Характеристика урока Учебник: Геометрия. 10-11 классы\ Атанасян Л. С. и др. - М: Просвещение, 2010. Глава 7 § 3. Тема урока: «Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса» Тип урока: урок-практикум Учебная задача урока: отработка решения различных видов задач по теме. Диагностируемые цели: В результате урока ученик: Знает: – Формулы нахождения объема пирамиды, наклонной призмы, конуса, усеченной пирамиды и усеченного конуса; – Виды задач на вычисление объёмов пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания: 1. в центр описанной окружности основания; 2. в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов основания. – Как находить объем призмы если известно перпендикулярное сечение Умеет: – Находить недостающие для вычисления объема пирамиды, призмы, конуса величины, исходя из вида фигуры; – Применять формулы для вычисления объема пирамиды, наклонной призмы, конуса, усеченной пирамиды и усеченного конуса; – Решать различные виды задач на вычисление объёмов наклонной призмы, пирамиды и конуса; Понимает – Аналогию между формулами: пирамиды–конуса, усеченной пирамиды– усеченного конуса; – Как определяется положение высоты призмы или пирамиды, исходя из её вида. Учебные действия, формируемые на уроке: Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом, должна осуществляться собственной деятельности ученика осмысленная организация Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ. Форма работы: фронтальная, групповая Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями. Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочная часть (8 мин.) II. Операционно-познавательная часть (35 мин.) III. Рефлексивно-оценочная часть (2 мин.) Ход урока Деятельность учителя Деятельность учащихся I. Мотивационно - ориентировочный этап 1. Актуализация Задание. Определите вид фигуры и найдите её объём. – Призма V=𝑆осн *h V=7*6=42 – Усеченная пирамида 𝑉=1/3*OO1*(𝑆+𝑆1+√S ∙ S1) S=52 =25 S1=22 =4 V=1/3*3*(25+4+10)=39 – Пирамида V=1/3*SABCD*h SABCD=42 =16 V=1/3*16*3=16 – Усеченный конус 1 V= 𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟) 3 V=1/3*8𝜋 ∗ (25 + 4 + 10)=104π – Конус V=1/3*Sосн.*h Sосн=22 *π=4π V=1/3*4π*5=20π /3 2. Мотивация На прошлом уроке вы рассмотрели решение основных видов задач по теме «Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса». Постановка учебной задачи Целью сегодняшнего урока будет отработка решения различных видов задач по теме «Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса» в ходе групповой работы. II. Операционно-познавательный этап Примерное содержание карточки для групп: 1. Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если ∠САВ =90°, ВС=4, ∠АВС=30° и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Дано: SABC-пирамида; ∠САВ =90°; ВС=4; ∠АВС= 30°; ∠ (SA,(ABC))= ∠ (SB,(ABC))= ∠ (SC,(ABC))= 60° Найти: VSABC-? 1 1) V= Sосн∙Н 3 2) ∠ (SA,(ABC))= ∠ (SB,(ABC))= ∠ (SC,(ABC)) => вершина пирамиды проектируется в т. О - центр описанной окружности ∆ABC. Т.к. ∠САВ =90°, т.е. ∆ABC – прямоугольный => т.О - середина гипотенузы ВС, 1 1 т.е. ОС= BC= 4=2 и ∠ SCO = ∠ (SC,(ABC))= 60° 2 2 3) Рассмотрим ∆SOC – прямоугольный (∠𝑆𝑂𝐶 = 90° т. к. 𝑆𝑂 ⊥ 𝐵𝐶 как высота пирамиды) SO tg∠SCO = OC SO tg60° = 2 SO=2∙tg 60°=2√3 4) Рассмотрим ∆ABC − прямоугольный (∠САВ =90°) , ∠СВА =30° AB=4∙cos 30°=2√3, AC=4∙sin 30°=2 1 SABC= *2*2√3=2√3 2 1 1 3 3 5) V= SABC∙SO= *2√3*2√3=4 Ответ: 4. 2. Найдите объем конуса, в осевом сечении SCB которого высота CD к образующей SB равна 6 см и образующая SB наклонена к плоскости основания под углом 60°. Дано: конус ∆SBC- осевое сечение конуса CD – высота ∆𝑆𝐵𝐶 CD=6см ∠𝑆𝐵𝑂 =60° SO – высота конуса Найти: V Решение: 1 1 1) 1)V= 𝜋 𝑟 2 h= 𝜋 𝑟 2 *SO ; 3 3 2) 2)Рассмотрим ∆CDB – прямоугольный (∠𝐶𝐷𝐵 = 90° так как 𝐶𝐷 ⊥ 𝑆𝐵 как высота ∆𝑆𝐵𝐶(дано)) ; ∠𝑆𝐵𝑂 =60° 𝐶𝐷 sin ∠𝑆𝐵𝑂= sin60◦= 6 𝐶𝐵 √3 2 = 6 𝐶𝐵 𝐶𝐵 ; ; CB=4√3 1 𝑟 =OB= CB = 2√3 2 3) ∆𝑆𝐶𝐵 − равносторонний, т.к. SC=SB (как образующие конуса) и ∠𝑆𝐵С = 60° тогда 𝑆О = 𝐶𝐷 = 6 1 4) 𝑉 = 𝜋 ∗ 6 ∗ 6 = 2𝜋 ∗ 12 = 24𝜋 3 Ответ: V=24π 3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем конуса. Дано: усеченный конус 𝑟 = 3м 𝑅 = 6м 𝑙 = 5м Найти: V ус.к. Решение: 1 1) 𝑉 = 𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟) 3 2) Рассмотрим осевое сечение: ABCD – равнобедренная трапеция, где AB– большее основание, CD–меньшее. Проведём СС1 – высота трапеции O1С1 = OС= r=3 м Тогда C1B = R–r=6 - 3 = 3 м 3) Рассмотрим ΔСВС1 – прямоугольный (∠СС1В=90° т.к. СС1 – высота трапеции) По т. Пифагора: 𝐶𝐵2 = 𝐶𝐶1 2 + 𝐵𝐶1 2 𝐶𝐶1 2 = 𝐶𝐵2 -𝐵𝐶1 2 𝐶𝐶1 2 = 52 -32 𝐶𝐶1 2 =16 СС1 =h=4м 1 4) 𝑉 = 𝜋 ∗ 4(62 + 32 + 6 ∗ 3) = 84 𝜋 м3 3 Ответ: 84 𝜋 м3 4. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 𝑎 и 0,5𝑎, апофема боковой грани равна 𝑎. Найдите объем усеченной пирамиды. Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 – треугольная усеченная пирамида 𝐴𝐵 = 𝑎 1 𝐴1 𝐵1 = 𝑎 2 ℎ = 𝑎–апофема боковой грани Найти: V. Решение: 1 1) V= h(𝑆 + 𝑆1 + √𝑆𝑆1 ); 3 2) Построим осевое сечение АА1МН усеченной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 3) Рассмотрим ОО1MN – прямоугольная трапеция, где ON–большее основание O1M– меньшее основание Проведем 𝑀𝑇 − высота прямоугольной трапеции ОО1 MN О1 M = 𝑂𝑇 𝑇𝑁 = 𝑂𝑁 − 𝑂1 𝑀 4) ∆𝐴𝐵𝐶, AN–медиана 1 1 𝑎 √3 3 3 2 ON= А𝑁 = = 𝑎 2 √3 5) ∆𝐴1 𝐵1 𝐶1 , A1M–медиана 𝐴1 𝑀 = 𝑎 √3 4 1 𝑎 𝑂1 𝑀 = 𝐴1 𝑀 = 3 4 √3 TN= 𝑎 - 𝑎 = 𝑎 2 √3 4 √3 4 √3 3) Рассмотрим ∆MTN – трапеции ОО1 MN) прямоугольный 48𝑎2 − 𝑎2 𝑎 47 ℎ = 𝑀𝑇 = √𝑀𝑁 2 − 𝑇𝑁 2 = √ = √ 48 4 3 4) 𝑆∆ABC = 𝑎 2 √3 4 (∠MTN = 90° т.к. МТ–высота 𝑆∆A1B1C1 1 ( )2 𝑎2 √3 𝑎2 √3 = 2 = 4 16 1 𝑎 47 𝑎2 √3 3 4 3 5) V= ∗ √ ( 4 + 𝑎 2 √3 16 +√ 𝑎 2 √3 4 ∗ 𝑎 2 √3 16 )= 7√47𝑎3 192 7√47𝑎3 Ответ: 192 5. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда. Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 -параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐵1 𝐴1 =B𝐵1 𝐶1 C – ромбы A𝐵1 = 6 см 𝐵𝐴1 = 8 см Найти: V Решение: 1)Т.к. 𝐴𝐵𝐵1 𝐴1 =B𝐵1 𝐶1 C , то ∠ 𝐵1 𝐵𝐴 = ∠ 𝐵1 𝐵𝐶=> луч BB1 проектируется на биссектрису ∠ABC Т.к. в основании ABCD − ромб, то биссектрисой является диагональ 𝐵𝐷 ⟹ т. О лежит на диагонале 𝐵𝐷, где 𝐵1 𝑂 − высота параллелепипеда. 2) 𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ∙ 𝐻 1 3)𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 = 3 ∙ 8 = 24см2 2 1 1 4) AB𝐵1 𝐴1 - ромб, значит B𝐴1 ⊥A𝐵1 и 𝐵1 𝑆 = A𝐵1 = 3 см, 𝑆𝐴1 = 𝐵𝐴1 = 4 см, где 2 2 S= B𝐴1 ∩A𝐵1 5) ∆𝐵1 𝑆𝐴1 − прямоугольный(∠𝑆 = 90° по свойству диагоналей ромба) По т.Пифагора: B1 A1 = √( B1 S)2 + (SA1 )2 = 5 см 4)Т.к. SABCD = 24 см2 , а ABCD = ABB1 A1 , то 24 SABB1A1 = a ∗ h = BA ∗ B1 M = SABCD = 24 ⟹ 24= 5 ⋅ B1 M ⟹ B1 M= см 5 5) ∆B1 MB − прямоугольный (∠𝑀 = 90° 𝐵1 𝑀 ⊥ 𝐵𝐴 как высота ромба 𝐵𝐵1 𝐴1 𝐴) По т. Пифагора: 2 BM = √( B1 B) − (B1 M)2 = √25 − 576 7 = см 25 5 6) Пусть T = BD ∩ AC Рассмотрим ∆ABT − прямоугольный ((∠BTA = 90 °)по свойству диагоналей ромба) BT 4 сos ∠ABT = = BA 5 7)Рассмотрим ∆MOB − прямоугольный (∠BMO = 90 °, т. к. 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵 как высота ∆ 𝑂𝐵𝐴) BM 4 ВМ 7 cos ∠MBO = = cos ∠ABT = , тогда BO = = см BO 5 cos ∠ MBO 4 8)∆B1 OB − прямоугольный (∠𝑂 = 90°) По т. Пифагора: 2 B1 O = √( B1 B) − (BO)2 = √25 − 49 3 = √39см = H 16 4 3 V=Sосн ∗ H=24∙ √39 = 18√39 см3 4 Ответ: 18√39 см3 III. Рефлексивно-оценочный этап – Какова была цель урока? – отработка решения различных видов задач по теме «Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса» в ходе групповой работы. – Достигли ли мы ее? – Да. – Как мы ее достигли? – Решали задачи на нахождение объема -пирамиды, вершина которой проектируется в центр описанной окружности основания; -конуса; -усеченного конуса; -усеченной пирамиды; -призмы, в которой одна из вершин верхнего основания которого проектируется с точку, лежащую на биссектрисе угла нижнего основания. Домашнее задание №683. Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 – наклонная призма 𝜌(𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1 ) = 37 см 𝜌(𝐵𝐵1 ; 𝐶𝐶1 ) = 13 см 𝜌(𝐶𝐶1 ; 𝐴𝐴1 ) = 30 см 𝑆б.п. = 480 см2 Найти: 𝑉 Решение: Построим перпендикулярное сечение А2 В2 С2 Расстояние между прямыми определяется по перпендикуляру ⇒ 𝜌(𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1 ) = А2 В2 = 37 см 𝜌(𝐵𝐵1 ; 𝐶𝐶1 ) = В2 С2 = 13 см 𝜌(𝐶𝐶1 ; 𝐴𝐴1 ) = С2 А2 = 30 см 𝑉 = 𝑆перп.сеч. ∗ 𝐴𝐴1 По формуле Герона: 𝑆сеч = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 𝑝= 37 + 13 + 30 = 40 см 2 𝑆сеч = √40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180 см2 𝑆б.п. = 2𝑝 ∗ 𝑙 = 𝑙(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑙= 480 = 6 см 37 + 13 + 30 𝑉 = 𝑆перп.сеч. ∗ 𝑙 = 180 ∗ 6 = 1080 см3 Ответ: 1080 см3 №694. Дано: SABCD – пирамида ABCD – ромб АВ = 6 см SO=1,5 см – высота SABCD ∠𝑆𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑆𝐵𝐶𝐷 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = ∠𝑆𝐷𝐴𝐵 = 45° Найти: 𝑉 Решение: 1) ∠𝑆𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑆𝐵𝐶𝐷 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = ∠𝑆𝐷𝐴𝐵 = 45°=> вершина пирамиды проектируется в т. O - центр вписанной окружности АВСD, т.е. в точку пересечения диагоналей ромба ABCD 2) ∠𝑆𝐸𝑂 − линейный угол двугранноо угла ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 (OE=r ⊥ 𝐷𝐶 – радиус проведенный в точку касания, 𝑂𝐸– проекция 𝑆𝐸 на плоскость 𝐴𝐵𝐶𝐷 => 𝑆𝐸 ⊥ DC по теореме о 3ех перпендикулярах. ∠𝑆𝐸𝑂 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = 45° 3) ∆𝑆𝑂𝐸 − прямоугольный(∠𝑆𝑂𝐸 = 90° т.к. SO⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 как высота пирамиды), SO=1,5 см , ∠𝑆𝐸𝑂 = 45°, ∠𝑆𝑂𝐸 = 90⇒∠𝐸𝑆𝑂 = 45°⇒∆𝑆𝑂𝐸–равнобедренный OE=r= SO=1,5 см 4) S ромба=2ra, r=1,5 см, АВ=a=6 см SАBCD=2*1.5*6=18 cм2 1 1 𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ∗ 𝑊𝐻 = ∗ 18 ∗ 1,5 = 9 см2 3 3 Ответ: 9 см2 №707. Дано: Конус 𝑆п. = 45𝜋 дм2 Сектор с 𝛼 = 60° Найти: 𝑉 Решение: 1) 𝑆полн = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙) 45 𝜋= 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙) 45=r(r+l) 2) Сектор с 𝛼 = 60° 𝛼= 360°∗𝑟 𝑙 𝑙 = 6𝑟 3) 45= 𝑟 2 + 6𝑟 ∗ 𝑟 𝑟 2 + 6𝑟 2 − 45 = 0 𝑟=√ 45 7 дм 4) ∆𝐴𝐵𝐻 − прямоугольный ∠𝐵𝐻𝐴 = 90° т. к. 𝐵𝐻 − высота конуса ℎ = √𝑙 2 − 𝑟 2 = √36𝑟 2 − 𝑟 2 = 𝑟√35 45 ℎ = √ ∗ √35 = 15 дм 7 1 45 225𝜋 3 5) 𝑉 = 𝜋 ∗ ∗ 15 = дм 3 7 7 Ответ: 225𝜋 7 дм3