O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI “Kampyuter Injenering” FAKULTETI 3-BOSQICH 17_21 S -GURUH TALABASINING Algoritmlarni loyihalash fanidan Mustaqil ishi №1 Bajardi: Qabul qildi: S.T.To’xtayev BEGULOV O. U. QARSHI-2024 1-mustaqil ish. REJA: Algoritm murakkabligining statik va dinamik o‘lchovlari. Vaqt va xotira hajmi bo‘yicha qiyinchiliklar Algoritmlarni eng yomon va o‘rtacha holatlarda baholash. Algoritmlarni vaqt va hajmiy murakkabligini baholashda tekis va logorifmik solishtirma mezonlari. Ketma – ketliklar, to’plamlar, daraxtlar, graflarni ifodalash usullari. Taqribiy integrallash usullarini aniqligi va hisoblash hajmi bo‘yicha taqqoslash. Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini yaqinlashish tezligi bo‘yicha baholash. Algoritm murakkabligini statik va dinamik o‘lchovlari. Vaqt va xotira hajimi bo‘yicha qiyinchiliklar Reja: 1. Algoritm murakkabligini baholash. Xotira yoki vaqt. 2.Murakkablikni baholash. 3. Rekursiv algoritmlarni baholash 4.Xulosa 5.Adabiyotlar Algoritm murakkabligini baholash. Xotira yoki vaqt. Mavjud algoritmlarning ko’pchilig xotira va tezlik o’rtasida tanlovni taklif qiladi. Masala tez ishlashi va katta xotira egallashi yoki sekin ishlashi va kichik xotira hajmini egallashi mumkin. Bu holatda eng odatiy misollardan biri eng qisqa masofani topish masalasi bo’la oladi. Bunda siz o’zaro bog’liq bo’lgan shahar orasidagi istalgan ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofani topishingiz kerak bo’ladi. Bunda biz barcha nuqtalar orasidagi qisqa masofalarni aniqlab ularni jadval shaklida saqlab qo’yishimiz mumkin. Va biz eng qisqa masofani aniqlashimizga to’g’ri kelganda shunchaki jadvaldan ma’lumotni olib qo’yishimiz mumkin bo’ladi. Natijani shu zahoti olishimiz mumkin, ammo bu juda katta hajm talab qiladi. Masalan biror katta xaritada 10 minglab nuqtalar bo’lishi mumkin va bizning jadvalimiz buning uchun 10 milliarddan ortiq ma’lumotni saqlashiga to’g’ri keladi va bu taxminan 10GB ga yaqin xotirani band etishi mumkin. Ushbu holatdan hajm-vaqt murakkabligi kelib chiqadi. Shunda algoritm vaqt bo’yicha ishlash tezligi yoki hajm bo’yicha ishlash tezligi bilan baholanadi. Biz asosiy e’tiborni vaqt bo’yicha murakkablikka qaratamiz lekin shu bilan birga foydalaniladigan xotira hajmini ham aniq belgilashimizga to’g’rikeladi. Ketma-ketlikni baholash. Biz algoritmlarni o’zaro baholashimizda ularga kiruvchi ma’lumotni ham e’tiborga olishimizga to’g’ri keladi. Chunki ayni bir saralash algoritmi uchun 1000 ta kiruvchi elementni saralash 1s, 100 000 element uchun esa 4-5 soniya ketadigan bo’lsa, boshqa bir algoritm uchun esa bor-yo’g’i 2 s ketishi mumkin. Bunday sharoitda qaysi algoritm yaxshi ekanini aytish mushkuldir. Umumiy holatda esa algoritmni murakkabligini ayni bir kattalik bilan baholash mumkin bo’ladi. Buni quyidagicha tushunish mumkin: agar algoritmga kiruvchi N ma’lumotlar oshganida algoritmning bajarilish vaqti f(N) funksiya bilan bir xilda ortsa algoritm O(f(N)) murakkablikka ega deyiladi. Keling, yaxshisi A[NxN] matritsaning har bir qatoridagi maksimalelementni topishni ko’rib chiqamiz: Ushbu algoritmda i o’zgaruvchi 0 dan N-1 gacha o’zgarib kelyapti hamda uning har bir o’zgarishida j o’zgaruvchi ham shu oraliqda o’zgaryapti. Demak bunda jami N*N marta takrorlanish sodir bo’lyapti. Bundan esa f(N) = N*N ga teng bo’ladi va algoritmning murakkabligi O(N*N) ekanligini aniqlashimiz mumkin. Endi algoritmni murakkablik darajasini baholashni ko’rib chiqaylik. Bunda algoritmdagi eng tez o’suvchi qismdan foydalanish kerak bo’ladi. Tasavvur qiling algoritm N^3 + N murakkablikka ega bo’lsin. Bunda biz murakkablikni O(N^3) deb olishimiz yetarli bo’ladi. Chunki bu yerda tez o’suvchi qism bu N^3. Ya’ni +N ta qo’shimcha amalni hisoblashning hojati qolmaydi. Misol uchun N=100 bo’lsin, shunda jami 1000100 ta amal bajariladi va bu N^3 dan atigi 0.01% gagina farq qiladi. Murakkablikni baholash. Dasturdagi murakkab algoritmlar asosan funksiya va protseduralarda