МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Устройство и функционирование информационных систем» раздел “Надежность технических систем“ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ 1. Цель работы Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых изделий. 2. Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 1. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 2. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Невосстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта. Если происходит отказ такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана и ее необходимо начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа. Рассмотрим следующую модель испытаний. Пусть на испытании находится N 0 изделий и пусть испытания считаются законченными, если все они отказали. Причем вместо отказавших образцов отремонтированные или новые не ставятся. Тогда критериями надежности данных изделий являются: - вероятность безотказной работы P(t ) ; - средняя наработка до первого отказа Tcp ; - частота отказов a (t ) ; - интенсивность отказов (t ) . Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа. Согласно определению Р(t) = P(T > t), (1.1) где t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы; Т – время работы изделия от его включения до первого отказа. Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением P ( t) (N n ( t)) /N 0 0, (1.2) где N0 – число изделий в начале испытания; n(t) – число отказавших изделий за ремя t; Р(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы. При большом числе изделий N0 статистическая оценка Р'(t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы Р(t). На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q(t). Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместимыми и противоположными, поэтому Q(t ) P(T t ), Q (t ) n(t ) / N0 , Q(t ) 1 P(t ) . (1.3) Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются. Согласно определению a (t) n ( t)/N t, 0 (1.4) где n( t) – число отказавших образцов в интервале времени от t - t/2 до t + t/2. Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому a(t ) P(t ) Q(t ), t Q(t ) a(t )dt, (1.5) 0 t P(t ) 1 a(t )dt 0 Интенсивность отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени. Согласно определению ( t) n ( t)/( N t) cp (1.6) (N N )/2 - среднее число исправно работающих изделий в где N cp i i 1 интервале t ; N i - число изделий, исправно работающих в начале интервала t ; N i 1 -число изделий исправно работающих в конце интервала t . Выражение (1.6) есть статистическое определение интенсивности отказов. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения (t)a(t)/P (t). (1.7) Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью t P(t)e 0 (t)dt (1.8) Средняя наработка до первого отказа называется математическое ожидание времени работы изделия до отказа. Как математическое ожидание, Тср вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы): M [ t] T ta ( t) dt cp (1.9) Так как t положительно и Р(0) = 1, а Р() = 0, то T (t)dt cpP 0 (1.10) По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле N 0 T ( ti)/N cp 0 , (1.11) i 1 где ti – время безотказной работы i-го образца; N0 – число испытуемых образцов. Как видно из формулы (1.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Поэтому для вычисления Т’ср пользоваться указанной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения m T ( n )/N cp it cpi 0 (1.12) i 1 В выражении (1.12) tсрi и m находятся по по следующим формулам: tcpi(ti1ti)/2 , m tk/ t, где ti-1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время, в течение которого вышли из строя все элементы; t = ti-1 - ti – интервал времени. При изучении надежности технических устройств наиболее часто применяются следующие законы распределения времени безотказной работы: экспоненциальный, усеченный нормальный, Релея, Гамма, Вейбула, логарифмически-нормальный. В табл. 1 приведены выражения для оценки количественных характеристик надежности изделий при указанных законах распределения времени их безотказной работы (см. приложение 1). 4. Пример решения типовых задач На испытании было поставлено1000 однотипных ламп. За первые 3000 часовотказало 45 ламп, а за интервал времени 30000-4000 часов отказало еще 30 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп в промежутке времени 3000-4000 часов. Решение: По формулам (1.4) и (1.6) находим n ( t ) 50 51 a ( 3500 ) 5 * 10 , час tN 1000 * 1000 0 n ( t ) 50 5 1. ( 3500 ) 5 . 6 * 10 час tN 1000 * ( 920 870 ) / 2 cp 5. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 1 Критерии и количественные характеристики надежности 1. На испытание было поставлено 500 однотипных изделий. За первые 3000 ч отказало 40 изделий, а за интервал времени 3000 ... 4000 ч отказало еще 25 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа за 3000 и 4000 ч работы. Вычислить плотность и интенсивность отказов изделий в промежутке времени 3000...4000 ч. 2. На испытание поставлено 400 изделий. За 3000 часов отказало 200 изделий, за следующие 100 часов отказало еще 100 изделий. Определить Р(3000), Р(3100), Р(3050), а(3050), λ(3050) 3. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных электронных ламп типа 6Ж4. За первые 3 000 час отказало 80 ламп. За интервал времени 3000 — 4 000 час отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов ламп в промежутке времени 3 000—4 000 час. 4. Используя данные задачи 1.1, определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп за первые 3 000 час. 5. Используя данные задачи 1.1, найти вероятность безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп за время 4 000 час. 6. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4 000 час отказало 50 изделий. За интервал времени 4000—4100 час отказало еще 20 изделий. Требуется определить частоту и интенсивность отказов изделий в промежутке времени 4 000—4 100 час. 7. Используя данные задачи 1.6, определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа изделий за первые 4 000 час. 8. Используя данные задачи 1.6, вычислить вероятность безотказной работы и вероятность отказа изделий за время 4100 час. 9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени 1000—1100 час отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000—1100 час. 10. На испытание поставлено 400 резисторов. За время наработки 10000 час отказало 4 резистора. За последующие 1000 час отказал еще 1 резистор. Определить частоту и интенсивность отказов резисторов в промежутке времени 10000—11000 час. 11. Используя данные задачи 1.10, найти вероятность безотказной работы и вероятность отказа резисторов за время 10 000 час. 12. На испытание поставлено N0 изделий. За время t час вышло из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Δt вышло из строя n(Δt) изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и t+Δt, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале Δt. Исходные данные для решения задачи и ответы приведены в табл. 1. Таблица 1 Исходные данные к задаче 12 №№ п/п N0 t Δt 1 400 3000 100 200 100 2 1000 3000 1000 80 50 3 100 8 000 100 50 10 4 10 1 000 100 3 2 5 10 1000 100 3 1 6 I 000 0 20 n(t) n(∆t) 1000 0 Лабораторная работа № 1* Критерии и количественные характеристики надежности Для расчетов используем таблицу в приложение 1. 