Введение
Тему «Многочлены» можно считать одной из важных при изучении
математики. Долгий период, ещё, когда учились по учебнику А. П. Киселева,
раздел по изучению теории многочленов
входил в программу обучения в
старших классах. Затем, в 60-70-х годах, во времена школьной реформы данную
тему убрали совсем из школьного курса математики, так как были включены в
изучение основы математического анализа.
В настоящее время школьники начинаю знакомство с многочленами на
уроках алгебры в 7-8-х классах и продолжают встречаться с ними на протяжении
всего курса алгебры. Так же тема «Многочлены» встречается в заданиях ЕГЭ по
математике как базового, так и профильного уровня.
Школьники, чей уровень знаний по теме «Многочлены» низкий, могут
испытывать определенные трудности при выполнении заданий Основного
Государственного Экзамена (ОГЭ) и Единого Государственного Экзамена
(ЕГЭ), а также при продолжении обучения в средних и многих высших учебных
заведениях
В сущности, изучение теории многочленов является неотъемлемой частью
полноценного, нормального математического образования выпускника средней
школы и имеет высокую дидактическую ценность. Более того, изучение данной
темы
имеет
не
малую
значимость
и
в
гуманитарных
аспектах
–
общеобразовательном и общекультурном.
Тема «Многочлены» создает в рамках школьного курса гармоничную и в
определенном смысле вполне законченную (в рамках элементарной математики)
линейку целых алгебраических уравнений, которая не только необходима для
математики и ее приложений, но и сама по себе может быть почти совершенной
иллюстрацией исторического процесса развития математики.
Общепризнанным доказательством теоремы о многочленах являются
работы Карла Фридриха Гаусса. В 1799 г. Карл Фридрих Гаусс привел несколько
доказательств основной теоремы алгебры: «Число комплексных корней
2
многочлена равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный
корень считается столько же раз, сколько и его степень)».
Гаусс не является первооткрывателем основной теоремы алгебры. Первым
предложил свою трактовку Альбер де Жирар в 1629 г., но, к сожалению, дальше
сформулированного утверждения дело не дошло. На протяжении XVIII века
такие известные математики, как: Лагранж, Даламбер, Эйлер и Фонсене всячески
пытались создать доказательство к теореме о многочленах, но, к огорчению
последних, их трактовки не признавались убедительными. В развитие теории
многочленов внесли свой вклад и другие ученые, такие как Огюстен Луи Коши,
Эдмон Лагерр, Франсуа Эдуард Анатоль Люк и многие другие.
Роль многочленов резко изменилась в ХХ веке, всвязи с расширением
практического применения математики для решения задач естествознания и
механики. Начиная с XX века, многочлены стали использоваться для новых
целей. Нужно было быстро и эффективно передавать информацию. Многочлены
содержат в себе символьные исчисления, которые стали использовать как способ
передачи
данных.
Сообщение
должно
было
содержать
в
себе
последовательность символов, которое потом передали по каналу связи. Однако,
при передаче информации могли возникнуть ошибки. Поэтому была предложена
идея кодирования сообщения, которую успешно используют и в настоящее
время.
Актуальность исследования. С изучением темы «Многочлены», по
нашему мнению, связан целый ряд преобразований в математике таких, как
введение в рассмотрение нуля, отрицательных и комплексных чисел, появление
теории групп как раздела математики и выделение классов специальных
функций в анализе.
В программу обучения математики включены формулы Виета для
уравнений второй степени от одной переменной, рассматриваются решения
уравнений и систем уравнений, которые содержат многочлены. Следует
отметить, что задания подобного вида включены в ЕГЭ и централизованное
3
тестирование, примером являются задачи, где учащиеся должны составить
уравнения по их корням.
Проблема исследования состоит в том, что ученикам, по нашему мнению,
сложно понять изучаемый материал, так как тема включает большое количество
понятий и формул, что отрицательно сказывается на усвояемости материала и на
результатах ЕГЭ.
Объект исследования: процесс обучения решению многочленов в
средней школе.
Предмет исследования: методика изучения темы «Многочлены» на
уроках математики старшей школы.
Гипотеза
исследования
заключается
в
том,
что
разработанный
элективный курс повысит уровень знаний обучающихся по теме многочлены и
будет
способствовать
успешной
подготовке
учащихся
к
единому
государственному экзамену по математике.
Цель исследования: выявить особенности методики обучения учащихся
темы «Многочлены» в курсе алгебры средней школы, разработать и внедрить в
процесс обучения элективный курс по теме исследования.
