Протокол лабораторной на тему измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Бланк протокола к лабораторным работам по физике
ДВФУ
Кафедра общей и экспериментальной физики
ПРОТОКОЛ
выполнения лабораторной работы №1.1
Тема: измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.
Цель работы: экспериментальная проверка закономерностей движения математического маятника,
определение ускорения свободного падения.
Краткая теория:
Ускорением свободного падения 𝑔⃗ называют ускорение тела, обусловленное действием только
силы тяжести 𝑃⃗⃗. Оно показывает ускорение, приобретаемое телом единичной массы, под действием силы
тяжести:
𝑃⃗⃗
𝑔⃗ =
𝑚
Сила тяжести приложена к данному телу и равна геометрической сумме силы тяготения,
действующей между телом и Землей, и центробежной силы инерции.
𝑃⃗⃗ = 𝐹⃗тяж + 𝐹⃗ц.б.
Центробежная сила инерции обусловлена неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей
вследствие ее суточного вращения. В силу малости центробежной силы инерции, действующей на тело в
системе отсчета, связанной с Землей, в сравнении с силой тяготения первой можно пренебречь.
Одним из простых и одновременно достаточно
точных методов определения ускорения свободного падения
тел 𝑔⃗ является метод, основанный на использовании
математического маятника. Реально математический
маятник представляет собой систему, состоящую из
маленького шарика, который можно принять за
материальную точку массой 𝑚, и тонкой невесомой
нерастяжимой нити длиной 𝑙, подвешенной к неподвижной
точке О (рис. 1). При колебании шарика на нерастяжимой
нити шарик все время движется по дуге окружности, радиус
которой равен 𝑙.
В качестве координаты, определяющей положение
мятника, совершающего колебания в одной плоскости,
можно взять угол между вертикальной линией, проходящей
через точку подвеса и нитью маятника. Обозначим этот угол
𝜑. Условимся, что углы, отсчитываемые вправо от
положения равновесия, считаются положительными, влево
– отрицательными.
Для обоснования сущности данного метода
воспользуемся вторым законом Ньютона. На маятник массой 𝑚 действуют две силы: сила тяжести 𝑚𝑔⃗ и
сила упругости нити 𝐹⃗упр . Тогда уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) будет иметь вид:
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑔⃗ + 𝐹⃗упр
Для установления характеристик маятника (определения зависимости силы натяжения от угла 𝜑,
зависимости угла 𝜑 от времени) следует спроецировать вектора на две оси. Одну, направленную вдоль
нити подвеса, задаваемую единичным вектором 𝑛⃗⃗, вторую по касательной к траектории, задаваемую
единичным вектором 𝜏⃗ (рис. 1). На этом рисунке отмечено мгновенное положение маятника при движении
вправо. При смене направления движения маятника влево направление выбранных осей не изменяется в
отличие от направления вектора скорости 𝜐⃗.
Для нашей цели достаточно спроецировать вектора на направление 𝜏⃗. Определяя из рисунка 1
проекции сил и ускорения на ось 𝜏⃗, получим скалярное уравнение:
𝑚𝑎𝜏 = −𝑚𝑔 sin 𝜑
Ограничиваясь малыми углами отклонения маятника, можно sin 𝜑 заменить значением угла 𝜑,
выраженным в радианах. При этом условии уравнение примет вид:
𝑎𝜏 = −𝑔𝜑
Из школьного курса физики известна связь между линейной и угловой скоростями движения
материальной точки по окружности:
𝜐 = 𝜔𝑙
С другой стороны, угловая скорость равна первой производной угла поворота 𝜑 по времени:
ⅆ𝜑
𝜔=
ⅆ𝑡
По определению касательного ускорения имеем:
ⅆ𝑢
ⅆ ⅆ𝜑
ⅆ2𝜑
𝑎𝜏 =
= (
⋅ 𝑙) = 2 ⋅ 𝑙
ⅆ𝑡 ⅆ𝑡 ⅆ𝑡
ⅆ𝑡
Тогда с учетом с учётом предыдущих уравнений:
ⅆ2𝜑 𝑔
+ 𝜑=0
ⅆ𝑡 2
𝑙
𝑔
−2
Размерность множителя 𝑙 имеет вид 𝑐 , что соответствует размерности квадрата циклической
частоты 𝜔0 . Поэтому обозначим данный множитель как 𝜔02 . Тогда итоговое уравнение примет
окончательно вид:
ⅆ2𝜑
+ 𝜔02 𝜑 = 0
ⅆ𝑡 2
Решением данного уравнения будет гармоническая функция вида:
𝜑 = 𝜑0 ⋅ sin(𝜔0 𝑡 + 𝛼),
где 𝜑0 – амплитуда колебаний, 𝛼 – начальная фаза колебаний.
