Rechkalov V g - Tenzorny Analiz Dlya Inzhenerov

Оглавление
Предисловие...............................................................................................................2
Список принятых обозначений................................................................................4
Введение.....................................................................................................................6
1 Вычисление производных от векторных полей в криволинейных координатах
.......................................................................................................................................9
2 Дифференцирование тензорных полей...............................................................12
3 Преобразование координат ковариантной производной....................................18
4 Вычисление производной в различных системах координат............................23
4.1 Полярные координаты........................................................................................23
4.2 Цилиндрические координаты............................................................................36
4.3 Сферические координаты..................................................................................40
4.4 Эллиптические координаты...............................................................................50
4.5 Капельные координаты......................................................................................56
5 Правила ковариантного дифференцирования.....................................................63
6 Дивергенция...........................................................................................................73
7 Ротор.......................................................................................................................78
7.1 Определение ротора...........................................................................................78
7.2 Распределение скоростей в бесконечно малой нежесткой частице...............80
7.3 Ротор в криволинейных координатах...............................................................83
8 Тензор скоростей деформации.............................................................................85
9 Оператор Гамильтона............................................................................................90
10 Лапласиан.............................................................................................................93
10.1 Лапласиан скалярной функции.......................................................................93
10.2 Лапласиан векторной функции........................................................................95
11 Полезные и просто интересные формулы.........................................................99
12 Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы..............................102
13 Приложения к гидродинамике..........................................................................108
13.1 Индивидуальная, локальная и конвективная производные........................109
13.2 Производная от интеграла по подвижному объему.....................................110
13.3 Связь между силами и течениями в ньютоновской жидкости...................113
13.4 Основное уравнение динамики сплошной среды........................................119
13.5 Уравнение Навье-Стокса для вязкой и несжимаемой жидкости................120
13.6 Формула Пуазейля..........................................................................................123
13.7 Уравнение Навье-Стокса для ротора.............................................................125
13.8 Уравнение Пуассона.......................................................................................130
Приложение............................................................................................................134
Литература..............................................................................................................142
1
Предисловие
Данная книга является естественным продолжением моей более ранней работы "Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников", которая была призвана ответить на главный вопрос: "что такое тензор, и что с ним
можно делать?" Ответ на этот вопрос следует искать именно в алгебре потому,
что именно там проясняется происхождение тензоров и определяются правила
действий с ними. Настоящая книга посвящена анализу. Концептуально анализ
добавляет к уже построенной алгебре всего лишь одну но революционную
идею – идею предельного перехода. Эта идея привносит в скучную для многих
алгебру движение и дыхание жизни. Самое же главное то, что именно анализ
является жизненно необходимой теорией для бесчисленных приложений. Перефразируя слова Фейнмана можно сказать, что природа пишет свои законы на
языке дифференциальных уравнений. Поэтому можно понять стремление некоторых авторов побыстрее разделаться с алгеброй и перейти к анализу. Алгебра
может быть не так сложна, но с ее понятиями и определениями необходимо
свыкнуться. Алгебра должна "настояться" иначе мы можем научиться хорошо
дифференцировать и интегрировать, но не будем понимать, что мы дифференцируем. Поэтому в первой своей книге я специально ограничился лишь вопросами алгебры, чтобы не возникало соблазна побыстрее ее пролистать и перейти
к более интересному.
Я не знал, что между двумя моими книгами пройдет так много лет. Возможно, если бы я писал первую книгу сейчас, я бы многое в ней изменил. Но
что сделано, то сделано и у меня нет времени возвращаться к пройденному. На
очереди тензорный анализ и снова встает вопрос о содержании. Если посмотреть разные книги по теории тензоров, то может создаться впечатление, что
каждый автор пишет о чем-то своем, что ему ближе. Это легко можно объяснить, ведь почти все существенные геометрические и физические величины являются тензорами, и о чем бы мы ни писали, если сделать правильный акцент, –
это будет книга по теории тензоров. Возникает законный вопрос: "Что же останется в сухом остатке, если из всех имеющихся книг по теории тензоров вытряхнуть все содержание, относящееся к компетенции других наук?" Есть ли в
теории тензоров некая "визитная карточка", концепция, идея, о которой нельзя
не сказать в книге по этой теории? Несомненно есть, и эта идея – идея инвариантности физических величин, приводящая к так называемому тензорному закону преобразованию координат. Именно поэтому я придерживаюсь определения тензора, в котором закон преобразования задан в явном виде.
Определение влияет на характер изложения, которое связано с ним так же,
как живая плоть со своим скелетом. Определение тензора есть суть, основа,
сущность, альфа и омега тензорной теории. Я в своем изложении буду придерживаться определения, которое приводится в книге П. К. Рашевского, которое,
как мне кажется, наиболее полно отражает суть этого понятия.
Мы говорим, что нам задан p +q – валентный тензор, p раз
ковариантный и q раз контравариантный, если в каждой координатной
2
j 1 j 2 ... jq
системе нам заданы n p+q чисел T i i ... i , занумерованных p индексами внизу и
q индексами наверху и преобразующихся при переходе от одной координатной
системы к другой по закону
j ' j ' ... j '
j j ... j i
i
i
j'
j'
j'
T i ' i ' ... i ' =T i i ... i ei ' ei ' ... ei ' e j e j ... e j .
1 2
1
1
2
2
q
1
p
2
1 2
q
p
1
2
1
p
2
p
1
p
1
2
q
2
q
j 1 j 2 ... jq
Числа T i i ... i
мы будем называть координатами тензора в
соответствующей координатной системе. Все индексы пробегают значения
1, 2, 3... , n независимо друг от друга.
i
Коэффициенты e j являются элементами матрицы преобразования координат.
1 2
p
Возвращаясь к вопросу о содержании книги по тензорному анализу, мы можем согласиться, что главное, что мы должны из нее вынести – это умение вычислять инвариантные дифференциальные операторы в произвольных системах
координат. Может показаться, что это слишком узкий взгляд на проблему. Ведь
теория тензоров – наука обо всем и вдруг такое. Да, конечно, теория тензоров –
это обо всем, но об этом всем можно прочитать во всех других книгах, а без
умения свободно переходить от дифференциальных уравнений в частных
производных к уравнениям в инвариантной форме и наоборот вы не будете себя
свободно чувствовать при обращении с тензорами. К тому же это не ограничивает полностью свободы в выборе содержания, ведь изучать технику таких
преобразований придется на примере каких-то конкретных уравнений. Я в
частности остановил свой выбор на некоторых законах гидромеханики.
Обе мои книги желательно читать последовательно, хотя я и стараюсь по
ходу изложения анализа напоминать о наиболее существенных моментах из
тензорной алгебры. К сожалению мою первую книгу можно найти только в
электронном виде, но я не думаю, что на сегодняшний день это существенная
проблема.
Приятного Вам прочтения.
Речкалов Виктор Григорьевич
3
Список принятых обозначений
1. υ – скорость.
2. V – объем.
3. T – температура.
4. t – время.
5. ~ – "тильда" объединяет сходные по смыслу выражения, между
которыми нельзя поставить знак равенства.
Пример
ā × c̄∼ε i j k a j b k
Правое и левое выражения представляют собой различные формы записи
векторного умножения.
[]
[]
a1
6. ā∼ a 2 =[a • ] – матричное обозначение ковариантного вектора.
a3
1
a
•
7. ā∼ a 2 =[a ] – матричное обозначение контравариантного вектора.
a3
В силу принятого соглашения [a • ] и [a • ] являются векторами и я мог бы
их приравнять к вектору ā , но они также являются матрицами, а как матрицы,
они разные. Поэтому вместо знака равенства мы используем в подобных случаях значок тильды.
Поскольку для выполнения операций с тензорами в матричной форме
структура индексов имеет важное значение, мы обычно показываем ее положением точки или звездочки для ортонормированных координат. Например, для
двухвалентного тензора мы можем записать четыре различных матрицы: [T • • ] ,
[T • • ] , [T • • ] и [T • • ] . Приравнивать их нельзя, хотя это все координаты одного и
того же тензора.
Иногда все же очень хочется вместо тильды поставить знак равенства и в
тех случаях, когда нет опасности быть неправильно понятым, я буду это делать.
[ ][ ][ ]]
e 1'1
•'
8. [e• ]= e12'
e 3'1
e1
e12 '
2'
e2
e32 '
e2
e 1'3
2'
e3
e 3'3
– матрица преобразования координат. Состав-
e3
ляется из координат в новом базисе (со штрихами) старых (без штрихов) базисных векторов.
4
[ ][][]]
e11 '
•
9. [e• ' ]= e12 '
e31 '
e12'
2
e 2'
e32'
e1'
e2'
e13 '
2
e3 '
e33 '
– матрица обратного преобразования.
e3'
*
10. [e• ] – матрица преобразования к ортонормированной системе коорди-
нат.
11. ā⋅c̄ – скалярное умножение векторов.
12. ā × c̄ – векторное умножение векторов.
13. δ ik =δ i k =δ i k – символ Кронекера.
|
1j
in
ip
|
1i
1k
δ
δ
δ
i jk
2i
2j
14. E =E i j k = δ
δ
δ 2 k – символ Веблена – определитель, составδ3 i δ3 j δ3 k
ленный из столбцов единичной матрицы.
|
im
|
δ
δ
δ
i jk
jm
jn
15. E m n p= δ
δ
δ j p – обобщенный символ Кронекера.
δk m δ k n δk p
g i k – метрический тензор.
g• •= g – определитель матрицы ковариантного метрического тензора.
g •• – определитель матрицы контравариантного метрического тензора.
ε i j k = √ g •• E i j k и ε i j k =√g •• E i j k – тензор Леви-Чивиты.
∇ i – оператор ковариантного дифференцирования тензора.
1
2
3
i
21. ∇ =e ∇ 1+e ∇ 2+ e ∇3=e ∇ i – оператор "набла". В выражении мы использовали соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, которое
будем использовать систематически.
22. def υ i k =def i kῡ – тензор скоростей деформации.
23. μ и k – соответственно динамическая и кинематическая вязкости.
24. τ i k и p – соответственно тензор напряжений и давление в жидкой среде.
16.
17.
18.
19.
20.
5
Введение
Тензорный анализ является очень удобным и полезным инструментом для
инженеров и физиков. К сожалению, изучению его в высшей школе не
уделяется достаточно внимания. Обычно некоторые основы этого предмета
даются в краткой форме в рамках какого-либо другого курса, например, в
рамках теории упругости или гидродинамики. Ясно, что в этом случае лектор
стремится как можно быстрее изложить важные для его собственного курса
факты. Очень часто для экономии времени тензорный анализ излагается в
адаптированном виде, например, только в декартовых координатах. Мы итак
слишком зависимы от декартовой координатной системы. Мы слишком к ней
привыкли. Спору нет, она очень удобна. К сожалению, она не всегда
применима. Привычка к декартовой координатной системе принуждает нас
совершать глупые ошибки, как только мы ее покидаем. Но в связи с теми или
иными задачами нам все равно рано или поздно приходится это делать, а раз
так, то при изучении тензорного анализа лучше всецело сосредоточиться
именно на криволинейных координатах. А в целях экономии времени
исключить более простые частные случаи декартовых и ортогональных
координат.
В качестве примеров я чаще всего использую полярную систему координат,
поскольку это позволяет использовать плоские картинки для иллюстраций. Я
постараюсь также в тех случаях, когда это не слишком обременительно,
использовать и эллиптическую координатную систему. Также я часто буду
обращаться к цилиндрической координатной системе, поскольку она легко
получается из полярной. Этих трех координатных систем вполне достаточно,
чтобы проиллюстрировать все проблемы, с которыми приходится сталкиваться
в общем случае.
Тензоры в криволинейных координатах
x2
ā 2
ā
ā 1
x1
Рис. 1
Мы знаем, как выглядит декартова система
координат. Возьмем и слегка изогнем ее оси. При этом
мы получим, примерно то, что изображено на рисунке.
Видимо и вектор ā следует слегка изогнуть, чтобы он
вписался в общую картину.
Но таких векторов я никогда не видел. Вектор
может быть только прямым. Кривых векторов не
бывает потому, что вектор – это порождение
аффинного пространства и в криволинейном
пространстве он попросту не помещается. Более наглядно это можно было бы продемонстрировать на
примере криволинейной поверхности. Попробуйте нарисовать прямолинейный вектор на поверхности сферы.
6
Криволинейные координаты для векторов не имеют смысла [13, с. 341], но
отказаться от векторов мы не можем. Уж лучше отказаться от криволинейных
координат. Но и этого мы сделать не можем, поскольку существуют
пространства в которых прямолинейные (аффинные) координаты мы ввести не
в состоянии. Например, все та же поверхность сферы. Считается также, что
наше родное физическое пространство также не является аффинным на
больших расстояниях или вблизи массивных тел. Все это заставляет срочно чтото придумать. К счастью, все уже придумано.
Чтобы продолжить нам придется перейти на более строгий язык
математических формулировок.
Введем в некоторой области аффинного пространства криволинейные
координаты xi .
Координатная линия – кривая, вдоль которой изменяется лишь одна из
координат xi .
Через каждую точку М
n-мерного пространства проходят n
координатных линий, которые образуют локальную координатную систему.
e3
M0
x3
r̄
e2
d r̄
dx
e1
x2
3
dx
dx
1
2
M
x1
Рис. 2
Допустим, что мы находимся в точке М . Проведем радиус-вектор r̄ в эту
∂ r̄
i
i
точку. Найдем дифференциал: d r̄ (x )= i d x .
∂x
∂ r̄
Производные
представлящие собой векторы, которые мы обозначим
∂ xi
ei , примем за локальный базис. d r̄ (x i )=ei d xi . Полученное выражение и
рисунок показывают, что бесконечно малый вектор d r̄ может быть
представлен своими координатами d x i в локальном базисе привычным
образом. К сожалению, теперь в каждой точке пространства мы будем иметь
свой локальный базис и свое аффинное пространство, порожденное этим бази7
сом.
Аффинное пространство, порождаемое локальным базисом, называется
касательным пространством в данной точке. В случае принципиально
криволинейного пространства (например, сфера) касательное пространство
совпадает с ним с точностью до бесконечно малых второго порядка. Рашевский
[13, с. 341] говорит об этом так:
"Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращения
криволинейных координат ∆ x i снова выражают координаты вектора смещения
М 0 М ".
Выясним теперь, что происходит при переходе к другой криволинейной
системе координат xi ' . В этом случае в каждой точке мы получим новый
∂ r̄
локальный базис
.
∂ x i'
∂ r̄ ∂ xi '
Выразим старый базис через новый ei = i '
i .
∂x ∂x
Вспоминая, что закон преобразования векторов базиса мы записывали как
∂ xi '
i'
i'
ei =ei ei , мы примем, что в случае криволинейных координат ei = i .
∂x
i
Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле T j k . Координаты тензора
можно задать относительно любого аффинного репера, но в случае, когда мы
используем криволинейные координаты, мы будем задавать координаты тензора
относительно локального базиса, порожденного этими криволинейными
координатами.
Вслед за преобразованием криволинейных координат будет происходить
преобразование локального репера в каждой точке пространства, а значит и
преобразование координат тензора по обычному тензорному закону:
T ij'' k ' =e ii ' e jj ' e kk ' T ij k .
∂ xi ' i
В частности для вектора: a =e a = i a .
∂x
Вот такой вот фокус. В общем случае в криволинейном пространстве мы
не можем ввести векторы естественным способом, но для каждой точки такого
пространства мы можем ввести свое аффинное пространство, которое "почти
совпадает" с криволинейным. В этом касательном пространстве мы можем использовать векторы. Например, мы знаем, что поверхность Земли близка к поверхности сферы, но в пределах своего приусадебного участка мы вполне можем считать ее плоской и использовать геометрию Евклида для его планировки.
i'
i'
i
i
8
1
Вычисление производных от векторных полей в криволинейных
координатах
Основной задачей тензорного анализа является получение простых и понятных правил для вычисления производных от тензорных и векторных полей.
В декартовых координатах, как это обычно бывает с декартовыми коордиk
k
∂ ā ∂ a e k ∂ a
натами, все выглядит довольно просто:
=
= i ek .
∂ xi
∂ xi
∂x
Базисные векторы e k постоянны, и мы с полным основанием можем их
вынести за знак производной.
В криволинейных координатах эта операция осложняется тем, что базисные векторы также являются переменными величинами. На первый взгляд
эта проблема не кажется слишком сложной, но это не так, и чтобы лучше
разобраться в ней я намерен показать два различных подхода к ее решению.
Подход Л. И. Седова
Л. И. Седов [17, с. 77] начинает с очевидного равенства
k
k
∂ ā ∂ a e k ∂ a
k ∂ ek
(1.1)
=
=
e
+a
.
k
∂ xi
∂ xi
∂ xi
∂ xi
Далее Л. И. Седов пишет: "Очевидно, по определению можно принять, что
∂ ek
производная
также представляет собой вектор, характеризующий свойi
∂x
ства криволинейной системы координат".
В этой фразе настораживает слово "очевидно" и то, что данный вектор является вектором по определению, другими словами, по нашему желанию. Что с
этим вектором не так? Перейдем к декартовой системе координат и мы увидим,
что этот вектор равен нулю для любых i и k . Подобная метаморфоза не характерна для настоящего вектора. Если вектор равен нулю в какой-нибудь одной
∂ ek
системе координат, то он будет равен нулю и в любой другой. Производная
i
∂x
не равна тождественно нулю в любой криволинейной координатной системе.
Другими словами она, как раз по определению, не является вектором.
Далее по Л. И. Седову на следующей странице:
"Разложим этот вектор по базису и обозначим компоненты этого разложения символами Γ imk ", которые называются коэффициентами связности или символами Кристоффеля.
Возникает вопрос: "Какое право мы имеем "не вектор" раскладывать по
векторному базису?"
Поскольку Л. И. Седов не дает никаких комментариев по этому поводу,
оставим этот вопрос на потом и продолжим преобразования.
9
∂ ek
(
)
∂ ā
∂ ak ○ k
= Γ em , и далее
=
+a Γ ○ i e k .
i
i
i
∂x
∂x
∂x
Выражение, стоящее в скобках, называется ковариантной производной
∂ak ○ k
k
контравариантного вектора и обозначается так: ∇ i a = i + a Γ ○ i .
∂x
Это обозначение ни в коем случае нельзя понимать как производную k-ой
координаты вектора. Ковариантная производная представляет собой тензор второго ранга и перед нами i-ая, k-ая координата этого тензора. Вопрос о том, почему ковариантную производную мы считаем тензором, мы также пока оставим.
Подход Л. И. Седова очень эффектен поскольку быстро приводит к цели.
Хотелось бы только понять, почему мы имеем право так сделать.
На мой взгляд наиболее адекватно данная проблема решена у И. С. Сокольникова [19]. Очень хорошая книга, но что напрягает, так это слишком формальное введение многих понятий, смысл которых проясняется порой через
несколько десятков весьма непростых для чтения страниц текста. Мне кажется
более разумным вводить новые понятия по мере необходимости.
Вот сейчас у нас возникла необходимость прояснить проблему вычисления
производной от базисного вектора, этим мы и займемся. В целом мы будем следовать Сокольникову, изменив по-необходимости лишь порядок изложения.
m
ik
Подход И. С. Сокольникова
Вычислим для начала производную от метрического тензора.
∂ g i s ∂ e i⋅e s ∂ e i
∂ es
=
=
⋅e
+
s
m
m
m
m⋅e i
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ gi s ∂ es
∂ ei
−
⋅e
=
⋅e s
m
m i
m
∂x
∂x
∂x
Аналогично получаем
∂ g ms ∂ es
∂ em
−
⋅e
=
m
i
i
i ⋅e s
∂x
∂x
∂x
Складываем два последних равенства.
∂ gi s ∂ g m s
∂ es
∂ es
∂ ei
m+
i −
m⋅e i +
i⋅e m =2
m⋅e s
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ ei
∂ em
∂2 r̄
=
=
Мы учли, что
m
i
m
i .
∂x
∂x ∂x
∂x
∂ es
∂ es
∂ em
∂ ei
∂ gim
⋅e
+
⋅e
=
⋅e
+
⋅e
=
m
i
m
m i
i
s
s
s
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
∂ ei
+
−
=2
⋅e s
m
i
s
m
∂x
∂x
∂x
∂x
Следовательно,
[
]
10
(1.2)
(1.3)
(1.4)
∂ ei
(
)
1 ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
+
−
s
2 ∂ xm ∂ xi
∂x
∂x
Откуда следует искомая производная от базисного вектора.
⋅e s =
m
∂ ei
(
)
(
(1.5)
)
1 ∂ g i s ∂ gm s ∂ g i m s 1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
+
−
e= g
+
−
ek
(1.6)
s
m
i
s
2 ∂ x m ∂ xi
2
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
Полученное выражение дает разложение производной по векторам базиса,
∂ ei
хотя мы и не использовали при этом предположение о том, что
m представ∂x
ляет собой вектор. В качестве приятного бонуса мы получили выражения для
коэффициентов разложения через метрический тензор.
∂ ei
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
k
Γ i m= g
(1.7)
= Γ i m ek
,
m+
i −
s
m
2
∂x
∂x
∂x
∂x
m
=
(
)
k
Коэффициенты Γ i m , как мы уже знаем, называются символами Кристоффеля.
Найдем закон преобразования символов Кристоффеля. Начнем с закона
преобразования базисных векторов.
i
∂x
e i ' =e i i ' далее без комментариев.
∂x
∂ ei '
∂ ei ∂ xi
∂2 xi
m'
= Γ i' k ' em ' = k '
+e i i ' k ' =
k'
i'
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
k
i
2 i
∂ ei ∂ x ∂ x
∂ x
= k
k'
i ' +e i
i'
k' =
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x
k
i
2 m
∂x
∂ x
m ∂x
=Γ ik k '
e + i ' k ' e m=
i' m
∂x ∂x
∂x ∂x
k
i
m'
2 m
m'
∂x ∂x
∂ x
∂x
m ∂x
=Γ ik
e + i' k'
e
k'
i'
m m'
m m'
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
И, наконец
k
∂ xi ∂ xm '
∂2 xm ∂ xm'
m'
m ∂x
(1.8)
Γ i' k'= Γ ik
k'
i'
m +
i'
k'
m
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
Как и ожидалось, закон преобразования не соответствует тензорному, и
производные от базисных векторов действительно нельзя считать векторами. В
∂ ei
k
то же время нельзя отрицать, что выражение
m = Γ i m e k формально очень по∂x
k
хоже на вектор, и коэффициенты Γ i m , можно считать координатами этого вектора в локальном базисе, если, конечно, сохранять систему координат в неприкосновенности. В дальнейшем мы постараемся этот вывод проверить.
Теперь можно вернуться к задаче дифференцирования вектора.
11
(
)
∂ ā ∂ a i
∂ ai
∂ ai
∂ ai ○ i
i ∂ ei
i
k
○ i
= m ei + a
= m ei +a Γ i m e k = m ei +a Γ ○ m ei =
+a Γ ○m e i
m
m
m
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
(1.9)
Выражение в скобках представляет собой уже знакомую нам ковариантную
∂ ai
i
○
i
производную контравариантного вектора и обозначается ∇ m a = m +a Γ ○ m .
∂x
Найдем закон преобразования массива чисел, образующих ковариантную
производную.
∂ ā
= ∇ m ai e i ,
m
∂x
i'
∂ ā
∂ ā ∂ x m'
∂ xm '
i'
i∂x
=
=
∇
a
e
=
∇
a
e i ' , откуда получаем
m'
i'
m
∂ x m ∂ x m' ∂ x m
∂ xm
∂ xi
m
∂ xi '
i'
i ∂x
∇ m ' a =∇ m a
= ∇ m ai e mm' e i'i , что соответствует закону преобi
m'
∂x ∂x
разования двухвалентного один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора.
2
Дифференцирование тензорных полей
После того, как мы получили формулу для вычисления производной от
векторного поля, нам необходимо обобщить ее на случай произвольного тензорного поля. Задача эта несколько более сложная. Дело здесь в том, что вектор является интуитивно более понятным объектом. К какому бы определению вектора мы ни склонялись, мы всегда можем представить его в виде стрелочки, которая соответствует таким опять же привычным и ясным физическим понятиям,
как скорость, ускорение или сила. Для инженера этого часто бывает достаточно,
чтобы легко понять свойства тех или иных свойств этого объекта. Для тензора
произвольного ранга нет столь наглядного представления. В лучшем случае мы
можем его интерпретировать как функцию, линейный оператор или как некоторое правило, следуя которому мы можем из одних тензоров получать другие.
Самым простым тензором является скаляр. Рассматривая скаляр, как тензор, мы
можем считать его правилом, по которому скаляр φ "увеличивает" любой другой тензор в φ раз. Ясно, что подобная операция имеет абсолютный смысл и
не зависит от выбора каких-либо координатных систем. Независимость результата выполнения той или иной операции с тензорами от выбора систем
координат является основным требованием к правильному определению этой
операции. Большинство операций с векторами, хотя это и не очень удобно, можно определить используя чисто геометрические построения безо всяких координатных систем. Другое дело тензоры более высокого ранга, которые мы даже не
можем задать иначе, как через их координаты в какой-либо системе координат.
С тензорами в силу их определения мы работаем через координаты. В то же
время определение действий с тензорами не должно зависеть от случайного выбора координатной системы. Изучая тензорную алгебру мы нашли способ разрешения этого противоречия: операция с тензорами должна быть определена
12
таким образом, чтобы результат этой операции при переходе к другой системе
координат преобразовывался по тензорным законам.
Другой существенный вопрос в том, что вообще мы понимаем под производной тензора? Мы уже дали определение ковариантной производной вектора,
но мне кажется, что мы еще не до конца поняли смысл этого определения.
Я вспоминаю, что в те времена, когда я впервые изучал векторный анализ,
я испытывал неприятное ощущение, что чего-то не хватает. В теории анализа
обычных функций одним из самых важных понятий является понятие "просто
производной". В векторном анализе аналогичное понятие не появляется.
d ā
Вместо ожидаемой встречи с "простой производной" в форме
мы
d r̄
сталкиваемся с целым зоопарком странных созданий – градиентов,
дивергенций, роторов. Я даже могу предположить, что мы не сможем сказать,
что считать производной скалярной функции нескольких аргументов. Для
скалярной функции обычно дается определение понятия градиента.
Я напомню, что градиентом скалярной функции φ(x i ) называется вектор,
своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания
функции. Координатами вектора являются частные производные. Имеются два
общепринятых варианта для обозначения градиента:
T
∂φ i
∂ φ ∂φ ∂φ
i
grad(φ)= ∇ φ= i e = ∇ i φe ∼
,
,
(2.1)
∂x
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
Знак транспонирования использован потому, что вектор мы условились
обозначать вертикальным столбцом.
Вот так, определяем частную производную, вводим понятие градиента и
ничего не говорим о производной. Как же нам теперь вводить понятие производной для произвольного тензорного поля? На что опереться?
d ā
Если вернуться к записи
, то причина отсутствия определения такого
d r̄
понятия вполне понятна – для векторов не определена операция деления. Но раз
очень хочется иметь производную для произвольных тензорных полей, не может быть, чтобы делу нельзя было помочь. Ясно, что мы не можем воспользоваться традиционным определением производной, как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Обратимся за помощью к другому
математическому факту: дифференциал функции определяется, как линейная по
отношению к ее аргументам часть приращения функции.
Выпишем для примера три выражения для дифференциалов различных
функций:
d f
dx
1 d f=
dx
∂φ
T
•
i
2 d φ=[ ∇ • φ] [ d x ]= i d x
∂x
[
13
]
• T
•
3 d ā∼[ ∇ • a ] [d x ]=
[
∇1a
1
∇ 1a
2
∇ 2a
1
∇ 2a
2
T
][ ]
d x1
d x2
Знак "тильда" здесь использован потому, что слева мы имеем вектор, а
справа – координаты этого вектора.
Несложно заметить сходство в этих трех выражениях. Можно сказать, что в
правой части всех этих выражений, мы имеем произведение бесконечно малого
приращения аргумента функции на некий коэффициент. В самом простом случае коэффициент равен просто производной. Для скалярной функции нескольких аргументов коэффициент равен транспонированному градиенту. Для векторной функции – транспонированному тензору ковариантной производной.
Если этот коэффициент мы примем за новое определение производной, мы решим нашу задачу. При этом новое определение производной не будет противоречить традиционному, следовательно может считаться его расширением.
Для обозначения этой обобщенной производной можно, конечно, воспольd ā
зоваться символом
который использует для этих целей Л. Г. Лойцянский,
d r̄
хотя я не вижу для этого особой необходимости. Если честно, то я не вижу
принципиальной разницы между градиентом, ковариантной производной и
производной вектора в указанном выше смысле. По этой причине я намерен использовать все три названия и соответствующие им обозначения, не делая между ними различия.
Таким образом наши последующие действия будут направлены на то, чтобы получить выражение для дифференциала тензора в виде d T = ∇ k T d x k . При
этом тензор, обозначенный через ∇ k T , мы определим как ковариантную производную тензора T .
Упростив для начала задачу до предела, мы будем считать, что тензорное
поле задано в евклидовом пространстве и координаты тензора заданы в глобальной декартовой системе координат. Тем самым мы снимаем ограничения на
сравнения тензоров, заданных в разных точках. В этом случае дифференциал
∂ T ik j
ij
m
можно записать привычным образом: d T k = m d x . В этом случае
∂x
ij
∂T k
ij
∇mTk =
.
∂ xm
При переходе к криволинейным координатам проблема усложняется тем,
что мы не можем ввести единую координатную систему. В каждой точке пространства нам приходится иметь дело со своим собственным локальным базисом. Легко можно показать, что дифференциал, определенный простой формулой не является тензором в общем случае.
14
dT
i' j '
k'
=
∂ T ik'' j '
∂ xm'
(
i'
j'
k
)
m
m'
∂x ∂x
ij∂x ∂x
m∂x
d x = ∂m Tk
dx
=
i
j
k'
m'
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂ xm
m'
2 i'
j'
k
∂ T ik j ∂ xi ' ∂ x j ' ∂ x k
∂x ∂x
m
ij ∂ x
m
(2.2)
= m
d x +T k
dx +
i
j
k'
m
i
j
k'
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
i'
2 j'
k
i'
j'
∂ x
∂x
∂2 x k
ij∂x
m
ij∂x ∂x
m
+T k
i
m
j
k ' d x +T k
i
j
m
k' d x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
Три последних слагаемых не укладываются в тензорный закон преобразования координат. Даже при переносе постоянного тензора в другую точку, его
координаты будут изменяться, поскольку изменяется локальный базис. Следовательно, простой дифференциал от координаты постоянного тензора не будет равен нулю, что еще более наглядно говорит о нетензорном характере простого
дифференциала. Только если обе координатные системы являются прямолинейными и едиными для всего пространства вторые производные в формуле обращаются тождественно в ноль. Ввести глобальную прямолинейную систему
координат в общем случае мы не можем, но в наших силах сделать нечто другое.
Выделим в нашем пространстве произвольную точку M 0 . Построим в
этой точке локальную систему координат из векторов ā i равных базисным векторам в точке M 0 и затем параллельно перенесем их в каждую точку пространства. Соответствующие построения показаны на рисунке.
e2
ā 2
ā 1
~
T (M )
M
ā 2
T (M )
ā 1
e2
e1
T (M 0 )
e1
M0
Рис. 1
Не страшно, что у нас не получилось единой глобальной прямолинейной
системы координат. Важно, что теперь в каждой точке имеется локальная система координат с базисными векторами ā i параллельными исходному базису в
точке M 0 . Изменения координат тензора в этом вспомогательном базисе зави15
сят от свойств самого тензорного поля, а не от свойств координатной системы.
Осталось только научиться параллельно переносить постоянные векторы, но
это достаточно просто.
Параллельный перенос вектора в криволинейных координатах
Если постоянный вектор ā переносится параллельно самому себе, его
производная должна равняться нулю.
∂ ā
∂ ak ○ k
=0=
+a Γ ○ i e k
i
i
∂x
∂x
(
)
∂ ak
○
k
=−a Γ ○ i
(2.3)
Отсюда следует, что
i
∂x
Видимо будет правильно также, что
∂ ak
d a k = i d x i =−a ○ Γ ○k i d x i
(2.4)
∂x
Этого достаточно, для того, чтобы мы могли сделать следующий шаг.
В локальном базисе, построенном в точке M 0 векторы ā i будут иметь
координаты δ in .
Запишем формулы перехода в точке M к новому базису. Обычно формулы
перехода мы записывали в таком виде: T ik'' j ' =T ik j eii ' e jj ' ekk ' . По смыслу e kk ' – это
k -ая координата k ' -ого нового базисного вектора в старой координатной сиk
стеме. Поскольку новый базис мы обозначаем как ā i , то вместо e k ' мы будем
писать a ni . Коэффициенты eii ' представляют собой элементы обратной матрицы
преобразований координат. Чтобы не вводить ее в рассмотрение, мы используем
следующий прием:
Равенство T ik'' j ' =T ik j eii ' e jj ' ekk ' мы перепишем в виде: T ik'' j ' eii ' e jj ' =T ik j ekk '
~
Координаты тензора T в базисе ā i будем записывать как T ik j .
Теперь мы готовы записать формулу преобразования координат тензора к
базису ā i , в которой используются только координаты нового базиса в локальном базисе точки M :
~k p
(2.5)
T m (M )a ik a pj=T in j (M )a nm
Формула позволяет вычислить координаты тензора, хотя и в разных, но параллельных координатных базисах и это максимум, что мы можем позволить
себе в общем случае. Грубо говоря, совпадение координат тензоров из разных
точек в этой системе координат – это единственное, что может говорить нам о
равенстве тензоров в общем случае римановых пространств. Дифференциал от
~i j
~
T k (M ) называется абсолютным дифференциалом и обозначается D T ik j (M ) .
Вычислим его
16
~
~
~
D T km p (M )aik a pj + T km p (M )d a ik a pj + T km p (M )a ik d a pj =
ij
n
ij
(2.6)
n
=d T n (M )a m +T n (M )d a m
Для вычисления дифференциалов от постоянных векторов ā i воспользу∂ak
k
i
○
k
i
емся полученными ранее формулами d a = i d x =−a Γ ○ i d x .
∂x
~k p
~k p
~
i
j
○
i
r j
D T m (M )a k a p −T m (M )a k Γ ○r d x a p −T mk p (M )a ik a○p Γ ○j r d x r =
=
∂ T in j (M )
r
r
n
ij
○
n
d x a m −T n (M )a m Γ ○ r d x
r
∂x
Вычислим значения всех слагаемых в точке M 0 , учитывая, что в точке
M 0 a nm =δ nm .
~
~
~
D T km p (M 0 )δ ik δ pj −T km p (M 0 )δ ○k Γ i○r d x r δ pj −T km p (M 0 )δ ik δ ○p Γ ○j r d x r =
~
~
~
j
r
= D T imj (M 0 )−T ○m j (M 0 ) Γ i○ r d xr −T i○
m (M 0 ) Γ ○ r d x =
=
=
∂ T in j (M 0 )
r
∂x
∂ T imj (M 0 )
r
r
n
ij
○
n
r
d x δ m−T n (M 0 )δ m Γ ○ r d x =
r
ij
n
d x −T (M 0 ) Γ
n
mr
r
dx=
∂ T imj (M 0 )
r
r
ij
○
d x −T ○ (M 0 ) Γ m r d x
r
∂x
∂x
Выразим в явной форме абсолютный дифференциал, перенеся все слагаемые в правую сторону.
∂ T imj
ij
(2.7)
DTm=
+T ○m j Γ i○ k +T im○ Γ ○j k −T i○j Γ ○m k d x k
k
∂x
Значок "тильда" над тензорами я убрал, поскольку в точке M 0 координаты
~i j
T k и T ik j совпадают.
Выражение в скобках представляет собой искомую ковариантную производную тензора. Обобщая полученное выражение на общий случай, запишем:
(
∇kT
i 1 i 2 ...
j 1 j 2 ...
=
∂T
i1 i2 ...
j1 j 2 ...
k
)
○ i 2 ...
1 j2 ...
+T j
i1
Γ ○ k +T
i1 ○...
j1 j 2 ...
i2
i1 i 2 ...
○
Γ ○ k +...−T ○ j ... Γ j k −T
i1 i2 ...
j1 ○ ...
○
Γ j k .. .
(2.8)
∂x
Получив эту формулу, мы завершили большую и достаточно утомительную
работу и теперь можем с облегчением вздохнуть. Чтобы еще легче дышалось, я
покажу, как к тому же результату можно прийти более коротким путем.
Вывод основан на использовании некоторого формального объекта, который мы построим по аналогии с вектором.
i
Одной из форм записи вектора является такая: ā=a ei .
2
1
2
ij
k
Построим формальный объект T =T k ei e j e . Если мы теперь потребуем,
чтобы этот объект, как и вектор, не зависел от случайного выбора координат,
другими словами, был бы инвариантен относительно преобразования коорди-
17
нат, то мы получим:
T ik j e i e j e k =T ik j ei ' eii ' e j ' e jj ' ek ' e kk ' =T ik j e ii ' e jj ' e kk ' ei ' e j ' e k ' , следовательно
T ik'' j ' =T ik j eii ' e jj ' ekk ' , т. е. коэффициенты при последовательности базисных
векторов, которая называется масштабным сопровождением тензора, преобразуются по тензорному закону. Причем закон преобразования получается всего
лишь из утверждения об инвариантности этого формального объекта. Данный
факт является весьма соблазнительным для того, чтобы использовать построенный таким образом объект для определения тензора. Многие авторы так и поступают, я же, наоборот, старался как можно дольше совсем не упоминать об
этом способе представления тензора поскольку, на мой взгляд, он лишен как
физического так и геометрического смысла. Для инженера не все равнозначные
в математическом смысле определения одинаково удобны. Удобными я считаю
такие математические определения, которые очевидным образом ложатся на используемые в физической теории величины. Например, так называемое, геометрическое определение вектора является очень удобным, поскольку его связь с
такими физическими величинами, как скорость, ускорение, сила, является очевидным. Определение вектора через его координаты также будет удобным, если
предварительно поупражняться в векторной алгебре. Но к какому физическому
ij
k
месту можно приложить объект T =T k ei e j e – большой вопрос. Есть еще одно
возражение против подобной записи. Я думаю, что все уже заметили, что многие тензорные выражения выглядят очень громоздко. Если при этом к каждому
тензору приписать его масштабное сопровождение, читабельность формул еще
более пострадает.
Тем не менее из подобной записи можно действительно извлечь сущеij
k
ственную выгоду, например, для объекта T =T k ei e j e можно найти ковариантную производную почти также, как мы когда-то сделали это для вектора.
k
∂ T ik j ei e j e k ∂ T ik j
∂e j k i j
∂e
k
i j ∂ ei
k
ij
= m e i e j e +T k
e j e +T k ei m e +T k ei e j m =
∂ xm
∂x
∂ xm
∂x
∂x
ij
∂T
k
ij
n
k
ij
n
k
ij
k
p
= mk ei e j e +T k Γ i m e n e j e +T k ei Γ j m e n e −T k ei e j Γ p m e =
∂x
∂ T ik j
k
○j
i
k
i○
j
k
ij
○
k
= m ei e j e +T k Γ ○ m ei e j e +T k ei Γ ○ m e j e −T ○ e i e j Γ k m e =
∂x
(
=
∂ T ik j
m
)
+T ○k j Γ i○ m +T ik○ Γ ○j m −T i○j Γ ○k m ei e j e k
∂x
Вот и все! Такая простота, конечно впечатляет. Однако за формальной процедурой оказываются скрыты многие тонкие моменты, которые мы обсудили
раньше.
3
Преобразование координат ковариантной производной
Закончив с выводом формулы для ковариантной производной тензорного
поля, я настолько обрадовался, что забыл про проверку закона преобразования
18
ее координат. Впрочем это даже хорошо. Данная проверка требует терпения и
внимательности, и ее лучше вынести в самостоятельный раздел.
При вычислениях мы будем использовать некоторые очевидные свойства
частных производных от координат.
∂ xi
∂ xi ∂ xi ' ∂ xi
∂ x i' ∂ xi ∂ xi '
i
i
i'
= k ' =δ k ' ;
=δ k ;
= k =δ k ;
1
i
k'
k
i'
k
∂x ∂x
∂x
∂x
∂x ∂x ∂x
( ) ( )
k
m
2 k
∂2 x k
∂ xk
∂ xm
∂
∂ ∂x ∂x = ∂ x
=
=
m'
k'
m'
k'
m
k'
m'
m
k'
m'
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
Нам потребуется формула для преобразования символов Кристоффеля, которую мы получили раньше.
∂ xi ' ∂2 xi
∂ xi ' ∂ x j ∂ x k i
i'
Γ j ' k '= i
+
Γ jk
j'
k'
i
j'
k'
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
Для удобства дальнейших вычислений мы ее преобразуем свернув с произ∂ x○
водной
○' .
∂x
∂ x○ i '
∂ x ○ ∂ x i ' ∂2 x i
∂ x○ ∂ xi ' ∂ x j ∂ x k i
Γ j' k '= i'
+ i'
Γ jk
i'
i
j'
k'
i
j'
k'
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂ x○ i '
∂2 x ○
∂ x j ∂ xk ○
Γ j' k '= j' k ' +
Γ jk
(3.1)
i'
j'
k'
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
Заменим значок "○" на символ "i".