Задачи исследования:
1.
Изучить теоретические и методические основы изучения темы
«Многочлены».
Для достижения поставленных ними задач были использованы следующие
методы исследования: анализ методической литературы; анализ школьных
программ и учебников; изучение работы опытных учителей математики.
4
Глава 1. Теоретические и методические основы изучения темы
«Многочлены»
1.1
Теоретические аспекты изучения темы «Многочлены»
Понятие многочлена. Степень многочлена.
Многочленом от переменной x называется выражение вида anxn+an-1xn-1+...
+a1x+a0,где n - натуральное число; аn, an-1,..., a1, a0 - любые числа, которые
называют коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0
являются членами многочлена, а0 - свободным членом [24].
В нашей работе часто употребляем следующие обозначения: an коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т.д. Приведём примеры
3
многочленов: 0х4+2х3+(-3)х3+ х+ √2; 0х2+0х+3; 0х2+0х+0. Здесь для первого
7
многочлена коэффициентами будут являться числа 0, 2, - 3, 3/7,√2; при этом,
например, число 2 называют, в данном случае, коэффициентом при х3, а √2 будет
свободным членом.
Нулевым
многочленом
считается
многочлен,
у
которого
все
коэффициенты равны нулю. Например, выражение 0х2+0х+0 мы называем
нулевым многочленом. Из данной записи видно, что многочлен состоит из
нескольких членов. Отсюда и появился сам термин ‹‹многочлен››. Так же
многочлен еще называют полиномом. Происхождение этого термина произошло
от греческих слов πολι - много и νομχ - член. Далее в нашей работе мы будем
использовать термин полином.
Обозначим полином от одной переменной х следующем образом: f (x), g
(x), h (x) и т.д. например, если первый полином из ранее указанных мы обозначим
𝟑
как f (x), то получим запись: f(x) =0x4+2x3+ (-3) x2+ x+√2.
𝟕
Для того чтобы полином было проще и компактнее записывать,
обусловились о ряде договоренностей. Члены не нулевого полинома,
5
коэффициенты которых равны нулю, не записывают. Например, вместо f(x)
=0x3+3x2+0x+5 пишут: f(x)=3x2+5; вместо g(x)=0x2+0x+3 - g(x)=3. Поэтому,
каждое число - это полином. Если все коэффициенты полинома h(x) равны нулю,
т.е. h (x) - нулевой полином, то его мы будем записывать следующим образом:
h(x) =0. Коэффициенты полинома, которые не являются свободным членом и
равны одному, так же не записывают, поэтому, полином f(x) =1x3+3x2+7x+4 мы
можем записать таким образом: f(x) =x3+3x2+7x+4[31].
Если перед коэффициентом стоит знак ‹‹-››, то он относят к члену,
содержащему этот коэффициент, т.е., например, полином f(x)=5x3+(-4)x2+2x+(3) записывают в виде f(x) =5x3-4x2+2x-3. При этом, если коэффициент, не
являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед
соответствующим членом, а единицу не пишут. К примеру, если полином имеет
вид f(x)=x3+(-1)x2+3x+(-1), то его можно записать так: f(x) =x3-x2+3x-1.
Возникает вопрос: зачем, например, договариваться о замене 1х на x в
записи многочлена, если уже известно, что 1×х=х для всякого числа x? Ответ
таков, что последнее равенство имеет место быть, если x - число. В нашем же
случае x - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не
имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х, ибо,
повторяем х - это не число [22].
Исходя из этого, стали необходимы данные договоренности в записи
полинома. Далее, говоря без всяких оснований о том, что 2 и х –это
произведение, мы допускаем некоторую нестрогость.
В связи с данными договоренностями в записи полинома следует обращать
внимание на такую деталь. Если имеется, например, полином f(x) =2х3-х2-3х+4,
то его коэффициенты - это числа 2, - 1, - 3,4. Конечно, можно было бы сказать,
что коэффициентами являются числа 0, 2, - 1, - 3, , имея в виду такое
представление этого полинома: f(x)=0x4+2x3-x2-3x+4.
Далее для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с
отличного от нуля, в том порядке, в котором они следуют в записи полинома.
Так, коэффициентами полинома f(x) =2x5-x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело
6
в том, что хотя, например, член с х2 в записи отсутствует, так как его
коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку
он равен нулю.
