2 Расчёт плоских рам

ЛЕКЦИЯ 2
2 Расчёт плоских рам
2.1 Расчёт статически определимых
плоских рам
Если все стержни рамы и прикладываемая нагрузка расположены в одной
плоскости, рама называется плоской.
В статически определимой раме, не содержащей замкнутых контуров
число неизвестных реакций равно количеству независимых уравнений равновесия. Для плоской рамы это три уравнения равновесия. Таким образом, рамы на
рис. 2.1 являются статически определимыми.
Для определения результирующих напряжений в поперечном сечении
рамы используется тот же метод сечений, что мы применяли ранее. Уравновешивая внешнюю нагрузку, действующую на часть конструкции по одну сторону от проведённого поперечного сечения, мы должны в сечении приложить
осевую (нормальную) силу N, поперечную силу Q и изгибающий момент М.
q
q
P
Рис. 2.1 Примеры плоских статически определимых рам
Осевая сила N в поперечном сечении равна по величине и противоположна по направлению сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, на ось стержня рамы. Растягивающая осевая сила - положительная, а сжимающая – отрицательная.
Перерезывающая сила Q в поперечном сечении равна по величине и противоположна по направлению сумме проекций внешних сил, действующих по
одну сторону от сечения, на нормаль к оси стержня рамы. Она положительная,
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
2
если вращает выделенную часть рамы по часовой стрелке и отрицательная, если вращает выделенную часть рамы против часовой стрелки (т.е. это правило
такое же, как и для балки).
Изгибающий момент М в поперечном сечении равен по величине и противоположен по направлению сумме моментов внешних сил действующих по
одну сторону от сечения. Правило знаков для изгибающего момента не определяется, но эпюра изгибающих моментов строится на растянутых волокнах (эти
положения те же, что и для балки).
Рассмотрим пример расчёта рамы.
Для данной рамы (рис. 2.2) определить реакции опор. Построить эпюры
осевых и поперечных сил, изгибающих моментов.
1. Определяем реакции опор, составляя уравнения равновесия.
1) сумма проекций всех сил на горизонтальную ось:
H A  3qa  qa  0  H A  2qa ;
2) сумма моментов всех сил относительно точки А даёт:
3q
a
a
B
VC
C qa
A
HA
VA
Рис. 2.2 Статически определимая рама
VC  a  qa  a  3qa 
a
1
 0  VC  qa ;
2
2
3) сумма моментов всех сил относительно точки С даёт:
 VA  a  3qa 
a
1
 2qa  a  0  VA   qa ;
2
2
4) проверка правильности определения реакций – сумма проекций
всех сил на вертикальную ось:
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
3
1
1
VA  VC   qa  qa  0 .
2
2
2. Строим эпюры.
1) выделим правую часть горизонтального участка (рис. 2.3 а);
действие отброшенной части заменим результирующими напряжений M, Q, N,
действующими в поперечном сечении. Найдём их из уравнений равновесия:
 Fx  0  N  qa  0  N  qa ,
1
 Fy  0  Q  VC  0  Q  VC   2 qa ,
1
 M D  0  M  VC  z  0  M  VC  z  2 qa  z
z
2) выделим нижнюю часть вертикального участка (рис. 2.3 б).
Из уравнений равновесия выделенной части найдём:
N
M
z
VC
M
N
D
C qa
Q
E
Q
a
A
HA
3q
VA
б
Рис. 2.3 Определение равнодействующих напряжений
 Fx  0  H  3q  z  Q  0  Q  H  3q  z  2qa  3qz ,
1
 Fy  0  VA  N  0  N  VA  2 qa ,
3q  z 2
3q  z 2
3q  z 2
 M  0M  Hz
 2qa  z 
.
ME  0 Hz 
2
2
2
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
4
3) по полученным выражениям строим эпюры результирующих
напряжений (рис. 2.4).
Рис. 2.4 Эпюры результирующих напряжений
Найдём значение максимального изгибающего момента, воспользовавшись тем, что производная от изгибающего момента по длине стержня рамы
равна поперечной силе, т.е. в сечении с максимальным моментом поперечная
сила равна нулю. Но для поперечной силы на вертикальном участке имеем выражение:
Q  2qa  3qz .
Т.е. имеем:
2qa 2
2qa  3qzmax  0  zm ax 
 a.
3q 3
Подставим это значение в формулу для изгибающего момента; получим:
M max  2qa  z max 
3q  z 2max
2
3 4
2
 2qa a  q a 2  qa 2 .
2
3
2 3
3
2.2 Расчёт статически неопределимых
плоских рам методом сил
Если рама не содержит замкнутых контуров, то она статически неопределима за счёт наличия лишних опорных связей.
Для закрепления тела на плоскости необходимо, как мы знаем, наложить
три связи. На плоскости шарнирно-подвижная опора накладывает одну связь
(рис. 2.5 а), шарнирно-неподвижная опора накладывает две связи (рис.2.5 б), а
заделка – три связи (рис. 2.5 в). Эти связи можно показывать опорными стержнями (на рисунке они показаны справа от каждого вида опоры).
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
а
б
5
в
Рис. 2.5 Накладываемые связи опор на плоскости
Проводя в стержне сечение, мы убираем три внутренних связи (рис. 2.6
а). Вставляя шарнир, мы убираем одну связь – связь, препятствующую взаимному повороту частей стержня друг относительно друга в сечении установки
шарнира (рис. 2.6 б).
а
б
Рис. 2.6 Внутренние связи в стержне
На рис. 2.7 приведена статически неопределимая рама. Определим степень её статической неопределимости. Так как заделка – три наложенных связи,
а рама имеет две заделки, то три связи таким образом лишние, поскольку для
закрепления рамы на плоскости нам достаточно наложить три связи. Но в раме
есть ещё шарнир, который уменьшает число лишних связей на единицу. Таким
образом, данная рама – два раза статически неопределима.
Рис. 2.7 Пример статически неопределимой рамы
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
6
Для расчёта статически неопределимых ферм мы использовали метод
сил. Применим метод сил и для расчёта статически неопределимых рам.
Система канонических уравнений метода сил запишется, как и для ферм,
11X1  12 X 2  ...  1n X n  1P  0 
 21X1   22 X 2  ...   2 n X n   2 P  0

