МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) К.П. МАНДРОВСКИЙ ДИНАМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЙ МАШИН ПРИ ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ Учебное пособие МОСКВА МАДИ 2012 1 УДК 625.76.08:531.3 ББК 39.311-06-5:22.213 М 231 Рецензенты: канд. техн. наук Д.А. Гаглоев, ООО «Компания Би Эй Ви» канд. техн. наук Н.К. Тагиева, МАДИ Мандровский, К.П. М 231 Динамика и математическое моделирование движений машин при оценке устойчивости: учеб. пособие / К.П. Мандровский. – М.: МАДИ, 2012. – 72 с. В данном учебном пособии содержится описание принципов математического моделирования динамических движений элементов машин; принципов блочного моделирования многокомпонентных механических систем в виде, адаптированном к алгоритмизации на компьютере, оснащённом необходимым для этого программным обеспечением. Учебное пособие предназначено для обучения студентов, обучающихся по специальностям ”Динамика дорожно-строительных машин”, ”Динамика машин городского хозяйства”, ”Динамика машин для содержания аэродромов”, ”Динамика машин для обслуживания воздушных судов”; для магистрантов, обучающихся по специальности ”Физическое и математическое моделирование при исследовании процессов работы машин”. УДК 625.76.08:531.3 ББК 39.311-06-5:22.213 © МАДИ, 2012 2 Оглавление Введение……………………………………………………………….. 5 Глава 1. Математические модели плоского одномасового механизма……………………………………………………………… 7 Глава 2. Математические модели плоского многомассового механизма….………..…………………………………………………. 12 2.1. Расчётная схема……...………………………………………… 2.2. Расчётные зависимости многозвенного механизма……… 2.2.1. Определение моментов сил…………………..……………… 2.2.2. Определение направлений действия моментов……..…… 2.2.3. Определение суммарных моментов………………………… 2.2.4. Определение угловых ускорений……………………….…… 2.2.5. Обеспечение фиксации звеньев…………………………….. 2.2.5.1. Фиксация звеньев рабочего оборудования……………… 2.2.5.2. Фиксация звена 1 (опорно-ходовое устройство)……….. 2.2.6. Силы инерции от поступательного движения……………... 12 20 20 27 31 35 36 36 38 39 Глава 3. Математические модели пространственного трёхмассового механизма…………………………………………. 41 Расчётная схема, упрощения и допущения……………….. Расчётные случаи и допустимые позиции рабочего оборудования…………………………………………………… 3.3. Исходная информация к расчётам и результат…………... 3.4. Моменты сил……………………………………………………. 3.4.1. Центробежная сила от поворота стрелы…………………... 3.4.2. Сила инерции от поворота стрелы………………………….. 3.1. 3.2. 3 41 45 48 51 51 54 3.4.3. Центробежная сила от поворота платформы……………... 3.4.4. Сила инерции от поворота платформы…………………….. 3.4.5. Сила Кориолиса от совместного движения платформы и стрелы……………………………………………………………. 3.4.6. Силы тяжести стрелы, платформы и опорно-ходового устройства……………………………………………………….. 3.4.7. Силы инерции от поступательного движения шасси…….. 3.4.8. Силы инерции и центробежные силы от поворота вокруг ребра опрокидывания…………………………………………. 3.4.9. Силы Кориолиса от поворота вокруг ребра опрокидывания………………………………………………….. 3.5. Законы движения……………………………………………….. 56 58 Вопросы для самоконтроля………………………………………. 70 60 62 65 67 68 69 Литература……………………………………………………………... 71 4 ВВЕДЕНИЕ В процессе работы оборудование машины находится в движении, это сопровождается изменением положения центров тяжести оборудования в пространстве и возникновением динамических нагрузок. В силу этого изменяются нагрузки на опорных конструкциях (колёсах, гусеницах, выносных опорах). Если нагрузка на опорной конструкции, т.е. реакция опоры, равна нулю, то это означает, что возможен поворот машины вокруг оси, образованной опорами, на которых реакция нулю не равна (ребро опрокидывания). Если имеет место такой поворот, то устойчивость машины потеряна. В результате потери устойчивости возникает опасность выхода линии действия равнодействующей сил тяжести за пределы площади, ограниченной опорным контуром. Если в таком состоянии машина не имеет опоры рабочим оборудованием или другими элементами об объекты, обладающие достаточной прочностью, то произойдёт опрокидывание машины. Во избежание подобных аварийных ситуаций необходимо производить расчёт на устойчивость. Есть различные типовые методики оценки устойчивости. Как правило, при расчёте коэффициента устойчивости по этим методикам определяются только нагрузки от сил тяжести, а динамические нагрузки учитываются при помощи коэффициента запаса. В силу большого количества неучтённых факторов точность таких расчётов достаточно мала. Есть различные компьютерные программы, ориентированные на графическое построение компьютерной графической модели исследуемого объекта с последующим автоматизированным составлением и решением систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемой модели. К таким программам можно отнести Euler и Simulinc (в среде MATLAB). Однако нет детальной информации о том, какие именно математические модели заложены в их основу. 5 Существует большое количество научных работ по исследованию и оценке динамики машин и механизмов, однако они направлены на решение иных задач, отличных от оценки устойчивости. Существует большое количество научных работ в области оценки и повышения устойчивости машин. Однако способы, рассматриваемые в них, ориентированы на применение к какому-то одному виду машин. Судя по опубликованной отечественной научной литературе, на данный момент направление по математическому моделированию динамической устойчивости, применимому к нескольким видам машин, пригодному к алгоритмизации при помощи компьютера, является мало разработанным. Весьма распространённым инструментом динамики, используемым в 20 столетии, были эквивалентные приведённые расчётные схемы. Исследовалась не схема самой машины, а другая схема, признанная в некоторой степени эквивалентной исходной. Как правило, эквивалентная схема представляла собой систему масс, соединённых друг с другом упругими элементами – пружинами. Массы, упругие элементы и движения такой схемы не имели непосредственной связи с аналогичными параметрами изучаемого объекта. Это определяло необходимость интерпретации результатов вычислений, а значительное количество упрощений и допущений при составлении эквивалентной схемы делало очень ограниченной область её использования. Развитие компьютерной техники открыло новые просторы для математического моделирования, дало возможность использовать расчётные схемы, по своим свойствам гораздо более близкие к исследуемому объекту. Математическое моделирование на базе таких схем и рассматривается в настоящем учебном пособии. 6 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ОДНОМАССОВОГО МЕХАНИЗМА В настоящей главе, а также в главах 2, 3 одна масса соотносится с одним звеном. Под звеном понимается недеформируемый элемент. Одномассовый механизм является однозвенным, многомассовый – многозвенным. Каждое звено имеет минимум одну вращательную степень свободы, в некоторых случаях добавляется поступательная степень свободы, однако движение по ней задаётся упрощённо, без составления дифференциального уравнения. Одномассовый (однозвенный) механизм, рассматриваемый в настоящей главе, имеет одну вращательную степень свободы. Для упрощения понимания механизма построения математических моделей целесообразно разобрать простой пример, на базе которого решение более сложных задач станет более ясным (рис. 1). Рис. 1 Расчётная схема однозвенного механизма: Мторм – момент торможения, Н·м; Рин – сила инерции, Н; G – вес тела, Н; α – угловая координата центра тяжести тела, град.; L – расстояние от центра тяжести до ребра поворота, м; ω0 – начальная угловая скорость, рад./с. Тело расположено на горизонтальной поверхности. Под внешним воздействием тело было перемещено по часовой стрелке в угловое положение, определяемое координатой α0. По достижении 7 угла α0 тело имеет некоторую скорость ω0 = α0’ = dα0 / dt0. По достижении угла α0 внешнее воздействие, переместившее тело в данную позицию, исчезает и возникает момент торможения Мторм, имеющий постоянную величину в течение времени торможения tторм. Момент времени, в который достигается координата α0 и угловая скорость ω0, называется начальным моментом времени t0, а вместе величины t0, α0 и ω0 называются начальными условиями. Во время движения силы инерции (если не указывается тип движения, то здесь и в дальнейшем понимать как касательные силы инерции при вращении) создают момент Мин: Мин = Рин·L=G·α’’·L2 / g, Н·м; (1) Сила тяжести создает момент Мт: Мт = G·L·cos(α), Н·м. (2) Момент торможения постоянен в течение времени tторм и направлен против начальной угловой скорости: Мторм=const. Положительное направление отсчёта угловой координаты α примем против часовой стрелки. Следует обратить внимание на правильность определения знаков угловых координат, угловых скоростей и моментов сил. На схеме угол α и скорость ω показаны с учётом знака. Моменты на схеме (см. рис.1 ) обозначены без учёта знака. Угловая скорость равна приращению угловой координаты в единицу времени, т.е. ωi=(αi - αi-1) / (ti - ti-1), соответственно, если с течением времени угол α уменьшается, то значение угловой скорости будет меньше нуля. На схеме тело двигается по часовой стрелке, угловая координата уменьшается, следовательно, значение угловой скорости будет меньше нуля. Угловое ускорение равно приращению угловой скорости в единицу времени εi = (ωi - ωi-1) / (ti - ti-1). При составлении исходных данных к решению задачи важно правильно указать знаки угловой координаты α0 и угловой скорости ω0. Значение углового ускорения – уже расчётная величина, знак 8 будет определен в результате решения дифференциального уравнения. Сила инерции Рин создаёт момент, противоположно направленный угловому ускорению. При выбранном направлении положительного отсчёта угла α угловое ускорение будет иметь знак “+”, когда тело будет иметь ускоренное движение против часовой стрелки (либо замедленное движение по часовой стрелке, как в нашем случае), в этом случае момент от сил инерции будет положительным (см. формулу 1), и будет направлен по часовой стрелке. Отсюда следует, что момент силы положителен, если действует по часовой стрелке. По этому правилу следует назначить знаки моментам от всех сил, действующих на тело. Момент торможения должен быть противоположно направлен угловой скорости, в нашем случае угловая скорость – по часовой стрелке, значит, момент торможения – против часовой стрелки. Соответственно знак момента Мторм – ”-”, момент торможения задаётся, поэтому перед началом расчёта важно правильно указать знак. Знак момента от силы тяжести G при таком положении, как показано на рис. 1, будет отрицательным, так как сила тяжести стремится повернуть тело против часовой стрелки. Сила тяжести изменит знак в момент времени, когда угловая координата α=90°. При α>90° cos(α) < 0, при α<90° cos(α) > 0 (см. формулу 2), это соответствует верному расчёту знака момента от сил тяжести. Имеет место следующее дифференциальное уравнение: Мин + Мт + Мторм = 0 или α' ' G ⋅ L2 + G ⋅ L ⋅ cos(α ) + М торм . g Данное уравнение содержит косинус с искомым аргументом, что исключает возможность получить аналитическое решение. Большинство дифференциальных уравнений, используемых в моделировании, по различным причинам невозможно решить аналитиче9 ски. В таком случае используют численные способы решения – численное интегрирование. Для реализации численных методов решения уравнение нужно представить в виде: ε = α' ' = (-G ⋅ L ⋅ cos(α ) + Мторм ) ⋅ g G ⋅ L2 . Решение уравнения является зависимостью величины угла отклонения α от времени действия момента Мторм. Решение необходимо получить для интервала времени от t0 = 0 до tторм. Так можно вычислить величину углового ускорения для начальных условий – в начальный период времени t0. Если принять, что в течение малого промежутка времени ∆t ускорение не меняет своего значения, то можно вычислить изменение угловой скорости ω0 за время ∆t и изменение угловой координаты α0 за время ∆t. После этого заново вычислить величину углового ускорения для изменившихся значений угловой координаты и угловой скорости. Этот расчёт нужно повторять до тех пор, пока сумма интервалов ∆t не станет равной величине времени торможения tторм. Для того чтобы исследовать поведение системы на заданном отрезке времени, необходимо провести множество подобных расчётов на всем исследуемом отрезке. Каждый последующий расчёт производится для исходных данных (αi и ωi), полученных от предыдущего расчёта. Для реализации расчёта необходимы специальные формулы численного решения дифференциальных уравнений, при помощи которых можно было бы вычислять текущие значения αi и ωi. Самыми простыми являются формулы метода Эйлера: ωi+1 = ωi + εi·∆t; αi+1 = αi + ωi·∆t, где i – номер временного интервала ∆t и номер расчёта. Величина ∆t – интервал, в течение которого текущее значение углового ускорения ε и угловой скорости ω считаются неизменными – это допущение численного расчёта, делающее его приближённым. 