Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
Тренировочный вариант № 05. ФИПИ.
Часть 1.
Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная
дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите
его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1. Стороны параллелограмма равны 20 и 22. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна
11. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Ответ: ______________.
2. Даны векторы a(5; 4) , b(−9; −1) и c(−3; 5). Найдите значение выражения
(a +b ) c .
Ответ: ______________.
3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины C, D, E, D1 правильной
шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро
равно 9.
Ответ: ______________.
4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано
8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день
конкурса?
Ответ: ______________.
5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность
того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров,
равна 0,86. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна
0,64. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 21
включительно.
Ответ: ______________.
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
1
6. Найдите корень уравнения
4
x +12
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
= 64x .
Ответ: ______________.
7. Найдите значение выражения log2115,2 − log27,2 .
Ответ: ______________.
8. На рисунке изображён график функции y = f (x ) . На оси абсцисс отмечены
8 точек: x = { x1, x2, x3, ..., x8 } . В скольких из этих точек производная функции f (x ) отрицательна?
Ответ: ______________.
9. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле
T(t ) = T0 +bt +at 2 , где t – время в минутах, T0 = 1200 К, a = − 15 К/мин2,
b =240 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1620 К
прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите,
через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить
прибор. Ответ выразите в минутах.
Ответ: ______________.
4
раза медленнее, чем по
5
течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом
2
катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите
3
скорость течения весной (в км/ч).
Ответ: ______________.
10. Весной катер идёт против течения реки в 1
11. На рисунке изображены графики функций
видов g (x )= ax +b и f (x )= k , пересекающиеся в
x
точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ: ______________.
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
2
12. Найдите точку минимума функции y = − x +49 .
x
Ответ: ______________.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с
инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был
записан в строке с номером соответствующего задания.
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания 12–18 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т.
д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте
чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение sinx = 4sin2 x ;
2
cos2 x
2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку −4 ; − 5 .
2
14. На ребре PP1 прямоугольного параллелепипеда PQRSP1Q1R1S1 взята
точка E, на ребре QQ1 – точка F так, что Q1F:FQ=1:5, а точка Т – середина
ребра Q1R1.Известно, что плоскость EFT проходит через вершину S1 и PQ=6,
PS=10, PP1=15
а) Докажите, что плоскость EFT делит ребро P1P в отношении1:2, считая от
вершины P1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью PP 1Q1.
x +2
15. Решите неравенство 8
3
x +1
− 9 4
x +1
4 2
2 +13 2x
− 9 2x +4
−13 2x +1 −
1 + 3 .
2 − 2 2x +1 −1
x
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма
выплат после его полного погашения составит 22,8 млн рублей?
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
17. Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Диагональ LN разбивает
ее на два равнобедренных треугольника с основаниями KN и MN.
а) Докажите, что луч KM – биссектриса угла LKN.
б) Найдите MN, если известны диагонали трапеции: KM=48, LN=26.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
x 3a +12,
2
2
8x x +a , имеет хотя бы одно решение на отрезке [2; 3].
x +a > 0
19. На доске написано 20 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 5.
Сумма написанных чисел равна 1164.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 и на 5?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 5?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть
на доске?
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
Тренировочный вариант № 06. ФИПИ.
Часть 1.
Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная
дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите
его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1. Стороны параллелограмма равны 16 и 32. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна
20. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Ответ: ______________.
2. Даны векторы a(7; − 5) , b(−2; 3) и c(2; − 8) . Найдите значение выражения
(a +b ) c .
Ответ: ______________.
3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1, B1, F1, A правильной
шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 15, а боковое ребро
равно 6.
Ответ: ______________.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано
18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день
конкурса?
Ответ: ______________.
5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность
того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажиров,
равна 0,81. Вероятность того, что окажется меньше 13 пассажиров, равна
0,63. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 13 до 20
включительно.
Ответ: ______________.
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
1
6. Найдите корень уравнения
5
x +12
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
= 25x .
Ответ: ______________.
7. Найдите значение выражения log3121,5 − log3 4,5 .
Ответ: ______________.
8. На рисунке изображён график функции y = f (x ) . На оси абсцисс отмечены
8 точек: x = { x1, x2, x3, ..., x8 } . В скольких из этих точек производная функции f (x ) положительна?
Ответ: ______________.
9. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле
T(t ) = T0 +bt +at 2 , где t – время в минутах, T0 = 1200 К, a = − 25 К/мин2,
b =225 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1400 К
прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите,
через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить
прибор. Ответ выразите в минутах.
Ответ: ______________.
2
раза медленнее, чем по
5
течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом
1
катер идёт против течения в 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите
3
скорость течения весной (в км/ч).
Ответ: ______________.
10. Весной катер идёт против течения реки в 1
11. На рисунке изображены графики функций
видов g (x )= ax +b и f (x )= k , пересекающиеся в
x
точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ: ______________.
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
2
12. Найдите точку минимума функции y = − x +64 .
x
Ответ: ______________.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с
инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был
записан в строке с номером соответствующего задания.
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания 12–18 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т.
д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте
чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение sinx = 4cos2 x ;
2
sin2 x
2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку − 9 ; − 3 .
2
14. На ребре КК1 прямоугольного параллелепипеда КLMNK1L1M1N1 взята
точка E так, что K1E:EK=1:3, на ребре LL1 – точка F так, что L1F:FL=1:7, а
точка Т – середина ребра L1M1.Известно, что KL=4, KN=8, KK1=8.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину N1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью KK1L1.
x +1
15. Решите неравенство 27
3
−10 9x +10 3x − 5 3x +
x +1
9 2
−10 3x +3
1 + 1 .
3 − 2 3x +1 −1
x
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 15 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма
выплат после его полного погашения составит 21,3 млн рублей?
Е. А. Ширяева, Ю. Г. Погостина, А. Ю. Яковличев
Тренировочные варианты (ЕГЭпроф 2024)
17. Дана трапеция EFGH с основаниями EH и FG. Диагональ FH разбивает
ее на два равнобедренных треугольника с основаниями EH и GH. Диагонали трапеции пересекаются в точке D.
а) Докажите, что FE:EH=FD:DH.
б) Найдите GH, если известны диагонали трапеции: EG=6, FH=3,25.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
2x +a 6,
2
2
10a x +a , имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 2].
x − a <0
19. На доске написано 20 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 1, или на цифру 7.
Сумма написанных чисел равна 1256.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 1 и на 7?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть
на доске?
