ISSN 0233—6723
ОСУДАРСТВЕННЫИ КОМИТЕТ
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
СССР
АКАДЕМИЯ
НАУК
СССР
СЕСОЮ ЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
ИТОГИ НАУКИ И Т Е Х Н И К И
СЕРИЯ
СОВРЕМ ЕННЫ Е ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том
11
Научный редактор
член-корреспондент АН СССР Р. В. Г а м к р е л и д з е
Серия издается с 1985 г.
Главный редактор информационных изданий ВИ Н И ТИ
профессор А. И. М ихайлов
РЕДАКЦ ИОННАЯ КОЛЛ ЕГИ Я
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: канд. физ.-матем. наук Д. Л. Келендж еридзе,
канд. физ.-мат. наук М. К ■ Керимов, академик А. Н. Колмогоров,
чл.-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
профессор А. В. Малышев, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
академик Л. С. Понтрягин, докт. физ.-матем. наук Н. X. Розов,
профессор В. К Саульев, профессор А. Г. Свешников
Редакторы-консультанты серии
профессор Я. М. Остиану, академик Л. С. Понтрягин
Научные редакторы серии
А. А. Аграчев, 3. А. Измайлова, В. В. Никулин,
В. П. Сахарова
Научный консультант
Заслуженный деятель культуры М. И. Левштейн
©
ВИНИТИ, 198
АЛГЕБРА - 1
Редакторы-консультанты
член-корреспоидент АН СССР А. И. Кострикин,
члеи-корреспоидеит А Н СССР И. Р. Шафаревич
1*
23
Научный редактор тома В. В. Никулин
Автор И. Р. Шафаревич
УДК 512
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ АЛ ГЕБРЫ
И. Р. Шафаревич
СОДЕРЖАНИЕ
П р е д и с л о в и е ................................................................................................................
Т
§ 1. Ч то такое а л г е б р а ? ........................................................................................
9
Идея координатизации. Примеры: словарь квантовой механики и коордииатизация конечных моделей аксиом сочетания и параллельности.
§ 2. П о л я ............................................................................................................................. 15Аксиомы поля. Изоморфизм. Поле рациональных функций от незави­
симых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраи­
ческой кривой, поле рядов Лораиа и формальных рядов Лорана.
§ 3. Коммутативные к о л ь ц а ..........................................................................................21
Аксиомы кольца. Делители нуля и целостные кольца. Поле частных.
Кольцо многочленов. Кольцо полиномиальных функций на плоской
алгебраической кривой. Кольцо степенных рядов и формальных сте­
пенных рядов. Булевы кольца. Прямые суммы колец. Кольцо непре­
рывных функций. Разложение на множители. Факториальные кольца.
Примеры факториальных колец.
§ 4. Гомоморфизмы и и д е а л ы ................................................................................... 29
Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца. Теорема о гомоморфизмах.
Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций. Кольца главных
идеалов. Связь с факториальностью. Умножение идеалов. Характери­
стика поля. Расширение, в котором заданный многочлен имеет ко­
рень. Алгебраически замкнутые поля. Конечные поля. Представление
элементов общих колец как функций иа максимальных и простых
идеалах. Целые числа как функции. Ультрапроизведения и нестан­
дартный анализ. Коммутирующие дифференциальные операторы.
§ 5. М о д у л и ........................................................................................................................ 40
Прямые суммы и свободные модули. Тензорные произведения. Тен­
зорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный
модуль. Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей. Модули
дифференциальных форм и векторных полей. Семейства векторных
пространств и модули.
§ 6. Алгебраический аспект размерности
.
491
Ранг модуля. Модули конечного типа. М одули конечного типа над
кольцом главных идеалов. Нётеровы модули и кольца. Нётеровы
кольца и кольца конечного типа. Случай градуированных колец. Сте­
пень траисцендеитиости расширения. Конечные расширения.
§ 7. Алгебраический аспект иифинитезимальиых понятий
. . . .
69
Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и каса­
тельное пространство к многообразию.
Особы е точки.
Векторные
поля и дифференциальные операторы первого порядка. Бесконечно
малые высших порядков. Струи и дифференциальные
операторы.
Пополнения колец, р-адические числа. Нормированные поля. Нормы
поля рациональных чисел и рациональных функций. Поля р-адических чисел в теории чисел.
5
t§ 8. Некоммутативные к о л ь ц а ............................................................................
Основные определения. Алгебры над кольцами. Кольцо эндоморфиз­
мов модуля. Групповая алгебра. Кватернионы и тела. Твисторное
расслоение. Эндоморфизмы «-мерного пространства над телом. Тен­
зорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов.
Внешняя
алгебра. Супералгебры. Алгебра Клиффорда. Простые кольца и ал­
гебры. Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного
пространства над телом.
§ 9. М одули над некоммутативными к о л ь ц а м и ............................................
Модули и представления. Представления алгебр на матричном языке.
Простые модули, композиционные ряды, теорема Ж ордана — Гёльдера. Длина модуля и кольца. Эндоморфизмы модулей. Лемма Шура.
§ 10. Полупростые модули и к о л ь ц а ............................................................
Полупростота. Полупростота групповой алгебры. М одули над полупростым кольцом. Полупростые кольца конечной длины: теорема
Веддербёрна. Простые кольца конечной длины и основная теорема
проективной геометрии. Факторы и непрерывные геометрии. П олу­
простые
алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым
полем. Применения к представлениям конечных групп.
•§ 11.
Тела конечного р а н г а ..........................................................................
Тела конечного ранга над полем вещественных чисел й конечными
полями. Теорема Тзена н квазиалгебраически замкнутые поля. Цен­
тральные тела конечного ранга над полем р-адических и полем ра­
циональных чисел.
§ 12. Понятие г р у п п ы ...........................................................................................
Группы преобразований. Симметрии.Автоморфизмы. Симметрии ди­
намических систем и законы сохранения. Симметрии физических зако­
нов. Группы, регулярное действие. Подгруппы, нормальные делители,
факторгруппы. Порядок элемента. Группа классов идеалов. Группа
расширений модуля. Группа Брауэра.
Прямое произведение двух
групп.
§ 13. Примеры групп: конечные г р у п п ы ...........................................................
Симметрические и знакопеременные группы. Группы симметрий пра­
вильных многоугольников и правильных многогранников. Группы сим­
метрий решеток. Кристаллографические классы.
Конечные группы,
порожденные отражениями.
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы
. . . .
Дискретные группы преобразований. Кристаллографические группы.
Дискретные группы движений плоскости Лобачевского. Модулярная
группа. Свободные группы. Задание групп соотношениями. Логиче­
ские проблемы. Фундаментальная группа. Группа узла. Группа кос.
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы
Группы Ли. Торы. Их роль в теореме Лиувилля. Классические ком­
пактные группы и некоторые связи между ними. Классические ком­
плексные группы Ли. Некоторые другие группы Ли. Группа Лоренца.
Алгебраические группы. Группы аделен.
•§ 16. Общие результаты теории г р у п п ..........................................................
Прямые произведения. Теорема
Веддербёрна — Ремака — Шмидта.
Композиционные ряды. Теорема Ж ор д ан а— Гёльдера. Простые груп­
пы. Разрешимые группы. Простые компактные группы Ли. Простые
комплексные группы Ли. Простые конечные группы.
■§ 17. Представления г р у п п ..................................................................................
Представления конечных групп. Соотношения ортогональности. Пред­
ставления компактных групп. Интеграл по группе. Теория Гельмголь­
ца — Ли. Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье.
Тензоры Вейля и Риччи в четырехмериой римановой геометрии. Пред­
ставления групп S U (2) и S O (3 ). Эффект Зеемана. Представления
некомпактных групп Ли. Полная приводимость представлений конеч­
номерных классических комплексных групп Ли.
§ 18. Некоторые приложения г р у п п ..................................................................
Q
Теория Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах. Теория Галуа
дифференциальных уравнений. Классификация неразветвлениых на­
крытий и фундаментальная группа. Первая основная теорема теории
инвариантов. Представления групп и классификация элементарных
частиц.
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативиая а л г е б р а ................................................... 212
Скобка Пуассона как пример алгебры Ли. Кольца и алгебры Ли.
Теория Ли. Группы Ли и движения твердого тела. Числа Кэли, Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьми­
мерного пространства. Неассоциативиые вещественные тела.
§ 20. К а т е г о р и и ..............................................................................................................226
Диаграммы и категории. Функторы. Функторы, возникающие в топо­
логии: пространства петель, надстройки. Группы в категории. Гомо­
топические группы.
§ 21. Гомологическая а л г е б р а .................................................................................239
Комплексы и их гомологии.
Гомологии и когомологии полиэдров.
Теорема о неподвижной точке. Дифференциальные формы и когомо­
логии де Рама. Теорема де Рама. Точная последовательность кого­
мологий. Когомологии модулей. Когомологии групп. Топологический
смысл когомологий дискретных групп. Пучки. Когомологии пучков.
Теоремы конечности. Теорема Римаиа — Роха.
§ 22. К - т е о р и я ................................................................................................................. 259
Топологическая К-теория. Векторные расслоения и функтор V ec(X ).
Теорема периодичности и функторы К п(Х ). Группа K i(X ) и беско­
нечномерная линейная группа. Символ эллиптического дифференци­
ального оператора. Теорема об индексе. Алгебраическая К-теория.
Группа классов проективных модулей. Группы Ко. А, и К п кольца.
Группа Кг поля и ее связь с группой Брауэра. К-теория и арифме­
тика.
Комментарий к л и т е р а т у р е ........................................................................................269
Л и т е р а т у р а ........................................................................................................................274
Именной у к а з а т е л ь ...........................................................................
280
Предметный у к а з а т е л ь ................................................................................................ 282
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящей
работы — предложить читателю общий
обзор алгебры, ее основных понятий и разделов. Но какой язык
для этого выбрать? Когда на вопрос — что изучает математи­
ка? — отвечают: «множ ества с заданными в них отношениями»
или «структуры », то это вряд ли можно признать ответом. Ведь
среди континуума мыслимых множеств с заданными в них от­
ношениями или структур реально привлекает математиков очень
редкое, дискретное подмножество, и смысл вопроса как раз и
заключается в том, чтобы понять, чем ж е особенно ценна эта
исчезающе-малая часть, вкрапленная в аморфную массу. Точно
так же, смысл математического понятия далеко не содержится
в его формальном определении. Не меньше (скорее больше)
дает набор основных примеров (как правило, в не очень боль­
шом числе), являющихся для математика одновременно и моти­
вировкой, и содержательным определением, и «смы слом » по­
нятия.
По-видимому, та же трудность возникает при попытке харак­
теризовать при помощи общ их свойств лю бое явление, хоть в
какой-то степени обладаю щ ее индивидуальностью. Например,
7
нельзя дать «определения» немцев или французов — можно
лишь рассказать об их истории и образе жизни. Нельзя дать
«определения» и конкретного человека — мож но либо привести
его «паспортные данные», либо попробовать описать его на­
руж ность и характер, рассказать несколько типчных случаев из
его биографии. П о последнему пути мы и попытаемся пойти в
этой работе — в применении к алгебре. П оэтом у аксиоматически-логическое изложение будет в нашей статье соседствовать с
описательным стилем: тщательным разбором ключевых при­
меров, точек соприкосновения алгебры с другими разделами
математики и естествознания. Разумеется, отбор материала
здесь очень сильно определяется личными точками зрения и
вкусами автора. В качестве читателя я представлял себе студента-математика младших курсов или математика-неалгебраиста, или физика-теоретика, ж елающ его получить представле­
ние о духе алгебры и ее месте в математике. В той части
статьи, которая посвящена систематическому изложению поня­
тий и результатов алгебры, к читателю предъявляются очень
ограниченные требования. Предполагается лишь, что он знаком
с анализом, аналитической геометрией и линейной алгеброй в
том объеме, в котором они сейчас читаются во многих инсти­
тутах. Сложнее описать объем тех знаний, которые использу­
ются при разборе примеров. Ж елательно владение понятиями
проективного пространства, топологического пространства, диф­
ференцируемого и аналитического многообразия, основами тео­
рии функций комплексного переменного. Н о следует иметь все
время в виду, что неясности, могущие возникнуть при разборе
определенного примера, скорей всего имеют чисто локальный
характер и не помешают пониманию других частей работы.
Статья ни в коем случае не претендует на то, чтобы научить
алгебре, — это лишь попытка о ней рассказать. Я попытался
хоть отчасти компенсировать это подробной библиографией.
В предшествующем ей комментарии читатель найдет указания
на литературу, по которой можно изучить те вопросы, о кото­
рых было рассказано в статье, а также некоторые другие раз­
делы алгебры, на изложение которых места не хватило.
Утверждения: предложения, леммы, теоремы нумеруются в
каж дом параграфе подряд римскими цифрами, причем название:
предложение, лемма, теорема, как правило, опускается. Знаки
^ и ^ обозначаю т начало и конец формулировки.
Предварительный вариант этой статьи просмотрели Ф. А. Б о­
гомолов, Р. В. Гамкрелидзе, С. П. Дёмушкин, А. И. Кострикин,
Ю . И. Манин, В. В. Никулин, А. Н. Паршин, М. К. Поливанов,
В. J1. Попов, А. В. Ройтер, А. Н. Тюрин. Сделанные ими заме­
чания и предложения мною с благодарностью учтены.
Я очень благодарен Н. И. Ш афаревич за громадную помощ ь
при оформлении рукописи и многие ценные указания.
Автор
8
§ I.
ЧТО
ТАКОЕ
АЛ ГЕБРА?
Что такое алгебра? — Является ли она областью математи­
ки, методом или психологической установкой? На такие вопро­
сы, конечно, не мож ет быть дано ни однозначного, ни короткого
ответа. М есто, занимаемое алгеброй в математике, можно
попытаться описать, обратив внимание на процесс, который Гер­
ман Вейль назвал трудно произносимым именем «координатызсщия». Человек мож ет ориентироваться во внешнем мире, опи­
раясь исключительно на свои органы чувств, на зрение, осяза­
ние, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и на
возникающую отсю да интуицию. Однако возможен и другой
подход: путем измерения субъективные ощущения превращ ают­
ся в объективные знаки — числа, которые способны сохраняться
неограниченно долго, передаваться другим лицам, не воспри­
нимавшим тех ж е ощущений, а главное — с которыми м ож но
оперировать и таким образом получать новую информацию о
предметах, бывших объектом измерения.
Древнейшим примером являются пересчет (координатизация) и счет (оперирование), дающие возмож ность делать за­
ключения о числе предметов, не перебирая их. Из попыток «и з­
мерить» или «выразить числом» различные объекты возникли,
вслед за целыми, дробные и отрицательные числа. Стремление
выразить числом диагональ квадрата со стороной 1 привело к
известному кризису в раннеантичной математике и построению
иррациональных чисел.
Измерение задает вещественными числами точки прямой и,
гораздо шире, выражает числами многие физические величины.
Галилею принадлежит самая крайняя формулировка идеи координатизации в его эпоху: « Измерить все, что измеримо, и
сделать измеримым все, что таковым ещ е не является». Успех
этой идеи, начиная именно со времени, когда жил Галилей, был
блистателен. Создание аналитической геометрии дало возм ож ­
ность задавать точки плоскости парами, а точки пространства —
тройками чисел и путем оперирования с числами открывать все
новые геометрические факты. Однако успех аналитической гео­
метрии основывается, главным образом , на том, что она « св о ­
дит» к числам не только точки, но и кривые, и поверхности,
и т. д. Например, кривая на плоскости задается уравнени­
ем
F( x, у ) = 0.
Если
это
прямая,
то
F — много­
член 1-й степени и задается своими тремя коэффициентами: при
х , при у и свободным членом. В случае конического сечения
мы имеем кривую второго порядка, которая задается своими
шестью коэффициентами. Если F — многочлен степени л, то он
имеет, как легко видеть,
+ *Hn + 2)
коэффициентов, которыми
соответствующая
координатами.
задается
так
кривая
же,
как
точка —
9
Ч тобы выразить числом корни уравнения, были введены
комплексные числа и тем сделан шаг в совершенно новую о б ­
ласть математики, включающ ую эллиптические функции и римановы поверхности.
Д олгое время могло казаться, что путь, намеченный Галиле­
ем, сводится к измерению «всего» при помощи известного, необсуж даем ого запаса чисел, и проблема заключается лишь в том,
чтобы создавать все более тонкие методы такого измерения —
вроде метода координат или новых физических приборов. П рав­
да, иногда тех чисел, которые считались известными (или про­
сто, считались числами), оказывалось недостаточно: тогда воз­
никал «кризис», преодолевавшийся расширением понятия числа,
созданием нового вида чисел, которые вскоре опять восприни­
мались как единственно возможные. Во всяком случае, в каж ­
дый данный момент понятие числа, как правило, считалось
вполне ясным и развитие шло лишь в направлении его расш и­
рения: 1 и 2 (а потом «м н ого) ^ н а тур а л ь н ы е числа=^целые=>=>рациональные=^вещественные=>-комплексные. Н о, например,
матрицы представляют собой совершенно самостоятельный мир
«числоподобных» объектов, никак не укладывающийся в эту по­
следовательность. Одновременно с ними возникли кватернионы,
потом другие «гиперкомплексные системы » (теперь называемые
алгебрами). «Бесконечно малые преобразования» привели к
дифференциальным операторам, для которых естественной ока­
залась операция совсем нового типа: «скобка П уассона».
В алгебре возникли конечные поля, в теории чисел — р-адические числа. Постепенно стало очевидным, что попытка найти
единое, всеобъемлющ ее понятие числа абсолю тно безнадежна.
В такой ситуации прокламированный Галилеем принцип можно
было обвинить в нетерпимости. Ведь требование «сделать изме­
римым все, что таковым еще не является», явно дискриминиру­
ет то, что упорно не хочет становиться измеримым, вытесняет
его из сферы интересов науки, а может быть, и разума (стано­
вится «secunda causa» в терминологии Галилея). Д аж е если
полемический термин «всё» скромно ограничить объектами фи­
зики и математики, то и среди них все больше появлялось та­
ких, которые «измерить» при помощи «обы чны х» чисел было
невозможно.
Принцип координатизации все ж е можно было сохранить,
допустив, что множество «числоподобных объектов», при помо­
щи которых осуществляется координатизация, столь ж е много­
образно, как и мир физических и математических объектов, ко­
торые ими координатизируются. Объекты, служ ащ ие «коорди­
натами», должны удовлетворять лишь некоторым условиям
очень общ его характера.
Они должны быть индувидуализируемы. Например, в то вре­
мя как все точки прямой обладаю т одинаковыми свойствами
(прямая однородна) и точку можно фиксировать, лишь указав
10
на нее пальцем, — числа все индивидуальны: 3, 7/2, У2, л , . . .
(тот ж е принцип применяется, когда новорожденным щенкам,
не. различимым для хозяина, привязывают на шею разноцветные
ленточки, чтобы отличить их друг от д руга).
Они должны быть достаточно абстрактны, отраж ать свой­
ства, общ ие широкому кругу явлений.
Некоторые фундаментальные черты
изучаемых
ситуаций
должны отражаться в операциях, которые можно производить
над координатизирующими их объектами: сложении, умнож е­
нии, сравнении по величине, дифференцировании, составлении
скобки Пуассона и т. д.
Мы можем теперь сформулировать наш т е з и с подробнее.
Ч Л юбы е объекты, являющиеся предметом математическо­
го исследования, — кривые и поверхности, отображения, сим­
метрии, кристаллы, квантово-механические величины и т. д. —
могут быть « координатизированы» или « измерены». Однако
для такой координатизации «обы чн ы х» чисел далеко не доста­
точно.
Н аоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вы­
нуждены конструировать
(или открывать) и новые типы
координатизирующих их «величин». Построение и исследова­
ние возникающих таким образом «величин» — этим и характе­
ризуется (конечно, очень приближенно) место алгебры в мате­
матике.
С этой точки зрения, развитие лю бого раздела алгебры со ­
стоит из двух этапов. Первый из них — рождение нового типа
алгебраических объектов из некоторой проблемы координатиза­
ции; второй — их дальнейшая жизнь, т. е. систематическое раз­
витие теории этого класса объектов, иногда тесно связанное, а
иногда почти и не связанное с той областью, в связи с которой
объекты возникли. В дальнейшем мы попытаемся не упускать
из виду оба этапа. Но так как алгебраические трактаты часто
посвящены исключительно второму этапу, для сохранения рав­
новесия мы будем несколько больш е внимание обращ ать на
первый.
Закончим параграф двумя примерами координатизации, не­
сколько менее стандартными, чем уж е рассматривавшиеся
нами.
П р и м е р 1. Словарь квантовой механики, указывающий
.математические
объекты, которыми
«координатизируются»
основные физические понятия:
Физическое понятие
Математическое понятие
С остояние физической системы
Прямая ф в
бесконечномерном
комплексном гильбертовом
прост­
ранстве
11
Ф изическое понятие
М а тем а ти ческ ое понятие
Скалярная физическая величина
Самосопряженный оператор
Одновременно измеримые
Коммутирующ ие операторы '
величи-
ы
Величина, имеющая точное
ние X в СОСТОЯНИИ ф
М нож ество
значений
к оторое можно получить
мерения
значе­
величины,
путем из­
Вероятность перехода из
ния ф в состояние ф
состоя­
О ператор, для к отор ого ф— соб­
ственный вектор с собственным зна­
чением X
Спектр оператора
|(ф, ф) |, где !ф) = |ф| = 1
П р и м е р 2. Конечные интерпретации системы аксиом со­
единения и параллельности. Начнем с небольшого отступления.
При аксиоматическом построении геометрии (для конкретности:
будем сейчас говорить только о планиметрии) часто рассматри­
вают не всю совокупность аксиом, а лишь ее часть. Тогда воз­
никает вопрос о возможных реализациях выбранной группы ак­
сиом: сущ ествую т ли, кроме «обы чн ой» планиметрии, другие
системы объектов, для которых аксиомы этой группы выполня­
ются? Обратим сейчас внимание на очень естественную группу
аксиом «соединения и параллельности»:
а) через любые две различные точки проходит одна и только
одна прямая;
б) для каждой прямой и не принадлежащей ей точки сущ ест­
вует одна и только одна прямая, проходящ ая через эту точку и
не пересекающая этой прямой (т. е. параллельная е й );
в) сущ ествую т три точки, не лежащие на одной прямой.
Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реали­
заций и среди них и такие, которые, в резком противоречии с
нашей интуицией, имеют лишь конечное число точек и прямых.
Д ве такие реализации изображены соответственно на рис. 1 и 2.
В реализации, изображенной на рис. 1, мы имеем 4 точки: А, В,
С, D и 6 прямых: АВ , D C ; AD, В С ; A C , B D . В реализации на
рис. 2 имеется 9 точек, А, В, С, D, Е, F, G, Я , / и 12 прямых:
A B C , DEF, G H I; A D G , ВЕН, СЕ1; AEI, BFG, D H C ; CEG, BDI,
AHF. Читатель мож ет легко проверить, что выполняются аксио­
мы а ), б) и в) (в нашем перечне прямых мы разделили точкой с
запятой семейства параллельных прямы х).
Возвращаясь к нашей основной теме, попытаемся «координа12
6
А
ч
ч
ч
У
В
Б
ч
/
m
/ /V
/
ч
/
V
У
/
Ч
^
/
ч
X /
*
л
/
С
У
r
< \ У'
I
G
/ \
С \ч
А
/
F
А У
н
\
Рис. 2
Рис. 1
+
ч
н
X
ч
н
ч
ч
н
ч
ч
ч
н
н
ч
и
ч
н
Рис. 3
Рис. 4
тизировать» построенные реализации аксиом а ), б) и в ). Для
первой из них применим следую щ ую конструкцию: обозначим
через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и
определим действия сложения и умножения над символами Ч и
Н по аналогии с тем, как ведут себя соответствующ ие свойства
при сложении и умножении. Например, так как сумма четного
и нечетного числа нечетна, положим Ч + Н = Н и т. д. Результа­
ты можно выразить в «таблицах сложения и умножения», изо­
браженных на рис. 3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными
так действиями будет служить нам для координатизации «гео­
метрии» на рис. 1. Для этого зададим точки координатами
(X, У):
Л - ( Ч , Ч ), В — (Ч, Н ), С — (Н, Ч ), D — (Н, Н ).
Легко проверить, что прямые определяются при этом линейны­
ми уравнениями:
Л £ : Ш Г = Ч; CD : Н Х = Н - Л £ > :Ш Г + Н У = Ч ;
ВС : Н Х + Н У = Н ; А С : Н У = Ч ; BD : Н У = Н ,
13
притом это единственные непротиворечивые линейные уравне­
ния, которые можно образовать при помощи двух величин Ч
и Н.
Конструкция для геометрии на рис. 2 аналогична, но не­
сколько сложнее. Разделим целые числа на 3 множества:. U —
делящиеся на 3,У — при делении иа 3 дающие остаток 1 и W —
при делении на 3 дающие остаток 2. Действия над символами
U, V и W определим аналогично первому примеру: например,,
так как сумма числа, принадлежащего V, и числа, принадле­
жащего W, всегда принадлежит U, то положим V + W = U ,
а
так как произведение двух чисел, принадлежащих W, всегда
принадлежит V, положим W - W = V . Читатель легко напишет
соответствующ ие «таблицы сложения и умножения». Теперь
легко проверить, что геометрия на рис. 2 координатизируется
нашими величинами так:
А : ( {/, U) , В : (£/, V ), С : ( U, W) , D : (V, U), Е : (V, V),
F : (V, W) , G : ( W, U), Я : ( W, V), I : ( W, W) .
При этом прямые опять задаю тся всеми линейными уравнения­
ми, которые можно написать, пользуясь нашими тремя симво­
лами. Например, прямая A F H задается уравнением V X + V Y =
= U, а прямая D C H — уравнением VX + W Y = V. Таким обр а­
зом, для коордииатизации «конечных геометрий» мы построи­
ли «конечные числовые системы». Мы еще вернемся к обсу ж ­
дению этих конструкций.
Уж е эти немногие примеры даю т первое представление, ка­
кими могут быть объекты, используемые при том или ином ва­
рианте «коордииатизации». Во-первых, их запас должен быть
строго очерчен. Иными словами, долж но быть указано некото­
рое множество (или, мож ет быть, несколько м н ож еств), эле­
ментами которого могут быть эти объекты. Во-вторых, мы
должны иметь возмож ность с ними оперировать, т. е. должны
быть определены операции, которые по одному или нескольким
элементам множества или множеств даю т возмож ность строить
новые элементы. Пока мы больше ничем не ограничиваем при­
роду используемых множеств. Точно так же и операция может
сыть совершенно произвольным правилом, по которому неко­
торому набору из к элементов сопоставляется новый элемент.
Однако обычно эти операции будут все ж е сохранять некоторое
сходство с действиями над числами. В частности, в ситуациях,
о которых мы будем говорить, k = l или 2. Основными приме­
рами операций, с которыми следует сравнивать все дальнейшие
конструкции, будут: сопоставление л ю бом у числу а противо­
положного — а, сопоставление л ю бом у числу 6=^=0 обратного
Ь~1 ( £ = 1 ) , сопоставление двум числам а и & их суммы а + b или
их произведения ab ( k = 2 ) .
14
§ 2.
ПОЛЯ
М ы начнем с описания одного типа таких «множ еств с опе­
рациями», ближе всего соответствую щ его числовой интуиции.
Полем называется множ ество К, в котором определены две
операции, каждая из которых сопоставляет двум элементам
множества К третий элемент. Эти операции называются сложе­
нием и умножением, а результат их применения к элементам
а и b обозначается через а + Ь и ab. Операции должны удовлет­
ворять следующим условиям:
Сложение:
Коммутативность: а + b = b + а.
Ассоциативность: а + (b + с ) = ( а + Ь )'+с.
Существование нуля: сущ ествует такой элемент 0, что а + 0 =
= а для лю бого элемента а. (М ож но показать, что такой эле­
мент единственный.)
Существование противоположного: для лю бого элемента а
существует такой элемент (— а ), что а + ( — а ) = 0. (М ож но д о­
казать, что такой элемент единственный.)
Умножение:
Коммутативность: ab = ba.
Ассоциативность ( a b ) c = a ( b c ) .
Существование единицы: сущ ествует такой элемент 1, что*
а1 = а для всякого элемента а. (М ож но доказать, что такой
элемент единственный.)
Существование обратного: для л ю бого элемента а=И=0 су­
ществует такой элемент а~\ что aa~l = 1. (М ож но показать, что'
для заданного элемента а такой элемент единственный.)
Сложение и умножение:
Дистрибутивность: a (b + c ) —ab + ас.
Наконец, предполагается, что поле не исчерпывается эл е­
ментом 0, или, что то ж е самое 0 =5^ 1.
Совокупность этих условий мы будем называть аксиомами,
поля.
Привычные тож дества алгебры, вроде
( a + b ) 2= a 2+ 2ab + b2,
или
а-1— (а +
(а + 1 ) -1,
следуют из аксиом поля. Надо только иметь в виду, что па, где
п^гО — целое число, обозначает а + а + . . . + а (п раз), а не про­
изведение числа п (которое мож ет в поле не содерж аться) на
элемент а.
Именно над произвольным полем (т. е. предполагая, чтовсе встречающиеся в рассуждениях координаты, коэффициен­
ты и т. д. принадлежат этому полю) естественно строить те
разделы линейной алгебры и аналитической геометрии, в ко­
15-
торы х не идет речь о длине, алгебру многочленов и рациональ­
ных дробей, и т. д.
Основными примерами полей являются поле рациональных
чисел, обозначаемое Q, поле вещественных чисел R и поле
комплексных чисел С.
Если элементы поля К содержатся среди элементов поля L
и действия в них определены согласованно, то К называется п о д п о л е м поля L, а поле L — р а сш и р ен и ем К . В этом случае
пишут A 'c Z .. Например, Q c R c C .
П р и м е р 1. В § 1, в связи с «геометрией», изображенной
на рис. 1, мы определили в множестве, состоящ ем из элементов
Ч и Н, действия сложения и умножения. Легко проверить, что
это — поле. Нулем в нем является Ч, а единицей — Н. Переобозначив теперь Ч через 0, а Н — через 1, мы увидим, что
«таблица умножения» на рис. 4 совпадает с правилами умно­
жения чисел 0 и 1 в Q, а «таблица сложения» на рис. 3 отли­
чается тем, что 1 + 1 = 0 . П остроенное поле, состоящ ее только из
элементов 0 и 1, обозначается F2. Аналогично, элементы U, V и
W, которые мы рассматривали в связи с геометрией на рис. 2,
тож е образую т поле. В нем f / = 0 , V = l , W = — 1. Мы получаем
примеры полей из конечного числа элементов (из 2-х и из 3 -х ).
Поля из конечного числа элементов
(конечные поля) — очень
интересный и имеющий много приложений объект. Конечное по­
ле мож но задать, выписав таблицу сложения и таблицу ум но­
жения его элементов, как мы делали на рис. 3 и 4. В § 1 мы
встретились с ними в связи с вопросом о реализации некоторой
группы аксиом геометрии в конечном множестве объектов. Но
они возникают не менее естественно и в алгебре как реализа­
ции аксиом поля в конечном множестве объектов. Поле, с о ­
стоящ ее из q элементов, обозначается F „
П р и м е р 2. Алгебраическое выражение, которое можно по­
дучить при помощи операций сложения, умножения и деления
из неизвестной х и произвольных элементов поля К, мож ет быть
записано в виде
До + CL\X 4 - . . . -f- Лп Х п
^о+
ч
х + . . . . + Ьтх т '
где аи bi&K и не все Ь *= 0. Такие выражения называются ра­
циональными дробями или рациональными функциями от х. Мы
можем смотреть на них сейчас как на функции, которые л ю бо­
му х из поля К или из поля L, содерж ащ его К, сопоставляют
указанное выражение, если только знаменатель не обращ ается
в нуль. В се рациональные функции образую т поле, называемое
полем рациональных функций. Оно обозначается К ( х ) . Н екото­
рые трудности, связанные с этим определением, мы обсудим
в § 3. Элементы поля К содерж атся среди рациональных функ­
ций как «постоянные» функции, так что К( х ) является расш и­
рением К.
16
Аналогично определяется
поле рациональных функций
К (х, у ) от двух переменных и от л ю бого их числа.
Изоморфизмом полей К ' и К " называется такое взаимно
однозначное соответствие меж ду их элементами
, что из
а'+-*-а" и b '+-+ b" следует a' + b '+ + a " + b " и a'b'-^-a"b". Поля,
между которыми сущ ествует изоморфизм, называются изоморф­
ными. Если изоморфные поля L ' и L " являются расширениями
одного и того ж е поля К и изоморфизм между ними сопостав­
ляет каж дому элементу поля К тот ж е самый элемент, то он
называется изоморфизмом над К, а поля V и L " — изоморф­
ными над К. Изоморфизм полей К ' и К " обозначается знаком
Если поля L ' и L " конечны, то их изоморфность означает,
что их «таблицы сложения и умнож ения» одинаковы — отлича­
ются лишь обозначениями элементов полей L' и L ". Аналогич­
ный смысл имеет понятие изоморфизма и для произвольных
полей. Например, если на некоторой прямой а отметить точку
О и «единичный отрезок» ОЕ, то над направленными отрезками
(или векторами), расположенными на этой прямой, можно гео­
метрическим путем определить операции сложения и умнож е­
ния. Их определения содерж атся в рис. 5 и 6. На рис. 5,
b — произвольная прямая, параллельная a, U — ее произволь­
Рис. 5
Рис. 6
ная точка, OU\\AV и VC\\UB\ ОС = ОА + ОВ. На рис. 6, Ь —
произвольная прямая, содерж ащ ая О, EU\\BV и VC\\UA\ ОС =
= 0 /4 -0 5 .
При таком определении действий отрезки прямой образую т
поле Р — проверка всех аксиом представляет собой цепь нетри­
виальных геометрических задач. Сопоставляя каж дому отрезку
вещественное число, например, бесконечную десятичную дробь
(это опять процесс измерения!), мы получаем изоморфизм поля
Р с полем вещественных чисел R.
Пример
3. Вернемся к кривой на плоскости, заданной
уравнением F( x, у) = 0 , где F — многочлен. Саму кривую о б о ­
значим через С. Сопоставление кривой С набора коэффициен­
тов многочлена F — это очень примитивный способ «координа­
тизации». Мы опишем сейчас другой, гораздо более тонкий и
эффективный способ.
7
2— 9339
17
Нетрудно доказать, что любой отличный от постоянного мно­
гочлен F( x, у ) может быть разложен в произведение несколь­
ких непостоянных многочленов, каждый из которых уж е даль­
ше так не разлагается. Если F = F^-F2 . . . F f l — такое разлож е­
ние, то наша кривая с уравнением F = 0 есть объединение k
кривых с уравнениями .Fi = 0, ^ 2 = 0 , . . . , Fk= 0 соответствённо.
Многочлен, не разлагающийся в произведение непостоянных
множителей, называется неприводимым. Дальше мы будем счи­
тать многочлен F неприводимым.
Рассмотрим произвольную рациональную функцию <р(х, у)
от двух переменных. Она представляется
в виде отношения
двух многочленов:
*(*■ »> -№ £ •
И
и мы предположим, что знаменатель Q не делится на много­
член F. Рассмотрим эту функцию только на точках кривой С.
Она не будет определена в тех точках (х, у ) , где одновременно
Q (x> У ) = 0 , F( x, у ) = 0. М ож но доказать, что в силу сделанных
нами допущений таких точек будет только конечное число. Ч то­
бы дальнейшее изложение было содержательным, мы предпо­
ложим; что кривая С имеет бесконечное число точек (т. е. ис­
ключим кривые вида х 2+ у 2= — 1, х * + у * = 0 и т. д. Если рас­
сматривать и точки с комплексными координатами, такие
оговорки не нужны). Тогда функция<р(х, у ) определит на множ е­
стве точке кривой С (мы будем говорить короче: на кривой С )
функцию, не определенную, быть может, в конечном числе
точек — подобно тому, как рациональная функция от одной пе­
ременной (1) не определена при конечном числе значений х ,
обращ ающ их в 0 знаменатель выражения ( 1). Получаемые та­
ким образом функции называются рациональными функциями
на кривой С. М ожно доказать, что все рациональные функции
на кривой С определяют поле (например, можно доказать, что*
функция <р определяет на кривой С отличную от 0 функцию,
только если Р( х , у) не делится на F( x, у) , а тогда функция
Q (-х, у)
Ф
7Г7— \
удовлетворяет тому же условию, которое мы
У \х > У)
накладывали на функцию ср, — знаменатель не делится на F —
это доказывает существование обратного элем ента). П оле ра­
циональных функций на кривой С обозначается R (C ). Оно яв­
ляется расширением поля вещественных чисел R. Рассматривая
точки с координатами из произвольного поля К, легко заменить
в этой конструкции R на К.
Сопоставление кривой С поля К ( С ) является гораздо более
тонким способом «координатизации» этой кривой, чем соп о­
ставление ей коэффициентов ее уравнения. П реж де всего, при
переходе от системы координат (х, у ) к другой системе коорди­
18
нат (х ', у ') уравнение кривой меняется, а поле К (С ) заменяет­
ся, как легко видеть, изоморфным. Что еще важно, изоморфизм
полей К ( С ) и К ( С ' ) над К устанавливает важные связи междукривыми С и С'.
Пусть, в качестве первого примера, С — это ось х. Так как
ее уравнение есть у = 0, то, ограничивая функцию <р на С, м ы
должны положить в (2) у = 0, и получаем рациональную функ­
цию от х:
Таким образом, в этом случае поле К ( С ) изоморфно полю>
рациональных функций К( х ) . Очевидно, так ж е обстоит дело,,
когда С — произвольная прямая.
Перейдем к случаю, когда С — кривая второго порядка..
Д окажем, что и в этом случае поле К ( С ) изоморфно полю рационадьных функций от одной переменной K ( t ) . Для этого вы­
берем на кривой С произвольную точку (ха, у 0) и возьмем за t
угловой коэффициент прямой, соединяющей ее с точкой (х, у)?
с переменными координатами (рис. 7 ).
Иными словами,
положим
t = ~ ~ ~ (как функцию на С)..
Докажем, что х и у, как функции на кривой С, являются;
рациональными функциями от t. Д ля этого вспомним, что у — у0=
= t ( x — x 0) и, если F (х, г / ) = 0 — уравнение кривой С, то на.
этой кривой
F (-*> Уо - г * ( х — х 0) ) = 1
0.
(3>
Иными словами, соотношение (3) выполнено в поле К (С). Так каю
С была кривой 2-го порядка, то это квадратное уравнение для
х : a (t) х 2 b (t) х -\ -с (t) — 0 (t мы относим к коэффициентам).
Но мы знаем один его корень: х = х 0 (это просто отражает тот
факт, что точка ( х 0, уо) лежит на кривой С). А тогда второй
корень находится уже из условия, что сумма корней равна
—
Мы
2*
получаем выражение x = f ( t ) в виде рациональной
19-
■функции t, и аналогичное выражение y = g(t), причем, конечно,
F ( / (t), g(t)) = 0. Таким образом, если сопоставить х*-*- f (t),
y+*g( f ) , Ф (х, у) ф ( / (t), g (t)), то мы получим изоморфизм полей
К (С ) и К (t) над К.
Геометрический смысл полученного изоморфизма заключается
в том, что точки кривой С могут быть параметризованы рацио­
нальными функциями: х = f ( t ) , y = g ( t ) . Если кривая С имеет
уравнение у2= а х 2-\-Ьх-\-с, то на ней y = V а х 2- f Ь х + с, и
другая форма полученного результата заключается в том, что
как х , так и
а х 2-\-bx-\-с, могут быть выражены как рацио­
нальные функции некоторой третьей функции t. Э то выражение
полезно, например, при вычислении неопределенных интегралов:
оно показывает, что любой интеграл
j Ф(х, У ax2-{-bx + c) dx,
где ф — рациональная функция, сводится подстановкой к инте­
гралу от рациональной функции о т ' t и, значит, выражается
через элементарные функции. В анализе наши подстановки на­
зываются подстановками Эйлера. Упомянем еще два приложе­
ния.
а) П оле тригонометрических функций определяется как по­
л е всех рациональных функций от simp и совф. Так как s i n ^ - f
+ c o s ^ = l , то это поле изоморфно R ( С ) , где С — окруж ность с
уравнением х 2+ у 2= 1 . М ы знаем, что поле R (C )
изоморфно
R ( 0 - Это объясняет, почему каждое тригонометрическое урав­
нение можно свести к алгебраическому.
б) В случае окружности х2+ у 2= 1, если мы положим хо= 0 ,
,1/о= — 1, наши выкладки дадут формулы
2t
1—/ 2
...
Древней задачей теории чисел является
вопрос
о
нахождении
целых чисел а, Ь, с, для которых а2-\- Ь2 = с2. Положив — — х ,
— = 1/, t = — и приведя формулы (4) к общему знаменателю, мы
С
С[
получим известные выражения
a = 2pq,
b = q2— pi2,
c — q2Ar p2.
Уже для кривой С с уравнением у2= х 3Ц~\ поле К (С ) не изо­
морфно полю рациональных функций. Это тесно связано с тем,
■что эллиптический интеграл, например j* у ~ - р
не выражается
через элементарные функции.
Конечно, поле К (С) играет большую роль и при исследова­
нии других кривых. Его можно определить также и для поверх­
ностей, заданных уравнением F (х , у, z ) = 0, где F — многочлен,
а если рассматривать пространства большего числа измерений,
20
то и для еще более широкого класса геометрических объектов —
алгебраических многообразий, определяемых в ^-мерном простран­
стве произвольной системой уравнений F x= 0, . . . , F m— 0, гд е
F i — многочлены от п переменных.
В заключение приведем примеры полей, встречающихся в
анализе.
П р и м е р 4. В се мероморфные функции в некоторой области
плоскости комплексного переменного
(или на произвольном
комплексном многообразии) образую т поле.
П р и м е р 5.
Рассмотрим
совокупность
рядов
Лоранасо
2
anz n, с х о д я щ и х с я
в к ол ьц е
0
<
J< /?,
причем
кольца
сходимости для разных рядов могут быть разными. При обы ч­
ном определении действий над рядами они образую т поле. Е с­
ли применять те ж е правила вычисления коэффициентов, т о
можно вычислить сумму и произведение двух рядов Л орана,
хотя бы они нигде и не сходились. Так мы приходим к полю
формальных рядов Лорана. М ож но пойти дальше и рассмотреть
эту конструкцию для случая, когда коэффициенты ап принадле­
ж ат произвольному полю К. П олучающееся поле называется
полем формальных рядов Лорана с коэффициентами из поля
К и обозначается К ( ( г ) ) .
§ 3.
КО М М УТАТИ ВН Ы Е
КОЛЬЦА
Самый простой пример «координатизации»— пересчет при­
водит (после введения нуля и отрицательных чисел) к целым
числам, которые поля не образую т. В о множ естве всех целых
чисел (положительных, отрицательных и 0) определены опера­
ции сложения и умножения, удовлетворяющ ие всем аксиомам
поля, кроме одной — существования обратного элемента а-1 для
л ю бого а ф 0 (например, 72 — уж е не целое чи сл о).
М ножество, в котором заданы две операции, называемые
сложением и умножением, удовлетворяющ ие всем аксиомам
поля, кроме, может быть, требования существования обратного
элемента а-1 для л ю бого а ф 0, называется коммутативным
кольцом. При этом удобно считать коммутативным кольцом и
кольцо, состоящ ее из одного нуля.
Аксиомы поля, из которых исключены аксиома о сущ ество­
вании обратного элемента и условие 0 ^ 1 , мы будем дальше
называть аксиомами коммутативного кольца.
По аналогии с полем определяется понятие подкольца A d В,
изоморфизма колец А ' и А " и изоморфизма колец А ' и А!'
над кольцом А , если A 'd > A и A " d > A . Изоморфизм колец А '
и А " опять записывается как А ' — А" .
21
П р и м е р 1. Кольцо целых чисел. Оно обозначается
Z.
Очевидно, ZczQ .
П р и м е р 2. Столь ж е фундаментальным примером являет­
ся кольцо многочленов А[х] с коэффициентами в кольце А.
Ввиду его фундаментальной роли, остановимся подробнее на
определении кольца А[х]. Сначала охарактеризуем его некото­
рыми свойствами.
Коммутативное кольцо В называется кольцом многочленов
над коммутативным кольцом А, если BzdA и В содерж ит такой
элем ент х, что любой элемент из В однозначно представляется
в виде
a0+ a i x + . . . + а пх п, а&А,
при некотором п ^ О . Если В ' — другое такое кольцо и xf — с о ­
ответствующий элемент, то соответствие
а о + а хх + . . . + а пх п*-+а0+ а 1х ' + . . . + ап( х ') п
определяет, как легко видеть, изоморфизм колец В и В ' над А.
Таким образом, кольцо многочленов определено, в разумном
смы сле, однозначно.
Этим, однако, не решается вопрос о его сущ ест вовании.
В большинстве случаев достаточна «функциональная» точка
зрения: надо рассматривать отображения f кольца А в се б я ,
имеющие вид
/ (c) = a o + a iC - r •••т ® / ’ с $ л ( !)
Действия
над
функциями определяются обычным образом:
( / + g) (c) = f ( c ) + g(c), ( f g ) (c) = / ( c ) g ( c ) . Сопоставив элементу
•абЛ постоянную функцию / (с) = а, мы можем считать А подкольцом кольца функций. Если обозначить через х функцию
х ( с ) = с, то функция (1) запишется в виде
f
~г сцх - f - . . . -\-апх п.
(2)
О днако в некоторых случаях (например, если число элементов
кольца конечно, а п не меньше чем число его элементов) за­
пись (2) мож ет оказаться неоднозначной. Так, в поле F2 (при­
мер 1 § 2) функции х и х2 совпадают. П оэтом у мы дадим д р у ­
гое определение.
М ож но было бы определить многочлены как «вы раж ения»
ao+ai*-|- . . . + а пх п, понимая здесь + и х* лишь как «типо­
графские знаки», служащ ие для записи последовательностей
элементов а0, . . . , ап из поля К. П осле этого сумма и произве­
дение задаю тся формулами
2
k
*г 2 akxk = 2
k
k
( 2 “ H f 2 a ;-*,b 2 ^ - * m\k
l \l
I
m
•22
+ ak) ■**»
^
aka r
k+l—m
Несколько более четко та же мысль формализуется следующим
образом. Рассмотрим совокупность бесконечных последователь­
ностей (а0, аь . . . , а „ , . . . ) элементов кольца А , причем в каж­
дой последовательности, начиная с некоторого места, стоят ну­
ли (это место может быть разным у разных последовательно­
стей). Сначала определим сложение последовательностей:
(^0)
• ■ч
•••) “Г (^о1 ^1’ ' * ' ’
= (Л0+ ®0’
+
’ * * *) ==
ап+
•••)•
Все аксиомы кольца, касающиеся сложения, будут выполнены.
Определим теперь умножение последовательности, пока лишь
на элементы кольца А :
C L{dо»
>• м
• • •) — {ССССq, CLCL\i . . . , d d n, . . , ) .
Обозначимпоследовательность
(0, . . . , 1, 0, . . . ) ,
А-ый элемент равен 1, а остальные — 0, через Е к.
легко видеть,
{а о, ftii ••., flu, •••
) сскЕ к
у которой
Тогда, как
(3)
*>о
ввиду ограничения, наложенного на последовательности, сумма
справа конечна). Теперь определим умножение:
2 akEk\( 2 a 'iE i) = 2 aka \Ek+i
(4)
k
1 \/
1 k,l
справа надо привести подобные члены со всеми k и I, для кото­
рых k - r l — n). Из формулы (4) следует, что Е 0 является едини­
цей польца, а Е к= Е\. Положив Е х= х , мы запишем последова­
тельность (4) в виде 2 акх ь. Очевидно, такая запись единственна.
Легко проверить, что умножение (4) удовлетворяет аксиомам
коммутативного кольца, так что построенное кольцо есть кольцо
многочленов A [jcJ.
Кольцо многочленов А [х, у] определяется как А [х]![у] или
обобщением вышеприведенной конструкции. Аналогично опре­
деляется кольцо А [х ъ . . . , х п] многочленов от лю бого числа пе­
ременных.
П р и м е р 3. Все линейные дифференциальные операторы
с постоянными (вещественными) коэффициентами могут быть за­
писаны как многочлены от операторов
...,
. Поэтому они
образуют кольцо
j?
1
дх С " " д—
х пУ
Сопоставляя
мы получим изоморфизм
23
R
д
d
’ dxn
Если A = K является полем, то кольцо К [х] является п одкольцом поля рациональных функций К (х) — аналогично тому,
как кольцо целых чисел Z является подкольцом поля рацио­
нальных чисел Q. Кольца, являющиеся подкольцами полей,' о б ­
ладают важным свойством: в них соотношение а& = 0 м ож ет
выполняться лишь при а = 0 или &= 0. Действительно, из акси­
ом коммутативного кольца легко следует, что а - 0 = 0 для л ю бо­
го а. П оэтом у если в поле а& = 0 и а Ф 0, то, умножая на а-1,
получаем Ъ— 0. Очевидно, это верно и для кольца, содерж ащ е­
гося в поле.
Коммутативное кольцо, обладаю щ ее тем свойством, что для
его элементов а и Ъ произведение аЪ = 0, только если а = 0 или
&= 0, и в котором 0=5^1, называется целостным. Таким обр азом ,
подкольцо лю бого поля целостно.
I.
Для лю бого целостного кольца А существует такое поле
К, подкольцом которого является А, что лю бой элемент из К
представляется в виде аЪ~1, где а и Ь ф О — элементы из подкольца А. Такое поле называется полем частных кольца А. О но
определяется кольцом А однозначно (с точностью до и зом ор­
физма). ► Например, полем частных кольца Z является поле
Q, кольца многочленов К [х ] — поле рациональных функций
К( х ) , а кольца К [ х и •••, х„] — поле К ( х и •••, х п).
В ообщ е,
поля частных даю т эффективный сп особ для построения новых
полей.
П р и м е р 4. Если А и В — два кольца, то прямой суммой
их называется кольцо, состоящ ее из пар (а, Ь) , абА, Ь&В, с дей­
ствиями:
(сц, bi) + (02, b2) = (a1-'r a2, bl -r b2),
(а1( Ь{) (а2, Ь2) = (ща2, Ьф2).
Прямая сумма обозначается А @ В . Аналогично определяется
и прямая сумма любого числа колец.
Прямая сумма не является целостным кольцом: (а, 0) (О, Ь) =
= (0 ,0 ), а это — нулевой элемент кольца А ® В .
Важнейший тип примеров коммутативных колец, среди кото­
рых встречаются нецелостные, дают кольца функций. Собствен­
но, прямая сумма А © . . . © А п экземпляров кольца А может
рассматриваться как кольцо функций, заданных на множестве
из п элементов (например, 1 ,2 , . . . , л ) со значениями в А : эле­
мент (Oi, . . . , an)Q A ® . . . © А можно отождествить с функцией / ,
для которой f
—
Действия над функциями соответствуют
при этом, как обычно, действиям над их значениями.
П р и м е р 5. Совокупность непрерывных функций (для опре­
деленности, вещественнозначных) на отрезке [0, 1]
обр азует
коммутативное кольцо С при обычном определении действий
24
над функциями. Это кольцо нецелостное: для функций f и g ,
изображенных на рис. 8 и 9, очевидно, f g = 0. В определении
вместо вещественнозначных можно
было бы
рассматривать
комплекснозначные функции, а вместо отрезка — произвольное
топологическое пространство. Такие кольца, встречающиеся в
анализе, обычно рассматриваются вместе с топологией на
множестве их элементов, или нормой, определяющей
такую
топологию. Например, в нашем случае обычно рассматривается
норма
II / l l = Sup | / (jc)|.
O C -r d
Примеры, аналогичные изображенным на рис. 8 и 9, можцо
построить и в кольце бесконечно дифференцируемых функций
на отрезке.
П р и м е р 6. Кольцо функций комплексного переменного, голо­
морфных в начале координат, является целостным, а его поле
частных — это поле рядов Лорана (пример 5 § 2). Аналогично
примеру 5 § 2 можно определить кольцо ф ор м а л ьн ы х с т ененСО
ны х р я дов 2 a ntn с коэффициентами ап из произвольного поля К .
п—0
Его можно определить также конструкцией, изложенной в при­
мере 2, если отбросить условие, что в последовательности
(ао, аь . . . , Оп, . . . ) , начиная с некоторого места, стоят нули. Это
кольцо тоже целостно, и его поле частных совпадает с п ол ем
ф орм ал ьн ы х р я д о в Л о р а н а К ((*)). Кольцо формальных степен­
ных рядов обозначается /С [[^]] П р и м е р 7. Кольцо Оп функций п комплексных переменных,
голоморфных в начале координат, т. е. представимых степенными
рядами
2
a h ..-inZi . •• z " ,
сходящимися в некоторой окрестности начала координат. Анало­
гично примеру 6 можно определить к ол ьц а ф орм ал ьн ы х с т е ­
чь
п ен н ы х р я д о в С [ f o , . . . , z„]] е комплексными коэффициентами и
/ f [ [ z i , . . . , z „ ] ] — с коэффициентами из любого поля К П р и м е р 8. Вернемся к кривой С, заданной на плоскости
уравнением F( x , у ) = 0, где F — многочлен с коэффициентами
в поле К, которую мы рассматривали в § 2. К аж дом у много­
члену Р ( х , у) сопоставим функцию на множестве точек кривой
С, определенную его ограничением
на эту
кривую.
Такие
функции называются полиномиальными функциями на кривой
С. Очевидно, они образую т коммутативное кольцо,
которое
обозначается К [С ]. Если многочлен F разлагается на множи­
тели, то кольцо К [С ] мож ет не быть целостным. Например,
если F = x y , то кривая С — это координатный крест, функция
х равна 0, на оси у, функция у — на оси х, а их произведе­
ние — на всей кривой С. Н о если многочлен F неприводим, то
кольцо /С-ГС] — -целостное.
В этом
случае полем частных
кольца /С[С] будет поле рациональных функций
К (С) на
кривой С.
Сопоставление алгебраической кривой С кольца К [С ] есть,
такж е пример «координатизации>, причем более тонкой, чем
сопоставление поля К ( С ) , так как /О[С ] определяет поле К ( С )
(его поле частных), но сущ ествую т кривые С и С', для кото­
рых поля К ( С ) и К( С' ) изоморфны, а кольца i'CfC] и /С (С '] —
нет.
Разумеется, вместо алгебраической кривой, заданной урав­
нением F( x, у ) = 0, можно рассматривать алгебраическую по­
верхность с уравнением F( x , у, z ) = 0 и, вообщ е, алгебраиче­
ское многообразие.
П р и м е р 9. Рассмотрим произвольное множество М и ком­
мутативное кольцо А , состоящ ее из всех функций на М со зна­
чениями в конечном поле F 2 из двух элементов (пример 1 § 2).
Таким образом, А состоит из всех отображений М в F2. Так как
поле F 2 имеет лишь 2 элемента: 0 и 1, то функция со значения­
ми в F2 однозначно определяется множеством U с М тех элемен­
тов, на которых она равна 1 (на остальных она равна 0). Обрат­
но, каждое подмножество
U с М определяет
функцию Фу,
Фу(/га) = 1, если m dU , и Ф у (т ) = 0, если m W . Легко видеть,
какие
действия над подмножествами соответствуют операциям
над функциями:
Фу'Фк = Фур|К>
Фи + Ч)к = ; ф£/дк,
где
U A V — симметрическая разность: U A V = ( U [ ) V ) \ { U f \ V ) .
Таким образом , наше кольцо может быть описано как состоя ­
щее из подмножеств U czM с операциями симметрической раз­
ности и объединения в качестве суммы и произведения. Это
кольцо было введено Булем для формальной записи высказы­
ваний в логике. Так как в поде F2 хг —х для л ю бого элемента
26
х, то это ж е соотношение выполнено для любой функции со
значениями в F2, т. е. в нашем кольце. Кольцо, для каж дого
элемента х которого х 2= х , называется булевым.
Более общ ие примеры булевых колец мож но построить
совершенно аналогично, беря не все подмножества, а лишь не­
которую систему S подмножеств множества М, содерж ащ ую
вместе с двумя подмножествами U и V также U f|V и U\]V и
вместе с U — его дополнение. Например, мож но рассмотреть
топологическое пространство, обладаю щ ее тем свойством, что
л ю бое его открытое множ ество замкнуто (такие пространства
называются нульмерными), и взять за S множество всех его
открытых подмножеств. Д оказано, что на этом пути
можно
получить лю бое булево кольцо. В следующем параграфе будет
указан принцип, на котором основывается доказательство.
При переходе от полей к произвольным коммутативным
кольцам возникает качественно новое явление — нетривиаль­
ная теория делимости. Элемент а кольца А называется деля­
щимся на элемент Ь, если сущ ествует такой элемент с, что
а — Ьс. Поле — это как раз такое кольцо, в котором теория де­
лимости тривиальна: лю бой элемент делится на любой отлич­
ный от 0, так как a = b ( a b ~ l) . Классическим примером теории
делимости является теория делимости в кольце Z: она была
построена еще в античности. Основная теорема этой теории
заключается в том, что целое число однозначно разлагается в
произведение простых множителей. Д оказательство этой тео­
ремы, как известно, основывается на делении с остатком (или
алгоритме Е вклида).
Пусть А — произвольное целостное кольцо. Э лем ент а(*А
называется обрат им ым (дел и т ел ем единицы), если он обла­
дает обратным в Л . (В Z — это ± 1 , в К\х\ — отличные от О
СО
«постоянные» св К , в К [[хЦ — это ряды ^ апх п с а 0=£0). На них
л=0
делятся все элементы кольца. Элемент а называется простым,
если он мож ет быть разложен на множители только так: а =
= с (с ~ 1а ), где с — обратимый элемент. Если лю бой отличный
о т 0 элемент целостного кольца А мож ет быть представлен в
виде произведения простых и это разложение единственно с
точностью до нумерации простых сомножителей и умножения
их на обратимые элементы, то А называется факториальным.
Так, Z — факториально, К [ я ] — тож е факториально
(доказа­
тельство использует деление многочленов с остатк ом ). М ож но
доказать, что если А — факториальное кольцо, то и кольцо
А [ х ] факториально. О тсю да и А [ х и . . . , *п]
факториально.
Простые элементы колец многочленов называют неприводи­
мыми многочленами. В кольце С [х ] неприводимы только ли­
нейные многочлены, в кольце R [x] — линейные и те квадрат­
ные, которые не имеют вещественных корней. В кольце Q [x ]
27
сущ ествую т неприводимые многочлены любой
степени — на­
пример, многочлен х "— р, где р — л ю бое простое число.
Важными примерами факториальных колец являются коль­
цо О п функций п комплексных переменных, голоморфных в
начале координат, и кольцо K [ :[ /i ,. . . , £>]] формальных- сте­
пенных рядов (пример 7 ). Д оказательство основы вается на
подготовительной
теореме
В е й е р ш т р а с с а , при
помощи которой вопрос сводится к функциям (или формаль­
ным степенным рядам ), являющимся многочленами от одной
из переменных. П отом применяется факториальность
кольца
А [*] (для факториального А ) и индукция.
П р и м е р 10. Комплексные числа вида m + n i, где т и п —
целые числа, образую т, как легко видеть, кольцо. Оно являет­
ся факториальным — это такж е доказывается при помощи де­
ления с остатком, но теперь при делении понижается т2+ п 2.
Так как в этом кольце
т2+ п 2= (m + ni) (т — ш ),
то на теории делимости в нем основывается решение задачи
теории чисел о представлении целых чисел в виде суммы
двух квадратов.
П р и м е р 11. Пусть е — корень (комплексный) уравнения
е 2 + е + 1 = 0. Комплексные числа вида т + п ъ , где т и п — це­
лые, тож е образую т кольцо и оно тож е факториально. Выра­
жение т3+ п 3 разлагается в этом кольце на множители:
/те3+ п ъ = (т + п) (т -j- пе) (пь + пг),
где s = — 1 — е — комплексно сопряженное число. Благодаря эт о­
му, теория делимости в этом кольце служит основой доказа­
тельства т е о р е м ы
Ферма
для
кубов.
Математиков
XVIII века — Лагранжа и Эйлера очень поражал тот факт, что
доказательство теорем теории чисел (т. е. теории кольца Z)
основывается на привлечении других чисел (элементов других
колец).
П р и м е р 12. Приведем пример нефакториального целостного
кольца. Это кольцо, состоящ ее из комплексных чисел вида
т + п-У — 5, где т и /гбZ. В от пример двух разных разложений
на простые множители:
& = (2-'г у - = Ъ ) ( 2 - У ~ ^ 5 ) .
Нам надо только убедиться, что 3, 2 + ^ - 5 и 2 ~ ] / - 5 простые элементы. Для этого обозначим квадрат модуля числа се
через N (а) . Если а = п -\ -т У — 5, то N ( a ) = (n-\-m Y — 5) X
X ( п — т У — 5) = п2-\- 5/и2 и является положительным целым
числом. Кроме того, из свойств модуля следует, что N (оф) =
= N (а) N ф). Если, например, 2 + У — 5 н еп р осто: 2 + V — 5 =
=сф ,
то
^ ( 2 4 - К = : 5) = ^ (а )Л ^ (Р ). Но N ( 2 + V - 5 ) = 9 t
28
и, значит, сущ ествую т только три возможности: N («)=*• 7V(P) = 3,
или N ( а) = 9, А^(Р) = 1, или N (а) = 1, А^(Р) = 9. Первый случай
не может реализоваться, так как 3 нельзя представить в виде
n2Jr 5т2 при целых т и п. Во втором случае Р = ± 1, т. е. р
обратимо, а в третьем а — ± 1, т. е. р или а обратимо. Это
доказывает, что число 2 -{-У — 5 просто.
То что кольцо не является факториальным, не означает, что
у него нет интересной теории делимости. Н аоборот, в этом
случае теория делимости и становится особенно нетривиаль­
ной. П одробнее о б этом будет сказано в следующем пара­
графе.
§ 4. ГОМОМОРФИЗМЫ
И
ИДЕАЛЫ
Д ругое принципиальное отличие произвольных коммута­
тивных колец от полей — это существование нетривиальных
гомоморфизмов. Гомоморфизмом кольца А в кольцо В назы­
вается такое отображ ение f : Л-»-В, что
f ( a i + a 2) = / ( a i ) - hf ( a2), f ( a ta2) = f ( a t) - f ( a 2), f ( l A) = l B
(мы обозначаем через 1а и 1В единичные элементы колец А
и В) . Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный.
Если кольцо снабжено топологией, то интерес обычно пред­
ставляют лишь его непрерывные гомоморфизмы.
Типичные примеры гомоморфизмов возникают, когда коль­
ца А и В реализуются как кольца функций на множествах X и
У (например, непрерывных, дифференцируемых, аналитических
или полиномиальных функций на алгебраической кривой С ).
Отображение <р : У-»-Х переводит функцию F на X в функцию
Ф*Е на У, определенную условием
(Ф* F ) ( y ) = F ( v ( y ) ) .
Если ф удовлетворяет условиям, естественным в рассматрива­
емой теории (т. е. является непрерывным, дифференцируемым,
аналитическим отображ ением или задается полиномиальными
формулами), то ф* определяет гомоморфизм кольца А в коль­
цо В. Простейший частный
случай — это когда ф является
вложением, т. е. У — подмножество множества X. Тогда ф*
есть просто ограничение функций, заданных на X, на подмно­
ж ество У.
П р и м е р 1. Если С — кривая, определенная уравнением
F( x, у) —0, где F^K[ x, у] — неприводимый многочлен, то огр а­
ничение на С определяет гомоморфизм К[ х , у ] ^~К[ С] .
Чаще всего встречается случай, когда У — одна точка мно­
жества X : У = { х 0} , ХобХ; тогда речь идет о сопоставлении л ю ­
бой функции ее значения.
П р и м е р 2. Если х0бС, то сопоставление каждой функции
29
из /СГС1 ее значения в точке х 0 определяет гомоморфизм
*[С]->ЛС.
П р и м е р 3. Если С — кольцо непрерывных функций на
[О, 1] и хо6[0, 1], то сопоставление функции <рбС ее значения1
<р(хо) является гомоморфизмом C->-R. Если А — кольцо функ­
ций, голоморфных в окрестности 0, то сопоставление функции
фбЛ значения <р(0) является гомоморфизмом А -*-С. ►
Интерпретация значения в точке как гомоморфизма приве­
ла к общ ей точке зрения на теорию колец, согласно которой
коммутативное кольцо очень часто мож ет быть интерпретиро­
вано как кольцо функций на множестве,
«точки»
которого
соответствую т гомоморфизмам исходного кольца в поля. И с­
ходным примером является кольцо А" [ С ], где С — алгебраиче­
ское многообразие, а с него геометрическая интуиция распро­
страняется на более общ ие кольца. Таким образом , концеп­
ция, согласно
которой
«всякий
геометрический
объ ект
координатизируем некоторым кольцом функций на нем», д о ­
полняется другой, согласно которой «л ю бое кольцо координатизирует какой-то геометрический объект».
С этими двумя точками зрения — алгебраической и функ­
циональной, — мы уж е столкнулись при определении
кольца
многочленов в § 3. Связь между ними будет постепенно угл уб­
ляться и проясняться, в дальнейшем.
П р и м е р 4. Кольцо .А функций, голоморфных в круге | г| < 1
и непрерывных при |z |< 1. В се тем ж е способом любая точка го,
|г0| < 1 , определяет гомоморфизм А -> С , при котором функции
ФбА сопоставляется ф (г 0). М ож но доказать, что этим исчерпы­
ваются все гомоморфизмы А -> С над С. Рассмотрим граничные
значения функций из А : это непрерывные функции на окруж ­
ности |г| = 1, для которых все коэффициенты Фурье с отрица­
тельными индексами равны 0, т. е. разложения в ряд Ф урье
имеют вид 2
c „e2*inv.
Так
как
функция
/6 А
определяется
п>О
своими граничными значениями, то А изоморфно кольцу не­
прерывных функций на окружности, имеющих ряды
Ф урье
указанного типа. В такой интерпретации сразу бросаю тся в
глаза лишь его гомоморфизмы, соответствующ ие
точкам
окружности |z |= 1. Таким образом, рассмотрение множ ества
всех гомоморфизмов иногда помогает восстановить то мно­
жество, на котором элементы кольца естественно рассматри­
вать как функции.
В кольце функций, голоморфных и ограниченных при |z|<
< 1 , далеко не все гомоморфизмы описываются точками z0,
|zo|<l. Их исследование связано с тонкими вопросами теории
аналитических функций.
Для булева кольца (ср. пример 9 § 3) образ гомоморфизма
Ф : A—>-F в поле F является, как легко видеть, полем из двух
30
элементов. П оэтому, наоборот, лю бой элемент абЛ сопоставь
ляет гомоморфизму ф элемент ф (а )б р 2. Такова идея доказа­
тельства основной теоремы о булевых кольцах: за М берется
множество всех гомоморфизмов А-*~F2, и А интерпретируется
как кольцо функций на М со значениями в F2.
П р и м е р 5. Пусть УС — компактное подмножество в про­
странстве п комплексных переменных Сп и Л — кольцо функций,,
являющихся равномерными пределами полиномов на УС. Гомомор­
физмы над С А -> С не исчерпываются теми, которые соответствуют
точкам г£УС. Они находятся во взаимно однозначном соответствии
с точками так называемой п ол и н ом и а л ьн о выпуклой об ол оч к и
УС, т. е. точками гбС л, для которых
| / ( z ) l < S u p | / | для всех полиномов / .
УС
П р и м е р 6. Сопоставим целому числу символ Ч, если оно
четно, и Н — если нечетно. М ы получим гомоморфизм Z-*-F2;
кольца целых чисел в поле из 2-х элементов, таблицы слож е­
ния и умножения которого приведены на рис. 3 и 4. (С о б ст ­
венно, действия над символами Ч и Н так и определялись,
чтобы это отображение было гомоморфизмом.)
Пусть f : А-*-В — гомоморфизм коммутативных колец. М но­
ж ество элементов f ( a ) , абЛ, составляет, как видно из опреде­
ления гомоморфизма, подкольцо кольца В.
Оно называется
образом гомоморфизма f и обозначается через I m f или /(Л )..
М нож ество элементов абЛ, для которых } ( а ) = 0, называется
ядром гомоморфизма f и обозначается K erf. Если 5 = Im f, то
В называется гомоморфным образом кольца А.
Если K e r f= 0 , то f — изоморфизм между Л и подкольцом:
f ( A) кольца В. Действительно, если f ( a ) = f ( b ) , то из опреде­
ления гомоморфизма следует, что f ( a — b) = 0 , т. е. а— f t 6 Ke r f =
= 0 и а —Ь. Таким образом, f — взаимно однозначное соответ­
ствие между Л и f (Л) и, значит, изоморфизм. Это обстоятель­
ство обращ ает наше внимание на ядра гомоморфизмов.
Если ах и a26 K e r f, то ai + a26 K e r f и, если a 6 K e rf, то.
ах6 Кег f для лю бого элемента хбЛ — как сразу следует
из
определений.
Непустое подмножество I кольца Л называется идеалом,.
если оно обладает этими двумя свойствами:
из a i6 / и а2б / следует, что ai + a26/,
и из а б / следует, что а х б / для лю бого элемента хвА.
Таким образом, ядро лю бого гомоморфизма является идеалом.
Универсальный способ конструкции идеалов таков. Рассмотрим
произвольное множество {аД элементов кольца А и множество
I тех элементов, которые представимы в виде 2 х ьаь с некото­
рыми х %£.А (предполагается, что в каждой сумме только конеч­
ное число слагаемых отлично от 0). I является идеалом. Он
ЗЕ
называется и д е а л о м , п орож ден н ы м м н ож ест вом {а*,}. Чаще
всего множество {а Д конечно— {сц, . . . , a m}. В этом случае пишут
I = {аь . . a m). Идеал, порожденный одним элементом: I = (а),
называется главным. Если а делит Ь, т о (Ь) с (а).
В поле К есть только два идеала — (0) и (1) = /С. Действи­
тельно, если 1 с К — идеал поля К , 1 $ а ф 0 , то I^aa~1b = b для
лю бого Ь(*К и, значит, I = К (это перефразировка того, что
в К теория делимости тривиальна). Отсюда следует, что любой
гомоморфизм поля К - + В является изоморфизмом с некоторым
подполем кольца В.
Н аоборот, если в коммутативном кольце нет идеалов, о т ­
личных от 0 и( 1) , и О ф 1, то оно — поле. Действительно, тогда
для л ю бого а ф О мы должны иметь (а ) = Л , в частности, 1 6 (a ),
т. е. 1 = ab при некотором Ь£А, т. е. элемент а имеет обратный.
В кольце целых чисел Z лю бой идеал I главный; легко ви­
деть, что если 1 ф ( 0 ), то / = ( п ) , где п — наименьшее содер­
ж ащ ееся в I положительное число. То ж е верно для кольца
К [х\ . Там идеал I = ( f ( x ) ) , где f ( x ) — многочлен наименьшей
степени, содержащийся в I. В кольце К[ х , у] идеал I, состо­
ящий из многочленов без свободного члена, как легко ви­
деть, — не главный; он имеет вид {х, у ) . Кольцо, в котором
всякий идеал главный, называется кольцом главных идеалов.
Не случайно, что кольца Z и /С [jcJ факториальны: мож но
доказать, что лю бое кольцо главных идеалов факториально.
Н о пример кольца К[ х, у] показывает, что факториальных к о­
лец больше, чем колец главных идеалов. Точно так же, фак­
ториальным, но не кольцом главных идеалов, является коль­
цо а п функций п > 1 комплексных переменных, голоморфных в
начале координат (пример 7 § 3 ). И сследование идеалов в
этом кольце играет важную
роль при изучении локальных
аналитических многообразий, определенных
в окрестности
начала координат уравнениями
f i = 0 , . . , fm =0
На свойствах этих идеалов основывается представление таких
многообразий как объединения неприводимых, введение для
них понятия размерности и т. д.
П р и м е р 7. В кольце С функций, непрерывных на отрезке,
ядро
гомоморфизма,
сопоставляющего функции Ф значение
ф (х 0), — это идеал / * 0= {Ф е С , Ф (х 0) = 0}. Легко доказать, что
он — неглавный: функция, стремящаяся к 0 значительно медлен­
нее заданной функции Ф (х ) (например, У"| Ф (х ) |), не содержится
в идеале (Ф (х)). Аналогично доказывается, что идеал I Хо не
порождается даже никаким конечным числом Фг, . . . , Фт вхо­
дящих в него функций.
Д ругой пример подобного типа можно получить в к ол ьц е 8
р о с т к о в б еск о н еч н о диф ф еренцируем ы х н а п р я м ой функций
32
в точке О. (По определению, две функции задают один и тот
же росток в точке О, если они совпадают в какой-то окрест­
ности этой точки.) Идеал М п, состоящий из ростков функций,
равных нулю в точке О вместе со всеми производными порядка
< п , главный и равен (x n+1), но идеал
ростков функций, все
производные которых в точке О равны 0 (вроде функции
как можно доказать, не порож дается никакой конечной систе­
мой функций. Впрочем, убедительность этих примеров не сле­
дует преувеличивать: используя топологию кольца С непре­
рывных функций, естественнее рассматривать идеалы, тополо­
гически порож денные функциями фЬ . . . , срт , т. е. замыкание
идеала (фь . . . , фт ). В этом, топологическом смысле, любой
идеал кольца С порож дается одной функцией. Те ж е сообр а­
жения применимы и к кольцу &, но топология в нем опреде­
ляется более сложным способом и, например, тот факт, что
идеал
не порож дается никакой конечной системой функ­
ций, несет в себе более реальную информацию.
Пусть I и J — два идеала кольца А . Идеал, порожденный
множеством всех произведений ij, гб/, /б /, называется произ­
ведением идеалов I и / и обозначается / / . Умножение главных
идеалов согласовано с умножением элементов: если / = ( а ) ,
J = ( b ) , то I J = ( a b ) . П о аналогии с вопросом об однозначности
разложения элементов на простые множители можно поставить
вопрос о разложении идеалов кольца на идеалы, не разложи­
мые в произведение идеалов. Конечно, оба свойства имеют
место в целостном кольце главных идеалов. Но существуют
важные типы колец, которые не факториальны, но в которых
идеалы на неразложимые множители разлагаются однозначно.
П р и м е р 8. Рассмотрим кольцо чисел вида ш -\ -п У — 5 ,
m, /iGZ, которое мы приводили в качестве примера нефакториаль­
ного кольца (пример 12 § 2). Разложение
3* = ( 2 - г К ^ 5 ) ( 2 - К ^ 5 ) ,
(1)
которое мы привели выше, не является (если заменить числа
соответствующими главными идеалами) разложением на простые
множители. Нетрудно убедиться, что ( 2 + 1 / — 5) = ( 2 - f У — 5, З)2,
(2- у Г = 5 ) = ( 2 - ] / ^ 5 , 3)2,
(3) = (2 + V - 5 , 3 ) ( 2 - V ^
3),
так что (1) есть произведение (2 + 1 / — 5, З)2 (2 — У — 5, З)2,
в котором только по-разному сгруппированы множители. Воз­
можность аналогичного разложения является основой арифметики
алгебраических чисел. В этом и историческое объяснение тер­
мина «идеал»: простые идеалы, на которые разлагается неразло­
жимое число (например, 3 или 2 + 1 / — 5), рассматривались сна­
чала как его «идеальные простые сомножители».
Числа 3 и 2 + 1/" — 5 не имеют общ его множителя, отличного
от ± 1 , так как они простые. Но идеал (3, 2 + 1 / — 5) является
3—9339
23
33
их
общ ™
наибольшим делителем (точнее, идеалов (3) и
(2 + V — 5)). Аналогично тому как общий наибольший делитель
целых чисел а и & представляется в виде a u -{-b v , идеал
(3, 2 -\-У — 5) состоит из чисел вида З а -р (2 + У — 5)РПонятие идеала особенно важно тем, что отмеченная нами
связь между гомоморфизмами и идеалами обратима: каждый
идеал является ядром некоторого гомоморфизма. Ч тобы по­
строить по идеалу I кольца А то кольцо В, в которое этот го­
моморфизм будет отображ ать А, вводятся следующие опреде­
ления.
Элементы ах и а2 кольца А называются сравнимыми по
идеалу I этого кольца (или по м одулю этого идеала) , если
ai — а2Ы.
Это записывается так:
ai==a2( / ) .
Если А = Z, 1— ( п), то мы приходим к классическому понятию
сравнения в теории чисел: сравнимость чисел ах и а2 означает,,
что они даю т одинаковые остатки при делении на п.
Отношение сравнимости является отношением эквивалент­
ности, и кольцо А разбивается на непересекающиеся классы
сравнимых друг с другом чисел по модулю идеала I. Эти клас­
сы называются также классами вычетов по м одулю I.
П усть Г1! и Г2 — два класса вычетов по модулю идеала L
Л егко видеть, что как бы мы ни выбирали элементы a i6ri и
а2бГ2, их сумма будет лежать в одном и том ж е классе выче­
тов Г. Этот класс называется суммой классов вычетов T i и Г2
Аналогично определяется произведение классов вычетов. С ово­
купность всех классов вычетов по модулю идеала I с опреде­
ленными выше действиями образует, как легко проверить,
коммутативное кольцо. Оно называется кольцом классов вы­
четов или факторкольцом кольца А по идеалу I и обозначает­
ся А //.
Например, если А = Z, / = ( 2 ) , то имеется 2 класса вычетов::
четные числа и нечетные числа, а кольцо Z /(2 )
совпадает в;
полем F2.
Л егко видеть, что сопоставление элементу абЛ того класса
вычетов, к которому он принадлежит, является гомоморфизмом:
f : A-+A/I, ядром которого является /. Этот гомоморфизм на­
зывается каноническим.
Канонические гомоморфизмы колец
на их факторкольца
даю т более явное
описание произвольных гомоморфизмов.
Именно, легко проверить утверждение:
I.
Каков бы ни был гомоморфизм колец Ф :Л -> .В , кольцо.
1га Ф изоморфно факторкольцу А /К егФ и изоморфизм между
ними можно выбрать так, что он будет переводить канонический
гомоморфизм ф :Л - > Л /К е г ф в гомоморфизм Ф: Л -> 1 т ф . ►
34
Точнее говоря, этот изоморфизм от переводит элемент ф (а}
в Ф (а) для лю бого а £ А . (Надо помнить, что ог(ф (д ))б1 тФ с.5 ,
так что о (ф (а)) и Ф (а) оба содержатся в В.) Чаще всего эт от
результат применяется к случаю, когда 1тФ = В . В этом случае
наше утверждение гласит:
II.
Т е о р е м а о г о м о м о р ф и з м а х . Гомоморфный образ изо­
морфен факторкольцу по ядру гомоморфизма. ►
При каноническом гомоморфизме f прообраз f~l (J) лю бого
идеала JczA/I является идеалом в А , содержащим I, а обр а з
f ( I ' ) л ю бого идеала / ' , содерж ащ его /, является идеалом в
А/I. Так устанавливается взаимно однозначное соответствие
между идеалами факторкольца АН и идеалами кольца А, со ­
держащими I.
В частности, как мы знаем, А/1 является полем тогда и
только тогда, когда оно имеет ровно два идеала,
(0) и (1),.
а это значит, что I не содерж ится ни в каком большем идеале,,
отличном от А . Такой идеал называется максимальным. М ож ­
но доказать (используя лемму Цорна из теории м нож еств), что>
любой идеал, отличный от А , содерж ится хотя бы в одном,
максимальном.
Рассмотрение факторколец по максимальным идеалам яв­
ляется (наряду с рассмотрением полей частных) важнейшим
методом конструкции полей. Сейчас мы получим этим путем
много новых примеров полей.
П р и м е р 9. Очевидно, что в кольце Z максимальными яв­
ляются идеалы (р ), где р — простое число. Таким образом,.
Z] ( р ) — поле. Оно состои т из р элементов и обозначается F,*
Раньше мы построили только поля из 2-х и 3-х элементов —
F2 и F3. Если число п не просто, то кольцо Z /(п) не только не
является полем, а и, как легко видеть, не целостно.
П р и м е р 10. Рассмотрим теперь кольцо многочленов К[х\~
В нем максимальные идеалы имеют вид (<p(x)), где <р(х) —
неприводимый многочлен. В этом случае факторкольцо L =
= -К|Х|/(ф(я)) является полем. Обозначим через а образ пере­
менной х при гомоморфизме
K [ x ] - + L = K[ x ] /( ф( * ) ) .
Тавтологически ф ( а ) = 0 , т. е. в поле L многочлен ф имееткорень. Обозначим степень многочлена ф через п. Используя:
деление с остатком, мож но однозначно представить лю бой мно­
гочлен u(x)G /C [x] в виде
и( х ) = ф ( х ) ф ( х ) + v ( x ) ,
где степень многочлена и меньше чем п. Отсюда следует, что*
любой элемент поля L однозначно представляется в виде
До -J- fljoc -f- а^р? — . . . —
{—ап-\о? ^ ,
(2)>
где а0, . . . , а„-1 — произвольные элементы поля К.
3*
35»
Если /C = R , <р(х) = х 2+ 1 , то мы построим таким образом по­
ле комплексных чисел С, причем i есть образ х в R [x \ j(x 2+ 1),
a + b i — образ a + bx.
Выше мы построили расширение Ц К , в котором заданный
многочлен q>(f) имеет корень. Итерируя этот процесс, можно
доказать, что у лю бого поля К существует расширение- Ц К ,
в котором любой многочлен <рбЕ [f] имеет корень. Поля, обл а ­
даю щ ие этим свойством, называются алгебраически
замкну­
тыми. Например, С — алгебраически замкнутое поле.
Пусть К — поле из р элементов. Если <р — неприводимый в
этом поле многочлен степени п, то запись (2) показывает, что
поле L состоит из рп элементов. Исходя из этих соображений,
доказы ваю тся следующие результаты, в совокупности описы­
вающ ие все конечные поля.
*4 1. Число элементов конечного поля имеет вид рп, где
р — его характеристика.
2. Для каждых р и п сущ ествует поле, состоящ ее из рп
элементов.
3. Конечные поля, имеющие одинаковое число элементов,
изоморфны.
Конечные поля имеют очень много применений. Одно из них
связанное именно с их финитностыо, относится к т еор и и к од ов
и сп ра вл я ю щ и х ошибки. Код, по определению, состоит из ко­
нечного множества Е («алфавита») и подмножества U в множестве Е п
всевозможных последовательностей {аъ . . . , ап), а £ Е . Это под­
множество надо выбрать так, чтобы любые две входящие в него
последовательности различались в достаточно большом числе
мест. Тогда, передавая «сообщения» (иь . . . , un) c U , мы можем,
даже если в них будет искажено небольшое число знаков, вос­
становить исходное сообщение. Богатый материал для подобного
выбора получается, если брать за Е некоторое конечное поле F ?,
а за U — линейное подпространство в векторном пространстве FJ.
Более того, наибольшего успеха удалось добиться, выбирая
в качестве F£ и U конечномерные подпространства в поле F ? (t)^
или даже в поле Fq (C), где С — алгебраическая кривая, и оп­
ределяя выбор этих подпространств некоторыми геометриче­
скими условиями (вроде рассмотрения функций, имеющих за­
данные нули и полю са). Так теория кодов оказалась связанной
с очень тонкими вопросами алгебраической геометрии над ко­
нечным полем.
Уже рассмотрение простейшего кольца 2 /{ п ) приводит к
интересным выводам. Пусть К — произвольное поле и 1 — его
единичный элемент. Рассмотрим отображ ение f кольца Z в К:
f(n) = п - 1
(это значит, что f ( n) = 1 + . . . + 1
26
(п раз), если п > 0, — (1 +
.. ..+ 1) (— п р а з), если п < О, и О, если п = 0 ). Легко убедиться,,
что f — гомоморфизм. Возможны два случая:
a) K erf= О и б ) K e r f # 0 .
В первом случае f ( Z ) — подкольцо поля К, изоморфное Z.
Так как К — поле, то в нем должны содерж аться и отношения
элементов этого кольца, которые, как легко видеть, обр азую т
подполе Ко поля К. Из единственности поля частных следует,,
что Ко изоморфно полю Q, т. е. К содерж ит подполе, изоморф­
ное Q.
В случае б) пусть Kerf = ( n ) . Очевидно, п должно быть
простым числом, так как иначе f ( Z ) = Z / ( n ) не было бы целост­
ным. Но тогда f ( Z) = Z / ( p ) = F P — поле из р элементов.
Таким образом, мы видим, что лю бое поле содержит или
поле рациональных чисел Q, или поле из некоторого простого
числа элементов Fp. Эти поля называются простыми, а л ю бое
поле является расширением одного из них. Если поле К содер­
жит поле из р элементов, то рх —0 для лю бого х&К. В этом
случае р называется характеристикой поля К, и говорят, чтоК — поле конечной характеристики. Если К содержит поле Q,
то пх = 0, только если п = 0, или х = 0 . В этом случае говорят,
что поле К имеет нулевую (а иногда — бесконечную ) характе­
ристику.
Поля Q, R, С, Q (x ), R (x ), С (х ) имеют нулевую характерис­
тику. Поле Fp из р элементов имеет характеристику р , такж е
как и поле F( x ) , Fp (x, у) и т. д.
Кольцо А /I вкладывается в поле тогда и только тогда, когда
оно целостно. Это означает, что 1 ф А , и если абА, ЬвА, abGl, т о
или а б/, или 66/. И деалы , обладающ ие этим свойством, называ­
ются простыми. Например, главный идеал
; I = ( F { x , у))<=: К[х, у]
прост, если F — неприводимый многочлен: кольцо Щ_(х, у]/ 1 =
= К[С] (где С — алгебраическая кривая с уравнением F( x, у)*=
= 0) вкладывается в поле К ( С) . Мы можем сказать, что прос­
тые идеалы — это ядра гомоморфизмов <р:А-*-К, где К — поле
(причем, мож ет быть, ср( А ) Ф К ) .
М ожно показать, что в примере 8 «просты е» (т. е. неразло­
жимые на сомножители) идеалы в точности совпадают с про­
стыми идеалами в смысле данного выше определения.
В начале этого параграфа изложена точка зрения, согласно
которой л ю бое кольцо можно мыслить как кольцо функций на
некотором множестве X. «Точки» этого множества соответствен
вали гомоморфизмам кольца в поля. П оэтом у мы можем их ин-,
терпретировать как максимальные (в другой версии — простые)
идеалы кольца. Если М — идеал, «определяющий» точку х£Х, и
абЛ, то «значение» а ( х ) есть класс вычетов а + М в А/М. Воз-,
никающая так геометрическая интуиция поначалу кажется д о­
вольно причудливой. Например, в кольце целых чисел макси37
м а л ы ш е идеалы соответствую т простым числам, и значение в
жаждой «точке» (р ) принадлежит своему полю Гр. (Так, число
1984 = 26-31 надо мыслить себе как функцию на множестве
просты х чисел, обращ аю щ ую ся в 0 в точках 2 и 31. М ож но д а ­
ж е сказать, что эта функция имеет в точке 2 нуль кратности 6,
а в точке 31 — кратности 1.) Однако она является всего лйшь
логическим развитием аналогии между кольцом целых чисел Z
л кольцом многочленов /flfj, в которой простым числам рбZ со ­
ответствую т неприводимые многочлены P(t)& K{t}. П родолж ая
«ее, надо считать аналогом уравнения
а0+ а хх + . . . + a nx n= 0 , а{GZ,
определяющ его алгебраическое число, уравнение
а0(0 + ax{ t ) x + . . . + a n ( t ) x n = О,
определяющ ее алгебраическую функцию x ( t ) . Действительно,
к исследованию алгебраических чисел оказалось возможным
применить интуицию теории алгебраических функций и, даж е,
связанных с ними римановых поверхностей. Систематическому
развитию этой точки зрения теория чисел обязана некоторыми
из красивейших своих достижений.
Д ругой вариант тех же идей играет важную роль при рас­
смотрении отображений ф: У - + Х (например, аналитических ото­
бражений аналитических многообразий). Если Л — кольцо анали­
тических функций на X , а В — на У, то, как сказано в начале
эт о го параграфа, отображение Ф определяет гомоморфизм ф* :А -+ В .
П усть Z — подмногообразие X и / с А — идеал обращающихся
на нем в 0 функций из А . Если / = ( / i , . . . , / г), то это значит,
что Z
определено уравнениями / i = 0, . . . , / г — 0. Прообраз
ф-1 (Z),
подмногообразия Z , в У определяется уравнениями
4 > * f i= 0 , . . ф * / г= 0 , и ему естественно поставить в соответ­
ствие кольцо
£/(<P*/i> •••> Ф * Л )= = 5 /(Ф * /)Д .
П усть, например, Ф есть отображение прямой У на прямую X ,
заданное условием х = у2. Если Z есть точка х = а ф 0 , то
ф_1(Z ) состоит из двух точек у = ± У ~ а , а
В / ( Ф * / ) 5 = С [у]/(г/2 — а ) — С [у\/(у— У~а)Ф
©С [у]1(у + 1Л х)~С Ф С ,
т . е. является действительно кольцом функций на паре точек.
Но если Z есть точка х — 0, то Ф '1 (Z ) — это одна точка у = 0,
а В 1 (9 * 1 )В — С[у\/у2. Это кольцо состоит из элементов вида
а ;+ р е , а» рбС, в — образ у, причем е2= 0 . Его мож но интерпре­
тировать как «кольцо функций на двукратной точке», и оно дает
гораздо более тонкую информацию о поведении отображ е­
ния х = у * ъ окрестности точки х = 0, чем теоретико-множ ествен­
38
ный прообраз этой точки. Таким ж е образом изучение особен­
ностей аналитических отображ ений приводит к рассмотрению,
в качестве инвариантов этих особенностей, гораздо более слож ­
ных коммутативных колец.
П р и м е р 11. П усть К и К ъ •••■>К п> ••• — бесконечная после­
довательность полей.
Рассмотрим всевозможные
бесконечные
последовательности (Oj, Дг, . . . , а „ , . . . ) , где a fcK i, и определим
над ними действия:
(#1, #2» •••»
•••)
ipl,
•t Фл» ••*)
= (a i + ^n ch -j-b 2, . . . , ап-\-Ьп, . . . ) ,
(fl\, Оф . . ., йп, . . .) (Ь\, &2> ••ч Ьп, . . .) =
= (0*\Ь\, #2^2> •••*
•••)•
Т ак получается коммутативное кольцо, называемое произведе­
нием полей К. Оно обозначается П/С<.
Некоторые гомоморфизмы кольца Ш(< в поля (а значит, и
его максимальные идеалы) бросаю тся в глаза: это сопостав­
ление последовательности (а и а2, . . . , аП). . . ) ее ге-й компонен­
ты (при фиксированном п ). Н о имеются и менее тривиальные
гомоморфизмы. Действительно, рассмотрим все последователь­
ности, в которых только конечное число компонент at отлично
о т 0. Они образую т идеал /, а всякий идеал содержится в мак­
симальном. Пусть 371 — некоторый максимальный идеал, содер­
жащий I. Он отличен от ядер указанных выше тривиальных
гомоморфизмов, так как они не содерж ат I. Факторкольцо
IiK i/Ш является полем и называется ультрапроизведением по­
лей Ki. Мы получаем интересную «пом есь» полей Кй например,
если все Ki имеют разные конечные характеристики, то их
ультрапроизведение имеет характеристику 0. Э то — сп особ пе­
рехода от полей конечной характеристики к полям характерис­
тики 0, используя который удалось доказать некоторые трудные
теоремы теории чисел.
Если все поля Ki совпадаю т с полем вещественных чисел,
то их ультрапроизведение имеет аналитические приложения.
О н о лежит в основе, так называемого, нестандартного анализа,
который, например, дает возмож ность в некоторых вопросах
теории дифференциальных уравнений избегать трудных оценок
и обоснований сходимости.
С точки зрения математической логики, ультрапроизведения
интересны тем, что л ю бое «элементарное» высказывание, вер­
ное во всех полях Кг, верно и в их ультрапроизведении.
П р и м е р 12. Рассмотрим дифференциальные операторы
вида
/~0
аг
39
где f i (z) — ряды Лорана, сходящиеся или формальные. Умноже­
ние таких операторов необязательно коммутативно. Но для неко­
торых пар операторов 2D и Д все же может оказаться, что 55Д =
— A2D— например, если
и
Д ~ £ - З г - >й - + З *-3.
'■
Тогда совокупность всех многочленов P(2D , Д) от операторов 2D
и Д с постоянными коэффициентами является коммутативным
кольцом, которое обозначим Р ф А. Имеет место неожиданный
факт: если 2DA — A2D, то существует такой ненулевой многочлен
F (х , у) с постоянными коэффициентами, что F (2D, Д) = 0, т. е.
2D и Д связаны полиномиальным соотношением. Например, при
- dz2
-т
V—
дг’-2
Д — dzz
d’“
А
dz
ч ? -3,
многочлен F =^2DZ— Д2. При этом многочлен F можно считать
неприводимым. Тогда кольцо R%> д изоморфно
С [л:, y ] l ( F ( x , у)),
или, иначе говоря, кольцу С [С], где С — неприводимая кривая с
уравнением F (х , у) = 0. Если операторы ® и Д обладают общей
собственной функцией / , то эта функция будет собственной и
для любого оператора из кольца Rg> д. Сопоставление любому
оператору собственного значения, соответствующ его собственной
функции / , является гомоморфизмом R g, А ->С. Ввиду изомор­
физма Rgi А— С [С] этот гомоморфизм определяет точку на кри­
вой С. М ож но показать, что всякая точка этой кривой соответ­
ствует общей собственной функции операторов 2D и Д. Описан­
ная связь меж ду коммутирующими дифференциальными опе­
раторами и алгебраическими кривыми позволила, в последнее
время, значительно прояснить строение коммутативных колец
операторов.
§ S.
М О Д УЛ И
Рассмотрим некоторую область V в пространстве и вектор­
ные поля, определенные в этой области. И х можно складывать
и умножать на числа, производя эти операции с векторами,
приложенными в одной точке. Таким образом, все векторные
поля образую т линейное пространство (бесконечном ерное). Но
сверх того, их мож но умнож ать на функции. Эта операция очень
полезна, так как л ю бое векторное поле представляется в виде
40
где А , В и С — функции, и поэтому «над кольцом функций>
множество векторных полей естественно считать трехмерным.
Так мы приходим к понятию модуля над коммутативным (в
этом параграфе) кольцом. От векторного пространства оно от­
личается лишь тем, что в модуле определена операция умнож е­
ния его элементов не на элементы некоторого поля (как в слу­
чае векторного пространства), но на элементы кольца. Осталь­
ные аксиомы, как для операции сложения элементов, так и.
для умножения на элементы кольца, остаются точно теми же,
и мы не будем их повторять.
П р и м е р 1. Кольцо является модулем над собой (аналог
одномерного векторного пространства).
П р и м е р 2. Дифференциальные формы заданной размер­
ности на многообразии (дифференцируемом, вещественно ана­
литическом, комплексно аналитическом) образую т модуль над
кольцом функций (дифференцируемых, вещественно аналити­
ческих, комплексно аналитических) на многообразии. То же о т ­
носится к векторным полям и, вообщ е, полям тензоров фикси­
рованного типа. (Определение всех этих понятий мы обсудим
подробнее в §§ 5 и 7.)
П р и м е р 3. Если ф — линейное преобразование векторного
пространства L над полем К, то L является модулем над коль­
цом KfXJ, если для f(t)GK[f\ и х бL положить
f(t)x=(f(iv))(x).
П р и м е р 4. Кольцо линейных дифференциальных операто­
ров с постоянными коэффициентами (пример 3 § 3) действует
в пространстве функций (бесконечно дифференцируемых, фи­
нитных, экспоненциально убывающ их, полиномиальных) и пре­
вращает каждое из этих пространств в модуль над этим коль­
цом. Так как это кольцо изоморфно кольцу многочленов RJYi,. . .
. . . , t^\ (пример 3 § 3 ), то каж дое из указанных пространств
является модулем над кольцом многочленов. Конечно, то ж е
верно при замене поля R на С.
