2
d
df1
d
p −2
df 2   df1 1
+
+ f1 = 0
d  p d p

p −2
df1   df 2 1
+
+ f2 = 0
d  p d p

в классическом смысле.
В силу того, что
 m −1
 f2 1


 m2 −1
 f1

df 2
d
df1
d
601
p −2
p −2
df 2
=  f1 ,
d
df1
=  f2 ,
d
функции f1 ( ), f 2 ( )
гладкости
и потоки обладают следующим свойством
0  f1 ( ), f 2 m1 −1
p −2
df 2
d
0  f 2 ( ), f
m2 −1
1
df1
d
df 2
=  f1  C ( 0,  ) ,
d
p −2
df1
=  f1  C ( 0,  ) .
d
Выберем А и В таковыми, чтобы выполнялись неравенства
1
,
p
1
p −1
 1  1 Am2 + p −2  .
p
 2
p −1
 2 B m + p −2 
1
(15.40)
Тогда, так как
p −2
d 
df 2   df1
1
m1 −1 df 2
  f2
+
= − f1 ,
d
d  p d
p
 d 


p −2
 d  m1 −1 df1
df1   df 2
1

+
f
= − f2 ,
  1
d
d  p d
p
 d 

df
df
То в силу того, что 1  0, 2  0 при   (0, ), из (15.40) имеем
d
d
d  m1 −1 df 2
 f2
d 
d

p −2
df 2   df1
+
 0,
d  p d

d  m1 −1 df1
 f1
d 
d

  (0, ).
p −2
df1   df 2
+
 0,
d  p d

Тогда в области Q, согласно принципу сравнения решений имеем
t
u1 (t , x)  u1+ (t , x) = e

−  ( ) d
0
t
1/ p
f1 ( ),  = ( x −  l ( )d ) / [ (t )] ,
0
t
u2 (t , x)  u2 + (t , x) = e

−  ( ) d
0
f 2 ( ),
где f1 ( ), f 2 ( ) и  (t ) -определенные выше функции.
В случае n1  0, n2  0, n  0 наблюдаем медленную диффузию. Для
решения систем уравнения (15.31) введем следующие функции:
602
1 ( ) = (a −   ) + n ,  2 ( ) = (a −   ) + n .
1
y+ = max ( y , 0 ) ,
2
1
  ( a )
1
  ( a )
Здесь: a  0 ,
,
. Для того, чтобы
существовало глобальное решение задачи (15.38) для функций f i ( )
должны выполняться следующие неравенства:
d
m −1
 ( f2 1
 d

d
m2 −1
 d ( f1

df 2
d
df1
d
Здесь:
p −2
p −2
df 2
df
) +  1 + 1 ( f1 − f1 f 21 )  0,
d
d
df1
df
) +  2 + 2 ( f 2 − f 2 f12 )  0.
d
d
1 = 1/ n2 , 2 = 1/ n1 .
Теорема 15.7.
Пусть n1  0, n2  0, n  0 и 1 ( ) = (a −   )+ n ,  2 ( ) = (a −   ) + n , где
1
n1 =
( p − 1)( p − (m1 + 1) ) ,
n
n2 =
2
( p − 1)( p − (m2 + 1) )
n
n = ( p − 2 ) − ( m1 − 1)( m2 − 1) ,  = p / ( p − 1).
2
При  → a− асимптотикой финитного решения задачи (15.38)
является fi ( )~i ( ) .
Доказательство. Решение системы уравнений (15.40) ищем в
следующем виде:
fi = i ( ) yi ( ), i = 1, 2 .
(15.41)
Здесь:  = − ln ( a −  ) и при  → a− справедливо  → + . Это позволяет
исследовать решения систем уравнений (15.38) на асимптотическую
устойчивость. Учитывая (15.41) из системы уравнений (15.38), получим
следующую систему уравнений относительно переменной yi ( ) :
d 
mi −1
3−i
y
d 

dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(

dy3−i
− n3−i y3−i )  +

d

1 e
  mi −1 dy3−i
−
n
− n3−i y3−i
i   y3−i

−
d
 a −e
 
−
p −2
(
(15.42)

dyi
− n3−i y3−i )  +

d

 − ( p −1)  dyi
e −
 − ( p −1)
+
− ni yi  − 
i
y ( )(1 + e − n   y3−i  ) = 0,

− i
p  d
a−e

Здесь вид функции  определен выше.
Изучение решения системы уравнений (15.42) является
3− i i
603
i
эквивалентным изучению решений систем уравнений (15.38), так как
они в некотором интервале 0 , +  ) удовлетворяют неравенству:
yi ( )  0 ,
dyi
− ni yi  0 .
d
Покажем, что при  → + решения yi ( ) систем уравнений (15.42)
имеют предел y0i . Для этого введем следующие обозначения:
i ( ) = y
mi −1
3− i
dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(
dy3−i
− n3−i y3−i ) .
d
Учитывая эти обозначения, систему уравнений (15.42) примет
следующий вид:
 1 e−

 − ( p −1)  dyi
e−
 − ( p −1)
i = − 
− ni  i −
− ni yi  − 
i
y ( )(1 + e − n   y3−i  )

−
− i
p  d
a−e

 a −e

.
Введем вспомоготельную функцию:
3−i i

e −
 − ( p −1)  dyi
e−

− ( p −1)
−
n

−
−
n
y
−


yi ( )(1 + e − n3−i i y3−i i )
i
i i
i
 d
−
−

a
−
e
p
a
−
e




1
 ( , ) = − 
Здесь:  -вещественное число.
Таким образом, справедливо одно из этих неравенств [5]:
i ( )  0 , i ( )  0 .
Это показывает, что функции i ( ) при   1 , +  ) имеют конечный
предел. Из этого выражения для i ( ) получим:
lim i ( ) =
 →+
  1 e−


 −( p−1)  dyi
e−
 −( p−1)
= lim − 
− ni  i −
− ni yi  − 
i
yi ( )(1 + e− n3−i i y3−i i )  = 0

−

−

 →+
p  d
a−e


  a −e

Учитывая
 → a , lim e− → 0 , lim a − e− → a, i = 0,
 →+
 →+
приходим к решению следующих систем алгебраических уравнения:
1) i  1, i = 1,2
 − ( p −1)
m −1 p −1
y2 1 y2 −
m2 −1 p −1
1
1
y
y
−
p
 − ( p −1)
p
q1 y1 = 0,
q2 y2 = 0.
Решением систем алгебраических уравнений является
выражения (15.42) имеем f ( ) ~ ( ) [5].
i = 1/ ni , i = 1,2 :
2)
604
yi = 1
и в силу
i
y
m1 −1 p − 2
2
2
y
+
y1m2 −1 y1p −2 +
 − ( p −1)
q1
1
y y
ap
 − ( p −1)
ap
q11
2
= 1q1
 − ( p −1)
y1q2 2 y2q2 = 2 q2
p
,
 − ( p−1)
p
q2 .
.
Решение систем алгебраических уравнения является yi = 1 и в силу
(15.42) получим f ( ) ~ ( ) .
Теорема 15.7 доказана.
n1  0, n2  0, n  0 наблюдается процесс быстрой
В случай
диффузии. Для этого для решения систем уравнений (15.38) построим
следующие функции:
1 ( ) = (a +   ) + n ,  2 ( ) = (a +   ) + n ,  =
1
2
p
.
p −1
Здесь: a  0 .
Теорема 15.8. Пусть n1  0, n2  0, n  0 . Тогда при  → +
асимптотикой исчезающего на бесконечность решения задачи (15.31)
является fi ( )~ i ( ) .
Доказательство. Для доказательства теоремы производим
преобразование следующего вида:
f =  ( ) y ( ) .
(15.43)
Здесь:  = ln ( a +  ) . В системе уравнений (15.43) учитывая (15.38)
получим следующее систему уравнений относительно функции yi ( ) :
d 
mi −1
3−i
y

d 
dy3−i
+ n3−i y3−i
d
p −2

dy3−i
(
− n3−i y3−i )  +

d

(15.44)
p −2

1 e
  mi −1 dy3−i
dyi
−
n
y
−
n
y
(
−
n
y
)
i   3−i
3−i 3−i
3−i 3−i  +





a
−
e
d

d




− ( p −1)


e
 dyi

+
− ni yi  −  − ( p −1) i
y ( )(1 + e − n3−i i y3−i i ) = 0,

 i
p  d
a−e


Здесь:  - определенная выше функция.
Изучение решения системы уравнений (15.44) является
эквивалентным изучению решений систем уравнения (15.38), так как они
в некотором интервале 0 , +  ) удовлетворяет неравенству [5]:
yi ( )  0 ,
dyi
− ni yi  0 .
d
(15.45)
Покажем, что при  → + решения yi ( ) систем уравнения (15.44)
имеют предел y0i . Для этого введем следующие обозначения:
605
i ( ) = y
mi −1
3− i
dy3−i
− n3−i y3−i
d
p −2
(
dy3−i
− n3−i y3−i ) .
d
Учитывая эти обозначения, систему уравнений (15.36) примет
следующий вид [5]:
 1 e

 − ( p −1)  dyi
e
 − ( p −1)

i = − 
+ ni  i −
− ni yi  − 
i
y ( )(1 + e− n   y3−i  )


 i
p  d
a−e

 a −e

.
С целью анализа этого выражения введем вспомоготельную
функцию:
 1 e

 − ( p −1)  dyi
e
 − ( p −1)
 ( , ) = − 
+
n

−
−
n
y
−


y ( )(1 + e − n   y3−i  )
i
i i
i


 i
p  d
a−e

 a −e

.
Здесь  -вещественное число. Таким образом, при любом значении

функция  ( , ) не меняет знак на некотором интервале
1 , +  )  0 , +  ) и для любых   1 , +  ) справедливо одно из этих
неравенств [5]:
i ( )  0 , i ( )  0 .
Это показывает, что функции i ( ) при   1 , +  ) имеет конечный
предел. Из этого выражения для i ( ) получим [5]:
3− i i
i
3− i i
i
lim i ( ) =
 →+
  1 e


 −( p−1)  dyi
e
 − ( p−1)
+
n

−
−
n
y
−


y ( )(1 + e− n3−i i y3−i i )  = 0.
i i
i i
i


 i
p  d
a−e


  a −e

= lim − 
 →+
Учитывая вышесказанное, приходим к решению следующих систем
алгебраических уравнений [5]:
( p −1) p
−
−
 → (a)
− h , lim e → 0 , lim a − e → a, i = 0,
 →+
 →+
из чего получим следующие алгебраические уравнения:
1)  i  1, i = 1, 2 :
 − ( p −1)
m −1 p −1
y2 1 y2 +
m2 −1 p −1
1
1
y
y
+
p
 − ( p −1)
p
n1 y1 = 0,
n2 y2 = 0.
Решением систем алгебраических уравнения является
учитывая (15.43) получим: f ( ) ~ ( ) .
2) i = 1/ ni , i = 1,2 :
606
yi = 1
и
y
m1 −1 p − 2
2
2
y
+
y1m2 −1 y1p −2 +
 − ( p −1)
ap
 − ( p −1)
ap
q1
1
y y
q11
2
= − 1n1
 − ( p −1)
p
y1q2 2 y2q2 = − 2 n2
,
 − ( p −1)
p
.
Решением систем алгебраических уравнения дает
(15.44) f ( ) ~ ( ) .
Теорема 15.8 доказана.
yi
1
и учитывая
15.3. Кросс-диффузионные системы биологической популяции
с двойной нелинейностью и конвективным переносом
В области Q={(t,x): 0< t < , xR2} рассмотрим кроссдиффузионную системы
p −2
p −2
 u
 
u
u1   
u
u1 
u
u
 1=
 D11u2m1 −1 1
+
 D12u2m1 −1 1
 + l1 (t ) 1 + l2 (t ) 1 + k1 (t )u1 (1 − u21 ) ,
(15.46)
x1
x1  x2 
x2
x2 
x1
x2
 t x1 




p −2
p −2
 u2
 
u2   
u2 
u
u
m2 −1 u2
m2 −1 u2
 D21u1
+
 D2u1
 + l1 (t ) 2 + l2 (t ) 2 + k2 (t )u2 (1 − u12 ).
=

x1
x1  x2 
x2
x2 
x1
x2
 t x1 



u1
m1 −1
11 2
Здесь: D u
u1
x1
t =0
= u10 ( x) , u2
p −2
m1 −1
12 2
, D u
u1
x2
t =0
= u20 ( x) ,
p −2
m2 −1
21 1
,D u
u2
x1
p −2
m2 −1
22 1
, D u
u2
x2
p −2
-
коэффициенты диффузии, li (t ) - скорость конвективного переноса.
m1 , m2 , p, 1 ,  2 - вещественные числовые параметры, u1 = u1 (t , x1, x2 )  0 ,
u2 = u2 (t , x1, x2 )  0 - решения систем уравнений.
Волновые решения нелинейных уравнений представим в виде
диффузионных волн:
u (t , x) = f ( ),  = ct  x,
u (t , x) = u ( t , x1 , x2 ) , x =
( x1 )
2
+ ( x2 ) .
2
Здесь: с-скорость волны.
Далее, в целях качественного исследования, для систем уравнений
(15.46) построим автомодельную систему уравнений.
Для этого используем метод нелинейного расщепления [1].
Проведем в системе уравнений (15.46) замену переменных:
t
u1 (t , x1 , x2 ) = e

− k1 ( ) d 
0
v1 ( (t ),1 , 2 ) ,
t
1 = x1 −  l1 ( )d ,
0
607
t
u2 (t , x1 , x2 ) = e

− k2 ( ) d 
0
t
v2 ( (t ),1 ,2 ) , 2 = x2 −  l2 ( )d .
0
Замена переменных приведёт (15.46) к виду:
p −2
p −2
 v

  


v

v

v
v1 
m
−
1
m
−
1
1
1
1
 1=
 D11v2 1
+
 D12v2 1
 − k1 (t )e(2− p ) k1 +( 1 −m1 +1) k2 t v1v21 ,
1 1  2 
 2  2 
  1 




p −2
p−2
 v2  
v
v2   
v
v2 
 D21v1m2 −1 2
+
 D22v1m2 −1 2
 − k2 (t )e( 2 −m2 +1) k1 +(2− p ) k2 t v12 v2 ,
=