10 Для этих неизменных в промежутке ∆t ускорения и скорости определяются изменения угловой скорости εi·∆t и угловой координаты ωi·∆t. Приведённые формулы обладают очень низкой точностью, поэтому есть и другие способы численного решения. К ним можно отнести метод Адамса-Крылова, метод Рунге-Кутта и др. [2, 4, 5, 6,7], но они более сложные. Путём небольшого усложнения приведённых выше формул можно достигнуть повышения точности расчёта: ωi+1 = ωi + εi·∆t; αi+1 = αi + ωi·∆t+ εi·∆t2/2. В силу достаточно низкой точности расчёта при помощи приведённых формул величину ∆t необходимо принимать весьма малой, поэтому с уменьшением ∆t точность повышается. Достаточно малое значение ∆t видно по изменению результата. Как только он перестаёт меняться, следует прекратить уменьшать ∆t и принять текущее его значение. Результатом расчёта являются зависимости α(t), ω(t), ε(t), по которым можно составить представление о поведении механизма. Сопутствующим результатом являются зависимости всех силовых факторов, действующих в механизме, от времени. Величина момента торможения Мторм и время его действия tторм должны быть такими, чтобы изменение угла α находилось в интервале (0°…180°), иначе уравнение необходимо будет пересматривать для более общего случая. Если решить дифференциальное уравнение, то будет получен закон углового перемещения тела. Знание этого закона позволит ответить на вопрос о том, вернётся ли тело в исходную позицию или продолжит движение в заданном направлении. Следует отметить, что способ представления массы вращающегося тела, сосредоточенной в центре тяжести, является приближённым, поскольку каждая элементарная масса имеет свои кинематические параметры. Место приложения равнодействующей переменно и зависит от параметров вращения тела. 11 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО МНОГОМАССОВОГО МЕХАНИЗМА Современные компьютерные программы динамических исследований строятся на принципе так называемого блочного моделирования. Каждый элемент расчётной схемы представляется блоком (модулем), содержащим самостоятельные математические модели. Блоки можно соединять друг с другом практически в произвольном порядке. Можно “собрать” компьютерную модель реального объекта из отдельных блоков, имеющих графическое изображение на экране компьютера. В результате получается объединённая система математических моделей, позволяющая исследовать реальный объект. В настоящей главе рассматривается математическое моделирование, которое нельзя назвать полностью построенным по блочному принципу, однако обозначен подход, при дальнейшем развитии которого можно получать блочные математические модели. 2.1. Расчётная схема Можно представить два направления, отличающихся детализацией расчёта: • определение закона изменения угловых координат всех звеньев в функции времени; • определение закона изменения угловой координаты только первого звена (опорно-ходовое устройство); законы изменения остальных угловых координат задать. Второе направление значительно проще, но даёт меньше информации и результаты расчёта менее точны. Для его реализации требуется составить всего одно уравнение динамики и решить его. Такой вариант рассмотрен в главе 3. Первое направление требует составления системы динамических уравнений с последующим её решением. Остановимся на реализации первого направления. 12 Любая машина состоит из отдельных элементов, соединённых друг с другом определённым образом. Для динамического расчёта необходимо составить упрощённую схему машины с обозначением в ней существующих степеней свободы. Рассмотрим полноповоротный гусеничный экскаватор с рабочим оборудованием – рукоять, стрела, ковш. Рукоять, стрела и ковш могут вращаться друг относительно друга в плоскости, перпендикулярной опорному контуру. (Опорный контур – многоугольник, образованный опорными элементами машины. В случае с экскаватором – опорные элементы – гусеницы, а опорный контур - прямоугольник). Возможность вращения поворотной платформы обеспечивает рабочему оборудованию возможность вращения также и в плоскости, параллёльной опорному контуру. Для описания такого количества степеней свободы необходима пространственная расчётная схема. Чтобы ограничиться плоской схемой, рассмотрим устойчивость экскаватора при неподвижной поворотной платформе (рис. 2). Схема состоит из 4-х звеньев (см. рис. 2), шарнирно соединённых друг с другом:1 – гусеничная тележка и поворотная платформа с противовесом, 2 – стрела, 3 – рукоять, 4 – ковш. В силу того, что при неподвижной поворотной платформе опорно-ходовое устройство, поворотная платформа и противовес неподвижны друг относительно друга, то есть возможность объединить их в одно звено – звено 1. Все звенья принимаются абсолютно жёсткими, так как их упругость не оказывает заметного влияния на устойчивость. Для составления расчётных формул необходимо обозначить центры тяжести элементов экскаватора относительно звеньев и координаты шарниров звеньев (рис. 3). На рис. 3 обозначено: • L1…L4 – длины звеньев; • α1… α4 – углы между звеньями и осью X; Rц.т.1…Rц.т.4 – расстояния от ближних к основанию шарниров 13 Рис. 2. Упрощённая схема экскаватора 14 звеньев до центров тяжести соответствующих элементов (радиусы центров тяжести); • αц.т.1… αц.т.4 – углы между радиусами Rц.т.1…Rц.т.4 и звеньями. Принимается, что все углы отсчитываются против часовой стрелки и считаются при этом положительными. Если вращение имеет место против часовой стрелки, то угловая скорость имеет знак “+”, если ускорение движения происходит против часовой стрелки, то ускорение имеет знак “+”. Звено 1 начинает поворачиваться только в случае потери устойчивости экскаватора. Звенья 2, 3 и 4 поворачиваются друг относительно друга. У некоторых экскаваторов рукоять (звено 2) имеет переменную длину. Если стремиться создать обобщённую динамическую схему, то для каждого звена схемы необходимо предусмотреть: • изменение угла между последующим и предыдущим звеном; • изменение длины звеньев. С целью уменьшения области исследования учтено будет только изменение углового положения звеньев. Целью динамического расчёта на устойчивость является оценка состояния машины на предмет опрокидывания. Для исследования возможности опрокидывания необходимо определить наихудший расчётный случай – набор условий, при которых опрокидывание наиболее вероятно. Для экскаватора при рассмотрении плоской схемы таким набором условий является одновременное торможение стрелы, рукояти и ковша при движении их вниз. В общем случае одновременное торможение необходимо предусмотреть для всех звеньев схемы. Процесс торможения удобно характеризовать временем, в течение которого осуществляется полная остановка замедляющегося элемента. В реальных условиях это время неизвестно. Оператор, манипулируя органами управления, варьирует усилие торможения так, чтобы элемент рабочего оборудования остановился при прохождении некоторого пути. Этот путь в данном случае характеризуется углом поворота звена αi. 15 Рис.3. Параметры многозвенного механизма 16 У экскаватора, в зависимости от углового положения стрелы, рукояти и ковша, при стабильном усилии на гидроцилиндрах, момент торможения будет различным. Если пренебречь этим фактом, момент торможения можно принять постоянным. Таким образом, процесс торможения будет характеризоваться моментами торможения Мтормi , имеющими постоянное значение в течение временных отрезков tтормi. Опрокидывание можно считать совершившимся в том случае, если по истечении самого длительного интервала времени из tтормi поворот звена 1 будет продолжаться в том же направлении, что и в начальный момент торможения – дальнейшее движение будет происходить за счёт действия сил тяжести. Если же движение звена 1 будет происходить в обратном направлении, то окончательного опрокидывания не произойдёт, так как силы тяжести вернут систему в исходное положение. На изменение угла α1 с течением времени оказывает влияние результирующий момент сил относительно шарнира. Момент сил, в свою очередь, зависит от всех углов αi. Для решения задачи необходимо получить зависимость всех углов αi от времени. На рис. 4 представлена схема сил, действующих на элементы плоского многозвенника. Принимается, что равнодействующие сил приложены в центрах тяжести. На звенья будут действовать силы (см. также [3]): • центробежные (Fцб) – от поворота звена и от поворота всех предыдущих звеньев; • инерции (Fин) – от поворота звена, и поворота всех предыдущих звеньев; • тяжести (G); • моменты торможения Мторм (имитируют действие гидроцилиндров). Например, на звено 4 будет действовать 9 сил и 1 момент (см. рис. 4), из них: • Fцб 41 … Fцб 44 – центробежные силы от вращения звеньев 1-4; 17 • Fин. 41 … Fин. звеньев 1-4; 44 – силы инерции от торможения вращающихся • G4 – сила тяжести звена 4 (ковш); • Мторм4 – момент торможения, имитирующий действие гидроцилиндра поворота ковша. Центробежные силы всегда направлены от центра вращения. Силы инерции перпендикулярны вектору между первым шарниром звена и его центром тяжести (см. рис. 4). Направление силы инерции зависит от направления углового ускорения звена. Угловое ускорение является неизвестной величиной, его нужно определять путём решения дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений). Поэтому на схеме силы инерции условно показаны действующими в двух направлениях, какое направление достоверно – покажет расчёт. Следует отметить, что в схеме на рис. 4 не учитываются силы Кориолиса от совмещения движений, принимается, что влияние их незначительно. Таким образом, составлена упрощённая расчётная схема на примере экскаватора с неподвижной поворотной платформой при замедленном движении рабочего оборудования. Эта схема позволяет составить необходимые для оценки устойчивости математические модели. 18 Рис. 4. Схема сил в плоском многозвеннике (силы Кориолиса не учитываются) 19 2.2. Расчётные зависимости многозвенного механизма Для создания расчётных зависимостей необходимо реализовать этапы: 1. Для каждого из звеньев определить моменты сил. 2. Определить направления действия моментов на звеньях. 3. Определить суммарные моменты, действующие на звеньях. 4. Определить угловые ускорения, изменения угловых скоростей и угловых координат звеньев. 2.2.1. Определение моментов сил В параграфе 2.1 приведены силы, которые действуют в многозвеннике. Центробежная сила определяется формулой: Fцб = G·ω2·R / g, Н. Сила инерции определяется формулой: Fин = G·ε·R / g, Н, где G – вес тела, Н; ω – угловая скорость тела, рад/с; ε – угловое ускорение тела, рад/с2; R – расстояние от оси вращения до центра тяжести, м; g –ускорение свободного падения, м/сек2. Для удобства определение рычагов и других характеристик показано на трехзвенной схеме (рис. 5). Номеру i соответствует номер центра тяжести, который создаёт силу (соответствует номеру звена). Номеру j соответствует номер шарнира в многозвеннике (совпадает с номером звена, является первым шарниром звена), вокруг которого вращается центр тяжести i, создавая этим центробежную силу и силу инерции (рычаги действия сил инерции rин k,i,j на схеме не показаны). Номеру k соответствует номер шарнира в многозвеннике (совпадает с номером звена, является первым шарниром звена), для которого определяется момент от сил, возникающих от вращения центра тяжести с номером i вокруг оси с номером j. В случае с силами тяжести номеру k соответствует шарнир, для которого определяется момент от центра тяжести с номером i. 20 Рис. 5 Схема рычагов сил в многозвеннике (показаны только центробежные силы и силы тяжести): rцб k,i,j – рычаги действия центробежных сил; rG k,i – рычаги действия сил тяжести. 21 Для удобства расчётов координаты шарниров звеньев и их центров тяжести удобно перевести в общую систему координат (Y, X) – (см. рис. 5). Это можно сделать следующим образом. Координаты шарниров звеньев: Xi+1 = Xi + Li · cos(αi); Yi+1 = Yi + Li · sin(αi). Координаты центров тяжести звеньев: Xц.