курсовая (4)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»
(МПГУ)
Институт математики и информатики
Курсовая
«Методика обучения решению задач векторным и координатным методом в 7-9
классах»
Направление: 44.03.05 Педагогическое образование с двумя профилями
подготовки
Профиль: Математика и экономика
«Оценка» ___________
Студент, группа: Дорохина Дарья Денисовна, 305
Руководитель: Елизавета Валериевна Соколова
___________
подпись
(Д.Д. Дорохина) ____________
(И.О. Фамилия)
подпись
Москва 2023 год
(Е.В. Соколова)
(И.О. Фамилия)
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................... 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ВЕКТОРНЫМ
И КОРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ В 7-9 КЛАССАХ .............................................. 4
Исторические сведения о координатах и векторах ............................................. 4
История включения темы «Координаты и векторы» в школьный курс
математики ............................................................................................................ 8
Метод координат ................................................................................................... 9
Векторный метод................................................................................................. 15
Сравнение теоретических основ координатного и векторного метода в
школьных учебниках .......................................................................................... 20
МЕТОДИЧЕСКИЕ
РЕКОМЕНДАЦИИ
ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ
ВЕКТОРНЫМ И КООРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ В 7-9 КЛАССАХ ................ 29
Методические рекомендации ............................................................................. 29
Конспект урока .................................................................................................... 30
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................... 33
2
ВВЕДЕНИЕ
Для решения задач в математике используется множество методов – их
разнообразие зачастую может спутать школьников при выборе определённого
метода для решения задачи какого-либо типа. Задачей учителя в данном случае
является грамотное подведение ученика к изучению конкретных методов и
области их использования.
Трудно представить изучение математического, а, в особенности,
геометрического материала без векторного и координатного методов. Оба этих
метода уходят корнями на несколько столетий назад; их открытие, развитие
определённо открыто новые возможности для математиков и смежной с ней
наук.
Для школьной программы внедрение этих методов одновременно
усложнило и упростило обучение для школьников. К сожалению, в
общеобразовательной программе выделено не так много часов на изучение
материала, связанного с этим, из-за чего ученики зачастую не знают, при каких
условиях и как правильно применяются координатный и векторный метод.
В выбранной мною теме для курсовой мы разберём элементы методики
обучения решению задач векторным и координатным методом, что было, есть и
будет актуально столько, сколько изучающим приходится сталкиваться с
данной темой. Этот разбор и будет являться целью написания данной курсовой.
В ходе написания курсовой перед собой я ставлю следующие задачи:
демонстрация применения обоих методов в задачах, типы этих задач,
выделение нюансов в методике обучения решению задач векторным и
координатным методом и разбор этапов формирования координатного и
векторного метода.
3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ВЕКТОРНЫМ И КОРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ В 7-9 КЛАССАХ
Исторические сведения о координатах и векторах
Идея, лежащая в основе метода координат появилась в древности, как
необходимость для людей в различных сферах деятельности (к примеру, в
живописи и астрономии). А история возникновения самих координат и системы
координат началась ещё раньше.
Анаксимандр Милетский, живший примерно в шестом веке до нашей
эры, использовал координаты места при помощи прямоугольных проекций;
именно
его
считают
составителем
первой
географической
карты.
А
древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 1-2 в. до н.з.) создал способ
отслеживания положения звёзд на небе: он использовал систему координат,
которая была аналогична применению широты и долготы. Эта система
Гиппарха используется до сих пор.
Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной
сетки (палетки) также изображены на стене одной из погребальных камер в
Древнем Египте.
Уже в четырнадцатом веке французский математик Никола Орем
предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой, дать названия осям,
которые сейчас знакомы нам как абсциссы и ординаты.
Если говорить о современном методе координат, то основные заслуги в
его формировании принадлежат французскому математику Рене Декарту. В
1637 году Рене Декарт выпустил работу «Рассуждение о методе», в которой
сделал научное описание прямоугольной системы координат, именно поэтому
сейчас прямоугольная система координат носит также название декартова
система координат. В декартовой системе координат получили качественное
истолкование отрицательные числа.
В развитии координатного метода также внес вклад французский
математик Пьер Ферма, который жил в одно время с Рене Декартом и имел с
ним несколько споров и расхождения во взглядах на математические методы. В
4
любом случае, Пьер Ферма систематизировал аналитическую геометрии, ввел
прямолинейные координаты.
Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.
Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил
Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
Теперь немного о векторах.
Сам термин «вектор» означает величину, имеющая направление,
например, силу, скорость, ускорение и т. д. Величина же, не имеющая
направления, называется скаляром.
Долгое время вектор рассматривался только как направленный отрезок.
Спустя время в ходе развития теории о преобразованиях стало ясно, что вектор
необходимо рассматривать и с другой стороны: как некую точку и её прообраз,
то есть как применение параллельного переноса, одного из видов движений.
