шлепа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет науки и технологий
имени академика М.Ф. Решетнева»
Институт инженерной экономики
Кафедра информационных экономических систем
ТЕОРИЯ МАССОВГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Преподаватель
А.К. Шлепкин
подпись, дата
Обучающийся БПЭ20-02, 201510024
Я.С. Матвеенко
подпись, дата
Красноярск 2022
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задание 1.........................................................................................................................................3
Задание 2.........................................................................................................................................3
Задание 3.........................................................................................................................................3
Задание 4.........................................................................................................................................4
Задание 5.........................................................................................................................................4
Задание 6.........................................................................................................................................5
Задание 7.........................................................................................................................................6
Задание 8.........................................................................................................................................7
Задание 9.........................................................................................................................................8
Задание 10.......................................................................................................................................9
Задание 11.....................................................................................................................................11
Задание 12.....................................................................................................................................12
Задание 13.....................................................................................................................................14
Задание 14.....................................................................................................................................15
Задание 15.....................................................................................................................................15
Задание 16.....................................................................................................................................16
Задание 17.....................................................................................................................................16
Задание 18.....................................................................................................................................17
Задание 19.....................................................................................................................................18
Задание 20.....................................................................................................................................18
Задание 21.....................................................................................................................................19
Задание 22.....................................................................................................................................19
2
Задание 1
Улитка (общая)
Условие: высота - 15 метров, улитка ползёт вверх 5 метров за 12 часов, и
спускается вниз на 4 метров за 12 часов.
Вопрос: За сколько часов улитка доберется до верхушки?
Решение:
Цикл времени: 12+12=24 часа
Цикл расстояния: 5-4=1 метр
Количество циклов: 10
Время, за которое улитка доползет до 10 м: 24*10=240
1 цикл: 24 часа, 1 метр
6 цикл: 144 часа, 6 метров
2 цикл: 48 часов, 2 метра
7 цикл: 168 часов, 7 метров
3 цикл: 72 часа, 3 метра
8 цикл:192 часа, 8 метров
4 цикл: 96 часов, 4 метра
9 цикл:216 часов, 9 метров
5 цикл: 120 часов, 5 метров
10 цикл: 240 часов, 10 метров
240+12=252 часа потратит улитка, чтоб добраться до верхушки.
Ответ: 252 часа.
Задание 2
Улитка (индивидуальная)
Условие: высота - 25 метров, улитка ползёт вверх 6 метров за 15 часов, и
спускается вниз на 4 метров за 16 часов
Вопрос: За сколько часов улитка доберется до верхушки?
Решение:
Цикл времени: 15+16=31 час
Цикл расстояния: 6-4=2 метра
Количество циклов: 10
Время, за которое улитка доползет до 20 м: 31*10=310
6
м
𝜗=
= 0,4 ( )
15
ч
5
= 12,5 (ч) − время за 1 м
0,4
310+12,5 = 322,5 часа потратит улитка, чтоб добраться до верхушки.
Ответ: 322,5 часа.
Задание 3
Взвешивание монеты (9)
Условие: имеется 9 золотых монет, одна легче остальных.
Вопрос: найти монету за 2 взвешивания.
Решение:
1)
Нумеруем монеты 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
3
2)
Делим монеты на 3 кучки по 3 монеты. Сравниваем первые 2 кучки - 1,2,3 и
4,5,6 (I взвешивание).
3)
Исходы такие:

Первая и вторая части равны – монета в третьей кучке.

Первая часть легче или вторая часть легче – монета среди этих двух кучек.
4)
Если фальшивая монета находится в третьей части, то сравним 7 и 8 (II
взвешивание) монеты. Возможны 2 исхода

монеты равны, значит фальшивая 9 монета.

одна из монет легче, то фальшивой будет та, которая легче.
5)
Если первая часть легче, то фальшивая монета 1,2 или 3. Сравним 1 и 2 (II
взвешивание) монеты. Возможны 2 исхода:

монеты равны - то фальшивая монета 3.

одна из монет легче, значит та, которая легче и есть фальшивая.
