Министерство науки и высшего образования РФ
Уральский государственный экономический университет
Ю. Б. Мельников
Алгебра и теория чисел.
Основы матричной алгебры
Раздел электронного учебника
для сопровождения занятия
e-mail:
yu.b.melnikov@yandex.ru
UriiMelnikov58@gmail.com
Екатеринбург
2021
I. Инструкция к пособию
23
II. Важное сокращение регулярных записей
II.1. Символы суммирования и произведения . . . . . . . . .
II.2. Правила работы с символами суммирования и произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.1. Сумма из одного слагаемого . . . . . . . . . . . .
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.4. Вынесение общего множителя . . . . . . . . . . .
II.2.5. Перестановка символов суммирования . . . . . .
32
33
III. Определение матрицы, операции алгебры матриц
52
53
54
73
88
98
138
III.1.
III.2.
III.3.
III.4.
Определение матрицы . . . . . . . . .
Некоторые соглашения . . . . . . . .
Как разобраться, что такое матрица?
Виды матриц . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IV. В каких направлениях развивать исследования?
IV.1. Некоторые понятия теории матриц . . . . . . . . . . .
IV.2. Операции матричной алгебры . . . . . . . . . . . . .
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц . . . . . .
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы на
число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения
матрицы на число . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц . . . . . . .
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц . .
IV.2.6. Свойства произведения матриц . . . . . . . . .
.
.
.
.
139
214
218
221
241
. 247
. 258
. 279
. 343
.
.
.
.
397
446
477
486
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование матриц
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам («на макроуровне») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную матрицу . . . .
V. Детерминант матрицы
V.1. Линейность . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1.1. Линейная комбинация . . . . . . . .
V.1.2. Линейная функция . . . . . . . . .
V.1.3. Критерии линейности функции . .
V.2. Детерминант . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера
нант для малой размерности . . .
518
561
566
589
604
. 607
. 608
. 609
. 626
. 650
. 651
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
и детерми. . . . . . . . 659
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3 . . . . .
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение . . . . . . . . . . . . . .
V.2.5. Индуктивное определение детерминанта . . . .
V.3. Свойства детерминанта . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов» . . . . . . . . .
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу . . .
V.3.3. Минор, дополнительный к минору . . . . . . . .
V.4. Алгебраическое дополнение к минору . . . . . . . . . .
V.4.1. Теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4.2. О перестановке строк или столбцов . . . . . . .
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4.4. Теорема о линейности «по строке» . . . . . . . .
. 681
.
.
.
.
.
.
.
.
.
718
726
730
731
744
791
802
810
812
. 834
. 841
V.4.5. Следствие о детерминанте матрицы с пропорциональными строками . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det . .
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы . . . . . . . .
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения . . . . . .
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по «чужой» строке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта . . . . . .
V.6. Аксиоматическое определение детерминанта . . . . . . .
V.7. Инвариантная трактовка детерминанта . . . . . . . . . .
V.7.1. Перестановки (подстановки) . . . . . . . . . . . .
V.7.2. Перестановки: инверсия . . . . . . . . . . . . . . .
851
853
868
876
897
908
943
953
960
963
964
968
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта . . . . . 972
VI. Обратная матрица
977
VI.1. Определение обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . 981
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы . . . . . . 982
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной матрицы . 990
VI.4. Нахождение обратной матрицы: прелюдия . . . . . . . 998
VI.5. Критерий обратимости матрицы . . . . . . . . . . . . . 1043
VI.6. Свойства операции обращения матрицы . . . . . . . . . 1077
VI.7. Методы нахождения обратной матрицы . . . . . . . . . 1085
VII. Ранг матрицы
VII.1. Минор матрицы . . . . . . . . .
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
VII.3. Базисный минор матрицы . . .
VII.4. Определения ранга матрицы . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1088
. 1089
. 1103
. 1112
. 1114
VII.5.
VII.6.
VII.7.
VII.8.
VII.9.
Лемма о свойстве строк базисного минора .
Критерий базисного минора . . . . . . . . .
Теорема о совпадении трех рангов . . . . . .
Теорема об инвариантности рангов матрицы
Критерий вырожденности матрицы . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1118
. 1136
. 1138
. 1140
. 1150
VIII. Некоторые понятия теории систем линейных уравнений
1151
VIII.1. Основные определения теории СЛУ . . . . . . . . . . 1152
VIII.2. Некоторые проблемы теории СЛУ . . . . . . . . . . . 1160
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ . . . . . . . 1163
VIII.4. Решение СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175
VIII.4.1. Частное решение СЛУ . . . . . . . . . . . . . . 1176
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы . . . . . . 1180
VIII.4.3. Общее решение СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . 1191
IX. Методы решения СЛУ
1193
IX.1. Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения . . . . . . 1203
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений . . . . 1210
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях СЛУ . . . . 1215
IX.5. Краткое описание метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . 1223
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР). Фундаментальная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ . . . . . . . . . . . . 1273
IX.8. Получение частного решения НСЛУ . . . . . . . . . . . 1298
X. Основные теоретические результаты
X.1. Теорема Кронекера-Капелли . . . . . . . . . . . . . . .
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ . . . . . . . . . . .
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений ОСЛУ . .
X.4. Теорема о размерности пространства решений ОСЛУ .
1299
. 1300
. 1319
. 1338
. 1345
X.5. Теорема об общем решении ОСЛУ . . . . . . . . . . . . 1361
X.6. Фундаментальная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363
Пример 1 использования символа суммирования для
арифметических выражений
1366
Пример 2 использования символа суммирования
1394
Пример 3 получения выражения для квадрата суммы 1438
Пример 4 перестановки символов суммирования
1455
Пример 5 упрощения выражений с символом суммирования
1521
Примеры задач для самостоятельного решения
1531
Задача XI.1
1532
Задача XI.2
1533
Задача XI.3
1534
Задача XI.4
1535
Задача XI.5
1536
Задача XI.6
1537
Пример 6 вторичной операции на «языке матриц в целом», определенной через суммирование матриц и
умножение матрицы на число
1538
Пример 7 записи формулы произведения матриц
1568
Пример 8 введения операций матричной алгебры на
«языке элементов матриц» и «языке матриц в целом»1680
Пример 9 применения умножения на макроуровне
1778
Пример 10 (умножение на макроуровне)
1808
Пример 11 (умножение на макроуровне)
1821
Упражнения
матриц
на
усвоение
формулы
умножения
1846
Задача XII.7
1847
Задача XII.8
1848
Задача XII.9
1849
Задача XII.10
1850
Задача XII.11
1851
Произведение матриц
1851
Задача XIII.12
1852
Задача XIII.13
1853
Многочлен от матрицы
1853
Задача XIV.14
1854
Умножение «на макроуровне» (т.е. «по строчкам
и столбцам»)
1854
Задача XV.15
1855
Задача XV.16
1856
Задача XV.17
1857
Задача XV.18
1858
Пример 12 конкретизации формулы для детерминанта
матрицы 2 × 2
1859
Пример 13 вычисления детерминанта 3 × 3
1880
Пример 14 вычисления детерминанта произведения матрицы на скаляр
1914
Пример 15 к теореме о линейности детерминанта по строке и столбцу
1922
Пример 16 не является контрпримером к теореме о линейности детерминанта по строке?
1946
Пример 17 вычисления детерминанта матрицы 3 × 3
1960
Пример 18 примеры миноров
2029
Пример 19 к теореме Лапласа
2050
Пример 20 к теореме о разложении детерминанта по «чужой» строке
2076
Пример 21 использования свойств
2089
Формулы для вычисления детерминанта
2094
Задача XV.19
2094
Задачи на вычисление детерминанта
2094
Задача XV.20
2095
Задача XV.21
2096
Задача XV.22
2097
Определитель Вандермонда
2098
Задача XV.23
2098
Задача XV.24
2099
Задача XV.25
2100
Определитель 𝑛-го порядка
2100
Задача XV.26
2101
Пример 22 к доказательству критерия обратимости матрицы
2102
Пример 23 (обратная к матрице 2 × 2)
2116
Пример 24 нахождения обратной матрицы
2120
Обратная матрица
2154
Задача XVI.27
2155
Задача XVI.28
2156
Задача XVI.29
2157
Задача XVI.30
2158
Матричные уравнения
2158
Задача XVII.31
2159
Задача XVII.32
2160
Задача XVII.33
2161
Пример 25 к лемме о свойстве строк «базисного» минора2162
Пример 26 нахождения ранга матрицы
2207
Пример 26: поиск столбцового и строчного рангов . . . . . . 2208
Пример 26: поиск ранга методом окаймляющих миноров . . 2229
Нахождение ранга матрицы
2238
Задача XVIII.34
2239
Задача XIX.35
2240
Задача XX.36
2241
Задача XX.37
2242
Задача XX.38
2243
Задача XX.39
2244
Пример 27 иллюстрация к понятию «общее решение
СЛУ»
2245
Пример 28 иллюстрация к выводу формул Крамера
2271
Пример 29 решения СЛУ с помощью формул Крамера 2292
Пример 30 решения СЛУ методом Гаусса (случай един-
ственного решения)
Пример 31 решения СЛУ методом Гаусса
2310
2412
Пример 32 представления решения СЛУ методом Гаусса
с помощью матричных операций
2501
Пример 33: продолжение решения примера 31
2552
Задачи для самостоятельного решения
2567
Решение СЛУ (единственное решение) . . . . . . . . . . . . 2567
Задача XXI.40
2568
Задача XXI.41
2569
Задача XXI.42
2570
Упражнения на запись ФСР и общего решения
. . . . . . . 2570
Задача XXI.43
2571
Задача XXI.44
2572
Задача XXI.45
2573
Задача XXI.46
2574
Задача XXI.47
2575
Получения общего решения СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . 2575
Задача XXI.48
2576
Задача XXI.49
2577
Задача XXI.50
2578
Ответы и решения
2579
XXIII. Упражнения на базовые определения и формулы3429
XXIV. Ссылки на электронные тесты для обучения и самоконтроля
3443
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для корректной работы тестов следует применять компьютеры с
процессором архитектуры с Intel x-86.
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для корректной работы тестов следует применять компьютеры с
процессором архитектуры с Intel x-86.
Электронный учебник представляет собой систему из основного файла 0000Spisok.pdf со ссылками на файлы 00Set.pdf,
00Matrix.pdf, 00AnalGeom.pdf, 00LinAlgebra.pdf, и файлы с тестами для обучения и самоконтроля, которые следует просматривать с
помощью программы Adobe Reader.
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для корректной работы тестов следует применять компьютеры с
процессором архитектуры с Intel x-86.
Электронный учебник представляет собой систему из основного файла 0000Spisok.pdf со ссылками на файлы 00Set.pdf,
00Matrix.pdf, 00AnalGeom.pdf, 00LinAlgebra.pdf, и файлы с тестами для обучения и самоконтроля, которые следует просматривать с
помощью программы Adobe Reader.
Кроме того, имеются гиперссылки на пособия «Математический
анализ» и «Элементарная математика».
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
В презентациях, предназначенных для проведения практических
занятий, имеется два вида учебных заданий: примеры, предназначенные для иллюстрации теоретического материала, демонстрации
методов решения задач и т. п., и задачи, предназначенные для самостоятельного решения. Имеются гиперссылки на тесты для самообучения и самоконтроля.
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
В программе Adobe Reader и Acrobat Reader переход в полноэкранный режим и возвращение к режиму работы в окне осуществляется комбинацией клавиш Ctrl+L (т.е. одновременным нажатием
клавиш «Ctrl» и «L»). Переход к следующему слайду или возвращение к предыдущему слайду осуществляется клавишами «Page Up»
или «Page Down».
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для того, чтобы вызвать панель навигации в
Acrobat Reader надо, во-первых, выйти из полноэкранного режима (например, нажатием Esc), и, во-вторых, нажать клавишу F4
и выбрать на левой вертикальной панели вертикальный флажок
«Закладки» ............
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для перехода по гиперссылке, как обычно, следует навести указатель мыши на текст, выделенный красным (но не пурпурным) или
синим цветом и нажать на левую кнопку мыши или левую кнопку тачпада (для ноутбука). «Откат», т.е. отмена предыдущей команды (например, перехода по гиперссылке) осуществляется одновременным
нажатием клавиш Alt и ← (в Adobe Reader X может не работать).
I. Инструкция к пособию
Для просмотра файлов pdf настоятельно рекомендуем использовать программу Adobe Reader 11, Acrobat Reader DC или более поздней версии. В крайнем случае можно использовать
Adobe Reader версии 8 или 9 (но не 10).
Для перехода по гиперссылке, как обычно, следует навести указатель мыши на текст, выделенный красным (но не пурпурным) или
синим цветом и нажать на левую кнопку мыши или левую кнопку тачпада (для ноутбука). «Откат», т.е. отмена предыдущей команды (например, перехода по гиперссылке) осуществляется одновременным
нажатием клавиш Alt и ← (в Adobe Reader X может не работать).
В случае, если два соседних слова выделены, допустим, синим цветом, но одно набрано обычным, а другое — полужирным шрифтом,
то это означает, что переход по гиперссылкам осуществляется на различные мишени.
II. Важное сокращение регулярных записей
Нередко приходится сталкиваться с регулярными выражениями,
1
1 1
, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + . . . + 𝑥100 и т.п.
например, 1 + + + . . . +
2 3
100
Поэтому потребовалось создать сокращение для записей такого
сорта.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
𝑘=1
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
𝑘=1
∑︀
При этом
называется символом суммирования, а 𝑘 — переменной, по которой производится суммирование или индексом суммирования.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
𝑘=1
∑︀
При этом
называется символом суммирования, а 𝑘 — переменной, по которой производится суммирование или индексом суммирования.
𝑛
∏︀
Аналогично используется обозначение 𝑎1 · 𝑎2 · . . . · 𝑎𝑛 =
𝑎𝑘 .
𝑘=1
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
𝑘=1
∑︀
При этом
называется символом суммирования, а 𝑘 — переменной, по которой производится суммирование или индексом суммирования.
𝑛
∏︀
Аналогично используется обозначение 𝑎1 · 𝑎2 · . . . · 𝑎𝑛 =
𝑎𝑘 .
𝑘=1
Эти обозначения позволяют в ряде случаев существенно сократить
выкладки.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=1
𝑎𝑝 𝑏𝑞 =
𝑘=1
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝 𝑏𝑞 = ⏟ ⏞ +
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 принимает
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝 𝑏𝑞 = ⏟ ⏞ +
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 принимает только значение 1.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 принимает только значение 1.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
+
⏞
𝑝=2
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
+
⏞
𝑝=2
При 𝑝 = 2 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {
}.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
+
⏞
𝑝=2
При 𝑝 = 2 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +
⏟
⏞
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
+
При 𝑝 = 2 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏2 +
⏟
⏞
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
При 𝑝 = 2 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏 2 +⏟
⏟
⏞
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
.
⏞
𝑝=3
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏 2 +⏟
⏟
⏞
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
.
⏞
𝑝=3
При 𝑝 = 3 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {
}.
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏 2 +⏟
⏟
⏞
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
.
⏞
𝑝=3
При 𝑝 = 3 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2; 3} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏2 +𝑎
3 𝑏1 + ⏞
⏟
⏞
⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
.
При 𝑝 = 3 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2; 3} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
𝑏2 +
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏2 +𝑎
3 𝑏1 +𝑎3⏞
⏟
⏞
⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
.
При 𝑝 = 3 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2; 3} .
II.1. Символы суммирования и произведения
Для сокращения записей типа 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 часто используется
𝑛
∑︀
𝑎𝑘 .
обозначение
Например,
𝑘=1
𝑝
3 ∑︀
∑︀
𝑎𝑝𝑏𝑞 = ⏟𝑎1⏞𝑏1 +𝑎
𝑏2+𝑎3𝑏3 .
2 𝑏1 +𝑎
2 𝑏2 +𝑎
3 𝑏1 +𝑎3⏞
⏟
⏞
⏟
𝑝=1 𝑞=1
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
При 𝑝 = 3 переменная 𝑞 принимает значения: 𝑞 ∈ {1; 2; 3} .
II.2. Правила работы с символами суммирования и
произведения
II.2.1)
II.2.2)
II.2.3)
II.2.4)
II.2.5)
сумма из одного слагаемого;
целочисленные значения символа суммирования;
независимость суммы от переменной суммирования;
вынесение общего множителя;
перестановка символов суммирования.
II.2.1. Сумма из одного слагаемого
Выражение типа 𝑎1 считается суммой, состоящей из одного слага3
∑︀
𝑏𝑖 = 𝑏3. Аналогичное соглашение дейемого. При этом, например,
ствует и для произведения:
𝑖=3
−2
∏︀
𝑘=−2
𝑥𝑘 = 𝑥−2.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑠=1
𝑎𝑠 =
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑠=1
𝑎𝑠 = 𝑎1 +
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑠=1
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑠=1
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑠=1
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
𝑠=1
Правильно можно записать, например, так: 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 =
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
𝑠=1
Правильно можно записать, например, так: 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 =
∑︀
𝑠=
𝑎
.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
𝑠=1
Правильно можно записать, например, так: 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 =
∑︀
𝑠=1
𝑎
.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
𝑠=1
Правильно можно записать, например, так: 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 =
∑︀
𝑠=1
𝑎2𝑠−1.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Например, выражение 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 нельзя представить в виде
5
∑︀
𝑎𝑠, так как
𝑠=1
5
∑︀
𝑎𝑠 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4 + 𝑎5.
𝑠=1
Правильно можно записать, например, так: 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 =
3
∑︀
𝑠=1
𝑎2𝑠−1.
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Другой пример:
ℎ0 + ℎ1/2 + ℎ1 + ℎ3/2 + ℎ2 =
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Другой пример:
∑︀
ℎ0 + ℎ1/2 + ℎ1 + ℎ3/2 + ℎ2 =
ℎ .
𝑖=
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Другой пример:
∑︀
ℎ0 + ℎ1/2 + ℎ1 + ℎ3/2 + ℎ2 =
ℎ𝑖/2.
𝑖=
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Другой пример:
∑︀
ℎ0 + ℎ1/2 + ℎ1 + ℎ3/2 + ℎ2 =
ℎ𝑖/2.
𝑖=0
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
Другой пример:
4
∑︀
ℎ0 + ℎ1/2 + ℎ1 + ℎ3/2 + ℎ2 =
ℎ𝑖/2.
𝑖=0
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
𝑞
∑︀
В частности, количество слагаемых в сумме
равно
𝑖=𝑝
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
𝑞
∑︀
В частности, количество слагаемых в сумме
равно 𝑞 − 𝑝 + 1,
𝑖=𝑝
II.2.2. Целочисленные значения символа суммирования
Переменная, по которой производится суммирование (произведение), принимает только целые значения, последовательно возрас∑︀
(соответствентающие от значения, и указанного под знаком
∏︀
∑︀
но, ) до большего значения, указанного над символом
(соот∏︀
ветственно, ).
𝑞
∑︀
В частности, количество слагаемых в сумме
равно 𝑞 − 𝑝 + 1,
𝑖=𝑝
то есть количеству значений, которые принимает переменная, по которой производится суммирование.
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 =
𝑖=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+
𝑖=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+𝑢2,3+
𝑖=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+𝑢2,3+𝑢3,2+
𝑖=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+𝑢2,3+𝑢3,2+𝑢4,1.
𝑖=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+𝑢2,3+𝑢3,2+𝑢4,1.
𝑖=1
В правой части равенства нет 𝑖!
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
4
∑︀
Например,
𝑢𝑖,5−𝑖 = 𝑢1,4+𝑢2,3+𝑢3,2+𝑢4,1.
𝑖=1
В правой части равенства нет 𝑖!
Индекс 𝑖 иногда называют «глухим» символом, «немым», «слепым» и т.п.
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы 𝑘, 𝑓, 𝑖, 𝑥.
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы 𝑘, 𝑓, 𝑖, 𝑥.
3
∑︀
Но можно это выражение представить в виде
𝑗=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы 𝑘, 𝑓, 𝑖, 𝑥.
3
∑︀
Но можно это выражение представить в виде
𝑘𝑗 𝑓𝑖,𝑗 (𝑥)
𝑗=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы 𝑘, 𝑓, 𝑖, 𝑥.
3
∑︀
Но можно это выражение представить в виде
𝑘𝑗 𝑓𝑖,𝑗 (𝑥)
𝑗=1
или в виде
3
∑︀
𝑡=1
II.2.3. Независимость суммы от переменной суммирования
Сумма (произведение) не зависит от переменной, по которой производится суммирование (умножение).
При применении индекса суммирования в качестве переменной, по
которой производится суммирование, можно использовать любую
букву, кроме естественных исключений.
Допустим, при записи выражения 𝑘1𝑓𝑖,1(𝑥) + 𝑘2𝑓𝑖,2(𝑥) + 𝑘3𝑓𝑖,3(𝑥) с
помощью символа суммирования нельзя в качестве индекса, по которому производится суммирование, использовать буквы 𝑘, 𝑓, 𝑖, 𝑥.
3
∑︀
Но можно это выражение представить в виде
𝑘𝑗 𝑓𝑖,𝑗 (𝑥)
𝑗=1
или в виде
3
∑︀
𝑡=1
𝑘𝑡𝑓𝑖,𝑡(𝑥).
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак
.
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 =
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) =
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
поэтому
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
4
∑︀
поэтому
6𝑎𝑛 =
𝑛=1
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
4
4
∑︀
∑︀
поэтому
6𝑎𝑛 =2
3𝑎𝑛 =
𝑛=1
𝑛=1
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
4
4
4
∑︀
∑︀
∑︀
поэтому
6𝑎𝑛 =2
3𝑎𝑛 =3
2𝑎𝑛 =
𝑛=1
𝑛=1
𝑛=1
примером:
II.2.4. Вынесение общего множителя∑︀
Общий множитель можно выносить за знак .
Это
правило
проиллюстрируем
следующим
6𝑎1 + 6𝑎2 + 6𝑎3 + 6𝑎4 = 2 (3𝑎1 + 3𝑎2 + 3𝑎3 + 3𝑎4) =
= 3 (2𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 2𝑎4) = 6 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) ,
4
4
4
4
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
поэтому
6𝑎𝑛 =2
3𝑎𝑛 =3
2𝑎𝑛 =6
𝑎𝑛 .
𝑛=1
𝑛=1
𝑛=1
𝑛=1
примером:
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑗=1 𝑖=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑗=1 𝑖=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=2
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(
)=
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+
)=
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+
)=
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
=
4
2 ∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑞=2
=
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
=
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
=
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
=(
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
)+(
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
= (𝑑12+
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
)+(
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
= (𝑑12+𝑑13+
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
)+(
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
= (𝑑12+𝑑13+𝑑14) + (
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=2
= (𝑑12+𝑑13+𝑑14) + (𝑑22+
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
= (𝑑12+𝑑13+𝑑14) + (𝑑22+𝑑23+
),
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
= (𝑑12+𝑑13+𝑑14) + (𝑑22+𝑑23+𝑑24) ,
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑑1𝑞 +
𝑞=2
4
∑︀
𝑑2𝑞 =
𝑞=2
2 ∑︀
4
∑︀
𝑝=1 𝑞=2
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
(𝑑𝑝2+𝑑𝑝3+𝑑𝑝4) =
𝑝=1
= (𝑑12+𝑑13+𝑑14) + (𝑑22+𝑑23+𝑑24) ,
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
Что получится, если переставить местами символы суммирования?
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑑𝑝3+
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑑𝑝4 =
𝑝=1
Сначала «избавимся» от символа суммирования по 𝑞.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑑𝑝4 =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(
)=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑑𝑝4 =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(𝑑1𝑞 +
)=
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑑𝑝4 =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑑𝑝4 =
𝑝=1
Теперь попробуем «избавиться» от символа суммирования по 𝑝.
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
𝑞=2
=(
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑝=1
),
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
𝑞=2
= (𝑑12+
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑝=1
),
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
𝑞=2
= (𝑑12+𝑑22) + (
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑝=1
),
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
= (𝑑12+𝑑22) + (𝑑13+
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
)+(
2
∑︀
𝑝=1
),
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
4 ∑︀
2
∑︀
𝑑𝑝𝑞 =
𝑞=2 𝑝=1
= (𝑑12+𝑑22) + (𝑑13+𝑑23) + (
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
),
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
∑︀
𝑞=2
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2 𝑝=1
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
= (𝑑12+𝑑22) + (𝑑13+𝑑23) + (𝑑14 + 𝑑24) ,
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
2
∑︀ ∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑22) + (𝑑13 + 𝑑23) + (𝑑14 + 𝑑24) .
𝑞=2 𝑝=1
4
∑︀
4 ∑︀
2
∑︀
𝑞=2
𝑞=2 𝑝=1
(𝑑1𝑞 +𝑑2𝑞 ) =
𝑑𝑝𝑞 =
2
∑︀
𝑑𝑝2+
𝑝=1
2
∑︀
𝑝=1
= (𝑑12+𝑑22) + (𝑑13+𝑑23) + (𝑑14 + 𝑑24) ,
𝑑𝑝3+
2
∑︀
𝑝=1
𝑑𝑝4 =
II.2.5. Перестановка символов суммирования
Если поменять местами знаки суммирования в выражении
𝑛 ∑︀
𝑚
∑︀
𝑟𝑖𝑗 , то это приведет
𝑟𝑖𝑗 , то есть перейти к выражению
𝑚 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑗=1 𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
к перестановке слагаемых в сумме. Аналогичное правило справедливо и для произведения.
В частности, значение этой суммы (произведения) не изменится.
2 ∑︀
4
∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑13 + 𝑑14) + (𝑑22 + 𝑑23 + 𝑑24) ,
𝑝=1 𝑞=2
4
2
∑︀ ∑︀
𝑑𝑝𝑞 = (𝑑12 + 𝑑22) + (𝑑13 + 𝑑23) + (𝑑14 + 𝑑24) .
𝑞=2 𝑝=1
Важно!!! В результате перестановки символов суммирования
само выражение стало другим, но
его значение не изменилось.
Решим примеры и задачи?
III. Определение матрицы, операции алгебры матриц
Научный аппарат перерабатывает только информацию, представленную в стандартном виде. Одним из требований к стандартному
виду информации является его компактность. Как хорошо известно,
при обработке информации бывает очень полезно «расчленить» ее
на «блоки». Но для того, чтобы это привело к упрощению обработки, необходимо создать математический аппарат для «расчленения»
на «блоки» и обработки этих «блоков».
В алгебре одним из наиболее популярных видов такого математического аппарата является теория матриц.
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
стоимость хранения (коп./сут.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2
108
264
66
60
№1
120
288
72
48
№3
102
288
54
72
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
№1 №2
№3
0, 05 0, 045 0, 0425
0, 12 0, 11 0, 12
0, 03 0, 0275 0, 0225
0, 02 0, 025 0, 03
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
№1 №2
№3
0, 05 0, 045 0, 0425
0, 12 0, 11 0, 12
0, 03 0, 0275 0, 0225
0, 02 0, 025 0, 03
Что в этих таблицах можно представить как «математический объект»?
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
0, 05
товар 𝐵
0, 12
товар 𝐶
0, 03
товар 𝐷
0, 02
Описание товара и склада явно к математике не
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
№2
№3
0, 045 0, 0425
0, 11 0, 12
0, 0275 0, 0225
0, 025 0, 03
относится.
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
№1 №2
№3
0, 05 0, 045 0, 0425
0, 12 0, 11 0, 12
0, 03 0, 0275 0, 0225
0, 02 0, 025 0, 03
К математическим объектам можно отнести числа в таблице...
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2 №3
4, 5 4, 25
11 12
2, 75 2, 25
2, 5 3
№1 №2
№3
0, 05 0, 045 0, 0425
0, 12 0, 11 0, 12
0, 03 0, 0275 0, 0225
0, 02 0, 025 0, 03
К математическим объектам можно отнести числа в таблице...
Как-то неинтересно, неперспективно...
III.1. Определение матрицы
стоимость хранения (коп./час.)∖склад № 1
товар 𝐴
5
товар 𝐵
12
товар 𝐶
3
товар 𝐷
2
стоимость хранения (руб./час.)∖склад
товар 𝐴
товар 𝐵
товар 𝐶
товар 𝐷
№2 №3
4, 5 4, 25
11
12
2, 75 2, 25
2, 5
3
№1
№2
№3
0, 05 0, 045 0, 0425
0, 12 0, 11
0, 12
0, 03 0, 0275 0, 0225
0, 02 0, 025 0, 03
К математическим объектам можно отнести таблицы.
III.1. Определение матрицы
⎛
⎞
5 4, 5 4, 25
⎜
⎟
⎜ 12 11 12 ⎟
⎜
⎟
⎝ 3 2, 75 2, 25 ⎠
2 2, 5
3
⎛
⎞
0, 05 0, 045 0, 0425
⎜
⎟
⎜ 0, 12 0, 11 0, 12 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0, 03 0, 0275 0, 0225 ⎠
0, 02 0, 025 0, 03
Обычно в математике такие таблицы заключают в круглые скобки
или
III.1. Определение матрицы
⎛
⎞
5 4, 5 4, 25
⎜
⎟
⎜ 12 11 12 ⎟
⎜
⎟,
⎝ 3 2, 75 2, 25 ⎠
2 2, 5
3
⎛
⎞
0, 05 0, 045 0, 0425
⎜
⎟
⎜ 0, 12 0, 11 0, 12 ⎟
⎜
⎟,
⎝ 0, 03 0, 0275 0, 0225 ⎠
0, 02 0, 025 0, 03
⎡
⎤
5 4, 5 4, 25
⎢
⎥
⎢ 12 11 12 ⎥
⎢
⎥
⎣ 3 2, 75 2, 25 ⎦
2 2, 5
3
⎡
⎤
0, 05 0, 045 0, 0425
⎢
⎥
⎢ 0, 12 0, 11 0, 12 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0, 03 0, 0275 0, 0225 ⎦
0, 02 0, 025 0, 03
Обычно в математике такие таблицы заключают в круглые скобки
или в квадратные скобки.
III.1. Определение матрицы
⎛
⎞
5 4, 5 4, 25
⎜
⎟
⎜ 12 11 12 ⎟
⎜
⎟
⎝ 3 2, 75 2, 25 ⎠
2 2, 5
3
⎛
⎞
0, 05 0, 045 0, 0425
⎜
⎟
⎜ 0, 12 0, 11 0, 12 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0, 03 0, 0275 0, 0225 ⎠
0, 02 0, 025 0, 03
Мы будем использовать только круглые скобки.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
Во-вторых, это «определение», как правило, даже предпочтительнее приведенного ниже строгого определения, так как таблицы чисел,
как форма представления информации довольно часто встречаются
«в обычной жизни».
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
Во-вторых, это «определение», как правило, даже предпочтительнее приведенного ниже строгого определения, так как таблицы чисел,
как форма представления информации довольно часто встречаются
«в обычной жизни». Например, это список товаров с указанием цены и количества этого товара на складе (имеется в виду та часть
таблицы, которая заполнена числами, а не текстом).
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
Во-вторых, это «определение», как правило, даже предпочтительнее приведенного ниже строгого определения, так как таблицы чисел,
как форма представления информации довольно часто встречаются
«в обычной жизни». Например, cправка о доходах часто представляет собой, по сути, таблицу из двух строк: в первой строке — номер
месяца, во второй строке — указание суммы (в России — обычно в
рублях или у.е.).
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
Во-вторых, это «определение», как правило, даже предпочтительнее приведенного ниже строгого определения, так как таблицы чисел,
как форма представления информации довольно часто встречаются «в обычной жизни». Например, результаты спортивных матчей в
чемпионатах и других соревнований также часто оформляют в виде
таблицы.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Прежде чем подвергнуть это определение сокрушительной критике, отметим два факта. Во-первых, с практической точки зрения это
«определение» является вполне удовлетворительным, так как в прикладных областях уровень требований к строгости определений основных понятий обычно ниже, чем в «чистой» математике.
Во-вторых, это «определение», как правило, даже предпочтительнее приведенного ниже строгого определения, так как таблицы чисел,
как форма представления информации довольно часто встречаются
«в обычной жизни».
Отметим, что в матрицах, рассматриваемых в математике, не может быть «прочерков» в «клетках» таблицы.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Сформулируем строгое математическое определение матрицы.
Во-первых, вам следует освоить стратегию формирования понятия.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Сформулируем строгое математическое определение матрицы.
Во-первых, вам следует освоить стратегию формирования понятия.
Во-вторых, во многих случаях необходимо знать строгое определение понятия.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Сформулируем строгое математическое определение матрицы.
Во-первых, вам следует освоить стратегию формирования понятия.
Во-вторых, во многих случаях необходимо знать строгое определение понятия.
В-третьих, для формирования навыков работы с понятийным аппаратом науки будет, видимо, полезна очередная демонстрация процесса формирования математически строгого определения.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Получение строгой формулировки начнем с обсуждения приведенного выше «определения» матрицы. Как нетрудно понять, на самом
деле это «определение» не выдерживает критики. Во-первых, оно
«отсекается» бритвой Оккама, так как понятие «таблица» не входит
в систему собственно математических понятий, а в этом «определении» оно фактически играет роль неопределяемого понятия.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Получение строгой формулировки начнем с обсуждения приведенного выше «определения» матрицы. Как нетрудно понять, на самом
деле это «определение» не выдерживает критики. Во-первых, оно
«отсекается» бритвой Оккама, так как понятие «таблица» не входит
в систему собственно математических понятий, а в этом «определении» оно фактически играет роль неопределяемого понятия.
Во-вторых, на самом деле далеко не всегда элементы матрицы являются числами.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Теперь попробуем сформулировать строгое определение матрицы,
но прежде оговоримся, что (это потребуется во многих приложениях,
некоторые из которых приведены ниже) элементы матрицы мы будем
считать элементами некоторого кольца 𝐾.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
С чего начнем?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
С чего начнем?
Применим прием конкретизации.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Это некоторый «набор» чисел.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Это некоторый «набор» чисел.
К сожалению, слово «набор» ничуть не лучше (а даже хуже), чем
термин «таблица».
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Давайте поставим вопрос так: зачем выписывать эти числа в таблицу, чем это удобнее других способов?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Давайте поставим вопрос так: зачем выписывать эти числа в таблицу, чем это удобнее других способов?
Для ответа на этот вопрос следует понять
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Давайте поставим вопрос так: зачем выписывать эти числа в таблицу, чем это удобнее других способов?
Для ответа на этот вопрос следует понять как используется такая
запись.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Чему равен элемент в первой строке
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
собой, с точки зрения математики, таблица,
⎛представляет⎞
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Чему равен элемент в первой строке
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
собой, с точки зрения математики, таблица,
⎛представляет⎞
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Чему равен элемент в первой строке и втором столбце?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
с точки зрения математики, таблица,
⎛представляет собой,
⎞
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1
3 0 5 ⎠?
2
1 1 10
Чему равен элемент в первой строке и втором столбце?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет собой,
⎞ с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
⎜
⎟
допустим ⎝ 1
3 0 5 ⎠?
2
1 1 10
Чему равен элемент в первой строке и втором столбце? Он равен (−1).
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет собой,
⎞ с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
⎜
⎟
допустим ⎝ 1
3 0 5 ⎠?
2
1 1 10
Элемент в первой строке и втором столбце равен (−1).
Суть процесса заключалась в том, что мы задавали пару чисел —
номер строки и номер столбца, и получали в ответ число.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет собой,
⎞ с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
⎜
⎟
допустим ⎝ 1
3 0 5 ⎠?
2
1 1 10
Элемент в первой строке и втором столбце равен (−1).
Суть процесса заключалась в том, что мы задавали пару чисел —
номер строки и номер столбца, и получали в ответ число. Как такая
ситуация моделируется в математических терминах?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет собой,
⎞ с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
⎜
⎟
допустим ⎝ 1
3 0 5 ⎠?
2
1 1 10
Элемент в первой строке и втором столбце равен (−1).
Суть процесса заключалась в том, что мы задавали пару чисел —
номер строки и номер столбца, и получали в ответ число. Как такая
ситуация моделируется в математических терминах?
В математике этой ситуации соответствует понятие функция.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Итак, что
⎛представляет⎞собой, с точки зрения математики, таблица,
2 −1 2 0
допустим ⎝ 1 3 0 5 ⎠?
2 1 1 10
Таким образом, эта таблица определяет однозначное отображение,
то есть функцию. Понятие «функция» является стандартным понятием современной математики, поэтому естественным представляется свести понятие «матрица» к понятию «функция».
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Сформулируем определение.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется...
Родовое понятие?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция,...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция,
Характеристические свойства?
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛},...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца. Но в определении матрицы пока нет ни слова о кольце.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца. Но в определении матрицы пока нет ни слова о кольце. Значит, надо определять не матрицу, а матрицу над кольцом.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца. Но в определении матрицы пока нет ни слова о кольце. Значит, надо определять не матрицу, а матрицу над кольцом. Нам придется в определении на него ссылаться.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца. Но в определении матрицы пока нет ни слова о кольце. Значит, надо определять не матрицу, а матрицу над кольцом. Нам придется в определении на него ссылаться.
Поэтому обозначим кольцо буквой,
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей называется функция, область определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
Коэффициентами матрицы являются элементы кольца. Но в определении матрицы пока нет ни слова о кольце. Значит, надо определять не матрицу, а матрицу над кольцом. Нам придется в определении на него ссылаться.
Поэтому обозначим кольцо буквой, например, 𝐾.
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей над кольцом 𝐾 называется функция, область
определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений...
III.1. Определение матрицы
Что такое матрица? Можно предложить следующий вариант определения: матрица — это прямоугольная таблица чисел.
Цель 1. Формализовать понятие «матрица» с помощью стандартных математических понятий.
Матрицей над кольцом 𝐾 называется функция, область
определения которой равна {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛}, область значений включается в 𝐾.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Какова связь этой функции с таблицей?
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Какова связь этой функции с таблицей?
Стандартные способы задания функции:
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Какова связь этой функции с таблицей?
Стандартные способы задания функции:
формула,
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Какова связь этой функции с таблицей?
Стандартные способы задания функции:
формула, график,
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Какова связь этой функции с таблицей?
Стандартные способы задания функции:
формула, график, таблица.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
𝑖∖𝑗 1 2 3 4
1 2 −1 2 0
Например,
2 1 3 0 5
3 2 1 1 10
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
𝑖∖𝑗 1 2 3 4
1 2 −1 2 0
Например,
2 1 3 0 5
3 2 1 1 10
У всех таких функций «нулевой» столбец и «нулевая» строки одинаковы.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
𝑖∖𝑗 1 2 3 4
1 2 −1 2 0
Например,
2 1 3 0 5
3 2 1 1 10
У всех таких функций «нулевой» столбец и «нулевая» строки одинаковы. Поэтому можно их не писать.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
У всех таких функций «нулевой» столбец и «нулевая» строки одинаковы. Поэтому можно их не писать.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
Итак, матрица как таблица — это «очищенная от лишнего» таблица
значений функции.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
Задание матрицы как таблицы — это частный случай распространенного, но
опасного приема введения понятия: отождествление объекта с одним из способов его задания.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
Задание матрицы как таблицы — это частный случай распространенного, но
опасного приема введения понятия: отождествление объекта с одним из способов его задания.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
Задание матрицы как таблицы — это частный случай распространенного, но
опасного приема введения понятия: отождествление объекта с одним из способов его задания.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
В школе отождествление объекта с одним из способов его задания применено
для введения иррационального числа: бесконечная непериодическая десятичная
дробь.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
⎞
𝑖∖𝑗 1 2 3 4 ⎛
2 −1 2 0
1 2 −1 2 0 ⎝
Например,
1 3 0 5 ⎠.
2 1 3 0 5
2 1 1 10
3 2 1 1 10
В школе отождествление объекта с одним из способов его задания применено
для введения иррационального числа: бесконечная непериодическая десятичная
дробь.
III.1. Определение матрицы
Определение 1.
Матрицей
с
компонентами
(говорят
еще «с элементами») из кольца 𝐾 размерности 𝑚 × 𝑛
называется функция 𝐹 с областью
определения
𝐷(𝐹 ) = {1, 2, . . . , 𝑚} × {1, 2, . . . , 𝑛} и областью значений, включающейся в 𝐾, то есть 𝐸(𝐹 ) ⊆ 𝐾. При этом для любого элемента
(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷(𝐹 ) число 𝑖 называется номером строки матрицы, а
число 𝑗 — номером столбца матрицы. При этом элементы основного кольца 𝐾 часто называют скалярами.
Оговорим некоторые соглашения, применяемые нами в этой главе
«по умолчанию».
III.2. Некоторые соглашения
• У нас матрица обозначается заглавной латинской буквой, причем
часто напечатанной «жирным» шрифтом;
III.2. Некоторые соглашения
• У нас матрица обозначается заглавной латинской буквой, причем
часто напечатанной «жирным» шрифтом;
• элементы матрицы M обозначаются той же буквой, что и вся
матрица, но, во-первых, строчной, а не заглавной, и, во-вторых,
снабженной индексами. Таким образом элемент матрицы M, как
правило, обозначается через 𝑚𝑖𝑗 , где первый индекс (в данном
случае, это 𝑖) обозначает номер строки, а второй — номер столбца. При необходимости индексы будем разделять запятыми;
III.2. Некоторые соглашения
• У нас матрица обозначается заглавной латинской буквой, причем
часто напечатанной «жирным» шрифтом;
• элементы матрицы M одноименной строчной буквой, снабженной
индексами;
• для сокращения записи тот факт, что M — матрица размерности
𝑚 × 𝑛 при необходимости будем записывать прямо в идентификаторе этой матрицы: M𝑚×𝑛;
III.2. Некоторые соглашения
Например,
⎛
A = A3×2 = (𝑎𝑖𝑗 )3×2
В частности, 𝑎21 =
√
⎞ ⎛
⎞
4
−1
𝑎11 𝑎12
√
= ⎝ 𝑎21 𝑎22 ⎠ = ⎝ 5 0.2 ⎠ .
𝑎31 𝑎32
2 3/7
5, 𝑎12 = −1, 𝑎32 = 73 .
III.3. Как разобраться, что такое матрица?
Есть два основных варианта:
III.3. Как разобраться, что такое матрица?
Есть два основных варианта:
— применение приема конкретизации;
III.3. Как разобраться, что такое матрица?
Как разобраться, что такое матрица?
Есть два основных варианта:
— применение приема конкретизации;
— изучение определения, получение следствий.
III.4. Виды матриц
1. Матрица размерности 1 × 𝑛 называется матрицей-строкой
или просто строкой. Матрица размерности 𝑚 × 1 называется
матрицей-столбцом или просто⎛столбцом.
Таким образом,
⎞
−3
⎜
⎟
(︀
)︀
⎜ 2⎟
−3 2 0 1 — матрица-строка и ⎜
⎟ — матрица-столбец.
⎝ 0⎠
1
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Матрица размерности 𝑛 × 𝑛 называется квадратной матрицей.
Таким образом, матрица является квадратной тогда и только
тогда,
когда
число ее строк равно числу столбцов. Например,
(︂
)︂
2 −1
— квадратная матрица.
5 3
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Квадратная матрица T𝑛×𝑛 с компонентами из поля 𝐾 называется
верхней треугольной {︂
тогда и только тогда, когда для любых
1≤𝑖≤𝑛
номеров 𝑖, 𝑗 таких, что
, имеем 𝑡𝑖𝑗 = 0. Квадратная
1≤𝑗<𝑖
матрица T′𝑛×𝑛 с компонентами из поля 𝐾 называется нижней
треугольной тогда и только тогда, когда для любых
⎛ номеров⎞𝑖, 𝑗
{︂
−2 1 3
1≤𝑗≤𝑛
таких, что
, имеем 𝑡𝑖𝑗 = 0. Например, ⎝ 0 5 1 ⎠ —
1≤𝑖<𝑗
0 0 4
верхняя треугольная матрица.
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Квадратная матрица T𝑛×𝑛 с компонентами из поля 𝐾 называется
верхней треугольной {︂
тогда и только тогда, когда для любых
1≤𝑖≤𝑛
номеров 𝑖, 𝑗 таких, что
, имеем 𝑡𝑖𝑗 = 0. Квадратная
1≤𝑗<𝑖
матрица T′𝑛×𝑛 с компонентами из поля 𝐾 называется нижней
треугольной тогда и только тогда, когда для любых
⎛ номеров⎞𝑖, 𝑗
{︂
−2 0 0
1≤𝑗≤𝑛
таких, что
, имеем 𝑡𝑖𝑗 = 0. Например, ⎝ 5 3 0 ⎠ —
1≤𝑖<𝑗
3 6 4
нижняя треугольная матрица.
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная матрицы.
Верхняя или нижняя треугольная матрица A𝑛×𝑛 такая, что
1 = 𝑎11 = . . . = 𝑎𝑛𝑛 называется верхней унитреугольной или,
соответственно, нижней унитреугольной.
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Квадратная матрица D𝑛×𝑛 называется диагональной
тогда и
⎧
⎨1≤𝑖≤𝑛
только тогда, для любых номеров 𝑖, 𝑗 таких, что
1≤𝑗≤𝑛,
⎩
𝑖 ̸= 𝑗
⎛
⎞
−1 0 0
имеем 𝑑𝑖𝑗 = 0. Например, ⎝ 0 2 0 ⎠ — диагональная матри0 0 −1
ца.
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Диагональная матрица.
Ясно, что диагональная матрица является и верхней треугольной, и нижней треугольной
матрицей.
Иногда пишут
⎛
⎞
𝑑1 0 . . . 0
⎜
⎟
⎜ 0 𝑑2 . . . 0 ⎟
diag(𝑑1, 𝑑2, . . . , 𝑑𝑛) вместо ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
0 0 . . . 𝑑𝑛
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Диагональная матрица, diag(𝑑1, 𝑑2, . . . , 𝑑𝑛).
5. Единичной
𝑛 × 𝑛 называется квадратная
⎛ матрицей размерности
⎞
1 0 0 ... 0
⎜ 0 1 0 ... 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
матрица ⎜ 0 0 1 . . . 0 ⎟, имеющая 𝑛 строк и 𝑛 столбцов.
⎜
⎟
...
⎝
⎠
0 0 0 ... 1
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Диагональная матрица, diag(𝑑1, 𝑑2, . . . , 𝑑𝑛).
5. Единичная матрица diag(1, 1, . . . , 1).
6. Нулевой
матрицей
размерности 𝑚 × 𝑛 называется матрица
⎞
⎛
0 0 0 ... 0
⎜ 0 0 0 ... 0 ⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ 0 0 0 . . . 0 ⎟, имеющая 𝑚 строк и 𝑛 столбцов.
⎜
⎟
...
⎠
⎝
0 0 0 ... 0
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Диагональная матрица, diag(𝑑1, 𝑑2, . . . , 𝑑𝑛).
5. Единичная матрица.
6. Нулевая матрица.
7. Полураспавшимися называются матрицы вида
)︂
(︂
)︂
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
,
,
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞 и A𝑚×𝑚, B𝑚×𝑛,
C𝑛×𝑛 — произвольные матрицы соответствующих размерностей.
III.4. Виды матриц
1. Матрица-строка A1×𝑛, матрица-столбец A𝑛×1.
2. Квадратная матрица A𝑛×𝑛.
3. Верхняя треугольная и нижняя треугольная, верхняя
унитреугольная, нижняя унитреугольная матрицы.
4. Диагональная,
5. Единичная,
6. Нулевая.
7. Полураспавшиеся матрицы.
8. Клеточно-диагональной
называется
матрица, представимая
⎛
⎞
A𝑝×𝑝 0𝑝×𝑞 . . . 0𝑝×𝑟
⎜
⎟
⎜ 0𝑞×𝑝 B𝑞×𝑞 . . . 0𝑞×𝑟 ⎟
в виде ⎜
⎟, где {A𝑝×𝑝, B𝑞×𝑞 , . . . , C𝑟×𝑟 } —
...
⎝
⎠
0𝑟×𝑝 0𝑟×𝑞 . . . C𝑟×𝑟
множество квадратных матриц. Матрицы A𝑝×𝑝, B𝑞×𝑞 , C𝑟×𝑟 называются диагональными клетками.
III.4. Виды матриц
В частности, диагональная матрица, имеющая не менее двух строк,
является клеточно-диагональной. Диагональные
клетки
⎛
⎞ можно вы1 0 0 0
⎜
⎟
⎜0 2 3 0⎟
делять неоднозначно, например матрицу ⎜
⎟ можно раз⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
бить на клетки каждым из таких способов:
III.4. Виды матриц
В частности, диагональная матрица, имеющая не менее двух строк,
является клеточно-диагональной. Диагональные
клетки
⎛
⎞ можно вы1 0 0 0
⎜
⎟
⎜0 2 3 0⎟
делять неоднозначно, например матрицу ⎜
⎟ можно раз⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
бить на клетки каждым из таких способов:
⎞
⎛
1 0 0 0
⎟
⎜
⎜0 2 3 0⎟
⎟,
⎜
⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
III.4. Виды матриц
В частности, диагональная матрица, имеющая не менее двух строк,
является клеточно-диагональной. Диагональные
клетки
⎛
⎞ можно вы1 0 0 0
⎜
⎟
⎜0 2 3 0⎟
делять неоднозначно, например матрицу ⎜
⎟ можно раз⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
бить на клетки каждым из таких способов:
⎞
⎞
⎛
⎛
1 0 0 0
1 0 0 0
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜0 2 3 0⎟
⎜0 2 3 0⎟
⎟, ⎜
⎟,
⎜
⎝0 0 1 0⎠
⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
0 0 0 5
III.4. Виды матриц
В частности, диагональная матрица, имеющая не менее двух строк,
является клеточно-диагональной. Диагональные
клетки
⎛
⎞ можно вы1 0 0 0
⎜
⎟
⎜0 2 3 0⎟
делять неоднозначно, например матрицу ⎜
⎟ можно раз⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
бить на клетки каждым из таких способов:
⎞
⎞
⎞
⎛
⎛
⎛
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜0 2 3 0⎟
⎜0 2 3 0⎟
⎜0 2 3 0⎟
⎟, ⎜
⎟, ⎜
⎟.
⎜
⎝0 0 1 0⎠
⎝0 0 1 0⎠
⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 5
0 0 0 5
0 0 0 5
III.4. Виды матриц
Совпадает ли однокомпонентная матрица (𝑎11) со единственной
своей компонентой 𝑎11?
III.4. Виды матриц
Во-первых, это «объекты» разной «природы»: 𝑎11 — это число, а
(𝑎11) — матрица (иногда компонентами (элементами) матрицы могут
быть другие «объекты», даже — в тензорном исчислении — другие
матрицы).
III.4. Виды матриц
Во-первых, это «объекты» разной «природы»: 𝑎11 — это число, а
(𝑎11) — матрица (иногда компонентами (элементами) матрицы могут
быть другие «объекты», даже — в тензорном исчислении — другие
матрицы).
Во-вторых, набор «характеристик», связанный с 𝑎11 и с (𝑎11), может
быть существенно различным. Например,
III.4. Виды матриц
Во-первых, это «объекты» разной «природы»: 𝑎11 — это число, а
(𝑎11) — матрица (иногда компонентами (элементами) матрицы могут
быть другие «объекты», даже — в тензорном исчислении — другие
матрицы).
Во-вторых, набор «характеристик», связанный с 𝑎11 и с (𝑎11), может быть существенно различным. Например, число можно сложить
с другим числом (операция сложения матрицы с числом обычно не
определяется), для чисел определены отношения <, > и т.п., не определенные для матриц и т.п.
III.4. Виды матриц
Во-первых, это «объекты» разной «природы»: 𝑎11 — это число, а
(𝑎11) — матрица (иногда компонентами (элементами) матрицы могут
быть другие «объекты», даже — в тензорном исчислении — другие
матрицы).
Во-вторых, набор «характеристик», связанный с 𝑎11 и с (𝑎11), может быть существенно различным. Например, число можно сложить
с другим числом (операция сложения матрицы с числом обычно не
определяется), для чисел определены отношения <, > и т.п., не определенные для матриц и т.п. С другой стороны, для числа не определены такие характеристики как количество строк или число столбцов.
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
Для представления свойств необходим развитый понятийный аппарат. Создание понятийного аппарата можно рассматривать как применение стратегии построения модели и стратегии обогащения модели.
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
Для представления свойств необходим развитый понятийный аппарат. Создание понятийного аппарата можно рассматривать как применение стратегии построения модели и стратегии обогащения модели.
При формировании понятийного аппарата ведущей является стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций. Она применена при выделении описанных выше видов матриц.
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
Для представления свойств необходим развитый понятийный аппарат. Создание понятийного аппарата можно рассматривать как применение стратегии построения модели и стратегии обогащения модели.
При формировании понятийного аппарата ведущей является стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций. Она применена при выделении описанных выше видов матриц.
Можно изучать свойства матриц, вводить новые характеристики и
отношения, используя различные исследовательские стратегии.
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
Для представления свойств необходим развитый понятийный аппарат. Создание понятийного аппарата можно рассматривать как применение стратегии построения модели и стратегии обогащения модели.
При формировании понятийного аппарата ведущей является стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций. Она применена при выделении описанных выше видов матриц.
Можно, используя стратегию поиска аналогии и стратегию построения модели, сопоставить матрице различные математические объекты («модели матриц») и изучать особенности матриц в сочетании с
их моделями (матрица перехода, матрица Грама, матрица билинейной формы и др.).
IV. В каких направлениях развивать исследования?
Перейти к списку базовых исследовательских стратегий?
Для представления свойств необходим развитый понятийный аппарат. Создание понятийного аппарата можно рассматривать как применение стратегии построения модели и стратегии обогащения модели.
При формировании понятийного аппарата ведущей является стратегия приоритетного изучения экстремальных ситуаций. Она применена при выделении описанных выше видов матриц.
Можно, используя стратегию перехода от изучения отдельного объекта к исследованию системы объектов, определить операции и отношения на множестве матриц.
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . Тот факт, что матрицы A и B равны обозначается, естественно, как A = B.
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . Тот факт, что матрицы A и B равны обозначается, естественно, как A = B.
(︂ Например,)︂ (︂
)︂
1 0 −1
1 0 −1
=
̸=
0.2 1 2
0.2 1 2
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . Тот факт, что матрицы A и B равны обозначается, естественно, как A = B.
(︂ Например,)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
1 0 −1
1 0 −1
0.2 1 2
=
̸=
0.2 1 2
0.2 1 2
1 0 −1
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . Тот факт, что матрицы A и B равны обозначается, естественно, как A = B.
(︂ Например,)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
1 0 −1
1 0 −1
0 1 −1
=
̸=
0.2 1 2
0.2 1 2
1 0.2 2
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 . Тот факт, что матрицы A и B равны обозначается, естественно, как A = B.
Например,
⎛
(︂
)︂ (︂
)︂
1 0 −1
1 0 −1
=
̸= ⎝
0.2 1 2
0.2 1 2
⎞
1 0.2
0 1 ⎠.
−1 2
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
Определение 4. Следом квадратной матрицы A, обозначаемым
tr(A), называется сумма элементов ее главной диагонали.
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
Определение 4. Следом квадратной матрицы A, обозначаемым
tr(A), называется сумма элементов ее главной диагонали.
Например, tr
(︂
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)︂
=
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
Определение 4. Следом квадратной матрицы A, обозначаемым
tr(A), называется сумма элементов ее главной диагонали.
Например, tr
(︂
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)︂
= 𝑎 + 𝑑,
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
Определение 4. Следом квадратной матрицы A, обозначаемым
tr(A), называется сумма элементов ее главной диагонали.
⎛
⎞
(︂
)︂
𝑎1 𝑏1 𝑐 1
𝑎 𝑏
Например, tr
= 𝑎 + 𝑑, tr ⎝ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ⎠ =
𝑐 𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐 3
IV.1. Некоторые понятия теории матриц
Определение 2. Матрицы A и B называются равными тогда
и только тогда, когда, во-первых, они имеют одинаковую размерность, и, во-вторых, для любого номера 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑚 —
число строк матрицы A и любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, где 𝑛 —
число столбцов матрицы A, имеем 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 .
Определение 3. Главной диагональю квадратной матрицы A называется упорядоченная 𝑛-ка (кортеж из 𝑛 элементов) 𝑎11, 𝑎22, . . . , 𝑎𝑛𝑛.
Определение 4. Следом квадратной матрицы A, обозначаемым
tr(A), называется сумма элементов ее главной диагонали.
⎛
⎞
(︂
)︂
𝑎1 𝑏1 𝑐 1
𝑎 𝑏
Например, tr
= 𝑎 + 𝑑, tr ⎝ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ⎠ = 𝑎1 + 𝑏2 + 𝑐3.
𝑐 𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐 3
IV.2. Операции матричной алгебры
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
IV.2. Операции матричной алгебры
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
Но для того, чтобы формулировать какие-либо свойства матриц, у
нас слабоват понятийный аппарат, недостаточно базовых понятий.
IV.2. Операции матричной алгебры
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
Но для того, чтобы формулировать какие-либо свойства матриц, у
нас слабоват понятийный аппарат, недостаточно базовых понятий.
В данном случае для выхода из положения воспользуемся можно стратегией перехода от изучения отдельного объекта к изучению
системы объектов.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
Но для того, чтобы формулировать какие-либо свойства матриц, у
нас слабоват понятийный аппарат, недостаточно базовых понятий.
В данном случае для выхода из положения воспользуемся можно стратегией перехода от изучения отдельного объекта к изучению
системы объектов.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
Но для того, чтобы формулировать какие-либо свойства матриц, у
нас слабоват понятийный аппарат, недостаточно базовых понятий.
В данном случае для выхода из положения воспользуемся можно стратегией перехода от изучения отдельного объекта к изучению
системы объектов.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Мы разобрались с определением матрицы, рассмотрели некоторые
примеры матриц (в основном, руководствуясь стратегией приоритетного изучения «экстремальных ситуаций»).
Но для того, чтобы формулировать какие-либо свойства матриц, у
нас слабоват понятийный аппарат, недостаточно базовых понятий.
В данном случае для выхода из положения воспользуемся можно стратегией перехода от изучения отдельного объекта к изучению
системы объектов.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
Это одна из основных целей создания и развития понятийного аппарата.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
Это одна из основных целей создания и развития понятийного аппарата.
Итак, главный вопрос к этому моменту:...
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
Это одна из основных целей создания и развития понятийного аппарата.
Итак, главный вопрос к этому моменту:...
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
Это одна из основных целей создания и развития понятийного аппарата.
Итак, главный вопрос к этому моменту:...
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Какой вопрос является основным на данной стадии создания теории матриц?
Наука и техника в конечном итоге работают только с информацией,
имеющей типовой, стандартный вид.
Это одна из основных целей создания и развития понятийного аппарата.
Итак, главный вопрос к этому моменту:...
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов»
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов»
Но формулы для элементов — это один из способов задания
алгоритма!
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов»
Но формулы для элементов — это один из способов задания
алгоритма!
В чем разница с «языком алгоритмов»?
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» для непосредственного манипулирования с
элементами матрицы;
Но формулы для элементов — это один из способов задания
алгоритма!
В чем разница с «языком алгоритмов»?
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» для непосредственного манипулирования с
элементами матрицы;
3) «язык формул» для матриц в целом, т.е. определение «вторичных»
операций.
IV.2. Операции матричной алгебры
Определим на множестве матриц операции и отношения.
Как задавать операции матричной алгебры?
Обычно для этого применяются три языка:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» для непосредственного манипулирования с
элементами матрицы;
3) «язык формул» для матриц в целом, т.е. определение «вторичных»
операций.
Начнем с суммы матриц.
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
мы кратко представим матрицей
(︂
10 18 3
5 27 12
)︂
.
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
(︂
)︂
10 18 3
.
5 27 12
Допустим, на склады дополнительно поступили партии товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
.
Склад №1
38 шт
3 шт
4 шт
Склад №2
2 шт
7 шт
9 шт
мы кратко представим матрицей
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
(︂
)︂
10 18 3
.
5 27 12
Допустим, на склады дополнительно поступили партии товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
.
Склад №1
38 шт
3 шт
4 шт
Склад №2
2 шт
7 шт
9 шт
Тогда на скаладах будут храниться следующие партии товаров...
мы кратко представим матрицей
IV.2.1.
Матричные
операции: сумма матриц
(︂
)︂
10 18 3
+
5 27 12
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
(︂
)︂
10 18 3
.
5 27 12
Допустим, на склады дополнительно поступили партии товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
.
Склад №1
38 шт
3 шт
4 шт
Склад №2
2 шт
7 шт
9 шт
Тогда на скаладах будут храниться следующие партии товаров...
мы кратко представим матрицей
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма матриц
(︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
+
=
5 27 12
2 7 9
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
(︂
)︂
10 18 3
.
5 27 12
Допустим, на склады дополнительно поступили партии товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
.
Склад №1
38 шт
3 шт
4 шт
Склад №2
2 шт
7 шт
9 шт
Тогда на скаладах будут храниться следующие партии товаров...
мы кратко представим матрицей
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
+
=
.
5 27 12
2 7 9
Допустим, у фирмы имеется два склада, на которых хранятся три
типа товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
,
Склад №1
10 шт
18 шт
3 шт
Склад №2
5 шт
27 шт
12 шт
(︂
)︂
10 18 3
.
5 27 12
Допустим, на склады дополнительно поступили партии товара:
Товар 1-го типа Товар 2-го типа Товар 3-го типа
.
Склад №1
38 шт
3 шт
4 шт
Склад №2
2 шт
7 шт
9 шт
Тогда на скаладах будут храниться следующие партии товаров...
мы кратко представим матрицей
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и первом столбце получим (количество товара первого типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и первом столбце получим (количество товара первого типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и первом столбце получим (количество товара первого типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и первом столбце получим (количество товара первого типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и втором столбце получим (количество товара второго типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и втором столбце получим (количество товара второго типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и втором столбце получим (количество товара второго типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и втором столбце получим (количество товара второго типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и третьем столбце получим (количество товара
третьего типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и третьем столбце получим (количество товара
третьего типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и третьем столбце получим (количество товара
третьего типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
.
5 27 12
2 7 9
В первой строке и третьем столбце получим (количество товара
третьего типа на первом складе)...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7 34
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7 34
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7 34
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
38 3 4
48 21 7
+
=
5 27 12
2 7 9
7 34 21
Аналогичный
алгоритм
применяем
ки...
.
для
второй
стро-
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке
Можно ли сейчас определить сумму матриц на языке матриц в целом?
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке
Можно ли сейчас определить сумму матриц на языке матриц в целом?
У нас пока слишком бедный понятийный аппарат, в частности, пока не определено ни одной операции!
