elibrary 35461532 63295724

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
Ю.А. Бондаренко, М.А. Федоренко, Т.М. Санина
Надежность и диагностика технологических систем
Практикум
Белгород
2018
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
Кафедра технологии машиностроения
Ю.А. Бондаренко, М.А. Федоренко, Т.М. Санина
Надежность и диагностика технологических систем
Практикум
Утверждено ученым советом университета в качестве
учебного пособия для студентов направления подготовки
15.04.05 Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств
Белгород
2018
УДК 621.9 (07)
ББК 34.63 – 5я7
Б
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Белгородского государственного
национального исследовательского университета (НИУ «БелГУ»)Н.А.
Пелипенко,
Кандидат технических наук, доцент Белгородского государственного
технологического университета им. В Г. Шухова
В.Я. Дуганов
Бондаренко Ю.А.
Б
Надежность и диагностика технологических систем: практикум:
учебное пособие. Ю.А. Бондаренко, М.А. Федоренко, Т.М. Санина
– Белгород: Изд-во БГТУ, 2018. – 222 с.
УДК 621.9 (07)
ББК 34.63 – 5я7
© Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В.Г. Шухова, 2018
Практическая работа № 1
Проверка однородности результатов наблюдений по критерию χ2.
Статистическая оценка показателей надежности
Ц е л ь р а б о т ы: изучить метод проверки однородности
результатов наблюдений с помощью критерия χ2 .
Н е о б х о д и м о е оборудование: калькулятор; таблица исходных
данных.
Основные понятия
Проверка однородности результатов наблюдений, так же
возможность их совместной обработки осуществляется различными
известными методами.
Для
проверки
однородности
результатов
наблюдений
производится
сопоставление результатов наблюдений двух
последовательностей X’1, X’2,..., X’n
и
X’’1, X’’2,..., X’’n
с
непрерывным распределением случайной величины.
Требуется выяснить можно ли считать:

F 1 X.  F 2
 ..
X
Сущность метода критерия χ2 заключается в определении
степени равномерности распределения числа объектов наблюдений
двух последовательностей по интервалам наработки, при этом
исследуемые последовательности распределяются по интервалам на k:
m '1  m '2  ...  m 'k  m,
n '1  n '2  ...  n 'k  n.
Значения критерия χ2 определяют:
2 
k
1
m n 
'
i  1 m i  n i'

 '

 m i n i' 



n 
m

2
(1)
Рассчитанное значение χ2 сравнивают стеоретическим для
заданного уровня значимостии числа степеней свободы r = k-1по табл.
1.
Та б ли ц а 1
Значения критерия χ2
k
χ2
α=0,1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9,2
10,6
12
13,3
14,6
15,9
17,2
18,5
19,8
21,1
При выполнении неравенства
2 k  1 ,
 2  
гипотезу об однородности результатов наблюдений принимают.
Результаты наблюдений за надежностью изделий и их элементов,
представляющие собой ряд чисел, указывающих наработку изделия до
отказа, после проверки однородности результатов наблюдений с
помощью критерия χ2, следует обработать для определения вида
закона распределения.
Обработка выборочных наблюдений начинается с расположения
реализаций в порядке возрастания (вариационный или ранжированный ряд): последовательность некоторых величин t1, t2, t3….tn. Одна и
та же реализация в ранжированном ряду может встретиться несколько
раз. Полученный ряд называют вариационным или ранжированным, а
различные значения t - вариантами. Из-за случайности возникновения
отказов данные наблюдений - выборку t1, t2….tn - можно рассматривать как некоторую совокупность величин, принадлежащих области
возможных значений некоторой случайной величины. Статистические методы обработки результатов наблюдений основаны на предположении об однородности выборочных данных.
Для этого разбивают вариационный ряд на интервалы и
подсчитывают число отдельных значений показателя в каждом из
интервалов, которое называют частотой.
Определяют частость по формуле:
n
,
(2)
mi  i
N
где mi - частость (отношение частоты к объёму выборки); ni - число
наблюдений в i-м интервале (частота);
N- общее число объектов наблюдений:
k
N   ni .
i 1
Число интервалов определяют из условия выявления закономерности распределения значений показателя в зависимости от объема
выборки. Если исследуется большое число реализаций (значений)
вариационного ряда N>50 обработку эмпирических данных рекомендуется вести по значениям, сгруппированным в n непересекающихся
интервалов, т.е. для удобства его изучения значения группируются,
подразделяются на несколько интервалов, получая интервальный ряд,
который может быть построен и для дискретных, и для непрерывных
случайных величин.
Для группирования эмпирических данных выявляют наибольшее
tN и наименьшее t1, значения элементов выборки. Зона рассеивания, определяемая как разность между этими значениями, делится на равное
количество интервалов, которое определяется как целое число
ближайшее к значению n. На практике чаще всего число интервалов
берут в пределах 7…12. при большом числе наблюдений интервал
находят по формуле:
t t
h  max min ,
1  3,3 lg N
где
t max , t min 
соответственно максимальное и минимальное
значение показателя.
Или часто используют следующую формулу:
t
t
(3)
h  max min
k
где k – принятое число интервалов.
Полученное расчетное значение интервала округляют до целого
числа.
Составляют таблицу распределения случайной величины (табл. 2).
Та б ли ц а 2
Распределение случайной величины
№
интервала
1
Верхняя
нижняя
границы
интервала
2
и
Среднее значение
интервале
t icp
3
в
Частота
ni
4
Частость
mi
5
Одна из основных статистических характеристик - среднее
арифметическое (выборочное среднее, статистическое среднее, средневзвешенное). Среднее арифметическое значение является важной
характеристикой показателя надежности.
Среднее арифметическое значение показателя надежности:
N
t cp 
ti ,
(4)
i 1
N
где N - объем выборки; ti - значение i-го показателя надежности.
Характеристикой рассеивания при исследовании систем на надежность является дисперсияDoп (выборочная дисперсия, статистическая
дисперсия).
Размерность дисперсии равна квадрату размерности показателя
надежности, поэтому пользоваться значением дисперсии не всегда
удобно и в качестве наиболее распространенной и удобной для расчетов характеристикой рассеивания применяют среднее квадратическое
отклонение (выборочное стандартное отклонение, выборочный стандарт):
Оценка среднего квадратического отклонения:
 t i  t cp 
N

i 1
N 1
2
;
(5)
Дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ являются
важнейшими числовыми характеристиками статистического распределения, так как они определяют основные особенности анализируемого
статистического ряда - центр группирования и степень рассеяния
наблюдений относительного центра.
Коэффициент вариации представляет собой относительную (безразмерную) характеристику рассеивания показателя надежности.
Оценка коэффициента вариации:
(6)

V 
t cp
.
По значению коэффициента вариации делают предварительное
заключение о правильности выдвинутой гипотезы о виде закона распределения. При нормальном законе распределения коэффициент вариации обычно не превышает 0,3...0,4.
Более полными характеристиками выборки, по сравнению срассмотренными выше, являются эмпирическая функция распределения,
гистограмма и полигон распределения.Гистограмма и полигон представляют собой дифференциальныестатистические законы распределения опытных показателей надежности, а график накопленных опытных вероятностей - интегральный статистический закон распределения.
По результатам расчетов строят гистограмму распределения значений показателя. При этом по оси абсцисс откладывают значения показателя, а по оси ординат – соответствующие им частоты или частости. Строят прямоугольник, основанием которого является ширина
интервала, площадь которого равна частости интервала. Частость каж-
дого интервала делится на его ширину. Полученное число f э (t i ) принимается как высота прямоугольника. Построенный таким образом
график называется гистограммой выборки. Площадь гистограммы
равна единице.
Полигон распределения строят, соединив ординаты середин интервалов на гистограмме. Точки полигона получают пересечением ординаты, равной вероятности интервала, и абсциссы, которая равна середине этого интервала.
Но внешнему виду гистограммы с учетом физических процессов,
приводящих к отказу исследуемых элементов, выдвигают гипотезу о
виде закона распределения и для повышения точности расчета показателей надежности опытную информацию заменяют теоретическим
законом распределения.
После того, как вид закона распределения установлен, определяют
границы доверительного интервала значений математического
ожидания. Доверительный интервал показывает, что с заданной
вероятностью
значение математического ожидания показателя
располагается в пределах t H  tср  t B .
Граничные значения доверительного интервала:

,
N

,
t В  tср  t
N
t H  tср  t
где
t

(7)
- коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по
табл. 3. в зависимости от числа степеней свободы r = N-1 и принятого
уровня доверительной вероятности.
Принимают предположение о виде закона распределения значений
показателей надежности и проверяют согласованность полученных
результатов наблюдений с одной из гипотез с помощью критерия согласия.
Та б ли ц а 3
Коэффициент распределения Стьюдента
Значения
0,80
1,440
1,397
1,372
1,356
1,345
1,337
1,330
1,325
r
6
8
10
12
14
16
18
20
Значения
0,80
1,321
1,318
1,315
1,313
1,310
1,303
1,296
1,289
r
tпри
0,90
1,943
1,860
1,812
1,782
1,761
1,776
1,734
1,725
0,95
2,447
2,306
2,228
2,179
2,145
2,120
2,103
2,086
22
24
26
28
30
40
60
120
tпри
0,90
1,717
1,711
1,706
1,701
1,697
1,684
1,671
1,658
0,95
2,074
2,064
2,056
2,048
2,042
2,021
2,000
1,980
Порядок выполнения работы
В результате наблюдений за долговечностью инструментальных
систем в двух эксплуатационных организациях были получены
значения ресурса (первая и вторая выборки). Необходимо проверить
выборки на однородность (возможность совместной обработки) по
критерию χ2.
1. Из табл. 5 выписать значения по своему варианту в
соответствии с порядковым номером по журналу.
2. Для проверки выборки на однородность по критерию χ 2
наблюдения разбить на интервалы (7…10 интервалов) и заполнить
табл. 4. Ширину интервала t принять 100.
Таблица 4
1
1
Границы
интервала
Интервал
Проверка выборки на однородность
m i' n i'
2
3
4
m i' n i'
'
'
mi  n i m n
5
6
7
m i' n i'
m n
8
 m' n' 
 i  i
m n


9
2
1

mi'  ni'
 '

m
n' 
 i  i 
n 
 m

2
10
3. Значение критерия χ2 подсчитать по формуле (1). Для числа
2.
степеней свободы rи уровня значимости α=0,1 по табл. 1 найти  
Та б ли ц а 5
Исходные данные
Выборка
Значения ресурса
1
2
Вариант 1
Первая
860
780
750
412
650
630
550
720
360
420
520
540
630
690
Вторая
660
920
520
390
450
850
515
640
620
705
780
784
710
600
Первая
143
214
286
171
165
572
437
410
338
214
2964
72
314
350
Вторая
451
325
260
425
323
471
515
542
495
183
518
319
268
604
Первая
322
274
82
106
154
130
296
250
226
178
202
380
405
111
Вторая
146
278
301
199
415
261
488
312
171
292
201
314
90
311
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Первая
517
340
201
255
413
894
534
425
694
756
781
731
632
654
Вторая
652
932
517
382
425
877
529
642
619
708
777
739
711
615
Первая
839
728
735
462
681
630
549
718
364
415
531
547
681
521
Вторая
615
922
635
388
444
888
531
632
618
713
782
791
715
603
Первая
621
689
526
544
361
435
548
718
658
607
732
408
887
754
Вторая
713
604
769
795
609
664
523
864
458
712
537
329
654
954
Вариант 5
Вариант 6
Продолжение табл. 5
1
2
Вариант 7
Первая
728
735
839
462
630
681
548
713
365
418
532
548
682
627
Вторая
625
930
534
391
434
892
541
633
617
716
779
798
716
609
Вариант 8
Первая
687
624
524
546
362
436
542
717
660
608
734
418
882
782
Вторая
715
603
768
791
611
715
526
659
459
867
538
321
653
952
Вариант 9
Первая
855
782
749
418
652
631
552
719
657
429
518
542
632
691
Вторая
666
915
517
392
449
854
519
541
622
707
780
784
710
612
Первая
853
781
719
399
549
635
548
718
652
432
522
545
638
702
Вторая
682
905
521
389
449
852
515
640
620
705
781
785
712
704
Первая
754
419
862
782
655
633
555
727
363
422
632
695
521
544
Вторая
527
391
659
918
452
516
821
642
629
708
782
789
605
703
Первая
870
790
760
422
660
640
560
730
370
430
530
550
640
700
Вторая
670
930
530
400
460
860
525
650
630
715
790
785
720
601
Первая
872
763
789
412
Вариант 13
665
381
644
432
562
732
519
548
647
701
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Окончание табл. 5
1
2
Вторая
660
920
Первая
768
425
664
642
872
795
562
735
374
431
532
553
644
705
Вторая
676
937
531
408
669
851
525
652
632
718
795
780
715
602
520
390
450
515
850
640
Вариант 14
620
705
780
784
710
600
Вариант 15
Первая
644
662
758
418
872
781
552
722
366
422
525
545
631
692
Вторая
664
925
525
398
452
854
418
642
651
708
788
789
709
599
2 . Сделать вывод о возможности
4. Проверить условие  2   
рассматривать выборки совместно, т.е. о том однородны ли выборки.
5. При статистической оценке показателей надежности заполнить
табл. 2, используя формулы (2) … (4).
6. Найти среднее квадратическоеотклоение , V и среднее значение
наработки до отказа по формулам (4) … (6).
7. Построить по результатам расчетов гистограмму.
8. Выдвинуть предположение о принадлежности данной
совокупности значений к определенному закону распределения.
9. По формуле (7), используя табл. 3 определить границы
доверительного интервала.
10. Оформить отчет, где отразить цель работы, основные
теоретические сведения, исходные данные, результаты расчетов,
таблицу, выводы.
11. Защитить отчет у преподавателя.
Вопросы для контроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что такое критерий?
Какие выборки называют однородными?
Для чего необходима проверка на однородность?
Что означает уровень значимости?
Как определить число степеней свободы?
Что называют доверительным интервалом?
Как рассчитать количество интервалов?
8.
9.
10.
11.
Как рассчитать коэффициент вариации?
Что такое «коэффициент вариации»?
Как рассчитать среднее квадратическое отклонение?
Суть проверки на однородность с применением критерия χ 2 ?
Практическая работа № 2
Определение оптимального ресурса и периодичности обслуживания сборочных единиц с сопрягаемыми поверхностями при простом процессе восстановления
Ц е л ь р а б о т ы: изучить методы определения оптимальных значений ресурсов и периодичности обслуживания сборочных единиц с
сопрягаемыми поверхностями при условии, что стоимость компенсации потерь от износа минимальна и процесс восстановления – простой.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Ресурсом называют наработку изделия от начала эксплуатации до
наступления предельного состояния.
Ресурс детали, в частности, определяет потребность в ремонтах
и запасных частях, а поэтому следует увеличивать ресурсы.
Увеличения значения допустимого износа может привести к
снижению производительности, повышенному расходу смазочных
материалов и другим негативным явлениям. При контакте
поверхностей, если износ и не проявляется в течение некоторого
периода времени, может произойти изменение условий контакта,
например, площадей контактирующих поверхностей сопряжения,
глубины взаимного внедрения микровыступов шероховатости
поверхностей
деталей.
Износу
подвержены
подшипники,
направляющие, поверхности трения муфт и тормозов, зубчатые,
шлицевые
и другие соединения, различные
детали систем и
оборудования.
Работа изделий при эксплуатации сопровождается процессами,
различных по своей физической природе, характеру и скорости
протекания и влиянию на работоспособность деталей и узлов изделий.
На выходные параметры изделия оказывают влияние все
действующие процессы старения: одновременно протекающие
процессы, которые не оказывают взаимного влияния и вызывают
изменение выходных параметров независимо друг от друга;
одновременно протекающие процессы не оказывают взаимного
влияния, но их действие на выходной параметр объединяется;
одновременно протекающие процессы взаимодействуют и образуют
новый более сложный процесс.
Снизить скорость изнашивания можно проведением технического обслуживания. Выполнение технического обслуживания связано с
дополнительными затратами и простоями, поэтому периодичность
обслуживания должна быть своевременной, но не частой.
Критерием оптимизации при определении оптимальных значений
ресурса, допустимого износа и периодичности технического обслуживания в их взаимосвязи, служит минимизация удельных суммарных
затрат на устранение отказа, обусловленного использованием ресурса,
и на техническое обслуживание с периодичностьюtоб .
Функция для решения поставленной задачи имеет следующий
вид:
с(t ) 
Caм.о Cоб

 min
tp
tоб
(8)
где Сам.о- средняя величина амортизационных отчислений за период
ремонта (амортизация, приходящаяся на одно предельное состояние
объекта), руб; Соб - стоимость выполнения операции технического
обслуживания сборочной единицы, руб.; tp - ресурс сборочной единицы, ч; tоб - периодичность выполнения технического обслуживания,
ч.
(9)
Сам.о  С0  Ск. р. ( (t )  1) /  (t )


гдеСо - стоимость изготовления или приобретения объекта, уменьшенная на значение стоимости при списании, руб.; Ск.р. - стоимость капитального ремонта объекта, руб.;  (t ) - число отказов (капитальных
ремонтов) за амортизационную среднюю наработку объекта (число
ремонтных циклов за срок службы сборочной единицы до списания);
Допустимая степень износа систем связана в первую очередь с
обеспечением требований безопасности. Износ влияет на параметрическую надежность изделия, т.к. при этом снижается скорость, КПД,
грузоподъемность, управляемость и др.
Значение предельного износа (Ип) применяется заданное, предварительно определенное по критерию невозможности дальнейшей эксплуатации (ИП.MAX):
(10)
И П  И П .MAX
Зависимость износа от наработки сборочной единицы при отсутствии технического обслуживания:
И  а  (i  tоб )
(11)
где а - угловой коэффициент, зависящих от изнашивания мкм/ч ; α показатель степени (задается по эмпирическим данным),i - коэффициент, который варьируется до момента достижения результата предельного износа, i=1, 2, 3…n.
Для построения графика изменения износа изделия при отсутствии
его технического обслуживания производятся последовательные вычисления:
α
И1  а  tоб
И 2  а  (2  tоб )
И3  а  (3  tоб )
……………………………..
Иn  а  (n tоб )
Минимальное значение ресурса tp.min для случая, когда техническое
обслуживание не проводится:
t p. min  (
И П 1/ 
)
а
(12)
Пересечение кривой, представляющей зависимость (11), с линией
Ип определяет ресурс tp.min.
Если предположить, что обслуживание производится с периодичностью tоб, тогда износ за наработкуtоб определяют:

И  а  tоб
(13)
Наработка tpiявляется ресурсом при проведении обслуживания с iой периодичностью. Величину tpiможно определить количеством обслуживаний и наработкой tоб между обслуживанием. Количество обслуживаний определяется делением предельного износа Ип на величину износа И . С использованием формулы (13) имеем:
t pi 
ИП
ИП
tоб 
 1
И
а  tоб
(14)
Зависимость (14) определяет связь между ресурсом, периодичностью обслуживания и предельным износом.
Преобразовав выражение (8), применив (14) получим:
С (tоб ) 
Сам.о
С
 1
а  tоб
 об  min
ИП
tоб
(15)
Для вычисления оптимального значения tоб.опт используем зависимость:
Сам.о
Соб
 2
а  tоб
0
.опт  2
ИП
tоб.опт
С (tоб )  (  1)
(16)
После преобразования:
И П 1/ 
)
aN
(17)
Cам.о (  1)
Соб
(18)
tоб.опт  (
где
N
Полученное значение N округляем в меньшую сторону.
Для определения оптимального ресурса рассмотрим совместно
выражения (14) и (17):
t p.опт  tоб.опт  N  (
И П 1/ 
) N
аN
(19)
Из этого выражения видно, что N – число обслуживаний за оптимальный ресурс.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с основными теоретическими сведениями.
2. Из табл. 6 выписать исходные данные по своему варианту.
3. Определить оптимальную периодичность технического обслуживания tоб.опт, оптимальный ресурс сборочной единицы tп.опт.
Та б ли ц а 6
Исходные данные для расчета
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
10
11
12
Показатели
Соб,
руб
2
6
5
6
5
5
5
5
6
2
5
5
5
6
α
3
1,5
1,55
1,5
1,5
1,55
1,55
1,55
1,55
3
1,5
1,55
1,55
1,55
Ип.max,
мкм
4
500
600
500
500
500
600
600
500
4
600
500
600
600
а
 (t )
5
0,0093
0,0098
0,0093
0,0093
0,0093
0,0093
0,0098
0,0093
5
0,0093
0,0098
0,0093
0,0093
6
3
2
2
3
3
3
3
3
6
3
3
2
3
Со,
руб
7
120
100
100
100
120
120
120
100
7
120
120
120
120
Скр,
руб
8
80
70
70
70
70
80
80
70
8
70
80
80
70
К
9
0,7
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0,7
0,75
9
0,75
0,75
0,7
0,75
Продолжение табл. 5
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
5
5
6
5
6
6
5
5
5
6
5
5
6
6
6
1,5
1,55
1,55
1,5
1,55
1,5
1,5
1,55
1,55
1,55
1,5
1,55
1,55
1,5
1,45
600
500
600
600
600
600
500
500
600
500
600
500
600
600
600
0,0098
0,0098
0,0098
0,0098
0,0098
0,0093
0,0098
0,0093
0,0093
0,0098
0,0093
0,0098
0,0093
0,0096
0,0097
3
2
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
3
2
120
120
120
120
120
100
120
120
100
120
120
100
120
110
115
80
80
80
80
80
70
70
80
80
70
80
80
80
75
80
0,75
0,7
0,75
0,7
0,7
0,75
0,75
0,75
0,7
0,75
0,75
0,7
0,75
0,7
0,75
4. Построить зависимости износа сборочной единицы от наработки при отсутствии технического обслуживания и износа от наработки
при проведении технического обслуживания, и ее аппроксимацию
линейной зависимостью.
5. Построить графические зависимости:
Сам.о
С
 f (tоб ), об  f (tоб ) и С (t )  f (tоб ).
tp
tоб
6. Результаты расчетов занести в таблицу 7.
Та б ли ц а 7
Результаты расчетов
Наименование показателей
0,5tоб.опт
(195 ч)
tоб

И  а  tоб
tp 
Значения показателей
ИП
 1
а  tоб
Соб
tоб
Сам.о
tp
с(t ) 
Caм.о Cоб

tp
tоб
tоб.опт
(390 ч)
1,5tоб.опт
(585 ч)
7. Оформить отчет, где представить цель работы, привести основные формулы, исходные данные, результаты расчета, графики зависимости изменения износа от наработки при отсутствии т.о. и при проведении ТО и зависимости
Сам.о Соб
;
и С (t )  f (tоб ). Сделать выtp
tоб
воды о влиянии технического обслуживания на наработку.
8. Отчет защитить.
Вопросы для контроля
1.
Как влияют показатели Ип, а , α на ресурс сборочной единицы при отсутствии ТО?
2.
За счет чего увеличивается ресурс при проведении технического обслуживания?
3.
Как влияют Сам.о и Соб на количество технических обслуживаний при оптимальном ресурсе?
4.
Как определить оптимальную наработку между техническими обслуживаниями (tоб.опт)?
5.
Как определить оптимальный ресурс?
6.
Как влияет периодичность обслуживания на удельные затраты?
7.
Как влияет периодичность обслуживания на амортизацию?
8.
Как влияет периодичность обслуживания на суммарные
удельные приведенные затраты
Практическая работа № 3
Оценка эффективности использования ресурса деталей при различной стратегии групповых заменах
Ц е л ь р а б о т ы: изучить метод оценки эффективности возможных вариантов групповых замен деталей, ограничивающих надежность
изделия и выбрать стратегию, обеспечивающую оптимальное использования ресурсов деталей.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных. таблица квантилей нормального распределения.
Основные понятия
Стратегия замены деталей технических систем систематизируют в
зависимости от технического состояния детали в момент замены, от
наработки или времени проведения замены, а также от объема одновременно заменяемых деталей. При эксплуатации нужно стремиться к
полному использованию ресурсов деталей. Анализ ремонта технических систем показывает, что в зависимости от назначения, технологии
изготовления и ремонта деталей широко применяются профилактические замены деталей, которые разрабатываются в следующих
направлениях: замена деталей до отказа при техническом обслуживании или при назначенном ресурсе; определении количества одновременно заменяемых деталей при каждой разборке изделия.
Следующее направление требует оптимизации сбалансированности ресурсов деталей, включаемых в группу для совместной замены.
Объединение деталей в группы совместных замен выявляет проблему
недоиспользования ресурсов тех деталей, предельное состояние которых к моменту замены группой не наступило.
Оптимизация использование ресурсов деталей - это выявление и
обеспечение оптимальных распределений ресурсов деталей, при которых группа совместно заменяемых деталей имеет определенный ресурс с минимальными потерями. Число возможных сочетаний замен
деталей группами на n элементов по m определяется по соотношению:
n
n
n!
,
m  2 m!( n  m)!
z   C nm  
m2
(20)
где n - число деталей, ограничивающих надежность изделия (число
элементов); m - число элементов, заменяемых совместно.
Для трех деталей возможны четыре стратегии групповых замен:
А - I и 2 детали заменяются совместно, деталь 3- отдельно;
Б - I и 3 детали заменяются совместно, деталь 2 - отдельно;
В - 2 и 3 детали заменяются совместно, деталь I –отдельно;
Г – 1,2 и 3 детали заменяются совместно.
Оптимизация использования деталей оценивается коэффициентами.
Коэффициент использования ресурса детали:
 pi 
t ср.гр.
t срi
,
(21)
где tср.гр. – средняя наработка на замену i-й детали; tсрi- средний ресурс
i-й детали, установленный при ее работе до отказа.
Среднее значение коэффициента использования ресурса деталей
при групповой замене устанавливается как среднее значение коэффициентов βpiвсех n деталей группы:
1 n
(22)
 ср    pi ,
n i 1
где п - количество деталей.
Так как, детали изделия имеют разную стоимость, экономическая целесообразность использования их ресурсов неодинакова. Это
учитывается коэффициентом использования деталей при групповой
замене с учетом величины их стоимости:
n
g 
C 
i
i 1
pi
,
(23)
n
C
i 1
i
где Сi- стоимость каждой i детали.
Отклонение от среднего значения коэффициентов использования
ресурсов деталей, заменяемых группой, является показателем снижения безотказности.
Определение наилучшей стратегии замен деталей реализовывается
сравнением значений коэффициентов использования деталей, вычисленных по формуле (23).
Если детали заменяют индивидуально по отказу, коэффициенты
использования ресурса равны 1, так как в этом случае наработка на
замену равна среднему ресурсу детали. Если отказы деталей, включенных в группу совместных замен, независимы, то средняя наработка на
замену вычисляют:

n
k
tнгр    Pi (t )dt   Pгрj (t )t j
0 i 1
где к– число интервалов
ботки; Pгрj (t )
(24)
j 1
наработок; t j - ширина интервала нара-
- вероятность безотказной работы деталей, входящих в
группу совместных замен на j интервале наработки.
Если ресурсы деталей распределены согласно нормальному закону
распределения, то приближенно можно принять, что средняя наработка на замену группы деталей соответствует вероятности Pгр (t )  0,5
(если построить график изменения вероятности безотказной работы
групп совместно заменяемых деталей, то t к .гр может быть определена
из графика при значении Pгр (t )  0,5).
Порядок выполнения работы
1. Изучить метод оценки эффективности использования ресурса
деталей при различной стратегии групповых замен.
2. Из таблицы 8 исходных данных выписать для каждой из трех
деталей: средний ресурс, коэффициент вариации распределения ресурса и стоимость детали.
Та б ли ц а 8
Исходные данные
Номер детали
№
п/п
I
tcp1 ,
тыс.ч.
1
2
V1
3
II
C1 ,
tcp 2 ,
руб
тыс.ч.
4
5
V2
III
C2 ,
tcp 3 ,
руб
тыс.ч.
6
7
8
V3
C3 ,
руб
9
10
1.
6,0
0,30
2,50
8,0
0,25
2,00
4,0
0,31
4,0
2.
3,0
0,25
5,00
6,5
0,23
2,15
4,5
0,30
7,5
3.
3,5
0,30
2,16
5,5
0,22
3,00
5,0
0,29
3,9
4.
4,0
0,31
2,00
5,0
0,30
1,66
6,0
0,28
4,5
5.
4,5
0,30
4,50
6,0
0,31
2,50
5,5
0,27
3,5
6.
5,0
0,29
4,00
4,5
0,31
3,50
6,5
0,26
2,5
7.
5,5
0,28
3,50
4,0
0,30
4,50
3,5
0,25
5,5
8.
6,0
0,27
3,00
3,5
0,29
5,50
3,0
0,24
6,5
9.
6,5
0,26
2,75
3,0
0,27
6,00
2,5
0,23
7,0
10.
7,0
0,25
2,50
2,5
0,26
6,50
2,0
0,22
7,5
11.
4,1
0,24
3,25
6,7
0,25
7,00
3,8
0,23
8,0
12.
2,5
0,23
4,00
3,7
0,24
7,50
4,2
0,24
8,5
13.
3,0
0,22
4,50
4,2
0,23
6,00
4,7
0,25
8,2
14.
3,5
0,23
5,50
4,7
0,22
5,00
5,2
0,26
8,0
15.
4,0
0,24
6,00
5,2
0,23
4,50
2,0
0,27
8,5
16.
4,5
0,25
5,50
5,7
0,24
4,00
2,5
0,28
8,2
Окончание табл. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
17.
5,0
0,26
5,00
6,2
0,25
3,50
3,0
0,29
8,0
18.
5,5
0,27
4,50
6,7
0,26
3,00
3,5
0,30
7,0
19.
6,0
0,28
4,00
7,2
0,27
2,50
4,0
0,31
6,5
20.
6,5
0,29
3,50
2,5
0,28
2,00
4,5
0,25
6,0
21.
7,0
0,30
3,00
2,0
0,29
1,75
5,0
0,26
5,5
22.
7,5
0,31
2,50
2,5
0,30
1,50
5,5
0,27
5,0
23.
8,0
0,25
2,25
3,0
0,20
2,50
6,0
0,28
4,5
24.
7,0
0,30
1,75
3,5
0,18
3,50
5,0
0,18
5,4
25.
6,0
0,27
2,75
4,0
0,20
4,00
3,0
0,19
7,5
26.
5,0
0,19
3,75
4,5
0,20
4,50
3,5
0,20
6,2
27.
2,5
0,18
2,50
3,0
0,20
1,75
2,8
0,25
1,8
28.
4,0
0,20
4,00
3,5
0,19
5,50
5,5
0,24
4,6
29.
4,5
0,19
4,50
3
0,2
5,75
5
0,25
4,5
3. Для заданного варианта стоимостей и параметров распределения ресурсов трех деталей, ограничивающих надежность ремонтируемого изделия определить: все возможные сочетания групповых замен
деталей; для каждого изделия – среднюю наработку на замену деталей;
коэффициенты, характеризующие использование ресурсов деталей
каждого варианта систем замен деталей и выбрать такую стратегию
замены, которая обеспечивает оптимальное использование деталей;
построить графики зависимости вероятности безотказной работы от
наработки для оптимальной стратегии замен.
Все данные, полученные при расчетах, занести в таблицы 9 и 10.
Та б ли ц а 9
Расчет вероятностей безотказной работы
Правила замены и произведения
вероятностей
Показатели
t1 ,
тыс.ч.
1
А
Б
В
Г
U р1
Р1 U р 2
Р2 U р 3
Р3
Р1  Р2
Р1  Р3 Р2  Р3 Р1  Р2  Р3
2
3
5
7
8
9
10



4
6
11

Та б ли ц а 10
Коэффициенты использования деталей
Показатели
А
t ср.гр. , тыс.ч.
 pi
 p1
 p2
 p3
Ci  pi
C1 p1
C2  p 2
C3  p 3
n
C
i 1
i
n
g 
C 
i
i 1
n
C
i 1
i
pi
Правила замены
Б
В
Г
4. Для выполнения требуемых расчетов по формулам (20…24)
предварительно определяется величина среднеквадратичного отклонения распределения ресурсов для каждой детали
(25)
 i  tсрi Vi ,
где
Vi - величина коэффициента вариации (принимается по таблице 8
исходных данных для соответствующей детали).
Вычисляется максимальное значение наработки для каждой детали:
(26)
tmax i  tсрi  3 i
Принимают 8…10 интервалов наработок, определяют по средней
величине t max i ширину интервала t :
t max i 
t max cpi
k
,
(27)
где k – количество интервалов.
Далее находят квантили нормального распределения:
U pij 
tсрi  t  k j
i
(28)
где k j  1...10 в зависимости от количества интервалов наработок.
Данные расчетов заносят в графы 1,2,4 и 6 табл. 9.
5. Вычисляются вероятности безотказной работы деталей (первой,
второй и третьей) для каждого из интервалов наработки. Вероятности
безотказной работы для нормального закона распределения ресурсов
вычисляются с использованием таблицы квантилей (табл. 11):
(29)
P(t )   (U p ) .
При отрицательном значении квантилей:
P(t )  1   (U p ) .
(30)
Для распределения по закону Вейбулла:
P(t )  e (t / a )b
(31)
где а,b – параметры распределения, определяются по таблице
(табл. 12) в зависимости от среднего ресурса и коэффициента вариации.
Рассчитанные значения вероятностей безотказной работы для деталей P1; P2 ; P3 записывают в графы 3,5 и 7 табл. 9.
Затем для всех интервалов наработок для каждого из четырех
стратегий замены (А;Б;В;Г) вычисляются вероятности безотказной
работы группы одновременно заменяемых деталей P1  P2 ; P1  P3 ;
P2  P3 ; P1  P2  P3 и полученные значения вносятся в графы 8, 9,10 и
11 табл. 9.
6. Вычисляется средняя наработка на замену для групп А,Б,В и Г:
k 1


t к.ср.i  t 0.5(1  Pk )   Pj .гр  ,
j 1


(32)
где Рk – вероятность безотказной работы на последнем интервале; i –
меняется в зависимости от стратегии замен А,Б,В и Г, таким образом,
вычисляется средняя наработка tк.ср.А, tк.ср.Б, tк.ср.В, tк.ср.Г.
Полученные значения наработок для каждого из правил замены
вносятся в графы А,Б,В,Г табл. 10.
7. Вычисляются коэффициенты
 pi ;  g ,
полученные значения
для каждой стратегии замены заносятся в соответствующие графы
табл.10.
 р1 А 
t к.ср. А
t ср.1
,  р1Б 
t к.ср.Б
и т.д.
t ср.1
8. Формулируется вывод о наилучшей стратегии замен. По данным табл. 9 строится график зависимости вероятности безотказной
работы от наработки для наилучшей стратегии замен.
9. Оформить отчет, где указать цель работы, основные теоретические сведения и расчетные формулы, исходные данные, результаты
расчетов, приведенные в таблицах 9 и 10, выводы о наилучшей стратегии замен и график P(t )  y(t ).
10. Отчет защитить.
Та б ли ц а 11
Квантили нормального распределения
Up
Р
Up
Р
Up
Р
0,00
0,01
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,5714
0,5753
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,6443
0,6480
0,6517
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,7257
0,7290
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,7580
0,7611
0,7642
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,85
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,7703
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,8159
0,8186
0,8222
0,8238
0,8264
0,8288
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
0,8413
0,8437
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
Окончание табл. 11
Up
Р
Up
Р
Up
Р
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
0,8849
0,8669
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
0,9292
0,9306
0,9319
0,9332
09345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9571
09599
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
Таблица 12
Значения функции е
x
x
e x

х
e x 
x
e x

x
e x

1
0,00
2
1,000
3
10
4
0,40
5
0,670
6
7
7
0,80
8
0,449
9
4
10
3,00
11
0,050
12
5
0,01
0,990
10
0,41
0,664
7
0,81
0,445
5
3,10
0,045
4
0,02
0,980
10
0,42
0,657
7
0,82
0,440
4
3,20
0,041
4
0,03
0,970
9
0,43
0,650
6
0,83
0,436
4
3,30
0,037
4
0,04
0,961
10
0,44
0,644
6
0,84
0,432
5
3,40
0,033
3
0,05
0,951
9
0,45
0,638
7
0,85
0,427
4
3,50
0,030
3
0,06
0,942
10
0,46
0,631
6
0,86
0,423
4
3,60
0,027
2
0,07
0,932
9
0,47
0,625
6
0,87
0,419
4
3,70
0,025
3
0,08
0,823
9
0,48
0,619
6
0,88
0,415
4
3,80
0,022
2
0,09
0,914
9
0,49
0,613
7
0,89
0,411
4
3,90
0,020
2
0,10
0,905
9
0,50
0,606
6
0,90
0,407
4
4,00
0,0183
17
0,11
0,898
9
0,51
0,600
5
0,91
0,403
4
4,10
0,0166
16
0,12
0,887
9
0,52
0,595
6
0,92
0,399
4
4,20
0,0150
14
0,13
0,878
9
0,53
0,589
6
0,93
0,395
4
4,30
0,0136
13
0,14
0,869
8
0,54
0,583
6
0,94
0,391
4
4,40
0,0123
12
0,15
0,861
9
0,55
0,577
6
0,95
0,387
4
4,50
0,0111
10
0,16
0,852
8
0,56
0,571
6
0,96
0,383
4
4,60
0,0101
10
0,17
0,844
9
0,57
0,565
5
0,97
0,379
4
4,70
0,0091
9
0,18
0,835
8
0,58
0,560
6
0,98
0,375
3
4,80
0,0082
8
0,19
0,827
8
0,59
0,554
5
0,99
0,372
4
4,90
0,0074
7
0,20
0,819
8
0,60
0,549
6
1,00
0,368
35
5,00
0,0067
6
0,21
0,811
8
0,61
0,543
5
1,10
0,333
31
5,10
0,0061
6
0,22
0,803
8
0,62
0,538
5
1,20
0,302
29
5,20
0,0055
5
0,23
0,795
8
0,63
0,533
6
1,30
0,273
26
5,30
0,0050
5
0,24
0,787
8
0,64
0,527
5
1,40
0,247
24
5,40
0,0045
4
0,25
0,779
8
0,65
0,522
5
1,50
0,223
21
5,50
0,0041
4
Окончание табл. 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,26
0,771
8
0,66
0,517
5
1,60
0,202
19
5,60
0,0037
4
0,27
0,763
7
0,67
0,512
5
1,70
0,183
18
5,70
0,0033
3
0,28
0,756
8
0,68
0,507
5
1,80
0,165
15
5,80
0,0030
3
0,29
0,748
7
0,69
0,502
5
1,90
0,150
15
5,90
0,0027
2
0,30
0,741
8
0,70
0,497
5
2,00
0,135
13
6,00
0,0025
3
0,31
0,733
7
0,71
0,492
5
2,10
0,122
11
6,10
0,0022
2
0,32
0,726
7
0,72
0,487
5
2,20
0,111
11
6,20
0,0020
2
0,33
0,719
7
0,73
0,482
5
2,30
0,100
9
6,30
0,0018
1
0,34
0,712
7
0,74
0,477
5
2,40
0,091
9
6,40
0,0017
2
0,35
0,705
7
0,75
0,472
5
2,50
0,082
8
6,50
0,0015
1
0,36
0,698
7
0,76
0,468
5
2,60
0,074
7
6,60
0,0014
2
0,37
0,691
7
0,77
0,463
5
2,70
0,067
6
6,70
0,0012
1
0,38
0,684
7
0,78
0,458
4
2,80
0,061
6
6,80
0,0011
1
0,39
0,677
7
0,79
0,454
5
2,90
0,055
5
6,90
0,0010
1
0,40
0,670
7
0,80
0,449
5
3,00
0,050
5
7,00
0,0009
1
Вопросы для контроля
1. Как определяется коэффициент использования ресурса каждой
детали при групповой замене?
2. Назначенный ресурс – это…
3. Чему равен коэффициент использования ресурса детали при
индивидуальной ее замене по потребности при ее отказе?
4. Что называют ресурсом?
5. Как определяется среднее значение коэффициента использования ресурса деталей при групповой замене?
6. Как определяется коэффициент использования деталей при
групповой замене с учетом величин их стоимости?
7. Как определяется наилучшая стратегия замен деталей?
8. Как определяются квантили нормального распределения?
Практическая работа № 4
Прогнозирование расхода запасных деталей при групповых
заменах
Ц е л ь р а б о т ы: изучить анализ потребности в запасных деталях
для десяти систем за плановую наработку tпл  4,0тыс.ч. при различных
наработках групп систем с начала эксплуатации для групповой замены
трех деталей при отказе любой из них.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор.
Основные понятия
Оценки показателей надежности, полученные по результатам испытаний и наблюдений в эксплуатации являются важными для определения фактического состояния системы в целом или ее отдельных
элементов. На основании этой оценки можно сделать прогноз о
надежности партии изделий в эксплуатации.
Прогнозирование позволяет ,на основании поведения одних систем в зависимости от изменения параметров других систем, предвидеть, что будет происходить с системой в настоящее время и в определенной ситуации. Прогнозирование выполняют для оценки технического состояния системы или сборочной единицы и определения закономерности его изменения в процессе работы для управления
надежностью.
Известны три этапа прогнозирования: ретроспекцию, диагностику
и прогноз, этап ретроспекции направлен в прошлое; этап диагностики
— в настоящее; этап прогноза — в будущее.
В эксплуатации надежностью систем можно задавать определенный уровень безотказности и долговечности, что позволяет планировать расход запасных частей, периодичность проведения мероприятий
технического обслуживания и ремонта.
Основные задачи прогнозирования надежности систем: прогноз
закономерности изменения надежности изделий в связи с перспективами развития производства, внедрением новых материалов, оборудования, приспособлений, технологических и конструктивных мероприятий (новыми видами обработки деталей и др.); оценка надежности о
изделия до того, как оно будет изготовлено, на стадии проектирования; прогнозирование надежности изделия на основании результатов
измерения его параметров; прогнозирование надежности изделий по
результатам исследования опытных образцов; прогнозирование
надежности системы в экстремальных условиях эксплуатации.
Среднеквадратичное отклонение при распределенных ресурсов
заменяемых деталей по нормальному закону:
(33)
 i  tсрi Vi
где
tсрi - средний ресурс i детали; Vi - коэффициент вариации рас-
пределения ресурса.
При различных стратегиях замены элементов конструкции процесс восстановления систем по рассматриваемому элементу (детали
или виду ремонта описывается параметром потока отказов  (t ) и
ведущей функцией потока отказов (восстановлений).
Параметр потока восстановлений, равный параметру потока отказов:

 (t )   f kт (t ),
(34)
m1
где
f kт (t ) - плотность композиции распределения ресурсов кон-
структивных элементов до m замен.
Параметр потока отказов характеризует среднее число отказов
ремонтируемого объекта в единицу времени, взятое для рассматриваемого периода его работы
Ведущая функция потока отказов:

(t )   Fkm (t ),
(35)
m1
где
Fkm (t ) - функция композиции распределений ресурсов элементов
до m замен.
Для большинства систем считают подходящим общий процесс
восстановления, при котором ресурс первой больше ресурса запасной
части вследствие ее установки в изношенный агрегат.
Композиции распределения ресурсов при общем процессе восстановлений определяют сложением ресурсов первой детали с плотностью распределения f1(t) и запасной детали с плотностью распределения f3k(t). Запасная деталь последовательно устанавливается в систему,
следовательно:
f3 y (t )  f 2 (t )  f3 (t )  ...  f m (t ).
Для любой наработки системы вероятность безотказной работы
группы заменяемых деталей определяется произведением вероятностей безотказной работы каждой детали, входящей в группу:
n
PГР (t )   Pi (t )  P2 (t )  P3 (t )
i 1
(36)
Параметры распределения вероятностей безотказной работы группы деталей до первой и последующих замен определяется по графикам: средний ресурс соответствует вероятности 0,5, а среднеквадратичное отклонение ресурса определяют:
 tгг 
где
t max  t ср.гр.
3
,
(37)
tmax  принимается из расчетной таблицы или по графику.
Если при проверке окажется, что коэффициент вариации больше
0,33, то среднеквадратичное отклонение ресурса группы деталей надо
определять по следующей зависимости:
 t .гр. 
m
 (t
i 1
i

 t ср.гр ) 2 P (t1 )  P (ti  t )



(38)
В результате этого расчета следует получить значения средних
ресурсов и среднеквадратичных отклонений до первой и последующих
замен группы деталей.
Функции композиций очередных замен:
n
tсрk ( n )   tсрi ,
(39)
i 1
 tk ( n ) 
n

i 1
2
ti
,
(40)
где tcpi  средние наработки до первой и последующих замен;
tcp1  tcpгр1 ,: tcp 2  tcpгр2 и т.д.;  ti  средние квадратичные отклонения наработок на замену групп деталей;
 t1   tгр1;  t 2   tгр2
и т.д.
Параметры распределения вероятностей функций композиций очередной замены групп деталей при общем процессе восстановления:
(41)
tcpk ( n )  tcpгр1  (n  1)tcpгр2 ,
2
2
,
 tk ( n)   tгр
1  (n  1) tгр 2
где
(42)
n  порядковый номер замен.
Число композиций очередных замен определяется приближенно:
n
t i max  t n1 .
t нcpгр1
(43)
Ведущая функция потока отказов группы деталей:
n
(t )   Fki (t ) .
i 1
(44)
Оценка параметра потока отказов:
(t  t )  (t )
(45)
 (t ) 
,
t
где числитель является приращением ведущей функции потока отказа
или замен групп деталей на заданном приращении наработки t . Потребное число замен деталей за период плановой наработки для технологических систем:
Ncn
N ЗАМ   (ti  tn1 )  (ti )
(46)
i 1
Если состав технологических систем по интервалам наработки
непостоянен, то потребность в запасных частях:
k
N ЗАМ   M i (ti  tn 2 )  (ti )
(47)
i 1
или
k
N ЗАМ   M i  tni   (ti )
(48)
i 1
k  число групп разбиения технологических систем с одинаковой наработкой с начала эксплуатации; M i  число технологических систем с наработкой ti .
где
Порядок выполнения работы
1. Изучить основные теоретические сведения, необходимые для
анализа потребности в запасных частях для технологических систем
при групповой замене деталей.
2. Из таблицы 8 исходных данных выписывают для каждой из трех
деталей: средний ресурс, коэффициент вариации распределения и стоимость детали.
3. Для заданного варианта параметров распределения ресурсов
трех деталей необходимо проанализировать потребность в запасных
частях для десяти технологических систем за плановую наработку
tn1  4,0тыс.ч., при значениях наработки с начала эксплуатации – 2,5
тыс.ч. (3 технологических системы); 5,0 тыс.ч. (5 технологических
систем) и 7,5 тыс.ч. (2 технологических системы).Стратегия групповой замены состоит в том, что три детали, ресурсы которых распределены по нормальному закону распределения, заменяются группой при
отказе каждой из них.
Необходимо определить расход запасных деталей при восстановлении ремонтируемого изделия при условии, что средний ресурс заменяемых деталей при второй и последующих заменах уменьшается на
20%, а коэффициенты вариации не изменяются.
При расчете следует использовать результаты по своему варианту
из предыдущей работы № 3 (табл. 9 и 10). Результаты расчета вероятностей безотказной работы представить в виде таблицы 13 (данные из
граф 1,2,3,4,5,6,7 и 11, табл. 9 перенести в графы 1…8 табл. 13).
4. В качестве исходных данных принять величину средней наработки на первую замену для группы из трех деталей (работа № 3)
tср.гр.(А, Б, В или Г), для tmax  7.5тыс.ч. и tn1  4,0тыс.ч. определить число
композиций очередных замен (формула (43)).
Таблица 13
Расчет вероятностей безотказной работы
Р1  Р2  Р3
Показатели
ti ,
Р1 U р 2
Р2 U р 3
Р3
3
5
7
U р1
тыс.ч.
1
2
4
6
8
Р Р
1
2
 Р3
5. Определить величину среднего ресурса группы заменяемых деталей при второй замене, при учете того, что средний ресурс уменьшается при каждой замене на 20%.
tср.гр.2.  0,8tср.гр.( А, Б , ВилиГ) .
С учетом формулы (37) определяем среднеквадратичное отклонение ресурса для группы заменяемых деталей до первой замены. Значение tmaxприведено в задании.
t t
 t .гр.1.  max ср.гр.( А, Б , ВилиГ ) .
3
Определить коэффициент вариации до первой замены:
 t гр1
vгр.1. 
.
t ср.гр.( А, Б , ВилиГ )
Если при расчетах окажется, что коэффициент вариации vгр.1>0,33,
то среднеквадратичное отклонение ресурса группы деталей определяют по формуле (38). Значения вероятностей безотказной работы
принимают по табл. 13.
 t .гр.1 
где Р

.
m
 (t
i 1
i


 t ср.гр( А, Б , ВилиГ ) ) 2 P (t1 )  P (ti  t ) ,


ti  - вероятность безотказной работы
временной)
замене
трех
деталей:
при суммарной (одно-
(Р1*Р2*Р3)
для
i-й
строки;
Р . ti  t  - вероятность безотказной работы при суммарной (одно
временной) замене трех деталей (Р1*Р2*Р3) для следующей после i-й
строки.
Число замен m принимаем с учетом того, что после первой замены
средний ресурс уменьшается на 20%, после второй замены средний
ресурс уменьшается на 40% и т.д. Таким образом, пятой замены быть
не может, т.к. ресурс детали после пятой замены будет использован на
100%, т.е. m=4.
6. Вычислить средние ресурсы и среднеквадратичные отклонения
ресурсов для второй и последующих замен, применив формулы (41) и
(42).
Средний ресурс для второй и последующей замен:
tcpk ( n)  tcpгp( А, Б , ВилиГ)  (n  1)tcpгp2  tср.k 2 ,
t cpk ( n)  t cpгp( А, Б , ВилиГ)  (n  1)t cpгp2  t ср.k 3 ,
где п=2 (для второй замены), п=3 (для третей замены) и т.д.
Среднеквадратичные отклонения ресурсов для второй и последующих замен находят, предварительно определив коэффициент вариации:
vгр.1. 
 t гр1
t ср.гр.( А, Б , ВилиГ )
.
Тогда:
 t .гр.2.  vгр.k1  tср.гр.2 .
 t .гр.k ( 2)   t2.гр.1  (2  1) t2.гр.2
7. При вычислении средних ресурсов группы деталей до первой,
второй и последующих замен, для интервалов наработки, приведенных
в работе № 3, определить с помощью квантилей нормального распределения значения вероятностей безотказной работы Р1, Р2, Р3 группы
заменяемых деталей до первой и последующих замен (таким образом,
для tср.гр.(А, Б, В или Г)=tср.k1, tср.k2, tср.k3 определяем значения вероятностей) и
параметры распределения функций композиций очередных замен
группы деталей.
(49)
Fki  1  P1  P2  P3
Данные расчетов перенести в графы 1…10 табл. 14.
8. Для интервалов наработки определить значения ведущей функции и параметры потока отказов по формулам (44) и (45).
Полученные значения занести в графы 11 и 12 табл.14.
Таблица 14
Результаты расчета параметров очередных замен
Показатели
t нгр1
ti
U р1
1
2
t нгр 2
t нгр 3
(t )  (t )
Р1  Р2  Р3 Fk1 U р 2 Р2
Fk 2
U р3
Р3
Fk 3
3
7
8
9
10
4
5
6
11
12
9. По данным расчета построить графики функций композиций
очередных замен ( Fk1; Fk 2 ; Fk 3 и т.д.), график ведущей функции (t )
и график функции интенсивности потока замен группы деталей.
10. Вычислить математическое ожидание количества заменяемых
деталей на планируемый период эксплуатации для заданного состава
однотипных технологических систем по формулам 47 или 48.
11. По графикам функций композиций сделать вывод о потребности первых, вторых и третьих замен групп деталей за планируемый
период.
12. Оформить отчет, представив в нем цель работы, основные теоретические сведения и расчетные формулы, исходные данные, результаты расчета в таблицах, требуемое количество запасных частей, графики функций композиций очередных замен, ведущей функции интенсивности потока замен группы деталей.
13. Отчет защитить.
Вопросы для контроля
1. Как определяется вероятность безотказной работы для трех
деталей заменяемых одновременно группой?
2. Как вычисляется функция композиции очередных замен для
группы деталей?
3. Как определяется ведущая функция потока отказов (или числа
замен) деталей заменяемых одновременно группой?
4. По какому выражению определяется интервальная оценка параметра потока отказов?
5. Как определяется требуемое число замен деталей за период
плановой наработки для технологических систем с одинаковой наработкой на начало планируемого периода?
6. Как определить число запасных деталей для технологических
систем с неодинаковой наработкой на начало планируемого периода?
7. Как определить среднюю наработку для группы заменяемых
одновременно деталей при второй и последующих заменах?
Практическая работа № 5
Обработка эмпирических данных, распределенных
по экспоненциальному закону
Ц е л ь р а б о т ы: изучить последовательность обработки эмпирических данных по результатам подконтрольной эксплуатации технологических систем при экспоненциальном распределении с проверкой гипотезы о виде закона распределения с применением критерия
согласия W. Определить показатели надежности и их доверительные
границы.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор
Основные понятия
В теории надежности для обработки опытной информации используют большое число различных законов распределения. К та-ким законам, например, относятся: нормальный (Гаусса), логариф-мическинормальный, экспоненциальный, биноминальный, Пуассона, Вейбулла, Стьюдента и др. Каждый закон имеет свою область применения,
свои параметры и расчетные уравнения, свои известные таблицы,
упрощающие проведение расчетов.
Распределение значений многих показателей надежности технологических систем подчиняется экспоненциальному закону. Этот закон хорошо описывает распределение случайных величин, изменение
которых обусловлено влиянием
какого-либо преобладающего,
определяющего фактора, этому распределению могут подчиняться:
случайная наработка до отказа или между отказами; случайная длительность проверки или контроля технологических систем; случайная
длительность некоторой операции (например, ремонта); случайная
длительность технического обслуживания технологических систем.Экспоненциальный закон распределения и закон распределения
Релея представляют собой частные случаи закона распределения Вейбулла.
Непрерывная случайная положительная величинаТ называется
распределенной по экспоненциальному закону, если ее функция плотности вероятности определяется выражением:
e  t ; t  0
,
f (t )  
0; t  0
(50)
где   параметр закона распределения, λ=const. Этот параметр связан с математическим ожиданиема равенством:
(51)
  1 / а0 .
Для экспоненциального закона распределения математическое
ожидание случайной величины
совпадает со средним квадратическим отклонением и является величиной, обратной параметру λ, т.е.
а0   .
При исследовании надежности технологических систем  может
выражать интенсивность отказов или интенсивность восстановления, а
величина а0  среднюю наработку до первого отказа, средний ресурс,
средний срок службы, средний срок сохраняемости, среднее время
восстановления.
Вероятность безотказной работы до первого отказа на заданном
интервале от 0 до t определяется по формуле:
(52)
P(t )  et  et / a0 .
При известной характеристике P(t ) параметр  вычисляется:
1
(53)
    ln P(t ) .
t
Вероятность восстановления:
(54)
PB (t )  1  et .
Связь основных характеристик для закона распределения выражается соотношением:
f (t ) .
(55)
 (t ) 
P(t )
Гамма-процентный срок службы, гамма-процентный ресурс (наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с
заданной вероятностью γ процентов) и гамма-процентный срок сохраняемости определяется по формуле:
T 
1

( ln

100
) .
(56)
При проверке согласия эмпирических распределений для экспоненциального закона, когда число наблюдений n=7…35 может применяться критерий WE1 (критерий Шапиро и Уилка):
WE 
(t  t1 )
n
 (t
j 1
j
2
 t)
n
tj
j 1
n
(

 t1 ) 2
.
(57)
n
2
n
t
j 1
2
j

( t j )
2
j 1
n
Порядок выполнения работы
1. При подконтрольной эксплуатации технологических систем
проводилось исследование их показателей надежности. После каждого отказа система восстанавливалась. На момент обработки информации было отремонтировано 12 систем. Время восстановления каждой
системы составило t j .
2. Из таблицы 15 выписать значение времени восстановления систем в соответствии с вариантом задания.
Таблица 15
Варианты исходных данных для времени восстановления (в часах)
Номера вариантов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10,1
6,24
12,1
9,35
20,4
16,5
16,0
8,27
2,15
3,68
2,16
28,9
10,9
7,60
12,8
7,95
30,8
18,4
18,5
7,65
1,85
8,61
4,22
30,1
10,4
8,09
11,5
9,40
31,9
20,0
8,08
8,06
3,96
4,30
1,29
32,4
10,0
8,52
14,8
10,9
33,5
20,4
9,48
8,48
4,16
4,18
1,36
34,1
9,66
8,95
14,9
10,4
35,2
21,4
8,96
8,90
7,10
2,01
1,43
35,8
10,1
8,37
15,0
10,9
36,9
20,5
10,4
9,39
5,27
4,36
1,60
37,6
12,6
9,80
16,3
11,4
38,6
23,5
10,9
9,75
2,37
7,68
1,56
39,2
13,2
10,2
17,0
11,9
40,3
24,5
11,3
10,1
2,47
8,02
1,63
40,9
13,7
10,6
17,7
12,4
41,9
25,5
11,8
10,6
2,58
8,35
1,70
42,6
9,35
7,67
13,5
9,94
35,2
22,5
10,9
10,1
2,60
8,02
1,60
37,6
11,0
7,60
13,6
12,4
40,2
23,4
10,5
9,00
2,10
6,40
1,25
29,0
9,85
8,10
14,3
10,5
37,0
25,0
11,2
10,1
2,3
8,4
1,4
31,0
3. Принимая, что время восстановления подчиняется экспоненциальному закону распределения, необходимо проверить гипотезу о виде
закона распределения с применением критерия согласия WE , найти
оценку параметров закона распределения времени восстановления ме-
тодом моментов, определить доверительные границы для параметра
экспоненциального закона распределения, вычислить оценки показателей надежности и их доверительные границы: среднего времени восстановления, вероятности восстановления за время t  10 часов. Построить характеристики надежности (дифференциальную и интегральную функции экспоненциального распределения случайной величины).
4. Построить вариационный (ранжированный) ряд и все значения
t j занести в табл. 16 и рассчитать среднее значение наработки:
1 n
(58)
t j ,
n j 1
где n  число отремонтированных (восстановленных) изделий
(n=12).
t
5. Вычислить последовательные значения (t j  t ) и
(t j  t ) 2 и за-
нести эти значения в табл. 16.
Таблица 16
Результаты расчета
t j t t j  t (t j  t ) 2 e  t j P(t j )  1  et
n
1
2
3
4
5
6
6. Определить значение критерия
7
f (t j )  et
8
WE .
Полученные значения критерия WE
сравнить с 95%
(0,044…0,215) и с 90% (0,05…0,191) интервалами. Если полученное
значение лежит внутри этих интервалов, то эмпирические данные отражают экспоненциальный закон распределения.
7. Оценку параметра экспоненциального закона распределения по
методу моментов проводят по формуле:
n .
(59)
 n
t j
j 1
8. Определить нижнюю и верхнюю доверительные границы параметра  экспоненциального распределения при заданной доверительной вероятности   90% по формулам:
А   /  3 ,
В   /  4 ,
где
(60)
(61)
 3 и  4  коэффициенты, подсчитанные по формулам:
3 
4 
4(m  1)
( 4m  1  U  ) 2
,
4(m  1)
.
( 4m  1  U  ) 2
(62)
(63)
U   квантиль нормального распределения, соответствующая
односторонней доверительной вероятности  .
где
m  суммарное число отказов всех систем за время испытания (
m  n  12 ). Для   90%, U   1.356 .
9. Подсчитать оценки показателей надежности.
Оценка среднего времени восстановления производится по формуле:
(64)
Т В  1/  .
Определить нижнюю и верхнюю доверительные границы среднего времени восстановления при односторонней доверительной вероятности   90% :
(65)
Т ВOН  1  В ,
Т ВOВ   2  В .
где
(66)
 1 и  2  коэффициенты, подсчитываемые по формулам:
1 
4m
,
( 4m  1  U  ) 2
(67)
4m
.
(68)
( 4m  1  U  ) 2
Оценка вероятности того, что отказ будет обнаружен и устранен
путем проведения ремонта или технического обслуживания в течение
10 ч., определяется по формуле:
2 

t
(69)
РВ (10)  1  е t  1  e t .
Найти с доверительной вероятностью   90% нижнюю и верхнюю односторонние доверительные границы вероятности обнаружения и устранения отказа в течении t  10часов :
Т ВOН (10)  1  еН t  1  e10Н ,
(70)
Т ВOВ (10)  1  еВt  1  e10В .
(71)
10. Построить графические характеристики надежности для чего
по выражению (69) определить значения вероятности восстановления
для всех 12 значений t j и полученные значения занести в табл. 16 и по
этим значениям построить график.
11. Рассчитать значения теоретической плотности распределения
вероятности, полученные значения занести в табл. 16 и по этим значениям построить график.
12. Оформить отчет, в котором представить цель работы, основные теоретические сведения и расчетные формулы, исходные данные,
результаты расчета, выводы о соответствии эмпирических данных
экспоненциальному закону распределения и графики РВ (t )   (t ) и
f (t )   (t ) .
13. Отчет защитить.
Вопросы для контроля
1. Как определить величину среднего времени восстановления
при известном значении параметра потока восстановлений для экспоненциального закона распределения?
2. Как определить величину среднеквадратичного отклонения
времени восстановления для экспоненциального распределения?
3. Как определить величину вероятности восстановления во время Р(t) при экспоненциальном законе времени восстановления?
Практическая работа № 6
Определение оценок и доверительных границ для параметров
логарифмически нормального распределения
Ц е л ь р а б о т ы: найти оценки параметров a и σ для
логарифмически нормального определения.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Логарифмически нормальное распределение часто встречается на
практике. Оно возникает в задачах надежности систем (например,
срок службы некоторых типов изделий, в исследованиях и др.).
В данной работе уже известно, что распределение изучаемой
случайной величины логарифмически нормально, и требуется оценить
его параметры.
Следует иметь в виду, что, на не слишком больших отрезках
функции логарифмически нормального распределения мало
отличается от функции нормального распределения. Поэтому
рекомендуется
следующее
правило:
если
распределение
логарифмически нормально, но выборочный коэффициент вариации,
т.е. отношение выборочной дисперсии к выборочному среднему,
меньше 0,3, то можно считать, что исследуемая величина распределена
нормально, и обрабатывать данные надлежащим образом.
Распределение положительной случайной величины Х называется
логарифмически нормальным, в том случае если случайная величина:
(72)
Y  lg x
имеет нормальное распределение.
Функция распределения величины Х имеет вид:


2
lg x  a  / 
1 
 1 lg x   t  a 
 t 2  при Х>0
F x   
dt

e
 e

2 dt
2 2
2
 2  

0
при Х  0 (73)
Таким образом, a и σ являются соответственно математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной
величины Y, определенной по формуле (72).
Плотность распределения величины Х :
2
  lg x  a 
M
при X>0
(74)
f x  
e
2 2
 2
при Х  0
0
где M  lg e  0,4343 .
Оценка параметра a :
a
где
1 n
 lg xi
n i 1
(75)
x1 ,...,xn - совокупность наблюдений значений случайной
величины Х; n- число изделий, поставленных под наблюдение, или
число испытаний.
Если значения параметра a неизвестно, то оценка S2 параметраσ:
2
1 n
(76)
S2 
 lg x  a ,
n 1 i  1 i
где a определяют по формуле (94)
Оценка S 1 параметра σ :

S1 


1 n
 lg x  a
n 1 i  1 i

2
(77)
где a вычисляют по формуле (94).
Оценку S 1 надо использовать в тех случаях, когда не требуется
большая точность вычислений. Поэтому необходимо найти также
несмещенную оценку для σ:
(78)
S  M K  S1 ,
где Мк определяют по табл. 17 при K=n-1.
Определение доверительных границ для параметра а
Нижнюю и верхнюю доверительные границы (соответственно ани
аВдля параметраа при известном значении параметра σ определяют
по следующим формулам:
u 
(79)
aН  a 
aВ  a 
n
u 
(80)
n
где a - вычисляют по формуле (75), а uγ - по таблицам.
Таблица 17
Значения коэффициентов М K
К
МK
K
МK
К
МK
1
2
1,253
1,128
10
11
1,025
1,023
19
20
1,013
1,013
3
1,085
12
1,021
25
1,010
4
1,064
13
1,019
30
1,008
5
1,051
14
1,018
35
1,007
6
7
8
1,042
1,036
1,032
15
16
17
1,017
1,016
1,015
40
45
50
1,006
1,006
1,005
9
1,028
18
1,014
60
1,004
Доверительные границы для параметра a при неизвестном значении σ подсчитывают по формулам:
t S
(81)
aН  a 
aВ  a 
n
t S
(82)
n
где a и S определяют соответственно по формулам (75) и (78), а tγ- в
табл. 18 по заданным значениям n - 1 и γ.
Таблица 18
Значения коэффициентов tγ
1
Значения коэффициентов tγ при односторонней доверительной
вероятности γ
0,80
0,90
10,95
0,975
0,990
0,995
0,997 0,9990
5
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1,375
3,078
6,314
12,71
31,82
63,66
127,3
318,3
2
1,061
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
14,09
22,33
3
0,978
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
7,453
10,21
4
0,941
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5,598
7,173
5
0,920
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
4,773
5,893
6
0,906
1,440
1,943
4,447
3,143
3,707
4,317
5,208
7
0,896
1,415
1,895
2,365
2,998
3,449
4,029
4,785
8
0,889
1,397
1,859
2,306
2,896
3,335
3,832
4,501
9
0,883
1,383
1,833
2,252
2,821
3,250
3,690
4,297
10
0,879
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
3,581
4,144
11
0,876
1,363
1,796
2,201
2,713
3,106
3,497
4,025
12
0,873
1,356
1,782
2,170
2,680
3,054
3,497
3,930
13
0,870
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,373
3,852
14
0,868
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
3,326
3,787
15
0,866
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
3,286
3,286
16
0,865
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,252
3,686
n1
Окончание табл. 18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
17
0,863
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,222
3,646
18
0,862
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,197
3,611
19
0,861
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,174
3,579
20
0,860
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,153
3,552
21
0,859
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,135
3,527
22
0,858
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,119
3,505
23
0,858
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,104
3,485
24
0,857
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,090
3,467
25
0,856
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,078
3,450
26
0,856
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
3,067
3,435
27
0,855
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,056
3,421
28
0,855
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,047
3,408
29
0,854
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,038
3,396
30
0,854
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,030
3,385
32
0,853
1,309
1,694
2,037
2,449
2,737
3,015
3,365
34
0,853
1,307
1,691
2,032
2,441
2,728
3,002
3,348
36
0,852
1,305
1,688
2,028
2,434
2,719
2,990
3,333
38
0,852
1,304
1,686
2,024
2,429
2,712
2,980
3,319
40
0,851
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
2,971
3,307
Определение доверительных границ для параметра σ
Нижнюю и верхнюю доверительные границы для параметра σ (соответственно σН и σВ) определяют по следующим формулам:
(83)
 Н  ZН  S
 В  ZВ  S
(84)
где S находят по формуле (78), ZН и ZВ – соответственно по табл. 19 и
20 приК=n-1, если значения параметра а неизвестны.
Таблица 19
Значения коэффициентов ZН
К
Значения коэффициентов ZН при односторонней доверительной
вероятности γ
0,80
0,90
0,95
0,975
0,990
0,995
0,9975
0,9990
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0,788
0,788
0,578
0,521
0,466
0,434
0,408
0,380
3
0,804
0,804
0,620
0,566
0,514
0,483
0,457
0,429
4
0,817
0,817
0,649
0,599
0,549
0,519
0,493
0,455
5
0,828
0,828
0,672
0,624
0,576
0,546
0,521
0,494
6
0,837
0,837
0,690
0,644
0,597
0,569
0,544
0,517
7
0,845
0,845
0,705
0,661
0,616
0,588
0,563
0,536
8
0,852
0,852
0,718
0,675
0,631
0,604
0,580
0,553
9
0,859
0,788
0,729
0,688
0,645
0,618
0,549
0,568
10
0,864
0,804
0,699
0,739
0,656
0,630
0,607
0,581
11
0,869
0,817
0,748
0,708
0,667
0,641
0,619
0,593
12
0,872
0,828
0,755
0,717
0,677
0,651
0,629
0,604
13
0,874
0,837
0,762
0,725
0,685
0,660
0,638
0,614
14
0,877
0,845
0,769
0,732
0,693
0,669
0,647
0,623
15
0,881
0,852
0,775
0,739
0,700
0,676
0,655
0,631
16
0,884
0,859
0,780
0,745
0,707
0,683
0,662
0,638
17
0,886
0,864
0,785
0,713
0,690
0,690
0,669
0,646
18
0,888
0,869
0,790
0,756
0,719
0,696
0,675
0,652
19
0,836
0,872
0,760
0,725
0,725
0,702
0,681
0,658
20
0,894
0,874
0,798
0,765
0,730
0,687
0,707
0,664
22
0,898
0,877
0,773
0,739
0,739
0,717
0,697
0,675
24
0,901
0,881
0,812
0,781
0,747
0,726
0,707
0,685
26
0,904
0,884
0,818
0,788
0,755
0,734
0,715
0,694
Окончание табл.19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
28
0,907
0,886
0,823
0,794
0,762
0,741
0,723
0,702
30
0,909
0,888
0,828
0,799
0,768
0,748
0,730
0,709
35
0,915
0,836
0,838
0,811
0,781
0,762
0,745
0,725
40
0,919
0,894
0,847
0,821
0,792
0,774
0,757
0,738
45
0,923
0,898
0,854
0,829
0,802
0,784
0,768
0,750
50
0,927
0,901
0,861
0,837
0,810
0,793
0,777
0,760
60
0,932
0,904
0,871
0,349
0,824
0,808
0,793
0,776
70
0,937
0,907
0,879
0,858
0,835
0,820
0,805
0,789
80
0,941
0,909
0,88§
0,866
0,844
0,829
0,815
0,801
90
0,943
0,915
0,892
0,373
0,852
0,338
0,825
0,810
10
0
0,946
0,919
0,897
0,879
0,858
0,845
0,832
0,818
Таблица 20
Значения коэффициентов ZВ
Значения коэффициентов ZВ при односторонней доверительной
вероятности γ
К
0,80
0,90
0,95
0,975
0,990
0,995
0,9975
0,9990
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2,12
3,08
4,42
6,28
9,97
14,1
19,89
31,6
3
1,73
2,27
2,92
3,73
5,11
6,47
8,19
11,1
4
1,56
1,94
2,37
2,87
3,67
4,40
5,29
6,64
5
1,46
1,76
2,09
2,45
3,00
3,48
4,04
4,88
6
1,40
1,65
1,92
2,20
2,62
2,98
3,38
2,97
7
1,35
1,57
1,80
2,04
2,38
2,66
2,97
3,42
8
1,32
1,51
1,71
1,92
2,20
2,44
2,69
3,06
9
1,29
1,47
1,65
1,83
2,08
2,28
2,49
2,79
Окончание табл. 20
10
1,27
1,43
1,59
1,75
1,98
2,15
2,34
2,60
11
1,25
1,40
1,55
1,70
1,90
2,06
2,22
2,45
12
1,24
1,38
1,52
1,65
1,83
1,98
2,13
2,33
13
1,23
1,36
1,49
1,61
1,78
1,91
2,05
2,23
14
1,22
1,34
1,46
1,58
1,73
1,85
1,98
2,15
15
1,21
1,32
1,44
1,55
1,69
1,81
1,93
2,08
16
1,20
1,31
1,42
1,52
1,66
1,76
1,87
2,01
17
1,19
1,30
1,40
1,50
1,63
1,73
1,83
1,96
18
1,18
1,28
1,38
1,48
1,60
1,70
1,79
1,92
19
1,18
1,27
1,37
1,46
1,58
1,67
1,75
1,87
20
1,17
1,26
1,36
1,44
1,56
1,64
1,72
1,84
22
1,16
1,25
1,34
1,42
1,52
1,60
1,67
1,77
24
1,15
1,24
1,32
1,39
1,49
1,56
1,63
1,72
26
1,15
1,23
1,30
1,37
1,46
1,53
1,59
1,72
28
1,14
1,22
1,29
1,35
1,44
1,50
1,56
1,64
30
1,13
1,21
1,27
1,34
1,42
1,48
1,53
1,61
35
1,12
1,19
1,25
1,30
1,38
1,43
1,47
1,54
40
1,11
1,17
1,23
1,28
1,34
1,39
1,43
1,49
45
1,10
1,16
1,21
1,26
1,32
1,36
1,40
1,46
50
1,10
1,15
1,20
1,24
1,30
1,34
1,37
1,42
60
1,09
1,14
1,18
1,22
1,27
1,30
1,33
1,37
70
1,08
1,13
1,16
1,20
1,24
1,27
1,30
1,34
80
1,08
1,12
1,15
1,18
1,22
1,25
1,27
1,31
90
1,07
1,11
1,14
1,17
1,21
1,23
1,25
1,29
100
1,07
1,10
1,13
1,16
1,19
1,22
1,24
1,27
Доверительный интервал (бесконечный в одностороннем случае и
конечный в двустороннем) накрывает значение параметра с вероятностью γ в одностороннем случае и γ* в двустороннем.
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 21 студенту необходимо выписать значения, согласно
варианту, выданному преподавателем.
Таблица 21
Исходные данные
№
1
Значения Х
1793
689
628
901
1665
776
559
901
781
736
1872
1767
658
509
351
841
1100
1700
2
Все значения X варианта 1 умножить на 0,9
3
То же
на 0,85
4
-//-
на 0,7
5
-//-
на 1,2
6
-//-
на 0,95
7
-//-
на 1,28
8
-//-
на 1,42
9
-//-
на 0,77
10
-//-
на 0,82
11
-//-
на 1,14
12
-//-
на 1,22
13
-//-
на 1,37
14
-//-
на 0,93
15
-//-
на 1,29
16
-//-
на 0,89
17
-//-
на 0,72
18
-//-
на 0,98
19
-//-
на 1,08
20
-//-
на 1,19
21
-//-
на 1,32
22
-//-
на 1,45
23
-//-
на 1,51
24
-//-
на 1,03
25
-//-
на 1,56
26
-//-
на 1,49
1797
1746
1076
235
524
765
1397
788
1074
480 411
489 735
375 703
2. Известно, что наработка технической системы на отказ имеет
логарифмически нормальное распределение. В табл. 21 приведены
результаты испытаний, где Хi - срок работы i-ой технической системы.
Необходимо найти оценки параметров a и σ.
3. Заполнить табл. 22.
Таблица 22
2
4.
Определение величин (lg xi  a)
i
xi
lgxi
lg xi  a
(lg xi  a) 2
Σ
Σ
5. Найти a , S2, S1, S, согласно формулам и табл. 18 при доверительной вероятности γ = 0,80; γ = 0,90 и γ = 0,95 - доверительные
границы aн и aв. Согласно формулам и табл. 19, 20 определить для
параметра σ доверительные границы при односторонней доверительной вероятности γ = 0,80, γ= 0,90, γ = 0,95.
6. Сделать выводы.
7. Оформить отчет, где отразить цель работы, теоретические
сведения, исходные данные, расчеты, выводы.
Защитить отчет у преподавателя
Вопросы для контроля
1. В каких задачах надежности технологических систем используют логарифмически нормальное распределение?
2. Что называют выборочным коэффициентом вариации?
3. Что называют плотностью распределения?
4. Нижняя и верхняя доверительные границы параметра.
5. Бесконечный и конечный доверительные интервалы.
Практическая работа № 7
Оценка показателей надёжности по результатам наблюдений для нормального закона распределения
Ц е л ь р а б о т ы: определить точечные оценки показателей
надежности по параметрам наиболее распространенного закона рас-
пределения (нормального, Гаусса) методом максимального правдоподобия в зависимости от плана наблюдений в условиях эксплуатации.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Нормальное распределение - основное в математической статистике. Оно применяется, когда на случайную величину действует
большое число равных факторов.
В теории надежности нормальным распределением описывают
наработки на отказ элементов в результате их износа и старения.
Под оценками показателей надежности понимают числовые значения показателей, определяемые по результатам наблюдений за изделиями (системами) в условиях эксплуатации. За числовое значение
показателя принимают точечную оценку или доверительные границы
интервала, который с заданной доверительной вероятностью покрывает истинное значение показателя надежности. Точечную оценку принимают за приближенное значение неизвестного показателя надежности.
Определение точечной оценки параметров нормального закона
распределения
Функция плотности вероятности:
( t  a )2

1
2
при t≥0
f (t ) 
e 2 ,
 2
точечную оценку параметров aи σ определяют соответственно по
формулам (85), (86) для плана наблюдений [N,U,T]:
оценка a параметра a:
(85)
a  k  T ,
оценка параметра σ:
T

1 d
 ti
d i 1
,
(86)
N d
f1 (k )  k
d
где N - число изделий (систем), поставленных под наблюдение; d
- число отказов за время наблюденияТ; ti- отдельные значения случайной величины (наработки каждого изделия (системы) до отказа); k коэффициент, рассчитанный по формуле (для плана [N,U,T]):
2
2
1 d 2 1 d 
N d
N d  2
ti    ti 
1
kf1 (k )  
 f1 ( k )

d i 1
d
 d i 1  
 d 
2
2
1 d 

N  d

f
(
k
)

k
 T   ti 
1
 d

d i 1 

(87)
где значение f1(k) определяют по табл. 23.
Точечные сценки показателей надежности определяют по формулам по точечным опенкам параметров закона распределения в зависимости от закона распределения случайной величины: наработки до
отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости, времени восстановления.
Для нормального закона распределения:
средняя наработка до первого отказа: Тср= а ,
средний ресурс: Тр.с. = а ,
средний срок службы: Тсл.ср = а ,
средний срок сохраняемости: Тс.ср= а ,
среднее время восстановления: ТВ.ср. = а ,
гамма – процентный срок службы:
1 1  t   a   ,
(88)
Т сл   Ф

2 2    100
гамма – процентный срок сохраняемости:
1 1  t   a   ,
(89)
Т с   Ф

2 2    100
Таблица 23
Значения f1(k), f2(k), f3(k)
k
f1(k)
f2(k)
f3(k)
-2,0
2,373
1,003
0,519
-1,9
2,285
1,004
0
-1,3
2,197
1,005
0,530
-1,7
2,110
1,006
0,537
-1,6
2,024
1,009
0,546
-1,5
1,939
1,011
0,556
-1,4
1,854
1,015
0,568
-1,3
1,770
1,019
0,583
Окончание табл. 23
-1,2
1,688
1,025
0,600
-1,1
1,606
1,032
0,620
-1,0
1,525
1,042
0,643
-0,9
1,446
1,054
0,671
-0,8
1,376
1,069
0,702
-0,7
1,290
1,089
0,740
-0,6
1,215
1,114
0,783
-0,5
1,141
1,147
0,833
-0,4
1,069
1,189
0,891
-0,3
0,998
1,243
0,959
-0,2
0,929
1,312
1,039
-0,1
0,868
1,401
1,132
0
0,790
1,517
1,214
0,1
0,735
1,667
1,370
0,2
0,675
1,863
1,523
0,3
0,671
2,119
1,704
0,4
0,562
2,458
1,919
0,5
0,509
2,893
2,178
0,7
0,9
0,459
0,412
3,473
4,241
2,488
2,863
1,1
0,368
5,261
3,319
1,3
0,326
6,623
3,876
1,6
0,288
8,448
4,561
1,7
0,252
10,90
5,408
1,9
0,190
14,220
6,462
0,6
0,163
18,730
7,780
0,8
0,139
24,890
9,442
1,0
0,117
33,340
11,550
1,2
0,098
44,990
14,240
1,4
0,082
61,130
17,240
1,6
0,068
83,640
22,190
1,8
0,068
115,200
28,050
2,0
0,055
159,700
35,740
гамма – процентный ресурс:
Т р 
1 1  t   a   ,
 Ф