Пусть дан полином f(x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an≠0, то число n будет
называться степенью полинома f(x) (или говорят: f(x) - n-й степени) и
записывают так deg. f(x)=n. В данном случае an называют старшим
коэффициентом, а anxn - старшим членом этого полинома. К примеру, если
f(x)=5x4-2x+3, то deg f(x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5х4.
Рассмотрим теперь многочлен f(x)=a, где а - число, отличное от нуля.
Попробуем разобраться, чему равна степень этого полинома? Легко заметить,
что коэффициенты полинома f(x)=anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 пронумерованы
справа налево числами 0, 1, 2, …, n-1, n и если an≠0, то deg f(x) =n. Значит,
степень полинома - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных
от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось выше). Вернемся
вновь к поленому f (x) =a, a≠0, и справа на лево пронумеруем его коэффициенты
числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все другие
коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров
коэффициентов этого полинома, отличных от нуля. Значит f(x) =0.
Получается, что полиномы нулевой степени - это числа, отличные от нуля.
Выясним, как обстоит дело со степенью нулевого полинома. Как известно, все
коэффициенты полинома равны нулю, и поэтому приведенное выше
определение к нему не может быть применено. Поэтому было решено не
присваивать нулевому полиному никакой степени, т. е. что он не имеет степени.
Эта условность обусловлена определенными обстоятельствами, которые мы
рассмотрим позже.
Таким образом, нулевой полином степени не имеет; полином f(x)=b, где b
- число, не равное нулю, имеет степень 0; степень же всякого другого полинома
равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при
которой равен нулю [16].
7
В заключение следует вспомнить ещё некоторые понятия. Квадратным
трехчленом называется полином второй степени f(x)=ax2+bx+c. Полином первой
степени вида g(x)=x+c называется линейным двучленом.
Равенство полиномов. Значение полиномов.
Два полинома f(x) и p(x) являются равными, если равны их коэффициенты
при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (или, можно сказать
так, равны их соответствующие коэффициенты). Это записывают следующим
образом: f (x) =p (x).
Например, полиномы f (x) =x3+2x2-3x+1 и g(x)=2x2-3x+1 не равны, так как
у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно
принятым условностям мы можем записать: p(x)=0x3+2x2-3x+1. В этом случае
пишут: f(x) ≠p(x). Не равны и полиномы h(x)=2x2-3x+5, s(x)=2x2+3x+5, так как у
них коэффициенты при х различны. А вот полиномы f1(x)=2x5+3x3+bx+3 и
p1(x)=2x5+ax3-2x+3 равны тогда и только тогда, когда а=3, а b=-2.
Пусть даны полиномы f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и некоторое число d.
Число f (d) =andn+an-1dn-1+... +a1d+a0 называется значением полинома f(x) при
х=d [6]. Итак, для нахождения f(d), в полином нужно x заменить на d и выполнить
нужные вычисления. К примеру, если f(x)=2x3+3x2-x+5, то f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2(-2) +5=3.
Рассмотрим полином f(x)=a и найдём f(2). Для этого в полиноме заменим
x числом 2 и выполним нужные вычисления. Заметим, что в данном примере
f(x)=a и переменной х в явном виде нет. Мы знаем, что рассматриваемый
полином можно записать в виде f(x)=0x+a. Теперь все в порядке, можно
подставить значение х=2: f(2) =0×2+a=a. Обратим внимание, что для этого
полинома f(d)=a при любом d. В частности, нулевой полином при любом c
принимает значение, равное нулю.
Таким образом, при разных значениях переменной х полином может
принимать различные значения. Нас же довольно часто будут интересовать те
значения х, при которых полином принимает значение 0. Число d называется
корнем полинома f(x), если f(d) =0.
8
Например, если f(x)=x2-3x+2, то числа 1 и 2 являются корнями этого
полинома, ибо f(1)=0 и f(2)=0. А вот полином f(x)=5 корней вообще не имеет. В
самом деле, при любом значении х он принимает значение 5, а значит, никогда
не принимает значение 0. Для нулевого же полинома, как легко заметить, каждое
число является корнем.
Поиск корней полиномов - это одна из самых важных задач алгебры.
Находить корни линейных двучленов и квадратных трехчленов учат в школе. А
вот находить значение полиномов, более высоких степеней, для школьников
задача более трудна и не всегда разрешима. В дальнейшем мы неоднократно
будем ею заниматься. А сейчас следует заметить, что найти корни полинома f (x)
=anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и решить уравнение anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0 - это
эквивалентные задания. Значит, если ученики научатся находить корни
полинома, то они смогут решать соответствующие уравнения, и наоборот.
Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: «полином
f(x) равен нулю (или, что то же самое, полином f(x) - нулевой)» и «значение
полинома f(x) при х=с равно нулю». К примеру, полином f(x)=x2-1 не равен нулю,
так как он имеет ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю.
Запишем это символами: f(x)≠0, а f(1)=0 [31].
Существует тесная связь между понятиями равенства полиномов и
значением полинома. Пусть даны два равных полинома f(x) и g(x), значит, их
соответственные коэффициенты равны, следовательно, f (c) = g (c) для каждого
числа с. Другими словами, если f (c) = g (c) для каждого числа c, то равны ли
полиномы f (x) и g (x)? Ответим на поставленный вопрос в частном случае, когда
f (x) = px2 +qx+r, а g (x) = kx+m. Зная, что f (c) = g (c) для каждого числа с, значит,
в частности, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (-1).
Рассчитав значения рассматриваемых полиномов, входящих в эти
равенства, получим следующую систему:
𝑟=𝑚
{𝑝 + 𝑞 = 𝑟 = 𝑘 + 𝑚
𝑝−𝑞+𝑟 =𝑘+𝑚
9
Из данной системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f (x) = g (x).
Итак, можно сделать вывод, что для рассмотренного выше примера ответ
на поставленный вопрос является положительным. А также, это верно и в общем
случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и положениями
полиномиальной теории.
Операции над полиномами.
К полиномам можно применять обычные правила раскрытия скобок и
приведение подобных членов (их можно вычитать, складывать и умножать).
После проведения данных операций в результате снова получится полином.
Приведенные операции имеют всем известные следующие свойства:
f (x) +p (x) =p (x) +f (x),
f (x) + (p (x) +m (x)) = (f (x) +p (x)) +m (x),
f (x) p (x) =p (x) f (x),
f (x) (p (x) m (x)) = (f (x) p (x)) m (x),
f (x) (p (x) +m (x)) =f (x) p (x) +f (x) m (x).
Рассмотрим ещё некоторые важные свойства операций над полиномами.
Предположим, что даны два полинома f(x)=anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an≠0, и p (x)
=bmxm+bm-1xm-1+... +b1x+bm≠0. Ясно, что deg f(x)=n, а deg p(x)=m. Заметим, что,
перемножив данные полиномы, мы получим полином следующего вида f (x) p
(x) =anbmxm+n+... +a0b0. Так как an≠0 и bn≠0, то anbm≠0, а значит, deg (f (x) p (x))
=m+n. Из этого следует очень важное утверждение о том, что степень
произведения двух ненулевых полиномов равна сумме степеней сомножителей,
запишем короче, deg. (f(x) p(x)) =deg f (x) +deg p (x). Несложно доказать, что
подобное утверждение будет справедливо для всякого конечного числа
ненулевых сомножителей, т.е. что deg (f1 (x) f2 (x)... fs (x)) = deg f1 (x) +deg f2 (x)
+... +deg fs (x) [23].
Из приведенных выше рассуждений о степени произведения двух
полиномов
следуют
два
полезных
утверждения,
распространяются на любое конечное число сомножителе.
которые
легко
10
Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых полиномов
равен
произведению
старших
членов
(коэффициентов)
сомножителей.
Свободный член произведения двух полиномов равен произведению свободных
членов сомножителей. Степени полиномов f (x), g (x) и f (x) ± g (x) связаны
следующим соотношением: deg (f (x) ±g (x)) ≤ max {deg f (x), ст. g (x)}.
Напомним, что полином – это выражение вид anxn+an-1xn-1+ … + +a1x+a0.
Будут ли выражения: 2x2+4+3x3; (x2-1) (2x+5); (x2+1) (x-3) + 2x являться
полиномами?
Попробуем разобраться в данном вопросе.
Первое выражение можно рассматривать как сумму полиномов f1 (x) =2x2,
f2 (x) +4, f3 (x) +3x3. Но, как известно, сумма полиномов также является
полиномом. Следовательно, первое выражение можно назвать неудачно
записанным полиномом. Зная, что при сложении полиномов слагаемые можно
переставлять местами, получим 2x2+4+3x3 = f1 (x) +f2 (x) + f3 (x) =f3 (x) +f1 (x) +f2
(x) =3x3+2x2+4.
