Механика Жидкостей и Газов конспект лекций лектор: Циркунов Юрий Михайлович Академический Университет СанктПетербург 2016г Собрано: 31 января 2017 г. 16:02 Оглавление 1 Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. . . . 9 3 Закон изменения момента количества движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Закон сохранения и превращения энергии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Тензор скоростей деформации. . . . . . . . . . . 18 6 Реологические модели в МЖГ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7 Вектор плотности потока тепла, закон Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8 Термодинамическая модель жидкости. Совершенный газ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 9 Система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной жидкости. . . . . . . 26 9.1 Система уравнений для совершенного газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9.2 Система уравнений для несжимаемой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9.3 Граничные условия для уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости. . . . . . . . . . 28 10 Система уравнений и постановка задач в гидромеханике идеальной нетеплопроводной жидкости. . . 29 11 Интегралы системы уравнений гидромеханики идеальной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 11.1 Интеграл адиабаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11.2 Интеграл Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 11.3 Скорость звука. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Некоторые следствия уравнений Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 12.1 Особые скорости в газовой динамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 12.2 Обезразмеривание 𝑣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 12.3 Изоэнтропические формулы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 13 Некоторые задачи на уравнение Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 14 Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 15 14.1 Задача о течении в трубке тока в случае несжимаемой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 14.2 Задача о течении в трубке тока сжимаемого (совершенного) газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 15.1 Ударная адиабата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 15.2 Соотношения для газодинамических параметров на скачке уплотнения. . . . . . . . . . . . . . . 46 15.3 Формула Прандтля для прямого скачка уплотнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15.4 Изменение функции 𝑞(𝑀) на прямом скачке уплотнения в сопле Лаваля. . . . . . . . . . . . . . . 49 15.5 Число Маха за скачком уплотнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 16 Некоторые примеры и задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 17 Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. . . . . . . . . . 56 17.1 Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 17.2 Метод характеристик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 17.3 Угловые переменные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 17.4 Течение Прандтля-Майера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 17.5 18 19 Общие свойства течения вязкой жидкости и некоторые точные решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 18.1 Течение Пуазейля в плоском канале. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 18.2 Течение Пуазейля в круглой трубе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Элементы теории пограничного слоя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 19.1 20 Примеры применения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Пограничный слой на продольно обтекаемой пластинке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. . . . . . . . . . . . . 72 20.1 Потенциал скоростей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 20.2 Функция тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 20.3 Комплексный потенциал и комплексная скорость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 20.4 Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 20.5 Поперечное обтекание цилиндра однородным на бесконечности потоком. . . . . . . . . . . . . . 80 20.6 Главный вектор сил давления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 20.7 Метод конформных отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 20.8 Обтекание эллиптического цилиндра однородным потоком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 20.9 Постулат Чаплыгина-Жуковского. Обтекание профиля с задней острой кромкой. . . . . . . . . . 89 20.10 Вычисление циркуляции контура с задней острой кромкой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 20.11 Формула Чаплыгина-Клаузиуса для главного вектора и главного момента сил давления, действующих на профиль. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 21 20.12 Обтекание пластинки под углом атаки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 20.13 Профили Жуковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 20.14 Решение задачи об обтекании профиля Жуковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Метод возмущений в задачах аэродинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 21.1 Нахождение корней полиномов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 21.2 Дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 21.3 Обтекание кругового цилиндра слабозавихренным потоком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 21.4 Обтекание профиля однородным дозвуковым потоком сжимаемого газа. . . . . . . . . . . . . . . 115 21.5 Дозвуковое обтекание тонкого слабоизогнутого профиля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3 из 119 Вступление Механика жидкостей и газов — наука, которая изучает законы движения и равновесия жидкостей и газов, а также их взаимодействие с поверхностями. Основные постулаты МЖГ. Евклидовость пространства. Пространство, рассматриваемое в МЖГ является Евклидовым метрическим пространством с метрикой 𝑑(𝑥 , 𝑥 ) = (𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 ) + (𝑧 − 𝑧 ) Абсолютность времени. Время течет одинаково для всех наблюдателей независимо от того, движутся они или нет. Расстояние не зависит от скорости. Короче говоря, пренебрегаем релятивистскими эффектами. Гипотеза сплошности. Выберем какую-то точку пространства, начнем раздувать из нее шарик, и следить за средней плотностью. Концентрация вещества в газе довольна мала, так что скорее всего изначально мы попадем в пустоту, средняя плотность 0. Увеличили радиус, захватили одну частицу, средняя плотность резко возросла. продолжаем увеличивать радиус шарика, средняя плотность падает. Потом захватили еще одну частицу, плотность выросла. И так далее. Эта ломанная кривая стремиться к константе. Именно там, где зависимость средней плотности от радиуса рассматриваемой окрестности можно считать постоянной, работает МЖГ. При больших значениях радиуса окрестности (больших характерного линейного размера задачи), средняя плотность начинает убывать, потому что мы начинаем подниматься в атмосферу, где плотность вещества уменьшается согласно распределению Больцмана. ఘୀ ೇ сплошная среда Физически бесконечно малый объем — объем 𝛿𝑉, размер которого много меньше характерного линейного размера задачи 𝐿, и 𝛿𝑉 содержит достаточно много молекул, чтобы считать его средние параметры устойчивыми к изменению 𝛿𝑉. Итак, МЖГ работает на «полке»: там, где зависимость средней плотности от радиуса рассматриваемой окрестности постоянна. Условие существование этой «полки»: длина свободного пробега частицы должна быть много меньше характерного линейного размера задачи. 𝑙 ≪ 𝐿. Параметр, характеризующий степень применимости МЖГ, называется числом Кнудсена, и определяется так: 𝐾 = ⎧ ≤ 0,001, — МЖГ хорошо описывает систему ⎪ 0,001 ≤ 𝐾 ≤ 0,01, — МЖГ неплохо работает, но необходима небольшая корректировка 𝑙 = 𝐿 ⎨ 0,01 ≤ 𝐾 ≤ 0,1. — МЖГ плохо работает, большая погрешность ⎪ ⎩ 𝐾 ≥ 0,1, — МЖГ не работает 4 из 119 Автор: C. Перков Вспомогательный постулат. Вообще говоря, он не обязателен, но без него некоторые выкладки получаются громоздкими, поэтому примем следующее допущение: При движении каждой элементарной жидкой частицы (частицы, объем которой физически бесконечно мал) ее параметры все время изменяются. Если характерное время прихода среды в этой частице в равновесное состояние много меньше характерного времени изменения параметров при движении вдоль траектории, то можно считать, что в каждый момент времени среда в этой частице находится в равновесном состоянии. Тогда каждую частицу можно рассматривать как классическую термодинамическую систему Местная (локальная) и индивидуальная (субстанциальная) производные по времени. Будем описывать среду с помощью полей. Пусть есть фиксированная точка (𝑥, 𝑦, 𝑧) и 𝐴 — произвольный параметр 𝜕𝐴 — локальная производная по времени. среды. Тогда 𝜕𝑡 Теперь пусть 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) — траектория элементарной жидкой частицы. 𝐴 = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐴(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡). Распишем производную функции нескольких переменных: 𝑑𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝑑𝑥 𝜕𝐴 𝑑𝑦 𝜕𝐴 𝑑𝑧 𝜕𝐴 𝜕𝐴 = + + + = +𝑣 +𝑣 +𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 — индивидуальная производная по времени. Скорость объемного расширения жидкости. Рассмотрим расширение объема 𝜏. В начальный момент времени 𝑡 он имел площадь поверхности 𝑆. В момент времени 𝑡+Δ𝑡 объем стал равен 𝜏 а площадь 𝑆 𝑆 𝑛 𝜏 поверхности 𝑆 . Скоростью объемного расширения жидкости в точке 𝜏, к которой стягивается объем, будем называть такой предел: 𝑣 Δ𝑡 𝐼 ≡ lim → → 𝜏 −𝜏 𝜏Δ𝑡 Докажем, что 𝐼 = div 𝑣 . Для этого честно посчитаем предел 𝜏 −𝜏 = 𝑑𝜏 − 𝑑𝜏 = Δ𝑡 𝑣 𝑑𝑆 + 𝑜(Δ𝑡) Здесь мы воспользовались 𝑑𝜏 = 𝑑𝑆 ⋅ 𝑣 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) 𝜏 −𝜏 = Δ𝑡 𝑣 𝑑𝑆 + 𝑜(Δ𝑡) −−−→ → Δ𝑡 𝑣 𝑑𝑆 Теперь посчитаем скорость объемного расширения: 𝐼 ≡ lim → → 𝜏 −𝜏 = lim → 𝜏Δ𝑡 𝑣 ⋅ 𝑛 ) 𝑑𝑆 ∬ (𝑣 ∬ 𝑣 𝑑𝑆 𝜏 = lim → 𝜏 ∭ div 𝑣 𝑑𝜏 О-Г = lim → 𝜏 = lim → ⟨div 𝑣 ⟩ср. 𝜏 = div 𝑣 𝜏 Здесь мы воспользовались теоремой Остроградского-Гаусса (О-Г). 5 из 119 Автор: C. Перков Производная по времени от интеграла по жидкому объему. Жидкий объем — это мысленно выделенный в жидкости объем, состоящий из одной или из нескольких жидких частиц, который при движении может деформироваться, но масса жидкости, заключенная в нем не изменяется и не смешивается с окружающей средой. Пусть 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) - параметр. Объем меняется во времени: 𝜏 = 𝜏(𝑡). 𝐴𝑑𝜏 𝐽= (∗) Хотим научиться считать такую производную: 𝑑𝐽 𝑑 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐴𝑑𝜏 В момент времени 𝑡 у нас объем 𝜏, поверхность 𝑆, параметр 𝐴 и интеграл 𝐽. В момент времени 𝑡 + Δ𝑡 объем стал 𝜏 , поверхность 𝑆 , параметр 𝐴 и интеграл 𝐽 = ∭ 𝐴 𝑑𝜏. Δ𝐽 = 𝐽 − 𝐽 = 𝐴 𝑑𝜏 − 𝐴𝑑𝜏 = 𝐴 𝑑𝜏 + 𝐴 𝑑𝜏 − Разложим параметр в ряд Тейлора: 𝐴 = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + Δ𝑡) = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) + выражением 𝑑𝜏 = 𝑑𝑆 ⋅ 𝑣 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡). Δ𝐽 = 𝐴 (𝑑𝑆 ⋅ 𝑣 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)) + (𝐴 − 𝐴)𝑑𝜏 = Δ𝑡 𝐴+ 𝐴𝑑𝜏 𝜕𝐴 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) и воспользуемся 𝜕𝑡 𝜕𝐴 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) 𝑣 𝑑𝑆 + Δ𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝐴 𝑑𝜏 + 𝑜(Δ𝑡) 𝜕𝑡 Теперь найдем производную 𝐽 по определению: 𝑑𝐽 Δ𝐽 ≡ lim = → Δ𝑡 𝑑𝑡 𝐴𝑣 𝑑𝑆 + 𝜕𝐴 𝑑𝜏 𝜕𝑡 (∗∗) Преобразуем первое слагаемое из формулы (∗∗): 𝐴𝑣 𝑑𝑆 = 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝐴𝑣 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 О-Г 𝑣 ⋅ 𝑛 ) 𝑑𝑆 = 𝐴 (𝑣 𝑑𝜏 Тогда производную можно записать так: 𝑑𝐽 = 𝑑𝑡 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝐴 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝐴𝑣 + + + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝐴𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + + =𝐴 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Тогда с учетом определение индивидуальной производной 𝑑𝐽 = 𝑑𝑡 +𝑣 𝑑𝜏 (∗ ∗ ∗) 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 +𝑣 +𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝐴 можно переписать уравнение (∗ ∗ ∗) так: 𝑑𝑡 𝑑𝐴 + 𝐴 div 𝑣 𝑑𝜏 𝑑𝑡 6 из 119 (∗ ∗ ∗ ∗) Автор: C. Перков Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. §1. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. Рассматриваем жидкий объем 𝜏. Тогда: 𝑑𝜏 ∶ 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝜏 𝜏∶ 𝑚= (1.1) 𝜌𝑑𝜏 Условие неизменности массы: Если в потоке движущейся жидкости отсутствуют пространственно распределенные источники и стоки массы, то масса любого жидкого объема 𝜏 остается неизменной. Или другими словами: 𝑑𝑚 =0 𝑑𝑡 (1.2) Запишем это условия используя (∗∗), (∗ ∗ ∗), (∗ ∗ ∗ ∗): 𝜕𝜌 𝑑𝜏 = 0 𝜕𝑡 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝜌𝑣 + + + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (1.3) 𝑑𝜏 = 0 div 𝜕𝜌 𝑣 𝑑𝜏 = 0 + div 𝜌𝑣 𝜕𝑡 (1.4) 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 𝑑𝜏 = 0 𝑑𝑡 (1.5) В силу произвольности 𝜏 из (1.4) и (1.5) заключаем, что подынтегральная функция равна 0. 𝜕𝜌 𝑣=0 + div 𝜌𝑣 𝜕𝑡 (1.6) 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 = 0 𝑑𝑡 (1.7) Из второго уравнение можно записать: div 𝑣 = − 1 𝑑𝜌 𝜌 𝑑𝑡 Это уравнение обеспечивает сплошность среды. Оно называется уравнением неразрывности сплошной среды. Рассмотрим частные случаи: Установившееся течение. 𝜕𝐴 =0 𝜕𝑡 Оператор частной производной применяется к любому параметру 𝐴, описывающему нашу систему (давление, температура, скорость и т.д.). В таком случае: 7 из 119 Автор: М. Минин Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. 𝑣=0 div 𝜌𝑣 (1.8) Несжимаемая жидкость. Плотность постоянна: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝜌 div 𝑣 = 0 (1.9) div 𝑣 = 0 Плоские течения. Условия плоского течения: 𝜕𝐴 =0 𝜕𝑧 𝑣 = 0, Где 𝐴 - любой параметр описывающий систему. 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝜌𝑣 + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (1.10) Рассмотрим частные случаи: а) + условие стационарности - = 0: 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝜌𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 б) + условие несжимаемости жидкости - 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Установившиеся квазиодномерное течение в трубе переменного сечения. 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 Случай стационарный, т.е. 𝑛 𝐹 𝐹 = 0 для любого параметра 𝐴 𝑡∶ 𝜏 между 𝐹 и 𝐹 Тогда из (1.3): 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + 𝜌𝑣 𝑑𝑆 = 0 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + бок Под приставкой квази- имеется ввиду то, что в действительности параметры зависят от одной переменной. Для 𝐹 8 из 119 Автор: М. Минин Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности. значение 𝑣 = −𝑣 , а для 𝐹 — 𝑣 = 𝑣 . Далее распишем элемент 𝑑𝑆: 𝜌𝑣 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑣 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 ⇒ −𝜌 𝑣 𝐹 + 𝜌 𝑣 𝐹 = 0 ⇒ Таким образом: 𝜌𝑣 𝐹 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑄 (1.11) 𝑄 — расход жидкости, то есть количество массы жидкости, проходящее за единицу времени через единицу площади. 9 из 119 Автор: М. Минин Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. §2. Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. Все силы в МЖГ (не вдаваясь в природу) делятся на объемные и поверхностные Объемные (массовые) силы. На рисунке 𝑅 — главный вектор сил, приложенный к жидкости 𝜏 и действующий на элемент объема. 𝜏 Рассмотрим lim объем 𝜏. → = 𝐹 — плотность массовых сил в точке, к которой стягивается ср 𝐹 — сила, действующая на единицу объема (плотность объемных сил) 𝜌𝐹 𝑅 𝑅 = 𝜌𝐹 𝐹 𝑑𝜏 𝑑𝑅 𝑑𝜏 ∶ (2.1) 𝐹 𝑑𝜏 𝜌𝐹 𝑅= 𝜏∶ Если в качестве массовых сил сила тяжести, то 𝐹 =𝑔 𝑅= 𝜌𝑔𝑑𝜏 = 𝜌𝑔𝜏 Поверхностные силы. 𝑝 — главный вектор сил, приложенных к лицевой стороне площадки, Вектор Δ𝑝 задаваемой 𝑛 , в каждой точке. 𝑛 Рассмотрим предел отношения главного вектора сил к площади: 𝑝 Δ𝑝 Δ𝑆 lim → 𝑝 Δ𝑝 =𝜋 Δ𝑆 — напряжение (вектор напряжения) на лицевой стороне площадки, задаваемой 𝑛 , в каждой точке 𝜋 𝑝 𝑛 𝑑𝑝 𝜏 𝑑𝑆 𝑑𝑆 ∶ 𝑆∶ 𝑝 = 𝜋 𝑑𝑆 𝑑𝑝 𝑝= 𝜋 𝑑𝑆 (2.2) 𝑅 Интегральная форма записи закона изменения количества движения. ఛ ௩ В соответствии с механикой Ньютона скорость изменения количества движения частицы данной массы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных ௗఛ к массе. 𝑑𝜏 ∶ 𝜏∶ 𝐾 = 𝑑𝑚𝑣 𝑣 = 𝜌𝑣 𝑣 𝑑𝜏, где 𝐾 - количество движения 𝑑𝐾 𝐾= (2.3) 𝑣 𝑑𝜏 𝜌𝑣 10 из 119 Автор: М. Минин Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. 𝐾 — количество движения жидкости заключенной в жидкой частице 𝜏. 𝐾 𝑑𝐾 = 𝑅 + 𝑝 — II закон Ньютона 𝑑𝑡 (2.4) Далее преобразуем, используя (2.1) и (2.3) 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 𝐹 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 𝜋 𝑑𝑆 (2.5) Преобразуем, используя (∗ ∗ ∗ ∗): 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜌𝑣 𝑣 div 𝑣 𝑑𝜏 = + 𝜌𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 Преобразуем подинтегральную функцию: 𝑣 𝑣 𝑑𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑣 div 𝑣 = 𝜌 + 𝜌𝑣 +𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 𝑑𝑡 ( . ) Тогда: = 𝜌 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝜏 = 𝑑𝑡 𝐹 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 11 из 119 𝜋 𝑑𝑆 (2.6) Автор: М. Минин Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. Формула Коши. Тензор напряжений. 𝑦 𝑛 𝑥, 𝑆 ⊥𝑥 𝑆 = 𝑆 cos (𝑛, 𝑥) 𝑦, 𝑆 ⊥𝑦 𝑆 = 𝑆 cos (𝑛, 𝑦) 𝑆 ⊥𝑧𝑧 , 𝑆 = 𝑆 cos (𝑛, 𝑧) 𝑛, 𝑆 ⊥𝑛 ℎ — высота из 𝑀 на 𝑆 . Тогда объем равен 𝑉 = 𝑆 𝑥 𝑧 𝑀 Рассмотрим грань 𝑆 . Пусть 𝜋 малью 𝑖 . 𝑆 Из (2.6) получаем 𝜌 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 𝑑𝜏 = − 𝜌𝐹 𝑑𝑡 𝜋 𝑑𝑆 = 𝜋 𝑑𝑆 + 1 𝑆 ℎ 3 — напряжение на лицевой стороне грани с нор- 𝜋 )𝑑𝑆 + (−𝜋 𝜋 )𝑑𝑆 + (−𝜋 𝜋 )𝑑𝑆 (−𝜋 (2.7) Запишем все интегралы через теорему о среднем: 𝜌 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 − 𝜌𝐹 𝑑𝑡 ⋅ ср 1 𝜋 )ср 𝑆 − (𝜋 𝜋 )𝑆 cos (𝑛, 𝑥) − (𝜋 𝜋 )ср 𝑆 cos (𝑛, 𝑦) − (𝜋 𝜋 )ср 𝑆 cos (𝑛, 𝑧) 𝑆 ℎ = (𝜋 3 Устремим ℎ → 0, тогда левая часть стремится к 0 а правая остается такой же за исключением того, что теперь точки в которых мы брали значения стягиваются к точке 𝑀: 𝜋 = 𝜋 cos(𝑛, 𝑥) + 𝜋 cos(𝑛, 𝑦) + 𝜋 cos(𝑛, 𝑧) (2.8) Это формула Коши. Смысл заключается в том, что если знаем напряжение на 𝑆 , 𝑆 и 𝑆 , то можем получить напряжения в произвольном направлении 𝑛 . 𝜋 =𝜋 𝑖 +𝜋 𝑗+𝜋 𝑘 (2.9) 𝜋 =𝜋 𝑖 +𝜋 𝑗+𝜋 𝑘 𝜋 =𝜋 𝑖+𝜋 𝑗+𝜋 𝑘 𝑘 𝑛 = cos (𝑛, 𝑥)𝑖𝑖 + cos (𝑛, 𝑦)𝑗𝑗 + cos (𝑛, 𝑧)𝑘 𝑃= 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 (2.10) (2.11) Из (2.8) получаем формулу Коши. 𝜋 = 𝑛 ⋅ 𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝑛, где 𝑛 — вектор-строка или вектор-столбец (2.12) Распишем это дело через матрицы: 𝜋 =𝑛⋅𝑃 =𝑃 𝑛 = 𝜋 𝜋 𝜋 cos (𝑛, 𝑥) 𝜋 𝜋 𝜋 ⋅ cos (𝑛, 𝑦) 𝜋 𝜋 𝜋 cos (𝑛, 𝑧) = ⋯ = (2.8) Из (2.12) матрица 𝑃 задает линейный оператор 𝑛 → 𝜋 . Этот оператор называется тензором напряжения. 12 из 119 Автор: М. Минин Закон изменения количества движения. Уравнения динамики жидкости в терминах напряжения. 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 Π= 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 (2.13) — физические компоненты тензора напряжения Дифференциальная форма записи закона изменения количества движения. Из (2.6) 𝜌 𝜋 𝑑𝑆 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝜏 = 𝑑𝑡 𝐹 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 𝜋 𝑑𝑆 ⇒ 𝜋 cos (𝑛, 𝑥) + 𝜋 cos (𝑛, 𝑦) + 𝜋 cos (𝑛, 𝑧) 𝑑𝑆 = 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝜏 В первом переходе пользовались (2.8). 𝜌 𝜋 𝜕𝜋 𝑣 𝜋 𝜋 𝑑𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝐹− − 𝜌𝐹 − − 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜌 𝑑𝜏 = 0 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝑑𝑣 𝐹+ = 𝜌𝐹 + + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (2.14) Это и есть дифференциальная форма записи уравнения динамики сплошной среды в напряжениях. 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝑑𝑣 = 𝜌𝐹 + + + ⎧𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⎪ 𝑑𝑡 ⎪ 𝑑𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 = 𝜌𝐹 + + + 𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⎨ 𝑑𝑡 ⎪ 𝑑𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 ⎪ 𝜌 = 𝜌𝐹 + + + ⎩ 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 13 из 119 (2.15) Автор: М. Минин Закон изменения момента количества движения. §3. Закон изменения момента количества движения. Орбитальный момент. 𝜏 𝑑𝜏 𝑅 Рассмотрим жидкий фрагмент 𝜏, на который действует объемная сила 𝑑𝑅 𝑣 𝑟 𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝜏 ∶ 𝐾 = 𝑑𝑚 𝑣 = 𝜌𝑣 𝑣 𝑑𝜏 𝑑𝐾 𝑑𝜏 ∶ 𝐿 = 𝑟 × 𝑑𝐾 𝐾 = 𝜌𝑟𝑟 × 𝑣 𝑑𝜏 𝑑𝐿 𝜏∶ 𝐿= (3.1) 𝑟 × 𝑣 𝜌 𝑑𝜏 𝑂 Замечание о внутреннем моменте. При некоторых условиях у элементарной частицы 𝑑𝜏 может быть момент, обусловленный внутренним вращением этой частички. В обычных газах (жидкостях) внутренний момент равен нулю (с точностью до молекулярных флуктуаций) в виду хаотического вращения и хаотической ориентации молекул. В некоторых особых случаях (магнитная гидродинамика, механика суспензий) внутренний момент может быть отличен от нуля, но рассмотрение этих случаев выходит за рамки курса. Закон изменения момента количества движения. Если в потоке отсутствуют пространственно распределенные пары сил, то скорость изменения момента количества движения выделенной массы равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к этой массе. 𝜏 𝑝 𝑑𝑝 𝑣 𝑀 = 𝑟 × 𝑑𝑅 𝑅 = 𝑟 × 𝜌𝐹 𝐹 𝑑𝜏 𝑑𝜏 ∶ 𝑑𝑀 𝑑𝜏 𝑑𝑆 𝑟 𝜏∶ 𝑀 = (3.2) 𝐹 ) 𝑑𝜏 (𝑟𝑟 × 𝜌𝐹 𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝜏 ∶ 𝑀 = 𝑟 × 𝑑𝑝 𝑝 = (𝑟𝑟 × 𝜋 ) 𝑑𝑆 𝑑𝑀 𝑂 𝜏∶ 𝑀 = (3.3) (𝑟𝑟 × 𝜋 ) 𝑑𝑆 Можем записать, что: 𝐿 𝑑𝐿 = 𝑀 = 𝑀 +𝑀 𝑑𝑡 Тогда сформулированный закон можно переписать в интегральной форме как: 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 )𝑑𝜏 = (𝑟𝑟 × 𝜌𝑣 𝐹 )𝑑𝜏 + (𝑟𝑟 × 𝜌𝐹 (3.4) (𝑟𝑟 × 𝜋 )𝑑𝑆 Теперь будем последовательно преобразовывать слагаемые, чтобы получить дифференциальную форму. 𝑑 𝑑𝑡 (∗∗∗∗) 𝑣 ) 𝑑𝜏 = (𝑟𝑟 × 𝜌𝑣 𝑑 𝑣 ) + (𝑟𝑟 × 𝜌𝑣 𝑣 ) div 𝑣 𝑑𝜏 = (𝑟𝑟 × 𝜌𝑣 𝑑𝑡 𝑟×𝜌 𝑑 𝑑𝜌 𝑣 +𝑟 ×𝑣 + 𝜌 div 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜏 Значит левую часть можно переписать как: 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 ) 𝑑𝜏 = (𝑟𝑟 × 𝜌𝑣 14 из 119 𝑟×𝜌 𝑑 𝑣 𝑑𝜏 𝑑𝑡 (3.5) Автор: И. Буренев Закон сохранения и превращения энергии. Осталось переписать интеграл по поверхности в интеграл по объему. Применим к нему теорему ОстроградскогоГаусса. (𝑟𝑟 × 𝜋 ) 𝑑𝑆 = = 𝑟 × 𝜋 cos(𝑛, 𝑥) + 𝑟 × 𝜋 cos(𝑛, 𝑦) + 𝑟 × 𝜋 cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝑆 = 𝑟× 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑟𝑟 𝜕𝑟𝑟 𝜕𝑟𝑟 𝜋 + 𝜋 + 𝜋 𝑑𝜏 ×𝜋 ×𝜋 ×𝜋 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝜏 + (3.6) Теперь подставляя полученные выражения в формулу (3.4) получаем: 𝑟× 𝜌 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝑑 𝐹− 𝑣 − 𝜌𝐹 + + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ( . = 𝑖 ×𝜋 +𝑗 ×𝜋 +𝑘 ×𝜋 ) Таким образом получили следующие соотношение для тензора напряженности: (3.7) 𝑘 ×𝜋 ) = 0 (𝑖𝑖 × 𝜋 ) + (𝑗𝑗 × 𝜋 ) + (𝑘 Для лучшего понимания распишем 𝜋 , , по базису 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⎧𝑖 × 𝜋 = 𝜋 𝑘 − 𝜋 𝑗 ⎪ 𝑗 ×𝜋 = 𝜋 𝑖 −𝜋 𝑘 ⎨ ⎪𝑘 × 𝜋 = 𝜋 𝑗 − 𝜋 𝑖 ⎩ Тогда 𝑘 × 𝜋 ) = 𝑖 (𝜋 (𝑖𝑖 × 𝜋 ) + (𝑗𝑗 × 𝜋 ) + (𝑘 − 𝜋 ) + 𝑗 (𝜋 − 𝜋 ) + 𝑘 (𝜋 −𝜋 )=0 Вектор равен нулю, значит все его компоненты равны нулю. 