Касьяненко Вера (P3220, Теор.Вероятн. 5.1) ИДЗ 19.1 (вариант 5) Дано: В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда: 1,6 2,9 6,6 1,9 6,8 7,0 7,6 2,3 4,8 7,4 4,4 5,3 4,2 10,2 3,2 10,7 9,3 0,8 6,1 8,5 10,9 1,7 5,5 7,9 4,4 8,1 3,4 7,2 3,6 5,8 6,4 7,7 0,5 2,5 9,1 2,1 4,6 8,3 9,5 1,1 4,0 6,9 8,9 5,7 10,3 5,8 5,0 11,1 8,4 5,9 2,8 10,1 4,5 3,1 6,0 6,4 3,8 6,5 2,4 4,9 5,2 5,4 1,8 6,7 7,9 0,3 5,9 3,5 6,2 3,7 1,2 4,1 5,6 4,3 6,9 4,5 8,2 9,4 7,3 9,6 7,6 8,8 7,8 0,6 8,0 9,2 2,2 10,8 5,7 2,6 3,4 6,5 3,0 9,0 2,0 3,3 7,1 4,7 0,9 6,1 Решение: а) Располагаем значения результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд: 0,3 1,9 3,0 4,0 4,8 5,8 6,5 7,3 8,2 9,4 0,5 2,0 3,1 4,1 4,9 5,8 6,5 7,4 8,3 9,5 0,6 2,1 3,2 4,2 5,0 5,9 6,6 7,6 8,4 9,6 0,8 2,2 3,3 4,3 5,2 5,9 6,7 7,6 8,5 10,1 0,9 2,3 3,4 4,4 5,3 6,0 6,8 7,7 8,8 10,2 1,1 2,4 3,4 4,4 5,4 6,1 6,9 7,8 8,9 10,3 1,2 2,5 3,5 4,5 5,5 6,1 6,9 7,9 9,0 10,7 1,6 2,6 3,6 4,5 5,6 6,2 7,0 7,9 9,1 10,8 1,7 2,8 3,7 4,6 5,7 6,4 7,1 8,0 9,2 10,9 1,8 2,9 3,8 4,7 5,7 6,4 7,2 8,1 9,3 11,1 б) Находим размах варьирования: 𝜔𝜔 = 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 11,1 − 0,3 = 10,8 Величина отдельного интервала: ℎ = Номер частичного интервала 𝑙𝑙𝑖𝑖 Границы интервала � – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖 + 1 0,3 – 1,5 1,5 – 2,7 2,7 – 3,9 3,9 – 5,1 5,1 – 6,3 6,3 – 7,5 7,5 – 8,7 8,7 – 9,9 9,9 – 11,1 𝜔𝜔 9 = 10,8 9 Середина интервала 𝑥𝑥𝑖𝑖′ = = 1,2 𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑥𝑥𝑖𝑖 + 1 2 0,9 2,1 3,3 4,5 5,7 6,9 8,1 9,3 10,5 – Частота интервала 𝑛𝑛𝑖𝑖 7 11 12 13 15 14 12 9 7 100 Относительная Плотность частота относительной 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑊𝑊 𝑊𝑊𝑖𝑖 = частоты 𝑖𝑖 𝑛𝑛 0.07 0.11 0.12 0.13 0.15 0.14 0.12 0.09 0.07 0,0583 0,0917 0,1 0,1083 0,125 0,117 0,1 0,075 0,0583 – – ℎ в) Строим полигон частот и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения. Находим значения эмпирической функции распределения 𝐹𝐹 ∗ (𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 𝐹𝐹 ∗ (0,3) = 0; 𝐹𝐹 ∗ (1,5) = 0,07; 𝐹𝐹 ∗ (2,7) = 0,18; 𝐹𝐹 ∗ (3,9) = 0,3; 𝐹𝐹 ∗ (5,1) = 0,43; 𝐹𝐹 ∗ (6,3) = 0,58; 𝐹𝐹 ∗ (7,5) = 0,72; 𝐹𝐹 ∗ (8,7) = 0,84; 𝐹𝐹 ∗ (9,9) = 0,93; 𝐹𝐹 ∗ (11,1) = 1. г) Находим выборочное среднее и выборочную дисперсию: 𝑘𝑘 1 𝑥𝑥̅ = � 𝑥𝑥𝑖𝑖′ 𝑛𝑛𝑖𝑖 = 5,64 