∂ xi i '
∂2 xi
∂ x j ∂ xk i
Γ j' k '= j' k ' +
Γ jk
3
i'
j'
k'
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
Поменяв старые и новые координаты ролями, получим еще одну формулу:
∂ x i' i
∂2 xi '
∂ x j' ∂ xk' i'
4
i Γ j k=
j
k+
j
k Γ j' k '
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
И последняя формула, которая нам понадобится для работы, получается из
формулы (3)
∂ x j ∂ xk i
∂2 xi
∂ xi i '
Γ j k= j' k ' − i' Γ j' k '
5 −
j'
k'
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x
Вычисления будем производить для тензора T ij k .
Запишем координаты тензора ковариантной производной в новой системе
координат.
∂ T ik'' j '
i' j '
○' j '
i'
i ' ○'
j'
i' j'
○'
(3.2)
∇ m' T k ' =
+T k ' Γ ○ ' m ' +T k ' Γ ○ ' m ' −T ○ ' Γ k ' m'
m'
∂x
Для начала распишем частную производную.
2
19
∂ T i'k ' j '
∂ x m'
i'
j'
k
m
∂ T ik j ∂ xi ' ∂ x j ' ∂ x k ∂ xm
∂x ∂x
ij∂x ∂x
∂
= m Tk
=
+
∂x
∂ xi ∂ x j ∂ x k ' ∂ x m' ∂ x m ∂ xi ∂ x j ∂ x k ' ∂ x m'
(
)
i'
∂2 xi ' ∂ x j ' ∂ x k ∂ x m
∂2 x j ' ∂ x k ∂ x m
ij ∂x
(3.3)
+T
m
i
j
k'
m' +T k
i
m
j
k'
m' +
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
i'
j'
2 k
m
∂x ∂x
∂ x
∂x
+T ik j
= A+T 1 +T 2 +T 3
i
j
m
k'
∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ xm'
Для краткости мы соответствующие члены разложения обозначили символами A и T i . Перепишем производную с учетом введенных обозначений
i' j '
○' j '
i'
i ' ○'
j'
i' j'
○'
(3.4)
∇ m ' T k ' = A+T 1 +T 2 +T 3 +T k ' Γ ○ ' m ' +T k ' Γ ○ ' m ' −T ○' Γ k ' m '
Сгруппируем члены T i с членами, содержащими символы Кристоффеля.
ij
k
i' j '
∇ m' T k '
= A+(T 1+T ○'k ' j ' Γ i○'' m ' )+(T 2 T ik''○' Γ ○j '' m ' )+(T 3−T i○'' j ' Γ ○k '' m ' )=A+I+II+III
(3.5)
Последовательно преобразуем все выражения в скобках.
I
2 i'
∂ x j' ∂ xk ∂ xm
ij ∂ x
○' j '
i'
Tk
+T k ' Γ ○ ' m ' =
m
i
j
k'
m'
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
○'
∂2 x i ' ∂ x j ' ∂ x k ∂ x m
∂ x j' ∂ xk i'
○j
○j∂x
=T k
m
○
j
k'
m ' +T k
○
j
k ' Γ ○ ' m' =
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
(
)
∂ x j ' ∂ x k ∂ xm
∂2 x i'
∂ xm ' ∂ x ○ ' i '
∂ x i' ∂ x j ' ∂ x k ∂ x m ○ j i
T
j
k'
m'
m
○+
m
○ Γ ○' m' =
i
j
k'
m' T k Γ ○ m
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
Выражение в скобках преобразовали с помощью формулы (4)
Аналогичными преобразованиями получаем, что
II
i'
∂2 x j ' ∂ x k ∂ x m
∂ xi ' ∂ x j ' ∂ x k ∂ xm i○ j
ij∂x
i ' ○'
j'
Tk
+T k ' Γ ○ ' m ' = i
T k Γ ○m
i
m
j
k'
m'
j
k'
m'
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
III
i'
j'
∂2 x k ∂ xm
ij∂x ∂x
i' j'
○'
Tk
+T ○ ' Γ k ' m' =
i
j
m
k'
m'
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
i'
j'
i'
j'
∂2 x○
∂ x○ ○'
ij∂x ∂x
i j ∂x ∂x
=T ○
+T
○
i
j
m'
k'
i
j
○ ' Γ k ' m' =
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
○j
k
(
)
∂ xi ' ∂ x j '
∂2 x ○
∂ x○ ○ '
∂ xi ' ∂ x j ' ∂ x k ∂ x m i j ○
=T
i
j
m'
k' −
○ ' Γ k ' m ' =−
i
j
k'
m' T ○ Γ k m
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
Выражение в скобках преобразовано с использованием формулы (5).
Собирая все составляющие правой части вместе, получаем:
ij
i'
∂ x ∂ x j' ∂ xk ∂ xm ∂ T k
i' j '
(3.6)
∇ m' T k ' =
+T ○k j Γ i○ m +T ik○ Γ ○j m −T i○j Γ ○k m
i
m
j
k'
m'
∂x ∂x ∂x ∂x
∂x
Полученная формула доказывает тензорный характер преобразований
координат ковариантной производной для тензора T ij k , но легко может быть
ij
○
(
)
20
распространена на произвольный случай.
Теперь, когда мы доказали прямыми преобразованиями тензорный характер ковариантной производной, мы можем утверждать, что, введенный нами ранее за счет достаточно вольных построений абсолютный дифференциал, также
является тензором. В самом деле,
D T imj = ∇ k T imj d x k представляет собой свертку двух тензоров и, поэтому,
обязан быть тензором.
Обратно, если бы мы изначально были уверены, что, введенный нами абсолютный дифференциал, является тензором, то можно было бы не доказывать
тензорный характер ковариантной производной. Здесь тензорный характер одной величины однозначно вытекает из тензорного же характера другой. Но кажется, что в тензорном характере абсолютного дифференциала мы никогда и не
сомневались. Мы специально ввели систему параллельных локальных базисов
ā i для того, чтобы сравнивать тензоры из разных точек пространства по их
координатам. Если ограничиться только евклидовыми пространствами, то все
эти локальные базисы могут быть заменены одной глобальной системой с базисными векторами ā i . Дифференциал же, грубо говоря, можно рассматривать,
как разность координат тензоров, заданных в одной и той же координатной системе, в двух бесконечно близких точках пространства. Следовательно, дифференциал, построенный таким образом, непременно должен быть тензором.
Систему параллельных базисов ā i можно считать естественным обобщением прямолинейной глобальной системы координат, на тот случай, когда такая
система не может быть введена. Отсюда, кажется должно непременно следовать, что и в общем случае дифференциал должен быть тензором. Может быть,
но те рассуждения, которые мы привели в предыдущем разделе, ни в коей мере
нельзя считать доказательством этого утверждения. Наши выводы построены на
аналогии: раз нельзя ввести единую прямолинейную систему координат, но векторы параллельно переносить мы умеем, то можно построить систему локальных параллельных базисов. В этих базисах координаты постоянных тензоров
должны быть одинаковы, что очень похоже на декартову систему координат. Однако для произвольных римановых пространств наша аналогия имеет изъян. Я
попытаюсь продемонстрировать этот изъян на примере сферической поверхности. На рисунке 2 показан сферический треугольник ABC.
21
e2
e1
C
O
e1
e2
e2
e2
A
e1
e1
B
Рис. 2
Этот треугольник образован пересечением поверхности сферы с тремя взаимно ортогональными плоскостями, проходящими через центр сферы. В этом
странном треугольнике все углы при вершинах прямые. Построим в точке A
базис с векторами касательными к сторонам треугольника. Переместим этот базис параллельно в точку B вдоль нижней стороны треугольника. Вектор e 2
при этом действительно переместится параллельно самому себе. Вектор же e1
при переносе будет поворачиваться, поскольку он не может "выскочить" из касательного пространства. Это кажется странным, но для маленьких плоских человечков, живущих на поверхности сферы, все будет выглядеть естественным
поскольку изменения вектора e1 будут происходить в направлении нормальном
к поверхности сферы, а это измерение недоступно обитателям ее поверхности.
В точке B вектор e 2 будет направлен по касательной к стороне треугольника
BC , а e 1 будет ортогонален к ней. Теперь переместим базис вдоль стороны
BC . Затем аналогичным образом переместим базис вдоль стороны CA в начальную точку. Кружками мы обвели векторы базиса после переноса. Картинка
показывает, что после такого переноса, при котором векторы переносились параллельно самим себе, базис повернулся на 90°. Если бы вместе с этим базисом
переносили некий произвольный постоянный тензор, то во время переноса его
22
координаты относительно базиса оставались бы постоянными. После возврата в
исходную точку его координаты были бы равны исходным, но относительно изменившегося базиса. Следовательно, тензор, параллельно перенесенный по
криволинейному пространству, и возвращенный в исходную точку, не совпадает
со своим первоначальным значением. Вот такое оно странное криволинейное
пространство.
Вернемся теперь к нашим построениям. Систему локальных параллельных
базисов мы строили путем параллельного переноса векторов ā i в каждую точку
пространства. Но в любую точку пространства перенос может быть произведен
бесконечным количеством путей, и каждый раз мы будем получать разные результаты. Следовательно систему ā i в криволинейном пространстве нельзя построить однозначным образом. Только, если ограничиться бесконечно малой областью это можно сделать, пренебрегая бесконечно малыми второго и выше порядка. К счастью, для однозначного определения дифференциала этого достаточно, а вот тензорный характер лучше подтвердить прямыми расчетами, что
мы и сделали.
4
Вычисление производной в различных системах координат
Цилиндрическая и сферическая системы координат являются вторыми по
популярности системами после декартовой. Они наиболее часто используется
при решении прикладных задач и мне бы хотелось начать этот раздел именно с
них. Однако учитывая то, что это будет наш первый практический опыт вычислений с криволинейными координатами, я хотел бы иметь возможность некоторые примеры сопровождать картинками, но поскольку пространственные картинки часто бывает сложно понять и еще труднее сделать, я начну с плоской
версии цилиндрических координат – полярных.
4.1 Полярные координаты
Для того, чтобы задать положение точки A на плоскости достаточно, как
мы знаем, задать сначала положение декартовой системы координат, затем провести в эту точку радиус-вектор r̄ . Координаты этого вектора x и y при этом
однозначно определят положение точки A .
Но это не единственный способ. Положение точки можно определить если
задать угол φ между радиус-вектором и осью x и расстояние до точки от начала координат r=⌊ r̄ ⌋ . Величины r и φ называются в этом случае полярными
координатами точки A , а ось x – полярной осью.
23
e 2'
y
e
e2
1'
A
r
x
φ
O
e1 ' =e
2'
e1
Рис. 1
Связь между полярными и декартовыми координатами мы получим, если
выразим декартовы координаты радиус-вектора r̄ через угол φ и расстояние r .
x=r cos(φ)
y=r sin (φ)
Для удобства мы x будем обозначать (не всегда) как x1 , а y – x2 .
x 1=r cos(φ)
x2 =r sin (φ)
Полярную систему координат будем рассматривать в качестве новой системы и, как это принято для этого случая, индексы, связанные с этой системой,
будем записывать со штрихами.
Вычислим векторы базиса полярной системы координат по формуле:
∂ r̄
ei = i .
∂x
e 1 ' = ∂ r cos φ = cos φ =cos φe 1 +sin φ e 2
(4.1.1)
∂ r r sin φ
sin φ
Как обычно, мы вектор столбец рассматриваем в качестве матричной формы записи вектора.
e 2' = ∂ r cos φ =r −sin φ =−r sin φ e1 +r cos φ e 2
(4.1.2)
∂ φ r sin φ
cos φ
Как следует из полученных формул, вектор e1 ’ имеет единичную длину и
сонаправлен с радиус-вектором r̄ . Модуль вектора e 2’ отличен от единицы:
|e2 ’|=r . Направлен он по касательной к окружности радиуса r в сторону увеличения угла φ .
Вычислив координаты векторов e i ’ в декартовой системе координат, мы
получаем возможность сразу записать матрицу преобразования координат
[
[
][ ]
] [
]
24
[
]
[
]
1 r cos φ r sin φ
cos φ −r sin φ
• −1
•'
, и обратную к ней [e• ’ ] =[e • ]=
,
r −sin φ cos φ
sin φ r cos φ
и много другой полезной информации.
Например, координаты метрического тензора.
cos φ
g 1' 1' =e1'⋅e 1' =[ cos φ sin φ ]
=1
sin φ
•
[e• ’ ]=
[ ]
g 1' 2 ' =g 2 ' 1 ' =e1 '⋅e2 ' =r [ cos φ sin φ ]
2
g 2 ' 2' =r [−sin φ cos φ ]
[
[
]
−sin φ
=0
cos φ
]
−sin φ
2
=r
cos φ
[ ]
1 0
(4.1.3)
2
0 r
Здесь и далее я, когда это не вызывает недоразумений, буду опускать штрихи при индексах полярной системы.
Определитель метрического тензора g • •= g=r 2 .
Матрица координат контравариантного метрического тензора
В матричной форме: [ g • • ]=
[ ]
1 r2 0
(4.1.4)
r2 0 1
Последнее равенство позволяет найти базисные векторы взаимной координатной системы: ei ' = g i ' k ' e k ' .
••
[ g ]=
(4.1.5)
e1 ' =g 1' 1' e1 ' + g 1 ' 2' e 2' =e1'
1
e 2' = g 2' 1' e1 ' + g 2' 2 ' e2 ' = 2 e2 '
(4.1.6)
r
1
2'
1'
При этом ∣e ∣=∣e 1 '∣=1 , |e2 '|=r и |e |=
r
Направления же соответствующих векторов основной системы совпадают
с направлениями векторов взаимной системы координат. Все векторы изображены на рисунке.
Скалярное умножение векторов в полярных координатах
ā⋅b̄=a i bi =ai g i k bk =a 1 g 11 b1 + a 2 g 22 b 2=a 1 b1 + r 2 a 2 b2
|ā|=√ a ai = √(a ) +r (a )
Векторное умножение
i
1 2
2
2 2
(4.1.7)
(4.1.8)
Операция векторного умножения обычно не определяется для двухмерного
пространства, но для полноты картины мы такое определение сделаем сами.
Под векторным умножением в плоскости будем понимать скалярную величину
25
равную площади параллелограмма построенного на этих векторах с плюсом,
если векторы ā и b̄ образуют ту же ориентацию, что и векторы базиса, и с минусом – в противном случае.
| | | |
a1 b1
a 1 b1
i k
ā× b̄=S e 2 2 =r 2 2 =r E i k a b ,
a b
a b
(4.1.9)
где S e – это площадь параллелограмма, построенного на векторах базиса.
Теперь наступила очередь для самого интересного: вычисления значений
символов Кристоффеля и ковариантной производной.
Для вычисления символов Кристоффеля у нас есть две возможности.
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
+
−
Первая – использовать формулу Γ i m= g
. Не буду
m
i
s
2
∂x
∂x
∂x
лукавить, возможность весьма пугающая.
∂ ei
k
= Γ i m ek .
Вторая возможность вытекает из формулы
m
∂x
Поскольку аналитические выражения для базисных векторов уже есть, попробуем использовать вторую возможность.
∂ e1' ∂
= (cos φ e1 +sin φ e 2 )=0
∂r ∂ r
∂ e1' ∂
=
(cos φ e1 +sin φ e 2 )=−sin φ e1 + cos φe 2
∂φ ∂φ
∂ e2 ' ∂
= (−r sin φ e1 + r cos φ e2 )=−sin φ e1 +cos φ e 2
∂r ∂r
∂ e2 ' ∂
=
(−r sin φ e1 + r cos φ e2 )=−r (cos φ e1 +sin φ e2 )
∂φ ∂ φ
К сожалению, полученные векторы представлены своими координатами в
декартовой системе координат. Для того, чтобы получить значения символов
Кристоффеля, нам придется преобразовать координаты к новому базису. Как это
делается мы разбирали, когда занимались тензорной алгеброй [14].
∂ e1'
1
2
=0 e 1' + 0 e 2' =0 e1 ' +0 e 2' = Γ 11 e 1' + Γ 11 e2 '
∂r
∂ e1' 1 r cos φ r sin φ −sin φ 1 0
1
1
2
=
=
=0 e1' + e2 ' = Γ 12 e1 ' + Γ 12 e2 '
∂ φ r −sin φ cos φ cos φ
r 1
r
∂ e2 ' 1 r cos φ r sin φ −sin φ 1 0
1
1
2
=
=
=0 e 1' + e 2' = Γ 21 e1 ' + Γ 21 e2 '
∂ r r −sin φ cos φ cos φ
r 1
r
∂ e2 '
1 r cos φ r sin φ r cos φ
1 2
1
2
=−
=− r =−r e1' +0 e2 ' = Γ 22 e 1' + Γ 22 e 2'
∂φ
r −sin φ cos φ r sin φ
r 0
Расчеты показывают, что ненулевые значения имеют всего три символа
Кристоффеля:
(
[
[
][
][
[
] []
] []
][ ] [ ]
26
)
1
2
2
Γ 122=−r и Γ 12 = Γ 21 = , тем не менее весь набор значений удобно предr
ставить в виде двух матриц.
1 0 1
1
0 0
2
[ Γ • • ]=
(4.1.10)
и [ Γ • • ]=
r 1 0
0 −r
Весь вывод не отнял у нас много времени и мы можем ненадолго задержаться у графических иллюстраций, которые я обещал в начале раздела, поскольку лучше один раз увидеть, чем десять раз услышать.
2
К выводу величины Γ 12
[
y
e2
]
[ ]
d e2
e '1
d e1
e1
|d e 2|=r
dr
dφ
φ
x
r̄
Рис. 2
Рис. 3
На рисунке 2 показан новый локальный базис в некоторой произвольной
точке. Штрихи у индексов я опустил. После того, как мы дали переменной φ
некоторое бесконечно малое приращение d φ , вектор e 1 претерпевает поворот
равный величине этого приращения. При этом его длина не изменяется и остается равной единице. Длина вектора приращения равна |d e1|=1⋅d φ , а направ∂ e1 1
dφ
e2 и
лен он по направлению вектора e 2 . Следовательно d e1=
= e .
r
∂φ r 2
1
Множитель
появляется потому, что длина вектора e 2 равна r .
r
2
К выводу величины Γ 21
Длина базисного вектора e 2 равна r . Поэтому, когда мы даем приращение
величины r на d r , то длина базисного вектора e 2 также возрастает на ту же
величину. Направление же вектора e 2 сохраняется прежним. Поэтому, анало∂ e2 1
dr
e2 и
гично предыдущему выводу d e2 =
= e (рис. 3).
r
∂r r 2
27
1
К выводу величины Γ 22
d e2
e2
y
e '2
В данном случае поворачивается вектор e 2 , а поскольку его длина равна r , то
модуль вектора приращения равен
d e2 =r d φ . Направлен же вектор прира-
|d e 2|=r
e1
r̄
dφ
φ
Рис. 4
щения в сторону противоположную к векd e2 =−r d φ e1 и
тору e1 , поэтому
∂ e2
=−r e1 .
∂φ
Теперь, когда мы приобрели некотоx
рый опыт по вычислению символов Кристоффеля, неправильно было бы не испробовать и первую возможность.
Вычисление символов с помощью формулы
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
Γ i m= g
+
−
m
i
s
2
∂x
∂x
∂x
Чтобы не слишком затягивать процесс, вычислим только ненулевые симво-
(
)
лы.
2
Вычисление символа Γ 12
(
1 s 2 ∂ g 1 s ∂ g 2 s ∂ g 12
2
Γ 1 2= g
2 +
1 −
s
2
∂x
∂x
∂x
)
Поскольку g 12=0 , то
1 2 2 ∂ g 12 ∂ g 2 2 ∂ g 1 2
1 22 ∂ g22
2
g 12=0 .
Γ 1 2= g
+
−
=
g
2
1
2
1 , опять же потому, что
2
2
∂x
∂x
∂x
∂x
(
)
Подставим, вычисленные ранее значения для g 22 и g 22 .
1 1 ∂ r2 1
2
Γ 1 2= 2
=
2 r ∂r r
Вычисление символа Γ 221
(
)
1 2 2 ∂ g 2 2 ∂ g 1 2 ∂ g 21
1 22 ∂ g22 1
2
Γ 21 = g
g
=
1 +
2 −
2 =
2
2
∂r
r
∂x
∂x
∂x
1
Вычисление символа Γ 22
(
)
1 11 ∂ g 2 1 ∂ g 2 1 ∂ g 22
1 11 ∂ g22
1
Γ 2 2= g
+
−
=−
g
=−r
2
2
1
2
2
∂r
∂x
∂x
∂x
Я не стал комментировать этот вывод, поскольку и так все очевидно. Те28
перь я признаюсь, что именно этот метод чаще всего используется и является
основным, зато второй метод, который мы рассмотрели первым, более нагляден.
Ковариантная производная в полярных координатах
Мы продолжаем изучать полярную систему координат. Мы уже вычислили
метрический тензор, определили основной и взаимный базис и даже вычислили
значения для символов Кристоффеля. Следующий очевидный шаг – это
вычисление производных.
Для разгона начнем со скалярного поля. Пусть для определенности это
будет поле температур T ( x i ) .
Вычислим градиент температурного поля. Этот зверь нам уже встречался.
∂T
∂T r ∂T φ
grad T = ∇ T = ∇ k T e k = k e k =
e +
e
∂r
∂φ
∂x
Любой, кто изучал стандартный для инженера курс математического
анализ, знает про него достаточно много и я не буду долго на нем
останавливаться. Хочется сказать только несколько слов про обозначение,
которое мы уже неоднократно использовали в этой книге. Градиент является
вектором, поэтому символ " ∇ " считается условным вектором. Соответственно
ковариантная производная ∇ k может рассматриваться, как его условная k-ая
координата. Оператор был введен в математику Гамильтоном. Сам символ
отсутствует в каком-либо современном алфавите и является плодом
совместного творчества нескольких математиков. Считается, что название
символа "набла" происходит от какого-то древнего музыкального инструмента,
похожего на арфу. Выражение ∇ T читается как "набла тэ".
Формула для вычисления градиента предельно простая и в любых
криволинейных координатах она выглядит точно так же, как и привычных
декартовых координатах, однако, все же в криволинейных координатах она
имеет некоторые особенности.
Найдем размерность координат вектора градиента в полярных координатах
и сравним ее с размерностью в декартовых координатах.
∂T
K
=
В декартовых координатах
i
м
∂x
[ ]
[ ]
[ ]
∂T
К
∂T
= ,
=К
∂r
м
∂φ
Скобки в данном случае указывают на то, что речь идет о размерности величины, указанной в скобках. Мы видим, что размерность координат градиента
в полярных координатах не одинаковая, что необычно. Проверка размерностей
величин является стандартным методом контроля правильности вычислений,
которой часто пользуются инженеры. Этот метод проверки не является стопроцентной гарантией от ошибок, но он прост и часто действительно помогает.
Действительно, если бы Л. Сегерлинд выполнил проверку размерностей для
уравнения теплопереноса, которое он приводит в своей книге "Применение меВ полярных координатах
29
тода конечных элементов" на странице 188, он бы сразу заметил ошибку. И что
очень важно, ошибку легко найти, даже не зная, что это за уравнение, что оно
означает и как оно получено.
В нашем случае, странность которую мы обнаружили, еще не свидетельствует об ошибке. Размерности координат в криволинейных системах не обязаны быть одинаковыми. Одинаковыми должны быть размерности у слагаемых,
т. е. у произведений координат на векторы базиса.
Найдем размерность векторов базиса
∂ r̄ м
В декартовых координатах [ ei ] = i = =б . р .
м
x
В декартовых координатах векторы базиса всегда являются безразмерными
величинами.
∂ r̄ м
∂ r̄
В полярных координатах [ e r ]= r = =б . р. , [ eφ ]= = м
м
φ
x
Контравариантные базисные векторы
r
1
11
12
e =e =g e 1 + g e 2=e r , [ er ] =[ e r ]=б . р .
1
м 1
1
φ
[
e
]
=
e
=
=
e
[
]
,
φ
φ
[ r 2]
м2 м
r2
Мы видим, что в полярных координатах векторы e r и e r также являются
безразмерными величинами. Однако векторы eφ и eφ имеют размерности М
и М −1 соответственно.
В результате размерности компонент вектора градиента в полярных
координатах совпадают между собой и с размерностями компонент в
декартовой системе координат.
eφ =e 2= g 21 e1 + g 22 e 2=
Физические координаты вектора
eφ
iφ =eφ *
i r=er *
er
r̄
Казус с размерностями означает, что смысл
координат вектора да и любого другого тензора,
в криволинейных координатах может сильно
отличаться от привычного. Если мы непременно желаем иметь координаты тензора в привычных размерностях – это важно при подстановке
числовых значений – мы всегда можем в каждой конкретной точке перейти от текущего локального базиса e i к ортонормированному.
Принадлежность координаты или вектора
базиса к ортонормированной системе я буду
обозначать двумя способами: приписывая звездочку "*" к индексу или буквой
"i" с соответствующими индексами, как показано на рисунке.
Для перехода к ортонормированной системе нам, как обычно, понадобится
30
матрица преобразования координат.
i
i* i
e =e e i *
(4.1.11)
i
Коэффициенты e i * являются элементами матрицы, составленной из координат i* ортонормированного базиса в основном локальном базисе. Проще сна-
чала найти обратную матрицу с элементами eii * .
[ ]
1
1 0
•
* −1
[e ]=
, [e* ]=[e• ] =
0
0 r
0
(4.1.12)
1
r
Теперь можно выразить векторы локального базиса через векторы ортонормированного базиса.
*
•
[ ]
e1 =e r =e1 * e 11* +e 2* e12* =e r * =e r * ; e r =e r * =i r
(4.1.13)
1
1
1
1
e 2=eφ=e1 * e12 * +e 2* e 22* = eφ* = eφ* ; eφ = eφ *= iφ
r
r
r
r
И мы можем записать вектор градиента в ортонормированном базисе.
∂T
1 ∂T
∂T
1 ∂T
grad T = ∇ T =
er * +
eφ* =
ir +
i
(4.1.14)
∂r
r ∂φ
∂r
r ∂φ φ
Координаты вектора и любого другого тензора в ортонормированных координатах называются физическими координатами тензора.
К сожалению физические координаты тензора, найденные в одной
криволинейной системе, при переходе к другой криволинейной системе не
преобразуются по тензорным законам.
В общем случае ортонормированный базис i k мы можем ориентировать
произвольно по отношению к локальному e k . Если криволинейная система является ортогональной будет разумным векторы i k направить по векторам e k ,
как мы и сделали. В этом случае все три вектора e k , e k и i k будут параллельными. Учитывая при этом, что векторы i k и i k совпадают, связи между векторами двух систем можно получить быстрее
1
φ
φ φ
φφ φ
e r =e r=|e r|i r = √ g r r i r=i r , eφ =|eφ|i φ=√ g φ iφ =r i φ и e =|e |i =√ g i = iφ .
r
Тем не менее мы не зря вычислили матрицы преобразования координат –
они нам понадобятся в дальнейшем.
Перейдем к вычислению ковариантной производной от векторного поля.
k
∂ υk + υ○ Γ k
∇
υ
=
В любой системе координат
мы
i
○i , где символом υ
i
∂x
обозначили произвольное векторное поле. К примеру это может быть поле скоростей в некотором потоке жидкости. Иногда удобным бывает матричное представление производной, которое мы запишем уже для полярных координат
31
[ ] ([
∇rυ
○
○
○
= ∂υ ,
∂r
∇φυ
[
]
∂ υ + [ υr ,
∂φ
○
υφ ]
Γ ○1 1
○
Γ 21
Γ ○1 2
○
Γ 22
T
])
(4.1.15)
Это общая формула, к которой символ " ○ " может принимать значения r
или φ , как показано в формулах ниже.
[ ]
]
] ([
[ ]) [ ]
[
][
]
[ ][
][ ]
[
]
r
[ ] ([
r
]
[
∂ υ r , ∂ υ r + [υ r , υ φ ] 0 0
=
r
∂r
∂φ
0 −r
∇ φυ
∇ rυ
[
φ
0
φ
φ
r
φ
∂
υ
∂
υ
=
,
+[υ , υ ]
φ
∂r
∂φ
1
∇ φυ
r
∇ rυ
])
1
r
0
∂υ
∂r
T
=
r
∂ υ −r υ φ
∂φ
T
φ
(4.1.16)
φ
∂υ + υ
∂r r
=
φ
r
∂υ + υ
∂φ r
(4.1.17)
Матрица коэффициентов ковариантной производной полностью
r
∇ ῡ =
∇ rυ
r
∇ rυ
r
∇ φυ
φ
φ
=
φ
∂υ
∂r
r
∂ υ −r υ φ
∂φ
Найдем физические координаты тензора
*
•
∇ φυ
•
*
[ ∇ * υ ]=[e * ][ ∇ •υ ][e• ]=
1
0
r
0
1
r
r
∂υ
∂r
r
∂ υ −r υ φ
∂φ
φ
∂υ +υ
∂r r
φ
r
∂υ + υ
∂φ r
φ
(4.1.18)
φ
∂υ +υ
∂r r
φ
r
∂υ + υ
∂φ r
1 0
=
0 r
φ
φ
∂υ
r ∂υ +υ
∂r
∂r
(4.1.19)
=
r
φ
r
1 ∂υ
φ
∂
υ
υ
−υ
+
r ∂φ
∂φ r
То, что мы получили, – это уже физические координаты тензора, выраженные однако через координаты вектора ῡ в локальном базисе криволинейной системы координат. Вектор ῡ также желательно выразить через его физические
координаты.
Общая формула для этого преобразования
(4.1.20)
υ i *=υ i e i*i =υ 1 e i*1 +υ 2 e i*2
Для каждой координаты
2 1*
r
(4.1.21)
υ r *=υ i e ri *=υ 1 e1*
1 +υ e 2 =υ
1 2*
2 2*
φ
υ φ* =υ i eφ*
i =υ e 1 +υ e 2 =r υ
С учетом этого пересчитаем координаты тензора.
32
(4.1.22)
φ*
φ*
φ*
=r ∂ υ + υ = ∂ υ
r
∂r
∂r r
r
φ*
1 ∂υ υ
1
∇ 2υ =
−
r ∂φ
r
φ*
r
2 1 ∂υ
∇ 2υ =
+υ
r ∂φ
r
Окончательное выражение для физических координат тензора ковариантной производной через физические координаты вектора ῡ . Символ "*" я опустил.
∇ 1υ
2
[
r
φ
]
∂υ
∂υ
∂r
∂r
[ ∇ •υ • ]=
(4.1.23)
r
φ
1 ∂υ υ
1 ∂υ φ υ r
−
+
r ∂φ
r r ∂φ r
Для вычисления вектора дифференциала мы имеем две возможности: можно использовать матрицу координат тензора градиента в основной системе или
в ортонормированной. Воспользуемся ортонормированной матрицей. Для этого
вектор d x̄ также выразим в ортонормированной системе.
[ ]
d x̄=d r e 1 +d φ e 2=d r i 1 +r d φi 2∼ d r
rdφ
Теперь можно вычислить дифференциал в ортонормированных полярных
координатах
[
r
∂υ
•
• T
•
∂r
[d υ ]=[ ∇ • υ ] [ d x ]=
φ
∂υ
∂r
1 ∂υ r υ φ
−
r ∂φ
r
φ
1 ∂υ υ r
+
r ∂φ r
][ ] [
r
r
∂ υ d r + ∂ υ d φ−υ φ d φ
∂r
∂φ
dr
=
φ
φ
rd φ
∂ υ d r+ ∂υ d φ+υ r d φ
∂r
∂φ
]
Замечание о физических координатах
Физическим координатам мы уделяем большое значение и каждый раз после вычисления ковариантной производной определяем и ее физические координаты. Возникает естественный вопрос: "А почему бы не ограничиться только
физическими координатами, раз именно они нас прежде всего и интересуют?"
Почему мы не можем, получив физические координаты вектора, делать с ним
все, что захотим, в частности дифференцировать? Возможно это упростило бы
нашу жизнь.
Вообще-то на этот вопрос однажды мы уже ответили: физические координаты не образуют тензора. Но что это означает практически? Ведь для вычисления физических координат мы казалось бы используем обычный тензорный закон преобразования координат. Но присмотримся к процедуре вычисления физических координат внимательнее. Пусть ei – это основной базис ассоциированный с некоторой криволинейной системой координат в плоскости (рис. 1).
33
ā
e2
y2
e1
i2
e 2' =r 2 i 2
r2
e 2=r 1 i 2
r1
y1
i1
e 1 =e1 ' =i1
O'
b̄
O
A
x
Рис. 2
Рис. 1
Базис ei образует касательное векторное пространство в выбранной точке.
В этом пространстве мы можем любые два линейно независимых вектора,
например, векторы ā и b̄ , выбрать в качестве нового базиса. Ничто нам не мешает в качестве нового базиса выбрать ортонормированный базис i k , что мы и
делаем при вычислении физических координат. Однако, в этих случаях не
происходит преобразования криволинейной системы координат. А что произойдет с физическими координатами вектора, если мы поменяем криволинейную
систему координат? Разберем очень простой конкретный пример.
Пусть мы имеем две полярные системы координат (рис. 2) с полюсами в
точках O и O ' . "Старой" будем считать систему с полюсом в точке O . Базисные векторы ei можно выразить через единичные векторы i k так:
e1 =i1 и e 2=r 1 i 2
Аналогичные формулы можно записать и для векторов "нового" базиса.
e1 ' =i1 и e 2' =r 2 i 2
Матрицы преобразования координат при замене одной криволинейной системы на другую при этом записываются так:
•
•'
[ ] [ ]
[e ]=
1
0
0
r2
r1
1
•'
•
и [e ]=
0
r1
r2
0
Координаты вектора в новой системе через координаты вектора в старой
системе выражаются так:
[ ]
[a • ' ]=
1'
[ ][ ] [ ]
1
a
•'
•
2' =[e • ][a ]=
0
a
34
0
r1
r2
1
a
1
a
2 = r1 2
a
a
r2
Посмотрим теперь, что происходит с физическими координатами.
Физические координаты в "старой" системе
ā=a 1 e 1 +a 2 e 2=a 1 i1 +r 1 a 2 i 2 , следовательно
[ ][ ]
a 1*
a1
2* =
2
a
r1a
Физические координаты в "новой" системе
ā=a 1' e1 ' + a 2' e 2' =a 1' i1 + r 2 a 2' i 2=a 1 i 1 +r 1 a 2 i 2 =a 1* i1 + r 1 a 2 * i 2 , следовательно
физические координаты не изменились. С одной стороны это хорошо и, именно
поэтому, эти координаты называются физическими. Но с другой стороны, эти
координаты получаются отвязанными от криволинейных координат. Если тензорное поле задано в криволинейных координатах, то для вычисления
производных нам приходится существенным образом опираться на свойства
этих координат. И общая формула, которую мы получили для ковариантной
производной не будет справедлива для физических координат вектора.
Чтобы продемонстрировать это без особо сложных вычислений, нам понадобится простое векторное поле и простая система координат. Наиболее простой криволинейной системой координат является полярная, а в качестве простого векторного поля возьмем поле постоянного вектора c̄=const .
В декартовой системе координат поле постоянного вектора запишется так:
c̄=a i+b j , где a и b – константы, а i и j – векторы базиса. Перейдем к полярным координатам
a cos φ+b sin φ
c r 1 r cos φ r sin φ a
=
= a sin φ b cos φ
−
+
cφ r −sin φ cos φ b
r
r
Найдем физические координаты, для чего перейдем к ортонормированному
базису i k .
r
φ
r
φ
c̄=c e 1 + c e 2=c i 1 +r c i 2=(a cos φ+b sin φ)i1 +(−a sin φ+b cos φ)i2
Теперь попробуем вычислить ковариантную производную по общим правилам, но для физических координат вектора.
∂ с1 * ○ * 1 *
1*
∇ 1с =
+с Γ ○ * 1= ∂ (a cos φ+ bsin φ)=0
∂r
∂r
Пока все нормально.
∂ с2 * 2 * 2 * 1
2*
∇ 1с =
+с Γ 2 *1= (−asin φ+b cos φ)≠0
∂r
r
А вот этого уже не может быть. Должен получиться ноль. Посмотрим, как
это происходит для естественных координат.
∂ с2 2 2
1
1
2
∇ 1с =
+с Γ 2 1= ∂
(−a sin φ+b cos φ) + 2 (−asin φ+ b cos φ)=0
∂r
∂r r
r
Это правильно, так и должно быть для постоянного вектора. Формула, которую мы получили для вычисления ковариантной производной является об-
][ ] [
[] [
(
]
)
35
щей, но она справедлива для базиса e i , ассоциированного с криволинейной системой координат.
Еще один вопрос: "А нельзя ли получить формулу ковариантной производной сразу для физических координат?" Но мы это и делаем, когда по общей
формуле получаем сначала производную в базисе e i через естественные координаты вектора, а затем переходим к ортонормированному базису. При этом мы
получаем разные формулы для вычисления физических координат тензора в
разных криволинейных системах.
4.2 Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты получаются из полярных добавлением оси z ,
как показано на рисунке.
z
e3
e2
r
Соответственно добавляется
один базисный вектор e 3 . Все
A
e1
расчеты почти полностью аналогичны расчетам для полярных
r̄
координат, поэтому я их привожу
с минимальным количеством комментариев.
y
Закон преобразования коорφ
динат
x
{
x=r cos(φ)
y=r sin (φ)
z= z
Рис. 1
Вычисление координат базисных векторов
r cos φ
cos φ
e1 = ∂ r sin φ = sin φ
∂r
z
0
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][]
(4.2.1)
(4.2.2)
r cos φ
−sin φ
∂
e 2=
r sin φ =r cos φ
∂φ
z
0
(4.2.3)
r cos φ
0
∂
e3 =
r sin φ = 0
∂z
z
1
(4.2.4)
Метрический тензор
36
[ ]
1
[ ]
1 0 0
[ g • • ]= 0 r 2 0
0 0 1
••
[ g ]= 0
0
0
1
r2
0
0
0
(4.2.5)
1
Значения символов Кристоффеля, индексы которых принимают только значения 1 или 2, такие же, как и в полярной системе координат.
1 0 1
1
0 0
2
[ Γ • • ]=
и [ Γ • • ]=
r 1 0
0 −r
Найдем значения символов для случаев, когда хотя бы один из индексов
принимает значение равное трем. Воспользуемся общей формулой:
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
Γ i m= g
+
−
m
i
s
2
∂x
∂x
∂x
[
]
[ ]
(
)
(
)
1 Пусть k =3
1 s3 ∂ gi s ∂ g m s ∂ g i m
3
Γ i m= g
+
−
m
i
s
2
∂x
∂x
∂x
Поскольку все g i j =0 при i≠ j , то ненулевой результат возможен только
при s=3 .
1 3 3 ∂ g i 3 ∂ g m3 ∂ g i m
3
Γ i m= g
m +
i −
3
2
∂x
∂x
∂x
(
)
Все g i j , у которых хотя бы один из индексов равен 3, являются константами, поэтому первые две частные производные равны нулю.
1 33 ∂ gim
3
Γ i m=− g
=0 Поскольку ни один из коэффициентов метрического
2
∂z
тензора не зависит от z .
2 Пусть i=3
1 s k ∂ g 3 s ∂ g m s ∂ g 3m 1 s k ∂ g m s
k
Γ 3 m= g
g
=0
m +
3 −
s =
2
2
∂z
∂x
∂x
∂x
(
)
3 Поскольку символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам, то
Γ =0
k
i3
Теперь можно привести весь набор значений символов
[
]
[ ] [ ]
0 0 0
0 1 0
0 0 0
1
2
3
[ Γ ]= 0 −r 0 и [ Γ • • ]= 1 0 0 [ Γ • • ]= 0 0 0
r
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Вычисление градиента для скалярного поля
Пусть, как и прежде, это будет поле температур T ( x i ) .
1
••
37
(4.2.6)
grad T =∇ T = ∇ k T e k =
∂T k ∂T r ∂T φ ∂T z
e =
e+
e +
e
k
∂r
∂φ
∂z
∂x
Физические координаты вектора градиента
Для вычисления физических координат нам нужно перейти к ортонормированной системе. Все делается точно так же, как и в полярной системе. Добавляется только еще один вектор e z .
e r =e r=|e r|i r = √ g r r i r=i r
1
φ
φ φ
φφ φ
eφ =|eφ|i φ=√ g φφ i φ=r i φ и e =|e |i =√ g i = iφ
r
z
e =e z =|e z|i z = √ g z z i z =i z
Градиент в ортонормированных цилиндрических координатах
∂ T r ∂T φ ∂T z ∂T
1 ∂T
∂T
grad T =
e+
e +
e=
ir+
iφ+
i
∂r
∂φ
∂z
∂r
r ∂φ
∂z z
Матрица перехода к ортонормированным цилиндрическим координатам i k
[ ]
1 0 0
[e ]= [ e ][ e ][ e ] = 0 r 0
0 0 1
*
•
[
*
1
*
2
*
3
]
(4.2.7)
и обратная к ней
[ ]
1 0
1
•
* −1
[e* ]=[e• ] = 0
r
0 0
0
0
(4.2.8)
1
Перейдем к вычислению ковариантной производной от векторного
поля
В любой системе координат ковариантная производная вектора вычисляетk
∂ υk + υ○ Γ k
∇
υ
=
ся по формуле i
○i .
i
∂x
Пусть это будет поле скоростей ῡ . К примеру, это может быть поле скоростей в некотором потоке жидкости.