Аналогично второе выражение - это произведение полиномов g1 (x) =x2-1
и g2 (x) =2x+5, следовательно, тоже многочлен. Несложно доказать, что и третье
выражение будет являться полиномом.
Есть еще одна операция над полиномами – суперпозиция. Рассмотрим и
познакомимся с новой операцией над полиномами.
Суперпозицией полиномов f(x) и g(x) называется полином, обозначаемый
f (g(x)), который получается, если в полиноме f (x) вместо x подставить полином
g(x).
Например, если f(x) =x2+2x-1 и g(x)=2x+3, то f (g (x)) =f (2x + 3) = (2x+ 3)
2+2 (2x+3) - 1=4x2+16x+14, g (f(x))=g(x2+2x-1)=2 (x2+2x-1) +3=2x2+4x+1.
Видим, что f (g (x)) ≠g (f (x)), т.е. суперпозиция полиномов f (x), g (x) и
суперпозиция полиномов g (x), f (x) отличаются. Доказано, что свойством
переместительности операция суперпозиции не наделена.
11
1.2 Методические аспекты изучения темы «Многочлены»
Свойства делимости многочленов.
В процессе изучения темы «Свойств делимости многочленов» следует
выяснить, какой уровень знаний имеют обучающиеся, а также необходимо
вспомнить теорему о делимости многочленов, акцентируя внимание на
понимании учащимися смысла формулировки данной теоремы. Для этого
учитель может предложить следующие примеры.
Чтобы закрепить изученную ранее теорему следует
рассмотреть с
учениками конкретный пример, вызвав кого-то из учащихся к доске для
решения, применяя материал, который повторили. Остальные ученики решают
данный пример самостоятельно, сравнивая решение в тетради с решением
учащегося у доски. Учитель контролирует ход работы, направляя учеников к
правильному решению [27].
Пример. Мы знаем, что многочлен 2x4-x3+2x2+1 делится на многочлен x2x+1. Найти частное от деления
Ученик, работающий у доски, комментирует своё решение. Остальные
учащиеся сверяют решение в тетрадях с решение на доске. Это нужно, чтобы ещё
раз закрепить материал по теме.
Решение. Частным от деления многочлена четвёртой степени на
многочлен второй степени является многочлен второй степени. Для нахождения
многочлена, который будет являться частным от деления многочлена четвёртой
степени на многочлен второй степени, следует ввести замену. Мы предполагаем,
что многочлен, который нам нужно найти, есть ax2+b·x+c. Значит тождественное
равенство
2x4-x3+2x2+1=(x2-x+1)·(ax2+bx+c)=ax4+(b-a)·x3+(a+c-b)·x2+(b-c)·x+c
будет справедливым.
Далее нужно рассмотреть многочлен 2x4-x3+2x2+1, который равен
многочлену ax4+(b-a) x3+(a+c-b)x2+(b-c)x+c. Заметим, что у них степени x
одинаковые, а коэффициенты при них разные. Чтобы найти неизвестные
коэффициенты, нужно приравнять их при одинаковых степенях x и решить
12
систему:
a 2
b - a 1
a c - b 2
b - c 0
c 1
, откуда a=2, b=1, c=1.
Теперь нужно вернуться к замене ax2+b·x+c, где a=2, b=1, c=1 из
полученной системы. Итак, можно сделать вывод о том, что частное от деления
многочлена 2x4-x3+2x2+1 на многочлен x2-x+1 будет многочлен 2x2+x+1 [26].
Методы разложения многочлена на множители.
Так как у обучающихся уже достаточно знаний для решения подобных
примеров, то для повторения этой темы ученикам предлагается урок закрепления
умений и навыков. Необходимо предложить учащимся примеры разной степени
сложности. По очереди вызывать учеников к доске с комментированием своего
решения. Также учитель должен проводить работу на местах, кто «ушёл» вперед
остальных, получает дополнительные задания и решает их [28].
Пример. Разложить на множители многочлен:
а) x2-5·x +6;
б) -x2-7·x –12.
Решение.
а) Вычислив корни уравнения x2-5x+6, мы получим числа 2 и 3.
