Kontrolnaya rabota 1 64g-204

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задание №1. Выполнить по методу наименьших квадратов параметрическим
способом уравнивание нивелирной сети, содержащей четыре определяемых
пункта и состоящей из девяти ходов. В результате уравнивания должны быть
̅𝑗 , уравненные
получены уравненные отметки определяемых реперов Н
превышения ℎ̅𝑖 и их средние квадратические ошибки 𝑚𝐻̅ и 𝑚ℎ̅ , а также средняя
𝑗
𝑖
квадратическая ошибка mкм определения превышения по ходу длиной 1 км.
Исходные данные
Конфигурация исходной сети определяется по последней цифре шифра. В
нашем случае шифр 64г-204, последняя цифра 4 соответствует схеме №4.
Предпоследняя цифра шифра соответствует тому ходу, который отсутствует в
выполняемом варианте, в нашем случае это цифра 0, значит отсутствует десятый
ход от Rp2 до М42. Таким образом, схема нивелирной сети для данного
варианта, соответствующего данному шифру, отображена на рис.1.
Рис.1. Схема №4 согласно шифру 64г – 204.
Отметки опорных реперов, длины ходов и измеренные превышения
определяются согласно таблице 1 и цифрам шифра: i1 ― первой, i2 ― второй,
i3 ― третьей, i4 ― четвёртой и i5 ― пятой. Для шифра 64г – 204:
i1=6
i2=4
i3=2
i4=0
i5=4.
Таблица 1 – Исходные данные и результаты измерений согласно шифру
М41
398.567
1
-4.408
3.7
М42
402.273
2
+4.580
5.7
М43
403.089
3
+3.846
5.6
4
-0.697
8.2
5
-2.395
5.9
6
-1.685
1.8
7
-4.652
3.5
8
-0.256
6.3
9
-2.272
4.5
Порядок выполнения
Исходные уравнения связи в нивелирных сетях имеют очень простой вид:
разность отметок начального и конечного пунктов хода — и для уравненных
значений искомых и измеренных величин их можно переписать как
̅ кон.,𝑖 − Н
̅ нач.,𝑖
ℎ̅𝑖 = Н
а соответствующие им параметрические уравнения поправок - как
υi = δHкон.,i - δHнач.,i + li
Свободный член li будет равен разности приближенных отметок высот
конечного и начального пунктов i-го хода минус измеренное превышение по
этому ходу:
li = H(0)кон.,i – H(0)нач.,i - hi
Таким образом, исходные уравнения связи в нашем случае будут иметь
следующий вид:
̅𝑅𝑝3 − 𝐻М43
ℎ̅1 = 𝐻
̅𝑅𝑝1 − 𝐻
̅𝑅𝑝3
ℎ̅2 = 𝐻
̅𝑅𝑝4 − 𝐻
̅𝑅𝑝3
ℎ̅3 = 𝐻
̅𝑅𝑝4 − 𝐻
̅𝑅𝑝1
ℎ̅4 = 𝐻
̅𝑅𝑝2 − 𝐻
̅𝑅𝑝1
ℎ̅5 = 𝐻
̅𝑅𝑝4
ℎ̅6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻
̅𝑅𝑝1
ℎ̅7 = 𝐻𝑀41 − 𝐻
̅𝑅𝑝4
ℎ̅8 = 𝐻𝑀42 − 𝐻
̅𝑅𝑝2
{ ℎ̅9 = 𝐻𝑀41 − 𝐻
Приближенные отметки высот определяемых пунктов могут быть получены
как
(0)
𝐻𝑅𝑝1 = 𝐻𝑀41 − ℎ7 = 398.567 − (−4.652) = 403.219 м
(0)
𝐻𝑅𝑝2 = 𝐻𝑀41 − ℎ9 = 398.567 − (−2.272) = 400.839 м
(0)
𝐻𝑅𝑝3 = 𝐻𝑀43 + ℎ1 = 403.089 + (−4.408) = 398.681 м
(0)
𝐻𝑅𝑝4 = 𝐻𝑀42 − ℎ8 = 402.273 − (−0.256) = 402.529 м
Свободные члены параметрических уравнений поправок будут равны
(0)
𝑙1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻М43 − ℎ1 = 398,681 − 403,089 − (−4,408) = 0,000м
(0)
(0)
(0)
(0)
𝑙2 = 𝐻𝑅𝑝1 − 𝐻𝑅𝑝3 − ℎ2 = 403,219 − 398,681 − 4,580 = −0,042 м
𝑙3 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3 − ℎ3 = 402,529 − 398,681 − 3,846 = +0,002 м
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
𝑙4 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ4 = 402,529 − 403,219 − (−0,697) = +0,007 м
𝑙5 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ5 = 400,839 − 403,219 − (−2,395) = +0,015 м
𝑙6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4 − ℎ6 = 400,839 − 402,529 − (−1,685) = −0,005 м
(0)
𝑙7 = 𝐻𝑀41 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ7 = 398,567 − 403,219 − (−4,652) = 0,000 м
(0)
𝑙8 = 𝐻𝑀42 − 𝐻𝑅𝑝4 − ℎ8 = 402,273 − 402,529 − (−0,256) = 0,000 м
(0)
𝑙9 = 𝐻𝑀41 − 𝐻𝑅𝑝2 − ℎ9 = 398,567 − 400,839 − (−2,272) = 0,000 м
Параметрические уравнения поправок будут иметь вид
1 
 