т. i = Xi + Rц.т. i · cos(αi + αц.т.i); Yц.т. i = Yi + Rц.т. i · sin(αi + αц.т.i), где i – количество звеньев. Как видно из схемы на рис. 5, количество рычагов только от одних центробежных сил достаточно велико. Это определяет потребность в систематизации их представления. Уравнения моментов центробежных сил для каждого из звеньев будут иметь вид: Моменты на звене 1: Моменты на звене 2: Моменты на звене 3: Fцб 33·rцб 133 ≠ 0 Fцб 33·rцб 233 ≠ 0 Fцб 33·rцб 333 = 0 Fцб 32·rцб 132 ≠ 0 Fцб 32·rцб 232 = 0 Fцб 32·rцб 332 ≠ 0 Fцб 31·rцб 131 = 0 Fцб 31·rцб 231 ≠ 0 Fцб 31·rцб 331 ≠ 0 Fцб 22·rцб 122 ≠ 0 Fцб 22·rцб 222 = 0 Fцб 21·rцб 121 = 0 Fцб 21·rцб 221 ≠ 0 Fцб 11·rцб 111 = 0 Элементы уравнений можно представить в матричном виде: 1) рычаги действия сил на звене 1: 4) ц.б. cилы, действ. на звено 1: rцб 111 = 0 0 rцб 121 = 0 rцб 122 rцб 131 = 0 rцб 132 Fцб 11 rцб rцб 221 231 0 rцб rцб 222 232 0 Fцб 21 Fцб 22 rцб 133 Fцб 31 Fцб 32 2) рычаги действия сил на звене 2: 0 0 0 0 0 Fцб Fцб 22 Fцб 33 5) ц.б. cилы, действ. на звено 2: 0 =0 0 = 0 rцб 233 0 0 21 31 Fцб Fцб 22 32 0 0 Fцб 33 3) рычаги действия сил на звене 3: 0 0 0 0 0 0 rцб 331 rцб 332 rцб 333 6) ц.б. cилы, действ. на звено 3: 0 0 =0 Fцб 0 0 31 Fцб 0 0 32 Fцб 33 Если матрицы рычагов умножить на матрицы центробежных сил, то будут получены уравнения моментов центробежных сил. В соответствии с общепринятой индексацией элементов матриц первая цифра в индексе соответствует номеру строки, вторая цифра – номеру столбца. Это правило нарушается для матриц рычагов, где номер матрицы стоит на первом месте. В связи с этим следует изменить порядок расположения индексов: вместо rцб k,i,j применить индексацию rцб i,j,k. В таком случае номер i будет соответствовать номеру строки, номер j – номеру столбца, номер k – номеру матрицы. Массив rцб i,j,k является трёхмерным и состоит из 3-х двумерных матриц. В случае с 3-звенным механизмом все размерности массива равны 3, в общем случае размерности массива – равны числу звеньев. Максимальные значения величин i, j и k всегда равны, поскольку они обозначают номера звеньев и их первые шарниры (т.е. шарниры, ближние к основанию). Теперь необходимо определить способ расчёта рычагов (рис. 6) и сил. Величину рычага силы инерции и центробежной силы можно найти, исходя из треугольника, образованного шарниром звена, относительно которого определяется момент (моментное звено – хмом, yмом), шарниром звена, вокруг которого вращается центр тяжести (моментообразующее звено – хмобр, yмобр), и центром тяжести (хцт, yцт). В общем случае все эти три координаты могут принадлежать разным звеньям. 23 Рис. 6. Схема к расчёту рычагов действия сил В частном случае все три координаты будут принадлежать одному звену. Например, если нужно определить рычаг действия силы инерции на шарнире звена 1, образованной вращением центра тяжести звена 1 вокруг своего же шарнира. Звено 1 будет и моментным и моментообразующим, т.е. хмом=хмобр=x1 и yмом=yмобр=y1 – вместо треугольника, показанного на схеме (см. рис. 6), получится прямая. Центр тяжести также будет принадлежать звену 1 (xцт 1, yцт 1), рычаг действия силы будет равен радиусу центра тяжести и в соответствии с принятой индексацией будет обозначаться как rин111. Например, если нужно определить рычаг действия силы инерции, вызванной замедленным вращением звена 3 вокруг шарнира звена 2, действующего на шарнир звена 1, моментным звеном будет звено 1 (хмом=x1; yмом=y1), моментообразующим – звено 2 (хмобр=x2; yмобр=y2), а звено 3 (хцт=xцт 3; yцт=yцт 3) за счёт наличия силы тяжести приведёт к возникновению силы инерции. В соответствии с индексацией k,i,j рычаг будет обозначаться как rин 132. Таким образом, Rшцт – это не расстояние от центра тяжести звена до шарнира вращения этого звена, а расстояние от шарнира вращения до центра тяжести (см. рис. 6). Величина Lш – это не длина звена, а расстояние от шарнира, на котором определяется момент (моментного), до шарнира, вращение вокруг которого привело к возникновению момента (моментообразующего). 24 Координаты хмом, yмом, хмобр, yмобр, хцт, yцт можно получить по формулам перехода к координатам (Y, X). Зная величины этих координат, можно определить размеры сторон треугольника, образованного шарнирами и центром тяжести (см. рис. 6, [1]): L цт = ( х цт − х мом )2 + ( y цт − y мом )2 ; Lш = ( х мобр − х мом )2 − ( y мобр − y мом )2 ; Rшцт = ( х мобр − х цт )2 − ( y мобр − y цт )2 . Зная стороны треугольника, можно вычислить угол при вершине αLR: αLR 2 L2цт + R шцт − L2ш . = a cos 2 ⋅ L цт ⋅ R шцт Зная величину αLR, можно определить величины рычагов: rцб = Lцт · sin(180 - αLR); rин = Lцт · cos(180 - αLR). Для сил инерции уравнения моментов, матрицы рычагов и матрицы сил будут такими же, как и в случае с центробежными силами, но все рычаги действия сил будут отличны от нуля: 1) моменты на 4) рычаги действия сил 7) ц.б. cилы, действ. звене 1: на звене 1: на звено 1: Fин 33·rин 133 ≠ 0 Fин 32·rин 132 ≠ 0 rин 111 0 0 Fин 11 0 0 Fин 21 Fин 22 0 rин 121 rин 122 0 Fин 31·rин 131 ≠ 0 Fин 31 Fин 32 Fин 33 rин 131 rин 132 rин 133 Fин 22·rин 122 ≠ 0 Fин 21·rин 121 ≠ 0 Fин 11·rин 111 ≠ 0 2) моменты на 5) рычаги действия сил 8) ц.б. cилы, действ. звене 2: на звене 2: на звено 2: Fин 33·rин 233 ≠ 0 0 0 0 0 0 0 Fин 32·rин 232 ≠ 0 Fин 21 Fин 22 0 rин 221 rин 222 0 Fин 31·rин 231 ≠ 0 Fин 31 Fин 32 Fин 33 Fин 22·rин 222 ≠ 0 rин 231 rин 232 rин 233 Fин 21·rин 221 ≠ 0 25 3) моменты на 6) рычаги действия сил 9) ц.б. cилы, действ. звене 3: на звене 3: на звено 3: Fин 33·rин 333 ≠ 0 0 0 0 0 0 0 Fин 32·rин 332 ≠ 0 0 0 0 0 0 0 Fин 31·rин 331 ≠ 0 Fин 31 Fин 32 Fин 33 r r r ин 331 ин 332 ин 333 Путём умножения матриц сил на матрицы моментов будут получены исходные уравнения. Процедура определения моментов от сил тяжести менее трудоёмка. Уравнения моментов от сил тяжести (см. рис. 5) будут иметь вид: 1) моменты на звене 1: 2) моменты на звене 2: 3) моменты на звене 3: G3·rG 13 ≠ 0 G3·rG 23 ≠ 0 G3·rG 33 ≠ 0 G2·rG 12 ≠ 0 G2·rG 22 ≠ 0 G1·rG 11 ≠ 0 В матричном виде элементы этих уравнений удобно представить следующим способом: 2) рычаги действия сил: 1) cилы тяжести звеньев: G1 G2 G3 G1 G2 G3 G1 G2 G3 rG 11 0 0 rG 12 rG 22 0 rG 13 rG 23 rG 33 В 1-м столбце матрицы рычагов – рычаги сил для звена 1, во 2-м – для звена 2, в 3-м – для звена 3. Индексы в матрице сил тяжести соответствуют номеру звена. Если матрицу сил тяжести умножить на матрицу рычагов, то будут получены уравнения моментов от сил тяжести. Для матричного представления определения центробежных сил необходимо обладать матрицами сил тяжести, угловых скоростей и радиусов вращения. Если посмотреть на схему трёхзвенного механизма (см. рис. 5), то радиусы вращения Rшцт и Lш на ней показаны пунктирными линиями. Радиусом вращения является только та часть пунктирной 26 линии, которая соединяет шарнир вращения с центром тяжести (см. рис. 5). Как видно из этой же схемы, проекции радиусов вращения на ось Х совпадают с соответствующими рычагами сил тяжести. Если применить индексацию рычагов сил тяжести к радиусам вращения для того, чтобы получить матрицу центробежных сил, необходимо составить следующие три матрицы: 1) силы тяжести: 2) угловые скорости: 3) радиусы вращения: G1 G1 G1 G2 G3 G2 G3 G2 G3 ω1 ω1 ω2 ω2 ω3 ω3 ω1 ω2 ω3 Rшцт 11 0 Rшцт 12 Rшцт Rшцт 13 Rшцт Для определения силы инерции: 1) силы тяжести: 2) углов. ускорения: G1 G1 G1 G2 G3 G2 G3 G2 G3 ε1 ε1 ε1 ε2 ε2 ε2 ε3 ε3 ε3 22 0 0 23 Rшцт 33 3) радиусы вращения: Rшцт Rшцт Rшцт 11 12 13 0 Rшцт Rшцт 22 0 0 23 Rшцт 33 Индексы при силах тяжести, угловых скоростях и ускорениях соответствуют номерам звеньев. В случае с силой инерции, угловое ускорение является расчётной, а не задаваемой величиной. Этот вопрос будет рассмотрен в параграфах 2.2.3, 2.2.4. 2.2.2. Определение направлений действия моментов Для того чтобы определить направление момента, нужно знать ориентацию линии действия силы относительно оси, для которой определяется момент и направление силы. На рис. 7 представлена схема определения направлений для моментов центробежных сил. Схематично изображены все возможные ориентации шарнира моментообразующего звена (координаты Хмобр, Yмобр ) и центра тяжести (Хцт, Yцт) относительно шарнира моментного звена (Хм, Yм). 27 Рис. 7. Схема определения направлений действия моментов от динамических сил вращательного движения Векторами обозначены центробежные силы, которые имели бы место в случае вращения центра тяжести с координатами (Хцт, Yцт) вокруг шарнира с координатами (Хмобр, Yмобр). Направление действия центробежной силы можно описать соотношением значений координат центра тяжести и шарнира вращения. Ориентацию линии действия центробежной силы относительно оси действия момента можно описать соотношением координат пересечения Х, Y линии действия с осями, имеющими начало в шар28 нире моментного звена (т.е. в ”оси” действия момента) с координатами шарнира моментного звена (Хм, Yм). Каждый из векторов центробежной силы, создающий момент, отличный от нуля, имеет номер (см. рис. 7). Нумерация необходима для записи соотношений координат. Если записать все 64 условия (32 из них определяют направление действия момента по часовой стрелке и 32 - против), то выяснится, что многие из них одинаковы. Для каждого из направлений действия моментов имеют место по 8 различных условий: - против часовой стрелки 1; 15; 18; 21; 32; (Y> Yм X< Xм Yцт< Yмобр Xцт< Xмобр) 2; 19; 22; (Y> Yм Yцт= Yмобр Xцт< Xмобр) 3; 6; 20; 23; 24; (Y> Yм X> Xм Yцт> Yмобр Xцт< Xмобр) 4; 7; 25; ( X> Xм Yцт> Yмобр Xцт= Xмобр) 5; 8; 11; 26; 27; (Y< Yм X> Xм Yцт> Yмобр Xцт> Xмобр) 9; 12; 28; (Y< Yм Yцт= Yмобр Xцт> Xмобр) 10; 13; 16; 29; 30; (Y< Yм X< Xм Yцт< Yмобр Xцт> Xмобр) 14; 17; 31. ( X< Xм Yцт< Yмобр Xцт= Xмобр) - по часовой стрелке 33; 47; 50; 53; 64; (Y> Yм X< Xм Yцт> Yмобр Xцт> Xмобр) 34; 51; 54; (Y> Yм Yцт= Yмобр Xцт> Xмобр) 35; 38; 52; 55; 56; (Y> Yм X> Xм Yцт< Yмобр Xцт> Xмобр) 36; 39; 57; ( X> Xм Yцт< Yмобр Xцт= Xмобр) 37; 40; 43; 58; 59; (Y< Yм X> Xм Yцт< Yмобр Xцт< Xмобр) 41; 44; 60; (Y< Yм Yцт= Yмобр Xцт< Xмобр) 42; 45; 48; 61; 62; (Y< Yм X< Xм Yцт> Yмобр Xцт< Xмобр) 46; 49; 63. ( X< Xм Yцт> Yмобр Xцт= Xмобр) Для того чтобы воспользоваться этими условиями, необходимо найти уравнение линии действия силы и координаты пересёчения её с осями. Уравнение линии действия силы – это уравнение прямой линии: Yцбс=kцбс·Хцбс+bцбс, 29 где kцбс=(Yцт-Yмобр)/(Хцт-Хмобр); bцбс=Yмобр-kцбс·Хмобр. Теперь можно найти координаты X и Y пересечения линий действия с осями, имеющими своё начало в шарнире с координатами (Хм, Yм). Пересечение с вертикалью: Y=kцбс·Хм+bцбс. Пересечение с горизонталью: Х= (Yм- bцбс)/ kцбс. Расчёт по этим формулам возможен в случае, когда линия действия силы не параллельна ни одной из осей. Если линия действия параллельна абсциссе, то величина Х не определена, а Y=Yцт=Yмобр, равенство Yцт=Yмобр является условием параллельности линии действия абсциссе. Если линия действия параллельна ординате, то не определена величина Y, а Х=Хцт=Хмобр. Равенство Хцт=Хмобр является условием параллельности линии действия ординате. Силы тяжести неизменны в своём направлении, поэтому направление момента от них зависит только от того, слева или справа находится сила относительно моментного шарнира: • если Хцт>Хм (т.е. центр тяжести находится справа), то момент направлен по часовой стрелке; • если Хцт<Хм (т.е. центр тяжести находится слева), то момент направлен против часовой стрелки. Направление моментов от сил инерции зависит от направления угловых ускорений звеньев. Угловое ускорение – величина расчётная, искомый аргумент. Соответственно нет необходимости определять направления действия моментов от сил инерции. Моменты торможения – задаваемые величины, т.е. определяются перед тем, как производить расчёт. Реализуемый способ учёта моментов торможения в математических моделях процесса динамической устойчивости имеет ряд недостатков, описанных в параграфе 2.1. Есть ещё один недостаток, о котором не упоминалось ранее. Время действия момента торможения также задаётся, и оно 30 скорее всего будет отличаться от того реального значения времени, которое необходимо для того, чтобы остановить звено. После остановки звена (для обеспечения его дальнейшей неподвижности) потребуется уже иное значение момента торможения. Об устранении этого недостатка будет сказано в параграфе 2.2.5. Приведённый способ определения направлений моментов универсален, так как позволяет определять знаки при любых относительных положениях звеньев плоского механизма – они могут вращаться друг вокруг друга неограниченное число раз, при этом механизм может занимать любые возможные положения. 