Произведение данных корней равно свободному члену q=6, а сумма полученных
корней равна - 5, следовательно, они являются корнями многочлена x2-5x+6, и,
значит, x2-5x +6 можно разложить на множители(x-2)(x-3);
б) Из уравнения -x2-7x-12=0, решив его, получим числа –3 и –4, они
−12
таковы, что (-3)·(-4)=
−1
и (-3)+(-4)=-
−7
, то они являются корнями квадратного
−1
трёхчлена –x2-7x-12, и, значит, -12-7x-x2 можно преобразовать таким способом:
(-1)·(x+3)·(x+4).
Пример. Разложить на множители:
1) P3 (x)= x3+4x2+5x+2;
13
2) P4 (x)= 2x4-3x3-7x2+6x+8.
Решение.
1) Так как P3 (-1)=0, то многочлен P3 (x) можно разделить на x+1. Используя
метод неопределённых коэффициентов, найдём частное от деления многочлена
P3 (x)= x3+4x2+5x+2 на двучлен x+1.
Допустим, частное есть многочлен x2+ax+b.
Так как x3+4x2+5x+2=(x+1)·(x2+ax+b)=x3+(a+1)·x2+(a+b)·x+b, то получим
систему
a + 1 = 4,
{a + β = 5
β=2
Откуда a=3 b=2. Значит, P3 (x)=(x+1)·(x2+3x+2).
Так
как
x2+3x+2=x2+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2),
то
P3
(x)=(x+1)2·(x+2) [15].
2) Так как P4(2)=32-24-28+12+8=0, то многочлен P4 (x) будет делиться на x2.
Методом неопределённых коэффициентов найдём частное 2x3+ax2+bx+y.
Так как 2x4-3x3-7x2+6x+8=(x-2)·(2x3+аx2+bx+у)=2x4+(a-4)·x3+(b-2a)·x2+(y2b)·x-2y, то получим систему
𝑎 − 4 = −3,
𝛽 − 2𝛼 = −7,
{
𝛾 − 2𝛽 = 6,
−2𝛾 = 8
Откуда a=1, b=-5, y=-4. Следовательно, P4 (x) =(x-2)·(2x3+x3-5x-4).
Разложим на множители многочлен правой части: 2x3+x2-5x-4=2x3+2x2-x2x-4x-4=2x2·(x+1)-x·(x+1)-4·(x+1)=(x+1)·(2x2-x-4) [14].
Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена 2x2-x-4. Так как
D=1+4·4·2=33 0, то х1=
1+√33
4
Поэтому 2x2 – x – 4 = 2·( x -
и x2 =
1+√33
4
)·(x -
1−√33
4
будут корнями данного трёхчлена.
1−√33
).
4
Таким образом, P4 (x) = 2·(x+1)·(x –2)· ( x –
1+√33
)·(x
4
–
1−√33
4
).
14
Применение утверждения о корнях многочлена.
С утверждением о корнях многочлена школьники уже знакомы.
Рассматриваемую тему можно дать учащимся для самостоятельного изучения,
но под контролем учителя. Например, дать нескольким сильным ученикам
группы задание: подготовить доклад на тему «Применение утверждения о
корнях многочлена» и изложить его на уроке для остальных ребят группы.
Действия, ход изложения материала должен непосредственно контролировать
учитель и в нужное время при необходимости корректировать объяснения
докладчика, а также быть готовым ответить да трудные вопросы учеников для
выступающего. Далее, с целью контроля знаний и закрепления навыков,
обучающимся предлагается решить самостоятельно несколько примеров [16].
Пример. Найти корни многочлена Q(x)=2x3+x2-4x-2.
Решение. Узнаем, является ли корнем многочлена рациональное число.
𝑝
Предположим, что дробь – несократимая и является корнем этого многочлена,
𝑞
тогда, опираясь на утверждение, приведённое выше, число p может принимать
значения: -1, 1, -2, 2, а число q - 1, 2. Следовательно, корнями рассматриваемого
1 1
многочлена могут являться только следующие рациональные числа: -2, -1, - , ,
2 2
1, 2. Если эти числа подставить в рассматриваемый многочлен, то получим Q(1
1
2
2
2) 0, Q(-1) 0, Q(- ) 0, Q( ) 0, Q(1) 0, Q(2) 0.
Таким образом, x = -
1
2
будет являться корнем многочлена Q(x) и
1
Q(x)=(x+ )·D(x). Применив схему Горнера, вычислим значение выражения
2
D(x)=2x2-4, его корнями будут являться числа
2 и - 2 . Таким образом, у
1
рассматриваемого многочлен будут следующие корни x1=- , x2=√2 и x3=-√2.
2
Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x4+2x2+3x-2.