6)
Если вторая часть легче, то значит фальшивая монета 4, 5 или 6. Взвесим 4 и
5 монеты (II взвешивание). Возможны два исхода:

монеты равны, то фальшивая монета 6

монеты не равны, значит фальшивая монета та, которая легче
Задание 4
Взвешивание монеты (13)
Условие: имеется 13 золотых монет, одна легче или тяжелее.
Вопрос: найти монету за 3 взвешивания.
Решение:
1) Нумеруем монеты 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.
2) Взвесим монеты 1,2,3,4 и 5,6,7,8. (I взвешивание). Если обе группы монет
равны по весу, то фальшивая монета находится среди 9,10,11,12,13.
3) Взвесим монеты 1,2,3 (они правильные) и 9,10,11. (II взвешивание). Если
монеты равны, то фальшивая монета среди 12 и 13.
4) Взвесим 1 и 12 монету. (III взвешивание). Если они равны, то фальшивая монета
это 13 монета. Если они не равны, то фальшивая монета это 12 монета.
Задание 5
Задача Мушустина
Условие: Окружность и диаметр, на окружности выбирается точка Т.
Вопрос: Найти перпендикуляр из точки Т к диаметру.
Решение:
1)
Поскольку дан диаметр и окружность, то нам заданы точки пересечения
диаметра с окружностью. Обозначим их А и В.
2)
Построение прямоугольного треугольника АТВ (данный треугольник
является прямоугольным потому как угол АТВ опирается на дугу АВ, которая является
дугой в 180°, так как АВ.
4
3)
Выбираем на дуге , содержащей точку Т, другую точку, отличную от точки
Т (обозначим ее С), и проводим для нее построение, аналогичное шагу 2. Получаем
прямоугольный треугольник АСВ.
4)
Вводим в рассмотрение точку D (пересечение прямых АТ и СВ)
5)
Построение точки R, являющейся пересечением прямых АС и ВТ при
условии их продолжения.
6)
Проводим из точки R через прямую D прямую до пересечения с диаметром
(RDF). По теореме о пересечении высот треугольника в одной точке RF перпендикулярно
АВ.
7)
Продолжаем высоту RF до пересечения с окружностью и получаем точку Q.
8)
8 шаг. Построим прямую, пересекающую диаметр и проходящую через
точку Т и точку пересечения S, пересекающая нашу окружность, продлеваем диаметр и
находим точку Q. Получаем прямую SQ.
9)
Соединяем точки G и Q. Точку, которая лежит на прямой, назовем М.
10) Точку Т соединяем с точкой М. Треугольники TNB и MNB равные.
Задание 6
Пример из теории массового обслуживания
Приближенный метод решения (общая)
Условие: существует дорога L, 2 населенных пункта: A, B, товар завозится из
точки C; AD=5, BE=10.
Вопрос: минимизировать расходы по доставке товара |AC|+|BC|=min.
5
1. ℎ =
|𝐷𝐸|
20
=1
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
4.
𝐻0 = 𝐷
𝐻1 = 𝐻0 + ℎ
…
𝐻20 = 𝐸
𝑆𝑘 = |𝐴𝐻𝑘 | + |𝐵𝐻𝑘 |
𝑆0 = |𝐴𝐻0 | + |𝐵𝐻0 | = 5 + √500 = 27,3606
𝑆1 = |𝐴𝐻1 | + |𝐵𝐻1 | = √26 + √461 = 22,5699
𝑆2 = 25,97
𝑆3 = 25,5400
𝑆4 = 25,2711
𝑆5 = 25,0988
𝑆6 = 25,0145
𝑆7 = 25,0035
𝑆8 = 25,0545
…
𝑆20 = |𝐴𝐻20 | + |𝐵𝐻20 | = 20,61 + 10 = 30,6155
C=min{𝑆7 }=𝑆7 =25,0035; C=𝐻7
Ответ: C=|AC|+|BC|=min=25,0035 в точке 𝐻7
Задание 7
Пример из теории массового обслуживания
Приближенный метод решения (индивидуальная)
Условие: существует дорога L, 2 населенных пункта: A, B, товар завозится из
точки C; AD=10, BE=15.
Вопрос: минимизировать расходы по доставке товара |AC|+|BC|=min.
6
1.