Иногда удобным бывает матричное представление производной, которое
мы уже приводили для полярной системы координат
[ ] ([
∇ rυ
k
k
k
∂υ , ∂υ ,
∇ φυ =
∂r
∂φ
k
∇ zυ
k
[
Γ
k
∂ υ +[υ r , υ φ , υ z ]
Γ
∂z
Γ
]
k
11
k
21
k
31
Γ
Γ
Γ
k
12
k
22
k
32
Γ
Γ
Γ
k
13
k
23
k
33
T
])
Как видим, все то же самое, только формулы более громоздкие. И это толь38
ко начало. Продолжим
[ ]
[ ]) [ ]
[ ]) [ ]
][
]
[] ]
][
r
[ ] ([
∇ rυ
r
r
r
r
]
∂ υ , ∂ υ , ∂ υ +[υ r , υ φ , υ z ]
∇ φυ =
∂r
∂φ
∂z
r
∇ zυ
r
[ ](
∇ rυ
φ
∇ φυ
φ
∇ zυ
φ
[
φ
φ
= ∂υ , ∂υ ,
∂r
∂φ
φ
[
0 0 0
0 −r 0
0 0 0
0
]
∂ υ +[υ r , υ φ , υ z ] 1
∂z
r
0
∂υ
∂r
T
])
r
φ
= ∂ υ −r υ
∂φ
r
∂υ
∂z
T
1
r
0
0
0
0
0
φ
φ
∂υ + υ
∂r r
φ
r
= ∂υ +υ
∂φ r
φ
∂υ
∂z
z
[ ] ([
∇ rυ
z
∇ φυ
z
∇ zυ
z
z
z
z
]
= ∂υ , ∂ υ , ∂ υ + [υ r , υ φ , υ z ]
∂r
∂φ
∂z
∂υ
T
∂r
0 0 0
z
∂υ
0 0 0 =
∂φ
0 0 0
z
∂υ
∂z
Матрица коэффициентов ковариантной производной полностью
r
[
∇ rυ
r
∇ rυ
φ
∇ ῡ = ∇ φ υ
r
∇ φυ
φ
∇ zυ
r
∇ zυ
φ
φ
φ
∂υ
∂υ +υ
z
∂r
∂r r
∇ rυ
r
φ
r
∂ υ −r υφ ∂ υ + υ
z
∇ φυ =
∂φ
∂φ r
z
r
φ
∇ zυ
∂υ
∂υ
∂z
∂z
z
∂υ
∂r
z
∂υ
∂φ
z
∂υ
∂z
Найдем физические координаты тензора
*
•
•
*
[
1
[ ∇ * υ ]=[e * ][ ∇ •υ ][e• ]= 0
0
0
1
r
0
0
0
1
∂υ
∂r
r
r
∂υ −r υ φ
∂φ
r
∂υ
∂z
39
φ
φ
∂υ + υ
∂r r
φ
r
∂υ + υ
∂φ r
φ
∂υ
∂z
z
∂υ
∂r
z
∂υ
∂φ
z
∂υ
∂z
1 0 0
0 r 0 =
0 0 1
[
r
φ
z
φ
∂υ
∂υ
r ∂υ +υ
∂r
∂r
∂r
r
φ
r
1
1 ∂υ z
φ
∂υ +υ
= ∂υ −υ
r ∂φ
∂φ r
r ∂φ
r
φ
z
∂υ
∂υ
r ∂υ
∂z
∂z
∂z
]
Выразим координаты вектора ῡ через его физические координаты.
Общая формула
υ i *=υ i e i*i =υ 1 e i*1 +υ 2 e i*2 +υ 3 ei3*
Для каждой координаты
2 1*
3 1*
r
υ r *=υ i e ri *=υ 1 e1*
1 +υ e 2 +υ e 3 =υ
1 2*
2 2*
3 2*
φ
υ φ* =υ i eφ*
i =υ e 1 +υ e 2 +υ e 3 =r υ
3 3*
z
υ z *=υ i eiz *=υ 1 e31 * +υ 2 e 3*
2 +υ e 3 =υ
Из этих формул следует, что изменения могут присутствовать только в тех
координатах ковариантной производной, в которой используется координат υ φ .
Найдем эти координаты
2
υ φ* + υ φ* = ∂ υ φ*
∇ 1υ =r ∂
r
∂r
∂r r
r
φ*
1 ∂υ υ
1
∇ 2υ =
−
r ∂φ
r
φ*
r
2 1 ∂υ
∇ 2υ =
+υ
r ∂φ
r
φ*
1
2
∇ 3 υ = ∂υ
r ∂z
Физические координаты ковариантной производной вектора скорости ῡ .
[
r
∂υ
∂r
r
φ
1
*
[* υ ]= ∂ υ − υ
r ∂φ
r
r
∂υ
∂z
φ
∂υ
∂r
1 ∂υ φ υ r
+
r ∂φ r
φ
∂υ
∂z
z
∂υ
∂r
1 ∂υ z
r ∂φ
z
∂υ
∂z
]
(4.2.9)
Символ "*" справа я опустил.
4.3 Сферические координаты
Сферические координаты удобно использовать при анализе тензорных полей, обладающих центральной симметрией. За координаты произвольной точки
A в этой системе принимаются следующие величины:
1 расстояние r от начала координат до точки A ;
40
2 угол θ между вертикальной остью z и радиус-вектором r̄ , который называется зенитным углом;
3 угол между проекцией радиус-вектора r̄ на горизонтальную плоскость
xOy и осью x , который называется азимутальным углом.
e 1 =e r
z
e 3 =e φ
A
e 2=eθ
r̄
θ
y
x
φ
Рис. 2
После проделанной нами работы,
предстоящие расчеты не должны представлять большой сложности и в целом пойдут
по уже накатанной схеме.
Зависимость между сферическими и
декартовыми координатами
{
x=r sin θ cos φ
y=r sin θ sin φ
z=r cos θ
(4.3.1)
Вычисление координат базисных век-
торов
[
[
[
][ ]
][ ]
][ ]
r sin θ cos φ
sin θ cos φ
∂
e1 =e r =
r sin θ sin φ = sin θ sin φ
∂r
r cos θ
cos θ
(4.3.2)
r sin θ cos φ
cos θ cos φ
∂
e 2=eθ =
r sin θ sin φ =r cosθ sin φ
∂θ
r cos θ
−sin θ
(4.3.3)
r sin θ cos φ
−sin θ sin φ
∂
e3 =e φ=
(4.3.4)
r sin θ sin φ =r sin θ cos φ
∂φ
r cos θ
0
Модули базисных векторов
|e r|=1 , |eθ|=r и |eφ|=r
(4.3.5)
Вектор e r направлен по радиус-вектору r̄ . Вектор eθ лежит в плоскости,
образованной осью z и радиус-вектором r̄ , и ортогонален вектору r̄ . Вектор
eφ лежит в плоскости параллельной плоскости xOy и также ортогонален радиус-вектору r̄ .
Метрический тензор
41
[
1 0
0
2
[ g • • ]= 0 r
0
2
2
0 0 r sin θ
]
[ ]
1
••
−1
[ g ]=[ g • • ] =
0
0
1
2
r
0
0
0
0
(4.3.6)
1
r sin 2 θ
2
•
Матрица преобразования координат [e• ' ] получается из векторов ei как из
столбцов:
sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ
•
[e• ' ]= sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ
(4.3.7)
cos θ
−r sin θ
0
[
]
•'
Матрица преобразования координат [e• ] получаем, как обратную.
[
sin θ cos φ
1
cosθ cos φ
•'
[e• ]= r
1 sin φ
−
r sin θ
sin θ sin φ
cos θ
1
1
cos θ sin φ − sin θ
r
r
1 cos φ
0
r sin θ
]
(4.3.8)
Символы Кристоффеля
Вычисление символов Кристоффеля, как мы знаем, достаточно трудоемкая
процедура просто в силу того, что этих символов много, даже если учитывать
симметрию символов по нижним индексам. Большая часть этих символов, как и
в большинстве интересных случаев, равна нулю. К сожалению, заранее неизвестно, какой именно символ равен нулю. Чтобы это выяснить, необходимо выполнить расчеты для всех, но я надеюсь, что те кому это интересно, смогут выполнить работу самостоятельно. Поэтому я приведу расчеты только для тех
символов, которые, как известно – мы же не первые, кто выполняет подобные
расчеты – принимают ненулевые значения.
Запишем общую формулу
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
Γ i m= g
m +
i −
s
2
∂x
∂x
∂x
1 k =1
1 11 ∂ g 2 1 ∂ g 2 1 ∂ g 22
1 ∂ g22
1
=−r
1.1 Γ 2 2= g
2 +
2 −
1 =−
2
2 ∂r
∂x
∂x
∂x
(
)
(
(
)
)
1 11 ∂ g 3 1 ∂ g 31 ∂ g 33
1 ∂ g3 3
1 ∂ r 2 sin 2 θ
2
=−
=−r sin θ
1.2 Γ = g
3 +
3 −
1 =−
2
2 ∂r
2
∂r
∂x
∂x
∂x
2 k =2
1
33
42
(
)
1 2 2 ∂ g 12 ∂ g 2 2 ∂ g 1 2
1 1 ∂ g22 1 1 ∂ r2 1
+
−
= 2
= 2
=
2.1 Γ = g
2
1
2
2
2 r ∂r
2 r ∂r r
∂x
∂x
∂x
2.2
1 2 2 ∂ g 3 2 ∂ g 3 2 ∂ g 33
1 1 ∂ g3 3
1 1 ∂ r 2 sin 2 θ
2
Γ 3 3= g
+
−
=−
=−
=−sin θ cos θ
3
3
2
2
2 r2 ∂ θ
2 r2
∂θ
∂x
∂x
∂x
2
12
(
)
3 k =3
3.1
∂ g3 3 1
1 33 ∂ g 1 3 ∂ g 33 ∂ g 13
1
1
1
∂ r 2 sin 2 θ 1
3
Γ 1 3= g
= 2 2
=
3 +
1 −
3 =
2
2 r 2 sin 2 θ ∂ r
2 r sin θ
∂r
r
∂x
∂x
∂x
3.2
∂ g 33 1
1 3 3 ∂ g 2 3 ∂ g 33 ∂ g 2 3 1
1
1
∂ r 2 sin 2 θ
3
Γ 23 = g
+
−
= 2 2
=
=ctg θ
3
2
3
2
2 r sin θ ∂ x 2 2 r 2 sin 2 θ
∂θ
∂x
∂x
∂x
Матрицы коэффициентов Кристоффеля
0 0
0
1
[ Γ • • ]= 0 −r
0
(4.3.9)
2
0 0 −r sin θ
(
)
(
)
[
]
[ ]
[ ]
0
2
[ Γ • • ]=
1
1
r
r
0
1
r
0
0
0
0 −sin θ cos θ
0
0
[ Γ • • ]= 0
1
r
0
1
r
ctg θ
ctg θ
0
3
(4.3.10)
(4.3.11)
Вычисление градиента для скалярного поля T ( x i ) .
∂T
∂T r ∂T θ ∂T φ
grad T =∇ T = ∇ k T e k = k e k =
e+
e +
e
∂r
∂θ
∂φ
∂x
Физические координаты вектора градиента
Находим связь между локальным и ортонормированным базисами
1
1
θ
θ
θθ
φ
φ
φφ
i .
e r =e r=|e r|i r = √ g r r i r=i r , e =|e |iθ = √ g i θ = iθ , e =|e |i φ=√ g i φ=
r
r sin θ φ
Градиент в ортонормированных сферических координатах
∂ T r ∂T φ ∂T z ∂T
1 ∂T
1 ∂T
grad T =
e+
e +
e=
ir+
iθ +
i
(4.3.12)
∂r
∂φ
∂z
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ φ φ
43
Матрица перехода к ортонормированным сферическим координатам i k
[
1 0
0
[e ]= [ e ][ e ][ e ] = 0 r
0
0 0 r sin θ
и обратная к ней
[
*
•
*
1
*
2
*
3
]
* −1
(4.3.13)
[ ]
1
•
]
0
[e* ]=[e• ] =
0
0
1
r
0
0
0
(4.3.14)
1
r sin θ
Перейдем к вычислению ковариантной производной от векторного поля ῡ
.
Общая формула
[ ] ([
k
∇ rυ
k
k
k
∂υ , ∂υ ,
∇ θυ =
∂r
∂θ
k
∇ φυ
k
]
∂υ +[υ r , υ θ , υ φ ]
∂φ
[
Γ k11 Γ 1k 2 Γ 1k 3
k
k
k
Γ 21 Γ 2 2 Γ 2 3
Γ k31 Γ 3k 2 Γ 3k 3
T
])
k =1
[ ] ([
∇ rυ
r
∇ θυ
r
∇ φυ
r
]
[
]
[
r
r
r
r
θ
φ
= ∂ υ , ∂ υ , ∂ υ +[ υ , υ , υ ]
∂r
∂θ
∂φ
0 0
0
0 −r
0
2
0 0 −r sin θ
T
])
=
[ ]
∂υ
∂r
r
r
=
∂υ −r υ θ
∂θ
r
∂ υ −r υ φ sin 2 θ
∂φ
k =2
[ ](
∇ rυ
θ
∇ θυ
θ
[
φ
φ
φ
0
r
θ
φ
= ∂ υ , ∂ υ , ∂ υ +[υ , υ , υ ] 1
∂r
∂θ
∂φ
θ
r
∇ φυ
0
44
])
T
1
r
0
0
0
0 −sin θ cos θ
=
[ ]
θ
θ
∂υ + υ
∂r r
θ
r
∂υ + υ
∂θ r
=
θ
∂ υ −υ φ sin θ cos θ
∂φ
k =3
[ ](
∇ rυ
φ
∇ θυ
φ
∇ φυ
φ
[
φ
φ
0
∂ υ +[υ r , υ θ , υ φ ]
0
∂φ
1
r
0
ctg θ
0
φ
= ∂υ , ∂υ ,
∂r
∂θ
[ ])
0
1
r
ctg θ
]
T
=
[ ]
φ
φ
∂υ + υ
∂r r
φ
φ
= ∂υ +υ ctg θ
∂θ
φ
r
∂ υ + υ +υ θ ctg θ
∂φ r
Матрица коэффициентов ковариантной производной полностью
[
[ ∇ • υ • ]T =
∇ rυ
r
∇ θυ
r
∇ rυ
θ
∇ θυ
θ
∇ rυ
φ
∇ θυ
φ
[
r
∂υ
r
∂r
∇ φυ
θ
θ
∂υ + υ
θ
∇ φυ =
∂r r
φ
φ
φ
∇ φυ
∂υ + υ
∂r r
]
r
∂υ −r υ θ
∂θ
θ
r
∂υ + υ
∂θ r
φ
∂υ +υ φ ctg θ
∂θ
r
∂ υ −r υ φ sin 2 θ
∂φ
θ
∂ υ −υ φ sin θ cos θ
∂φ
φ
r
∂ υ + υ +υ θ ctg θ
∂φ r
]
Найдем физические координаты тензора
[ ∇ * υ * ]T =[e* • ]T [ ∇ •υ • ]T [ e• * ]T =
[
1 0
0
= 0 r
0
0 0 r sin θ
[
]
r
∂υ
∂r
θ
θ
∂υ + υ
∂r r
φ
φ
∂υ +υ
∂r r
r
∂ υ −r υ θ
∂θ
θ
r
∂υ + υ
∂θ r
φ
∂ υ +υ φ ctg θ
∂θ
45
r
][ ]
∂υ −r υ φ sin 2 θ
1
∂φ
θ
∂ υ −υ φ sin θ cos θ 0
∂φ
φ
r
∂υ + υ +υ θ ctg θ 0
∂φ r
0
1
r
0
0
0
1
r sin θ
=
[
r
1 ∂υ r
θ
∂υ
−υ
∂r
r ∂θ
θ
θ
∂υ θ + υ r
=
r ∂υ +υ
∂r
∂θ r
φ
φ
φ
φ
r sin θ ∂υ +υ sin θ sin θ ∂υ +υ cos θ
∂r
∂θ
1 ∂υ r
φ
−υ sin θ
r sin θ ∂ φ
1 ∂υ θ
φ
−υ cos θ
sin θ ∂ φ
φ
∂ υ + υ r +υ θ ctg θ
∂φ r
]
Выразим координаты вектора ῡ через его физические координаты.
Общая формула
υ i *=υ i e i*i =υ 1 e i*1 +υ 2 e i*2 +υ 3 ei3*
Для каждой координаты
2 1*
3 1*
r
υ r *=υ i e ri *=υ 1 e1*
1 +υ e 2 +υ e 3 =υ
3 2*
θ
υ θ * =υ i eθi *=υ 1 e12* +υ 2 e 2*
2 +υ e 3 =r υ
1 3*
2 3*
3 3*
φ
υ φ* =υ i eφ*
i =υ e 1 +υ e 2 +υ e 3 =r sin θ υ
Вычисление производных
∂υ θ = ∂ υ θ * = 1 ∂υ θ * −υ θ *
∂r ∂r r
r ∂r
r2
∂ υ φ = ∂ υ φ* = 1 ∂υ φ * − υ φ*
∂ r ∂ r r sin θ r sin θ ∂ r
r 2 sin θ
φ
φ*
1 ∂ υ φ* υ φ * ctg θ
∂υ = ∂ υ
=
−
∂ θ ∂ θ r sin θ r sin θ ∂ θ
r sin θ
Физические координаты ковариантной производной вектора скорости υ¯ .
* T
[
[ ∇ *υ ] =
∇ rυ
r
∇ θυ
r
∇ rυ
θ
∇ θυ
θ
∇ rυ
φ
∇ θυ
φ
[
r
∂υ
r
∂r
∇ φυ
θ
∂υ θ
∇ φυ =
∂r
φ
∇ φυ
∂υ φ
∂r
]
1 ∂υ r υ θ
−
r ∂θ
r
θ
1 ∂υ υ r
+
r ∂θ r
1 ∂υ φ
r ∂θ
1 ∂υ r υ φ
−
r sin θ ∂ φ
r
θ
φ
1 ∂υ υ
− ctg θ
r sin θ ∂ φ
r
φ
r
1 ∂υ υ υ θ
+ + ctg θ
r sin θ ∂ φ r r
]
Символ "*" справа я опустил.
Найдем дифференциал вектора ῡ .
[d ῡ ]=[ ∇ * υ * ]T [ d r * ]
Нам нужен дифференциал d r̄ в ортонормированном базисе i k . Вычилим
его
d r̄=d r 1* i1 + d r 2* i2 +d r 3* i3 =d r e r + d θ eθ +d φ e φ=d r i 1 +r d θ i 2 + r sin θ d φ i 3
Следовательно [d r * ]=[ d r ,r d θ ,r sin θ d φ]T .
46
[
r
∂υ
∂r
θ
[d υ * ]= ∂υ
∂r
∂υ φ
∂r
]
1 ∂υ r υ θ
−
r ∂θ
r
θ
1 ∂υ υ r
+
r ∂θ r
1 ∂υ φ
r ∂θ
[
1 ∂υ r υ φ
−
r sin θ ∂ φ
r
dr
θ
φ
1 ∂υ υ
− ctg θ
rdθ =
r sin θ ∂ φ
r
r sin θ d φ
1 ∂υ φ υ r υ θ
+ + ctg θ
r sin θ ∂ φ r r
[
( )
+( ∂υ +υ ) d θ
∂θ
∂υ r d r + ∂ υ r −υ θ d θ
∂r
∂θ
θ
= ∂υ d r
∂r
θ
∂υ φ d r
∂r
r
φ
+ ∂υ d θ
∂θ
]
(
)
+( ∂υ −υ cos θ ) d φ
∂φ
+( ∂υ +υ sin θ +υ cos θ ) d φ
∂φ
r
+ ∂υ −υ φ sin θ d φ
∂φ
θ
φ
r
φ
θ
]
Мы уже имеем два вида матриц с координатами ковариантной производ• T
* T
ной: [ ∇ •υ ] и [ ∇ * υ ] . Обе не очень удобные: первая позволяет получить
координаты дифференциала d ῡ в базисе ei , которые мало информативны при
решении прикладных задач, вторая требует дифференциал d r̄ предварительно
привести к базису i k .
Если мы перепишем последнее, полученное нами выражение для дифференциала d ῡ в несколько ином виде, то мы получим еще одно выражение для
ковариантной производной:
[
r
∂υ
∂r
θ
[d υ * ]= ∂υ
∂r
φ
∂υ
∂r
r
∂ υ −υ θ
∂θ
θ
∂ υ +υ r
∂θ
φ
∂υ
∂θ
r
∂υ −υ φ sin θ
∂φ
θ
∂υ −υ φ cos θ
∂φ
φ
∂υ +υ r sin θ +υ θ cos θ
∂φ
]
[]
dr
dθ
dφ
(4.3.15)
Судя по выражению, коэффициенты квадратной матрицы также могут считаться элементами производной, только вот какой? Чтобы выяснить это выполним следующие преобразования:
[d υ * ]=[ e* • ][ d υ • ]=[e* • ][ ∇ • υ • ]T [ d r • ]=([ ∇ • υ • ][e * • ]T )T [ d r • ]=[ ∇ • υ * ]T [ d r • ]
Следовательно
[
r
∂υ
∂r
θ
[ ∇ •υ * ]T = ∂ υ
∂r
φ
∂υ
∂r
r
∂υ −υ θ
∂θ
θ
∂ υ +υ r
∂θ
φ
∂υ
∂θ
r
∂ υ −υ φ sin θ
∂φ
θ
∂υ −υ φ cos θ
∂φ
φ
∂ υ +υ r sin θ +υ θ cosθ
∂φ
47
]
(4.3.16)
Из этой записи следует, что данная форма производной отнесена сразу к
двум координатным системам – естественной с базисом e i и ортонормированной. Координаты вектора при этом по-прежнему являются физическими. Какой
из записей пользоваться – это дело вкуса, но мне кажется, что последняя форма
выглядит комфортнее первых двух.
Сферические координаты. Проверка
Выполняя расчеты в сферических координатах, мы были вынуждены пробираться сквозь дебри громоздких преобразований. В таких случаях даже после
окончания работы мучает червь сомнения: а все ли сделано правильно, не допущена ли где-нибудь ошибка, все ли учтено. Чтобы повысить уровень доверия к
результатам, необходимо выполнить проверку. С одним из способов проверки
мы уже сталкивались – это проверка размерностей.
Мы получили три выражения для ковариантной производной, но проверку
можно выполнить для последнего выражения [ ∇ • υ * ] , которое следует из первых двух. Поскольку элементы производной [ ∇ • υ * ] заданы относительно двух
разных координатных систем, то навскидку сказать что-либо об их размерностях трудно, поэтому проверку размерностей мы выполним для дифференциала
[d υ * ] .
[
r
∂υ
∂r
θ
[d υ * ]= ∂υ
∂r
φ
∂υ
∂r
r
∂ υ −υ θ
∂θ
θ
∂υ +υr
∂θ
φ
∂υ
∂θ
r
∂υ −υ φ sin θ
∂φ
θ
∂υ −υ φ cos θ
∂φ
φ
∂υ +υ r sin θ +υ θ cos θ
∂φ
]
[]
dr
dθ
dφ
(4.3.17)
Размерность координат дифференциала скорости в ортонормированных
м
*
координатах совпадает с размерностью скорости [d υ ]= . Скобки в данном
с
случае означают размерность.
Координаты скорости, которые входят в выражения элементов матрицы, являются физическими координатами и, поэтому, также имеют размерность скорости. Дифференциалы d r и ∂ r имеют размерность длины. Остальные величины в формуле безразмерны. Очевидно, что размерности величин правой и
левой части уравнения совпадают. Тест на размерность наше уравнение проходит.
Тест на совпадение размерностей простой и, поэтому, полезный метод проверки, но существует достаточно большой класс ошибок, которых он не видит.
∂ υ φ +υ r sin θ +υ θ cos θ
Например, если в выражении
мы потеряем любое из сла∂φ
гаемых, то баланс размерностей нарушен не будет.
Что еще можно предложить для проверки наших результатов? В учебниках
48
по математике, конечно, в тех, которые мне приходилось видеть, ничего про это
не написано. Это можно понять. В математике любое утверждение считается
верным, если верен каждый шаг доказательства. С этим не поспоришь, но отсюда следует, что единственным стопроцентным доказательством является стопроцентная проверка каждого этапа вывода формулы. Другими словами, для проверки вывода нужно вывести формулу еще раз, но еще более тщательно.
Один раз мне приходилось выполнять очень сложные арифметические расчеты с обыкновенными дробями. По условию задачи перейти к десятичным
дробям было нельзя, поскольку требовалась стопроцентная точность. Расчеты
оказались очень громоздкими и я несколько раз их повторил для уверенности. К
сожалению, каждый раз у меня получились разные результаты. В конце концов
пришлось сделать компьютерную программу, которая умела выполнять расчеты
с обыкновенными дробями. На сегодняшний день имеется большое количество
математических программ, умеющих работать и с буквами и с числами. Очень
хорошей бесплатной программой с большими возможностями является программа "maxima". Но, во-первых, любая, даже очень хорошая программа, имеет
хотя бы одну ошибку и это аксиома. Мне, в частности, довелось натолкнуться
на одну ошибку в программе maxima. Во-вторых, нельзя дать гарантию, что вы
правильно поймете интерфейс программы и правильно введете исходные данные, даже правильно рассчитанный результат можно переписать с ошибкой. Отсюда можно сделать вывод, стопроцентных проверок не бывает. Конкретный
способ проверки зависит от сложности задачи, стоимости проверки (потраченное время), цены ошибки и изобретательности автора.
Одним из полезных методов проверки, является применение полученной
формулы для решения задачи, решение которой известно заранее. Желательно
при этом, чтобы задача была простая, а результат очевиден. В качестве такой задачи можно предложить задачу вычисления производной от поля постоянного
вектора. Ответ очевиден: производная должна тождественно равняться нулю. К
сожалению, ответ на вопрос, как записать такое поле в сферических координатах, – не очевиден, но я надеюсь, что с этим мы справимся.
В декартовых координатах постоянный вектор ξ̄ =a i +b j +c k , где a , b и
c – константы. Для получения записи постоянного вектора в сферических
координатах необходимо выполнить преобразование координат. Для получения
физических координат мы последовательно перейдем сначала к сферическим, а
затем к ортонормированным координатам.
*
*
•'
•
[ξ ]=[e • ' ][e • ][ ξ ] ,
где [ξ * ] – ортонормированные координаты;
•
[ξ ] – декартовы координаты;
[
1 0
0
[e •' ]= 0 r
0
0 0 r sin θ
тонормированным;
*
]
– матрица перехода от сферических координат к ор-
49
[
]
sin θ cos φ
sin θ sin φ
cosθ
1
1
1
cos θ cos φ
cos θ sin φ − sin θ
•'
[e • ]= r
– матрица перехода от деr
r
1 sin φ
1 cos φ
−
0
r sin θ
r sin θ
картовых координат к сферическим.
Перемножим матрицы преобразования координат
[
1 0
0
[e • ]= 0 r
0
0 0 r sin θ
*
[
]
sin θ cos φ
1
cos θ cos φ
r
1 sin φ
−
r sin θ
]
sin θ sin φ
cos θ
1
1
cos θ sin φ − sin θ
=
r
r
1 cos φ
0
r sin θ
[
]
sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ
= cos θ cos φ cos θ sin φ −sin θ
− sin φ
cos φ
0
Теперь можно найти искомое поле постоянного вектора
a sin θ cos φ +b sin θ sin φ +c cos θ
*
[ξ ]= a cos θ cos φ +bcos θ sin φ − c sin θ
− a sin φ
+b cos φ
Сразу можно сказать, что первый столбец матрицы-производной тождественно равен нулю потому, что все координаты вектора ξ̄ не зависят от r .
∂ υ φ =0
Также можно сказать, что во втором столбце последний элемент
.
∂θ
Проверим первый элемент второго столбца
∂ υ r −υ θ =(a cosθ cos φ+b cos θ sin φ−c sin θ)−
∂θ
−(a cos θ cos φ+b cos θ sin φ−c sin θ )=0
Аналогично доказывается, что и все остальные элементы равны нулю, и
мы можем утверждать, что наша формула прошла бета тестирование.
[
]
4.4 Эллиптические координаты
Запишем уравнение эллипса с полуосями a и b в параметрической форме.
x=a cos(φ)
y=b sin (φ)
Если мы собираемся использовать эллипс в качестве координатных линий,
то нам понадобится уравнение целого семейства таких линий, которое можно
получить если к этй системе добавить еще один параметр ξ :
x=ξ a cos(φ)
y=ξ b sin(φ)
50
e 2'
y
b
e2
Два параметра ξ и φ примем за новые
координаты. Третья координата z задается так
e 1 ' же как в цилиндрических координатах. В результате мы получаем уравнения преобразоваx ния координат.
r̄
a
e1
{
x=ξ a cos(φ)
y=ξ bsin (φ)
z= z
Рис. 1
(4.4.1)
(4.4.2)
Связь между эллиптическими и декартовыми координатами мы получим,
если выразим декартовы координаты радиус-вектора r̄ через параметры ξ и
φ.
Эллиптическую систему координат будем рассматривать в качестве новой
системы и, как это принято для этого случая, индексы, связанные с этой системой, записываются со штрихами (рис. 1), однако мы их чаще всего будем опускать.
Вычислим векторы базиса эллиптической системы координат по формуле:
∂ r̄
ei = i
∂x
[ ][ ]
ξ a cos φ
a cos φ
∂
e1 ' =
(4.4.3)
ξ b sin φ = b sin φ =a cos φe 1 +bsin φ e 2
∂ξ
z
0
Как обычно, мы вектор столбец рассматриваем в качестве матричной формы записи вектора.
ξ a cos φ
−a sin φ
∂
e 2' =
(4.4.4)
ξ b sin φ =ξ b cos φ =−ξ a sin φ e1 +ξ b cos φ e 2
∂φ
z
0
e 3 ' =e 3
(4.4.5)
Вычислив координаты векторов e i ’ в декартовой системе координат, мы
получаем возможность сразу записать матрицу преобразования координат
a cos φ −ξ a sin φ 0
•
[e• ’ ]= b sin φ ξ b cos φ 0 ,
(4.4.6)
0
0
1
ее определитель
a cos φ −ξ a sin φ 0
•
|e• ’|= b sin φ ξ b cos φ 0 =ξ a b ,
(4.4.7)
0
0
1
и матрицу обратного преобразования
[ ][ ]
[
]
|
|
51
[
]
ξ b cos φ ξ a sin φ 0
1
[e ] =[e ]=
(4.4.8)
−bsin φ a cos φ 0
ξ ab
0
0
1
Особенностью данной координатной системы является то, что ее базисные
векторы e1 ' и e 2' не являются ортогональными, что легко доказать, вычислив
скалярное произведение:
e1 '⋅e 2' =(a cos φ e1 +b sin φ e 2 )⋅(−ξ a sin φe 1 +ξ b cos φ e 2 )=
• −1
•’
•'
•
=ξ (b 2−a 2 )sin φ cos φ
Из уравнения следует, что при неравных a и b скалярное произведение
равно нулю только в точках на концах полуосей эллипса, следовательно, в общем случае базисные векторы не ортогональны. Они также не являются единичными.
Найдем координаты метрического тензора.
g 1' 1' =e1'⋅e 1' =a 2 cos 2 φ+b 2 sin 2 φ
g 2 ' 2' =e2 '⋅e2 ' =ξ 2 (a 2 sin 2 φ+b2 cos 2 φ)
g 1' 2 ' =g 2 ' 1 ' =e1 '⋅e2 ' =ξ (b2 −a 2 )sin φ cos φ
g 3' 3' =e3'⋅e3' =1
В матричной форме:
[
2
2
2
2
2
2
a cos φ+b sin φ
ξ (b −a )sin φcos φ 0
2
2
[ g • • ]= ξ (b −a )sin φ cos φ ξ 2 (a 2 sin 2 φ+b 2 cos 2 φ) 0
0
0
1
Обратная матрица
[
2
2
2
2
2
2
2
]
(4.4.9)
]
ξ (a sin φ+b cos φ) ξ (a −b )sin φ cos φ 0
1
••
2
2
2
2
(4.4.10)
[ g ]= 2 2 2 ξ (a 2 −b2 )sin φcos φ
a cos φ+ b sin φ 0
ξ a b
0
0
1
Определитель
1
|g • •|= 2 2 2 и g= g • • =|g ••|=ξ 2 a 2 b 2
(4.4.11)
ξ a b
Используя коэффициенты матрицы [g •• ] мы легко можем найти базисные
векторы взаимной координатной системы: ei ' = g i ' k ' e k ' .
Скалярное умножение векторов в эллиптических координатах
ā⋅b̄=a i bi =ai g i k bk =a i g i1 b1 + ai g i 2 b 2 +a i g i 3 b3=
=a 1 g 11 b1 + a 2 g 21 b1 +a 1 g 1 2 b2 +a 2 g 2 2 b2 + a3 g 33 b3
52
Модуль вектора
r̄⋅r̄=(r 1)2 g 11 +(r 2 )2 g 2 2 +(r 3 )2 g 3 3 +2 r 1 r 2 g 12 =
=(a 2 cos 2 φ+b2 sin 2 φ)(r 1 )2 + ξ 2 (a 2 sin 2 φ+b 2 cos 2 φ)(r 2 )2 +(r 3 )2 +
+2 ξ (b 2−a 2 )sin φ cos φ r 1 r 2
|r̄|=√ r̄⋅r̄
Теперь наступила очередь для самого интересного: вычисления значений
символов Кристоффеля.
Вычисление символов с помощью формулы
∂ gm s ∂ gim
k
s k ∂ gi s
2 Γ i m= g
+
−
m
i
s
∂x
∂x
∂x
Поскольку нам придется сделать довольно много вычислений, введем дополнительное обозначение, которое позволит нам эту работу немного сократить.
∂ g i s ∂ gm s ∂ gi m
Выражения в скобках обозначим Ai m , s=
m +
i −
s
∂x
∂x
∂x
∂ gi s
Кроме того, легко заметить, что производная
m =0 если хотя бы один из
∂x
индексов равняется нулю.
Для начала вычислим все символы с верхним индексом k =1 , при этом мы
учтем, что символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам.
(
)
(
1
1. 2 Γ 1 1= g
+g
31
(
(
11
) (
)
)
∂ g 1 1 ∂ g 11 ∂ g 1 1
∂ g 11
2 1 ∂ g 1 2 ∂ g 12
+
−
+
g
+
−
1
1
1
1
1
2 +
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
)
∂ g 13 ∂ g 1 3 ∂ g 11
1 +
1 −
3 =0
∂x
∂x
∂x
Комментарий к вычислениям
∂ g1 1
∂ g1 3
∂ g1 1
∂ g1 2
2
2
1 =0
1 =0
3 =0
1 =(b −a )sin φ cos φ
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ g1 1 ∂ 2 2
2
2
2
2
2
2
(a cos φ+b sin φ)=−2 a cos φsin φ+ 2 b cos φ sin φ=2(b −a )cos φ sin φ
2 =
∂φ
∂x
A1 1,1 =0 , A1 1, 2=0 , A1 1, 3=0
1
2 2 Γ 1 2 =g
s1
(
)
∂ g 1 s ∂ g 2 s ∂ g1 2
2 +
1 −
s =
∂x
∂x
∂x
53
=g
+g
(
(
11
31
) (
)
)
∂ g 11 ∂ g 2 1 ∂ g 1 2
∂ g 2 2 ∂ g 12
21 ∂ g 1 2
+
−
+g
+
−
+
2
1
1
2
1
2
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂ g 13 ∂ g 2 3 ∂ g 12
2
2
2
2
2
2
2
+
−
= 2 2 (a sin φ+b cos φ)(b −a )cos φ sin φ+
2
1
3
∂x
∂x
∂x
a b
2
(a 2 −b 2 )sin φ cos φ(a 2 sin 2 φ+b 2 cos2 φ)=0
2
a b
2
Комментарий к вычислениям
∂ g1 1
2
2
=2 (b −a )cos φ sin φ
2
∂x
∂ g22
2
2
2
2
=2 ξ (a sin φ+b cos φ)
1
∂x
A1 2, 1=2(b 2 −a 2 )cos φ sin φ , A1 2, 2 =2 ξ (a 2 sin 2 φ+b 2 cos 2 φ) , A1 2, 3=0
(
)
∂ g 1 s ∂ g 3 s ∂ g 13
3 +
1 −
s =0
∂x
∂x
∂x
Комментарий к вычислениям
A1 3,1=0 , A1 3, 2 =0 , A1 3, 3=0
1
s1
1
s1
3 2 Γ 1 3= g
5 2 Γ 22 = g
+g
21
(
(
) (
)
∂ g2 s ∂ g 2 s ∂ g 2 2
∂ g 2 1 ∂ g2 2
11 ∂ g 2 1
2 +
2 −
s =g
2 +
2 −
1 +
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
) (
)
∂ g 22 ∂ g 2 2 ∂ g 2 2
∂ g 23 ∂ g 2 2
31 ∂ g 23
+
−
+g
+
−
=−2 ξ
2
2
2
2
2
3
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
Γ 11 2 =−ξ
Комментарий к вычислениям
∂ g 21
2
2
2
2
2
2
2 =ξ (b −a )(cos φ−sin φ)=ξ (b −a )cos 2 φ
∂x
∂ g22
2
2
2
2
1 =2 ξ (a sin φ+b cos φ)
∂x
∂ g22
2 ∂
2
2
2
2
2
2
2
2 =ξ
2 (a sin φ+b cos φ)=2 ξ (a −b )sin φ cos φ
∂x
∂x
A 2 2,1 =−2 ξ (a 2 cos 2 (φ)+b2 sin 2 (φ)) , A 2 2, 2=2 ξ 2 (a 2 −b2 )sin φ cos φ , A 2 2,3 =0
1
6 2 Γ 23 =g
(
s1
) (
)
∂ g 2 s ∂ g3 s ∂ g 2 3
∂ g 23
1 1 ∂ g 2 1 ∂ g3 1
3 +
2 −
s =g
3 +
2 −
1 +
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
54
(
) (
)
∂ g 22 ∂ g 32 ∂ g 2 3
∂ g 3 3 ∂ g 23
3 1 ∂ g 23
+
−
+g
+
−
=0
3
2
2
3
2
3
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
Комментарий к вычислениям
A 23, 1 =0 , A 23, 2 =0 , A 23, 3 =0
+g
21
(
)
∂ g 3 s ∂ g 3 s ∂ g 33
+
−
=0
3
3
s
∂x
∂x
∂x
Комментарий к вычислениям
A3 3, 1=0 , A3 3, 2 =0 , A3 3, 3=0
1
9 2 Γ 3 3= g
s1
Первая матрица символов Кристоффеля
0 0 0
1
Γ i k = 0 −ξ 0
0 0 0
[
]
Вторая матрица k =2
1 2 Γ 12 1= g s 2 A 11, s= g 1 2 A 11, 1 + g 2 2 A1 1, 2 + g 3 2 A11, 3 =0
2 2 Γ 12 2 =g s 2 A1 2, s =g 1 2 A 12, 1 + g 22 A1 2, 2 + g 32 A1 2, 3 =
= g 1 2 2 (b2 −a 2 )cos φ sin φ+ g 2 2 2 ξ (a 2 sin 2 φ+b2 cos 2 φ)=
2
ξ
1
ξ
2
3 2 Γ 1 3= g s 2 A 13, s= g 1 2 A13, 1 + g 22 A1 3, 2 + g 3 2 A1 3, 3=0
Γ 12 2 =
4 2 Γ 222 = g s 2 A 2 2, s = g 1 2 A 2 2, 1 + g 2 2 A2 2, 2 + g 3 2 A 2 2, 3=
=(ξ (b 2−a 2 )sin φ cos φ)(−2 ξ (a 2 cos2 (φ)+b 2 sin 2 (φ)))+
+(ξ 2 (a 2 sin 2 φ+b 2 cos2 φ))(2 ξ 2 (a 2 −b 2 )sin φ cos φ)=0
И остальные коэффициенты, как легко проверить, равны нулю.
Все три матрицы символов Кристоффеля
[
0 0
1
Γ i k = 0 −ξ
0 0
]
[ ]
0
0
2
0 , Γ i k= 1
0
ξ
0
1
ξ
0
0
0
[ ]
0 0 0
, Γ = 0 0 0
0
0 0 0
0
3
ik
(4.4.12)
Я не стану дальше углубляться в теорию эллиптических координат, отмечу
лишь, что они могут пригодиться, к примеру, при анализе напряженного
состояния вокруг эллиптической трещины. Как говорил Козьма Пругтков: "И
55
терпентин на что-нибудь полезен".