 2
3 

4 

5 
 
 6
7 
 
 8
9 
 H Rp 3
 H Rp 3
 H Rp1
 H Rp 3
 H Rp1
 H Rp1
l1
 l2
 H Rp 4
l3
 H Rp 4
 l4
l5
 H Rp 4
l6
 H Rp 4
l7
l8
 H Rp 2
 H Rp 2
 H Rp1
 H Rp 2
l9
Тогда матрица A коэффициентов и вектор
параметрических уравнений поправок будут равны
 0 0 1 0


 1 0 1 0 
 0 0 1 1


 1 0 0 1 
А   1 1 0 0 


 0 1 0 1
 1 0 0 0 


 0 0 0 1
 0 1 0 0 


L
свободных
членов
 0, 000 м 


 0, 042 м 
 0, 002 м 


 0, 007 м 
L   0, 015 м 


 0, 005 м 
 0, 000 м 


 0, 000 м 
 0, 000 м 


Назначим веса измеренным превышениям, приняв за единицу веса результат
измерения, который мог быть получен по ходу длиной 10 км, тогда
pi 
C
Sкм,i
при
С = 10 км
и весовая матрица
0
0
0
0
0
0
0
0
 2.70


0
0
0
0
0
0
0
 0 1.75
 0
0 1.79
0
0
0
0
0
0


0
0 1.22
0
0
0
0
0
 0
PY   0
0
0
0 1.69
0
0
0
0


0
0
0
0 5.56
0
0
0
 0
 0
0
0
0
0
0 2.86
0
0


0
0
0
0
0
0 1.59
0
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0 2.22 

Далее вычисляем матрицу R коэффициентов и вектор Λ свободных членов
нормальных уравнений поправок
 7.53 1.69 1.75

1.69 9.47 0.00
R
 1.75 0.00 6.24

 1.22 5.56 1.79
1.22 

5.56 
1.79 

10.15 
 0.108 м 


0.002 м 


 0.070 м 


 0.040 м 
Теперь рассчитаем вектор ΔX поправок к приближённым значениям искомых
величин
 0.011 м 


0.000 м 

Х 
 0.009 м 


 0.004 м 
Вычислим уравненные отметки высот определяемых пунктов
̅ 𝑅𝑝1 = 403,219 м + 0,011 м = 403,230 м
Н
̅ 𝑅𝑝2 = 400,839 м + 0,000 м = 400,839 м
Н
̅ 𝑅𝑝3 = 398,681 м − 0,009 м = 398,672 м
Н
̅ 𝑅𝑝4 = 402,529 м − 0,004 м = 402,525 м
Н
Теперь можно рассчитать вектор V поправок
превышениям, подставив полученные значения в систему
 0.009 м 