ℎ=
|𝐷𝐸|
30
=1
2.
2.1. 𝐻0 = 𝐷
2.2. 𝐻1 = 𝐻0 + ℎ
2.3. …
2.4. 𝐻20 = 𝐸
3.
3.1. 𝑆𝑘 = |𝐴𝐻𝑘 | + |𝐵𝐻𝑘 |
3.2. 𝑆0 = |𝐴𝐻0 | + |𝐵𝐻0 | = 43,5410
3.3. 𝑆1 = |𝐴𝐻1 | + |𝐵𝐻1 | = 43,5908
3.4. 𝑆2 = 42,8476
3.5. 𝑆3 = 42,2050
3.6. 𝑆4 = 41,6572
3.7. 𝑆5 = 41,197
3.8. …
3.9. 𝑆9 = 40,0806
3.10. 𝑆10 = 39,9491
3.11. 𝑆11 = 39,8667
3.12. 𝑆12 = 39,8279
3.13.
3.14. …
3.15. 𝑆30 = |𝐴𝐻30 | + |𝐵𝐻30 | = 46,6560
4.
C=min{𝑆12}=𝑆12=39,8279; C=𝐻12
Ответ: C=|AC|+|BC|=min=39,8279в точке 𝐻12
Задание 8
Пример из теории массового обслуживания
Точный метод решения (общая)
Условие: существует дорога L, 2 населенных пункта: A, B, товар завозится из
точки C; AD=5, BE=10.
Вопрос: минимизировать расходы по доставке товара |AC|+|BC|=min.
𝑆(𝑥) = √52 + 𝑥 2 + √102 + (20 − 𝑥)2
1.
𝑆 𝐼 (𝑥) =
2𝑥
2√52 +𝑥 2
+
2(20−𝑥)∗(−1)
2√102 +(20−𝑥)2
=0
7
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
𝑥
√25+𝑥 2
+
(20−𝑥)
√100+(400−40𝑥+𝑥 2 )
𝑥√500 − 40𝑥 + 𝑥 2 = (20 − 𝑥)√25 + 𝑥 2
𝑥 2 (500 − 40𝑥 + 𝑥 2 ) = (20 − 𝑥)2 (25 + 𝑥 2 )
500𝑥 2 − 40𝑥 3 + 𝑥 4 = (400 − 40𝑥 + 𝑥 2 )(25 + 𝑥 2 )
500𝑥 2 − 40𝑥 3 + 𝑥 4 = 10000 + 400𝑥 2 − 1000𝑥 − 40𝑥 3 + 𝑥 4
75𝑥 2 +1000x-10000=0
3𝑥 2 +40x-400=0
D = 1600 + 4 ∗ 400 ∗ 3 = √6400 = 80
−40+80
40
20
𝑥1 = 6 = 6 = 3 = 6, (6)
10. {
−40−80
−120
𝑥2 = 6 = 6 = −20
11.
𝑆 = √6,666672 + 52 + √102 + (20 − 6,66667)2
𝑆(6,66667) = 25,00001
Ответ: C=|AC|+|BC|=min=25,00001
Задание 9
Пример из теории массового обслуживания
Точный метод решения (индивидуальная)
Условие: существует дорога L, 2 населенных пункта: A, B, товар завозится из
точки C; AD=10, BE=15.
Вопрос: минимизировать расходы по доставке товара |AC|+|BC|=min.
𝑆(𝑥) = √102 + 𝑥 2 + √152 + (30 − 𝑥)2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
𝑥
𝑆 𝐼 (𝑥) = √100+𝑥 2 + √𝑥 2
𝑥
√100+𝑥 2
𝑥√𝑥 2 −
+ √𝑥 2
(30−𝑥)
−60𝑥+1125
=0
(30−𝑥)
−60𝑥+1125
60𝑥 + 1125 = (−30 + 𝑥)√100 + 𝑥 2
𝑥 2 (1125 − 60𝑥 + 𝑥 2 ) = (900 − 60𝑥 + 𝑥)(100 + 𝑥 2 )
900𝑥 2 − 40𝑥 2 + 𝑥 4 = (400 − 40𝑥 + 𝑥 2 )(25 + 𝑥 2 )
900𝑥 2 − 6000𝑥 + 90000 + 100𝑥 2 = 1125𝑥 2
-125𝑥 2 -6000x+90000=0
8
8.