П р и м е р 5. П усть М и N — модули над кольцом А. Р а с­
смотрим модуль, состоящ ий из пар
(пг, п ) (гпШ , n£N) ,
которые складываются и умнож аются на элементы кольца А
по правилам:
(пг, п) + (т и п х) = ( т + т и п + п х),
а(т , п) — (ат, ап).
Этот модуль называется прямой суммой модулей М и N и о б о ­
значается через M ® N . Так ж е определяется прямая сумма
лю бого числа модулей. Сумма п модулей А
(пример 1) о б о ­
значается А п и называется свободным модулем ранга п. — Это
41
где f i ( z ) — ряды Лорана, сходящиеся или формальные. Умноже­
ние таких операторов необязательно коммутативно. Но для неко­
торых пар операторов Ф и Д все же может оказаться, что Ф А —
= А Ф — например, если
и
^ - £ ; - З г - > £ - + Зг->.
Тогда совокупность всех многочленов Р ( Ф , Д) от операторов Ф
и Д с постоянными коэффициентами является коммутативным
кольцом, которое обозначим R & А. Имеет место неожиданный
факт: если Ф А — АФ, то сущ ествует такой ненулевой многочлен
F (х, у) с постоянными коэффициентами, что F ( Ф, Д ) = 0, т. е.
Ф и Д связаны полиномиальным соотношением. Например, при
6Т)__ d\
dz*
Оп>-2
ZZ
д — d’“
'
d z‘
I 5? -3
6Z
dz
r6Z
’
многочлен F — ф ъ— Д2. При этом многочлен F можно считать
неприводимым. Тогда кольцо Rg, д изоморфно
С р с, y ] l ( F ( x , у)),
или, иначе говоря, кольцу С [С], где С — неприводимая кривая с
уравнением F (х , у) — 0. Если операторы Ф и Д обладают общей
собственной функцией / , то эта функция будет собственной и
для любого оператора из кольца R g, д. Сопоставление любому
оператору собственного значения, соответствующ его собственной
функции / , является гомоморфизмом R & А ^ С. Ввиду изомор­
физма R s > a — С [С] этот гомоморфизм определяет точку на кри­
вой С. М ож но показать, что всякая точка этой кривой соответ­
ствует общей собственной функции операторов Ф и Д. Описан­
ная связь меж ду коммутирующими дифференциальными опе­
раторами и алгебраическими кривыми позволила, в последнее
время, значительно прояснить строение коммутативных колец
операторов.
§ S.
М О Д УЛ И
Рассмотрим некоторую область V в пространстве и вектор­
ные поля, определенные в этой области. И х можно складывать
и умножать на числа, производя эти операции с векторами,
приложенными в одной точке. Таким образом, все векторные
поля образую т линейное пространство (бесконечном ерное). Но
сверх того, их мож но умнож ать на функции. Эта операция очень
полезна, так как л ю бое векторное поле представляется в виде
40
где А, В и С — функции, и поэтому «над кольцом функций>
множество векторных полей естественно считать трехмерным.
Так мы приходим к понятию м одуля над коммутативным (в.
этом параграфе) кольцом. От векторного пространства оно от­
личается лишь тем, что в модуле определена операция ум нож е­
ния его элементов не на элементы некоторого поля (как в слу­
чае векторного пространства), ко на элементы кольца. Осталь­
ные аксиомы, как для операции сложения элементов, так и.
для умножения на элементы кольца, остаются точно теми же,
и мы не будем их повторять.
П р и м е р 1. Кольцо является модулем над собой (аналог
одномерного векторного пространства).
П р и м е р 2. Дифференциальные формы заданной размер­
ности на многообразии (дифференцируемом, вещественно ана­
литическом, комплексно аналитическом) образую т модуль над
кольцом функций (дифференцируемых, вещественно аналити­
ческих, комплексно аналитических) на многообразии. То же о т ­
носится к векторным полям и, вообщ е, полям тензоров фикси­
рованного типа. (Определение всех этих понятий мы обсудим
подробнее в §§ 5 и 7.)
П р и м е р 3. Если ср — линейное преобразование векторного
пространства L над полем К, то L является м одулем над коль­
цом KJYJ, если для f( t) £K{ f ] и xeL положить
f ( t ) x = ( f ( ф ))(У ).
П р и м е р 4. Кольцо линейных дифференциальных операто­
ров с постоянными коэффициентами (пример 3 § 3) действует
в пространстве функций (бесконечно дифференцируемых, фи­
нитных, экспоненциально убывающ их, полиномиальных) и пре­
вращает каждое из этих пространств в модуль над этим коль­
цом. Так как это кольцо изоморфно кольцу многочленов RjYb . . .
. . . , £п] (пример 3 § 3 ), то каж дое из указанных пространств
является модулем над кольцом многочленов. Конечно, то ж е
верно при замене поля R на С.
П р и м е р 5. Пусть М и N — модули над кольцом А. Р а с­
смотрим модуль, состоящ ий из пар
(пг, п ) (пгЪМ, n£N),
которые складываются и умнож аются на элементы кольца А
по правилам:
(пг, n) + (m u п {) = ( m + m u n + n ,) .
a(m , n) — (am, an).
Этот модуль называется прямой суммой м одулей М и N и о б о ­
значается через МФЫ. Так ж е определяется прямая сумма
лю бого числа модулей. Сумма п модулей А
(пример 1) о б о ­
значается А п и называется свободным модулем ранга п. — Э то
41
самое непосредственное обобщ ение n-мерного векторного про­
странства. Его элементы — это последовательности вида
т = (аь .. •, ап) , afeA.
Если е , = ( 0 , . . . , 1 , . . . , 0) с 1 на i-м месте, то m = 2 a feJ и такое
представление однозначно.
Иногда бывает полезно рассматривать алгебраические аналоги
и бесконечномерного пространства: прямую сумму семейства 2 мо­
дулей, изоморфных А . Их элементы задаются последовательно­
стями {а а}, где а<£А, а пробегает семейство 2 и ааф 0 лишь для
конечного числа crgS. При прежнем определении элементов е „ каж­
дый элемент прямой суммы однозначно представляется в виде
конечной суммы 2 а ^ 0. Построенный модуль также называется
своб одн ы м , а {е а} — си ст ем ой его с в о б о д н ы х образую щ их.
П р и м е р 6. В модуле М над кольцом Z умножение на чис­
ла nGZ уж е определено, если задана операция сложения: если
п > 0 , то п х = х + . . . + х
(п р а з),
если п = — т, т > 0, то п х = — ( тх) . П оэтом у М есть просто абе­
лева группа1', записанная аддитивно.
Мы опускаем определения изоморфизма и подм одуля, кото­
рые дословно повторяют определения изоморфизма и подпро­
странства для векторных пространств. И зоморфизм модулей М
и N записывается как M ~ N .
П р и м е р 7. Любая r -мерная дифференциальная форма на
л-мерном евклидовом пространстве записывается однозначно в виде
2
aii...idxh{ \ . . . / \ d x i r,
где a tl...i принадлежат кольцу А функций на этом простран­
стве (дифференцируемых, вещественно или комплексно аналити­
ческих, см. пример 2). П оэтому модуль дифференциальных форм
(л )
изоморфен А Т , где ( ” ) — биномиальный коэффициент.
П р и м е р 8. Рассмотрим кольцо многочленов С[хь . . . х п]
как модуль М над самим собой (пример 1); с другой стороны,
рассмотрим его как модуль над кольцом дифференциальных
операторов с постоянными коэффициентами (пример 4 ). Так
как это кольцо изоморфно кольцу многочленов, то мы получа­
ем новый модуль N над С[хь . . . , хп]. Эти модули не изоморф­
ны. Действительно, для л ю бого элемента m '£N сущ ествует та­
кой ненулевой аб С[хь . . . , х п], что ат ' = 0
(любой оператор
дифференцирования достаточно больш ого порядка). А в М из
am = 0 следует, что а = 0 , или /гг= 0 , так как кольцо С[хь . . . , х п]
целостно.
о Мы предполагаем, что читателю известны определения группы и абе­
левой группы. Они будут повторены в § 12.
42
В ряде случаев п р еобра зова н и е Ф урье уст анавливает изо­
м орф изм м одул ей М и N над кольцом А = С [jcj, . . л:„], если
М и N состоят из функций и А действует на М умножением,
,а на Л/ — через изоморфизм
Например, это будет так, если M = N есть пространство беско­
нечно дифференцируемых функций F ( х г, . . . , х п), для которых
ограничено при любых а > 0 , pf > 0.
Вспоминая определение из § 4, мы мож ем теперь сказать,
д то идеал кольца А — это подмодуль А , если рассматривать А
как модуль над самим собой (пример 1). Разные (как подмно­
ж ества кольца А ) идеалы могут быть изоморфны как Л -моду­
ли. Например, идеал I целостного кольца А изоморфен А как
Л-модуль тогда и только тогда, когда он главный (если / = ( £ ) ,
то a-*-ai — нужный изоморфизм; наоборот, если ф :Л -> / — изо­
морфизм Л-модулей, 1 — единичный элемент кольца Л и <р(1) =
= £6/, то ф (а) = ф (а 1 ) = аф (1) = a i, т. е. / = ( £ ) ) . П оэтому множе­
ство неизоморфных (как модули) идеалов кольца
является
мерой его отклонения от колец главных идеалов. Например, в
кольце Л* состоящ ем из чисел вида a + b^d, a, bGZ (d — неко­
торое целое число), сущ ествует лишь конечное число неизо­
морфных идеалов. Э то число называется числом классов кольца
A d и является его основной арифметической характеристикой.
П р и м е р 9. П усть {/гаа} — множество элементов модуля М
((над кольцом Л ). Рассмотрим всевозможные их линейные комби­
нации 'Zaim a.l с коэффициентами a t из Л (даже если множество
{/71а} бесконечно, в каж дую линейную комбинацию входит лишь
конечное число элементов). Они составляют подмодуль модуля М,
называемый п о д м о д у л е м , порож ден ны м элем ен т ам и {т а}.В частности, если М — эт о А как модуль над самим собой, то
мы приходим к уж е встречавшемуся понятию идеала, порожден­
ного элементами { т а}. Если система элементов {т а) порождает
весь модуль М , то она называется си ст ем ой образую щ их М.
Понятие линейного отображ ения одного векторного прост­
ранства в другое дословно переносится на модули, но в этом
случае такое отображ ение называется гомоморфизмом. Для
подмодуля N czM дословно так же, как и в случае идеала
кольца, определяются классы вычетов, фактормодуль M/N и
канонический гомоморфизм
Переносятся также поня­
тия образа и ядра и связь меж ду гомоморфизмами и подмоду­
лями, сформулированная для случая колец и идеалов в § 4.
43
Эти понятия дают возможность определить некоторые важные
конструкции. По определению, в модуле М имеются операции
сложения его элементов и умножения их на элементы кольца А ,
но не определено умножение элементов друг на друга. Однако
в некоторых ситуациях возникает операция умножения элементов
модуля М на элементы модуля N , значениями которой являются
элементы некоторого третьего модуля L. Например, если М
состоит из векторных полей 2 / ; - ^ , a N — из одномерных диф­
ференциальных форм ZpidXi, то определено произведение 2 f iPi,
лежащее в кольце функций (и не зависящее от выбора систе­
мы координат х ь . . . , х п). Аналогично мож но определить
(не
зависящим от выбора координат образом ) произведение век­
торного поля на r-мерную дифференциальную ф орму — в ре­
зультате получится г— 1-мерная дифференциальная форма.
Умножением, определенным на двух м одулях М и N со
значением в м одуле L, называется отображение, сопоставля­
ющее паре элементов х&М, у Ш элемент ху, принадлежащий
L и обладающ ий свойствами:
(Xj-'r x 2) y = х ху + х 2у, Х и х 2ем, у е м ;
х (У\+ У2) = х у х4 - х у 2,
( а х ) у = х ( а у ) = а(ху),
хвМ,
хв М ,
у у, y £ N \
yeN ,
аеА.
Если определено умножение х у на модулях М и N со зна­
чениями в А и гомоморфизм Ф\L-+L', то Ф ( ху) определяет умно­
жение со значениями в U . Оказывается, что все возможные
умножения на заданных модулях М и N можно этим способом
получить из некоторого «универсального». Оно имеет значения
в модуле, который обозначается через M ® N , и произведение
элементов х и у тоже обозначается х ® у . У н и вер са л ьн ост ь
заключается в том, что для любого умножения х у , заданного
на М и N со значениями в L, существует и притом только один
гомоморфизм
Ф: M ® N ^ L , для которого х у = ((>(х®у).
Легко показать, что если модуль и произведение с таким свой­
ством универсальности сущ ествуют, то они определены однознач­
но с точностью до изоморфизма. Конструкция же модуля М ® М
и умножения х ® у такова. Предположим, что ЛГ имеет конечнуюсистему образующих х г, . . . , х т, а М — у ь . . . , у п. Рассмотрим
символы ( х г, уj) и свободный модуль S = А тП, имеющий их
в качестве образующих. В этом модуле 5 рассмотрим элементы
2 a t ( x t, у-), для которых 2 а гх г = 0 в М ,
i
и элементы
44
2
(x i> У})» для которых 2 6 д , = 0 в JV,
J
и рассмотрим подмодуль
М ы положим
5 0, порожденный
этими
элементами.
M ®N = SlSQ
и, если x — ’Za.iXi, y — 'LbJy }, то
x ® y = ^ a ib j { x l® y ]),
i>i
где через x t®yj мы обозначаем образ ( x i? у;) в SJ S Q при кано­
ническом гомоморфизме S ^ S / S 0. Легко проверить, что х ® у
не зависит от выбора выражения х н у через образующие и что
получается действительно универсальный объект. Более инвари­
антно и не требуя, чтобы М и N имели конечную систему обра­
зующих, можно построить модуль M ® N , взяв за образующие
модуля S всевозмож ные пары (х , у),
подмодуль, порожденный элементами
( х г+ х 2, у) — (* !, у) — (х 2, у),
{ ах, у) — { х, ау),
При
этом нам приходится
xQM ,
yQN,
а за
S Q—
{х , ух-\-у2) — (х , £/х) — (х , у2),
а (х , у) — (а х , у).
использовать
свободный модуль S
с бесконечным числом образующих, даже когда имеем дело
с модулями М и N , обладающими конечным числом образующих!
Зато конструкция не содержит никакого произвола, связанного
с выбором системы образующих.
Так определенный модуль M ® N называется т ензорным
п рои зведен и ем м од ул ей М и N , а х ® у — тензорным произве­
дением элементов х н у . Если М и N — конечномерные вектор­
ные пространства над полем К , то M ® N — тоже векторное пространство, и
dim (М ® N) = dim М •dim N .
Если А1 — пространство тензоров типа (р, у) над некоторым век­
торным пространством L, а N — пространство тензоров типа
(р\ д '), то M ® N — пространство тензоров типа ( р + р ' , У А-У'),
а® — это операция умножения тензоров. Если М — модуль
над
кольцом Z, то
эт о векторное пространство над Q.
Например, если М — Z", то
M ®Q =^Q n. Если
же М — Z /(a ),
M ® Q = 0: таким образом, М при переходе к /W 0Q
то
«исчезает».
Х отя любому элементу т £М и соответствует элемент т ® 1
в Af® Q , он в силу условий (1), как легко проверить, равен 0.
Аналогично из модуля М
над
целостным
кольцом
А
можно
45
получись векторное пространство М ® К
над полем частных К
этого кольца. Точно так же, векторное пространство Е над полем
К определяет пространство E ® L над любым расширением L
этого поля. При К — R, £ = С — это оп ерац ия ком плексиф икации, очень полезная в линейной алгебре (например, при изучении
линейных преобразований).
Если M i — линейное пространство функций f ( x t) переменной
x t (например, многочленов / ( x t) степени < k t), то М х® . . .
состоит из линейных комбинаций функций
А (-«О ••• / я (■*«). /гб М г,
в пространстве функций от х х, . . . , х п. Такой вид имеют, в
частности, «вырожденные ядра», в теории интегральных урав­
нений. Естественно попытаться
вообщ е
интерпретировать
пространства функций (того или иного типа)' К( х, у) от пере­
менных х и у как тензорные произведения пространств функ­
ций от х и от у. Так возникают аналоги понятия тензорного
произведения в рамках банаховых и топологических векторных
пространств. Классические функции К( х , у) встречаются как
ядра интегральных операторов
f-*- J К(х, y)f(y)dy.
В общ ем случае элементы тензорных произведений такж е ис­
пользуются для задания операторов фредгольмовского
типа.
Аналогичную роль играют тензорные произведения в кванто­
вой механике. Если пространства М х и М 2 являются простран­
ствами состояний квантово-механических систем Si и S 2, то
М\®М2 описывает состояния системы, составленной из частей
S 1 и S 2.
П р и м е р 10. М одуль
М ®...®М
(г раз) обозначается
А
А
Т Г(М). Если М — конечномерное пространство над полем К , то
Т Г{ М) — это п р ост р а н ст во к он т р а ва р и а н т н ы х т ен зоров
ранга г.
П р и м е р 11. Фактормодуль модуля М ® М по подмодулю,
А
порожденному
элементами
х<&у— у ® х , х , увМ ,
называется
си м м ет ри ческ и м к вадр ат ом м о д у л я Л1 и обозначается S 2M.
Он является «универсальным» для коммутативных умножений х у ,
х , убМ . Аналогично можно определить r -ю симметрическую сте­
пень: S rM . Э то фактормодуль Т Г{М) по подмодулю, порожден­
ному
всевозможными элементами х х® . . .
. ® х г—
— х х® . . . ® x i+i ® X t ® . . . ® х г, / = 1, . . . , г — 1, XtQM. Например,
если М — модуль
линейных форм от переменных t x,
с коэффициентами в поле К , то S 'M состои т из всех форм
степени г.
Очевидно, что всегда определено произведение г элементов
46
X i , . . х г модуля М со значениями в S 'M , причем произведение
это не зависит от порядка множителей: надо рассмотреть образ
Xi® • •. ® х г при
каноническом
гомоморфизме T '(M )-> S 'M *
Такими произведениями модуль S 'M порождается.
П р и м е р 12. r -й внешней степенью модуля М называется
фактормодуль Т Г(М) по подмодулю, порожденному выражениями
X i ® . . . ® x r, в которых два сомножителя совпадают: х г = ху.
Внешняя степень обозначается А 'М . Например, модуль г-мерных
дифференциальных форм на дифференцируемом многообразии
изоморфен А '714, где М — модуль одномерных дифференциальных
форм. Аналогично случаю симметрической степени определено
умножение г элементов x t, . . . , х т модуля М со значениями
в А 'М . Оно обозначается X j A . . . /\хг и называется их внешним,
произведением . По определению X iA . . . д х ,. = 0, если x t = х у..
Отсюда
легко
следует,
что
Xj Д . . . А -^гА х г+1д . . . Д х Г=
= — X iA •••Л х г+1Л х / А ■••Л-^г- Если модуль М имеет конеч­
ное число образующих х 15 . . . , х „ , то произведения х г1д . . .
. . . /\Xt , 1 <
< h < •• • < i-т<
являются образующими для
АГМ. При г > / 1 , в частности, А ' М — 0. Если М — «.-мерное
пространство над полем К , то dim А ' М = ( ^ ) ПРИ г
П р и м е р 13. Если М — модуль над кольцом А , то множест­
во М* всех гомоморфизмов М в А является модулем, если
определить операции формулами
( f + g ) ( m ) = f ( m ) + g{ m) ,
( a f ) ( m ) = a f (m),
feM*,
m№;
a eA ,
m^M.
Этот м одул ь называется двойст венны м М. Если А1 — вектор*
ное пространство над полем К , то Л4*— сопряженное простран­
ство. Элементы пространства Т ' ( М * ) называются к овариант ными т ензорам и. Элементы модуля Тр ( М ) ® Т Ч{М*) называются
т ензорам и типа (р, q).
Модуль одномерных дифференциальных форм на диффе­
ренцируемом многообразии (над кольцом дифференцируемых
функций) является двойственным к модулю векторных полей.
В заключение попытаемся распространить
на модули т у
«функциональную» интуицию, о которой мы говорили в § 4 в.
применении к кольцам. Начнем с примера.
Пусть
X — дифференцируемое
многообразие,
А — кольцо'
дифференцируемых функций на нем и М — модуль (над А ) век­
торных полей на X . В заданной точке x Q X каждое векторное
поле т имеет значение т (х ), т. е. определено отображение
М -*-Т х, где Т х — касательное пространство к АГ в точке х .
Это отображение можно описать в алгебраических терминах,
определив умножение констант «GR на функции / б А
как
/ • а = / ( х ) а . Тогда R будет модулем над А и Т х — M ® R , а.
47
паше отображение сопоставляет т элемент т® 1. В таком виде
мы можем построить эт о отображение и для произвольного
модуля М над произвольным кольцом А . Пусть ф \ А - > К есть
гомоморфизм А в поле, Ф( А ) = АГ и ш.— максимальный идеал —
ядро Ф. Тогда К становится модулем над А, если положить
а а ~ Ф (а )а для а б А , а£К . Поэтому определено векторное
пространство М ш= М ® К над полем К — «значение М в точке
А
т ». Например, если А = К [С], где С — алгебраическая кривая
(или любое алгебраическое многообразие), то, как мы видели
в § 4, любая точка cgC определяет гомоморфизм фС: А - + К ,
где Фс ( / ) = / (с), и м аксимальный идеал т с, состоящий из функ­
ций / 6 А , / ( с ) = 0.
Таким образом, каждый модуль М над кольцом К [С] опре­
деляет семейство векторных пространств М х, «параметризованных»
многообразием С, а совершенно аналогичным образом, модуль М
над произвольным кольцом А определяет семейство векторных
пространств М ® ( Ai m) над разными полями А /m, «параметризо­
ванное» множеством максимальных идеалов m кольца А .
Геометрический аналог этой ситуации таков. С ем ей ст вом
век т о р н ы х п р о ст р а н ст в н а д т оп ол оги ческ им п р ост р а н ­
ст вом X называется топологическое пространство & с непре­
рывным отображением
/ : &- > Х ,
в котором каждый слой f ' 1(х ) снабжен структурой векторного
пространства (над полем R или С), в естественном смысле согла­
сованной с топологией &. Гом ом орф и зм ом сем ейст ва f : S - > X
д сем ей ст во g : ! F - > X называется непрерывное отображение
ф : $ - > iF ,
переводящее слой / _1 (л:) в слой g ' 1 ( х ) и индуцирующее в нем
линейное отображение. Семейство & векторных пространств
определяет модуль M g над кольцом А { X ) непрерывных функций
на пространстве X . Если семейство $ — обобщение векторного
пространства, то элемент модуля Ni g — обобщение вектора: это
выбор вектора в каждом слое f ~ l {x), х( *Х. Точнее, его эле­
менты, называемые сеч ен и я м и , определяются как непрерывные
отображения
s:X->g,
для которых точка s ( x ) лежит в слое
для всех х £ Х . Операции
(Si - f s2) {X) = s 1 ( х ) + 59 (л:),
{4>s)(x) = <¥( x ) s { x ) ,
(т. е. f s ( x ) = x )
s „ s 2eM g , х е Х ;
Фб А ( Х ) ,
х£Х,
превращают M g в модуль над кольцом А (АТ).
48
s6M g,
§ 6. АЛ ГЕБРАИ Ч ЕСКИ Й
АСП ЕКТ
РАЗМЕРНОСТИ
Основным инвариантом векторного пространства является
его размерность, и в связи с этим выделяется класс конечно­
мерных пространств. Д ля модулей, являющихся непосредствен­
ным обобщением векторных пространств, сущ ествуют анало­
гичные понятия, играющие столь ж е фундаментальную роль.
С другой стороны, мы рассматривали алгебраические кривые,
поверхности и т. д. и каждый такой объект С «координатизировали» сопоставлением ему кольца К [С ] и поля К ( С ) . Ин­
туитивное понятие размерности (1 — для алгебраической кри­
вой, 2 — для поверхности и т. д.) отраж ается в алгебраических
свойствах кольца К [С] и поля К ( С ) , причем эти свойства
имеют смысл и важны для колец и полей более общ его типа.
Естественно, что положение усложняется сравнительно с про­
стейшими примерами: мы увидим, что сущ ествую т различные
способы выражать числом «разм ерность» колец и модулей и
различные аналоги «конечномерности».
Размерность векторного пространства можно определить ис­
ходя из разных точек зрения. Во-первых, как максимальное
число линейно независимых векторов. Во-вторых,
как число
векторов базиса (при этом необходимо доказать, что все бази­
сы одного и того ж е пространства состоят из одинакового чис­
ла векторов). Наконец, можно воспользоваться тем, что если
размерность уж е определена, то в «-мерном пространстве L
сущ ествует п— 1-мерное пространство L u в нем п— 2-мерное Ь2
и т. д. Так что мы получаем цепочку
L zdL i Zd L2гэ . . . ZDLn—0, в которой L ^ L i+y.
П оэтому размерность мож но определить как наибольшую дли­
ну такой цепочки. Каж дое из этих определений размерности
можно применить к модулям, но при этом мы получим уж е
разные свойства, дающие разные численные характеристики
модуля. Они приводят и к разным аналогам «конечномерно­
сти» для модулей. Все три этих подхода мы и рассмотрим.
В первом мы предположим кольцо А целостным.
Элементы т и . . . , mh м одуля М над кольцом А называют­
ся линейно зависимыми, если сущ ествую т такие элементы
а и . . . , ak кольца А, не все равные нулю, что
\-akm h= Q .
В противном случае — линейно независимыми. Максимальное
число линейно независимых элементов модуля называется его
рангом-, гg M . Если оно конечно, то мы имеем дело с модулем
конечного ранга. Сам® кольцо А, как Л-модуль, имеет ранг 1,
свободный модуль А п ранга п имеет ранг п и по новому опре­
делению.
Несмотря на внешнее сходство, содержание понятия ранга
4—9339
49
весьма далеко от размерности векторного пространства. Если
даж е ранг п конечен и т ъ . . . , тп — максимальное число ли­
нейно независимых
элементов модуля, то отнюдь
неверно,
что любой элемент т через них выражается: в линейной за­
висимости
а т + а хт\-\
\-аптп = 0, вообщ е
говоря,
нельзя
разделить на а. П оэтом у мы не получаем такого каноническо­
го описания всех элементов модуля, какое дает понятие базиса
в случае векторного пространства. Более того, модули ранга
О, являющиеся аналогами 0-мерного пространства,
которые,
казалось бы, должны быть чем-то весьма тривиальным, могут
быть сколь угодно сложны. Действительно, один элемент т&М
линейно зависим, если сущ ествует такой элемент а ф 0, абЛ,
что am —0. Тогда т называется элементом кручения. М одуль
имеет ранг 0, если он состоит только из элементов кручения; тог­
да он называется модулем кручения. М одулем кручения являет­
ся, например, любая конечная абелева группа как модуль над
Z. Векторное пространство L с линейным преобразованием
Ф как модуль над кольцом многочленов Щх\
(пример 3
§ 5) также
является
модулем
кручения:
сущ ествует
акой многочлен f (х)=?= 0, что / ( Ф ) = 0, т. е. ( / (Ф))(л:)==0
или / - х = 0) для лю бого xQL. Кольцо многочленов R [jc1( . . .
. . . , х п\ как модуль над кольцом дифференциальных операторов
(пример 4
§
5) — ещ е
один
пример
модуля
кручения. Все эти модули имеют ранг 0, хотя, например, послед­
ний интуитивно трудно признать даже конечномерным.
Большее приближение к интуиции «конечномерности» дает
определение конечномерного векторного пространства, основан­
ное на существовании базиса.
Модуль, имеющий конечную систему образующ их,
назы­
вается модулем конечного типа. Таким образом, в нем сущ ест­
вует такая конечная система элементов т ъ . . . , тк, что лю бой
элемент является линейной комбинацией элементов этой сис­
темы, однако, в отличие от векторных пространств, мы не м о­
ж ем требовать однозначности такого представления.
Кольцо как модуль над собой и, вообщ е, свободный модуль
конечного ранга являются модулями конечного типа, также как
конечная абелева группа как модуль над Z и линейное прост­
ранство с заданным в нем линейным преобразованием как модуль
над К\х\. Кольцо многочленов R [ * i
х п\ как модуль над
кольцом
дифференциальных
операторов
не
является модулем конечного типа: из конечного числа многочле­
нов F x
F k, применяя операторы дифференцирования, нельзя
получить многочлена большей степени.
Гомоморфный образ модуля конечного типа обладает тем
же свойством: образ системы образую щ их является системой
образующ их. В частности, гомоморфные
образы
свобод н ого
50
модуля А " все имеют конечный тип и не более чем п обр азу­
ющих. Эта связь обратима. Если М имеет образующ ие т ь . . . .
. . . , тк, то сопоставление элементу (а ь . . . , ак) GA* (по опреде­
лению А к состоит из таких наборов) элемента ai/nH
Ьоуя*.является гомоморфизмом с образом М. П оэтом у
I. Л юбой модуль конечного типа является гомоморфным о б ­
разом свободного модуля конечного типа. ►
В частности, модуль с одной образующ ей является гом о­
морфным образом самого кольца А, т. е. (ввиду теоремы о го­
моморфизмах) имеет вид А /I, где I — идеал А . (Если / = 0 , то>
М изоморфен А .) Такие м одули называются циклическими.
М ож но считать их аналогами одномерных пространств.
В некоторых случаях модули конечного типа довольно*
близки конечномерным векторным пространствам. Например,,
если в целостном
кольце А все идеалы главные, то им еет
место:
II. Т е о р е м а о м о д у л я х н а д к о л ь ц о м
главных
и д е а л о в . Л ю бой модуль конечного типа
над
целостным
кольцом главных идеалов изоморфен прямой сумме конечного»
числа циклических. Циклические ж е модули изоморфны А
или разлагаются дальше в прямую сумму циклических моду­
лей вида А,/(л*), где я — простой элемент. Представление м о­
дуля в виде прямой суммы таких модулей однозначно. ►
Если модуль А является модулем кручения, то слагаемые,,
изоморфные А, отсутствую т. Так обстои т дело, когда А = Z, аМ — конечная абелева группа. В этом случае приведенная тео­
рема дает классификацию конечных абелевых групп. Так же*
обстоит дело, если А = С [х ], M — L — конечномерное векторноепространство над С с заданным в нем линейным преобразова­
нием (пример 3 § 5 ). В этом случае наша теорема дает, к а к
легко видеть, приведение линейного перобразования к ж ор д а новой нормальной форме.
Одно из доказательств теоремы II основывается на пред­
ставлении (согласно предложению 1) модуля М в виде
M = A n/N,
N d A n.
Легко доказать, что и N — модуль конечного типа. Если
А " = А е 1® . . .® А е л, N = (uv . . . , и т), то « г = 2
и представление M = A n/N показывает,
системой линейных уравнений»
что
М
с гА>
«определяется;
П
2 с 1}в] = 0,
/=i
i = l,
т.
К этой системе применяется идея классического
Г а у с с а из теории систем линейных уравнений.
4;
метода;
51
Основная
л е м м а . Над кольцом главных идеалов
л ю бая матрица приводится к диагональному виду при помощи
элементарных преобразований: перестановки двух строк, при­
бавления к одной строке кратности другой и аналогичных опе­
раций над столбцами. ►
В применении к матрице (с 0 ) элементарные преобразовав
ния соответствую т простейшим преобразованиям системы о б ­
разующих е \,. . . , е п и « 1 . . . ит. Основная лемма дает воз­
мож ность найти такие системы образующ их, для которых мат­
рица (Cij) диагональна. Если
О
т о М = A nl N — A l f a ) ® . . . ® A / ( a r) ® A n~r. Отсюда уж е недалеко
д о утверждения теоремы II.
В частности, при A — Z теорема II описывает строение абе­
левых групп с конечным числом образующ их. Такие группы
встречаются, например, в топологии как группы гомологий или
когомологий конечного комплекса (см. о них в § 21).
Однако одно свойство, интуитивно тесно связанное с «к о­
нечномерностью», не имеет, вообщ е говоря, места для модулей
конечного типа: их подмодули могут уж е не быть модулями ко­
ленного типа. И причем в самом простом случае: подмодуль
кольца А, т. е. его идеал не всегда является модулем конечно­
го типа. Например, в кольце 3" ростков в точке О бесконечно
дифференцируемых функций идеал функций, обращ аю щ ихся в
О в нуль вместе со всеми производными, не имеет конечного
числа образующ их (пример 7 § 4 ). Точно так же, в кольце
многочленов от бесконечного числа переменных х и х 2, . . .
. . . , х п, . . . (причем, конечно, каждый многочлен зависит лишь
от некоторого конечного их числа) многочлены без свободного
члена образую т идеал, не имеющий конечного числа обр азу­
ющих. П оэтом у естественно еще усилить условие
«конечно­
мерности», рассмотрев модули, все подмодули которых явля­
ются модулями конечного типа. Такие м одули называются
нётеровыми. Это понятие мож но связать с еще не использован­
ной характеризацией размерности векторного
пространства
при помощи цепочек подпространств. Именно, нётеровость эк ­
вивалентна следующему свойству модуля (называемому усло­
вием обрыва возрастающих ц еп ей ): любая последовательность
подмодулей
— конечна. П роверка этой эквивалентности почти очевидна.
52
Эти соображения можно применить и к классификации ко»лец с точки зрения аналогов конечномерности. Естественна
обратить внимание на такие кольца, над которыми любой м о­
дуль конечного типа нётеров. Такие кольца тож е называются
нётеровыми. Для этого, прежде всего, необходимо, чтобы само
кольцо было нётеровым как модуль над самим собой, т. е.
чтобы в нем лю бой идеал обладал конечной системой образу­
ющих. Н о нетрудно проверить, что этого и достаточно: если а
кольце А все идеалы имеют конечный базис, то нётеровыми
являются свободные модули А п, а тогда и их
гомоморфные
образы, т. е. все модули конечного типа.
Каков ж е объем понятия нётерова кольца? Очевидно, чта
всякое кольцо, в котором все идеалы
главные — нётерово.
Другим фундаментальным фактором является
III. Т е о р е м а
Гильберта
о базисе.
Для нётеро­
ва кольца А нётерово и кольцо многочленов А [ х ] . р .
Доказательство
основывается на рассмотрении иде­
алов / пс Л ( п = 1, 2 , . . . ) , состоящ их из элементов, являющих­
ся коэффициентами при старших членах многочленов степени
п, входящих в заданный идеал IczA [х ], и на многократном
использовании нётеровости кольца А. Из теоремы Гильберта
следует, что кольцо многочленов А [ хи . . . , х п] от лю бого чис­
ла переменных нётерово, если нётерово кольцо А. В частности,
нётерово кольцо К { х ь . . ., х „ ]. Именно ради этого результата
Гильберт и доказал носящ ую его имя теорему. Он формули­
ровал ее в следующей явной форме.
4 Какое бы множество {F a} многочленов из К [xi, . . . , х п\
ни было задано, сущ ествует такое его конечное подмножествб
F ai, . . . , F a m, что любой многочлен F a представляется в виде
линейной комбинации
Р\Р ai ~h ■•• ~i-F mF a m> P i , . . . , Р тв/С[х 1, . . . , x n]. ►
Но можно сделать и еще один шаг. Очевидно, что если
кольцо А нётерово, то это верно и для лю бого его гом оморф ­
ного образа В. Кольцо R, содерж ащ ее подкольцо А, называет­
ся кольцом конечного типа над А , если в нем существует такая
конечная система элементов Г\,. . . , г„, что все остальные вы­
раж аю тся через них в виде многочленов с коэффициентами из
А . Элементы гь . . . , г„ называются образующими кольца R
над А. Рассмотрим кольцо многочленов А [ х ь . . . , х„] и сопо­
ставление
F (x ь .. ., x„)->F(rb . . . , rn).
Это гомоморфизм, образом которого является R. Таким обр а­
зом, имеем:
IV. Л ю бое кольцо конечного типа над кольцом А является
гомоморфным образом кольца многочленов А [хь . . . , х „ ]. И з
53
предш ествующ его следует поэтому, что кольцо конечного типа
над нётеровым кольцом — нётерово.^
Например, кольцо К [С ], где С — алгебраическая кривая
(или поверхность, или алгебраическое многообразие), — нётерово. (Если С задается уравнением F( x, у) = 0, то х и у
об­
разующие К [С] над К )
Важными для приложений примерами нётеровых колец яв­
ляются также кольца О п функций п комплексных переменных,
голоморфных в начале координат, и K [ [ h , . . . , ^„]] формаль­
ных степенных рядов.
Нётеровы кольца — наиболее естественные кандидаты
на
рол ь «конечномерных колец». Для них можно определить и
понятие размерности, но это потребовало бы несколько более
тонких рассмотрений.
В то время как условие «бы ть кольцом конечного типа над
каким-то
простым кольцом»
(например,
полем)
является
конкретной, эффективной формой условия «конечномерности»,
нётеровость
представляет собой более инвариантное, хотя и
более слабое условие. В одном важном
случае эти понятия
сливаются.
Кольцо А называется градуированным, если в нем выделе­
ны подгруппы (т. е. подмодули А как модуля над Z) А п, п —
= 0, 1 , . . . , причем если х&Ап, у£А т, то ху&Ап+т, и лю бой эл е­
мент xGA однозначно представляется в виде
х = Хо-\~х 1 ~т ' ••
x k>
(1)
.Элементы х бЛп называются однородными, а представление
( 1 ) — разложением на однородные составляющие. П одм нож е­
ство А о, очевидно, образует подкольцо в А.
Например, кольцо К[ х и . . . , xmJ градуировано, А Л— прост­
ранство однородных многочленов степени п от х и . . . , х т,
А 0= К .
Легко проверяется
V.
Если градуированное кольцо А нётерово, то оно — коль­
ц о конечного типа над А 0. ►
Очевидно, что совокупность элементов .хбЛ, у которых в (1)
jc0 = 0, образует идеал / 0. Оказывается, что для справедливости
утверждения V достаточно, чтобы один этот идеал имел конеч­
ное число образующих. Действительно, возьмем образующие
идеала / 0, представим каждую в виде (1) и рассмотрим все встре­
чающиеся при этом x L. Мы получим систему однородных эле­
ментов JC j,..., х м, которые, конечно, опять порождают все / 0.
х £ А п.. Эти элементы jclt. . . , Хм и являются образующими А
над А 0- Действительно, достаточно доказать, что любой элемент
х £ А п, /г > 0 , выражается через х и . . . , x N с коэффициентами из
А 0 в виде многочлена. По условию /0— ( х ь . . . , x N) и, в частно­
сти,
54
jc = a ix x+ . . . + clnX n ,
asA.
Рассматривая для элементов a t их разложения на однородные
составляющие и учитывая, что слева стоит х £ А п, мы можем
считать a S A m., x s A ni, nt + n i i ^ n . Для tii— n мы получаем
искомое выражение через x t с коэффициентами aSA & а для
/гг < /г мы можем применить к а { такое же рассуждение, как к х .
После конечного числа шагов получается нужное выражение для х .
Для полей интуиция «конечномерности» реализуется по
аналогии с кольцами. Поле L называется расширением конеч­
н ого типа своего подполя К, если существует такое конечное
число элементов с и , . . . , a„GL, что все остальные элементы из
L могут быть представлены как рациональные функции от
« 1 .......... а„ с коэффициентами из К. В этом случае пишут Ь =
= /C(cti,. . . , а „ ) , и L называется расширением, порожденным
элементами он, •••» а™ над К. Например, поле рациональных
функций К ( х \ , . . . , х п) — расширение конечного типа поля КПоле комплексных чисел — расширение конечного типа поля
действительных чисел: комплексные числа представляются в
виде очень простых рациональных функций от единственного
элемента i: a + bi. Л ю бое конечное поле F9 является расшире­
нием конечного типа содерж ащ егося в нем простого поля: за
а „ можно взять, хотя бы, все элементы из F,. Если
С — неприводимая алгебраическая кривая, заданная уравнени­
ем F( x, у) = 0 , то К ( С ) — расширение конечного типа поля К,
так как все входящ ие в него функции являются рациональны­
ми функциями от координат х и у. Так же обстои т дело, если
С — алгебраическая поверхность, и т. д.
Последние примеры делают правдоподобным то, что для
расширений конечного типа сущ ествует аналог понятия раз­
мерности, соответствующ ий интуитивному понятию размерно­
сти для алгебраических кривых,
поверхностей и любых
алгебраических многообразий.
Система элементов а \ , . . . , ап поля L, являющегося расши­
рением поля К, называется алгебраически зависимой, если су­
ществует такой
неравный тождественно
нулю многочлен
F&K [хи
х п], что
F ( а и . . . , а „) = 0 .
Если при этом Оп действительно входит в это соотношение, то
элемент а„ называется
алгебраически зависимым от « ь . . .
. . . , ctn-i. Некоторые простейшие свойства понятия алгебраиче­
ской зависимости совпадают с известными свойствами линей­
ной зависимости. Например, если элемент а
алгебраически
зависит от a i ,
, a n_i, а каж дое из а, — от элементов f r , . . .
. . . , pm, то а алгебраически зависит от (Ji,. . . , pm. Отсюда,
формально повторяя рассуждения, известные для случая ли­
нейной зависимости, можно доказать, что в расширении ко­
55
нечного типа существует верхняя граница для числа алгебраи­
чески независимых элементов. М аксимальное число алгебраи­
чески независимых элементов расширения конечного типа LjK.
называется его степенью трансцендентности. Оно обозначается
tr deg L/K.
Если степень трансцендентности расширения L /К равна п,
то в L сущ ествую т такие п алгебраически независимых эл е­
ментов, что любой другой элемент от них алгебраически за­
висит. Н аоборот, если такие п элементов сущ ествуют, то сте­
пень трансцендентности равна п.
Например, степень трансцендентности поля рациональных
функций К ( х и ■■■, х п) как расширения поля К равна п. Пусть
С — неприводимая алгебраическая кривая, определенная урав­
нением F( x, у) = 0. Если, например, у действительно в это
уравнение входит, то в поле К (С) элемент х алгебраически не­
зависим, а у и, значит, все другие элементы поля от х алгеб­
раически зависимы. П оэтом у степень трансцендентности рас­
ширения К( С ) / К равна 1. Так ж е доказывается, что если
С — алгебраическая поверхность, то степень
трансцендентно­
сти поля К (С) равна 2. М ы пришли, таким образом , к понятию
размерности, действительно согласую щ емуся с геометрической
интуицией. Степень трансцендентности поля К ( С) , где С — ал­
гебраическое многообразие,
называется размерностью
С и
обозначается dim С. Она обладает естественными свойствами:
например,
dim Ci ^ dim С2,
если C ic :C 2.
П р и м е р 1. Пусть X — компактное комплексно аналитиче­
ское многообразие размерности п и Ж { Х ) — поле всех мероморфных на X функций. М ож но доказать, что
tr d e g ^ ( ^ ) / C ^ / z .
Если X — алгебраическое многообразие над С, то
Ж(Х)=С(Х)
и t r d e g jf(* )= n .
Таким образом , число t r d e g ^ ( J f ) / C является мерой близости
многообразия X к алгебраическому. Все возможные значения
от 0 д о я встречаются уж е в частном случае комплексных т о ­
ров (см. § 15).
Что представляют собой расширения L//C конечного типа и
степени трансцендентности 0? Равенство нулю степени транс­
цендентности означает, что любой элемент aGZ, удовлетворяет
уравнению F ( a ) = 0, где F — многочлен. Такой элемент а на­
зывается алгебраическим над К. Так как L /K — расширение ко­
нечного типа, то
L = K( a u . . . , а „) для некоторых а 1(. . . , а „ б L.
56
Таким образом, L/К может быть получено последователь­
ностью расширений вида
К (а)/К, где
а — алгебраический
элемент. Н аоборот, последовательность таких расширений
всегда имеет степень трансцендентности 0.
Пусть
Ь = ЬС(а), где а — алгебраический над К элемент.
Среди всех многочленов F ( x ) &K [ x ] , для которых F ( a ) = 0 (они
сущ ествуют, так как а алгебраично над К) , есть многочлен наи­
меньшей степени. Остальные на него делятся — иначе, произво­
дя деление с остатком, мы пришли бы к многочлену еще мень­
шей степени с тем ж е свойством. Такой многочлен Р ( х ) наи­
меньшей степени определен однозначно с точностью до посто­
янного множителя. Он называется минимальным многочленом
элемента а. Очевидно, он неприводим над К. Зная минимальный
многочлен Р, можно в очень явной форме задать все элементы
поля L = K ( а ) . Для этого рассмотрим гомоморфизм
Ф: K[x]^L,
сопоставляющий многочлену F&K.[x] элемент F( a) &L. Ядро э т о ­
го гомоморфизма, как легко видеть, есть главный идеал ( Р ).
П оэтом у его образ (по теореме о гомоморфизмах) изоморфен
К [ х ] 1 ( Р ) . Нетрудно показать, что этот образ совпадает со всем
L (для этого надо заметить, что 1шф — поле и содержит а ) .
П оэтому L изоморфно К [ х ] / ( Р ) . Если степень многочлена Р
равна п, то, как мы видели в § 4 (формула (2 ) ) , в поле L,
изоморфном К>[х]/(Р), каждый элемент представляется в виде
1=*а0+ а 1а - { - . . . - Г ап- 1а.п-\ а& К ,
(2)
и притом единственным образом . Классический пример этой
ситуации: К = R, L = C = R( i ) , Р ( х ) = х 2+ 1: лю бое комплексное
число представляется в виде a + b i, а,
R.
Представление (2) для элементов поля L = K { а ) приводит к
важ ному следствию. Забудем об операции умножения в поле L
и сохраним лишь операцию сложения и умножения на элементы
поля К ■ Запись (2) показывает, что линейное пространство L
конечномерно над К и элементы 1, а , . . . , а " -1 являются его ба­
зисом. Расш ирение LJK называется конечным, если L как век­
торное пространство над К конечномерно. Его размерность
называется степенью расширения L jK и обозначается
[L : /( ] .
В предшествующем примере [L : К] —п, в частности, [С : R] =
=
2.
Например, если F„ — конечное поле и р — его характеристи­
ка, то ¥д содерж ит простое подполе из р элементов Fp. Очевид­
но, что F ,/F p — конечное расширение. Если i [ F ,: F J = л , то су ­
ществуют такие п элементов а ь . . . , a„eF s, что любой другой
однозначно представляется в виде
а=а\а,\А— ипап, af6FP,
откуда следует, что число элементов конечного поля F, равно
р", т. е. всегда является степенью р.
57
Л егко проверяется транзитивность свойства расширений
быть конечными: если L/К и Л/Ь — конечные расширения, то и
расширение Л/К конечно, причем
\Л:К\ = [Л:Ь\\Ь:К\.
(3)
И з предыдущего следует, что лю бое расширение конечного типа
и степени трансцендентности 0 конечное. Н аоборот, если L /К —
конечное расширение и [L : К] = « , то для л ю бого a€L элементы
1, а , . . . , а" должны быть линейно зависимы над К (так как
число их п + 1 ) . О тсюда следует, что а — алгебраический эле­
мент, а значит, L имеет степень трансцендентности 0. Таким о б ­
разом, получается другая характеристика расширений конечно­
го типа и степени трансцендентности 0 — это конечные расш и­
рения. П о сказанному выше л ю бое конечное расширение
получается цепочкой расширений вида К (а ). Н о в очень ш иро­
ких предположениях — например, для полей характеристики
0 — имеет место
V I.
Т е о р е м а о п р и м и т и в н о м э л е м е н т е . Если а и
Р — алгебраические элементы поля Ь = К ( а , |3), то сущ ествует
такой элемент a&L, что Ь = К ( у ) .
В этом случае и л ю бое конечное расширение Ь = *К ( » ь •••
. . . , On) мож ет быть представлено в виде L = K ( а ) , так что L=*
=*К[ х] /( Р) и для его элементов имеет место представление
( 2 ). ►
Если в поле К каждый многочлен имеет корень, т. е. поле К
алгебраически замкнуто, то все неприводимые многочлены ли­
нейны и в его расширениях не мож ет быть алгебраических эле­
ментов, не содерж ащ ихся в К ■ П оэтом у у К нет других конеч­
ных расширений, кроме него самого. Таково поле комплексных
чисел С. У поля вещественных чисел есть только два конечных
расширения: R и С. Н о у поля рациональных чисел Q и поля
рациональных функции K( t ) (даж е при К = С ) имеется очень
много конечных расширений. Они являются инструментом для
изучения алгебраических чисел (в случае Q) и алгебраических
функций (в случае С ( / ) ) . М ож но показать, что л ю бое конечное
расширение поля K( t ) имеет вид К ( С) , где С — некоторая ал­
гебраическая кривая, а конечное расширение поля К ( х ь . . .
. . . . х п) имеет вид K ( V ) , где V — алгебраическое м н огообра­
зие (размерности п).
Расширение К ( а ) , где а — корень неприводимого многочле­
на Р ( х ) , задается этим многочленом, поэтому теория конечных
расширений есть определенный язык (но также и «философия»)'
в теории многочленов от одного неизвестного. В одном и том же
расширении L /К сущ ествует много элементов я, для которых
L = / ( ( « ) , и много соответствующ их им многочленов Р ( х ) . Р а с­
ширение же отраж ает те свойства, которые у них являются о б ­
щими. Мы имеем здесь еще один пример «коордииатизации»,
аналогичный сопоставлению поля К ( С ) алгебраической кривой
58
С. Да и конструкция поля К ( а)
в виде К [ х ] Ц Р )
совер­
шенно параллельна конструкции поля К ( С ) по уравнению кри­
вой С.
Наиболее элементарный пример, иллюстрирующий примене­
ние свойств конечных расширений к конкретным вопросам, —
это теория построений при помощи циркуля и линейки. П ере­
водя такие построения на язык координат, легко убедиться, что
они сводятся либо к действиям сложения, вычитания, ум нож е­
ния и деления над числами, выражающими уж е построенные
отрезки, либо к решению квадратных уравнений, коэффициен­
ты которых являются такими числами (нахождение точек пере­
сечения прямой и окружности или точек пересечения двух
окруж ностей). П оэтому если обозначить через К. расширение
поля Q, порожденное всеми заданными в условиях задачи вели­
чинами, а через а — численное выражение искомой величины,
то задача построения этой величины циркулем и линейкой све­
д ется к допросу о том, содерж ится ли а в расширении L[K, ко­
торое получается цепочкой
LJL 1, L.j[L 2 , . . ., Ln—
2lLn—\, Ln—i/Ln= К.,
где все расширения цепочки имеют вид L (_i = L ( (|J), а (} удов­
летворяет квадратному уравнению. Последнее, конечно, равно­
сильно тому, что степень [£ j_ i : L J = 2 . Применяя соотношение
(3 ), мы получаем, что \L : Д) = 2 " . Если a €L, то и К { а ) а Ь , и
опять из (3) мы получаем, что степень [Д"(а) : К] должна быть
степенью двойки. Это только необходи м ое условие. Но и д оста ­
точное условие разрешимости задачи циркулем и линейкой так­
ж е формулируется в терминах поля К ( а ) , только несколько
сложнее. Однако уже полученное необходимое условие показы­
вает, например, что задача о б удвоении куба не разрешима цир­
кулем и линейкой: она сводится к построению корня много­
члена
л 3- 2 , a [ Q ( ^ 2 “ ) :Q ] = 3 .
Точно так ж е задача о трисекции угла сводится, например, к
построению a =cos<p /3, если известно a=cos<p. Они связаны ку­
бическим уравнением
4 а3— За— а = 0.
М ы должны считать а независимым переменным, т. к. <р — про­
извольное. П оэтом у К есть поле рациональных функций Q( a ) ,
а [К (а ) : К] = 3 , и опять задача не разрешима циркулем и ли­
нейкой.
Таким ж е образом и вопрос о разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах сводится к некоторым вопросам о
структуре конечных расширений. О б этом будет подробнее ск а­
пано в § 18.
59
§ 7. АЛ ГЕБРАИ ЧЕСКИ Й АСПЕКТ
ИН Ф ИН ИТЕЗИМ АЛ ЬНЫ Х ПОНЯТИЙ
Рассмотрения « с точностью до бесконечно малых п-го по­
рядка» удобно перевести на алгебраический язык, рассматривая
в качестве аналога бесконечно малых элементы е (некоторых
колец), для которых еп= 0. Пусть, например, С — алгебраиче­
ская кривая, для простоты рассматриваемая над полем комп­
лексных чисел С. Введем коммутативное кольцо
£ / = { a + aie; а, а ^ С , е2 = 0 ).
М ож но его точно описать как С [ х ] /( х 2) , взяв за е образ х при
каноническом гомоморфизме С [х]-»-£ /. Рассмотрим гом оморф из­
мы С [С ]-»-£ / над С, т. е. такие гомоморфизмы, при которых
комплексные числа отображ аю тся тождественно (по постро­
ению, С с :С [С ] и С c i U ). Такой гомоморфизм q> определяется
образами <р(х) и <р(у) координат х н у , так как другие элемен­
ты кольца С [С ] являются многочленами h (x , у ) от х и у и
<р(й(х, г /) ) = й ( ф ( х ) , ф ( у ) ) . При этом если уравнение кривой С
есть F (x , у ) = 0, то элементы ф (х ) и ф {у ) кольца U должны
удовлетворять тому ж е уравнению
^(Ф
(4 <P(</)) = 0.
1
( )
Запишем Ф (х ) в виде а-\-ахе, а Ф(г/) — как й +
Кольцо U
обладает стандартным гомоморфизмом t y :U -> С ; ф>(а + а1г ) = а .
Применяя его к соотношению (1), мы получаем, что F (а, Ь)— О,
т. е. гомоморфизм Ф определяет точку (а, Ь) кривой С. Однако,
зная эту точку, мы можем восстановить только члены а и Ь
в выражениях для Ф(-к) и Ф (у). Каков же смысл коэффициентов
ах и Ьх? Подставим в (1) значения для Ф (х ) и Ф (у) и запишем
F (а-\-ахе, Ь-\-Ьхг) в стандартном виде с-\-схг.
Развертывая
многочлен F по формуле Тейлора и воспользовавшись тем, что
F (а, Ь) = 0 и е2 = 0 , мы увидим, что F (a-j-fl^e, й + й1е) =
— (axF'x (a, b) -{- blF y {а, Ь))г, и условие (1) принимает вид
F (а, Ь) = О,
axF'x (а, b) + bxF'y (а, Ь) — 0.
Оно означает, что (а, Ь) — точка кривой С, а (аъ Ьх) — вектор,
лежащий на касательной прямой к С в точке (а, Ь). При этом
мы предполагаем, что точка (а, Ь) не является особой точкой
кривой С, т. е. F'x (а, Ь) и F'y (а, Ь) не обращаются одновременно
в 0. Л егко видеть, что наши рассуждения даю т описание всех
гомоморфизмов кольца С [С ] в U, т. е. эти гомоморфизмы со­
ответствуют парам: точке кривой С и вектору касательной пря­
мой к кривой в этой точке. Аналогично, для случая алгебраиче­
ской поверхности мы получим описание касательных плоско­
стей и т. д.
60
Сформулируем предшествующие рассуждения несколько поиному. Гомоморфизм ф : С [С ]-> -£/ мы соединили со стандартным
гомоморфизмом ф : U-+-С и получили последовательность гом о­
морфизмов:
С [С ]% //Л с .
Сквозной гомоморфизм ф = фф
определяет точку х й£С и сопо­
ставляет функции ее значение в х 0 (пример 2 § 4). Поэтому ядро
совпадает с максимальным идеалом 271*,, кольца С [С], состоящим
из функций, обращающихся в 0 в точке х . Если x Q= (а, Ь), то
х — а и у — b принадлежат $RXo. Этому соответствует то, что
ф(дг — а) и Ф ( у — Ь) имеют вид ахг и Ьге, т. е. принадлежат
идеалу I = Кег ф кольца U . Вектор же касательного пространства
в точке х 0 (в нашем случае— касательной прямой) определяется
образами х — а и у — Ь, лежащими в этом идеале, т. е. ограни­
чением Ф на SKjr,,. Очевидно, что на идеале 2Ях гомоморфизм ф
обращается в 0 (так как е2 = 0 ) . Поэтому Ф определяет линейное
отображение пространства Tlxj M 2XlI в С и именно эта линейная
функция и задает вектор касательного пространства в точке х 0.
Нетрудно доказать, что любая линейная функция 2Яд.0/2Я^0->-С
определяет касательный вектор в точке х 0■ Таким образом,
4 к а са т ел ьн о е п р ост р а н ст в о в т очк е х 0 описывается как
сопряженное пространство к пространству ШХ„1ШХ1>, где 27ij:0—
максимальный идеал, соответствующий точке х 0. ►
Аналогично обстоит дело и в случае алгебраической поверх­
ности С с уравнением F (х , у, z ) = 0 : касательная плоскость
к С в неособой точке х 0= ( а , Ь, с) (т. е. такой, что
F'x (а, Ь, с), F'y (а, Ь, с)
и
F\ (а, Ь, с )
не обращаются одновременно в 0 ) отождествляется с сопряженным
пространством к ШХо!Ш2
Хо. Позже мы применим эти соображения к
произвольному алгебраическому многообразию, а сейчас покажем, что
они применимы и не только в алгебраической ситуации.
П р и м е р 1. Пусть Л — кольцо функций, дифференцируемых
в окрестности точки О я-меркого векторного пространства Е ,
и 271— идеал функций, обращающихся в О в нуль. По формуле
Тейлора функция / 6 ®* представляется в виде f = 1 (mod 2К2), где
/ — линейная функция. Линейные функции образуют пространство
Е *, сопряженное Е , и мы имеем опять изоморфизм Ш/Ш—Е *.
Если £бЕ , то I (£) можно интерпретировать как частную про­
изводную / (|) = -^ | - (О).
Аналогично обстоит дело, если Л — кольцо дифференцируемых
функций на дифференцируемом многообразии X и 271 состоит
из функций, обращающихся в нуль в точке х< £Х . Опять
2>1/5К2 ^ 7 '* 0, где Т Ха— касательное пространство в точке x Q
и изоморфизм задается тем, что для Ъ ^ Т и / = f -\-М2
61
*(£)=-§fм -
( 2>
Предш ествующ ее рассуждение предполагало, что мы уж е рас­
полагали определением касательного пространства дифферен­
цируемого многообразия, но его можно обратить и превратить
в определение касательного пространства:
T xM w xj m \ y .
(3>
Таким образом, £67'*,, — это, по определению, линейная ф ункция/
на 2Яд.„, равная 0 на Ш2
Х„. Положив /, по определению, равной
нулю на константах, мы получим функцию на всем А . Легко ви­
деть, что наложенные на нее условия можно записать как
а ( а / 4- fig) =
а/ ( /) + р/ (g), а, 06R, /> g6Д ,
\nfg) = n f ) g { x o ) + l ( g ) f ( x о).
( >
В таком виде они аксиоматизируют интуицию касательного век­
тора как «того, по чему мож но дифференцировать функцию»
(см. формулу ( 2 ) ) . Соотношение (3) (или эквивалентные ему
условия ( 4 ) ) даю т, пожалуй, самое инвариантное определение
касательного пространства в точке дифференцируемого много­
образия;
В этой связи естественно рассмотреть понятие векторного
поля на дифференцируемом многообразии.
П о определению
векторное поле 0 сопоставляет лю бой точке хЗХ вектор 0 (х )€ Г х.
Для любой функции fC4 и точки хбХ вектор 0 (х ) определяет
число 0 ( x ) ( f ) , т. е. функцию g (x ) = в ( х ) ( f ) . Этот оператор мы
обозначим 2 ) ( f ) . Соотношения (4) показывают, что он удов­
летворяет условиям
%> ( « / -г Pg) = а® (/) + Р® (g).
® ( / g W ® ( g ) + ® (/)g Такой оператор называется линейным диф ф еренциальным о п е ­
р а т о р о м п ер во го п о р я д к а . В некоторой системе координат
( j q ,. . . , х л) он записывается, как легко видеть, формулой
Т1
<6>
1
где а { = ф { х ^ . Обратно, каждый оператор 3D. обладающий
свойствами (5), определяет векторное поле 0 , для которого
1
0 ( * ) ( / ) = ® ( /) ( * ) •
Для произвольного кольца А отображение 3D: А А
назы­
вается дифф еренцированием , если оно удовлетворяет условиям
3D {a - f b) = 3D (а) + 3D (й),
3D (ab) = a3D (b) + 3D (а) Ь.
62
Если 5 с А — подкольцо, то 2D называется дифференцированием
над 5 , если 2D(b) = 0 при bQB. Тогда 2 D (a b )= < D (a )b при а £ А ,
йб5. Дифференцирования А над 5 образуют модуль над А ,
если положить:
(2>i + 3 ) 2) (а) = SDi (а) + 3>2 (а),
(с 2D) {а) = с2> (a),
a, cQA.
М ы можем, таким образом , сказать, что модуль векторных
полей на дифференцируемом многообразии X — это, по опреде­
лению, модуль дифференцирований над полем R кольца диф­
ференцируемых функций на X. Вместе с утверждениями при­
меров 13 и 12 § 5 мы получаем теперь алгебраическое опреде­
ление всех основных понятий: векторных полей, одномерных и
/•-мерных дифференциальных форм на многообразии.
Теперь вернемся к произвольным коммутативным кольцамВ § 4 мы сформулировали общ ую концепцию, согласно которой
элементы произвольного коммутативного кольца А можно рас­
сматривать как функции на «пространстве», точками которого»
являются максимальные (в другом варианте — простые) идеа­
лы кольца, причем гомоморфизм А-+-А/Ш является определени­
ем значения «функции» абЛ в «точке», соответствующ ей макси­
мальному идеалу 2Я. Теперь мы можем эту концепцию углу­
бить, приписав каждой «точке» — «касательное пространство»Для этого рассмотрим максимальный идеал Ш, определяющий
«точку», и фактор 2Я/2Я2. П усть k —A /Ш — «поле значений» в
«точке», соответствующ ей 2Я. Для элементов /пбЗЯ и абЛ класс
вычетов am по модулю 2Я2 зависит только от класса вычетов а
по модулю 2Я, т. е. от элемента поля k, определяемого элемен­
том а. Это показывает, что Ш/Ш2 является векторным простран­
ством над полем k. Сопряженное пространство, т. е. совокуп­
ность линейных функций на 2Я/2Я2 со значениями в к, и является
аналогом касательного пространства к «точке», соответствую ­
щей идеалу 2 R.
Такая точка зрения полезна при анализе различных геометри­
ческих и алгебраических ситуаций. Например, если неприводимая
алгебраическая кривая С задана уравнением F (х , у ) — 0, то для
ее точки (а, Ь) касательное пространство задается уравнением
F'x (а, Ь) (х — а) + F y (а, Ь) (у — Ь) = 0.
Оно одномерно для всех точек (а, Ь), кроме тех, для которы х
F'x {a, Ь ) = 0, F y (a, b) = 0. Точки, для которых выполняются эти
равенства, называются особыми, остальные — простыми. Л егко
видеть, что число особы х точек конечно. Мы видим, что каса­
тельное пространство одномерно (т. е. его размерность совпада­
ет с размерностью С) для простых точек и имеет больш ую раз­
мерность (а именно, 2) для особы х. Аналогичная картина име­
ет место и для более общ их алгебраических многообразий:
33
касательные пространства имеют одинаковую размерность во
всех точках, кроме точек некоторого собственного алгебраиче­
ского подмногообразия, для которых эта размерность подскаки­
вает. Это дает нам: во-первых, новую характеристику размер­
ности неприводимого алгебраического многообразия (размер­
ность касательных пространств всех точек, кроме точек некоторого
собственного
подм ногообразия), во-вторых, выделяет о со ­
бы е точки (точки этого собственного подм ногообразия), и,
в-третьих, дает важную характеристику особой точки — подскок
размерности касательного пространства. Но, пожалуй, наибо­
л ее замечательно — что эти понятия применимы к произволь­
ным кольцам, хотя бы и не геометрического происхождения, и
даю т возмож ность воспользоваться при их изучении геометри­
ческой интуицией. Например, максимальные идеалы
кольца
целых чисел Z описываются простыми числами и для 2 Я = (р )
пространство Ш/Ш2 одномерно над полем Fp, так что здесь мы
не встречаем особы х точек.
П р и м е р 2 . Рассмотрим кольцо А , состоящ ее из элементов
а + Ьа, а, ЬбZ, действия над которыми определены по обычным
правилам, исходя из условия о2= 1 (оно встречается в связи с
арифметическими свойствами группы второго порядка).
Его
максимальные идеалы описываются следующим образом . Для
лю бого простого числа р ф 2
мы имеем два максимальных
идеала
SDT={<2 -f- 6 a, a-\-b делится на р }
и
Шр = {а ф Ь а , а — Ь делится на р }.
Очевидно, Ш'р = (р, 1 — о), 2Я' = (р, 1 + о). Для каждого из них
пространство 2Я/2Я2 одномерно над полем F p. Кроме того, сущ е­
ствует еще один максимальный идеал Ш2= { а ф Ь а , а и b одина­
ковой четности} == (2, 1 -J-а). Легко видеть, что ш 1 = (А ,2 ф 2 а ) и
Ш2/ш1 состоит из четырех элементов — классов смежности эле­
ментов 0,2, l + c r и 3 + сг. Таким образом, это двумерное прост­
ранство над полем F 2. Идеал Ш2 соответствует единственной
особой точке.
Все предшествующие рассуждения связаны с рассмотрением
« с точностью до бесконечно малых 2 -го порядка», что для про­
извольного кольца А и максимального идеала 3W сводится к
рассмотрению кольца Л/2Я2. Разумеется, возмож но рассм отре­
ние и « с точностью до бесконечно малых r-го порядка», что
приводит к кольцу А/Шг. Например, если А есть кольцо много­
членов С [ х ь . . . , х п] или кольцо аналитических в начале к оор­
динат функций от переменных z u . . . , zn, или кольцо бесконеч­
но дифференцируемых
(комплекснозначных)
функций от п
переменных, а Ш — идеал функций, обращ аю щ ихся в нуль в точ­
64
ке О — ( 0 , . . . , 0 ), то А/Щт является конечномерным векторным
пространством над С. О но обобщ ает уж е ранее рассматривав­
шееся нами пространство Л/ЭЛ2 и называется пространством
струй г— 1 -го порядка.
П р и м е р 3. Дифференциальные операторы порядка > 1 .
Линейный дифференциальный о п е р а т о р п о р я д к а < г н а диф­
ференцируемом. м ногообразии X можно определить формально,
как такое линейное (над R) отображение 3 > :А -> А кольца Л
дифференцируемых функций на X , что для любой функции g£ A
оператор <Dx{ } ) ~ 2 b { g f ) — g 2 ) ( f ) имеет порядок < г — 1. Фор­
мулы (5), определяющие оператор порядка 1, показывают, что
— g ® ( f ) есть оператор умножения на функцию (именно,
2 ) (g)), т. е. порядка 0. Н аоборот, если 2 ) { g f ) — gS) ( / ) есть
оператор умножения на функцию, то, как легко проверить,
2D ( f ) = 2 ) {/ )-{- 2д ( 1 ) / , где iZ) — оператор порядка I.
Из определения, по индукции следует, что если S5 — оператор
порядка < г , то a>(5K '+i)c5W ^„ где Шх, а А — максимальный
идеал, соответствующий точке х 0£ Х . В координатах эт о озна­
чает, что 2 ) ( / ) ( х 0) зависит только от значений в точке х 0 част­
ных производных функции / порядков < г. Иначе говоря, имеет
место запись
W
)=
2i
а ч ..л а ( Х ь . . . , х п) —
i1 + . . . + i n < r
L,
a h...ine A .
d xp .^ d xf
Для любой точки х йР Х отображение / (x ) - + 2 ) { f ) (jc0) опре­
деляет линейную функцию I на пространстве струй порядка
r :l£ (A / W ) * совершенно аналогично тому, как линейный диффе­
ренциальный оператор 1 -го порядка определяет линейную функ­
цию на пространстве Шх^1Ш2
Хо.
Но наиболее тонкий аппарат для изучения кольца А «в окрест­
ности максимального идеала Шъ мы получим, рассмотрев одновременно все кольца А/Шп, п = 1, 2, 3 , —
Их все можно объе-
А
динить в одно кольцо А , называемое их проект ивны м п р е д е ­
л ом .
Для
этого
заметим,
что
сущ ествует
канонический
гомоморфизм Чп:А1Ш пП->А /Ш п, ядром которого служит 3й'73йя+1.
✓ч
Г
Кольцо А определяется как последовательность элементов {«„,
ап£ А /ЗЛге}, согласованных в том смысле, что ? n (an+i) = a„. Дей­
ствия над последовательностями производятся покомпонентно.
Каждый элемент абД определяет такую последовательность:
А
a n= a Jr Tln, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм Ф:Д -»■ А .
Ядром его является пересечение всех идеалов Шп. В о многих
интересных случаях эт о пересечение равно 0 и, значит, А вклаА
дывается в А как подкольцо.
П р и м е р 4. Пусть Л = К [х ], SQt=(x). Элемент
Щх\/{хп) однозначно задается многочленом
5—9339
а
кольца
65
f « = a o + a i * + ••• i+ an -i*"--1,
и последовательность элементов {с&п} согласована, если много­
член fn+u соответствующ ий а п+и получается из fn приписыва­
нием члена степени п. Вся последовательность тогда определя­
ет бесконечный (формальный) степенной ряд. Иными словами,
Л
кольцо Л изоморфно кольцу формальных степенных рядов
/C fM i] (пример 6 § 3 ). Вложение <р :
продолж ает­
ся до вложения полей частных ф : К ( х ) - * - К ( ( х ) ) , где / ( ( ( * ) ) —
поле формальных рядов Лорана (пример 5 § 2 ). Л егко видеть,
что это вложение совпадает с сопоставлением рациональной
функции ее ряда Лорана в точке х = 0 . В частности, если функ­
ция не имеет полюса при х = 0 , ей сопоставляется ее ряд Тей­
лора. Например, если /Чх) = 1 /1 — х, то f( x ) = l ' + x + . . . +
+ x n - 1 (xn), т. е. знаменатель функции f ( x ) — 1 — х — . . . — х "- 1 на
х не делится, а числитель делится х п. Это и значит, что f ( x )
сопоставляется ряд 1 + х + х 2+ . . .
П р и м е р 5. Пусть А — кольцо Д[С], где С — произвольное
алгебраическое многообразие. Если SQtc — максимальный идеал
А
этого кольца, соответствующ ий простой точке с&С, то кольцо А
изоморфно кольцу Л [[хь . . . , х „]] формальных степенных рядов
(п — размерность С в лю бом из обсуждавш ихся ранее вариан­
тов этого определения). Более того, вложение
В Д - ^ Щ х ь . . . , х „ ]]
продолжается на те функции из К (С ), которые конечны в точ­
ке с, т. е. могут быть представлены в виде Р /Q, где Р , Q 6 /([C ]
и Q( c) =фО. Это дает представление таких функций в виде ф ор­
мальных степенных рядов. Если поле К совпадает с полем
комплексных чисел С или действительных R, то мож но дока­
зать, что соответствующ ие ряды сходятся при достаточно м а­
лых значениях х ь . . . , х „. Именно таким образом доказывается,
что алгебраическое многообразие без особы х точек является
также топологическим, дифференцируемым
и аналитическим
многообразием.
П р и м е р 6 . Пусть А — кольцо бесконечно дифференцируе­
мых функций в окрестности х = 0 , а / — идеал функций, обр а ­
щающихся в 0 в этой точке. Тогда / " — это функции, о б р а ­
щающиеся при х = 0 в 0 вместе со всеми производными поряд­
ка < п , а А/1п — это кольцо R [x ]/(x n), и гомоморфизм А-*~
-*-R [x]/(x") задается формулой Тейлора. В нашем случае П ^ ^ О ,
так как сущ ествую т отличные от 0 бесконечно дифференцируе­
мые функции, все производные которых равны 0 при х = 0 . ГоА
моморфизм А-*-А сопоставляет каждой функции ее формальный
ряд Тейлора. Так как согласно т е о р е м е Б о р е л я сущ еству­
ют бесконечно дифференцируемые функции с наперед заданны-А
ми значениями всех производных в 0, то ,4 ~ R [[/]].
Но можно применить те ж е идеи к кольцам соверш енно
другой природы.
66
П р и м е р 7. Пусть А есть кольцо целых чисел Z и М = ( р ) г
где р — некоторое простое число. В качестве А мы получаем 1
кольцо Z р, называемое кольцом целых р-адических чисел. По*
аналогии с рассмотренным выше случаем кольца Л[х], можно*
убедиться, что элемент кольца Z p задается последовательно­
стью целых чисел вида
QEm= ao' + fllP + ••• a n- i P n~ l ,
где а{ принадлежит фиксированной системе представителей?
классов вычетов по модулю р : 0 < о ^ < р , и On+i получается из*
а п приписыванием члена апрп. Такую последовательность м ож ­
но записать в виде формального ряда
Uo+Uip + a2p2+ . . . .
Действия над такими рядами производятся совершенно анало­
гично действиям над целыми числами, записанными в р-ичной
системе счисления: если, действуя над коэффициентами аи мы
переходим к числу с > р , то мы должны поделить с с остатком иа.
р: c = c 0+ c ip , и перенести с у «в следующий разряд». Кольцо Z p.
целостно, его поле частных Q p называется полем р-адических:
чисел. Вложение Z -> Z P продолжается до вложения Q -> Q P.
Ч тобы более выпукло очертить связь приведенных выше?
конструкций, вернемся к примеру кольца/С[х] и поля /С (х ).Д л я
более точной численной характеристики того, что функция*
f^ K (x ), f -ф 0 , является бесконечно малой заданного порядка в.
точке х = Ь , введем показатель v { f ) , равный « > 0 , если f имеет"
нуль кратности п в точке 0 , и — п, если f имеет там полюскратности п. Выберем раз навсегда вещественное число 0 < с< 1 >
(например, c = j )
и положим <р(f) = c vW
для
1 Ф 0 и <р(0 ) = 0 .
Тогда <р(/) мало, если f — бесконечно малая больш ого порядка;
при х = 0 . Введенное нами выражение q>(f) обладает формаль­
ными свойствами модуля рационального, вещественного или"
комплексного числа: <р( / ) = 0 тогда и только тогда, когда / = О,
Ф (/2 ) = Ф (/)Ф (ё ),
Ч>(/ + й ) < Ф ( / ) + Ф(§).
(7).
Поле L, на котором задана вещественнозначная функция с эти­
ми тремя свойствами, называется нормированным, а функция;
ф — его нормой. Простейший пример нормированного поля —
это поле рациональных чисел Q с ф (х ) = |х|. П роцесс построе­
ния поля вещественных чисел по Коши, исходя из рациональ­
ных чисел, при помощи фундаментальных последовательностей,,
дословно переносится на лю бое нормированное поле L. Мы по­
лучаем новое нормированное поле L, в которое L вкладывается*:
как подполе с сохранением нормы, в котором образ L всюдуплотен и которое (в смысле его нормы) полно, т ^ е . удовлет­
воряет критерию сходимости Коши.
пополнением поля L по норме <р.
5*
Это поле
L называется 1
6Г
Построение ноля К ({х)) и вложения К ( х ) - > К ( ( х ) ) является,
■как очень легко убедиться, применением этой общей конструкции
к случаю введенной н аш нормы ф ( / ) = cv(n. Теперь мы можем
А
пользоваться тем, что в поле К (х )= * К ((.т)) имеется норма, про­
должающая норму ф поля К (х ). Легко увидеть, какова она: если
/ 6 К { ( х ) ) , / Ф О , f ^ c nx " + cn+lx n+1 + . . . , с пФ 0, то Ф ( .Я = с » ;
ф ( 0 ) = 0 . Н о в нормированном поле имеет смысл говорить о схо­
димости рядов, и легко убедиться, что любой формальный ряд
Лорана в этом смысле сходится (в частности, Xя-> 0 при п--* оо
в смысле нашей нормы). Сопоставление рациональной функции /
е е ряда Лорана теперь превращается в равенство, имеющее тот
-А
смысл в поле К ( х ) = К ( ( х ) ) , что / равна сумме сходящ егося
к ней ряда.
В связи с этим интересно выяснить, какие, вообщ е, нормы
можно определить в поле К ( х ) . Мы ограничимся случаем, ког­
д а К = С (поле комплексных чисел), и усилим понятие нормы,,
прибавив к условиям (7) еще одно:
Ф(а) = 1 , если agC, а =£0.
(8)
■Очевидно, что построенная норма ф ( / ) = c v<f> этому дополни­
тельному условию удовлетворяет. Конечно, мы можем варьиро­
вать нашу конструкцию, рассматривая вместо точки х = О произ­
вольную точку х = а, т. е. определяя v ( / ) как порядок нуля
или полюса функции / в точке х = сс. Полученную норму
•обозначим через Фа. М ожно построить еще одну аналогичную
.норму, рассматривая порядок нуля или полюса функции в беск о­
нечности. Эту норму мы обозначим через ф^,. Проще всего
р
•определить ее равенством Фм ( / ) = ст~п, если / = = q ,
Р
и Q—
ыногочлены степени п и т соответственно (и, конечно, ф ( 0 ) = 0 ).
Нетрудно доказать, что все нормы тюля С (х ) этими нормами
и исчерпываются.
I.
Все нормы поля С (х ) (с дополнительным свойством ( 8 ))
исчерпываются нормами Фа, agC, и нормой Фоо- ►
Таким образом, нормы поля С (х ) очень естественно дают
мам все точки прямой (включая бесконечно удаленную) или
римановой сферы, на которой рациональные функции опреде­
лены.
Поставим теперь тот ж е вопрос для конечных расширений
поля С (х ). Они имеют вид С (С ), где С — некоторая неприво­
димая кривая. Ответ оказывается похожим, но несколько б о ­
л ее тонким. Каждой простой точке с кривой С соответствует
некоторая норма <рс, характеризуемая, например, тем, что
ф с ( / ) < 1 тогда и только тогда, когда f ( c ) = 0. Но сверх того при­
бавляется еще конечное число норм. Во-первых, соответствую ­
щие бесконечно удаленным точкам кривой С (которые возни­
кают, если рассматривать кривую в проективной плоскости).
Во-вторых, особым точкам мож ет соответствовать
несколько*
разных норм. Вся совокупность норм находится во взаимно од­
нозначном соответствии с точками некоторой неособой кривой,,
лежащей в проективном пространстве и определяющей то же
поле С (С ), — так называемой
неособой проективной м одели
кривой С. Ее точки, следовательно, замечательным образом ха­
рактеризуются полем С'(С) совершенно инвариантно. Другая 1
формулировка того ж е описания заключаются в том, что если
кривая С задана уравнением F (x , у ) = 0, то все нормы поля
С (С ) находятся во взаимно однозначном соответствии с точ­
ками римановой поверхности функции у как аналитической
функции от х. Это мож но рассматривать как чисто алгебраи­
ческое описание римановой поверхности алгебраической функ­
ции.
Пусть ! = (а, Ь) — некоторая точка алгебраической кривой С
с уравнением F (х , у) = 0, а Ф — одна из норм, соответствующ их
точке
Тогда пополнение поля С (С) по норме Ф опять изоморф­
но полю формальных рядов Лорана С ((£)). Пусть при вложении
С (С )сС ((0 )
х — a = c ktk + Ck+itbH+ ------г ckфО.
Тогда x — a = t kf { t ) , / ( 0 ) ^ 0 . Отсюда
х — a = x k,
где
т=
а / (i)1/* надо понимать как формальный ряд, имеющий смысл
Ввиду условия f (0 }ф 0 . Легко показать, что т является, как и t,
«параметром» поля С ((£)), т. е. все элементы этого поля пред­
ставляются как ряды Лорана и от т: С ((*)) = С ((т)). В частности,
у = Srf/T1' = 2 d t (х — а )г
Такие разложения алгебраической функции у по дробным степе­
ням х — а называются разлож ениям и Пюизо.
Перейдем теперь к полю рациональных чисел Q. Пусть р —
простое число, а с — вещественное число, 0 < с < 1 . Обозначим
через v (л) наибольшую степень числа р, на которую делится л ,
и положим для рационального числа а = -^ , n, m fZ ,
Фp ( a ) = c v<n> - v <'n>.
Легко проверить, что Фр— норма на поле рациональных чисел Q .
Рассматривая пополнение Q по этой норме, мы придем к полю
р-адических чисел Q p, которое было введено ранее. В нем имеет
смысл понятие сходимости рядов, и формальные ряды, которыми
мы задавали р-адические числа, сходятся. Например, равенство.
т ^ - = 1 + р + р 2+ . . .
имеет тот смысл, что число слева есть сумма сходящ егося ряда
справа.
По аналогии с полем С (х) естественно спросить: каковы же
в се нормы поля Q?
II. Т е о р е м а О с т р о в с к о г о .
Все нормы поля Q — это
^з-адические нормы срр и, сверх того, нормы вида <р(а) —
где с — вещественное число, 0 < с < 1 . ►
Число с является таким же несущественным параметром,
•как и аналогичное число в определении /з-адической нормы и
корм ы <р0 в поле С ( х ) : нормы, получающиеся при разном вы бо­
ре этого числа, определяют одно и то ж е понятие сходимости и
изоморфные пополнения. Пополнение по норме <р=|
|с, конеч­
но, дает поле вещественных чисел. Таким образом , все поля
/з-адических чисел Q p и поле вещественных чисел
R играют
совершенно одинаковую роль. Сравнение с полем С (х ) показы­
вает, что простые числа р (определяющие поля Q p) аналогич­
ны конечным точкам х = а , и вложения Q-»-Qp аналогичны
разложениям в ряды Лорана в конечных точках, а тогда вло­
ж ение Q-*-R является аналогом разложения в ряд Л орана в
бесконечности. Это дает единую точку зрения на два типа
"Свойств целых (и рациональных) чисел: делимость и величину.
.Например, то, что уравнение fix ) = 0 , /GZ[х], имеет веществен­
ный корень, означает, что сущ ествую т рациональные числа а„,
дл я которых | /(а „) | сколь угодно мало. Аналогично, разреши­
мость уравнения / ( x ) = 0 в поле /з-адических чисел означает,
что сущ ествую т рациональные числа а „, для которых фр ( / ( а п) )
«сколь угодно мало, т. е. f ( a n) делится на все более высокую
степень р. М ож но показать, что для многочлена f ( x и . . . , х п)
разреш имость уравнения
f(x ........хп) = 0
® поле Qp равносильна том у, что сравнение
f ( x 1, . . . , х „)
0 (m od/з4)
разрешимо при любом k. Так как сравнения по л ю бом у модулю
сводятся к сравнениям по модулям рк, то разреш имость урав­
нения / = 0 во всех полях Qp эквивалентна разрешимости срав­
нений
/ = 0 (modjV)
для всех модулей N. Например, классический результат теории
чисел утверждает:
III. Т е о р е м а Л е ж а н д р а .
Уравнение
ax2+ b t j z = c (a, b, сеZ, с > 0 )
тогда и только тогда разрешимо в рациональных числах, когда
выполнены условия:
1) а > 0 или Ь~>0,
70
2 ) сравнение а х 2 -)- by2== с (modTV) разрешимо для всех N .
В силу сказанного выше это. значит: уравнение а х 2 -\-Ьу2 = с
разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда
оно разрешимо в любом из полей Qp и в R. ►
Этот результат может быть обобщен:
IV. Т е о р е м а М и н к о в с к о г о — Х а с с е . Уравнение
/ (jCli ••■»-£я) == с ,
где / — квадратичная форма с рациональными коэффициентами,
<?6 Q> тогда и только тогда разрешимо в Q, когда оно разрешимо
во всех полях Q P и R. ►
Поле р-адических чисел отраж ает арифметические свойства
рациональных чисел (делимость на степени р ) , но, с другой
стороны, имеет ряд общ их свойств с полем R: в Qp можно рас­
сматривать меры, интегралы, аналитические функции, интерпо­
ляцию и т. д. Это дает мощный теоретико-числовой метод, при
помощи которого (особенно при совместном рассмотрении всех
полей Q p и R) получено больш ое число глубоких арифметиче­
ских результатов.
В заключение рассмотрим конечное расширение К поля Q.
Такое поле называется полем алгебраических чисел. Какие
нормы в нем сущ ествую т? Каждая его норма индуцирует неко­
торую норму поля Q, и можно показать, что любая норма по­
ля Q индуцируется конечным числом норм & Те из них, кото­
рые индуцируют норму |а|, связаны с вложениями поля К в
поле вещественных чисел R или комплексных чисел С и функ­
цией \х\ в этих полях. Рассмотрим другие нормы. В поле Q
подкольцо Z выделяется условиями фр ( а ) < 1 для всех р. По
аналогии, рассмотрим те элементы поля К, для которых < р (а )^
< ;1 для всех норм поля К,- индуцирующих нормы <рр поля Q
для какого-либо р. Эти элементы, как нетрудно доказать, обр а­
зуют кольцо А, которое играет роль кольца целых чисел в К.
Его элементы называются целыми алгебраическими числами.
П оле частных кольца А совпадает с К. Очевидно, A =)Z . М ожно
доказать, что Л как модуль над Z является свободным модулем;
ранг его равен степени [ К : Q] расширения К/Q. Кольцо А , во­
общ е говоря, не является факториальным, но в нем всегда спра­
ведлива теорема об однозначности разложения идеала в произ­
ведение простых идеалов. В частности, для л ю бого простого
идеала р и элемента a czA определен показатель v ( а ) , показы­
вающий, на какую степень идеала $ делится главный идеал (а ).
Выберем вещественное число с, 0 < с < 1 , и для лю бого элемента
V iK i i=r=0 .
а, Рб-Ai
положим
cPp(£) = cV(“)-vlP)-
ч
Таким образом, ка;кдому простому идеалу р из кольца А сопо­
ставляется норма Ф?. Сказывается, что этими нормами исчерпы­
ваются все нормы поля К, индуцирующие нормы <рр поля <2.
Эти факты составляю т первые шаги арифметики полей алге­
браических чисел. Сравнивая их с аналогичными фактами,
приведенными выше в связи с полями С (С ) (С — алгебраиче­
ская кривая), можно заметить далеко идущий
параллелизм
меж ду арифметикой полей алгебраических чисел и геометрией
алгебраических кривых (или свойствами соответствую щ их римановых поверхностей). Это — дальнейшая реализация той
«функциональной» точки зрения на числа, о которой мы го­
ворили в § 4 (см . замечания после примера 3 ).
§ 8.
Н ЕКОММ УТАТИВНЫ Е
КОЛЬЦА
В множестве линейных преобразований конечномерного век­
торного пространства определены две операции: сложение и
умножение, а при записи линейных преобразований матрица­
ми эти операции переносятся и на матрицы. Сущ ествование
об еи х операций исключительно важ но и постоянно испольауется. Например, только, благодаря этом у мож но определить мно­
гочлены от линейного преобразования, а они используются,
хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразова­
ния, существенно зависящей от кратности корней его минималь­
ного многочлена. Те ж е две операции и предельный переход
даю т возмож ность определить аналитические функции от мат­
рицы (вещественной или комплексной). Например,
оо
ед = 2
А п1п\,
л—О
а это позволяет, записав систему п, линейных обыкновенных диф­
ференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффи­
циентами и с п неизвестными в виде
где х — вектор неизвестных функций, А — матрица коэффици­
ентов, написать решение в виде x ( t ) = e Atx о, где х 0 — вектор на­
чальных данных. Операции сложения и умножения линейных
преобразований подчиняются всем аксиомам
коммутативного
кольца, за исключением коммутативности умножения. О тбрасы ­
вая это требование в определении коммутативного кольца, мы
и в названии нового понятия отбрасываем эпитет «коммутатив­
ное».
4 Таким образом, к ол ьц о есть множество с операциями сло­
жения и умножения, удовлетворяющими условиям:
72
а-г{Ь -гс)=(а-{-Ь ) + е,
(ab)c=a(bc),
a(b-{-c)— ab -\-ac,
(b -\-с)а = Ьа-\- ca.
Сущ ествует элемент 0, для которого а - { - 0 — 0 - { - а = а для
всех а. Существует для любого а элемент — а со свойством
а + ( — а ) — 0. Сущ ествует такой элемент
1,
что \ а— а \ = а
для всех а. ►
Приведем несколько примеров колец
(некоммутативных;
примеры коммутативных колец мы уж е во множестве рассмат­
ривали.) .
П р и м е р 1. Кольцо линейных преобразований векторного,
пространства L и его естественное обобщ ение — кольцо всех
гомоморфизмов в себя модуля М над коммутативным кольцом
А . Гомоморфизмы модуля в себя называются эндоморфизмами,
а определенное выше кольцо обозначается EndA (.M). Если А =
— К — поле, получаем кольцо
линейных преобразований век­
торного пространства L, которое мы будем дальше такж е о б о­
значать EndKL.
П р и м е р 2. Простейшим бесконечномерным аналогом коль­
ца линейных преобразований является кольцо ограниченных
лйнейных операторов в банаховом пространстве.
П р и м е р 3. Кольца линейных дифференциальных операто­
ров о т одного или п переменных, коэффициентами которых яв­
ляются многочлены или аналитические, или бесконечно диффе­
ренцируемые функции, или формальные степенные ряды
(к о­
нечно, от того ж е числа переменны х).
Прежде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отм е­
тим те понятия, которые были нами введены для коммутатив­
ных колец, но на самом деле коммутативности не использова­
ли. Это — изоморфизм, гомоморфизм, ядро и образ гомомор­
физма, подкольцо, градуированное кольцо.
Например, выбор базиса в п-мерном пространстве L над по­
лем К определяет изоморфизм кольца End* (Г ) е кольцом мат­
риц порядка п, которое обозначается М „ (К ).
В кольце R совокупность элементов а, коммутирующих со
всеми элементами R (т. е. а х —х а для всех x £ R ), образует под­
кольцо, которое называется центром. Оно обозначается Z (R ).
Если центр кольца R содерж ит подкольцо А, то R назы­
вается алгеброй над А . Забыв об умножении в R и обращ ая
внимание лишь на умножение элементов из R на элементы из
Л, мы превращаем R в модуль над Л. Понятие гомоморфизма
двух алгебр над коммутативным кольцом Л отличается от про­
сто гомоморфизма колец тем, что требуется, чтобы каждый эле­
мент из Л отображ ался сам в себя, т. е. чтобы гомоморфизм
73
Таким образом, каждому простому идеалу р из кольца А сопо­
ставляется норма Ф?. Оказывается, что этими нормами исчерпы­
ваются все нормы поля К, индуцирующие нормы <рр поля Q.
Эти факты составляю т первые шаги арифметики полей алге­
браических чисел. Сравнивая их с аналогичными
фактами,
приведенными выше в связи с полями С (С) (С — алгебраиче­
ская кривая), можно заметить далеко идущий
параллелизм
между арифметикой полей алгебраических чисел и геометрией
алгебраических кривых (или свойствами соответствую щ их римановых поверхностей). Э то — дальнейшая реализация т о »
«функциональной» точки зрения на числа, о которой мы го­
ворили в § 4 (см . замечания после примера 3 ).
§ 8.
НЕКОМ М УТАТИВНЫ Е
КОЛЬЦА
В множ естве линейных преобразований конечномерного век­
торного пространства определены две операции: слож ение и
умножение, а при записи линейных преобразований матрица­
ми эти операции переносятся и на матрицы. Сущ ествование
об еи х операций исключительно важ но и постоянно ислольауется. Например, только, благодаря этом у можно определить мно­
гочлены от линейного преобразования, а они используются,
хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразова­
ния, существенно зависящей от кратности корней его минималь­
ного многочлена. Те ж е две операции и предельный переход
дают возмож ность определить аналитические функции от мат­
рицы (вещественной или комплексной). Например,
СО
е А— 2 А п/п1,
л=*0
а это позволяет, записав систему п линейных обыкновенных диф­
ференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффи­
циентами и с п неизвестными в виде
где х — вектор неизвестных функций, А — матрица коэффици­
ентов, написать решение в виде x ( t ) —eAtx 0, где х 0 — вектор на­
чальных данных. Операции сложения и умножения линейных
преобразований подчиняются всем аксиомам
коммутативного
кольца, за исключением коммутативности умножения. О тбрасы ­
вая это требование в определении коммутативного кольца, мы
и в названии нового понятия отбрасываем эпитет «коммутатив­
ное».
М Таким образом, к ольц о есть множество с операциями сло­
жения и умножения, удовлетворяющими условиям:
72
(t
Ь— Ь
(tj
л-\-(Ь - г с) — (л -(- b) -j- с,
(a b )c = a (b c ),
a {b -\ -c )— ab +<zc,
{Ь + с ) а = Ьа-\-са.
Сущ ествует элемент 0, для которого а + 0 г = 0 - } - л = а для
веех а. Существует для любого а элемент — о со свойством
а - Ц — а ) = 0 . Сущ ествует такой элемент
1,
что \ а— а \ = а ,
для всех а. ►
Приведем несколько примеров колец
(некоммутативных;
примеры коммутативных колец мы уж е во множестве рассмат­
ривали) .
П р и м е р 1. Кольцо линейных преобразований векторного,
пространства L и его естественное обобщ ение — кольцо всех
гомоморфизмов в себя модуля М над коммутативным кольцом
Л. Гомоморфизмы модуля в себя называются эндоморфизмами,
а определенное выше кольцо обозначается Е пЙ а(М ). Если А =
= К —-поле, получаем кольцо
линейных преобразований век­
торного пространства L, которое мы будем дальше также о б о ­
значать End KL.
П р и м е р 2. Простейшим бесконечномерным аналогом коль­
ца линейных преобразований является кольцо ограниченных
линейных операторов в банаховом пространстве.
П р и м е р 3. Кольца линейных дифференциальных операто­
ров от одного или п переменных, коэффициентами которых яв­
ляются многочлены или аналитические, или бесконечно диффе­
ренцируемые функции, или формальные степенные ряды
(к о­
нечно, от того ж е числа переменных).
П режде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отм е­
тим те понятия, которые были нами введены для коммутатив­
ных колец, но на самом деле коммутативности не использова­
ли. Это — изоморфизм, гомоморфизм> ядро и образ гомомор­
физма, надкольцо, градуированное кольцо.
Например, выбор базиса в n -мерном пространстве L над по­
лем К определяет изоморфизм кольца E n d *(L ) е кольцом мат­
риц порядка п, которое обозначается М „ (К ).
В кольце R совокупность элементов а, коммутирующих со
всеми элементами R (т. е. а х = х а для всех x&R), образует подкольцо, которое называется центром. Оно обозначается Z (R ).
Если центр кольца R содерж ит подкольцо А, то R назы­
вается алгеброй над А . Забыв об умножении в R и обращ ая
внимание лишь иа умножение элементов из R на элементы из
Л, мы превращаем R в модуль над Л. Понятие гомоморфизма
двух алгебр над коммутативным кольцом Л отличается от про­
сто гомоморфизма колец тем, что требуется, чтобы каждый эле­
мент из Л отображ ался сам в себя, т. е. чтобы гомоморфизм
73
определял гомоморфизм соответствующ их модулей над А . Так
ж е определяется понятие подалгебры алгебры R над А — она
должна быть подкольцом, содержащим А.
Если А = R есть поле я R — алгебра над К, то размерность R
как линейного пространства над К. называется рангом алгебры
R. М ы уж е встречались с этим понятием: конечное расширение
L/К — это расширение, являющееся алгеброй конечного ранга.
Алгебра конечного ранга п над полем К по определению о б л а ­
дает базисом е\
е„, и умножение в алгебре определяется
умножением элементов этого базиса. Так как e te s есть снова
элемент алгебры, то он записывается в виде
CljkGK'
(1 )
Элементы
c ijk называются
структурными, конст ант ами,
алгебры,. Они определяют умножение в алгебре:
( 2
а *е *) ( 2 bJei ] = 2
a ibic n^k-
Соотношения (1) называются таблицей умножения
алгебры.
Конечно, структурные константы нельзя задавать произвольно:
они должны удовлетворять условиям, отраж ающ им требование
ассоциативности умножения и существования единичного эл е­
мента.
Например, кольцо матриц М „(К ) является алгеброй ранга
п2 над полем К. За ее базис мож но взять п2 матриц E ih у ко­
торых все элементы равны 0, за исключением стоящ их на пере­
сечении t-й строки и / - го столбца, которые равны 1. Е е структур­
ные константы определяются равенствами:
Е чЕ к1= 0 при ] ф к ,
Е цЕ п = Е и .
