Загрузил Анна Тёмкина

Primery reshenia zadach teoria statistiki RASChETNAYa

реклама
Примеры решения задач
РАСЧЕТ СРЕДНЕЙ ПО ДАННЫМ ВАРИАЦИОННОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО РЯДА,
РАСЧЕТ МОДЫ И МЕДИАНЫ
РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ
Задача 4.34. При выборочном обследовании 19-ти % изделий партии
готовой продукции по методу бесповторного отбора получены следующие
данные о содержании влаги в образцах:
Влажность, %
(xi)
1
до 13
13–15
15–17
17–19
19 и выше
Итого:
Число образцов
(fi)
2
4
16
50
24
6
100
Середина
интервала (xi)
3
12 =(11+13)/2
14=(13+15)/2
16=(15+17)/2
18=(17+19)/2
20=(19+21)/2
X
Накопленные
частоты (Si)
4
4
20 (4+16)
70 (20+50)
94 (70+24)
100 (94+6)
На основании данных выборочного обследования вычислите:
1) Средний процент влажности готовой продукции.
Исходные данные представлены в виде интервального вариационного ряда
распределения, поэтому для нахождения среднего значения используем формулу
средней арифметической взвешенной:
 xi f i
x=

 fi
В качестве вариант х будут выступать середины интервалов (графа 3), а в
качестве частот f – число образцов (графа 2).
Таким образом, средний процент влажности будет равен:
 xi f i = 12  4 + 14  16 + ... = 16,24%
x=

100
f
i
2) Определим значение моды и медианы в интервальном ряду
распределения.
Мода (М0) – величина признака (варианта), которая встречается в ряду
распределения с наибольшей частотой (весом).
В интервальных рядах распределения значение моды определяется по
формуле:
( f Mо - f Mо-1 )
Mo = xMо + iMо
.
, (5.1)
( f Mо - f Mо-1 ) + ( f Mо - f Mо+1 )
где xmo – нижняя граница модального интервала;
imo – величина модального интервала;
fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fmo – частота модального интервала;
fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Для проведения подстановки в формулу необходимо определить модальный
интервал, то есть интервал с максимальной частотой.
Модальным является интервал, которому соответствует наибольшее
значение частоты. В данной задаче модальным будет интервал от 15 до 17, т.к.
ему соответствует максимальное значение f (f=50)/
Влажность, %
(xi)
1
до 13
13–15
15–17
17–19
19 и выше
Итого:
Число
образцов (fi)
2
4
16 fмо-1
50 fмо
24 fмо+1
6
100
 0 = 15 + 2 
50 − 16
= 16,13%.
(50 − 16) + (50 − 24)
Таким
образом,
в
данном
ряду
распределения наиболее часто встречаются
образцы влажностью 16,13%.
Медиана. Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по
следующей формуле:
 f -S
Mе -1
Mе = xMе + iMе 2
.
f Mе
где хme – нижняя граница медианного интервала;
ime – величина медианного интервала;
 f – сумма частот ряда;
Sme-1 – накопленный итог численностей до медианного интервала;
fme – численность медианного интервала.
Подстановка в формулу предполагает нахождение медианного интервала,
для чего рассчитываются накопленные частоты (см. графу 4). Поскольку
полусумма частот составляет 50 (100/2), то медианный интервал 15-17.
Влажность, %
до 13
13–15
15–17
17–19
19 и выше
Итого:
e = 15 + 2 
Число
образцов (fi)
4
16
50
24
6
100
Накопленные
частоты (Si)
4
20
70
94
100
f
2
=
100
= 50
2
0,5  100 − 20
= 16,2%.
50
Следовательно, 50% единиц совокупности имеют влажность до 16,2%, а
остальные 50% образцов – более 16,2%.
3). Рассчитать показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации:
3.1) Размах вариации: R = Xmax - Xmin=21-11=10 п.п.
3.2) Среднее линейное отклонение:
 x − x f 12 − 16,24  4 + 14 − 16,24 16 + ... + 20 − 16,24  6
l=
=
= 1,3 п.п.
100
f
3.3) Дисперсию признака определим по формуле:
2
х−х f