 0.021 м 
 0.007 м 


 0.009 м 
V   0.003 м 


 0.001 м 
 0.011 м 


 0.004 м 
 0.000 м 


Получим теперь уравненные превышения
ℎ̅1
ℎ̅2
ℎ̅3
ℎ̅4
ℎ̅5
ℎ̅6
ℎ̅7
ℎ̅8
ℎ̅9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-4.408
+4.580
+3.846
-0.697
-2.395
-1.685
-4.652
-0.256
-2.272
+
+
+
+
0.009
0.021
0.007
0.009
0.003
0.001
0.011
0.004
0.000
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-4.417
+4.559
+3.853
-0.706
-2.392
-1.686
-4.663
-0.252
-2.272
м
м
м
м
м
м
м
м
м
к
измеренным
Выполним контроль вычислений, подставив уравненные отметки высот
определяемых пунктов в исходные уравнения связи:
̅𝑅𝑝3 − 𝐻М43 = 398,672 − 403,089 = −4,417 м
𝐻
̅𝑅𝑝1 − 𝐻
̅𝑅𝑝3 = 403,230 − 398,672 = +4,559 м
𝐻
̅𝑅𝑝4 − 𝐻
̅𝑅𝑝3 = 402,525 − 398,672 = +3,853 м
𝐻
̅𝑅𝑝4 − 𝐻
̅𝑅𝑝1 = 402,525 − 403,230 = −0,706 м
𝐻
̅𝑅𝑝2 − 𝐻
̅𝑅𝑝1 = 400,839 − 403,230 = −2,392 м
𝐻
̅𝑅𝑝4 = 400,839 − 402,525 = −1,686 м
𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻
̅𝑅𝑝1 = 398,567 − 403,230 = −4,663 м
𝐻𝑀41 − 𝐻
̅𝑅𝑝4 = 402,273 − 402,525 = −0,252 м
𝐻𝑀42 − 𝐻
̅𝑅𝑝2 = 398,567 − 400,839 = −2,272 м
{ 𝐻𝑀41 − 𝐻
Как видно, контроль выполняется
вычислениях допущено не было.
—
следовательно,
ошибок
при
Теперь вычислим квадратичную форму Ф по основной и контрольной
формулам:
Ф = VTPV
Фконтр. = ΛT∆X+LTPL
Ф = VTPV =1.6×10-3 м2
Фконтр. = ΛT∆X+LTPL = 1.6×10-3 м2
Полученные значения также совпали, то есть выполняется ещё один из
возможных контролей вычислений.
Средняя квадратическая ошибка единицы веса будет вычисляться по
формуле Бесселя и окажется равна

1.6 103
 17.9 мм
94
Средняя квадратическая ошибка измерения превышения по ходу длиной 1 км
определяется по формуле
mкм 

С

17.9 мм
 5.7 мм
10
Оценим теперь точность уравненных отметок высот определяемых пунктов.
Их обратная весовая матрица равна
 0.18

0.08
QX  
 0.07

 0.08
0.08 0.07 0.08 

0.19 0.06 0.12 
0.06 0.20 0.08 

0.12 0.08 0.19 
а их средние квадратические ошибки уравненных mHRp1  17.9 мм  0.18  7.6 мм
mHRp 2  17.9 мм  0.19  7.8 мм
mHRp 3  17.9 мм  0.20  8.0 мм
mHRp 4  17.9 мм  0.19  7.8 мм
Чтобы оценить точность уравненных превышений, вычислим их
обратную весовую матрицу. При этом в качестве функций от уравненных
значений искомых величин будут рассматриваться исходные уравнения связи,
а так как они имеют простой линейный вид, то частные производные этих
функций не зависят от рассматриваемых значений искомых величин: уравненных
или приближённых. Тогда
QY  AQX AT
 0.20

 0.13
 0.13

 0.00
QY   0.02

 0.02
 0.07

 0.08
 0.06

0.13 0.13
0.24
0.13
0.13
0.11
0.09
0.24
0.11
0.06
0.02 0.05
0.11
0.00
0.00
0.11
0.02 0.07
0.00 0.02 0.02 0.07 0.08 0.06 

