Практическая работа № 1
Тема: Решение систем линейных уравнений различными способами.
Цель: отработать навыки в решении систем линейных уравнений различными способами.
Материальное обеспечение: практическая работа.
Общие теоретические положения
Системы линейных уравнений
Система уравнений следующего вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
,
{
………………………………………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
где aij, bi – числовые коэффициенты, xi – переменные, называемые системой линейных уравнений.
Решить систему линейных уравнений - значит указать все решения системы, то есть
такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.
Система линейных уравнений называется:
- совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
- несовместной, если она не имеет решений;
- определенной, если она имеет единственное решение;
- однородной, если все bi = 0;
- неоднородной, если все bi ≠ 0.
Правило Крамера
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных
совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты
системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не
являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
А = detA≠ 0 ;
Теорема. (Правило Крамера):
Система из n уравнений с n неизвестными
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{
………………………………………
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное
решение и это решение находится по формулам:
∆
𝑥𝑖 = ∆𝑖;
где Δ - главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при
неизвестных, а Δi - вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i - го
столбца столбцом свободных членов bi.
1
Пример. Решить систему, используя правило Крамера.
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
{𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
𝑎11
𝑎
∆= ( 21
𝑎31
𝑏1
∆1 = |𝑏2
𝑏
𝑥1 =
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
∆1
;
∆
𝑎13
𝑎23 );
𝑎33
𝑎13
𝑎23 |;
𝑎33
𝑥2 =
∆2
;
∆
𝑎11
∆2 = |𝑎21
𝑎31
𝑥3 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑎13
𝑎23 |;
𝑎33
𝑎11
∆3 = |𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑏1
𝑏2 |;
𝑏3
∆3
∆
Пример. Найти решение системы уравнений
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
{ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14
4𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 16
5 −1 −1
∆= |1 2
3 | = 5(4 − 9) + (2 − 12) − (3 − 8) = −25 − 10 + 5 = −30 ≠ 0,
4 3
2
единственное решение
система
имеет
0 −1 −1
∆1 = |14 2
3 | = (28 − 48) − (42 − 32) = −20 − 10 = −30
16 3
2
5 0 −1
∆2 = |1 14 3 | = 5(28 − 48) − (16 − 56) = −100 + 40 = −60
4 16 2
5 −1 0
∆3 = |1 2 14| = 5(32 − 42) + (16 − 56) = −50 − 40 = −90
4 3 16
𝑥=
∆1 −30
=
= 1;
∆
−30
𝑦=
∆2 −60
=
=2
∆
−30
𝑧=
∆3 −90
=
=3
∆
−30
Проверка:
5*1-2-3=0; 0=0
1+2*2+3*3=14; 14=14
4*1+3*2+2*3=16; 16=16
Ответ: {1; 2; 3}
2
Матричный метод
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу
неизвестных.
Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении
свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
………………………………………
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Введем обозначения:
𝑎11 𝑎12
𝑎 𝑎
𝐴 = ( 21 22
… …
𝑎𝑛1 𝑎2𝑛
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
)- матрица коэффициентов системы;
… …
… 𝑎𝑛𝑛
𝑏1
𝑏
𝐵 = ( 2 )- матрица-столбец свободных членов;
…
𝑏𝑛
𝑥1
𝑥
𝑋 = ( 2 )- матрица-столбец неизвестных.
…
𝑥𝑛
Систему уравнений можно записать в матричной форме: A*X=B → X=A-1*B - решение матричного
уравнения
Пример. Решить систему матричным методом
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 2
{𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = −5
4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −4
Решение. Обозначим:
2 −3 1
𝐴 = (1 5 −4) ,
4 1 −3
𝑥
𝑋 = (𝑦) ,
𝑧
2
𝐵 = (−5)
−4
Получаем матричное уравнение A*X=B
Его решение X=A-1*B.