𝜋 𝜋 =𝜋 =𝜋 𝜋 =𝜋 (3.8) Дифференциальную форму мы не получили, зато показали, что тензор напряжения симметричен. §4. Закон сохранения и превращения энергии. Мы считаем, что частичка в каждый момент времени находится в термодинамическом равновесии. Введем удельную внутреннюю энергию жидкости 𝑈. ([𝑈] = Дж/кг). С точки зрения физики в 𝑈 следует включить следующие факторы: 1. Кинетическую энергию поступательного движения молекул. 2. Кинетическую энергию вращательного движения молекул. 3. Энергию колебаний атомов в молекуле. 4. Энергию связи атомов («Энергия диссоциации»). 5. Энергию связи электронов с ядрами («Энергия ионизации»). 6. Энергию связи элементарных частиц в ядрах («Ядерная энергия»). 7. Энергию потенциального взаимодействия молекул друг с другом и с окружающими телами. Однако в курсе МЖГ логично рассматривать компоненты, которые изменяются при макроскопическом движении. Поэтому обычно включается 1, 2 и иногда 3 составляющая. 15 из 119 Автор: И. Буренев Закон сохранения и превращения энергии. Рассмотри в качестве примера идеальный газ. Из курса общей физики известно: где 𝑅 = 3 𝑅 𝑇 2 Для одноатомного ∶ 𝑈 = 𝑈пост = Для двухатомного ∶ 𝑈 = 𝑈пост + 𝑈вр = 5 𝑅 𝑇, 2 . 𝑅 — универсальная газовая постоянная, а 𝑀𝑟 — молярная масса конкретного газа Эти формулы работают, если температура 150𝐾 < 𝑇 < (600 − 700) 𝐾. Потом становится заметным вклад колебательной энергии. 𝑈= 5 𝑅 𝑇+ 2 𝑐 кол 𝑑𝑇 = 5 𝑅+𝑐 2 кол 𝑑𝑇 = (4.1) 𝑐 𝑑𝑇 Рассмотрим элементарную энергию частицы. 𝑑𝜏 ∶ 𝑑𝐸вн = 𝑑𝑚 𝑈 = 𝜌𝑈 𝑑𝜏 𝜏∶ 𝐸вн = (4.2) 𝜌𝑈 𝑑𝜏 Если есть макродвижение надо добавить кинетическую энергию: 𝑑𝜏 ∶ 𝑣 𝑣 = 𝜌 𝑑𝜏 2 2 𝑣 𝜌 𝑑𝜏 2 𝑑𝐸кин = 𝑑𝑚 𝜏∶ 𝐸кин = (4.3) А значит полная энергия: 𝐸 = 𝐸вн + 𝐸кин = 𝜌 𝑈+ 𝑣 2 (4.4) 𝑑𝜏 При движении жидкой частички ее полная энергия будет изменятся. Причинами этого изменения будут: 1. Работа объемных сил. 2. Работа поверхностных сил. 3. Поглощение тепла объемом. 4. Поглощение тепла через поверхность Рассмотрим каждую из причин более подробно. Работа объемных сил. 𝑑𝜏 ∶ 𝜏∶ Мощность ∶ 𝑅 ⋅ 𝑣 𝑑𝑡 = 𝜌𝐹 𝐹 ⋅ 𝑣 𝑑𝑡𝑑𝜏 𝑑𝑅 𝑑𝑡 𝐹 ⋅ 𝑣 𝑑𝜏 𝜌𝐹 𝐴 = 16 из 119 𝐹 ⋅ 𝑣 𝑑𝜏 𝜌𝐹 (4.5) Автор: И. Буренев Закон сохранения и превращения энергии. Работа поверхностных сил. 𝑝 ⋅ 𝑑𝑟𝑟 = 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑡𝑑𝑆 𝑑𝑝 𝑑𝑆 ∶ 𝑆∶ 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 𝑑𝑡 Мощность ∶ (4.6) 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 𝐴 = Поглощение тепла объемом. Пусть 𝜀 — количество тепла, поглощаемое единицей объема в единицу времени. 𝑑𝜏 ∶ 𝜏∶ Мощность ∶ 𝜀 𝑑𝜏𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜀 𝑑𝜏 𝑄 = (4.7) 𝜀 𝑑𝜏 Поглощение тепла через поверхность. Пусть 𝑞 — вектор плотности потока тепла. 𝜏 𝑛 𝑑𝑛 𝑞 ⋅ 𝑛 𝑑𝑡𝑑𝑆 −𝑞 𝑑𝑆 ∶ 𝑆∶ Мощность ∶ 𝑑𝑆 𝑞 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 −𝑑𝑡 (4.8) 𝑞 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 𝑄 =− 𝑞 Теперь запишем закон сохранения и превращения энергии для частички жидкости 𝜏. 𝑑𝐸 =𝐴 +𝐴 +𝑄 +𝑄 𝑑𝑡 (4.9) Теперь подставим сюда полученные соотношения: 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑈+ 𝑣 2 𝑑𝜏 = 𝐹 ⋅ 𝑣 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜀 𝑑𝜏 − (4.10) 𝑞 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 Чтобы получить дифференциальную форму надо переписать интегралы по поверхности в интегралы по объему и занести производную по времени внутрь. 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑈+ 𝑣 2 𝑑 𝑣 𝜌 𝑈+ 𝑑𝑡 2 (∗∗∗∗) 𝑑𝜏 = = = 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 = = = 𝜌 𝜌 𝑑 𝑣 𝑈+ 𝑑𝑡 2 𝑑𝑈 𝑑𝜏 + 𝑑𝑡 +𝜌 𝑈+ + 𝑈+ 𝑣 𝜌𝑣 𝑣 2 𝑣 2 div 𝑣 𝑑𝜏 = 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝜏 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝜏 𝑑𝑡 (4.11) 𝑣 𝜋 cos(𝑛, 𝑥) + 𝑣 𝜋 cos(𝑛, 𝑦) + 𝑣 𝜋 cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝑆 𝑣 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝜕𝜋 𝜕𝜋 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝜏 + 17 из 119 𝜋 𝑣 𝑣 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜋 +𝜋 𝑑𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (4.12) Автор: И. Буренев Закон сохранения и превращения энергии. div 𝑞 𝑑𝜏 𝑞 𝑛 𝑑𝑆 = (4.13) Подставим все в (4.10) и вынесем все слагаемые с 𝑣 в одну сторону. 𝑣 𝜌 𝜋 𝜕𝜋 𝑣 𝜋 𝜋 𝑑𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝐹− − 𝜌𝐹 + + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ( . 𝑑𝜏 + 𝜌 𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑈 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 𝜋 +𝜋 +𝜋 + div 𝑞 − 𝜀 𝑑𝜏 = 0 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ) Или в дифференциальной форме записи: 𝜌 𝑣 𝑣 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑑𝑈 =𝜋 +𝜋 +𝜋 − div 𝑞 + 𝜀 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (4.14) Заметим, что в этом уравнении нет кинетической энергии и внешних сил. И это не случайность! Закон изменения удельной кинетической энергии следует из закона сохранения импульса (2.14). Запишем его: 𝜌 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝑑 𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝐹 𝑣 +𝑣 = 𝜌𝐹 + + 𝑑𝑡 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 18 из 119 (4.15) Автор: И. Буренев Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Тензор скоростей деформации. §5. Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Тензор скоростей деформации. Вектор завихренности. Введем вектор завихренности поля скоростей Ω = rot 𝑣 = ∇ × 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − ⎧Ω = 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⎪ ⎪ 𝜕𝑣 𝜕𝑣 Ω = − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⎨ ⎪ 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎪Ω = − ⎩ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (5.1) Связь вектора Ω с угловой скоростью. Пусть жидкая частичка вращается с мгновенной угловой скоростью 𝜔 относительно оси, проходящей через полюс 𝑂. 𝑣 = 𝜔 × 𝑟 = 𝜔 𝑧 − 𝜔 𝑦 𝑖 + (𝜔 𝑥 − 𝜔 𝑧) 𝑗 + 𝜔 𝑦 − 𝜔 𝑥 𝑘 𝜔 𝜏 Выпишем компоненты скорости 𝑣. 𝑣 𝑟 𝑂 𝜕𝑣 1 𝜕𝑣 ⎧𝜔 = − 2 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⎪ ⎧𝑣 = 𝜔 𝑧−𝜔 𝑦 ⎪ ⎪ 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 , , − 𝑣 =𝜔 𝑥−𝜔 𝑧 ⟹ 𝜔 = 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⎨ ⎨ ⎪𝑣 =𝜔 𝑦−𝜔 𝑥 ⎪ ⎩ ⎪ 𝜔 = 1 𝜕𝑣 − 𝜕𝑣 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎩ (5.2) Таким образом получаем соотношение между Ω и 𝜔 (5.3) 𝜔 Ω = 2𝜔 Теорема Гельмгольца. 𝑀 𝑟 𝑁 𝛿𝑟𝑟 𝑣 вр как было в классической механике. Для Хотим получить что-то вида 𝑣 = 𝑣 пост +𝑣 этого рассмотрим частичку, достаточно малую для того, чтобы считать 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. В этой частичке выделим две точки 𝑀 и 𝑁. 𝜔 𝑂 𝑣 = 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 (𝑟𝑟 ) + 𝑣 𝜕𝑣 𝛿𝑟𝑟 𝜕𝑟𝑟 Рассмотрим это в проекции на ось 𝑥. 𝑣 (𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦, 𝑧 + 𝛿𝑧) = 𝑣 + =𝑣 + 𝜕𝑣 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝛿𝑥 + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 + 𝛿𝑧 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣 1 𝜕𝑣 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝛿𝑦 + − 𝛿𝑦 + + 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝛿𝑧 + 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝛿𝑧 = = 𝑣 + (𝜔 𝛿𝑧 − 𝜔 𝛿𝑦) + 𝜀 𝛿𝑥 + 𝜀 𝛿𝑦 + 𝜀 𝛿𝑧 Здесь 𝜀 = + 𝛼, 𝛽 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 19 из 119 Автор: И. Буренев Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Тензор скоростей деформации. Тогда компоненты скорости в первом приближении: 𝜔 × 𝛿𝑟𝑟 ) + 𝜀 𝛿𝑥 + 𝜀 𝛿𝑦 + 𝜀 𝛿𝑧 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 + (𝜔 (5.4) 𝜔 × 𝛿𝑟𝑟 ) + 𝜀 𝛿𝑥 + 𝜀 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 + (𝜔 (5.5) 𝛿𝑦 + 𝜀 𝛿𝑧 (5.6) 𝜔 × 𝛿𝑟𝑟 ) + 𝜀 𝛿𝑥 + 𝜀 𝛿𝑦 + 𝜀 𝛿𝑧 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 + (𝜔 Запишем получившуюся систему в векторном виде. Для этого определим матрицу 𝐸. 𝐸̂ , (5.7) =𝜀 ̂ 𝑟 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 (𝑟𝑟 ) + 𝜔 × 𝛿𝑟𝑟 + 𝐸𝛿𝑟 (5.8) Полученная формула представляет из себя теорему Гельмгольца: Если задано непрерывно дифференцируемое поле скоростей сплошной среды, то в малой окрестности произвольной материальной точки 𝑀 скорость любой другой материальной точки 𝑁 можно представить как суперпозицию скорости полюса 𝑀, скорости точки 𝑁 относительно полюса 𝑀 из-за вращательного движения жидкости с мгновенной угловой скоростью 𝜔 = rot 𝑣 относительно мгновенной оси, проходящей через полюс 𝑀, и скорости точки 𝑁 относительно 𝑀 из-за деформационного движения жидкости (последнее слагаемое). ̂ 𝑟 𝑣 деф = 𝐸𝛿𝑟 (5.9) Тензор 𝐸̂ задает линейный оператор, который отображает вектор 𝛿𝑟𝑟 в вектор 𝑣 деф . 𝐸̂ называют тензором скоростей деформации. Очевидно, что этот тензор симметричен, но на этом его замечательные свойства не заканчиваются. Tr 𝐸̂ = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + + = div 𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (5.10) Физический смысл компонент тензора скоростей деформации. Напомним, что в прошлом пункте мы научились раскладывать скорость любой точки относительно некоторого фиксированного полюса в суперпозицию скорости этого полюса, скорости вращательного движения жидкости и скорости деформационного движения жидкости. Математически это записывается так: ̂ 𝑟 𝑣 (𝑟𝑟 + 𝛿𝑟𝑟 ) = 𝑣 (𝑟𝑟 ) + (𝜔 𝜔 × 𝛿𝑟𝑟 ) + 𝐸𝛿𝑟 𝑣 деф = 𝐸̂ ⋅ 𝛿𝑟𝑟 = 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝛿𝑥 ⋅ Чтобы понять физический смысл этого тензора, рассмотрим снача𝑣 = 0), вращательла частный случай, когда полюс неподвижен (𝑣 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝑦 𝜔 = 0), и тензор скоростей деформации ное движение отсутствует (𝜔 имеет только одну ненулевую компоненту (𝜀 > 0). Тогда запишем 𝛿𝑥 компоненты поля скоростей деформации: 𝑀 𝑥 𝑣деф = 𝜀 𝛿𝑥 𝑣деф = 0 𝑣деф = 0 Мы видим, что чем дальше мы отходим от точки 𝑀 (полюс), тем большим по модулю становится поле скорости деформации. Такое деформационное движение называется однородным растяжением. При 𝜀 < 0 получили бы однородное сжатие. Остальные диагональные компоненты тензора 𝐸̂ также описывают однородные растяжения или сжатия, но в вдоль осей 𝑦 и 𝑧. 20 из 119 Автор: С. Перков Реологические модели в МЖГ. Рассмотрим другой частный случай, когда полюс неподвижен, вращательное движение отсутствует и тензор скоростей деформации имеет только две ненулевые недиагональные компоненты (𝜀 =𝜀 > 0). Запишем компоненты поля скоростей деформации: 𝑣деф = 𝜀 𝛿𝑦 𝑣деф = 𝜀 𝛿𝑥 𝑦 𝑣деф = 0 Посмотрим на ось 𝑂𝑋: при удалении от точки 𝑀 увеличивается 𝑦компонента поля скорости деформации. Прямая, изображенная на 𝑀 рисунке, задается угловым коэффициентом 𝜀 . Аналогично при удалении от точки М по оси OY увеличивается 𝑥-компонента поля 𝑥 скоростей деформации. Такая деформация называется деформацией скашивания прямого угла. Остальные недиагональные компоненты также отвечают за деформацию скашивания прямого угла, но в другой плоскости. §6. Реологические модели в МЖГ. Реологические модели — модели, которые описывают зависимость напряжений в среде от термодинамических и деформационных параметров среды. В МЖГ рассматриваются две реологические модели: модель идеальной жидкости и модель вязкой Ньютоновской жидкости. Вторая модель более общая и содержит в себе первую как частный случай. Модель вязкой Ньютоновской жидкости. Вязкой Ньютоновской жидкостью называется сплошная среда, для которой справедливо следующее соотношение для тензора напряжений: Π̂ = −𝑝 + 𝜁 𝜀 +𝜀 𝐼 ̂ + 2𝜇ℰ̂ +𝜀 (6.1) где 𝑝 — давление, 𝜁 — коэффициент объемной вязкости, 𝜇 — коэффициент динамической вязкости, 𝐼 ̂ — единичный тензор, ℰ̂ — тензор скоростей деформации. Тогда в матричном виде можно записать: 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 1 0 = −𝑝 + 𝜁 𝜀 +𝜀 +𝜀 ⋅ 0 1 0 0 0 𝜀 𝜀 𝜀 0 + 2𝜇 𝜀 𝜀 𝜀 1 𝜀 𝜀 𝜀 (6.2) 3 существенных свойства модели вязкой Ньютоновской жидкости. 1. Коэффициенты 𝑝, 𝜁, 𝜇 — скаляры, а значит не зависят от системы координат. С точки зрения физики получаем, что среда изотропная 2. Зависимость компонент тензора напряжений от компонент тензора скоростей деформации линейная. Если 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то Π = −𝑝𝐼 + 2𝜇ℰ, потому что Tr𝐸̂ = 𝜀 +𝜀 +𝜀 (6.3) = div 𝑣 = 0. 3. Если жидкость неподвижна или движется как абсолютно твердое тело, то в ней действуют только нормальные компоненты напряжений. Запишем формулу Коши (2.8): 𝜋 = 𝜋 cos(𝑛, 𝑥) + 𝜋 cos(𝑛, 𝑦) + 𝜋 cos(𝑛, 𝑧) 21 из 119 Автор: С. Перков Реологические модели в МЖГ. Перепишем формулу (6.3) с учетом того, что среда неподвижна или движеся как абсолютно твердое тело, что дает нам 𝜀 = 0, ∀𝑖, 𝑘: 𝜋 = 𝜋 𝑖 + 𝜋 𝑗 + 𝜋 𝑘 = −𝑝𝑖𝑖 𝜋 = 𝜋 𝑖 + 𝜋 𝑗 + 𝜋 𝑘 = −𝑝𝑗𝑗 ⇒ 𝑘 = −𝑝𝑛 𝑛 𝜋 = −𝑝 cos(𝑛, 𝑥)𝑖𝑖 + cos(𝑛, 𝑦)𝑗𝑗 + cos(𝑛, 𝑧)𝑘 𝑘 𝜋 = 𝜋 𝑖 + 𝜋 𝑗 + 𝜋 𝑘 = −𝑝𝑘 Замечание о происхождении модели (6.1). Модель вязкой Ньютоновской жидкости является результатом интеллектуальной обработки огромного количества наблюдений и измерений. Замечание о 𝑝 . В феноменологической механике жидкостей и газов нельзя строго доказать, что параметр 𝑝 из формулы (6.1) — это тот самый термодинамический параметр (давление), который входит в известные термодинамические соотношения. Поэтому утверждение, что 𝑝 — это давление, является дополнительной независимой гипотезой, постулируемой в модели вязкой Ньютоновской жидкости. Замечание о 𝜇 . 𝑦 Рассмотрим задачу, которую исследовал Исаак Ньютон: жидкость между двумя по- 𝜋 верхностями стекла, одна из которых движется относительно другой, за счет прило𝑣 𝐹 женной силы 𝐹. Опыт показывает, что 𝐹 ∼ 𝑣 𝑙 𝑣 ⎧𝑣 = 𝑙 𝑦 ⎪ 𝑣 =0 ⎨ ⎪𝑣 =0 ⎩ 𝑥 Нас интересует: 𝜋 ∼ 𝑣 𝑙 (6.4) Для этого из формул для реологической модели (1.6.3) и (1.6.2): 𝜋 = 2𝜇𝜀 = 2𝜇 1 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 =𝜇 𝑣 𝑙 Из этой формулы так же понятна размерность коэффициента динамической вязкости [𝜇] = (6.5) Нс м Таким образом из модели Стокса ( Стокс предложил для несжимаемой жидкости: Π = −𝑝𝐼 + 2𝜇𝐸 ) получили соотношение для напряженности из закона Ньютона для вязкости. Вот примеры коэффициента динамической вязкости при разных условиях: н.у. +15∘ 𝐶, 670 мм рт.ст: Н⋅с м Н⋅с = 1,01 ⋅ 10 м Н⋅с = 0,28 ⋅ 10 м 𝜇возд = 1,8 ⋅ 10 +10∘ 𝐶: 𝜇 +100∘ 𝐶: 𝜇 При условиях 10 Па ≤ 𝑝 ≤ 10 Па и 150𝐾 ≤ 𝑇 ≤ 2500𝐾 для газов работает следующая формула: 22 из 119 Автор: С. Перков Реологические модели в МЖГ. 𝜇 𝑇 = 𝜇 𝑇 Константы: 𝜇 = 1,7 ⋅ 10 Нс , м 𝑇 = 273𝐾, / 𝑇 +𝑆 — Sutherlend 𝑇+𝑆 (6.6) 𝑆 = 117𝐾. Ниже приведен график зависимости 𝜇(𝑇/𝑇 ). Для жидкостей зависимость другая: с повышением температуры вязкость падает 𝜇 ⋅ 10 , Нс м 5 4 3 2 1 𝑇/𝑇 0 1 2 3 4 5 Замечание о 𝜁 В МКТ строго доказывается, что для одноатомного газа выполнено следующее соотношение: 2 𝜁=− 𝜇 3 (6.7) 2 Если газ двухатомный или многоатомный, то пишут 𝜁 = − 𝜇 + 𝜇 , где 𝜇 — поправка на многоатомность. 3 Поправку нужно учитывать тогда, когда строение атомов (молекул) влияет на структуру реологии (т.е. на динамику) Окончательные выражения для компонент тензора напряжений. Смотрим (6.2). Для диагональных компонент: ⎧𝜋 ⎪ ⎪ 𝜋 ⎨ ⎪ ⎪𝜋 ⎩ 𝜕𝑣 2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜇 + + 3 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣 2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = −𝑝 − 𝜇 + + 3 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣 2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = −𝑝 − 𝜇 + + 3 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = −𝑝 − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 + 2𝜇 𝜕𝑦 + 2𝜇 + 2𝜇 (6.8) 𝜕𝑣 𝜕𝑧 Для недиагональных компонент: ⎧𝜋 ⎪ ⎪ 𝜋 ⎨ ⎪ ⎪𝜋 ⎩ =𝜋 =𝜋 =𝜋 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =𝜇 + 𝜕𝑦 𝜕𝑧 =𝜇 =𝜇 (6.9) 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 23 из 119 Автор: С. Перков Вектор плотности потока тепла, закон Фурье. Из (1.6.8) при 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 следует: ⎧𝜋 ⎪ ⎪ 𝜋 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩𝜋 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 = −𝑝 + 2𝜇 𝜕𝑦 𝜕𝑣 = −𝑝 + 2𝜇 𝜕𝑧 = −𝑝 + 2𝜇 (6.10) Тензор вязких напряжений. Π̂ = −𝑝 − 2 𝜇 div 𝑣 𝐼 ̂ + 2𝜇ℰ̂ = −𝑝𝐼 ̂ + 3 1 2𝜇 − div 𝑣 ⋅ 𝐼 ̂ + ℰ̂ 3 тензор вязких напряжений || = −𝑝𝐼 ̂ + ||𝜏 || (6.11) || Компоненты тензора вязких напряжений можно записать так: 1 𝜏 = 2𝜇 − div 𝑣 + 𝜀 3 𝜏 (6.12) = 2𝜇𝜀 , 𝑖 ≠ 𝑘 Модель идеальной жидкости. По идее 𝑝 ∼ 10 , а 𝜇 ∼ 10 и, казалось бы, тут все просто: берем и выкидываем из модели вязкой Ньютоновской жидкости вязкость. На самом деле есть задачи, где давление не играет никакой роли в то время, как вязкость важна (обтекание бесконечно тонкой пластинки) Идеальной жидкостью называется среда, для которой выполняется следующее соотношение для тензора напряжений: Π = −𝑝𝐼 (6.13) §7. Вектор плотности потока тепла, закон Фурье. 𝑞 — вектор плотности потока тепла Тепло в жидкостях может передаваться с помощью двух существенно различных механизмов: 1. молекулярная диффузия (механизм проникновения) 2. молекулярная теплопроводность (механизм столкновения) В обычных условиях процесс молекулярной теплопроводности существенно доминирует, а диффузия не играет роли. Однако существуют обратные ситуации. Молекулярная теплопроводность хорошо описывается законом Фурье: 𝑞 = −𝜆 grad 𝑇 (7.1) 𝜆 — коэффициент теплопроводности 24 из 119 Автор: С. Перков Термодинамическая модель жидкости. Совершенный газ. н.у: +20∘ 𝐶: Дж м⋅с⋅К Дж = 0,6 м⋅с⋅К Дж = 9,3 ⋅ 10 м⋅с⋅К Дж = 0,68 м⋅с⋅К 𝜆возд = 0,0242 𝜆 𝜆 +100∘ 𝐶: 𝜆 А следующее безразмерное соотношение называют числом Прандтля 𝑐 𝜇 = 𝑃𝑟 - Число Прандтля 𝜆 (7.2) При 150𝐾 ≤ 𝑇 ≤ 1200𝐾 число Прандтля для воздуха 𝑃𝑟 ≈ 0, 72 Дж При 150𝐾 ≤ 𝑇 ≤ 700𝐾 𝑐 ≈ 1000 кг⋅с , т.е. нет колебательной степени свободы. Тогда из (7.2): 𝜆= 𝑐 𝜇 𝑃𝑟 (7.3) §8. Термодинамическая модель жидкости. Совершенный газ. Термодинамические параметры, которые не зависят от предыстории системы и полностью определяются состоянием системы в данный момент, называются функциями состояния. Одна из формулировок первого начала термодинамики: внутренняя энергия есть функция состояния. Любая функция состояния зависит только от температуры и внешних независимых параметров. Допустим, что есть 𝑎 , … , 𝑎 - 𝑛 независимых параметров, тогда: (8.1) 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝑎 , … , 𝑎 ) Уравнение (8.1) — калорическое уравнение состояния. 𝑑 𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 Для того, чтобы пояснить (8.1), рассмотрим циклический процесс: 1) Если 𝑈 — функция состояния, то для циклического процесса Δ𝑈 = 0. С точки зрения физики все в порядке, противоречий нет: 𝑄 − 𝑄 = 𝑈 − 𝑈 + Δ𝐴 2) Если 𝑈 не функция состояния, то допустим, что Δ𝑄 = 0, а Δ𝑈 ≠ 0. Тогда Δ𝐴 ≠ 0 и система совершает работу не получая тепло (вечный двигатель). Провели аналогию между нашей формулировкой (8.1) и школьным определением первого начала термодинамики. Элементарная работа нашей системы может быть представлена в следующем виде: 𝑑𝐴= 𝐹 𝑑𝑎 (8.2) 𝐹 = 𝐹 (𝑇, 𝑎 , … , 𝑎 ) Константы называют так: 𝑎 — обобщенная координата, 𝐹 — обобщенная сила. 𝐹 = 𝐹 (𝑇, 𝑎 , … , 𝑎 ) — термическое уравнение состояния. Их столько же, сколько обобщенных координат. Термодинамическая система простая, если единственный внешний независимый параметр. Тогда (8.2) выглядит так: 25 из 119 Автор: С. Перков Термодинамическая модель жидкости. Совершенный газ. 𝑑 𝐴 = 𝐹𝑑𝑎 𝑑 𝐴 = 𝑝𝑑𝑉 , при 𝑎 = 𝑉 Далее рассматривается простая термодинамическая система: 𝑝 = 𝑝(𝑇, 𝑉) 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝑉) ⇒ (8.3) 𝑉 — удельный объем 𝑉 = : 𝑝 = 𝑝(𝑇, 𝜌) 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝜌) (8.4) Рассмотрим (8.4) для конкретного случая. 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 𝑈=𝐶 𝑇 𝑅, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (8.5) Если (8.4) имеют вид (8.5), то газ называется совершенным. Обычно (8.5) называют идеальным газом, но у нас идеальный газ — газ без трения (вязкости). Также из (8.4): 𝜌 = 𝜌(𝑇, 𝑝) 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝜌) ⇒ 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑈 = 𝑐𝑇 (8.6) Такую среду называют несжимаемой 26 из 119 Автор: С. Перков Система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной жидкости. §9. Система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной жидкости. 9.1 Система уравнений для совершенного газа. Вспомним все уравнения которые у нас уже были: Закон сохранения массы: Закон сохранения импульса: Закон сохранения момента импульса: Закон сохранения энергии: Теормема Гельмгольца: Тензор напряжений: Закон Фурье: 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 = 0 𝑑𝑡 𝜋 𝜕𝜋 𝜋 𝜋 𝑣 𝑑𝑣 𝜕𝜋 𝜕𝜋 𝐹+ = 𝜌𝐹 + + 𝜌 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (9.1) (9.2) Симметричность тензора Π 𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑈 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =𝜋 +𝜋 +𝜋 + 𝜖 − div 𝑞 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Тензор скоростей деформации: ℰ̂ 𝜌 𝜋 = −𝑝 − 2/3𝜇 div 𝑣 + 2𝜇 + 𝜇 ,𝑖 = 𝑗 ,𝑖 ≠ 𝑗 𝑞 = −𝜆 grad 𝑇 Калорическое уравнение: (9.4) (9.5) 𝑈=𝑐 𝑇 (9.6) 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 𝑇 ⎧𝜇 = 𝜇 𝑇 𝑐 ⎨ ⎩𝜆 = 𝑃𝑟 𝜇 Связь 𝜇 и 𝜆 с температурой: (9.3) ⋅ 𝑇 +𝑆 𝑇+𝑆 (9.7) Теперь посчитаем количество неизвестных: • Известные величины: 𝑐 , 𝑃𝑟, 𝑆, 𝑇 , 𝜇 , 𝑅, 𝑐 . • Известные функции: 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝜖(𝑇, ...). • Неизвестные функции: 𝜌, 𝑣 , Π, 𝑈, 𝑞 , 𝑝, 𝜇, 𝜆, 𝑇 — 18 неизвестных. Если посчитать все уравнения с учетом того, что часть из них векторная, то получится тоже 18. Таким образом полученная система замкнута, а значит целиком описывает поведение газа. Ее часто называют полной системой уравнений Навье-Стокса. 9.2 Система уравнений для несжимаемой жидкости. Здесь будут следующие допущения: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Таким образом даже вода не всегда будет подходить, так как 𝜇 зависит от температуры, как показывалось ранее. Запишем теперь уравнения с учетом допущений: Из закона сохранения массы получим: div 𝑣 = 0 (9.8) Закон сохранения импульса преобразуем следующим образом: 𝜌 𝑑𝑣 𝜕 𝜕𝑣 = 𝜌𝐹 + −𝑝 + 2𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 = 𝜌𝐹 − 𝜕𝑝 𝜕 +𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 27 из 119 + 𝜇+ 𝜕 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜇 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Автор: И. Буренев Система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной жидкости. Аналогичные уравнения можно получить для всех трех компонент: 𝜕𝑣 𝜕𝑝 = 𝜌𝐹 − + 𝜇Δ𝑣 ⎧𝜌 𝜕𝑡 𝜕𝑥 ⎪ ⎪ 𝜕𝑣 𝜕𝑝 𝜌 = 𝜌𝐹 − + 𝜇Δ𝑣 𝜕𝑡 𝜕𝑦 ⎨ ⎪ 𝜕𝑝 ⎪ 𝜕𝑣 ⎩ 𝜌 𝜕𝑡 = 𝜌𝐹 − 𝜕𝑧 + 𝜇Δ𝑣 (9.9) 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 − grad 𝑝 + 𝜇Δ𝑣 𝑣 = 𝜌𝐹 𝑑𝑡 (9.10) Или в векторном виде: 𝜌 Получили замкнутую систему из уравнений без температуры. Теперь посмотрим на уравнение энергии, а именно на первые три слагаемые и попробуем упростить. 