()
Теперь мож но привести еще несколько примеров колец, за ­
дающихся проще всего как алгебры над полем.
П р и м е р 4. Пусть G — конечная группа (мы предполагаем,
что читатель с этим понятием знаком, но все ж е напомним его
в § 12). П остроим алгебру над полем К, элементы базиса к ото­
рой занумерованы элементами группы: ев, g£G, и перемнож а­
ются так же, как эти элементы:
e gie gz== eglgzПолученная алгебра называется груп п овой ал гебр ой группы, G
и обозначается /C [G ]. Точно так ж е определяется групповая
алгебра A [G] конечной группы G над коммутативным кольцом А .
Отождествляя элементы g fG с соответствующими элементами
базиса e g, можно считать, что элементы алгебры K [G \ запи­
сываются в виде сумм ^ agS- Произведение
*6 ? (>;' .
74
2
| S agS ) [
(М ч
W ?
/ \Л6 °
/
записывается, конечно, в таком же виде 2 ygg,
gQQ
^проверить,
где, как легко
^ =
(3)
“б °
Элемент 2
agg задается своими коэффициентами, которые можно
рассматривать как функцию на б и соответственно записывать
в виде a (g ). Тогда мы получим интерпретацию алгебры К [С?]
как алгебры функций на Группе, с умножением, сопоставляющим
функциям a (g )-H -p (g ) функцию y(g) (см. (3)):
4(g ) = 2 a (tt)P (tt-1g)(4)
“ 6°
Э т а запись служит отправной точкой для обобщений на беско­
нечные группы. Например, если G — единичная окружность
\z\ = 1 , то,записывая ее элементы через аргумент ф, мы увидим,
’что функция на G — это просто периодическая функция от ф с
■периодом 2л. П о аналогии с формулой (4) групповую алгебру
нашей группы определяют как алгебру периодических функций
•а(ф) (например, непрерывных и абсолю тно интегрируемых) с
законом умножения, сопоставляющ им а(ср) и р(ф) функцию
2л
о
Э т а операция называется в анализе сверткой функций.
Это определение обладает одним формальным недочетом —
агрупповая алгебра не содерж ит единицы, которая является
6-функцией единичного элемента. О т этого легко избавиться,
присоединив к построенной алгебре R единицу, т. е. рассмотрев
® пространстве С ® R умножение
(а + х) (Р + у ) = а р + ( а у + $ х + х у ) .
Д ругой путь обобщ ения понятия групповой алгебры на бес­
конечные группы применим к счетным группам и связан с рас­
смотрением рядов вместо функций. Рассматриваются бесконеч­
ные ряды (например, абсолю тно сходящ иеся) вида 2 a eg , а 8бС,
■с законом умножения (3 ).
Пример
5. Знаменитейший пример
некоммутативного
кольца — это алгебра кватернионов Н. Она является алгеброй
.ранга 4 над полем вещественных чисел R и имеет базис 1, i, /, k
с законом умножения:
i2= / 2=&2= —1,
i j = k , j i = —k, j k = i , k j = —i, k i = j , ik =
—/,
т. e. если записать t, / и k по кругу (рис. 10), то произведение
75
двух соседних элементов, взятое в порядке по часовой стрелке»
равно третьему, а против часовой стрелки — ему ж е с обратны м
знаком.
М одул ем
кват ерн и она
q = a - \ - b i - \ -c j ~ -d k называется
число
! g,| = | /a 2H-£2 + c2+ d2 »
соп ряж енн ы м — к ва т ер н и он .
q = a — b i — c j — dk. Имеют место соотношения
q q = j j q . = \q р,
которые легко проверить.
кватернион qr l *=
q tf2, = q2qx,
Из них следует,
(5>
что
q является обрат ны м к q,
если q^b О, то
т. е.
qq~x—
= Г гЯ= 1• Если q = a A r bi-'T c j -\-dk, то а называется вещ ест ­
венной част ью q, a b i - r c j -{-dk — мнимой; они обозначаются
Re q и Im q. При а =>0 кватернион называется чист о мнимым.
В этом случае он соответствует трехмерному вектору х = (Ь, с„
d ). Произведение двух чисто мнимых кватернионов выражается!
через обе основные операции алгебры трехмерных векторов:
скалярное и векторное произведения: (я, у) и [х, у\. Именно,
если чисто мнимые кватернионы р и q соответствую т векторам.
х и у t то Re (p q ) = (х, у ) , a Im (pq) соответствует вектору [х, г/].
Из равенств (5) легко следует, что для кватернионов qx и q?
\Я\Я2 \— \Я\\ |Я2 1Это означает, что
если
а, Ь, с, d
и
а 1, Ьь сь ^ — произвольные числа, то произведение
{а?+ Й2
+ 02) (д 2 +
+ +
d\)
может быть представлено в виде
+ Щ+ c\-\-d\, где а 2, b2, с2 d 2,
(коэффициенты при 1, г, / и k у кватерниона qxq^ выражаются,
очень просто через а, Ь, с, d и аь Ьъ съ dx (читатель мож ет эти
выражения легко выписать). П олучающ ееся тож дество было»
впрочем, найдено Эйлером задолго д о введения кватернионов*
Гамильтоном. Оно полезно» например, при доказательстве зна­
менитой т е о р е м ы
Л а г р а н ж а о том, что; л ю бое натураль­
ное число п равно сумме квадратов четырех целых чисел: бл а­
годаря этом у тож деству, вопрос сразу сводится к случаю п р остого числа, п.
П р и м е р 6 . Кватернионы содерж ат поле комплексных чисел
в качестве элементов вида а + Ы . Л ю бой кватернион одно­
значно записывается в виде Z \ + z 2j, z b z 2GС. Эта запись
С
н =сес/
(В)
дает удобное представление кватернионов. При действиях над
записанными в этом виде кватернионами надо только помнить,
что zGС и j не коммутируют. Однако легко проверить, что их
перестановка подчиняется простому правилу:
y z = zy.
(7)
Представление ( 6 ) имеет одно важное геометрическое при­
менение. Рассмотрим пары (qu q2), qu q f i Н, отличные от пары
( 0 , 0 ), и отождествим пропорциональные (слева) пары: (q\, q2)
и (q q ь qq2) при q=^0. Мы получим кват ернионную проективную
п ря м ую Р 1 ( Н ) . П одобно вещественной или комплексной проек­
тивной прямой, оиа содерж ит конечную часть — пары {q\, q2) с
<72# 0 , которую можно отож дествить с Н (считая <72=1), и по­
лучается из нее присоединением бесконечно удаленной точки
(<7ь 0 ). Это показывает, что Р ^ Н ) как многообразие диффеоморфно четырехмерной сфере S 4. Представляя Н в виде ( 6 ) и
полагая qi — z i + z 2j, q2= z 2+ Z ij, мы заменим пару {q u q2) чет­
веркой (zi, z2, 2 з, z+), в которой не все z< равны 0. Эти четвер­
ки, рассматриваемые с точностью до отличного от 0 комплекс­
ного множителя, образую т трехмерное комплексное проективное
пространство Р3 (С ). Как Р ^ Н ) , так и Р 3 (С ) получались из од ­
ного и того ж е множества пар (qi, q2) , но разными процессами
отождествления. (Эти процессы различаются выбором множите­
ля пропорциональности: <76 Н в первом и q &С — во втором слу­
чае.) Так как пары, отож дествляемые во втором случае, заве­
дом о отож дествляются и в первом, то мы получаем отобра­
жение
Р 3 ( С ) - > 5 4.
Это — очень важное в геометрии твисторное р а ссл о ен и е над
сферой S 4, слоями которого является некоторое четырехмер­
ное семейство прямых в Р3 (С ). Оно дает возмож ность свести
многие дифференциально-геометрические вопросы, связанные
со сферой S 4, к вопросам комплексно аналитической геометрии
пространства Р 3 (С ).
С другими приложениями кватернионов — к изучению групп
ортогональных преобразований трех- и четырехмерного прост­
ранства — мы познакомимся в § 14.
Кольцо, в котором для л ю бого отличного от 0 элемента а
существует обратный элемент а-1, т. е. такой, что аа - 1 = а-1а = 1 ,
называется телом. Впрочем, достаточно требовать сущ ествова­
ния лишь левого обратного элемента а-1, т. е. такого, что
а-|а = 1 (или лишь правого обр а тн ого). Если а ' — левый обр ат­
77
ный к а и а " — левый обратный к а', то, по ассоциативности*
а " а 'о равно и а, и а". Это значит, что а а '= 1 , т. е. а ' являетсяи правым обратным. Поле — это коммутативное тело, кватер­
нионы — первый встретившийся нам пример некоммутативного
тела. Л егко проверить, что обратный элемент к данному эл е­
менту в теле сущ ествует только один. В теле разрешимо про­
извольное уравнение а х = Ь при а Ф О : х = а ~ хЬ. Для у а = Ь , а Ф
ФО, аналогично у = Ь а г х.
Стандартные понятия линейной алгебры над полем К пере­
носятся дословно на случай линейных пространств иад любым
телом D. Отметим только единственное, хотя и формальное, но
существенное различие. Если линейное преобразование <р
«-м ерного векторного пространства над некоторым телом за­
дается в базисе h , . . . , /„ матрицей (a{j) , а ф — матрицей ( Ьм),
то преобразование <рф задается, как легко проверить, матрицей.
Си, где
С ц - = ^ Ь к1с 1к.
k
(8 )
Иначе говоря, в обычной формуле умножения матриц множ и­
тели меняются местами. (Это мож но обнаруж ить уж е на при­
мере одномерных пространств!)
В связи с этим вводится следующ ее определение.
К о л ь ц а R и R ' называются инверсно-изом орф ны м и, если
сущ ествует взаимно однозначное соответствие си+а', dQR, a'QR',
обладающее свойствами: из ах++а\ и а ^ а 2 следует а х а ^ а \ -j-|—«2 ^ а ха2*-^а^а^.
Если соответствие «<->«' устанавливает инверсный изоморфизм
к ол ьц а R с собой, то оно называется инволюцией. Таково с о о т ­
ветствие а+*а* в кольце матриц М „ (Л ) над коммутативным коль­
цом А
(а* — транспонированная матрица) или 2
« gS-1 в
групповой алгебре или q<->q в алгебре кватернионов Н.
Для каж дого кольца R сущ ествует инверсно-изоморфное ему
кольцо R '. Для этого надо просто в множестве элементов R
сохранить операцию сложения, а произведение элементов а и
b определить как Ьа.
Теперь мы можем описать наш результат, выраженный
формулой (8 ), так:
I.
Кольцо линейных преобразований «-м ерного векторного
пространства над телом D изоморфно кольцу матриц M n(D ')
над инверсно-изоморфным телом D
С учетом этого изменения общеизвестные результаты линей­
ной алгебры сохраняются для векторных пространств над те­
лами. Идя дальше, можно определить и проективное простран­
ство Pn(D ) над телом D, и оно тож е будет обладать больш ин­
ством привычных нам свойств.
78
П р и м е р 7. Рассмотрим пространство T r (L) контравариантных тензоров ранга г над я-мерным векторным пространством L
над полем К (ср. определение модуля Т а (/И) в § 5). Операция
тензорного умножения определяет произведение ф-ф тензоров
tP67v (Z.) и ф€7'S(L) как тензор из T r+S(L). Чтобы при помощи
этой операции построить кольцо, рассмотрим прямую сумму
®7V (L) всех пространств T r (L), состоящ ую из последовательно­
стей (Ф0, фц. . . . . . . ) , в каждой из которых только конечное чис­
ло членов отлично от нуля. Сумму последовательностей опреде­
лим покомпонентно, а произведение (% , Фц. . . ) и (ф0, tft,'.. . ) как
где ЬР=
Фгфр- г. Из свойств умножения тензоров.
О<г<р
вытекает, что таким образом мы получаем кольцо. Оно содержит
подпространства T r (L), г = 0, 1 , . . . , и каждый его элемент пред­
ставляется как конечная сумма
Ф о - г Ф г г . - . + Ф * , Ч ,е Г '{Ц .
Элементы Ц>0вТ а( Ц = К отождествляются с полем К , так что*
построенное кольцо является алгеброй над К - Оно называется
т ензорной ал геброй век т орн ого п р о ст р а н ст в а L и обозна­
чается Т (L). Разложение Т (L) в сумму всех Т т(Z.) делает алгебру
T (L ) градуированной.
Выберем некоторый базис
|2>•••. £я в пространстве Т 1 (L) = L .
Известные свойства тензорного умножения показывают, что про­
изведения
где ( i i , — любые наборы по m индексов, каждый из кото­
рых может принимать значения 1 , . . . , п, обр азую т базис в
Tm(L ). П оэтом у все такие произведения (при всех т ) обр азу­
ю т бесконечный базис тензорной алгебры над полем К. Таким,
образом, лю бой элемент тензорной алгебры представляется как
линейная комбинация произведений элементов
...,
при­
чем разные произведения (отличающиеся такж е и порядком,
сомножителей) линейно независимы. Ввиду этого алгебру T (L )
называют также алгеброй некоммутативных многочленов от п.
переменных
..,,
В таком качестве она обозначается
K i l u . . . g„>.
Указанная выше характеристика алгебры Т (L) имеет важные,
приложения. Элементы { х а\ (в конечном или бесконечном числе)
называются образующ ими алгебры R над коммутативным коль­
цом А , если любой элемент представляется в виде линейной ком­
бинации с коэффициентами из А некоторых их произведений.
Пусть алгебра R имеет конечное число образующ их х и . . . , х п,
над полем К . Сопоставим любому элементу о.—
- -
алгебры /С ( ? i , . . . , |„ > элемент a.' — '^i a il...in Xi1. . . x im
алгеб­
79*
ры R. Легко убедиться, ято в
морфизм
результате мы получаем гомо­
К ( £ц. ••, In )
образом которого является все R. Таким образом, любая алгебра,
имеющая конечное число образующ их, является гомоморфным
обр азом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смы с­
ле алгебры некоммутативных многочленов играют в теории
некоммутативных алгебр такую ж е роль, как алгебры коммута­
тивных многочленов в коммутативной алгебре или свободные
модули в теории модулей.
М ы должны опять прервать наш обзор примеров некомму­
тативных колец, чтобы познакомиться с простейшим методом
их конструкции. Как и в случае коммутативных колец, естест­
венно обратить внимание на свойства, которыми обладаю т ядра
гомоморфизмов. Очевидно, что если <р : R-*-R' — гомоморфизм,
то его ядро вместе с элементами а и b содерж ит и их сумму и
вместе с элементом а содерж ит как ах, так и ха, где х — лю бой
элемент кольца R. Мы сталкиваемся с тем, что понятие иде­
ала коммутативного кольца в некоммутативном случае может
бы ть обобщ ен о тремя способами: а ), б ) и в) ниже. Р ассм от­
рим подмножество I a R , содерж ащ ее вместе с любыми двумя
элементами их сумму.
а) Если вместе с любым элементом а б / и любым x&R эл е­
мент ха тож е содержится в /, то / называется левым идеалом.
б ) Если (при тех же условиях) ах содерж ится в /, то I назы­
вается правым идеалом, в) Если выполнены одновременно
условия а) и б ), то / называется двусторонним идеалом. Таким
образом , ядро гомоморфизма является двусторонним идеалом.
Приведем примеры на эти понятия. В кольце линейных пре­
образований конечномерного векторного пространства L над те­
лом D подпространство V a L определяет левый идеал VI, состо­
ящий из всех преобразований <р, для которых ф ( У ) = 0 , и пра­
вый идеал 1г, состоящ ий из тех преобразований ф, для которых
ф ( / , ) с У . В кольце ограниченных линейных операторов в бана­
ховом пространстве все вполне непрерывные (или компактные)'
операторы образую т двусторонний идеал.
Совокупность элементов вида х а , x^ R , образует левый идеал,
а элементы ау, г/6/?, образуют правый. Для двусторонних идеа­
лов соответствующая конструкция немного сложнее. Мы приведем
ее сразу в более общем виде. Пусть {аа} — система элементов
кольца R. Все суммы вида x xaaiyi +
г x ra ary r, x t, y& R , о б ­
разуют двусторонний идеал. Он называется идеалом., п ор ож ­
денны м си ст ем ой {Оа).
Совершенно аналогично коммутативному случаю определя­
ются классы смежности по двусторонним идеалам и кольцо
этих классов. Для него сохраняется прежнее обозначение R fl
и термин факторкольцо. Например, если R — кольцо ограничен­
но
ных линейных операторов в банаховом пространстве и / — его
двусторонний идеал вполне непрерывных операторов, то многие
свойства оператора <р зависят только от его образа в R/I. Так,
выполнение альтернативы Фредгольма равносильно тому, что
образ ф в R/I имеет обратный.
Совершенно параллельно коммутативному случаю формули­
руется и доказывается теорема о гомоморфизмах.
Пусть {фа} — система элементов кольца некоммутативных
многочленов K<h> •••> 5п> и / — двусторонний идеал, ею порож ­
денный. В алгебре R ~ K < tu ■••,
обозначим через щ , . . .
. . . , ап образы элементов
...,
Очевидно, что они явля­
ются образующими алгебры R. Говорят, что алгебра R оп ре­
делена образующими а \ , . . . , ап и соотношениями фо = 0. С ог­
ласно теореме о гомоморфизмах любая алгебра с конечным
числом образующ их может быть определена некоторой системой
образующ их и соотношений. Н о в то время как система обр азу­
ющих по определению конечна, систему соотношений иногда
конечной выбрать нельзя.
Кольцо коммутативных многочленов К \Хх, . . . , х„] опреде­
ляется соотношениями XiXj = XjXi. Пусть R — кольцо дифферен­
циальных операторов с полиномиальными коэффициентами от п
переменных Х\, . . . , х п. Образующими в этой алгебре являются,
например, операторы qt умножения на х , :
Pi
dxf
Легко показать, что она определяется соотношениями:
PiPt=PiPi'
Qi4j=*qfln
Pi4j — QiPi при i Ф j , p tqi — QiPi = \-
(9)
Применим эту конструкцию к построению еще нескольких
важных примеров алгебр. Пусть в re-мерном векторном прост­
ранстве L задана билинейная симметричная форма, которую
мы обозначим через (х, у ) . Рассмотрим алгебру, образующ ие
которой взаимно однозначно соответствуют элементам некото­
рого базиса пространства L (и обозначаются теми ж е буква­
ми), а соотношения имеют вид:
х у - т у х — ( X, у ) ,
x,
y e L.
( 10)
Таким образом, наша алгебра является факторалгеброй тензор­
ной алгебры T (L ) по идеалу /, порожденному элементами
(x, у ) — х у — ух.
Мы рассмотрим два крайних случая.
6—9339
81
П р и м е р 8. Пусть билинейная форма (х , у) тождественно
равна 0. Тогда из соотношений (10) следует х 2= 0 (если харак­
теристика поля К отлична от 2; в характеристике 2 условие
лс2= 0
надо взять за определение). Произвольный элемент
построенной алгебры является линейной комбинацией произведе­
ний eil . . . e ir векторов базиса пространства L. Легко видеть, что
все такие произведения порождают пространство A r (L) (ср. опре­
деление модуля А Г(М ) в § 5). Вся же построенная алгебра
представляется в виде прямой суммы
А0 (L)@ A 1 ( £ ) ® . . . ФА" (L).
Она является градуированной и конечномерной: ее ранг равен 2я.
Эта алгебра называется внешней ал гебр ой п р ост р а н ст в а L
и обозначается A(Z.), а умножение в ней обозначается х/\у.
Легко видеть, что если х £ А '(L ), yBAs (L), то
х А У — у А х , если или г, или s четно;
х А У = — УА х , если и г, и 5 нечетно.
Это можно выразить и по-другому. Обозначим
A (L ) = R, А °(£)Ф А 2(£ )© А4 ( £ ) © . . . =/?<>, А 1 (£)® А 3 ( £ ) © . . . = /? > Тогда
r
= ro ® r \ r o . r o ^ r o , R o R C R\ R'ROczR1, W c / ? > .
(12)
Разложение со свойствами (12) называется гр а дуи р овк ой п о м о­
дул ю 2 алгебры R. Для R = A (L ) мы можем сформулировать
условие (8), сказав, что х А у = у А х , если или х , или yQR°, и
х А У = — у А х , если xQ R 1 и yQR1. Алгебры, обладающие гра­
дуировкой по модулю 2 с такими свойствами, называются су ­
пералгебрами. Внешняя алгебра A ( L ) дает их важнейший при­
мер. Интерес к теории супералгебр был стимулирован кванто­
вой теорией поля. С другой стороны, оказалось, что чисто мате­
матически
они
представляют
собой очень
естественное
обобщ ение коммутативных колец и могут служить основой для
построения геометрических объектов — аналогов проективных
пространств (суперпроективные пространства), дифференциру­
емых и аналитических многообразий (супермногообразия). Э та
теория применяется в физике к супергравитации, а занимаются
ею суперматематики.
П р и м е р 9. Определение внешней алгебры
использовала
базис пространства L (ему принадлежат векторы х в у в ф ор­
мулах ( 8) ) . Конечно, оно от выбора этого базиса не зависит.
М ож но дать совершенно инвариантное (хотя и менее экон ом ­
ное) определение, считая, что х и у в равенствах (8) — это все
векторы пространства L. Легко видеть, что мы придем к той же
алгебре. В таком виде определение применимо к лю бом у м одул ю
М над коммутативным кольцом А. Мы приходим к понятию
внешней алгебры модуля:
82
A M = ©ЛМ-Г.
Г
Если М имеет систему из п образующих, то А ГМ = 0 при г > rv,
В частности, внешняя алгебра модуля одномерных дифференциаль­
ных форм Q1 на д-мерном дифференцируемом многообразии назы­
вается алгеброй дифференциальных форм:
Q = Ф Qr.
С важными применениями операции внешнего умножения форм,
мы позже встретимся.
П р и м е р 10. Рассмотрим противоположный случай, когда
билинейная форма (х , у) в равенствах (10) невырождеиа и соот ­
ветствует квадратичной форме F (л;), т. е.
(х , x ) = F (х )
(мы.
предполагаем, что характеристика поля К отлична от 2)..
Мы можем рассуждать в этом случае так же, как и в предше­
ствующем, переставляя в произведении e Xl . . .
сомножители
при помощи соотношения (10). Разница только в том, что при
j < i из произведения e tej возникает два слагаемых: содержа­
щ ее— е}е г и содержащее (е;, ej), которое дает произведение с г —2:
множителями. В результате мы точно так же доказываем, что,
произведения e Xl . . . e if, ix < . . . < ir образуют базис нашей:
алгебры, так что ее ранг равен тоже 2". Она называется клиф ф ордовой ал гебр ой векторного пространства L с квадратичной,
формой F и обозначается С (I). Значение ее заключается в том,
что в ней квадратичная форма F становится «квадратом линейной»::
F ( x xei-F ••• Jr x nen) — {x \Si +
. . . + х пе п)2.
(13)
Таким образом, квадратичная форма F становится «полным квад­
ратом», но с коэффициентами в некоторой некоммутативной,
алгебре. Пусть
F { x b . . . , x n) = x l +
. . . +лг;■л2’
тогда согласно (13) х\-{- . . . -|-x^ = (X jex-{- . . . -\-хпеп)2. Вос­
пользовавшись изоморфизмом между кольцом дифференциальных.
операторов
с
постоянными
коэффициентами
и кольцом многочленов R [ х х, . . . , х „ ] , мы можем переписать эт о
соотношение:
Именно идея «извлечения квадратного корня» из дифференци­
ального оператора 2-го порядка двигала Дираком, когда он ввел:
понятие, аналогичное клиффордовой алгебре, при выводе так.
называемого «уравнения Д ирака» в релятивистской квантовой
механике.
6*
Произведения e ^ . - . e t
с ч е т н ым числом сомножителей г
порождают в клиффордовой алгебре подпространство С 0, с не­
четным— подпространство С 1. При этом dim С 0 = dim С 1 ==2П" 1.
Легко видеть, что С = С ° ® С 1 и что таким образом определяется
градуировка по модулю 2. В частности, С 0 образуют подалгебру
алгебры С. Она называется чет ной клиф ф ордовой ал геброй.
Сопоставим любому элементу базиса e t l . . . e ir алгебры С (L)
произведение e t . . . e tl в обратном порядке. Легко видеть, что
таким образом возникает антиавтоморфизм этой алгебры. Мы
•будем обозначать его а -> л * .
П р и м е р 11. Пусть F ( х х, x 2) = x 2
l + X%, К = R. Тогда С (L)
имеет ранг 4 и базис 1, е ь е 2, е хе 2, где е\— е\=*\, е 2е х= — е хе 2.
Л егко убедиться, что C ( i ) ^ M 2 (R). Для этого надо положить
с
l+ ^ i
р
—
р
С и ------- 2— ’ C l 2 ------------ 2------- ’
и убедиться, что элементы Е ц
Изоморфизм алгебры С (L) с
( о — ?)>
а
записывается
«2 — ( _ i
столбец
да
о) ^
-S - + ( _ j
то уравнение
дх
оператор
1— e i
Лапласа ^ гг + - ^
/У1
о\ а
, /
( ( q _ j J- j ^ - +
(14) как
Если оператор Ю, т .e.jp
р
перемножаются по правилу ( 2 ).
М 2 (R) сопоставляет е, матрицу
_ о)- ТогДа
согласно
— Й2 + е 1е 2
С 2 1 = ------- 2 --------’ С 22= — 2—
0 — 1\ д у
j
0 ) д~у ) :
действует
на
= 0 дает:
dv
да
dv
ду’
ду
дх ’
т . е. уравнения Коши — Римана.
Пусть
теперь
F { х х, . . . , х 2п) = х\ + . . . + х\п.
Разобьем
индексы 1 , . . . , 2 л на п пар: (1 ,2 ), (3, 4), . . ( 2л— 1, 2л), обо­
значим через а, р и т. д. произвольные наборы \iu . . . , i„), где ip
принадлежит р -й паре. Если а = (ix, . . . , in),
Р= ( Л, . . . , j„),
то положим
Е ci$
Е ttjt ' Е itj a. . .Ei^j^i
гд е E ij выражаются через e t и е} как в случае п = 1 выше.
Легко убедиться, что Е а$ опять перемножаются по правилам (2),
т. е. С (Z )^ M j» (R).
П р и м е р 12. Если F (Xj, х 2, х 3) — х\ + х\ + х\, К = Ч, то
четная алгебра C °(L) изоморфна алгебре кватернионов: е хе 2, е 2е 3
н е,е 3 перемножаются по правилам примера 5.
В коммутативном случае поля характеризуются как кольца
•без идеалов (кроме 0 ). В некоммутативном случае, как обы ч­
но, соотношения усложняются. Совершенно так же, как и в
Ы
коммутативном случае, доказывается,
что отсутствие левых
идеалов (кроме 0 ) равносильно тому, что лю бой элемент, от­
личный от 0 , имеет левый обратный (удовлетворяющий усло­
вию а - 1а== 1 ), а правые идеалы так ж е связаны с правыми об^
ратными. Таким образом , тела — это кольца, не имеющие ле­
вых (или не имеющие правых) идеалов, кроме 0 .
Ч то же дает отсутствие двусторонних идеалов? Кольцо, не
имеющее двусторонних идеалов, кроме 0 , называется простым,
Мы увидим дальше их исключительно важную роль в теории
колец, так что их можно наравне с телами рассматривать как
естественное продолжение понятия поля в некоммутативную'
область.
П р и м е р 13. Выясним строение левых идеалов кольца
линейных преобразований «-мерного пространства L над телом D .
Покажем, что ранее приведенная конструкция (идеалы v l и / ц )
все их описывает. Ограничимся левыми идеалами. Пусть / с / ? —
такой идеал и V a L — подпространство, состоящ ее из всех xQL,
для которых Ф (х) = 0 для всех Ф6 / . Если Ф15 . . . , Фй— базис Г
как векторного пространства над D , то П Кег Ф; = V . Легко'
видеть, что если для Ф6 /? ядро КегФ = 1/, то в виде фф, ipER,
может быть представлено любое преобразование ф', для которого
К е г Ф 'з И . Отсюда легко следует, что если Ф! и Ф26 / , то в /
содержится преобразование Ф с Кегф = КегФ 1 ПКегФ2. Применяя
это замечание к преобразованиям фг, . . . , фй, мы находим в Г
элемент ф, для которого КегФ = 1Л а отсюда получаем (по
предыдущему), что все преобразования Ф с ф ( 1 /) = 0 содержатся
в / , т. е. / = {Ф; Ф(И) = 0} = ^7. Правые идеалы рассматриваются
аналогично. Пусть, наконец, 7 — двусторонний идеал. Как левому
идеалу ему соответствует некоторое подпространство V , так что
/ = {Ф, Ф (И )= 0 }. Возьмем xQ V , х ф О . Д ля Ф6 / имеем ф (х ) = 0.
Так как / — правый идеал, то для любого фб/? имеем ффб/ и,
значит, ф (ф (х )) = 0. Но в качестве ф (х ) можно получить любой
вектор L, так что / = 0. Таким образом, к о л ьц о R , изом орф ное
AIn(D ), п р о ст о .
Другим примером простого кольца является кольцо R диф­
ференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами.
Для уяснения основной идеи, положим л = 1 . Интерпретируя р
(1
как оператор ^ -р легко проверить соотношение
p f { q ) — f(,4 )p = f'{q )Если 2 ) = Щ ( (ц)р* содерж ится в двустороннем идеале / и 2 ) ф
ф О , то, образуя несколько раз выражения р2) — 2)р , мы най­
дем в I элемент А, являющийся ненулевым многочленом от р с
постоянными коэффициентами: A = g ( p ) . Так как в соотнош е­
нии (9) р и q равноправны, то имеет место соотношение
g ( p ) q — q g { p ) = g ' ( p ) - Составляя несколько раз такие выраже?
ния, мы найдем в / отличную от 0 константу. Значит, /==/?.
85
(Для справедливости этих рассуждений надо предположить,
"что характеристика поля коэффициентов равна 0 .)
П р и м е р 14. Близкими к простым являются клиффордовы
алгебры С (L) и С 0 (L) для произвольного пространства L, снабжен­
ного квадратичной формой F (мы предполагаем, что характеристи­
ка основного поля 7 ^=2 ). Нетрудно проверяются следующие
результаты. Алгебра С (L) проста, если /г = 0 (2 ) (tt = dimZ,),
и тогда Z (С (L)) = К . Алгебра С 0 (L) проста, если я = 1(2),
и тогда Z (С 0 (L))= К . Оставшиеся случаи связаны с о свойствами
элемента z = e l . . .е п^С (L), где е ъ . . . , еп— ортогональный базис
в L. Легко убедиться, что z содержится в центре алгебры C (L)
при f t = l ( 2 ) и алгебры C °(Z), если п = 0 (2 ), и в обоих случаях
центр этих алгебр имеет вид K + K z . При этом z 2= a £ K ,
a = ( — l)" l2D , или а = 2 ( — 1)('!—1)/2D в зависимости от того,
четно п или нет. D обозначает дискриминант формы F в базисе
■elt
Если а не есть квадрат в К , то K ^ - K z = K (У ^ ) и
соответствующ ая алгебра проста с центром К (У а ). Если же а
есть квадрат, то алгебра K -\ -K z изоморфна К ® К и соответтвующ ая клиффордова алгебра изоморфна прямой сумме двух
;ростых алгебр одинакового ранга с центром К .
§ 9. М О Д УЛ И
НАД
НЕКОММ УТАТИВНЫ М И
КО Л ЬЦ АМ И
М одул ь над произвольным кольцом R определяется так же,
как и в случае коммутативных колец: это такое множ ество М,
что для двух его элементов х, у£М определена сумма х + у ^ М и
дл я элемента хбМ и элемента кольца abR определено произве­
дение ax&R, причем выполнены условия (для всех х, у, z, а, b) :
х + У = У+ х ;
(-Ж-Т- y ) - r Z = x + (y + z)\
существует такой элемент ОбМ, что
0+ х = х + 0 =х;
существует такой
элемент — х, что
х + (^ х ) = 0;
1 -х = х;
(.a b ) x = a ( b x );
(а + Ь ) х = а х + Ьх-,
'
а ( х - { - у ) = а х -\-ау.
Точно так же, понятия изоморфизма, гомоморфизма, ядра,
образа, фактормодуля, прямой суммы — не зависели от предлоложения коммутативности. Кольцо R является модулем над
самим собой, если положить произведение а
(как элемента
>86
кольца) на х (как элемент модуля) равным ах. Подмодулями
этого модуля являются левые идеалы кольца R. Если / — ле­
вый идеал, то классы вычетов по / образую т модуль R/I над
кольцом R. Умножение элемента х (как элемента модуля) на
а (как элемента кольца R) справа не определяет модуля над
кольцом R. Действительно, если временно обозначить это произ­
ведение как { а х } = х а (слева — как в модуле, справа — в коль­
ц е), то { ( a b ) x ) = { 6 { а х }} — в противоречии с аксиомой (1). Мы
мож ем, однако, сказать, что таким образом R становится м о­
дулем над инверсно-изоморфным кольцом R '. В этом модуле
над R ’ подмодули соответствую т правым идеалам кольца R.
Наиболее существенные примеры модулей над некоммута­
тивными кольцами — это, во-первых, кольцо и его идеалы как
модули над кольцом. Мы вскоре увидим, насколько рассм отре­
ние этих модулей полезно для изучения самих колец. В о-вто­
рых, многочисленные модули над групповыми кольцами — их
изучение является предметом теории представлений групп, о ко­
торой будет подробнее сказано позже.
Если кольцо R является алгеброй над полем К, то всякий
модуль М над R автоматически является векторным простран­
ством (мож ет быть, бесконечномерным) над этим полем. Акси­
ом ы модуля показывают, что для лю бого a£R отображение
Фв(х) = а х (х£М ) является линейным
преобразованием
этого
пространства. Более того, сопоставление элементу а линейного
преобразования <р„ является гомоморфизмом алгебры R в ал­
гебру EndKM всех линейных преобразований М как векторного
пространства над К. Очевидно, что и обратно, гомоморфизм
Z?->-EndKL, а <-*■ ф»,
в алгебру линейных преобразований векторного пространства L
определяет L как модуль над R\
ах = Ча (х), a^R, х£L.
(2)
В такой ситуации иногда применяется терминология, несколько
отличающ аяся от принятой в общ ем случае. Ввиду особой важ ­
ности этого специального случая мы повторим, в новой терми­
нологии, основные определения, данные выше в общем случае.
Переформулировка
определения
модуля.
Представлением, алгебры R над полем К в векторном прост­
ранстве L над этим полем называется гомоморфизмом R в ал­
гебру EndKL линейных преобразований этого пространства.
Иными словами, представление R — это сопоставление каж ­
д ом у элементу a&R линейного преобразования ф 0, причем это
сопоставление должно удовлетворять условиям:
Ф != Я (единичное преобразование);
(3)
Фаа = сбФа, « € К , aeR ;
(4)
Ф«+4 = Фв + % , а , b£R;
(5)
87
(6)
Фаб = ФаФб, a, beR.
Переформулировка
определения подмодуля.
Подпредставлением называется подпространство V czL , инвари­
антное относительно всех преобразований ф„, aGR, вместе с ин­
дуцированным в нем этими линейными преобразованиями пред­
ставлением М.
Переформулировка определения
фактормодуля.
Факторпредставлением по подпредставлению V a L на­
зывается пространство L/V с представлением, индуцированным
в нем преобразованиями ф„.
Если R — алгебра конечного ранга над полем К с базисом
1 = е 1, . . . , е „ и таблицей умножения e ie j = H c ijkek, то условия
(3) — (6 ) в определении представления сводятся к заданию преоб­
разований Фг,, . . . , Феп, удовлетворяющих соотношениям
(7)
9 i= £ ,
(8)
ФггФг; = 2 ^ Ф , А.
Если R = К [С?] — групповая алгебра
то условия (7), (8 ) принимают вид;
фi = £ ,
Фгш = Ф.?1Фг2-
конечной
группы
G,
(9)
( 10)
Условия (9) — (10) гарантируют обратимость всех п реобразо­
ваний.
Если группа G бесконечна и групповая алгебра определена
как совокупность линейных комбинаций элементов группы (ср.
пример 4 § 8 ), то представление задается теми ж е условиями
(10). Если же групповая алгебра определяется как алгебра
функций на группе с операцией свертки, то элементы группы
G в ней содерж атся лишь как б-функции, поэтому операторы ф*
могут не существовать. С другой стороны, если заданы опера?
торы ф8, удовлетворяющие соотношениям (9) и (10) , то опера­
тор ф/, соответствующ ий: функции f, можно определить как ин­
теграл операторной функции f ( g ) ф„ по всей группе. П оэтом у
для представлений групп условия (9) и (10) даю т больше, чем
условия ( 3) — ( 6 ) для групповой алгебры, и за определение
представления группы берутся соотношения (9) и (10).
Если модуль М, в котором реализуется представление ал­
гебры R, конечномерен над полем К, то представление назы­
вается конечномерным. В этом случае линейные преобразования
ф0 задаю тся (при выборе базиса в М ) матрицами. П ереф орм у­
лируем основные понятия теории представлений еще раз, на
этом языке.
Конечномерное представление алгебры R — это гом ом ор­
физм R-*~Mn(K ), т. е. сопоставление каж дому элементу aGR
матрицы С06Л1п( / ( ) , удовлетворяющ ее условиям:
88
Cab—СаСь.
В случае представления группы G эти условия заменяются на
Се= Е ,
Переформулировка понятия изоморфизма м о д у ­
ле й. Два п р едст а вл ен и я а - + С а и а - + С ’а эквивалент ны, если
существует такая невырожденная матрица Р , что С'а= Р С аР~1
для всех авР Переформулировка понятия подмодуля.
Пред­
ставление
а -+ С а
имеет п о д п р е д с т а в л е ние a - + D a, если
существует така? невырожденная матрица Р , что матрицы
С 'а = Р С аР - х имеют вид:
с ;= (о "£ )•
(»>
Переформулировка
понятия
фактормодуля.
Матрица Fa образую т факторпредставление по данному подпредставлению.
Переформулировка
понятия
прямой
суммы
м о д у л е й . Если в (11) 5 „ = 0 , то представление С„ называет­
ся прямой суммой представлений D a и Fa.
Рассматривая, в частности, алгебру Р как модуль над ней
самой, мы получаем важное представление этой алгебры. Оно
называется регулярным, п р ед ст а вл ен и ем . Если алгебра имеет
конечный базис е ъ . . . , еп со структурными константами c ijk, то
элементу аге г+ . . .
в регулярном представлении соответ­
ствует матрица (pjk), где Pjk = ^ c ikjщ.
i
Мы возвращаемся к модулям над произвольным кольцом R
(необязательно алгеброй) и рассмотрим важ ное условие, име­
ющее характер «конечномерности». Оно связано с определени­
ем размерности векторного пространства как наибольшей дли­
ны цепочки его подпространств.
Длиной модуля М над кольцом R называется верхняя грань
длин г цепочек его подмодулей:
M = M 0Z)M lZ) . . . з / И г = 0 , Мл ф М и1.
Разумеется, длина модуля может быть как конечной, так и
бесконечной. Рассмотрим модуль конечной длины г и в нем
самую длинную цепочку
. . . Z )M r = 0. Если модуль
M tjM t+i имел бы подмодуль N , отличный от всего модуля
и нулевого подмодуля, то, его прообраз М ' при кано­
ническом
M t ->M i/AIi+l был бы подмодулем,
М г+1. Вставив его в нашу цепочку, мы
получили бы более длинную. П оэтому такого подмодуля в
Mi/Mi+i быть не может. Мы приходим к очень важ ному поня­
тию.
М одул ь М называется простым, если он не имеет подм оду­
лей, отличных от него и 0 .
Представление алгебры (группы), которому соответствует
простой модуль, называется неприводимым.
П ростота — очень сильное условие.
П р и м е р 1. В случае векторных пространств над полем
простыми являются лишь одномерные.
П р и м е р 2. Пусть L — конечномерное векторное простран­
ство с заданным в нем линейным преобразованием ф, рассм ат­
риваемое как модуль над кольцом С [(] (пример 3 § 5 ). Так как
Ф всегда имеет собственный вектор и, значит, одномерное инва­
риантном подпространство, то опять модуль L прост, только ес­
ли L одномерно.
П р и м е р 3. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим
собой. П ростота этого модуля означает, что в R иет левых иде­
алов, т. е. R является телом.
Пусть М и N — два простых модуля и ф : M-+-N — гом ом ор­
физм. По условию, Кегф = 0 или М, и 1 т ф = 0 или N. Если
Кегф=-М , или 1шф = 0, то ф — нулевой гомоморфизм. В оста ю ­
щемся случае Кегф = 0 , 1 т ф = Л/', гомоморфизм <р является изо­
морфизмом. Таким образом, имеет место
I. Л е м м а Ш у р а . Гомоморфизм одного простого модуля в
другой является нулевым или изоморфизмом. ►
Вернемся к понятию длины. М ы видели, что если М — модуль
длины г, то в цепочке A I = M 0n M iZ ) . . . з / И г = 0 с M t =AMi+1
все модули
должны быть простыми.
Последовательность
подмодулей
/И = М 0 э M i э M 2Z) . . . ,
в которой модули M i/М щ просты, называется ком позиционным
ря дом .
Имеет место
II. Т е о р е м а Ж о р д а н а — Г ё л ь д е р а .
В се композици­
онные ряды одного и того же модуля имеют одинаковую длину
(в частности, они все одновременно конечны или бесконечны ).
Модули M {/M iJr1 в них изоморфны, хотя, мож ет быть, в другом
порядке. ^
Таким образом, в модуле конечной длины самые длинные
цепочки— это в точности композиционные ряды.
Распространим понятие длины и на кольца.
Длиной кольца R называется его длина как модуля над
самим собой.
Таким образом, кольцо имеет длину г, если в нем есть
цепочка левых идеалов R zdI x^d . . . э / г = 0 , R = £ I х, /ft= £ /* +i>
и нет более длинных цепочек.
90
гомоморфизме
Мы уже видели, что т е л а — это кольца длины 1. Левые
идеалы кольца матриц M n (D ) над телом D соответствую т ли­
лейным подпространствам /г-мерного пространства L над ин­
версно-изоморфным телом D ' (пример 13 § 8 ). П оэтому длина
кольца M „(D ) равна п.
Конечно, если кольцо R является алгеброй над полем К, то
длина R не превосходит ее ранга над К.
М одуль конечной длины конечно порож ден (или, что то же
самое, является модулем конечного типа), аналогично такому
ж е свойству нётеровых модулей в случае коммутативных колец.
Если кольцо R имеет конечную длину, то длина л ю бого ко­
нечно порожденного модуля над ним тож е конечна. Это следу­
ет из того, что если элементы Хи . . . , х п порож даю т модуль М,
то М является гомоморфным образом модуля R n (при гом ом ор­
ф и з м е (д ь . . . , an)-*-a iX i+ . . . + а„х„) и имеет конечную длину
как фактор модуля конечной длины.
В заключение, рассмотрим подробнее понятие, встречавше­
еся нам часто в теории модулей над коммутативным кольцом.
Гомоморфизм модуля М (над кольцом R) в себя называет­
ся эндоморфизмом.
Очевидно, что все эндоморфизмы модуля образую т кольцо.
Оно обозначается Епбл (Л4).
Важное отличие от коммутативного случая заключается в
том, что нет возможности определить умножение эндоморфиз­
ма <p6 EndH(M ) на элемент a£R: отображ ение х-»-аф (х), вообщ е
говоря, не является эндоморфизмом над R, т. е. умножение эн­
доморф изм ов на элементы из R в кольце EndH(M ) не опреде­
лено.
П р и м е р 4. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим
собой. Каково кольцо эндоморфизмов EndH(i?) этого модуля?
П о определению, эндоморфизмы — это отображения ф кольца
R в себя, удовлетворяющие условиям:
Ф (JC
г/) = Ф (->с) -4- Ф (г/),
ф(ад:) = аф(л-), где а, х , y£R.
(12)
Полагая ф ( 1 ) = / , мы получаем из (12) при х = \ , что ф (а ) =
= af для лю бого a&R. Таким образом, любой эндоморфизм за­
дается элементом f£R и имеет вид умножения на этот элемент
•справа. Отсюда следует, что кольцо EndH(7?) инверсно-изо­
морфно кольцу R.
П р и м е р 5. Пусть модуль М изоморфен прямой сумме п
изоморфных друг другу модулей Р : М ~ Р п. Тогда М состоит
из последовательностей ( x i , . . . , х п), х&Р. Ситуация точно та
же, что и при описании линейных преобразований векторного
пространства, и ответ вполне аналогичен. Пусть
<PeEnd* (М),
х£Р ,
ф((0, . . . х, . . . 0)) = (фа (х), . . . , фг„(*))
91
(слева х стоит на г-ом месте). Здесь г|у;-— гомоморфизмы Р в Р ,
т е. фг/-бЕпбЛ (Р ). Сопоставив Ф матрицу (-ф/;) с элементами
из кольца Ends (Я), мы получим изоморфизм
Ends (Р п)—М п (Ends (Р))*
В частном случае, когда Р — это тело D (как модуль над
собой ), мы приходим (учитывая результат примера 4) к уже
найденному выражению для кольца линейных преобразований
над телом (теорема I § 8 ).
П р и м е р 6 . Кольцо Епбн(Л4) эндоморфизмов простого м о­
дуля М является телом.
Это — непосредственное
следствие
утверждения 1 .
§ 10.
ПОЛУПРОСТЫ Е
М ОДУЛИ
и
кольца
Теория модулей над некоммутативными кольцами и исследо­
вание структуры самих колец м огут быть продвинуты далеко
за рамки общ их определений и почти очевидных свойств, изло­
женных в предшествующем параграфе, если ограничиться о б ъ ­
ектами, обладающими сильным, но в то ж е время часто встре­
чающимся свойством полупростоты.
М одуль М называется полупростым, если лю бой его подмо­
дуль выделяется прямым слагаемым.
Это условие означает, что для л ю бого подмодуля N czM с у ­
ществует такой второй подмодуль N 'czM , что M = N ® N '.
Очевидно, что подмодуль, гомоморфный
образ и прямая
сумма полупростых модулей полупростоты. П ростой модуль
полупрост. Л ю бой модуль конечной длины содержит простой
подмодуль. П оэтому полупростой модуль конечной длины яв­
ляется прямой суммой простых. Из теоремы Ж ордана— Гёльдера следует (или еще проще мож ет быть выведено из теоремы I
§ 9 ), что разложение полупростого модуля в сумму простых
единственно (т. е. простые слагаемые определяются однозначно
с точностью до изоморфизма). Число этих слагаемых и является
длиной модуля.
Если Р с М — простой, a N c z M — любой подмодуль, то или
P < z N , или Р Г\N — 0- Отсюда следует:
I.
Если модуль порождается конечным числом простых п од '
модулей, то он полупрост и имеет конечную длину. ►
Действительно, если простые подмодули Р 15 . . . , Р п порож ­
дают М и N а М, но N =fcM , то сущ ествует P ^ N . Т огда
P i f ) N — 0 и подмодуль, порожденный Р . и N , изоморфен их
прямой сумме P i® N ... Применяя то же рассуждение к нему, мы
в несколько шагов дойдем до разложения M = N ® N ' .
П р и м е р 1. Пусть М — это конечномерное векторное про­
странство L с линейным преобразованием <р, рассм атриваем ое
как модуль над Щ ] (пример 3 § 5 ). Если модуль' М прост, т о
92
пространство L одномерно (пример 1 § 9 ). П оэтом у М полупрост тогда и только тогда, когда L представляется как прямая
сумма одномерных инвариантных подпространств, т. е. когда ф
приводится к диагональному виду. И в общ ем случае смысл
полупростоты близок к «отсутствию ж ордановы х клеток».
П р и м е р 2. Пусть М соответствует конечномерному пред­
ставлению Ф алгебры R над полем С. Предположим, что в М
(как векторном пространстве над С) определено эрмитово скаляр­
ное произведение (х , у) и представление Ф обладает свойством:
для любого a(zR сущ ествует такое a'ER, что Фд = ФД' (ф* обоз­
начает сопряженное преобразование). Тогда модуль М полупрост.
Действительно, если N a M — подпространство, инвариантное
относительно преобразований Фа, adR, то его ортогональное
дополнение N ' будет инвариантно относительно преобразований
ф*а, т. е., ввиду условия, всех преобразований Фа. Поэтому
М = N ® N '.
П р и м е р 3. Пусть М соответствует конечномерному пред­
ставлению ф группы G над полем С, и опять в нем определено
эрмитово скалярное произведение, относительно которого все
операторы фг, g&G, унитарны, т. е.
(Фг (х ), фй (у)) = (х , у).
( )
Тогда модуль М полупрост.
Доказательство то же, что и в примере 2.
Понятие полупростоты распространяется и на бесконечномер­
ные представления групп с тем изменением, что М как вектор­
ное пространство над С считается снабженным топологией или
нормой, а подмодуль N предполагается замкнутым. В частно­
сти, если в ситуации примера 3, М является гильбертовым про­
странством относительно эрмитова
произведения
(х , у ) , то
рассуждение сохраняет силу.
П р и м е р 4. Конечномерное представление
над полем С
конечной группы G определяет полупростой модуль.
Ситуация мож ет быть сведена к предшествующему примеру.
Введем в модуле М (рассматриваемом как векторное простран­
ство над полем С) произвольное эрмитово скалярное произве­
дение {х, у), а потом положим
(X,
(2)
I
g£G
где сумма распространена на все элементы g группы G и |G|
обозначает число элементов G. Легко видеть, что произведение
(х, у ) удовлетворяет условиям примера 3.
То же рассуждение можно приспособить к представлениям
над произвольным полем.
П р и м е р 5. Если порядок п конечной группы не делится на
характеристику поля К, то лю бое конечномерное представление
этой группы над полем К определяет полупростой модуль.
93
Пусть М — пространство, в котором действует представление
Ф„, и N d M — подмодуль. Выберем произвольное подпростран­
ство N ' так, что M = N @ N ' (как векторное пространство). О б о­
значим через я ' проектирование на N параллельно N ', т. е.
если х = у + у ' , хбМ , y£N, у 'Ш ', то п ' ( х ) = у . Рассмотрим линей­
ное преобразование
* = 4 - 2 ф* 1л' ф*г£в
<3>
Л егко проверить, что iiM a N , к х = х при jcGN и <ргя = гарг для
gbG. Отсюда следует, что я является проектированием на К
параллельно подпространству iVi = Kent и N x инвариантно отно­
сительно для всех <pg, g$G , т. е. определяет подмодуль N xczM r
для которого M = N ® N i.
Перенесем понятие полупростоты
с модулей на кольца.
К ольцо R называется полупростым, если оно полупросто как
модуль над собой. Из примеров 4 и 5 следует, что групповая
алгебра конечной группы G над полем К полупроста, если по­
рядок группы не делится на характеристику поля.
II. П ростое кольцо R (см. § 8 ) конечной длины полупросто. ►
Действительно, рассмотрим подмодуль / в R, порожденный
всеми простыми подмодулями. Из конечности длины R следует,
что I порож дается конечным числом подмодулей: Р и . . . , Р п.
Очевидно, I — левый идеал кольца R. Н о I является и правым
идеалом, так как для a£R P ta является левым идеалом и п рос­
тым подмодулем, т. е. Р , д с : / и, значит, /д е д /. Так как кольцо R
просто, то / = Р , т. е. R порож дается простыми подмодулями Р ,
и полупросто ввиду предложения I.
Теория модулей над полупростыми кольцами имеет очень,
явный характер.
III. Если R — полупростое кольцо конечной длины и
R ^ P x® . . . ® P n
— разложение его (как модуля над собой) в прямую сумму
простых подмодулей, то Р,- (1 С г < д ) — единственные простые
модули над R. Любой модуль конечной длины полупрост и яв­
ляется прямой суммой некоторых из модулей Р г. ►
Действительно, если AI — любой модуль, а х х, . . . , x k — неко­
торые его элементы, то определен гомоморфизм
/ ((ац . . . , д*.)) =
-j-. . .
Из конечности длины М следует, что при некотором выборе
элементов jci, . . . , х* образ Im / = М . Таким образом, М — гомо­
морфный образ полупростого модуля и, значит, полупрост. Если
М прост, то, записав R k как P i ® . . . ® P « , мы увидим, что
/ (Р у) = 0 , если Р j ие изоморфно М , а значит, при некотором г,
P t изоморфно М .
94
4 В частности, мы видим, что над полупростым кольцом
конечной длины имеется только конечное число простых модулей
(с точностью д о изоморфизма). ►
Приступаем к описанию структуры полупростых колец ко­
нечной длины. Такое кольцо как модуль над собой разлагается
в прямую сумму простых подмодулей:
R = P l® . . . ® P k.
(4>
В этом разложении сгруппируем вместе слагаемые, изоморфные
друг другу как модули над R:
R = ( Л © •••© Р * ,) © ( /\ + 1 © . . . © /> * ,+ * .)© ...
. . .® ( P kt+...+kp__i+1® . . .© P * 1+...+fe/?) = / ? i ® / ? 2® - •■©R p,
R 1= P b t+...+ki_l+ 1 © . ■.
©
Р
*
,
(5>
(6 ).
причем в (6 ) все простые модули Р } (k^
-г k i - 1 <С j
•••
. . . - { - k i ) изоморфны друг другу, а модули Р р входящие в раз­
ные слагаемые R a и R$, не изоморфны.
Любой простой подмодуль P c z R изоморфен одному из Р ат
откуда нетрудно вывести, что он содержится в том же R h что
и Р а. В частности, модуль Р аа при a(*R изоморфен Р а и, зна­
чит, P a fld R i, если Р а cz R i. Иными словами, R s не только левые
идеалы (каковыми они являются как подмодули), но и правые,.,
т. е. они являются двусторонними идеалами. Отсюда следует, что.
R iR jC R i и R iR jd R j
и,
значит, R iR j= 0 при 1 ф ) . Легко,
видеть, что компоненты единицы 1 в разложении (5) являются
единицами колец R t, так что мы имеем разложение в прямую,
сумму колец
Здесь Ri определены совершенно однозначно: каж дое из них:
порождено всеми простыми подмодулями модуля R, изоморф­
ными друг другу.
Рассмотрим теперь одно из колец R f. Для него разложение.
( 6 ) удобно переписать как
R l = P i , 1® P l ,2 ® . . . ® P i . 9l,
где простые подмодули
все изоморфны друг другу, т. е..
R i— N i ‘ , где TV* — какой-то модуль, изоморфный всем P itj, j =
= 1,
. . <JiНайдем кольцо эндоморфизмов этого модуля над R. Так как:
RsRi = ® ПРИ s ¥=i> то End# (/?;) = End#. (R t), и, значит, изо­
морфно кольцу Ri, инверсно-изоморфному R (пример 4 § 9).
С другой стороны,
ввиду примера 3 § 9,
End# (Ri) —
—M 4i (End#(iVi))> a End#(7Vj) является телом D £ (пример 6 § ?}._
Поэтому R'l = Mqi ( D i) и
9 5*
(D't)-
(7)
Мы видели (пример 13 § 8 ), что кольцо M q(D ) просто, и, зна­
чит, кольца R { в (7) просты. Соединяя разложение (5) с изо­
морфизмом (7 ), мы получаем следующ ую основную теорему.
IV. Т е о р е м а В е д д е р б ё р н а . П олупростое кольцо конеч­
ной длины изоморфно прямой сумме конечного числа простых.
П ростое кольцо конечной длины изоморфно кольцу матриц над
некоторым телом. ►
М ы видели, что, наоборот, кольцо M q(D ) (где D— тело) —
просто (пример 13 § 8 ) и легко видеть, что прямая сумма
полупростых колец полупроста. П оэтому теорема Веддербёрна
полностью описывает объем класса полупростых колец:, это
прямые суммы колец матриц над телами. Как частный случай
получаем:
V . Коммутативное кольцо конечной длины полупросто тогда
и Только тогда, когда оно есть прямая сумма полей. &■
Для произвольного полупростого кольца /? коммутативным
является его центр Z (/?). Легко видеть, что Z {R i® R 2) ~ Z (/?0ф
® Z ( /? 2) и Z ( M n ( D ) ) ~ Z { D ) .
.4 Поэтому центр полупростого кольца изоморфен прямой
сумме полей и число прямых слагаемых центра равно числу пря­
мых слагаемых кольца при его разложении (5) в прямую сумму
простых. ^
В частности,
VI.
Полупростое кольцо конечной длины просто тогда и толь­
ко тогда, когда его центр — поле. ^
Проиллюстрируем теперь общ ую теорию на основном примере
кольца М п (D ). В примере 13 § 8 мы видели как выглядят левые
идеалы кольца R = M n(D ), где D — тело. Любой левый идеал
этого кольца имеет вид у1 ={аб7?> a V = 0}, где а рассматривает­
ся как линейное (над D ') преобразование «-мерного векторного
пространства L над телом D ', а V — некоторое его линейное под­
пространство. Простые подмодули соответствуют минимальным
идеалам. Очевидно, если V a V , то y l z D y l . Поэтому мы полу­
чим минимальный идеал y l , если за V возьмем п — 1-мерное
подпространство в L. Выберем в L некоторый базис е 1, . . . , е п и
обозначим через V t пространство векторов, у которых г-ая коор­
дината в этом базисе равна 0. Идеал у I состои т из матриц,
у которых
только i -й столбец отличен от 0. Разложение
R — N -i® .. ■® N n соответствует разложению матрицы
(70
(
При умножении матрицы слева на произвольную матрицу i-й
столбец преобразуется точно так же, как вектор из L. Таким
96
образом, все идеалы N,i изоморфны как модули над R, и изо­
морфны L. Это и есть единственный простой модуль над R.
В случае произвольной полупростой алгебры R конечной
длины положение лишь немного сложнее. Если R разлагается
в прямую сумму р колец матриц
/? = М П1 ( А ) © •••®Мпр {D p),
то оно имеет р простых модулей N u . . . , N p причем N t есть
йгмерное векторное пространство над телом D\ и R действует
на N t так: M n j{D j) при j ф i аннулирует N i, а матрицы из
М П{ (D t) действуют так, как положено матрице действовать на
вектор.
Оставш аяся часть этого параграфа посвящена примерам и
применениям изложенной теории.
Вернемся к произвольному простому кольцу конечной дли­
ны, которое согласно теореме Веддербёрна изоморфно кольцу
матриц M n(D ) над некоторым телом D. Мы привели описание
левых идеалов этого кольца: они находятся во взаимно одно­
значном соответствии с подпространствами «-м ерного простран­
ства над телом D ' , причем это соответствие отраж ает и вклю ­
чение (с обращением порядка: Vic=V 2 тогда и только тогда,
когда £ 1^>уг1)- В какой мере все кольцо (т. е. тело D и число
« ) отраж аю тся в этом частично упорядоченном множестве?
М нож ество линейных подпространств «-м ерн ого пространства
над телом D совпадает с множеством линейных подмногообра­
зий « — 1-мерного проективного пространства Pn - 1 (D ) над этим
телом. Таким образом, наш вопрос — это, по-сущ еству, вопрос
об аксиоматике проективной геометрии. Напомним его решение.
(Приводимые ниже аксиомы зависимы; мы выбрали их ради
большей интуитивной убедительности.)
Пусть
— частично упорядоченное множество, т. е. в нем
для некоторых пар элементов
(х , у )
определено отношение
xt£Zy, удовлетворяющ ее условиям: а) если х ^ . у и y ^ z , то
^ z , и б) х ^ . у и у ^ х , если и только если х = у .
Предположим, что выполнены следующие аксиомы:
1 . Для любого множества элементов
существует такой
элемент у, что у > х а при всех а и, если 2 > х а при всех а, то
z > y . Элемент у называется сум м ой эл ем ен т ов х а и обозна­
чается и х а. В частности, сущ ествует сумма всех х 6 ?Р («все про­
ективное пространство»). Он обозначается I или / ( $ ) .
2. Для любого множества элементов х а 6 ф существует такой
элемент у', что у' < х а при всех а и, если z ' < х а при всех а,
то z ' < y ' . Элемент у ' называется п ер есеч ен и ем элем ент ов х а
и обозначается П х а. В частности, сущ ествует пересечение всех
элементов хбф («п у с т о е м нож ест во»). Он обозначается О или
О (ф)7— 9339
97
Дальше через х/у, где х и убф, у < х , мы будем обозначать
частично упорядоченное множество таких элементов .гбф, что
y < z - * c x . Очевидно, что условия 1 и 2 выполнены в х / у для
любых х я у.
3. Для любых х и убф и а £ х / у сущ ествует такой элемент
Ь^х/у, что а и 6 = /( л :/у ) и a f\ b = 0 ( x / y ) . Если b 'Q x /у— дру­
гой элемент с теми же свойствами и 6 < 6 Л, то b — b'.
4. Конечность длины: длины всех цепочек a j ^ a 2^ . . . ^ a r
ai^=a2, а2Ф а 3, . . . , ar_ i ^ a r ограничены.
Элемент a € # называется точкой, если из Ь ^ а , Ь ф а следует
6 = 0.
5. Д ля двух различных точек а и 6 сущ ествует такая точка
с ф а , сФ Ь , что c ^ a l jb .
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющ ее усл о­
виям 1— 5, называется проективным пространством. Д оказы ­
вается, что максимальная длина цепочки, начинающейся в О и
кончающейся в абф, определяет функцию размерности d ( a ) ,
которая удовлетворяет соотношению
d (а П 6 ) - f d (а и Ь)= d (а.) + d (6 ).
Число d( I ) называется размерностью пространства ф. Приме­
ром п-мерной геометрии является множество Pn(D ) всех ли­
нейных подпространств л + 1 -мерного векторного пространства
над телом D.
Имеет место
V II. О с н о в н а я т е о р е м а
проективной геом ет­
рии.
а) при п ^ 2 проективное пространство РП(Д ) (как ча­
стично упорядоченное множ ество) определяет число п и тело D
и б) если размерность п проективного пространства ф не мень­
ше трех, то оно изоморфно (как частично упорядоченное множ е­
ство) пространству Р"(Ь) над некоторым телом £>.►
Д оказательство основано на искусном введении координат
(т. е. «коордииатизации») проективного пространства, идею ко­
торого можно усмотреть уже в «исчислении отрезков» на пло­
скости (ср. рис. 5 и 6 в § 2 ). Как и в том исчислении, множ е­
ство элементов, которые служ ат в качестве координат, строит­
ся довольно просто. В нем определяются операции сложения и
умножения, но трудной задачей является проверка аксиом тела.
Ключевым здесь является утверждение, известное под названи­
ем «теоремы Д езарга»:
V III. Т е о р е м а
Дезарга.
Если прямые, соединяющие
соответственные вершины двух треугольников A B C и А 'В 'С
пересекаются в одной точке О, то точки пересечения соответ­
ственных сторон лежат на одной прямой (рис. 1 1 ). ►
98
о
Рис. 11
Однако это утверждение может быть выведено из аксиом;
проективного пространства, только если размерность простран­
ства ^ 3 . В размерности 2 (т. е. на плоскости) оно из аксиом,
не следует, и не всякая проективная плоскость изоморфна.
Р2 (Я ). Ч тобы это было так, необходимо и достаточно выполне­
ние указанного предложения, которое надо добавить в качестведополнительной аксиомы — аксиомы Д езарга.
Приведенные результаты характеризуют роль совершенно»
произвольных тел в проективной геометрии: они дают возм ож ­
ность явно перечислить все неизоморфные реализации системы;
аксиом л-мерной проективной геометрии (при л = 2 — с аксио­
мой Д езарга). Естественно, что алгебраические
свойства,
тел проявляются как геометрические свойства соответствующей)
геометрии. Например, коммутативность тела D эквивалентна
справедливости в пространстве РП(Я ) ( л ^ 2 )
следующего»
условия:
IX.
« Т е о р е м а » П а п п а. Если вершины шестиугольника
Р\Р2Р \ Р § Р § лежат по три на двух прямых, то точки пере­
сечения противоположных сторон (P iP 2 и Я 4Я 5, Я 2Я 3 и Я 5Я 6,.
Я 3Я 4 и Я 6Я 0 лежат на одной прямой- (рис. 12). ►
Рис. 12
7*
33>
То что тело D имеет характеристику 2, равносильно акси­
ом е :
X.
А к с и о м а Ф а н о. Точки пересечения противоположных
сторон А В и DC, A D и ВС, А С и BD плоского четырехугольника
A B C D лежат на одной прямой.
На рис. 13 это свойство не выполняется, так как характери­
стика поля вещественных чисел отлична от 2 .
Рассматривавшиеся в § 1 конечные реализации систем неко­
торы х геометрических аксиом (см. рис. 1 и 2 ) относятся к то:му ж е кругу идей. Они представляют собой аффинные конечные
л лоскости над полями F2 и F 3, т. е. получаются из проективных
Плоскостей P 2 (F2) и P2 (F3) выбрасыванием одной прямой и т о ­
чек на ней (которые с точки зрения геометрии оставш ихся точек
и прямых будут бесконечно удаленными).
Имеются различные бесконечномерные обобщ ения простых
жолец конечной длины и вышеизложенной их теории. Одно из
них исходит из условия полупростоты (пример 2) и критерия V I
л ростоты полупростого кольца. Это приводит к определению.
Подкольцо iR кольца ограниченных операторов комплексного
тильбертова пространства называется фактором, если вместе с
оператором ф в 1? Содержится и сопряженный оператор <р*,
центр R совпадает со скалярными операторами и R замкнуто в
естественной топологии (так называемой, сл абой ).
Аналогично тому, как простое кольцо конечной Длины опре­
д ел я ет проективное пространство, удовлетворяющ ее аксиомам
1 — 5, лю бой фактор определяет частично упорядоченное множе­
ство, удовлетворяющ ее похожим аксиомам. На этом множе­
стве тож е определена функция размерности, но теперь может
представиться несколько случаев.
1п: Размерность принимает значения 0, 1, 2 , . . . , п, тогда
■фактор изоморфен кольцу М „ (С ).
/ о=: Размерность принимает значения 0, 1 , 2 , . . . , оо, в этом
случае фактор изоморфен кольцу всех ограниченных операторов
.в бесконечномерном гильбертовом пространстве.
П ь Размерность принимает значения из интервала [0, 1].
lie»: Размерность принимает значения из интервала |[0, оо].
III: Размерность принимает лишь значения 0 и оо.
Соответствующ ие П ь П о и III частично упорядоченные мно­
ж ества, являющиеся очень нетривиальными бесконечномерными
J00
аналогами проективных плоскостей (подчеркнем, что в них раз­
мерности «подпространств» могут быть любыми вещественными 1
числами!), называются непрерывными геометриями.
Д алее мы ограничимся рассмотрением
алгебр конечного 1
ранга над полем К.
П р и м е р 6 . М ы видели (пример 11 § 8 ), что клиффордова
алгебра С (I), где L — вещественное 2я-мерное пространство 1
с метрикой х ? + . . . + х\п, изоморфна алгебре матриц М 2 2П ( R ) .
Поэтому эта алгебра имеет единственное (с точностью до эквива*
лентности) неприводимое представление, степень которого равна
22л. Значит, возможна запись
■ *? + • • • + х 2п ~
1"Г •■• + x 2 tF 2л)2>
где Г ,
Г2п — матрицы порядка 22п, и такие матрицы опре­
делены однозначно с точностью до замены Гг-^СГ^С-1. Никакие
матрицы Г 4 степени меньшей чем 22" такой записи не дают.
Теперь предположим, что поле К алгебраически замкнуто1
.
Тогда теория полупростых алгебр над К и их представлений
приобретает особенно конкретный характер. В основе лежит
следующий простой результат:
XI.
Тело конечного ранга над алгебраически замкнутым по­
лем К совпадает с /(. ►
Действительно, если ранг тела D равен п и а б Д то элемен­
ты 1, а, а2, . . . , ап должны быть линейно зависимы над К. По*
этом у сущ ествует не равный тождественно 0 многочлен Еб/С[(|
степени
для которого F( a ) = 0. Ввиду алгебраической замк­
нутости поля К, F (t) = y l l ( t — о»), так что П (а — а<) = 0 . Так как
D — тело, то при некотором i, а — а< = 0, т. е. а б Д Таким обр а­
зом:
X I'. Над алгебраически Замкнутым полем К любая простая
алгебра конечного ранга изоморфна М п(К ), а полу простая—
прямой сумме таких алгебр. ►
Раньше мы явно указали разложение регулярного) представ^
ления алгебры М п( К ) на неприводимые (формулы (7). О ттуда
следует что ее регулярное представление есть сумма п эквива­
лентных представлений размерности п (соответствующ их п-мерному пространству К п как модулю надкольцом матриц М п (К )).
Если же R —Мщ ( К ) ® . . . ® М п (К ), то /? имеет р неприводимых
представлений N t размерностей
(соответствующ их неприводи­
мым представлениям матричных алгебр М П{ {К)) и регулярное
представление R имеет вид:
R a iN ?® N ?© ...® N a
pp,
n^dim N t.
Для разложения центра мы тож е имеем лишь одну возмож­
ность:
Z
101
В результате теория представлений полупростых алгебр ко­
нечного ранга над алгебраически замкнутым полем сводится к
-следующим положениям:
XII. Всякое представление есть прямая сумма неприводи­
мых. ►
X III. Все неприводимые представления содерж атся среди
неприводимых слагаемых, на которые разлагается регулярное
представление. Число неэквивалентных среди этих слагаемых
равно рангу центра алгебры. ►
XIV . Всякое неприводимое представление содержится в регу­
лярном столько раз, какова его размерность. ►
XV. Т е о р е м а Б е р н с а й д а . Сумма квадратов размерно­
стей неприводимых представлений равна рангу алгебры:
п = п\ф
►
Для конкретного задания представления ф \ R -* M n(JK) исполь­
з у ю т следы матриц ф (а), a(*R. Функция Sp (ф (а)) определена
на R и линейна, и поэтому задается своими значениями на базис­
ных элементах алгебры R. Так как Sp (С .AC-1) = Sp (Л ), то следы
эквивалентных представлений одинаковы. Функция Sp (ф (а)) обо­
значается 5 ф (а).
Если представление Ф есть прямая сумма двух: Ф= Ф!©Ф2,
то, очевидно, 5 ф(а) = 5 ф1 (а) + 5 фг(а). Следы неприводимых пред­
ставлений называются ха р а к т ер а м и алгебры R . Пусть Xi (а),
Хг(а )> •••. Х/Дя) — характеры, соответствующ ие всем р неприводи­
мым представлениям Фь . . . , фр. Любое представление Ф разлагает­
ся в прямую сумму неприводимых, и если среди них X/ встречает­
ся m t раз, то
S<t)(a)=ttii%i(a)-\-
. -{-т р%р (а).
(8 )
М ы знаем, что в разложении алгебры R в прямую сумму простых^
R = R i ® . . . ® R P неприводимое представление Фг отображает в О
все слагаемые Rj, j ФЬ. Поэтому функции ул линейно независимы
па R. Отсюда и ввиду формулы (8 ) следует
XVI. Представления полупростой алгебры однозначно задаются
своими функциями следа 5 Ф(а). ►
Приведенные результаты имеют очень больш ое число прило­
жений, главным образом в частном случае, когда i? = /C[G] яв­
ляется групповой алгеброй. С ними мы встретимся позже, а
сейчас укажем одно совершенно
элементарное применение к
алгебре матриц.
X V II. Т е о р е м а
Бернсайда.
Неприводимая подалгеб­
ра R алгебры матриц EndK(L) над алгебраически замкнутым
полем К совпадает со всей EndK(L ). ►
Условие теоремы означает, что если при помощи вложения
/?-*-E n d * (I) определить представление алгебры R в «-мерном
пространстве L, то это представление будет неприводимым. Для
л ю бого x&L отображ ение а-*~ах определяет гомоморфизм R как
102
модуля над собой в простой модуль L. Выберем в качестве х
л элементов е й , еп базиса пространства L. М ы получим п
гомоморфизмов fi : R-+-L, или один гомоморфизм / = f i + ••-H-fn,
f : R - + L n. Если для некоторого а€£, / ( а ) = 0 , то f { ( a ) = 0, т. е.
а е ,= 0 и а х = 0 при всех x£L. Н о Z?crEnd L, и поэтому а = 0 . Сле­
довательно, R czL n как модуль над R. Так как L — простой м о­
дуль, то отсюда следует, что модуль R полупрост, а значит, и
алгебра R полупроста, и как модуль R ~ L h при некотором k.
Но, согласно свойству XV, fe= n = dim L. П оэтому ранг R есть
л 2 и, значит, /? = E n d * (L ).
Для иллюстрации приведем одно эффектное применение
этого результата:
X V III.
Т е о р е м а Б е р н с а й д а . Если G — группа, состоя ­
щая из матриц порядка п над алгебраически замкнутым полем
К характеристики 0, и сущ ествует такое целое число N > 0, что
g rr= 1 для всех g$G , то G конечна. ►
При доказательстве мы будем пользоваться некоторыми са­
мыми элементарными понятиями теории груцп. Очевидно, что
поле К можно считать алгебраически замкнутым, расширив его
в случае необходимости. Обозначим через R совокупность всех
комбинаций вида
“ lgi-T •■•
“ iGA',
gi 6 G.
Очевидно, что R — алгебра над К и R c M n(K ). Рассмотрим
сначала случай, когда алгебра R неприводима. Согласно пред­
шествующей теореме Бернсайда тогда R = M n (К ). По условию,
собственные значения любого элемента gGC? являются корнями
степени N из 1. Так как след Sp(g) матрицы порядка п есть
сумма п собственных значений, то Sp(g), g£G, может принимать
не более N n значений. Легко проверить, что билинейная форма
Sp(A2?) на пространстве /VI„ (К ) невырождена. Ввиду того, что
R = M„ ( K ) , сущ ествует п2 элементов g l5 . . . , gn>^G, образующих
базис М п (К ). Обозначим через е ь . . . , <?„• дуальный базис отноЛ*
сительно билинейной формы S p (A В). Если g — ^
a ie i ~ выраже1
ние произвольного элемента ggC? через этот базис, то а £=
— Sp (ggi). Таким образом, коэффициенты a l могут принимать
лишь конечное число значений, а значит, и группа G конечна.
Если алгебра R приводима, то матрицы, соответствующ ие
элементам группы G, одновременно приводятся к виду
Применяя индукцию, можно считать уж е доказанным, что A (g)
и В (g) образуют конечные группы G ' и G ". Рассмотрим гомо­
морфизм f : G - + G ' X G !', / ( g ) = ( A ( g ^ 3 ( g ) ) . Его ядро состоит
из элементов ggG , которым соответствуют матрицы
И»
Л егко видеть, что такая матрица при C (g ) =^0 не мож ет иметь
конечного порядка, если характеристика поля К равна 0 : при
ее возведении в степень т матрица C ( g )
умнож ается на т .
П оэтом у ядро f состоит только из единичного элемента, т. е.
группа G содержится в конечной группе G ' x G " и, значит, са­
ма конечна.
§ II. ТЕЛА
КОНЕЧНОГО
РАНГА
Теоремы Веддербёрна полностью сводят изучение полупростых алгебр конечного ранга над полем К к изучению тел ко­
нечного ранга над тем ж е полем. Последним вопросом
мы
дальше и займемся. Если D — тело конечного ранга над полем
К и L — центр D , то L — конечное расширение К и мы можем
рассматривать D как алгебру над L. П оэтом у задача расщ еп­
ляется на две: изучение конечных расширений (это вопрос ком ­
мутативной алгебры) и изучение тел конечного ранга над по^
лем, являющимся их центром. Если алгебра конечного ранга
над полем К имеет К своим центром, то она называется цент­
ральной над К.
Вопрос о существовании центральных тел конечного ранга
над заданным полем К и об их строении очень сущ ественно
зависит от индивидуальных свойств поля К. Один, очень про­
стой результат в этом направлении, мы уже встречали: над
алгебраически замкнутым полем К не существует тел конечного
ранга, отличных от К ■ В частности, это верно для поля комш
лексных чисел.
Д ля случая поля вещественных чисел положение не намного
сложнее.
I.
Т е о р е м а Ф р о б е н и у с а . Единственными телами конеч­
ного ранга над полем вещественных чисел R являются: само R,
поле комплексных чисел С и алгебра кватернионов Н. ►
Вот еще два случая, когда положение просто:
И. Т е о р е м е В е д д е р б ё р н а .
Над конечным полем К
не
сущ ествует
центральных
тел конечного ранга, кроме
самого К . ►
Иными словами, конечное тело коммутативно. Это, конечно,
интересно для проективной геометрии, так как показывает, что
для конечной проективной геометрии размерности > 2 «теорема>
Паппа следует из других аксиом (а в размерности 2 — из акси­
омы Д езарга).
III.
Т е о р е м а Т з е н а . Если поле К алгебраически замкну­
то и С — неприводимая алгебраическая кривая над ним, то над
полем К (С ) не сущ ествует центральных тел конечного ранга,
кроме самого К (С ).►
Все три случая, в которых мы утверждали, что над некоторым полем К не сущ ествует центральных тел конечного ранга,
отличных от К, объединены общим свойством:
П оле К. называется квазиалгебраически замкнутым, если, ка­
ков бы ни был однородный многочлен F ( t u . . . , f„) GK [-*ь . . .
у , степень которого меньше числа переменных п, урав­
нение
F ( x u . . . , х п) = 0
имеет ненулевое решение в К.
М ож но показать, что над любым квазиалгебраически зам­
кнутым полем К лю бое центральное тело конечного ранга совпа­
дает с К- С другой стороны, лю бое из рассматривавшихся выше
полей квазиалгебраически замкнуто: алгебраически замкнутые
поля, конечные поля и поля К ( С ) , где К алгебраически замкнуто,
а С — неприводимая алгебраическая кривая. И сходя из последне­
го свойства, и доказывается теорема Тзена, а для теоремы
Веддербёрна такой путь — одно из возможных доказательств.
Теорема о том, что конечное поле квазиалгебраически замкну­
то, называется т е о р е м о й Ш е в а л л е . В случае поля Fp —
это интересное свойство сравнений. Квазиалгебраическая замкнутость есть непосредственное ослабление алгебраической
замкнутости. Это становится очевидным, исходя из следующей
характеристики алгебраической замкнутости:
•4 Поле К тогда и только тогда алгебраически замкнуто,
когда для любого
однородного
многочлена
F (tu . . . , tn)£
6 /С[< 1» •••’ *пЬ степень которого не превосходит числа перемен­
ных, уравнение
F & , ...,* „ ) = 0
(1 )
имеет ненулевое решение в поле К . ►
Очевидно, что для алгебраически замкнутого поля К урав­
нение ( 1 ) имеет ненулевое решение. Пусть поле К не алгебраи­
чески замкнуто. Тогда над ним сущ ествует неприводимый мно­
гочлен P ( t .) степени п > 1 . Кольцо L = K[ t ] /{ P)
является по­
лем— расширением степени п поля К и, значит, алгеброй ранга
п над Кг Рассматривая регулярное представление этой алгебры,
мы сопоставляем каж дом у элементу xGL матрицу А х£Мп ( К) .
Определитель матрицы А х называется нормой элемента х и
обозначается N { x ) . И з свойств представления (и определите­
лей) следует, что АТ(1) = 1, N (ху) = N ( x ) N ( у ) . Отсюда, если
х ф 0, то N ( x ) N ( x ~ l) = 1 и, значит, П ( х ) Ф 0 . Рассмотрев л ю ф й
бэзя с е и . . . , еп в L/К (например, образы элементов 1 , t, . . . , tn~l
кольца К М ) , мы запишем лю бой элемент X&L в виде x xe i + . . .
. . . + x nen, Xi&K. Легко видеть, что N ( x ) является многочленом
степени п от Хи
, х п> и, положив
105
Л егко видеть, что такая матрица при С ( § ) Ф 0 не мож ет иметь
конечного порядка, если характеристика поля К равна 0 : при
ее возведении в степень т матрица C ( g )
умнож ается на т .
П оэтом у ядро / состоит только из единичного элемента, т. е.
группа G содержится в конечной группе G ' x G " и, значит, са­
ма конечна.
§ 11. ТЕЛ А
КОНЕЧНОГО
РАНГА
Теоремы Веддербёрна полностью сводят изучение полупростых алгебр конечного ранга иад полем К к изучению тел ко­
нечного ранга над тем ж е полем. Последним вопросом
мы
дальше и займемся. Если D — тело конечного ранга иад полем
К и L — центр D , то L — конечное расширение К и мы можем
рассматривать D как алгебру над L. П оэтом у задача расщ еп­
ляется на две: изучение конечных расширений (это вопрос ком ­
мутативной алгебры) и изучение тел конечного ранга над по­
лем, являющимся их центром. Если алгебра конечного ранга
над полем К имеет К своим центром, то она называется цент­
ральной над К.
Вопрос о существовании центральных тел конечного ранга
над заданным полем К и о б их строении очень сущ ественно
зависит от индивидуальных свойств поля К. Один, очень про­
стой результат в этом направлении, мы уж е встречали: над
алгебраически замкнутым полем К не сущ ествует тел конечного
ранга, отличных от К. В частности, это верно для поля комп­
лексных чисел.
Д ля случая поля вещественных чисел положение не намного
сложнее.
I. Т е о р е м а Ф р о б е н и у с а . Единственными телами конеч­
ного ранга над полем вещественных чисел R являются: само R,
поле комплексных чисел С и алгебра кватернионов Н. ►
Вот еще два случая, когда положение просто:
II. Т е о р е м а В е д д е р б ё р н а .
Над конечным полем К
не
существует
центральных
тел конечного ранга, кроме
самого К . ►
Иными словами, конечное тело коммутативно. Это, конечно,
интересно для проективной геометрии, так как показывает, что
для конечной проективной геометрии размерности > 2 «теор ем а »
Паппа следует из других аксиом (а в размерности 2 — из акси­
омы Д езарга).
III. Т е о р е м а Т з е н а . Если поле К алгебраически зам кну­
то и С — неприводимая алгебраическая кривая над ним, то над
полем К (С) не сущ ествует центральных тел конечного ранга,
кроме самого К ( С ) . ^
Все три случая, в которых мы утверждали, что над некото­
рым полем К не сущ ествует центральных тел конечного ранга,
отличных от К, объединены общ им свойством:
П оле К называется квазиалгебраически замкнутым, если, ка­
ков бы ни был однородный многочлен F ( t u . . . , tn) &K[ t b . . .
...,
, степень которого меньше числа переменных п, урав­
нение
F { x u . . . , х п) = 0
имеет ненулевое решение в К.
М ож но показать, что над любым квазиалгебраически зам­
кнутым полем К лю бое центральное тело конечного ранга совпа­
дает с К. С другой стороны, лю бое из рассматривавшихся выше
полей квазиалгебраически замкнуто: алгебраически замкнутые
поля, конечные поля и поля К ( С) , где К алгебраически замкнуто,
а С — неприводимая алгебраическая кривая. И сходя из последне­
го свойства, и доказывается теорема Тзена, а для теоремы
Веддербёрна такой путь — одно из возмож ных доказательств.
Теорема о том, что конечное поле квазиалгебраически замкну­
то, называется т е о р е м о й Ш е в а л л е . В случае поля F p —
это интересное свойство сравнений. Квазиалгебраическая замкнутость есть непосредственное ослабление алгебраической
замкнутости. Это становится очевидным, исходя из следующей
характеристики алгебраической замкнутости:
•4 Поле К тогда и только тогда алгебраически замкнуто,
когда для любого
однородного
многочлена
F (tu . . . , t n)6
6 AT f t , .
степень которого не превосходит числа перемен­
ных, уравнение
F { t ......... Q = 0
(1 )
имеет ненулевое решение в поле К . ►
Очевидно, что для алгебраически замкнутого поля К урав­
нение (1) имеет ненулевое решение. П усть поле К не алгебраи­
чески замкнуто. Тогда над ним сущ ествует неприводимый мно­
гочлен P ( t .) степени п > 1. Кольцо L — K [ t ] l { P )
является по­
лем— расширением степени п поля К и, значит, алгеброй ранга
п над К Рассматривая регулярное представление этой алгебры,
мы сопоставляем каж дом у элементу x 6 L матрицу ЛжеМ „(/С ).
Определитель матрицы А х называется нормой элемента х и
обозначается N ( x ) . И з свойств представления (и определите­
лей) следует, что JV(1) = 1, N (ху) = N ( x ) N ( у ) . Отсюда, если
х ф О , то N ( x ) N ( x ~ 1) = 1 и, значит, Ы ( х ) ф 0 . Рассмотрев л ю ф й
б а щ с ей . , . , е „ в L/К (например, образы элементов 1 , t, . . . , i n_1
кольца К И ) , мы запишем лю бой элемент x&L в виде х хе\ + . . .
... + х „ е „ , x fiK . Л егко видеть, что N ( x ) является многочленом
степени п от Х \ , , х п, и, положив
Юб
F ( x ь . . . , x n) = N (.xi e{ + . . . + x nen),
мы получаем пример неразрешимого уравнения ( 1 )'.
Перейдем к полям, над которыми центральные тела конеч­
ного ранга сущ ествуют. Д о сих пор нам известно одно такое
поле — поле вещественных чисел R, причем над ним сущ еству­
ет центральное тело ранга 1 (сам о R) и ранга 4 (Н ). Эти числа
не совсем случайны, как показывает следующий результат:
Л Ранг центральной простой алгебры является полным квад­
ратом. ►
Доказательство основывается на важной операции расширения
поля. Если А — алгебра конечного ранга над полем К и L — про­
извольное расширение поля К , то рассмотрим модуль R ® L (см.
§ 5). Определим умножение его образующих а®|, a£R , &L:
(а.® £) ( 6 ®т]) = аЬЩц.
Легко проверить,
что оно превращает R ® L в кольцо,
К
причем L
содержится в нем (как 1 ®/,), т. е. это кольцо является алгеброй
над L. Если е ь . . . , еп— базис R над К , то <?!®1, . . . , е п®\ обра­
зую т базис R ® L над L. Поэтому ранг R ® L над L равен рангу R
К
к
над К . Переход от R к R®L и называется расширением основного поля.
Говоря
попросту,
R ® L — это алгебра
1C
над L, имею-
щая ту же таблицу умножения, что и R.
Нетрудно доказывается утверждение:
IV. Свойство алгебры быть центральной и простой сохра­
няется при расширении поля. ►
Теперь остается взять за L алгебраическое замыкание поля К :
согласно общей теории R ® L ^ M n (L), поэтому ранг R над К
{равный рангу R ® L над L) есть п?-.
Таким образом, алгебра кватернионов реализует минималь­
ную возмож ность для ранга нетривиального центрального тела.
Следующий по сложности случай, интересный в основном для
теории чисел, это поле р-адических чисел Q p, введенное в § 7.
V. Т е о р е м а Х а с с е . Над полем Q p для л ю бого п сущ ест­
вует <р(/г) центральных тел ранга п2 (ср — функция Э йлера).
При доказательстве теоремы указывается способ, позволяющий
каж дом у такому телу D сопоставить некоторый первообразный
корень степени п из 1, который его определяет. Э тот корень из
1 называется инвариантом тела D и обозначается p p( D ) . ►
Рассмотрим простейший пример. Пусть для л ю бого поля К
характеристики Ф 2 , а и b — два его элемента, а ф 0, Ъ ф 0. П о­
строим алгебру ранга 4 над К с базисом 1, i, /, к и таблицей
умножения:
i2—a, j*=*b, j i = ~ - i }
106
, .......
(остальные произведения из этих правил уж е вычисляются на
основании ассоциативности). Полученная алгебра называется
обобщ енной кватёрнионной и обозначается (а, Ь). Например,
Н = ( — 1, — 1). Л егко доказать, что алгебра (а, Ъ) проста и
центральна, и лю бая центральная простая алгебра ранга 4 в'
таком виде записывается. Таким образом, по общ ей теории ал­
гебра (а, Ь) или является телом, или изоморфна Щ { К ) . Выяс­
ним, как различить эти два случая. Для этого, по аналогии с
кватернионами, назовем сопряженным элементу x = a . + $ i+
+ y j + b k элемент х —а — —y j— 8k. Легко видеть, что
ху=ух,
х х = а 2 — ар 2 — Ьф— ab& 6K.
(2)
Положим N (х ) — х х . Из (2) следует, что N (x y ) = N (х ) N {у).
П оэтому если хоть для одного х ф О j y ( x ) = 0 , то (а, Ь) не тело:
jcjc= 0 , хотя х ф Ъ и х ф 0. Если же N ( х ) ф 0 для всех х ф 0,
то x ~ * = N (х )" 1х и (а, Ь) является телом. Таким образом, (а, Ь)
тогда и только тогда является телом, когда уравнение а 2 — ар2 —
— b f - r аЬ8? = 0 имеет только нулевое решение (а, р, у, б) из К .
Э т о уравнение можно ещ е упростить, записав в виде
а2 —
= b (у2 — аб 2) = 0
Таким образом, условие того, что (а, Ь) есть тело, принимает
.вид: уравнение |2— ат)2= Ь не имеет решений в К ■ Однородная
запись того же уравнения:
|2— ат)2— б£2 = 0 .
(3)
О но не должно иметь в К ненулевого решения, в противном
случае (a, 6 ) = A f 2 (/C). Л егко показать, что если (3) имеет нену.левое решение, то имеет и такое, в котором 1 =5^ 0 . Тогда оно
сводится к уравнению
а х 2+ Ь у2 = 1.
(4)
П у с т ь теперь К есть поле рациональных чисел Q. Уравне­
ние (3 )— как раз такое, к каким относится теорема Лежандра,
сформулированная в конце § 5. Она утверждает, что уравнение (3)
разрешимо в поле Q тогда и только тогда, когда оно разрешимо
В поле R и всех полях Qp. — В таком виде эта теорема дает нам
сведения об обобщенной кватернионной алгебре (а, Ъ), a, £gQВ виду сказанного выше, она означает, что алгебра С = (а,Ь)
изоморфна M 2 (Q) тогда и только тогда, когда C ® R ^ A f 2 (R)
107
и C ® Q P—M 2(Q.P) для всех р. Но ту же линию рассуждений
можно продолжить и дальше, для описания всех алгебр обобщ ен­
ных кватернионов над Q. Именно, можно показать, что две такие
алгебры С = { а,Ь) и С ' = (а', Ь') изоморфны тогда и только
тогда, когда C ® R ^ C '® R и C ® Q P—C '® Q P для всех р. Иначе
говоря, рассмотрим инварианты цр тел ранга 4 над Qp (которые,
по определению, равны — 1 ) и положим для центральной п р осто*
алгебры С над Q:
(С) =
(C ® Q p),
если
C ® Q P— тело;
рр (С) = 1 , если C ® Q P—Л42 (Ор);
и, сверх того, положим
P r ( C ) = — 1, если C ® R есть тело (т. е. Н);
pR(C) = I, если C ® R ^ /V / 2 (R ).
Тогда сформулированный выше результат переформулируется так;VI. Тело С ранга 4 над Q определяется своим н а б ор ом
инвариант ов p r (C ) и рр (С ) для всех р . ►
Каким же может быть этот набор инвариантов? М ы видели,
что все P r(C ) и р.р (С) не могут быть равны 1 (в силу теоремы
Лежандра тогда С не будет телом). Кроме того, легко доказать,
что у.р {С ) = — 1 только для конечного числа простых р. Оказы­
вается, что кроме этих условий сущ ествует только еще одно:
VII. Произвольный набор чисел (j-r и рр = ± 1 для лю бого
простого числа р тогда и только тогда является набором инва­
риантов центрального тела ранга 4 над Q, когда а) не все (j.r
и иР равны 1 , б) только конечное число их равно
— 1 и
в) (xR П (хр = 1 .
(5>
р
Поразительно то, что соотношение (5) оказывается лишь пере­
формулировкой га у ссо вск о го закона взаим ност и, который,
таким образом, превращается в один из центральных результатов
теории тел над Q. ►
Приведенные результаты непосредственно
обобщ аю тся на.
произвольные центральные тела конечного ранга над Q. Пусть
С — центральное тело конечного ранга л 2 над Q. Алгебра C ® R =
= C r изоморфна или A f„(R ) — тогда положим p r ( C ) = 1 , или
Мп/2 (Н )— тогда, по определению, (xR ( С ) = — 1. Аналогично, для
лю бого простого числа р алгебра С ® Q p имеет вид M k ( Ср), где:
С р — центральное тело над Qp, М ы положим иР (С,) = цр (С р)
(qp. теорему Хассе), Имеют место следующие результаты:
VIII. Т е о р е м а Х а с с е — Б р а у э р а — Н ё т е р . C ^ A f „ ( Q ) ’
тогда и только тогда, когда C r ^ A J „(R ) и C ® Q p^ A f„ (Q „ ) ддт
всех р, т. е. [1 r ( C ) = p p (C) = I для всех р.
108
Т е о р е м а Х а с с е . Два центральных тела С и С ' над Q
т огд а и только тогда изоморфны, когда C ® R ^ C '® R и C ® Q P—
— C '® Q P для всех р , т. е. pR (C) = fxR (С ') и Рр ( С ) = р р (С ')
для всех р . Набср чисел pR и рр (Для всех р ) тогда и только
тогда реализуется в виде pR= p R(C ), р.р = р ,р (С ), где С — цент­
ральное тело над Q, когда а) рр =^1 лишь для конечного числа р и
б ) р к П и .р= 1 . ►
р
(6 )
Совершенно аналогичные результаты имеют место для ко­
нечных расширений К поля Q (полей алгебраических чисел).
Они составляют часть теории полей классов. Аналог соотно­
шения ( 6 ) для л ю бого поля алгебраических чисел является
далеко идущим обобщением гауссова закона взаимности.
Набросанная здесь картина строения тел над полем рацио­
нальных чисел может служить примером того, как тесно связа­
но строение тел над полем К с тонкими свойствами этого поля.
Приведем еще один пример: строение центральных тел ко­
нечного ранга над полем R (C ), где С — вещественная алгеб­
раическая кривая. В этом случае л ю бое центральное тело яв­
ляется обобщенной кватернионной алгеброй и даж е имеет вид
(— 1, a ), aG R (C ), а ф 0. Алгебра (— 1, а) тогда и только тогда
изоморфна Af2 ( R ( C ) ) , когда а ( х ) > 0 для лю бой точки хвС
(включая бесконечно удаленные на проективной плоскости).
Функция а( х ) на кривой С меняет знак в конечном числе точек
этой кривой: Хи . . . , x N (на рис. 14 изображен случай кривой
у2+ (х2— 1 ) (х2— 4) = 0
и функции а = у ) .
Этими точками перемен знака х ь . . . , x N тело (— 1, а) и опре­
деляется. Более сложен, но и более интересен пример поля
С (С ) где С — алгебраическая поверхность. Строение тел в этом
случае отраж ает очень тонкие геометрические свойства поверх­
ности. Мы вернемся к этим вопросам в § 12 и § 22.
109
§ 12. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
Начнем с понятия группы преобразований: понятие группы
возникло впервые в этой форме и в этой ж е форме чаще всего
встречается в математике или математической физике.
Преобразованием множества X называется
взаимно
од ­
нозначное отображ ение / : Х-*-Х этого множества на себя;
т. е. такое отображ ение, для которого сущ ествует обратное
отображ ение
. Х -+Х , f~1f = f f~l = e. Здесь fg
обозначает
произведение отображений (т. е. их последовательное выпол­
нение) :
( / g ) (•*) = / ( 8 (■*)).
(1 )
а е — тождественное преобразование:
е (л) = х ,
х£Х .
Совокупность G преобразований множ ества X называется
группой преобразований, если G содерж ит тождественное преоб­
разование е, вместе с любым преобразованием g$G — его о б ­
ратное g ~ l, и вместе с любыми двумя преобразованиями g i,
g 2e G — их произведение g ig 2.
Обычно выполнение этих условий очевидно, так как группа
G определяется как совокупность преобразований, сохраняю ­
щих некоторое свойство. Например, преобразования, сохраня­
ющие умножение на число и сложение векторов линейного
пространства (т. е. такие, что g { u x ) = < z g (x ), g { x + y ) = g ( x ) +
+ g ( y ) ) ' - они образую т группу невырожденных линейных пре­
образований этого пространства. Преобразования, сохраняю ­
щие расстояние р(х, у) между точками евклидова пространства
(т. е. такие, что p (g (x ), g { y ) ) = р(х, у ) ) , образую т группу дв и ­
жений. Если все они сохраняют одну точку, то мы имеем дело
с группой ортогональных преобразований.