0.11 0.09 0.02 0.11 0.00 0.02 
0.11 0.06 0.05 0.00 0.11 0.07 

0.22 0.15 0.07
0.10 0.11 0.05 
0.15 0.22 0.07
0.10 0.05 0.12 

0.07 0.07
0.13 0.00 0.06 0.07 
0.10 0.10 0.00
0.18 0.08 0.08 

0.11 0.05 0.06
0.08 0.19 0.12 
0.05 0.12 0.07
0.08 0.12 0.19 
а средние квадратические ошибки уравненных превышений будут равны:
mh 1  17.9 мм  0.20  8.0 мм
mh 2  17.9 мм  0.24  8.8 мм
mh 3  17.9 мм  0.24  8.8 мм
mh 4  17.9 мм  0.22  8.4 мм
mh 5  17.9 мм  0.22  8.4 мм
mh 6  17.9 мм  0.13  6.5 мм
mh 7  17.9 мм  0.18  7.6 мм
mh 8  17.9 мм  0.19  7.8 мм
mh 9  17.9 мм  0.19  7.8 мм
Задание №2. Выполнить по методу наименьших квадратов параметрическим
способом уравнивание полигонометрического хода (рис. 2). В результате
уравнивания должны быть получены уравненные координаты определяемых
̅𝑗 , уравненные длины сторон 𝑆𝑖̅ и углы поворота 𝛽𝑖̅ , а также их
пунктов ̅
Х𝑗 и У
средние квадратические ошибки 𝑚𝑋̅𝑗 , 𝑚𝑌̅𝑗 и 𝑚𝑆̅𝑖 , 𝑚𝛽̅𝑖 .
Рис.2. Схема полигонометрического хода.
Исходные данные
Таблица 2 - Исходные данные и результаты измерений
Исходные данные
П1
П2
П3
П4
Х
(м)
У
(м)
5071,893
4646,429
4683,301
6367,527
5905,768
4993,494
5601,715
5850,175
β1
β2
β3
β4
β5
s1
s2
s3
s4
Результаты
измерений
107° 00´ 53,1´´
96° 19´ 29,9´´
144° 05´ 28,2´´
169° 58´ 50,8´´
145° 58´ 52,6´´
292,988 м
213,573 м
259,034 м
220,515 м
Порядок выполнения
Пусть измерено пять углов поворота β1, β2, β3, β4, β5 и четыре стороны s1, s2,
s3, s4 (рис. 2). Необходимо определить координаты трех пунктов: ПП1, ПП2 и
ПП3. Координаты опорных пунктов П1, П2, П3 и П4, исходные дирекционные
углы, измеренные углы поворота и длины сторон приведены в табл. 2.
Исходные уравнения связи в полигонометрическом ходе имеют следующий
вид для уравненных значений искомых и измеренных величин:
si  (Xi 1  Xi )2  (Yi 1  Yi )2
для длины стороны и
i   i   i 1  180
для угла поворота при

arctg


 i  arctg


arctg

Yi 1  Yi
X i 1  X i
, X i 1  X i  0, Yi 1  Y  0
Yi 1  Yi
 180
X i 1  X i
, X i 1  X i  0
Yi 1  Yi
 360
X i 1  X i
, X i 1  X i  0, Yi 1  Y  0
В нашем же случае

 y1  1  1   нач  180

 y2   2   2  1  180

 y3   3   3   2  180
 y        180
4
4
3
 4
 y5   5   кон   4  180

2
2
 y6  s1  (X ПП 1  X П 2 )  (YПП 1  YП 2 )

2
2
 y7  s2  (X ПП 2  X ПП 1 )  (YПП 2  YПП1 )

2
2
 y8  s3  (X ПП 3  X ПП 2 )  (YПП 3  YПП 2 )

2
2
 y9  s4  (X П 3  X ПП 3 )  (YП 3  YПП 3 )
Формулы для вычисления коэффициентов aij параметрических уравнений
поправок при этом удобнее свести в таблицу 4.
Таблица 4 - Формулы для вычисления коэффициентов aij параметрических уравнений поправок
(уi xi )0

1
 2
 3
YПП 1
X ПП1
(
sin 1(0)
s1(0)
sin 1(0) sin  2(0)
 (0) )
s1(0)
s2
sin  2(0)

s2(0)