4.5 Капельные координаты
Капельные координаты – это довольно необычные координаты, потребность в которых, была продиктована необходимостью изучения процессов,
происходящих в капле жидкости. Капля жидкости, например висящая на круглом основании, обладает осевой симметрией, поэтому для нее подходит цилиндрическая система координат. Однако для изучения процессов, происходящих
на поверхности и вблизи нее, было бы полезно иметь систему координат согласованную с формой поверхности. Капельная поверхность образуется вращением профиля капли вокруг ее оси, которую обычно совмещают с осью z .
z
Кривую профиля капли невозможно задать в виде композиции элементарных
eφ
функций. Ее приходится вычислять, решая
en
дифференциальное уравнение Лапласа численными методами. В процессе решения по
R
A
алгоритму Адамса мы получаем координаты
θ
точек кривой, радиус кривизны R и угол
O
наклона кривой θ для каждой точки криS
y
вой.
Используем эти данные для построеφ
ния локальной системы координат. Для этоr
x
го капельную кривую в окрестности произРис. 2
вольной точки A мы заменим соприкасающейся окружностью радиуса R . Отклонение
такой окружности от исходной кривой не превышает бесконечно малой
величины третьего порядка малости. Этого нам вполне достаточно поскольку и
первые и вторые производные от радиус-векторов, пробегающих по исходной
кривой и по соприкасающейся окружности, будут совпадать. В соответствии с
картинкой можно записать:
r= R cos θ +ξ
, где ξ и ξ z – константы для данной точки на кривой.
z=R sin θ +ξ z
es
{
Угол θ можно использовать в качестве координаты, но удобнее за координату взять длину дуги s . При этом нам может понадобиться известная связь
∂θ 1
= .
между θ и s :
∂s R
Параметра s при известных R и θ вполне достаточно для задания положения точки на на кривой в бесконечно малой окрестности точки A . Для того,
чтобы иметь возможность задавать положение точек вблизи поверхности, введем еще одну координату n , которая имеет смысл расстояния от поверхности
(рис. 3). В связи с этим модифицируем формулы преобразования координат.
56
B (S B , n B)
S A+ ∆ S
en
SB
nB
A
R̄
O
{
r=( R+n)cos θ +ξ
z=(R+ n)sin θ +ξ z
θB
Рис. 3
S A− ∆ S
(4.5.1)
Для задания положения точек в круговом
слое, мы дополним, уже введенные координаты, координатой φ .
Теперь можно записать формулы перехода к декартовым координатам.
x=(( R+ n)cosθ +ξ )cos φ
y=(( R+n)cos θ +ξ )sin φ
(4.5.2)
z=(R+n)sin θ +ξ z
{
Данные уравнения позволяют получить
все необходимые параметры новой системы координат (n ,φ , s) . Заметим, что
дуговая координата s не входит явным образом в уравнения, но это нам не помешает, поскольку нам известна связь ее с параметром θ .
Векторы базиса
[
][
((R+ n)cos θ + ξ )cos φ
cos θ cos φ
∂ r̄ ∂
e n= =
((R+n)cos θ +ξ )sin φ = cos θ sin φ
∂n ∂n
sin θ
(R+ n)sin θ +ξ z
]
(4.5.3)
Несложно проверить, что |en|=1 и |e n|=1 . Единичные векторы мы будем
обозначать символом i . Потому можно записать, что e n=i n .
[
][ ]
((R+n)cos θ + ξ )cos φ
−sin φ
∂ r̄ ∂
eφ = =
(( R+n)cos θ +ξ )sin φ =r cos φ =r iφ
∂ φ ∂φ
0
(R+ n)sin θ +ξ z
[
(4.5.4)
]
∂θ
cos φ
∂s
(( R+ n)cosθ +ξ )cos φ
∂ r̄ ∂
∂θ
e s= =
sin φ =
((R+ n)cos θ + ξ )sin φ = −( R+ n)sin θ
∂s ∂s
∂s
( R+n)sin θ + ξ z
∂θ
( R+ n)cosθ
∂s
[
]
−( R+n)sin θ
[
]
−sin θ cos φ
( R+ n)
(4.5.5)
−sin θ sin φ
R
cos θ
Выражения в скобках содержат координаты единичного вектора касательного к кривой i s .
=
57
( R+n)
is
(4.5.6)
R
Легко проверить, правда легко, что векторы базиса взаимно ортогональны.
В точке A модули векторов e n и e s равны единице. Длина вектора eφ равна r
Для точек на поверхности запишем матрицу преобразования от капельных
координат к ортонормированным ( i k )
e s=
[ ]
1 0 0
1 0 0
1
*
•
[e• ]= 0 r 0 , [e* ]= 0
0
r
0 0 1
0 0 1
[ ]
(4.5.7)
Произвольный вектор ū может быть представлен в виде:
( R+ n) s
n
φ
s
n
φ
ū=u e n + u eφ +u e s=u i n +r u i φ +
u is
(4.5.8)
R
Следовательно в ортонормированной системе координаты произвольного
вектора вычисляются как
s * (R+n) s
u
(4.5.9)
u n *=un , u φ*=r uφ и u =
R
Метрический тензор
[
[ g • • ]=
1 0
0 r2
0
0
0
0
R+n
R
2
( )
]
[ ]
1
••
и [ g ]=
0
0
0
1
2
r
0
0
0
(4.5.10)
2
( )
R
R+ n
Для точек на капельной поверхности n=0 и
[ ]
1
1 0 0
••
[ g • • ]= 0 r 2 0 , [ g ]= 0
0 0 1
0
[ ]
0
1
r2
0
0
0
(4.5.11)
1
2
Определитель метрического тензора на поверхности капли g •• =r ,
1
g • •= 2 .
r
Следующий наш шаг будет связан с вычислением символов Кристоффеля.
Нам придется вычислить их все в соответствии с общей формулой:
1 s k ∂ gi s ∂ g m s ∂ gi m
k
Γ i m= g
m +
i −
s
2
∂x
∂x
∂x
(
)
Индекс k =1
1 s 1 ∂ g i s ∂ g m s ∂ g i m 1 1 1 ∂ g i1 ∂ g m1 ∂ g i m
1
Γ i m= g
g
m +
i −
s =
m +
i −
1
2
2
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
(
)
(
58
)
Мы учли, что все g s 1 с различными индексами равны нулю. g 11=1
1 Пусть i=1 , m=1
1 1 1 ∂ g 11 ∂ g 11 ∂ g 11
1
Γ 11 = g
+
−
=0
1
1
1
2
∂x
∂x
∂x
(
)
Аналогично Γ 112=0 , Γ 113=0
2 Пусть i=2 , m=2
1 11 ∂ g 21 ∂ g 2 1 ∂ g 22
1 ∂ g 22
1 ∂ r2
1
Γ 22= g
+
−
=−
=−
=
2
2
1
2
2 ∂ x1
2 ∂n
∂x
∂x
∂x
1
=− ∂ (( R+ n)cosθ +ξ )2 =−((R+ n)cos θ + ξ )cos θ=−r cos θ
2 ∂n
1
Γ 22=−r cos θ
(
)
3 Γ 123=0
4 Пусть i=3 , m=3
1 11 ∂ g 31 ∂ g 3 1 ∂ g 33
1 ∂ g 33
1
R+ n
1
Γ 33 = g
+
−
=−
=− ∂
3
3
1
2
2 ∂n
2 ∂n R
∂x
∂x
∂x
(
)
2
( )
R+ n
R2
Поскольку для нас интерес представляют значения символов Кристоффеля
1
1
на поверхности, т. е. при n=0, то Γ 33 =− .
R
Первая матрица символов Кристоффеля
Γ 133 =−
1
[
[ Γ • • ]=
0
0
0 −r cos θ
0
0
Индекс k =2
1 2 2 ∂ gi 2 ∂ g m2 ∂ g i m
2
Γ i m= g
m +
i −
2
2
∂x
∂x
∂x
(
0
0
1
−
R
]
)
1 Пусть i=1 , m=1
1 2 2 ∂ g 12 ∂ g 1 2 ∂ g 11
2
Γ 11 = g
1 +
1 −
2 =0
2
∂x
∂x
∂x
(
)
1
.
r2
1 Пусть i=1 , m=2
1 2 2 ∂ g 12 ∂ g 2 2 ∂ g 1 2
1 1 ∂ g22
2
Γ 1 2= g
=
2 +
1 −
2 =
2
2 r2 ∂ n
∂x
∂x
∂x
22
Учтем, что g =
(
)
59
(4.5.12)
1 1 ∂
cos θ
((R+n)cos θ + ξ )2=
2
2 r ∂n
r
2
2
2 Без вывода Γ 13 =0 , Γ 22=0 .
3 Пусть i=2 , m=3
1 2 2 ∂ g 2 2 ∂ g 3 2 ∂ g 23
1 1 ∂ g2 2
2
Γ 23 = g
+
−
=
=
3
2
2
2
2 r2 ∂ s
∂x
∂x
∂x
1 1
1
∂θ
1 (R+ n)
2
= 2 ∂ ((R+ n)cos θ + ξ ) =− 2 ((R+n)cos θ + ξ )(R+n)sin θ
=−
sin θ
2 r ∂s
∂s
r R
r
sin θ
2
На поверхности при n=0 Γ 23=−
r
2
4 Γ 33 =0
Вторая матрица символов Кристоффеля
=
(
)
[
[ Γ •2• ]=
0
cos θ
r
cos θ
r
0
0
−
Индекс k =3
1 3 3 ∂ g i 3 ∂ g m3 ∂ g i m
3
Γ i m= g
m +
i −
3
2
∂x
∂x
∂x
(
0
−
sin θ
r
sin θ
r
0
)
3
3
1 Γ 11 =0 , Γ 12 =0
2 Пусть i=1 , m=3
1 33 ∂ g 1 3 ∂ g 33 ∂ g 13
1 R
3
Γ 1 3= g
3 +
1 −
3 =
2
2 R+n
∂x
∂x
∂x
(
) ( ) ( )
3
На поверхности при n=0 Γ 13 =
2
(
2
∂ R+ n = 1
∂n R
R+n
1
R
3 Пусть i=2 , m=2
1 33 ∂ g 23 ∂ g 23 ∂ g 2 2
1 R
3
Γ 22= g
2 +
2 −
3 =−
2
2 R+ n
∂x
∂x
∂x
) ( )
2
( )
( )
1 R
=−
2 R+n
]
(4.5.13)
2
( )
2
∂ g22
=
∂s
∂θ
∂ ((R+n)cos θ + ξ )2= R
((R+ n)cos θ + ξ )(R+ n)sin θ
=
∂s
R+n
∂s
2
(R+n)
R
R
=
r
sin θ=
r sin θ
R+n
R
R+ n
60
3
На поверхности при n=0 Γ 22=r sin θ
3
3
4 Γ 23=0 , Γ 33 =0
Последняя матрица символов Кристоффеля
[ ]
0
3
[ Γ • • ]= 0
1
R
r sin θ
1
R
0
0
0
0
(4.5.14)
После вычисления символов Кристоффеля можно перейти к вычислению
ковариантной производной. Расчеты выполним для осесимметричной задачи,
для которой u 2 ≡0 .
∂ u1 ○ 1 ∂ un
1
∇ 1u =
+u Γ ○ 1=
1
∂n
∂x
∂ u 2 ○ 2 ∂ uφ φ 2
∇ 1u =
+u Γ ○ 1 =
+u Γ 21 =0
1
∂n
∂x
∂ u3 ○ 3 ∂ u s 3 3 ∂ u s u s
3
∇ 1u =
+u Γ 3 1=
+
1 +u Γ ○ 1=
∂n
∂n R
∂x
2
∂ u 1 ○ 1 ∂ un
∂ un
2
∇2u =
−u r cos φ=
=0
2 +u Γ ○ 2 =
∂φ
∂φ
∂x
Так как для осесимметричной задачи все функции не зависят от угловой
∂ un
координаты φ , следовательно
=0 .
∂φ
∂ u2 ○ 2 ∂ u φ 1 2
∂ uφ 1 cos φ 3 sin φ
2
3
2
∇2u =
+u Γ ○ 2 =
+u Γ 12 +u Γ 32 =
+u
−u
2
∂φ
∂φ
r
R
∂x
2
n cos φ
∇ 2 u =u
−u s sin φ
r
R
3
∂u
∂ us 2
3
○
3
∇2u =
+u r sin φ=0
2 +u Γ ○ 2 =
∂φ
∂x
∂ u1 ○ 1 ∂ u1 3 1 ∂ un u s
1
∇ 3u =
−
3 +u Γ ○ 3=
3 +u Γ 33=
∂s R
∂x
∂x
∂ u 2 ○ 2 ∂ uφ 2 2
2
∇ 3u =
+u Γ 2 3=0
3 + u Γ ○ 3=
∂s
∂x
∂ u3 ○ 3 ∂ u s 1 1 ∂ u s un
3
∇ 3u =
+u Γ 13=
+
3 +u Γ ○ 3=
∂s
∂s R
∂x
Матрица координат ковариантной производной
1
61
[
[ ∇ • u• ]=
n
s
∂u
∂n
0
0
u
n
n
cos θ
s sin θ
−u
r
R
0
s
s
∂u u
−
∂s R
s
∂u u
+
∂n R
n
∂u u
+
∂s R
0
]
(4.5.15)
При неподвижной поверхности капли нормальная к поверхности составляющая скорости жидкости u n тождественно равна нулю. В этом случае
[
][
n
s
∂u
∂n
[ ∇ • u• ]=
0
−u
sin θ
R
s
s
u
−
R
s
∂u u
+
∂n R
0
0
s
∂u
∂s
0
]
[]
(4.5.16)
Перейдем к ортонормированным координатам по общим правилам
[ ∇ * u * ]=[ e* • ][ ∇ • u• ][e• * ]
*
[
1
[ ∇ * u ]= 0
0
0 0
1
0
r
0 1
n
s
s
∂u
∂n
∂u u
+
∂n R
0
0
sin θ
−u
R
0
0
∂u
∂s
s
s
u
−
R
s
1 0 0
0 r 0
0 0 1
]
(4.5.17)
Ясно, что после перемножения матриц, в матрице координат ковариантной
производной ничего не изменится. Однако, изменения все еще возможны в силу
зависимости координаты u s от координаты n .
s
s*
s*
∂u
R s*
u
∂u
∂
=
u =−
+
(4.5.18)
∂ n ∂ n R+n
R
∂n
После дифференцирования мы n приравняли нулю.
Следовательно
(
[
[ ∇ * u * ]=
)
∂ un *
∂n
∂ us*
∂n
0
0
u sin θ
−
R
0
0
∂ us*
∂s
s*
us*
−
R
]
(4.5.19)
Данный пример призван показать, как мы можем построить систему
координат максимально приспособленную для решения конкретной задачи. И
62
какой бы экзотической эта система ни казалась, если мы вычислили все ее
характеристики, мы можем ей пользоваться точно также, как и любой другой
более традиционной.
5
Правила ковариантного дифференцирования
Я открываю учебник по математическому анализу Д. Письменного,
который я считаю хорошим, хотя возможно излшне конспектиным, и нахожу в
нем всего пять правил дифференцирования. Добавим сюда утверждение, что
производная от константы равна нулю, и получим шесть. У меня же получилось
18 правил для ковариантного дифференцирования. Без сомнения – это много, но
я не старался минимизировать количество правил. Например, можно было бы
не доказывать, что ковариантная производная от метрического тензора равна
нулю, поскольку метрический тензор является постоянным тензором (применение его к любому вектору дает тот же самый вектор только в других координатах). С другой стороны полезно знать и прямое доказательство данного утверждения. Кроме того, если некоторые правила и дублируют друг друга, то это
скорее преимущество чем недостаток, если исходить из принципа "двойное не
рвется".
1 Ковариантная производная от скалярной функции равна частной
производной
∂φ
∇ k φ=
.
∂ xk
Совокупность всех возможных величин ∇ k φ образует вектор, который мы
назвали градиентом.
T
∂ φ ∂φ ∂φ
k
grad(φ)= ∇ φ=∇ k φe ∼
,
,
∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
Криволинейная ортогональна система координат.
Используя криволинейную ортогональную систему, мы можем построить
en
ортонормированную систему с базисом i n=
. Найдем проекции вектора
√g n n
градиента на векторы базиса ортонормированной системы координат
en
1 ∂φ
k
∇ k φe ⋅
=
(суммирование по n не выполняется).
√g n n √g n n ∂ x n
Полученные выражения являются физическими координатами вектора градиента.
∂c
2 Ковариантная производная от константы равна нулю ∇ k c= k =0
∂x
3 Ковариантная производная от контравариантного вектора
∂ ai ○ i
i
∇k a =
k +a Γ ○ k
∂x
4 Ковариантная производная от ковариантного вектора
[
]
63
∂ ai
∇ k ai =
k
○
−a○ Γ i k
∂x
5 Ковариантная производная от любого постоянного тензора равна
нулю
Дифференциал
произвольного
тензора
вычисляется
как
i jk
i jk
m
D T =∇ mT d x
Дифференциал тензора называется абсолютным и обозначается символом
D, чтобы отличить его от дифференциала координаты. Равенство нулю абсолютного дифференциала от постоянного тензора лежит в основании теории ковариантного дифференцирования. Можно сказать, что вся теория построена таким
образом, чтобы это очевидное для постоянных тензоров свойство выполнялось,
но это возможно, если ∇ m T i j k =0 .
6 Ковариантная производная произвольного тензора
i i ...
∂ T j j ... ○ i ... i
i i ...
i ○...
i
i i ...
i i ...
○
○
∇ k T j j ... =
k +T j j ... Γ ○ k +T j j ... Γ ○ k +...−T ○ j ... Γ j k −T j ○ ... Γ j k ...
∂x
7 Ковариантная производная линейной комбинации тензоров
ij
ij
ij
ij
ij
ij
∇ k (α T + β G + γ F )=α ∇ k T + β ∇ k G + γ ∇ k F ,
где α, β и γ – константы.
8 Ковариантная производная тензорного произведения тензоров
Рассмотрим самый простой случай тензорного произведения двух векторов
i j
a b , которое, как известно, представляет собой тензор второго ранга и применим к нему общее правило дифференцирования.
∂ ai b j ○ j i
∂ ai j ∂ b j i ○ j i
i j
i ○
j
i ○
j
∇ k (a b )=
k +a b Γ ○ k +a b Γ ○ k =
k b +
k a +a b Γ ○ k + a b Γ ○ k =
∂x
∂x
∂x
1 2
1
1 2
1
2
(
2
2
1
) (
1
2
1
1
2
2
1 2
2
1 2
1
1
2
)
j
∂ ai ○ i
j
i ∂b
○
j
i
j
i
j
=
k +a Γ ○ k b + a
k +b Γ ○ k =( ∇ k a )b +a ∇ k b
∂x
∂x
Правило легко обобщается на произведение любых тензоров.
9 Любой постоянный тензор можно выносить из под знака ковариантной производной
Пусть a m – произвольный постоянный вектор. Поскольку для постоянного
m
вектора ∇ p a =0 , то:
∇ p (T
i jk
a m )=a m ∇ p T i j k +T i j k ∇ p a m=a m ∇ p T i j k
i
10 Ковариантная производная от дельты Кронекера δ k равна нулю
С символами Кронекера возникла некоторая историческая путаница.
Большинство авторов приводят определение символа с двумя нижними индексами:
δ i j = 1, i= j
0, i≠ j
В книгах же по теории тензоров символ Кронекера записывается обычно
{
64
только со смешанными индексами: δ ik . Часто это делается без всяких комментариев, хотя для теории тензоров положение индексов в записи тензора имеет существенное значение. Да собственно тензор ли это? Например, Ю. И. Димитриенко дает такое определение символу:
δ i j =δ i j =δ ij = 1, i= j
(5.1)
0, i≠ j
Если это тензор, то к нему применима операция опускания индексов:
δ i k =g i m δ mk = g i k .
Но это означает, что если символ Кронекера мы считаем тензором, то мы
вынуждены признать, что его координаты не всегда равны нулю или единице в
соответствии с приведенными выше определениями. Во-вторых, мы видим, что
в этом случае он просто совпадает с метрическим тензором. Следовательно,
если мы ввели метрический тензор и обозначили его g i j , то символ Кронекера
становится излишним. Однако, он оказался полезным для обозначения смешанi
i
ных компонент метрического тензора, поскольку g k =δ k . В соответствии со
сложившейся традицией ковариантные и контравариантные компоненты метрического тензора обозначаются g i k и g i k соответственно, а смешанные компоi
ненты – δ k .
{
i
δ k также часто называют единичным тензором или тензором тождественного преобразования. Поскольку мы выяснили, что δ и g – это разные формы
представления одного и того же тензора, то мы можем быть уверены, что и метрический тензор является тензором тождественного преобразования и даже единичным тензором.
Я думаю, что теперь и без доказательств должно быть ясно, что ковариантная производная от символа Кронекера, трактуемого как тензор, и от метрического тензора g i k должна быть равна нулю. Ведь в обоих случаях мы имеем
дело с одним и тем же тензором – тензором тождественного преобразования,
т. е. постоянным тензором. Тем не менее мы приведем формальное доказательство для обоих случаев.
∂ δik ○ i
i
i
○
i
i
∇ m δk=
+δ k Γ ○ m−δ ○ Γ k m = Γ k m− Γ k m =0
m
∂x
11 Ковариантная производная от метрического тензора
∂ gik
○
○
∇ m g ik=
m −g ○ k Γ i m −g i ○ Γ k m
∂x
Найдем частную производную от метрического тензора
∂ g i k ∂ ei⋅ek ∂ ei
∂ ek
n
n
n
n
=
=
⋅e
+e
⋅
k
i
m
m
m
m = Γ i m e n⋅e k +e i⋅Γ k m e n = g i n Γ k m + g k n Γ i m
∂x
∂x
∂x
∂x
Подставляя полученное значение в предыдущее выражение, получаем ожидаемое равенство: ∇ m g i k =0 .
12 Метрический тензор и дельту Кронекера можно выносить из под
65
знака ковариантной производной
mn
mn
mn
mn
∇ p (g i k T )=T
∇ p gi k + gi k ∇ p T = gi k ∇ p T
Аналогично для дельты Кронекера.
13 Ковариантная производная от радиус-вектора
∂ ā
= ∇ i a m e m . Умножим скалярно правую и левую части
По определению
i
∂x
k
равенства на e .
∂ ā k
⋅e = ∇ i a m e m⋅e k = ∇ i a m δ km =∇ i a k
i
∂x
∂ r̄ k
∂ r̄
⋅e = ∇ i r k , но
=e i , следовательно
Пусть теперь ā= r̄ , тогда
i
∂x
∂ xi
k
k
k
∇ i r =e i⋅e =δ i .
Для случая, когда радиус-вектор задан своими ковариантными координатами
m
m
∇ i r k = g k m ∇ i r = g m k δi = gi k
Найдем заодно дивергенцию и ротор от радиус-вектора.
div r̄= ∇ i r i =δ ii =3
rot r̄=ε
i jk
∇ i r j ek=
√g
••
| | [
∇1
∇2
∇3
r 1 e1
••
r 2 e2 = √ g
r 3 e3
∇ 2 r3− ∇ 3 r 2
∇ 3 r1− ∇ 1 r3
∇ 1 r 2− ∇ 2 r 1
] [ ]
=√ g
••
g 23− g 32
g 31− g 13 =0
g 12 − g 21
Ковариантная производная от модуля радиус-вектора r̄ .
Запишем градиент от квадрата модуля ∇ i r 2 =2 r ∇ i r . С другой стороны
ri
2
k
k
k
k
k
∇ i r = ∇ i r r k =r k ∇ i r +r ∇ i r k =r k δ i + r g i k =2 r i . Следовательно ∇ i r=
r
14 Ковариантная производная скалярного произведения векторов
Результат вычисления продемонстрируем сначала на двух векторах
Скалярное произведение двух векторов представляет собой скаляр и ковариантная производная просто равна частной.
∂ a i bi ∂ ai
i
i ∂ bi
∇ m (a bi )=
= m bi +a
m
∂x
∂x
∂ xm
Все достаточно очевидно, но хотелось бы, чтобы в правой части тоже появилась бы ковариантная производная. Подойдем к задаче несколько иначе.
i
i ○
i
○
∇ m (a bi )= ∇ m (δ ○ a bi )=δ ○ ∇ m (a bi )
Теперь в правой части мы имеем двухвалентный тензор.
○
○
i
○
i ∂ a bi
i □
○
i ○
□
i ∂ a bi
○
i
i
○
δ ○ ∇ m (a bi )=δ ○
+δ ○ a bi Γ □ m −δ ○ a b □ Γ i m =δ ○
+ a b i Γ ○ m −a b ○ Γ i m =
m
m
∂x
∂x
66
∂ ai
○
i
i ∂ bi
i
○
i
i
= m bi + a bi Γ ○ m +a
−a b ○ Γ i m =( ∇ m a )b i + a ∇ m bi
m
∂x
∂x
Окончательный результат
∂ ai
i
i
i
i ∂ bi
∇ m (a bi )=( ∇ m a )b i + a ∇ m bi =
b +a
m i
m
∂x
∂x
Казалось бы на этом можно поставить точку, но нет предела совершенству.
В книге Л. Г. Лойцянского я нашел такое выражение.
(5.2)
grad ( ā⋅b̄)=( ā⋅∇ ) b̄+( b̄⋅∇ ) ā+ ā × rot b̄+ b̄ × rot ā
Выражение записано в так называемой векторной или безындексной форме.
Напомню, что градиент – это вектор, составленный из ковариантных
производных как из координат
∇ 1 ( ā⋅b̄)
grad ( ā⋅b̄)∼ ∇ 2 ( ā⋅b̄)
∇ 3 ( ā⋅b̄)
[ ]
Выражения в скобках в правой части равенства (10.2) представляют собой
конвективные производные. В дальнейшем об этих чудесах мы еще поговорим,
а пока я просто переведу равенство к более привычному виду.
grad ( ā⋅b̄)= ∇ m (a i bi )e m =
(5.3)
=((a ○ ∇ ○ )b m +(b○ ∇ ○)a m + ε m n p a n ε p i k ∇ i b k +ε m n p bn ε p i k ∇ i a k )em
В это действительно трудно поверить. Даже неясно как подступиться к доказательству. Но глаза боятся, а руки делают. Попробуем для начала упростить
выражения с тензорами Леви-Чивиты.
ε m n p a n ε p i k ∇ i b k =ε p m n a n ε pi k ∇ i bk =(δ im δ kn −δ in δ mk )a n ∇ i b k =a n ∇ m b n−a n ∇ n bm
Я воспользовался тем, что ε p m n ε p i k =δ im δ kn −δ in δ km .
Соответственно
ε m n p b n ε pi k ∇ i a k =b n ∇ m a n−bn ∇ n a m и
bi )e m =(a ○ ∇ ○ bm +b○ ∇ ○ a m + a n ∇ m b n −a ○ ∇ ○ bm +bn ∇ m a n −b○ ∇ ○ a m )e m
После очевидного упрощения приходим к доказанному ранее:
○
i
○
○
i
∇ i (a b○ )e =(a ∇ i b○ +b ∇ i a ○ )e
Не знаю как вам, а мне кажется, что выражение становится понятнее, когда
в качестве немых индексов используются геометрические значки.
15 Ковариантная производная скалярного произведения тензоров
Покажем на примере, который легко обобщается на любые тензоры
i
km
i km
∇ m (a g i k T )= g i k ∇ m (a T
)= g i k T k m ∇ m (ai )+ g i k a i ∇ m (T k m )
После вынесения за скобки метрического тензора, в скобках остается тензорное произведение.
Мы уже доказали, что два важных для тензорного анализа символа – символ метрического тензора и дельта Кронекера – при ковариантном дифференци∇ m (a
i
67
ровании можно выносить за знак ковариантной производной аналогично
константе. Но у нас есть еще один очень интересный тензор – тензор ЛевиЧивиты. Можно предположить, что и с ним можно действовать аналогично, но,
чтобы доказать это, придется выполнить предварительные вычисления. По
определению тензор Леви-Чивиты ε i j k = √ g • • E i j k . Следовательно нам придется
научиться дифференцировать определитель метрического тензора.
16 Производная от определителя метрического тензора
Будем задачу решать поэтапно.
∂g
1 Найдем производную
, где символом g обозначен определитель ко∂ gi j
вариантного метрического тензора, g i j – его элементы.
Для начала рассмотрим конкретный пример
|
|
g 11 g 12 g 13
∂g
∂
=
g
g 22 g 23
∂ g 21 ∂ g 2 1 21
g 31 g 32 g 33
Разложим определитель по первому столбцу
( [
] [
]) [
] [
]
∂g
g
g 23
g
g 13
g
g 13
g
g 13
= ∂ g 11 22
− g 21 12
+ g 31 12
=− 12
=G 21
∂ g 21 ∂ g 2 1
g 32 g 33
g 32 g 33
g 22 g 23
g 32 g 33
Символом G 21 мы обозначили алгебраическое дополнение элемента g 21
определителя матрицы метрического тензора. Очевидно, что мы можем сформулировать общее правило: производная от определителя по его элементу равна
алгебраическому дополнению этого элемента. Однако из чисто спортивного интереса попробуем вывести это правило в общем виде.
Для вывода нам понадобятся некоторые факты из теории определителей.
Все нужные формулы приводятся в книге [14], но я их напомню на тот случай,
если этой книги у вас не оказалось под рукой.
Пусть [a • • ] – произвольная квадратная матрица и a – ее определитель.
|
|
a11 a 12 a 13
i jk
Легко можно убедиться, что определитель a= a 21 a 22 a 23 = E a i 1 a j 2 a k 3 .
a 31 a 32 a 33
В самом деле
a= E i j k a i 1 a j 2 a k 3= E 123 a11 a 22 a 3 3 + E 231 a 21 a 32 a 13 + E 312 a31 a 12 a 23 +
+ E 321 a 31 a 22 a13 + E 213 a 21 a 12 a 33 + E 132 a 11 a32 a 23=
=a 11 a 22 a3 3 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23−a 31 a 22 a13 −a 21 a 12 a 33−a 11 a 32 a 23 .
Полученное выражение можно проверить, используя правило треугольников.
Мне больше нравится другое доказательство. Оно более громоздкое, но
зато легко обобщается на определители любого размера.
Прежде всего напомню, что символ Веблена представляет собой определи68
тель специального вида:
|
1i
1j
|
1k
δ
δ
δ
i jk
2i
2j
E =δ
δ
δ2 k
δ3 i δ3 j δ3 k
Теперь мы готовы перейти к преобразованиям.
|
1i
|
1j
1k
δ
δ
δ
i jk
2i
2j
E a i 1 a j 2 a k 3= δ
δ
δ 2 k a i 1 a j 2 a k 3=
δ 3i δ 3 j δ 3 k
|
|
11
12
13
1j
|
1k
δ a 11 + δ a 2 1 +δ a 31 δ
δ
= δ 21 a 11 +δ 2 2 a 21 + δ 2 3 a 3 1 δ 2 j δ 2 k a j 2 a k 3 =
δ 31 a 11 + δ 32 a 2 1 +δ 33 a 31 δ 3 j δ 3 k
| |
|
|
||
a1 1 δ 1 j δ 1 k
a 11 δ1 1 a1 2 + δ 1 2 a 22 +δ 1 3 a 3 2 δ 1 k
= a 21 δ 2 j δ 2 k a j 2 a k 3 = a 21 δ 2 1 a1 2 + δ 2 2 a 2 2 +δ 23 a 3 2 δ 2 k a k 3 =
a3 1 δ
3j
δ
3k
31
32
33
a 31 δ a1 2 + δ a 2 2 +δ a3 2 δ
3k
|
a11 a 12 δ 11 a 13 + δ1 2 a 2 3 +δ 1 3 a 33 a 11 a12 a13
= a 21 a 22 δ 2 1 a1 3 +δ 22 a 23 + δ 2 3 a3 3 = a 21 a 22 a 23 =a
31
32
33
a31 a 33 δ a 13 +δ a 2 3 + δ a 33 a 31 a 33 a 33
i jk
mn p
a= E i j k a i m a j n a k p ,
От выражения a= E a i 1 a j 2 a k 3 можно перейти к E
если заметить, что символ Веблена в левой части просто обеспечивает нужный
знак определителя при перестановке столбцов.
Теперь свернем правую и левую части выражения с символом E m n p .
(5.4)
E m n p E m n p a=6 a =E i j k E m n p ai m a j n a k p
1 i j k mn p
Отсюда получаем: a= E E a i m a j n a k p .
6
Разложим определитель по первому столбцу a=a i 1 A i1 , где Ai 1 – алгебраическое дополнение элемента a i 1 .
Аналогично можно разложить определитель по второму и третьему столбцам:
a=a i 2 Ai 2
a=a i 2 Ai 2
im
Сложив все три равенства, получим: 3 a=a i m A . Умножим на 2 и поделим
на 6.
1
a= a i m 2 Ai m
(5.5)
6
69
Используя предыдущий результат, можно записать, что
1
a i m Ai m= ai m E i j k E m n p a j n a k p . Откуда получаем выражение для алгебраи2
ческого дополнения
1
Ai m= E i j k E m n p a j n a k p
(5.6)
2
Найдем произведение матриц [a • • ] и [ A• • ]T
1
Ai m ai r = E i j k E m n p a i r a j n a k p
(5.7)
2
Воспользуемся тем, что E r n p a= E i j k ai r a j n a k p
1
1
Ai m ai r = E r n p E m n p a= 2 δ mr a=a δ mr
(5.8)
2
2
Мы воспользовались тем, что E r n p E m n p =δ mr . Поскольку данные выражения не имеют тензорного характера, мы расставляем индексы на разной высоте
только из соображений удобства восприятия.
Поделим правую и левую части равенства (5.8) на определитель
mi
1
A
−1
T
i
a m k =δ k и получим выражение для обратной матрицы: [a ] = [ A] .
a
a
Все полученные здесь формулы не являются новыми для тех, кто изучал
линейную алгебру. К тому же они не удобны при прямых вычислениях, но при
некоторых преобразованиях общего характера могут оказаться полезны и это
мы сейчас намерены доказать.
Вернемся
к
определителю
матрицы
метрического
тензора:
1
g= E i j k E m n p g i m g j n g k p .
6
Символы Веблена являются константами и их можно вынести из под знака
производной.
∂ g 1 i jk mn p ∂
= E E
( g g g )=
∂ grs 6
∂ gr s i m j n k p
(
)
∂ g jn
∂ gk p
1 i j k m n p ∂ gi m
= E E
g jn gk p+
gi m g k p +
g g =
6
∂ grs
∂ gr s
∂ grs im jn
1
= E i j k E m n p ( δ ri δ sm g j n g k p +δ rj δ sn g i m g k p +δ rk δ sp g i m g j n )=
6
1
= ( E r j k E s n p g j n g k p + E i r k E m s p g i m g k p + E i j r E m n s g i m g j n )=
6
1
= ( E r j k E s n p g j n g k p + E r j k E s n p g j n g k p + E r j k E s n p g j n g k p )=
6
1
= E r j k E s n p g j n g k p =G r s
2
Поскольку элементы обратной матрицы коэффициентов метрического тен70
зора мы обозначаем g r s , то:
1
1
1 ∂g
g r s= G s r= G r s=
g
g
g ∂ gr s
Мы учли симметрию метрического тензора.
∂g
=g gik .
Окончательный результат:
∂ gi k
2 Частная производная элемента метрического тензора
(5.9)
(5.10)
∂ gi j
k
∂x
Воспользуемся тем, что ковариантная производная метрического тензора
равна нулю.
∂ gi j
○
○
∇ k gi j=
− g ○ j Γ i k − g i ○ Γ j k =0
k
∂x
∂ gi j
○
○
= g○ j Γ i k + gi ○ Γ j k
Отсюда получаем:
k
∂x
∂g
3 Частная производная определителя метрического тензора
∂ xk
∂g
∂ g ∂ gi j
=
=g g i j (g ○ j Γ ○i k + g i ○ Γ ○j k )= g (δ i○ Γ ○i k + δ○j Γ ○j k )=2 g Γ ○○ k
(5.11)
k
k
∂ x ∂ gi j ∂ x
∂g
=2 g Γ ○○ k
(5.12)
Окончательный результат
k
∂x
4 Частная производная от квадратного корня определителя метрического
∂ √g
тензора
∂ xk
∂ √g
1 ∂g
=
=√ g Γ ○○ k
(5.13)
k
k
2√ g ∂ x
∂x
Теперь у нас имеется вся необходимая информация для вычисления производной от тензора Леви-Чивиты.
17 Ковариантная производная от тензора Леви-Чивиты
∇ m εi jk=
∂ εi j k
∂x
m
○
Вычислим производную
∂ εi j k
m
=
○
○
−ε ○ j k Γ i m −ε i ○ k Γ j m −ε i j ○ Γ k m
∂ εi j k
∂x
∂ √ g Ei j k
m
m
(5.14)
.
○
○
=√ g Γ ○ m E i j k =ε i j k Γ ○ m
∂x
∂x
Подставим в исходную формулу
○
○
○
○
∇ m ε i j k =ε i j k Γ ○ m−ε ○ j k Γ i m −ε i ○ k Γ j m −ε i j ○ Γ k m
71
(5.15)
(5.16)
Здесь на придется рассмотреть три возможности
1 Все три индекса i, j и k принимают разные значения. В этом случае правую часть можно преобразовать так:
○
i
j
k
∇ m ε i j k =ε i j k Γ ○ m−ε i j k Γ i m −ε i j k Γ j m −ε i j k Γ k m , поскольку все остальные
слагаемые равны нулю. Суммирование по индексам i, j и k отсутствует. Но в
этом случае
○
○
∇ m ε i j k =ε i j k Γ ○ m−ε i j k Γ ○ m =0
2 Все три индекса имеют одинаковые значения. В этом результат очевиден:
∇ m ε i j k =0
3 Какие-то два индекса равны между собой, но не равны третьему
Пусть для определенности i= j . В этом случае существует единственное
значение для индекса (обозначим его n) такое, что все три индекса i, j и n различные. Поскольку i= j , первое и последнее слагаемые в правой части равны
нулю.
○
○
n
n
n
n
∇ m ε i j k =−ε ○ j k Γ i m−ε i○ k Γ j m=−ε n i k Γ i m −ε i n k Γ i m =ε i n k Γ i m −ε i n k Γ i m =0
Поскольку рассмотренные нами варианты исчерпывают все возможные
случаи, мы можем утверждать, что ковариантная производная от тензора ЛевиЧивиты равна нулю ∇ m ε i j k =0 , и символ тензора можно выносить за знак ковариантной производной так же, как и символы метрического тензора и дельты
Кронекера.
Параллельно следует отметить и интересную формулу, которую мы получили в результате вывода:
(5.17)
ε i j k Γ ○○ m =ε ○ j k Γ ○i m +ε i ○ k Γ ○j m + ε i j ○ Γ ○k m
Данное доказательство мне очень нравится, поскольку, решая задачу "в
лоб" мы изрядно поупражнялись в технике вычислений. А сейчас я покажу, как
эту задачу можно решить быстрее.
Выберем три постоянных вектора ā , b̄ и c̄ . Свернем их с тензором Левиi j k
Чивиты ε i j k a b c . Полученная свертка является константой и равняется
объему параллелепипеда построенного на векторах ā , b̄ и c̄ . Поэтому ковариантная производная от этой свертки будет равна нулю.
i j k
∇ m ε i j k a b c =0
Поскольку ā , b̄ и c̄ постоянные векторы их можно вынести из под знака
ковариантной производной
i j k
i j k
∇ m ε i j k a b c =a b c ∇ m ε i j k =0
Равенство должно выполняться для любых векторов ā , b̄ и c̄ , а это возможно только, если
∇ m ε i j k =0
Вот, собственно и все.
Аналогично можно поступить и с метрическим тензором.
i
Все три тензора – δ k , g i k и ε i j k – являются постоянными тензорами,
72
поэтому и ковариантная производная от них равна нулю.
18 При повторном ковариантном дифференцировании символы коваi jk
i jk
риантных производных можно менять местами ∇ m ∇ p T = ∇ p ∇ m T
К сожалению это правило выполняется только в евклидовых и не выполняется в произвольных римановых пространствах. В евклидовом пространстве у
нас всегда есть возможность перейти к глобальным декартовым координатам. В
декартовых координатах ковариантная производная совпадает с обычной частной и, поэтому
∂2 T i j k
∂2 T i j k
i jk
i jk
∇ m ∇ pT
= m p = p m =∇ p ∇ m T
∂x ∂x ∂x ∂x
Но тензорное уравнение, справедливое в одной координатной системе
остается верным и в любой другой. Переход к декартовым координатам часто
позволяет существенно упростить то или иное доказательство и, если результат
выразить в виде тензорного уравнения, то он будет правильным и в любой криволинейной системе координат, но только в евклидовом пространстве. Для
большинства прикладных задач это вполне приемлемая цена за простоту.
На этом знакомство с основными правилами ковариантного дифференцирования мы закончим.
6
Дивергенция
Для дивергенции мы уже дали формальное определение, как свертки ковариантной производной вектора ∇ ○υ ○ . Вполне традиционное для математики
определение и, как обычно это бывает с математическими определениями, оно
мало пригодно, чтобы понять полезность этого понятия для приложений. Физика – это не абстрактная наука. Это наука о природе, а в природе действуют
силы, перемещаются объекты, в том числе жидкие и газообразные. Жидкие
объекты, а особенно газообразные, при своем движении могут сжиматься и
расширяться, и дивергенция является одной из важных характеристик такого
движения.