2
 =
f
(12 − 16,24) 2  4 + (14 − 16,24) 2  16 + ... + (20 − 16,24) 2  6 314,24
2
 =
=
= 3,14
4 + 16 + 50 + 24 + 6
100
3.4) Среднее квадратическое отклонение рассчитывается как корень
квадратный из дисперсии признака:  =  2 = 3,14 = 1,77п.п. ;
Относительные показатели вариации:
R
10
3.5) Коэффициент осцилляции: k R = 100% =
100 = 61,6%
16,24
x
3.6)
Коэффициент
относительного
линейного
отклонения:
l
1,3
kl = 100% =
100 = 8,0%
16,24
x
1,77
3.7) Коэффициент вариации:  =
100 = 10,9% .
16,24
(
)
Поскольку коэффициент вариации меньше 33%, то статистическая
совокупность является качественно однородной, что свидетельствует об
устойчивости обобщающих статистических характеристик.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Задача 1. Имеются следующие данные о производстве телевизоров
Год
Производство телевизоров, шт.
2017
1250
2018
1263
2019
1252
2020
1270
2021
1284
Для анализа динамики производства телевизоров вычислите:
1) абсолютные приросты, темпы роста и прироста по годам и к 2017 г.,
абсолютное содержание одного процента прироста (снижения) по годам.
Полученные показатели представьте в виде таблицы;
2) среднегодовое производство телевизоров за 2017- -2021 гг.,
3) среднегодовые абсолютный прирост, темп роста и темп прироста
производства телевизоров за анализируемый период.
Решение:
1.1) Рассчитаем абсолютные приросты, которые могут быть рассчитаны с
переменной базой сравнения (цепные) и постоянной базой сравнения (базисные).
цепные .
базисные .
yiц = y i − y i −1 ;
. y iб = y i − y1 
y2018 = y2018 − y2017 = 1263 − 1250 = 13 шт.; y2018 = y2018 − y2017 = 1263 − 1250 = 13 шт.;
ц
б
y2019 = y2019 − y2018 = 1252 − 1263 = −11 шт; y2019 = y2019 − y2017 = 1252 − 1250 = 2 шт;
ц
б
y2020 = y2020 − y2019 = 1270 − 1252 = 18 шт; y2020 = y2020 − y2017 = 1270 − 1250 = 20 шт;
б
ц
y2021 = y2021 − y2020 = 1284 − 1270 = 14 шт.
ц
y2021 = y2021 − y2017 = 1284 − 1250 = 34 шт.
б
1.2) Определяем темпы роста:
Цепные
Ti ц =
yi
100;
y i −1
y2018
1263
100 =
 100 = 101,0%;
y2017
1250
y
1252
ц
T2019
= 2019 100 =
 100 = 99,1%;
y2018
1263
y
1270
ц
T2020
= 2020 100 =
 100 = 101,4%;
y2019
1252
y
1284
ц
T2021
= 2021 100 =
 100 = 101,1%.
y2020
1270
ц
T2018
=
базисные.
Ti б =
yi
100.
y1
y2018
1263
100 =
 100 = 101,0%;
y2017
1250
y
1252
б
T2019
= 2019 100 =
 100 = 100,2%;
y2017
1250
y
1270
б
T2020
= 2020 100 =
100 = 101,6%;
y2017
1250
y
1284
б
T2021
= 2021 100 =
 100 = 102,7%.
y2017
1250
б
T2018
=
1.3) Темпы прироста рассчитывают по формулам:
Цепные
Tiц =
Базисные
y i − y i −1
ц
ц
100, или T = T − 100 .
y i −1
Ti б =
yi − y1
100, или T б = T б − 100 .
y1
1.4) Абсолютное значение одного процента прироста (снижения) отношение абсолютного цепного прироста к соответствующему цепному темпу
прироста, выраженному в процентах. Оно определяется по формуле:
yiц
yi − yi −1
y
A% =
=
= i −1 = 0,01  yi −1 
ц
Ti  100 ( yi − yi −1 ) / yi −1100 100
За 2018 г. А2018=0,01∙1250=12,5 и т.д.
Результаты расчетов представим в виде статистической таблицы:
Таблица 1. – Аналитические показатели динамики производства телевизоров
за 2018 - 2021гг.
Абсолютные
Абсолютно
Темпы
Произв
приросты, шт
Темпы роста, %
е
прироста, %
одство
содержание
Год телевиз
1%
цепны бази
оров,
базисны
базисны
цепные
цепные
е
сны прироста,
шт
е
е
шт
е
2017 1250
100,0
2018 1263
13
13
101,0
101,0
1,0
1,0
12,50
2019 1252
-11
2
99,1
100,2
-0,9
0,2
12,63
2020 1270
18
20
101,4
101,6
1,4
1,6
12,52
2021 1284
14
34
101,1
102,7
1,1
2,7
12,70
2) В условии задачи дан интервальный динамический ряд, поэтому средний
уровень производства телевизоров за этот период может быть исчислена по
формуле средней арифметической простой:
y=
 y = 1250 + 1263 + 1252 + 1270 + 1284 = 6319 = 1263,8 шт,
n
5
5
3.1) Средний абсолютный прирост исчисляется по формуле:
y =
yi − y1 1284 − 1250 34
=
=
= 8,5 шт;
n −1
5 −1
4
3.2) Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле:
T = n −1
yi 5−1 1284
=
= 1,007 , или 100,7%.
y1
1250
3.3) Среднегодовой темп прироста равен: T = T − 100 = 100 ,7 − 100 = 0,7%.
Тема 8. Индексный метод
Таблица 8.1 – Формулы расчета взаимосвязанных агрегатных индексов
Исходная
экономическая
взаимосвязь
признаков
Индекс
Стоимость
продукции:
Стоимости
продукции
pq = p  q
Цен
Физического
объема
(количества)
Взаимосвязь показателей
Исходная
экономическая
взаимосвязь
признаков
Затраты на
производство
продукции:
zq=z×q
Формулы расчета
общего
агрегатного
индекса
pq
I pq =  1 1
 p0 q0
 p1 q1
Ip =
 p0 q1
 q1 p0
Iq =
 q0 p0
I pq = I p  I q
Индекс
Формулы расчета
общего
агрегатного
индекса
Затрат
на I =  z1 q1
zq
 z 0 q0
производство
продукции
 z1 q1
Себестоимости
Iz =
Физического
объема
(количества)
Взаимосвязь показателей
Iq =
 z 0 q1
 q1 z 0
Абсолютное изменении
результативного показателя,
вызванных действием
факторов
pq =  p1q1 −  p0 q0
в том числе
pq p =  p1 q1 −  p0 q1
pqq =  q1 p0 −  q0 p0
pq = pq p + pqq
Абсолютное изменении
результативного показателя,
вызванных действием
факторов
zq =  z1 q1 −  z 0 q0
в том числе
zq z =  z1q1 −  z 0 q1
zqq =  q1 z 0 −  q0 z 0
 q0 z 0
I zq = I z  I q
zq = zq z + zqq
Пример решения задач:
Пример 8.1. Имеются следующие данные о реализации овощей на рынке
Овощи
Картофель
Свекла
Морковь
Цена за 1 кг, тыс. ден. ед.
II квартал (p0)
III квартал (p1)
0,8
0,5
1,0
0,8
1,2
1,2
Продано, тыс. кг
II квартал (q0)
20
3
2
III квартал (q1)
45
2
2
Определите:
1.
Индивидуальные индексы цен и количества проданных овощей.
p 0,5
i p ( картофель) = 1 =
= 0,625 или 62,5%
p0 0,8
Следовательно, цена на картофель в третьем квартале по сравнению со
вторым снизилась на 37,5% (65,5-100=-37,5%)
Аналогично определим, как изменились цены на остальные овощи.
q 45
iq ( картофель) = 1 =
= 2,25 или 225%
q0 20
Следовательно, количество реализованного картофеля возросло в 2,25 раза
за рассматриваемый период или на 125%.
И т.д.
2.
Общий индекс стоимости реализованных овощей в III квартале по
сравнению с первым.
p q 0,5  45 + 0,8  2 + 1,2  2 26,5
I pq =  1 1 =
=
= 1,238 или 123,8%
p
q
0
,
8