Г.И. Глейзер пишет: «Интерес к векторам и векторному исчислению
возник у математиков в XIX в. в связи с потребностями механики и физики.
Однако,
начало
исчисления
с использованием
появились еще в далеком прошлом» [1, С.150].
направленных отрезков
Г. И. Глейзер говорит о
Древней Греции, в которой пифагорейцы открыли иррациональные числа, то
есть числа, которые не могут быть выражены в дробях. Правда, пифагорейцы
решили не доводить открытие до более широкого и точного толкования числа.
«Математики
того
времени делали
попытки разрешить
вопросы
арифметики и алгебры с помощью решения задач геометрическим путем. Так
было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг.
до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении,
представленном в известном труде Евклида «Начала», сложение и вычитание
сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению
прямоугольников на отрезках, которые соответствовали по длине множителям»
[1, С.150].
Теперь двинемся к более ближнему прошлому, а точнее в 1587 год, когда
фламандский учёный С. Стевин выпустил трактат «Начала статистики». В этом
5
исследовании С. Стевин делает вывод о том, что для того, чтобы найти
результат сложения двух сил, взаимодействующих под определённым углом,
необходимо
использовать
правило
параллелограмма,
специальное
геометрическое построение. То есть, он впервые в истории ввел сложение двух
перпендикулярных друг другу векторов. Интересно, что тогда для того, чтобы
обозначить силу автор использует стрелки.
Спустя чуть больше двухсот лет в 1803 году французский математик Л.
Пуансо выпускает книгу «Элементы статистики», в которой он разработал
целую теорию векторов; этой теорией математик пользовался,
когда
рассматривал силы, действующие в различных направлениях.
Следующим этапом в развитии теории векторного исчисления становится
значительный вклад ирландского математика У. Гамильтона. В 1853 году
математик изложил теорию комплексных чисел и учение о кватернионах
(системы гиперкомплексных чисел, образующие векторное пространство
размерностью четыре над полем вещественных чисел). В этой теории он начал
использовать следующие понятия: «скаляр», «скалярное произведение»,
«вектор», «векторное произведение».
В 1844 г. в своей работе «Учение о протяженности» независимо от
Гамильтона к таким же открытиям пришел и Г. Грассман, изложивший учение
о n-мерном евклидовом пространстве. Только вместо терминов «скалярное
произведение», «векторное произведение» он использует термины «внутреннее
произведение»
и
«внешнее
произведение»
соответственно.
Математик
обозначал вектора жирными буквами латинского алфавита
Принятое в наши дни обозначение вектора ввел в 1853г. О. Коши, а
единичные векторы i, j, k ввел в том же году Гамильтон. Систематично
применял векторное исчисление для нужд естествознания Д. Максвелл, а в
конце девятнадцатого века. Д. Гиббс и О. Хевисайд придали современный вид
векторному исчислению. «В наши дни, в современной математике раздел, в
котором рассматривается учение о действиях с векторами, называют векторной
6
одиннадцатой алгеброй, так как эти действия имеют довольно много общих
свойств с алгебраическими действиями» [2, С. 151].
7
История включения темы «Координаты и векторы» в школьный курс
математики
Важную роль в проникновении темы «Координаты и векторы» в
школьный курс математики сыграли книга Я.С. Дубнова, выпущенная в 1931
году, «Основы векторного исчисления. Векторная алгебра», где приводятся
доказательства, связанные с новыми операциями векторной алгебры, а также
примеры и упражнения для самостоятельной работы. Я. С. Дубнов уже в
начале пятидесятых годов советовал применять векторный язык при обучении
стереометрии, а координатный метод только при преподавании аналитической
геометрии в высшей школе
Вообще координаты и вектора тяжело проникали в школьный курс.
Введение их в школьное образование связывают с известным математиком А.
Н. Колмогоровым, благодаря чьим работам была замечена значимость
координатного и векторного методов для школьного курса геометрии. Стоит
упомянуть и З.А. Скопеца, который также привнёс свой вклад во внедрение
методов. Оба математика отмечали важность межпредметных связей и
применения методов в геометрической составляющей обучения.
При этом координатный метод не изучался в рамках основной школы –
там вводились только координаты вектора; метод координат рассматривался
подробнее в старшей школе в учебниках вышеупомянутого 3.А. Скопеца.
8
Метод координат
В чем же ценность метода координат?
Для задач в арифметике и элементарной геометрии обычно ищется
особый путь решения, а в алгебре и аналитической геометрии для решений
характерен общий план, который легко приспособить к любой задаче. Здесь и
помогает метод координат, который придаёт алгебраический характер
геометрическим способам решения, то есть при помощи этого метода в
геометрии становится возможным применять единообразие способов решения
задач. Преимущества метода координат не ограничиваются только этим: также
применение этого метода помогает не использовать наглядное представление
сложных пространственных изображений при решении задач.