9.
𝑥 2 +48x-720=0
D = 2304 − 4 ∗ 1 ∗ (−720) = √5184 = 72
10. {
𝑥1 =
𝑥2 =
−48+72
12
−48+72
12
=
=
24
2
−120
2
= 12
= −60
11.
𝑆 = √122 + 102 + √152 + (30 − 12)2
𝑆(12) = 39,8200
Ответ: C=|AC|+|BC|=min=39,8201
Задание 10
Пятнашки (общая 1)
Условие:
2
1
5
4
3
7
6
8
9
13
11
14
10
15
12
2 1 5 4
3 7 6 8
9 11 10 12
13 14 15
2
3
9
13
1
2
9
13
1 5 4
7 6 8
11 10
14 15 12
5 4
3 7 6
11 10 8
14 15 12
2
3
9
13
1
2
9
13
5
4 6
3 7
11 10 8
14 15 12
2 3 5
4
6
10 8 7
14 15 12
1 5 4 6
2 3
7
9 11 10 8
13 14 15 12
1 5
6
2 3 4 7
9 11 10 8
13 14 15 12
1
5 6
2 3 4 7
9 11 10 8
13 14 15 12
1
2
9
13
1
9
11
13
1 2 3 5
9
4 6
11 10 8 7
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10 4 6
11
8 7
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10 4 6
11 8
7
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10 4 6
11 8 7
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10 4
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10 4
11 8 7 6
13 14 15 12
1 5 4
2 3 7 6
9 11 10 8
13 14 15 12
1 5 4 6
2 3 7
9 11 10 8
13 14 15 12
9
1
7
11
14
5
3
11
14
5 4
6
10 8
15 12
4
7 6
10 8
15 12
2
1
3
9 11
13 14
1 5
2 3
9 11
13 14
5 4
7 6
10 8
15 12
4
7 6
10 8
15 12
1 2 3
9 10 4 5
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2
3
9 10 4 5
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 4 3
9 10
5
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 4
9 10 5 3
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2
4
9 10 5 3
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 5 4
9 10
3
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 5
9 10 3 4
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 3 5
9 10
4
11 8 7 6
13 14 15 12
2 3 5
9 10 4
8 7 6
14 15 12
3
4
9 5 10
8 7 6
14 15 12
2 3 5
1 9 10 4
11 8 7 6
13 14 15 12
2 3 5 4
1 9 10
11 8 7 6
13 14 15 12
2 3 4
1 9 5 10
11 8 7 6
13 14 15 12
1
2 3 4
9 5 10
11 8 7 6
13 14 15 12
1
1
2 3 5
9 10 4
11 8 7 6
13 14 15 12
2 3 5 4
1 9
10
11 8 7 6
13 14 15 12
1
11
13
2
1
11
13
1 2 3 4
9 5
10
11 8 7 6
13 14 15 12
1 2 3 4
9 5 7 10
11 8
6
13 14 15 12
1
9
2 3 4
5 7 10
11 8 6
13 14 15 12
2 3 4
5 7 10
9 11 8 6
13 14 15 12
1 2 3 4
5 7 10
9 11 8 6
13 14 15 12
1 2 3 4
5 7 10 6
9 11 8
13 14 15 12
1 2 3 4
5 7 10 6
9
11 8
13 14 15 12
1 2 3 4
5
10 6
9 7 11 8
13 14 15 12
1 2 3 4
5 10 6
9 7 11 8
13 14 15 12
1 2 3 4
5 10 6 8
9 7 11
13 14 15 12
1 2 3 4
5 10 6 8
9
7 11
13 14 15 12
1 2 3 4
5
6 8
9 10 7 11
13 14 15 12
1 2 3 4
5 6
8
9 10 7 11
13 14 15 12
Ответ: 38 ходов
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10
11
13 14 15 12
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11
13 14 15 12
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
10
Задание 11
Пятнашки (общая 2)
Условие:
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
5
10
9 15
18 19
24 20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2 3
8 13
12 14
17
22 23
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
5
10
15
18 19
24 20
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4
9
18
19
24
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3 4
13 7
14 9
18
23 24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
3
13
8 14
12 17
22 23
4
7
9
18
24
5
10
9 15
18 19
24 20
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
4
9
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4
9
18
19
24
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4
9
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3 4
13 7
9
14 18
23 24
1
6
11
16
21
2
8
3
13
14
12 17
22 23
4
7
9
18
24
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
4
3
7
14
17
23
20