20
+
1
,
0

3
+
1
,
2

2
21
,
4
 0 0
Выручка от реализации овощей в среднем увеличилась на 23,8% в III
квартале по сравнению с I кварталом.
Абсолютное изменение стоимости реализованных овощей:
pq =  p1q1 −  p0 q0 = 26,5 − 21,4 = 5,1 млн. р.
3.
Общий агрегатный индекс цен и абсолютное изменение выручки от
реализации овощей за счет изменения цен.
pq
26,5
26,5
Ip =  1 1 =
=
= 0,656или65,6%
 p0 q1 0,8  45 + 1,0  2 + 1,2  2 40,4
Цены на овощи снизились в среднем на 34,4 %
pq( p ) =  p1q1 −  p0 q1 =26,5 – 40,4=-13,9 млн.р.
За счет изменения цен, выручка от реализации овощей снизилась на 13,9
млн. р.
4.
Общий агрегатный индекс физического объема и абсолютное
изменение выручки от реализации овощей за счет изменения количества
проданных овощей.
 q1 p0 40,4
Iq =
=
= 1,888или188,8%
 q0 p0 21,4
Количество реализованных овощей увеличилось в среднем на 88,8 %
pqq =  q1 p0 −  q0 p0
=40,4 – 21,4=19 млн. р.
За счет изменения физического объема продаж, выручка от реализации
овощей выросла на 19 млн. р.
Пример 8.2. Динамика себестоимости и объема производства продукции на
предприятии характеризуется следующими данными
Продукция
Выработано продукции, ед.
Себестоимость единицы
продукции, млн. р.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
период (q0)
период (q1)
период (z0)
период (z1)
А
1100
1250
2,0
2,1
Б
2500
2000
3,2
3,6
На основании имеющихся данных вычислите.
1) общий индекс затрат на производство продукции;
2) общий индекс себестоимости продукции;
3) общий индекс физического объема производства продукции.
4) абсолютное изменение суммы затрат на производство продукции и
разложите его по факторам (за счет изменения себестоимости и объема
выработанной продукции).
Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.
Сформулируйте выводы.
Решение:
1) общий индекс затрат на производство продукции
I zq =
z q
z q
1 1
2,1  1250 + 3,6  2000
9825
=
= 0,963, или 96,3% ;
2,0  1100 + 3,2  2500 10200
=
0 0
2) общий агрегатный индекс себестоимости продукции:
Iz =
z q
z q
1 1
0 1
3) общий
продукции:
=
9825
9825
=
= 1,104, или 110,4%
2,0  1250 + 3,2  2000 8900
агрегатный
Iq =
индекс
q z
q z
1 0
0 0
=
физического
объема
производства
8900
= 0,873, или 87,3%.
10200
Эти индексы взаимосвязаны между собой:
I z  I q = I zq
1,104  0,873 = 0,963
Чтобы найти абсолютное изменение суммы затрат на производство
продукции в том числе разложить его по факторам (за счет изменения
себестоимости и объема выработанной продукции), нужно от числителя
соответствующего индекса вычесть его знаменатель. Так, абсолютный прирост
(снижение) затрат на производство продукции равен:
zq =  z1q1 −  z0 q0 = 9825 − 10200 = −375 млн. р. ,
в том числе: за счет изменения себестоимости:
zq( z ) =  z1q1 −  z0 q1 = 9825 − 8900 = 925 млн. р.
и за счет изменения физического объема продукции:
zq(q ) =  q1 z0 −  q0 z0 = 8900 − 10200 = −1300 млн. р.
Таким образом, затраты на производство продукции снизились в отчетном
периоде по сравнению с базисным на 3,7%, что в абсолютном выражении
составляет 375 млн.р., в том числе за счет изменения себестоимости затраты на
производство продукции возросли на 10,4% (или на 925 млн.р.), а за счет