Этапами решения задач методом координат будут являться три шага:
1. Перевод задачи на координатный, то есть аналитический язык;
2. Преобразование аналитического выражения;
3. Обратный перевод, то есть перевод с координатного языка на язык, в
терминах которого сформулирована задача.
Задачи, решаемые при помощи метода координат в школьном курсе,
можно разделить на три группы:
1. Задачи на доказательство зависимостей между элементами фигур,
особенно между длинами этих элементов;
2. Задачи на вычисление определённых элементов фигур.
3. Задачи
на
нахождение
множества
точек,
удовлетворяющих
определенным свойствам.
Для первых двух групп разберём по задаче и вместе с решением
продемонстрируем этапы метода.
Задача №1.
Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме
квадратов его диагоналей. (см. рис. 1)
Дано:
ABCD – параллелограмм
9
Доказать: 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐷 2 = 2(𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐷 2 )
Рисунок 1
Рисунок 2
Таблица 1
Этапы
Пункт Ход решения
Обоснование
Условие,
1
введение
AD=BC=a
переменной
Перевод задачи на
координатный,
есть
то
Введём
2
аналитический
удобную
систему
координат (см. рис. 2)
Условие
Центр – точка А (0;0)
язык
Условие, пункт 1-
3
А (0; 0)
2;
определение
D (а; 0)
координаты
Пусть В (b; c)
точки;
C (x; y)
обозначение
(введение
переменных)
Преобразование
аналитического
4
𝐵𝐶 = 𝐴𝐷
10
Условие;
свойство
выражения
{𝑥 − 𝑏; 𝑦 − 𝑐 }
= {𝑎 − 0; 0 − 0}
параллелограмма,
введение
векторов,
3,
пункт
формула
нахождения
координат
вектора
Пункт
𝑥−𝑏 = 𝑎
𝑦−𝑐 = 0
свойство равных
𝑥 =𝑎+𝑏
{
𝑦=𝑐
решение системы
{
5
4,
векторов,
уравнений
Пункт 3, пункт 5,
6
С (a+b; c)
определение
координаты
точки,
𝐴𝐵 2 = (𝑏 − 0)2 + (𝑐 − 0)2
= 𝑏2 + 𝑐 2
𝐴𝐷 2 = 𝑎2
7
𝐴𝐶 2 = (𝑎 + 𝑏)2 + 𝑐 2
𝐵𝐷 2 = (𝑎 − 𝑏)2
+ (0 − 𝑐)2 = (𝑎
Условие, пункт 3,
пункт
5,
вычисление,
формула
длины
отрезка
− 𝑏)2 + 𝑐 2
Обратный перевод,
𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐷 2 = 2(𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐷 2 )
то есть перевод с
координатного
языка на язык, в
(𝑎 + 𝑏)2 + 𝑐 2 + (𝑎 − 𝑏)2
+ 𝑐2
8
= 2(𝑎2 + 𝑏2
терминах которого
+ 𝑐 2)
сформулирована
11
Условие, пункт 7,
вычисление
задача
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑐 2 + 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 2(𝑎2 + 𝑏2
+ 𝑐 2)
2(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 )
= 2(𝑎2 + 𝑏2
+ 𝑐 2)
Что и требовалось доказать
Задача №2.
Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна
160 см, а основание равно 80 см. Найти две другие медианы треугольника.
(см. рис. 3)
Дано:
∆𝐴𝐵𝐶 – равнобедренный с основанием АВ
𝐶𝑂 – медиана, 𝐶𝑂 = 160 см
AB=80 см
Найти: АМ – ?