2 2    100
вероятность безотказной работы до первого отказа:
1 1 t  a ,

Р(t )   Ф
2
2   
(90)
(91)
веротность восстановления:
1 1 t a,

 Ф
2 2   
(92)
1/   f t  a / 
(93)
Рв (t ) 
интенсивность отказов:
 (t ) 
интенсивность восстановления:
 (t ) 
0
1 1 t a

 Ф
2 2   
1 /   f t  a / 
(94)
0
1 1 t a

 Ф
2 2   
tγ- обозначает гамма-процентный ресурс, гамма-процентный срок
службы или гамма-процентный срок сохраняемости.
Из приведенных формул можно сделать вывод, что один и тот же
параметр закона распределения обозначает различия величины, в зависимости от того, в выражение какого показателя надежности он входит.
Определение доверительных границ для параметров нормального закона распределения
Точечные оценки параметров законов распределения являются
случайными величинами и должны проверяться на достоверность доверительными границами с заданной доверительной вероятностью.
Доверительные границы для параметров нормального закона
распределения
По табл. 24 … 28 находят двусторонние и односторонние доверительные границы для параметров a и σ с вероятностью β.
Вероятность P с учетом формул табл. 25, 26 принимает вид:
β; 1   ; n=N-1.
2
Таблица 24
Квантили нормального распределения
β
uβ
zβ
1
β
uβ
zβ
2
0,50
0
3
0,674
4
0,82
5
0,915
6
1,341
0,51
0,025
0,690
0,83
0,954
1,372
0,52
0,050
0,705
0,84
0,994
1,405
0,53
0,075
0,722
0,85
0,036
1,440
0,54
0,100
0,739
0,86
1,080
1,476
0,55
0,126
0,755
0,87
1,126
1,514
0,56
0,151
0,772
0,88
1,175
1,555
0,57
0,176
0,789
0,89
1,227
1,598
0,58
0,202
0,806
0,90
1,282
1,645
0,59
0,228
0,824
0,91
1,341
1,695
0,60
0,253
0,842
0,92
1,405
1,751
0,61
0,279
0,860
0,925
1,440
1,780
0,62
0,305
0,878
0,93
1,476
1,812
0,63
0,332
0,896
0,94
1,555
1,881
0,64
0,358
0,935
0,95
1,645
1,960
0,65
0,385
0,935
0,96
1,751
2,054
0,66
0,412
0,954
0,97
1,881
2,170
0,67
0,440
0,974
0,975
1,960
2,241
0,68
0,468
0,994
0,980
2,054
2,326
0,69
0,496
1,015
0,990
2,326
2,576
0,70
0,524
1,036
0,991
2,366
2,612
0,71
0,563
1,080
0,993
2,457
2,697
0,73
0,613
1,102
0,994
2,512
2,784
0,74
0,643
1,126
0,995
2,576
2,807
Окончание табл.24
1
2
3
4
5
6
0,75
0,674
1,150
0,996
2,652
2,878
0,76
0,706
1,175
0,997
2,748
2,968
0,77
0,738
1,200
0,9975
2,807
3,024
0,78
0,772
1,227
0,9980
2,878
3,090
0,79
0,806
1,254
0,9990
3,090
3,291
0,80
0,842
1,282
0,9995
3,291
3,480
0,81
0,878
1,311
0,9999
3,719
3,885
Значения f2(k) и f3(k) используемые в формулах табл. 24 - 28, принимают по табл. 23.
Таблица 25
Формулы для определения двусторонних доверительных
границ параметра a с вероятностью β для плана наблюдений
[N, U, T]
Граница
нижняя aн
a  z

N
f 2 (k )
верхняя aв
a  z

N
f 2 (k )
Таблица 26
Формулы для определения односторонних доверительных
границ параметра aс вероятностью β для плана наблюдений
[N, U, T]
Граница
нижняя aон
a  u

N
f 2 (k )
верхняя aов
a  u

N
f 2 (k )
Таблица 27
Формулы для определения двусторонних доверительных
границ параметра σс вероятностью β для плана наблюдений
[N, U, T]
Граница
нижняя
  z

N
σн
верхняя σв
  z
f 3 (k )

N
f 3 (k )
Таблица 28
Формулы для определения односторонних доверительных
границ параметра σ с вероятностью β для плана наблюдений
[N, U, T]
Граница
нижняяσон
  u
верхняя σов

N
  u
f 3 (k )

N
f 3 (k )
Значения uβ и zβ используемые в формулах табл. 26 - 28, принимают из табл. 24.
Вероятность Р с учетом формул табл. 27, 28:
 ;1   ;
1  1 
;
; n  N 1.
2
2
Определение доверительных границ для показателей
надежности
Доверительные границы для показателей надежности, являющихся
монотонной функцией одного параметра, находят путем подстановки в
выражение для показателей надежности значений верхней или нижней
границ соответствующего параметра.
Для
нормального
закона
распределения
значения
x2
1  2 даны в табл. 31.
f 0 ( x) 
e
2
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с номером варианта, выданным преподавателем,
студенту необходимо выписать из табл. 30 исходные данные.
Исследования и наблюдения проводились над 20 техническими
системами. После отказа системы не заменялись новыми. Наблюдения
проводились в течение времениТ (данные в табл. 30).
Из табл. 30 выписать время xj изделий, отказавших за время
наблюдения (T>tj), и заполнить табл. 29.
Таблица 29
Время xjи наработка xi
j
xj
i
xi
1
1
.
.
N
C
Примечание: С - время отказавших до конца срока испытания технических систем; xi - наработка каждой технической системы до отказа.
Таблица 30
Исходные данные
№
1
1
2
3
xj
T, ч
t, ч
γ, %
2
3
4
5
2240 1500
2400
3507
3010
680
4115
1200
100
250
400
520
2100 3300
170
2333
2180
950
840
2800
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,29
Каждое значениеX 1-го
варианта умножить на 1,09
2000
500
0
2580
645
90
2180
545
90
1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,19
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,99
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,89
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,83
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,93
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,03
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,26
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,23
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,13
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,16
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,07
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
0,96
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
0,86
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,18
3
2380
Продолжение табл.30
4
5
595
90
1980
495
90
1780
445
"90
1660
415
90
1860
465
90
2060
515
90
2520
630
90
2460
615
90
2260
565
95
2320
580
95
2120
530
95
1420
480
95
1720
430
95
2360
590
95
1
18
19
2
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,28
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,08
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
0,88
21 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на
1,15
22 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,3
20
Окончание табл. 30
4
5
3
2560
640
95
2160
540
95
1760
440
95
2300
575
95
2600
650
95
23 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,05
2100
525
95
24 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,98
1960
4S0
90
25 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,85
1700
425
90
26 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,2
2400
600
90
1900
475
90
28 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 1,2
2200
550
90
29 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,8
1600
400
90
30 Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,9
1800
450
90
2?
Каждое значение X 1-го
варианта умножить на 0,95
2. Подсчитать количество технических систем d, отказавших за
время испытаний. Имеем N = 20, Т, d.
Известно, что сроки службы технических систем подчинялись
нормальному закону распределения; определить оценки показателей
надежности технических систем: средней наработки до отказа, вероятности безотказной работы за время t,ч, интенсивности отказов за то же
время, 90%-ных и 95%-ных ресурсов для плана [N,U,T] .
Принимая отказ за предельное состояние, можно вместо наработки
до отказа говорить о ресурсе.
3. По формуле (87), используя табл. 23, найти k, по формулам (85),
(86) - a ,  . По формулам табл. 25 и с применением табл. 23, 24, определить aн, aв, т.е. найти интервал aн ... aв покрывающий с вероятностью (β = 90%) истинное значение a. По формулам табл. 26, используя табл. 23, 24, найти aон, aов (по формулам табл. 27 – σн, σв, т.е. интервал σн ... σв, покрывающий с вероятностью 0,90 истинное значение
σ. По формулам табл. 28 определить σон, σов. Определить параметры:
средний ресурс, интенсивность восстановления, интенсивность отказов, вероятность и др. формулы (88)…(94).
4. Сделать выводы.
5. Оформить работу, где отразить цель работы, основные теоретические сведения, расчеты, выводы.
6. Защитить отчет у преподавателя.
Вопросы для контроля
1. Применение нормального распределения в теории надежности.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое отказ?
Что называют сроком службы?
Что называют сроком сохраняемости?
Что называют временем восстановления?
Что такое квантиль?
Таблица 31
Плотность вероятности нормального распределения
x2
f 0 ( x) 
x
0
1
2
3
1 2
e
2
4
5
6
7
8
9
0,0
0,3989 0,3989 0,3989 0,3989 0,3966 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
0,1
3970
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,2
3910
3902
3994
3885
3876
3868
3857
3817
3836
3825
0,3 3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
0,4 3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,5 3521
3503
3485
3467
3448
342Э
3410
3391
3372
3392
0,6 3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,7 3129
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,8 2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,9 2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
1,0 2420
2396
2371
2347
2323
2299
2245
2251
2227
2203
1,1 2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1,2 1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
195
6
1736
1,3 1714
1691
1669
1547
1626
1604
1682
1561
1539
1518
1,4 1497
1476
1435
1415
1294
1274
1354
1434
1314
1311
1,5 1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1124
1,6 1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
1,7 0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804
1,8 0790
0775
0743
0761
0734
0721
0707
0694
0681
0669
1,9 0656
0644
0632
0620
0608
0596
0684
0573
0562
0551
2,0 0540
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449
2,1 0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
03/9
0371
0363
2,2 0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290
2,3 0287
0277
0270
0264
0208
0262
0246
0241
0235
0229
2,4 0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180
2,5 0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139
2,6 0133
0132
0125
0123
0122
0119
0116
0131
0110
0107
2,7 0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081
2,8 0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061
Окончание табл. 31
3
4
5
6
7
8
9
2,9 0060
x
0
0058
1
0056
2
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0046
3,0 0044
0043
0042
0040
0039
0038
0038
0037
0035
0034
3,1 0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025
3,2 0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018
3,3 0017
0017
0016
0015
0015
0015
0014
0014
0013
0013
3,4 0012
0012
0011
0010
0010
0010
0009
0009
0009
0009
3,5 0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006
3,6 0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004
3,7 0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003
0003
3,8 0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002
3,9 0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
Практическая работа № 8
Методика расчета проектной надежности технологических
систем
Ц е л ь р а б о т ы: определить количественные показатели
надежности, заданные в виде вероятности безотказной работы P(τ),
коэффициента готовности Кг, средней наработки на отказ T0, среднего
времени восстановления Тв.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Технологическая система должна выполнять возложенные на нее
функции при заданных: режимах и условиях применения, техническом
обслуживании, ремонте, хранении и транспортировании на требуемом
уровне за заданный промежуток времени.
Вероятность безотказной работы есть вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ системы не возникает.
Средняя наработка на отказ: отношение наработки восстанавливаемой системы к математическому ожиданию числа отказов ее в течение этой наработки.
Среднее время восстановления выражается отношением суммарного времени восстановления технологической системы за определенный период к математическому ожиданию числа ее отказов за этот
период.
Коэффициент готовности - вероятность того, что технологическая
система окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, когда применение ее по
назначению не предусматривается.
На основе анализа работы технологической системы составляется
структурная схема надежности (ССН) - это последовательно или параллельно соединенные прямоугольники, каждый из которых обозначает законченный узел. ССН имеет последовательное, параллельное
или смешанное соединение элементов.
При расчете применяют экспоненциальное распределение, функция надежности которого выражается зависимостью:
n
P(t )  e
  i t
i 1
,
где λi- интенсивность отказов i-го элемента; t- время работы системы.
В случае отсутствия статических данных по результатам испытаний или эксплуатации технологической системы для расчета Р(t) используются справочные данные по интенсивности отказов. Расчетная
формула:
P(t )  e

n
 ( iрtiр  iкк tiкк  iттtiтт)
i 1
,
(95)
где λip - интенсивность отказовi-го элемента (детали) во время работы;
λiхр - интенсивность отказов i-го элемента (детали) во время хранения;
λiтр- интенсивность отказов i-го элемента (детали) во время транспортирования; tip - время работы i-го элемента (детали); txp - время хранения i-го элемента (детали); tiтр - время транспортирования i-гo элемента (детали) ; n - число элементов (деталей).
При отсутствии данных о надежности элементов (деталей) для
периодов работы в фактических условиях хранения и транспортирования принимаются следующие соотношения интенсивности отказов:
 xp  10 3 p ;
Tp  1,5 p
(96)
Формула (95) используется для определения вероятности безотказной работы элемента (детали) структурной схемы надежности технологической системы. Вероятность безотказной работы технологической системы, состоящей из нескольких элементов (деталей):
N1
P(t )  П Pi (t )
(97)
i1
где Pi(t) - вероятность безотказной работы за время ti-гo элемента (детали) структурной схемы надежности; N1 - число элементов (деталей)
ССН, участвующих в выполнении работы.
Среднее квадратичное отклонение показателя Р(t) для технологической системы в целом:
 p (t ) 
N
N
i 1
i 1
 2pi (t )   2pi (t )
(98)
При отсутствии статистических данных среднее квадратичное отклонение показателя:
 pi (t )  i (99)
Коэффициент готовности:
К г  1  К рем  К регл
(100)
N2
где Крем - коэффициент ремонта, Ê
; Кремi - коэффициент
ðåì   Ê ðåìi
i 1
ремонта i-гo элемента (детали); N2 - число элементов (деталей), входящих в структурную схему надежности и влияющее на КГ;Крегл - ко-
Т регл ; Т - время регламента (техниэффициент регламента, К
регл
регл 
Т эксп
ческого обслуживания, ремонта или восстановления); Тэксп- время эксплуатации до проведения регламента.
Коэффициент ремонта:
К рем 
Т рем
(101)
Т эксп
гдеТрем - время непланового ремонта технологической системы.
Среднее квадратичное отклонение коэффициента готовности в
первом приближении принимается равным среднему квадратическому
отклонению коэффициента ремонта технологической системы:
(102)
 Кг   Кр  К рем
Порядок выполнения работы
1. Необходимо оценить проектную надежность технологической
системы по результатам технического проектирования с использованием статистических данных эксплуатации серийно изготавливаемых
узлов. На технологическую систему заданы следующие значения показателей надежности: P(t)= 0,80, КГ = 0,95, σР(t) = 0,05,σКг= 0,03, Т0 =
100 ч.
Вероятность безотказной работы задана по вариантам за время
t1=20...55ч работы технологической системы и t2 = 10...25 ч. Коэффициент готовности определить периодичностью проведения регламента
(техобслуживания, ремонта, восстановления) через Tэксп = 3 мес. и
временем Трегл = 1сут.
Для оценки Р(t) и КГ использовать ССН:
1
2
3
4
5
Рис. 1. ССН для определения Р(t) и KГ: 1...5 - элементы, последовательно
соединенные в схеме
2. Из табл. 32 выписать исходные данные по своему варианту в
соответствии с порядковым номером по журналу.
Таблица
32
Исходные данные
2
10
30
20
20
20
3
10
45
35
35
35
4
15
50
35
35
35
5
15
45
30
30
30
6
15
40
25
25
25
7
10
35
25
25
25
8
20
45
25
25
25
9
10
50
40
40
40
10
10
40
30
30
30
11
10
55
45
45
45
12
15
30
15
15
15
13
15
35
20
20
20
15
55
40
40
40
20
40
20
20
20
20
50
30
30
30
25
50
25
25
25
20
55
35
35
35
25
45
20
20
20
25
55
30
30
30
25
65
40
40
40
20
65
45
45
45
15
60
45
45
45
10
60
50
50
50
18
19
20
21
22
23
24
Механические узлы технической системы
17
Сборочный элемент технической системы
16
Рабочий двигатель технической системы
15
Гидравлические узлы технической системы
14
Время работы
элемента ti, ч
2
3
4
5
40 30 30 30
Периодичность
регламента Тэксп, ч
2160
1
Номер элемента, его
наименование
1
2
3
4
5
1
10
Система электроавтоматики технической системы
№
п/п
Окончание табл. 32
№
п/п
Среднее время
восстановления одного
отказа tвi, ч
Наработка на отказ Тpi, ч
1
2
400
2
400 500
3
4
600
5
3
20
2
300
300 500
600
3
21
3
400
300 500
500
3
20
4
300
300 500
500
4
20
5
400
350 400
500
4
21
6
350
350 600
500
5
20
7
350
350 600
500
3
20
8
350
350 500
500
3
22
9
400
300 600
550
4
23
10
400
350 650
550
3
24
11
300
350 600
500
4
25
12
450
300 550
500
5
23
13
410
300 610
500
6
24
14
420
300 580
500
5
24
15
310
320 590
510
6
25
16
320
330 580
520
2
20
17
330
320 590
510
2
23
18
340
300 610
520
2
25
19
360
300 570
500
2
18
20
370
320 570
500
2
19
21
380
310 610
530
2
18
22
390
310 600
530
4
18
23
400
310 570
530
4
20
24
400
320 590
510
4
19
25
400
330 580
520
4
25
Расчетная величина по формуле
1
1
3
5
4
4
5
2
6
t
5
5
5
6
5
6
5
6
4
5
4
5
5
4
5
5
4
4
6
5
6
5
4
5
5
5
4
4
5
4
5
4
6
4
6
5
4
6
5
4
6
6
4
3
6
3
2
3
2
2
3
3
2
3
2
3
4
2
3
2
2
3
3
2
3
2
3
4
3
4
3. На основании исходных данных необходимо определить P(t)
для каждого элемента ССН, принимая во внимание экспоненциальный
закон распределения:
P1 t   e
 t p1 t xp 



 T p1 Txp1 


Из табл. 32 время работы сборочного элемента технологической
системы за цикл работы составляет tр, tхр.
Интенсивность отказов в процессе работы и хранения, ч-1:
1
(103)
 p1 
T p1
4. Определить λхр1 и σр1(t) по формулам (96) и (99).
P1 t   e

  p1t p1   xp1t xp1

 1   p1t p1  xp1t xp1 .
Для рабочего двигателя технологической системы:
P2 (t )  e

t p2
Tp 2
 p 2 t  
1
t p2 ,
Tp2
1 .
Tp2
Для механических узлов технологической системы:
P3 t   e
 t p 3 t xp 3 



 T p 3 Txp 3 

.
5. Время работы механических узлов технологической системы tp3,
txp3. Определить λр3; λxр3; σр3(t) по формулам (103), (96), (99).
Вероятность безотказной работы:
P3 t   e


 1   p3t p3  xp3t xp3  ,
 p3 t    p3 .
  p 3t p 3   xp 3t xp 3
6. Время работы гидравлических узлов технологической системы
аналогично времени работы механических узлов.
Вычислить λр4, λхр4, σp4(t), Р4(t) по формулам (95), (96), (99),
(103).
Система электроавтоматики технологической системы приведена
на рис.2:
λ1
λ2
λ3
λ4
λ3
Рис. 2. ССН системы электроавтоматики технологической системы
7. Принять значения интенсивности отказов элементов: блока питания λ1=5∙10-5 ч-1; пульта управления λ2=3∙10-5 ч-1; блокировки отключения λ3=10∙10-5 ч-1; пульта сигнализации λ4 = 210∙10-5 ч-1.
По приведенным данным определяем Р(t) системы электроавтоматики технологической системы, предварительно рассчитав общую
интенсивность отказов дублированных блокировок.
Для погруженного резервирования среднее время работы:
TП 
1 1 1
1
1    ...   .
 2 3
n
В нашем случае используется резервирование двух элементов
T
1  1
1  
  2
1
или
блок

1 3.

3 2
8. Определить вероятность безотказной работы системы электроавтоматики технологической системы:
P5 t   e

   pit p   xpit xp
9. Найти σp5(t).
10. Вероятность безотказной работы
вычислить по формуле (97)
или
5
Pt   e

   pit p   xpit xp
i 1


.
технологической системы
 1    piti     xpiti .
5
5
i 1
i 1
11. Рассчитать σp(t).
12. При определении коэффициента готовности необходимо найти
среднее время ремонта:
5
Tрем.ц   1  Pi (t ) t вi .
i 1
Среднему времени работы за один цикл (неделю) длительностью
(по вариантам) t = 30...65 ч соответствует среднее время ремонта
Трем.ц.
Так как регламент проводится с периодичностью Тэксп = 3 мес., то
суммарное время ремонта за этот период:
Tрем  Tрем.ц  3  4 ,
где число 3 соответствует 3 месяцам; число 4 - числу недель в месяце.
13. Определить коэффициенты ремонта Крем, регламента (техобслуживания) Крегли готовности КГ.
14. Определить среднее квадратическое отклонение коэффициента
готовности).
15. Среднее значение наработки на отказ определить по формуле:
T0  1  ,
где
5
   ip
.
i 1
16. Сравнить полученные значения вероятности безотказной работы, коэффициента готовности, среднего квадратического отклонения
коэффициента готовности, среднего квадратического отклонения вероятности безотказной работы и среднего значения наработки на отказ
с требуемыми.
17. Сделать выводы.
18. Оформить отчет, где представить цель работы, основные теоретические сведения, исходные данные, расчеты, выводы.
19. Защитить отчет у преподавателя.
Вопросы для контроля
1. Что называют коэффициентом готовности?
2. Что называют структурной схемой надежности?
3. Среднее квадратическое отклонение вероятности безотказной
работы.
Практическая работа № 9
Методика определения точечных оценок показателей
надёжности технологических систем по результатам наблюдений
Ц е л ь р а б о т ы: определить точечные оценки показателей
надёжности технологических системнаиболее распространенных
законов распределения в зависимости от плана наблюдения в условиях
эксплуатации..
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Под оценками показателей надежности понимают числовые значения показателей, определяемые по результатам наблюдений за изделиями в условиях эксплуатации. За числовое значение показателя при-
нимают точечную оценку или доверительные границы интервала, который с заданной доверительной вероятностью покрывает истинное
значение показателя. Точечную оценку принимают за приближенное
значение неизвестного показателя.
Работа по определению оценок показателей надежностидолжна
выполняться по программе в соответствии ссобраннойинформацией о
надёжности.
В методике по каждому конкретному виду продукции или группе
изделий должны быть указаны:
- номенклатура показателей надежности изделий и их элементов;
-доверительная вероятность, с которой должны находиться доверительные границы для показателей надежности;
- критерии отказов;
-законы распределения случайных величин: наработки до первого
отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости, времени восстановления;
- выбранный план наблюдений.
Законы распределения случайных величин при необходимости
уточняют перед проведением работ по определению оценок показателей надежности.
Для получения доверительных границ для показателей надежности следует использовать доверительные вероятности 0,80; 0,90; 0,95;
0,99, выбираемые в зависимости от типа изделия, его назначения и
устанавливаемые в соответствующих методиках.
Для показателей надежности, определяемых по результатам
наблюдений в условиях эксплуатации с целью их последующего
включения в нормативно-техническую документацию, должны быть
указаны точечные оценки показателей надежности, их доверительные
границы с указанием принятой доверительной вероятности.
Определение точечной оценки параметров законов распределения
1. Оценка параметров экспоненциального закона распределения
Функция плотности вероятности задана в виде:
𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 при 𝑡 ≥ 0;
(104)
точечную оценку 𝜆̂ для параметра 𝜆 вычисляют по формулам
табл. 33.
Определение точечных оценок 𝝀̂
Планы
наблюдений
Таблица 33
Формулы для определения точечных оценок 𝜆̂
N
N
t
[N,U,N]
i 1
i
d
[N,U,T]
d
t
i 1
i
 (N  d ) T
r 1
[N,U,r]
r
t
i 1
i
 ( N  r ) t r
𝑑
𝑁𝑇
𝑟−1
𝑁𝑡𝑟
[N,R,T]
[N,R,r]
Последовательность расчета точечной оценки параметра X приведенав порядке выполнения работы.
2. Оценка параметров закона распределения Вейбулла
Функция плотности вероятности задана в виде:
𝑏
𝑓(𝑡) = 𝑏𝜆𝑡𝑏−1 𝑒 −𝜆𝑡 при 𝑡 ≥ 0;
(105)
точечную оценку 𝜆 и 𝑏 для параметров 𝜆 и 𝑏 вычисляют по формулам табл. 34.
Формулы табл.34 обычно решают графическим способом.
Таблица 34
Формулы для определения точечных оценок 𝝀̂ и ̂𝒃
Планы наблюдений
Формулы для определения точечных оценок 𝜆̂ и ̂𝑏
1
2


N
;
N
t
i
b
i 1
[N,U,N]
N
N 

 N 
N

b

ln
t
t

N
tib ln ti  0
i
i



i 1
 b i 1
 i 1
 



d
d
t


b
b
i  (N  d ) T
;
i 1
[N,U,T]
d

 d 

d


ln
t
ti b  ( N  d )  T b   d 
i 





 b i 1
  i 1


 d 



t ib ln t i  ( N  d )T b ln T   0


 i 1




r
r
t


b
b
i  ( N  r )  Tr
i 1
;
[N,U,r]
r

 r 

r

ln t i  
ti b  ( N  r )  t r b   r 
 





 b i 1
  i 1



 r 


t ib ln t i  ( N  r )t r b ln t r   0


 i 1


Окончание табл. 34
3434334
1
2
22


;
d



b
 d
d
 
 

 

N
ti b   T 
ti  


 i 1
i 1  




[N,R,T]

d
d


 d 
d

ln ti 
ti b  (T 
ti )b   d 
 



i 1
 b i 1
 i 1







b
 d 
d
d

 








tib ln ti   T 
ti  ln  T 
ti   0




 i 1
i 1 
i 1 








r

r
N


;
tib
i 1
[N,R,r]
r
r 

 r 
r

ln ti 
tib  r
tib ln ti  0
 


i 1
 b i 1
 i 1
 

Последовательность определения точечных оценок 𝜆̂ и𝑏̂ графическим способом приведена в порядке выполнения работы.
3 Оценка параметров нормального закона распределения.
Функция плотности вероятности задана в виде:
(𝑡−𝑎)2
1
−
𝑓(𝑡) =
𝑒 2𝜎2 при 𝑡 ≥ 0;
(106)
𝜎√2𝜋
точечную оценку параметров 𝑎 и 𝜎 вычисляют соответственно по
формулам табл. 35.
Таблица 35
̂ и𝝈
Формулы для определения точечных оценок 𝜶
̂
Формулы для определения точечных оценок 𝛼
̂
и𝜎
̂
Планы наблюдений
параметра α
N
 ti
[N,U,N]
i 1
N

k T
[N, U,T]

k   tr
[N,U,r]
параметра𝜎
N

i 1



 ti   


N 1
T
2
1 d
 ti
d i 1
N d
f1 ( k )  k
d
tr 
1 r
 ti
r i 1
N r
f1 (k )  k
r
Значения 𝑓1 (𝑘),используемые в формулах, находят по табл.
23.Коэффициент k определяют по формулам табл. 36.
Таблица 36
Формулы для определения коэффициента k
Планы наблюдений
Формулы для определения коэффициента k
[N, U,T]
1 d 2 1 d 
N d
N d  2
ti 
1
kf1 (k )  
 f1 (k )
 t i   d 
d i 1
d
i 1
 
 d 
2
2
1 d 

N  d

f
(
k
)

k
T   ti 
1
 d

d i 1 



[N,U,r]
1 r 2 1 r 
N r
N r 2
ti    ti 
1
kf1 (k )  
 f1 (k )

r i 1
r
 r i 1  
 r 
2
2
1 r 

N  r

f
(
k
)

k
 t r   ti 
1
 r

r i 1 



2
2
2
2
Последовательность определения точечных оценок параметров
нормального закона, распределения и их односторонних и двусторонних доверительных границ с вероятностью βприведена в порядке выполнения работы.
4.Оценка параметров логарифмически-нормального закона распределения.
Функция плотности вероятности задана в виде:
𝑓(𝑡) =
1
(ln 𝑡−𝑎ln 𝑡 )2
2𝜎2
ln 𝑡
−
𝑒
при 𝑡 > 0;
(107)
𝑡𝜎√2𝜋
Точечную оценку параметров 𝑎ln 𝑡 и𝜎ln 𝑡 вычисляют по формулам
табл. 37.
В табл. 37 и 38f1(k) находят по табл. 23. Коэффициент k в табл. 37
находят по формулам табл. 38.
Таблица 37
Формулы для определения точечных оценок 𝒂𝐥𝐧 𝒕 и 𝝈𝐥𝐧 𝒕
Планы наблюдений
Формулы для определения точечных оценок 𝑎ln 𝑡 и
параметра 𝑎ln 𝑡
N
[N,U,N]

i 1
N
[N,U,T]
[N,U, r]

k  ln t  ln T

параметра 𝜎ln 𝑡
N
ln t i
k  ln t  ln t r
𝜎ln 𝑡
 

 ln t i   ln t 



i 1 
N 1

ln T 
1
d
d
 ln t
i
i 1
N d
f1 ( k )  k
d
ln t r 
1
r
r
 ln t
i 1
i
N r
f1 ( k )  k
r
2
Таблица 38
Формулы для определения коэффициента k
Планы
наблюдений
Формулы для определения коэффициента k
[N, U,T]
1 d
1 d

N d
N d  2
ln t i2    ln t i 
1
kf1 (k )  
 f1 (k )

d i 1
d
d
 i 1
 
 d 
2
2
1 d


N d

f1 (k )  k 
 ln T   ln t i 

d i 1
 d



2
2
[N,U,r]
2
1 r
1 r

N r
N r 2
ln t i2    ln t i 
1
kf1 (k )  
 f1 (k )

r i 1
r
 r i 1
 
 r 
2
2
1 r


N  r

f
(
k
)

k
 ln t r   ln t i 
1
 r

r i 1




2
Последовательность определения точечных оценок параметров
логарифмически-нормального закона распределения дана впорядке
выполнения работы.
Точечные оценки параметров законов распределения являются
случайными величинами и должны оцениваться на достоверность доверительными границами с заданной доверительной вероятностью.
Определение точечных оценок методом максимального правдоподобия для планов [N, R, Т], [V, R, г] для нормального и логарифмически-нормального законов распределения не предусматривается. Определение точечных оценок для планов [N, R, Т], [N, R, г] для этих
законов может быть проведено другими методами (моментов, квантилей, графическим и т. п.).
Определение точечных оценок показателей надежности
Точечные оценки показателей надежности рассчитывают по формулам табл. 39 по точечным оценкам параметров законов распределения в зависимости от закона распределения случайной величины:
наработки до отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости,
времени восстановления.
Для неремонтируемых изделий показатель средней наработки до
первого отказа равнозначен показателям средней наработки до отказа,
среднему сроку службы, а также среднему ресурсу, если за предельное
состояние принимается отказ изделия.
Для определения точечных оценок среднего времени восстановления, вероятности восстановления, интенсивности восстановления
может быть использован любой из планов наблюдений, но параметры
законов рассчитывают по формулам для плана [N, U, N].
Значения𝑒 𝑥 ; 𝑒 −𝑥 ; Г(𝑥); Ф(𝑥) =
1
√2𝜋
𝑥
∫−𝑥 𝑒
𝑧2
2
−
𝑑𝑧 ; 𝑓0 (𝑥) =
1
√2𝜋
𝑥2
𝑒− 2
даны соответственно в табл. 62–64, 31.
В табл. 39 один и тот же параметр закона распределения обозначает различные величины в зависимости от того, в выражение какого
показателя надежности он входит.
Точечные оценки показателей надежности являются случайными
величинами и должны оцениваться на достоверность по доверительным границам с заданной доверительной вероятностью.
Таблица 39
Формулы для определения точечных оценок показателей
Экспоненциальный
1
𝜆̂
Г (1 + ̂ )
1
𝑏
𝜆̂𝑏
Нормальный
Логарифмическинормальный
Гаммапроцентногоресура
Гамма-процентного
срока сохраняемости
1
1
𝛾 𝑏̂
[ (− ln
)]
100
𝜆̂
𝑡𝛾̂ − 𝑎̂
1 1
− Ф(
)=
2 2
𝜎̂
𝛾
=
100
𝑎̂
𝑒 𝑎̂ln 𝑡+
Гамма-процентного
срока службы
1
𝛾
(− ln
)
100
𝜆̂
1
Вейбулла
времени
Среднего
восстановления
Среднего срока сохраняемости
срока
Среднего
служжбы
Среднего ресурса
Закон распределе-ния
Средней наработки
до первого отказа
Формулы
̂2
𝜎
ln 𝑡
2
𝑙𝑛 𝑡̂𝛾 − 𝑎̂ln 𝑡
1 1
− Ф(
)
2 2
𝜎̂
𝛾
==
100
Окончание табл. 39
Формулы
Вероятности безотказной
работы до первого отказа
Вероятности восстановления
̂
𝜆̂
̂ 𝑏̂
𝑏̂𝜆̂𝑡 𝑏̂−1
𝑒 −𝜆𝑡
̂
1 − 𝑒 −𝜆𝑡
𝑒 −𝜆𝑡
̂ 𝑏̂
1 − 𝑒 −𝜆𝑡
1 1
𝑡 − 𝑎̂
− Ф(
)
2 2
𝜎̂
1 1
𝑡 − 𝑎̂
+ Ф(
)
2 2
𝜎̂
1
𝑡−𝑎̂
𝑓 ( 𝜎̂ )
̂ 0
𝜎
1
1
𝑡−𝑎̂
2
1 1
ln 𝑡 − 𝑎̂ln 𝑡
− Ф(
)
2 2
𝜎̂ln 𝑡
Интенсивности
восстановления
Интенсивности
отказов
1 1
ln 𝑡 − 𝑎̂ln 𝑡
+ Ф(
)
2 2
𝜎̂ln 𝑡
− 2Ф(
̂
𝜎
)
1
𝑙𝑛𝑡−𝑎̂
𝑓 ( 𝜎̂ ln 𝑡 )
̂ ln 𝑡 0
𝑡𝜎
ln 𝑡
1
1
𝑙𝑛𝑡−𝑎̂ln 𝑡
2
− 2Ф(
̂ ln 𝑡
𝜎
)
Определение доверительных границ для параметров законов распределения
Доверительные границы для параметров экспоненциального закона распределения
По табл. 40 и 41 определяют двусторонние и односторонние доверительные границы для 𝜆 с вероятностью 𝛽 .
2
Значения 𝜒𝑃,𝑛
используемые в формулах табл. 40 и 41, находят по
табл. 61 в зависимости от найденных вероятностей Р и числа степеней
свободы n.
Таблица 40
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
параметра 𝝀 с вероятностью 𝜷
Планы наблю- Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметра 𝜆 с вероятностью 𝛽
дений
Нижняя граница 𝜆н
[N,U,N]
Верхняя граница 𝜆в
2
𝜆̂𝜒1−𝛽
2
2
𝜆̂𝜒1+𝛽
,2𝑁
2𝑁
̂ 𝑁𝜒2
𝜆
1−𝛽
̂ 𝑁𝜒2
𝜆
1+𝛽
2 ,2𝑑
[N,U,T]
2 ,2𝑑+2
2
2
1
2
𝑑 (2𝑁 − 𝑑 + 𝜒1−𝛽
2
2
,2𝑑
)
2
𝜆̂𝜒1−𝛽
[N,U,r]
N,R,T]
2
1
2
𝑑 (2𝑁 − 𝑑 + 𝜒1+𝛽
2
2
2(𝑟 − 1)
2
𝜆̂𝜒1−𝛽
2
𝜆̂𝜒1+𝛽
,2𝑟
2
2𝑑
2
,2𝑑+2
)
,2𝑑
2(𝑟 − 1)
2
2
2
𝜆̂𝜒1+𝛽
,2𝑑
,2𝑟
2𝑑
2
𝜆̂𝜒1−𝛽
[N,R,r]
,2𝑁
2
2𝑁
2
𝜆̂𝜒1−𝛽
,2𝑟
2
2(𝑟 − 1)
,2𝑟
2(𝑟 − 1)
Вероятность Р с учетом значений табл. 40 и 41 принимает вид:
𝛽; 1 − 𝛽;
1+𝛽 1−𝛽
;
2
2
Число n с учетом формул табл. 40, 41 принимаетзначения: 2𝑁, 2𝑑,
2𝑟, 2𝑑 + 2 .
Таблица 41
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра 𝝀 с вероятностью 𝜷
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра 𝜆 с вероятностью 𝛽
Планы наблюдений
Нижняя граница 𝜆о.н
Верхняя граница 𝜆о.в
2
𝜆̂𝜒1−𝛽,2𝑁
2𝑁
2
𝜆̂𝜒𝛽,2𝑁
2𝑁
2
𝜆̂𝑁𝜒1−𝛽,2𝑑+2
2
𝜆̂𝑁𝜒𝛽,2𝑑+2
[N,U,N]
[N,U, T]
1
1
2
𝑑 (2𝑁 − 𝑑 + 𝜒1−𝛽,2𝑑+2
)
2
𝑑 (2𝑁 − 𝑑 + 𝜒𝛽,2𝑑+2
)
[N,U,r]
2
𝜆̂𝜒1−𝛽,2𝑑
2(𝑟 − 1)
2
𝜆̂𝜒𝛽,2𝑑
2(𝑟 − 1)
[N,R,T]
2
𝜆̂𝜒1−𝛽,2𝑑+2
2𝑑
2
𝜆̂𝜒𝛽,2𝑑+2
2𝑑
[N.R.r]
2
𝜆̂𝜒1−𝛽,2𝑟
2(𝑟 − 1)
2
𝜆̂𝜒𝛽,2𝑟
2(𝑟 − 1)
2
2
Доверительные границы для параметров закона Вейбулла
По табл. 42 и 43 определяют двусторонние и односторонние доверительные границы для параметров 𝜆 и 𝑏 с вероятностью 𝛽 .
Значения 𝑢𝛽 и 𝑍𝛽 используемые в формулах табл. 42 и 43, находят
по табл. 24,𝑢𝛽 и 𝑍𝛽 и находят по формулам
1
√2𝜋
𝑢𝛽
∫ 𝑒
−∞
𝑥2
2
−
𝑑𝑥 = 𝛽;
1
√2𝜋
я𝛽
𝑥2
∫ 𝑒 − 2 𝑑𝑥 = 𝛽; 𝑢1−𝛽 = −𝑢𝛽
−𝑧𝛽
Таблица 42
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметров 𝝀 и b с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметров 𝜆 и b с вероятностью 𝛽
Нижняя граница Верхняя граница Нижняя граница Верхняя граница
𝜆н
𝜆в
𝑏н
𝑏в
[N, U, N]
[N, U, T]
[N, U, r]
[N, R, T]
[N.R.r]
𝜆̂ − 𝑧в √𝐷(𝜆̂)
𝜆̂ + 𝑧в √𝐷(𝜆̂)
𝑏̂ − 𝑧в √𝐷(𝑏̂)
𝑏̂ + 𝑧в √𝐷(𝑏̂)
Таблица 43
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметров 𝝀 и b с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметров 𝜆 и b с вероятностью 𝛽
Нижняя граница Верхняя граница Нижняя граница Верхняя граница
𝜆о.н
𝜆о.в
𝑏о.н
𝑏о.в
[N, U, N]
[N, U, T]
[N, U, r]
[N, R, T]
[N.R. r]
𝜆̂ − 𝑢в √𝐷(𝜆̂)
𝜆̂ + 𝑢в √𝐷(𝜆̂)
𝑏̂ − 𝑢в √𝐷(𝑏̂)
𝑏̂ + 𝑢в √𝐷(𝑏̂)
Формулы для определения дисперсий𝐷(𝜆̂)и 𝐷(𝑏̂) точечных оценок
соответственно𝜆̂ и 𝑏̂ даны в табл. 5.
Табл. 3, 4 и 5 составлены в предположениях:
оценки 𝜆̂ и 𝑏̂ параметров 𝜆 и 𝑏 определены методом максимального
правдоподобия по большому числу наблюдений;
метод максимального правдоподобия дает ассимптотичекси- нормальные оценки.
Формулы для определения точечных оценок параметров 𝝀 и 𝒃
Планы наблюдений
Дисперсии точечных оценок
Формулы для определения точечных оценок параметров 𝜆 и 𝑏
N
𝐷(𝜆̂)
[N, U, N]
Таблица 44