изменения физического объема продукции, затраты снизились на 12,7% (или на
1300 млн.р.).
Пример 8.3. Имеются данные о продаже фруктов на рынке
Фрукты Продано на сумму,
Индивидуальный
Изменение количества
индекс физического
млн. р.
проданных фруктов в
объема,%
сентябре по сравнению с
q
август сентябрь
iq = 1  100
августом, %
q0
Сливы
15
15
-12
88,0
Груши
30
32
+10
110,0
Яблоки
55
50
Без изменения
100,0
Итого
100
97
Вычислите общие индексы:
1) выручки от продажи фруктов;
2) количества проданных фруктов;
3) цен, используя взаимосвязь индексов.
Сформулируйте выводы.
Решение:
Чтобы определить изменение выручки в отчетном периоде по сравнению с
базисным, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота продукции:
I pq =
pq
p q
1 1
0 0
=
15 + 32 + 50 97
=
= 0,97, или97,0%.
15 + 30 + 55 100
По условию задачи нам известно как изменилось количество проданных
фруктов в сентябре по сравнению с августом. Следовательно, можно определить
индивидуальный индекс физического объема реализованной продукции (см.
табл.1.7.). Агрегатный индекс физического объема товарооборота определяется
по формуле: Iq =
q p
q p
1 0
0
0
В знаменателе индекса реальная величина -- фактический товарооборот
базисного периода (за август). Заменив q1 значением из индивидуального индекса
iq =
q1
(q1 = iq  q0 ), получим
q0
товарооборота:
Iq =
i q p
q p
q 0
0
0
0
=
среднеарифметический индекс физического объема
15  0,88 + 30  1,10 + 55  1,00 101,2
=
= 1,012, или 101,2%.
100
100
Зная взаимосвязь индексов, т.е. Ipq=Ip∙Iq можно рассчитать общий индекс
цен:
I p= I pq  I q = 0,97  1,012 = 0,958 , или 95,8%.
Следовательно, выручка от продажи фруктов в сентябре снизилась на 3% по
сравнению с августом. За счет изменения физического объема продаж
товарооборот возрос на 1,2%, а за счет изменения цен снизился на 4,2%.
Пример 8.4. Имеются следующие данные о производстве мебели на мебельной
фабрике во II полугодии по сравнению с I полугодием текущего года
Вид продукции
Общие затраты на производство
мебели, тыс. руб.
I полугодие
II полугодие
Изменение себестоимости единицы
продукции во II полугодии по
сравнению с I, %
Диваны
150,5
186,5
+6,5
Кровати
105,5
119,4
+5,0
Комоды
69,0
74,1
-2,0
Определите:
1) общий индекс затрат на производство продукции;
2) общий индекс себестоимости продукции;
3) общий индекс физического объема производства продукции, используя
взаимосвязь индексов;
4) абсолютный прирост затрат на производство продукции, в том числе за
счет изменения себестоимости и физического объема производства.
Сформулируйте выводы.
Решение:
1) Общий индекс затрат на производство продукции определим по формуле:
I zq =
z q
z q
1 1
0
0
=
186,5 + 119,4 + 74,1 380,0
=
= 1,169, или 116,9%.
150,5 + 105,5 + 69,0 325,0
Затраты на производство мебели во II полугодии по сравнению с I возросли
на 16,9 %
2) Общий индекс себестоимости рассчитывается по формуле: I z =
z q
z q
1 1
0 1
По условию задачи известно изменение себестоимости единицы продукции
во II полугодии по сравнению с I, а также затраты на производство продукции в
отчетном
iz =
периоде.
Заменив
z0
значением
из
индивидуального
индекса