1 1  2 
2 2 
  1 



v1
t =0
= v10 (1 ,2 ) , v2
t =0
= v20 (1 ,2 ) .
(15.47)
k1 ( p − (m1 + 1)) = k2 ( p − (m2 + 1)) , то
e[( m1 −1) k2 +( p −2) k1 ]t
e[( m2 −1) k1 +( p −2) k2 ]t
=
выбирая  (t ) =
, придем к
(m1 − 1)k2 + ( p − 2)k1 (m2 − 1)k1 + ( p − 2)k2
решению систем уравнений следующего вида:
Если выполняется равенство
p −2
p −2
 v
 
v1
v1 
 
v1
v1 
 1=
 D11v2m1 −1
+
 D12v2m1 −1
 − a1 (t ) b1 v1v21 ,



















(15.48)
1 
1
1 
2 
2
2 


p −2
p −2
 v2
 
v2 
 
v2 
m2 −1 v2
m2 −1 v2
 D21v1
+
 D22v1
 − a2 ( t ) b2 v12 v2 .
=


1 
1
1   2 
 2
 2 






Здесь:
(2 − p ) k1 + ( 1 − m1 + 1) k2
,
( p − 2)k1 + (m1 − 1)k2
(  − m2 + 1)k1 + (2 − p) k2
b
a2 = k2 ( (m2 − 1)k1 + ( p − 2) k2 ) 2 ,
b2 = 2
.
(m2 − 1)k1 + ( p − 2)k2
При выполнении условия bi = 0 , и ai (t ) = const , i = 1,2 , система примет
a1 = k1 ( ( p − 2)k1 + (m1 − 1)k2 ) 1 ,
b
b1 =
вид:
p −2
p −2
 v





v

v


v
v1 
m
−
1
m
−
1
1
1
1
 1=
 D11v2 1
+
 D12v2 1
 − a1 v1v21 ,
1
1   2 
 2
 2 
  1 




p −2
p −2
 v2
 
v2   
v2 
m2 −1 v2
m2 −1 v2



 − a2v12 v2 .
=
D
v
+
D
v

21 1
22 1
1
1   2 
 2
 2 
  1 



Для построения автомодельных уравнений изначально найдём
решение следующих системы уравнений
608
 d 1
1
 d = −a1 1 2 ,

 d 2 = −a  2 .
2 1
2
 d
Решение этой системы уравнений ищем в виде:
 1 ( ) = c1 ( + T0 ) − ,  2 ( ) = c2 ( + T0 ) − , T0  0 .
1
Здесь: с1 = 1 ,  1 =
1
2
, с2 = 1 ,  2 =
1
.
2
1
Далее решение системы уравнений (15.47) ищем в виде
v1 (t ,1 ,2 ) = v1 (t ) w1 ( ,1 ,2 ),
(15.49)
v2 (t ,1 ,2 ) = v 2 (t ) w2 ( ,1,2 ).
Если  1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1) =  2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1) , то параметр  =  (t )
выберем таким образом:
1

1−[ 1 ( p − 2) + 2 ( m1 −1)]
, если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)]  0,
1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)] (T +  )
1
2
1


 1 ( ) =  v1( p−2) (t )v2( m1 −1) (t )dt = ln(T +  ),
если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)] = 0,
0
(T +  ),
если p = 2 и m1 = 1.


Учитывая это, для переменных wi ( , x), i = 1,2 получим следующую
систему уравнений:
p −2
p −2
 w
 
w1
w1 
 
w1
w1 
 1=
 D11w2m1 −1
+
 D12 w2m1 −1
 +  1 ( w1w21 − w1 ),

1 
1
1   2 
 2
 2 

15.50)






p −2
p −2
 w2
 
w2 
 
w2 
m2 −1 w2
m2 −1 w2



 +  2 ( w2 w12 − w2 ).
=
D21w1
+
D22 w1


1 
1
1   2 
 2
 2 






Здесь
1

если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)  0,
 (1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)]) ,
1 = 
1
2
1
 с − (1−[ 1 ( p −2 ) + 2 ( m1 −1)] ) ,
если 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1) = 0,
 11
(15.51)
1

если 1 − [ 2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1)]  0,
 (1 − [ ( p − 2) +  (m − 1)]) ,
2 = 
2
1
2
 с − (1−[ 2 ( p −2)+1 ( m2 −1)]) ,
если 1 − [ 2 ( p − 2) +  1 (m2 − 1)] = 0.
 21
При  →  ,  i → 0 придем к решению следующих систем
уравнений:
609
p −2
p −2
 w
 
w1 
 
w1 
m1 −1 w1
m1 −1 w1
1

 D11w2
+
 D12 w2

=
1
1   2 
 2
 2 
  1 




p −2
p −2
 w2
 
w2   
w2 
m2 −1 w2
m2 −1 w2




=
D21w1
+
D22 w1



















1
1
1 
2 
2
2 

(15.52)
Из этого следует, что с условиями (15.49) решение системы (15.46)
стремится к решению системы (15.52).
Если выполняется равенство 1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1) = 0 , тогда
волновое решение системы уравнений (15.50) имеет вид
wi ( (t ),1,2 ) = yi ( ) ,  = c   ,  =
(1 )
2
+ (2 ) i = 1,2 .
2
Здесь
с-скорость
волны.
Учитывая
условие
1 − [ 1 ( p − 2) +  2 (m1 − 1)  0 получим автомодельную систему уравнений
 d m −1
 ( y2 1
 d

 d m2 −1
 d ( y1

dy1
d
p −2
dy2
d
p −2
dy1
dy
) + c 1 +  1 ( y1 − y1 y21 ) = 0,
d
d
dy2
dy
) + c 2 +  2 ( y2 − y2 y12 ) = 0.
d
d
После интегрирования (15.52) приходим к решению системы
нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:
 m −1
 y2 1


 m2 −1
 y1

dy1
d
dy2
d
p −2
p −2
dy1
+ cy1 = 0,
d
(15.53)
dy2
+ cy2 = 0.
d
Приближенное решение системы уравнений (15.53) ищем в
следующем виде:
y1 = A(a −  ) , y2 = B(a −  ) .
Здесь
1
2
( p − 1)( p − (m1 + 1))
,
( p − 2) 2 − (m1 − 1)(m2 − 1)
( p − 1)( p − ( m2 + 1))
2 =
.
( p − 2) 2 − (m1 − 1)(m2 − 1)
1 =
Коэффициенты А и В являются решением систему алгебраических
уравнений:
( 1 ) p −1 A p −1B m −1 = c ,
( 2 ) p −1 Am −1B p −1 = c .
Учитывая
1
2
610
t
u1 (t , x1 , x2 ) = e

− k1 ( ) d 
0
v1 ( (t ),1 , 2 ) ,
t
u2 (t , x1 , x2 ) = e

− k2 ( ) d 
0
v2 ( (t ),1 ,2 )
получим
t
u1 (t , x1 , x2 ) = Ae

− k1 ( ) d 
0
(c (t ) −  )+1 ,
t
u2 (t , x1 , x2 ) = Be

− k2 ( ) d 
0
(c (t ) −  )+2 , c  0 .
Так как
t
[b (t ) −  li ( )d − xi ] = 0 ,
0
t
тогда если xi  [b (t ) −  li ( )d − xi ] , t  0 , справедливо
0
t
u1 (t , x)  0 , u2 (t , x)  0 , xi  [b (t ) −  li ( )d − xi ] , t  0, i = 1,2 .
0
Таким образом, условием локализации решений системы уравнений
(15.46) будет выполнение следующих условий [5]:
е
 l ( y)dy  0 ,
i
 (t )   для t  0, i = 1,2 .
(15.54)
0
Условием появления нового эффекта–локализации волновых
решений системы уравнения (15.46) является условие (15.54). Если
условие (15.54) не выполнено, тогда наблюдается явление конечной
скорости распространения возмущения, т.е. ui (t , x)  0 при x  b(t ) ,

t
 (t ) =  e −

( m1 + p −3) k1 ( y ) dy
0
d , так как  (t ) →  при t →  .
0
Исследование качественных свойств системы (15.46) позволило,
выполнить численный эксперимент в зависимости от значений,
входящих в систему числовых параметров. При численном решение
задачи для линеаризации системы (15.46) использовались линеаризации
по методам Ньютона и Пикара. Для построения автомодельной системы
уравнений биологической популяции использован метод нелинейного
расщепления [1].
Для численного решения задачи (15.46) построим равномерную сетку
h =  xi = ih,
h  0, i = 0,1,..., n, hn = l ,
и временную сетку
611
h = t j = jh1 ,
h1  0, j = 0,1,..., n,  m = T  .
1
Заменим задачу (15.46) неявной разностной схемой и получим
разностную задачу с погрешностью O ( h2 + h1 ) .
Для проведения вычислительного
численная схема и алгоритм.
эксперимента
разработана
(
(
)
 yij +1 − yij 1 
yij++11 − yij +1
yij +1 − yij−+11  j +1 yij++11 − yij−+11
j +1 j +1
j 1
=
a
−
a
+
l
+
k
y
1
−
w
,
(

 i +1
 i
i
1i
i
i )

h
h
h
2h


 j +1
j
j +1
j +1
j +1
j +1
j +1
j +1
 wi − wi = 1  b wi +1 − wi − b wi − wi −1  + l j +1 wi +1 − wi −1 + k j +1w j +1 1 − y j +1 2 .
(i )
 i +1
 i
i
2i
i


h
h
h
2
h



Для нахождения решения разностных уравнений воспользуемся
методом итераций, построенный следующим образом:
s +1 j +1 s +1 j +1
s +1 j +1 s +1 j +1 
s +1 j +1 s +1 j +1
 s +1 j +1

j +1
j
 y i − yi = 1  as y i +1 − y i − as y i − y i −1  + l j +1 y i +1 − y i −1 + k j +1 sy+1 1 − w j 1 ,
i +1
i
( i)
1i
i

 i

h 
h
h
2h
(15.55)



 j +1
j +1
j +1
s +1 j +1 s +1 j +1 
s +1 j +1 s +1 j +1
 sw+1 − w j 1  s sw+1 − sw+1
s w
s +1 j +1
2
i
i +1
i
i − w i −1 
j +1 w i +1 − w i −1

i

= bi +1
− bi
+ li
+ k2ji+1 w i 1 − ( yij +1 ) .


h 
h
h
2h




(
)
(
)
( s +1) j +1
( s +1) j +1
Разностная схема (15.55) относительно функции y
и w
будет
линейной. В качестве начальной итерации берутся функции
(0) j +1
предыдущего шага по времени: y
( s +1)
( s +1)
(s)
(0) j +1
=y и w
j
= w j . Если выполняется
(s)
условия max yi − yi   и max wi − wi   , то обеспечивается сходимости
i
i
итерации.
Проведен вычислительный эксперимент для различных значений
параметров (табл.15.3, табл.15.4).
Результаты эксперимента при быстрой диффузии приведены в таблице
15.3. В качестве начального приближения u0 , v0 брались функции
u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a +   ) q ,
1
1
v0 ( x, t ) = (T + t )
− 2
t
1
p
(a +  ) ,  = (  c ( y )dy − x ) /  ;  =
 q2
0
p
,
p −1
1−n
c(t ) = 1 / (T + t ) , n  1, n  1,  c( y)dy = (T + t )
n
1 =
/ (1 − n)
1
1
( p − 1)
, p + mi − 3  0, i = 1,2
, 2 =
, qi =
1 − 1
2 − 1
p + mi − 3
Таблица 15.1
612
)
Результаты вычислительного эксперимента. Быстрая
диффузия
x1 = 1; x2 = 1 ;
x1 = 2 ; x 2 = 2 ;
x1 = 3 ; x2 = 3 ;
Значения
x= 2
параметров
m1 = 0.8, m2 = 0.7, p = 2.1
x =2 2
x =3 2
eps = 10−3
1 = 2  2 = 5
mi + p − 3  0
n=3
m1 = 0.4, m2 = 0.5, p = 2.2
eps = 10−3
1 = 2 2 = 2
mi + p − 3  0
n=5
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
Результаты вычислительного эксперимента при медленной
диффузии приводятся в таблице 15.15. В качестве начального
приближения брались функции u0 , v0 u0 ( x, t ) = (T + t ) − (a −   ) + q , и
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
time1 ( FRAME + 1)  time2 ( FRAME + 1)
1
v0 ( x, t ) = (T + t )
− 2
1
1
p
t
(a −  ) + ,  = (  c ( y )dy − x ) /  ;

q2
0
1− n
c(t ) = 1 / (T + t ) , n  1, n  1,  c( y )dy = (T + t )
n
qi =
/ (1 − n) ; 1 =
1
1
, 2 =
,
1 − 1
2 − 1
( p − 1)
, p + mi − 3  0, i = 1,2, u ( x, t ) = v( x, t )  0
p + mi − 3
когда
t
x   c( y )dy − a
1
p
 ,  (t ) = (T + t )1−i ( mi + p −3) / [1 −  i (mi + p − 3)],  i =
( p −1)/ p
0
613
i + 1
, i = 1,2, 1 2  1
1 2 − 1
Таблица 15.2
Результаты вычислительного эксперимента при медленном
диффузии
Значения
параметров
m1 = 1.9, m2 = 5, p = 2.5
x1 = 1;
x2 = 1 ;
x= 2
x1 = 2 ;
x2 = 2 ;
x =2 2
x1 = 3 ;
x2 = 3 ;
x =3 2
eps = 10−3
1 = 1.5  2 = 2
mi + p − 3  0
n=3
m1 = 1.5, m2 = 2, p = 2.5
eps = 10−3
1 = 1.5  2 = 2
mi + p − 3  0
n=5
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
time1 ( FRAME + 3)  time2 ( FRAME + 3)
614
ГЛАВА 16. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ
ПОЛИТРОПИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С НЕЛИНЕЙНЫМ
ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ.
Изучается асимптотическое поведение автомодельных решений
следующего квазилинейного параболического уравнения
u   u m
= 
t x  x

p −2
u m 
,
x 

( x, t )  R  ( 0, +  ) ,
(16.1)
с нелинейным граничным
u m
−
x
p −2
u m
( 0, t ) = u q ( 0, t ) , t  ( 0, +  ) ,
x
и начальным условием
u ( x,0 ) = u0 ( x )  0,
xR,
(16.2)
(16.33)
где m, q, p -заданные числовые параметры, u = u (t , x)  0 -искомое
решение.
Из [9] известно, что уравнение (1) описывает многие физические
m  1, p  1 -уравнение
процессы,
так
при
Ньютоновской
политропической фильтрации, при m = 1 -Ньютоновскую упругую
фильтрацию [9]. Кроме того, уравнение (1) известно при p = 2 как
уравнение пористой среды, нелинейной теплопроводности или
нелинейной диффузии [1, 3].
Исследованию задачи (16.1-16.3)в случае m = 1 посвящено большое
количество работ [3, 5] (подробно см. библиографию в [2 - 5, 8]). В работе
[7] получены условия глобальной разрешимости и неразрешимости в
целом задачи (16.1-16.3)в случае быстрой диффузии (1  p  1 + 1 m ) при
m  0 , а в работе [6] также получены условия глобальной разрешимости
m  1, p  2 .
при
Как
доказано
в
[6-7],
при
( m + 1)( p − 1) p  q  ( m + 1)( p − 1) всякое нетривиальное решение u  0
является неограниченным, а при   ( m + 1)( p − 1) задача (16.1-16.3) имеет
глобальное решение u → 0 при t → + в R , если u0 достаточно мала. В
работе [6] доказано, что при критическим значением qc = ( m + 1)( p − 1)
задача (16.1-16.3)имеет неограниченное решение.
В работе [8] исследовано поведение решения задачи Коши для
(
u
= div u m
t
p −2
)
u m + u q ,
x  RN , t  0
с начальным значением убывающих на бесконечности
u ( x,0) = u0 ( x ) , x  R N ,
615
m  1, p  2, N  2, q  m ( p − 1) + p N ,
u0 ( x )
где
ограниченная
положительная непрерывная функция в R N . Кроме того, установлены
новые вторичные критические значение для существования глобальных
решений.
В данной работе на основе автомодельного анализа и метода
эталонных уравнений [1] получены асимптотики финитных и
исчезающих на бесконечности решение задачи (1) - (3).
Уравнение (1) допускает в области QT = ( t , x ) : 0  t  T , x  R
автомодельное решение вида
−
−
(16.4)
u = (T − t ) f ( ) ,  = x (T − t )
где
p −1
q − m ( p − 1)
=
,=
,
pq − ( m + 1)( p − 1)
pq − ( m + 1)( p − 1)
а функция f ( ) является решением задачи
d  df m
df m 
df