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
5
10
15
20
5
10
15
18 19
24 20
3
7
14
17
23
11
5
10
15
4 5
9 10
18 15
19
24 20
4
7
13 9
14 18
23 24
5
10
15
19
20
4
7
9
18
24
5
10
15
19
20
3
4
7
14 9
17 18
23 24
5
10
15
19
20
3
7
5
10
15
19
20
4
9
14
17 18
23 24
1
6
11
16
21
2 3
13 7
8
12 17
22 23
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
13
12
22
3
8
4
9
14
17 18
23 24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3 4
8 9
13 14
18
23 24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
5
10
15
20
4
9
14
19
24
1
6
11
16
21
2
3
7
13 8
12 17
22 23
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
13
12
22
1
6
11
16
21
2
7
3
8
13
12 17
22 23
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2 3
7 8
12 13
17
22 23
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
4 5
9 10
14 15
19
24 20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4 5
9 10
18 15
19
24 20
3
8
13
18
23
3
4
9
8 14
17 18
23 24
5
10
15
19
20
20
Ответ: 31 ход
Задание 12
Пятнашки (индивидуальная)
Условие:
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
4
9
18
19
24
5
10
15
20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
12
4
9
18
19
24
5
10
15
20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3 4
13 7
9
14 18
23 24
1
6
11
16
21
2
8
3
13
14
12 17
22 23
4
7
9
18
24
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
4
1
6
11
16
21
2 3
13 7
8
12 17
22 23
1
6
11
16
21
2
7
13
12
22
3
7
14
17
23
4
9
5
10
15
18 19
24 20
2
8
12
17
22
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2 3
8 13
12 14
17
22 23
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
5
10
15
18 19
24 20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3
7
13
14
23
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
8
12
17
22
3 4
13 7
14 9
18
23 24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
3
13
8 14
12 17
22 23
4
7
9
18
24
5
10
9 15
18 19
24 20
1
6
11
16
21
2
13
8
12
22
4
9
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
4
9
14
17 18
23 24
5
10
15
19
20
3
8
1
6
11
16
21
1
6
11
16
21
3
7
14
17
23
4
5
10
9 15
18 19
24 20
3
4
7
13 9
14 18
23 24
4
7
9
18
24
5
10
15
19
20
3
4
7
14 9
17 18
23 24
5
10
15
19
20
2
13
8
12
22
3
7
4
9
14
17 18
23 24
5
10
15
19
20
3
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
3
7
13 8
12 17
22 23
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
13
12
22
1
6
11
16
21
2
7
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2 3
7 8
12 13
17
22 23
3
8
13
12 17
22 23
13
5
10
15
19
20
4
9
8 14
17 18
23 24
4
9
14
18
24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3 4
8 9
13 14
18
23 24
5
10
15
19
20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
5
10
15
20
4
9
14
19
24
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4 5
9 10
14 15
19
24 20
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
20
Ответ: 24 хода
Задание 13
Задача о ставке (общая 1)
Условия: в силу форс-мажорных обстоятельств игра закончилась со счетом 5:3.
Как поделить призовой фонд?
Решение:
1)
Предположим, что игра возобновляется и нужно определить, как долго она
будет продолжаться в данном случае.
Максимальное возможное число ходов =3. Число последовательностей из 0 и 1
2³=8
2)
Определение числа последовательностей, при которых выигрывает первый
игрок. Ясно, что первый игрок выиграет, если в последовательности имеется хотя бы одна
1.
Действительно, если в последовательности имеется хотя бы 1 единица, то
количество нулей не больше 2 т.е. второй игрок не выиграет. Итак, число
последовательностей, которые соответствуют выигрышу первого игрока = 7.
