Геометрические и физические приложения определённого интеграла 18 декабря 2023 г. Длина кривой τ ∈ T [a; b]. Разбиению τ Пусть кривая l задана представлением ⃗ r =⃗ r (t), t ∈ [a; b], τ = {tk }nk=0 соответствует ломаная M0 M1 . . . Mnτ , где Mk – точка с радиус-вектором ⃗ r (tk ). Такая ломанная называется вписанной в кривую l (будем использовать обозначение M0 M1 . . . Mnτ ,→ l). Длину ломаной будем обозначать через |M0 M1 . . . Mnτ |. Определение. Кривая l называется спрямляемой, если множество |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l ограничено. Длина спрямляемой кривой l определяется равенством df µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l . Лемма. ⃗ r (t) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) ⇒ ∃ c ∈ (a; b) |⃗ r (b) − ⃗ r (a)| ≤ |⃗ r ′ (c)|(b − a). Доказательство. Если ⃗ r (b) − ⃗ r (a) = ⃗0, утверждение очевидно (можно брать любое c ∈ (a; b)). Пусть ⃗ r (b) − ⃗ r (a) ̸= ⃗0. e⃗ ⇈ ⃗ r (b) − ⃗ r (a) , |⃗ e | = 1. Тогда r (b), e⃗ − ⃗ r (a), e⃗ = |⃗ r (b) − ⃗ r (a)| = ⃗ r (b) − ⃗ r (a), e⃗ = ⃗ Пусть f (t) = ⃗ r (t), e⃗ = f (t) удовлетворяет условиям = f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) = ⃗ r ′ (c), e⃗ (b − a) = т. Лагранжа ⇒ ∃ c ∈ (a; b) ′ (c), e ⃗ (b − a) ≤ |⃗ r ′ (c)|(b − a) . 2 = |⃗ r ′ (c)| cos ⃗ r\ Теорема (о спрямляемости гладкой кривой).Гладкая кривая l, заданная векторным представлением ⃗ r =⃗ r (t), t ∈ [a; b], спрямляема. Для длины l справедливо неравенство |⃗ r (b) − ⃗ r (a)| ≤ µ(l) ≤ max |⃗ r ′ (t)|(b − a) . t∈[a;b] r (tk ), Доказательство. Для любой ломаной M0 M1 . . . Mnτ ,→ l, где Mk – точка с радиус-вектором ⃗ τ r ′ (t) – непрерывная на [a; b] функция: τ = {tk }nk=0 ∈ T [a; b], получаем, пользуясь тем, что ⃗ nτ X ∃ ck ∈ (tk−1 ; tk ) ⃗ r (tk ) − ⃗ r (tk−1 ) ≤ |⃗ r (b) − ⃗ r (a)| = |M0 Mnτ | ≤ |M0 M1 . . . Mnτ | = ≤ k = 1, nτ k=1 ≤ nτ X ′ ′ |⃗ r (ck )|∆tk ≤ max |⃗ r (t)| t∈[a;b] k=1 n nτ X k=1 ∆tk = max |⃗ r ′ (t)|(b − a) ∈ R ⇒ t∈[a;b] ⇒ µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l o < ∞, т. е. кривая спрямляема 2 Лемма. Пусть s(t) – длина дуги кривой l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗r (a) (начала кривой) до точки с радиус-вектором ⃗ r (t). Тогда s ′ (t) = |⃗ r ′ (t)| . (∗) Доказательство. Для ∆s(t) = s(t + ∆t) − s(t) – длины дуги кривой l от точки с радиус-вектором ⃗ r (t) r (t + ∆t) − ⃗ r (t) ≤ ∆s(t) ≤ max |⃗ r ′ (u)|∆t. до точки с радиус-вектором ⃗ r (t + ∆t) выполняется ⃗ u∈[t;t+∆t] ⃗ r (t + ∆t) − ⃗ r (t) ∆s(t) Разделим все части неравенства на ∆t: ≤ ≤ max |⃗ r ′ (u)|. Переходя к u∈[t;t+∆t] ∆t ∆t пределу в этом неравенстве при ∆t → 0, получаем (∗). 