Домашнее задание №1 Механика Вариант 11 Задача №1 Условие: Мяч бросают с земли со скоростью 𝓋=10 м/с под углом 𝛼=45° к горизонту. С какой высоты ℎ следует бросить мяч с той же начальной скоростью, но в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место? Решение: 1. Определение времени полета мяча t. Для броска под углом к горизонту время полёта мяча t можно найти из формулы для дальности полета, учитывая, что α=45°, при котором дальность полета максимальна и синус, и косинус этого угла равны друг другу: 𝓿𝟐 𝒅= 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝛂); (1) 𝒈 Подставляя α=45° и учитывая, что sin(90°)=1, получаем: 𝓿𝟐 𝒅= ; (2) 𝒈 Чтобы найти время полёта t для броска под углом, используем горизонтальную составляющую скорости: 𝒅 = 𝓿𝒙 𝒕 = (𝓿 𝐜𝐨𝐬(𝛂))𝐭; (𝟑) Откуда время полета 𝐭 для броска под углом 45°: 𝒕= 𝒅 𝓿 𝟏 = 𝐱 ; (𝟒) 𝓿𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟓°) 𝒈 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟓°) Так как cos (45°) = sin(45°) = 𝒕= 2. √2 , 2 то время полета будет 𝓿 √𝟐; (𝟓) 𝒈 Определение высоты ℎ Для горизонтального броска высота ℎ, с которой был брошен мяч, связана с временем падения следующей формулой: 𝒈𝒕𝟐 𝒉= ; (𝟔) 𝟐 Мы используем время 𝒕, найденное для броска под углом 45°, чтобы определить высоту ℎ для горизонтального броска: 𝒉= 𝒈 𝓿 ( √𝟐)𝟐 = 𝟐 𝒈 𝓿𝟐 𝟏 𝒈 𝟐 ; (7) Подставляем 𝓋=10 м/с и g=9.8 м/с2: 102 1 100 1 ℎ= 𝑥 = 𝑥 ≈ 5,1 9,8 2 9,8 2 Следовательно, мяч нужно бросить с высоты примерно 5.1 метра горизонтально, чтобы он упал на землю в той же точке, что и при броске под углом 45° со скоростью 10 м/с. Ответ: высота ℎ, с которой следует бросить мяч с той же начальной скоростью, но в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место равна 5,1 м Задача №2 Условие: Шар радиусом 25 см вращается с угловой скоростью 1 рад/с вокруг вертикального диаметра. На поверхности шара на расстоянии 25 см (по прямой) от вершины лежит небольшая шайба. Найти минимальный коэффициент трения, при котором шайба не соскальзывает с шара. Решение: Для того чтобы найти минимальный коэффициент трения, при котором шайба не соскальзывает с шара, нужно использовать равенство сил, действующих на шайбу. На шайбу воздействуют две силы: сила тяжести 𝑭𝒕 = 𝒎𝒈, направленная вниз; сила реакции опоры N, направленная вверх. Если шайба не соскальзывает с шара, то сила трения, действующая вдоль поверхности шара, равна нулю. Из геометрии видно, что вертикальная составляющая силы N равна 𝒎𝒈, горизонтальная составляющая N — равна силе центробежной силы, направленной к центру шара. Центробежная сила вычисляется как: 𝑭ЦБ = 𝒎𝑹𝝎𝟐 где: R = 25 см – радиус шара; ω = 1 рад/с – угловая скорость. Так как FТ = N, то минимальный коэффициент трения: 𝒇𝒎𝒊𝒏 = 𝒇𝒎𝒊𝒏 = 𝒎𝑹𝝎𝟐 𝒎𝒈 = 𝑹𝝎𝟐 𝒈 𝑭ЦБ 𝑵 = или 𝟎,𝟐𝟓х𝟏𝟐 𝟗,𝟖𝟏 ≈ 0,0255 Ответ: Минимальный коэффициент трения, при котором шайба не соскальзывает с шара, составляет примерно 0.0255. Задача №3 Условие: Движущийся шар налетает на покоящийся шар такой же массы. Удар абсолютно упругий, но не центральный. Определить угол 𝛼 между направлениями скоростей шаров после удара. Решение: 1. Согласно закону сохранения импульса: суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия. Поскольку второй шар покоится, его импульс 𝒎𝓿𝟐 = 𝟎 перед ударом. 2. Согласно закону сохранения кинетической энергии для абсолютно упругого удара кинетическая энергия системы двух шаров до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения. 3. Из этих законов следует: 𝒎𝓿 = 𝒎𝓿′𝟏 𝒄𝒐𝒔 (𝜽) + 𝒎𝓿′𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝜱) 𝟎 = 𝒎𝓿′𝟏 𝒔𝒊𝒏 (𝜽) − 𝒎𝓿′𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝜱) где: 𝓿— начальная скорость движущегося шара; 𝜽 и 𝜱 — углы, под которыми шары движутся после удара относительно начального направления движения; 𝓿′𝟏 и 𝓿′𝟐— скорости шаров после удара. Для абсолютно упругого удара нецентрального характера справедливо геометрическое соотношение, что угол расхождения 𝛼 по теореме о двух углах будет равен 90о, так как скорости шаров после удара будут перпендикулярны друг другу. Это связано с тем, что в системе центра масс движения двух шаров одинаковой массы полная механическая энергия сохраняется, а импульс системы — это