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке
Можно ли сейчас определить сумму матриц на языке матриц в целом?
Как тут определить «вторичную операцию», если даже первичные не определены?
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке формул
для элементов матриц.
Можно ли сейчас определить сумму матриц на языке матриц в целом?
Как тут определить «вторичную операцию», если даже первичные не определены?
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим операцию суммирования матриц на языке формул
для элементов матриц.
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Сначала надо ввести идентификаторы для рассматриваемых объектов.
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
A + B = C,
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Сначала надо ввести идентификаторы для рассматриваемых объектов.
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
+
38 3 4
2 7 9
=
48 21 7
7 34 21
.
A + B = C,
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏 . . . ⎠ =
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏 . . . ⎠ =
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
Суммировать надо с элементом, находящемся на том же месте, т.е.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏 . . . ⎠ =
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
Суммировать надо с элементом, находящемся на том же месте, т.е.
в той же строке и том же столбце.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Но идентификаторы нужны для элементов матриц.
Суммировать надо с элементом, находящемся на том же месте, т.е.
в той же строке и том же столбце.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Результат суммирования находится на том же месте, т.е.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Результат суммирования находится на том же месте, т.е.
в той же строке и том же столбце.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Результат суммирования находится на том же месте, т.е.
в той же строке и том же столбце.
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
Получим характеристическое свойство для суммы:
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
Получим характеристическое свойство для суммы: 𝑐𝑖𝑗 =
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
Получим характеристическое свойство для суммы: 𝑐𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗 +
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
Получим характеристическое свойство для суммы: 𝑐𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗 .
+
⎛
IV.2.1.
Матричные
операции:
сумма
матриц
(︂
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
10 18 3
5 27 12
38 3 4
48 21 7
=
.
2 7 9
7 34 21
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
... ... ...
... ... ...
... ... ...
A + B = C, ⎝ . . . 𝑎𝑖𝑗 . . . ⎠ +⎝ . . . 𝑏𝑖𝑗 . . . ⎠ =⎝ . . . 𝑐𝑖𝑗 . . . ⎠ .
... ... ...
... ... ...
... ... ...
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
А зачем «рисовать» всю матрицу, если нас интересуют только конкретные элементы?
Получим характеристическое свойство для суммы: 𝑐𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗 .
Попробуем сформулировать определение.
+
⎛
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Определение 8. Суммой матриц A и B размерности 𝑚 × 𝑛 называется матрица C = A + B той же размерности, компоненты
которой определяются равенствами 𝑐𝑖𝑗 =
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Определение 8. Суммой матриц A и B размерности 𝑚 × 𝑛 называется матрица C = A + B той же размерности, компоненты
которой определяются равенствами 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ,
где 𝑖 ∈ {1, 2, . . . 𝑚}, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}.
Слишком много слов для конспектирования...
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Определение 8.
C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 ⇔ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 .
Формально это не определение, нет слова «называется» или его
аналога.
IV.2.1. Матричные операции: сумма матриц
Определение 8.
C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 ⇔ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 .
Формально это не определение, нет слова «называется» или его
аналога.
Значит, вы должны быть готовы эту чрезмерно краткую формулировку раскрыть в корректное определение!
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂
5 7 1 4
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500
=
.
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700
=
.
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100
=
.
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100 400
.
=
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
4 3 2 6
400
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100 400
.
=
4 3 2 6
400
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400 300
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100 400
.
=
4 3 2 6
400 300
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400 300
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400 300 200
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂
(︂
)︂ (︂
5 7 1 4
500 700 100 400
.
=
4 3 2 6
400 300 200
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400 300 200
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
)︂ (︂
)︂
(︂
500 700 100 400
5 7 1 4
=
.
400 300 200 600
4 3 2 6
На складах №1 и №2 находится товары типа 1,2,3 и 4.
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Склад №1
5
7
1
4
Склад №2
4
3
2
6
Пусть количество товара измеряется в центнерах.
Как пересчитать количество товара в килограммах?
В центнере 100 килограммов, поэтому надо все значения в таблице
умножить на 100.
В матричной форме это выглядит так...
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Мы описали операцию суммирования матриц на языке...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
100 ·
5 7 1 4
4 3 2 6
=
500 700 100 400
400 300 200 600
.
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
400 300 200 600
𝜆 · A = B,
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
400 300 200 600
𝜆 · A = B, 𝑏 =
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
400 300 200 600
𝜆 · A = B, 𝑏𝑝𝑞 =
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
400 300 200 600
𝜆 · A = B, 𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎 .
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7 1 4
500 700 100 400
=
.
4 3 2 6
400 300 200 600
𝜆 · A = B, 𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
Языки алгебры матриц:
1) «язык формул» для элементов матриц;
2) «язык алгоритмов» (без буквенных обозначений);
3) «язык формул» для матриц в целом.
Определим умножение матрицы на число на языке формул
для элементов матриц.
100 ·
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15. Произведением матрицы A𝑚×𝑛 на скаляр
𝜆 ∈ 𝐾 называется матрица B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛, элементы которой
имеют вид 𝑏𝑖𝑗 =
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15. Произведением матрицы A𝑚×𝑛 на скаляр
𝜆 ∈ 𝐾 называется матрица B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛, элементы которой
имеют вид 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆 · 𝑎𝑖𝑗 .
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15. Произведением матрицы A𝑚×𝑛 на скаляр
𝜆 ∈ 𝐾 называется матрица B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛, элементы которой
имеют вид 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆 · 𝑎𝑖𝑗 .
Корректное определение, но долго конспектировать...
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15.
B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛 ⇔ 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 .
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15.
B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛 ⇔ 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 .
Формально, в буквальном смысле, это не определение, но удобное
для конспектирования.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15.
B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛 ⇔ 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 .
Формально, в буквальном смысле, это не определение, но удобное
для конспектирования.
Вы должны уметь раскрывать эту краткую запись в корректное
определение.
IV.2.2. Матричные операции: умножение матрицы
на число
(︂
)︂ (︂
)︂
5 7
4 3
𝜆 · A = B,
Мы готовы
100 ·
1 4
500 700 100 400
=
.
2 6
400 300 200 600
𝑏𝑝𝑞 =𝜆 · 𝑎𝑝𝑞 .
сформулировать определение.
Определение 15.
B𝑚×𝑛 = 𝜆 · A𝑚×𝑛 ⇔ 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 .
Формально, в буквальном смысле, это не определение, но удобное
для конспектирования.
Вы должны уметь раскрывать эту краткую запись в корректное
определение.
Рассмотрим пример?
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
Перечислим и докажем основные свойства операций «суммирование матриц» и «произведение матрицы на скаляр». Здесь A, B, . . . —
матрицы соответствующей размерности, 𝜆, 𝜇, . . . — числа.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения
матриц);
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
сложения матриц);
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента
в алгебре матриц);
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного
элемента в алгебре матриц);
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1)
2)
3)
4)
5)
A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
(𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
(𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1)
2)
3)
4)
5)
6)
8)
A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
(𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
1 · A = A;
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1)
2)
3)
4)
5)
6)
8)
A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
(𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Эти свойства обобщаются в понятии «линейное пространство».
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Докажем свойство 1.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем равенство.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
3) От противного.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
2) Сведением либо к 𝐿 6 𝑅 и 𝐿 > 𝑅, либо 𝐿 ⊆ 𝑅 и 𝐿 ⊇ 𝑅.
3) От противного.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Применим первый способ.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Доказательство равенства матриц сводится
к доказательству
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Доказательство равенства матриц сводится
к доказательству равенства их элементов.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 =
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
= 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
Первое свойство доказано.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Докажем свойство 2.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Мы доказываем
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
3) От противного.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Как можно доказать равенство 𝐿 = 𝑅?
1) Равносильными преобразованиями равенств.
2) Сведением либо к 𝐿 6 𝑅 и 𝐿 > 𝑅, либо 𝐿 ⊆ 𝑅 и 𝐿 ⊇ 𝑅.
3) От противного.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Применим первый способ.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Доказательство равенства матриц сводится
к доказательству
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Доказательство равенства матриц сводится
к доказательству равенства их элементов.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 =
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗
= 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗 + (𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 )= 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 )= 𝑟𝑖𝑗 .
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Обозначим через 𝑙𝑖𝑗 и 𝑟𝑖𝑗 элементы матрицы в
левой и, соответственно, правой частях равенства.
𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) + 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 )= 𝑟𝑖𝑗 .
Второе свойство доказано.
IV.2.3. Свойства суммирования матриц и умножения матрицы на число
1) A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛 + A𝑚×𝑛 (коммутативность сложения);
2) (A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) + C𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 + (B𝑚×𝑛 + C𝑚×𝑛) (ассоциативность
3) A𝑚×𝑛 + 0𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛 (существование нулевого элемента);
4) A𝑚×𝑛 + (−A𝑚×𝑛) = 0𝑚×𝑛 (существование противоположного);
5) 𝜆(A𝑚×𝑛 + B𝑚×𝑛) = 𝜆A𝑚×𝑛 + 𝜆B𝑚×𝑛;
6) (𝜆 + 𝜇)A = 𝜆A + 𝜇A;
7) (𝜆𝜇)A = 𝜆 (𝜇A);
8) 1 · A = A;
9) 0 · A = 0.
Доказательства. Остальные свойства докажите самостоятельно.
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения матриц: 𝑎 2 5 + 𝑏 7 1 + 𝑐 4 3 + 𝑑 6 8 =
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Первый вариант выглядит привлекательнее. На первый взгляд.
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц
Но в первом варианте в качестве произведения матриц мы можем получить только матрицу-строку, и непонятно, как естественным образом определить произведение матриц, чтобы результатом произведения могла быть матрица с любым числом
строк.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Первый вариант выглядит привлекательнее. На первый взгляд.
IV.2.4. Прелюдия к произведению матриц
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
⎝4
6
5
⎟ (︂
1⎟
⎟=
3⎠
8
)︂
.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
3⎠
8
)︂
.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Как представить линейную
(︀ комбинацию
)︀
(︀ )︀ матриц-строк
(︀ )︀
(︀ в виде
)︀
произведения
матриц:
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
=
2
5
7
1
4
3
6
8
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝑎
2 5
2 5
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜
(︀
)︀ ⎜7 1⎟
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜7 1⎟
⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ или = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜ ⎟?
⎝ 𝑐 ⎠ ⎝4 3⎠
⎝4 3⎠
𝑑
6 8
6 8
Во втором случае достаточно договориться, чтобы строка в произведении определялась строкой в первом множителе.
Сформулируем определение произведения матриц.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 =
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎 𝑏
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎 𝑏
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖 𝑏
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖 𝑏 𝑗
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .+𝑎 𝑏 .
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .+𝑎𝑖 𝑏 .
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .+𝑎𝑖 𝑏 𝑗 .
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .+𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 .
IV.2.4. Прелюдия
⎛ ⎞ к произведению матриц
(︂
)︂ ⎜2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⎜7
⎜
𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 ⎝4
6
5
⎟ (︂
2𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 + 6𝑑
1⎟
⎟=
2𝑝 + 7𝑞 + 4𝑟 + 6𝑡
3⎠
8
)︂
5𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 8𝑑
.
5𝑝 + 𝑞 + 3𝑟 + 8𝑡
Обозначим матрицы буквами: C = AB.
Произведение матриц зададим формулой для коэффициентов.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . .+𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 .
Готовы привести окончательную формулировку?
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
Определение 16. Пусть A — матрица размерности 𝑝 × 𝑛, B —
матрица размерности 𝑛 × 𝑞. Тогда произведением матриц A и B
называется матрица C = AB, компоненты которой определяются
равенствами
𝑐𝑖𝑗 =
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 ,
𝑘=1
где 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑝}, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑞}.
Фу-у, как «много букав...»
(1)
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
Определение 16.
C𝑝×𝑞 = A𝑝×𝑛B𝑛×𝑞 ⇔ 𝑐𝑖𝑗 =
𝑛
∑︁
𝑘=1
Другое дело!
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 .
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
Определение 16.
C𝑝×𝑞 = A𝑝×𝑛B𝑛×𝑞 ⇔ 𝑐𝑖𝑗 =
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 .
𝑘=1
(︂ На рис.1
)︂ (︂подробно
)︂ расписан процесс вычисления произведения
−1 2
5 6
·
.
−3 4
7 3
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
𝑐𝑖𝑗 =
2
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 ,
𝑐11 =
𝑖=1
𝑗=1
(︂
⇒
−1 2
−3 4
(1)
𝑎1𝑘 𝑏𝑘1 = 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21,
𝑘=1
𝑘=1
{︂
2
∑︀
)︂ (︂
5 6
7 3
)︂
(︂
=
(−1) · 5 + 2 · 7
∙
∙
∙
)︂
(︂
=
9
∙
∙
∙
)︂
,
Рис. 1. Пример вычисления произведения матриц. Здесь символ ∙ обозначает арифметическое
выражение, значение которого нас в данный момент не интересует.
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
𝑐𝑖𝑗 =
2
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 ,
𝑐12 =
{︂
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
𝑗=2
(︂
⇒
(︂
⇒
(1)
𝑎1𝑘 𝑏𝑘2 = 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22,
𝑘=1
𝑘=1
{︂
2
∑︀
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
(︂
=
(︂
=
(−1) · 5 + 2 · 7
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
(−1) · 6 + 2 · 3
∙
)︂
(︂
=
(︂
=
9
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
0
∙
)︂
,
,
Рис. 1. Пример вычисления произведения матриц. Здесь символ ∙ обозначает арифметическое
выражение, значение которого нас в данный момент не интересует.
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
𝑐𝑖𝑗 =
2
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 ,
𝑐21 =
{︂
{︂
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
𝑗=2
𝑖=2
𝑗=1
(︂
⇒
(︂
⇒
(︂
⇒
(1)
𝑎2𝑘 𝑏𝑘1 = 𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21,
𝑘=1
𝑘=1
{︂
2
∑︀
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
(︂
=
(︂
=
(︂
=
(−1) · 5 + 2 · 7
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
(−1) · 6 + 2 · 3
∙
)︂
∙
(−3) · 5 + 4 · 7
∙
∙
)︂
(︂
=
(︂
=
(︂
=
9
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
0
∙
)︂
∙
13
∙
∙
)︂
,
,
,
Рис. 1. Пример вычисления произведения матриц. Здесь символ ∙ обозначает арифметическое
выражение, значение которого нас в данный момент не интересует.
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
𝑐𝑖𝑗 =
2
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 ,
𝑐22 =
{︂
{︂
{︂
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
𝑗=2
𝑖=2
𝑗=1
𝑖=2
𝑗=2
(︂
⇒
(︂
⇒
(︂
⇒
(︂
⇒
(1)
𝑎2𝑘 𝑏𝑘2 = 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22,
𝑘=1
𝑘=1
{︂
2
∑︀
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
(︂
=
(︂
=
(︂
=
(︂
=
(−1) · 5 + 2 · 7
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
(−1) · 6 + 2 · 3
∙
)︂
∙
(−3) · 5 + 4 · 7
∙
∙
)︂
∙
∙
∙
(−3) · 6 + 4 · 3
)︂
(︂
=
(︂
=
(︂
=
(︂
=
9
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
0
∙
)︂
∙
13
∙
∙
)︂
∙
∙
∙ −6
)︂
,
,
,
,
Рис. 1. Пример вычисления произведения матриц. Здесь символ ∙ обозначает арифметическое
выражение, значение которого нас в данный момент не интересует.
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
𝑐𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
(1)
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 ,
𝑘=1
{︂
{︂
{︂
{︂
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
𝑗=2
𝑖=2
𝑗=1
𝑖=2
𝑗=2
Итог:
(︂
⇒
(︂
⇒
(︂
⇒
(︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
−1 2
−3 4
)︂ (︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
5 6
7 3
)︂
(︂
=
(︂
=
(︂
=
(−1) · 5 + 2 · 7
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
(−1) · 6 + 2 · 3
∙
)︂
∙
(−3) · 5 + 4 · 7
∙
∙
)︂
∙
(−3) · 6 + 4 · 3
)︂
)︂ (︂
)︂ (︂
−1 2
5 6
∙
⇒
=
−3 4
7 3
∙
)︂ (︂
)︂ (︂
(︂
−1 2
5 6
(−1) · 5 + 2 · 7
=
−3 4
7 3
(−3) · 5 + 4 · 7
(−1) · 6 + 2 · 3
(−3) · 6 + 4 · 3
(︂
9
∙
∙
∙
)︂
∙
∙
0
∙
)︂
∙
13
∙
∙
)︂
∙
∙
∙ −6
)︂
9
0
13 −6
)︂
=
(︂
=
(︂
=
(︂
=
)︂
(︂
=
,
,
,
,
,
Рис. 1. Пример вычисления произведения матриц. Здесь символ ∙ обозначает арифметическое
выражение, значение которого нас в данный момент не интересует.
IV.2.5. Матричные операции: произведение матриц
Вычисление произведения матриц можно также проиллюстрировать рисунком, на котором изображен процесс вычисления элемента
𝑐𝑖𝑗 матрицы C𝑚×𝑘 = A𝑚×𝑛B𝑛×𝑘 :
𝑗
'
⎛
'
⎜
⎜
𝑖 ⎝ 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2
...
...
𝑎𝑖3 . . . 𝑎𝑖𝑛
... ⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
𝑏1𝑗
𝑏2𝑗
𝑏3𝑗
...
- 𝑏
𝑛𝑗
-
Выполним упражнения?
⎞
⎛
...
...
...
𝑗
...
...
...
...
...
...
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ =⎜
𝑛
⎟ ⎜
∑︀
⎠ ⎜ ...
𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗 . . .
⎝
𝑝=1
...
6
.%
..
...
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟𝑖
⎠
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA, то есть умножение матриц некоммутативно. Как доказать?
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA, то есть умножение матриц некоммутативно. Пример:
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA, то есть умножение матриц некоммутативно. Пример:
(︁
)︁ (︁
)︁
(︁
)︁ (︁
)︁
1
2
−2 1
−2 1
1
2
=
=
.
1 −1
1 1
1 1
1 −1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA, то есть умножение матриц некоммутативно. Пример:
(︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁
(︁
)︁ (︁
)︁
1
2
−2 1
0 3
−2 1
1
2
= −3 0
=
.
1 −1
1 1
1 1
1 −1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA, то есть умножение матриц некоммутативно. Пример:
(︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁
1
2
−2 1
0 3
−1 −5
−2 1
1
2
= −3 0 ̸=
=
.
1 −1
1 1
2
1
1 1
1 −1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля). Как доказать?
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля). Примеры:
(︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁ (︁
)︁
1 1
1 −1
0 0
𝑎 0
0 0
0 0
= 0 0 ,
= 0 0 .
1 1
−1
1
0 0
0 𝑏
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля).
3. 𝜆(AB) = (𝜆A)B = A(𝜆B);
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля).
3. 𝜆(AB) = (𝜆A)B = A(𝜆B);
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность);
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля).
3. 𝜆(AB) = (𝜆A)B = A(𝜆B);
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность);
5. A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC
ность);
(дистрибутив-
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля).
3. 𝜆(AB) = (𝜆A)B = A(𝜆B);
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность);
5. A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC
ность);
(дистрибутив-
6. A𝑚×𝑛E𝑛×𝑛 = E𝑚×𝑚A𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛, где E𝑘×𝑘 = (𝛿𝑖𝑗 )𝑘×𝑘 (существование единичного элемента в алгебре матриц);
IV.2.6. Свойства произведения матриц
1. Вообще говоря, AB ̸= BA (умножение матриц некоммутативно).
2. Из того, что AB = 0 не следует, что A = 0 или B = 0 (существование делителей нуля).
3. 𝜆(AB) = (𝜆A)B = A(𝜆B);
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность);
5. A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC
ность);
(дистрибутив-
6. A𝑚×𝑛E𝑛×𝑛 = E𝑚×𝑚A𝑚×𝑛 = A𝑚×𝑛, где E𝑘×𝑘 = (𝛿𝑖𝑗 )𝑘×𝑘 (существование единичного элемента в алгебре матриц);
7. 0 · A = 0.
IV.2.6. Свойства произведения матриц
Доказательство. Мы приведем только доказательство ассоциативности операции умножения матриц, то есть свойство 4:
(AB)C = A(BC).
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство.
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Как доказать равенство коэффициентов?
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Как доказать равенство коэффициентов?
Из определения матрицы следует, что надо проверить совпадение соответствующих коэффициентов матриц в левой и правой
частях доказываемого равенства.
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Как доказать равенство коэффициентов?
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Как доказать равенство коэффициентов?
Применим доказательство приведением к одинаковому виду выражений в левой и правой частях равенства.
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
𝑙𝑖𝑗 =
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
𝑙𝑖𝑗 =
𝑛
∑︁
𝑝=1
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑞=1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑞=1
𝑝=1 𝑞=1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
С другой стороны,
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑞=1
𝑝=1 𝑞=1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
С другой стороны,
𝑟𝑖𝑗 =
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑞=1
𝑝=1 𝑞=1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
С другой стороны,
𝑟𝑖𝑗 =
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
Пусть D = AB, F = BC. Тогда, по определению произведения
матриц, с одной стороны,
⎞
⎛
𝑚
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
С другой стороны,
𝑟𝑖𝑗 =
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑛 ∑︁
𝑚
∑︁
𝑣=1 𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
⎞
⎛
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
∑︁ ∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑢=1
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑚
𝑛 ∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
𝑣=1 𝑢=1
Как известно, индекс суммирования является «глухим», то есть фактически его в выражении «нет».
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
⎞
⎛
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
∑︁ ∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑢=1
𝑢=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑚
𝑛 ∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
𝑣=1 𝑢=1
𝑣=1
Как известно, индекс суммирования является «глухим», то есть фак3
∑︀
тически его в выражении «нет». Например выражение
ℎ𝑖 от 𝑖 не
𝑖=1
зависит, так как
3
∑︀
𝑖=1
ℎ𝑖 = ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 =
3
∑︀
𝑗=1
ℎ𝑗 .
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
⎞
⎛
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
∑︁ ∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑢=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑚
𝑛 ∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
𝑣=1 𝑢=1
Поэтому индекс суммирования всегда можно изменить. Полагая в
выражении для 𝑟𝑖𝑗 𝑢 = 𝑞, 𝑣 = 𝑝, получим
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
⎞
⎛
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
∑︁ ∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑢=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑚
𝑛 ∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
𝑣=1 𝑢=1
Поэтому индекс суммирования всегда можно изменить. Полагая в
выражении для 𝑟𝑖𝑗 𝑢 = 𝑞, 𝑣 = 𝑝, получим
⎛
⎞
𝑚
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛 ∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
𝑟𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑓𝑞𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 ⎝
𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 ⎠ =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑞=1
𝑞=1
𝑝=1
𝑝=1 𝑞=1
IV.2.6. Свойства произведения матриц
(AB)C = A(BC)
Доказательство. Положим L = (AB)C, R = A(BC).
⎞
⎛
𝑛 ∑︁
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
∑︁
∑︁
∑︁ ∑︁
⎝
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑑𝑖𝑝𝑐𝑝𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝⎠ 𝑐𝑝𝑗 =
𝑙𝑖𝑗 =
𝑟𝑖𝑗 =
𝑝=1
𝑝=1
𝑚
∑︁
𝑚
∑︁
𝑢=1
𝑎𝑖𝑢𝑓𝑢𝑗 =
𝑢=1
𝑝=1 𝑞=1
𝑞=1
𝑎𝑖𝑢
(︃ 𝑛
∑︁
𝑣=1
)︃
𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗
=
𝑚
𝑛 ∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑢𝑏𝑢𝑣 𝑐𝑣𝑗 .
𝑣=1 𝑢=1
Поэтому индекс суммирования всегда можно изменить. Полагая в
выражении для 𝑟𝑖𝑗 𝑢 = 𝑞, 𝑣 = 𝑝, получим
⎛
⎞
𝑚
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛 ∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
𝑟𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 𝑓𝑞𝑗 =
𝑎𝑖𝑞 ⎝
𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 ⎠ =
𝑎𝑖𝑞 𝑏𝑞𝑝𝑐𝑝𝑗 .
𝑞=1
𝑞=1
𝑝=1
𝑝=1 𝑞=1
Значит, 𝑙𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 , то есть R = L, что и требовалось доказать.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 −1 0
⎠.
=⎝
3 5 4
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2
2 −1 0
⎠.
=⎝
3 5 4
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2
2 −1 0
= ⎝ −1 ⎠ .
3 5 4
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2
2 −1 0
= ⎝ −1 ⎠ .
3 5 4
0
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 ⎠ .
3 5 4
0
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
0
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
0 4
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
0 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2
2 −1 0
⎠.
=⎝
3 5 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
⎠.
=⎝
3 5 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 ⎠ .
3 5 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
0
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Определение 17. Матрица B называется транспонированной к
матрице A, то есть A𝑡 = B тогда и только тогда, когда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
Например,
⎛
⎞
(︂
)︂𝑡
2 3
2 −1 0
= ⎝ −1 5 ⎠ .
3 5 4
0 4
Можно было иначе...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
(︂{︂
)︂
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,
⇒ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
1≤𝑗≤𝑛
Свойства транспонирования
A𝑡𝑚×𝑛 = B𝑛×𝑚 ⇔
(︀ )︀
1. (𝜆A)𝑡 = 𝜆 A𝑡 ;
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
(︂{︂
)︂
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,
⇒ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
1≤𝑗≤𝑛
Свойства транспонирования
A𝑡𝑚×𝑛 = B𝑛×𝑚 ⇔
(︀ )︀
1. (𝜆A)𝑡 = 𝜆 A𝑡 ;
2. (A + B)𝑡 = A𝑡 + B𝑡;
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
(︂{︂
)︂
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,
⇒ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
1≤𝑗≤𝑛
Свойства транспонирования
A𝑡𝑚×𝑛 = B𝑛×𝑚 ⇔
(︀ )︀
1. (𝜆A)𝑡 = 𝜆 A𝑡 ;
2. (A + B)𝑡 = A𝑡 + B𝑡;
3. (AB)𝑡 = B𝑡A𝑡 — транспонирование «меняет местами» порядок сомножителей.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 =
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
Доказываем
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
Доказываем
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
Доказываем равенство.
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Доказываем равенство.
Способы доказательства равенства:
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Доказываем равенство.
Способы доказательства равенства:
— алгебраические преобразования;
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Доказываем равенство.
Способы доказательства равенства:
— алгебраические преобразования;
— сведение к неравенствам 𝐿 ≤ 𝑅 и 𝐿 ≥ 𝑅;
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Доказываем равенство.
Способы доказательства равенства:
— алгебраические преобразования;
— сведение к неравенствам 𝐿 ≤ 𝑅 и 𝐿 ≥ 𝑅;
— «от противного».
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Доказываем равенство.
Способы доказательства равенства:
— алгебраические преобразования;
— сведение к неравенствам 𝐿 ≤ 𝑅 и 𝐿 ≥ 𝑅;
— «от противного».
Применим первый способ.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 =
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑝=1
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝
𝑝=1
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝
= 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Вопросы о матрице сводятся к вопросам об их элементах...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Однако произведение матриц некоммутативно...
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Однако произведение матриц некоммутативно...
Но в последней формуле участвуют только числа!
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝 =
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Однако произведение матриц некоммутативно...
Но в последней формуле участвуют только числа!
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝 =
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Свойство доказано.
Остальные свойства докажите самостоятельно.
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝 =
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Свойство доказано.
Остальные свойства докажите самостоятельно.
Рассмотрим пример?
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝 =
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Свойство доказано.
Остальные свойства докажите самостоятельно.
Рассмотрим пример?
IV.2.7. Матричные операции: транспонирование
матриц
Докажем только свойство 3:
(AB)𝑡 = B𝑡A𝑡.
Положим L = (AB)𝑡, R = B𝑡A𝑡, C = AB, B𝑡 = U, A𝑡 = V.
𝑙𝑖𝑗 = 𝑐𝑗𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑎𝑗𝑝𝑏𝑝𝑖 =
𝑚
∑︁
𝑝=1
𝑣𝑝𝑗 𝑢𝑖𝑝 =
𝑚
∑︁
𝑢𝑖𝑝𝑣𝑝𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 .
𝑝=1
Свойство доказано.
Остальные свойства докажите самостоятельно.
Замечание 1 (о кольцах матриц). Для любого натурального числа 𝑛 и
любого поля1 𝐾 множество матриц размерности 𝑛 × 𝑛 с коэффициентами из 𝐾 является кольцом.
1
Утверждение остается верным даже в случае, если 𝐾 — не поле, а «всего лишь» кольцо.
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций
Рассмотренные операции позволяют выделить некоторые важные
виды операций. Для этого применим стратегию приоритетного
изучения экстремальных ситуаций.
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций
«Экстремальные» ситуации с операцией транспонирования зафиксированы в следующих определениях.
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций
Определение 18. Матрица A называется симметричной тогда
и только тогда, когда A𝑡 = A.
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций
Определение 18. Матрица A называется симметричной тогда
и только тогда, когда A𝑡 = A.
Определение 19. Матрица A называется кососимметричной
или (антисимметричной) тогда и только тогда, когда A𝑡 = −A.
IV.3. Некоторые виды матриц, выделяемые с помощью операций
Определение 18. Матрица A называется симметричной тогда
и только тогда, когда A𝑡 = A.
Определение 19. Матрица A называется кососимметричной
или (антисимметричной) тогда и только тогда, когда A𝑡 = −A.
Определение 20. Говорят, что матрицы A и B коммутируют,
если AB = BA.
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Заметим, что операция умножения матриц обладает еще одной
очень важной особенностью. Зафиксируем в формуле (1) из опре𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 номер 𝑖. При
деления произведения матриц, в выражении
𝑘=1
этом, когда 𝑗 пробегает номера всех столбцов матрицы B, получим
все компоненты 𝑖-ой строки матрицы A · B.
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Таким образом, если 𝑖-тую строку матрицы A умножить на
матрицу B, то получим в точности 𝑖-тую строку матрицы A · B:
⎞
⎞
⎛
⎛
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 ⎛
𝑐11 𝑐12 . . . 𝑐1𝑞
⎞
⎜ 𝑎 𝑎 ... 𝑎 ⎟ 𝑏 𝑏 ... 𝑏
⎜ 𝑐 𝑐 ... 𝑐 ⎟
2𝑛 ⎟
2𝑞 ⎟
11
12
1𝑞
⎜ 21 22
⎜ 21 22
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
...
...
⎟ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑞 ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟.
⎜
⎟=⎜
...
⎜ 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎟ ⎝
⎠ ⎜ 𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑞 ⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎠ 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑞
⎠
⎝
⎝
...
...
𝑎𝑝1 𝑎𝑝2 . . . 𝑎𝑝𝑛
𝑐𝑝1 𝑐𝑝2 . . . 𝑐𝑝𝑞
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Аналогично и для столбцов: если матрицу A умножить на 𝑗-тый
столбец матрицы B, то получим в точности 𝑗-тый столбец матрицы A · B.
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Умножение матриц «на макроуровне» — это разбиение процесса
умножения матриц на три этапа:
Первый: сведение умножения матриц к умножению матрицыстроки на матрицу или матрицы на матрицу-столбец;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Умножение матриц «на макроуровне» — это разбиение процесса
умножения матриц на три этапа:
Первый: сведение умножения матриц к умножению матрицыстроки на матрицу или матрицы на матрицу-столбец;
Второй: представление произведения матрицы-строки A′ на матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы A с компонентами из B′;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Умножение матриц «на макроуровне» — это разбиение процесса
умножения матриц на три этапа:
Первый: сведение умножения матриц к умножению матрицыстроки на матрицу или матрицы на матрицу-столбец;
Второй: представление произведения матрицы-строки A′ на матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы A с компонентами из B′;
Третий: «сшивание» полученных строк C𝑖 = A𝑖 · B или столбцов
C′𝑗 = A · B𝑗 в матрицу C = A · B.
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Первый этап: сведение умножения матриц
⎛
⎞⎛
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
⎟⎜
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘
⎜
⎟⎜
...
...
⎝
⎠⎝
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
к умножению матрицы-строки на матрицу:
⎛
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
(︀
)︀ ⎜
⎜ 𝑏 𝑏 . . . 𝑏2𝑘
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜ 21 22
...
⎝
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Первый этап: сведение умножения матриц
⎛
⎞⎛
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
⎟⎜
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘
⎜
⎟⎜
...
...
⎝
⎠⎝
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
или к умножению матрицы на матрицу-столбец:
⎛
⎞⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏1𝑗
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏2𝑗 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟.
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛𝑗
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1𝑏11 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1; . . . 𝑎𝑖1𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑘 =
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1𝑏11 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1; . . . 𝑎𝑖1𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑘 =
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1𝑏11; . . . 𝑎𝑖1𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1; . . . 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑘 =
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1𝑏11 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1; . . . 𝑎𝑖1𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑘 =
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1𝑏11; . . . 𝑎𝑖1𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1; . . . 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑘 =
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1 𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘 ;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
b11 b12 . . . b1k
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = ai1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
(︀
)︀
= ai1 b11 b12 . . . b1k + 𝑎𝑖2 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 + . . .
(︀
)︀
+ . . . + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘 ;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ b21 b22 . . . b2k ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 ai2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1 𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘 + ai2 b21 b22 . . . b2k + . . .
(︀
)︀
+ . . . + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘 ;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами из B′:
⎛
⎞
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . ain ⎜
⎟=
...
⎝
⎠
bn1 bn2 . . . bnk
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1 𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘 + 𝑎𝑖2 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 + . . .
(︀
)︀
+ . . . + ain bn1 bn2 . . . bnk ;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: произведение матрицы-строки A′ на матрицу B
можно трактовать
как произведение матрицы A′ на матрицу⎛
⎞
B1
(︀
)︀
⎝
⎠
столбец
. . . , где B𝑝 = 𝑏𝑝1 𝑏𝑝2 . . . 𝑏𝑝𝑘 :
B𝑛
⎞
⎛
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
⎜
(︀
)︀ (︀
)︀ ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘 ⎟
⎟
𝑐𝑖1 𝑐𝑖2 . . . 𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ⎜
⎟=
⎠
⎝
...
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
(︀
)︀
(︀
)︀
= 𝑎𝑖1 𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘 + . . . + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘 ;
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами⎛из B′:
⎞⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏1𝑗
⎟⎜
⎟
⎜
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏2𝑗 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟=
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛𝑗
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
= 𝑏1𝑗 ⎜
(1)
⎟ + 𝑏2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + 𝑏𝑛𝑗 ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами⎛из B′:
⎞⎛
⎞
a11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
b1j
⎟⎜
⎟
⎜
⎜ a21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏2𝑗 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟=
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠
am1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛𝑗
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
a11
𝑎12
𝑎1𝑛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ a21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
= 𝑏1𝑗 ⎜
⎟ + 𝑏2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + 𝑏𝑛𝑗 ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
am1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами⎛из B′:
⎞⎛
⎞
𝑎11 a12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏1𝑗
⎟⎜
⎟
⎜
⎜ 𝑎21 a22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ b2j ⎟
⎜
⎟⎜
⎟=
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 am2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛𝑗
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
a12
𝑎1𝑛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ a22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
= 𝑏1𝑗 ⎜
(2)
⎟ + b2j ⎜
⎟ + . . . + 𝑏𝑛𝑗 ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
am2
𝑎𝑚𝑛
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: представление произведения матрицы-строки A′ на
матрицу B в виде линейной комбинации строк матрицы B с компонентами из A′, или представление произведения матрицы A на
матрицу-столбец B′ в виде линейной комбинации столбцов матрицы
A с компонентами⎛из B′:
⎞⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . a1n
𝑏1𝑗
⎟⎜
⎟
⎜
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . a2n ⎟ ⎜ 𝑏2𝑗 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟=
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . amn
bnj
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
a1n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ a2n ⎟
= 𝑏1𝑗 ⎜
(3)
⎟ + 𝑏2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + bnj ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
amn
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Второй этап: произведение матрицы A на матрицу-столбец B′
можно воспринимать как произведение
матрицы-строки (A1, A2, . . . , A𝑛) на матрицу-столбец B′,
где элементами матрицы-строки (A1, A2, . . . , A𝑛) являются столбцы
матрицы A:
⎞⎛
⎞
⎛
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑏1𝑗
⎟⎜
⎟
⎜
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑏2𝑗 ⎟
⎟⎜
⎟=
⎜
⎝ ... ... ... ... ⎠⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑛𝑗
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
= 𝑏1𝑗 ⎜
⎟ + 𝑏2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + 𝑏𝑛𝑗 ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
В самом деле, в формуле 𝑐𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 для вычисления компонент
матрицы C = A · B, фиксируя, например, 𝑗, перебирая все 𝑖, получаем соотношение
⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐1𝑗
𝑎11𝑏1𝑗 + 𝑎12𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎1𝑛𝑏𝑛𝑗
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 𝑐2𝑗 ⎟ ⎜ 𝑎21𝑏1𝑗 + 𝑎22𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎2𝑛𝑏𝑛𝑗 ⎟
⎜
⎟=⎜
⎟=
...
⎝ ... ⎠ ⎝
⎠
𝑐𝑚𝑗
𝑎𝑚1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑚2𝑏2𝑗 + . . . + 𝑎𝑚𝑛𝑏𝑛𝑗
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
=⎜
⎟ 𝑏1𝑗 + ⎜
⎟ 𝑏2𝑗 + . . . ⎜
⎟ 𝑏𝑛𝑗 ,
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
то есть равенство (1).
IV.4. Умножение матриц по строчкам и столбцам
(«на макроуровне»)
Третий этап: «сшивание» полученных строк C𝑖⎛
= A𝑖 ·⎞
B или
C1
⎜
⎟
⎜ C2 ⎟
′
столбцов C𝑗 = A · B𝑗 в матрицу C = A · B: C = ⎜
⎟ или
⎝ ... ⎠
C𝑚
(︀ ′
)︀
C = C1 C′2 . . . C′𝑛 .
Таким образом,
⎛
⎞
A1 · B
⎜
⎟
)︀
⎜ A2 · B ⎟ (︀
A·B=⎜
⎟ = A · B1 A · B2 . . . A · B𝑛 .
⎝ ... ⎠
A𝑚 · B
Рассмотрим примеры?
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Следующая лемма носит технический характер и вызвана одним из
существенных отличий матричной алгебры от алгебры чисел. Если
𝑥, 𝑎, 𝑏 — действительные числа, то в равенстве 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 можно сократить на 𝑥 кроме случая, когда 𝑥 = 0. В матричной алгебре это не
так.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Следующая лемма носит технический характер и вызвана одним из
существенных отличий матричной алгебры от алгебры чисел. Если
𝑥, 𝑎, 𝑏 — действительные числа, то в равенстве 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 можно сократить на 𝑥 кроме случая, когда 𝑥 = 0. В матричной алгебре это не
так.
Как это доказать?
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Следующая лемма носит технический характер и вызвана одним из
существенных отличий матричной алгебры от алгебры чисел. Если
𝑥, 𝑎, 𝑏 — действительные числа, то в равенстве 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 можно сократить на 𝑥 кроме случая, когда 𝑥 = 0. В матричной алгебре это не
так.
Для отрицания общего утверждения достаточно привести контрпример! В самом деле,
(︂
)︂
(︂
)︂
(︀
)︀ 1 1
(︀
)︀ 2 −1
=
= 1 −1
,
1 −1
1 1
2 −1
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Следующая лемма носит технический характер и вызвана одним из
существенных отличий матричной алгебры от алгебры чисел. Если
𝑥, 𝑎, 𝑏 — действительные числа, то в равенстве 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 можно сократить на 𝑥 кроме случая, когда 𝑥 = 0. В матричной алгебре это не
так.
Для отрицания общего утверждения достаточно привести контрпример! В самом деле,
(︂
)︂
(︂
)︂
(︀
)︀ 1 1
(︀
)︀ (︀
)︀ 2 −1
= 0 0 = 1 −1
,
1 −1
1 1
2 −1
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Следующая лемма носит технический характер и вызвана одним из
существенных отличий матричной алгебры от алгебры чисел. Если
𝑥, 𝑎, 𝑏 — действительные числа, то в равенстве 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 можно сократить на 𝑥 кроме случая, когда 𝑥 = 0. В матричной алгебре это не
так.
Для отрицания общего утверждения достаточно привести контрпример! В самом деле,
(︂
)︂
(︂
)︂
(︀
)︀ 1 1
(︀
)︀ (︀
)︀ 2 −1
= 0 0 = 1 −1
,
1 −1
1 1
2 −1
(︂
)︂ (︂
)︂
1 1
2 −1
но, разумеется,
̸=
, то есть «сокращать на матри1 1
2 −1
(︀
)︀
цу» 1 −1 нельзя, хотя эта матрица и ненулевая!
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
В доказанной ниже лемме рассмотрен важной случай, когда в матричных равенствах XA = XB или AY = BY можно «сократить» на
матрицу X (соответственно, на матрицу Y).
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство. Мы докажем только первое утверждение, второе получается аналогично.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство.
Весь
«фокус» состоит в том, что матри(︀
)︀
ца X1×𝑚 = 𝑥1 . . . 𝑥𝑚 — произвольная, значит, нам надо лишь «с
толком распорядиться свободой» выбора этой матрицы.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство. Пусть A1, A2, . . . , A𝑚 строки матрицы A𝑚×𝑛, и
B1, B2, . . . , B𝑚 строки матрицы B𝑚×𝑛. С помощью «умножения на
макроуровне» X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛 можно переписать в виде
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство. Пусть A1, A2, . . . , A𝑚 строки матрицы A𝑚×𝑛, и
B1, B2, . . . , B𝑚 строки матрицы B𝑚×𝑛. С помощью «умножения на
макроуровне» X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛 можно переписать в виде
𝑥1A1 + 𝑥2A2 + . . . + 𝑥𝑚A𝑚 = 𝑥1B1 + 𝑥2B2 + . . . + 𝑥𝑚B𝑚.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство.
𝑥1A1 + 𝑥2A2 + . . . + 𝑥𝑚A𝑚 = 𝑥1B1 + 𝑥2B2 + . . . + 𝑥𝑚B𝑚.
(︀
)︀
Полагая X1×𝑚 = 1 0 0 . . . 0 , получаем A1 = B1.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство.
𝑥1A1 + 𝑥2A2 + . . . + 𝑥𝑚A𝑚 = 𝑥1B1 + 𝑥2B2 + . . . + 𝑥𝑚B𝑚.
(︀
)︀
Аналогично, полагая X1×𝑚 = 0 1 0 . . . 0 , имеем A2 = B2 и т.п.
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство. В конце концов получается, что любая строка
матрицы A𝑚×𝑛 равна соответствующей строке матрицы B𝑚×𝑛, то
есть эти матрицы равны. Доказательство второго пункта идет по той
же схеме, но
IV.5. Лемма о сокращении на произвольную
матрицу
Лемма 1. Пусть A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛 — матрицы размерности 𝑚 × 𝑛.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если для любой строки X1×𝑚 выполняется равенство
X1×𝑚A𝑚×𝑛 = X1×𝑚B𝑚×𝑛, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛;
2) если для любого столбца Y𝑛×1 выполняется равенство
A𝑚×𝑛Y𝑛×1 = B𝑚×𝑛Y𝑛×1, то A𝑚×𝑛 = B𝑚×𝑛.
Доказательство. В конце концов получается, что любая строка
матрицы A𝑚×𝑛 равна соответствующей строке матрицы B𝑚×𝑛, то
есть эти матрицы равны. Доказательство второго пункта идет по той
же схеме, но
сравниваются не строки, а столбцы матриц A𝑚×𝑛 и B𝑚×𝑛.
V. Детерминант матрицы
При работе с объектом, характеризующимся большим числом чисел, обычно возникает необходимость свести эту массу числовых характеристик к одному-двум числовым параметрам, описывающим
объект «в целом».
Важным примером является след матрицы X, обозначаемый как
tr ⎛
X или sp X:
⎞
𝑥11 𝑥12 𝑥13 . . . 𝑥1𝑛
⎜𝑥 𝑥 𝑥 . . . 𝑥 ⎟
⎜ 21 22 13
2𝑛 ⎟
⎜
⎟
tr ⎜ 𝑥31 𝑥32 𝑥13 . . . 𝑥3𝑛 ⎟ = 𝑥11 + 𝑥22 + 𝑥33 + . . . + 𝑥𝑛𝑛.
⎜
⎟
...
⎝
⎠
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥𝑛3 . . . 𝑥𝑛𝑛
V. Детерминант матрицы
При работе с объектом, характеризующимся большим числом чисел, обычно возникает необходимость свести эту массу числовых характеристик к одному-двум числовым параметрам, описывающим
объект «в целом».
Важным примером является след матрицы X, обозначаемый как
tr ⎛
X или sp X:
⎞
𝑥11 𝑥12 𝑥13 . . . 𝑥1𝑛
⎜𝑥 𝑥 𝑥 . . . 𝑥 ⎟
⎜ 21 22 13
2𝑛 ⎟
⎟
⎜
tr ⎜ 𝑥31 𝑥32 𝑥13 . . . 𝑥3𝑛 ⎟ = 𝑥11 + 𝑥22 + 𝑥33 + . . . + 𝑥𝑛𝑛.
⎟
⎜
...
⎠
⎝
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥𝑛3 . . . 𝑥𝑛𝑛
След матрицы — сумма элементов главной диагонали.
V. Детерминант матрицы
При работе с объектом, характеризующимся большим числом чисел, обычно возникает необходимость свести эту массу числовых характеристик к одному-двум числовым параметрам, описывающим
объект «в целом».
Сейчас мы рассмотрим более важную характеристику — детерминант матрицы. Введение этой характеристики квадратной матрицы
потребует дополнительных понятий.
V.1. Линейность
Мы предельно кратко рассмотрим понятие линейности, являющееся основным в линейной алгебре.
V.1.1. Линейная комбинация
Определение 21. Линейной комбинацией матриц 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛
с коэффициентами 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛 называется матрица
𝜆1 · 𝑋1 + 𝜆2 · 𝑋2 + . . . + 𝜆𝑛 · 𝑋𝑛.
V.1.2. Линейная функция
Понятие линейной функции будет существенно обобщено в теории линейных пространств. Сейчас мы ограничимся следующим
«псевдоопределением»:
Пусть в множествах 𝐴′ и 𝐴′′ каким-то образом определены операции, соответственно, +′ и +′′, и для любого элемента 𝜆 из поля 𝐾 определены операции 𝜆′ и 𝜆′′ («умножения» на 𝜆 элементов,
соответственно, из 𝐴′ и 𝐴′′). Функция 𝑓 : 𝐴′ → 𝐴′′ называется
линейной функцией, если для любых элементов 𝜆1; 𝜆2; . . . ; 𝜆𝑛 и
любых элементов 𝑎1; 𝑎2; . . . ; 𝑎𝑛 множества 𝐴′ имеет место равенство
𝑓 (𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . .+′ 𝜆′𝑛𝑎𝑛) = 𝜆′′1 𝑓 (𝑎1)+′′ 𝜆′′2 𝑓 (𝑎2)+′′ . . .+′′ 𝜆′′𝑛𝑓 (𝑎𝑛). (4)
V.1.2. Линейная функция
Как разобраться с новым для вас понятием?
Есть два типовых способа:
V.1.2. Линейная функция
Как разобраться с новым для вас понятием?
Есть два типовых способа:
— рассмотрение достаточно большого числа примеров;
V.1.2. Линейная функция
Как разобраться с новым для вас понятием?
Есть два типовых способа:
— рассмотрение достаточно большого числа примеров;
— анализ определения (получение следствий).
V.1.2. Линейная функция
Как разобраться с новым для вас понятием?
Есть два типовых способа:
— рассмотрение достаточно большого числа примеров;
— анализ определения (получение следствий).
Нередко применяется еще и метод моделирования: построение модели объекта и его изучение.
V.1.2. Линейная функция
Как разобраться с новым для вас понятием?
Есть два типовых способа:
— рассмотрение достаточно большого числа примеров;
— анализ определения (получение следствий).
Нередко применяется еще и метод моделирования: построение модели объекта и его изучение.
Определение понятия можно рассматривать как одну из типовых моделей этого понятия.
V.1.2. Линейная функция
Начнем с примеров линейных функций. Линейными функциями
являются:
V.1.2. Линейная функция
Начнем с примеров линейных функций. Линейными функциями
являются:
1) функция, каждому вектору ставящая в соответствие его проекцию
на некоторую ось;
V.1.2. Линейная функция
Начнем с примеров линейных функций. Линейными функциями
являются:
1) функция, каждому вектору ставящая в соответствие его проекцию
на некоторую ось;
2) 𝑓𝑖𝑗 (𝑋) — функция, каждой матрице 𝑋 ставящая в соответствие
элемент матрицы 𝑋, стоящий в 𝑖-той строке, 𝑗-том столбце матрицы
𝑋;
V.1.2. Линейная функция
Начнем с примеров линейных функций. Линейными функциями
являются:
1) функция, каждому вектору ставящая в соответствие его проекцию
на некоторую ось;
2) 𝑓𝑖𝑗 (𝑋) — функция, каждой матрице 𝑋 ставящая в соответствие
элемент матрицы 𝑋, стоящий в 𝑖-той строке, 𝑗-том столбце матрицы
𝑋;
3) tr(𝑋) — след квадратной матрицы 𝑋 — сумма элементов главной
диагонали
матрицы 𝑋:
⎛
⎞
𝑥11 𝑥12 . . . 𝑥1𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑥21 𝑥22 . . . 𝑥2𝑛 ⎟
tr ⎜
⎟ = 𝑥11 + 𝑥22 + . . . + 𝑥𝑛𝑛.
⎝ ... ... ... ... ⎠
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 . . . 𝑥𝑛𝑛
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Как доказать нелинейность?
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Так как линейность определяется с помощью тождеств, то опровергнуть линейность можно с помощью контрпримера, например, такого:
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Так как линейность определяется с помощью тождеств, то опровергнуть линейность можно с помощью контрпримера, например, такого:
⎧ ⃒→
⃒ √
−
→
−
⃒
⎨ ⃒ i + j ⃒⃒ = 2;
⃒→
⃒ ⃒→
⃒
⇒
−
−
⃒
⃒
⃒
⎩ ⃒ i ⃒ + ⃒ j ⃒⃒ = 2
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Так как линейность определяется с помощью тождеств, то опровергнуть линейность можно с помощью контрпримера, например, такого:
⎧ ⃒→
⃒ √
−
→
−
⃒
⎨ ⃒ i + j ⃒⃒ = 2;
⃒→
⃒
−
→
−
⃒
⃒
⃒→
⃒
⃒
⃒
⇒
i
+
j
⃒
⃒
−⃒
⎩ ⃒⃒−i ⃒⃒ + ⃒⃒→
j⃒=2
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Так как линейность определяется с помощью тождеств, то опровергнуть линейность можно с помощью контрпримера, например, такого:
⎧ ⃒→
⃒ √
−
→
−
⃒
⎨ ⃒ i + j ⃒⃒ = 2;
⃒→
⃒ ⃒→
⃒ ⃒→
⃒
−
→
−
−
−
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒→
⃒
⃒
⃒
⇒
i
+
j
i
+
j
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒.
−⃒
⎩ ⃒⃒−i ⃒⃒ + ⃒⃒→
j⃒=2
V.1.2. Линейная функция
Примером нелинейной функции является функция, каждому вектору плоскости или пространства ставящая в соответствие модуль
этого вектора.
Так как линейность определяется с помощью тождеств, то опровергнуть линейность можно с помощью контрпримера, например, такого:
⎧ ⃒→
⃒ √
−
→
−
⃒
⎨ ⃒ i + j ⃒⃒ = 2;
⃒→
⃒ ⃒→
⃒ ⃒→
⃒
−
→
−
−
−
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒→
⃒
⃒
⃒
⇒
i
+
j
=
̸
i
+
j
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒.
−⃒
⎩ ⃒⃒−i ⃒⃒ + ⃒⃒→
j⃒=2
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. Пусть для каждого 𝛼 поля 𝐾 на множествах 𝐴 и 𝐵
определены одноместные операции 𝛼′ и, соответственно, 𝛼′′, и
существуют 𝒪′ ∈ 𝐴, 𝒪′′ ∈ 𝐵 такие, что для любых 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 из 𝐴
и 𝑏1; 𝑏2; 𝑏3 из 𝐵 выполняются: 1) (𝑎1 +′ 𝑎2) +′ 𝑎3 = 𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3);
2) (𝑏1 +′′ 𝑏2) +′′ 𝑏3 = 𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3) (операции +′ и +′′ ассоциативны);
3)
𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏;
4) 𝛼′𝒪′ = 𝒪′, 𝛽 ′′𝒪′′ = 𝒪′′, 5) 1′𝑎1 = 𝑎1, 1′′𝑏1 = 𝑏1. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) функция 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 является
линейной; 2) для функции 𝑓 выполняется тождество
𝑓 (𝜆′𝑎1 +′ 𝜇′𝑎2) = 𝜆′′𝑓 (𝑎1) +′′ 𝜇′′𝑓 (𝑎2);
(5)
3) для функции 𝑓 выполняются тождества
𝑓 (𝑎1 +′ 𝑎2) = 𝑓 (𝑎1) +′′ 𝑓 (𝑎2)
и
𝑓 (𝛼′𝑎) = 𝛼′′𝑓 (𝑎).
(6)
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Второе и третье утверждение являются частным случаем линейности функции.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
(6)
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
Доказательство. Второе и третье утверждение являются частным случаем линейности функции.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
(6)
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
Доказательство. Второе и третье утверждение являются частным случаем линейности функции.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
(6)
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
Доказательство. Второе и третье утверждение являются частным случаем линейности функции.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство.
ции 𝑓 докажем
Из второго утверждения линейность функпо 𝑛.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство.
ции 𝑓 докажем
Из второго утверждения линейность функпо 𝑛.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство.
ции 𝑓 докажем
Из второго утверждения линейность функпо 𝑛.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство.
ции 𝑓 докажем
Из второго утверждения линейность функпо 𝑛.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Если в формуле (4) положить 𝑛 = 2, то получим утверждение второго пункта. База доказана.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг индукции. Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна для любого 𝑛 6 𝑘.
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
Согласно (5)...
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 (︀ 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1)︀ +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 (𝑎′𝑘 ) =
Согласно (5)...
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 (︀ 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1)︀ +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 (𝑎′𝑘 ) =
Согласно гипотезе индукции...
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 (︀ 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1)︀ +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +(︀′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 )︀(𝑎′𝑘 ) =
= 𝜆′′1 𝑓 (𝑎1) +′′ 𝜆′′2 𝑓 (𝑎2) +′′ . . . +′′ 𝜆′′𝑘−1𝑓 𝑎′𝑘−1 +′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 (𝑎′𝑘 ) .
Согласно гипотезе индукции...
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
(5)
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Из второго утверждения линейность функции 𝑓 докажем индукцией по 𝑛.
Шаг
Пусть 𝑘 > 2 и (4) верна
для любого 𝑛 6 𝑘.
(︀ ′ индукции.
)︀
𝑓 (︀(︀
𝜆1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +)︀′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =)︀
= 𝑓 (︀ 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1)︀ +′ 𝜆′𝑘 𝑎′𝑘 =
= 𝑓 𝜆′1𝑎1 +′ 𝜆′2𝑎2 +′ . . . +′ 𝜆′𝑘−1𝑎′𝑘−1 +(︀′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 )︀(𝑎′𝑘 ) =
= 𝜆′′1 𝑓 (𝑎1) +′′ 𝜆′′2 𝑓 (𝑎2) +′′ . . . +′′ 𝜆′′𝑘−1𝑓 𝑎′𝑘−1 +′′ 𝜆′′𝑘 𝑓 (𝑎′𝑘 ) .
Шаг индукции доказан. Значит, из (5) следует (4).
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Осталось доказать, что из формул (6) следует
тождество (5):
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Осталось доказать, что из формул (6) следует
тождество (5):
𝑓 (𝜆′𝑎1 +′ 𝜇′𝑎2) =
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Осталось доказать, что из формул (6) следует
тождество (5):
𝑓 (𝜆′𝑎1 +′ 𝜇′𝑎2) =𝑓 (𝜆′𝑎1) +′′ 𝑓 (𝜇′𝑎2) =
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Осталось доказать, что из формул (6) следует
тождество (5):
𝑓 (𝜆′𝑎1 +′ 𝜇′𝑎2) =𝑓 (𝜆′𝑎1) +′′ 𝑓 (𝜇′𝑎2) =𝜆′′𝑓 (𝑎1) +′′ 𝜇′′𝑓 (𝑎2).
V.1.3. Критерии линейности функции
Теорема 1. 1) (𝑎1 +′ 𝑎2)+′ 𝑎3=𝑎1 +′ (𝑎2 +′ 𝑎3); 2) (𝑏1 +′′ 𝑏2)+′′ 𝑏3=𝑏1 +′′ (𝑏2 +′′ 𝑏3);
3) 𝑎 + 𝒪′ = 𝒪′ + 𝑎 = 𝑎, 𝑏 + 𝒪′′ = 𝒪′′ + 𝑏 = 𝑏; 4) 𝛼′ 𝒪′ = 𝒪′ , 𝛽 ′′ 𝒪′′ = 𝒪′′ ;
5)
1′ 𝑎1 = 𝑎1 , 1′′ 𝑏1 = 𝑏1 .
Тогда
следующие
условия
эквивалентны:
1) функция 𝑓 — линейная, т.е.
𝑓 (𝜆′1 𝑎1 +′ . . . +′ 𝜆′𝑛 𝑎𝑛 ) =𝜆′′1 𝑓 (𝑎1 ) +′′ . . . +′′ 𝜆′𝑛 𝑓 (𝑎𝑛 ) ;
(4)
′
′ ′
′′
′′ ′′
2) 𝑓 (𝜆 𝑎1 + 𝜇 𝑎2 ) = 𝜆 𝑓 (𝑎1 ) + 𝜇 𝑓 (𝑎2 );
(5)
′
′′
′
3) 𝑓 (𝑎1 + 𝑎2 ) = 𝑓 (𝑎1 ) + 𝑓 (𝑎2 ) и 𝑓 (𝛼 𝑎) = 𝛼.
(6)
Доказательство. Осталось доказать, что из формул (6) следует
тождество (5):
𝑓 (𝜆′𝑎1 +′ 𝜇′𝑎2) =𝑓 (𝜆′𝑎1) +′′ 𝑓 (𝜇′𝑎2) =𝜆′′𝑓 (𝑎1) +′′ 𝜇′′𝑓 (𝑎2).
Критерии линейности функции доказаны.
V.2. Детерминант
В этом разделе мы рассмотрим довольно странную, на первый
взгляд, функцию, область определения которой состоит из всех квадратных матриц с компонентами из поля2 𝐾, а область ее допустимых
значений включается в 𝐾.
Оказывается, эта функция обладает рядом неожиданных и глубоких свойств и допускает достаточно простую геометрическую интерпретацию. Кроме определения, приведенного в данном разделе,
распростаненным является определение детерминанта, которое иногда называют «инвариантным».
мы подробно рассмотрим только случаи, когда 𝐾 — это поле вещественных или комплексных
чисел.
2
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
Кроме того, в качестве «экстремальных» рассмотрим матрицы
с числом строк,
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
Кроме того, в качестве «экстремальных» рассмотрим матрицы
с числом строк, равным числу столбцов, т.е.
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
Кроме того, в качестве «экстремальных» рассмотрим матрицы
с числом строк, равным числу столбцов, т.е. квадратные.
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
Кроме того, в качестве «экстремальных» рассмотрим матрицы
с числом строк, равным числу столбцов, т.е. квадратные.
Матрица размерности 1 × 1 нам неинтересны.
V.2.1. Предвкушение: малые размерности
Для развития теории одним из эффективных инструментов является стратегия приоритетного изучения «экстремальных» ситуаций.
Поэтому сначала рассмотрим матрицы малых размерностей.
Кроме того, в качестве «экстремальных» рассмотрим матрицы
с числом строк, равным числу столбцов, т.е. квадратные.
Матрица размерности 1 × 1 нам неинтересны.
Поэтому сначала рассмотрим некоторые конструкции для матриц
размерности 2 × 2.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
Первое уравнение оставим неизменным.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
Первое уравнение оставим неизменным.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
Из второго уравнения, умноженного на 𝑎11, вычтем первое уравнение, умноженное на 𝑎21.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
(
)𝑦 =
Из второго уравнения, умноженного на 𝑎11, вычтем первое уравнение, умноженное на 𝑎21.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =
Из второго уравнения, умноженного на 𝑎11, вычтем первое уравнение, умноженное на 𝑎21.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1
Из второго уравнения, умноженного на 𝑎11, вычтем первое уравнение, умноженное на 𝑎21.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
∼
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
⎨
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 =
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
⎨
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
⎨
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
В первом уравнении выражение 𝑎12𝑦 перенесём вправо и подставим
в него полученное выражение для 𝑦.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
⎨ 𝑎11𝑥 =
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
В первом уравнении выражение 𝑎12𝑦 перенесём вправо и подставим
в него полученное выражение для 𝑦.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
⎨ 𝑎11𝑥 =𝑏1 − 𝑎12·
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
В первом уравнении выражение 𝑎12𝑦 перенесём вправо и подставим
в него полученное выражение для 𝑦.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
21 𝑏1
⎨ 𝑎11𝑥 =𝑏1 − 𝑎12· 𝑎𝑎11𝑎𝑏2−𝑎
,
−𝑎
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Из второго уравнения выразим 𝑦 (будем считать, что коэффициент
перед 𝑦 отличен от 0).
В первом уравнении выражение 𝑎12𝑦 перенесём вправо и подставим
в него полученное выражение для 𝑦.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
{︂
⎧
21 𝑏1
⎨ 𝑎11𝑥 =𝑏1 − 𝑎12· 𝑎𝑎11𝑎𝑏2−𝑎
,
−𝑎
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
В правой части первого уравнения приведем к общему знаменателю
и в числителе приведём подобные.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
⎧
⎨𝑥=
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎩𝑦=
{︂
𝑎11 𝑏2 −𝑎21 𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
⎧
21 𝑏1
⎨ 𝑎11𝑥 =𝑏1 − 𝑎12· 𝑎𝑎11𝑎𝑏2−𝑎
,
−𝑎
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
В правой части первого уравнения приведем к общему знаменателю
и в числителе приведём подобные.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
{︂
⎧
⎨𝑥=
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎩𝑦=
{︂
𝑏1 𝑎22 −𝑏2 𝑎12
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12 ,
𝑎11 𝑏2 −𝑎21 𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
⎧
21 𝑏1
⎨ 𝑎11𝑥 =𝑏1 − 𝑎12· 𝑎𝑎11𝑎𝑏2−𝑎
,
−𝑎
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 ⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
В правой части первого уравнения приведем к общему знаменателю
и в числителе приведём подобные.
∼
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
⃒
⃒
⃒𝛼 𝛽 ⃒
⃒.