Решение. Выясним, является ли корнем многочлена рациональное число.
Допустим, дробь p/q несократимая и является корнем этого многочлена, значит,
число p может принимать значения –1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2.
15
Следовательно, корнями рассматриваемого многочлена могут быть следующие
1 1
рациональные числа: -2, -1, - , , 1, 2 [18].
2 2
Если непосредственно подставить каждое из этих чисел в многочлен, то
1
1
2
2
получим P(-2) 0, P(-1) 0, P(- ) 0, P( ) 0, P(1) 0, P(2) 0. Так как P(-1)=
1
1
2
2
P( )=0, то числа –1 и
являются корнями данного многочлена; значит,
1
P(x)=(x+1)·(x- )·Q(x).
2
Многочлен Q(x) мы сможем найти, либо при помощи деления «столбиком»
1
𝑥
2
2
многочлена Pn(x) на многочлен (x+1)·(x- )=x2 +
1
- , либо делением по схеме
2
Горнера многочлена Pn(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x1
2
, либо используя метод неопределённых коэффициентов [17].
При помощи метода неопределённых коэффициентов вычислим значение
многочлен Q(x)=2x2+bx+c. Так как многочлены 2x4-x3+2x2+3x-2=(x2+
1
2
𝑥
2
-
)·(2x2+bx+c) тождественно равны и свободный член многочлена, который
находится в левой части уравнения, равен –2, а свободный член многочлена,
1
находящегося в правой части, равен - c, то c=4. Заменим в тождестве c на 4, а х
2
1
1
2
2
числом 1 и найдём значение b: 2·1-1+2·1+3·1-2=(1+ - )·(2·1+b·1+4), откуда b=2 [17].
Значит, многочлен Q(x)=2x2-2x+4 не будет иметь действительных корней
и его нельзя разложить на множители. Исходя из этого многочлен, который был
дан нам по условию задачи, можно разложить на множители только таким
1
образом: 2x4-x3+2x2+3x-2=2(x - )·(x2-x+2)
2
Выводы по первой главе
Первая глава нашей исследовательской работы раскрывает содержание
темы «Многочлены» при изучении математики в курсе средней школы. Исходя
16
из написанного в данной части, нами выполнены следующие поставленные
задачи исследования:
1.
Проанализировано
и
раскрыто
содержание
теоретического
материала темы «Многочлены», изучены основные понятия заданной темы.
2.
Рассмотрены основные методические аспекты изучения темы
«Многочлены».
3.
Разобраны решения конкретных примеров по разным темам
изучения многочленов, которые можно использовать на уроках, занятиях
элективного курса и т.д.
17
Заключение
Теория многочленов,
несомненно, играет важную роль в изучении
математики, так как многочлены представляют собой довольно несложные
функции. С её помощью, обучающимся даётся возможность посмотреть на
большинство задач всего курса математики с определенной стороны, ребята
смогут успешно справляться с решением сложных неравенств и уравнений,
увидеть взаимосвязь математики с прикладной математикой, взглянуть с
определенной стороны на многие задачи курса математики, дети смогут успешно
решать сложные неравенства и уравнения.
Материал, по изучению теории многочленов, доступен и достаточно
интересен, он не требует определенной подготовки. Многочлены Значительную
роль играют
в алгебраической геометрии, которая изучает множества,
определенные как решения систем многочленов, так как они имеют свойства,
необходимые для преобразования коэффициентов умножения многочленов.
Ведение данной исследовательской работы даёт общий очерк развития
всей теории многочленов. Исходя из поставленных задач, в нашей в первой главе
было дано понятие многочлена, степень многочлена, рассмотрена теорема Безу
и следствия из нее. Приведены различные операции над многочленами и
примеры их применения. Таким образом, задачи исследования выполнены и цель
достигнута.
18
Список литературы
1.
Алгебра и математический анализ. 11 класс: учебное пособие для
школ и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин [и др.]. – 7-е изд. –
М.: Мнемозина, 2000. – 214 с.
2.
Алгебра и начала анализа 10-11 классы: учебник для общеобразоват.
учреждений / Ш.А. Алимов [и др.]. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 298 с.
3.
Алгебра и начала анализа 10-11 классы: учебник общеобразоват.
учреждений / Ш.А. Алимов [и др.]. –. 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 328 с.
4.
Алгебра и начала анализа 10-11 классы: учебник для общеобразоват.
учреждений / М.И. Башмаков. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.
5.