2.2.3. Определение суммарных моментов Прежде чем заниматься определением суммарных моментов, необходимо вернуться к вопросу, поставленному в параграфе 2.2.2 – угловое ускорение является расчётной величиной, которую необходимо определить. Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо обладать двумя начальными условиями – начальным значением координаты (перемещением) и первой её производной (скоростью). Так как самое первое значение скорости задаётся, то она с позиций циклического численного расчёта является величиной задаваемой, а не расчётной. В каждом новом цикле расчёта используются угловая скорость и перемещение, полученные от предыдущего расчёта, и определяется новое текущее значение ускорения. Итак, необходимо определить величину ускорения ε, которая содержится в формуле определения силы инерции. Для лучшего понимания последовательности определения ускорения можно рассмотреть уравнение моментов сил для однозвенного механизма: Fцб·rцб + G·rG + Мторм + rин·( G·ε·Rцт / g )=0. Откуда ε определяется выражением: ε= (rин·G·Rцт/ g ) / ( - Fцб·rцб - G·rG - Мторм). (3) Переходя к рассмотрению (см. формулу 3) многозвенного механизма для определения ε необходимо иметь: 31 • матрицу моментов центробежных сил; • матрицу моментов сил тяжести; • матрицу моментов торможения; • матрицу множителей при угловом ускорении (числитель в формуле 3); • матрицу знаков моментов центробежных сил; • матрицу знаков моментов сил тяжести. Матрица множителей получается умножением матриц рычагов, сил тяжести и радиусов вращения и делением этого произведения на ускорение земного тяготения g. Матрица множителей имеет вид: а) для сил инерции на звене 1: rин111 ⋅ Rшцт11 ⋅ G1 0 rин121 ⋅ Rшцт12 ⋅ G2 rин122 ⋅ Rшцт 22 ⋅ G2 0 0 rин131 ⋅ Rшцт13 ⋅ G3 rин132 ⋅ Rшцт 23 ⋅ G3 rин333 ⋅ Rшцт 33 ⋅ G3 (4) б) для сил инерции на звене 2: 0 0 0 rин221 ⋅ Rшцт12 ⋅ G2 rин222 ⋅ Rшцт 22 ⋅ G2 0 rин231 ⋅ Rшцт13 ⋅ G3 rин232 ⋅ Rшцт 23 ⋅ G3 rин233 ⋅ Rшцт 33 ⋅ G3 (5) в) для сил инерции на звене 3: 0 0 rин331 ⋅ Rшцт13 ⋅ G3 0 0 rин332 ⋅ Rшцт 23 ⋅ G3 0 0 rин333 ⋅ Rшцт 33 ⋅ G3 (6) Матрица тормозных моментов для трёхзвенного механизма имеет вид: (7) | Мторм1 Мторм2 Мторм3| Матрицы знаков заполняются в соответствии с расположением сил по правилам назначения знаков, приведённым в параграфе 2.2.2. Остальные составляющие были определены ранее. Теперь можно перейти к составлению системы уравнений в матричной форме. Для трёхзвенника система состоит из трёх уравнений, а в общем случае число уравнений равно числу звеньев. 32 Система уравнений линейная, так как ускорение во всех случаях имеет знак степени 1. Для трёхзвенника имеет место система из 3-х линейных уравнений. Если записать её в обычных математических символах, то получим: a1 ⋅ x1 + b1 ⋅ x 2 + c1 ⋅ x 3 = k 1 a 2 ⋅ x1 + b 2 ⋅ x 2 + c 2 ⋅ x 3 = k 2 a ⋅ x + b ⋅ x + c ⋅ x = k 3 2 3 3 3 3 1 (8) Для реализации решения системы уравнений в матричной форме на компьютере относительно величин х1=ε1, х2=ε2, х3=ε3 нужно привести систему уравнений к двум матрицам следующего вида: a1 b1 c1 k1 a2 b2 c 2 и k 2 a3 b3 c 3 k3 (9) Если иметь две этих матрицы, то решение сложности не представляет. В отношении трёхзвенника – величины х1, х2, х3 – величины ускорений звеньев с соответствующим номером. Ранее были записаны матрицы сил и матрицы рычагов для центробежной силы (см. раздел 2.2.1), если перемножить их, умножить на матрицу, содержащую знаки при моментах, то в каждой из получившихся матриц будут находиться моменты центробежных сил с учётом знака. Для случая с трёхзвенником – таких матриц три. Если сложить элементы в каждой из матриц, то будут получены суммарные моменты от центробежных сил для каждого звена. Моменты от сил тяжести для всех звеньев описываются одной матрицей, получаемой перемножением матриц сил тяжести, рычагов и знаков. Если сложить элементы в столбцах, то будут получены суммарные моменты от сил тяжести для каждого звена. Матрица моментов торможения представляет собой векторстроку, каждый элемент которой является моментом торможения на соответствующем звене с учётом знака. 33 Если обозначить суммарный момент от центробежной силы на звене 1 как Мцб1, на звене 2 – Мцб2, на звене 3 – Мцб3; суммарный момент от сил тяжести на звене 1 – MG1, на звене 2 – MG2, на звене 3 – MG3; момент торможения на звене 1 – Мторм1, на звене 2 – Мторм2, на звене3 – Мторм3, то в соответствии с принятыми обозначениями элементы k1, k2 и k3 (см. формулы 8, 9) будут определены следующим образом: k1= - (Мцб1 + MG1 + Мторм1); k2= - (Мцб2 + MG2 + Мторм2); k3= -(Мцб2 + MG2 + Мторм2). (10) Матрицы с множителями при угловых ускорениях необходимы для получения величин a, b и с. Во всех трех матрицах множителей в первом столбце содержатся множители при ускорении ε1 звена 1, во 2-м столбце – при ε2, в 3-м столбце – при ε3. Матрица 1 (см. формулу 4) определяет моменты от сил инерции, действующие на шарнире звена 1, матрица 2 (см. формулу 5) – моменты на звене 2, матрица 3 (см. формулу 6) – моменты на звене 3. Если сложить в матрице 1 элементы по столбцам, то будут получены величины а1, b1, с1, в матрице 2 – величины а2, b2 и с2, в матрице 3 – величины а3, b3 и с3. Если обозначить матрицу множителей для звена 1 (п.4) как ММин1, для звена 2 (п.5) – как ММин2, для звена 3 (п.6) – ММин3, то получим: a1 = a2 = a3 = 3 ∑ (ММ ин1 )i1; i =1 3 ∑ (ММ ин2 i1 ∑ (ММ ин3 i1 i =1 3 i =1 b1 = ) ; b2 = ) ; b3 = 3 ∑ (ММ ин1 )i2 ; i =1 3 ∑ (ММ ин2 i2 ∑ (ММ ин3 i2 i =1 3 i =1 c1 = ) ; c2 = ) ; c3 = 3 ∑ (ММ ин1 i3 ∑ (ММ ин2 i3 ∑ (ММ ин2 i3 i =1 3 i =1 3 i =1 ) ) (11) ) где i – номер строки; индексы 1,2 и 3 – номера столбцов; количество элементов в сумме равно 3 для 3-звенного механизма, в общем случае равно числу звеньев. 34 2.2.4. Определение угловых ускорений Подставив значения элементов, обозначенных в формулах 10, 11 в матрицы, описывающие систему линейных уравнений (формула 9), можно получить искомые величины ε1, ε2 и ε3. Угловое ускорение – вторая производная от угловой координаты. Поэтому система состоит из дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнение для однозвенного механизма с указанием зависимости от величины угловой координаты α, угловой скорости ω=α’ и ускорения ε=α’’ имеет вид: Fцб(α’)·rцб + G·rG(α) + Мторм + rин·( G·α’’·Rцт / g )=0. В уравнении показаны дифференциальные аргументы (α’ и α’’) и величины, от них зависящие (Fцб и Fин). В случае многозвенного механизма зависимость составляющих уравнений от дифференциальных аргументов более сложна. На примере одного уравнения из системы это можно показать так: Fцб(α’,α)·rцб(α) + G·rG(α) + Мторм + rин(α)·( G·α’’·Rцт(α) / g )=0. Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо обладать двумя начальными условиями – α0 и ω0=α’0. Начальные условия – это угловые координаты и угловые скорости звеньев в начальный момент времени. Под начальным моментом понимается такой момент времени, с которого начинается исследование поведения механизма. В случае оценки динамической устойчивости начальный момент определяется началом действия моментов торможения. Если решить полученную в параграфе 2.2.3 систему уравнений для начальных значений угловых координат и угловых скоростей, то будут получены значения угловых ускорений звеньев для начального момента времени. Путём реализации численного расчёта, описанного в главе 1, можно получить решение для интересующего интервала времени. 35 2.2.5. Обеспечение фиксации звеньев В математических моделях для обеспечения их соответствия реальному поведению механизма необходимо учесть ряд дополнительных по отношению к рассмотренным условий: • обеспечение фиксации звеньев рабочего оборудования в момент достижения нулевой относительной угловой скорости; • обеспечение фиксации звена 1 (опорно-ходовое устройство) при возврате в исходную позицию. Момент торможения на звене 1 определяется действием опорной поверхности, а не силовых элементов. В начальный момент времени звено 1 неподвижно, в качестве момента торможения выступает удерживающий момент в комбинации с действием момента от опоры на поверхность. Момент торможения может действовать только в одну сторону – определяемую действием опорной поверхности. 2.2.5.1. Фиксация звеньев рабочего оборудования На данный момент звено под действием момента торможения при достижении нулевой угловой скорости не остановится, а начнёт вращаться в противоположном направлении. Начальный момент торможения, который задаётся перед началом расчёта, используется для остановки. После того, как относительная угловая скорость станет равна нулю (относительно звена, на котором оно закреплено), для поддержания неподвижности необходимо приложить тормозной момент другой величины. С течением времени нагрузки в механизме меняются, поэтому и тормозной момент будет переменным. Ранее была составлена система дифференциальных уравнений движения в таком виде, в каком её удобно решать при помощи компьютера (см. формулы 8, 9, 10, 11 параграфа 2.2.3). После подстановки описанных составляющих система примет вид: 36 3 3 3 ∑ (ММин1 )i1 ⋅ ε1 + ∑ (ММин1 )i2 ⋅ ε 2 + ∑ (ММин1 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб1 + MG1 + Мторм1 ) i =1 i =1 i =1 3 3 3 ∑ (ММин2 )i1 ⋅ ε1 + ∑ (ММин2 )i2 ⋅ ε 2 + ∑ (ММин2 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб2 + MG2 + Мторм2 ) i =1 i =1 i =1 3 3 3 ⋅ + ⋅ + (ММ ) ε (ММ ) ε (ММин3 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб3 + MG3 + Мторм3 ) ∑ ∑ ∑ ин3 i1 1 ин3 i2 2 i =1 i =1 i =1 Необходимый для обеспечения относительной неподвижности момент торможения можно найти следующим образом. Например, при обеспечении неподвижности звена 1 система уравнений примет вид: 3 3 3 1⋅ Мторм1 + ∑ (ММин1 )i2 ⋅ ε 2 + ∑ (ММин1 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб1 + MG1 ) - ∑ (ММин2 )i1 ⋅ 0 i =1 i =1 i =1 3 3 3 ∑ (ММин2 )i1 ⋅ 0 + ∑ (ММин2 )i2 ⋅ ε 2 + ∑ (ММин2 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб2 + MG2 + Мторм2 ) i =1 i =1 i=1 3 3 3 ∑ (ММин3 )i1 ⋅ 0 + ∑ (ММин3 )i2 ⋅ ε 2 + ∑ (ММин3 )i3 ⋅ ε 3 = - (Мцб3 + MG3 + Мторм3 ) i=1 i =1 i =1 Результатом решения такой системы будут значения момента торможения на звене 1 Мторм1, достаточного для обеспечения его относительной неподвижности; величин угловых ускорений звеньев 2 и 3 ε2 и ε3. Для обеспечения неподвижности всех звеньев вместо угловых ускорений следует подставить 0 и перенести моменты торможения с коэффициентом 1 таким же образом, как это показано в системе уравнений. Такое преобразование в системе возможно только в случае, когда угловая скорость звена, для которого рассчитывается момент торможения, равна нулю. При помощи такой процедуры можно рассчитать момент торможения, достаточный для обеспечения отсутствия ускорения. Если угловая скорость звена равна нулю, то приложение такого момента к нему определит его дальнейшую неподвижность. Такой способ полностью применим для обеспечения фиксации звеньев, являющихся элементами рабочего оборудования. 37 2.2.5.2. Фиксация звена 1 (опорно-ходовое устройство) В случае со звеном 1 описанный способ имеет недостатки. Процедуру фиксации для звена 1 необходимо реализовать в 2-х случаях: 1) опрокидывающих сил недостаточно для того, чтобы повернуть опорно-ходовое устройство в сторону опрокидывания даже на малый угол. В этом случае имеет место запас статической устойчивости. Без процедуры фиксации звено 1 просто начнёт “двигаться” в опорную поверхность, что невозможно в реальных условиях; 2) опрокидывающих сил достаточно для того, чтобы “качнуть” машину в сторону опрокидывания на малый угол, по достижении которого опорно-ходовое устройство вернётся в исходную позицию. Без процедуры фиксации звено 1 также начнёт “двигаться” в опорную поверхность. Для первого случая приведённый способ полностью подходит, так как скорость звена 1 перед расчётом момента торможения равна нулю. Во втором случае звено 1 по достижении исходной позиции (именно в этот момент нужно включить процедуру фиксации), т.