векторная сумма индивидуальных импульсов. Для любой точки на плоскости движения вектор суммы импульсов будет направлен в том же направлении, несмотря на преобразования. При переходе к системе отсчета, связанной с одним из шаров, векторное сложение скоростей и применение законов сохранения приводят к выводу об их перпендикулярности после удара. Ответ: Угол между направлениями скоростей шаров после абсолютно упругого нецентрального удара составляет 90о или 𝜋 2 Задача №4 Условие: Шар начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр, с постоянным угловым ускорением 𝜀=0,5 рад/с2. Найти: 1. момент силы, которой надо сообщить шару, чтобы через 10 с после начала движения он приобрел момент импульса 𝐿=90 кг∙м2/с; 2. работу этой силы за 10 с. Решение: 1. Из основного уравнения динамики вращательного движения определим силы, действующие на шар: 𝑀 = 𝐼ε; (1) где: I – момент инерции; ε – угловое ускорение. 2. Определим момент импульса вращающегося тела по формуле: 𝐿 = 𝐼𝜔; (2) где: L – момент импульса; I – момент инерции шара; ω – угловая скорость. тогда момент инерции будет определяться, как: 𝐼 = 𝐿𝜔; (3) 3. Угловая скорость выражается через угловое ускорение ε и время t: ω = ε𝑡 4. Учитывая вышеизложенное, формула (1) будет выглядеть: 𝑀 = 𝐿𝜔ε = 𝐿εε𝑡 = 𝐿𝑡; (4) Подставляем данные из условия: 5. м2 𝑀 = 90 кг 10 с = 9 Н ∗ с с Работа этой силы равна: 𝐴 = 𝑀ф = 𝑀ε𝑡 2 ; (5) Подставляем данные из условия: 𝐴 = 9 Н ∗ с ∗ 0,5 рад = 450Дж с2 Ответ: 1. 9Н∗с 2. 450Дж Задача №5 Условие: Платформа в виде горизонтального диска массой 200 кг и радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой 75 кг. Человек ловит мяч массой 1 кг, летящий горизонтально со скоростью 5 м/с на расстоянии, равном радиусу платформы, от ее центра. С какой частотой будет вращаться платформа? Рассмотреть случай движения мяча по направлению движения платформы. Решение: Для решения используем закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы до ловли мяча равен моменту импульса системы после ловли мяча. Обозначим: M1 - масса платформы; R – радиус; m – масса человека; M2 – масса мяча; 𝓋 – скорость мяча; ω1 – угловая скорость платформы до ловли; ω2 – угловая скорость платформы после ловли. Импульс мяча до ловли равен m 𝓋 вдоль оси X. P=m x Импульс платформы и человека до ловли равен произведению радиуса платформы на их совокупную линейную скорость 𝑹(𝝎𝟏 ) + 𝓿 После ловли мяча импульс системы равен сумме импульсов платформы, человека и мяча. Уравнение сохранения момента импульса напишем следующим образом: 𝒎𝓿𝐑 = (𝑴𝟏 𝑹 + 𝒎𝑹)𝝎𝟐 + 𝑴𝟐 𝑹𝝎𝟐 Подставив значения и решив относительно 𝜔2 найдем угловую скорость платформы после ловли мяча: 𝟖𝟎𝟎 + 𝟕𝟓) 𝝎𝟐 + 𝟏𝝎𝟐 𝟗 𝟖𝟎𝟎 𝟔𝝅 = ( + 𝟕𝟓 + 𝟏) 𝝎𝟐 𝟗 𝟖𝟎𝟎 𝟔𝝅 = ( + 𝟕𝟔) 𝝎𝟐 𝟗 𝟔𝝅 = ( 𝟔𝝅 𝝎𝟐 = 𝟖𝟎𝟎 𝟗 +𝟕𝟔 ≈ 𝟔𝝅 𝟖𝟖,𝟖 ≈ 0,212 об/с Ответ: Таким образом, платформа будет вращаться со скоростью примерно 0,212 об/с после того, как человек поймает мяч. Задача №6 Условие Пластичный шар массой 𝑚=3 кг и радиусом 𝑅=10 см раскрутили до угловой скорости 𝜔=60 рад/с. В процессе вращения шар деформировался в эллипсоид с моментом инерции 𝐼=1,8∙10−2 кг∙м2. Найдите изменение кинетической энергии системы. Решение: Определяем начальное значение кинетической энергии вращения 1. шара. Момент инерции шара равен: 𝑰шара = 𝟐 𝒎𝑹𝟐 𝟓 Где: m – масса шара; R – радиус шара. Подставим данные: 𝑰шара = 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ (𝟎, 𝟏)𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 кг ∗ м𝟐 𝟓 Момент инерции совершившего деформацию эллипсоида шара 2. 𝑰шара = 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 кг ∗ м𝟐 Кинетическая энергия вращения шара до деформации равна: 3. 𝑬кин.нач = 𝟏 𝑰 𝝎𝟐 𝟐 шара Где: ω – угловая скорость вращения. Подставим: 𝑬кин.нач = 4. 𝟏 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 ∗ 𝟔𝟎𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟖 Дж 𝟐 Кинетическая энергия вращения эллипсоида после деформации равна: 𝑬кин.кон = 𝟏 𝟐 𝑰𝝎 𝟐 Подставим: 𝟏 ∗ 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝟔𝟎𝟐 = 𝟑𝟐, 𝟒 Дж 𝟐 Изменение кинетической энергии системы: 𝑬кин.кон = 5. ∆𝐸 = 𝐸кин.кон − 𝐸кин.нач ∆𝐸 = 32,4 − 10,8 = 21,6 Дж Ответ: Изменение кинетической энергии системы составит 21,6 Дж