Группа тех или иных преобразований, сохраняющих неко­
торый объект, мож ет часто интерпретироваться как совокуп­
ность его симметрий. Например, то, что равнобедренный треу­
гольник симметричнее неравнобедренного, а равносторонний
симметричнее равнобедренного, но неравностороннего, мож но
«измерить» тем, что число перемещений плоскости, переводя­
щих треугольник в себя, разное для этих трех типов треуголь­
ников. Оно состоит а) из одного тождественного преобразова­
ния для неравнобедренного треугольника, б ) из тождественного
преобразования и отражения относительно оси симметрии для
равнобедренного треугольника и в) из шести преобразований
для равностороннего треугольника — тождественного,
п оворо­
тов на углы 120° и 240° вокруг центра О и отражений относи­
тельно трех осей симметрий (рис. 15 а, б, в ).
110
а)
5)
8)
Рис. 15
Приведем несколько типичных примеров разного типа сим­
метрий.
Группа симметрий плоского узора состоит из всех перемеще­
ний плоскости, переводящих его в себя. Например, группа сим­
метрий узора, изображенного на рис. 16, состоит из следую ­
щих перемещений: параллельного переноса на отрезок ОА, па­
раллельного переноса иа отрезок ОВ вместе с зеркальным
отражением относительно оси ОВ, и всех их комбинаций.
О
А
Рис. 16
П од симметрией молекулы понимается движение простран­
ства, совмещ ающ ее каждый атом молекулы с атомом того ж е
типа и сохраняющее все валентные связи между атомами. Н а­
пример, молекула фосфора состоит из четырех атомов, распо­
ложенных в вершинах правильного тетраэдра, и ее группа сим­
метрий совпадает с группой симметрий тетраэдра, о которой
подробнее будет сказано в следующем параграфе.
Большой степенью симметрии обладаю т кристаллы, и по­
этому группа симметрий кристалла является его важной ха­
рактеристикой. Здесь под симметрией подразумевается так ое
перемещение пространства, которое сохраняет расположение
атомов кристалла и все связи между ними, перемещая каж дый
атом в атом того ж е элемента. Опишем, например, группу сим­
метрий кристалла поваренной соли NaCl, изображенного
на
рис. 17. Он состоит из примыкающих друг к другу кубов, в
вершинах которых попеременно расположены атомы N a ( ® ) и.
С 1 (0 ):
111.
Рис. 17
С овокупность симметрий задается (если выбрать начала систе­
мы координат в одном из атомов, а Осй вдоль сторон кубов,
.Длины которых считаются равными 1 ) перестановками осей ко­
ординат, зеркальными отражениями относительно плоскостей
координат и некоторыми сдвигами на векторы с целочисленны­
ми координатами. Она записывается формулами:
•Xj =—
-|—k ,
* 2 = ^ X i,-r U
х г = Ъхи Агт,
•&, г], £ = + 1 , k , I, mO.Z, (i l5 i2, z3) — перестановка чисел 1, 2, 3,
причем k -{-l-{-m — четно.
Симметриями могут обладать и алгебраические или аналити­
ческие выражения. Симметрией многочлена F ( х {, . . . , х п) назы­
вается перестановка неизвестных jc 15 . . . , х п, сохраняющая F .
О тсюда происходит, например, термин си м м ет ри ч еск а я функ­
ц и я — она сохраняется при всех перестановках. Функция же
П ( * ! — Xk) сохраняется лишь при четных перестановках. Вообщ е,
i<k
симметрией функции F, заданной на множестве X, мож но счи­
тать преобразование множества X, сохраняющее эту функцию.
В предшествующем примере X было конечным множ еством
{ х и . . . , х „}. Заданная в пространстве функция вида
+ z 2) в качестве симметрий имеет все ортогональные п реобразо­
вания. П одобные симметрии часто отраж аю тся в физических
явлениях. Например, согласно т е о р е м е Э. Н ё т е р , если ди­
намическая система на многообразии X описывается функцией
Лагранжа & , которая ,в качестве симметрий, допускает завися­
щую от одного параметра группу преобразований { g t} много­
образия X, то система имеет легко выписываемый первый интег­
рал. Так, в случае движения системы материальных точек, ин­
вариантность относительно параллельных переносов приводит
,к закону движения центра масс, а инвариантность относительно
вращений — к закону сохранения момента.
112
Для лю бого типа рассматривавшихся ранее алгебраических
объектов — полей, колец, алгебр, модулей — симметриями явля­
ются преобразования соответствующ их множеств, сохраняющие
основные операции. В этом случае они называются автоморфиз­
мами.
Таким образом, автоморфизмы га-мерного векторного про­
странства F над полем К — это невырожденные линейные пре­
образования, их группа обозначается GL(.F) или GL(ra, К ). При
выборе базиса они задаются невырожденными матрицами по­
рядка п. Аналогично, автоморфизмы свободного модуля А п иад
коммутативным кольцом А образую т группу G L (n , А ) и зада­
ются матрицами с элементами из А, определитель которых о б ­
ратим в А. Группа, состоящ ая из матриц с определителем 1,
обозначается SL(ra, А ).
Автоморфизм а кольца К (в частности, поля)' — это преоб­
разование К, для которого
a (a - f b) = о (а) + о (Ъ),
Например, если R = M n( K) , то
невырожденная
матрица
cGGL(n, К) определяет автоморфизм о ( а ) = с а с ~ 1 в R.
Преобразование a ( z ) = z является автоморфизмом поля ком ­
плексных чисел С как алгебры над полем вещественных чисел
R, т. е. автоморфизмом расширения С/R . Аналогично, лю бое
расширение Ь/К степени 2 имеет, если характеристика поля К
отлична от 2, ровно 2 автоморфизма. Действительно, легко ви­
деть, что Ь = К( у ) , где у 2=с&К. Каждый автоморфизм одно­
значно определяется своим действием на у, так как о ( а + й у ) =
— а + Ь а ( у ) . Н о так как он сохраняет действия над элементами
поля L и элементы поля К, то ( о ( у ) ) 2— о ( у 2) —о ( с ) = с . П оэто­
му ст(у) = ± у . Таким образом, сущ ествует лишь тождественный
автоморфизм <j ( a+by) = а + Ь у и такой, для которого о ( у ) = — у,
т. е. a ( a + b y ) = а — by. Сущ ествуют и «менее симметричные» рас­
ширения. Например, расширение К = Q ( y ) , у 3 = 2 , степени 3 над
Q имеет только тождественный автоморфизм. Действительно,
как и выше, любой автоморфизм сг определяется своим действи­
ем на элемент у и (<т(у) ) 3 = 2. Если о ( у ) =yi=/=y, то (y i/y ) 3 = l,
т. е. e = y i/y удовлетворяет уравнению е3— 1 = 0 , а так как
г ф 1, то уравнению е2 + е + 1 = 0 ,
откуда
( 2 е + 1 ) 2 = — 3. П о­
этом у в К должно содерж аться поле Q (Y — 3 ). Н о степени рас­
ширений К/Q и Q (y — 3 )/Q равны 3 и 2, а это противоречит
тому, что степень расширения делится на степень лю бого содер­
жащ егося в нем расширения ( ( 3) § 6 ).
Наконец, симметрии физических законов являются их важ ­
нейшей характеристикой. П од этим подразумеваются преобразо­
вания координат, при которых закон сохраняется. Так, законы
механики должны сохраняться при переходе от одной инер8— 9339
113
циальной системы координат к другой. Соответствующ ие преоб­
разования координат имеют в механике Галилея— Ньютона вид
(для движения по п р я м ой ):
х ' — х — v t,
t' — t,
(3)
а в механике специального принципа относительности вид:
V
х -v*
V l — (v/cf
,/
*~ст х
(4)
V l — (v/c)2 ’
где с — скорость света в пустоте.
Группа симметрий в первом случае называется группой
Галилея— Ньютона, а во втором — группой Лоренца.
Примером другого типа симметрии физических законов яв­
ляется так называемый закон четности, согласно которому все
физические законы должны сохранить свой вид, если одновре­
менно изменить знак времени, знаки зарядов и ориентацию про­
странства. Здесь мы имеем группу, состоящ ую всего из двух
симметрий.
Упомянем несколько очень простых понятий, связанных с
группами преобразований. Ообитой элемента хвХ относительно
группы преобоячпоо;-;^ jr множества а называется множествоОх, состоящ ее из элементов вида g ( x ) , где g пробегает все эл е­
менты из G. Стабилизатором элемента х называется м нож ество
Gx элементов группы, сохраняющих элемент х, т. е. множ ество
G x = {g , £ ( * ) = * } .
Стабилизатор элемента сам образует группу преобразований,
содерж ащ ую ся в G.
Рассмотрим следующее отношение между двумя элементами
х, увХ:
сущ ествует такое преобразование g$G, что g ( x ) = y .
Оно является отношением эквивалентности, т. е. рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Проверка этого есть просто пере­
фразировка трех свойств, входящих в определение группы пре­
образований. В се эквивалентные друг другу элементы обр азу ю т
одну орбиту. П оэтом у множество X распадается на непересекающиеся орбиты. Это множество орбит обозначается G \ X . Если
орбита только одна, т. е. для любых двух х и у сущ ествует та­
кое преобразование g&G, что y = g ( x ) , то группа преобразований.
G называется транзитивной.
Переходим теперь к понятию группы. Оно
абстрагирует
лишь некоторые аспекты групп преобразований: возм ож н ость
умножения преобразований (формула ( 1 ) ) и закон ассоциатив­
ности для этого умножения: (f g ) h = f ( g h ) (он проверяется не­
посредственно, исходя из определения).
114
Группой называется множ ество G элементов, в котором опре­
делена операция, называемая умножением, которая ставит в с о ­
ответствие любым двум элементам g b g 2 множества G элем ен т
g ig 2 этого множества и удовлетворяет условиям:
ассоциативность: ( gi g2) g 3= g i ( g 2g z ) ;
существование единицы: сущ ествует такой элемент e&G, что
e g = g e = g , gGG
(легко доказать, что такой элемент только один);
существование обратного: для лю бого gGG сущ ествует такойз
элемент g _ 1 GG, что
g g ~ l = g ~ 1g=s e
(легко доказать, что такой элемент g _I только один).
И сходя из свойства ассоциативности, легко доказать, что иг
для лю бого числа элементов g lt g 2, . . . , - g „ их произведение
(в заданном порядке) не зависит от расстановки скобок и м о­
ж ет быть поэтому записано как g , g 2 . . . g„. Элемент g ■■■g
(п раз) записывается как g ", (g ~ ! ) n — как g~\
Если умножение коммутативно:
g 2g i = g i g 2 для любых g b g 2GG,
то группа называется коммутативной или абелевой. По сущ ест­
ву, это понятие нам встречалось — оно совпадает с понятиеммодуля над кольцом целых чисел Z. Ч тобы подчеркнуть эту
связь, операцию в абелевой группе обычно называют суммой и
обозначаю т как g i + g 2- Тогда вместо g _1 пишут — g, вместо g"пишут ng. Для nGZ, gGG, ng есть произведение, определяющееG как модуль над Z.
Если число элементов группы G конечно, то она называется:
конечной. Число ее элементов называется тогда ее порядком ис
обозначается |G|.
Изоморфизмом двух групп Gi и С 2 называется такое взаим­
но однозначное отображение f : G i-^ G 2, что
f(giga)=f(gi)f(gi).
Тогда пишут: G i = G2.
Д ве группы называются изоморфными, если меж ду ними с у ­
ществует хотя бы один изоморфизм.
Конечную группу G, состоящ ую из элементов g b . . . , g„,„
мож но задать при помощи ее «таблицы умножения» или так на­
зываемой таблицы Кэли. Это квадратная матрица, на пересече­
нии i-ой строки и /-го столбца которой стоит элемент gtgj- Н а­
пример, если порядок группы равен 2 и она состоит из элемен­
тов е (единичного) и g = £ e, то g 2, как легко видеть, может быть,
равно только е. П оэтому ее таблица Кэли имеет вид:
8*
11S
е
g
е
g
е
g
g
е
Если порядок группы G равен 3, е — ее единичный элемент и
М Ф е , то легко видеть, что g 2¥ = g и ё 2ф е , поэтому G = {e, g , h ),
J i= g 2. Так ж е легко убедиться, что g h = e . П оэтом у таблица
-Кэли такой группы имеет вид:
е
g
h
е
g
h
е
g
h
g
h
e
h
е
g
Изоморфизм двух групп означает, что (с точностью до о б о ­
значения элементов) их таблицы Кэли одинаковы. Конечно,
таблицу Кэли удобно выписывать лишь для групп небольших
порядков. Сущ ествуют другие способы задать операцию в груп­
пе. Например, пусть G — группа симметрий равностороннего
треугольника (рис. 15в)). Обозначим через s отражение от­
носительно одной из высот, а через t — поворот на 1 2 0 ° вокруг
центра. Тогда t2 — это поворот на 240°. Легко убедиться, что s,
s t и st2 — отражения относительно трех высот. Таким образом,
все элементы группы G записываются в виде:
е, t, t2, 5, st, s t 2.
(5)
■Очевидно,
s 2 = e,
t3= e.
(6)
'Кроме того, легко проверить, что
ts = st2.
(7)
Э ти правила уж е определяют операцию в группе. Например,
(st)2 --- s t s t = s s t2t = s 2t3— e,
t2$ = its = ts t2 = s t2t2= st.
Т акой метод задания групп называется заданием образующими
и соотношениями. (Более точно он будет описан в § 14.) В та­
кой записи изоморфизм групп С и С ' означает, что в группе G'
также сущ ествую т 2 элемента s', t', через которые все другие
таким ж е образом записываются, как и в (5 ), и которые удов­
летворяю т условиям ( 6 ) и (7 ). Рассмотрим, например, группу
G L (2 , F 2) невырожденных матриц 2-го порядка с элементами
из поля F2. Их легко все написать, так как их столбцы обязаны
вм еть вид:
1*6
(8 >
а непропорциональность столбцов (равносильная невырожденности 1
матрицы) означает в данном случае несовпадение. Мы получаем
6 матриц:
Легко убедиться, что это как раз запись в виде (5), если взять.
^/= = ( l l j ’ s/ = (l О /’ и что соотношения (6 ) и (7) выполненыТаким образом, эта группа изоморфна группе симметрий равно­
стороннего треугольника. Найденный изоморфизм кажется с о ­
вершенно непонятным. Но его можно истолковать более содер­
жательно: для этого мы должны обратить внимание на то, чтосимметрии треугольника осущ ествляю т перестановки трех еговершин и реализуют в нашем случае все возможные 6 переста­
новок. Невырожденные матрицы над F2 действуют на 3 столбца
( 8 ) и тож е осущ ествляют все возмож ные их перестановки. Т а­
ким образом , каждая из двух рассмотренных групп изоморфна
группе всех перестановок множества из трех элементов.
На этом и на множестве других примеров можно увидеть,,
что изоморфными могут быть группы, состоящ ие из объектов,
совершенно различной природы и возникшие в связи с различ­
ными вопросами. Понятие изоморфизма фиксирует наше внима­
ние лишь на правиле умножения в этих группах, абстрагируясь
от конкретного характера их элементов. М ож но представлять
себе, что сущ ествует некоторая абстрактная группа, элементы,
которой просто обозначены некими символами, над которыми
указаны правила умножения (вроде таблицы К эл и), а конкрет­
ные группН являются ее реализациями. Удивительным образом оказывается, что свойства этой абстрактной группы, т. е. свой­
ства одной лишь групповой операции, даю т часто очень много»
для понимания конкретной реализации, которая «координатизируется» этой абстрактной группой. Классическим примером,
является теория Галуа, о которой будет сказано позже. В боль­
шинстве ж е приложений теории групп эти свойства абстрактной;
группы соединяются со свойствами конкретной реализации.
Выше были приведены примеры только групп преобразова­
ний, и чтобы у читателя не создалось впечатления, будто это —
единственный путь, на котором группы естественно возникают,,
приведем здесь несколько примеров иного характера. Таковыми
являются гомотопические группы я „(Х ),. группы гомологий
Н п(Х ) и когомологий Н п(Х ) топологического пространства X,.
но их обсуждение мы отложим до § § 2 0 и 2 1 .
П р и м е р 1. Группа классов идеалов. В § 3 была определе­
на операция умножения идеалов произвольного коммутативного»
кольца А. Эта операция ассоциативна и имеет единицу (К О Л Ь ­
НИ
д о Л ), но обратный идеал почти никогда не сущ ествует (даж е
в кольце Z ). Объединим теперь в классы те ненулевые идеалы,
которые изоморфны как модули над А (ср. § 5 ). Операция ум­
ножения переносится и иа классы, и уже они для многих колец
А образую т группу: попросту это значит, что для каж дого иде­
ала /=7^ ( 0 ) сущ ествует такой идеал I, что I I — главный идеал.
В этом случае говорят о группе классов идеалов кольца А.
Обозначается она С1(Л ). Так обстоит дело, например, в случае
кольца целых алгебраических чисел конечного расширения X/Q
(ср. § 7 ). Здесь группа С1(Л) конечна. Для кольца А чисел ви­
да а + Ь]/— 5, a, bGZ, (пример 12 § 3) она имеет порядок 2: это
значит, что все неглавные идеалы эквивалентны (т. е. изоморф­
ны как Л-модули) и произведение любых двух из них — глав­
ный идеал.
П р и м е р 2. Группа ExtB(^ , В ). Пусть А и В — модули над
кольцом R. М одул ь С называется расширением А при помощи
B , если он содерж ит подмодуль В х, изоморфный В, и С/Вх изо­
морфен А . При этом в понятие расширения мы включаем и изо­
морфизмы и : Д=*Д 1 и о : С / В ^ А . Тривиальное расш ирение —
эт о С = Л © Д . Группа Zfp2Z является нетривиальным расширени­
ем группы Z/pZ при помощи Z ]pZ. Точно так же, линейное
преобразование, имеющее в некотором базисе матрицу, явля­
ющ уюся ж ордановой клеткой второго порядка с собственным
значением X, определяет модуль С над кольцом К [* ], являю ­
щийся нетривиальным расширением модуля А, соответствую щ е­
го одномерной матрице А,, при помощи того ж е Л.
Два расш ирения С и С ' модуля А при помощи В назы­
ваются эквивалент ным и, если сущ ествует изоморфизм Ф: С ^ С ' ,
переводящий В ха С в B\czC' и согласованный с изоморфизмами
В Х—В ^ В [ и С I В х ^ А — С ' /В ’Г Множество всех расширений Л
при помощи В, рассматриваемых с точностью до эквивалент­
ности, обозначается Ех 1:я(Л , В). Для полупростых колец R
оно состоит из одного тривиального расширения, а в общем
случае измеряет отклонение от ситуации, характерной для полу­
простоты.
Превратим
множество
Е х1:я(Д ,Д )
в
группу.
Пусть
C, C 'g E x t/?(Л , В), f : B ^ B xa C
и g :C / B x^ А — изоморфизмы,
входящие в определение С, а / ' и g ' имеют тот же смысл для С '.
Рассмотрим подмодули: D c i C ® C ', состоящий из пар (с, с '), для
которых g ( c ) = g ' (с'), и Е с С ф С ' , состоящий из пар ( / (Ь),
— /'(& )), bGB, и положим C " = D j E . Гомоморфизм / " : / " ( & ) =
= ( / (&)> 0) -т-Е = (0, / ' (&))-(- Е определяет изоморфизм В с под­
модулем Дх’ с : С ", а для ( c ,c ') e D , g " (c , с ') — g (с) — g' (с') — гомо­
морфизм D на все Л , равный 0 на Е , т. е. гомоморфизм g " :е " ->
-»-Л , определяющий, как легко проверить, изоморфизм С " j B x
и А . Таким образом, С " является расширением Л при помощи Д.
Соответствующий элемент C " 6 Ext (Л , Д) называется сум м ой р а с ­
1Л8
ширений С и С '. Нетрудно проверить все аксиомы группы.
Нулем является тривиальное расширение.
П р и м е р 3. Г руппа Б р а у эр а . Мы определим групповой
закон на множестве центральных тел конечного ранга над задан­
ным полем К (ср. § 11). Пусть R x и / ? 2 — две центральные прос­
тые алгебры конечного ранга над К . В модуле R x® KR i опреде­
лим операцию умножения, положив для его образующих
(ах<g>a2) {b\®b?) — ахЬх® а ф 2,
этим R X® KR 2 превращается в алгебру над К , причем нетрудно
доказать, что она тоже простая и центральная. Например,
МЯ1 {К)®МПг ( К ) ~ М П1п, (К).
Если D x и D 2— два центральных тела конечного ранга над К ,
то ввиду сказанного выше и по теореме Веддербёрна (теорема IV
§ 1 0 ) D l® KD 2— М п (D), где D — некоторое центральное тело.
Его мы и назовем произведением тел D x и Z)2. М ож но показать,
что таким образом определяется группа (обратным элементом
для тела D является инверсно-изоморфное тело D* ) . Эта группа
называется группой Брауэра поля К и обозначается Вт ( К).
М ож но показать, что описания тел над полями Q p и Q, данные
в § 11 (теоремы V и V III), даю т и групповой закон групп Бра­
уэра этих полей: надо только встречающиеся там корни из 1
рассматривать как элементы группы корней из 1. Например,
группа B r(Q p) изоморфна группе всех корней из 1, а группа
B r(Q ) — группе наборов
(Pr,
рр, . . . ) корней из 1 ,
удовлетворяющ их условиям, указанным в теореме V III § 11.
Группа B r(R ) имеет порядок 2.
Следующие параграфы мы посвятим обзору примеров чаще
всего встречающихся типов групп и наиболее полезных конкрет­
ных групп. Это дает обзор (конечно, очень условный) тех путей,
которые связывают общ ее понятие группы с остальной матема­
тикой (да и не только математикой). Но сначала мы должны
изложить некоторые простейшие понятия и свойства, примыка­
ющие к самому определению группы, без которых рассмотрение
примеров было бы затруднительно.
П одгруппой группы G называется такое ее подмножество,
которое вместе с любым элементом содерж ит его обратный и
Вместе с двумя элементами — их произведение. Примером под­
группы является стабилизатор л ю бого элемента в группе пре­
образований. Пусть { g a} — произвольное множество элементов
группы G. Совокупность всех произведений элементов g a и их
обратных (в любом порядке) образует, как легко видеть, под­
группу группы G. Она называется подгруппой, порожденной
элементами { g a} . Если эта подгруппа совпадает с G, то g a на­
зываются образующими группы G. Например, в группе Z (запи­
119
санной аддитивно)
1 является образующ ей. В группе симмет­
рий равностороннего треугольника образующ ими являются s и
t (см. ( 5 ) ) .
Гомоморфизмом называется такое отображение f : G-*-G'
группы G в группу G', что
f ( g l § 2) = f ( g l ) f ( g 2).
Гомоморфизм f группы G в группу преобразований множ е­
ства X называется действием G на множестве X. Ч тобы задать
действие, надо определить для лю бого элемента gdG соответст­
вующее ему преобразование f ( g ) , т. е. f ( g ) ( x ) для л ю бого лг€X.
Записывая f ( g ) (х) сокращенно в виде g x, мы видим, что зада­
ние действия G на X равносильно сопоставлению л ю бом у эл е­
менту g£G и л ю бом у х£Х элемента gx£X , т. е. отображения
G X Х->-Х, (g , x )-+ g x ,
причем должны выполняться условия (эквивалентные гом оморф ности отображения f ) :
( g l g 2 ) X = g 1 ( g 2x ) .
Два действия одной и той ж е группы G на двух разных
множествах X и X ' называются изоморфными, если меж ду эле­
ментами множеств X и X ' можно установить такое взаимно
однозначное соответствие х - ^ - х ' , что из х+ -+ х' следует g x + + g x f
для л ю бого g£G .
П р и м е р 4. Рассмотрим группу G вещественных матриц вто­
рого порядка с определителем 1 . Такая матрица
на верхней полуплоскости С += { 2 , 1 ш г > 0 }
менного по закону
jjj действует
комплексного пере­
Очевидно, что мы получаем действие G на С +. С другой сторо­
ны, G действует на множестве 5 положительно определенных
симметрических матриц второго порядка, причем S ’1131! * §) перево­
дит
матрицу
s в gsg*,
где
g* — транспонированная
матрица.
Записывая 5 в виде ^ * j, мы характеризуем 5 условиями а > О,
а с — Ь2 > 0,
которые определяют на проективной плоскости
с однородными координатами (а : Ь : с ) внутренность ty кривой вто­
рого порядка с уравнением а с — Ь2. Очевидно, G действует и на
ф при помощи проективных преобразований, переводящих эту
кривую в себя. Положительно определенную квадратичную форму
а х 2 -х~2 Ь ху-\-су2 можно записать в виде a ( x — zy) (x — zy), где
2 6 С+. Сопоставляя матрице
120
число z, мы получим, как легко
увидеть, взаимно однозначное соответствие меж ду множествами
$ и С+, определяющее изоморфизм двух действий группы G.
Как известно, С+ и $ определяют две интерпретации планимет­
рии Л обачевского: интерпретации Пуанкаре и Кэли— Клейна..
Группа ж е G в каждой из этих интерпретаций определяет груп­
пу собственных (не меняющих ориентацию) движений плоско­
сти Л обачевского.
Три очень важных примера действия группы на самой себе:
g-x = gx,
g - x = xg-\
g' х —gxg~*
(слева стоит действие, справа — произведение в G). Они назы­
ваются левым регулярным, правым регулярным и присоединен­
ным действием. П равое регулярное и левое регулярное действия
изоморфны: изоморфизм определяется отображением
группы G на себя.
Действие группы G на множестве X определяет, конечно,
действие любой подгруппы
Я сО .
В частности,
левое
регулярное действие определяет
действие любой подгруп­
пы Я с б
на всей группе G. Орбиты полученной таким
образом группы преобразований
называются левыми клас­
сами смежности G по Я . Таким образом , левый класс
смежности состоит из всех элементов вида hg, где g £ G —
некоторый фиксированный элемент, a h пробегает всевозможные
элементы из Я . Он обозначается через H g. Согласно сказанно­
му выше об орбитах любой элемент gi^H g определяет тот ж е
самый класс смежности, и вся группа разлагается в объедине­
ние непересекающихся классов смежности. Аналогично, правое
регулярное действие подгруппы H czG определяет правые клас­
сы смежности вида gH . Орбиты присоединенного представления
называются классами сопряж енных элементов, элементы одной
орбиты — сопряженными.
Элементы
gi и g 2 сопряжены
если g 2 —g g ig ~ l при некотором g£G . Если H a G — подгруппа,,
то все элементы g h g~ l, Ы Н, при фиксированном g^G образую т,
как легко видеть, подгруппу. Она называется сопряженной груп ­
пой к Я и обозначается g H g ~ x. Например, если G — группапреобразований множества X, g£G , х£Х и y —gx, то Gy= g G xg ~ 1.
Число левых классов смежности по подгруппе Яс=(3 (конечное
или нет) называется ее индексом и обозначается ( G : Я ) . Если
группа G конечна, то число элементов в каждом классе см еж ­
ности по подгруппе Я равно ее порядку |Я|. П оэтому
|С| = | Я | ( 0 : Я ) .
(9>
В частности, |Я| делит |G|.
Предположим, что действие группы G на множестве X транзитивно. Тогда для любых х и y£G сущ ествует такой элемент
g£G, что g { x ) = y , и все такие элементы обр азую т правый класс
121
смеж ности g G x по стабилизатору элемента х. Мы получаем, та­
ким образом, взаимно однозначное соответствие между элемен­
тами множества X и классами смежности G по Gx. Если X ко­
нечно, то, обозначая число его элементов через |Х|, мы видим:
\X\ = ( G : G x).
;
Если действие группы G не транзитивно, то пусть Х а — его
орбиты: X — l j Xa - Выбрав по представителю х а в каждом
из Х а, мы получим взаимно однозначное соответствие между
элементами орбиты и классами смежности G по G Xa. В част­
ности, если X конечно, то
| * H 2 ( G : G a ),
0 °)
где G a — стабилизаторы элементов, выбранных по одному из
всех орбит.
Образом Im f гомоморфизма f : G -+G ' называется совокуп­
ность элементов вида f ( g ) , g£G . О браз является подгруппой
в G'.
Ядром K e r f гомоморфизма f называется совокупность тех
элементов g&G, для которых f ( g ) = e . Ядро, конечно, является
подгруппой, но удовлетворяет дополнительному условию:
g -'/ig e K e r f, если W K e rf, g£G.
(11)
Проверка этого условия очевидна. Подгруппа N a G , удовлет­
воряющая условию (11), называется нормальным делителем.
Иначе говоря, нормальный делитель N должен быть инвариант­
ным относительно присоединенного действия:
g - 'N g = N.
То что N есть нормальный делитель, записывается как N <] G.
Определение нормального делителя N равносильно тому, что
лю бой левый класс смежности по подгруппе N является и пра­
вым: gN = N g. Таким образом, хотя левое и правое регулярное
действие нормального делителя на группе, вообщ е говоря, не
совпадает, их орбиты совпадают.
Разбиение группы G на классы смежности по ее нормально­
му делителю N согласовано с операцией умножения: если за­
менить g i или g 2 на элемент из того ж е класса смежности, то
и g ig 2 останется в своем классе смежности. Это тавтологическая
переформулировка определения нормального делителя. О тсю да
вытекает, что операция умножения может быть перенесена на
классы смежности, которые образую т группу, называемую фак­
торгруппой по нормальному делителю N. Она обозначается
G/N, сопоставление элементу g£G класса смежности g N опре­
деляет гомоморфизм G на G/N, называемый каноническим.
Имеют место уж е привычные из теории колец и модулей со ­
отношения:
122
Т е о р е м а о г о м о м о р ф и з м а х . О браз гомоморфизма
изоморфен факторгруппе по его ядру.
Любой гомоморфизм / может быть сведен к каноническому:
сущ ествует изоморфизм G /K er / и 1 т / , который при компози­
ции с каноническим гомоморфизмом G -^-G / К е г / дает / . ►
П р и м е р 5. Рассмотрим группу G всех движений евклидова
пространства Е , т. е. преобразований, сохраняющих расстояние
между точками. Она может быть распространена на векторное
п ростран ство! (свободных) векторов в Е : если х , у£Е и х у — век­
тор с началом х и концом у,
то
g (ху) , по
определению, равен
g ( x ) g ( y ) . Легко проверить, что если х у = х гуг (т. е. отрезки х у
и х гуг равны и параллельно
расположены),
то
и
g (х ) g (у) —
= g ( x i)g (г/г), так что преобразование g определено непротиво­
речиво. В пространстве L преобразование g является ортогональ­
ным. Отображение g -> g является гомоморфизмом группы движе­
ний
в группу ортогональных преобразований. Образ этого
гомоморфизма совпадает с группой всех ортогональных преобра­
зований. Его ядро состоит из параллельных переносов простран­
ства Е на векторы u£L. Таким образом, группа параллельных
переносов является нормальным делителем. Это можно проверить
и непосредственно: если Т и— параллельный перенос на вектор и,
т о , как легко видеть, gT „g-1 — Т г(И). Мы видим, что группа
ортогональных преобразований изоморфна факторгруппе груп­
пы движений по нормальному делителю параллельных перено­
сов. В данном случае это легко усмотреть непосредственно,
выбрав какую-либо точку 0&Е. Тогда лю бое движение можно
записать в виде g = Tug ', где g '£ G 0 (стабилизатор точки О ).
Очевидно, что G0 изоморфен группе ортогональных п реобразова­
ний, а сопоставление классу смежности Tug ' преобразования g '
дает наш гомоморфизм.
Пусть g — элемент группы G. Отображение
cpg : Z-+G,
<fg(n) = g " очевидно является гомоморфизмом. Его образ состоит
из всех степеней элемента g. Он называется циклической п од­
группой, порожденной g, и записывается { g } . Если сущ ествует
такой элемент g, что G = { g } (т. е. все элементы G являются
степенями g ) , то группа G называется циклической, a g — ее
образующ ей. Примером циклической группы является группа Z
целых чисел по сложению. Ее образующ ей является число 1.
Всякая подгруппа группы Z состоит или из одного 0, или из
всех кратных kZ наименьшего входящего в нее положительного
числа k, т. е. тож е является циклической. Возвращаясь к гом о­
морф изму ф * : Z-*-G, мы можем сказать, что либо Ке г ф8= 0 —
э т о значит, что все степени g " элемента g различны, — либо
,Кегф8= ^ г . Это значит, что g h= e и группа {g } изоморфна Z/kZ,
123
т. е. является группой порядка k. В первом случае g называется
элементом бесконечного порядка, во втором — порядка k. Если
группа G конечна, то согласно (9 ), k делит |G|.
Из всех методов конструирования групп отметим здесь про­
стейший. Пусть G\ и G2 — Две группы. Рассмотрим совокупность
пар (g i, £ 2) , giGGi, g 26G2. Действия над парами определим по­
элементно:
(gb g ^ ig v g2) = (gig[, & g2).
Л егко видеть, что таким образом мы получаем группу. Она на­
зывается прямым произведением групп G\ и G2 и обозначается
G ]X G 2. Е с л и в\ и е2 — единичные элементы групп Gj и G2, то>
отображения g i-* -(g i, е2) и g z -^ (e 1, g 2) являются изоморфизма­
ми групп G\ и G2 с подгруппами группы G i X G 2. Обычно эл е­
менты групп Gi и G2 отож дествляю т с их образами относитель­
но этих изоморфизмов, т. е. ( g b е2) обозначаю т g u а ( е и g 2) —
g 2. Тогда G 1 и G2 становятся подгруппами G iX G 2. В этой груп­
пе g 2g i = g i g 2, если giGGi, g 2£G2, откуда следует, что б , и С 2 —
нормальные делители в Gj X G2. Л ю бой элемент из G 1 X G2 одн о­
значно записывается в виде g ig 2, giGGu g 2GG2. Если G\ и G2
коммутативны (и записаны аддитивно), то мы получаем извест­
ную из § 5 операцию прямой суммы модулей над Z.
§ 13.
ПРИМЕРЫ
ГРУПП :
КОНЕЧНЫЕ
ГРУППЫ
Так же, как общ ее понятие группы связано с понятием груп­
пы преобразований произвольного множества, конечные группы
связаны с преобразованиями конечного множества (п реобразо­
вания в этом случае называются также подстановками).
П р и м е р 1. Группа всех преобразований конечного множест­
ва X , состоящ его из п элементов х и . . . , х п, называется си м ­
м ет р и ческ ой группой. Она обозначается ©„. Стабилизатор © х,.
изоморфен, очевидно, ©„_]. Класс смежности g©*, состоит из.
всех подстановок, переводящих х г в заданный элемент x LПоэтому число классов смежности равно п. О тсю да |©„ |=
и п0 индукции |©„ |= /г!.
Обозначим через о г (г = 1,
1) преобразование, пере­
ставляющее x t и х и 1 и не меняющее остальных элементов.
Очевидно,
(1)
Так как любую перестановку элементов х г, . . х п можно о с у ­
ществить,
последовательно
переставляя соседей, то любой
элемент
g6®n
является
произведением о ь . . . , ал_ь
т. е.
cTj, . . . , аге_! — образующие группы @„. Очевидно,
OiOj^OjOi при |i — у | > 1 ,
124
(2>
в этом случае а г и о } переставляют разные
Произведение стгсх;+1 циклически переставляет
Поэтому
=
пары элементов.
x it х м и х и2.
\ < i < n —2.
(3)
Л М ожно показать, что закон умножения в группе
пол­
ностью определяется соотношениями (1), (2) и (3) между обра­
зующими аь . . . , ап. г. ►
Более точный смысл этого утверждения будет выяснен в § 14.
Пусть <тб@п— произвольная подстановка и Н = { о } — порождае­
мая ею циклическая подгруппа. Относительно действия группы Н
множество X распадается на k орбит Х ъ . .
X k, число элемен­
тов в которых обозначим Лц . . . , nk. Очевидно,
n = nl + . . . ^ - n k.
(4)
Внутри каждого X t группа Н = {а) циклически переставляет
элементы. Задание разбиения X — \j Xi и циклической переста­
новки элементов внутри X t (например, запись Х 1 = { х а1, х аг, . . .
гДе a x ^j = x a,.+i,
— 1, а * « = * в1, однозначно
определяет подстановку а. Такое задание называется ее разложе­
нием на циклы. Числа п ь . . . , iik составляют цикленный т ин
п одст а н ов к и .
Если o ' ^ g a g - 1 — сопряженный элемент, т о для него разло­
жение на циклы имеет вид Х = [JgXi, g X i= ^ g X a i>•••> ё-^сц},
т. е. числа П\,. . . , пк остаю тся теми же. Н аоборот, если <т' —
лю бая подстановка того ж е цикленного типа щ , . . . , nk, то лег­
ко строится подстановка g, для которой o f = g ~ 1og. Таким о б ­
разом, две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда
имеют один и тот ж е цикленный тип. Иными словами, классы
сопряженных элементов группы @ „ взаимно однозначно соот­
ветствуют наборам натуральных чисел П\,. . . , nk, удовлетворя­
ющих условию (4 ). В частности, число классов сопряженных
элементов группы @„ равно числу разбиений п на положитель­
ные слагаемые.
П р и м е р 2. Будем теперь считать, что переставляемые эле­
менты Х\,. . . , хп — это независимые переменные в кольце
Z [хи . . . , х п] , и рассмотрим многочлен
Д = П { Xi — Xj).
i<J
Очевидно, что при подстановке о многочлен А или не изменится,
или изменит знак:
А (о ( х г ) , а { х п) ) = г (о) А (ду, . . . , х п),
г (о) = + 1,
и что a - > e ( a ) является гомоморфизмом
в группу порядка 2,
состоя щ ую из 1 и — 1. Ядро этого гомоморфизма называется
знакоперем ен ной группой и обозначается 91„, подстановки абЗ„
125
называются
четными,,
а о$Я п— нечет ными.
Очевидно,
(®„:91я) = 2 и, значит, |Яп|= л !/2 .
В о многих вопросах важно перечисление всех нормальных
делителей группы @п и Яп. Ответ таков:
I. При п ф 4 группа
не имеет других нормальных делите­
лей, кроме {е}, \ и
а
— кроме {е} и 3„. При п = 4, сверх
того, сущ ествует (как в @п, так и в
нормальный делитель
порядка 4, состоящий из б и подстановок, имеющих цикленныйтип (2,2). ►
Д ругой путь, на котором возникают важные примеры конеч­
ных групп, — это изучение конечных подгрупп некоторых х ор о­
шо известных групп. Разберем классический пример — конечные
подгруппы группы ортогональных преобразований евклидова
пространства.
Наибольший геометрический и физический интерес представ­
ляют группы, действующие в трехмерном пространстве. Н о в
качестве простой модели изложим сначала аналогичные резуль­
таты для плоскости. Ортогональные преобразования, сохраняю ­
щие ориентацию, мы будем называть вращениями — они тож е
образую т группу.
П р и м е р 3. Конечные подгруппы группы вращений пло­
скости.
II. Конечные группы вращений плоскости являются цикличе­
скими. Каждая такая группа порядка п состоит из всех поворотов на углы — , £ = 0, 1 , . . . , п — 1, вокруг фиксированной точ­
ки. ►
Эта группа обозначается через С„. Ее можно характеризо­
вать как группу всех симметрий ориентированного правильного
га-угольника (см. рис. 18 для га=7 ).
Рис. 18
III.
Конечная подгруппа группы ортогональных преобразо­
ваний плоскости, содержащ ая также и отражения, совпадает с
группой всех симметрий правильного n-угольника. Эта группа
обозначается D n. Ее порядок равен 2га, она состоит из преобра­
зований группы С„ и га отражений относительно га осей симмет­
рии правильного га-угольника. ►
12S
П р и м е р 4. Классические примеры конечных групп враще-.
ний трехмерного пространства связаны с правильными много­
гранниками: каж дому правильному многограннику М соответ­
ствует группа Gu всех вращений, сохраняющ их этот многогран­
ник. «П равильность» многогранника отраж ается в наличии у
него больш ого числа симметрий. П усть ЛКвыпуклый ограничен­
ный п-мерный многогранник в n-мерном пространстве. Н азовем
флагом набор F = { M 0, M i , . . . , М п- 1} , где АК является i-мерной
гранью и M {a M i+i. М ногогранник М называется правильным,.
если группа его симметрий Gu транзитивно действует на мно­
ж ество его флагов. В частности, при п = 3 , группа GM должна
действовать транзитивно на множестве пар: вершина много­
гранника и выходящее из нее ребро. Л егко видеть, что стабили­
затор такой пары состоит только из тождественного преобразо­
вания, так что порядок группы GM равен произведению числа
вершин правильного многогранника на число ребер, выходящих,
из одной вершины. Все правильные многогранники были опреде­
лены еще в античности (они и называются иногда платоновски­
ми телами). Это тетраэдр, куб, октаэдр, додек а эдр и икосаэдр..
С каждым правильным многогранником связан двойственный,,
вершинн которого явл^ют^я дентрами граней исходного. Оче­
видно, что группы GM у них одинаковые. Тетраэдр двойственен,
сам себе, куб — октаэдру, а додекаэдр — икосаэдру. Таким о б ­
разом, мы получаем лишь три группы правильных многогран­
ников: группу тетраэдра, октаэдра и икосаэдра (см. рис. 19)?
Tempasdp
Октаэдр
Икосаэдр
Рис. 19
Они обозначаются Т, О и Y соответственно. Их порядки согл ас­
но сказанному выше равны:
|Г| = 12, |О| = 24, |У| = 6 0 .
Кроме этих групп, сущ ествую т еще очевидные примеры конечных
подгрупп группы вращений: циклическая группа С п порядка я ,
2&ТЕ
состоящ ая из вращений вокруг*- заданной оси I на углы — ,
S
п
k = 0 , . . . , п — 1, и группа д и эд р а D „ ^порядка 2п, содержащая
С п и, сверх того, п поворотов на угол я относительно осей г
127
лежащих в одной плоскости, пересекающих ось I и образующ их
2д
друг с другом углы, кратные —.
Группу
D n можно рассматри­
вать как группу вращений вырожденного правильного много­
гранника— плоского га-угольника (рис. 20). В таком качестве
она уж е встречалась нам в примере 3.
Рис. 20
IV .
Циклические группы и группы диэдра, тетраэдра, окта­
эдра и икосаэдра исчерпывают все конечные подгруппы группы
вращений трехмерного пространства. ►
Точный смысл этого утверждения заключается в том, что
каждая такая группа G или циклическая, или для нее можно
найти такой правильный многогранник М, что G — Gu . Так как
все правильные многогранники одного типа получаются друг из
друга вращением и равномерным растяжением, то отсю да сле­
дует, что соответствующ ие им группы являются сопряженными
подгруппами группы вращений.
Группа вращений правильного тетраэдра действует на мно­
ж естве его вершин. Она осущ ествляет лишь четные их переста­
новки — это очевидно, если объем тетраэдра записать в виде
I
I
Xi
х г
х 3
Уг
Уз
У1
Zl
z2
1
z3
1
х 4
2/4
z4
где (Xi, y u Zi) — координаты его вершин. Отсюда видно, что
группа тетраэдра изоморфна знакопеременной группе Я*. А л геб­
раически действие группы Т на множестве вершин соответству­
ет действию
группы
в присоединенном
представлении
на
множестве подгрупп третьего порядка (каждая такая подгруп­
па состоит из поворотов вокруг оси, соединяющей вершину с
центром противоположной гр ан и ).
Совершенно аналогично, подгруппы третьего порядка груп­
пы октаэдра О соответствую т осям, соединяющим центры про­
тивоположных граней. Таких осей (а значит, и подгрупп) четы­
ре, и действие на них группы О определяет изоморфизм 0 = ® 4.
128
В группе икосаэдра Y рассмотрим сначала элементы втор о­
го порядка — они задаются поворотами на 180° вокруг осей, с о ­
единяющих середины противоположных ребер. Так как число
ребер равно 30, то число таких осей (а значит, и элементов по­
рядка 2) равно 15. М ож но показать, что для каждой оси второ­
го порядка сущ ествуют еще две, ей и друг другу ортогональные
(например, ось, соединяющая середины сторон АВ и CF на
рис. 19, и две другие, получающиеся из нее поворотами вокруг
оси 3-го порядка, проходящей через центр треугольника C F E ).
Такая тройка элементов второго порядка вместе с единичным
элементом образует абелеву группу четвертого порядка, изо­
морфную прямому произведению двух групп второго порядка.
Всего, следовательно, таких подгрупп четвертого порядка в
группе икосаэдра У имеется 5. Действие группы У присоединен­
ным представлением на этих пяти группах (или на пяти трой­
ках попарно ортогональных осей второго порядка) определяет
изоморфизм У~315Ч асто играет роль одна важная связь между этими группа­
ми. И з изоморфизмов О —@ 4,
и теоремы I следует, что в
группе О существует единственный нормальный делитель ин­
декса 2, изоморфный Т. Увидеть это включение можно, если у
правильного тетраэдра отсечь углы около всех вершин так, что­
бы секущие плоскости делили его ребра пополам
(рис. 21).
В результате останется правильный октаэдр. Все симметрии
тетраэдра составляют группу Г и сохраняют вписанный окта­
эдр, поэтому содерж атся в О.
Рис. 21
Группы правильных многогранников встречаются в природе
в качестве групп симметрий молекул. Например, группой сим­
метрии молекулы Н3С — СС13 (рис. 22) является группа С3, м о­
лекулы СгН6 — группа Z)3, молекулы метана СН 4 — группа тет­
раэдра (атом С расположен в центре тетраэдра, вершины кото­
рого образую т атомы Н ), гексафорида урана U F e— группа
9—9339
23
129
н
UF'
н3с-ссе3
стн
.
zns
Рис. 22
октаэдра О (атом U расположен в центре октаэдра, вершины
которого обр азую т атомы F ).
Перечисление конечных подгрупп группы всех ортогональных
преобразований легко вытекает из теоремы IV. Группа Г ' всех
ортогональных преобразований является прямым произведением
Г Х { е , е'}, где Г — группа вращений трехмерного пространства,
a Z — {e, е'} — группа второго порядка, состоящая из единичного
преобразования е и центральной симметрии е ' : е' ( х) = — х .
Исследовать подгруппы прямого произведения Г х Н , если
известны погруппы в Г и в Н , — несложная алгебраическая зада­
ча. В простейшем случае, когда,
как у нас, H = Z ~ группа
второго порядка, ответ таков. Подгруппа G czF X Z или содер­
жится целиком в Г, или имеет вид G 0 X Z , где О 0с :Г , или
получается из группы G czF следующим приемом. Выбираем в G
подгруппу G 0c G индекса 2, и пусть G = G0{ j V — ее разложение
на классы смежности по С 0. Тогда множество элементов g0g Ga
и e 'v , vQV, как легко проверить, образует группу, которую мы
и должны взять за G. Например, в двумерном случае, группа D m
получается таким способом из С = С 2п,
G 0= C n.
Построе­
ние групп последнего типа требует перебора групп вращений G
и их подгрупп С 0 индекса 2. Соответствующая группа ортого­
нальных преобразований G обозначается О О 0. Таким способом,
получаем:
V.
Конечные группы ортогональных преобразований трех­
мерного пространства, не состоящ ие из одних вращений, исчер­
пываются следующими:
CnXZ, D nX Z , T X Z , O X Z , Y x Z , C2nCn, D 2n D n, D nCn, ОТ.
Последняя группа возникает ввиду включения Т а О
(см~
рис. 21). ►
Напомним, что для любой конечной группы G c G L ( n , R)
сущ ествует инвариантная относительно нее положительно опре­
деленная квадратичная форма / (пример 4 § 10). Из того, что»
130
форма f при помощи невырожденного линейного преобразования
Ф приводится к сумме квадратов, следует, как легко убедиться»
что группа ф-1С?<р состои т из ортогональных преобразований.
П оэтом у теоремы III и V даю т нам также классификацию ко­
нечных подгрупп групп G L (2 , R) и G L (3 , RJ.
П р и м е р 5. Каж дая конечная группа вращений простран­
ства сохраняет сферу S с центром в начале координат, так что'
может быть интерпретирована и как группа движений сфериче­
ской геометрии. Если ж е отождествить сферу с римановой сф е­
рой комплексного переменного z, то дробно-линейные преобра­
зования
“»Р>
ббС,
аб —07=^0,
(5>
реализуются как конформные преобразования сферы S. Ее дви­
жения составляют часть конформных преобразований, и по­
этом у построенные конечные группы движений сферы даю т ко­
нечные подгруппы группы дробно-линейных преобразований.
VI.
Таким образом получаются все конечные подгруппы;
группы дробно-линейных преобразований (5 ). М ож но показать,,
сверх того, что подгруппы, соответствующ ие правильному мно­
гограннику одного и того же типа, сопряжены в группе дробно­
линейных преобразований. ►
Одно из применений этого результата таково. Пусть
ЛгШ) ,
,
ч dm
,
, .
Л
rf? + P ( * ) 5 F - r ? ( z ) w = 0
— дифференциальное уравнение с рациональными коэффициентами;
и wb
— два его линейно независимых решения. Функция v —
= W 2i'wl является многозначной аналитической функцией комп­
лексного переменного z. При обходах в z -плоскости вокруг
полюсов функций p ( z ) и q (z) функции w x и w 2 заменяются их:
линейными комбинациями, а значит, v преобразуется по форму­
ле (5): у - » —
Предположим теперь, что v — алгебраическая:
функция. Тогда у нее только конечное число ветвей и, следо­
вательно, мы получаем конечную группу преобразований вида.
(5 ). Зная все такие группы, можно описать все линейные диф­
ференциальные уравнения второго порядка, имеющие алгебраи­
ческие решения.
П р и м е р 6. Группа симметрий плоских решеток. Д искрет­
ным аналогом поля вещественных чисел R является кольцо це­
лых чисел Z, векторного пространства R” — модуль Z” , а груп­
пы GL (п, R) — группа GL(ra, Z ). Следуя этой аналогии, м ы
разберем теперь конечные подгруппы группы G L (2 , Z ), а в сле­
дующем примере — G L (3, Z ). Н ас будет интересовать класси­
фикация этих групп с точностью до сопряженности в содерж а­
щих их группах G L (2, Z ) и G L (3, Z ). В следующем параграфе
9*
131
мы увидим, что эта задача имеет физические приложения в кри­
сталлографии.
Рассматриваемой нами задаче можно дать следующ ую гео­
метрическую интерпретацию. Реализуем группу Z” как группу
С
векторов
га-мерного
линейного
пространства
R ".
Такая подгруппа C crR " называется решеткой. Л ю бая группа
GcrGL(ra, Z ) реализуется как группа линейных преобразований
R", сохраняющ их решетку С. Д ля лю бой конечной группы G ли­
нейных преобразований R” сущ ествует инвариантная метрика,
т. е. такая положительно определенная квадратичная форма
f ( x ) на R™, что f ( g ( x ) ) —f ( x ) для всех g £G (см. пример 4 § 10).
Жвадратичная форма f определяет в R” структуру евклидова
пространства, а группа G становится конечной группой ортого­
нальных преобразований, переводящих в себя решетку С. Наша
задача, таким образом, эквивалентна классификации групп сим­
метрий решеток в евклидовом пространстве R". П од симметри­
ями мы понимаем, конечно, ортогональные преобразования, пе­
реводящие в себя решетку. Легко убедиться, что группа всех
симметрий лю бой решетки конечна. Группы G( и G2 симметрий
решеток Сх и С2 будут соответствовать сопряженным подгруп­
пам в группе целочисленных матриц с определителем ± 1 , если
сущ ествует линейное преобразование <р, переводящее С] в С2, а
G x в G2. Т о есть C2= <p(Ci), G2= (pGi<p-1 и <р переводит действие
Gj на С[ в действие G2 на С2. Такие решетки и группы называ­
ю тся эквивалентными.
Решетки, обладающ ие нетривиальными симметриями (отлич­
ными от центральной симметрии), называются в кристаллогра­
фии решетками Браве, а группы их симметрий — группами
Браве.
Мы исследуем сейчас этот вопрос в случае плоскости. И с­
следование распадается на два этапа. Прежде всего, надо вы­
яснить, какие конечные группы ортогональных преобразований
оставляют на месте некоторую решетку, (т. е. состоят из ее
симметрий). Такие группы называются (по причине, которая
станет ясна в следующем параграфе) кристаллографическими
классами. Конечно, они содерж атся в списке, который дает
теорема III. Основой отбора является элементарно доказываемое
утверждение: плоская решетка может переводиться в себя по­
воротами вокруг некоторой своей точки только на углы 0, л,
2я л л_
ТГ’ 2 ’ 3 VII. Имеется 10 д в у м ер н ы х к р и ст а л л огр а ф и ч еск и х к л а ссов:
С], С 2, С з, С 4, С в, D x, D 2, D 3, D 4, D 6. ^
Основные параллелограммы решеток, допускающих различ­
ные группы симметрий, изображены на рис. 23. П од каждым из
них указаны те группы симметрий, которые соответствующ ие ре­
шетки допускают. Мы имеем здесь (слева направо): произволь132
С, ( Cj
ный параллелограмм, произвольный прямоугольник, произволь­
ный ромб, квадрат и параллелограмм, составленный из двух
равносторонних треугольников. Соответствующ ие
решетки:
назовем: общей, прямоугольной, ромбической, квадратной и ше­
стиугольной и обозначим Г0, Гп, Гр, Гк, Гш.
Однако теорема VII ещ е не решает нашу задачу: неэквива
лентные группы симметрий могут принадлежать одному и тому
же кристаллографическому классу. Алгебраически это значит,
что две группы О и G 'c G L (2,Z) могут быть сопряжены в группе
ортогональных преобразований, но не в G L (2, Z). Примером слу­
жат группы второго порядка G и G ', где G порождена матрицей
Геометрически
они соответствуют
симметрии второго порядка, которой обладаю т решетки, имею­
щие в качестве основного параллелограмма прямоугольник и
ромб на рис. 23. Симметрия состоит в зеркальном отражении
относительно горизонтальной стороны квадрата в первом случае
и горизонтальной диагонали ромба — во втором. Они не эквива­
лентны, так как решетка, соответствующ ая прямоугольнику,
имеет базис из векторов, умножающ ихся на + 1 и — 1 при рас­
сматриваемой симметрии, а в решетке, соответствующ ей ром бу,
векторы, инвариантные относительно симметрии, и векторы, ум ­
ножающиеся при симметрии на — 1, решетку не порож дают.
Такое явление встречается, однако, не очень часто.
V III.
И меется 13 неэквивалентных групп симметрий плоских
решеток
В скобках указаны решетки, в качестве симметрий
соответствующ ие группы реализуются. ►
Пример группы Ь ь реализующейся в двух решетках
мы уж е разобрали. Группа D 2 реализуется в тех же
и получается добавлением к D\ центральной симметрии.
тонкими являются реализации D '3 и D " группы D 3 в
к оторы х
Гп и Г р,
решетках
Наиболее
качестве
симметрий решетки Гш. О бе они содерж атся в группе D 6 и (как
и полагается группе Z)3) являются группами симметрий тре­
угольника, но эти треугольники по-разному вписаны в шести­
угольник, который сохраняет D s (рис. 24).
133
П р и м е р 7. Группы симметрий пространственных решеток.
Рассмотрим конечные подгруппы группы G L (3, Z ), используя,
•без пояснений, терминологию, введенную при разборе приме­
ра 6.
IX. Имеется 32 трехмерных кристаллографических класса.
кристаллографические классы
Сингонии
Триклинная
C tX Z , Сг
Моноклинная
C 2 X Z 1 С 21 О 2С 1
О рторомбическая
O 2X Z
D 3X Z , D „
Тригональная
Т етрагональная
Г ексагональная
Кубическая
1
О
О 2С 2
D 3C 3, C 3X Z , С,
D i X Z , D & O 4C 4, D 4Dzt O 4Z , C 4t C 4C 2
JD3x Z
1
Dgi DaCst D SD 3, C t Z , Cbi C 3C 3
O x z , О, ОТ, T x Z , T
Обозначения групп взяты из теоремы V. Группы расположены в
таблице так, что в одной строке собраны подгруппы одной и той
ж е группы, стоящ ей первой в этой строке. ►
Эти серии групп называются в кристаллографии сингониями
и имеют экзотические названия, приведенные в таблице. К аж ­
дая сингония характеризуется как совокупность симметрий не­
которого многогранника. Эти
многогранники приведены на
рис. 25. (И х аналогами на плоскости являются параллелограмм,
прямоугольник, квадрат и равносторонний треугольник.)
134
Триклинная
[произвольный,
параллелепипед)
Моноклинная
(:прямая призма)
Орторомбическая
(произвольный
прямоугольный
параллелепипед)
I
Л"
Тригональная
(куд сжатый Вдоль
пространственной
диагонали)
Ап
Тетразональная
(прямая призма
с квадратным
основанием )
Гексагональная
(прямая призма,
основание которой
составлено из двух
равносторонних
треугольников)
/
у
7
Кубическая
(куб)
Рис. 25
Очень наглядно все кристаллографические классы представ­
лены на рис. 26 в таблице 1, заимствованной из книги 1[9].
В ней использованы обозначения, приведенные ниже в табли­
це 2 к рис. 26.
Мы не будем перечислять всех типов неэквивалентных групп
симметрий трехмерных решеток. Их имеется 72 различных.
Многомерные обобщ ения изложенных выше дву- и трех­
мерных конструкций, конечно, не могут быть исследованы с
такой детальностью. Здесь имеется лишь несколько общ их
теорем.
X. Т е о р е м а
Ж о р д а н а . Для л ю бого числа п конечная
группа G движений n -мерного пространства обладает абеле­
вым нормальным делителем А, индекс которого ( G . A ) ограни­
чен константой ф( п) , зависящей только от «.►
В трехмерной ситуации теорема хорош о иллюстрируется
группой диэдра D„, содерж ащ ей циклический нормальный дели­
тель С„ индекса 2.
Для аналогов групп Браве легко доказывается теорема:
XI. При заданном п имеется конечное число неизоморфных
/1
о—
IX
с1
с,* г
СгС1
C ,*Z
А .
§
вгс2
Ъг
ZZ7
С,
'^
C^Z
Таблица 7
е с т Ввв3
Сб
Oxz
Рис: 26, таблица 1
ТаВлиц,а
/
- ось вращения на уголft
- ufiHmp симметрии.
"f-PCb
Вращения на угол 24/3
ось Вращения на угол Ч /3
?
2
-ось Вращения наугол ТС./3,
соединенного с отражением
6ортогональной плоскости.
Р ис . 26,
г - ось вращения на угол4 /2
- ось вращения на угол ?Е/2,
соединенного с отражением
бортогональной плоскости.
Г
таблица 2
конечных подгрупп в группе целочисленных матриц с определи­
телем ± 1 . ►
Таким образом, задача сводится к описанию, с точностью до
сопряженности, подгрупп группы GL (n, Z ), изоморфных задан­
ной группе G. М ы сталкиваемся с задачей, аналогичной задаче
о представлениях конечных групп, о которых речь шла в § 10 и
будет идти в § 17. Разница заключается в том, что теперь роль
линейных преобразований пространства (и невырожденных мат­
риц) играют автоморфизмы модуля Z n (и целочисленные мат­
рицы порядка п с определителем ± 1 ) . Соответствующ ее понятие
(которое мы не будем уточнять) — целочисленное представление
размерности п. Основной результат — другая теорема Ж ордана:
X II.
Теорема
Ж о р д а н а . У каждой конечной группы
сущ ествует лишь конечное число неэквивалентных целочислен­
ных представлений заданной размерности. ►
П р и м е р 8. Симметрические группы являются частным случаем
важного типа групп: кон ечн ы х групп, п ор ож ден н ы х от р а ж е­
ниями. Выберем в «-мерном евклидовом пространстве R" ортонормированный базис е ь . . . , еп и сопоставим подстановке о мно­
жества { 1 , . . . , « } линейное преобразование от, переставляющее
векторы базиса: a { e i) = e 0(i). Сопоставление о->Ъ является изо­
морфизмом группы
и некоторой подгруппы 5 группы орто­
гональных преобразований пространства R". Очевидно, что 5
порождается преобразованиями стг, соответствующими транспози­
циям o t. М ножество векторов, инвариантных относительно
есть линейное подпространство L с базисом е ь . . . , е ^ ь
+ ei+1,
•••>«„. Очевидно, dimZ. = « — 1. Если рассмотреть вектор е,
ортогональный гиперповерхности L (например, e t — е ^ ) , то стг
138
•будет задано формулами
Oi ( x ) = x ,
а г ( е ) = — е,
x£L\
{е, L ) = 0 .
П роизвольное преобразование s, задаваемое такими формулами
(при некотором вы боре гиперплоскости L ), называется отраже­
нием. Очевидно, s2 = e. Группа ортогональных преобразований,
имеющая систему образующ их, состоящ ую из отражений, назыг
вается группой, порож денной отражениями.
Основные результаты теории конечных групп, порожденных
отражениями, заключаются в следующем.
X III.
Для лю бой конечной группы G, порожденной отраж е­
ниями в евклидовом пространстве Е, сущ ествует однозначно
определенное разложение
Е = £ 'о Ф £ '1Ф . . . ФЕ р
пространства Е в прямую сумму попарно ортогональных под­
пространств Ей инвариантных относительно группы G, обл а­
дающ ее следующими свойствами
(1) Е 0 состоит из векторов xGE, g { x ) = x для всех gGG. Е {
( i = l , . . . , р) не имеет подпространств, инвариантных относи­
тельно G, кроме 0 и £<.
(2) Группа G представляется в виде прямого произведения
групп Gu i = l , . . . , р, где G{ состоит из всех преобразований
gGG, не меняющих векторов xGЕ }, }ф 1 , и тож е порождена отра­
жениями. ►
Например, для указанного выше действия группы © „ в «-мер­
ном пространстве Rn мы имеем разложение: Rn= £ ' 0© £ '1, где
Я 0=={а (еi + •••+ £«)}>
E\={ c
c q - f . . . + а п = 0}.
l
. . . -\-а„еп,
(6)
Гр уп п а G называется неприводим ой, если пространство Е
не имеет подпространств, инвариантных относительно G и отлич­
ных от 0 и Д.
Пусть otj, . . . , o k — множество отражений. Очевидно,
о\ = е.
(7)
Сущ ествует удобный способ для описания некоторых других специ­
альных соотношений между отражениями, а именно, имеющих вид
(o tOj)mv = e.
(8)
.Для этого рисуется граф, в котором точки соответствую т отра­
жениям о ь . . . ,
и они соединяются отрезком, если
имеется
соотношение (8)
с т ^ > 2. Если при этом mi}> 3, то над соответ­
ствующим отрезком пишется это число. Легко видеть, что соот­
ношение (8) с т,ц — 2 означает просто перестановочность от*
Oh,
И
Oj.
139
X IV . В каждой неприводимой конечной группе G, порож ден­
ной отражениями, имеется система образующ их оь . . . , ак, так­
же являющихся отражениями и связанных соотношениями, опи­
сываемыми одним из приведенных ниже графов. Эти соотн о­
шения определяют группу G.
-о— о
ч
Н*
Нх
12(р)
О— О
р} 5,
Индекс « (в А п, Вп и т. д.) означает число вершин графа и, о д ­
новременно, размерность пространства, в котором действует
группа G. ►
Графу А п соответствует известный нам уже пример группы
©n+i, действующей в пространстве Е х в разложении
(6 ). Ее
можно интерпретировать как группу симметрий правильного
«-м ерного тетраэдра, заданного в координатах условиями а Н —
— b a „+i = 1, а ^ О .
Графу В п соответствует группа, состоящ ая из лю бы х пере­
становок и изменений знаков у векторов некоторого ортонормированного базиса n-мерного пространства. Это группа симмет­
рий n-мерного куба (и ок таэдра). Ее порядок равен 2 "«! П ри
« = 3 это O x Z . Графу D „ соответствует подгруппа индекса 2 в
группе, соответствующ ей графу В„. Она состоит из таких пере­
становок и умножений векторов базиса на числа е< = ± 1 , что
П б4=1. При и = 3 это O T a O x Z (ср. рис. 21). Графу Я 3 со о т ­
ветствует группа Y x Z симметрий икосаэдра, a h ( p ) — группа
140
диэдра D p. Графам Hi и F 4 соответствую т группы симметрий
некоторых правильных четырехмерных многогранников.
Все группы, перечисленные в теореме IV, являются кристал­
лографическими, кроме # 3, Hi и Ь ( р ) при р = 5 и р ^ 7 .
П р и м е р 9. С ущ ествует ещ е один метод конструкции конеч­
ных групп, о котором мы скажем подробнее позже, а сейчас
только намекнем следующим
примером.
Рассмотрим группу
GL (я, F ?),
состоящ ую из невырожденных матриц порядка п
с коэффициентами из конечного поля F ?. Она изоморфна группе
AutF F g линейных преобразований пространства F ,, каждое же
такое преобразование определяется выбором базиса в этом про­
странстве. П оэтом у |GL (й, F ?) |равняется числу базисов еь . . . , е п
в пространстве F". За вектор е х можно взять любой из qn~l — 1
отличных о т 0 векторов этого пространства, при выбранном е х
за е2 можно взять любой из qn— q векторов, не пропорциональ­
ных в\, при выбранных е г и е 2, за е 3 — любой из q n~ q2 векторов,
не являющихся линейными комбинациями е х и е2, и т. д. В результате,
\ G L { n , F 4)\ = (qn- } ) ( q n— q)(qn— q^)...{q'l — qn-1).
(9)
Одно из применений групп G L (n , Fg) — доказательство тео­
ремы XI. Фиксируем простое р ф 2 и рассмотрим гомоморфизм
ФР : Z -> Z / {p ) = F P. Он определяет гомоморфизм групп матриц
фр : GL(ra, Z ) - > G L (п, Fp),
ядро которого состоит из матриц вида А = Е + рВ, detA = ± l .
Докажем, что лю бая конечная группа G c=G L(n, Z) отображ ает­
ся при этом изоморфно на некоторую подгруппу группы G L (« ,
Fp). Так как в G L (n , Fg) число подгрупп конечно, то отсюда бу ­
дет следовать утверждение, а равенство (9) даст оценку для
|G|. Ядро гомоморфизма G->-GL(n, Fp) есть GDKei-фр, и нам
надо доказать, что эта подгруппа состоит только из единичного
элемента. Для этого докажем, что группа К егф р не содержит
элементов конечного порядка, отличных от Е. Предположим,
что A = E + p rB, B&Mn(Z) и не делится на р, а А п= Е , где не
все элементы матрицы В делятся на р. По формуле бинома
П
пртВ ~ 2
Ck
np rkB k = 0 .
k=2
Но элементарное арифметическое рассуждение показывает, что
при р > 2 и £ > 1 все числа под знаком суммы делятся на боль­
шую степень р, чем прт
, что и приводит к противоречию.
§ 14. ПРИМЕРЫ ГРУПП:
БЕСКОНЕЧНЫ Е ДИСКРЕТНЫ Е ГРУППЫ
Мы переходим к рассмотрению бесконечных групп. Конечно,
чисто негативная характеристика «не быть конечной» не отра­
ж ает тех ситуаций, которые реально возникают. Обычно беско141
XIV.
В каждой неприводимой конечной группе G, порож ден­
ной отражениями, имеется система образующ их Оь . . . , о*, так­
же являющихся отражениями и связанных соотношениями, опи­
сываемыми одним из приведенных ниже графов. Эти соотн о­
шения определяют группу G.
Ап О
О
0-----0— О
8п
О
О
О
Ч
-О— О
л,
h
F*
H*
"з
1 2 (р)
0 ^ -0
Р>5.
Индекс п (в А п, В п и т. д.) означает число вершин графа и, о д ­
новременно, размерность пространства, в котором действует
группа G. ►
Графу А п соответствует известный нам уж е пример группы
© „+ь действующей в пространстве Е х в разложении
(6 ). Ее
можно интерпретировать как группу симметрий правильного
n -мерного тетраэдра, заданного в координатах условиями а Н —
— + а „ +1= 1, а ,5 * 0 .
Графу В п соответствует группа, состоящ ая из лю бы х пере­
становок и изменений знаков у векторов некоторого ортонормированного базиса n-мерного пространства. Это группа симмет­
рий n -мерного куба (и ок таэд ра). Ее порядок равен 2пп\ П ри
п = 3 это O x Z . Граф у D n соответствует подгруппа индекса 2 в
группе, соответствующ ей графу В п. Она состоит из таких пере­
становок и умножений векторов базиса на числа е< = ± 1 , что
Пе( = 1 . При п — 3 это O T c z O x Z (ср. рис. 21). Графу Я 3 со о т ­
ветствует группа Y x Z симметрий икосаэдра, а Л ( р ) — группа
140
диэдра D p. Графам # 4 и F4 соответствую т группы симметрий
некоторых правильных четырехмерных многогранников.
Все группы, перечисленные в теореме IV, являются кристал­
лографическими, кроме # 3, Я 4 и h ( p ) при р = 5 и р~^7.
П р и м е р 9. Сущ ествует еще один метод конструкции конеч­
ных групп, о котором мы скажем подробнее позже, а сейчас
только намекнем следующим
примером.
Рассмотрим группу
G L (/г, F ?),
состоящ ую из невырожденных матриц порядка п
с коэффициентами из конечного поля F ?. Она изоморфна группе
Autp F™ лине йных преобразований пространства FJ, каждое же
такое преобразование определяется выбором базиса в этом про­
странстве. П оэтом у |GL (п, F ?) |равняется числу базисов е х, . . . , е п
в пространстве F". За вектор е х можно взять любой из qn~l — 1
отличных о т 0 векторов этого пространства, при выбранном е х
за е .2 можно взять любой из qn — q векторов, не пропорциональ­
ных ей при выбранных е х и е 2, за е3 — любой из qn~ q 2 векторов,
не являющихся линейными комбинациями е х и е2>и т. д. В результате,
\ GL(л, Fe)|= (0 »— l)(<7n— q){qn— q2). . .(qn— qn' 1).
(9)
Одно из применений групп G L (n , Fg) — доказательство тео­
ремы XI. Фиксируем простое р ф 2 и рассмотрим гомоморфизм
ФР : Z ^ - Z /( p ) = F P. Он определяет гомоморфизм групп матриц
9 P : GL ( n , Z )-* G L (n , Fp),
ядро которого состоит из матриц вида А = Е + рВ, det/4 = ± l .
Д окажем, что лю бая конечная группа G c=G L(n, Z) отображ ает­
ся при этом изоморфно на некоторую подгруппу группы G L (« ,
Fp). Так как в G L (n , Fg) число подгрупп конечно, то отсюда бу ­
дет следовать утверждение, а равенство (9) даст оценку для
|G|. Ядро гомоморфизма G -> G L (n , F p) есть GflKei fp, и нам
надо доказать, что эта подгруппа состоит только из единичного
элемента. Для этого докажем, что группа К егф р не содержит
элементов конечного порядка, отличных от Е. Предположим,
что A = E + p rB, B&Mn(Z) и не делится на р, а А п= Е , где не
все элементы матрицы В делятся на р. По формуле бинома
П
п р 'В ф ^ С к
пр гкВ ь = 0 .
к= 2
Но элементарное арифметическое рассуждение показывает, что
при р > 2 и k > \ все числа под знаком суммы делятся на боль­
шую степень р, чем прт, что и приводит к противоречию.
§ 14. ПРИМЕРЫ ГРУПП:
БЕСКОНЕЧНЫ Е ДИСКРЕТНЫ Е ГРУППЫ
Мы переходим к рассмотрению бесконечных групп. Конечно,
чисто негативная характеристика «не быть конечной» не отра­
ж ает тех ситуаций, которые реально возникают. Обычно беск о­
141
нечное множ ество элементов группы определяется каким-то кон­
структивным процессом или формулой. В эту формулу входят
некоторые параметры, которые могут принимать целые значе­
ния или быть вещественными числами (или даже точками мно­
гообразий). Это дает основу для неформальной классификации:
группы первого типа называют дискретными, второго — непре­
рывными. Простейшим примером дискретной группы служит
бесконечная циклическая группа, все элементы которой имеют
вид g n, где п пробегает все целые числа.
Впрочем, дискретные группы часто возникают как дискрет­
ные (в более точном смысле слова) группы преобразований.
Так, группа целых чисел изоморфна группе тех сдвигов прямой:
х -> -х + а , которые сохраняют функцию sin 2ях, и состои т из
сдвигов с целым а. Такую ситуацию мы прежде всего и р а с­
смотрим.
Пусть X — топологическое пространство. Во всех примерах
оно будет предполагаться локально компактным, а чаще всего,
будет многообразием — дифференцируемым или комплексно
аналитическим. Группа G автоморфизмов пространства X назы­
вается дискретной (или разры вной), если для лю бого компакт­
ного множества K cz X сущ ествует лишь конечное м нож ество
преобразований g&G, для которых K flgK не пусто. В множ естве
орбит G \ X можно ввести топологию, назвав открытыми мно­
жествами те, полный прообраз которых при каноническом
отображении
f:X-+G\X
открыт. Если стабилизаторы всех точек х&Х равны е, то гово­
рят, что G действует свободно. В этом случае любая точка
|£ G \ X имеет окрестность, прообраз которой при каноническом
отображении f : X -*~G \X распадается в несвязное объединение
открытых множеств, каждое из которых при отображении /
отображ ается гомеоморфно. Иными словами, X является неразветвленным накрытием пространства G \ X . В частности, ес­
ли X было многообразием, то и G \ X будет многообразием того
ж е типа (дифференцируемым или аналитическим).
Если некоторая группа @ возникает одновременно и как
многообразие (такие случаи будут рассмотрены в следую щ ем
параграфе), то ее подгруппа G называется дискретной, если
она дискретна при левом регулярном действии на @.
Построение пространств G \ X — важный метод конструкции
новых топологических пространств. Их наглядное представле­
ние связано с понятием фундаментальной области. Так назы­
вается множ ество D czX , если оно пересекается с орбитой лю бой
точки х€Х и орбита его внутренней точки xGZ) пересекает D
только в точке х. Тогда разные точки одной орбиты, принадле­
жащие замыканию D множества D, лежат лишь на границе D ,
142
и пространство G \ X можно представлять себе склеенным из D „
когда на границе D отож дествляются точки, принадлежащие од ­
ной орбите. Например, для описанной выше группы сдвигов нрямой, состоящ ей из преобразований х-^-х+а,, фундаментальной
областью является отрезок [0, 1]. Отождествляя граничные точ­
ки, мы получим окружность. П ространство G \ X компактно тог­
да и только тогда, когда G обладает фундаментальной о б ­
ластью, замыкание которой компактно.
П р и м е р 1. Дискретные подгруппы группы векторов ге-мерного вещественного пространства R".
1.
Л юбая дискретная подгруппа группы Rn изоморфна Zm,
т ^ .п , и состоит из всех линейных комбинаций некоторых т ли­
нейно независимых векторов ей
, ет с целыми коэффициен­
тами. ►
Такая группа называется решеткой. Фундаментальную о б ­
ласть решетки можно построить, дополнив систему векторов.
ei
em до базиса е и . . . , еп и положив
D = {a 1e i - r •••
0 < а г, . . . , а т < 1}.
П ространство G \ R n компактно тогда и только тогда, когда т =
— п. В этом случае фундаментальная область D является па­
раллелепипедом, построенным на векторах е\
еп.
Если п — 2, то мож но рассматривать плоскость R2 как пло­
скость одного комплексного переменного. В таком качестве она
обозначается С. Если G — решетка в С, то факторпространство
G \ C наследует от С структуру одномерного комплексного мно­
гообразия, т. е. является компактной римановой поверхностьюЕе род1’ равен 1, и можно показать, что все компактные римановы поверхности рода 1 так получаются. М ероморфные функ­
ции на римановой поверхности G \ С — это мероморфные функции
f ( z ) одной комплексной переменной, инвариантные относи­
тельно сдвигов z -* -z + a , а б G, т. е. эллиптические функции, име­
ющие элементы G своими периодами.
Две римановы поверх­
ности G i \ C и G2\ C тогда и только тогда конформно эквива­
лентны, когда решетки G\ и G2 подобны.
П р и м е р 2. Кристаллографические группы. Это прямое
обобщение примера 1 (точнее, частного его случая с т = п ) .
Атомы кристалла расположены в пространстве дискретно и
очень симметрично. Это сказывается в том, что их взаимное
расположение в пространстве неограниченно повторяется. Точ­
нее, существует такая ограниченная область D, что лю бую точ­
ку пространства можно перевести в точку этой области при по­
мощи симметрии кристалла, т. е. движения пространства,
сохраняющ его физические свойства кристалла (переводящего
любой его атом в атом того же элемента и сохраняющ его все
Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с понятием римановой;
поверхности и рода поверхности.
143:
связи между атомам и). Иначе говоря, группа G симметрий
кристалла является дискретной группой движений трехмерного
пространства R3 и пространство G \ R 3 компактно. В связи с
этим, кристаллографической группой называется дискретная
группа G движений n-мерного евклидова пространства Rn, для
которой пространство G \ R n компактно.
Основным результатом теории кристаллографических групп
является
II. Т е о р е м а
Бибербаха.
Параллельные переносы, со ­
держащиеся в кристаллографической группе G, образую т нор­
мальный делитель А, для которого
компактно, а индекс
(G : Л) конечен. ►
Для случая п —3 это означает, что у каж дого кристалла су­
щ ествует такой параллелепипед П (фундаментальная область
группы Л О G, где G — группа симметрий кристалла), что все
свойства кристалла одинаковы в параллелепипеде П и всех его
сдвигах g ll, £бЛ, заполняющих пространство. П называется па­
раллелепипедом повторяемости кристалла.
В общ ем случае согласно утверждению 1 группа Л состоит
из параллельных переносов на векторы некоторой решетки
“ Z ” . Конечная группа F = GIA является группой симметрий ре­
шетки С. Отсюда, используя теорему Ж ордана X II § 13, можно
вывести:
III. Число кристаллографических групп в пространстве за­
данной размерности п конечно. ►
Одинаковыми при этом считаются группы Gi и G2, если их
мож но перевести друг в друга аффинным преобразованием про­
странства Rn. М ож но показать, что это свойство совпадает с
изоморфизмом групп Gi и G2 как абстрактных групп.
Возникшие под влиянием кристаллографии кристаллографи­
ческие группы имеют и очень естественную теоретико-групповую
характеристику. Именно, это в точности те группы G, которые
обладаю т нормальным делителем конечного индекса, изоморф­
ным Z" и не содержащимся ни в какой большей абелевой под­
группе.
Для кристаллографии чрезвычайно важно иметь перечень
всех типов кристаллографических групп в трехмерном прост­
ранстве. Действительно, указав для каж дого кристалла его
группу, ее фундаментальную область и расположение его ато­
мов в ней, мы тем самым определяем весь кристалл, как бы он
ни разрастался. Это дает метод финитного изображения кри­
сталлов, реально используемый при составлении кристаллогра­
фических таблиц. Список всех кристаллографических групп
слишком длинен, чтобы его здесь привести, но представление о
нем может дать двумерный случай.
IV. Число различных кристаллографических групп на пло­
скости равно 17. ►
144
Каждая из них имеет нормальный делитель A <]G, состоящий
из параллельных переносов на векторы некоторой решетки С.
Преобразования g&G переводят, конечно, эту решетку в себя.
При этом g&A лишь параллельно сдвигают ее. П оэтом у конеч­
ная группа F = G[A является группой симметрий этой решетки
и принадлежит х одному из тринадцати типов, описанных в
теореме V III § 13. М ожет, однако, случиться, что две разные
группы G имеют одну и ту же решетку С и определяют одну
и ту же группу ее симметрий. Ч тобы привести пример, рассм от­
рим прямоугольную решетку Гп и группу ее симметрий D, со ­
стоящ ую из тождественного преобразования и зеркального от­
ражения относительно оси ОБ (рис. 27).
С^>
суэ
СЗР
в
Рис. 27
М ы можем рассмотреть группу G, порожденную группой Т
параллельных переносов на векторы решетки С и этой группой
ортогональных преобразований D . Группу G можно характеризо­
вать как группу симметрий узора, изображенного на рис. 27.
С другой стороны, рассмотрим движение s, состоящ ее из параллельного переноса на вектор ОВ/2 и одновременного зеркального
отражения относительно оси О В, и параллельный перенос t на
вектор
О А . Обозначим через G x группу,
порожденную
s
и t.
Так как s2 есть параллельный перенос на вектор О В, то группа
Т и решетка С в обоих случаях будет одна и та ж е и ее группы
симметрий, порождаемые движениями групп G и Gx, также бу ­
дут совпадать. Однако группы G и G x не изоморфны: в группе G
содерж атся зеркальные отражения, а в группе G u как легко
проверить, — лишь параллельные переносы и движения, в ко­
торых зеркальное отражение комбинируется с параллельным
переносом вдоль одной из вертикальных прямых решетки.
В частности, группа G содержит элемент порядка 2, а группа
G, элементов порядка 2 не содержит. Группа G х совпадает с
группой симметрий узора, изображенного на рис. 16.
Аналогично этому примеру мы можем из 13-ти групп сим­
10— 9 3 3 9
23
145
метрий, перечисленных в теореме V III § 13, образовать 13 д ву­
мерных кристаллографических групп, порожденных параллель­
ными переносами на векторы соответствующ ей решетки и ор то­
гональными преобразованиями ее симметрий (т. е. действовать
как при построении группы G в рассмотренном
примере).
В этом случае стабилизатор G*, где х — любая точка решетки,
будет изоморфен выбранной нами одной из 13-ти групп симмет­
рий. Н о в некоторых случаях возможна более тонкая конструк­
ция (аналогичная построению группы Gi в примере). Тогда ста­
ционарная подгруппа будет меньше группы симметрий, так как
некоторые симметрии будут входить в группу G лишь в ком би ­
нациях с параллельными переносами (аналогично преобразова­
нию s в примере). Таким образом, можно построить одну новую
группу для группы симметрий Z>i(rn) (уже построенная нами
выше группа Gi), две группы для ^ ( Г п ) и одну для / ) 4(Г К).
Так получаются 17 групп.
Закончим примером «новой» группы, соответствующ ей симмет­
рии D 4 (Г к ). М ы включим в нее группу С 4 поворотов плоскости
/-v «пс
Зл
<
0 на углы О,
^ * я и ~2 ~ и сДвиг 5 вдоль оси 1 У
проходящей
через точку
О,
соединенный с зеркальным отраже­
нием относительно этой оси. Группа G порождается этими пре­
образованиями. Если о — поворот на угол
то s ' — orsor1— пре­
образование, аналогичное s, но с осью V, ортогональной I.
Подгруппа параллельных переносов порождается сдвигами s2 и
( s ') 2 вдоль осей / и /'. Построенная группа G является группой,
симметрии узора на рис. 28.
Рис. 28
Построенные группы называются также группами орнамен­
тов, так как их мож но интерпретировать как группы симметрий
орнаментов. Полный список орнаментов, соответствующ их всем
17-ти группам, содержится, например, в книге [15]. Примерами
таких орнаментов, специально придуманных для характеристи­
146
ки групп, являются рис. 16, 2? и 28. Но, конечно, гораздо инте­
реснее те орнаменты, которые были созданы из чисто эстетиче­
ских соображений. Примером является орнамент на рис. 29, за­
имствованный из книги [101]. Он интересен тем, что взят из.
некрополя в Фивах и создан древнеегипетскими мастерами. Этопоказывает, что глубокое понимание идеи симметрии, аксиома­
тизированное в понятии группы, возникло очень давно.
Рис. 29
Положение в трехмерном случае гораздо сложнее.
V.
Число различных кристаллографических групп в трехмер­
ном пространстве равно 219. При этом, как и в теореме III, мьв
считаем одинаковыми группы, если они изоморфны или, что од ­
но и то же, переводятся друг в друга аффинным преобразовани­
ем пространства. В кристаллографии число различных кри­
сталлографических групп часто указывается как 230. Это про­
исходит от того, что одинаковыми считаются лишь группы,,
переводящиеся друг в друга преобразованием, сохраняющ им
ориентацию пространства. Для случая плоскости оба понятия:
«одинаковости» приводят к одной и той же классификации. ►
Все 219 групп реализуются как группы симметрий реальных,
кристаллов.
Теория кристаллографических групп объясняет роль конечных:
групп симметрий решеток, которыми мы занимались в § 13
(пример 7). Симметрии кристалла задаются всей кристаллографи­
ческой группой О, но ввиду того, что расстояния между его'
атомами очень малы, макроскопически наиболее заметна не группа
параллельных переносов А , а факторгруппа G / А — группа сим­
метрий решетки А . Интересно отметить, что в списке группв теореме VII § 13 мы встречаем лишь группы, в которы х
содержатся повороты только на углы
и их кратные.
По­
этому лишь такие повороты могут встречаться в качестве сим­
метрий кристаллов. Тем более поразительно, что в живой при­
роде очень часто встречаются и другие симметрии. Например,,
симметрию пятого порядка имеют всем знакомые цветы герани
10*
147"
и колокольчика. На рис. 30, заимствованном из книги [11], вид­
на симметрия пятого порядка цветка колокольчика (а) и стапелии пестрой ( б) , и симметрия седьмого порядка в расположении
листьев баоба ба (в).
в)
Рис. 30
П р и м е р 3. Н еевклидова кристаллография. Ч асто интерес­
ны дискретные группы движений не только евклидовых, но и
других пространств. Здесь будет сказано о случае плоскости Л о­
бачевского Л, причем мы рассмотрим лишь дискретные группы
сохраняющ их ориентацию движений G плоскости А, удовлетво­
ряющие двум условиям: 1) движение gGG, g ^ e , не оставляет
на месте ни одной точки плоскости А и 2) пространство G \ A
компактно. В случае евклидовой плоскости этими свойствами
обладаю т лишь группы параллельных переносов на векторы не­
которой решетки.
Интерес к подобным группам G возник в связи с тем, что
пространство G \ A при выполнении условия 1) является много­
образием, в данном случае — поверхностью. Если же воспользо­
ваться интерпретацией Пуанкаре плоскости
Л обачевского в
148
верхней полуплоскости С+ плоскости комплексного переменного,
то поверхность G \ А наследует комплексную структуру верхней
полуплоскости, т. е. (при выполнении условия 2 )) является ком­
пактной римановой поверхностью. Мероморфные функции на
римановой поверхности G \ C + — это мероморфные функции на
С+, инвариантные относительно группы G. Они называются автоморфными функциями. Это можно сопоставить с ситуацией в
примере 1, где мы рассматривали пространство G \ С. В том
случае мы получали компактные римановы поверхности рода 1.
Доказано, что в рассматриваемом теперь случае мы получаем;
как раз все компактные римановы. поверхности рода больш его 1
(теорема
Пуанкаре — Кёбе об
у н и ф о р м а ц и и ).
Таким образом, оба эти случая вместе дают теоретико-группо­
вое описание всех компактных римановых поверхностей. (О ста ,
ющийся случай рода 0 — это риманова сфера.)'
В качестве фундаментальной области группы G рассматри­
ваемого типа можно взять 4/7-угольник на плоскости Лобачевского>
с равными парами сторон, идущими через одну: а ъ Ьъ a v b\, . . .
. . . , а р, Ьр,а 'р, Ьр, где
и а\, bL и Ь\— равные отрезки. Преоб­
разования, переводящие сторону а 2 в а\ или bt в Ь\ (направления
сторон, которые при этом отождествляются, указаны на рис. 31),.
являются образующими группы G.
Рис. 31
Единственным соотношением, которому при этом должен удов­
летворять многоугольник, — это, конечно, равенство сторон а е
и а\ (и Ьп и Ь[) и то, что сумма его углов должна быть 2 я
(это связано с тем, что з G \ A все его вершины склеиваются
в одну точку).
П р и м е р За. Важный частный случай примера 3 возникает,
если рассматривать интерпретацию Кэли— Клейна (а не Пуан­
каре) плоскости Л обачевского. Пусть f ( x, у, z) — неопределен­
ная квадратичная форма с целыми коэффициентами. Р ассм от­
рим группу G c :S L (3 , Z ), состоящ ую из целочисленных преоб­
разований, сохраняющ их форму /. Интерпретируя х, у, z как
149
■однородные координаты на проективной плоскости, мы реализу­
ем G как группу проективных преобразований множ ества f > О,
т. е. группу движений плоскости Л обачевского Л в интерпрета­
ции Кэли— Клейна. М ож но доказать, что пространство G \ A
компактно тогда и только тогда, когда уравнение f ( x, у, z ) = 0
-не имеет в Q решений, кроме (0, 0, 0 ). (Признак разрешаемост и этого уравнения дает теорема Лежандра — теорема
III
§ 7.) В этом случае условие 1) из примера 3 мож ет быть не
выполнено — это будет так, если G содержит элементы конечно­
го порядка, кроме е. Н о тогда сущ ествует подгруппа G 'czG ко­
нечного индекса, удовлетворяющ ая условию 1): применяя р а с­
суждение, приведенное в конце примера 9 § 13, мож но показать,
что годится подгруппа, состоящ ая из матриц g£G, g = E ( m o d р)
(при лю бом выборе простого числа р ф 2).
П р и м е р 4. Группа S L (2, Z ), состоящ ая из целочисленных
матриц второго порядка с определителем 1. Значение этой
группы связано с тем, что в двумерной решетке два базиса в\,
е2 и /ь /г связаны соотношениями
f i=
a e i - \ - св2,
f 2 ~ b e i-\ -d e 2 ,
а, b, с, deZ , a d — b c — ± \ ,
т. e.
^ 6 GL (2, Z). Если же мы хотим, чтобы направление дви­
жения от f x к / 2 совпадало с направлением движения от е х к е 2,
т о a d — b c = 1, т. е. ^
^jgSL (2, Z). Часто встречающаяся зада­
ч а — это классификация решеток
на
евклидовой
плоскости
■с точностью до подобия. В примере 1 мы видели, что к ней
«водится, например, классификация компактных римановых поверх­
ностей рода 1. Как и там, мы реализуем нашу плоскость как
плоскость комплексного переменного С: тогда подобия задаются
как умножения на комплексные числа, отличные от 0, Пусть
z lt z 2 — базис решетки С с С. Угол между векторами z x и z 2 мы
будем считать < я , а порядок векторов выбирать так, чтобы
поворот от z , к z 2 происходил против часовой стрелки. Произведя
подобие, которое выражается умножением на z ~ l, мы получим
подобную решетку С ' с базисом 1, z, где z = z ~ 1z 2,
причем
ввиду сделанных предположений z лежит в верхней полупло­
скости С+. Такие базисы 1, z и 1, w определяют подобные
решетки, если базис bz-\-d, a z - j- c , где а , b , c , d £ Z , a d — bc = 1,
может быть подобием переведен в 1, <ш. Это подобие должно
задаваться умножением на (b z -\ -d y l и, значит, w = ~ ^ c-. Таким
ог + а
образом, мы определяем действием группы SL (2, Z) на верхней
полуплоскости С +: для g = ( ^ ^JFSL (2, Z),
450
=
При этом
матрица I
о — 1) действует тождественно, так
что мы имеем
торгруппа обозначается P S L (2 , Z ). Она называется модулярной
группой. М ы видим, что множество решеток с точностью до
подобия изображ ается как G \ C +, где G — модулярная группа.
Модулярная группа дискретно действует на верхней полупло­
скости. Ее фундаментальная область изображается фигурой,
заштрихованной на рис. 32.
Эта область D называется модулярной фигурой. Она не
ограничена, но обладает другим важным свойством. Как изве­
стно, верхняя полуплоскость является моделью плоскости Л оба ­
чевского, причем движения, сохраняющ ие ориентацию, задаются
в ней как преобразования
аб — ру = 1, а, р, у, 66R.
Таким образом , модулярная группа есть дискретная группа
движений плоскости Л обачевского. В смысле геометрии Л оба ­
чевского площ адь модулярной фигуры конечна. Ввиду этого по­
верхность G \ C + некомпактна, но в естественной метрике имеет
ограниченную площадь.
М одулярная группа аналогична группам, рассматривавшим­
ся в примере 3, но не относится к их числу: во-первых, некото­
рые ее преобразования имеют неподвижные точки
(например,
z->— 1 /z ), а во-вторых, G \ А некомпактно. Аналогия с приме­
ром 3 будет яснее, если представить себе модулярную фигуру
с точки зрения геометрии Л обачевского. Она представляет со ­
бою треугольник с одной бесконечно удаленной вершиной, при­
чем сходящ иеся к ней стороны неограниченно сближ аются. Это
лучше видно для эквивалентной области D ' на рис. 32.
-1
-1/2
О
1/Z
1
Рис. 32
П р и м е р 5. Группа G = G L (n , Z ). Она является дискретной
подгруппой группы G L (n , R) и действует там же, где и эта
группа. Особенно важно ее действие на множестве
вещест­
венных положительно определенных матриц А , определенных с
151
точностью до положительного множителя: g (Л) — g A g * (ср. при­
мер 4 § 12 для п = 2 ). Это действие выражает понятие целочис­
ленной эквивалентности квадратичных форм. Фундаментальная
область здесь тож е некомпактна, но имеет ограниченный объем
(в смысле меры, инвариантной относительно действия группы
G L (n , R) ) .
Группы G L (n , Z) относятся к важному классу арифметиче­
ских групп, о которых будет сказано в следующем параграфе.
П р и м е р 6. С вободны е группы.
Рассмотрим множество
символов Si, . . . , sn (для простоты мы будем его мыслить конеч­
ным, хотя рассуждения от этого не зависят). Каждому символу s t
сопоставим еще один символ s y 1. С л овом называется последова­
тельность (рядом написанных) символов s ; и s j x в произвольном
порядке, например, s& SzSyДопускается и пустое слово е,
в которое не входит ни один символ. Слово называется приведен­
ным, если в нем нигде рядом не стоят символы s t и s y 1 или s y 1
и St. Обратным к слову называется такое слово, в котором все
символы написаны в обратном порядке с заменой
на s y 1 и s y 1
на Si- П роизведением слов А и В называется слово, которое
получается, если написать В за А и потом выбрасывать все
стоящие рядом пары s t и s r 1, пока не получится приведенное
слово (может быть, пустое). Множество приведенных слов с этой
операцией умножения образует, как нетрудно проверить, группу.
Эта группа называется свободн ой группой с п образующ ими
и обозначается 9 п. Очевидно, что слова s h . . . , s n, состоящие
каждое из одного символа, являются ее образующими, s y 1 будет
обратным к s t, и произвольные слова можно трактовать как произ­
ведения Si и s y 1.
С вободную группу 9 >2 с образующ ими х и у мож но реализо­
вать как группу преобразований одномерного комплекса, т. е.
топологического пространства, состоящ его из точек и соединя­
ющих их отрезков. Для этого за точки возьмем все различные
элементы группы
и соединим точки, соответствующ ие приве­
денным словам А и В, если В получается из А умножением
справа на х, у, х~ х или у~х ( с м. ри с.33).
Очевидно, что если слова А и В изображены точками, соединен­
ными отрезком, то это верно и для СА и СВ для лю бого С ^ 9 2.
П оэтом у левое регулярное действие (§ 12) группы 9 2 опреде­
ляет ее действие на этом комплексе. Если ввести в комплексе
«биориентацию», выделив два направления отрезков — вправо и
вверх (это сделано на рис. 33), то группа 9 2 будет, как легко
убедиться, полной группой автоморфизмов биориентированного
комплекса.
Рассмотрим произвольную группу G, имеющую п обр азую ­
щих g i , . . . , g n. Л егко видеть, что соответствие, сопоставляющей
приведенному слову от Si , . . . ,
такое ж е выражение от g u . . .
152
Рис. 33
. . . , gn, является гомоморфизмом 9*„ на G. П оэтом у любая груп­
па является гомоморфным образом свободной — свободны е
группы играют в теории групп ту же роль, что свободные моду­
ли в теории модулей и некоммутативные кольца многочленов в.
теории алгебр (см. §§ 5 и 8 ).
