Автономная некоммерческая организация высшего образования
«МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра экономики и управления
Форма обучения: заочная
ВЫПОЛНЕНИЕ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математика
Группа
22М513в
Студент
Д.В.Еленич
МОСКВА 2023
Номер 1 деление комплексных чисел
1.1
1 + 2𝑗 (1 + 2ⅈ)(3 − 4ⅈ)
(1 + 2ⅈ)(3 − 4ⅈ) 3 − 4ⅈ + 6ⅈ + 8 11 + 2ⅈ
=
=
=
=
3 + 4ⅈ (3 + 4ⅈ)(3 − 4ⅈ)
9 + 16
9 + 16
25
1.2
(√3 + √2ⅈ)2 3 + 6ⅈ − 2 1 + 6ⅈ
=
=
=
=
3+2
3+2
5
√3 − √2ⅈ (√3 − √2ⅈ)(√3 + √2ⅈ)
√3 + √2ⅈ
(√3 + √2ⅈ)(√3 + √2ⅈ)
Номер 2 пределы
2𝑛 3
+
𝑛 𝑛
3𝑛 5
𝑥−∞ 𝑛 +𝑛
2𝑛+3
2.1 lim 3𝑛+5 = lim
𝑥−∞
3
∞
5
𝑥−∞ 3+∞
= lim
2+
2
2
= lim 3 = 3
𝑥−∞
2.2 lim (√3𝑛 + 1 − √𝑛 + 2) =
𝑥−∞
(√3𝑛+1−√𝑛+2)(√3𝑛+1+√𝑛+2)
3𝑛+1−𝑛−2
2𝑛−2
lim
= lim
= lim
=
(√3𝑛+1+√𝑛+2)
𝑥−∞
𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2)
𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2)
2𝑛 2
lim
𝑛
−
𝑛
𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2)
𝑛2
=
𝑛2
2
lim
𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2)
𝑛2
=
2
lim 0 = ∞
𝑥−∞
𝑛2
Номер 3 ряды
3.1
По признаку Даламбера
∑∞
𝑛=1
lim
𝑛−∞
𝑛3
3𝑛
1
= lim
𝑛−∞
1
(𝑛+1)3
3𝑛+1
𝑛3
3𝑛
= lim
𝑛−∞
(𝑛+1)3
3𝑛3
= lim
∞
𝑛−∞ ∞
= lim
𝑛−∞
𝑛3
𝑛3
3𝑛3
𝑛3
=
= 3 ⇒ 𝑙 < 1, следовательно ряд сходится
3
3.2
По признаку Коши
𝑛
𝑛
∞
∑𝑛=1 (
)
2𝑛+1
lim
1
1
𝑛−∞ 2+𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
= lim √(2𝑛+1) = lim (2𝑛+1) = lim
= lim
𝑛−∞
1
1
𝑛−∞ 2
𝑛−∞
𝑛−∞
𝑛
𝑛
2𝑛
𝑛
=
= 2 ⇒ 𝑙 < 1, следовательно ряд сходится
Номер 4 производные
4.1
y = sin(ln 𝑥 )
1
(ln 𝑥)′ = 𝑥
sin(ln 𝑥 )′ = sin(𝑦) = cos(𝑦) = cos(ln 𝑥 )
1
𝑦 ′ = 𝑥 cos( ln 𝑥)
4.2
6
𝑦 = ln √𝑥
′
6
1
( √𝑥 ) = 6 𝑥
1
−1
6
′
6
1
= 6𝑥
−
5
6
1
(ln √𝑥 ) = ln 𝑦 = 𝑦 =
𝑦′ =
1
6
√𝑥
∗
1
1
6
6 √𝑥 5
=
1
1
6
6 √𝑥 5
6
√𝑥
= 6𝑥
Номер 6 частные производные
6.1
1
𝑧 = 𝑥 3 𝑦 4 cos 𝑥
𝑧𝑥′
1
1
1
′
1
3
1
3
sin 𝑥
(− 𝑥 4 cos 𝑥 + cos(𝑥)2 𝑥 3 ) =
𝑦4
𝑧𝑦′
1
sin 𝑥
1
= 𝑦 4 (𝑥 3 cos 𝑥) = 𝑦 4 (− 𝑥 4 ∗ cos 𝑥 + cos(𝑥)2 ∗ 𝑥 3 ) =
1
1
1
′
1
− 3cos 𝑥+xsin 𝑥
𝑥 4 cos(𝑥)2 𝑦 4
1
1
1
= 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (𝑦 4 ) = 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (− 𝑦 5 ) = − 𝑥 3 cos 𝑥𝑦 5
′
𝑧𝑥𝑦
′
𝑧𝑦𝑦
=
− 3cos 𝑥+xsin 𝑥
𝑥 4 cos(𝑥)2
1
1 ′
∗ (𝑦 4 ) =
1
′
3cos 𝑥+xsin 𝑥
𝑥 4 cos(𝑥)2 𝑦 5
1
= 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (− 𝑦 5 ) = 𝑥 3 cos 𝑥𝑦 6
− 3cos 𝑥+xsin 𝑥 ′
1
= 𝑦 4 ( 𝑥 4 cos(𝑥)2 ) = 𝑦 4 ((− 3cos 𝑥 + xsin 𝑥) ∗
′
1
1
2𝑥 sin 𝑥−4 cos 𝑥
)
=
((3
sin
𝑥
+
𝑥
cos
𝑥
+
sin
𝑥)
∗
)
𝑥 4 cos(𝑥)2
𝑦4
𝑥 5 cos 𝑥 3
2𝑥 2 sin 𝑥 2 −6𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥+𝑥 2 cos 𝑥 2 +12cos 𝑥 2