 (
X ПП 2
YПП 2
X ПП 3
YПП 3
0
0
0
0
0
0
cos 1(0)
s1(0)
cos 1(0) cos  2(0)

)
s1(0)
s2(0)
cos  (0)
 (0)2
s2

(
sin  2(0)
s2(0)
sin  2(0) sin  3(0)
 (0) )
s2(0)
s3

 (
sin 
s
(0)
3
(0)
3
cos  2(0)
s2(0)
cos  2(0) cos  3(0)

)
s2(0)
s3(0)
cos 
s3(0)
(0)
3
 4
0
0
 5
0
0
0
0
s1
cos 1
sin 1
0
0
s2
 cos  2
 sin  2
cos  2
sin  2


 cos 3
 sin  3
0
s4
0
0
0
0
Приближённые координаты определяемых пунктов найдём по формулам
s3
0
(0)
X i(0)  X i(0)
1  X i
Yi (0)  Yi (0)1  Yi (0)
X i(0)  si cos  i(0)
Yi (0)  si sin  i(0)
 i(0)   i(0)
1   i  180

sin  3(0)
s3(0)
sin  3(0) sin  4(0)
 ( (0)  (0) )
s3
s4

sin  4(0)
s4(0)

cos  3(0)
s3(0)
cos  3(0) cos  4(0)
  ( (0) 
)
s3
s4(0)

cos  4(0)
s4(0)
0
0
0
0
cos  3
sin  3
 cos  4
 sin  4
Для этого заполним таблицу 5.
Значения начального и конечного дирекционных углов рассчитаем через
координаты опорных пунктов П1 и П2, П3 и П4 путем решения обратной
геодезической задачи:
Для αнач:
Опорная точка
П1
П2
Х (м)
5071,893
4646,429
У (м)
5905,768
4993,494
Определяем приращения координат:
ΔX = XП2 - XП1 = 4646,429-5071,893 = -425,464 метров;
ΔY = Y П2 - Y П1 = 4993,494-5905,768 = -912,274 метров.
Определяем румб линии:
r= arctg |ΔY/ΔX| = arctg |-912,274/-425,464| = arctg |2,144186| = 64°59′48,1″→3
четверть (ЮЗ).
Вычисляем дирекционный угол. Для
определяется по формуле α = r +180°, тогда:
3
четверти
дирекционный
угол
αнач= 64°59′48,2″+180° = 244°59′48,2″
Для αкон:
Опорная точка
П3
П4
Х (м)
4683,301
6367,527
У (м)
5601,715
5850,175
Определяем приращения координат:
ΔX = X П4 - X П3 = 6367,527-4683,301 = 1684,226 метров;
ΔY = Y П4 - Y П3 = 5850,175-5601,715 = 248,460 метров.
Определяем румб линии:
r = arctg |ΔY/ΔX| = arctg |248,460/1684,226| = arctg |0,147522| = 8°23′30,6″→1
четверть (СВ).
Вычисляем дирекционный угол.
определяется по формуле α = r, тогда:
Для
1
четверти
αкон= 8°23′30,6″
дирекционный
угол
Таблица 5- Вычисление приближённых значений координат определяемых пунктов
βi
si (м)
αi(0)
cos αi(0)
sin αi(0)
∆Xi(0) (м)
∆Yi(0) (м)
Xi(0) (м)
Yi(0) (м)
244°59′48,2″
П2
107°00´53,1´´
292,988
ПП1
+0.138975
-290.14
88°20´11,2´´
+0.029030
+0.999579
+6.20
52°25´39,4´´
169°58´50,8´´
220,515
42°24´30,2´´
+0.609763
+0.792584
+157.95
4993,494
4356.284
5034.212
4362.484
5247.695
4520.434
5453.001
+40.72
+213.48
144°05´28,2´´
259,034
ПП3
-0.990296
96°19´29,9´´
213,573
ПП2
172°00´41,3´´
4646,429
+205.31
Так как при вычислении приближённых координат определяемых пунктов
были использованы результаты измерений первых трех углов поворота и первых
трех длин сторон, то для этих величин (а также для соответствующих им
дирекционных углов) значения, вычисленные по приближённым значениям
координат определяемых пунктов, совпадут с измеренными. Для приближённых
значений дирекционного угла α4(0) и длины стороны s4(0) можно записать
следующее:

arctg


 i  arctg


arctg

(0)
YП 3  YПП
3
(0)
X П 3  X ПП
3
(0)
(0)
, X П 3  X ПП
3  0, YП 3  YПП 3  0
(0)
YП 3  YПП
3
 180
(0)
X П 3  X ПП 3
(0)
, X П 3  X ПП
3 0
(0)
YП 3  YПП
3
360
(0)
X П 3  X ПП 3
(0)
(0)
, X П 3  X ПП
3  0, YП 3  YПП 3  0
и
s4(0) 
(0)
(0)
X П 3  X ПП
YП 3  YПП
3
3

cos  3(0)
sin  3(0)
Тогда:
5601, 715  5453, 001
 4223'57, 2''
4683,301  4520, 434
4683,301  4520, 434 5601, 715  5453, 001


 220,548 м
cos 4223'57, 2''
sin 4223'57, 2''
 4(0)  arctg
s4(0)
Свободные члены параметрических уравнений поправок будут определяться
как
li  si(0)  si
для длин сторон и для углов поворота li  i(0)  i
где в общем случае
i(0)   i(0)   i(0)
1  180
Тогда матрица A коэффициентов и вектор
параметрических уравнений поправок будут равны
L
свободных
членов
0
0
0
0
 97.8390 697.1732


28.0371
0
0
 1063.2141 669.1361 965.3751
 965.3751
28.0371 1596.4979 513.5827 631.1228
485.5456 


0
0 631.1228 485.5456 1261.7465 1176.1854 

A
0
0
0
0 630.6237
690.6397 


0.13897
0
0
0
0
 0.99030
 0.02903 0.99958
0.02903
0.99958
0
0


0
0 0.60976 0.79258
0.60976
0.79258 


0
0
0
0 0.73846
0.67429 

 0, 0 


 0, 0 
 0, 0 


 33, 0 '' 
L   40,8 '' 


 0, 0 см 


 0, 0 см 
 0, 0 см 


 3, 3 см 
Следует отметить, что здесь и далее элементы первых строк матриц
рассматриваются для угловых величин, а последних — для линейных. В
предположении, что все длины сторон измерены равноточно, а все углы поворота
измерены равноточно и независимо между собой, назначим веса измерений,
приняв за единицу веса результат измерения одной стороны и полагая, что
соотношение средних квадратических ошибок mβ угловых и ms линейных
измерений известно достаточно надёжно и
mβ = 2´´
ms = 2 см
Тогда веса назначаются согласно формуле
pi 
2
mi2
и при
  ms
p i 
ms2 4 см 2
см 2


1
m2
42
''2
а весовая матрица PY окажется единичной. Тогда везде далее умножение на
PY можно будет опустить. Однако не все элементы этой матрицы, стоящие на
главной диагонали, будут являться безразмерными величинами, что следует
учитывать при всех последующих вычислениях:
 см 2
0
0
0
0 0 0 0
1 2
''


см 2
0
1
0
0
0 0 0 0

2
''

см 2

0
0
1
0
0 0 0 0

''2

см 2

0
0
0 1 2
0 0 0 0
PY  
''

см 2

0
0
0
0 1 2
0 0 0

''

0
0
0
0
0 1 0 0


0
0
0
0
0 0 1 0

0
0
0
0
0 0 0 1


0
0
0
0
0 0 0 0


0


0


0

0 

0


0
0

0
1
Далее вычисляем матрицу R коэффициентов и вектор Λ свободных членов
нормальных уравнений поправок
 208.1761 75.1493

 75.1493 94.4764
 256.763 60.1496
R
0.563
 52.5319
 60.927 1.7695

1.3613
 46.8734
256.763
52.5319
60.1496
0.563
388.2797 114.832
114.832
51.6581
180.762
93.1936
151.2657
82.6741
60.927 46.8734 
 0, 00 м 