𝜋 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + −𝑝 + 2𝜇 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜇 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑣 𝑣 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜋 +𝜋 = −𝑝 + 2𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜇 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜇 + 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + −𝑝 + 2𝜇 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 = − 𝑝 div 𝑣 + 𝜇Φ (9.11) Где Φ=2 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +2 𝜕𝑣 𝜕𝑦 +2 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (9.12) Замечания: • Если бы мы рассматривали сжимаемый газ, то слагаемое −𝑝 div 𝑣 появилось бы точно в таком же виде в выражении для суммы первых трех слагаемых в уравнении энергии. • Из (9.13) и (5.10) видно, что Φ представляет из себя линейную комбинацию квадратов компонент тензора скоростей деформации. Поскольку все коэффициенты в этой комбинации положительны Φ ≥ 0, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда нет деформационного движения жидкости. div 𝑞 = 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 −𝜆 + −𝜆 + −𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (9.13) Если теперь подставить все полученные выражения в уравнение энергии получим: 𝜌 𝑑𝑈 = 𝜇Φ + 𝜖 + 𝜆Δ𝑇 𝑑𝑡 (9.14) С учетом того, что для несжимаемой среды 𝑈 = 𝑐𝑇: 𝜌𝑐 𝑑𝑇 = 𝜇Φ + 𝜖 + 𝜆Δ𝑇 𝑑𝑡 (9.15) Теперь рассмотрим частные случаи, чтобы понять физический смысл компонент. • Пусть 𝜇 ≠ 0, 𝜖 = 0, 𝜆 = 0, тогда уравнение приобретает вид 𝜌𝑐 = 𝜇Φ > 0. Значит деформационное дви- жение способствует увеличению температуры, т.е. можно считать, что 𝜇Φ характеризует преобразование кинетической энергии деформационного движения жидкости во внутреннюю энергию. Часто говорят, что 𝜇Φ описывает диссипацию механической энергии во внутреннюю. 28 из 119 Автор: И. Буренев Система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной жидкости. • Пусть 𝑣 = 𝑣 = 𝑣 = 0, 𝜖 = 0, тогда уравнение приобретает вид 𝑐𝜌 = 𝜆Δ𝑇 ⇒ = 𝑎 Δ𝑇, где 𝑎 = . Это уравнение теплопроводности. (Полная производная перешла в частную, т.к. скорость равна 0) 9.3 Граничные условия для уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости. I. Граничные условия на обтекание поверхности. Неизвестные функции сейчас: 𝑇, 𝑣 , 𝜌. Граничные условия будут накладываться только на 𝑇 и 𝑣 . Рассмотрим 𝑣 . Во-первых вещество не может пройти через оболочку, а значит можно ввести так называемое «условие непротекания» 𝑣 = 0, из вязкости можно сказать, что пограничный слой остается на месте, тем самым добавив еще и «условие прилипания» 𝑣 = 0. Для температуры можно придумать разные граничные условия: Задать температуру на границе 𝑇 Задать поток тепла 𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 =𝑞 Поток тепла пропорционален разности температур 𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 =𝛼 𝑇 −𝑇 Смешанное условие 𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 =𝜆 =𝑇 𝜕𝑇t 𝜕𝑛 𝑇 = 𝑇t Последнее условие наиболее корректно с физической точки зрения, но требует знаний о поле температур внутри твердого тела, которое обтекает воздух. А значит придется решать уравнение теплопроводности. II. Условия на бесконечности. Нужно знать все характеристика налетающего потока. 𝜌 =𝜌 𝑣 =𝑣 𝑇 =𝑇 III. Условия на симметричность потока. Если поток обладает какой-нибудь симметрией, можно добавить еще условий. Тогда по оси 𝑥, т.е. при 𝑦 = 0: 𝑦 𝑣 = 0, 𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑣 𝜕𝜌 = 0, = 0, =0 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Все эти функции четные и гладкие. 29 из 119 Автор: И. Буренев Система уравнений и постановка задач в гидромеханике идеальной нетеплопроводной жидкости. §10. Система уравнений и постановка задач в гидромеханике идеальной нетеплопроводной жидкости. У нас есть условия: Π = −𝑝𝐼 (𝜇 = 0) 𝑞=0 (𝜆 = 0) Совершенный газ Несжимаемая жидкость div 𝑣 = 0 + 𝜌 div 𝑣 = 0 𝜌 𝐹 − ∇𝑝 = 𝜌𝐹 𝜌 𝐹 − ∇𝑝 = 𝜌𝐹 𝜌 = −𝑝 div 𝑣 + 𝜖 𝜌 =𝜖 𝑈=𝑐 𝑇 𝑈 = 𝑐𝑇 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 Неизвестные 𝜌, 𝑣 , 𝑈, 𝑇, 𝑝 𝑣 , 𝑝, 𝑈, 𝑇 Говоря о граничных условиях для этих систем отметим лишь отличия от случая вязкой теплопроводной жидкости. • Не нужно ставить условие на касательную компоненту скорости у поверхности («условие прилипания») • Не нужно ставить никакие условия на температуру и тепловой поток на обтекаемой поверхности. • Остальные граничные условия (симметрия, «условие непротекания», поток на бесконечности) остаются неизменными. §11. Интегралы системы уравнений гидромеханики идеальной жидкости. 11.1 Интеграл адиабаты. Течение называется адиабатическим, если любой жидкий объем 𝜏 не приобретает тепла извне и не отдает его. Π = −𝑝𝐼 (𝜇 = 0) 𝑞 = 0 𝜖 = 0 Рассмотрим систему для совершенного газа. 𝜌 𝑑𝜌 1 𝑑𝜌 + 𝜌 div 𝑣 = 0 ⇒ div 𝑣 = − 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 (11.1) 𝑑𝑈 𝑝 𝑑𝜌 𝑑𝑈 𝑝 𝑑𝜌 = −𝑝 div 𝑣 = ⇒ = 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡 (11.2) Теперь скажем, что газ — простая термодинамическая система, т.е. 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝜌) и 𝑝 = 𝑝(𝑇, 𝜌), а значит удельную внутреннюю энергию можно представить как функцию от 𝑝 и 𝜌. 𝑈 = 𝑈(𝑝, 𝜌) ⇒ = + Теперь подставим это в предыдущее равенство. 𝑑𝑝 = 𝑑𝑡 − 𝑑𝜌 𝑑𝑡 Отсюда можно получить связь между 𝜌 и 𝑝 в виде обыкновенного дифференциального уравнения: 𝑑𝑝 = 𝑑𝜌 − 30 из 119 (11.3) Автор: И. Буренев Интегралы системы уравнений гидромеханики идеальной жидкости. 𝑑𝑝 = 𝑄(𝑝, 𝜌) 𝑑𝜌 (11.4) 𝐹(𝑝, 𝜌) = 𝐶 (11.5) 𝜌 = 𝜌(𝑝, 𝐶) (11.6) Можно проинтегрировать Или в другом виде Соотношение (11.5) представляет собой интеграл адиабаты для сжимаемой жидкости. 𝐶 — своя для каждой частицы. Ситуация, когда плотность зависит только от давления, называется свойством баротропности. Интеграл адиабаты в форме (11.6) означает, что имеется свойство баротропности для каждой индивидуальной жидкой частицы. Также можно заметить, что в случае установившегося течения, у всех частиц, проходящих через некую точку давление и плотность одинаковы, а значит имеется свойство баротропности для линий тока. Если константа 𝐶 из (11.5) одинакова для всех частиц потока, жидкость называется баротропной. Пример 1. Совершенный газ. 𝑈=𝑐 𝑇 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 ⇒𝑈=𝑐 𝑝 𝑝 𝑐 = 𝜌𝑅 𝑐 −𝑐 𝜌 = 1 𝑝 𝛾−1𝜌 Здесь мы воспользовались соотношением Майера 𝑐 − 𝑐 = 𝑅. Теперь можем посчитать производные и подставить их в (11.3). = =− ⇒ 1+ 𝑑𝑝 = 𝑑𝜌 𝑝 𝑝 =𝛾 𝜌 𝜌 Получили уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем же его. Запишем как 𝑝 = 𝐶𝜌 (11.7) 𝑝 =𝐶 𝜌 (11.8) Это интеграл адиабаты для совершенного газа. Часто называют Адиабатой Лапласа-Пуассона. Если теперь записать выражение для удельной энтропии 𝑠 = 𝑐 ln + 𝑠 можно заметить, что энтропия в каждой маленькой частичке сохраняется. Пример 2. Несжимаемая жидкость. Для несжимаемой жидкости = 0, значит проинтегрировать довольно просто 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (11.9) 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (11.10) Это интегралы адиабаты в случае несжимаемой жидкости. 31 из 119 Автор: И. Буренев Интегралы системы уравнений гидромеханики идеальной жидкости. 11.2 Интеграл Бернулли. Предположим, что поле плотности массовых сил потенциально, а течение стационарно. Или на математическом языке: = 0; 𝐹 = −∇𝑉, где 𝑉 — скалярный потенциал. Если объемные силы — силы тяжести: Рассмотрим произвольную линию тока. 𝑉 = 𝑔𝑧 + 𝑉 (11.11) 𝑣 1 𝑑𝑣 = − ∇𝑝 + 𝐹 𝑑𝑡 𝜌 (11.12) Теперь скалярно домножим обе части на 𝑑𝑟𝑟 : 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 𝑣=𝑑 ⋅ 𝑑𝑟𝑟 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 2 𝐹 𝑑 ⋅ 𝑟 = −∇𝑉𝑑𝑟𝑟 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = −𝑑𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∇𝑝 ⋅ 𝑑𝑟𝑟 = … = 𝑑𝑝 Таким образом получаем: 𝑑 𝑣 2 = −𝑑𝑉 − 1 𝑑𝑝 𝜌 (11.13) Теперь рассмотрим частные случаи: Несжимаемая жидкость. 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑣 𝑝 + 𝑉 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 𝜌 Отсюда, для поля силы тяжести получим Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости: 𝑣 𝑝 + 𝑔𝑧 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 𝜌 (11.14) Совершенный газ. Хотим найти такую 𝑃, что 𝑑𝑝 = 𝑑𝑃 Из интеграла адиабаты для совершенного газа мы знаем, что 𝜌 = 𝜌(𝑝, 𝐶), причем вдоль линии тока одинаковые константы 𝐶 1 𝑑𝑝 = 𝑑𝑃 ⇒ 𝑃 = 𝜌(𝑝) 1 ( . ) 𝑑𝑝 = 𝐶 𝜌(𝑝) 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 𝑝 𝑝 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛾 𝑝 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝛾−1𝜌 Тогда если перенести все дифференциалы в одну часть, с учетом полученного соотношения: 𝑑 𝑣 𝛾 𝑝 +𝑉+ =0 2 𝛾−1𝜌 Пренебрегая силой тяжести, получим Уравнение Бернулли для совершенного газа. 𝑣 𝛾 𝑝 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 𝛾−1𝜌 32 из 119 (11.15) Автор: И. Буренев Интегралы системы уравнений гидромеханики идеальной жидкости. Введем теперь удельную энтальпию ℎ = 𝑈 + и получим для нее выражения через температуру и давление: 𝑐 𝑇 + 𝑅𝑇 = 𝑐 𝑇 (11.16) ℎ= + 𝑐 = +1 = Тогда из (11.15) 𝑣 +ℎ =ℎ 2 ℎ — энтальпия торможения 𝑣 +𝑐 𝑇 =𝑐 𝑇 2 (11.17) 𝑇 — температура торможения (11.18) 11.3 Скорость звука. 𝑣 𝑝 фронт 𝜌 𝜌 + 𝑑𝜌 Эксперимент учит нас, что скорость звука не зависит от формы фронта, будем рассмат- 𝑣 + 𝑑𝑣 ривать плоский. Сразу перейдем в его систему отсчета. В ней верны следующие соотношения: 𝑝 + 𝑑𝑝 𝜕 = 0; 𝜕𝑡 𝑥 𝑣 = 𝑣 = 0; 𝜕 𝜕 = =0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Хотим вычислить скорость звука. 𝜕𝜌 𝑣=0 + div 𝜌𝑣 𝜕𝑡 𝜌 𝑣 𝑑𝑣 = −∇𝑝 𝑑𝑡 ⇒ 𝜌 ⇒ 𝑑(𝜌𝑣 ) = 0 ⇒ (11.19) (𝑣 𝑑𝜌 + 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ) = 0 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =𝜌 +𝑣 +𝑣 +𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 =− 𝜕𝑝 𝜕𝑥 Откуда 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑝 =− ⇒ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 = −𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Можем теперь получить выражение для 𝑣 = (11.20) , а значит скорость звука: 𝑎= 𝑑𝑝 𝑑𝜌 (11.21) Воспользовавшись интегралом адиабаты (𝑝 = 𝐶𝜌 ), можно получить еще пару выражений для скорости звука: 𝑎= 𝛾𝑝 𝜌 (11.22) 𝑎= 𝛾𝑅𝑇 (11.23) Запишем уравнение Бернулли для совершенного газа в терминах скоростей: 𝑣 𝑎 𝑎 + = 2 𝛾−1 𝛾−1 Замечания по поводу терминологии. • Если константа 𝐶 в интеграле адиабаты в (11.7) одна и та же во всех частичках потока, течение называют изоэнтропическим • Если константа Бернулли (ℎ ) одна и та же для всех линий тока, течение называют изоэнергетическим • Кроме интеграла адиабаты и Бернулли есть еще два интеграла, но у них проблемы с физической интерпретацией, поэтому мы не будем их рассматривать. 33 из 119 Автор: И. Буренев Некоторые следствия уравнений Бернулли. §12. Некоторые следствия уравнений Бернулли. 12.1 Особые скорости в газовой динамике. Критическая скорость звука. Если в рассматриваемой точке, скорость совпадает со скоростью звука, параметры в этой точке будем называть критическим и обозначать индексом ∗. Рассмотрим такую точку, в ней 𝑣∗ = 𝑣 = 𝑎 = 𝑎∗ 𝑎∗ 𝑎 𝑣 + = 2 𝛾−1 𝛾−1 ⇒ 2 𝑎 𝛾+1 𝑎∗ = (12.1) Теоретическая максимальная скорость газа. 𝑣 𝑎 𝑎 + = 2 𝛾−1 𝛾−1 ⇒ 𝑣 2 𝑎 𝛾−1 = (12.2) Можно понимать как скорость истечения воздуха в вакуум. 12.2 Обезразмеривание 𝑣. Хотим обезразмерить 𝑣, для этого надо ее к чему-то отнести. Используют следующие варианты: 𝑣 𝑣 𝑣 𝑀= 𝑎 𝑣 ∗ 𝑀 = 𝑎∗ 𝑣 𝐶𝑟 = 𝑣 𝑉= к скорости набегающего потока к скорости звука в точке. 𝑀 — число Маха к критической скорости звука к максимальной скорости. 𝐶𝑟 — число Крокко Из уравнения Бернулли получим связь между 𝑀 и 𝑀∗ 𝑣 𝑎 𝑎∗ (𝛾 + 1) + = 2 𝛾−1 2(𝛾 − 1) ⋅ 1 𝑣 1 1 1 𝛾+1 1 + = 2 𝛾−1𝑀 2(𝛾 − 1) (𝑀∗ ) Откуда 𝑀∗ = (𝛾 + 1)𝑀 (𝛾 − 1)𝑀 + 2 (12.3) Можно сделать ценное замечание о том, что из монотонности 𝑀∗ (𝑀) следует: 𝑀 ≶ 1 ⟺ 𝑀∗ ≶ 1 (12.4) 12.3 Изоэнтропические формулы. 𝑣 𝑎 𝑎 + = ⇒𝑎 2 𝛾−1 𝛾−1 1+ 𝑎 𝛾−1 = 1+ 𝑀 𝑎 2 34 из 119 𝛾−1 𝑀 2 =𝑎 (12.5) Автор: И. Буренев Некоторые задачи на уравнение Бернулли. Вспомним некоторые соотношения, а потом получим много уравнений из (12.5). 𝑎 = 𝑎 𝑇 𝑇 𝑇 𝑝 𝜌 𝜌 = = 𝑇 𝑝 𝜌 𝜌 𝑇 𝑝 = 𝑇 𝑝 𝜏(𝑀) = 𝑇 𝛾−1 = 1+ 𝑀 𝑇 2 (12.6) 𝜖(𝑀) = 𝜌 𝛾−1 𝑀 = 1+ 𝜌 2 (12.7) 𝜋(𝑀) = 𝛾−1 𝑝 = 1+ 𝑀 𝑝 2 (12.8) Пусть 𝑣 = 𝑎, то есть 𝑀 = 1 2 𝑎∗ = 𝑎 𝛾+1 ; 2 𝑇∗ = 𝑇 𝛾+1 2 𝜌∗ = 𝜌 𝛾+1 2 𝑝∗ = 𝑝 𝛾+1 , = 0,528 §13. Некоторые задачи на уравнение Бернулли. Вывод формулы Торичелли. 𝑆 Рассмотрим вытекание воды из бочки, через маленькое отверстие на уровне дна. Счита- 𝐴 ем 𝑠 ≪ 𝑆. Запишем для этого уравнение Бернулли для какой-нибудь линии тока (𝐴 − 𝐵): 𝐻 𝐵 𝑝 𝑣 𝑝 𝑣 + 𝑔𝑧 + = + 𝑔𝑧 + 2 𝜌 2 𝜌 𝑠 𝑣 + 2𝑔𝐻 = 𝑣 ⇒𝑣 = 𝜌𝑣 𝑆 = 𝜌𝑣 𝑠 2𝑔𝐻 ≈ (13.1) 2𝑔𝐻 1− Оценка влияния сжимаемости газа на величину давления торможения. Посчитаем давление в точке, где поток тормозится из сжимаемой теории (12.8) 𝑝 𝛾−1 = 1+ 𝑀 𝑝 2 (13.2) Если же считать газ, несжимаемой жидкостью: 𝑣 𝑝 + 2 𝜌 = 𝑝 𝑝 𝜌 𝑣 ⇒ =1+ 𝜌 𝑝 2𝑝 (13.3) Теперь оценим ошибку разложив в ряд (13.2), считая 𝑀 ≪ 1 𝑝 𝛾 𝛾 𝛾 =1+ 𝑀 + 𝑀 +…=1+ 𝑀 𝑝 2 8 2 =1+ 𝜌 𝑣 2𝑝 1+ 1+ 1 𝛾𝑣 𝑀 +… =1+ 4 2𝑎 1+ 1𝑣 4𝑎 +… 1 𝑀 +… 4 Сравним полученные результаты: 𝑝 𝜌 𝑣 =1+ 𝑝 2𝑝 1+ 1 𝑀 4 35 из 119 𝑝 𝜌 𝑣 =1+ 𝑝 2𝑝 (13.4) Автор: И. Буренев Некоторые задачи на уравнение Бернулли. Видно, что относительная ошибка пропорциональна 𝑀 . Посмотрим на пару численных значений, чтобы понять насколько это мало. 𝑀 𝑀 0.1 0.0025 0.2 0.01 0.4 0.04 Если число Маха < 0.3 (при нормальных условиях ≈ 100 м/с) можно считать воздух несжимаемой жидкостью. Определение скорости потока несжимаемого газа с помощью трубки Пито-Прандтля. Этот прибор используется для измерения скорости потока набегающего воздуха, или, что то же самое, скорость самолета, на 𝑝 котором установлена такая штука. поток воздуха 𝑝 𝑝 − 𝑝 = 𝜌ж 𝑔ℎ ℎ 𝑣 𝑝 + 2 𝜌 = 𝑝 ⇒𝑣 = 𝜌 2 𝜌ж 𝑔ℎ 𝜌 Оценка температуры в передней точке быстролетящего затупленного тела. 𝑣 𝑣 +𝑐 𝑇 =𝑐 𝑇 ⇒𝑇 −𝑇 = 2 2𝑐 𝑇 Построим табличку с разностями температур, в зависимости от скорости летящего объекта. 𝑣 , м/с 𝑣 , км/ч 𝑇 −𝑇 ,K 100 360 5 1 000 3 600 500 2 000 7 200 2 000 8 000 28800 32 000 Если учесть, что 𝑐 = 𝑐 (𝑇), то разность температур уменьшится примерно в 3 раза и будет порядка 10000 K Так же делают слой расходного теплозащитного материала (большая теплоемкость и плохая теплопроводность), который просто сгорает. 36 из 119 Автор: И. Буренев Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. §14. Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. Одномерное течение — течение, зависящее от одной координаты (пространственной). Это значит, что мы можем найти такую систему координат, которая характеризовала бы течение одной координатой. Рассмотрим квазиодномерное течение: 𝑠 — продольная координата. Через точки контура провели линии тока — получили трубку тока. Пренебрегаем зависимостью от поперечных координат и считаем вектора сонаправлен- 𝐹 𝑠 ными. 𝑣 14.1 Задача о течении в трубке тока в случае несжимаемой жидкости. Допущения: 𝜕 =0 𝜕𝑡 Π = −𝑝𝐼 — стационарное течение — невязкая жидкость (𝜇 = 0) 𝑞=0 — нетеплопроводная жидкость (𝜆 = 0) 𝜖=0 — нет поглощения и излучения энергии Жидкость несжимаемая: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Имеем систему: 𝑣 𝑝 𝑝 + = 2 𝜌 𝜌 — уравнение Бернулли 𝜌𝑣𝐹 = 𝑄 где 𝑄 — расход жидкости, 𝐹 — поперечное сечение (14.1) При этом: • Известные параметры: 𝜌, 𝑝 , 𝑄, 𝐹(𝑠). • Неизвестные функции: 𝑣(𝑠), 𝑝(𝑠) 14.2 Задача о течении в трубке тока сжимаемого (совершенного) газа. Допущения те же, что и в предыдущей задаче, а система другая: ⎧ 𝜌𝑣𝐹 = 𝑄 ⎪ 𝑝 = 𝐶𝜌 ⎨ ⎪ 𝜌𝑣𝑑𝑣 = −𝑑𝑝 ⎩ (14.2) — уравнение адиабаты — «недоинтегрированный» интеграл Бернулли Последнее выражение получается из (11.3) 𝑑 𝑣 2 = −𝑑𝑉 − 1 𝑑𝑝 𝜌 1 1 2𝑣𝑑𝑣 = − 𝑑𝑝 2 𝜌 𝜌𝑣𝑑𝑣 = −𝑑𝑝 В преобразованиях пользуемся тем, что 𝑑𝑉 = 0, то есть пренебрегаем потенциальными силами. • Известные параметры: 𝑄, 𝐹(𝑠), 𝐶, 𝛾, 𝑣(𝑠 ), 𝑝(𝑠 ). Последние два значения нужны для решения дифференциального уравнения. • Неизвестные параметры: 𝜌(𝑠), 𝑣(𝑠), 𝑝(𝑠) 37 из 119 Автор: М. Минин Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. Получим что-нибудь из системы: 𝑝 = 𝐶𝜌 ⇒ 𝑑𝑝 = 𝐶𝛾𝜌 𝑑𝜌 = 𝑝𝛾𝜌 𝑑𝜌 = 𝛾𝑝 𝑑𝜌 = 𝑎 𝑑𝜌 𝜌 Воспользовались определением скорости звука из (11. 22). Далее домножаем на , пользуемся последним уравне- нием системы и пользуемся определением числа Маха: 𝑑𝜌 𝑑𝑝 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = =− =− = −𝑀 𝜌 𝑎 𝜌 𝑎 𝜌 𝑎 𝜌𝑣 𝑣 Получили значение . Теперь преобразуем первое уравнение. Берем логарифм и дифференцируем вдоль трубки тока: 𝜌𝑣𝐹 = 𝑄 Подставим ⇒ ln 𝜌 + ln 𝑣 + ln 𝐹 = ln 𝑄 ⇒ 𝑑𝜌 𝑑𝑣 𝑑𝐹 𝑑𝑄 + + = =0 𝜌 𝑣 𝐹 𝑄 : −𝑀 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝐹 + + =0⇒ 𝑣 𝑣 𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝐹 (𝑀 − 1) = 𝑣 𝐹 (14.3) Из этого выражения видим как геометрия трубки тока влияет на скорость. Более того видим, что результат разный для дозвуковых и сверхзвуковых течений. Обозначим некоторые выражения, которые нам понадобятся в дальнейшем: 𝑑𝑝 = −𝜌𝑣𝑑𝑣 𝑑𝜌 = 1 𝑑𝑝 𝑎 (14.4) (14.5) Получим оценку для 𝑇: 𝑝 𝐶𝜌 𝐶 = = 𝜌 𝜌𝑅 𝜌𝑅 𝑅 𝐶 𝐶 1 𝑑𝑇 = (𝛾 − 1)𝜌 𝑑𝜌 = (𝛾 − 1) 𝑑𝜌 𝑅 𝑅 𝜌 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 ⇒ 𝑇 = Последняя запись удобна, т.к. обычно 𝛾 не превышает 2 𝑑𝑇 = 1 𝐶 (𝛾 − 1) 𝑑𝜌 𝑅 𝜌 (14.6) Так же раньше мы уже встречали полезное соотношение на скорость звука (11.23): 𝑎= 𝛾𝑅𝑇 Теперь рассмотрим типичные случаи: 38 из 119 Автор: М. Минин Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. 𝑑𝐹 < 0 𝑑𝐹 > 0 𝑠 𝑀<1 𝑑𝐹 < 0 𝑀<1 𝑠 𝑑𝐹 > 0 𝑀>1 𝑑𝐹 < 0 𝑀>1 𝑑𝑣 < 0 𝑑𝑣 < 0 𝑑𝑣 > 0 Из (14.4) 𝑑𝑣 > 0 𝑑𝑣 > 0 𝑣 𝑑𝑝 < 0 𝑑𝑝 > 0 𝑑𝑝 > 0 𝑑𝑝 < 0 Из (14.5) 𝑑𝜌 < 0 𝑑𝜌 > 0 𝑑𝜌 > 0 𝑑𝜌 < 0 Из (14.6) 𝑑𝑇 < 0 𝑑𝑇 > 0 𝑑𝑇 > 0 𝑑𝑇 < 0 Из [11.23] 𝑑𝑎 < 0 𝑑𝑎 > 0 𝑑𝑎 > 0 𝑑𝑎 < 0 𝑀↑ 𝑀↓ 𝑀↓ 𝑀↑ Из (14.3) 𝑑𝐹 > 0 M = 1 Тогда из (14.3) 𝑑𝐹 = 0. Этому соответствует три случая: Постоянное течение. Не интересный случай, разбирать его, конечно не будем. Максимум. Рассматриваем разные ситуации: если течение до 𝐹 = 𝐹 было до звуковым: 𝑀 < 1, то при приближении к 𝐹 т.е. при 𝐹 = 𝐹 число Маха единицей не станет. 𝑀 ↓, 𝐹=𝐹 𝑀=1 𝑠 Аналогично остальные случаи (стрелкой указано поведение числа Маха при приближении к 𝐹 ): До 𝐹 После 𝐹 𝑀<1𝑀↓ 𝑀 < 1𝑀 ↓ 𝑀>1𝑀↑ 𝑀 > 1𝑀 ↑ Такие ситуации невозможны, также как и ранее не получается достичь 𝑀 = 1 при 𝐹 = 𝐹 Минимум. Также рассмотрим разные ситуации. Сразу табличка (стрелкой указано поведение числа Маха при приближении к 𝐹 𝐹=𝐹 ): 𝑀=1 До 𝐹 𝑠 После 𝐹 𝑀<1𝑀↑ 𝑀 < 1𝑀 ↑ 𝑀>1𝑀↓ 𝑀 > 1𝑀 ↓ Видим, что дозвуковой поток можно разогнать до сверхзвукового: если реализовать первую ситуацию до 𝐹 = 𝐹 и вторую после. Ускорение потока до сверхзвукового будет реализовываться за счет изменения сечения. 39 из 119 Автор: М. Минин Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. Функция приве́денного расхода для сопла Лаваля. Если 𝑀 = 1, то скорость совпадает с местной скоростью звука. Все параметры с критическими индексами. 𝑀=1 𝜌𝑣𝐹 = 𝑄 — const 𝑠 𝜌𝑣𝐹 = 𝜌∗ 𝑣∗ 𝐹∗ 𝜌𝑣 𝐹∗ = 𝜌∗ 𝑣∗ 𝐹 𝑞= 𝜌𝑣 𝐹∗ = — приве́денный расход 𝜌∗ 𝑣∗ 𝐹 (14.7) Еще эту величину называют безразмерной плотностью потока массы. Распишем эту величину, используя параметры торможения: 𝑞= 𝜌𝑣 𝜌 𝜌 𝑣 𝑎 𝑎 𝑎∗ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 𝜌∗ 𝑣∗ 𝜌 𝜌∗ ⏟ 𝑎 𝑎 𝑎∗ 𝑣∗ = 1+ = 1+ 𝛾−1 𝑀 2 𝑀 ⋅ 1+ ( . ),( = 𝛾−1 2 ⋅𝑀 =𝑀⋅ . ) 𝑀⋅ 1+ 𝛾−1 𝑀 2 𝛾−1 2 + 𝑀 𝛾+1 𝛾+1 ( ⋅ 𝛾+1 2 ⋅1= ) Для удобства введем новую величину: ℰ= 𝛾−1 𝛾+1 (14.8) Преобразуем то, что стоит в скобках: 2 𝛾 + 1 − (𝛾 − 1) = =1−ℰ 𝛾+1 𝛾+1 Тогда выражение выше записывается следующим образом: 𝑞(𝑀) = 𝑀 1 − ℰ + ℰ𝑀 (14.9) ℰ 𝑞 1 𝑀 0 1 2 4 3 Рассмотрим сопло Лаваля и построим график зависимости ∗ 5 от координаты с использованием графика 𝑞(𝑀). Во- обще есть зависимость от наружного давления, хотя в формулах этого не видно Рассмотрим зависимость от 𝑥 внутри сопла Лаваля. 𝑝 — параметр торможения, который описывает параметр воздуха внутри сопла в самом начале (т.е. до того, как этот воздух стал разгонятся в сопле), а 𝑝 — текущее значение 40 из 119 Автор: М. Минин Обобщенные одномерные установившиеся течения идеального газа. давления. Поведение величины зависит от внешнего давления (давления снаружи сопла). Рассмотрим различные ситуации: 1) Давление снаружи маленькое. При расчетном течении график выходит не в ноль а на определенный уровень. При чем всегда на один и тот же. При этом, возможны различные картинки в зависимости от разности этих давлений. На первом изображена картинка при равенстве и наружн , а на двух других наружнее давление меньше 𝑝. Такой режим называют режимом с недорасширением потому, что газ не успевает расшириться внутри сопла. Внутри сопла при этом все одинаково. 2) Давление снаружи примерно такое же, как и в начале сопла. В таком случае давление в сопле сначала будет падать, а затем возрастать. На выходе оно так же выравняется. Если же давление снаружи больше давления торможения, то сопло работать не будет, т.к. воздух просто пойдет в другую сторону. 3) Промежуточная ситуация. Давление будет падать как в первом случае до определенного значения, после чего произойдет скачок давления для выравнивания с наружним на выходе. Это самый сложный и не понятный случай, т.к. до этого никаких разрывов (а скачок параметра — это разрыв) мы еще не встречали. Можно считать что внутри сопла где-то дозвук, а где-то сверхзвук. Когда мы решали дифференциальное уравнение (𝑀 − 1) = , мы поль- зовались непрерывностью, а здесь непрерывности нет. В потоке имеется поверхность разрыва и возникает ударная волна («shock wave») 1 𝑥 ∗ 41 из 119 Автор: М. Минин Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. §15. Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. 𝑣 ,𝜌 Сильным газодинамическим разрывом называют поверхность, в поле течения которого все параметры газа изменяются скачком. Разрывы при этом первого рода. 𝑝 ,𝑇 Газ течет через поверхность разрыва. Поверхности всегда будем нумеровать сле- 𝑣 ,𝜌 дующим образом: 1 — поверхность, из которой газ течет, 2 — поверхность, куда 𝑝 ,𝑇 газ течет. Введем оператор квадратных скобок. Если 𝜙 — газодинамический параметр, тогда: разрыв 𝜙 − 𝜙 = [𝜙] — оператор квадратных скобок Конечно, на поверхности разрыва дифференцировать нельзя Допущения: 𝜕 =0 𝜕𝑡 Π = −𝑝𝐼 — установившееся течение — невязкий газ (𝜇 = 0) 𝑞=0 — тепловой поток равен нулю (𝜆 = 0) 𝜖=0 — нет излучения и поглощения 𝐹=0 — нет объемных сил Воспользуемся (1.3): 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + 𝜕𝜌 𝑑𝜏 = 0 𝜕𝑡 В наших допущениях второе слагаемое ноль. Получаем закон сохранения массы: (15.1) 𝜌𝑣 𝑑𝑆 = 0 Теперь воспользуемся (2.5): 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 𝜌𝐹𝑑𝜏 + 𝜋 𝑑𝑆 = 𝜋 𝑑𝑆 Также левое выражение можно преобразовать используя (∗∗): 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜌𝑣 𝑣 𝜕𝜌𝑣 𝑑𝜏 = 𝜕𝑡 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 𝜌𝑣 Пользуемся тем, что в наших допущениях Π = −𝑝𝐼 и получаем второй закон Ньютона: 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 = − 𝜌𝑣 (15.2) 𝑛 𝑑𝑆 𝑝𝑛 Точно также преобразуем (4.10): 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑈+ 𝑣 2 = 𝐹 ⋅ 𝑣 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 𝜋 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜖𝑑𝜏 − 𝑞 ⋅ 𝑛 𝑑𝑆 = − 𝑛 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 𝑝𝑛 Можно преобразовать левую часть, используя (∗∗): 42 из 119 Автор: М. Минин Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. 