B C 6 3 АВСD - прямоугольник AD = 62 – 32 = 27 = 3 3 O A D 3 3 AВ АC = AB AО АD = AО AD DC = 0 CAD = cos BAC AD AB AC 3 AC cos AB, AC = 3 6 6 = 9 AD cos AO, AD = 3 3 3 т.к. AD ^ DC 3 3 27 = 2 6 Теорема Скалярное произведение векторов a {x1; y1} выражается формулой и b {x2; y2} a b = x1x2 + y1y2 Рассмотрим случай, когда векторы a и b не нулевые a и b не коллинеарны, то по теореме Если векторы косинусов: AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa b В b a a О a А * Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa верно и для коллинеарных векторов. Если b a = 00 b сosa = 1 a О a * В А AB2 = (ОА – ОВ)2 = = AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ 1 = = AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa верно и для коллинеарных векторов. b a В О a Если a * b a = 1800 А сosa = –1 AB2 = (ОА + ОВ)2 = 1 = – сosa = AО2 + ОВ2 + 2 ОА ОВ 1 = = AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa AB = AO b –+aOB – b– Из АВО a {x1; y1} b {x2; y2} a OA = a 2 = 1a(2 + 2 * OB = b b 2 – 2 ab ) :2 x12 + y1В2 b 2 2 b = x2 + y22 a 2 = a b – a {x2 – xО1; y2 – y1}А a 2 b – a = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Следствие 1 Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1 x2 + y1 y2 = 0 a ^b x 1 x 2 + y1 y 2 = 0 Пример b {-2; -2 11} d { 2; 2 44} + =0 b ^d Следствие 2 Косинус угла между ненулевыми векторами aи b выражается формулой cos a = x 1 x 2 + y1 y 2 x12 + y12 x22 + y22 Следствие 2 a b = x1x2 + y1y2 Доказательство: 2+ y 2 a = x 1 1 a b = a b cosa cosa = ab ab = 2+ y 2 x b = 2 2 Свойства скалярного произведения векторов a b, c Для любых векторов , справедливы равенства: 1 a 2 0 2 ab 3 (a + b) c 4 = и любого числа k причем a 2> 0 ba Переместительный закон = при a >0 a c + b c Распределительный закон (ka) b = k(a b) Сочетательный закон a {3; -4} b {-2; 1} c {-2;-1,5} Найдите a b = 3 (-2) + (-4) 1 = - 10 тупой b c = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) = 2,5 острый c a = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) = 0 прямой Перпендикулярны ли векторы a и b, b и c, c и a Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами a и b, b и c, c и a Найдите абсциссу вектора b {-2; -2 11} d , если известно, что d { ?; x 44} b ^d + =0 x=2 * b ^d x 1 x 2 + y1 y 2 = 0 a {4; -2} i {1; 0} c {-2;-1,5} j {0; 1} Найдите a i = 4 1 + (-2) 0 = 4 острый cj = (-2) 0 + (- 1,5) 1 = - 1,5 тупой ij = 1 0 + 0 1 = 0 Перпендикулярны ли векторы прямой a и i , c и j, i и j Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами a и i, c и j, i и j Найдите скалярное произведение векторов: a+b и a – b , если a { 3; -4} и b {-2; 0} (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 = a 2 – b 2 = 25 – 4 = 21 a = 32 + (-4)2 = 25 b = (-2)2 + 02 = 4 a 2 = 25 b 2=4 Найдите скалярное произведение векторов: a+b 1 и 3 a – b , если a { 3; -4} и b {-2; 0} 2 (a + b)(a – b) 1 другой aНайдите + b { 1; -4 }способ решения 2 a – b { 5; -4 } 3 (a + b)(a – b) = 1 5 + (-4) (-4) = 21 Найдите скалярное произведение векторов: i–j и 2i + 3j, если i и j – координатные векторы. 0 0 (i – j)(2i + 3j) = 2i 2 +3i j – 2 i j – 3j 2 = = 2 i 2– 3 j i = 1 j = 1 2 = 2 1 – 3 1 = –1 Вычислить CE AB + CB BA , если А(-3; 3), В( 1; 1), С(-2; 4), Е(-1;2). Найдите 2 способа. 1 3 2 CE AB + CB BA 1 2 3 CE { 1; -2} CВ { 3; -3} CB BA = 3 (-4) + (-3) 2 = -18 AB { 4; -2} CE AB = 1 4 +1(-2) способ (-2) = 8 BA {- 4; 2} 8 + (-18) = -10 CE AB + CB BA = CE AB + CB (–AB) = AB (CE – CB) 2 способ = AB (CE + BC) = AB (ВC + CЕ) = AB ВЕ = BЕ {- 2; 1} = 4 (-2) + (-2) 1 = -10 №1050 Вычислить если a+b a = 5, 0 a b = 60 b =8 , Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. 2 2 2 2 = a a (a + b) = a + b = a 2 + 2a b + b 2= = a 2 + 2 a b cos a b + b 2 = = 52 + 2 5 8 cos600 + 82 = = 52 + 2 5 8 12 + 82 = 129 = 129 №1050 Вычислить если a–b a = 5, 0 a b = 60 b =8 , Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. 2 2 2 2 = a a (a – b) = a – b = a 2 – 2a b + b 2 = = a 2 – 2 a b cos a b + b 2 = = 52 – 2 5 8 cos600 + 82 = = 52 – 2 5 8 12 + 82 = 49 = 49