1.7695
1.3613 
 0, 00 м 
 2, 08 м 
180.7621 151.2657 
,  

93.1936 82.6741
 1, 60 м 
 6, 76 м 
239.7178 221.621



221.6208 210.6978 
 6, 68 м 
Теперь рассчитаем вектор ΔX поправок к приближённым значениям искомых
величин согласно
 4, 2 cм 


 0,8 cм 
 4, 0 cм 
Х  

 2,8 cм 
 4,1cм 


 1,9 cм 
Вычислим уравненные координаты определяемых пунктов
Х ПП1  4356, 284  0, 042 м  4356,326 м
У ПП1  5034, 212  0, 008 м  5034, 204 м
Х ПП 2  4362, 484  0, 040 м  4362,524 м
У ПП 2  5247, 695  0, 028 м  5247, 667 м
Х ПП 3  4520, 434  0, 041 м  4520, 475 м
У ПП 3  5453, 001  0, 019 м  5452,982 м
Теперь можно рассчитать вектор V поправок к измеренным углам поворота и
длинам сторон
 1, 2'' 


 0,9'' 
 1, 4'' 


 1,9'' 
V   2, 4'' 


 4,3 cм 
 2, 0 cм 


 0,8 cм 
 1, 6 cм 


Получим теперь уравненные углы поворота и длины сторон
1  10700 '53,1'' 1, 2 ''  10700 '54,3''
 2  9619 ' 29,9 '' 0,9 ''  9619 '30,8''
3  14405' 28, 2 '' 1, 4 ''  14405' 29, 6 ''
 4  16958'50,8'' 1,9 ''  16958'52, 7 ''
5  14558'52, 6 '' 2, 4 ''  14558'55, 0 ''
s1  292,988  0, 043 м  292,945 м
s2  213,573  0, 020 м  213,553 м
s3  259, 034  0, 008 м  259, 042 м
s4  220,515  0, 016 м  220,531м
Выполним контроль вычислений, подставив уравненные значения в
исходные уравнения связи. При этом уравненные значения дирекционных углов αi
окажутся равны:
1  arctg
YПП1  YП 2
5034, 204  4993, 494
 arctg
 180  17200 ' 42,5''
X ПП1  X П 2
4356,326  4646, 429
 2  arctg
YПП 2  YПП 1
5247, 667  5034, 204
 arctg
 8820 '13,3''
X ПП 2  X ПП 1
4362,524  4356,326
 3  arctg
YПП 3  YПП 2
5452,982  5247, 667
 arctg
 5225' 42,9 ''
X ПП 3  X ПП 2
4520, 475  4362,524
 4  arctg
YП 3  YПП 3
5601, 715  5452,982
 arctg
 4224 '35, 6 ''
X П 3  X ПП 3
4683,301  4520, 475
Тогда
1   нач  180  17200 ' 42,5'' 24459 ' 48, 2 '' 180  10700 '54,3''  1
 2  1  180  8820 '13,3'' 17200 ' 42,5'' 180  9619 '30,8''   2
 3   2  180  5225' 42,9 '' 8820 '13,3'' 180  14405' 29, 6 ''  3
 4   3  180  4224 '35, 6 '' 5225' 42,9 '' 180  16958'52, 7 ''   4
 кон   4  180  823'30, 6 '' 4224 '35, 6 '' 180  14558'55, 0 ''   5
( X ПП1  X П 2 ) 2  (YПП1  YП 2 ) 2  (4356,326  4646, 429) 2  (5034, 204  4993, 494) 2  292,945 м  s1
( X ПП 2  X ПП1 ) 2  (YПП 2  YПП1 ) 2  (4362,524  4356,326) 2  (5247, 667  5034, 204) 2  213,553 м  s2
( X ПП 3  X ПП 2 ) 2  (YПП 3  YПП 2 ) 2  (4520, 475  4362,524)2  (5452,982  5247, 667) 2  259, 042 м  s3
( X П 3  X ПП 3 ) 2  (YП 3  YПП 3 ) 2  (4683,301  4520, 475) 2  (5601, 715  5452,982) 2  220,531м  s4
Как видно, контроль выполняется — следовательно, ошибок при вычислениях
допущено не было.
Теперь вычислим квадратичную форму Ф по основной и контрольной
формулам:
Ф = VTPV
Фконтр. = ΛT∆X+LTPL
Ф = VTPV = 4,0×10-3 м2
Фконтр. = ΛT∆X+LTPL = 4,0×10-3 м2
Полученные значения также совпали, то есть выполняется ещё один из
возможных контролей вычислений.
Средняя квадратическая ошибка линейных измерений, в нашем случае
рассматриваемая также как средняя квадратическая ошибка единицы веса, будет
вычисляться по формуле Бесселя и окажется равна
4, 0 103
  ms 
 3, 6см
96
Тогда средняя квадратическая ошибка угловых измерений –
mβ = 3,6´´
Оценим теперь точность уравненных координат определяемых пунктов.
Их обратная весовая матрица окажется равна
 0.3053