1. Пусть время работы элемента до отказа подчинено усеченному нормальному закону с параметрами Т1=8000 час, σ=2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), a(t), λ(t), Tcp для t=4000, 6000, 8000, 10000 час. 2. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), a(t), λ(t), Tcp для t=500, 1000, 2000 час, если параметр распределения σ=1000 час. 3. Время безотказной работы элементов подчинено экспоненциальному закону распределения с λ=3*10-5 1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности резервировнного изделия при общем недогруженном резервировании замещением с кратностью т=3. (t=200 час) 4. Время безотказной работы устройства подчинено закону Вейбулла с параметрами к=1,5 λ0=10-4 1/час, а время его работы t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), a(t), λ(t), Tcp 6. Контрольные вопросы 1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми? 2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы? 3. Что называется частатой отказов и по какой формуле она определяется? 4. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она определяется? 5. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле она определяется? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ 1. Научиться рассчитывать Цель работы критерии надежности восстанавливаемых изделий. 2. Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 3. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 4. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Восстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он вызовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа. Рассмотрим следующую модель испытаний. Пусть на испытании находится N изделий и пусть отказавшие изделия немедленно заменяются исправными (новые или отремонтированные). Испытания считаются законченными, если число отказов достигает величины, достаточно для оценки надежности с определенной вероятностью. Если не учитывать времени, потребного для восстановления системы, то количественными характеристиками надежности могут быть параметр потока отказов (t ) и наработка на отказ t ср . Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новые или отремонтированные). Согласно определению n( t) , N* t (t) (1.13) где n( t ) - число отказавших образцов в интервале времени от t t / 2 до t t / 2 ; N – число испытываемых образцов; t - интервал времени. Выражение (1.13) является статистическим определением параметра потока отказов. Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтерра второго рода ( t ) a ( t ) ( ) * a ( t ) d . t (1.14) 0 По известной a (t ) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (1.14) является основным уравнением, связывающим невосстанавливаемых и количественные восстанавливаемых характеристики надежности изделий мгновенном при восстановлении. Уравнение (1.14) может записываться в операторной форме: a ( s ) ( s ) 1 a ( s ) ( s ) a ( s ) . 1 ( s ) (1.15) Соотношения (1.15) позволяют найти одну характеристику через другую если существуют преобразования Лапласа функции a (s ) и (s ) и обратные преобразования выражений (1.15). Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами: 1) для любого момента времени независимого от закона распределения времени безотказной работы параметр потока отказов больше, чем частота отказов, т.е. (t) a(t); 2) независимо от вида функций a (t ) параметр потока отказов (t ) при t 1 стремится к T . Это важное свойство параметра потока отказов означает cp что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от закона распределения времени безотказной работы становится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина постоянная; (t) (t)a (t), если (t ) 3) если (t ) - возвращающая функция времени, то (t) (t)a (t); убывающая функция, то 4) при (t) const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потока отказов элементов, т. е. N t) t). c( i( (1.16) i 1 Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсивностей отказов элементов, полученные по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов; 5) при (t)const параметр потока отказов равен интенсивности отказов (t)(t). Из рассмотренных свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что эти характеристики различны. Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами. Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по формуле n ti i 1 , tcp n (1.17) где t i - время исправной работы изделия между (i-1)-м и i-м отказами; n – число отказов за некоторое время t. Из формулы (1.17) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется по данным испытаниям одного образца изделия. Если на испытании находится N образцов в течение времени t, то наработка на отказ вычисляется по формуле N nj tij j 1 i 1 t cp N , n j j 1 (1.18) где t ij - время исправной работы j-го образца изделия между (i-1)-м и i-м отказом; nj – число отказов за некоторое время t j-го образца. Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика обозначается Кг . Согласно данному определению tp К , г (tp tn) (1.19) где t p - суммарное время исправной работы изделия; t п - суммарное время вынужденного простоя. Времена t p и t п вычисляются по формулам n t t . p pi i 1 n t t , n ni i 1 (1.20) где t pi - время работы изделия между (i-1)-м и i-м отказом; t ni - время вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов) изделия. Выражение (1.19) является статистическим определением коэффициента готовности. Для перехода к вероятностной трактовке величины t cp и t n заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами и времени восстановления соответственно. Тогда tcp Кг (tcptв), (1.21) где t cp - наработка на отказ; t в - среднее время восстановления. Коэффициент вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок. Согласно определению t Кп n (tp tn) (1.22) или, переходя к средним величинам, tв К п (tсptв). (1.23) Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью Кп 1Кг . При анализе надежности (1.24) восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляется по формуле Тср К г (Тсрtв). (1.25) Формула (1.25) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда t cp Tcp . Для выяснения физического смысла коэффициента готовности К г запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов и интенсивность восстановления есть величины постоянные. Предполагая, что при t 0 система находится в исправном состояние ( P(0) 1 ), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений * ( ) * t e , Р t) г( t/К t г в P t) К ( 1 К * е г( г г) (1.26) , T 1 1 ; ; K где T t T t. cp г cp в cp в Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой момент времени t. Из (1.26) видно, что Рг (t)Кг при t , т.е. практически коэффициент готовности имеет смысл вероятности застать изделие в исправном состоянии при установившемся процессе эксплуатации. 4. Пример решения типовых задач 1. Время работы изделия до отказа (например, некоторых электровакуумных приборов) подчиняются закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия Р(t), a(t), (t), Tcp для t=500, 1000, 2000 час, если параметр распределения =1000 час. Решение: Воспользуемся формулами для закона распределения Релея, приведенными в табл. 1 (см. приложение I). Для t 500 час: 2 t2 500 2 P(500 )e 22 e 2*1000 e0.125 0.88 ; a(500 ) t t2 22 2 500 2 500 2*1000 3 1 ; e 0.44 *10 2 час 1000 t 500 3 1 ; (500 ) 0.5*10 2 2 час 1000 2 Tcp e 1000 1253 час 2 2 Для t 1000час 2 1000 2 P (1000 )e 2*1000 e0.50.606 ; 2 1000 2 10002*1000 3 1 ; a(1000 ) e 0.606 * 10 2 час Для t 2000час 1000 t 1000 3 1 (1000 ) 10 . 