 + 
+ f =0
d  d
d 
d


f  ( 0 ) = 0 , f (0) = M  0
p −2
(16. 5)
(16.6)
Применяя метод [1] для решения задачи (16.5), (16.6) получим
следующие результаты:
1. Случай m ( p − 1) − 1  0 (медленная диффузия). Отметим, что
функция

 ( ) =  a − b 

p
p −1
p −1
m( p −1)−1


+
m( p −1)−1
m ( p − 1) − 1 1 ( p −1)
( p −1) p
q
где b =
, a = M p−1 , y+ = max ( y, 0 ) при   ( a b )
pm
удовлетворяет условию (6). Покажем, что она будет асимптотикой
решений задачи (5), (6) при  → ( a b )(−p−1) p .
Теорема 1. Финитное решение задачи (5), (6) при  → ( a b )(−p−1) p
имеет асимптотику f ( )~ ( ) .
Следствие 1. При q  m ( p − 2 ) + k решение задачи (16.1-16.3)
пространственно локализовано, причем для свободной границы L ( t )
имеет место асимптотика
a
L(t )~  
b
( p −1)
p
(T − t )
616
q − m( p −1)
pq −( m +1)( p −1)
→0
при t → T .
2. Случай m ( p − 1) − 1  0 (быстрая диффузия). Легко проверить,
что
функция
a=M
1− m( p −1)
−
p −1

 ( ) =  a + b 

p
p −1



−
p −1
1− m( p −1)
b=
где
1 − m ( p − 1) 1 ( p−1)
q
,
pm
при  → + удовлетворяет условию задачи (16.5-16.6)
Теорема 2. Пусть 1  p  1 +
1
, q  m ( p − 1) . Тогда при  → +
m
классическое решение задачи (5), (6) имеет асимптотику f ( )~C ( ) ,
где
1

 1−m( p −1)
 p (1 − m ( p − 1) ) + 
C =
.
  (1 − m ( p − 1) ) ( m + 1)( p − 1) 


3. Случай m ( p − 1) − 1  0 (быстрая диффузия). Проверкой легко
−
убедиться,
что
функция
g ( ) = ( A + B )
−
p
1− m( p −1)
где
1− m( p −1)
−
1 − m ( p − 1)   
p
B=
удовлетворяет задаче (16.5-16.6)
 p−1  , A = M
p
m 
1
1
Теорема 16.3. Пусть 1  p  1 +
и −
-четное число.
1 − m ( p − 1)
m
Тогда при  → + исчезающие на бесконечности решение задачи (16.5),
(16.6) имеет асимптотику f ( )~Cg ( ) , где
1 p
 1 − m ( p − 1) 
C = −

 ( m + 1)( p − 1) 
−
1
1− m( p −1)
.
На основе этих теорем были произведены численные расчеты. Для
этого в качестве начального приближения брались построенные выше
функции. Во всех случаях результаты вычислительных экспериментов
показали достаточно быструю сходимость к точному решению.
16.1.Свойства решений нелинейной задачи политропической
фильтрации с переменной плотностью и нелинейным граничным
условием.
Настоящий раздел посвящен изучению асимптотического
поведения
различных
автомодельных
решений
следующего
квазилинейного параболического уравнения
u   u m
 ( x) = 
t x  x

p −2
u k 
,
x 

617
( x, t )  R  ( 0, +  ) ,
(16.7)
с нелинейным граничным
u m
−
x
p −2
u k
( 0, t ) = u q ( 0, t ) , t  ( 0, +  ) ,
x
и начальным условием
u ( x,0 ) = u0 ( x )  0,
xR,
(16.8)
(16.9)
где  ( x ) = (1 + x ) , 0  l  p , m  0, k  0,   0, p  1 - заданные числовые
−l
параметры, u = u (t , x)  0 -искомое решение.
Уравнения (16.7) описывает многие физические процессы: при
m  1, p  1, k  1-уравнение не ньютоновской политропической
фильтрации, при m = k = 1 -ньютоновскую упругую фильтрацию [9].
Кроме того, уравнение (1) известно при p = 2 как уравнение пористой
среди, нелинейной теплопроводности или нелинейной диффузии [1, 3].
В нашем случае в физические процессы имеют влияние плотности
среды.
Задачи (16.1-16.3)изучены многими авторами [1-8] при k = m = 1 и
при k = m  0 (подробно см. библиографию в [2-5, 8]). В работе [7]
изучены задачи (16.7-16.9) в случае быстрой диффузии
(1  p  1 + 1 m, k = m ), получены условия глобальной разрешимости и
неразрешимости в целом при k = m  0 . Доказано, что при:
− ( m + 1)( p − 1) p  q  ( m + 1)( p − 1) , k = m всякое нетривиальное
решение u  0 задачи (1) – (3) является неограниченным;
− q  ( m + 1)( p − 1) , k = m задача (16.7-16.9)имеет глобальное
решение u → 0 при t → + в R ;
− q = ( m + 1)( p − 1) , k = m задача (16.7-16.9) имеет неограниченное
решение u → + при t → T в R , где T - время существования решения.
А в работе [6] также получены условия глобальной разрешимости и
неразрешимости в случае медленной диффузии ( m = k  1, p  2 ). А
также в работе [6-7] установлены критические значение Фуджита
qc = ( m + 1)( p − 1) , k = m
и
критические
значение
q0 = ( m + 1)( p − 1) p , k = m глобального существования решения.
В настоящей работе на основе автомодельного анализа и метода
эталонных уравнений [1] получены асимптотики финитных и
исчезающих на бесконечности решений задачи (16.7) - (16.9).
Сначала введем новое преобразование u (t , x) = u (t , ( x ))
где  ( x ) =
p
x
p −l
p −l
p
, xR .
618
Тогда уравнение (1) представляется в радиально–симметричной
форме
m

u
1− s 
s −1 u

=

t
 


p −2
u k 

 

(16.10)
где s = p ( p − l ) , l  p , роль радиуса играет функция  ( x ) .
Уравнение (16.7) допускает в области QT = ( t , x ) : 0  t  T , x  R
автомодельное решение вида
u = ( T − t ) f (  ) ,  =  ( x ) (T − t )
(16.11)
p −1
 − m ( p − 2) − k
где  =
, q=
,
 p − m ( p − 2) − p − k + 1
 p − m ( p − 2) − p − k + 1
−
−q
а функция f ( ) является решением задачи
m

1− s d
s −1 df


d 
d

−(f
m

p −2
df k 
df
 + q
+ f = 0
d 
d

(6)
p −2
) ( f ) ( 0) = f ( 0)
m
q
(7)
f  ( 0 ) = 0 , f (0) = E  0 .
Ниже излагаются полученные результатов
автомодельного анализа и метода эталонных уравнений.
на
(8)
основе
16.2. Оценка решений
Введем обозначения
q0 = ( m ( p − 2 ) + k + p − 1) p , qc = m ( p − 2 ) + k +
( p − 1)( p − l )
.
p
Случай m ( p − 2 ) + k − 1  0 (медленная диффузия). Применяя
метод для решения уравнение (6) получим следующие функции

 ( ) =  a − b 

p −1
p
p −1
 m( p −2)+ k −1

+
1 ( p −1)
где
m ( p − 2) + k − 1  q 
b=
 p −2 
p
m k
,
a=E
m( p − 2 )+ k −1
p −1
( p −1)
удовлетворяющие задачи (6) - (8) при   ( a b )
619
p
.
,
y+ = max ( y, 0 ) ,
Теорема 1. Пусть q  q0 , u0 ( x )  u+ ( 0, x ) , x  R . Тогда существует
глобальное решение задачи (16.1-16.3)в QT и для него справедливо
следующая оценка u ( t , x )  u+ ( t , x ) , где
u+ ( t , x ) = (T + t )  ( ) .
−
Доказательство. Доказательство теоремы 1 приводится на основе
метода сравнения решений. В качестве сравниваемого возьмем функцию
u+ ( t , x ) = (T + t )  ( )
−
где  ( ) -вышеопределенная функция. Тогда в силу (16.6)-(16.8) имеем
Au+ =  ( − sq +  ) ,
− ( )
p −2
m
( ) ( 0)   ( 0)
m
q
Из этого выражения следует, что для выполнения условия Au+  0 ,
достаточно выполнение условия −sq +   0 .
Оно в силу условия теоремы выполнено. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть q0  q  qc , u0 ( x )  u− ( 0, x ) , x  R . Тогда
существует неограниченное количество решений задач (16.1-16.3)в QT
и для него справедлива следующая оценка: u ( t , x )  u− ( t , x ) , где
u− ( t , x ) = (T − t )  ( ) .
−
Доказательство. Возьмем функцию
u− ( t , x ) = (T − t )  ( )
−
в качестве сравниваемой. Тогда с учетом (6)–(8) легко увидеть, что
Au− =  ( − sq +  ) ,
− ( )
m
p −2
( ) ( 0)   ( 0)
m
q
Отсюда нетрудно видеть, что в силу условия теоремы выполняется
неравенства Au−  0 и это завершает доказательство теоремы.
Теорема 3. Пусть q  qc , u0 ( x )  u+ ( 0, x ) , x  R . Тогда существует
глобальное решение задач (16.1-16.3)в QT и для него справедливо
следующая оценка u ( t , x )  u+ ( t , x ) , где
u+ ( t , x ) = (T + t )+  ( ) .
−
Путем сравнения решений доказывается.
620
Теорема 4. Критическое значение глобального существования
решения и критического значения Фуджета задачи (1)–(3) является q0 , qc
.
Следствие 1. При   m ( p − 2 ) + k решение задачи (1)–(3)
пространственно локализовано, причем для свободной границы L ( t )
имеет место асимптотика
( p −1) ( p −l )
p(  −m( p − 2 )−k )
a

p
−
m
L(t )~  
(T − t )( ( p−2)− p−k +1)( p−l ) → 0
b
при t → T .
16.3. Асимптотика автомодельных задач
Теорема 5. Финитные решения задач (6), (7) при  → ( a b )(−p−1) p имеет
асимптотику f ( )~ ( ) .
Доказательство. Ищем решение уравнения (6) в следующем виде
f =  ( ) w( )
(8)
где  = − ln  a − b 

p
p −1
 , причем  → + при  → a b ( p −1) p , что позволяет
( )−


исследовать асимптотическую устойчивость решения задачи (6), (7) при
 → + . Введем обозначения r = m ( p − 2 ) + k − 1 . Подставляя (8) в (6) для
w( ) получим следующее уравнение
w
w   1 ( ) s ( p − 1) p − 1  r w
w
−
−
w
 −
+
r 
r p −1
 r p − 1   2 ( ) bp
1 ( )
w
p −1
w 
w
(9)
+
−
−
=0


p −2
p −2
( bmp ) bpk  r p − 1  ( bmp ) b2 p 2k 2 ( )
d r w
w
w
−
d
r p −1
p −2
p −2
w
w 
 −
+
r
p
−
1


здесь 1 ( ) = e− , 2 ( ) = ( a − e− ) b , где  определенная выше функция.
Отметим, что изучение решения последнего уравнения является
равносильным изучению тех решений уравнения (1), каждое из которых
в некотором промежутке 0 , +  ) удовлетворяет неравенству:
w  w 
w ( )  0 , ( ) − ( )  0
r
p −1
Покажем, прежде всего, что решения w ( ) уравнения (9) имеют
конечный
предел
w
 ( ) = w −
r p −1
r
w
p −2
w0
при
 → + .
Введем
обозначения
 w w 
 −
 . Тогда для уравнения (9) имеем вид
 r p −1 
621
  ( ) s ( p − 1) p − 1 
1 ( )
w
p −1
w 
w
v = −  1
−
v −
 −
+
p −2
p −2 2 2
r 
( bmp ) bpk  r p − 1  ( bmp ) b p k 2 ( )
 2 ( ) bp
Для анализа последнего выражения введем новую вспомготельную
функцию
  ( ) s ( p − 1) p − 1 
1 ( )
w
p −1
w 
w
 ( , ) = −  1
−
 −
 −
+
p −2
p −2 2 2
r 
( bmp ) bpk  r p − 1  ( bmp ) b p k 2 ( )
 2 ( ) bp
где  -вещественное число. Отсюда нетрудно видеть, что при каждом
значении  функция  ( , ) сохраняет знак на некотором промежутке
1, +  )  0 , +  ) и при всех  1, +  ) выполняется одно из неравенств
  ( )  0 ,   ( )  0 .
И поэтому для функции  ( ) существует предел при  1, +  ) . Из
выражения для  ( ) следует, что
lim ' ( ) =
 →+

1 ( ) 
w
p −1
w 
w
   ( ) s ( p − 1) p − 1 
= lim −  1
−
v
−
−
+

=0


p −2
p −2 2 2

 →+


bp
r
r
p
−
1


(
)
(
)
bmp
bpk
bmp
b
p
k
(
)
(
)


2
2






Отсюда, учитывая, что
lim 1 ( ) → 0 , lim 2 ( ) → − 1 ,
 →+
b
 →+
w = 0
p −1 p
при  → ( a b )(− ) , получим следующего алгебраического уравнения
p −1
r
w( m−1)( p −2)+k −1 
w

s
p −1
−
p −1
w=0
p −2
bmp
bpkr
(
)
(10)
Вычисление последнего уравнения дает w = 1 и в силу (8) f ( ) ~ ( )
.
Теорема 5 доказана.
Случай m ( p − 2 ) + k − 1  0 (быстрая диффузия). Легко проверить,
что функция