Рисунок 3
Рисунок 4
12
Таблица 2
Этапы
Пункт
Ход решения
Обоснование
АС=ВС
Условие,
определение
1
равнобедренного
треугольника
2
АО=ОВ
Условие,
ВМ=СМ
определение
медианы
Значение длины медианы Условие;
АМ будет достаточно для свойство медиан,
того, чтобы узнать две проведённых
3
к
оставшиеся медианы, так боковым
как у них будет одно и то сторонам
же значение
в
равнобедренном
треугольнике
СО – высота в ∆𝐴𝐵𝐶
Условие;
свойство
медианы,
4
проведённой
к
основанию
в
равнобедренном
треугольнике
Введём удобную систему Условие, пункт 4,
Перевод задачи
на
5
координатный,
то
есть
аналитический
6
координат (см. рис. 4)
определение
Центр – точка О (0;0)
координаты точки
А (-40; 0)
Пункт 5, условие,
В (40; 0)
пункт 1, пункт 2,
13
язык
С (0; 160)
определение
0+40 160+0
М(
2
;
2
);
М (20; 80)
координаты
точки,
формула
середины отрезка,
вычисление
АМ=√(20 + 40)2 + 802 = Пункт 3, пункт 6;
формула
100
Преобразование
аналитического
расстояния между
двумя
7
выражения
точками,
заданными
координатами;
вычисление
Обратный
АМ=100 см
перевод, то есть
перевод
с
координатного
языка на язык, в 8
терминах
которого
сформулирована
задача
Ответ: 100 см длина каждой из искомых медиан
14
Пункт 7, условие
Векторный метод
Задачи, решаемые при помощи метода координат, можно решить и при
помощи векторного метода (и наоборот). Рассмотрим преимущества
векторного метода. Во-первых, это большая общность и универсальность
применения данного метода, так как он основан на использовании векторной
алгебры. Во-вторых, как следствие предыдущего утверждение, становится
понятно, что в задаче пропадает необходимость рассматривать множество
частных случаев. В-третьих, при векторных решениях задач нет зависимости
от того, является ли рассматриваемая фигура плоской, обычно в решении
используются одни и те же алгебраические выкладки.
Ниже представлены лишь некоторые типы задач, которые решаются
при помощи векторного метода в школьном курсе:
1. Задачи на доказательство параллельности.
2. Составление тригонометрических неравенств.
3. Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.
4. Задачи на нахождение множеств точек.
5. Задачи на вычисление длины отрезка.
Этапы векторного метода можно выделить следующим образом:
1. Перевод условия задачи на язык векторов.
2. Составление системы векторных равенств (или одного равенства).
3. Преобразование векторных равенств
4. Обратный перевод, то есть перевод с векторного языка на язык, в
терминах которого сформулирована задача
Рассмотрим пару задач, где с решением рассмотрим этапы:
Задача №1.
Доказать, что линия, соединяющая середины диагоналей произвольной
трапеции параллельна основаниям этой трапеции и равна их полуразности.
(см. рис. 5)
Дано:
ABCD – трапеция с основаниями
AD и BC
15
AC, BD – диагонали ABCD
M – середина AC
N – середина BD
MN
1
Доказать: MN || AD; MN= (𝐴𝐷 +
Рисунок 5
2
𝐵𝐶)
Таблица 3
Этапы
Пункт Ход решения
Перевод
задачи
условия
на
Обоснование
𝑀𝑁
язык 1
определение
векторов
вектора
Составление
2
системы
𝑀𝑁 = 𝑀𝐴 + 𝐴𝐷 + 𝐷𝑁
Условие,
𝑀𝑁 = 𝑀𝐶 + 𝐶𝐵 + 𝐵𝑁
многоугольника для
пункт 1
(или
одного равенства)
3
𝑀𝐴 + 𝑀𝐶 = 0
Условие;
𝐷𝑁 + 𝐵𝑁=0
равных векторов
Условие; пункт 2,
+ 𝑀𝐶 + 𝐶𝐵
пункт 3, сложение
+ 𝐵𝑁
4
равенств
сложение
2𝑀𝑁 = 𝑀𝐴 + 𝐴𝐷 + 𝐷𝑁
Преобразование
векторных
правило
сложения векторов,
векторных
равенств
Условие,
2𝑀𝑁 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵
уравнений, свойство
векторов,
преобразование
= 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶
𝑀𝑁 =
Обратный перевод,
то есть перевод с
векторного
на
язык,
языка
𝐴𝐷 − 𝐵𝐶
2
𝑀𝑁||𝐴𝐷
Условие,
определение
5
сонаправленных
в
векторов
16
1
MN || AD; MN= (𝐴𝐷 + Пункт 4, пункт 5
терминах которого
сформулирована
задача
2
6
𝐵𝐶)
Что и требовалось доказать
Задача №2
На
сторонах треугольника ABC взяты
что |BL|=3|AL|, |BM|=2|CM|, |AK|=2|CK|.
прямая KL делит отрезок AM.
Дано:
∆𝐴𝐵𝐶
L ∈ AB, M ∈ BC, K ∈ AC
|BL|=3|AL|, |BM|=2|CM|, |AK|=2|CK|
KL ∩ AM=E
Найти: AE:EM – ?