2 час 2 1000 2 2000 2 P (1000 )e 2*1000 e20.1353 ; 2 2000 2 20002*1000 3 1 ; a(2000 ) e 0.27 * 10 2 час 1000 t 2000 3 1 (2000 ) 2* 10 . 2 час 2 1000 ; Из примера видно, что данные электровакуумные приборы имеют низкую надежность и практически могут работать в течении времени t 500 час. 5. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 2 Критерии надежности восстанавливаемых изделий 1. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t1=12 мин, t2=23 мин, t3=15 мин, t4=9 мин, t5=17 мин, t6=28 мин, t7=25 мин, t8=31 мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры. 2. Средняя наработка на отказ аппаратуры составляет tcp=65 час и среднее время восстановления tв=1,25 час. Требуется определить коэффициент готовности. 3. Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения времени с параметром =2,5*10-5 1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента P(t), a(t), Tcp, если t=500, 1000, 2000 час. 4. В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь период зарегистрировано n = 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ tср. 5. В течение времени Δt производилось наблюдение за восстанавливаемым изделием и было зафиксировано n(Δt)=2 отказов. До начала наблюдения изделие проработало в течение времени t1=1200 ч, общее время наработки к концу наблюдения составило t2=5558 ч. Требуется найти наработку на отказ. 6. Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму – 11 отказов, третьему – 8 отказов. Наработка первого объекта t1 = 181 ч, второго t2 = 329 ч, третьего t3 = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ. 7. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов. 8. Система состоит из 5 приборов, имеющих разную надежность. Известно, что каждый из приборов, поработав вне системы в течении времени t1=600 ч, имел ni=45 отказов. Для каждого из приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти наработку на отказ всей системы. Аппаратура имела среднюю наработку на отказ tcp = 65 ч и среднее время восстановления tв = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности Кг . 9. 10. Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5·10–5 ч –1 . Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ tср, если t = 500, 1000, 2000 ч. 11. Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла – Гнеденко с параметрами k = 1,5, λо = 10–4 ч –1 , а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства. 12. Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч–1 , а среднее время восстановления tВ = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности. 13. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов. 7. Контрольные вопросы 1. Какие изделия называются восстанавливаемыми? 2. Что характеризует параметру потока отказов и по какой формуле он определяется? 3. Что такое наработка на отказ и по какой формуле она определяется? 4. Что определяет коэффициент готовности и по какой формуле он определяется? 5. Что определяет коэффициент вынужденного простоя и по какой формуле он определяется? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ОСНОВНОМ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ 1. Цель работы Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединение элементов. 2. Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 5. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 6. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное соединение элементов. При расчете надежности таких устройств предполагают, что отказ элемента является событием случайным и независимым. Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов в течение того же времени. Так как вероятность безотказной работы элементов в течение времени t можно выразить через интенсивность отказов в виде t (t)dt P(t)e 0 , то расчетные формулы для вероятности безотказной работы технического устройства при основном соединении элементов можно записать следующим образом: N P pN(t) pi (t), c(t)p 1(t)p 2(t)... i1 t exp 2(t)dt ... P ( t ) exp ( t ) dt c 1 0 0 t (1) t Nt N(t)dt exp ... exp ( t ) dt i i 1 0 0 Выражения (1) наиболее общие. Они позволяют определить вероятность безотказной работы изделий до первого отказа при любом законе изменения интенсивности отказов во времени. На практике наиболее часто интенсивность отказов изделий является величиной постоянной. При этом время возникновения отказов обычно подчинено экспоненциальному закону распределения, т. е. для нормального периода работы аппаратуры справедливо условие = const. В этом случае выражения для количественных характеристик примут вид t c P ( t) e e c N , c i, t/T cp c (2) i 1 a ( t) e , T 1 / . c c cp c c t c Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов системы будет r c Nii , (3) i1 где N i — число элементов t-го типа; r — число типов элементов. На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы высоконадежных систем. При этом произведение сt значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к. единице. В этом случае, разложив е-сt в ряд и ограничившись первыми двумя его членами, с высокой степенью точности можно вычислить P(t). Тогда основные количественные характеристики надежности можно с достаточной для практики приближенным формулам: точностью вычислить по следующим r P t) 1 t N 1 t, c( i i c i 1 T cr 1 r N c i i, i 1 (4) 1 / (t) 1 t). c, a c( c N i 1 Вычисление i i количественных характеристик надежности по приближенным формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность безотказной работы которых превышает 0,9, т. е. для t 0,1 . При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам: N p (t)p (t)... p (t)1 qi(t), 1 2 N i1 piN(t)1Nq i(t), (5) Np (t) 1q(t)/N, i i где qi(t) —.вероятность отказа i-го блока. В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу изделия, различают прикидочный, ориентировочный и окончательный расчет надежности. 4. Пример решения типовой задачи В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность 5 отказов которых равна 1 10 1 . Системы имеют число элементов 1 500 час и 2 2500 . Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность безотказной работы в конце первого часа Рс (1). Решение: Интенсивность отказов системы соответственно будет 5 2 1, N 500 * 10 0 . 5 * 10 c 1 1 i час 5 1. N 2500 * 10 0 . 025 c 2 2 i час Тогда 2*1 Pc1 ec1t e0.5*10 0.995 ; Pc2 e0.025*1 0.975 ; 1 200час ; c1 0.5*102 1 1 Tcpc2 40час . c2 0.025 Tcpc1 1 5. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 3 Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединение элементов 1. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых 1 6 0 ,32 * 10 . ср Необходимо час определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час. 2. Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p ( t ) 0 , 98 ; p ( t ) 0 , 99 ; p ( t ) 0 , 97 ; p ( t ) 0 , 985 ; p ( t ) 0 , 975 . Требуется 1 2 3 4 5 определить вероятность безотказной работы системы. 3. Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа 160 час ,Т 320 час ,Т 600 час .