Сборник задач с методическими рекомендациями (в помощь учителю) Применение производной при решении задач с практическим содержанием

Сборник задач с методическими рекомендациями
(в помощь учителю)
Применение производной при
решении задач с практическим
содержанием
1
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………….3
Физические задачи…………………………………………………………………………4
Задачи экономического содержания………………………………………………………18
Задачи из биологии и химии……………………………………………………………….22
Задачи, связанные с экологическими проблемами………………………………………34
Производная в географии…………………………………………………………………..40
Организация проектная деятельность на уроках математики…………………………..40
Библиографический список………………………………………………………………..44
2
Введение
В содержании предмета "Математика" на базовом уровне в соответствии с требованием
ФГОССОО произошли существенные изменения содержания и планируемых результатов , по
сравнению с содержанием примерных программ этого предмета по ФК ГОССОО. Например, в
результатах изучения раздела «Элементы математического анализа» выпускник получит
возможность научиться решать прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и
других предметов, связанных с исследованием характеристик реальных процессов, нахождением
наибольших и наименьших значений, скорости и ускорения и т.п.
В школьном курсе математики изучается множество правил, определений, доказываются
теоремы. Многие школьники задают вопрос: зачем все это нужно? И это естественный вопрос, т.к.
школьные учебники не всегда дают на него полный ответ. В учебниках алгебры (10-11 классы) мало
таких задач, поэтому предлагаемые в сборнике задачи помогут учителю в иллюстрации применения
школьных знаний по теме «Производная» при решении задач, взятых из смежных с математикой
учебных предметов – физики, химии; задач экономического содержания и др. Решение задач с
практическим содержанием не только способствует развитию интереса школьников к
математическим знаниям, но и даст возможность успешно сдать единый государственный экзамен.
Производная функции широко используется в различных областях деятельности человека, относится
к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в
физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по этой теме имеет
принципиально важное значение. В тоже время это одна из сложнейших тем в математике, учащиеся
затрудняются или вообще не умеют решать задачи на ее применение. Изучение производной в
данном формате продиктовано тем, что многие задания ЕГЭ содержат ее применение. Работа над
темой « Производная в формате ЕГЭ» позволило наиболее полно понять и узнать виды задач и
способы их решения, научиться решать задачи различных типов. Это даст возможность успешно
сдать единый государственный экзамен. А учащихся 11 классов могут повторить материал темы.
В пособии представлен большой набор задач с практическим содержанием: экономического
характера, отражающих проблемы окружающей среды, взятых из смежных с математикой учебных
предметов – физики, химии, биологии, экологии, экономики, географии. Все задачи рассмотрены с
целью проиллюстрировать практическое применение производной и интеграла и вызвать интерес
учащихся к этому разделу курса. Пособие позволяет улучшить организацию изучения основ
математического анализа в школе и в вузе. Оно включает задачи прикладного характера и может
быть использовано учителями школ.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Применение производной в географии
Производнаявгеографиисовмещаетсясмногимиееотраслями:
• некоторые значения в сейсмографии;
• особенности электромагнитного поля земли;
• радиоактивность ядерно- геофизических показателей;
• многие значения в экономической географии;
• размещение и численность населения на территории в момент времени t.
Всеэтопозволяетполнееизучатьразвитиенаселенияистранмира.
В картографии, геологии, экономике и других наукахшироко используетсяинтерполяция.
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким
данным ее значениям. Самым простым вариантом интерполяции является форма
Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется
получить функцию, кривизна которой минимальна. Идея социологической модели Томаса
Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в
данный момент времени t через N(t), N(t)=kN(t). Модель Мальтуса неплохо действовала
для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в
большинстве стран не действует
Организация проектная деятельность на уроках математики
ВЗЯТЬ ИЗ КНИЖЕЧКИ
Тема проекта: Применение производной
Участники: учащиеся
Основополагающий вопрос: Как измерить скорость скорости?
Проблемные вопросы
 Кто работал над вопросом «дифференцирования»?
 Как используется производная при исследовании функции?
 Как производная помогает биологам, химикам?
 Какие задачи в физике решаются с помощью производной?
 Как производная применяется в экономике?
 Какая связь между производной и географией?