 ( ) =  a + b 
p
p −1



−
p −1
1− k − m ( p − 2 )
1 ( p −1)
где
1 − k − m ( p − 2)  q 
b=
 p −2 
p
m k
,
a=M
удовлетворяет условию задачи (16.5-16.6)
Теорема 6.
622
−
1− k − m( p − 2 )
p −1
при
 → +
2m + 1 − k ) − l
Пусть (
 p  2, q  0 или   qp ( m ( p − 2 ) + k − 1) , q  0 ,
m +1
( 2m + 1 − k ) − l  p  2 . Тогда при  → + классическое решение задачи
m +1
(5), (6) имеет асимптотику f ( )~C ( ) , где
−
1
1− k − m( p − 2 )


qp (1 − k − m ( p − 2 ) ) + 

C = −
.
 q (1 − k − m ( p − 2 ) ) s (1 − k − m ( p − 2 ) ) − p 


Теорема доказывается аналогично доказательству теоремы 5.
Критический случай: m ( p − 2 ) + k − 1 = 0 . Заметим, что функция
(
f ( ) = e
)
−d 
p
p −1
1 ( p −1)
p −1 q 
где d =


p  m p −2 k 
, удовлетворяет условию задачи (16.5-16.6)
Теорема 5. Пусть m ( p − 2 ) + k − 1 = 0 . Тогда решение задачи (5), (6)
при  → + имеет асимптотику f ( )~Cf ( ) , где C - произвольное
положительное число.
Теорема доказывается аналогично доказательству теоремы 5.
Отметим, что при численном исследовании задач (1)-(2) основная
трудность возникает из-за не единственности решения. В зависимости от
значения параметров уравнения эта трудность преодолевается путем
удачного выбора начальных приближений, в качестве которых берутся
вышеустановленные асимптотические формулы. На основе этих
результатов были произведены численые расчеты. Результаты
численных
экспериментов
показывают
быструю
сходимость
итерационного процесса Ньютона за счет выбора удачного начального
приближения.
Разностная схема
Результаты численного экперимента
623
Fig 1.m=1.5, p=1.8, q=2.95,
n=0.25
Fig2.m=1.5, p=1.8, q=2.95,
n=1
Fig 1.m=1.25, p=2.1, q=3,
n=0.3
Fig2.m=1.25, p=2.1, q=3, n=1
Fig 1.m=0.75, p=2.5, q=2.75,
Fig2.m=0.75, p=2.5, q=2.75,
n=0.5
n=1.5
На всех рисунках жирные линии соответствуют начальным
приближениям. Начальное приближение является очень подходящим и
приводит к быстрой сходимости. Результаты численного эксперимента
624
и графики показывают, что автомодельные решения являются весьма
подходящим приближением для изученной задачи.
16.2 Оценки решений нелинейной системы уравнений
теплопроводности с переменной плотностью и с нелокальным
граничным условием.
Изучается условие глобального существования и не существования
решения нелинейной параболической системы с нелинейным граничным
условием и с переменной плотностью. Получены оценки и асимптотики
автомодельных решений для случая медленной диффузии.
В настоящей работе изучаются свойства решений нелинейной
параболической системы уравнений теплопроводности в неоднородной
среде связанных с нелинейным граничным условием
p1 − 2

u   u m1
u m1 
 1 ( x ) = 
 , x  0, t  0,
t x  x
x 



(1)

p
−
2
m2 2
m2 


  

 , x  0, t  0,
= 
 2 ( x )
 x


t

x

x



 u m1 p1 −2 u m1
−
=  q1 ( 0, t ) , t  0,
x
 x
x =0
(2)

m2 p2 − 2
m2
 

= u q2 ( 0, t ) , t  0,
−
x
 x
x =0
u ( x,0 ) = u0 ( x ) ,  ( x,0 ) = 0 ( x ) , x  0 ,
(3)
n
k
где mi  1, pi  1 + 1 mi , qi  0 ( i = 1,2 ) , 1 ( x ) = (1 + x ) ,  2 ( x ) = (1 + x ) , n  − p1
и 0 ( x ) -неотрицательные непрерывные функции с
компактным носителем в R+ .
Нелинейная параболическая система уравнений (1) встречается в
различных приложениях как модель биологической популяции,
химической реакции, распространения тепла, диффузии и т.д. Например,
u ( x, t ) и  ( x, t ) представляют собой плотности двух биологических
популяций в процессе миграции в модели популяции или температуры
двух пористых материалов в случае распространения тепла [1-4].
Хорошо известно, что вырождающиеся системы уравнений могут,
не имеет классического решения в области где u,   0 . В этом случае
, k  − p2 , u 0
625
обобщенное решение системы (1) изучается в имеющий физический
смысл классе
m1
u ( x, t ) ,  ( x, t )  0 , u
x
p1 − 2
u m1  m2
,
x
x
p2 − 2
 m2
 C ( R  ( 0, + ) ) .
x
и удовлетворяющие системе (1) в смысле распределения [1, 3].
В последнее годы интенсивно изучаются вопросы глобального
существования решений и условия возникновения режима с
обострением (см. [5-19]). В частности, критические экспоненты типа
Фуджита играющие важную роль в изучении свойств математических
моделей различных нелинейных процессов, описывающиеся
нелинейными параболическими уравнениями и система таких уравнений
математической физики (см. [1-4] и ссылки в них).
В работе [16] изучены условия глобальной разрешимости и
неразрешимости по времени следующее нелокальной задаче фильтрации
для случая медленной диффузии
 u   u p1 −2 u m1 
x  0, 0  T  0,
 = 
,
x 
 t x  x

p −2
     2  m2 
 , x  0, 0  T  0,
 t = x  x

x



 u p1 −2 u m1
=  q1 ( 0, t ) , 0  T  0,
−
x
 x
x =0

p −2
  2  m2
= u q2 ( 0, t ) , 0  T  0,
− x
x
x =0

u ( x,0 ) = u0 ( x ) ,  ( x,0 ) = 0 ( x ) , x  0 .
Доказано, что если
q1q2 
( 2 p1 − 1 + m1 )( 2 p2 − 1 + m2 )
p1 p2
глобальным,
(4)
(5)
(6)
, то всякое
решение задачи (4)-(6) является
а для случая
( 2 p1 − 1 + m1 )( 2 p2 − 1 + m2 )
q1q2 
установлены: Если max l1 − k1 , l2 − k2   0 ,
p1 p2
то всякое решение задачи (4)-(6) является неограниченным;
(i)
Если min l1 − k1 , l2 − k2   0 и начальные данные u0 ( x ) , 0 ( x )
достаточно малы, то всякое решение задачи (4)-(6) является глобальным,
где
( p2 − 1) p1q1 + ( p1 − 1)( 2q2 + m2 + 1)
k1 =
,
q1q2 p1 p2 − ( 2q1 + m1 + 1)( 2q2 + m2 + 1)
626
( p1 − 1) p2q2 + ( p2 − 1)( 2q1 + m1 + 1)
,
q1q2 p1 p2 − ( 2q1 + m1 + 1)( 2q2 + m2 + 1)
k q − k ( p + m1 − 2 )
k q − k ( p + m2 − 2 )
= 2 1 1 1
l = 1 2 2 2
k2 =
l1
, 2
.
p1 − 1
p2 − 1
( 2 p1 − 1 + m1 )( 2 p2 − 1 + m2 )
Значения q1q2 =
называются критическими
p1 p2
экспонентами глобального существования по времени решение а
min l1 − k1 , l2 − k2  = 0 называются критическими экспонентами типа
Фуджита [1, 3].
Авторы работ [12] исследовали задачи (1)-(3) в случае постоянной
плотности когда 1 ( x ) =  2 ( x ) = 1 для случая медленной диффузии.
( p1 − 1)( p2 − 1)( m1 + 1)( m2 + 1)
Показали, что значение q1q2 =
является
p1 p2
критической экспонентой для глобального существования по времени
решения, а min  y1 − r1 , y2 − r2  = 0 ,
где
q1 p1 ( p2 − 1) + ( p1 − 1)( p2 − 1)( m2 + 1)
r1 =
,
q1q2 p1 p2 − ( p1 − 1)( p2 − 1)( m1 + 1)( m2 + 1)
r2 =
q2 p2 ( p1 − 1) + ( p1 − 1)( p2 − 1)( m1 + 1)
,
q1q2 p1 p2 − ( p1 − 1)( p2 − 1)( m1 + 1)( m2 + 1)
q1r2 − m1r1 ( p1 − 1)
q2 r1 − m2 r2 ( p2 − 1)
, y2 =
,
p1 − 1
p2 − 1
является критические экспоненты типа Фуджита. Аналогичные вопросы
для задачи (1)-(3) при p1 = p2 = 2 , 1 ( x ) =  2 ( x ) = 1 были рассмотрены в [5].
Данная работа посвящена исследованию условий глобальной
разрешимости и неразрешимости в целом по времени решений задачи
(1)-(3) на основе автомодельного анализа и метода эталонных уравнений
[2], а также исследованию влияния неоднородности среды на изучаемый
процесс. Построены различные автомодельные решения задачи (1)-(3) в
случае медленной диффузии с переменной плотностью, получены
оценки и асимптотики решений, установлены критические экспоненты
типа
Фуджита
и
критические
экспоненты
для
глобальногосуществование решения, из которых в частности, вытекают
результаты других авторов, полученных для случая однородной среды
[5-13].
Введем обозначение:
y1 =
627
1 =
2 =
q1 ( p1 + n )( p2 − 1) + ( p1 − 1)( p2 − 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
q1q2 ( p1 + n )( p2 + k ) − ( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
,
q2 ( p2 + k )( p1 − 1) + ( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1)
q1q2 ( p1 + n )( p2 + k ) − ( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
1 =
q1 2 − m11 ( p1 − 1)
q  − m21 ( p2 − 1)
.
, 2 = 2 1
p1 − 1
p2 − 1
Теорема 1. Если q1q2 
( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
,
( p1 + n )( p2 + k )
то всякое решение задачи (1)-(3) является глобальным.
Доказательство. Доказательство теоремы 1 основано на
построении автомодельного верхнего решения. Автомодельное решение
ищем в виде
1

L1t
−1 m
− J1t
u ( x, t ) = e M 1 ( K + e ) 1 , 1 = (1 + x ) e , x  0, t  0,

1
 ( x, t ) = e L2t M K + e −2 m2 ,  = (1 + x ) e − J 2t , x  0, t  0,
) 2
2(

где

K = max  u0

m1

1
m1
1
M , 0

m2

q1
−1 m
2
m ( p − 1) − 1
(K + e )
J2 = 2 2
L2 , M 1 = 
−( p −1)
p2 + k
 e
1

M





1
m2
2
 −1
−e ,

1
m1 ( p1 −1) − q1
J1 =
(7)
m1 ( p1 − 1) − 1
L1 ,
p1 + n

(K + e )
, M 2 = 
−( p2 −1)
 e

q2
−1 m
1





1
m2 ( p2 −1)− q2
,
L1  0, L2  0 .
Покажем, что построенные функции (7) будет верхними решениями
задачи (1)-(3). Для этого по принципу сравнения решений [1, 4] они
должны удовлетворять следующей системе неравенств
p1 − 2

u   u m1
u m1 
 1 ( x )  
 , x  0, 0  T  0,



t

x

x

x




p2 − 2

    m2
 m2 
 , x  0, 0  T  0,
 
 2 ( x )
 x


t

x

x



628
(8)
 u m1 p1 −2 u m1
−
  q1 ( 0, t ) , 0  T  0,
x
 x
x =0
(9)

p −2
  m2 2  m2
 u q2 ( 0, t ) , 0  T  0.
−
x
 x
x =0
После следующих вычислений
1
1
M 1  ( L1 +nJ1 )t
( L1 + nJ1 )t n
−1 m −1 
−1
−1 m
1
1 ( x ) ut = e
1 ( K + e )  K + e +
J1   e
(K + e ) 1 ,
m


1
(u )
p1 −2
m1
 u m1
 ( )x

x
(u ) ( 0, t ) = M
m1
x
(u )
m1 ( p1 −1) L1 ( m1 − J1 )( p1 −1)t
1
e
e
−( p1 −1)e − J1t
 M1 1(
m p1 −1) L1 ( m1 − J1 )( p1 −1)t
e
 = M m1( p1 −1) p − 1 e( L1( m1 − J1 )( p1 −1)− J1 )t e−( p1 −1)1 ,
( 1 )

1

1
M 2  ( L2 +kJ 2 )t
( L2 + kJ 2 )t k
− 2 m −1 
− 2
2
2 ( x )t = e
2 K + e
K
+
e
+
J2   e
K + e −1

m2 

p1 −2
p2 −2
m2
x
  m2
)x
(

−( p1 −1)
m1
x
(
( )
e
( ) ( 0, t ) = M
m2
x
)
(
m2 ( p2 −1) L2 ( m2 − J 2 )( p2 −1)t
2
e
e
−( p2 −1)e− J 2t
 M 2 2(
m
)
1
m2
p2 −1) L2 ( m2 − J 2 )( p2 −1)t
e
e
−( p2 −1)
( )
 = M m2 ( p2 −1) p − 1 e( L2 ( m2 − J 2 )( p2 −1)− J 2 )t e−( p2 −1)2 ,
( 2 )

2
x
( p − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
легко убедится, что при q1q2  1
и
( p1 + n )( p2 + k )
p2 −2
m2
по определению M i , J i , Li (i = 1,2) , K системы неравенств (8) и (9) будет
всегда будут выполнены.
Теорема 2. Пусть q1q2 
( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
,
( p1 + n )( p2 + k )
min ( n + 1) 1 − 1 , ( k + 1)  2 −  2   0 и начальные данные достаточно малы,
тогда всякое решение задачи (1)-(3) является глобальным.
Доказательство. Глобальную разрешимость задачи (1)-(3) будем
доказывать с помощью построения ограниченных верхних решений. Их
ищем в следующем автомодельном виде:
−1
− 1

u+ ( x, t ) = (T + t )  ( ) ,  = (1 + x )(T + t ) ,
(10)

− 2
− 2

+ ( x, t ) = (T + t )  ( ) ,  = (1 + x )(T + t ) ,
где T  0 , а функции ( ( ) , ( ) ) решение следующие задачи
629
,
,
 d  d m1 p1 −2 d m1 
d
 
 + 1 n+1
+ 1 n = 0,
d 
d
 d  d


p −2
 d  d m2 2 d m2 
d
 +  2 k +1
+  2 k = 0,
 
d 
d
 d  d

 d m1 p1 −2 d m1
−
(1) =  q1 (1) ,
d
 d

p2 − 2
 d m2
d m2
(1) =  q2 (1) ,
− d
d

(11)
(12)
которое получается после подстановки (10) в (1)-(3) и некоторых
упрощений. Определим условия, при которых (10) является
ограниченным верхним решением задачи (1)-(3). В качестве
сравниваемых функций выберем следующие
где
ai  0 (i = 1,2) ,
p1 −1

p1 + n m ( p −1)−1

 1 1

p1 −1


=
a
−
b

,
(
)



 1 1



(13)

p2 −1
p2 + k m ( p −1)−1


 2 2
 ( ) =  a2 − b2 p2 −1 
,






1
1
m1 ( p1 − 1) − 1 p1 −1
m2 ( p2 − 1) − 1 p2 −1
b1 =
1  0 , b2 =
2  0 .
m1 ( p1 + n )
m2 ( p2 + k )
Тогда, для использования теоремы сравнения, необходимо выполнение
 d  d m1 p1 −2 d m1 
d
 
 + 1 n+1
+ 1 n  0,
d 
d
 d  d


p2 − 2
 d  d m2
d m2 
d
 +  2 k +1
+  2 k  0,
 
d d
d 
d

 

−



−

d m1
d
p1 − 2
d m1
(1)   q1 (1) ,
d
d m2
d
p2 − 2
d m2
(1)   q2 (1) ,
d
которое эквивалентно выполнению следующих неравенств
630
− ( ( n + 1) 1 − 1 )  n ( )  0,

k
− ( ( k + 1)  2 −  2 )  ( )  0,
q1 ( p2 −1)
p1 −1

m
p
−
1
−
1
m
(
)
 ( a2 + b2 ) 2 ( p2 −1)−1 ,
 1 ( a1 + b1 ) 1 1

q2 ( p1 −1)
p −1
  ( a + b ) m2 ( p22 −1)−1  ( a + b ) m1( p1 −1)−1 .
1
1
 2 2 2
Отсюда видно, что для справедливости первых систем неравенств
достаточно выполнений
min ( n + 1) 1 − 1 , ( k + 1)  2 −  2   0 ,
q1q2 
( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
.
( p1 + n )( p2 + k )
Из второй системы получим следующие ограничения на ai (i = 1,2)
q1 ( p2 −1)
p1 −1

−
m
p
−
1
−
1
m
 1  ( a1 + b1 ) 1( 1 ) ( a2 + b2 ) 2 ( p2 −1)−1 ,

q2 ( p1 −1)
p −1
   ( a + b ) m1( p1 −1)−1 ( a + b )− m2 ( p22 −1)−1 .
1
1
2
2
 2
Выбирая величины ai  0 (i = 1,2) всегда можем добиться выполнения
последних систем неравенств. В силу принципа сравнения решений,
построенные верхние автомодельные решения в (10), (13) дают оценку
для начальных данных:
p1 −1

p1 + n m ( p −1)−1
p
+
n
1
− 1

 1
1

−1
p1 −1
p
−
1
,

u0 ( x )  T  a1 − b1 (1 + x ) 1 T

+


p2 −1
p2 + k m ( p −1)−1

p2 + k
− 2

 2 2
0 ( x )  T − 2  a2 − b2 (1 + x ) p2 −1 T p2 −1 
.