Для блоков справедлив которых равна Т 1 2 3 экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы. 4. В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность 5 отказов которых равна 1 10 1 . Системы имеют число элементов час 1 600 и 2 2000 . Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность безотказной работы в конце первого часа Рс (1). 6.Контрольные вопросы 1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми изделиями при основном соединение элементов? 2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы? 6. Что называется частатой отказов и по какой формуле она определяется? 7. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она определяется? 8. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле она определяется? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ 9. Цель работы Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых резервированных изделий технических систем. 10.Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 7. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 8. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Зарезервированными соединениями называется такое соединение, при котором отказ наступает только после отказа основного изделия и и всех резервных изделий. Схемные обозначения различных способов резервирования приведены на рис.1. 1 2 n 1 0 0 1 . m 1 . . m а) общее постоянное с целой кратностью 1 2 n б) раздельное постоянное с целой кратностью 1 n 1 . . . m 2 2 n 1 . . . m в) общее замещением с целой кратностью г) раздельное замещение с целой кратностью 1 2 3 4 m=2/4 е) раздельное замещение с дробной кратностью m=4/3 д) общее постоянное с дробной кратностью Рис. 1. Схемные обозначения различных способов резервирования Общим резервированием называется метод повышения надежности, при котором резервируются изделия в целом. Раздельным резервированием называется метод повышения надежности, при котором резервируются отдельные части изделия. Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью резервирования m понимается отношение числа резервных изделий к числу резервируемых (основных). Различают резервирование с целой и дробной кратностью. Схемные обозначения обоих видов резервирования при постоянном включении резерва одинаковы. Для их различия на схеме указывается кратность резервирования m. При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число, при резервировании с дробной кратностью величина m есть дробное несокращаемое число. Например, m=4/3 означает наличие резервирования с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно четырем, число основных – трем, а общее число элементов равно семи. По способу включения резервирование разделяется на постоянное и резервирование замещением. Постоянное резервирование - резервирование, при котором резервные изделия подключены к основным в течение всего времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование замещением – резервирование, при котором резервные изделия замещают основные после их отказа. При включение резерва по способу замещения резервные элементы до момента включения в работу могут находиться в трех состояниях: - нагруженном резерве; - облегченном резерве; - ненагруженном резерве. Приведем основные расчетные формулы для указанных выше видов резервирования. 1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис.1,а ) m 1 n P ( t ) 1 1 p t ) c i( , 1 i (1) где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течении времени t; n – число элементов основной или любой резервной цепи; m – число резервных цепей (кратность резервирования). При экспоненциальном законе надежности, когда рi(е) = e t , i tm 1 0 P ( t) 1 [ 1 e ] , c ( ) * t ( ) * t 1 2 1 2 а ( t ) 2 * ( ) * e [ 1 e ]; с 1 2 m (2) m 1 1 1 T T , cp c cp 0 i 1 i i 1 i 0 0 0 n где 0 i интенсивность отказов нерезервированной системы или любой i1 из m резервных систем; Tcp 0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы или любой из m резервных систем. При резервировании неравнонадежных изделий m m P ( t ) 1 q ( t ) 1 [ 1 p ( t )] , c i i i 0 (3) i 0 где qi(t), pi(t) – вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение времени t i-го изделия соответственно. 2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис.1,б ): n m 1 i P ( t ) { 1 [ 1 p t )] }, c i( (4) i 1 где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента; mi – кратность резервирования i-го элемента; n – число элементов основной системы. При экспоненциальном законе надежности, когда pi (t) et i n tm 1 i P ( t ) { 1 [ 1 e ]i }. c (5) i 1 При равнонадежных резервирования элементах и одинаковой кратности tm 1 } P ( t ) { 1 [ 1 e ] , c n m ( n 1 )! 1 T P ( t ) dt , cp c c ( m 1 ) ( 1 )...( n 1 ) i 0 i i i 0 (i 1 )/( m 1 ). где i их (6) (7) ( ) * t ( ) * t t t 1 2 1 2 1 2 а ( t ) 2 * e [( )( 2 * e ) ( 2 ) * e ( 2 ) * e ] c 1 2 1 2 1 2 3. Общее резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,в ) t P ( t ) P ( t ) P ( t ) a ( ) d , m 1 m m 0 (8) где Pm1(t),Pm(t) - вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m+1 и m соответственно; P(t ) - вероятность безотказной работы основной системы в течение времени (t ) ; a m ( ) - частота отказов резервированной системы кратности m в момент времени . Рекуррентная формула (8) позволяет получить расчетные соотношения для устройств любой кратности резервирования. Для получения таких формул необходимо выполнять интегрирование в правой части, подставив вместо; P(t ) и a m ( ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием резерва. При экспоненциальном законе надежности и ненагруженном состоянии резерва ( t)i 0 P t) e , c( ! i 0 i T T m 1 ), cp c cp 0( t 0 m (9) (10) где 0 , Tcp 0 - интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа основного (нерезервированного) устройства. При экспоненциальном законе и недогруженном состоянии резерва i 1 a m t ti i 0 i P ( t ) e 1 ( 1 e ) , c i ! 1 i 1m 1 T cp c , ik 01 0i (11) (12) 0 1 ( j ) ;k ; i 1- интенсивность отказов резервного устройства где a j 0 1 0 до замещения. При нагруженном состоянии резерва фурмулы для Pc (t ) и Tcp совпадают с (2). 4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,г ) c n P t) p t), c( i( i 1 (13) где pi (t ) - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i-го типа, резервированных по способу замещения. Вычисляется Pi (t ) по формулам общего резервирования замещением [формулы (8), (9), (11)]. 5. Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом (рис.1,д ) l h i il i j l j P ( t ) C ( t )( 1 ) C ( t ) , c lp ip 0 i 0 j 0 1lh 1 T , cp c h i i 0 0 (14) (15) где р0(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента; l – общее число основных и резервных систем; h – число систем, необходимых для нормальной работы резервированной системы. В данном случае кратность резервирования m(lh)/h. (16) 6. Скользящее резервирование: t Pc (t) p (t) np (t)a()p(t )d n1 n 0 t n2 p1(t)a()a(1)p(t I )d1d ... 0 0 t t t n p a()a(1) a(2)... 0 0 0 m0 n1 I t (17) t 0 ... a(m01 )p(t m01)dm 1 ...d1d, 0 0 m 1 I II 0 ; ...; ... ; n - число 1 1 2 1 m 1 0 (m 2) где элементов основной системы; m0 – число резервных элементов; p(t - ti) – вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t – ti; m 1 t t ,t ,t ;a ( i i) - частота отказов одного из основных элементов в момент времени i , 0 i ,1,..., m1. 