Введем обозначение 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 = ⃒⃒
𝛾 𝛿⃒
⎧
−𝑏2 𝑎12
{︂
⎨ 𝑥 = 𝑎𝑏1𝑎𝑎22−𝑎
,
11
22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
⃒
⃒
⃒𝛼 𝛽 ⃒
⃒.
Введем обозначение 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 = ⃒⃒
𝛾 𝛿⃒
⎧
−𝑏2 𝑎12
{︂
⎨ 𝑥 = 𝑎𝑏1𝑎𝑎22−𝑎
,
11
22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
Выражение, приведенное после заголовка раздела, называется определителем или детерминантом матрицы размерности 2 × 2.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
⃒
⃒
⃒𝛼 𝛽 ⃒
⃒.
Введем обозначение 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 = ⃒⃒
𝛾 𝛿⃒
⎧
⃒ ⃒
⃒
⃒
⎧
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑏
𝑎
𝑎
𝑎
⎪
−𝑏2 𝑎12
⎪
{︂
𝑥 = ⃒⃒ 1 12⃒⃒ / ⃒⃒ 11 22⃒⃒ ,
⎨
⎨ 𝑥 = 𝑎𝑏1𝑎𝑎22−𝑎
,
𝑏2 𝑎22
𝑎21 𝑎22
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
∼
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒𝑎11 𝑏1 ⃒ ⃒𝑎11 𝑎22 ⃒
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎪
⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
⎪
⃒/⃒
⃒.
⎩ 𝑦 = ⃒⃒
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
⃒ ⃒
⃒
𝑎21 𝑏2
𝑎21 𝑎22
Выражение, приведенное после заголовка раздела, называется определителем или детерминантом матрицы размерности 2 × 2.
V.2.2. Предвкушение: формулы Крамера и детерминант для малой размерности
⃒
⃒
⃒𝛼 𝛽 ⃒
⃒.
Введем обозначение 𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 = ⃒⃒
𝛾 𝛿⃒
⎧
⃒ ⃒
⃒
⃒
⎧
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑏
𝑎
𝑎
𝑎
⎪
−𝑏2 𝑎12
⎪
{︂
𝑥 = ⃒⃒ 1 12⃒⃒ / ⃒⃒ 11 22⃒⃒ ,
⎨
⎨ 𝑥 = 𝑎𝑏1𝑎𝑎22−𝑎
,
𝑏2 𝑎22
𝑎21 𝑎22
11 22
21 𝑎12
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1,
∼
∼
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒𝑎11 𝑏1 ⃒ ⃒𝑎11 𝑎22 ⃒
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
⎪
⎩ 𝑦 = 𝑎11𝑏2−𝑎21𝑏1
⎪
⃒/⃒
⃒.
⎩ 𝑦 = ⃒⃒
𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12
⃒ ⃒
⃒
𝑎21 𝑏2
𝑎21 𝑎22
Выражение, приведенное после заголовка раздела, называется определителем или детерминантом матрицы размерности 2 × 2.
В последних обозначениях получаем формулы Крамера для системы из двух уравнений с двумя неизвестными.
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
V.2.3. Предвкушение: детерминант для 3 × 3
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
V.2.3.
Предвкушение:
детерминант для 3 × 3
⎛
⎞⎛ ⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
?
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝?⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
?
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
?
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝?⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
?
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
Надо бы вместо «вопросиков» подставить что-нибудь экстремальное...
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
0
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
Надо бы вместо «вопросиков» подставить что-нибудь экстремальное...
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
0
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
Неинтересно, например, 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0.
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Рассмотрим «экстремальные» произведения матрицы A3×3 на другую матрицу.
В качестве «экстремального» множителя можно взять, например,
матрицу-строку или матрицу-столбец.
Применим для разнообразия стратегию смены ролей и приоритетов:
этот множитель объявим неизвестной, искомой матрицей, и зафиксируем значение произведения...
Вот теперь хорошо!
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив левую часть, получим:
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 +
1
⎝
⎠ = ⎝ 0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+
1
⎝
⎠ = ⎝ 0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝
⎠ = ⎝ 0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝ 𝑎21𝑥+
⎠ = ⎝ 0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝ 𝑎21𝑥+𝑎22𝑦+
⎠ = ⎝ 0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝ 𝑎21𝑥+𝑎22𝑦+𝑎23𝑧 ⎠ = ⎝0⎠ .
0
V.2.3.
Предвкушение:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант для 3 × 3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝ 𝑎21𝑥+𝑎22𝑦+𝑎23𝑧 ⎠ = ⎝0⎠ .
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧
0
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Вычислив
левую часть,
⎛
⎞ получим:
⎛ ⎞
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦+𝑎13𝑧
1
⎝ 𝑎21𝑥+𝑎22𝑦+𝑎23𝑧 ⎠ = ⎝0⎠ .
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧
0
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
Рассмотрим подсистему из второго и третьего уравнений последней
системы...
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
Рассмотрим подсистему из второго и третьего уравнений последней
системы...
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
Преобразуем к виду системы двух уравнений с двумя неизвестными...
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
{︂
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
Преобразуем к виду системы двух уравнений с двумя неизвестными...
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑧
0
{︂
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
И решим ее с помощью формул Крамера.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
⎜
(︂ )︂ ⎜
⎜
𝑥
⎜
=⎜
𝑦
⎜
⎜
⎝
{︂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎠
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
И решим ее с помощью формул Крамера.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⃒
(︂ )︂ ⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑥
⎟
⎜
=⎜
⎟,
𝑦
⎜
⎟
⃒
⃒
⎟
⎜
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⎠
⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
{︂
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
И решим ее с помощью формул Крамера.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⃒
(︂ )︂ ⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑥
⎟
⎜
=⎜
⎟,
𝑦
⎜
⎟
⃒
⃒
⎟
⎜
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⎠
⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
{︂
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
И решим ее с помощью формул Крамера.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0.
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⃒
(︂ )︂ ⎜
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑥
⎟
⎜
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦
⎜ 21
⃒ 33
⃒31 23 ⎟
⎟
⎜
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⎠
⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
{︂
{︂
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = −𝑎23𝑧,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0,
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 = −𝑎33𝑧.
И решим ее с помощью формул Крамера.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⎜
⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎟
⎜
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎟ ⎝ ⎠
⎜
⎜
⃒⎜
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒ ⎜
𝑦
⎜ 21
⃒ 33
⃒31 23 ⎟
⃒
⃒⎜
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⎠
⎝
𝑎31 𝑎32⃒ ⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⎜
⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎟
⎜
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎟ ⎝ ⎠
⎜
⎜
⃒⎜
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒ ⎜
𝑦
⎜ 21
⃒ 33
⃒31 23 ⎟
⃒
⃒⎜
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⎠
⎝
𝑎31 𝑎32⃒ ⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⎞
⃒
⃒𝑎21
⃒
⃒𝑎31
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⃒ ⎟
⎟
𝑎22⃒⃒ ⎠
𝑎32⃒
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜
⃒
⃒
𝑎
𝑎
21
22 ⃒
⎜
⎟
⎜
⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎟
⎜
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎟ ⎝ ⎠
⎜
⎜
⃒⎜
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒ ⎜
𝑦
⎜ 21
⃒ 33
⃒31 23 ⎟
⃒
⃒⎜
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⎠
⎝
𝑎31 𝑎32⃒ ⎝
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒ ⎞
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒
⃒
⃒𝑎32 𝑎33⃒ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⃒
⃒ ⎟
⃒𝑎21 𝑎22⃒ ⎟
⃒
⃒ ⎠
⃒𝑎31 𝑎32⃒
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
⃒
⃒ ⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⃒⃒𝑎 𝑎 ⃒⃒ ⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
⎟
⎜ ⃒ 32 33 ⃒⎟
⃒ 21 22⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎜
⎟
⎜ ⃒
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⃒⎟
⎜
⃒ ⎜− ⃒
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒⎟
⃒
⃒
33
31
23 ⎟
𝑎
𝑎
𝑦
⎜ 21
⎜
𝑎
𝑎
31
33
21
22 ⃒ ⎜ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⎟
⃒
⎟
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎠
⎝
⎝
𝑎
𝑎
𝑎31 𝑎32
⃒
⃒
⃒ 21 22⃒ ⎠
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
⎛ 𝑎33
⎞
⃒
⃒ ⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⃒⃒𝑎 𝑎 ⃒⃒ ⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
⎟
⎜ ⃒ 32 33 ⃒⎟
⃒ 21 22⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎜
⎟
⎜ ⃒
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎜
⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⃒⎟
⃒ ⎜− ⃒
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒⎟
⃒
⃒
33
31
23 ⎟
𝑎
𝑎
𝑦
⎜ 21
⎜
𝑎
𝑎
31
33
21
22 ⃒ ⎜ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⎟
⃒
⎟
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎠
⎝
⎝
𝑎
𝑎
𝑎31 𝑎32
⃒
⃒
⃒ 21 22⃒ ⎠
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
𝑧 можно найти из первого уравнения в первой строке:
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
⎛ 𝑎33
⎞
⃒
⃒ ⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⃒⃒𝑎 𝑎 ⃒⃒ ⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
⎟
⎜ ⃒ 32 33 ⃒⎟
⃒ 21 22⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎜
⎟
⎜ ⃒
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎜
⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⃒⎟
⃒ ⎜− ⃒
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒⎟
⃒
⃒
33
31
23 ⎟
𝑎
𝑎
𝑦
⎜ 21
⎜
𝑎
𝑎
31
33
21
22 ⃒ ⎜ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⎟
⃒
⎟
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎠
⎝
⎝
𝑎
𝑎
𝑎31 𝑎32
⃒
⃒
⃒ 21 22⃒ ⎠
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒𝑎21 𝑎23⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒
𝑧
⃒ − 𝑎12 ⃒
⃒ + 𝑎13 ⃒
⃒ = 1.
⃒
⃒ 𝑎11 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒
𝑎32 𝑎33
𝑎31 𝑎33
𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒⏟
⏞
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⃒ Это выражение назовем
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒ определителем
матри⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒ цы 3 × 3.
V.2.3.
Предвкушение:
для 3 × 3
⎧
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ детерминант
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑥
1
⎨ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 1,
⎝𝑎21 𝑎22 𝑎23⎠ ⎝𝑦 ⎠ =⎝0⎠
𝑎 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 0,
⎩ 21
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 0. ⎛
𝑎31 𝑎32
𝑧
0
⎛ 𝑎33
⎞
⃒
⃒ ⎞
−𝑎23𝑧 · 𝑎32 + 𝑎33𝑧 · 𝑎22
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒
⃒
⎜
⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⃒⃒𝑎 𝑎 ⃒⃒ ⎟
⃒
⃒
𝑎
𝑎
⎟
⎜ ⃒ 32 33 ⃒⎟
⃒ 21 22⃒
(︂ )︂ ⎜
𝑥
⎜
⎟
⎜ ⃒
⎟
⃒
⃒
𝑎31 𝑎32
𝑧
𝑥
⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⃒⎟
⎜
⃒ ⎜− ⃒
= ⎜ 𝑎 · (−𝑎 𝑧) + 𝑎 · 𝑎 𝑧 ⎟ ,
𝑦 =⃒
⃒⎟
⃒
⃒
33
31
23 ⎟
𝑎
𝑎
𝑦
⎜ 21
⎜
𝑎
𝑎
31
33
21
22 ⃒ ⎜ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⎟
⃒
⎟
⎟
⎜
𝑧
⃒𝑎21 𝑎22⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎠
⎝
⎝
𝑎
𝑎
𝑎31 𝑎32
⃒
⃒
⃒ 21 22⃒ ⎠
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒𝑎22 𝑎23⃒
⃒𝑎21 𝑎23⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒
𝑧
⃒ − 𝑎12 ⃒
⃒ + 𝑎13 ⃒
⃒ = 1.
⃒
⃒ 𝑎11 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎21 𝑎22⃒
𝑎32 𝑎33
𝑎31 𝑎33
𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒⏟
⏞
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32⃒
⃒
⃒
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⃒ Это выражение назовем
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒ определителем
матри⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒ цы 3 × 3.
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Рассмотрим некоторые понятия, которые мы впоследствии обобщим
в определении детерминанта произвольной квадратной матрицы.
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
𝑀13 — дополнительный минор элемента 𝑎13.
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
𝑀13 — дополнительный минор элемента 𝑎13.
Алгебраическое дополнение 𝐴𝑖𝑗 может отличаться от дополнительного минора 𝑀𝑖𝑗 только знаком: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 .
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
𝑀13 — дополнительный минор элемента 𝑎13.
Алгебраическое дополнение 𝐴𝑖𝑗 может отличаться от дополнительного минора 𝑀𝑖𝑗 только знаком: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 .
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
𝑀13 — дополнительный минор элемента 𝑎13.
Алгебраическое дополнение 𝐴𝑖𝑗 может отличаться от дополнительного минора 𝑀𝑖𝑗 только знаком: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 .
V.2.4. Предвкушение: дополнительный минор и алгебраическое дополнение ⎛
⎞
⃒
⃒
𝑀12
⃒
⃒
⏞
⏟ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⎜
⎟
⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎21 𝑎22⃒⃒
𝑎22 𝑎23⃒
⎜ ⃒𝑎21 𝑎23⃒⎟
⃒
⃒
⃒
⃒
+
𝑎
−
+
𝑎
.
=
𝑎
⎟
⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23⃒
12 ⎜ ⃒
13 ⃒
11 ⃒
𝑎31 𝑎32⃒
𝑎32 𝑎33⃒
⃒
⃒
⎝ 𝑎31 𝑎33⃒⎠
⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33⃒
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝐴11 =𝑀11
𝐴13 =𝑀13
⏟
⏞
𝐴12 =−𝑀12
Детерминант, обозначенный нами через 𝑀11 получен из исходного
детерминанта вычеркиванием первой строки и первого столбца. Он
называется дополнительным минором элемента 𝑎11.
Аналогично 𝑀12 — дополнительный минор элемента 𝑎12 и
𝑀13 — дополнительный минор элемента 𝑎13.
Алгебраическое дополнение 𝐴𝑖𝑗 может отличаться от дополнительного минора 𝑀𝑖𝑗 только знаком: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 .
V.2.5. Индуктивное определение детерминанта
Определение 22. Назовём детерминантом (определителем)
матрицы A𝑛×𝑛 число det(A), определяемое индуктивно:
База: для матрицы A1×1 = (𝑎) положим det (𝑎) = 𝑎;
Шаг: Пусть det определен для всех матриц размерности 𝑚 × 𝑚,
где 𝑚 < 𝑛. Тогда для матрицы A𝑛×𝑛 положим
𝑛
∑︀
det(A) =
𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 ,
(7)
𝑗=1
где 𝐴𝑖𝑗 — алгебраическое дополнение к элементу, стоящему
в 𝑖-той строке и 𝑗-том столбце матрицы A, определяемое формулой 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 , где 𝑀𝑖𝑗 — это детерминант матрицы,
полученной из A вычеркиванием 𝑖-той строки и 𝑗-го столбца,
называемый дополнительным минором элемента 𝑎𝑖𝑗 . Число 𝑛
называется порядком определителя (детерминанта) det (A).
V.2.5. Формулировка индуктивного определения
детерминанта
Для обозначения det(A) используется также запись матрицы A в
прямых, а не круглых скобках. Например,
⃒
(︂
)︂ ⃒
⃒
𝑎11 𝑎12
𝑎 𝑎 ⃒
det
= ⃒⃒ 11 12 ⃒⃒ =
𝑎21 𝑎22
𝑎21 𝑎22
V.2.5. Формулировка индуктивного определения
детерминанта
Для обозначения det(A) используется также запись матрицы A в
прямых, а не круглых скобках. Например,
⃒
(︂
)︂ ⃒
⃒
𝑎11 𝑎12
𝑎 𝑎 ⃒
det
= ⃒⃒ 11 12 ⃒⃒ =
𝑎21 𝑎22
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11 · (−1)1+1𝑎22 + 𝑎12 · (−1)1+2𝑎21 =
V.2.5. Формулировка индуктивного определения
детерминанта
Для обозначения det(A) используется также запись матрицы A в
прямых, а не круглых скобках. Например,
⃒
(︂
)︂ ⃒
⃒
𝑎11 𝑎12
𝑎 𝑎 ⃒
det
= ⃒⃒ 11 12 ⃒⃒ =
𝑎21 𝑎22
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11 · (−1)1+1𝑎22 + 𝑎12 · (−1)1+2𝑎21 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.
Рассмотреть пример?
V.3. Свойства детерминанта
Рассмотрим основные свойства детерминанта.
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
𝑖=1
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎𝑖1
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎𝑖1
𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑖=2
⏟ ⏞
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1
𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
в миноре 𝑀1𝑗
нумерация строк
начинается с 2
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
Поменяем местами символы суммирования...
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1
𝑛
∑︁
𝑎1𝑗 (−1)𝑖+𝑗+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑗=2
Поменяем местами символы суммирования...
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
𝑛
∑︁
Доказательство. det A =
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1
𝑛
∑︁
𝑎1𝑗 (−1)𝑖+𝑗+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑗=2
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)(𝑗−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
𝑛
∑︁
Доказательство. det A =
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑎1𝑗 (−1)(𝑗−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1(−1)
𝑖+1
𝑀𝑖1 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1 =
(8)
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
(8)
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1(−1)
𝑖+1
𝑀𝑖1 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖1(−1)
𝑖+1
𝑀𝑖1 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖1𝐴𝑖1.
V.3.1. «Равноправие строк и столбцов»
Теорема 2. det(A𝑡) = det(A), т.е.
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
det A =
𝑎𝑖1𝐴𝑖1 =
𝑎𝑖1(−1)𝑖+1𝑀𝑖1.
𝑖=1
Доказательство. det A =
𝑛
∑︁
(8)
𝑖=1
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
= 𝑎11𝑀11 +
= 𝑎11𝑀11 +
𝑛
∑︁
𝑗=2
𝑛
∑︁
𝑖=2
𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗
𝑛
∑︁
𝑎𝑖1(−1)(𝑖−1)+1𝑀{1,𝑗},{𝑖,1} =
𝑖=2
𝑎𝑖1(−1)
Теорема доказана.
𝑖+1
𝑀𝑖1 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖1(−1)
𝑖+1
𝑀𝑖1 =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖1𝐴𝑖1.
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
Доказательство.
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Индукция по размерности (напрашивается из
определения).
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒=
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑 ⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
=𝑐·
+𝑑·
⃒ 𝑐 𝑑 ⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
2+1
2+2
⃒
⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
=
𝑐
·
(−1)
𝑏
+
𝑑
·
(−1)
𝑎.
⃒ 𝑐 𝑑⃒
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐𝑏 + 𝑑𝑎 = 𝑐 · (−1)2+1𝑏 + 𝑑 · (−1)2+2𝑎.
⃒ 𝑐 𝑑⃒
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = −𝑐𝑏 + 𝑑𝑎 = 𝑐 · (−1)2+1𝑏 + 𝑑 · (−1)2+2𝑎.
⃒ 𝑐 𝑑⃒
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = −𝑐𝑏 + 𝑑𝑎 = 𝑐 · (−1)2+1𝑏 + 𝑑 · (−1)2+2𝑎.
⃒ 𝑐 𝑑⃒
База индукции доказана.
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Применим формулу (7)...
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
Применим формулу (7)...
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Применим формулу (7)...
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
...
̸ 𝑎11 . . .
𝑎21 . . .
𝑎31 . . .
𝑎𝑛1 . . .
𝑗−1
𝑗
𝑗+1
−
̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
...
̸ 𝑎11 . . .
𝑎21 . . .
𝑎31 . . .
𝑎𝑛1 . . .
𝑗−1
𝑗
𝑗+1
−
̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
...
−
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
−
...
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
...
...
...
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
...
...
...
...
𝑛
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
...
...
...
...
𝑛
̸ 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
2
...
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
2
...
...
𝑛
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
2
...
...
𝑛
𝑛−1
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
det(A) =
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑗=1
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑗=1
∑︀
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
2
...
...
𝑛
𝑛−1
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
det(A) =
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑗=1 )︃
𝑗=1
+
𝑛
∑︀
∑︀
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘}
∑︀
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1
=
𝑘=𝑗+1
Номера строк и столбцов
в исходной матрице:
после «вычеркивания»:
1
−
2
1
3
2
...
...
𝑛
𝑛−1
в исходной
после
матрице «вычеркивания»
1
1
̸ 𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎𝑛1
... 𝑗 − 1
𝑗
𝑗+1
... 𝑗 − 1 −
𝑗
. . . ̸ 𝑎1,𝑗−1 ̸ 𝑎1𝑗 ̸ 𝑎1,𝑗+1
. . . 𝑎2,𝑗−1 ̸ 𝑎2𝑗 𝑎2,𝑗+1
. . . 𝑎3,𝑗−1 ̸ 𝑎3𝑗 𝑎3,𝑗+1
...
. . . 𝑎𝑛,𝑗−1 ̸ 𝑎𝑛𝑗 𝑎𝑛,𝑗+1
Коэффициенты
матрицы A
...
𝑛
... 𝑛 − 1
. . . ̸ 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
...
𝑎𝑛𝑛
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
𝑘=𝑗+1
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
Поменяем местами символы суммирования...
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
6
𝑘
𝑛
𝑛−1
𝑛−2
...
3
2
1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
𝑛−
𝑛−2
1
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
6
𝑘
𝑛
=
...
3
2
1
𝑛−2
1
𝑛−2
𝑗−
1
𝑛−1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
𝑘
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑛−
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
6
𝑘
𝑛
=
...
3
2
1
𝑛−2
1
𝑛−2
𝑗−
1
𝑛−1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
𝑘
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑛−
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
𝑛
1
𝑛−1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
𝑛−2
...
3
2
1
𝑗−
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
6
𝑘
=
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛−2
1
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
𝑘
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑛−
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
6
𝑘
𝑛
𝑛−1
𝑛−2
...
3
2
1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
𝑛−
𝑛−2
1
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
𝑛−1
𝑛−2
...
3
2
1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
1
𝑛
𝑛−2
1
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
6
𝑘
𝑗+
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛−
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
=
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑘
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
𝑛−1
𝑛−2
...
3
2
1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
1
𝑛
𝑛−2
1
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
6
𝑘
𝑗+
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛−
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
=
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
𝑘
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
6
𝑘
𝑛−1
𝑛−2
...
3
2
1
...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
𝑛 𝑗
1 2 3
1
𝑛
𝑛−2
1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑘=2 𝑗=1
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
𝑗+
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
∑︀
𝑛−
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
=
∑︀
𝑘
det(A) =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
𝑘=2 𝑗=1
𝑘=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑛
∑︀
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
+
𝑘=2 𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑘−1
∑︀
𝑘=2
𝑗=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑘=1
(−1)𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛
∑︀
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
+
𝑘=2 𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑘−1
∑︀
𝑘=2
𝑗=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑘=1
𝑛
∑︀
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
(−1)𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘 𝑀𝑖𝑘 =
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
+
𝑘=2 𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑖+𝑘
𝑘−1
∑︀
𝑗=1
𝑗−1
(−1)
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)
𝑘=2
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)
𝑖+𝑘
𝑀𝑖𝑘 =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘 .
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Пусть 𝑛 > 2 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
(︂𝑗−1
𝑛
𝑛
∑︀
(−1)𝑗+1 𝑎1𝑗
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1
𝑗=1 )︃
𝑘=1
𝑛
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
∑︀
+
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
det(A) =
∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
+
𝑘=2 𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑎1𝑗 (−1)𝑗+1 𝑀1𝑗 =
∑︀
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑖+𝑘
𝑘−1
∑︀
𝑗=1
𝑗−1
(−1)
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)
𝑘=2
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)
𝑖+𝑘
𝑀𝑖𝑘 =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘 .
Шаг индукции доказан. Первое равенство в (9) доказано.
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
𝑛
∑︀
det(A) =
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
(9)
Доказательство. Аналогично, по теореме о равноправии
строк и столбцов, доказывается второе
равенство в (9).
(︂
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗+1
𝑎1𝑗 (−1)
𝑗=1
+
𝑛
∑︀
𝑀1𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑗+1
(−1)
𝑗=1 )︃
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+(𝑘−1) 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘}
𝑎1𝑗
𝑗−1
∑︀
𝑘=1
=
𝑛 𝑗−1
∑︀
∑︀
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=1 𝑘=1
𝑛−1
𝑛
∑︀ ∑︀
+
𝑘=𝑗+1
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
+
𝑗=1 𝑘=𝑗+1
𝑛 𝑘−1
∑︀
∑︀
𝑘=1 𝑗=𝑘+1
𝑛−1
∑︀
𝑘=1
+
𝑘=2 𝑗=1
𝑛
∑︀
𝑘−1
∑︀
𝑘=2
𝑗=1
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
(−1)𝑖+𝑗+𝑘−1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑎𝑖𝑘 (−1)(𝑖−1)+𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
(−1)𝑖+𝑗+𝑘 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘
𝑛
∑︀
(−1)𝑗 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑘𝑗} +
𝑗=𝑘+1
(−1)𝑗−1 𝑎1𝑗 𝑀{1𝑖},{𝑗𝑘} =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 (−1)𝑖+𝑘 𝑀𝑖𝑘 =
𝑛
∑︀
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑖𝑘 .
Шаг индукции доказан. Первое равенство в (9) доказано.
V.3.2. Разложение по любой строке или столбцу
Теорема 3.
det(A) =
𝑛
∑︀
𝑗=1
Доказательство.
Рассмотрим пример?
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 =
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 .
(9)
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒2 4⃒
⃒,
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒⃒
5 −1 ⃒
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒2 4⃒
⃒,
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒⃒
5 −1 ⃒
Минор построенный на остальных строках и столбцах,
т.е.
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒2 4⃒
⃒,
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒⃒
5 −1 ⃒
Минор построенный на остальных строках и столбцах,
т.е. 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4},
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒2 4⃒
⃒,
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒⃒
5 −1 ⃒
Минор построенный на остальных строках и столбцах,
т.е. 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4},
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 0 1⃒
⃒2 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒
, 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4} = ⃒ 2 −1 −1 ⃒⃒ .
⃒
5 −1
⃒ −3 2 3 ⃒
Минор построенный на остальных строках и столбцах,
т.е. 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4},
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
⎛
⎞
3 2 1 −2 4
⎜ 4 1 0 1 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 2 −2 −1 −1 3 ⎟
⎟
⎜
⎝ −1 5 7 5 −1 ⎠
−3 3 2 3 2
Рассмотрим минор, построенный на строках с номерами 1 и 4
и столбцах с номерами 2 и 5:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 0 1⃒
⃒2 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 4},{2; 5} = ⃒
, 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4} = ⃒ 2 −1 −1 ⃒⃒ .
⃒
5 −1
⃒ −3 2 3 ⃒
Минор построенный на остальных строках и столбцах,
т.е. 𝑀{2; 3; 5},{1; 3; 4}, называется
минором, дополнительным к 𝑀{1; 4},{2; 5}.
V.3.3. Минор, дополнительный к минору
Определение 23. Пусть 1 ≤ 𝑖1 < 𝑖2 < . . . < 𝑖𝑘 ≤ 𝑛,
1 ≤ 𝑗1 < 𝑗2 < . . . < 𝑗𝑘 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑝1 < 𝑝2 < . . . < 𝑝𝑛−𝑘 ≤ 𝑛,
1 ≤ 𝑞1 < 𝑞2 < . . . < 𝑞𝑛−𝑘 ≤ 𝑛,
причем {𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛−𝑘 } = {1; 2; . . . ; 𝑛}∖{𝑖1; . . . ; 𝑖𝑘 },
{𝑞1; . . . ; 𝑞𝑛−𝑘 } = {1; 2; . . . ; 𝑛}∖{𝑗1; . . . ; 𝑗𝑘 }.
Тогда минор 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }, построенный на строках с номерами 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛−𝑘 и столбцах с номерами 𝑞1, . . . , 𝑞𝑛−𝑘 , называется дополнительным к минору 𝑀{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 }, построенному на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 и столбцах с номерами 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 .
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)(𝑛−𝑖1)+...+(𝑛−𝑖𝑘 )+(𝑛−𝑗1)+...+(𝑛−𝑗𝑘 )𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)(𝑛−𝑖1)+...+(𝑛−𝑖𝑘 )+(𝑛−𝑗1)+...+(𝑛−𝑗𝑘 )𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑛𝑘+𝑛𝑘 (−1)−𝑖1−...−𝑖𝑘 −𝑗1−...−𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)(𝑛−𝑖1)+...+(𝑛−𝑖𝑘 )+(𝑛−𝑗1)+...+(𝑛−𝑗𝑘 )𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑛𝑘+𝑛𝑘 (−1)−𝑖1−...−𝑖𝑘 −𝑗1−...−𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
Число −𝑖1 − . . . − 𝑖𝑘 − 𝑗1 − . . . − 𝑗𝑘 является чётным тогда и только
тогда число 𝑖1 + . . . + 𝑖𝑘 + 𝑗1 + . . . + 𝑗𝑘 — чётное.
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)(𝑛−𝑖1)+...+(𝑛−𝑖𝑘 )+(𝑛−𝑗1)+...+(𝑛−𝑗𝑘 )𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑛𝑘+𝑛𝑘 (−1)−𝑖1−...−𝑖𝑘 −𝑗1−...−𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
V.4. Алгебраическое дополнение к минору
Определение 24. В обозначениях определения 23 алгебраическим дополнением к минору называется число
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
Нетрудно понять, что
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } = (−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 }.
В самом деле,
(−1)𝑝1+...+𝑝𝑛−𝑘 +𝑞1+...+𝑞𝑛−𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)(𝑛−𝑖1)+...+(𝑛−𝑖𝑘 )+(𝑛−𝑗1)+...+(𝑛−𝑗𝑘 )𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑛𝑘+𝑛𝑘 (−1)−𝑖1−...−𝑖𝑘 −𝑗1−...−𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= (−1)𝑖1+...+𝑖𝑘 +𝑗1+...+𝑗𝑘 𝑀{𝑝1;...;𝑝𝑛−𝑘 },{𝑞1;...;𝑞𝑛−𝑘 } =
= 𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 },
V.4.1. Теорема Лапласа
Теорема 4. Пусть A — матрица размерности 𝑛 × 𝑛 и
1 ≤ 𝑖1 < 𝑖2 < . . . < 𝑖𝑘 ≤ 𝑛. Тогда det A равен сумме произведений вида
𝑀{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } · 𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 },
по всем допустимым 𝑗1; . . . ; 𝑗𝑘 , где 1 ≤ 𝑗1 < . . . < 𝑗𝑘 ≤ 𝑛 и
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } — алгебраическое дополнение к минору 𝑀{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 }.
V.4.1. Теорема Лапласа
Теорема 4. Пусть A — матрица размерности 𝑛 × 𝑛 и
1 ≤ 𝑖1 < 𝑖2 < . . . < 𝑖𝑘 ≤ 𝑛. Тогда det A равен сумме произведений вида
𝑀{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } · 𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 },
по всем допустимым 𝑗1; . . . ; 𝑗𝑘 , где 1 ≤ 𝑗1 < . . . < 𝑗𝑘 ≤ 𝑛 и
𝐴{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 } — алгебраическое дополнение к минору 𝑀{𝑖1;...;𝑖𝑘 },{𝑗1;...;𝑗𝑘 }.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем.
Рассмотрим пример?
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Индукция по размерности (напрашивается из
определения).
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑏⃒=
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒.
− ⃒⃒
⃒𝑎 𝑏⃒=
𝑐 𝑑⃒
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒.
− ⃒⃒
⃒ 𝑎 𝑏 ⃒ = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐 𝑑⃒
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑏 ⃒ = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 − (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) =− ⃒ 𝑐 𝑑 ⃒ .
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑏 ⃒ = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = − (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) =− ⃒ 𝑐 𝑑 ⃒ .
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Для 𝑛 = 2 проверяется непосредственным счетом:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑐 𝑑⃒
⃒𝑎 𝑏⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑏 ⃒ = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = − (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) =− ⃒ 𝑐 𝑑 ⃒ .
База индукции доказана.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
Согласно теореме о разложении по любой строке или столбцу...
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
det(A) =
Согласно теореме о разложении по любой строке или столбцу...
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
∑︀
A
=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
∑︀
A
=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
B
Обозначим через 𝑀𝑘𝑝
дополнительный минор матрицы B,
A
т.е. минор, полученный из 𝑀𝑘𝑝
перестановкой строк, имевших в матрице A номера 𝑖 и 𝑗.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
∑︀
A
=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
B
Обозначим через 𝑀𝑘𝑝
дополнительный минор матрицы B.
A
B
По предположению индукции 𝑀𝑘𝑝
= −𝑀𝑘𝑝
.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
𝑝=1
B
Обозначим через 𝑀𝑘𝑝
дополнительный минор матрицы B.
A
B
По предположению индукции 𝑀𝑘𝑝
= −𝑀𝑘𝑝
.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
=−
𝑛
∑︀
𝑝=1
𝑝=1
B
𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
=
B
Обозначим через 𝑀𝑘𝑝
дополнительный минор матрицы B.
A
B
По предположению индукции 𝑀𝑘𝑝
= −𝑀𝑘𝑝
.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
=−
𝑛
∑︀
𝑝=1
𝑝=1
B
𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
=− det(B).
B
Обозначим через 𝑀𝑘𝑝
дополнительный минор матрицы B.
A
B
По предположению индукции 𝑀𝑘𝑝
= −𝑀𝑘𝑝
.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
=−
𝑛
∑︀
𝑝=1
𝑝=1
B
𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
=− det(B).
Шаг индукции доказан.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
=−
𝑛
∑︀
𝑝=1
𝑝=1
B
𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
=− det(B).
Шаг индукции доказан.
Утверждение о результате перестановки строк доказано.
V.4.2. О перестановке строк или столбцов
Теорема 5. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк или двух столбцов, то det(B) = − det(A).
Доказательство. Пусть 𝑛 > 3 и для размерности, меньшей 𝑛,
утверждение верно.
Допустим, матрица B получена из A перестановкой 𝑖-й и 𝑗-й строк.
В силу 𝑛 > 3, то найдётся номер 𝑘 ∈ {1, 2, 3, . . . , 𝑛}, отличный от 𝑖
и от 𝑗.
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
𝑘+𝑝
A
B
)=
det(A) = 𝑎𝑘𝑝(−1) 𝑀𝑘𝑝 = 𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝(−𝑀𝑘𝑝
𝑝=1
=−
𝑛
∑︀
𝑝=1
𝑝=1
B
𝑎𝑘𝑝(−1)𝑘+𝑝𝑀𝑘𝑝
=− det(B).
Шаг индукции доказан.
Утверждение о результате перестановки столбцов доказывается аналогично. Теорема доказана.
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство.
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
Поскольку строки с номерами 𝑖 и 𝑗 совпадают, то A = B.
det A = det B =
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
Поскольку строки с номерами 𝑖 и 𝑗 совпадают, то A = B.
По теореме о перестановке строк или столбцов
det A = det B =
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
Поскольку строки с номерами 𝑖 и 𝑗 совпадают, то A = B.
По теореме о перестановке строк или столбцов
det A = det B = − det A.
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
Поскольку строки с номерами 𝑖 и 𝑗 совпадают, то A = B.
По теореме о перестановке строк или столбцов
det A = det B = − det A.
Следовательно, det A = − det A, откуда 2 det A = 0.
V.4.3. Следствие о детерминанте матрицы с одинаковыми строками
Следствие 1. Если в матрице A есть две одинаковые строки, то
det(A) = 0.
Доказательство. Пусть в матрице A равны строки с номерами 𝑖
и 𝑗. Обозначим через B матрицу, полученную из A перестановкой
строк с номерами 𝑖 и 𝑗.
Поскольку строки с номерами 𝑖 и 𝑗 совпадают, то A = B.
По теореме о перестановке строк или столбцов
det A = det B = − det A.
Следовательно, det A = − det A, откуда 2 det A = 0.
Следствие доказано.
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Таким образом, если det рассматривать, как функцию от 𝑖-той
строки матрицы A (то есть предполагается, что аргументы функции
det различаются только 𝑖-той строкой), то det является линейной
функцией.
Рассмотрим пример?
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Заметим, что для любого номера 𝑗
𝑀𝑖𝑗A = 𝑀𝑖𝑗B = 𝑀𝑖𝑗C, где 𝑀𝑖𝑗A, 𝑀𝑖𝑗B, 𝑀𝑖𝑗C — дополнительные миноры к
элементу 𝑖-й строки и 𝑗-о столбца матрицы A, B и C соответственно.
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
det C =
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
∑︁
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑖+𝑗
C
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 =
(𝜆𝑎𝑖𝑗 + 𝜇𝑏𝑖𝑗 ) (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝑗=1
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑖+𝑗
C
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 =
(𝜆𝑎𝑖𝑗 + 𝜇𝑏𝑖𝑗 ) (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝜆
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C + 𝜇
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑖+𝑗
C
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 =
(𝜆𝑎𝑖𝑗 + 𝜇𝑏𝑖𝑗 ) (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝜆
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C + 𝜇
𝑗=1
=𝜆
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗A + 𝜇
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗B =
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑖+𝑗
C
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 =
(𝜆𝑎𝑖𝑗 + 𝜇𝑏𝑖𝑗 ) (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝜆
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C + 𝜇
𝑗=1
=𝜆
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗A + 𝜇
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗B =𝜆 det A + 𝜇 det B.
V.4.4. Теорема о линейности «по строке»
Теорема 6. Пусть матрицы A, B и C совпадают, кроме 𝑖-той
строки, причем 𝑤 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣, где 𝑢, 𝑣, 𝑤 - 𝑖-тые строки матриц,
соответственно, A, B и C. Тогда det(C) = 𝜆 det(A) + 𝜇 det(B).
Доказательство. Согласно теореме о разложении детерминанта по любой строке или столбцу, имеем
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑖+𝑗
C
det C =
𝑐𝑖𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 =
(𝜆𝑎𝑖𝑗 + 𝜇𝑏𝑖𝑗 ) (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝜆
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C + 𝜇
=𝜆
𝑗=1
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗C =
𝑗=1
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗A + 𝜇
Свойство доказано.
𝑛
∑︁
𝑗=1
𝑏𝑖𝑗 (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗B =𝜆 det A + 𝜇 det B.
V.4.5. Следствие о детерминанте матрицы с пропорциональными строками
Следствие 2. Если в матрице A есть две пропорциональные строки, то det(A) = 0.
Доказательство.
V.4.5. Следствие о детерминанте матрицы с пропорциональными строками
Следствие 2. Если в матрице A есть две пропорциональные строки, то det(A) = 0.
Доказательство. Это очевидное следствие из теоремы о линейности «по строке» и следствия о детерминанте матрицы с
одинаковыми строками.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
Доказательство.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
Комментарий. В данной теореме речь идет детерминантах
матриц, которые отличаются линейной комбинацией строк.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
Комментарий. В данной теореме речь идет детерминантах
матриц, которые отличаются линейной комбинацией строк.
Поэтому естественно, что в нашем доказательстве мы будем
опираться на теорему 6 о линейности детерминанта по строке.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
Комментарий. В данной теореме речь идет детерминантах
матриц, которые отличаются линейной комбинацией строк.
Поэтому естественно, что в нашем доказательстве мы будем
опираться на теорему 6 о линейности детерминанта по строке.
Совершенно естественно, что доказательство теоремы мы начнем с
перевода условия и заключения теорем на язык равенств.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
Доказательство.
Пусть строка 𝑈𝑗 с номером 𝑖 матрицы B имеет вид...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
Пусть строка 𝑈𝑗 с номером 𝑖 матрицы B имеет вид...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑗=1
Пусть строка 𝑈𝑗 с номером 𝑖 матрицы B имеет вид...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑗=1
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑗=1
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По теореме о линейности по строке...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑗=1
det(B) =
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По теореме о линейности по строке...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
det(B) =
𝑗=1
𝜆𝑗 det (A𝑗 ) =
𝑗=1
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По теореме о линейности по строке...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
det(B) =
𝑗=1
𝜆𝑗 det (A𝑗 ) =
𝑗=1
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По следствию в детерминанте матрицы с одинаковыми
строками...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
det(B) =
𝑗=1
𝜆𝑗 det (A𝑗 ) =
𝑗=1
= . . . + 𝜆𝑖−1 · 0 + 1 · det(A) + 𝜆𝑖+1 · 0 + . . . + 𝜆𝑛 · 0 =
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По следствию в детерминанте матрицы с одинаковыми
строками...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
det(B) =
𝑗=1
𝜆𝑗 det (A𝑗 ) =
𝑗=1
= . . . + 𝜆𝑖−1 · 0 + 1 · det(A) + 𝜆𝑖+1 · 0 + . . . + 𝜆𝑛 · 0 =det(A).
Обозначим через A𝑗 матрицу, полученную из матрицы A заменой
строки с номером 𝑖 на строку матрицы A с номером 𝑗.
По следствию в детерминанте матрицы с одинаковыми
строками...
V.4.6. Теорема о комбинации строк и столбцов в det
Теорема 7. Если матрицы A и B совпадают, кроме 𝑖-той строки,
причем 𝑖-тая строка матрицы B является суммой 𝑖-той строки
матрицы A и линейной комбинации остальных строк матрицы A,
то det(B) = det(A).
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝜆𝑗 𝑈𝑗 т.е. 𝑏𝑖𝑘 =
𝜆𝑗 𝑎𝑗𝑘 , где 𝜆𝑖 = 1.
Доказательство. 𝑈𝑖 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
det(B) =
𝑗=1
𝜆𝑗 det (A𝑗 ) =
𝑗=1
= . . . + 𝜆𝑖−1 · 0 + 1 · det(A) + 𝜆𝑖+1 · 0 + . . . + 𝜆𝑛 · 0 =det(A).
Теорема доказана.
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Проведем только «для достаточности».
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
В силу теоремы 5 о перестановке двух строк (столбцов) в
детерминанте, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что 𝑛-ая строка является линейной комбинацией остальных,
т.е. ...
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
𝑛−1
∑︀
Доказательство. 𝑎𝑛𝑗 =
𝜆𝑘 𝑎𝑘𝑗 .
𝑘=1
В силу теоремы 5 о перестановке двух строк (столбцов) в
детерминанте, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что 𝑛-ая строка является линейной комбинацией остальных,
т.е. ...
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
𝑛−1
∑︀
Доказательство. 𝑎𝑛𝑗 =
𝜆𝑘 𝑎𝑘𝑗 .
𝑘=1
Тогда, прибавляя к 𝑛-ной строке матрицы A линейную комбинацию
остальных строк с коэффициентами, имеющими обратные знаки, получим нулевую строку.
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
𝑛−1
∑︀
Доказательство. 𝑎𝑛𝑗 =
𝜆𝑘 𝑎𝑘𝑗 .
𝑘=1
Тогда, прибавляя к 𝑛-ной строке матрицы A линейную комбинацию
остальных строк с коэффициентами, имеющими обратные знаки, получим нулевую строку.
Согласно теореме 7 о комбинации строк и столбцов в детерминанте детерминант при этом не изменится.
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
𝑛−1
∑︀
Доказательство. 𝑎𝑛𝑗 =
𝜆𝑘 𝑎𝑘𝑗 .
𝑘=1
Тогда, прибавляя к 𝑛-ной строке матрицы A линейную комбинацию
остальных строк с коэффициентами, имеющими обратные знаки, получим нулевую строку.
Согласно теореме 7 о комбинации строк и столбцов в детерминанте детерминант при этом не изменится.
«Раскрывая» по полученной нулевой строке, получим нулевой детерминант. Достаточность доказана.
V.4.7. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 8. det(A) = 0 тогда и только тогда, когда одна из строк
матрицы A является линейной комбинацией остальных.
𝑛−1
∑︀
Доказательство. 𝑎𝑛𝑗 =
𝜆𝑘 𝑎𝑘𝑗 .
𝑘=1
Тогда, прибавляя к 𝑛-ной строке матрицы A линейную комбинацию
остальных строк с коэффициентами, имеющими обратные знаки, получим нулевую строку.
Согласно теореме 7 о комбинации строк и столбцов в детерминанте детерминант при этом не изменится.
«Раскрывая» по полученной нулевой строке, получим нулевой детерминант. Достаточность доказана.
Необходимость пока доказывать не будем.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
= det(A) det(C),
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство. Будем вести индукцию по количеству строк
матрицы A.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
.
= det(A) det(C),
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
. det D =
= det(A) det(C),
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
. det D =
«Раскроем» этот детерминант по первому столбцу, пользуясь теоремой 3 о разложении детерминанта по строке или столбцу.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
«Раскроем» этот детерминант по первому столбцу, пользуясь теоремой 3 о разложении детерминанта по строке или столбцу.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
⎧
⎪
𝑑11 = 𝑎11,
⎪
⎪
⎨
...
По условию
𝑑𝑚1 = 𝑎𝑚1,
⎪
⎪
⎪
⎩𝑑
𝑚+1,1 = . . . = 𝑑𝑚+𝑛,1 = 0.
= det(A) det(C),
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
⎧
⎪
𝑑11 = 𝑎11,
⎪
⎪
⎨
...
По условию
𝑑𝑚1 = 𝑎𝑚1,
⎪
⎪
⎪
⎩𝑑
𝑚+1,1 = . . . = 𝑑𝑚+𝑛,1 = 0.
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖=1
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
В частности, если 𝑚 = 1, то утверждение доказано, так как в этом
D
случае 𝑎11 = det A и 𝑀11
= det C.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖=1
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
В частности, если 𝑚 = 1, то утверждение доказано, так как в этом
D
случае 𝑎11 = det A и 𝑀11
= det C.
База индукции доказана.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖=1
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
В частности, если 𝑚 = 1, то утверждение доказано, так как в этом
D
случае 𝑎11 = det A и 𝑀11
= det C.
База индукции доказана.
Проведем шаг индукции.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖=1
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
Пусть 𝑚 > 1 и утверждение верно для случая, когда число строк
матрицы A меньше 𝑚.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
(︃
𝑀𝑖1D = det
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
(𝑖,1)
A(𝑚−1)×(𝑚−1)
(𝑖)
B(𝑚−1)×𝑛
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
)︃
=
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
(︃
𝑀𝑖1D = det
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
(𝑖,1)
A(𝑚−1)×(𝑚−1)
(𝑖)
B(𝑚−1)×𝑛
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
)︃
=
По предположению индукции, так как (𝑚 − 1) < 𝑚, для матрицы 𝑀𝑖1D утверждение теоремы верно.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
(︃
𝑀𝑖1D = det
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
. det D =
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
(𝑖,1)
A(𝑚−1)×(𝑚−1)
(𝑖)
B(𝑚−1)×𝑛
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
)︃
(𝑖,1)
=det A(𝑚−1)×(𝑚−1) · det C𝑛×𝑛 =
По предположению индукции, так как (𝑚 − 1) < 𝑚, для матрицы 𝑀𝑖1D утверждение теоремы верно.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
(︃
𝑀𝑖1D = det
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
. det D =
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
(𝑖,1)
A(𝑚−1)×(𝑚−1)
(𝑖)
B(𝑚−1)×𝑛
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
)︃
(𝑖,1)
=det A(𝑚−1)×(𝑚−1) · det C𝑛×𝑛 =𝑀𝑖1A · det C.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
D=
𝑚
∑︁
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
. det D =
𝑖=1
𝑖+1
𝑑𝑖1 (−1)
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
𝑖=1
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A · det C =
𝑖=1
(︃
)︃
(𝑖,1)
(𝑖)
A(𝑚−1)×(𝑚−1) B(𝑚−1)×𝑛
(𝑖,1)
𝑀𝑖1D = det
=det A(𝑚−1)×(𝑚−1) · det C𝑛×𝑛 =𝑀𝑖1A · det C.
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
=
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
det
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
)︂
𝑚+𝑛
∑︁
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
)︃
(︃ 𝑚 𝑖=1
𝑚
∑︁
∑︁
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A det C =
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A · det C =
𝑖=1 )︃
𝑖=1
(︃
(𝑖,1)
(𝑖)
A(𝑚−1)×(𝑚−1) B(𝑚−1)×𝑛
(𝑖,1)
𝑀𝑖1D = det
=det A(𝑚−1)×(𝑚−1) · det C𝑛×𝑛 =𝑀𝑖1A · det C.
O𝑛×𝑚
C𝑛×𝑛
D=
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
)︃
(︃ 𝑚 𝑖=1
𝑚
∑︁
∑︁
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A det C =det A · det C.
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A · det C =
D=
𝑖=1
𝑖=1
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
)︃
(︃ 𝑚 𝑖=1
𝑚
∑︁
∑︁
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A det C =det A · det C.
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A · det C =
D=
𝑖=1
𝑖=1
Шаг индукции выполнен.
V.4.8. Теорема о детерминанте полураспавшейся
матрицы
Теорема
9. Пусть
матрицы.
Тогда
)︂ A𝑚×𝑚 и C𝑛×𝑛 — квадратные
(︂
)︂
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
det
= det(A) det(C),
det
A𝑚×𝑚 O𝑚×𝑛
B𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
= det(A) det(C),
где O𝑝×𝑞 — нулевая матрица размерности 𝑝 × 𝑞.
Доказательство.
(︂
A𝑚×𝑚 B𝑚×𝑛
O𝑛×𝑚 C𝑛×𝑛
𝑚+𝑛
∑︁
)︂
𝑖+1
𝑀𝑖1D
𝑚
∑︁
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1D =
. det D =
𝑑𝑖1 (−1)
𝑖=1
)︃
(︃ 𝑚 𝑖=1
𝑚
∑︁
∑︁
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A det C =det A · det C.
=
𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝑀𝑖1A · det C =
D=
𝑖=1
𝑖=1
Шаг индукции выполнен.
Теорема доказана.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство можно ограничить случаем верхней треугольной
матрицы в силу теоремы 2 о равноправии строк и столбцов.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство. Применим индукцию по числу строк матрицы.
Отметим, что случай матрицы размерности 1 × 1 формально не удовлетворяет утверждению теоремы, поскольку «по зравому смыслу»
в произведении не может быть только один сомножитель. Однако в
математике обычно используются правила для символов суммирования и произведения, что позволяет утверждать, что теорема верна
даже для одноэлементной матрицы.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство. Применим индукцию по числу строк матрицы.
«Для очистки совести» рассмотрим также случай матрицы размерности 2 × 2:
⃒
⃒
⃒ 𝑎11 𝑎12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 0 𝑎22 ⃒ =
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство. Применим индукцию по числу строк матрицы.
«Для очистки совести» рассмотрим также случай матрицы размерности 2 × 2:
⃒
⃒
⃒ 𝑎11 𝑎12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 0 𝑎22 ⃒ = 𝑎11 · 𝑎22 − 0 · 𝑎12 =
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство. Применим индукцию по числу строк матрицы.
«Для очистки совести» рассмотрим также случай матрицы размерности 2 × 2:
⃒
⃒
⃒ 𝑎11 𝑎12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 0 𝑎22 ⃒ = 𝑎11 · 𝑎22 − 0 · 𝑎12 = 𝑎11 · 𝑎22.
База индукции доказана.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство. Докажем шаг индукции. Пусть 𝑛 — число строк
матрицы A, причем 𝑛 > 2 и для любой треугольной матрицы с числом строк, меньшим 𝑛, теорема верна. Тогда по теореме 9 о детерминанте полураспавшейся матрицы и предположению индукции имеем
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство.
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑎 ... 𝑎
𝑎1𝑛 ⃒⃒
1,𝑛−1
⃒ 11 12
⃒ 0 𝑎 ... 𝑎
𝑎2𝑛 ⃒⃒
⃒
22
2,𝑛−1
⃒
⃒
...
... ⃒ =
⃒ ... ... ...
⃒
⃒
⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 0 0 ...
0
𝑎𝑛𝑛 ⃒
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство.
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑎 ... 𝑎
⃒
𝑎1𝑛 ⃒⃒ ⃒⃒
1,𝑛−1
⃒ 11 12
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1,𝑛−1 ⃒⃒
⃒ 0 𝑎 ... 𝑎
⃒
⃒
𝑎2𝑛 ⃒ ⃒
⃒
⃒
22
2,𝑛−1
⃒
⃒ ⃒ 0 𝑎22 . . . 𝑎2,𝑛−1 ⃒
...
... ⃒ = ⃒
⃒ ... ... ...
⃒·𝑎 =
. . . ⃒ 𝑛𝑛
⃒
⃒ ⃒ ... ... ...
⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒
⃒ 0 0 ...
0
𝑎𝑛𝑛 ⃒
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство.
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑎 ... 𝑎
⃒
𝑎1𝑛 ⃒⃒ ⃒⃒
1,𝑛−1
⃒ 11 12
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1,𝑛−1 ⃒⃒
⃒ 0 𝑎 ... 𝑎
⃒
⃒
𝑎2𝑛 ⃒ ⃒
⃒
⃒
22
2,𝑛−1
⃒
⃒ ⃒ 0 𝑎22 . . . 𝑎2,𝑛−1 ⃒
...
... ⃒ = ⃒
⃒ ... ... ...
⃒·𝑎 =
. . . ⃒ 𝑛𝑛
⃒
⃒ ⃒ ... ... ...
⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒
⃒ 0 0 ...
0
𝑎𝑛𝑛 ⃒
= 𝑎11 · 𝑎22 · . . . · 𝑎𝑛𝑛.
V.4.9. Следствие о детерминанте треугольной матрицы
Следствие 3. Детерминант треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Доказательство.
⃒
⃒
⃒ 𝑎 𝑎 ... 𝑎
⃒
𝑎1𝑛 ⃒⃒ ⃒⃒
1,𝑛−1
⃒ 11 12
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1,𝑛−1 ⃒⃒
⃒ 0 𝑎 ... 𝑎
⃒
⃒
𝑎2𝑛 ⃒ ⃒
⃒
⃒
22
2,𝑛−1
⃒
⃒ ⃒ 0 𝑎22 . . . 𝑎2,𝑛−1 ⃒
...
... ⃒ = ⃒
⃒ ... ... ...
⃒·𝑎 =
. . . ⃒ 𝑛𝑛
⃒
⃒ ⃒ ... ... ...
⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒ 0 0 . . . 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⃒
⃒ 0 0 ...
0
𝑎𝑛𝑛 ⃒
= 𝑎11 · 𝑎22 · . . . · 𝑎𝑛𝑛.
Шаг индукции доказан. Согласно принципу математической индукции утверждение теоремы выполняется для любой треугольной матрицы.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. Продемонстрируем на примере матриц размерности 3 × 3.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. Продемонстрируем на примере матриц размерности 3 × 3.
Рассмотрим детерминант следующей матрицы.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. ⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒0 0 0
⃒0 0 0
⃒
⃒0 0 0
−1
0
0
𝑎11
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
𝑎12
𝑎22
𝑎32
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
Рассмотрим детерминант следующей матрицы.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. ⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒0 0 0
⃒0 0 0
⃒
⃒0 0 0
−1
0
0
𝑎11
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
𝑎12
𝑎22
𝑎32
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
По теореме о детерминанте полураспавшейся матрицы...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det
(A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒0 0 0
⃒0 0 0
⃒
⃒0 0 0
−1
0
0
𝑎11
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
𝑎12
𝑎22
𝑎32
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
По теореме о детерминанте полураспавшейся матрицы...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det
(A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒0 0 0
⃒0 0 0
⃒
⃒0 0 0
−1
0
0
𝑎11
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
𝑎12
𝑎22
𝑎32
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим первую, умноженную на 𝑎11 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det
(A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13 −1 0
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23 0 −1
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
0 0
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒ 0 0 0 𝑎11 𝑎12
⃒ 0 0 0 𝑎21 𝑎22
⃒
⃒0 0 0 𝑎 𝑎
31
32
⃒
⃒ 𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒ 𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒ 𝑏
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒ 31
⃒𝑎11 𝑏11 𝑎11 𝑏12 𝑎11 𝑏13
⃒ 0
0
0
⃒
⃒ 0
0
0
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
−1 0
0 −1
0 0
0 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим первую, умноженную на 𝑎11 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det
(A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒𝑏11 𝑏12 𝑏13 −1 0
⃒
⃒𝑏21 𝑏22 𝑏23 0 −1
⃒
⃒𝑏 𝑏 𝑏
0 0
= ⃒⃒ 31 32 33
⃒ 0 0 0 𝑎11 𝑎12
⃒ 0 0 0 𝑎21 𝑎22
⃒
⃒0 0 0 𝑎 𝑎
31
32
⃒
⃒ 𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒ 𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒ 𝑏
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒ 31
⃒𝑎11 𝑏11 𝑎11 𝑏12 𝑎11 𝑏13
⃒ 0
0
0
⃒
⃒ 0
0
0
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
−1 0
0 −1
0 0
0 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
𝑎13 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим вторую, умноженную на 𝑎12 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
= ⃒⃒
⃒=
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 0 0 𝑎13 ⃒
⃒
0
0
0
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
⃒
⃒
0
0
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑏11
𝑏12
𝑏13 −1 0 0 ⃒⃒
⃒
⃒ 𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
⃒
⃒ 𝑏
𝑏32
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
= ⃒⃒ 31
⃒=
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
0
𝑎
𝑎
11
11
11
12
11
13
12
13
⃒
⃒
⃒ 0
⃒
0
0
𝑎
𝑎
𝑎
21
22
23
⃒
⃒
⃒ 0
0
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим вторую, умноженную на 𝑎12 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
= ⃒⃒
⃒=
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 0 0 𝑎13 ⃒
⃒
0
0
0
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
⃒
⃒
0
0
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑏11
𝑏12
𝑏13 −1 0 0 ⃒⃒
⃒
⃒ 𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
⃒
⃒ 𝑏
𝑏32
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
= ⃒⃒ 31
⃒=
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
0
𝑎
𝑎
11
11
11
12
11
13
12
13
⃒
⃒
⃒ 0
⃒
0
0
𝑎
𝑎
𝑎
21
22
23
⃒
⃒
⃒ 0
0
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим третью, умноженную на 𝑎13 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23
⃒
0
0
0
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
⃒
0
0
⃒
⃒
0
0
−1 0 0 ⃒⃒
0 −1 0 ⃒⃒
0 0 −1⃒⃒
=
0 0 𝑎13 ⃒⃒
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
0
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
К четвёртой строке прибавим третью, умноженную на 𝑎13 и воспользуемся теоремой о комбинации строк и столбцов в det.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23
⃒
0
0
0
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
⃒
0
0
⃒
⃒
0
0
−1 0 0 ⃒⃒
0 −1 0 ⃒⃒
0 0 −1⃒⃒
=
0 0 𝑎13 ⃒⃒
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
0
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
Проделаем этот же процесс с пятой строкой.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11
𝑎21 𝑏12
𝑎21 𝑏13
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
0
0
0
⃒
⃒
0
0
0
Проделаем этот же процесс с пятой строкой.
−1
0
0
0
0
𝑎31
−1
0
0
0
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
0
𝑎22
𝑎32
0
−1
0
0
𝑎22
𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11
𝑎21 𝑏12
𝑎21 𝑏13
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
0
0
0
⃒
⃒
0
0
0
Проделаем этот же процесс с пятой строкой.
−1
0
0
0
0
𝑎31
−1
0
0
0
𝑎21
𝑎31
0
−1
0
0
𝑎22
𝑎32
0
−1
0
0
𝑎22
𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11
𝑎21 𝑏12
𝑎21 𝑏13
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23
⃒
⃒
0
0
0
Проделаем этот же процесс с пятой строкой.
−1
0
0
0
0
𝑎31
−1
0
0
0
0
𝑎31
0
−1
0
0
𝑎22
𝑎32
0
−1
0
0
0
𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23
⃒
⃒
0
0
0
Проделаем этот же процесс с пятой строкой.
−1
0
0
0
0
𝑎31
−1
0
0
0
0
𝑎31
0
−1
0
0
0
𝑎32
0
−1
0
0
0
𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
⃒
⃒
0
0
0
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23
⃒
⃒
0
0
0
Проделаем этот же процесс с шестой строкой.
−1
0
0
0
0
𝑎31
−1
0
0
0
0
𝑎31
0
−1
0
0
0
𝑎32
0
−1
0
0
0
𝑎32
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
𝑎23 ⃒⃒
𝑎33 ⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
0
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑎31 𝑏11
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
0
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
0
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13
0 𝑎32 𝑎33 ⃒
Проделаем этот же процесс с шестой строкой.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑎31 𝑏11
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23
0 0 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13
0 𝑎32 𝑎33 ⃒
Проделаем этот же процесс с шестой строкой.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23
0 0 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0 0 0 ⃒
Проделаем этот же процесс с шестой строкой.
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23
0 0 𝑎33 ⃒
⃒
𝑏13
−1 0 0 ⃒⃒
𝑏23
0 −1 0 ⃒⃒
𝑏33
0 0 −1⃒⃒
=
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0 0 ⃒⃒
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0 0 0 ⃒
По теореме о линейности «по строке»...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
1
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0
= (−1)3 ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 0
31 11
32 21
33 31
31 12
32 22
33 32
31 13
32 23
33 33
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
−1 0
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
0 0
31 11
32 21
33 31
31 12
32 22
33 32
31 13
32 23
33 33
По теореме о линейности «по строке»...
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
0⃒
0
1
0
0
0
0
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
1
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0
= (−1)3 ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 0
31 11
32 21
33 31
31 12
32 22
33 32
31 13
32 23
33 33
⃒
⃒
𝑏11
𝑏12
𝑏13
−1 0
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 −1
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0
= ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
0 0
31 11
32 21
33 31
31 12
32 22
33 32
31 13
32 23
33 33
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
−1⃒⃒
=
0 ⃒⃒
0 ⃒⃒
0⃒
0
1
0
0
0
0
Переставим первую и четвертую строки и применим теорему о
перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)3 ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
⃒ 31 11 32 21 33 31
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)4 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑏22
𝑏32
𝑏12
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏13
𝑏23
𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑏23
𝑏33
𝑏13
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
Переставим первую и четвертую строки и применим теорему о
перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)3 ⃒⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
⃒ 31 11 32 21 33 31
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)4 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑏22
𝑏32
𝑏12
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏13
𝑏23
𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑏23
𝑏33
𝑏13
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
Переставим вторую и пятую строки и применим теорему о перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)5 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
⃒ 31 11 32 21 33 31
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)4 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑏22
𝑏32
𝑏12
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑏33
𝑏13
𝑏23
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑏23
𝑏33
𝑏13
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
Переставим вторую и пятую строки и применим теорему о перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)5 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
⃒ 31 11 32 21 33 31
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)4 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
31 11
32 21
33 31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑏22
𝑏32
𝑏12
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑏33
𝑏13
𝑏23
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑏23
𝑏33
𝑏13
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
Переставим третью и шестую строки и применим теорему о перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство.
det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒
𝑏31
= (−1)5 ⃒⃒
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
⃒ 31 11 32 21 33 31
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= (−1)6 ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑏33
𝑏13
𝑏23
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33
𝑏13
𝑏23
𝑏33
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
Переставим третью и шестую строки и применим теорему о перестановке строк или столбцов...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 0 0
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
𝑏11
𝑏12
𝑏13
1 0
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 1
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= (−1)6 ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0 0
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 0 0
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
𝑏11
𝑏12
𝑏13
1 0
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
0 1
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
0 0
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32 𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32 𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= (−1)6 ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32 31 13 32 23 33 33
𝑏11
𝑏12
𝑏13
⃒
⃒
𝑏21
𝑏22
𝑏23
⃒
⃒
𝑏31
𝑏32
𝑏33
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
По теореме о детерминанте полураспавшейся матрицы...