2 Теорема. Пусть l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] – гладкая кривая. Тогда Zb µ(l) = ⃗ r ′ (t) dt = Zb q ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt . a a r =⃗ r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗ r (a) до Доказательство. Пусть s(t) – длина кривой l : ⃗ Zb Zb ⃗ s ′ (t)dt = точки с радиус-вектором ⃗ r (t). Тогда µ(l) = s(b) − s(a) = r ′ (t) dt. 2 a • Величину dl := |⃗ r ′ (t)| dt = p a ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt называют дифференциалом длины дуги. y 1 2 2 2 Пример. Найти длину астроиды l : x 3 + y 3 = a 3 ⇔ ( x = a cos3 t, y = a sin3 t. 1 x p x ′ (t) = 3a cos2 t(− sin t), y ′ (t) = 3a sin2 t cos t ⇒ dl = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt = p p = 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t dt = 3a cos t sin t cos2 t + sin2 t dt = = 3a cos t sin t dt. π π π Z2 q Z2 Z2 µ(l) = 4 ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt = 12a cos t sin t dt = 12a sin t d sin t = 6a sin2 t 0 0 0 π 2 = 6a. 0 Физические приложения определённого интеграла Пусть некоторая физическая величина P является функцией отрезка, т. е. P : [α; β] 7→ P [α; β] , [α; β]subseteq[a; b] и обладает свойством аддитивности, т. е. ∀ c ∈ (α; β) P [α; β] = P [α; γ] + P [γ; β] . Теорема. Если существует p ∈ C [a; b] такая, что ∀ x ∈ [a; b] P [x; x + ∆x] = p(x)∆x + o(∆x), ∆x → 0, Zb то P [a; b] = p(x) dx. (∗) a τ Доказательство. Пусть τ = {xk }nk=0 ∈ T [a; b]. P [a; b] = P = nτ X k=1 o(∆xk ) =0 ⇒ ∆xk lim ∆xk →0 p(xk )∆xk + o(∆xk ) = ⇒ o(∆xk ) = ∆xk αk (∆xk ), где lim αk (∆xk ) = 0 nτ ∪ [xk−1 ; xk ] k=1 = nτ X P [xk−1 ; xk ] = k=1 nτ nτ X X p(xk )∆xk + ∆xk αk (∆xk ). (∗∗) = k=1 k=1 ∆xk →0 Имеем: lim |τ |→0 nτ X k=1 Zb p(xk )∆xk −−−−→ p(x) dx, |τ |→0 a nτ X k=1 ∆xk αk (∆xk ) ≤ max αk (∆xk ) k=1,nτ nτ X k=1 ∆xk −−−−→ 0. |τ |→0 Переходя к пределу в равенстве (∗∗), получаем (∗). 2 • Подинтегральное выражение dP(x) = p(x) dx называют дифференциалом физической величины P. R Пример. Найти силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму полукруга радиуса R. O Давление на глубине h равно ρgh, где ρ – плотность воды, g – ускорение свободного падения. Введём систему координат XOY и рассмотрим бесконечно тонкий слой стенки плотины, лежащий на глубине x, толщины dx. x x+dx x Сила, с которой вода давит на этот слой равна произведению ρgx на его площадь. С точностью до √ бесконечно малых более высокого порядка, чем dx, получаем: dF (x) = 2ρgx R 2 − x 2 dx. В результате ZR p ZR p ZR q R 2ρg 2ρgR 3 x R 2 − x 2 dx = −ρg R 2 − x 2 d(R 2 − x 2 ) = − (R 2 − x 2 )3 = . F = dF (x) = 2ρg 3 3 0 0 0 0 y