Рисунок 6
17
точки L,
Найти,
в
M,
каком
K
так,
отношении
Таблица 4
Этапы
Пункт
Ход решения
Обоснование
Перевод
𝐴𝐵=𝑏
Условие,
условия задачи
𝐴𝐶=𝑐
определение
на
язык
1
𝐴𝐸 = 𝑥𝐴𝑀
векторов
𝐿𝐸 = 𝑦𝐿𝐾
𝐴𝐸 = 𝑥𝐴𝑀 = 𝑥(𝐴𝐵 + 𝐵𝑀)
вектора,
ввод
обозначений
Условие, пункт 1,
правило
= 𝑥 (𝑏
2
+ (𝑐 − 𝑏))
3
Составление
системы
векторных
равенств
преобразование
1
𝑏
4
2
1
+ 𝑦 ( 𝑐 − 𝑏)
3
4
2
1
= 𝑦𝑐 + 𝑏
3
4
1
− 𝑦𝑏
4
=
(или
равенства)
2
3
Преобразование
равенств
сложения векторов,
𝐴𝐸 = 𝐴𝐿 + 𝐿𝐸 = 𝐴𝐿 + 𝑦𝐿𝐾
одного
векторных
для
2
1
𝑥𝑐 − 𝑥𝑏
3
3
=
2
треугольника
4
3
𝑥𝑐 −
1
3
2
𝑥𝑏= 𝑦𝑐 +
3
1
1
𝑏 − 𝑦𝑏 Пункт 2, свойство
4
4
транзитивности
2
2
𝑥= 𝑦
3
{ 3
1
1
𝑥 = (1 − 𝑦)
3
4
𝑥=𝑦
1
{1
𝑥 = (1 − 𝑥 )
3
4
3
x=
7
Пункт
преобразование,
вычисление
3,
Обратный
5
перевод, то есть
перевод
𝐴𝐸 =
свойство
векторного
пропорции
языка на язык, в
терминах
Пункт 1, пункт 4
Условие, пункт 6,
AE:EM=3:4
с
3
𝐴𝑀
7
6
которого
сформулирована
задача
Ответ: 3:4
19
Сравнение теоретических основ координатного и векторного метода в
школьных учебниках
Таблица 5
Л. С. Атанасян [3]
А. В. Погорелов [4]
И. Ф. Шарыгин [5]
Количество часов, выделенных на изучение темы «Координаты»
9 класс: 10 часов
8 класс: 10 часов
9 класс: 13 часов
Введение понятие «координата точки»/ «координата вектора»
Определение
«Проведём
«координата
на «Рассмотрим
точки» плоскости через точку взаимно
должно быть известно О
из курса алгебры
две
–
взаимно перпендикулярные
перпендикулярные
прямые на плоскости.
прямые х и у — оси Обозначим
«Отложим
две
от
через
О
начала координат. Ось х (она точку пересечения этих
координат О единичные обычно
прямых
векторы (т. е. векторы, горизонтальная)
считать, что каждая из
длины которых равны называется
единице) 𝑖
чтобы
и 𝑗
и
будем
осью них является числовой
так, абсцисс, а ось у — осью
или
осью
направление осью ординат. Точкой координат с началом в
О
— точке О и равными
совпало с пересечения
направлением оси Ох, а началом координат — единичными отрезками.
вектора 𝑖
направление вектора 𝑗
— с направлением оси
Оу. Векторы 𝑖
и 𝑗
назовём
координатными
векторами.
Координатные векторы
каждая
из
разбивается
полуоси.
осей При этом одну из этих
на
две прямых будем считать
Условимся первой и назовем осью
одну из них называть ОХ или осью абсцисс, а
положительной,
вторую прямую – осью
отмечая её стрелкой, а ОУ или осью ординат.
другую
— Такая
отрицательной.
20
перпендикулярных
пара
не
коллинеарны,
прямых
поэтому любой вектор Каждой
точке
𝑝 можно разложить по плоскости
А плоскости
на
декартову
мы систему
координат.
сопоставим пару чисел Теперь по достаточно
координатным
векторам,
задает
т.
е. — координаты точки — простому
правилу
представить в виде 𝑝 = абсциссу (х) и ординату каждой точке плоскости
(у) по такому правилу.»
𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 причём
можно
поставить
соответствие
коэффициенты
в
пару
а
вернее,
разложения (числа х и «Пусть вектор 𝑎 имеет чисел,
пару
точку упорядоченную
у)
определяются началом
единственным образом. 𝐴1 (𝑥1, 𝑦1 )
концом чисел
–
координаты
𝐴2(𝑥2 , 𝑦2 )). этой точки.» [С. 397]
точку
Коэффициенты
и
разложения вектора 𝑝 Координатами вектора
координатным 𝑎 будем называть числа «Пусть и две точки
координатной
векторам называются 𝑎1 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑎2 =
Координаты плоскости» [C.408]
координатами вектора 𝑝 𝑦2 − 𝑦1 .
по
в
данной
системе вектора будет ставить
координат. Координаты рядом
вектора
с
буквенным
будем обозначением
записывать в фигурных вектора…» [С. 140]
скобках
обозначения
после
вектора:
𝑝 {х; у}.»