ῡ
ῡ
n̄
b̄
S
ā
ῡ
s̄= ā× b̄
Рис. 2
Рис. 1
Дадим более материальное определение для понятия дивергенция, но
прежде, чем это сделать нам придется ввести еще одно понятие – понятие пото73
ка через поверхность.
Представим, что мы имеем дело с однородным потоком жидкости. Пусть
скорость жидкости во всех ее точках равна ῡ . Мысленно выделим в этой жидкости плоскую поверхность площадью S . На левом рисунке (рис. 1) эта поверхность изображена линией, следовательно она ортогональна плоскости чертежа. Поставим вопрос: какое количество жидкости протечет через эту площадку в единицу времени? Ответ очевиден: количество жидкости равно объему цилиндра с основанием S и боковой поверхностью, образованной перемещением
i
вектора ῡ по границе площадки. Этот объем равен V =ῡ⋅n S=υ ni S , где n –
единичная нормаль к площадке.
Если площадка образована двумя векторами ā и b̄ , то векторное произведение этих векторов дает вектор S̄ , длина которого равна площади площадки, а
направление совпадает с нормалью к ней (рисунок справа). В этом случае поток
жидкости через площадку запишется как смешанное произведение векторов:
V
Ф= =ῡ⋅S̄ =ῡ⋅( ā × b̄) .
t
Дадим новое определение дивергенции.
Дивергенция или расходимость равна отношению приращения объема элемента физической среды в единицу времени к первоначальному объему этого
элемента.
Для вычисления дивергенции в декартовых координатах возьмем элемент
среды в виде параллелепипеда со сторонами d x , d y и d z .
z
z
dy
(
υ z+
dx
∂υ z
d z dt
∂z
)
dz
y
υ yd t
(
υ y+
x
υzd t
∂υ y
d y dt
∂y
)
υxd t
(
υ x+
∂υ x
d x dt
∂x
)
Рис. 3
На рисунке показан элемент в двух проекциях. Если поле скоростей жидкости будет однородным, то насколько переместится левая грань параллелепипеда
вправо, настолько же левая его грань переместится тоже вправо (вид слева). То
же самое можно сказать и об остальных гранях. Следовательно объем параллелепипеда в этом случае не будет изменяться. Параллелепипед будет смещаться,
74
как жесткое целое. Однако в неоднородном поле скоростей перемещение противоположных граней не будет одинаковым. Вычислим изменение объема параллелепипеда за счет движения в направлении оси x .
∂υ
∂υ
Δ(d V )x =Ф x d t = υ x + x d x d y d z d t −υ x d y d z d t= x d V d t
∂x
∂x
В формуле присутствует поток Ф x , хотя мы определяем изменение объема.
Объясняется это так: уменьшение объема элемента происходит за счет втекания
жидкости внутрь элемента слева, а увеличение – за счет вытекания ее справа.
Аналогично для двух других осей
∂υ y
∂υ
Δ(d V ) y =Ф y d t = υ y +
d y d x d z d t −υ y d x d z d t = y d V d t
∂y
∂y
∂υ
∂υ
Δ(d V )z =Ф z d t= υ z + z d y d x d y d t−υ z d x d y d t= z d V d t
∂z
∂z
Складывая все вместе, получим:
∂υ x ∂ υ y ∂ υ z
Δ(d V )=
+
+
dV d t
∂x ∂y ∂z
Отсюда получаем:
Δ(d V ) ∂ υ x ∂υ y ∂υ z
div ῡ =
=
+
+
(6.1)
dV dt ∂x ∂y ∂z
Мы получили выражение для дивергенции в декартовых координатах. Для
получения общего выражения, пригодного для использования в любых координатах, достаточно перейти от декартовой системы к произвольной. Да что тут
собственно переходить. Дивергенция – это скаляр, а скаляр и в Африке скаляр.
Он не зависит от системы координат и в любой системе он будет таким же. А
вот и неправильно. Криволинейные координаты – это поле чудес или комната
ужасов, кому как угодно. Здесь ухо надо держать остро. Не будем торопиться с
выводами и проведем вывод заново.
(
)
(
(
)
)
(
Пусть элемент объема образован бесконечно малыми векторами ā , b̄ и c̄ .
D' Объем этого элемента равен смешанному
произведению
B'
B
C
ῡ
b̄
)
| |
1
A'
c̄
O
ā
A
Рис. 4
1
1
a b c
i j k
D
(6.2)
d V =ε i j k a b c =√ g • • a 2 b 2 c 2
3
3
3
a b c
Алгебраические дополнения матрицы
определителя будем обозначать Ai j .
Поток вектора ῡ через площадку
OBB ' C найдем так:
75
Ф a 1=ῡ⋅( b̄ × c̄)=ε i j k υi b j c k , а через площадку ADD ' A'
Ф a 2 =(ῡ +a ○ ∇ ○ υi ei )⋅( b̄ × c̄)=ε i j k υ i b j c k + a○ ( ∇ ○υ i )ε i j k b j ck
Изменение объема в направлении вектора ā равно
∆ 1 d V =Ф a 2 −Ф a 1 =a ○ ( ∇ ○υ i ) ε i j k b j c k =a ○ ( ∇ ○υ m )ε i j k δ im b j c k =
| |
δ 1m b1 c1
○
m
○
m
1
2
3
=a ( ∇ ○ υ ) √ g • • δ 2m b 2 c2 =a ( ∇ ○ υ ) √ g • • (δ m A11 +δ m A 21 +δ m A31 )
3
3
3
δm b c
В итоге получаем
∆ 1 d V =( ∇ ○υ i ) √ g •• a○ A i 1
Изменение объема в направлении вектора b̄ равно
∆ 2 d V =Фb 2 −Ф b1 =b○ ( ∇ ○υ i )ε i j k c j a k =b ○ ( ∇ ○ υ m ) ε i j k δ im c j a k =
| |
(6.3)
| |
δ 1m c1 a 1
a1 δ 1m c1
○
m
○
m
i
○
=b ( ∇ ○ υ ) √ g • • δ 2m c2 a 2 =b ( ∇ ○ υ ) √ g • • a1 δ 2m c2 =( ∇ ○υ ) √ g • • b Ai 2
3
3
3
1
3
3
δm c a
a δm c
В итоге получаем
∆ 2 d V =( ∇ ○υ i ) √ g • • b○ Ai 2
(6.4)
Изменение объема в направлении вектора c̄ , без подробностей
∆ 3 d V =( ∇ ○υ i ) √ g •• c○ Ai 3
(6.5)
Полное изменение объема
(6.6)
∆ d V =( ∇ ○υ i ) √ g •• (a○ A i 1 +b○ Ai 2 +c○ Ai 3 )
Выражение в скобках представляет собой сумму произведений элементов
строки с номером ○ на алгебраические дополнения элементов строки i . Эта
сумма не равна нулю только при совпадении номеров строк, следовательно.
∆ d V =( ∇ 1 υ1 ) √ g • • (a1 A11 + b1 A 12 +c1 A 13 )+( ∇ 2 υ 2 ) √ g • • (a 2 A 21 +b2 A2 2 +c2 A 23 )+
+( ∇ 3 υ3 ) √ g • • (a 3 A 31 +b3 A3 2 + c3 A 33 )
Выражения в скобках равны одному и тому же определителю
| |
1
1
1
a b c
○
○
(6.7)
∆ d V =( ∇ ○υ ) √ g •• a 2 b2 c2 =( ∇ ○ υ )d V
a 3 b3 c 3
И окончательно получаем
∆d V
div ῡ =
=∇ ○υ ○
(6.8)
dVdt
Данное выражение можно было бы получить гораздо проще, почти так же
76
просто, как и в декартовых координатах, если бы мы векторы ā , b̄ и c̄ направили по векторам локального базиса, но то, что сделали мы, получилось интереснее.
Для закрепления приобретенного нами навыка, выведем формулу еще раз,
но на этот раз в цилиндрических координатах. Бесконечно малый элемент
объема выберем так, как показано на рисунке.
z
υ z+ ∂υ d z
∂z
dz
φ
(r +d r)d φ
υ φ + ∂υ d φ
∂φ
r
υ + ∂υ d r
∂r
r
rdφ
υ
z
υr
r
dφ
dr
υφ
Рис. 5
Выразим объем, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка,
чем элемент объема:
(6.9)
d V =r d r d φ d z
Изменение объема вдоль оси r .
(
r
)
r
∆ r d V = υ + ∂υ d r (r+ d r )d φ d z−υ r d φ d z=υ d r d φ d z + ∂ υ r d r d φ d z
∂r
∂r
Слагаемое четвертого порядка малости мы отбросили.
r
r
r
Изменение объема вдоль оси φ .
(
φ
)
(
z
)
φ
φ
φ
∆ φ d V = υ + ∂ υ d φ d r d z−υ d r d z= ∂ υ d r d φ d z
∂φ
∂φ
Изменение объема вдоль оси z .
z
z
z
∆ z d V = υ + ∂υ d z r d r d φ−υ r d r d φ= ∂υ r d r d φ d z
∂z
∂z
Полное изменение объема
r
r
φ
z
1
∓∆ d V = υ + ∂ υ + ∂υ + ∂ υ d V
(6.10)
r ∂r r ∂φ ∂z
В итоге получаем
r
r
φ
z
∆d V
1
div ῡ =
= ∂ υ + υ + ∂υ + ∂ υ
(6.11)
d V d t ∂r r r ∂φ ∂z
Если мы вспомним формулу для градиента скорости в цилиндрических
(
)
77
координатах
[
r
φ
∂υ
∂r
r
φ
1
*
[ ∇ * υ ]= ∂ υ − υ
r ∂φ
r
r
∂υ
∂z
∂υ
∂r
1 ∂υ φ υ r
+
r ∂φ r
φ
∂υ
∂z
z
]
∂υ
∂r
1 ∂υ z
,
r ∂φ
z
∂υ
∂z
то увидим, что полученное нами выражение соответствует свертке тензора
градиента скорости в цилиндрических ортонормированных координатах.
При этом вектор скорости представлен своими физическими координатами.
Можно построить вывод и таким образом, чтобы получить формулу в базисе e i
○
, но для этого лучше воспользоваться общей формулой div ῡ= ∇ ○ υ .
7
Ротор
Ротор мы определили, как векторную свертку ковариантной производной:
rot ῡ =ε
i jk
|
e1
∇ j υ k ei = √ g e 2
e3
••
∇1
∇2
∇3
|
υ1
υ2
υ3
(7.1)
Это хорошее определение и мы постоянно будем им пользоваться при возникновении необходимости записать ротор какого-либо вектора. Слабой стороной этого определения является то, что оно ничего не говорит нам о физическом
смысле этой величины.
7.1 Определение ротора
К счастью у нас имеются и другие возможности для определения ротора. К
примеру, ротор можно определить так:
Ротор rot ῡ векторного поля ῡ – есть вектор, проекция которого rot n ῡ
на каждое направление n̄ есть предел отношения циркуляции векторного поля
по контуру L , являющемуся краем плоской площадки Δ S , перпендикулярной
этому направлению, к площади этой площадки, когда площадка стягивается в
точку:
1
rot n ῡ = lim
(7.1.1)
∮ ῡ⋅d r̄
Δ S→0 Δ S L
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в
направлении n̄ , контур L обходился по часовой стрелке.
Теперь у нас есть два определения ротора, но стало ли от этого легче? Пока
что даже неясно являются ли эти определения определением одной и той же величины. Не будем спешить расстраиваться и попробуем сначала сделать некоторые вычисления.
Найдем проекцию ротора ось z в декартовой системе координат. В каче78
стве площадки выберем прямоугольник со сторонами d x и d y .
Для вычисления циркуляции Ц совершим обход контура площадки против часовой
стрелки
z
υy
υx
dy
dx
x
υ y+
y
υ x+
∂υ y
dx
∂x
∂υ x
dy
∂y
Рис. 1
∂υ y
∂υ
∂υ y ∂υ x
d x d y− υ x + x d y d x−υ y d y=
−
d xd y
∂x
∂y
∂x ∂y
Поделив циркуляцию Ц на площадь элемента d x d y , получим искомое
значение.
∂ υ y ∂υ x
(rot ῡ )z=
−
.
∂x ∂y
Аналогично найдем проекции ротора на оси x и y , что позволит нам записать ротор в координатной форме.
∂υ z ∂υ y
−
∂y ∂z
∂υ x ∂υ z
[(rot ῡ )• ]=
−
(7.1.2)
∂z ∂x
∂υ y ∂υ x
−
∂x ∂y
(
) (
Ц =υ x d x+ υ y +
)
(
)
[ ]
Векторная запись в декартовых координатах
| |
i
(
rot ῡ =
∂υ z ∂ υ y
∂υ x ∂υ z
∂υ y ∂υ x
−
i+
−
j+
−
k= j
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
k
)(
) (
υx
υy
υz
Очевидно, что, по крайней
мере в декартовых координатах,
оба определения приводят к одинаковым результатам.
Остается вопрос: дает ли
второе определение что-то новое
для понимания сути явления? На
мой взгляд, несомненно. Упоминание в определении циркуляции
наводит на связь с круговым движением. Рассмотрим простой
n
ω̄
R
)
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ῡ
Рис. 2
79
пример, в котором, кстати очень легко вычисляется эта самая циркуляция.
Пусть ῡ представляет собой поле скоростей вращающегося диска. За площадку примем верхнюю поверхность диска. Вычислим циркуляцию по его периметру: Ц =2 π R υ=2 π ω R 2 .
Поделив на площадь круга, получим выражение для ротора:
rot ῡ =2 ω n=2 ω̄ . Следовательно, наше предположение о связи ротора с вращательным движением оправдалось. Хотелось бы конечно, чтобы ротор и угловая
скорость просто совпали, но в данном конкретном случае, желая большего,
вполне можно согласиться и на меньшее.
Ну а мы продолжим разбираться с понятием ротора. Поскольку, как мы выяснили из предыдущего примера, это понятие тесно связано с движением, посвятим изучению движения бесконечно малого элемента нежесткой (для
большей общности) среды некоторое время.
7.2 Распределение скоростей в бесконечно малой нежесткой частице
ῡ P
d r̄
A
P
z
ῡ A
r̄
y
x
Пусть ῡ P – скорость в некоторой точке P
нежесткой частицы. Точка A находится бесконечно близко к точке P . Тогда с точностью до
бесконечно малых первого порядка малости скорость точки A может быть определена так:
ῡ A=ῡ P + ∂ ῡi d r i =ῡ P +( ∇ i υ k )d xi e k
(7.2.1)
∂r
Тензор ∇ i υ k разложим на симметричную и
антисимметричную части.
Рис. 1
= ∇ i g k m υ m = g k m [ 1 ( ∇ i υ m + ∇ m υ i )+ 1 ( ∇ i υ m− ∇ m υ i )]=
2
2
1
1
[ ( g m n ∇ i υ n + g i n ∇ m υ n )+ ( g m n ∇ i υ n− g i n ∇ m υ n )] g k m =
2
2
=[ 1 ( ∇ i υ k + g i n ∇ m υ n g k m )+ 1 ( ∇ i υ n − g i n ∇ m υ n g k m )]
2
2
В матричном виде
[ ∇ • υ • ]= 1 ([ ∇ • υ • ]+[ g • • ][ ∇ • υ • ]T [ g •• ])+ 1 ([ ∇ • υ • ]−[ g • • ][ ∇ • υ • ]T [ g • • ])
2
2
Скорость точки A
[υ •A ]=[υ •P ]+[ ∇ • υ • ]T [ d x• ]=[υ •P ]+[ S •• ][ d x• ]+[ A•• ][d x• ] , где
1
[ S •• ]= ([ ∇ • υ • ]+[ g • • ][ ∇ • υ • ]T [ g • • ])T = 1 ([ ∇ • υ • ]T +[ g • • ][ ∇ • υ • ][ g •• ]) – матрица
2
2
коэффициентов симметричного тензора и
∇ iυ
k
80
1
[ A•• ]= ([ ∇ • υ • ]−[ g •• ][ ∇ • υ • ]T [ g •• ])T = 1 ([ ∇ • υ • ]T −[ g • • ][ ∇ • υ • ][ g • • ]) – матрица
2
2
коэффициентов антисимметричного тензора.
В декартовой системе координат абсолютной производной соответствует
обычная частная производная, положение индексов не имеет значения, а матрица метрического тензора равна единичной матрице.
[
]
([ ] [ ])
[
]
[
]
[
]
•
[ S • ]= 1
2
1
2
(
(
∂υ x
∂x
∂υ x ∂ υ y
+
∂y ∂x
∂ υ x ∂υ z
+
∂z ∂x
(
1 ∂υ x ∂ υ y
+
2 ∂y ∂x
∂υ y
∂y
1 ∂υ y ∂υ z
+
2 ∂z ∂ y
)
) (
) (
(
)
)
)
1 ∂υ x ∂ υ z
+
2 ∂z ∂x
∂ υ y ∂υ z
+
∂z ∂y
∂υ z
∂z
(7.2.2)
Симметричный тензор называется тензором скоростей деформаций и имеет специальное обозначение S=def ῡ .
•
[ A• ]=
∂υ x
∂x
∂υ y
∂x
∂υ z
∂x
1
2
∂υ x
∂y
∂υ y
∂y
∂υ z
∂y
∂υ x
∂υ x
∂z
∂x
∂υ y
∂υ x
−
∂z
∂y
∂υ z
∂υ x
∂z
∂z
∂υ y
∂x
∂υ y
∂y
∂υ y
∂z
(
∂υ z
∂x
∂υ z
=
∂y
∂υ z
∂z
) (
(
υ
)
1 ∂υ x ∂υ y
−
2 ∂y ∂x
0
∂υ x ∂υ y
= −1
−
2 ∂ y ∂x
1 ∂υ x ∂υ z
−
−
2 ∂z ∂x
(
(
)
υ
) (
0
−
1 ∂υ x ∂υ z
−
2 ∂z
∂x
1 ∂ υ y ∂υ z
−
2 ∂z
∂y
1 ∂ y ∂ z
−
2 ∂z ∂x
0
Вернемся к общему выражению для скорости точке A .
[υ •A ]=[υ •P ]+[ S •• ][ d x• ]+[ A•• ][ d x• ]=
υ Ax
= υ Ay + 1
2
υ Az
1
2
[ ] (
(
∂υ x
∂x
∂υ x ∂ υ y
+
∂y ∂x
∂υ x ∂ υ z
+
∂z ∂x
(
1 ∂υ x ∂ υ y
+
2 ∂y ∂x
∂υ y
∂y
1 ∂υ y ∂υ z
+
2 ∂z ∂ y
)
) (
81
) (
(
)
)
)
1 ∂υ x ∂ υ z
+
2 ∂z ∂x
∂υ y ∂υ z
+
∂z ∂y
∂υ z
∂z
dx
dy +
dz
)
)
(7.2.3)
[
(
+ −1
2
1
−
2
(
(
) (
(
υ
)
1 ∂υ x ∂υ y
−
2 ∂y ∂x
0
∂υ x ∂υ y
−
∂y ∂x
∂ υ x ∂υ z
−
∂z ∂x
)
υ
) (
0
−
1
2
1
2
1 ∂ y ∂ z
−
2 ∂z
∂x
∂υ x ∂υ z
−
∂z ∂x
∂υ y ∂υ z
−
∂z ∂y
0
]
)
)[
dx
dy
dz
]
(7.2.4)
Оставив на время в покое симметричный тензор, сосредоточим внимание
на антисимметричном. Рассмотрим произвольный антисимметричный тензор
A и его матрицу [ A] в декартовых координатах.
[
]
0
a b
[ A]= −a 0 c
−b −c 0
Подействуем этим оператором на произвольный вектор.
0
a b x
a y +b z
−a 0 c y = −a x +c z
−b −c 0 z
−b x−c y
Найдем теперь векторное произведение
−c
x
i −c x x
a y +b z
b × y = j b y y = −a x+c z
−a
z
k −a z z
−b x−c y
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ] | |[ ] [ ]
[]
[ ]
−c
Следовательно вектор b × , рассматриваемый как оператор, и антисим−a
метричный тензор
0
a b
−a 0 c
−b −c 0
производят одинаковые преобразования век-
торного поля.
Воспользовавшись этим, мы можем в выражении для скорости в точке A
антисимметричный тензор заменить соответствующим вектором.
[ ][ ]
ωx
dx
[υ ]=[υ ]+[def υ ][ d x ]+ ω y × d y , где
dz
ωz
•
A
•
P
•
•
•
1 ∂υ z ∂υ y
1 ∂υ x ∂υ z
1 ∂υ y ∂υ x
−
−
−
, ωy=
и ω z=
.
2 ∂y ∂z
2 ∂z ∂x
2 ∂x ∂y
Но выражения в скобках представляют собой координаты ротора. Следовательно
ω x=
(
)
(
)
82
(
)
1
[υ •A ]=[υ •P ]+[def •• υ ][ d x• ]+ [(rot ῡ × d r̄)• ]
(7.2.5)
2
Положение символов " • " (сверху или снизу) выбрано только из соображений удобства восприятия, поскольку в декартовых координатах это не имеет
значения.
Все, кто изучал теоретическую механику, знают, что скорость произвольной точки A абсолютно твердого тела равна скорости некоторой точки твердого тела, которую называют полюсом P , плюс скорость точки A в ее вращательном движении относительно полюса с некоторой мгновенной угловой скоростью ω̄ . В случае нежесткой частицы среды мы наблюдаем похожую карти1
ну, и роль мгновенной угловой скорости играет вектор rot ῡ . Отличие заклю2
•
•
чается в наличии слагаемого [def • υ ][d x ] отвечающего за искажение формы
нежесткой частицы.
7.3 Ротор в криволинейных координатах
В предыдущем разделе несмотря на наличие общих формулировок, мы
чаще отдавали предпочтение декартовой системе координат. Данное предпочтение вполне объяснимо: в декартовых координатах очень многие вещи выглядят
проще и понятнее. Но сейчас мы уже гораздо больше знаем про кососимметричный тензор и ротор и можем повторить некоторые вычисления в общем
виде.
Начнем с ротора
|
e1
i jk
••
rot ῡ =ε ∇ j υ k ei = √ g e 2
e3
∇1
∇2
∇3
| [
υ1
••
υ2 → √g
υ3
∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2
∇ 3 υ 1− ∇ 1 υ 3
∇ 1υ 2− ∇ 2υ 1
] [] [ ]
1
=√ g
••
ω
a
b =2 ω2 (7.3.1)
c
ω3
1
Где ω̄= rot ῡ , а
2
a= ∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2 , b=∇ 3υ 1− ∇ 1 υ 3 и c= ∇ 1 υ 2 − ∇ 2 υ 1 .
Умножим вектор ω̄ на произвольный вектор x̄ .
| |
| | [ ]
e1 ω1 x1
e1 a x1
b x 3 −c x 2
1
1
••
(7.3.2)
ω̄× x̄=√ g • • e 2 ω2 x 2 = √ g • • √ g e 2 b x 2 → c x 1 −a x 3
2
2
3
3
3
3
3
2
1
e ω x
e c x
a x −b x
Теперь займемся антисимметричным тензором. Проще всего получить выражения для его дважды ковариантных координат.
1
[ A• • ]=[ g • • ][ A • • ]= (([ ∇ • υ • ][ g •• ])T −[ g • • ][ g • • ][ ∇ • υ • ][ g •• ])=
2
1
= ([ ∇ • υ • ]T −[ ∇ • υ • ])
(7.3.3)
2
83
1
[ A• • ]=
2
([
1
=
2
[
∇ 1υ 1
∇ 2υ 1
∇ 3υ 1
∇ 1υ 2
∇ 2υ 2
∇ 3υ 2
∇ 1υ 3
∇ 2υ 3
∇ 3υ 3
0
∇ 1υ 2− ∇ 2υ 1
∇ 1υ 3− ∇ 3υ 1
][
−
∇ 1υ 1
∇ 1υ 2
∇ 1υ 3
∇ 2υ 1
∇ 2υ 2
∇ 2υ 3
∇ 3υ 1
∇ 3υ 2
∇ 3υ 3
∇ 2 υ 1− ∇ 1 υ 2
])
=
][ ]
][ ] [ ]
∇ 3 υ 1 −∇ 1υ 3
0 −c b
1
∇ 3υ 2 − ∇ 2 υ 3 =
c
0 −a
2
−b a
0
0
0
∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2
(7.3.4)
Умножим вектор тензор A на произвольный вектор x̄ .
x1
b x 3−c x 2
1
x 2 = c x 1−a x 3
2
3
2
1
x
a x −b x
Сравнивая это выражение с тем, что мы получили ранее для вектора угло1
вой скорости ω̄= rot ῡ , приходим к выводу, что и в криволинейных координа2
• T
•
тах [e ] [ A •• ][ x ]=ω̄ × x̄ .
Теперь в качестве упражнения найдем ротор в цилиндрических координатах.
[
0 −c b
1
•
[ A• • ][ x ]=
c
0 −a
2
−b a
0
Прежде всего вспомним, что в цилиндрических координатах
1
2
2
1
равные нулю символы Кристоффеля Γ 2 2=−r , Γ 1 2 = Γ 21= .
r
rot ῡ=ε
i jk
|
e1
∇ j υ k ei = √ g e 2
e3
••
∇1
∇2
∇3
| [
υ1
1
υ2 →
r
υ3
∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2
] []
a
1
=
∇ 3 υ 1− ∇ 1 υ 3
b
r
c
∇ 1υ 2− ∇ 2υ 1
Найдем все необходимые ковариантные производные
1
∇ 2υ 3=
2
∇ 3υ 2=
3
∇ 3 υ 1=
4
∇ 1υ 3=
∂υ 3
2
−υ ○ Γ ○3 2 =
3
−υ ○ Γ ○2 3=
3
−υ ○ Γ ○1 3=
1
−υ ○ Γ ○31 =
∂x
∂υ 2
∂x
∂υ 1
∂x
∂υ z
∂x
∂υ 2
∂υ z
∂ xφ
∂υ φ
∂ xz
∂υ r
∂ xz
∂υ z
∂ xr
∂υ φ
∂υ φ υ φ
−
∂x
∂x
∂ xr r
∂υ 1
∂υ r
∂υ r υ φ
○
2
6 ∇ 2 υ 1 = 2 −υ ○ Γ 1 2= φ −υ 2 Γ 1 2 = φ −
r
∂x
∂x
∂x
5
∇ 1υ 2 =
1
−υ ○ Γ ○21 =
r
−υ 2 Γ 221 =
84
√ g • • = 1r . И не-
Собираем все вместе
[ ]
∂υ z
−
φ
∂υ φ
∂ x ∂ xz
1
1 ∂υ r ∂υ z
rot ῡ → ∇ 3υ 1− ∇ 1 υ 3 =
−
r
r ∂ xz ∂ xr
∇ 1υ 2− ∇ 2υ 1
∂υ φ ∂υ r
−
∂ x r ∂ xφ
[
∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2
]
(7.3.5)
В векторной форме
1 ∂ υ z ∂υ φ
1 ∂υ r ∂υ z
1 ∂υ φ ∂υ r
rot ῡ =
−
e1+
−
e2 +
−
e
(7.3.6)
r ∂φ ∂ z
r ∂z
∂r
r ∂r ∂φ 3
Для перехода к физическим координатам вектора нам понадобятся матрицы преобразования координат
(
) (
) (
)
[ ]
1
1 0 0
•
* −1
*
[e• ]= 0 r 0 и обратная к ней [e* ]=[e• ] = 0
0 0 1
0
Очевидно, что υ r =υ r * и υ z =υ z * , но υ =e2 * υ =r υ .
[ ]
φ
2
φ*
0
1
r
0
0
0
1
φ*
Базисные векторы также необходимо преобразовать e r =i r , eφ =r i φ и
e z =i z .
(
) (
(
)
1 ∂ υ z * ∂ r υ φ*
1 ∂υ r * ∂ υ z *
1 ∂ r υ φ* ∂ υ r *
−
ir +
−
r iφ +
−
i=
r ∂φ
∂z
r ∂z
∂r
r
∂r
∂φ z
∂ υ r * ∂υ z *
∂ υ φ * υ φ* 1 ∂ υ r *
1 ∂ υ z * ∂ υ φ*
=
−
ir+
−
iφ +
+
−
i
r ∂φ
∂z
∂z
∂r
∂r
r
r ∂φ z
Перепишем в матричной форме и опустим "звездочки"
Физические координаты ротора в цилиндрических координатах
rot ῡ =
(
)
) (
) (
[ ]
1 ∂υ z ∂υ φ
−
r ∂φ ∂z
∂υ r ∂υ z
rot ῡ →
−
∂z
∂r
∂υ φ υ φ 1 ∂υ r
+ −
∂r r r ∂φ
8
)
(7.3.7)
Тензор скоростей деформации
Тензор скоростей деформаций мы определили как симметричную часть
тензора ковариантной производной. Точнее от транспонированного тензора ковариантной производной, о чем говорит символ T у первого слагаемого в скобке справа.
85
1
[ S • • ]= ([ ∇ • υ • ]T +[ g • • ][ ∇ • υ • ][ g • • ])
2
Для вычислений удобнее иметь дело с дважды ковариантным тензором
[ S • • ]=[ g • • ][ S • • ]=[def • υ • ]=[DEF •• ]=
Здесь прописаны различные способы обозначения тензора скоростей деформации
1
= (([ ∇ • υ • ][ g • • ])T +[ g • • ][ g • • ][ ∇ • υ • ][ g •• ])= 1 ([ ∇ • υ • ]T +[ ∇ • υ • ])
2
2
Тензор скоростей деформации в дважды ковариантном формате
1
[def • υ • ]=[DEF •• ]= ([ ∇ • υ • ]T +[ ∇ • υ • ])
(8.1)
2
Нас сейчас будет интересовать физический смысл координат тензора DEF .
Как это бывает в тех случаях, когда речь идет о физическом смысле, мы прибегнем к услугам декартовой системы координат. В декартовых координатах ковариантная производная заменяется обычной частной производной.
[
[def • υ • ]=[DEF •• ]= 1
2
1
2
(
(
∂υ x
∂x
∂υ x ∂υ y
+
∂y ∂x
∂ υ x ∂υ z
+
∂z ∂x
(
1 ∂ υ x ∂υ y
+
2 ∂ y ∂x
∂υ y
∂y
1 ∂υ y ∂υ z
+
2 ∂z ∂y
)
) (
) (
(
)
]
)
)
1 ∂ υ x ∂υ z
+
2 ∂z ∂x
∂υ y ∂υ z
+
∂z ∂y
∂υ z
∂z
(8.2)
Почему этот тензор называется тензором скоростей деформаций? Выясним физический смысл элементов тензора.
Для начала разберемся с диагональными элементами.
1
2
ξ
Пусть ξ – вектор, соединяющий две точки среды 1 и 2, лежащие на оси x .
x
За бесконечно малый промежуток времени
d t точка 1 переместится в направлении
оси x на величину υ x d t , в то время как
∂υ
точка 2 переместится на величину
υxd t
υ x+ x ξ d t
∂υ
∂x
υ x + x ξ d t , следовательно проекция
Рис. 1
∂x
∂υ x
ξ d t . Поделим правую и
вектора на ось x увеличится на величину ∆ ξ =
∂x
левую части равенства на ξ .
(
)
(
)
86
∂υ
∆ξ
=ε x = x d t , где ε x – относительное удлинение или деформация вдоль
ξ
∂x
оси x .
∂υ x
= ε˙x , где ε˙x – производная от ε x по времени или скоОтсюда следует, что
∂x
рость деформации в направлении оси x .
∂υ y
∂υ z
= ε˙y и
= ε˙z .
Аналогично для остальных диагональных элементов
∂y
∂z
Перейдем к внедиагональным элементам. Внедиагональные элементы содержат
"перекрестные" частные производные. Возьмем к примеру элемент DEF 12 . Он
∂υ x
∂υ y
содержит производные
и
.
∂y
∂x
Снова выберем две точки на оси x . Первая точка за время d t переместится в
направлении оси y на величину
υ y d t , а вторая точка за то же вреy
2'
мя переместится на величину
∂υ y
υ y+
ξ d t υ + ∂υ y ξ d t .
αx y
1'
∂x
y
∂x
В результате отрезок 1-2 повернетυ yd t
x
ξ
∂υ y
d t в направся на угол α xy =
∂x
1
2
Рис. 2
лении оси y .
Если точку 2 выбрать на оси y то отрезок повернется на
y
∂υ
α yx= x d t в направлении оси x .
угол
αyx
∂y
Сумма этих углов дает величину скашивания прямого угла
в плоскости xOy за время d t . Половина этого угла назыx
αx y
вается угловой деформацией, которая обозначается чаще
всего одним из двух способов:
Рис. 3
1
1
1 ∂ υ x ∂υ y
ε xy = γ xy= (α xy +α xy )d t =
+
dt
(8.3)
2
2
2 ∂ y ∂x
1 ∂υ x ∂ υ y
1
+
= ε˙ xy= γ˙ xy
Следовательно
2 ∂y ∂x
2
Тензор скоростей деформаций с учетом введенных обозначений
(
) (
)
(
(
)
87
)
[
[def • υ • ]= 1
2
1
2
(
(
∂υ x
∂x
∂υ x ∂υ y
+
∂y ∂x
∂υ x ∂ υ z
+
∂z ∂x
(
1 ∂υ x ∂ υ y
+
2 ∂y ∂x
∂υ y
∂y
1 ∂υ y ∂υ z
+
2 ∂z ∂y
)
) (
) (
(
)
1
2
1
2
]
)
)
∂ υ x ∂υ z
+
∂z ∂x
ε˙ xx
∂υ y ∂ υ z
= ε˙ yx
+
∂z ∂y
ε˙ zx
∂υ z
∂z
[
ε˙ xy
ε˙ yy
ε˙ zy
ε˙ xz
ε˙ yz
ε˙ zz
]
(8.4)
В произвольных криволинейных координатах мы не имеем такой простой интерпретации тензора скоростей деформации. Однако это не должно нас смущать, поскольку в любой конкретной точке мы всегда можем ввести локальную
декартову координатную систему, получив в ней физические координаты тензора.
Найдем для примера координаты тенора скоростей деформации в цилиндрической системе координат.
Начнем с индексного выражения в общей форме.
1
def i υ j = ( ∇ j υ i + ∇ i υ j )
2
Вычислим каждый элемент, учитывая симметрию.
∂υ
∂υ
def 1 υ 1= ∇ 1 υ 1= 11 −υ ○ Γ ○11= r
∂r
∂x
∂υ 1
∂υ
1
def 1 υ 2=def 2 υ 1= ( ∇ 2 υ 1 + ∇ 1 υ 2 )= 1
−υ 2 Γ 212 + 21 −υ 2 Γ 221 =
2
2
2 ∂x
∂x
υ
1 ∂υ r ∂υ φ
=
+
−2 φ
2 ∂φ ∂ r
r
∂υ 1
∂υ 3
1
1 ∂υ r ∂υ z
○
○
def 1 υ 3=def 3 υ 1= ( ∇ 3 υ 1 + ∇ 1 υ 3 )= 1
−
υ
Γ
+
−
υ
Γ
=
+
○
13
○
31
2
2 ∂z ∂r
2 ∂ x3
∂ x1
∂υ
∂υ
∂υ
def 2 υ 2 = ∇ 2 υ 2= 22 −υ ○ Γ ○22= φ −υ 1 Γ 122= φ +r υ r
∂φ
∂φ
∂x
∂υ 2
∂υ
1
1 ∂υ φ ∂ υ z
def 2 υ 3 =def 3 υ 2= ( ∇ 3 υ 2 + ∇ 2 υ 3 )= 1
−υ ○ Γ ○23 + 32 −υ ○ Γ ○32 =
+
3
2
2 ∂z ∂φ
2 ∂x
∂x
∂υ
∂υ
def 3υ 3= ∇ 3 υ 3 = 33 −υ ○ Γ ○33 = z
∂z
∂x
(
(
)
(
) (
)
(
) (
)
)
Запишем тензор полностью
88
[
∂υ r
∂r
∂υ r ∂υ φ
υ
[def • υ • ]= 1
+
−2 φ
2 ∂φ ∂ r
r
1 ∂υ r ∂υ z
+
2 ∂ z ∂r
(
(
(
)
)
υφ
1 ∂υ r ∂ υ φ
+
−2
2 ∂φ ∂r
r
∂υ φ
+rυ r
∂φ
1 ∂υ φ ∂υ z
+
2 ∂z ∂φ
(
) (
(
1
2
1
2
)
∂ υ r ∂υ z
+
∂z ∂r
∂υ φ ∂ υ z
+
∂z ∂φ
∂υ z
∂z
]
)
)
(8.5)
Переход к локальным декартовым координатам
[def * υ * ]=[e • * ]T [def •υ • ][e• * ]=
[
∂υ r
∂r
0
υφ
1 ∂υ r ∂υ φ
0
+
−2
2 ∂φ ∂ r
r
1
1 ∂υ r ∂υ z
+
2 ∂ z ∂r
[ ]
1 0
1
= 0
r
0 0
[
(
(
(
(
(
)
)
∂υ r
∂r
∂υ r 1 ∂υ φ
υ
= 1 1
+
−2 2φ
2 r ∂φ r ∂ r
r
1 ∂υ r ∂υ z
+
2 ∂z ∂r
)
υφ
1 ∂υ r ∂υ φ
+
−2
2 ∂φ ∂r
r
∂υ φ
+r υ r
∂φ
1 ∂υ φ ∂υ z
+
2 ∂ z ∂φ
(
)
υ
1 1 ∂υ r 1 ∂υ φ
+
−2 2φ
2 r ∂φ r ∂ r
r
1 ∂υ φ υ r
+
r2 ∂ φ r
1 1 ∂υ φ 1 ∂υ z
+
2 r ∂ z r ∂φ
(
)
) (
(
(
)
1
2
1
2
∂ υ r ∂υ z
+
∂ z ∂r
∂ υ φ ∂υ z
+
∂z ∂φ
∂υ z
∂z
][
)
)
1
0
1
r
0
0
0
1 ∂ υ r ∂υ z
+
2 ∂z ∂r
1 1 ∂υ φ 1 ∂ υ z
+
2 r ∂z r ∂φ
∂υ z
∂z
) (
)
(
0
]
0 =
1
]
)
Перейдем к физическим координатам вектора υ r =r υ r * , υ φ=r υ φ* , υ z =r υ z * .
[
∂υ r *
∂r
∂υ r * ∂υ φ * υ φ*
[def * υ * ]= 1 1
+
−
2 r ∂φ
∂r
r
1 ∂υ r * ∂ υ z *
+
2 ∂z
∂r
(
(
)
(
)
1 1 ∂υ r * ∂ υ φ* υ φ *
+
−
2 r ∂φ
∂r
r
1 ∂ υ φ* υ r *
+
r ∂φ
r
1 ∂υ φ * 1 ∂υ z*
+
2 ∂z r ∂φ
(
)
) (
(
]
)
)
1 ∂υ r * ∂ υ z *
+
2 ∂z
∂r
1 ∂υ φ* 1 ∂ υ z *
+
2 ∂ z r ∂φ
∂υ z *
∂z
(8.6)
Конечно, все это выглядит намного сложнее, чем в привычных декартовых
координатах, но каждая конкретная система координат полезна для своего класса задач.
Цилиндрические координаты особенно эффективны при решении осесимметричных задач, когда υ φ* =0 и все производные по φ также равны нулю. Матрица тензора скоростей деформаций выглядит в этом случае особенно просто, а
самое главное, что она является функцией только двух координат вместо трех,
как это было бы в декартовых координатах.
89
[
[def * υ * ]=
∂υ r
∂r
0
0
υ
r
0
0
∂υ z
∂z
1 ∂ υ z ∂υ r
+
2 ∂r ∂z
(
1 ∂υ z ∂ υ r
+
2 ∂r ∂z
(
r
)
]
)
(8.7)
"Звездочки" у индексов физических координат вектора опущены.
9
Оператор Гамильтона
Несколько слов о том, что такое оператор. Оператор – это аналог функции
или матрицы. Можно записать функцию в традиционной форме: y= f (x ) .
Можно записать так: y= f ∘ x . В первом случае мы скажем, что y есть функция x . Во втором случае будет правильнее сказать, что y есть результат действия оператора f на переменную x . Тем не менее и то и другое означает
одно и то же. Аналогичный пример можно привести с матрицами. Запись
[ y ]=[ A][ x ] можно прокомментировать так: оператор A преобразует вектор x̄
в вектор ȳ . И хотя на первый взгляд никакой разницы между двумя подходами
не видно, она все же есть. При операторном подходе мы функцию отделяем от
ее аргумента. При этом оператор следует рассматривать как некий набор правил, определяющих действия оператора с произвольным аргументом, к которому этот оператор может быть применен. Это позволяет сосредоточиться на
свойствах определенных классов операторов и построить их самостоятельную
теорию.
Дифференциальный оператор, как следует из его названия, призван выполнять некие действия с аргументом с использованием операции дифференцирования. Самым простым дифференциальным оператором является оператор дифd
ференцирования:
, который, например, в операционном исчислении традиdx
ционно обозначается при помощи латинской буквы p .
Дифференциальный оператор Гамильтона определяется как формальный
вектор ∇ = ∇ i ei .
Задание оператора как формального вектора определяет набор действий,
которые необходимо выполнить применяя его к аргументу. Рассмотрим конкретные примеры.