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
= ⃒⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21 +𝑎33 𝑏31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0
𝑏13
1
𝑏23
0
𝑏33
0
⃒⃒
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒1
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 ⃒ ⃒0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒ =
1⃒
По теореме о детерминанте полураспавшейся матрицы...
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
= ⃒⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21 +𝑎33 𝑏31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0
𝑏13
1
𝑏23
0
𝑏33
0
⃒⃒
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒1
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 ⃒ ⃒0
По определению произведения матриц...
0
0
0
0
1
0
0
1
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒ =
1⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
= ⃒⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21 +𝑎33 𝑏31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0
𝑏13
1
𝑏23
0
𝑏33
0
⃒⃒
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒1
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 ⃒ ⃒0
= det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) .
По определению произведения матриц...
0
0
0
0
1
0
0
1
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒ =
1⃒
V.4.10. Теорема о детерминанте произведения
Теорема 10. det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) = det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛).
Доказательство. det (A𝑛×𝑛) det (B𝑛×𝑛) =
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒
⃒𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
= ⃒⃒ 31 11 32 21 33 31
𝑏11
⃒
⃒
𝑏21
⃒
⃒
𝑏31
⃒
⃒𝑎11 𝑏11 +𝑎12 𝑏21 +𝑎13 𝑏31
⃒
= ⃒⃒𝑎21 𝑏11 +𝑎22 𝑏21 +𝑎23 𝑏31
⃒𝑎31 𝑏11 +𝑎32 𝑏21 +𝑎33 𝑏31
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
𝑏12
𝑏22
𝑏32
𝑎11 𝑏12 +𝑎12 𝑏22 +𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏12 +𝑎22 𝑏22 +𝑎23 𝑏32
𝑎31 𝑏12 +𝑎32 𝑏22 +𝑎33 𝑏32
= det (A𝑛×𝑛B𝑛×𝑛) . Теорема доказана.
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 0
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 0
𝑏13
1
𝑏23
0
𝑏33
0
⃒⃒
𝑎11 𝑏13 +𝑎12 𝑏23 +𝑎13 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒1
𝑎21 𝑏13 +𝑎22 𝑏23 +𝑎23 𝑏33 ⃒⃒ ⃒⃒0
𝑎31 𝑏13 +𝑎32 𝑏23 +𝑎33 𝑏33 ⃒ ⃒0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
0⃒⃒
=
0⃒⃒
0⃒⃒
1⃒
⃒
0⃒⃒
0⃒⃒ =
1⃒
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑗=1
Доказательство.
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎11
𝑎12
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
⃒
⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
⃒ 𝑎𝑞1
𝑎𝑞2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(A)
⃒
. . . 𝑎𝑞𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
Рассмотрим матрицу B, полученную из A заменой 𝑞-й строки на
копию 𝑝-й строки.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎11
𝑎12
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
⃒
⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
Рассмотрим матрицу B, полученную из A заменой 𝑞-й строки на
копию 𝑝-й строки.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎11
𝑎12
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
⃒
⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑖=1
Разложим этот детерминант по 𝑞-й строке.
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎11
𝑎12
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
⃒
⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
В матрицах A и B совпадают
алгебраические дополнения
к элементам 𝑞-й строки, поскольку при их вычислении вычеркивается строка, которой они отличаются друг от друга.
Разложим этот детерминант по 𝑞-й строке.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎
𝑎12
⃒ 11
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
𝑛
∑︀
⃒
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 =⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
𝑗=1
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
В матрицах A и B совпадают
алгебраические дополнения
к элементам 𝑞-й строки, поскольку при их вычислении вычеркивается строка, которой они отличаются друг от друга.
Разложим этот детерминант по 𝑞-й строке.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎
𝑎12
⃒ 11
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
𝑛
∑︀
⃒
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 =⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
𝑗=1
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
По следствию о детерминанте матрицы с одинаковыми строками...
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎
𝑎12
⃒ 11
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
𝑛
∑︀
⃒
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 =⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
𝑗=1
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)= 0.
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
По следствию о детерминанте матрицы с одинаковыми строками...
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎
𝑎12
⃒ 11
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
𝑛
∑︀
⃒
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 =⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
𝑗=1
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)= 0.
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
Доказательство второго равенства можно провести аналогично, достаточно в матрице 𝐴 заменить 𝑞-й столбец копией столбца с номером 𝑝.
V.4.11. Теорема о разложении детерминанта по
«чужой» строке
Теорема 11. Если 𝑝 ̸= 𝑞, то
𝑛
∑︀
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 = 0 и
𝑗=1
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎
𝑎12
⃒ 11
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎
𝑎𝑝2
⃒ 𝑝1
⃒ ...
...
⃒
𝑛
∑︀
⃒
𝑎𝑝𝑗 𝐴𝑞𝑗 =⃒𝑎𝑞−1,1 𝑎𝑞−1,2
⃒
𝑗=1
⃒ 𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
⃒
⃒𝑎𝑞+1,1 𝑎𝑞+1,2
⃒
⃒ ...
...
⃒
⃒ 𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑝𝐴𝑖𝑞 = 0.
𝑖=1
⃒
. . . 𝑎1𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒⃒
. . . . . . ⃒⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞−1,𝑛 ⃒ = det(B)= 0.
⃒
. . . 𝑎𝑝𝑛 ⃒
⃒
. . . 𝑎𝑞+1,𝑛 ⃒
⃒
. . . . . . ⃒⃒
. . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒
Рассмотрим пример использования свойств детерминанта?
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат 𝑥𝑂𝑦, и множество векторов, выходящих из начала координат.
→
− →
−
Пусть i , j — единичные векторы координатных осей.
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
→
−
→
−
→
−
Рассмотрим функцию 𝑆, каждой паре векторов
a
=
𝑎
i
+
𝑎
j,
𝑥
𝑦
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ⃒
→
−
→
−
→
−
⃒.
b = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j ставящую в сооветствие число ⃒⃒
𝑏𝑥 𝑏𝑦 ⃒
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
→
−
→
−
→
−
Рассмотрим функцию 𝑆, каждой паре векторов
a
=
𝑎
i
+
𝑎
j,
𝑥
𝑦
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ⃒
→
−
→
−
→
−
⃒.
b = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j ставящую в сооветствие число ⃒⃒
𝑏𝑥 𝑏𝑦 ⃒
6
Начнем с простого случая: пусть
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
b
𝐵
𝐶
a = 𝑎𝑥 i и b = 𝑏𝑦 j .
→
− 6→
→
−
j 6-−i
a- 𝐴
Рассмотрим прямоугольник
𝑂𝐴𝐶𝐵,
построенный на векторах
⃒
⃒
)︁
(︁
⃒ 𝑎𝑥 0 ⃒
→
−
→
−
→
−
→
−
⃒ = 𝑎𝑥𝑏𝑦 — это либо площадь пряa , b . Тогда 𝑆 a , b = ⃒⃒
0 𝑏𝑦 ⃒
моугольника 𝑂𝐴𝐶𝐵, либо значение этой площади, взятое со знаком
«минус».(︁Нетрудно
)︁ даже сформулировать правило для определения,
→
−
−
когда 𝑆 →
a , b равно площади, а когда — площади со знаком «минус», но это нас сейчас не интересует.
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
→
−
→
−
→
−
Рассмотрим функцию 𝑆, каждой паре векторов
a
=
𝑎
i
+
𝑎
j,
𝑥
𝑦
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ⃒
→
−
→
−
→
−
⃒.
b = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j ставящую в сооветствие число ⃒⃒
𝑏𝑥 𝑏𝑦 ⃒
6
Пусть 𝜆 — произвольное вещественное число
′
′
𝐵
𝐵
𝐶
𝐶
→
−
(рисунок соответствует отрицательному зна6
@
I
@
b
→
−
→
−
@
a)︁@@
𝜆
a
чению 𝜆).
@ (︁
-𝐴
(︁ →
)︁
−
→
−
→
−
→
−
→
−
В силу свойств детерминанта 𝑆 a , b + 𝜆 a = 𝑆 a , b . Отметим, что площади прямоугольника 𝑂𝐴𝐶𝐵
и параллелограмма
(︁ →
)︁
−
→
−
→
−
′ ′
𝑂𝐴𝐶 𝐵 также равны. Поэтому значение 𝑆 a , b + 𝜆 a по модулю
равно площади параллелограмма 𝑂𝐴𝐶 ′𝐵 ′.
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
→
−
→
−
→
−
Рассмотрим функцию 𝑆, каждой паре векторов
a
=
𝑎
i
+
𝑎
j,
𝑥
𝑦
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ⃒
→
−
→
−
→
−
⃒.
b = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j ставящую в сооветствие число ⃒⃒
𝑏𝑥 𝑏𝑦 ⃒
6
Теперь возьмем произвольное вещественное
′′
𝐶
′
@
𝐵
′
@
число 𝜇.
@𝐶 ′
6
I
@
@
@𝐴
@
@𝐴
С одной стороны, по)︁ свойствам
детерминанта
имеем
(︁
(︁ →
)︁
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
𝑆 →
a + 𝜇( b + 𝜆→
a ), b + 𝜆→
a =𝑆 →
a , b + 𝜆→
a , с другой сторо′′ ′
ны, площади параллелограммов
𝑂𝐴𝐶 ′𝐵 ′ и 𝑂𝐴′𝐶
𝐵 равны. Таким
(︁
)︁
→
−
→
−
−
−
−
образом, значение 𝑆 →
a + 𝜇( b + 𝜆→
a ), b + 𝜆→
a по модулю равно
площади параллелограмма 𝑂𝐴′𝐶 ′′𝐵 ′.
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
→
−
→
−
→
−
Рассмотрим функцию 𝑆, каждой паре векторов
a
=
𝑎
i
+
𝑎
j,
𝑥
𝑦
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ⃒
→
−
→
−
→
−
⃒.
b = 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j ставящую в сооветствие число ⃒⃒
𝑏𝑥 𝑏𝑦 ⃒
Следовательно,
сформулировать правило: абсолютная
⃒ мы можем
⃒
⃒𝛼 𝛽⃒
⃒ равна площади параллелограмма, построенвеличина числа ⃒⃒
𝛾 𝛿⃒
→
−
→
−
→
−
→
−
ного на векторах 𝛼 i + 𝛽 j и 𝛾 i + 𝛿 j .
V.5. Геометрическая интерпретация детерминанта
Аналогично
можно
⎛
⎞ показать, что абсолютная величина чис𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
ла det ⎝ 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 ⎠ равна объему параллелепипеда, постро𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
енного на векторах 𝑎𝑥 i + 𝑎𝑦 j + 𝑎𝑧 k , 𝑏𝑥 i + 𝑏𝑦 j + 𝑏𝑧 k и
→
−
→
−
→
−
𝑐𝑥 i + 𝑐𝑦 j + 𝑐𝑧 k .
Значение этого детерминанта называют еще ориентированной площадью или, соответственно, ориентированным объемом.
V.6. Аксиоматическое определение детерминанта
Оказывается, рассмотренная геометрическая интерпретация детерминанта приводит к весьма неожиданному3 результату. А именно,
справедлива следующая теорема.
3
При принятой нами схеме изложения понятия детерминанта.
V.6. Аксиоматическое определение детерминанта
Теорема 12. Пусть функция det* каждой квадратной матрице
ставит в соответствие число, причем выполняются следующие
утверждения:
1. если матрица B получена из матрицы A умножением 𝑖-той
строки на число 𝜆, то det*(B) = 𝜆 · det*(A);
2. если матрица B получена из матрицы A прибавлением к 𝑖-той
строке другой строки матрицы A, то det*(B) = det*(A);
3. если E — единичная матрица, то det*(E) = 1.
Тогда det*(A) = det(A).
V.6. Аксиоматическое определение детерминанта
Доказательство теоремы об аксиоматическом определении детерминанта мы приводить не будем, с ним можно ознакомиться, например, в учебнике «Курош А. Г. Курс высшей алгебры.— М:. Наука.—
1968.— 431 с.».
V.7. Инвариантная трактовка детерминанта
Сейчас мы рассмотрим трактовку детерминанта, обычно рассматриваемую при обучении профессиональных математиков.
V.7.1. Перестановки (подстановки)
Определение 25. Перестановкой или подстановкой на множестве Ω называется взаимно однозначное отображение
множества Ω на себя.
Предлог «на» означает, что всякий элемент из Ω имеет прообраз
в Ω относительно данной перестановки.
V.7.1. Перестановки (подстановки)
Определение 25. Перестановкой или подстановкой на множестве Ω называется взаимно однозначное отображение
множества Ω на себя.
Нас сейчас интересует случай Ω = {1, 2, . . . , 𝑛}. Такая перестановка является функцией с конечной областью определения, поэтому ее можно задавать таблицей значений. Пусть 𝑓 — произвольная перестановка на множестве {1, 2, . . . , 𝑛}, с такой таблицей:
𝑥 1 2 ... 𝑛
.
𝑓 (𝑥) 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛
V.7.1. Перестановки (подстановки)
Определение 25. Перестановкой или подстановкой на множестве Ω называется взаимно однозначное отображение
множества Ω на себя.
Пусть 𝑓 — произвольная перестановка на множестве {1, 2, . . . , 𝑛},
𝑥 1 2 ... 𝑛
.
с такой таблицей:
𝑓 (𝑥) 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛
Попытаемся оптимизировать эту запись для рассматриваемого
класса функций. У любой перестановки на множестве {1, 2, . . . , 𝑛}
первая строка одинакова (с точностью до аргумента этой функции).
V.7.1. Перестановки (подстановки)
Определение 25. Перестановкой или подстановкой на множестве Ω называется взаимно однозначное отображение
множества Ω на себя.
Пусть 𝑓 — произвольная перестановка на множестве {1, 2, . . . , 𝑛},
𝑥 1 2 ... 𝑛
. Поэтому, говоря о перестас такой таблицей:
𝑓 (𝑥) 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛
новках этого множества, первую строку таблицы обычно не пишут,
а во второй строке опускают обозначение 𝑓 (𝑥). Таким образом, вме𝑥 1 2 3 4
сто, например, «перестановка 𝑠, заданная таблицей
»,
𝑠(𝑥) 2 4 3 1
пишут «перестановка (2 4 3 1)».
V.7.2. Перестановки: инверсия
Определение 26. Если 𝑓 — перестановка множества {1, 2, . . . , 𝑛}
и 𝑢, 𝑣 — такие элементы
множества
{1, 2, . . . , 𝑛}, что 𝑢 < 𝑣 и
(︁
)︁
𝑓 (𝑢) > 𝑓 (𝑣), то пара 𝑓 (𝑢); 𝑓 (𝑣) называется инверсией перестановки 𝑓 .
V.7.2. Перестановки: инверсия
Определение 26. Если 𝑓 — перестановка множества {1, 2, . . . , 𝑛}
и 𝑢, 𝑣 — такие элементы
множества
{1, 2, . . . , 𝑛}, что 𝑢 < 𝑣 и
(︁
)︁
𝑓 (𝑢) > 𝑓 (𝑣), то пара 𝑓 (𝑢); 𝑓 (𝑣) называется инверсией перестановки 𝑓 .
Как разобраться?
V.7.2. Перестановки: инверсия
Определение 26. Если 𝑓 — перестановка множества {1, 2, . . . , 𝑛}
и 𝑢, 𝑣 — такие элементы
множества
{1, 2, . . . , 𝑛}, что 𝑢 < 𝑣 и
(︁
)︁
𝑓 (𝑢) > 𝑓 (𝑣), то пара 𝑓 (𝑢); 𝑓 (𝑣) называется инверсией перестановки 𝑓 .
Например, для перестановки (3; 1; 2) множество всех инверсий состоит из двух элементов: {(3; 1); (3; 2)}. Для перестановки
(2; 4; 1; 3) множество всех инверсий состоит из трех элементов:
{(2; 1); (4; 1); (4; 3)} .
V.7.2. Перестановки: инверсия
Определение 26. Если 𝑓 — перестановка множества {1, 2, . . . , 𝑛}
и 𝑢, 𝑣 — такие элементы
множества
{1, 2, . . . , 𝑛}, что 𝑢 < 𝑣 и
(︁
)︁
𝑓 (𝑢) > 𝑓 (𝑣), то пара 𝑓 (𝑢); 𝑓 (𝑣) называется инверсией перестановки 𝑓 .
Можно сказать, что инверсия означает нарушение порядка
1 < 2 < . . . < 𝑛, происходящее под действием перестановки 𝑓 : было 𝑢 < 𝑣, а после действия 𝑓 получаем 𝑓 (𝑢) > 𝑓 (𝑣). Таким образом,
количество инверсий перестановки 𝑓 — это количество всех «нарушений» порядка, «вносимых» перестановкой 𝑓 в последовательность
1, 2, . . . , 𝑛.
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта
Определение 27. Если A — квадратная матрица размерности 𝑛 × 𝑛, то ее детерминантом или определителем
называется число
∑︀
∑︀
∑︀
...
(−1)𝜇(𝑝1;...;𝑝𝑛)𝑎1𝑝1 · 𝑎2𝑝2 · . . . ·
𝑝1 ∈{1;...;𝑛} 𝑝2 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 }
𝑝𝑛 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 ;𝑝2 ;...;𝑝𝑛−1 }
(10) где 𝜇 (𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛) равно числу всех различных инверсий перестановки (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛). Детерминант матрицы A обычно
обозначается через |A| или det (A).
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта
Определение 27. Если A — квадратная матрица размерности 𝑛 × 𝑛, то ее детерминантом или определителем
называется число
∑︀
∑︀
∑︀
...
(−1)𝜇(𝑝1;...;𝑝𝑛)𝑎1𝑝1 · 𝑎2𝑝2 · . . . ·
𝑝1 ∈{1;...;𝑛} 𝑝2 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 }
𝑝𝑛 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 ;𝑝2 ;...;𝑝𝑛−1 }
(10) где 𝜇 (𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛) равно числу всех различных инверсий перестановки (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛). Детерминант матрицы A обычно
обозначается через |A| или det (A).
Замечание. Могут возникнуть сомнения в корректности этого
определения, так как мы не доказали, что функция, заданная формулой 𝜙(𝑖) = 𝑝𝑖 является перестановкой. Мы не сделали этого потому,
что взаимная однозначность функции 𝜙 следует из того, что согласно
равенству (10) номера 𝑝1, . . . , 𝑝𝑛 попарно различны.
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта
Определение 27. Если A — квадратная матрица размерности 𝑛 × 𝑛, то ее детерминантом или определителем
называется число
∑︀
∑︀
∑︀
...
(−1)𝜇(𝑝1;...;𝑝𝑛)𝑎1𝑝1 · 𝑎2𝑝2 · . . . ·
𝑝1 ∈{1;...;𝑛} 𝑝2 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 }
𝑝𝑛 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 ;𝑝2 ;...;𝑝𝑛−1 }
(10) где 𝜇 (𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛) равно числу всех различных инверсий перестановки (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛). Детерминант матрицы A обычно
обозначается через |A| или det (A).
Как разобраться?
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта
Определение 27. Если A — квадратная матрица размерности 𝑛 × 𝑛, то ее детерминантом или определителем
называется число
∑︀
∑︀
∑︀
...
(−1)𝜇(𝑝1;...;𝑝𝑛)𝑎1𝑝1 · 𝑎2𝑝2 · . . . ·
𝑝1 ∈{1;...;𝑛} 𝑝2 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 }
𝑝𝑛 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 ;𝑝2 ;...;𝑝𝑛−1 }
(10) где 𝜇 (𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛) равно числу всех различных инверсий перестановки (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛). Детерминант матрицы A обычно
обозначается через |A| или det (A).
Как разобраться?
Обычно применяется два варианта: рассмотрение примеров
или анализ определения (в частности, изучение свойств с помощью
получения следствий, доказательства теорем).
V.7.3. Инвариантное определение детерминанта
Определение 27. Если A — квадратная матрица размерности 𝑛 × 𝑛, то ее детерминантом или определителем
называется число
∑︀
∑︀
∑︀
...
(−1)𝜇(𝑝1;...;𝑝𝑛)𝑎1𝑝1 · 𝑎2𝑝2 · . . . ·
𝑝1 ∈{1;...;𝑛} 𝑝2 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 }
𝑝𝑛 ∈{1;...;𝑛}∖{𝑝1 ;𝑝2 ;...;𝑝𝑛−1 }
(10) где 𝜇 (𝑝1; . . . ; 𝑝𝑛) равно числу всех различных инверсий перестановки (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛). Детерминант матрицы A обычно
обозначается через |A| или det (A).
Как разобраться?
Обычно применяется два варианта: рассмотрение примеров
или анализ определения (в частности, изучение свойств с помощью
получения следствий, доказательства теорем).
Дальнейшее изучение подразумевает доказательство рассмотренных ранее свойств, что в нашем случае мы делать не будем.
VI. Обратная матрица
Обычно, когда осуществляется какое-либо действие, рано или поздно возникает потребность в «обратном» действии. Например, мы ввели операцию умножения матриц, которая по известным матрицам A
и B позволяет найти матрицу C = AB. А как быть, если в этом уравнении известны матрицы C и, например, B, а требуется найти A?
VI. Обратная матрица
Обычно, когда осуществляется какое-либо действие, рано или поздно возникает потребность в «обратном» действии. Например, мы ввели операцию умножения матриц, которая по известным матрицам A
и B позволяет найти матрицу C = AB. А как быть, если в этом уравнении известны матрицы C и, например, B, а требуется найти A?
В соответствии со стратегией приоритетного изучения экстремальных ситуаций нам следует начать с ситуации, когда матрица C является «самой простой». Из списка матриц «наиболее простыми» представляются единичная и нулевая матрицы.
Нулевая матрица не представляется перспективной даже с учетом
существования делителей нуля в матричной алгебре.
VI. Обратная матрица
Обычно, когда осуществляется какое-либо действие, рано или поздно возникает потребность в «обратном» действии. Например, мы ввели операцию умножения матриц, которая по известным матрицам A
и B позволяет найти матрицу C = AB. А как быть, если в этом уравнении известны матрицы C и, например, B, а требуется найти A?
В соответствии со стратегией приоритетного изучения экстремальных ситуаций нам следует начать с ситуации, когда матрица C является «самой простой». Из списка матриц «наиболее простыми» представляются единичная и нулевая матрицы.
Поэтому следует рассмотреть ситуацию, когда матрица C является
единичной, т.е. научиться решать уравнения BX = E.
VI. Обратная матрица
Обычно, когда осуществляется какое-либо действие, рано или поздно возникает потребность в «обратном» действии. Например, мы ввели операцию умножения матриц, которая по известным матрицам A
и B позволяет найти матрицу C = AB. А как быть, если в этом уравнении известны матрицы C и, например, B, а требуется найти A?
Если мы научимся решать уравнения BX = E, то, умножая
обе части уравнения C = AB слева на матрицу 𝑋, получаем
CX = (AB) X. Но, по свойствам умножения матриц и выбору матрицы X, получаем
(AB) X = A (BX) = AE = A.
Поэтому A = CX.
VI.1. Определение обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство.
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу C:
= C (AB) = CE =
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу C:
= C (AB) = CE = C.
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу C:
= (CA) B = C (AB) = CE = C.
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу C:
= EB = (CA) B = C (AB) = CE = C.
VI.2. Теорема об однозначности обратной матрицы
Определение 28. Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если выполняются равенства AA−1 = A−1A = E.
Теорема 13 (об однозначности обратной матрицы). Если существует матрица, обратная к матрице A, то эта обратная
матрица определяется однозначно.
Доказательство. Пусть B и C — обратные к матрице A. Тогда
AB = E
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу C:
B = EB = (CA) B = C (AB) = CE = C.
Значит, C = B, что и требовалось доказать.
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. Если A — квадратная матрица и AB = CA = E, то
B = C = A−1.
Много слов естественного языка...
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E
Доказательство.
⇒
B = C = A−1.
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E
Доказательство.
AB = E ⇒
⇒
B = C = A−1.
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E ⇒
Доказательство.
⎧
⎨ AB = E,
AB = E ⇒
C (AB) A = CEA, ⇒
⎩
C (AB) = CE
B = C = A−1.
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E
Доказательство.
⎧
⎨ AB = E,
AB = E ⇒
C (AB) A = CEA, ⇒
⎩
C (AB) = CE
⇒
B = C = A−1.
⎧
⎨ AB = E,
(CA) (BA) = CA, ⇒
⎩
(CA) B = C
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E
Доказательство.
⎧
⎨ AB = E,
AB = E ⇒
C (AB) A = CEA, ⇒
⎩
C (AB) = CE
⎧
⎨ AB = E,
⇒
E (BA) = E, ⇒
⎩
EB = C
⇒
B = C = A−1.
⎧
⎨ AB = E,
(CA) (BA) = CA, ⇒
⎩
(CA) B = C
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E ⇒ B = C = A−1.
Доказательство.
⎧
⎧
AB
=
E,
⎨
⎨ AB = E,
AB = E ⇒
C (AB) A = CEA, ⇒
(CA) (BA) = CA, ⇒
⎩
⎩
C (AB) = CE
(CA) B = C
⎧
⎧
AB
=
E,
⎨
⎨ AB = E,
⇒
E (BA) = E, ⇒
BA = E, ⇒
⎩
⎩
EB = C
B=C
VI.3. Теорема об условии обратимости квадратной
матрицы
Теорема 14. A𝑛×𝑛 · B = C · A𝑛×𝑛 = E ⇒ B = C = A−1.
Доказательство.
⎧
⎧
AB
=
E,
⎨
⎨ AB = E,
AB = E ⇒
C (AB) A = CEA, ⇒
(CA) (BA) = CA, ⇒
⎩
⎩
C (AB) = CE
(CA) B = C
⎧
⎧
AB
=
E,
⎨
⎨ AB = E,
⇒
E (BA) = E, ⇒
BA = E, ⇒ B = A−1.
⎩
⎩
EB = C
B=C
Теорема доказана.
VI.4. Нахождение обратной матрицы: прелюдия
Конкретизируем:
VI.4. Нахождение обратной матрицы: прелюдия
⎛
⎞
1 1 −1
Конкретизируем: найти матрицу, обратную к ⎝ 5 −8 3 ⎠ .
2 −3 1
VI.4. Нахождение обратной матрицы: прелюдия
⎛
⎞
1 1 −1
Конкретизируем: найти матрицу, обратную к ⎝ 5 −8 3 ⎠ .
2 −3 1
Сформулируем на языке равенств...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞
1 1 −1
Конкретизируем: найти матрицу, обратную к ⎝ 5 −8 3 ⎠ .
2 −3 1
Сформулируем на языке равенств...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
Применим стратегию поиска и применения аналогии.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
Похожее выражение встречалось при вычислении детерминанта
матрицы...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =
⃒
⃒
⃒ 2 −3 1 ⃒
Похожее выражение встречалось при вычислении детерминанта
матрицы...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·
⃒
⃒
⃒ 2 −3 1 ⃒
+1·
+(−1)·
Похожее выражение встречалось при вычислении детерминанта
матрицы...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒
⃒
Похожее выражение встречалось при вычислении детерминанта
матрицы...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 =
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒ −8 3
⃒
⃒ −3 1
⃒
⃒
⃒+
⃒
(︂ ⃒
⃒5 3
− ⃒⃒
2 1
⃒)︂
⃒
⃒ +
⃒
⃒
⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒ −8 3
= 5·⃒⃒
−3 1
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ +(−8)· − ⃒ 5 3
⃒
⃒2 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +3·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
Попробуем в качестве коэффициентов подставить элементы второй
строки...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 =
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
1 0 0
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
0 0 1
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒ −8 3
⃒
⃒ −3 1
⃒
⃒
⃒+
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
(︂ ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒ + ⃒
⃒
− ⃒⃒
⃒ 2 −3 ⃒
2 1⃒
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ +(−8)· − ⃒ 5 3
= 5·⃒⃒
⃒2 1
−3 1 ⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒ +3·⃒ 5 −8
⃒ 2 −3
⃒
Проделаем то же с третьей строкой.
⃒
⃒
⃒
⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒
⃒
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
Проделаем то же с третьей строкой.
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
Скажем, для элемента 𝑐11 = 1 имеем:
⃒
⃒ 1 · 𝑥11 + 1 · 𝑥21 + (−1) · 𝑥31 = 1.
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒
⃒ 5 −8 3 ⃒ =1·⃒
⃒+1· − ⃒ 5 3
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒
⃒2 1
⃒ 2 −3 1 ⃒
⃒)︂
⃒
⃒
⃒
⃒ +(−1)·⃒ 5 −8
⃒
⃒ 2 −3
⃒
⃒
⃒= Δ.
⃒
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
5 · 𝑥11 + (−8) · 𝑥21 + 3 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
⃒
⃒ 2 −3 1
⃒
⃒ 5 −8 3
⃒
⃒ 2 −3 1
2 · 𝑥11 + (−3) · 𝑥21 + 1 · 𝑥31 = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
⃒
⃒
(︂ ⃒
⃒
⃒ −8 3 ⃒
⃒5 3⃒
⃒ 5 −8 ⃒
⃒= 5·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −3 1 ⃒ +(−8)· − ⃒ 2 1 ⃒ +3·⃒ 2 −3 ⃒= 0.
⃒
Используя понятие алгебраического дополнения, получаем...
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝
⎠=⎝
⎠.
2 −3 1
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12
⎠=⎝
⎠.
2 −3 1
𝐴13
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12
⎠=⎝
⎠.
2 −3 1
𝐴13
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12
⎠=⎝ 0
⎠.
2 −3 1
𝐴13
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12
⎠=⎝ 0
⎠.
2 −3 1
𝐴13
0
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 0 0
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 1
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11 𝐴21
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22
⎠=⎝ 0
⎠.
2 −3 1
𝐴13 𝐴23
0
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22
⎠=⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23
0
0 0
1 0 ⎠.
0 1
⎞
0
⎠.
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22
⎠=⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23
0
0 0
1 0 ⎠.
0 1
⎞
0
⎠.
Δ
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22
⎠=⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23
0
0 0
1 0 ⎠.
0 1
⎞
0
⎠.
Δ
0
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0 0
1 0 ⎠.
0 1
⎞
0
⎠.
Δ
0
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
⎠.
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
⎞−1
1 1 −1
Значит, ⎝ 5 −8 3 ⎠ =
2 −3 1
⎛
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⎞−1
⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
1
Значит, ⎝ 5 −8 3 ⎠ = ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ .
Δ
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
⎛
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⎞−1
⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
1
Значит, ⎝ 5 −8 3 ⎠ = ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ .
Δ
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
⎛
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
⎛
1 1
Значит, ⎝ 5 −8
2 −3
⎛
𝐴11
Матрица ⎝ 𝐴12
𝐴13
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
⎞−1
⎛
⎞
−1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
1
3 ⎠ = ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ .
Δ
1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
⎞
𝐴21 𝐴31
𝐴22 𝐴32 ⎠ называется присоединенной.
𝐴23 𝐴33
VI.4.
Нахождение
обратной
матрицы:
прелюдия
⎞
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1
1 1 −1
𝑥11 𝑥12 𝑥13
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝑥21 𝑥22 𝑥23 ⎠ = ⎝ 0
0
2 −3 1
𝑥31 𝑥32 𝑥33
⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Δ
⎝ 5 −8 3 ⎠ ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ = ⎝ 0
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
0
0
1
0
0
Δ
0
0
0 ⎠.
1
⎞
0
0 ⎠.
Δ
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 5 −8 3 ⃒⃒ .
⃒ 2 −3 1 ⃒
⎞−1
⎛
⎞
1 1 −1
𝐴11 𝐴21 𝐴31
1
Значит, ⎝ 5 −8 3 ⎠ = ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ .
Δ
2 −3 1
𝐴13 𝐴23 𝐴33
⎞
⎛
𝐴11 𝐴21 𝐴31
Матрица ⎝ 𝐴12 𝐴22 𝐴32 ⎠ называется присоединенной.
𝐴13 𝐴23 𝐴33
Данное рассуждение можно обобщить следующей теоремой.
⎛
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
По определению обратной матрицы...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
= det(AA−1) =
По определению обратной матрицы...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
= det(E)= det(AA−1) =
По определению обратной матрицы...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
1= det(E)= det(AA−1) =
По определению обратной матрицы...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
1= det(E)= det(AA−1) =
По теореме о детерминанте произведения матриц имеем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
1= det(E)= det(AA−1) =det(A) det(A−1),
По теореме о детерминанте произведения матриц имеем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
1= det(E)= det(AA−1) =det(A) det(A−1),
откуда получаем требуемое неравенство det(A) ̸= 0.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная. Тогда
1= det(E)= det(AA−1) =det(A) det(A−1),
откуда получаем требуемое неравенство det(A) ̸= 0.
Необходимость доказана.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. Нам надо
доказать
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. Нам надо
доказать
существование обратной матрицы.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. Нам надо
доказать
существование обратной матрицы.
Как можно доказать существование какого-то «объекта»?
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. Нам надо
доказать
существование обратной матрицы.
Как можно доказать существование какого-то «объекта»?
Самый лучший способ — «предъявить» этот «объект». В данном
случае мы действительно можем явно указать обратную матрицу.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
Иными словами, PA — матрица, транспонированная к матрице из
алгебраических дополнений к элементам матрицы A.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
Покажем, что A−1 =
1
P .
det(A) A
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
1
P .
det(A) A
Для этого, согласно определению, надо проверить выполнение
Покажем, что A−1 =
равенств
и
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
1
P .
det(A) A
Для этого, согласно определению, надо проверить выполнение
1
1
равенств A ·
PA = E и
P · A = E.
det(A)
det(A) A
Покажем, что A−1 =
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0.
Обозначим через PA так называемую присоединенную матрицу:
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
⎟.
=⎜
⎠
⎝
...
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
⎛
PA = (𝑝𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
1
P .
det(A) A
Для этого, согласно определению, надо проверить выполнение
1
1
равенств A ·
PA = E и
P · A = E.
det(A)
det(A) A
Мы проверим только выполнение равенства A · 1 PA = E, втоdet(A)
рое проверяется аналогично.
Покажем, что A−1 =
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑑𝑖𝑗 =
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
∑︀
1
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 =
det(A)
𝑘=1
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
При 𝑖 = 𝑗 по определению детерминанта получаем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
𝑑𝑖𝑖 =
При 𝑖 = 𝑗 по определению детерминанта получаем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =
det(A)
При 𝑖 = 𝑗 по определению детерминанта получаем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =1.
det(A)
При 𝑖 = 𝑗 по определению детерминанта получаем...
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =1.
det(A)
При 𝑖 ̸= 𝑗 по теореме о разложении детерминанта по «чужой»
строке, имеем
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =1.
det(A)
При 𝑖 ̸= 𝑗 по теореме о разложении детерминанта по «чужой»
строке, имеем 𝑑𝑖𝑗 = 0.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =1.
det(A)
При 𝑖 ̸= 𝑗 по теореме о разложении детерминанта по «чужой»
1
строке, имеем 𝑑𝑖𝑗 = 0. Значит, A ·
P = E.
det(A) A
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть det(A) ̸= 0. 𝑝𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.
Положим D = A · 1 PA. Тогда
det(A)
𝑛
𝑛
𝑛
∑︀
∑︀
1
1
1 ∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 .
𝑑𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘
𝑝𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑘
𝐴𝑗𝑘 =
det(A)
det(A)
det(A)
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
𝑑𝑖𝑖 =
det(A) =1.
det(A)
При 𝑖 ̸= 𝑗 по теореме о разложении детерминанта по «чужой»
1
строке, имеем 𝑑𝑖𝑗 = 0. Значит, A ·
P = E.
det(A) A
1
Равенство
P · A = E докажите самостоятельно.
det(A) A
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Определение 29. Квадратная матрица называется невырожденной тогда и только тогда, когда ее детерминант не равен 0.
VI.5. Критерий обратимости матрицы
Теорема 15. Матрица, обратная к матрице A, существует тогда и только тогда, когда A — квадратная матрица, и det(A) ̸= 0.
Определение 29. Квадратная матрица называется невырожденной тогда и только тогда, когда ее детерминант не равен 0.
В этих терминах получаем, что критерий обратимости матрицы
утверждает, что понятия обратимости матрицы и невырожденности
матрицы совпадают.
Рассмотрим пример к доказательству критерия обратимости матрицы?
Рассмотрим пример вычисления обратной к матрице 2 × 2?
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
Пока мы можем воспользоваться только определением обратной
матрицы. Таким образом, надо проверить, что произведение матрицы B−1A−1 из правой части доказываемого равенства на матрицу
AB равно E.
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
(︀ −1 −1)︀
(AB) =
B A
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
(︀
)︀
(︀ −1 −1)︀
(AB) = B−1 A−1A B =
B A
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
(︀
)︀
(︀ −1 −1)︀
(AB) = B−1 A−1A B = B−1EB =
B A
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
(︀
)︀
(︀ −1 −1)︀
(AB) = B−1 A−1A B = B−1EB = B−1B =
B A
VI.6. Свойства операции обращения матрицы
(︀
)︀−1
1. A−1
= A;
2. (𝜆A)−1 = 𝜆−1 · A−1;
3. (AB)−1 = B−1A−1;
)︀𝑡 (︀ )︀−1
(︀
4. A−1 = A𝑡 .
Доказательства. Докажем, например, свойство 3.
(︀
)︀
(︀ −1 −1)︀
(AB) = B−1 A−1A B = B−1EB = B−1B = E.
B A
(︀
)︀
Равенство (AB) B−1A−1 = E проверяется аналогично.
VI.7. Методы нахождения обратной матрицы
Обычно для нахождения обратной матрицы применяется один
из двух способов: 1) с помощью присоединенной матрицы; 2) метод Гаусса.
VI.7. Методы нахождения обратной матрицы
Первый способ: с помощью присоединенной матрицы:
⎛
⎞
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
⎟
1 ⎜
⎜ 𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2 ⎟
−1
𝐴 =
⎜
⎟.
...
det 𝐴 ⎝
⎠
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
Отметим, что сначала следует находить матрицу из алгебраических
дополнений, а потом — детерминант, так как для вычисления детерминанта можно использовать найденные алгебраические дополнения,
что, кстати, позволяет при этом проверить правильность вычисления
присоединенной матрицы (надо вычислить детерминант разложениями по всем строкам).
VI.7. Методы нахождения обратной матрицы
Второй способ: метод Гаусса, который мы подробно рассмотрим
в разделе, посвященном системам линейных уравнений.
Рассмотреть пример?
VII. Ранг матрицы
Рассмотрим важную характеристику матрицы, характеризующую
«уровень независимости» строк матрицы и «уровень независимости»
столбцов матрицы.
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
При этом саму матрицу M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 } мы будем называть матрицей, соответствующей
минору 𝑀 . Таким образом, 𝑀 = det M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }. Количество строк
матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 } (то есть порядок детерминанта 𝑀 = det M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }) называется порядком этого минора.
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа.
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа. Перечислим все три;-)
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа. Перечислим все три;-)
1) анализ определения (построение теории: получение следствий, введение дополнительных определений, доказательство
теорем);
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа. Перечислим все три;-)
1) анализ определения;
2) рассмотрение разнообразных примеров;
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа. Перечислим все три;-)
1) анализ определения;
2) рассмотрение разнообразных примеров;
3) построение и анализ моделей.
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Как разобраться с определением?
Обычно применяют два способа. Перечислим все три;-)
1) анализ определения;
2) рассмотрение разнообразных примеров;
3) построение и анализ моделей.
Обычно начинают с примеров.
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2 −1
5
7
3 7
2 −3 ⎟
⎟
⎟
5 4 −9
1⎟
⎟
1 3 −8
5⎠
4 −7
3 −5
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2 −1
5 7
3 7 2 −3 ⎟
⎟
⎟
5 4 −9 1 ⎟
⎟
1 3 −8 5 ⎠
4 −7
3 −5
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎞
2 −1 5 7
⎜ 3 7 2 −3 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 5 4 −9 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 1 3 −8 5 ⎠
4 −7 3 −5
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2 −1
5 7
3
7
2 −3 ⎟
⎟
⎟
5 4 −9 1 ⎟
⎟
1
3 −8
5⎠
4 −7
3 −5
𝑘
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2 −1
5 7
3
7
2 −3 ⎟
⎟
⎟
5 4 −9 1 ⎟
⎟
1
3 −8
5⎠
4 −7
3 −5
⃒
⃒
⃒3 2⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −8 ⃒ =
VII.1. Минор матрицы
⎞
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
⎠,
...
Определение 30.
A=⎝
⎞
⎛ Минором матрицы
𝑎𝑖1 𝑗1 𝑎𝑖1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖1 𝑗𝑘
𝑎𝑚1 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎜ 𝑎𝑖2 𝑗1 𝑎𝑖2 𝑗2 . . . 𝑎𝑖2 𝑗𝑘 ⎟ построенным на строках
⎟
M{𝑖1 ,...,𝑖𝑘 },{𝑗1 ,...,𝑗𝑘 } = ⎜
⎠ {𝑖 , 𝑖 , . . . , 𝑖 } и столбцах
⎝
...
1 2
𝑘
𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘
{𝑗 , 𝑗 , . . . , 𝑗 } назовем
⎛
1
2
𝑘
определитель 𝑀 матрицы M{𝑖1,...,𝑖𝑘 },{𝑗1,...,𝑗𝑘 }.
Рассмотрим
матрицы,
енный на
с номерами
столбцах с
ми 1, 3.
минор
постростроках
2, 4 и
номера-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2 −1
5 7
3
7
2 −3 ⎟
⎟
⎟
5 4 −9 1 ⎟
⎟
1
3 −8
5⎠
4 −7
3 −5
⃒
⃒
⃒3 2⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −8 ⃒ = −26.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞
⎛
Рассмотрим минор
2 −1
5 7
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟
⎜ 3
⎜
енный на строках ⎜ 5 4 −9 1 ⎟
⎟
⎟
⎜
с номерами 2, 4 и ⎝ 1
3 −8
5⎠
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞
⎛
Рассмотрим минор
2 −1
5
7
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟
⎜ 3
⎟
⎜
енный на строках ⎜ 5 4 −9
1⎟
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 4-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞
⎛
Рассмотрим минор
2 −1
5 7
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟
⎜ 3
⎜
енный на строках ⎜ 5 4 −9 1 ⎟
⎟
⎟
⎜
с номерами 2, 4 и ⎝ 1
3 −8
5⎠
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 4-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞⃒
⎛
⃒
Рассмотрим минор
⃒
2 −1
5 7 ⃒ 3 2 −3 ⃒⃒
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟ ⃒⃒ 1 −8 5 ⃒⃒ =
⎜ 3
⎟
енный на строках ⎜
⎜ 5 4 −9 1 ⎟ ⃒ 4 3 −5 ⃒
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 4-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞⃒
⎛
⃒
Рассмотрим минор
⃒
2 −1
5 7 ⃒ 3 2 −3 ⃒⃒
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟ ⃒⃒ 1 −8 5 ⃒⃒ = 20.
⎜ 3
⎟
енный на строках ⎜
⎜ 5 4 −9 1 ⎟ ⃒ 4 3 −5 ⃒
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 4-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞
⎛
Рассмотрим минор
2 −1
5 7
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟
⎜ 3
⎟
⎜
енный на строках ⎜ 5
4 −9 1 ⎟
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 2-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞
⎛
Рассмотрим минор
2 −1
5 7
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟
⎜ 3
⎜
енный на строках ⎜ 5 4 −9 1 ⎟
⎟
⎟
⎜
с номерами 2, 4 и ⎝ 1
3 −8
5⎠
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 2-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞⃒
⎛
⃒
Рассмотрим минор
⃒
2 −1
5 7 ⃒ 3 7 2 ⃒⃒
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟ ⃒⃒ 1 3 −8 ⃒⃒ =
⎜ 3
⎟
енный на строках ⎜
⎜ 5 4 −9 1 ⎟ ⃒ 4 −7 3 ⃒
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 2-м столбцом.
VII.2. Окаймляющий минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
⎞⃒
⎛
⃒
Рассмотрим минор
⃒
2 −1
5 7 ⃒ 3 7 2 ⃒⃒
матрицы,
постро- ⎜
7
2 −3 ⎟
⎟ ⃒⃒ 1 3 −8 ⃒⃒ = −424.
⎜ 3
⎟
енный на строках ⎜
⎜ 5 4 −9 1 ⎟ ⃒ 4 −7 3 ⃒
⎟
с номерами 2, 4 и ⎜
3 −8
5⎠
⎝ 1
столбцах с номера4 −7
3 −5
ми 1, 3.
Окаймляем 5-й строкой и 2-м столбцом.
VII.3. Базисный минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
Определение 32. Ненулевой минор матрицы A, имеющий наибольший порядок, называется базисным минором матрицы A.
VII.3. Базисный минор матрицы
Определение 31. Пусть 𝑀 — минор матрицы A, построенный на строках с номерами 𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , и столбцах с номерами
𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑖𝑘+1 — номер строки матрицы A, не входящий в множество {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 }, 𝑗𝑘+1 — номер столбца, не входящий в список {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 }. Тогда минор матрицы A, построенный на строках
𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 и столбцах 𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 , 𝑗𝑘+1 называется окаймляющим
для минора 𝑀 .
Определение 32. Ненулевой минор матрицы A, имеющий наибольший порядок, называется базисным минором матрицы A.
В матрице может быть несколько базисных миноров, т.е. ненулевых миноров порядка 𝑟, причем все миноры порядка 𝑟 + 1 и выше,
нулевые.
VII.4. Определения ранга матрицы
Определение 33. Рангом матрицы A называется максимальный
порядок ненулевых миноров. Ранг нулевой матрицы принимается
равным нулю.
VII.4. Определения ранга матрицы
Определение 33. Рангом матрицы A называется максимальный
порядок ненулевых миноров. Ранг нулевой матрицы принимается
равным нулю.
⎛
⎞
1 1 2 0
Например, ранг матрицы ⎝ 1 1 2 0 ⎠ равен двум.
−1 1 0 0
Дело в том, что имеются ненулевые миноры, построенные на одной
строке и одном столбце (таких много), поэтому ранг этой матрицы
не меньше 1. Есть ненулевые миноры, построенные на двух строках
и двух столбцах, например, первой
⎛ и третьей
⎞ строках и первом и
⃒
⃒
1 1 2 0
⃒ 1 1⃒
⃒ = 2 ̸= 0.
втором столбце (есть и другие): ⎝ 1 1 2 0 ⎠, ⃒⃒
−1 1 ⃒
−1 1 0 0
VII.4. Определения ранга матрицы
Определение 33. Рангом матрицы A называется максимальный
порядок ненулевых миноров. Ранг нулевой матрицы принимается
равным нулю.
⎛
⎞
1 1 2 0
Например, ранг матрицы ⎝ 1 1 2 0 ⎠ равен двум.
−1 1 0 0
Любой минор, построенный на трех строках исходной матрицы, равен 0. Действительно, четвертый столбец исходной матрицы — нулевой, поэтому любой минор, построенный на системе столбцов, включающей в себя четвертый столбец, будет нулевым. Осталось заметить, что минор, построенный
⃒
⃒ на первом, втором и третьем столбцах
⃒ 1 1 2⃒
⃒
⃒
исходной матрицы: ⃒⃒ 1 1 2 ⃒⃒ = 0.
⃒ −1 1 0 ⃒
VII.4. Определения ранга матрицы
Определение 33. Рангом матрицы A называется максимальный
порядок ненулевых миноров. Ранг нулевой матрицы принимается
равным нулю.
Определение 34. Строчным (столбцовым) рангом матрицы A
назовем максимальное число строк (столбцов) матрицы, образующих линейно независимую систему. Иными словами, строчный ранг матрицы — размерность линейной оболочки системы
матриц-строк (матриц-столбцов) матрицы A.
Рассмотреть пример?
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Определение 34. Строчным (столбцовым) рангом матрицы A
назовем максимальное число строк (столбцов) матрицы, образующих линейно независимую систему. Иными словами, строчный ранг матрицы — размерность линейной оболочки системы
матриц-строк (матриц-столбцов) матрицы A.
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0, но
всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда множество
строк с номерами из 𝐼 является базисом линейной оболочки
множества строк матрицы A. Аналогично множество столбцов
с номерами из 𝐽 является базисом линейной оболочки множества столбцов матрицы A.
Можно сформулировать эту лемму иначе.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Рассмотрим пример?
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Замечание к названию леммы. Фактически это свойство не базисного минора, а минора, формально более общего вида - ненулевого
минора, все окаймляющие миноры которого нулевые. Мы докажем
потом, что такой минор обязательно является базисным.
Рассмотреть пример?
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Согласно теореме о линейных комбинациях базисных векторов (критерию базиса) надо проверить, что, во-первых,
все строки матрицы A с номерами из 𝐼 линейно независимы и, вовторых, любая строка матрицы A является линейной комбинацией строк матрицы A с номерами из 𝐼.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Пусть набор строк матрицы A с номерами из 𝐼
является линейно зависимой системой векторов. Тогда существуют
такие числа 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑘 , что
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство.
(︀
)︀
(︀
)︀
𝜆1 𝑎𝑖1,1 𝑎𝑖1,2 . . . 𝑎𝑖1,𝑛 + 𝜆2 𝑎𝑖2,1 𝑎𝑖2,2 . . . 𝑎𝑖2,𝑛 + . . . +
(︀
)︀ (︀
)︀
+𝜆𝑘 𝑎𝑖𝑘 ,1 𝑎𝑖𝑘 ,2 . . . 𝑎𝑖𝑘 ,𝑛 = 0 0 . . . 0 .
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Тогда для любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} справедливо равенство 𝜆1𝑎𝑖1,𝑗 + 𝜆2𝑎𝑖2,𝑗 + . . . + 𝜆𝑘 𝑎𝑖𝑘 ,𝑗 = 0.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Тогда для любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} справедливо равенство 𝜆1𝑎𝑖1,𝑗 + 𝜆2𝑎𝑖2,𝑗 + . . . + 𝜆𝑘 𝑎𝑖𝑘 ,𝑗 = 0.
В частности, это равенство справедливо для любого номера 𝑗 ∈ 𝐽.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Тогда для любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} справедливо равенство 𝜆1𝑎𝑖1,𝑗 + 𝜆2𝑎𝑖2,𝑗 + . . . + 𝜆𝑘 𝑎𝑖𝑘 ,𝑗 = 0.
В частности, это равенство справедливо для любого номера 𝑗 ∈ 𝐽.
Поэтому система строк матрицы M, соответствующей минору 𝑀 ,
линейно зависима.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Тогда для любого номера 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} справедливо равенство 𝜆1𝑎𝑖1,𝑗 + 𝜆2𝑎𝑖2,𝑗 + . . . + 𝜆𝑘 𝑎𝑖𝑘 ,𝑗 = 0.
В частности, это равенство справедливо для любого номера 𝑗 ∈ 𝐽.
Поэтому система строк матрицы M, соответствующей минору 𝑀 ,
линейно зависима. Следовательно, 𝑀 = det M — нулевой минор, что
противоречит выбору 𝑀 .
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Нам осталось доказать, что любая строка матрицы A является линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Нам осталось доказать, что любая строка матрицы A является линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼.
Пусть 𝑖 — номер произвольной строки матрицы A.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Если 𝑖 ∈ 𝐼, то 𝑖-я строка матрицы A является линейной комбинацией
строк матрицы A с коэффициентами
{︂
0, при 𝑗 ̸= 𝑖,
𝜆1, . . . , 𝜆𝑘 , где 𝜆𝑗 =
1, при 𝑗 = 𝑖.
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
Лемма 2 (о свойстве строк «базисного» минора.). Пусть минор 𝑀 матрицы A = A𝑚×𝑛, построенный на строках с номерами
из 𝐼 = {𝑖1, . . . , 𝑖𝑘 } и столбцах 𝐽 = {𝑗1, . . . , 𝑗𝑘 } таков, что 𝑀 ̸= 0,
но всякий окаймляющий его минор — нулевой. Тогда, во-первых,
множество строк с номерами из 𝐼 образует линейно независимую систему, и, во-вторых, любая строка матрицы A является
линейной комбинацией строк с номерами из 𝐼 (аналогично для
столбцов).
Доказательство. Остается рассмотреть случай 𝑖 ∈
/ 𝐼. Пусть 𝑗 —
номер произвольного столбца матрицы A.
VII.5. Лемма о ⎛
свойстве строк базисного
минора
⎞
𝑎𝑖1𝑗1 𝑎𝑖1𝑗2 . . . 𝑎𝑖1𝑗𝑘 𝑎𝑖1𝑗
⎟
⎜𝑎
⎜ 𝑖2𝑗1 𝑎𝑖2𝑗2 . . . 𝑎𝑖2𝑗𝑘 𝑎𝑖2𝑗 ⎟
⎟
⎜
Положим M[𝑗] = ⎜
...
⎟. Таким образом,
⎟
⎜
⎝ 𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑘 𝑗 ⎠
𝑎𝑖𝑗1 𝑎𝑖𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗
M[𝑗] получена из M добавлением строки снизу и столбца справа,
состоящих из соответствующих
𝑖-й строки и 𝑗-го столбца
(︀ элементов
)︀
матрицы A. Заметим, что det M[𝑗] = 0. В самом деле,
если
𝑗 ∈ 𝐽, то
)︀
(︀
в M[𝑗] имеется два одинаковых столбца, поэтому det M[𝑗] = 0. Если
же 𝑗 ∈
/ 𝐽, то M[𝑗] — матрица, (︀соответствующая
минору, окаймляю)︀
[𝑗]
щему минор 𝑀 , поэтому det M = 0 по выбору минора 𝑀 .
VII.5. Лемма о свойстве
(︀
)︀ строк базисного минора
Итак, доказано, что det M[𝑗] = 0. А сейчас нас ожидает приятный
сюрприз. «Раскроем» этот детерминант по последнему столбцу:
(︁
)︁
[𝑗]
0 = det M
= 𝑎𝑖1𝑗 𝐵1 + 𝑎𝑖2𝑗 𝐵2 + . . . + 𝑎𝑖𝑘 𝑗 𝐵𝑘 + 𝑎𝑖𝑗 𝑀,
(7)
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑖1𝑗1 𝑎𝑖1𝑗2 . . . 𝑎𝑖1𝑗 ⃒
𝑘 ⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑖 𝑗
𝑎𝑖2𝑗2 . . . 𝑎𝑖2𝑗𝑘 ⃒⃒
2 1
⃒
⃒
⃒
...
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎
⃒ 𝑖𝑝−2𝑗1 𝑎𝑖𝑝−2𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑝−2𝑗𝑘 ⃒
⃒
⃒
𝑝+𝑘+1 ⃒ 𝑎𝑖𝑝−1 𝑗1 𝑎𝑖𝑝−1 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑝−1 𝑗𝑘 ⃒
𝐵𝑝 = (−1)
⃒
⃒.
⃒ 𝑎𝑖𝑝+1𝑗1 𝑎𝑖𝑝+1𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑝+1𝑗𝑘 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑖𝑝+2𝑗1 𝑎𝑖𝑝+2𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑝+2𝑗𝑘 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
.
.
.
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑖 𝑗
𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘 ⃒⃒
𝑘 1
⃒
⃒ 𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗2 . . .
𝑎𝑖𝑗𝑘 ⃒
1
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
А теперь — обещанный сюрприз: числа 𝐵𝑝 не зависят от выбора 𝑗. Действительно, от выбора номера
⎞
⎛ 𝑗 зависят только элементы
𝑎𝑖1𝑗1 𝑎𝑖1𝑗2 . . . 𝑎𝑖1𝑗𝑘 𝑎𝑖1𝑗
⎟
⎜𝑎
⎜ 𝑖2𝑗1 𝑎𝑖2𝑗2 . . . 𝑎𝑖2𝑗𝑘 𝑎𝑖2𝑗 ⎟
⎟
⎜
последнего столбца матрицы M[𝑗] = ⎜
...
⎟, но
⎟
⎜
⎝ 𝑎𝑖𝑘 𝑗1 𝑎𝑖𝑘 𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑘 𝑗𝑘 𝑎𝑖2𝑗 ⎠
𝑎𝑖𝑗1 𝑎𝑖𝑗2 . . . 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗
при вычислении дополнительных миноров к элементам последнего
столбца матрицы M[𝑗] сам этот столбец вычеркивается. Вы не
видите повода для ликования? Вот он: мы получили равенство (7),
из которого следует, что
𝑎𝑖𝑗 = −
𝐵1
𝐵2
𝐵𝑘
· 𝑎𝑖 1 𝑗 −
· 𝑎𝑖2𝑗 − . . . −
· 𝑎𝑖𝑘 𝑗 ,
𝑀
𝑀
𝑀
VII.5. Лемма о свойстве строк базисного минора
𝐵1
𝐵2
𝐵𝑘
· 𝑎𝑖 1 𝑗 −
· 𝑎𝑖2𝑗 − . . . −
· 𝑎𝑖𝑘 𝑗 ,
𝑀
𝑀
𝑀
𝐵
причем в этом равенстве коэффициенты − 𝑀𝑝 не зависят от 𝑗. И вот
эффектная концовка: по определению матричных операций «сложение» и «умножение на скаляр» получаем равенство
)︂
𝑘 (︂
(︀
)︀
(︀
)︀ ∑︁
𝐵𝑝
−
· 𝑎𝑖𝑝1 . . . 𝑎𝑖𝑝𝑛 ,
𝑎𝑖1 . . . 𝑎𝑖𝑛 =
𝑀
𝑝=1
𝑎𝑖𝑗 = −
то есть 𝑖-я строка матрицы A действительно является линейной
комбинацией строк матрицы A с номерами из 𝐼. Лемма доказана.
VII.6. Критерий базисного минора
Теорема 16 (критерий базисного минора). Минор матрицы A является
базисным тогда и только тогда, когда он ненулевой и все миноры,
его окаймляющие, равны 0.
Доказательство.
VII.6. Критерий базисного минора
Теорема 16 (критерий базисного минора). Минор матрицы A является
базисным тогда и только тогда, когда он ненулевой и все миноры,
его окаймляющие, равны 0.
Доказательство. Необходимость следует из определения базисного минора.
Достаточность. Пусть у рассматриваемого ненулевого минора 𝑀 0
все миноры, его окаймляющие, равны 0. В качестве 𝑀 в условии
леммы о свойстве строк «базисного» минора можно взять и минор
𝑀 0, и любой базисный минор. По лемме о свойстве строк «базисного» минора и теореме о количестве базисных векторов у этих миноров
одинаковая размерность. Таким образом, 𝑀 0 — максимальный ненулевой минор, то есть базисный. Теорема доказана.
VII.7. Теорема о совпадении трех рангов
Теорема 17 (о совпадении трех рангов). Ранг матрицы A совпадает с
ее строчным и столбцовым рангом.
Доказательство теоремы о совпадении трех рангов.
VII.7. Теорема о совпадении трех рангов
Теорема 17 (о совпадении трех рангов). Ранг матрицы A совпадает с
ее строчным и столбцовым рангом.
Доказательство теоремы о совпадении трех рангов. Докажем, что строчный ранг равен рангу матрицы. Пусть строки с номерами 𝐼 = {𝑖1, 𝑖2, . . . , 𝑖𝑘 } образуют базис линейной оболочки множества строк матрицы A. Пусть 𝑀 — базисный минор матрицы A.
Тогда по лемме о свойстве строк «базисного» минора и теореме о количестве базисных векторов получаем, что количество строк минора
𝑀 (то есть ранг матрицы A) равно размерности линейной оболочки множества строк матрицы A (то есть строчному рангу матрицы
A). Аналогично доказывается и утверждение о равенстве ранга матрицы A и столбцового ранга матрицы A. Теорема доказана.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Теорема 18 (об инвариантности рангов матрицы). При любых элементарных преобразованиях матрицы ее строчный и столбцовый
ранги не меняются. Не меняют ранга также следующие преобразования матрицы:
1) удаление нулевой строки;
2) удаление нулевого столбца;
3) удаление строки, являющейся линейной комбинацией
остальных строк матрицы;
4) удаление столбца, являющегося линейной комбинацией
остальных столбцов матрицы;
5) транспонирование матрицы;
6) умножение на невырожденную матрицу.
Доказательство
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Доказательство, что не меняют ранга матрицы преобразования: 1) удаление нулевой строки; 2) удаление нулевого столбца;
3) удаление строки, являющейся линейной комбинацией остальных строк матрицы; 4) удаление столбца, являющегося линейной
комбинацией остальных столбцов матрицы; 5) транспонирование
матрицы — следует из теоремы 17 о совпадении трех рангов и свойств
линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Осталось показать, что умножение на невыроженную матрицу не
меняет ранга исходной матрицы.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Осталось показать, что умножение на невыроженную матрицу не
меняет ранга исходной матрицы. Сначала докажем это для случая,
когда умножение на невырожденную матрицу проводится слева.
Итак, пусть
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Осталось показать, что умножение на невыроженную матрицу не
меняет ранга исходной матрицы. Сначала докажем это для случая,
когда умножение на невырожденную матрицу проводится слева.
Итак, пусть A = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑚, B = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛, det A ̸= 0. Надо доказать,
что Rg (AB) = Rg (B).
Рассмотрим линейное пространство 𝑈 размерности 𝑚, и выберем
в нем базис Б = {𝑒1, . . . , 𝑒𝑚}. Положим 𝑒′𝑖 = 𝑎1𝑖𝑒1 + . . . + 𝑎𝑚𝑖𝑒𝑚 для
𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑎𝑗𝑖 — коэффициенты матрицы A. Тогда система Б’ = {𝑒′1, . . . , 𝑒′𝑚} является базисом линейного пространства 𝑈 ,
причем, согласно формуле из определения матрицы перехода, для
матрицы перехода имеем TБ→Б’ = A.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Рассмотрим линейное пространство 𝑈 размерности 𝑚, и выберем
в нем базис Б = {𝑒1, . . . , 𝑒𝑚}. Положим 𝑒′𝑖 = 𝑎1𝑖𝑒1 + . . . + 𝑎𝑚𝑖𝑒𝑚 для
𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, где 𝑎𝑗𝑖 — коэффициенты матрицы A. Тогда система Б’ = {𝑒′1, . . . , 𝑒′𝑚} является базисом линейного пространства 𝑈 ,
причем, согласно формуле из определения матрицы перехода, для
матрицы перехода имеем TБ→Б’ = A. Обозначим через 𝑉 линейную оболочку системы векторов вида 𝑣𝑖 = 𝑏1𝑖𝑒′1 + . . . + 𝑏𝑚𝑖𝑒′𝑚, где 𝑏𝑗𝑖
— коэффициенты матрицы B. Согласно теореме о координатах вектора в разных базисах, столбцами матрицы AB являются столбцы
координат векторов 𝑣𝑖 в базисе Б.