2

N

   t ib ln 2 t i
i 1
b
2

  N 
N


N  N

   t ib ln 2 t i     t ib ln t i 
  
  i 1
i 1

2  b 2

N

𝐷(𝑏̂)
2
2
  N 

 N
N  N

   t ib ln 2 t i     t ib ln t i 
  
  i 1
i 1

2  b 2



 d

   tib ln 2 ti  ( N  d )T b ln 2 T 
i 1


b
2


d
d





d d

 

   tib ln 2 ti  ( N  d )T b ln 2 T     tib ln ti  ( N  d )T b ln T 
  
 i 1


2 
 b2
  i 1
d
𝐷(𝜆̂)
[N, U, T]

2
d

𝐷(𝑏̂)
2
2



 d
d 


d
  d 
   tib ln 2 ti  ( N  d )T b ln 2 T     tib ln ti  ( N  d )T b ln T 
  
 i 1


2 
b2
  i 1
. Продолжение табл. 44
Планы набл.
Дисперсии точечных оценок
Формулы для определения точечных оценок параметров 𝜆 и 𝑏
𝐷(𝜆̂)


 r

b
   tib ln 2 ti  ( N  r )tr ln 2 tr 
i 1


b
2




r
r



r r
 

b
b
   tib ln 2 ti  ( N  r )tr ln 2 tr     tib ln ti  ( N  r )tr ln tr 
  
 i 1


2 
 b2
  i 1
r

2
[N, U, r]
r

2
𝐷(𝑏̂)
2



 r
r 


r
  r 
b
b
   tib ln 2 ti  ( N  r )tr ln 2 tr     tib ln ti  ( N  r )tr ln tr 
  
 i 1


2 
 b2
  i 1

d
d

d 

  N  tib ln 2 ti  (T   ti ) b ln 2 (T   ti )
i 1
i 1
i 1


b
2
d
d
d
d
d



d2
dN  d b 2



   ti ln ti  (T   ti )b ln 2 (T   ti )  N 2  tib ln ti  (T   ti )b ln(T   ti )
 
i 1
i 1
i 1
i 1

 i 1

2 b2   i 1
d
𝐷(𝜆̂)
[N, R, T]

2
d

𝐷(𝑏̂)
b2
d2
 
2 2
 b

d
d
d
d


dN  d b 2

d 

t ln ti  (T   ti )b ln 2 (T   ti )  N 2  tib ln ti  (T   ti )b ln(T   ti )
  i
i

1
i

1
i

1
i

1
i

1
i

1





2
Окончание табл.44
Планы набл.
Дисперсии точечных оценок
Формулы для определения точечных оценок параметров 𝜆 и 𝑏
𝐷(𝜆̂)


 r

b
   tib ln 2 ti  ( N  r )tr ln 2 tr 
i 1


b
2


  r 

 r
r 


r
b
b
   tib ln 2 ti  ( N  r )tr ln 2 tr     tib ln ti  ( N  r )tr ln tr 
  
 i 1


2 
 b2
  i 1
r
[N, R, r]

2
r

𝐷(𝑏̂)
2
2



 r
r 


r
  r b
b
b
b
2
2


t
ln
t

(
N

r
)
t
ln
t

t
ln
t

(
N

r
)
t
ln
t




i
i
r
r
i
i
r
r






 i 1


2 
 b2
  i 1
90
Доверительные границы для параметров нормального закона
распределения
По табл. 6—9 определяют двусторонние и односторонние доверительные границы для параметров а и 𝜎 с вероятностью 𝛽.
Значения 𝑡𝑝,𝑛 используемые в формулах табл. 6 и 7, находят по
табл. 4 приложения 3 в зависимости от найденных вероятностей Р и
числа степеней свободы n,
Вероятность Р с учетом формул табл. 6 и 7 принимает вид:
1+𝛽
𝛽;
;𝑛 = 𝑁 − 1
2
Значения, 𝑓2 (𝑘) и 𝑓3 (𝑘), используемые в формулах табл. 6—9,
находят по табл. 3 прил. 3.
Таблица 45
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
параметра а с вероятностью β
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметра а с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝑎н
𝑎̂ − 𝑡1+𝛽,
2
𝑛
∙
𝜎̂
√𝑁
Верхняя граница 𝑎в
𝑎̂ + 𝑡1+𝛽,
2
𝑛
∙
𝜎̂
√𝑁
[N,U,T]
𝑎̂ − 𝑧𝛽 ∙
[N,U.r]
𝜎̂
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
𝑎̂ + 𝑧𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
91
Таблица 46
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра а с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметра а с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝑎н
𝑎̂ − 𝑡𝛽,𝑛 ∙
[N,U,T]
𝑎̂ − 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
𝜎̂
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
Верхняя граница 𝑎в
𝑎̂ + 𝑡𝛽,𝑛 ∙
𝑎̂ + 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
𝜎̂
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
[N,U.r]
Значения 𝑢𝛽 и 𝑧𝛽 , используемые в формулах табл. 45…48, находят
по табл, 24.
Значения 𝜒Р.2 𝑛 используемые в формулах табл. 47 и 48, находят по
табл.61.
Вероятность Р с учетом формул табл. 47 и 48 принимает вид:
1−𝛽 1+𝛽
𝛽; 1 − 𝛽;
;
;𝑛 = 𝑁 − 1
2
2
Таблица 47
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
параметра 𝝈 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметра 𝜎 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝜎н
Верхняя граница 𝜎в
𝑁−1
𝜎̂√ 2
𝜒1+𝛽
𝑁−1
𝜎̂√ 2
𝜒1−𝛽
2
[N,U,T]
𝜎̂ − 𝑧𝛽 ∙
[N,U.r]
𝜎̂
√𝑁
, 𝑛
√𝑓3 (𝑘)
2
𝜎̂ + 𝑧𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
, 𝑛
√𝑓3 (𝑘)
92
Таблица 48
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра 𝝈 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметра 𝜎 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝜎о.н
Верхняя граница 𝜎о.в
𝑁−1
𝜎̂√ 2
𝜒𝛽, 𝑛
𝑁−1
𝜎̂√ 2
𝜒1−𝛽, 𝑛
[N,U,T]
𝜎̂ − 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
𝜎̂ + 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
[N,U.r]
Доверительные границы для параметров логарифмическинормального законараспределения
По табл. 49…52 определяют двусторонние и односторонние доверительные границы для 𝑎ln 𝑡 , 𝜎ln 𝑡 с вероятностью 𝛽 .
Значения 𝑓2 (𝑘) и 𝑓3 (𝑘), используемые в формулах табл. 49…52,
находят по табл. 23.
Значения 𝑡𝑃,𝑛 используемые в формулах табл. 49, 50, находят по
табл. 18.
Значения𝑢𝛽 и 𝑧𝛽, используемые в формулах табл. 49…52, находят
по табл. 24.
Значения𝜒Р.2 𝑛 используемые в формулах табл. 51, 52 находят по
табл. 61.
Вероятность Р с учетом формул табл. 49…52принимает вид:
𝛽; 1 − 𝛽;
1+𝛽 1−𝛽
;
; 𝑛=𝑁−1
2
2
93
Таблица 49
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
параметра 𝒂𝒍𝒏 𝒕 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметра 𝑎𝑙𝑛 𝑡 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝑎𝑙𝑛 𝑡 н
𝑎̂ln 𝑡 − 𝑡1+𝛽,
2
𝑛
∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
Верхняя граница 𝑎𝑙𝑛 𝑡 в
𝑎̂ln 𝑡 + 𝑡1+𝛽,
2
𝑛
∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
[N,U,T]
𝑎̂ln 𝑡 − 𝑧𝛽 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
𝑎̂ln 𝑡 + 𝑧𝛽 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
[N,U.r]
Таблица 50
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра а𝐥𝐧 𝒕 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметрааln 𝑡 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝑎н
𝑎̂ln 𝑡 − 𝑡𝛽,𝑛 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
Верхняя граница 𝑎в
𝑎̂ln 𝑡 + 𝑡𝛽,𝑛 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
[N, U, T]
𝑎̂ln 𝑡 − 𝑢𝛽 ∙
[N,U.r]
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
𝑎̂ln 𝑡 + 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓2 (𝑘)
94
Таблица 51
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
параметра 𝝈𝐥𝐧 𝒕 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения двусторонних доверительных границ параметра 𝜎ln 𝑡 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝜎н
Верхняя граница 𝜎в
𝑁−1
𝜎̂ln 𝑡 √ 2
𝜒1+𝛽
𝑁−1
𝜎̂ln 𝑡 √ 2
𝜒1−𝛽
2
[N,U,T]
𝜎̂ln 𝑡 − 𝑧𝛽 ∙
, 𝑛
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
2
𝜎̂ln 𝑡 + 𝑧𝛽 ∙
, 𝑛
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
[N,U.r]
Таблица 52
Формулы для определения односторонних доверительных границ
параметра 𝝈 с вероятностью 𝜷
Планы
наблюдений
[N,U,N]
Формулы для определения односторонних доверительных границ параметра 𝜎 с вероятностью 𝛽
Нижняя граница 𝜎о.н
Верхняя граница 𝜎о.в
𝑁−1
𝜎̂ln 𝑡 √ 2
𝜒𝛽, 𝑛
𝑁−1
𝜎̂ln 𝑡 √ 2
𝜒1−𝛽, 𝑛
[N,U,T]
𝜎̂ln 𝑡 − 𝑢𝛽 ∙
[N,U.r]
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
𝜎̂ln 𝑡 + 𝑢𝛽 ∙
𝜎̂ln 𝑡
√𝑁
√𝑓3 (𝑘)
95
Определение доверительных границ для показателей надежности
Доверительные границы для показателей надежности, являющихся монотонной функцией одного параметра, находят путем подстановки в выражение для показателей надежности значений верхней или
нижней границ соответствующего параметра.
Формулы для определения доверительных границ для показателей надежности в случае экспоненциального закона распределения
даны в табл. 53.
𝜆̂ определяют по формулам табл. 53.
𝜆н , 𝜆в , 𝜆о.н , 𝜆о.в - по табл. 40, 41.
Значения 𝑒 −𝑥 находят по табл. 62, γ принимает значения от 0 до
100%.
Для приближенного расчета по формулам табл. 54 доверительных
границ для показателей надежности, являющихся функцией более одного неизвестного параметра, обязательно выполнение следующих
условий:
- оценки параметров законов распределения должны быть определены методом максимального правдоподобия;
оценки показателей надежности, как функции параметров законов распределения, должны быть оценками максимального правдоподобия;
- метод максимального правдоподобия должен давать асимптотически-нормальные оценки;
выражения связи показателей надежности с параметрами законов распределения должны являться дифференцируемыми функциями и иметь производные первого и второго порядков.
Значения𝑧𝛽 и 𝑢𝛽 даны в табл. 24.𝑧𝛽 и 𝑢𝛽 находят по формулам:
1
√2𝜋
′
𝑧𝛽
∫𝑒
−𝑧𝛽
−
𝑥2
2
𝑑𝑥 = 𝛽 ;
1
√2𝜋
𝑢𝛽
𝑥2
∫ 𝑒 − 2 𝑑𝑥 = 𝛽 ; 𝑢1−𝛽 = −𝑢𝛽
−∞
96
Формулы для определения дисперсии точечных оценок показателей надежности для закона распределения Вейбулла даны в табл. 55.
В табл.55 дисперсии 𝐷 (𝜆̂), 𝐷 (𝑏̂)находят по формулам табл. 44,
cov(𝜆̂ ,𝑏̂) — по табл. 56 в зависимости от плана наблюдений, по которому определены оценки параметров 𝜆̂ ,𝑏̂.
В случае нормального закона распределения доверительные границы для tcp равнозначны доверительным границам для а и определяются по табл. 45 и 46; дисперсии точечных оценок остальных показателей
даны в табл. 44 для плана [N,U,N].
Значения 𝑓0 (𝑥) =
1
√2𝜋
𝑒
−
𝑥2
2
даны в табл. 31.
Формулы для определения дисперсии точечных оценок показателей для логарифмически-нормального закона распределения даны в
табл.
58,
где
𝑘=
𝑎̂ln 𝑡 −ln 𝑡
̂ ln 𝑡
𝜎
, азначения
𝑓1 (𝑘)
-
табл.
23.
Значения дисперсии 𝐷 (𝑎̂ln 𝑡 ), 𝐷 (𝜎̂ln 𝑡 ) и ковариации cov (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 )
находят по табл. 59 в зависимости от плана наблюдений для определения точечныхоценок ̂𝑎ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡
ЗначенияdetA, detB, detC, 𝜉(𝑘), 𝜂(𝑘), 𝜁(𝑘)из табл. 59 определяют
поформулам:
2𝑁 2
det 𝐴 =
;
4
𝜎̂
ln 𝑡
det 𝐵 =
3𝑑
𝑁−𝑑 3
𝑑2
𝑆
+
𝜉(𝑘)
𝑆
−
𝑑)
−
(
2
2
6
4
4
2
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑁−𝑑
− 𝜁(𝑘) 4 [𝑑 + (𝑁 − 𝑑)𝜉(𝑘)]
𝜎̂ln 𝑡
4
𝑁−𝑑
4𝑆1
− 6 𝑆12 𝜂(𝑘) 4 [(𝑁 − 𝑑)𝜂(𝑘) −
];
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
97
det 𝐶 =
3𝑟
𝑁−𝑟 3
𝑟2
𝑆
+
𝜉(𝑘)
𝑆
−
𝑟)
−
(
2
2
6
4
4
2
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝜎̂ln
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑁−𝑟
− 𝜁(𝑘) 4 [𝑟 + (𝑁 − 𝑟)𝜉(𝑘)]
𝜎̂ln 𝑡
4
𝑁−𝑟
4𝑆1
− 6 𝑆12 𝜂(𝑘) 4 [(𝑁 − 𝑟)𝜂(𝑘) −
];
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝑘
𝜉(𝑘) = 𝑓12 (𝑘) (
+ 1) ;
𝑓1 (𝑘)
𝜂(𝑘) = 𝑓1 (𝑘) [𝑘𝑓1 (𝑘) (
𝑘
+ 1) − 1] ;
𝑓1 (𝑘)
𝑘
𝜁(𝑘) = 𝑘𝑓1 (𝑘) [2 − 𝑘𝑓1 (𝑘) (
+ 1)]
𝑓1 (𝑘)
Значения 𝑆1 , 𝑆2 из табл. 64определяют по формулам табл. 60.
𝜆в
𝜆н
𝜆̂
Интенсивность восстановления
Интенсивность отказов
1 − 𝑒 −𝜆в𝑡
1 − 𝑒 −𝜆н 𝑡
1 − 𝑒 −𝜆𝑡
Вероятность восстановления
̂
𝑒 −𝜆н 𝑡
1
𝛾
(− ln
)
𝜆н
100
1
𝜆н
𝑒 −𝜆в𝑡
1
𝛾
(− ln
)
𝜆в
100
1
𝜆в
𝑒 −𝜆𝑡
̂
1
𝛾
(− ln
)
100
𝜆̂
1
𝜆̂
Верхняя граница
Вероятность безотказной работы
Гамма-процентный срок сохраняемости
Гамма-процентный срок службы
Гамма-процентный ресурс
Среднее время восстановления
Средний срок сохраняемости
Средний срок службы
Средний ресурс
Средняя наработка до первого отказа
Нижняя граница
Формулы для определения двусторонних доверительных границ
показателей надежности с вероятностью 𝛽
𝜆о.н
1 − 𝑒 −𝜆о.н 𝑡
𝑒 −𝜆о.в𝑡
1
𝛾
(− ln
)
𝜆о.в
100
1
𝜆о.в
Нижняя граница
𝜆о.в
1 − 𝑒 −𝜆о.в𝑡
𝑒 −𝜆о.н𝑡
1
𝛾
(− ln
)
𝜆о.н
100
1
𝜆о.н
Верхняя граница
Формулы для определения односторонних доверительных границ
показателей надежности с вероятностью 𝛽
Э
кс
по
не
нц
иа
ль
н
ы
й
за
ко
н
ра
сп
ре
де
ле
ни
я
Точечная
оценка показателя
надежности
Та
бл
иц
а
53
Наименования показателей
надежности
98
Интенсивность восстановления
Интенсивность отказов
Вероятность восстановления
Вероятность безотказной работы
Гамма-процентный срок сохраняемости
Гамма-процентный срок службы
Гамма-процентный ресурс
Среднее время восстановления
Средний срок сохраняемости
Средний срок службы
Средний ресурс
Средняя наработка до первого отказа
𝜆̂0 (𝑡) − 𝑧𝛽 √𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
𝑃̂0 (𝑡) − 𝑧𝛽 √𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
𝑡𝛾′ − 𝑧𝛽 √𝐷(𝑡̂𝛾 )
′ −𝑧
𝑡ср
𝛽 √𝐷(𝑡̂ср )
Нижняя граница
𝜆̂0(𝑡) + 𝑧𝛽 √𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
+ 𝑧𝛽 √𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
𝑃̂0 (𝑡)
𝑡𝛾′ + 𝑧𝛽 √𝐷(𝑡̂𝛾 )
′ +𝑧
𝑡ср
𝛽 √𝐷(𝑡̂ср )
Верхняя граница
𝜆̂0 (𝑡) − 𝑢𝛽 √𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
𝑃̂0 (𝑡) − 𝑢𝛽 √𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
𝑡𝛾′ − 𝑢𝛽 √𝐷(𝑡̂𝛾 )
′ −𝑢
𝑡ср
𝛽 √𝐷(𝑡̂ср )
Нижняя граница
𝜆̂0 (𝑡) + 𝑢𝛽 √𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
+ 𝑢𝛽 √𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
𝑃̂0 (𝑡)
𝑡𝛾′ + 𝑢𝛽 √𝐷(𝑡̂𝛾 )
′ +𝑢
𝑡ср
𝛽 √𝐷(𝑡̂ср )
Верхняя граница
Односторонние доверительные границыс
вероятностью 𝛽
Определение
довери
ритель
тельных
границ
для
показателей
надеж
ности
для
двухпараметрических
законов
распределения
Двусторонние доверительные границыс
вероятностью 𝛽
Та
бл
иц
а
54
Наименования показателей надежности
99
100
Таблица 55
Закон распределения Вейбулла
Дисперсии
точечных
оценок
показателей
Формулы для определения дисперсий точечных оценок показателей
надежности
𝐷(𝑡̂𝛾 )
2
𝑡̂𝛾
ln 𝑡̂𝛾
1
2
𝑐𝑜𝑣 (𝜆̂, 𝑏̂)]
( ) [ 2 𝐷(𝜆̂) + (ln 𝑡̂𝛾 ) 𝐷(𝑏̂) + 2
𝑏̂
𝜆̂
𝜆̂
𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
̂ 𝑏
̂
𝑡 2𝑏 𝑒 −2𝜆𝑡 [𝐷(𝜆̂) + 𝜆̂2 (ln 𝑡) 2 𝐷(𝑏̂) + 2𝜆̂ ln 𝑡 𝑐𝑜𝑣 (𝜆̂, 𝑏̂)]
𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
̂
𝑡 2 (𝑏−1) [𝑏̂2 𝐷(𝜆̂) + 𝜆̂2 (1 + 𝑏̂ ln 𝑡) 2 𝐷(𝑏̂) + 2𝜆̂𝑏̂(1 + 𝑏̂ ln 𝑡) 𝑐𝑜𝑣 (𝜆̂, 𝑏̂)]
̂
Таблица 56
̂)
Формулы для определения𝒄𝒐𝒗 (𝝀̂, 𝒃
Планы
Формулы для определения 𝑐𝑜𝑣 (𝜆̂, 𝑏̂)
1
2
N
t
i 1
[N,U,N]
2
 N b

N
  ti ln ti   
 i 1

2
d
t
i 1
[N,U,T]
ln ti
N


 N

   tib ln 2 ti 

 2

i 1
b


ln ti  ( N  d )T b ln T
2



 
d  d   N 
  tib ln ti  ( N  d )T ln T         tib ln 2 ti  ( N  d )T b ln 2 T  
 i 1
 2  b 2
 i 1
 

d

b
r
t
i 1
[N,U,r]

b
i

b
i


ln t i  ( N  r )Tr b ln t r
b
i
2
 b

r
  t i ln t i  ( N  r )Tr ln t r   
 i 1
 2
r


b
 r  r 

 

b
2
b
2
     t i ln t i  ( N  r )Tr ln t r  
 i 1
 
 b 2
101
Окончание табл.56
1
[N,R,T]
2
d
d
d 

 

N  tib ln ti   T   ti  b ln  T   ti 
i 1 
i 1 


 i 1
2
d
d
d
d
 d 
d 2 dN  d

 


 

N 2   tib ln ti   T   ti  b ln  T   ti         ti ln 2 ti   T   ti  b ln 2  T   ti 
2 2
i 1 
i 1  
i

1
i

1
i

1






 i 1


b
[N,R,r]

r
N  t ib ln t i
i 1
2
r2
rN
 r 

N   t ib ln t i     
 i 1
 2 b 2

2

r
t
i 1
b
i
ln 2 t i
Таблица 57
Нормальный закон распределения
Дисперсии
точечных
оценок
показателей
Формулы для определения дисперсий точечных оценок показателей
надежности
2
𝜎̂ 2
1 𝑡̂𝛾 − 𝛼̂
1
[1 + (
)
𝑁
2
𝜎̂
1−
𝐷(𝑡̂𝛾 )
𝑓02 (
𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
𝑡−𝑎̂
𝜎
̂
𝑁
𝑓02 (
𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
𝑡−𝑎̂
𝜎
̂
)
3
]
2𝑁
2
1 𝑡̂ − 𝛼̂
1
[1 + (
)
2
𝜎̂
1−
)[
𝑡−𝑎̂
𝜎
̂
3
]
2𝑁
2
𝑡−𝑎̂
𝑃̂0 (𝑡) − 𝑓0 ( )]
̂2 [𝑃̂0 (𝑡)]4
𝑁𝜎
𝜎
̂
+
2
2
+
𝑡−𝑎̂
𝑡−𝑎̂
𝑡−𝑎̂
𝑡−𝑎̂
{𝑃̂0 (𝑡)𝑓0 ( ) [( ) − 1] − 𝑓02 ( ) ( )}
𝜎
̂
𝜎
̂
̂2 [𝑃̂0 (𝑡)]4
(2𝑁 − 3)𝜎
𝜎
̂
𝜎
̂
102
Таблица 58
Логарифмически-нормальный закон распределения
Дисперсии
точечных
оценок
Формулы для определения дисперсий точечных оценок показателей
надежности
𝐷(𝑡̂ср )
̂ ln 𝑡 +𝜎
2
̂ln 𝑡 [𝐷(𝑎
𝑒 2𝑎
̂ln 𝑡 ) + 𝜎̂ln
̂ln 𝑡 ) + 2𝜎̂ln 𝑡 𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 ) ]
𝑡 𝐷(𝜎
𝐷(𝑡̂𝛾 )
ln 𝑡̂𝑦 − 𝑎̂ln 𝑡
ln 𝑡̂𝑦 − 𝑎̂ln 𝑡
𝑡̂𝛾2 [𝐷(𝑎̂ln 𝑡 ) + (
𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 ) ]
) 𝐷(𝜎̂ln 𝑡 ) + 2
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝐷(𝑃̂0 (𝑡))
ln 𝑡 − 𝑎̂ln 𝑡
1
ln 𝑡 − 𝑎̂ln 𝑡 2
𝑓02 (
)[
𝐷(𝑎̂ln 𝑡 ) + (
) 𝐷(𝜎̂ln 𝑡 )
̂2 ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝜎̂ln 𝑡
𝜎
ln 𝑡 − 𝑎̂ln 𝑡
+ +2
𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 ) ]
𝜎̂ 3 ln 𝑡
2
2
2
𝐷(𝜆̂0 (𝑡))
2
𝑓12(𝑘)
𝑘
𝑘
{𝑓 2(𝑘) (
+ 1) 𝐷(𝑎̂ln 𝑡 ) − [1 − 𝑘𝑓1(𝑘) (
+ 1)] 𝐷(𝜎̂ln 𝑡 ) +
𝜎̂ 4ln 𝑡 𝑡2 1
𝑓1 (𝑘)
𝑓1 (𝑘)
𝑘
+2𝑓1 (𝑘) (
+ 1) (1 − 𝑘𝑓1 (𝑘) − 𝑘 2 ) 𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 )}
𝑓1 (𝑘)
Таблица 59
̂𝐥𝐧 𝒕 , 𝝈
Формулы для определения дисперсий точечных оценок𝒂
̂ 𝐥𝐧 𝒕 и
̂𝐥𝐧 𝒕 , 𝝈
их коварации 𝒄𝒐𝒗 (𝒂
̂𝐥𝐧 𝒕 )
Планы
наблюдений
1
[N,U,N]
Формулы для определения дисперсий точечных оценок𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 и их коварации 𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 )
𝐷(𝑎̂ln 𝑡 )
𝐷(𝜎̂ln 𝑡 )
𝑐𝑜𝑣 (𝑎̂ln 𝑡 , 𝜎̂ln 𝑡 )
2
3
2𝑁
𝜎̂2 ln 𝑡
𝑁
𝜎̂2 ln 𝑡
det 𝐴
det 𝐴
4
0
103
Окончание табл.59
1
2
3
[N,U,T]
𝜎̂4 ln 𝑡
𝑆2
𝑑
𝜎̂2 ln 𝑡
−
3
𝑁−𝑑
𝜁(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
𝑑
𝜎̂2 ln 𝑡
+
det 𝐵
3
[N,U,r]
𝜎̂4 ln 𝑡
𝑆2
𝑟
𝜎̂2 ln 𝑡
−
4
𝑁−𝑑
𝜉(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
𝑁−𝑑
𝜂(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
det 𝐵
𝑁−𝑟
𝜁(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
𝑟
𝜎̂2 ln 𝑡
+
det 𝐶
−
2
𝜎̂3 ln 𝑡
𝑆1
det 𝐵
𝑁−𝑟
𝜉(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
𝑁−𝑟
𝜂(𝑘)
𝜎̂2 ln 𝑡
det 𝐶
−
2
𝜎̂3 ln 𝑡
𝑆1
det 𝐶
Таблица 60
Формулы для определения параметров
Формулы для определения
Планы
наблюдений
𝑆1
𝑆2
[N,U,N]
0
𝑁𝜎̂2 ln 𝑡
[N,U,T]
∑(ln 𝑡𝑖 − 𝑎̂ln 𝑡 )
∑(ln 𝑡𝑖 − 𝑎̂ln 𝑡 )2
𝑖=1
𝑖=1
𝑑
𝑑
𝑟
[N,U,r]
𝑟
∑(ln 𝑡𝑖 − 𝑎̂ln 𝑡 )
∑(ln 𝑡𝑖 − 𝑎̂ln 𝑡 )2
𝑖=1
𝑖=1
2
Значения 𝜒𝑃.𝑛
удовлетворяющие условию:
2
𝜒𝑃.𝑛
𝑃(𝜒 2
≤
2
𝜒𝑃.𝑛
)
= ∫ 𝑓( 𝜒 2 )𝑑𝜒 2 = 𝑃
0
приведены в таблице 61,
где п – число степеней свободы.
104
Таблица 61
Значения 𝝌𝟐𝑷.𝒏
Р
n
0,005
0,010
0,025
0,050
1
0,39·10-4
0,16·10-3
2
0,010
0,020
0,051
0,103
3
0,072
0,115
0,216
4
0,207
0,297
0,484
5
0,412
0,554
6
0,676
0,872
7
0,989
8
1,340
0,100 0,200 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
0,98·10-3 0,39-10-2 0,016 0,064
1,64
2,71
3,84
5,02
6,63
7,88
0,211 0,446
3,22
4,61
5,98
7,38
9,21
10,60
0,352
0,584 1,000
4,64
6,25
7,81
9,35
11,30 12,80
0,711
1 ,060 1,650
5,99
7,78
9,49
11,10 13,30 14,90
0,831
1,150
1,610 2,340
7,29
9,24
11,10 12,80 15,10 16,70
1,240
1,640
2,200 3,070
8,56
10,60 12,60 14,40 16,80 18,50
1,240
1,690
2,170
2,830 3,820
9,80
12,00 14,10 16,00 18,50 20,30
1,650
2,180
2,730
3,490 4,590 11,00 13,40 15,50 17,50 20,10 22,00
9
1,730
2,090
2,700
3,330
4,170 5,380 12,20 14,70 16,90 19,00 21,70 23,60
10
2,160
2,560
3,250
3,940
4,870 6,180 13,40 16,00 18,30 20,50 23,20 25,20
11
2,600
3,050
3,820
4,570
5,580 6,990 14,60 17,30 19,70 21,90 24,70 26,80
12
3,070
3,570
4,400
5,230
6,300 7,810 15,80 18,50 21,00 23,30 26,20 28,30
13
3,570
4,110
5,010
5,890
7,040 8,630 17,00 19,80 22,40 24,70 27,70 29,80
14
4,070
4,660
5,630
6,570
7,790 9,470 18,20 21,10 23,70 26,10 29,10 31,30
15
4,600
5,230
6,260
7,260
8,560 10,300 19,30 22,30 25,00 27,50 30,60 32,80
16
5,140
5,810
6,910
7,960
9,310 11,200 20,50 23,50 26,30 28,80 32,00 34,30
18
6,260
7,010
8,230
9,390
10,900 12,900 22,80 26,00 28,90 31,50 34,80 37,20
20
7,43
8,26
9,59
12,4
14,6
25,0
25,0
28,4
31,4
34,2
37,6
40,0
22
8,64
9,54
11,00
14,0
16,3
27,3
27,3
30,8
33,9
36,8
40,3
42,8
24
9,89
10,90
12,40
15,7
18,1
29,6
29,6
33,2
36,4
39,4
43,0
45,6
26
11,20
12,20
13,80
17,3
19,8
31,8
31,8
35,6
38,9
41,9
45,6
48,3
28
12,50
13,60
15,30
18,9
21,6
34,0
34,0
37,9
41,3
44,5
48,3
51,0
30
13,80
15,00
16,80
20,6
23,4
36,3
36,3
40,3
43,8
47,0
50,9
53,7
105
Окончание табл. 61
Р
n
0,005
0,010
0,025
0,050
0,100 0,200 0,800 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
35
17,20
17,50
20,60
22,5
24,8
27,8
41,8
46,1
49,9
53,2
57,3
60,3
40
20,70
22,20
24,40
26,5
29,1
32,3
47,3
51,8
55,8
59,3
63,7
66,8
45
24,30
25,90
28,40
30,6
33,4
36,9
52,7
57,5
61,7
65,4
70,0
73,2
50
28,00
29,70
32,40
34,8
37,7 ;
41,8
58,2
63,2
67,5
71,4
76,2
79,5
55
31,70
33,60
36,40
39,0
42,1
46,0
63,6
68,8
73,3
77,4
82,3
85,7
60
35,50
37,50
40,50
43,2
46,5
50,6
69,0
74,4
79,1
83,3
88,4
92,0
65
39,40
41,40
44,60
47,4
50,9
55,3
74,4
80,0
84,8
89,2
94,4
98,1
70
43,30
45,40
48,80
51,7
55,3
59,9
79,7
85,5
90,5
95,0
100,4 104,2
75
47,20
49,50
52,90
56,1
59,8
64,5
85,1
91,1
96,2
100,8 106,4 110,3
80
51,20
53,50
57,20
60,4
64,3
69,2
90,4
96,6
101,9 106,6 112,3 116,3
85
55,20
57,60
61,40
64,7
68,8
73,9
95,7
102,1 107,5 112,4 118,2 122,3
90
59,90
61,80
65,60
69,1
73,3
78,6
101,1 107,6 112,1 118,1 124,1 128,3
95
63,20
65,90
69,90
73,5
77,8
83,2
106,4 113,0 118,8 123,9 130,0 134,2
100
67,30
70,10
74,20
77,9
82,4
87,9
111,7 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2
Таблица 62
Значенияех ие−х
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
0
0,01
0,02
0,03
0,04
1,0000
1,0050
1,0202
1,0305
1,0408
1,0000
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
1,6653
1,6820
1,6989
1,7160
1,7333
0,6005
0,5945
0,5836
0,5827
0,5769
106
Продолжение табл. 62
𝑥
𝑥
𝑒
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
1,0513
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
1,1052
1,1163
1,1275
1,1388
1,1503
1,1618
1,1735
1,1853
1,1972
1,2092
1,2214
1,2337
1,2461
1,2586
1,2712
1,2840
1,2969
1,3100
1,3231
1,3364
1,3499
1,3634
1,3771
1,3910
1,4049
1,4191
1,4333
1,4477
1,4623
1,4770
1,4918
1,5068
1,5220
1,5379
1,5527
1,5683
1,5841
1,6000
1,1661
1,6323
1,6487
𝑒
−𝑥
0,9512
0,9418
0,9324
0,9231
0,9139
0,9048
0,8958
0,8869
0,8781
0,8694
0,8601
0,8521
0,8437
0,8353
0,8270
0,8167
0,8106
0,8025
0,7943
0,7866
0,7788
0,7711
0,7634
0,7558
0,7483
0,7408
0,7334
0,7261
0,7189
0,7118
0,7047
0,6977
0,6907
0,6839
0,6771
0,6703
0,6637
0,6570
0,6505
0,6440
0,6376
0,6313
0,6250
0,6188
0,6126
0,6065
𝑥
0,56
0,57
0,58
0,59
0,б0
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0 71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
1,7507
0,5712
1,7683
0,5655
1,7860
0,5599
1,8040
0,5543
1,8221
0,5488
1,8404
0,5434
1,8589
0,5379
1,8776
0,5326
1,8965
0,5273
1,9155
0,5220
1,9348
0,5169
1,9542
0,5117
1,9739
0,5066
1,9937
0,5016
2,0138
0,4966
2,0340
0,4916
2,0544
0,4868
2,0751
0,4819
2,0959
0 4771
2,1170
0,4724
2,1383
0,4677
2,1598
0,4630
2,1815
0,4584
2,2034
0,4538
2,2255
0,4493
2,2479
0,4449
2,2705
0,4404
2,2933
0,4360
2,3164
0,4317
2,3396
0,4274
2,3632
0,4232
2,3869
0,4190
2,4109
0,4148
2,4351
0,4107
2,4596
0,4066
2,4843
0.4025
2,5093
0,3985
2,5345
0,3946
2,5600
0,3906
2,5857
0,3867
2,6117
0,3829
2,6379
0,3791
2,6645
0,3753
Продолжение
табл.
2,6912
0,3716
2,7183
0,3679
2,7456
0,3642
62
107
Продолжение табл. 62
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1.17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1.23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
2,7732
2,8011
2,8292
2,8577
2,8864
2,9154
2,9447
2,9743
3,0042
3,0344
3,0649
3,0957
3,1268
3,1582
3,1899
3,2220
3,2544
3,2871
3,3201
3,3535
3,3872
3,4212
3,4556
3,4903
3,5254
3,5609
3,5966
3,6328
3,6693
3,7062
3,7434
3,7810
3,8574
3,8962
3,9354
3,9749
4,0149
4,0552
4,0960
4,1371
4,1787
4,2207
4,2631
4,3060
4,3492
4,3929
4,4371
4,4817
0,3606
0,3570
0,3535
0,3499
0,3465
0,3430
0,3396
0,3362
0,3329
0,3296
0,3263
0,3230
0,3198
0,3166
0,3185
0,3140
0,3073
0,3042
0,3012
0,2982
0,2952
0,2923
0,2894
0,2865
0,2837
0,2808
0,2780
0,2753
0,2725
0,2698
0,2671
0,2645
0,2592
0,2567
0,2541
0,2516
0,2490
0,2466
0,2441
0,2417
0,2393
0,2369
0,2346
0,2322
0,2299
0,2276
0,2254
0,2231
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2 55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
4,5267
4,5722
4,6182
4,6646
4,7115
4,7588
4,8066
4,8550
4,9037
4,9530
5,2070
5,4739
5,7546
6,0496
6,3598
6,6859
7,0287
7,3891
7,7679
8,1662
8,5849
9,0250
9,4877
9,9742
10,4860
11,0230
11,588
12,182
12,807
13,464
14,154
14,880
15,643
16,445
17,288
18,174
19,106
20,086
21,115
22,198
23,336
24,533
25,790
27,113
28,503
29,964
31,500
33,115
0,2209
0,2187
0,2165
0,2144
0,2122
0,2101
0,2080
0,2060
0,2039
0,2019
0,1920
0,1827
0,1738
0,1653
0,1572
0,1496
0,1423
0,1353
0,1287
0,1226
0,1165
0,1108
0,1054
0,10026
0,09537
0,09072
0,08629
0,08208
0,07808
0,07427
0,07065
0,06721
0*06393
0,06081
0,05784
0,05502
0,05234
0,04979
0,04736
0,04505
0,04285
0,04076
0,03877
0,03688
0,03508
0,03337
0,03175
0,03020
108
Окончание табл. 62
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
𝑥
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
4,00
4,50
34,813
36,598
38,475
40,447
42,521
44,701
46,993
49,402
51,935
54,598
90,017
0,02872
0,02732
0,02599
0,02472
0,02352
0,02237
0,00128
0,02024
0,01925
0,01832
0,01111
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
10,00
148,410
244,690
403,430
665,140
1096,600
1808,000
2981,000
4914,800
8103,100
13360,000
22026,000
0,00674
0,00409
0,002479
0,001503
0,000912
0,000558
0,000335
0,000203
0,000123
0,000075
0,000045
Таблица 63
Значения гамма-функции
𝑥
Γ(𝑥)
𝑥
Γ(𝑥)
𝑥
Γ(𝑥)
𝑥
Γ(𝑥)
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1 ,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,0000
0,9943
0,9888
0,9835
0,9784
0,9735
0,9687
0,9642
0,9597
0,9555
0,9514
0,9474
0,9436
0,9399
0,9364
0,9330
0,9298
0,9267
0,9237
0,9209
0,9182
0,9156
0,9131
0,9108
0,9085
0,9064
0,9044
0,9025
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
0,9007
0,8990
0,8975
0,8960
0,8946
0,8934
0,8922
0,8912
0,8902
0,8893
0,8885
0,8879
0,8873
0,8868
0,8864
0,8860
0,8858
0,8857
0,8856
0,8856
0,8857
0,8859
0,8862
0,8866
0,8870
0,8876
0,9882
0,8889
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
0,8896
0,8905
0,8914
0,8924
0,8035
0,8947
0,8959
0,8972
0,8о86
0,9001
0,9017
0,9033
0,9050
0,9068
0,9086
0,9106
0,9126
0,9147
0,9168
0,9191
0,9214
0,9238
0,9262
0,9288
0,9314
0,9341
0,9368
0,9397
1,84
1,§5
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,6
7,0
7,5
8,0
0,9426
0,9456
0,9487
0,9518
0,9551
0,9584
0,9618
0,9652
0,9688
0,9724
0,9761
0,9799
0,9837
0,9877
0,9917
0,9958
1,0000
1,3294
2,0000
3,3233
6,0000
11,632
24,000
52,342
120,000
287,88
270,00
1871,20
5040,00
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
Ф(𝑦𝑗 )
0,0000
0,0797
0,1585
0,2358
0,3108
0,3829
0,45I5
0,5I6I
0,5763
0,6319
0,6827
0,7287
0,7699
0,8064
0,8385
0,8664
0,8904
0,91087
0,92814
0,94257
0
0080
0876
1663
2434
3182
3900
4581
5223
5821
6372
6875
7330
7737
8098
8415
8689
8926
91273
92970
94387
1
0159
0955
1741
2510
3255
3969
4647
5285
5878
6424
6923
7373
7775
8132
8444
8715
8948
91457
93124
94614
2
0239
1034
1819
2585
3328
4039
4713
5346
5935
6476
6970
7415
7813
8165
8473
8740
8969
91637
93275
94639
3
0319
1113
1897
2661
3401
4108
4778
5407
5991
6528
7017
7457
7850
8197
8561
8764
8990
91814
93423
94762
4
0399
1192
1974
2737
3473
4177
4843
5468
6047
6579
7063
7499
7887
8230
8529
8789
9011
91988
93569
94882
5
Значения функции Ф(yi)
0478
12 71
2051
2812
3545
4245
4908
5527
6102
6629
7109
7539
7923
8262
8557
8812
9031
92159
93711
95000
6
0558
1350
2128
2886
3616
4313
4971
5587
6157
6680
7154
7580
7959
8233
8584
8836
9051
92327
93852
95116
7
0638
1428
2205
2930
3688
4381
5035
5646
6211
6729
7199
7620
7994
8324
8611
8859
9070
92492
93989
95230
8
0717
1507
2282
3035
3759
4448
5098
5705
6165
6778
7243
7660
8030
8355
8638
8882
9090
92655
94124
95341
9
Таблица 64
109
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4, 1
4,2
4,3
Ф(𝑦𝑗 )
0,95450
0,93427
97219
97855
98360
98753
99068
99307
99489
99627
99730
99806
99863
99903
99933
99953
99968
99978
99986
0,999904
0,999937
59
73
83
0
0,95557
96514
97289
97911
98405
98793
990955
99327
99505
99639
99739
99813
99867
99907
99935
99955
99969
99979
99986
0,999908
39
60
74
84
1
0,95662
96599
97358
97966
98448
98826
99121
99347
99520
99650
99747
99819
99872
99910
99937
99957
99971
99980
99987
999911
42
62
76
84
2
0,95764
96683
97425
98019
98490
98859
99146
99367
99535
99661
99755
99825
99876
99913
99940
99958
99972
99981
99987
999915
44
64
77
85
3
0,95865
95765
97491
98072
98531
98891
99171
99386
99549
99672
99763
99831
99880
99916
99942
99960
99973
99982
99988
999919
46
65
78
86
4
0,95964
96844
97555
98123
98571
98923
99195
99404
99563
99682
99771
99837
99885
99919
99944
99961
92374
99982
99988
999922
49
67
79
86
5
0,96060
96923
97619
98172
98611
98953
99219
99422
99573
99692
99779
99843
99889
99922
99946
99963
99975
99983
99989
999925
51
68
80
87
6
0,96155
96999
97679
98221
98649
98983
99241
99439
99590
99702
99786
99848
99892
99925
99948
99964
99976
99984
99989
999928
53
69
80
88
7
0,96247
97074
97739
98259
98686
99012
99263
99456
99602
99712
99793
99853
99896
99928
99950
99966
99977
99384
99990
999931
55
71
81
88
8
0,96338
97148
97798
98315
98723
99040
99285
99473
99615
99721
99800
99858
99900
99930
99952
99967
99978
99985
99990
999934
57
72
82
89
9
Окончание табл. 64
110
111
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с номером варианта, выданным преподавателем,
студенту необходимо выписать из табл. 66 исходные данные.
Исследования и наблюдения проводились над 20 техническими
системами. После отказа системы не заменялись новыми. Наблюдения
проводились в течение времениТ (данные в табл. 66). За это время
отказало 8 изделий, т. е. N=20, d=8.Закон распределения отказов экспоненциальный.
План [N, U, T].
Из табл. 66 выписать время xj изделий, отказавших за время
наблюдения (T>tj), и заполнить табл. 65.
Таблица 65
Время xjи наработка xi
j
xj
i
xi
1
1
.
.
N
C
Примечание: С- время отказавших до конца срока испытания технических систем; xi - наработка каждой технической системы до отказа.
2. Подсчитать количество технических систем d, отказавших за
время испытаний.
Известно, что сроки службы технических систем подчинялись
экспоненциальному закону распределения; принимая отказ за предельное состояние, можно вместо наработки до отказа говорить о ресурсе.
Определить оценки показателей надежности технических систем:
среднегоресурса, вероятности безотказной работы за время t,ч, интенсивности отказов за то же время, 90%-ных и 95%-ных ресурсов для
плана [N,U,T] .

