Графический метод оптимизации

Тема. Графический метод оптимизации
Графическое представление многомерной функции
Способы представления
1. Аксонометрические изображения с указанием сечений.
Сечением поверхности z = f(x,y) называется линия, получаемая при
пересечении этой поверхности с плоскостью, параллельной
координатной плоскости.
2. В виде семейства сечений, т.е. в виде семейства графиков
функций одной независимой переменной при фиксированных
значениях других аргументов.
3. В виде семейства линий равного уровня.
1
Графический метод нахождения экстремумов. Безусловная оптимизация
Точка А – локальный минимум, точка В – глобальный минимум.
Пример.
Решение.
Примеры кривых второго порядка
Название
Уравнение
Окружность
(
)
(
График
)
2
Название
Уравнение
Эллипс
( )
( )
Гипербола
(симметричная
относительно
осейОх и Оy)
( )
( )
График
Гипербола
(равносторонняя,
асимптоты –
осиОх и Оy)
Парабола (ось
параболы
параллельна оси
Оy)
Другие кривые второго порядка: спираль, циклоида, конхоида,
кардиоида, лемниската и др.
3
Графический метод нахождения экстремумов. Условная оптимизация
где Х – множество допустимых значений.
Задание множества с помощью характеристического условия
(характеристического предиката) P(x) :
Х = {x|P(x)}.
Запись читается так: "Множество Х состоит из множества всех
элементов x, для которых высказывание P(x) истинно".
4
1
xmax    ; f  xmax   1 .
0
 0 
 ; f  xmin   0 .
xmin  
 0; 1
Условная оптимизация в случае линейной целевой функции
(метод линейного программирования)
Пример. Оптимизация площади приобретаемых земель для создания
мест отдыха населения.
5
Описание ситуации. Для создания мест отдыха населения городской
администрацией возможно приобретение двух типов земельных участков:
территорий под городские парки и для лесных заповедников. Общая
стоимость проекта 6 млн ден. ед.
Таблица − Характеристика земельных участков
Показатели
Стоимость единицы площади, ден. ед.
Максимально
возможная
предлагаемая
площадь
для
приобретения, ед. площади
Типы земельных участков
Для лесных
Под городские парки
заповедников
4000
1500
1200
3000
Анализ ситуации
Ограничения:
 по спросу (бюджету);
 по предложению.
По оценке экспертов ценность городских земель под городские парки в
четыре раза выше, чем ценность лесных земель под заповедники.
х1 – площадь участков под городские парки; х2 – площадь участков под
заповедники.
6
Проведение оптимизации
*
+
Пример. Хлебопекарная компания производит два типа домашнего
печенья, которое продается по 0,20 и 0,30 ден. ед. за пачку соответственно.
Продолжительность рабочей смены составляет 10 ч, а вместимость (емкость)
печи ограничена 80 пачками печенья. На сырую формовку одной пачки
печенья затрачивается 0,1 ч для печенья первого типа и 0,2 ч для печенья
второго типа. Для выпечки печенья и того, и другого типа требуется
одинаковое время.
Постановка задача оптимизации. Найти производимый объем печенья
первого и второго видов, обеспечивающий максимальный доход.
7
Приблизим задачу к реальности.
Условная оптимизация в случае нелинейной модели
Пример.
На используемые ресурсы может быть потрачено не более
600 ден. ед.
8
Решение
Производственная функция (в денежном выражении) – это доход
от продажи производимой продукции.
Справка
Расходы на приобретение ресурсов
R(x,y) = 5x + 10y .
Целевая функция (прибыль)
zx, y   30 x 3 y  5x  10 y 
Ограничения
 x  0;
 y  0;

D  x, y   
5 x  10 y  600;
30 x 3 y  5 x  10 y   0.

Оптимизация методом сканирования
Сканирование – последовательный просмотр.
9
10