[C. 224-225]
Порядок введения понятий в теме «Метод координат»
Коэффициенты
Оси
разложения,
абсцисс, ось ординат, абсцисс, ось ординат,
прямоугольная система начало
координат,
ось Ось
координат,
координат, декартова
21
ось
система
координат,
положительная
и координат,
координатные вектора, отрицательная
координаты
вектора, координаты
радиус-вектор,
координаты
оси, точки,
точки, уравнение
середины ордината
xy, угловой
коэффициент
между декартовы координаты. прямой,
уравнение
точками, Расстояние
уравнение
между прямой,
линии, точками,
угловой
прямой, прямой,
коэффициент точки
проходящей
уравнение через начало координат,
уравнение окружности, фигуры,
уравнение
линии,
точки, уравнение окружности,
отрезка, длина вектора, плоскость
двумя
расстояние
точки, между двумя точками,
абсциссы
расстояние
координата
уравнение уравнение
прямой
(с
координаты угловым
пересечения коэффициентом), общее
прямой,
прямой,
прямая уравнение прямой
концентрические
параллельная
окружности.
прямая,
оси
y,
проходящая
через начало координат,
угловой
коэффициент
прямой,
график
линейной
случаи
функции,
пересечения
прямой и окружности,
определения
косинуса,
синуса,
тангенса
и
котангенса для любого
угла от 0 градуса до 180
градусов.
Какие основные навыки и умения должны приобрести ученики в ходе
изучения темы «Координаты»?
22
«уметь
метод
применять «уметь строить точки «уметь
координат
для по
определять
геометрических задач»
координат
и
выводить
знаки понятие прямоугольной
точек
в системы координат на
уметь зависимости от того, в плоскости, знать, что
формулы какой
координат
четверти
они такое координаты точки
вектора лежат;
и координаты вектора»
через координаты его Знать, какие абсциссы «уметь
конца,
координат имеют
середины
длины
вектора
и
какие применять
лини
его
и
при
и ординаты имеют точки решении задач»
«знать
«выводить
формулы
для использовать
и
формулу
уметь вычисления координат расстояния
уравнение середины
окружности и прямой, уметь
уметь
распознавать
оси уравнение
между оси абсцисс»
двумя точками»
выводить
точки
отрезка, ординат,
расстояния
«Знать
и
координатам, иллюстрировать
решения
«Знать
объяснять
между
отрезка, двумя точками, длины
выводить
эти вектора,
уравнения
строить формулы и применять окружности и прямой,
окружности и прямые, их при решении задач»
заданные уравнениями» «знать
применять
формулу решении задач»
расстояния
между
двумя
точками
координатной
плоскости;
Уметь выводить её и
вычислять
между
расстояния
точками
заданными
координатами»
23
с
при
«знать
уравнение
окружности;
уметь
выводить
его
применять
и
при
решении задачи»
«знать
уравнение
прямой;
уметь
составлять
уравнение
прямой по координатам
двух
её
точек;
определить
принадлежит ли данная
точка прямой, заданной
уравнением»
Количество часов, выделенных на изучение темы «Вектора»
8 класс: 11 часов
8 класс: 13 часов
9 класс: 10 часов
9 класс: 10 часов
Введение понятие «вектор»
«Многие
физические «Вектором мы будем «Рассмотрим
величины,
сила,
на
например, называть направленный плоскости две точки A
перемещение отрезок.
материальной
точки, вектора
скорость,
значением,
определяется 𝐴𝐵 вектор AB, понимая
указанием его начала и под этим направленный
характеризуются
только
Направление и B. Обозначим через
не конца» [C. 138]
числовым
но
отрезок AB, то есть
отрезок,
у
которого
и
точка
направлением
в
началом, а точка В –
пространстве.
Такие
А
является
концом.» [C. 405]
24
физические
величины
называются
векторными
величинами
(или
коротко векторами)» [C.
189]
«Отрезок, для которого
указано, какая из его
граничных
точек
считается
какая
началом,
–
а
концом,
называется
направленным отрезком
или вектором» [C. 190]
Введение понятий по теме «Вектор»
Вектор.
Нулевой Вектор.
Одинаково Вектор. Равенство двух
вектор. Длина (модуль) направленные,
векторов.
вектора,
противоположно
коллинеарный векторы.
противоположно
направленные, векторы. Умножение вектора на
направленные,
равные Абсолютная
вектора. Откладывание (модуль).
вектора
от
Сложение
Нулевой векторов
данной вектор.
точки. Сумма (законы векторы.
величина число.
Нулевой,
(правило
Равные параллелограмма).
Координаты Координаты
сложения),
разность вектора.
Сумма Теорема
векторов.
Правило (правило треугольника, единственности
треугольника,
параллелограмма),
параллелограмма,
разность
о
разложения вектора по
векторов. двум
25
вектора.