3. По формулам табл. 33 для плана [N, U, T]находим  .
По табл. 53 найти доверительные двусторонние границы с доверительной
вероятностью
β=0,90,
используя
табл.
61.
112
По формулам табл. 41 для плана [N, U, T], используя табл. 61, находим односторонние доверительные границы с доверительной вероятностью β =0,90.Найти односторонние интервалы, например, интервал
(0,0002—∞), которые с вероятностью 0,90 покрывает неизвестный параметр  .
По табл. 39находим оценки показателей надежности изделия и их
доверительные границы по табл. 53, используя полученные расчеты,
находимТр.ср. и его границы, а также интервал, который с вероятностью
0,90 покрывает истинное значение среднего ресурса; односторонние
границы и интервалы, которые с вероятностью 0,90 покрывают истинное значение среднего ресурса.
Находим оценку вероятности безотказной работы изделия за время t, ч по табл.53. Находимдвусторонний интервал, который покрывает истинное значение вероятности безотказной работы изделия с вероятностью 0,90.Аналогичнополучаем интервалы для односторонних
границ, которые покрывают с вероятностью 0,90 истинное значение
вероятности безотказной работы за время t, ч.
Для оценки интенсивности отказов 𝜆(𝑡)получаем двусторонние и
односторонние доверительные границы. Для оценки 90%-ного ресурса
находим: 𝑇̂𝑝.𝛾 идвусторонние и односторонние доверительные границы
с вероятностью 0,90.
4.Используем данные табл. 66.Для закона распределения Вейбулла, которому подчинены сроки службы изделий и при N=8 для плана
[N, U, N], необходимо определить параметры этого закона 𝜆 и b, их
доверительные границы при β=0,90, а также оценки показателей
надежности изделия: среднего срока службы, вероятности безотказной
работы за время t, ч, интенсивности отказов за то же время и 90%-ного
срока службы.
По формулам табл. 34для плана [N, U, N] найти𝜆̂ и 𝑏̂. Воспользоваться графическим методом. Переписать вторую формулу в виде:
113
N
N

b
N
  ln ti 
i 1

N  ti ln ti
b
i 1
N
t
i 1

(108)
b
i
и обозначим:
N

N
  ln ti  y1 (b)
(109)
i 1
b
N

N  ti ln ti
b
i 1
N
t
i 1

b
 y2 (b)
(110)
i
Оценка 𝑏̂ параметра b находится на пересечении графиков, записанных уравнениями (109) и (110).
Подставляя в формулы (109) и (110) различные значения 𝑏̂ , будем иметь
𝑏 = 0,5; 𝑦1 (0,5);
𝑏 = 1; 𝑦1 (1);
𝑏 = 1,5; 𝑦1 (1,5);
𝑏 = 2; 𝑦1 (2)
и т.д.
Графики 𝑦1 (𝑏) и 𝑦2 (𝑏) пересекаются в точке, абсцисса которой
соответствуетприблизительно 𝑏̂ .
По первой формуле из табл. 34 для плана [N, U, N] теперь можно
определить𝜆̂ , при𝑏̂ . Таким образом, имеем:𝜆̂ , 𝑏̅ .
Для определения доверительных интервалов для𝜆 и bиспользуется табл. 42, 43, 44.
̅ ), D(𝑏
̅̅̅).
По табл. 44 для плана [N, U, N] найти:D(𝜆
По табл. 24 при β=0,90 найтиZβ и uβ.
114
Используя табл. 42, находим двусторонние доверительные границыλн и λв.
Таким образом, находим интервал, который с вероятностью 0,90
покрывает истинное значение параметра 𝜆. По физическому
лу 𝜆>0, поэтому нижнюю границу 𝜆 следует принять равной 0. Аналогично получим для b верхние и нижние границы:
Для односторонних доверительных границ будем иметь по табл.
43: λо.н и λо.в.
Так как 𝜆>0, то следует принять 𝜆о.н=0.
Аналогично для b находим bо.н. и bо.в.
Зная оценки параметров 𝜆 и b, можно найти оценки для показателейнадежности по формуламтабл. 39:𝑇̂𝑐л.ср ; ̅
Р(𝑡), т. е. вероятность безотказной работы за t ч. Определяем
𝜆̅(𝑡) и 90%-ный срок
бы:𝑃̂(𝑇сл.90% ), 𝑇̂𝑐л.90% .
5. Используем данные табл. 66. При условии, что сроки службы
изделий подчинены нормальному закону распределения для плана [N,
U, Т]: определить оценки показателей надежности технологической
системы: средней наработки до отказа, вероятности безотказной работы за время tч, интенсивности отказов за то же время, 90%-ного ресурса.
По формулам табл. 36, используя табл. 34 определить K.
По формулам табл. 35 и по табл. 23 найти 𝜎̅ и а̅.
По формулам табл. 45 и по табл. 24 и 23 найти ани ав,т. е. интервал, который покрывает с вероятностью 0,90 истинное значение параметра а.
По табл. 46найти, используя табл. 24 и 23аони аов.
По табл.47 найти двусторонние доверительные границы для истинного значения 𝜎, используя табл. 24 и 23: σн и σв,т. е. интервал,
который покрывает с вероятностью 0,90 истинное значение 𝜎.
По табл. 48 для односторонних доверительных границ находим,
используя данные табл. 24 и 23:σо.н и σо.в.
Зная параметры нормального закона распределения, найти оценки
̂ ср .
для показателей надежности по формулам табл. 39: Т
Найти вероятность безотказной работы за время t, ч. с учетом табл.
64:𝑃̂ (𝑡).Найти интенсивность отказов за время t, ч с учетом данных
табл. 31: 𝜆̂(𝑡).
115
6.Используем
данные
табл.
66.Для
логарифмическинормальногозакона распределения, которому подчинены сроки службы изделий и при N=8 для плана [N, U, Т], необходимо определить
параметры этого закона 𝑎ln 𝑡 , 𝜎ln 𝑡 , их доверительные границы при β
=0,90, а также оценки показателей надежности технологической системы: наработки до отказа, вероятности безотказной работы за время
t, ч, интенсивности отказов за то же время и 90%-ного ресурса.
По формулам табл. 38 для плана [N, U, T] с использованием значений 𝑓1 (k) по табл. 23 найти k.
По табл. 37определить 𝜎̂ln 𝑡 . Зная k и 𝜎̂ln 𝑡 по табл. 37, найти 𝑎̂ln 𝑡 .
Найти двусторонние доверительные границы с вероятностью 0,90
по табл. 49 с использованием табл. 24, по которой определитьz0.90 , и
табл. 23, по которой определить f2(k): 𝑎ln 𝑡н и 𝑎ln 𝑡в . Таким образом
определить интервал, который с вероятностью 0,90 покрывает истинное значение параметра 𝑎̂ln 𝑡 .
Аналогично найти односторонние доверительные границы с вероятностью 0,90 по формулам табл. 50 с использованием табл. 24, по
которой найтиu0.90, и табл. 23, по которой найти f2 (k) .
По табл. 51 найти двусторонние доверительные границыс вероятностью 0,90 для параметра 𝜎ln 𝑡 , используя табл. 24, по которой
найтиz0.90, и табл. 23 приложения 3, по которой найти f3 (k).
Аналогично
определить
односторонние
доверительные
цы:𝜎ln 𝑡о.н и 𝜎ln 𝑡о.в .
Определив параметры логарифмически-нормального закона распределения, найти оценки показателей надежности по табл. 39:𝑇̂ср ,
𝑃̂ (𝑡), 𝜆̂(𝑡).
7. Известно, что под наблюдение было поставлено 20 изделий.
Наблюдения велись до момента времени Т. После каждого отказа изделия ремонтировались (восстанавливались). Было отремонтировано 8
изделий. Время восстановления каждого изделия Nti приведено в табл.
66.
Известно, что время восстановления подчинено экспоненциальному закону распределения. Требуется определить оценки показателей
надежности изделий: среднего времени восстановления, вероятности
восстановления за время t, ч, интенсивности восстановления за то же
время. По формулам табл. 33для плана[N, U, N] найти 𝜆̅.
116
Таблица 66
Исходные данные
№
1
T, ч
xj
2
t, ч
γ, %
3
4
2000
500
90
4120 2580
3302
645
90
4117 2180
3300
545
90
4
2250 1400 1390 2190 3522395 680 4117 2380
1200 100 260 2333
520 2105
3302
169 960 850 2170 2790
595
90
5
2300 1500 2200 3501 3110 410
670
4117 1200 100 260 2233
520 2105
3302 170 950 840 2180 2900
1980
495
90
6
2230 1390 2190 3522 3090 395 680 4120 1780
1200 102 266 2400
531 2099
3302
169 960 850 2170 2790
445
"90
7
2150 1390 2100 3501 3100 410 670 4117 1660
1200 102 256 2400
531 2199
3300
170 945 860 2190 2810
415
90
8
2220 1400 2200 2190 3600389700 4119 1860
1202 101 265 2330
540 2005
3312
189 930 840 2180 2690
465
90
9
2300 1350 2190 3592 3100 400
680
4117 1200 101 250 2400
510 2205
3302 170 960 850 2180 2800
2060
515
90
10
2240 1400 2180 3502 3091396 680 4120 2520
1200 102 266 2400
531 2099
3302
179 970 870 2180 2590
630
90
11
2180 1390 2190 3300 3130 410 650
1210 102 266 2410
532 2099
170 945 861 2195 2810
2260 1460 1370 2191 3542385 690
1203 105 260 2353
520 2105
169 960 853 2160 2790
4113 2460
3200
615
90
4117 2260
3302
565
95
1
2250 1400 2200 3501 3110 410
670
4117 1200 100 260 2403
520 2105
3302 170 950 840 2180 2800
2
2240 1400 2190 3522 3090 395 680
1200 102 266 2400
531 2099
169 960 850 2170 2790
2150 1390 2200 3401 3111 410 670
1200 102 256 2400
531 2099
170 945 860 2190 2810
3
12
5
117
Окончание табл.66
1
13
14
15
16
17
18
2
3
2240 1350 2100 3501 3110 420
670
2600
4337 1200 100 260 2403
520 2105
3302 150 950 870 2170 2700
2241 1400 2160 3522 3090 395 680 4120 2100
1200 102 266 2400
531 2099
3302
169 960 860 2170 2790
2160 1390 2100 3401 3111 410 670 4117 1960
1211 102 251 2400
531 2099
3300
170 945 860 2190 2810
2240 1400 1590 2190 3522395 680 4119 1700
1200 110 260 2333
520 2105
3302
169 940 850 2170 2790
2330 1500 2100 3501 3110 410
670
2400
4107 1200 120 260 2233
520 2105
3322 170 950 840 2180 2900
2240 1390 2190 3522 3090 395 680 4120 2560
1210 102 265 2400
531 2099
3302
161 960 850 2170 2790
4
5
650 95
525 95
4S0 90
425 90
600 90
640
95
19
2190 1390 2100 3501 3100 410 670 4117 2160
1200 102 253 2400
531 2199
3300
170 945 860 2190 2810
540
95
20
2220 1400 2200 2190 3600389700 4115 1760
1202 109 265 2330
540 2005
3352
189 930 840 2180 2690
440
95
21
2300 1350 2190 3592 3100 400
680
4116 1200 104 250 2400
510 2205
3306 170 960 850 2180 2800
2300
575
95
22
2250 1400 2180 3502 3091396 680 4120 2320
1208 102 264 2400
531 2099
3302
178 970 870 2180 2590
580
95
23
2170 1390 2190 3300 3130 410 650 4113 2120
1217 102 265 2410
532 2099
3200
177 945 861 2195 2810
530
95
24
2280 1460 1370 2191 3542385 690 4119 1420
1203 105 260 2353 520 2105 3309169
960 853 2160 2790
480
95
25
2277 1500 1410 2188 3489378 688 4120
1193 105
260 2353
520 2105
3109154 963 833 2220 2870
430
95
1720
118
По формулам табл. 53 с доверительной вероятностью β=0,90 найтинижнюю и верхнюю границы:𝜆н и 𝜆в . Таким образом, определить
интервал, который с вероятностью 0,90 покрывает истинное значение
𝜆.
По формулам табл. 41 с доверительной вероятностью β=0,90 найти
нижнюю и верхнюю односторонние границы:𝜆о.н и 𝜆о.в .
По табл. 39определить среднее время восстановления𝑇̂в .
По табл. 53определить с доверительной вероятностью 0,90 односторонние и двусторонние нижнюю и верхнюю границы:𝑇в.н и 𝑇в.в .т. е.
интервал, который с вероятностью 0,90 покрывает истинное значение
Tв; определить 𝑇в.о.н и 𝑇в.о.в .
Вероятность того, что отказ будет обнаружен и устранен в течение
заданного времени определить по формулам табл. 39:𝑃̂(𝑡).
По формулам табл. 53определить с доверительной вероятностью
β=0,90 двусторонние и односторонние нижнюю и верхнюю доверительные границы:𝑃в.н (𝑡) и 𝑃в.в (𝑡),т. е. интервал, который с
8.Сделать выводы.
9. Оформить работу, где отразить цель работы, основные теоретические сведения, расчеты, выводы.
10. Защитить отчет у преподавателя.
Вопросы для контроля
1.
2.
3.
4.
Что называют гамма-процентным сроком сохраняемости?
Средний срок службы.
Что называют гамма-процентным сроком службы?
Что называют вероятностью восстановления в заданное вре-
мя?
5. Что называют интенсивностью восстановления?
6. В каких случаях применяют закон Вейбулла?
119
Практическая работа № 10
Построение и применение вероятностных сеток
Ц е л ь р а б о т ы: изучить методы построения вероятностных сеток,
для распределения построить координатную сетку, на которой интегральная функция распределения будет иметь вид прямой.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: калькулятор; таблица
исходных данных.
Основные понятия
Вероятностная сетка для графического определения оценок характеристик для конкретного распределения вероятностей представляет собой прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, чтобы график функции этого распределения, построенный на
сетке, представлял собой прямую линию.
Основанием для построения вероятностных сеток является целесообразное преобразование одной или обеих прямоугольных координат {х , F ( х ) } графика функции распределения F (х), проведенное
таким образом, чтобы взаимная зависимость обеих новых преобразованных
переменных
стала
линейной.
Для выборки объемом п из значений случайной величины X на
вероятностную сетку для данного вида распределения наносятточки
эмпирической функции распределения F (х ). Затем по этим точкам
проводят прямую так, чтобы нанесенные точки отклонялись от нее как
можно меньше.
В табл. 67…70 приведены данные, на основании которых строят
вероятностную сетку для каждого из указанных распределений вероятностей. Данные в этих таблицах рассчитаны на длину шкалы 300 мм.
С помощью пропорционального расчета можно построить шкалы любых размеров.
Вероятностной сеткой пользуются в основном для графического
определения оценок параметров распределения.
Одновременно с определением параметров выполняют графическую проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.
Если нанесенные эмпирические точки мало отклоняются от проведенной прямой, то это свидетельствует о том, что опытные данные
120
не противоречат тому виду распределения, для которого была построена сетка.
При проведении этой проверки необходимо учитывать, что на концах выборки опытные точки могут больше отклоняться от прямой, чем
в средней части графика.
Если на вероятностной сетке не получается прямая, то отвергается
гипотеза о выбранном виде распределения.
Оценки параметров предполагаемого распределения и некоторые
статистические характеристики определяют при помощи точек пересечения аппроксимирующей прямой с соответствующими осями координат.
Точечная оценка функции распределения
Основной вероятностной характеристикой случайной величины X
является теоретическая функция распределения F (х ) , информацию о
которой дает эмпирическая функция распределения F (x ).
При проведении прямой по нанесенным точкам (полученным экспериментальным путем) графика эмпирической функции распределения получают графическую оценку теоретической функции распределения F(х).
Построение эмпирической функции распределения
Если объем выборки п не превосходит 50, исходными данными являются величины x1, x2, x3 …, xn. Эти величины соответствуют значениям исследуемой случайной величины X, полученным при независимом наблюдении случайной выборки объемом п . Предполагается, что
величины xi расположены в порядке неубывания, так что справедливы
следующие неравенства
x1≤ x2 ≤ ...≤xn
тогда оценку 𝐹̂ (xi) (эмпирическую функцию распределения) находят по формуле
𝑖
(𝑖 = 1,2, … , 𝑛),
𝐹̂ (𝑥𝑖 ) =
𝑛+1
или
𝑖 − 1/2
(𝑖 = 1,2, … , 𝑛).
𝐹̂ (𝑥𝑖 ) =
𝑛
Формулу принимают из соображения удобства вычисления.
121
Если объем выборки n>50, рекомендуется применять группировку
данных. Выбирают числа х * и х* * так, чтобы x*≤ xminх* * ≥ х m a x , и
интервал [х* , х* * ] разбивают на kинтервалов равной длины h, где
x ∗∗ −x ∗
h=
.
𝑘
Величины х* и х* * рекомендуется выбирать так, чтобы значение h
было удобным для вычислений.
Число точек в j-м интервале (j= 1, … k) обозначают п j если
50<n≤200принимают значения
7<k≤20;
Если 200<n<1000 принимают значения
20<k<40.
Если внутрь j-гоинтервала попало n'jточек, а внутрь (j+1)го —
n'j+1точек выборки, причем на границу этих классов попало iточек выборки, то принимают:
1
𝑛𝑗 = 𝑛𝑗′ + ;
2
1
′
𝑛𝑗 = 𝑛𝑗+1
+ .
2
После группировки данных эмпирическую функцию распределения
в точках, соответствующих серединам классов, оценивают по формуле:
𝑚
𝐹̂ (𝑥(𝑚) ) = ∑
𝑗=1
𝑛𝑗
,
𝑛+1
где x (m)— середина m-го интервала,m=1, 2, ...,k;k— число интервалов; n j — частота попаданий значений в j-ыйинтервал.
Точечная оценка статистических характеристик
На построенной для определенного распределения вероятностной
сетке, содержащей нанесенные точки, проводят прямую у = F 0 (х )
наилучшим образом приближающуюся к этим точкам.
Оцениваются статистические характеристики.На шкале x выбирают
определенное значение, которое представляет собой абсциссу точки на
прямой y=F 0 (х ) . Оценкой значения функции распределения F 0 (х*)
является координатаисследуемой точки прямой.
122
Нормальное распределение
Вероятностная сетка для нормального распределения строится
следующим образом. По оси абсцисс применяют равномерную шкалу, а по оси ординат значенияу, которые пропорциональны квантилям
нормированной центрированной функции нормального распределения
и надписывают величину Fo(y)–значение нормированной центрированной функции нормального распределения.
Принимаем, что S x (х ) обозначает абсциссу точки, соответствующей значению х, и Sy(F)- ординату точки, соответствующей значению
F.Отношение
𝑆𝑥 (𝑥)
𝑥
постоянно,
оно называется коэффициентом
масштаба и обозначается 𝐾𝑥 .
Коэффициент масштаба 𝐾𝑥 для оси абсцисс вычисляют по формуле
𝐾𝑥 =
𝐿
𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛
,
(111)
где L —ширина графика, мм;
𝑥𝑚𝑎𝑥 , 𝑥𝑚𝑖𝑛 −наибольший и наименьший элемент выборки.
Величину Lследует выбирать в миллиметрах так, чтобы значение
вычисляемого коэффициента 𝑲𝒙 было удобным для вычислений.
Для выбора масштаба по оси ординат задают:
𝐹𝑚𝑖𝑛 = 0,001, 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 0,999.
Для нормального распределения им соответствуют значения:
𝑦𝑚𝑖𝑛 = −3,090, 𝑦𝑚𝑎𝑥 = +3,090,
а величину 𝑆𝑦 (F), откладываемую по оси ординат в миллиметрах, определяют:
𝐻
𝑆𝑦 (𝐹) = 6,180 𝑦
(112)
где Н - длина шкалы по оси ординат (в миллиметрах), т. е. высота
графика;𝑦 = 𝑈𝑝 (𝐹) -квантиль нормированного центрированного нормального распределения, соответствующая значению F.
Если 𝐻 = 300 мм, то 𝑆𝑦0 (𝐹) = 48,5 y = 48,5 Up (F). Значения
𝑆𝑦0 (𝐹)в зависимости от Fдля этого нормального распределения приведены в табл. 67.
Для 𝐹 < 0,5 применяют соотношение:
𝑆𝑦 (𝐹) = −𝑆𝑦 (1 − 𝐹).
123
Таблица 67
Вероятностная шкала для нормального распределения
𝑯 = 𝟑𝟎𝟎
F
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,67
0,69
0,70
0,71
0,73
0,74
0,76
0,77
0,79
0,80
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,903
0,912
0,919
0,927
y
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,52
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
𝑆𝑦0 (𝐹), мм
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
17,5
20,0
22,5
25,0
26,0
27,5
30,0
32,5
35,0
37,5
40,0
42,5
45,0
47,5
50,0
52,5
55,0
57,5
60,0
62,5
65,0
67,5
70,0
72,5
F
0,933
0,939
0,945
0,951
0,955
0,960
0,964
0,968
0,971
0,974
0,977
0,980
0,982
0,984
0,986
0,988
0,989
0,991
0,992
0,993
0,9938
0,9946
0,9953
0,9960
0,9965
0,9970
0,9974
0,9978
0,9981
0,9985
0,9987
y
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
𝑆𝑦0 (𝐹), мм
75,0
77,5
80,0
82,5
85,0
87,5
90,0
92,5
95,0
97,5
100,0
102,5
105,0
107,5
110,0
112,5
115,0
117,5
120,0
122,5
125,0
127,5
130,0
132,5
135,0
137,5
140,0
142,5
145,0
147,5
150,0
Для 𝐹 < 0,5: 𝑆𝑦 (𝐹) = −𝑆𝑦 (1 − 𝐹).
Для длины шкалы 𝐻 ≠ 300мм величину 𝑆𝑦 (𝐹)вычисляют:
𝐻 0
𝑆𝑦 (𝐹) =
𝑆 (𝐹)
300 𝑦
где 𝑆𝑦 (𝐹) - значение ординаты точек F для шкалы с произвольной длиной Н, мм;
𝑆𝑦0 (𝐹) - значение ординаты точек Fдля шкалы длиной Н = 300 мм
(табл. 67), мм.
124
По выборке значений нормально распределенной случайной величины х (значений точечных оценок функциираспределения F(xi)) на
вероятностной сетке для нормального распределения строят прямую,
изображающую график распределения - прямуюF 0 (х ).
Оценку параметра авычисляют после построения прямой (при
помощи абсциссы точкиА на прямой) по формуле:
𝑂𝐴
𝑎̅ = ± ,
𝐾𝑥
где О- начало координат; А- точка пересечения прямой с осью абсцисс;Кх - коэффициент масштаба.ОА- расстояние от точкиО до точки
А, мм; расстояние ОАпринимается со знаком «плюс», если точка А
лежит правее точки О на оси абсцисс, и со знаком «минус», если она
лежит левее, т.е. соответствует отрицательной абсциссе.
Если начало координатО не помещено на чертеже, то ОА вычисляют по формуле
ОА = 𝐾𝑥 𝑥𝑚𝑖𝑛 + О1 А,
гдеО1 - точка на оси абсцисс, соответствующая xmin ; расстояние О1 А
измеряют в миллиметрах.Ордината указанной точкиА соответствует
𝑆𝑦 (𝐹) = 𝑦 = 𝑂 [F=0,50].
Оценку параметра 𝜎̂ (среднего квадратического отклонения) вычисляют:
𝐻
1
𝜎̂ =
· ,
6,180𝐾𝑥 𝑞
где q - угловой коэффициент аппроксимирующей прямой.
При Н=300 используют формулу:
48,5 1
𝜎̂ =
· .
𝐾𝑥 𝑞
Известен способ определения оценки параметра а - не по F 0 (x), a
по F(х). При этом т определяют из условия F (а )= 0,5 или 1 0 0 F
(а )=50 или же 𝑈𝑝 (𝐹(а)) = 𝑂 (в качествеАпринимают точку пересечения F (х ) с осью абсцисс).
Оценку 𝜎̂ вычисляют по формуле
𝜎̂ = а − 𝑥1 .
где x1 — оценка абсциссы прямой, для которой 𝐹0 (𝑥1 ) =0,1587 или
100𝐹0 (𝑥1 ) = 15,87 или 𝑈𝑝 = −1.
125
Оценку среднего квадратического отклонения также вычисляют:
𝜎̂ = 𝑥2 − а
где для х 2 принимают
𝐹0 (𝑥2 ) = 0,8413 или 100𝐹0 (𝑥2 ) = 84,13, или 𝑈𝑝 = +1
Экспоненциальное распределение
Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону,
если ее функция распределения имеет вид
−𝜆(𝑥−𝑐)
, x ≥ c,
𝐹(𝑥; 𝜆; 𝑐) = {1 − 𝑒
0
, x < 𝑐,
где 𝜆 - параметр масштаба, с - параметр сдвига.
Вероятностная сетка для экспоненциального распределения устроена следующим образом: по оси абсцисс применяют равномерную
шкалу, а по оси ординат откладывают значения у и надписывают величину 𝐹(𝑦) = 1 − 𝑒 −𝑦 .
Коэффициент масштаба 𝐾𝑥 для оси абсцисс вычисляется:
𝐾𝑥 =
𝐿
𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛
,
где L—ширина графика, мм;𝑥𝑚𝑎𝑥 , 𝑥𝑚𝑖𝑛 − наибольший и наименьший
член выборки.
Для выбора масштаба по оси ординат задаются:
𝐹𝑚𝑖𝑛 =0,𝐹𝑚𝑎𝑥 =0,999.
Тогда:
𝑦𝑚𝑖𝑛 = -0, 𝑦𝑚𝑎𝑥 =6,908,
и величину 𝑆𝑦 (𝐹), которую откладывают по оси ординат в миллиметрах, определяют:
𝐻
𝐻
𝑆𝑦 (𝐹) =
∙𝑦 =
∙𝑦
𝑦𝑚𝑎𝑥
6,908
где
𝑦 = − ln(1 − 𝐹).
Если H = 300 мм, то 𝑆𝑦 (𝐹)= Sy0 (F)=50у. Значения Sy0 (F)для случая
экспоненциального распределения приведены в табл. 68 (при H = 300
126
мм).
При 𝐻 ≠ 300 мм 𝑆𝑦 (𝐹)вычисляют по формуле, где Sy0 (F)приведено
в табл. 68.
По выборочным значениям экспоненциально распределенной случайной величины х на вероятностной сетке для экспоненциального
распределения строят прямую.
Если заранее известно, что случайная величина имеет экспоненциальное распределение без сдвига (с = 0), то прямая должна проходить
через начало координат. В противном случае, если построенная прямая
пересекает осьабсцисс в точке A, то оценку параметра сдвигаС определяют по формуле:
𝑂𝐴
,
𝐾𝑥
где 𝐾𝑥 - коэффициент масштаба для оси абсцисс;O A - расстояние точкиА от начала координат, мм.
Оценку параметра 𝜆 экспоненциального распределения находят:
𝐶=±
𝜆=
𝐾𝑥
∙ 6,908 ∙ 𝑞,
𝐻
где 𝑞 = 𝑡𝑔𝛼— угловой коэффициентаппроксимирующей прямой.
Логарифмически нормальное распределение
Случайная величина X считается распределенной по логарифмически нормальному закону, если ее функция распределения имеет вид:
𝐹(𝑥; 𝜇, 𝜎) = Ф (
lg 𝑥 − 𝜇
),
𝜎
для 0 < 𝑥 < ∞; 𝜇 > 0; 𝜎 > 0;
где
y
Ф(𝑦) = ∫ φ(υ)dυ =
−∞
1
√2π
y
ϑ2
∫ e− 2 dϑ
−∞
127
Здесь 𝜇 — математическое ожидание и 𝜎— среднее квадратическое
отклонение случайной величины 𝑦 = lg 𝑥.
Таблица 68
Вероятностная шкала для экспоненциального распределения
𝐒𝐲𝟎 (𝐅) = −𝟓𝟎𝐥𝐧(𝟏 − 𝐅), H=300
F
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
𝑆𝑦 (𝐹)
0
2,6
5,3
8,1
11,2
14,4
17,8
21,5
25,5
29,9
34,7
36,7
38,8
41,0
43,4
45,8
48,4
51,1
53,9
57,0
60,2
63,7
67,4
71,4
75,7
80,5
85,7
91,6
98,3
106,0
F
0,900
0,905
0,910
0,915
0,920
0,925
0,930
0,935
0,940
0,945
0,950
0,952
0,954
0,956
0,958
0,960
0,962
0,964
0,966
0,968
0,970
0,972
0,974
0,976
0,978
0,980
0,982
0,984
0,986
0,988
𝑆𝑦 (𝐹)
115,1
117,7
120,4
123,3
126,3
129,5
133,0
136,7
140,7
145,0
149,8
151,8
154,0
156,2
158,5
160,9
163,5
166,2
169,1
172,1
175,3
178,8
182,5
186,5
190,8
195,6
200,9
206,8
213,4
221,1
F
0,9900
0,9905
0,9910
0,9915
0,9920
0,9925
0,9930
0,9935
0,9940
0,9945
0,9950
0,9952
0,9954
0,9956
0,9958
0,9960
0,9962
0,9963
0,9964
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
0,9973
0,9974
0,9975
𝑆𝑦 (𝐹)
230,3
232,8
235,5
238,4
241,4
244,6
248,1
251,8
255,8
260,2
264,9
267,0
269,1
271,3
273,6
276,1
278,6
280,0
281,3
282,7
284,2
285,7
287,2
288,8
290,4
292,2
293,9
295,7
297,6
299,6
Вероятностная сетка для логарифмически нормального распределения содержит по оси абсцисс логарифмическую шкалу и по оси ординат значения y , которые обозначают через Fо (у), где Fоопределяют
128
также как и для нормального распределения.
Коэффициент масштаба 𝐾𝑥 для оси абсцисс вычисляют:
𝐾𝑥 =
𝐿
,
𝑙𝑔𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑙𝑔𝑥𝑚𝑖𝑛
где L, xmin , xmax - определяют как и для нормального распределения.
Величину𝑆𝑥 (𝑥)вычисляют:
𝑆𝑥 (𝑥) = 𝐾𝑥 ∙ 𝑙𝑔𝑥,
для 𝐾𝑥 =100 в табл. 69 приведены значения
𝑆𝑥0 = 100𝑙𝑔𝑥.
Для 𝐾𝑥 ≠ 100 величину S x (х) находят по формуле
𝑆𝑥 (𝑥) =
𝐾𝑥 0
𝑆 (𝑥).
100 𝑥
Величину S v (F ), откладываемую по оси ординат, определяют:
𝐻
𝑆𝑦 (𝐹) =
𝑦.
6,180
В табл. 67 приведены значения S y ( F ) =S ° y (F ) для случая H = 300
мм; тогда S ° y (F ) =50 у.
Если известно, что случайная величина имеет логарифмически
нормальное распределение, то на вероятностную сетку для логарифмически нормального распределения наносят точки, определяемые по
формулам:
𝐾𝑥 =
𝐿
,
𝑙𝑔𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑙𝑔𝑥𝑚𝑖𝑛
𝑆𝑦 (𝐹) =
𝐻
𝑦.
6,180
Затем строят прямую.
Если точкаА представляет собой точку пересечения прямой сосью
абсцисс, то оценку параметра а находят:
129
𝐾𝑥 𝑙𝑔𝑎̅ = 𝑂𝐴.
гдеО - начало координат, ОА - расстояние от О до А, измеряемое в
миллиметрах.
Оценку параметраа̅ можно определить по таб. 69 по величине:
ОА
𝑆х (а) =
100.
Кх
Если начало координатО не помещено на чертеже, то ОА вычисляют но формуле:
𝑂𝐴 = 𝐾𝑥 𝑙𝑔𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑂1 𝐴,
где O1 — точка на оси абсцисс, соответствующая xmin ; расстояние O1 A
измеряют в миллиметрах.
Оценку
𝜎̅
параметра
𝜎
определяют
по
формуле:
𝐻
1
𝜎̂ =
· .
6,180𝐾𝑥 𝑞
Распределение Вейбулла
Случайная величина X распределена по двухпараметрическому закону Вейбулла, если ее функция распределения имеет вид
𝑥 𝑏
1
−
𝑒𝑥𝑝
{−
(
) } , 𝑥 ≥ 0,
𝐹(𝑥; 𝑎; 𝑏) = {
𝑎
0
𝑥 < 0,
где а - параметр масштаба, b - параметр формы.
Вероятностная сетка для распределения Вейбулла устроена следующим образом. По оси абсцисс применяется логарифмическая шкала,
а по оси ординат откладывают значения у и подписывают их через
величину F (у ).
Значения F (у ) вычисляют по формуле:
𝑦
𝐹(𝑦) = 1 − 𝑒 −𝑒 ,
где
𝑦 = 𝑙𝑛[−ln(1 − 𝐹)].
Величину S x (x) находят по формуле:
𝑆𝑥 (𝑥) = 𝐾𝑥 ∙ 𝑙𝑔𝑥,
130
где коэффициент масштаба К х для оси абсцисс вычисляют по формуле:
𝐿
,
𝑙𝑔𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑙𝑔𝑥𝑚𝑖𝑛
для выбора масштаба по оси ординат задаются
𝐾𝑥 =
𝐹𝑚𝑖𝑛 =0,001, 𝐹𝑚𝑎𝑥 =0,999.
Тогда 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −6,91,𝑦𝑚𝑎𝑥 = +1,93, а размах величины у равен 8,84.
Величину S y (F ) вычисляют по формуле:
𝑆𝑦 (𝐹) =
𝐻
∙ 𝑦,
8,84
где у определяется по формуле:
𝑦 = 𝑙𝑛[−ln(1 − 𝐹)]
Длина шкалы по оси ординат H= 300 мм соответствует
𝑆𝑦 (𝐹) =S ° y (F )=33,94 у (табл. 70).
Для длины шкалы H≠300 мм величину S v (F )вычисляют по формуле, в которой S ° y (F ) находят по табл. 70.
Если исследуемая случайная величина X подчиняется двухпараметрическому распределению Вейбулла без сдвига, то на вероятностную оценку для распределения Вейбулла наносят точки при помощи формулам:
𝑆𝑥 (𝑥) = 𝐾𝑥 ∙ 𝑙𝑔𝑥,
𝐻
𝑆𝑦 (𝐹) =
∙ 𝑦,
8,84
затем строят прямую, наиболее близкую к этим точкам.
Если точка А является точкой пересечения этой прямой с осьюабсцисс, то оценку параметра масштабаа определяют из уравнения
131
𝐾𝑥 ∙ 𝑙𝑔𝑎̅ = ±𝑂𝐴.
гд еОА — расстояние точкиА от начала координат О.
Таблица 69
Логарифмическая
x
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1.95
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
𝑆𝑥 (𝑥)
0
2,1
4,1
6,1
7,9
9,7
11,4
13,0
14,6
16,1
17,6
19,0
20,4
21,7
23,0
24,3
25,5
26,7
27,9
29,0
30,1
32,2
34,2
36,2
38,0
x
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
шкала𝑺𝟎𝒙 (𝟎)
= 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙
𝑆𝑥 (𝑥)
39,8
41,5
43,1
44,7
46,2
47,7
49,1
50,5
51,9
53,1
54,4
55,6
56,8
58,0
59,1
60,2
61,3
62,3
63,6
64,3
65,3
66,3
67,2
68,1
69,0
x
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
8,4
8,6
8,8
9,0
9,2
9,4
9,6
9,8
10,0
Если значение х выходит за пределы табличных данных,т. е.
𝟏𝟎𝒌 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟎𝒌+𝟏 (𝒌 = ±𝟏, ±𝟐, … ),
то следует использовать формулу:
𝒙
𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈 𝒌 + 𝟏𝟎𝟎𝒌.
𝟏𝟎
𝑆𝑥 (𝑥)
69,9
71,6
73,2
74,8
76,3
77,8
79,2
80,6
82,0
83,3
84,5
85,7
86,9
88.1
89,2
90,3
91,4
92,4
93,4
94,4
95,4
96,4
97,3
98,2
99,1
100,0
132
Таблица 70
Вероятностная шкала для распределения Вейбулла
𝑺𝟎𝒚 (𝑭) = 𝟑𝟑, 𝟗𝟒 𝒍𝒏[−𝒍𝒏(𝟏 − 𝑭)], H=300 мм
F
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0,0018
0,0020
0,0022
0,0024
0,0026
0,0028
0,0030
0,0032
0,0034
0,0036
0,0038
0,0040
0,0042
0,0044
0,0046
0,0048
0,0050
0,0055
0,0060
0,0065
0,0070
0,0075
0,0080
0,0085
0,0090
0,0095
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
𝑺𝒚 (𝑭), мм
-234,6
-228,3
-222,9
-218,2
-214,6
-211,2
-207,5
-204,8
-202,0
-199,4
-197,2
-195,0
-192,8
-190,8
-189,1
-187,3
-185,6
-184,0
-182,6
-181,1
-179,7
-176,4
-173,6
-170,8
-168,3
-165,9
-163,7
-161,6
-159,7
-157,8
-156,2
-149,9
-144,7
-140,1
-136,0
F
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
0,030
0,032
0,034
0,036
0,038
0,040
0,042
0,044
0,046
0,048
0,050
0,055
0,060
0,065
0,070
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,200
0,220
0,240
0,260
0,280
𝑺𝒚 (𝑭), мм
-132,0
-129,2
-126,2
-123,4
-120,9
-118,5
-116,3
-114,2
-112,2
-110,3
-108,6
-106,9
-105,3
-103,7
-102,2
-100,8
-97,5
-94,4
-91,2
-89,1
-86,6
-84,3
-82,2
-80,1
-78,2
-76,4
-69,8
-64,2
-59,3
-54,9
-50,9
-47,3
-43,9
-40,7
--37,8
F
0,3000
0,3200
0,3400
0,3600
0,3800
0,4000
0,4200
0,4400
0,4600
0,4800
0,5000
0,5400
0,5800
0,6200
0,6321
0,6600
0,7000
0,7400
0,7800
0,8200
0,8600
0,9000
0,9250
0,9500
0,9600
0,9700
0,9800
0,9900
0,9925
0,9950
0,9960
0,9970
0,9980
0,9990
𝑺𝒚 (𝑭), мм
-35,0
-32,3
-30,1
-27,4
-25,0
-22,8
-20,6
-18,6
-16,4
-14,4
-12,4
-8,6
-4,8
-1,1
0
+2,6
+6,2
+10,1
+14,1
+18,3
+22,9
+28,3
+32,3
+37,2
+39,7
+42,6
+46,3
+51,8
+53,9
+56,6
+57,7
+59,7
+62,0
+65,4
133
Оценку параметра масштабаа̅ можно также определить с помощью
табл. 70 по формуле:
𝑆𝑥0 (𝑎̅) =
±𝑂𝐴
∙ 100.
𝐾𝑥
Оценку 𝑏̅ параметра формы bвычисляют по формуле:
b̅ = 3,84
Kx
∙ q,
Н
где q= tgα— угловой коэффициент аппроксимирующей прямой,
Н — длина шкалы по оси координат.
Для шкалы по оси ординат длиной Н = 300 мм имеем:
𝐾
𝑥
𝑏 = 78,16
𝑞.
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с номером варианта, выданным преподавателем,
студенту необходимо выписать из таблиц исходные данные.
2. В результате сбора информации о надежности систем получены
значения ресурса, необходимо графоаналитическим методом определить параметры распределения значений ресурса для законов.
3. Необходимо приобрести навыки в группировании и подсчете
точек. Для этого использовать табл. 71 исходных данных (к каждому
значению первого варианта, приведенному в таблице прибавить номер
своего списка по журналу)На опыте получена выборка объемом n=100.
Значение элементов выборки приведены в табл.71.Произвести группировку и подсчет точек.Выбрать наименьшее и наибольшее значения,
разбитьполученный интервал (размах) на 14 интервалов, подсчитать
ширину интервала. Для подсчета 𝑛𝑗 составить табл. 72.
Подсчет 𝑛𝑗 производится следующим образом: перебирают элементы выборки и когда в j- й интервал попадает элемент, то в j- й
строке табл. 72 ставят штрих. Если элемент выборки совпадает с границей j -го и (j +1) -го интервалов, j = 1,2, . . , k-1, то в j-й и в (j +1)-й
строках ставят штрихи половинной длины. Каждый пятый штрих в
строке перечеркивает предыдущие четыре, если он не соответствует
134
границе интервала; в этом случае ставят вертикальный штрих половинной длины.
Таблица 71
𝐱𝐢
+46
+6
+149
+102
+139
+91
+118
-150
-69
+137
-48
-138
-101
-5
+139
-179
-10
-134
+104
+28
-180
-119
+66
-44
-140
Исходные данные
𝐱𝐢
𝐱𝐢
+20
+168
+16
-15
+227
+60
+4
-90
-113
-116
+77
-26
+38
-36
-51
+183
+29
+53
+103
-206
-133
-201
-29
+118
+16
-114
-136
+36
+125
-23
+14
+21
-253
+27
-35
+61
+47
-31
-55
-210
-51
+8
-105
-166
-49
-34
+76
-52
+22
+299
𝐱𝐢
+128
-14
-89
+19
-20
+245
-53
-63
+128
+5
-52
+1
-16
-162
+38
-6
+136
-92
+1
-91
-124
-138
-96
-73
+72
135
Таблица 72
Группирование и подсчет частот
Номер интервала
Интервал группировки
Число точекmi
1
2
3
4. В процессе эксперимента получили результаты, которые включили в восемь интервалов (табл. 73) (к каждому значению njпервого
варианта, приведенному в таблице прибавить номер своего списка по
журналу).Определить оценки параметров а(в технической литературе также используют обозначение m) и 𝜎 нормального распределения.
Таблица 73
Упорядоченные результаты, полученные в процессе эксперимента
𝒊
i
xi
nj
∑ 𝑛𝑗
𝒋=𝟏
1
2
3
4
5
6
7
8
20
40
60
80
100
120
140
160
𝑖
𝐹(𝑥(𝑖) ) = ∑
𝑗=1
𝑛𝑗
𝑛+1
2
4
9
14
15
8
5
2
Точечную оценку эмпирической функции распределения вычислить по формуле:
𝒎
𝒏𝒋
̂ (𝒙( 𝒎 ) ) = ∑
𝑭
,
𝒏+𝟏
𝒋=𝟏
Для построения вероятностной сетки выбратьL=140.Вычислить коэффициент масштаба K x для оси абсцисс. Длину шкалы по оси ординат
H
выбрать
200
мм.
Вычислить
значения
S v (F).
136
Точки { x(i), F(x(i))} из табл.73 нанести на вероятностную сетку и
построить прямую, с помощью которой найти значения: OA, q (т. е.
использовать угол α).Вычислить очечную оценку математического
ожидания а(или m).Найти точечную оценку среднего квадратического
отклонения 𝝈.Найти оценку параметра а(или m), оценку параметра
(среднего квадратического отклонения)𝝈.
5. Найти оценку 𝝀̂ параметра 𝝀, если при исследовании получена
выборка из 15 значений случайной величины X, подчиняющейся экспоненциальному распределению без сдвига (С=0, построенная прямая
должна проходить через начало координат). Упорядоченные значения
х i приведены в табл. 74(к каждому значению x i первого варианта, приведенному в таблице прибавить номер своего списка по журналу).
Таблица 74
Упорядоченные значения случайной величиныxi
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
150
200
291
380
446
550
595
629
840
1036
1194
1337
1774
2280
2827
K x x i, мм
𝐹̂ (𝑥𝑖 )
Sy (F),мм
Для построения вероятностной сетки выбрать длину шкалы по оси
ординат H= 300 мм и ширину графика L = 134 мм.
Вычислить коэффициент масштаба по оси абсцисс 𝑲𝒙 , используя
137
размах.Значения𝑺𝒚 (𝑭)отложить по оси ординат в миллиметрах. Найти
точечную оценку функции распределения:
̂ (𝒙𝟏 ) и т. д.
𝑭
После нанесения точек на вероятностную сетку для экспоненциального распределения построить прямую, проходящую через начало
координат.Из графика получить значение углового коэффициента аппроксимирующей прямой q. Найти точечную оценку параметра𝝀̂.
6. При ресурсных испытаниях невосстанавливаемых деталей
найдены значения случайной величины 𝒙𝒊 , которые приведены в табл.
75(к каждому значению x i первого варианта, приведенному в таблице
прибавить номер своего списка по журналу). Подтвердить, что данная
случайная величина подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятности со сдвигом (𝒄 ≠ 𝟎).
Найти оценки параметра сдвига 𝒄̂ и параметра масштаба 𝝀̂.
Таблица 75
Упорядоченные значения случайной величины
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
xi
𝑆𝑥 (𝑥) = 𝐾𝑥 ∙ 𝑥𝑖 ,мм
𝐹̂ (𝑥𝑖 )
Sy0 (F),мм
Sy (F )
526
566
664
673
767
857
1000
1068
1191
1484
1819
2046
2571
3057
4610
Для построения вероятностной сетки выбрать шкалу длиной по оси
ординат Н=300 мм и ширину графика L=143 мм.Вычислить коэффициент масштаба для оси абсцисс 𝑲𝒙 с учетом размаха. Найти значения
138
𝑺𝟎𝒚 (F), соответствующие Н=300 мм. Определить точечную оценку
̂ (𝒙𝟏 ).После нанесения точек на вероятностфункции распределения 𝑭
ную сетку построить прямую. Из графика определить ОА (расстояние
точкаА от начала координат О) и q (угловой коэффициент аппроксимирующей прямой). Определитьточечную оценку параметра
сдвига 𝒄̂ найдем.Определитьточечнуюоценку параметра𝝀̂.
7. На опыте получена выборка из 15 значений случайной величины,
распределенной по логарифмически нормальному закону. Упорядоченные значения x i приведены в табл. 76(к каждому значению x i первого варианта, приведенному в таблице прибавить номер своего списка
по журналу). Найти оценки параметров 𝝁
̂и𝝈
̂.
Таблица 76
Упорядоченные значения x i
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
599
648
796
896
905
927
943
1010
𝑆𝑥 (𝑥) =
100 𝐹̂ (𝑥𝑖 )
= 425 𝑙𝑔𝑥
i
xi
9
10
11
12
13
14
15
1028
1055
1077
1078
1126
1185
1428
𝑆𝑥 (𝑥) =
100 𝐹̂ (𝑥𝑖 )
= 425 𝑙𝑔𝑥
Найти 𝒍𝒈 𝒙𝒎𝒂𝒙 и 𝒍𝒈 𝒙𝒎𝒊𝒏 . Поскольку значения х лежат за ее пределами, вычислить значения 𝑺𝟎𝒙 (𝒙) = 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙 .Получить:
𝒙𝒎𝒂𝒙
𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒍𝒈
+ 𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒙𝒎𝒊𝒏
𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝒍𝒈
+ 𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎 (𝒍𝒈𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒊𝒏 )
Рассчитать:𝒍𝒈𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒊𝒏 .
Для построения вероятностной сетки выбратьL=160 мм и H = 200
мм. Рассчитать коэффициент масштаба для оси абсцисс 𝑲𝒙 :
𝑳
𝑲𝒙 =
𝒍𝒈𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒊𝒏
Определить:
𝑺𝒙 (𝒙) = 𝑲𝒙 ∙ 𝒍𝒈𝒙 .
𝟎 (𝒙)
Найти значения 𝑺𝒙
= 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒈𝒙 и, умножив их на полученный в
139
результате вычислений параметр, записать в табл. 76.Определить
̂ (𝒙𝒊 ).Построив прямую по полученным точкам {𝑺𝒙 (𝒙𝒊 ), 𝟏𝟎𝟎 𝑭
̂ (𝒙𝒊 )} ,
𝑭
координаты которых приведены в табл. 76, найти значенияО1А, мм и
qи определить точечную оценку 𝝁
̂.
𝑶𝑨 = 𝑲𝒙 𝒍𝒈𝒙𝒎𝒊𝒏 + 𝑶𝟏 𝑨,
Найти оценку параметра 𝝈
̂.
8. Имеется выборка из 15 значений случайной величины X, имеющей двухпараметрическое распределение Вейбулла. Упорядоченные
значения xi приведены в табл. 77(к каждому значению x i первого варианта, приведенному в таблице прибавить номер своего списка по жур̂.
̂и𝒃
налу).Найти оценки параметров 𝒂
Таблица 77
Упорядоченные значения xi
i
xi
1
1
2
3
3
3
4
4
5
10
6
17
7
18
8
26
9
31
10
56
11
108
12
127
13
207
14
540
15
668
𝑆𝑥 (𝑥) = 57 𝑙𝑔𝑥, мм
𝐹̂ (𝑥𝑖 ) =
𝑖
𝑛+1
Sy (F),мм
Выбрать
ширину
графика
L.
Найти
̂
лить𝑲𝒙 , 𝑺𝒙 (𝒙𝒊 ), 𝑭(𝒙𝒊 ).Выбрать длину шкалы по оси ординат Н. Вычислить 𝑺𝒚 (𝑭), значения внести в табл. 77.
На вероятностную сетку для распределения Вейбулла нанести точ̂ (𝒙𝒊 )), i=1,2, . . . , 15, и построить по ним прямую.
ки (𝒙𝒊 𝑭
140
ИзмеритьОА, найти:
̂=
𝒍𝒈𝒂
Измеритьq, найти:
𝑶𝑨
.
𝑲𝒙
𝑲𝒙
∙ 𝒒.
𝑯
На вероятностной сетке для распределения Вейбулла справа при̂.
ведена дополнительная шкала для определения оценки параметра 𝒃
Для этого через точку A0(в правом нижнем углу сетки) проводят
прямую, параллельную построенной в соответствии с правилами, и
̂ . Для данных табл. 77 снимаем 𝒃
̂.
по шкалеснимают значения 𝒃
9. Применить графический способ для определения доверительных
границ для функции распределения.
Точность, с какой точечная оценка оценивает функцию распределения теоретической модели, описывается доверительным интервалом.
Доверительный интервал для значения функции распределения
y=F(xi) ограничен доверительными границами F H (xi) и F B (xi) с заранее
выбранной близкой к 1 вероятностью, называемой доверительной вероятностью:
𝑃{𝐹н (𝑥𝑖 ) < 𝐹(𝑥𝑖 ) < 𝐹𝐵 (𝑥𝑖 )} = 1 − 𝛼,
где 1-𝜶 — доверительная вероятность.
Двухсторонние доверительные границы F H (xi) и F B (xi) при 𝟏 − 𝜶
=0,80 для значений функции распределения F(х i ) в выборках объемом
п от 1 до 30 находят по табл. 79 и 80 и для 𝟏 − 𝜶 = 0,90 при n от 1 до
20 по табл.81 и 82(i =1.2, . . . , п).
В табл. 78 приведены данные, полученные в процессе наблюдения объектов (n=15). Предполагается, что исследуемая величина X
подчиняется двухпараметрическому распределению Вейбулла. Определить доверительные границы для функции распределения, соответствующие доверительной вероятности 𝟏 − 𝜶 = 0,80.
Определить точечную оценку функции распределения F(xi).
̂ (𝒙𝒊 )} нанести на вероятностную сетку
Полученные точки { 𝒙𝒊 , 𝑭
для распределения Вейбулла и провести прямую y = F 0 (х). Угловой
̂ этой прямой является оценкой параметра формы b.
коэффициент 𝒃
Затем через точку Ао провести прямую, параллельную пря̂ . Полученноезначемойy=F 0 (х), которая пересечет шкалу b в точке 𝒃
̂ является оценкой параметра b.
ние 𝒃
Для оценки параметра масштаба a для распределения Вейбулла
найти на прямой y=F 0 (х) точку, для ординаты которой справедливо
𝒍𝒏[−𝒍𝒏(𝟏 − 𝑭𝟎 (𝒙))] = 𝟎. Через найденную точку провести прямую,
̂ = 𝟑, 𝟖𝟒
𝒃
141
параллельную оси абсцисс, которая пересечет прямую y = F 0 (х) в точке В. Из точки В опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пере̂ является оценкой параметра масштаба а. На график наносят
сечения 𝒂
доверительные границы следующим образом.
В случае нижней доверительной границы F n (xi) для соответствующих наблюдаемых значений x i и соответствующих номеров iнаходят
из табл. 79 (для n=15) соответствующие значения F n (xi) и наносят на
чертеж точки {𝒙𝒊 , 𝟏𝟎𝟎𝑭н (𝒙𝒊 )}.
Таблица 78
Данные, полученные в процессе наблюдений объектов
Из табл. 79
15
668
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
3
3
4
10
17
18
26
31
56
108
127
207
540
668
0,937
𝐹̂ (𝑥𝑖 )
100𝐹̂ (𝑥𝑖 )
𝐹н (𝑥𝑖 )
100𝐹н (𝑥𝑖 )
Из табл. 80
𝐹𝐵 (𝑥𝑖 )
100𝐹𝐵 (𝑥𝑖 )
85,80,858
93,7
0,993
Например, для i=1 находят при n = 15 значение:
Остальные значения F н (xi) указать в табл. 78 и соответствующие
142
точки нанести на чертеж.Для верхней доверительной границы FB(xi)
аналогичным способом найти по табл. 80 (для n=15) соответствующие
значения. Например, для i = 5 находят F B (х5) = 0,470 и 100 F B (х 5 )
=47,0. Значения F B (х i ) привести в табл. 78.
10. Сделать выводы.
11. Защитить отчет.
143
Таблица 79
Нижние доверительные границы Fn(xi) для значений функции распределения F(xi) в выборках объёмом
n=1÷30 для двухсторонней доверительной вероятности 1-α=0,80
144
Применение вероятностной сетки для нормального
распределения
145
Применение вероятностной сетки для экспоненциального
распределения без сдвига
146
Применение вероятностной сетки для экспоненциального
распределения со сдвигом
147
Применение вероятностной сетки для логарифмически нормального закона
148
Применение вероятностной сетки для закона Вейбулла
149
Примеры вероятностных сеток. Вероятностная сетка нормального
распределения
150
Вероятностная сетка для экспоненциального распределения
Таблица 80
Верхние доверительные границы Fв(xi) для значений функции распределения F(xi) в
выборках объёмом n=1÷30 для двухсторонней доверительной вероятности 1-α=0,80
Таблица 81
Нижние доверительные границы Fв(xi) для значений функции распределения F(xi) в
выборках объёмом n=1÷20 для двухсторонней доверительной вероятности 1-α=0,80
Таблица 82
Верхние доверительные границы Fв(xi) для значений функции распределения F(xi) в
выборках объёмом n=1÷20 для двухсторонней доверительной вероятности 1-α=0,90
154
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы для контроля.
Для чего применяют вероятностные сетки?
Что представляет собой вероятностная сетка?
Способ группировки данных.
Построение сетки для нормального закона распределения.
Построение сетки для экспоненциального закона распределе-
ния.
6. Построение сетки для логарифмически нормального закона
распределения
7. Построение сетки для закона Вейбулла.
Практическая работа № 11
Методы прогнозирования надежности
Ц е л ь р а б о т ы: изучить методыпрогнозирования, рассчитать
ресурс технологической системы до первого капитального ремонта.
Н е о б х о д и м о е оборудование: калькулятор; таблица исходных
данных.
Основные понятия
Современные методы прогнозирования надежности могут быть
разделены на три основные группы:
1) методы экспертных оценок;
2)методы моделирования, включающие физические, физикоматематические и информационные модели;
3) статистические методы прогнозирования, основные на интерполяции или экстраполяции данных, полученных в результате предварительных исследований.
В зависимости от длительности прогнозируемого периода различают прогнозы: краткосрочные (до 5лет), среднесрочные (5-15 лет),
долгосрочные (свыше 15 лет). Глубину ретроспективного анализа информации об объекте определяют длительностью периода: чем больше
прогнозируемый период, тем больший срок берут для анализа закономерности изменения надежности объекта в прошлом. Считается, что
155
ретроспективный период должен превышать прогнозируемый период
примерно в 2 – 3 раза.
Установлено, что для большинства задач прогнозирования надежности систем достаточно получить решение с точностью 10…15%.
Информация об изменении состояния элементов системы обычно невелика. Сбор информации в полном объеме связан с большими материальными затратами, техническими трудностями, требует много времени. Это ограничивает объем исходной информации. Эти причины
предопределяют использование достаточно простых методов прогнозирования, которые позволяют получить решение задачи в минимальные сроки и с использованием простого математического аппарата.
Методы прогнозирования выбирают с учетом: а) задач прогнозирования; б) количества и качества исходной информации;
в) характера реального процесса изменения показателя надежности
(прогнозируемого параметра).
Обработка и анализ исходной информации позволяют построить
математическую модель объекта прогнозирования. Точность модели
определяется: 1) целью и задачами прогнозирования; 2) количеством и
качеством информации.
Схема прогнозирования следующая:
1.Результаты исследования надежности изделия:
- Информация о надежности аналогичных изделий.
- Расчетно-аналитическая оценка надежности.
- Инструментальная оценка надежности.
- Эксплуатационная оценка надежности.
2. Построение модели объекта прогнозирования и определение неизвестных параметров модели:
- Цель, задачи прогнозирования;
- Выбор метода прогнозирования. Прогнозирование надежности
изделия. Оценка точности прогнозирования. Разработка рекомендаций
по повышению надежности изделия.
Сущность методов прогнозирования, основанных на экспертных
оценках, заключается в обобщении, статистической обработке и анализе мнений специалистов относительно перспектив развития данной
области.
Методы моделирования базируются на основных положениях теории подобия. Процедура прогнозирования с использованием моделирования заключена в следующем. На основании показателей подобия
модификации Аизделия, уровень надежности которого исследован
ранее, и некоторых свойств модификации Б того же изделия, уровень
надежности которого необходимо оценить, прогнозируют показатели
надежности Б на некоторый период времени.
156
Метод моделирования состоит из трех этапов:
1) формирование модели исследования;
2) проведение экспериментальных исследований;
3) пересчета полученных значений с модели на натуральный объект.
В основу прогнозирования надежности изделий и их элементов
могут быть положены физические и математические методы моделирования. Задача заключена в определении условий, при которых модель приобретает прогностическую функцию допущений и ограничений, накладываемых на область применения модели и период прогнозирования.
Один из статистических методов прогнозирования – метод экстраполяции. В основе прогнозирования надежности методом экстраполяции лежат закономерности изменения прогнозируемых параметров во
времени.
Если известно значение функции в точках X 0  X 1  ...  X n ,
X 0 ; X n , то процедуру установления
значения функции f x  в точках Х, лежащих вне интервала X 0 ; X n
называют экстраполяцией.
Прогнозирование состоит из нескольких этапов:
1) анализа исходных данных и построения графика,
иллюстрирующего изменение прогнозируемого параметра во времени;
2) определение аналитического выражения (математической
модели), описывающего закономерность изменения прогнозируемого
параметра;
3) экстраполяции полученного уравнения и прогнозирования
показателей надежности за данный период.
После построения графиков, отражающих связь между
переменными, подбирают аналитическую функцию. Подбор функции
составляет важную часть прогнозирования. Выбор кривой
определяется субъективными факторами, и здесь большое значение
имеет правильное логическое объяснение зависимости анализируемых
параметров с учетом опыта их развития в прошлом. По возможности
нужно стремиться подбирать простые аналитические функции с
минимальным числом переменных.
Существует ряд методов определения параметров эмпирических
формул:
Метод выбранных точек;
Метод средних;
Метод наименьших квадратов.
лежащих внутри интервала
157
Рассмотрим метод выбранных точек. Пусть в результате наблюдений получена система опытных данных: Мi ( x i y ) при i =1, 2 …,n.
i