𝑑 𝑑𝑡 𝜌 𝑈+ 𝑣 2 = 𝜌(𝑈 + 𝑣 )𝑣 𝑑𝑆 + 2 𝜕 𝑣 (𝜌(𝑈 + ))𝑑𝜏 = 𝜕𝑡 2 𝜌(𝑈 + 𝑣 )𝑣 𝑑𝑆 2 Получаем закон сохранения энергии: 𝜌(𝑈 + 𝑣 )𝑣 𝑑𝑆 = − 2 (15.3) 𝑛 ⋅ 𝑣 𝑑𝑆 𝑝𝑛 Условия динамической совместности на сильном разрыве. Из (15.1): 𝑛 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + 𝑛 𝛿𝑆бок бок ℎ/2 1 𝛿𝑆 ℎ/2 𝛿𝑆 𝜌𝑣 𝑑𝑆 = 0 𝜌𝑣 𝑑𝑆 + 𝛿𝑆 2 Т.к. это цилиндр, то 𝛿𝑆 = 𝛿𝑆 = 𝛿𝑆. Далее переходим к пределу по высоте цилиндра так, чтобы основания цилиндра лежали по разную сторону от поверхности разрыва. Тогда интеграл по боковой поверхности стремится к нулю. Получаем следующее выражение: 𝑛 ℎ → 0∶ 𝜌 𝑣 𝛿𝑆 + 𝜌 𝑣 𝛿𝑆 = 0 Вводим нормаль к поверхности разрыва 𝛿𝑆 (направим ее по нормали к второму основанию). В таком случае 𝑣 𝑣 ,а𝑣 = = −𝑣 . Тогда выражение выше запишется следующим образом: 𝜌 𝑣 −𝜌 𝑣 = 0 = [𝜌𝑣 ] (15.4) [𝜌𝑣 ] = 0 С выражением (15.2) проделываем аналогичные выкладки: 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜌𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜌𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 = − 𝜌𝑣 𝑛 𝑑𝑆 − 𝑝𝑛 𝑛 𝑑𝑆 − 𝑝𝑛 бок 𝑛 𝑑𝑆 𝑝𝑛 бок Точно так же устремляем высоту к нулю. Тогда интегралы по боковой поверхности стремятся к 0. Получаем следующее выражение: 𝜌 𝑣 𝑣 𝛿𝑆 + 𝜌 𝑣 𝑣 𝛿𝑆 = −𝑝 𝑛 𝛿𝑆 − 𝑝 𝑛 𝛿𝑆 Записываем через нормаль 𝑁: 𝜌𝑣 𝑣 +𝑝 𝑁 −𝜌 𝑣 𝑣 −𝑝 𝑁 =0 Полученное выражение проецируем на нормальное и касательное направления: 43 из 119 Автор: М. Минин Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. 𝑁∶ 𝜌 𝑣 + 𝑝 − 𝜌𝑣 −𝑝 =0 (15.5) 𝜌𝑣 + 𝑝 = 0 𝜏∶ 𝜌 𝑣 𝑣 ( − 𝜌𝑣 𝑣 . ) = 𝜌𝑣 (𝑣 −𝑣 )=0 (15.6) 𝜌𝑣 [𝑣 ] = 0 Во второй цепочке преобразований мы воспользовались тем, что [𝜌𝑣 ] = 0, т.е. 𝜌 𝑣 =𝜌 𝑣 = 𝜌𝑣 Аналогично для (15.3): 𝜌 𝑈 + 𝑣 2 𝑣 𝛿𝑆 + 𝜌 𝑈 + 𝑣 2 𝑣 𝛿𝑆 = −𝑝 𝑣 𝛿𝑆 − 𝑝 𝑣 𝛿𝑆 Записываем через нормаль 𝑁: 𝜌 𝑈 + 𝑣 2 𝑣 +𝑝 𝑣 −𝜌 𝑈 + 𝑝 𝑣 + 2 𝜌 𝑈 + 𝑣 2 𝑣 𝑈 + 𝑝 𝑣 + 2 𝜌 −𝑝 𝑣 =0 Преобразуем выражение, используя (15.4): 𝜌 𝑣 =𝜌 𝑣 𝜌𝑣 ℎ = 𝜌𝑣 ℎ 𝜌𝑣 [ℎ ] = 0 (15.7) Напоминаю, что ℎ — энтальпия торможения, которую мы ввели в уравнении Бернулли. Получили условия динамической совместности для сильных разрывов: [𝜌𝑣 ] = 0 𝜌𝑣 + 𝑝 = 0 𝜌𝑣 [𝑣 ] = 0 (15.8) 𝜌𝑣 [ℎ ] = 0 Рассмотрим два случая: Газ не перетекает через поверхность разрыва То есть 𝑣 = 0. Тогда: Разрыв в таком случае называют тангенциальным или контактным. ⎧ [𝜌] — произвольная величина ⎪ [𝑝] = 0 ⎨ [𝑣 ] — произвольная величина ⎪ ⎩ [ℎ ] — произвольная величина (15.9) Газ перетекает через поверхность разрыва То есть 𝑣 ≠ 0. Тогда: 44 из 119 Автор: М. Минин Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. ⎧ [𝜌𝑣 ] = 0 ⎪ 𝜌𝑣 + 𝑝 = 0 (15.10) ⎨ [𝑣 ] = 0 ⎪ ⎩ [ℎ ] = 0 Поверхность разрыва рассматриваемого типа называется (стационарной) ударной волной или скачком уплотнения. Ударные волны мы уже получали в сопле Лаваля. При рассмотрении ударных волн часто пользуются следующими обозначениями: 𝑝 𝑝 𝑝 𝐼= 𝑝 𝜌 𝐸= 𝜌 𝐽= Индексы обозначают где смотрится параметр: до или после разрыва. Изменение 𝑝 на стационарной ударной волне. Запишем скачок энтропии: [𝑠] = 𝑠 − 𝑠 = 𝑐 ln Из уравнения адиабаты Пуассона 𝑝 𝜌 = 𝑝 𝜌 𝑝 − 𝑐 ln 𝜌 𝑝 , = 𝜌 𝑝 =ℎ ⇒𝑐 𝑇 𝜌 = 𝑐 ln 𝑝 ⋅ 𝜌 𝜌 𝑝 = 𝑐 ln (𝐽𝐸 ) = . 𝜌 = 𝑐 ln Из (15.10): [ℎ ] = 0 ⇒ ℎ 𝑝 𝑝 𝜌 ⋅ 𝜌 𝑝 = =𝑐 𝑇 𝑝 = 𝜌 𝑅𝑇 𝑝 = 𝜌 𝑅𝑇 ⇒ 𝑝 𝑝 = 𝜌 𝜌 Тогда получим: = 𝑐 ln 𝑝 𝑝 = 𝑐 (1 − 𝛾) ln 𝐼 = (𝑐 − 𝑐 ) ln 𝐼 = −𝑅 ln 𝐼 (15.11) Таким образом, окончательное выражение для скачка энтропии: [𝑠] = −𝑅 ln 𝐼 В силу II начала термодинамики [𝑠] ≥ 0 ⇒ ln 𝐼 ≤ 0 ⇒ 𝐼 ≤ 1 ⇒ 𝑝 ≤ 𝑝 . В связи с этим 𝐼 называют коэффициентом потерь полного давления на стационарной ударной волне. Заметим, что при выводе выражения (15.11) получили равенство выражений в рамках: 𝑐 ln (𝐽𝐸 ) = 𝑐 (1 − 𝛾) ln 𝐼 Тогда можно выразить 𝐼: 𝐼 = (𝐽𝐸 ) (15.12) В этом параграфе мы поняли как связаны давления торможения до (𝑝 ) и после (𝑝 ) скачка уплотнения. В следу45 из 119 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. ющем пункте мы свяжем значения давления с разных сторон вблизи скачка уплотнения. 15.1 Ударная адиабата. Из первого уравнения из системы (15.10): 𝜌 𝑣 𝜌 [𝜌𝑣 ] = 0 ⇒ 𝜌 𝑣 =𝜌 𝑣 ⇒𝑣 = 𝜌 𝑣 𝜌 =𝑣 𝜌 + 1 = (1 + 𝐸)𝑣 𝜌 Таким образом: 𝑣 +𝑣 = +𝑣 (15.13) Из второго уравнения системы (15.10): [𝜌𝑣 + 𝑝] = 0 ⇒ 𝜌 𝑣 +𝑝 =𝜌 𝑣 +𝑝 ⇒𝜌 𝑣 −𝜌 𝑣 =𝑝 −𝑝 ⇒ (𝑣 ⇒𝜌 𝑣 Таким образом: 𝑣 −𝑣 = 𝑝 𝜌𝑣 −𝑣 )=𝑝 𝑝 − 1 = 𝑝 (𝐽 − 1) 𝑝 (𝐽 − 1) (15.14) 𝑝 (𝐽 − 1) 𝜌 (15.15) Перемножая уравнения (15.13) и (15.14) получим: 𝑣 −𝑣 = (1 + 𝐸) Из четвертого уравнения системы (15.10) скачок энтропии торможения равен 0: [ℎ ] = 0 ⇒ ℎ =ℎ Запишем уравнение [11.17] разложив скорость на нормальную и касательную компоненты: ℎ + 𝑣 +𝑣 2 =ℎ + 𝑣 +𝑣 2 Из системы (15.10) видно, что тангенциальная составляющая скорости непрерывна на скачке уплотнения ([𝑣 ] = 0). Таким образом: 𝑣 −𝑣 ℎ −1 ℎ = 2(ℎ − ℎ ) = 2ℎ (15.16) Заметим, что у уравнений (15.15) и (15.16) одинаковая левая часть. Тогда справедливо равенство: (1 + 𝐸) Из [11.16] ℎ = 𝑝 (𝐽 − 1) = 2ℎ 𝜌 ℎ −1 ℎ (15.17) 𝛾 𝑝 ⋅ . Подставим в (15.17): 𝛾−1 𝜌 𝑝 𝛾 𝑝 𝑝 𝜌 (𝐽 − 1) = 2 ⋅ ⋅ −1 𝜌 𝛾−1 𝜌 𝜌 𝑝 𝛾 (1 + 𝐸)(𝐽 − 1) = 2 (𝐽𝐸 − 1) 𝛾−1 2𝛾 2𝛾 𝐸 𝐽 − 𝐽 + 1 = 𝐽 −1 + 𝛾−1 𝛾−1 (1 + 𝐸) ℰ 46 из 119 [ . ] Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. Выразив 𝐸 через 𝐽 получим уравнение ударной адиабаты (адиабаты Ранкина-Гюгонио) 𝐸= ℰ𝐽 + 1 𝐽+ℰ (15.18) Сравним ударную адиабату с уже известной нам адиабатой Лапласа-Пуассона: 𝑝 𝜌 = 𝑝 𝜌 ⇒ (15.19) 𝐸=𝐽 Адиабата Ранкина-Гюгонио (красная кривая на рисунке) представляет из себя гиперболу, которая в 0 принимает ℰ𝐽 + 1 значение 1/ℰ, а на бесконечности асимптотически стремится к 𝐸 = lim = ℰ. В то же время адиабата Лапласа→ 𝐽+ℰ Пуассона (зеленая пунктирная кривая на рисунке) на бесконечности асимптотически стремится к 0. 𝐸 ℰ [𝑠] > 0 1 [𝑠] < 0 ℰ 0 𝐽 1 Запишем скачок энтропии: [𝑠] = 𝑐 ln (𝐽𝐸 ) ( . = ) 0. Видно, что скачок энтропии равен 0 вдоль адиабаты Лапласа- Пуассона. Над ней [𝑠] > 0, под ней [𝑠] < 0. Таким образом II начало термодинамики запрещает существование адиабаты Ранкина-Гюгонио на отрезке [0, 1] (на этом отрезке ударная адиабата лежит ниже адиабаты Лапласа-Пуассона). Отсюда получаем условия на 𝐸, 𝐽: ℰ≤𝐸≤1⇒𝜌 ≤𝜌 1 ≤ 𝐽 ≤ +∞ ⇒ 𝑝 ≥ 𝑝 Таким образом, при переходе через стационарную ударную волну в жидкости (газе) увеличиваются давление и плотность. Поэтому стационарные ударные волны называют скачками уплотнения. Интересное замечание: адиабаты Лапласа-Пуассона и Ранкина-Гюгонио в точке (1, 1) имеют одинаковые первые и вторые производные (т.е. в этой точке у них даже кривизна одинаковая) 15.2 Соотношения для газодинамических параметров на скачке уплотнения. Напомним полезные соотношения из системы (15.10): [𝜌𝑣 ] = 0 𝜌𝑣 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝜌 𝑣 ⇒ 𝜌 𝑣 ⇒ +𝑝 =𝜌 𝑣 1− 𝜌 𝑣 =𝜌 𝑣 +𝑝 𝜌 𝑣 ⋅ 𝜌 𝑣 47 из 119 =𝑝 ⇒ 𝜌 𝑣 −𝜌 𝑣 =𝑝 −𝑝 𝑝 − 1 = 𝑝 (𝐽 − 1) 𝑝 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. Распишем 𝜌 𝑣 ⋅ 𝜌 𝑣 = 𝑣 𝑣 = 𝜌 = 𝐸. Тогда из равенства 𝜌 𝑣 (1 − 𝐸) = 𝑝 (𝐽 − 1) получим: 𝜌 1−𝐸 = 𝑝 𝜌 𝑣 (15.20) (𝐽 − 1) С другой стороны, из уравнения адиабаты Ранкине - Гюгонио: 1−𝐸 =1− ℰ𝐽 + 1 𝐽 + ℰ − ℰ𝐽 − 1 (𝐽 − 1)(1 − ℰ) = = 𝐽+ℰ 𝐽+ℰ 𝐽+ℰ (15.21) Тогда из (15.20) и (15.21)6 𝑝 𝜌 𝑣 Теперь заметим, что = 𝛾 𝜌 𝑣 1−ℰ ⇒𝐽+ℰ = ⋅ 𝐽+ℰ 𝛾 𝑝 𝜌 1 = [11.22], и введем обозначение: 𝛾𝑝 𝑎 𝑀 Тогда 𝐽 = 𝛾(1 − ℰ) 𝑀 (1 − ℰ) ≡ 𝑣 𝑎 (15.22) −ℰ ⇒ ℰ 𝐽 = (1 + ℰ)𝑀 (15.23) −ℰ Связь углов на косом скачке уплотнения. Введем угол наклона скачка уплотнения к вектору скорости до скачка: 𝜎. Зададим этот угол так, чтобы 0 ≤ 𝜎 ≤ скорости как 𝑣 𝜎 . Тогда запишем нормальную составляющую = 𝑣 sin 𝜎. Отсюда число Маха, определенное для нормальной компоненты скорости, выражается через обычное число Маха как: 𝑀 = 𝑀 sin 𝜎 (15.24) Теперь перепишем (15.23) через 𝜎: 𝐽 = (1 + ℰ)𝑀 sin 𝜎 − ℰ Проанализируем выражение (15.23): функция 𝐽(𝑀 (15.25) ) является параболой с вершиной в точке (0, −𝜀), ветви направ- лены вверх. Из анализа ударной адиабаты (15.18) выяснили, что на скачке уплотнения всегда 1 ≤ 𝐽 ≤ +∞, тогда от параболы остается только часть правой ветви (красная ветвь). Из этого условия на 𝐽 вытекает, что 1 ≤ 𝑀 ≤ +∞, то есть число Ма- ха, определенное для нормальной компоненты скорости, всегда больше 1 в скачках уплотнения. Так как обычное число Маха связано с 𝑀 (15.24): 𝑀 формулой = 𝑀 sin 𝜎, а угол 𝜎 лежит в первой четверти по определению, значит 𝑀 > 1. Отсюда делаем вывод, что стационарные ударные волны существуют только в сверхзвуковых течениях. 𝐽 𝐽 = 1 = (1 + 𝜀)𝑀 sin 𝜎 1 −𝜀 ⇒ 0 𝛼≡𝜎 1 1 = arcsin 𝑀 𝑀 −ℰ 𝛼 называют углом Маха. 48 из 119 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. Выведем зависимость 𝐸(𝑀 𝐸 ): ( . = ) ℰ𝐽 + 1 𝐽+ℰ ( . = ) ℰ (1 + ℰ)𝑀 − ℰ + 1 ℰ𝑀 + 1 − ℰ = (1 + ℰ)𝑀 − ℰ + ℰ 𝑀 𝐸=ℰ+ 1−ℰ 𝑀 (15.26) Или то же самое, выраженное через обычное число Маха: 𝐸=ℰ+ 1−ℰ (15.27) 𝑀 sin 𝜎 𝑝 𝑇 𝜌 𝑅 = = 𝐽𝐸 ⋅ 𝑇 𝜌 𝑅 𝑝 (15.28) 𝑇 (𝑀 ) можно представить так: берем параболу 𝐽(𝑀 𝑇 циент, который является гиперболой 𝐸(𝑀 ). График зависимости ) и умножаем на переменный коэффи- 𝑇 /𝑇 𝐸 1 1 ℰ 0 𝑀 1 0 𝑀 1 15.3 Формула Прандтля для прямого скачка уплотнения. Из системы (15.10) запишем: [𝜌𝑣 ] = 0 𝑣 𝑣 𝑀 ⇒ 𝜌 𝑣 [𝑣 ] = 0 𝑀 = 𝜌 𝑣 ⇒ 𝑣 = 𝜌 𝑣 𝜌 = 𝐸𝑣 ( . = ) ℰ+ 1−ℰ 𝑣 𝑀 Выразили 𝑣 через 𝑣 𝑣 = ℰ+ 1−ℰ 𝑣 𝑀 Запишем выражение для их произведения: 𝑣 ⋅𝑣 =𝑣 ℰ+ 1−ℰ 𝑀 =ℰ 𝑣 + 𝑣 ⋅𝑣 =ℰ 𝑣 + 1−ℰ 𝑎 ℰ 1−ℰ 𝑎 ℰ (15.29) Скачок энтальпии торможения: [ℎ ] = 0 ⇒ ℎ =ℎ ⇒ ℎ + 𝑣 𝑣 =ℎ + 2 2 49 из 119 ⇒ 𝛾 𝑝 𝑣 𝛾 𝑝 𝑣 + = + 𝛾−1𝜌 2 𝛾−1𝜌 2 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. Вспомним, что 𝛾𝑝 = 𝑎 . Тогда: 𝜌 𝑎 𝑣 𝑎 𝑣 + = + 𝛾−1 2 𝛾−1 2 Выразим параметры до скачка через 𝑎∗ : 𝑣 𝑎 𝑣∗ 𝑎 ∗ 𝛾+1 + = + = 𝑎 2 𝛾−1 2 𝛾−1 2(𝛾 − 1) ∗ 𝑎 ∗ 2ℰ = Вспомним, что по формуле [12.1] 𝑎∗ = 2 2 𝑎 ⇒ 𝑎∗ = 𝑎 𝛾+1 𝛾+1 [ . = ] 2𝛾 𝑅𝑇 . 𝛾+1 [ℎ ] = 0 ⇒ Температура торможения непрерывна на ударной волне. Тогда: 𝑎 𝑣 + ∗ =𝑎 ⇒ ∗ 𝑣 𝑎 𝑎∗ + = 2 𝛾−1 2ℰ (15.30) 2 𝑎∗ 1−ℰ 𝑎∗ 𝑎 = ⇒𝑣 + 𝑎 = 𝛾−1 ℰ ℰ ℰ (15.29) ( . = ) (15.31) 𝑣 ⋅ 𝑣 = 𝑎∗ Тогда: 𝑣 𝑣 ⋅ =1 𝑎∗ 𝑎∗ Полученное соотношение называется формулой Прандтля. 𝑀∗ ⋅ 𝑀∗ = 1 По формуле [12.3] 𝑀∗ = (15.32) 𝑀∗ (𝛾 + 1)𝑀 (𝛾 − 1)𝑀 + 2 Тогда: √ℰ lim 𝑀∗ = → 1 𝛾+1 = 𝛾−1 √ℰ 1 Из [12.4] 𝑀 < 1 ⇔ 𝑀∗ < 1 и 𝑀 > 1 ⇔ 𝑀∗ > 1. 0 Тогда до скачка: 𝑀 > 1 ⇒ 𝑀∗ > 1 ( . ⇒ ) 𝑀 1 𝑀∗ < 1 ⇒ 𝑀 < 1 Таим образом, при переходе через прямой скачок уплотнения сверхзвуковой поток становится дозвуковым. 15.4 Изменение функции 𝑞(𝑀) на прямом скачке уплотнения в сопле Лаваля. Изобразим ударную волну после критической точки в сопле Лаваля. Из формулы [14.9], функция приведенного расхода в трубке сопла Лаваля равна: 𝑞(𝑀) = 𝑀 1 + ℰ − ℰ𝑀 ∗ ℰ 𝑆 50 из 119 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. С другой стороны, по определению: 𝐹∗ 𝜌𝑣 = 𝐹 𝜌∗ 𝑣∗ 𝑞(𝑀) = Запишем функцию приведенного расхода до скачка и после: 𝑞(𝑀 ) = 𝑞(𝑀 ) 𝜌 𝑣 = 𝑞(𝑀 ) 𝜌 ∗𝑣 𝜌 𝑣 𝜌 𝑣 , 𝑞(𝑀 ) = 𝜌 ∗𝑣 ∗ 𝜌 ∗𝑣 𝜌 ∗𝑣 𝜌 𝑣 ⋅ ∗ Переход (1) осуществляется так: по формуле [12.7] 𝜌∗ 𝛾+1 = 𝜌 2 Таким образом: ∗ = 𝜌 𝜌 ∗ ( ) = ∗ 𝜌 𝜌 ∗ = 𝛾−1 𝜌 = 1+ 𝑀 𝜌 2 𝑝 𝑝 = 1 𝐼 . Тогда при 𝑀 = 1 получаем = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑞(𝑀 ) = 𝑞(𝑀 ) 𝐼(𝑀 ) (15.33) Однако, из формулы [15.12] 𝐼 = (𝐽𝐸 ) видно, что параметр 𝐼 — переменный. Т.е. по формуле (15.33) получается, 𝐹∗ что 𝑞(𝑀) терпит разрыв на скачке уплотнения, где функция приведенного расхода имеет вид 𝑞(𝑀 ) = , 𝑞(𝑀 ) = 𝐹 𝐹∗ . В силу того, что 𝐹 в обоих случаях одна и та же площадь (площадь трубки в месте возникновения ударной 𝐹 волны), можно заключить, что при прохождении через плоский скачек уплотнения в сопле Лаваля меняется площадь критического сечения для потока. Другими словами после того, как поток прошел через ударную волну, он стал дозвуковым, и для того, чтобы опять сделать его сверхзвуковым, понадобится другое по площади критическое сечение. Зная геометрию сопла, мы можем вычислить функцию приведенного расхода до и после скачка, а значит можем вычислить число Маха в каждой точке. На графике каждому значению 𝑞 соответствует два значения числа Маха. Выбор точки зависит от направления потока. 𝑞 1 𝑞 𝑀 0 𝑀 𝑀 1 15.5 Число Маха за скачком уплотнения. Рассмотрим теперь косой скачок уплотнения: [ℎ ] = 0 ⇒ ℎ + 𝑣 𝑣 =ℎ + ; 2 2 ℎ= 𝛾 𝑝 [11.16] 𝛾−1𝜌 𝑣 𝛾 𝑝 𝑣 𝛾 𝑝 𝑣 + = + 𝛾−1𝜌 2 𝛾−1𝜌 2 𝛾 𝑝 𝛾−1𝜌 𝛾−1 1+ 𝑀 2 𝛾 𝑝 = 𝛾−1𝜌 51 из 119 𝑀 𝑣 𝑀 𝛾−1 1+ 𝑀 2 Автор: С. Перков Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. 𝑀 = 2 𝛾−1 1+ 𝛾−1 𝑀 2 𝑝 𝜌 ⋅ −1 = 𝜌 𝑝 ℰ ℰ Учитывая,что 𝑝 𝜌 1 1 ⋅ = = 𝜌 𝑝 𝐽𝐸 𝐽 ⋅ ℰ ℰ продолжим равенство: = 1−ℰ +𝑀 ℰ + ℰ𝑀 + (1 − ℰ) (𝐽 + ℰ) 1 − ℰ 1−ℰ 𝑀 (𝐽 + ℰ) 𝐽+ℰ − = − = + 𝐽(ℰ𝐽 + 1) ℰ ℰ𝐽(ℰ𝐽 + 1) ℰ 𝐽(ℰ𝐽 + 1) (1 − ℰ)(𝐽 + ℰ) − (1 − ℰ)𝐽(ℰ𝐽 + 1) 𝑀 (𝐽 + ℰ) (1 − ℰ)(𝐽 + ℰ − ℰ𝐽 − 𝐽) 𝑀 (𝐽 + ℰ) − (1 − ℰ)(𝐽 − 1) = + = ℰ𝐽(ℰ𝐽 + 1) 𝐽(ℰ𝐽 + 1) ℰ𝐽(ℰ𝐽 + 1) 𝐽(ℰ𝐽 + 1) 𝑀 = 𝑀 (𝐽 + ℰ) − (1 − ℰ)(𝐽 − 1) 𝐽(ℰ𝐽 + 1) (15.34) Вспомним формулу [15.25]: 𝐽 = (1 + ℰ)𝑀 sin 𝜎 − ℰ Рассмотрим число маха за прямым скачком уплотнения. Пусть 𝜎 = 𝜋/2 ⇒ 𝐽 = 𝑝 𝐽+ℰ = (1 + ℰ)𝑀 − ℰ ⇒ 𝑀 = 𝑝 1+ℰ Теперь воспользуемся соотношением для числа Маха после скачка уплотнения (15.34): 𝑀 = ℰ (𝐽 ℰ + ℰ) − (1 − ℰ)(𝐽 − 1) (𝐽 + 2𝐽ℰ + ℰ ) − (𝐽 − 1 − ℰ 𝐽 + ℰ ) 𝐽ℰ + 1 = = 𝐽(𝐽ℰ + 1) (1 + ℰ)𝐽(𝐽ℰ + 1) 𝐽(1 + ℰ) Получили простое соотношение: 𝑀 = 𝐽ℰ + 1 𝐽(1 + ℰ) (15.35) Подставим сюда выражение для 𝐽 (15.23) 𝑀 = ℰ𝑀 + 1 − ℰ ℰ((1 + ℰ)𝑀 − ℰ) + 1 = (1 + ℰ)((1 + ℰ)𝑀 − ℰ) (1 + ℰ)𝑀 − ℰ 𝑀 = ℰ𝑀 + 1 − ℰ (1 + ℰ)𝑀 − ℰ (15.36) В пределе больших скоростей (то есть при 𝑀 ⟶ ∞): 𝑀 ⟶ ℰ 1+ℰ = , 52 из 119 1 ≈ 0,38 7 Автор: И. Буренев Сильные разрывы в газовой динамике. Ударные волны. Связь углов на косом скачке уплотнения. 𝜌𝑣 =0⇒ 𝑣 𝑣 = 𝜌 = 𝐸 < 1 из Адиабаты Ренкеля-Гюгонио 𝜌 𝑣 𝜎 𝑣 𝛽 𝑣 𝑣 𝜌 = 𝜌 𝑣 = =𝑣 𝑣 = 𝑣 sin 𝜎 𝑣 = 𝑣 sin(𝜎 − 𝛽) 𝑣 = 𝑣 cos 𝜎 𝑣 = 𝑣 cos(𝜎 − 𝛽) 𝑣 𝐸= =0⇒𝑣 cos 𝜎 =𝑣 sin 𝜎 cos(𝜎 − 𝛽) sin(𝜎 − 𝛽) tan(𝜎 − 𝛽) tan 𝜎 − tan 𝛽 = tan 𝜎 (1 + tan 𝜎 tan 𝛽) tan 𝜎 Отсюда получаем связь между углами: tan 𝛽 = (1 − 𝐸) tan 𝜎 1 + 𝐸 tan 𝜎 (15.37) 𝐸 выражается через 𝛾 и число Маха в набегающем потоке (15.27). Можно построить график зависимости 𝛽(𝜎) для воздуха для разных чисел Маха. 𝛽 𝑀=2 𝑀=3 𝑀=5 𝑀→∞ 50 40 30 20 10 0 0 20 40 53 из 119 60 80 𝜎 Автор: И. Буренев Некоторые примеры и задачи. §16. Некоторые примеры и задачи. Определить тип скачка. Какая будет ударная волна? Присоединенная или отошедшая? Для того, чтобы это понять надо посмотреть на график 𝜎(𝛽). Если поток может сразу развернуться на угол 𝛽 , то поток будет 𝛽 присоединенный, иначе отошедший. Вообще может быть два решения 𝜎 для того потока, но 𝛽 только положение ударной волны, соответствующее меньшему из углов, устойчиво, поэтому в экспериментах наблюдается только оно. Трубка Пито в сверхзвуковом потоке. Зная 𝑃Пито = 𝑃 и 𝑃 определить число Маха для налетающего потока. 𝑃 𝑃 𝑃 𝑀 𝑃Пито = 𝐼 = (𝐽ℰ ) ℰ+ = (1 + ℰ)𝑀 − ℰ 1−ℰ 𝑀 = 𝑓 (𝛾, 𝑀 ) Построим график для воздуха: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 1.5 3 2.5 3.5 4 𝑀 Трубка Пито-Прандтля в сверхзвуковом потоке. 𝑃 𝑃 𝑀 𝑃 𝑃 = 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 = 𝑓 (𝑀 , 𝛾) 1 = 𝑓 (𝑀 , 𝛾) 1 + 𝛾−1 𝑀 2 = 𝑓 (𝑀 , 𝛾) 𝑃Пито Истечение газа из сосуда с малым отверстием. Посчитаем расход газа в зависимости от перепада давлений. 𝑝 𝑣=0 𝜌 𝐹 ⎧𝑄 = 𝑣 𝜌 𝐹 ⎪𝑣 𝛾 𝑝 𝛾 𝑝 + = 2 𝛾 − 1 𝜌 𝛾 − 1𝜌 ⎨ 𝑝 𝑝 ⎪ = ⎩𝜌 𝜌 𝑣 𝑇 𝑣 = 2 𝑝 𝑝 𝛾 − 𝛾−1 𝜌 𝜌 = 2 𝛾 𝑝 𝛾−1𝜌 1− 𝑝 𝜌 𝑝 𝜌 54 из 119 = 2 𝛾 𝑝 𝛾−1𝜌 1− 𝑝 𝑝 Автор: И. Буренев Некоторые примеры и задачи. 𝑝 𝑝 𝑄=𝜌 2 𝛾 𝑝 𝛾−1𝜌 1− 𝑝 𝑝 𝛾 𝑝 𝜌 𝐹 𝛾−1 𝐹 = 2 𝑥 − 𝑝 𝑝 1− 𝑝 𝑝 Построим график зависимости 𝑄(𝑥), где 𝑥 = 𝑝 /𝑝 𝜕𝑄 = 𝜕𝑥 2 𝛾 1 𝑝 𝐹 𝛾 − 1 𝑅𝑇 𝑥 =0 2 𝑥 −𝑥 Отсюда: 𝑥 = 2 𝛾+1 Теперь вспомним формулу для отношения давлений: 𝑃∗ 𝛾−1 = 1+ 𝑀 𝑃 2 = 2 𝛾+1 Это значит, что максимум достигается прои числе Маха равном 1. График должен выглядеть вот так: 𝑄 𝑄 𝑥 0 1 𝑥 = 𝑝 /𝑝 Подставим 𝑣 = 𝑣 𝑣 = 2 𝛾 𝑎 𝛾−1 1+ 2 = 𝛾+1 2 𝑎 = 𝑎∗ 𝛾+1 Получили выражение для максимального потока. 𝑄 =𝜌 𝑝 𝑝 55 из 119 2 𝑎 𝐹 𝛾+1 Автор: И. Буренев Некоторые примеры и задачи. Сила тяги. Запишем закон сохранения импульса: 𝑛 𝑆 𝑑 𝑑𝑡 𝑛 𝑆 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 0 > 𝐹 𝑑𝜏 + 𝜌𝐹 𝜋 𝑑𝑆 С другой стороны левую часть можно раскрыть по формуле из введения (**): 𝑛 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜏 = 𝜌𝑣 > 𝑣 𝜕𝜌𝑣 𝑑𝜏 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 + 𝜌𝑣 𝜕𝑡 0 Отсюда, подставляя выражение для 𝜋 получим 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 = 𝑛 + 𝜏 )𝑑𝑆 (−𝑝𝑛 Здесь 𝜏 — вязкие напряжения. Разобьем сопло на два участка: 𝑆 — поверхность сопла, 𝑆 — поверхность, через которую выходит воздух. Затем разобьем интеграл на сумму по двум этим площадкам. 0 > 𝑣𝑣 𝑑𝑆 + 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 = − 𝑛 𝑑𝑆 + 𝑝𝑛 𝜏 𝑑𝑆 − 𝑛 𝑑𝑆 + 𝑝𝑛 𝜏 𝑑𝑆 = − 𝑛 𝑑𝑆 − 𝑝𝑛 𝑣 𝑣 𝑑𝑆 𝜏 𝑑𝑆 0 Здесь ввели «Силу тяги»: 𝑃= 𝑛 𝑑𝑆 − 𝑝𝑛 Для профилированного сопла в пустоте это выражение принимает вид: 𝑣 −𝑝 𝑆 𝑛 𝑃 = −𝑄𝑣 В среде изменяется только часть с давлением: 𝑣 − (𝑝 − 𝑝н )𝑆 𝑛 𝑃 = −𝑄𝑣 Продувка в трубе. Рассмотрим продувку самолета в трубе и посчитаем скорость на выходе. 𝑣=0 𝑇 𝑣 +𝑐 𝑇 =𝑐 𝑇 2 𝑣 Естественное ограничение — конденсация азота. 𝑇кон ≈ 78 𝐾. Значит максимальная скорость: 𝑣∗ = 2𝑐 (𝑇 − 𝑇 ) ≈ 650 м/с За 𝑇 взяли 300 𝐾 56 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. §17. Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. 17.1 Постановка задачи. Течение плоское = 0; установившееся = 0; Нет вязкости Π = −𝑝𝐼; Нет теплового потока 𝑞 = 0; Нет внешних сил объемных 𝐹 = 0; Нет теплового поглощения 𝜀 = 0. Безвихревое rot 𝑣 = 0. Запишем уравнение неразрывности: 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝑣 𝑣=0⇒ + div 𝜌𝑣 + =0⇒𝜌 + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Теперь закон сохранения импульса: 𝜌 +𝑣 𝜕𝜌 𝜕𝜌 +𝑣 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑣 𝑑𝑣 = −∇𝑝 𝑑𝑡 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = +𝑣 +𝑣 +𝑣 =𝑣 +𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Рассмотрим проекции: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎧𝜌 𝑣 +𝑣 ⎪ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎨ +𝑣 ⎪𝜌 𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎩ =− 𝜕𝑝 𝜕𝑥 =− 𝜕𝑝 𝜕𝑦 Воспользуемся уравнением состояния, чтобы связать 𝜕𝜌 c 𝜕𝑝: 𝜌 = 𝜌(𝑝) ⇒ 𝜕𝜌 𝑑𝜌 𝜕𝑝 = = 𝜕𝑥 𝑑𝑝 𝜕𝑥 1 1 𝜕𝑝 𝜕𝑝 = 𝜕𝑥 𝑎 𝜕𝑥 Аналогичным образом можно получить: 1 𝜕𝑝 𝜕𝜌 = 𝜕𝑦 𝑎 𝜕𝑦 Теперь подставим полученные соотношения для производных от плотности в уравнение неразрывности: 𝜌 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 +𝑣 1 𝜕𝑝 1 𝜕𝑝 +𝑣 =0 𝑎 𝜕𝑥 𝑎 𝜕𝑦 Производные давления по координате подставим из закона сохранения импульса. 𝜌 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝜌 𝑣 𝑎 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝜌 𝑣 𝑎 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 =0 Сократим на плотность, умножим на 𝑎 и перегруппируем слагаемые: 𝑎 −𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 −𝑣 𝑣 −𝑣 𝑣 + 𝑎 −𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 =0 𝜕𝑦 (17.1) Это уравнение получилось из условия неразрывности, закона сохранения импульса и уравнения состояния. Течение безвихревое, значит rot 𝑣 = 0 В рамках принятых допущений 𝑣 = 0 и 𝜕 = 0, значит у rot 𝑣 автоматически равны нулю 𝑥 и 𝑦 компоненты. Значит уравнение безвихреватости принимает вид: (rot 𝑣 ) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 57 из 119 (17.2) Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. Теперь рассмотрим уравнение Бернулли для совершенного газа: 𝑣 +𝑣 𝑎 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 𝛾−1 (17.3) Получилась замкнутая система из трех уравнений (17.1) (17.2) (17.3) на три неизвестные функции 𝑣 , 𝑣 и 𝑎, которые полностью описывают поведение совершенного газа. Система представляет из себя два уравнения в частных производных и одно обычное алгебраическое. Рассмотрим сперва пару дифференциальных. Введем вектор 𝑣 𝑈= 𝑣 Тогда система из (17.1) и (17.2) записывается в матричном виде. 𝐶 𝑎 −𝑣 𝜕𝑈 𝜕𝑈 +𝐷 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝑣 𝑣 (17.4) −𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 1 0 + 0 =0 −1 Если записать результат перемножения матриц на столбцы, то выражение в верхней строке совпадет с (17.1), а в нижней с (17.2). Уравнение можно немного упростить, если ввести матрицу 𝐴 = 𝐶 𝐶 𝐴=𝐶 𝐷= 1 𝑎 −𝑣 0 − = −1 𝑎 −𝑣 𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 −1 −1 𝑣 𝑣 0 𝑎 −𝑣 −𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 1 0 = − 𝐷 2𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 −1 𝑎 −𝑣 𝑎 −𝑣 0 (17.5) Получилась так называемая каноническая форма уравнения: 𝜕𝑈 𝜕𝑈 +𝐴 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 17.2 Метод характеристик. Далее будет изложен метод характеристик — способ сведения уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод применяется к широкому спектру задач математической физики. Единственным ограничением является то, что он позволяет решить лишь задачи гиперболического типа. Таким образом все допущения, которые были приняты в начале параграфа, были приняты только для того, чтобы упростить математические выкладки, а единственно принципиально важное условие — уравнение состояния, посколько именно оно обеспечивает гиперболический тип. На самом деле есть еще одно условие — течение должно быть сверхзвуковым, но его происхождение будет понятно несколько позднее. () Пусть 𝐿( ) = 𝑙 , 𝑙 () () — левый собственный вектор-строка матрицы 𝐴, который соответствует собственному числу 𝜆 () (𝐿 𝐴 = 𝜆 𝐿 ). Домножим на него уравнение слева. 𝐿( ) 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑣 ( ) 𝜕𝑣 + 𝐿( ) 𝐴 = 0 ⇒ 𝐿( ) +𝜆 =0⇒𝑙 +𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 +𝑙 () 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑦 =0 Пусть есть некоторая функция 𝑢(𝑥, 𝑦) и кривая 𝑦 = 𝑦(𝑥). Рассмотрим функцию на кривой. В таком случае 𝑢 = 58 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. 