+

Таким образом, решение задачи (1)-(3) глобально ограничено
−1

u ( x, t )  (T + t )  (1) → 0, t → ,

− 2

x
,
t

T
+
t
 (1) → 0, t → .
(
)
(
)


Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть q1q2 
( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
,
( p1 + n )( p2 + k )
тогда всякое решение задачи (1)-(3) является неограниченным при
достаточно больших начальных данных.
631
Теорема 4. Пусть q1q2 
( p1 − 1)( p2 − 1) ( m1 ( n + 1) + 1) ( m2 ( k + 1) + 1)
,
( p1 + n )( p2 + k )
max ( n + 1) 1 − 1 , ( k + 1)  2 −  2   0 , тогда всякое нетривиальное решение
задачи (1)-(3) является неограниченным.
Теоремы 3, 4 доказывается аналогично доказательству теоремы 1, 2.
Теорема
5.
Пусть


p1 − 1
p2 − 1


min 
,
  0,
m
p
−
1
−
1
m
p
−
1
−
1
(
)
(
)
 1 1

2
2


тогда
решение с компактным носителем системы уравнений (11) при имеет
асимптотику

 ( )  ( ) ,


 ( )  ( ) ,
где  ( ) ,  ( ) -выше определенные функции.
Доказательство. Ищем решение уравнений (20) в следующем виде

 ( ) =  ( ) w1 (  ) ,


 ( )  ( ) w2 ( ) ,
(14)
где
p1 + n



  = − ln  a1 − b1 p1 −1  ,






p2 + k



p2 −1

=
−
ln
a
−
b


 ,

 2 2



w1 (  ) , w2 ( ) -неотрицательные и ограниченные функций,  → и
p1 −1
p2 −1
 → при  → ( a1 b1 )−p +n ,  → ( a2 b2 )−p +k . После подстановки (14) в (11)
произведем следующее
1
2
 d
  (  ) ( n + 1) ( p1 − 1)

p1 − 1
Lw1 +  1
−

 Lw1 +


b
p
+
n
d

m
p
−
1
−
1
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
1




 ( p − 1) w  (  )
w1
w 
( p1 − 1) 1 
+
− 1  − p 1 1 p1 1p −1 1
= 0,
p1 −1 
 ( b m ( p + n ) )  m1 ( p1 − 1) − 1 p1 − 1  b1 1 ( p1 + n ) m1 1 2 (  )
 1 1 1
(15)

  ( ) ( k + 1) ( p2 − 1)

p2 − 1
 d
Lw
+ 1
−
 Lw2 +
2
 d


b
p
+
k
m
p
−
1
−
1
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
 2



 2 ( p2 − 1) w2 1 ( )
w2
w2 
( p2 − 1)  2 
−
−
= 0,
+


p2 −1
p2
p
p −1
 ( b2 m2 ( p2 + k ) )  m2 ( p2 − 1) − 1 p2 − 1  b2 2 ( p2 + k ) m2 2 2 ( )
где
632
Lwi = wi i (
m pi −1)−1
wi
1
−
wi
mi ( pi − 1) − 1 pi − 1
1 (  ) = e−  , 2 (  ) = ( a1 − e−  ) b1 ,
pi − 2


wi
1
−
wi  , i = 1,2

 mi ( pi − 1) − 1 pi − 1 
1 ( ) = e− , 2 ( ) = ( a2 − e− ) b2 .
Изучение решений последней системы уравнений является
равносильным изучению решений систем уравнений (11) обладающих
свойствами

 ( )  0,   ( )  0,


 ( )  0,   ( )  0,
каждое из которых в некотором промежутке   0 , +  ) ,  0 ,+ )
удовлетворяет неравенствам:
w1
1
w1 (  )  0,
−
w1  0 ,
m1 ( p1 − 1) − 1 p1 − 1
w2
1
w2 ( )  0,
−
w2  0 .
m2 ( p2 − 1) − 1 p2 − 1
Покажем, что решение ( w1 (  ) , w2 ( ) ) систем уравнений (15) имеют
конечные пределы при  , → + . Пусть

h1 (  ) = Lw1 ,


h2 ( ) = Lw2 .
(16)
Тогда для (15) имеем

 1 (  ) ( n + 1) ( p1 − 1)

p1 − 1

h
=
−
−
 1

 h1 −


b
p
+
n
m
p
−
1
−
1
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
 2



 ( p − 1) w
 ( )
w1
w 
( p1 − 1) 1 
−
− 1  + p 1 1 p1 1p −1 1
= 0,
p1 −1 
 ( b m ( p + n ) )  m1 ( p1 − 1) − 1 p1 − 1  b1 1 ( p1 + n ) m1 1 2 (  )
 1 1 1

 1 ( ) ( k + 1) ( p2 − 1)

p2 − 1
 
h
=
−
−

 h2 −
2

2 ( ) b2 ( p2 + k )
m2 ( p2 − 1) − 1 



 2 ( p2 − 1) w2 1 ( )
w2
w2 
( p2 − 1)  2 
−
= 0.
−
 + p2
p2 −1 
p2
p2 −1


m
p
−
1
−
1
p
−
1
(
)
(
)
b
p
+
k
m
(
)
b
m
p
+
k

(
)
2
2
)  2 2
 2
2
2
 ( 2 2 2
(17)
Для анализа решений последней системы уравнений рассмотрим
следующей вспомготельные функции
633

 1 (  ) ( n + 1) ( p1 − 1)

p1 − 1
−
G1 ( 1 ,  ) = − 
 1 −


b
p
+
n
m
p
−
1
−
1
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
 2



1 ( p1 − 1) w1 1 (  )
w1
w1 
( p1 − 1) 1 
−
−
+
= 0,


 ( b m ( p + n ) ) p1 −1  m1 ( p1 − 1) − 1 p1 − 1  b1p1 ( p1 + n ) p1 m1p1 −1 2 (  )
 1 1 1
(18)



1 ( ) ( k + 1) ( p2 − 1)
p2 − 1

G2 ( 2 , ) = −   ( ) b ( p + k ) − m ( p − 1) − 1  2 −
2
2
2
2
 2



 ( p − 1) w
 ( )
w2
w 
( p2 − 1)  2 
− 2  + p 2 2 p2 2p −1 1
= 0.
−
p2 −1 
2
2


m
p
−
1
−
1
p
−
1
(
)
(
)
b
p
+
k
m
) 2 2
 ( b2 m2 ( p2 + k ) )  2 2
2
 2 ( 2
где 1 ,  2 -действительные числа. Видно, что соответствующие правой
части последнего тождества функции G1 ( 1 ,  ) , G2 (  2 , ) сохраняют
знак, т.е. удовлетворяют одному из неравенств
G1 ( 1 ,  )  0, G2 ( 2 , )  0,
(19)
G1 ( 1 ,  )  0, G2 ( 2 , )  0,
на некотором промежутке
   , + )    , + ) ,      0 , + ) ,     0 , + ) .
1
2
1
2
Допустим, что для функций G1 ( 1 ,  ) , G2 (  2 , ) пределы при  , → +
не существуют. Тогда в силу колебаемости функций G1 ( 1 ,  ) , G2 (  2 , )
прямую Gi = i (i = 1,2) ее график бесконечное число раз пересекает на
интервале    , + )    , + ) . Но на интервале    , + )    , + )
1
2
1
2
выполняется одно из неравенств (19) и поэтому бесконечное число раз
пересекать невозможно. Следовательно, график функции G1 ( 1 ,  ) ,
G2 (  2 , ) пересекает прямую Gi = i (i = 1,2) только один раз на интервале
   , + )    , + ) . Тогда, для функции G1 ( 1 ,  ) , G2 (  2 , ) существует
1
2
предел при  , → + . Следуя (16) для G1 ( 1 ,  ) , G2 (  2 , ) имеем
Gi = w
wi
1
−
wi
mi ( pi − 1) − 1 pi − 1
= (w
wi0
mi ( pi − 1) − 1
mi ( pi −1) −1
i
)
0 mi ( pi −1) −1
i
pi − 2
pi − 2


wi
1
−
wi  =

 mi ( pi − 1) − 1 pi − 1 
wi0
+ o (1) , i = 1, 2.
mi ( pi − 1) − 1
Поэтому необходимо, что
634

 1 (  ) ( n + 1) ( p1 − 1)

p1 − 1
−
 lim

 1 +
m1 ( p1 − 1) − 1 
 →  2 (  ) b1 ( p1 + n )


1 ( p1 − 1) w1 1 (  ) 
w1
w1 
( p1 − 1) 1 
+
−
−
 = 0,
 p1
p1 −1 
p1

p1 −1


m
p
−
1
−
1
p
−
1
(
)
(
)
b
p
+
n
m
) 1 2 
1
 1 ( 1
 ( b1m1 ( p1 + n ) )  1 1

 1 ( ) ( k + 1) ( p2 − 1)

p2 − 1

lim
−

 2 +
 →  ( ) b ( p + k )
m
p
−
1
−
1
(
)

2
2
2
2
2




 2 ( p2 − 1) w2 1 ( ) 
w2
w2 
( p2 − 1)  2 
+
−
−
= 0.
 ( b m ( p + k ) ) p2 −1  m2 ( p2 − 1) − 1 p2 − 1  b p2 ( p + k ) p2 m p2 −1 2 ( ) 