неколлинеарным
многоугольника.
Произведение
Проекция
вектора. векторам.
Скалярное
вектора Умножение вектора на произведение векторов.
на число. Координаты число,
разложение Определение, свойства
вектора.
Разложение вектора
по
вектора
по
двум (перестановочность,
двум неколлинеарным
неколлинеарным
векторам,
коммутативность,
скалярное распределительный
векторам. Угол между произведение векторов закон)
векторами.
скалярного
Скалярное (и теорема косинусов), произведения.
Запись
произведение векторов. разложение вектора по скалярного
Скалярное
координатным
произведение
осям. произведения
в Единичный,
в
декартовой
системе
координатах. Свойства координатный векторы
координат.
Скалярное
скалярного
произведение и теорема
произведения векторов
косинусов.
Координатный
и
векторный методы
Какие навыки и умения должны приобрести ученики в ходе изучения темы
«Вектор»?
«-уметь изображать и «-уметь изображать и «-уметь изображать и
обозначать
векторы, обозначать
вектор, обозначать
вектор,
откладывать от данной различать его начало и различать его начало и
точки вектор, равный конец в записи и на конец,
данному»
откладывать
чертеже, распознавать и вектор,
«-уметь объяснить, как изображать
определяется
одинаково данному,
сумма направленные векторы, точки
двух и более векторов»
равный
от
любой
пространства,
откладывать от любой находить
координаты
«-уметь формулировать точки вектор, равный вектора по координатам
свойства
умножения данному»
его начала
26
и конца,
вектора на число, уметь «-уметь
формулировать
доказывать
находить вычислять
и координаты
модуль
вектора, вектора
по
его
теорему вычислять абсолютную координатам,
средней
линии величину
трапеции»
вектора, вычислять
сумму
и
откладывать от данной разность двух векторов
выполнять точки вектор, заданный по их координатам и
«-уметь
действия над векторами координатами»
с
заданными «-уметь
координатами»
строить
сумму
и
находить разность двух векторов
координаты суммы и геометрически,
«- уметь объяснить, что разности двух векторов, вычислять координаты
такое
угол
между заданных
векторами,
вектора
знать координатами,
определение
распознавать
скалярного
чертеже
по
координатам»
на «-находить
и
скалярное
строить произведение векторов,
произведения векторов, сумму и разность двух угол между векторами,
условие
векторов,
перпендикулярности
геометрически»
ненулевых
заданных доказывать
распределительный
векторов, «-находить координаты закон
скалярного
выражение скалярного вектора по координатам произведения,
произведения
координатах
свойства»
в вектора строить вектор применять полученные
и
его по заданному вектору, знания
распознавать
при
задач»
«-уметь решать задачи коллинеарные векторы, «-уметь
разного типа»
решении
заданные
в выбирать
геометрической
и координат
координатной формах»
использовать
правильно
систему
и
свойства
для скалярного
«-находить
векторов,
заданных произведения
27
при
координатами,
их решении задач»
скалярное
«-уметь решать задачи
произведение,
угол разного типа»
между ними»
«-уметь решать задачи
разного типа»
28
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ВЕКТОРНЫМ И КООРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ В 7-9
КЛАССАХ
Методические рекомендации
Методические рекомендации по изучению векторного метода
1. Первичное изучение векторов должно опираться на опыт учеников,
приобретённый на уроках физике.
2. Следует уделить внимание определениям «абсолютная величина
вектора», «модуль вектора», «длина вектора». А также необходимо
знать такие темы, как: сложение векторов по правилу треугольника и
правилу параллелограмма, в геометрии нужно уметь доказывать эти
правила.
3. Необходимо строго различать его составляющие: численные значения
и направления. То есть введение векторов может рассматриваться с
двух сторон.
4. Уделять большее внимание разложению векторов на составляющие.
Методические рекомендации по изучению координатного метода
1. Важным является выбор центра системы координат (то есть важно
развитие умения выбора привязки на геометрическом чертеже для
системы координат). Одна и та же задача может давать различное
аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора
системы координат
2. Установление связи между координатным и векторным методами
после изучения метода координат.
3. Уделять внимание наглядному представлению на координатной
плоскости
сложных
зависимостей,
выраженных
формулами,
уравнениями. Использовать наглядные метода.
Стоит отметить, что у обоих методов очень важным является следующий
шаг: перевод условия задач на язык векторного и координатного методов.
29
Конспект урока по теме «Понятие вектора. Равенство векторов.