 0.0498
 0.2987
QX  
 0.2556
 0.1982

 0.1626
0.0498
0.2987
0.2556
0.1982
0.3242 0.0402 0.0197 0.0244
0.0402
0.0197
0.3053
0.2842
0.2842
0.3782
0.205
0.124
0.0244
0.205
0.124
0.3561
0.0157
0.1746
0.1318
0.3204
0.1626 

0.0157 
0.1746 

0.1318 
0.3204 

0.3043 
а их средние квадратические ошибки
m
X ПП 1
m
Y ПП 1
m
X ПП 2
m
Y ПП 2
m
m
X ПП 3
Y ПП 3
 3, 6 0,3053  2, 0 ''
 3, 6 0,3242  2, 0 ''
 3, 6 0,3053  2, 0 ''
 3, 6 0,3782  2, 2 ''
 3, 6 0,3561  2,1''
 3, 6 0,3043  2, 0 ''
Чтобы оценить точность уравненных углов поворота и длин сторон,
вычислим их обратную весовую матрицу. При этом в качестве функций от
уравненных значений искомых величин будут рассматриваться исходные
уравнения связи. Тогда, элементы матрицы F будут определяться так же, как и
коэффициенты параметрических уравнений поправок согласно формулам,
представленным в таблице 5, в которые, однако, вместо приближённых значений
координат определяемых пунктов будут подставлены их уравненные значения.
Таким образом
0
0
0
0
 97.8493 697.2761


28.0299
0
0
 1063.3151 669.2462 965.4658
 965.4658
28.0299 1596.5773 513.5498 631.1115
485.5199 


0
0 631.1115 485.5199 1261.9129 1176.0962 

F 
0
0
0
0 630.8014
690.5763 


0.13897
0
0
0
0
 0.99030
 0.02902 0.99958
0.02902
0.99958
0
0


0
0 0.60975 0.79259
0.60975
0.79259 


0
0
0
0 0.73834
0.67443 

а
 0.79

 0.21
 0.20

 0.19
QY   0.19

 0.06
 0.01

 0.04
 0.05

0.21 0.20 0.19 0.19 0.06
0.01
0.78 0.21 0.19 0.18 0.10 0.07
0.04
0.00
0.21 0.80 0.20 0.19 0.03 0.04 0.02
0.19 0.20 0.79 0.21 0.06
0.02 0.01
0.18 0.19 0.21 0.77
0.13
0.08 0.01
0.10 0.03
0.07 0.04
0.00 0.02
0.02
0.06
0.13
0.31 0.31
0.14
0.02
0.08 0.31 0.44 0.31
0.01 0.01 0.14 0.31 0.65
0.01 0.03 0.03
0.26
0.21 0.34
0.05 

0.02 
0.01 

0.03 
0.03 

0.26 
0.21 

0.34 
0.65 
и средние квадратические ошибки уравненных углов поворота и длин сторон
будут равны:
m 1  3, 6 0, 79  3, 2 ''
m2  3, 6 0, 78  3, 2 ''
m3  3, 6 0,80  3, 2 ''
m4  3, 6 0, 79  3, 2 ''
m5  3, 6 0, 77  3, 2 ''
ms1  3, 6 0,31  2, 0см
ms2  3, 6 0, 44  2, 4см
ms3  3, 6 0, 65  2,9см
ms4  3, 6 0, 65  2,9см