Таким образом, матрицы B и AB состоят из столбцов координат
векторов 𝑣𝑖 в базисах, соответственно, Б и Б’.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Рассмотрим линейное пространство 𝑈 размерности 𝑚, и выберем
в нем базис Б = {𝑒1, . . . , 𝑒𝑚}. Мы ввели обозначения: A = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑚,
B = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛, 𝑒′𝑖 = 𝑎1𝑖𝑒1 + . . . + 𝑎𝑚𝑖𝑒𝑚, Б’ = {𝑒′1, . . . , 𝑒′𝑚}, 𝑉 — линейная оболочка системы векторов вида 𝑣𝑖 = 𝑏1𝑖𝑒′1 + . . . + 𝑏𝑚𝑖𝑒′𝑚.
Матрицы B и AB состоят из столбцов координат векторов 𝑣𝑖
в базисах, соответственно, Б и Б’. Выберем в системе векторов {𝑣1, . . . , 𝑣𝑚} максимальную линейно независимую подсистему
𝑛
{𝑣𝑝1 , 𝑣𝑝2 , . . . , 𝑣𝑝𝑟 }. Согласно{︀теореме о стандартном
изомофизме
в
R
,
}︀
система матриц-столбцов [𝑣𝑝1 ]Б , . . . , [𝑣𝑝𝑟 ]Б является максимальной линейно независимой подсистемой
системы столбцов
матри}︀
{︀
цы B, и система матриц-столбцов [𝑣𝑝1 ]Б’ , . . . , [𝑣𝑝𝑟 ]Б’ является максимальной линейно независимой подсистемой системы столбцов
матрицы AB.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Рассмотрим линейное пространство 𝑈 размерности 𝑚, и выберем
в нем базис Б = {𝑒1, . . . , 𝑒𝑚}. Мы ввели обозначения: A = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑚,
B = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛, 𝑒′𝑖 = 𝑎1𝑖𝑒1 + . . . + 𝑎𝑚𝑖𝑒𝑚, Б’ = {𝑒′1, . . . , 𝑒′𝑚}, 𝑉 — ли′
′
+
.
.
.
+
𝑏
𝑒
нейная оболочка системы векторов
вида
𝑣
=
𝑏
𝑒
𝑚𝑖
𝑖
1𝑖
1
𝑚.
}︀
{︀
Система матриц-столбцов [𝑣𝑝1 ]Б , . . . , [𝑣𝑝𝑟 ]Б является максимальной линейно независимой подсистемой
системы столбцов
{︀
}︀
матрицы B, и система матриц-столбцов [𝑣𝑝1 ]Б’ , . . . , [𝑣𝑝𝑟 ]Б’ является максимальной линейно независимой подсистемой системы
столбцов матрицы AB. Поэтому, по теореме о линейных комбинациях базисных векторов 𝑟 = Rg B = Rg (AB). Иными словами, умножение слева на невырожденную матрицу не меняет ранга исходной
матрицы.
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Теорема 18 (об инвариантности рангов матрицы). При
тарных преобразованиях матрицы ее строчный
ранги не меняются. Не меняют ранга:
1) удаление нулевой строки;
2) удаление нулевого столбца;
3) удаление строки, являющейся линейной
остальных строк матрицы;
4) удаление столбца, являющегося линейной
остальных столбцов матрицы;
5) транспонирование матрицы;
6) умножение на невырожденную матрицу.
любых элемени столбцовый
комбинацией
комбинацией
Продолжение доказательства. Если умножение на невыроженную матрицу проводится справа, то с помощью транспонирования
ситуация сводится к уже рассмотренному случаю:
VII.8. Теорема об инвариантности рангов матрицы
Продолжение доказательства. Если умножение на невыроженную матрицу проводится справа, то с помощью транспонирования
ситуация сводится к уже рассмотренному случаю: в силу известного
тождества имеем (BA)𝑡 = A𝑡B𝑡, имеем
(︀
(︀ 𝑡 𝑡)︀
(︀ 𝑡)︀
𝑡 )︀
Rg B = Rg B = Rg A B = Rg (BA) = Rg (BA) .
Наконец, если A и C — квадратные невырожденные матрицы и
произведение ABC определено, то, согласно ассоциативности операции умножения матриц и доказанным выше равенствам, имеем
Rg (ABC) = Rg ((AB) C) = Rg (AB) = Rg B.
VII.9. Критерий вырожденности матрицы
Теорема 19 (критерий вырожденности матрицы). Для
ратной матрицы A следующие условия эквивалентны:
квад-
1. Хотя бы одна из строк матрицы A является линейной комбинацией остальных строк;
2. хотя бы один из столбцов A является линейной комбинацией остальных столбцов;
3. det(A) = 0.
Это следствие из теоремы о совпадении трех рангов.
VIII. Некоторые понятия теории систем линейных
уравнений
Здесь мы ограничимся первоначальными сведениями и подробным
изложением одного из основных методов решения систем линейных
уравнений: метода Гаусса. Для решения некоторых систем линейных уравнений можно применить формулы Крамера.
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 35. Системой уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется выражение вида
⎧
⎪
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
⎪
⎪
⎨
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
(8)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑓 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ) = 𝑔 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ).
𝑚 1 2
𝑛
𝑚 1 2
𝑛
Это выражение представляет собой высказывание об одновременной истинности всех уравнений этой системы.
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 35. Системой уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется выражение вида
⎧
⎪
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
⎪
⎪
⎨
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
(8)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑓 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ) = 𝑔 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ).
𝑚 1 2
𝑛
𝑚 1 2
𝑛
Это выражение представляет собой высказывание об одновременной истинности всех уравнений этой системы.
В случае, когда система состоит только из одного уравнения, левую
фигурную скобку обычно не пишут, то есть пишут
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 35. Системой уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется выражение вида
⎧
⎪
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
⎪
⎪
⎨
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛),
(8)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑓 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ) = 𝑔 (𝑥 , 𝑥 , . . . , 𝑥 ).
𝑚 1 2
𝑛
𝑚 1 2
𝑛
Это выражение представляет собой высказывание об одновременной истинности всех уравнений этой системы.
В случае, когда система состоит только из одного уравнения, левую
фигурную скобку обычно не пишут, то есть пишут
2𝑥 − 𝑦 = 3 вместо {2𝑥 − 𝑦 = 3.
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 36. Системой линейных уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется система уравнений вида
⎧
⎪
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1,
⎪
⎪
⎨
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2,
(9)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏 ,
𝑚1 1
𝑚2 2
𝑚𝑛 𝑛
𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 — некоторые числа, называемые коэффициентами этой системы, и 𝑏𝑗 — также числа, называемые свободными членами
системы (9).
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 36. Системой линейных уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется система уравнений вида
⎧
⎪
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1,
⎪
⎪
⎨
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2,
(9)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏 ,
𝑚1 1
𝑚2 2
𝑚𝑛 𝑛
𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 — некоторые числа, называемые коэффициентами этой системы, и 𝑏𝑗 — также числа, называемые свободными членами
системы (9).
В общем случае 𝑎𝑖𝑗 и 𝑏𝑗 являются элементами некоторого кольца.
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 36. Системой линейных уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется система уравнений вида
⎧
⎪
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1,
⎪
⎪
⎨
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2,
(9)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏 ,
𝑚1 1
𝑚2 2
𝑚𝑛 𝑛
𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 — некоторые числа, называемые коэффициентами этой системы, и 𝑏𝑗 — также числа, называемые свободными членами
системы (9).
Если при этом 𝑏1 = 𝑏2 = . . . = 𝑏𝑚 = 0, то система линейных
уравнений (9) называется однородной системой линейных
уравнений (сокращенно ОСЛУ).
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 36. Системой линейных уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется система уравнений вида
⎧
⎪
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1,
⎪
⎪
⎨
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2,
(9)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏 ,
𝑚1 1
𝑚2 2
𝑚𝑛 𝑛
𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 — некоторые числа, называемые коэффициентами этой системы, и 𝑏𝑗 — также числа, называемые свободными членами
системы (9).
Если хотя бы один из 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏1 отличен от 0, то система линейных уравнений (9) называется неоднородной системой
линейных уравнений (НСЛУ).
VIII.1. Основные определения теории СЛУ
Определение 36. Системой линейных уравнений относительно неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 называется система уравнений вида
⎧
⎪
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1,
⎪
⎪
⎨
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2,
(9)
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏 ,
𝑚1 1
𝑚2 2
𝑚𝑛 𝑛
𝑚
где 𝑎𝑖𝑗 — некоторые числа, называемые коэффициентами этой системы, и 𝑏𝑗 — также числа, называемые свободными членами
системы (9).
Название «система линейных уравнений» обусловлено тем, что выражение 𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑥2 + . . . + 𝛼𝑛𝑥𝑛 является линейной комбинацией неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 с коэффициентами 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛.
VIII.2. Некоторые проблемы теории СЛУ
Каков круг проблем, которыми мы должны заниматься в теории
систем линейных уравнений? Наука воспринимает и обрабатывает
только информацию, представленную в одной из стандартных форм.
Из этого утверждения вытекают следующие задачи.
Во-первых, следует определить несколько стандартных форм представления системы линейных уравнений.
VIII.2. Некоторые проблемы теории СЛУ
Каков круг проблем, которыми мы должны заниматься в теории
систем линейных уравнений? Наука воспринимает и обрабатывает
только информацию, представленную в одной из стандартных форм.
Из этого утверждения вытекают следующие задачи.
Во-первых, следует определить несколько стандартных форм представления системы линейных уравнений.
Во-вторых, актуальным является вопрос о равносильных преобразованиях системы уравнений.
VIII.2. Некоторые проблемы теории СЛУ
Каков круг проблем, которыми мы должны заниматься в теории
систем линейных уравнений? Наука воспринимает и обрабатывает
только информацию, представленную в одной из стандартных форм.
Из этого утверждения вытекают следующие задачи.
Во-первых, следует определить несколько стандартных форм представления системы линейных уравнений.
Во-вторых, актуальным является вопрос о равносильных преобразованиях системы уравнений.
В-третьих, желательно разработать алгоритм преобразования системы уравнений к наиболее важным стандартным формам представления.
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Для создания других стандартных форм представления системы
линейных уравнений нам надо определиться с целями их создания.
Начнем с компактности. Форма представления (9) нередко оказывается чрезмерно громоздкой при получении формул и других результатов теоретического анализа.
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Компактностью и богатыми возможностями отличается аппарат
матричной алгебры, поэтому особую роль играет тот факт, что систему линейных уравнений (9) можно представить в виде
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Компактностью и богатыми возможностями отличается аппарат
матричной алгебры, поэтому особую роль играет тот факт, что систему линейных уравнений (9) можно представить в виде
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
𝑏1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
⎜ 𝑏2 ⎟
⎜
⎟ 𝑥1 + ⎜
⎟ 𝑥2 + . . . + ⎜
⎟ 𝑥𝑛 = ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
𝑏1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
⎜ 𝑏2 ⎟
⎜
⎟ 𝑥1 + ⎜
⎟ 𝑥2 + . . . + ⎜
⎟ 𝑥𝑛 = ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚
Используя «умножение матриц на макроуровне», последнее равенство, равносильное системе (9), можно представить в виде
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑛
𝑏1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑛 ⎟
⎜ 𝑏2 ⎟
⎜
⎟ 𝑥1 + ⎜
⎟ 𝑥2 + . . . + ⎜
⎟ 𝑥𝑛 = ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚𝑛
𝑏𝑚
Используя «умножение матриц на макроуровне», последнее равенство, равносильное системе (9), можно представить в виде
⎛
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑏2 ⎟
(10)
⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟.
...
⎝
⎠⎝ ... ⎠ ⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑏𝑚
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Итак, любую систему линейных уравнений (9) можно представить в виде матричного уравнения 𝐴𝑋 = 𝐵, где
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟
⎜ 𝑥2 ⎟
⎜ 𝑏2 ⎟
𝐴=⎜
⎟, 𝑋 = ⎜
⎟, 𝐵 = ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑏𝑚
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Итак, любую систему линейных уравнений (9) можно представить
в виде матричного уравнения 𝐴𝑋 = 𝐵, где
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟
⎜ 𝑥2 ⎟
⎜ 𝑏2 ⎟
𝐴=⎜
⎟, 𝑋 = ⎜
⎟, 𝐵 = ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑏𝑚
Ниже мы подробнее займемся матричными уравнениями вида
𝐴𝑋 = 𝐵. Интерес к таким уравнениям вызван, в частности, тем обстоятельством, что для отыскания обратной матрицы можно решить
матричное уравнение 𝐴𝑋 = 𝐸, где 𝐸 — единичная матрица соответствующей размерности.
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Недостатком системы уравнений (9), который сохраняется и в
форме (10) остается неочевидность значений переменных, при которых выполняются все равенства системы (9) и матричное уравнение (10).
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Недостатком системы уравнений (9), который сохраняется и в
форме (10) остается неочевидность значений переменных, при которых выполняются все равенства системы (9) и матричное уравнение (10).
Используя стратегию приоритетного изучения
экстремальных ситуаций, можно выделить наиболее простую форму представления систем
линейных уравнений:
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Недостатком системы уравнений (9), который сохраняется и в
форме (10) остается неочевидность значений переменных, при которых выполняются все равенства системы (9) и матричное уравнение (10).
⎧
Используя стратегию приоритетного изучения ⎪ 𝑥 = 𝑢 ;
1
1
⎪
⎪
⎨
экстремальных ситуаций, можно выделить наи𝑥2 = 𝑢2;
более простую форму представления систем ⎪ . . .
⎪
⎪
⎩𝑥 =𝑢 .
линейных уравнений:
𝑛
𝑛
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Недостатком системы уравнений (9), который сохраняется и в
форме (10) остается неочевидность значений переменных, при которых выполняются все равенства системы (9) и матричное уравнение (10).
⎧
Используя стратегию приоритетного изучения ⎪ 𝑥 = 𝑢 ;
1
1
⎪
⎪
⎨
экстремальных ситуаций, можно выделить наи𝑥2 = 𝑢2;
более простую форму представления систем ⎪ . . .
⎪
⎪
⎩𝑥 =𝑢 .
линейных уравнений:
𝑛
𝑛
Таким образом, актуальной является задача приведения СЛУ к
данному виду.
VIII.3. Стандартные формы представления СЛУ
Цель 2. Разработать стандартные формы представления системы линейных уравнений.
Недостатком системы уравнений (9), который сохраняется и в
форме (10) остается неочевидность значений переменных, при которых выполняются все равенства системы (9) и матричное уравнение (10).
⎧
Используя стратегию приоритетного изучения ⎪ 𝑥 = 𝑢 ;
1
1
⎪
⎪
⎨
экстремальных ситуаций, можно выделить наи𝑥2 = 𝑢2;
более простую форму представления систем ⎪ . . .
⎪
⎪
⎩𝑥 =𝑢 .
линейных уравнений:
𝑛
𝑛
На эту задачу можно выйти и из других соображений.
VIII.4. Решение СЛУ
Понятие «решение системы линейных уравнений» на первый
взгляд является несложным.
VIII.4.1. Частное решение СЛУ
Определение 37. Решением (или частным решением) системы (8) называется такой набор значений 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛, что при подстановке этих значений вместо соответствующих переменных в каждое уравнение системы получается верное высказывание.
VIII.4.1. Частное решение СЛУ
Определение 37. Решением (или частным решением) системы (8) называется такой набор значений 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛, что при подстановке этих значений вместо соответствующих переменных в каждое уравнение системы получается верное высказывание.
Например, набор значений 3, −4 неизвестных,
𝑥, 𝑦
{︂ 2 соответственно,
𝑥 + 𝑦 2 = 25;
является решением системы уравнений
поскольку
𝑥 − 𝑦 = −1,
при подстановке 𝑥 = 3, 𝑦 = −4 каждое из уравнений «превращается» в истинное высказывание.
VIII.4.1. Частное решение СЛУ
Определение 37. Решением (или частным решением) системы (8) называется такой набор значений 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛, что при подстановке этих значений вместо соответствующих переменных в каждое уравнение системы получается верное высказывание.
Естественным образом возникает вопрос о стандартных формах
задания решения уравнения. Принцип бритвы Оккама предписывает по возможности обойтись без существенно новых конструкций.
Будем отталкиваться от рассмотренных форм (10) задания системы линейных уравнений (9).
VIII.4.1. Частное решение СЛУ
Определение 37. Решением (или частным решением) системы (8) называется такой набор значений 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 неизвестных 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛, что при подстановке этих значений вместо соответствующих переменных в каждое уравнение системы получается верное высказывание.
В итоге получаем две стандартные формы задания решения уравнения:
⎧
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
𝑥1 = 𝑢1;
𝑥1
𝑢1
⎪
⎪
⎨
⎜
⎟ ⎜
⎟
𝑥2 = 𝑢2;
⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑢2 ⎟
и ⎜
(11)
⎟=⎜
⎟.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎩𝑥 =𝑢
𝑥𝑛
𝑢𝑛
𝑛
𝑛
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение. Известно, что,
например, система линейных уравнений либо несовместна (не имеет
решений), либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно
много решений. В частности, СЛУ не может иметь ровно 2 решения.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Известно, что, например, система линейных уравнений либо несовместна (не имеет решений), либо имеет единственное решение, либо
имеет бесконечно много решений. В частности, СЛУ не может иметь
ровно 2 решения. Впоследствии мы подробнее изучим множество
решений системы линейных уравнений, а сейчас обсудим вопрос о
том, как можно задать это множество.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Например, общее решение системы из одного уравнения
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 можно представить в виде
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Например, общее решение системы из одного уравнения
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 можно представить в виде 𝑥 =
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Например, общее решение системы из одного уравнения
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 можно представить в виде 𝑥 = 2 + 2𝑦 − 3𝑧.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Например, общее решение системы из одного уравнения
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 можно представить в виде 𝑥 = 2 + 2𝑦 − 3𝑧.
Такую запись можно интерпретировать следующим образом: 𝑥 мы
считаем «настоящей неизвестной», а переменные 𝑦, 𝑧 — «параметрами».
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Определение 38. Если система (8) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной системой, если же у этой системы решений нет — то несовместной.
Система уравнений может иметь не одно решение.
Например, общее решение системы из одного уравнения
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 можно представить в виде 𝑥 = 2 + 2𝑦 − 3𝑧.
Такую запись можно интерпретировать следующим образом: 𝑥 мы
считаем «настоящей неизвестной», а переменные 𝑦, 𝑧 — «параметрами».
Если «параметрам» 𝑦, 𝑧 придать произвольные значения и вычислить по формуле 𝑥 = 2 + 2𝑦 − 3𝑧 значение «настоящей переменной» 𝑥, то полученный набор значений переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 будет решением исходной системы 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Форма записи решения, представляющая собой систему выражений для «настоящих переменных» через те переменные, которые считаются «параметрами», удобна для случая, когда исходная система
была представлена в форме (9). Если же исходная система была представлена в матричной форме (10), то и ответ желательно представить
в матричной форме. Это можно сделать, например, следующим образом.
VIII.4.2. Совместные и несовместные системы
Обозначим через 𝐶, 𝐷 значения, соответственно,
переменных 𝑦, 𝑧.
⎧
⎨ 𝑥 = 2 + 2𝐶 − 3𝐷;
или
Тогда решение можно представить в виде 𝑦 = 𝐶;
⎩
𝑧=𝐷
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
𝑥
2
2
−3
2 −3 (︂ )︂
2
𝐶
⎝ 𝑦 ⎠ = ⎝ 0 ⎠+𝐶 ⎝ 1 ⎠+𝐷 ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 0 ⎠
+⎝ 0 ⎠ .
𝐷
𝑧
0
0
1
0 1
0
Такая форма представления ответа (см. также пример и пример) положена в основу следующего определения.
VIII.4.3. Общее решение СЛУ
Определение
39.
Система
{︁
}︁
𝜙𝑖(𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑘 ) 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
называется общим
системы уравнений (9), если
во-первых, при
функций
решением
любых
⎧ значениях 𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑘 переменных
⎪
𝑥1 = 𝜙1(𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑘 ),
⎪
является
⎪
⎨
𝑥2 = 𝜙2(𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑘 ),
решением
𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑘 набор
.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝜙 (𝑃 , 𝑃 , . . . , 𝑃 ) системы (9);
𝑛
𝑛 1
2
𝑘
⎧
системы (9)
⎪
𝑥
=
𝑢
,
1
1
⎪
⎪
⎨
найдется
𝑥2 = 𝑢2,
во-вторых, для любого решения
такой набор чисел
...
⎪
⎪
⎪
⎩𝑥 =𝑢
𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑛,
𝑛
𝑛
что 𝑢𝑖 = 𝜙𝑖(𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑘 ) для всех 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}.
Рассмотрим пример?
IX. Методы решения СЛУ
Универсальной процедуры решения систем произвольных уравнений не существует. В отличие от общей ситуации, для систем линейных уравнений такие процедуры давно известны. Мы рассмотрим
только 2 из них: решение с помощью формул Крамера (применима только к относительно узкому классу линейных уравнений) и
решение методом Гаусса. Сейчас мы рассмотрим метод решения,
основанный на формулах Крамера (решение системы из 𝑛 линейных уравнений с 𝑛 неизвестными), а потом подробно обсудим метод,
более универсальный и более эффективный для систем с большим
числом неизвестных, так называемый метод Гаусса.
IX.1. Формулы Крамера
Теорема 20 (Крамер). Пусть матрица 𝐴 коэффициентов системы линейных уравнений (9) — квадратная, то
есть 𝑚 = 𝑛, причем det 𝐴 ̸= 0. Положим Δ = det 𝐴, и, для
𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, обозначим через Δ𝑥𝑘 детерминант матрицы, полученной из 𝐴 заменой 𝑘-го столбца столбцом свободных членов,
то есть
⎛
⎞
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑏1 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1 𝑏2 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛 ⎟
Δ𝑥𝑘 = det ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑏𝑛 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
Тогда справедливы следующие формулы, называемые формулами
Δ
Крамера: 𝑥𝑘 = Δ𝑥𝑘 .
Рассмотрим пример с идеей доказательства?
IX.1. Формулы Крамера
⎧
*
⎪
𝑥
=
𝑥
1
⎪
1,
⎪
⎨
𝑥2 = 𝑥*2 ,
Доказательство. Пусть
— решение системы (9). Ис.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝑥*
𝑛
𝑛
пользуя свойства детерминанта, получаем:
IX.1. Формулы Крамера
⎧
*
⎪
𝑥
=
𝑥
1
⎪
1,
⎪
⎨
𝑥2 = 𝑥*2 ,
Доказательство. Пусть
— решение системы (9). Ис.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝑥*
𝑛
𝑛
пользуя свойства детерминанта, получаем:
⎛
⎞
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑎1,𝑘 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1 𝑎2,𝑘 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛 ⎟ *
*
Δ · 𝑥𝑘 = det ⎜
⎟ · 𝑥𝑘 =
...
⎝
⎠
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑎𝑛,𝑘 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
IX.1. Формулы Крамера
⎧
*
⎪
𝑥
=
𝑥
1
⎪
1,
⎪
⎨
𝑥2 = 𝑥*2 ,
Доказательство. Пусть
— решение системы (9). Ис.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝑥*
𝑛
𝑛
пользуя свойства детерминанта, получаем:
⎛
⎞
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑎1,𝑘 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1 𝑎2,𝑘 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛 ⎟ *
*
Δ · 𝑥𝑘 = det ⎜
⎟ · 𝑥𝑘 =
...
⎝
⎠
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑎𝑛,𝑘 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
⎛
⎞
*
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑎1,𝑘 𝑥𝑘 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎟
⎜
⎜ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1 𝑎2,𝑘 𝑥*𝑘 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛 ⎟
= det ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
*
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑎𝑛,𝑘 𝑥𝑘 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
IX.1. Формулы Крамера
⎧
*
⎪
𝑥
=
𝑥
1
⎪
1,
⎪
⎨
𝑥2 = 𝑥*2 ,
Доказательство. Пусть
— решение системы (9). Ис.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝑥*
𝑛
𝑛
пользуя свойства детерминанта, получаем:
⎛
⎞
*
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑎1,𝑘 𝑥𝑘 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎜
⎟
*
𝑎
.
.
.
𝑎
𝑎
𝑥
𝑎
.
.
.
𝑎
⎜
⎟
2,1
2,𝑘−1
2,𝑘
2,𝑘+1
2,𝑛
𝑘
Δ · 𝑥*𝑘 = det ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑎𝑛,𝑘 𝑥*𝑘 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
Как известно, детерминант не изменится, если в последней матрице
заменить 𝑘-й столбец суммой 𝑘-го столбца с линейной комбинацией
остальных столбцов. В качестве коэффициентов выберем числа 𝑥*1
для первого столбца, 𝑥*2 — для второго и т.д. Тогда элемент 𝑞-ой
строки 𝑘-го столбца будет иметь вид:
IX.1. Формулы Крамера
⎧
*
⎪
𝑥
=
𝑥
1
⎪
1,
⎪
⎨
𝑥2 = 𝑥*2 ,
Доказательство. Пусть
— решение системы (9). Ис.
.
.
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑥 = 𝑥*
𝑛
𝑛
пользуя свойства детерминанта, получаем:
⎛
⎞
*
𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1 𝑎1,𝑘 𝑥𝑘 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1 𝑎2,𝑘 𝑥*𝑘 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛 ⎟
*
Δ · 𝑥𝑘 = det ⎜
⎟.
...
⎝
⎠
𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1 𝑎𝑛,𝑘 𝑥*𝑘 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
Тогда элемент 𝑞-ой строки 𝑘-го столбца будет иметь вид:
𝑎𝑞,1𝑥*1 + . . . + 𝑎𝑞,𝑘−1𝑥*𝑘−1 +𝑎𝑞,𝑘 𝑥*𝑘 + 𝑎𝑞,𝑘+1𝑥*𝑘+1 + . . . + 𝑎𝑞,𝑛𝑥*𝑛
⏟
⏞
⏞
⏟
линейная
комбинация
элементов первых 𝑘 − 1
столбцов
линейная комбинация элементов последних 𝑛 − 𝑘
столбцов
IX.1. Формулы Крамера
Доказательство. Следовательно,
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1
𝑎1,𝑝𝑥*𝑝 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⃒
𝑝=1
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1
𝑎2,𝑝𝑥*𝑝 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛
*
⃒
Δ · 𝑥𝑘 = ⃒
𝑝=1
⃒
...
⃒
𝑛
⃒
∑︀
⃒ 𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1
𝑎𝑛,𝑝𝑥*𝑝 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
⃒
𝑝=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Но набор чисел 𝑥*1 , 𝑥*2 , . . . , 𝑥*𝑛 является решением системы (9), по𝑛
∑︀
этому
𝑎𝑞,𝑝𝑥*𝑝 = 𝑏𝑞 , то есть
𝑝=1
IX.1. Формулы Крамера
Доказательство. Следовательно,
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1
𝑎1,𝑝𝑥*𝑝 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⃒
𝑝=1
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1
𝑎2,𝑝𝑥*𝑝 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛
*
⃒
Δ · 𝑥𝑘 = ⃒
𝑝=1
⃒
...
⃒
𝑛
⃒
∑︀
⃒ 𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1
𝑎𝑛,𝑝𝑥*𝑝 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
⃒
𝑝=1
⃒
⃒ 𝑎 ... 𝑎
1,𝑘−1
⃒ 1,1
⃒
⃒ 𝑎 . . . 𝑎2,𝑘−1
= ⃒ 2,1
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1
𝑏1 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
𝑏2 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛
...
𝑏𝑛 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = Δ𝑥𝑘 .
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
IX.1. Формулы Крамера
Доказательство. Следовательно,
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎1,1 . . . 𝑎1,𝑘−1
𝑎1,𝑝𝑥*𝑝 𝑎1,𝑘+1 . . . 𝑎1,𝑛
⃒
𝑝=1
⃒
𝑛
∑︀
⃒
⃒ 𝑎2,1 . . . 𝑎2,𝑘−1
𝑎2,𝑝𝑥*𝑝 𝑎2,𝑘+1 . . . 𝑎2,𝑛
*
⃒
Δ · 𝑥𝑘 = ⃒
𝑝=1
⃒
...
⃒
𝑛
⃒
∑︀
⃒ 𝑎𝑛,1 . . . 𝑎𝑛,𝑘−1
𝑎𝑛,𝑝𝑥*𝑝 𝑎𝑛,𝑘+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
⃒
𝑝=1
Δ
Следовательно, 𝑥*𝑘 = Δ𝑥𝑘 , что и требовалось доказать.
Рассмотреть пример?
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = Δ𝑥 .
𝑘
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Сначала мы рассмотрим метод Гаусса (метод исключения неизвестных) на простом примере.
Метод Гаусса решения СЛУ называют еще методом исключения
неизвестных. Метод Гаусса основан на преобразованиях системы
уравнений, приводящих эту систему к, в некотором смысле, максимально простому виду. Сначала добьемся, чтобы, например, переменная 𝑥 осталась только в первом уравнении. Как это сделать?
Рассмотрим «арсенал» доступных средств. Сначала разберемся, какие преобразования допустимы. При решении системы уравнений нас
сейчас интересует только множество решений этой системы. Поэтому допустимыми следует считать такие преобразования, которые не
изменяют множество решений системы уравнений. Прежде чем продолжить решение этого примера, рассмотрим несколько новых понятий.
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Определение 40. Две системы уравнений называются равносильными, если множество решений первой системы равно множеству решений второй системы уравнений.
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Определение 40. Две системы уравнений называются равносильными, если множество решений первой системы равно множеству решений второй системы уравнений.
Иными словами, системы уравнений равносильны тогда и только
тогда, когда всякое решение первой системы является решением второй системы и наоборот, всякое решение второй системы уравнений
является решением первой системы.
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Определение 40. Две системы уравнений называются равносильными, если множество решений первой системы равно множеству решений второй системы уравнений.
Иными словами, системы уравнений равносильны тогда и только
тогда, когда всякое решение первой системы является решением второй системы и наоборот, всякое решение второй системы уравнений
является решением первой системы.
Переход к последней формулировке осуществлен с помощью определения равенства множеств. Действительно, пусть 𝐴 — множество
решений первой системы уравнений, 𝐵 — множество решений второй
системы. Тогда высказывание 𝐴 = 𝐵, согласно определению равенства множеств, означает, что любой элемент множества 𝐴 (то есть
решение первой системы) является элементом множества 𝐵 (то есть
решением второй системы) и наоборот.
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Рассмотрим следующие преобразования системы уравнений.
• Произведением уравнения 𝑓 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)
на число 𝜆 назовем уравнение 𝜆𝑓 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝜆𝑔(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛);
• Суммой
уравнений
𝑓 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑔(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)
𝑢(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑣(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) назовем уравнение
𝑓 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) + 𝑢(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) =
= 𝑔(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) + 𝑣(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛).
и
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
IX.2. Метод Гаусса: случай единственного решения
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
• перестановка уравнений
системы. Например,
равносильными яв⎧
⎧
⎨ −𝑥 − 𝑦 = 2
⎨ −𝑥 − 𝑦 = 2
ляются системы 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 и 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 , получа⎩
⎩
𝑥+𝑦+𝑧 =3
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
емые друг из друга перестановкой второго и третьего уравнений;
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
• перестановка уравнений системы;
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
• перестановка уравнений системы;
• умножение левой и правой частей любого уравнения системы на
ненулевое число. Например, равносильными являются системы
⎧
⎧
⎨ −𝑥 − 𝑦 = 2
⎨ 𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 и 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 , так как они получаются
⎩
⎩
𝑥+𝑦+𝑧 =3
𝑥+𝑦+𝑧 =3
друг из друга умножением первого уравнения на −1 (точнее, на
−1 умножаются левая и правая части первого уравнения);
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
• перестановка уравнений системы;
• умножение левой и правой частей любого уравнения системы на
ненулевое число;
• Заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией других уравнений.
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений
⎧
⎨ −𝑥 − 𝑦 = 2
Например, системы 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 и
⎩
𝑥+𝑦+𝑧 =3
⎧
⎨ 𝑥 + 𝑦 = −2
равносильны, так как
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
⎩
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + (−𝑥 − 𝑦) − 3(2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧) = 2
вторая система получаются из первой заменой третьего уравнения на
сумму третьего уравнения первой системы с линейной комбинацией
первого и второго уравнений с коэффициентами 1 и, соответственно,
−3 (2 в правой части — это 3 + 2 − 3 · 1).
IX.3. Элементарные преобразования систем уравнений
Оказывается, для решения систем линейных уравнений нам достаточно ограничиться следующими преобразованиями системы уравнений:
• перестановка уравнений системы;
• умножение левой и правой частей любого уравнения системы на
ненулевое число;
• Заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией других уравнений.
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
— умножение левой и правой частей одного из уравнений на
некоторое ненулевое число 𝜆;
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
— умножение левой и правой частей одного из уравнений на
некоторое ненулевое число 𝜆;
— заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией остальных уравнений;
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
— умножение левой и правой частей одного из уравнений на
некоторое ненулевое число 𝜆;
— заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией остальных уравнений;
— удалением из системы уравнений тождества 0 = 0;
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
— умножение левой и правой частей одного из уравнений на
некоторое ненулевое число 𝜆;
— заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией остальных уравнений;
— удалением из системы уравнений тождества 0 = 0;
— добавлением в систему уравнений линейной комбинации уравнений системы ℬ.
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Теорема 21. Пусть СЛУ 𝒜 получена из СЛУ ℬ с помощью последовательных преобразований одного из следующих видов:
— перестановка уравнений системы;
— умножение левой и правой частей одного из уравнений на некоторое ненулевое число 𝜆;
— заменой одного из уравнений системы суммой этого уравнения с
линейной комбинацией остальных уравнений;
— удалением из системы уравнений тождества 0 = 0;
— добавлением в систему уравнений линейной комбинации уравнений системы ℬ.
Тогда системы 𝒜 и ℬ равносильны.
IX.4. Теорема о равносильных преобразованиях
СЛУ
Доказательство. Логическая структура этой теоремы для вас
может показаться необычной: это система теорем-импликаций типа
«если система 𝐵 получена из системы 𝐴 перестановкой двух уравнений системы 𝐴, то системы 𝐴 и 𝐵 равносильны» и др. Продолжение
доказательства можно рассматривать как несложное упражнение по
теме «доказательство теорем».
Возникли вопросы? Нужен комментарий?
Рассмотреть пример?
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Сделаем некоторые выводы из решения примера. С помощью метода Гаусса поиск решения системы линейных уравнений (СЛУ) осуществляется в 2 этапа, называемых прямым и обратным ходом метода Гаусса.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Сделаем некоторые выводы из решения примера. С помощью метода Гаусса поиск решения системы линейных уравнений (СЛУ) осуществляется в 2 этапа, называемых прямым и обратным ходом метода Гаусса.
На первом этапе мы постепенно исключаем неизвестные из уравнений, «находящихся ниже» того уравнения, с помощью которого
проводится это исключение: сначала с помощью первого уравнения
исключили во втором и третьем уравнениях переменную 𝑥, потом с
помощью второго исключили в третьем уравнении переменную 𝑦.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Прямой ход метода Гаусса можно истолковать таким образом:
уравнение, с помощью которого мы исключаем соответствующую
неизвестную из «нижележащих» уравнений, является своеобразным
«инструментом».
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Прямой ход метода Гаусса можно истолковать таким образом:
уравнение, с помощью которого мы исключаем соответствующую
неизвестную из «нижележащих» уравнений, является своеобразным
«инструментом». Сначала мы подготавливаем этот «инструмент», добиваясь единичного коэффициента перед интересующей нас переменной.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Прямой ход метода Гаусса можно истолковать таким образом:
уравнение, с помощью которого мы исключаем соответствующую
неизвестную из «нижележащих» уравнений, является своеобразным
«инструментом». Сначала мы подготавливаем этот «инструмент», добиваясь единичного коэффициента перед интересующей нас переменной. В первом уравнении нас интересует переменная 𝑥, во втором
уравнении (после «очистки» второго и третьего уравнений от 𝑥), —
это 𝑦, в третьем уравнении (после «удаления» 𝑦 из третьего уравнения) — это переменная 𝑧.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Прямой ход метода Гаусса можно истолковать таким образом:
уравнение, с помощью которого мы исключаем соответствующую
неизвестную из «нижележащих» уравнений, является своеобразным
«инструментом». Сначала мы подготавливаем этот «инструмент», добиваясь единичного коэффициента перед интересующей нас переменной. В первом уравнении нас интересует переменная 𝑥, во втором
уравнении (после «очистки» второго и третьего уравнений от 𝑥), —
это 𝑦, в третьем уравнении (после «удаления» 𝑦 из третьего уравнения) — это переменная 𝑧. При этом каждый раз после «изготовления
инструмента» (получения единичного коэффициента перед соответствующей переменной) сама «инструментальная строка» и все вышележащие строки больше не изменяются на протяжении всего прямого
хода метода Гаусса.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
В отличие от прямого хода, на протяжении обратного хода метода
Гаусса в качестве «инструментальной строки» используются нижние
строки матрицы, и с их помощью исключаются неизвестные из «вышележащих» уравнений.
IX.5. Краткое описание метода Гаусса
Прямой ход метода Гаусса на матричном языке в рассматриваемом
примере осуществлялся следующим образом:
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
* * * ... * *
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
* * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
* * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ * * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
* * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 * * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 * * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 * ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз).
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 * ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... * *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, начиная с левого верхнего угла, потом полученной «инструментальной строкой» с 1 на
главной диагонали получаем нули ниже этой единички (слевасверху — вправо-вниз):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... * * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... * * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... * *
⎜ 0 1 * ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... 0 *
⎜ 0 1 * ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... 0 *
⎜ 0 1 * ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... 0 *
⎜ 0 1 * ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... 0 *
⎜ 0 1 * ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * * ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 * 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 0 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 0 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 0 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
Представление метода Гаусса на матричном языке:
• Во время прямого хода метода Гаусса мы постепенно получали
единицы на главной диагонали матрицы, и нули — ниже нее.
• Во время обратного хода метода Гаусса мы получаем нули выше
главной диагонали, начиная с правого края матрицы коэффициентов (справа-снизу — влево-вверх):
⎞
⎛
1 0 0 ... 0 *
⎜ 0 1 0 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 0 1 ... 0 * ⎟
⎟
⎜
...
... ⎠
⎝
0 0 0 ... 1 *
«Расшифровывая» полученную матрицу как систему линейных
уравнений, получаем искомое решение исходной СЛУ.
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная матрица
Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором решение
не является единственным.
{︂
𝑎 = 2 − 11𝑐 + 8𝑑 + 5𝑒,
Форма записи ответа
примененная нами
𝑏 = 1 − 6𝑐 + 5𝑑 + 3𝑒,
при решении примера, в некоторых случаях нас не будет устраивать. В теории линейных пространств более удобной является форма записи, использующая понятие фундаментальной системы решений. Понятие фундаментальной системы решений ОСЛУ и фундаментальной матрицы мы рассмотрим в главе, посвященной теории
линейных пространств.
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная матрица
{︂
𝑎 = 2 − 11𝑐 + 8𝑑 + 5𝑒,
𝑏 = 1 − 6𝑐 + 5𝑑 + 3𝑒,
системы уравнений примера в соответствии с определением общего решения, достаточно положить 𝑐 = 𝐶1, 𝑑 = 𝐶2, 𝑒 = 𝐶3. Тогда
общее решение исходной системы можно представить в виде
⎧
Для того, чтобы записать общее решение
⎪
𝑎 = 2 + −11𝐶1 + 8𝐶2 + 5𝐶3 ,
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 = 1 + −6𝐶1 + 5𝐶2 + 3𝐶3 ,
𝑐 = 𝐶1 ,
⎪
⎪
𝑑 = 𝐶2 ,
⎪
⎪
⎩ 𝑒=𝐶 .
3
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная матрица
Последнюю систему уравнений часто записывают в матричной
форме, «индустриальную методику» получения которой мы рассмотрим ниже, в разделе IX.7:
⎧
𝑎 = 2 + −11𝐶1 + 8𝐶2 + 5𝐶3 ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 = 1 + −6𝐶1 + 5𝐶2 + 3𝐶3 ,
𝑐 = 𝐶1 ,
⎪
⎪
𝑑 = 𝐶2 ,
⎪
⎪
⎩ 𝑒=𝐶 .
3
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная
матрица
⎧
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎞
⎛
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪
𝑎 = 2 + −11𝐶1 + 8𝐶2 + 5𝐶3 ,
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 = 1 + −6𝐶1 + 5𝐶2 + 3𝐶3 ,
𝑐 = 𝐶1 ,
⎪
⎪
𝑑 = 𝐶2 ,
⎪
⎪
⎩ 𝑒=𝐶 .
3
2
𝑎
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟=⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 𝑑 ⎠ ⎝ 0
0
𝑒
−11
⎜
⎜ −6 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ + 𝐶2 ⎜
⎟ + 𝐶1 ⎜
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
0 ⎠
0
8
5
0
1
0
5
⎜ 3 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎟
⎟ + 𝐶 3 ⎜ 0 ⎟,
⎜ ⎟
⎟
⎝ 0 ⎠
⎠
1
что с помощью «умножения матриц на макроуровне» представляется в виде
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная
матрица
⎧
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎞
⎛
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪
𝑎 = 2 + −11𝐶1 + 8𝐶2 + 5𝐶3 ,
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 = 1 + −6𝐶1 + 5𝐶2 + 3𝐶3 ,
𝑐 = 𝐶1 ,
⎪
⎪
𝑑 = 𝐶2 ,
⎪
⎪
⎩ 𝑒=𝐶 .
3
2
𝑎
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟=⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 𝑑 ⎠ ⎝ 0
0
𝑒
−11
⎜
⎜ −6 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ + 𝐶2 ⎜
⎟ + 𝐶1 ⎜
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
0 ⎠
0
8
5
0
1
0
5
⎜ 3 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎟
⎟ + 𝐶 3 ⎜ 0 ⎟,
⎜ ⎟
⎟
⎝ 0 ⎠
⎠
1
что с помощью «умножения матриц на макроуровне» представляется
виде
⎛ ⎞ ⎛ в⎞
⎛
⎞
𝑎
2
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟=⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 𝑑 ⎠ ⎝ 0
𝑒
0
−11 8 5
⎟ ⎜ −6 5 3
⎟ ⎜
⎟+⎜
1 0 0
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 1 0
0 0 1
⎛
⎞
⎟ 𝐶1
⎟
⎟ ⎝ 𝐶 2 ⎠.
⎟
⎠ 𝐶3
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная ⎧матрица
Система уравнений
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 0
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 0
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 0
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 0
называется однород-
ной
системой уравнений, соответствующей исходной системе
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная
матрица
⎞
⎛
Матрица
ной
⎧
⎜
Φ=⎝
матрицей
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 0
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 0
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 0
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 0
−11
−6
1
0
0
8
5
0
1
0
5
3
0
0
1
⎟
⎠
однородной
называется
системы
фундаменталь-
линейных
уравнений
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
, а система матриц-столбцов
−11
8
⎜ −6 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟,⎜ 0 ⎟,⎜
1
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝
0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝
0
0
5
3
0
0
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
— фундаментальной системой решений этой однородной
системы линейных уравнений.
Наш способ получения фундаментальной матрицы из «преобразованной» расширенной матрицы является «ремесленным».
IX.6. Фундаментальная система решений (ФСР).
Фундаментальная
матрица
⎞
⎛
Матрица
ной
⎧
⎜
Φ=⎝
матрицей
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 0
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 0
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 0
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 0
−11
−6
1
0
0
8
5
0
1
0
5
3
0
0
1
⎟
⎠
однородной
называется
системы
фундаменталь-
линейных
уравнений
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
, а система матриц-столбцов
−11
8
⎜ −6 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟,⎜ 0 ⎟,⎜
1
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝
0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝
0
0
5
3
0
0
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
— фундаментальной системой решений этой однородной
системы линейных уравнений.
Более короткий «индустриальный» метод получения фундаментальной матрицы, см. рис. 3, и рис. 4, мы рассмотрим в разделе IX.7,
в процессе решения соответствующего примера.
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
Сейчас мы рассмотрим «индустриальный» метод получения фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений после приведения матрицы ее коэффициентов к указанному
виду. Мы будем иллюстрировать выкладки на примере ОСЛУ, соответствующей НСЛУ примера. Все преобразования метода Гаусса
будем проводить на матричном языке (см. список этих преобразований для матричной формы записи). Как уже отмечалось,
целью этих преобразований является получение равносильной системы уравнений, у которой матрица коэффициентов имеет «единичный
фрагмент».
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
В частности, при решении упомянутого примера получена система, матрица коэффициентов которой имеет следующий вид (столбец свободных членов соответствующей однородной системы мы не
пишем, так как мы сейчас занимаемся соответствующей ОСЛУ, а
для однородной системы линейных уравнений при всех преобразованиях
метода Гаусса
(︂
)︂ столбец свободных членов остается нулевым)
1 0 11 −8 −5
.
0 1 6 −5 −3
IX.7.
Получение
(︂
)︂ общего решения ОСЛУ
1 0 11 −8 −5
. При этом «единичный фрагмент» состоит из
0 1 6 −5 −3
первого и второго столбцов этой матрицы.
IX.7.
Получение
(︂
)︂ общего решения ОСЛУ
1 0 11 −8 −5
. При этом «единичный фрагмент» состоит из
0 1 6 −5 −3
первого и второго столбцов этой матрицы. Все неизвестные, отвечающие этим номерам столбцов (в примере это 𝑎, 𝑏) будем считать
«настоящими» неизвестными, а все остальные неизвестные (в примере это 𝑐, 𝑑, 𝑒) — параметрами.
IX.7.
Получение
(︂
)︂ общего решения ОСЛУ
1 0 11 −8 −5
. При этом «единичный фрагмент» состоит из
0 1 6 −5 −3
первого и второго столбцов этой матрицы. Все неизвестные, отвечающие этим номерам столбцов (в примере это 𝑎, 𝑏) будем считать
«настоящими» неизвестными, а все остальные неизвестные (в примере это 𝑐, 𝑑, 𝑒) — параметрами.
Будем искать фундаментальную систему решений в виде набора
столбцов, в которых все параметры нулевые, кроме одного, равного 1. В роли этого «исключительного параметра», равного 1, сначала
выбирается первый параметр, потом — второй параметр, потом —
третий параметр, и т.п.
IX.7.
Получение
(︂
)︂ общего решения ОСЛУ
1 0 11 −8 −5
. При этом «единичный фрагмент» состоит из
0 1 6 −5 −3
первого и второго столбцов этой матрицы. Все неизвестные, отвечающие этим номерам столбцов (в примере это 𝑎, 𝑏) будем считать
«настоящими» неизвестными, а все остальные неизвестные (в примере это 𝑐, 𝑑, 𝑒) — параметрами.
Будем искать фундаментальную систему решений в виде набора
столбцов, в которых все параметры нулевые, кроме одного, равного 1. В роли этого «исключительного параметра», равного 1, сначала
выбирается первый параметр, потом — второй параметр, потом —
третий параметр, и т.п. Эту процедуру мы назовем на нашем слэнге
«протаскиванием единички через параметры».
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
Обратите внимание на тот факт, что числа в матрице являются коэффициентами перед неизвестными, а при «протаскивании единички
через параметры» мы говорим о значениях переменных, то есть мы
придаем какие-то значения одним переменным (неизвестным, которые мы считаем параметрами) и находим соответствующие значения
других переменных («настоящих» неизвестных). На самом деле сейчас мы решаем систему линейных уравнений, которую можно представить в матричном виде
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎜
(︂
)︂ ⎜ 𝑥2 ⎟
⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
.
(12)
⎜ 𝑥3 ⎟ =
0 1 6 −5 −3 ⎜
0
⎟
⎝ 𝑥4 ⎠
⏟
⏞
коэффициенты
𝑥5
⏟ ⏞
неизвестные
Таким образом, во время выполнения преобразований метода Гаусса,
мы работали с коэффициентами перед неизвестными, а сейчас, на
этапе записи решения, мы «манипулируем» с неизвестными: «протаскиваем единичку» через «параметры» 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, и вычисляем соответствующие значения «настоящих неизвестных» 𝑥1, 𝑥2.
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
(︂
1 0 11
0 1 6
(︂
𝑥1
𝑥2
⎞
𝑥1
⎟
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
−8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 1⎟=
0
−5 −3 ⎜
⎟
⎝ 0⎠
0
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
11
−8
−5
0
+1
+0
+0
=
,
6
−5
−3
0
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 1⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 0⎠
0
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+1
+0
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 1⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 0⎠
0
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+1
+0
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
)︂ (︂
)︂
(︂
𝑥1
−11
=
.
−6
𝑥2
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑥1
𝑥1
−11
⎟
⎜ 𝑥 ⎟ ⎜ −6 ⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
⎜ 2⎟ ⎜
⎟
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⇒ ⎜ 𝑥3 ⎟ = ⎜
1⎟
⎜ 1⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 𝑥4 ⎠ ⎝
0
𝑥5
0
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+1
+0
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
(︂
)︂ (︂
)︂
𝑥1
−11
=
.
𝑥2
−6
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 1⎠
0
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+1
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 1⎠
0
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+1
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
)︂ (︂ )︂
(︂
𝑥1
8
=
.
5
𝑥2
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑥1
𝑥1
8
⎟
⎜𝑥 ⎟ ⎜5⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
⎜ 2⎟ ⎜ ⎟
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⇒ ⎜ 𝑥3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ 𝑥4 ⎠ ⎝ 1 ⎠
0
𝑥5
0
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+1
+0
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
8
=
.
𝑥2
5
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 0⎠
1
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+0
+1
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
𝑥1
⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎝ 0⎠
1
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+0
+1
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
)︂ (︂ )︂
(︂
𝑥1
5
=
.
3
𝑥2
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑥1
𝑥1
5
⎟
⎜𝑥 ⎟ ⎜3⎟
(︂
)︂ ⎜
⎜ 𝑥2 ⎟ (︂ )︂
⎜ 2⎟ ⎜ ⎟
1 0 11 −8 −5 ⎜
0
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⇒ ⎜ 𝑥3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ 0⎟=
0
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 𝑥4 ⎠ ⎝ 0 ⎠
1
𝑥5
1
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
11
−8
−5
0
+0
+0
+1
=
,
𝑥2
6
−5
−3
0
(︂
)︂ (︂ )︂
𝑥1
5
=
.
𝑥2
3
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
∙
(︂
)︂ ⎜
⎜∙
1 0 11 −8 −5 ⎜
⎜1
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎝0
0
∙
∙
0
1
0
⎞
⎛
∙
−11
⎜ −6
)︂
∙⎟
⎟ (︂
⎜
0 0 0
⎟
⎜
⇒ Φ=⎜
0⎟=
1
0 0 0
⎟
⎜
0⎠
0
⎝
1
0
∙
∙
0
1
0
⎞
∙
∙⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎠
1
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
∙
(︂
)︂ ⎜
⎜∙
1 0 11 −8 −5 ⎜
⎜1
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎝0
0
∙
∙
0
1
0
⎞
⎛
∙
−11
⎜ −6
)︂
∙⎟
⎟ (︂
⎜
0 0 0
⎟
⎜
⇒ Φ=⎜
0⎟=
1
0 0 0
⎟
⎜
0⎠
0
⎝
1
0
8
5
0
1
0
⎞
∙
∙⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎠
1
IX.7. Получение общего решения ОСЛУ
⎛
∙
(︂
)︂ ⎜
⎜∙
1 0 11 −8 −5 ⎜
⎜1
0 1 6 −5 −3 ⎜
⎝0
0
∙
∙
0
1
0
⎞
⎛
∙
−11
⎜ −6
)︂
∙⎟
⎟ (︂
⎜
0 0 0
⎟
⎜
⇒ Φ=⎜
0⎟=
1
0 0 0
⎟
⎜
0⎠
0
⎝
1
0
8
5
0
1
0
⎞
5
3⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎠
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝑥1
𝑥2
0
0
1
𝑥1
𝑥2
1
0
0
⎞
𝑥1
𝑥2
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
↦→
↦→
↦→
«настоящие»
неизвестные
𝑥2
(︂𝑥1
1
0
0
1
«параметры»
1
0
0 )︂
11
−8
−5
6
−5
−3
↑
«активный» столбец
«настоящие»
неизвестные
𝑥2
(︂𝑥1
1
0
0
1
«настоящие»
неизвестные
𝑥2
(︂𝑥1
1
0
0
1
0
11
6
«параметры»
0
1
0 )︂
11
−8
−5
6
−5
−3
↑
«активный» столбец
⎛
↦→
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−11
−6
1
0
0
⎛
↦→
«параметры»
0
1 )︂
−8
−5
−5
−3
↑
«активный» столбец
Рис. 3.
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
8
5
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
↦→
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
5
3
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
-∙
⎜
-∙
⎞
⎛
-∙
⎜
-∙
⎞
⎛
⎞
⎛
(︂
1 0 11
0 1 6
− 8 −5
− 5 −3
⎜
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ ↦→ ⎜
⎜
⎜ ⎟
⎝
⎝ 0 ⎠
0
)︂
@
@
(︂
1 0 11 −8
0 1 6 −5
−5
−3
-∙
⎜
-∙
1 0 11 −8 −5
0 1 6 −5 −3
)︂
@
@
⎛
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜
⎜ 0 ⎟ ↦→ ⎜
⎜ ⎟
⎜
⎝ 1 ⎠
⎝
0
)︂
@
@
(︂
⎛
⎛
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜
⎜ 0 ⎟ ↦→ ⎜
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 ⎠
⎝
1
Рис. 4.
−11
−6
1
0
0
8
5
0
1
0
⎞
5
3
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Другой пример: допустим, решая некоторую ОСЛУ методом Гаусса, мы получили следующую матрицу коэффициентов:
⎛
⎞
2 1 3 2 0 0 −1
⎝ 5 0 4 −2 1 0 1 ⎠
−2 0 −8 11 0 1 −6
«Единичный фрагмент» в этом случае образуют второй, пятый и
шестой столбцы этой матрицы. Процесс получения фундаментальной матрицы проиллюстрирован на рис. 5 (вместо точек ∙ вставляем
компоненты соответствующего «активного столбца» матрицы коэффициентов с обратными знаками).
Другой пример: допустим, решая некоторую ОСЛУ методом Гаусса, мы получили следующую матрицу коэффициентов:
⎛
⎞
2 1 3 2 0 0 −1
⎝ 5 0 4 −2 1 0 1 ⎠
−2 0 −8 11 0 1 −6
⎛?
1
⎜ ∙
⎛
⎞
⎜
2 1
3
2 0 0 −1
⎜ 0
⎜
⎝ 5 0
⎠
4 −2 1 0
1
↦→ ⎜ 0
⎜ ∙
−2 0 −8 11 0 1 −6
⎜
⎝ ∙
0
? ? ?⎞
0
∙
1
0
∙
∙
0
0
∙
0
1
∙
∙
0
0
∙
0
0
∙
∙
1
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ↦→ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎞
1
0
0
0
−2 −3 −2
1 ⎟
⎟
0
1
0
0 ⎟
⎟
0
0
1
0 ⎟
−5 −4
2 −1 ⎟
⎟
2
8 −11
6 ⎠
0
0
0
1
Рис. 5.
Рассмотреть еще один пример решения однородной системы
линейных уравнений?
IX.8. Получение частного решения НСЛУ
Теперь посмотрим, как аналогичная «индустриальная технология» позволяет быстро получать частное решение НСЛУ.
X. Основные теоретические результаты
Мы рассмотрим несколько теорем:
— теорему Кронекера-Капелли;
— теорему об общем решении НСЛУ;
— теорему о линейных комбинациях решений ОСЛУ;
— теорему о размерности пространства решений ОСЛУ.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать равенство (равенство рангов, то есть чисел).
Для доказательства равенства обычно используются:
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать равенство (равенство рангов, то есть чисел).
Для доказательства равенства обычно используются:
• равносильные преобразования;
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать равенство (равенство рангов, то есть чисел).
Для доказательства равенства обычно используются:
• равносильные преобразования;
• сведение к двум неравенствам:
{︂
𝐿 ≤ 𝑅,
⇒ 𝐿 = 𝑅;
𝐿≥𝑅
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать равенство (равенство рангов, то есть чисел).
Для доказательства равенства обычно используются:
• равносильные преобразования;
• сведение к двум неравенствам:
• метод «от противного».
{︂
𝐿 ≤ 𝑅,
⇒ 𝐿 = 𝑅;
𝐿≥𝑅
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Нам надо доказать равенство (равенство рангов, то есть чисел).
Для доказательства равенства обычно используются:
• равносильные преобразования;
• сведение к двум неравенствам:
{︂
𝐿 ≤ 𝑅,
⇒ 𝐿 = 𝑅;
𝐿≥𝑅
• метод «от противного».
В данном случае проще всего применить второй из этих методов.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Очевидно, что Rg(A) ≤ Rg(A B), так как, по теореме о равенстве трех рангов, ранг равен столбцовому рангу.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Осталось показать обратное неравенство: Rg(A) ≥ Rg(A B).
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Используя умножение матриц на макроуровне получаем, что
если система линейных уравнений AX = B имеет решение, то столбец B является линейной комбинацией столбцов матрицы A.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Используя умножение матриц на макроуровне получаем, что
если система линейных уравнений AX = B имеет решение, то столбец B является линейной комбинацией столбцов матрицы A.
Поэтому, по теореме о линейных комбинациях базисных векторов, базис линейной оболочки системы столбцов матрицы A является базисом линейной оболочки системы столбцов матрицы (A B).
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Используя умножение матриц на макроуровне получаем, что
если система линейных уравнений AX = B имеет решение, то столбец B является линейной комбинацией столбцов матрицы A.
Поэтому, по теореме о линейных комбинациях базисных векторов, базис линейной оболочки системы столбцов матрицы A является базисом линейной оболочки системы столбцов матрицы (A B).
Таким образом, столбцовые ранги матриц A и (A B) совпадают.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Доказательство. Пусть СЛУ AX = B совместна.
Используя умножение матриц на макроуровне получаем, что
если система линейных уравнений AX = B имеет решение, то столбец B является линейной комбинацией столбцов матрицы A.
Поэтому, по теореме о линейных комбинациях базисных векторов, базис линейной оболочки системы столбцов матрицы A является базисом линейной оболочки системы столбцов матрицы (A B).
Таким образом, столбцовые ранги матриц A и (A B) совпадают.
Согласно теореме о равенстве трех рангов получаем, что если
система уравнений AX = B имеет решение, то ранг матрицы A равен
рангу матрицы (A B). Необходимость доказана.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Достаточность. Пусть Rg(A) = Rg(A B).
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Достаточность. Пусть Rg(A) = Rg(A B).
Согласно теореме о равенстве трех рангов, это означает, что
их столбцовые ранги совпадают.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Достаточность. Пусть Rg(A) = Rg(A B).
Согласно теореме о равенстве трех рангов, это означает, что их
столбцовые ранги совпадают. Значит, максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A является максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы (A B).
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Достаточность. Пусть Rg(A) = Rg(A B).
Согласно теореме о равенстве трех рангов, это означает, что их
столбцовые ранги совпадают. Значит, максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A является максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы (A B).
Согласно теореме о линейных комбинациях базисных векторов столбец B является линейной комбинацией этой максимальной
линейно независимой системы столбцов матрицы A.
X.1. Теорема Кронекера-Капелли
Теорема 22. СЛУ AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A B).
Достаточность. Пусть Rg(A) = Rg(A B).
Согласно теореме о равенстве трех рангов, это означает, что их
столбцовые ранги совпадают. Значит, максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A является максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы (A B).
Согласно теореме о линейных комбинациях базисных векторов столбец B является линейной комбинацией этой максимальной
линейно независимой системы столбцов матрицы A.
Последнее утверждение с помощью умножения матриц на макроуровне легко представить в виде AX = B. Таким образом, СЛУ
AX = B имеет решение, то есть совместна. Теорема доказана.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
Тогда при любых значениях переменных 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚 имеем...
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
(︀
)︀
A X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃ =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
(︀
)︀
A X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃ = AX0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + AX̃ =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
(︀
)︀
A X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃ = AX0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + AX̃ =0 + B =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
(︀
)︀
A X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃ = AX0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + AX̃ =0 + B =B,
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Пусть X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение соответствующей ОСЛУ, X̃ — произвольное фиксированное решение
исходной НСЛУ.
(︀
)︀
A X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃ = AX0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + AX̃ =0 + B =B,
то есть при любых значениях параметров 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚 матрицастолбец
X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃
является
решением
НСЛУ
AX = B.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =B − B =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =B − B =0.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =B − B =0.
Поэтому найдутся такие значения параметров 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X = X̌ − X̃ =
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =B − B =0.
Поэтому найдутся такие значения параметров 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X = X̌ − X̃ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚),
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Осталось доказать, что для любого решения
X̌ НСЛУ AX = B можно так подобрать константы 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃.
Рассмотрим разность X = X̌ − X̃.
Заметим, что это решение ОСЛУ AX = 0, так как
A(X̌ − X̃) =AX̌ − AX̃ =B − B =0.
Поэтому найдутся такие значения параметров 𝐶1, . . . , 𝐶𝑚, что
X = X̌ − X̃ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚),
то есть X̌ = X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
X.2. Теорема об общем решении НСЛУ
Теорема 23. Общее решение X1(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) НСЛУ AX = B имеет
вид X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) + X̃, где X0(𝐶1, . . . , 𝐶𝑚) — общее решение ОСЛУ
AX = 0, а X̃ — произвольное фиксированное решение исходной НСЛУ AX = B.
Доказательство. Таким образом, вопрос о структуре общего решения НСЛУ сводится к вопросу о структуре общего решения соответствующего ОСЛУ.
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство.
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
Это означает, что надо проверить равенство A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 0.
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
Это означает, что надо проверить равенство A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 0.
Это очевидно, так как по свойствам произведения матриц и в силу
того, что X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0, получаем
A (𝜆X1 + 𝜇X2) =
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
Это означает, что надо проверить равенство A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 0.
Это очевидно, так как по свойствам произведения матриц и в силу
того, что X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0, получаем
A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 𝜆AX1 + 𝜇AX2 =
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
Это означает, что надо проверить равенство A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 0.
Это очевидно, так как по свойствам произведения матриц и в силу
того, что X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0, получаем
A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 𝜆AX1 + 𝜇AX2 = 0 + 0 =
X.3. Теорема о линейных комбинациях решений
ОСЛУ
Теорема 24. Линейная комбинация решений ОСЛУ AX = 0 является решением этой ОСЛУ.