А число последовательностей, при которых выигрывает второй = 1.
Таким образом, из 8 равновозможных исходов 7 соответствует выигрышу
первого игрока, и только 1- выигрышу второго. В соответствии с этим ставка делится в
отношении 7:1.
Ответ: призовой фонд разделят на 8 частей, из них 7 частей достанутся первому
игроку и 1 часть второму.
14
Задание 14
Задача о ставке (общая 2)
Условие: 2 игрока играют в игру с равной возможностью выигрыша на
следующих условиях:
1) игра состоит из конечной последовательности туров;
2) в каждом туре каждый игрок либо проигрывает, либо выигрывает, оба игрока
могут победить или проиграть вместе;
3) игра продолжается до момента набора 8-ми выигрышей одним из игроков;
4) перед началом игры образуется фонд – ставка, которую забирает выигравший
участник.
Дано: количество выигрышей = 8, игра закончилась со счетом 6:3.
Вопрос: в каком отношении делится ставка?
Решение:
До счета 7:7 будет туров: 1+4=5 и прибавляем финальный => 6 туров.
N = 26 = 64
Находим число последовательностей, при которых выигрывает 1-ый игрок:
2
𝐶1 = 𝐶6 + 𝐶63 + 𝐶64 + 𝐶65 + 𝐶66 = 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 57
𝑛!
𝐶𝑛𝑚 =
(𝑛 − 𝑚)! ∗ 𝑚!
6!
6!
𝐶62 =
=
= 15
(6 − 2)! ∗ 2! 4! ∗ 2!
6!
6!
𝐶63 =
=
= 20
(6 − 3)! ∗ 3! 3! ∗ 3!
6!
6!
𝐶64 =
=
= 15
(6 − 4)! ∗ 4! 2! ∗ 4!
6!
6!
𝐶65 =
=
=6
(6 − 5)! ∗ 5! 1! ∗ 5!
6!
6!
𝐶66 =
=
=1
(6 − 6)! ∗ 6! 0! ∗ 6!
Количество последовательностей, при которых выиграет 2-ой игрок:
64 – 57 = 7
Ответ: ставку делим в отношениях 7:57.
Задание 15
Задача о ставке (индивидуальная)
Условие: 2 игрока играют в игру с равной возможностью выигрыша на
следующих условиях:
1) игра состоит из конечной последовательности туров;
2) в каждом туре каждый игрок либо проигрывает, либо выигрывает, оба игрока
могут победить или проиграть вместе;
3) игра продолжается до момента набора 15-ти выигрышей одним из игроков;
15
4) перед началом игры образуется фонд – ставка, которую забирает выигравший
участник.
Дано: количество выигрышей = 15, игра закончилась со счетом 7:11.
Вопрос: в каком отношении делится ставка?
Решение:
До счета 14:14 будет туров: 3+7 и прибавляем финальный => 11 туров.
N = 211 = 2048
Находим число последовательностей, при которых выигрывает 1-ый игрок:
5
6
8
9
10
4
7
11
𝐶1 = 𝐶11 + 𝐶11
+ 𝐶11
+ 𝐶11
+ 𝐶11
+ 𝐶11
+ 𝐶11
+ 𝐶11
= 330 + 462 + 462 + 330 + 165 + 55 + 11 + 1 = 1816
Количество последовательностей, при которых выиграет 2-ой игрок:
2048 – 1816 = 232
Ответ: Ставку делим в отношениях 232:1616  29:227 .
29:227 ≈ 0,
(12775330396475770925110132158590308370044052863436123348017621145374449339207
048458149779735682819383259911894273)
l (29:227) = 114.
Задание 16
(общая 1)
Вопрос: Сколько покупателей такая торговая точка (система массового
обслуживания) может обслужить?
Дано: n=2, k=3
Решение:
𝑘
𝑘
𝐷𝑛 = 𝐶𝑛+𝑘−1
4!
3
𝐶2+3−1
= 𝐶43 =
=4
3! ∗ 1!
1) (111)  (111) 0 (∅) = 1110
2) (112)  (11) 0 (1) = 1101
3) (122)  (1) 0 (11)=1011
4) (222)  (∅) 0 (111) = 0111
Ответ: 4 покупателя
Задание 17
(общая 2)
Вопрос: Сколько покупателей такая торговая точка (система массового
обслуживания) может обслужить?