 2
2
2

 2 2 2
Отсюда, с учетом следующего предельного перехода
1 (  )
b1e− 
lim
= lim
=0,
 →  (  )  → a − e − 
2
1
1 ( )
b2e−
lim
= lim
=0,
 →  ( )  → a − e −
2
2
0
легко убедиться в том, что wi 1 при  , → + . Теорема доказана.
635
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Арипов М.М. Метод эталонных уравнений (ВКБ-метод) для
нелинейных уравнений второго порядка // Изв. АН УзР серия физ.-мат.
наук. №4, 1970 г. 3-7 стр.
2.
Арипов М.М. О решении обыкновенного уравнения второго
порядка // ДАН, УзР №7. 1970 г. 91-94 стр.
3.
Арипов М. М. О ВКБ-решениях одного класса нелинейных
дифференциальных уравнений. ДАН, УзССР, №3, 1973 г.
4.
Арипов М. М. О некоторых свойствах решения нелинейного
дифференциального уравнения второго порядка. ДАН УзССР, №3. 1979
г.
5.
Арипов М.М. К асимптотике решений одного уравнения
эллиптического типа. Труды ТашГУ. Серия ПММ №670, 1981 г.
6.
Арипов М.М., Каюмов Т. Асимптотическое поведение
нелинейного уравнения y'"-g(x)yn=0. ДАН УзССР, 1982 г., №6, Стр. 1113.
7.
Арипов М.М., Хайдаров А. К асимптотике решений
нелинейного и нестационарного уравнения теплопроводности. Труды
ТашГУ. Серия ПММ, 1982 г., № 683. Стр. 14-17.
8.
Арипов М.М., Хайдаров А.Т. К распространению тепла в
нелинейной неоднородной среде. Труды ТашГУ, серия ПММ, 1983.
9.
Арипов М.М., Хожиев Т. К. К численному решению одной
нелинейной задачи электростатики. Труды ТашГУ, Серия ПММ, Изд.
ТашГУ, 1985.
10.
Арипов М.М., Хайдаров А. О характере распространения
возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с источником и
поглощением. Вопросы вычислительной и прикладной математики, изв.
АН УЗССР, вып.78, 1985. Стр. 59-65.
11.
Арипов М.М., Хайдаров А. Об одной задаче Коши для
уравнения нелинейной теплопроводности и неоднородной среде. ДAH
УзССР, №2. 1986.
12.
Арипов
М.M.,
Эшматов
Д.
Конечная
скорость
распространения возмущений в задачах влагопереноса. ДАН УзССР,
№8. 1986. (Finite velocity of propagation in the problem of non-stationary
filtration in case of incomplete saturation. Dokl. Akad. Nauk UzSSR 1986,
No. 8, 15-17).
13.
Арипов М., Эшматов Д. О ВКБ-решениях обобщенного
уравнения Эмдена-Фаулера. ДАН УзССР, №2, 1988
14.
Арипов М.М., Эшматов Д. К асимптотике решения уравнения
типа Эмдена-Фаулера. ДАН СССР, 1989. Т.38 №3.
636
15.
Арипов М.М. Методы решения нелинейных краевых задач.
«Фан», Ташкент, 1989, 189 с.
16.
Арипов М.M., Садыков М., Мухитдинова Р.Н. Исследование
обобщенной
разрешимости
нелинейных
вырождающихся
парaболических уравнений со специальными краевыми условиями.
Известия академия наук УзССР, 1993, №4.
17.
Арипов М.М., Эшматов Д. Асимптотические поведение
одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго
порядка. ДАН РАН, 1995 г, т. 344, №3.
18.
Арипов М.М., Эшматов Д. Асимптотическое поведение
решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка. (Asymptotic behavior of solutions of a class of nonlinear
second-order differential equations.) Доклады Академии Наук, 1995, том
344, № 3, с. 295-297., Dokl. Math. 52, No. 2, 197-199 (1995); translation from
Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk 344, No. 3, 295-297).
19.
Арипов М.М., Эшматов Д. Асимтотические поведение
автомодельных решений некоторых уравнений опысивающих
теплофизические и газодинамические процессы. Математическое
моделирование, 1995, №5, т.6.
20.
Арипов М.М., Эшматов Д. Асимтотическое поведение одного
класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Дифференциальные уравнения, 1996 г, №6, т. 32. стр. 3-11.
21.
Арипов М.М., Шоисламов Д. Об автомодельных решениях
уравнений нестанционарной фильтрации в двухкомпонентных
нелинейных средах. Суюқликлар кўп фазали аралашмалар ва туташ
муҳитларда тўлқинларни тарқалишининг долзарб муаммолари.
Ташкент, стр.208-211., 1999 й.
22.
Арипов М.М., Мухаммадиев А. Asymptotic behaviour of
automodel solutions for one system of quasilinear equations of parabolic type.
Buletin Stiintific-Universitatea din Pitesti, Seria Matematica si Informatica. N
3. 1999. p. 19-40.
23.
Арипов М.М., Матякубов А.С. Method of nonlinear splitting for
the hyperbolic equation and system. Вычислительные технологии, 2002, 7,
23-28.
24.
Арипов М.М., Садуллаева Ш. To properties of the solutions of
one parabolic equation of not divergent type Vich. Tehnol. 2003, vol.4, p 7278.
25.
Арипов М.М., Садуллаева Ш.А. Certain properties of the
solutions of one parabolic equation of not divergent type Proceedings of
CAIM 2003, (Pitestе, Romania), vol. 2.
637
26.
Арипов М.М., Хайдаров А.Т., Кабилжанова Ф.А. Численное
моделирование нелинейных диффузионных процессов с поглощением.
Вычислительная Технология. Часть 4 (2003), стр. 79-83.
27.
Арипов М.М., Садуллаева Ш.А. К поведению свободной
границы для уравнения нелинейной фильтрации. Ташкент г. Вестник
ВУЗов, серия мат. №1. 2004.
28.
Арипов М.М., Сеттиев Ш.Р. О течении вязкой несжимаемой
жидкости по наклонной плоскости над песчаным дном. МатериалыnVI
Казахстанско-Российской
международной
научно-практической
конференции, Астана, Казахстан, 2007, стр. 33- 38.
29.
Арипов М.М, Хайдаров А.Т., Садуллаева Ш.А.To numerical
modeling of some nonlinear processes in moving media. Ilm sarchashmalari.
2007. №1. p.20-26.
30.
Арипов М., Abdugappar Kh. Numerical modeling of a system of
mutual reaction-diffusion type Begehr, H. G. W. (ed.) et al., Further progress
in analysis. Proceedings of the 6th international ISAAC congress, Ankara,
Turkey, August 13--18, 2007. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978981-283-732-5/hbk). 790-793 (2009).
31.
Арипов М., Юсупалиева Б. О свойствах решений обобщенной
задачи реакции с диффузией типа Колмогорова-Фишера в гетерогенной
среде. «Узбекский журнал проблемы информатики и энергетики» 2008,
№2, с 3-10.
32.
Арипов М.М., Сахобидинова О. И. Двусторонняя оценка
решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с нелинейным
поглощением. Вестник НУУз, 2009, №1, с. 10-13.
33.
Арипов М., Сеттиев Ш. К численному моделированию
процессов, описываемых одной системой типа Навье-Стокса. Вестник
НУУз, 2009, №1, с. 13-17.
34.
Арипов М., Ахмед-Заки Д.Ж. Об одной задаче
неизотермической фильтрации. ДАН РУз, 2010 №3, с 9-11.
35.
Арипов М., Хожимуродова М. О локализации температурных
возмущений в средах с объемным поглощением и источником тепла.
Тошкент, УзМУ, Вестник НУУз, 2010, №3 стр 25-28.
36.
Арипов М. Асимптотическое поведение решение уравнения
типа Клейна-Гордона описывающей газодинамических процессов.
Вестник НУУз, 2012 год. 8-12 с.
37.
Арипов М., Садуллаева Ш. О глобальной разрешимости
задачи коши для уравнение реакции диффузии с двойной
нелинейностью. ДАН РУз, 2012, №4 с. 9-11 бет.
638
38.
Арипов М. К методике сравнительного обучения объектноориентированным языкам программирования. Вычислительных
технологии, Россия, 2012 йил 8-12 cтр.
39.
Арипов М., Мухамедиева Д. Подходы к решению одной
задачи биологической популяции Узбекский журнал проблемы
информатики и энергетики. Вып.6. -Ташкент. 2012.-С. 31-37.
40.
Арипов М., Рахмонов З. Об асимптотике автомодельных
решений задачи одной нелинейной теплопроводности с переменной
плотностью. Доклады Академии наук Республики Узбекистан, №4, 2013,
3-6 стр.
41.
Арипов М., Мухамедиева Д. Численное моделирование
популяционной динамики с нелокальным взаимодействием в двумерном
случае Технические науки - от теории к практике. -НП "СибАК"
(Новосибирск). 2013. №25. С. 21-26.
42.
Арипов М.М. К асимптотике автомодельных решений одной
нелинейной задачи политропической фильтрации с нелинейным
граничным условием. Журн. Вычислительные технологии, т. 18, №4.
2013. Часть 1. 50-55.
43.
Арипов М.М., Рахмонов З. Асимптотике автомодельных
решений одной нелинейной задачи политропической фильтрации с
нелинейным граничным условием Вестник Восточно-Казахстанского
государственного технического университета им. Д.Серикбаева,
Вычислительные технологии Институт вычислительных технологий
Сибирского отделения РАН, Вычислительных технологии Часть 1, 50-56
стр.
44.
Арипов М.М., Рахмонов З. К асимптотике решений одной
нелинейной задачи теплопроводности с градиентной нелинейностью.
Узбекский математический журнал, 2013, №3, 19-28 стр.
45.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. Численные эксперименты и
методы решения одной задачи биологической популяции.
Международный научно-технический журнал Химическая технология.
Контроль и управление. №1. -Ташкент. 2013. С.59-67.
46.
Арипов М.М. Популяционные модели типа КолмогороваФишера с нелинейной кросс-диффузией Международный научнотехнический журнал Химическая технология. Контроль и управление. –
Ташкент, 2014, №2. 46-52 стр.
47.
Арипов М.М., Рахмонов З.Р. К асимптотике автомодельных
решений одной нелинейной задачи политропической фильтрации с
двойной нелинейностью. Доклады Академии Наук Республики
Узбекистан. №2. 2014. 12-14.
639
48.
Арипов М.М., Рахмонов З.Р. Об одной нелинейной задачи
неньютоновской фильтрации в неоднородной среде с нелокальным
граничным условием. Вестник КазНУ. 2014, Vol 3 №82, 45-56.
49.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. Подходы к численному
моделированию задачи реакции с диффузией типа Колмогорова –
Фишера в двумерном случае Узбекский журнал проблемы информатики
и энергетики. – Ташкент. 2014. № 1-2. 21-26 стр.
50.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. К Кросс-диффузионные
модели с двойной нелинейностью в гетерогенной среде Международный
научно-технический журнал. Химическая технология. Контроль и
управление. – Ташкент, 2014. № 4. Стр.76-84.
51.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. К Популяционные модели
типа Колмогорова- Фишера с двойной нелинейностью для двумерного
случая. Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент.
2014. Вып.131. -С. 27-37.
52.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. К решению уравнений в
задаче биологической популяции типа Колмогорова-Фишера с
конвективным переносом. Вопросы вычислительной и прикладной
математики. Ташкент. 2014. Вып.130. Стр. 131-151.
53.
Арипов М.М., Ахмедова Н. Исследование свойств решений
задачи теплопроводности с градиентной нелинейностью с поглощением
или источником. Ташкент, Ахборот Технологиялар университети
ахборотномаси, 2015, №2, 7-12.
54.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. К. К решению обобщённого
уравнения в задаче биологической популяции конвективного переноса
Международный научно-технический журнал. Химическая технология.
Контроль и управление. – Ташкент, 2014. № 3. Стр.71-76.
55.
Арипов М.М. О повеление решений одной задачи нелинейной
фильтрации с переменной плотностью и с нелокальным граничным
условием. Узб. Матем. Журнал, №1, 2015, 75-85.
56.
Арипов М.М., Садуллаева Ш.А., Сахобидинова О.И. К
свойствам инвариантно групповых решений задач Коши для
вырождающихся параболических уравнений с двойной нелинейностью
и источником. «Теория и численные методы решения обратных и
некорректных задач», Сибирские электронные математические известия,
ISSN 1813-3304, Том 12, стр. 21-25. 2015.
57.
Арипов М.М., Матякубов А. С. Асимптотическое поведение
автомодельных решений нелинейных параболических систем
недивергентного вида «Вычислительные технологии», Вестник, серия
математика, механика, информатика, Алматы-Новосибирск, Том 20,
Часть 2, №1(84) 2015, 188-189 стр.
640
58.
Арипов М.М., Матякубов А. С. К асимптотическому
поведению решений нелинейных параболических систем уравнений
недивергентного вида «Вычислительные технологии», Вестник, серия
математика, механика, информатика, Алматы-Новосибирск, Том 20,
Часть 2, №3 (86) 2015, 275-282 стр.
59.
Арипов М.М., Садуллаева Ш. Исследованию свойств
нелинейной системы диффузионного уравнения с неоднородной
плотностью и источником // Доклады Академии наук Республики
Узбекистан, 2015, № 6, С. 8-11.
60.
Арипов М.М., Рахмонов З.Р. Об асимптотики решений задачи
теплопроводности с источником и нелинейным граничным условием
«Вычислительные технологии», Вестник, серия математика, механика,
информатика, Алматы-Новосибирск, Том 20, Часть 2, №3 (86) 2015, 224231 (216-223) стр.
61.
Арипов М.М., Рахмонов З.Р. К асимптотике решений одной
нелинейной задачи теплопроводности с градиентной нелинейностью //
Ўзб. Мат. Журн. 2013. №3. 19-27.
62.
Арипов М.М., Рахмонов З.Р. К асимптотической поведение
решений одной нелинейной задачи теплопроводности в неоднородной
среде с источником и нелокальным условием // Вестник НУУз, №1,
2015, 74-78.
63.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. Волны в диффузионных
системах одной задачи биологической популяции типа КолмогороваФишера с двойной нелинейной кросс-диффузией // Узбекский журнал
проблемы информатики и энергетики, -Ташкент, №3-4, 2015, с. 44-51.
64.
Арипов М.М., Мухамедиева Д. Популяционные модели
конвективного переноса типа Колмогорова-Фишера с двойной
нелинейной кросс диффузией // Проблемы вычислительной и
прикладной математики, - Ташкент, №1, 2015, с. 5-9.
65.
Арипов М. Некоторые методы исследования нелинейных
задач. Узбекский Математический журнал. 1999, №6. стр. 91-93.
66.
Арипов М.М., Садуллаева Ш.А К свойствам решений
системы реакции диффузии с двойной нелинейностью, переменной
плотностью и источником. ДАН РУз, 2016 г.
67.
Арипов М.М., Садуллаева Ш.А. Эффекты конечной скорости
распространения возмущения для системы кросс диффузии. Доклады
академии наук Республики Узбекистан, №4. 2016, cтр 201-204.
68.
Арипов М.М., Матякубов А.С. К асимптотическому
поведению решений нелинейных параболических систем с двойной
нелинейностью недивергентного вида. Вестник НУУз, № 2/1, 2016, С.
120-128.
641
69.
Арипов М.М., Матякубов А.С. Об одном точном решение
кросс-диффузионной системы недивергентного вида с неоднородной
плотностью. Самарканд Давлат университети, Илмий ахборотномаси, №
3 (97). 2016, cтр. 57-61.
70.
Арипов М.М., Матякубов А.С. Точное решение об одной
модели кросс-диффузионных систем недивергентного вида с
неоднородной плотностью СамДУ Илмий ахборотномаси, 2016, № 3(97),
С. 57-61.
71.
Арипов М.М., Матякубов А.С. Эффект конечной скорости
распространения возмущения для модели кросс-диффузионных систем
недивергентного вида ЎзМУ хабарлари, № 2/2, 2016, С. 94-101.
72.
Арипов М.М., Матякубов А.С.Асимптотическое поведение
решений кросс-диффузионной системы не дивергентного вида с
источником СамДУ Илмий ахборотномаси, 2016, № 5, с. 32-38. (01.00.00;
№2).
73.
Арипов М.М., Утебаев Д., Утебаев Б.Д. Схемы повышенной
точности для нестационарных задач конвекции – диффузии. Проблемы
вычислительной и прикладной математики. №2(20) 2019. 5-12 стр.
74.
Арипов М.М., Имомназаров Х., Караваев Д., Коробов
П.Обобщенное решение одной переопределенной стационарной
системы двух-жидкостной среды. Проблемы вычислительной и
прикладной математики. №2 (20). 2019. 20-25 cтр.
75.
Арипов
М.М.,
Джаббаров
О.Р.
Пространственная
локализация решении уравнения параболического типа с двойной
нелинейностью и демпфированием. Проблемы вычислительной и
прикладной математики 2020 №4 с. 48-59
76.
Арипов М.M., Хожимуродова M. Б., Садуллаева Ш.A. “К
свойствам решений задачи Коши для вырождающиеся нелинейной
кросс–системы с поглощениям” Журнал Проблемы вычислительной и
прикладной математики, № 4(22) -2019, Стр.61-71. (OAK)
77.
Белотелов Н. В., Лобанов А. И. Популяционные модели с
нелинейной диффузии. Математическое моделирование 1997, т.9, №12,
43-55
78.
Бурбаки Н. Функции действительного переменного.
М.:Наука, 1965.
79.
Галактионов В.А, Курдюмов С.П., Михайлов А.П, Самарский
А.А О неограниченных решениях задачи Коши для параболического