0 При экспоненциальном законе надежности 0 (n t)2 (n t)m P ( t ) e [ 1 n t ... ] c 2 ! m ! 0 n t m m 0 0 ( t)i (n t)i t n t 0 0 e e ; i! ! i 0 i 0 i T T m 1 ), cp c cp 0( 0 (18) где 0 n - интенсивность отказов нерезервированной системы; интенсивность отказов элемента; n – число элементов основной системы; Tcp 0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы; m0 – число резервных элементов. В этом случае кратность резервирования m m0 / n. (19) Приведенные выше формулы [кроме выражения (8), (11), (12)] могут быть использованы только в тех случаях, когда вправедливо допущение об отсутствии последствия отказов. Выражение (8) является основным при получении расчетных формул в случае учета влияния последствия отказов. При этом члены p(t ) и a m ( ) должны быть записаны с учетом последствия отказов, вида резервирования и его кратности. Элементы резервированных устройств в ряде случаев могут иметь два вида отказов – “обрыв” и “короткое замыкание”. В этом случае вычислять вероятность безотказной работы следует, суммируя вероятности всех благоприятных (не приводящих к отказу) гипотез, т.е. k P t) pj(t), c( j 1 (20) где p j (t ) - вероятность j-й благоприятные гипотезы, вычисленной с учетом двух видов отказов; k – число благоприятных гипотез. При вычислениях рj(t) следует иметь в виду, что для элементов сложной системы справедливы выражения t p ( t ) exp ( t ) dt ,0 1 , (21) 3 0 где (t ) - интенсивность отказа элемента; 0 , 3 - веротность возникновения “обрыва” и “короткого замыкания” соответственно. При экспоненциальном законе надежности t p ( t ) e , 3 , 0 , 3 0 0 3 (22) 0 3 где 0 , 3 - интенсивность отказов элемента по “обрыву” и “короткому замыканию” соответственно. Расчет надежности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему “гибели” (“чистого размножения”). В соответствии с этой схемой преобразование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле ... 0 1 2 n 1 P ( s ) . n ( s )( s )...( s ) 0 1 n (23) При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа Pn(s) будет s t k e P ( t ) ... . n 0 1 n 1 B '( s ) k 0 k n (24) В формулах (23) и (24) приняты обозначения: 0 - интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; 1 - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого элемента до второго; 2 - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго элемента до третьего и т.д.; n – число отказавших k kй корень знаменателя выражения (23); B' ( s k ) элементов; sk производная знаменателя в точке s k . ... При одинаковых опасностях отказов i , т.е. 0 1 n, расчетные формулы имеют вид n n ( t ) t 0 0 P ( s ) , P ( t ) e . (25) n n 1 ( s ) 0 n 0 n ! При расчетах надежности по формула (23) – (25) следует помнить, что они не определяют вероятности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, т.е. вероятности того, что в системе откажут n элементов. Для вычисления вероятности безотказной работы необходимо находить вероятности 0, 1, …, n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммировать полученные вероятности. Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы “гибели” вычисляется по формуле n1 1 Tcpc , (26) i Наиболее часто используются следующие критерии качества резервированных устройств: Gq (t ) - выигрыш надежности в течении времени t по вероятности отказов; G p (t ) - выигрыш надежности в течении времени t по вероятности безотказной работы; GT - выигрыш надежности по среднему времени безотказной работы. При резервировании элементов электроники (резисторов, конденсатор, контактов реле, диодов и т.п.) всегда произведение интенсивности отказов элемента на время его работы значительно меньше единицы, т.е. t 1 . Поэтому при вычислении Gq (t ) и G p (t ) целесообразно функции вида e kt (экспоненциальный случай) разложив в ряд: 2 2 2 k t k t e 1 k t ( при небольши k ) i0 2 ! Если система исправна при отказе m элементов, то необходимо брать не менее чем m+2 членов разложения. 4. Пример решения типовой задачи Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения: часчас. Необходимо определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t=100 час, среднюю наработку до первого отказа, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час. Решение: Pc(t) 1[1e(12)*t]2; 3 3 Pc (100 )1[1e(0.3*10 0.7*10 )*100]2 0.99; n 1 m 1 Tcpc ; 0 i i1 0 i0 i1 1 1 1 1 1 1 Tcpc * 1500час ; 3 3 0 i0 i1 0.3*10 0.7*10 1 2 ac (t)2(1 2)e(12)*t [1e (12)*t ]; 30.7*103)*100 ac (100 )2(0.3*103 0.7*103)e(0.3*10 (0.3*1030.7*103)*100 ]1.8*104 1 ; час a(100 ) c(100 ) a(100 )1.8*104 1 . час P(100 ) *[1e где m – кратность резервирования (m=1). * 5. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 4 Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединение элементов 1. Предполагается, что последствие отказов отсутствует и все элементы расчета равнонадежны. Интенсивность отказов элемента 1/час. Требуется определить наработку до первого отказа резервированного устройства. (В данном случае имеется место раздельное резервирование равнонадежных устройств с постоянно включенном резервом.) 2. Система имеет кратность общего резервирования m = 5. Основная нерезирвированная система содержит четыре равнонадежных элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказов одного элемента λ = 0,210-3 . Определить характеристики надежности системы за 1000 ч. 3. Определить характеристики надежности системы при кратности раздельного резервирования каждого элемента m = 4. Интенсивность отказов одного элемента λ = 0,710-3 . Определить характеристики надежности системы за 500 ч. 4. Система имеет кратность общего резервирования замещением m = 5. Основная нерезервированная система содержит четыре равнонадежных элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказов одного элемента λ = 0,210-3 . Определить характеристики надежности системы за 1000 ч. 5. Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения: часчас, час. Необходимо определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t=200 час, среднюю наработку до первого отказа, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=200 час. 6. Средняя наработка до первого отказа схемы рис. 2 Тср с=1000 час и Т1=2Т2. Необходимо найти вероятность безотказной работы схемы в течение 100 час. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы (времени до отказа) 1. Цель работы Научиться определять вид и параметры закона распределения времени исправной работы изделий. 2. Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 9. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 10. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Определение вида параметров закона распределения времени исправной работы. Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением f (t) et , (1) где — интенсивность отказов есть величина, обратная средней наработке до отказа 1/ Т . Оценки параметра экспоненциального распределения могут быть получены по формулам, соответствующим планам испытаний, приведенным в табл. 1. Во втором столбце этой таблицы располагаются условные трехбуквенные обозначения планов, которые расшифровываются следующим образом: первая бука п означает объем выборки, подверженной испытаниям; второй буквой Б или В обозначены планы без восстановления выборки или с восстановлением ее соответственно; третья буква (п, или t0 пли d) в условном обозначении плана указывает на признак окончания испытания. Планы, предусматривающие испытания до отказа всех испытываемых элементов выборки, обозначены, буквой п; планы с окончанием испытаний через заданное время обозначены буквой t0; буквой d обозначены планы с окончанием испытаний после появления установленного числа d отказов. Таким образом, символом [п, В, t0], например, обозначен план с восстановлением выборки объема п и окончанием испытаний по истечении времени t0. Символ [п, Б, d] относится к плану без восстановления выборки с окончанием испытаний после d отказов. Кроме указанных выше символов в таблице приняты также следующие обозначения: t d - время от начала испытаний до d-го отказа; t - суммарная наработка. Формулы, содержащиеся в табл. 1, удобно обозначать двузначными числами, у которых первая цифра — номер строки (план), а вторая — номер столбца. Например, в таблице формула, обозначенная номером (14), записывается в виде n/ t . Таблица 1 Планы испытаний для случая экспоненциального распределения (оценка параметра ) Номер плана План испытани й Суммарная наработка 1 1 2 [nБn] 3 t i 1 2 3 4 6 i Нижняя граница Н Верхняя граница В 5 6 n t (1 2n) 1)( (2)(2n) 2t 2t 2 2 d 0 t (nd)t d t (1 2d) 1)( (2)(2d) 2t 2t [nБt0] nt0 – 0 r0 t ti (nd)td d 1 t 2(1 2d) 1)( 2(2)(2d) 2t 2t d t 2(1 2d) 1)( 2( 2 d2 ) 2)( 2t 2t d 1 t 2(1 2d) 1)( 2(2)(2d) 2t 2t [nБt0] d i 1 d 0 [nБd] i 0 d i 1 5 отказов 4 n t Оценка интенсивности [nB t0] [nBd] nt0 ntd 2 2 Для определения доверительных границ , при d 0 необходимо пользоваться таблицей квантилей хи-квадрат распределения (табл. П.7.1), в 2) и число степеней которой параметрами являются вероятность Р(1 1 или свободы , равное 2n, 2d или 2d+2, в зависимости от плана. Для определения в при d=0 в плане [п, Б, t] нужно определить коэффициент r0 по табл. П.7.8. Учитывая, что при экспоненциальном распределении P(t) et , а T 1/ , получим: P t)eвt et/Tн, н( P t)eнt et/Tв , в( (2) T 1/ 1/ н в, T в н. Для этих целей можно воспользоваться и непосредственно табл. 1. В том случае, когда число степеней свободы (2п в планах [п, Б, п] или 2d в других планах) более 100, формулы для определения доверительных границ, приведенные в табл. 1, не могут быть реализованы ввиду ограниченности табл. П.7.1. При таких объемах испытаний выборочная оценка средней наработки на отказ распределена нормально и поэтому могут быть использованы формулы для границ Т при нормальном распределении времени безотказной работы, в соответствии с которыми T T t /n . в ,н ( n 1 )S (3) Получение значения S при этом может оказаться затруднительным и в ряде случаев невозможным. Тогда следует воспользоваться свойством экспоненциального распределения, у которого T , а следовательно, S T . При планировании объема испытаний для случая экспоненциального закона распределения времени безотказной работы необходимо определить, сколько экземпляров и сколько времени нужно испытывать, чтобы получить из опыта интенсивность отказов с ошибкой, не превосходящей заданную. Если заданная предельная ошибка выражена в процентах и равна , то можно записать 1 100 н (4) Тогда для плана [n, Б, п] имеем 2 2 n / r . ( 1 )( 2 n ) 1 1 (5) Это соотношение при заданных и 1 позволяет определить объем испытаний п с помощью табл. П.7.1. Для удобства решения этой задачи составлена табл. П.7.2 для значений r1 , в которой входами являются d=n и 1 . Табл. П.7.2, очевидно, может быть использована для определения п в планах [n, Б, п]. При планах [п, Б, t0] объем испытаний определяется величинами п и t0. При испытаниях регистрируется число отказов d. Очевидно, что между d и t0 существует неявная связь. Поэтому по величине R1 , пользуясь табл. П.7.3, составленной для вероятности =0,95, находим d. Затем по числу d и заданному значению доверительной вероятности определения объема испытаний 0 с помощью табл. П. 7.4 находим коэффициент r3 и по формуле получаем примерный объем испытаний nt0 dr 3 / 0, (6) где 0 - ожидаемое значение . Если п или t0 задается заранее, то из произведения nt0 легко определить искомое. Для планов [п, Б, d] объем испытаний определяется значениями п и d. Число отказов d можно определить по табл. П.7.2, исходя из заданного r1 и доверительной вероятности 1 . Величина п влияет только на длительность испытаний: чем больше n, тем скорее будет достигнуто число отказов d и, следовательно, время испытаний будет меньшим. В случае планов типа [n, В, t0] испытанию подлежат п объектов в течение времени t0. Время t0 косвенно связано с числом отказов d при испытаниях, которое определим по табл. П.7.2 для заданных и 1 . Для того чтобы по числу d найти необходимые п и t0 с вероятностью 0 , воспользуемся вспомогательным коэффициентом известным d и 0 . r3 , определяемым из табл. П.7.4 по Наконец, установив предполагаемое значение 0 , находим по формуле (6) произведение nt0. Для планов типа [п, В, d] объем испытаний определяется величинами n и d, которые находятся так же, как и в случае планов типа [п, Б, d]. 4. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 5 Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы (времени до отказа). Экспоненциальный закон 1. План [n, Б, n]. При испытании n=10 устройств до выхода их из строя получены следующие значения наработки в часах: t1=30, t2=35, t3=50, t4=85, t5=100, t6=150, t7=250, t8=300, t9=400, t10=600. Требуется определить: Оценку интенсивности отказов . Верхнюю доверительную границу в с доверительной вероятностью 2 0.9 . 0 . 9и 0 . 05 Двусторонний доверительный интервал для при . 1 2 Оценку средней наработки до отказа T и его нижнюю границу с вероятностью 0,9. 2. План [n, Б, t0]. За время испытаний по плану [n=50, Б=, t0=500 час] отказало d=6 устройств, причем отказавшие устройства проработали до выхода из строя соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 час. Требуется определить оценку и двусторонний доверительный интервал для 0.8 при 1 2 0.1. 3. План [n, Б, d]. При испытаний по плану [n=50, Б=, d=6] получены следующие значения наработки отказавших устройств: 50, 150, 200, 300, 350, 450 час. Отказавшие устройства не восстанавливаются. Требуется определить оценку и доверительный интервал для 0.9 при 1 2 0.05 . 4. План [n, Б, t0]. При испытаниях n=100 устройств в течение времени t0=100 час зарегистрировано 5 отказов. Отказавшие устройства мгновенно заменяются исправными. Требуется определить оценку интенсивности отказов, верхнюю доверительную границу с вероятностью 0,99 и доверительный интервал для 1 2 0.05 0.9 с при . ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы (времени до отказа). Усеченное нормальное распределение 1. Цель работы Научиться определять вид и параметры закона распределения времени исправной работы изделий. 11.Программное обеспечение, используемое в работе При проведение занятий по дисциплине используются следующие программные продукты: 11. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version. 12. Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE. 3. Теоретические основы Определение вида параметров закона распределения времени исправной работы. Усеченное нормальное распределение Нормальный закон распределения наиболее часто используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных отказов. Плотность вероятности нормального распределения задается уравнением 2 1 ( t T ) f ( t ) exp , 2 2 2 где Т — средняя наработка до отказа; (1) — среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы. Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от до , а время безотказной работы может быть только положительным, нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью 2 ( с t T ) f ( t ) exp 2 2 2 (2) где с—нормирующий множитель. Нормирующий множитель с определяется из выражения с f (t)dt1 (3) 0 и равен T T 1 1 c 1 / F 1 / 0 , 5 , 0 (4) T / где 2 T 11 1 F ex/2 dx табулированная 2 интегральная функция T / 2 T 11 x /2 1 e dx нормального распределения; — нормированная функция 0 2 Лапласа. Средняя наработка до отказа и параметр T1 усеченного нормального распределения связаны зависимостью T T 1 При e T/2 T 2 F 1 2 1 2 (5) T / 2 , что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент с мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом. При испытании выборки объемом в п изделий с наработкой t1, t2, , tn параметры распределения T и оцениваются по формулам n ti , T i1 n (6) 1 S ( t T ) n (7) 2 n 1 i 1 i С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда п велико, t i — большие или нецелые числа, следует использовать тождество 2 n 1 ( t T ) t t i i n i 1 i 1 n n 2 2 i i 1 (8) Доверительные границы Т определяются по уравнениям: T T t н (n 1 ) 1 S T T t2(n в 1 ) S - нижняя граница, (9) - верхняя граница, (10) n n где t ( n 1) - квантиль распределения Стьюдента для вероятности или уровня значимости 1 и числа степеней свободы f n 1; величина t ( n 1) находится по табл. П.7.5. В случае двустороннего определения доверительных границ . ( 1 )/2 1 2 Доверительные границы о определяются с помощью формулы 2 2 ( n 1 ) S n 1 ) S 2 ( , 2 2 ( 1 / 2 )( n 1 ) (11) (/ 2 )( n 1 ) 2 где (1 / 2)(n1) — квантиль хи-квадрат распределения при вероятности p1/2 2 и числе степеней свободы n 1; ( / 2)(n1) — то же для вероятности p / 2 . 2 Значения ( p )( ) находятся по табл. П.7.1. 4. Задание на лабораторную работу Лабораторная работа № 6 Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы (времени до отказа). Усеченное нормальное распределение 1. При испытании десяти элементов, отказы которых распределены нормально, получены следующие значения времени безотказной работы в часах: t1=150, t2=100, t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80, t10=150. Требуется оценить Т и и определить для них двусторонние доверительные интервалы с вероятностью =0,9. 2. В результате испытаний 15 элементов были получены следующие значения наработки в часах: 10,2; 12,3; 17,1; 18,4; 20,3; 22,7; 23,1; 25,5; 26,4; 28,9; 30,3; 32,5; 33,3; 38,1; 41,0. Требуется определить оценку средней наработки до отказа ( T ) и дисперсию ( 2 ), а также нижнюю границу Т и верхнюю границу с вероятностью 0.95. 3. При испытании двенадцати элементов, отказы которых распределены нормально, получены следующие значения времени безотказной работы в часах: t1=150, t2=100, t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80, t10=150, t11=120, t12=160. Требуется оценить Т и и определить для них двусторонние доверительные интервалы с вероятностью =0,8. 4. В результате испытаний 20 элементов были получены следующие значения наработки в часах: 11,2; 12,3; 17,1; 16,8; 20,3; 25,7; 23,1; 35,8; 26,4; 28,9; 30,3; 32,5; 33,3; 38,1; 41,0; 22,8; 35,8; 20,4; 17,5; 10,5. Требуется определить оценку средней наработки до отказа ( T ) и дисперсию ( 2 ), а также нижнюю границу Т и верхнюю границу с вероятностью 0,9. Рекомендуемая литература 5.1. Основная литература. 1. Заботина, Н. Н. Проектирование информационных систем [Текст] : учеб. пособие рек. УМО / Н. Н. Заботина. - М. : ИНФРА-М, 2013. - 330 с. 2. Орлов, С. А.Технологии разработки программного обеспечения. Современный курс по программной инженерии [Текст] : учебник доп. МО РФ / С. А. Орлов, Б. Я. Цилькер. - 4-е изд. - СПб. : Питер, 2012. - 608 с. 5.2. Дополнительная литература. 1. Черкесов, Геннадий Николаевич. Надежность аппаратно-программных комплексов [Текст] : учеб. пособие для вузов рек. МО / Черкесов, Геннадий Николаевич. - СПб. : Питер, 2005. 478 с. : ил. - 40 экз. - ISBN 5-469-00102-4. 5.3. Методические разработки кафедры. 1. Надежность аппаратных и программных средств вычислительных систем [Текст] : учеб. пособие для вузов рек. УМО / С. В. Краснов, Т. И. Китанина. - Тольятти : ВУиТ, 2005. - 69 с. - 91 экз. 2. Методические указания для выполнения расчетно-графической работы по дисциплине"Надежность информационных систем" [Текст] / Маркова, Татьяна Ивановна. - Тольятти : ВУиТ, 2005. - 39 с. : ил. - 251 экз. 4-47. 5.4. Ресурсы информационно-коммуникационной сети «Интернет». Адрес Интернет ресурса Название Интернет ресурса Режим доступа Интернет – университет http://intuit.ru/ информационных технологий Свободный Свободная общедоступная http://ru.wikipedia.org/ мультиязычная универсальная Свободный интернет-энциклопедия Сайт журнала «Вестник http://vkit.ru// компьютерных и информационных технологий» Свободный Приложение 1 Таблица 1 Основные отношения для количественных характеристик надежности при различных законах распределения времени до отказа Наименова Частота отказов Вероятность Интенсивность Средняя ние закона (плотность безотказной работы наработка отказов (t) распределе распределения) а(t) Р(t) до ния первого отказа Тср Экспоненц t const иальный 1 e t e Релея t e 2 Гамма (при k целом) Вейбулла Усеченный нормальны й Логарифми ческий – нормальны й 0 t2 2 2 e (0t )k1 0t e (k1)! r 1 0 t k 0 kt e 1 T F 1 2 1 t 2 (tT)2 3 e 2 1 lnt 2 ( ) e 2 t 2 0 ( 0i )k 1 k 1 ( t )i ( k 1)! 0 i 0 i! k t2 2 2 k 1 (0t )i t 0 e i 0 i! e 0 t k 0 kt T t F( 1 ) T F( 1 ) ln t 1 ( ) 2 e 2 0 k 1 1 Г 1 k 1 0k ( t T1 )2 2 2 T1 T t 2 F ( 1 ) 1 lnt 2 ( ) 1 e 2 t 2 0.5( lnt ) T 2F( 1) T2 1 2 e 2 (l 1 e 2 0 Таблица 2 - Значения функции F0(x) x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95 0,95 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,98 0 5000 5393 5793 6179 6551 6915 7257 7581 7881 8159 8413 8643 8849 0320 1924 3319 4520 5543 6407 7128 7725 8214 8610 9828 1802 3790 5339 6533 7445 8134 8650 0324 3129 5166 6631 7674 8409 8922 2765 5190 6833 7934 8665 1460 4588 660278 88 8699 2067 5208 7134 8302 004 421 667 810 893 40 67 82 90 1 5040 5438 5832 6217 6594 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 0490 2073 3448 4630 5637 6485 7193 7778 8257 8645 8953 2024 3963 5473 6636 7523 8193 8694 0646 3363 5335 6752 7760 8469 8964 3052 5385 6964 8022 8723 1837 4832 6759 7987 8764 2454 5446 7278 8389 056 452 685 821 899 44 60 83 - 2 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8238 8461 8686 8888 0658 2220 3574 4738 5728 6562 7257 7831 8300 8679 8983 2240 4132 5603 6736 7599 8250 8736 0957 3590 5499 6869 7842 8527 9004 3327 5573 7090 8106 8778 2198 5065 6908 8081 8821 2882 5673 7416 7472 105 481 702 831 906 47 71 84 - 3 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8212 8485 8708 8907 0824 2364 3699 4855 5818 6637 7320 7882 8341 8713 9010 2451 4297 5731 6833 7673 8305 8777 1260 3810 5658 6982 7922 8583 9043 3593 5753 7211 8180 8832 2544 5288 