𝑢(𝑥, 𝑦(𝑥)) — функция, зависящая лишь от 𝑥. Продифференцируем ее: 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 Таким образом уравнение в частных производных можно трактовать как обыкновенное дифференциальное уравнение вдоль линий, которые удовлетворяют условию = 𝜆 . Для каждого из собственных значений 𝜆 , 𝜆 получилась свое семейство кривых. Эти семейства называют характеристиками исходной системы. Те из них, что соответствуют 𝜆 — характеристики первого семейства, 𝜆 — характеристики второго семейства. Теперь запишем исходную систему в терминах характеристик: 𝑑𝑦 =𝜆 ∶ 𝑑𝑥 𝑙 () 𝑑𝑣 ( ) 𝑑𝑣 +𝑙 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (17.6) Будем искать собственные числа 𝜆 матрицы 𝐴. Для этого надо найти корни характеристического многочлена: det − 2𝑣 𝑣 −𝜆 𝑎 −𝑣 −1 𝑎 −𝑣 𝑎 −𝑣 −𝜆 =𝜆 + 2𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 𝜆+ =0 𝑎 −𝑣 𝑎 −𝑣 (17.7) Решив квадратное уравнение находим собственные числа: 𝜆 , =− 𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 𝑣 𝑣 ± 𝑎 −𝑣 − 𝑎 −𝑣 𝑎 −𝑣 𝑣 𝑣 ±𝑎 𝑣 +𝑣 −𝑎 𝜆 , = (17.8) 𝑣 −𝑎 Видно, что собственные числа и характеристики будут вещественными только в случае 𝑣 + 𝑣 > 𝑎 , то есть при сверхзвуковом течении. Это второе принципиально важное условие для применения метода характеристик. Случай 𝜆 = 𝜆 , соответствующий 𝑀 = 1, тоже не подходит, так как тогда произойдет вырождение и уравнение в характеристиках уже не будет эквивалентно исходной системе. Теперь необходимо по собственным значениям построить собственные вектора: 𝐿( ) 𝐴 = 𝐿( ) 𝜆 . Известно, что они определены с точностью до умножения на константу, значит можно положить 𝑙 = 1. Тогда 𝑙 выражается из первого столбца, полученного при умножении строки на матрицу. () 𝑙 ,𝑙 ⎧𝑙 ⎪ () () ⋅ − 2𝑣 𝑣 𝑎 −𝑣 −1 𝑎 −𝑣 𝑎 −𝑣 0 () = 𝜆 𝑙 ,𝑙 () =1 𝑣 𝑣 ∓𝑎 𝑣 +𝑣 −𝑎 2𝑣 𝑣 ⎨ () ⎪𝑙 = −𝜆 = 𝑣 −𝑎 𝑣 −𝑎 ⎩ Заметим, что 𝑙 ( ) =𝜆 ,𝑙 ( ) (17.9) = 𝜆 . Собирая все вместе можно записать исходную систему: 𝑣 𝑣 +𝑎 𝑣 +𝑣 −𝑎 𝑑𝑦 = ∶ 𝑑𝑥 𝑣 −𝑎 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑣 𝑣 −𝑎 𝑣 +𝑣 −𝑎 𝑣 −𝑎 ∶ 𝑣 𝑣 − 𝑎 𝑣 + 𝑣 − 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑣 + =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣 −𝑎 (17.10) 𝑣 𝑣 + 𝑎 𝑣 + 𝑣 − 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑣 + =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣 −𝑎 59 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. В итоге пара двух уравнений в частных производных свелась к паре двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которые верны вдоль линий характеристик. Полученная система равносильна исходной и в дальнейшем будем решать именно ее. 17.3 Угловые переменные. Переведем все в угловые переменные (𝑣 , 𝑣 ) → (𝑣, 𝜃) . 𝑣 = 𝑣 cos 𝜃 𝑣 = 𝑣 sin 𝜃 Для того, чтобы выражения получались более компактными воспользуемся углом Маха: 𝛼 = arcsin . 1 sin 2𝜃 ± sin 2𝛼 𝑑𝑦 , 𝑣 sin 𝜃 cos 𝜃 ± 𝑎√𝑣 − 𝑎 sin 𝜃 cos 𝜃 ± sin 𝛼 cos 𝛼 = = = 𝑑𝑥 𝑣 cos 𝜃 − 𝑎 2 cos 𝜃 − sin 𝛼 cos 𝜃 − sin 𝛼 Теперь выразим все через тангенс половинного угла. 𝑑𝑦 , = 𝑑𝑥 tan tan tan ± − tan tan tan tan = (1 ± tan 𝜃 tan 𝛼)(tan 𝜃 ± tan 𝛼) (tan 𝜃 ± tan 𝛼) + tan 𝜃 tan 𝛼(tan 𝛼 ± tan 𝜃) = 1 − tan 𝛼 tan 𝜃 1 ± tan 𝛼 tan 𝜃 1 ∓ tan 𝛼 tan 𝜃 Уравнения на линии характеристик в угловых переменных примут вид: 𝑑𝑦 , = tan (𝜃 ± 𝛼) 𝑑𝑥 (17.11) Из (17.11) следует, что характеристики отклонены на угол Маха относительно направления вектора скорости. Дифференциальное уравнение вдоль линии характеристик: 𝑑𝑣 + tan(𝜃 ∓ 𝛼)𝑑𝑣 = 0 (17.12) Чтобы полностью перейти к новым переменным остается выразить 𝑑𝑣 𝑑𝑣 = cos 𝜃𝑑𝑣 − 𝑣 sin 𝜃𝑑𝜃 𝑑𝑣 = sin 𝜃𝑑𝑣 + 𝑣 cos 𝜃𝑑𝜃 , через 𝑑𝑣, 𝑑𝜃 ⇒ 𝑑𝜃(−𝑣 sin 𝜃 + 𝑣 tan(𝜃 ∓ 𝛼) cos 𝜃) + 𝑑𝑣(cos 𝜃 + tan(𝜃 ∓ 𝛼) sin 𝜃) = 0 ⇒ 𝑑𝜃 = 1 + tan(𝜃 ∓ 𝛼) tan 𝜃 𝑑𝑣 − tan 𝜃 + tan(𝜃 ∓ 𝛼) 𝑣 Значит уравнение на характеристиках в новых переменных: 𝑑𝜃 = ± cot 𝛼 cot 𝛼 = 1 − sin 𝛼 = sin 𝛼 𝑑𝑣 𝑣 (17.13) (17.14) 𝑀 −1=𝐴 Чтобы решить дифференциальное уравнение на характеристиках попробуем опознать в правой части полный дифференциал. чтобы в правой части осталась лишь одна переменная, выразим 𝑣 из уравнения Бернулли. 𝑣 𝑎 2𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑣 = 2 𝛾−1 1+ = 2𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(𝛾 − 1) 1 + 𝐴 (𝛾 + 1) 1 + 𝐴 = 2𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡ℰ 1 + 𝐴 1 + ℰ𝐴 В последнем равенстве вспомнили, что ℰ = (𝛾 − 1)/(𝛾 + 1). Теперь прологорифмируем полученное соотношение, а 60 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. потом возьмем дифференциал. В результате получим: 2𝐴𝑑𝐴 2ℰ𝐴𝑑𝐴 2𝑑𝑣 = − 𝑣 1+𝐴 1 + ℰ𝐴 (17.15) Преобразуем уравнение (17.13), используя только что полученное выражение: 𝑑𝑣 ℰ𝐴 1 𝐴 𝑑𝐴 − 𝑑𝐴 = −𝑑 (arctan 𝐴) + cot 𝛼 = 𝑑 arctan √ℰ𝐴 = 𝑑𝜔∗ (𝐴) 𝑣 1+𝐴 1 + ℰ𝐴 √ℰ где 𝜔∗ (𝐴) = 1 √ℰ arctan √ℰ𝐴 − arctan 𝐴 Перепишем эту функцию в терминах 𝑀, используя то, что 𝐴 = √𝑀 − 1: 𝜔(𝑀) = 1 √ℰ arctan ℰ (𝑀 − 1) − arctan (𝑀 − 1) (17.16) Эта функция — Функция Прандтля-Майера. Она связывает 𝑑𝜃 с дифференциалом некоторой функции от 𝑀: 𝑑𝜃 = ±𝑑𝜔(𝑀) Окончательный вид уравнений характеристик в терминах угловых переменных (проинтегрировали условия вдоль характеристик): 𝑑𝑦 = tan(𝜃 + 𝛼) ∶ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = tan(𝜃 − 𝛼) ∶ 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝑑𝜔 ⇒ 𝜃 = 𝜔(𝑀) + 𝐶 (17.17) 𝑑𝜃 = −𝑑𝜔 ⇒ 𝜃 = −𝜔(𝑀) + 𝐶 Здесь знак «+» соответствует характеристикам первого семейства, а «−» характеристикам второго. Нарисуем график функции Прандтля-Майера для 𝛾 = 7/5: 2.5 𝜔(𝑀) 2 1.5 1 0.5 0 2 4 6 8 10 𝑀 17.4 Течение Прандтля-Майера. Пусть в поле течения есть характеристики первого семейства (𝐴𝐵). Будем считать, что все параметры одинаковы (обозначим их волной) 𝑝,̃ 𝑇,̃ 𝑀,̃ 𝜃,̃ ... 𝑑𝑦 = tan(𝜃̃ + 𝛼) ̃ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑𝑥 Значит характеристика — прямая. Отметим на (𝐴𝐵) точки 𝑎 , 𝑎 , ..., 𝑎 и проведем через них характеристики (𝑎𝑏) 61 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. второго семейства. 𝑎 𝑏 ∶ 𝜃 = −𝜔(𝑀) + 𝐶 𝑎 𝑏 ∶ 𝜃 = −𝜔(𝑀) + 𝐶 Эти уравнения выполняются вдоль всей характеристики (𝑎𝑏), значит и в точке пересечения с (𝐴𝐵) тоже. Значит можем выразить константы 𝐶 𝐶 ̃ =𝐶 = 𝜃̃ + 𝜔(𝑀) =𝐶 =…=𝐶 =𝐶 Отсюда получаем: (17.18) 𝜃 = −𝜔(𝑀) + 𝐶 Таким образом, константа 𝐶 одна и та же во всем поле течения и предыдущее уравнение выполняется всегда. Рассмотрим еще одну характеристику первого семейства (𝐴 𝐵 ) до которой можно «дойти» от (𝐴𝐵) по характеристике второго семейства: (17.19) 𝐴 𝐵 ∶ 𝜃 = 𝜔(𝑀) + 𝐶 Из уравнений (17.18) и (17.19) выразим 𝜃 и 𝜔(𝑀): 𝐶 +𝐶 2 𝐶 −𝐶 𝜔(𝑀) = 2 𝜃= Получаем что и 𝜃 и 𝑀 выражаются через константы, а значит постоянны вдоль характеристики 𝐴 𝐵 . Уравнение для 𝐴𝐵: 1 𝑑𝑦 = tan 𝜃 + arcsin = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑𝑥 𝑀 Значит характеристика 𝐴 𝐵 — прямая. Таким образом получили, что все характеристики первого семейства — прямые. Течение (область течения), где все характеристики одного семейства прямолинейны, называется простой волной или течением Прандтля-Майера. 17.5 Примеры применения. Обтекание выпуклой поверхности однородным сверхзвуковым потоком. Проведем характеристики первого семейства. Пусть «первая» из них 𝐴 𝐵 проходит по границе невозмущенного потока. На ней все 𝑦 𝐵 параметры постоянны, значит эта характеристика — прямая. Более 𝐵 𝑀 >1 того, все характеристики первого семейства — прямые. Из (17.18) знаем, что 𝐴 𝑥 𝜃 = −𝜔(𝑀) + 𝐶 𝐴 𝑀 >𝑀 𝜃 — угол между скоростями, поэтому на поверхности он тесно связан с тангенсом угла наклона (из условия непротекания), а именно: −𝜃 + arctan 𝑓 (𝑥) = 𝜋 𝑦= 0, 𝑥<0 𝑓(𝑥), 𝑥 > 0 Значит для характеристики 𝐴 𝐵 верно: arctan 𝑓 (𝑥 ) − 𝜋 = −𝜔(𝑀 ) + 𝐶 62 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. Для характеристики 𝐴 𝐵 𝜃 = 0 = −𝜔(𝑀 ) + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝜔(𝑀 ) Отсюда получаем: 𝜔(𝑀 ) = 𝜔(𝑀 ) + 𝜋 − arctan 𝑓 (𝑥 ) (17.20) Для характеристик второго семейства: 𝑑𝜃 = − cot 𝛼 𝑑𝑣 ⇒ 𝑑𝑣 > 0 ⇒ 𝑣 ↑ 𝑣 Здесь воспользовались тем, что поверхность выпукла, значит 𝜃 убывает. Котангенс больше нуля, так как 𝛼 = arcsin , поэтому определяется в промежутке от 0 до 𝜋/2. Из уравнения Бернулли: 𝑣 𝑎 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑎 ↓⇒ 𝑀 ↑⇒ 𝛼 ↓ 2 𝛾−1 Получилось, что убывает и 𝜃 и 𝛼, поэтому тангенс наклона характеристик первого семейства убывает, и прямые расходятся. Значит не будет пересечения в потоке, что, безусловно, радует. Обтекание выпуклого двугранного угла. Для 𝑖-й характеристики: 𝑦 𝐵 𝜙 = 𝜃 + 𝛼 = 𝜃 + arcsin 𝑀 𝜑 𝐴 𝐴 1 𝑀 𝛽 𝐵 𝑥 Тогда из (17.18) получаем 𝜙 − arcsin 1 = 𝜔(𝑀 ) − 𝜔(𝑀 ) 𝑀 (17.21) Запишем это выражение для прошедшего и начального потоков: (17.22) 𝜔(𝑀 ) = 𝜔(𝑀 ) ± 𝛽 Теперь найдем максимальный угол, на который может развернуться поток: |𝜃 | = 𝜔(𝑀 ) − 𝜔(𝑀 ) ⇒ |𝜃 | = 𝜔(∞) − 𝜔(1) = 1 √ℰ −1 𝜋 2 , = 135∘ Число Маха ∞ соответствует вакууму, а 1 — потоку, который движется со скоростью звука. Обтекание вогнутой поверхности. Для характеристик первого семейства: 𝑦 𝑑𝜃 = − cot 𝛼 𝑑𝑣 ⇒ 𝑑𝑣 < 0 ⇒ 𝑣 ↓ 𝑣 Уравнение Бернулли: 𝑥 𝑣 𝑎 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑎 ↑⇒ 𝑀 ↓⇒ 𝛼 ↑ 2 𝛾−1 Поверхность, где пересекаются характеристики приводит к коллапсу с математической точки зрения. Вдоль характеристик параметры течения должны быть постоянны, поэтому, вообще говоря, непонятно, что происходит в пе63 из 119 Автор: И. Буренев Метод характеристик для плоских сверхзвуковых безвихревых течений идеального газа. ресечении. С физической точки зрения это означает, что в потоке образуется ударная волна. Причем поверхность разрыва может быть «висящей», то есть не обязана заканчиваться на обтекаемой поверхности. 64 из 119 Автор: И. Буренев Общие свойства течения вязкой жидкости и некоторые точные решения. §18. Общие свойства течения вязкой жидкости и некоторые точные решения. Будем работать в рамках следующих допущений: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 div 𝑣 = 0 ⇒ 𝜌 (18.1) 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 − ∇𝑝 + 𝜇Δ𝑣 𝑣 = 𝜌𝐹 𝑑𝑡 Завихренность вязких течений. Пусть это не так, то есть течение не завихренное. Значит 𝑣 = ∇𝜙 ⇒ div 𝑣 = Δ𝜙 = 0 Из второго уравнения: 𝑣 = Δ∇𝜙 = ∇Δ𝜙 = 0 Δ𝑣 Таким образом из уравнений уходит слагаемое с 𝜇, и течение можно считать не вязким. Необратимость течений вязкого газа/жидкости. 𝑣 , 𝑝 = 𝑝. Если Пускай 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) — решения. Рассмотрим 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ), 𝑝 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ), где 𝑡 = −𝑡, 𝑣 = −𝑣 решения обратимы, то 𝑣 и 𝑝 тоже должны быть решениями уравнений Навье-Стокса. Подставим их: div 𝑣 = − div 𝑣 = 0 Теперь во второе: 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑑𝑣 𝑑 𝑣= +𝑣 +𝑣 +𝑣 = ; 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑡 ∇𝑝 = ∇𝑝 ; 𝑣 = −Δ𝑣 𝑣 Δ𝑣 Видно, что если подставить это во второе уравнение, не совпадет знак при 𝜇, значит течение необратимо. Несколько точных решений. Рассмотрим случай, когда 𝑣 = 0, 𝑣 = 0, 𝐹 = 0 div 𝑣 = 0 ⇒ 𝜕𝑣 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑣 (𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑥 Второе уравнение в компонентах: 𝜕𝑝 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 𝑑𝑣 =− +𝜇 + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑣 𝜕𝑝 𝜌 =0=− +0 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑣 𝜕𝑝 𝜌 =0=− +0 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝜌 Два последних уравнения говорят о том, что 𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑡). Теперь посмотрим на первое внимательнее. − 𝜕𝑝 𝜕 𝜕 𝜕 = 𝜌 −𝜇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑣 (18.2) Здесь мы поменяли полную производную по времени на частную, раскрыв ее в уме и воспользовавшись тем, что 𝑣 = 𝑣 = 0, 𝜕 𝑣 = 0. Видно что правая часть равенства не зависит от 𝑥, значит левая тоже не должна зависеть. Поэтому: 𝜕𝑝 = 𝑓(𝑡) 𝜕𝑥 65 из 119 Автор: И. Буренев Общие свойства течения вязкой жидкости и некоторые точные решения. 18.1 Течение Пуазейля в плоском канале. Будем рассматривать Тогда из (18.2) = 0 — установившееся, 𝜇 Δ𝑝 𝑝 −𝑝 = Δ𝑥 𝑥 −𝑥 = 0 — плоское, 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 течение. 𝑑 𝑣 Δ𝑝 𝑝 −𝑝 = = 𝑑𝑦 Δ𝑥 𝑥 −𝑥 (18.3) Общее решение: 𝑣 = 1 Δ𝑝 𝑦 +𝐶 𝑦+𝐶 𝜇 Δ𝑥 2 (18.4) К нему прилагаются граничные условия: 𝑣 = 0, Решив получим: (18.5) 𝑦 = ±ℎ 1 Δ𝑝 𝑦 −ℎ 2𝜇 Δ𝑥 𝑣 = 18.2 Течение Пуазейля в круглой трубе. Все точно так же, только вместо канала труба: = 0, Δ𝑣 = =0 𝜕 𝑣 1 𝜕𝑣 1 𝜕 𝑣 + + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 Тогда из (18.2): 1 𝜕𝑣 𝜕 𝑣 + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜇 = Δ𝑝 Δ𝑥 Соберем радиальную часть вместе: 1 Δ𝑝 1 𝑑 𝑑𝑣 𝑟 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝜇 Δ𝑥 (18.6) Отсюда общее решение: 𝑣 = 1 Δ𝑝 𝑟 + 𝐶 ln 𝑟+𝐶 𝜇 Δ𝑥 4 (18.7) Константу 𝐶 определим из граничных условий. Тогда итоговое решение: 1 Δ𝑝 𝑟 −𝑅 4𝜇 Δ𝑥 𝑣 = (18.8) Посчитаем поток, через трубу: 𝑄= 𝑑𝜃 𝑟𝑑𝑟 𝑣 (𝑟) = 𝜋 Δ𝑝 2𝜇 Δ𝑥 Отсюда: 𝜇=− 𝑟 −𝑅 𝜋 Δ𝑝 𝑅 8𝑄 Δ𝑥 Среднюю скорость можно выразить как: 𝑣ср = Число Рейнольдса: 𝑅𝑒 = 𝑟 𝑑𝑟 = − 𝜋 Δ𝑝 𝑅 8𝜇 Δ𝑥 (18.9) (18.10) 𝑄 𝜋𝑅 𝜌𝑣ср 𝑅 𝜇 66 из 119 Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. §19. Элементы теории пограничного слоя. Для начала выпишем допущения в рамках которых будем работать: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐹 = 0, 𝜕 = 0, 𝜕𝑡 𝜕 =0 𝜕𝑧 𝑣 = 0, Теперь уравнения: div 𝑣 = 0 (19.1) 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 − ∇𝑝 + 𝜇Δ𝑣 𝑣 = 𝜌𝐹 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝜌𝑐 = 𝜇Φ + 𝜆Δ𝑇 𝑑𝑡 (19.2) 𝜌 (19.3) Из первого уравнения: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Из второго: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎧𝜌 𝑣 +𝑣 ⎪ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 =− 𝜕𝑝 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 +𝜇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎨ +𝑣 ⎪𝜌 𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎩ =− 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 𝜕𝑝 +𝜇 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Диссипативная функция Φ из (9.18): Φ = 2(𝜕 𝑣 ) +2(𝜕 𝑣 ) +2(𝜕 𝑣 ) +(𝜕 𝑣 +𝜕 𝑣 ) +(𝜕 𝑣 +𝜕 𝑣 ) +(𝜕 𝑣 +𝜕 𝑣 ) = 2(𝜕 𝑣 ) +2(𝜕 𝑣 ) +(𝜕 𝑣 +𝜕 𝑣 ) Тогда из (19.3) следует: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 +𝑣 = 𝜇 2(𝜕 𝑣 ) + 2(𝜕 𝑣 ) + (𝜕 𝑣 + 𝜕 𝑣 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜌𝑐 𝑣 +𝜆 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Из (19.2), используя динамическую вязкость 𝜈 = 1 𝑣 𝜕 𝑣 + 𝑣 𝜕 𝑣 = − 𝜕 𝑝 + 𝜈(𝜕 𝑣 + 𝜕 𝑣 ) 𝜌 1 𝑣 𝜕 𝑣 + 𝑣 𝜕 𝑣 = − 𝜕 𝑝 + 𝜈(𝜕 𝑣 + 𝜕 𝑣 ) 𝜌 (19.4) (19.5) Перепишем (19.3) через 𝑃𝑟 = 𝑣 𝜕 𝑇+𝑣 𝜕 𝑇 = 𝜈 2(𝜕 𝑣 ) + 2(𝜕 𝑣 ) + (𝜕 𝑣 + 𝜕 𝑣 ) 𝑐 + 𝜈 𝜕 𝑇+𝜕 𝑇 𝑃𝑟 (19.6) 𝛿 — характерная толщина пограничного слоя, 𝐿 — характерный линейный размер. 𝛿 𝛿 ≪1 𝐿 𝑣 (19.7) Введем криволинейную систему координат (𝑥, 𝑦), где ось 𝑥 совпадает с поверхностью. Оценим порядки некоторых величин: 𝑣 ∼𝑣 , 𝜕𝑣 𝑣 ∼ , 𝜕𝑥 𝐿 𝜕 𝑣 𝑣 ∼ , 𝜕𝑥 𝐿 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑣 =− ∼ , 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝐿 67 из 119 𝑣 = 𝜕𝑣 𝑣 𝑑𝑦 ∼ 𝛿, 𝜕𝑦 𝐿 𝜕𝑣 𝑣 ∼ , 𝜕𝑦 𝛿 𝜕 𝑣 𝑣 ∼ 𝜕𝑦 𝛿 Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. Теперь оценим все остальное. Из (19.4): 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 +𝑣 ∼𝜈 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝑣 𝜕 𝑣 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (19.8) Здесь предположили, что вязкость и инерция явления одного порядка. Отсюда: 𝑣 𝑣 ∼𝜈 𝐿 𝛿 Из правой части взяли доминирующее слагаемое. 𝜈∼ 𝑅𝑒 = 𝑣 𝛿 𝐿 (19.9) 𝑣 𝜌𝐿 𝑣 𝐿 = 𝜇 𝜈 𝛿 ∼ 𝐿 (19.10) 1 (19.11) 𝑅𝑒 Оценим численно: 𝑣 = 200 м/с 𝐿 = 10 м 𝜇 = 2 ⋅ 10 ⇒ 𝑅𝑒 = 10 ⇒ Н м 𝛿 ∼ 10 𝐿 Рассмотрим сечение пограничного слоя и посчитаем давление. Из (19.4), (19.5) 𝜌𝑣 𝛿 𝜕𝑝 = 𝜕𝑦 𝐿 Значит давление: Δ𝑝 = 𝜕𝑝 1 𝑑𝑦 = 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑅𝑒 Перепад очень маленький, значит из-за тонкости пограничного слоя: 𝜕𝑝 𝑑𝑝 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑝 — давление на внешней границе слоя. Производная стала полной потому, что давление на границе зависит только от 𝑥. Из (19.4): 𝑑𝑣 1 𝑑𝑝 =𝑣 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (19.12) С учетом приближений получили систему: 𝜕 𝑣 +𝜕 𝑣 =0 𝑣 𝜕 𝑣 +𝑣 𝜕 𝑣 =− 𝜕 𝑣 1 𝑑𝑝 +𝜈 𝜌 𝑑𝑥 𝜕𝑦 68 из 119 Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. Подставив в нее выражение для получим систему уравнений пограничного слоя Прандтля. 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝜕 𝑣 𝜕𝑣 𝑣 +𝑣 =𝑣 +𝜈 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 (19.13) Теперь рассмотрим уравнение на энергию (19.6) 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑇 + 𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝜈 𝑐 2 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +2 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 + 𝜈 𝑃𝑟 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (19.14) ⋅ Здесь Δ𝑇 — характерный перепад температуры в пограничном слое, а 𝛿 — характерная толщина пограничного слоя в терминах температуры. Перед тем, как выделить главные члены в этом выражении, поймем как связаны между собой 𝛿 и 𝛿. Предположим, что перенос тепла через пограничный слой того же порядка, что и конвективный перенос тепла вдоль него. То есть имеет место следующее соотношение: 𝑣 𝜕𝑇 𝜈 𝜕 𝑇 ∼ 𝜕𝑥 𝑃𝑟 𝜕𝑦 (19.15) Отсюда найдем интересующую нас связь: 𝑣 𝜈 Δ𝑇 Δ𝑇 ∼ 𝐿 𝑃𝑟 𝛿 ( . ) ∼ 𝑣 𝛿 Δ𝑇 𝛿 ⇒ ∼1 𝑃𝑟𝐿 𝛿 𝑃𝑟𝛿 Значит характерные толщины связаны как: 𝛿 1 ∼ 𝛿 √𝑃𝑟 (19.16) Из-за того, что для газов 𝑃𝑟 ∼ 1, следует 𝛿 ∼ 𝛿 . Теперь выделим главные члены в соотношении для энергии: 𝑣 Оценим слагаемое 𝜈/𝑐 ⋅ 𝜕 𝑣 𝑣 ∼ 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜈 +𝑣 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑐 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜈 𝜕 𝑇 𝑃𝑟 𝜕𝑦 (19.17) . Оно характеризует диссипацию в пограничном слое. Рассмотрим отношение: ∼ 𝑣 𝑣 𝑣 𝛾𝑅𝑇 𝑣 𝑇 𝛾 = ⋅ = 𝑐 Δ𝑇 𝛾𝑅𝑇 𝑐 Δ𝑇 Δ𝑇 −1 𝑎 = 𝛾(𝛾 − 1) 𝑀 Δ𝑇 /𝑇 (19.18) Здесь мы воспользовались тем, что 𝑐 ∼ 𝑐; 𝑎= 𝛾𝑅𝑇; 𝛾 = 𝑐 /𝑐 ; 𝑅 =𝑐 −𝑐 Видно, что если 𝑀 ≪1 Δ𝑇 /𝑇 можно пренебречь диссипацией. Тогда уравнение энергии преобразуется в 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜈 𝜕 𝑇 +𝑣 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑃𝑟 𝜕𝑦 69 из 119 (19.19) Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. Заметим, что мы рассматриваем несжимаемый газ с постоянными коэффициентами динамической вязкости (𝜈) и теплопроводности (𝜆), поэтому температура в пограничном слое меняется слабо. 19.1 Пограничный слой на продольно обтекаемой пластинке. Будем рассматривать продольное обтекание пластинки несжимаемым газом. 𝑣 Интересует лишь динамическая задача, поэтому вклад диссипации учитывать 𝑦 не будем. Тогда система уравнений Прандтля: 𝛿 𝜕𝑣 ⎧ 𝜕𝑣 + =0 ⎪ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕 𝑣 ⎨ 𝜕𝑣 +𝑣 =𝜈 ⎪𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ⎩ 𝑥 (19.20) Добавим граничные условия: 𝑥 > 0; 𝑦=0∶ 𝑣 =𝑣 =0 𝑥 > 0; 𝑦→∞∶ 𝑣 →𝑣 𝑥 = 0; 𝑦>0∶ 𝑣 =𝑣 (19.21) Решения представляют из себя функции: 𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑣 , 𝜈) 𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑣 , 𝜈) Введем безразмерные параметры: 𝑥= 𝑥 ; 𝐿 𝑦= 𝑦 𝜈𝐿/𝑣 ; 𝑣 = 𝑣 ; 𝑣 𝑣 = 𝑣 𝜈𝑣 /𝐿 ; (19.22) Теперь надо преобразовать уравнения в терминах безразмерных переменных: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑣 + = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐿 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 =0 (19.23) Второе: 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕 𝑣 +𝑣 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (19.24) Граничные условия в новых переменных: 𝑥 > 0; 𝑥 > 0; 𝑦=0∶ 𝑣 =𝑣 =0 𝑦→∞∶ 𝑣 →1 𝑥 = 0; 𝑦>0∶ (19.25) 𝑣 =1 Заметим, что не осталось никаких следов размерных параметров исходной задачи, а значит решения имеют вид: 𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦) (19.26) 𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦) В размерных переменных это выглядит как: 𝑣 =𝑣 ⋅𝑓 𝑣 = 𝑥 ; 𝐿 𝜈𝑣 ⋅𝑓 𝐿 𝑦 𝜈𝐿/𝑣 𝑥 ; 𝐿 70 из 119 𝑦 (19.27) 𝜈𝐿/𝑣 Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. Видно, что появилась зависимость от характерного линейного масштаба задачи, которой не было изначально. Это плохо — решение не должно зависеть от 𝐿. Значит 𝑣 и 𝑣 должны зависеть от некоторой комбинации, не содержащей 𝐿. Возьмем например такую: 𝜂= 𝑦 𝐿 𝑦 = 𝑥 √𝑥 𝜈𝐿/𝑣 (19.28) Это решает проблему для 𝑣 , но не для 𝑣 . Чтобы убрать зависимость от 𝐿 в 𝑣 , предположим, что есть множитель вида 𝑥/𝐿, и явно его выделим. Тогда решения будем искать в виде: 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑓̃ 𝑣 = 𝑣 𝜈𝑥 𝑦 𝜈𝑣 ⋅ 𝑓̃ 𝑥 (19.29) 𝑣 𝜈𝑥 𝑦 Введем функцию тока 𝜓 𝑣 = 𝜕𝜓 ; 𝜕𝑦 𝑣 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 (19.30) Второе уравнение преобразуется в: 𝜕𝜓 𝜕 𝜓 𝜕 𝜓 𝜕𝜓 𝜕 𝜓 − = 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 (19.31) Выразим 𝜓 из первого уравнения: 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑣 𝑥, 𝜉 𝑑𝜉 = 𝑦 𝑥𝑓 √𝑥 = (19.32) 𝑥 𝑓 (𝜂) Теперь выразим составляющие уравнения (19.31) 𝜕𝜓 = 𝜕𝑦 𝑥 ⋅ 𝑓 (𝜂) 𝜕 𝜓 1 𝜕𝑦 𝜕 𝜓 𝜕𝑦 = = √𝑥 𝜕𝜂 = 𝑓 (𝜂) 𝜕𝑥 ⋅𝑓 1 ⋅𝑓 𝑥 (𝜂) 𝜕𝜓 1 = ⋅ 𝑓 − 𝜂𝑓 (𝜂) 𝜕𝑥 2√𝑥 𝜕 𝜓 𝑦 =− ⋅ 𝑓 (𝜂) 𝜕𝑥𝜕𝑦 2𝑥√𝑥 Подставив полученные выражения в (19.31) получим дифференциальное уравнение третьего порядка. (19.33) 2𝑓 + 𝑓 ⋅ 𝑓 = 0 К нему есть граничные условия: 𝑓(0) = 0; 𝑓 (0) = 0; (19.34) 𝑓 (∞) = 1 𝑓 Получается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Воспользуемся тем, что ее уже решали численно до нас. (Последовательным приближением, задавая вто- 1 рую производную в нуле. Она оказалась равной 𝑓 (0) = 0,332. На картинке — качественный вид зависимости.) Оказывается, что 𝑣 = 0,99 при 𝜂 = 5. Будем считать, что там заканчива- 71 из 119 𝜂 Автор: И. Буренев Элементы теории пограничного слоя. ется пограничный слой. 𝜂=5=𝛿 𝑣 𝜈𝑥 Отсюда получаем оценку толщины пограничного слоя в зависимости от 𝑥: 𝜈𝑥 ∼ √𝑥 𝑣 𝛿=5 (19.35) Расчет напряжения трения на пластинку. Вспомним выражение для напряжения (9.5): 𝜋 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 =𝜏 =𝜇 =𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑦 Перепишем подстановку в терминах 𝑓, 𝜂 𝜕𝑣 𝜕𝜂 𝑣 = 𝑣 𝑓 (𝜂) = 𝑣 𝑓 (𝜂) = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜈𝑥 (19.36) Подставив 𝜂 = 0 получим: 𝜋 = 0,332 ⋅ 𝜇𝑣 𝑣 𝜈𝑥 (19.37) = 0,664 ⋅ 𝜈 𝑣 𝑥 (19.38) Посчитаем коэффициент местного трения 𝑐 : 𝑐 = 𝜏 𝜌𝑣 Введем местное число Рейнольдса: 𝑅𝑒 = В этих терминах: 𝑐 = 𝑣 𝑥 𝜈 (19.39) 0,664 (19.40) 𝑅𝑒 Обтекание конченой пластины. Посчитаем сопротивление конечной пластинки: 𝑊= 𝑣 𝜈 𝜏 𝑏 𝑑𝑥 = 0,332 ⋅ 𝑏𝜇𝑣 1 𝑑𝑥 = 0,664 ⋅ √𝑙𝑏 ⋅ 𝜇𝑣 √𝑥 𝑣 𝜈 Тогда коэффициент сопротивления трения: 𝐶 = 2𝑊 𝜌𝑣 2𝑙𝑏 = 1,328 ⋅ 𝜈 𝑣 𝑙 𝑣 𝑙 𝜈 Двойка перед 𝑊 из-за того, что обтекается с двух сторон. Если записать коэффициент через местное число Рейнольдса 𝑅𝑒 : 𝐶 = 1,328 𝑅𝑒 72 из 119 (19.41) Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. §20. Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Как следует из названия параграфа, будем интересоваться безвихревым плоским течением идеальной несжимаемой жидкости. Интересоваться будем лишь нетеплопроводной жидкостью. Плотность не меняется, значит, в силу того, что 𝑎 = , скорость звука 𝑎 = ∞. Таким образом, можно считать, что в рассматриваемых задачах мы имеем дело с малыми числами Маха. Допущения для текущего параграфа: 𝑣 = 𝜕 = 0 — плоское течение 𝜕𝑧 𝜕 = 0 — установившееся течение 𝜕𝑡 Ω = rot 𝑣 = 0 — безвихревое течение 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 — несжимаемая жидкость 𝜇 = 𝜆 = 0 — нетеплопроводная жидкость Рассмотрим все уравнения, которые описывают интересующее нас течение, в рамках принятых допущений. Из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости div 𝑣 = 0 и первого допущения следует: div 𝑣 = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.1) Уравнение Бернулли: 𝑣 +𝑣 𝑝 + + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 𝜌 (20.2) 𝑉 — скалярный потенциал объемных сил 𝐹 = −∇𝑉. В дальнейшем мы будем пренебрегать влиянием объемных сил, поэтому слагаемое с 𝑉 «уйдет» из уравнения. Закон сохранения энергии: 𝜌 𝑑𝑈 =𝜖 𝑑𝑡 Здесь 𝜖 — количество тепла, поглощаемого единицей объема в единицу времени. Раскроем производную: 𝑑𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜖 = + 𝑣 + 𝑣 + 𝑣 = 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜌 Исходя из наших допущений 𝜖 = 0, а из слагаемых в левой части остается только два. Значит в итоге закон сохранения энергии запишется как: 𝑣 𝜕𝑈 𝜕𝑈 +𝑣 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.3) Из условия безвихреватости для плоского течения получим: 𝑖 𝑗 Ω = rot 𝑣 = ∇ × 𝑣 = 𝑘 0 =𝑘 𝑣 𝑣 0 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Таким образом получили еще одно соотношение: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.4) Получилось 4 уравнения на 4 неизвестные функции: 𝑣 , 𝑣 , 𝑝, 𝑈. Обратим внимание, что выражения (20.1) и (20.4) образуют замкнутую подсистему. При этом, эта подсистема верна в нестационарном случае. В дальнейшем мы почти всегда будем в первую очередь интересоваться полем скоростей, то есть решать именно эту подсистему. 