...
...
...
...

 n1X1   n 2 X 2  ...   nn X n   nP  0
(2.1)
где коэффициенты и свободные члены системы уравнений определяются формулами (сохраняем только компоненту, учитывающую перемещения от изгибающих моментов, т.к. остальные дают пренебрежимо малые добавки):
Mi M j
MM
(2.2)
ij  
dz,  ip   i P dz, i  1,2,...n.
EI
EI
l
l
Интегралы в (2.2) могут быть вычислены по правилу Верещагина.
2.3 Пример расчёта статически неопределимой
плоской рамы методом сил
Рассмотрим пример расчёта статически неопределимой рамы.
Построить эпюры результирующих напряжений для рамы (рис. 2.8):
3 Т/м
2м
C
2м
B
A
Рис. 2.8 Пример статически неопределимой рамы
1. Степень статической неопределимости задачи равна двум, так как достаточно было бы оставить одну заделку, т.е. две связи неподвижношарнирной опоры являются лишними.
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
7
2. Отбросим две «лишних» связи. В качестве таковых выберем угловую и
горизонтальную связи в точке С (рис. 2.9 а) – получаем основную систему.
3 Т/м
2м
Х1
C
Х2
2м
B
А
а
б
Рис. 2.9 Основная и эквивалентная системы рамы
3. Действие отброшенных связей заменяем неизвестными усилиями - моментом Х1 и силой Х2 – получаем, добавляя и внешнюю нагрузку, эквивалентную систему (рис. 2.9 б).
4. Записываем систему канонических уравнений метода сил:
11X1  12X 2  1P  0 
.
 21X1   22X 2   2 P  0
5. Коэффициенты δij (i,j = 1,2) – перемещения в направлении i – ой отброшенной связи от действия Xj = 1, свободные члены ΔiP – перемещения в
направлении i – ой отброшенной связи от действия внешней нагрузки
определяются формулами
ij  
l
Mi M j
EI
dz,  ip  
l
Mi M P
dz, i  1,2
EI
в которых Mi , MP – величины изгибающего момента в поперечном сечении рамы от действия Xj = 1 и от действия внешней нагрузки соответственно.
6. Интегралы в последних формулах могут быть определены по правилу
Верещагина. Таким образом, для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода сил необходимо построить три эпюры изгибающих моментов для статически определимой
основной системы (рис. 2.9 а): от действия внешней нагрузки, от действия
X1 = 1 и от действия X2 = 1. Эти эпюры представлены на рис. 2.10:
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
8
Рис. 2.10 Грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов
7. Определим по правилу Верещагина коэффициенты и свободные члены
системы канонических уравнений метода сил:
1
2
2
1
1
2
E  I  11  1  2  1  , E  I  12  E  I   21  1  2  2  ,
2
3
3
2
3
3
1
2
16
1
1
E  I   22  2  2  2  2  , E  I  1P  1  2  6  2.
2
3
3
2
3
1
2
1
2
1
3
E  I   2 P  2  2  6  12  2  2  6  2  2  18
2
3
2
3
3
4
8. Подставляем найденные значения в систему канонических уравнений метода сил и решаем её:
2
2
3


X1  X 2  2  0  X1  Тм 


3
3
7


2
16
24 

X1  X 2  18  0 X 2   Т 
3
3
7 

9. Строим эпюру изгибающих моментов для исходной задачи (рис. 2.12 а)
как сумму трёх эпюр (рис. 2.11):
M  M p  M1  X1  M 2  X 2 .
10.Эпюра поперечной силы Q строится по эпюре изгибающих моментов М с
dM
использованием дифференциальной зависимости Q 
(тангенс угла
dz
наклона касательной к графику функции изгибающих моментов), с учётом внешней нагрузки и с применением уравнений равновесия каждой из
частей рамы (рис. 2.13).
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
9
Рис. 2.11 Слагаемые эпюры изгибающих моментов
11.Эпюра осевой силы N строится по эпюре поперечной силы Q с применением уравнений равновесия каждой из частей рамы (рис. 2.13). Неизвестные силовые факторы в сечении направляем в положительном направлении (осевая сила положительна, если она вызывает растяжение, поперечная сила положительна, если она вращает выделенную часть рамы по часовой стрелке).
3/7
24/7
9/14
6/7
6
24/7
M Тм
Q T
N T
18/7
а
б
в
Рис.2.12 Эпюры результирующих напряжений для рамы
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Расчёт стержневых систем. Лекция 2
10
24/7 T
6/7
3/7
3 Т/м
X2 = -24/7
Q = -24/7
2м
Q = 9/14 T
Q
a
Q = 3•2 – 24/7 = 18/7
б
Рис. 2.13 Построение эпюр Q и N на участках
© Учебный центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
N = 9/14 Т
в