Алгебра и начала анализа 11: учебник для общеобразоват.
учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский [и др.] – 8-е изд.
– М.: Просвещение, 2009. – 461 с.
6.
Алгебра и начала анализа. 10 класс: учебник для учащихся
общеобразоват. учреждений: в 2 частях. Ч.1 / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецов, Е.А.
Седова. – М.: Дрофа, 2018. – 276 с.
7.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразоват.
учреждений / А.Г. Мордкович. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.
8.
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебное пособие для уч- ся
общеобразоват. учреждений / С.Н. Никольский [и др.]. – М.: Просвещение, 2010.
– 187 с.
9.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник
для общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров [и др.]; под ред. А.Н.
Колмогорова. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 387 с.
10.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: в 2-х ч.:
учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г.
Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2008. – Ч.1: Учебник
. – 287 с.
19
11.
Выготский, Л.С. Собрание сочинений: в 6-ти т. / Л.С. Выготский
Л.С.; под ред. А.Р. Лурия, М.Г. Ярошевского. – М.: Педагогика, 1982. – Т .1.
Вопросы теории и истории психологии. – 488 с.
12.
Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя
математики: кн. для учителя / Я.И. Груденов – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
13.
Епифанова, Н.М. Методика обучения алгебре основной школы:
учебно-метод. Пособие / Н.М. Епифанова, О.П. Шарова. – Ярославль: изд-во
ЯГПУ имени К.Д. Ушинского, 2006. – 83 с.
14.
Кожабаев, К.Г. Актуальные проблемы преподавания математики /
К.Г. Кожабаев // Международный журнал экспериментального образования. –
2012. – №5. – С. 66-68. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
https://elibrary.ru/item.asp?id=20233051.
15.
Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней
школы: Частные методики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов
пед. ин-тов / Ю.М. Колягин [и др.]. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.
16.
Крючкова, В.В. Об опыте работы с правилами в теме «Многочлены»
/ В.В. Крючкова // Математика в школе. – 1984. - № 5. – С. 38–39.
17.
Ларин,
С.В.
Методические
вопросы
алгебры
многочленов:
монография / С.В. Ларин; Краснояр. гос. пед. ун-т.им. В.П. Астафьева. –
Красноярск, 2008. – 211 с.
18.
Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике
преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. интов / Е.И. Лященко [и др.].; под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988. –
223 с.
19.
Математика.
11
класс:
учебник
для
уч-ся
общеобразоват.
учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов;
под редакцией А.Г. Мордковича. – 5-е изд. стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 362 с.
20.
Математика. 10 класс. Алгебра. Начала математического анализа:
профильный уровень: учебник для классов с углубленным изучением / М.И.
20
Шабунин, А.А. Прокофьев. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2011. – 386 с.
21.
Математика. 11 класс. Алгебра. Начала математического анализа:
профильный уровень: учебник для классов с углубленным изучением / М.И.
Шабунин, А.А. Прокофьев. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2012. – 349 с.
22.
Математика. 10-11 классы. Алгебра. Начала математического
анализа. Профильный уровень: в 2-х ч.: учебник для классов с углубленным
изучением / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. – 2е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – Ч. 2: Задачник .
– 283 с.
23.
Матушкина, З.П. Методика обучения решению задач: учеб. пособие.
– Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2006. – 154 с.
24.
теме
Поскребалова, Ю.М. Урок повторения и обобщения в 7-м классе по
«Многочлены».
–
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
открытыйурок.рф/статьи/512326/
25.
Салахова, И.Г. Обобщающий урок по теме «Формулы сокращенного
умножения».
–
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
открытыйурок.рф/статьи/634342/
26.
Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике:
монография / Г.И. Саранцев. – Саранск: Красный Октябрь, 2001. – 144 с.
27.
Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: учеб.
пособие для студентов матем. спец. пед. вузов и университетов / Г.И. Саранцев.
– Саранск: Красный Октябрь, 1999. – 208 с.
28.
Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математики. Курс
лекций: учеб. пособие для вузов / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов.
– М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
29.
Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ и ГВЭ-11. –
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://fipi.ru/ege-i-gve-11.
21
30.
Ященко, И.В. ОГЭ 2018. Математика: типовые экзаменационные
варианты. 36 вариантов / под ред. Ященко. – М.: Национальное образование,
2018. – 240 с.
31.
Прасолов В. В. Многочлены / В.В. Прасолов. — 3-е изд,
исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. —336 с.