Цель: Изучение применения производной для решения задач по началам анализа, физике,
экономике, биологии, химии и географии; углубление и расширение знаний по теме
«Производная».
Задачи:
40
 Найти информацию об истории возникновения производной, изучить ее и
систематизировать.
 Исследование функций на монотонность, экстремумы, выпуклость-вогнутость с
помощью производной.
 Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью
производной
 Узнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи
по географии, которые решаются с помощью производной
 Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью
производной.
 Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.
 Рассмотреть
применение
правил
вычисления
производной
к
решению
практических задач с экономическим содержанием.
«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx – это ошибка, которую
часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд»
Г.В.Лейбниц
Применение
производной
для
решения
задач
требует
от
учащихся
нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и
приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления,
которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность
(экономика, физика, химия, биология и т.д.). Это доказывает актуальность данной
работы. В работе над проектом обязательно соблюдаются определённые этапы
деятельности студентов. Каждый из них вносит свой вклад в формирование личностных
качеств.
Подготовительный этап
На этом этапе мы со студентами погружаемся в проект: происходит мотивация
деятельности, определение темы, проблемы и целей. Тема проекта должна быть не только
близка и интересна, но и доступна студенту. По времени этот этап осуществления проекта
является самым коротким, но он очень важен для достижения ожидаемых результатов.
Проводится беседа в ходе демонстрации вводной презентации; актуализация имеющихся
знаний по теме, обсуждение общего плана проекта, планирование работы над проектом.
Определение направления поиска информации в разных источниках.
Тема «Производная» - это один из важнейших разделов курса математического
анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и
41
служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Но часто, студенты,
сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они
не видят практического применения этой темы. Поэтому данный проект «Применение
производной» направлен на то, чтобы студенты выяснили, зачем нужно изучать
производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также
в других предметах.
Этап планирования и организация деятельности.
На этом этапе мы определяем группы по направлениям деятельности, выделяем
цели и задачи каждой группы. Предложены темы для выбора групп:
1 группа – «Исторические сведения дифференциального исчисления»;
2 группа – «Геометрический смысл производной»
4 группа - «Применение производной при решении физических задач»;
3 группа – «Нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах»
4 группа – «Применение производной в химии и биологии»
5 группа - «Применение производной при решении задач с географическим
содержанием».
В группу вошли студенты с разными учебными возможностями. Каждая группа
получила задание проанализировать выбранную тему, найти информацию. Планируется
работа групп: распределяются обязанности между студентами, определяются источники
информации, способы сбора и анализа информации, способы представления результатов
деятельности (в нашем случае - презентации и буклеты.).
Этап поиска.
На этом этапе происходит поиск и сбор информации по своей выбранной теме,
решение промежуточных задач. Анализ и обобщение собранного материала. Письменное
изложение результатов и промежуточный контроль, со стороны преподавателя,
полученных результатов. Были проведены консультации по программам PowerPoint,
Publisher, Word, для студентов у которых возникали проблемы в практической работе для
оформления результатов. Формулировка выводов.
Этап представления результатов, отчёт.
Этап презентации необходим для завершения работы, для анализа проделанного,
самооценки и оценки со стороны, демонстрации результатов. Форма представления
результатов в нашем проекте: устный отчёт с демонстрацией материалов оформленных в
виде презентации, буклета, реферата.
Оценивание результатов, рефлексия
42
Одним из заключительных этапов работы над проектом является оценивание
результатов, рефлексия. Проект защищается на уроке или на кружковом занятии.
В приложениях представлены работы студентов, подготовленные в рамках
проектной деятельности в виде презентаций и буклета.
При оценивание работы студентов над проектом учитывается содержание
(полнота раскрытия темы, изложение аспектов темы, изложение стратегии решения
проблемы, логика изложения информации, использование различных ресурсов), степень
самостоятельной работы группы(слаженная работа в группе, распределение ролей в
группе,авторская оригинальность), оформление презентационного продукта (грамматика,
подходящий словарь, отсутствие ошибок правописания и опечаток), защита (качество
доклада, объем и глубина знаний по теме, культура речи, манера держаться перед
аудиторией, ответы на вопросы).
43
44