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 𝑘𝑘 𝑘𝑘 1 1 𝐷𝐷в = �(𝑥𝑥𝑖𝑖′ − 𝑥𝑥̅ )2 𝑛𝑛𝑖𝑖 = �(𝑥𝑥𝑖𝑖′ )2 𝑛𝑛𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ 2 = 7,5852 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 𝜎𝜎в = �𝐷𝐷в = 2,75412 Расчетная таблица: 𝑚𝑚𝑖𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 � 𝑖𝑖 Границы интервала 𝑥𝑥𝑖𝑖 ; 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 0,3 – 1,5 1,5 – 2,7 2,7 – 3,9 3,9 – 5,1 5,1 – 6,3 6,3 – 7,5 7,5 – 8,7 8,7 – 9,9 9,9 – 11,1 – Середина интервала 𝑥𝑥𝑖𝑖′ Частота интервала 𝑛𝑛𝑖𝑖 – 100 0,9 2,1 3,3 4,5 5,7 6,9 8,1 9,3 10,5 7 11 12 13 15 14 12 9 7 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖′ 6,3 23,1 39,6 58,5 85,5 96,6 97,2 83,7 73,5 564 (𝑥𝑥𝑖𝑖′ )2 𝑛𝑛𝑖𝑖 (𝑥𝑥𝑖𝑖′ )2 – 4163,58 0,81 4,41 10,89 20,25 32,49 47,61 65,61 86,49 110,25 5,67 48,51 130,68 487,35 487,35 666,54 787,32 778,41 771,75 Выборочная дисперсия является смещенно оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия – несмещенной оценкой: �в = 𝐷𝐷 𝑛𝑛 100 𝐷𝐷в = ∗ 7,5852 = 7,661 (𝑛𝑛 − 1) 99 �в = 2,768 𝜎𝜎�в = �𝐷𝐷 Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем Х, т. е. перейдем к СВ 𝑧𝑧 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̅ )/𝜎𝜎в и вычислим концы интервалов 𝑧𝑧𝑖𝑖 и 𝑧𝑧𝑖𝑖+1 , причем наименьшее значение 𝑧𝑧, т.е. 𝑧𝑧1 , положим стремящимся к −∞, а наибольшее, т. е. 𝑧𝑧𝑚𝑚+1 к +∞. Результаты занесем в таблицу. Границы интервала 𝑥𝑥𝑖𝑖 ; 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 0,3 1,5 2,7 3,9 5,1 6,3 7,5 8,7 9,9 1,5 2,7 3,9 5,1 6,3 7,5 8,7 9,9 11,1 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 − 𝑥𝑥̅ − −4,14 −2,94 −1,74 −0,54 0,66 1,86 3,06 4,26 −4,14 −2,94 −1,74 −0,54 0,66 1,86 3,06 4,26 − Границы интервала 𝑧𝑧𝑖𝑖 ; 𝑧𝑧𝑖𝑖+1 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ 𝜎𝜎в − −1,5032 −1,06749 −0,631781 −0,19607 0,239641 0,675352 1,11106 1,54677 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 − 𝑥𝑥̅ 𝜎𝜎в −1,5032 −1,06749 −0,631781 −0,19607 0,239641 0,675352 1,11106 1,54677 − 𝑧𝑧𝑖𝑖+1 = Находим теоретические вероятности 𝑃𝑃𝑖𝑖 и теоретические частоты 𝑛𝑛’𝑖𝑖 = 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑖𝑖 = 100𝑃𝑃𝑖𝑖 . Составляем расчетную таблицу. 