1 Применение оператора Гамильтона к скалярной функции.
i
∇ φ= ∇ i φ e =grad φ
2 Применение к вектору
Применение оператора к вектору отличается большим разнообразием.
а) Скалярное умножение оператора на вектор.
○
∇ ⋅ῡ = ∇ ○ υ =div ῡ
90
б) Векторное умножение оператора на вектор.
i jk
∇ × ῡ =ε
∇ i υ j e k =rot ῡ
Надо сказать, что сами значки grad , div и rot , которые мы использовали
в этих примерах, можно считать операторами и оператор Гамильтона дает альтернативный и очень удобный способ обозначения всех этих операторов.
Продолжая экспериментировать с оператором Гамильтона, найдем градиент от вектора.
i
j
i j
∇ ῡ= ∇ i e υ j e = ∇ i υ j e e
При этом в правой части естественным образом появляется выражение для
тензора, которого я всячески избегаю использовать. То что в данном случае "абсурдное" выражение для тензора появляется естественным образом не является
для меня аргументом, ведь и сам оператор Гамильтона является некоторой формальной величиной, просто удобным обозначением.
Были времена, которые сейчас можно назвать незапамятными, когда математики очень подозрительно относились даже к отрицательным числам, без которых мы сегодня не можем представить математику. Буквы в алгебраических
выражениях Виета должны были обозначать только положительные числа. Блез
Паскаль считал, что 0−4=0 , поскольку ничто не может быть меньше, чем ниi j
чего. Я допускаю, что мое неприятие тензора в виде T i j e e сродни подозрительности к отрицательным или, скажем, мнимым числам. Возможно, но вспомним, что отрицательные числа широко вошли в употребление, когда для них
появилась понятная интерпретация в виде точек на числовой оси слева от нуля.
Неприязнь к комплексным числам прошла, когда их интерпретировали в виде
векторов на комплексной плоскости. Появление разумной интерпретации сделало отрицательные и мнимые числа понятными. Разумной и понятной интерпреi j
тации тензора в форме T i j e e на сегодняшний день не существует, так зачем
же бежать впереди паровоза?
В силу этого я буду считать, что применение оператора "grad" и оператора
Гамильтона к вектору в форме ∇ ῡ дает тензор с координатами ∇ i υ j .
Оператор Гамильтона позволяет получить и некоторые новые операторы, с
которыми нам еще не приходилось сталкиваться. Например, оператор Гамильто○
на можно умножить на вектор слева: ῡ⋅∇ =υ ∇ ○ . В результате мы все еще имеем оператор, поскольку его жажда что-нибудь продифференцировать не удовлетворена. В дальнейшем мы увидим, что этот оператор также находит применение и называется оператором конвективной производной, которая правда не
имеет специального обозначения.
i jk
Аналогичным образом можно ввести и оператор вида ā × ∇ =ε ai ∇ j ek .
Выполняя действия с оператором Гамильтона, следует соблюдать осторожность, памятуя о его двойственном – векторном и дифференциальном – характере.
91
Примеры, в которых проявляется отличие оператора набла от обычного вектора.
1 Скалярное и векторное произведения с участием оператора набла не коммутативны.
(9.1)
∇ ⋅ῡ ≠ῡ⋅∇ , ∇ × ῡ ≠ῡ × ∇
2 Если φ и ψ – скалярные функции, то для настоящего вектора ā справедливо утверждение ( ā φ)×( ā ψ)=0 . Если же вектор ā заменить наблой, то в
общем случае это будет неверно ( ∇ φ)×( ∇ ψ )≠0 .
3 Общеизвестно, что векторное произведение ортогонально к каждому из
перемножаемых векторов ā × b̄ ⊥ ā и ā × b̄ ⊥ b̄ . Если же мы имеем дело с ротором, то очевидно, что нет никакого смысла говорить об ортогональности ротора
к оператору набла, но ротор ∇ × ῡ не обязан быть ортогонален и к вектору ῡ .
Докажем последнее утверждение. Для этого нам достаточно указать на какой-нибудь вектор, который не будет ортогонален своему ротору. Пусть
ῡ=ā+ ω̄ × r̄ , где ā – произвольный постоянный вектор, ω̄ – постоянный вектор угловой скорости, r̄ – радиус-вектор. Другими словами, наш вектор ῡ является суперпозицией однородного поля ā и поля скоростей вращающегося с
постоянной угловой скоростью относительно постоянной оси бесконечно протяженной абсолютно жесткой среды. Я думаю, что многие уже заранее могут
предвидеть результат наших предстоящих вычислений, но это именно тот результат, которого я добивался.
Вычислим ротор.
∇ × ῡ = ∇ ×( ā + ω̄ × r̄ )= ∇ ×( ω̄ × r̄) , так как ротор от постоянного вектора
равен нулю.
[ ∇ ×( ω̄ × r̄ )]k =ε i j k ∇ i (ε m n j ωm r n )=−ε i k j ε m n j ∇ i ω m r n=
=−(δ im δ kn −δ in δ mk ) ∇ i ωm r n =(δ in δ km−δ im δ kn ) ∇ i ωm r n =
=(δ in δ km −δ im δ kn ) ∇ i ωm r n = ∇ i ωk r i − ∇ i ωi r k =
=ωk ∇ i r i −r k ∇ i ωi +r i ∇ i ωk −ωi ∇ i r k
ω̄ – постоянный вектор и производные от него равны нулю. Производные
от радиус-вектора, как мы это выяснили раньше, когда говорили о правилах ковариантного дифференцирования, равны ∇ i r k =δ ki и ∇ i r i =3 , следовательно
[ ∇ ×( ω̄ × r̄ )]k =3 ωk −ωi δ ik =2 ωk или ∇ ×( ā+ ω̄× r̄ )=2 ω̄ .
Результат закономерный и вполне ожидаемый, хотя меня не покидает ощущение, что в том, как это получается присутствует какая-то магия. Магия, которая превращает почти хаотичное нагромождение всяких значков во вполне
осмысленный результат. Однако возвратимся к нашей проблеме. Мы показали,
что ротор вектора ῡ равен удвоенной угловой скорости ω̄ и не зависит от од92
нородного поля ā . Придавая полю ā различные значения, я могу произвольным образом изменять направление вектора ῡ , следовательно ротор в общем
случае не будет ему ортогонален. Что, собственно, и требовалось доказать.
4 Все помнят мнемоническое правило для запоминания формулы двойного
векторного произведения: "бац минус цаб".
ā × ( b̄× c̄)= b̄( ā⋅c̄)− c̄( ā⋅b̄)
Очевидно, что если вектор ā заменить на оператор Гамильтона, мы уже не
вправе пользоваться этом правилом. Сейчас я хочу найти новое правило, которое будет справедливо в этом случае, тем более, что большую часть работы мы
уже выполнили, рассматривая предыдущий пример. Заменим в нем ω̄ на b̄ , а
r̄ на c̄ .
(9.2)
[ ∇ ×( b̄ × r̄)]k =bk ∇ i c i −c k ∇ i b i +c i ∇ i b k −bi ∇ i c k
Перейдем к безындексной форме записи
(9.3)
∇ ×( b̄ × c̄)=b̄ ( ∇ ⋅c̄)− c̄ ( ∇ ⋅b̄)+( c̄⋅∇ ) b̄−( b̄⋅∇ ) c̄
Теперь мы наглядно видим разницу. Если букву ∇ прочитать как "А", то
первые два слагаемых справа – это и есть "бац минус цаб". Но есть еще два слагаемых, которые читаются как "цаб минус бац". Вот и новое правило. Конечно
нужно еще правильно расставить скобки и знаки умножения. Для порядка запишем формулу еще в одной часто используемой форме.
(9.4)
rot( b̄ × c̄ )=b̄ div c̄−c̄ div b̄+( c̄⋅∇ ) b̄−( b̄⋅∇ ) c̄
Оставшиеся скобки справа содержат конвективные производные, которые
не имеют специального обозначения.
5 Пример пятый и последний. Для обычных векторов смешанное произведение ā⋅( b̄ × ā) всегда равно нулю, но ā⋅( ∇ × ā)≠0 в общем случае, что должно быть ясно из предыдущих примеров.
Отличительные особенности оператора Гамильтона требуют соблюдения
осторожности в обращении с ним, и в случае возникновения любого сомнения в
правильности его применения, лучше перейти к более громоздкой но более надежной индексной форме записи.
10 Лапласиан
Лапласиан – один из полезнейших для физической теории операторов.
Определяется как дивергенция от градиента. Какой в этом смысл? Ну скажем,
градиент от потенциала – это напряженность электрического поля. А дивергенция от напряженности по теореме Гаусса – плотность электрического заряда.
Если речь идет о поле в пустом пространстве, в котором отсутствуют заряды, то
дивергенция от градиента потенциала равна нулю и мы приходим к уравнению
для потенциала электрического поля в вакууме: div grad φ=0 .
10.1Лапласиан скалярной функции
Лапласиан считается оператором второго порядка поскольку в нем используется повторное дифференцирование. Для него вводится специальное обозна93
чение
div grad φ=g i k ∇ i ∇ k φ=Δ φ
(10.1.1)
ik
Трактуя свертку g ∇ i ∇ k как скалярный квадрат оператора Гамильтона получаем еще одно обозначение для оператора Лапласа.
(10.1.2)
div grad φ=g i k ∇ i ∇ k φ= ∇ 2 φ=Δ φ
Поскольку в декартовых и других ортогональных координатах все g i k с
индексами i≠k равны нулю то для них
Δ φ= ∇ 2 φ=g i i ∇ i ∇ i φ=∑ g i i ∇ i ∇ i φ
(10.1.3)
i
Я явным образом обозначил суммирование, поскольку возникло подозрение, что наше выражение вступает в противоречие с "буквой" правила о суммировании Эйнштейна. В самом деле, правило гласит:
"Если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и
снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс".
Обычно речь идет об одной и той же букве, которая один раз встречается
сверху и один раз снизу, а у нас их две одинаковых. Изучение полной записи с
использованием знака суммирования позволяет убедиться в невозможности
двойного толкования в нашем случае. Надо понимать, что соглашение Эйнштейна всего лишь сокращенная форма записи, в которой опущен знак суммирования. В любых случаях, когда возникают какие-то сомнения, лучше
перейти к полной записи, которая понимается всегда однозначно. Встречаются
случаи, когда по некоторым повторяющимся индексам суммирование не выполняется. Обычно в этих случаях такие индексы каким-то образом помечаются и в
тексте отмечается, что по помеченным индексам суммирование не выполняется.
На мой взгляд в таких случаях тоже правильнее просто перейти к полной записи. Например, если по каким-то причинам мы не хотим выполнять суммироваik
ние по индексу k , можно записать: ∑ A B i k . Однако это не решает проблемы
i
полностью. Представим, что предыдущее выражение мы записали подробнее
A1 k B 1k + A 2 k B 2 k + A 2 k B 2 k . Если мы систематически используем соглашение
Эйнштейна, то по k нужно суммировать и, если нам это не нужно, данное обстоятельство снова придется отметить в тексте. Знак суммирования позволяет
явным образом указать на тот индекс, по которому выполняется суммирование.
При использовании соглашения о суммировании нам явно не хватает такого же
общего средства для отмены суммирования по определенным индексам.
1k
2k
2k
Можно, например, сделать так: ∑ ( A B 1 k + A B 2 k + A B 2 k ) или так
k
α ( A1 k B 1 k + A2 k B 2 k + A 2 k B 2 k ) .
k
В последнем случае я воспользовался первой буквой греческого слова
ακυρωση, которое означает "отмена". Я, конечно, не настаиваю, к тому же я
сильно отвлекся от основной темы нашего разговора.
94
2
ii
Итак, в ортогональных координатах мы имеем: Δ φ= ∇ φ=g ∇ i ∇ i φ . В де-
картовых координатах к тому же g i i =1 , следовательно, в декартовых координатах лапласиан скалярной функции будет равен
∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ
2
ii
Δ φ= ∇ φ=g ∇ i ∇ i φ= ∇ 1 ∇ 1 φ+ ∇ 2 ∇ 2 φ+ ∇ 3 ∇ 3 φ= 2 + 2 + 2
(10.1.4)
∂x ∂y ∂z
Оператор Лапласа в декартовых координатах
2
2
2
2
Δ= ∇ = ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2
(10.1.5)
∂x ∂y ∂z
Вычислим для примера лапласиан скалярной функции ψ в цилиндриче2
ii
ских координатах Δ ψ = ∇ ψ= g ∇ i ( ∇ i ψ ) . Выражение в скобках является ковариантным вектором, поэтому, как для вектора:
∂2 ψ
i i ∂( ∇ i ψ )
○
ii
22
1
Δψ=g
−( ∇ ○ ψ ) Γ ii = g
− g ( ∇ 1 ψ ) Γ 22 =
i
i
i
∂x
∂x ∂x
(
)
∂2 ψ
1 ∂2 ψ
∂2 ψ
1 ∂ψ
= 1 1+ 2
2
2+
3
3− 2
1 (−r )
∂x ∂x r ∂x ∂x ∂x ∂x r ∂x
Окончательный результат
∂2 ψ 1 ∂ 2 ψ ∂2 ψ 1 ∂ ψ
Δ φ= 2 + 2
+
+
∂ r r ∂ φ2 ∂ z 2 r ∂ r
(10.1.6)
10.2Лапласиан векторной функции
Вычисляя лапласиан скалярной функции мы немного расслабились. Сейчас
советую собраться: нас ждет тяжелая работа. Лапласиан векторной функции
2
∇ ā является вектором.
(10.2.1)
div grad ā =Δ ā= ∇ 2 ā∼ g i j ∇ i ∇ j a k
2
ii
k
Для ортогональных координат div grad ā =Δ ā= ∇ ā∼ g ∇ i ∇ i a
В декартовых координатах g i i =1
Δax
2
k
k
Δ ā= ∇ ā∼ ∇ i ∇ i a =Δ a ∼ Δ a y , где значок ∼ означает, как обычно, "раΔaz
[ ]
венство по смыслу". Кажется, я об этом уже говорил, но, возможно кто-то, так
же как и я, любит читать книги не с начала.
Найдем лапласиан вектора в цилиндрических координатах. Для этого выk
ii
k
числим последовательно все три его координаты Δ a =g ∇ i ∇ i a .
1. k = 1
Δ a 1=g i i ∇ i ∇ i a 1
Абсолютную производную от
∇ia
1
ищем как от двухвалентного тензора.
95
1
Δ a =g
ii
∂ ∇ i a1
(
(
∂x
)
− Γ ○i i ∇ ○ a1 + Γ 1□i ∇ i a □ =
i
)
1
∂a
○
1
ii
○
1
ii
1
□
=g ∂ i
i + a Γ ○i −g Γ i i ∇ ○ a + g Γ □ i ∇ i a
∂x ∂x
Вычисляем последовательно члены справа
1
○
1
2 1
1
2 1
2 1
∂a
ii ∂
○
1
ii ∂ a
i i ∂ a Γ ○i
ii ∂ a
22 ∂ a Γ 22
g
+ a Γ ○i = g
+g
=g
+g
=
i
i
i
i
i
i
i
2
∂x ∂x
∂x ∂ x
∂x
∂x ∂x
∂x
ii
(
2
)
1
2
2
1
2
1
2
1
2
∂ a
1 ∂a
∂ a
1 ∂ a
∂ a
1 ∂a
g
−
= 1 1+ 2
+ 3 3−
i
i
2
2
2
2
∂x ∂x r ∂x ∂x ∂x r ∂ x ∂x ∂x ∂x r ∂ x
2
1
1
1
g i i Γ ○i i ∇ ○ a 1= Γ ○11 ∇ ○ a 1 + 2 Γ ○2 2 ∇ ○ a 1 + Γ ○3 3 ∇ ○ a 1= 2 Γ 12 2 ∇ 1 a 1=− ∇ 1 a 1=
r
r
r
ii
(
)
1
1
1 ∂a
1 ∂a
=−
+a ○ Γ 1○ 1 =−
1
r ∂x
r ∂ x1
3
(
)
1 ∂ a2 ○ 2
1 ∂ a2 a1
g Γ
a =g Γ
a =−
+a Γ ○ 2 =−
−
r ∂ x2
r ∂ x2 r2
Просуммировав все три выражения, получаем
∂2 a1
1 ∂ a 1 1 ∂ 2 a1
∂ 2 a1
2 ∂ a2 a1
1
Δa = 1 1+
+
+
−
−
∂ x ∂ x r ∂ x1 r 2 ∂ x 2 ∂ x2 ∂ x 3 ∂ x3 r ∂ x2 r 2
Перейдем к нормированным цилиндрическим координатам
ii
1
□i ∇ i
□
22
1
22 ∇ 2
2
Формулы перехода
e i =|ei|e i * и ā=a i e i =ai|e i|e i * =a i * e i * отсюда a i *=a i|e i| .
e 1 =e 1 * e 2=r e 2* e 3 =e 3*
1*
a =a
1
2*
a =r a
2
3*
a =a
3
В ортонормированной цилиндрической системе
∂ 2 a1
1 ∂ a1 1 ∂ 2 a1
∂ 2 a1
2 ∂ a2 a1
1
Δa = 1 1+
+
+
−
−
∂ x ∂ x r ∂ x1 r 2 ∂ x 2 ∂ x2 ∂ x 3 ∂ x3 r 2 ∂ x2 r 2
В общепринятых обозначениях
∂2 a r 1 ∂ a r 1 ∂2 a r ∂ 2 a r 2 ∂ a φ a r
2 ∂ aφ ar
1
r
Δa = 2 +
+
+
−
− =Δ a − 2
−
∂ r r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z 2 r 2 ∂ φ r 2
r ∂φ r2
Далее аналогично.
2. k = 2
96
2
Δ a =g
ii
∂ ∇ i a2
(
∂x
i
)
(
−Γ ○i i ∇ ○ a 2 + Γ 2○ i ∇ i a○ =
)
2
∂a
=g ∂ i
+a ○ Γ ○2 i −g i i Γ ○i i ○ a 2 + g i i Γ 2○ i i a○
i
∂x ∂x
Вычисляем последовательно члены справа
1
1
2
2
2
2
2 2
∂a
ii ∂
○
2
ii ∂ a
22 ∂ a Γ 12
11 ∂ a Γ 21
g
+a Γ ○ i = g
+g
+g
=
i
i
i
i
2
1
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x
∂x
ii
(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
2
∂ a
1 ∂ a
∂ a
1 ∂a 1 ∂a a
+ 2
+ 3 3+ 3
+
− 2
1
1
2
2
2
1
∂x ∂x r ∂x ∂x ∂x ∂x r ∂x r ∂x r
2
ii
○
ii ∇ ○
ii
2
g Γ
2
22
1
22 ∇ 1
○
11
2
a =g Γ
1 ∂ a2 1 ○ 2
1 ∂ a2 a2
a =−
− a Γ ○ 1 =−
−
r ∂ x1 r
r ∂ x1 r2
2
3
2
22
2
1
g Γ ○ i ∇ i a = g Γ 21 ∇ 1 a + g Γ 1 2 ∇ 2 a =
(
) (
(
) (
)
1 ∂ a2 ○ 2
1 ∂ a1 ○ 1
+a
Γ
+
+a Γ ○ 2 =
○1
3
2
r ∂ x1
r ∂x
)
1 ∂ a2 2 2
1 ∂ a1 2 1
1 ∂ a2 1 ∂ a1 a2 a2 1 ∂ a1 1 ∂ a2
=
+a Γ 21 + 3
+
+ − =
+
2 +a Γ 2 2 =
r ∂ x1
r ∂ x1 r 3 ∂ x 2 r 2 r 2 r 3 ∂ x 2 r ∂ x 1
r ∂x
Все вместе
∂2 a 2
1 ∂2 a 2
∂2 a 2
2 ∂ a1 3 ∂ a2
2
Δa = 1 1+ 2
+
+
+
∂ x ∂ x r ∂ x2 ∂ x2 ∂ x3 ∂ x3 r 3 ∂ x2 r ∂ x1
В ортонормированных координатах
1 2*
2
Δ a 2 *=r [Δ ā]2 a = a
r
( ( )
( )
( )
Δ a 2 *=r
a 2* 1 ∂2 a 2 * 1 ∂ 2 a 2 * 3 ∂ a 2 * 2 ∂ a 1*
∂2
+ 3
+
+
+ 3
∂ x1 ∂ x1 r
r ∂ x2 ∂ x2 r ∂ x3 ∂ x 3 r ∂ x 1 r
r ∂ x2
2*
2
( )
2*
2*
)
2*
2
a
1 ∂ a
2 ∂a
2a
∂
=
− 2
+ 3
1
1
1
1
1
r ∂x ∂x r ∂x
∂x ∂x r
r
2*
2*
2*
3 ∂ a
3 ∂a
3a
= 2
− 3
1
1
r ∂x r
r ∂x
r
Записывая окончательный результат и переходя к общепринятым обозначениям, получим
∂2 a 2 * 1 ∂ a 2 * 1 ∂2 a 2 *
∂2 a2 *
a2 * 2 ∂ a1 *
2*
Δa = 1 1+
+
+
−
+
=
∂ x ∂ x r ∂ x1 r 2 ∂ x2 ∂ x2 ∂ x3 ∂ x 3 r 2 r 2 ∂ x 2
97
∂ 2 a φ 1 ∂ a φ 1 ∂2 a φ ∂2 a φ a φ 2 ∂ a r
aφ 2 ∂ ar
φ
=Δ a =
+
+
+
− +
=∆ a − 2 + 2
∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z2 r 2 r 2 ∂ φ
r r ∂φ
φ
3. k = 3
3
Δ a =g
ii
∂ ∇ i a3
(
∂x
i
)
− Γ ○i i ∇ ○ a 3+ Γ 3○ i ∇ i a ○ =
∂ a3 ○ 3
ii
○
3
ii
3
○
∂
=g
+a Γ ○ i − g Γ ii ∇ ○ a + g Γ ○ i ∇ i a =
i
i
∂x ∂x
ii
(
)
(
)
2 3
2 3
∂2 a 3
1 ∂ a3 ○ 3
1 ∂ a3
22
1
3
ii ∂ a
ii ∂ a
g
Γ 22 ∇ 1 a =g
i
i−g
i
i+
1 + a Γ ○1 = g
i
i+
1=
∂x ∂x
∂x ∂x r ∂x
∂x ∂x r ∂x
ii
∂2 a 3
1 ∂ a 3 1 ∂2 a 3
∂2 a 3
= 1 1+
+ 2
+ 3 3 =Δ a3
1
2
2
∂ x ∂x r ∂x r ∂ x ∂x ∂ x ∂x
Поскольку a 3 =a 3* уравнение в нормированных координатах будет таким
же.
Для удобства восприятия формулу для лапласиана запишем в матричной
форме
[
∂2 a r 1 ∂ a r 1 ∂2 a r ∂2 a r 2 ∂ a φ a r
+
+ 2
+
− 2
− 2
2
2
2
r
∂
r
∂
φ
∂
r
r
∂
φ
∂
z
r
r
Δ ar
2 φ
φ
2 φ
2 φ
r
1 ∂ a 1 ∂ a ∂ a 2 ∂ a aφ
φ = ∂ a
+
+
+
+
−
Δa
∂ r 2 r ∂ r r2 ∂ φ2 ∂ z 2 r 2 ∂ φ r 2
z
Δa
∂ 2 a z 1 ∂ a z 1 ∂ 2 a z ∂2 a z
+
+
+
2
r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z2
∂r
[ ]
]
(10.2.2)
В выражениях для координат лапласиана векторной функции
просматривается структура совпадающая с лапласианом скалярной функции.
Если эту структуру обозначим ∆ (a i ) , то это позволит упросить вид формул,
спрятав детали за специальным обозначением.
[
2 ∂ aφ a r
∆(a )− 2
−
Δ ar
r ∂φ r2
Δ aφ =
2 ∂ ar a φ
φ
∆(a
)+
− 2
2
Δaz
r ∂φ r
z
∆(a )
[ ]
r
]
Поскольку, как мы видим, даже в самой простой из криволинейных координатных систем уравнения существенно усложняются, для использования криволинейных систем должны быть веские основания. Например, цилиндрическую
систему координат целесообразно использовать в случае симметричности векторного поля относительно одной оси. Если поле симметрично относительно
98
оси z , то координаты вектора a φ все тождественно равны нулю. Равна нулю
∂ ar
также производная
и лапласиан упрощается
∂φ
[
][
∂ 2 a r 1 ∂ a r 1 ∂ 2 a r ∂2 a r a r
+
+ 2
+
− 2
ar
r
r
2
2
2
r ∂ r r ∂φ
∆(a )− 2
Δa
∂r
∂z
r
r
φ =
=
0
Δa
0
z
∂ 2 a z 1 ∂ a z 1 ∂2 a z ∂ 2 a z
Δa
+
+ 2
+
∆(a z )
2
2
2
r ∂ r r ∂φ
∂r
∂z
[ ]
]
(10.2.3)
11 Полезные и просто интересные формулы
Теория тензоров напоминает мне тригонометрию. В основании тригонометрии лежат определения четырех основных тригонометрических функций.
Весь тензорный анализ так или иначе вращается вокруг трех дифференциальных операторов – градиента, дивергенции и ротора. Однако, как в первом, так и
во втором случае небольшое количество фундаментальных структур и понятий
образует богатый спектр разнообразных зависимостей, знание которых существенно облегчают практические вычисления. Чем больше самых разных формул мы помним, тем лучше. В данном разделе я попытался собрать наиболее
полезные, на мой взгляд, формулы. При желании этот раздел можно использовать и в качестве упражнения, если пытаться доказывать эти формулы самостоятельно.
Буквами φ и ψ обозначены скалярные функции
Тождества, включающие операторы первого порядка
1 grad (φψ )= ∇ (φψ )=ψ
○
2 div ā= ∇ ○ a =
∂φ i
∂ψ i
e +φ
e =ψ ∇ φ+φ ∇ ψ
i
i
∂x
∂x
∂ a○ k ○
+a Γ k ○
x○
○
Используя формулу (5.13) мы можем записать Γ k ○=
1 ∂ √g
.
√g ∂ x k
1 ∂ a ○ √g
В результате получаем div ā= ∇ ○ a =
.
√g ∂ x ○
○
○
3 div(φ ā)= ∇ ○ (φ a )=φ ∇ ○ a + ā⋅∇ φ=φdiv ā+ ā⋅grad φ
○
div (φ ā)=∇ i (φ a i )=
∂ φ ai
∂ ai
○
i
i ∂φ
+φ
a
Γ
=a
+φ
+φ a○ Γ i○ i =
○i
i
i
i
∂x
∂x
∂x
∂φ
∂ ai ○ i
=a
+φ
+ a Γ ○i
∂ xi
∂ xi
4 rot(φ ā)=∇ ×(φ ā)=φ ∇ × ā+ ∇ φ× ā=φ rot ā+grad φ × ā
i
(
)
99
k
[rot (φ ā)] =ε
=ε
i jk
(
aj
i jk
∇ i (φ a j )=ε
i jk
(
)
∂φaj
∂x
i
○
)
+φ a ○ Γ j i =
∂aj
∂φ
○
i jk ∂a j
○
i jk ∂φ
+φ
+φ
a
Γ
=φ
ε
+a ○ Γ j i +ε
aj
○
ji
i
i
i
∂x
∂x
∂x
∂ xi
(
)
5 grad ( ā⋅b̄)=( ā⋅∇ ) b̄+( b̄⋅∇ ) ā+ ā × rot b̄+ b̄× rot ā
km
km
km
○
○
∇ i ( ā⋅b̄)= g ∇ i (a k b m )= g b m ∇ i a k + g a k ∇ i b m =b ∇ i a ○ + a ∇ i b○
Правая часть содержит два однотипных выражения вида a ○ ∇ i b○ , которые
желательно выразить через известные операторы. Трудно понять, как из этого
выражения могут появиться роторы, поэтому с них и начнем.
[ ā × rot b̄]n =ε m k n a m (ε i j k ∇ i b j )=−ε m n k ε i j k a m ∇ i b j =
=−(δ im δ nj −δ in δ mj )a m ∇ i b j =a j ∇ n b j −a m ∇ m b n=a ○ ∇ n b ○−a ○ ∇ ○ b n
Следовательно
a ○ ∇ i b○=[ ā × rot b̄]i +(a ○ ∇ ○)bi или a ○ ∇ i b○ ei = ā × rot b̄+(a ○ ∇ ○) b̄ .
Что и доказывает исходное утверждение.
6 div( ā × b̄)=b̄⋅( ∇ × ā )−ā⋅( ∇ × b̄)= b̄⋅rot ā−ā⋅rot b̄
div( ā × b̄)= ∇ k (ε i j k a i b j )=ε i j k ∇ k (a i b j )=a i ε i j k ∇ k b j +b j ε i j k ∇ k a i =
=−a i ε i k j ∇ k b j +b j ε j k i ∇ k ai = b̄⋅rot ā− ā⋅rot b̄
7 ∇ ×( b̄ × c̄)=b̄ ( ∇⋅c̄)− c̄ ( ∇⋅b̄)+( c̄⋅∇ ) b̄−( b̄⋅∇ ) c̄ или
rot( b̄ × c̄ )=b̄ div c̄−c̄ div b̄+( c̄⋅∇ ) b̄−( b̄⋅∇ ) c̄
Это утверждение мы уже доказали, когда говорили об операторе Гамильтона.
2
8 (ῡ⋅∇ ) ῡ =grad υ +rot ῡ × ῡ
2
Данное тождество оказывается полезным в гидромеханике, когда ῡ является полем скоростей потока жидкости. Тождество легко получается из тождества (5), если векторы ā и b̄ заменить вектором ῡ .
Тождества, включающие операторы второго порядка
1 div rot T =0
div rot T = ∇⋅( ∇ ×T )= ∇ k (ε i j k ∇ i T mj )=ε k i j ∇ k ∇ i T mj =
=( ∇ 2 ∇ 3− ∇ 3 ∇ 2 )T m1 +( ∇ 3 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 3 )T m2 +( ∇ 1 ∇ 2− ∇ 2 ∇ 1 )T m3 =0
Тождество справедливо в евклидовом пространстве, в котором операторы
ковариантной производной можно менять местами.
100
2 rot grad T =0
rot grad T = ∇ ×( ∇ T )=ε i j k ∇ i ∇ j T mn =
= √ g •• (( ∇ 2 ∇ 3− ∇ 3 ∇ 2 )1 +( ∇ 3 ∇ 1− ∇ 1 ∇ 3 )2 +( ∇ 1 ∇ 2 − ∇ 2 ∇ 1 )3)T mn =0
Здесь будет справедлив тот же самый комментарий, что и в предыдущем
пункте.
3 rot rot ā= ∇ ×( ∇ × ā )=grad (div ā )− ∆ ā
nm
i jk
p
nm
i jk
p
∇ ×( ∇ × ā)=ε n k p g ∇ m (ε
∇ i a j )e =−g ε n p k ε
∇ m∇i aj e =
=−g n m (δ ip δ nj−δ ip δ nj ) ∇ m ∇ i a j e p =
∇p
=( g n m ∇ m ∇ p a n− g n m ∇ m ∇ n a p )e p =( ∇ p ( ∇ m a m )− g n m ∇ m ∇ n a p )e p
В этом выводе мы снова воспользовались перестановочностью операторов
и ∇ m , в евклидовом пространстве.
4 ∆ ā=grad (div ā )−rot rot ā
Сразу следует из (3). Очень важное тождество для гидромеханики, поскольку, если вектор ā представляет собой поле скоростей точек несжимаемой
жидкой среды, для которой div ā=0 , то ∆ ā=−rot rot ā .
5 rot(( ā⋅∇ ) ā)=div ā rot ā +( ā⋅∇ ) rot ā−(rot ā)⋅∇ ā
a2
Воспользуемся формулой ( ā⋅∇ ) ā=grad + rot ā × ā . Возьмем ротор от ле2
вой и правой частей тождества.
2
a
rot(( ā⋅∇ ) ā)=rot grad
+ rot (rot ā × ā)
2
Ротор от градиента скалярной функции равен нулю, следовательно:
rot(( ā⋅∇ ) ā)=rot (rot ā × ā )
Раскроем правую часть
ε p n r ∇ p (ε k m n (ε i j k ∇ i a j )a m )=−ε p r n ε k m n ∇ p (a m (ε i j k ∇ i a j ))=
(
)
=(δ mp δ rk −δ kp δ rm ) ∇ p (a m (ε i j k ∇ i a j ))=∇ m (a m (ε i j r ∇ i a j ))− ∇ k (a r (ε i j k ∇ i a j ))=
= ∇ m (a m (ε i j r ∇ i a j ))− ∇ k (a r (ε i j k ∇ i a j ))
Преобразуем первое слагаемое
m
i jr
m
i jr
m
i jr
∇ m (a (ε
∇ i a j ))=( ∇ m a )(ε
∇ i a j )+(a ∇ m )(ε
∇ i a j )=
=( ∇ ○ a○ )(ε i j r ∇ i a j )+(a ○ ∇ ○)(ε i j r ∇ i a j )
Преобразуем второе слагаемое
−∇ k (a r (ε i j k ∇ i a j ))=−( ∇ k a r )(ε i j k ∇ i a j )−a r (ε i j k ∇ k ∇ i a j )=−(ε i j k ∇ i a j )( ∇ k a r )
i jk
Мы учли, что ε ∇ k ∇ i a j в евклидовом пространстве равно нулю.
Складывая результаты преобразований, мы получим правую часть тожде-
101
ства.
Тождество (5) также может оказаться полезным в гидромеханике. Если
вектор ā представляет собой поле скоростей точек несжимаемой жидкой среды, то первое слагаемое справа равно нулю. Обозначим для краткости ротор
скорости вектором ω̄ , тогда
rot((ῡ⋅∇ )ῡ )=(ῡ⋅∇ ) ω̄−ω̄⋅∇ ῡ .
Для поля скоростей симметричного относительно оси z
[ ]
r
∇ ῡ =
z
∂υ
∂r
0
∂υ
∂r
0
υr
r
0
∂υ r
∂z
0
∂υ z
∂z
и
ω̄=ωφ eφ =ω e φ ,
поэтому,
в
этом
случае
uω
, где u=υ r
r
Что приводит к весьма простому выражению для ротора конвективной
производной осесимметричного поля скоростей несжимаемой жидкости:
uω
rot((ῡ⋅∇ )ῡ )=(ῡ⋅∇ ) ω̄−
e
r φ
Этим расчетом я хотел показать, что, конечно, криволинейные координаты
приводят к более сложным формулам, но если их использовать в нужном месте,
то можно получить существенный выигрыш.
ω̄⋅∇ ῡ =
12 Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы
Я не планирую в этой книге подробно останавливаться на вычислении
интегралов, но и полностью обойти эту тему невозможно. Нам придется дать
основные определения и сформулировать некоторые теоремы. Однако, я
избавлю себя от тяжкого труда, связанного со строгими доказательствами, и
ограничусь лишь наглядными объяснениями в качестве разумного компромисса.
2
Криволинейный интеграл A12 =∫ F̄⋅d r̄
1
2
F̄
1
L
d r̄
Физическая иллюстрация
Если F̄ есть поле сил,
то
интеграл
2
A12 =∫ F̄⋅d r̄
представляет
собой
работу
по
1
Рис. 1
перемещению точки вдоль кривой L в этом поле.
102
Поверхностный интеграл Ф s =∫ ῡ⋅d s̄=∫ ῡ⋅n d s
s
s
Физическая иллюстрация
S
n̄
Пусть n̄ единичный вектор нормальный к
поверхности S в каждой ее точке, а ῡ – поле
скоростей в потоке жидкости. Тогда интеграл
Ф s =∫ ῡ⋅d s̄=∫ ῡ⋅n d s равен количеству жидкости,
ῡ
ds
s
s
протекающей через поверхность
времени.
Объемный интеграл M =∫ ρ d V
Рис. 2
S
в единицу
V
Физическая иллюстрация
Если ρ – это плотность материала тела с объемом
ρ
V , то интеграл M =∫ ρ d V представляет собой массу
V
dV
V
этого тела.
Во всех трех примерах интегралы и их
подынтегральные выражения являются скалярными
величинами. Это связано с тем, что интеграл, является
Рис. 3
некоторой
характеристикой
для
всей
области
интегрирования и очень трудно представить себе единую тензорную
характеристику для всей области интегрирования, в которой тензоры задаются в
каждой точке относительно локального базиса, изменяющегося от точки к
точке. Единственным тензором, для которого это можно сделать естественным
образом является скаляр.
Теорема Стокса
Поток ротора вектора ῡ через поверхность S равен циркуляции вектора
ῡ по границе этой поверхности
∫ rot ῡ⋅n d S =∮ ῡ⋅d r̄
(12.1)
S
rot n ῡ
L
n̄
rot ῡ
∆s
Ц
Рис. 4
Чтобы понять, как такое возможно,
вспомним одно из определений ротора
1
rot n ῡ = lim
ῡ⋅d r̄ , где инте∮
Δ
S
Δ S→0
L
грал справа представляет собой циркуляцию вектора ῡ по контуру площадки
ΔS .
Умножив формулу на площадь площадки, получим приближенное выраже103
ние для циркуляции.
Ц =∮ ῡ⋅d r̄≈ rot n ῡ Δ S=rot ῡ⋅n Δ S
(12.2)
L
Разобьем произвольную поверхность на маленькие элементы площадью
Δ S i . Для каждого элемента можно записать [ rot ῡ ]i⋅n Δ S= Ц i , где [ rot ῡ ]i –
ротор, вычисленный в произвольной точке элемента Δ S i .
На рисунке 5 показан фрагмент такой
поверхности. Из рисунка видно, что при
сложении циркуляций от всех маленьких
элементов сохраняется циркуляция по
внешней границе: ∑ Ц i = Ц L .
Ц1
Для всей поверхности мы можем записать
∑ [ rot ῡ ]i⋅n Δ S = Ц L →∮ ῡ⋅d r̄
(12.3)
L
Переходя к пределу, измельчая сетку
разбиения поверхности на элементы, мы
приходим к равенству
∫ rot ῡ⋅n d S =∮ ῡ⋅d r̄
(12.4)
Рис. 5
S
L
которое называется формулой Стокса.
Теорема Гаусса-Остроградского
∫ ῡ⋅n d s=∫ div ῡ d v (12.5)
Σ'
V'
V
ds
Σ
Рис. 6
S
V
Поток вектора ῡ через произвольную
ῡ Δ t замкнутую поверхность S равен интегралу от
дивергенции этого вектора по объему V , охваn
ченному поверхностью.
Умножим каждый интеграл на малый промежуток времени ∆t .
∫ υ n ∆ t d s=∫ div ῡ d v ∆t
S
V
Если вектор ῡ трактовать как вектор скорости, то, как видно из рисунка,
∫ υ n ∆ t d s=V ' −V . То есть левый интеграл равен увеличению объема области
S
за промежуток времени ∆t .
С другой стороны, дивергенция скорости равна относительному изменению объема в единицу времени. Если разбить область V на бесконечно малые
области d V , то изменение объема каждой такой малой области можно рассчи104
тать по формуле:
∆ V=div ῡ d v ∆t .
Следовательно интеграл справа тоже дает приращение объема области V
за промежуток времени ∆t , что и доказывает теорему для вектора скорости.
Очевидно, что теорема будет справедлива и для любого другого вектора, поскольку его всегда можно трактовать, как вектор скорости.
Следовательно для любого вектора ῡ справедлива теорема Гаусса-Остроградского
∫ υ k nk d s=∫ ∇ k υ k d v
(12.6)
S
V
В данном виде теорема Гаусса-Остроградского будет справедлива в любой
криволинейной системе координат.
В декартовой системе координат
∂υ ∂ υ ∂ υ
(12.7)
∫ (υ x n x +υ y n y +υ z n z )d s=∫ ∂ xx + ∂ yy + ∂ zz d v
S
V
Координаты вектора можно заменить на три произвольные непрерывные и
дифференцируемые функции.
(12.8)
∫ ( P n x +Q n y + R n z ) d s=∫ ∂∂ Px + ∂∂ Qy + ∂∂ Rz d v
S
V
Некоторые авторы делают обобщение теоремы на произвольные тензоры.
Например,
В. И. Блох
[5, 159 c.],
приводит
общую
формулу:
∫ ∇ * Ф d v=∫ n * Ф d s , где * – знак, обозначающий одно из трех видов умно-
(
)
(
V
)
S
жения – диадного, скалярного или векторного, а Ф – тензор произвольной валентности.
Данное обобщение будет верным при некоторых условиях. Пусть тензор
Ф является двухвалентным тензором, тогда выражения под знаками интегралов будут векторами. В криволинейной координатной системе все векторные
элементы интегральных сумм будут заданы в своих локальных базисах. Если
пространство к тому же не является евклидовым, то мы не можем выбрать единую прямолинейную систему координат, к которой мы могли бы привести все
векторные элементы, чтобы затем их сложить. Правда у нас имеется еще одна
возможность: параллельно перенести все векторные элементы в какую-нибудь
точку пространства и привести к одному локальному базису. Однако и этот путь
не приводит к чему-либо разумному. Дело в том, что в неевклидовом пространстве результат параллельного переноса вектора зависит от пути переноса.
Проиллюстрируем это на примере сферической поверхности.