73 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 20.1 Потенциал скоростей. Поле скоростей потенциально, если существует функция 𝜑(𝑥, 𝑦) (потенциал скоростей) такая, что 𝑣 = grad 𝜑 ≡ ∇𝜑 Тогда компоненты скорости соответственно равны: 𝑣 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝑣 = 𝜕𝜑 𝜕𝑦 (20.5) Из (20.4) с подстановкой (20.5), если 𝜑 дважды дифференцируема, получаем, что: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕 𝜕𝜑 − =0 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 То есть если течение безвихревое, то можно считать его потенциальным. Из (20.1) с подстановкой (20.5) получаем, что: 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.6) Теперь надо понять как формулируются граничные условия. Рассмотрим задачу обтекания крыла. Если жидкость идеальная, то накладывается условие непротекания и величина скорости на бесконечности. 𝑣 =𝑣 𝑣 =0 Первое условие можно переписать через функцию 𝜑, а условие непротекания преобразуем, воспользовавшись тем, что 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑛 = grad 𝜑 ⋅ 𝑛 = . Значит граничные условия на функцию 𝜑 выглядят следующим образом: 𝜕𝜑 𝜕𝑥 =𝑣 𝜕𝜑 𝜕𝑦 =𝑣 𝜕𝜑 𝜕𝑛 =0 (20.7) Получили внешнюю задачу фон Неймана для уравнения Лапласа (так называется уравнение Лапласа с граничными условиями второго рода). 20.2 Функция тока. Условия на компоненты скоростей из (20.1): 𝜕𝑣 𝜕𝑣 =− 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Таким образом можно определить функцию тока 𝜓(𝑥, 𝑦): 𝜓∶ 𝑣 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 (20.8) В (20.4) подставляем (20.8) и получаем: 𝜕 𝜓 𝜕 𝜓 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.9) Как и в предыдущем пункте, разберемся с граничными условиями. На бесконечности условие такое же, а условие непротекания несколько сложнее. Рассмотрим дифференциал функции 𝜓: 74 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝑑𝜓 = Из уравнения линии тока: = 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = −𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (20.10) . Из этого соотношения 𝑣 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑥. Подставляем это соотношение в (20.10) и получаем, что 𝑑𝜓 = 0. Таким образом, вдоль линии тока верно, что: (20.11) 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Условие непротекания говорит о том, что поверхность крыла — линия тока. Тогда на 𝜓 получаем следующие граничные условия: 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑥 =𝑣 = −𝑣 𝜓(𝑥, 𝑦) (20.12) =0 Получили внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа (так называют уравнение Лапласа с граничными условиями первого рода). Здесь надо сделать пару замечаний: 1. Потенциал скоростей 𝜑 связан с уравнением безвихреватости, а функция тока 𝜓 с уравнением неразрывности. Значит функцию тока можно ввести всегда, в то время как потенциал лишь для безвихревого течения. 2. Линии 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 взаимноортогоальны. Пояснение: рассмотрим grad 𝜑 ⋅ grad 𝜓, записав покомпонентно и воспользовавшись (20.5) и (20.8) получаем ноль. Значит grad 𝜑 и grad 𝜓 ортогональны, а значит и линии 𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 тоже ортогональны 3. Зная функцию 𝜓 несложно вычислить расход жидкости через цилиндрическую поверхность любой формы. Проделаем это: 𝑦 𝑄 = 𝜌𝑣 𝑑𝑠 = 𝜌 𝑣 𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝑠 𝑑𝑠 — участок кривой, перпендикулярный нормали, значит cos(𝑛, 𝑥) = cos(𝑛, 𝑦) = − , а 𝐴 𝑥 . Тогда: 𝑄 𝑛 𝐵 𝑣 ⋅ cos(𝑛, 𝑥) + 𝑣 ⋅ cos(𝑛, 𝑦) 𝑑𝑠 =𝜌 𝑣 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥 = 𝜌 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑑𝑥 = 𝜌 𝑑𝑦 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (20.13) 𝑑𝜓 = 𝜌(𝜓 − 𝜓 ) Введем понятие объемного расхода: 𝑄= 𝑄 =𝜓 −𝜓 𝜌 (20.14) Можно поставить модуль, чтобы не обращать внимание на знаки 20.3 Комплексный потенциал и комплексная скорость. Запишем только что полученные выражения для компонент скорости через потенциал и функцию тока: 𝑣 = 𝜕𝜓 𝜕𝜑 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑣 = 𝜕𝜑 𝜕𝜓 =− 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (20.15) Рассмотрим комплекснозначную функцию 𝑊: 𝑊(𝑥, 𝑦) = 𝜑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦) 75 из 119 (20.16) Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Будем рассматривать плоскость (𝑥, 𝑦) как комплексную плоскость. Перейдем к переменным 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 и 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. Обратное преобразование будет выглядеть так: 𝑧+𝑧 2 𝑧−𝑧 ⎨ ⎩ 𝑦 = 2𝑖 ⎧𝑥 = Тогда функция 𝑊 в новых переменных записывается следующим образом: 𝑊(𝑥, 𝑦) = 𝜑 𝑧+𝑧 𝑧−𝑧 𝑧+𝑧 𝑧−𝑧 , + 𝑖𝜓 , = 𝜔 (𝑧, 𝑧) 2 2𝑖 2 2𝑖 Хотим узнать, при каких условиях 𝜔(𝑧, 𝑧) = 𝜔(𝑧). Другими словами, хотим, чтобы (20.17) = 0. Распишем производную по 𝑧: 𝜕𝜔 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑦 1 𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 1 𝜕𝜓 1 𝜕𝜓 = + +𝑖 + = ⋅ − ⋅ +𝑖 ⋅ − ⋅ = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 2𝑖 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2𝑖 𝜕𝑦 = 1 𝜕𝜑 𝜕𝜓 𝑖 𝜕𝜑 𝜕𝜓 − + + =0 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Получились соотношения, которые мы уже встречали ранее (20.15) и которые выполняются автоматически: ⎧ 𝜕𝜑 − 𝜕𝜓 = 0 ⎪ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⟺ (20.15) 𝜕𝜑 𝜕𝜓 ⎨ + = 0 ⎪ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎩ То есть если сможем ввести функцию 𝜔, то получим поле скоростей. 𝜔(𝑧) = 𝜑 + 𝑖𝜓 — комплексный потенциал. 𝜑 = Re 𝜔(𝑧) (20.18) 𝜓 = Im 𝜔(𝑧) Поймем чему равна производная от комплексного потенциала: 𝑑𝜔 𝜕𝜑 𝜕𝜓 = +𝑖 = 𝑣 + 𝑖(−𝑣 ) 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Так можно делать, потому что, если есть производная по 𝑧 в точке 𝑧 , то не важно как мы стремимся к точке 𝑧 . В данном случае мы решили искать производную, двигаясь по прямой параллельно оси 𝑥. Таким образом: 𝑑𝜔 𝑑𝜔 = 𝑣 − 𝑖𝑣 ⇒ = 𝑣(𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑧 (20.19) Также можно записать: 𝑑𝜔 ⎧ 𝑣 = Re 𝑑𝑧 ⎪ ⎨ 𝑑𝜔 ⎪ 𝑣 = − Im 𝑑𝑧 ⎩ 76 из 119 (20.20) Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 20.4 Примеры. Равномерный поток вдоль оси 𝑥. Рассмотрим комплексный потенциал: (20.21) 𝜔(𝑧) = 𝑎 ⋅ 𝑧 Здесь 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 𝜑 = 𝑎𝑥 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 = 𝑎(𝑥 + 𝑖𝑦) ⇒ 𝑦 𝜓 = 𝑎𝑦 ⇒ 𝑣 =𝑎 𝑣 =0 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑣 =𝑎 𝑥 Равномерный поток. Рассмотрим комплексный потенциал: 𝜔(𝑧) = 𝑉𝑒 (20.22) 𝑧 Здесь 𝑉 ∈ ℝ, −𝜋 ≤ 𝛼 < 𝜋 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 = 𝑉(cos 𝛼 − 𝑖 sin 𝛼)(𝑥 + 𝑖𝑦) ⇒ 𝑦 𝜑 = 𝑉(𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼) 𝜓 = 𝑉(𝑦 cos 𝛼 − 𝑥 sin 𝛼) ⇒ 𝑣 = 𝑉 cos 𝛼 𝑣 = 𝑉 sin 𝛼 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝛼 𝑥 Источник. Рассмотрим комплексный потенциал: 𝜔(𝑧) = Здесь 𝑞 > 0 𝑞 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 = (ln 𝑟 + 𝑖𝜃) ⇒ 2𝜋 𝑞 ln 𝑧 2𝜋 (20.23) 𝑞 1 1 𝜕𝜑 𝑞 = ⎧𝑣 = ln 𝑟 𝐻 𝜕𝑟 2𝜋 𝑟 2𝜋 ⇒ 𝑞 1 𝜕𝜑 ⎨ 𝜓= 𝜃 𝑣 = =0 2𝜋 ⎩ 𝐻 𝜕𝜃 𝜑= 77 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝑦 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑥 Посчитаем поток проходящий через окружность радиуса 𝑟: 𝑄= 𝑣 ⋅ 𝑑𝑆 𝑆= 𝑣 𝑑𝑆 = 𝑞 1 𝑟 𝑑𝜃 = 𝑞 2𝜋 𝑟 Получили, что расход не зависит от радиуса. 𝑞 называют обильностью источника (стока). Рассматриваемое течение называют течением от источника при 𝑞 > 0 (течением от стока при 𝑞 < 0). Если источник (сток) находится не в начале координат, а в точке 𝑧 выражение для комплексного потенциала принимает вид: 𝜔(𝑧) = 𝑞 ln(𝑧 − 𝑧 ) 2𝜋 (20.24) Небольшое отступление: На самом деле мы можем посчитать компоненты скорости в любых ортогональных криволинейных координатах (𝑞 , 𝑞 , 𝑞 ): grad 𝑓 = Где 𝐻 , , 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 𝐻 𝜕𝑞 𝐻 𝜕𝑞 𝐻 𝜕𝑞 — коэффициенты Ламэ для соответствующих координат. 𝑑𝑠 = 𝐻 𝑑𝑞 + 𝐻 𝑑𝑞 + 𝐻 𝑑𝑞 ; 𝐻 = 𝜕𝑠 𝜕𝑞 Если известны формулы перехода из декартовых координат, то 𝐻 можно довольно просто считать по формуле: 𝐻 = 𝜕𝑥 𝜕𝑞 𝜕𝑦 𝜕𝑞 + + 𝜕𝑧 𝜕𝑞 Почти всегда будем пользоваться только для полярных: 𝐻 = 1; 𝐻 =𝑟 Точечный вихрь. Рассмотрим комплексный потенциал 𝜔(𝑧) = Здесь Γ ∈ ℝ Γ (ln 𝑟 + 𝑖𝜃) ⇒ 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 = 2𝜋𝑖 Γ ln 𝑧 2𝜋𝑖 (20.25) 1 𝜕𝜑 Γ =0 ⎧𝑣 = 𝜃 𝐻 𝜕𝑟 2𝜋 ⇒ Γ 1 𝜕𝜑 1 Γ ⎨ ln 𝑟 𝜓=− 𝑣 = = ⎩ 2𝜋 𝐻 𝜕𝜃 𝑟 2𝜋 𝜑= 78 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝑦 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑥 Посчитаем циркуляцию скорости вдоль линии тока: Γ 1 𝑟 𝑑𝜃 = Γ 2𝜋 𝑟 𝑣 𝑑𝑠 = Получили, что циркуляция не зависит от радиуса. Γ называют циркуляцией скорости вдоль линий тока. Течение — течение генерируемое вихревой нитью (течение точечного вихря) с заданной циркуляцией. Диполь. Найдем потенциал от пары стока (𝐵) и источника (𝐴) равной обильности, расположен- 𝑦 𝑚 ных симметрично относительно начала координат. 𝐴 𝛼 𝑞 ln(𝑧 − 𝑧 ) 2𝜋 𝑞 𝜔 (𝑧) = − ln(𝑧 − 𝑧 ) 2𝜋 𝜔 (𝑧) = 𝑥 𝐵 Запишем координаты 𝐴 и 𝐵 как: 𝑙 𝑒 2 𝑙 𝑧 = 𝑒 2 𝑧 = ( ) 𝑙 =− 𝑒 2 Суммарный потенциал — сумма потенциалов от стока и от источника, значит: 𝜔(𝑧) = 𝑞 𝑙 ln 𝑧 − 𝑒 2𝜋 2 + −𝑞 𝑙 ln 𝑧 + 𝑒 2𝜋 2 На больших расстояниях величину = 1− 𝑞 ln 2𝜋 1 + 𝑒 𝑒 = 𝑞 𝑙 ln 1 − 𝑒 2𝜋 2𝑧 − ln 1 + 𝑙 𝑒 2𝑧 можно считать малой. Оставим только первый порядок разложения. Тогда 𝜔(𝑧) ≈ − 𝑞 𝑙 𝑒 2𝜋 𝑧 Теперь устремим 𝑙 → 0, а 𝑞 → ∞ так, чтобы 𝑙 ⋅ 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑚. Таким образом получим окончательное выражение для потенциала: 𝜔(𝑧) = − 𝑚 𝑒 2𝜋𝑧 (20.26) Исследуем течение, соответствующие полученному комплексному потенциалу. Не умаляя общности будем считать, что диполь направлен по оси 𝑥 (т.е. 𝛼 = 0). Тогда 𝑚 𝑚 𝑥 − 𝑖𝑦 𝜔(𝑧) = − = 𝜑 + 𝑖𝜓 = − ⇒ 2𝜋𝑧 2𝜋 𝑥 + 𝑦 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑚 𝑥 2𝜋 𝑥 + 𝑦 𝑚 𝑦 𝜓= 2𝜋 𝑥 + 𝑦 𝜑=− (20.27) 1 𝑦 = ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 2𝑐𝑦 + 𝑐 = 𝑐 ⇒ (𝑦 − 𝑐) + 𝑥 = 𝑐 𝑥 +𝑦 2𝑐 79 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ (𝑥 − 𝑐)̃ + 𝑦 = 𝑐̃ Видно, что линии тока и линии постоянного потенциала представляют собой окружности, центры которых находятся на одной из осей, а радиус равен расстоянию до начала координат. 𝑦 𝑥 Источник с вихрем. Рассмотрим комплексный потенциал: 𝜔(𝑧) = Γ 𝑞 ln 𝑧 + ln 𝑧 2𝜋 2𝜋𝑖 Здесь Γ > 0, 𝑞 > 0 𝑞 Γ ln 𝑟 + 𝜃 2𝜋 2𝜋 Γ 𝑞 𝜃− ln 𝑟 𝜓= 2𝜋 2𝜋 𝜑= 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 ⇒ 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑞𝜃 − Γ ln 𝑟 = 𝐶 → 𝑟 = 𝐶̃ exp 𝜃 𝑞 Γ 𝑦 𝑥 80 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 20.5 Поперечное обтекание цилиндра однородным на бесконечности потоком. Будем искать комплексный потенциал для поперечного обтекания цилиндра потоком, однородным на бесконечности. 𝑦 𝑈 𝑣= 𝑉 𝑥 𝑅 𝑑𝜔 = 𝑣 − 𝑖𝑣 𝑑𝑧 Скорость должна быть ограничена на бесконечности, значит ее ряд Лорана не содержит положительных степеней 𝑧: 𝑣(𝑧) = 𝑐 + 𝑐 𝑐 +… + 𝑧 𝑧 Из граничного условия на бесконечности: 𝑉 − 𝑖𝑉 = 𝑐 Подставим этот ряд в комплексный потенциал и проинтегрируем его. 𝜔(𝑧) = 𝑉 − 𝑖𝑉 𝑧 + 𝐶 ln 𝑧 + 𝐶 𝑧 (20.28) Теперь поставим граничные условия на цилиндре. В полярных координатах: 𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑣 = grad 𝜑 ⇒ 𝑣 = grad 𝜑 ⋅ 𝑛 = = 𝜕𝑛 𝜕𝑟 𝑈 𝑈 𝜃 Условия непротекания: 𝑥 𝑣 =𝑈 принимает следующий вид (воспользуемся тем, что 𝑛 = (cos 𝜃, sin 𝜃)): 𝜕𝜑 𝜕𝑟 = 𝑈 = 𝑈 ⋅ 𝑛 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑈 sin 𝜃 (20.29) Теперь подставим граничное условие в ряд Лорана. Будем считать, что 𝐶 = 𝐴 + 𝑖𝐵 𝐴 + 𝑖𝐵 (cos 𝑛𝜃 − 𝑖 sin 𝑛𝜃) 𝑟 𝜔(𝑧) = (𝑉 − 𝑖𝑉 )(𝑟 cos 𝜃 + 𝑖𝑟 sin 𝜃) + (𝐴 + 𝑖𝐵)(ln 𝑟 + 𝑖𝜃) + Выделим отсюда вещественную часть: 𝜑(𝑟, 𝜃) = 𝑉 𝑟 cos 𝜃 + 𝑉 𝑟 sin 𝜃 + 𝐴 ln 𝑟 − 𝐵𝜃 + 𝐴 cos 𝑛𝜃 + 𝐵 sin 𝑛𝜃 𝑟 Продифференцируем полученное выражение по 𝑟 и сделаем подстановку 𝑟 = 𝑅, чтобы получить граничное условие. 𝜕𝜑 𝜕𝑟 = 𝑉 cos 𝜃 + 𝑉 sin 𝜃 + 𝐴 − 𝑟 𝑛𝐴 cos 𝑛𝜃 + 𝑛𝐵 sin 𝑛𝜃 = 𝑈 cos 𝜃 + 𝑈 sin 𝜃 𝑅 Получили два тригонометрических ряда. Они совпадают тогда и только тогда, когда совпадают все коэффициенты. 𝐴 =𝑈 𝑅 ⇒ 𝐵 =𝑈 𝑉 − 𝑅 𝑉 − 𝐴 = 𝑅 (𝑉 − 𝑈 ) 𝐵 =𝑅 81 из 119 𝑉 −𝑈 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Воспользовавшись полученными знаниями запишем комплексный потенциал: 𝜔(𝑧) = (𝑉 − 𝑖𝑉 )𝑧 + 𝑖𝐵 ln 𝑧 + (𝑉 − 𝑈 )𝑅 + 𝑖(𝑉 − 𝑈 )𝑅 𝑧 Это выражение станет гораздо более наглядным, если ввести комплексные переменные, соответствующие векторам: 𝑉 = 𝑉 + 𝑖𝑉 𝑈 = 𝑈 + 𝑖𝑈 Тогда комплексный потенциал примет вид: 𝜔(𝑧) = 𝑉𝑧 + (𝑉 − 𝑈) 𝑅 Γ + ln 𝑧 𝑧 2𝜋𝑖 (20.30) Рассмотрим частные случаи комплексного потенциала: Неподвижный цилиндр в покоящейся жидкости 𝑈 = 0; 𝑉 = 0. 𝜔(𝑧) = Γ ln 𝑧 2𝜋𝑖 (20.31) Потенциал совпадает с точечным вихрем. 𝑦 𝑥 Движущийся цилиндр в покоящейся жидкости 𝑉 = 0; 𝑈 = 𝑈 > 0. 𝜔(𝑧) = −𝑈 𝑅 Γ + ln 𝑧 𝑧 2𝜋𝑖 (20.32) 𝑅 𝑧 (20.33) Пусть Γ = 0. Тогда потенциал совпадает с дипольным. 𝜔(𝑧) = −𝑈 𝑦 𝑥 82 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Неподвижный цилиндр в потоке 𝑈 = 0; 𝑉 = 𝑉 > 0. 𝑅 𝑧 𝜔(𝑧) = 𝑉 𝑧 + + Γ ln 𝑧 2𝜋𝑖 (20.34) Рассмотрим сперва случай безциркуляционного обтекания. 𝜔(𝑧) = 𝑉 𝑧 + 𝜔(𝑧) = 𝜑 + 𝑖𝜓 = 𝑉 𝑅 𝑧 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝜑=𝑉 𝑥+ 𝑅 𝑥 𝑥 +𝑦 𝜓=𝑉 𝑦− 𝑅 𝑦 𝑥 +𝑦 (20.35) 𝑅 (𝑥 − 𝑖𝑦) 𝑥 +𝑦 Видно, что линии тока 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 симметричны относительно осей (замена 𝑥 → −𝑥; 𝑦 → −𝑦 меняет только константу). Так же можно заметить, что линия 𝜓 = 0 соответствует поверхности цилиндра. Чтобы найти скорости перейдем в полярную систему координат: 𝜑=𝑉 𝑅 𝑟+ 𝑟 cos 𝜃 ⇒ 𝜕𝜑 ⎧𝑣 = =𝑉 ⎪ 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 1− 1 𝜕𝜑 ⎨ = −𝑉 ⎪𝑣 = 𝑟 𝜕𝜃 ⎩ 1+ cos 𝜃 𝑅 𝑟 sin 𝜃 При 𝑟 = 𝑅 𝑣 =0 (20.36) 𝑣 = −2𝑉 sin 𝜃 Обратим внимание, что есть две точки, в которых скорость равна 2𝑉. Этим точкам соответствует 𝜃 = ±𝜋/2. 𝑦 𝑥 Теперь настало время циркуляционного обтекания Рассмотрим течение с Γ > 0. Из (20.30) уже получали выражение: 𝜔(𝑧) = 𝑉 𝑧 + 𝑅 𝑧 + Γ ln 𝑧 2𝜋𝑖 [20.34] Получим выражение для скорости: 𝑣(𝑧) = 𝑑𝜔 𝑅 =𝑉 1− 𝑑𝑧 𝑧 + Γ 1 2𝜋𝑖 𝑧 Найдем точки, в которых скорость 0. Домножим выражение выше на 𝑧 и приравняем нулю. 83 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝑉𝑧 + Γ 𝑧 − 𝑉𝑅 = 0 2𝜋𝑖 Точки, в которых скорость равна нулю: 𝑧 = , 1 2𝑉 − Γ Γ ± − + 4𝑉 𝑅 2𝜋𝑖 (2𝜋) Рассмотрим несколько ситуаций. 1. Если дискриминант больше нуля, есть две точки, в которых скорость обращается в ноль. Они обе лежат на границе цилиндра симметрично относительно вертикальной оси: Re 𝑧 Im 𝑧 =± , = , 1 Γ − + 4𝑉 𝑅 2𝑉 (2𝜋) ⟹ 𝑧 , =𝑅 Γ 4𝜋𝑉 2. Если дискриминант равен нулю, то есть ровно одна точка, где скорость обращается в ноль. Причем эта точка лежит на границе цилиндра: − Γ + 4𝑉 𝑅 = 0 4𝜋 ⇒ Γ = 2𝑉𝑅 2𝜋 ⇒ 𝑧 , = 1 ⋅ 2𝑉𝑅𝑖 = 𝑖𝑅 2𝑉 3. Если дискриминант меньше нуля, то вещественных корней нет, значит обе точки лежат на комплексной оси. Причем одна из них лежит внутри цилиндра, а вторая снаружи. 𝑧 Re 𝑧 , =0 Im 𝑧 , = Γ ± 4𝜋𝑉 Γ −𝑅 (4𝜋𝑉) ⟹ |𝑧 | > 𝑅 |𝑧 | < 𝑅 𝐷>0 𝐷=0 𝐷<0 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 84 из 119 𝑥 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 20.6 Главный вектор сил давления. Найдем главный вектор сил давления, действующих на цилиндр в случае циркуляционного обтекания: 𝐹= 𝑛 ) 𝑑𝑆 (−𝑝𝑛 𝑦 𝑛 𝑑𝑆 Спроецировав на это выражение, получим: 𝜃 𝐹 = − (𝑝𝑛 ) 𝑑𝑆 𝑥 𝑅 𝐹 = − (𝑝𝑛 ) 𝑑𝑆 Будем все рассматривать в полярных координатах. Считаем, что 𝜃 ∈ [−𝜋, 𝜋] Тогда элемент площадки 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝜃, 𝑛 = cos 𝜃, а 𝑛 = sin 𝜃. 𝐹 = − (𝑝𝑛 ) 𝑑𝑆 = − 𝑝 cos 𝜃𝑅 𝑑𝜃 𝐹 = − (𝑝𝑛 ) 𝑑𝑆 = − 𝑝 sin 𝜃𝑅 𝑑𝜃 Воспользуемся интегралом Бернулли для линии тока: |𝑣| 𝑝 + =𝑐 2 𝜌 ⇒ 𝑝 = 𝜌𝑐 − 𝜌 |𝑣| 2 Подставляем давление в проекции: 𝐹 =− 𝜌𝑐𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝜌 |𝑣| 𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃 2 𝐹 =− 𝜌𝑐𝑅 sin 𝜃 𝑑𝜃 + 𝜌 |𝑣| 𝑅 sin 𝜃 𝑑𝜃 2 Первый интеграл в обоих выражениях равен нулю, так как 𝜌𝑐𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а интеграл берется по периоду. Во втором интеграле присутствует 𝑣, которая зависит от угла. Найдем 𝑣 . Заметим, что |𝑣| = |𝑣| , а 𝑣 = |𝑣| = 𝑉 1 − 𝑅 𝑧 + 𝐹 = 𝜌𝑅 2 |𝑣| cos 𝜃 𝑑𝜃 (20.37) 𝐹 = 𝜌𝑅 2 |𝑣| sin 𝜃 𝑑𝜃 (20.38) . Вычисляем в полярных координатах 𝑧 = 𝑅𝑒 . Γ 1 𝑅 = 𝑉 1− 2𝜋𝑖 𝑧 𝑅 𝑒 = 𝑉𝑒 𝑒 −𝑒 + Γ 1 2𝜋𝑖 𝑅𝑒 − 85 из 119 Γ𝑖 𝑒 2𝜋𝑅 Γ 𝑒 2𝜋𝑖𝑅 = 𝑉 1−𝑒 + = 𝑖𝑒 2𝑉 sin 𝜃 − = Γ 2𝜋𝑅 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Тогда для модуля скорости |𝑣| = 2𝑉 sin 𝜃 − Γ 2𝜋𝑅 Подставляем |𝑣| в выражения (20.37) и (20.38): 𝜌𝑅 2 𝐹 = 𝑣 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝜌𝑅 2 4𝑉 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑉 Γ sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝜋𝑅 Γ cos 𝜃 𝑑𝜃 4𝜋 𝑅 Первообразная первого слагаемого — sin 𝜃, значит при интегрировании от −𝜋 до 𝜋 получается ноль. Второе слагаемое — интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку, третье — от косинуса по периоду. Таким образом: (20.39) 𝐹 =0 Проведем аналогичные действия со второй проекцией: 𝐹 = 𝜌𝑅 2 𝑣 sin 𝜃 𝑑𝜃 = 𝜌𝑅 2 4𝑉 sin 𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑉 Γ sin 𝜃 𝑑𝜃 + 𝜋𝑅 Γ sin 𝜃 𝑑𝜃 4𝜋 𝑅 Отличным от нуля будет только второй интеграл. При интегрировании квадрата синуса получим 𝜋. Тогда 𝐹 =− 𝜌𝑅 2𝑉Γ ⋅ ⋅ 𝜋 = −𝜌𝑉Γ 2 𝜋𝑅 (20.40) То, что 𝑥-компонента главного вектора сил давления равна нулю, можно было сразу понять из симметрии задачи. Но мы этого, разумеется, не сделали. Теперь надо понять, как могла получиться такая картинка. Представим, что мы раскрутили цилиндр в вязкой жидкости, а затем, некоторым волшебным образом «выключили» 𝜔 вязкость. 𝑣 = 𝑅𝜔 ⇒ Γ= 𝑣 𝑑𝑆 = 𝑅𝜔𝑅 𝑑𝜃 = 2𝜋𝑅 𝜔 ⇒ 𝐹 = −2𝜋𝜌𝑉𝜔𝑅 𝐹 Числовой множитель зависит от числа Рейнольдса (а вовсе не равен 2𝜋, как можно было бы сперва подумать). Это связано с тем, что при других числах Рейнольдса возникает отрывание потока и другие интересные явления. Разбирать их мы, разумеется, не будем. Возникновение поперечной силы — эффект Магнуса. На самом деле мы часто встречаемся с подобным в жизни: закрученные мячи в различных видах спорта отклоняются от прямой траектории. Рассмотрим уравнение Бернулли: 𝑝 |𝑣| 𝑝 𝑉 + =𝑐= + 𝜌 2 𝜌 2 Введем безразмерный коэффициент местного давления 𝑐 = 𝑝−𝑝 𝜌𝑉 . (Внимательный читатель вспомнит, что похо- жим образом вводился коэффициент местного трения (19.38)) 𝑐 = 𝑝−𝑝 𝜌𝑉 = 1− 𝑣 𝑉 На поверхности цилиндра 𝑣 = 𝑣 . Тогда воспользуемся выражением (20.36): 𝑐 = 1− 𝑣 𝑉 =1− 4𝑉 sin 𝜃 = 1 − 4 sin 𝜃 𝑉 86 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Для удобства введем угол 𝜀 ∈ [0, 𝜋] и посмотрим на график 𝑐 теория 𝜃 𝜀 𝜋/2 𝜋 𝜀 турбулентное течение ламинарное течение Получив какие-то результаты, мы хотим их проверить. Рассмотрим график зависимости 𝑐 от угла 𝜖 в случае ламинарного и турбулентного течения и сравним с теорией. По графику видно, что теория совпадает с экспериментом при углах приблизительно до 70∘ При этом экспериментальные данные зависят от характера течения: для ламинарного пограничного слоя и турбулентного они разные. Видно, что распределение давления на переднюю стенку довольно точно описывает эксперимент. 20.7 Метод конформных отображений. Мы научились решать задачу для цилиндра. Применим эти знания для произвольного контура. Пусть имеется контур 𝑙, область снаружи контура (𝐷). 𝑦 𝜂 𝜁 = 𝐹(𝑧) 𝑧 𝜁 𝑙 𝑙 𝑥 𝜉 𝑣 𝑉 𝑧 = 𝑓(𝜁) Теорема Римана: Пусть есть две односвязные области в расширенной комплексной плоскости с не точечной границей (в нашем случае возьмем внешность контуров 𝑙 и 𝑙 ). Выберем в них две точки 𝐴 и 𝐴 . Тогда существует отображение 𝑧 = 𝑓(𝜁) такое, что 𝑙 → 𝑙 и 𝐴 → 𝐴. Для того, чтобы заработать единственность, надо задать аргумент в некоторой точке arg =𝜑 . Рассмотрим в качестве 𝐴 и 𝐴 бесконечно удаленные точки, а аргумент выражения положим равным 0, то есть — положительное вещественное число. Тогда: 𝑙 ∼ 𝑙 ∞=𝐴 ∼ 𝐴 =∞ = 𝑘>0 Если отображение 𝑧 = 𝑓(𝜁) взаимнооднозначно, то есть обратное 𝜁 = 𝐹(𝑧). Пусть 𝜔(𝑧) — потенциал течения около нашего контура. Тогда: 𝜔(𝑧) = 𝜔(𝑓(𝜁)) = 𝑊(𝜁) 87 из 119 (20.41) Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Проверим, что контур 𝑙 является линией тока, а значит выполняется условие непротекания. 𝜔(𝑧) = 𝜑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑊(𝜁) = Φ(𝜉, 𝜂) + 𝑖Ψ(𝜉, 𝜂 Тогда, если 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то Ψ(𝜉, 𝜂) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.к. 𝑙 ∼ 𝑙 . Теперь проверим, что поток на бесконечность в новой области однородный: 𝑣= 𝑣 Отсюда следует, что 𝑉 =𝑘⋅ 𝑣 = 𝑑𝜔 𝑑𝑊 𝑑𝜁 𝑑𝑊 1 = = ⋅ 𝑑𝑧 𝑑𝜁 𝑑𝑧 𝑑𝜁 𝑑𝑊 𝑑𝜁 ⋅ 1 = 1 𝑑𝑊 ⋅ 𝑘 𝑑𝜁 , то есть однородный поток переходит в однородный. Из (20.34): 𝑊(𝜁) = 𝑉𝜁 + 𝑉 𝑉 = 𝑘𝑣 𝑅 Γ + ln 𝜁 𝜁 2𝜋𝑖 𝑉 = 𝑘𝑣 ⇒ 𝜁 = 𝐹(𝑧) Получаем ответ для контура в 𝑧: 𝜔(𝑧) = 𝑘𝑣 𝐹(𝑧) + 𝑘𝑣 𝑅 Γ + ln 𝐹(𝑧) 𝐹(𝑧) 2𝜋𝑖 (20.42) 20.8 Обтекание эллиптического цилиндра однородным потоком. 𝜁 = 𝐹(𝑧) 𝑧 𝑙 𝑏 𝑙 −𝑎 𝑉 𝛼 𝜁 𝑎 𝑅 −𝑏 𝑧 = 𝑓(𝜁) Для перевода эллиптического контура в обычный воспользуемся преобразованием Жуковского. 𝑧=𝜁+ 𝐶 𝜁 (20.43) Тогда 𝑘= 𝑑𝑧 𝑑𝜁 = 1− 𝑐 𝜁 =1 Контур 𝑙 — окружность, значит можно параметризовать как 𝜁 = 𝑅𝑒 . Тогда выразим 𝑧: 𝑧 = 𝑅𝑒 + 𝐶 𝑅𝑒 = 𝑅 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 + 88 из 119 𝐶 (cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃) 𝑅 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Вспомним, что 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦: 𝐶 ⎧𝑥 = 𝑅 + ⎪ 𝑅 𝐶 ⎨ ⎪𝑦 = 𝑅 − 𝑅 ⎩ cos 𝜃 𝑥 ⇒ + 𝑅+ sin 𝜃 𝑦 =1 𝑅− Получили уравнение, задающее эллипс. Выразим из него полуоси: 𝐶 𝑅 𝐶 ⎨ ⎩𝑏 = 𝑅 − 𝑅 ⎧𝑎 = 𝑅 + (20.44) Теперь поймем, чему равны 𝑅 и 𝐶: 𝑅= 𝑎+𝑏 ; 2 𝐶 = 𝑎−𝑏 1 𝑅= 𝑎 −𝑏 2 4 Значит, преобразование Жуковского принимает вид: 𝑧=𝜁+ 1𝑎 −𝑏 4 𝜁 (20.45) Теперь нужно обратное преобразование. Получим из (20.45) квадратное уравнение и решим его. 𝜁 − 𝜁𝑧 + 𝜁= 1 𝑎 −𝑏 4 =0 𝑧 1 + 𝑧 − (𝑎 − 𝑏 ) 2 2 (20.46) Выбрали корень с +, чтобы наружность эллиптического цилиндра переходила в наружность обычного (то есть чтобы ∞ → ∞). Теперь можем записать ответ для комплексного потенциала исходной задачи, с помощью (20.42): 𝜔(𝑧) = 𝑘𝑣 𝐹(𝑧) + 𝑘𝑣 В выражении выше 𝑣 𝜔(𝑧) = 1 𝑣 𝑒 2 𝑅 Γ + ln 𝐹(𝑧) 𝐹(𝑧) 2𝜋𝑖 = 𝑣 𝑒 , а то, что константа 𝑘 равна 1 мы уже получали из преобразования Жуковского. 