Циклическая частота колебаний математического маятника определяется выражением:
𝑔
𝜔0 = √
𝑙
Тогда для периода колебаний математического маятника, исходя из его определения, как времени
одного колебания, получим выражение:
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим:
4𝜋 2
2
𝑇 =
⋅𝑙
𝑔
Данное уравнение подобно уравнению прямой вида: 𝑦 = 𝑘𝑥, если в качестве углового
коэффициента 𝑘 взять 4𝜋 2 ∕ 𝑔, а в качестве переменных 𝑥 и 𝑦 соответственно 𝑙 и 𝑇 2 .
Строя график зависимости квадрата периода от длины маятника, мы должны получить линейную
зависимость. Определяя тангенс угла наклона этого графика к оси и используя формулу, можем рассчитать
ускорение свободного падения:
4𝜋 2
𝑔=
𝑘
Измерительные приборы и оборудование:
№
Название прибора
п/п
1 Световой барьер
2 Линейка
3 Секундомер
Предел измерений
Цена деления
1 метр
1 единица
1 миллиметр
1 миллисекунда
Таблица 1
Также использовали металлический шарик, нить, штатив.
Учитывать погрешность светового барьера не будем (он очень точный).
Класс точности
Схема установки, рабочая формула, исходные данные:
Внешний вид экспериментальной установки
показан на рисунке 2. На леске, закрепленной на
кронштейне стойки штатива, подвешен стальной
шарик. Световой барьер включен в режим счётчика.
Начальная длина маятника (расстояние от крепления
нити до центра шарика) равна 400 мм. Далее эту длину
будем увеличивать каждый раз на 50 мм. Для
уменьшения погрешности периода будем засекать
время 60-и колебаний.
Ускорение свободного падения определим с
помощью графика зависимости 𝑇 2 от 𝑙, где
коэффициент наклона прямой 𝑘 равен 4𝜋 2 ⁄𝑔, отсюда
𝑔 = 4𝜋 2 ⁄𝑘 . Для каждого отдельного измерения:
4𝜋 2
Рисунок 2
𝑔= 2 𝑙
𝑇
Время колебаний на каждой длине измеряем пять раз для повышения точности. Результаты
измерений занесены в таблицу 2.
Результаты измерений:
№
опыта,
𝑖
𝑙𝑖 = 𝐿0 𝑖 + 𝑅шара , мм
1
400
2
450
3
500
4
550
5
600
№
измерения,
𝑘
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
𝑡𝑘 , с
76,42
75,93
76,53
76,58
76,17
80,32
80,59
80,47
80,48
80,52
84,83
84,92
84,93
85,12
84,96
89,07
89,61
89,92
89,50
89,37
93,40
93,20
93,16
93,11
93,17
Таблица 2
𝑡𝑖 , с
76,326
80,476
84,952
89,494
93,208
Вычисления:
𝑖
𝑙𝑖 , м
𝑇𝑖2 , с2
1
0,40
1,618
𝑔𝑖 ,
м⁄с2
9,760
2
0,45
1,799
9,875
3
0,50
2,005
9,845
4
0,55
2,225
9,759
5
0,60
2,413
9,816
𝑔ср ,
м⁄с2
9,811
Каждая точка на графике определяется координатами
(𝑙 ; 𝑇 ). Причём 𝑇𝑖2 = (𝑡𝑖̅ ⁄𝑁)2 , где 𝑁 = 60 (количество
колебаний). Данные каждой точки занесены в таблицу 3.
График получаем с помощью компьютерной
программы. С её же помощью определяем коэффициент
наклона 𝑘 (аппроксимируем по точкам).
По итогу: 𝑘 = 4,032 с2 ⁄м. Найдём 𝑔: 𝑔 = 4𝜋 2 ⁄𝑘 =
9,791 м⁄с2
Также вычислим 𝑔 отдельно для каждого опыта по
2
формуле: 𝑔𝑖 =
Таблица 3
4𝜋 2
𝑙
𝑇𝑖 2 𝑖
и посчитаем 𝑔ср. : 𝑔ср. = 9,811 м⁄с2 .
Значение 𝑔, полученное по графику и значение 𝑔,
полученное из усреднения 𝑔𝑖 , очень близки друг к другу (по отношению к 𝑔ср , разность составляет всего
0,2 %)
График
Оценка погрешности:
Для оценки погрешности ∆𝑔, нам нужно убедиться, что разброс точек на графике не превышает
погрешностей точек. Поэтому рассчитаем эти погрешности.
Общий вид формулы счёта:∆𝑥 = √(∆𝑥сист )2 + (∆𝑥сл )2 , где ∆𝑥сист – погрешность прибора, ∆𝑥сл –
случайная погрешность. Погрешность прибора равна половине цены деления. Случайная погрешность
считается по формуле:
∆𝑥сл
= 𝜏𝑆𝑛 = 𝜏√
2
∑𝑛𝑖(𝑥
̅̅̅
𝑖 − 𝑥𝑘 )
𝑛(𝑛 − 1)
где 𝜏 – коэффициент Стьюдента, 𝑛 – количество измерений, 𝑥̅𝑖 – среднее значение. В наших расчётах 𝜏 =
2,8 и 𝑛 = 5.