е. в момент касания опорной поверхности, будет иметь ненулевую угловую скорость. Если приложить рассчитанный приведённым способом тормозной момент, то звено 1 не остановится, а продолжит движение со скоростью, равной скорости до приложения момента. Однако если знать этот недостаток, то его наличие не помешает оценить устойчивость машины. Возможна ситуация, в которой в начальный момент времени машина имеет запас устойчивости, а в следующий момент уже раскачивается. В таком случае предусмотрена возможность включения фиксации в начальный момент и отключение её впоследствии. При окончательном опрокидывании процедура фиксации не нужна. 38 2.2.6. Силы инерции от поступательного движения Силы инерции могут возникать и при перемещении машины. Ограничимся рассмотрением сил инерции от поступательного движения. В таком случае для однозвенного механизма уравнение моментов примет вид: Fцб·rцб + G·rG +(G / g)·|a|·rип+ Мторм + rин·( G·ε·Rцт / g )=0, где |a| – модуль ускорения поступательного движения, м/с2; 9.81 – ускорение земного тяготения, м/с2; G – вес механизма, Н; rип – рычаг действия силы инерции поступательного движения. В случае с многозвенным механизмом ускорение поступательного движения будет действовать соответственно на каждое из звеньев, для всех звеньев его направление и величина будут постоянными, а силы инерции из-за различия в массах будут отличаться. Как и в случае с другими силами, необходимо определить знак момента от сил инерции поступательного движения, зависящий от его направления. Знак можно определить способом, подобным приведённому ранее, но линия действия силы инерции от поступательного движения ограничена в своём направлении, поэтому для данного случая не нужен такой сложный способ определения знаков. На рис. 8 приведена схема определения направлений действия моментов. Для упрощения процедуры наложено ограничение на диапазон изменения угла αг уклона опорной поверхности к горизонту: αг может изменяться в интервале от 0 до 90 град., исключая 90, нулевое значение находится на абсциссе (горизонтальная линия), справа от основания угла. Для определения знаков необходимо знать, как ориентирована линия действия силы инерции относительно рассматриваемого шарнира с координатами (Хм,Yм). Для ответа на этот вопрос необходимо найти уравнение линии действия и определить координаты X и Y пересечения её с абсциссой и ординатой, имеющими начало в точке (Хм, Yм). Уравнение линии действия - это уравнение прямой: Yип=kип·Хип+bип, 39 где kип=tg(αг) и bип=(Yцт-Yм)+(Хм-Хцт)· tg(αг) – коэффициенты. Рис. 8. Схема определения направлений моментов от сил инерции поступательного движения Координаты Х и Y (см. рис. 8) можно найти из формул: Y=bип; Х=-bип/kип. В отличие от ускорения углового, ускорение поступательного движения с одним и тем же знаком может приводить к возникновению моментов сил инерции разных направлений, поэтому для определения направления момента необходимо правило назначения знаков, а в формуле моментов ускорение стоит со знаком модуля. Правило назначения знаков: если проекция ускорения ап на абсциссу направлена вправо, то ускорение имеет знак “+”, т.е. больше нуля. Ускорение ап со знаком “+” показано на рис.8. Как было показано раньше, момент имеет знак “+” в том случае, если направлен по часовой стрелке. В соответствии с принятыми условиями имеет место следующая схема назначения знаков: 40 • если ап < 0 и ( Y > 0 и Х < 0 ), то момент имеет знак “+”; • если ап < 0 и ( Y < 0 и Х > 0 ), то момент имеет знак “-”; • если ап > 0 и ( Y > 0 и Х < 0 ), то момент имеет знак “-”; • если ап > 0 и ( Y < 0 и Х > 0 ), то момент имеет знак “+”. Координаты Y и Х определены в относительной системе отсчёта, имеющей начало в точке (Хм,Yм), поэтому условия определения знаков не содержат численные значения Хм и Yм, вместо них стоит значение “0”. Чтобы учесть влияние этой силы, необходимо включить её момент в правую часть системы дифференциальных уравнений, представленных в папарграфе 2.2.5. ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТРЁХМАССОВОГО МЕХАНИЗМА Как уже было отмечено в параграфе 2.1, в настоящей главе будет рассмотрено определение закона изменения угловой координаты только первого звена (опорно-ходовое устройство), законы изменения остальных угловых координат будут заданы. Рассмотрим способ построения математических моделей без базирования на матричных вычислениях. В данном случае для каждой массы будут составлены отдельные зависимости (чего нельзя сказать о материалах предыдущей главы), что определяет значительно более простой уровень алгоритмизации при программировании на компьютере. 3.1. Расчётная схема, упрощения и допущения Для того чтобы описать поведение машины с позиции оценки устойчивости во время выполнения транспортных операций, необходимо составить дифференциальное уравнения моментов сил, действующих на элементы машины, относительно ребра опрокидывания. Результатом решения такого уравнения будет закон измене41 ния угловой координаты опорно-ходового устройства αт в функции времени (рис. 9). Этот закон и является ответом на вопрос об определении устойчивости. Если αт =0 и не меняется с течением времени, значит сохраняется статическая устойчивость; если αт отлична от нуля, но с течением времени она опять принимает нулевое значение – машина качнулась, но не опрокинулась; в другом случае имеет место окончательное опрокидывание. Для составления дифференциального уравнения необходимо обладать расчётной схемой (см. рис. 9), характеризующей техническое средство, устойчивость которого оценивается. Многие самоходные машины, выполняющие перемещение груза, имеют поворотную платформу. Для того чтобы обеспечить универсальность дифференциального уравнения, необходимо составить его как минимум для 3-массовой схемы, где 1-я масса составит опорно-ходовое устройство (mт), 2-я масса – поворотную платформу (mп), 3-я масса - РО и груз (mс), которая для упрощения в дальнейшем изложении будет называться массой стрелы. Если машина не обладает поворотной платформой, то значение mп и ωп нужно приравнять к нулю. Таким образом, расчётная схема является трёхмассовой с 4мя степенями свободы. Степени свободы характеризуются угловыми координатами. Можно предложить следующее исчисление угловых координат платформы и стрелы: 42 Рис. 9. Расчётная схема пространственного трёхмассового трёхзвенного механизма Примечание: mc – масса стрелы, т; mп – масса платформы, т; mт – масса опорно-ходового устройства, т; Lб – длина опорного контура (по той стороне, которой перпендикулярно ребро опрокидывания), м; k0L·Lб – часть длины Lб, показывающая расстояние от ребра Р1 до оси вращ. стрелы, м; rш.с – радиус вращения шарнира стрелы, м; hш.с – расстояние от плоскости опорного контура до шарнира вращения стрелы, м; hш.с.п. – расстояние от шарнира вращения стрелы 43 до ц.т. платформы, м; rцт.с – радиус ц.т. стрелы, м; rцт.п – радиус ц.т. платформы, м; hцт.т – высота расположения ц.т. тележки, м; lцт.т.1 – расстояние от ребра Р1 до ц.т. тележки, м; βпр – угол продольного уклона, град.; αс – угловая координата стрелы, град.; ωс – угловая скорость вращения стрелы, рад./с.; εс – угловое ускорение стрелы, рад./сек2; αп – угловая координата платформы, град.; ωп – угловая скорость платформы, рад./с.; εп – угловое ускорение платформы, рад./с.2; а1 – ускорение поступательного движения, м/с.2; αт – угловая координата тележки, град; ωт – угловая скорость тележки при повороте вокруг ребра опрокидывания, рад./с.; εт – угловое ускорение тележки при повороте вокруг ребра опрокидывания, рад./с.2; Fин.р.с, Fин.р.п, Fин.р.т – силы инерции, создаваемые соответственно массой стрелы, платформы, тележки в результате поворота вокруг ребра опр., кН; Fк.р.с – сила Кориолиса, создаваемая массой стрелы в результате одновременного поворота вокруг ребра, поворота стрелы и поворота платформы, кН; Fк.р.п – сила Кориолиса, создаваемая массой платформы в рез. одноврем. поворота вокруг ребра и пов. платформы, кН; Fцб.с – центробежная сила, создаваемая массой стрелы при её повороте, кН; Fин.с – сила инерции, создаваемая массой стрелы при её ускоренном/замедленном повороте, кН; Fин.п.с – сила инерции, создаваемая массой стрелы при ускоренном/замедленном повороте платформы, кН; Fин.п.п – сила инерции, создаваемая массой платформы при ускоренном/замедленном повороте платформы, кН; Fк.п.с – сила Кориолиса, создаваемая массой стрелы в результате одновременногно поворота платформы и стрелы, кН; Fт.п, Fт.т, Fт.с - силы тяжести соответственно платформы, тележки, стрелы, кН; Fин.пст.п, Fин.пст.т, Fин.пст.с – силы инерции поступательного движения, создаваемые соответственно массой платформы, тележки, стрелы, кН; Fцб.п.с, Fцб.п.п – центробежные силы, создаваемые массой соответственно стрелы, платформы при повороте платформы, кН; rин.р.с – рычаг действия силы инерции Fин.р.с, м; rин.р.п – рычаг действия силы инерции Fин.р.п, м; rин.р.т – рычаг действия силы инерции Fин.р.т, м. Другие диапазоны углов α и αc не рассматриваются в виду достаточного описания всех возможных сочетаний и с такими диапазономи. Для моделирования движений машины в целом с ускорением а1, поворотной платформы с ускорением εп, РО(рабочего оборудования) с ускорением εс в общем случае также необходимы дифференциальные уравнения (сколько движений, столько и дифференциальных уравнений). Однако это делает математические модели весьма громоздкими. В связи с чем можно составить уравнение только для поворота вокруг ребра опрокидывания, при этом поступательное движение машины, вращательное движение платформы и РО моделировать упрощённым способом. Величины а1, εп и εс принимаются постоянными и задаются расчётчиком, т.е. являются исходной информацией. Их значения принимаются такими, чтобы 44 обеспечить остановку за заданное время. В случае с поступательным движением задаётся величина и направление ускорения а1, время его действия Та1, начальное значение скорости не требуется; в случае с вращательными движениями платформы и стрелы задаются начальные угловые скорости ωп0, ωс0 и ускорения замедления εп0 и εс0, задавать время торможения не требуется. Это позволяет описать расчётную схему, обладающую четырьмя степенями свободы, одним дифференциальным уравнением поворота вокруг ребра опрокидывания. 3.2. Расчётные случаи и допустимые позиции рабочего оборудования Маловероятно, чтобы оператор совместил вращательное движение платформы с поступательным движением шасси, невозможно совместить операцию подъёма груза с поступательным движением шасси, если используются выносные опоры (аутриггеры). У некоторых машин, например, мини-погрузчиков, центр тяжести базового шасси смещён к задней оси. При движении мини-погрузчика задним ходом под уклон при поднимающемся и затормаживающемся РО (рабочем оборудовании) есть опасность потери устойчивости. Можно выделить 4 расчётных случая: 1. Замедленное движение поворотной платформы в направлении увеличения вылета совмещено с замедленным движением опускающегося РО, когда ребро опрокидывания находится со стороны РО и перпендикулярно меньшей из сторон опорного контура (экскаватор, автокран, стреловой подъёмник). 2. Замедленное поступательное движение совместно с замедленным движением опускающегося РО, когда ребро опрокидывания находится со стороны РО и перпендикулярно большей из сторон опорного контура (экскаватор с неподвижной платформой, фронтальный погрузчик, фронтальный погрузчик с телескопической стрелой, фронтальный мини-погрузчик, стреловой подъёмник). 45 3. Замедленное движение опускающегося РО, когда ребро опрокидывания находится со стороны РО и перпендикулярно меньшей из сторон опорного контура (автокран, экскаватор, стреловой подъёмник). 