𝑧 + 𝑧 − (𝑎 − 𝑏 ) + 𝑣 𝑒 (𝑎 + 𝑏) 2 Γ ln 𝑧 + 𝑧 − (𝑎 − 𝑏 ) + 4 𝑧 + 𝑧 − (𝑎 − 𝑏 ) 2𝜋𝑖 (20.47) Потенциал определяется с точностью до константы, поэтому выкинули 1/2 в логарифме. Немного преобразуем это выражение. ( ) ( ) ( 89 из 119 ) ln ( ) (20.48) Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 20.9 Постулат Чаплыгина-Жуковского. Обтекание профиля с задней острой кромкой. 𝜁 = 𝐹(𝑧) 𝑧 𝜁 𝑙 𝑙 𝐵 𝐵 𝑉 𝛼 𝑧 = 𝑓(𝜁) Посмотрим на то, как отображение действует в малой окрестности: Δ𝑧 |Δ𝑧|𝑒 = Δ𝜁 |Δ𝜁|𝑒 |Δ𝑧| ⋅ lim 𝑒 |Δ𝜁| ⇒ lim → ( ) = 𝐾𝑒 Это соответствует растяжению в 𝐾 раз и повороту на 𝜑. Теперь рассмотрим малую окрестность острой кромки 𝐵 𝜁 = 𝐹(𝑧) 1 1 𝛿 𝐵 2 𝐵 2𝜋 − 𝛿 2 𝑧 = 𝑓(𝜁) В окрестности острой кромки нельзя построить честное конформное отображение. Рассмотрим малую окрестность точки, и попробуем подобрать такой вид функции, чтобы острый край переходил в поверхность цилиндра (это прямая в малой окрестности). Значит новый угол должен быть равен 𝜋. (20.49) 𝑧 − 𝑧 = 𝐶(𝜁 − 𝜁 ) 𝑟 = 𝐶𝜌 𝑒 Видно, что при 𝜗 = 𝜋, получается как раз то, что надо. 𝑑𝑧 𝑑𝜁 =𝐶 2𝜋 − 𝛿 (𝜁 − 𝜁 ) 𝜋 𝑑𝑧 𝑑𝜁 =0 (20.50) =0 Теперь посчитаем скорость в точке острой кромки, взяв производную от потенциала: 𝑣 = 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = 𝑑𝑊 𝑑𝜁 𝑑𝜁 𝑑𝑧 =𝑉 1 𝑉 = (20.51) 0 Логично предположить, что 𝑣 — конечна. Для того, чтобы это было так, необходимо потребовать 𝑉 = 0, то есть 𝐵 — точка торможения. 90 из 119 Автор: И. Буренев Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Предположение о конечности скорости в точке острой кромки — постулат Чаплыгина-Жуковского. 20.10 Вычисление циркуляции контура с задней острой кромкой. Примем постулат Чаплыгина-Жуковского о конечности скорости в острой кромке. 𝑅 Γ + ln 𝜁 𝜁 2𝜋𝑖 𝑊(𝜁) = 𝑘𝑣 𝜁 + 𝑘𝑣 𝑉= Пускай 𝜁 = 𝑅𝑒 𝑑𝑊 𝑅 Γ 1 = 𝑘𝑣 − 𝑘𝑣 + 𝑑𝜁 𝜁 2𝜋𝑖 𝜁 . Тогда условие равенства нулю 𝑉 в точки 𝐵 дает: 𝑘𝑣 − 𝑘𝑣 𝑒 Γ = 2𝜋𝑖𝑅𝑒 𝑘𝑣 𝑒 + Γ 1 𝑒 2𝜋𝑖 𝑅 =0 = 2𝜋𝑖𝑘𝑅𝑣 − 𝑘𝑣 𝑒 ( ) −𝑒 ( ) Таким образом мы нашли циркуляцию: Γ = 4𝜋𝑘𝑅𝑣 sin (𝜑 − 𝛼) (20.52) 20.11 Формула Чаплыгина-Клаузиуса для главного вектора и главного момента сил давления, действующих на профиль. Посчитаем главный вектор давления, действующий на контур. 𝑛 𝑙 𝐹=− 𝐵 𝑛 𝑑𝑙 𝑝𝑛 Распишем в проекциях, воспользовавшись тем, что 𝑛 = 𝐹 =− 𝑝𝑛 𝑑𝑙 = − 𝑝 𝑑𝑦 ⇒ 𝐹 =− 𝑝𝑛 𝑑𝑙 = 𝑝 𝑑𝑥 и𝑛 =− 𝑑𝐹 = −𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝐹 = 𝑝 𝑑𝑥 (20.53) Рассмотрим комплексный вектор: 𝐹 = 𝐹 − 𝑖𝐹 = −𝑖 𝑝 𝑑𝑥 − 𝑝𝑖 𝑑𝑦 = −𝑖 𝑝 𝑑𝑧 Из уравнения Бернулли: |𝑣| 𝑝 + =𝐶 2 𝜌 ⇒ 𝑝 = 𝜌𝐶 − 𝜌 |𝑣| | 2 Подставляем в интеграл и получаем: 𝐹 = −𝑖 𝑝 𝑑𝑧 = −𝑖 𝜌𝐶 𝑑𝑧 − 𝜌 |𝑣| 𝜌 𝑑𝑧 = 𝑖 2 2 |𝑣| 𝑑𝑧 Первый интеграл равен нулю, т.к. под интегралом стоит полный дифференциал, а интегрируем по замкнутому контуру. 91 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотрим кусок контура: 𝑑𝑙 𝛽 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦 = 𝑑𝑙 𝑒 𝑣 𝑑𝑙 = 𝑑𝑧 𝑒 Тогда 𝑑𝑧 = 𝑑𝑙 𝑒 =𝑒 𝑑𝑧 Аналогично распишем для скорости: 𝑣 + 𝑖𝑣 = |𝑣|𝑒 ( ) = −|𝑣|𝑒 ⇒ 𝑣 = −|𝑣|𝑒 𝑣 = −𝑣𝑒 ⇒ 𝑣 =𝑣 𝑒 Мы только что научились переносить сопряжение с квадрата скорости на дифференциал координаты. Проделаем это: |𝑣| 𝑑𝑧 = 𝑣 𝑒 ⋅ 𝑑𝑧 = 𝑣 𝑑𝑧 Значит имеет место следующие равенство: 𝐹=𝑖 Подставив 𝑣 = 𝜌 2 |𝑣| 𝑑𝑧 = 𝑖 𝜌 2 𝑣 𝑑𝑧 получим первую формулу Чаплыгина-Блазиуса: 𝐹=𝑖 𝜌 2 𝑑𝜔 𝑑𝑧 (20.54) 𝑑𝑧 Получим похожий интеграл для главного момента сил, действующих на контур: 𝑦 𝑑𝐿 = 𝑑𝐹 ⋅ 𝑥 − 𝑑𝐹 ⋅ 𝑦 𝑑𝐹 Воспользуемся выражениями (20.54): 𝑑𝐹 𝑦 𝑑𝑙 𝑑𝐿 = 𝑝𝑥 𝑑𝑥 + 𝑝𝑦 𝑑𝑦 = 𝑝 (𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦) Тогда момент будет равен: 𝐿= 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝐿 = 𝑥 𝑥 +𝑦 𝑝𝑑 2 𝑥 Теперь рассмотрим следующее выражение: 𝑧 𝑑𝑧 = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑑𝑥 − 𝑖𝑑𝑦) = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑖(𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦) Таким образом получили, что 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = Re(𝑧 𝑑𝑧) Как всегда воспользуемся уравнением Бернулли: 𝐿 = 𝜌𝐶 𝑑 𝑥 +𝑦 2 − 𝜌 2 |𝑣| Re(𝑧 𝑑𝑧) = Re − 𝜌 2 |𝑣| 𝑧 𝑑𝑧 Первое слагаемое обращается в ноль, так как это опять полный дифференциал. В силу того, что |𝑣| 𝑑𝑧 = 𝑣 𝑑𝑧 92 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝐿 = Re − 𝜌 2 𝑣 𝑧 𝑑𝑧 Таким образом, получили вторую формулу Чаплыгина-Блазиуса: 𝐿 = Re − 𝜌 2 𝑑𝜔 𝑑𝑧 (20.55) 𝑧 𝑑𝑧 Теорема Жуковского. Рассмотрим произвольный профиль и воспользуемся интегральной теоремой Коши: если 𝐹(𝑧) — регулярна на множестве 𝐷 = 𝐷 ∪ 𝜕𝐷 и контур 𝛾 ∈ 𝐷, то ∮ 𝐹(𝑧)𝑑𝑧 = 0 𝑐 Возьмем контур 𝑙 и окружность 𝑐, делаем разрез между ними и обходим исходный контур против часовой, а внешний — по часовой. Тогда условно можно разделить контур 𝛾 = 𝑙 + 𝑐 + разрез. Пусть 𝐹(𝑧) = , тогда: 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝜔 𝑑𝑧 + 𝑑𝑧 𝑙 𝑑𝜔 𝑑𝑧 + 𝑑𝑧 р 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = 0 𝑑𝑧 Интеграл по разрезу равен нулю, т.к. по разрезу мы прошли два раза в разные стороны. Аналогично проделаем для 𝐹(𝑧) = : 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 + 𝑑𝑧 = 0 Еще раз запишем эти равенства: 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = − 𝑑𝑧 𝑑𝜔 𝑑𝑧 Разложим 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = − (20.56) 𝑑𝑧 = 𝑣 в ряд Лорана: 𝑑𝜔 1 1 =𝑣 =𝐴 +𝐴 +𝐴 +… 𝑑𝑧 𝑧 𝑧 Напоминаем что вычет в бесконечно удаленной точке по определению равен: Res 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = 1 2𝜋𝑖 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 В нашем случае: Res 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = −𝐴 Тогда 93 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 Res 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = −2𝜋𝑖𝐴 (∗) Получили один из интегралов из выражения (20.56) Получим ряд Лорана для . Для этого перемножим два ряда Лорана для 𝑑𝜔 𝑑𝑧 = 𝐴 + 2𝐴 𝐴 : 1 +… 𝑧 Тогда: 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 Res = −4𝜋𝑖𝐴 𝐴 Получили еще один из интегралов выражения (20.56). Посмотрим, что происходит при больших 𝑧. При |𝑧| → ∞ 𝑣 =𝑣 =𝑣 . Тогда получаем, что 𝐴 = 𝑣 . − 𝑖𝑣 Распишем интеграл по обтекаемому контуру 𝑙 другим способом. Воспользуемся тем, что 𝜔 = 𝜑 + 𝑖𝜓 : 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝜔 = 𝑑𝜑 + 𝑖 𝜕𝜑 𝑑𝑙 = 𝜕𝑙 𝑑𝜓 = 𝑣 𝑑𝑙 = Γ Один из интегралов ушел, т.к. 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 на обтекаемом контуре. Тогда из (*) получаем выражение для коэффициента 𝐴 : 𝐴 = Γ 2𝜋𝑖 Теперь знаем выражение для коэффициентов. Подставим эти выражения в контурный интеграл: 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = 4𝜋𝑖 𝐴 𝐴 = 4𝜋𝑖𝑣 Γ = 2𝑣 Γ 2𝜋𝑖 Подставим полученное выражение в первую формулу Чаплыгина-Блазиуса (20.54) 𝐹= 𝑖𝜌 ⋅ 2𝑣 Γ = 𝑖𝜌𝑣 Γ 2 (20.57) Распишем по компонентам: 𝐹 = 𝑖𝜌(𝑣 − 𝑖𝑣 )Γ = 𝜌𝑣 Γ + 𝑖𝜌𝑣 Γ = 𝐹 − 𝑖𝐹 Отсюда получаем, что: 𝐹 = −𝑖𝜌𝑣 Γ (20.58) |𝐹| = |𝐹| = 𝜌𝑣 |Γ| (20.59) Также знаем значение модуля: Рассмотрим скалярное произведение векторов 𝐹 = (𝜌𝑣 𝐹 ⋅𝑣 = 𝜌𝑣 Γ𝑣 Γ, −𝜌𝑣 − 𝜌𝑣 94 из 119 Γ) и 𝑣 Γ𝑣 = (𝑣 ,𝑣 ): =0 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Получается, что в рамках нашей теории сила действующая на контур перпендику- 𝐹 лярна направлению набегающего потока, то есть мы можем найти подъемную силу. 𝑙 Однако, никакой силы сопротивления не наблюдается. Это так называемый парадокс Д’Аламбера. 𝐵 𝑣 Полученный результат можно интерпретировать так: у «хорошего» потока сила сопротивления во много раз меньше подъемной силы. По идее, для момента необходимо снова решать через неопределенные коэффициенты ряда Лорана, но это долго, и мы это уже делали. Поэтому просто выпишем ответ для преобразования 𝑧 = 𝑓(𝜁): 𝑧 = 𝑓(𝜁) = 𝑘𝜁 + 𝑘 + 𝑘 𝑘 + , 𝜁 𝜁 𝑘∈ℝ Тогда выражение для момента: 𝐿 = − Re 𝑘 𝜌𝑣 Γ + 2𝜋𝑖 𝑘𝑘 𝜌 𝑣 (20.60) 20.12 Обтекание пластинки под углом атаки. 𝑧=𝜁+ 𝑦 𝜂 𝑧 𝜁 𝐹 𝐵 𝑎 −𝑎 𝐵 𝑥 𝑅 𝜉 𝑉 𝛼 Пластина — эллипс с 𝑏 → 0. Тогда 𝑅 = = ,𝐶 = , т.е. 𝐶 = . Также положим 𝑘 = = =1 Тогда задняя острая кромка в плоскости 𝑧 перейдет в точку 𝐵 . Вспомним выражение (20.52). Γ = 4𝜋𝑘𝑅𝑣 sin (𝜑 − 𝛼) , где 𝜑 — аргумент точки 𝐵 . В нашем случае 𝜑 = 0. Тогда: Γ= 4𝜋𝑎 𝑣 sin(−𝛼) = −2𝜋𝑎𝑣 sin 𝛼 2 (20.61) Из выражения (20.48) при 𝑏 = 0 получаем: 𝜔(𝑧) = 1 𝑣 𝑒 2 𝑧+ 𝑧 −𝑎 + 1 𝑣 𝑒 2 𝑧− 𝑧 −𝑎 + Γ ln 𝑧 + 𝑧 − 𝑎 2𝜋𝑖 Тогда с учетом (20.61) получаем: 𝜔(𝑧) = 1 𝑣 𝑒 2 𝑧+ 𝑧 −𝑎 + 1 𝑣 𝑒 2 𝑧− 𝑧 −𝑎 + 𝑖𝑎𝑣 sin 𝛼 ln 𝑧 + 𝑧 − 𝑎 (20.62) 𝐹 | = 𝜌𝑣 |Γ|, то есть: Также знаем, что |𝐹 𝐹 | = 2𝜋𝑎 𝜌𝑣 sin 𝛼 |𝐹 (20.63) Найдем коэффициент подъемной силы: 95 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. 𝐶 = 𝐹| |𝐹 𝜌𝑣 ⋅ 2𝑎 = 2𝜋𝑎𝜌𝑣 sin 𝛼 = 2𝜋 sin 𝛼 𝜌𝑣 𝑎 (20.64) Заметим, что при малых углах атаки 𝛼 ≪ 1, коэффициент подъемной силы 𝐶 (20.65) ≈ 2𝜋𝛼 Ниже приведен график зависимости 𝐶 (𝛼) и экспериментальные данные 𝐶 ∼ −10∘ 𝛼 ∼ 10∘ Найдем скорость взяв производную от (20.62): 𝑣= 1 𝑑𝜔 = 𝑣 𝑑𝑧 2 1+ 2𝑧 2√𝑧 − 𝑎 + 1 𝑣 2 1− 2𝑧 2√𝑧 − 𝑎 + 1+ Γ √ ⋅ 2𝜋𝑖 𝑧 + √𝑧 − 𝑎 Преобразуем выражение и получаем: 𝑣= 1 𝑣 +𝑣 2 + 1 𝑣 −𝑣 2 𝑧 + 𝑖𝑎𝑣 sin 𝛼 ⋅ √𝑧 − 𝑎 1 √𝑧 − 𝑎 Распишем скорость через мнимую и вещественную части: 𝑣 =𝑣 + 𝑖𝑣 𝑣 =𝑣 − 𝑖𝑣 ⇒ 𝑣 +𝑣 = 2𝑣 𝑣 −𝑣 = −2𝑖𝑣 Запишем выражение для скорости в через проекции воспользовавшись тем, что 𝑣 sin 𝛼 = 𝑣 𝑣=𝑣 𝑧−𝑎 − 𝑖𝑣 √𝑧 − 𝑎 =𝑣 − 𝑖𝑣 : 𝑧−𝑎 𝑧+𝑎 Тогда в точках ±𝑎 получаем следующие скорости: 𝑧=𝑎∶ 𝑣=𝑣 𝑧 = −𝑎 ∶ |𝑣| = ∞ В результате у нас две проблемы: наличие касательной компоненты силы и в передней острой кромке у нас бесконечная скорость. Это называется парадоксом передней острой кромки. Дело в том что в точке (−𝑎, 0) у нас особая точка, и тогда наши преобразования незаконны. Напоминаю, что мы делали преобразование Жуковского и раскладывали в ряд Лорана Теперь найдем аэродинамический момент, действующий на пластинку. Ранее получали выражение (20.60): 𝐿 = − Re 𝑘 𝜌𝑣 Γ + 2𝜋𝑖 𝑘𝑘 𝜌 𝑣 96 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Коэффициенты из разложения в ряд Лорана 𝑧 = 𝑓(𝑧) = 𝑘𝜁 + 𝑘 + 𝑘 𝐶 +⋯=𝜁+ 𝜁 𝜁 ⇒ 𝑘 =0 𝑘=1 𝑘 =𝐶 = 𝑎 4 Тогда: 𝐿 = − Re 2𝜋𝑖 𝑎 𝜌𝑣 𝑒 4 𝑦 = − Re 𝑖 𝜋𝑎 𝜋𝑎 𝜌𝑣 (cos 2𝛼 − 𝑖 sin 2𝛼) = − 𝜌𝑣 sin 2𝛼 2 2 Обозначим точку приложения силы за 𝑥 , тогда плечо силы равно 𝑥 cos 𝛼. Воспользуемся выражением (20.63) и запишем выделим выражение для силы: 𝐹 𝑥 −𝑎 1 𝐹 | ⋅ 𝑥 cos 𝛼 𝐿 = − 2𝜋𝑎𝜌𝑣 sin 𝛼 ⋅ 𝑎 cos 𝛼 = |𝐹 2 𝑥 𝑎 | | 𝑉 𝛼 Таким образом получаем, что 𝑥 = − Значит точка приложения силы левее центра масс, и тогда при обтекании под маленьким углом атаки положение пластинки неустойчиво. 20.13 Профили Жуковского. Хотим конформное отображение, чтобы передняя кромка была тупой, а задняя острой (как у современных крыльев самолетов) 𝑧=𝜁+ 𝑦 𝐴 𝑟 𝑧 𝑟 𝐷 𝛼 −2𝑐 𝜂 𝐷 −𝑐 𝑥 2𝑐 𝜁 𝜘𝑖 𝛼 𝐵 𝐴 𝐵 𝑐 𝜉 Когда переводили в пластину, параметры в преобразовании Жуковского были следующие: 𝑅 = =𝑐 Теперь нарисуем, окружность, проходящую через точки 𝑐 и −𝑐, но с центром в точке 𝑖𝜘. Из преобразования Жуковского (20.43) получаем, что 𝜁+ 𝑧 − 2𝑐 = 𝑧 + 2𝑐 𝜁+ 𝜂 𝐸 − 2𝑐 + 2𝑐 = 𝜁−𝑐 𝜁+𝑐 (20.66) 𝑦 𝐴 𝑟 𝜌 𝜘𝑖 𝜌 𝑥 𝛽 𝛽 𝛽 −𝑐 𝐸 𝐹 𝐴 𝑟 2𝑖𝜘 𝑂 𝑐 𝜉 𝐹 Поймем, во что перейдет новая окружность. Выберем точку 𝐴 на окружности. 97 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Запишем все через векторы: 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 + 𝐵 𝐴 ⇒ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 + 𝐷 𝐴 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐴 =𝑐+𝜌 𝑒 𝜁 = −𝑐 + 𝜌 𝑒 𝑧 = 2𝑐 + 𝑟 𝑒 ⇒ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 + 𝐷𝐴 𝜁 𝑧 = −2𝑐 + 𝑟 𝑒 Подставляем в выражение (20.66): 𝑟𝑒 𝑟𝑒 𝜌 𝑒 𝜌 𝑒 = 𝑟 𝑒 𝑟 ⇒ ( ) = 𝜌 𝜌 𝑒 ( ) Логарифмируем: 𝑟 𝑟 ln 𝜌 𝜌 + 𝑖(𝛼 − 𝛼 ) = 2 ln + 2𝑖(𝛽 − 𝛽 ) Получаем, что 𝛼 − 𝛼 = 2(𝛽 − 𝛽 ). Из этого следует, что точка 𝐴 лежит на окружности. Чтобы понять, что это за окружность проследим за точкой 𝐸 . 𝜁 𝑧 =𝜁 + 𝑐 𝜁 =𝑖 𝜘+ 𝑐 +𝜘 =𝑖 𝜘+ 𝑐 +𝜘 + 𝑖𝑐 𝑖 𝜘 + √𝑐 + 𝜘 Точно так же поймем куда перейдет точка 𝐹 . Координата 𝜁 𝑧 =𝜁 + 𝑐 𝜁 =𝑖 𝜘− 𝑐 +𝜘 + 𝜘 − √𝑐 + 𝜘 = 2𝑖𝜘 𝜘 − √𝑐 + 𝜘 = 𝑖(𝜘 − √𝑐 + 𝜘 ) 𝑖𝑐 𝑖 ⋅ 𝜘 − √𝑐 + 𝜘 ⋅ 𝜘 + √𝑐 + 𝜘 = 2𝑖𝜘 𝜘 + √𝑐 + 𝜘 Получили, что точки 𝐸 и 𝐹 перешли в одну. Тогда наша окружность перешла в дугу. Рассмотри другую окружность, смещенную вдоль гипотенузы на величину 𝜖. 𝜂 𝑧=𝜁+ 𝑦 𝐿 𝜂 𝑧 𝜖 𝜘𝑖 𝑙 𝐷 𝑙 𝑥 𝐿 𝜁 𝛽 𝜉 𝐵 𝑐 𝜉 Новый образ охватывает наш старый образ и касается его в точке 𝑐. Таким образом новый образ будет напоминать крыло. Окружность 𝐿 называется окружностью Жуковского, а профиль — профилем Жуковского. 𝜘 описывает профиль, а 𝜖 — толщину. От тройки параметров 𝑐, 𝜘, 𝜖 перейдем к удобным параметрам 𝑐, , 20.14 Решение задачи об обтекании профиля Жуковского. Уже знаем все об обтекании цилиндра, когда центр координат и центр цилиндра совпадают. Надо сделать переход в новую систему координат. 98 из 119 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Радиус второго цилиндра 𝑅 = 𝜖 + √𝑐 + 𝜘 . Системы координат связаны просто смещением на вектор. Комплексное число 𝑂 можно представить как сумму 𝑖𝜘 и комплексного числа с аргументом 𝛽 𝜁 = 𝜁 − 𝑖𝜘 + 𝜖𝑒 ( ) (20.67) =𝜁−𝑔 𝐿 — окружность Жуковского, 𝑙 — профиль Жуковского, а 𝑙 — скелет профиля. Все семейство таких профилей характеризуется параметрами 𝑐, 𝜘 и 𝜖. Была предложена модификация отображения, из-за неудобства формулы Жуковского с точки зрения инженерии: 𝑧=𝜁+ 𝑐 𝜁 𝑧 − 2𝑐 𝜁−𝑐 = 𝑧 + 2𝑐 𝜁+𝑐 ⇒ И еще одна: 𝑧 − 2𝑐 𝜁−𝑐 = 𝑧 + 2𝑐 𝜁+𝑐 , 𝜎 =2− 𝛿 𝜋 Тогда в задней острой кромке будет угол 𝛿. Это можно понять, внимательно посмотрев на рассуждения, которые приводились при выводе постулата Чаплыгина-Жуковского. Решим задачу об обтекании. Как уже говорилось ранее, удобнее перейти к параметрам 𝑐, и . Физический смысл последних двух: относительный прогиб и относительная толщина контура. Вспомним задачу об обтекании цилиндра: 𝑊(𝜁 ) = 𝑘𝑣 𝜁 + 𝑘𝑣 𝑘= 𝑑𝑧 𝑑𝜁 𝑅 Γ ln 𝜁 + 𝜁 2𝜋𝑖 Γ = 4𝜋𝑘𝑣 𝑅 sin(𝜑 − 𝛼) = −4𝜋𝑘𝑣 𝑅 sin(𝛽 + 𝛼) , В выражениях выше 𝜁 — комплексная плоскость (𝜉 , 𝜂 ). Переход в плоскость 𝜁 осуществляется следующим образом: 𝜁 = 𝜁 − 𝑖𝜘 + 𝜖𝑒 ( ) =𝜁−𝑔 Тогда 𝜁 = 𝜁 + 𝑔, а преобразование Жуковского: 𝑧 =𝜁 +𝑔+ 𝑐 𝜁 +𝑔 Отсюда следует, что 𝑘= 𝑑𝑧 𝑑𝜁 =1 Найдем обратное отображение. Из преобразования Жуковского получаем квадратное уравнение: 𝜁 − 𝑧𝜁 + 𝑐 = 0 Корнем этого уравнения является: 𝜁= 𝑧 + √𝑧 − 4𝑐 2 Тогда обратное отображение имеет вид: 𝜁 =𝜁 = 1 𝑧 + 𝑧 − 4𝑐 2 99 из 119 − 𝑖𝜘 + 𝜖𝑒 ( ) (20.68) Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Выражение для циркуляции: 𝜖+ 𝑐 𝜘 Γ = −4𝜋𝑣 sin(𝛽 + 𝛼) (20.69) Получим комплексный потенциал преобразования Жуковского в координатах (𝜉 , 𝜂 ): 𝜔(𝑧) = 𝑣 𝑒 1 𝑧 + 𝑧 − 4𝑐 2 − 𝑖𝜘 − 𝜖𝑒 + 2𝑖𝑣 𝜖 + √𝑐 + 𝜘 +𝑣 𝑒 𝜖+ 𝑐 +𝜘 𝑧 + √𝑧 − 4𝑐 sin(𝛼 + 𝛽) ln − 𝑖𝜘 − 𝜖𝑒 1 𝑧 + 𝑧 − 4𝑐 2 + − 𝑖𝜘 − 𝜖𝑒 (20.70) Это был большой результат в аэродинамике XX века. 𝑙 Прервемся и рассмотрим аэродинамические свойства профиля Жуковского, который является слабоизогнутым ( ≪ 1), тонким ( ≪ 1) и обтекается под малым углом атаки (𝛼 ≪ 1) Прежде всего нас интересует величина подъемной силы из теоремы Жуковского: 𝑙 𝑏 𝐹 | = 𝜌𝑣 |Γ| = 𝜌𝑣 4𝜋𝑣 |𝐹 sin(𝛼 + 𝛽) = 4𝜋𝜌𝑣 𝜖+ 𝑐 +𝜘 𝜖+𝑐 1+ 𝜘 𝑐 sin(𝛼 + 𝛽) Пользуемся нашими приближениями и получаем: (20.71) 𝐹 | = 4𝜋𝜌𝑣 𝑐(𝛼 + 𝛽) |𝐹 Также найдем коэффициент подъемной силы. Для этого введем характерную длину контура 𝑏 (при наших допущениях 𝑏 ≈ 4𝑐): 𝐶 = 𝐹| |𝐹 𝜌𝑣 𝑏 ≈ 4𝜋𝜌𝑣 𝑐(𝛼 + 𝛽) 𝜌𝑣 4𝑐 = 2𝜋(𝛼 + 𝛽) (20.72) Рассмотрим симметричный профиль с закругленной передней кромкой — руль Жуковского. Т.к. он симметричный (𝜘 = 0), то 𝛽 = arctg 𝐶 = 0. Тогда: (20.73) = 2𝜋𝛼 Исчезла проблема передней острой кромки, а сам результат совпадает с результатом, полученным при решении задачи об обтекании плоской пластины. Опять же сравним экспериментальные и теоретические данные. При больших углах атаки появляется отрыв потока от границы контура. Были попытки избавиться от этого отрыва (например, за счет откачивания пограничного слоя). 𝐶 ∼ −10∘ ∼ 10∘ 100 из 119 𝛼 Автор: М. Минин Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости. Обычно в экспериментах сила и давление измеряются очень хорошо. Давайте рассмотрим коэффициент давления в передней точке для симметричного профиля Жуковского. Выражение для коэффициента давления следующее: 𝑡 𝑝 𝑐 = 𝑝−𝑝 𝜌𝑣 𝑏 Запишем закон Бернулли: 𝑣 𝑝 𝑝 + = , 2 𝜌 𝜌 где 𝑝 — давление торможения (скорость торможения равна нулю). Из закона Бернулли сразу получаем, что коэффициент давления в передней кромке равен 𝑐 =1 Рассмотрим распределение давление. Самое удивительное, что это очень хорошо согласуется с экспериментом. На графике построили теоретические кривые для контуров, для которых 𝑡/𝑏 = 9% и 15% 1 0.5 𝑐 0 −0.5 −1 −1.5 9% 0 0.2 0.4 0.6 𝑥/𝑏 0.8 1 1.2 Рассмотрим преобразование в профиль Жуковского, которое не имеет аналитического обратного: 𝑊(𝜁 ) = 𝑘𝑣 𝜁 + 𝑘𝑣 𝑅 Γ + ln 𝜁 𝜁 2𝜋𝑖 𝑧 = 𝑓(𝜁 ) Если обратного нет, то можно считать, что 𝜔(𝑧) задан параметрически: 𝜁 = 𝑅𝑒 101 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. §21. Метод возмущений в задачах аэродинамики. Для начала посмотрим как работает метод возмущений в случае обыкновенных алгебраических уравнений. В следующих нескольких примерах будем интересоваться корнями многочлена, в котором есть переменный коэффициент, который можно считать малым. 21.1 Нахождение корней полиномов. Пример 1: пусть имеется кубическое уравнение: 𝑢 = 1 + 𝜀𝑢 , где 0 < 𝜀 ≪ 1 Интересует приближенное решение уравнения при малых 𝜀. Например, хотим узнать чувствительность задачи к каким-то малым возмущениям. Для этого представим 𝑢 в виде регулярного разложения по малому параметру: 𝜀=0 𝑢=1 𝑢 = 𝑢 + 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … = 1 + 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … Подставляем решение в уравнение, чтобы найти коэффициенты: 1 + 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … = 1 + 𝜀 1 + 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … = 1 + 𝜀 1 + 3 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … + 3 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … +… Раскрываем скобки и расписываем по степеням 𝜀: 1 + 𝜀𝑢 + 𝜀 𝑢 + … = 1 + 𝜀 + 3𝜀 𝑢 + 𝜀 (3𝑢 + 3𝑢 ) + … Приравняв коэффициенты при различных степенях 𝜀, получим некоторую рекуррентную связь на 𝑢 : 𝜀 1=1 𝜀 𝑢 =1 𝑢 =1 𝜀 𝑢 = 3𝑢 𝑢 =3 𝜀 𝑢 = 3𝑢 + 3𝑢 𝑢 = 12 Таким образом приближенное решение равно: 𝑢 = 1 + 𝜀 + 3𝜀 + 12𝜀 + … Сравним с точным решением: • 𝜀 = 0,01 Приближенное решение — 1,010312, точное — 1,0103125. Получили довольно точный ответ. • 𝜀 = 0,1 Приближенное решение — 1,142, точное – 1,153466. Ошиблись на 1%. Задачи при 𝜀 = 0 называют невозмущенными, при этом 𝑢 — невозмущенное решение. Задачи с 𝜀 ≠ 0 называются возмущенными. Заметим, что решив возмущенную задачу, мы нашли только одно решение, в то время, как уравнение кубическое. Возникает вопрос: «И куда же делись еще два?». Чтобы понять как ответить разберем еще несколько задач: Пример 2: 𝑥 − (3 + 2𝜀)𝑥 + 2 = 0, где 0 < 𝜀 ≪ 1 Невозмущенная задача (при 𝜀 = 0): 𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0 102 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Ее решения: 𝑥 = 1, 𝑥 =2 Возмущенные решения будем искать в виде ряда 𝑥 = 𝑥 + 𝜀𝑥 + 𝜀 𝑥 + … . Подставим этот ряд в исходное уравнение: 𝑥 + 𝜀𝑥 + 𝜀 𝑥 + … − (3 + 2𝜀) 𝑥 + 𝜀𝑥 + 𝜀 𝑥 + … + 2 = 0 Приравниваем коэффициенты при различных степенях 𝜀: 𝜀 𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0 𝜀 2𝑥 𝑥 − (3𝑥 + 2𝑥 ) = 0 𝜀 𝑥 + 2𝑥 𝑥 − (2𝑥 + 3𝑥 ) 2𝑥 2𝑥 − 3 2𝑥 − 𝑥 ⇒𝑥 = 2𝑥 − 3 ⇒𝑥 = Из этой системы выходит два разных «семейства коэффициентов» 𝑥 = 1, 𝑥 =2 𝑥 = −2, 𝑥 =4 𝑥 = 8, 𝑥 = −8 Тогда решения уравнения имеют следующий вид: 𝑥 = 1 − 2𝜀 + 8𝜀 + … 𝑥 = 2 + 4𝜀 − 8𝜀 + … Для квадратного уравнения можно написать точное решение: 𝑥 , = 1 3 + 2𝜀 ± 1 + 12𝜀 + 4𝜀 2 Чтобы сравнить точное с приближенным разложим корень в ряд: 𝑥 , = 1 3 + 2𝜀 ± 1 + 6𝜀 + 2𝜀 − 18𝜀 + … 2 Тогда точные решения имеют вид: 𝑥 = 2 + 4𝜀 − 8𝜀 + … 𝑥 = 1 − 2𝜀 + 8𝜀 + … Видно, что ответы совпали. Пример 3: 𝜀𝑥 + 𝑥 + 1 = 0, где 0 < 𝜀 ≪ 1 Невозмущенное решение 𝑥 = −1. Возмущенное представляем в виде ряда и подставляем в уравнение: 𝜀(𝑥 + 𝜀𝑥 + …) + (𝑥 + 𝜀𝑥 + …) + 1 = 0 Получаем следующие уравнения на коэффициенты: 𝜀 𝑥 +1=0 𝑥 = −1 𝜀 𝑥 +𝑥 =0 𝑥 = −1 𝜀 2𝑥 𝑥 + 𝑥 = 0 𝑥 = −2 103 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Подставим коэффициенты в решение: 𝑥 = −1 − 𝜀 − 2𝜀 + … Чтобы найти асимптотику по 𝜀 второго решения воспользуемся теоремой Виета. 𝑥 + 1 1 𝑥+ =0 𝜀 𝜀 𝑥 𝑥 = 1 𝜀 Таким образом можно понять, что 𝑥 ∼ Перейдем к новой переменной 𝑥 = . В ее терминах уравнение: 𝑦 +𝑦+𝜀 =0 Как и всегда ищем решение в виде ряда: 𝑦 = 𝑦 + 𝜀𝑦 + 𝜀 𝑦 + … . Будем интересоваться вторым порядком по 𝜀 𝑦 + 2𝑦 𝑦 𝜀 + 2𝑦 𝑦 + 𝑦 𝜀 +𝑦 +𝑦 𝜀+𝑦 𝜀 +𝜀 =0 Уравнения на коэффициенты: 𝜀 𝑦 +𝑦 +2=0 𝜀 2𝑦 𝑦 + 𝑦 + 1 = 0 𝜀 2𝑦 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 0 1 2𝑦 + 1 𝑦 ⇒𝑦 =− 2𝑦 + 1 ⇒𝑦 =− Опять получили два «семейства коэффициентов» 𝑦 = −1 𝑦 =0 𝑦 =1 𝑦 = −1 𝑦 =1 𝑦 = −1 Тогда возмущенные решения: 𝑦 = −1 + 𝜀 + 𝜀 + … 𝑦 = −𝜀 − 𝜀 + … ⇒ 1 +1+𝜀+… 𝜀 𝑥 = −1 − 𝜀 + … 𝑥 =− Один из этих корней уже был. Точное решение такого уравнения: 𝑥 , =− 1 ± 2𝜀 1 1 1 − = 1 ± √1 − 4𝜀 = 4𝜀 𝜀 2𝜀 Разложим в ряд, чтобы сравнить с точным решением: 𝑥 = −1 − 𝜀 + … 𝑥 =− 1 +1+𝜀+… 𝜀 Пример 4: рассмотрим кубическое уравнение: 𝜀𝑥 + 𝑥 + 2 = 0 0<𝜀≪1 Невозмущенное решение равно 𝑥 = −2. Опять же воспользуемся теоремой Виета: 104 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 𝑥 + 1 2 𝑥+ =0 𝜀 𝜀 ⇒ 𝑥 𝑥 𝑥 =− 2 𝜀 Так как первое решение порядка 1, то произведение второго и третьего решений должно быть порядка . Еще заметим, что они должны быть комплексно сопряжены, то есть иметь одинаковую степень по 𝜀. Значит 𝑥 , 𝑥 ∼ √ . Попробуем найти решение уравнения 𝑦 √𝜀 + 1 𝑦 2 + =0 𝜀 √𝜀 𝜀 Приведем к более приятному виду: 1𝑦 + 𝑦 + 2√𝜀 = 0 Подставим решение в виде ряда: 𝑦 = 𝑦 + 𝜀 𝑦 + 𝜀𝑦 + … Получается 𝑦 + 𝜀 𝑦 + 𝜀𝑦 + … + 𝑦 + 𝜀 𝑦 + 𝜀𝑦 + … + 2√𝜀 = 0 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 𝜀: 𝜀 𝑦 +𝑦 =0 ⇒ 𝑦 (𝑦 + 1) = 0 𝜀 3𝑦 𝑦 + 𝑦 + 2 = 0 ⇒𝑦 =− 2 3𝑦 + 1 Получается три семейства решений: 𝑦 =0 𝑦 =𝑖 𝑦 = −𝑖 𝑦 = −2 𝑦 =1 𝑦 =1 Тогда решения имеют вид: ⎧ 𝑥 = −2 + … ⎧ 𝑦 = 0 − 2𝜀 … ⎪ 𝑖 ⎪ 𝑦 = 𝑖 + 𝜀 … ⇒ 𝑥 = √𝜀 + 1 + … ⎨ ⎨ ⎪ 𝑦 = −𝑖 + 𝜀 … ⎪𝑥 = − 𝑖 + 1 + … ⎩ ⎩ √𝜀 21.2 Дифференциальные уравнения. Поупражнявшись в методе возмущений для нахождения корней полиномов перейдем к более интересным задаче — решению дифференциальных уравнений с малым параметром. Пример 1: 𝜀𝑦 + 𝑦 = −𝑥 + 1, где 0 < 𝜀 ≪ 1 𝑦(0) = 0 Как всегда подставляем ряд: 𝑦(𝑥, 𝜀) = 𝑦 (𝑥) + 𝜀𝑦 (𝑥) + 𝜀 𝑦 (𝑥) + … Считаем производную по 𝑥: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑦 (𝑥) + 𝜀𝑦 (𝑥) + 𝜀 𝑦 (𝑥) + … Подставляем в уравнение и получаем: 105 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 1 𝑦 = −𝑥 + 1 𝜀 𝑦 +𝑦 =0 ⇒ 𝑦 = −𝑦 = 2𝑥 𝜀 𝑦 +𝑦 =0 ⇒ 𝑦 = −𝑦 = −2 𝜀 𝑦 +𝑦 =0 ⇒ 𝑦 = −𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 (𝑥, 𝜀) = −𝑥 + 1 + 2𝜀𝑥 − 2𝜀 Нашли решение вне пограничного слоя. Точным решением является: / 𝑦 = −𝑥 + 2𝜀𝑥 − 2𝜀 + 1 + (2𝜀 − 1)𝑒 В общем случае решением уравнения вида 𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) является: ( ) 𝑞(𝑥)𝑒∫ 𝑦= 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 ∫ ( ) Ниже приведен график решений (пунктиром обозначены точные решения, сплошным — приближенные). Для любых 𝜀 он начинается не из нуля. 1 𝜀 = 0,01 𝜀 = 0,1 𝑦 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 Не можем удовлетворить условию Коши в нуле, значит с нашим разложением что-то не так. Область, в которой разложение несправедливо — пограничный слой (это понятие, кстати, потом перекочевало в матанализ). В нуле производная стремится к бесконечности при малых эпсилон. Введем новую переменную 𝜁 = , которая вблизи нуля порядка единицы. Тогда поле в пограничном слое: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑌 (𝜁) + 𝜀𝑌 (𝜁) + 𝜀 𝑌 (𝜁) + … Производная равна: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑌 1 1 1 + 𝜀𝑌 + 𝜀 𝑌 + … 𝜀 𝜀 𝜀 Хотим удовлетворить условиям Коши. Подставляем и получаем следующие уравнения: Получаем, что 𝑌 = 1 − 𝑒 1 𝑌 +𝑌 =1 𝑌 (0) = 0 𝜀 𝑌 +𝑌 =0 𝑌 (0) = 0 𝜀 𝑌 + 𝑌 = −𝜁 𝑌 (0) = 0 , то есть 𝑦 = 1 − 𝑒 / Нарисуем графики решения для 𝑦 и 𝑦 и точного решения для 𝜀 = 0,1: 106 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. внешнее внутреннее точное 1 𝑦 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 Теперь нарисуем графики еще раз для 𝜀 = 0,01 внешнее внутреннее точное 1 𝑦 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 В качестве решения берем и грубо сшиваем 𝑦 и 𝑦 в точке пересечения графика. Решение 𝑌 является: 𝑌 = 2𝑒 − 𝑥 2𝑥 + −2 𝜀 𝜀 Хотим найти решение в области от 0 до 1 («compose», то есть составное решение) 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 , где (𝑦 ) — внешняя часть внутреннего разложения, которая равна внутренней части внешнего разложения. Вычитаем для того, чтобы не учесть вклад в области, где справедливы оба решения дважды. 