105
1
F̄ 1
1
F̄ 1
F̄ 3
F̄ 2
2
3
F̄ 2
3
2
F̄ 3
F̄ 2
F̄ 1
F̄ 3
F̄ 1
F̄ 3
F̄ 2
Рис. 7
123 – это сферический треугольник, образованный большими окружностями, с тремя прямыми углами при вершинах. Разместим в вершинах этого треугольника векторы, как показано на первом рисунке. Соберем все три вектора в
каждой из вершин путем параллельного переноса по кратчайшим расстояниям.
В результате мы получим картинку, показанную на втором рисунке. Очевидно,
что в результате сложения векторов в каждой вершине мы получим разные векторы. Можно заметить также, что перенося векторы в вершины другими путями, мы будем каждый раз получать новые результаты. Следовательно, в неевклидовом пространстве оба интеграла для тензора с валентностью больше двух
не могут быть определены однозначно.
Однако, в евклидовом пространстве теорему Гаусса-Остроградского действительно можно обобщить для тензоров произвольной валентности.
Рассмотрим в качестве примера двухвалентный тензор T i k в декартовой
системе координат. Запишем три равенства
∂T
∂T
∂T
∫ (T x x n x +T y x n y +T z x n z )d s=∫ ∂ xx x + ∂ yy x + ∂ zz x d v
S
V
(
∫(
∫(
∫ (T x y n x+T y y n y +T z y n z )d s=
S
V
)
)
)
∂T x y ∂T y y ∂ T z y
+
+
dv
∂x
∂y
∂z
∂ T xz ∂ T yz ∂ T zz
+
+
dv
∂
x
∂
y
∂
z
S
V
Откуда следует, что в декартовой системе координат будет выполняться равенство
∫ ni T i k d s=∫ ∇ i T i k d v , или ∫ n̄⋅T d s=∫ ∇⋅T d v
(12.9)
∫ (T x z n x +T y z n y +T z z n z )d s=
S
V
S
V
Для механики особый интерес представляет случай, когда тензор T i k =τ i k
является тензором напряжений. Если вектор напряжения обозначать τ̄ , то
τ̄ =ni T i k ek . Следовательно интеграл слева представляет собой сумму сил, приложенных к поверхности области. Обозначим эту сумму P̄ . Откуда
P̄ =∫ n̄⋅T d s . На замкнутую область кроме поверхностных сил могут действоS
106
вать и объемные силы. Главный вектор объемных сил обозначим F̄ .
Рассмотрим бесконечно ма∂τ
τ z x+ z x d z
лый элемент области и покажем
∂z
на нем только те напряжения, которые приводят к появлению сил
∂ τ yx
в направлении оси x .
τ y x+
dy
τxx
∂z
∂τ
d F x = f x d V – составляюτ x x+ x x d x
d Fx
∂x
τyx
щая объемных сил в направлении
dz
оси x .
τz x
dy
dx
Рис. 8
Проекция всех сил на ось x .
(
)
∂ τ xx ∂ τ yx ∂ τ zx
(12.10)
+
+
d v+ f x d v
∂x ∂y ∂z
Проинтегрировав по всей области, получим
∂τ
∂τ
∂τ
∫ ∂ xxx + ∂ yyx + ∂ zzx d v +∫ f x d v=∑ F x i = P x + F x – сумма проекций на
V
V
ось x всех внешних сил (как поверхностных так и объемных), действующих на
область.
Аналогично можно записать, что
∂τ
∂τ
∂τ
∫ ∂ xxy + ∂ yyy + ∂ zzy d v +∫ f y d v=∑ F y i = P y + F y
V
V
(
)
(
∫(
)
)
V
∂ τ xz ∂ τ yz ∂ τ zz
+
+
d v +∫ f z d v=∑ F z i =P z + F z
∂x ∂y ∂z
V
Из чего следует, что
∫ div τ d v+ F̄ = P̄ + F̄
V
Следовательно, в декартовых координатах
∫ n̄⋅τ d s=∫ div τ d v
S
V
(12.11)
Поскольку тензор напряжений симметричен, можно записать и так
∫ τ⋅n̄ d s=∫ τ⋅d¯s =∫ div τ d v .
S
S
V
Поток тензора напряжения через произвольную замкнутую поверхность
равен интегралу от дивергенции тензора по объему, заключенному внутри поверхности.
107
Формулы Грина
Сформируем вектор ā=φ grad ψ .
Найдем дивергенцию от этого вектора.
div (φ grad ψ )=φ ∆ψ+ grad φ⋅grad ψ
Далее воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского
∫ div ̄a d V =∮ ̄a⋅̄n d s
V
S
∂ψ
= n̄⋅grad ψ , то
∂n
Так как производная по направлению n̄
в нашем случае ā⋅n̄=φ n̄⋅grad ψ =φ
∂ψ
.
∂n
Первая формула Грина
∫ ( φ ∆ψ + grad φ⋅grad ψ ) d V =∮ φ ∂∂ψn d s
(12.12)
∫ ( φ ∆ φ+ (grad φ)2 ) d V =∮ φ ∂∂ φn d s
(12.13)
∫ ∆ψ d V =∮ ∂∂ ψn d s
(12.14)
V
S
При φ=ψ .
V
S
А при φ=1 .
V
S
Вернемся теперь к первой формуле Грина и поменяем в ней местами φ
и ψ.
∫ ( φ ∆ψ + grad φ⋅grad ψ ) d V =∮ φ ∂∂ψn d s
V
S
∫ ( ψ ∆ φ+ grad ψ⋅grad φ) d V =∮ ψ ∂∂ φn d s
V
S
Вычтем одну формулу из другой и получим вторую формулу Грина.
Вторая формула Грина
∫ ( φ ∆ψ −ψ ∆φ ) d V =∮
V
S
(
φ
)
∂ψ
∂φ
−ψ
ds
∂n
∂n
(12.15)
13 Приложения к гидродинамике
Замечание по поводу понятий "жидкой" и "газообразной частиц"
В твердом теле мы всегда можем мысленно выделить некоторую его часть
в качестве частицы. При различных движениях твердого тела выделенная ча108
стица сохраняет свою определенность поскольку состоит из одних и тех же молекул твердого тела. Молекулы твердого тела, конечно совершают колебательные движения, но в целом сохраняют свое положение относительно своих соседей. В жидкости и особенно в газе частица не обладает такой определенностью.
Выделим, к примеру, некоторой
замкнутой поверхностью частицу в
жидкости. Даже если жидкость находится в покое, движение отдельных
молекул в ней не прекращается. Молекулы при своем движении будут пересекать поверхность как в ту так и в другую стороны. Пройдет какое-то не очень
продолжительное время и внутри выделенной области не останется молекул,
которые были там первоначально. Если жидкость однокомпонентная и не содержит растворенных в ней веществ, то "новые" молекулы, которые заменили "старые", физически неразличимы и можно принять, что мы имеем дело с одной и
той же частицей. Мы будем рассматривать только такие случаи.
В покоящейся жидкости граничная поверхность любой частицы остается
неподвижной. При этом через любой элемент поверхности частицы за любой
достаточно большой конечный промежуток времени в обоих направлениях
перемещается равное количество молекул, что гарантирует сохранение ее массы.
При наличии внутренних течений картина усложняется. Баланс входящих
и исходящих молекул на отдельных участках неподвижной границы частицы
нарушается. Чтобы этот баланс сохранился достаточно принять, что каждый
элемент границы перемещается со средней скоростью движения молекул на
данном участке границы. Подводя итог, мы дадим такое определение жидкой
(газообразной) частицы:
Жидкой частицей называется любой объем жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью, каждый элемент которой движется со средней скоростью
движения молекул, находящихся в малой окрестности этого элемента.
Отметим также то, что в гидродинамике (газодинамике) жидкость считается непрерывной средой, а средняя скорость молекул в каждой точке принимается за скорость течения среды в этой точке.
13.1Индивидуальная, локальная и конвективная производные
Скорости индивидуальных частиц жидкой среды образуют поле скоростей
зависящее от времени: ῡ =ῡ (t , x , y , z) .
Ускорение частицы равно производной ее скорости по времени, которая в
этом случае называется индивидуальной производной и обозначается обычd ῡ
ным образом:
.
dt
Пусть за бесконечно малый промежуток времени частица получает перемещение [d x , d y , d z ] , Изменение скорости при этом можно вычислить по фор-
109
∂ ῡ
∂ῡ
∂ ῡ
∂ ῡ
муле полного дифференциала: d ῡ = ∂ t d t + ∂ x d x+ ∂ y d y + ∂ z d z .
Поделим левую и правую части равенства на d t .
d ῡ
= ā= ∂ ῡ + ∂ ῡ υx + ∂ ῡ υ y + ∂ ῡ υz = ∂ ῡ + ῡ⋅grad ( ῡ)= ∂ ῡ + ῡ⋅∇ ( ῡ)=
dt
∂t ∂ x
∂y
∂z
∂t
∂t
= ∂ῡ +(ῡ⋅∇ )ῡ
(13.1.1)
∂t
∂ ῡ
Производная ∂ t определяет быстроту изменения скорости в некоторой
точке пространства и называется локальной производной.
Последнее слагаемое (ῡ⋅∇ ) ῡ называется конвективной производной скорости.
Индивидуальную производную можно записать в операторной форме.
d
()= ∂ ()+(ῡ⋅∇ )()
(13.1.2)
dt
∂t
Очевидно, что весь, только что проделанный нами вывод, можно повторить
и для любой другой функции зависящей от времени и координат. Пусть, например, ρ= ρ(t , x , y , z ) есть функция плотности жидкой среды, тогда
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
d ρ=
d t+
d x+
d y+
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
d ρ ∂ρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
=
+
υ x+
υ y + ∂ῡ υ z = +ῡ⋅grad ρ= +ῡ⋅∇ ρ= +(ῡ⋅∇ ) ρ
d t ∂t ∂ x
∂y
∂z
∂t
∂t
∂t
И мы снова приходим к общему выражению для индивидуальной производной
dρ
= ∂ ()+(ῡ⋅∇ )() ρ , в состав которой входит оператор так называемой
dt
∂t
конвективной производной (ῡ⋅∇ )() .
Конвективная производная дает скорость изменения величины по отношению к движущейся со скоростью ῡ частице. Приведем пример.
Пусть T – неоднородное, но стационарное поле температур. Температура
в каждой точке такого поля не будет изменять во времени. Однако при движении частицы в таком поле датчик температуры, установленный на ней, покажет
изменяющееся значение температуры. При этом скорость изменения температуры будет зависеть от скорости и направления движения частицы.
(
)
13.2 Производная от интеграла по подвижному объему
(По книге Л. И. Седого [121-122 с.])
Масса жидкой или газообразной частицы m=∫ ρ d v не зависит от времеV
ни, что является следствием закона сохранения массы – одного из фундаментальных законов современной физики. Математическим выражением данного
110
d
∫ ρ d v=0 .
dt V
В гидродинамике закон сохранения массы называют условием непрерывности или неразрывности.
d
∫ ρ d v=0 особенный: он
Интеграл
dt V
Σ'
берется по объему жидкой частицы, которая
V'
может изменять свои размеры и форму.
ῡ Δ t Подобные интегралы часто встречаются в
теории сплошных сред, поэтому полезно
n уметь с ними обращаться.
V
Рассмотрим данную проблему, испольds
зую для иллюстрации картинку, которая уже
встречалась ранее.
Σ
закона является уравнение
Пусть V – объем некоторой жидкой частицы, ограниченной поверхностью Σ . За малый промежуток времени d t жидкая или газообразная частица изменяет свои
размеры и форму и переходит в объем V ' с поверхностью Σ ' .
i
Представим, что нас интересует производная интеграла ∫ f ( x ,t ) d v . По
Рис. 1
V
определению производной
d
1
i
f (x ,t )d v= lim
∫
dt V
Δ t →0 Δ t
i
i
f ( x ,t + Δ t )d v −∫ f (x ,t )d v =
∫
(
)
V'
V
1
( f ( x i ,t + Δ t )− f ( xi , t )) d v+ lim 1
∫
Δt→0 Δ t V
Δt →0 Δ t
1
i
f ( x ,t )d v
∫ ∂∂ ft d v + Δlim
∫
t → 0 Δ t V'−V
V
lim
∫
i
f ( x , t )d v=
V'−V
Как видно из картинки f d v= f υ n Δ t d s , поэтому последнее слагаемое
равно
1
i
lim
f (x ,t )d v=∫ f υ n d s
(13.2.1)
∫
Δ t → 0 Δ t V'−V
Σ
Последний интеграл представляет собой поток вектора f ῡ через поверхность Σ . Используя теорему Гаусса-Остроградского, перейдем от поверхностного интеграла к объемному
∫ f υ n d s=∫ div ( f ῡ )d v
Σ
V
Собрав все вместе, получим:
111
(
)
(
)
d
∂f
∂f
i
f ( x , t )d v=∫
+div( f ῡ ) d v=∫
+ῡ⋅grad f + f div ῡ d v=
∫
dt V
∂t
∂t
V
V
=∫
V
( dd ft + f divῡ ) d v
Полученный результат удобнее представить в трех вариантах
d
∂f
i
f ( x , t )d v =∫
+ῡ⋅grad f + f div (ῡ ) d v
∫
dt V
∂
t
V
(
)
(
∫(
)
ῡ )
d
∂f
i
f ( x , t )d v =∫
+div( f ῡ ) d v
∫
dt V
∂
t
V
(13.2.2)
(13.2.3)
d
d f
i
f ( x , t )d v =
+ f div d v
(13.2.4)
∫
dt V
d
t
V
Теперь мы можем вернуться к выводу уравнения неразрывности.
Масса жидкой частицы m=∫ ρ d v не зависит от времени, поэтому:
V
(
)
d
dρ
ρ d v=∫
+ ρ div ῡ d v=0 и поскольку это равенство справедливо
∫
dt V
dt
V
dρ
+ ρ div ῡ =0 .
для любого индивидуального объема, то
dt
Уравнение неразрывности
∂ρ
dρ
∂ρ
+ ρ div(ῡ )+ῡ⋅grad ρ=0 2
+ ρ div ῡ =0 3
+div( ρ ῡ )=0
(13.2.5)
1
∂t
dt
∂t
Для несжимаемой жидкости div ῡ =0 .
Уравнение неразрывности, еще один подход
Уравнение неразрывности является фундаментальным принципом механики сплошных сред и для большей надежности – двойное не рвется – мы дадим
еще одно доказательство этого уравнения.
Возьмем бесконечно малую частицу объемом d v . Ее масса равна
d m= ρ d v .
Через бесконечно малый промежуток времени d t масса частицы получит
приращение ∆ d m . Мы конечно помним, что масса частицы изменится не может, но как настоящие математики мы скажем, что масса все-таки меняется, но
это изменение равно нулю, но скажем это позднее.
∂ ρ ∂ ρ ∂ xi
∆ d m=
+
d t d v + ρ ∆ d v , где ∆ d v – изменение объема за
∂ t ∂ xi ∂ t
(
)
время d t .
∂ ρ ∂ xi
∂ xi
i ∂ ρ
i
=
υ
Поскольку
=υ , то
i
i =ῡ ⋅grad ρ .
∂t
∂ x ∂t
∂x
112
Второе слагаемое можно преобразовать, используя выражение для дивер∆d v
генции div ῡ =
. Отсюда следует, что
d vdt
∂ρ
∆ d m=
+ῡ⋅grad ρ d t d v + ρ div ῡ d t d v .
∂t
Настало время вспомнить, что масса частицы не изменяется, следовательно
∂ρ
+ῡ⋅grad ρ+ ρ div ῡ =0
∂t
Полное совпадение с предыдущим выводом. Результат ожидаемый, но все
равно приятный.
(
)
13.3 Связь между силами и течениями в ньютоновской жидкости
Замечание об обозначениях
В такой науке как "Сопротивление материалов" напряжения принято
обозначать буквой сигма σ . В механике жидкостей буквой сигма обозначается
поверхностное натяжение, возможно поэтому Лойцянский и многие другие авторы напряжения в жидкости обозначают латинской буквой " p ". К сожалению
давление в жидкости также обозначается той же буквой. Чтобы выйти из затруднения Лойцянский давление обозначает строчной буквой " p ", напряжения
– той же буквой с индексами: p i k . Тензор напряжения (безындексная запись)
обозначается прописной буквой " P ". Мне кажется, что такое соглашение может приводить к неверному прочтению, особенно при рукописном способе записи.
В том же "Сопротивлении материалов" буква τ используется для обозначения касательных напряжений. Мне кажется, более логичным и понятным будет
i
расширить область ее полномочий, обозначая τ k любые напряжения в жидкости. Однако в данном разделе для обозначения нормальных напряжений в декартовых координатах я буду использовать более традиционное обозначение с
помощью символа σ . Надеюсь, что это вас не запутает.
Обобщенный закон Ньютона
Вот так он выглядит.
2 i
i
i
i
τ k =2 μ def υ k − μ δ k div ῡ − p δ k
(13.3.1)
3
Лойцянский приводит некоторые рассуждения, имеющие целью показать,
что данный результат является теоретически ожидаемым, хотя и не доказуемым.
Тем не менее правильность данного закона оправдывается практикой его применения, и в силу этого его следует считать экспериментальным фактом, по
крайней мере для многих жидкостей, которые называются ньютоновскими. Нельзя назвать этот закон слишком сложным, но и тривиальным его не назовешь.
Так или иначе – это, видимо, наиболее сложный из законов, придуманных для
природы Исааком Ньютоном. И природа кажется в курсе, поскольку закон этот,
113
как свидетельствует опять же практика, выполняется для многих жидкостей.
Экспериментальный характер закона не отменяет естественного желания
понять откуда ноги растут. Прежде всего хотелось бы понять, что в обобщенном
законе Ньютона непосредственно от того закона, который мы знаем из курса общей физики, ведь на первый взгляд в этих двух законах мало общего, но не будем торопиться с выводами.
y
ῡ
x
ῡ =0
Рис. 1
В соответствии с законом Ньютона, сила, которую требуется приложить
для того, чтобы обеспечить движение пластины (рис. 1) со скоростью υ опре∂υ x
S . Напряжения в жидкости непосредственно под
деляется так: F =τ y x S= μ
∂y
∂υ x
пластиной τ y x = μ
.
∂y
Чтобы продвинуться дальше, нам придется потратить некоторое время на
изучение напряженного состояния для случая рассмотренного Ньютоном. Здесь
есть одна психологическая сложность: нам трудно представить в известных нам
жидкостях наличие каких-либо напряжений кроме гидростатического сжатия.
Жидкость всегда давит на все, что в нее погружено, во всех других проявлениях
она исключительно податлива. Для того, чтобы говорить о напряженном состоянии мы выберем более наглядный пример. К счастью выбор достаточно велик.
Законам вязкого трения по крайней мере в какой-то степени подчиняются даже
такие объекты, которые никак не ассоциируются с жидкостями, например, ледники, даже горные породы. Оказываются они "текут" только очень медленно.
Однако, это другая крайность. Мы выберем в качестве образца вязкой жидкости
кубик из смолы, скажем из черного гудрона. Если к одной из его поверхностей
приложить поверхностную нагрузку, то он начнет деформироваться совсем так
же, как жидкость в законе Ньютона.
Если внутри этого кубика мы вырежем
y
F̄
υ
мысленно небольшой кубический элемент с
ребрами параллельными осям координат, то на
τyx
его гранях обнаружим две пары касательных
напряжений (рис. 2), которые равны по модулю
в силу закона о парности касательных
τx y
напряжений. О привычном для всех жидкостей
давлении мы можем на время забыть, поскольку
оно намного меньше касательных напряжений.
x
Рис. 2
114
Примечательно, что перейдя от воды к гудрону, мы кроме τ y x не забыли
нарисовать и τ x y , о котором обычно не говорят применительно к закону вязкости.
Закон Ньютона сформулирован по отношению к особенной системе координат. Первый шаг, который мы сделаем, идя путем обобщения, будет заключаться в том, что мы получим выражения для координат тензора напряжения в
системе координат, повернутой на угол альфа по отношению к первоначальной.
Используем закон преобразования координат тензора
[ τ • ' • ' ]=[e• • ' ]T [ τ • • ][e• • ' ]
Для нашего случая
cos α sin α 0 0 τ x y 0 cos α −sin α 0
[ τ • ' • ' ]= −sin α cos α 0 τ y x 0 0 sin α cos α 0 =
0
0
1 0
0
0
1
0 0
][
[
][
][
[
]
]
τ x y sin 2 α τ x y cos 2 α 0
σ x' τ x' y' 0
= τ y x cos 2 α −τ y x sin 2 α 0 = τ y ' x ' σ y ' 0
(13.3.2)
0
0
0
0
0
0
Интересно отметить, что в повернутом кубике у нас сразу же появились
нормальные напряжения, которых не было вначале.
В повернутой системе координат вектор скорости уже не будет параллелен
оси x . Теперь нам нужно производную, присутствующую в законе Ньютона,
выразить через производные от координат вектора.
y
υ 1x'
υ 1 y'
α
1y
υ1
2y
y'
y1
α
2x
y2
1x
υ2
α
x'
υ2
x
Рис. 3
∂υ 1x '
Вычислим сначала производную
. Когда мы перемещаемся из начала
∂ y'
координат в точку 1 y (рис. 3), скорость изменяется от нуля до значения υ 1 , которое она принимает в точке 2 y . υ 1 x ' – это координата скорости υ 1 в поверну115
той системе координат, она равна υ 1 x ' =υ 1 cos α .
y 1 – это расстояние от начала координат до точки 2 y на старой координатной оси. y ' – это расстояние до точки 1 y на новой координатной оси. Между
этими расстояниями существует связь:
y1 = y ' cos α
d y 1=d y=d y ' cos α
∂ υ 1 x ' ∂ υ x ' ∂υ cos α ∂ υ
=
=
=
cos 2 α .
Следовательно,
∂ y'
∂ y ' ∂ y / cos α ∂ y
∂υ 2 y'
Для вычисления производной
необходимо получить аналогичные
∂ x'
зависимости для координаты скорости υ 1 y ' и соответствующих расстояний. Я
не буду делать это подробно, а запишу окончательный результат.
∂ υ 2 y ' ∂υ y '
∂ υ sin α
=
=−
=− ∂ υ sin 2 α
∂ x'
∂ x'
∂ y /sin α
∂y
Сложим два последних равенства и умножим на μ
∂ υ y ' ∂υ x '
2
2
μ
+
= μ ∂ υ (cos α−sin α)=τ y x cos 2 α=τ y ' x '
∂x' ∂ y'
∂y
Нам удалось таким образом получить выражение для касательных напряжений в повернутой относительно оси z координатной системе. Тем не менее
наша система координат все еще остается специальной координатной системой.
Для того, чтобы перейти к системе координат наиболее общего вида нам необходимо повернуть нашу новую координатную систему еще относительно осей
x и y . Сделать это при помощи геометрических построений довольно сложно,
поэтому мы воспользуемся вычислительными преимуществами тензорной алгебры. Нам понадобятся матрицы поворота относительно осей.
1
0
0
cos α 2 0 sin α 2
•
•
[ R x • ' ]= 0 cos α 1 −sin α 1 [ R y • ' ]=
0
1
0
0 sin α1 cos α1
−sin α 2 0 cos α 2
(
[
[
)
] [
]
]
cos α 3 −sin α 3 0
[ R ]= sin α 3 cos α 3 0
0
0
1
Найдем выражение для тензора напряжений в системе координат общего
положения.
[ τ • ' • ' ]=[ R •z •' ]T [ R •y • ' ]T [ R•x •' ]T [ τ • • ][ R •x • ' ][ R•y • ' ][ R •z •' ]
Выражение получается очень громоздкое, поэтому я не буду приводить его
целиком.
1
τ x ' y ' =(cos α 1 cos α 2 cos 2 (2 α 3 )− sin α 1 sin (2 α 2 )sin (2 α 3 ))τ ,
2
где τ – касательное напряжение, вычисленное в начальной "ньюто•
z •'
116
новской" системе координат.
Запишем тензор ковариантной производной
[ ]
∂υ x
∂x
∂υ y
[V • • ]=
∂x
∂υ z
∂x
∂υ x
∂y
∂υ y
∂y
∂υ z
∂y
∂υ x
∂z
0
∂υ y
=
0
∂z
∂υ z
0
∂z
[ ]
∂υ
∂y
0
0
0
0 ,
0
∂υ
где производная ∂ y берется в первоначальной системе координат.
Найдем тензор производной в произвольной системе.
[V • ' • ' ]=[ R •z •' ]T [ R •y • ' ]T [ R•x •' ]T [V •• ][ R•x •' ][ R•y • ' ][ R •z • ' ] .
Я снова не буду приводить все выражение целиком, а, воспользовавшись
значениями координат тензора, приведу сумму нужных мне частных производных.
∂υ x' ∂υ y'
1
+
=(cos α 1 cos α 2 cos(2 α 3 )− sin α 1 sin (2 α 2 )cos α 2 sin (2 α 3)) ∂ υ
∂ y' ∂x'
2
∂y
Умножив равенство на коэффициент динамической вязкости мы снова по∂ υ y ' ∂υ x '
+
=τ y ' x ' .
лучим, что μ
∂ x' ∂ y'
Для остальных касательных напряжений мы получаем аналогичный результат, что позволяет нам записать полное выражение для тензора напряжений.
(
[
)
]
[
σx
σ x τ x y τxz
∂υ y ∂υ x
τyx σy τyz = μ
+
∂x ∂y
τz x τ z y σ z
∂υ z ∂υ x
μ
+
∂x ∂z
(
(
μ
(
)
υ
) (
μ
) (
(
υ
)
∂υ y ∂υ x
+
∂x ∂y
σy
∂ y ∂ z
+
∂z ∂y
∂ υ z ∂υ x
+
∂x ∂z
∂υ y ∂υ x
μ
+
∂x ∂y
μ
σz
]
)
)
Штрихи у индексов я опустил.
До сих пор нас не сильно интересовали нормальные напряжения, которые
появляются в произвольно ориентированной координатной системе. Проведенные нами вычисления с матрицами позволяют получить выражения и для них.
Опять же в силу громоздкости результата я приведу выражения только для σ x '
и V x' .
σ x ' =(cos α1 cos α 2 sin (2 α 3 )+sin α 1 sin (2 α 2 )cos 2 α 3) τ
∂υ
1
V x ' = x ' = (cos α 1 cos α 2 sin (2 α 3 )+sin α 1 sin (2 α 2 )cos 2 α 3 ) ∂υ
∂x' 2
∂y
Умножив последнее равенство на 2 μ и сравнив его с предыдущим, мы по117
лучим
∂υ x'
.
∂ x'
Поскольку для остальных нормальных выражений получается аналогичный результат, мы можем уточнить наше выражение для связи напряжений и
скоростей.
σ x ' =2 μ
[
[
∂υ x
∂x
τxz
∂υ y ∂υ x
τyz = μ
+
∂x ∂y
σz
∂υ z ∂υ x
μ
+
∂x ∂z
]
σx τxy
τyx σy
τz x τ z y
(
(
(
∂υ y ∂υ x
+
∂x ∂y
∂υ y
2μ
∂y
∂υ y ∂υ z
μ
+
∂z ∂y
2μ
μ
)
) (
) (
(
)
∂ υ z ∂υ x
+
∂x ∂z
∂υ y ∂υ x
μ
+
∂x ∂y
∂υ z
2μ
∂z
μ
]
)
)
Отметим, что пока мы не отступили от первоначального закона Ньютона
ни на йоту, просто мы нашли его выражение в произвольно ориентированной
системе координат. Закон Ньютона, следовательно и наше его выражение, не отражает полной картины напряженного состояния в жидкости, поскольку в нем
не представлено давление, присутствующее в любой жидкости.
Представим, что наш кусок гудрона помещен в воду на большой глубине,
тогда на него будет действовать всестороннее сжатие. Если это сжатие никак не
отражается на значении коэффициента вязкости, то его можно просто добавить
к полученному тензору.
[
σx τxy
τyx σy
τz x τ z y
[
∂υ x
∂x
τxz
∂υ y ∂υ x
τyz = μ
+
∂x ∂y
σz
∂υ z ∂υ x
μ
+
∂x ∂z
]
2μ
(
(
(
∂υ y ∂υ x
+
∂x ∂y
∂υ y
2μ
∂y
∂υ y ∂υ z
μ
+
∂z ∂y
μ
)
) (
) (
(
)
]
)
)
∂ υ z ∂υ x
+
∂x ∂z
1 0 0
∂υ y ∂υ x
−
p
μ
+
0 1 0
∂x ∂y
0 0 1
∂υ z
2μ
∂z
μ
[ ]
Сравнивая полученное нами выражение с законом (1) приведенным вначале, мы можем констатировать полное совпадение выражений при условии равенства нулю дивергенции скорости, что обычно принимается для несжимаемых жидкостей. То есть обобщенный закон строго выводится из закона Ньютона. Единственное допущение, которое мы сделали при этом это то, что коэффициент вязкости не зависит от давления.
Перейдем к сжимаемым жидкостям и газам. Для начала запишем полученное нами выражение в краткой форме.
τ i k =2 μ def υ i k − p δ i k
В случае вязкой сжимаемой среды будет происходить дополнительное рассеивание энергии при изменении ее объема. Чтобы это учесть вводится дополнительный член зависящий от объемной деформации.
118
(13.3.3)
τ i k =2 μ def υ i k +ξ δ i k div ῡ − p δ i k ,
где ξ – некоторый коэффициент.
Далее нам придется сделать одно допущение, которое вытекает из предыдущего опыта. Сейчас я поясню, что я имею ввиду. Найдем среднее значение
нормальных напряжений для несжимаемой жидкости:
∂υ x ∂υ y ∂υ z
1
2μ
+
+
−3 p =− p
3
∂x ∂y ∂z
То есть среднее нормальное напряжение равно давлению в жидкости. Мы
допускаем, что это свойство сохранится и в случае сжимаемой жидкости. Посмотрим, что это дает. Найдем среднее значение напряжений в формуле (3).
1
( 2 μ div ῡ +3 ξ div ῡ −3 p )=− p= 2 μ div ῡ +ξ div ῡ − p
3
3
2
Мы видим, что указанное свойство сохраняется при ξ = μ .
3
При сделанных допущениях мы приходим к общему закону (1).
Лойцянский, однако предупреждает, что в данной форме закон может нарушаться в газах при больших скачках плотности, например в условиях взрывной
волны.
( (
) )
13.4 Основное уравнение динамики сплошной среды
Для произвольного элемента сплошной среды мы можем записать
∫ ā d m=∫ f¯ d m+∫ ¯τ̄⋅n d s+ ∑ R̄i ,
M
M
S
(13.4.1)
где ā – ускорения точек среды;
f¯ – объемная сила приходящаяся на единицу массы;
¯τ̄ – тензор механических напряжений;
R̄ i – система сосредоточенных сил;
d m – масса элемента среды;
M – масса выделенной области среды;
S – внешняя граница области;
d s – площадь элемента поверхности внешней границы.
Преобразуем левый интеграл.
∫ ā d m=∫ ddῡt d m= ddt ∫ ῡ ρ d v
M
M
V
Поверхностный интеграл преобразуем к объемному, используя теорему
Гаусса-Остроградского.
∫ ¯τ̄⋅n d s=∫ div ¯τ̄ d v
S
V
Основное уравнение динамики для конечной области сплошной среды.
119
∫ ā ρ d v= ddt ∫ ῡ ρ d v=∫ ( ρ f¯ +div ¯τ̄ )d v +∑ R̄i
V
V
(13.4.2)
V
Основное уравнение динамики справедливо для областей любых конечных
размеров. При отсутствии сосредоточенных сил мы можем получить уравнение
в дифференциальной форме, которое будет уже справедливо в любой криволинейной координатной системе, поскольку в нем нет интегралов.
1
1
ā= f¯ + div ¯τ̄ ∼a k = f k + ∇ i τ i k , где ā – индивидуальная производная.
ρ
ρ
Развернув индивидуальную производную, мы получаем основное уравнение динамики сплошной среды в дифференциальной форме.
∂υ k
i
k
k 1
ik
(13.4.3)
+(υ ∇ i )υ = f + ∇ i τ
∂t
ρ
Полученное уравнение выполняется в любой инерциальной системе отсчета.
13.5 Уравнение Навье-Стокса для вязкой и несжимаемой жидкости
Запишем основное уравнение динамики сплошной среды в дифференциальной форме.
∂υ k
i
k
k 1
ik
+(υ ∇ i )υ = f + ∇ i τ
∂t
ρ
Еще раз напомню, что
f¯ – плотность массовых сил;
ρ – плотность среды;
¯τ̄ – тензор механических напряжений;
ῡ – скорость.
Для вычисления напряжений воспользуемся обобщенным законом Ньютона для вязкой жидкости.
i
i
i
τ k =2 μ def υ k − p δ k
1
τ i k =2 μ def υ i k − p g i k =2 μ ( ∇ i υ k + ∇ k υ i )− p g i k = μ ( ∇ i υ k + ∇ k υ i )− p g i k ,
2
i
im
где ∇ =g ∇ m .
Вычислим дивергенцию от тензора напряжения.
ik
i k
k i
ik
k
k
i
ik
∇ i τ = μ ( ∇ i ∇ υ + ∇ i ∇ υ )− g ∇ i p= μ ( ∆ υ + ∇ ∇ i υ )− g ∇ i p .
Для несжимаемой жидкости
k
∇ ∇ iυ
i
= ∇ k div ῡ =0 .
ik
k
ik
Следовательно для несжимаемой жидкости ∇ i τ = μ ∆ υ − g ∇ i p .
Подставляя найденное выражение для напряжений в уравнение динамики,
получим
∂υ k
gi k
μ
i
k
k
k
+(υ ∇ i )υ = f −
∇ i p+ ∆ υ .
∂t
ρ
ρ
120
μ
называется кинематической вязкостью. Обозначив его анρ
глийской буквой k , мы получим уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости.
Отношение
Уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости
∂υ k
gi k
i
k
k
k
+(υ ∇ i )υ = f −
∇ i p+k ∆ υ
∂t
ρ
и в более краткой форме
d ῡ ¯ 1
= f − grad p+ k ∆ ῡ
dt
ρ
(13.5.1)
(13.5.2)
Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах
Выражение для лапласиана у нас уже есть, мы его получили ранее. Осталось вычислить градиент давления и конвективную производную скорости.
Начнем с более простого – с градиента.
grad p=∇ i p ei = g i k ∇ i p e k
∂p
∂p
11
e1 =
e
1 g ∇ 1 p e1 =
∂r
∂ r 1*
1 ∂p
1 ∂p
1∂p
22
e 2= 2
r e2 *=
e
2 g ∇ 2 p e 2= 2
r ∂ φ 2*
r ∂φ
r ∂φ
∂p
∂p
33
e 3=
e
3 g ∇ 3 p e3 =
∂z
∂ z 3*
Это все. Теперь перейдем к конвективной производной.
(ῡ⋅∇ ) ῡ =υ 1 ∇ 1 ῡ +υ 2 ∇ 2 ῡ +υ 3 ∇ 3 ῡ
(
)
(
)
k
1
2
3
1
k
1 ∂υ
○
k
1 ∂υ
1 ∂υ
2
2
1 ∂υ
υ
∇
υ
e
=
υ
+
υ
Γ
e
=
υ
e
+
υ
+
υ
Γ
e
+
υ
e=
1
1
k
○1
k
21
2
∂r
∂r 1
∂r
∂r 3
1
(
2
1
1
1
=υ ∂υ e1 + υ ∂ υ + υ υ
∂r
∂r
r
2
)
3
1
e 2 +υ ∂υ e 3=
∂r
( ( )
)
2*
∂u
u υ 2*
∂w
∂
υ
=u
e1 * + u
+ 2 r e2 * +u
e =
∂r
∂r r
∂ r 3*
r
((
)
∂u
1 ∂υ 2* υ 2* u υ 2*
∂w
=u
e1 * + u
− 2 + 2 r e2 * +u
e =
∂r
r ∂r
∂r 3*
r
r
=u
)
2*
∂u
∂w
e1 * +u ∂ υ e2 * +u
e
∂r
∂r
∂r 3*
121
(
)
υ ( υ υ
) υ( υ υ ) υ υ
=(υ ∂ υ −r (υ ) ) e +(υ ∂ υ + υ υ ) e +υ ∂υ e =
∂φ
∂φ
r
∂φ
2 υ
2
=
2
∇ 2υ
k
e k =υ
1
∂ +
∂φ
2
1
2
2
k
∂υ +υ ○ Γ k e =
○2
k
∂φ
1
Γ 2 2 e1+
2
∂ +
∂φ
2
2 2
2
2
1
(
1
2
Γ 1 2 e 2+
1
2
2
3
∂ e=
∂φ 3
3
2
2
) (
3
)
2* 2
2*
2*
2*
2*
2*
∂ u (υ )
uυ
∂w
υ
=
−
e1 * + υ ∂ υ +
e 2* + υ
e
r ∂φ
r
r ∂φ
r
r ∂ φ 3*
(
)
k
2*
∂u
∂w
3
k
3 ∂υ
○
k
∂
υ
υ
∇
υ
e
=
υ
+
υ
Γ
e
=w
e
+w
e 2* +w
e
3
3
k
○3
k
1*
∂z
∂z
∂z
∂ z 3*
В матричной форме
[
]
[] ] [ ]
]
(υ φ)2
∂u
1 ∂u φ ∂ u
u+
υ +
w−
∂r
r ∂φ
∂z
r
φ
φ
φ
φ
1
u
υ
φ ∂υ
∂
υ
∂
υ
(ῡ⋅∇ ) ῡ ∼
u+
υ +
w+
∂r
r ∂φ
∂z
r
∂w
1 ∂w φ ∂w
u+
υ +
w
∂r
r ∂φ
∂z
(13.5.3)
Осталось только привести окончательную форму уравнения. Запишем ее
также в матричной форме.
[ ][
∂u
∂t
φ
∂υ +
∂t
∂w
∂t
(υ φ)2
∂u
1 ∂u φ ∂u
u+
υ +
w−
∂r
r ∂φ
∂z
r
φ
φ
φ
φ
∂υ u+ 1 ∂υ υ φ + ∂ υ w+ u υ =
∂r
r ∂φ
∂z
r
∂w
1 ∂w φ ∂w
u+
υ +
w
∂r
r ∂φ
∂z
[
r
f
fφ −
fz
∂2 u 1 ∂ u 1 ∂2 u ∂2 u 2 ∂υ φ u
+ 2
− 2
2+
2+
2− 2
∂ r r ∂r r ∂ φ ∂ z
r ∂φ r
2 φ
φ
1
1 2 φ 2 φ 2 ∂u υ φ
k ∂ υ2 + ∂ υ + 2 ∂ υ2 + ∂ υ2 + 2
−
r ∂ r r ∂φ
∂r
∂ z r ∂ φ r2
2
2
2
∂ w 1 ∂w 1 ∂ w ∂ w
+
+
+
∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z 2
1 ∂p
ρ ∂r
1 ∂p
+
r ρ ∂φ
1 ∂p
ρ ∂z
(13.5.4)
Как обычно, использовать цилиндрические координаты особенно удобно
для решения осесимметричных задач. Посмотрим какие изменения привносит в
уравнения Навье-Стокса осевая симметрия.
122
Осесимметричная задача в цилиндрических координатах
Поскольку υ φ тождественно равна нулю, то из трех уравнений остаются
два.
(
)
)
∂ u ∂u
∂u
1∂p
∂2 u 1 ∂ u ∂2 u u
r
+
u+
w= f −
+k
+ 2− 2
2+
∂ t ∂r
∂z
ρ ∂r
∂r r ∂ r ∂ z
r
(
∂w ∂w
∂w
1∂p
∂2 w 1 ∂ w ∂2 w
z
+
u+
w= f −
+k
+ 2
2 +
∂t ∂ r
∂z
ρ ∂z
∂r r ∂ r ∂ z
Вот собственно и все.
(13.5.5)
(13.5.6)
13.6 Формула Пуазейля
Мне не нравится традиция, которая сегодня набирает популярность, использовать короткие имена. Сравните, например, Алла Пугачева и Алла Борисовна Пугачева. Второй вариант по-моему лучше, но есть имена, которые
просто ласкают слух. Жан Луи Мари Пуазейль – чувствуете музыку этого имени? Так вот, Жан Луи Мари Пуазейль экспериментально открыл зависимость
потока жидкости, протекающей через длинный капилляр постоянного сечения
от перепада давления на концах капилляра. Формулу Пуазейля мы используем в
качестве пробного камня, на котором испытаем наше умение применять полученные знания при решении практических задач.
Пусть жидкость течет по трубке под действием перепада давления, как показано на рисунке 1.
P2
P1
r
Z
w
L
2R
Рис. 1
Для вывода зависимости воспользуемся уравнениями динамики в
ортонормированной цилиндрической системе. Воспользуемся тем, что случай
является осесимметричным.
∂u
∂u
∂u
1 ∂ P μ ∂ 2 u 1 ∂ u ∂2 u u
+u
+w
=−
+
+
+
−
∂t
∂r
∂z
ρ ∂ r ρ ∂ r2 r ∂ r ∂ z2 r 2
(
)
(
)
∂w
∂w
∂w
1 ∂ P μ ∂2 w 1 ∂ w ∂2 w
,
+u
+w
=−
+
+
+
∂t
∂r
∂z
ρ ∂ z ρ ∂ r2 r ∂ r ∂ z2
где
u , w – проекции скорости;
P – давление;
123
(13.6.1)
ρ – плотность;
μ – динамическая вязкость;
r , z – цилиндрические координаты.