Необходимо определить параметры функции y   x, a1 , a2 ,..., a m .
На координатную плоскость XOY наносят точки и проводят плавную кривую, по возможности примыкающую к точкамМi. На кривой
выбирают систему m (по числу параметров) точек с координатами𝑥̅𝑗 и
𝑦̅𝑗
при j = 1,2,…,m. Выбранные точки должны быть равномерно
распределены по всей кривой. Для удобства обычно берут абсциссы
этих точек, совпадающие с крупными делениями оси OX координатной сетки. Далее измеряют ординаты выбранных точек𝑦̅𝑗 . Параметры
a1 , a2 ,..., am в общем случае определяют из системы m уравнений при
j = 1,2,…,m:
~ ~ ~

y    x , a1 , a 2 ,..., a 
m
j
 j




Для определения параметров линейной зависимости решают систему уравнений:
~
~
y  a0 x1  a1 ,
1
~
~
y  a0 x2  a1 .
2
Для случая квадратичной зависимости y  a0 x2  a1 x  a2 коэффициенты a , b и c определяют из системы трех уравнений:
~
~
~
y  a0 x12  a1 x1  a2 ,
1
~
~
~
y3  a0 x32  a1 x3  a2
,
~
~
~
y  a0 x22  a1 x2  a2 .
2
Метод выбранных точек является весьма простым и наглядным,
но обладает малой точностью.
158
При прогнозировании надежности изделий и их элементов
наиболее часто используют такие зависимости, как линейная и
квадратичная функции.
Общий вид линейной функции выражен формулой
y  a0  a1  x (112)
где
a0 и a1 -постоянные коэффициенты.
Коэффициент a0 :
n
n
n  xi yi   xi yi
i 1
i 1
.
(113)
a0 
2
n
 n 
n  x i2    x i 


i 1
i  1 
Коэффициент a1 определяет угол наклона прямой к оси абсцисс.
Для нахождения значения a1 используют выражение или находят по
формуле:
y
a1  x
n
n
n
n
 y i   x i2   x i   x i y i
i 1
i 1
i 1 i 1
.
(114)
a1 
2
n
 n 
n  x i2    x i 


i 1
i  1 
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 83 необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.
Необходимо рассчитать ресурс изделия до первого капитального
ремонта.
В результате сбора и обработки информации о надежности изделия
получены следующие данные:
Год
t
(интервал
времени)
Т (ресурс)
первый
1
второй
2
третий
3
четвертый
4
пятый
5
(по табл. 83 исходных данных)
шестой
6
159
Таблица 83
Исходные данные
Значение ресурса по годам, 103
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
t (интервал времени)
1
7
8
7,5
8,4
6,3
7,2
6,8
7,6
7,7
8,8
8,3
9,3
8,4
9,6
9
10,1
6
5,4
6,5
6,6
7,2
5,8
4,8
5,2
6,4
8,4
7,6
12,5
7,9
7,5
2
10
9
9
8,1
11
9,9
12
10,8
8,5
7,7
9
9,4
9,9
8,5
6,8
7,2
9,4
10,8
14
8,9
-
3
12
11,5
11,5
12,3
10,8
10,4
10,4
11,1
13,2
12,7
12,7
13,5
14,4
13,8
13,8
14,8
11,5
12,7
9,2
12,1
13
18
11,4
11,4
4
15
14
16
13,5
12,6
14,4
16,5
15,4
17,6
18
16,8
19,2
14
12,6
15,4
14,4
11,2
15,8
15,8
16,2
13,9
5
15
17
19
13,5
15,3
17,1
16,5
18,7
20,9
18
20,4
22,8
17
15,3
16,5
18,7
18,2
16,4
13,6
13,2
18,6
20
23,4
14,9
16,8
6
20
18
20
22
18
16,2
18
19,8
22
19,8
22
24,2
24
21,6
24
26,4
19
17,1
19
20,9
21
19,1
15,2
15,2
21
21,6
21,6
28
17,8
19,9
160
2. Необходимо построить график изменения прогнозируемого параметра (ресурса) во времени
Следует выбрать линейную модель прогнозирования, общий вид
линейной функции который выражен формулой (112).
Найти коэффициенты a0 и a1 по формулам (113) и (114).
Подставляя значения параметров (коэффициентов) a0 и a1 в
формулу (112), получить линейную модель прогноза.
Вычислить теоретический динамический ряд, ч :
~
y1  a0  a1 1
;
~
y 2  a0  a1  2
;
………………
~
y6  a0  a1  6
.
Определить прогноз, ч :
один интервал назад (на предыдущий год):
~
y 7  a0  a1  7
;
два интервала вперед (на последующий год):
~
y8  a0  a1  8
;
три интервала вперед (на два года):
~
y 9  a0  a1  9
;
Вычислить ошибку прогноза:
2
~
n 

y
  yi  i 
i  1


n
,
где i =1, 2, …,6.
Получить прогноз на первый, второй и третий интервалы с
вероятностью 0,68:
y *i  y i   ,
161
например, на один интервал вперед:
y *7  y 7   .
Получить прогноз на все три интервала с вероятностью 0,95:
y *i  y i  2 .
так на один интервал вперед с вероятностью 0,95:
y *7  y 7  2 .
Получить прогноз на все три интервала с вероятностью 0,997:
y *i  y i  3 .
3. Сделать выводы о том, каков будет ресурс изделиявпо годам
и с какой вероятностью.
4. Оформить отчет, где отразить цель работы, основные
теоретические сведения, исходные данные, результаты расчетов,
таблицы, графики, выводы.
5. Защитить отчет у преподавателя.
Вопросы для контроля
1. Метод экспертных оценок.
2. Методы моделирования.
3. Статистические методы прогнозирования.
4. Виды прогнозов.
5. Как выбрать метод прогнозирования?
6. Метод экстраполяции.
7. Метод выбранных точек.
8. Что определяет коэффициент a1 ?
9. Как построить теоретический динамический ряд?
10. Расчет прогноза на один, два, три интервала.
Практическая работа № 12
Применение критерия Колмогорова
Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и
теоретического распределения случайной величины с применением
критерия Колмогорова..
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор;
таблица исходных данных.
Основные понятия
162
Проверка согласия опытного и теоретического распределения
случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда
результатов наблюдений этой величины:
x1  x2  , ...,  x N ,
построении на основе их функции накопленных частостей и сравнении этой функции с теоретическим законом распределения.
Исследуемая совокупность должна быть однородной, т.е. наблюдения случайной величины х должны проводиться в одинаковых условиях.
Если число наблюдений случайной величины х больше 100, то
для проверки согласия опытного распределения с теоретическим применяют критерий Колмогорова и критерий λ2, если число наблюдений
случайной величины х больше 50, то для проверки согласия опытного
распределения с теоретическим применяют критерий ω2.
Широкое применение при оценке распределения случайной величины получил нормальный закон (закон Гаусса). Этот закон хорошо
описывает распределение случайной величины, на изменение которой
влияет большое число факторов, равнозначных по величине. К нормальному закону близко распределение значений наработки на отказ
большинства изнашивающихся деталей (втулки, фрикционные элементы).
Функция плотности нормального распределения:
 (x  x )
1
f(x) =
e
2σ
2
2
,
(115)
σ 2π
где е – основание натурального логарифма; σ – среднее квадратическое отклонение; x – среднее арифметическое значение случайной
величины х, полученное путем деления суммы результатов наблюдений на общее число наблюдений:
x =
x1 + x2 + ... + x N
x
i
i=1
1
r

=
, x =
m j+1 (x1 + jΔ), (116)
N
N
N j=1
где х1,…, хN – значения, полученные в результате измерения случайной
величины; N – общее число значений величины х.
Среднее арифметическое значение характеризует центр группировки значений случайной величины х.
В случае x = 0 , σ = 1 имеем нормированное и центрированное распределение, плотность которого табулирована [15].
163
x
1
0 (x) =
= e
2
2
.
2π
Интегральная функция нормального распределения:
x

F(x) =
x
1
f(x)dx =
 (x  x )
e
2σ
2
2
dx.
(117)
σ 2π 

Для нормированного и центрированного распределения имеем
табулированную функцию Ф(t), называемую интегралом вероятностей:
x
1


x
2
e 2 dx.
2π 
Значения F0(x) представлены в табл. 1.2 [15].
Из уравнения (118) следует, что:
(118)
F0 (  x) = 1  F0 (x).
Из уравнений (117) и (118) получаем:
(119)
F0 (x) =
F(x) = F0
x


 x
.

σ
(120)
Если наработка х до отказа приближенно распределена по нормальному закону, то вероятность отсутствия отказа на промежутке от
0 до х находится по уравнению:

P(x) =

f(x)dx = 1  F0 (x) = F0
x
x


 x
σ
.

(121)
Интенсивность отказов:
λ(x) =
f(x)
P(x)
где f1 (y) =
 (y)
=
1
σ
x


x
F0 

0
 x
σ

σ


x


=
1
σ
f1
x


 x
σ
– табулированная функция 1.4 [15].
F0 (y)
Выборочная дисперсия:
,

(122)
164
2
1
N
 (x
2
 x) .
(123)
N  1 i=1
При оценке справедливости гипотезы о виде закона распределения случайной величины по критерию Колмогорова строят эмпирическую функцию распределения и теоретическую функцию предполагаемого закона распределения. Гипотезу проверяют с помощью величины D, определяемой по результатам наблюдений и выражающей
наибольшее абсолютное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения.
Применение критерия согласия Колмогорова на практике осложняется следующими обстоятельствами. Для сопоставления функций
опытного и теоретического распределений необходимо знать значения
математического ожидания и среднего квадратического отклонения
наблюдаемой случайной величины, которые обычно неизвестны.
S
=
i
Использование вместо этих неизвестных значений их оценок x и
σ при малом числе наблюдений (или при большом числе наблюдений,
сгруппированных в малом числе интервалов) может привести к ошибочным выводам при проверке согласия опытного и теоретического
распределений. В случае проверки нормальности распределения эту
трудность можно решить сопоставлением функции опытного распределения величин (
xi  x
) с функцией распределения Стьюдента. Одσ
нако при малом числе наблюдений результативность применяемого
критерия будет небольшой, а при большом числе наблюдений распределение Стьюдента сходится к нормальному, причем x и σ становятся
достаточно близкими к их математическим ожиданиям. Таким образом, при большом количестве наблюдений применение критерия Колмогорова не вызывает каких-либо осложнений.
Значение:
D = FN (x)  F(x),
(124)
где FN(x) и F(x) – эмпирическая и теоретическая функции закона распределения соответственно.
Величина:
λN = D N N .
Задают доверительную вероятность:

(125)
*
γ = Вер λN  λN

(126)
165
того, что отклонение функции опытного распределения от теоретического будет меньше величины λN, установленной для доверительной вероятности γ.
Значение, соответствующее этой доверительной вероятности,
находят по табл. 84.
Таким образом, проверяют соответствие эмпирического закона
выбранному теоретическому закону распределения.
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 1 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.
Таблица 84
Предельные значения нормированных отклонений опытного
распределения от значений теоретического распределения для заданных доверительных вероятностей
γ
λN
*
γ
λN
*
0,01
0,05
0,10
0,15
0,20
0,30
0,40
0,44
0,52
0,57
0,61
0,65
0,71
0,77
0,60
0,70
0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
0,89
0,97
1,07
1,22
1,36
1,52
1,63
По результатам испытаний требуется проверить гипотезу о нормальном распределении наработки до отказа.
Во время испытаний устройств были получены данные о наработке их до отказа. Распределение наработки до отказа устройств подчиняется нормальному закону.
Данные испытания, необходимые для построения функции опытного и теоретического распределения, приведены в табл. 1 приложения.
2. Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в
специально поставленном эксперименте, располагают в порядке их
возрастания:
x1  x2  , ...,  x N .
При группировании результатов испытаний выявляют наибольшее х и наименьшее х1 значения. Зона рассеивания (размах) рассчитывается как разность между этими элементами.
Следовательно, в выборке х1,…, хN определяют размах:
W = Wmax  Wmin .
166
3. Зону рассеивания делят на интервалы в количестве r, вычисленные по формуле:
2
0,27
r = 1, 15[0, 42(N  1) ] .
Полученное значение округляют в наименьшую сторону.
4. Ширина интервала группирования:
Δ =
W
.
r
5. В первую графу (табл. 85) записывают значения х1; х1+Δ;
х1+2Δ;…хr.
6. Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение:
σ =
 m  x
r
1
N - 1
j+1
1
+ jΔ 

.
2
x
j=0
7. Данные вычислений заносят в графы 3 – 6 табл. 85.
8. В седьмую графу табл. 85 записывают:
y j+1 =
x1 + jΔ  x
.
σ
9. В восьмую графу записывают эмпирическую функцию (функцию опытного распределения):
FN (y j+1 ) =
N j+1
,
N
где N j+1 = m1 + m2 + ... + m j+1 , а в девятую графу – функцию теоретического распределения, которую находят по формуле (118) или по
табл. 1.2 [15], принимая во внимание, что в нашем случае
F0 (x) = F0 (y j+1 ) .
Функция теоретического распределения F(y) представляет собой
вероятность того, что при принятом распределении случайной величины y будет выполняться условие   y  yk .
10. По формуле (130) определяем интенсивность отказов, а по
формуле (131) – выборочную дисперсию. Значения интенсивности
отказов и выборочной дисперсии заносят в табл. 86,где графы 1 – 4
переносят из табл. 85.
+1
2
1
mj
x1+j
Δ
3
mj+1(x1+jΔ)
4
(x1+jΔ) –x
5
J=0
Σ
r
((x1+jΔ )-x)2
6
_
((x1+jΔ )-x)-2
mj+1
7
yj+1
8
FN(yj+1)
9
F(yj+1)
Данные для построения функции опытного и теоретического распределения
Таблица 85
167
168
Таблица 86
Определение выборочной дисперсии
x1+jΔ
1
yj+1
2
FN(yj+1)
3
F(yj+1)
4
λ(yj+1)
5
S2
6
11. По данным табл. 85 строят графики функции опытного и теоретического распределения – FN(yj+1) и F(yj+1).
12. По графику и данным табл. 85 определяют максимальное отклонение функции опытного распределения от функции теоретического распределения по формуле (132).
Принимая во внимание, что в нашем случае обозначение функции
теоретического распределения F(yj+1), а эмпирического – FN(yj+1), формулу (132) можно записать следующим образом:
DN = max FN (y j+1 )  F(y j+1 ) .
13. Вычисляют величину λN по формуле (133).
14. По формуле (134) задают доверительную вероятность.
По табл. 84 находят значение, соответствующее этой доверительной вероятности.
*
Если λN  λN , полученной по принятой доверительной вероятности, то между эмпирическим и теоретическим распределениями вероятностей имеет место незначительное различие.
15. Пользуясь табл. 87, для значений λ находят P(λ), которая
определяет вероятность того, что эмпирическая и теоретическая кривые согласуются.
Таблица 87
Вычисления вероятности Р () по критерию согласия 
Значения

Р
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
1,0
1,0
1,1
1,2
1,3
0,96
7
1,5
0,86
4
1,6
0,71
1
1,7
0,544

Р
0,99
7
1,4
0,1
78
0,112
0,668
0,04
0
0,02
2
0,01
2
0,00
6
0,003
1,8
0,9
1,0
0,39
3
1,9
0,270
0,00
2
0,001
2,0
169
16. Гипотезу о соответствии принимают при N ≥ 100, если
P(λ)=0,01…0,05.
Также, если уравнение (134) переписать:

*

α = 1  γ = Вер λN  λN ,
и вычисленная вероятность получится незначительной (меньше
0,05…0,10), то отклонение эмпирической функции распределения от
теоретической неслучайно, т.е. теоретическая и экспериментальная
функции плохо согласуются.
17. Привести расчеты, таблицы, построить графики функции
опытного и теоретического распределений.
18. Сделать вывод о согласии данного опытного распределения с
нормальным распределением.
19. Отчет защитить у преподавателя.
Вопросы для контроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Функция распределения и плотность распределения.
В каком случае принимают гипотезу о соответствии теоретического и экспериментального распределений?
Что такое интенсивность отказа?
Определение выборочной дисперсии.
Как определить размах и ширину интервала?
Выборка и генеральная совокупность.
Практическая работа № 13
Применение критерия χ2 для экспоненциального закона
распределения
Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и
теоретического распределения случайной величины с применением
критерия χ2.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор;
таблица исходных данных.
Основные понятия
Распределение случайной положительной величины называется
экспоненциальным, если его плотность вероятности имеет вид:
170
 λt
f(t) = λe ,
где λ – постоянная (параметр распределения).
Функция этого распределения
 λt
F(t) = 1  e .
Если t – наработка, то вероятность безотказной работы до наработки t:
 λt
P(t) = e
= exp(  λt).
Для вычислений существуют табличные значения функции exp(x).
Квантили экспоненты zp:
P = exp(  z p ) .
Математическое ожидание и дисперсию находят по следующим
уравнениям:
M(t) = T =
2
σ (t) =
1
λ
;
1
.
2
λ
Коэффициент вариации для экспоненциального распределения:
V(t) =
σ(t)
= 1.
M(t)
Критерий χ2. Пусть mj и Рj – частости и вероятности появления
события Aj(j = 1,…,r) в N независимых испытаниях соответственно.
Тогда при большихN величина
r
χ
2
=

j=1
(m j  NPj )
2
NPj
асимптотически подчинена распределению χ 2 с числом степеней
свободы k = r – 1. если в качестве события рассматривать попадание jго результата наблюдений в интервал (j – 1)h, jh, то при
Pj = F(yi )  F(yi -1 )
приведенное выражение χ2 можно рассматривать как критерий
согласия опытного и теоретического распределений.
Для нахождения χ2 нужно вычислить математическое ожидание
NPj, для чего определить х̅ и σ для среднего значения квадратического
отклонения проверяемого теоретического распределения.
171
Рекомендуется вычислить x и σ по группированным значениям x
и затем для σ использовать поправку Шеппарда. При этом все x из интервала (j – 1)h, jh нужно считать сконцентрированными в средней
точке этого интервала (j -
1
)h. С помощью таких модифицированных
2
значений нужно вычислитьх̅ и σ. Для того, чтобы можно было применять поправку Шеппарда, нужно, чтобы все интервалы имели одинаковую длину h.
Если имеется много интервалов, и их середины находятся очень
близко друг к другу, то необходимость в применении поправок Шеппарда отпадает.
Второе условие применения критерия χ2 – назначение числа степеней свободы. Распределение χ2 с r – 1 степенями свободы имеет место в том случае, если выражение
r
χ
2
=

j=1
(m j  NPj )
2
NPj
было вычислено с помощью истинных значенийх̅ и σ. Правильный выбор числа степеней свободы зависит от объема выборки N и
числа интервалов r.
Теория применения критерия χ2 основана на том, что величины
(mj, NРj) приближенно распределены нормально. Это имеет место, если величины NРj> 10. Если некоторое значение NРj< 10, то необходимо объединять маленькие группы, чтобы каждая из них после объединения содержала по крайней мере 10 ожидаемых результатов. Если
наблюдений так мало, что этого сделать нельзя, критерий χ2 применять
нецелесообразно.
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 3 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.
В результате испытаний изделий записывалась их наработка, после которой сборочный узел подлежал капитальному ремонту. Полученные результаты были сгруппированы по интервалам продолжительностью h = 350 часов.
Данные о числе образцов, подлежащих капитальному ремонту в
первом, втором и т.д. интервалах наработки, взятые из табл. 3 приложения, заносят в первую и вторую графы табл. 88. Требуется прове-
172
рить гипотезу о том, что указанная наработка подчинена экспоненциальному распределению.
r ΣΣ
10 11
(mj­Pjn)²Pjn
9
(mj – Pjn)2
8
P jn
7
mj – Pjn
6
Pj
5
F(yj – y1)
4
yj – y1
1 2 3
.
.
.
yj
(j-1/2)mj
j
mj
Таблица 88
Данные для проверки согласия опытного распределения наработки дизелей до капитального ремонта с экспоненциальным распределением
12
13 14
Σ
2. На практике результаты наблюдений случайной величины х,
полученные на основании выбора статистических данных, располагают в порядке возрастания:
x1  x2  , ...,  xn .
3. Далее вычисляют размах xn – x1 и образуют r равных интервалов шириной h:
h =
xn  x1
.
r
В предполагаемом примере, ввиду большого числа данных, значения х1… xn не представлены, а известны значения mj, r и h (mj – это
частоты величин xj, попавшие в j-е интервалы; h – ширина интервала;
r – число интервалов).
4. При обработке результатов наблюдений, необходимых для
оценки предполагаемой гипотезы по критерию χ2, заполняют графы
3…14 табл. 88.
5. Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение:
173
x =
1
n
σ =
r
1
j=1
2
 (j 
1
n - 1
r

j=1
)m j ,

1
(j 
2

2
)  x mj ,
r
где n =
m .
j
j=1
6. Полученные значения x и σ исследуемой наработки, измеренные числом интервалов, надо для перевода в часы умножить на h.
Поскольку для экспоненциального распределения математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, то начало отсчета наработки при определении нормированных величин yj
сдвинуто на x  σ = 0, 1.
7. Вычисляют величины
(j 
yj =
1
)  x
2
,
σ
их записывают в седьмую графу табл. 88.
8. В восьмой графе вычисляют разность yj – y1.
9. В девятую графу табл. 88 записывают значения функции проверяемого теоретического распределения F(yj – y1)
F(y j  y1 ) = 1  e
 (y j  y1 )
,
 (y j  y1 )
где значение e
переписывают из специальных таблиц [15].
10. В десятую графу записывают вероятности попадания опытных
данных в j-й интервал Pj: Pj = F(y j+1 )  F(y j ),
j = 2, ..., r.
11. Заполняют графу 11, если в ней окажутся значения nPj< 10, то
следует объединить интервал, в котором ожидаемое число результатов
наблюдений меньше десяти, с одним или несколькими соседними интервалами таким образом, чтобы в новом интервале ожидаемое число
результатов наблюдений было не менее десяти.
174
Объединение интервалов пояснено на примере, где после заполнения табл. 88 получены некоторые данные:
0,242
0,036
0,194
0,707
0,524
0,187
179
0,42
0,75
2,43
1,46
0,36
0,15
8,12
3,78
2,40
2,15
1,54
-0,72
1,21
1,56
-0,87
0,0067
0,0060
3,94
0,9404
0,9471
0,60
2,82
2,94
14
2,85
1,87
1,99
16,9
758
15,9
127,5
1428
73,5
5
252,81
3
26
320,41
25
0,51
-0,65
4,34
3,44
2,79
272
0,0096
0,0078
0,0076
0,9154
0,9250
0,9328
2,47
2,59
2,70
1,50
1,64
1,75
832
773
444
166,41
193,21
222,01
12,9
13,9
14,9
5
107,5
90
47
24
4
23
2
22
13
15,52
12
-1,34
11
3,87
0,0121
10
0,0108
0,8925
9
0,9046
2,23
8
2,35
1,28
7
1,40
358
6
425
118,81
5
141,61
11,9
10,9
4
58,5
3
61,5
21
3
20
2
3
1
Видно, что объединены 20…22 и 23…26 интервалы. При этом для
всех расширенных интервалов значения n(P20 + P21 + P22) и
n(P23 + P24 + P25 + P26) более 10. эти интервалы заключают в полужирную рамку.
Соответственно вычисляют и все остальные величины, например,
графа 14 приобретает следующий вид:
m20
+ m21 + m22  n(P20 + P21 + P22 )
2
n(P20 + P21 + P22 )
.
175
12. После объединения интервалов считают полное число неравновеликих интервалов (вместо равновеликих), и число степеней свободы при оценке χ2 принимают равным k = N – 1, где N – число неравновеликих интервалов.
13. Вычислить критерий χ2:
r
χ
2
=

(m j  nPj )
2
.
nPj
j=1
14. Задать доверительную вероятность
γ = Вер
χ
2
*
 (χ )
2

2
того, что величина χ , полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероят*
2
*
2
ностей теоретического распределения будет меньше значения (χ ) ,
установленного для доверительной вероятности γ.
15. По таблице [15] квантилей xu – квадрат распределения
(χ )
k
при доверительной вероятности γ находят для опытных число степеней свободы k = r  1 и
χ
2
ближайшее значение доверительной
k
вероятности.
Или по таблице [15] для доверительной вероятности и числа сте*
пеней свободы k = r  1 находят величину
(χ )
2
, вычисляют
k
*
2
(χ ) и сравнивают с ним вычисленную по данным табл. 88 величину
χ 2.
*
2
16. Если χ2 окажется меньше (χ ) , то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в противном случае – отвергается.
17. Построить графики функций теоретического и опытного распределений, привести расчеты, заполнить таблицы. Сделать вывод о
принятии или непринятии гипотезы о согласии наработки дизеля до
капитального ремонта с экспоненциальным распределением.
18. Отчет защитить у преподавателя.
176
Вопросы для контроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Чему равно математическое ожидание для экспоненциального распределения?
Что такое ранжированный ряд?
Как вычислить критерий χ2?
Какое распределение называют экспоненциальным?
В каком случае применяют экспоненциальное распределение?
Чему равна дисперсия для экспоненциального распределения?
Как определить вероятность безотказной работы до наработки t?
Практическая работа № 14
Применение критерияω2
Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и
теоретического распределения случайной величины с применением
критерия ω2.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор;
таблица исходных данных.
Основные понятия
В отличие от критерия Колмогорова, в котором расхождения
между экспериментальной и теоретической функциями распределения
измеряются максимумом абсолютной величины разностей этих функций, критерий ω2 использует статистику, представляющую собой
взвешенную сумму квадратов таких разностей:

2
ωn =
 [F (x)  F(x)]
n
2
 [F(x)]dF(x),

где F(x) – теоретическая функция распределения; Fn(x) – эмпирическая
функция распределения; φ[F(x)] – весовая функция, областью определения которой является область значений функции F(x).
Этот критерий обладает рядом преимуществ перед критерием χ2:
с его помощью удается полнее использовать результаты наблюдений,
поскольку принадлежность распределения к определенному закону
проверяется по всем значениям случайной величины.
177
Справедливость выдвинутой гипотезы о принадлежности результатов наблюдений к определенному виду закона распределения прове2
ряют путем сопоставления величины ωn , полученной по результатам
наблюдений с критическим значением этого критерия.
2
Конкретный вид статистики ωn зависит от вида весовой функции. Обычно используют весовые функции двух видов: φ(F) = 1, при
которой все значения функции распределения обладают одинаковым
1
весом, и  (F) =
, при которой увеличивается вес наблюдеF(1  F)
ний на «хвостах» распределений. Часто применяется весовая функция
второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливо выступают в областях крайних значений случайной величины. Но на практике часто имеется мало наблюдений
именно в этих областях крайних значений.
Если принять весовую функцию второго вида, статистика ω 2 после выполнения интегрирования имеет следующий вид:
2
ωn =  n  2

j=1

2j  1
2n
lnF(x j ) + (1 
2j - 1
2n

)ln 1  F(x j )


,
где x1  x2  , ...,  x N – результаты наблюдений, упорядоченные по
величине.
Следовательно, критерий ω2 является более мощным, чем критерий χ2 и Колмогорова, но его применение требует большого количества вычисленных операций. Критерий ω2 может быть применен, если
число наблюдений превышает 50. его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений
больше 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результаты проверки по другим критериям не позволяют сделать безусловный вывод о согласии опытного и теоретического распределений,
например, если при проверке согласия по критерию χ2 гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости
0,05, то следует применять дополнительно и критерий ω 2.
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 3 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.
178
В задании использовано малое количество исходных данных в
связи с тем, что необходимо для их обработки применить большое
количество вычислений.
В результате сбора и обработки информации о надежности гидромотора при эксплуатации получены значения наработки изделия на
отказ. Требуется проверить гипотезу о том, что выборка принадлежит
нормально распределенной генеральной совокупности.
Таблица 89
5
6
7
8
((2j-1)/2n) Ln F(xj)+
+(1-(2j-1)/2n) Ln[1-F(xj)]
(1-(2j-1)/2n) Ln[1-F(x j)]
Ln[1-F(x j)]
1-F(xj)
4
1-(2j-1)/2n
Ln F(xj)
3
2
((2j-1)/2n)Ln F(xj)
F(xj)
1
.
.
.
(2j-1)/2n
Номер наблюдения
Результаты вычислений по критерию ω2
9
10
Необходимо оценить параметры нормального распределения, вычисленные по исходным данным, для этого необходимо заполнить
табл. 85практической работы № 12 по данным табл. 85 строят графики
функции теоретического и опытного распределений.
2. На основании рассчитанной табл. 85 заполняют табл. 89, а графу 3 – восьмой графой из табл. 85.
3. Вычисления по критерию ω2 проводят в следующем порядке:
2
определяют значение величины Ωn :
n
Ωn =  n  2 
2
j=1

2j  1
2n
lnF(x j ) + (1 
2j - 1
2n



)ln 1  F(x j ) , (127)
179
где xj (j = 1, 2, …, n) – результат наблюдений, имеющий j-й номер
в вариационном ряду x1  x2  , ...,  xn .
При вычислении по формуле (127) рекомендуется пользоваться
табл. 89. В табл. 89 рекомендуется проводить вычисления с точностью
до 5 значащих цифр, округляя окончательный результат вычислений
по формуле (127) до двух значащих цифр.
4. После заполнения табл. 89 необходимо просуммировать значения, занесенные в десятую графу.
2
Значения величины Ωn получают по формуле (128), которую в
нашем случае можно переписать:
n
2
Ωn =  n  2
,
(128)
j=1
n
где

(127) – сумма десятой графы.
j=1
5. Далее в табл. 4 приложения находят значения функции а, соот2
ветствующее вычисленному значению Ωn . Функцияа представляет
2
собой функцию распределения величины Ωn .
6. Задают уровень значимости а. Рекомендуется выбирать значение а, равное 0,1 или 0,2.
Если а ≥ (1-а), то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределения отвергают, если а < (1-а), то гипотезу принимают.
7. Построить графики функций теоретического и опытного распределения. Сделать вывод о принятии или непринятии гипотезы о
согласии наработки гидромотора с нормальным распределением.
8. Отчет защитить у преподавателя.
Вопросы для контроля
1. Как построить график теоретической функции распределения?
2. Как построить график эмпирической функции распределения?
3. Когда применяют критерий ω2?
180
Практическая работа № 15
Построение и применение вероятностных сеток для
логарифмически нормального распределения (без сдвига)
Ц е л ь р а б о т ы: построить вероятностную сетку для логарифмически нормального распределения (без сдвига), на которой интегральная функция распределения будет иметь вид прямой.
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор;
таблица исходных данных.
Основные понятия
Для каждого закона распределения можно построить вероятностную сетку, на которой интегральная функция распределения будет
иметь вид прямой.
При наличии таких вероятностных сеток можно с достаточной
для практики точностью определять следующие статические характеристики распределения значений показателя надежности: вид закона
распределения значений показателя, математической ожидание, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вероятности, вероятность безотказной работы или возникновение отказа за заданную
наработку и т.д.
Вероятностная сетка (или вероятностная бумага) для данного
распределения вероятностей представляет собой прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, чтобы график функции
этого распределения, построенный на сетке, представлял собой прямую линию.
Если имеется выборка объемом n из значений случайной величины х, то на вероятностную сетку для данного вида распределения
наносят точки графика Fэ – эмпирической функции распределения.
Затем проводят прямую так, чтобы нанесенные точки отклонялись от нее как можно меньше. Эту прямую обычно строят визуально.
Одновременно с определением оценок параметров можно производить графическую проверку согласия эмпирического распределения
с теоретическим.
Если нанесенные эмпирические точки мало отклоняются от проведенной прямой, то это свидетельствует о том, что опытные данные
не противоречат тому виду распределения, для которого построена
сетка.При проведении этой проверки надо учитывать, что при при-
181
ближении к концам выборки опытные точки могут больше отклоняться от прямой, чем в средней части графика.
Оценки параметров распределения находят по углу наклона построенной прямой и по отрезкам, отсекаемым ею на осях координат (с
учетом масштаба).
Для проведения анализа информации о надежности графоаналитическим методом необходимо обработать результаты наблюдений.
Рассмотрим построение эмпирической функции распределения.
В случае, если объем выборки не превосходит 50, элементы выборки нумеруют в порядке возрастания:
x1  x2  , ...,  xn
Эмпирическую функцию распределения Fэ(х) рекомендуется
определять по формуле:
i 
Fэ (xi ) =
1
2
(i = 1, 2, ..., n)
(129)
n
или
Fэ (xi ) =
i
(130)
(i = 1, 2, ..., n).
n+1
Формулу выбирают из соображений удобства вычислений.
Если два или более элемента выборки совпадают, т.е. xi = xi+1 = …
= xi+l<xi+l+1, то Fэ(х) в этих точках считают равной Fэ(хi+l), где Fэ(хi+l)
определяют по формуле (129) или по формуле (130) с заменой iнаi + l.
Если n> 50, группируют данные. Для этого наибольшее и
наименьшее значения показателя в выборке обозначают соответственно через xminи xmax, а затем выбирают числа х* и х** с условием, что х* ≤
xmin, х** ≥ xmax. Ряд значений показателя [х*, х**] разбивают на k равных
интервалов, число точек в j-м интервале (j = l,…, k) обозначают mj. При
этом должны выполняться неравенства 10 ≤ k≤ 20, mj ≥ 5 (j = 1,…, k).
Из точки на границе интервалов в смежные интервалы относят по ½
точки. Значение интервала определяют по формуле:
xmax  xmin
(131)
,
k
где k – предполагаемое число интервалов.
Полученное значение интервала округляют до целого числа, а затем подсчитывают число значений показателя в каждом интервале
(частоты).
h =
182
После группировки определяют эмпирическую функцию распределения при j = 1, 2,…, k по формуле:
Fэ
 x(j  1) +

2

x(j)



m1 + m2 + ... + m
=
j
(132)
n
j = 1, 2,…,k.
Полученные значения эмпирической функции наносят на вероятностную сетку одного из законов распределения.
Логарифмически нормальное распределение (без сдвига)
Положительная случайная величина y имеет логарифмически
нормальное распределение, если ее логарифм х распределен нормально.
На практике применяются два варианта:
x1  ln y,
x2  lg y,
при этом имеет место соотношение:
x2 = M  x1 ,
где М – коэффициент перехода от натуральных к десятичным логарифмам, равный 0,4343.
Плотности вероятности распределения имеют вид:
f1 (x1 ) =
f 2 (x2 ) =
1
σ1
1
σ2
0
x


0
x


 x1
0
1
σ1
 x2
0
2
σ2

,


.

Существует такое значение y0, для которого:
0
ln y0 = x1 ,
0
lg y0 = x2 .
Тогда для плотности вероятности распределения величины y:
f(y) =
1
σ1 y
0
 ln y


 ln y0
σ1



=
M
σ2 y
0
 lg y


 lg y0
σ2

.

183
Для функции распределения:
F(y) =
 ln y

F 
0
 ln y0
σ1



=
 lg y

F 
0
 lg y0
σ2

.

Если y – наработка изделия до отказа, то вероятность безотказной
работы изделия на протяжении наработки y находится по уравнению:
P(y) = 1 
 ln y

 ln y0
 lg y

 lg y0
F 
0
σ1

,

или, что то же самое:
P(y) = 1 
F 
0
σ2

.

Вероятностная сетка для логарифмически нормального распределения устроена следующим образом.
По оси абсцисс применяют логарифмическую шкалу, а на оси ординат откладывают значения y и надписывают величину F0(y), где
F0(y) – значение нормированной центрированной функции логарифмически нормального распределения.
Величина:
S x (x) = k x lg x,
где kx – коэффициент масштаба по оси абсцисс, равный:
kx =
L
lgxmax  lgxmin
,
(133)
(134)
где L – ширина графика; xmax, xmin – наибольший и наименьший элементы выборки соответственно.
Значение величины L следует выбирать так, чтобы значение коэффициента kx, вычисленное по формуле (134), было удобно для расчетов. Рекомендуется выбирать наибольшее из возможных значений L.
Для kx = 100 значения Sx(x) приведены в табл. 10.4 [15].
Величину Sу(F) определяют при помощи равенства:
H
(135)
y,
6, 180
где Н – длина шкалы по оси ординат, мм.
В табл. 10.1 [15] приведены значения Sу(F) для случая Н = 300 мм.
Если известно, что случайная величина имеет логарифмически
нормальное распределение без сдвига, то на вероятностную сетку для
S y (F) =
184
логарифмически нормального распределения наносят точки при помощи формул (133) и (135). После этого строят прямую.
ЕслиА – точка пересечения прямой с осью абсцисс, а точка О –
начало координат, то оценку параметра а вычисляют по формуле:
lg =
OA
(136)
,
kx
где kx – коэффициент масштаба.
Оценкуа можно определить по табл. 10.4. [15]:
S x (a) =
OA
(137)
100.
kx
Оценка параметра σ:
H
 =
1

6, 180k x
,
g
где g – угловой коэффициент прямой, равный:
(138)
g = tg  .
Здесь β – угол наклона прямой к оси абсцисс, при Н = 300 мм.
 =
48, 5
kx

1
.
(139)
g
Порядок выполнения работы
1. Из табл. 5 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.
Определить графо-аналитическим методом параметры закона
распределения значений изделия по данным табл. 5 приложения. Распределение значений по логарифмически нормальному закону без
сдвига.
Необходимо заполнить табл. 90.
185
Таблица 90
Определение величины Sy(Fy)
i
xi
S x (xi ) = k x lg
xi
Fэ(xi)
Sy(Fy)
100
1
.
.
15
2. Применив формулу (133), имеем наибольшее и наименьшее
значения Sx(xmax) и Sx(xmin).
S x (xmax ) = 100lg
S x (xmin ) = 100lg


xmax
;
100
xmin
;
100
S x (xmax )  S x (xmin ) = 100  lg
xmax

lg

.
100 
xmin
100
3. Выбрать L в мм, тогда по формуле (134) определить kx. Найти
значение 100lg
xi
при помощи табл. 10.4 [15] и, умножив его на
100
величину kx/100, внести значения Sx(xi) в третью графу табл. 90.
4. Определить величину Fэ(xi) по формулам (129), (130) или (132)
и внести значения в четвертую графу табл. 90. Значения Sу(Fэ) определить при помощи табл. 10.1 [15], проверить по формуле (135) и полученные значения внести в пятую графу табл. 90.
5. Построить прямую по полученным точкам (рис. 3).
Построив прямую, по чертежу находят отрезок ОА в мм и угол β,
определяют g по формуле (138). С помощью табл. 10.4 [15] или по
формулам (136) и (138) определяют значение а. По формуле (139)
находят  .
186
Sy
F