уравнения ut = (u u) + u // ДАН СССР. – 1980. – Т.252. – №6. – С.13621364.
642
80.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория
структур, устойчивости, флуктуаций, М.: Мир, 1973.
81.
Граник И. С., Мартинсон Л. К. Некоторые нестационарные
задачи магнитной реологии. Магн. гидродинамика, 1973, № 2, 138-140.
82.
Граник И. С., Мартинсон Л. К. Плоское нестационарное
движение
проводящей
неныотоновской
жидкости.
Магн.
гидродинамика, 1974, № 4, 141-143
83.
Зельдович Я.Б., Компанеец А. С. К теории распространения
тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. В «Сб.,
посвященном семидесятилетию акад. А. Ф. Иоффе». М.. Изд-но АН
СССР, 1950, 61-71.
84.
Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский
А.А. Локализация термоядерного горения в плазме с электронной
теплопроводностью. Письма в ЖЭТФ, том 26, вып. 9, стр.620-624.
85.
Калашников А.С. О характере распространения возмущений
в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением. Ж. вычисл.
матем. и матем. физ., 1974, 14, № 4, 891-905.
86.
Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории
нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго
порядка // УМН. – 1987. – Т.42. – №2(254). – С.135-176.
87.
Кириченко Н.А. Локализованные нестационарные структуры
в задачах лазерной термохимии // Режимы с обострением. Эволюция
идеи. М.: Наука, 1998. С. 217-230.
88.
Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Законы эволюции и
самоорганизации сложных систем, М.: Наука, 1994.
89.
Князева Е.Н., Курдюмов СП. Основания синергетики. СПб.:
Алетейя, 2002.
90.
Курдюмов СП., Куркина Е.С. Спектр собственных функций
для нелинейного уравнения теплопроводности с источником // Ж.
вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1619-1637.
91.
Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.,
Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука,
1967.
92.
Мартинсон Л. К., Павлов Б. К вопросу о пространственной
локализации
тепловых
возмущений
в
теории
нелинейной
теплопроводности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, 12, № 4, 10481053.
93.
Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Задача Коши для
квазилинейного параболического уравнения с источником и
неоднородной плотностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2007. –
Т.47. – №2. – C.242-252.
643
94.
Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. О поведении решений задачи
Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной
плотностью и источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2008, Т.48.
– №7. – С.1-16.
95.
Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Регулярность решений
вырождающихся параболических уравнений с неоднородной
плотностью // UMB 2008. – Т.5. – №1. – C.116-145.
96.
Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме
окружающей среды. М.:Наука, 1982. –320с.
97.
Матякубов А.С. Точное решение об одной модели кроссдиффузионных систем недивергентного вида с неоднородной
плотностью // СамДУ Илмий ахборотномаси, 2016, № 3(97), С. 57-61.
98. Матякубов А.С. Асимптотическое поведение решений кроссдиффузионной системы не дивергентного вида с источником // СамДУ
Илмий ахборотномаси, № 1(101), 2017, С. 20-26.
99. Матякубов А.С. Об асимптотическом поведении решений
параболических систем уравнений недивергентного вида // ЎзМУ
хабарлари, № 2/1, 2017, С. 123-132.
100. Матякубов А.С. Разностная схема для нелинейной системы
недивергентного вида с кросс-диффузией // ЎзМУ хабарлари, № 2/1,
2017, С. 133-140.
101. Наац И.Э. Математическое моделирование явления переноса
загрязняющих веществ применительно к проблеме экологического
мониторинга окружающей среды. Ставрополь, Изд. СевКавГТУ, 2001. –
С.56-62.
102. Наац И.Э., Семенчин Е.А. Математическое моделирование
динамики пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга
окружающей среды. Ставрополь: Изд.СГУ, 1995. – 195с.
103. Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-линь. Задача
Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной
фильтрации. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, 22, № 5, 667-704.
104. Самарский А.А., Соболь И. М. Примеры численного расчета
температурных волн. Ж. вычисл. матом, и матем. физ., 1963, 3, № 4, 702719.
105. Тедеев А. Ф. Условия существования и несуществования в
целом по времени компактного носителя решений задачи Коши для
квазилинейных вырождающихся параболических уравнений. Сиб. мат.
журн. – 2004. – Т.45, №1. – С.189-200.
106. Хайдаров А., Арипов М., Матякубов А.С. Программа для
численного исследования процесса нелинейной теплопроводности в
644
недивергентном случае в двухкомпонентной среде. № DGU 060609,
08.02.2019.
107. Afanas'eva N. V. and Tedeev A. F., “Fujita-type theorems for
quasilinear parabolic equations in the case of slowly vanishing initial data,”
Matematicheskiĭ Sbornik, vol. 195, no. 4, pp. 459–478, 2004.
108. Agueh M., Blanchet A., Carrillo J. A. Large time asymptotics of
the doubly nonlinear equation in the non-displacement convexity regime, Jour.
Evol. Equ. 10 (2010), 59-84.
109. Aguirre J., Self-similarity and the singular Cauchy problem foe the
heat equation with cubic absorption. Appl. Math. Letters, 14, 2001, pp. 712.
110. Ahmed N., Sunada D. K., Nonlinear flows in porous media, J.
Hydraulics. Div. Proc. Soc. Civil Eng. 95, 1969, pp. 1847-1857.
111. Ames, W.F. (1965). Nonlinear partial differential equations in
engineering, Vol. I, Academic Press, New York.
112. Ames. W.F. (1972). Nonlinear partial differential equations in
engineering, Vol. II, Academic Press, New York.
113. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate
Neumann problem in domains with noncompact boundary // J. Math. Anal.
Appl. – 1999. – V.231. – P.543-567.
114. Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up
phenomena for parabolic problems in narrowing domains // Proc. Roy. Soc.
Edinburg Sect. A. – 1998. – V.128. – №6. – P.1163-1180.
115. Andreucci D., Tedeev A.F. Universal bounds at the blow-up time
for nonlinear parabolic equations // Advances Diff. Eqs. – 2005. – V.10. – №1.
– P.89-120.
116. Antontsev S.N. and Shmarev S., Blow-up of solutions to parabolic
equations with nonstandard growth conditions, J. Comput. Appl. Math., 234
(2010), 2633–2645.
117. Antontsev S.N. and Shmarev S., Blow-up solutions to parabolic
equations with nonstandard growth conditions, CMAF University of Lisbon,
Portugal, 02 (2009), 1–16.
118. Aripov M. Approximate Self-similuar Approach for solving
quasilinear parabolic equations Experimation, Modeling and Computation in
Flow Turbolence and Combustion (1997), vol.2. Chichester: Wiley. CMAS:
Computational Methods in Applied Sciences p. 19-26.
119. Aripov M. Asymptotics of the Solutions of the Non-Newton
Politropic Filtration equation. ZAMM 2000, vol 80, Suppl 3, p. 767-768.
120. Aripov M. M., Sabirov K.K., Yusupov J.R., “Transparent vertex
boundary conditions for quantum graphs: simplified approach”,
Наносистемы: физика, химия, математика, 10:5 (2019), 505–510.
645
121. Aripov M. The Fujita and Secondary Type Critical Exponents in
Nonlinear Parabolic Equations and Systems Differential Equations and
Dynamical Systems 2018, 9-24.
122. Aripov M., Èshmatov D.Sh. Asymptotic representations of
solutions to a certain class of nonlinear second-order differential equations.
Differ. Equations 32, No.6, 731-739 (1996); translation from Differ. Uravn.
123. Aripov M., Èshmatov D.Sh. On asymptotics of selfsimilar
solutions of some equations describing nonlinear heat conduction and gas
dynamics processes. Mat. Model. 7, No. 6, 95-110 (1995).
124. Aripov M., Ishakova N. Wave structures in nonlinear diffusion
medium with damping. Вестник ТУИТ, 2019, 3, 6-13
125. Aripov M., Khojimurodova M., Sadullaeva Sh. “To the properties
of solutions of the Cauchy problem for degenerate nonlinear cross systems
with absorption” Доклады академии наук Республики Узбекистан, (3)2019. Стр.7-11
126. Aripov M., Matyakubov A. Estimates and asymptotic of selfsimilar solutions for a nonlinear parabolic system not in divergence form with
variable density.
127. Aripov M., Matyakubov A.S. On global existence and asymptotic
behavior of solutions to cross-diffusion parabolic system not in divergence
form. 5th International Conference on Applied and Computational
Mathematics, Mallorca, Spain, August 19-21, 2016, pp.42-46.
128. Aripov M., Matyakubov A.S. Self-similar solutions of a crossdiffusion parabolic system with variable density: explicit estimates and
asymptotic behaviour // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 8 (1),
2017, P. 5–12.
129. Aripov M., Matyakubov A.S. To the Properties of the Solutions of
a Cross-diffusion Parabolic System not in Divergence Form // Universal
Journal of Computational Mathematics, 5(1), 2017, P. 1–7.
130. Aripov M., Matyakubov A.S. To the qualitative properties of
solution of system equations not in divergence form // International Journal of
Innovative Science, Engineering & Technology, Vol. 3, Issue 8, 2016, P. 533–
537.
131. Aripov M., Matyakubov A.S. To the qualitative properties of
solution of system equations not in divergence form of polytrophic filtration
in variable density // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 8 (3),
2017, P. 317-322.
132. Aripov M., Matyakubov A.S., Imomnazarov B. Kh. «The Cauchy
problem for a nonlinear degenerate parabolic system non-divergence form»
«Математические заметки СВФУ». Июль-сентябрь, 2020. Том 27, № 3
646
133. Aripov M., Muhamedieva D. Splitting algorithm in KolmogorovFisher type reaction-diffusion task. International Journal of Mathematic and
Computer Applications Research (IJMCAR). Vol.3, Issue 4. USA. 2013. 1-8
pp.
134. Aripov M., Muhamedieva D. To the numerical modeling of selfsimilar solutions of reaction-diffusion system of the one task of biological
population of kolmogorov-fisher type. International Journal of Engineering
and Technology. Vol-02, Iss-11, Nov-2013. India. 2013. 281-286 pp.
135. Aripov M., Muhamedieva D. Численное моделирование задач
биологической популяции, 100 c. Monograph. Издательство «Lambert
Academic Publishing». AV Akademikerverlag GmbH&Co.KG HeinrichBöcking-Str. 6-8, 66121 Saarbrucken, Germany. 2014.
136. Aripov M., Muhamediyeva D.K. Population model of two
competing populations with double nonlinear diffusion. International
scientific and technical journal “Chemical technology. Control and
management, № 3-4” and “Journal of Korea multimedia society” South Korea,
Seoul, 2015. С.87-92.
137. Aripov M., Mukhamedieva D. Population Model of KolmogorovFisher type with Nonlinear Cross-diffusion // Mathematics and Computers in
Science and Engineering Series, 2015, 40, 316-320.
138. Aripov M., Mukhamedieva D.Formalizing of self-similar
solutions of biological population task of Kolmogorov-Fisher type in peaking
regimes Proceedings of WCIS-2014, b- Quadrat Verlag. 2014. Р. 34-38.
139. Aripov M., Mukimov A., Mirzayev B. To Asymptotic of the
Solution of the Heat Conduction Problem with Double Nonlinearity with
Absorption at a Critical Parameter. Mathematics and Statistics 7(5): 205-217,
2019 http://www.hrpub.org DOI: 10.13189/ms.2019.070507 (Scopus).
140. Aripov M., Mukimov A., Sayfullayeva M. To asymptotic of the
solution of the heat conduction problem with double nonlinearity, variable
density, absorption at a critical parameter. International journal of innovative
technology and exploring engineering. 2019, Volume-9 Issue-1 pp.34073412.
141. Aripov M., Raimbekov J.R. The Critical Curves of a Doubly
Nonlinear Parabolic Equation in Non-divergence form with a Source and a
Nonlinear Boundary Flux. Journal of Siberian Federal University.
Mathematics & Physics 2019, 12(1), 1–13 рр.
142. Aripov M., Rakhmonov Z. Critical Exponents for the
Multidimensional Heat Conduction Equation with a Nonlinear Boundary
Condition and Variable Density. Mathematics and Computers in Science and
Engineering Series, 48, 2015, 121-125.
647
143. Aripov M., Rakhmonov Z. Numerical Modeling of Nonlinear
Heat Transfer Problems with a Variable // Density and Source Mathematics
and Computers in Science and Engineering Series, 40, 2015, 92-97. (Spain).
144. Aripov M., Rakhmonov Z. Numerical Simulation of a Nonlinear
Problem of a Fast Diffusive Filtration with a Variable Density and Nonlocal
Boundary Conditions Mathematical Methods, Mathematical Models and
Simulation in Science and Engineering, Series 23, 2014, p. 72-77.
145. Aripov M., Rakhmonov Z. On estimates and asymptotic solutions
of double nonlinear problems reaction - diffusion with sources and
inhomogeneous density. Mathematics and Computers in Science and
Engineering Series, 41, 2015, 126-130.
146. Aripov M., Rakhmonov Z. On the Critical Curves of a Degenerate
Parabolic Equation with Multiple nonlinearities and Variable Density. Recent
Advances in Mechanical Engineering Series 16, 2015, 160-164.
147. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. To investigation of solutions of
double nonlinear degenerate parabolic system with variable coefficients
Abstracts of the V Congress of Turkic World Mathematicians, Bishkek, June
5-7, 2014, p.163.
148. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. An asymptotic analysis of a selfsimilar solution for the double nonlinear reaction- diffusion system. J.
Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 6(6), №5, 2014, pp.793-802.
149. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. An asymptotic analysis of a selfsimilar solution for the double nonlinear reaction-diffusion system.
Nanosystems-Physics Chemistry Mathematics, vol. 6, №6, 2015, pp. 793-802.
150. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. Qualitative properties of solutions
of a doubly nonlinear reaction-diffusion system with a source. Journal of
Applied Mathematics and Physics, 3, 2015, pp. 1090-1099.
151. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. To solutions of the one nondivergent type parabolic equation with double nonlinearity E-Proceedings of
the 7th International ISAAC Congress “Progress in Analysis and its
Applications”, London, 2009, 592-596.
152. Aripov M., Sadullaeva Sh. A. To the numerical and asymptotical
inverstigation of the reaction-diffusion system. International Congress of
Mathematicians, august 13-21, Seol, Korea, 2014, p-369.
153. Aripov M., Sadullaeva Sh. To properties of solutions to reactiondiffusion equation with double nonlinearity with distributed parameters.
Journal of Siberian Federal University. Mathematics&Physics 2013, 6(2),
157-167.
154. Aripov M., Sadullaeva Sh. To solutions of the one non-divergent
type parabolic equation with double nonlinearity. Proceedings of the 7th
648
international ISAAC congress held at the Imperial College London, Advances
and Progress in analysis and its applications. 2010, p. 592-596.
155. Aripov M., Sadullaeva Sh., Hojimuradova M.To the properties of
solutions of the Cauchy problem for degenerate nonlinear cross systems with
absorption. Journal. Problem of Applied and computational problems, №4
(22). 2019. рр. 61-70.
156. Aripov M., Sadullaeva Sh., Khojimurodova M.To the properties
of solutions of the Cauchy problem for degenerate nonlinear cross systems
variable density and absorption. Доклады академии наук Республики