𝑖𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 � 𝑖𝑖 Границы интервала 𝑧𝑧𝑖𝑖 ; 𝑧𝑧𝑖𝑖+1 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖+1 − −1,5032 −1,06749 −0,631781 −0,19607 0,239641 0,675352 1,11106 1,54677 – −1,5032 −1,06749 −0,631781 −0,19607 0,239641 0,675352 1,11106 1,54677 − – Ф(𝑧𝑧𝑖𝑖 ) −0,5000 −0,4332 −0,3554 −0,2357 −0,0753 0,0910 0,2517 0,3665 0,4382 Ф(𝑧𝑧𝑖𝑖+1 ) 𝑃𝑃𝑖𝑖 = Ф(𝑧𝑧𝑖𝑖+1 ) − Ф(𝑧𝑧𝑖𝑖 ) 𝑛𝑛𝑖𝑖′ = 100𝑃𝑃𝑖𝑖 – 1 100 −0,4332 −0,3554 −0,2357 −0,0753 0,0910 0,2517 0,3665 0,4382 0,5000 – 0,0668 0,0778 0,1197 0,1604 0,1663 0,1607 0,1148 0,0717 0,0618 6,68 7,78 11,97 16,04 16,63 16,07 11,48 7,17 6,18 Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу. Последние два столбца служат для контроля вычисления по формуле: 𝑖𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 � 𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑖𝑖 7 11 12 13 15 14 12 9 7 100 𝑛𝑛𝑖𝑖′ 𝑛𝑛𝑖𝑖 − 𝑛𝑛𝑖𝑖′ 100 – 6,68 7,78 11,97 16,04 16,63 16,07 11,48 7,17 6,18 0,32 3,22 0,03 −3,04 −1,63 −2,07 0,52 1,83 0,82 2 𝑥𝑥набл 𝑘𝑘 1 = � 𝑛𝑛𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (𝑛𝑛𝑖𝑖 − 𝑛𝑛𝑖𝑖′ )2 (𝑛𝑛𝑖𝑖 − 𝑛𝑛𝑖𝑖′ )2 /𝑛𝑛𝑖𝑖′ – 2 = 2,9500973 𝑥𝑥набл 0,1024 10,3684 0,0009 9,2416 2,6569 4,2849 0,2704 3,3489 0,6724 0,0153293 1,3327 0,000075 0,57616 0,159765 0,26664 0,023554 0,467071 0,108803 𝑛𝑛𝑖𝑖2 49 121 144 169 225 196 144 81 49 – 𝑛𝑛𝑖𝑖2 / 𝑛𝑛𝑖𝑖′ 7,3353 15,5527 12,0301 10,53616 13,52977 12,19664 12,54355 11,29707 7,9288 102,95009 Контроль: ∑𝑛𝑛𝑖𝑖2 𝑛𝑛𝑖𝑖′ − 𝑛𝑛 = 2 ∑�𝑛𝑛𝑖𝑖 −𝑛𝑛𝑖𝑖′ � 𝑛𝑛 = 102,95009 − 100 = 2,95009 По таблице критических точек распределения 𝜒𝜒 2 , уровню значимости 𝛼𝛼 = 0,0025 и числу 2 = 14,4 степеней свободы 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙 – 3 = 9 – 3 = 6 находим: 𝜒𝜒кр 2 2 < 𝜒𝜒кр , то гипотеза 𝐻𝐻0 о нормальном распределении генеральной совокупности Так как 𝜒𝜒набл принимается. е) Если СВ X генеральной совокупности распределена нормально, то с надежность γ = 0.95 можно утверждать, что математическое ожидание 𝛼𝛼 СВ X покрывается доверительным интервалом �𝑥𝑥̅ − �в 𝜎𝜎 𝑡𝑡 ; 𝑥𝑥̅ √𝑛𝑛 𝛾𝛾 + �в 𝜎𝜎 𝑡𝑡 � , где √𝑛𝑛 𝛾𝛾 𝛿𝛿 = �в 𝜎𝜎 𝑡𝑡 √𝑛𝑛 𝛾𝛾 − точность оценки. В нашем случае 𝑥𝑥̅ = 5,64, 𝜎𝜎�в = 2,768, 𝑛𝑛 = 100. 𝑡𝑡𝛾𝛾 = 1,984, 𝛿𝛿 = 0,549. Доверительным интервалом для α будет (5,091; 6,189). Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклонение 𝜎𝜎 с заданной надежностью 𝛾𝛾, (𝜎𝜎�в (1 − 𝑞𝑞); 𝜎𝜎�в (1 + 𝑞𝑞)). При 𝛾𝛾 = 0,95 и 𝑛𝑛 = 100 имеем: 𝑞𝑞 = 0,143. Доверительным интервалом для 𝜎𝜎 будет (2,625; 2,911)