0
0,50
300
x=1
A
400
l g(x)
Sx
Рис. 3. Построение вероятностной бумаги для логарифмически нормального
распределения
6. Заполняют таблицы, приводят расчеты. Строят вероятностную
бумагу. Делают вывод о правильности выбранного распределения по
полученному чертежу.
7. Отчет защитить у преподавателя.
Вопросы для контроля
1. Что представляет собой вероятностная сетка (или вероятностная
бумага) для данного распределения вероятностей?
2. Преимущества применения вероятностной сетки?
3. Порядок построения вероятностной бумагидля логарифмически
нормального распределения.
4. Как определить угловой коэффициент прямой?
Практическая работа № 16
Метод расчета показателей безотказности восстанавливаемых
объектов
Ц е л ь р а б о т ы: изучитьметод расчета показателей безотказности восстанавливаемых объектов: наработки на отказ и вероятности
безотказной работы Р (t, т) в интервале времени при различных законах распределения временибезотказной работы элементов.
187
Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор;
таблица исходных данных (исходными данными для расчета
показателей
безотказности
являются
параметры
законов
распределения времени безотказной работы элементов с учетом
конкретных условий и особенностей эксплуатации рассчитываемого
объекта).
Основные понятия
Метод расчета показателей безотказности объекта заключается в
следующем:
1. Составляют номенклатуру элементов объекта, показатели
безотказности которого требуется рассчитать.
2. Выписывают параметры закона распределения времени
безотказной работы каждого элемента.
3. Производят расчет наработки на отказ объекта Т2.
По формулам табл. 91 рассчитывают наработку на отказ
элементовТ2 (i) i-го типа.
Наработку на отказ объекта Т2 определяют по формуле:
N
Т2 = [∑
i=1
ni
T2i
−1
] ,
где N — число типов элементов в объекте; 𝑛𝑖 — число элементов i-го
типа в объекте.
4. Проводят расчет вероятности безотказной работы Р (t, 𝜏)
объекта в интервале времени (t,t+ 𝜏):
По формулам табл. 91, 92 рассчитывают вероятность безотказной
работы элементов Pi(t, 𝜏)i-го типа,
Вероятность безотказной работы Р (t,𝜏 ) объекта определяют по
формуле:
𝑁
𝑛
𝑃(𝑡, 𝜏) = ∏ 𝑃𝑖 𝑖 (𝑡, 𝜏),
𝑖=1
где N — число типов элементов в объекте;𝑛𝑖 — число элементов i-го
типа в объекте.
188
Таблица 91
Показатели безотказности элементов
Наиме
нование
Плотность
Экспоненциальный
Закон распределения
𝜆𝑒𝑥𝑝 (-𝜆𝑡 ),𝜆 > 0
Смесь
двух
экспоненц
иальных
𝑞1 𝜆1 𝑒𝑥𝑝(−𝜆1 𝑡) +
+𝑞2 𝜆2 𝑒𝑥𝑝(−𝜆2 𝑡);
𝑞1 > 0, 𝑞2 > 0, 𝜆1 > 0,
𝜆2 > 0, 𝑞1 + 𝑞2 = 1;
Показатели безотказности элемента
Наработка на отказ 𝑇21
1
𝜆
𝑡𝜆23
𝑡𝜆1 𝜆2 𝜆3 + 𝑞1 𝑞2 (𝜆1 − 𝜆2 )2 𝑒𝑥𝑝(−𝜆2 𝑡)
𝜆3 = 𝜆1 𝑞2 + 𝜆2 𝑞1
𝑚−1
𝜆(𝜆𝑡)
)
𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡); [𝜆𝜆 − 𝑚 − 1
(𝑚 − 1)!
𝑚
2𝑚𝑡
> 0, 𝑚 = 1,2,3, . ..
(
2𝜅𝑧
Гамма
𝑚−1
Нормальный
(𝑡 − 𝑎)2
]
2𝑎2
𝜎√2𝜋
a>0,𝜎 > 0,3𝜎 <
𝑎, 𝜎/𝑎 = 𝜐
Логарифмическинормальный
m=2
(ln 𝑡 − 𝑎) 2
]
2𝑎2
𝜎𝑡√2𝜋
a>0,𝜎 > 0
1
1
𝑒𝑥𝑝 [−
𝑒𝑥𝑝 [−
𝑘𝑧
sin (𝜆𝑡 ∗ sin
+ )
1
𝑚
𝑚
+
∑
]
𝑘𝑧
𝑘𝑧
2𝑚𝑡
sin
∗
𝑒𝑥𝑝
(2𝜆𝑡
sin
3 )
𝑘=1
𝑚
𝑚
4𝑡
2𝜆𝑡 − 1 + 𝑒𝑥𝑝(−2𝜆𝑡)
𝑡
𝑡−𝑘𝑎
∑∞
𝑘=1 𝐹0 ( 𝜎√𝑘 )
𝑒𝑥𝑝(𝑎 +
𝜎3
)
2
−1
189
Таблица 92
Показатели безотказности элементов
Закон распределения
Наименование
Показатели безотказности элемента
Вероятность безотказной работы в интервале (t,t+𝜏)
Экспоненциальный
Смесь двух экспоненциальных
exp(-𝜆𝑡 )
𝑞1 𝜆2 𝑒𝑥𝑝(−𝜆2 𝑡) + 𝑞2 𝜆1 𝑒𝑥𝑝(−𝜆3 𝜏)
𝜆2 𝑞2 + 𝜆3 𝑞1
Гамма
𝐼−
[1 +
Нормальный
𝜆 𝜏
∫ 𝑃 (2𝜆𝑡)𝑑𝑡
𝑚 0 𝑘𝑧
𝜆𝑡 𝜆𝑡
+ 𝑒𝑥𝑝(−2𝜆𝑡)] 𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝜏)
2
2
𝜏
𝑎
1 − ∫ 𝐹0 (
0
Логарифмическинормальный
1−𝑘
) 𝑑𝑥
𝜐
𝜏
𝜎3
𝑎 − ln 𝑥
1 − 𝑒𝑥𝑝[−(𝑎 + )]1 ∫ 𝐹0 (
)𝑑𝑥
2
𝜎
0
190
Порядок выполнения работы
1. Объект состоит не восьми элементов, отказ любого из которых
приводит к отказу объекта. Параметры законов распределения времени
безотказной работыэлементов приведены в табл. 93.
Таблица 93
Исходные данные
Наименование распределения
1. Экспоненциальное
Параметр закона распределения
𝜆1 = 10−5 1/ч
2.
Экспоненциальное
𝜆2 = 10−5 1/ч
3.
Экспоненциальное
𝜆3 = 10−5 1/ч
4.
Экспоненциальное
𝜆4 = 10−7 1/ч
5.
Экспоненциальное
𝜆5 = 10−6 1/ч
6.
Смесь двух экспоненциальных
Гамма
Нормальное
7.
8.
𝜆6 = 10−5 1/ч, q1=0,1;
𝜆6 = 10−6 1/ч, q1=0,9
𝜆7 = 10−3 1/ч, m=2
a=103ч, v=0,2,
σ=200 ч
2. Требуется рассчитать показатели безотказности объекта: наработку на отказ за 8000 ч и вероятность безотказной работы в течение 𝜏
=50 ч в интервале (5000 ч, 5050 ч).
Таблица 94
Исходные данные
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
Т, ч
2
8000
7000
7500
7400
7300
7200
7100
𝜏,
ч
3
50
60
55
65
50
60
70
интервал,
ч
4
5000- 5050
5100-5160
5100-5155
6100-6165
5000- 5050
5100-5160
5500-5570
№
п/п
1
8
9
10
11
12
13
14
Т, ч
2
7600
7800
7700
7900
8100
8300
8200
𝜏,
ч
3
50
60
55
65
50
60
70
интервал,
ч
4
6000- 6050
6100-6160
5100-5155
5100-5165
4000- 4050
4100-4160
4500-4570
191
Окончание табл. 94
1
15
16
17
18
19
20
21
2
7000
8000
8500
8400
8300
8200
8100
3
50
60
55
65
50
60
70
4
5000- 5050
5100-5160
5100-5155
6100-6165
5000- 5050
5100-5160
5500-5570
1
22
23
24
25
26
27
28
2
8600
8800
8700
8900
6100
6300
6200
3
50
60
55
65
50
60
70
4
6000- 6050
6100-6160
5100-5155
5100-5165
4000- 4050
4100-4160
4500-4570
3. По формулам определить наработку на отказ и вероятность безотказной работы элементов
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
ект:𝑇2 , 𝑇2 , 𝑇2 , 𝑇2 , 𝑇2 , 𝑇2 , 𝑇2 ,𝑇2 , 𝑝(1) (𝜏), 𝑝(2) (𝜏), 𝑝 (3) (𝜏),
𝑝(4) (𝜏),
𝑝(5) (𝜏),
𝑝(6) (𝜏),
𝑝(7) (𝜏),
𝑝 (8) (𝜏).
Интеграл при расчете p(8) (τ) найти методом трапеций. Для
этого интервал интегрирования (0;0,05) разбить на пять равных частей
и по формуле трапеций определить величину интеграла. Определить
наработку на отказ объекта 𝑇2 . Определить вероятность безотказной
работы объекта в интервале (τ):P(τ).
𝑛
𝑖
𝑃𝑖 (𝑡, 𝜏) = ∏𝑁
𝑖=1 𝑃𝑖 (𝑡, 𝜏).
Значения функции F0(x)приведены в табл. 6 приложения.
4. Сделать вывод.
5. Отчет защитить у преподавателя.
Вопросы для контроля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Восстанавливаемые и невосстанавливаемые объекты.
Резервирование.
Дублирование.
Виды резервирования.
Безотказность.
Вероятность безотказной работы.
192
Приложение
Таблица 1
Исходные данные
Наработка до отказа тормозных устройств
Вариант 1
671
1382
1842
2221
2316
1506
1991
1799
2342
2644
2415
2090
1866
2183
1783
2240
1577
1565
2383
1809
2792
1820
1264
1588
3125
2511
1127
1072
2142
2125
2151
1773
2921
1277
1884
2260
1945
1380
1882
1579
1345
1498
2622
2938
2381
2217
2336
1569
2146
1891
1702
1732
2519
1987
2567
1903
1550
2067
2122
2417
1133
2554
1547
1685
1903
1550
3773
1884
1833
2012
2424
2958
1782
1510
1332
3773
1884
1818
2238
2854
1128
1474
2004
2323
3001
3094
1818
2238
1654
2226
2100
2136
3151
2834
2548
2370
2882
1654
2226
1400
2866
1028
1844
1636
1836
3140
2160
2338
1400
2866
1936
2445
2554
1851
2262
2024
2455
1794
1791
2556
1854
1892
2387
2401
1645
2212
1979
2392
1956
1601
1735
2686
1251
1570
3093
2483
1112
1060
1861
1561
1581
1339
1364
1904
2283
1964
1392
1533
1506
1994
1592
2643
2821
3109
2138
1908
2731
1824
2490
1615
1603
2438
1951
2547
2671
1820
1016
1776
2952
2336
2472
3100
1916
1368
1820
1016
2464
1042
3192
2660
1806
1782
1366
3342
1683
2464
1042
1897
2392
2431
1546
2219
1931
2493
1755
1636
1897
2392
1939
2119
2429
1579
2327
2009
1100
2755
1591
1939
2119
1810
2376
2688
1873
1560
1645
1882
1579
1345
2622
1915
2469
2057
1684
2331
1717
1570
1469
908
2069
2529
2885
1641
957
1975
1325
1739
877
2232
1181
1387
3073
1939
2114
1887
2208
1803
2265
1594
1583
2410
1829
2823
794
Вариант 2
2978
2770
3104
2912
2200
2518
2522
2614
2541
2978
2770
Вариант 3
2384
2217
2336
1569
2146
1891
1702
1732
2519
1 937
2567
1909
2119
2427
1564
2237
2002
1111
2555
1547
1724
2615
1827
2113
1550
2068
2120
2137
2417
1774
1685
1941
2718
663
1367
1821
2198
2291
1489
1901
1247
1705
2316
2615
1884
2260
1945
1380
1516
2140
1970
1581
1899
1277
2790
1264
1588
3125
2511
1125
1072
2142
2185
2151
1177
2926
193
Вариант 4
2517
2340
2466
1656
2265
1996
1796
2697
1634
2097
2710
2014
2553
2562
1651
2361
2113
2552
1873
1778
1820
2759
1929
2273
1636
2183
2238
2255
2307
1316
1799
2049
2869
700
1443
1922
2318
2418
1572
2080
1669
2044
2445
2760
1989
2385
2052
1456
1600
2259
2261
2307
2270
1348
2945
2358
2192
2310
1552
2122
1870
1683
2557
1530
1965
2539
1887
2392
2400
1546
2212
1979
2391
1755
1666
1705
2586
2129
1807
1533
2045
1097
2123
1880
1233
1686
1919
2688
656
1351
1801
2172
2265
1473
1948
1564
1877
2290
2585
1863
2235
1923
1364
1499
2116
2119
2161
2127
1262
2759
2384
2217
2336
1569
2146
188I
1702
:
1732
2519
I987
2567
1909
2119
2427
1564
2237
2002
1111
2555
1547
1724
2515
1827
2113
1550
2068
2120
2137
2417
1774
1685
1941
2718
663
1367
1821
2196
2291
1489
1901
1247
1705
2316
2615
1884
2260
1945
1380
1516
2140
1970
1581
1899
1277
2790
1335
1676
3299
2650
1187
1131
1986
1667
1421
1243
3088
1910
2508
2838
1976
1663
1736
1550
958
2184
2768
2843
2606
2171
1777
2460
1823
1657
2356
1246
1464
2670
1809
1732
1021
2096
1399
1835
926
1173
1829
2659
3243
984
2231
1902
2330
1903
2391
1683
1671
2544
1931
2980
1592
1790
2349
2658
1852
1563
1626
1452
898
2046
2593
1731
2441
2054
1.665
2305
1708
1553
2207
1168
1371
2501
2756
1622
956
1963
1311
1719
876
1099
1713
2491
3039
715
2090
1866
2183
1783
2240
1577
1565
2383
1809
2792
1969
1810
2376
2688
1873
1580
.1645
1882
1579
1345
2622
1925
2469
2057
1684
2331
1727
1570
1469
908
2069
2529
2885
1641
967
1975
1325
1739
877
2232
1181
1387
3073
1939
2114
1887
2208
1803
2265
1594
1583
2410
1829
2823
794
Вариант 5
1250
1570
3091
2483
1112
1060
1861
1561
1330
1164
2893
Вариант 6
1264
1588
3124
2511
1125
1072
2142
2185
2151
1177
2926
194
Вариант 7
2411
2241
2362
1587
2170
1912
1721
2583
1565
2009
2566
1930
2446
2454
1581
2262
2024
2444
1794
1704
1743
2644
1847
2177
2177
2091
2144
2160
1922
1261
1724
1962
2748
671
1382
1841
2221
2316
1922
1506
1599
1920
2342
2644
1905
5585
1966
1395
1533
1992
2160
2209
2174
1291
2821
2437
2266
2388
1604
21Э4
1933
1740
2612
1582
2031
2624
1951
2473
2481
1598
2287
2046
2471
1814
1722
1762
2673
1868
2201
1585
2114
2168
2184
1944
1275
1742
1984
2778
678
1397
1661
2245
2341
1523
2014
1616
1941
2368
2613
1926
2310
1988
1410
1550
1096
1923
1614
1375
1203
2991
2464
2291
2414
1621
2218
1954
1759
2640
1599
2053
2652
1972
2499
2508
1616
2312
2068
2498
1833
1741
1781
2702
1688
2225
1602
2137
2191
2208
1965
1289
1761
2006
2809
685
1412
1881
2270
2367
1539
2036
1634
1962
2393
2702
1947
2335
2009
1426
1567
2212
2214
2258
2222
1319
2883
1279
1605
3160
2538
1137
2166
2164
1597
1360
1190
2958
1830
2402
2718
1893
1598
1902
1084
918
2092
2651
1911
2496
1605
1703
2356
1746
1485
1663
1194
1402
2557
1835
1659
978
2007
1340
1758
918
11241
1888
2547
3107
2564
2137
1908
2232
1823
2290
1612
1601
2437
1850
2854
1985
1850
2428
2748
1914
1616
1681
1501
928
2115
2680
1957
2524
2103
1721
2382
1765
1605
2282
1207
1418
2585
2971
1677
989
2030
1355
1777
897
1136
1771
2575
3141
2883
2161
7929
2257
1843
2315
1630
1618
2464
1870
2886
2715
18-70
2455
2778
1935
1633
1700
1518
938
2138
2710
1867
2551
2126
1740
2408
1785
1622
2306
1220
1433
2613
1986
1681
999
2052
1369
1797
906
1149
1790
2603
3175
2673
2184
1950
2281
1863
2340
1647
1636
2491
1890
2917
2525
Вариант 8
1293
1623
3195
2566
1150
1096
1923
1614
1375
1203
2991
Вариант 9
1307
1640
3229
2594
1162
1108
1944
1632
1390
1216
3023
195
Вариант 10
2490
2315
2440
1639
2241
1975
1778
2689
1616
2975
2681
1993
2526
2535
1633
2363
2091
2525
1853
1760
1801
2731
1908
2249
1619
2160
2215
2232
1986
1302
1780
2027
2839
693
1427
1902
2294
2392
1556
2058
1562
1983
24.19
2731
2543
2364
2492
1674
2289
2017
1815
2725
1651
2119
2738
2036
2580
2589
1668
2386
2135
2579
1983
1797
1839
2789
1949
2297
1654
2206
2262
2279
2028
1330
1818
2070
2899
708
1458
1942
2343
2443
1589
2101
1687
2025
2471
2789
3570
2389
2518
1691
2313
2038
1834
2754
1668
2141
2767
2057
2607
2616
1685
2411
2157
2605
1912
1816
1858
2618
1962
2312
1671
2229
2285
2303
2049
1344
1837
2092
2929
715
1473
1952
2367
2469
1605
2123
1704
2046
2496
2818
1968
2360
2031
1441
1583
2235
2238
2282
2246
1333
2914
1321
1658
3264
2622
1174
1120
1965
1649
1405
1230
3056
1890
2480
2808
1956
1651
1718
1534
948
2161
2739
1937
2578
2148
1759
2434
1804
1640
2331
1233
1449
2641
1972
1714
1010
2074
1384
1816
916
1161
1809
2631
3209
3541
2208
1971
2306
1883
2366
I66b
1653
2517
I9II
2948
3880
1931
2534
2868
1997
1686
1754
1567
968
2207
2797
1962
2633
2194
1796
2486
1842
1675
2381
1259
1479
2698
1985
1750
1032
2118
1414
1855
936
1186
1848
2687
3277
3501
2255
2013
2355
1923
2416
1701
1689
2571
1951
1971
3881
1951
2560
2897
2018
1703
1773
1583
978
2230
2826
1962
2661
2217
1815
2512
1861
1692
2406
1273
1495
2726
1939
1768
1042
2140
1428
1874
945
1198
1867
2715
3312
1985
2278
2034
2379
1943
2441
1718
1706
2598
1972
3042
3331
Вариант 11
2010
2410
2074
1472
1617
2283
2285
2331
2294
1362
2976
1349
1693
3334
2678
1200
1143
2007
1684
1435
1256
2131
Вариант 12
2031
2436
2096
1487
1634
2J07
2309
2355
2318
1376
3007
1363
1711
3368
2706
1212
1155
2028
1702
1450
1269
3153
196
Вариант 13
5034
4680
4932
3312
4530
3992
3592
3268
4194
5420
5394
4028
5106
5124
3302
4722
4226
5104
3746
3556
3640
5518
3858
4546
3272
4366
4476
4510
4614
2632
35S8
4098
5738
1400
2686
3844
4636
4836
3144
4160
3338
4088
4890
5520
3978
4770
4104
2912
3200
4518
4522
4614
4540
2696
5890
4716
4384
4620
3104
4244
3740
3366
5114
3060
3930
5078
3774
4^84
4800
3092
4424
З958
4782
3510
3332
3410
5172
3614
4258
3066
4090
4194
4226
3760
2466
3372
3838
5376
1312
2702
3602
4344
4530
2946
3896
3128
3754
4580
5170
3726
4470
3846
2728
2998
4232
4238
4322
4254
2524
5518
4768
4434
4672
3138
4292
3404
3464
5038
3974
5134
4768
3818
4238
4854
3128
4474
2222
5110
3094
3448
5230
3818
3654
4226
3100
4136
4270
4834
3548
3370
3882
5436
3654
1326
2734
3642
4392
5482
3802
2494
3410
4632
5230
1326
3768
4520
3890
2760
3032
3940
3162
3798
2 5 54
5580
3768
2670
3352
6598
5300
2374
2262
3972
3334
2842
2486
6176
3820
5015
5676
3952
3336
3472
3100
1916
4368
5536
1911
5212
4342
3554
4920
3646
3314
4712
2492
2928
5340
1968
3464
2042
4192
2798
3670
1852
2346
3658
5318
6486
1937
4462
3984
4660
3806
4782
3366
3342
5088
3862
5960
5700
3580
4698
5316
3704
3126
3252
2904
1796
4092
5186
5601
4882
4068
3330
4610
3416
3106
4414
2336
2742
5002
4231
3244
1912
3926
2622
3438
1734
2198
3426
4982
6078
3335
4180
3732
3566
4480
3154
3130
4766
3618
4366
5584
4421
3620
2752
5376
3746
3160
3764
3158
2690
5244
1985
3620
4938
4114
3368
4662
3454
2938
1816
4128
5058
1996
4938
3282
1934
3970
2650
3478
4464
23 62
2778
6146
1962
3282
4228
3774
4416
3606
4530
3166
1820
3658
5646
1939
4228
Вариант 14
2500
3140
5182
4956
2224
2120
3720
3122
2660
2328
5786
Вариант 15
2528
3176
6250
5022
2250
4284
4370
4302
2354
5852
2528
197
Вариант 16
4622
4482
4724
3174
4340
3824
3442
5266
3130
4018
5132
3800
4892
4908
3162
4524
4048
4888
3588
3408
3486
5288
3694
2354
3134
4182
4288
4320
3844
2522
3448
3924
5496
1342
2764
3682
4442
4632
3012
3984
3198
3840
4684
5288
3810
4570
3932
2790
3066
4328
4432
4418
2348
2582
5642
4874
5432
4776
3208
4388
3366
3480
5224
3164
4062
5148
3902
4946
4962
3196
4574
4092
4942
3628
3444
3524
5346
3736
4402
3170
4228
4336
4368
3888
2550
3484
3968
5556
1356
2794
3170
4228
4336
4368
3888
2550
3484
3968
5556
3852
4620
3976
2820
3100
4376
4382
4468
4396
2610
5704
4928
4582
4828
3242
4436
3908
3518
5280
3198
4106
5304
3944
4998
5016
3232
4624
4136
4996
3666
3482
3562
5404
3776
4450
3204
4274
4382
4416
3930
2578
3522
4012
5618
1370
2824
3762
4540
4734
3078
4072
3268
3924
4786
5404
3894
4670
4018
2852
3134
4424
4428
4516
4444
2638
5766
2558
3210
6320
5070
2274
2168
3804
3194
2720
2380
5916
3660
4804
5435
3786
3196
3326
2970
1836
4184
5302
2000
4992
4162
3406
4712
3492
3174
4514
2388
2804
5114
2993
3318
1956
4014
2680
35x6
1774
2248
3776
5094
6214
6534
4274
3816
4464
3546
4560
3224
3202
4874
3700
5708
4771
3700
4856
5496
3828
3232
3362
3002
1856
4230
5360
3937
5048
4206
3442
4764
3530
3210
4564
2414
2836
5170
5841
3354
1978
4060
2710
3554
1794
2272
3542
5150
3282
4360
4322
3858
4514
3686
4630
3260
3236
4928
3740
5772
4537
3740
4910
5556
3670
3266
3400
3036
1876
4276
5420
3935
5102
4252
3480
4816
3570
3244
4612
2440
2866
5226
5418
3362
1998
4104
2738
3594
1812
2298
3580
5206
6350
6771
4416
3942
4562
3726
4680
3294
3272
4982
3780
5834
2991
Вариант 17
2586
3246
6390
5132
2300
2192
3846
3228
2750
2406
5982
Вариант 18
2614
3280
6458
5188
2324
2216
3888
3164
2780
2432
6004
198
Вариант 19
498 0
4630
4880
3278
4482
3950
3556
5338
3232
4150
5362
3986
5052
5070
3266
4672
4182
5050
3706
3520
3602
0462
3816
4498
3238
4320
4430
4464
3972
2604
3560
4054
0678
1386
2854
3804
4588
4784
3112
4116
ЗЗ64
3966
4838
5462
5086
4728
4984
3348
4578
4034
3530
5450
3302
4238
5476
4072
5160
5178
3336
4772
4270
5158
3786
3594
3678
5578
3896
4594
3308
4412
4524
4558
4056
2660
3636
4140
5798
1416
2916
3884
4686
4886
3178
4262
3374
4050
4942
5578
5140
4778
5036
3382
4626
4076
3668
4282
5534
5140
4778
4114
5214
5232
3370
4822
4314
5210
3716
5636
4114
5214
3924
4642
3342
4458
4570
4606
4098
4184
5858
3924
4642
1430
2946
3924
4734
4938
3210
4246
4992
5636
1430
2946
3936
4720
4062
2882
3166
4470
4476
4564
4492
2666
5828
2642
3316
6228
5244
2248
2240
3930
3298
2810
2460
6112
3780
4960
5616
3912
3302
3436
3068
1896
4322
5478
1991
5156
4296
3518
4868
3608
3280
4662
2466
2898
5282
5485
3428
2020
4148
2768
3632
1832
2322
3618
5262
6418
4266
4416
3942
4612
3766
4732
3330
3306
5034
3822
5896
4000
3862
5068
5736
3994
3372
3508
3134
1936
4414
5594
4500
5266
4388
3592
4972
3684
3350
4762
2518
2958
5396
3000
3500
2064
4236
2828
3710
1872
2372
3696
5374
6545
2242
4510
4026
4710
3846
4832
3402
3378
5142
3902
6002
2300
3902
5120
5794
4036
3406
3546
3166
5652
1800
3902
5120
5322
4434
3630
5024
3722
3384
4812
5452
1300
5322
4434
3536
2084
4280
2856
3748
1890
2396
6624
2010
3536
2084
4556
4 068
4758
3886
4882
3436
3412
6084
2100
4556
4 068
Вариант 20
4020
4820
4148
2944
3234
4566
4570
4662
4583
2724
5952
2698
3366
6668
5356
2400
2286
4014
3368
2870
2512
6242
Вариант 21
4062
4872
4192
2974
3268
4614
4618
2752
6014
4062
4872
2726
3422
6736
5412
2424
2310
4056
2538
6306
2726
3422
199
Вариант 22
4027
3744
3946
2650
3624
3194
2874
4315
2614
3355
4336
3222
4085
4099
2642
3778
3381
4083
2997
2835
2912
4414
3086
3637
2618
3493
3581
3608
3691
2106
2878
3278
4590
1120
2309
3075
3709
3869
2520
3328
2670
3270
3912
4416
3772
3507
3696
2483
3395
2992
2693
4091
2448
3144
4062
3019
3827
3840
2474
3539
3166
3826
2808
2666
2728
4138
2891
3406
2453
3172
3355
3381
3008
1973
2698
3070
4301
1060
2162
2882
3475
3624
2357
3117
2502
3003
3664
4136
3814
3547
3738
2510
3434
3026
2723
2771
4030
3179
4107
3054
3390
3883
2502
3579
3203
1778
4088
2475
2756
4184
2923
3381
2480
3309
3392
3419
3867
2838
2696
3106
4349
1061
2187
2914
3514
3666
2398
3042
19S5
2728
2043
4184
3182
3816
3283
2330
2560
3614
3618
3691
3623
2157
4712
2136
2682
5278
4240
1899
1810
3178
2667
2274
1989
4941
3056
4013
4541
3162
2669
2778
2480
1533
3494
2157
1131
4170
3774
2843
3936
2917
2651
3770
1994
2342
1989
4558
2771
1634
3354
2238
2936
1482
1877
2926
4254
4429
1339
3570
3187
3728
3045
3826
2693
2674
4070
3090
4272
1819
2864
3758
4253
2963
2501
2602
2323
1437
3274
4149
2129
3906
3254
2664
3688
2733
2485
3531
1869
2194
4002
3439
2596
1530
3141
2088
2750
1387
1758
2741
3986
4862
5117
3344
2986
3493
2853
3584
2523
2504
3813
2894
4467
3677
2896
3802
4301
2997
2528
2632
З011
2526
2152
4816
1111
3S50
2391
2694
3730
2763
2512
2350
1453
3310
4917
4931
2626
I547
3176
2120
2782
1403
3571
1890
2219
4517
2175
3382
3019
3533
2885
3524
2550
2533
3856
2926
3706
5891
Вариант 23
2981
3576
3077
2182
2398
3386
3390
3458
3403
2019
4414
2000
2512
4946
3973
1779
1696
2978
2498
2128
18 62
4629
Вариант 24
3014
3616
3112
2208
2426
3424
3152
2530
3038
1883
4464
2022
2541
5000
4018
1800
1715
3427
3496
2424
4195
4682
200
Вариант 25
3853
3586
3779
2539
3172
3059
2754
4133
2504
3214
4106
3088
3914
3926
2530
3619
3238
3910
2870
2726
2789
4230
2955
3483
2507
3346
3430
3456
3075
2018
2758
3139
4397
1074
2211
2946
3554
3706
2410
3187
2558
3072
3747
4230
3899
3626
3821
2566
3510
3093
2784
4179
2531
3250
4198
3122
3957
3970
2557
3659
3274
3954
2902
2755
2819
4277
2989
3522
2536
3382
3469
3494
3110
2040
2787
3174
4445
1085
2235
2978
3592.
3746
2437
3222
2586
3106
3789
4181
3942
3666
3862
2594
3549
3126
2814
4224
2558
3285
4243
3155
3998
4013
2586
3699
3309
3997
2934
2786
2850
4323
3021
3560
2553
3419
3506
3533
3144
2062
2818
3210
4494
1096
2259
ЗОЮ
3632
3787
2462
3258
2614
3139
3829
4323
3048
3656
3146
2232
2453
3462
3466
3534
3478
2066
4514
2046
2558
5056
4061
1819
1734
3043
2555
2176
1904
4733
2928
3843
4349
3029
2557
2661
2376
1467
3347
4242
1234
3934
3330
2725
3770
2794
2539
3611
1910
2243
4091
9195
2654
1565
3211
2144
2913
1419
1798
3021
4075
4971
3678
3419
3053
3671
2917
3664
2579
2562
3899
2960
4566
4351
2960
3885
4397
3062
2586
2690
2402
1485
3384
4288
4567
4038
3365
2754
3811
2824
2568
3651
1931
2269
4136
1962
2683
1582
3248
2168
3704
1435
1818
2834
4120
5026
4789
3458
3036
3611
2949
2843
2608
2589
3942
2992
4618
1985
2992
3928
4445
3096
2613
2720
2429
1501
3421
4336
1939
4082
3402
2784
3853
2856
2595
3590
1952
2293
4181
1937
2690
1598
3283
2190
2875
1450
1838
2864
4165
5080
1962
3494
3120
3650
2981
3744
2635
2518
3986
3024
4667
1985
Вариант 26
3082
3696
3181
2256
2480
3501
3506
3574
3517
2088
5463
2069
2597
5112
4106
1840
1754
3077
2582
2200
1925
4786
Вариант 27
3115
3736
3214
2282
2507
3539
3542
3613
3555
2110
4613
2091
2624
5166
4150
1859
1773
3110
2611
2224
1946
4837
201
Вариант 28
3984
3704
3904
2622
3586
3160
2845
4270
2586
3320
4290
3189
4042
4056
2513
3737
3346
4040
2965
2816
2882
4370
3953
35 98
2590
3456
3544
3571
3178
2083
2848
3243
4542
1109
2263
3043
3670
3827
2490
3293
2643
3173
3870
4370
4069
3782
3987
2678
3662
3227
2904
4360
2642
3390
4381
3258
4128
4142
2669
3818
3416
4126
3029
2875
2942
4462
3118
3675
2646
3530
3619
3646
3245
2128
2909
3312
4638
1133
2333
3107
3749
3S09
2542
3362
2699.
3240
3954
4462
4112
3822
4029
2706
3701
3261
2934
4406
2669
3426
4427
3291
4171
4186
2696
3858
3451
4168
3059
2901
2973
4509
3139
3714
2674
3566
3656
3685
3278
2150
2939
3347
4686
1144
2357
3139
3787
3950
2568
3997
2726
3274
3994
4509
3149
3776
3250
2306
2533
3576
3581
3651
3594
2133
4662
2114
2653
5222
4195
1876
1792
3144
2638
2248
1968
4890
3024
3968
4493
3130
2642
3749
3454
1517
3458
4382
1985
4126
3437
2814
3894
2886
2624
3730
1973
2318
4226
3701
2742
1616
3318
2214
3906
1466
1858
2894
4210
5134
1968
3533
3154
3690
3013
3786
2664
2645
4027
3058
4717
1871
3070
4054
4589
3195
2698
2806
2507
1549
3531
1475
2008
4213
3510
2874
3978
2947
2680
3810
2014
2366
4317
3005
2800
1651
3339
2262
2968
1498
1898
2957
4299
5243
4938
3608
3221
3768
3077
3866
2722
2702
4114
3122
4818
5321
3122
4096
4635
3229
2725
2837
2533
1565
3568
4522
1234
4258
3547
2904
4019
2978
2707
3850
2037
2392
4362
3624
2829
1667
3424
2285
2998
1512
1917
2987
4344
5299
5722
3645
3254
3806
3109
3906
2749
2730
4157
3155
4867
2155
Вариант 29
3216
3856
3318
2355
2587
3653
3656
3730
3670
2179
4762
2158
2709
5334
4285
1920
1829
3211
2694
2296
2010
4994
Вариант 30
3250
3898
3354
2379
2614
3691
3694
3768
3709
2202
4811
2181
2748
5389
4330
1939
1848
3245
2723
2320
2030
5045
202
Таблица 2
Данные о числе дизелей (частоте mj) направленных в капитальный ремонт в j-х интервалах наработки
№
Частота mj по варианту
Интервала
наработки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1
70 62 45 35 53 38 43 37 32 44 32 50 34 36 41 39 35 69 66 34 72 51 36 42 34 38 53
2
64 61 40 32 50 35 42 34 31 42 32 44 31 34 35 38 35 63 61 32 70 50 35 40 32 36 48
3
60 57 35 30 48 34 38 31 29 40 30 49 28 31 33 35 31 61 56 31 62 47 32 37 31 37 45
4
56 50 33 28 46 31 30 31 28 40 28 44 28 26 32 35 32 60 48 30 58 44 29 34 27 30 40
5
46 43 60 23 45 29 29 30 24 38 23 41 26 20 30 30 30 57 45 28 47 41 28 30 25 32 38
6
40 38 28 20 41 28 22 29 23 35 20 30 23 23 29 28 26 54 41 25 41 40 23 29 22 27 37
7
36 30 25 18 32 26 19 25 20 20 30 18 32 20 19 28 23 22 43 38 23 40 36 21 28 20 25
8
34 24 23 17 32 23 19 22 20 22 18 30 18 17 23 20 19 40 39 20 38 33 18 22 19 20 29
9
33 24 20 17 31 19 18 21 18 21 17 28 17 18 20 18 19 38 36 19 36 28 17 23 17 19 26
10
33 21 18 15 30 18 15 20 17 15 16 26 17 15 18 18 17 36 35 18 33 25 16 20 16 18 21
11
30 11 19 12 28 16 18 20 15 17 14 22 15 14 17 17 15 34 35 17 32 22 14 18 15 17 20
12
24 20 17 11 26 16 18 18 15 17 13 21 12 16 15 15 14 22 27 15 30 21 12 15 16 15 18
13
22 17 15 10 26 15 12 17 12 16 11 21 11 10 15 12 13 32 22 14 22 17 11 11 12 15 14
14
20 17 15 10 22 12 10 15 12 15 11 16 10
8
16 11 12 24 24 12 24 15
15
20 16 12
8
11 10 12 11 12 12 14 10 10
9
11 10 11 22 21 11 20 11 10 10 10
16
16 12 10
7
20 11
10 10
8
11 10 11
8
11
8
8
11 16 10 10 18 10
9
8
12 11 12 13
12 10
8
8
9
7
203
Продолжение табл. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
17
14 12 11
8
17 10
7
10 12 10
9
11
7
9
8
8
10 20
7
11 16
8
9
7
8
7
8
18
12 14
9
6
15
8
8
8
10
9
7
7
8
8
7
7
14
8
7
14
7
7
9
7
8
8
8
19
8
10
8
4
13
9
6
7
8
9
7
8
6
7
6
4
8
10
8
8
10
8
9
8
8
4
6
20
10
8
7
3
15
7
4
6
7
8
7
5
4
9
6
8
9
9
8
6
8
4
7
8
6
6
8
21
10
7
6
3
11
9
3
4
7
8
6
6
8
6
4
6
5
8
9
6
10
8
5
8
4
8
7
22
11
8
11
5
10
9
3
8
8
5
8
4
5
5
5
8
4
5
6
4
8
5
4
9
8
4
5
23
8
3
8
4
7
8
5
3
6
4
8
8
4
3
4
8
2
4
5
8
6
4
2
5
5
5
2
24
4
5
5
2
7
5
4
5
4
2
5
8
4
2
5
5
3
2
3
5
4
2
3
2
4
3
5
25
7
4
2
3
7
4
2
4
3
3
4
4
5
2
4
3
4
5
3
4
4
8
3
2
2
4
2
26
5
2
3
5
8
3
5
2
5
5
2
5
3
5
2
3
2
5
4
2
5
5
5
3
2
3
4
27
4
3
5
2
5
3
3
3
2
2
3
4
5
4
0
2
4
2
2
3
4
2
2
5
5
4
0
28
2
5
2
4
4
3
3
5
3
4
5
4
5
2
3
5
3
4
2
5
2
4
4
4
2
0
3
29
3
2
4
3
2
4
5
2
5
3
2
3
2
3
2
3
0
3
5
2
3
3
3
0
4
0
2
30
0
4
3
0
3
2
0
4
2
0
4
2
4
0
1
4
2
0
0
4
5
0
0
3
2
2
4
31
4
3
0
2
0
2
0
2
4
0
5
0
3
3
0
3
3
2
3
2
2
0
1
2
3
2
2
32
5
0
2
3
4
0
2
1
0
2
2
1
0
2
3
0
1
3
2
3
3
2
2
1
0
1
3
33
3
2
3
1
5
3
3
0
0
3
4
2
2
1
1
2
0
1
1
0
3
3
3
0
3
1
0
34
2
3
1
0
3
2
0
3
5
1
3
3
3
2
1
3
1
0
1
0
0
1
1
0
3
0
1
35
1
1
0
1
1
2
1
2
3
0
0
0
1
3
2
2
2
1
0
2
2
0
0
3
2
1
2
204
Окончание табл. 2
36
0
0
1
2
0
1
0
2
3
1
2
0
0
1
2
1
0
2
0
3
2
1
0
1
1
0
0
37
0
1
0
0
1
1
0
1
1
2
3
1
1
2
0
0
2
0
2
1
1
2
1
2
0
1
1
38
2
3
1
2
2
0
1
0
0
0
1
2
2
0
0
1
0
2
1
0
0
1
2
0
2
0
2
39
2
1
1
1
0
1
2
0
1
2
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
40
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
205
Таблица 3
Исходные данные (значения наработки гидромоторов на отказ)
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
50,15
18,20
67,76
42,58
12,34
27,26
37,01
35,10
38,56
33,90
37,30
25,33
59,10
37,52
56,,45
35,47
45,22
39,97
27,06
42,13
32,19
26,42
26,24
23,06
42,54
49,97
46,20
29,04
35,67
25,68
40,29
20,08
44,56
43,60
28,86
32,54
56,76
60,27
63,96
40,19
15,56
29,50
38,22
14,75
39,54
29,04
38,94
37,76
58,19
62,87
47,40
29,78
25,33
37,87
41,12
35,31
32,41
32,27
28,14
31,49
58,63
40,87
43,08
27,07
28,37
31,39
53,21
15,49
26,99
36,62
34,37
43,72
59,98
54,08
61,26
38,50
27,25
23,57
48,18
25,07
33,62
26,78
41,25
38,74
34,22
43,39
32,40
20,37
32,29
11,44
31,22
28,06
25,42
39,87
19,85
31,73
46,77
53,14
38,06
32,92
46,35
46,86
41,14
26,98
39,09
37,82
43,82
26,43
53,27
63,57
69,42
23,91
40,96
33,47
17,02
31,95
37,49
40,69
34,58
32,95
74,59
71,76
19,85
43,62
31,22
29,39
27,22
45,89
31,07
18,71
15,17
24,95
71,73
76,75
71,97
35,24
50,45
21,59
38,66
40,54
23,33
47,17
24,54
28,27
47,32
35,05
19,62
28,29
20,30
32,78
30,77
30,70
11,34
30,58
47,49
36,27
46,23
59,28
56,,78
16,67
23,20
36,85
37,68
49,94
46,38
42,27
46,42
38,28
48,70
59,98
24,91
34,24
27,23
36,56
32,21
20,10
33,12
26,45
26,41
31,43
66,35
50,79
30,01
22,85
32,45
35,66
36,08
22,96
29,09
25,64
31,32
22,85
54,94
58,73
84,32
29,98
18,48
26,74
49,38
26,94
21,28
37,86
44,98
11,29
206
61,39
71,60
69,13
15,12
19,39
37,14
52,43
32,11
32,45
30,13
39,68
45,42
42,93
37,68
47,55
19,17
40,30
31,39
42,99
18,29
36,46
36,91
30,24
32,43
66,61
53,35
30,50
29,87
53,89
45,09
29,57
19,20
36,19
31,54
59,85
28,48
66,38
62,01
24,08
43,44
27,38
29,73
18,88
43,85
35,31
35,33
19,68
20,83
52,36
51,71
47,21
52,99
21,81
29,01
14,99
35,34
26,46
19,68
22,48
13,79
70,46
34,71
57,22
48,11
30,59
29,68
29,68
53,43
36,75
51,34
26,38
35,71
54,52
43,58
54,50
21,50
22,02
41,68
22,62
27,09
31,18
42,10
31,44
35,44
42,48
85,77
26,55
48,67
27,09
34,51
33,39
21,58
44,62
28,94
17,92
35,56
70,12
68,90
45,03
31,55
37,01
35,58
15,61
47,62
29,42
18,58
18,78
34,31
46,70
39,89
19,67
44,57
37,68
26,96
28,03
21,79
28,75
14,66
41,95
25,90
51,90
29,41
19,62
27,30
36,*94
41,68
30,95
36,70
30,29
29,06
52,22
30,06
58,59
51,64
77,48
27,59
26,19
41,71
43,17
37,30
41,26
22,14
26,53
28,
43,06
43,34
50,21
39,06
23,79
32,91
23,66
36,56
34,14
33,18
16,16
31,53
64,12
39,95
56,14
31,08
33,54
44,27
20,14
36,53
38,18
16,16
46,62
43,71
60,84
32,32
43,45
38,07
38,98
34,26
38,10
25,87
26,69
27,42
21,33
28,82
65,44
80,29
43,76
32,54
26,69
26,90
23,55
24,12
32,54
37,01
35,94
28,16
18,20
49,66
19,39
35,45
45,09
44,06
29,47
33,18
43,28
42,26
36,51
2965
60,27
65,21
58,01
42,58
39,94
29,34
39,78
38,56
32,58
32,18
35,82
41,43
54,08
73,79
51,09
35,47
32,74
32,01
28,74
32,16
43,81
19,73
37,76
41,46
207
Продолжение таблицы 3
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
37,37
19,85
25,95
22,81
46,18
45,67
32,22
27,84
25,39
34,11
39,16
37,47
44,64
42,54
26,13
46,67
28,56
32,14
19,85
42,88
24,37
31,93
37,95
24,53
3,081
31,76
20,43
27,58
40,56
30,24
38,,53
37,36
29,92
33,84
37,46
35,11
27,15
22,32
29,55
15,47
31,38
24,75
40,42
39,86
27,84
31,15
39,42
14,85
35,42
25,66
37,72
31,46
41,06
26,26
25,31
40,88
31,89
26,18
34,05
43,23
25,89
24,02
29,78
38,21
27,25
36,56
32,14
49,31
31,52
17,75
39,84
26,35
43,83
28,29
26,08
26,95
22,35
36,26
33,35
42,28
25,04
48,16
34,24
32,09
37,04
35,44
19,39
31,39
37,04
25,06
11,85
38,99
39,44
42,31
41,33
33,11
24,26
35,79
39,05
29,81
41,36
26,14
29,40
32,62
44,45
43,51
12,34
37,47
27,54
14,54
23,08
25,02
26,22
26,50
34,15
32,58
36,11
34,97
31,74
54,66
42,42
32,72
32,54
23,51
31,12
38,83
35,86
31,02
15,01
24,62
34,58
38,85
27,87
29,61
33,47
25,58
34,72
25,12
36,16
33,90
31,62
34,94
24,29
37,87
47,89
29,61
21,42
38,99
14,67
31,87
25,39
27,63
30,14
30,54
28,45
19,62
27,21
36,32
52,26
47,86
31,15
25,62
23,76
24,11
37,75
37,31
41,84
41,07
42,74
50,85
26,13
31,11
41,21
19,25
34,94
25,74
26,61
37,15
35,86
26,94
41,04
31,79
25,86
41,66
31,96
22,96
28,34
22,04
39,69
36,64
25,57
35,54
38,58
32,19
37,06
40,30
33,35
28,14
44,48
11,96
18,18
35,82
33,82
29,17
32,29
29,46
68,91
39,51
27,28
27,71
43,94
18,38
39,28
14,95
14,35
31,77
25,36
35,71
43,49
22,11
45,17
11,11
19,19
27,23
21,14
14,51
29,92
32,15
28,43
17,54
35,22
32,53
38,43
10,74
29,26
41,96
30,42
30,26
26,53
28,75
38,37
28,62
21,68
18,42
29,89
43,19
29,28
43,97
38,56
21,52
23,82
34,34
208
52,22
21,95
19,46
20,18
32,48
41,15
42,777
34,18
47,33
31,39
25,33
25,26
36,66
25,10
41,95
32,83
22,24
31,44
15,82
51,12
48,19
36,78
19,15
27,58
25,51
31,11
35,14
37,38
18,78
15,98
26,11
35,35
26,82
25,97
28,15
49,71
21,76
21,18
36,24
26,32
29,14
35,38
17,92
26,91
31,15
36,09
19,62
21,69
27,55
42,75
25,55
30,75
28,85
25,28
21,87
38,14
31,44
19,37
17,33
24,19
41,36
45,63
29,12
32,21
32,46
34,54
35,33
29,97
10,61
38,88
26,38
41,81
18,59
25,34
22,64
20,08
29,54
31,21
17,34
34,31
30,19
43,13
34,94
39,26
22,48
22,92
41,52
36,65
19,31
35,17
39,15
17,98
18,19
33,46
38,82
38,02
43,49
29,14
19,68
19,52
51,66
31,21
26,51
35,74
32,74
14,19
41,61
25,17
21,75
39,96
31,06
25,30
48,90
36,92
26,24
43,23
34,54
35,16
36,54
28,13
52,56
34,83
49,17
46,86
25,96
36,19
19,85
25,95
21,21
28,52
25,68
28,84
26,57
24,44
25,68
29,55
22,19
18,83
28,36
28,70
42,83
28,56
46,13
27,86
28,24
22,56
38,71
33,11
21,46
42,31
18,91
34,42
38,67
27,26
43,58
38,53
21,91
29,33
38,11
34,81
39,57
15,65
45,14
27,89
35,71
34,96
33,19
42,31
35,37
27,84
35,55
39,97
27,57
36,96
31,22
26,54
22,66
27,26
14,13
34,27
33,02
38,99
15,17
34,02
36,13
33,01
33,65
37,82
41,15
21,95
34,78
28,71
27,86
17,15
24,80
36,26
24,54
41,82
35,42
36,99
42,38
41,31
32,50
42,92
24,62
39,10
21,21
18,16
33,81
38,24
27,49
19,37
35,39
25,91
45,67
37,89
25,31
22,93
37,42
32,38
31,76
40,18
29,29
25,66
26,42
43,36
25,07
33,09
42,88
31,15
41,15
21,43
24,02
36,11
15,47
51,12
41,81
35,10
36,01
34,21
26,07
34,19
36,53
25,86
27,85
19,10
46,31
25,30
26,26
25,41
20,20
30,93
209
Таблица4
Значение Ω
²
Исходные данные
Значение функции Ω²n при втором знаке после запятой значения Ω²n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0
0
0
0
0,001
0,001
0,002
0,003
0,005
0,007
0,2
0,01
0,013
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,041
0,048
0,055
0,3
0,062
0,070
0,078
0,086
0,95
0,104
0,113
0,122
0,132
0,140
0,4
0,151
0,161
0,171
0,181
0,192
0,202
0,212
0,222
0,233
0,243
0,5
0,253
0,263
0,274
0,284
0,294
0,304
0,313
0,323
0,333
0,343
0,6
0,352
0,361
0,371
0,380
0,389
0,398
0,407
0,416
0,424
0,433
0,7
0,441
0,449
0,458
0,466
0,474
0,482
0,489
0,497
0,504
0,512
0,8
0,519
0,526
0,533
0,540
0,547
0,554
0,560
0,567
0,573
0,580
0,9
0,586
0,592
0,598
0,604
0,610
0,615
0,621
0,627
0,632
0,637
1,0
0,643
0,648
0,653
0,658
0,663
0,668
0,673
0,677
0,682
0,687
1,1
0,691
0,696
0,700
0,704
0,709
0,713
0,717
0,721
0,725
0,729
1,2
0,732
0,736
0,740
0,744
0,747
0,751
0,754
0,758
0,761
0,764
1,3
0,768
0,771
0,774
0,777
0,780
0,783
0,786
0,789
0,792
0,795
1,4
0,798
0,800
0,803
0,806
0,809
0,811
0,814
0,816
0,819
0,821
1,5
0,724
0,826
0,828
0,831
0,833
0,835
0,837
0,839
0,842
0,844
1,6
0,846
0,848
0,850
0,852
0,854
0,856
0,858
0,859
0,861
0,863
1,7
0,865
0,867
0,868
0,870
0,872
0,873
0,875
0,877
0,879
0,880
1,8
0,881
0,883
0,884
0,886
0,887
0,889
0,590
0,892
0,893
0,894
1,9
0,896
0,897
0,898
0,900
0,901
0,902
0,903
0,905
0,906
0,907
2,0
0,98
0,909
0,910
0,912
0,913
0,914
0,915
0,916
0,917
0,918
2,1
0,919
0,920
0,921
0,922
0,923
0,924
0,925
0,926
0,927
0,928
2,2
0,929
0,929
0,930
0,931
0,932
0,933
0,934
0,935
0,935
0,936
2,3
0,937
0,938
0,938
0,939
0,940
0,941
0,941
0,942
0,943
0,943
2,4
0,944
0,945
0,945
0,946
0,947
0,947
0,948
0,949
0,949
0,950
210
Таблица 5
Исходные данные
Значения ресурса изделия
№ п/п
Значения χj
1
796
905
943
599
1428
1028
1126
648
1185
1077
896
1010
1078
1055
927
2
772
878
915
581
1385
997
1092
629
1149
1045
869
981
1046
1023
899
3
945
1421
580
1180
647
1051
1013
903
794
1123
1026
1076
890
921
1074
4
756
860
896
569
1357
977
1069
616
1126
1023
851
959
1024
1002
881
5
917
1378
563
1145
628
1019
983
876
770
1089
995
1044
863
893
1042
6
748
851
886
563
1342
966
1058
609
1114
1012
842
949
1013
992
871
7
898
1350
551
1121
615
998
962
902
754
1074
974
1022
846
875
1020
8
879
1321
539
1074
602
977
942
839
738
1044
954
1000
828
856
999
9
825
1240
506
1030
565
917
885
788
639
980
896
939
777
504
938
10
673
766
797
506
1208
869
952
548
1003
911
758
854
912
893
784
11
733
1102
405
916
502
815
786
701
616
871
796
835
690
714
834
12
695
790
824
523
1247
897
983
566
1034
941
782
883
941
721
809
13
742
1116
455
927
509
825
797
709
624
882
806
845
699
724
844
14
667
1004
406
834
458
742
717
638
652
794
725
761
629
652
759
15
764
869
905
575
1370
987
1081
622
1138
1034
860
969
1035
1013
889
Примечание: если номер варианта более 15 то от номера варианта отнимают 15 и по полученному номеру все
исходные данные этого варианта умножают на 1,28.
211
Таблица 6
Значения функции Fo(x)
x
0
2
4
6
8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,500
540
579
618
055
0,508
548
587
026
663
0,516
556
595
633
670
0,524
564
603
641
677
0,532
571
610
618
684
0,5
0,0
0,7
0,8
0.9
0,692
726
7 58
788
816
0,698
732
0,705
739
0,712
745
0,719
752
764
704
822
770
800
826
776
805
832
782
НИ
836
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,841
864
885
003
919
0,846
869
889
907
922
0,851
873
892
910
925
0,855
877
896
913
928
0,860
881
900
916
931
1,5
1,6
0,933
945
0,936
947
0,938
950
0,911
952
0,943
954
1.7
1,8
955
964
971
957
966
973
959
967
974
961
969
975
962
970
976
2,0
2,1
0,977
982
0,978
983
0,979
984
0,080
985
0,981
985
2,2
2,3
2.4
986
982
992
987
990
992
987
990
993
988
991
993
989
991
993
1,9
212
Библиографический список
1. Р 50.1.033-2001. Прикладная статистика. Правила проверки
согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии
типа хи-квадрат. Введ. 2002-07-01. - ГОССТАНДАРТ РОССИИ М.:
2002.
2. ГОСТ 11.004-74. Прикладная статистика. Логарифмически
нормальное распределение. - М.: Изд-во стандартов, 1974. - 29 с.
3. ГОСТ 11.009-79. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров логарифмически нормального распределения. - М.: Изд-во стандартов, 1979. - 30 с.
4. ГОСТ 17509-72. Надежность изделий остроения. Система
сбора и обработки информации. Методы определения точечных оценок показателей надежности по результатам наблюдении. - М.:Изд-во
стандартов, 1972. - 52 с.
5. Кубарев А.И. Надежность машиностроения. - 2-е изд. Перераб.
и доп.- М.: Издательство стандартов, 1989. – 224.
6. Конарчук В.Е. Основы надежности машин – Киев: Наукова
думка, 1982. 248с.
7. Решетов Д.М. Надежность машин. – М.: Машиностроение
1978 -380с.
8. Проников А.С. Надежность машин. – М.: Машиностроение
1978 - 591с.
9. Наумов В.П. Основы надежности и долговечности в машиностроении – Омск.: Изд. Омского политехнического института, 1972. –
331с.
10. Гриневич Г П. Надежность строительных машин – М.: Строй
издат,1975 . - 296с.
11. Ковалев А.П. и др. Экономическое обеспечение надежности
машин. А.П.Ковалев, В.И. Кантор, А.Б. Можаев. – М.: Машиностроение, 1991 -240с.
12. Кубарев А.И. Надежность в машиностроении. – М.: изд. стандартов, 1977. – 264.
13. Кос, И.И., Зорин, В.А Основы надежности дорожных машин:
Учеб.пособие для машиностроительных вузов. - М.: Машиностроение,
1978. - 165с.
14. Хазов, Б.Ф. Справочник по расчету надежности машин на стадии проектирования. – M.: Машиностроение. - 1986. -224 с.
15. Хазов, Б.Ф., Дидусев, Б.А. Справочник по расчету надежности
ма-шин на стадии проектирования. - М.: Машиностроение, 1982. - 224
с, ил.
16. Труханов В.М. Методы обеспечения надежности изделия – М.:
Машиностроение, 1985. – 304с.
213
Содержание
Практическая работа № 1. Проверка однородности результатов наблюдений по критерию χ2. Статистическая оценка показателей надежности……………………………………………………………………
Практическая работа № 2. Определение оптимального ресурса и периодичности обслуживания сборочных единиц с сопрягаемыми поверхностями при простом процессе восстановления…………………
Практическая работа № 3. Оценка эффективности использования ресурса деталей при групповых заменах ………………………………….
Практическая работа № 4. Прогнозирование расхода запасных деталей
при групповых заменах……………………...………………………………
Практическая работа № 5. Обработка эмпирических данных, распределенных по экспоненциальному закону …………………………
Практическая работа № 6. Определение оценок и доверительных границ
для параметров логарифмически нормального распределения……………
Практическая работа № 7. Оценка показателей надёжности по результатам наблюдений для нормального закона распределения..……..
Практическая работа № 8. Методика расчета проектной надежности
технологических систем…………………………………………….……….
Практическая работа № 9. Методика определения точечных оценок показателей надёжности технологических систем по результатам наблюдений……………………………………………………………………
Практическая работа № 10.Построение и применение вероятностных
сеток……………………………………………………………………………
Практическая работа № 11. Методы прогнозирования надежности……
Практическая работа № 12. Применение критерия Колмогорова………..
Практическая работа № 13. Применение критерия χ2 для экспоненциального закона распределения………………………………….
Практическая работа № 14. Применение критерия

2
…………………
Практическая работа № 15. Построение и применение вероятностных
сеток для логарифмически нормального распределения (без сдвига)……
Практическая работа № 16. Метод расчета показателей безотказности
восстанавливаемых объектов……………………………………………….
Приложение…………………………………………………………………..
Библиографический список………………………………………………..
4
13
18
30
37
42
51
64
72
119
154
161
169
176
180
186
194
212
Учебное издание
Надежность и диагностика технологических систем
Учебное пособие к выполнению практических работ
для подготовки магистров по направлению15.04.05
«Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств»
Составители: Бондаренко Юлия Анатольевна
Федоренко Михаил Алексеевич
Санина Тамара Михайловна
Подписано в печать 26.03.18.Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 3,3.Уч.-изд.л.3,5.
Тираж 20 экз. Заказ
Цена
Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете им.
В.Г. Шухова
308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46