§6. Однозначные ветви многозначной функции. Поверхность Римана п.1.Однозначные ветви функции z w . n Для того, чтобы к многозначным функциям можно было применять понятия и результаты, полученные для однозначных функций, нужно уметь выделять однозначные ветви многозначных функций. Функция w f (z ) , определенная в области G, и такая, что в различных точках этой области принимает различные значения, называется однолистной. В этом случае область G называется областью однолистности. Из определения следует, что функция, обратная однолистной, является однозначной. Рассмотрим функцию w z . n Найдем ее области однолистности. Выясним, что представляет собой образ луча i z r e , const , 0 r . Пусть w e i e , тогда i i r e . n Отсюда r , n 2k , k Z. n Так как 0 r , то 0 причем n . , Следовательно, луч плоскости z, проведенный под углом , переходит в луч плоскости w, проведенный под углом n . y v z re i w ei x n u i1 Пусть z1 r1 e , Тогда равенство т.е. n z1 n in1 r1 e z2 r2 e i 2 . n z2 , n in2 r2 e , равносильно равенствам n r1 т.е. n r2 , n 2 n1 2k , k Z, 2k r1 r2 , 2 1 , k Z. n Поэтому, область в виде сектора с центральным углом 2 n и вершиной в начале координат является n областью однолистности для функции w z . Рассмотрим область 2 0 . n Найдем ее образ при отображении w Луч const переходит в луч Значит, если то n . 2 0 , n 0 n 2 . n z . Отсюда следует, что сектор 2 0 n n плоскости z функцией w z отображается на полную плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou. y (w) (z ) v E 2 n x u Аналогичным образом заключаем, что любой сектор qk : 2 2 (k 1) k, n n k 1, n отображается на множество E. Замечание 1. Существуют области однолистности для n функции w z , отличные от выбранных. Области однолистности можно выбрать так, чтобы они, не налегая друг на друга, заполняли всю плоскость z. (z ) y q2 2 n q1 x qk qn Каждая из этих областей преобразуется в n область E посредством функции w z . Обратно, если w изменяется в области E, то z можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей qk . Поэтому можно говорить не об одной, а об n n функциях, обратных функции w z , определенных в области E. Эти функции рассматриваются как различные однозначные ветви многозначной функции z n w. Этих ветвей будет ровно n. Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно указать, в какой из областей qk изменяется z. Итак, установлено наличие различных ветвей n функции z w при помощи понятия областей однолистности. К тому же результату можно прийти и иным путем. Положим w r (cos i sin ). Тогда 2k 2k z w r cos i sin , k 0, n 1. n n n n Придавая k значения 0,1,..., n 1 , получим n различных значений функции, соответствующих n различным ветвям этой многозначной функции, именно zk w k n 2k 2k r cos i sin , k 0, n 1. n n n Выберем из этих значений какое-нибудь одно w k n т.е. будем считать k фиксированным. Пусть точка w в плоскости w описывает некоторую замкнутую кривую Г, не содержащую внутри себя начало координат. v Г Тогда, непрерывно изменяющиеся r и , вернутся к первоначальным r значениям, когда точка w примет исходное u положение. Соответственно и значение n w k после полного обхода останется прежним. w Пусть точка w описывает некоторую замкнутую кривую Г, содержащую внутри себя начало координат. После полного обхода v w кривой Г значение r увеличится на 2 . Поэтому, u Г n 2 2k 2 2k w k после r cos i sin n n обхода 2 (k 1) 2 (k 1) n n r cos i sin w k 1 , n n n т.е. при таком обходе кривой Г, содержащей внутри себя начало координат, ветвь n w k n перейдет в ветвь w k 1. Повторяя обходы вокруг начала координат в положительном направлении достаточное количество раз, можно перейти от одной ветви к любой другой. Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви к другой, называется точкой разветвления данной функции. Таким образом, точка w 0 является точкой n разветвления для функции z w . При этом говорят, что точка w 0 является точкой разветвления конечного порядка или алгебраической точкой разветвления. Замечание 2. Так как полный обход вокруг начала координат в то же время является полным обходом вокруг точки w , то точка w также является точкой разветвления функции z n w . Других точек разветвления эта функция не имеет. п.2.Поверхность Римана функции z n Функция w z взаимно однозначно отображает сектор 2 n 0 n плоскости z на плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou. Границы этого сектора при отображении переходят в один и тот же луч 0 плоскости w. w. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между сектором 2 0 n плоскости z и плоскостью w, произведем разрез плоскости w по положительной части действительной оси Ou. Установим взаимно однозначное соответствие между верхним берегом разреза и лучом 0, а также между нижним берегом разреза и лучом 2 . n y v 2 n 0 x u Очевидно, каждый сектор 2 (k 1) 2 k , n n k 1, n, взаимно однозначно отображается на плоскость w с разрезом по положительной части действительной оси Ou. n Поэтому, геометрический образ функции w z представляет собой на плоскость w с разрезом, повторенную n раз. Тем самым отображение полной плоскости z на полную плоскость w не является взаимно однозначным. Взаимную однозначность можно сохранить следующим образом. Будем считать, что имеется n экземпляров плоскости w с разрезом, на каждой из которых w изменяется в пределах 2 ( k 1) Arg w 2k , k 1, n. Сектору 2 2 (k 1) k, n n плоскости z ставится в соответствие k–ый экземпляр плоскости w. 2 2 Лучи k (k 1) и n n переходят в верхний и нижний берег разреза k–го листа соответственно. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало бы непрерывное движение точки w на этом многообразии. Заметим, что нижний берег разреза k–го листа и верхний берег разреза (k+1)–го листа имеют один и тот же аргумент k 2k . Когда точка z в своем непрерывном движении на плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка w переходит с одного листа плоскости w на другой. Чтобы сохранить непрерывность движения соединим соседние листы следующим образом: склеим нижний берег разреза k–го листа с верхним берегом разреза (k+1)–го листа и т.д. При этом останутся свободными верхний берег разреза 1–го листа и нижний берегом разреза n–го листа. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z 0 , последовательно пройдя через все n секторов этой плоскости, начиная с первого, и вернется к своему первоначальному положению. Соответствующая ей точка w пройдет n листов. Чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на первом и n–ом листах. Тем самым функция w z полной плоскости z ставит в соответствие n листов плоскости w, склееных указанным образом. n Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой поверхности Римана или римановой поверхности. Функцию z n w называют n-листной. Замечание 3. Точка w 0 , называемая точкой разветвления n функции z w , принадлежит всем листам римановой поверхности. Поверхность Римана функции z w. п.3.Однозначные ветви функции z Ln w и ее поверхность Римана. Рассмотрим функцию we . z Бесконечнозначная функция z Ln w является обратной по отношению к функции we . z Найдем области однолистности функции we . z Пусть z1 x1 iy1, Тогда равенство z 1 z2 x2 iy 2 . e e , x1 iy1 x2 iy 2 e e e e , т.е. z2 равносильно равенствам e e , y2 y1 2k , k Z, x1 или x2 x1 x2 , y2 y1 2k , k Z, Поэтому, за область однолистности можно взять любую горизонтальную полосу шириной 2 . Рассмотрим область Функция q0 : 0 Im z 2 . we прямую z y const плоскости z преобразует в луч плоскости w. Поэтому, полоса y q0 : 0 Im z 2 плоскости z отображается на полную плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou. Очевидно, это утверждение справедливо для любой полосы qk : 2k Im z 2 (k 1), k Z. y 6i 4i 2i 0 2i q2 v E q1 q0 x q1 u q 2 Эти области, не налегая друг на друга, заполняют всю плоскость z и каждая из этих областей преобразуется в область E. Обратно, если w изменяется в области E, то z можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей qk . Поэтому можно говорить не об одной, а о бесконечном множестве функций, обратных z функции w e , определенных в области E. Эти функции рассматриваются как различные однозначные ветви многозначной функции z Ln w. Этих ветвей будет бесконечное количество. Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно указать, в какой из областей qqk k изменяется z. Итак, установлено наличие различных ветвей функции z Ln w при помощи понятия областей однолистности. К тому же результату можно прийти и иным путем. Положим w r (cos i sin ). Тогда z k (Ln w) k ln r i ( 2k ), k Z. Разным значениям k соответствуют различные ветви ( Ln w) k . Таким образом, имеется бесконечное количество разных ветвей. Зафиксируем какую-нибудь ветвь ( Ln w) k и заставим точку w описать замкнутую кривую. n Рассуждая, как и в случае функции z w , придем к заключению, что точки w 0 и w являются точками разветвления функции z Ln w. Отличие этого случая от функции z n w , заключается в том, что производя обороты в одном и том же направлении, мы никогда не вернемся к исходному значению ( Ln w) k , а всегда будем получать новые. При этом точка w 0 называется точкой разветвления бесконечного порядка или трансцендентной точкой разветвления. Поверхность Римана для функции z Ln w строится аналогично поверхности Римана функции z n w . В этом случае поверхность Римана будет бесконечнолистной.