Пусть
G = 9>J N
— представление группы G как факторгруппы свободной груп­
пы З’ п по нормальному делителю N. Элементы г ь . . . , гт, кото­
рые, вместе со своими сопряженными, порож дают группу N y
называются определяющ им и соотношениями группы G. Очевид­
но, что в G выполнены соотношения
Гх = е, . . . , r m= e
(г г рассматриваются как слова от образующих gb . . . , g„ группы
G). Указание определяющих соотношений однозначно определяет
нормальный делитель N , а значит, и группу G. Это придает
точный смысл термину группа, заданная соот нош ениям и,
которым мы уж е пользовались. Группа, имеющая конечное число
образующих, называется конечно п орож ден ной, а если она
может быть задана и конечным числом соотношений — то и к онеч­
но оп р едел ен н ой . Например, формулы (1),
(2) и (3) предшест­
вующ его параграфа являются определяющими соотношениями
группы <3„, а формулы (7) и (8) — конечной группы, порожденной
отражениями. Можно показать, что в группе PSL (2, Z) (см. при­
133
мер 4) матрицы s = ^ _ j q| и * = ( i _ ] ) являются образующ и­
ми, а определяющие соотношения этой группы имеют вид:
s 2 = е,
t3 = e.
Можно ли считать задание группы образующими и соотнош е­
ниями адекватным ее описанием (даже если число образующ их
и соотношений конечно)? Если gx, . . . , gn— образующие группы G,
то для того чтобы иметь
представление о самой группе, мы
должны знать, когда разные выражения вида
fTl
определяют (в силу заданных соотношений) один и тот ж е эле­
мент группы. Этот вопрос был назван проблемой тождества.
Она тривиальна для свободных групп и была решена для неко­
торых очень специальных классов групп, например, для групп,
заданных одним соотношением, но в общ ем случае оказалась
недоступно трудной. То ж е можно сказать и о другой п робле­
ме такого типа — узнать, будут ли изоморфны две группы, за­
данные образующ ими и соотношениями. (Она называется п ро­
блемой изоморфизма.)
Обе эти проблемы были перенесены в другую плоскость, ког­
да в математической логике было создано точное определение
алгоритма. Д о этого можно было только решить проблему тож ­
дества и предъявить процедуру, называемую алгоритмом, для
установления тождественности двух выражений, составленных
из образующ их. Теперь же оказался точно поставленным в о­
прос — всегда ли проблемы тож дества и изоморфизма разре­
шимы? Вскоре он был решен. Оказалось, что среди групп, за­
данных конечным числом образующ их и соотношений, сущ ест­
вуют группы, для которых не разрешима проблема тождества, и
группы, для которых не разрешима проблема изоморфизма д а ­
же с единичной группой!
Пожалуй, наиболее ярким примером принципиальной необ­
ходимости привлечения понятий математической логики к
исследованию чисто теоретико-групповых проблем является
М Т е о р е м а Х и г м а н а . Группа с конечным числом об р а ­
зующих и бесконечным числом определяющих соотношений тог­
да и только тогда изоморфна подгруппе группы, определенной
конечным числом соотношений, когда множество ее соотнош е­
ний рекурсивно перечислимо. (Последний термин, также отно­
сящийся к математической логике, формализует интуитивное
понятие об индуктивном способе перебрать все элементы неко­
торого множества, строя их один за одним). ^
Задание групп образующ ими и соотношениями чаще всего
встречается в топологии.
П р и м е р 7. Фундаментальные группы. Пусть X — топол о­
гическое пространство. Его фундаментальная группа состоит
из замкнутых путей, рассматриваемых с точностью до непрерыв154
мой деформации. Путем с началом в точке х£Х и концом уЧХ
называется непрерывное отображ ение
f : 1~*-Х отрезка / = [ 0 ^ ^ 1 ]
:в X, при котором f ( 0 ) = x , f ( l ) = y . Путь называется замкнутым,
-если х —у. Композицией пути f : 1~*-Х с началом х и концом у и
пути g : 1-*-Х с началом у и концом z называется отображение
,fg : 1-*-Х, заданное формулами
( / g ) (*) = / ( 2 0 при 0 < * < 1 / 2 ,
( / g ) W = g ( 2 < — 1) при 1 / 2 < * < 1 .
Пути f : I-+-X и g : 1-*-Х оба с началом х и концом у называют­
ся гомотопными, если сущ ествует такое непрерывное отображ е­
ние квадрата
/ = { 0 s £ f , и < 1 } , <р
что ф (^ 0 ) = f ( t ) , ф (t, 1) = g ( t ) , ф(0, и ) = х , ф(1, и) = у .
Замкнутые пути с началом и концом лг0, рассматриваемые с
точностью до гомотопии, обр азую т группу относительно умно­
жения, определенного как композиция путей. Эта группа назы­
вается фундаментальной группой пространства X. Она обозн а­
чается я ^ ) . ' 1 В общ ем случае фундаментальная группа зави­
сит от вы бора точки х0 и обозначается я (Х , х0), но если любые
д в е точки пространства X можно соединить путем (а мы будем
дальш е это всегда предполагать), то все группы я (Х , х 0),
х 0£Х, изоморфны. П ространство X называется односвязным, ес­
ли я ( Х ) = 1.
Если X является клеточным комплексом (т. е. объединением
депересекающ ихся «клеток» — образов шаров разных размерно­
стей ) и имеет единственную нульмерную клетку, то фундамен­
тальная группа л (Х ) имеет в качестве образующ их пути, со о т ­
ветствующ ие одномерным клеткам, а определяющие ее соотно­
шения
соответствую т
двумерным
клеткам.
Например,
одномерный комплекс не имеет двумерных клеток, и поэтому
его фундаментальная группа — свободная. Фундаментальная
группа «бу к ета » из п окружностей (см. рис. 34 для п —4) яв­
ляется свободной группой с п образующ ими.
ч Она обозначается также Я\(Х), в связи с тем, что сущ ествуют и груп­
пы п п( Х ) для п = 1 , 2 , 3 . . . , которые будут определены в § 20.
155
Ориентируемая компактная поверхность, гомеоморфная сф е­
ре с р ручками (см. рис. 35 при р = 2 ), может быть получена
склеиванием идущих через одну пар сторон 4/7-угольника —
так, как это изображено (при р — 2) на рис. 31.
Рис. 35
Она является, следовательно, клеточным комплексом с одной
нульмерной, 2р одномерными и одной двумерной клетками. По­
этому ее фундаментальная группа имеет 2р образующих: Si,
Sb h , •••, s p, tp, где s t получаются из путей a t и a ';
— из bt
и b\. Они связаны соотношением, отражающим направления
сторон при обходе границы 4/7-угольника:
(1)
sK
txsTxt\X. . . s ptps~xt~x= e.
Неразрешимость проблемы изоморфизма для групп дает
возмож ность (строя многообразия с такими фундаментальны­
ми группами) показать неразрешимость проблемы гом еом ор­
физма для многообразий размерности ^ 4 .
Фундаментальная группа тесно связана с рассматривавшимися
нами раньше дискретными группами преобразований. Именно,
если X — пространство, в котором любые две точки соединяются
путем, то сущ ествует такое о д н о свя зн о е связное пространство X
(т. е. такое, что я ( Х ) = е), на котором действует группа G,
/Ч
А
изоморфная я ( Х ) , причем X = G \ X . Пространство X назы­
вается ун и верса л ьн ой накрывающей для X . Наоборот, если
As
— связно и односвязно, а группа G действует на нем дискретно
As
и свободно,
то
X
является
универсальной
накрывающей
для
A
S
X = G \ X , а G изоморфна я (2 0 - Так, в примере 3, риманова
поверхность X представляется как G \ С +. Значит, С + является
универсальной накрывающей для X и G = ^ n (X ). Отсюда мы
получаем, что группа G задается определяющим соотношением
A
s
(1). Комплекс X , изображенный
и на нем свободно действует
фундаментальной областью для
е х и еу. Поэтому 9 2\ Х есть
156
на рис. 33, очевидно, односвязен,
группа 9 2. Легко видеть, что
этой группы будут два отрезка
букет двух окружностей (полу­
чающихся отождествлением
е с х и с у), как на рис. 34 (но при
п = 2), и X — универсальная накрывающая для этого букета.
П р и м е р 8. Группа узла. Узлом называется гладкая, не
пересекающая себя замкнутая кривая в трехмерном простран­
стве. Задача заключается в классификации узлов с точностью
до изотопии — непрерывной деформации пространства. При
этом, основным инвариантом является группа узла Г — фунда­
ментальная группа дополнения n (R 3\ T ) . Для наглядного изо­
бражения узла, его проектируют на плоскость, указывая на по­
лучающемся чертеже, для каждой точки пересечения, какая
кривая идет снизу, а какая — сверху (рис. 36).
Образующ ие группы узла соответствую т отрезкам, на кото­
рые точки пересечения разделяют получающ уюся кривую (на­
пример, путь у на рис. 36 соответствует отрезку А Б С ) . М ож но
показать, что определяющие соотношения соответствую т точ­
кам пересечения.
Простейший узел — незаузленная
окруж ­
ность — может быть спроектирован без самопересечений, и по­
том у его группа является бесконечной циклической группой.
Рис. 36
Роль группы узла иллюстрирует, например, следующая тео­
рема:
< Узел тогда и только тогда изотопен незаузленной окруж­
ности, когда их группы изоморфны. ►
Мы встречаемся здесь с примером, когда содержательный
топологический вопрос приводит к частному случаю проблемы
изоморфизма.
П р и м е р 9. Группы кос. Рассмотрим квадрат ABCD и по­
местим как на стороне АВ, так и на стороне CD по набору из п
точек: Р и . . . , Рп и Q b . . . Qn. Косой называется набор п глад­
ких непересекающихся кривых, содержащихся в кубе, построен­
ном на квадрате ABCD, начинающихся в точках Р и ■■■, Рп и
кончающихся в точках Q i , . ••, Qn (но, может быть, в другом по­
рядке (рис. 3 7 а )). Коса рассматривается с точностью до изо­
топии. Умножение кос изображено на рис. 376. Отождествив
точки P.i и Qi, мы получаем замкнутые косы. Классы замкну­
тых кос с точностью до изотопии образую т группу кос 2 П. О б ­
разующими в группе
являются косы <т,г-, £= 1, . . . , п— 1, в ко157
в
с
А
Л
5)
5)
Рис. 37
торых переставляются лишь две нити (рис. 37 в ) . Определяю­
щие соотношения имеют вид:
alaJ= ajal
при
] ф ь ± 1,
(2>
GiGuia i = Oi+iOtaM -
Вопрос об изотопической эквивалентности кос переформули­
руется как проблема тож дества в группе кос, определенной с о ­
отношениями (2 ). В таком частном случае проблема тож дества
разрешима и решена — это одно из приложений теории групп к
топологии.
Значение группы кос заключается в том, что коса определяет
движение п несливающихся точек на плоскости, причем порядок
точек не играет роли. Точный результат таков. Обозначим через
^ м н о ж е с т в о тех точек ( z b . . . , г„)бСл, в которых z t = Zj для
некоторых
J. Симметрическая группа
действует в С",
переставляя координаты, и сохраняет 2). Обозначим через Х п
многообразие @ П\ ( С Л\.25). Группа кос 2 „ является его фунда­
ментальной группой: 2 „ = я ( А '„ ) .
Точка
— это неупорядоченный набор п различных ком­
плексных чисел Zj, . . . , z n. Его можно задать, указав коэф­
фициенты а ъ . . . , а п многочлена tn Oitn~l ~\~ . . . -{-a n = (t — Z j ) . . .
. ,( t — z n). П оэтому мы можем сказать, что 2 „ —я (С л\ Л ), где
С" — пространство переменных аь . . . , а„, а Л получается прирав­
ниванием 0 дискриминанта многочлена с коэффициентами Оц . . . , ап.
§ 15.
ГРУППЫ
ЛИ
ПРИМЕРЫ
ГРУПП:
И АЛ ГЕБРАИ Ч ЕСКИ Е
ГРУППЫ
Мы переходим к рассмотрению групп, элементы которых за­
даются непрерывно меняющимися параметрами. Иными слова­
ми, множество элементов такой группы, возникающей часто в
связи с геометрическими или физическими вопросами, само о б ­
ладает «геометрией». Эта геометрия может иногда быть очень
простой, а иногда — далеко не тривиальной.
Например, группа сдвигов числовой прямой: х -* -х + а , ot;6R,.
отраж ающ ая изменение координаты при изменении начала от­
счета, изоморфна, очевидно, группе вещественных чисел по сл о­
158
жению и параметризуется точками прямой. В группе вращений
плоскости вокруг неподвижной точки О каждый элемент за­
дается углом поворота <р, причем два значения <р определяют
одно и то же вращение, когда они отличаются на целое крат­
ное 2л. П оэтом у наша группа изоморфна R/2nZ и параметри­
зуется точками окруж ности с центром в О: поворот задается
той точкой окружности, в которую он переводит некоторую точ­
ку, выбранную как начало отсчета. Ту ж е окруж ность мож но
представлять себе как фундаментальную область группы 2 n Z —
отрезок ![О, 2л ], у которого отождествлены крайние точки. О д­
нако, столь простые примеры еще не даю т возможности почув­
ствовать специфику возникающих здесь ситуаций.
П р и м е р 1. Группа вращений трехмерного пространства.
Эта группа возникает в связи с описанием движения твердого
тела, у которого одна точка остается неподвижной (мы будем
предполагать это тело трехмерным, не вмещающимся в пло­
ск ость). Свяжем теперь с телом ж естко систему координат с
центром в неподвижной точке О. Тогда движение тела опреде­
лит движение всего пространства: такое, прн котором координа­
ты каждой точки относительно подвижной системы координат
не меняются, т. е. пространство движется вместе с телом. Если
сравнить положение всех точек в моменты 1 = 0 и t = t 0, то оче­
видно, что они переместятся так, что расстояния меняться не:
будут. Иными словами, переход от начального положения к
положению в момент t = t о будет ортогональным преобразовани­
ем ф( трехмерного пространства (оставляющим на месте нача­
ло координат О ). Однако, так как преобразование <pt зависит
от i и зависит, очевидно, непрерывно, оно должно сохранять,
ориентацию пространства. Ортогональное преобразование трех­
мерного пространства, сохраняющее его ориентацию, называет­
ся вращением. Оно действительно реализуется как поворот на
определенный угол вокруг
некоторой оси: эта т е о р е м а
Э й л е р а может быть доказана элементарным геометрическим
рассмотрением. Она такж е следует из того, что характеристи­
ческий многочлен |Х£— Л| нашего преобразования А, как мно­
гочлен 3-й степени с отрицательным свободным
членом
(| Л | > 0 , так как А не меняет ориентацию), должен иметь по­
ложительный корень, который ввиду ортогональности А равен
1, — соответствующ ий собственный вектор и определяет ось
вращения.
Таким образом, элементы группы вращений описывают все
положения, которые мож ет занимать неподвижное тело, двига­
ясь с закрепленной точкой О, а лю бое реальное движение этого
тела описывается кривой (параметризуемой временем t) в этой
группе; группа вращений является конфигурационным прост­
ранством движущегося твердого тела с закрепленной точкой.
Какова ж е она «геометрически»? Ч тобы ее увидеть, зададим
поворот на угол <р вокруг оси I вектором, идущим в направле159-
■Нии I и имеющим величину <р (считая, что — я ^ ф ^ я ) . Такие
векторы заполнят шар радиуса я с центром О. Однако, точки
граничной сферы, соответствующ ие одной и той ж е оси,
но
разным значениям ф = — я и ф = я, определят одно и то ж е вра­
щение. Таким образом, группа вращений описывается шаром в
трехмерном пространстве R3, у которого отождествлены диа­
метрально противоположные точки границы. Как известно, при
таком отождествлении получается трехмерное проективное про­
странство Р3: это и есть геометрическое описание группы вра­
щений.
То же описание группы вращений трехмерного пространства
можно получить и другим способом . Рассмотрим группу G, с о ­
стоящ ую из кватернионов q с нормой 1 (ср. пример 5 § 8 ). Она
задается (если q = a + bi + cj + dk) уравнением
a2 + b2 - - c 2 + d2 = \,
т. е. является трехмерной сферой S 3. Пусть & — трехмерное про­
странство чисто мнимых кватернионов, определенных условием
R e x = 0. Группа G действует на & по закону x -+ q xq ~ l, хв& ,
qeG. Так как |qxq~l [= |q \[х \\q\-1 = |х |, то в S ’ возникает
ортогональное преобразование. Л егко видеть, что q действует
единично, только если <7= ± 1 , так что мы получаем гом ом ор­
физм f группы G в группу ортогональных преобразований трех­
мерного пространства, с ядром ± 1 . Так как группа G связна,
то образ f должен содерж аться в группе вращений, а из срав­
нения размерностей легко увидеть, что он должен с ней совпа­
дать. Иными словами
I. Группа вращений трехмерного пространства изоморфна
факторгруппе группы G кватернионов с нормой 1 по подгруппе,
состоящ ей из ± 1 . ^
Так как группа G есть трехмерная сфера, то, значит, группа
вращений трехмерного пространства получается из сферы S 3
отождествлением диаметрально противоположных точек. Мы,
тем самым, еще раз получили отождествление этой группы с
трехмерным проективным пространством.
Мы встречаемся, таким образом, с примерами групп п реоб­
разований (группа сдвигов прямой, вращений плоскости, вра­
щений трехмерного пространства), элементы каждой из которых
естественно взаимно однозначно параметризуются точками не­
которого многообразия X (прямой, окружности, трехмерного
проективного пространства). Следующий шаг заключается в
том, чтобы абстрагироваться от задания нашей группы как
группы преобразований и считать, что многообразие X являет­
ся адекватным описанием множества элементов группы и груп­
повой закон задан на этом множестве X. Так мы приходим к
понятию группы Ли, имеющему два варианта в зависимости от
того, предполагаем ли мы X дифференцируемым, или комплекс­
но аналитическим многообразием. Тогда и группа Ли называет­
160
ся дифференцируемой или комплексно аналитической. Опреде­
ление таково:
<4 Группа G, являющаяся одновременно дифференцируемым
(или комплексно аналитическим) многообразием, называется г р у п ­
пой Ли, если отображения
G -+ G ,g -+ g ~ l
и
G X G -> G , (gb g2)-> g ig 2
дифференцируемы (или комплексно аналитические). ^
То что множество элементов группы Ли G образует много­
образие, снабж ает его геометрией. Алгебра (т. е. наличие груп­
пового закона) делает эту геометрию однородной. Элементы
левого регулярного представления называются сдвигами на
элементы группы и определяет транзитивную группу преобразо­
ваний (дифференцируемых или комплексно аналитических)
группы G. Пользуясь ими, можно, например, исходя из к аса­
тельного вектора т в единичной точке eGG, получить, при пом о­
щи левого сдвига на элемент g, касательный вектор хв в точке
gGG, т. е. векторное поле на всей группе G. Такие векторные по­
ля называются левоинвариантными. Точно так ж е можно стр о­
ить лев о- (или право)-инвариантные дифференциальные фор­
мы на G. Наконец, тем же способом можно построить на G
лево- (или право) -инвариантную риманову метрику.
Теорема 1, описывающая группу вращений трехмерного про­
странства, дает пример геометрических свойств, типичных для
многих групп Ли. Во-первых, гомоморфизм G -»-G ./(± 1)
(где
G — группа кватернионов с нормой 1) является, очевидно, неразветвленным накрытием. Так как группа G диффеоморфна
трехмерной сфере, то она связна и односвязна, т. е. является
универсальной накрывающей группы вращений (ср. пример 7
§ 14). Отсюда следует, что для группы вращений фундаменталь­
ная группа п имеет порядок 2. Мы мож ем получить не только
топологическую, но и дифференциально-геометрическую инфор­
мацию о группе вращений. Ее инвариантная риманова метрика
мож ет быть согласована с такой ж е метрикой группы G. Н о G
есть сфера S 3 и, значит, многообразие положительной римано­
вой кривизны. Тем самым, это верно и для группы вращений.
М ож но показать, что для лю бой компактной группы Ли инва­
риантная риманова метрика имеет неотрицательную кривизну,
а направления, в которых эта кривизна нулевая, соответствуют
коммутативным подгруппам.
Замкнутое подмногообразие H czG , одновременно являюще­
еся подгруппой группы Ли G, называется ее подгруппой Ли.
В этом случае множество классов смежности H \ G , как м ож ­
но показать, также является многообразием, причем отображ е­
ние G -+ H \ G и действие G на H \ G дифференцируемы (или
11—9339
23
161
комплексно аналитичны). Так как действие G на H \ G тран­
зитов нно, то H \ G является однородным многообразием отно-.
сительно группы G. Соотношению (9) § 12 здесь соответствует
соотношение
d im G =d im //+d im //\G .
(iy
Дальше мы разберем подробнее два типа групп Ли: компакт­
ные и комплексно аналитические, опишем важнейшие приме­
ры того и другого типа и их связи,
А. Компактные группы Ли.
П р и м е р 2. Торы,. В /г-мерном вещественном векторном про­
странстве L рассмотрим решетку С = Zei + . . . - f Zen, где е ъ . . .
. . . , е л— некоторый базис L. Факторгруппа Т = L j C компактна.
Она является группой Ли и называется т ор ом . Так как
L = Rei + . . •- г Re„, то
r^(R/Z)X-..X(R/Z).
Факторгруппа R /Z является окружностью, а /г-мерный тор — пря­
мым произведением и-окружностей. Торы имеют громадное коли­
чество применений, из которых укажем три.
а) Периодические функции с периодом 2п — это функции
на окруж ности R/2nZ. Такая точка зрения, как мы дальше
увидим, дает новый взгляд на теорию рядов Фурье.
б) Возьмем за L плоскость комплексного переменного С.
Этот случай мы уж е рассматривали в примере 1 § 14. Если
С с С — решетка, то тор С/С наследует от С структуру комп­
лексного аналитического многообразия. Как комплексные мно­
гообразия торы С /С имеют размерность 1.
М ожно показать,
что это — единственные компактные комплексно аналитические
группы Ли комплексной размерности 1. Аналогично, произволь­
ная компактная комплексно аналитическая группа Ли являет­
ся тором
СП/С , где C = Z e i + —Ze2n
— решетка
в 2л-мерном вещественном
пространстве
С7*..
В частности, такая группа обязательно абелева.
в) В классической механике т е о р е м а Л и у в и л л я утверж ­
дает, что если в механической системе с п. степенями свободы
известны п независимых первых интегралов 1 Ъ. . . , / и, находя­
щихся в инволюции (т. е. таких, что все скобки Пуассона-,
l/ct, р] = 0 ) , то система интегрируется в квадратурах. Доказа­
тельство основывается на том, что в 2/г-мерном фазовом прост­
ранстве /г-мерное многообразие уровня
Т с : 1 а = Са. (а = 1,. • •, п,
c = ( c i , . - . . , c n))
является тором. Это сразу следует из того, что на Т с функции:
/<х определяют п векторных полей: они задаются дифференци162
альными формами d l a (при помощи симплектической метрики,
определенной на фазовом пространстве). Каждое векторное поле
определяет однопараметрическую группу преобразований U a (t)T
а соотношения [ / а, / р ] = 0 означают, что преобразования U a ( t j
и U р (i2) коммутируют. Таким образом, на многообразии Т с дей­
ствует группа Ли R": точке
. . . , *„)6Rn соответствует преобра­
зование U x {t^ ).. .U n (tn). Отсюда следует, что Т с является
факторгруппой R" по стационарной подгруппе Н некоторой точ­
ки x<jbTe. Так как размерность Гс есть я и Те компактно (на
нем постоянна кинетическая энергия, являющаяся положи­
тельно определенной ф орм ой), то Tc = Rn(H есть тор. Таким о б ­
разом, движение точки, соответствующ ей системе, всегда про­
исходит по тору, причем, сверх того, доказывается, что точка
движется по одномерной подгруппе этого тора (чему соответ­
ствует введение, так называемых, координат «действие— у г о л » ).
Перейдем к примерам некоммутативных компактных грушь
Ли. Мы опишем три серии групп (примеры 3, 4, 5 ), обычно на­
зываемых классическими. Каж дая из этих групп появляется в
нескольких вариантах. Обычно это некоторые группы матриц.
Для такой группы G все содерж ащ иеся в ней матрицы с опре­
делителем 1 обозначаю тся SG ( S — от слова «специальная»).
Факторгруппы групп G и S G по их центрам обозначаю тся PG
и P S G (Р — от слова «проективная»).
П р и м е р 3. Ортогональная группа
О( п ) , состоящ ая
из
всех ортогональных преобразований я-мерного евклидова про­
странства. Эта группа действует на единичной сфере S n_I в
я-мерном пространстве. Если е б 5 "-1, |е |— 1, то стабилизатор'
точки е действует в гиперплоскости, ортогональной е, и изо­
морфен 0 ( я — 1). П оэтом у ввиду (1)
dim О (я) = dim О ( я — 1) -j- я — 1,
dim О ( я ) = я (я — 1)/2.
Группа О (я ) не связна. Она имеет важную подгруппу ин­
декса 2, обозначаемую SO (я ) и состоящ ую из ортогональных
преобразований с определителем 1. Л егко доказать, что группа
S О (я ) связна. Если я нечетно, то центр группы SO (я ) состо­
ит из Е, а если четно — то из £ и — Е. Факторгруппа группы
SO (я ) по ее центру обозначается P S O (fi). Группа вращений
трехмерного пространства (пример 1 ) — это S O (3 ).
Естественное обобщ ение группы О (я) связано с рассм отре­
нием произвольной невырожденной квадратичной формы
-*1 +
•••
+
Xl — Xl+i —
•••
—
Х1+д'
£ +
<7 =
«"
Линейные преобразования пространства R", сохраняющие эту
форму, образую т группу Ли,
обозначаемую
0 { р , q).
Эта
группа компактна, лишь если р = 0 или <7= 0. М ы встретимся с
ней (при других значениях р я д ) позже.
11*
163
П р и м е р 4. Унитарная группа U (п ) , состоящ ая из унитар­
ных преобразований n-мерного эрмитова комплексного п рост­
ранства. Как и в примере 3, доказывается, что d i m U ( n ) = n 2.
Определитель преобразования из U (n ) есть комплексное чис­
ло, по модулю равное 1. Преобразования с определителем 1
образую т подгруппу S U (n )
размерности п2— 1. Центр под­
группы SU(rt) состоит из преобразований sE, s " = l . Ф актор­
группа по центру обозначается P S U (n ).
П р и м е р 5. Рассмотрим n-мерное пространство Н" над т е ­
лом кватернионов (пример 5 § 8 ). Определим в нем скалярное
произведение со значениями в Н:
П
((x i> •••>
{У\, . . . ) уп)) =
/=1
х 1Уи
(2)
гд е y t — сопряженные кватернионы. Группа линейных преобразо­
ваний из AutHHn, сохраняющих это скалярное произведение,
называется ун и т а р н о сим ллект ияеской, и обозначается Sp U (п,).
При п = 1 мы получаем группу кватернионов q с модулем 1.
В общем случае
dim Sp U {п )= 2га2 + п.
М еж ду различными классическими группами сущ ествую т связи,
которые часто оказываются полезными.
Теорема I может быть теперь коротко записана так:
SpU(l)/(±l)^SO(3).
(3)
Как мы видели, из нее следует, что | n (S O (3 )| = 2 .
Аналогичное представление для группы S O (n ) и даж е для
произвольной (вообщ е говоря, некомпактной) группы S O (p , q)
получается при помощи клиффордовой алгебры
(пример 10
§ 8).
То что лю бой кватернион q при преобразовании x-+ q xq ~ x
переводит пространство чисто мнимых
кватернионов в себя,
является особенностью , связанной со случаем п = 3 . В общ ем
C ( L ) , соответствую ­
случае рассмотрим алгебру Клиффорда
щ ую пространству L над R с метрикой
х 1+
- г * 2р- х 2
р+1-
... — х 2
р+д,
p + q = n.
Напомним, что А с С (£). Введем группу G обратимых элементов
а £ С °(L), для которых a~xL a c.L .
Очевидно, что G — группа.
Легко проверить, что для agG отображение х -*а ~ 1х а при xQL,
a $ G сохраняет метрику L. Таким образом, мы получаем гомо­
морфизм
f:G ^O (p,q).
Л егко видеть, что ядро / состоит из a6R, а ф 0. Доказывается
(с использованием того известного факта, что лю бое ор того­
164
нальное преобразование можно представить как произведение
отраж ений), что образ / есть S O ( p , q ) н что лю бой элемент
из G представляется в виде а — С \ . . . с г, сцGL, с некоторым чет­
ным г. Отсюда вытекает, что для aGG элемент aa*GR, где а-*-+ а * — инволюция в алгебре C ( L ) (см. пример 10 § 8 ), и, если
мы положим a a * = N ( a ) , то для a, b&G, M ( a b ) = M ( a ) N ( b ) .
П оэтом у элементы aGG, N ( a ) ~ 1, обр азую т группу. Она назы­
вается спинорной группой и обозначается Spin (/з, q ). При q = &
она обозначается S p in (n ). Л егко видеть, что группа S pin(p, q)
связна. Я дро гомоморфизма / : S p i n ( p , q ) - + 0 ( p , q) состоит иа
+ 1 и — 1. О браз ж е зависит от чисел р и q. Если <7 = 0 , оче­
видно 0 ( р , q ) = 0 ( n ) , и легко проверить, что /( S p in (n ) ) =
= S O (n ). Т о есть
Spin (п) I ( ± 1 ) = SO (п).
(4)
Таким образом , группа S p in (n ) является двулистной накрыва­
ющей группы S О( п ) . Используя индукцию, легко доказать
(начиная с п = 3 ), что порядок группы it (S O (n )) есть 1 или 2 .
Но
мы построили двулистное накрытие S p in (n )-> S O (n ) итем
самым доказали, что |л (S p in (n )) |= 2 , а группа S p in (n ) одно­
связна.
Если р > 0 и q > 0, то в группе G сущ ествую т элементы как
с положительной, так и с отрицательной нормой, и их образы
определяют в S 0 ( р , q) две разные компоненты. Образы эле­
ментов с положительной нормой образую т в S O (p , q)
под­
группу S O + (p, q) индекса 2, и /(S p in (p , <7) ) = S O + ( p , q), т. e.
Spin (p, q ) l ( ± 1) ^ S O + (p, q).
Как мы видели
записать в виде
в примере 6
z \-\- j Zb
(5)
§ 8 , любой кватернион можно
ZU Z 26C.
(6 >
При этом у‘2= — 1 и z j = j z . В записи (6 ) кватернионы обра­
зую т пространство С 2 над С, если умножение на гбС понимать
как умножение справа. Поэтому левое регулярное представление
даст представление кватернионов линейными (над С) преобразо­
ваниями С2, т. е. матрицами 2-го порядка. Взяв базис {1, у'}, мы
/ — Zi Z4
сопоставим кватерниону (6 ) матрицу
- \ —
z2 Z\
В записи (6 ) модуль кватерниона равен
([ Z !| 2 + |z 2|2)1/2.
Поэтому умножение на кватернион с нормой 1 даст унитарное
преобразование пространства С 2 (с метрикой ) z ^ 2 - ! - 1 -г2|2). Кроме
того, определитель матрицы равен тож е \z l \2 Jr \ z 2\2, т. е. в нашем
случае 1. Так мы получаем гомоморфизм
S p U (l)-> S U (2 ),
(7)
ядро которого равно 1. Из соображ ений размерности и ввиду
связности группы S U (2 ), мы видим, что это — изоморфизм»
155
т. е. группа S U (2 ) изоморфна группе кватернионов с м оду­
лем 1 . Объединяя (3) и (7 ), мы получаем изоморфизм:
S O (3 ) = S U (2 )/(_ ± l).
(8)
Е го элементарная интерпретация такова: рассмотрим множ е­
ство L двумерных эрмитовых матриц со следом 0. На нем
действует по правилу A -+U A U ~l группа S U (2 ). Введя для A&L
кетрику \А\2—— d e M , мы превратим L в трехмерное вещ ест­
венное
пространство.
Преобразование,
соответствую щ ее
£ /6 S U (2 ), определяет в нем преобразование yG S O (3). Это и
есть гомоморфизм
S U (2 )-» S O (3 ).
П усть SB — четырехмерное пространство кватернионов с
метрикой, определенной модулем. Определим действие группы
S p U ( l ) X S p U ( l ) на S ’ :
(<7i. 42)(x) = q i X q - \ ' х & .
(9)
Л егко видеть, что тривиально действую т только пары (1,1) и
(— 1, — 1). Очевидно, что наши преобразования сохраняю т м о­
дуль, т. е. являются ортогональными. Определитель преобразо­
вания (9) есть |?i| |<72 |-1> т. е., в нашем случае, 1. М ы полу­
чаем гоморфизм
S p U ( l ) X S p U ( l) - » - S O ( 4 ),
ядро которого нам известно. Образ, по соображениям связно­
сти и размерности, есть все SO (4 ). Мы получаем изоморфизм:
S O (4 )^ (S p U ( l ) X S p U ( l ) ) / t f ,
(10)
где Н — подгруппа центра второго порядка. Весь центр группы
SpU( l ) X S p U ( l )
есть произведение двух групп второго по­
р я д к а — центров S p U ( l ) . Профакторизовав (10) слева по
центру S O (4 ), мы должны справа профакторизовать S p U ( l ) X
X S p U ( l ) по всему центру. Н о факторгруппа S p U ( l ) по цент­
ру есть S O (3 ). П оэтому
PS О ( 4 ) ^ S O (3) X SO (3).
(11)
Б. Комплексно аналитические группы Ли. Следующие их
три серии также носят название классических (примеры 6,
7, 8 ).
П р и м е р 6. Полная линейная группа GL (п, С) невырож ­
денных линейных преобразований «-м ерного комплексного
пространства. Размерность группы (как комплексного анали­
тического м ногообразия), очевидно, равна « 2. Она содерж ит
подгруппу S L (« , С) линейных преобразований с определите­
лем 1. Центр группы G L (« , С) состоит из скалярных матриц.
Ее факторгруппа по центру обозначается P G L (« , С ).
166
П р и м е р 7. Подгруппа группы GL (га, С), состоящая из пре
образований, сохраняющих некоторую невырожденную квадратич
яую форму (в надлежащей системе координат имеющую вид
я 2+ . . . - j- х 2), обозначается О (п., С) и называется ор т огон а л ь­
ной группой. Ее размерность как комплексно аналитического
многообразия равна п
П р и м е р 8. Подгруппа группы GL(2ra, С), состоящая из пре­
образований, сохраняющих некоторую невырожденную кососим­
метрическую форму (в надлежащей системе координат имеющую
вид
П
^2 (^tyn+i
i= 1
-^и+гУг))»
называется си м п л ек т а ч еск ой группой и обозначается Sp (2п, С).
Связь между комплексными и компактными классическими
группами заключается в следующем. Очевидно, что U ( n ) c
c :G L (n , С ). М ож но доказать, что U( n ) — максимальная ком­
пактная подгруппа в G L (n , С ), т. е. не содерж ится ни в какой
большей компактной подгруппе. Все другие компактные под­
группы группы GL(ra, С) сопряжены с подгруппами группы
U (/г). Причину этого мы поясним в § 17Б. Аналогично, группа
0 ( л ) с : 0 ( п , С ), является в ней максимальной компактной под­
группой, все компактные подгруппы О (/г, С)
сопряжены
ее
подгруппам. Ч тобы установить аналогичный результат для
симплектических групп, воспользуемся записью (6) кватернио­
нов как двумерного пространства над С : Н = С + /С . Тогда век­
тор х = ( х и . . . , х „)б Н п запишется как ( z u . . . , z„, z n+i, . . .
. . . , 22п), где ZjGC, xk= z k+ j z k+n. В этих координатах, как
очень легко проверить, произведение (2) (см. пример 5) при­
нимает вид (при у = (Уи ■■■, Уп), yk= w k+ j w k+ 4
п
(X, у) -= 2 z № i + У‘2 (ZiW^n— WiZ^n).
i—1
Таким образом, если (х , у ) — а.-\-уф, то а есть эрмитово скаляр­
ное произведение комплексных векторов х и у, а р— значение
на них кососимметрической формы 'L {zlw un— w lz u ^ . Всякое
линейное (над Н) преобразование Ф пространства Нв записывается
как линейное над С преобразование пространства С2” , а условие
Фб£5р U (/г), ввиду сказанного выше,
означает что
Фби (2л.)
и 9gSp (2га, С). Таким образом,
Sp U (я )= G (2га) П Sp (2га, С).
В частности, S p U ( n ) — подгруппа группы Sp(2n , С)’. Она яв­
ляется ее максимальной компактной подгруппой, и все ком­
167
пактные подгруппы группы 5 р (2 п , С) сопряжены подгруппам
группы Sp U ( л) .
Во всех трех случаях размерность объемлющ ей комплек­
сной группы (как комплексно аналитического многообразия)
равна размерности компактной подгруппы (как дифференциру­
емого многообразия).
В заключение укажем на некоторые важные группы Ли
небольшой размерности.
Группа 0 ( 3 , 1 ) называется группой Л ор ен ц а , a S O ( 3 ,1 ) —
собст венной группой Л оренца. Если интерпретировать х 0 как
время, а Яц х 2, х 3— как пространственные координаты, то сохра­
нение формы / = — х\ -\ -х\ -гх\ -{-х\ равносильно сохранению
скорости света (которая считается равной 1). Та ж е группа имеет
другую, не менее важную интерпретацию. Рассмотрим х 0 х х, х г
и х 3 как однородные координаты в трехмерном проективном про­
странстве Р 3. Равенство / = 0 определяет в Р 3 поверхность вто­
рого порядка, в неоднородных координатах у 1 = х 11 х 3, i — 1 ,2 , 3,
записывающуюся как у \ + у \ + у \ — 1. Таким образом, эт о сфера
5 с Р 3. Преобразования из 0 ( 3 , 1), если их рассматривать в
однородных координатах, будут проективными преобразовани­
ями Р3, сохраняющими 5 . Разумеется, умножение всех коор­
динат на — 1 будет давать в Р3 тождественное преобразование,
так что действовать в Р3 будет Р 0 ( 3 , 1). Очевидно, эта груп­
па сохраняет и внутренность сферы 5. Но, как известно, в м о­
дели Кэли— Клейна трехмерного пространства Л обачевского
это пространство изображается как раз точками внутренности
сферы, а его движения — проективными преобразованиями,
сохраняющими сферу. Таким образом, группа Р 0 ( 3 , 1) изо­
морфна группе всех движений, a P S 0 (3 , 1) — собственных
(сохраняющ их ориентацию) движений трехмерного простран­
ства Л обачевского.
Конечно, это утверждение носит общий характер: группа
Р 0 (п, 1) изоморфна группе движений n -мерного пространства
Л обачевского.
Группа 0 ( 3 , 1) (т. е. группа Лоренца) имеет еще одну важ­
ную интерпретацию. Она основывается на рассмотрении группы
Spin(3, 1) (ср. (5)). При построении этой группы мы видели, что
для agG норма yV(<2 ) = <za*6R. В нашем же частном случае это
условие достаточно: если aa* = agR и а=^=0, то а~12 ’а<^2>, т. е.
a6G . Действительно, из а * — а. получаем а г1= a -1a*, откуда
следует, что для х^З?, {а -1х а )* — а~1х а . С другой стороны,
агЪсабС1, а С 1 состоит из линейных комбинаций элементов e t
и произведений е ^ ^ ь , где е г образуют ортогональный базис в Я?.
Из них только линейные комбинации элементов e t не меняются
при замене х - > х * и, значит, а 'гх а & . Теперь воспользуемся
тем, что мы можем найти явное задание алгебры С° в виде
матричной алгебры (ср. пример 11 § 8 и пример 6 § 10). Если
168
% е и е 2, е 3— тот базис, в котором форма имеет вид—
+ х \- г •*§> то 1, ео^и е.Фъ s xe 2 порождают алгебру М 2 (С), !
и еф\вче3— алгебру С, а вся С 0 изоморфна Л'12 (С). Легко прове­
рить, что при этом изоморфизме инволюции а -+ а * соответствует
отображение
и условие а а *6R означает, что det A gR , A q M 2 (С). Поэтому
группа Spin(3, 1) изоморфна S L (2, С), и мы получаем гомоморфизм
S L (2, C ) ^ S О (3, 1).
Образ его есть S O + (3, 1), а ядро ( ± 1 ) . Таким образом,
P S L (2, C ) ^ S O +(3, 1).
Гомоморфизм S L (2, C )-> S O (3, 1) имеет следую щ ую элемен­
тарную интерпретацию. Рассмотрим пространство L двумерных
эрмитовых матриц и действие на нем группы S L (2, С ):А -> -С А С * ,
A£L, C 6SL (2, С). Введем в L метрику: |А |2= — det А , которая
в некотором базисе имеет вид — х \ -\ -х * \ -х \ - \ - У к а з а н н о е
выше действие группы SL (2, С) определяет, поэтому, гомомор­
физм SL (2, С) -* -0 (3 , 1). Он совпадает с нашим гомоморфизмом
SL (2, C ) ^ S 0 ( 3 , 1).
Теперь рассмотрим один класс групп, дающий интересные
примеры и групп Ли, и дискретных, н конечных групп.
В.
Алгебраические группы. Из них мы разберем один тип:
алгебраические матричные группы. Они могут быть определены
над произвольным полем К как такие подгруппы группы
G L (n , К ), которые задаю тся алгебраическими уравнениями с
коэффициентами в К. Примеры: S L (n , /С); 0 ( f , К ) — группа
матриц, сохраняющ их f, где f — некоторая квадратичная ф ор­
ма с коэффициентами из /С; Sp(2n , К)\ группа треугольных
матриц (Uij), ai5 = 0 при i < j , а и ф 0, или ее подгруппа, в кото­
рой все йц = 1. В частности, группа, состоящ ая из матриц вто­
рого порядка вида ( о ?
)> изоморфна группе элементов^
поля К по сложению. Она обозначается G0. Группа G L (1, i^C)
изоморфна группе элементов поля К по умножению. Она о б о з­
начается Gm или К*- Если поле К с : R или K czC , a G — алгеб­
раическая группа, определенная над К, то вещественные или
комплексные матрицы в группе G определяют вещественную'
группу Ли G( R) или комплексно аналитическую G( C) . Боль­
шинство рассматривавшихся нами групп Ли принадлежит к
этом у типу. Н о общ ее понятие — более гибкое, так как оно>
позволяет, например, рассматривать
алгебраические
группы;
над полем рациональных чисел. Так, рассмотрение группы
0 ( f , Q) дает теоретико-групповой метод изучения арифметиче­
ский свойств рациональной квадратичной формы f. Более то­
169*
го, рассматривая матрицы с целыми элементами и с определи7елем ± 1 в матричной алгебраической группе G, определен­
ной над полем Q, мы получаем дискретную подгруппу G (Z )
группы Ли G( R) . Для групп G = S L( n ) , 0(f), S p (n ) факторг
пространства G ( Z ) \ G ( R ) или компактны, или имеют конечт
ный объем (в смысле меры, определенной инвариантной мерой
в группе G ( R ) ) . Ср. пример За § 14. Такие группы, а такж е
их подгруппы конечного индекса, называются арифметически­
ми (в естественной общ ности эт о понятие требует рассмотрев
яия наряду с полем Q любых полей алгебраических чисел).
Наконец, такие алгебраические группы, как GL ( n ) , 0 ( п ) ,
S p (n ), можно рассматривать и над конечными полями, и они
даю т интересные примеры конечных
групп.
С группой
GL (п , Fg) мы уж е встречались.
Сущ ествует еще один совершенно неожиданный путь, на ко­
тором возникают дискретные группы в связи с алгебраическими
группами. Если матричная группа G определена над полем рацио­
нальных чисел ( К — Q), то мы можем рассматривать группу ее
рациональных точек G (Q), вещественных точек G (R) и р -адических точек G (Qp) (ср. конец § 7). Наиболее инвариантный сп особ
учесть равноправие полей R и Q p — это рассмотреть «произведе­
ние» (бесконечное) G (R ) и всех G (Qp). Мы не будем давать
точного определения этого произведения, которое называется
груп п ой а д ел ей группы G и обозначается G A. Так как G ( Q ) c
c G ( R ) и G ( Q ) c G ( Q p), то G (Q) с G A («диагональное» вложение).
Оказывается, что группа G (Q ) дискретна в G A. То что матрицы
с рациональными элементами образуют дискретную подгруппу,
представляется очень непривычным, однако причину легко понять
иа примере G = Qa группы всех чисел по сложению. Если
x £ G (Q) — рациональное число, то условие Фр (х ) < 1 для всех р
(определение нормы Фр см. в § 7) означает, что х — целое, и
Фк ( х ) < 1
дает тогда х = 0. В ряде случаев (таких, как
G = SL (п), 0 ( f ) ,
Sp (п)) факторпространство G q \ G a имеет
конечный объем. М ож но показать, что он определен соверш ен­
но однозначно одной лишь группой G. Этот объем — так назы­
ваемое число Тамагавы t(G) группы G — является ее важней­
шим арифметическим инвариантом. Например, если f — раци­
ональная положительно определенная квадратичная форма, то
из теоремы М инковского— Х ассе (теорема IV § 7) следует, что
уравнение f ( x ) —a при рациональных л; и а разрешимо тогда
и только тогда, когда оно разрешимо в R (т. е. а > 0 ) и во всех
Q p (т. е. сравнения f ( x ) s s a (m od р") все разрешимы). Н о если
этн условия выполнены, то можно дать численные характери­
стики числа целых решений, в терминах чисел решений сравне­
ний f ( x ) 2= a (m od рп). И это оказывается равносильным
на­
хождению числа Тамагавы t(G) (оно равно 2: это отраж ение
т ого факта, что |jt(S O (n ) |= 2 ) .
170
§ 16. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Идеалом «абстрактной» теории групп было бы описание
всех возможных групп с точностью до изоморфизма, но совер­
шенно независимо от их конкретных реализаций. Столь о б ­
щая задача, конечно, совершенно не реальна. Конкретнее мож ­
но себе ее представить на задаче (все еще очень широкой)
классификации конечных групп. Так как из конечного числа
элементов можно составить лишь конечное число таблиц Кэли,
то сущ ествует лишь конечное число неизоморфных групп данно­
го порядка. В идеале, хотелось бы знать закон, по которому
мож но указать все конечные группы заданного порядка. Для не
очень больших порядков это сделать нетрудно, и мы приведем
соответствую щ ие группы.
Следует вспомнить, что для коммутативных конечных групп
ответ дает основная теорема о модулях с конечным числом о б ­
разующ их над кольцом главных идеалов (ср. пример 6 § 5 и
теорему II § 6 ). Она дает, что конечная коммутативная группа
(записанная аддитивно) представляется в виде прямой суммы
групп Z / (ph), где р — простые числа, и такое представление
единственно. П оэтому трудность представляют только некомму­
тативные группы.
Перечислим все конечные группы (с точностью до изомор­
физма) порядков ^ 1 0 :
G = 2 G«Z/(2).
G = 3 G«Z/(3).
G = 4- G^Z/(4) или Z/ (2)®Z/(2).
G = 5 G—/(5).
G = 6 здесь впервые возникает некоммутативная группа,
изоморфная @ 3 .(или группе симметрий правильного треугольника),
задаваемая, также, соотношениями (6) и (7) § 12,
G =^S3 или Z /(2 )® Z /(3 ).
|0| = 7
— Z /(7).
|G |=8 здесь возникают уж е две неизоморфные некоммута­
тивные группы. Одна из них изоморфна £>* — группе симметрий
квадрата. Она также порож дается двумя элементами s и £ и
определяется соотношениями: s2= e , t* ~ e , (st) 2 — e ( s — это о т ­
ражение относительно одной из средних линий, t — поворот на
90°). Другая некоммутативная группа — Н ъ мож ет быть описа­
на при помощи алгебры кватернионов (пример 5 § 8 ): она со ­
стоит из 1, £, /, k, — 1, — i, — /, — k, умнож аемых как кватерни­
оны. Итак,
G — D i или # 8, или Z /(8 ), или Z /(4 )® Z /(2 ), или (Z /(2 ))3.
|а 1 = 9 G — Z /(9 ) или Z /(3 )® Z /(3 ).
|G| = 10 здесь опять возникает некоммутативная группа,
изоморфная группе £>5 симметрий правильного пятиугольника,
порожденная элементами s и t и определенная соотношениями
171
го, рассматривая матрицы с целыми элементами и с определи­
телем ± 1 в матричной алгебраической группе G, определен­
ной над полем Q, мы получаем дискретную подгруппу G (Z )
группы Ли G( R) . Для групп G = S L (/x), 0 ( f ) , Sp (п) ф акторг
пространства G ( Z ) \ G ( R ) или компактны, или имеют конеч­
ный объем (в смысле меры, определенной инвариантной мерой
в группе G ( R ) ). Ср. пример За § 14. Такие группы, а такж е
их подгруппы конечного индекса, называются арифметически­
ми (в естественной общ ности это понятие требует рассмотрев
яия наряду с полем Q любых полей алгебраических чисел).
Наконец, такие алгебраические группы, как GL(ra), О ( п ) ,
Sp ( п), мож но рассматривать и над конечными полями, и они
даю т интересные примеры конечных
групп.
С группой
QL (п, Fq) мы уж е встречались.
Сущ ествует еще один совершенно неожиданный путь, на ко­
тором возникают дискретные группы в связи с алгебраическими
группами. Если матричная группа G определена над полем рацио­
нальных чисел ( К — Q), то мы можем рассматривать группу ее
рациональных точек G (Q), вещественных точек G (R) и р-адичерсих точек G (Qp) (ср. конец § 7). Наиболее инвариантный способ
учесть равноправие полей R и Qp — это рассмотреть «произведе­
ние» (бесконечное) G (R) и всех G (Qp). М ы не будем давать
точного определения этого произведения, которое называется
груп п ой а д е лей группы G и обозначается G A. Так как G (Q )c r
c G ( R ) и G ( Q ) c G ( Q p), то G (Q )с G A («диагональное» вложение).
Оказывается, что группа G (Q ) дискретна в G A. Т о что матрицы
с рациональными элементами образуют дискретную подгруппу,
представляется очень непривычным, однако причину легко понять
на примере G = Qa группы всех чисел по сложению. Если
JcgG (Q) — рациональное число, то условие Фр ( я ) < 1 для всех р
(определение нормы Фр см. в § 7) означает, что jc — целое, и
Т ц (л ;)< 1 дает тогда х = 0. В ряде случаев (таких, как
G = S L (/i), 0 ( f ) , Sp (п)) факторпространство G q \ G a имеет
конечный объем. М ож но показать, что он определен соверш ен­
но однозначно одной лишь группой G. Этот объем — так назы­
ваемое число Тамагавы х (G ) группы G — является ее важней­
шим арифметическим инвариантом. Например, если f — раци­
ональная положительно определенная квадратичная форма, то
из теоремы М инковского— Х ассе (теорема IV § 7) следует, что
уравнение f ( x ) = a при рациональных х и а разрешимо тогда
й только тогда, когда оно разрешимо в R (т. е. а > 0 ) и во всех
Q p (т. е. сравнения f ( x ) = sa (m o d p ") все разрешимы). Н о если
эти условия выполнены, то мож но дать численные характери­
стики числа целых решений, в терминах чисел решений сравне­
ний f ( x ) s = a ( m o d p " ) . И это оказывается равносильным
на­
хождению числа Тамагавы t ( G ) (оно равно 2: это отраж ение
т ого факта, что |xc(SO(/i) |= 2 ) .
170
§ 16. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Идеалом «абстрактной» теории групп было бы описание
всех возмож ных групп с точностью до изоморфизма, но совер­
шенно независимо от их конкретных реализаций. Столь о б ­
щая задача, конечно, совершенно не реальна. Конкретнее м ож ­
но себе ее представить на задаче (все еще очень широкой)
классификации конечных групп. Так как из конечного числа
элементов можно составить лишь конечное число таблиц Кэли,
то сущ ествует лишь конечное число неизоморфных групп данно­
го порядка. В идеале, хотелось бы знать закон, по которому
мож но указать все конечные группы заданного порядка. Для не
очень больших порядков это сделать нетрудно, и мы приведем
соответствую щ ие группы.
Следует вспомнить, что для коммутативных конечных групп
ответ дает основная теорема о модулях с конечным числом о б ­
разующ их над кольцом главных идеалов (ср. пример 6 § 5 и
теорему II § 6 ). Она дает, что конечная коммутативная группа
(записанная аддитивно) представляется в виде прямой суммы
групп 2 /(рк), где р — простые числа, и такое представление
единственно. П оэтом у трудность представляют только некомму­
тативные группы.
Перечислим все конечные группы (с точностью до изомор­
физма) порядков ^ 1 0 :
0 1= 2 G ^ Z /( 2 ) .
01 = 3 G — ZI(3>).
0 1 = 4 G ^ Z /( 4 ) или Z / (2 )0 Z /(2 ).
G 1= 5 G ~ l { 5).
G |= 6 здесь впервые возникает некоммутативная группа
изоморфная @з .(или группе симметрий правильного треугольника),
задаваемая, также, соотношениями (6) и (7) § 12,
G ^ @ з или Z /(2 )0 Z /(3 ).
|G |= 7 ( ? — Z /(7).
|G |=8 здесь возникают уж е две неизоморфные некоммута­
тивные группы. Одна из них изоморфна D 4 — группе симметрий
квадрата. Она такж е порож дается двумя элементами s и £ и
определяется соотношениями: s2 = e , t*—e, (s t ) 2= e (s — это о т ­
ражение относительно одной из средних линий, t — поворот на
90°). Д ругая некоммутативная группа — Я 8 мож ет быть описа­
на при помощи алгебры кватернионов (пример 5 § 8 ): она с о ­
стоит из 1, i, /, k, — 1, — i, — /', — k, умножаемых как кватерни­
оны. Итак,
Q ^ D i или Н &, или Z /(8), или Z /( 4 ) 0 Z /(2 ), или (Z /(2))3.
|G i = 9 G ^ Z / ( 9 ) или Z /( 3 ) 0 Z /( 3 ) .
|О ] = 10 здесь опять возникает некоммутативная группа,
изоморфная группе Д 5 симметрий правильного пятиугольника,
Порожденная элементами s и t и определенная соотношениями
171
s 2 = e , t b— e, (s f f — e ( s — отражение относительно оси, t — пово2я'
рот на угол -g- J. Таким образом,
0 —D 5 и л и Z /(5 )© Z /(2 ).
Приведем таблицу, указывающ ую число групп заданного по­
рядка ^ 3 2 :
Ю1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
число
групп
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
Ю1
число
групп
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1
5
1
5
2
2
1
15
2
2
3
4
1
4
1
51
Конечно, на самом деле, исследование структуры конечных
групп использует не только их порядки, но и другие, более тон­
кие инварианты, а также методы конструкции более слож ных
групп из более простых.
Вернемся к общ ем у понятию группы и опишем основные м е­
тоды построения групп. Одним из них мы уж е пользовались —
это прямые произведения. Аналогично случаю двух множителей
определяется прямое произведение G \ X - - - x G m л ю бого конечно­
го числа групп G j , . . . , Gm: оно состоит из последовательностей
(йГь . . . , g m) , gi^Gi, с поэлементным умножением. Группы Gi
мож но считать подгруппами группы G i X - - X G m, отож дествив
элемент g £ G ( с последовательностью ( е , . . . , g , . . . , е) , где он
стоит на i-ом месте. Тогда G, окаж утся нормальными делителя­
ми G i X - - - x G m, порождающими всю эту группу,
причем
Gi Л( Gi X •••X Gn-i Х е Х G,+i X " •X Gm) = е. Нетрудно
показать,
что обратно, группа, обладаю щ ая нормальными делителями со
свой ством G in ( G r ” G i_ i-G i+r " G m) = е изоморфна их прямому
произведению.
Мы видели, что для конечных абелевых групп и даж е для
абелевых групп с конечным числом образующ их прямое произ­
ведение оказывается достаточно эффективной конструкцией и
приводит к их полной классификации. Однако при этом сущ ест­
венно, что разложение в прямое произведение, с которым мы
сталкиваемся в классификационной теореме (теорема II § 6 ) , —
единственно. В опрос о единственности разложения в прямое про­
изведение неразложимых далее групп естественно поставить и
для неабелевых групп. Мы приведем ответ в простейшем слу­
чае, который, однако, оказывается достаточным в больш инстве
172
приложений. По аналогии с модулями,
подгрупп группы G:
С э Я р Я 2Ь . . . э Я ^ ,
рассмотрим
Н ^ Н и1.
цепочки
(1)
Если длины всех таких цепочек ограничены, то G называется
группой конечной длины. Таковы конечные группы. Если G —
группа Ли или алгебраическая группа, то естественно в опреде­
лении рассматривать цепочки (1), в которых Я t являются связ­
ными замкнутыми подгруппами Ли или алгебраическими под­
группами. Тогда в цепочке (1) должна убывать размерность, и
поэтому ее длина ограничена размерностью группы G.
I.
Теорема
Веддербёрна — Р е м а к а — Шмидта.
Группа конечной длины мож ет быть только одним способом раз­
лож ена в прямое произведение неразложимых далее нормаль­
ных делителей. Точнее говоря, в двух таких разложениях число
сомножителей одинаково и сомножители попарно изоморфны. ►
Однако неабелева группа (например, конечная или группа
Л и) только в исключительных случаях разлагается в прямое
произведение: подавляющая их масса
неразложимы. Более
универсальный метод сведения групп к их более простым ча­
стям дает понятие гомоморфизма. Если G' = G/N, то гом ом ор­
физм G -*-G ' показывает, что группа G ' является как бы упро­
щенной версией группы G, которая получается, если последнюю
группу рассматривать «с точностью до элементов из Я ». Д о ка­
кого последнего нетривиального предела можно таким способом
«упрощ ать» группу? Мы можем рассматривать гомоморфизм
группы G '-»-G " и т. д. Если группа G имеет конечную длину, то
наш процесс оборвется, когда мы дойдем до группы G, которая
не имеет нетривиальных гомоморфизмов. Это значит, что в
группе 5 нет нормальных делителей, отличных от нее и от {е }.
Группа, не имеющая нормальных делителей, отличных от нее
и единичного элемента, называется простой. Для случая групп
Ли естественно говорить о связных нормальных делителях, яв­
ляющ ихся подгруппами Ли, для алгебраических групп — алгеб­
раическими подгруппами. Таким образом , группа Ли, являюща­
яся по нашему определению простой, мож ет не быть простой как
абстрактная группа, если она содерж ит дискретный нормальный
делитель. Например, группа R, содерж ащ ая подгруппу Z. Мы
видели, что любая группа конечной длины обладает гом ом ор­
физмом на простую группу. Пусть G—>-G' — такой гомоморфизм
и Я , — его ядро. Теперь естественно применить тот же прием к
Я ]. Мы получаем гомоморфизм N x-*-G " на простую группу G "
с ядром Я 2, которое является нормальным делителем в N x (но
необязательно в G ). П родолж ая этот процесс, мы получаем це­
почку
G — N o l> N i\ > . . . \>Nk> N k+l= { e } ,
в которой факторгруппы Я ,/Я <+1 простые. Такая цепочка назы­
173
вается композиционным рядом группы. G, а факторгруппы
N tJNi+j — факторами этого композиционного ряда. Разумеется,
одна и та ж е подгруппа может иметь различные композицион­
ные ряды. П оэтом у очень важна.
II.
Теорема Ж о р д а н а — Гёльдера.
Д ва композици­
онных ряда одной и той ж е группы имеют одинаковую длину, и
их факторы попарно изоморфны, хотя, мож ет быть, в другом
порядке. ►
Д оказательства теоремы Ж ордана— Гёльдера и Веддербёр-.
на— Ремака— Ш мидта используют очень мало свойств групп.
Основное из них — следующее:
4 Если / / — подгруппа, a N — нормальный делитель группы
G , т о Н O N — нормальный делитель группы Н и
Н !Н О N —H N / N . ►
(2)
Здесь HN есть подгруппа группы G, состоящ ая из всех произве­
дений hn, Лея, /гбЯ. Действительно, рассмотрим гомоморфизм
f : G->-G///. При ограничении на Я он определяет гомоморфизм
/1 : H^-G/N с ядром Я|"|Я и образом Я ^ Я /Я П Я . Полный про­
образ группы Я 1 при гомоморфизме f есть Я Я и, значит, Я ^
<=*ЯЯ/Я, откуда и следует (2 ).
Доказательства обеих теорем основываются на том, что, за­
меняя пару Я , ЯПЯ на пару Я Я , Я при разных вы борах Я и Я ,
мы можем перейти от одного разложения группы в прямое про­
изведение неразложимых подгрупп к другому, или о т одн ого
композиционного ряда к другому. По существу, они использу­
ют только свойства частично упорядоченного множества под­
групп группы G и могут быть в этой форме аксиоматизированы.
Такая трактовка полезна тем, что применима и к м одулям ко­
нечной длины и дает для них аналог тех ж е теорем.
Таким образом, задача описания групп (конечных, групп Ли,
алгебраических) сводится к двум вопросам:
(1) Каковы все группы, имеющие заданный набор ф акторов
композиционного ряда?
(2) Какими могут быть факторы композиционного ряда?
Первый вопрос мож но исследовать индуктивно, и тогда мы
приходим к вопросу: при заданных группах Я и F описать все
группы G, имеющие изоморфную Я группу в качестве нормаль­
ного делителя с факторгруппой, изоморфной F. Группа G назы­
вается тогда расширением F при помощи N. Например, кристал­
лографическая группа G (пример 2 § 14) является расширением
группы F при помощи А, где А — содерж ащ аяся в G группа
переносов на векторы некоторой решетки С, a F — группа сим­
метрий С.
Хотя в такой общ ности вопрос вряд ли имеет четкий ответ,
к нему найдено несколько подходов, которые в конкретных си­
туациях приводят к более или менее удовлетворительной карти­
не (см. о б этом пример 4 § 21).
174
Гораздо более интригующим является второй из сформулиро­
ванных выше вопросов. Так как факторы композиционного ря­
да — простые группы и лю бой набор простых групп является
фактором композиционного ряда некоторой группы (например,
их прямого произведения), то наш вопрос эквивалентен следую ­
щему:
Каковы простые группы?
В настоящее время для важнейших типов: конечных групп,
групп Ли, алгебраических групп, ответ на этот вопрос известен.
Сначала приведем примеры групп, про которые можно дока­
зать, что они простые (обы чно это довольно кропотливые, хотя
принципиально не сложные рассуж дения).
Начнем со случая, казалось бы тривиального, но имею щ его
множ ество приложений: коммутативных простых групп. С точ­
ки зрения абстрактной теории групп, ответ очевиден: простыми
коммутативными группами являются лишь циклические группы
простых порядков. В теории ж е групп Ли мы рассматривали,
при определении простой группы, только связные нормальные
делители.
П оэтом у в теории дифференцируемых связных
групп Ли прибавляются еще два примера: группа R веществен­
ных чисел по сложению и окружность. Мы не будем приводить
ответ для комплексно аналитических групп Ли — он более сл о­
жен.
Для алгебраических
матричных групп над алгебраически
замкнутым полем аналогично прибавляются два примера;
группы G„ элементов основного поля по сложению и Gm— па
умножению.
Этот скудный запас коммутативных простых групп приво­
дит к весьма обширному классу групп, если мы, следуя приве­
денным выше рассуждениям, используем их как факторы ком­
позиционного ряда.
Группа, обладающая композиционным рядом с абелевыми
факторами, называется разрешимой.
Л егко проверяются свойства:
III.
Подгруппа и гомоморфный образ разрешимой группы
разрешимы.
Если группа имеет разрешимый нормальный делитель, фак­
торгруппа по которому разрешима, то она разрешима.
Если группа разрешима, то она обладает нормальным де­
лителем с абелевой факторгруппой, т. е. нетривиальным гом о­
морфизмом в абелеву группу. ►
Для произвольной группы G пересечение всех ядер ее гом о­
морфизмов f : G-*~A в абелевы группы называется ее коммутан­
том и обозначается через G'.
Очевидно, что для любых элементов gh g2GG, gig2 и g2gi
переходят в один и тот же элемент при любом гомоморфизме
в абелеву группу, а значит, g ^ t e g O ' ^ g ^ g r 1^ 1 переходит
в единицу. Элемент вида gig2g 1f 1gi_1 называется к ом м ут а т ор ом .
175.
М ы видим, что все коммутаторы лежат в коммутанте
Нетрудно доказать, ч то они ее порождают, т. е.
группы.
‘f t. &6G}.
Если группа G разрешима, то О ' ф О , если G = £ {e}. Н о,как
подгруппа разрешимой группы и G ' разрешима, т. е. G ' — {е}
или G " — (G ')'= £ G '. Продолжение этого процесса показывает,
что, образуя последовательные коммутанты разрешимой группы,
мы дойдем до {е}. (Т. е. если G (0 = ( G (i-1))', то G (n) — {е } при
некотором п). Легко видеть, что этот признак и достаточен для
разрешимости группы конечной длины. Абелевы группы харак­
теризуются тем, что уж е G / = {e}. В этом смысле, разрешимые
группы— естественное обобщение абелевых.
Среди встречавшихся нам конечных групп разрешимы (сверх
.абелевых):
Группа @з, имеющая композиционный ряд @ 3э ^ 3^э{е}.
Группа @ 4, имеющая композиционный ряд
г д е U4 — подгруппа, состоящ ая из е и подстановок цикленного
типа (2 , 2 ).
Группы G L (2 , F 2), G L (2 , F 3).
Конечная группа называется / 7-группой, если ее порядок
есть степень простого числа р.
IV . Конечная / 7-группа разрешима. ►
Действительно, рассмотрим присоединенное действие G на
себя. Его орбиты — это классы
сопряженных
элементов
О : Си
, Ch. Предположим, что С\ состоит из kf элементов.
Как мы видели ( ( 10 ) § 1 2 ), |G|=feH
\-kh, kt = ( G : S i ) , где
Si — стабилизатор некоторого элемента £ , 6 С,-. Стабилизатор
— это подгруппа группы G. П оэтом у ( G : S s) делит порядок
группы G, т. е. является степенью р. В частности, kt = \ тогда
и только тогда, когда Ct состоит из одного элемента, сод ерж а­
щегося в центре. В равенстве |G|=feH
\-kh слева стоит сте­
пень р, а слагаемые справа — тож е степени р (м ож ет быть,
равные 1). Отсюда следует, что число тех из kt, которые равны
1, долж но делиться на р. Это показывает, что конечная р-группа имеет нетривиальный центр Z. Так как Z абелев, то он раз­
решим, а применяя индукцию, можно
считать разрешимой и
факторгруппу G/Z. П оэтому группа G разрешима.
П р и м е р ы р а з р е ш и м ы х г р у п п Л и: Группа Е (2) всех
сохраняющих
ориентацию
движений
евклидовой плоскости,
имеющая композиционный ряд: £ ' ( 2 ) з 7 э 7 / з { е } , где Т — группа
всех параллельных переносов, а Т ' — ее подгруппа всех парал­
лельных переносов в одном каком-либо направлении. Факторы
эт ого ряда:
f ( 2 ) / 7 '« 5 0 ( l ) « R / Z ,
T / T '^ R ,
Группа всех треугольных матриц вида:
176
T '^ R .
(
где
принадлежат некоторому полю К. Это — алгебраическая
группа, при К = Я или /С = С — группа Ли, а при конечном К —
конечная группа.
Вернемся к исходному вопросу о строении простых групп и
ограничимся теперь нетривиальным с л у ч а е м н е к о м м у т а ­
т и в н ы х п р о с т ы х г р у п п . Для совершенно произвольных
групп никакого четкого ответа на наш вопрос, конечно, не су­
ществует. Перечислим, какие из встречавшихся нам некоммута­
тивных групп являются простыми.
Для конечных групп:
Знакопеременная группа %п при п > 5 .
Группа P S L (n , F?), кроме случая п = 2, q = 2, 3.
Д л я к о м п а к т н ы х г р у п п Ли:
% от р SU(/z),
SO (я),
я>1;
п ф 1,2,4;
SpU (я),
Для
комплексно
п > 1.
аналитических
3 ?iec SL (п, С),
групп
я>1;
S O (п, С),
п ф 1 , 2 ,4 ;
Sp (2я, С),
п > 1.
Для а л г е б р а и ч е с к и х ма тр ич ны х
извольным алгебраически замкнутым полем):
•s&lgx SL (п, К ),
Ли:
групп
(над про­
п > 1;
SO (я, К ),
п ф 1, 2, 4;
S p (2п, К)>
п>1.
В согласии со сделанным выше замечанием, эти группы не
являются простыми
в абстрактном смысле. Они содержат
нетривиальный центр, и, если Z 0— любая подгруппа центра
одной из приведенных групп <3, то G / Z 0 (например, группа
PSU(ft) = S (J(/z)/Z 0 при Z 0 = Z ) также будет простой группой
в смысле нашего определения. Такие тривиальные модификации
мы дальше будем, не оговаривая, причислять к тем же сериям
% от р, S ’iec, s&lgicОдним из крупнейших достижений математики нашей эпохи
явилось доказательство того, что в последних трех случаях
приведенные примеры почти исчерпывают все простые группы.
В различных постановках вопроса, это открытие, сделанное
впервые в прошлом веке, распространялось и уточнялось, пока
12—9339
7
177
не охватило все приведенные случаи (а также любые, необя­
зательно компактные, дифференцируемые простые группы Л и ).
Оно нашло громадное число приложений. Открытие правильных
многогранников, соответствующ их конечным подгруппам группу
движений пространства, рассматривалось как высшее дости ж е­
ние античной математики — описание правильных многогранни­
ков заверш ает «Элементы Евклида». Это были самые глубокие
симметрии, открытые античной математикой. То ж е место за ­
нимает открытие и перечисление простых групп Ли в матем а­
тике нового времени — это самые тонкие симметрии, до пони­
мания которых современная математика поднялась. И точно
так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр
формами элементарных составляющ их четырех стихий — огня,
воздуха, земли и воды (оставляя додекаэдр как символ Космо­
са ), так современные физики пытаются при помощи свойств
различных простых групп S U (2 ), S U (3 ), S U (4 ), S U ( 6 ) и др.
найти общ ие закономерности в многообразии элементарных ча­
стиц.
П олную формулировку результата мы не приводим. О казы ­
вается, что сущ ествуют еще ровно пять групп, обозначаемы х
Е 6, Е 7, Е$, G2 и Fi и имеющих размерность 78, 133, 248, 14 и 52
(они называются исключительными простыми группам и), при­
бавление которых к трем указанным выше сериям дает пере­
чень всех простых групп (в каж дом из трех вариантов). Связь
между тремя типами получающихся простых групп: компактных,
комплексно аналитических и матричных алгебраических над
полем К, очень проста для двух последних типов: комплексные
группы получаются из алгебраических при К = С . Связь меж ду
комплексными и компактными группами фактически указана
нами в § 15: компактные группы являются максимальными ком ­
пактными подгруппами соответствующ их комплексно аналити­
ческих, причем все максимальные компактные подгруппы с о ­
пряжены.
Классификация дифференцируемых простых групп Ли не­
сколько сложнее классификации одних компактных, но идейно
также ясна. Каждый из типов компактных простых групп имеет
в некомпактном случае несколько аналогов. Для примера опи­
шем аналоги компактных групп S U (n ): это группы S U (p , q )„
где U (p , q) — группа комплексных линейных преобразований,
сохраняющих форму l ^ l 2-!------ \z v \2— |z p+i | 2------------- \zp+q\2, и
группы S L (n , R ), S L (n , С) и SL(ra/2, Н ), рассматриваемые как
дифференцируемые группы Ли. Последняя группа S L (n , Н)
требует некоторых разъяснений. Так как обычное определение
детерминанта не применимо к матрицам из некоммутативного
кольца, то не ясно, что означает здесь знак S. Выход находят
в .том , что группы SL(ra, R) и S L (n , С) можно определить и
по-другому. Именно, нетрудно доказать, что S L (n , R) совпада­
ет с коммутантом группы G L (n , R ), a S L (n , С) так ж е полу­
178
чается из G L (/i, С). П оэтому за S L (n , Н), по определению, бе­
рется коммутант группы G L (/i, Н).
Мы еще ничего не сказали о п р о с т ы х к о н е ч н ы х г р у п ­
п а х . Их классификация — захватывающ ая
задача. Еще с
прошлого века высказывалась смелая мысль, что они долж ны
быть в каком-то смысле аналогичны простым группам Ли. На
эту связь намекает встречавшийся нам пример групп PSL(/i,.
F3) . Конкретнее, здесь возможен следующий подход, который,,
по крайней мере, может дать много примеров. Н адо рассм от­
реть все простые алгебраические матричные группы над конеч­
ными полями F, и для каж дой такой группы G рассмотретьгруппу G (F 3) содерж ащ ихся в ней матриц с элементами из F,..
П ростые алгебраические группы G над полем F, нам почти из­
вестны: если заменить поле F, его алгебраическим замыканием
К, то простые алгебраические группы над К нам дает описан­
ная выше теория: список s&lgE и 5 исключительных групп. О д ­
нако может случиться, что две группы, определенные над F, и:
не изоморфные над F „ окаж утся изоморфными над К (или пе­
рестанут быть простыми). Такое явление нам, по сущ еству,
встречалось в теории вещественных групп Ли, только аналогом:
поля F, было R, а поля К — поле С. Например, все группы
S U (p , q ), p + q — n, являются алгебраическими группами над R'
(если каждый комплексный элемент матрицы задавать его ве­
щественной и мнимой ча стью ). Н о если рассмотреть их над С,,
то, как можно показать, все они станут изоморфны друг д ругу
и S L (/i, С ). Аналогичная ситуация возникает и для полей F,..
Вопрос о перечислении всех алгебраических групп над полем F„.
если уж е известны алгебраические группы над его алгебраиче­
ским замыканием, связан, в основном, с преодолением техниче­
ских трудностей, и ответ на него известен. Так возникает список
определенных над F, алгебраических простых групп G, и для
каждой из них можно построить конечную группу G (F S). Если
провести эту конструкцию с надлежащей осторож ностью (напри­
мер, рассматривать группу P S L (n , F3), а не S L (n , F ,) ) , то ок а­
жется, что все эти группы — простые уже как конечные, а не
только как алгебраические группы. Сущ ествует лишь несколько'
исключений, соответствующ их малым размерностям групп G
и малым значениям q (с этим эффектом мы встречались на
примере групп PSL(ra, F ,) ) . Так приходят к нескольким сериям
простых конечных групп, называемых группами алгебраическо­
го типа.
К группам алгебраического типа мы должны прибавить еще
одну серию: группы
при га ^ 5. Однако, еще начиная с прош­
лого века, стали появляться примеры, ни в одну из этих серий
не укладывающиеся. Но такие примеры всякий раз появлялись
индивидуально, а не бесконечными сериями. Д о сих пор этих
простых конечных групп, не являющихся ни группами алгебра­
ического типа, ни знакопеременными группами 31„, найдено 26.
12*
179
И х называют спорадическими простыми группами. Наибольшая
из них имеет порядок
2 46-3 20>59-7 6- 1 1 М З М 7 -1 9 -2 3 -2 9 -3 1 -4 1 -47-59-71
(недаром ее называют Большим Монстром). В настоящее вре­
мя, по-видимому, доказано, что группы алгебраического типа,
знакопеременные и 26 спорадических групп исчерпывают все
конечные простые группы. Это, несомненно, результат первосте^
пенной важности. К сожалению, он получен в результате много­
летних усилий десятков математиков, и его изложение распы­
лено в сотнях статей, насчитывающих вместе десятки тысяч
страниц. П оэтом у пройдет, вероятно, немало времени, прежде
чем это достижение будет воспринято и осознано математикап и в такой ж е мере, как аналогичная классификация простых
групп Ли и алгебраических групп.
§ 17.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУПП
Напомним, что представлением группы называется ее гом о­
морфизм в группу A u t(L ) линейных преобразований некоторого
линейного пространства L (см. § 9 ). Это понятие тесно связано
с идеей «координатизации». Смысл «координатизации» заклю ­
чается в том, чтобы задавать «объекты », составляющие «одн о­
родное» множ ество X, некоторыми индивидуально различимыми
«величинами». Конечно, такое сопоставление в принципе невоз­
можно, так как, рассматривая обратное отображение, мы сде­
лали бы индивидуализируемыми и объекты множества X. П ро­
тиворечие снимается тем, что, на самом деле, в процессе коор­
динатизации, кроме объектов и величин, всегда присутствует
еще третий участник — система координат (в том или ином
смысле слова) — нечто вроде физического измерительного при­
бора. Только если фиксирована система координат S, можно
сопоставить объекту х£Х некоторую величину — его «обобщ ен ­
ную координату». Н о тогда возникает основная проблема: как
отличить те свойства величин, которые отраж аю т свойства са ­
мих объектов, от тех, которые привнесены выбором системы ко­
ординат. Это — проблема инвариантности различных соотнош е­
ний, возникающих в такого рода теориях. По духу, она пол­
ностью аналогична проблеме наблюдателя в теоретической фи­
зике.
Если мы имеем две «системы координат» S и S', то обычно
можно определить автоморфизм g множества X (т. е. его пре­
образование, сохраняющ ее все понятия, которые в этом множ е­
стве определены), переводящий 5 в S ' : g определяется тем, что
переводит каждый объект х в объект х ', «координата» которого
относительно системы S' равна «координате» х относительно
системы 5. Таким образом, все допустимые в нашей теории сис­
180
темы координат соответствую т некоторым автоморфизмам мно­
ж ества объектов X, и легко видеть, что получающиеся таким
образом автоморфизмы образую т группу G. Эта группа естест­
венно действует на множ естве «величин»: если g&G и gS = S 'r
то g переводит координату каж дого объекта в системе коорди­
нат 5 в его ж е координату в системе S '. Если множ ество вели­
чин образует линейное пространство, то это действие определя­
ет представление группы G.
Поясним все это на примере. Рассмотрим га-мерное вектор­
ное пространство L над полем К ■ Выбрав в нем систему коорди­
нат (т. е. базис) S, мы зададим вектор набором п чисел. Пере­
ход к другой системе координат задается линейным преобразо­
ванием g-GGL(n, К ), которое одновременно преобразует и tt
координат при помощи матрицы линейного преобразования. М ы
получаем «тавтологическое представление» группы G L (n , К )
матрицами. Но, если в качестве объектов взять квадратичные
формы, которые в каждой системе координат задаются симмет­
рической матрицей, то переход к другой системе координат вы­
зовет переход от матрицы А к С А С *, и мы получим представле­
ние группы GL (п, К ) в пространстве симметрических матриц,
сопоставляющ ее матрице CGGL(n, К) линейное преобразование
А-*-САС*. Точно так же, рассматривая вместо квадратичных
форм линейные преобразования, мы получим другое представле­
ние группы G L (п, К ), на этот раз в пространстве всех матриц,
сопоставляющ ее С преобразование А -+ С А С ~ 1. Ясно, что те же
соображения применимы к любым тензорам. Как в случае квад­
ратичных форм, так и в случае линейных преобразований, нас
интересуют обычно свойства соответствующ их им матриц, не
зависящие от выбора системы координат, т. е. сохраняющиеся
при замене А->-С*АС в первом случае и А-*~С~1А С — во втором.
Такими будут ранг матрицы в первом случае и коэффициенты
характеристического многочлена — во втором.
П охож ее положение встречается, когда в некоторой задаче
ее условия обладаю т определенной симметрией (т. е. сохраня­
ются при каком-то преобразовании g ) . Тогда то ж е преобразо­
вание должно переводить в себя совокупность X всех решений
этой задачи, т. е. определено действие группы симметрий зада­
чи на множестве X, обычно являющееся представлением группы
симметрий.
Изящный п р и м е р такой ситуации приведен в работе [90J.
Рассмотрим задачу: как построить сеть дорог наименьшей дли­
ны, по которой можно было бы пройти из лю бой вершины квад­
рата AB C D в лю бую другую вершину? Ответ, как нетрудно д о­
казать, дается сетью, изображенной на рис. 38 а ), в которой уг­
лы A E D и B FC равны 120°. Квадрат обладает группой симмет­
рий Z)4 (теорема III § 13), но рисунок 38 а, очевидно, этой
группой в себя не переводится! Объяснение заключается в том,
что поставленная задача имеет два решения, изображенные на
181
А
2
а)
В
А
С
D
8
С
5)
Рис. 38
рис. 38 а и б, и вместе они обладаю т полной симметрией Z)4:
группа Z) 4 действует на множестве из двух рисунков 38 а) и б ).
Вот другой п р и м е р , приводящий к представлению группы
симметрий. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
П
( 1)
коэффициенты которого — периодические функции с периодом 2 я.
Тогда вместе с f (t) функция f(t-\ -2 n k ), k£Z, тож е будет
решением, и отображение
f {t + 2 nk) определяет линейное
преобразование U k в «-мерном пространстве решений. М ы полу­
чаем представление группы Z: k ^ U k, U ^ l = U kU l и, значит,
U b — U\. Более сложный вариант того же явления связан с рас­
смотрением уравнения (1)
в комплексной области. Пусть
&х(£) — рациональные функции комплексного переменного t.
Если t0 не является полюсом ни одной из функций ai (t), то (1)
имеет п линейно независимых решений, голоморфных относи­
тельно t. П родолж ая эти решения по замкнутому контуру s с
началом и концом в t0, не проходящ ему через полюса функций
a j ( /) , мы вернемся к тому ж е пространству решений, т. е., как
и выше, получим линейное преобразование U ( s ) , определяющее
л-мерное представление фундаментальной группы я ( С \ Р ь . . .
..., Рт ), где Р \,..., Рт — полюса функций
Это представ­
ление называется монодромией уравнения ( 1 ).
Еще п р и м е р . Пусть в линейном дифференциальном урав­
нении L ( x u . . . , х п, F ) = 0 коэффициенты зависят симметрично
от х ь . . . , хп. Тогда перестановки х и . . . , хп определяют пред­
ставление групп @п в пространстве решений. Такая ситуация
встречается в квантовой механике при описании системы, состо­
ящей из п одинаковых частиц. Состояние такой системы задает­
ся волновой функцией ф(<7ь . . . , qn), где q( — набор координат
t-й частицы, причем функция определена с точностью до п осто­
янного множителя Я, |Я| = 1. Л ю бая перестановка <т частиц не
долж на менять состояния, т. е. должна умнож ать функцию ф
на константу. М ы получаем соотношение
Ф (*70(1)) • • •> <7о(л)) —
182
^ (°) Ф (<7i>
• • •! <7л)>
из которого следует, что А,(а1а2) = Х (а 1)-Я (а 2), т. е. а->А,(сг)
является одномерным представлением группы
Известно два
таких представления: единичное, е (а) — 1 ; и т|(а), где т|(а) — 1
для четных, и — 1 — для нечетных подстановок. Легко доказать,
что других одномерных представлений ©„ не имеет. Таким
образом, или
4 >(?с(1 >
Яв(п)) = ф {Яь •. . , qa) для всех а,
или
{Яо(1)> • • ■ • Яс(п) =
п ( о ) 1)3 ( ^
1, . . . , Яп)‘
Какой из этих двух случаев имеет место, зависит от природы
частиц. В первом случае говорят, что они подчиняются стати­
стике Бозе— Эйнштейна (таковы, например, ф отоны ), во-втором — статистике Ферми— Дирака (таковы электроны, протоны
и нейтроны).
В § 9 были определены основные понятия теории представ­
лений групп: инвариантного подпространства неприводимого
представления, прямой суммы представлений, регулярного пред­
ставления, характеров представлений. Дальше мы рассмотрим
представления над полем комплексных чисел некоторых из
встречавшихся нам основных типов групп: конечных, компакт­
ных, комплексных групп Ли.
А.
Представления конечных групп. Для них там же, в § 10,
был получен ряд теорем (как частный случай теории полупростых а л гебр ). Это — конечность числа неприводимых представ­
лений; теорема о том, что каждое неприводимое представление
содержится среди неприводимых слагаемых, на которые разла­
гается регулярное представление; теорема Бернсайда:
А
| о | = 2 « ?
1
{tii — степени неприводимых представлений группы G); теорема
о том, что число h неприводимых представлений равно рангу
центра Z (С [G]) групповой алгебры С [G] группы G; задание не­
приводимых представлений характерами.
Рассмотрим сначала
случай к о м м у т а т и в н ы х
групп.
Пусть р: G -> A u tc L — неприводимое представление такой группы
(безразлично — конечной или нет). Тогда преобразования {2аг р (g),
geG , aff6 C} образуют неприводимую алгебру в E ndcД которая
согласно теореме Бернсайда (теорема XVII § 10) должна совпадать
с ЕпйсЬ. Ввиду коммутативности группы G, и алгебра E ndc£
должна быть коммутативна, а это возможно лишь, если степень
представления п равна 1. Таким образом, неприводим ое п р е д ­
ст авл ение ком м ут ат ивной группы о д н о м ер н о.
Для конечных коммутативных групп тот ж е результат оче­
виден и из других соображений. Групповая алгебра C [G ] ком­
183
мутативна и, значит, изоморфна прямой сумме полей: C[G]*=:
“ С71 (теорема V § 10). Неприводимые представления ее сводят­
ся к проектированию на слагаемые С этого разложения: если
Х = ( 2 i , . . . , 2 „ ) , ТО %i ( * ) = Z i . ПОЭТОМУ
I.
В се неприводимые представления конечной коммутативной
группы одномерны, и число их равно порядку группы. ►
Таким образом , неприводимые представления конечной ком ­
мутативной группы G совпадают с ее гомоморфизмами
X : G +C*
в группу C* = G L (1, С) комплексных чисел по умножению. Они
совпадают со своими следами и поэтому называются харак­
терами.
Гомоморфизмы группы G (любой, а не только коммутатив­
ной) в группу С* (и в лю бую коммутативную группу) можно
перемножать покоординатно: по определению, произведением
характеров xi и хг является характер x = X i-X 2>
l(g ) = h ( g ) b ( g ) (2 )
Легко видеть, что характеры коммутативной группы G образу"
ют, относительно этого определения умножения, груп п у х а р а к ­
т еров, которая обозначается через G.
При
этом единицей
является характер е, где e(g) = l для ggG; обратным к характе­
ру X— характер X' 1 (g) = %(g)_1 Для всех gGG. Можно показать,
что группа G для коммутативной группы G не только имеет тот
же порядок, что и G, но и изоморфна ей как абстрактная груп­
па. Однако не сущ ествует «естественного» изоморфизма между
этими группами. Но группа характеров О группы G естественно
изоморфна группе G : формула (2) показывает, что отображение
G -s -G :g (x ) = X(g) является гомоморфизмом, который, как легко
проверить, является изоморфизмом. Положение здесь такое же,
как с понятием сопряженного линейного пространства.
Связь между группой G и ее группой характеров распростра­
няется и на их подгруппы. Поставив в соответствие подгруппе
H c .G подгруппу / / * c G , состоя щ ую из характеров %, которые
обращаются в 1 на всех элементах группы Н , мы получим вза­
имно однозначное соответствие между подгруппами группы и ее
группы характеров. Это соответствие обращает включение: если
Я 1 С Я 2, то Я р Я г . Кроме того, H * ^ ( G / H ).
Характеры связаны рядом важных соотношений. Прежде всего,
если % ф г (единичному характеру), то
>' % (g )-0 .
(3)
Действительно, по условию сущ ествует go€G, для к отор ого
X (go) Ф 1• Подставляя в левую часть (3) gog вместо g, легко у б е ­
184
диться, что она, с одной стороны, не изменится, а с д ругой ,—
умножится на y (g 0), откуда следует (3). Для у = е, e(g) = l для
всех g 6 0 , и поэтому
2 e(g )H °l-
(4)
fi-gG
Подставив в (3) X = ХгХ^-1, где ух, у2 — два характера, мы п ол у­
чаем из (3) и (4):
2 X it d f c t e ) - 1- ! II0’0 еСЛИ
К ' * 1*
|, если ух= у2.
(5)
«6 °
Так как элементы g имеют конечный порядок, то числа у (g) яв­
ляются корнями из
1 и, значит, по модулю равны 1 . Поэтому
y (g ) -1 = y(g), и это дает возможность интерпретировать равенства
(5) как о р т он ор м и р ова н н ост ь х а р а к т ер о в в пространстве
комплекснозначных функций на G, если в нем скалярное произ­
ведение определено как
СА. / 2) =
757
'
2
' SQQ
/1
(в) 77(g)-
Таким образом, характеры образуют ортонормированный базис,
по которому любая функция на G разлагается:
/=%6g
2
а «коэффициенты Фурье» с% определяются по формулам
cx= j-gT 2 / ( g ) 7 ( i ) •
fi'6G
Воспользовавшись симметрией между группой и группой харак"
теров (G = G), мы получаем из (3) и (5) соотношения:
2 x (g )= ° -
%+
( 4 ')
x6 g
если gl=^ gb
1 |С| если gx= g2.
2 у Ы у Г й - 1)= 10’
(50
1
'
Одно из важных приложений теории характеров конечных
коммутативных групп относится к теории чисел. В качестве G
рассматривается группа обратимых элементов кольца Z /( m ) ,
т. е. группа классов вычетов a + m Z , состоящ их из чисел, взаим­
но простых с т. Ее характер у, если доопределить его равным 0
на необратимых элементах* можно рассматривать как функцию
на Z с периодом т. Такие функции называются характерами
Д ирихле. Связанные с ними ряды Д ирихле
185
п> О
являются одним из основных инструментов теории чисел. На их
рассмотрении основывается, например, доказательство т е о р е м ы
Д и р и х л е о том, что в классе вычетов a-'r mZ, если а и т
взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел.
В процессе доказательства возникает необходимость выделить
частичную сумму 2
распространенную лишь на п, принадле­
жащие классу вычетов a-\~mZ. Здесь применяются соотношения
{5 '), из которых следует, что эта сумма записывается как
'i{a )L (s, х), где Ф (лг) — порядок группы обратимых эле> х
ментов кольца Z 1 {т) (функция Эйлера), а сумма распространена
на все характеры этой группы.
Переходя к н е к о м м у т а т и в н ы м к о н е ч н ы м г р у п п а м ,
начнем с вопроса о числе их неприводимых представлений.
Согласно теореме XIII § 10 оно равно рангу центра Z (С [G])
групповой алгебры С [G] группы G. Легко видеть, что элемент
х = 2
/ (g) g, jcgC [G ], лежит в центре (т. е. коммутирует со все-
g£ G
ми u£G) тогда и только тогда, когда / (wgw1) = / (g) для всех
и , ggG. Иными словами, функция / (g) постоянна на классах
сопряженных элементов группы G. Это значит, что базис центра
образуют элементы
zc = 2 &
г6с
гд е С — различные классы сопряженных элементов. В частности’
мы получаем:
II.
Число неприводимых представлений конечной группы равно
числу классов ее сопряженных элементов. ►
М ожно ли найти в общ ем случае аналог того, что характеры
коммутативной группы сами образую т группу? М ы имеем ана­
лог единичного характера — единичное одномерное представле­
ние: e(g') = l для g£G . М ож но предложить и аналог обратного
элемента для представления р. Это так называемое контраградиентное представление p (g ) = p ( g ~') * , где * означает сопря­
женный оператор, действующий в пространстве L*, сопряж ен­
ном тому пространству L, в котором действую т р. Если пред­
ставление р унитарно (т. е. все p (g ) унитарны относительно
некоторой эрмитовой метрики — в § 9 мы видели, что такая мет­
рика всегда сущ ествует), то матрица преобразования p ( g ) , про­
сто, комплексно сопряжена матрице p ( g ) .
Наконец, сущ ествует и аналог произведения характеров.
Начнем со случая, когда даны две группы G x
и
Gi
и
186
p x:G x-> A u t(£ x), p2 :G 2 ->Aut(Z.2) — их представления линейными пре­
образованиями линейных пространств Lx и L2. Рассмотрим тен­
зорное произведение L — LX®L2 этих пространств (см. § 5 ) и
отображение р прямого произведения G xX G 2 групп G x и G 2,
определенное свойством р (gx X g2) (-ft® x 2) = ft (gx) (*i)® pa (g2) ( x 2).
■Легко видеть, что так определяется отображение р : G xх G 2 ->
Aut (L x®L2), являющееся представлением группы G x X G 2. Оно
С
называется т ензорны м п р ои зведен и ем
« обозначается рх®р2.
предст авлений рх и р2
Например, если группы G x и G 2 действуют на множествах
Х х я Х 2 и Lx, L2— пространства функций на Х х и на Х 2,
инвариантные относительно этих действий, а рх, р2 — определен­
ные в этих пространствах представления, то в пространстве,
порожденном функциями / х(д:х), f 2 ( x 2), f £ L h f 2QL2, на X xX X 2,
действует представление px® p2. Нетрудно доказать, что все
неприводимые представления группы G xX G 2 имеют вид рх®р2,
гд е рх— неприводимое представление группы G x, а р2 — G 2. Все
эти соображения переносятся на представления любых полупростых алгебр (вместо групповой алгебры С [G]).
Пусть теперь группы G x и G 2 совпадают: G X= G 2 ==G. Тогда
(и здесь решающим образом используется специфика групп)
можно построить «диагональное вложение» Ф: G - ^ G X G, ф (g) =
— (g> ё)- Композиция (рх® р2) Ф определяет представление самой
труппы G ->Aut (1х<э£2), называемое также т ензорным произве­
ден и ем п редст а вл ен и й рх и р2.
Существенное отличие от коммутативного случая заключается
в том, что для двух неприводимых представлений рх и р2 группы
G их произведение рх®р 2 может оказаться приводимым. Таким
•образом,
неприводимые представления не образуют группу:
произведение
двух из них является линейной комбинацией
остальных. Например, представления р и р, действующие в про­
странствах L и L*, определяют представление р<Эр в простран­
стве L®L*. Из линейной алгебры известно, что L®L* изоморфно
с
с
пространству
линейных преобразований
E n d /,
(изоморфизм
сопоставляет вектору а® Ф б£® £* преобразование ранга 1 ,
с
->-ф (л:)а). Легко видеть, что в End L представление р<Эр запи­
сывается как a-> p (g )a p (g )~ \ a g E n d l. Но, при этом преобразо­
вания, кратные единичному, не меняются, а значит, и представ­
ление р<Эр приводимо, и при его разложении на неприводимые
встречается единичное представление. (Можно показать, что
для неприводимого представления р представление р— единствен­
ное такое неприводимое представление а, что в разложении
р® а на неприводимые встречается единичное— в очень слабом
187
смысле р все лее является «обратным» к р). Легко проверить,
что если
и % 2 — характеры представлений рх и р2, то характе­
ром представления pi®p 2 является
Итерируя эту конструкцию, мы можем рассмотреть для груп­
пы G представления р ® р ® . . . 0 р в пространстве L ®
Оно называется т ензорной ст еп енью п р едст а вл ен и я р и
обозначается Т р (р) (если число множителей равно р). О тсю д а
факторизацией получаются представления Sp (р) в пространстве
S pL и Лр (р) в A pL.
Выберем для каждого неприводимого представления рг базис,
в котором преобразования р2 (g) записываются унитарными мат­
рицами (r ^ (g )) (согласно примеру 3 § 1 0 такой базис су щ ест­
вует).
Введем на множестве функций на группе скалярное произве­
дение:
(/и Л)=7^7 2 /1 ( 8 ) 7 ®
fi-gG
Приблизительно так же, как и соотношения (5), доказывается:
III. Различные функции r ljk (g) ортогональны между собойКвадрат
модуля
функции
r ljh
равен
—,
где
/г2 — степень
представления рг. ►
В частности, характеры образуют ортонормированную систему
функций.
П р и м е р 1. Группа @3 имеет два одномерных представления:
единичное представление s (o ) и представление т|(а), равное 1
или — 1 в зависимости от четности о. Реализуя @3 как пере­
становки множества X = { x v х 2, х 3}, мы получаем в пространстве
функций на X , для которых
2
/ ( . х ) = 0 , двумерное представ-
х£Х
ление р2, которое также неприводимо. Так как |6 3|= 6 = l 2 -f+ 12 + 22, то из теоремы Бернсайда следует, что это — все непри­
водимые представления группы @ 3.