𝑦 = −𝑥 + 1 + 2𝜀𝑥 − 2𝜀 𝑦 = 1−𝑒 𝑦 Тогда склейка с точностью до 𝜀 𝑒 + 2𝜀 𝑒 − 𝑥 + 2𝑥𝜀 − 2𝜀 =1 равна: 𝑦 = −𝑥 + 1 − 𝑒 Последнее выражение очень похоже на точное решение. 107 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Пример 2: 𝜀𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 0, 0 < 𝜀 ≪ 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑦(0) = 0, 𝑦(1) = 1 Действуем как всегда: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑦 (𝑥) + 𝜀𝑦 (𝑥) + 𝜀 𝑦 (𝑥) + … Тогда: 1 𝑦 +𝑦 =0 𝑦 (1) = 1 𝜀 𝑦 +𝑦 +𝑦 =0 𝑦 (1) = 0 𝜀 𝑦 +𝑦 +𝑦 =0 𝑦 (1) = 0 Получили что-то странное: на 𝑦 дифференциальное уравнение первого порядка, а граничных условия два. Выбираем условие в единице потому, что иначе ряд получится состоящий из одних лишь нулей. Точное решение: √ 𝑦(𝑥) = 𝑐 𝑒 −𝑐 𝑒 √ С учетом граничных условий: 𝑐 =− 1 exp 2 sinh √ Нам надо чтобы решение выполнялось в 1 Решаем уравнения: 𝑦 +𝑦 =0 ⇒ 𝑦 =𝑒 𝑦 + 𝑦 = −𝑒 ⇒ 𝑦 =𝑒 𝑦 +𝑦 =𝑒 (𝑥 − 3) ⇒ 𝑦 = 𝑒 (1 − 𝑥) (𝑥 − 6𝑥 + 5) Если подставить это в исходную последовательность: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑒 1 + 𝜀(1 − 𝑥) + 1 𝜀 (𝑥 − 1)(𝑥 − 5) + … 2 Заметим, что граничное условие в нуле не выполняется. Аналогично предыдущему случаю введем новый параметр 𝜂 = . Тогда: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑌 (𝜂) + 𝜀𝑌 (𝜂) + 𝜀 𝑌 (𝜂) + … 𝑑 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑑𝑥 𝑑 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑑𝑥 1 𝑌 (𝜂) + 𝑌 (𝜂) + 𝜀𝑌 (𝜂) + … 𝜀 1 1 𝑌 (𝜂) + 𝑌 (𝜂) + 𝑌 (𝜂) + … 𝜀 𝜀 Подставив производные в исходное дифференциальное уравнение, получим: 𝜀 𝑌 +𝑌 =0 𝑌 (0) = 0 1 𝑌 +𝑌 +𝑌 =0 𝑌 (0) = 0 𝜀 𝑌 +𝑌 +𝑌 =0 𝑌 (0) = 0 Видно, что получаются уравнения второго порядка, а граничное условие только одно. Поживем с этим еще некоторое время, а пока честно выпишем первые слагаемые решения: 𝑌 +𝑌 =0 𝑌 + 𝑌 = −𝐴 (1 − 𝑒 ⇒ 𝑌 (𝜂) = 𝐴 (1 − 𝑒 ) ) ⇒ 𝑌 (𝜂) = −𝐴 𝑥(1 + 𝑒 108 из 119 ) + 𝐵 (1 − 𝑒 ) Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Получили разложение для внутреннего решения: ) + 𝜀 [𝐵 (1 − 𝑒 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝐴 (1 − 𝑒 ) − 𝐴 𝜂 (1 + 𝑒 )] + … Настало время разобраться с константами интегрирования, зная вид 𝑦 и 𝑦 . Это можно сделать, склеивая решения. Примем соображения, предложенные Ван-Даиком: 𝑚-членное внутреннее разложение 𝑛-членного внешнего решения, равно 𝑛-членному внешнему разложению 𝑚-членного внутреннего. Это правило работает в довольно большом спектре задач, которые встречаются на практике. Проблемы возникают при пропусках 𝑌 , и слагаемых вида ln 𝜀. Чтобы проиллюстрировать принцип работы, возьмем самую грубую склейку: 𝑚 = 𝑛 = 1, тогда: 𝑦 =𝑒 Запишем в терминах внутренних переменных и разложим в ряд: 𝑦 =𝑒 =𝑒⋅𝑒 𝜀 𝜂 +… =𝑒 2! = 𝑒 1 − 𝜀𝜂 + Аналогично с 𝑦 : 𝑦 = 𝐴 (1 − 𝑒 ) = 𝐴 (1 − 𝑒 ) = 𝐴 (1 − 0) = 𝐴 Получаем, что 𝐴 = 𝑒, тогда можно записать одночленное внутреннее разложение: 𝑦 = 𝑒(1 − 𝑒 ) Теперь проведем более тонкую настройку взяв 𝑛 = 𝑚 = 2: 𝑦 =𝑒 + 𝜀𝑒 (1 − 𝜂𝜀) = 𝑒 (1 − 𝜂𝜀) + 𝜀𝑒 (1 − 2𝜀𝜂) = 𝑒 + 𝜀𝑒(1 − 𝜂) Это двучленное внутреннее разложение двучленного внешнего. Теперь возьмем внутреннее разложение (опять оставив лишь два члена): 𝑦 =𝐴 1−𝑒 / +𝜀 𝐵 1−𝑒 / −𝐴 𝜂 1+𝑒 / = 𝐴 − 𝐴 𝑥 + 𝜀𝐵 = 𝐴 (1 − 𝑥) + 𝜀𝐵 Здесь мы воспользовались знанием того, что для всех производных 𝑑 𝑑𝜀 𝑒 / =0 Условие на равенство разложений: 𝑒 + 𝜀𝑒 − 𝑒𝑥 = 𝐴 + 𝜀𝐵 − 𝐴 𝑥 Получим наши константы, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥: 𝐴 =𝑒 𝐵 =𝑒 Значит окончательный вид двучленного разложения внутреннего решения: 𝑦 (𝑥, 𝜀) = 𝑒 1 − 𝑒 / + 𝜀𝑒 1−𝑒 / − 𝑥 1+𝑒 𝜀 / +… Нарисуем график полученных решений для 𝜀 = 0,1: 109 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 2.5 внешнее внутреннее точное 2 𝑦 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 Видно, что эти решения не пересекаются, значит в этот раз, чтобы их сшить потребуется применить соображение посерьезнее пересечения. Тут-то и заиграет в полную силу способ с (𝑦 ) . Составное разложение с точностью до второго порядка: / 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 − (𝑦 ) = 𝑒 1 − 𝑒 + 𝜀𝑒 1−𝑒 / − 𝑥 1+𝑒 𝜀 / +𝑒 [1 + 𝜀(1 − 𝑥)] − 𝑒(1 + 𝜀 − 𝑥) Приведем все подобные слагаемые: 𝑦 =𝑒 1 + 𝜀(1 − 𝑥) − 𝑒 / (1 + 𝑥 + 𝜀) Это решение справедливо везде. Более того, оно еще и непрерывно дифференцируемо. А то, что оно не совпадает с точным — не беда. Можно показать (разложив точное решение в ряд), что отличие склейки от точного решения ∼ 𝑂(𝜀 ). Мы же построим несколько графиков для разных значений 𝜀, чтобы наглядно показать сходимость. Строить будем точное решение и склейки первого и второго порядков. Сперва для 𝜀 = 0,1 2.5 1 порядок 2 порядок точное 2 𝑦 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 Совпадение не очень хорошее. Возьмем поменьше параметр: 𝜀 = 0,05 110 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 2.5 1 порядок 2 порядок точное 2 𝑦 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 Стало намного лучше. Видно, что с уменьшением 𝜀 обе склейки сходятся к точному. Построим, наконец, последний график с 𝜀 = 0,01 3 1 порядок 2 порядок точное 2.5 𝑦 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 𝑥 0.8 1 1.2 То, что мы сейчас проделали имеет непосредственное отношение к механике жидкостей и газов. Последнее уравнение можно рассматривать как упрощенную математическую модель уравнений Навье-Стокса. Так первый порядок внутреннего разложения будет соответствовать решению уравнений Прандтля, а невозмущенное решение — уравнению Эйлера. Заметим, что итеративно склеивая решения со все большей точностью мы будем «сильнее» связывать пограничный слой с внешним потоком. Таким образом можно учитывать деформации поверхности (добавляя все новые и новые слагаемые, тем самым уточняя решение). 111 из 119 Автор: М. инин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 21.3 Обтекание кругового цилиндра слабозавихренным потоком. Для начала освежим некоторые знания из прошлых лекций, для обтекания задачи об обтекании цилиндра. Комплексный потенциал для безциркуляционного обтекания: 𝑧+ 𝜔(𝑧) = 𝑣 𝑅 𝑧 = 𝜑 + 𝑖𝜓 Отсюда: 𝑅 ⎧𝜑 = 𝑣 𝑥 1+ ⎪ 𝑥 +𝑦 =𝑣 𝑟 1+ 𝑅 𝑟 cos 𝜃 𝑅 ⎨ ⎪𝜓 = 𝑣 𝑦 1 − 𝑥 +𝑦 ⎩ 𝑅 =𝑣 𝑟 1− 𝑟 sin 𝜃 (21.1) Оператор Лапласа в цилиндрических координатах: Δ= 𝜕 𝜕 𝜕 1 𝜕 1 𝜕 + = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 Теперь уже перейдем непосредственно к интересующей нас задаче. 𝑦 𝑣 𝜕𝜓 𝑦 = 1+𝜀 𝑅 𝜕𝑦 =𝑣 𝑣 Здесь 𝜀 — малый параметр, отвечающий за «степень завихренности» 𝑣 =0=− 𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑥 Посчитаем завихренность на бесконечности: Ω = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = −𝜀 𝑣 𝑅 (21.2) Функция тока на бесконечности: 𝜓 =𝑣 𝑦+ 𝜀𝑦 2 𝑅 =𝑣 𝑟 sin 𝜃 + 1𝑟 sin 𝜃 = 𝑣 2𝑅 𝑟 sin 𝜃 + 1 𝑟 ⋅ 𝜀 (1 − cos 2𝜃) 4 𝑅 (21.3) Заметим, что функция тока связана с завихренностью: Ω = − 𝜕 𝜓 𝜕 𝜓 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Запишем закон сохранения импульса: 𝜌 = − Δ𝜓 = −𝜀 𝑣 𝑅 (21.4) 𝑣 𝑑𝑣 𝐹 − ∇𝑝 = 𝜌𝐹 𝑑𝑡 Дальше мы хотим представить производную от скорости в более удобном виде. 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑣 ⋅ ∇)𝑣 𝑣 = +𝑣 +𝑣 +𝑣 = + (𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡 Из векторного анализа: 𝑎 ⋅ 𝑏 ) = (𝑎 𝑎 ⋅ ∇)𝑏 𝑏 + (𝑏 𝑏 ⋅ ∇)𝑎 𝑎 + 𝑎 × (∇ × 𝑏 ) + 𝑏 × (∇ × 𝑎 ) ∇(𝑎 В нашем случае 𝑎 = 𝑏 = 𝑣 ∇ 𝑣 𝑣 ⋅ ∇)𝑣 𝑣 + 2𝑣 𝑣 × (∇ × 𝑣 ) = 2(𝑣 112 из 119 Автор: И. Буренев Метод возмущений в задачах аэродинамики. 𝑣 ⋅ ∇)𝑣 𝑣 из полученного выражения в производную скорости: Подставим выражение для (𝑣 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝑣 = +∇ 𝑑𝑡 𝜕𝑡 2 +Ω×𝑣 Тогда закон сохранения импульса принимает вид: 𝑣 𝑣 𝜕𝑣 +∇ 𝜕𝑡 2 +Ω ×𝑣 = 𝐹 − 1 ∇𝑝 𝜌 Возьмем ротор от этого уравнения. Воспользуемся тем, что rot grad = 0. Еще предположим, что объемные силы потенциальны, то есть 𝐹 = − grad 𝑉. rot 𝑣 𝜕𝑣 1 + Ω × 𝑣 = − rot ∇𝑣 𝜕𝑡 2 + rot 𝐹 − 1 rot ∇𝑝 𝜌 Видно, что правая часть равна нулю. Значит: 𝜕 Ω × 𝑣) = 0 rot 𝑣 + rot (Ω 𝜕𝑡 Воспользуемся еще одной формулой векторного анализа (это аналог правила 𝑏(𝑎𝑐) − 𝑐(𝑎𝑏)): Ω × 𝑣 ) = (𝑣 𝑣 ⋅ ∇)Ω Ω − (Ω Ω ⋅ ∇)𝑣 𝑣 + Ω (∇ ⋅ 𝑣 ) − 𝑣 (∇ ⋅ Ω ) rot(Ω Заметим, что div 𝑣 = 0 и div Ω = 0, значит два последних слагаемых обращаются в 0. Вспомнив, что 𝑣 = rot Ω получим: Ω 𝜕Ω 𝑣 ⋅ ∇)Ω Ω = (Ω Ω ⋅ ∇)𝑣 𝑣 = (Ω 𝜕 + Ω 𝜕 + Ω 𝜕 )𝑣 𝑣 + (𝑣 𝜕𝑡 Теперь, воспользовавшись тем, что течение плоское: Ω = Ω = 0 и 𝑣 = 0 получим окончательное выражение: Ω Ω 𝜕Ω 𝑑Ω 𝑣 ⋅ ∇)Ω Ω= + (𝑣 =0 𝜕𝑡 𝑑𝑡 (21.5) Отсюда можно сделать следующие замечания: • Если элементарная жидкая частичка не вращалась, то и никогда не начнет. (теорема Лагранжа) • Если элементарная частичка вращалась с угловой скоростью 𝜔 , то она сохранит эту скорость на протяжение всего движения. (теорема Гельмгольца) • Если все элементарные частички имели одинаковый вектор завихренности, он сохранится. Тогда из (20.4) с учетом только что сделанных выводов: Δ𝜓 = 𝜀 𝑣 𝑅 Раскрывая лапласиан получим уравнение 1 𝜕 𝜓 𝑣 𝜕 𝜓 1 𝜕𝜓 + + =𝜀 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑅 (21.6) Граничные условия: 𝑟→∞∶𝜓→𝑣 𝑟 sin 𝜃 + 𝜀𝑟 (1 − cos 2𝜃) 4𝑅 (21.7) 𝑟 = 𝑅 ∶ 𝜓(𝑅, 𝜃) = 0 113 из 119 Автор: И. Буренев Метод возмущений в задачах аэродинамики. Будем решать приближенно, то есть 𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜀) = 𝜓 (𝑟, 𝜃) + 𝜓 (𝑟, 𝜃). 𝜓 =𝑣 𝑟 1− Значит: 𝑅 𝑟 sin 𝜃 (21.8) 𝑣 𝑟 (1 − cos 2𝜃) 4 𝑅 𝑟 = 𝑅 ∶ 𝜓 (𝑅, 𝜃) = 0 𝑟→∞∶𝜓 → (21.9) Сделаем граничные условия поприятнее, выделив неоднородность: 𝜓 = 𝜓∗ + 𝜒 где 𝜓∗ = 𝑣 𝑟 (1 − cos 2𝜃) 4𝑅 Тогда на 𝜒 получаем следующую задачу: 𝜕 𝜒 1 𝜕𝜒 1 𝜕 𝜒 ⎧ + + =0 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 ⎪ 𝑟 → ∞ ∶ 𝜒 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⎨ 1 ⎪ ⎩ 𝑟 = 𝑅 ∶ 𝜒 − 4 𝑣 𝑅(1 − cos 2𝜃) (21.10) Будем искать решения в следующем виде: 𝜒 (𝑅, 𝜃) = 𝑓(𝑟) + 𝑔(𝑟) cos 2𝜃 Подставляя в исходное уравнение: (𝑓 + 𝑔 cos 2𝜃) + 1 4𝑔 (𝑓 + 𝑔 cos 2𝜃) − cos 2𝜃 = 0 𝑟 𝑟 Рассмотрим уравнения для 𝑓 и для 𝑔 отдельно: 1 𝑓 =0 𝑟 𝑓 + Отсюда 1 𝑓(𝑅) = − 𝑣 𝑅 4 𝑓(∞) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; (21.11) 1 𝑓 = 𝐴 log 𝑟 + 𝐵 ⇒ 𝑓 = − 𝑣 𝑅 4 Теперь для 𝑔 𝑔 + 1 4 𝑔 − 𝑔=0 𝑟 𝑟 𝑔(∞) = 0; 𝑔(𝑅) = 1 𝑣 𝑅 4 (21.12) Решить его можно например так: Одно решение угадаем: 𝑔 = 𝑟 . Второе по формуле Лиувилля-Остроградского: 𝑦 + 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 ⇒ 𝑊[𝑦 , 𝑦 ] = 𝐶 exp − 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 В нашем случае: 𝑊[𝑦 , 𝑦 ] = 𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑦 = 𝑦 𝐶 ⇒ 𝑥 𝑦 = 𝐶 𝑦 𝐶̃ 𝐶 ⇒ = +𝐴 = 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 Значит общее решение: 𝑔=𝐴 𝑟 1 +𝐵 2 2𝑟 Чтобы соблюсти граничные условия: 𝑔(𝑟) = 𝑣 𝑅 4 114 из 119 𝑅 𝑟 Автор: И. Буренев Метод возмущений в задачах аэродинамики. Значит функция тока: Ψ=𝑣 𝑟 1− 𝑅 𝑟 sin 𝜃 + 𝜀 𝑣 𝑅 4 𝑟 𝑅 (1 − cos 2𝜃) − 1 + 𝑅 𝑟 cos 2𝜃 Можем вычислить компоненты скорости в полярных координатах. 𝑣 = 1 𝜕𝜓 𝑟 𝜕𝜃 𝑣 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑟 Теперь посчитаем циркуляцию: 𝑣 𝑑𝑙𝑙 = Γ= 𝑑𝜃 sin 𝜃 ⋅ (…) + cos 2𝜃 ⋅ (…) − 𝑣 𝑅 𝑑𝜃 = 1 𝜀𝑣 𝑅 2 Видно, что коэффициенты при sin 𝜃 и cos 2𝜃 нас не интересуют потому, что интеграл все равно обратится в 0 (берется по периодам). Значит циркуляция: Γ = −𝜋𝜀𝑣 𝑅 Теперь посчитаем силу. Для начала запишем уравнение Бернулли: 𝑣 𝑝 𝑣 + = 𝐶 ⇒ 𝑝 = 𝜌𝐶 − 𝜌 2 𝜌 2 Тогда сила: 𝐹 =− 𝑝 sin 𝜃 𝑅𝑑𝜃 Чтобы вычислить этот интеграл сперва посчитаем квадрат скорости на границе. 𝑣 =𝑣 = 2𝑣 sin 𝜃 + 1 𝜀𝑣 (1 − 2 cos 2𝜃) 2 =𝑣 4 sin 𝜃 + 2𝜀(1 − 2 cos 2𝜃) sin 𝜃 Здесь оставили лишь первое приближение. Подставим полученное выражение для скорости в интеграл для силы. Сразу заметим, что интегралы от sin 𝜃, sin 𝜃 дадут 0 (нечетные функции на симметричном промежутке). Значит эффективно остается: 𝐹 = 𝜌𝑅𝜀𝑣 = 𝜌𝑅𝜀𝑣 (1 − 2 cos 2𝜃) sin 𝜃𝑑𝜃 = 𝜌𝑅𝜀𝑣 1 (1 + 2 cos 2𝜃)𝑑𝜃 = 𝜌𝑅𝜀𝑣 2 1 (1 − 2 cos 2𝜃)(1 − cos 2𝜃)𝑑𝜃 2 1 (1 + 1 + cos 4𝜃)𝑑𝜃 = 2𝜋𝜌𝑅𝜀𝑣 2 Здесь мы опять воспользовались тем, что интегралы от cos 2𝜃 и cos 4𝜃 обращается в 0. Если выразить силу через циркуляцию получится: 𝐹 = −2𝜌𝑣 Γ 115 из 119 Автор: И. Буренев Метод возмущений в задачах аэродинамики. 21.4 Обтекание профиля однородным дозвуковым потоком сжимаемого газа. Система уравнений для сжимаемой жидкости (17.1)-(17.3) (𝑣 = 𝑢, 𝑣 = 𝑣 ): (𝑎 − 𝑢 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 𝑢𝑣 + + (𝑎 − 𝑣 ) =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Ω =− (21.13) 𝜕𝑢 𝜕𝑣 + =0 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (21.14) 𝑎 𝑣 𝑎 𝑢 +𝑣 + = + 2 𝛾−1 2 𝛾−1 (21.15) Неизвестными являются 𝑢, 𝑣, 𝑎. Будем рассматривать обтекание профиля дозвуковым потоком. Тогда граничные условия: 𝑣→𝑣 𝑥 +𝑦 →∞ 𝑉 𝑙 (21.16) 𝑎→𝑎 𝑛 𝑣 =0 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑙 ∶ Будем решать при помощи потенциала скоростей 𝜑∶ 𝑢= 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝑣= 𝜕𝜑 𝜕𝑦 Тогда выражение (21.14) превращается в тождество, а из (21.15) следует: 𝑎 =𝑎 + 𝛾−1 𝜕𝜑 (𝛾 − 1) 𝑉 − (𝑢 + 𝑣 ) = 𝑎 + 𝑉 − 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑦 − (21.17) Преобразуем (21.13): 𝑎 + 𝛾−1 𝜕𝜑 𝑉 − 2 𝜕𝑥 − 𝜕𝜑 𝜕𝑦 − 𝜕𝜑 𝜕𝑥 ⋅ 𝜕 𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 − ⋅ + + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎 + 𝛾−1 𝜕𝜑 𝑉 − 2 𝜕𝑥 − 𝜕𝜑 𝜕𝑦 − 𝜕𝜑 𝜕𝑥 ⋅ 𝜕 𝜑 =0 𝜕𝑦 (21.18) Граничные условия будут выглядеть так: 𝑥 +𝑦 →∞ 𝜑→𝑉 𝑥 (21.19) 𝜕𝜑 =0 𝜕𝑛 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑙 Введем безразмерные параметры: 𝑥= 𝑥 𝐿 𝑦= 𝑦 𝐿 𝜑= 𝜑 𝑉 𝐿 Сразу запишем систему уравнений (тут на самом деле все в безразмерных переменных, но опустим этот момент для достижения большей наглядности): ⎧ 𝜑 + 𝜑 = 𝑀 (𝜑 ) 𝜑 ⎪ 𝑥 +𝑦 →∞ 𝜑 →𝑥 ⎨ 𝜕𝜑 ⎪ ⎩ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑙 𝜕𝑛 = 0 + 2𝜑 𝜑 𝜑 + (𝜑 ) 𝜑 + 𝛾−1 (𝜑 ) + (𝜑 ) − 1 2 𝜑 +𝜑 (21.20) 116 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Рассматривают разные асимптотики: 1. Профиль тела произвольный и известно решение при 𝑀 = 0, то есть обтекание несжимаемой жидкостью. Тогда, считая малым параметром число Маха, раскладываем все по 𝑀 , например: 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑀 ) = 𝜑 (𝑥, 𝑦) + 𝑀 𝜑 (𝑥, 𝑦) + … 2. Число Маха 𝑀 — произвольно. Рассматриваем профиль с малым параметром 𝜀 — характерным искривлением профиля относительно плоской пластины, и раскладывать по нему: (21.21) 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑀 ) = 𝜑 (𝑥, 𝑦) + 𝜀𝜑 (𝑥, 𝑦) + 𝜀 𝜑 (𝑥, 𝑦) + … 21.5 Дозвуковое обтекание тонкого слабоизогнутого профиля. Рассмотрим профиль, контур которого задан функциями 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥) и 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥), где 𝜀 — малый параметр, отвечающий за отклонение контура профиля 𝑉 𝜀 𝑙 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥) 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥) от оси 𝑥, а ℎ± — некоторые «хорошие» функции. Считаем, что профиль будет вносить малые возмущения в набегающий однородный поток. Решение будем искать в виде ряда по 𝜀. Невозмущенное решение соотвествует однородному потоку: 𝜑 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 (21.22) 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝜀) = 𝑥 + 𝜀𝜑 (𝑥, 𝑦) + … Выпишем уравнения для производных, которые потом надо будет подставлять в ряд. Временно будем опускать черту над безразмерными переменными. 𝜑 =1+𝜀⋅𝜕 𝜑 +𝜀 ⋅𝜕 𝜑 +… 𝜑 =𝜀⋅𝜕 𝜑 +𝜀 ⋅𝜕 𝜑 +… 𝜑 =𝜀⋅𝜕 𝜑 +𝜀 ⋅𝜕 𝜑 +… 𝜑 =𝜀⋅𝜕 𝜑 +𝜀 ⋅𝜕 𝜑 +… 𝜑 =𝜀⋅𝜕 𝜑 +𝜀 ⋅𝜕 𝜑 +… Подставим выражения для производных в первое уравнение системы (21.20) и приравняем коэффициенты при степенях 𝜀: 𝜀 0=0 𝜀 𝜑 +𝜑 =𝑀 𝜑 Из коэффициентов при 𝜀 получаем уравнение на 𝜑 1−𝑀 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (21.23) Граничное условие на бесконечности (на самом деле правильнее было бы сказать, что 𝜑 = 𝑂(1)): 𝑥 +𝑦 →∞ 𝜑 →0 (21.24) Осталось разобраться с тем, что происходит на контуре. Воспользуемся тем, что контур профиля — линия тока (из условия непротекания), а значит: 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥) 𝑦 = 𝜀ℎ (𝑥) 𝜑 𝑣 = = 𝜀ℎ (𝑥) 𝜑 𝑢 𝜑 𝑣 = = 𝜀ℎ (𝑥) 𝜑 𝑢 117 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. Запишем эту систему как одно выражение 𝑦 = 𝜀ℎ± 𝜑 = 𝜑 ⋅ 𝜀ℎ± (𝑥), при 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Предполагая, что 𝜑 — аналитична в окрестности точки 0, разложим ее в ряд Тейлора, пользуясь асимптотическим разложением по параметру: 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑥, 𝜀ℎ± (𝑥) = 𝑥, 𝜀0± = 𝜀 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑥, 0± Производную 𝜕 𝜑 мы уже считали: 𝜕𝜑 𝜕𝜑 =1+𝜀 +… 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Подставим это в соотношение для граничного условия на границе контура и приравняем коэффициенты при 𝜀: 𝜕𝜑 𝑥, 0± = ℎ± (𝑥), 𝜕𝑦 (21.25) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Получилась краевая задача на 𝜑 : 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑 ⎧ 1−𝑀 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎪ 𝜕𝜑 ⎨ 𝜕𝑦 𝑥, 0± = ℎ± (𝑥), ⎪ ⎩ 𝜑 → 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑥 +𝑦 →∞ Если мы решим эту задачу, то получим ответ для исходной с точностью до первого порядка по 𝜀. Теперь будем решать. Для начала перейдем к каноническим переменным, тогда получится уравнение Лапласа. Проделаем это аккуратно ⎧𝜉 = 𝑥 𝜂 =𝑦 1−𝑀 ⎨ 𝜑 (𝑥, 𝑦) = 𝜑 ⎩ 𝜉, 𝜂 = 𝜑̃ (𝜉, 𝜂) 1−𝑀 (21.26) Найдем новые производные: 𝜕𝜑̃ 𝜕𝜂 𝜕𝜑 = = 1−𝑀 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝜑̃ 𝜕𝜉 𝜕𝜑̃ = = 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝜑̃ 𝜕𝜂 𝜕𝜑̃ 𝜕 𝜑 = (1 − 𝑀 ) 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕 𝜑 𝜕 𝜑̃ = 𝜕𝑥 𝜕𝜉 Тогда уравнение в терминах новых переменных примет следующий вид: 𝜕 𝜑̃ 𝜕 𝜑̃ + =0 𝜕𝜉 𝜕𝜂 (21.27) Граничные условия (21.24) и (21.25) в новых переменных: 𝜉 +𝜂 →∞∶ 𝜕𝜑̃ = 𝜕𝜂 𝜑̃ → 0 ℎ (𝜉) (21.28) 1−𝑀 При этом: 1−𝑀 𝜕𝜑̃ (𝜉, 0± ) = ℎ± (𝑥) 𝜕𝜂 Полученную задачу можно интерпретировать как нахождение потенциала 𝜑̃ для обтекания контура новой формы однородным потоком несжимаемого газа, скорость которого направлена вдоль оси 𝑥. Уравнение контура в плоскости 118 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. новых переменных (𝜉, 𝜂): ℎ± (𝜉) 𝜂 = 𝜀𝐻± (𝜉) = 𝜀 1−𝑀 Заметим, что если функция 𝜑̃ (𝜉, 𝜂) удовлетворяет уравнению Лапласа, то и 𝐶 𝜑̃ (𝜉, 𝜂), изменяются лишь граничные условия. Подберем константу таким образом, чтобы контур совпал с исходным. Для этого рассмотрим преобразование: Φ (𝜉, 𝜂) = 𝐶 𝜑̃ (𝜉, 𝜂) (21.29) 𝜕 Φ 𝜕 Φ + =0 𝜕𝜉 𝜕𝜂 (21.30) 𝜉 + 𝜂 → +∞ При этом = ±( ) и, если 𝐶 = (21.31) Φ →0 1 − 𝑀 , то гранусловия будут исходными: 𝜕Φ (𝜉, 0± ) = ℎ± (𝜉) 𝜕𝜂 (21.32) Выражения (21.30)-(21.32) — задача для обтекания контура, при заданных уравнениях ℎ± однородным потоком несжимаемого газа, направленным вдоль оси 𝑥. Теперь вернемся к задаче, которая интересовала нас с самого начала. Пусть мы каким-либо образом решили задачу для несжимаемого газа, то есть Φ — известная функция. Тогда Φ (𝜉, 𝜂) = 1 − 𝑀 𝜑 (𝜉, 𝜂) = 1 − 𝑀 ⋅ 𝜑(𝑥, 𝑦) Далее вернем подчеркивание над безразмерными переменными. 𝜑 (𝑥, 𝑦) = 1 1−𝑀 Φ 𝑥, 𝑦 1 − 𝑀 Это выражение для возмущения потенциала при обтекании нашего контура сжимаемой жидкостью. Только что установили связь между обтеканием профиля несжимаемым и сжимаемым газом. Такой результат получился из-за линейности задачи, которая является следствием малости возмущения. В итоге мы научились сводить задачу об обтекании тонкого профиля сжимаемым газом, к аналогичной задаче для несжимаемого. Используем этот подход, чтобы научиться считать подъемную силу и и давление. Запишем уравнение для импульса в размерных переменных: 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 𝑝 𝑉 = ∇𝜑 = −∇𝑝 𝑑𝑡 Берем производную по времени и записываем в терминах 𝜑, используя то, что 𝑣 = 𝑢, 𝑣 = 𝑣 𝜌 𝑢 𝜕 𝜕 ∇𝜑 + 𝑣 ∇𝜑 = −∇𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Введем еще несколько дополнительных безразмерных переменных: 𝜌= 𝜌 , 𝜌 𝑢= 𝑢 𝑉 𝑣= 𝑣 𝑉 𝑝= 𝑝 𝜌𝑉 Тогда: 𝜌 𝑢 𝜕 𝜕 ∇𝜑 + 𝑣 ∇𝜑 = −∇𝑝 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Разложим все величины по параметру 𝜀: 119 из 119 Автор: М. Минин Метод возмущений в задачах аэродинамики. 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝜀) = 𝑥 + 𝜀𝜑 (𝑥, 𝑦) + … 𝜕𝜑 + ⋯ = 1 + 𝜀𝑢 + … 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑣= =𝜀 + ⋯ = 𝜀𝑣 + … 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑢 =1+𝜀 𝜌 = 1 + 𝜀𝜌 + … 𝜀𝑝 𝑝 + + ⋯ = 𝑝 + 𝜀𝑝 + … 𝑝= 𝜌 𝑉 𝜌 𝑉 Подставим разложения в уравнение закона сохранения импульса. (1 + 𝜀𝜌 + …) 1+𝜀 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕 𝜕 +… (𝑖𝑖 + 𝜀∇𝜑 ) + 𝜀 +… (𝑖𝑖 + 𝜀∇𝜑 ) = −∇ 𝑝 + 𝜀𝑝 + … 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Слагаемые без 𝜀 отсутствуют. Приравняем коэффициенты при первом 𝜀: 𝜕 ∇𝜑 = −∇𝑝 𝜕𝑥 На бесконечности ⇒ ∇ 𝜕𝜑 = −∇𝑝 𝜕𝑥 ⇒ 𝜕𝜑 = −𝑝 + 𝐶 𝜕𝑥 → 0 и 𝑝 → 0, значит константа 𝐶 = 0. Рассмотрим коэффициент местного давления для течения сжимаемого газа: 𝑐 сж = 𝑝−𝑝 𝜌 𝑉 = 2(𝑝 − 𝑝 ) = 2(𝑝 + 𝜀𝑝 + ⋯ − 𝑝 ) = 2(𝜀𝑝 + … ) ≈ −2𝜀 𝜕𝜑 𝜕𝑥 Значит коэффициент для сжимаемого обтекания: 𝑐 сж = − 2𝜀 𝜕 Φ 𝜕𝑥 1−𝑀 (21.33) 𝑥, 𝑦 1 − 𝑀 Если жидкость несжимаема, то 𝑀 → 0, значит коэффициент местного давления в таком случае: 𝑐 несж = −2𝜀 𝜕Φ 𝜕𝑥 Таким образом, научились переводить коэффициент для сжимаемого и несжимаемого случаев друг в друга: 𝑐 сж = 𝑐 несж (21.34) 1−𝑀 Полученная связь называется соотношением Прандтля-Глауэрта. Подъемная сила, действующая на профиль: 𝐹 =− 1 𝜌 𝑉 𝑐 2 𝑝𝑛 𝑑𝑙 = Здесь воспользовались тем, что 𝑛 𝑑𝑙 = −𝑑𝑥. Для коэффициентов подъемной силы: 𝐶 = 𝐹 𝜌 𝑉 𝑆 = 𝑐 𝑑𝑥 Значит для коэффициентов подъемной силы тоже выполняется соотношение Прандтля-Глауэрта. 𝐶 сж = 𝐶 несж 1−𝑀 120 из 119 Автор: М. Минин