bo’ladi. Keling, buni ko’rish uchun Fast hamda Slow nomli funksiyalar yaratib olaylik va bu funksiyalarning turli xil ko’rinishdagi murakkabligini baholab ko’raylik. Demak ushbu kodni ko’rib chiqamiz. Slow funksiyasi O(N^3) murakkablikka ega bo’lib unda ichma ich 3 ta for sikli mavjud: N*N*N. Buni osonlik bilan ko’rish mumkin. Endi Fast funksiyasini ko’radigan bo’lsak unda ichma-ich 2 ta for sikli mavjud. Ammo ikkinchi siklda biz Slow funksiyasini chaqirganmiz. Bu esa algoritmning murakkabligini yanada oshiradi, ya’ni O(N^2) * O(N^3) = O(N^5). Both funksiyasida biz ikkala funksiyadan ham foydalandik. Bunda funksiyalar ketma-ket qo’llangani sabab ular ichidan murakkabligi katta bo’lgan funksiya asosiy funksiyaning murakkabligi bo’ladi ya’ni O(N^2) + O(N^5) = O(N^5). Endi berilgan N=100 da algoritmning ishlash vaqtini ko’radigan bo’lsak u quyidagicha: Demak bu Both funksiyasi 570 soniyadan ko’proq vaqt ishladi. Boshqa xarakteristikadagi mashinada bu ko’p yoki kam bo’lishi mumkin. Xulosa qiladigan bo’lsak oddiy takrorlanish algoritmlarining murakkabligi undagi takrorlanishlarning soniga bog’liq bo’ladi va buni aniqlash ancha oson. Rekursiv algoritmlarni baholash.Oddiy rekursiya. Rekursiv funksiyalar bu o’z-o’zini chaqiruvchi funksiyalardir. Rekursiv algoritmlarni baholash juda murakkabdir. Ularning murakkabligini baholash nafaqat ichki foydalanilgan funksiyalar, yana rekursiyaning takrorlanishiga ham bog’liq bo’ladi. Keling oddiy rekursiya misolida faktorialni hisoblash funksiyasini ko’raylik: Ushbu rekursiv funksiyada ortiqcha sikllar va ortiqcha funksiyalar mavjud emas shuning uchun bu funksiya faqat N marta takrorlanadi va uning murakkabligi O(N) ga teng bo’ladi. Ushbu dasturning ishlash vaqti quyidagicha: Bundan tashqari rekursiv funksiyalarda rekursiya chuqurligi ya’ni rekursiyaning qancha marotaba takrorlanishi muammosi mavjuddir. Bu esa mashinaning xotira bilan bog’liq muammolariga bog’liqdir. Xulosa o’rnida aytadigan bo’lsak, algoritmlar asosan quyidagicha ko’rinishdagi murakkabliklarda bo’ladi va barcha algoritmlarni baholashimiz uchun mana shu murakkabliklar yetarli bo’ladi: 1. C yoki O(1) - algoritm o’zgarmas vaqtda bajariladi. 2. O(log(log(N))) 3. O(log(N)) 4. O(N^C) 0<C<1 5. O(N) 6. O(N*log(N)) 7. O(N^C) C > 1 8. O(C^N) C > 1 9. O(N!) Agar biz ushbu murakkablikni aniqlaydigan bo’lsak: O(log(N) + N!) = O(N!). Bunda f(N) = N! funksiya f(N) = log(N) funksiyadan ko’ra tezroq o’suvchi. Shuning uchun algoritmning murakkabligini O(N!) deb olishimiz yetarli bo’ladi. Quyida murakkabliklarning turli kiruvchi ma’lumotlardagi bajarilish vaqti keltirilgan: Kompyuterlar tezligining oshishi bilan u yoki bu algoritmning ishlashi maqbul vaqt ichida bajariladigan parametrlarning qiymati ham oshadi. Shunday qilib, miqdorning o'rtacha qiymati oshadi va shuning uchun tez va sekin algoritmlarning bajarilish vaqtining nisbati oshadi. Kompyuter tezroq ishlaydi, yomon algoritmdan foydalanganda nisbiy yo'qotish katta bo'ladi! Algebraik va transsendent tenglamalar haqida tushuncha. Noma’lum qatnashgantenglikka tenglama deyiladi. f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish deyiladi. Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ..) ga teng bo'lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir. Bu funksiyalarga bog'liq bo'lgan argumentlar odatda noma'lum deb ataladi va funksiyalar qiymatlari teng bo'lgan noma'lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb ataladi. Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega: P(x1,x2,..xn)=Q(x1,x2,…xn) Bu yerda P va Q – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar. Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir. Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. ax+b=0. a,b, berilgan sonlar. Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni algebraik yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo'lishi mumkin. Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni olish mumkin. Amaliyotda, ba’zi masalalarda f(x)=0 ko‘rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Agar f(x) funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama trigonometric, algebraic va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transcendent tenglamalar deyiladi. Bunda f(x) [a,b] oraliqda aniqlangan funksiya bo‘lib, f(t)=0 bo‘lsa, x=t ni tenglamaning yechimi-ildizi deyiladi. Tenglamaning aniq yechimini topish qiyin bo‘lgan hollarda uning taqribiy yechimini topishga to‘g‘ri keladi, bu ikki bosqichga bo‘linadi. 1) Yechimni ajratish(yakkalash), ya’ni yagona yechim yotgan intervalni aniqlash; 2) Taqribiy yechimni topilgan intervalda berilgan aniqlikda topish. Tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni aniqlash uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi. 1-teorema . Aytaylik, 1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin; 2) f(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin; 3) fґ(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin. U holda, tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi. Hozirgi paytda chiziqsiz tenglamalarni yechish uchun oldingi o’ringa sonli-taqribiy usullar chiqib oldi. Bu usullar o’zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni yechishning sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta’minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala hisoblanadi. Chiziqsiz tenglamalardan na’munalar: 1. 2. 3. 4. x3-3x2 +7x-6=0 x2 -sin x =0 ln |7x|-cos 6x=0 e2x-x=0 Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan tenglamani yechishning grafik usulidan foydalanamiz. Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin: f(x)=0 ( 1 ) Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida ko’ramiz. Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan xyechim nuqtasi tenglamaning qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. Yechim joylashgan oraliqni funksiyani ishorasini almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin: f(a) f(b)<0 Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida yetarli ma’lumotga ega bo’ldik. Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonlitaqribiy usullariga e’tibor kuchayib bormokda. Bu usullar jumlasiga quyidagilarni kiritish mumkin: oddiy ketma-ketlik (iterasiya); oraliqni teng ikkiga bo’lish; urinmalar (Nyuton); vatarlar (xord) va boshqalar Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri tanlangan oraliqlarda ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va |(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi. Xulosa Bir xil muammoni hal qilishning to'rtta algoritmini ko'rib chiqing, ular qiyinchiliklarga duch keladi va mos ravishda. Aytaylik, ushbu algoritmlarning ikkinchisi parametr qiymati bo'lgan ba'zi bir kompyuterda bajarilishi uchun bir daqiqalik vaqtni talab qiladi. Keyin ushbu to'rtta algoritmni bir xil kompyuterda parametrning turli qiymatlarida bajarilish vaqti taxminan 10,300,000 yil bilan bir xil bo'ladi Dasturchilar o'z dasturlarini sinashni boshlashganda, ularga bog'liq bo'lgan parametrlarning qiymati odatda kichik bo'ladi. Shuning uchun, dasturni yozishda samarasiz algoritm ishlatilgan bo'lsa ham, u e'tiborga olinmasligi mumkin. Ammo, agar siz bunday dasturni real sharoitlarda qo'llashga harakat qilsangiz, unda uning amaliy foydasizligi darhol namoyon bo'ladi Adabiyotlar: 1. Abramov S.A. i dr. Zadachi po programmirovaniyu.-M.:Nauka, 1988.-224 str. 2. Гуломов С.С. ва бошқалар. Ахборот тизимлари ва технологиялари. Тошкент, 2000 3. Axo A., Xopkroft Dj. Postroyeniye i analiz vychislitelnyx algoritmov. - M: Mir, 1979 g., 535 s. 4. Virt N.. Algoritmy i struktury dannyx. – Dossa, Xamarayan, 1997. 5. Knut D. Iskusstvo programmirovaniya dlya EVM. Osnovnye algoritmy.-M: Mir, 2000 g. 6. Kormen T., Leyzerson Ch., Rivest R. Algoritmy: postroyeniye i analiz. M.: MSNMO, 2001.- 960 s. 7. Lebedev V.I. Vvedeniye v sistemy programmirovaniya. M: Statistika, 1975. 8. Polyakov D.B., Kruglov I.Yu. Programmirovaniye v srede Турбо Пасcал: Sprav.-metod. posobiye.- M.: Izd-vo MAI, 1992.-576 s.