Доказательство. Пусть X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0. Надо
проверить, что 𝜆X1 + 𝜇X2 является решением этой ОСЛУ AX = 0.
Это означает, что надо проверить равенство A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 0.
Это очевидно, так как по свойствам произведения матриц и в силу
того, что X1 и X2 — решения ОСЛУ AX = 0, получаем
A (𝜆X1 + 𝜇X2) = 𝜆AX1 + 𝜇AX2 = 0 + 0 = 0.
Теорема доказана.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство. Тот факт, что множество решений ОСЛУ является подпространством, легко получить с помощью критерия подпространства и теоремы о линейных комбинациях решений
ОСЛУ.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство. Осталось доказать утверждение о размерности
пространства решений. Согласно теореме о совпадении трех рангов имеем, что ранг матрицы коэффициентов равен размерности
линейной оболочки системы столбцов матрицы A коэффициентов
ОСЛУ AX = 0.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство. Осталось доказать утверждение о размерности
пространства решений. Согласно теореме о совпадении трех рангов имеем, что ранг матрицы коэффициентов равен размерности
линейной оболочки системы столбцов матрицы A коэффициентов
ОСЛУ AX = 0.
Перенумеровывая, при необходимости, неизвестные, можно считать, что первые 𝑟 столбцов матрицы коэффициентов A образуют
базис линейной оболочки системы столбцов матрицы A.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство. Считаем, что первые 𝑟 столбцов матрицы коэффициентов A образуют базис линейной оболочки системы столбцов
матрицы A.
По теореме о линейных комбинациях базисных векторов
имеем, что для любого 𝑗 ∈ {𝑟 + 1, . . . , 𝑛} найдутся коэффициенты
𝜆1𝑗 , . . . , 𝜆𝑟𝑗 такие, что
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Теорема 25. Множество решений ОСЛУ A𝑚×𝑛X𝑛×1 = 0𝑚×1 является подпространством линейного пространства R𝑛 размерности
𝑛 − 𝑟, где 𝑟 — ранг матрицы A.
Доказательство. Считаем, что первые 𝑟 столбцов матрицы коэффициентов A образуют базис линейной оболочки системы столбцов
матрицы A.
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎1𝑗
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎2𝑗 ⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑟 ⎟
⎜
⎟ = 𝜆1𝑗 ⎜
⎟ + 𝜆2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + 𝜆𝑟𝑗 ⎜
⎟ . (13)
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑛𝑗
𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
𝑎𝑛𝑟
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎1𝑗
𝑎11
𝑎12
𝑎1𝑟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑎2𝑗 ⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎜ 𝑎22 ⎟
⎜ 𝑎2𝑟 ⎟
⎜
⎟ = 𝜆1𝑗 ⎜
⎟ + 𝜆2𝑗 ⎜
⎟ + . . . + 𝜆𝑟𝑗 ⎜
⎟.
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
𝑎𝑛𝑗
𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
𝑎𝑛𝑟
(13)
С помощью теоремы о линейных комбинациях базисных векторов докажем, что система решений
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆11
𝜆21
...
𝜆𝑟1
−1
0
...
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟,⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
𝜆12
𝜆22
...
𝜆𝑟2
0
−1
...
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟,...⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
𝜆1𝑟
𝜆2𝑟
...
𝜆𝑟𝑟
0
0
...
−1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(14)
является базисом подпространства решений ОСЛУ AX = 0.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
То, что каждый элемент системы (14) является решением этой
ОСЛУ, очевиден: согласно равенствам (13)
⎛
⎞
(︂
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
...
𝑎𝑛1 . . . 𝑎𝑛𝑛
)︂ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆1𝑘
...
𝜆𝑟𝑘
0
...
−1
...
0
⎟
⎟
⎟
⎟=
⎟
⎠
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
То, что каждый элемент системы (14) является решением этой
ОСЛУ, очевиден: согласно равенствам (13)
⎛
⎞
(︂
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
...
𝑎𝑛1 . . . 𝑎𝑛𝑛
)︂ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆1𝑘
...
𝜆𝑟𝑘
0
...
−1
...
0
⎟
(︃ 𝑎 )︃
(︃ 𝑎 )︃ (︃ 𝑎 )︃
11
1𝑟
1𝑘
⎟
⎟
𝑎21
𝑎2𝑟
𝑎2𝑘
⎟ = 𝜆1𝑘 . . . + . . . + 𝜆𝑟𝑘 . . . − . . . =
⎟
𝑎𝑛1
𝑎𝑛𝑟
𝑎𝑛𝑘
⎠
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
То, что каждый элемент системы (14) является решением этой
ОСЛУ, очевиден: согласно равенствам (13)
⎛
⎞
(︂
𝑎11 . . . 𝑎1𝑛
...
𝑎𝑛1 . . . 𝑎𝑛𝑛
)︂ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜆1𝑘
...
𝜆𝑟𝑘
0
...
−1
...
0
⎟
(︃ 𝑎 )︃
(︃ 𝑎 )︃ (︃ 𝑎 )︃
11
1𝑟
1𝑘
⎟
⎟
𝑎21
𝑎2𝑟
𝑎2𝑘
⎟ = 𝜆1𝑘 . . . + . . . + 𝜆𝑟𝑘 . . . − . . . =
⎟
𝑎𝑛1
𝑎𝑛𝑟
𝑎𝑛𝑘
⎠
(︃
=
0
0
...
0
)︃
.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Линейная независимость системы (14) также очевидна: если
⎛ 𝜆11 ⎞
⎛ 𝜆12 ⎞
⎛ 𝜆1𝑟 ⎞ ⎛ 0 ⎞
...
...
...
⎜ 𝜆𝑟1 ⎟
⎜ 𝜆𝑟2 ⎟
⎜ 𝜆𝑟𝑟 ⎟ ⎜
⎜ −1 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟ ⎜
𝛼1 ⎜ ⎟ + 𝛼2 ⎜ ⎟ + . . . + 𝛼𝑛−𝑟 ⎜ 0 ⎟ = ⎜
⎝ 0⎠
⎝ −1 ⎠
⎝ 0⎠ ⎝
...
0
...
0
...
−1
...
0
0
0
...
0
⎟
⎟
⎟,
⎠
то для любого номера 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛 − 𝑟} из сравнения (𝑟 + 𝑘)-й
строки матриц из левой и правой частей последнего равенства следует, что 𝛼𝑘 = 0.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
Осталось проверить полноту системы (14), то есть осталось убедиться в том, что любое решение системы AX = 0 является линейной
комбинацией матриц-столбцов из системы (14).
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
)︀
(︀
𝑡
Возьмем произвольное решение 𝑥1 . . . 𝑥𝑛 системы (14). Тогда по теореме о линейных комбинациях решений ОСЛУ решением этой системы является такой набор значений переменных:
⎛ 𝑥1 ⎞
⎛ 𝜆11 ⎞
⎛ 𝜆12 ⎞
⎛ 𝜆1𝑟 ⎞ ⎛ 𝑦1 ⎞
...
⎜ 𝑥𝑟
⎜𝑥
⎜ 𝑟+1
⎝ 𝑥𝑟+2
...
𝑥𝑛
...
...
...
⎟
⎜ 𝜆𝑟1 ⎟
⎜ 𝜆𝑟2 ⎟
⎜ 𝜆𝑟𝑟 ⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ − 𝑥𝑟+1 ⎜ ⎟ − 𝑥𝑟+2 ⎜ ⎟ − . . . − 𝑥𝑛 ⎜ 0 ⎟ = ⎜
⎠
⎝ 0⎠
⎝ −1 ⎠
⎝ 0⎠ ⎝
где 𝑦𝑘 = 𝑥𝑘 −
...
0
𝑛−𝑟
∑︁
𝑗=1
𝑥𝑟+𝑗 𝜆𝑘𝑗 .
...
0
...
−1
...
𝑦𝑟
0
0
...
0
⎟
⎟
⎟,
⎠
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
⎛
𝑥1
...
𝑥𝑟
⎜
⎜𝑥
⎜ 𝑟+1
⎝ 𝑥𝑟+2
...
𝑥𝑛
⎞
⎛ 𝜆11 ⎞
⎛ 𝜆12 ⎞
⎛ 𝜆1𝑟 ⎞
...
...
...
⎟
⎜ 𝜆𝑟1 ⎟
⎜ 𝜆𝑟2 ⎟
⎜ 𝜆𝑟𝑟 ⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ − 𝑥𝑟+1 ⎜ ⎟ − 𝑥𝑟+2 ⎜ ⎟ − . . . − 𝑥𝑛 ⎜ 0 ⎟ = ⎜
⎠
⎝ 0⎠
⎝ −1 ⎠
⎝ 0⎠ ⎝
...
0
где 𝑦𝑘 = 𝑥𝑘 −
𝑛−𝑟
∑︁
...
0
...
−1
)︂
(︂
=
⎞
⎟
⎟
⎟,
⎠
𝑥𝑟+𝑗 𝜆𝑘𝑗 . Подставляя это решение в уравнение, по⎛
0
...
0
𝑦1
...
𝑦𝑟
0
0
...
0
𝑗=1
лучаем
(︂
⎛
𝑎11 . . . 𝑎1𝑟 𝑎1,𝑟+1 . . . 𝑎1,𝑛
...
𝑎𝑛1 . . . 𝑎𝑛𝑟 𝑎𝑛,𝑟+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
)︂
⎜
⎜
⎝
𝑦1
...
𝑦𝑟
0
...
0
⎞
𝑟
⎟ ∑︁
⎟=
𝑦𝑗
⎠
𝑗=1
(︂
𝑎1𝑗
...
𝑎𝑛𝑗
)︂
.
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
⎛
(︂
0
...
0
)︂
(︂
=
𝑎11 . . . 𝑎1𝑟 𝑎1,𝑟+1 . . . 𝑎1,𝑛
...
𝑎𝑛1 . . . 𝑎𝑛𝑟 𝑎𝑛,𝑟+1 . . . 𝑎𝑛,𝑛
)︂
⎜
⎜
⎝
𝑦1
...
𝑦𝑟
0
...
0
⎞
𝑟
⎟ ∑︁
⎟=
𝑦𝑗
⎠
𝑗=1
(︂
𝑎1𝑗
...
𝑎𝑛𝑗
)︂
.
Но первые 𝑛 столбцов матрицы A линейно независимы (так как это
базис системы строк матрицы A), поэтому 𝑦1 = . . . = 𝑦𝑟 = 0, то есть
⎛ 𝜆11 ⎞
⎛ 𝜆12 ⎞
⎛ 𝜆1𝑟 ⎞
⎛ 𝑥 ⎞
1
...
...
...
⎜ 𝜆𝑟1 ⎟
⎜ 𝜆𝑟2 ⎟
⎜ 𝜆𝑟𝑟 ⎟
⎜ .𝑥. 𝑟. ⎟
⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎟ = 𝑥𝑟+1 ⎜
⎜
−1 ⎟ + 𝑥𝑟+2 ⎜
−
.
.
.
+
𝑥
⎜
⎟
⎜ ⎟.
𝑛
𝑥
⎝ 𝑟+1 ⎠
⎝
⎝
⎝ 0⎠
0 ⎠
−11 ⎠
...
𝑥𝑛
...
0
...
0
...
−1
X.4. Теорема о размерности пространства решений
ОСЛУ
⎛
𝑥1
...
𝑥𝑟
⎞
⎛ 𝜆11 ⎞
⎛
...
⎜ 𝜆𝑟1 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ = 𝑥𝑟+1 ⎜ −1 ⎟ + 𝑥𝑟+2 ⎜
⎜
⎝ 𝑥𝑟+1 ⎠
⎝
⎝
0 ⎠
...
𝑥𝑛
...
0
𝜆12
...
𝜆𝑟2
0
−11
...
0
⎞
⎛ 𝜆1𝑟 ⎞
...
⎟
⎜ 𝜆𝑟𝑟 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎟ − . . . + 𝑥𝑛 ⎜ 0 ⎟.
⎠
⎝ 0⎠
...
−1
Значит, система векторов (14) является базисом пространства решений системы AX = 0, в частности, его размерность равна 𝑛 − 𝑟,
что и требовалось доказать.
X.5. Теорема об общем решении ОСЛУ
Теорема 26. Общее решение ОСЛУ AX = 0 имеет вид
𝐶1X1 + . . . + 𝐶𝑚X𝑚, где 𝑚 = 𝑛 − 𝑟, 𝑛 — число неизвестных, 𝑟
— ранг матрицы коэффициентов A, X1, X2, . . . , X𝑚 — базис
линейного пространства решений ОСЛУ AX = 0.
Доказательство.
X.5. Теорема об общем решении ОСЛУ
Теорема 26. Общее решение ОСЛУ AX = 0 имеет вид
𝐶1X1 + . . . + 𝐶𝑚X𝑚, где 𝑚 = 𝑛 − 𝑟, 𝑛 — число неизвестных, 𝑟
— ранг матрицы коэффициентов A, X1, X2, . . . , X𝑚 — базис
линейного пространства решений ОСЛУ AX = 0.
Доказательство. Эта теорема является непосредственным следствием из теоремы о размерности пространства решений
ОСЛУ и теоремы о линейных комбинациях базисных векторов. Теорема доказана.
X.6. Фундаментальная матрица
Из умножения матриц на макроуровне получаем, что
⎛
⎞
𝐶1
⎜
⎟
⎜ 𝐶2 ⎟
𝐶1X1 + . . . + 𝐶𝑚X𝑚 = Φ ⎜
⎟,
⎝ ... ⎠
𝐶𝑚
(︀
)︀
где Φ = X1X2 . . . X𝑚 .
X.6. Фундаментальная матрица
Из умножения матриц на макроуровне получаем, что
⎛
⎞
𝐶1
⎜
⎟
⎜ 𝐶2 ⎟
𝐶1X1 + . . . + 𝐶𝑚X𝑚 = Φ ⎜
⎟,
⎝ ... ⎠
𝐶𝑚
(︀
)︀
где Φ = X1X2 . . . X𝑚 .
Определение 41. Система X1, X2, . . . , X𝑚 называется фундаментальной системой решений ОСЛУ AX = 0, а матрица Φ —
фундаментальной матрицей.
X.6. Фундаментальная матрица
Из умножения матриц на макроуровне получаем, что
⎛
⎞
𝐶1
⎜
⎟
⎜ 𝐶2 ⎟
𝐶1X1 + . . . + 𝐶𝑚X𝑚 = Φ ⎜
⎟,
⎝ ... ⎠
𝐶𝑚
(︀
)︀
где Φ = X1X2 . . . X𝑚 .
Определение 41. Система X1, X2, . . . , X𝑚 называется фундаментальной системой решений ОСЛУ AX = 0, а матрица Φ —
фундаментальной матрицей.
Мы будем использовать аббревиатуру ФСР вместо фразы «фундаментальная система решений». «Индустриальная» методика нахождения ФСР была нами рассмотрена при решении примеров.
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1)
=
2
𝑝=1
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1)
=
2
𝑝=1
При 𝑝 = 1...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1)
1)
=
+
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 1...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1)
1)
=
+
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 2...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1)
1)
=
+
+
2
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 2...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1)
1)
=
+
+
2
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 3...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1) 3(3 − 1)
1)
=
+
+
+
2
2
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 3...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1) 3(3 − 1)
1)
=
+
+
+
2
2
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 4...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1) 3(3 − 1) 4(4 − 1)
1)
=
+
+
+
=
2
2
2
2
2
𝑝=1
При 𝑝 = 4...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1) 3(3 − 1) 4(4 − 1)
1)
=
+
+
+
=
2
2
2
2
2
𝑝=1
=0+1+3+6=
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4 𝑝(𝑝 − 1)
∑︀
1(1 − 1) 2(2 − 1) 3(3 − 1) 4(4 − 1)
1)
=
+
+
+
=
2
2
2
2
2
𝑝=1
= 0 + 1 + 3 + 6 = 10.
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) =
𝛼=2
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) =
𝛼=2
При 𝛼 = 2...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) +
𝛼=2
При 𝛼 = 2...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) +
𝛼=2
При 𝛼 = 3...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) + 3 · (6 − 3) +
𝛼=2
При 𝛼 = 3...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) + 3 · (6 − 3) +
𝛼=2
При 𝛼 = 4...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) + 3 · (6 − 3) + 4 · (6 − 4) =
𝛼=2
При 𝛼 = 4...
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) + 3 · (6 − 3) + 4 · (6 − 4) = 8 + 9 + 8 =
𝛼=2
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
4
∑︀
2)
𝛼(6 − 𝛼) = 2 · (6 − 2) + 3 · (6 − 3) + 4 · (6 − 4) = 8 + 9 + 8 = 25.
𝛼=2
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
3)
=
7
−
𝑗
𝑗=3
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5
3)
=
+
7
−
𝑗
7
−
3
𝑗=3
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5 42 − 5
3)
=
+
+
7
−
𝑗
7
−
3
7
−
4
𝑗=3
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5 42 − 5 52 − 5
3)
=
+
+
+
7
−
𝑗
7
−
3
7
−
4
7
−
5
𝑗=3
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5 42 − 5 52 − 5 62 − 5
3)
=
+
+
+
=
7
−
𝑗
7
−
3
7
−
4
7
−
5
7
−
6
𝑗=3
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5 42 − 5 52 − 5 62 − 5
3)
=
+
+
+
=
7
−
𝑗
7
−
3
7
−
4
7
−
5
7
−
6
𝑗=3
4 11 20 31
= +
+
+
=
4
3
2
1
Пример 1. Вычислите:
4 𝑝(𝑝 − 1)
4
6 𝑗2 − 5
∑︀
∑︀
∑︀
1)
; 2)
𝛼(6 − 𝛼); 3)
.
2
7
−
𝑗
𝑝=1
𝛼=2
𝑗=3
Решение.
6 𝑗2 − 5
∑︀
32 − 5 42 − 5 52 − 5 62 − 5
3)
=
+
+
+
=
7
−
𝑗
7
−
3
7
−
4
7
−
5
7
−
6
𝑗=3
4 11 20 31
2
= +
+
+
= 45 .
4
3
2
1
3
Вернёмся к лекции или решим другой пример?
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
Решение.
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 =
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 =
𝑖=1
𝑖 пробегает значения от
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 =
i=1
𝑖 пробегает значения от 1 до
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 =
𝑖=1
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 =
𝑖=1
При 𝑖 = 1...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 +
𝑖=1
При 𝑖 = 1...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 +
𝑖=1
При 𝑖 = 2...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 +
𝑖=1
При 𝑖 = 2...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 +
𝑖=1
При 𝑖 = 3...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +
𝑖=1
При 𝑖 = 3...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +
𝑖=1
При 𝑖 = 4...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 +
𝑖=1
При 𝑖 = 4...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 +
𝑖=1
При 𝑖 = 5...
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
1)
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 .
𝑖=1
При 𝑖 = 5.
𝑖 пробегает значения от 1 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 =
𝑞=3
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 =
𝑞=3
𝑞 пробегает значения от
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 =
𝑞=3
𝑞 пробегает значения от 3 до
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 =
𝑞=3
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 =
𝑞=3
При 𝑖 = 3...
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 = Φ3 +
𝑞=3
При 𝑖 = 3...
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 = Φ3 +
𝑞=3
При 𝑖 = 4...
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 = Φ3 + Φ4 +
𝑞=3
При 𝑖 = 4...
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 = Φ3 + Φ4 +
𝑞=3
При 𝑖 = 5...
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
5
∑︀
2)
Φ𝑞 = Φ3 + Φ4 + Φ5.
𝑞=3
При 𝑖 = 5.
𝑞 пробегает значения от 3 до 5.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 =
𝑠=1
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 =
𝑠=1
При 𝑖 = 1...
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 = 𝑡2 +
𝑠=1
При 𝑖 = 1...
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 = 𝑡2 +
𝑠=1
При 𝑖 = 2...
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 = 𝑡2 + 𝑡4 +
𝑠=1
При 𝑖 = 2...
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 = 𝑡2 + 𝑡4 +
𝑠=1
При 𝑖 = 3...
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
3
∑︀
3)
𝑡2·𝑠 = 𝑡2 + 𝑡4 + 𝑡6.
𝑠=1
При 𝑖 = 3.
𝑖 пробегает значения от 1 до 3.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 =
𝛼=3
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 =
𝛼=3
𝑖 пробегает значения от
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 =
𝛼=3
𝑖 пробегает значения от 3 до
𝑠=1
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 =
𝛼=3
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 =
𝛼=3
При 𝑖 = 3...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 +
𝛼=3
При 𝑖 = 3...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 +
𝛼=3
При 𝑖 = 4...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 + 𝐻3 +
𝛼=3
При 𝑖 = 4...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 + 𝐻3 +
𝛼=3
При 𝑖 = 5...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 + 𝐻3 + 𝐻2 +
𝛼=3
При 𝑖 = 5...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 + 𝐻3 + 𝐻2 +
𝛼=3
При 𝑖 = 6...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
𝛼=3
Пример 2. В выражениях «избавиться» от символа суммирова5
5
3
6
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
ния: 1)
𝑥𝑖; 2)
Φ𝑞 ; 3)
𝑡2·𝑠; 4)
𝐻7−𝛼 ;
𝑖=1
𝑞=3
𝑠=1
𝛼=3
Решение.
6
∑︀
4)
𝐻7−𝛼 = 𝐻4 + 𝐻3 + 𝐻2 + 𝐻1.
𝛼=3
При 𝑖 = 6...
𝑖 пробегает значения от 3 до 6.
Вернёмся к лекции или решим другой пример?
(︂
Пример 3. Записать выражение
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение.
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
(︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂2
𝑎𝑖
(︂
=
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂ (︂
𝑎𝑖
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂
𝑎𝑖 .
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
(︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂2
𝑎𝑖
(︂
=
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂ (︂
𝑎𝑖
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂
𝑎𝑖 .
Казалось бы, осталось только «раскрыть скобки».
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
(︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂2
𝑎𝑖
(︂
=
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂ (︂
𝑎𝑖
𝑛
∑︀
𝑖=1
)︂
𝑎𝑖 .
Казалось бы, осталось только «раскрыть скобки». Но этому препятствует тот факт, что индекс 𝑖 в первой сумме изменяется независимо от значения этой переменной во второй сумме. Поэтому мы
сначала проведем замену переменной, по которой производится суммирование, например, во второй сумме.
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
(︂
)︂2
)︂
Решение. Имеем
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(︃
)︃
(︂ 𝑛 )︂
(︂ 𝑛
)︂
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
С помощью свойства
𝑎𝑖 𝜆 =
𝑎𝑖𝜆 , где 𝜆 =
𝑎𝑗 , получаем
𝑛
∑︀
𝑖=1
(︂
𝑛
∑︀
)︂ (︂
𝑖=1
𝑛
∑︀
𝑗=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
(︂
)︂2
)︂
Решение. Имеем
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(︃
)︃
(︂ 𝑛 )︂
(︂ 𝑛
)︂
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
С помощью свойства
𝑎𝑖 𝜆 =
𝑎𝑖𝜆 , где 𝜆 =
𝑎𝑗 , по𝑛
∑︀
(︂
𝑖=1
лучаем
(︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃
∑︁
∑︁
𝑎𝑖
𝑎𝑖 =
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
∑︀
)︂ (︂
𝑖=1
𝑛
∑︀
𝑗=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑛
∑︀
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
(︂
)︂2
)︂
Решение. Имеем
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(︃
)︃
(︂ 𝑛 )︂
(︂ 𝑛
)︂
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
С помощью свойства
𝑎𝑖 𝜆 =
𝑎𝑖𝜆 , где 𝜆 =
𝑎𝑗 , получаем
𝑛
∑︀
𝑖=1
(︂
𝑛
∑︀
)︂ (︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑗=1
⎞
(︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ ⎛ 𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖
𝑎𝑗 ⎠ =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 =
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑗=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑛
∑︀
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
(︂
)︂2
)︂
Решение. Имеем
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(︃
)︃
(︂ 𝑛 )︂
(︂ 𝑛
)︂
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
С помощью свойства
𝑎𝑖 𝜆 =
𝑎𝑖𝜆 , где 𝜆 =
𝑎𝑗 , получаем
𝑛
∑︀
𝑖=1
(︂
𝑛
∑︀
)︂ (︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑗=1
⎞
(︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ ⎛ 𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖
𝑎𝑗 ⎠ =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 =
=
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
∑︁
𝑖=1
⎛ ⎛
⎞⎞
𝑛
∑︁
⎝ 𝑎𝑖 ⎝
𝑎𝑗 ⎠ ⎠ =
𝑗=1
𝑗=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑛
∑︀
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
(︂
)︂2
)︂
Решение. Имеем
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(︃
)︃
(︂ 𝑛 )︂
(︂ 𝑛
)︂
𝑛
∑︀
∑︀
∑︀
С помощью свойства
𝑎𝑖 𝜆 =
𝑎𝑖𝜆 , где 𝜆 =
𝑎𝑗 , получаем
𝑛
∑︀
𝑖=1
(︂
𝑛
∑︀
)︂ (︂
𝑛
∑︀
𝑖=1
𝑗=1
⎞
(︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ (︃ 𝑛 )︃ ⎛ 𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
⎝
𝑎𝑖
𝑎𝑗 ⎠ =
𝑎𝑖
𝑎𝑖 =
=
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑗=1
⎛ ⎛
⎞⎞
𝑛
𝑛 ∑︁
𝑛
∑︁
∑︁
⎝ 𝑎𝑖 ⎝
𝑎𝑗 ⎠ ⎠ =
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
𝑗=1
𝑖=1 𝑗=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
Проверка: с одной стороны
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 =
𝑖=1
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) =
𝑖=1
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
𝑖=1
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
𝑖=1 𝑗=1
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
𝑖=1
С другой стороны,
2 ∑︁
2
∑︁
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖 𝑎𝑗 =
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
𝑖=1 𝑗=1
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
𝑖=1
С другой стороны,
2 ∑︁
2
∑︁
𝑖=1 𝑗=1
𝑎𝑖𝑎𝑗 = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
(︂
Пример 3. Записать выражение
𝑛
∑︀
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
𝑖=1 𝑗=1
Проверка: с одной стороны
(︃ 2 )︃2
∑︁
𝑎𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
𝑖=1
С другой стороны,
2 ∑︁
2
∑︁
𝑎𝑖𝑎𝑗 = 𝑎1𝑎1 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎2𝑎2,
𝑖=1 𝑗=1
формула выполняется.
(︂
Пример 3. Записать выражение
)︂2
𝑎𝑖
в виде суммы произведе-
𝑖=1
ний чисел 𝑎𝑝.
Решение. Имеем
𝑛
∑︀
𝑛 ∑︀
𝑛
∑︀
𝑎𝑖 𝑎𝑗 .
𝑖=1 𝑗=1
Проверка: получили, что
(︃ 2 )︃2
2
2 ∑︁
∑︁
∑︁
𝑎𝑖 =
𝑎𝑖𝑎𝑗 .
𝑖=1
𝑖=1 𝑗=1
Конечно, «стопроцентной гарантии» наша проверка не дает, но всетаки результат проверки существенно добавил нам уверенности в
справедливости полученной формулы.
Вернёмся к лекции или решим другой пример?
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от 1 до
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от 1 до
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от 1 до 2𝑛 − 1.
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от 1 до 2𝑛 − 1.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
...
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При 𝑝 = 1 переменная 𝑞 пробегает значения от 1 до 2𝑛 − 1.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
...
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
...
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от
Нижняя граница для 𝑞 задана уравнением
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
...
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от
Нижняя граница для 𝑞 задана уравнением
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
...
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от
Нижняя граница для 𝑞 задана уравнением 𝑞 = 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до
Нижняя граница для 𝑞 задана уравнением 𝑞 = 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до
Верхняя граница для 𝑞 задана уравнением
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до
Верхняя граница для 𝑞 задана уравнением
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до
Верхняя граница для 𝑞 задана уравнением 𝑞 = 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r
r
...
r
r
r
r
r
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
Верхняя граница для 𝑞 задана уравнением 𝑞 = 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@
@
r
@
@
@
r
@
@
r
@
@
r
r
r
...
=
𝑞
r
r
r
𝑝
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
Верхняя граница для 𝑞 задана уравнением 𝑞 = 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r@
@
@
r r
@
@
r r
@
@
r r
r r
r r
... ...
... ...
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@
@
r r r
@
@
r r r
r r r
r r r
... ... ...
... ... ...
r
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@
@
r r r
@
@
r r r
r r r
r r r
... ... ...
... ... ...
r
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
...
...
...
...
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@
r r r
@
@
r
r r r
r
r r r
r
r r r
... ... ...
... ... ...
r
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
...
...
...
...
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r@
r r r
r r
r r r
r
r r r
... ... ...
... ... ...
r
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
...
...
...
...
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
... ... ...
... ... ...
r
=
𝑝
r
r
𝑞
r
r
r
...
...
...
...
...
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение. При любом 𝑝 переменная 𝑞
пробегает значения от 𝑝 до 2𝑛 − 𝑝.
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
... ... ...
r
r
r
𝑝
r
r
r
...
...
...
...
...
=
𝑞=? 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞...
... ... ...
=
𝑞=? 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞...
... ... ...
=
𝑞=? 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
?
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞...
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
?
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
перемен-
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞
ная 𝑝 пробегает значения от
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=?
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
r
r
r
r
r
𝑞
=
𝑝
... ... ...
...
...
...
...
...
r
𝑝
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑞
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
Но при бо́льших значениях 𝑞 верхний
предел значений 𝑝 будет другим.
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
Но при бо́льших значениях 𝑞 верхний
предел значений 𝑝 будет другим.
Что делать?
... ... ...
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
? ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 ...
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑝=?
При небольших значениях 𝑞
переменная 𝑝 пробегает значения от 1 до 𝑞.
Но при бо́льших значениях 𝑞 верхний
предел значений 𝑝 будет другим.
Что делать?
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
?
𝑛 2𝑛−𝑝
?
∑︀ ∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=𝑛+1 𝑝=?
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
?
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Нижняя граница значений 𝑝:
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=𝑛+1 𝑝=?
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=𝑛+1 𝑝=?
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝:
... ... ...
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
...
...
...
...
...
𝑞
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
=
𝑞=1 𝑝=1
𝑝
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
r
r
r
r
r
𝑝
=
𝑞
𝑞
.........
... ... ...
...
...
...
...
...
−
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝:
... ... ...
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
𝑞 = 2𝑛 − 𝑝
r@ r
@
r r @r
@
@
r r r
@r
r@ r
r r r
@
r r @r
r r r
r r
r r r
r
r r r
𝑝
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
2𝑛−𝑞
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
2𝑛−𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
2𝑛−𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
2𝑛−𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
2𝑛−𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
?
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
Нижняя граница значений 𝑝: 𝑞 = 1.
Верхняя граница для 𝑝: 𝑝 = 2𝑛 − 𝑞.
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
2𝑛−1
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀ 2𝑛−𝑞
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
Пример 4. Переставить местами знаки суммирования в выраже𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
нии
𝑏𝑝𝑞 .
𝑝=1 𝑞=𝑝
.........
... ... ... @
r r r ... @r
r r r ... r@ r
@
r r r ... r r @r
r r r ... r r
r r r ... r
.........
... ... ...
−
𝑝
=
𝑞
𝑞
r
r
r
r
r
r
-
𝑝=1
𝑝=2
𝑝=3
...
𝑝=𝑛−2
𝑝=𝑛−1
𝑝=𝑛
Задача решена.
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
2𝑛
𝑞=1 𝑝=1
=
𝑝=1 𝑞=𝑝
6 r
r@ r
@
r r @r
@
𝑝
Решение.
𝑞
𝑛 2𝑛−𝑝
𝑛 ∑︀
2𝑛−1
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀
∑︀ 2𝑛−𝑞
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 +
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞 = 2𝑛 − 1
𝑞 = 2𝑛 − 2
𝑞 = 2𝑛 − 3
...
𝑞 =𝑛+2
𝑞 =𝑛+1
𝑞=𝑛
𝑞 =𝑛−1
𝑞 =𝑛−2
...
𝑞=3
𝑞=2
𝑞=1
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 =
𝑏𝑝𝑞 .
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) +
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) +
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑝=1 𝑞=𝑝
С другой стороны,
𝑞
3 ∑︁
∑︁
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
6−𝑞
5 ∑︁
∑︁
𝑞=4 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 =
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑝=1 𝑞=𝑝
С другой стороны,
𝑞
3 ∑︁
∑︁
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
6−𝑞
5 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞=4 𝑝=1
)︀
(︀
= 𝑏11 + (𝑏12 + 𝑏22) + (𝑏13 + 𝑏23 + 𝑏33) +
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑝=1 𝑞=𝑝
С другой стороны,
𝑞
3 ∑︁
∑︁
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
6−𝑞
5 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞=4 𝑝=1
)︀ (︀
(︀
)︀
= 𝑏11 + (𝑏12 + 𝑏22) + (𝑏13 + 𝑏23 + 𝑏33) + (𝑏14 + 𝑏24) + 𝑏15 .
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞=1 𝑝=1
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑝=1 𝑞=𝑝
С другой стороны,
𝑞
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞=1 𝑝=1
6−𝑞
5 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞=4 𝑝=1
)︀ (︀
(︀
)︀
= 𝑏11 + (𝑏12 + 𝑏22) + (𝑏13 + 𝑏23 + 𝑏33) + (𝑏14 + 𝑏24) + 𝑏15 .
Таким образом, равенство
тельно имеет место.
3 6−𝑝
∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞
3 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
5 2𝑛−𝑞
∑︀
∑︀
𝑞=4 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 действи-
𝑛 2𝑛−𝑝
∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 =
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑞
𝑛 ∑︀
∑︀
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞=1 𝑝=1
2𝑛−1
∑︀ 2𝑛−𝑞
∑︀
𝑏𝑝𝑞 .
𝑞=𝑛+1 𝑝=1
Проверка: с одной стороны
6−𝑝
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 = (𝑏11 + 𝑏12 + 𝑏13 + 𝑏14 + 𝑏15) + (𝑏22 + 𝑏23 + 𝑏24) + 𝑏33.
𝑝=1 𝑞=𝑝
Подчеркнём, что такая проверка не дает «стопроцентной гарантии», но это все же «лучше, чем ничего».
𝑞
3 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 +
𝑞=1 𝑝=1
6−𝑞
5 ∑︁
∑︁
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞=4 𝑝=1
)︀ (︀
)︀
= 𝑏11 + (𝑏12 + 𝑏22) + (𝑏13 + 𝑏23 + 𝑏33) + (𝑏14 + 𝑏24) + 𝑏15 .
(︀
Таким образом, равенство
3 6−𝑝
∑︀
∑︀
𝑝=1 𝑞=𝑝
𝑏𝑝𝑞 =
𝑞
3 ∑︀
∑︀
𝑞=1 𝑝=1
𝑏𝑝𝑞 +
5 2𝑛−𝑞
∑︀
∑︀
𝑞=4 𝑝=1
тельно имеет место.
Вернёмся к лекции или решим другой пример?
𝑏𝑝𝑞 действи-
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
𝑛=1
Решение.
2𝑛𝑥2𝑛.
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
2𝑛𝑥2𝑛 =
2𝑛𝑥2𝑛.
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
3
∑︁
𝑛=1
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛 2𝑛
2 𝑥
𝑛=1
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 =
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
3
∑︁
𝑛=1
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
3
∑︁
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
3
∑︁
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
Напрашивается привести подобные члены. Для этого в сумме
3
∑︀
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2 перейдем к индексу суммирования 𝑚 = 𝑛 + 1, получим
𝑛=1
4
∑︀
𝑚=2
3 · 2𝑚𝑥2𝑚. Имеем
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
3
∑︀
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
3
∑︁
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
2
(3−6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
2𝑛𝑥2𝑛 =
3
∑︀
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
3·2 𝑥 −
𝑛=1
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3
∑︁
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
2
(3−6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
4
∑︁
𝑚=2
3·2𝑚𝑥2𝑚 =
3
∑︀
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
𝑛=1
𝑛=1
3
∑︁
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
2
(3−6𝑥 )
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛=1
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
4
∑︁
𝑚=2
𝑚 2𝑚
3·2 𝑥
=
3
∑︁
4
∑︁
3·2 𝑥 −
3·2𝑘 𝑥2𝑘 =
𝑘=1
𝑘=2
𝑘 2𝑘
3
∑︀
2
Пример 5. Упростить выражение (3 − 6𝑥 )
2𝑛𝑥2𝑛.
𝑛=1
Решение. «Раскроем скобки»:
2
(3 − 6𝑥 )
3
∑︁
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
3
∑︁
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
6 · 2𝑛𝑥2𝑛+2,
𝑛=1
𝑛=1
𝑛=1
3
∑︁
)︀
(︀
(3−6𝑥) 2𝑥2 + 4𝑥4 + 8𝑥6 = 3·2𝑥2 +3·4𝑥4 +3·8𝑥6 −6·2𝑥4 −6·4𝑥6 −6·8𝑥8.
2
(3−6𝑥 )
3
∑︁
𝑛 2𝑛
2 𝑥
=
=3·2 𝑥
𝑛 2𝑛
3·2 𝑥 −
+
3
∑︁
𝑘=2
4
∑︁
𝑚=2
𝑛=1
𝑛=1
1 2·1
3
∑︁
𝑘 2𝑘
3·2 𝑥 −
3
∑︁
𝑚 2𝑚
3·2 𝑥
=
3
∑︁
4
∑︁
3·2 𝑥 −
3·2𝑘 𝑥2𝑘 =
𝑘=1
𝑘=2
𝑘 2𝑘
3 · 2𝑘 𝑥2𝑘 − 3 · 24𝑥2·4 = 6𝑥2 − 48𝑥8.
𝑘=2
Вернёмся к лекции или самостоятельно решим задачи?
Задания
для самостоятельного
выполнения
Задача XI.1. (Ответ приведен на стр.2581.) Проверьте непосредственным вычислением (переходя от записи с помощью символа суммирования к обычной записи) справедливость формулы
3
∑︁
𝑝=2
𝑥𝑝
3
∑︁
𝑞=1
𝑦𝑝𝑞 =
3 ∑︁
3
∑︁
𝑞=1 𝑝=2
𝑥𝑝𝑦𝑝𝑞 .
Задача XI.2. (Ответ приведен на стр.2585.)
ным вычислением равенства
3
∑︁
𝑖=0
Проверьте непосредствен-
4
4
∑︁
∑︁
𝑖(𝑖 + 2) =
(𝑖 − 1)(𝑖 + 1) =
(𝑗 2 − 1).
𝑖=1
𝑗=1
Проверьте непосред3
6
∑︁
∑︁
2
ственным вычислением, выполняется ли равенство
(2𝑛) =
𝑚2 .
?
Задача XI.3.
(Ответ приведен на стр.2589.)
𝑛=1
Сколько слагаемых в левой и правой частях этой формулы?
𝑚=2
Задача XI.4. (Ответ приведен на стр.2593.) Запишите с помощью символа суммирования выражения a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
b) 𝑎4 − 𝑎3 + 𝑎2 − 𝑎1 + 𝑎0, c) 1 + 24 + 39 + 416.
Задача XI.5.
(Ответ приведен на стр.2626.)
4 ∑︁
4
∑︁
волы суммирования
Переставьте местами сим-
𝑖(𝑗 + 1). Проверьте правильность резуль-
𝑖=1 𝑗=𝑖
тата непосредственным вычислением.
Задача XI.6.
(Ответ приведен на стр.2631.)
𝑝+3
3 ∑︁
∑︁
волы суммирования в выражении
𝑝=1 𝑞=𝑝
Переставьте местами сим𝑡𝑝𝑞 .
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
Склад №2
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Тип товара
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
Склад №2
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑏11
𝑏12
𝑏13
Склад №2
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
Обозначим требуемый массив данных как матрицу C.
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C=
=
𝑐21 𝑐22 𝑐23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
Обозначим требуемый массив данных как матрицу C.
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C=
=
𝑐21 𝑐22 𝑐23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑎11
𝑎12
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝐴
тип 3
𝑎13
𝑎23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴...и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
+
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴...и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=100
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
+
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴...и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=100
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
+
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴 и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=100
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
)︂
𝑏11 𝑏12 𝑏13
+
=
𝑏21 𝑏22 𝑏23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
(︂
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴 и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=100
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
)︂
(︂
𝑏11 𝑏12 𝑏13
+1000
=
𝑏21 𝑏22 𝑏23
К-во товара в тоннах в
Тип товара тип 1 тип 2
Склад №1
𝑏11
𝑏12
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝐵
тип 3
𝑏13
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴 и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
)︂
(︂
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
C=
=100
𝑐21 𝑐22 𝑐23
𝑎21 𝑎22 𝑎23
К-во товара в тоннах в 𝐴
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Склад №2
𝑎21
𝑎22
𝑎23
)︂
)︂
(︂
𝑏11 𝑏12 𝑏13
+1000
=100A + 1000B.
𝑏21 𝑏22 𝑏23
К-во товара в тоннах в 𝐵
Тип товара тип 1 тип 2 тип 3
Склад №1
𝑏11
𝑏12
𝑏13
Склад №2
𝑏21
𝑏22
𝑏23
Надо пересчитать в килограммах количество товара на складах в
городе 𝐴 и в городе 𝐵.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»:
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =100 · 𝑎 +
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =100 · 𝑎𝛼𝛽 +
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =100 · 𝑎𝛼𝛽 +1000 · 𝑏
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =100 · 𝑎𝛼𝛽 +1000 · 𝑏𝛼𝛽 .
Пример 6. На складах №1 и №2 в городе 𝐴 товар трех типов измеряют в центнерах, а на аналогичных складах в городе 𝐵 — в тоннах. Определите операцию, которая позволила бы найти суммарное
количество товара на складах №1 и №2 в килограммах.
Решение.
(︂
C=
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐21 𝑐22 𝑐23
)︂
)︂
)︂
(︂
(︂
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
=100
+1000
=100A + 1000B.
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏21 𝑏22 𝑏23
Обозначим через ∘ операцию A ∘ B = 100 · A + 1000 · B.
Операция ∘ введена на «языке формул для матриц в целом».
Нетрудно перевести ее определение на «язык формул для элементов матриц»: 𝑐𝛼𝛽 =100 · 𝑎𝛼𝛽 +1000 · 𝑏𝛼𝛽 .
Вернемся к лекции?
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A
×
= P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A
×
= P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A
×
= P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A
×
= P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Теперь найдем размерность произведения.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A
×
= P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Теперь найдем размерность произведения.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠× = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Теперь найдем размерность произведения.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠× = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Теперь найдем размерность произведения.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение этих матриц выполнимо...
Теперь найдем размерность произведения.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B × = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B × = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B × = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B × = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы B.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B × = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы B.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B𝑡× = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы B.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B𝑡× = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы B.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц Q и R выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы B.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C × = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠× = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠× = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
Сначала установим размерности матриц A, B, C.
Значит, умножение матриц P и Q выполнимо...
Умножение матриц Q и R также выполнимо...
Теперь найдем размерность матрицы C.
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑎𝑢𝑣 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝 ·𝑞 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝 ·𝑞 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢 · 𝑞 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢 · 𝑞 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢 · 𝑞 𝑣 =
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
∑︀
𝑝𝑢 · 𝑞 𝑣 =
𝑎𝑢𝑣 =
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢 · 𝑞 𝑣 =
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝 𝑞 +
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢 𝑞 +
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢 𝑞 𝑣 +
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +
𝛼=1
B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +
𝛼=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢 𝑞 𝑣 ,
𝛼=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
𝛽
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝛼=1
𝑏𝛼𝛽 =
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
𝛾=1
𝛽
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
𝛾=1
𝛽
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞 𝑟 +
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼 𝑟 +
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼 𝑟 𝛽 +
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼 𝑞 𝛽 ,
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝 ·
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝 ·
∑︀
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝 ·
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝 ·
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝𝑖 ·
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝𝑖 ·
∑︀
𝑞
·𝑟
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝𝑖 ·
∑︀
𝑞
·𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑝𝑖 ·
𝛼=1
∑︀
𝑞
·𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖 ·
𝛼=1
∑︀
𝑞
·𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
∑︀
𝑞𝛼 · 𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼 · 𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼 · 𝑟
𝑗
=
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝 𝑞 𝑟 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖 𝑞 𝑟 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖 𝑞 𝑟 𝑗 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞1 𝑟 𝑗 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝 𝑞 𝑟 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞1 𝑟 𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝 𝑞 𝑟 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1 𝑟 𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
+𝑝 𝑞 𝑟 +
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
+𝑝𝑖 𝑞 𝑟 +
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑥
∑︀
𝛼=1
𝛽=1
𝑝𝑖𝛼 ·
+𝑝𝑖 𝑞 𝑟 𝑗 +
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞2 𝑟 𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+𝑝 𝑞 𝑟 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖 𝑞
𝑟 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖 𝑞
𝑟 𝑗+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞2
𝑟 𝑗+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝
𝑞 𝑟 + ...+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖
𝑞 𝑟 + ...+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖
𝑞 𝑟 𝑗 + ...+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞2
𝑟 𝑗 + ...+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ ...+
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ . . . +𝑝 𝑞 𝑟 .
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ . . . +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 .
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ . . . +𝑝𝑖 𝑞 𝑟 𝑗 .
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ . . . +𝑝𝑖𝑡𝑞𝑡 𝑟 𝑗 .
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
+ . . . +𝑝𝑖𝑡𝑞𝑡𝑥𝑟𝑥𝑗 .
Пример 7. Даны
матрицы P = (𝑝𝑖𝑗 )𝑠×𝑡 , Q = (𝑞𝑖𝑗 )𝑡×𝑥 и
R = (𝑟𝑖𝑗 )𝑥×𝑦 . Запишите с помощью знака суммирования Σ и
«в рассыпанном виде» формулы для вычисления коэффициентов
матриц A = P · Q, B = Q · R, C = P · Q · R.
Решение. A𝑠×𝑥 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥, B𝑡×𝑦 = Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 ,
C𝑠×𝑦 = P𝑠×𝑡 · Q𝑡×𝑥 · R𝑥×𝑦 .
𝑡
∑︀
𝑎𝑢𝑣 =
𝑝𝑢𝛼 · 𝑞𝛼𝑣 =𝑝𝑢1𝑞1𝑣 +𝑝𝑢2𝑞2𝑣 + . . . +𝑝𝑢𝑡𝑞𝑡𝑣 ,
𝑏𝛼𝛽 =
𝑐𝑖𝑗 =
𝛼=1
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛾 · 𝑟𝛾𝛽 =𝑞𝛼1𝑟1𝛽 +𝑞𝛼2𝑟2𝛽 + . . . +𝑝𝛼𝑥𝑞𝑥𝛽 ,
𝛾=1
𝑡
∑︀
𝑝𝑖𝛼 ·
𝛼=1
+𝑝𝑖2𝑞21𝑟1𝑗
𝑥
∑︀
𝑞𝛼𝛽 · 𝑟𝛽𝑗 =𝑝𝑖1𝑞11𝑟1𝑗 +𝑝𝑖1𝑞12𝑟2𝑗 + . . . +𝑝𝑖1𝑞1𝑥𝑟𝑥𝑗 + . . . +
𝛽=1
+ 𝑝𝑖2𝑞22𝑟2𝑗 +𝑝𝑖2𝑞23𝑟3𝑗
Вернемся у лекции?
+ . . . +𝑝𝑖𝑡𝑞𝑡𝑥𝑟𝑥𝑗 .
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) ∘: «столбец на строку»; c) ◇: «столбец на столбец».
Решение.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
Конкретизируем...
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑐31 𝑐32 𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третью строку на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третью строку на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третью строку на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третью строку на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑐31 𝑐32 𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎𝑖 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑐31 𝑐32 𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎𝑖 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑐31 𝑐32 𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎𝑖 𝑏𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑐31 𝑐32 𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎𝑖 𝑏𝑗 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖 𝑏𝑗 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎 𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖 𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖 𝑏 + 𝑎𝑖 𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖 𝑏𝑗 + 𝑎𝑖 𝑏𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖 𝑏𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐11 𝑐12 𝑐13
C = ⎝ 𝑐21 𝑐22 𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑐31 𝑐32 𝑐33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞
𝑎13
𝑎23 ⎠ ·
𝑎33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎13
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎23 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎13
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎23 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A ·
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎13
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎23 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A ·
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎13
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎23 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A · B𝑡 .
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) ⋆: «строка на строку»; b) c)
Решение. a) 𝑐𝑖𝑗 =
⎛
𝑐11
C = ⎝ 𝑐21
𝑐
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎21
𝑎31
𝑐12
𝑐22
𝑐32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
3
∑︀
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑗𝑘 =𝑎𝑖1𝑏𝑗1+𝑎𝑖2𝑏𝑗2 + 𝑎𝑖3𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑐13
𝑐23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ⋆ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑐33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎13
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎23 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A · B𝑡 .
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
Конкретизируем...
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑑31 𝑑32 𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на вторую
строку.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
∑︀
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑑31 𝑑32 𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑑31 𝑑32 𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑑31 𝑑32 𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖 𝑏𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑑11 𝑑12 𝑑13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑑31 𝑑32 𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎 𝑖 𝑏𝑗 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎 𝑖 𝑏𝑗 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎 𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎 𝑖𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎 𝑖𝑏 + 𝑎 𝑖𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎 𝑖𝑏𝑗 + 𝑎 𝑖𝑏𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎 𝑖𝑏𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑11 𝑑12 𝑑13
D = ⎝ 𝑑21 𝑑22 𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑑31 𝑑32 𝑑33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞
𝑎31
𝑎32 ⎠ ·
𝑎33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛
⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛
⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A𝑡 ·
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛
⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A𝑡 ·
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛
⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A𝑡 · B𝑡 .
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) ∘: «столбец на строку»; c)
Решение. b) 𝑑𝑖𝑗 =
⎛
𝑑11
D = ⎝ 𝑑21
𝑑
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑑12
𝑑22
𝑑32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑗𝑘 =𝑎1𝑖𝑏𝑗1+𝑎2𝑖𝑏𝑗2 + 𝑎3𝑖𝑏𝑗3.
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑑13
𝑑23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ∘ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑑33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛
⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏21 𝑏31
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏12 𝑏22 𝑏32 ⎠ =A𝑡 · B𝑡 .
𝑎33
𝑏13 𝑏23 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
Конкретизируем...
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑓11 𝑓12 𝑓13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑓31 𝑓32 𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на второй
столбец.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на второй
столбец.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на второй
столбец.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Индексы — 3 и 2. Значит, умножаем третий столбец на второй
столбец.
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
∑︀
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑓11 𝑓12 𝑓13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑓31 𝑓32 𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑓11 𝑓12 𝑓13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑓31 𝑓32 𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑓11 𝑓12 𝑓13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑓31 𝑓32 𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
𝑗
=
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑓11 𝑓12 𝑓13
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑓31 𝑓32 𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
⎛𝑘=1
𝑗
=
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎 𝑖𝑏
⎛𝑘=1
𝑗
=
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎 𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎 𝑖𝑏 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎 𝑖𝑏 + 𝑎 𝑖𝑏 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎 𝑖𝑏 𝑗 + 𝑎 𝑖𝑏 𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎 𝑖𝑏 𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ .
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓11 𝑓12 𝑓13
F = ⎝ 𝑓21 𝑓22 𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑓31 𝑓32 𝑓33
⎛
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞
𝑎31
𝑎32 ⎠ ·
𝑎33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =A𝑡 ·
𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =A𝑡 ·
𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =A𝑡 · B.
𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Пример 8. Произведение матриц A и B размерности 3 × 3 определено как «скалярное произведение» строки на столбец. Выразите формулой для элементов матриц и формулой для матриц
«в целом» для операций: a) b) c) ◇: «столбец на столбец».
Решение. c) 𝑓𝑖𝑗 =
⎛
𝑓11
F = ⎝ 𝑓21
𝑓
⎛ 31
𝑎11
= ⎝ 𝑎12
𝑎13
𝑓12
𝑓22
𝑓32
𝑎21
𝑎22
𝑎23
3
∑︀
𝑎𝑘𝑖𝑏𝑘𝑗 =𝑎1𝑖𝑏1𝑗 +𝑎2𝑖𝑏2𝑗 + 𝑎3𝑖𝑏3𝑗 .
⎛𝑘=1
⎞
⎞ ⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑓13
𝑓23 ⎠ = ⎝ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⎠ ◇ ⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =
𝑓33
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏31 𝑏32 𝑏33
⎞ ⎛ 31 32 33⎞
𝑎31
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑎32 ⎠ ·⎝ 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ⎠ =A𝑡 · B.
𝑎33
𝑏31 𝑏32 𝑏33
Вернемся к лекции?
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Решение. Применим стратегию предвкушения.
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Применим⎛стратегию
предвкушения.
⎛Решение.
⎞
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=
⎝3 4⎠
1 2
5 6
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Применим⎛стратегию
предвкушения.
⎛Решение.
⎞
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=
⎝3 4⎠
1 2
5 6
С какой стороны умножать?
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Применим⎛стратегию
предвкушения.
⎛Решение.
⎞
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=
⎝3 4⎠
1 2
5 6
С какой стороны умножать?
Элемент 𝑥11 искомой матрицы должен умножаться на элементы
первой строки.
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Применим⎛стратегию
предвкушения.
⎛Решение.
⎞
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=
⎝3 4⎠
1 2
5 6
С какой стороны умножать?
Элемент 𝑥11 искомой матрицы должен умножаться на элементы
первой строки.
Значит, умножать надо...
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
Применим⎛стратегию
предвкушения.
⎛Решение.
⎞
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=
⎝3 4⎠
1 2
5 6
С какой стороны умножать?
Элемент 𝑥11 искомой матрицы должен умножаться на элементы
первой строки.
Значит, умножать надо слева.
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
С какой стороны умножать?
Элемент 𝑥11 искомой матрицы должен умножаться на элементы
первой строки.
Значит, умножать надо слева.
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы?
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы?
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы? 3 ×
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы? 3 ×
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы? 3 ×
В столбцах второго множителя по 3 элемента...
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
1 2
⎝3 4⎠=⎝
⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
5 6
Какова размерность искомой матрицы? 3 × 3.
В столбцах второго множителя по 3 элемента...
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
? ? ?
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
Какова размерность искомой матрицы? 3 × 3.
В столбцах второго множителя по 3 элемента...
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
? ? ?
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
? ? ?
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(5 6) = ? (1 2) + ? (3 4) + ? (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
? ? ?
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(5 6) = ? (1 2) + ? (3 4) + 1 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
? ? ?
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(5 6) = 0 (1 2) + 0 (3 4) + 1 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(5 6) = 0 (1 2) + 0 (3 4) + 1 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(3 4) = ? (1 2) + ? (3 4) + ? (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(3 4) = ? (1 2) + 1 (3 4) + ? (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ ? ? ? ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(3 4) = 0 (1 2) + 1 (3 4) + 0 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(3 4) = 0 (1 2) + 1 (3 4) + 0 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(1 2) = ? (1 2) + ? (3 4) + ? (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(1 2) = 1 (1 2) + ? (3 4) + ? (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
? ? ?
5 6
(1 2) = 1 (1 2) + 0 (3 4) + 0 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
1 0 0
5 6
(1 2) = 1 (1 2) + 0 (3 4) + 0 (5 6) .
Пример 9. С помощью умножения
на макро⎛ матриц
⎞
1 2
уровне переставить в матрице A = ⎝ 3 4 ⎠ первую и последнюю
5 6
строки.
предвкушения.
⎛Решение.
⎞ ⎛Применим
⎞ ⎛стратегию
⎞
5 6
0 0 1
1 2
⎝ 3 4 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠⎝ 3 4 ⎠
1 2
1 0 0
5 6
Вернёмся к лекции «умножение на макроуровне»?
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
Решение.
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ ?
1 0 0
?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ ?
1 0 0
?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ ?
1 0 0
?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1
1 0 0
?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1
1 0 0
0
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
0 ?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 ?
1 0 0
0 ?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
0 ?
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 ?
1 0 0
0 ?
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
0 1 0
0 0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 0
1 0 0
0 1
⎞
⎛
⎞
1 0 0
⎠=⎝0 1 0⎠
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
0 1 0
0 0 ?
1 0 0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 0 ? ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠
1 0 0
0 1 ?
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
0 1 0
0 0 ?
1 0 0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 0 ? ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠
1 0 0
0 1 ?
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 0 0 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Пример 10. Подобрать
⎛
0
⎝0
1
хотя бы одно решение уравнения
⎞
⎛
⎞
1 0
1 0 0
0 1 ⎠𝑋 = ⎝ 0 1 0 ⎠
0 0
0 0 1
Решение.
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎝ 0 0 1 ⎠⎝ 1 0 0 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Вернуться к лекции «умножение на макроуровне»?
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Сколько вариантов можно предложить?
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Первый способ:
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 3
1
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 ⎠ =
7 8 9
0
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Первый способ:
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 2 3
1
1
2
3
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝ 4 ⎠ − 1 · ⎝ 5 ⎠ + 0 · ⎝ 6 ⎠ =
7 8 9
0
7
8
9
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Первый способ
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1 2 3
1
1
2
3
−1
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝ 4 ⎠ − 1 · ⎝ 5 ⎠ + 0 · ⎝ 6 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
7 8 9
0
7
8
9
−1
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Первый способ
⎛
1 2 3
⎝ 4 5 6
7 8 9
⎛
1 2
⎝ 4 5
7 8
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1
1
2
3
−1
⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝ 4 ⎠ − 1 · ⎝ 5 ⎠ + 0 · ⎝ 6 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
0
7
8
9
−1
⎞ ⎛ ⎞
3
1
6 ⎠·⎝ 1 ⎠=
9
1
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Первый способ
⎛
1 2 3
⎝ 4 5 6
7 8 9
⎛
1 2
⎝ 4 5
7 8
⎞ ⎛
⎞
⎛
1
⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝
0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
3
1
6 ⎠ · ⎝ 1 ⎠ = 1⎝
9
1
⎞
⎛ ⎞
⎛
1
2
4 ⎠−1·⎝ 5 ⎠+0·⎝
7
8
⎞
⎛ ⎞
⎛
1
2
3
4 ⎠ · +1 ⎝ 5 ⎠ + 1 ⎝ 6
7
8
9
⎞ ⎛
⎞
3
−1
6 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
9
−1
⎞
⎠=
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Первый способ
⎛
1 2 3
⎝ 4 5 6
7 8 9
⎛
1 2
⎝ 4 5
7 8
⎞ ⎛
⎞
⎛
1
⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝
0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
3
1
6 ⎠ · ⎝ 1 ⎠ = 1⎝
9
1
⎞
⎛ ⎞
⎛
1
2
4 ⎠−1·⎝ 5 ⎠+0·⎝
7
8
⎞
⎛ ⎞
⎛
1
2
3
4 ⎠ · +1 ⎝ 5 ⎠ + 1 ⎝ 6
7
8
9
⎞ ⎛
⎞
3
−1
6 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
9
−1
⎞ ⎛
⎞
6
⎠ = ⎝ 15 ⎠ .
24
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Первый способ
⎛
⎞
⎛
1
⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · ⎝
0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
3
1
6 ⎠ · ⎝ 1 ⎠ = 1⎝
9
1
⎛
⎞ ⎛
1 2 3
образом, ⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝
7 8 9
1 2 3
⎝ 4 5 6
7 8 9
⎛
1 2
⎝ 4 5
7 8
Таким
⎞ ⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1
2
3
−1
4 ⎠ − 1 · ⎝ 5 ⎠ + 0 · ⎝ 6 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ .
7
8
9
−1
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1
2
3
6
4 ⎠ · +1 ⎝ 5 ⎠ + 1 ⎝ 6 ⎠ = ⎝ 15 ⎠ .
7
8
9
24
⎞ ⎛
⎞
1 1
−1 6
−1 1 ⎠ = ⎝ −1 15 ⎠.
0 1
−1 24
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Второй способ:
⎛
(︀
1 2 3
)︀
⎞
1 1
· ⎝ −1 1 ⎠ =
0 1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Второй способ:
⎛
(︀
1 2 3
)︀
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
· ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 =
0 1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
(︀
1 2 3
)︀
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
· ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ =
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ = 4 1 1 + 5 −1 1 + 6 0 1 =
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ = 4 1 1 + 5 −1 1 + 6 0 1 = −1 15 .
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ = 4 1 1 + 5 −1 1 + 6 0 1 = −1 15 .
0 1
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
7 8 9 · ⎝ −1 1 ⎠ =
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ = 4 1 1 + 5 −1 1 + 6 0 1 = −1 15 .
0 1
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
7 8 9 · ⎝ −1 1 ⎠ = 7 1 1 + 8 −1 1 + 9 0 1 =
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Второй способ:
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
1 2 3 · ⎝ −1 1 ⎠ = 1 1 1 + 2 −1 1 + 3 0 1 = −1 6 .
0 1
⎛
⎞
1
1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
4 5 6 · ⎝ −1 1 ⎠ = 4 1 1 + 5 −1 1 + 6 0 1 = −1 15 .
0 1
⎛
⎞
1 1
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
7 8 9 · ⎝ −1 1 ⎠ = 7 1 1 + 8 −1 1 + 9 0 1 = −1 24 .
0 1
(︀
)︀
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение.
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 3
1 1
−1 6
Следовательно, ⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠ = ⎝ −1 15 ⎠.
7 8 9
0 1
−1 24
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞
0
1 ⎟
⎟=
0 ⎠
0
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞
0
1 ⎟
⎟=
0 ⎠
0
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞ ⎛
0
16
⎟
⎜
1 ⎟ ⎜ 10
=
0 ⎠ ⎝ 3
0
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞ ⎛
0
16
⎟
⎜
1 ⎟ ⎜ 10
=
0 ⎠ ⎝ 3
0
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞ ⎛
0
16
⎟
⎜
1 ⎟ ⎜ 10
=
0 ⎠ ⎝ 3
0
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞ ⎛
0
16
⎟
⎜
1 ⎟ ⎜ 10
=
0 ⎠ ⎝ 3
0
2
⎞
0
4 ⎟
⎟
1 ⎠
1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Пример 11. Вычислить двумя способами матрицы
⎛
⎞ ⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
7 0 9 1
1 2 3
1 1
⎜
⎟ ⎜
2
4
8
1
⎜
⎟ ⎜0
⎝ 4 5 6 ⎠ · ⎝ −1 1 ⎠
⎜
⎟·⎜
⎝1 1 2 0⎠ ⎝1
7 8 9
0 1
0
0 1 2 −1
⎞
0
⎟
1⎟
⎟.
0⎠
0
Решение. Для второго произведения имеем:
⎛
7
⎜ 2
⎜
⎝ 1
0
0
4
1
1
⎞ ⎛
9
1
1
⎟
⎜
8
1 ⎟ ⎜ 0
·
2
0 ⎠ ⎝ 1
2 −1
0
⎞ ⎛
0
16
⎟
⎜
1 ⎟ ⎜ 10
=
0 ⎠ ⎝ 3
0
2
⎞
0
4 ⎟
⎟
1 ⎠
1
Вернуться к лекции «умножение на макроуровне»?