Дано: n=2, k=7
Решение:
𝑘
𝑘
𝐷𝑛 = 𝐶𝑛+𝑘−1
8!
7
𝐶2+7−1
= 𝐶87 =
=8
7! ∗ 1!
16
1) (1111111)  (1111111) 0 (∅) = 11111110
2) (1111112)  (111111) 0 (1) = 11111101
3) (1111122)  (11111) 0 (11) = 11111011
4) (1111222)  (1111) 0 (111) = 11110111
5) (1112222)  (111) 0 (1111) = 11101111
6) (1122222)  (11) 0 (11111) = 11011111
7) (1222222)  (1) 0 (111111) = 10111111
8) (2222222)  (∅) 0 (1111111) = 01111111
Ответ: 8 покупателей
Задание 18
(индивидуальная)
Вопрос: Сколько покупателей такая торговая точка (система массового
обслуживания) может обслужить?
Дано: n=10, k=6
Решение:
𝑘
𝑘
𝐷𝑛 = 𝐶𝑛+𝑘−1
15!
6
6
𝐶10+6−1
= 𝐶15
=
= 50005
6! ∗ 9!
1) (111111)  (111111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111111000000000
2) (111112)  (11111) 0 (1) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110100000000
3) (111113)  (11111) 0 (∅) 0 (1) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110010000000
4) (111114)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (1)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110001000000
5) (111115)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (1)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110000100000
6) (111116)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (1)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110000010000
7) (111117)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (1) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)=
111110000001000
8) (111118)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (1)0 (∅) 0 (∅)=
111110000000100
9) (111119)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (1) 0 (∅)=
111110000000010
17
10) (11111 10)  (11111) 0 (∅) 0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (∅)0 (∅) 0 (1)=
111110000000001
Ответ: 5005 покупателей
Задание 19
(общая 1)
Вопрос: перечислить регулярные подстановки в степени 4
Решение:
1)
𝐷4 = 4! − 𝐶41 ∗ 𝐷3 − 𝐶42 ∗ 𝐷2 − 1 =
4!
4!
= 24 −
∗2−
∗ 1 = 24 − 8 − 6 − 1 = 9
3! ∗ 1!
2! ∗ 2!
Ответ: 9 покупателей
2)нерекурентная формула
1 1 1 1
1 1 1 1
𝐷𝑛 = 4! (1 − + − + ) = 24 (1 − + − + ) = 9
1! 2! 3! 4!
1 2 6 24
Ответ: 9 покупателей
Задание 20
(индивидуальная)
Вопрос: перечислить регулярные подстановки в степени 17
Дано: N = 17
Решение:
1)
D1=1!-С11D0-1=1-0-1=0
2)
D2=2!-C21D1-C22D0-1=2-2*0-0-1=1
3)
D3=3!-C31D2-C32D1-C33D0-1=6-3*1-3*0-1=2
4)
D4=4!-C41D3-C42D2-C43D1-C44D0-1=24-24/6*2-24/4*1-0-1=24-4*2-6-1=9
5)
D5=5!-C51D4-C52D3-C53D2-C54D1-1=120-5*9-10*2-10*1-1=44
6)
D6=6!-C61D5-C62D4-C63D3-C64D2-C65D1-1=720-6*44-15*9-20*2-15*1-1=265
7)
D7=7!-C71D6-C72D5-C73D4-C74D3-C75D2-C76D1-1=5040-7*265-21*44-35*9-35*221*1-1=1854
8)
D8=8!-C81D7-C82D6-C83D5-C84D4-C85D3-C86D2-C87D1-1=40320-8*1854-28*26556*44-70*9-56*2-28*1-1=14833
9)
D9=9!-C91D8- C92D7- C93D6- C94D5- C95D4- C96D3- C97D2- C98D1-1=3628809*14833-36*1854-84*265-126*44-126*9-84*2-36*1-1=133496
10)
D10=10!- C101D9- C102D8- C103D7- C104D6- C105D5- C106D4- C107D3- C108D2C109D1-1=3628800-10*133496-45*14833-120*1854-210*265-252*44-210*9-120*2-45*11=1334961
11)