7051 8172 8777 3173 5888 7548 8551 152 509 718 840 910 50 72 85 - 4 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 0988 2507 3822 4950 5907 6712 7381 7932 8382 8745 9036 2656 4457 5855 6928 7744 8359 8817 1553 4022 5811 7091 7999 863790 80 3848 5926 7327 8264 8882 2876 5502 7187 8258 8931 3508 6094 7672 8626 197 539 734 849 915 53 74 86 - 5 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8389 8531 8749 8944 1149 2647 3943 5053 5994 6784 7441 7982 8422 8778 9061 2857 4614 5975 7020 7814 8411 8856 1836 4230 5959 7197 8074 8689 9116 4094 6092 7439 8338 8931 3193 5706 7318 8340 8983 3827 6289 7791 8698 240 560 748 857 920 55 75 87 - 6 5239 6536 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 1308 2785 4062 5154 6080 6856 7500 8030 8461 8809 9086 3053 4766 6093 7110 7882 8462 8893 2112 4429 6301 7299 8146 8739 9150 4331 6252 7576 8409 8978 3497 5902 7442 8419 9032 4131 6475 7904 8765 280 584 762 865 924 58 77 87 - 7 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 1466 2922 4179 5254 6164 6926 7588 8077 8500 8840 9111 3244 4915 6207 7197 7948 8511 8930 2378 4623 6242 7398 8215 8787 9184 4558 6406 7649 8477 9023 3788 6089 7561 8494 9079 4420 6652 8011 8830 318 606 775 873 929 60 78 88 - 8 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 1621 3056 4295 5352 6246 6995 7615 8124 8537 8870 9134 3431 5060 6319 7282 8012 8559 8965 2636 4810 6376 7493 8282 8834 9216 4777 6554 7748 8542 9066 4066 6268 7675 8566 9124 4696 6821 8113 8891 354 628 787 880 933 63 79 89 - 9 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 1774 3185 4408 5449 6329 7062 7670 8169 8574 8899 9158 3613 5201 6427 7365 8074 8605 8999 2886 4991 6505 7585 8347 8879 9247 4988 6696 7843 8606 9107 4332 6439 7784 8634 9166 4958 6981 8210 8949 388 648 799 886 936 65 81 90 - Таблица 3 - Значения функции ( х) x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03 0,05 0 3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 9405 7895 6562 5399 4398 3547 2833 2239 1753 1358 1042 7915 5952 4432 4432 1338 1487 1 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 9246 7754 6438 5292 4307 3470 2768 2186 1709 1324 1014 7696 5782 4301 3267 0893 0897 2 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 9089 7614 6316 5186 4217 3394 2705 2134 1667 1289 0987 7483 5716 4173 2384 0589 0536 3 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 8933 7477 6195 5082 4128 3319 2643 2083 1625 1256 0961 7274 5454 4049 1723 0385 0317 1 х е 2 2 4 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 3083 1849 1626 1415 1219 1040 8780 7341 6077 4980 4041 3246 2582 2030 1585 1223 0935 7071 5296 3928 1232 0249 0186 /2 5 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3111 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 8628 7206 5959 4879 3955 3174 2522 1984 1545 1191 0909 6873 5143 3810 0873 0160 0108 6 3982 3939 3857 3739 3585 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 8478 7074 5844 4780 3871 3103 2463 1936 1506 1160 0885 6679 4993 3695 0612 0101 0062 7 3980 3932 3847 3725 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 8329 6943 5730 4682 3788 3034 2406 1888 1468 1130 0861 6491 4847 3584 0425 0064 0035 8 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 8183 6814 5618 4586 3706 2965 2349 1842 1431 1100 0837 6307 4705 3475 0292 0040 0020 9 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 8038 6687 5508 4491 3626 2898 2294 1797 1394 1071 0814 6127 4567 3370 0199 0024 0011 Таблица 4 - Значения гамма-функции х 1,00 1 2 3 4 1,05 6 7 8 9 1,10 1 2 3 4 1,15 6 7 8 9 1,20 1 2 3 4 Г(х) 1,00000 0,99433 0,98884 0,98355 0,97844 0,97350 0,96874 0,96415 0,95973 0,95546 0,95135 0,94740 0,94359 0,93993 0,93642 0,93304 0,92980 0,92670 0,92373 0,02089 0,91817 0,91558 0,91311 0,91075 0,90852 х 1,25 6 7 8 9 1,30 1 2 3 4 1,35 6 7 8 9 1,40 1 2 3 4 1,45 6 7 8 9 Г(х) 0,90640 0,90440 0,90250 0,90072 0,89904 0,89747 0,89600 0,89464 0,89338 0,89222 0,89115 0,89018 0,88931 0,88854 0,88785 0,88726 0,88626 0,88636 0,88604 0,88581 0,88566 0,88560 0,88503 0,88575 0,88595 х 1,50 1 2 3 4 1,55 6 7 8 9 1,60 1 2 3 4 1,65 6 7 8 9 1,70 1 2 3 4 Г(х) 0,88623 0,88659 0,88704 0,88757 0,88818 0,88887 0,88964 0,89049 0,89142 0,89243 0,89352 0,89468 0,89592 0,89724 0,89864 0,90012 0,90167 0,90330 0,90500 0,90678 0,90864 0,91057 0,91258 0,91467 0,91683 х 1,75 6 7 8 9 1,80 1 2 3 4 1,85 6 7 8 9 1,90 1 2 3 4 1,95 6 7 8 9 2,00 Г(х) 0,91906 0,92137 0,92376 0,92623 0,92877 0,93138 0,93408 0,93685 0,93369 0,94261 0,94561 0,94869 0,95184 0,95507 0,95838 0,96177 0,96523 0,96877 0,97240 0,97610 0,97988 0,98374 0,98768 0,99171 0,99581 1,00000 Приложение 2 Таблица 6. Квантили распределения хи-квадрат р к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 0,005 0,01 0,05 0,1 0,2 0,8 0,9 0,95 0,010 0,020 0,072 0,115 0,207 0,297 0,025 0,001 0,051 0,216 0,484 0,004 0,103 0,352 0,711 0,016 0,211 0,584 1,064 0,064 0,446 1,005 1,649 1,642 3,219 4,642 5,989 2,706 4,605 6,251 7,779 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,52 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 17,19 20,71 24,31 27,99 31,73 35,50 39,38 43,28 47,21 51,17 59,20 67,33 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,28 10,98 11,69 12,40 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79 20,57 24,43 28,37 32,36 36,40 40,48 44,60 48,76 52,94 57,15 65,65 74,22 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 22,47 26,51 30,61 34,76 38,96 43,19 47,45 51,74 56,05 60,39 69,13 77,93 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,042 7,790 8,547 9,312 10,09 10,87 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 24,80 29,05 33,35 37,69 42,06 46,46 50,88 55,33 59,79 64,28 73,29 82,36 2,343 3,070 3,822 4,594 5,380 6,179 6,989 7,807 8,634 9,467 10,31 11,15 12,00 12,86 13,72 14,58 15,45 16,31 17,19 18,06 18,94 19,82 20,70 21,59 22,48 23,36 27,84 32,34 36,88 41,45 46,04 50,64 55,26 59,90 64,55 69,21 78,56 87,95 7,289 8,558 9,803 11,03 12,24 13,44 14,63 15,81 16,99 18,15 19,31 20,47 21,62 22,76 23,90 25,04 26,17 27,30 28,43 29,55 30,68 31,79 32,91 34,03 35,14 36,25 41,78 47,27 52,73 58,16 63,58 68,97 74,35 79,71 85,07 90,41 101,0 111,7 9,236 10,65 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,00 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 46,06 51,81 57,51 63,17 68,80 74,40 79,97 85,53 91,06 96,58 107,6 118,5 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 14,95 18,51 22,16 25,90 29,71 33,57 37,48 41,44 45,44 49,48 53,54 61,75 70,06 3,841 5,991 7,815 9,488 0,975 5,024 7,378 9,348 11,14 6,635 9,210 11,35 13,28 0,995 7,879 10,60 12,84 14,86 11,07 12,59 14,07 15,50 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,69 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 49,80 55,76 61,66 67,50 73,31 79,08 84,82 90,53 96,22 101,9 113,1 124,3 12,83 14,45 16,01 17,54 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 53,20 59,34 65,41 71,42 77,38 83,30 89,18 95,02 100,8 106,6 118,1 129,6 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 57,34 63,69 69,96 76,15 82,29 88,38 94,42 100,4 106,4 112,3 124,1 135,8 16,75 18,55 20,28 21,96 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,64 50,99 52,34 53,67 60,27 66,77 73,17 79,49 85,75 91,95 98,11 104,2 110,3 116,3 128,3 140,2 0,99