Перед тем, как вплотную заняться уравнениями, подытожим все, что нам
уже известно по данной задаче.
При ламинарном течении жидкости по длинному капилляру постоянного
сечения скорость в любой точке направлена по оси Z . Следовательно все
компоненты скорости кроме компоненты, направленной по оси Z , равны нулю.
В силу осевой симметрии и постоянства сечения капилляра скорость w зависит
только от расстояния до оси r .
w
w0
Скорость течения в непосредственной близости к стенкам капилляра можно принять равной нулю. Свое максимальное значение скорость принимает в точках, лежащих на оси.
Рис. 2
Посмотрим, что нам даст первое уравнение (13.6.1).
∂P
=0 , откуда следует, что давление постоянПоскольку u ≡ 0 получаем,
∂r
но в сечении перпендикулярном оси (рис 1).
Перейдем ко второму уравнению (13.6.1).
Для стационарного состояния локальная производная скорости равна нулю.
∂w
=0 , левая часть равна нулю. В правой части нулю
И, поскольку u=0 и
∂z
2
∂ w
=0 . С учетом сделанных замечаний упрощаем
равна вторая производная
2
∂z
уравнение.
∂2 w 1 ∂ w ∂ P
μ
=
. Поскольку P не зависит от r , равенство возможно
2 +
∂z
∂r r ∂r
(
)
z.
только
при
линейной
зависимости
от
Следовательно
P 1− P 2
∂P
∆P
.
=const=
=−
∂z
L
L
2
d w 1dw
ΔP
+
=−
=−A , где A – константа.
2
μL
dr r dr
Поскольку w зависит только от одной переменной ( r ) частную производную заменяем на обычную.
dw
=y
Сделаем замену
dr
dy y
+ =− A
dr r
124
Сделав еще одну замену
y
= z приходим к уравнению с разделяющимися
r
переменными
dz
r
+2 z=− A .
dr
Решая уравнение и возвращаясь к первоначальным переменным, приходим
к уравнению:
dw
2
2r
+ A r = B , где B – константа. Из равенства нулю левой части уравdr
нения при r=0 следует, что B=0 . Таким образом мы приходим к уравнению
dw
2
=− A r .
dr
2
r
Решая уравнение получаем w =− A + B , где B – константа, которая
4
определяется из граничных условий: при r= R w =0 .
Окончательное выражение для скорости
Δ P R2
r2
w=
1− 2
(13.6.2)
4μL
R
Из этой формулы можно получить выражение для скорости на оси Z :
2
ΔPR
w 0=
.
4μL
Найдем поток жидкости Q через капилляр.
( )
R
R
Q=∫ w d s=∫ w 2 π r d r=2 π w 0∫
S
0
0
( )
3
2
r
πR
r− 2 d r=
w0
2
R
π R4 ∆ P
И окончательно Q=
. Это и есть формула Пуазейля
8μL
(13.6.3)
13.7 Уравнение Навье-Стокса для ротора
Уравнения Навье-Стокса вместе с уравнением неразрывности в принципе
позволяют найти поля скоростей и давлений в жидкости при известных граничных условиях и силовых воздействиях. Однако задача эта не простая. При выполнении численных расчетов обычно прибегают к преобразованию системы
уравнений к более удобному для вычислений виду. Наиболее часто прибегают к
двум способам преобразований, один из которых мы сейчас рассмотрим.
Начнем преобразования с уравнения Навье-Стокса.
d ῡ ∂ῡ
1
=
+(ῡ⋅∇ )ῡ = f¯ − grad p+ k ∆ ῡ , где f̄ – объемная сила, приходяd t ∂t
ρ
щаяся на единицу массы.
Если f̄ сила тяжести, то
125
1
ḡ − ∂ῡ −(ῡ⋅∇ )ῡ − grad p+k ∆ ῡ =0
∂t
ρ
Возьмем ротор от левой части
∂ ῡ +−∇ ×((ῡ⋅∇ )ῡ )− 1 ∇ × grad p+ k ∇ × ∆ ῡ =0
∇ × ḡ−∇ ×
∂t
ρ
Учтем, что ∇ × ḡ=0 ,
∇ ×grad p=0 ,
∂ ῡ = ∂ rot ῡ
∇×
и
∂t ∂t
∇ ×((ῡ⋅∇ )ῡ )=div ῡ rot ῡ +(ῡ⋅∇ ) rot ῡ −(rot ῡ )⋅∇ ῡ
(13.7.1)
(13.7.2)
− ∂ rot ῡ −div ῡ rot ῡ −(ῡ⋅∇ )rot ῡ +(rot ῡ )⋅∇ ῡ + k ∇ × ∆ ῡ =0 или
∂t
∂ rot ῡ +div ῡ rot ῡ +(ῡ⋅∇ )rot ῡ −(rot ῡ )⋅∇ ῡ =k ∇ × ∆ ῡ
∂t
Для краткости ротор скорости обозначим Ω̄ .
∂ Ω̄
+ Ω̄ div ῡ +(ῡ⋅∇ ) Ω̄−Ω̄⋅∇ ῡ =k ∇ × ∆ ῡ
∂t
Операторы взятия ротора и лапласиана можно переставить местами.
∂ Ω̄
+ Ω̄ div ῡ +(ῡ⋅∇ ) Ω̄−Ω̄⋅∇ ῡ =k ∆ Ω̄
∂t
Если учесть, что ∆ ῡ =grad (div ῡ )−rot rot ῡ , то мы получим более удобную
для расчетов формулу
∂ Ω̄
+ Ω̄ div ῡ +(ῡ⋅∇ ) Ω̄−Ω̄⋅∇ ῡ =k ∇ ×(grad (div ῡ )−rot rot ῡ )
∂t
Снова учитываем, что ротор от градиента равен нулю.
∂ Ω̄
+ Ω̄ div ῡ +(ῡ⋅∇ ) Ω̄−Ω̄⋅∇ ῡ =−k rot rot Ω̄
(13.7.3)
∂t
Для стационарных потоков несжимаемой жидкости
(ῡ⋅∇ ) Ω̄−Ω̄⋅∇ ῡ =−k rot rot Ω̄
Осесимметричная задача в цилиндрических координатах
Условия осесимметричности задачи
υ 1=υ r=u , υ 2 =υ φ=0 , υ 3=υ z =w ;
∂u ∂w
=
=0 .
∂ φ ∂φ
Кроме того
126
(13.7.4)
[]
0
Ω̄=rot ῡ =Ω e2 =Ω eφ ∼ Ω , где Ω обозначает единственную не равную
0
нулю координату ротора.
Докажем последнее утверждение.
2
φ
Ω̄=ε
i jk
∇ jυ k e i∼
√g
••
[
∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2
∇ 3 υ 1− ∇ 1 υ 3
∇ 1 υ 2− ∇ 2 υ 1
]
(13.7.5)
Покажем, что Ω1 =0 .
√ g • • Ω1= ∇ 2 υ 3− ∇ 3 υ 2=
∂υ 3
∂x
(
−υ ○ Γ ○32−
2
∂υ 2
∂x
3
)
−υ ○ Γ ○23 =0
Для Ω3 =0 аналогично.
Найдем Ω2
∂υ
(
√ g • • Ω2 = ∇ 3 υ 1− ∇ 1 υ 3 = ∂ z1 −υ ○ Γ ○13−
∂υ 3
∂υ ∂υ
○
−υ ○ Γ 31 = 1 − 3
∂r
∂z
∂r
)
Поскольку √ g • • =r
1 ∂υ 1 ∂υ 3
1 ∂υ 1 ∂υ 3
∂ u ∂w
Ω̄=
−
e 2=
−
r e 2* =
−
e , где, как обычно,
r ∂z
∂r
r ∂z
∂r
∂ z ∂r 2*
(
) (
)
(
)
e 2* – вектор ортонормированного базиса, следовательно единственная координата ротора в ортонормированном базисе:
∂u ∂w
Ω* = −
(13.7.6)
∂z ∂r
Лапласиан в цилиндрических ортонормированных координатах мы уже однажды вычисляли
[
∂2 a r 1 ∂ a r 1 ∂2 a r ∂2 a r 2 ∂ a φ a r
+
+
−
−
2 +
r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z2 r 2 ∂ φ r 2
∂r
r
[ Δ ā ]
2 φ
φ
2 φ
2 φ
r
φ
1 ∂a 1 ∂ a ∂ a 2 ∂a a
φ = ∂ a
+
+
+
+
−
[Δ ā ]
2
r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z2 r 2 ∂ φ r 2
∂r
z
[ Δ ā ]
2 z
z
2 z
2 z
∂ a 1 ∂a 1 ∂ a ∂ a
+
+
+
∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ φ2 ∂ z 2
[ ]
]
Напомню, что хотя формула записана в ортонормированных координатах,
символ * опущен.
Подставляя вместо координат вектора ā координаты вектора Ω̄ мы получим
127
[ ][
](
0
[ Δ Ω̄]r *
2 *
*
2
*
*
2 *
*
2 *
*
1 ∂ Ω ∂ Ω Ω ∼ ∂ Ω + 1 ∂ Ω + ∂ Ω −Ω e
φ* = ∂ Ω
+
+
− 2
[Δ Ω̄]
2*
2
2
2
2
r ∂ r ∂ z2
r ∂r
∂r
r
∂r
∂z
r
z*
[ Δ Ω̄]
0
)
Вычислим Ω̄⋅∇ ῡ
Ω̄⋅∇ ῡ ∼[ 0 Ω 0]
[
∇ 1υ
1
∇ 1υ
2
∇ 1υ
3
∇ 2υ
1
∇ 2υ
2
∇ 2υ
3
∇ 3υ
1
∇ 3υ
2
∇ 3υ
3
]
=Ω [ ∇ 2 υ
1
∇ 2υ
2
∇ 2υ
3
2
]∼Ω ∇ 2 υ e 2
Вычислим
2
∂υ 2 +υ ○ Γ 2 =υ 1 Γ 2 = υ 1
∇ 2υ =
○2
12
r
∂ x2
Следовательно
1 *
u Ω*
2
2
Ω̄⋅∇ ῡ =Ω ∇ 2 υ e 2= Ω ∇ 2 υ r e 2* =
e
r
r 2*
Осталось вычислить конвективную производную
(ῡ⋅∇ ) Ω̄=υ 1 ∇ 1 Ω̄+υ 3 ∇ 3 Ω̄
2
∂ Ωi
1 ○ i
1 ∂Ω
1 2 2
υ ∇ 1 Ω ei =υ
ei +υ Ω Γ ○ 1 ei =υ
e 2 +υ Ω Γ 2 1 e 2 =
∂r
∂r
1
i
1
( )
*
*
*
*
*
*
Ω
Ω 1
∂Ω
Ω
Ω
∂Ω
=u ∂
r e 2* + u
r e 2* =u
e2 *−u 2 r e 2* +u
e2 *=u
e
∂r r
r r
∂r
r
∂ r 2*
r
Аналогично
∂ Ω*
υ 3 ∇ 3 Ωi ei =w
e
∂ z 2*
В результате для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах
мы получаем единственное уравнение Навье-Стокса для ротора
∂Ω
∂Ω uΩ
∂2 Ω 1 ∂ Ω ∂2 Ω Ω
u
+w
−
=k
+ 2− 2
(13.7.7)
2 +
∂r
∂z
r
∂r r ∂ r ∂ z
r
Символ * мы снова опустили.
Мы пытались упростить задачу нахождения поля скоростей в жидкости исключив неизвестное давление, но исключив неизвестное давление, мы получили неизвестный ротор и преобразования еще не закончены. Обычно обращаясь
к уравнению для ротора вводят так называемую функцию тока ψ . Для цилиндрических координат ее вводят при помощи следующих зависимостей:
1 ∂ψ
1 ∂ψ
u=
(13.7.8)
, w =−
r ∂z
r ∂r
Выразим ротор через функцию ψ
(
)
128
(
∂ u ∂ w 1 ∂2 ψ 1 ∂2 ψ 1 ∂ ψ 1 ∂2 ψ 1 ∂ ψ ∂2 ψ 2 ∂ ψ
Ω= −
=
+
−
=
+
+
−
∂ z ∂ r r ∂ r2 r ∂ z2 r2 ∂ r r ∂ r2 r ∂ r ∂ z2 r ∂ r
)
2 ∂ ψ ∂2 ψ 1 ∂ ψ ∂2 ψ
∆ψ −
=
−
+
=r Ω
r ∂ r ∂ r2 r ∂ r ∂ z2
Подведем итог проделанной работе.
∂Ω
∂Ω uΩ
∂2 Ω 1 ∂ Ω ∂2 Ω Ω
u
+w
−
=k
+
+ 2− 2
2
∂r
∂z
r
∂r r ∂ r ∂ z
r
(
)
2 ∂ ψ ∂2 ψ 1 ∂ ψ ∂2 ψ
(13.7.9)
∆ψ −
=
−
+
=r Ω
r ∂ r ∂ r2 r ∂ r ∂ z2
1 ∂ψ
1 ∂ψ
u=
, w =−
r ∂r
r ∂z
Мы получили новую систему уравнений, в которую не входит давление. В
принципе это хорошо, когда интересуют только скорости. К тому же эта система
удобнее в вычислительном отношении.
Если же давление все-таки интересно, то его можно определить после нахождения поля скоростей, решая уравнение Пуассона для давления, которое мы
получим в следующем разделе.
В заключение я хочу предложить картинки, иллюстрирующие решение задачи на определение поля скоростей в капле жидкости, подвешенной на цилиндрической опоре. Поскольку жидкость испаряется, ее поверхность охлаждается.
При стационарном процессе, т. е. когда скорость испарения мала, в жидкости
устанавливается стационарное поле температур. При этом на поверхности возникает температурный градиент направленный сверху вниз. Поскольку поверхностное натяжение зависит от температуры, на поверхности возникают поверхностные силы, приводящие к возникновению вихревого осесимметричного
течения в капле. Ясно, что для решения задачи в этом случае, пришлось еще использовать уравнение теплопереноса. Задача решалась методом конечных элементов.
Рис. 1
Рис. 2
129
На рисунке 1 показаны изолинии функции ротора Ω .
На следующей картинке (Рис. 2) показаны линии уровня функции тока ψ .
Линии уровня этой функции при стационарном режиме представляют собой
траектории движения частиц жидкости. Картинка показывает, что движение
жидкости представляет собой кольцевой вихрь аналогичный кольцам дыма, которые умеют выпускать некоторые курильщики. В средней части капли жидкость поднимается, а по поверхности опускается.
Рис. 3
Это движение в капле прозрачной жидкости
можно наблюдать и даже сфотографировать, если
подмешать к ней мелкий порошок.
На фотографии испаряющейся капли с подмешенным к жидкости мелким порошком можно
заметить определенное сходство траекторий движения частиц порошка с линиями уровня. Точного
соответствия, конечно нет, но его и не может
быть: капля представляет собой оптический элемент сложной формы, который искажает истинную картину движения. Тем не менее и фотография свидетельствует о наличии в испаряющейся
капле вихревого движения.
13.8 Уравнение Пуассона
Начнем с уравнения Навье-Стокса для стационарного течения:
∂ ῡ
=0 .
∂t
d ῡ
1
=(ῡ⋅∇ )ῡ = f¯ − grad p+k ∆ ῡ
dt
ρ
Возьмем дивергенцию от правой и левой части
1
∇ ⋅((ῡ ⋅∇ )ῡ )= ∇ ⋅ḡ − ∇ ⋅∇ p +k ∇ ⋅∆ ῡ
(13.8.1)
ρ
1
1 ∆p
∇ ⋅((ῡ ⋅∇ )ῡ )=− ∆ p+ k ∆ ∇ ⋅ῡ =−
ρ
ρ
Преобразуем левую часть уравнения
i
k
i
k
i
k
i
k
∇ ⋅((ῡ ⋅∇ )ῡ )= ∇ k (υ ∇ i υ )=( ∇ k υ )( ∇ i υ )+υ ( ∇ i ∇ k υ )=( ∇ k υ )( ∇ i υ )
Так как для несжимаемой жидкости ∇ k υ k =0
Первая форма уравнения Пуассона для давления
1
− ∆ p=( ∇ k υ i )( ∇ i υ k )
(13.8.2)
ρ
Дивергенция скорости для несжимаемой жидкости равна нулю, следовательно 0=( ∇ i υ i )( ∇ k υ k ) .
Вычтем одно из другого и получим вторую форму уравнения Пуассона для
давления
130
1
∆ p=( ∇ j υ k )( ∇ k υ j )−( ∇ j υ j )( ∇ k υ k )=ε i j k ε i m n ( ∇ j υ m )( ∇ k υ n )
(13.8.3)
ρ
Нельзя отдать явного предпочтения какой-то из этих двух форм. На мой взгляд хрен редьки не слаще. Однако вторая форма позволяет сразу сделать важный для приложений вывод: вдоль шероховатой стенки, ограничивающей движение жидкости, при выполнении условия прилипания лапласиан давления равен нулю.
Что такое условие прилипания? Условие прилипания – это одно из часто
используемых при практических вычислениях граничных условий. Принимается, что частицы жидкости непосредственно прилегающие к шероховатой поверхности остаются неподвижными при ее движении.
Альтернативным к условию прилипания является условие скольжения. При
выполнении условия скольжения жидкость может двигаться вдоль стенки без
сопротивления.
Вернемся к высказанному нами утверждению про лапласиан давления при
выполнении условия прилипания. Направим две из трех координатных осей,
m
например 2 и 3, вдоль стенки. В этом случае только производная ∇ 1υ может
−
k
j
не равняться нулю. Произведение ( ∇ j υ )( ∇ k υ ) может не равняться нулю,
если j=k =1 .
k
j
j
k
Но в этом случае разность ( ∇ j υ )( ∇ k υ )−( ∇ j υ )( ∇ k υ ) все равно будет
равна нулю, следовательно ∆ p=0 .
Заметим, что первая форма уравнения Пуассона для давления не позволяет
сделать такой вывод.
Осесимметричная задача в цилиндрических координатах
Условия осесимметричности задачи
υ 1=υ r=u , υ 2 =υ φ=0 , υ 3=υ z =w
∂ u ∂υ
=
=0
∂ φ ∂φ
k
○
k
∂
υ
Значения производных вычислим по общей формуле ∇ k υ = k +υ Γ ○ k .
∂x
1
∂υ 1 +υ ○ Γ 1 = ∂ u
∇
υ
=
1 1
○1
∂r
∂ x1
2
u
2
○
2
1 2
∂
υ
2 ∇ 2 υ = 2 +υ Γ ○ 2=υ Γ 1 2=
r
∂x
3
∂υ 3 +υ ○ Γ 3 = ∂ w
∇
υ
=
3 3
○3
∂z
∂ x3
2
∂ υ 2 +υ ○ Γ 2 =0
∇
υ
=
4 1
○1
∂ x1
k
131
3
= ∂ υ 2 +υ Γ ○ 2=0
5
∂x
1
∂u
1
○
1
∂
υ
6 ∇ 3 υ = 3 +υ Γ ○ 3=
∂z
∂x
3
∂υ 3 +υ ○ Γ 3 = ∂ w
∇
υ
=
7 1
○1
∂r
∂ x1
Лапласиан давления
∂2 p
ki
k i ∂( ∇ i p)
ki
○
ki
ki ∂ p
○
∆ p= g ∇ k ∇ i p= g
−g ∇ ○ p Γ i k = g
−g
Γ i k=
k
k
i
○
∂x
∂x ∂x
∂x
2
2
2
2
∂ p
∂ p
∂ p
∂ p 1 ∂p
22 ∂ p
1
=
+
−g
Γ 22=
+
+
r=
1
∂r ∂r ∂ z ∂ z
∂ r ∂ r ∂ z ∂ z r2 ∂ r
∂x
∂2 p
∂2 p
∂2 p
∂2 p 1 ∂ p
22 ∂ p
1
=
+
−g
Γ 22=
+
+
r
1
∂r ∂r ∂ z ∂ z
∂ r ∂ r ∂ z ∂ z r2 ∂ r
∂x
∂2 p
∂2 p 1 ∂ p
(13.8.4)
Δ p=
+
+
∂ r ∂ r ∂ z ∂ z r ∂r
∇ 2υ
3
○
3
Уравнение Пуассона
2
2
2
2
2
1 ∂ p 1∂p ∂ p
∂u
∂ w ∂u ∂ w
u
−
+
+
=
+2
+
+ 2
ρ ∂ r ∂r r ∂r ∂ z ∂ z
∂r
∂r ∂z ∂z
r
(
)( )
( )
(13.8.5)
Уравнение может быть решено численно, если
предварительно были найдены скорости. Таким образом, например, было найдено поле давления в
испаряющейся капле жидкости. На рисунке 1 слева от
оси показаны изобары, которые не отличаются от изобар в жидкости при отсутствии течений. Это говорит о
том, что слабое течение в капле практически не изменяет поле давления. Если из поля давления вычесть гидростатическую составляющую, то мы получим поле,
показанное справа от оси. На картинке хорошо видно,
Рис. 1
что отклонение все-таки есть, хотя максимальное его значение не превышает 35%. Однако это отклонение может повлиять на точность измерения поверхностного натяжения при использовании метода, основанного на обмере формы
поверхности капли.
В этом месте я заканчиваю свое изложение тензорного анализа, поскольку
мне больше нечего сказать, а читателю должно быть уже надоело читать. Я получил удовольствие и многое понял, работая над этой книгой, а тем, кто сумел
дочитать до этого места, я безмерно благодарен и в качестве благодарности
132
предлагаю несколько картинок, которые мне безумно нравятся.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
На картинках 1 – 4 показаны вихри, которые получаются в капле при достаточно интенсивном ее испарении. Вихри появляются на поверхности и затем
какое-то время блуждают по ее объему, пока не отдадут свою энергию
единственному главному кольцевому вихрю (рис. 3 предыдущего раздела).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
На следующих рисунках показано, как при большей интенсивности движения сначала в верхней части капли вблизи ее оси сначала появляется зародыш турбулентности (Рис. 5), который при приближении к нему оторвавшегося
от поверхности вихря большой интенсивности превращается в область хаотического движения жидкости и почти мгновенно распространяется на всю каплю
(Рис. 6). После этого наступает фаза устойчивого турбулентного движения жидкости по всему объему капли (Рис. 7).
Но это только расчеты, а что происходит в действительности? Я сохраню
интригу и не буду отвечать на этот вопрос. Любите и изучайте природу: она
сложнее и интереснее любой математической модели, какой бы красивой она ни
казалась.
133
Приложение
Некоторые определения и факты из тензорной алгебры
1. Определение тензора
Данное приложение содержит описание некоторых фактов из тензорной
алгебры необходимых для понимания этой книги. Более подробно вопросы тензорной алгебры изложены в моей предыдущей работе "Векторная и тензорная
алгебра для будущих физиков и техников", написанной ранее. Ее можно найти в
Интернете.
Существует несколько определений тензора. Я предпочитаю придерживаться определения данного П. К. Рашевским [13]:
Мы говорим, что нам задан p +q – валентный тензор, p раз
ковариантный и q раз контравариантный, если в каждой координатной
j j ... j
системе нам заданы n p+q чисел T i i ... i , занумерованных p индексами внизу и
1
2
q
1 2
p
q индексами наверху и преобразующихся при переходе от одной координатной
системы к другой по закону
j ' j ' ... j '
j j ... j i
i
i
j'
j'
j'
T i ' i ' ... i ' =T i i ... i ei ' ei ' ... ei ' e j e j ... e j .
1
1
2
2
q
1
p
2
1 2
q
p
1
2
1
p
2
1
p
1
2
2
q
q
j 1 j 2 ... jq
Числа T i i ... i
мы будем называть координатами тензора в
соответствующей координатной системе. Все индексы пробегают значения 1,
2, 3 ..., n независимо друг от друга.
i
Коэффициенты e j являются элементами матрицы преобразования координат.
1 2
p
Другими словами под тензором подразумевается некоторый массив чисел,
привязанный определенной системе координат. При замене координатного базиса числа этого массива преобразуются по определенному закону, который называется тензорным. Закон этот получается расширением известного закона
преобразования координат вектора на многоиндексные числовые структуры.
И хотя математикам этого определения оказалось достаточно, чтобы построить теорию, инженеры и физики под тензором обычно понимают нечто более конкретное. Поэтому имеет смысл говорить о физическом тензоре, как о некой физической величине, свойства которой могут быть заданы при помощи математического тензора. Под математическим тензором при этом понимается
тензор в смысле определения П. К. Рашевского.
2. Матрица преобразования координат
Эта матрица задает тот самый закон преобразования координат тензоров, о
котором говорится в определении и ее необходимо уметь вычислять.
134
В списке обозначений мы записали.
[ ][ ][ ]]
[][][]]
e 1'1
•'
[e• ]= e12'
e 3'1
e1
e12 '
2'
e2
e32 '
e 1'3
2'
e3
e 3'3
e2
– матрица преобразования координат. Состав-
e3
ляется из координат в новом базисе (со штрихами) старых (без штрихов) базисных векторов.
e11 '
•
[e• ' ]= e12 '
e31 '
e12'
2
e 2'
e32'
e1'
e2'
e13 '
2
e3 '
e33 '
e3'
y
3
– матрица обратного преобразования.
e 2'
e1 '
1
Покажем на простом примере, что это
означает. Чтобы облегчить себе задачу будем
считать пространство векторов двумерным.
Пусть "старый" базис является ортонормированным, а новая система координат задана так,
как показано на рисунке.
Координаты векторов нового базиса в деx картовых координатах.
3
1
[]
[]
Рис. 1
e1 ' ∼
3 ,
1 .
e 2' ∼
1
3
Из этих векторов, как из столбцов, мы можем составить матрицу преобразования.
[[ ] [ ] ] [[ ] [ ] ] [
e 1*
[e ]= 1'2*
e1 '
*
•'
e 1'
e1*
2'
e 22 *'
=
e2'
3
1
e 1'
1
3
=
e2'
3 1
1 3
]
(1)
Звездочка означает, что "старая" система координат у нас ортонормированная. Матрица обратного преобразования находится обращением.
[[ ] [ ] ] [
e11 '*
[e ]= 2'
e1 *
•'
*
e1*
e 1'2 *
e 22 '*
e2*
3 1
=
1 3
−1
] [
135
=
1 3 −1
8 −1 3
]
(2)
y
3
e 2' '
Случай, когда оба базиса не являются
ортонормированными, является менее
удобным для вычислений.
Пусть у нас имеется еще одна система
координат (с двумя штрихами). Мы всегда
можем ввести декартову систему как вспомогательную, как это показано на следующем рисунке.
e 2'
2
e1 ' '
1
e1 '
x
3
1
−1
Рис. 2
Координаты базисных векторов вто-
рой системы.
1
−1
e1 ' ' ∼
, e 2' ' ∼
.
1
2
Вычисляем матрицы преобразования для системы с двумя штрихами.
[]
[ ]
[[ ] [ ] ] [ ]
*
[e• ' ' ]=
1
1
e 1' '
−1
2
=
e2''
1 −1
1 2
−1
[
] [
(3)
]
1 2 1
•' '
1 −1
[e* ]=
=
3 −1 1
1 2
Матрицы преобразования между двумя новыми системами получаем следующим образом:
1 2 1 3 1 1 7 5
•' '
•' '
*
[e• ' ]=[e* ][ e• ' ]=
=
3 −1 1 1 3 3 −2 2
[
][ ] [ ]
][ ] [ ]
[
(4)
1 3 −1 1 −1 1 2 −5
[e ]=[e ][ e ]=
=
8 −1 3 1 2
8 2 7
Матрицы должны получиться взаимно обратными. Проверяем:
1 7 5 2 −5
1 24 0
•' '
•'
[e• ' ][ e• ' ' ]=
=
=E
24 −2 2 2 7
24 0 24
Закон преобразования координат для векторов и двухвалентных тензоров
можно записать в матричной форме.
[a • ' ]=[ e•• ' ][ a • ] , [a • ]=[e•• ' ][a • ' ] , [a • ' ]=[ e•• ' ][ a • ] и [a • ]=[e•• ' ][a • ' ]
•'
•' '
•'
*
*
•' '
[
][
] [
]
Закон преобразования координат тензора я проиллюстрирую только на
примере дважды контравариантного тензора.
[T • ' • ' ]=[e •'• ][T • • ][ e•• ' ]T , [T • • ]=[e•• ' ][T •' • ' ][ e•• ' ]T
3. Символы Веблена
Символ Веблена в [14] мы определили как определитель специального
вида, составленный из столбцов единичной матрицы:
136
|
1i
1j
|
1k
δ
δ
δ
i jk
2i
2j
E =δ
δ
δ2 k
δ3 i δ3 j δ3 k
При вычислениях часто встречаются произведения таких символов. Чтобы
получить результат такого произведения я воспользуюсь тем, что произведение
определителей двух матриц равно определителю произведения матриц.
|[
][
δ 1 i δ 2i δ 3i δ 1 m δ 1 n δ 1 p
E i j k E m n p= δ1 j δ2 j δ3 j δ2 m δ2 n δ2 p
1k
2k
3k
3m
3n
3p
δ
δ
δ
δ
δ
δ
]|
Первую матрицу я транспонировал, поскольку определитель на зависит от
этой операции.
Выписывать произведение полностью утомительно, поэтому я только покажу, что происходит при умножении второго столбца первой матрицы на третий
столбец второй.
δ 1 j δ 1 p + δ 2 j δ 2 p +δ 3 j δ 3 p=δ j p
Поскольку очевидно, что данная сумма равняется единице только при равенстве j и p . В остальных случаях получается ноль.
Следовательно
|
im
in
|
ip
δ
δ
δ
i jk
mn p
i jk
jm
jn
E E = E m n p= δ
δ
δjp
δ k m δk n δ k p
Символ E imjnk p рассматривается как обозначение определителя со строками
i j k и столбцами m n p взятыми из единичной матрицы. Как мы увидим
i jk
дальше символ E m n p может иметь меньшее число строк и столбцов чем размерность пространства. Сокольников называет его обобщенным символом Кронеij
кера и обозначает δ m n , но я не буду использовать это обозначение.
i jk
Символ E m n p является настоящим кошмаром для вычислителя, так как
представляет собой массив из 81 элемента, большая часть из которых равна
нулю. К счастью произведение E i j k E m n p встречается в виде свертки по одному,
двум и трем индексам, которые мы сейчас вычислим.
Свертка по одному индексу.
|
im
in
ik
|
δ
δ
δ
im
in
im
ik
in
ik
δ
δ
δ
i jk
mnk
i jk
kk δ
kn δ
km δ
jm
jn
jk
E E =E m n k = δ
δ
δ =δ
jm
j n −δ
jm
jk +δ
jn
jk =
δ
δ
δ
δ
δ
δ
km
kn
kk
δ
δ
δ
|
||
||
|
||
| |
|
δ i m δi n δ i m δ i n δ i n δ i m δ i m δ i n
ij
=3 j m
jn − jm
jn +
jn
jm =
jm
jn = Emn
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
137
| |
|
Перепишем результат в более удобной форме
○
E i j ○ E m n ○=E imjn○
=δ i m δ j n−δ i n δ j m
Свертка по двум индексам.
E i • ○ E m• ○= E i•m ○•○=δ i m δ • • −δ i • δ • m=3 δ i m−δ i m =2 δ i m
Продолжая сворачивать, получаем свертку по всем трем индексам.
♦♦
E ♦• ○ E ♦• ○= E ♦♦ •○
•○ =2 δ =6
На этом можно было бы поставить точку, но просматривая книгу Сокольникова [19] я обратил внимание на более общие формулы для сверток обобщенных символов Кронекера и поэтому, для порядка мы сейчас их тоже выведем.
Начнем с того, что мы уже проделали, но пусть на этот раз пространство, в
котором рассматриваются символы имеет не три, а α измерений.
|
im
in
ik
|
δ
δ
δ
im
in
im
ik
in
ik
δ
δ
δ
i jk
kk δ
kn δ
km δ
jm
jn
jk
E mnk= δ
δ
δ =δ
jm
j n −δ
jm
jk +δ
jn
jk =
δ
δ
δ
δ
δ
δ
km
kn
kk
δ
δ
δ
|
||
|
||
| | | |
|| |
|
δ i m δ i n δ i m δ i n δ i n δ i m δi m δ i n
ij
=α j m
jn − jm
jn +
jn
jm = jm
j n =(α−2) E m n
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Мы видим, что появился коэффициент (α−2) в правой части. По смыслу
ясно, что число 2 с одной стороны равно числу отрицательных определителей
или числу элементов в строке левого определителя без единицы, с другой стороны это число равно числу индексов у символа Кронекера справа. Если мы
продолжим сворачивать символ справа, то появится еще один коэффициент, на
этом раз (α−1) .
Далее придется перейти к преобразованиям с символами более общего
вида.
Выполняем свертку по крайним правым индексам.
i i i ... i
i i i ... i
E j j j ... i =(α−(k −1)) E j j j ... j
Сворачиваем еще по двум индексам
i i i ... i i
i i i ...i
i i i ... i
E j j j ... i i =(α−(k −1)) E j j j ... i =(α−(k −1))(α−(k −2)) E j j j ... j
Обобщаем:
(α−r )! i i i ...i
i i ... i i ... i i
i i i ...i
E j j ... i i ... i i =(α−(k −1))...(α−r) E j j j ... j =
E
(α−k )! j j j ... j
И записываем окончательный результат.
(α−k )! i i ... i i ... i i
i i i ... i
E j j j ... j =
E
(α−r )! j j ...i i ...i i
Тех кто успел занервничать спешу успокоить, для наших задач эта формула
не нужна. Зачем же тогда мы ее выводили? Конечно наука должна быть полезна,
но она не обязана быть утилитарна. Иногда бывает просто трудно пройти мимо
хотя и ненужных, но довольно красивых формул, особенно, если при этом не
приходится слишком далеко отклоняться от темы. Приятный бонус он никогда
не бывает лишним.
1 2 3
1
2
k
3
1 2 3
1
2
1 2
1
1 2 3
k
3
k −1
1 2 3
k−1 k
r r +1
k −1
2
k −1 k
3
r r+ 1
2
1
1
2
k −1
3
1 2 3
k−1
k−1 k
1
1 2 3
k −1 k
1
1 2 3
1
2
2
r
3
r
3
1 2 3
r
1
1 2
r
1
138
r r+1
2
r r+1
k −1 k
k−1 k
2
2
r
3
r
k −2
3
k −2
4. Определитель
Легко проверить, что определитель квадратной матрицы [a ] с помощью
символа Веблена можно записать так:
i jk
Δ [a ]=a= E ai 1 a j 2 a k 3 .
Иногда удобным бывает более общее выражение
a E m n p= E i j k a i m a j n a k p .
Свернув правую и левую части равенства с символом E m n p , получим еще
одно выражение для определителя
1
a= E i j k E m n p a i m a j n a k p
6
Обычно понятие определителя вводится при рассмотрении систем линейных уравнений, однако на практике при решении таких систем определитель
никогда не используется из-за большой трудоемкости его вычисления. Гораздо
более полезной является связь определителя с измерением объемов. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ā , b̄ и c̄ равен определителю, составленному их координат этих векторов, как из столбцов. Кратко это можно записать так:
V ( ā , b̄ , c̄)=E i j k a i b j c k .
Правда при этом необходимо учесть два нюанса: во-первых, координаты
векторов должны быть заданы в декартовой системе; во-вторых, объем может
получиться со знаком плюс, если векторы образуют правую тройку, и минус,
если они образуют левую тройку. В силу последнего обстоятельства такой
объем принято называть ориентированным.
Для того, чтобы распространить формулу на произвольные координатные
системы, формулу следует уточнить следующим образом:
V ( ā , b̄ , c̄)=V e E i j k a i b j ck , где V e – объем параллелепипеда, построенного
на базисных векторах, который для краткости будем называть просто базисным
параллелепипедом.
Мы будем всегда, как это давно принято среди инженеров, пользоваться
только правыми координатными системами, при это объем V e будет всегда положительным.
Выразив базисные векторы в некоторой произвольной декартовой системе
координат, запишем:
|
|
e11 * e 1*
e1*
2
3
i j k
*
2*
2*
V e = E i j k e 1 e 2 e3 = e1 e 2 e1*
=|e •|
3
3*
3*
1*
e1 e 2 e3
139
5. Метрический тензор
Метрический тензор определяется как тензор с координатами g i j =e i⋅e j .
Метрическим он называется потому, что если он нам известен, то мы можем
i
j
i j
i j
вычислить скалярное произведение: ā⋅b̄=a ei⋅b e j =a b ei⋅e j =a b g i j . А зная
скалярное произведение, мы получаем возможность вычислять расстояния между произвольными точками пространства.
Мы также можем вычислять углы и объем. Для вычисления объема нам понадобится определитель матрицы метрического тензора.
|
|
e1⋅e1 e1⋅e 2 e1⋅e3
|g • •|= e 2⋅e1 e2⋅e 2 e 2⋅e3
e3⋅e1 e3⋅e 2 e 3⋅e3
Выразим базисные векторы через координаты в некоторой декартовой системе.
|
|
|
e 1*
e 21 * e31 * e1*
e12 * e1*
1
1
3
2
1*
2*
3*
2*
2*
|g • •|= e 2 e 2 e 2 e 1 e 2 e 23 * =V e
1*
2*
3*
3*
3*
3*
e 3 e 3 e3 e 1 e 2 e 3
Поскольку определитель матрицы метрического тензора часто встречается
в формулах для краткости мы будем его обозначать либо g •• , либо просто g .
2
Следовательно g =V e , что позволяет слегка упростить формулу для объема параллелепипеда
V ( ā , b̄ , c̄)=√ g •• E i j k ai b j c k .
Тензор [ g • • ] называется ковариантным. Если мы обратим матрицу координат ковариантного метрического тензора, то получим контравариантный тензор,
••
−1
индексы, которого принято записывать сверху: [ g ]=[ g • • ] .
С помощью контравариантного метрического тензора можно построить так
i
ik
называемый взаимный базис: e = g e k .
Если умножить предыдущее равенство скалярно на e m то мы получим:
ei⋅ek = g i k e k⋅e k = g i k g k m =δ im , и, следовательно ei⋅em = g i k e k⋅e m= g i k δ im =g i m .
С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы у
тензоров, например,
a i = g i k a k , T ik =g i m g k n T ik .
6. Тензор Леви-Чивиты
Возвращаясь к выражению для ориентированного объема, заменим в нем
произведение √ g •• E i j k на специальный символ ε i j k , который называется тензором Леви-Чивиты:
140
V ( ā , b̄ , c̄)=ε i j k ai b j c k . У тензора Леви-Чивиты также можно поднять индексы и получить контравариантный тензор: ε i j k = √ g •• E i j k . Для символа Веблена, который входит в определение тензора Леви-Чивиты, положение индексов
не имеет значения, потому, что он не является тензором. Тензор Леви-Чивиты
является почти настоящим тензором, и, если использовать только правые системы координат, то он неотличим от настоящего. Более подробно о законе преобразования тензора Леви-Чивиты можно прочитать в моей книге [11].
7. Векторное умножение
Мы уже сказали несколько слов о скалярном умножении векторов и не можем не упомянуть о векторном умножении.
Векторное произведение векторов естественным образом возникает из
формулы для объема.
V ( ā , b̄ , c̄)=ε i j k ai b j c k =a i r i = ā⋅r̄ , где r̄=(ε i j k b j c k )ei или r i =ε i j k b j c k .
С тензорами можно выполнять и другие операции – сложение, умножение
и свертывание. Я не буду здесь останавливаться на этом традиционном материале, поскольку он описан и в моей книге и во многих других похожим образом.
Напомню еще раз, что данное приложение не преследует цель заменить
учебник по тензорной алгебре, которую следует изучить прежде, чем заниматься анализом.
141
Литература
1.
Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. – М.: Наука, 1972. –
351 с.
2.
Блох В.И. Теория упругости. – Харьков: Издательство Харьковского
государственного университета, 1964. – 483 с.
3.
Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учебное пособие для вузов. –
М.: Высш. шк., 2001. – 575 с.
4.
Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учебное пособие: Для вузов. – М.:
Изд-во МФТИ, 2000. – 240 с. ISBN 5-89155-047-4
5.
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.:
Наука, 1965. – 424 с.
6.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. Пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. – М.: 2003. – 536 с.
7.
Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. – М.: Наука, 1975. – 336 с.
8.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: М.: Наука, 1978. – 736 с.
9
Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. Пособие. – М.: Издво Моск. Ун-та, 1986. – 264 с.
10. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука,
1967. – 664 с.
11.
Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и
техников:учеб. пособие для вузов – Челябинск: ИИУМЦ "Образование",
2008. – 140 с.
12. Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебник
для втузов. М.: Высшая школа, 1972. 424 с.
13. Садаков О.С. Основы тензорного анализа (применительно к теории
упругости). – Челябинск: Из-во Челябинского политехнического
института, 1981. – 92 с.
14. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1. 1. – М.: Наука, 1983. – 528 с.
15. Сокольников И. Тензорный анализ (с приложениями к геометрии и
механике сплошных сред): Пер. с англ. – М.: Наука, 1971. – 376 с.
16. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М.: Мир, 1980. – 454 с.
17. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. – М.: Наука, 1965. – 456 с.
142