П р и м е р 2. Группа октаэдра О (пример 4 § 13). Группа О
переставляет между собой пары противоположных вершин окта­
эдра, что определяет гомоморфизм 0-»-@з. П оэтом у представле­
ния, найденные в примере 1 , даю т нам некоторые неприводимые
представления группы О. С точки зрения геометрии октаэдра,
смысл их таков. Мы видели в § 13 (пример 4 ), что группа О
содерж ит подгруппу тетраэдра Т и ( О : Г) = 2 ; тогда rj (g-) = 1
для g&T и — 1 для g$T. Представление р2 реализуется в прост­
ранстве функций на множестве вершин октаэдра, принимающих
одинаковые значения в противоположных вершинах, и с суммой
всех значений, равной 0. Кроме того, включение 0 -> -S 0 (3 )
определяет трехмерное «тавтологическое» представление р3 груп­
пы О. Наконец, тензорное представление p3®ri (которое в дан­
188
ном случае сводится, просто, к умножению преобразования p 3 (g )
на число ri(g')) определяет еще одно представление р3'. С точки
зрения геометрии октаэдра, его смысл таков. М ы видели в тео­
реме V § 13, что в группе 0 ( 3 ) имеется подгруппа ОТ, изоморф­
ная группе октаэдра, но не содерж ащ аяся в S 0 ( 3 ) . Компози­
ция гомоморфизмов 0 = * 0 Г -> -0 (3) и определяет р3'. Так как
10| = 2 4 = 12 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 3 2, то мы нашли все неприводимые
представления группы октаэдра.
Б. Представления компактных групп Ли. Представления
компактных групп Ли обладаю т почти всеми свойствами, прису­
щими представлениям конечных групп. В основе всех свойств
представлений конечных групп лежит их полупростота, а она,
как мы видели в § 10 , выводится в разных вариантах (для
представления над полем С или над произвольным полем) при
помощи одного и того ж е соображ ения: рассмотрения сумм
вида 2 F ( g ) для разных величин F ( g ) , связанных с элемен­
* 6°
тами группы (т. е. возможности суммировать или усреднять
по группе). В от это-то соображ ение и имеет аналог в теории
компактных групп Ли. Соответствующ ее выражение называет­
ся «интегралом по группе». Оно сопоставляет любой непре­
рывной функции f ( g ) на компактной группе Ли G число 1(f),
называемое интегралом по группе и обладаю щ ее следующими
свойствами:
/ ( / i + / 2) = / ( / 1) + / ( / 2),
I ( a f ) = a l ( / ) , agC,
/ ( / ) = 1 , если / = 1 ,
/ ( | / 12) > 0 , если / ф О ,
/(/г ) = / ( / ) .
* = 1 . 2 , 3, если / 1 (g) = / ( r 1).
/ 2 (g) = / (щ ),
/ з (g) = / (gtt)
и и — некоторый элемент группы G. Доказательство основывается
на построении инвариантной я-мерной дифференциальной формы
© на группе G, где ti=d\va.G. Полагают
а
выбрано так, что / ( / ) = 1 при / = = 1 . Форма и называется
инвариантной, если т* ю = © д л я всех u$G, где т а — преобразова­
ние группы g-^gu. Инвариантная форма строится приемом, опи­
санным в начале § 15: надо выбрать я-мерную форму ©ебЛп7'е
в касательном пространстве Т е к единичной точке egG и опре­
делить значение со^ в T g как (т* )_1и г.
Существование интеграла по группе 1(f ) дает возможность
дословно перенести рассуждение из примера 3 § 10 на компакт­
ные группы и доказать, что компактная подгруппа G cG L (rc , С)
сохраняет некоторую эрмитову положительную форму <р. Так
189
как эта форма эквивалентна стандартной 2 |^|2, то Gс г
с С Щ / ^ С - 1 при некотором C eG L (n , С ). Э тот результат о ком ­
пактных подгруппах G L (n , С) мы приводили без доказательства
в примере 6 § 15. Аналогично, компактная подгруппа группы
G L (n, R) сопряжена с подгруппой группы О( п ) . Вот одно изве­
стное применение тех ж е соображений.
П р и м е р 3 ( т е о р е м а Г е л ь м г о л ь ц а — Ли) . Ф лагом F
в /i-мерном вещественном векторном пространстве L называется
последовательность вложенных ориентированных подпространств
L iC L 2c: . . . c L n-iC:L, где Lt имеет размерность i. Если ввести
в L евклидову метрику, то флаг однозначно соответствует такому
ортонормированному базису
е ь . . . , еп,
что L t = {e b . . . , е ,}
(с учетом ориентации). Из этого следует, что м н огооб р а зи е 3F
всех флагов компактно. Группа G L (/i, R) действует на немг
g (Z.j, L2, . . . , Ln-i) = (g (A ), g (L%)»•••> g (Lri-1))>
g e G L (n, R),
(Lv L i , . . . , Ln) e ^ .
4 Пусть группа G crG L (n, R) действует на многообразии &
транзитивно и свободно (т. е. для двух флагов F x и F 2 сущ е­
ствует одно единственное преобразование ggG, для которого
g ( F l) = F 2). Тогда в L можно ввести евклидову метрику так, что
О превратится в группу ортогональных преобразований. ►
Действительно, так как при действии G на 2F стационарна»
подгруппа точки тривиальна, то G отож дествляется с орбитой
любой точки, которая, ввиду транзитивности действия, совпада­
ет с 9 Г. П оэтом у G, как и SF, компактна. Отсюда уж е следует,
как мы видели, существование евклидовой метрики, инвариант­
ной относительно G. То что G совпадает со всей ортогональной
группой этой метрики, легко вытекает из транзитивности ее
действия на
Д оказанное утверждение является локальным аналогом и
первым шагом в доказательстве известной т е о р е м ы Г е л ь м ­
г о л ь ц а — Л и , дающей внутреннюю характеристику римановых пространств постоянной кривизны. А именно, пусть X —
дифференцируемое многообразие и G — группа диффеоморфиз­
мов, транзитивно и свободно действующая на множ естве точек
х£Х и флагов в их касательных пространствах Тх (т. е. для лю ­
бых х, у£Х и флагов FXGTX, FyGTy сущ ествует единственное такое
преобразование g 6 G, что g ( x ) = y , g ( F x) = F v). Тогда на X м ож ­
но так ввести метрику, что оно превратится в одно из про­
странств постоянной кривизны: евклидово, Л обачевского, сф е­
рическое или Римана (фактор сферы по центральной симмет­
рии), a G — в группу его движений. Доказанное нами утверж ­
дение дает возмож ность ввести на X риманову метрику и при­
менить дальше технику римановой геометрии.
Транзитивность действия группы движений на множ естве
флагов называют аксиомой свободной подвижности риманова
190
многообразия. Таким образом , римановы многообразия, удовлет­
воряющие этой аксиоме, являются аналогами правильных мно­
гогранников (ср. пример 4 § 13) и, наоборот, правильные мно­
гогранники — конечными моделями римановых
пространств
постоянной кривизны.
По-видимому, при доказательстве теоремы Гельмгольца— Ли
впервые была понята роль многообразия флагов ST. В послед­
ствии оно неоднократно возникало: в топологии, теории пред­
ставлений групп Ли, теории алгебраических групп. Причем,
всегда отраж ая встретившееся нам свойство: это «наилучш ее»
компактное многообразие, на котором группа G L (n , R) транзи­
та в но действует.
Теперь вернемся к теории представлений компактных групп,
которая также основывается на существовании интеграла по*
группе.
IV.
1) Конечномерное представление компактной группы Ли
G эквивалентно унитарному и полупросто.
2) В пространстве L2 ( G) функций /, для которых /( | Л 2) <
< о о , введем скалярное произведение
( / . g)
Имеет место дословный аналог соотношений ортогональности
для матриц неприводимых конечномерных представлений
(сртеорему III).
3) Определим регулярное представление группы G в прост­
ранстве I 2 (G ) условием Tg(f) ( u ) = f ( u g ) . Регулярное представ­
ление разлагается в прямую сумму счетного числа конечномер­
ных неприводимых, и каж дое неприводимое входит в него столь­
ко раз, какова его степень. Конечномерное представлениеоднозначно определяется своими следами.
4) Неприводимые представления группы G, обладающей вло­
жением p :G - > A u t (V), исчерпываются теми, на которые разла­
гаются представления вида Т р ( р) ®Тч (р).
5) Неприводимые представления группы G1 x G 2 имеют вид
Р!®р2, где р! и р2— неприводимые представления группы
и G2. ^
Первое и второе утверждения доказываются дословно так ж е,
как и для конечных групп. Идею доказательства третьего можно*
проиллюстрировать, если предположить, что G является замкну­
той подгруппой в группе линейных преобразований Aut (V ) ко­
нечномерного пространства V (на самом деле, такое представле­
ние для G возможно всегда, а для важных примеров, таких как
классические группы, входит в определение). Тогда мы имеем*
«тавтологическое представление» p :G
A u t(I/) или G -> G L (п., С),
где /t = d im l/. Если матрица р (g) = {rjk (g)). то значения 2 п2'
функций x jk = Re r jk (g) и y Jk = Im r jk (g) однозначно определяют
элемент g. По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функ­
цию / на G можно аппроксимировать многочленами от x jk и yjk.
19L
Но многочлены от x jk и yJk совпадают, как легко видеть, с ли­
нейными комбинациями матричных элементов всевозможных пред­
ставлений Т р (р)<2>Тд (р) или их неприводимых составляющих.
Поэтому любая непрерывная функция на G аппроксимируется
линейными комбинациями функций /"^ (g), соответствующих не­
приводимым конечномерным представлением ps, откуда легко
следует, что лю бая функция f&L2 (G ) разлагается в ряд по этой
ортогональной системе. Отсюда уже легко следует утверждение
3 ). Это доказательство дает и больше — сведения о неприводи­
мых представлениях группы G — утверждения 4 ), 5 ).
Заметим, в заключение, что те ж е свойства 1 ) — 3) верны
для лю бой компактной топологической группы. В этом случае
интеграл по группе 1 (f) определяется по-другому — изящной
теоретико-множественной конструкцией.
П р и м е р 4. К ом м ут ат ивные ком пакт ные группы Ли.
Здесь все неприводимые представления одномерны, и мы имеем
полный аналог теории характеров конечных коммутативных групп.
Компактная коммутативная группа G имеет счетное число харак­
теров: неприводимых гомоморфизмов % :G - > С*. Они связаны соот­
ношениями ортогональности, аналогичными соотношениям
(5),
и любая функция f £ L 2 (G) разлагается по ним в ряд / = 2 о г Х х
Характеры образуют группу С (дискретную), и имеет место та­
кая же связь меж ду группами групп G и G, как и в случае
конечных групп. В частном случае, когда G — R /Z — окружность,
группа G изоморфна Z, так как все характеры имеют вид
«-«гегляу
Хп(ф ) = г 2я‘ *ч>.
Разложение / = Е с„х„ есть разложение в ряд Фурье. Это «объяс­
няет» роль функций е2я‘Л|р (Или s in 2 ягеф и cos 2 яяф) в теории
рядов Фурье, как характеров группы G.
Теория приобретает наибольшую завершенность, если р а с­
пространить ее на класс локально компактных коммутативных
групп. Связь между группой G и ее группой характеров G
(которая тож е локально компактна) описывается т е о р е м о й
двойственности Понтрягина.
П р и м е р 5. Пусть р: S O (п )-> L — «тавтологическое» представ­
ление S0 (п) ортогональными преобразованиями /г-мерного евклидо­
ва пространства L. Представление 5 2р можно реализовать в про­
странстве билинейных симметрических функций на L (отождествляя
L с L *, ввиду евклидовости L). При этом « 6 S O (/i) действует
на функцию Ф (a, b), (a, b£L), переводя ее в ф (р (и) ' 1 а, р (и )-1 Ь).
В ортонормированном базисе функция Ф записывается симметри­
ческой матрицей А и закон преобразования имеет привычный вид:
А ->р (и) А р (и) ' 1 (так как р (и)* = р (и)-1). Очевидно, что единичная
192
матрица остается при этом инвариантной. Поэтому S 2p = /© S o p ,
г д е / — единичное представление, а Sop — представление в прост­
ранстве матриц со следом 0. Легко убедиться, что S^p неприводимы.
Следующие примеры 6 — 8 играют роль в теории четырех­
мерных римановых многообразий.
П р и м е р 6 . Рассмотрим специально случай п = 4. Тогда
S O (4 )^ (S p U (l)x S p U (l))/(+ l, - 1 )
(( 10 ) § 15). Поэтому
5ор может
рассматриваться
как
представление
группы
SpU (1) х SpLF ( 1 ) и, значит, ввиду утверждения 5) теоремы IV
имеет вид pi®p2, где pj и р2— представления группы S p U (l).
Найдем эти представления. Представление Sop действует, как
и в предыдущем примере, на пространстве симметрических функ­
ций Ф(а, Ъ), где теперь можно считать, что а, &6 Н — пространству
кватернионов. При этом ttgSpU (1) X SpLT (1) имеет вид u = ( q b q2), где
qb q £ Н, 1 ^ 1 = 1^21 = 1 , и р (и) a = q^ a q jl ((10) § 1 5 ). Рассмотрим
действие pj группы S p U (l) на пространстве чисто мнимых
кватернионов Н ': x - > q x q ~ l, |^| = 1, лДН- , ^6 Н. По ^двум эле­
ментам х , t/GH" построим функцию Фх,у {а, b) = R e(x a y b ), a, 6 gH.
Легко убедиться, что Чх ,у (а, Ь) = (Рх ,у(Ь, а) и что действие
x - > q 1x q 2, y -> q iy q 2 l
равносильно
преобразованию
функции
Ух,у (я, Ь) по закону преобразования представления S 2p (надо
воспользоваться тем, что Re(£) = Re(g), Re(gT)) = Re(i]g), х = — х,
у — — у и q = q ~ \ если |^| = 1). Таким образом, мы имеем гомо­
морфизм p ^ p j-vS S p iJ c^ iz-vV x,,,, где р! — стандартное представ­
ление SpLJ ( 1 ) (и даже SO (3)) в Н". Легко видеть, что ядро его
равно 0 . Образ же может быть только So(p). Поэтому Sop— p1<S>p1.
П р и м е р 7. Опять при п = 4 рассмотрим представление А2р
(р — т о ж е , что и в примерах 5 ,6 ), которое реализуем в прост­
ранстве билинейных кососимметрических форм на Н. Для дгбН"
рассмотрим
билинейную
форму
ф* (a, b) = R e(a xb ).
Тогда
фх (^> а ) — — Фх(а ’ Ь), и x -> ty x определяет гомоморфизм представ­
лений 1 ® р !-> Л 2р.
Аналогично,
сопоставление х(*Н~
формы
%х (а, b) = R e (a x b ) определяет гомоморфизм (p jX l) ->Л 2р. Склады­
вая их, мы получаем гомоморфизм (р1 ® 1)® (1С р1) ->Л 2р, который,
как легко видеть, является изоморфизмом и дает разложение Л2р
на неприводимые слагаемые.
П р и м е р 8 . Рассмотрим, наконец, представление S 2A 2p. Это
представление группы SO (4), в тензорах с теми же условиями
симметрии, которым удовлетворяет т ен зор кривизны ч ет ы р ех ­
м ер н ого ри м анова м ногообрази я. Согласно примеру 7, Л2р =
= (р1 ® 1 )Ф ( 1 ®р1), где pj — тавтологическое представление группы
S O (3 ) в R3. Легко видеть, что для любых представлений § и г|
любой группы S 2 (£®ri) = S 2 |®S 2r]©(g®Ti). В частности, S 2A2p =
= (S 2pi® 1)Ф(1 ® S 2p1)® (p 1 ®p1). Согласно результатам примеров 5
и 6 мы можем написать
1 3 -9 3 3 9
23
193.
S 2A2p = (/ ® 1)® (5o P i® 1 )ф (1 ® /)® (1 ® 5 o P i)© 5 o p ,
(6)
что дает разложение представления S 2A 2p на неприводимые.
Оно показывает, какие группы компонент тензора кривизны
можно инвариантно выделить так, что они имеют геометриче­
ский смысл.
Запишем элемент |б52Лр согласно ( 6 ) :
| = «о + a i+ Р о + Pi “г Y*
С£о6/®1>
«l65oPi®l,
Po6l®/.
Pl6l®5op,
уб^ор.
Ввиду одномерности представлений / ® 1 и 1 ® / элементы а 0 и ро
задаются числами а и Ь. Так называемое тож дество Бианки по­
казывает, что для тензора кривизны риманова многообразия
всегда а = Ь. Число \2а=\2Ь называется скалярной кривизной,
симметрическая матрица у (со следом 0 ) — бесследным тензо­
ром Риччи, а « 1 и р! — положительным и отрицательным тен­
зором Вейля.
П р и м е р 9. Н еприводим ые представления группы S U (2 ).
Эта группа имеет тавтологическое представление
р : SU (2 )-> A u t C * = A u t£ .
Согласно утверждению 4 теоремы IV отсюда следует, что все
неприводимые представления этой группы получаются при тензор­
ном перемножении в любом числе представлений р и р. Представ­
ление
р эквивалентно
комплексно
сопряженному
к р и,
в данном случае, эквивалентно самому р. Действительно, при
dim Z = 2 пространство А2/, одномерно, и при выборе в нем базиса
со0 мы получаем билинейную форму ф на £ : х д г / = Ф (х , у) со0,
которая устанавливает изоморфизм между L и сопряженным про­
странством L*. С другой стороны, эрмитова структура на L (вхо­
дящая в определение SU ( 2 )) задает изоморфизм L с эрмитово
сопряженным, L*. Из этих двух изоморфизмов вытекает изомор­
физм L * и L*, т. е. L и L, а значит, — эквивалентность р и р.
Таким образом, все неприводимые представления SU(2) полу­
чатся при разложении одних только представлений Г р (р). Один
набор представлений бросается в глаза. Унитарные (как, впрочем,
и любые) матрицы второго порядка можно рассматривать как
матрицы преобразований двух переменных х н у . Как таковые
они действуют в пространстве однородных многочленов степени;я.
от х и у: матрица
^
переводит форму г (х , у) в F (а х ^ - у у ,
Рх + бу). Это представление размерности п -\-1 обозначают р;-, где
j = -j (следуя традиции, возникшей в квантовой механике). Оче­
видно, что ру = S'2-'.). Если сопоставить однородному многочлену
F (х , у) неоднородный многочлен f (z) — F (z, 1), то представле­
ние
запишется так:
194
Нетрудно проверить, что представления pj неприводимы (это ста­
нет совсем очевидным в следующем пункте). Чтобы доказать,
1 . 3
что р;- при ) == g-, 1 , т, , - ■■— это все неприводимые представления:
группы SLT (2), нам достаточно, ввиду вышесказанного, проверить,,
что представления Т р (р) разлагаются в сумму представлений
Так как само р есть рх/2, то индуктивно достаточно доказать,,
что Pj®p., разлагается в сумму представлений р*. Можно угадать,
закон этого разложения, если рассмотреть в SU (2 ) подгруппу Н „
состоящ ую из диагональных матриц. Это группа
* »-[о
)•
!« I - L
<8>
Она коммутативна и, значит, при ограничении на нее, представ­
ление рх распадается на одномерные. Действительно, базисом
инвариантных одномерных подпространств (при реализации в
пространстве форм) служ ат одночлены
х п, х ^ у , . . . , у п,
(9)-
на которые действуют характеры Xn{ga) = <zn, Хп-2 (g a )= a " " 2, . . .
••ч K-n(ga) = a ' f!- При разложении ограничения на Н представ­
ления
встречаются попарные произведения характеров,
возникающих при ограничении на Н представлений ру- и р т . е.
характер %п+п' — 1 раз (где я = 2 / , n' = 2 j ') , %п+п' - 2 — 2 раза,
%п+ п' - 4 — 3 раза и т. д. О тсюда легко усмотреть, что если пред­
ставление ру® р;' разлагается в сумму представлений р6, то эторазложение может иметь только вид:
Р;®Р/' =
P j + j ' ® P j + J ' — 2Ф •••®Pl/—i ' V
(Ю)'
Ч тобы доказать соотношение (10),
можно воспользоваться
свойством 3) в теореме IV, т. е. тем, что представление одно­
значно задается своими следами. Д остаточно заметить, что уни­
тарная матрица всегда диагонализируема и, значит, сопряжена
матрице вида ( 8 ), так что характер представления определяет­
ся его заданием на таких матрицах. В частности, для пред­
ставления рх мы можем его легко найти (используя запись g a в
базисе ( 9 ) ) :
а 2Л-1 _ а- ( 2/-(-1)
Ю Ы = % (“ )= —
— •
(П >
Теперь (10) сводится к простой формуле
Xj
(°0
X)'
13*
(“ ) =
X j + j - (а )
+
X i + r -
2 (“ ) - г •■•+
Х\j - j
'\(a )>
195
которая легко проверяется. Таким образом , мы нашли неприво­
димые представления группы S U (2 ) и доказали формулу (10),
она называется формулой Клебш а— Гордана.
Так как S O ( 3 ) = * S U ( 2 ) /( + l , — 1 ) , то неприводимые пред­
ставления S O (3 ) содерж атся среди неприводимых представле­
ний SU (2) — это те, в которых матрица — Е действует триви­
ально.
Очевидно, что так будет в точности тогда, когда / — це­
лое число. Из (11) мы получаем и формулы для характеров
этих представлений: для поворота g v на угол ф
Интересно, что использованный нами прием ограничения на
коммутативную подгруппу (в случае группы S O (3 ) это была
бы подгруппа всех поворотов вокруг одной оси) имеет квантово­
механическую интерпретацию. Пусть электрон находится в поле
с центральной симметрией. Эта симметрия должна отраж аться
и на функции Гамильтона, которая должна быть инвариантной
относительно действия S O (3 ). Тогда и пространство состояний
дол ж н о быть инвариантным относительно действия S O (3 ) и,
значит, разлагаться в прямую сумму неприводимых представ­
лений S O (3 ). Неприводимое подпространство, входящ ее в про­
странство состояний, определяется двумя числами, из которых
одно (азимутальное квантовое число) равно / и определяет тип
соответствующ его неприводимого представления, а другое (глав­
ное квантовое число) различает разные инвариантные подпро­
странства, соответствующ ие эквивалентным друг другу пред­
ставлениям. При этом все состояния, входящие в одно неприво­
дим ое подпространство, обязаны иметь один энергетический
уровень.
Если включено магнитное поле, обладаю щ ее вращательной
симметрией вокруг оси, то каждое неприводимое представление
группы S O (3 ) ограничивается на подгруппу # c = S O (3 ), состоя ­
щ ую из вращений вокруг оси магнитного поля. Ограничение
неприводимого представления S O (3 ) на Я разлагается, как мы
видели, на одномерные неприводимые представления, причем
состояния, соответствующ ие разным инвариантным подпрост­
ранствам относительно подгруппы Я , уж е имеют разные энерге­
тические уровни. Это описывает расщепление спектральных ли­
лий в магнитном поле — эффект Зеемана. Например, на рис. 39,
заимствованном из статьи [53], приведены спектрограммы, по­
казывающие, что пространство состояний атома ниобия преоб­
разовывалось согласно представлению pi группы S O (3 ), кото­
рое распалось на 3 представления группы Я после включения
магнитного поля.
196
В.
Представления классических ком­
плексных групп Ли. Дальше будут рас­
сматриваться аналитические представле­
ния классических групп, т. е. будет пред­
полагаться, что элементы матрицы ли­
нейного преобразования p (g )
являются
комплексно аналитическими функциями
элементов матрицы g£G. Мы используем
связь между классическими комплексны­
ми и компактными группами Ли, которую
описали в § 15: каждая классическая ком­
пактная группа содержится в некоторой
классической комплексной группе в к а ­
честве
ее
максимальной
компакт­
ной подгруппы:
U( n )
в G L (n , С ),
S U (n ) в S L (n , С ), S p U (n ) в Sp(n, С)
и т. д. Эта связь дает возм ож ность ис­
следовать конечномерные представления
комплексных групп исходя из получен­
ных в предшествующем пункте сведений
о
представлениях групп компактных.
Рис. 39
Первый основной результат здесь таков:
V.
Конечномерные представления классических комплексных
групп Ли полупросты. ►
Поясним идею доказательства на примере группы G L ( /i),
Мы сделаем одно упрощающее предположение: будем считать,
что в представлении р : G L(n)->-A ut ( L) элементы r ^ ig ) мат­
рицы преобразования p (g ) являются рациональными функция­
ми от элементов матрицы g. (Н а самом деле, это всегда так, к
не только для группы GL ( n ) ,
но и для всех классических
групп.) Пусть в пространстве L есть подпространство М, инва­
риантное относительно всех преобразований p (g ) , gG G L(n)'.
Ввиду доказанной полупростоты представлений группы Щ п )
сущ ествует подпространство N, инвариантное относительно пре­
образований p ( g ) , g £ U ( n ) , и такое, что L = M © N . В базисе,
составленном из базисов подпространства М и N, преобразова­
ния p ( g ) , g G G L (n ), имеют матрицы вида:
При этом элементы ci } (g) матрицы C ( g ) являются, по сказан­
ному выше, рациональными функциями от элементов матрицы
g, равными 0, если g G U (n ). Все сводится, ввиду этого, к дока­
зательству леммы, уж е не относящейся к теории представлений:
Л е м м а . Рациональная функция F ( Z ) от элементов пере­
менной матрицы Z G G L (n ), равная 0 для всех Z 6U (n ), равна О
тождественно. ►
137
Как известно (и мгновенно проверяется), любая матрица Z
*с det(£' + Z) =т^0 представляется в виде
Z = ( E — Т) ( Е + Т ) ~ \
причем Z унитарна тогда и только тогда, когда Т* = — Т. П оло­
жим F ( Z ) = G ( T ) . Тогда наша задача сведется к тому, чтобы
.доказать, что рациональная функция G( T) от элементов мат­
рицы Г, равная 0 для косоэрмитовых матриц Т, равна тож д ест­
венно 0. Положим T = X + i Y . Условие Г* = — Т примет вид Х* =
= — X, Y* = Y, где t обозначает транспонирование. Наша функ­
ция будет рациональной функцией от элементов X i j ( t < j ) ко­
сосимметрической матрицы X и элементов у ц ( i ^ j ) симметри­
ческой матрицы У, являющихся независимыми вещественными
переменными. Поскольку рациональная функция равна 0 для
всех вещественных значений переменных, то она равна 0 тож ­
дественно, т. е. G ( T ) = 0 для всех Т вида X + i Y , Х* = — X, Y* = Y,
где X и Y — любые комплексные матрицы. Но так мож но пред­
ставить лю бую матрицу Г, положив
Х = \ ( Г - Т ‘ ),
У = ^ . ( Т — Т ‘ ).
Д оказательство теоремы V является лишь одним примером
общ его метода исследования представлений классических комп­
лексных групп Ли. Этот метод аналогичен аналитическому про­
должению вещественных функций в комплексную область. Он
называется унитарным приемом. Ограничивая представление
такой группы G на ее максимальную компактную подгруппу К,
м ы получаем представление группы К. Н аоборот, из представле­
ния группы К получается представление группы G, если вещ ест­
венным параметрам, от которых зависят матрицы k£K, прида­
вать также комплексные значения.
Так устанавливается взаимно однозначное соответствие между
представлениями групп G и К. Например, неприводимые пред­
ставления группы SL (2, С) записываются точно теми же форму­
лами (7),
с
той лишь разницей, что элементы матрицы
^
gj
принимают теперь любые комплексные значения, связанные соот ­
ношением аб — 0у = 1 . (Отсюда, между прочим, сразу следует их
неприводимость.) Ввиду связи, существующей между группой
SL (2, С) и группой Лоренца, это описание важно для физики.
Все изложенное до сих пор могло бы создать впечатление,
что теория представлений классических комплексных групп
Ли полностью аналогична теории представлений компактных
групп. На самом деле, это далеко не так; теория представлений
лю бой некомпактной группы Ли связана с некоторыми совер­
шенно новыми явлениями.
Как и в компактном случае, сущ ествует инвариантная «-м е р ­
ная дифференциальная форма на группе G (n = dim G ), и при
198
ее помощи можно определить регулярное представление в про­
странстве L2 ( G) . Регулярное представление опять «разлагается
на неприводимые», но теперь эти слова имеют другой смысл.
Неприводимые представления, вообщ е говоря, бесконечномер­
ные и зависят от непрерывно меняющихся параметров, так что
здесь возникает ситуация типа «непрерывного спектра». Р егу­
лярное представление разлагается не в сумму, а в «интеграл»
неприводимых. Например, характеры группы R вещественных
чисел по сложению имеют вид
% ь(х) = е 2* ^ ,
и «разлож ение» регулярного представления сводится к пред­
ставлению функций в виде интеграла Фурье (а не ряда Фурье,
как в случае компактной группы R /2jtZ). Как само регулярное
представление, так и те неприводимые представления, на кото­
рые оно разлагается, являются унитарными. Из этого вытекает,
что в большинстве случаев они не могут быть конечномерными.
Например, если группа G простая, то ее неединичное представ­
ление является вложением и не мож ет быть вложением в неко­
торую группу U( n ) , так как группа G некомпактна, a U (n ) —
компактна. Как правило, не все неприводимые унитарные пред­
ставления встречаются при разложении регулярного. Н о и те,
которые там встречаются, не содерж атся в регулярном пред­
ставлении в виде подпредставления: подобно тому, как точка
непрерывного спектра оператора не соответствует никакому со б ­
ственному вектору. Те исключительные случаи, когда неприво­
димое представление содержится в регулярном, очень интерес­
н ы — они аналогичны дискретной части спектра. Такими
яв­
ляются, например, представления (при п^-гО) группы SL (2, R),
действующ ие в пространстве функций f { z ) , аналитических в
верхней (или нижней) полуплоскости со скалярным произведе­
нием
[ f i ( z ) / 2 ( 2 ) ynd x Д dy,
c+
z = x + iy,
по формулам
Сама их конструкция подсказывает, что они связаны с теорией
автоморфных функций.
§ 18.
НЕКОТОРЫЕ
ПРИ Л ОЖЕН И Я
ГРУПП
А.
Теория Галуа. В теории Галуа изучаются «симметрии»,
т. е. автоморфизмы, конечных расширений. Определение конеч­
ного расширения и простейшие свойства их см. в § 6 . Мы будем,
ради простоты, предполагать, что рассматриваемые поля имеют
199
характеристику 0 , хотя все основные результаты на самом деле
верны в гораздо большей общ ности, например, также и для
конечных полей.
Каж дое конечное расширение L jK (в предположении, что
характеристика поля равна 0 ) имеет вид К { а) , где а — корень
неприводимого многочлена P( t ) £K[ t \ и степень этого
много­
члена равна l[ L : K ] . П оэтом у теория Галуа может быть изло­
жена в терминах многочленов (как это и делал сам Г ал уа),
хотя такое изложение не инвариантно в том смысле, что разные
многочлены P ( t ) могут порож дать одно и то ж е расширение
ЦК.
А вт ом орф и зм ом расш ирения L/K называется автоморфизм
о поля L, оставляющий на месте все элементы поля К . Все
автоморфизмы заданного расширения образую т группу Aut ( Ц К )
относительно операции композиции. Автоморфизм о расширения
К (а )/К однозначно определяется тем, куда он переводит элеIt—
1
мент а: любой элемент поля К (а) записывается в виде 2
a ta ‘ ,
о
а £ К , и если <т(а) = (3, то a ( 2 a ia i) = 2 a ip/. С другой стороны,
если a (а) = (5 и Р ( a) = 0, P( t ) £K[ t \, то и Я((5) = 0. Поэтому
\ A u t(L lK )\ < d e g P (t) = \L:K].
(1)
Расширение L [K тем симметричнее, чем больше
группа
A u t(L /K ). Предельный случай — когда в соотношении ( 1 ) име­
ет место знак равенства:
|Aut ( L /K ) | = ,[ L : K ] .
Тогда Ц К называется расширением Галуа. Согласно сказанно­
му выше, для этого необходимо, чтобы неприводимый многочлен
P ( t ) , корнем которого является а (если Ь — К ( а ) ) , разлагался
в L на линейные множители. М ож но показать, что этого и д о ­
статочно. В § 12 был приведен пример расширения, не являю­
щегося расширением Галуа, и даж е «максимально асимметрич­
н ого»: Aut ( Lf К) = {е }. Возмож ность применения теории групп к
изучению структуры полей основывается на том, что расш ире­
ния Галуа все ж е даю т достаточно полную информацию:
I.
К аж дое конечное расширение содерж ится в расширении
Галуа. ►
_
Рецепт построения расширения Галуа LjK, содержащего'
заданное расширение LjK, не сложен: если Ь = К ( а ) , Р ( а ) = 0 ,
P ( t ) ^ K [ t ] , то надо, положив в L многочлен P( t ) = (t— a ) P i ( t ) ,
Pi ( t ) £L[ f ] , построить расширение Ц = Ь(а.\), P i ( a i ) = Q , и про­
должать так до тех пор, пока P ( t ) не разложится на линейные
множители. Из всех расширений Галуа Ц К , содерж ащ их за­
данное расширение Ц К , сущ ествует минимальное, содерж ащ ее­
ся в остальных.
200
Группой Галуа расширения Галуа L/К называется группа
A u t(L / K ). Она обозначается Gal (L/К) . По определению
[G al (L/K)\ = [ L : K ] .
Группой Галуа конечного расширения L jK называется груп­
па Галуа наименьшего расширения Галуа L /К, содерж ащ его
НК.
Группой Галуа неприводим ого многочлена P { t ) ^ K [ f ] назы­
вается группа Галуа расширения L / K = K ( a ) , Р ( а ) = 0 .
_ Если L — K (а), Р ( а) = 0, то наименьшее расширение Галуа
L /К, содержащее L j K , получается последовательным присоеди­
нением корней многочлена Р (t), как это было описано выше.
Любой автоморфизм agGal ( Lj K) определяется тем, куда он
переводит корни а г многочлена Р (t ). С другой стороны, он
может переводить их только в корни того же многочлена. П оэто­
му о осуществляет п ер ест а н о в к у к орней многочлена Р (f),
а вся группа Gal { Lj K) дей ст вует на м нож ест ве э т и х к о р ­
ней. Например, для «асимметричного» расширения £ = Q ( У~2),
рассмотренного в § 1 2 , а = у / 2 , многочлен P ( i ) = t3 — 2 =
= {t — a )(*2 + a£ + oc2), и в поле Q ( | ^ 2 ) многочлен
2
корней не имеет. М ы полагаем L = L { П), где а { + ааг -j- а 2 = О,
откуда
=
Отсюда следует, что L = L { У — 3) и
любой его элемент записывается в виде | -f- ц У — 3, £, r]gQ ( У 2 }.
Очевидно, что автоморфизм a g A u t(Z /Q ) определяется значениями
а ( У 2 ) и а (]/ — 3). При этом (о ( У 2 ) ) 3— 2 и, значит,
0 ( У 2 ) — 8&у Л2 , k = 0, 1 , 2 , где е = —
— корень
куби­
ческий из 1 , а а ( У — 3 ) = ± У — 3. Легко проверить, что любые
комбинации таких значений для о ( У 2 ) и о ( У — 3) действи­
тельно определяют автоморфизм расширения
L/Q, так что»
1Aut (Z^/Q) | = 6 , а так как и [ £ : Q ] = 6 , то i / Q — расширение
Галуа. Его группа Галуа действует на корнях многочлена х 3 — 2
и, очевидно, задает любые их перестановки, так что в этом,
случае G a l ( i /Q ) —@3. Выпишем в явном виде действие группы
G a l(£ /Q ) на корнях многочлена х 3 — 2 в виде таблицы (корни
занумерованы в порядке У 2 , & У 2 , г2 У 2 ):
а(УТ)
ут
У2
а( / Г Г )
У —3
-У = Г
перестановка
корней
О)
(23)
б У 2~
у = г
(123)
ь*У2
У/2
в*уг
У —т
—у^з*
У ^ з"
( 12)
(13)
(132)
231
В основе теории Галуа лежит замечательная связь между
подрасширениями K c :Z /c :Z . расширения Галуа ЦК, и подгруп­
пами его группы Галуа G = G a l(L /K ). Д ля лю бой подгруппы
H cG a \ (L / K ) обозначим через L ( H )
подполе, состоящ ее из
всех элементов поля L, инвариантных относительно всех авто­
морфизмов подгруппы Н, а для подполя L', K ^ L 'c z L , черёз
G( L' ) — подгруппу A u t( LI U) группы G a l(L/K).
II.
О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и Г а л у а . Отображения
H - ^ L ( H ) и L '^ -G (L ') обратны друг другу. Они определяют
взаимно однозначное соответствие между подгруппами
Н а
czGal { LlК ) и подполями L', K d L ' d L . Это соответствие обра­
щает включение: H d H i тогда и только тогда, когда L ( H x) d
d L ( H ) . Кроме того,
\L(H)-.K\ = \G-.H\.
Расширение L '/K ,
K d L ' d L , тогда и только тогда является расширением Галуа,
когда подгруппа G ( L ' ) d G
является нормальным делителем.
В этом случае Gal ( U i K ) — Gi G( L ' ) . ►
Классической иллюстрацией методов теории Галуа является
применение их к вопросу о решении, уравнений в р а д и к а л а х .
Основой здесь является естественная интерпретация, которую
радикал у га приобретает в теории Галуа.
Предположим, что основное поле К содержит все Л корней
степени п из 1 , т. е. многочлен х п— 1 разлагается в нем на ли­
нейные множители, а многочлен х п — а неприводим,
т. е.
\ К (/ а )-.К \ = п. Из сказанного выше следует, что в этом случае
К ( V а)/К является расширением Галуа
и все его автоморфизмы
o g G a l{ К ( f ' a ) IK ) = G определяются тем, что а ( у га) = г у г а, где
г л = 1. Иными словами, положив о (у га)/уЛа = х (а), мы получим
характер группы G, и этот характер будет точным (т. е. его
ядро равно е), так что группа G циклическая. Поле К ( V а ) / К
как векторное пространство над К определяет представление
группы G, которое должно разлагаться на одномерные. И дейст­
вительно,
К ( у а ) = К ® К (у 7 а) ® К ( у ¥ ) 2© , . . ® К ( у а у - \
причем а ((у^а)') = %' (б) ( У а ) Г. Таким образом, радикалы у а г
соответствую т разложению представления циклической группы G
в пространстве L на одномерные. Эта картина обратима: пусть
L / K — расширение с циклической группой Галуа G порядка и ;
тогда аналогично предыдущему мы должны иметь
Z,==Ara i ® . . . ® К а п,
а (a r) — %г (а) а г,
где у (o’) — характер, являющийся образующим в группе характе­
ров группы G. Отсюда нетрудно вывести, что а Г= а [ с Г, с г(*К,
а <1 = а ^ К и L = K { V a ) .
202
Таким
образом,
если
корни
степени
п
из
1
содержатся
в поле К, то ра ди к ал ьн ы е расш и рени я К ( у а ) — эт о в т оч ­
ност и расш ирения с циклической группой Галуа. Отсюда,
применяя теорему II и простейшие свойства разрешимых групп,
можно доказать:
III. Расширение А/АГ тогда и только тогда является подполем
расширения Л /А ', получающегося последовательным присоедине­
нием радикалов (т. е.
a=Ai3A23 ...злг==/с, л,+1=лг(^ ), а^ел,),
когда его группа Галуа разрешима. ►
Из этого факта и родилось впервые как понятие разреши­
мой группы, так и сам термин.
Рассмотрим, например, поле рациональных функций k ( t u
■fa, ■. ■, tn) = L и подполе К симметрических функций. Как изве­
стно, K = k ( a \ , . . . , а „), где а 4 — элементарные симметрические
функции, и сопоставление <т4- и / 4 определяет его изоморфизм с
полем рациональных функций k ( y \ , . . . , у п). Очевидно, что
G a l ( L /A ) = @ „ и состоит из всех перестановок переменных
/ 1, . . . , tn. Но г4 — корни уравнения х п— OiXn~l + . . . + а „ = 0.
Применяя изоморфизм ст(-*-г/*, мы мож ем сказать, что группа
Галуа уравнения
х п— у 1х п' 1 + . . . ± г /л= 0
(2 )
над полем k ( y h . . . , у п), где у и
, у п — независимые пере­
менные, есть симметрическая группа ®„.
Уравнение (2) называется общим уравнением степени п.
Соединяя теперь критерий III с известными фактами о
структуре групп @„ (теорема I § 13), получаем:
IV. О бщ ее уравнение степени п разрешимо в радикалах при
л = 2, 3, 4 и неразрешимо при п ^ 5 . &>•
Структура формул для решения уравнений степени п = 2, 3,
4 в радикалах также мож ет быть предсказана на основании
свойств групп @„, п = 2, 3, 4 (теорема I § 13).
Б. Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений
(теория Пикара— В ессио). Рассмотрим дифференциальное урав­
нение
(/<пЧ - а 10 (я-1)- г •••-\~апу = 0 ,
(3)
коэффициенты которого — мероморфные в некоторой области
функции одного комплексного переменного. Обозначим через К
поле С (аь . . . , а „ ) , а через L — поле, состоящ ее из всех раци­
ональных функций от аи . . . , а„, п линейно независимых ре­
шений уравнения (3) и всех производных этих решений.
Дифференциальным автоморфизмом расширения L/К назы­
вается автоморфизм поля L, не меняющий элементов поля К и
перестановочный с дифференцированием элементов поля L.
203
Группа всех дифференциальных автоморфизмов расширения
Ц К называется дифференциальной группой Галуа этого рас­
ширения или уравнения (3 ).
Так как дифференциальный автоморфизм перестановочен с
диференцированием и не меняет коэффициентов уравнения (3),то он переводит решение этого уравнения снова в решение. Так
как решения уравнения (3) образую т «-м ерное линейное прост­
ранство, то дифференциальная группа Галуа уравнения
(3)'
изоморфна некоторой подгруппе группы G L (« , С ). М ож но д о­
казать, что эта подгруппа является алгебраической матричной
группой (см. § 15). Таким образом возникает вариант теории
Галуа, в котором вместо конечных расширений рассматривают­
ся дифференциальные расширения типа рассматривавшихся вы­
ше, а место конечных групп занимают алгебраические группы.
В этом варианте также имеется полный аналог «основной тео­
ремы теории Галуа». Аналогом разрешимости в радикалах ока­
зывается разрешимость в квадратурах. Например, у = ! а ( х ) й х
есть решение уравнения у " — (а '/ а )у ' = 0. Дифференциальные
автоморфизмы имеют в этом случае вид у-*-у + с, сб С, и, значит,
группа Галуа изоморфна группе G„ (группе элементов поля по>
сложению, см. § 15). Функция
y _ e Jadx есть решение уравнения у '— а у = 0 .
Дифференциальные автоморфизмы его имеют вид у-*-су, сбС *,
и дифференциальная группа Галуа изоморфна Gm (группе эле­
ментов поля по умножению, см. § 15).
Аналогично классической теории Галуа имеет место теорема:
V.
Корни уравнения (3) тогда и только тогда могут бы ть
выражены через его коэффициенты путем рациональных опера­
ций, взятия интеграла, экспоненты интеграла и решения алгеб­
раических уравнений, когда его дифференциальная группа Га­
луа имеет нормальный ряд, факторами которого являются
группы Ga, Gm и конечные группы. ►
Например, нетрудно найти группу Галуа уравнения у " + х у =
==0: она совпадает с S L (2, С ). Так как эта группа имеет толь­
ко нормальный делитель ± Е , факторгруппа по котором у
P S L (2 , С) проста, то уравнение у " + х у = 0 не решается в квад­
ратурах.
В.
Классификация неразветвленных накрытий. П усть X —
связное многообразие, х 0£Х и G —л (Х , х 0) — его фундаменталь­
ная группа. М ногообразие У с отмеченной точкой yo&Y и непре­
рывное отображ ение p :Y -* -X , р ( у о ) ~ х 0, называются конечно­
листным неразветвленным накрытием, если любая точка х&Х
обладает такой окрестностью U, что p~l { U) распадается на п
непересекающихся открытых множеств Uu на каждом из кото­
рых р : U{-*~U является гомеоморфизмом. Число п одно и то ж е
для всех точек х ; оно совпадает с числом прообразов каждой
точки и называется степенью накрытия.
204
Отображение р : Y-+X естественно определяет гомоморфизм
Р .: л (У, у 0)-+ т (Х , х 0) — э т о к о м п о з и ц и я отображ ения <р : I-*~Y,
определяющ его петлю, и отображения р. Его образ обозначим
через G ( 7 ) . Имеет место следующий аналог основной теоремы
теории Галуа:
VI.
Отображение р : (У, y 0)^ -G (Y ) определяет взаимно од ­
нозначное соответствие между связными неразветвленными ко­
нечнолистными накрытиями и подгруппами конечного индекса
группы G. Степень накрытия (У, у 0) - + ( Х , х 0) равна ( G : ( ? ( У ) ) ;
Цепочке неразветвленных накрытий (Z , г 0)->-(У , у 0)-*-(Х , х0)
соответствует включение подгрупп G (Z ) c=G ( У) . Если подгруппа
<3(У) является нормальным делителем в G, то факторгруппа
F = G[ G( Y) действует без неподвижных точек на У, перестав­
ляя прообразы точек из X, и X = F \ Y . ►
Аналогия с основной теоремой теории Галуа столь велика,
что возникает желание попытаться установить и какие-то пря­
мые связи. В некоторых случаях это действительно возможно.
Пусть многообразие X является алгебраическим многообразием
над полем комплексных чисел, а р : Y-+X — его неразветвленное
накрытие. Используя локальный гомеоморфизм р : Ui-^U, су ­
ществующий, согласно определению неразветвленного накрытия,
меж ду открытыми множествами Ц(с=У и U czX , можно пере­
нести комплексную структуру с X на У. Таким образом, У о б ­
ладает однозначно определенной структурой комплексно анали­
тического многообразия. М ож но показать, что вместе с этой
структурой У изоморфно алгебраическому многообразию. Мы
приходим к ситуации, аналогичной рассматривавшейся в конце
§ 6 . Если X и У неприводимы, отображ ению р : У->Х соответ­
ствует отображ ение рациональных функций р* : С (Х )-> -С (У ),
которое является гомоморфизмом, а значит, вложением полей.
Таким образом, С ( Х ) с :С ( У ) , и можно показать, что это — ко­
нечное расширение, причем [С (У ) : С ( Х ) ] = ( G : б ( У ) ) . Мы ви­
дим, что группа G дает нам описание некоторых конечных рас­
ширений поля С ( Х ) . Однако это не все его конечные расшире­
ния, а лишь «неразветвленные». Общ ее конечное расширение
Lf C( X) также имеет вид Г = С (У ), где
У — алгебраическое
многообразие, и сущ ествует отображ ение р : Y-+X, определяю­
щее вложение полей С ( Х ) с :С ( У ) . Но, вообщ е говоря, отобра­
жение р разветвлено в некотором подмногообразии S c X , т. е.
для x 6S число прообразов р~х(х) меньше, чем степень расшире­
ния С (У )/С (Х ). Описание таких расширений мож ет быть полу­
чено аналогичными
методами, если
рассматривать группу
n(X\S).
В случае, когда X — компактная комплексная неприводимая
алгебраическая кривая, пространство X гомеоморфно ориенти­
руемой поверхности. Если род этой поверхности равен g, то
группа л (Х ) имеет 2 g образующ их х и . . . , Х2в, связанных един­
ственным соотношением
205
Х ^ Х ^ Х ^ Х з Х ^ Х - 1 . . . Х ц - ^ д Х - ^ Х - 1=
1
(4 )
(пример 7 § 14). Таким образом , подгруппы конечного индекса
этой явно определенной группы описывают неразветвленные на­
крытия Y-*~X.
Упомянем один, внешне похожий результат. Пусть К — ко­
нечное расширение поля р-адических чисел Qp (пример 7 § 7 ),
причем К содерж ит корень степени р из 1 . Предположим, что К
содерж ит корень степени р е из 1 , но не содержит корень степе­
ни р е+1 из 1, и реф 2. Положим п = [ К : Q p].
V II. Конечные расширения Галуа L /К поля К, для которых
[L : К ] является степенью р, находятся во взаимно однозначном
соответствии с нормальными делителями, индекс которых есть
степень р, группы с п + 2 образующ ими ai
<тп+2, связанными
единственным соотношением
a f ea 1o 2ar 1a - 1 . . . a „ +1a„+2a -^ 1a - | 2 = 1 .
(5)
Н есмотря на разительное сходство соотношений (5) и (4 ),
причина такого параллелизма далеко не ясна.
Г. Теория инвариантов. П усть G = G L (n , С) — группа линей­
ных преобразований га-мерного векторного пространства L, а
Т (L ) — пространство тензоров определенного типа над L. Эта
ситуация определяет представление группы G в пространстве
T{ L) : ф : G-*-Aut T( L) . Особый интерес представляют собой мно­
гочлены F, заданные на пространстве T( L) и инвариантные о т ­
носительно действия группы G: они выражают внутренние свой­
ства тензоров из T( L) , ие зависящие от выбора системы коор­
динат в L (если интерпретировать элементы g 6 GL(ra, С) как
переход к другой системе координат). Удобно несколько осл а­
бить это требование: внутреннеес войство тензора выражается,
часто, приравниванием 0 некоторого многочлена, который под
действием элементов группы g умножается на константу:
Ф
(g)F=c(g)F.
(6 )
Легко видеть, что c ( g ) есть некоторая степень определителя g>
и равенство ( 6 ) равносильно тому, что <$(g)F = F для g'6 S L (n , С ).
Такие многочлены называются инвариантами группы. S L (n , С ).
Например, если T ( L ) = S 2L — пространство квадратичных форм,
то дискриминант квадратичной формы будет инвариантом.
Мы рассмотрим дальше простейший случай, когда Т (L ) =
—Sm(L) является пространством форм степени m на простран­
стве L. В кольце A = C[Sm(L )]
всех многочленов от коэф ­
фициентов форм содержится подкольцо инвариантов В. Мы
проиллюстрируем применение основных фактов теории
пред­
ставлений групп, приведя доказательство одного из основных
результатов теории инвариантов:
VIII. П е р в а я о с н о в н а я т е о р е м а .
Кольцо инвариантов
конечно порождено над полем С. ►
206
Оно основывается на простой лемме:
Лемма.
Если
/ с Б — идеал
кольца
инвариантов,
то
1АГ\В = 1 . ►
Доказательство связано с тем, что кольцо многочленов гра­
дуировано (ср. теорему V § 6 ): А = Л 0© Л !® Л 2® ■••. а В, как
его подкольцо, также градуировано. Каждое из пространств A t
определяет представление группы G = SL (п, С). Любой элемент
а,9А содержится в некотором конечномерном инвариантном под­
пространстве A d А
(например, в
где ДА— степень а).
Ввиду полупростоты представлений этой группы (теорема V
§ 17) Л разлагается в сумму А = А ® В , где Л — сумма всех не­
приводимых представлений, входящих в А, отличных от единич­
ного, a B d B . П усть а = Ь-\-а, где Ь£В, а^ А , А — конечномер­
ное подпространство, инвариантное относительно G, причем
Л П Д = 0.
i f i l , a fiA . Полагая
i
a t = Oi-\-bi, a fi.A t, btQB, где A t — подпространство, соответствую­
щее А для ^элемента a „ мы получим: х = 27 А 4- 2 /,-а,-. Но
a i tA t есть инвариантное подпространство, в котором
индуцируется представление, изоморфное Л г. Поэтому 2 гга,6
62i,_Az. Из основных свойств полупростых модулей (см. теорему 1;
§ 1 0 ) вытекает, что в модуле 2 /,Л г содержатся только такие
простые подмодули, которые изоморфны простым подмодулям;
одного из / гЛ г. В частности, (2г';Л/)Г|Б = 0, и если х£ В , то.
2 г га , = 0, x g I . Лемма доказана.
Основная теорема теперь очевидна. Сопоставление
Т-*-1А
является отображ ением идеалов кольца В в идеалы кольца А,
причем ввиду леммы разным идеалам сопоставляются разные.
Н о тогда из нётеровости кольца многочленов А следует нётеровость В. А градуированное нётерово кольцо является ко­
нечно порожденным кольцом над В0= С (теорема V § 6 ).
Именно для доказательства этой теоремы Гильберт и ввел,
понятие «нётеровости» и доказал «нётеровость» кольца много­
членов (хотя это и звучит абсурдно, так как Эмми Нётер, в
честь которой потом был введен термин «нётеровость», в м о­
мент, когда Гильберт публиковал свои работы по теории ин­
вариантов, находилась еще в младенчестве).
Д . Представления групп и классификация элементарных ча­
стиц. В последние два десятилетия большой энтузиазм физиков
вызвали попытки использовать теорию представлений групп Ли,
чтобы выработать единый взгляд на загадочную картину откры­
тых к настоящему времени во множестве элементарных частиц.
Из трех рассматриваемых в физике типов взаимодействий: элек­
тромагнитных, слабы х и сильных, речь будет идти только о*
сильных, связанных с ядерными силами. Частицы, принимаю­
_
Пусть
_
_
хбIA
и
x —
_
207
щие участие в сильных взаимодействиях (адроны ), это — м езо­
ны (промежуточные частицы) и барионы (тяж елы е).
Начнем с замечаний, приведенных в конце разбора приме­
ра 9 в § 17. И зображенные на рис. 39 три спектральные линии
{ триплет, в физической терминологии) возникли в результате
нарушения первоначальной симметрии относительно
группы
S O (3 ), которая уменьшилась до ее подгруппы H ^ S O ( 2 ). О гра­
ничение трехмерного представления pi группы S O (3 )
на под­
группу Я перестает быть неприводимым и разлагается на три
одномерных представления, которым соответствую т наблю да­
емые линии. Эта картина, в качестве модели, и лежит в основе
всех соображений, о которых будет сказано дальше; если имеет­
ся совокупность г похожих по своим свойствам частиц, то м ож ­
но попытаться представить ее себе как вырождение, связанное
с понижением симметрии. Математически это связано с тем,
что состояния всех рассматриваемых частиц образую т простран­
ства L \,.. ., L r, в которых действуют представления p i , . . . , рг
одной и той ж е группы Я . Ищется большая группа G zdH, име­
ющая неприводимое представление в пространстве L i® - ” ® L r
такое, что ограничение этого представления на подгруппу Я
эквивалентно ее представлению p i® . . . © р т.
Первый шаг — это рассмотрение пары, состоящ ей из прото­
на (р) и нейтрона (п). П ротон и нейтрон имеют одинаковый
■спин и очень близкие (хотя и не совпадающие) массы, равные
938,2 и 939,8 М эе. Они имеют разные заряды, но это сказы ­
вается лишь при рассмотрении электромагнитных взаимодейст­
вий, которыми в этой теории пренебрегают. В связи с этим, еще
в 30-х годах Гейзенберг предложил рассматривать их как два
квантовых состояния одной и той ж е частицы — нуклона. С оот­
ветственно они будут дальше обозначаться через N + и № , а
нуклон — через N. Согласно общим принципам квантовой м еха­
ники в качестве пространства состояний нуклона мы получаем
двумерное комплексное пространство L с эрмитовой метрикой:
N + и № соответствую т базису в L. Симметрии такого простран­
ства образую т группу U (2 ). Мы будем дальше рассматривать ее
подгруппу S U (2 ), имеющую очень близкие свойства, и опустим
физическую аргументацию, оправдывающую
это
ограничение.
В системе, состоящ ей из многих нуклонов, пространство состоя ­
ний будет иметь вид L®Z.(§> . . . <
8>L. В нем действует представле­
ние группы SU (2). Представление (тавтологическое) в L мы
обозначали (согласно классификации, приведенной в примере 9
§ 17) через pi/2. Представление в пространстве состояний новой
системы будет тогда Т р (pi/2)- Мы знаем (согласно примеру 9
§ 17), что все неприводимые представления группы S U ( 2 ) имеют
вид ру, где у > 0 — целое или полуцелое число (dim р^ = 2 у - f - 1 ).
Кроме того, формула Клебша — Гордана (10) § 17 д ает нам
возможность разложить представление ру® р н а неприводимые.
Поэтому мы можем найти разложение на неприводимые нашего
-208
представления 7’ р (р1/2). Э то дает больш ую физическую информа­
цию. Дело в том, что согласно «словарю квантовой механики»
(см. § 1 ) вероятность перехода из состояния, изображенного век­
тором ф, в состояние, изображаемое вектором ф, равна |(ф, ф) |
(если |ф| = |ф| = 1 ). Но разложение представления на неприводи­
мые можно всегда считать ортогональным, а это значит, что
состояния, изображаемые векторами, которые преобразуются
согласно различным неприводимым представлениям, не могут
переходить друг в друга: это так называемые правила запрет а.
Более того, кроме номеров j неприводимых представлений р,-,
на которые разлагается представление 7 p (pi/2), можно указать
и реальные базисы подпространств, в которых эти представления
реализуются, т. е. преобразование матриц
р (Р1/2 (g)) в прямую
сумму матриц рj(g). Это дает возможность найти вероятности
переходов для разных состояний системы.
Теперь естественно применить тот ж е ход мысли к исследо­
ванию других элементарных частиц. Оказывается, они обнару­
живаются группами по 2 — 3— 4, причем массы в пределах одной
группы очень близки (хотя встречаются и «одиночные» части­
цы ). Среди барионов мы имеем, например, кроме уже рассм от­
ренных нуклонов, «одиночный» (синглет) А-гиперон (масса —
1115 Мэ е ) , S -дублет (т. е. две частицы 3 + и 3 “ с массами 1314
и 1321 Мэ е ) и 2-триплет (т. е. три частицы 2 +, 2°, 2 “ с м асса­
ми 1189, 1192 и 1197 Мэ е ) . Так ж е обстоит дело с мезонами:
имеются «синглеты» ц-мезон, ф-мезон и со-мезон, К и К*-дубле­
ты и дублеты их античастиц, л- и р-триплеты. Естественно при­
менить к ним те же соображения, считая, что частицы одной
группы являются квантовыми состояниями одной и той ж е час­
тицы, пространство состояний которой одномерно для синглетов,
двумерно для дублетов и трехмерно для триплетов и соответст­
вует представлениям ро, pi /2 и pi группы S U (2 ). В случае мно­
гих частиц опять возникают тензорные произведения представ­
лений, которые разлагаются на неприводимые согласно формуле
Клебш а— Гордана. Если состояние преобразуется по непри­
водимому представлению р 3 группы S U (2 ), то ему приписы­
вается изотопический спин /. Все эти рассуждения, вращающи­
еся в рамках группы S U (2 ), составляю т теорию изотопического
спина. Эта теория хорош о себя оправдала. Так, на основании
ее было предсказано существование триплета я-мезонов, кото­
рые были позже открыты.
Самым смелым является следующий шаг. Если быть после­
довательным, то надо применить те ж е рассуждения ко всем
барионам. Они составляю т октет, т. е. их 8 : синглет А, дублеты
N и 3 и триплет 2 . Следует предположить, что это их разнооб­
разие происходит лишь от нарушения некоторой высшей сим­
метрии. Физики говорят иначе: они предполагают, что сущ ест­
вует идеализированное «сверхсильное» взаимодействие, относи­
14—9339
тельно которого все свойства этих частиц идентичны. Д ля
математика — это задача найти некую группу G, содерж ащ ую
подгруппу Я , изоморфную S U (2 ), и такое восьмимерное непри­
водимое представление р группы G, что при ограничении р на
Я оно распадается на р0 (соответствующ ее A ), pi /2 (соответ­
ствующ ее N ), еще одно pi /2 (соответствующ ее S ) и pi (соотв ет­
ствующ ее 2 ) .
Такая группа и представление действительно сущ ествую т:
это C? = SU(3) и ее присоединенное представление в простран­
стве /Из (С) всех матриц 3-го порядка со следом 0, когда мат­
рица ggSLJ(3) определяет преобразование x - + g - lx g , хбМ з (С)
(dim eМ 3 (С) = 9 и поэтому d i m c / Из (С) = 8 ).
М ы выпишем эт о
представление в матричной форме. Запишем матрицу х £ М 3 (С)
в виде
где А — матрица типа (2,2), Я — (2,1), С — (1,2) и а — число.
Условие Sp х = 0 означает, что с с = — Sp А. В группе SU (3)
рассмотрим подгруппу Н матриц вида
j j.
Тогда,
очевидно,
£/gSU (2), так что Н изоморфна SU(2). Так как
U - lA U U - lB
CU
а
то выделение блоков А , В, С и а задает нам разложение при­
соединенного представления на два двумерных и четырехмерное.
Двумерные, очевидно, совпадают с pi/г. Четырехмерное приво­
димо, так как М 2 (С) разлагается на скалярные матрицы и мат­
рицы со следом 0. В результате это четырехмерное представление
разлагается на
одномерное, состоящ ее
из
матриц
вида
и
трехмерное,
состоящ ее
из
матриц
S p A = 0 . Это и есть нужное нам разложение.
Возврат от идеализированной картины, описываемой пред­
ставлением группы S U (3 ), к более реальным барионам есть
задача теории возмущений. Записывая возмущенный гамильто­
ниан на основании эвристических, но естественных сообр аж е­
ний, приходят к ситуации, в которой ответ зависит от двух про­
извольных констант. За счет выбора двух констант удается по­
лучить известные массы четырех групп барионов (A, N, S, 2 ) с
хорошим приближением. Более того, тот ж е подход оказался
применимым к мезонам, в которых выделяются два октета:
псевдоскалярных мезонов (т|, К, их античастиц и я ) и вектор­
ных мезонов (ф, К*, их античастиц и р), приводящих к той ж е
задаче теории представлений.
210
Новая ситуация возникла при рассмотрении другой группыбарионов, также классифицировавшихся по изотопическому спину.
Э то дублет Е*-гиперонов, триплет 2*-гиперонов и квадруплет
Д-гиперонов. Согласно изложенной выше идеологии, речь идет
о нахождении 9-мерного неприводимого представления группы
SU (3), которое при ограничении на SU (2) разлагалось бы как;
Pi/2 ®pi®P 3/ 2- Такого представления нет. Однако существует
«близкое» представление SU(3) — это 5 3р: симметрический куб>
тавтологического представления р группы S(J(3) в трехмерном
пространстве. Если р действует в пространстве линейных форм:
от переменных х , у и z, то 5 3р действует в 1 0 -мерном простран­
стве L кубических однородных многочленов от х , у и z. Рас­
смотрим подгруппу / / c S U ( 3 ) , изоморфную SU ( 2 ), не меняющуюz и действующ ую на х и у при помощи тавтологическога
двумерного представления рцг группы SLf (2). Тогда мы имеем
разложение L — Lz@L2z® L lz 2® Q zz, где Lt — пространство одно­
родных многочленов степени i от х
и у (сНт£г= i - j - 1). Мы;
получаем разложение (представления 5 3р, ограниченного на / /) :.
P 3/ 2® P l® P l/ 2® P o -
Оно отличается от ж елаемого на слагаемое р0. Естественнапредположить, что это слагаемое соответствует еще одной час­
тице, которую нужно было бы включить в наше семейство ба­
рионов. Из теоретико-групповых соображений можно предска­
зать некоторые свойства этой частицы — например, ее массу.
Такая частица действительно была обнаруж ена: она называется’
Q ' -гипероном.
Наконец, все эти рассуждения можно попытаться осмыслить,,
исходя из общ их свойств представлений группы SU (3 ). Мы зна­
ем (свойство 4) в теореме IV § 17), что все неприводимые пред­
ставления этой группы получаются из разложения на неприво­
димые слагаемые произвольных тензорных произведений двух,
представлений: тавтологического представления р и контраградиентного р (для S U (3 ), в отличие от S U (2 ), они не эквива­
лентны).
П оэтом у возникает вопрос: не соответствую т ли этим;
элементарным представлениям некоторые «самы е элементар­
ные» частицы? Такие гипотетические частицы названы кварками:
и антикварками. Ряд экспериментов говорит в пользу их су ­
ществования.
М ногие очень важные вопросы остаются, по-видимому, запределами и S U (3 )-теории. П оэтом у рассматривались и теории
симметрии, основывающ иеся на привлечении других групп, на­
пример, S U ( 6 ). П одобные идеи получили в последние двадцать
лет больш ое развитие, найдя применение и вне области сильных
взаимодействий. Н о здесь скудные сведения автора в этом во­
просе обрываются.
14*
§ 19. АЛГЕБРЫ ЛИ
И НЕАССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА
А.
А л гебры Ли. Естественные и важные алгебраические
системы, обладающие всеми свойствами колец, за исключением
ассоциативности умножения, возникли очень давно, хотя и не
сразу стала ясной алгебраическая природа этих объектов. В § 5
было дано описание векторных полей на многообразиях как
линейных дифференциальных операторов первого порядка 2D (F ) =
=
или дифференцирований колец функций на многообра­
зиях, т. е. таких отображений 2D\A-*-A этих колец, что
2D (а + b) = 2D (а) 4 - 3> (Ь),
2D(ab) = a2D(b)-\-b2D(a) и 2 ) ( а ) = 0 ,
( 1)
если а — константа. Композиция 2DX2D2 двух дифференциальных
операторов есть, конечно, снова дифференциальный оператор, но
если 2D\ и 2D2 имели порядок 1, то &)X2D2 будет иметь порядок 2,
так как в него буд ут входить уж е вторые производные (это
особенно ясно видно на операторах с постоянными коэффициен­
тами:
ввиду
изоморфизма R
••■> Речь
просто идет о том, что произведение многочленов первой степени
дает многочлен второй степени). Однако сущ ествует очень важ­
ное выражение, снова являющееся оператором первого порядка —
так называемый к ом м у т а т о р :
[2>ц ® 2] = 2D\2D2 - 2D22DX.
(2)
Т о что коммутатор — снова оператор 1-го порядка, легче всего
проверить, интерпретируя 2DX и 2D2 как дифференцирования
кольца функций и проверив подстановкой,
что для \2DX, 2D^
выполнено соотношение (1), если оно выполнено для 2DX и 2D2.
д
д
В координатной записи, если SDx= 'LPi
=
то
[® „
(3)
О тсюда непосредственно видно, что [3)\, 2 ) 2] — оператор 1-го
порядка, но определение ( 2 ) имеет то преимущество, что оно
инвариантно, т. е. не зависит от выбора системы координат
х х, . . ., х п, в то время как для выражений
(3) это непосред­
ственно не видно. Через интерпретацию в виде дифференциаль­
ных операторов операция коммутирования переносится и на век­
торные поля. Здесь она называется скобкой П уассона и также
обозначается через [ 01 , 0 2].
Линейное пространство векторных полей вместе с операцией
i( , ] очень похож е на кольцо. Действительно, если интерпрети­
ровать [ , ] как умножение, то будут выполнены все аксиомы
кольца (и даж е алгебры ), кроме одной — ассоциативности ум212
ножения. Н о зато выполняются другие тождества,
ские для этой операции:
\ з> ,
2 > ]= о ,
щ
,
а>з1+[[д>2, а д
з
>\\
специфиче­
-г [[2>з. а д , а д = о .
Они легко следуют из определения ( 1). Второе из них назы­
вается тождеством Якоби. Оно является заменой ассоциативно­
сти и, как мы увидим, тесно связано с ассоциативностью.
М нож ество 2 с двумя операциями: сложением а + b и ком­
мутированием [а, Ь] называется кольцом Ли, если в нем вы­
полнены все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умнож е­
ния, но зато
[а, а ] = 0 ,
[[а, Ь], с ] --[■[&, с], а] + [[с, а], Ь] = 0
для всех a, b, с £ 2 . Если 2
над полем К и
(4>
является векторным пространством
i[ya, Ъ] = [а, у 6 ] = у [ а . Ы] Для a, ЬЬ2, уб/С,
то 2 называется алгеброй Ли над К. Элемент [а, Ь] называет­
ся коммутатором а и Ь. Из соотношения [а, а] = 0 следует, чта
,[Ь, с] = — { с , Щ для лю бых b и с (надо положить а = Ь + с).
П р и м е р 1 . Векторные поля на многообразии, с опера­
цией— скобкой П уассона образую т алгебру Ли (над полем R
или С в зависимости от того, является ли многообразие вещ ест­
венным или комплексно аналитическим).
П р и м е р 2 . Все дифференцирования кольца А образую т
кольцо Ли относительно операции коммутирования (2 ). Если А —
алгебра над полем К а А , то дифференцирования, удовлетворя­
ющие условию 2 ( a ) = 0 для а&К, образую т алгебру Ли над К.
П роверка — та же, что и для дифференциальных операторов.
П р и м е р 3. П усть А — кольцо, ассоциативное, но необяза­
тельно коммутативное. Положим для a, bGA |[а, b] —ab— Ьа.
С этой операцией коммутирования А образует кольцо Ли. Если
А было алгеброй над полем К, то мы получаем алгебру Ли над
тем ж е полем. П роверка опять та же, что и для дифференци­
альных операторов.
Если А = М п(К) — есть алгебра матриц порядка га, то полу­
чаемая алгебра называется полной линейной алгеброй Ли к
обозначается gl(ra, К ) или gl(ra).
Заметим, что случай линейных дифференциальных операто­
ров 1 -го порядка не подходит под пример 3, но мы можем взять
за А кольцо всех линейных дифференциальных операторов и
выбрать в нем подпространство 2 c z A операторов 1-го порядка,
которое хотя и не является подкольцом (т. е. не замкнуто отно­
сительно операции ab),
замкнуто относительно операции
[a, b ] —ab— Ьа. Очевидно, что тогда мы получаем алгебру Ли.
Аналогичный прием, в применении к алгебре А = М п( К) , дает
новые важные примеры (замкнутость относительно коммутиро­
вания матриц легко проверяется):
213
П р и м е р 4. П одпространство 2 d M n( K) и состоит из всех
матриц со следом 0 . 2 называется специальной линейной ал.геброй Ли и обозначается з 1 (га, К ) или з 1 (га).
П р и м е р 5. 2 d M n( K) и состоит из всех кососимметриче-скйх матриц а:
• а* = — а,
(5)
гд е * обозначается транспонирование. 2 называется ортого­
нальной алгеброй Ли и обозначается о (га, К ) или о (га).
П р и м е р 6 . Пусть K d C , 2 d M n{C) и характеризуется
опять соотношением (5 ), но * обозначает эрмитово сопряж е­
ние. 2 является алгеброй Ли над R. Она называется унитар­
ной и обозначается а (га). Накладывая дополнительное условие
-Spra = 0, получаем специальную унитарную алгебру Ли зи (га).
П р и м е р 7. П усть /С = Н — алгебра кватернионов, 2 d
< z A f„(H ) и опять характеризуется соотношением (5 ), но * —
кватерионно-эрмитово сопряжение. Алгебра Ли 2 над R назы­
вается унитарно симплектической и обозначается зри (га).
П р и м е р 8 . Пусть J — невырожденная кососимметрическая
матрица порядка 2 га над полем К и 2 d M 2n( K) состоит из всех
aGM2n( K) , для которых
(6)
a J+ J a * = 0.
2
называется симплектической алгеброй
Ли и обозначается
5 р ( 2 га, К ) или зр( 2 га).
П роисхождение терминов, введенных в примерах 4— 8 , вско­
р е станет понятным.
Если алгебра 2 имеет как векторное пространство
над
полем К конечную размерность, то она называется конечномер­
ной, а размерность пространства 2 называется такж е размер­
ностью алгебры 2 и обозначается dim 2 или dimK2 .
Например, алгебра Ли векторных полей в области трехмерного
пространства бесконечномерна на R, так как векторное поле
записывается в виде A ^ - f . B ^ + C j^ ,
где А , В и С — лю бые
дифференцируемые функции. Алгебра gl(ra) и алгебры примеров
4 — 8 конечномерны:
d i m g l ( r a ) = ra2,
d i m 3 l ( r a ) = ra2 — 1,
dimR u(ra)=ra2,
dimR зри (га) = 2 га?-fra,
dim
о(п)=-
dimR 3 U(ra)=ra2 — 1 ,
dimA-3 p(ra, А Г )= ( 2 я - г 1 )я .
Изоморфизм определяется для колец и алгебр Ли точно
так же, как и для ассоциативных колец. Например, известно,
что все невырожденные кососимметрические матрицы порядка
2га сопряжены (над полем К ). О тсюда легко следует, что алгеб­
ры, определенные условием ( 6 ) при разных матрицах / , изо­
214
морфны (почему эта матрица и не указывается при обозначе­
нии зр( 2 п, К ) ) . Вот менее тривиальный пример изоморфизма.
П р и м е р 9. Векторы трехмерного евклидова пространства R 3
относительно операции векторного произведения [, ] образуют
алгебру Ли 2 над R (тождество Якоби (4) здесь хорошо изве­
стно). Сопоставим каждому вектору а линейное преобразование
фа (х ) = \а, х ]. Теорема о смешанном произведении двух векто­
ров показывает, что преобразование фа кососимметрично: ф* =
= — Фа. С другой стороны, для любого кососимметрического
лреобразования ср в R3 сущ ествует такой вектор с, что с р (с )= 0 ,
|с |= 1. В плоскости, ортогональной к с, ср индуцирует тож е ко­
сосимметрическое преобразование, т. е. (если ф=й=0 )
поворот
на 90° и умножение на число k. Л егко проверить, что cp= cp0 при
a —kc. Таким образом, сопоставление а-*-сра — взаимно однознач­
ное линейное отображ ение пространства 2 на о (3 ). Из тож де­
ства Якоби сразу следует, что это сопоставление — изоморфизм
алгебр Ли. Таким образом, алгебра 2 изоморфна о (3 ).
Аналогично ассоциативным алгебрам, для алгебр Ли опре­
деляется понятие подалгебры, гомоморфизма, идеала
(ввиду
соотношения [Ь, а] = — [а, Ь] понятия левого, правого и д ву ­
стороннего идеала совпадаю т), простой алгебры, факторалгебры . Имеет место аналог теоремы о гомоморфизмах. А лгебра
( кольцо) Ли 2 называется коммутативной, если ;[а, 6] = 0 для
всех а, Ь%2. Как и в ассоциативном случае, для конечномерной
алгебры с базисом е \,. . . , еп операция коммутирования опреде­
ляется структурными константами c ijk;
\et,
Б. Теория Ли, Речь идет об изучении групп Ли с инфинитезимальной точки зрения в окрестности единичного элемента:
-«дифференциальном исчислении» на уровне групп. Аналогом
дифференцирования является здесь сопоставление группе Ли
некоторой алгебры Ли. Выясняется, насколько группа
Ли
определяется соответствующ ей ей алгеброй Ли, т. е. строится
аналог интегрального исчисления.
Мы начнем изложение этой теории (как оно и происходило
исторически) с примера группы Ли G, действующей на много­
образии X. Такое действие задается отображ ением:
V .G X X ^ X
(7)
(см. § 12). Введя координаты ии . . . , « „ в окрестности единич­
ного элемента e£ G и Х\,. . . , хт в окрестности точки ХобА, мы
зададим это действие функциями
ф! (^Ь ■ • •1 Мп, Х\, . . . , Xm) , . » . , ф т (^1, ■ • • , Un, Хи . . . , Х т) >
Д ля определенности мы будем считать их дальше вещественно
аналитическими. Точно так ж е и закон умножения группы Ли
буд ет предполагаться вещественно аналитическим. Другие ва,215
рианты (п раз дифференцируемые или комплексно аналитиче­
ские функции) рассматриваются совершенно аналогично.
Если G есть группа вещественных чисел R по сложению,
то действие (7) определяет однопараметрическую группу пре­
образований многообразия X. В механике, когда qp(£, х ) , £GR,
х£Х, интерпретируется как перемещение точки конфигурацион­
ного пространства X за время t, очень давно рассматривались
и «бесконечно малые» перемещения. П од этим подразумевается
поле скорости 0 преобразования y ( t , х ) , имеющее (в точке t =
= 0 ) координаты
х и . . . , х п) I
0*---------------т
Соответствующий
условием:
|<=о,
дифференциальный
•
,
т.
оператор
определяется
® ( F ) ( * ) = - ^ ( F (Ф(*. *))|г-о.
В случае произвольной группы G, Г. Вейль предлагает мыслить
себе многообразие X заполненным средой, допускающей пере­
мещения, которые соответствую т действию
(7) этой группы.
Мы можем и здесь рассмотреть поля скоростей соответствующ их
движений. Каж дое такое поле определяется вектором g каса­
тельного пространства Те,а к группе G в ее единичном элемен­
те. Действие (7) задает отображ ение касательных пространств
(d(f)^e,x)'^'e,a® Tx ,X -*-Tx ,X,
где Тх:,х — касательное пространство к X в точке х .
го вектора gGТ е,а вектор
Для л ю бо­
(й№)(г,лг) (|®0)£ТХ'Х
определяет нужное нам векторное поле 0 * на X . Как легко ви­
деть, в координатах оно задается формулами
и аналитично. Соответствующий
на X имеет вид
ЗУ\ ( F) (jc) =
dF
г‘ = 1 , . . . , о т ,
дифференциальный
оператор
(дифференцирование по аргументу g).
О тсюда видно, что
он
определен инвариантно
(не­
зависимо от вы бора системы координат). Отображение g -*0 5,.
очевидно, линейно по g и определяет, следовательно, конечно­
мерное пространство & векторных полей на X. Основным фак­
том является то, что построенное конечномерное семейство век­
торных полей & замкнуто относительно взятия скобки П у ассо­
на и, значит, определяет некоторую алгебру Ли.
Мы поясним причину этого в том случае, который нам дальше
только и будет встречаться: когда действие Ф является левым
регулярным действием, т . е . 1 = б и ф (gu g2) = gig2 (gi€G, g26 ^ = G) .
Левое регулярное действие коммутирует с правым регулярным:
216
если левое действие соответствует gi и имеет вид g->gig, а пра­
вое соответствует g 2 и имеет вид g ^ g g “ ’ , то их коммутативность*
просто, выражает ассоциативность умножения в группе: (gig)g ^ 1 =
= g i ( g g j '1). Отсюда при помощи очевидной формальной проверки
легко увидеть, что для любого |67%,с векторное поле 0 |(л ) =
= (й?ф)(е,лг) (|© 0 ) тоже инвариантно относительно правого регу­
лярного действия. Иначе говоря, касательный вектор 0 | (gg~!)
получается из касательного вектора 0 g (g) при помощи дифферен­
циала d, ( g ^ 1) правого действия (g->ggj_1). Поля 0 с этим свой­
ством называются правоинвариантными (ср. замечания в § 15,
следующие за определением группы Ли). Такое поле однозначно
определяется заданием вектора 0 (е ), и любой касательный вектор
ЧбТ е,а определяет поле 0 , для которого 0 (ё) = ц\ вектор 0 (g) по­
лучается из г] правым сдвигом, переводящим е в g. Таким обра­
зом, линейное пространство правоинвариантных векторных полей
на группе G изоморфно пространству Т е,а. Построенное выше
пространство векторных полей
# =»{05 = (< »)(«..) (6©0), £67%,о},
как только что было сказано, состоит из правоинвариантных
полей и, значит, изоморфно подпространству пространства Т е,а.
Но отображение £->0|, как легко видеть, не имеет ядра, и, зна­
чит, dim.2:, = cHm7%,G, и поэтому 2 состоит из в с е х правоинва­
риантных полей. Наконец, тот факт, что множество всех право­
инвариантных векторных полей замкнуто относительно коммути­
рования, следует из очевидного соотношения: если / — преобра­
зование многообразия X , переводящее точку х в у, а 0 ' и 0 " —
векторные поля на X , то
( d / ) * [ е ;. e ; ] = [ ( r f / ) , e ; . (< */),е ; ] .
Таким образом, построенное нами семейство векторных полей 2
является алгеброй Ли. Оно называется ал геб р ой Ли группы G
и обозначается через 2 (G ). Мы получили:
Л Алгебра Ли 2 (G) группы G состоит из всех векторных
полей
0|=(й № )(в1.)(£©О),
1 & в.а,
где Ф : 0 x G - ^ G есть закон умножения группы. Она совпадает
также с множеством дифференциальных операторов вида
m F ) ( g ) = ^ F ^ ( g , у)),
ШТе.а и дифференцирование производится по второму аргументу
(у). Наконец, алгебра 2 ( G ) совпадает с алгеброй правоинвари­
антных векторных полей на G или же правоинвариантных линей­
ных дифференциальных операторов 1 -го порядка. ^
217
Структурные константы алгебры 2 (G ) могут быть очень
явно выражены через коэффициенты закона умножения ф (х , у)
группы G в окрестности элемента е. Так как вектор %ЕГе,а одно­
значно определяется значениями 2 )\ ( х ;) (е) для координат Х ц . . .
. . . , х п, то нам достаточно найти эти значения для коммутатора
[2>Ь, 2>ц]. Из того что Ф (х, е) = х , Ф (е, у) = у, следует, что чле­
ны первой и второй степени в разложении Ф (х , у) имеют вид:
Ф(х , у) = х + у + В ( х , у ) +
(8 )
где В ( х , у ) — линейно как по х , так и по у. Простая
подста­
новкапоказывает, что 2)%D^ (х*) (е) = В (|, г])г, где В (£,т])4— зна­
чение г-й координаты. Поэтому
[|,r]] = 5 ( i , r i ) - 5 ( T i , i ) .
(9)
Формулы ( 8 ) и (9) показывают, что члены первой степени в
законе умножения ф(х, у) у всех групп Ли одинаковой размер­
ности совпадаю т — они такие же, как у группы R” , — а члены
второй степени определяют алгебру Ли 2 ( G ) .
Инвариантный характер определения алгебры 2 ( G) делает
почти очевидным ряд ее естественных свойств. Если f : G - * H —
гомоморфизм групп Ли, то d f определяет гомоморфизм
d f : 2 ( G ) - > 2 (И),
ядро которого совпадает с алгеброй Ли ядра гомоморфизма / .
Если / / — замкнутая подгруппа Ли G, то 2 ( Я ) — подалгебра
алгебры Ли 2 ( G ) , а если Н — нормальный делитель, то 2 ( H ) —
идеал в 2 ( G ) и 2 (G / Н ) = 2 ( G)j 2 (Н) . Если У : ( З х Х - + Х —
действие алгебры Ли на многообразии X , то определенное выше
семейство 2 векторных полей на X
^ = { 0 6 • ) ( £ $ ( ) ) ,
leT e.a }
является алгеброй Ли, гомоморфным образом алгебры 2 ( G ) :
2 = 2 ( G ) l 2 ( N) , где N — ядро действия.
Соотношение (9) показывает, что алгебра Ли коммутативной
группы коммутативна.
П р и м е р 10. Пусть G = G L (n ). В окрестности единичной
матрицы мы имеем запись А = Е - т Х , и если B = E + Y, то
А З = Е -т~Х-\- Y -\ -X Y .
Таким
образом,
в
формулах
(8 )
В ( Х , Y ) = X Y , и (9) показывает, что коммутатор элементов X
и Y в алгебре 2 (GL (п)) имеет вид X Y — Y X , т. е. 2 (GL (п.)) =
= gl (л). При этом, если / / — матрица E-\-(Xij), где х 1} — коор­
динатные функции, то вектору £6 Т е,0 сопоставляется матрица
dJL^\tE U \
дЪ
\ д1 )■
П р и м е р 11. П усть теперь G = SL (rt). Тогда G с GL (п)
и задается уравнением d e t ( £ '- [ - //) = l. Вектор £, касательный
218
к GL(ra), будет касательным и к SL (л), если щ (det (Е + X ) ) = 0 .
Но, как известно,
|E( d e t ( £ + J Q ) - S p ( 5 f }
П оэтому
для
g,
касательного
к SL (я),
2 (SL (/г)) == si (п).
П р и м е р 12. Аналогично, если
{Е + Х ) ( Е + Х * ) = Е . Отсюда
Sp
0 = 0 (п)
=0
и,
значит,
и E -\ -X £ G ,
то
( 4 (^ + J0 ) ( ^ + ^ * ) k - o + ( f f + J 0 k - o ( f g (£ + ^ * ) ) = 0
или
т аким О бразом , 2 ( О (п)) = о (я).
П р и м е р 13. Как было указано в начале § 15, группа
SO (3) является конфигурационным пространством для твердого
тела с закрепленной точкой: движение такого тела задается кри­
вой g(^) 6 SO (3). Касательный вектор ~
принадлежит касатель­
ному пространству Т
к точке g( t) в группе S O (3). М ы можем
преобразовать его при помощи правого сдвига g "1 в вектор
d.£
у (t) = -jj g 'l£Tе, т. е. элемент алгебры Ли о(3). Из того что
d<r
g (0 ортогонально, т. е. g( t ) g(t)* = е, следует, что
d£ \*
^ 7 = 0 , т. е. у (^ )* = — у (£) — в соответствии с примером 1 2 .
(
Если некоторая точка тела движется по закону x ( t ) = g ( t ) ( х 0),
то, очевидно, 5 7 = ^ 7 7 ^ (•*<)) = У ( 0 g ( 0 (*о) = У (*)(*(*))• Согласно
примеру 9 преобразованию у (t) соответствует такой вектор со (г?),
что у сводится к векторному умножению на со (t). Следовательно,
^
= [0 ( 0 , ^ ( 0 1 ,
Э т о равенство показывает, что в каждый момент времени t ско­
рости точек тела такие же, как при вращении с постоянной
угловой скоростью со (t). Вектор со (t) называется век т ор ом м гно­
вен н ой угловой ск ор ост и . М ы могли бы преобразовать вектор
^7
при помощи
левого сдвига в вектор У ( 0
5 7 6 Т е. Легко
видеть, что y = g ' 1 yg, а соответствующий вектор c o = g _1co — это
мгновенная угловая скорость в системе координат, жестко свя­
занной с телом.
Точно то ж е рассуждение, что и в примерах 11 и 12, дает
возможность найти алгебры Ли других известных нам групп Ли:
2 (U (я ))= u (ri),
2 (SU (и) ) = зи (п),
219
2 (Sp (л)) = sp (я),
2 (Sp и (я)) = spu (я).
Напомним еще раз, что асе предшествующие рассуждения при­
менимы и к комплексным группам Ли: соответствующие алгебры Ли
2 ( G ) , как легко видеть, являются алгебрами над полем С.
В частности:
2 (GL (я, С)) = gl (я, С),
2 ( О (я, С)) = о (я, С),
2 (SL (я, С) = si (я, С),
2 (Sp (2я, С) = sp (2я, С).
Перейдем ко второй части теории Л и — вопросу о том, в ка­
кой мере группа Ли Q может быть восстановлена по алгебре Ли
2 (О). Здесь возможны две постановки вопроса. М ы можем,
во-первых, исследовать закон умножения ф лишь в некоторой
окрестности единичного элемента группы. Если в этой окрест­
ности е введены координаты х ь . . . , х п, т о закон умножения
задается я степенными рядами
Ф (х , у ) = (Фх (jfj, . . . , х п\ У\, . . . , У я),'.. . , Фя (-£i> •••) х п; t/j, . . ■, t/я) )*
Они должны удовлетворять соотношениям ассоциативности:
ф (х , Ф (у, * ) ) = Ф (Ф (х, у), z)
и существования единичного элемента:
ф (х , 0) = Ф(0, х ) = х
(существование обратного элемента, т. е. такого ряда ф (х ), что
ф (х , ф (х)) = ф (ф (х), х )
х,
легко вытекает отсюда на основании теоремы о неявных функ­
циях). Геометрически, такой постановке вопроса соответствует
изучение л ок а л ьн ы х групп. Ли, т. е. аналитических законов
умножения, определенных на некоторой окрестности V точки О
в пространстве R" (произведение лежит в R", но, может быть,
не в той же окрестности) и удовлетворяющих аксиоме ассоциа­
тивности и существования единичного элемента, которым являет­
ся О. Д ве локальные группы Ли, заданные в окрестностях V\
V 2, называются изоморфными, если сущ ествуют окрестности нуля
V [ a . V b V'2d V 2 и диффеоморфизм / : \ / ' - > ! / ’, переводящий
первый закон умножения во второй. Аналогично определяется
гомоморфизм локальных групп Ли. При такой постановке вопроса
ответ очень прост.
Т е о р е м а Ли . Каждая алгебра Ли 2 является алгеброй
Ли некоторой локальной группы Ли. Локальная группа Ли
определяется своей алгеброй Ли однозначно с точностью д о изо­
морфизма. Каждый гомоморфизм ф : 2 ( G i ) ^ - 2 ( G 2) алгебр Л и
двух локальных групп Ли имеет вид ф = ( d f ) e, где f : G i-> G 2 —
220
гомоморфизм локальных групп, однозначно определенный этим
условием. ►
Н аиболее элементарный и поразительный вид эта теорема
приобретает, если воспользоваться формулой (9) для коммути­
рования в алгебре Ли. Теорема показывает, что уже члены
второй степени В( х , у ) в групповом законе определяют группо­
вой закон однозначно с точностью до изоморфизма (т. е. до
аналитического преобразования координат). Если рассматри­
вать ф (х, у) как формальный степенной ряд, то теорема приоб­
ретает чисто алгебраический характер, без всякой примеси ана­
лиза. Она верна для «формальных групповых законов» над про­
извольным полем характеристики 0. М ы вернемся еще к этому
алгебраическому аспекту теории Ли.
При переходе к глобальным группам Ли, т. е. к тому (те­
перь общ епринятому) определению, которое было дано в § 15,
положение несколько усложняется. Действительно, уже аддитив­
ная группа R и окруж ность R /Z не изоморфны, хотя имеют од ­
ну и ту же алгебру Ли: коммутативную одномерную алгебру.
О днако идеальное положение восстанавливается, если ограни­
читься связными и односвязными группами (ср. пример 7 § 14).
Доказанная Картаном теорема утверждает, что приведенная
выше формулировка теоремы Ли дословно сохраняется, если
заменить термин «локальная группа Л и» термином «связная и
односвязная группа Л и». (В утверждении о гомоморфизмах
2?
{G%) достаточно, чтобы односвязной
была груп­
па Gi.)
Теория Ли может быть применена и к исследованию связных,
но неодносвязных групп Ли, так как универсальная накрывающая
О группы G сама может быть превращена в группу (и единст­
венным способом), причем G = G l N , где N — дискретный нор­
мальный делитель, содержащийся в центре G. Это дает кон­
струкцию в с е х связных групп Ли с одной и той же алгеброй Ли.
Примером представления G = G i N я в л я ю т с я :
G = 0 ( / j ) , G — Spin (я), N = { E , — E}-,
G = PSL (n, C), G = SL (n, C), iV = {e £ , гп= \}.
В.
Применения алгебр Ли. Большая их часть основана на
теории Ли, сводящей многие вопросы теории групп Ли к анало­
гичным вопросам об алгебрах Ли — как правило, более про­
стым. Так, самый прямой способ вывода классификации про­
стых групп Ли, о которой шла речь в § 16, заключается в клас­
сификации простых алгебр Ли и применения теории Ли— Э. Картана. Например, доказывается, что над полем комплексных
чисел сущ ествуют следующ ие простые конечномерные алгеб­
ры Ли:
Л( п, С ), о(л , С ), 5¥(п, С)
221
и еще 5 исключительных алгебр размерностей 78, 133, 248, 14 и
52, обозначаемых соответственно Ее, Е7, Е8, G2 и F*. Согласно»
теории Ли— Картана это дает классификацию комплексных
связных простых групп Ли. Каждой алгебре Ли соответствует
одна односвязная группа, например, s i (п, С ) — S L (/i, С). Такие
ж е алгебры Ли имеют их факторгруппы вида G/N, где N —
дискретный нормальный делитель, содержащийся в центре.
Так как сам центр Z для каждой из этих групп конечен, то мы
получаем вместе с каждой односвязной группой конечное число
ее факторгрупп, о которых говорили в § 16.
Точно так же, теория простых вещественных групп Ли сводит­
ся к теории простых алгебр Ли над полем R. Их изучение про­
водится методами, аналогичными тем, о которых мы говорили
в § 11, где изучались простые алгебры и тела над алгебраически
незамкнутыми полями. Именно, точно так же, как это было
сделано в § 11 для ассоциативных алгебр, операция расширения
основного поля S К'
определяется и для случая, когда
& — алгебра Ли над полем К , а К ' — расширение этого поля.
Доказывается, что если S — простая алгебра над R, то S c — или
простая алгебра над С, или прямая сумма двух изоморфных
простых. Таким образом задача исследования простых алгебр»
над полем R сводится к аналогичной задаче для поля С. Имен­
но таким образом можно обосновать понятие «вещественных
аналогов комплексной группы Ли G», о котором говорилось в
§ 16.
Укажем, наконец, на связь алгебр Ли с механикой.
П р и м е р 14. Рассмотрим движение по инерции твердого
тела с закрепленной точкой. П оскольку на тело не действуют
внешние силы, закон сохранения момента количества движения
/ дает:
Пусть движение описывается, как в примере 13, кривой g ( t )6
gSO (3). Введя момент J — g- lJ в системе координат, жестко
связанной с телом, мы перепишем уравнение (10), после очевид­
ных преобразований, в виде
(Н)
Эти уравнения (их 3 соответственно трем координатам вектора У),
называются уравнениями, Э йлера. Их можно рассматривать как
уравнения для / , так как связь между со и J осуществляется
при помощи тензора инерции / :
/ = / ((d),
222
(12)
где / — симметрическое линейное преобразование, не зависящее от
t. Преобразование / определяет кинетическую энергию по формуле
т=^~(7, ©)= !(/(5), ш)
(13)
и прэтому является положительно определенным.
В формулах (11) [ , ] обозначает векторное произведение,
но согласно примеру 9 мож ет быть интерпретировано и как
коммутирование в алгебре о (3 ). В таком виде уравнения (11).
могут быть обобщ ены на очень широкий класс групп и алгебр
Ли. При этом энергия Т интерпретируется как риманова метри­
ка на группе Ли G, инвариантная относительно левых сдвигов;
(так как преобразование / в формуле (13) постоянно). Она
определяется симметрическим преобразованием 2 ’ ( G ) - ^ 2 ’ ( G) * .
Так как за ю берется (по аналогии со случаем твердого тела и
группы S O (3 )) элемент алгебры 9 ? { G ) , то J&S’ I G) * и для не­
го может быть написано уравнение (11). Оказывается, что та­
кие уравнения в ряде случаев имеют интересный физический
смысл. Например, случай, когда G есть группа всех движений
трехмерного евклидова пространства (G = 0 ( 3 ) - Т, где Т — груп­
па параллельных переносов), соответствует движению тела по*
инерции в идеальной жидкости. Имеет физический смысл и слу­
чай группы SO (4 ). Н о наиболее интересным является случай
«бесконечномерной группы Л и» всех диффеоморфизмов много­
образия — алгеброй Ли ее является алгебра Ли всех векторных
полей. Этот случай связан с явлениями типа движения идеаль­
ной жидкости. Однако он не укладывается в стандартную тео­
рию групп и алгебр Ли, и теория находится здесь, по-видимому»
на эвристическом уровне.
Г. Другие неассоциативные алгебры. Теория алгебр Ли очень
убедительно показывает, что глубокие и важные результаты в.
теории колец необязательно связаны с требованием ассоциа­
тивности. Пожалуй, алгебры Ли — это самый яркий пример
важных для всей математики неассоциативных колец. Но су­
ществуют и другие.
П р и м е р 15. В примере 5 § 8 было рассказано о записи
кватернионов в виде Z1 + Z 2/, где Z\ и z 2 — комплексные числа.
В таком виде умножение кватернионов описывается очень про­
сто: если предполагать выполненными_все аксиомы кольца, тодостаточно указать, что / 2 = — 1 и j z = z j (и что действия над,
комплексными числами производятся так же, как в поле С ).
М ож но попытаться пойти дальше по этому пути, построив алгеб­
ру размерности 8 , состоящ ую из элементов вида qi + q%l, где qi
и q2 — кватернионы; а I — новый элемент. Оказывается, так
можно прийти к интересному неассоциативному телу. Если по­
стулировать все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умно­
жения, то нам достаточно указать произведения вида <71
223-
Q iiq tl), (? iO ? 2, {q\ t)(q2l). Мы будем считать, что кватернио­
ны перемежаются как элементы тела Н, и положим, сверх того,
Ч\ Ш ) = Ш х У ,
(Я\1)Яъ = Ш д U
-Здесь q означает кватернион, сопряженный q.
Иными словами, умножение определяется формулой
(А+Р2О (<7i +
Р\Я\—?2P2 + (? 2A tM i) I-
Все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умножения, легко
проверяются. Элемент 1GH является единицей нового кольца.
Оно является алгеброй над R размерности 8: базисом является,
например, {1, г, /, k, I, il, jl, k l}. Построенная алгебра называет­
ся алгеброй Кэли или алгеброй октав и обозначается О.
Для
«60, u = qx-\-q2l,
положим
u = qx— q2t,
|tt| =
= (|<7i|2- r l <72р)1/2> Sptt = Re^i. Легко видеть, что и и = и а =
— |и|2, Sp rra = Sp vu. Элемент и удовлетворяет квадратному
уравнению
и2— (S pu)a-\- |и|2 = 0.