Откладывание вектора от точки» в 8 классе по учебнику Л.С. Атанасяна
«Геометрия 7-9 класс»
Учебник: [3]
Тип урока по ФГОС: урок открытия нового знания
Цель урока: Ввести определения вектора, нулевого вектора, длины вектора,
коллинеарных
векторов,
равных
векторов,
сонаправленных
и
противоположно направленных векторов
Задачи урока: Познакомить учеников с таким геометрическим объектом как
«вектор»; научить учеников изображать векторы и сравнивать их,
Таблица 6
Этап
Содержание этапа
Организационный этап
Приветствие
проверка
(наличие
учителем
рабочих
мест
пишущих
учеников;
учеников
предметов,
тетрадей, учебников)
Мотивационный этап
Опрос учителем учащихся о том, что
Актуализация знаний и умений
они знают о векторах?
Рассказ о применении векторов в
реальной жизни, привести примеры
из физики, в которой дети уже
сталкивались
с
применением
векторов
«Цель нашего урока – познакомиться
с новым геометрическим объектом –
«вектор», научиться изображать и
30
обозначать векторы, различать типы
векторов, сравнивать их.
В физике встречаются величины,
характеризующие
числовым
не
только
значением,
направлением
но
(сила,
ускорение).
скорость,
Такие
называются
и
величины
векторными.
Поэтому
выделяют векторные и скалярные
величины.»
Самостоятельная
Учитель просит учеников изучить 79
работа учащихся
параграф
учебника
следующие
и
выписать
определения:
вектор,
нулевой вектор, длина или модуль
вектора
Систематизация знаний
Далее
учитель
даёт
упражнения
следующего плана:
— назвать изображённые вектора
— найти длины векторов
—
указать
сонаправленные
противоположно
и
направленные
векторы
Самостоятельная работа
Учащиеся отвечают на вопросы теста
письменно в тетради.
1) Что называется вектором?
2) Какой вектор называется нулевым?
3) Векторы коллинеарны, если…
4) Векторы сонаправлены, если…
31
5) Векторы называются равными,
если…
Рефлексия
Ученики отвечают на вопросы:
Что было самым трудным на уроке?
Что нового изучили на уроке?
Учитель
благодарит
учащихся
за
работу на уроке, говорит о домашнем
задании в электронном журнале
32
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9-10 классов [Текст]:
пособие для учителей / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1964. – 351 с.
2. Дадонова, А.В. Межпредметные связи в преподавании математики и
физики /А.В. Дадонова// Учебный эксперимент в образовании. - 2013. № 4. - С. 14-21.
3. Атанасян, Л. С. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват.
учреждений / Л. С. Атанасян. и др. – М.: Просвещение, 2010. – 384 c.
4. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы [Текст]: учеб. для
общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение,
2014. – 240 с.
3. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват.
учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2012. – 462 с.
4. Клековкин Г.А.: Решение геометрических задач векторным методом:
учебное пособие для учащихся 10-11 классов / Г.А. Клековкин. –
Самара: СФ ГАОУ ВО МГПУ, 2016. – 180 с.
5. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. 9-10
класс: Учебник. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1978. — 256 с.
6. Геометрия 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов / С.
Л. Атанасян, В. Г. Покровский; под ред. С. Л. Атанасяна. —Эл. изд.—
Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 334 с.).—М.
7. Майоров В. М. Векторное решение геометрических задач [Текст] :
(Задачник-практикум по спецсеминару) : Для студентов-заочников
физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В. М. Майоров, З. А. Скопец ; Глав. упр.
высш. и сред. пед. учеб. заведений М-ва просвещения РСФСР. Моск.
гос. заоч. пед. ин-т. - Москва: Просвещение, 1968. - 251 с
8. Мишин В. И., Методика преподавания математики в средней школе:
Частная методика: Учебное пособие для студентов педагогических
33
институтов по физ.-мат. спец. / А. Я. блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев
и др.; Сост. В. И. Мишин. — М., 1987. — 416 с.: ил.
9.
10. Геометрия в 7—9 классах : преподавание курса геометрии по
учебнику А. В. Погорелова «Геометрия: 7—9» / [Л. Ю. Березина, Н. Б.
Мельникова, Т. М. Мищенко, И. Л. Никольская, Л. Ю. Чернышева]. —
2-е изд., перераб. и доп. — М. : Экзамен, 2008. — 432 с. Ссылка на
публикацию. https://www.mathedu.ru/text/berezina_i_dr_geometriya_v_79_klassah_2008/.
©
«Математическое
образование»,
2006—2023.
Геометрия в 7—9 классах: преподавание по учебнику А. В.
Погорелова. — 2008.
11. Атанасян Л.С. и др. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для
учителей/Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., – 7-е изд – М., 2009. – 255
с.
12. Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов /
Н. С. Подходова [и др.] ; под редакцией Н. С. Подходовой, В. И.
Снегуровой. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 299 с. —
(Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08768-0. — Текст :
электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL:
https://urait.ru/bcode/512419 (дата обращения: 05.07.2023).
34