Задача XII.7. (Ответ приведен на стр.2635.)
Записать формулу для
вычисления произведения матриц X2×3 и Y3×5.
Задача
XII.8.
(Ответ
(︂
)︂ (︂
)︂
(︂ приведен)︂ (︂ на
)︂стр.2650.)
(︀ )︀
(︀ )︀
𝑢11 𝑢12
𝑣11 𝑣12
𝑣11 𝑣12
𝑢11 𝑢12
а)
= ... ;
б)
= ... .
𝑢21 𝑢22
𝑣21 𝑣22
𝑣21 𝑣22
𝑢21 𝑢22
Задача XII.9. (Ответ приведен на стр.2743.) Для матриц F𝑚×𝑛, G𝑛×𝑚
и H𝑚×𝑚 запишите формулы для вычисления коэффициентов матриц A = FG, B = GF, C = F𝑡H, D = HG𝑡.
Задача XII.10. (Ответ приведен на стр.2763.)
Для матриц F𝑛×𝑚,
G𝑚×𝑚 и H𝑚×𝑚 запишите формулы для вычисления коэффициентов
матриц
A = F (G + H), B = FGH, C = GHF𝑡,
D = FH𝑡F𝑡.
Для матна язык
𝑛
∑︁
а) ℎ𝑖𝑗 =
𝑓𝑖𝑘 𝑔𝑗𝑘 ,
Задача XII.11.
(Ответ приведен на стр.2794.)
риц F𝑛×𝑛, G𝑛×𝑛 и H𝑛×𝑛 дословно переведите
матричных
б) ℎ𝑖𝑗 =
д) ℎ𝑖𝑗 =
ё) ℎ𝑗𝑖 =
𝑛
∑︁
операций
𝑓𝑗𝑘 𝑔𝑘𝑖, в) ℎ𝑝𝑞 =
𝑘=1
𝑛 ∑︁
𝑛
∑︁
𝑘=1 𝑚=1
𝑛
∑︁
𝑛
∑︁
𝑓𝑝𝑚𝑔𝑚𝑞 , г) ℎ𝑝𝑞 =
𝑚=1
𝑓𝑖𝑘 𝑔𝑘𝑚𝑓𝑚𝑗 , е) ℎ𝑖𝑗 =
𝑓𝑘𝑖 (𝑔𝑗𝑘 + 𝑓𝑘𝑗 ).
𝑘=1
утверждения:
𝑛 ∑︁
𝑛
∑︁
𝑘=1 𝑚=1
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝑓𝑚𝑘 𝑔𝑖𝑚𝑓𝑗𝑘 ,
𝑘=1
𝑓𝑞𝑚𝑔𝑝𝑚,
Задача XIII.12.
(Ответ
приведен(︂ на
стр.2845.)
)︂ (︂
2 5
3 1
произведения
матриц:
−3 1
−1 1
⎞
⎛
⎛
⎞⎛
(︂
)︂ −2 0 1 −1
2 −1 2
−1
3 −1 0 ⎝
2 1 1 0 ⎠ =?, ⎝ 2 3 1 ⎠ ⎝ 3
1 0 −1
2 −1 1
−2
1 0 0 1
те
Найди)︂
0 1
=?,
1 −1
⎞
2
1 ⎠ =?.
1
(︂
)︂
1 2
,
3 4
Задача XIII.13. (Ответ приведен на стр.2849.)
Пусть P =
(︂ )︂
5 6
Q=
.
7 8
∑︀
а) если 𝑠𝑢𝑣 =
𝑝𝑤𝑣 𝑞𝑤𝑢, то S = ...;
б) если 𝑓𝑖 = 𝑝3−𝑖,𝑖, то F = ...;
∑︀𝑤
∑︀
в) если 𝑔𝑖 =
𝑝𝑖𝑤 𝑞𝑤𝑖, то G = ...;г) если ℎ𝑖 =
𝑝𝑖𝑤 𝑞𝑤(3−𝑖), то H = ...
𝑤
𝑤
Задача XIV.14.
(Ответ приведен на стр.2906.)
⎛
⎞Вычислить значение
2 −1 2
многочлена 𝑥2 − 2𝑥 − 4 при 𝑥 = ⎝ 1 −1 0 ⎠.
3 −1 1
Задача XV.15. (Ответ приведен на стр.2915.) С помощью умножения
матриц
«на
⎛
⎞макроуровне»
⎛
⎞ подберите матрицы 𝑋 и 𝑌 с тем, чтобы
1 2 3
1 −1
𝑋 ⎝ 4 5 6 ⎠ 𝑌 = ⎝ 4 −4 ⎠.
7 8 9
7 −7
Задача XV.16. (Ответ приведен на стр.2927.) С помощью умножения
матриц
«на
⎛
⎞макроуровне» подберите матрицы 𝑋 и 𝑌 с тем, чтобы
(︂
)︂
1 2 3
4
−4
𝑋 ⎝ 4 5 6 ⎠𝑌 =
.
7 −7
7 8 9
Задача XV.17. (Ответ приведен на стр.2930.) С помощью умножения
матриц «на
{︂макроуровне»{︂сведите решение
{︂ трех систем линейных
𝑥 − 𝑦 = 1,
𝑎 − 𝑏 = 2,
𝛼 − 𝛽 = 0,
уравнений:
к одному
𝑥 + 𝑦 = −1,
𝑎 + 𝑏 = 2,
𝛼 + 𝛽 = 2,
матричному уравнению.
Задача XV.18. (Ответ приведен на стр.2938.)
Функцию, вычисляющую сумму всех элементов матрицы размерности 3 × 2, определить
формулой, использующей только умножение матриц и детерминант.
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
𝑎11 𝑎12
det
=
𝑎21 𝑎22
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
=
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
=
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·
·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
= 𝑎11 · (−1)1+1 · 𝑀11+
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
= 𝑎11 · (−1)1+1 · 𝑀11+𝑎12 · (−1)1+2 · 𝑀12.
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
⃒
⃒
⃒3 4⃒=
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
⃒
⃒
·4+
⃒ 3 4 ⃒ =1·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
⃒
⃒
·3 =
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
1+2
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·(−1) ·3 =
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
1+2
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·(−1) ·3 =4 − 6 =
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
1+2
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·(−1) ·3 =4 − 6 =−2.
Пример 12. С помощью определения выведите формулу для детерминанта матрицы размерности 2 × 2.(︂Примените
)︂ эту формулу
3 5
для вычисления детерминанта матрицы
.
−15 −8
Решение.
Конкретизируем
формулу:
(︂
)︂
2
∑︀
𝑎11 𝑎12
det
= 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑎21 𝑎22
𝑗=1
1+1
1+2
=
⃒ 𝑎11 ⃒· (−1) · 𝑀11+𝑎12 · (−1) · 𝑀12.
⃒1 2⃒
1+1
1+2
⃒
⃒
⃒ 3 4 ⃒ =1·(−1) ·4+2·(−1) ·3 =4 − 6 =−2.
Вернёмся к лекции или рассмотрим вычисление детерминанта матрицы размерности 3 × 3?
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
det A =
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
∑︀
det A =
𝑗=1
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A =
𝑗=1
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·
𝑗=1
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·
𝑗=1
·𝑀1𝑗 =
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
= 𝑎11(−1)
𝑀11+
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
= 𝑎11(−1)
𝑀11+𝑎12(−1)1+2𝑀12+
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
= 𝑎11(−1)
𝑀11+𝑎12(−1)1+2𝑀12+𝑎13(−1)1+3𝑀13.
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·
⃒
⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·
⃒
⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒5 6⃒
⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·
· ⃒⃒ ⃒⃒ +
⃒
⃒
8 9
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒4 6⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·
· ⃒⃒ ⃒⃒ +
⃒
⃒8 9⃒
⃒
7 9
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8 9⃒
⃒ ⃒
⃒4 5⃒
· ⃒⃒ ⃒⃒ =
7 8
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒8 9⃒
⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−35) =
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−35) =−3+
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−35) =−3+12−
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−35) =−3+12−9 =
⃒
⃒
⎞
⃒1 2 3⃒
1 2 3
⃒
⃒
Пример 13. Вычислить det ⎝ 4 5 6 ⎠, т.е. ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒.
⃒7 8 9⃒
7 8 9
⎛
Решение.
3
∑︀
det A = 𝑎1𝑗 ·(−1)1+𝑗 ·𝑀1𝑗 =
𝑗=1
1+1
1+2
1+3
=
𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀
+𝑎
(−1)
𝑀13.
11
11
12
12
13
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ =1·(−1)1+1· ⃒5 6⃒ +2·(−1)1+2· ⃒4 6⃒ +3·(−1)1+3· ⃒4 5⃒ =
⃒
⃒
⃒8 9⃒
⃒7 9⃒
⃒7 8⃒
⃒7 8 9⃒
= (45−48)−2 · (36−42)+3(32−35) =−3+12−9 =0.
Вернёмся к лекции?
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Как показывает опыт, теорема о произведении строки или столбца
на число в детерминанте в сочетании с определением операции умножения матрицы на число приводит к неверной ассоциации. Для того,
чтобы сформировать верную ассоциацию, рассмотрим этот пример.
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению произведения матрицы на число:
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению
произведения
матрицы на число:
⎛ ⎛
⎞⎞
3 2 3
det ⎝𝜆 ⎝ 2 −1 4 ⎠⎠ =
1 2 −1
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению
произведения
матрицы
⃒ на число:
⎛ ⎛
⎞⎞ ⃒
⃒ 3𝜆 2𝜆 3𝜆 ⃒
3 2 3
⃒
⃒
det ⎝𝜆 ⎝ 2 −1 4 ⎠⎠ = ⃒⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
1 2 −1
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению
произведения
матрицы
⃒ на число:
⎛ ⎛
⎞⎞ ⃒
⃒ 3𝜆 2𝜆 3𝜆 ⃒
3 2 3
⃒
⃒
det ⎝𝜆 ⎝ 2 −1 4 ⎠⎠ = ⃒⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
1 2 −1
⃒
⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
= 𝜆 ⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению
произведения
матрицы
⃒ на число:
⎛ ⎛
⎞⎞ ⃒
⃒ 3𝜆 2𝜆 3𝜆 ⃒
3 2 3
⃒
⃒
det ⎝𝜆 ⎝ 2 −1 4 ⎠⎠ = ⃒⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
1 2 −1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2⃒
⃒
⃒
= 𝜆 ⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒ = 𝜆 ⃒ 2 −1 4 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Имеем по
теореме о произведении строки или столбца на число и
определению
произведения
матрицы
⃒ на число:
⎛ ⎛
⎞⎞ ⃒
⃒ 3𝜆 2𝜆 3𝜆 ⃒
3 2 3
⃒
⃒
det ⎝𝜆 ⎝ 2 −1 4 ⎠⎠ = ⃒⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
1 2 −1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒3 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2⃒
3⃒
⃒
⃒
⃒
= 𝜆 ⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒ = 𝜆 ⃒ 2 −1 4 ⃒ = 𝜆 ⃒ 2 −1 4 ⃒⃒ .
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
Пример 14. Вычислить
детерминант
произведения числа 𝜆 на
⎛
⎞
3 2 3
матрицу A = ⎝ 2 −1 4 ⎠.
1 2 −1
Решение. Вернёмся к теореме об умножении строки (столбца) на число в детерминанте (для математических специальностей)?
⃒
⎛ ⎛
⎞⎞ ⃒
⃒ 3𝜆 2𝜆 3𝜆 ⃒
3 2 3
⃒
⃒
⃒
⎝
⎝
⎠
⎠
det 𝜆 2 −1 4
= ⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒⃒ =
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
1 2 −1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒3 2 3⃒
⃒ 3 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2⃒
3⃒
⃒
⃒
⃒
= 𝜆 ⃒ 2𝜆 −𝜆 4𝜆 ⃒ = 𝜆 ⃒ 2 −1 4 ⃒ = 𝜆 ⃒ 2 −1 4 ⃒⃒ .
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
⃒ 𝜆 2𝜆 −𝜆 ⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
Решение.
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
«Раскроем» детерминант по третьей строке.
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
⃒
2
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒−
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
−1
1
(−1) · 3 + 2 · (−1)
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
⃒
2
1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
Вычислите
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
1
−1
(−1) · 1 + 2 · 2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒
1 −1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1 −1 ⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒=
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
2 1 ⃒
+ − + −
− + − +
+ − + −
...
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2 −1 ⃒
(︂
)︂
= (−1)
+
(︂
)︂
=
+2
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
(︂
)︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
+
⃒
1
−1
⃒
(︂ ⃒
)︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒
=
+2 2· ⃒⃒
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
(︂
)︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
+
⃒
⃒ 2 −1 ⃒
1
−1
⃒
⃒
⃒
(︂ ⃒
)︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
=
⃒ 2 −1 ⃒
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒+1· ⃒ 2 1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒+2· ⃒ 2 1 ⃒ =
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒+1· ⃒ 2 1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒+2· ⃒ 2 1 ⃒ =
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒
⃒
= (−1)· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ +
⃒4 3 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
(−1) · 3 + 2 · (−1)
(−1) · 1 + 2 · 2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒+1· ⃒ 2 1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒+2· ⃒ 2 1 ⃒ =
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1)· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ + 2· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ .
⃒4 3 1 ⃒
⃒ 2 −1 2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
⃒
⃒=
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
⃒
(−1)
·
3
+
2
·
(−1)
(−1)
·
1
+
2
·
2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒+1· ⃒ 2 1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒+2· ⃒ 2 1 ⃒ =
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Линейность детерминанта
= (−1)· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ + 2· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ .
по строке подтверждена!
⃒4 3 1 ⃒
⃒ 2 −1 2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
−1
1
⃒
⃒
⃒=
2
1
−1
Пример 15. ⃒⃒
⃒
⃒ (−1) · 4 + 2 · 2
⃒
(−1)
·
3
+
2
·
(−1)
(−1)
·
1
+
2
·
2
Вычислите
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ − ((−1) · 3 + 2 · (−1)) ·⃒
⃒
= ((−1) · 4 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒ =(−1) · 4 · ⃒
⃒
⃒
⃒
+ ((−1) · 1 + 2 · 2) ·⃒⃒
⃒
⃒ 1 −1 ⃒ + 2 · 2 · ⃒ 1 −1 ⃒ −
2
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒ − 2·(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·3· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒ + (−1)·1· ⃒ 2 1 ⃒ + 2·2· ⃒ 2 1 ⃒ =
2⃒ −1 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−3· ⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1) 4· ⃒⃒
⃒
⃒ 2 −1 ⃒+1· ⃒ 2 1 ⃒ +
1
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒)︂
(︂ ⃒
⃒ −1 1 ⃒
⃒1 1 ⃒
⃒ 1 −1 ⃒
⃒−(−1)· ⃒
⃒
⃒
⃒
+2 2· ⃒⃒
⃒ 2 −1 ⃒+2· ⃒ 2 1 ⃒ =
1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒ 1 −1 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Линейность детерминанта
= (−1)· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ + 2· ⃒⃒ 2 1 −1 ⃒⃒ .
по строке подтверждена!
⃒4 3 1 ⃒
⃒ 2 −1 2 ⃒
Вернёмся к лекции или рассмотрим «как бы контрпример»?
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒+⃒ 3 4 ⃒=
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂
1 2
0 0
det
+
=
0 0
3 4
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=
0 0
3 4
3 4⃒
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−
0 0
3 4
3 4⃒
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =
0 0
3 4
3 4⃒
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =−2.
0 0
3 4
3 4⃒
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =−2.
0 0
3 4
3 4⃒
Но на самом деле этот пример не опровергает теорему о линейности детерминанта по строке и столбцу.
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =−2.
0 0
3 4
3 4⃒
Но на самом деле этот пример не опровергает теорему о линейности детерминанта по строке и столбцу.
Детерминант не является линейной функцией от матрицы!
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =−2.
0 0
3 4
3 4⃒
Но на самом деле этот пример не опровергает теорему о линейности детерминанта по строке и столбцу.
Детерминант не является линейной функцией от матрицы!
Детерминант является линейной функцией от строки (столбца)
матрицы.
Пример 16. Нарушает ли следующее рассуждение теорему о
линейности детерминанта по строке?
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2⃒ ⃒0 0⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 0 0 ⃒ + ⃒ 3 4 ⃒ = 0+0 =0, но
⃒
(︂(︂
)︂ (︂
)︂)︂ ⃒
⃒
1 2
0 0
1 2 ⃒⃒
⃒
det
+
=⃒
=1 · 4−2 · 3 =−2.
0 0
3 4
3 4⃒
Но на самом деле этот пример не опровергает теорему о линейности детерминанта по строке и столбцу.
Детерминант не является линейной функцией от матрицы!
Детерминант является линейной функцией от строки (столбца)
матрицы.
Вернёмся к лекции?
⃒
⃒ 1
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4
⃒ 7
Решение.
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим по первой строке:
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим по первой строке:
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
строке:
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по первой
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒
1 2 3⃒⃒
4 5 6⃒⃒
7 8 9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по первой
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по первой
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 5 6⃒
⃒
= 1 ⃒⃒
8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по первой
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒
⃒−2 ⃒
⃒
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒−2 ⃒
⃒+3 ⃒
⃒=
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒−2 ⃒
⃒+3 ⃒
⃒=
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= (45 − 48) −
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒−2 ⃒
⃒+3 ⃒
⃒=
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= (45 − 48) − 2(36 − 42) +
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒−2 ⃒
⃒+3 ⃒
⃒=
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= (45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) =
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первой
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒−2 ⃒
⃒+3 ⃒
⃒=
= 1 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= (45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) = 0
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по второй
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по второй
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по второй
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
строке: ⃒ ⃒
1 2 3⃒⃒ ⃒⃒ 1
4 5 6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4
7 8 9⃒ ⃒ 7
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 2 3⃒
⃒
= −4 ⃒⃒
8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒
⃒+5 ⃒
⃒
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+5 ⃒
⃒−6 ⃒
⃒=
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+5 ⃒
⃒−6 ⃒
⃒=
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= −4(18 − 24) +
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+5 ⃒
⃒−6 ⃒
⃒=
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= −4(18 − 24) + 5(9 − 21) −
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+5 ⃒
⃒−6 ⃒
⃒=
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= −4(18 − 24) + 5(9 − 21) − 6(8 − 14) =
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второй
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+5 ⃒
⃒−6 ⃒
⃒=
= −4 ⃒⃒
8 9⃒ ⃒ 7 9⃒ ⃒ 7 8⃒
= −4(18 − 24) + 5(9 − 21) − 6(8 − 14) = 0
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ 7 8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ 7 8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ 7 8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5
⃒ ⃒ 7 8
⃒9
3⃒⃒
6⃒⃒
9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒9 ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+9 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ =
9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 2 3⃒
⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒9 ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+9 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ =
9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒
⃒
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒9 ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+9 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ =
9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке:
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒
⃒+9 ⃒
⃒=
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+3 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒
3⃒⃒ ⃒⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒−6 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ = 0,
⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒9 ⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒
6⃒⃒+9 ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒ =
9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒ {︂ 7(12 − 15) −
⃒+9 ⃒
⃒=
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
⃒
2 3⃒⃒
5 6⃒⃒ = 0,
8 9⃒ ⃒
2 3⃒⃒
5 6⃒⃒ = 0,
8 ⃒9⃒
2 3⃒⃒
5 6⃒⃒ =
8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒ {︂ 7(12 − 15) − 8(6 − 12)+
⃒+9 ⃒
⃒=
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
+
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒ {︂ 7(12 − 15) − 8(6 − 12)+
⃒+9 ⃒
⃒=
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
+9(5 − 8) =
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 3⃒ ⃒ 1 3⃒ ⃒ 1 2⃒ {︂ 7(12 − 15) − 8(6 − 12)+
⃒+9 ⃒
⃒=
⃒−8 ⃒
= 7 ⃒⃒
5 6⃒ ⃒ 4 6⃒ ⃒ 4 5⃒
+9(5 − 8) = 0
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
Как и ожидалось, все три способа вычисления дали один и тот же
результат!
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьей
⃒ ⃒ строке: ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−2 ⃒ 4 5 6⃒+3 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −4 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 7 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
Как и ожидалось, все три способа вычисления дали один и тот же
результат! А если по столбцам?
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
⃒ Решение.⃒ Разложим по первому
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
столбцу:
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
⃒ Решение.⃒ Разложим по первому
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
столбцу:
⃒
⃒ 1 2
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5
⃒ 7 8
по первому
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒.
9⃒
столбцу:
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
= (45 − 48) −
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
= (45 − 48) − 4(18 − 24) +
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
= (45 − 48) − 4(18 − 24) + 7(12 − 15) =
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по первому
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
= (45 − 48) − 4(18 − 24) + 7(12 − 15) = 0
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
=
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
2
5
8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
= −2(36 − 42) +
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
= −2(36 − 42) + 5(9 − 21) −
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
= −2(36 − 42) + 5(9 − 21) − 8(6 − 12) =
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по второму
⃒ ⃒ столбцу:⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
= −2(36 − 42) + 5(9 − 21) − 8(6 − 12) = 0
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ =
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒ ⃒
3⃒⃒
6⃒⃒ = 0,
9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
= 3(32 − 35) −
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
= 3(32 − 35) − 6(8 − 14) +
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
= 3(32 − 35) − 6(8 − 14) + 9(5 − 8) =
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
= 3(32 − 35) − 6(8 − 14) + 9(5 − 8) = 0
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
Как и ожидалось, все шесть способов вычисления дали один и тот
же результат!
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
Пример 17. Вычислите ⃒⃒ 4 5 6⃒⃒.
⃒ 7 8 9⃒
по третьему
столбцу:⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ Решение.⃒ Разложим
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 1 ⃒ 4 5 6⃒−4 ⃒ 4 5 6⃒+7 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = −2 ⃒ 4 5 6⃒+5 ⃒ 4 5 6⃒−8 ⃒ 4 5 6⃒ = 0,
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒ ⃒ 1 2 3⃒
⃒ 1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 4 5 6⃒ = 3 ⃒ 4 5 6⃒−6 ⃒ 4 5 6⃒+9 ⃒ 4 5 6⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒ ⃒ 7 8 9⃒
⃒ 7 8 9⃒
Вернёмся к лекции?
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎟
⎜
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎟
⎜
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀2;4 =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀2;4 = |𝑚24| =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀2;4 = |𝑚24| =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀2;4 = |𝑚24| = det (8) =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀2;4 = |𝑚24| = det (8) = 8.
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;3},{3;4} =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;3},{3;4}
⃒
⃒
⃒ 𝑚13 𝑚14 ⃒
⃒=
= ⃒⃒
𝑚33 𝑚34 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;3},{3;4}
⃒
⃒
⃒ 𝑚13 𝑚14 ⃒
⃒=
= ⃒⃒
𝑚33 𝑚34 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;3},{3;4}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚13 𝑚14 ⃒ ⃒ 1 2 ⃒
⃒=⃒
⃒=
= ⃒⃒
⃒
⃒
𝑚33 𝑚34
17 −6 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;3},{3;4}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚13 𝑚14 ⃒ ⃒ 1 2 ⃒
⃒=⃒
⃒ = −40.
= ⃒⃒
⃒
⃒
𝑚33 𝑚34
17 −6 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{2;3},{1;4} =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{2;3},{1;4}
⃒
⃒
⃒ 𝑚21 𝑚24 ⃒
⃒=
= ⃒⃒
𝑚31 𝑚34 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{2;3},{1;4}
⃒
⃒
⃒ 𝑚21 𝑚24 ⃒
⃒=
= ⃒⃒
𝑚31 𝑚34 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{2;3},{1;4}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚21 𝑚24 ⃒ ⃒ −1 8 ⃒
⃒=⃒
⃒=
= ⃒⃒
⃒
⃒
𝑚31 𝑚34
−3 −6 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{2;3},{1;4}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚21 𝑚24 ⃒ ⃒ −1 8 ⃒
⃒=⃒
⃒ = 30.
= ⃒⃒
⃒
⃒
𝑚31 𝑚34
−3 −6 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;2;4},{2;3;5} =
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;2;4},{2;3;5}
⃒
⃒
⃒ 𝑚12 𝑚13 𝑚15 ⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ 𝑚22 𝑚23 𝑚25 ⃒⃒ =
⃒ 𝑚42 𝑚43 𝑚45 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;2;4},{2;3;5}
⃒
⃒
⃒ 𝑚12 𝑚13 𝑚15 ⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ 𝑚22 𝑚23 𝑚25 ⃒⃒ =
⃒ 𝑚42 𝑚43 𝑚45 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;2;4},{2;3;5}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚12 𝑚13 𝑚15 ⃒ ⃒ −4 1 6 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
= ⃒⃒ 𝑚22 𝑚23 𝑚25 ⃒⃒ = ⃒⃒ 1 7 11 ⃒⃒ =
⃒ 𝑚42 𝑚43 𝑚45 ⃒ ⃒ 2 −3 17 ⃒
Пример 18. В матрице
⎛
⎞
2 −4 1 2 6
⎜
⎟
⎜ −1 1 7 8 11 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 5 17 −6 −7 ⎠
0 2 −3 4 17
постройте миноры 𝑀2;4, 𝑀{1;3},{3;4}, 𝑀{2;3},{1;4}, 𝑀{1;2;4},{2;3;5}.
Решение.
𝑀{1;2;4},{2;3;5}
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 𝑚12 𝑚13 𝑚15 ⃒ ⃒ −4 1 6 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
= ⃒⃒ 𝑚22 𝑚23 𝑚25 ⃒⃒ = ⃒⃒ 1 7 11 ⃒⃒ = −705.
⃒ 𝑚42 𝑚43 𝑚45 ⃒ ⃒ 2 −3 17 ⃒
Вернёмся к лекции?
Пример 19. Вычислить
с помощью
⎛
⎞ теоремы Лапласа детер1 2 3 4
⎜
⎟
⎜ 5 6 7 8⎟
минант матрицы ⎜
⎟, используя разложение по ми⎝ 9 10 11 12 ⎠
13 14 15 16
норам, построенным по первой и третьей строкам.
Решение.
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 5 6 7 8⃒
⃒
⃒=
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 5 6 7 8⃒
⃒
⃒=
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
⃒
⃒ ⃒
⃒ (−1)1+3+1+2 ·
⃒
⃒=⃒
9 10 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
⃒
⃒ ⃒
⃒ (−1)1+3+1+2 ·
⃒
⃒=⃒
9 10 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒ (−1)1+3+1+3 ·
+ ⃒⃒
9 11 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒ (−1)1+3+1+3 ·
+ ⃒⃒
9 11 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
6
8
1+3+1+3 ⃒
⃒
⃒
⃒+
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
9 11
14 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
6
8
1+3+1+3 ⃒
⃒
⃒
⃒+
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
9 11
14 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
6
8
1
4
1+3+1+3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ (−1)1+3+1+4 ·
+⃒
(−1)
·⃒
+⃒
⃒
⃒
9 11
14 16
9 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
6
8
1
4
1+3+1+3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ (−1)1+3+1+4 ·
+⃒
(−1)
·⃒
+⃒
⃒
⃒
9 11
14 16
9 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
+⃒
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
9 11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 3⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
+⃒
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
9 11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
3 ⃒⃒
(−1)1+3+2+3 ·
⃒
11
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
3 ⃒⃒
(−1)1+3+2+3 ·
⃒
11
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4 ⃒⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)1+3+2+4 ·
⃒
⃒
⃒
11
13 16
10 12
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4 ⃒⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)1+3+2+4 ·
⃒
⃒
⃒
11
13 16
10 12
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
1+3+2+4 ⃒ 5 7 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒ ⃒ 10 12 ⃒
13 15 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
1+3+2+4 ⃒ 5 7 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒ ⃒ 10 12 ⃒
13 15 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
1+3+2+4 ⃒ 5 7 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒ ⃒ 10 12 ⃒
13 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4⃒
⃒ (−1)1+3+3+4 ·
+ ⃒⃒
11 12 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
1+3+2+4 ⃒ 5 7 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒ ⃒ 10 12 ⃒
13 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4⃒
⃒ (−1)1+3+3+4 ·
+ ⃒⃒
11 12 ⃒
⃒
⃒1
+ ⃒⃒
9
⃒
⃒ 2
+ ⃒⃒
10
⃒
⃒
⃒ 1 2 3 4⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
5
6
7
8
1
2
7
8
⃒
⃒ ⃒
1+3+1+2 ⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
⃒
⃒=⃒
⃒
9 10
15 16 ⃒
⃒ 9 10 11 12 ⃒
⃒
⃒
⃒ 13 14 15 16 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 ⃒⃒
6
8
1
4
6
7
1+3+1+3 ⃒
1+3+1+4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+
(−1)
·⃒
+⃒
(−1)
·⃒
⃒
⃒
⃒
11
14 16
9 12
14 15 ⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3⃒
2 4⃒
1+3+2+3 ⃒ 5 8 ⃒
1+3+2+4 ⃒ 5 7 ⃒
⃒
(−1)
·⃒
+
(−1)
·⃒
+
11 ⃒
13 16 ⃒ ⃒ 10 12 ⃒
13 15 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4⃒
⃒
⃒
⃒ (−1)1+3+3+4 · ⃒ 5 6 ⃒ = 0.
+ ⃒⃒
⃒ 13 14 ⃒
11 12 ⃒
Вернёмся к теореме о линейности детерминанта по строке?
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 =
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 =
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
B=⎝
⎞
−5 −3
1 2⎠
3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒−
= (−5) · ⃒⃒
3 7⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒−
= (−5) · ⃒⃒
3 7⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒−1·⃒
⃒+
= (−5) · ⃒⃒
⃒
⃒
3 7
3 7⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒−1·⃒
⃒+
= (−5) · ⃒⃒
⃒
⃒
3 7
3 7⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒−1·⃒
⃒+3·⃒
⃒=
= (−5) · ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 7
3 7
1 2⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒−1·⃒
⃒+3·⃒
⃒=
= (−5) · ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3 7
3 7
1 2⃒
⎛
⎞
2 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠
4 3 7
⎛
↦→
⎞
−5 −5 −3
B=⎝ 1 1 2⎠
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒ −5 −5 −3 ⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒ −5 −3 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= (−5) · ⃒
−1·⃒
+3·⃒
= ⃒ 1 1 2 ⃒⃒ =
⃒
⃒
⃒
3 7
3 7
1 2
⃒ 3 3 7⃒
⎞
⎛
⎞
⎛
2 −5 −3
−5 −5 −3
A = ⎝ −1 1 2 ⎠ ↦→ B = ⎝ 1 1 2 ⎠
4 3 7
3 3 7
Пример 20. Пусть в теореме о⎛разложении
⎞ детерминан2 −5 −3
та по «чужой» строке A = ⎝ −1 1 2 ⎠, 𝑝 = 2, 𝑞 = 1.
4 3 7
3
∑︁
𝑎𝑖2𝐴𝑖1 = 𝑎12𝐴11 + 𝑎22𝐴21 + 𝑎32𝐴31 = 𝑎12𝑀11 − 𝑎22𝑀21 + 𝑎32𝑀31 =
𝑖=1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒ −5 −5 −3 ⃒
⃒1 2⃒
⃒ −5 −3 ⃒
⃒ −5 −3 ⃒ ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= (−5) · ⃒
−1·⃒
+3·⃒
= ⃒ 1 1 2 ⃒⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒
3 7
3 7
1 2
⃒ 3 3 7⃒
Вернемся к лекции?
Пример 21 использования
свойств
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
Надо вычислить ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒. Получим в первом столбце нули с помо⃒7 8 9⃒
щью следующей несложной процедуры (эта процедура представляет
собой вариант рассматриваемого ниже метода Гаусса).
Пример 21 использования
свойств
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
Надо вычислить ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒. Получим в первом столбце нули с помо⃒7 8 9⃒
щью следующей несложной процедуры (эта процедура представляет
собой вариант рассматриваемого ниже метода Гаусса). А именно, в
левом верхнем углу находится число 1. С помощью этой единицы
можно получить нули во второй и третьей строках первого столбца.
Достаточно из второй строки вычесть первую строку, умноженную
на 4,
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒4 5 6⃒=
⃒
⃒
⃒7 8 9⃒
Пример 21 использования
свойств
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
Надо вычислить ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒. Получим в первом столбце нули с помо⃒7 8 9⃒
щью следующей несложной процедуры (эта процедура представляет
собой вариант рассматриваемого ниже метода Гаусса). А именно, в
левом верхнем углу находится число 1. С помощью этой единицы
можно получить нули во второй и третьей строках первого столбца.
Достаточно из второй строки вычесть первую строку, умноженную
на 4,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2 3⃒ ⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ = ⃒ 0 −3 −6 ⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒7 8 9⃒ ⃒7 8 9⃒
Пример 21 использования
свойств
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
Надо вычислить ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒. Получим в первом столбце нули с помо⃒7 8 9⃒
щью следующей несложной процедуры (эта процедура представляет
собой вариант рассматриваемого ниже метода Гаусса). А именно, в
левом верхнем углу находится число 1. С помощью этой единицы
можно получить нули во второй и третьей строках первого столбца.
Достаточно из второй строки вычесть первую строку, умноженную
на 4, и из третьей строки вычесть первую, умноженную на 7:
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒1 2 3⃒ ⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ = ⃒ 0 −3 −6 ⃒ =
⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒7 8 9⃒ ⃒7 8 9⃒
Пример 21 использования
свойств
⃒
⃒
⃒1 2 3⃒
⃒
⃒
Надо вычислить ⃒⃒ 4 5 6 ⃒⃒. Получим в первом столбце нули с помо⃒7 8 9⃒
щью следующей несложной процедуры (эта процедура представляет
собой вариант рассматриваемого ниже метода Гаусса). А именно, в
левом верхнем углу находится число 1. С помощью этой единицы
можно получить нули во второй и третьей строках первого столбца.
Достаточно из второй строки вычесть первую строку, умноженную
на 4, и из третьей строки вычесть первую, умноженную на 7:
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒1 2 3⃒ ⃒1 2 3⃒ ⃒1 2
3 ⃒⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 4 5 6 ⃒ = ⃒ 0 −3 −6 ⃒ = ⃒ 0 −3 −6 ⃒ = 0
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ 7 8 9 ⃒ ⃒ 7 8 9 ⃒ ⃒ 0 −6 −12 ⃒
(так как вторая и третья строки пропорциональны).
Вернуться к изучению свойств детерминанта?
Задача XV.19. (Ответ приведен на стр.2940.)
Запишите формулу
для вычисления детерминанта матрицы (𝑥𝑖𝑗 )3×3 по инвариантному определению и с помощью разложения по первой строке.
(Ответ приведен на стр.2955.) Вычислите детерминанты
⃒ Задача XV.20.
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 2 −1 0 ⃒ ⃒ 2 −1 1 ⃒ ⃒ 2 −1 1 ⃒
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ 3 2 2 ⃒, ⃒ 3 2 2 ⃒, ⃒ 3 2 4 ⃒.
⃒
⃒ ⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ −4 −2 0 ⃒ ⃒ −4 −2 −1 ⃒ ⃒ −4 −2 −1 ⃒
Используя элементарные
⃒
⃒ 2 −2 3 1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −2 1 0 −2 ⃒
преобразования, вычислите детерминант ⃒
⃒.
⃒ −4 3 −4 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ −2 3 −8 5 ⃒
Задача XV.21.
(Ответ приведен на стр.2968.) ⃒
Задача XV.22.
⃒
⃒
⃒ 3−𝑥 2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 4 − 𝑥 ⃒ = 0,
Решите уравнения
⃒
⃒
⃒ 2−𝑥
0
−1 ⃒⃒
⃒
⃒ −2 −8 − 𝑥 5 ⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒ −1
−9 5 − 𝑥 ⃒
(Ответ приведен на стр.2977.)
Задача XV.23.
(Ответ приведен на стр.2984.)
⃒
⃒
⃒ 1 𝑥1 𝑥21 ⃒
⃒
⃒
2 ⃒
⃒
Вандермонда ⃒ 1 𝑥2 𝑥2 ⃒ третьего порядка.
⃒ 1 𝑥3 𝑥2 ⃒
3
Найдите определитель
Задача XV.24.
(Ответ приведен
на стр.2992.)
Найдите определитель
⃒
⃒
⃒ 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 ⃒
1
⃒
1 ⃒
1
⃒
⃒
2
⃒ 1 𝑥2 𝑥2 𝑥32 ⃒
Вандермонда ⃒
⃒ четвертого порядка.
⃒ 1 𝑥3 𝑥23 𝑥33 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 𝑥4 𝑥24 𝑥34 ⃒
Задача XV.25.
⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
Вандермонда ⃒ 1
⃒
⃒ ...
⃒
⃒ 1
(Ответ приведен на ⃒стр.3002.)
𝑥1 𝑥21 . . . 𝑥𝑛1 ⃒⃒
𝑥2 𝑥22 . . . 𝑥𝑛2 ⃒⃒
⃒
𝑥3 𝑥23 . . . 𝑥𝑛3 ⃒.
⃒
... ... ... ... ⃒
⃒
𝑥𝑛 𝑥2𝑛 . . . 𝑥𝑛𝑛 ⃒
Найдите определитель
Задача XV.26. (Ответ приведен на стр.3019.)
Найдите детерминант
матрицы размерности 𝑛 × 𝑛, каждый элемент которой равен минимальному из номеров строки и столбца, в котором расположен этот
элемент.
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение. Вычислим дополнительные миноры элементов:
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение. Вычислим дополнительные миноры элементов:
𝑀11
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение. Вычислим дополнительные миноры элементов:
𝑀11
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
𝑀12
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 8,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение. Вычислим дополнительные миноры элементов:
𝑀11
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
𝑀12
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 8,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
𝑀13
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 2,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение. Вычислим дополнительные миноры элементов:
𝑀11
𝑀21
𝑀31
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 4,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
𝑀12
𝑀22
𝑀32
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 8, 𝑀13 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 2,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
⃒
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = −5, 𝑀23 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒ = 1, 𝑀33 = ⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = −6,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
𝑀11
𝑀21
𝑀31
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 4,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⏟
⏞
матрица
из миноров
𝑀12
𝑀22
𝑀32
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 8, 𝑀13 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 2,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = −5, 𝑀23 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
⃒
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒ = 1, 𝑀33 = ⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = −6,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
𝑀11
𝑀21
𝑀31
⃒
⃒
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 7,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 4,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
3 ⃒
⎛
⎞
7 8 2
⎝ 5 −5 5 ⎠
4 1 −6
⏞
⏟
матрица
из миноров
𝑀12
𝑀22
𝑀32
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
2 −1 ⃒⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = 8, 𝑀13 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 2,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒
⃒ −1
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒ = −5, 𝑀23 = ⃒⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = 5,
= ⃒⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −1
⃒ −1
⃒
⃒
2
−1
2
−1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒ = 1, 𝑀33 = ⃒ 2
2
1 ⃒⃒ = −6,
=⃒ 2
⃒ −2 −1
⃒ −2 −1
3 ⃒
3 ⃒
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛
⎞
7 8 2
⎝ 5 −5 5 ⎠
4 1 −6
⏞
⏟
матрица
из миноров
⏞
матрица из
алгебраических
дополнений
⏟
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛
⎞
7 8 2
⎝ 5 −5 5 ⎠
4 1 −6
⏞
⏟
матрица
из миноров
⎛
⎞
7 −8 2
⎝ −5 −5 −5 ⎠
4 −1 −6
⏟
⏞
матрица из
алгебраических
дополнений
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛
⎞
7 8 2
⎝ 5 −5 5 ⎠
4 1 −6
⏞
⏟
матрица
из миноров
⎛
⎞
7 −8 2
⎝ −5 −5 −5 ⎠
4 −1 −6
⏟
⏞
матрица из
алгебраических
дополнений
PA =
⏟
⏞
присоединенная
матрица
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛
⎞
7 8 2
⎝ 5 −5 5 ⎠
4 1 −6
⏞
⏟
матрица
из миноров
⎛
⎞
7 −8 2
⎝ −5 −5 −5 ⎠
4 −1 −6
⏟
⏞
матрица из
алгебраических
дополнений
⎛
⎞
7 −5 4
PA = ⎝ −8 −5 −1 ⎠
2 −5 −6
⏟
⏞
присоединенная
матрица
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛ Мы получили
⎞ присоединенную матрицу:
7 −5 4
PA = ⎝ −8 −5 −1 ⎠.
2 −5 −6
Для получения обратной матрицы осталось найти детерминант
матрицы A. Это можно совместить с проверкой правильности вычисления матрицы PA. Дело в том, что компонетами 𝑖-го столбца
этой матрицы являются алгебраические дополнения к элементам 𝑖-й
строки матрицы A. Поэтому все элементы главной диагонали матрицы A · PA равны детерминанту матрицы A.
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛ Мы получили
⎞ присоединенную матрицу:
7 −5 4
PA = ⎝ −8 −5 −1 ⎠.
2 −5 −6
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
−1 2 −1
7 −5 4
−25
...
⎝ 2 2 1 ⎠ · ⎝ −8 −5 −1 ⎠ = ⎝ . . . −25 . . . ⎠ .
−2 −1 3
2 −5 −6
...
−25
Поэтому det A = −25. Кстати, если не полениться, и все-таки вычислить недиагональные элементы матрицы A · PA, они должны получиться равными 0. Но обычно такая проверка оказывается излишней.
Пример 22 (к доказательству критерия
обратимости
матрицы
⎛
⎞
−1 2 −1
Найти матрицу, обратную к A = ⎝ 2 2 1 ⎠.
−2 −1 3
Решение.
⎛
⎛
⎞
7 −5 4
PA = ⎝ −8 −5 −1 ⎠ ,
2 −5 −6
−1
A
1 ⎝
=
25
⎞
−7 5 −4
8 5 1 ⎠.
−2 5 6
Полезно было бы провести проверку правильности вычислений, то
есть убедиться в том, что AA−1 = E. Чаще для вычисления обратной
матрицы используется метод Гаусса.
Вернуться к лекции «критерий существования обратной
матрицы» или рассмотреть другой пример?
Пример 23 (обратная
(︂
)︂ к матрице 2 × 2). Найти
𝑎 𝑏
матрице A =
.
𝑐 𝑑
Решение.
обратную
к
Пример 23 (обратная
(︂
)︂ к матрице 2 × 2). Найти
𝑎 𝑏
матрице A =
.
𝑐 𝑑
Решение. Присоединенная матрица имеет вид
обратную
к
Пример 23 (обратная
(︂
)︂ к матрице 2 × 2). Найти
𝑎 𝑏
матрице A =
.
𝑐 𝑑
обратную
Решение. Присоединенная матрица имеет вид PA =
поэтому
(︂
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
к
)︂
,
Пример 23 (обратная
(︂
)︂ к матрице 2 × 2). Найти
𝑎 𝑏
матрице A =
.
𝑐 𝑑
обратную
Решение. Присоединенная матрица имеет вид PA =
поэтому
(︂
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
к
)︂
,
(︂
)︂
)︂−1
1
𝑑 −𝑏
𝑎 𝑏
.
(15)
=
𝑐 𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐 𝑎
Разумеется, при этом должно быть 0 ̸= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = det A.
Вернуться к лекции «критерий существования обратной
матрицы»
(︂
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение. Существует два способа найти обратную матрицу: с помощью присоединенной матрицы и с помощью метода Гаусса.
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной.
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров элементов:
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов: ⎞
⃒
−5
−1 2 ⃒⃒
⃒
M
=
11
⃒ 1 3 ⃒ = −5
⎝
⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов:⎞
⃒
−5 3
3 2 ⃒⃒
⃒
M
=
12
⃒3 3⃒=3
⎝
⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов:⎞
⃒
−5 3 6
3 −1 ⃒⃒
⃒
M
=
13
⃒3 1 ⃒=6
⎝
⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов:⎞
⃒
−5 3 6
2 1 ⃒⃒
⃒
M
=
21
⃒1 3⃒=5
⎝ 5
⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов:⎞
⃒
−5 3 6
1 1 ⃒⃒
⃒
M
=
22
⃒3 3⃒=0
⎝ 5 0
⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов: ⎞
⃒
−5 3 6
1 2 ⃒⃒
⃒
M
=
23
⃒ 3 1 ⃒ = −5
⎝ 5 0 −5 ⎠
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов:⎞
⃒
−5 3 6
2 1 ⃒⃒
⃒
M
=
31
⃒ −1 2 ⃒ = 5
⎝ 5 0 −5 ⎠
5
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов: ⎞
⃒
−5 3 6
1 1 ⃒⃒
⃒
M
=
32
⃒ 3 2 ⃒ = −1
⎝ 5 0 −5 ⎠
5 −1
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Составим матрицу из дополнительных миноров
⃒
⃒
⎛ элементов: ⎞
⃒
−5 3 6
1 2 ⃒⃒
⃒
M
=
33
⃒ 3 −1 ⃒ = −7
⎝ 5 0 −5 ⎠
5 −1 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Сменим знаки в определенных местах, чтобы
получить
алгебраические
дополнения:
⎛
⎞
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠
5 −1 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Сменим знаки в определенных местах, чтобы
получить
алгебраические
дополнения:
⎛
⎞ ⎛
⎞
−5
6
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠ ⎝
⎠
0
5 −1 −7
5
−7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Сменим знаки в определенных местах, чтобы
получить
алгебраические
дополнения:
⎛
⎞ ⎛
⎞
−5 −3 6
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠ ⎝ −5 0 5 ⎠
5 −1 −7
5 1 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Транспонируем матрицу, чтобы получить присоединенную:
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
-5 −3 6
-5 -5 5
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠ ⎝ -5 0 5 ⎠
⎠
PA = ⎝
5 −1 −7
5 1 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Транспонируем матрицу, чтобы получить присоединенную:
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
−5 -3 6
−5 −5 5
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠ ⎝ −5 0 5 ⎠
PA = ⎝ -3 0 1 ⎠
5 −1 −7
5 1 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Транспонируем матрицу, чтобы получить присоединенную:
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
−5 −3 6
−5 −5 5
−5 3 6
⎝ 5 0 −5 ⎠ ⎝ −5 0 5 ⎠
PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
5 −1 −7
5 1 -7
6 5 -7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Найдем детерминант матрицы A. Элементами
присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения, поэтому найдем детерминант A по теореме о разложении детерминанта по строке или столбцу.
⎛
⎞
−5 −5 5
PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Найдем детерминант матрицы A. Элементами
присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения, поэтому найдем детерминант A по теореме о разложении детерминанта по строке или столбцу.
⎛
⎞
detA = 1 · (−5) + 2 · (−3) + 1 · 6 = −5,
−5 −5 5
PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Найдем детерминант матрицы A. Элементами
присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения, поэтому найдем детерминант A по теореме о разложении детерминанта по строке или столбцу.
⎛
⎞
detA = 1 · (−5) + 2 · (−3) + 1 · 6 = −5,
−5 −5 5
PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
detA = 3 · (−5) + (−1) · 0 + 2 · 5 = −5,
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с помо3 1 3
щью присоединенной. Найдем детерминант матрицы A. Элементами
присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения, поэтому найдем детерминант A по теореме о разложении детерминанта по строке или столбцу.
⎛
⎞
detA = 1 · (−5) + 2 · (−3) + 1 · 6 = −5,
−5 −5 5
PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
detA = 3 · (−5) + (−1) · 0 + 2 · 5 = −5,
detA = 3 · 5 + 1 · 1 + 3 · (−7) = −5
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с по3 1 3
мощью присоединенной. Из критерия обратимости квадратной
матрицы:
⎛
⎞
−5 −5 5
detA = −5, PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
⎛
⎞
1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ с по3 1 3
мощью присоединенной. Из критерия обратимости квадратной
матрицы: ⎛
⎞
⎛
⎞
−5 −5 5
−5 −5 5
1
A−1 = − ⎝ −3 0 1 ⎠ detA = −5, PA = ⎝ −3 0 1 ⎠
5
6 5 −7
6 5 −7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение. Найдем матрицу, обратную к A, методом Гаусса.
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу,
обратную к A, методом Гаусса.
⎛
⎞
1 2 1 1 0 0
⎝ 3 −1 2 0 1 0 ⎠ ∼ Домножим первую строку на −3 и сложим
3 1 3 0 0 1
со второй и третьей, первую строку запишем в первоначальном виде.
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу,
Гаусса.
⎛
⎞ ⎛ обратную к A, методом
⎞
1 2 1 1 0 0
1 2 1 1 0 0
⎝ 3 −1 2 0 1 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎠ ∼ Домножим вто3 1 3 0 0 1
0 −5 0 −3 0 1
рую строку на −5, а третью на 7.
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу,
Гаусса.
⎛
⎞ ⎛ обратную к A методом
⎞
1 2 1 1 0 0
1 2 1 1 0 0
⎝ 3 −1 2 0 1 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎠ ∼
3 1 3 0 0 1
0 −5 0 −3 0 1
⎛
⎞
1 2 1 1
0 0
∼ ⎝ 0 35 5 15 −5 0 ⎠ ∼
0 −35 0 −21 0 7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение. Найдем матрицу, обратную к A методом Гаусса.
Сложим
вторую и⎞
третью
⎞
⎛
⎛ строки:
1 2 1 1 0 0
1 2 1 1 0 0
⎝ 3 −1 2 0 1 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎠ ∼
3 1 3 0 0 1
0 −5 0 −3 0 1
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 1 1
0 0
1 2 1 1 0 0
∼ ⎝ 0 35 5 15 −5 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎠ ∼
0 −35 0 −21 0 7
0 0 5 −6 −5 7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу,
кA
⎛
⎞ обратную
⎛
0 0
1 2 1 1
1 2 1
⎝ 0 35 5 15 −5 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1
0 0 5
⎛ 0 −35 0 −21 0 7 ⎞
1 2 1 1 0 0
⎜ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎟
⎟∼
∼⎜
⎝
6
7⎠
0 0 1 − −1
5
5
методом Гаусса.
⎞
1 0 0
−3 1 0 ⎠ ∼
−6 −5 7
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу,
к A методом Гаусса.
⎛
⎞ обратную
⎛
⎞
0 0
1 2 1 1
1 2 1 1 0 0
⎝ 0 35 5 15 −5 0 ⎠ ∼ ⎝ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎠ ∼
0 −35 0 −21 0 7
0 0 5 −6 −5 7 ⎞
⎛
⎞ ⎛
1 −5 0 −2 1 0
1 2 1 1 0 0
⎟
⎜ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎟ ⎜
⎜ 0 −7 0 − 21 0 7 ⎟
⎜
⎟
∼⎝
∼
∼⎜
5
5⎟
6
7⎠ ⎝
⎠
6
7
0 0 1 − −1
0
0
1
−
−1
5
5
5
5
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение. Найдем матрицу, обратную
к A методом Гаусса.
⎞
⎛
⎞ ⎛
1 −5 0 −2 1 0
1 2 1 1 0 0
21
7⎟
⎜ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎟ ⎜
⎟
⎜
0
⎟ ∼ ⎜ 0 −7 0 −
∼⎜
∼
5
5⎟
⎝
7⎠ ⎝
6
⎠
7
6
0 0 1 − −1
−1
0
0
1
−
5
5
5
5
⎛
⎞
7 0 0 7
7 −7
⎜
⎟
⎜ 0 −7 0 − 21 0 7 ⎟
∼
∼⎜
5
5 ⎟
⎝
⎠
6
7
0 0 1 − −1
5
5
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение. Найдем матрицу, обратную
к A методом Гаусса.
⎞
⎛
⎞ ⎛
1 −5 0 −2 1 0
1 2 1 1 0 0
21
7⎟
⎜ 0 −7 −1 −3 1 0 ⎟ ⎜
⎟
⎜
0
⎟ ∼ ⎜ 0 −7 0 −
∼⎜
∼
5
5⎟
⎝
7⎠ ⎝
6
⎠
7
6
0 0 1 − −1
−1
0
0
1
−
5
5
5
5
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 1 1 −1
7 0 0 7
7 −7
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜ 0 −7 0 − 21 0 7 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 0 − 1 ⎟
∼⎜
∼⎜
5
5 ⎟
5
5⎟
⎝
⎠
⎝
6
7
6
7 ⎠
0 0 1 − −1
0 0 1 − −1
5
5
5
5
Пример 24 (нахождения
обратной
матрицы). Найти матри⎛
⎞
1 2 1
цу, обратную к A = ⎝ 3 −1 2 ⎠ .
3 1 3
Решение.
Найдем матрицу, обратную
⎞ ⎛
⎛
7 −7
7 0 0 7
1
⎟ ⎜
⎜
⎜ 0 −7 0 − 21 0 7 ⎟ ⎜ 0
∼⎜
∼⎜
5
5 ⎟
⎠
⎝
⎝
7
6
0 0 1 − −1
0
5
5
⎛
⎞
1 1 −1
⎜ 3
1⎟
⎜
⎟
A−1 = ⎜ 5 0 − 5 ⎟
⎝ 6
7 ⎠
− −1
5
5
Вернуться к лекции?
к A методом Гаусса.
⎞
0 0 1 1 −1
3
1⎟
1 0
0 − ⎟
5
5⎟
7 ⎠
6
0 1 − −1
5
5
Задача XVI.27.
на стр.3040.)
Следует ли из равен⎛ (Ответ приведен
⎞
(︂
)︂ −2 3
(︂
)︂
(︂
)︂
1 −1 2 ⎝
1
0
1
−1
2
ства
, что матрицы
1 −1 ⎠ =
1 0 1
0 1
1 0 1
2 −2
⎛
⎞
−2 3
и ⎝ 1 −1 ⎠ — обратные друг к другу?
2 −2
Задача XVI.28. (Ответ приведен на стр.3042.)
Как из матрицы 𝐴−1
размерности 3 × 3 получить матрицу 𝐵 −1, если 𝐵 получена из 𝐴 перестановкой первой и третьей строк?
Задача XVI.29.
(Ответ приведен на стр.3048.)
(︂
ратную к матрице A =
1 2
−3 −4
)︂
.
Найдите матрицу, об-
Вычислите
⎛
(︂
)︂
−1 2
0 −5
цы, обратную к матрицам A =
, B = ⎝ −1 2
2 25
−2 5
⎛
⎞
−8 28 −9 −15
⎜
⎟
⎜ −12 32 −1 −15 ⎟
C=⎜
⎟.
⎝ −20 40 −5 −15 ⎠
16 −36 8 20
Задача XVI.30.
(Ответ приведен на стр.3078.)
матри⎞
−3
−1 ⎠,
−1
Задача XVII.31.
2
−3
(︂
2
−3
(︂
2
−3
приведен
на
матричные
)︂ Решите
(︂
)︂ (︂
)︂ уравнения:
−1
1 −1
2 −1
1 −1
𝑋=
, 𝑌
=
,
1
2 −2
−3 1
2 −2
)︂ (︂
)︂ (︂
)︂
−1
3 −2
−13 −6
𝑍
=
,
1
4 1
18 10
)︂
(︂
)︂
3
1 −2 5
𝑇 =
.
−4
3 4 −1
стр.3082.)
(︂
(Ответ
)︂
(︂
Задача⎛XVII.32. (Ответ
на стр.3129.) Решите матричное урав⎞ приведен
⎛
⎞
2 0 −3
8 −3 −3
нение X · ⎝ 1 −1 1 ⎠ = ⎝ −3 1 2 ⎠
1 0 0
7 0 −6
Задача
⎛
1
нение ⎝ 4
7
XVII.33.
(Ответ приведен на стр.3131.) Решите матричное урав⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
2 3
3 −1 2
60 −4 40
5 6 ⎠ X · ⎝ 1 1 1 ⎠ = ⎝ 123 −7 82 ⎠ .
8 9
2 0 1
186 −10 124
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. а) 𝑀{1; 3},{1; 2} =
⎛
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
Решение. а) 𝑀{1; 3},{1; 2} =
⎛
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
Решение. а) 𝑀{1; 3},{1; 2}
⃒
⃒1 2
= ⃒⃒
4 −2
⃒
⃒
⃒=
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. а) 𝑀{1; 3},{1; 2}
⃒
⃒1 2
= ⃒⃒
4 −2
⃒
⃒
⃒ =−2 − 8 =
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. а) 𝑀{1; 3},{1; 2}
⃒
⃒1 2
= ⃒⃒
4 −2
⃒
⃒
⃒ =−2 − 8 =−10.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} =
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
2
1
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =
⃒ 4 −2
4 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
2
1
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·
⃒ 4 −2
4 ⃒
−(−5)·
+4·
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
4 −2
⃒ 4 −2
4 ⃒
⃒
⃒
⃒−(−5)·
⃒
+4·
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
4 −2
⃒ 4 −2
4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒+4·
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
4 −2
⃒ 4 −2
4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒=
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
4 −2
⃒ 4 −2
4 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
4 −2
⃒ 4 −2
4 ⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} =
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2
⃒ =1·⃒
⃒−(−5)·⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·
−10·
+(−2)·
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒−10·
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
+(−2)·
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−10·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒+(−2)·
⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−10·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+(−2)·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒=
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−10·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+(−2)·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
⃒
⃒ 1
2
1
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −5
⃒ 4 −2
4
⃒
⃒ 1
2
2
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 10
⃒ 4 −2 −2
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} =
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =1·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ =2·⃒ −5 10
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−(−5)·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−10·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+4·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+(−2)·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
2 −1 ⃒⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −1 ⃒⃒ =
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
2 −1 ⃒⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −1 ⃒⃒ =(−1)·
−(−1)·
+(−1)·
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒−(−1)·
= ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
+(−1)·
⃒
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·⃒
+(−1)·
4 −2 ⃒
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} =
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
−5 10 7 ⃒⃒ =
4 −2 1 ⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
−5 10 7 ⃒⃒ =3·
−7·
+1·
⃒
4 −2 1
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒−7·
⃒
⃒
−5 10 7 ⃒ =3·⃒
+1·
⃒
4
−2
⃒
4 −2 1
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
⃒ 1
⃒ −5 10 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 7 ⃒ =3·⃒
−7·⃒
+1·
4 −2 ⃒
4 −2 ⃒
⃒
4 −2 1
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
⃒ −5 10 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =
4
−2
4 −2 1 ⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение. б) «Раскроем по последнему столбцу»:
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}}
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}}
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
4 −2
4
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1
2 3 ⃒⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
⃒ −5 10 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
4 −2 1 ⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒−(
) ⃒⃒
⃒
4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒⃒ −5 10
⃒ 4 −2
(
1
−5
4
2
10
−2
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒=(
) ⃒⃒
+(
) ⃒⃒
).
⃒
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
=1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒ =2·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒−10·⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒ =(−1)·⃒ −5 10 ⃒−(−1)·⃒ 1
⃒
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
⃒
−1
−1
−1
⃒
⃒
3 ⃒⃒
⃒ −5 10
⃒
7 ⃒ =3·⃒⃒
4 −2
1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−7·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+1·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒−(
) ⃒⃒
⃒
4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10
⃒ 4 −2
⃒
⃒ 1
2
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒⃒ −5 10
⃒ 4 −2
(
1
−5
4
2
10
−2
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒=(
) ⃒⃒
+(
) ⃒⃒
).
⃒
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
=1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒ =2·⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒−10·⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒ =(−1)·⃒ −5 10 ⃒−(−1)·⃒ 1
⃒
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
⃒
−1
−1
−1
⃒
⃒
3 ⃒⃒
⃒ −5 10
⃒
7 ⃒ =3·⃒⃒
4 −2
1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
⃒−7·⃒ 1
⃒
⃒ 4 −2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒+1·⃒ 1 2
⃒
⃒ −5 10
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5;
⃒ = (0;
) ⃒⃒
) ⃒⃒
+ (4;
) ⃒⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
(1;
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5;
⃒ = (0;
) ⃒⃒
) ⃒⃒
+ (4;
) ⃒⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
(1;
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10;
⃒ = (0; 0;
) ⃒⃒
) ⃒⃒
+ (4; −2;
) ⃒⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
(1; 2;
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10;
⃒ = (0; 0;
) ⃒⃒
) ⃒⃒
+ (4; −2;
) ⃒⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·
+(−1)·
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
(1; 2;
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10; −1; ) ⃒ 1
⃒ = (0; 0; 0;
(1; 2; −1; ) ⃒⃒
+ (4; −2; −1; ) ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1
2 −1 ⃒⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−(−1)·
+(−1)·
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10; −1; ) ⃒ 1
⃒ = (0; 0; 0;
(1; 2; −1; ) ⃒⃒
+ (4; −2; −1; ) ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
−(−1)·
+(−1)·
⃒
⃒ 4 −2 ⃒
⃒ −5 10
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
).
⃒
⃒
⃒ =0.
⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10; −1; 7) ⃒ 1
⃒ = (0; 0; 0; 0) .
(1; 2; −1; 3) ⃒⃒
+ (4; −2; −1; 1) ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−(−5)·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 1}} = ⃒⃒ −5 10 −5 ⃒⃒ =1·⃒⃒
⃒ 4 −2 ⃒+4·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4 −2 ⃒
⃒ 4 −2
⃒
4
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
2 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2
⃒−10·⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 2}} = ⃒⃒ −5 10 10 ⃒⃒ =2·⃒⃒
⃒
⃒ 4 −2 ⃒+(−2)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −2 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2 −1 ⃒⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 3}} = ⃒ −5 10 −1 ⃒ =(−1)·⃒
⃒−(−1)·⃒ 4 −2 ⃒+(−1)·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
2
3
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒ 1
⃒ 1 2 ⃒
⃒
2 ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑀{1; 2; 3},{1; 2; 4}} = ⃒ −5 10 7 ⃒ =3·⃒
⃒−7·⃒ 4 −2 ⃒+1·⃒ −5 10 ⃒ =0.
4
−2
⃒ 4 −2 1 ⃒
⎞
1
2
−1
3
Пример 25. а) Проверьте, что 𝑀{1; 3},{1; 2} ̸= 0.
б) Найдите все все миноры, окаймляю- ⎝ −5 10 −1 7 ⎠ .
4 −2 −1 1
щие 𝑀{1; 3},{1; 2} в матрице
⎛
Решение.
б)⃒ «Раскроем по
последнему
столбцу»:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ −5 10 ⃒
⃒
⃒ 1 2 ⃒
2 ⃒⃒
⃒ − (−5; 10; −1; 7) ⃒ 1
⃒ = (0; 0; 0; 0) .
(1; 2; −1; 3) ⃒⃒
+ (4; −2; −1; 1) ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
4 −2
4 −2
−5 10 ⃒
Вернёмся к лекции?
Пример 26.
1) Найти строчный и столбцо⎛
1
вый ранги матрицы A, максимальную
⎜
1
линейно независимую систему векторов- A = ⎜
⎜
⎝2
строк (столбцов) матрицы A, выразить
3
остальные строки (столбцы) матрицы A,
как линейные комбинации векторов найденных систем.