(14)
■4 Алгебра О обладает следующим свойством, являющимся
ослаблением требования ассоциативности: п р ои зведен и е т р е х
эл ем ен т ов не зависит от р а сст а н овк а ск о б о к , есл и д в а из
н и х совп ада ю т . Иными словами,
u (u v) = (uu)-v,
(u v) v — u (vv),
a (vu) = (uv) a
(третье является следствием первых двух). К о л ь ц а , обладающие
этим свойством, называются альт ернат ивным и. М ож но доказать,
"что в них подкольцо, порожденное любыми двумя элементами,
ассоциативно. ►
Из приведенных выше свойств следует, что для и ф 0 элемент
.и~1 = \и\~2и является обратным и u ( u 'lv) = v (vu~l)u = v, т. е.
алгебра О является неассоциат ивны м т ел ом .
Нетрудно проверить, что |u v |= |и |-| v |. В базисе 1, i, j , k,
I, il, j l , k l это дает любопытное тождество:
где
— целочисленные билинейные формы от х х, . . . , Хв и
Уи ■■■, Не­
сущ ествование алгебры О является причиной целой серии
интересных явлений «маломерной» геометрии (в размерностях
6 ; 7 и 8 ). Например, заметим, что для лю бой плоскости Е =
= Rh+ R uczO совокупность элементов шбО, для которых w E czE ,
224
образует подалгебру С ( £ ) , изоморфную полю комплексных чи­
сел. Это легко проверить (надо воспользоваться альтернатив­
ностью алгебры О, подалгебра С ( £ ) натянута на 1 и а = иы-1).
Л ю бое 6-мерное подпространство F czO может быть задано
уравнениями
S p (x H )= 0 , ыб£, где Е — некоторая плоскость.
Отсюда следует, что F a czF для а 6 С (£ ) (надо воспользоваться
легко проверяемым свойством: Sp ( u ( v w ) ) = S p ( ( u v ) w ) . Таким
образом, каждое шестимерное подпространство £ с г О обладает
естественной структурой
трехмерного пространства
над С.
В частности, если X czO — гладкое 6-мерное многообразие, то
это относится и к его касательным пространствам в разных точ­
ках, причем получающаяся комплексная структура гладко за­
висит от точки. М ногообразия с этим свойством называются
квазикомплексными. Стандартный пример квазикомплексного
многообразия — комплексное аналитическое многообразие. Мы
видим, что лю бое 6-мерное гладкое ориентируемое подм ногооб­
разие в R8 является квазикомплексным. Однако очень редкие
из них определяются комплексной структурой, на том ж е мно­
гообразии. Например, квазикомплексная структура, возни­
кающая таким образом на шестимерной сфере S 6, не опреде­
ляется никакой комплексной структурой.
Д ругое применение октав связано с исключительными про­
стыми группами Ли
(см. § 16) — например, компактными.
А именно, компактная исключительная простая группа Ли G2
изоморфна связной компоненте группы автоморфизмов алгебры
О. Группы £ 6 и £ 4 также реализуются как двумерная «проек­
тивная» и «ортогональная» группы, связанные с О.
Наконец, алгебры Кэли играют особу ю роль с чисто алгеб­
раической точки зрения. Обобщ енной алгеброй Кэли называет­
ся алгебра размерности 8, состоящ ая из элементов вида q\ + qrf.,
где q lt у2 принадлежат некоторой обобщенной алгебре кватерни­
онов над полем К (см. § 11) и умножение задается формулой
(А + P2I) (А +
Яг1) =
Р\Ч\ -г 1Я2Р2 -г («72рх + Р2Я1) А
где у ^ = 0 — некоторый элемент поля К . Эта алгебра всегда
альтернативна и проста. Она является неассоциативным телом
тогда и только тогда,
когда уравнение Я1Я1 — ЧЯ2Я2
=0
не
имеет
ненулевых
решений в алгебре кватернионов.
Оказывается, что лю бое альтернативное тело или ассоци­
ативно, или изоморфно некоторой обобщенной алгебре Кэли.
Л ю бое альтернативное простое кольцо или ассоциативно, или
изоморфно обобщенной алгебре Кэли.
Как и при помощи ассоциативных тел, можно построить
проективные плоскости с «координатами» в произвольном аль­
тернативном теле. Это — один из простейших примеров недезар15—9339
23
225
говых проективных плоскостей (см. § 10). Они имеют простую
геометрическую характеристику — должна
выполняться неко­
торая ослабленная форма теоремы Д езарга. ►
Сущ ествуют и некоторые другие типы ассоциативных алгебр,
теория которых может быть построена с достаточной полнотой
(хотя бы, в предположениях конечной размерности и простоты )
и которые имеют математические применения. Н о никакой о б ­
щей теории неассоциативных алгебр (сопоставимой, в этом см ы с­
ле, с теорией ассоциативных алгебр или алгебр Л и) до сих пор
не существует. М ож ет быть, она и вообщ е невозможна? Ведь
произвольная конечномерная неассоциативная алгебра задается
таблицей умножения cijT, не связанной никакими ограничения­
ми, так что это — произвольный тензор C% L®L®L*, определен­
ный с точностью д о преобразования из A u t(L ). Но тогда воз­
никает вопрос: Каковы те естественные ограничения, при кото­
рых такая теория существует? Как понять с единой' точки
зрения теорию простых ассоциативных алгебр, алгебр Ли, аль­
тернативных и еще некоторых других типов? Тестовой задачей
может здесь служить вопрос о строении неассоциативных тел
над R. Здесь существует замечательный факт: такие тела имеют
размерности только 1, 2, 4 и 8 . Однако алгебраическое д ок аза­
тельство этого результата неизвестно. Сущ ествующ ее доказа­
тельство — топологическое и основано на исследовании тополо­
гических свойств отображения
(R n\ 0 ) X (R n\ 0 ) - > R " \ 0 ,
определенного умножением в алгебре (которая отож дествляется
с R " ).
§ 20.
КАТЕГОРИИ
Понятие категории и несколько других связанных с ним п о­
нятий образую т математический язык, обладающий особой спе­
цификой сравнительно со стандартным языком теории множеств;
и оттеняющий несколько иной характер математических по­
строений. Начнем его описание с примера.
Мы будем пользоваться диаграммами, изображая м нож ест­
ва точками, а отображения множества X в множество У — стрел­
ками, ведущими из точки, изображающ ей множ ество X, в точ­
ку, изображ аю щ ую У. Если на диаграмме изображены множ е­
ства X, А\, А 2, . . . , А п, У и отображ ения fi : Х-*-Аи f2 - A t-»-+ А 2, . . . , / n+i : A n-*-Y, то fn+v h h является некоторым отобр а­
жением X в У. Если для любых вы боров таких множеств А* и
отображений
возникает одно и то ж е отображ ение X в У и
если это верно для любых множ еств X и У, изображенных на
диаграмме, то диаграмма называется коммутативной. П римеры
коммутативных диаграмм: Диаграммы
226
A
f
■|\
коммутативны, если v u = g f и h = v u —g f соответственно.
Перейдем теперь к сам ом у примеру. В теории множеств су ­
щ ествуют две операции над произвольными множествами X к
У (которые не предполагаются содержащимися в едином мно­
ж естве): несвязное объединение или сумма, обозначаемая Х + У ,
и произведение, обозначаемое X X У (состоящ ее из пар (дг, у ) „
х£Х, г/6 У). Эти операции можно описать не конструкцией, как
мы это сделали выше, а их общими свойствами. Например, для
суммы Х + У заданы отображения вложения f:X~^~X-{-Y и.
g : Y -*-X +Y , причем выполнено следующее свойство универсаль­
ности: для л ю бого множества Z и отображ ений и : X -+Z и
v : Y->-Z сущ ествует и притом одно единственное отображение:
h : X + Y -+ Z , для которого будет коммутативна диаграмма
Точно так же, для произведения X X У определены проекции’
f : X x Y - * - X и g : X x Y - ^ - Y, для лю бого множества Z и отобра­
жений: и : Z -+ X и v : Z -+ Y существует и единственное отображ е­
ние h : Z - + X X Y , для которого коммутативна диаграмма
(т. е. fh = u, g h = v ) . Очевидно, h( z ) = ( u ( z ) , v ( z ) ) .
В качестве следующ его шага можно рассмотреть множества,,
в которых выделены некоторые специальные типы отображений,,
и посмотреть, какие конструкции определяются требованием су­
ществования диаграмм (1) или (2 ). Для топологических прост­
ранств и их непрерывных отображений мы получим, конечно,,
понятие несвязной суммы и произведения топологических про­
странств. Интереснее обстои т дело в случае групп, если в каче­
стве отображений
рассматривать лишь их
гомоморфизмыВ случае абелевы х групп и даже модулей над заданным коль15*
227
цом прямая сумма АРВВ обладает и вложениями
А ^ -А @ В ,
В-+АРВВ н каноническими гомоморфизмами А ® В -*-А , А®В^>-В
(проекциями), причем выполнены свойства, изображенные как
диаграммой (1), так и (2) (конечно, и, v и h теперь являются
гомоморфизмами, а не произвольными отображ ениями). Таким
образом, здесь аналоги двух операций теории множ еств — не­
связной суммы и произведения — сливаются. Н о не так обстоит
дело в случае некоммутативных групп. Для прямого произведе­
ния G x H определены канонические гомоморфизмы G x H - * - G и
G xH -^ -H , причем выполнены свойства, изображенные диа­
граммой (2 ). Н о хотя вложения f : G - » - G x t f и g : H - + G x H и
определены, ситуация, изображенная на диаграмме (1) не име­
ет места. Д остаточно взять за К группу, имеющую подгруппы,
лзоморфные G и Я , но такие, что их элементы попарно не ком­
мутируют, а за и и о — изоморфизмы G и Н с этими подгруп­
пами. Так как ъ G x H элементы gPG и hGH коммутируют, то
ли при каком гомоморфизме h диаграмма
f
5 —
С *
И
£
—И
я е будет коммутативной. Все ж е конструкция, дающ ая группу с
нужным свойством, существует. Она называется
свободным
произведением групп G и Я . Это группа, порожденная двумя
подгруппами G' и Н ', изоморфными G и Н, в которой их эле­
менты не связаны никакими соотношениями, кроме выполняю­
щихся в G' и в Н ' в отдельности. Точное определение может
быть дано по аналогии с определением свободной группы (при­
мер 6 § 14). В частности, свободная группа S2 с двумя обр азу­
ющими — это свободное произведение двух бесконечных цикли­
ческих групп.
Разберем еще один вариант: в качестве множеств рассматри­
ваются
коммутативные
кольца, являющиеся алгебрами над
заданным кольцом К , а в качестве отображений — их гомомор­
физмы как алгебр над К . Прямая сумма А ® В и ее каноничес­
кие проекции f : A ® B - * A и g: А ® В - + В обладают свойствами,
лзображенными на диаграмме (2). Хотя имеются естественные
вложения / : А -+ А ® В и g : B
А ® 3 , но аналог диаграммы (1)
не имеет места: дело в том, что для элементов а р А и ЬрВ
в А ® В всегда аЬ— 0, но может существовать кольцо С, содер­
жащее кольца А ' и В', изоморфные А и В, для которы х такое
соотношение не выполнено, и тогда гомоморфизма h : C ->• А ® В
с нужными свойствами нет. Легко видеть, что здесь кольцо
с нужными
свойствами — это
тензорное произведение А ® В
[(пример 3 § 12).
228
Проверим, в заключение, что во всех рассмотренных случаях
конструкция, для которой выполнены свойства, изображенные
на диаграммах (1) или (2 ), — единственна. Пусть, например,
речь идет о диаграмме (1) и мы имеем для заданных X и У
два таких множества: R и S. Тогда должна быть коммутатиыной диаграмма
О тсю да f —hu, u —kf, т. е. f = (hk ) f , и аналогично g = (h k ) g . Тре­
бование единственности отображения h в диаграмме ( 1) , приме­
ненное к тривиальному случаю S = R , дает, что hk — тож дест­
венное отображение R в себя. Аналогично доказывается, что и
kh — тождественное отображ ение S в себя. П оэтом у R и S изо­
морфны.
Теперь выведем мораль из рассмотренного примера. Во всех
предшествующих рассуждениях играли роль множества и не­
которые их отображения. Н о мы нигде не использовали то, иэ
каких элементов состоят наши множества и как эти элементы
преобразуются при наших отображениях. Играла роль лишь
композиция отображений и сравнение разных отображ ений
друг с другом, как это особенно ярко видно при использовании
коммутативности диаграмм в последнем рассуждении в связи
с рассмотрением диаграммы (3 ). Такой подход и аксиоматизи­
руется понятием категории.
Категория ЯЗ предполагает задание:
а) М нож ества ОЬ('ё’ ) , элементы которого называются ее
объектами.
б) Для любых A vi В б О Ь (^ ) множества Н( А , В) , элементы
которого называются морфизмами А в В.
в) Для любых А , В и C GOb f f i ) , f&H(A, В) и g G H(В, С )
морфизма /zбН( А, С ), называемого произведением f и g и
обозначаемого gf.
г) Для лю бого АбО&(<?Г) морфизма 1Аб # (Л , А ), называемо­
го единичным. При этом должны быть выполнены условия:
д л я / е н ( А , в ), ge н(в, с ), л е # ( с , £>),
* ( « / ) = ( * « ) /•
Для / б Н ( А , В )
/1 д = 1 в / = / .
Таким образом, в теории категорий объект АЮЬ(Яо) ха­
рактеризуется не как множество, не тем, из каких элементов это229
множ ество состоит, а своими «отношениями» с другими объ ек ­
тами В£ОЪ{Ч?). Первичными являются его «связи», а не его
«строение».
В нижеследующих примерах категорий мы будем стоять на
точке зрения «наивной» теории множеств, пренебрегая логиче­
скими противоречиями, которые возникают при оперирований
такими понятиями, как «все множ ества», «все группы» и т. д.
Специалистами разработаны приемы (использующие понятие
к ласса), позволяющие (по крайней мере, по мнению больш ин­
ства специалистов) от этих противоречий избавиться.
П р и м е р 1. Категория 9 et, объектами которой являются
произвольные множества, а морфизмами — их произвольные
отображ ения.
П р и м е р 2. Объектами категории являются произвольные
подмножества заданного множества X,
а морфизмами — нх
вложения (таким образом, Н{ А, В) или пусто, или состои т
из одного элем ента).
Вариант: X — топологическое прост­
ранство, объекты — его открытые
множества, морфизмы — их
вложения.
П р и м е р 3. Категория 9~ор, объектами которой являются
топологические
пространства,
а морфизмами — непрерывные
отображ ения. Варианты: объекты — дифференцируемые
(или
аналитические) многообразия, морфизмы — их дифференциру­
емые (или аналитические) отображения. Другой важный вари­
ант: объекты — топологические пространства (X, х 0) с отмечен­
ной точкой хо, морфизмы — непрерывные отображения, f : X-*-Y,
переводящие отмеченную точку в отмеченную, т. е. такие, что
f { x о) =Уо- Эта категория обозначается 9~ор0.
П р и м е р 4. Категория 96ot топологических пространств с точ­
ностью до гомотопического типа. Два непрерывных отображ ения
f : X - + Y и g : X - + Y топологических пространств называются гом о­
топными, если их можно непрерывно деформировать друг в
друга, т. е. если существует такое непрерывное отображ ение
h : X X l - + Y (где / = { 0 , 1 ] — интервал) ,
что h( x,
0) = f ( x ) ,
h( x , l ) = g ( x ) . Тогда говорят также, что f и g принадлежат од­
ному гомотопическому типу. П ространства X и У принадлежат
одном у гомотопическому типу, если сущ ествуют такие непре­
рывные отображения f : X -*-Y и g : Y-+-X, что g f гомотопно т ож ­
дественному отображ ению 1х пространства X, a fg — отобр а ­
жению 1г. Объектами категории 3%>ot являются топологические
пространства с точностью до гомотопического типа, а морфиз­
мами — их непрерывные отображения с точностью до гомотопи­
ческого типа. Аналогично определяется категория 3&otQ (ср.
пример 3).
П р и м е р 5. Категория Ж ой ц , объектами которой являются
модули над заданным кольцом R , а морфизмами — их гомомор­
физмы: Н (М, 7V )= H om /?(M , N ). Категория M o d z абелевых
групп обозначается s&b.
230
П р и м е р 6. Категория групп: объектами являются произ­
вольные группы, а морфизмами — их гомоморфизмы.
П р и м е р 7. Категория колец: объектами являются произ­
вольные кольца, а морфизмами — их гомоморфизмы. Варианты:
рассматриваются только коммутативные кольца, или только
алгебры над заданным кольцом А (в последнем случае мор­
физмы должны быть гомоморфизмами алгебр над А ).
П р и м е р 8. Приведем пример категории, в которой мор­
физмы не определяются как отображения множеств. Он связан
с «формальными групповыми законами», о которых мы упоми­
нали в предшествующем параграфе в связи с теорией Ли. Б о­
лее стандартный термин — формальные группы. Напомним,
что так называется набор ф = ( ф ь . . . , ф „) формальных степен­
ных рядов
ф* (Z, ^0
фг (^1, ••- , Х-пу У\у •••, УпУ
от двух наборов переменных: Х = (дсь . . . , х п) н У = ( у и . . . , у п)'.
Коэффициенты степенных рядов принадлежат произвольному
полю К, а сами они удовлетворяют условиям: ф (0 , 0 ) = 0,
ф ( X, Ф (К, Z ) ) = ф (ф ( X , Y), Z),
<t ( X, 0) = Ф(0, Х ) = Х .
Число п называется размерностью формальной группы ф. Г ом о­
морфизмом группы ф размерности п в группу ф размерности от
называется набор F = {fu . . . , fm) из от формальных степенных
рядов от п переменных, удовлетворяющ ий условиям:
F (0 )= 0 ,
W j F ( X ) , F ( Y ) ) = F ( Ч ( Х , V)).
Объектами нашей категории являются формальные группы,
определенные над заданным полем К, а морфизмами — гом о­
морфизмы одной группы в другую. Если поле К имеет характе­
ристику 0, то теория Ли полностью сводит изучение нашей ка­
тегории к изучению категории конечномерных алгебр Ли над
полем К и их гомоморфизмов. Н о если характеристика р по­
ля К не равна 0, возникает совершенно специфическая, новая
область. Уже теория формальных групп размерности 1 далеко
не тривиальна и имеет важные приложения в алгебраической
геометрии, теории чисел и топологии.
П р и м е р 9. Категория с единственным объектом, 0 . В этом
случае она определяется множеством Н ( 0 , 0 ), которое являет­
ся произвольным множеством с ассоциативной операцией — ум ­
231
ножением и единичным элементом. Это алгебраическое понятие
носит название полугруппы с единицей.
П р и м е р 10. Д уальная категория Ф*. Для каждой катего­
рии ф категория ф* имеет те ж е объекты, но в ней Н ( А , В)
совпадает с Н ( В, А) в У , а умножение морфизмов f и g опре­
деляется как произведение g и / в ф. Если представлять себе
категорию как одну диаграмму, в которой объекты изображены
точками, а морфизмы — стрелками, то ф* получается из Ф из­
менением направления стрелок.
Понятие дуальной категории приводит к некоторой двой­
ственности в теории категорий. Именно, лю бое общ екатегорное
понятие или утверждение, если его применить к категории ф *,
дает в категории Ф «двойственное» понятие или утверждение,
получающееся из первоначального «обращ ением стрелок».
Возвращ аясь к примеру, разобранному в начале параграфа,
мы можем теперь определить для лю бой категории операции
над объектами, аналогичные сумме и произведению множеств.
Для этого надо воспользоваться диаграммами (1) и (2 ), кото­
рые имеют смысл в любой категории. Соответствующ ие объекты,
если они сущ ествуют, называют суммой и произведением о б ъ ек ­
тов в категориях. Как мы видели, они сущ ествую т не всегда.
Например, сумма не сущ ествует в категории конечных групп,
но сущ ествует в категории всех групп. Однако если сумма или
произведение сущ ествуют, то они единственны с точностью д о
изоморфизма — приведенное выше доказательство имеет смысл
в лю бой категории. ( Объекты А я В называются изоморфными,
если сущ ествую т такие морфизмы /6 Я (Л , В ) и g £ H( B, А ) , что
g f — 1а, f g — 1в.) Мы можем сказать, что в категории модулей
сумма и произведение совпадают с прямой суммой модулей; в
категории групп сумма совпадает со свободным, а произведе­
ние — с прямым произведением групп; в категории коммутатив­
ных колец сумма совпадает с тензорным произведением, а про­
изведение — с прямой суммой. В категории топологических про­
странств
сумма и произведение
совпадают с теми
же
операциями над множествами. В категории топологических про­
странств с отмеченной точкой произведение пространств (X , х 0)
и (У, уо) — это их обычное произведение, с отмеченной точкой
(х0, Уо). Суммой ж е является так называемый букет X\/Y, т. е.
пространства X и У, склеенные по точкам х 0 и уо. Например, бу­
кетом окруж ностей является «восьм ерка» (рис. 40).
Так как диаграммы (1) и (2 ), служащ ие для определения
суммы и произведения, получаются друг из друга обращением
стрелок, то эти понятия «двойственны», т. е. переходят друг в
друга при переходе от категории ф к дуальной категории ф*.
Идея «инвариантной», «естественной» конструкции в языке
категорий выражается через понятие функтора.
Ковариантный функтор из категории ф в категорию 2 ) —
это два отображ ения (обозначаемые одной б у к в о й ):
232
XvY
Рис. 40
F : O b (W )-^ O b (S > ) и для лю бых А,ВФ&, F : H ( A , B ) - * - H ( F ( А ) у
F ( В ) ) , причем удовлетворяются условия:
F ( U ) = 1W
A eO bC S);
Fr { f g ) = F ( f ) F ( g ) , если f g определено в %.
Например, в категории векторных пространств % сопоставление
Е ^ - Т 'Е пространству его тензоров ранга г очевидно согласовано
с линейными преобразованиями: если / : Е ^ - Е ' — линейное преоб­
разование, то / (X!® . . . ® x r) = / (Xj)® . . . ® / ( х г) определяет
линейное отображение Т тЕ - + Т ГЕ ’ . Легко видеть, что вместе эти
два отображения определяют ковариантный функтор F = Т Г—
«тензорную степень». Это функтор из % в
К ош правариант ны й ф ункт ор также задается отображением
F : ОЬ (Щ - > ОЬ {ЗУ), но теперь для А , В^ОЪ (ё ) он определяет
отображение
F : H ( A , B ) - * F f ( F { B ) , F ( А) )
(в обратном порядке) с условиями:
E[ ( I a) = \f (A) и F ( f g ) * = * F ( g ) F ( f )
(тоже в обратном порядке). Типичным примером контравариантного функтора является сопоставление векторному пространству
сопряженного пространства.
П р и м е р 11. П усть Л — коммутативное кольцо, М, N —
модули над ним. При фиксированном модуле N
положим
F n ( A i ) = M ® N и гомоморфизму
сопоставим такой
гомоморфизм F
что F ( f ) ( m ® n ) = f (т )® п .
Таким образом, F N — ковариантный функтор из категории Ж о й А
в нее же. Положим G m (/И) = HomA (/И, N ) и для f ; M - + М '
и ФбНотл (М ', N ) обозначим через F ( / ) (ф) композицию Ф /.
Таким образом, G m — контравариантный функтор из категории
M o d а в нее же. Если R — некоммутативное кольцо, то G m (M) =
= H o m #( М, N ) — контравариантный
функтор
из
категории
JtodR в si-b .
233
В от еще несколько примеров, в которых мы будем указывать
действие функтора только на множестве Ob (ё ): читатель легко
угадает его действие на множествах Н (А , В).
П р и м е р 12. Функторами являются стандартные конструк­
ции в топологии. Рассмотрим пространство путей Я ( / , X ) топо­
логического пространства X: это множество непрерывных ото;
бражений ф : I-+-X интервала / = [ 0 , 1] в X. Топология в Я ( / , X )
определяется требованием, чтобы множество {ф, ф (/) с = Я } , где
UспХ — открытое множество, было открытым. Так как лю бое
отображ ение f £H( X, У) вместе с любым путем ф б Я (/, X) опре­
деляет путь /ф б Я (/, У), то Я ( / , X) является ковариантным
функтором из категории &~ор в эту ж е категорию. Чаще он р а с­
сматривается в категории &~оро топологических
пространств
{X, хо) с отмеченной точкой. Тогда Я ( / , X ), по определению,
состои т лишь из тех отображений ф : I-+X , для которых ф( 0) =
= х 0. Наконец, если оставить в Я ( / , X ) лишь те отображ ения,
для которых ф ( 0 ) = ф ( 1 ) = х о (это H { S l, X) , где S 1 — окруж ­
ность с отмеченной точкой), то получим пространство петель
Q X пространства X. Все эти ковариантные функторы естествен­
но переносятся и в категорию M o t (пример 4 ).
П р и м е р 13. Большинство топологических инвариантов яв­
ляются группами и функторами из категорий Т о р или M o t в
категорию групп или абелевых групп. Так, фундаментальная
группа л ( Х ) (пример 7 § 14) является ковариантным функто­
ром из категории топологических пространств с отмеченной точ­
кой в категорию групп. Гомотопические группы л^СХ-) , п ^ 2 ,
группы гомологий Н п(Х, А) и группы когомологий Н п(Х, А ) (об
определении которых будет сказано ниже) являются функтора­
ми из той ж е категории в категорию абелевых групп. Функторы
л „ и Я , — ковариантны, Я " — контравариантны. Все эти объ ек ­
ты инвариантны относительно гомотопической эквивалентности
и переносятся в категорию M ot.
П р и м е р 14. Важным функтором является пространство
функций (скажем, вещественных) ST{X, R) на множ естве X.
Здесь возможен ряд вариантов: если множество X дискретно
(например, конечно), то рассматриваются все функции, если
X — топологическое пространство, то непрерывные функции,
если X снабжено мерой, то функции с интегрируемым квадра­
том и т. д. Так как отображение f : X-^-Y сопоставляет функции
ф б^-(У , R) функцию фf£@~(X, R ), то F( X) =& ~(Х , R) является
контравариантным функтором из категории множеств (или т о ­
пологических пространств, или пространств с ме р о й . . . ) в ка­
тегорию векторных пространств. Именно благодаря тому, что
&~(Х, R) является функтором, лю бом у преобразованию мно­
ж ества X соответствует обратимое линейное преобразование
пространства ЗГ{Х, R ), а если G — группа преобразований мно­
ж ества X, то в &~{Х, R) определено ее представление. В част­
ности, если X = G и мы рассматриваем левое действие G на се­
234
бе, то в &~{G, R) определено регулярное представление груп­
пы G.
П р и м е р 15. В произвольной категории % любой объект
А 6 Ob ( ё ) определяет ко^ариантный ф ункт ор h A из % в кате­
горию множеств 9>et. Мы полагаем h A( X ) = Н ( А , X ) и для
л ю бого / £ Н ( Х , У) определяем отображение h A ( / ) : Н ( А , Х)^>- > / / ( А , У ) как композицию: для g £ H ( А , X ), h A ( / ) (g) = / g .
Аналогично,
h A ( X ) = Н (X , A ),
h A ( / ) (g) = g f ( / e t f ( X , V),
g £ H ( Y , А )) определяют контравариантный функтор. Мы уже
встречались с функтором
А^(УИ)==Нотд (М, N ) в категории
M o d R (пример 11) и h s ' ( X ) = Q X в категории STopQ (пример 12).
Ф ун кт оры h A и h A полезны в очень общей ситуации,
когда мы хотим перенести некоторую конструкцию, определенную
для множеств, на любые категории. Если Ф обозначает теоретико­
множественную конструкцию, а ф — искомую конструкцию в ка­
тегории
то требуют, чтобы функторы А,Ь(Л) и Ф (АЛ) были
эквивалентны. (Применение функтора h A вместо hA дает другую,
«двойственную» конструкцию.) При этом два ф ункт ора F г и F 2
из % в 9>et называются эквивалентными, если для любого
-АГбОЬ($) определено такое обратимое отображение Ф^-Р^АТ)-*- > /72(АГ), что для лю бого F g O b fg ) и любого f Q H ( X , Y ) ком­
мутативна диаграмма
F \ (X )^ -F 2 (X )
Fl(f) | фу
| ЫП
F ^ ^ F ^ Y ).
Л егко видеть, что, например, определение суммы А + В в кате­
гории сводится к тому, что функторы hA+B(X) и hA( X ) X h B(X)
должны быть эквивалентны. Произведение аналогично связано
с функтором hA.
В качестве приложения расскаж ем об очень важном поня­
тии группы (или группового объекта) в категории
. Мы б у ­
дем предполагать, что в ^ сущ ествую т произведения. Групповой
закон на объекте GeObC<P)
определяется как морфизм
ц бH ( G x G , G). Операция перехода к обратном у определяется
заданием морфизма i&H(G, G ). Наконец, существование еди­
ничного элемента проще сформулировать, если предположить,
что в & сущ ествует финальный объект О&ОЪ ( W ), т. е. такой, что
Н { А , О ) для лю бого Л бО Ь (IP) состоит ровно из одного элемен­
та (точка в 9?et и в &~ор, нулевая группа в si-b и т. д .). Тогда
единичный элемент определяется через морфизм е€Я(<?, G).
В се эти три морфизма: ц, i и е должны подчиняться ряду
условий, выражающ их ассоциативность умножения и другие
аксиомы группы, которые формулируются в виде требования
коммутативности некоторых диаграмм. Н о мы не будем их
приводить, так как более простая эквивалентная форма тех ж е
235
условий заключается в том, что для л ю бого АьОЪ(Ч?) в мно­
ж естве Н (А , G) определена групповая операция (отображ ения
в группу сами образую т группу!), причем для лю бого f e t f (Л, В)
отображ ение композиции Н (В , б ) - » - # ( Л , G) является
гом о­
морфизмом. Иными словами, функтор hG должен быть функто­
ром из % в категорию групп.
П р и м е р 16. Рассмотрим пространство петель
над топо­
логическим пространством X с отмеченной точкой х 0 (при­
мер 12). Композиция петель, как она определена в примере 7
§ 14, определяет непрерывное отображ ение р ,:
х Й Х -И М ,
обращение петли — отображение i :
а петля,
сводя­
щаяся к точке Хо, — единичный элемент. Эти данные не опре­
деляют группу: например, произведение петли на обратн ую не
равно единичной петле, а только ей гомотопно. Н о в катего­
рии 36otо (пример 4 ), как легко проверить, получается группа.
П р и м е р 17. Мы будем использовать конструкцию «стяги­
вания в точку замкнутого подмножества А топологического про­
странства X». Так называется топологическое пространство,
обозначаемое Х/А, теоретико-множественно состоящ ее из Х Х Л
и еще одной точки а. Тогда определено отображение р : Х - + Х / А у
тождественное на Х \ А и переводящее А в а. Открытыми в
Х/А называются множества, прообразы которых при отобр а ­
жении р открыты в X,
Надстройкой над топологическим пространством X назы­
вается пространство 2 Х , получающееся стягиванием в точки
верхнего и нижнего основания Х х О и X X 1 в цилиндре Х х 1 ,
где / = [ 0 , 1], (рис. 41).
Рис. 41
В категории пространств с отмеченной точкой рассм атрива­
ю т « приведенную надстройку» SX, получающуюся, если, кроме
того, стянуть в точку х 0Х/ и принять эту точку за отмеченную
в SX. Свойства надстройки S X проще всего формулируются при
помощи операции Д — произведения в категории &~ор0 или
3&otQ. По определению, для пространств (X, х 0) и (У, г/о),
Х/\Y —XX, Y/(Х 0Х,Уо\]х0Х У). Легко проверить, что эта операция
дистрибутивна по отношению к операции суммы Х\/ У (ср.
рис. 40)
236
XA(Y\/Z)=(XAV)V(XAZ)
и
(4)
(XVY)AZ = (XAZ)\AYAZ).
В частности, S X = S ' a X ,
где S 1 — окружность, полученная
из / склеиванием точек 0 и 1. Легко видеть, что SS1= S 1A
A S : — S 2 и, вообщ е, S S n = S nn (где S n /i-мерная сфера).
Отождествление в окружности 5 1= / / { 0 , 1 } точек 0 и 1 /2
дает отображение S ' - i - S ' v S 1 (рис. 42),
а значит, в категории £Гор0 и 2№ot0
S X ^S X +S X
(ввиду того, что V есть сумма в этой категории, S X — S ' A X ,
и в силу дистрибутивности операции Д ).
По двойственности мы имеем морфизм р: (SAT) X ( S X ) ^ y S X
в дуальной категории. «Обращение» окружности, соответствую­
щее симметрии / относительно точки 1 /2, определяет отображе­
ние 5 U 5 1 и, значит, i : S X - > S X . Отображение пространства
в точку определяет единичный элемент. Легко видеть, что таким
образом S X определяет группу в категории 3@ot*0.
П р и м е р 18. Группы в категориях
и 3 6 o tо, построен­
ные в примерах 16
и
17, определяют важные инварианты,
являющиеся уж е обычными группами. И это по той простой
причине, что если О — группа в категории
то для любого
А^ОЬ (в ) множество Н ( A , G) по определению является группой.
Аналогично, если G e O b(W ) является группой в дуальной кате­
гории &*, то для лю бого Л бОbCg?) множество H ( G , А ) являет­
ся группой. П оэтому, как бы мы ни выбирали топологическое
пространство R (с. отмеченной точкой), для л ю бого простран­
ства X как Н (Х , Q R), так и H (S R , X ) будут группами и функ­
торами из категории Ш ои в категорию групп. С одним из них
мы уже встречались: если R состоит из двух точек, то SR = S 1
(рис. 43) и Н (SR, А ) совпадает с фундаментальной группой
я ( Х ) . Но так как 5 " = 5 5 п-1, то и Я ( 5 П, X) для лю бого п ^ 1
является группой. Она обозначается через я „ (А ) и называется
п-й гомотопической группой. В частности, л ( А ) — это n i ( A) .
237
При я > 2 группа яп { Х ) коммутативна, и причина этого
тоже категорная. Она заключается в том, что при я > 2 S n =
= S ( 5 S n_2)
и
для
любых пространств R и X
группа
Н (S (SR), X )
коммутативна.
Действительно,
представление
S S R — S1/\S1A R дает возможность определить два отображения
S S R -> S S R \ yS S R
— используя изображенное на рис. 42 отображение S l -*-SlV S 1
для первого множителя S 1 в S S R — S 1/\S1f\R и для второго.
Отсюда в Н (S (S R ), X ) получаются два групповых закона,
которые мы будем обозначать точкой « .» и звездочкой «*». Они
обладают свойством дистрибутивности: (f'g )*(u -'a ) — (f* a ) - ( g * v ) —
это очень легко проверяется из определения, используя дистри­
бутивность операции Л (4). Кроме того, единичный элемент е
у обеих операций совпадает. Но отсюда уже формально выте­
кает, что операции совпадают и коммутативны:
f - g = ( f * e ) - (e*g) = ( / •е)*(е •g) = f * g ,
g . / = (e*g) •Сf * e ) = ( e ■f ) * ( g - e ) = f * g = f -g.
Аналогично, для
любых пространств R и X группа
Н (Х ,
коммутативна.
В том же духе можно дать и определение групп когом оло­
гий. Для этого доказывается, что при лю бом выборе абелевой
группы А сущ ествует последовательность таких пространств Кпг
п = 1, 2, 3 , . . . , с отмеченной точкой, что
Я/п(^я)==0 при т ф О, я,
я„ ( К п) = А ,
(5)
A'n_i==QA'„ (в категории 3 6 o t 0).
Тогда множество Н (Х , К п), по-предыдущему, является абеле­
вой группой, которая и называется п-й группой когомологий
пространства X с коэффициентами в А и обозначается Н п(Х, А ).
(Это — не самый естественный способ определения групп кого­
238
мологий и не тот, которым они были первоначально определены:
о нем будет сказано в следующем параграфе.) Для п-мерной
сферы S ":
H m{S n, А ) = 0 при т ф О, п,
H n{Sn, А ) = А ,
S n — S S !t~l (в категории M o t),
так что сферы 5 " в этом смысле аналогичны пространствам Кп.
(с заменой групп л 4 на Я *).
Многие очень яркие достижения топологии (например, свя­
занные с исследованием групп Jtm(5n) ) основывались на той
идеологии, о которой мы пытались намекнуть предшествующи­
ми построениями: что категорию M o t 0 можно трактовать как
в значительной степени алгебраическое понятие, что она во мно­
гом аналогична, например, категории модулей и к ее изучению
можно с успехом применить алгебраическую интуицию.
§ 21.
ГОМ ОЛОГИЧЕСКАЯ
АЛ ГЕБ РА
А. Происхождение понятий гомологической алгебры из топо­
логии.
Алгебраический аспект теории гомологий не сложен. Цепным
комплексом называется последовательность
{С „, n6Z}
абелевых групп (причем чаще всего С„ = 0 при п < 0 ) и связы­
вающих их гомоморфизмов: д п : Сп- + С „ - и называемых гранич­
ными. Коцепным комплексом называется последовательность,
абелевых групп
{С ", n6Z}
и гомоморфизмов
dn : Сп-+С'+\
называемых кограничными или же
дифференциалами.
При
этом в случае цепного комплекса граничные гомоморфизмы
должны удовлетворять условиям d„dn+i = 0 для всех n6Z, а в.
случае коцепного комплекса кограничные — условиям dn+idn=
= 0. Таким образом, комплекс определяется не только системой
групп, но и системой гомоморфизмов, и мы будем обозначать
цепной комплекс, например, через А '= { С П, дп}.
Условие dndn+i = 0 в определении цепного комплекса пока­
зывает, что образ d„+i(C n+i) гомоморфизма <?п+1 содержится в
ядре гомоморфизма д п : Im dn+iC=Ker д п. Факторгруппа
Кег d„/Im dn+i
23»
При я > 2 группа лп( Х ) коммутативна, и причина эт ого
тоже категорная. Она заключается в том, что при я > 2 5 Л=
= S ( S S n_2)
и
для
любых пространств R и X
группа
Н (S (S R ), X )
коммутативна.
Действительно, представление
S S R = S 1/\SlA R Дает возможность определить два отображения
S S R -^ S S R y S S R
— используя изображенное на рис. 42 отображение S l - + S 1\ / S t
для первого множителя S 1 в S S R = S 1/\S1a R и для второго.
Отсюда в Н (S (S R ), X ) получаются два групповых закона,
которые мы будем обозначать точкой « .» и звездочкой «*». Они
обладают свойством дистрибутивности: (f-g )*(U 'V ) = (f»u.)-(g*v) —
это очень легко проверяется из определения, используя дистри­
бутивность операции А (4). Кроме того, единичный элемент е
у обеих операций совпадает. Но отсюда уж е формально выте­
кает, что операции совпадают и коммутативны:
/ •g = ( f * e ) •(e*g) = ( / •ё)*{е •g) = f * g ,
g ' f = (e*g) ■i f * e ) = (e •f ) * ( g - e ) = f * g = f - g .
Аналогично, для
любых пространств R и X
группа
Н (Х , QQR) коммутативна.
В том же духе можно дать и определение групп когом оло­
гий. Для этого доказывается, что при лю бом выборе абелевой
группы А сущ ествует последовательность таких пространств К „,
п = 1, 2, 3 , . . . , с отмеченной точкой, что
я т(Кп) = 0 при т ф 0, я,
яп (К п) = А ,
(5)
К п-\ = О.К„ (в категории 2№ot0).
Тогда множество Н ( Х , К п), по-предыдущему, является абеле­
вой группой, которая и называется п-й группой когомологий
пространства X с коэффициентами в А и обозначается Н п{Х, А ) .
(Это — не самый естественный способ определения групп кого­
238
мологий и не тот, которым они были первоначально определены:
о нем будет сказано в следующем параграфе.) Д ля «-м ерн ой
сферы 5 ":
H m(S n, А ) = 0 при т ф О , п,
H n (Sn, А ) = А ,
S n = S S n-1 (в категории M o t) ,
так что сферы 5 " в этом смысле аналогичны пространствам К п
(с заменой групп я 4 на Я 4).
Многие очень яркие достижения топологии (например, свя ­
занные с исследованием групп
основывались на той
идеологии, о которой мы пытались намекнуть предшествующи­
ми построениями: что категорию M o t 0 можно трактовать как
в значительной степени алгебраическое понятие, что она во мно­
гом аналогична, например, категории модулей и к ее изучению
можно с успехом применить алгебраическую интуицию.
§ 21.
ГОМ ОЛОГИ ЧЕСКАЯ
АЛ ГЕБ РА
А.
Происхождение понятий гомологической алгебры из топо­
логии.
Алгебраический аспект теории гомологий не сложен. Цепным
комплексом называется последовательность
{С п, H6Z}
абелевых групп (причем чаще всего С„ = 0 при н < 0 ) и связы­
вающих их гомоморфизмов: д п : Cn- + C n-i, называемых гранич­
ными. Коцепным комплексом называется последовательность
абелевых групп
{С ", п Щ
и гомоморфизмов
dn : С”- + С ' +\
называемых кограничивши или же
дифференциалами.
При
этом в случае цепного комплекса граничные гомоморфизмы
должны удовлетворять условиям <3„(Зи+1= 0 для всех «GZ, а в
случае коцепного комплекса кограничные — условиям dn+idn=
= 0. Таким образом, комплекс определяется не только системой
групп, но и системой гомоморфизмов, и мы будем обозначать
цепной комплекс, например, через А '= {С „, д п).
Условие dndn+i = 0 в определении цепного комплекса пока­
зывает, что образ dn+i(C n+i) гомоморфизма dn+i содержится в
ядре гомоморфизма д п : Im dn+i<rKer д п. Факторгруппа
Ker d j l m д п+х
239
называется п-й группой гомологий цепного комплекса К —
= { с п, <?п} и обозначается Н п(К ). Аналогинчо, для коцепного
комплекса /С = { С П, dn}, lm dn-idK&T dn и группа
Кег d j l m dn-i
называется п-й группой когомологий и обозначается Н п(К ).
Вот две основные ситуации, в которых эти понятия возни­
кают.
П р и м е р 1. п-мерным симплексом называется выпуклая
оболочка н + 1 точек евклидова пространства, не лежащих в
я — 1-мерном подпространстве. Комплексом называется м нож е­
ство, состоящ ее из симплексов, примыкающих друг к другу по
целым граням, причем вместе с симплексом в комплекс входят
и все его грани и каждая точка принадлежит лишь конечному
числу симплексов. Как топологическое пространство, комплекс
определяется множеством его вершин и указанием того, какие
из них образую т симплексы. Таким образом, это финитный спо­
с о б задания топологического пространства, аналогичный зада­
нию группы ее образующ ими и соотношениями. Топологическое
пространство, гомеоморфное комплексу, называется полиэдром,
а его гомеоморфизм с комплексом — триангуляцией. Таким о б ­
разом, триангуляция — это разбиение пространства на куски,
гомеоморфные симплексам, «х ор ош о» прилегающие друг к д ру­
гу. На рис. 44 изображена триангуляция сферы. Реально встре-
Рис. 44
чающиеся пространства, как правило, обладаю т триангуля­
цией; например, таковы дифференцируемые многообразия. Но
таких триангуляций много, как и заданий группы образующ ими
и соотношениями.
Каждому комплексу X можно сопоставить цепной комплекс
К = {С „, д п, п > 0}. Здесь С л есть ® Z o i — свободный Z -модуль,
образующие которого соответствуют я-мерным симплексам о,
комплекса X . Для определения гомоморфизмов д п каждый симп­
лекс at ориентируется, т. е. выбирается определенный порядок
240
п
его рершин: о* = { х 0,
х
п}. Тогда полагают <?паг = 2 ( — 1)*Х
А=0
X e fta*, где а* обозначает симплекс {лг0,
x k. x, x kJrX, . . . , х п}, а
е* = 1 или — 1 в зависимости от того, будет переход от после­
довательности х 0, . . . , х к. х, x i+x, . . . , х „ к той последовательно­
сти вершин симплекса о*, которая определена его ориентацией,
четной или нечетной подстановкой. На всю группу С„ гом ом ор­
физм д п распространяется по аддитивности. С войство дпд п+х —
= 0 легко проверяется. Элементы х „б К е г д п называются цикла­
ми,
a
Im d„+i — границами.
Группы Н „ ( Х )
называются
группами гомологий комплекса X и обозначаю тся Н п(Х ). Гео­
метрический смысл элемента х£Н п(Х) заключается в том, что
это замкнутый «-мерный кусок пространства X, причем два ку­
ска отождествляются, если вместе ограничивают « + 1-мерный
кусок. Например, замкнутые кривые с и с ' на торе на рис. 45
определяют один элемент в Н х(Х ), а кривая d на «двойном то­
ре» — нулевой элемент.
а
Ь
Рис. 45
Основное свойство групп Нп(Х ), совершенно не очевидное,
если исходить из данного нами определения, заключается в том,
что они не зависят от триангуляции полиэдра X, а определяют­
ся лишь самим топологическим пространством. Более того, они
определяют ковариантный функтор из категории 36ot в катего­
рию М
абелевых групп. Иными словами, непрерывному
отображ ению f : X-*-Y сопоставляется гомоморфизм
f . n : H n( X ) ^ H n( Y) ,
зависящий лишь от гомотопического класса отображения f и
удовлетворяющий условиям, входящим
в определение функ­
тора.
Именно «функториальный» характер групп Н п(Х) делает их
столь полезными для топологии: они определяют «проекцию»
топологии в алгебру. Приведем простейший пример. Легко д о ­
казать, что для «-мерной сферы S ”,
H 0(Sn) ^ Z ~ H n (Sn), H h{Sn) = 0 при 1гф0, п.
Для «-м ерного шара В", поскольку он имеет гомотопический
тип точки (стягивается в центр по радиусам),
16—9339
23
241
Hh(Bn) = 0 при 1гфО.
Приведем теперь доказательство знаменитой т е о р е м ы
Б р а у э р а : всякое непрерывное отображ ение Ф : Б "-»-Б п имеет
неподвижную точку. Если это не так, то для любой точки х£Вп
проведем луч из точки Ф (х) в х и обозначим через f ( x ) его точ­
ку пересечения с границей S n_I шара Вп. При этом непрерыв-'
ном отображении f \ x ) = x для х б З "-1, или f i = 1, где i — влож е­
ние S n-1->-5n (в качестве его границы), а 1 — тож дественное
отображ ение S " -1. Теперь по функториальности мы имеем ото­
бражение / . п- i ■H n- i ( B ) - ^ H n- i ( S n~1), которое должно быть ото­
бражением в 0 (так как Н п-\ (В ) = 0 ) .
Но с другой стороны,
f, „ - p i . „ _ ! = 1, что и приводит к противоречию.
Наряду с цепным комплексом К = {С п, д п}, построенным выше
для произвольного полиэдра X , можно построить, взяв произ­
вольную абелеву группу А , цепной комплекс K ® z A = { C n® z A , д п
и коцеп.юй комплекс Нога (А-, Л ) = { Н о т ( С „ , A ), dn) (напомним,
что функтор F (С) = С ® 2 А ковариантен, a G ( C ) = H o m ( C , А ) —
контравариантен, см. пример 11 § 20). Группа Н п ( К ® А ) обозна­
чается Н п ( Х , А ), а Н п (Нош (К, А )) = Н п ( X , А ). Они назы­
ваются группам и гомологий и к огом ол оги й с коэффициента­
ми в группе А . Первые являются ковариантными, а вторы е—
контравариантными функторами из категории M o t в категорию
s i b . О группах Н п (А -, А ) мы уже упоминали в конце § 20.
П р и м е р 2.
Пусть
X — дифференцируемое
многообразие
и Qr — пространство r -мерных дифференциальных форм на X .
Дифференциалом формы Ф6ЙГ, записывающейся в локальных
координатах как
Ф= 2 f ^ . . . i d x ^ A •■■A d x tf,
называется форма
d V = * Z d f h ...ir/\ - •■A d x tl/ \ .. . A d x , r.
Это выражение не зависит от выбора системы координат и опре­
деляет гомоморфизм
d r:Q r -*-Qr+1.
Нетрудно проверить соотношение dr+1dr = 0. Таким образом,
K = {Qr, d r} — это коцепной комплекс. Его когомологии Н г ( К )
называются к огом ол оги ям и д е Р а м а многообразия X и о б о ­
значаются Я ® 32 (А').
Аналогично внешней алгебре векторного
пространства E : A ( E ) = ® A k (E) (ср. пример 12 § 5), можно рас­
смотреть градуированное кольцо Q (A ’) = ©Qr всех дифферен­
циальных форм на X . Операция внешнего умножения переносится,
с него на группу
H*z>gi =
(X ),
которая является градуированным кольцом (и супералгеброй).
242
Связь между примерами 1 и 2 основана на операции интег­
рирования дифференциальной формы по цепи. Именно, можно
найти триангуляцию многообразия X , столь «мелкую», что каж­
дый симплекс <7/ будет лежать в некоторой координатной окрест­
ности, и столь гладкую, что гомеоморфизм его f t ’. a i -+Gi с симп­
лексом аг в евклидовом пространстве будет достаточное числа
раз
дифференцируемым.
Т огда
( положив
V
j* Ф= 2 n t j ф для
а
°1
o = 2 ^ i ai€ C r, Ф6&Г) мы сведем определение интеграла по цепи сг
к определению
j ф. Используя же диффеоморфизм / ; : а , -> а г, мы
ai
t
_
сведем его уж е к интегрированию формы / * ф по симплексу сг
в евклидовом пространстве, т. е. к вычислению обычного крат­
ного интеграла.
Л О б о б щ е н н а я т е о р е м а С т о к с а утверждает, что для
Ф'-1€ й '- 1 и цепи с гб С г,
J фг-1= j* й^фг-1. р.
dcT
Сг
Ввиду аддитивной зависимости интеграла по цепи от цепи, дока­
зательство этой теоремы сводится к случаю, когда с Т— симплекс
в евклидовом пространстве. В этой ситуации при г = 1, 2, 3 она
сводится к известным теоремам Грина и Стокса, а в общем слу­
чае доказывается совершенно так же. Если ввести обозначение
(с, Ф) = |ф для с е С г, Ф6ЙГ
С
и распространить произведение (с, ф) и на c6 C r<8>R, т о теорема
Стокса превратится в утверждение о сопряженности оператора д‘
в пространстве C r® R и оператора d в Q r. Из нее вытекает, чта
произведение (с , Ф) при д с — йЧ = 0 обращается в 0, если с = д с '
или ф = й№', и, значит, переносится на пространства Н Г( X , R)
и Hcpgi (X ). Т е о р е м а д е Р а м а утверждает, что построенное
произведение определяет двойст венность между этими прост­
ранствами, так что когомологии де Рама дают аналитический
метод вычисления гомологий многообразий. Эквивалентная фор­
мулировка заключается в том, что п р о с т р а н с т в о Н ^ ^ ( Х )
изоморфно H r { X , К). Этот изоморфизм дает возможность пере­
нести умножение в кольце Н*ар^ (см. пример 2) на группу
Я * (X , R) = @ H r ( X , R),
которая
становит ся,
16*
благодаря
этому,
кольц ом .
Конечно,
243
сущ ествует способ определить умножение в Н * (X , R), не исполь­
зуя связь с дифференциальными формами и не ограничиваясь
случаем, когда X — многообразие.
Теперь мы вернемся к алгебраической теории комплексов,
причем ограничимся коцепными комплексами — теория
цепных
комплексов получается просто обращением стрелок. Комплекс
K i = { C u dn) называется п о д к о м п л е к с о м комплекса K = { C n,d „ } ,
если группы Ci являются подгруппами групп С", а дифференциа­
лы в них получаются ограничениями дифференциалов dn, задан­
ных на группах С п (и, значит, dn ( C i ) c z C l+1). В этой ситуации
дифференциалы переносятся и на группы Сг = С л/С ь и мы по­
дучаем комплекс Кг, называемый ф а к т орк ом п л ек сом комплек­
са К по К\ и обозначаемый К1К\.
Группы когомологий комплексов К , К\ и K 2 — K I K 1 связаны
важными соотношениями. Понимая под Ker dn ядро dn в группе С ” ,
мы имеем по определению
Н п ( К ) = Ker d„ I dn (С л-1),
Я л (Ki) = (Ker dn n C?)/dn ( С Г \
Т а к как С ? " 1с С " '1 и dn(C i ~ l) a d n (С ?-1), то, сопоставляя эле­
менту из Y & d nr\Cl~l !dn (C i~ l) его класс смежности по большей
подгруппе dn (Сл-1), мы получаем гомоморфизм in: Я л (Ki)
Н п (К ).
Аналогично, используя гомоморфизм С л->Сг = С Л/С ь мы полу­
чаем столь же очевидным образом гомоморфизм j n: Н п (К ) ->
—>■Я л (Кг)- Существует еще один, несколько менее очевидный
гомоморфизм. Пусть х ^ Н п (К?). Ему соответствует элемент у
из K erdn в группе С л/С ". Рассмотрим прообраз у этого элемента
в С п. Так как d y = 0 в С лЧ/С Г+1, то dyQC"+1, и из определения
комплекса следует, что dt/бКег d ^ . Легко проверить, что класс
•смежности d y + d j f i l определяет элемент группы Н п+1 (К{), за­
висящий только от первоначального элемента х , но не от выбора
вспомогательных элементов у я у, и что таким образом мы полу­
чаем гомоморфизм бл: Я л(А’2) - > Я л+1(А'1). Все построенные гомо­
морфизмы объединяются в бесконечную последовательность:
Эта последовательность обладает очень важным свойством,
которое проще всего формулируется при помощи одного весьма
полезного алгебраического понятия. П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь групп
и гомоморфизмов
••• -*■
.
^Л-1
.
fn
fn+l
— гАп-ь-Ап+х— ►. . .
называется точной, если для л ю бого
л образ гомоморфизма fn~i совпадает с ядром гомоморфизма fn.
Э то свойство равносильно тому, что {Лп, /„ } образую т коцепной
244
комплекс, когомологии которого равны 0. Н аоборот, когом оло­
гии произвольного комплекса измеряют его отклонение от точ­
ности. Точность последовательности
0- ^ А ^ В
означает просто, что f — вложение группы А в В, а точность
последовательности
я -tc -^ o
— что g — гомоморфизм В на всю группу С. Наконец, точность
последовательности
0-+А-гВ-*С-+0
— это другая запись того, что C = B j A .
Теперь можно высказать основное свойство последователь­
ности (1) в следующей сж атой форме:
Ч Теорема
о точной
последовательности
к о г о м о л о г и й . Д ля точной последовательности коцепных
комплексов
О ^ К ^ К -^ К г+ 0
(т. е. для К2 — К1К\) последовательность (1) точна. ►
Д оказательство является почти тавтологической проверкой.
Последовательность (1)
называется
точной
последователь­
ностью когомологий.
Если X — триангулированное топологическое пространство, а
У — его замкнутое подпространство, состоящ ее целиком из не­
которых симплексов триангуляции пространства X, то мы м о­
жем сопоставить им цепные комплексы Кх и Кг, причем /СУс г
czKx- П оэтом у имеет место точная последовательность цепных
комплексов
0-^-К.г—*-Кх~^Кх/Кг—И)
и, как очень легко проверить, для лю бой абелевой
А — точная последовательность коцепных комплексов:
группы
0 -> Ы о т (К х 1 К у , Д )-> Н о т (А 'х , А.)- > Н о т (К у, А ) ^ - 0 .
Не алгебраическим, а уже геометрическим фактом является
интерпретация когомологий комплекса Н о т (К х /К у , А ): Д л я п ф О
Н " ( К х 1 К у , А ) ^ Н " ( Х 1 У, А ),
где X l Y получается из X стягиванием Y в точку. Это утверж_
дение будет верным и в размерности п — 0, если слегка видо
изменить в размерности п = 0 определение комплексов К х (для
X , Y и Х /Y), приняв за группу С 0 совокупность лишь тех
0-мерных цепей 2 л ;о°, для которых 2 л г= 0 .
245
Возникающие группы когомологий обозначаются Й ° ( X , А ).
Алгебраическая теорема о точной последовательности когомологий
теперь дает нам утверждение о точности последовательности
О- + Й ° ( Х / У , А ) - + Н о ( Х , А ) ^ Й ° ( У , А ) - > - . . . - + Й п' 1 (У, А )-»- > H n( X l Y , А ) - + Й п( Х , А ) - * - //" (Г, А ) - * . . . ,
(2)
тд е Й п ( Х , А ) = И п( Х , А ) при л > 0. Из нее следует, например,
ч т о если все Й п{Х , А ) = 0 , то группы Й п (У А ) и Й п+1 (Х /У , А )
изоморфны.
На этот результат можно взглянуть с такой точки зрения.
Группа Й ° ( Х , А )
определяет функтор из категории
M ot
в категорию абелевых групп. Для пространств X , У и Х / У эти
функторы связаны точной последовательностью
0 - + Й ° ( Х jY , А ) - + Й ° ( Х , А ) - * # ° ( Г , А ),
которая, однако, не будет точной, если ее дополнить нулем в
конце. Но ее можно дополнить до точной последовательности
(2 ), вводя бесконечное число новых функторов Яп(Х, А ). Такая
ситуация встречается часто, и рассмотренный нами частный
случай подсказывает общий принцип: если для некоторого важ ­
ного функтора F ( A ) со значениями в категории абелевых групп
в естественных ситуациях возникают «короткие» точные после­
довательности, например:
О- + F ( B ) - * - F ( C ) - + F ( A ) ,
то следует подумать, нельзя ли определить семейство функто­
ров Fn (A ) , в котором F ° = F и которое связано бесконечной
точной последовательностью типа (1) или (2 ). Это совершенно
новый сп особ построения функторов. Сейчас мы приведем две
иллюстрации этого немного расплывчатого принципа. Третьей
его реализации посвящен следующий параграф.
Б. Когомологии модулей и групп. Мы уж е виделн в § 20
(пример 11), что для фиксированного модуля А над кольцом R
и «переменного» модуля М, F ( M ) = Н о ш н(М, А ) представляет
собой контравариантный функтор из категории ^-модулей в ка­
тегорию абелевых групп. П оэтом у точная последовательность
модулей
q^
L ^M ^N ^O
(3)
определяет гомоморфизмы
F (g ): Horn/? ( N , А ) -*■Н о т * (/И, А )
и
F ( / ) : Н о т * (М , А ) - > Н о т я (L, А ).
Легко проверить, что последовательность
P(S)
P(f)
0 -i-Horn# (JV, A )^ -H om /? (M, A)-s-Hom/?(Z., A )
246
(4)
является точной, однако если дополнить ее нулем в конце, то
она точной не будет. П оследнее означает, что гомоморфизм
F ( f ) не обязан быть отображ ением на всю группу: это можно
видеть на примере точной последовательности Z -модулей:
0-^ pZ /p2Z - Z / p 2Z -v Z /p Z -vO
при A = Z/pZ.
Однако последовательность (4) можно продолжить с сохра­
нением точности. Это связано с группами ExtH(A, В ), введен­
ными в примере 2 § 12. М ож но показать, что, подобно группе
Н о т я (А, В ), группа ExtH(A, В ) определяет при фиксированном
А ковариантный функтор G ( 5 ) = E x t „ ( A , В)
из категории
■ModR в М , а при фиксированном В — контравариантный функ­
тор £ ( А ) = E x t H(A, В ) . М одуль М ввиду точной последователь­
ности (3) можно считать элементом группы ExtH(lV, L ), а лю ­
бой гомоморфизм фбНошн(/-, Л) определяет гомоморфизм
G(<p) : ExtR(N, L )-»-E xtB(iV, А ) . В частности, G(<p) (M )eE xtH(iV,
А ) и как функция от <р определяет гомоморфизм д : H om H(L,
A ) - + E x t R(N, А ) . М ож но показать, что последовательность
Пе)
ПП
.
9
0-*-Нот/?(ЛГ, A)->Hom/?(7W, Л )-> Н о т /? (/., A )-> E x t/?(AT, А )
— точна. Но мы можем включить ее и в еще более длинную
последовательность
P(g)
Р (f)
д
0-*H om /?(JV, A)-*-Horn# (7W, A)->-Hom/?(Z., А )->
9
E(g)
E(f)
->E xt/?(jV , А )
Ext/? (Л1, A )-> E x t/?(Z „ Л)
(5)
(где E ( g ) и Е ( / ) — гомоморфизмы, определяемые функтором
Е (Л1) = Ext/? (М, А )), и данная последовательность тож е будет
точной! Это, конечно, укрепляет надежду продолжить ее до
бесконечной точной последовательности.
М ы действительно построим систему абелевых групп, которую
обозначим E x t£ (A , В ); при фиксированном п и фиксированном
аргументе В они буд ут контравариантными функторами первого
аргумента и для любой точной последовательности модулей
O - + L - + M - + N - + 0 бу д ут связаны точной последовательностью
(для всех п > 0 )
. . . - * Ext#-1 (L, A )-* -E x $ (W , A ) ^ E x t £ ( M , А )->
->E xt^ (L, А ) -»■ Ext£+1 ( N , А )
...
.
(6)
При этом Ext# — это Horn#, a Ext)? — группа Ext/?.
Идея построения такой системы функторов очень проста.
Предположим, что наша задача уже решена и что, сверх того,
нам известен какой-то тип модулей (мы будем обозначать их
буквой Р ), для которых эти функторы аннулируются:
247
Ext* (P , Л ) = 0 для всех модулей А и всех п > 1.
Предположим, кроме того, что нам удалось включить модуль АГ
в точную последовательность
0 -> Z ,-> P -> iV -> 0
с модулем Р этого сорта (т. е. представить его как гомоморф­
ный образ модуля Р ). Тогда из точной последовательности (6)
следует, что группа Ext# (АГ, А ) изоморфна Ext*-1 (L, Л ), и мы
получили индуктивное определение наших функторов.
Дело, таким образом, за отысканием модулей Р , которые
должны аннулировать еще не известные нам функторы Ext#. Но
часть этих функторов нам известна — эт о Ext# = Ext#, и начать
надо с рассмотрения аннулирующих их модулей. Такой м о д у л ь
Р , что E x t# (P , Л) = 0 для лю бого модуля Л, называется п р о ­
ективным. Более просто это значит, что если модуль Р пред­
ставляется как гомоморфный образ модуля Л , то сущ ествует
такой подмодуль В с А , что А ^ Р Ф Р (и проекция Л на Р
совпадает с заданным гомоморфизмом Л - > Р ) . Таким образом,
встречаясь с проективным модулем, мы как бы возвращаемся
в полупростую ситуацию. Простейшим примером проективного
модуля является свободный модуль. Действительно, пусть & —
свободный модуль над кольцом Р и х г, . . х п— система его
свободных образующ их (мы лишь для простоты записи считаем
f
г
ее конечной). Если
-> О— точная последователь­
ность, то g отображает М на весь модуль YF и, значит, сущ ест­
вую т такие элементы у&М , что g (i/i) = x i. Пусть УИ/ = р г / 1+ . . .
. . . + Р у п— порожденный ими подмодуль. Из того, что { x t —
= g ( t /i) } составляют свободную систему образующ их, следует,
что то же верно и для {yt}. Отсюда легко вытекает, что g
отображает NY
изоморфно на & и M — L&M ', где L — K erg.
Оказывается, класса проективных модулей уж е и достаточ­
но для выполнения нашей программы, так как лю бой модуль
является гомоморфным образом свободного н тем более —
проективного. Пусть
0 -> 1 -> Р -> А Г -* 0
(7)
— такое представление для модуля АТ с проективным Р . Пред­
положим, что функторы
Ext# (L, А ) уже определены для
— 1, и положим
Ext# (AT, i4) = Ext#-1 (L, А ).
Мы опускаем несложное определение гомоморфизма
Ext# (Ф): Ext? (Z/, А )
E xt? (L, А ),
соответствующ его гомоморфизму 4>:L-+L'.
248
Доказывается, что »
группы Extj?(£, Л ), н гомоморфизмы Ext д (Ф) не зависят от вы*
бора точной последовательности (7) для модуля N , т. е. опре­
делены
вполне корректно. Они образую т контравариантный
функтор (при фиксированных п и Л ) и связаны точной после­
довательностью (6).
Объединяя вместе п шагов, мы можем получить неиндуктив­
ное
определение
функт оров
Ext/?". Для эт ого представим
в последовательности (7) модуль L в аналогичной форме, т. е.
включим его в точную последовательность 0 -> -Z /-> -P '-> Z .-> 0
с проективным Р ' , потом поступим так же с L' и т. д. Мы
получим бесконечную точную последовательность
. . . - * Р ? Л . . . - + Р 2% Р ^ Р 0- > Ы - + 0)
(8)
с проективными Р п, называемую п роек т и вной р ез о л ьвен т ой
м о д у л я N . Применяя к ней функтор Horn/? (Р , Л ) и отбрасывая
первый член, мы получим последовательность
Н от/? (Р 0, Л )^ Н о т /? ( Р и Л )-2 . . . -*Нош/? (Р „, А
) ^
. (9)
которая
необязательно будет
точной, но будет коцепным
комплексом (из того, что Ф„ Фд+1 = 0 в (8), по определению
функтора следует, что ф„+1ф„ = 0 в (9)). Когомологии комплекса
(9) и совпадают с группами Ext/? (TV, Л ).
П р и м е р 3.
К о г о м о л о г и и групп.
Важнейший случай,
в котором группы Ext/? ( N , Л ) имеют много алгебраических и
общематематических применений, — эт о когда кольцо Р является
целочисленным групповым кольцом Z [С?] группы G, так что
категория P -модулей совпадает с категорией С?-модулей. Для
(7-модуля Л группа Extz (Z , Л) (где Z рассматривается как
модуль с тривиальным действием) называется п-й группой к о г о ­
м ологий группы G с коэффициентами в Л и обозначается
/ / " ( ( ? , Л ).
Построить проективную резольвенту (или даж е состоящ ую
из свободны х модулей) для модуля Z (с тривиальным дейст­
вием группы G) — это техническая и нетрудная задача. В ре­
зультате получается вполне явная форма комплексов (8) и (9 ).
Мы выпишем второй из них. Д ля него С1 (равное Hom 0 (Pi, Л ))
состоит из произвольных функций f ( g i , . . . , g n) от п элементов
группы G со значениями в модуле Л. Дифференциал dn : С"->—>-Cn+1 определяется так:
(df) (ft,
.. •, gn+0 =
gif (g2,
•■•, gn+i) -I-
immn
+ 2
/-=i
( — ! ) * / ( & ’ ■•■>&&+1> • • • » & ) + (
i ) n+i/(& > •••'"«)•
249
(Надо помнить, что / (g2, . . . , gn+i)6 A и что А является моду­
лем над С? — это определяет смысл g i / ( g 2, ■ . . , g„+1)).
Выпишем простейшие случаи
п = 0
/= а б Л ,
( d f ) ( g ) = g a — a\
п= 1
/ (g)€ Л ,
« = 2
/ ( f t , & )6Л,
(d f ) (gi, g2) = g j / (g2) — / (g!g2) + / (g,);
(^/ ) (gi> gs, g3) = f t / (ft> g3) + / (ft, g2g3) — / (gigs- gj) — / (gi- &)•
Таким образом, H °(G , A ) — это совокупность таких элементов
абЛ, что g a — а — 0 для всех g6G , т. е. совокупность G-инвари­
антных элементов А.
H l (G, А ) — это группа функций f ( g ) , g€G, со значениями
в А, удовлетворяющ их условию
/ (gigs) = / (gi) + g i / (gs).
(10)
факторизованная по группе функций вида
/(g )= * g a — «,
аеА.
(11)
Если действие С? на Л тривиально, то H l (G , Л )= Н о т (С ? , Л ).
Н 2 (С?, Л) — это группа функций / (gj, g2), gu g 26G, со значе­
ниями в Л , удовлетворяющих условиям
/
(ft, g2g3) + g l / (g2. g3) = /
(gift, g3) - T - / (ft, gs)>
(12)
факторизованная по группе функций вида
/ (ft. ft) = h (gjg2) — A (gx) — g ji (g 2),
(13)
где A( g) (g€ G ) — любая функция со значениями в Л.
Приведем несколько примеров ситуаций, в которых эти груп­
пы возникают.
П р и м е р 4. Расширения групп. Пусть группа Г имеет нор­
мальный делитель N с факторгруппой T/N=G. Как реконстру­
ировать G по Г и N? С этим вопросом мы встречались в § 16
(напомним, что Г называется расширением G при помощи N ).
Сейчас мы разберем его подробнее в случае, когда группа N
абелева. М ы будем обозначать ее теперь не N, а Л.
Для любых убГ и абЛ элемент у ~ 'а у тож е содерж ится в Л.
Более того, отображ ение
а-^уау' 1 является автоморфизмом
группы Л. Ввиду коммутативности группы А элемент уйу-1 не
изменится, если изменить у в его классе смежности по Л. Сле­
довательно, у ау~ 1 зависит лишь от класса смежности g6G =
= Г/Л, которому принадлежит у. Он обозначается поэтому
g ( a ) . Таким образом, группа G действует на Л, и Л превра­
щ ается в G-модуль (однако с операцией, записанной не адди­
тивно, а мультипликативно — как и операция в группе Г ).
Выберем в каждом классе смежности g&G = T/A любым о б ­
разом по представителю, который обозначим 5 (g ) б Г. В ообщ е
250
говоря, s(gi)s(g2) ¥=s(gig2), но эти два элемента лежат в од ­
ном и том же классе смежности по А. П оэтом у сущ ествуют та­
кие элементы f(gu g 2)& 4, что
S (gi) S (g2) = / (gi> g2) 5 (gig 2).
(14)
Элементы / (gb g2) можно выбирать далеко не произвольно. Пе­
реписывая
условие
ассоциативности
(s (gi) 5 (g2)) s (g3) =
= s (gi) (5 (^ 2) ^ (g 3))
при
помощи
соотношения (14), мы
получим для них условие
/ (gb g ig 3) g 1 ( / (g2. g 3)) = f (glgi, g 3) f (ft, gi),
(15)
т. e. соотношение (1 2 ), записанное мультипликативно. Легко
проверить, что структура G-модуля в Л и набор элементов
f (g 1. g 2)6a, g i, g 2GG, удовлетворяющ их условию (15), уж е опре­
деляет расширение Г группы G прн помощи А. Однако в нашей
конструкции имелась неоднозначность: произвол в выборе пред­
ставителей 5 ( g ) . Д ругой выбор имеет вид s ' { g ) = h ( g ) s ( g ) , где
h (g)G A. Легко проверить, что, пользуясь им, мы получим новую
систему элементов f ' ( g u g 2), связанную со старой соотнош е­
нием
/ ' (ft. gi) = / Шь gi) h (g,) g, (h (g 2)) h (gjga)-1.
Принимая во внимание соотношение (13), мы можем теперь
сказать, что расширение группы G при помощи А однозначно
задается структурой G-модуля в А и элементом группы
Н Ц О ,А ).
Остановимся еще на случае, когда элемент группы H 2 (G, А ) ,
соответствующ ий расширению, — нулевой. Ввиду (14) это озна­
чает, что мож но выбрать такие представители s (g ) классов
смежности Г,/А, что s (g i, g 2) = s ( g i ) 5 ( g 2) . Иначе говоря, эти
представители сами обр азую т группу G', изоморфную G, и лю­
бой элемент убГ однозначно записывается в виде у = a g ' , абЛ,
g ' 6 G'. В этом случае расширение называется распадаюшимся,
группа Г — полупрямым произведением А и G, а подгруппа
G' — дополнением Л в Г. Например, группа движений плоско­
сти является полупрямым произведением группы параллельных
переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы
параллельных переносов мож но выбрать группу вращений во­
круг какой-нибудь фиксированной точки. Н асколько однозначно
в общ ем случае определяется дополнение в распадающемся
расширении? Речь идет о другом выборе представителей
s ' { g ) = f ( g ) s ( g ) , f ( g ) b A . Для того чтобы они тож е образовыва­
ли группу, нужно, как легко видеть, чтобы удовлетворялось
соотношение:
f(glgi )=f(gl)gl(f(g 2 )),
т. е. соотношение (1 0 ), записанное мультипликативно. Н о сущ е­
251
ствует «тривиальный» способ построения из одного дополнения
других — трансформирование при помощи элемента а€А, когда
G' заменяется на G " = a G a ~ l. Легко видеть, что при этом f ( g )
заменяется на f ( g ) a g ( a ) ~ l. Ввиду соотношения (11) мы полу­
чаем, что дополнения в полупрямом произведении А и G описы­
ваются (с точностью до сопряженности элементами из А ) груп­
пой Я 1(G, А ) .
П р и м е р 5. Когомологии дискретных групп. П редположим,
что X — топологическое пространство, имеющее гомотопический
тип точки, а группа Г действует на X дискретно и свобод н о
(см. § 14). В этом случае можно построить такую триангуля­
цию пространства X, что Г будет свободно действовать на ней.
Тогда группа n-мерных цепей С„ будет свободным Г-модулем,
а цепной комплекс {С„, д „} будет проективной (даж е состоя ­
щей из свободных модулей)
резольвентой модуля Z. Теперь
простое сопоставление определений показывает, что для лю бой
абелевой группы А, рассматриваемой как Г-модуль с тривиаль­
ным действием, группы когомологий Я ” (Г, А ) имеют геометри­
ческую реализацию — они изоморфны группам когомологии
Н п( Г \ Х , А ) пространства Г \ Х (ср. пример 1) Л ю бую группу
Г мож но реализовать как группу преобразований, удовлетворя­
ющ ую сформулированным выше условиям. На этом пути по­
лучается геометрическое определение групп Я П(Г, А ) .
Эта ситуация реализуется, в частности, когда X = G / K , где
G — связная группа Ли, а К — ее максимальная компактная
подгруппа, так как в этом случае X гомеоморфно евклидову
пространству. Пусть T c :G — дискретная группа, не имеющая
элементов конечного порядка. Тогда Г свободно действует на
пространстве классов смежности G/К левыми сдвигами, и мы
видим, что
Я " (Г , A ) ° ‘ H *(T \G /K , А ).
В частности, ввиду конечномерности пространства T \ G f K ,
Я п(Г, А ) = 0 для всех п, начиная с некоторого. Д ля групп
Я П(Г, Z) мы можем ввести понятие эйлеровой характеристики
х (Г , Z) = 2 (— l ) ”r g Я " (Г , Z ),
где rg — ранг. М ы видим, что %(Г, Z) = x ( r \ G / K ) , где справа
стоит топологическая эйлерова характеристика для простран­
ства X, определяемая как
x W = 2 ( - l ) « d i r a R ( Z , R).
В частности, это применимо к случаю, когда G — алгебраи­
ческая группа над полем Q, а Г является ее арифметической
подгруппой: T c :G ( Z ) и имеет в G (Z ) конечный индекс
(ср.
§ 15, В ). В этом случае х (Г , Z ) часто имеет тонкий арифмети­
ческий смысл, например, выражается через значения ^-функции
Римана в целых точках. Так, для любой подгруппы F c ;S L (2 , Z ) ,
252
имеющей конечный индекс и не имеющей элементов конечного
порядка,
X( Г, Z) = (S L (2, Z ) : r ) g ( - l ) = - (SL(2]2Z ):r).
Наконец, упомянем о еще одном очень важном применении
когомологий групп. Пусть К — поле и L jK — его расширение Га­
луа с группой Галуа G (ср. § 18,А ). Группа L* отличных от О
элементов поля L с операцией умножения является G-модулем,
и ее когомологии H n(G, L*) имеют очень много применений как
в алгебраических вопросах, так и в арифметических (если К —
поле алгебраических чисел).
В.
К огом ол оги и п уч к ов. Пусть X — топологическое прост­
ранство и
категория, объектами которой являются его откры­
тые множества, а морфизмами (пример 2 § 20) — их вложения.
Контравариантный функтор из категории % в категорию абеле­
вых групп называется п р е д п у ч к о м абелевых групп на простран­
стве X . Таким образом, предпучок
предполагает задание для
каждого открытого множества U c z X абелевой группы # "(£ /) и
для любых двух открытых множеств V cz U — гомоморфизма
рv - . F { U ) - > i F { V ) ,
причем р ^ = 1 д-(и) и, если W c z V c z U , то р& = р£р^.
П р и м е р 6. П р е д п у ч о к С с непреры вны х функций на X ,
По определению, С с (U ) — это все непрерывные на U функции,
а р^ — ограничение функций с U на V . В связи с этим примером,
и в общем случае гомоморфизмы р^ называют ограничениями.
Предпучок & называют пучком, если для любого открытого
множества U c z X а любого его представления в виде объедине­
ния открытых множеств U = { j U a выполняются условия:
1. Для 5б*Г(U ) из р^ х = 0 для всех U a следует, что 5 = 0 .
2. Если 5а6^" (Ua) таковы, что Py“p|Uf)s a =
для всех
а и р, то сущ ествует такое 5б#"(£/)> что s a = Pcas для всех а Пучки на заданном пространстве сами образуют категорию.
Г о м о м о р ф и з м о м п учка & в пучок $ называется система гомо­
морфизмов / u'-& ( £ /) - > $ (U ) для всех открытых множеств U 6А",
согласованная условием коммутативности диаграмм (для V czU )
fu
& (U )-+ $ (U )
pv \ fy
| PV
F (V )-+ g (V ),
где рк и ри — отображения ограничения для & и для (§. Пучок
& — п о д п у ч о к пучка
если & (U ) — подгруппа группы W (U )
для всех открытых множеств U c z X .
253
Определение пучка указывает на локальный характер за­
дания групп ! F ( U ) . Например, пучком является предпучок не­
прерывных функций Ос, а если X — дифференцируемое много­
образие, то пучок O n tczO c дифференцируемых функций, для
которого O n t(U ) состоит изо всех функций, дифференцируемых
(т. е. имеющих производные д о заданного порядка N s ^ o о ) на
U. Аналогично, если X — комплексно аналитическое м н огообра­
зие, то пучком является предпучок 0 ЛП аналитических функций,,
для которого 0 an(U) — совокупность функций, аналитических в.
U. Все эти примеры мотивируют общ ую точку зрения, объеди­
няющую определения различного типа пространств. Определе­
ние должно состоять из топологического пространства X, под­
пучка 0 пучка непрерывных функций на нем и некоторого за­
паса М моделей (кубы в R * c пучком дифференцируемых там
функций или кубы в С " с пучком аналитических функций) и
требования, чтобы каждая точка хбХ имела окрестность U, ко­
торая бы вместе с ограниченным на нее пучком 0 была изо­
морфна одной из моделей. Такая концепция дает возм ож ность
найти естественные определения объектов, которые иначе бы ло
бы сформулировать не просто: например, «комплексно анали­
тических многообразий с особы ми точками»
(«комплексных
пространств»). При надлежащей модификации она приводит и к
естественному определению алгебраических многообразий над
произвольным полем и их далеко идущих обобщ ений (сх ем ).
Другие примеры пучков: пучок Qr дифференциальных форм
на дифференцируемом многообразии X (Q r(U ) — совокупность
дифференциальных форм на U) или векторных полей.
П р и м е р 7. Пусть X — риманова поверхность (одномерное
комплексно аналитическое м н огообразие), х и . . . , x kGX — любой
набор точек на X и п и . . . , nh — любой набор положительных
целых чисел. Формальная комбинация
D = ri\X\-\-------1- n hx h
называется дивизором (условие
0 обычно не накладывает­
ся). Соответствующий дивизору пучок
D определяется услови­
ем: @~D(U) есть совокупность функций, мероморфных в U и име­
ющих полюса лишь в тех точках х ь . . . , x h, которые содерж атся
в U, и причем в точке х, — кратности, не большей чем п,.
Если
— гомоморфизм пучков,
то Ж (U ) — K e r f и
определяет подпучок пучка
называемый я д р о м / . Аналогич­
ное определение образа было бы неудачно: предпучок / ' ( £ / ) =
= Im f u , вообщ е говоря, не является пучком. Но его можно
вложить в минимальный пучок f \ f (U ) состоит из таких s
что у каждой точки xQU сущ ествует окрестность U х, в кото­
рой Pyxs6 Im f u x- Этот пучок и называется обра зом гомоморфиз­
ма / . Имея понятия ядра и образа, мы можем определить точные
последовательности пучков, дословно повторяя определение, дан­
254
ное для модулей. Для каждого пучка & и его подпучка 3
можно построить пучок Ж , для которого последовательность
О-+ 3 -*-& '-* -З ё -*■0 точна. Он называется ф акт орпучком ! F l 3 Важнейшим инвариантом пучка 2F на пространстве X яв­
ляется группа &~(Х). Обычно это совокупность глобальных
объектов, определенных локальными условиями. Например,,
для пучка дифференциальных форм — это группа дифференци­
альных форм на всем многообразии, для пучка векторных по­
лей — группа глобальных векторных полей. В примере 7 — э т о
группа функций, мероморфных на всей римановой поверхности.
X и имеющих полюса лишь в точках х и . . . , xh, причем в крат­
ностях не выше п и . . . , nh. Из определения гомоморфизма пуч­
ков следует, что сопоставление пучку
группы
(X ) является
ковариантным функтором из категории пучков
в категориюгрупп. Пусть
— точная последовательность
последовательность групп
пучков.
Легко
проверить,
что
0 - > 3 ( Х) - + Р{ Х) - + Ж( Х)
точна, но она не будет точной, если дополнить ее нулем. В о т
пример этого явления. Пусть X — риманова сфера, a 0 ап — пучок
аналитических на ней функций. Для определения пучка Ж выбе­
рем конечное множество точек <D= { j c i , . . . , x k} c : X , припишем
точке x t свой экземпляр группы комплексных чисел Сг и положим
2 ё (U ) = ®Cj, где сумма распространена на х ;-6ФП U. Сопостав­
ление функции f £ 0 an( U ) набора { / (х ; )}б© С;. для х ; 6ФП £ /определяет гомоморфизм 0 аа- > Ж с образом Ж . Если 3 — егоядро, то мы получаем точную последовательность 0 - + 3 -+ 0 ап->
-*-Ж -> 0 . В ней 0 ап( Х ) = С по теореме Лиувилля, а Ж ( Х ) = Ск~
по определению, и поэтому при k > 1 даже последовательность0 ап( Х ) - * - Ж ( Х ) - > 0 не точна.
М ы находимся в той же ситуации, которую уже обсуждали,
и нашей задачей будет построение таких функторов F n из кате­
гории пучков на пространстве X в категорию групп, что
F 0(&") = 2F(^Г) и для точной последовательности
- + Ж -+ 0 точна последовательность
. . . - > F n- l { 3 $ ) - + F " { 3 ) - > F n { F ) ^ F ri( 2 e )- > F 'l+' { 3 ) - > . . . . (16).
Рассуж дать мы будем так же, как при построении функто­
ров Ext\ Предположим, что функторы F n- с нужными свойства­
ми построены, что мы знаем класс пучков (которые будем
обозначать 0 ) , для которых F n ( 0 ) = 0 при п > \ , и что мы пред­
ставили пучок 2F как подпучок такого пучка 0 . Тогда мы будем,
иметь точную последовательность
255,
О—
—>"0
и соответствую щ ую точную последовательность типа (16). Из
того, что F n ( 0 = 0 , мы получим, что F n (3F) = F n~l {3S), а это
даст индуктивное определение функторов Fn.
Теперь переходим к построению пучков Q с нужным свой­
ством. Так как, в частности, для них F 1 (Q) = 0, т о если такой'
ф
пучок входит в точную
последовательность
U
0-
+
ф
Q
- ^0 ,
V
т о последовательность 0 - * - Q ( X ) - + ! F ( Х ) - + & { Х ) ^ - 0 должна быть
точной (это вытекает из рассмотрения первых 4-х членов после­
довательности (16)). Один класс пучков с таким свойством
известен — так называемые вялые пучки. П учок Q называется
вялым,, если для него все гомоморфизмы р^ \ Q { X ) - ^ Q { U ) для
U c i X являются гомоморфизмами на всю группу Q { U ) . Элемен­
тарное рассуждение показывает, что для вялого пучка Q и точной
ф
последовательности пучков 0 -
^
Ц>
Q
-+ 0 последовательность
групп Q-*-Q(X)-+ SF (Х )-*-& ( А ) - > 0 точна.
Типичным примером вялого пучка является пучок Q, для ко­
торого Q ( U ) есть множество всех функций на U (вещественноили комплекснозначных). Пучки О с, C W , С ап являются его
подпучками. Аналогичным образом, лю бой пучок является под­
пучком вялого. Мы находимся теперь в ситуации, совершенно
аналогичной той, которая была рассмотрена в разделе Б, н мо­
жем дать определение новых функторов F n сначала индуктив­
но: если пучок SF входит в точную последовательность пучков
с вялым Q, то F n ( T ) = F ^ ( S ) ; F°{&-) = 5 Г (Х ).
Д оказывается, что группы F n (!F) не зависят от выбора точной
последовательности Gh+3~
Они называются группами
когомологий пучка SF и обозначаю тся Н п (Х, 2F ) .
Объединяя вместе п шагов, необходимых для определения
групп Нп(Х, &~), мы можем получить неиндуктивное их опреде­
ление. Точная последовательность
0
С о - *'C i -*■ •• • -*-Сл- *' •••
пучков, в которой пучки Qi вялые, называется вялой резольвен­
т ой пучка
Применяя к ней функтор F (ZF) —
(А ) и отбра­
сывая первый член, мы получаем коцепной комплекс
Q , ( X ) - + Q x{ X ) - + . . . - > Q n { X ) ^ . . .
Е го когомологии и дают нам группы Н п { Х , &).
Приложения когомологий пучков связаны с некоторыми отно­
сящимися к ним теоремами конечности. Л Первая заключается
в том, что для любого пучка & на ц-мерном многообразии X ,
H q ( X , #") = 0, если у > п, так что пучок имеет только конечное
число отличных от 0 групп когомологий. ► Вторая теорема
256
конечности связана со случаем, когда все группы & (U ) являют­
ся векторными пространствами (над полем R или С), а гомомор­
физмы
— линейными преобразованиями.
Тогда и группы
H q(X, 2F ) являются векторными пространствами, и возникает
вопрос об их размерностях. Особенно интересна размерность
пространства Н°(Х, 8Г ) = & ~ (Х ) — обычно наиболее важ ного
инварианта. В ообщ е говоря, эта размерность бесконечна даже
в самых простых ситуациях. Например, для пучков (Ус или Сва
Н °(Х , (Ус ) — это
пространство
всех
непрерывных,
а
Н° (X, (Уст) — всех дифференцируемых функций на X. Однако су­
ществуют важные случаи, когда соответствующ ие пространства
конечномерны.
М Пусть, например, X — это риманова сфера.
Тогда Н°(Х, (Уап) — это пространство функций, голоморфных во
всех точках (включая бесконечно удаленную). П о теореме Лиувилля такие функции постоянны, т. е. Н°(Х, С ?а п )= С — одно­
мерно. Так обстоит дело для лю бого компактного связного
комплексно аналитического многообразия X: на нем Н°(Х, (Уап) =
= С. М ож но доказать, что в этом случае и все группы ко­
гомологий НЯ(Х, (Уап) конечномерны над С. Так же обстоит
дело с пучком голоморфных дифференциальных форм, или го­
ломорфных векторных полей на компактном комплексно анали­
тическом многообразии и с пучком STD примера 7, если римано­
ва поверхность X компактна. Мы не будем точно формулировать
имеющуюся здесь общ ую теорему, а ограничимся приведен­
ными примерами. ►
Во всех случаях, когда X — конечномерное многообразие и
пространства НЯ{Х, SF) конечномерны, можно определить эйле­
рову характеристику пучка 2F :
X ( * , У ) = 2 ( - 1 ) » d im / / « ( * . £ ■ )
(17)
(сумма состоит из конечного числа членов ввиду сформулиро­
ванной сначала теоремы конечности).
Роль этого нового инварианта двоякая. Во-первых, эйлерова
характеристика некоторых стандартных пучков, инвариантно
связанных с многообразием, дает инварианты самого многооб­
разия. Например, для компактной римановой поверхности X
%( Х, О аа) = \ — р,
где р — род римановой поверхности X. (Заметим, что 1— р —
это
половина
топологической эйлеровой
характеристики
%(Х, R) поверхности X .) Аналогично, для л ю бого компактного
комплексно аналитического м н огооб р ази я х эйлерова характери­
стика %(Х, (Уап) дает его важный инвариант: арифметический
род.
С другой стороны, эйлерова характеристика оказывается
«грубы м », легко вычислимым инвариантом. В большинстве
случаев нас интересует размерность первого слагаемого в сум­
17—9339
23
257
ме (17) — d im # ° (X ,
но это уж е более тонкая задача, ко­
торая решается, например, если удается доказать, что осталь­
ные слагаемые равны 0. Так, в случае пучка SFв примера 7,
связанного с дивизором D — 'Znix i на компактной римановой по­
верхности X, эйлерова характеристика %(Х, SFв) зависит не от
индивидуального выбора точек х и а лишь от их числа d = 2 n 4
X (AT, F о) = X ( X , О ш) + d = n + \ - p .
(18)
С другой стороны, можно показать, что Н я ( X , &'о) = 0 при
д > 2, а при d > 2 p — 2 и Н х( Х , ^Ъ) = 0, так что
dim ^£>(20 = 1 — p - ~ d ,
d > 2p — 2 .
(19)
Напомним, что STв (X ) — это пространство функций, мероморфных на X и имеющих полюса в точках х 4 с кратностями
Равенство (19 ), прежде всего, является теоремой существования
таких функций. Имея в распоряжении эти функции, мож но
строить отображ ения римановых поверхностей друг на друга,
исследовать вопрос об их изоморфизме и т. д. В качестве про­
стейшего примера, пусть р —0, D = x (одна точка). Из (19) мы
получаем, что пространство £Гв(Х) двумерно. Так как п осто­
янные функции составляю т в нем одномерное подпространство,
то мы видим, что существует мероморфная функция f с полю­
сом первого порядка в точке х. Нетрудно доказать, что отобр а­
жение, определенное такой функцией, является изоморфизмом
римановой поверхности X и римановой сферы, т. е. что риманова поверхность рода 0 аналитически изоморфна (или, в д р у ­
гой терминологии, конформно эквивалентна) римановой сфере.
П р и м е р 8. Аналог пучка 8F n примера 7 можно построить
на произвольном и-мерном комплексно аналитическом м н огооб­
разии X. Для этого точки Xi заменяют п— 1-мерными комплекс­
но аналитическими подмногообразиями, полагают Z) = 2 n jCi и
берут за
в (U ) совокупность
функций, мероморфных в U и
имеющих полюса лишь в подмногообразиях U flC ia U , причем с
кратностями < я 4. И в этой, гораздо более общей ситуации со ­
храняется тот ж е принцип: можно рассматривать подм ногообра­
зия С4 как циклы размерности 2п— 2, так что D определяет
класс гомологий Е я 4С 4 в Н 2n- i { X , Z ), и эйлерова характеристи­
ка %(Х, 8Г в ) зависит лишь от этого класса гомологий (при я =
= 1 класс гомологий 0-мерного цикла 2 я 4х 4 определяется чис­
лом d = 2 n 4). «Г р уб ость » эйлеровой характеристики выражается
теперь в том, что она является топологическим инвариантом,
зависит лишь от элемента дискретной группы # 2П_2(А, Z ). Ана­
лог формулы (18) существует и в этом случае, но он, конечно,,
гораздо сложнее. Соотношение (18)
называется т е о р е м о й
Р и м а н а — Р о х а . То ж е название сохраняется и за ее о б о б ­
щением, о котором мы говорили.
258
§ 22. К-ТЕОРИЯ
А. Топологическая /(-теория. М ы будем пользоваться дальш е
понятием семейства векторных пространств f : Е-*-Х над тополо­
гическим пространством X, введенным в конце § 5. Гомоморфиз­
мом ф : Е -^ Е ' семейства f : Е -+ Х в семейство / ' : Е'-*~Х назы­
вается непрерывное отображ ение ф, переводящее слой f~l (x) в
( f ') ~ l (x) и линейное в этом слое для каждой точки хбХ. Е слес
Ф определяет изоморфизм слоев, то оно называется
изомор­
физмом семейств.
Для всякого открытого множества U&X и семейства f : Е-*-Х
его ограничение f~l (U ) определяет семейство векторных прост­
ранств над U.
Простейшим примером является семейство X X R", где / —
проекция на X, называемое тривиальным. Основной класс се­
мейств, который мы будем рассматривать, — это векторные
расслоения. Так называется семейство, являющееся локально?
тривиальным, т. е. такое, что любая точка х£Х обладает окрест­
ностью U, для которой семейство f~l (U ) изоморфно тривиально­
му семейству U X R". Для произвольного непрерывного отобр а­
жения ф : Y~*-X и векторного расслоения Е над X определяется?
его прообраз ф * ( £ ) , слой которого над точкой у отож дествляет­
ся со слоем расслоения Е над точкой ф( у) . Точное определение:
Ф *(Е) состоит из точек (у, е ) в Y x E , для которых ф ( у ) = / ( е ) .
М нож ество классов изоморфных расслоений над заданным про­
странством X обозначается W e c ( X ) . Благодаря операции ф * —
это контравариантный функтор W e e из категории топологиче­
ских пространств в категорию множеств.
В множестве W e e ( X ) определены операции E ® F и E & F ,
которые сводятся к взятию прямой суммы и тензорного произве­
дения слоев над одной и той же точкой X . Операция © ком­
мутативна и ассоциативна, но не определяет группы ввиду
очевидного отсутствия обратного. Иначе говоря, W e c ( X ) —
коммутативная полугруппа (записываемая аддитивно) с нулем:
(расслоением X X (0)) (Ср. пример 9 § 20). М ожно попробовать
сделать из нее группу так же, как из неотрицательных целых;
чисел строятся все целые или из целых — рациональные. Надо
отметить
здесь
одно
«патологическое»
свойство сложения,
в W e c ( X ) : из того, что а ® с — Ь®с, не следует, что а = Ь..
Ввиду этого нужная группа строится из пар (a, b), a, bQ W ec(X ),
причем пары (а, Ь) и (а', Ь') отождествляются, если сущ ествует
такое с, что а® Ь '® с — а '® Ь ® с. Сложение пар определяется
покомпонентно. Легко видеть, что множество классов пар обр а­
зует группу, в которой класс пары (а, Ь) есть разность (а, 0) и
(6 ,0 ). Полученная группа обозначается К { Х ) . Сопоставляя р а с ­
слоению afrWec (X ) класс пары (а, 0), мы получаем гомоморфизм
Wec{X)^K{X),
17*
259\
причем а и Ь ^ е с { Х ) склеиваются в К ( Х ) , лишь если сущ ест­
вует такое с ^ е с ( Х ) , что а @ с = Ь (В с . Легко видеть, что К ( Х )
определяет контравариантный функтор из категории &~ор в ка­
тегорию абелевых групп. Например, если X — это точка, то
V 'e c i X ) просто состоит из конечномерных векторных простт
ранств и, значит, его элементы задаются размерностью м ^ О , а
K ( X ) ~ Z . В общ ем случае, изучение группы К ( Х ) — это «ли­
лейная алгебра над топологическим пространством X».
Дальше мы ограничимся категорией
компактных тополо­
гических пространств с отмеченной точкой. Для них доказы ­
вается, что если <р : Y-*~X — гомотопическая эквивалентность, то
<р* определяет изоморфизм групп К ( Х ) и К (У). Таким образом ,
функтор К ( Х ) можно перенести в категорию Зё’ё ’о, компактных
.пространств с точностью до гомотопического типа (и с отмечен­
ной точкой). Если х 0£Х — отмеченная точка и f : Е - * Х рассл о­
ение, то сопоставление Е размерности слоя / -1 (х 0) определяет
гомоморфизм
ф : K (X )-+ Z
(мож но сказать, что ф=<р*, где <р : Ха-+Х— вложение точки).
Я дро ф обозначается Я(ЙГ). Эта конструкция аналогична вве­
д ен ию групп Я °(Х , А ) в связи с точной последовательностью
(2) § 21. Л егко доказать, что
K (X ) = Z®K(X).