D11= 11!-C111D10- C112D9- C113D8- C114D7- C115D6- C116D5- C117D4- C118D3C119D2- C1110D1-1=39916800-11*1334961-55*133496-165*14833-330*1854-462*265-462*44330*9-165*2-55*1-1=14684570
12)
D12=12!- C121D11- C122D10- C123D9- C124D8- C125D7- C126D6- C127D5- C128D4C129D3- C1210D2- C1211D1-1=479001600-12*14684570-66*1334961-220*133496-495*14833792*1854-924*265-792*44-495*9-220*2-66*1-1=176214841
18
13)
D13=13!- C131D12- C122D11- C123D10- C124D9- C125D8- C126D7- C127D6- C128D5C129D4- C1210D3- C1211D2- C1212D1-1= 6227020800-13*176214841-78*14684570-286*1334961715*133496-1287*14833-1716*1854-1716*265-1287*44-715*9-286*2-78*1-1=2290792932
14)
D14=14!- C141D13- C142D12- C143D11- C144D10- C145D9- C146D8- C147D7- C148D6C149D5- C1410D4- C1411D3- C1412D2- C1413D1-1=87178291200-14*2290792932-91*176214841364*14684570-1001*1334961-2002*133496-3003*14833-3432*1854-3003*265-2002*441001*9-364*2-91*1-1=32071101048
15)
D15=15!- C151D14- C152D13- C153D12- C154D11- C155D10- C156D9- C157D8- C158D7C159D6- C1510D5- C1511D4- C1512D3- C1513D2- C1514D1-1=1307674368000-15*32071101048105*2290792932-455*176214841-1365*14684570-3003*1334961-5005*133496-6435*148336435*1854-5005*265-3003*44-1365*9-455*2-105*1-1=481066515734
16)
D16=16!- C161D15- C162D14- C163D13- C164D12- C165D11- C166D10- C167D9- C168D8C169D7- C1610D6- C1611D5- C1612D4- C1613D3- C1614D2- C1615D1- 1=2092278988800016*481066515734-120*32071101048-560*2290792932-1820*176214841-4368*146845708008*1334961-11440*133496-12870*14833-11440*1854-8008*265-4368*44-1820*9-560*2120*1-1=7697064251745
17)
D17=17!- C171D16- C172D15- C173D14- C174D13- C175D12- C176D11- C177D10- C178D9C179D8- C1710D7- C1711D6- C1712D5- C1713D4- C1714D3- C1715D2- C1716D1-1=35568742809600017*7697064251745-136*481066515734-680*32071101048-2380*22907929326188*176214841-12376*14684570-19448*1334961-24310*133496-24310*1483319448*1854-12376*265-6188*44-2380*9-680*2-136*1-1=130850092279664
Задание 21
(общая)
Вопрос: посчитать по формуле регулярных постановок
Дано: n=9
Решение:
n=9=32 k=2
P=3
123456789
(
)
231564897
32 !
9!
R=33 ∙3! = 27∙3! =
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9
27∙1∙2∙3
= 2240
123456789
123456789
123456789 2 123456789
9=(
)∙(
)=(
) ∙(
)
231564897
231564897
312645978
231564897
123456789 3
=(
)
123456789
Ответ: порядок g=3
Задание 22
(индивидуальная)
Вопрос: посчитать по формуле регулярных постановок
Дано: p=19, k=2
Решение:
19
192 !
361!
R=1919 ∙19! = 1919 ∙19!=
59747903282859458597833409308804135217606073371491931449184058607157111920460
48494260411846108509874616695766166762541179577726856586804832481072358688172
78138212006339678423468125487872475431188924035203509865847713201845686541370
73523825877710527994271368310699102401422812776455818173907544187106295302990
70474594660067945042988866509826950600348788695678252882382516858239174980912
86969365337107009479988354715098689287639258111816121293388874765283197927507
67079641342841077542621151002272626852131649898446739515357328284760190985808
17258675760346690756725643334204459212952017651397428650546148862523475169956
60879857004071875669655552000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000 = 5.9747903282859459 * 10726
20