2) Найти ранг матрицы A методом
окаймляющих миноров.
Решение.
⎞
2 1 −1 2
⎟
1 −1 1 2 ⎟
⎟
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Мы сейчас найдем столбцовый ранг матрицы A, и одновременно укажем максимальную линейно независимую систему векторовстолбцов матрицы A, причем выразим остальные столбцы матрицы A, как линейные комбинации векторов найденной системы.
Мы сейчас найдем столбцовый ранг матрицы A, и одновременно укажем максимальную линейно независимую систему векторовстолбцов матрицы A, причем выразим остальные столбцы матрицы A, как линейные комбинации векторов найденной системы.
Сделать это нам позволит простое наблюдение: элементарные преобразования строк и удаление нулевой строки не меняет линейных зависимостей между столбцами. Поэтому проведем элементарные преобразования строк с целью получить в качестве «фрагмента» единичную матрицу.
Мы сейчас найдем столбцовый ранг матрицы A, и одновременно укажем максимальную линейно независимую систему векторовстолбцов матрицы A, причем выразим остальные столбцы матрицы A, как линейные комбинации векторов найденной системы.
Сделать это нам позволит простое наблюдение: элементарные преобразования строк и удаление нулевой строки не меняет линейных зависимостей между столбцами. Поэтому проведем элементарные преобразования строк с целью получить в качестве «фрагмента» единичную матрицу.
⎛
⎞
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
⎜
⎟∼
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Мы сейчас найдем столбцовый ранг матрицы A, и одновременно укажем максимальную линейно независимую систему векторовстолбцов матрицы A, причем выразим остальные столбцы матрицы A, как линейные комбинации векторов найденной системы.
Сделать это нам позволит простое наблюдение: элементарные преобразования строк и удаление нулевой строки не меняет линейных зависимостей между столбцами. Поэтому проведем элементарные преобразования строк с целью получить в качестве «фрагмента» единичную матрицу.
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 1 −1 2
1 2 1 −1 2
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟ ⎜ 0 −1 −2 2 0 ⎟
⎜
⎟∼⎜
⎟∼
⎝ 2 3 0 0 4 ⎠ ⎝ 0 −1 −2 2 0 ⎠
3 4 −1 1 6
0 −2 −4 4 0
Мы сейчас найдем столбцовый ранг матрицы A, и одновременно укажем максимальную линейно независимую систему векторовстолбцов матрицы A, причем выразим остальные столбцы матрицы A, как линейные комбинации векторов найденной системы.
Сделать это нам позволит простое наблюдение: элементарные преобразования строк и удаление нулевой строки не меняет линейных зависимостей между столбцами. Поэтому проведем элементарные преобразования строк с целью получить в качестве «фрагмента» единичную матрицу.
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 1 −1 2
1 2 1 −1 2
1 2 1 −1 2
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟ ⎜ 0 −1 −2 2 0 ⎟ ⎜ 0 1 2 −2 0 ⎟
⎜
⎟∼⎜
⎟∼⎜
⎟.
⎝ 2 3 0 0 4 ⎠ ⎝ 0 −1 −2 2 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠
3 4 −1 1 6
0 −2 −4 4 0
0 0 0 0 0
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
⎛
⎞
⎛
1 2 1 −1 2
1
2 1 −1 2
⎟ ⎜
⎟ ⎜
1 −1 1 2 ⎟ ⎜ 0 −1 −2 2 0 ⎟ ⎜ 0
⎟∼⎜
⎟∼⎜
3 0 0 4 ⎠ ⎝ 0 −1 −2 2 0 ⎠ ⎝ 0
4 −1 1 6
0 −2 −4 4 0
0
2
1
0
0
⎞
1 −1 2
⎟
2 −2 0 ⎟
⎟.
0 0 0⎠
0 0 0
Можно уже сказать, что строчный ранг матрицы (а значит, и ранг,
и столбцовый ранг) равны 2. Но если провести обратный ход метода
Гаусса, то получим
⎛
⎞
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 0 1 2 −2 0 ⎟
⎜
⎟∼
⎝0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
⎛
⎞
⎛
1 2 1 −1 2
1
2 1 −1 2
⎟ ⎜
⎟ ⎜
1 −1 1 2 ⎟ ⎜ 0 −1 −2 2 0 ⎟ ⎜ 0
⎟∼⎜
⎟∼⎜
3 0 0 4 ⎠ ⎝ 0 −1 −2 2 0 ⎠ ⎝ 0
4 −1 1 6
0 −2 −4 4 0
0
2
1
0
0
⎞
1 −1 2
⎟
2 −2 0 ⎟
⎟.
0 0 0⎠
0 0 0
Можно уже сказать, что строчный ранг матрицы (а значит, и ранг,
и столбцовый ранг) равны 2. Но если провести обратный ход метода
Гаусса, то получим
⎛
⎞
1 2 1 −1 2
)︂
⎜
⎟ (︂
0
1
2
−2
0
1
0
−3
3
2
⎜
⎟
.
⎜
⎟∼
0 1 2 −2 0
⎝0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Первый и второй столбцы последней матрицы образуют «фрагмент»
единичной матрицы.
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Первый и второй столбцы последней матрицы образуют «фрагмент»
единичной матрицы. Поэтому в этой матрице первые два столбца
образуют максимальную линейно независимую подсистему векторов
(таких максимальных подсистем много).
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Первый и второй столбцы последней матрицы образуют «фрагмент»
единичной матрицы. Поэтому в этой матрице первые два столбца
образуют максимальную линейно независимую подсистему векторов
(таких максимальных подсистем много). Следовательно, и в исходной матрице первые два столбца образуют максимальную линейно
независимую подсистему векторов.
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Третий столбец последней матрицы является линейной комбинацией
первых двух столбцов с коэффициентами
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Третий столбец последней матрицы является линейной комбинацией
первых двух столбцов с коэффициентами (−3) и 2:
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Третий столбец последней матрицы является линейной комбинацией
первых
(−3) и 2:
(︂
)︂ двух столбцов
(︂ )︂ с(︂коэффициентами
)︂
−3
1
0
= −3
+2
.
2
0
1
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Третий столбец последней матрицы является линейной комбинацией
первых
(−3) и 2:
(︂
)︂ двух столбцов
(︂ )︂ с(︂коэффициентами
)︂
−3
1
0
= −3
+2
. Следовательно, в исходной матрице
2
0
1
имеем такую же зависимость. Действительно,
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Третий столбец последней матрицы является линейной комбинацией
первых
(−3) и 2:
(︂
)︂ двух столбцов
(︂ )︂ с(︂коэффициентами
)︂
−3
1
0
= −3
+2
. Следовательно, в исходной матрице
2
0
1
имеем
такую же
⎛
⎞
⎛ зависимость.
⎞
⎛ ⎞Действительно,
1
1
2
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ −1 ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜
⎟ = −3 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟.
⎝ 0⎠
⎝2⎠
⎝3⎠
−1
3
4
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично с четвертым столбцом:
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично
(︂
)︂
(︂с четвертым
)︂
(︂ столбцом:
)︂
3
1
0
=3
−2
, поэтому
−2
0
1
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично
(︂
)︂
(︂с четвертым
)︂
(︂ столбцом:
)︂
3
1
0
=3
−2
, поэтому
−2
0
1
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
−1
1
2
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜
⎟ = 3 ⎜ ⎟ − 2 ⎜ ⎟.
⎝ 0⎠
⎝2⎠
⎝3⎠
1
3
4
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично с пятым столбцом:
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично
пятым(︂столбцом:
(︂ )︂
(︂ с )︂
)︂
2
1
0
=2
+0
, поэтому
0
0
1
⎛
1
⎜
⎜1
⎜
⎝2
3
⎞
2 1 −1 2
(︂
)︂
⎟
1 0 −3 3 2
1 −1 1 2 ⎟
.
⎟ ∼ ... ∼
0 1 2 −2 0
3 0 0 4⎠
4 −1 1 6
Аналогично
пятым(︂столбцом:
(︂ )︂
(︂ с )︂
)︂
2
1
0
=2
+0
, поэтому
0
0
1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
2
1
2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜2⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ + 0 ⎜ ⎟.
⎝4⎠
⎝2⎠
⎝3⎠
6
3
4
Вернёмся к лекции или найдем ранг методом окаймляющих миноров?
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Решение.
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Решение. Нетрудно убедиться в том, что минор, построенный на
строках
1,2 и столбцах с номерами 1,2, является ненуле⃒ с номерами
⃒
⃒1 2⃒
⃒ = −1.
вым: ⃒⃒
1 1⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒1 2 2⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 4⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝ 2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒1 2 2⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒ 3 4 −1 ⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝ 2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒1 2 2⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 4 −1 ⃒
⃒3 4 1⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝ 2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒1 2 2⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 2⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒3 4 6⃒
⃒ 3 4 −1 ⃒
⃒3 4 1⃒
Пример 26.
2) Найти ранг матрицы A методом
⎛
⎞
окаймляющих
миноров.
1 2 1 −1 2
⎜
⎟
⎜ 1 1 −1 1 2 ⎟
A=⎜
⎟
⎝2 3 0 0 4⎠
3 4 −1 1 6
Покажем, что все окаймляющие его миноры — нулевые. Окаймляющих миноров 6 штук:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒1 2 2⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0,
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 0⃒
⃒2 3 4⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 2 2⃒
⃒1 2 1⃒
⃒ 1 2 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 1 −1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 1 ⃒ = 0, ⃒ 1 1 2 ⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒3 4 6⃒
⃒ 3 4 −1 ⃒
⃒3 4 1⃒
Следовательно, ранг матрицы A равен 2.
Вернёмся к лекции?
⎛Задача XVIII.34. (Ответ
⎞приведен на стр.3133.)
2 −1 3 1 4 1
⎜ −1 1 3 4 2 −1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 1 −1 1 3 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 7 −2 2 −1 9 5 ⎠
3 4 10 15 16 2
Найти ранг матрицы
на стр.3139.)
⎛Задача XIX.35. (Ответ приведен
⎞
2 1 3 1 2 1 0
⎜ −1 1 3 −1 2 −1 −1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ −2 2 6 −2 4 −2 −2 ⎟
⎜
⎟
⎜ 5 1 3 3 2 3 1⎟
⎜
⎟
⎝ −1 4 12 −2 8 −2 −3 ⎠
3 0 0 2 0 2 1
Найти ранг матрицы
⎛Задача XX.36. (Ответ приведен
⎞
1 1 3 1 2 1 0
⎜ 2 3 9 1 2 3 −1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 1 2 6 1 −1 3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜2 1 3 4 5 4 4⎟
⎜
⎟
⎝ 1 −2 −6 6 6 −2 6 ⎠
1 0 0 1 5 3 1
на стр.3143.)
Найти ранг матрицы
Задача XX.37.
⎛
(Ответ приведен на стр.3148.)⎞
При каких значениях 𝑥
4 −2 6 6 2 −2
⎟
⎜
⎜ 2 𝑥 0 0 7 −7 ⎟
ранг матрицы ⎜
⎟ равен 3?
⎝ −2 3 −7 −6 2𝑥 −2 ⎠
6 −2 2 5 8 −2
Задача XX.38. ⎛(Ответ приведен на стр.3157.) При
⎞ каких значениях 𝑥
−2 4 −2𝑦 −4 4 −6
⎜ 1 4
𝑥 5 4 0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
и 𝑦 ранг матрицы ⎜ 𝑥 2 −2 −3 0 2𝑥 ⎟ равен 3?
⎜
⎟
𝑦 1 2 𝑦⎠
⎝ 1 0
2 𝑥 −1 9 −6 7
Задача XX.39. ⎛(Ответ приведен на стр.3166.)
При каких значениях 𝑥
⎞
1 2𝑥 0 1 0
⎜ 12 −9 7 5 −7 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
и 𝑦 ранг матрицы ⎜ 7 3 5 2 −5 ⎟ равен 2?
⎜
⎟
⎝ 12 3𝑥 7 𝑦 −7 ⎠
8 −3 5 3 −𝑦
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение.
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ.
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
=
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎠
𝑒
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 =
⎩
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 = 5,
⎩
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 = 5,
3 · 1 + 2 · (−4) + 1 + 2 − 1 = −
⎩
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 = 5,
3 · 1 + 2 · (−4) + 1 + 2 − 1 = −3,
⎩
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 = 5,
3 · 1 + 2 · (−4) + 1 + 2 − 1 = −3,
⎩
2 · 1 + 3 · (−4) + 1 + 4 · 2 + 2 · 1 =
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
Пример 27. 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1.
Решение. Сначала проверим, что, например, при 𝐶 = 2 и 𝐷 = 1
получим решение исходной СЛУ:
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎞
⎞
𝑎
1
−2 + 3𝐷
⎜𝑏 ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ −4 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 ⎟.
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
𝐶
⎝𝑑⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎠
𝑒
1
𝐷
(𝐶,𝐷)=(2,1)
⎧
⎨ −3 · 1 − (−4) − 1 + 2 · 2 + 1 = 5,
Ура!
3 · 1 + 2 · (−4) + 1 + 2 − 1 = −3,
⎩
2 · 1 + 3 · (−4) + 1 + 4 · 2 + 2 · 1 = 1.
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Теперь проверим, что (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2)
и (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2) являются решениями исходной СЛУ,
и подберём соответствующие значения параметров 𝐶 и 𝐷.
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2):
⎞
⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−8
⎜
⎟
⎜ 14 ⎟
2 − 3𝐶
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜ −5 ⎟ .
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ =
⎜
⎟
⎜
⎟
𝐶
⎠
⎝ −4 ⎠
⎝
𝐷
−2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2):
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−8
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 14 ⎟
2 − 3𝐶
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎟ = ⎜ −5 ⎟ .
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
−4
𝐶
⎠ ⎝
⎠ ⎝ −4 ⎠
⎝
𝐷
−2
−2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2):
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3(−2)
−8
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 14 ⎟
2 − 3𝐶
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎟ = ⎜ −5 ⎟ .
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
−4
𝐶
⎠ ⎝
⎠ ⎝ −4 ⎠
⎝
𝐷
−2
−2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2):
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3(−2)
−8
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 14 ⎟
2 − 3𝐶
2 − 3(−4)
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎟ = ⎜ −5 ⎟ .
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
𝐶
−4
⎠ ⎝
⎠ ⎝ −4 ⎠
⎝
𝐷
−2
−2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (−8, 14, −5, −4, −2):
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3(−2)
−8
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 14 ⎟
2 − 3𝐶
2 − 3(−4)
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜ −1 + 5(−4) − 8(−2) ⎟ = ⎜ −5 ⎟ .
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
𝐶
−4
⎠ ⎝
⎠ ⎝ −4 ⎠
⎝
𝐷
−2
−2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
⎜
⎟
2 − 3𝐶
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ =
⎜
⎟
𝐶
⎠
⎝
𝐷
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
4
⎜ −10 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=⎜
3 ⎟.
⎜
⎟
4⎠
⎝
2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞ ⎛
⎛
−2 + 3𝐷
⎜
⎟ ⎜
2 − 3𝐶
⎟ ⎜
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎜
⎟ ⎜
4
𝐶
⎠ ⎝
⎝
𝐷
2
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
4
⎟ ⎜ −10 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
3 ⎟.
⎟=⎜
⎟ ⎜
⎟
4⎠
⎠ ⎝
2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞ ⎛
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3 · 2
⎜
⎟ ⎜
2 − 3𝐶
⎟ ⎜
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎜
⎟ ⎜
4
𝐶
⎠ ⎝
⎝
𝐷
2
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
4
⎟ ⎜ −10 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
3 ⎟.
⎟=⎜
⎟ ⎜
⎟
4⎠
⎠ ⎝
2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞ ⎛
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3 · 2
⎜
⎟ ⎜
2 − 3𝐶
2−3·4
⎟ ⎜
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜
⎜
⎟ ⎜
𝐶
4
⎠ ⎝
⎝
𝐷
2
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
4
⎟ ⎜ −10 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
3 ⎟.
⎟=⎜
⎟ ⎜
⎟
4⎠
⎠ ⎝
2
Пример 27.
⎛
⎧
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3,
⎩
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎞
⎛
𝑎
−2 + 3𝐷
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷
⎜ ⎟ ⎜
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
𝑒
𝐷
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Для (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) = (4, −10, 3, 4, 2):
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
−2 + 3𝐷
−2 + 3 · 2
4
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ −10 ⎟
2 − 3𝐶
2−3·4
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
3 ⎟.
⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟ = ⎜ −1 + 5 · 4 − 8 · 2 ⎟ = ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
𝐶
4
4⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
𝐷
2
2
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение. Итак, мы проверили что,
во-первых, для наугад выбранных значений параметров 𝐶, 𝐷, получаем решение исходной системы,
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение. Итак, мы проверили что,
во-первых, для наугад выбранных значений параметров 𝐶, 𝐷, получаем решение исходной системы,
во-вторых, для наугад выбранных решений исходной системы удалось найти требуемые значения параметров 𝐶, 𝐷.
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение. Итак, мы проверили что,
во-первых, для наугад выбранных значений параметров 𝐶, 𝐷, получаем решение исходной системы,
во-вторых, для наугад выбранных решений исходной системы удалось найти требуемые значения параметров 𝐶, 𝐷.
Это подтверждение, что имеем общее решение, но, разумеется, это
не доказательство.
убедитесь,
что для СЛУ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
𝑎
−2 + 3𝐷
⎧
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨ −3𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 5,
⎜ 𝑏 ⎟ ⎜ 2 − 3𝐶
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 = −3, система ⎜ 𝑐 ⎟ = ⎜ −1 + 5𝐶 − 8𝐷 ⎟
⎩
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 = 1,
⎝𝑑⎠ ⎝𝐶
⎠
𝑒
𝐷
является общим решением.
Пример 27. Экспериментально
Решение. Итак, мы проверили что,
во-первых, для наугад выбранных значений параметров 𝐶, 𝐷, получаем решение исходной системы,
во-вторых, для наугад выбранных решений исходной системы удалось найти требуемые значения параметров 𝐶, 𝐷.
Это подтверждение, что имеем общее решение, но, разумеется, это
не доказательство. Вернёмся к лекции?
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨
Решение.
⎩
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) =
Решение.
⎩
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение.
⎩
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) =
⎩
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
⎩
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
⎩
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) =
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
⎩
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
Проверим, что набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением
этой системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
⎩
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
Значит, набор (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (−2; 3; −1) является решением исходной
системы уравнений.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3=
⎩
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
=
По теореме о линейности детерминанта по строке...
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
По теореме о линейности детерминанта по строке...
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
По теореме о комбинации строк и столбцов в детерминанте...
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
⃒
⃒
⃒
= ⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
По теореме о комбинации строк и столбцов в детерминанте...
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
По теореме о комбинации строк и столбцов в детерминанте...
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3
2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2
4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5
−3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2
4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5
−3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2
4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5
−3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2 1 4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5
−3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2 1 4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5
−3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2 1 4 =
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5 −1 −3
Пример 28. Проверьте, что набор (𝑥1; 𝑥2⎧
; 𝑥3) = (−2; 3; −1)
является решением этой системы ⎨ 3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
уравнений.
Воспроизведите
вывод
2𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1,
⎩ 1
формулы Крамера для 𝑥2.
5𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1.
⎧
3 4 2
⎨ 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) = 4,
Решение. 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) = 1,
Δ·3= 2 3 4 ·3=
⎩
5 2 −3
5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) = −1.
⃒
⃒
⃒ 3 4·3 2 ⃒
3 3(−2) + 4 · 3 + 2(−1) 2
3 4 2
⃒
⃒
= ⃒⃒ 2 3 · 3 4 ⃒⃒ = 2 2(−2) + 3 · 3 + 4(−1) 4 = 2 1 4 = Δ𝑥2 .
⃒ 5 2 · 3 −3 ⃒
5 5(−2) + 2 · 3 − 3(−1) −3
5 −1 −3
Вернёмся к лекции?
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение.
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
Δ=
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ =
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 =
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ =
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
Δ𝑦 =
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒⃒ =
⃒4 3 3⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = −30,
⃒4 3 3⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = −30, Δ𝑧 =
⃒4 3 3⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ =
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 =
⎪
𝑥
=
⎪
⎨
Δ
Следовательно, 𝑦 =
⎪
⎪
⎩
𝑧=
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 = 60 = 2,
⎪
𝑥
=
⎪
30
⎨
Δ
Следовательно, 𝑦 =
⎪
⎪
⎩
𝑧=
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 = 60 = 2,
⎪
𝑥
=
⎪
30
⎨
Δ
Δ
Следовательно, 𝑦 = 𝑦 =
Δ
⎪
⎪
⎩
𝑧=
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 = 60 = 2,
⎪
𝑥
=
⎪
30
⎨
Δ
Δ
Следовательно, 𝑦 = 𝑦 = −30 = −1,
30
Δ
⎪
⎪
⎩
𝑧=
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 = 60 = 2,
⎪
𝑥
=
⎪
30
⎨
Δ
Δ
Следовательно, 𝑦 = 𝑦 = −30 = −1,
30
Δ
⎪
⎪
⎩
Δ
𝑧 = Δ𝑧 =
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
Пример 29. Найти общее решение системы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3.
Решение. Имеем в обозначениях теоремы Крамера
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 −1 −1 ⃒
⃒ 7 −1 −1 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ = ⃒⃒ 3 2 1 ⃒⃒ = 30, Δ𝑥 = ⃒⃒ 2 2 1 ⃒⃒ = 60,
⃒ 4 −1 3 ⃒
⃒ 3 −1 3 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 2 7 −1 ⃒
⃒ 2 −1 7 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Δ𝑦 = ⃒ 3 2 1 ⃒ = −30, Δ𝑧 = ⃒ 3 2 2 ⃒⃒ = −60.
⃒4 3 3⃒
⃒ 4 −1 3 ⃒
⎧
Δ𝑥 = 60 = 2,
⎪
𝑥
=
⎪
30
⎨
Δ
Δ
Следовательно, 𝑦 = 𝑦 = −30 = −1, Вернёмся к лекции?
30
Δ
⎪
⎪
⎩
Δ
−60
𝑧 = Δ𝑧 = 30 = −2.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
⎧
⎨*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
⎧
⎧
⎨*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨ 𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔ *𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔
⎩
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
⎧
⎧
⎧
⎨*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨ 𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔ *𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔
*𝑦+*𝑧=* ⇔
⎩
⎩
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑦+*𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
⎧
⎨*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎧
⎨ 𝑥 + *𝑦 +
𝑦 +
⎩
*𝑦 +
⎧
⎧
⎨ 𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⇔ *𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔
*𝑦+*𝑧=* ⇔
⎩
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑦+*𝑧=*
*𝑧 = *
*𝑧 = * ⇔
*𝑧 = *
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Во время прямого хода мы последовательно переходим
к равносильным системам вида (здесь символы * обозначают некоторые числа, не обязательно равные друг другу):
⎧
⎨*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎧
⎨ 𝑥 + *𝑦 +
𝑦 +
⎩
*𝑦 +
⎧
⎧
⎨ 𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⇔ *𝑥+*𝑦+*𝑧=* ⇔
*𝑦+*𝑧=*
⎩
⎩
*𝑥+*𝑦+*𝑧=*
*𝑦+*𝑧=*
⎧
*𝑧 = *
⎨ 𝑥 + *𝑦 + *𝑧 =
*𝑧 = * ⇔
𝑦 + *𝑧 =
⎩
*𝑧 = *
*𝑧 =
⇔
*
*
*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что мы последовательно переходим к системам вида
⎧
⎨𝑥+*𝑦+*𝑧=*
𝑦+*𝑧=* ⇔
⎩
𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что мы последовательно переходим к системам вида
⎧
⎧
𝑥+*𝑦+*𝑧=*
⎨
⎨𝑥+*𝑦 =*
𝑦+*𝑧=* ⇔
𝑦 =* ⇔
⎩
⎩
𝑧=*
𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что мы последовательно переходим к системам вида
⎧
⎧
⎧
𝑥+*𝑦+*𝑧=*
𝑥+*𝑦
=*
⎨
⎨
⎨𝑥=*
𝑦+*𝑧=* ⇔
𝑦 =* ⇔ 𝑦=*
⎩
⎩
⎩
𝑧=*
𝑧=*
𝑧=*
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный ход. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что мы последовательно переходим к системам вида
⎧
⎧
⎧
𝑥+*𝑦+*𝑧=*
𝑥+*𝑦
=*
⎨
⎨
⎨𝑥=*
𝑦+*𝑧=* ⇔
𝑦 =* ⇔ 𝑦=*
⎩
⎩
⎩
𝑧=*
𝑧=*
𝑧=*
последняя из которых представляет собой утверждение об искомых
значениях переменных.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎧Решение. Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎧Решение. Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7, : 2
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
уравнений получаем:
⎧Решение. Для рассматриваемой
⎧ системы
1
1
7
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7, : 2
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
1
1
7
− 𝑧 = 7, : 2
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
+ 3𝑧 = 3
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
системы уравнений получаем:
⎧ Для 1рассматриваемой
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2,
⎩
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 = 2 , ×3
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, →
⎩
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 = 2 , ×3
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, →
2
2,
⎩
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 = 2 , ×3 ×4
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, →
2
2,
⎩
⎩
→
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 = 2 , ×3 ×4
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, →
2
2,
⎩
⎩
→
𝑦 + 5𝑧 = −11
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
1
1
7
𝑧=
×3 ×4
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 25 𝑧 = − 17
𝑧 = 2, →
2
2,
⎩
→
𝑦 + 5𝑧 = −11
𝑧=3
7
2,
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
2
2,
⎩
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
×2
2
2,
⎩
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7
𝑦 + 52 𝑧 = − 17
7𝑦 + 5𝑧 = −17,
×2
2
2,
⎩
⎩
𝑦 + 5𝑧 = −11
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7𝑦 + 5𝑧 = −17,
×2
⎩
𝑦 + 5𝑧 = −11
= −11
− 21 𝑧 = 72 ,
= 17
2,
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7𝑦 + 5𝑧 = −17,
⎩
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7𝑦 + 5𝑧 = −17, ↘
⎩
↗
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
7𝑦 + 5𝑧 = −17, ↘
⎩
⎩
7𝑦 + 5𝑧 = −17
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
7𝑦 + 5𝑧 = −17, ↘
⎩
⎩
↗
7𝑦 + 5𝑧 = −17
𝑦 + 5𝑧 = −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
7
1
1
7
𝑦 − = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
𝑧 = −17, ↘
⎩
↗
7𝑦 + 5𝑧 = −17
= −11
1
2𝑧
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
системы уравнений получаем:
⎧ Для 1рассматриваемой
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
↘
⎩
↗
7𝑦 + 5𝑧 = −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
7𝑦 + 5𝑧 = −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
⎩
7𝑦 + 5𝑧 = −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
×7
⎩
⎩
→
7𝑦 + 5𝑧 = −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
×7
⎩
⎩
→
−30𝑧 = 60
7𝑦 + 5𝑧 = −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
1
7
1
1
7
− 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
5𝑧 = −11,
×7
⎩
→
−30𝑧 = 60
+ 5𝑧 = −17
1
2𝑦
7
2,
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
системы уравнений получаем:
⎧ Для 1рассматриваемой
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
×7
⎩
→
−30𝑧 = 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
−30𝑧 = 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
−30𝑧 = 60
: (−30)
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой
уравнений получаем:
⎧Решение.
⎧ системы
1
1
7
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
⎩
−30𝑧 = 60
: (−30)
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Для рассматриваемой
системы уравнений получаем:
⎧
7
1
1
7
− = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
= −11,
⎩
60
: (−30)
𝑧 = −2
1
2𝑧
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
системы уравнений получаем:
⎧ Для 1рассматриваемой
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
(−30)
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для рассматриваемой системы уравнений получаем:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
𝑧 = −2
Прямой ход метода Гаусса закончен.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨
𝑦 + 5𝑧 = −11,
⎩
⎩
𝑧 = −2
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨
𝑦 + 5𝑧 = −11,
→
⎩
⎩
𝑧 = −2
𝑧 = −2
−5
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨
𝑦 + 5𝑧 = −11,
→
𝑦 = −1,
⎩
⎩
𝑧 = −2
−5
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
→
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨
𝑦 + 5𝑧 = −11,
→
𝑦 = −1,
⎩
⎩
𝑧 = −2
−5 21
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
1
7
5
1
→
⎨ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2,
𝑦 + 5𝑧 = −11,
→
𝑦 = −1,
⎩
⎩
𝑧 = −2
−5 21
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем
ход метода Гаусса:
⎧обратный
7
5
1
→
− = 2,
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2,
= −11,
→
𝑦 = −1,
⎩
2
−5 12
𝑧 = −2
1
2𝑧
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
обратный ход метода Гаусса:
⎧ Проведем
5
1
→
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2,
→
𝑦 = −1,
⎩
−5 12
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
5
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2,
⎨
𝑦 = −1,
𝑦 = −1,
⎩
⎩
𝑧 = −2
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
5
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2, →
⎨
1
𝑦 = −1,
𝑦 = −1,
2
⎩
⎩
𝑧 = −2
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Проведем обратный⎧ход метода Гаусса:
⎧Решение.
1
5
⎨ 𝑥 − 2𝑦 = 2, →
⎨ 𝑥 = 2,
1
𝑦 = −1,
𝑦 = −1,
2
⎩
⎩
𝑧 = −2
𝑧 = −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. В итоге получили систему уравнений:
⎧
⎨ 𝑥 = 2,
𝑦 = −1,
⎩
𝑧 = −2 ,
в которой указан искомый набор значений переменных, совпадающий, естественно, с результатами вычислений по формулам Крамера
(см. пример 29).
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. В итоге получили систему уравнений:
⎧
⎨ 𝑥 = 2,
𝑦 = −1,
⎩
𝑧 = −2 ,
Задача решена, но мы сейчас на этом не остановимся. Оказывается, можно ввести специальную систему обозначений, применяемую в
процессе решения, позволяющую существенно уменьшить объем записей.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
А именно, системе уравнений сопоставим матрицу по правилу:
⎧
⎛
⎞
𝑎
𝑎
.
.
.
𝑎
𝑎
𝑥
+
𝑎
𝑥
+
.
.
.
+
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑏
11
12
1𝑛
1𝑛 𝑛
1
1
⎪
⎨ 11 1 12 2
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 𝑏2 ⎟
. (16)
→
⎝
...
...
... ⎠
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + . . . + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Тогда полученное отображение является взаимно однозначным.
Матрица
⎛
⎞
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 𝑏1
⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 𝑏2 ⎟
⎝
...
... ⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
называется расширенной матрицей коэффициентов этой системы
уравнений.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для того, чтобы проделать преобразование (16) системы уравнений рассматриваемого примера, зафиксируем порядок перечисления
неизвестных,
например, такой: 𝑥, 𝑦, 𝑧. Тогда исходная система урав⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7
нений 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 «зашифруется» следующим образом:
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Для того, чтобы проделать преобразование (16) системы уравнений рассматриваемого примера, зафиксируем порядок перечисления
неизвестных,
например, такой: 𝑥, 𝑦, 𝑧. Тогда исходная система урав⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7
нений 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 «зашифруется» следующим образом:
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠
(17)
4 −1 3 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7
Решение. 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠
(17)
4 −1 3 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎧
⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7
Решение. 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠
(17)
4 −1 3 3
В левой (относительно вертикальной черты) части этой матрицы находятся коэффициенты перед неизвестными, а в правой части — столбец свободных членов.
Заметим, что преобразования метода Гаусса:
• перестановка уравнений;
• умножение уравнения на ненулевое число;
• замена уравнения суммой этого уравнения с линейной комбинацией остальных уравнений;
равносильны соответствующим преобразованиям строк матрицы (17):
• перестановка строк;
• умножение строки на ненулевое число;
• замена строки суммой этой строки с линейной комбинацией
остальных строк.
Заметим, что преобразования метода Гаусса:
• перестановка уравнений;
• умножение уравнения на ненулевое число;
• замена уравнения суммой этого уравнения с линейной комбинацией остальных уравнений;
равносильны соответствующим преобразованиям строк матрицы (17):
• перестановка строк;
• умножение строки на ненулевое число;
• замена строки суммой этой строки с линейной комбинацией
остальных строк.
Такие преобразования строк матрицы называются элементарными
преобразованиями.
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Таким образом, всем проведенным нами преобразованиям системы уравнений соответствуют элементарные преобразования
расширенной матрицы4:
Иногда студенты между матрицами пишут знак равенства, что неверно, так как эти матрицы
не равны. Они определяют равносильные системы уравнений.
4
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠
4 −1 3 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
: (1/2)
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠
4 −1 3 3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
: (1/2)
⎛
⎞
⎛
⎞
2 −1 −1 7
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3 2 1 2⎠ ∼ ⎝3
2
1
2⎠
4 −1 3 3
4
−1
3
3
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
⎛
⎞
2 −1 −1 7
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3 2 1 2⎠ ∼ ⎝3
2
1
2⎠
4 −1 3 3 ⎞
4
−1
3
3
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2⎠ ∼
4
−1
3
3
: (1/2)
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
⎛
⎞
2 −1 −1 7
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3 2 1 2⎠ ∼ ⎝3
2
1
2⎠
4 −1 3 3 ⎞
4
−1
3
3
⎛
−3
1 −1/2 −1/2 7/2
2
1
1 ⎝3
2⎠ ∼
4
−1
3
3
: (1/2)
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠ ∼
4 −1 3 3 ⎞
⎛
−3
1 −1/2 −1/2 7/2
2
1
1 ⎝3
2⎠ ∼
4
−1
3
3
: (1/2)
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2⎠
−1
3
3
⎛4
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠ ∼
4 −1 3 3 ⎞
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
2
1
1 ⎝3
2⎠ ∼
1
4
−1
3
3
: (1/2)
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2⎠
−1
3
3
⎛4
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2⎠ ∼
4 −1 3 3 ⎞
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
2
1
1 ⎝3
2⎠ ∼
1
4
−1
3
3
: (1/2)
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2⎠
−1
3
3
⎛4
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
−4 −3
1
1 ⎛
⎝
⎛
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2
4 −1 3 3
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2
4
−1
3
3
1 −1/2 −1/2
7/2
0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
: (1/2)
⎞
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝3
2
1
2⎠
−1
3
3
⎞
⎛4
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎠ ∼ ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
−4 −3
1
1 ⎛
2 ⎝
⎛
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2
4 −1 3 3
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2
4
−1
3
3
1 −1/2 −1/2
7/2
0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
: (1/2)
⎞
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝3
2
1
2⎠
−1
3
3
⎞
⎛4
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎠ ∼ ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
−4 −3
1
1 ⎛
2 ⎝
⎛
2 −1 −1 7
⎝3 2 1 2
4 −1 3 3
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝3
2
1
2
4
−1
3
3
1 −1/2 −1/2
7/2
0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
: (1/2)
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
3
2
1
2⎠
4
−1
3
3
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎞
⎛
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎠ ∼ ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
1
5
−11
⎞
⎛0
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
7
5 −17
0
1
5 −11
⎞
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎠ ∼ ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
1
5
−11
⎞
⎛0
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17
↗
0
1
5 −11
⎞
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
⎠ ∼ ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
1
5
−11
⎞
⎛0
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17
0
1
5 −11
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17
0
1
5 −11
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠
0
7
5 −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17
↗
0
1
5 −11
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠
0
7
5 −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
−4 −3
1 −1/2 −1/2 7/2
1 ⎝3
2
1
2
1 ⎛
4
−1
3
3
7/2
1 −1/2 −1/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17
↗
0
1
5 −11
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
7/2
1 −1/2 −1/2
0 7/2 5/2 −17/2 ⎠
0
1
5
−11
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2
7/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2 ⎠ ∼
0
1
5
−11 ⎞
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
7
5 −17 ⎠ ∼
↘ ⎝0
↗
0
1
5 −11
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
7
5 −17 ⎠
1
5 −11 ⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
1 −1/2 −1/2
7/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
7
5 −17
↘ ⎝0
↗
1
5 −11
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11
0
7
5 −17
⎞
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
7
5 −17 ⎠
1
5 −11 ⎞
⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
1 −1/2 −1/2
7/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
7
5 −17
↘ ⎝0
↗
1
5 −11
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
−7 ⎝ 0
1
5 −11
→
0
7
5 −17
⎞
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
7
5 −17 ⎠
1
5 −11 ⎞
⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎠ ∼ ⎝0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17
⎞
⎠ ∼
⎛
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
1 −1/2 −1/2
7/2
2 ⎝ 0 7/2 5/2 −17/2
0
1
5
−11
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
7
5 −17
↘ ⎝0
↗
1
5 −11
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
−7 ⎝ 0
1
5 −11
→
0
7
5 −17
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎛
⎠ ∼ ⎝
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
0 −30 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
↘ ⎝0
7
5 −17 ⎠ ∼
↗
1
5 −11 ⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
1
5 −11 ⎠ ∼
−7 ⎝ 0
→
0
7
5 −17
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
7
5 −17 ⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
0
0 −30 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
↘ ⎝
↗
⎛
−7 ⎝
→ ⎛
⎝
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠ ∼
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
7
5 −17 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
0 −30 60
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
7
5 −17 ⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
0
0 −30 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
↘ ⎝
↗
⎛
−7 ⎝
→ ⎛
⎝
: (−30)
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠ ∼
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
7
5 −17 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
0 −30 60
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
7
5 −17 ⎞
⎛0
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
0
0 −30 60
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение.
⎛
↘ ⎝
↗
⎛
−7 ⎝
→ ⎛
⎝
: (−30)
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
7
5 −17 ⎠ ∼
0
1
5 −11 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
7
5 −17 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
0 −30 60
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
7
5 −17 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
0 −30 60 ⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
0
1
5 −11 ⎠
0
0
1 −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Прямой ход метода Гаусса закончен.
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠
0
0
1 −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
⎝0
1
5 −11 ⎠ ∼
0
0
1 −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
→ ⎝0
1
5 −11 ⎠ ∼
−5
0
0
1 −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
⎛
⎞
⎛
1 −1/2 −1/2 7/2
→ ⎝0
1
5 −11 ⎠ ∼ ⎝ 0
−5
0
0
1 −2
0
⎞
1
0
0 −1 ⎠
1 −2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
⎛
⎞
⎛
⎞
1 −1/2 −1/2 7/2
1 −1/2 0 5/2
⎝0
1
5 −11 ⎠ ∼ ⎝ 0
1 0 −1 ⎠
1/2
0
0
1 −2
0
0 1 −2
→
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
→
⎛
1 −1/2 −1/2
⎝0
1
5
1/2
0⎛ 0
1
1 −1/2 0
⎝0
1 0
0
0 1
⎞
⎛
⎞
7/2
1 −1/2 0 5/2
−11 ⎠ ∼ ⎝ 0
1 0 −1 ⎠
0
0 1 −2
−2 ⎞
5/2
−1 ⎠ ∼
−2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
→
⎛
1 −1/2 −1/2
⎝0
1
5
1/2
0⎛ 0
1
1
1 −1/2 0
1/2 ⎝ 0
1 0
0
0 1
⎞
⎛
⎞
7/2
1 −1/2 0 5/2
−11 ⎠ ∼ ⎝ 0
1 0 −1 ⎠
0
0 1 −2
−2 ⎞
5/2
−1 ⎠ ∼
−2
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
→
⎛
1 −1/2 −1/2
⎝0
1
5
1/2
0⎛ 0
1
1
1 −1/2 0
1/2 ⎝ 0
1 0
0
0 1
⎞
⎛
7/2
1 −1/2 0
⎠
⎝
−11
0
1 0
∼
0 1
−2 ⎞
⎛0
5/2
1 0 0 2
−1 ⎠ ∼ ⎝ 0 1 0 −1
−2
0 0 1 −2
⎞
5/2
−1 ⎠
−2
⎞
⎠
Пример
⎧ 30. Найти с помощью метода Гаусса общее решение си⎨ 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7,
стемы
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, примера 29.
⎩
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
Решение. Проведем обратный ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 0 0 2
⎝ 0 1 0 −1 ⎠
0 0 1 −2
«Расшифровывая» последнюю
матрицу согласно правилу (16), полу⎧
⎨𝑥=2
чаем систему уравнений 𝑦 = −1 .
⎩
𝑧 = −2
Вернёмся к лекции?
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса: Ниже мы проведем все эти
преобразования в более компактной, матричной форме, а сейчас все
проделаем «по честному». Сначала добьемся того, чтобы в первом
уравнений коэффициент перед неизвестной 𝑎 был равен 1. Можно,
например, умножить первое уравнений на 0.5, но проще переставить
первое и второе уравнения. Получим систему уравнений
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
⎧Решение. Прямой ход метода Гаусса:
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
⎧Решение. Прямой ход метода Гаусса:
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, ↘
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ↗
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, ↘ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎨
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, ↘ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, ↘ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
↗ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎨
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, ↘ ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
↗ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎨
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой
𝑑 − 𝑒 = 1, ↘
↗
+ 𝑒 = 0,
3𝑑 + 𝑒 = 1,
𝑑 = 1,
𝑒=2
ход метода Гаусса:
⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение.
⎧ Прямой ход метода Гаусса:
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
↘
⎪
⎪
⎪
⎪
↗
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
⎧Решение. Прямой ход метода Гаусса:
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎
−
5𝑏
+
3𝑐
+
𝑑
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×2 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, → ⎪
⎨
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎
−
5𝑏
+
3𝑐
+
𝑑
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×2 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1, → ⎪
⎨
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎
−
5𝑏
+
3𝑐
+
𝑑
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×4 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1, →
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎
−
5𝑏
+
3𝑐
+
𝑑
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×4 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1, →
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×3 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
→ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×3 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
→ ⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×5 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
→ ⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, ×5 ⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2
→ ⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой
2𝑑 + 𝑒 = 0, ×5
− 𝑑 − 𝑒 = 1,
+ 3𝑑 + 𝑒 = 1,
+ 𝑑 = 1,
−𝑒=2
→
ход метода Гаусса:
⎧
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение.
⎧ Прямой ход метода Гаусса:
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
×5
⎪
⎪
⎪
⎪
,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
1,
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
→
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
⎧Решение. Прямой ход метода Гаусса:
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏
+
6𝑐
−
5𝑑
−
3𝑒
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×1 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
→
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏
+
6𝑐
−
5𝑑
−
3𝑒
=
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×1 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
→
0 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×1 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
→ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×1 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
→ ⎪
0 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2
⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×2 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2 → ⎩
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Гаусса:
⎧Решение. Прямой ход метода⎧
⎪
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
×2 ⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 2𝑏 + 12𝑐 − 10𝑑 − 6𝑒 = 2 → ⎩ 0 = 0
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход
⎧метода Гаусса:
⎪
− 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
5𝑑 − 3𝑒 = 1,
×2
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
0 = 0,
5𝑑 − 3𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎩0=0
− 10𝑑 − 6𝑒 = 2 →
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой
ход метода Гаусса:
⎧
⎪
+ 𝑒 = 0,
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
= 1,
×2
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
= 1,
⎪
⎪
⎪
0 = 0,
= 1,
⎪
⎪
⎩0=0
6𝑒 = 2 →
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
⎧Решение. Прямой ход метода Гаусса:
⎪
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
0 = 0,
⎪
⎪
⎪
0 = 0,
⎪
⎪
⎩0=0
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Прямой ход метода Гаусса:
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Обратный ход метода Гаусса:
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Обратный ход метода
{︂ Гаусса:
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Обратный ход метода
{︂ Гаусса:
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, →
×(−2) 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Обратный ход метода
{︂ Гаусса:
𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0, →
𝑎 + 11𝑐 − 8𝑑 − 5𝑒 = 2,
×(−2) 𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный {︂
ход метода Гаусса:
+ 2𝑑 + 𝑒 = 0, →
𝑎 + 11𝑐 − 8𝑑 − 5𝑒 = 2,
×(−2)
− 3𝑒 = 1,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный
ход метода Гаусса:
{︂
= 0, →
𝑎 + 11𝑐 − 8𝑑 − 5𝑒 = 2,
×(−2)
,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
{︂ Решение. Обратный ход метода Гаусса:
𝑎 + 11𝑐 − 8𝑑 − 5𝑒 = 2,
𝑏 + 6𝑐 − 5𝑑 − 3𝑒 = 1,
{︂
𝑎 = 2 − 11𝑐 + 8𝑑 + 5𝑒,
Теперь можно записать ответ в виде
𝑏 = 1 − 6𝑐 + 5𝑑 + 3𝑒.
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса:
{︂
𝑎 = 2 − 11𝑐 + 8𝑑 + 5𝑒,
Теперь можно записать ответ в виде
𝑏 = 1 − 6𝑐 + 5𝑑 + 3𝑒.
При этом часто 𝑎, 𝑏 считают «настоящими неизвестными», а переменные 𝑐, 𝑑, 𝑒 рассматривают, как произвольные параметры.
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса:
{︂
𝑎 = 2 − 11𝑐 + 8𝑑 + 5𝑒,
Теперь можно записать ответ в виде
𝑏 = 1 − 6𝑐 + 5𝑑 + 3𝑒.
Тот факт, что последняя система уравнений считается ответом,
означает, что если при любом наборе значений «параметров» 𝑐, 𝑑, 𝑒
вычислить с помощью этой системы уравнений значения переменных
𝑎, 𝑏, то полученный набор значений переменных 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 обязательно является решением исходной системы уравнений.
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. На матричном языке, с помощью преобразования (16),
эти выкладки записываются короче:
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
2
⎜1
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
↘
2
⎜
↗ ⎜1
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
↘
⎛
2
⎜1
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
↘
⎛
2
⎜1
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
⎜ 2 −3 4 −1 −1 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
↘
2
⎜
↗ ⎜1
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
⎜ 2 −3 4 −1 −1 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
↘
2
⎜
↗ ⎜1
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 2 −3 4 −1 −1 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
2
⎜1
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−3 4 −1 −1
−2 −1 2 1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
4 −1 −1
−1 2 1
2 3 1
3 1 0
7 0 −1
⎞
1
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −2 −1 2 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
×2
1
⎜
→ ⎜2
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −2 −1 2 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
×2
1
⎜
→ ⎜2
⎜
⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×4
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
→ ⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×4
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
→ ⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×4
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
→ ⎜4
⎜
⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×3
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
→ ⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×3
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
→ ⎝3
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 1 6 −5 −3 1 ⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×5
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
→
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 1 6 −5 −3 1 ⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
×5
⎛
1
⎜2
⎜
⎜
⎜4
⎜
⎝3
→
5
−2 −1 2 1
−3 4 −1 −1
−7 2 3 1
−5 3 1 0
−8 7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
1 −2 −1
2
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
−1 2 1
4 −1 −1
2 3 1
3 1 0
7 0 −1
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
1 −2 −1
2
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −2 −1 2 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −2 −1 2 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
→ ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
→ ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
→ ⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×1 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
→ ⎝ 0 1 6 −5
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×2 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
→
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
1 −2 −1
2
⎜
×2 ⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎜ 0 1 6 −5
⎜
⎝ 0 1 6 −5
→
0 2 12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0 0
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
−1
2
6 −5
6 −5
6 −5
12 −10
1
−3
−3
−3
−6
⎞
0
1⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
1⎠
2
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0 0
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0 0
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0 0
Тождества 0 = 0 можно удалить из системы, поскольку
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
⎛
⎞
1 −2 −1 2 1 0
⎜ 0 1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0 0 0
Тождества 0 = 0 можно удалить из системы, поскольку
это не меняет множества решений системы.
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Прямой ход метода Гаусса.
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
→
×(−2)
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
→
×(−2)
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
(︂
)︂
0 1 6 −5 −3 1
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
→
×(−2)
(︂
1 −2 −1 2 1 0
0 1 6 −5 −3 1
)︂
(︂
1 0 11 −8 −5 2
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
−2 −1 2 1 0
1 6 −5 −3 1
)︂
(︂
1 0 11 −8 −5 2
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
Решение. Обратный ход метода Гаусса.
(︂
1 0 11 −8 −5 2
0 1 6 −5 −3 1
)︂
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
(︂
)︂
1 0 11 −8 −5 2
Решение.
0 1 6 −5 −3 1
На матричном языке можно сформулировать цель этих выкладок так: мы пытаемся с помощью «дозволенных преобразований» (напомнить список таких преобразований для матричной формы записи?) и удаления «лишних строк» (то есть «лишних», неинформативных уравнений) получить такую СЛУ, что,
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
(︂
)︂
1 0 11 −8 −5 2
Решение.
0 1 6 −5 −3 1
На матричном языке можно сформулировать цель этих выкладок так: мы пытаемся с помощью «дозволенных преобразований» (напомнить список таких преобразований для матричной формы записи?) и удаления «лишних строк» (то есть «лишних», неинформативных уравнений) получить такую СЛУ, что, вопервых, полученная СЛУ равносильна исходной, и, во-вторых, в матрице коэффициентов полученной СЛУ имеется «единичный фраг-
мент».
Пример 31. Найти общее решение системы уравнений
⎧
⎪
2𝑎 − 3𝑏 + 4𝑐 − 𝑑 − 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 0,
4𝑎 − 7𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 = 1,
⎪
⎪
⎪
3𝑎 − 5𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 1,
⎪
⎪
⎩ 5𝑎 − 8𝑏 + 7𝑐 − 𝑒 = 2.
В данном случае «единичным фрагментом» является матрица,
составленная
из первого ⎞и второго столбцов последней матрицы:
⎛
1
0 11 −8 −5 2
⎜
⎟
1 6 −5 −3 1 ⎟
⎜0
⎜
⎟.
⎝ единичный
⎠
фрагмент
Вернёмся к лекции?
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Эту систему линейных уравнений можно представить в
виде
⎛
2
⎜ 1
⎜
⎝ 3
−1
⎛
0
⎜ 0
=⎜
⎝ 0
0
⎞
⎛
4
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ 𝑥1 + ⎜ 2 ⎟ 𝑥2 + ⎜
⎠
⎝ 6 ⎠
⎝
−2
⎞
⎞
⎟
⎟,
⎠
⎛
⎞
⎛
−1
⎜
−1 ⎟
⎟ 𝑥3 + ⎜
⎝
−2 ⎠
−2
⎞
⎛
2
1
⎟
⎜
1 ⎟
0
𝑥 +⎜
1 ⎠ 4 ⎝ 3
−5
1
⎞
⎛
1
1
⎜ 0
⎟
⎜ 0 ⎟
⎟
⎜
⎟ 𝑥5 + ⎜
⎠
⎝ 2 ⎠ 𝑥6 + ⎝ 1
−2
−3
⎞
⎛
⎞
⎟
⎟ 𝑥7 =
⎠
что с помощью умножения матриц «на макроуровне»
записывается как уравнение
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение.
⎛
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2 4
1 2
3 6
−1 −2
−1
−1
−2
−2
1 2 1
1 0 0
1 3 2
1 −5 −2
𝑥1
⎞⎜ 𝑥
2
1 ⎜
⎜𝑥
⎟⎜
0 ⎟⎜ 3
⎟⎜ 𝑥
1 ⎠⎜ 4
⎜𝑥
−3 ⎜ 5
⎝ 𝑥6
𝑥7
⎞
⎟ ⎛ ⎞
⎟
0
⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜0⎟
⎟ = ⎜ ⎟.
⎟ ⎝0⎠
⎟
⎟
0
⎠
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. При решении этого примера мы преобразования метода
Гаусса оформим в виде матричных произведений. Мы имеем дело с
матричным уравнением вида 𝐴𝑋 = 𝐵. Очевидно, что если мы умножим обе части этого уравнения слева на невырожденную матрицу 𝑇 ,
то получим эквивалентное матричное уравнение 𝑇 𝐴𝑋 = 𝑇 𝐵. Эквивалентность этих уравнений очевидна5.
5
напомним, что слово «очевидно» в математике означает «легко могу доказать»
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. В данном случае правило (16) «подправим»: в матрице
не будем записывать столбец свободных членов, так как он нулевой,
и при всех преобразованиях метода Гаусса останется нулевым:
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎛
⎞
2 4 −1 1 2 1 1
⎜
⎟
⎜ 1 2 −1 1 0 0 0 ⎟
Решение. ⎜
⎟.
⎝ 3 6 −2 1 3 2 1 ⎠
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
Надо помнить, что строки этой матрицы соответствуют уравнениям системы.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎛
⎞
2 4 −1 1 2 1 1
⎜
⎟
⎜ 1 2 −1 1 0 0 0 ⎟
Решение. ⎜
⎟.
⎝ 3 6 −2 1 3 2 1 ⎠
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
Поэтому элементарные преобразования, описанные в теореме о равносильных преобразованиях СЛУ сводятся к соответствующим преобразованиям строк этой матрицы.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎛
⎞
Прямой ход мето2 4 −1 1 2 1 1
⎜
⎟
⎜ 1 2 −1 1 0 0 0 ⎟ да Гаусса оформим
Решение. ⎜
⎟.
⎝ 3 6 −2 1 3 2 1 ⎠ в виде произведения
матриц.
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
Для получения единицы в левом верхнем углу матрицы коэффициентов переставим первую и вторую строки матрицы коэффициентов
(фактически переставим местами уравнения).
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎛
⎞
2 4 −1 1 2 1 1
⎜
⎟
⎜ 1 2 −1 1 0 0 0 ⎟
Решение. ⎜
⎟.
⎝ 3 6 −2 1 3 2 1 ⎠
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
Коэффициенты матрицы, которая слева умножается на матрицу
коэффициентов, легко подбираются с помощью умножения матриц «на макроуровне»:
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 2 4 −1 1 2 1 1 )︃
1
2 −1 1
0
0
0
3
6 −2 1
3
2
1
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
=
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 0 1 0 0 )︃ (︃ 2 4 −1 1 2 1 1 )︃
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
2 −1 1
0
0
0
3
6 −2 1
3
2
1
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
=
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 0 1 0 0 )︃ (︃ 2 4 −1 1 2 1 1 )︃ (︃
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
2 −1 1
0
0
0
3
6 −2 1
3
2
1
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
=
1
2
2
4
3
6
−1 −2
−1
−1
−2
−2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
3
2
1
1 −5 −2 −3
)︃
,
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 0 1 0 0 )︃ (︃ 2 4 −1 1 2 1 1 )︃ (︃
1
2 −1 1
0
0
0
3
6 −2 1
3
2
1
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(︃
1
−2
−3
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)︃ (︃ ⟨1⟩
2
2
4
3
6
−1 −2
−1
−1
−2
−2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
3
2
1
1 −5 −2 −3
=
1
2
2
4
3
6
−1 −2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
3
2
1
1 −5 −2 −3
)︃
2 −1
1
0
0
0
0 0
1 −1
2
1
1
0 0
1 −2
3
2
1
0 0 −3
2 −5 −2 −3
)︃
(︃ 1
)︃
=
−1
−1
−2
−2
,
.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 1 0 0 0 )︃ (︃ ⟨1⟩ 2 −1 1 0 0 0 )︃
2
4 −1 1
2
1
1
3
6 −2 1
3
2
1
−1 −2 −2 1 −5 −2 −3
−2 1 0 0
−3 0 1 0
1 0 0 1
(︃ 1
0
0
1
0 −1
0
3
0
0
1
0
0
0
0
1
2 −1
1
0
0
0
0 0 ⟨1⟩ −1
2
1
1
0 0
1 −2
3
2
1
0 0 −3
2 −5 −2 −3
)︃ (︃ 1
2 −1
1
0
0
0
0 0
1 −1
2
1
1
0 0
1 −2
3
2
1
0 0 −3
2 −5 −2 −3
(︃ 1
=
2 −1
1 0 0
0 0
1 −1 2 1
0 0
0 −1 1 1
0 0
0 −1 1 1
(︃ 1
)︃
=
0
1
0
0
)︃
.
)︃
.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 1 0 0 0 )︃ (︃ 1 2 −1 1 0 0 0 )︃
0
1 0 0
0 −1 1 0
0
3 0 1
(︃ 1
0
0 0
0 1
0 0
0 0 −1 0
0 0
0 1
2 −1
1 0 0
0 0
1 −1 2 1
0 0
0 −1 1 1
0 0
0 −1 1 1
(︃ 1
0
1
0
0
)︃
2 −1
1
0
0 0
0 0
1 −1
2
1 1
0 0
0
1 −1 −1 0
0 0
0 −1
1
1 0
)︃
0 0 ⟨1⟩ −1
2
1
1
0 0
1 −2
3
2
1
0 0 −3
2 −5 −2 −3
=
2 −1
1 0
0 0
1
−1 2
0 0
0 ⟨−1⟩ 1
0 0
0
−1 1
(︃ 1
)︃ (︃ 1
0
1
1
1
0
1
0
0
)︃
=
.
.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса:
(︃ 1 0 0 0 )︃ (︃ 1 2 −1
)︃ (︃ 1
1 0 0 0
0 1
0 0
0 0 −1 0
0 0
0 1
(︃ 1
0
0 1
0 0
0 0
0
0
1
1
0
0
0
1
0 0
0 0
0 0
1
−1 2 1 1
0 ⟨−1⟩ 1 1 0
0
−1 1 1 0
2 −1
1
0
0 0
0 0
1 −1
2
1 1
0 0
0 ⟨1⟩ −1 −1 0
0 0
0 −1
1
1 0
)︃ (︃ 1
=
2 −1
1
0
0 0
0 0
1 −1
2
1 1
0 0
0
1 −1 −1 0
0 0
0 −1
1
1 0
)︃
2 −1
1
0
0 0
0 0
1 −1
2
1 1
0 0
0
1 −1 −1 0
0 0
0
0
0
0 0
)︃
(︃ 1
)︃
=
.
.
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Прямой ход метода Гаусса закончен:
(︂
)︂
1 2 −1
1
0
0 0
0 0
1 −1
2
1 1
.
0 0
0
1 −1 −1 0
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Обратный ход метода Гаусса:
)︂ (︂
(︂
)︂ (︂
1 2 −1
1
0
0 0
1
1 0 −1
0 0
1 −1
2
1 1
0 1
1
= 0
0 0
1
0 0
0 ⟨1⟩ −1 −1 0
2 −1 0
1
1 0
0
1 0
1
0 1
0 0
0 1 −1 −1 0
)︂
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Обратный ход метода Гаусса:
)︂ (︂
(︂
)︂ (︂
1 2 −1
1
0
0 0
1
1 0 −1
0 0
1 −1
2
1 1
0 1
1
= 0
0 0
(︂
0 0
1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
)︂ (︂
2 −1 0
1
1 0
0
1 0
1
0 1
0 0
0 1 −1 −1 0
0 ⟨1⟩ −1 −1 0
1 2 −1 0
1
1 0
0 0 ⟨1⟩ 0
1
0 1
0 0
0 1 −1 −1 0
)︂
(︂
=
1 2 0 0
2
1 1
0 0 1 0
1
0 1
0 0 0 1 −1 −1 0
)︂
)︂
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
Решение. Обратный ход метода Гаусса закончен:
⎞
⎛
1 2 0 0 2 1 1
⎝ 0 0 1 0 1 0 1 ⎠.
0 0 0 1 −1 −1 0
Выделен «фрагмент», являющийся единичной матрицей.
(18)
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎞
1 2 0 0 2 1 1
Решение. ⎝ 0 0 1 0 1 0 1 ⎠.
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
Осталось записать общее решение этой системы линейных уравнений. Это можно сделать, во-первых, с помощью СЛУ специального
вида, «расшифровывая» полученную расширенную матрицу с помощью правила (16):
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎞
1 2 0 0 2 1 1
Решение. ⎝ 0 0 1 0 1 0 1 ⎠.
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
⎧
⎨ 𝑥1 = −2𝑥2 −2𝑥5 −𝑥6 −𝑥7
𝑥 =
−𝑥5
−𝑥7
⎩ 3
𝑥4 =
+𝑥5 +𝑥6
Пример 32. Решить систему линейных уравнений:
⎧
⎪
2𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎨
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 + 2𝑥6 + 𝑥7 = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ −𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 0
1
2
3
4
5
6
7
Представить преобразования метода Гаусса с помощью операций
матричной алгебры.
⎞
1 2 0 0 2 1 1
Решение. ⎝ 0 0 1 0 1 0 1 ⎠.
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
Во-вторых, общее решение можно записать в матричном виде.
Решение. Фундаментальная матрица, ФСР.
⎛
(︃
1 2 0 0 2 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 −1 −1 0
)︃
⎜
⎜
⎜
↦→ ⎜
⎜
⎜
⎝
∙
1
∙
∙
0
0
0
∙
0
∙
∙
1
0
0
∙
0
∙
∙
0
1
0
∙
0
∙
∙
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Фундаментальная матрица, ФСР.
⎛
(︃
1 2 0 0 2 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
⎞⎜
⎜
1 2 0 0 2
1 1 ⎜
⎜
⎝ 0 0 1 0 1
0 1 ⎠⎜
0 0 0 1 −1 −1 0 ⎜
⎜
⎝
⎛
𝑥1
1
𝑥3
𝑥4
0
0
0
)︃
⎞
⎟ ⎛ ⎞
⎟
0
⎟
⎟ ⎝ ⎠
0 ,
⎟=
⎟
0
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
↦→ ⎜
⎜
⎜
⎝
∙
1
∙
∙
0
0
0
∙
0
∙
∙
1
0
0
∙
0
∙
∙
0
1
0
∙
0
∙
∙
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Решение. Фундаментальная матрица, ФСР.
⎛
(︃
1 2 0 0 2 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
⎞⎜
⎜
1 2 0 0 2
1 1 ⎜
⎜
⎝ 0 0 1 0 1
0 1 ⎠⎜
0 0 0 1 −1 −1 0 ⎜
⎜
⎝
⎛
𝑥1
1
𝑥3
𝑥4
0
0
0
)︃
⎜
⎜
⎜
↦→ ⎜
⎜
⎜
⎝
∙
1
∙
∙
0
0
0
∙
0
∙
∙
1
0
0
∙
0
∙
∙
0
1
0
∙
0
∙
∙
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟ ⎛ ⎞
⎟
0
⎟
⎟ ⎝ ⎠
0 ,
⎟=
⎟
0
⎟
⎠
С помощью умножения матриц «на макроуровне» получаем:
Решение. Фундаментальная матрица, ФСР.
⎛
(︃
1 2 0 0 2 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 −1 −1 0
⎛
⎞⎜
⎜
1 2 0 0 2
1 1 ⎜
⎜
⎝ 0 0 1 0 1
0 1 ⎠⎜
0 0 0 1 −1 −1 0 ⎜
⎜
⎝
⎛
𝑥1
1
𝑥3
𝑥4
0
0
0
)︃
⎜
⎜
⎜
↦→ ⎜
⎜
⎜
⎝
∙
1
∙
∙
0
0
0
∙
0
∙
∙
1
0
0
∙
0
∙
∙
0
1
0
∙
0
∙
∙
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟ ⎛ ⎞
⎟
0
⎟
⎟ ⎝ ⎠
0 ,
⎟=
⎟
0
⎟
⎠
С ⎛помощью
ма