4. Замедленное движение задним ходом совместно с замедленным подъёмом РО, когда ребро опрокидывания находится со стороны, противоположной РО, перпендикулярно большей из сторон опорного контура (фронтальный погрузчик, фронтальный минипогрузчик, фронтальный погрузчик с телескопической стрелой, экскаватор, стреловой подъёмник). Под приведёнными обозначениями понимается следующее: • фронтальный погрузчик – имеет РО постоянной длины, закреплённое к передней части машины; • фронтальный погрузчик с телескопической стрелой (телескопический погрузчик) – имеет РО переменной длины, закреплённое, как правило, в задней части машины; • фронтальный мини-погрузчик – имеет РО постоянной длины, закреплённое, как правило, в задней части машины; • стреловой подъёмник – в отличие от фронтального погрузчика, имеет поворотную платформу, не предназначен для подъёма груза большой массы, используется, как правило, для подъёма людей на заданную высоту. За счёт комбинации позиций секций стрелы может обеспечить любую комбинацию высоты её подъёма и вылета (расстояние по параллели к опорной поверхности) в некотором диапазоне; • ребро опрокидывания со стороны РО – дифференциальное уравнение, описывающее поворот; составляется для ребра, через которое “свешивается” РО; • ребро опрокидывания перпендикулярно меньшему из размеров опорного контура – дифференциальное урав46 нение, описывающее поворот; составляется для одного из рёбер по “длинной” стороне опорного контура (опорный контур представляется как прямоугольник). Для упрощения математических моделей были наложены ограничения на диапазоны изменения угловых позиций шасси, стрелы и платформы. Угловая позиция шасси к горизонту должна находиться в диапазоне 0° … 45°, она равна сумме βпр+| αт |. Если сумма выходит за этот диапазон, расчёт прекратится раньше времени Тmax. Соответственно угол уклона βпр может принимать значения от 0° до ≈40°, он измеряется по часовой стрелке и имеет нулевое значение на горизонтали, слева от основания угла (см. рис. 9). Угловая координата шасси αт измеряется от опорной поверхности до опорного конура. Она может изменяться только по часовой стрелке и принимать только отрицательные, отличные от нуля, значения; αт изменяется автоматически на базе приведённых формул. Возможность изменения только по часовой стрелке продиктована тем, что ребро опрокидывания в соответствии с расчётной схемой находится только справа, а шасси не будет двигаться “в опорную поверхность” изменение против часовой стрелки невозможно. Соответственно, если в процессе расчёта угловая координата αт станет больше нуля, то расчёт будет остановлен. Если положительное значение достигнуто в самый начальный момент времени, значит, сохраняется статическая устойчивость; если по истечении некоторого времени, то машина только качнулась. Угловая координата платформы αп и стрелы αс может изменяться в диапазоне от -89,9° до +89,9°. Если в процессе расчёта угол выйдет за этот диапазон, то расчёт будет прекращён. При наличии поступательного движения (а1≠0) наложено ограничение на позицию РО. Если угловая координата αс сначала была меньше -10º, а затем стала больше этого значения (совмещение поступательного движения с подъёмом РО с уровня ниже опорной поверхности), либо сначала была больше, а затем стала меньше (со47 вмещение поступательного движения с опусканием РО на уровень ниже опорной поверхности), то присутствует возможность ошибки определения знаков моментов от сил инерции поступательного движения от массы стрелы. Такие условия движения труднодостижимы, поэтому не предусматриваются. 3.3. Исходная информация к расчётам и результат Для расчёта необходимо обладать исходной информацией, которую можно разделить на три группы (табл. 1). Постоянные величины, например, такие, как масса стрелы mс, не меняются в процессе расчёта. Начальные значения переменных величин, например, начальное значение угловой координаты стрелы αс, задаются в исходной информации, в процессе расчёта их значения в зависимости от режима исследования могут быть пересчитаны. В результате данная группа величин является как исходной информацией, так и результатом расчёта. Характеристики численного решения дифференциального уравнения предназначены для определения точности вычислений, поскольку численные методы являются приближёнными, а также для определения максимального временного интервала исследования, поскольку процессы движения происходят с течением времени. В процессе расчёта для получения широкого спектра информации можно формировать массивы значений различных величин, пример пунктов такого массива расположен в табл. 2. Каждому наименованию табл. 2 будет соответствовать целый ряд значений, например, угловая координата αт имеет закон изменения в функции времени, остальные величины табл. 2 также зависят от времени. Иными словами, массив с результатами расчёта не может иметь размерность менее двух, столбцам будут соответствовать названные в табл. 2 величины, а строки будут содержать законы их изменения. 48 Таким образом, исходная информация представляет собой одномерный массив (вектор-столбец или вектор-строка), а результат расчёта – двумерный массив. Таблица 1 Исходная информация № пп. ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Усл.об. Числ.зн. 4 1. Масса стрелы, т mc 2. Масса платформы, т 11.2 mп 3. Масса опорно-ходового устройства, т 9 mт Длина опорного контура, м (размер, перпендикулярный ребру опрокидыва4. 3.4 ния) Lб 5. Резерв 0 Часть длины LB, показывающая расстояние от ребра Р.1 до оси вращ. стре6. 1.7 лы, м; k0L*Lб 7. Резерв 0 Радиус вращения шарнира стрелы, м - измеряется параллельно опорному 8. 0.33 контуру от оси вращения платформы до оси вращения стрелы rш.с Расстояние от плоскости опорного контура до шарнира вращения стрелы, м 9. 1.924 - измеряется параллельно оси hш.с Расстояние от шарнира вращения стрелы до ц.т. платформы при измерении 10. параллёлно оси вращения платформы hш.с.п. -0.4803 Радиус ц.т. стрелы, м - расстояние в плоскости вращения стрелы от оси 11. 5.3483 вращения до ц.т. rцт.с Расстояние от оси вращения стрелы до ц.т. платформы при измерении па12. 1.88 раллельно опорному контуру rцт.п Высота расположения ц.т. тележки от опорного контура (измеряется по пер13. 0.5 пендикуляру к контуру) hцт.т Расстояние от ребра Р1 до ц.т. тележки (измеряется параллёльно опорному 14. 1.7 контуру) lцт.т1 15. Резерв 0 Угол продольного уклона, измеряется от горизонтали до опорного контура по 16. часовой стрелке, нулевое значение на горизонтали, слева от основания уг5 ла, град. (от 0 до +45) βпр 17. Резерв 0 НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 20 18. Угловая координата стрелы, град. (от -89.9 до + 89.9) αс 19. Угловая скорость вращения стрелы, рад./с -0.8 ωс 20. Угловое ускорение стрелы, рад./с2 0.8 εс 21. Угловая координата платформы, град. (от -89.9 до +89.9) -40 αп 22. Угловая скорость платформы, рад./с 1 ωп 23. Угловое ускорение платформы, рад./с2 -1 εп 24. Ускорение поступательного движения, м/с2 -2.5 а1 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Резерв Продолжительность действия ускорения а1, с Та1 Угловая координата тележки, град/НЕ МЕНЯТЬ ЗНАЧЕНИЕ αт Угловая скорость тележки при повороте вокруг ребра опрокидывания/НЕ МЕНЯТЬ ЗНАЧЕНИЕ ωт Угловое ускорение тележки при повороте вокруг ребра опрокидывания/НЕ МЕНЯТЬ ЗНАЧЕНИЕ (не исп-я) εт ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Временной интервал численного решения дифференциального уравнения Максимальное время численного решения 49 ∆Т Тmax 0 2 0 0 0 0.001 2 Пункты результата расчёта № пп. Название рассчитываемой характеристики (аргумента) 1. 2. Время расчёта Угловая координата опорно-ходового устройства 3. 4. 5. 6. 7. 8. Угловая скорость опорно-ходового устройства Угловое ускорение опорно-ходового устройства Номер ребра опрокидывания Угловая координата стрелы Угловая скорость стрелы Угловое ускорение стрелы 9. 10. 11. 12. 13. 14. Угловая координата платформы Угловая скорость платформы Угловое ускорение платформы Ускорение поступательного движения Время действия ускорения поступательного движения Суммарный момент на ребре опрокидывания (ребре 1) Суммарный момент на ребре 1 без моментов, возникающих от поворота вокруг ребра Момент от силы инерции, создаваемой массой стрелы в результате поворота вокруг ребра Момент от силы инерции, создаваемой массой платформы в результате поворота вокруг ребра Момент от силы инерции, создаваемый массой тележки (оп.ход. устройства) в результате поворота вокруг ребра Момент от силы Кориолиса, создаваемой массой стрелы в результате одноврем. пов. вокруг ребра, пов. стрелы и пов. платформы Момент от силы Кориолиса, создаваемой массой платформы в рез. одноврем. поворота вокруг ребра и пов. платформы Момент от центробежной силы, создаваемой массой стрелы при её повороте Момент от силы инерции, создаваемой массой стрелы при её ускоренном/замедленном повороте Момент от силы инерции, создаваемой массой стрелы при ускоренном/замедленном повороте платформы Момент от силы инерции, создаваемой массой платформы при ускоренном/замедленном повороте платформы Момент от силы Кориолиса, создаваемой массой стрелы в результате одновременного поворота платформы и стрелы Момент от силы тяжести платформы Момент от силы тяжести тележки Момент от силы тяжести стрелы Момент от силы инерции поступательного движения, создаваемой массой платформы Момент от силы инерции поступательного движения, создаваемой массой тележки Момент от силы инерции поступательного движения, создаваемой массой стрелы Момент от центробежной силы, создаваемой массой стрелы при повороте платформы Момент от центробежной силы, создаваемой массой платформы при повороте платформы 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 50 Таблица 2 Ед. Обозначение измерения Т с αт град. ωт εт Ропр αс ωс εс град./с 2 град./с град. град./с 2 град./с αп ωп εп а1 Та1 Мр.опр град. град./с 2 град./с 2 м/с с кН·м М1 кН·м Мин.р.с кН·м Мин.р.п. кН·м Мин.р.т. кН·м Мк.р.с. кН·м Мк.р.п. кН·м Мцб.с.1 кН·м Мин.с.1 кН·м Мин.п.с.1 кН·м Мин.п.п.1 кН·м Мк.п.с.1 кН·м Мт.п.1 Мт.т.1 Мт.с.1 кН·м кН·м кН·м Мин.пст.п.1 кН·м Мин.пст.т.1 кН·м Мин.пст.с.1 кН·м Мцб.п.с.1 кН·м Мцб.п.п.1 кН·м 3.4. Моменты сил В настоящем параграфе, а также в параграфе 3.5 используются упрощённые обозначения, заключающиеся в исключении “.” в нижнем индексе, например, обозначения rцт.с и rцтс обозначают одну и ту же величину. Данное правило относится ко всем обозначениям, имеющим “.” в нижнем индексе. Для вывода формул удобно назначить систему координат Y1Х1 (рис. 10). Ось Y1 направлена по оси вращения стрелы, ось Х1 направлена по опорному контуру. Начало координат расположено в точке пересечения оси вращения стрелы с опорным контуром. Плоскость Y1X1 перпендикулярна ребру 1. Принимается, что раскачивание имеет место вокруг оси, совпадающей с ребром 1. Вид в плоскости Y1X1 называется видом “сбоку”. Все проекции векторов, расстояний и углов на плоскость Y1X1 имеют индекс “1”. Индекс “2” имеют проекции на плоскость, параллельную плоскости вида “сзади” или “спереди”, что в данном случае относительно. Эта проекция носит вспомогательный характер и на схемах не показана. Таким образом, раскачивание происходит в плоскости Y1X1, поэтому интересны силы и моменты, действующие именно в этой плоскости. Эти силы и моменты в формулах имеют индекс “1”. Математические модели составлены так, что система координат Y1X1 прикреплена к схеме, т.е. поворачивается на угол αт вместе с расчётной схемой машины при раскачивании. Условимся в терминологии относительно массы стрелы mс. Если говорится, что mс расположена над/под (или сверху/снизу) опорным контуром или ребром 1, то имеется в виду условно горизонтальная позиция расчётной схемы в таком виде, как это показано на рис.10. Даже если αт не равен нулю, то термины относятся к условно горизонтальной позиции. 3.4.1. Центробежная сила от поворота стрелы От поворота стрелы приходит в движение только одна масса mс – масса стрелы. В результате возникает центробежная сила Fцбс, 51 направленная по линии, образованной позицией массы mс и шарниром вращения. Если на виде “сбоку” от оси раскачивания, направленной по ребру 1, восстановить перпендикуляр к линии действия, то будет получено плечо rцб11 действия центробежной силы относительно ребра 1 опрокидывания. В зависимости от угловой позиции стрелы αс, позиции платформы αп, высоты шарнира стрелы hшс, расстояния rшс от оси вращения стрелы до оси вращения платформы линия действия центробежной силы может быть по-разному ориентирована относительно ребра опрокидывания. Позицию центробежной силы удобно оценивать с помощью показателя lл.д.цбс1 и угловой координаты стрелы αс. Под lл.д.цбс1 понимается расстояние по оси Х1 от точки пересечения линии действия центробежной силы до начала координат (см. рис.10). Если линия действия пересекает ось Х1 в зоне её отрицательных значений, то величина lл.д.цбс1 будет отрицательной. Например, на рис.10 величина lл.д.цбс1 отрицательна, угловая координата стрелы αс>0, сила Fцбс1 создаёт момент, направленный по часовой стрелке относительно ребра 1 (ребра опрокидывания), что соответствует его положительному значению. Если стрела опущена, т.е. αс<0, линия действия центробежной силы может пересечь ось Х1 на расстоянии от начала координат, превышающем величину ko1·lб расстояния от ребра 1 опрокидывания до начала координат. В таком случае момент от неё направлен по часовой стрелке и имеет положительное значение, если же lл.д.