Если У с Х — замкнутое подмножество У $ х 0, то отображения"
f
8
вложения (К, х 0) - > ( Х , х 0) и сжатия У в точку: Х - > Х / У (причем
образ У считается выделенной точкой) определяют гомоморфизмы
в последовательности
к (х/ у)-*к (Х )-> к (У ),
:про которую нетрудно доказать, что она точна. Мы приходим к
у ж е обсуж давш ейся в § 21 задаче о продолжении этой последо­
вательности в виде бесконечной точной последовательности.
В данном случае она решается следующим образом: обоз на
чим через S X приведенную надстройку пространства X (опре
деление см. в примере 17 § 20). Положим индуктивно: К 0 (^ 0 =
* = k ( X ) , к ~ п ( X ) = k ~ n+1 ( S X ) . Тогда последовательность
. . . . - > к - п- 1(У) - > к - п( x i Y ) ^ k - n(X) - у к - п(У) ^ к - п*х(х / у ) ^ - . . .
точна (при надлежащем определении гомоморфизмов К ' п (У) -*
- > к - пЧ( Х 1 У), которое мы опускаем). Это определение можно
пояснить следующим образом. Заменим приведенную надстройку
надстройкой И Х (см. опять определение в примере 17 § 20),
имеющей тот же гомотопический тип. Обозначим через С Х
конус над X , т. е. ( X X I ) i ( X X !)• Считая, что X совпадает
260
с АхОсСА,
мы можем сказать, что И Х = С Х j X . К он ус
имеет гомотопический тип точки (он стягивается в вершину).
Поэтому вложение Х ^ - С Х аналогично представлению модуля М
в виде гомоморфного образа проективного: Р^->М, а С Х I X
аналогично Кег / . Тогда наше определение станет похожим на
индуктивное определение функторов Ext", данное в п. Б § 21.
Вернее, однако, сказать, что оно двойственно ему (вложение
пространства
X
и отображение на модуль М поменялись
местами) на что и указывают отрицательные индексы в К~п.
Замечательным фактом этой «теории когомологий» является
ее периодичность
К ' п ( Х ) ^ К ' п+Ц Х ) .
(1)
На доказательстве этой т е о р е м ы п ер и од и ч н ост и мы не можем
здесь останавливаться. Она естественно дает возможность про­
должить нашу последовательность функторов К п и на положи­
тельные значения л, сохраняя условие (1). Возникающая так
«теория когомологий» и называется АГ-теорией. Конечно, сущ ест­
венными в ней оказываются лишь два функтора К 0 и К 1. По.
определению, К 0{ Х ) ^ = К ( Х ) , K l ( X ) = K ( S X ) .
Дадим другую интерпретацию функтора /С1( ^ ) . Для этого
опять заменим приведенную надстройку S X обычной — ЕХ и
вспомним, что она мож ет быть получена как склеивание двух
конусов
С гХ = ( Х х [О, Ц 2 ])1 ( Х Х 0)
и
С 2Х = ( Х х [1/2, 1])/(АГ X I ) 1
по их основаниям (А" X 1/2. На каждом конусе расслоение Е
изоморфно тривиальному (ввиду стягиваемости конуса). П оэтому
и расслоение Е над И Х получается склеиванием расслоений
Rn X С хХ и R " X С 2Х по R" X X . Это склеивание осуществляется
изоморфизмом Ф. слоев R" над соответствующими точками осно­
ваний конусов, т. е. семейством отображений T^eGL (л, С), х £ Х ,
или же непрерывным отображением X -^ -G L {it, С),
Из этих
соображений получается нужная интерпретация:
К 1 ( Х ) = К ( S X ) = H (A , GL).
(2)
Здесь Н ( ) обозначает множество морфизмов в категории 3@ot,
а несколько неопределенный символ GL означает, что надо брать,
отображения в GL (л, С) со сколь угодно большим л. Можно
вложить группы GL (л, С) друг в друга: GL (л, С) -*■GL (л + 1 , С '
как
Л-^ q
и
взять
их
объединение:
оно
будет
нашим
пространством GL.
Д-теория, как и всякая «теория когомологий», дает некото­
рую проекцию гомотопической топологии в алгебру. В данном
261
-случае проекция очень точно воспроизводит оригинал, так как
/(-ф ункторы снабжены целым рядом операций, происходящих
из операций внешних и симметрических степеней векторных про­
странств, и эти операции «функториальны», т. е. согласованы
с отображениями Kn( X ) - ^ K n(Y), соответствующ ими непрерыв­
ному отображ ению f : Y-*-X. Часто, суммируя всю эту информа­
цию, получают противоречие — это теоремы несуществования
тех или иных отображений. Например, наиболее простое дока­
зательство сформулированной в конце § 19 теоремы о том, что
конечномерные тела над полем вещественных чисел имеют раз­
мерность 1, 2, 4 или 8, получается из /(-теории. Д ругое извест­
ное применение /(-теории — решение старого вопроса о том,
скол ько линейно независимых векторных полей можно задать
на n-мерной сфере (т. е. таких полей 01 , . . . , 0*, что в лю бой
точке х соответствующ ие векторы 0 i ( j c ) , . . . , 0А(х ) линейно не­
зависим ы ). Если п делится на 2Г (точн о), то их число равно 2г
лри 4 1г, 2г— 1 при г вида 4 £ + 1 или 4£ + 2, 4 г + 1 при г вида
4*— 1.
Н о самое красивое применение /(-теории относится к вопро­
с у об индексе эллиптического оператора. Линейные дифферен­
циальные операторы произвольного конечного порядка на диф­
ференцируемом многообразии X были определены в примере 3
§ 7. В локальной системе координат они задаются в виде
2) =
VV I
d U+ ...+ in
(3)
ait...in(x)-Y п
д х ! * . . . д х яп
тд е
( х ) — дифференцируемые комплекснозначные функции.
Матрица (2>i}) размера (ти т 2) из дифференциальных операто­
ров определяет дифференциальный оператор в тривиальных рас­
слоениях
2:Хх
-s-/С X Rm'-
(4)
Н етрудно (пользуясь локальной тривиальностью)
распростра­
нить это определение на операторы 2 ) : E~*-F, действующие в
л ю б ы х дифференцируемых векторных расслоениях, но мы, крат­
кости ради, ограничимся случаем (4 ).
Выясним, что дает нам оператор (4) в одной точке много­
образия X . Для этого надо в (3) зафиксировать точку х ,
в результате чего a,ii...in(x ) превратятся в константы. Операторы
_£_=|г
являются
элементами
касательного
пространства
Тх
многообразия X (см. пример 13 § 5) и 2 ) дает нам многочлен
/>(£, д:) = 2аг1.../п|{1. . . ^ я на кокасательном пространстве Т*х .
Оператор (4) определяет матрицу размера
т2) из таких
многочленов (Р ,; (£. х)). Пусть k — максимум степеней всех много262
членов Р и (1 , х ) и P i j i l , х ) — их однородные составляющие,
степени k. Если т х= т 2 = т и D e t( Р г1 (£, х ) ) Ф 0 при \ ф 0, то
о п е р а т о р (4) называется эллиптическим, в т очк е х , а если
э т о верно для всех х £ Х , то — эллипт ическим о п е р а т о р о м на
X . Таким образом,
эллиптический оператор 2
определяет
в каждой точке х и для каждого
линейное преобра­
зование (Р 1}(§, x))6G L (m), которое мы обозначим через о ^ (| , х)..
Отображение (£, х ) ~ ^ а ^ (\ , х ) определено для сфТ*х , 1=£0. Иначе
говоря, оно определено на многообразии T*x \ s , где Т*х — кокасательное расслоение, а 5 задает в каждом слое Г* нулевую
точку. Векторное пространство R " \ (0 ) гомеоморфно R + X
и, значит, имеет гомотопический тип сферы S " -1. Поэтому мы
можем сказать, что
(£, х ) определено на некотором расслоении
S x (не векторном!) над X , слоями которого являются сферы S'*"1,
и задает отображение
o ® :S a - - > G L (m, С).
(5)
Это отображение называется с и м в ол о м эллипт ического оп е­
р а т о р а 2 ), и его гомотопический класс является важнейшим
топологическим инвариантом эллиптического оператора 2 . Ввиду
(2),
(S*-), что уж е устанавливает связь с АГ-теорией.
Перейдем теперь к формулировке «проблемы индекса». Опера­
тор 2 ) (4) дает отображение A ( X ) mi- > A ( X ) mi, где А (^Г) —
кольцо дифференцируемых функций на X . Ядро этого отображе­
ния
обозначается
Кег 2 с А ( Х ) т\
образ — Im ( 2 ) с А (Х )т ’ .
В теории эллиптических операторов доказывается, что прост­
ранства Кег 2
и А ( Х ) т/ 1 т 2 (называемое к о я д р о м и обозна­
чаемое Coker 2 ) конечномерны. Иными словами, пространство
решений уравнения 2 f = 0, / б Л ( Х ) т, конечномерно и число
условий (на g) для разрешимости уравнения 2 f = g , / б Л ( Х ) т,
конечно. Разность этих размерностей
Ind 2 = dim Кег 2 — dim Coker 2
(6)
называется и н д ек с о м эл л и пт ического о п ер а т о р а 2 .
Т е о р е м а о б и н д е к с е утвернадает, что индекс эллипти­
ческого оператора 2 зависит только от его символа, и дает
явную формулу, выражающую Ind 2
через а ^ . Немного более
точно можно сказать, что на пространстве GL существуют не­
которые специальные, ни от чего не зависящие классы когомо­
логий. Отображение
дает возможность перенести их на
многообразие Sx. С другой стороны, на S x также существуют
некоторые специальные классы когомологий, уж е вообще не за­
висящие от оператора 2 .
Наконец, в кольце когомологий
Н * (Sx) существует стандартный многочлен от всех указанных
263
классов когомологий, дающий класс а^>6Н 2п~х (Sx, Z) максималь­
ной размерности 2п.— 1 = dim S x . Из топологии известно, что
Я * 1' 1 (5а-, Z) = Z, поэтому класс а^> задается целым числом,
которое и оказывается равным Ind 2). Хотя мы говорили лишь об'
операторах в тривиальном расслоении, теорема об индексе имеет
место для эллиптических операторов в произвольном расслоении.
Уже сам качественный факт зависимости индекса лишь от
символа оператора 2 ) (а не от его более тонких аналитических
свойств) показывает «грубость» разности (6 ), аналогичную
«грубости » эйлеровой характеристики (17) § 21, Эта аналогия
не случайна. Теорема об индексе дает — в применении к комп­
лексно аналитическим многообразиям и некоторым очень про­
стым действующим на них операторам — теорему Римана— Роха, о которой говорилось в п. В § 21.
Б. Алгебраическая /(-теория. Мы отметили в § 5 аналогию
меж ду семействами векторных пространств f : Е ->Х и модулями
над кольцом А. В частности, семейство Е-+Х, как мы видели,
определяет модуль над кольцом С ( Х ) непрерывных функций
на X. Какие модули соответствую т в этой аналогии векторным
расслоениям? М ногие соображения указывают на то, что это —
проективные модули конечного ранга (ср. п. Б, § 21). Прежде
всего, на это указывает следующий результат.
I.
Пусть X — компактное топологическое пространство
Е -+Х — семейство векторнхы пространств. М одуль М над коль­
цом С ( Х ) , соответствующ ий этом у семейству, будет проектив­
ным тогда и только тогда, когда £ — векторное расслоение. С о­
поставление Е+-+М определяет взаимно однозначное соответ­
ствие между векторными расслоениями над X и конечно
порожденными проективными модулями над кольцом С ( Х ) . ^
М ож но указать и некоторые алгебраические свойства конеч­
но порожденных проективных модулей, являющиеся аналогом
локальной тривиальности.
Таким образом,
оправдано
введение
(по
аналогии
с
п. А) полугруппы П ( А ) , элементами которой служ ат классы
конечно порожденных проективных модулей над кольцом А, а
операцией — прямая сумма модулей. В точности повторяя рас­
суждения из раздела А, мы можем построить теперь группу
К ( А ) и отображ ение <р : П (А ) - > / ( ( А), при котором множество
ф ( П ( А ) ) порож дает /( ( А ) и для двух проективных модулей Р,
Q 6 n ( A ) их образы ф( Р ) и cp(Q) совпадают тогда и только тог­
да, когда сущ ествует третий модуль #611 ( А) , для которого
Для любого простого идеала / с А кольцо А / / вкладывается
в поле k и, значит, существует гомоморфизм А
k с ядром / .
Таким образом, k является A -модулем и определена операция
M ® A k. Если М конечно порожден, то
конечномерное
векторное пространство над k. Можно доказать, что для целост­
264
и
ного кольца А и проективного модуля М размерность этого
пространства не зависит от выбора идеала 7 и (при 7 — 0) равна
рангу гg M модуля М (ср. § 5). Функция rg М переносится
на К ( А ) и дает гомоморфизм AT (A )-*- Z, ядро которого обозна­
чается через К ( А) . Легко видеть, что К { А) — К ( A) ®Z.
Рассмотрим группы К (Л ) и К (Л ) для некоторых простейших
колец.
II. Если A — k является полем, то П (й) состои т из конечно­
мерных векторных пространств над k, гомоморфизм К (k) -> Z
определяется размерностью и, очевидно, является изоморфизмом,
так что К (k) = 0. ►
III. Если Л — целостное кольцо главных идеалов, то для лю­
бого модуля М конечного типа, М = А!0@ А Г, где М 0— модуль
кручения. (Ср. II § 6). Если М проективен, то он является пря­
мым слагаемым свободного и, значит, не имеет кручения. Поэтому
Мо = 0 и М ^ А Г, а это опять означает, что /С (Л ) = 0. ►
Рассмотрим кольцо А чисел вида a - \ - b Y — 5, a, b(*Z, (при­
мер 8 § 4). Мы видели в § 4, что идеал Р = (3, 2 + ) / — 5) —
неглавный. Нетрудно показать, что Ф (Я ) — Ф (А)бАГ (Л) и Ф ( Р ) ф
=^Ф (А), так что К ( А ) Ф 0 .
IV. Для кольца целых алгебраических чисел А лю бого поля
алгебраических чисел (см. конец§ 7) группа К (А ) конечна и изо,
морфна группе классов идеалов
этого поля (ср. пример 1 § 12).
В частности, для кольца А ,
состоящ его изчисел вида
a -f+ b V - 5, a, b e z , \К (А)| = 2. ►
V. Если X — компактное топологическое пространство, то
группы К ( С ( Х ) ) , определенные в этом пункте, изоморфны
группам К ( Х ) , определенным в п. А.
Определение высших
/(-ф ункторов / ( „ ( А )
происходит по
уж е привычной схеме. Прежде всего, для идеала 7 с:А также
определяется группа К ( 1 ) (прежнее определение не применимо,
так как мы рассматривали всегда кольца с единицей). П отом
конструируется точная последовательность
К(1)-+К(А)-+К(АЦ)
(7)
и, наконец, определяются группы К п( А ) для которых К о — К
и которые продолжают (7) до бесконечной точной последователь­
ности
. . . -э-АГ„+1( A 1 1) - + К п (7) - + К а ( А ) - + К п (Л/7)->7Г„_1 (7) -> . . .
(в алгебраической /(-теории функторы Кп ковариантны, поэто­
му индекс п пишется внизу). Мы не будем формулировать все
эти определения, а приведем лишь интерпретации некоторых из
возникающих таким образом групп.
Интерпретация групп К\{А) аналогична той, которую в т о ­
18—9339
265
пологическом случае дает соотношение (2 ). Непрерывное от о­
бражение < p : A - v G L ( t t ) — это обратимая матрица с коэффици­
ентами, непрерывно зависящими от точки X, т. е. элемент
GL( n, С ( Х ) ) ( С (А) — кольцо непрерывных на X функций). Т а­
ким образом, естественной точкой отправления должны быть
группы G L (n , А ) и, как и в разделе А, их бесконечный предел
при и—>оо, G L ( A ) . Н о теперь мы должны интерпретировать и
букву Н в формуле (2 ), т. е. вспомнить, что отображения <р : Х ->
-* G L рассматриваются с точностью до гомотопин. Это значит, что
мы рассматриваем факторгруппу G L ( A ) / G L ( A ) o , где G L (.4 )o—
связная компонента единицы в G L ( A ) . Каков аналог этой под­
группы в алгебраическом случае? Во многих вопросах в качест­
ве преобразований, «очевидным образом деформируемых в еди­
ничное», возникают матрицы вида
Е + а Е и,
(8)
где Ец — матрица с 1 на ( i, / ) - ом месте и нулями на остальных,
называемые элементарными.
(Например, связность группы
S L (n , R) доказывается на основании того, что любой ее эл е­
мент разлагается в произведение элементарных матриц.) П о д ­
группа, порожденная всеми элементарными матрицами в группе
G L ( A ) , обозначается через Е ( А ) . Неожиданный, хотя и вполне
элементарно доказываемый факт, заключается в том, что
Е( А ) — это коммутант группы G L ( A ) . (При доказательстве с у ­
щественно то, что мы рассматриваем объединение всех групп
GL( n, А ) , п = 1, 2 , . . . . Для индивидуальной группы это, в о о б ­
ще говоря, не верно.) В частности, группа G L ( A) JE( A) ком м у­
тативна. Она и дает то, что нам нужно:
/C,(A)-GL(A)/E(A).
П ереход к определителю задает гомоморфизм G L (A )/E ( A ) -* A *
и даже представление
К , (А ) = A * © S # , (A) ,
S K i ( A ) = S L ( А ) / Е ( А)
(где, правда, безнадежно перепутались аддитивная и мультипли­
кативная запись).
Из курса элементарной линейной алгебры известно, что для
поля k, S L (n , А ) = Е ( п , А ) : это, по существу, следует из мето­
да Гаусса решения систем линейных уравнений.
П оэтом у
S K i ( k ) = Q . Если А — кольцо главных идеалов, то основная лем­
ма, на которой основывается доказательство теоремы о стр о­
ении модулей конечного типа, дает тот же результат: S K i ( A ) =
= 0 . Группа Ki возникает (и впервые возникла) в топологии для
случая, когда A = Z [G r ]— групповое кольцо конечной ком м ута­
тивной группы G. ( G является фундаментальной группой неко­
торого многообразия). В этом случае она часто нетривиальна.
В ообщ е говоря, гомоморфизм G L ( A ) - v /( i( A ) является «универ­
266
сальным определителем». В таком виде он мож ет быть обобщ ен
и на случай некоммутативного кольца А.
Группу Кг мы опишем лишь в случае, когда A = k является
полем.
Она мож ет быть задана образующ ими {а, Ь}, соответ­
ствующими любым элементам a, b£k, а ф О,Ь ф 0. Определяю­
щие соотношения имеют вид:
{ а ф , &} = {ах, Ь}{аъ Ь},
(9j)
{а, Ьф2} = {а,
(92)
{а, 1 — а } = 1
Ь$,
( а ф 0, а ф \ ) .
(93)
Особенно яркое применение имеет группа Кг(Щ к описанию
тел конечного ранга над полем k. (См. § 11 и пример 3 § 12 для
■определения встречающихся понятий.1
)
М ож но показать, что для произвольного поля k все элемен­
ты группы Брауэра Br(fe) имеют конечный порядок: если
dim hD — n2 (Ср. IV § 11), то элемент, соответствующ ий D в
группе Брауэра, в п -й степени равен 1. Это показывает, в част­
ности, что обобщ енные кватернионные алгебры (а, Ь), введен­
ные в § 11, определяют элементы порядка 2 или 1 в группе
Br ( k) .
Мы опишем точно связь группы Кг(к) с группой Br(fe) лишь
для элементов второго порядка этих групп. В любой коммута­
тивной группе С элементы, удовлетворяющ ие условию с2= 1,
образую т, очевидно, подгруппу: мы будем обозначать ее С2.
Элементы, имеющие вид с2, сбС, тож е образую т подгруппу: ее
мы обозначим С2. Сопоставим теперь любой образующ ей {а, Ь},
где a, b£k, а ф 0, Ь ф 0, группы Кг(к) в ее задании (9) о б о б ­
щенную кватернионную алгебру (а, Ь). Нетрудно проверить, что
в группе Брауэра соотношения (9) при этом сохранятся: про­
верка (9i) и (92) — это простое упражнение на тензорное ум ­
ножение, доказательство (93)
следует из того, что алгебра
(а, Ь) тогда и только тогда определяет единичный элемент в
Вг(&), когда уравнение ax2 + by2 = 1 разрешимо в k (см. (4)
§ 11), но а 12+ ( 1 — а) 12= 1 ! Таким образом, мы имеем гом ом ор­
физм <р2 : ^ 2(fe ))-v B r (fe). Как мы видели, ф2(/С г (£ ))с:В г ( k ) 2,
а поэтому щ ( К г ( к ) 2) = 1- В результате мы получаем гом ом ор­
физм
<f:K2 ( k ) l K 2 (k)2 - > B i ( k ) 2.
(10)
Основной результат заключается в том, что гомоморфизм
(10) является изоморфизмом. Это очень сильное утверждение:
ввиду описания (9) группы K 2 (k) он о дает описание группы
Вг( &) 2 через образующ ие и соотношения, причем для соверш ен­
но произвольного поля k\ Аналогичное описание имеет место и
для группы В г(& )„, состоящ ей из элементов сбВ г(й ), для кото­
ры х сп= 1. Так как в Br(fe) все элементы имеют конечный по­
267
рядок, то Br ( £) = l)B r ( k ) n, так что в результате получается
очень явное описание всей этой группы.
Все больш ую роль алгебраическая /(-теория играет в
арифметических вопросах. Мы приведем примеры, которы е
лишь намекнут на одну линию таких приложений: связь
/(-теории со значениями ^-функции. Классическая ^-функция Римана определяется рядом
оо
£ (5) = 2 i ( R e s > l )
л==1
и аналитически продолжается на всю плоскость комплексного1
переменного s. Она удовлетворяет тождеству Эйлера;
р
(П)
в котором произведение распространено на все простые числа
Определим для конечного поля F ? из q элементов его ^-функцию
условием
Тогда тождество Эйлера (11) переписывается в виде
е ( 5 ) = Щ Рр(х).
(12)
р
Оно хорош о вписывается в «функциональную точку зрения» на
кольца (см. § 4 ), согласно которой кольцо Z надо рассматри­
вать как кольцо функций на множ естве простых чисел р со зна­
чениями в полях Fp. Это подсказывает определение ^-функции,
аналогичное (12), для широкого класса колец.
Вернемся теперь к /(-теории. В случае конечных полей F,
все группы К п( F?),
1, как можно доказать, конечны. Ин­
формация об их порядках может быть записана в следующей
изящной форме:
Для случая кольца Z известные в настоящий момент факты
дают возможность предполагать какую-то связь меж ду значе­
нием дзета-функции Римана £ (— т) , где т > О — нечетное чис­
ло
(известно, что эти
значения — рациональные числа, а
£ (— т ) = 0, если т > 0 и четно), и отношениями |/(^m(Z) |/
/| /( 2m+i (Z ) | (известно, что в этом случае группы Kzmi^) и
Къп+1 (Z ) конечны). Соотношение
IКгт (Z) |
неверно уже в простейшем случае т = 1, так как |/С2 (Z) |= 2 ,.
|/C3(Z)| = 48, но £ ( — 1 ) = —
Однако не исключено,
что оно-
выполняется с точностью до степеней двойки. Во всяком случае,
доказано, что знаменатель числа £ ( — т) делит |K^m+i (Z) |.
С другой стороны, если простое число р у т , то |Kim (Z) | делит­
ся на не меньшую степень р, чем числитель £(— т) (при одном
дополнительном условии на р, которое гипотетически выпол­
няется всегда и проверено для р < 125ООО). Напомним, что зна­
чения дзета-функции в целых точках нам уж е встречались в
связи с когомологиями арифметических групп (пример 5 § 21).
Это совпадение не случайно — здесь действительно имеется,
связь с группами / ( „ ( Z ).
Связи /(-теории с теорией чисел многообразны, но не могут
быть здесь описаны с большей подробностью, так как это по­
требовало бы привлечения сложных технических средств.
КОМ М ЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРЕ
Вся работа основана на переплетении двух тем: систематического изло­
жения алгебраических понятий н теорий и разбора ключевых примеров. М ы
опишем отдельно литературу по каж дой из этих двух тем. Мне кажется, что,
как правило, первое издание книги бывает свежее и интереснее последую­
щих, хотя бы они и были технически в чем-то совершеннее. П оэтому даль­
ше ссылки будут всегда делаться на первые издания из числа доступных
автору.
Основные понятия алгебры: группы, кольца, модуля, поля, и основные
связанные с этими понятиями теории, включая теорию полупростых моду­
лей и колец и теорию Галуа, изложены в классическом двухтомном учеб­
нике Ван дер Вардена [106]. Хотя со времени выхода в свет этой замеча­
тельной книги прошло уж е более полувека, она нисколько не устарела, для
большинства излагаемых в ней вопросов и сейчас не существует лучшегоизложения.
П роцесс выделения основных алгебраических понятий, перестройка ал­
гебры в духе аксиоматизированного изложения занили
более столетия.
В этом процессе участвовали Гаусс, Галуа, Жордан, Клейн, Кронекер, Дедекинд, Гильберт. Но фиксирование результатов векового процесса в форме
стандартного языка алгебры занило едва ли более одного десятилетия —
20-е годы нашего века. Особенно велика в этом была роль Э. Нётер. Тогда
же появилась и книга Ван дер Вардена. Ч тобы почувствовать, как изменил­
ся весь дух алгебры и особенно манера ее изложения, полезно сравнить
книгу Ван дер Вардена с курсом Вебера [107], по которому учились алгеб­
ре предшествующие поколения.
Из более поздней литературы необходимо отметить посвященные алгеб­
ре книги из серии
«Элементов математики» Бурбакн [34] и [35 ]. Эти
книги могут создать впечатление, что они могли бы служить учебниками
для начинающего, так как изложение в них практически полностью замкну­
то и начинаются они с простейших определений. Такое впечатление было бы,
269
рядок, то Вг(А) =UBr ( A) „ , так что в результате получается
очень явное описание всей этой группы.
Все больш ую роль алгебраическая /(-теория играет в
арифметических вопросах. М ы приведем примеры, которы е
лишь намекнут на одну линию таких приложений: связь
/(-теории со значениями ^-функции. Классическая ^-функция Римана определяется рядом
оо
S(*) = 2 i ( R e s > l )
л==1
и аналитически продолжается на всю плоскость комплексного1
переменного s. Она удовлетворяет тождеству Эйлера:
£ (* )= П т ^ .
р
(П )
в котором произведение распространено на все простые числа
Определим для конечного поля F ? из q элементов его ^-функцию
условием
Тогда тождество Эйлера (11) переписывается в виде
е ( х ) = Щ Рр(х).
р
(12)
Оно хорош о вписывается в «функциональную точку зрения» на
кольца
(см. §
4 ), согласно которой кольцо Z надо рассматри­
вать как кольцо функций на множ естве простых чисел р со зна­
чениями в полях Fp. Это подсказывает определение ^-функции,
аналогичное (1 2), для широкого класса колец.
Вернемся теперь к /(-теории. В случае конечных полей F,
все группы К п( Fg),
1, как можно доказать, конечны. Ин­
формация об их порядках мож ет быть записана в следующ ей
изящной форме:
n s S $ n -ic -,(—
)|.
■ > 1-
Для случая кольца Z известные в настоящий момент факты
дают возмож ность предполагать какую-то связь меж ду значе­
нием дзета-функции Римана £(— т) , где т > 0 — нечетное чис­
ло
(известно, что эти значения — рациональные числа, а
£ (— т ) ~ 0, если т > О и четно), и отношениями |/(2fn(Z )| /
/| /( 2m+l(Z)| (ИЗВеСТНО, ЧТО В ЭТОМ СЛучае Г руП П Ы / ( 2m(Z) и
К ы +i (Z ) конечны). Соотношение
г й ^ я - 1 £ ( - “ )!• ю = 1 <2>'
268
неверно уже в простейшем
случае
|/C3(Z)| = 48, но £ ( — 1 ) = — j^!
/71 =
Однако
1,
так как
j
( 2 ) |= 2 » .
не исключено, что оно-
выполняется с точностью до степеней двойки. Во всяком случае,
доказано, что знаменатель числа £( — т) делит |/C2m+i ( Z ) |~
С другой стороны, если простое число р > т , то |К 2т (Z) | делит­
ся на не меньшую степень р, чем числитель £ (— т) (при одном
дополнительном условии на р, которое гипотетически выпол­
няется всегда и проверено для р < 125ООО). Напомним, что зна­
чения дзета-функции в целых точках нам уж е встречались в
связи с когомологиями арифметических групп (пример 5 § 21).
Это совпадение не случайно — здесь действительно имеется,
связь с группами / ( „ ( Z ).
Связи /(-теории с теорией чисел многообразны, но не м огут
быть здесь описаны с большей подробностью, так как это по­
требовало бы привлечения сложных технических средств.
КОМ М ЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРЕ
Вся работа основана на переплетении двух тем: систематического изло­
жения алгебраических понятий и теорий и разбора ключевых примеров. М ы
опишем отдельно литературу по каждой из этих двух тем. Мне кажется, что,
как правило, первое издание книги бывает свежее и интереснее последую­
щих, хотя бы они и были технически в чем-то совершеннее. П оэтому даль­
ше ссылки будут всегда делаться на первые издания из числа доступных
автору.
Основные понятия алгебры: группы, кольца, модуля, поля, и основные
связанные с этими понятиями теории, включая теорию полупростых моду­
лей и колец и теорию Галуа, изложены в классическом двухтомном учеб­
нике Ван дер Вардена [106]. Хотя со времени выхода в свет этой замеча­
тельной книги прошло уж е более полувека, она нисколько не устарела, для
большинства излагаемых в ней вопросов и сейчас не существует лучшего
изложения.
Процесс выделения основных алгебраических понятий, перестройка ал­
гебры в духе аксиоматизированного изложения заняли
более столетия.
В этом процессе участвовали Гаусс, Галуа, Жордан, Клейн, Кронекер, Дедекинд, Гильберт. Но фиксирование результатов векового процесса в форме
стандартного языка алгебры заняло едва ли более одного десятилетня —
20-е годы нашего века. Особенно велика в этом была роль Э. Нётер. Тогда
ж е появилась н книга Ван дер Вардена. Чтобы почувствовать, как изменил­
ся весь дух алгебры и особенно манера ее изложения, полезно сравнить
книгу Ван дер Вардена с курсом Вебера [107], по которому учились алгеб­
ре предшествующие поколения.
Из более поздней литературы необходимо отметить посвященные алгеб­
ре книги из серии
«Элементов математики» Бурбаки [34] н [35]. Эти
книги могут создать впечатление, что они могли бы служить учебниками
для начинающего, так как изложение в них практически полностью замкну­
то и начинаются они с простейших определений. Такое впечатление было бы,
269
однако, совершенно иллюзорным ввиду основного их принципа — рассматри­
вать предмет в максимальной возможной общности, и полного отсутствия
материала, мотивирующего введение понятий и направления построения тео­
рии. Однако специалист может найти в них множество ценных деталей.
Из более специальных книг укажем на курс коммутативной алгебры
Атьи— Макдональда [26], написанный с учетом интересов такж е и читателей:
неалгебраистов.
Специальные результаты о строении тел, приведенные в § 11, система­
тически изложены в обзоре Дейринга [49] или в книге А. Вейля [108].
Приведенная литература покрывает, в основном, материал §§ 2— 11 этой
книги. С § 12' мы переходим к теории групп. Для ее основ можно опять
рекомендовать книгу Ван дер Вардена и (для некоторого расширения точки
зрения) посвященные теории
групп главы
классической
монографии
Г. Вейля [109]. Хотя примерами групп являются такие наглядные объекты,
как группы движений, наиболее стимулирующим для
выработки общего
понятии группы и превращения теории групп в самостоятельную науку был
пример группы перестановок конечного множества — а именно, множества
корней уравнения. Идеи, идущие от Лагранжа и Абеля, воплотились в ра­
ботах Галуа [6]. В них можно очень отчетливо увидеть, как возникало
понимание того, что вопросы теории полей связаны со свойствами группы
Галуа именно как абстрактной группы — хотя реализуется она как конкрет­
ная группа подстановок. (Лагранж выразил эту идею словам и— «подстанов­
ки— метафизика уравнений»). Другим
стимулом
было
систематическое
использование Гауссом классов вычетов и классов квадратичных форм
н
определение операций над ними [60], создававшие чувство,
что за этим
скрывается какое-то общее понятие.
Первым известным сочинением, посвященным теории групп, была книга
Ж ордана [81], богатая множеством примеров и идей, ие потерявших свою
ценность н до снх пор. В этой книге рассматриваются только конечные
группы преобразований. С деятельностью Клейна и Ли иа
первый план
выдвигается рассмотрение бесконечных дискретных и непрерывных групп.
Здесь мы впервые имеем повод сослаться на изумительные «Лекции о раз­
витии математики в XIX столетии» Клейна [83]. Тот период развития теории
групп, о котором сейчас идет речь, описан в них с точки зрения одного из
наиболее влиятельных его участников. Но и по поводу развития других
разделов алгебры (как и всей математики) в ней можно найти много очень
интересного.
Первая книга, посвященная абстрактной теории групп, рассматривала
лишь конечные группы — это книга Бернсайда [39]. Д олгое время следую­
щие изложения лишь улучшали ее. Наибольшего
совершенства
удалось
достичь Шпейзеру [101]. Современный курс теории конечных групп— трех­
томник Хупперта [79]. Точка зрения бесконечных групп выдвигается на
первый план в книге А. Г. Куроша [14]. Интересный исторический обзор
теории задания групп образующими и соотношениями содержится в [41].
С логическими проблемами, которые при этом возникают, можно познако­
миться, например, по курсу Ю. И. Манина [ 88].
Первой книгой по теории групп Ли является
трехтомное сочинение
Ли— Энгеля [87] — с ним интересно познакомиться как со свидетельством
рождения нового раздела науки. Более современное
изложение основных
понятий можно найтн в книге Л. С. Понтрягина [17], а еще более совре­
менное
(это значит, по возможности без использования систем коорди­
нат) — в книге Шевалле [42]. Изящное изложение содержится также в кнц,ге Хохшильда [76].
По поводу алгебраических групп можно указать на обзор
Шевалле
[45] и книги [31], [78] и [102]. Перечисление простых групп Ли
можно
найти: для компактных групп в [10] и [17], для комплексных— в [98],
для вещественных групп Ли — в [62]. Классификация простых алгебраиче­
ских групп содержится в семинаре Шевалле [44] и книгах [78] и [102].
П о поводу простых конечных групп укажем иа обзор [105] и книгу Горен-
270
•стейна [64] (однако эта книга не содержит вывода классификации —
единого ее изложения до сих пор не сущ ествует).
Основы теории представлений конечных групп заложены Фробениусом —
с его работами можно познакомиться по его собранию сочинений [58]
и переведенным на русский язык работам в [21]. Более современное изло­
жение можно найти в посвященных этому параграфах монографии Г. Вейля
[109] и в начальных параграфах (1— 8) книги Серра [99 ]. По
поводу
представлений компактных групп см. также книги Г. Вейля [109], Л. С. Понтрягнна [17], Шевалле [42] и Д . П. Желобенко [10]. Широким обзором по
теории представлений групп (Ли) является книга А. А. Кириллова [12].
Введением в более современные вопросы может служить цикл докладов,
изданный под редакцией Атьи [27].
Классическим исследованием по теории представлений является книга
Г. Вейля [111]. Она сильно повлияла на дальнейшее развитие всей области.
В ней содержится, в частности, концепция «координатизации» и идеи о свя­
зях понятий симметрии и представления, использованные в нашей работе.
Теория Ли содержится практически во всех руководствах по группам
Ли, на которые мы ссылались. Различные этапы ее оформления можно уви­
деть в [87], [17], [42], [76].
По поводу алгебр Кэли (октав) укажем обзор Фрейденталя [57]. О б их
геометрических приложениях см. обзор [ 86].
Доказательство основной теоремы об алгебрах с делением (неассоци^тивных) над полем вещественных чисел содержится в работе [25].
Понятия категории и функтора были сформулированы в работах Эйленберга и Маклейна [54] и [55], где подробно аргументировано их значе­
ние как нового языка для аксиоматизации математики.
Систематического
изложение основных понятий теории категорий можно найти в гл. II книги
Хилтона н Штамбаха [73]. Некоторые ее аспекты рассмотрены в первых
.параграфах статьи Гротендика [63]. П одробное обсуждение понятия группы
в категории содержится в его книге [65].
Систематическое изложение основ гомологической алгебры
содержит
книга [73]. Классическим сочинением в этой области является книга А. Картана и Эйленберга [40], ио она написана более абстрактно. Теория гомологий
трупп в духе, близком нашей статье, содержится в книге
Брауна [38].
Общие понятия теории гомологий пучков изложены в [104]. Классическим
руководством, посвященным, в основном, приложениям к теореме Римана—■
Роха, является книга Хирцебруха [74].
Та часть К-теории, которая изложена в нашей статье, в
основном
покрывается двумя обзорами: по топологической К -теории— Атьи [25], по
-алгебраической — Милнора [91]. П о поводу
вопросов
алгебраической
/(-теории, изложенных в конце § 22, можно указать обзор А. А. Суслииа
[18], написанный, однако, меиее популярно.
Наконец, в связи с тем, что мы во многих случаях использовали тополо­
гические понятия н результаты (особенно в параграфах, посвященных тео­
рии категорий и гомологической алгебре), укажем некоторую топологическую
литературу. Близко к нашей статье (ср. со сформулированной и § 20 точкой
зрения), написаны руководства Дольда [52] и Свитцера [103]. Но там, где
больше играет роль геометрическая наглядность, например, в связи с т о ­
пологией поверхностей, незаменимой остается старая книга
Зейферта и
Трельфалля [97]. С теорией дифференцируемых многообразий и интегри­
рованием дифференциальных форм на них можно познакомиться по книгам
Шевалле [42] и де Рама [96].
Теперь перейдем к литературе, связанной с разбором отдельных приме­
ров. Пожалуй, наиболее богато
иллюстрированная
примерами
тема,
всплывающая в работе, — это «двойственность» функциональной и алгебраи­
ческой точки зрения, интуиция элементов кольца как «функций» на множест­
ве его идеалов (максимальных или простых), аналогия числа и функции.
Это — очень старый комплекс идей. Собственно, уж е аналитическое продол­
жение из вещественной в комплексную область ставит вопрос о каком-то
«естественном» множестве, на котором должно функцию
рассматривать.
271
Большим шагом вперед в этом направлении было создание понятия рима­
новой поверхности. В работе [48] Дедекннд и Вебер определяют рнманову
поверхность поля алгебраических функций одной переменной (поля К (С ) в
наших обозначениях, где С — алгебраическая кривая) чисто алгебраически,
как множество «гомоморфизмов» поля К (С ) в К (причем
к К присоеди­
няется символ оо). В статье Кронекера [85], опубликованной в том ж е номе­
ре журнала, развертывается программа построения теории, объединяющей
алгебраические числа и алгебраические функции от любого числа перемен­
ных. Обсуждение идеи параллелизма
число— функция можно
найти в
«Лекциях» Клейна [83]. На идеях работы Дедекинда и Вебера построено
изложение теории алгебраических функций одной переменной в книге [43 ].
В связи с вопросами топологии и логики была доказана
представимость
булевых алгебр как колец непрерывных функций со значениями в поле F2
на топологическом пространстве определенного типа (см. об этом [3 0 ]).
О применении тех ж е идей к кольцам непрерывных вещественно- или ком­
плекснозначных функций можно познакомиться по книге [7 ]. О кольцах
бесконечно
дифференцируемых
функций
см.
[37], аналитических — [77].
Наконец, концепция, охватывающая как теорию чисел, так и алгебраиче­
скую геометрию, и дающая возможность применить геометрическую интуицию
к теоретико-числовым вопросам, была разработана Гротенднком. О б этом
см. его обзорный доклад [64], лекции Ю. И. Манина [16] и посвященную,
этому вопросу главу 5 в книге [22]. Сюда относится и перенесение в теоре­
тико-числовую область инфинитезимальных методов, в частности — построе­
ние р-адических чисел. В качестве элементарного введения (также и в тео­
рию колец целых алгебраических чисел) см. книгу [4] , более глубокую тео­
р и ю — в [108].
Другая «сквозная» т е м а — это «координатизацня» в узком смысле, вве­
дение координат на плоскости и в проективных пространствах. О б этом
(в частности, о роли аксиом Дезарга и Паппа) см. книгу Гильберта [71], а
в более алгебраическом аспекте — книги [24] и [28]. Непрерывным геомет­
риям посвящена книга Неймана [93].
Конечные поля, которые часто нам встречались, открыл Галуа. В егосочинениях [ 6] содержится уж е полная их теория. Их приложения (особен­
но приложения алгебраической геометрии над конечными полями) к теории
кодов изложены в обзорах [ 8] и [5].
Алгебраические методы в теории коммутирующих
дифференциальных,
операторов начались с результата, изложенного в § 5.5 кинги
[80]. Э та
результаты были позабыты н несколько десятилетий спустя вновь переоткрыты. Современный обзор см. в [92].
П о поводу ультрапроизведений см. [68].
Тензорные произведения, внешние н симметрические степени
модулей
определены в [13] н [34]. Свойства пополнений изложены в [26].
Большое число примеров связано с алгебрами Клиффорда. Они были
введены Клиффордом в прошлом веке (см. его собрание сочинений [4 6 ]) и
переоткрыты (в частном случае) Дираком в этом веке [51], в связи с ж е­
ланием представить линейный дифференциальный оператор второго порядка
в качестве квадрата оператора первого порядка с матричными коэффициен­
тами. П одробное современное изложение можно найти в [35].
Переходим к примерам, связанным с понятием группы.
Обсуждению
понятия симметрии посвящена изящная книжка Г. Вейля [112]. П о поводу
связи симметрий н законов сохранения в механике
(твеорема Э. Нётер)
см. [47] или [2 ]. Симметрии физических законов обсуж даются в интересной
книжке Фейнмана [56].
Из числа примеров групп, реализующихся не как группы преобразова­
ний, группы Ext (А, В ) рассматриваются в любом из цитированных курсов;
гомологической алгебры, группа Брауэра — в [49], а группа классов идеа­
лов — в [26].
Платоновские тела и их снязь с конечными группами движений подроб­
но рассмотрены в книге Адамара [ 66] . Конечные подгруппы группы дробно­
272
линейных преобразований комплексной плоскости — в другой его книге [ I ] .
Симметрии решеток разбираются в книге [84].
Детальный анализ конечных групп, порожденных отражениями, содер­
жится в книге Бурбаки [36]. Поразительно, что те схемы, приведенные в
§ 13, при помощи которых эти группы классифицируются, встречаются в
ряде других классификационных задач. (Самая важная из них — классифи­
кация простых компактных или комплексных групп Л и). О бзору этих свя­
зей посвящена статья [70].
Геометрической кристаллографии посвящена книга Б. Н. Делоне с соав­
торами [9]. Более современное изложение содержится в [84], где рассматри­
ваются также группы орнаментов и n-мерная кристаллография. Этому во­
просу посвящена также глава в книге Гильберта [72]. Полный список орна­
ментов, характеризующих
все 17 групп,
можно
найти в
обзоре
А. И. Мальцева [15].
Все кристаллографические группы были перечислены Е. С. Федоровым
(1889) и Шёнфлисом (1890) (независимо друг от друга). На следующий
год Е. С. Федоров перечислил все группы орнаментов [19], что указывает
на очень нетривиальное, для кристаллографа, понимание геометрического
характера проблемы. Поразительно, что такой широкий
математик, как
Г. Вейль, пишет: « . . . математическое понятие группы преобразований не
было создано до X IX века, а только на его основе мож но доказать, что
17 типов симметрий, неявно известных египетским ремесленникам, исчерпы­
вают все возможности. Странным образом, доказательство было проведено
только в 1924 г. Георгом Полна,
сейчас
преподающем в Стенфорде»,
[112]. Еще более странно, что приведенная выше цитата из Г. Вейля недав­
но стала предметом дискуссии в нескольких номерах издающегося для ма­
тематиков журнала [89]. Однако предметом обсуждения было утверждение,
что египетские ремесленники знали все 17 симметрий, и никто из участников
не обратил внимание на неверное утверждение о том, кто же решил мате­
матическую задачу их перечисления.
По поводу дискретных групп движений плоскости Лобачевского и их
связи с теорией римановых поверхностей см. книгу Адамара [ 1 ]. В связи
с фундаментальной группой, накрывающим пространством и группой узла
сошлемся на старомодную, но геометричную книгу [97].
По поводу связи между алгоритмическими проблемами теории групп
и топологии см. [ 20].
Группы кос (без этого названия) были впервые рассмотрены Гурвицем
и в геометрической форме (как они теперь обычно определяются), и в ка­
честве фундаментальных групп — а потом переоткрывалцсь, много позже,
отдельно в каждой из этих их реализаций. О б этом см. [41].
По поводу роли торов в теореме Лиувилля см. книгу В. И. Арнольда
[2]. Классические компактные группы тщательно
разобраны
в [42].
Примеры других групп Ли и важных связей между ними в специальных
размерностях см. в [13].
П о поводу алгебраических групп и их связей с дискретными группами
см. обзор А. Бореля [32].
Теория Гельмгольца— Ли, приведенная в качестве примера в § 17
в
связи с теорией представлений, составляет содержание красивой, хотя не­
сколько трудной для чтения, книги Г. Вейля [110].
По поводу примеров, связанных с представлениями группы 0 ( 4 ) и с
тензором кривизны четырехмерного риманова многообразия, см. [29].
Представления группы S U (2) и
их связь с
квантовой
механикой
разобраны в книге Г. Вейля [109].
О примерах, приведенных как применения теории групп: Теория Галуа
изложена в [106]. Кратким введением в дифференциальную теорию Галуа
является книга Капланского [82]. Пример групп, возникающих в теории
Галуа расширений поля р-адических чисел (так называемые группы Демушкина) и загадочно параллельных фундаментальным группам поверхно­
стей, разбирается в книге [23]. По поводу применений к теории инвариан­
тов см. книгу [50].
В связи с применениями представлений групп к классификации элемен­
тарных частиц автор мож ет лишь привести ту литературу, по которой он
с этой теорией познакомился. В основном, это лекции Н. Н. Боголюбова
[3]. Интересным введением является обзор Дайсона [53]. Полезно допол­
нение III в книге Д . И. Ж елобенко [10].
По поводу интерпретации уравнений движения твердого тела в терми­
нах алгебр и групп Ли и обобщений этих
связей см. книги [2] и [20] I
Наиболее полный обзор по теории формальных груп п— книга [69].
Более подробное рассмотрение топологических конструкций, . которые
приводятся в качестве примеров в связи с теорией категорий, мож но найти
в книгах [52] и [103].
О группах гомологий и когомологий комплекса см. в [73]. Когомологии
де Рама и доказательство теоремы де Рама содержится в [96],
однако,
проще всего теорема де Рама доказывается при помощи теории пучков [74].
Основной пример на когомологии пучков — это теорема Римана— Роха.
Ей посвящена книга [74].
Основной пример на топологическую К-теорию — теорема об индексе;
Прекрасным введением может служить обзор [,75]. Полное изложение до­
казательства можно найти в [94].
В алгебраической К-теории теорема о связи группы К г и группы Брауэ­
ра поля принадлежит А. С. Меркурьеву и А. А. Суслнну см. [18]. Резуль­
таты о вычислении порядков групп Кп для конечных полей принадлежат
Квиллену [95]. П о поводу гипотез и результатов о порядках групп К п
для кольца целых чисел см. работу Суде [100].
Для того чтобы представить себе историю развития алгебры в ее взаи­
модействии со всей математикой, неоценимым источником являются «Лекции»Клейна [83]. М ного интересных замечаний можно найти в исторических
примечаниях к книгам Бурбаки. Интересное исследование, хотя и посвя­
щенное истории специального вопроса, — книга Чандлера и М агнуса [41].
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамар Ж., Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций.
М. — Л.: ГИТТЛ, 1951, 133 с.
2. Арнольд В. И., Математические методы классической
механики. М.:
Наука, 1974, 431 с.
3. Боголюбов Н. Н., Теория симметрии элементарных частиц. В кн! «Физи­
ка высоких энергий и теория элементарных частиц». Киев:
Наукова
думка, 1967, 5— 112
4. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел. М.: Наука, 1964, 566 с.
5. Влэдуц С. Г., Мания Ю. И., Линейные коды и модулярные кривые.
В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие
достижения.
(Итоги науки н техники ВИНИТИ АН С С С Р )». М., 1984, 25, 209— 256
6. Галуа Э., Сочинения. Серия «Классики естествознания». М. — Л.: Глав,
ред. общетехн. и технико-теор.' лит., 1936, 336 с.
7. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные нормиро­
ванные кольца. М.: Фнзматгнз, 1960, 316 с.
8. Гоппа В. Д., Коды и информация. Успехи мат. наук, 1984, 39, № 1,
77— 120
9. Делоне Б., П адуров Н., Александров А., Математические основы струк­
турного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда
повторяемости при помощи рентгеновских
лучей.
М. — Л.: ОНТИ,
ГТТИ, 1934, 328 с.
10. Ж елобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления. М-:
Наука, 1970, 664 с.
11. Жизнь растений, М.: «Просвещение», 1981, 5, № 1, 430 с.
274
12. Кириллов А. А., Элементы теории представлений: М.:
Наука, 4972»
336 с.
13. Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия. М .:
МГУ, 1980, 318 с.
14. Курош А. Г., Теория групп. М. — Л.: ГИТТЛ, 1944, 372 с.
15. Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы. Математика»
ее содержание, методы н значение, т. 3. М.: АН СССР, 1956, 336 с.
16. Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные
схемы. М.: МГУ, 1970, 133 с.
17. Понтрягин Л. С., Непрерывные группы. М. — Л.: Ред. техн.-теор. лит.»
1938, 316 с.
18. Суслик А. А., Алгебраическая Х-теория и гомоморфизм норменного вы­
чета. В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие достижения»
(Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН С С С Р)». М., 1984, 25, 115— 208.
19. Ф едоров Е. С., Симметрия на плоскости. Записки императорского СанкПетербургского минералогического общества, 1891, 28 (2), 345— 390
20. Фоменко А. Т., Дифференциальная геометрия н топология.
Дополни­
тельные главы. М.: МГУ, 1983, 216 с.
21. Фробениус Г., Теория характеров и представлений групп. (Сборник ра­
бот.) Харьков: ГНТИ Украины, 1937, 214 с.
22. Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972»
565 с.
23. Algebraic number theory.
(ed Cassels I. W. S., Frohlich A.) L ondonNew York, Academic Press, 1967, 366 p. (Пер. на рус. яз.: Алгебраиче­
ская теория чисел (П од ред. Касселса Дж., Фрёлиха А.) М.: Мир,.
1969, 484 с.)
24. Artin £., Geometric algebra. New York— London, Interscience Publ., 1957»
214 p. (Пер. на рус. яз.: Артин Э., Геометрическая алгебра. М.: Наука,,
1969 283 С )
25. Atiyah М. F„ Х -Theory. New York— Amsterdam, W. A. Benjamin, 1967»
166 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Лекции по /(-теории. М.: Мир, 1967»
260 с.)
26. — , Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra. Reading, Mass»
Addison-W esley, 1969, 128 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Макдональд И.,.
Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972, 160 с.)
27. — , et al„ Representation theory of Lie groups. London Math. Soc. LecL
Note Series 34, Cambridge-New York, Cambridge Univ. Press, 341 p.
28. Baer R., Linear algebra and projective geometry. New York, Academ ic
Press, 1952, 318 p. (Пер. на рус. яз.: Бэр Р., Линейная алгебра н проек­
тивная геометрия. М.: ИЛ, 1955, 399 с.)
29. B esse A. (ed.), Geometrie Riemannienne еп dimension 4. Seminaire Arthur
Besse 1978/1979. Paris, Edit. CEDIC, 1981, 383 p.
30. Birkhoff G., Lattice theory. New York, Amer, Math. Soc. Coll. Publ.»
1940, 155 p. (Пер. на рус. яз. (3-го издания): Биркгоф Г., Теория реше­
ток. М.: Наука, 1984, 568 с.)
31. B orel A., Linear algebraic grooups. New York— Amsterdam, Benjamin, 1969,
398 p. (Пер. на рус. яз.: Борель А., Линейные алгебраические группы.
М.: Мир, 1972, 267 с.)
32. — , Arithmetic properties of linear algebraic groups. Proc. Intern. Congress.
Math. Stockholm, 1962, 10— 22
33. — , Serr I.-P., Le theoreme de Riemann— Roch. Bull. Soc. Math. France.
1958, 86, № 2, 97— 136 (Пер. на рус. яз.: Борель А., Серр Ж--П., Теоре­
ма Римана— Роха. Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1961, 5»
№ 5, 17— 54)
34. Bourbaki N.. Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 1— 3. Paris, Her­
mann, 1970, 625 p. (Пер. на рус. яз. (предыд. издания): Бурбаки Н.,
Алгебра. Гл. 1— 3, М., Физматгиз, 1962, 516 с.)
35. — , Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 9. Paris, Hermann, 1959»
258 p. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Алгебра. Гл. 7— 9. М.: Наука»
1966, 555 с.)
275.
■36. — , Elements de Mathematique. Groups et algebres di Lie. Chap. 4— 6.
Paris, Hermann, 1968, 288 p. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Группы и
алгебры Ли. Гл. 4— 6. М.: Мир, 1972, 334 с:) '
37. Brocker Th., Lander L., Differentiable germs and catastrophes. Cambrid­
ge, Univ. Press, 1975 (Пер. на рус. яз.: Брёкер Т., Ландер Л., Диффе­
ренцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977, 208 с.)
38. Brown К. S., Cohom ology of groups. New York— Heidelberg, Springer,
1982, 306 p.
39. Burnside W., Theory of groups of finite order. Cambridge, Univ. Press,
1897, 512 p.
40. Cartan H., Eilenberg S., H om ological algebra. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1956, 390 p. (Пер. на рус. яз.: Картон А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960, 510 с.)
41. Chandler В., M agnus W „ The history of combinatorical group
theory.
Heidelberg e. a., Springer, 1982, 234 p.
42. Chevalley C., Theory of Lie groups. Princeton, New Jersey, Princeton
Univ. Press, 1946 (Пер. на рус. яз.: Шевалле К , Теория групп Ли. т. I.
М.: ИЛ, 1948, 315 с.)
43. — , Introduction to theory of algebraic functions of one variable. New
Jersey, Waverly Press, 1951, 188 p. (Пер. на рус. яз.: Шевалле К., Вве­
дение в теорию алгебраических функций от одной переменной. М.:
Физматгиз, 1959, 334 с.)
44. — , Seminair С. Chevalley. Classification des groupes de Lie algebriques.
I, II. Paris, Hermann, 1958, 277 p.
45. — , La theorie des groupes algebriques. Proceed. Intern. Congress Mathem. Edinburh, 1958. Cambridge, Univ. Press, 1960, 53—68 (Пер. на рус.
яз.: Международный математический конгресс. Эдинбург. 1958 г. М.:
Физматгнз, 1962, 276 с.)
46. Clifford W. К-, Mathematical papers. London, Macmillan, 1882, 658 p.
47. Courant R „ Hilbert D., Methoden der Mathematischen Physic. Bd I. Ber­
lin, Springer, 1931, 469 S. (Пер. на рус. яз.: Курант Р., Гильберт Д.,
М етоды математической физики. М. — Л.: ГТТИ, 1933, 525 с.)
48. Dedekind R „ W eber Н., Theorie der algebraishen
Funktionen einer Veranderlichen. J. de Crelle, 1882, 92, 181— 290
49. Deuring М., Algebren. Berlin, Springer, 1937, 143 p.
50. Dieudonne J., Carrol J., Invariant theory, old and new. New York— L on ­
don, Academic Press, 1971, 85 p. (Пер.
на рус. яз.: Д ьёдонне
Ж.,Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая
теория инвариантов. М.: Мнр,
1974, 278 с.)
51. Dirac Р. А. М., The principles of quantum mechanics. Oxford, Clarendon
Press, 1930 (Пер. на рус. яз.: Дирак П. А. М., Основы квантовой меха­
ники. М. — Л.: ГТТИ, 1932, 323 с.)
52. Dold A., Lectures on algebraic topology. Berlin e. a., Springer, 1980,
377 p. (Пер. на рус. яз.: Д ольд А., Лекции по алгебраической тополо­
гии. М.: Мир, 1976, 463 с.)
53. D yson F., Mathematics in physical sciences. Scientific American, 1964,
211, № 3, 128— 146 (Пер. на рус. яз.: Дайсон Ф., Математика и физика.
Успехи физ. наук, 1965, 85, № 2, 351— 364)
54. Eilenberg S., McLane S., Natural isomorphisms in group theory. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1942, 28, 537— 543
55. — , — , General theory of natural equivalence. Trans. Amer. Math. Soc.,
1945, 58, 231— 294
56. Feynemann R., The character of physical law. London, British broadcas­
ting corp., 1965, 173 p. (Пер. на рус. яз.: Фейман Р., Характер физи­
ческих законов. М.: Мир, 1968, 231 с.)
57. Freudenthal Н., Ociaven, Ausnahmegruppen und
Octavengeometrien.
Math. Instit. Rijksuniversiteit Utreeht, 1951, 49 p.
(Пер. на рус. яз.:
Фрейденталь Г., Октавы, особые группы и октавная геометрия. М атема­
тика. Период, сб. перев. ин. статей, 1957, 1, № 1, 117— 153
276
58. Frobenius G„ Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1— 3. Berlin e. a., Springer,
1968; 650, 733, 740S.
59. Galois E „ Oeuvres mathematiques d’Evarist Galois. Paris, Gauthier V illars, 1951; 64, 57 p.
60. Gauss К■ F-, Disquisitiones Arithmeticae. Werke. Bd. 1 . Berlin, Springer,
1870, 474S. (Пер. на рус. яз.: Гаусс К. Ф-, Труды по теории чисел. Се­
рия классики науки. М.; Изд. АН СССР, 1959, 978 с.)
61. Gorenstein D„ Finite simple groups. An introduction to their classifica­
tion. New York, Plenum Publ. Corp., 1982, 333 p. (Пер. на рус. яз.: Горенстейн Д., Конечные простые группы. Введение в их классификацию.
М.: Мир, 1985, 352 с.)
62. Goto М., Grosshans F. D „ Semisimple Lie algebras. Pure and Applied
Math., 38, New York-Basel, Marsel Dekker, 1978, 480 p. (Пер. на рус.
яз.: Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981,
336 с.)
63. Grothendieck A., Sur quelque points d’ algebre homologique. Tohoku Math.
J., 1957, 9, № 2, 119— 183; № 3, 185— 221 (Пер. иа рус. яз.: Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961,
175 с.)
64. — , The cohom ology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Intern.
Congress Mathem. Edinburh, 1958, Cambridge, Univ. Press, 1960, 103—
118 (Пер. на рус. яз.: Международный математический конгресс. Эдин­
бург. 1958 г. М.: Фнзматгиз, 1962, 116— 137)
65. — , Diedonne J., Elements de geometri algebrique. III. Etude cohom ologique coherents
(Ch. 0, § 8). Instit. Hautes
Etudes Scientif., Public.
Mathem., 1961, № 11, 167 p.
66. Hadamard / ., Lecons de geometrie elementaire. II. Geometrie dans
l’espace. Paris, Colin, 1908, 308 p. (Пер. на рус. яз.: Адамар Ж., Элемен­
тарная геометрия, ч. 2. Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1938, 640 с.)
67. Hamermesh М., Group theory and its applications to physical problems.
Reading, Mass., 1964. (Пер. на рус. яз.: Хамермеш М., Теория групп и
ее приложение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966, 587 с.)
68. Handbook o f mathematical logic, (ed Barwise J.) Amsterdam, 1977, (Пер.
на рус. яз.: Справочная книга по математической логике, ч. I. Теория
моделей. М.: Наука, 1982, 109— 138)
69. Hazewinkel М., Formal groups and applications. New York, Academic
Press, 1978, 573 p.
70. — , Hasselink W., Siersma D „ Veldkamp F. D., The ubiquity of Coxeter-Dynkin diagram s (an introduction to the A -D -E problem ). Nieuw Arch.
Wisk., 1977, 25, № 3, 255— 307
71. Hilbert D,, Grundlagen der Geometrie. Leipzig — Berlin, Teubner,
1930,
326S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Основания геометрии. М. — Л.:
ГИТТИ, 1948, 491 с.)
72. — , Cohn-Vossen S.,
Anschauliche Geometrie. Berlin, Springer, 1932,
310S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Кон Фоссен С., Наглядная гео­
метрия. М. — Л.: Гл. ред. общетехн. лат и номогр., 1936, 302 с.)
73. Hilton P. J., Stammbach U., A course in hom ological algebra. New York
e. a., Springer, 1971, 338 p.
74. Hirzebruch F., Neue topologische Methoden in der algebraischen G eo­
metrie. Berlin e. a.. Springer, 1956, 165 S. (Пер. на рус. яз. (с 3-го изда­
ния): Хирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии.
М.: Мир, 1973, 280 с.)
75. — , Elliptische Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Arbeitgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrheim-Westfalen, Natur-, Ingenieurund Gesellschaftswissenschaften, Heft 157; Cologne, Westdeutscher Verlag, 1966, 33— 60
76. Hochschild G., The structure of Lie groups. San Francisco e. a., HoldenDay, 1965, 230 p.
77. Hoffman K-, Banach spaces of analytic functions. E nglew ood Cliffs, New
Jersey, Prentice— Hall, Inc., 1962, 217 p. (Пер. на рус. яз.: Гофман К ,
19—9339
277
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
278
Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963, 311 с.)
Humphrey J. Е., Linear algebraic groups. New York e. a., Springer, 1975,
247 p. (Пер. на рус. яз.: Хамфри Дж.,
Лииейиые
алгебраические
группы. М.: Наука, 1980, 400 с.)
Huppert В., Endliche Gruppen. Bd. I. 1979, 793S.; (with Blackburn N.)
Finite groups: II, III. 1982, 531, 454 p.; Berlin e. a., Springer
Ince E. L., Ordinary differential equations. London, Longmans, Green,
1927, 558 p. (Пер. на рус. яз.: Айне Э. Л., Обыкновенные дифференци­
альные уравнения. Харьков, ГНТИ, 1939, 719 с.)
Jordan С., Traite des substitutions des equations algebriques. Paris, Gauthier-Villars, 1870, 667 p.
Kaplansky I., An introduction to differential algebra. Publ. Inst. Math.
Univ. Nancago, 1957, № 5_ 63 p. (Пер. на
рус. яз.: Капланский М.,
Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959, 85 с.)
Klein F., Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19.
Jahrhundert. Bd. 1. Berlin, Springer,
1926, 386S.
(Пер. на рус. яз.:
Клейн Ф „ Лекции о развитии математики в X IX
столетии. М. — Л.:
ГОНТИ, 1937, 429 с.)
Klemm М., Symmetrien von Ornamenten und Kristallen.
Berlin e. a..
Springer, 1982, 214 p.
K ronecker L., Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen
Grossen. J. de Crelle, 1882, 92, 1— 122
Lawson H. B., Jr., Surfaces minimales et la construction de Calabi—
Penrose. Seminair N. Bourbaki, 1983— 1984, Exp. 624.
Lie S., E ngel F., Theorie der Transformationsgruppen. Bd. I— III. Leipzig,
Teubner, 1883— 1893, 632, 554, 830 S.
Manin Ju. I., A course in mathematical logic. New. York e. a., Springer,
1977, 288 p.
The Mathematical Intelligencer, 1983, 4, № 5, 32— 37; 1984, 6 , № 4, 47—
53, 54— 67
M ichel L „ Symmetry defects and broken
symmetry.
Configurations,
Hidden symmetry. Rev. Modern Phys., 1980, 52, № 2, 617— 652
Milnor J., Introduction to algebraic К -theory. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1971, (Пер. на рус. яз.: Милнор Дж., Введение в
алгебраическую К-теорию. М.: Мир, 1974, 196 с.)
M umford D „ An algebro-geometric construction of commuting operators
and of solutions to Toda lattice equation, Korteweg de Vries equations
and related non-linear equations, Proc. Intern. Symp. on algebraic geo­
metry Kyoto, 1977, 115— 153
Neumann J. von, Continious geometries. Princeton, New Jersey, Princeton
Univ. Press, 1960, 299 p.
Palais R. S., Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. Math.
Study, № 57, Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1965, 366 p.
(Пер. иа рус. яз.: Пале Р., Семинар по теореме Атья-Зингера об ин­
дексе. М.: Мир, 1970, 359 с.)
Quillen D., On the cohom ology and К -theory of the general linear groups
over a finite field. Ann. Math., 1972, 96, № 3, 552— 586
Rham G. de, Varietes differentiables. Formes, courants, formes harmoniques. Paris, Hermann, 1955, 196 p. (Пер. на рус. яз.: де Рам Ж ., Диф­
ференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956, 250 с.)
Seifert Н., Threllfall W., Lerbuch der Topologie.
Leipzig— Berlin, Teub­
ner, 1934, 353 S. (Пер. иа рус. яз.: Зейферт Г., Трельфалль Т., Тополо­
гия. М. — Л.: ГОНТИ 1938, 400 с.)
Seminair «Sophus Lie». Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes
de Lie. Paris, 1955, 200 p. (Пер. на рус. яз.: Семинар «С оф ус Ли». Тео­
рия алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, 1962, 305 с.)
Serre J.-P., Representations lineaires des groupes finis. Paris, Hermann,
1967, 182 p. (Пер. на рус. яз.: Серр Ж--П., Линейные представления ко­
нечных групп. М.: Мир, 1970, 132 с.)
100. Soule К., A-theorie des anneaux d’antiers de corps de nombres et co h o m ologie etale. Invent. Math., 1979, 55, № 3, 251— 295
101. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin*
Springer, 1937, 263 S.
102. Springer T. A., Linear algebraic groups. Boston e. a., Birkhauser, 1981,.
304 p.
103. Sw itzer R. М., Algebraic topology-hom otopy and hom ology. Berlin e. a.,.
Springer, 1975, 526 p. (Пер. на рус. яз.: Свитцер Р. М., Алгебраическая?
топология— гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985, 608 с.)
104. Tennison В. R., Sheaf theory. London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1975*
№ 20, 164 p.
105. Tits J., Groupes simples et geometries associees. Proc. Intern. Congress.
Mathem. Stockholm, 1962., Uppsala 1963, 197— 221
106. van der Waerden.
M oderne Algebra. Bd. 1-2. Berlin, Springer, 19301931 (Пер. на рус. яз. (2-го издания): Ван Д ер Варден., Современная:
алгебра, т. 1, 2. М.: ГОНТИ, 1947, 339, 260 с.)
107. W eber Н., Lehrbuch der Algebra. Bd. 1-2. Braunschweig, Vieweg, 1898—
1899
108. Weil A., Basic number theory. Berlin e. a., Springer, 1967, 294 p. (Пер.
на рус. яз.: Вейль А., Основы теории чисел. М.: Мир, 1972, 408 с.)
109. W eyl Н., Gruppentheorie und Quantenmechanic. Leipzig, Hirzel, 1928*
360S.
110. — , Mathematiche
Analyse des Raumproblems. Berlin, Springer, 1923;.
117S.
111. — , The classical groups. Their invariants and representations. Princeton,.
New Jersey, Princeton Univ. Press, 1939, 302 p.
(Пер. иа рус. яз.:
Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ,.
1947, 408 с.)
112. — , Symmetry. Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1952, 168 p*
(Пер. на рус. яз.: Вейль Г., Симметрия. М.: Наука, 1968, 191 с.)
19*
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
А бел ь (Abel N.) 115, 270
Адамар (Hadamard J.) 272, 273
Арнольд В. И. 273
Атья (Atiyah М.) 270, 271
Бернсайд (Burnside W .) 102, 103,
270
Бианки (Bianchi L.) 194
Бибербах (Bieberbach L.) 144
Боголюбов Н. Н. 274
Б озе (Bose R. S.) 183
Борель A. (Borel А.) 273
Борель Э. (Borel Е.) 66
Б раве (Bravais А.) 132
Браун (Brown К- S.) 271
Б рауэр (Brauer R.) 108, 119, 242
Б ул ь (Boole G.) 26, 27
Б урбаки (Bourbaki N.) 269, 273, 274
Ван дер Вардеи (Van der Waerden В. L.) 269, 270
Б ебер (Weber H. F.) 269, 272
Веддербёрн (Wedderburn J. H. M.)
96, 104, 173
Вейерштрасс (Weierstrass K ) 28,
191
Вейль A. (Weil A.) 270
Бейль Г. (W eyl H.) 194, 216, 270,
271, 273
Б есси о (Vessiot E.) 203
Галилей (Galilei G.) 9— 10, 114
Талуа (Galois E.) 117, 200, 203,
269, 270, 272
Гамильтон (Hamilton W .) 110, 196
Гаусс (Gauss C. F.) 51, 108, 269,
270
Гейзенберг (Heisenberg W .) 208
Гёльдер (Holder O.) 90, 174
Гельмгольц (Helmholtz H.) 190
Гильберт (Hilbert D.) 53, 93, 207,
269, 272
Гор дан (Gordan P. A.) 196
Горенстейн (Gorenstein D.) 270
Грнн (Green G.) 243
Гротендик (Grothendieck A.) 271,
272
Гурвиц (Hurwitz A.) 273
Дайсои (Dyson F. J.) 274
Дедекиид (Dedekind R.) 269, 272
Дезарг (Desargues G.) 99
Дейринг (Deuring M.) 270
Делоие Б. H. 273
Дёмушкнн С. П. 273
Дирак (Dirac P. A. M.) 83, 183, 272
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) 185,
186
280
Дольд (D old A.) 271
Евклид (Eukleides) 126, 178
Ж елобенко Д. П. 271
Ж ордаи (Jordan С .), 90, 93, 135,
138, 174, 269, 270
Зееман (Zeeman P.) 196
Зейферт (Seifert Н.) 271
Капланский (Kaplansky I.) 273
Картан A. (Cartan Н.) 271
Картан Э. (Cartan Е.) 221
Квиллен (Quillen D. G.) 274
Кёбе (Koebe Р.) 149
Кириллов А. А. 271
Клебш (Clebsch R. F. А.) 196
Клейн (Klein F.) 121, 269, 270,
272, 274
Клиффорд (Clifford W .) 84, 272
Коши (Cauchy А.) 67, 84
Кронекер (Kronecker L.) 269, 272
Курош А. Г. 270
Кэли (Cayley А.) 116, 121, 224
Лагранж (Lagrange J. L.) 28, 76,
112, 270
Лаплас (Laplace Р.) 84
Лежандр (Legendre А.) 70
Ли (Lie S.) 161, 190, 215— 221, 270
Лиувилль (Liouville J.) 162
Лобачевский Н. И. 121
Лораи (Laurent Р. А.) 21
Лореиц (Lorentz Н.) 114
Магнус (M agnus W .) 274
Макдональд (M acDonald I. G.) 270
Маклейн (MacLane S.) 271
Мальцев А. И. 273
Манин Ю. И. 270, 272
Меркурьев А. С. 274
Милнор (M ilnor J.) 271
Минковский (Minkowski Н.) 71
Неймаи (Neumann J. von.) 272
Нётер (Noether Е .), 52, 108, 112,
207, 269
Ньютон (Newton I.) 114
Островский (Ostrowski А .) 70
Папп (Pappos) 99
Пикар (Picard Е.) 203
Платон (Platon) 127, 178
Полна (Polya G.) 273
Понтрягин Л. С. 192, 270, 271
Пуанкаре (Poincare Н.) 121, 149
Пуассон (Poisson S. D.) 10, 212
Пюизо (Puiseux V .) 69
де Рам (Rham G. de) 242, 243, 271
Ремак (Remak R.) 173
Римаи (Riemann B.) 84, 191, 252,
258
Риччи (Ricci G.) 194
P ox (Roch E.) 258
Фурье (Fourier J.) 30, 199
Xacce (Hasse H.) 71, 106, 108
Хигман (H igm an G.) 154
Хилтои (Hilton P. J.) 271
Хирцебрух (Hirzebruch F.) 271
Хохшильд (Hochschild G.) 270
Хупперт (Huppert B.) 270
Цори (Zorn M.) 50
Свитцер (Switzer R.) 271
Cepp (Serre J.-P.) 271
Стокс (Stokes G. G.) 243
Суле (Soule C.) 274
Суслин A. A. 271, 276
Чандлер (Chandler B.) 274
Тамагава (Tam agawa T.) 170
Тейлор (Taylor B.) 60
Тзен (Tsen C.) 104
Трельфалль (Threlfall W .) 271
Фано (Fano G .) 100
Фёдоров E. C. 273
Фейнмаи (Feynman R. P.)
Ферма (Fermat P.) 28
Ферми (Fermi E.) 183
Фредгольм (Fredholm E.)
Фрейденталь (Freudenthal
Фробеинус (Frobenius F.)
272
46, 81
H.) 271
104, 271
Шевалле (Chevalley C.) 105, 270
271
Шёнфлис (Schonflies A.) 273
Шмидт О. Ю. 173
Шпейзер (Speiser А.) 270
Ш тамбах (Stammbach U.) 271
Шур (Schur I.) 9Q
Эйленберг (Eilenberg S.) 271
Эйлер (Euler L. 20, 28, 76, 159,
222, 257, 268
Эйнштейн (Einstein A.) 183
Энгель (Engel F.) 270
Эрмит (Hermite Ch.) 93
Якоби (Jacobi C.) 213
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева (коммутативная) группа
115
Автоморфизм 113
— расширения 200
Автоморф ная функция 149, 199
Аксиома Дезарга 99
— Фано 100
Аксиомы кольца 72
— коммутативного кольца 21
— поля 15
— проективного пространства 98
Алгебра 9, 73
— кватернионов 75
— Кэли (октав) 224
— Ли 213
— Ли группы Ли: i ? ( G ) 217
— Ли: g l(га), g l(га, К ), Л (га, К ),
о (га, Я ), и (га), зи(га), зри(га),
зр (2га, К ) 213— 215
— иад кольцом 73
— некоммутативных многочленов
79
— октав (Кэли) 224
Алгебраическая матричная группа
169
Алгебраически зависимые элемен­
ты поля 55
— замкнутое поле 58
Алгебраический элемент поля 56
Альтернативное кольцо 224
Аитикварки 211
Арифметическая группа 152, 170
Арифметический род компактного
комплексного аналитического мно­
гообразия 257
Ассоциативность 15
Б аобаб 148
Бариоиы 208
Большой Монстр 180
Б укет топологических пространств:
X\/Y 232
Булево кольцо 27
Гомоморфизм групп 120
— коммутативных колец 29
— модулей 43
— пучков 253
— семейств векторных пространств
70, 259
Гомотопические группы: я * (А ) 237
Гомотопический тип непрерывного
отображения 230
топологического пространства
230
Гомотопные пути 155
Градуированное кольцо 54
Градуировка по модулю два 82
Граница 241
Граничный гомоморфизм 239
Группа 115
— автоморфизмов модуля А п :
: GL (га, А ) 266
целочисленной тройничной
квадратичной формы 149
— аделей 170
— алгебраического типа 179
— Брауэра: В г(А ) 1191
— вращений трехмерного простран­
ства: S O (3 ), 159, 160
— Галилея— Ньютона 114
— Галуа 201
— гомологий полиэдра: Н п (Х) 241
с коэффициентами: Н п (X , А)
238, 242
цепного комплекса: Н-а(К)
240
— движений 110, 168
— диэдра 127
— , заданная соотношениями 153
— икосаэдра 127
— классов идеалов кольца: С1(А),
117, 118
— когомологий группы: H n (G, А)
249
де Рама: Нп л т( Х) , 242
коцепного комплекса: Нп (К)
240
Векторное расслоение 259
Вещественная часть кватерниона:
R e(x) 76
Внешнее произведение элементов 47
Внешняя алгебра векторного про­
странства: A(Z.) 82
модуля 82
— степень модуля: А *М 47
Возрастающая цепь модулей 52
Вялая резольвента пучка 256
Вялый пучок 256
£2--гиперон 211
Главный идеал 32
282
с коэффициентами: Нп (Х, А ) ,
238, 242
пучка: Н п (Х, !F) 256
— конечной длины 172
— кос 157
— куба 127
— Ли 161
GL(ra), О(га), SО(га), P S О(га),
0 ( p , q ) , S0 ( р , q), S O + (p, q),
S p m (n ), Spin(p, q), U (/i), S U (/i),
PSU(ra), S pU (n) 162— 170
— Лоренца 114, 168
— орнамента 146
— , порожденная отражениями 138,
139
— правильного многогранника 127
— преобразований 101
— расширений модуля: ExtH(E, М)
118
— симметрий 110
кристалла 111
решетки (группа Браве) 131,
132, 133, 134
— тетраэдра 127
— узла 157
— характеров 184
— ExtB"(L , М ) 118
— К (Л ), К ( А) , Кп( А) , S Ki ( A )
265— 266
— Кп (Z ) 268, 269
— К ( Х ) , К( Х) , Rn (X) 2 6 0 -2 6 2
„
— Ki(.k) 267— 268
Групповая алгебра 74
Групповой объект (группа) в кате­
гории 235
Двойственный модуль: М * 47
Двусторонний идеал 80
Действие группы 120
свободное 142
Делимость в кольце 27
Делитель единицы (обратимый эле­
мент) 27
Диаграмма 226
Дивизор на римановой поверхности
254
Дискретная группа движений плоско­
сти Лобачевского 148— 151
преобразований (разрывная)
142
Дискретная подгруппа группы Rn
143— 148
Дифференциал (комплекса) 239
— дифференциальной формы: da
242
Дифференциальная группа Галуа 204
Дифференциальный автоморфизм 203
— оператор на векторном расслое­
нии 262
иа многообразии 65
Дифференцирование 62
Длина группы 173, 174
— кольца 90
— модуля 89
Додекаэдр 127
Дополнение нормального делителя
251
Дуальная категория: ‘S’ * 232
Единичный морфизм категории 229
— элемент группы 115
поля 15
Задание группы соотношениями 116
Закон четности 114
Знакопеременная группа: 9£п 125
Идеал алгебры Ли 215
— коммутативного кольца 31
— , порожденный системой элемен­
тов 32, 33, 80
— простой 37
Изоморфизм алгебр Ли 214
— групп 115
— действий группы 120
— колец 29, 214
— модулей 42
— объектов категории 232
— полей 17
Изотопический спии 209
Икосаэдр 127
Инвариант группы 206
— тела 106, 108
Инвариантная дифференциальная
форма 161
— риманова метрика 161
Инвариантное векторное поле 161
Ииверсио-изоморфные кольца 78
Инволюция кольца 78
Индекс подгруппы 121
— эллиптического дифференциально­
го оператора 263
Интеграл по группе 189
Интегрирование дифференциальной
формы 243
Интерпретация Кэли— Клейна плос­
кости Лобачевского 121
— Пуанкаре плоскости Лобачевского
121
Исключительные простые группы Ли:
.Ее, EV, Es, Е4, G2 178
Канонический гомоморфизм 34, 43,
122
Категории SPet, JtodR, 3~op, Уоро,
M ot, m oto 230— 231
Категория 229
— формальных групп 231
Квазиалгебраически замкнутое поле
105
Кварки 211
Кватернионы: Н 75
Класс вычетов по модулю идеала 34
---------------- подмодуля 48
— смежности по подгруппе (левый,
правый) 121
— сопряженных элементов 121
Классические группы 164
Клиффордова алгебра: С(Е) 83
Ковариантный тензор 47
— функтор 233
Когомологии де Рама: Н ппг (Х )
242
Кограничный гомоморфизм 239
283
Коды, исправляющие ошибки 36
Колокольчик 148
Кольцо 21, 72
— бесконечно дифференцируемых
функций: 8 (ЛТ) 32
— главных идеалов 32
— дифференциальных операторов
постоянными коэффициентами:
ГА
\_dx-i "
^
JL1 г ГАдхп\ '
\_dXi
с
-А]
дхп\
24, 39
— когомологий: Н*( Х, R ), Н* (X, С)
242— 243
— конечного типа 53
— Ли 213
— матриц над полем: М п (К) 73
над телом: M n (D) 78
— многочленов: А [ х ] , А [х\,. . . , Хп]
22, 23
— некоммутативных многочленов:
К < х 1, . . . , Х п } 79
— непрерывных функций: С ( Х ) 24,
264
— полиномиальных функций на ал­
гебраической кривой: К [С ] 26
— ростков аналитических функций:
О-п. 25
— формальных степенных рядов:
Ш * ] 1 , № , , . . . . х „ ] ] 35, 36
— целых чисел поля алгебраических
чисел 71
— целых р-адических чисел: Z v 67
Коммутант группы: G ' 175
Коммутативная (абелева) группа 115
— диаграмма 226
Коммутативное кольцо 21
дифференциальных операторов
39—40
Ли 215
Коммутативность 15
Коммутатор 212
Коммутатор в кольце Ли 213
— дифференциальных операторов
212
— дифференцирований 212
— элементов группы 175
Комплекс 240
Комплексная ортогональная группа:
0 ( п , С) 167
— симплектическая группа:
Sp(2n, С) 167
Композиционный ряд группы 174
модуля 90
Конечная группа 115
Конечно определенная группа 153
— порожденная группа 153
— порожденный (конечного типа)
модуль 50, 91
284
Конечное поле 36
— расширение 57
Конечнолистное неразветвленное на­
крытие 204— 206
Конечные группы, порожденные от­
ражениями 138, 139
порядка < 1 0 171, 172
Конечные подгруппы группы враще-'
ний плоскости 126
------------------ пространства 127
------------- ортогональных преобразова­
ний плоскости 126
пространства 130
дробно-линейных преобразо­
ваний 131
Контравариантный тензор 46
— функтор 233
Коитраградиентиое представление
186
«Координатизация» 9— 14
Коса 157
Коцепной комплекс 239
Кристаллографические группы 143—
148
в пространстве 147— 148
на плоскости 144— 147
Кристаллографические классы 132,
134
в пространстве 134
иа плоскости 132
Куб 127
Левое регулярное действие 121
Левоинвариантиое (правоинвариантиое) векторное поле 161
Левый идеал 80
Лемма Шура 90
Линейная зависимость элементов по­
ля 57
Линейно зависимые элементы моду­
ля 49
— независимые элементы модуля 49
Линейный дифференциальный опера­
тор первого порядка 62
----------- порядка < г 65
Локальная группа Ли 220
Максимальный идеал 35
Мгновенная угловая скорость 219
Мезоны 208
Минимальный многочлен 57
Мнимая часть кватерниона: Im (x)
76
М одуль 86
— кватерниона 76
— конечного типа (конечно порож ­
денный) 50
— кручения 50
— над кольцом К [х ], соответствую ­
щий линейному преобразованию 41
— над коммутативным кольцом 41
— над произвольным кольцом 86
— ранга т49
Модулярная группа 151
— фигура 151
Момент количества движения 112,
222
Монодромия дифференциального
уравнения 182
Морфизм категории 229
Надстройка: 2 Х 236
Неассоциативное тело 224
Непрерывная геометрия 101
Неприводимое представление алгеб­
ры (группы) 90
Неприводимый многочлен 18, 27
Неразветвлеиное накрытие простран­
ства 142, 204—206
Нестандартный анализ 39
Нетеров модуль 52
Нётерово кольцо 53
Норма в поле 67
Нормальные делители групп б . в 1»
126
Нормальный делитель 122
Нормированное поле 67
Нуклон 208
Нулевой элемент 15, 73
Обобщенная алгебра Кэли 225
— кватериионная алгебра 107
— теорема Стокса 243
Образ гомоморфизма: Imf 31, 122,
254
Образующие алгебры 81
— группы 119
— кольца 53
— модуля 43
Обратимый элемент (делитель едини­
цы) 27
Обратный кватернион 76
Обратный элемент в группе 115
в поле 15
Общее уравнение 203
Объект категории 229
Односвязность 156
Октавы 224
Октаэдр 127
Определяющие соотношения группы
153
Орбита элемента 114
Ортогональная группа: О (га), 0(p,q)
163
Основная теорема проективной гео­
метрии 98
теории Галуа 202
Отражение 139
Первая основная теорема теории ин­
вариантов 206
Платоновские тела 127
Подгруппа 175
— Ли группы Ли 161
Подкольцо 24, 73
Подкомплекс 244
Подмодуль 42
Подмодуль, порожденный
системой:
элементов 43
Подполе 16
Подпредставление 88, 89
Подпучок 253
Подстановка Эйлера 20
Поле 15
— алгебраических чисел 71
— рациональных
функций:
К(х),.
К ( Х Хп) 16
------------- на
алгебраической кривой
(алгебраическом многообразии):
К(С) 18
— формальных рядов Лорана: K((t)Y
21, 25
— частных кольца 24
— р-адических чисел: 67
— Q, R, С 16
Полиномиальная функция иа кривой
26
Полиэдр 240
Полная линейная группа: GL(ra, С ),
GL (п,К) 166, 169
Полугруппа с единицей 232
Полупростое кольцо 94
Полупростой модуль 92
Полупрямой произведение групп 251
Пополнение поля по норме 67
П орядок группы: |G| 115
Порядок элемента группы 124
Построения при помощи циркуля %
линейки 59
Правильный многогранник 127
Правое регулярное действие 121
Правый идеал 80
Предпучок 253
Представление алгебры 87
— группы 88
Представления группы куба 188— 199
S O (3) 196
SO (4) 1 9 3 -1 9 4
SU (2) 194— 196
€>з 188
— классических комплексных групп
Лн 197— 199
— коммутативных групп
183— 186,
192
— компактных групп Ли 189— 196,
207— 211
— конечных групп 183— 189
Преобразование 110
285
Преобразование Фурье как изомор­
физм модулей 43
Приведенная надстройка: S X 236
Присоединенное действие 121
П роблема гомеоморфизма многообра­
зий 156
— изоморфизма групп 154
— тож дества в группе 154
Проективная резольвента модуля 249
Проективное пространство 98
над телом: Рп (£>) 97
Проективный модуль 248
— предел системы колец 65
Произведение идеалов 33
— объектов категории 232
Д-произведение пространств: Х Д Y
236
Простая алгебра Ли 215
— группа 173
П ростое кольцо 85
— поле 37
П ростой идеал 37
— модуль 90
Пространство петель: Q X 234
— путей 284
—• струй 65
Простые алгебраические группы 173,
175, 177, 178
— группы Ли 173, 175, 177, 178
— компактные группы Ли 173, 175,
177, 178
— комплексные группы Ли 173, 175,
177, 178
— конечные группы 173, 177, 179—
180
Прямая сумма колец 24
! модулей 41
представлений 89
Прямое произведение групп 124,172
Путь 155
Пучок 253
—, связанный с дивизором на рима­
новой поверхности: &~D 254
Радикальное расширение 203
Разложение Пюизо 69
Размерность алгебры Ли 214
Разрешимая группа 175— 177
Разрешимость
дифференциального
уравнения в квадратурах 204
— уравнения в радикалах 202
Разрывная (дискретная) группа 142
Ранг алгебры над полем 74
— модуля 41, 49
Расширение Галуа 200
— конечного типа 55
— поля 16
Расширения групп 174, 250— 252
— модулей 118
Рациональная дробь 16
286
— функция 16
Регулярное представление 89
Решетка 132, 143
— Браве 132
Риманова поверхность рода 1 143
--------------> 1 149
Свободная группа 152
Свободное действие группы 142
— произведение групп 228
Свободный модуль 41
Сдвиг на элемент группы Ли 161
Семейство векторных пространств 48,
259
Сечение семейства
векторных про­
странств 48
Символ эллиптического дифференци­
ального оператора 263
Симметрии физических законов 113
Симметрическая группа: © „ 124
— степень модуля: SnM 47
— функция 112
Симметрический
квадрат
модуля:
S2M 46
Симметрия 110
Симплекс 240
Сингония 134
Система образующих группы 116,, 119
кольца 53
модуля 43
— свободных образующих 42
Скобка Пуассона: >[,;] 212
Словарь квантовой механики 11
Слово 152
Соотношения ортогональности
для
характеров коммутативных групп
185
для матричных элементов нет
приводимых представлений конеч­
ных групп 188
----------------------------- компактных групп
191
Сопряженный кватернион 76
Спинорная группа 165
Спорадическая простая группа 180
Сравнение по модулю идеала 34
Стабилизатор элемента: G* 114
Стапелия пестрая 148
Степень расширения 57
— трансцендентности 56
Структурные константы алгебры 74,
215
Сумма объектов в категории 232
— расширений модулей 118
Супералгебра 82
Таблица Кэли конечной группы 115
Тело 77
Тензор Вейля 4-мерносо
риманова
многообразия 194
— Риччи (бесследный) 4-мерного римаиова многообразия 194
Тензорная алгебра векторного про­
странства: T(L) 79
— степень модуля: ТГ( М) 46
Тензорное произведение алгебр 119
модулей 45
представлений 187, 188
Теорема Бернсайда 102, 103
— Бибербаха 144
— Брауэра о неподвижной точке 242
— Веддербёрна (о конечных телах)
104
(о полупростых кольцах) 96
— Веддербёрна — Ремака — Шмидта
172
— Гельмгольца — Ли 190
— Гильберта о базисе 53
— двойственности Понтрягина 192
— Дезарга 98
— де Рама 243
— Ж ордана — Гельдера
для групп
174
—|
для модулей 90
— Ж ордана о конечных подгруппах
группы О( п) 135
-------------------------- GL(/i, Z) 138
— Лагранжа 76
— Лежандра 70, 76
— Ли 220
— Лиувилля 162
— М инковского— Х ассе 71
— Э. Нётер 112
— о гомоморфизмах 35, 43, 123
— о модулях над кольцом главных
идеалов 51
—■ о примитивном элементе 58
— об индексе эллиптического опера­
тора 263
— Островского 70
— Паппа 99
— периодичности в К-теории 261
— Пуанкаре — Кёбе об униформизации 149
— Римана — Роха 258
— Тзена 104
— Фробениуса 104
— Хассе — Брауэра — Нётер 108
о телах над полем Qp 106
----------------------Q 108
— Хигмана 154
— Шевалле 105
Тетраэдр 127
Тож дество Якоби 213
Тор >162
Точная последовательность 244
когомологий 245
>, соответствующая подпростран­
ству 246
Транзитивная группа преобразований
114
Тривиальное семейство
пространств 259
векторных
Узел 157
Ультрапроизведение полей 39
Умножение в когомологиях 243
— дифференциальных форм 242
на двух модулях М н IV со зна­
чениями в модуле L 44
Универсальное накрывающее
про­
странство 156
Унитарная группа: U(n) 164
Унитарно симплектнческая
группа:
SpU (n) 164
Унитарный прием 198
Уравнения Эйлера движения твердо­
го тела 222
Фактор композиционного
ряда 174
Факторгруппа 122
Факториадьность 27
Факторкольцо (кольцо классов выче­
тов) 34
Фактор комплекс 244
Фактормодуль 43
Факторпредставленне 88, 89
Факторпучок 255
финальный объект в категории 235
Флаг 190
Формальная группа (групповой за­
кон) 231
Формула Клебша — Гордана 196
Фундаментальная
группа:
(X),
я (Х ), л( Х, х 0) 154, 155
Фундаментальная область дискретной
группы 142
Функтор 232, 233
— V 'e c (X ) 259
Функторы ExtHn(Z-, М ) 249
— кл и АА, соответсвующие объекту
А 235
Характеристика поля 37
Характеры алгебры 102
— группы 184
SU (2) 194— 195
Характеры Дирихле 185
Целостное кольцо 24
Целые алгебраические числа 71
Центр алгебры 73, 104
Центральная алгебра 104
Цепной комплекс 239
Цикл 241
Цикленный тип подстановки 125
Циклическая группа 123, 127
— подгруппа 123
Циклический модуль 51
287
Частично упорядоченное множество 97
Четная клиффордова алгебра 84
— подстановка 126
Числа Кэлн 224
Число неприводимых представлений
конечной группы 186
— Тамагавы 170
Чисто мнимый кватернион 76
Эйлерова характеристика группы 252
пучка: %(Х,ЗГ) 257
Эквивалентность расширений 118
— функторов 235
Элемент кручения 50
Эллиптические функции 143
Эллиптический
дифференциальный
оператор 263
Эндоморфизм модуля 73, 91
Ядро гомоморфизма групп: К е г /1 2 2
колец: Ker f Э1
пучков 254
ОГЛАВЛЕНИЕ
(соответствует рубрике 271.17 Рубрикатора ГАСНТИ,)
И. Р. Шафаревич, Основные понятия а л г е б р ы ............................................
5
П р е д и с л о в и е ..............................................
7
§ 1. Что такое а л г е б р а ? .................................................................................
9
§ 2. П о л я .........................................................................................................................15
§ 3. Коммутивиые к о л ь ц а .........................................................................................21
§ 4. Гомоморфизмы и и д е а л ы ................................................................................. 29
§ 5. М о д у л и .................................................................................................................... 40
§ 6. Алгебраический аспект р а з м е р н о с т и ........................................................... 49
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезнмальных понятий
. . .
60
§ 8. Некоммутативные к о л ь ц а .................................................................................72
§ 9. М одули над некоммутативными к о л ь ц а м и ............................................ 86
§ 10. Полупростые модули и к о л ь ц а .................................................................. 92
§ 11. Тела конечного р а н г а .....................................................................................104
§ 12. Понятие г р у п п ы .............................................................................................. 110
§ 13. Примеры групп: конечные г р у п п ы ......................................................... 124
§ 14. Примеры, групп: бесконечные дискретные группы
. .
.
141
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы
.
.
158
§ 16. Общие результаты теории г р у п п ......................................................... 171
§ 17. Представления г р у п п ......................................................................................180
§ 18. Некоторые приложения г р у п п ..................................................................199
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная а л г е б р а ..........................................212
§ 20. К а т е г о р и и ........................................................................................................... 226
§ 21. Гомологическая а л г е б р а ............................................................................... 239
§ 22. К - т е о р и я ............................................................................................................. 259
Комментарий к л и т е р а т у р е ..................................................................................269
Л и т е р а т у р а .................................................................................................................... 274
Именной у к а з а т е л ь ..................................................................................................... 280
Предметный у к а з а т е л ь ..............................................................................................282
Технический редактор Н. И. Костюнина
Высокая печать.
Адрес редакции:
Уел. печ. л. 18,25
Уел. кр.-отт. 18,50
Уч.-изд. л. 17,81
125219, Москва, А-219, Балтийская ул., 14. Тел. 155-42-41
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, М осковской обл.,
Октябрьский просп., 403
Индекс 56847
ИНТ,
Т.
Современные проблемы
11, 1986, 1—292
математики.
Фундаментальные
направления,
БЛАНК-ЗАКАЗ
П росим выслать наложенные платежом «
» экз. инфор­
мационного издания «И тоги науки и техники», серия Современ­
ные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 29.
Куда.
Заказчик
198
почтовый
адрес
Кому.
ЦЕННАЯ БАНДЕРОЛЬ
С НАЛОЖЕННЫМ ПЛАТЕЖОМ
J*.
140010, Люберцы 10,
ДВАЖДЫ
написать
точный
Московской обл.
Наложенный платеж
-----------------Р У б.______
Ценная на
Куда
руи.
--
Кому
В е с .......................... кг.
Я В е с о в о й .................р.
.
Г-3
о С т р а х о в о й .......... р
а . За налож.платеж,
р.
*
Итого . . . . р .
коп.
КОП.
....... ......................
- ..............................
-
г.
к.
к.
к.
к.
140010, г. Люберцы 10, М о­
сковской обл., Октябрьский
проспект, 403. Производст­
венно-издательский
комби­
нат ВИНИТИ
ОПЕЧАТКИ
ИНТ, Современные пробл. матем. Фундам. направления.
Т. 10, 1986 г.
Страница
12
70
172
203
Строка
Напечатано
Следует читать
величин
величины
3—4 сверху
ах*+Ьу 2= с
ах2-\-Ьу2— с
4 снизу
число групп 27 порядка число групп 27 порядка
таблица
равно 3
равно 5
19 сверху
х п— aiXn~ [-\- . . . + а л = 0.
Хп — CTiJC"—’ + . . .
...+(-1)»а» = 0
224
225
236
264
2
12
3
24
сверху
снизу
снизу
снизу
перемежаются
Р2~<?1
. . . А'оХУо . •■
векторнхы
перемножаются
Р2<?1
...Ххуо...
векторных
Зак. 9339