Здравствуйте уважаемые члены жюри и участники конференции

Здравствуйте уважаемые члены жюри и участники конференции!
Меня зовут Бальжинимаева Чимита, я ученица 8 класса Сахюртинской средней
школы.
Тема моей работы «Исследование флексагонов – изгибаемых многоугольников и
флексоров – изгибаемых многогранников».
Цель исследования - исследовать флексагоны и флексоры и показать области их
применения.
Итак, что же такое «флексагоны»?
Слово «флексагон» образовано от латинского «to flex» – «изгибаться, гнуться», и от
греческого «гониа» - «угол». Получается «гнущийся, гибкий многоугольник».
Флексагоны обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их
наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрытые поверхности неожиданно
выходят наружу.
Открыть флексагоны помогло одно случайное обстоятельство - различие в
формате английских и американских блокнотов.
Аспирант-математик из Принстонского университета (США) англичанин Артур
Стоун обрезал листы А 4 под новый формат (бумага США короче и шире A4 на 5,9 ×
18,4), начал складывать из обрезков разные фигуры.
Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил
равносторонний шестиугольник. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с
весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру,
можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. Так
был открыт самый первый
флексагон!
Почувствовав, что за загадочной фигурой скрывается интересная
математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них
были физик Ричард Фейнман, математик Брайан Таккерман и Джон Тьюки. В
шутку они назвали себя «Флексагонным комитетом» и взялись за изучение
математических основ «флексологии».
Друзьями был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя
цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом
поверхностей.
Существуют
два вида флексагонов:
тетрафлексагоны и гексафлексагоны. Тетрафлексагоны флексагоны,
имеющие форму
четырехугольника,
а точнее квадрата, гексафлексагоны флексагоны, имеющие
форму шестиугольника.
Рассмотрим виды гексафлексагонов.
Самый простой – тригексафлексагон.
Название различных видов флексагонов складывается так:
Впереди числительное, показывающее, сколько поверхностей имеет
данный флексагон. На втором месте – числительное, определяющее форму
флексагона.
Тригексафлексагон складывается
из полоски бумаги, состоящей из 10
равносторонних треугольников. (При
разворачивании
показывает
три
разные поверхности.)
Развертка тетрагексафлексагона
состоит
из 13 треугольников, но имеет
уже пилообразную форму. Начиная собирать его мы приходим к полоске из 10
треугольников. (При разворачивании показывает четыре разные поверхности.)
Развертки пентагексафлексагона и гептагексафлексагона имеют
зигзагообразную
форму. При складывании мы сначала приходим к
пилообразной форме, а потом к полоске из 10
треугольников.
Далее
идут
гексагексафлексагон и
додекагексафлексагон. Их
развертки - это полоски бумаги из 19
и 37 треугольников соответственно. (При
разворачивании показывают шесть и двенадцать разных поверхности.)
По прилагающимся выкройкам, с помощью подробного описания, я быстро
изготовила флексагоны с тремя и шестью поверхностями. А
когда
я
захотела изготовить флексагоны с четырьмя и пятью поверхностями,
возникла
первая проблема: выкройки есть, а описания их складывания - нет! Опять обратилась
к поиску информации.
И везде один результат - только чертежи, без подробных
инструкций. Обратилась за помощью к учителю, а она предложила мне самой
разработать инструкции для интересующих меня моделей.
Приступая к разработке схем для сборки других флексагонов и имея опыт по
сборке тригексафлексагона и гексагексафлексагона, я уже понимала, что:
1) нужно найти такой способ расстановки чисел на имеющихся чертежах,
чтобы он привел меня к полоске из десяти треугольников, схема сборки которой
имеется в любой литературе.
2)Если каждый треугольник пометить числом, то чередование цифр на
развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью. Например, на
лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, цифры будут
располагаться в такой последовательности:
123123 123123 123123 (лицевая),
445566 445566 445566 (обратная).
Теперь, методом проб и ошибок, мне предстояло определить порядок расстановки
чисел в имеющихся чертежах, так, чтобы флексагоны «заработали». Результатом
моих трудов схемы сборки других флексагонов.
В ходе работы были сделаны первые выводы:
Сборку флексагона нужно начинать с наибольшего числа и складывать так, чтобы
треугольники, имеющие одинаковые числа, оказались наложенными друг на друга.
Например, для изготовления гептагексафлексагона сначала собирают все 7 на 7,
затем 6 на 6, 5 на 5, 4 на 4, после чего получаем полоску из 10 треугольников. При
сборке любой модели всегда приходим к полоске из 10 треугольников!
Перегибая флексагон, вскоре можно обнаружить все поверхности, но некоторые из
них найти труднее, чем остальные. Например, поверхность с четверками выходит
наружу реже, чем другие поверхности. (Из –за особенностей складывания она
уходит далеко внутрь, пока я не могу это объяснить, но в ходе дальнейшего
исследования может быть удастся ответить на этот вопрос). Брайан Таккерман
довольно быстро нашел способ выявления всех поверхностей любого флексагона:
держа за какой-нибудь угол, следует открывать флексагон до тех пор, пока он
"открывается", а затем переходить к следующему углу. «Путь Таккермана» удобно
изображать в виде схемы, показанной на рисунке.
Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару
соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть
противоположную пару треугольников. Простое правило позволяет увидеть все
поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать
флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он
открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.
Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью
цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на
треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них
может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого
треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим,
как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв.
Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для
гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.
Получается целый калейдоскоп узоров!
(На самом деле для гексагексафлексагона, собранного из прямой
полосы бумаги (возможны и другие конструкции), число вариаций окажется
несколько меньше. Складывая флексагон, вы можете заметить, что четыре из
его поверхностей состоят из шести треугольников, а еще две – из трех
параллелограммов. Эти последние поверхности не могут меняться и всегда
выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для
гексагексафлексагона. Данное свойство многократно использовали шутники-
математики для своих головоломок с картинками.)
Перейдем к рассмотрению тетрафлексагонов.
Простейший представитель этого семейства - тритетрафлексагон - его легко
сложить из зигзагообразной полоски бумаги, состоящей из шести квадратов.
Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару
«двоек» - и флексагон готов. (При изгибании показывает три разных
поверхностей.)
Тетратетрафлексагон получается из прямоугольного листа бумаги, расчерченного на
12 квадратиков. (При изгибании показывает четыре разных поверхностей.)
Тетратетрафлексагон изготавливается из бумажной рамки. (При изгибании
показывает шесть разных поверхностей.)
Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще
шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения
математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному
комитету» разгадать так и не удалось. Кстати, изобретение этой фигуры
принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как
шарнирное соединение двойного действия - петля, которая позволяет открывать
дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах).
Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного
буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать
гораздо сложнее, чем три других.
Занимаясь изучением флексагонов, я узнала, что это изгибаемые многоугольники. А
существуют ли изгибаемые многогранники? Оказалось, что этот вопрос занимал
умы многих математиков.
Если
треугольник заменить тетраэдром (его
пространственным аналогом), то получатся так называемые
флексоры.
Они были открыты
Дж. М. Андреасом и Р. М. Сталкером. Когда
тетраэдры соединяются по ребрам
получается фигура наподобие кольца. Это
кольцо
из тетраэдров может состоять
из еще
6, 8 большего числа
тетраэдров. При n = 6 эта фигура достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может
изгибаться и выворачиваться до бесконечности. Когда n четно, фигура стремиться
принять симметричную форму. Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии
картина становится еще более захватывающей. При n, большем или равном 22,
кольцо может заузливаться.
Выкройка для построения таких колец оказалась несложной и чтобы построить для
большего числа n, достаточно увеличить количество треугольников. В случае n = 6,
нужно приготовить выкройку (рис.6), состоящую из 24 правильных треугольников и
9 клапанов. Вырезав её, нужно сделать сгибы по внутренним линиям (штриховые
линии загнуть вверх, а пунктирные - вниз). Клапаны соединить и приклеить в
соответствии с буквенными обозначениями.
Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический
интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют
магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров
расставил числа от 1 до 32 следующим образом.
По этой заготовке изготавливается флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. При
вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем
же результатом
- 132.Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани
каждого тетраэдра в сумме дают 66. А также сумма граней при повороте по спирали
равна132.
Флексоры в отличие
от флексагонов показывают
лишь 4 разных
поверхности.
Самое
главное
в
моей работе
это показать
где
же можно примененить флексагоны и флексоры.
В ходе выполнения проекта было ясно, что флексагоны и флексоры представляют
собой занимательные головоломки и необычные игрушки. Но где ещё встречаются
эти модели?
Флексагоны и флексоры умело применяются в дошкольных учреждениях и школах
как средство математического развития дошкольников и школьников младших
классов. (Приложение 7)
Они могут стать познавательной игрушкой для детей, если вместо цифр взять
цвета или геометрические фигуры (Приложение 7-1)
Оказалось, что флексагоны и флексоры могут быть основой творчества.
Можно изготовить открытку – флексагон или календарь - тетрафлексагон. С
каждым разворотом этой открытки открываются новые картинки, а разворотов здесь
- целых четыре. (Приложение 7-2,3)
Мы обклеили один куб- трансформер фотографиями с видами нашего села, другой изображениями горы Сахюрта, третий - полевыми цветами. (Приложение 7-4).
Флексагоны и флексоры сумели привлечь внимание в различных отраслях - в
шарнирах для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в
раскладных телефонах; в рекламных акциях, в интерьерах помещений и предметах
меблировки. Флексагоны и флексоры, как средство математического моделирования,
имеют следующие отличительные черты:
1) экономичность: для их изготовления нужны бумага, клей, ножницы и эталоны
форм;
2) доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит
скрытые поверхности, но и моделирует по разверткам;
3) многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют
развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания,
терпения.