цбс1< ko1·lб, то момент будет направлен против часовой стрелки и примет отрицательную величину. Приведённые рассуждения реализованы в следующих формулах: Fцбс=mc·ωс2·rцтс; 2 2 Fцбс1= (Fцбс ⋅ cosαс ⋅ cosαп ) + (Fцбс ⋅ sinα с ) ; αс1=arctg( sinαс ); cosαс ⋅ cosαп 52 Рис. 10. Центробежная сила от поворота стрелы αс2=arctg( sinαс ); cosαс ⋅ sin αп hшс1=tgαc1·rшс·cosαп; k01l·lб=(hшс- hшс1)/ tgαc1; rцб11=( k01b·lб+ k01·lб) · sinαс1; Мцбс1=Fцбс1·rцб11; rшс1=rшс·cosαп; rшс2=rшс·sinαп; lл.д.цбс1=rшс1+hшс·tg(90+αc1,2). В зависимости от ориентации силы Fцбс и рычага rцб11 может меняться направление момента, от которого зависит его знак. Соответственно, необходима процедура определения знаков моментов: если αc>0 и lл.д.цбс1> kol·lб , или если αc<0 и lл.д.цбс1< kol·lб, то Mцбс1<0. 53 3.4.2. Сила инерции от поворота стрелы От поворота стрелы в движение приходит только масса стрелы mс, соответственно имеет место одна сила инерции Fинс. Сила инерции направлена перпендикулярно радиусу вращения массы стрелы mс, т.е. перпендикулярно к отрезку rцтс на рис.11. Нас интересует раскачивание в плоскости Y1X1 вокруг ребра 1, поэтому рассмотрим схему на виде “сбоку”. Раскачивающий момент создаёт проекция Fинс1. Если от ребра 1 восстановить перпендикуляр к её вектору, то будет получено плечо rинс11. Направление силы инерции меняется в зависимости от направления углового ускорения стрелы εс, которое является задаваемой величиной в соответствии с равноускоренным/равнозамедленным законом движения. Иными словами, при торможении стрелы εс=const до достижения нулевого значения ωс, после этого εс=0. На рис. 11 угловое ускорение стрелы εс направлено против часовой стрелки, соответственно сила инерции Fинс направлена по часовой стрелке относительно шарнира стрелы, линия действия проекции Fинс1 проходит правее отрезка ko1·lб , соответственно момент от неё направлен по часовой стрелке относительно ребра 1, что соответствует его положительному значению. При короткой стреле (маленькое значение rцтс), маленьком расстоянии от оси вращения платформы до оси вращения стрелы rшс и значительной базе (большая величина ko1·lб) при том же направлении Fинс и Fинс1 линия действия могла бы пересекать ko1·lб (расстояние lлдинс1 по X1 от начала координат до пересечения линии действия с X1 меньше ko1·lб), в таком случае она создавала бы момент против часовой стрелки, что соответствует отрицательному его значению. Также отрицательное значение момента могло бы быть и на схеме, представленной на рис. 11, но с εс, направленной по часовой стрелке относительно шарнира стрелы. Путём геометрических и тригономитереческих выкладок, представленных ниже, можно получить значения lл.д.инс1 и rинс11. Если их 54 знать, то вычисление момента Минс11, создаваемого силой инерции Fинс относительно ребра 1, сложности не представляет. Рис. 11. Сила инерции от поворота стрелы Исходя из схемы на рис. 11, можно получить следующие формулы: Fинс=mc·εc·rцтс , Н; αин'=90-αc; lлдпинс1=lлдцбс1; 2 2 Fинс1= (Fинс ⋅ sin αс ⋅ cosαп ) + (Fинс ⋅ sinαс ) ; sin α ин ' α ин1 ' = arctg cos α ин '⋅ cos α п ; αин1=180-αс1-αин1’v Х1Р1= kоl·lб; Y1Р1=0; rцтс1 = (r цтс ⋅ cosα c ⋅ cosαп ) + (rцтс ⋅ sinα с ) ; 2 55 2 Х1цтс=rшс1+rцтс1·cos(αс1); Y1цтс=hшс+rцтс1·sin(αc1) ; (Y1 lР1цтс = b= − Y1Р1 ) + (Х1цтс − Х1Р1 ) ; 2 цтс 2 hшс − rцтс1 ; cos(90 + α c1 ) 2 2 2 2 a=[-b·(cos αс1 )2+b·(cos αин1 )2 (cosα ин1 ) ⋅ (cosα с1 ) - (cosα ин1 ) - (cosα с1 ) + 1 + +b·(cos αин1 )2 ·(cos αс1 )] / [cos αин1 )2-(cos αс1 )2] ; lл.д.инс1= lл.д.п.инс1 - a; rинс11=|(kоl·lб –lл.д.инс1) ·cos(αс1-90+αин1)| ; Х2Р2= kоb·Bб; Y2Р2=0; rцтс 2 = (r цтс ⋅ cos α c ⋅ sin α п ) + (rцтс ⋅ sin α с ) ; 2 2 если αп<0, то rцтс2<0; X2цтс=rшс2+rцтс2·cos(αс2); Y2цтс=hшс+rцтс2·sin(αс2) ; Минс11=Fинс1· rинс11. Момент Mинс1 отрицателен в случаях: • если lлдинс1< k01·lб и εс>0; • если εс <0. 3.4.3. Центробежная сила от поворота платформы При повороте платформы движется масса платформы mп и масса стрелы mс, соответственно возникают центробежные силы Fцбспп от массы mп и Fцбспс от массы mс, которые всегда параллельны опорному контуру (т.е. плоскости рёбер) и направлены от оси вращения стрелы. Плечи rцбпп11 и rцбпс11 проекций Fцбспп1 и Fцбспс1 относительно ребра 1 опрокидывания равны координатам Y1 масс mп и mс. В силу принятых ограничений для угловой позиции платформы αп сила Fцбспп может создать момент Мцбпп1 относительно ребра 1, направленный только против часовой стрелки, что соответствует отрицательному его значению. Иными словами, при наложенных на угол αп ограничениях проекция Fцбспп1 всегда направлена влево на виде “сбоку”, т.е. в плоскости Y1X1. 56 Если масса стрелы mс расположена выше опорного контура, т.е. Y1цтс>0, то проекция Fцбспс1 создаёт момент Мцбпс1, направленный по часовой стрелке, что соответствует положительному значению, если же Y1цтс<0, то момент Мцбпс1 отрицателен. Рис. 12. Центробежная сила от поворота платформы Указанные положения отражены в следующих формулах: rцтс11=rцтс1· cosαс1; Fцбпс= mc·ωп 2 · (rшс1+ rшс11) ; Fцбпп= mn·ωп 2 · rцтп; Fцбпс1=│ Fцбпс·cosαп │; Fцбпп1=│ Fцбпп·cosαп │; Y1цтп=hшс+hшсп; rцбпп11=│Y1цтп│; rцбпс11=│Y1цтс│; Мцбпс1=Fцбпс1·rцбпс11; Мцбпп1=Fцбпп1·rцбпп11. 57 Знаки моментов на ребре 1: • Мцбпп1<0 (всегда отрицателен); • если y1цтс<0? то Мцбпс1<0. 3.4.4. Сила инерции от поворота платформы От вращения платформы приходят в движение массы mп и mc, соответственно возникает сила инерции Fинпп от массы платформы mп и сила инерции Fинпс от массы стрелы mс. Силы направлены перпендикулярно проекциям радиусов вращения rцтс и rцтп на виде “сверху” (рис. 13). На виде “сбоку”, в плоскости раскачивания, силы имеют проекции Fинпп1 и Fинпс1 которые всегда параллельны плоскости рёбер и оси Х1, соответственно плечо rинпп11 силы Fинпп1 относительно ребра 1 равно Y1цтп, плечо rинпс11 силы Fинпс1 относительно ребра 1 равно Y1цтс. На направление момента Минпс1 от силы Fинпс1 оказывают влияние координата массы mс Y1цтс (выше или ниже опорного контура), направление углового ускорения платформы εп, угловая координата платформы αп. Например, на рис. 13 αп>0, это при прочих равных условиях “направляет” проекцию Fинпс1 к оси Y1; εп<0, что “направляет” Fинпс по часовой стрелке на виде “сверху”; Y1цтс>0, что располагает проекцию Fинпс1 над ребром 1; если бы она располагалась под ним, то при том же направлении создавала бы момент Минпс1 в другую сторону (по часовой стрелке). На направление момента Минпп1 от силы Fинпп1 оказывают влияние те же аргументы, исключая координату Y1цтп, которая всегда положительна. Указанные положения отражены в следующих формулах: rинпс11= Y1цтс; rинпп11= Y1цтп; Fинпс=mс·εп·(rшс+rцтс·cosαс) ; Fинпп= mп· εп· rцтп; Fинпс1= Fинпс·sinαп; Fинпп1= Fинпп·sinαп; 58 Рис. 13. Сила инерции от поворота платформы Минпс1=│Fинпс1·rинпс11│; Минпп1=│Fинпп1·rинпп11│. Моменты отрицательны в следующих случаях: 1. если εп<0; • если (αп>0 и Y1цтс>0) или (αп<0 и Y1цтс<0), то Mинпс1<0; • если (αп<0 и Y1цтс>0) или (αп<0 и Y1цтс<0), то Mинпп1<0; 2. если εп>0; • если (αп<0 и Y1цтс>0) или (αп>0 и Y1цтс<0), то Mинпс1<0; • если (αп>0 и Y1цтс>0) или (αп>0 и Y1цтс<0), то Mинпп1<0. Знаки моментов зависят от знака ускорения платформы εп, которое является исходной информацией в соответствии с принятыми допущениями. 59 3.4.5. Сила Кориолиса от совместного движения платформы и стрелы Правило определения направления ускорения Кориолиса: спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перепендикулярную оси переносного вращения, и затем повернуть эту проекцию вокруг оси переносного вращения на 90º в сторону переносного вращения [8]. Сила Кориолиса возникает в случае наличия двух движений, одно из которых вращательное. Эти движения могут быть в одной плоскости, например, вращение стрелы и рукояти экскаватора; могут быть в разных плоскостях, так, как это показано на рис. 14, где присутствует вращение платформы со скоростью ωп и вращение стрелы со скоростью ωс. В целом сила Кориолиса возникает в случае, если вращающаяся масса удаляется или приближается к центру вращения. Однако в зависимости от выбранной расчётной схемы необходимость учёта силы Кориолиса как самостоятельного силового фактора можно исключить, подробнее об этом говорится в курсе теоретической механики [8]. В настоящей расчётной схеме сила Кориолиса Fкпс присутствует и перпендикулярна радиусу вращения массы стрелы mс вокруг оси вращения платформы, т.е. линия действия Fкпс совпадает с линией действия силы Fинпс. Соответственно плечо rкпс11 её действия относительно ребра 1 равно координате центра тяжести стрелы Y1цтс. Если масса mс приближается к оси вращения платформы, то вектор Fкпс направлен по дуге угловой скорости ωп, если удаляется – против угловой скорости. Если стрела опускается из верхней позиции (αс>0), как это показано на рис. 14, то масса mс удаляется от оси вращения платформы. При переходе значения αс=0 масса mс начнёт приближаться к оси вращения. Иными словами, на направление проекции Fкпс1 (и на направление момента Мкпс1 ) оказывают влияние угловая координата αс, направление скорости платформы ωп и скорости стрелы ωс. 60 Помимо этого, при αп>0 вектор Fкпс (см. рис. 14) создаёт момент по часовой стрелке, проекция Fкпс1 направлена вправо на виде “сбоку”. Если бы αп был отрицательным, то при прочих равных условиях Fкпс1 “смотрел” бы влево и создал бы момент против часовой стрелки. Иными словами, координата платформы αп также оказывает влияние на направление Мкпс1. Если масса mс находится ниже ребра 1, т.е. Y1цтс<0, то направление момента также изменится. Рис. 14. Сила Кориолиса Fкпс от совместного движения платформы и стрелы Приведённые рассуждения отражены в следующих формулах: Fкпс=mс· (2·ωп·ωс·rцтс·sin αс); Fкпс1= |Fкпс·sinαп|; rкпс11=|Y1цтс|; Мкпс1= Fкпс1· rкпс11. Знак момента Мкпс1 отрицателен в следующих случаях: • если αп>0 и Y1цтс>0 и ωc>0 и ωп>0 и αc>0; 61 • если αп<0 и Y1цтс>0 и ωc>0 и ωп<0 и αc>0; • если αп>0 и Y1цтс<0 и ωc>0 и ωп>0 и αc<0; • если αп<0 и Y1цтс<0 и ωc>0 и ωп<0 и αc<0; • если αп<0 и Y1цтс>0 и ωc<0 и ωп>0 и αc>0; • если αп>0 и Y1цтс>0 и ωc<0 и ωп<0 и αc>0; • если αп<0 и Y1цтс<0 и ωc<0 и ωп>0 и αc<0; • если αп>0 и Y1цтс<0 и ωc<0 и ωп<0 и αc<0; • если αп<0 и Y1цтс>0 и ωc>0 и ωп>0 и αc<0; • если αп>0 и Y1цтс>0 и ωc>0 и ωп<0 и αc<0; • если αп>0 и Y1цтс>0 и ωc<0 и ωп>0 и αc<0; • если αп<0 и Y1цтс>0 и ωc<0 и ωп<0 и αc<0. 3.4.6. Силы тяжести стрелы, платформы и опорно-ходового устройства Рассматривается схема с тремя массами. Масса стрелы mс создаёт силу тяжести Fтс1, масса платформы mп создаёт силу тяжести Fтп1, масса тележки создаёт силу тяжести Fтт1. В силу принятых ограничений на угловую координату платформы αп линия действия Fтп1 всегда проходит слева от ребра 1 на виде “сбоку” и создаёт момент Мтп1, направленный против часовой стрелки, что соответствует отрицательному значению. Линия действия силы Fтт1 также в основном проходит слева от ребра 1, однако при большом уклоне βпр и угле раскачивания αт линия действия может переместиться. Позиция линии действия относительно ребра 1 контролируется показателем lлдтт1, который равен расстоянию по оси Х1 от начала координат до точки пересечения линии действия Fтт1 с осью Х1. Если lлдтт1<k0l·Lб, то Мтт1 отрицателен. Сказанное вполне справедливо и в отношении момента Мтп1, однако для него назначается всегда отрицательное значение. Расположение линии действия силы Fтс1 относительно ребра 1 оценивается при помощи показателей αlР1цтс и lлдтс1(аналогичен lлдтт1, но для массы mс), использование которых позволяет получить ответ 62 на вопрос, слева или справа находится линия действия относительно ребра 1. Если линия действия Fтс1 проходит слева от ребра 1, то Мтс1 отрицателен, если справа (как на рис. 15), то положителен. Зная величины плеч rтс11 силы Fтс1, rтт11 силы Fтт1, rтп11 силы Fтп1 относительно ребра 1, можно вычислить абсолютные значения моментов Мтс1, Мтт1 и Мтп1. Рис. 15. Силы тяжести стрелы, платформы и опорно-ходового устройства Величину αт необходимо прибавлять к углу βпр во всех формулах, содержащих эти величины. Приведённые рассуждения отражены в следующих формулах: αт1=-αт; Х1Р3= kol·Lб-Lб; Х1цтп=-rцтп·cosαп; Y1Р3=0; Х2Р4=- (Bб- kol·Lб) ; 63 Х2цтп=-rцтп·sinαп; Y2Р4=0; Y2цтп=Y1цтп; Fтт=mт·g; Fтп=mп·g; Fтс=mc·g; Fтт1= Fтт; Fтп1= Fтп; Fтс1= Fтc; lлдтс1=rшс1+hшс·tg(βпр-αт)+rцтс1·(cosαc1+sinαc1·tg(βпр-αт)) ; X1 − X1Р1 ; αlР1цтс = arcsin цтс l Р1цтс