2 2
2
2
Длину маятника мы измеряли один раз на каждый
𝑇𝑖 , с
∆𝑇𝑖 , с
𝑖
𝑇𝑖 , с
∆(𝑇𝑖 ), с
опыт, поэтому случайная погрешность равна нулю.
Абсолютная погрешность длины равна цене деления
1 1,2721 0,0115
1,618
0,029
прибора (половина цены деления при установке нуля и
2 1,3413 0,0102
1,799
0,027
половина цены деления при измерении результата). То
есть ∆𝑙 = 0,001 м.
3 1,4159 0,0102
2,005
0,029
Вычисления погрешности ∆(𝑇𝑖2 ) представлены в
таблице 4.
4 1,4916 0,0119
2,225
0,036
𝑇𝑖 – средний период колебания. Он считается по
формуле: 𝑇𝑖 = 𝑡𝑖 ⁄𝑁 , где 𝑁 – количество колебаний.
5 1,5535 0,0103
2,413
0,032
∆𝑇𝑖
считается
по
формуле:
∆𝑇𝑖 =
2
2
Таблица 4
За
систематическую
√(∆𝑇сист ) + (∆𝑇𝑖 сл ) .
погрешность примем 0,01 с (половина цены деления при включении секундомера и половина цены деления
при выключении). Случайную погрешность считаем по формуле:
∆𝑇1 сл = 𝜏𝑆𝑛1
2,8 0,0942 + 0,3962 + 0,2042 + 0,2542 + 0,1562
√
=
= 0,0056784 с
60
5(5 − 1)
Деление на 60 здесь нужно, так как мы считаем погрешность одного колебания. Теперь можем посчитать
непосредственно ∆𝑇1: ∆𝑇1 = √(0,01)2 + (0,0056784)2 = 0,0115 с. Аналогично считаем остальные ∆𝑇𝑖 .
𝑇𝑖2 – это возведённый в квадрат средний период одного колебания.
∆(𝑇𝑖2 ) – абсолютная погрешность 𝑇𝑖2 . Она считается так: ∆(𝑇𝑖2 ) = 2𝑇𝑖2 (∆𝑇𝑖 ⁄𝑇𝑖 ) = 2𝑇𝑖 ∆𝑇𝑖 , значит:
2
∆(𝑇1 ) = 2𝑇1 ∆𝑇1 = 2 ∗ 1,2721 ∗ 0,0115 = 0,029 с2.
Аналогично считаем остальные ∆(𝑇𝑖2 ) (результаты занесены в таблицу 4).
Разброс точек определяем с помощью
𝑖
|𝑇𝑖2 − 𝑇𝑔2 |, с2
𝑇𝑔2 , с2
𝑇𝑖2 , с2 ∆(𝑇𝑖2 ), с2
значений,
которые
выдала
программа.
Результаты занесены в таблицу 5. Как видно
0,0092
1
1,618
0,029
1,6088
разброс не превышает погрешностей. (𝑇𝑔2 – это
0,0114
2
1,799
0,027
1,8104
значения функции, аппроксимируемой по
точкам, которые выдала программа). Таким
0,0070
3
2,005
0,029
2,0120
образом мы убедились, что наши измерения
0,0114
достаточно верны с учётом погрешностей.
4
2,225
0,036
2,2136
Теперь
можно
вычислить
∆𝑔.
0,0022
5
2,413
0,032
2,4152
Систематическая погрешность обращается в
нуль, так как ускорение получено косвенными
Таблица 5
методами, следовательно ∆𝑔 = ∆𝑔сл .
Для вычисления ∆𝑔сл используем данные из таблицы 3:
∆𝑔сл = 𝜏√
∑𝑛𝑖(𝑔ср − 𝑔𝑖 )2
𝑛(𝑛 − 1)
0,0512 + 0,0642 + 0,0342 + 0,0522 + 0,0052
= 2,8√
= 0,06 м⁄с2
5(5 − 1)
То есть, 𝑔 = (9,81 ± 0,06) м⁄с2 . Относительная погрешность составляет 0,6%
Результаты и выводы:
Результаты эксперимента: ускорение свободного падения 𝑔 = (9,81 ± 0,06) м⁄с2
Выводы по итогам работы: мы получили точное значение ускорение свободного падения, что
доказывает достоверность закономерностей движения математического маятника. Но всё же есть
небольшие отклонения (это видно на графике). Основной вклад в это отклонение внесло время реакции
человека: с точного момента времени запуска маятника до момента времени включения секундомера
проходит какое-то время (аналогично с выключением секундомера). Следовательно, результаты можно
уточнить, если эксперименты будет проводить какой-нибудь робот с безупречной реакцией (нам для
уточнения помогло большое количество опытов).