z1
z 
  z 0 = 1  , получим средний гармонический индекс себестоимости:
z0
iz 

186,5 + 119,4 + 74,1 380,0
z q
 z1 q1
z q
Iz = 1 1 =
= 1 1 =
=
= 1,043 или 104,3%
z1 q1 186,5 119,4 74,1 364,4
 z 0 q1  z1 q
+
+

1
iz
iz
1,065 1,050
0,98
Себестоимость производства единицы продукции за рассматриваемый
период увеличилась в среднем на 4,3 %.
3) Зная взаимосвязь индексов, т.е. Izq=Iz∙Iq можно рассчитать общий индекс
физического объема производства:
I q = I zq  I z = 1,169  1,043 = 1,121 или 112,1%.
Физический объем производства мебели увеличился на 12,1 %.
4) Абсолютное изменение затрат на производство продукции, в том числе за
счет изменения факторов определим следующим образом:
zq =  z1q1 −  z 0 q0 = 380,0 − 325,0 = 55,0 тыс. руб.
в том числе
zq z =  z1q1 −  z 0 q1 = 380,0 − 364,4 = 15,6 тыс. руб.
zqq = zq − zq z = 55,0 − 15,6 = 39,4 тыс. руб.
Таким образом, затраты на производство мебели во II полугодии по
сравнению с I полугодием возросли на 16,9 %, что в абсолютном выражении
составило 55,0 тыс. руб. За счет изменения себестоимости затраты увеличились на
15,6 тыс. руб., а за счет изменения физического объема производства затраты
увеличились на 39,4 тыс. руб.
Пример 8.5 Имеются следующие данные о товарообороте магазина
Продано товаров в фактических ценах, млн. р.
Товарная группа
базисный период
отчетный период
Овощи
650
728
Фрукты
350
432
В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на овощи повысились
на 12 %, а на фрукты – на 8 %.
Вычислите:
1) общий индекс товарооборота в фактических ценах;
2) общий индекс цен и сумму дополнительных расходов населения в
отчетном периоде при покупке картофеля и фруктов в данном магазине;
3) общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь
индексов/
Общий индекс товарооборота определим по формуле:
I pq =
pq
pq
1 1
0
0
=
728 + 432 1160
=
= 1,16, или 116,0%.
650 + 350 1000
Товарооборот магазина в отчетном периоде по сравнению с базисным
увеличился на 16,0 %
pq
2) Общий индекс цен рассчитывается по формуле: I p =  1 1
 p0 q1
По условию задачи известно изменение цен на каждую группу товаров в
отчетном периоде по сравнению базисным, а также товарооборот в отчетном

p
p 
периоде. Заменив p0 значением из индивидуального индекса i p = 1   p0 = 1  ,
p0
ip 

получим средний гармонический индекс цен:
1160
1160
p q
 p1 q1
p q
Ip = 1 1 =
= 1 1 =
=
= 1,105 или 110,5%
p
p q
728 432 1050
 p 0 q1
1
1 1
+
 q1 
1,12 1,08
ip
ip
Цены на товары в данном магазине за рассматриваемый период
увеличились в среднем на 10,5 %.
Сумму дополнительных расходов определим следующим образом:
pq p =  p1q1 −  p0 q1 = 1160 − 1050 = 110 млн. руб.
3) Зная взаимосвязь индексов, т.е. Ipq=Ip∙Iq можно рассчитать общий индекс
физического объема производства:
Iq=Ipq/Ip=1,16/1,105=1,05 или 105,0 %
Физический объем продаж увеличился на 5 %.
Скачать