Узбекистан, 2019 (2), рр. 5-17.
157. Aripov M., Sadullaeva Sh.A. Qualitative properties of solutions of
a doubly nonlinear reaction-diffusion system with a source Journal of Applied
Mathematics and Physics (JAMP).
158. Aripov M., Sadullaeva Sh.A. То solutions of the reactiondiffusion system with double Nonlinearity. J. Pure and Applied Mathematics
2010.
159. Aripov M., Sayfullayeva M On the new nonlinear properties of the
nonlinear heat conductivity problem in nondivergence form Bulleten Nuu,
Volume 3, Issue 2 (2020), 1-9.
160. Aripov M., Sayfullayeva M. On the new nonlinear properties of
the nonlinear heat conductivity problem. International Journal of Innovative
Technology and Exploring Engineering. ISSN: 2278-3075, Volume-9 Issue1, November 2019.
161. Aripov M., Мuqimov A. Sayfullaeva M., Тo Asymptotic of the
Solution of the Heat Conduction Problem with Double Nonlinearity, Variable
Density, Absorption at Critical Parameter, International Journal of Innovative
Technology and Exploring Engineering Volume-9, 2019.
162. Aripov M.M. Alanezi Meshal. To the numerical modeling of
solution the Cauchy problem to degenerate nonlinear parabolic equation with
variable density and absorption Jour. Computational and Applied
Mathematics, 2020, Volume 2, Issue 1 p.52-61 (OAK).
163. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Cauchy problem for a nonlinear
degenerate parabolic system not in divergence form. International Conference
on Analysis and Applied Mathematics, Almaty, Kazakhstan, September 7-10,
2016, pp.53-54.
164. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Explicit estimates and asymptotic
behavior of self-similar solutions to cross-diffusion parabolic system not in
divergence form with variable density. Nanosystems: physics, chemistry,
mathematics, 2017, 8 (1), P. 43–50.
165. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Finite speed of a perturbation of
distribution and asymptotic behavior of a solutions of a cross-diffusion
649
parabolic system not in divergence form. 10th International Conference on
Applied Mathematics, Simulation, Modelling, April 15-17, 2016, Istanbul,
pp.67-73.
166. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Finite speed of a perturbation of
distribution and asymptotic behavior of a solutions of a cross-diffusion
parabolic system not in divergence form with a source and a variable density.
4th International Conference on Applied, Numerical and Computational
Mathematics, Ischia, Italy, June 17-19, 2016, pp.81-85.
167. Aripov M.M., Matyakubov A.S. On global existence and
asymptotic behavior of solutions to cross-diffusion parabolic system not in
divergence form 5th International Conference on Applied and Computational
Mathematics, Mallorca, Spain, August 19-21, 2016, pp.42-46.
168. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Self-similar solutions of a crossdiffusion parabolic system with variable density: explicit estimates and
asymptotic behavior. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 8 (1),
2017, P. 5–12.
169. Aripov M.M., Matyakubov A.S. To the Properties of the Solutions
of a Cross-diffusion Parabolic System not in Divergence. Universal Journal of
Computational Mathematics, 5(1), 2017, pp. 1–7. (USA).
170. Aripov M.M., Matyakubov A.S. To the qualitative properties of
solution of system equations not in divergence form of polytrophic filtration
in variable density. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 8 (3),
2017, P. 317-322.
171. Aripov M.M., MatyakubovA.S. To the qualitative properties of
solution of system equations not in divergence form. International Journal of
Innovative Science, Engineering & Technology, (Индия), Vol. 3 Issue 8,
2016, pp. 533–537.
172. Aripov M.M., Muhamediyeva D.K. On the properties of the
solutions of the problem of cross- diffusion with the dual nonlinearity and the
convective transfer // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conference Series
1441 (2020) 012131. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1441/1/012131
173. Aripov M.M., Muhamediyeva D.K.Population model with double
nonlinear diffusion. Proceedings of 11th International Conference on
Multimedia Information Technology and Applications. Ташкент. (2015).
С.426-431.
174. Aripov M.M., Mukimov A. An asymptotic analysis of solutions
for a double nonlinear degenerate parabolic equation with strongly nonlinear
source or absorption Тошкент, Вестник НУУз. 2017. №2/2, стр. 21-30.
175. Aripov M.M., Rakhmonov Z. Estimates and Asymptotic of Selfsimilar Solutions to a Nonlinear Filtration Problem with Variable Density and
650
Nonlocal Boundary Conditions Universal Journal of Computational
Mathematics, 4, 2016, 1-5. (USA).
176. Aripov M.M., Rakhmonov Z. On the asymptotics of solutions of
heat transfer problems with sources and nonlinear boundary conditions.
«Вычислительные технологии», Вестник, серия математика, механика,
информатика, Алмата-Новосибирск, Том 20, Часть 2, №1 (84) 2015, 110112 cтр.
177. Aripov M.M., Rakhmonov Z. On the behavior of the solution of a
nonlinear multidimensional polytropic filtration problem with a variable
coefficient and nonlocal boundary condition. Contemporary Analysis and
Applied Mathematics, Turkey, Vol. 4, № 1. 2016, рр.23-32.
178. Aripov M.M., Rakhmonov Z. On the properties of solutions of
multidimensional nonlinear filtration problem with variable density and
nonlocal boundary condition in the case of fast diffusion. Journal of Siberian
Federal University. Mathematics & Physics 2016, 9(2), 236–245.
179. Aripov M.M., Sabirov K. K., Sagdullayev D.B. Stationary
nonlinear Schrodinger equation on the graph for the triangle with outgoing
bonds. Nanosystems-Physics Chemistry Mathematics, vol. 8, Issue 1, 2017,
24-28.
180. Aripov M.M., Sayfullaeva M.Z About new nonlinear properties of
the problem of nonlinear thermal conductivity Jour. Math. Modeling
December 2019 (Bulgarian)p.19-26 (Web of Science)
181. Aripov M.М., Mukimov A.Ш. Asymptotics of solutions and
numerical simulation of the nonlinear heat conductivity problem with
absorption and variable density. Bulletin of National University of
Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciens. Vol.2 (2019). Iss.3. 152-161.
182. Aripov М. A new approach to the Korteweg de Vries equation: an
application of the decomposition method. Известия вузов, 2002 г., № 4., M.
Inc (Turkey).
183. Aris, R. (1975). The Mathematical Theory of Diffusion and
Reaction in Permeable Catalyst, Oxford University Press, Oxford.
184. Arnold, R., Showalter, K., and Tyson, J.J. (1987). Propagation of
chemical reactions in space, J. Chem. Educ. 64, 740–742.
185. Aronson D. G., and Caffarelli L., The initial trace of a solution of
the porous medium equation, Trans. Amer. Math. Soc. 280 (1983) 351-366.
186. Aronson D. G., Caffarelli L. A., Kamin S., How and initially
stationary interface begins to move in porous medium flow. SIAM J. Math.
Anal. 14 (1983), 639-658.
187. Aronson D. G., Caffarelli L. A., Vázquez J. L., Interfaces with a
corner-point in onedimensional porous medium flow. Comm. Pure Appl.
Math. 38 (1985), 375–404.
651
188. Aronson D. G., Vázquez J. L.. Anomalous exponents in nonlinear
diffusion, J. Nonlinear Sci. 5 (1995), no. 1, 29-56; and Calculation of
anomalous exponents in nonlinear diffusion, Phys. Rev. Lett. 72 (1994), 348351.
189. Aronson D. G., Weinberger H. F., Multidimensional nonlinear
diffusion arising in population genetics. Adv. in Math. 30 (1978), 33–76.
T
190. Baras P., Cohen L., Complete blow-up after max for the solution
of a semilinear heat equation. J. Funct. Anal. 71 (1987), 142–174.
191. Barenblatt G. I. “Scaling, Self-Similarity, and Intermediate
Asymptotics”, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996. Updated version of
Similarity, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics, Consultants
Bureau, New York, 1979.
192. Barenblatt G. I. “Scaling”, Cambridge Texts in Applied
Mathematics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.
193. Barenblatt G. I. 1952. Prikl. Mat. Mekh. 16:67-78~ No. 1, Ibid.
1954. 18:409-14, No. 4 Ibid. 1956. 20:761-63, No. 6
194. Barenblatt G. I. On some unsteady motions of a liquid or a gas in
a porous medium. Prikl. Mat. Mekh. 16, 1 (1952), 67-78 (in Russian).
195. Barenblatt, G.I. (1979). Similarity, Self-similarity and
Intermediate Asymptotics, Consultants Bureau, New York.
196. Barenblatt, G.I. and Zel’dovich, Y.B. (1972). Self-similar
solutions as intermediate asymptotics, Ann. Rev. Fluid Mech. 4, 285–312.
197. Benachour S., Laurencot P., Global existence and decay for
viscous Hamilton–Jacobi equations with irregular initial data, Comm. Partial
Differential Equations 24 (1999) 1999–2021.
198. Benachour S., Laurencot P., Very singular solutions to a nonlinear
parabolic equation with absorption. I. Existence, Proc. Roy. Soc. Edinb. Sect.
A 131 (2001) pp. 27–44.
199. Bénilan P., Brezis H. Nonlinear problems related to the ThomasFermi equation, J. Evol. Equ. 3 (2004), 673-770.
200. Bernis F., Husholf J., Vázquez J.L. A very singular solution for
the dual porous medium equation and the asymptotic behaviour of general
solutions. J. Reine Angew. Math. 435 (1993), 1–31.
201. Bertsch M., Dal Passo R.and Ughi M., Nonuniqueness of solutions
of a degenerate parabolic equation, Ann. Math. Pura Appl., 161, 1992, pp. 5781.
202. Bhuvaneswari V., Shangerganesh L.and Balachandran K., Global
existence and blow up of solutions of quasilinear chemotaxis system, Math.
Meth. Appl. Sci., 38 (2015), 3738–3746.
652
203. Blanchet M. Bonforte J. Dolbeault, G. Grillo, J. L. Vázquez.
Asymptotics of the fast diffusion equation via entropy estimates. Arch.
Rational Mech. Anal. 191 (2009), 347-385.
204. Bothe D. On the Maxwell-Stefan equations to multicomponent
diffusion. Nonlinear Differential Equations and their Applications, pp. 81-93.
Springer, Basel, 2011.
205. Braukhoff M., Chen X., and Jüngel. Corrigendum: Cross diffusion
preventing blow up in the two-dimensional Keller-Segel model.SIAM J. Math.
Anal. 52 (2020), 2198-2200.
206. Brezis H., Peletier L., Terman D. A very singular solution of the
heat equation with absorption. Arch. Rat. Mech. Anal. 95 (1986), 185-209.
207. Brezis H., Vázquez J. L. Blow-up solutions of some nonlinear
elliptic equations. Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid. 10 (1997), 443-469.
208. Burger M., Di Francesco M., Pietschmann J.-F., Schlake B.
Nonlinear cross-diffusion with size exclusion. SIAM J. Math. Anal. 42 (2010),
2842-2871.
209. Cances C., Chainais-Hillairet C., Gerstenmayer A., and Jüngel
A.Finite-volume scheme for a degenerate cross-diffusion model motivated
from ion transport. Numer. Meth. Partial Diff. Eqs. 35 (2019), 545-575.
210. Cao C.L., Lin B.X., Wang H.M. Existence of solutions to a class
of nonlinear degenerate parabolic equations not in divergence form. Northeast.
math. J. 24, No. 2, 118-128 (2008)
211. Carrillo J. A., Jüngel A. and Santos M. Displacement convexity
for the entropy in semidiscrete nonlinear Fokker-Planck equations.Europ. J.
Appl. Math. 30 (2019), 1103-1122.
212. Cavalcanti, M. M, Cavalcanti, VND, Soriano, JA: Exponential
decay for the solution of the semilinear viscoelastic wave equations with
localized damping. Electron J Diff Equ. (2002) 44, pp. 1–14.
213. Chen Botao, Mi Yongsheng, Mu Chunlai. Global existence and
nonexistence for a doubly degenerate parabolic system coupled via nonlinear
boundary flux. Acta Mathematica Scientia, 31B(2), 2011, 681-693.
214. Chen L., Daus E., and Jüngel A.. Rigorous mean-field limits and
cross diffusion. Z. Angew. Math. Phys. 70 (2019), no. 122, 21 pages.
215. Chen L., Ju¨ngel A. Analysis of a parabolic cross-diffusion
population model without self diffusion. J. Diff. Eqs. 224 (2006), 39-59.
216. Chen X. and Jüngel A. Weak-strong uniqueness of renormalized
solutions to reaction-cross-diffusion systems. Math. Models Meth. Appl.
Sci. 29 (2019), 237-270.
217. Chen X. and Jüngel A.. Global renormalized solutions to reactioncross-diffusion systems. J. Diff. Eqs. 267 (2019), 5901-5937.
653
218. Chen X. F., Qi Y. W. and Wang M. X., Selfsimilar singular
parabolic equations with absorption. Electronic J. Diff. Equ., 67, 2000, pp. 122.
219. Chen X., Daus E., Ju¨ngel A. Global existence analysis of crossdiffusion population systems for multiple species. Arch. Ration. Mech. Anal.,
2017. arXiv:1608.03696.
220. Chen X., Ju¨ngel A. Global renormalized solutions to reactioncross-diffusion systems. 2017.
221. Chen X., Jungle A. A note on the uniqueness of weak solutions to
a class of cross-diffusion systems. 2017. arXiv:1706.08812.
222. Chen X., Jungle A., Liu J.-G. A note on Aubin-Lions-Dubinskiı
lemmas. Acta Appl. Math. 133 (2014), 33-43.
223. Chen X.F., Qi Y.W., Wang M.X., Classification of singular
solution of porous medium equations with absorption, Proc. Roy. Soc. Edinb.
Sect. A 135 (3) (2005) 563–584.
224. Chen X.F., Qi Y.W., Wang M.X., Existence and uniqueness of
singular solutions of fast diffusion porous medium equation, preprint.
225. Chen X.F., Qi Y.W., Wang M.X., Long time behavior of solutions
p
to -Laplacian equation with absorption, SIAM J. Math. Anal. 35 (1) (2003)
123–134.
226. Chen X.X., Qi Y.W., Wang M.X., Singular solutions of a pLaplacian evolution with absorption, preprint.
227. Chen X.Y, Matano H., Convergence, asymptotic periodicity, and
finite-point blow-up in one-dimensional semilinear heat equations. J. Differ.
Equat. 78 (1989), 160-190.
228. Chen Y. and Wang M., A class of nonlocal and degenerate
quasilinear parabolic system not in divergence form, Nonlinear Anal. Theor.,
71 (2009), 3530–3537.
229. Chen Y. Global and non-global existence of solutions to a
nonlocal and degenerate quasilinear parabolic system. Czechoslovak
Mathematical Journal, Vol. 60 (2010), No. 3, 675-688.
230. Chen Y., Gao H. Asymptotic blow-up behavior for a nonlocal
degenerate parabolic equation. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007) 852–863.
231. Chen Y.P., Xie C.H., Blow-up for porous medium equation with
a localized source, Appl. Math. Comput. 159 (2004) 79–93.
232. Chunlai M., Xuegang H., Yuhuan L.and Zejian C., Blow-up and
global existence for a coupled system degenerate parabolic equations in
bounded domain, Acta Math. Sci., 27 (2007), 92–106.
233. Cianci P., Martynenko A. V., and Tedeev A. F., “The blow-up
phenomenon for degenerate parabolic equations with variable coefficients and
654
nonlinear source,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications A,
vol. 73, no. 7, pp. 2310–2323, 2010.
234. Crank, J. (1975). The Mathematics of Diffusion (second edition),
Oxford University Press, Oxford.
235. D´ıaz J. I., Galiano G., Jungle A. On a quasilinear degenerate
system arising in semiconductor theory. Part I: existence and uniqueness of
solutions. Nonlin. Anal. RWA 2 (2001), 305-336.
236. Daniela Giachetti M. Michaela Porzio, Global existence for
nonlinear parabolic equations with a damping term Communications on Pure
and Applied Analysis 8(3):923-953 DOI:10.3934/cpaa.2009. 8.923.
237. Daus E., Desvillettes L., and Jüngel A. Cross-diffusion systems
and fast-reaction limits. Bull. Sci. Math. 159 (2020), 102824, 25 pages.
23