′
𝑧𝑥𝑥
1
𝑥 5 cos 𝑥 3
6.2
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑧𝑥′ = 𝑦 ∗ 𝑥 𝑦
𝑧𝑦′ = 𝑥 𝑦 ln 𝑥
′
𝑧𝑥𝑦
= 𝑥 𝑦 + 𝑦𝑥 𝑦 ln 𝑥
′
𝑧𝑥𝑥
= 𝑦2𝑥 𝑦
=
′
𝑧𝑦𝑦
= 𝑥 𝑦 ln 𝑥 ∗ ln 𝑥 = 𝑥 𝑦 (ln 𝑥)2
Номер 7 сумма матриц
7.1
1 2
−1 2
А =(
)𝐵 =(
)
3 4
1 4
1−1 2+2
0 4
𝐶 =А+𝐵 =(
)=(
)
3+1 4+4
4 8
7.2
−8 −3
−1 −1
А =(
)𝐵 =(
)
−2 −6
−1 −1
−8 − 1 −3 − 1
−9 −4
𝐶 =А+𝐵 =(
)=(
)
−2 − 1 −6 − 1
−3 −7
Номер 8 произведение матриц
8.1
0 1
2 5
А =(
)𝐵 =(
)
−2 3
0 1
0∗2+1∗0
0∗5+1∗1
0
1
𝐶 =А∗𝐵 =(
)=(
)
−2 ∗ 2 + 3 ∗ 0 −2 ∗ 5 + 3 ∗ 1
−4 −7
8.2
6 2
0 −6
А =(
)𝐵 =(
)
3 8
5 7
6 ∗ 0 + 2 ∗ 5 6 ∗ (−6) + 2 ∗ 7
10 −22
𝐶 =А∗𝐵 =(
)=(
)
3 ∗ 0 + 8 ∗ 5 3 ∗ (−6) + 8 ∗ 7
40 −38
Номер 9 определитель матрицы
9.1
3 1
А =(
)
2 3
≜3∗3−1∗2=7
9.2
3 6
А =(
)
5 7
≜ 3 ∗ 7 − 6 ∗ 5 = −9
Номер 10 система уравнений
10.1
7𝑥 + 2𝑦 = 15
{
𝑥 − 2𝑦 = 7
{
𝑥=
15−2𝑦
7
𝑥 − 2𝑦 = 7
7𝑥 + 2𝑦 = 15
7𝑥 + 2𝑦 = 15
7∗7
{15 − 2𝑦
{15 − 16𝑦
=> 𝑦 = −
+ 15
16
− 2𝑦 = 7
=7
7
7
𝑦 = 18,0625
15−2𝑦
𝑥= 7
15−2∗18,0625
{
=> 𝑥 =
= −3,018
7
𝑥 − 2𝑦 = 7
Ответ: 𝑦 = 18,0625, 𝑥 = −3,018
10.2
9𝑥 = 11𝑦 + 5
{
6𝑦 = 12𝑥 − 8
11𝑦+5
𝑥= 9
{
6𝑦 = 12𝑥 − 8
𝑥=
11𝑦+5
9
{
11𝑦+5
6𝑦 = 12 ∗
−8
9
11𝑦+5
{
𝑥= 9
1,3333
=> 𝑦 = 126 , 𝑦 = 0,011
6𝑦 − 132𝑦 = −1,3333
11∗0.11+5
𝑥 =
= 0,69
9
Ответ: 𝑦 = 0,011, 𝑥 = 0,69
Номер 11 смешанное произведение
11.1
а = (1; −2; 1), 𝑏 = (2; 1; −2), 𝑐 = (1; 1; 1)
𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑎𝑥
𝑎 𝑥 𝑎𝑧
[a x b] ∗ c = (
𝑏𝑦 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑥 + ( 𝑏𝑥 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑦 + (𝑏𝑥
1 + (−4) ∗ 1 + 3 ∗ 1 = −6
11.2
𝑎𝑦
𝑏𝑦 ) 𝑐𝑧 = −5 ∗
а = (1; 1; 2), 𝑏 = (1; −1; 3), 𝑐 = (−2; −2; 2)
𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑎𝑥
𝑎 𝑥 𝑎𝑧
[a x b] ∗ c = (
𝑏𝑦 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑥 + ( 𝑏𝑥 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑦 + (𝑏𝑥
(−2) + 1 ∗ (−2) + (−2) ∗ 2 = −16
𝑎𝑦
𝑏𝑦 ) 𝑐𝑧 = 5 ∗
Номер 5 интегралы
5.1
𝑥 cos 2𝑥
cos 2𝑥
∫ 𝑥 3 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > = 2 + ∫ 2 ∗
2
3𝑥 𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > =
∫ 6𝑥 ∗
sin 2𝑥
3𝑥 3 sin 2𝑥
4
6𝑥 cos 2𝑥
8
4
+
+
𝑥 cos 2𝑥
+
2
4
𝑥 cos 2𝑥
𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > =
6𝑥 cos 2𝑥
8
3 sin 2𝑥
+∫
6cos 2𝑥
8
𝑑𝑥 =
𝑥 cos 2𝑥
2
+
3𝑥 3 sin 2𝑥
2
3𝑥 3 sin 2𝑥
4
−
+
+
8
5.2
∫ 𝑥 2 2𝑥 𝑑𝑥 =< ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > =
< ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 >=
𝑥2𝑥
𝑙𝑛2
2∗2𝑥
+ ln 23
𝑥 2 2𝑥
ln 2
−
𝑥2𝑥
𝑙𝑛2
𝑥 2 2𝑥
ln 2
2∗2𝑥
+∫
2𝑥
− ∫ ln 2 ∗ 2𝑥𝑑𝑥 =
ln 22
𝑑𝑥 =
𝑥 2 2𝑥
ln 2
−