rтс11=(kol·Lб-lлдтс1)·cos(βпр-αт) ; rтт11=lцтт1-hцтт·tg(βпр-αт)·cos(βпр-αт) ; rтп11=[Lб+Х1Р3-Х1цтп-Y1цтп·tg(βпр-αт)]·cos(βпр-αт) ; Мтп1=│Fтп1·rтп11│; Мтт1=│Fтт1·rтт11│; Мтс1=│Fтс1·rтс11│; Yцтт=hцтт; Х1цтт= kol·Lб-lцтт1; Y1цтт=hцтт; Х2цтт= kob·Bб-lцтт2; Y2цтт=hцтт; lлдтт1=hцтт·tg(βпр-αт)+Х1цтт. При заданных диапазонах изменения углов силы тяжести платформы и опорно-ходового устройства практически всегда будут создавать моменты, направленные против часовой стрелки относительно ребра опрокидывания Р1, соответственно они всегда отрицательны. Ситуация с тяжести стрелы обстоит иначе. Момент от силы тяжести стрелы отрицателен в случае, если: [βпр-αт<│αlР1цтс│ и Х1цтс<Х1Р1 и Y1цтс>0] или [Y1цтс<=0 и lлдтс1<k0l·Lб]. Момент от силы тяжести тележки отрицателен в случае, если: lлдтт1<k0l·Lб; rцтп1=rцтп·cos(αп) ; lлдтп1=(hшс+hшсп)·tg(βпр-αт)-rцтп1, где αlР1цтс – это острый угол между перпендикуляром к опорному контуру по ребру Р1 и линией, соединяющей центр тяжести стрелы и ребро Р1 на проекции “сбоку”; 64 lлдтс1 – расстояние от точки пересечения линии действия силы тяжести стрелы с осью X1 до начала координат; если линия действия проходит справа от начала координат, то lлдтс1>0, если слева – то lлдтс1<0 вне зависимости от угла αп. 3.4.7. Силы инерции от поступательного движения шасси Предполагается, что движение происходит только параллельно оси Х1 с ускорением а1 (рис. 16). Схема имеет три массы, соответственно есть три силы инерции от поступательного движения шасси. От массы стрелы mс возникает сила Fинпстс, от массы платформы mп возникает сила Fинпстп, от массы тележки mт возникает сила Fинпстт. Следует отметить, что термины “тележка” и “шасси” в данном случае идентичны по содержанию. Все силы параллельны друг другу и направлены против ускорения поступательного движения а1. Ускорение а1 является задаваемой величиной. Предусмотрены два блока для расчёта сил, плеч и моментов. Один блок предназначен для режима без раскачивания (αт=0), другой блок – для режима раскачивания, т.е. при αт<0. Объясняется это тем, что система координат поворачивается вместе со схемой при раскачивании, а ускорение а1 остаётся неизменным по направлению. Такое объяснение и такой подход к построению моделей условен (т.е. можно сделать иначе). Например, силы тяжести также неизменны по направлению, тем не менее, расчётный блок в этом случае только один. Зная плечи rинпстс силы Fинпстс, rинпстп силы Fинпстп, rинпстт силы Fинпстт относительно ребра 1, можно вычислить абсолютные значения моментов Минпстс, Минпстп и Минпстт. В силу того, что поступательное движение машины трудно реализовать при расположении стрелы ниже опорной поверхности, правило назначения знаков моментов базируется только на направлении ускорения а1, а линии действия всех трёх сил принимаются расположенными выше опорного контура. 65 Рис. 16. Силы инерции от поступательного движения шасси Приведенные рассуждения реализованы в следующих зависимостях. Если раскачивание есть, т.е. αт отлична от нуля, то: ХР=Х1Р1; Yцтс=Y1цтс; Хцтс=Х1цтс; Yцтп= Y1цтп; Хцтп= Х1цтп; Хцтт= Х1цтт ар=а1/cos(-αт); rинпстс=│[Yцтс+(ХР-Хцтс)·tg(-αт)]·cos(-αт)│ ; rинпстп=│[Yцтп+(ХР-Хцтп)·tg(-αт)]·cos(-αт)│ ; rинпстт=│[Yцтт+(ХР-Хцтт)·tg(-αт)]·cos(-αт)│ ; Fинпстс=mc·αр; Fинпстп=mп·αр; Fинпстт=mт·αр; Минпстс=│Fинпстс·rинпстс│; Минпстп=│Fинпстп·rинпстп│; Минпстт=│Fинпстт·rинпстт│. Если раскачивание отсутствует, то: Fинпстс1=mс·ар; Fинпстп1=mп·ар; Fинпстт1=mт·ар; rинпстт11=hцтт; rинпстп11=Y1цтп; rинпстс11=Y1цтс; Минпстс1=│Fинпстс1·rинпстс11│; Минпстп1=│Fинпстп1·rинпстп11│; Минпстт1=│Fинпстт1·rинпстт11│. Если раскачивание есть, то: Минпстс1= Минпстс; Минпстп1= Минпстп; Минпстт1= Минпстт. Знаки моментов: • если a1>0, то Mинпстп1<0; Mинпстт1<0; 66 • если a1>0 и Y1цтс>0, то Mинпстс1<0; • если a1<0 и Y1цтс<0, то Mинпстс1<0. 3.4.8. Силы инерции и центробежные силы от поворота вокруг ребра опрокидывания При повороте вокруг ребра опрокидывания (Р1) в движение приходят все три массы mc, mт и mп (рис. 17). В результате возникают три центробежные силы и три силы инерции. Центробежные силы проходят через ребро 1, т.е. через ось вращения, поэтому они не могут создать моментов. Силы инерции Fирс от массы стрелы mc, Fирт от массы тележки mn, Fирп от массы платформы mп направлены перпендикулярно радиусам вращения rирс, rирт и rирп, одновременно являющимся и плечами действия указанных сил относительно ребра опрокидывания. В результате возникают моменты сил инерции Мирс, Мирп и Мирт. Угловое ускорение εт, определяющее значение сил инерции, является характеристикой раскачивания вокруг ребра опрокидывания и определяется из решения дифференциального уравнения, представляющего собой сумму моментов всех сил относительно ребра опрокидывания (подробнее об этом сказано в параграфе 3.5). В данном случае полюсом действия рассматриваемых сил является ребро опрокидывания. Чего нельзя сказать, например, о силе инерции Fинс, которая создаётся вращением массы стрелы mс с угловым ускорением стрелы εс вокруг шарнира стрелы. Момент Минс определяется путём приведения силы Fинс к оси, проходящей по ребру 1, в результате на знак момента оказывает влияние не только ускорение εс, но и другие аргументы. В рассматриваемом случае знак моментов всецело зависит от знака ускорения раскачивания εт, которое является определяемой величиной, поэтому специальная процедура определения знаков не нужна. Приведённые рассуждения отражены в следующих формулах: 2 2 rирс= ( х цтс − х р ) + ( у цтс − у р ) 2 2 rирп= ( х цтп − х р ) + ( у цтп − у р ) 67 ; ; Рис. 17. Силы инерции и центробежные силы от поворота вокруг ребра опрокидывания 2 2 rирт= ( х цтт − х р ) + ( у цтт − у р ) ; Fирс=mc·εт·rирс; Fирп=mc·εт·rирс; Fирт=mc·εт·rирс; Мирс=Fирс·rирс; Мирп=Fирп·rирп; Мирт=Fирт·rирт. 3.4.9. Силы Кориолиса от поворота вокруг ребра опрокидывания В случае поворота вокруг ребра опрокидывания в результате совмещения движений возникают силы Кориолиса. Сила Fкрп возникает от массы платформы mп при совмещении вращения платформы со скоростью ωп и раскачивания со скоростью ωт. Сила Fкрс, возникающая от массы стрелы mс, имеет две составляющих: от совмещения вращения стрелы со скоростью ωс и раскачиванием со скоростью ωт; от совмещения вращения платформы со скоростью ωп и раскачиванием со скоростью ωт. Силы Fкрп и Fкрс создают моменты Мкрп и Мкрс относительно ребра опрокидывания. Как показали предварительные расчёты, данный вид сил имеет малое влияние на раскачивание. Например, при раскачивания на 68 угол αт=3º погрешность в задании допустимой массы стрелы mс не превышает величины 4%. Сказанное позволяет не учитывать данный вид сил, однако для математической точности моменты от них включены в уравнение движения (см. параграф 3.5). 3.5. Законы движения Без индексов, определяющих номера ребер, дифференциальное уравнение раскачивания вокруг ребра опрокидывания имеет вид: Мцбс(ωс,αс,αп)+ Минс(εс,αс,αп)+ Мцбпс(ωп,αс,αп)+ Мцбпп(ωп,αп)+ Минпс(εп,αп,αс)+ Минпп(εп,αп)+ Мкпс(ωп,ωс,αп,αс)+ Мтс(αт,αп,αс)+ Мтп(αт,αп)+ Мтт(αт)+ Минпстс(αт, αп,αс,а)+ Минпстп(αт, αп,а)+ Минпстт(αт,а)+ Мирс(αт, αп,αс,εт)+ Мирп(αт, αп,εт)+ Мирт(αт,εт)+ Мкрс(αп, αс,ωп,ωс, ωт)+ Мкрп(αп,ωп,ωт)=0. Для численного решения уравнения необходимо иметь начальные условия: αт0 и ωт0. Если выразить из уравнения угловое ускорение раскачивания εт, то для расчёта его величины есть вся необходимая информация. Величина εт входит в состав величин Мирс, Мирп и Мирт, из них его необходимо выразить, остальные части изменять не нужно, поэтому, еще больше упростим выражение: МΣ+Мирс(εт)+ Мирп(εт)+ Мирт(εт)=0; Мирс=mc· εт·rирс 2 ; Мирп=mп· εт·rирп 2 ; Мирт=mт· εт·rирт 2 ; Мирс+ Мирп+ Мирт= εт· ( mc·rирс 2 + mп·rирп 2 + mт·rирт 2 ); εт=- МΣ m с ⋅ rирс + m п ⋅ rирп + m т ⋅ rирт ) 2 2 2 . где МΣ – сумма всех прочих моментов, которые не указаны в уравнении. Таким образом определяется ускорение εт, с которым должен осуществляться поворот вокруг ребра опрокидывания для того, чтобы сумма моментов сил на нем была равна нулю. С помощью полученного значении εт определяют значения αт и ωт в следующий момент времени: 69 ωтit+1= ωтit+ εтit·∆T; αтit+1= αтit+ ωтit·∆T+ εтit·∆T 2 /2. После многократного расчёта по приведённым формулам можно определить законы изменения αт, ωт и εт в функции времени, более подробно это рассмотрено в главе 1. Для стрелы и платформы задан режим линейного изменения скорости, т.е. равноускоренный/равнозамедленный режим, величины угловых ускорений платформы εп и стрелы εс задаются. Величины ωс, αс, ωп, αп рассчитываются по формулам: ωсit+1= ωсit+ εсit·∆T; αсit+1= αсit+ ωсit·∆T+ εсit·∆T 2 /2; ωпit+1= ωпit+ εпit·∆T; αпit+1= αпit+ ωпit·∆T+ εпit·∆T 2 /2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Вопросы для самоконтроля Как соотносятся понятия “масса” и “звено”. Сколько степеней свободы имеет одномассовый механизм? Что называется начальными условиями для решения математических моделей? Что позволяет соотнести знак момента силы в математических моделях с направлением его действия на расчётной схеме? Почему использовать аналитические способы решения дифференциальных уравнений весьма затруднительно? Существо способов численного интегрирования (численного решения дифференциальных уравнений). Почему способы численного интегрирования являются приближёнными? Существо блочного (модульного) компьютерного моделирования. Два подхода к составлению расчётных схем при оценке устойчивости. Почему при оценке устойчивости звенья принимаются абсолютно жёсткими? Что моделируется при помощи момента торможения? Какие силы действуют в плоской многозвенной схеме с набором вращательных степеней свободы? Формула расчёта центробежной силы. Формула расчёта касательной силы инерции. 70 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Формула расчёта силы Кориолиса. Как систематизируется представление рычагов сил, моментов сил, наборов сил? Способ расчёта рычагов сил с использованием понятий моментного и моментообразующего звена. Принципы алгоритмизации определения направлений действия моментов. Почему существует потребность в специальных процедурах (алгоритмизации) для определения направлений действия моментов? Каким образом отыскиваются угловые ускорения звеньев в плоской многомассовой схеме? Каким образом обеспечивается фиксация звеньев рабочего оборудования в плоской многомассовой схеме? Особенности фиксации звена “опорно-ходовое устройство” в плоской многомассовой схеме. Особенности расчёта сил инерции от поступательного движения. Упрощения и допущения пространственной трёхмассовой схемы. Упрощения и допущения плоской многомассовой схемы. Расчётные случаи и допустимые позиции рабочего оборудования при использовании пространственной трёхмассовой схемы. Требования к исходной информации и результатам расчёта при использовании пространственной трёхмассовой схемы. Основные принципы расчёта моментов сил при использовании трехмассовой пространственной схемы. Законы движения пространственной трёхмассовой схемы. Почему представление массы звена, сосредоточенной в центре тяжести, является приближённым? Литература 1. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: Элиста, 1996. – 416 с. 2. Гутер, Р.С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта: учеб. пособие / Р.С. Гутер, В.Б. Овчинский. – М.:Наука, 1970. – 432 с. 71 3. Карасёв, Г.Н. Анализ устойчивости одноковшового экскаватора: метод. указан. к лаб. раб. / Г.Н. Карасёв, К.П. Мандровский – М. :МАДИ(ГТУ), 2009. – 24 с. 4. Кетков, Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. – СПб.: БХВПетербург, 2005. – 152 с. 5. Мандровский, К.П. Моделирование и оценка устойчивости самоходных машин: монография / К.П. Мандровский - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. – 85 с. 6. Турчак, Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие. / Л.И. Турчак – М.: Наука, 1987. – 320 с. 7. Фильчаков, П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики: справочник / П.Ф. Фильчаков. – Киев: Наукова Думка, 1970. – 765 с. 8. Гернет, М.М. Курс теоретической механики. – изд. 3-е, перераб. и доп.: учебник для вузов / М.М. Гернет. – М.:Высшая школа, 1973. – 464 с. Учебное издание МАНДРОВСКИЙ Константин Петрович ДИНАМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЙ МАШИН ПРИ ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ Учебное пособие Редактор И.А. Короткова Подписано в печать 11.02.2013 г. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Arial». Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 3,6. Тираж 100 экз. Заказ 104 Цена 80 руб. 125319, Москва, Ленинградский проспект, 64 72