Вычислим определить
3
2
𝐴 = |1
4
−3 1
5 −4| = 2(−15 + 4) + 3(−3 + 16) + (1 − 20) = 2 ∗ (−11) + 3 ∗ 13 − 19 = −22 + 39 − 19 = −2≠0
1 −3
Находим алгебраические дополнения для каждого элемента
𝐴11 = |
1 −4
5 −4
1
| = −15 + 4 = −11 𝐴12 = − |
| = −(−3 + 16) = −13 𝐴13 = |
4 −3
1 −3
4
5
| = 1 − 20 = −19
1
−3 1
2 1
2
| = −(9 − 1) = −8 𝐴22 = |
| = −6 − 4 = −10 𝐴23 = − |
1 −3
4 −3
4
−3
| = −(2 + 12) = −14
1
𝐴21 = − |
−3 1
𝐴31 = |
| = 12 − 5 = 7
5 −4
A11
1
A 1 A12
A13
A21
A22
A23
2
𝐴32 = − |
1
1
| = −(−8 − 1) = 9
−4
2
𝐴33 = |
1
−3
| = 10 + 3 = 13
5
A31
A32
A33
𝑥
7
2
5
1 −11 −8
1 −22 + 40 − 28
1 −10
𝐴−1 = − (−13 −10 9 ) ∙ (−5) = − (−26 + 50 − 36) = − (−12) = ( 6 ) = (𝑦)
2
2
2
𝑧
−38 + 70 − 52
−19 −14 13
−4
−20
10
Проверка.
2*5-3*6+10=2; 2=2
5+5*6-4*10=-5; -5=-5
4-5+6-30=-4; -4=-4
Ответ: {5; 6;10}
Метод Гаусса
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к
системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода
заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
………………………………………
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей
системы.
Определение: Матрица называется расширенной матрице системы, если к матрице A присоединить
столбец свободных членов системы.
4
Расширенная матрица - это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют
уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим
уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению
произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить
работой со строками матрицы.
Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:
А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,
Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее
неравного нулю элемента предыдущей строки.
Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных
уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в
равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение
метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5
{𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = −3
7𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 10
Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований
приведем к виду:
2 1 −1 5
1 −2 3 −3
1
(1 −2 3 −3) ~ (2 1 −1 5 ) ~ (0
7 1 −1 10
7 1 −1 10
0
−2
3
−3
1
5
−7 11 ) ~ (0
15 −22 31
0
−2 3 −3
5 −7 11 )
0 −1 −2
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = −3
{ 5𝑥2 − 7𝑥3 = 11 , откуда получаем: x3=2, x2=5, x1=1
−𝑥3 = −2
Проверка.
2*1+5-2=5, 5=5
1-2*5+3*2=-3, -3=-3
7+5-2=10, 10=10
Ответ: x1=1, x2=5, x3=2
Задание для самостоятельной работы:
Вариант 1
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = −2
{ 5𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
Вариант 2
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1
{−4𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = −2
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0
Вариант 3
4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 5
{ 4𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 7
3𝑥1 + 𝑥2 − 6𝑥3 = −4
5
Вариант 4
7𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 7
{−4𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 13
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 2
Вариант 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
{ −𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 5
2𝑥1 − 12𝑥2 − 𝑥3 = 5
Вариант 6
5𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = −7
{ 8𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = −1
−2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 4
Вариант 7
3𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 8
{ 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 4
−𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4
Вариант 8
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −1
−𝑥
{ 1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 2
−2𝑥1 − 𝑥3 = 3
Вариант 9
2𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = 1
{ −𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = 4
3𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 12
Вариант 10
4𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 5
{−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −17
−3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 10
Вариант 11
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
{ 2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
−𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 8
Вариант 12
𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 12
{2𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 14
3𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 = 2
Вариант 13
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1
{3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 2
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5
Вариант 14
2𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = −2
{3𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = −1
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
Вариант 15
3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 2
{ 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −1
−2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 1
Вариант 16
5𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3
{ 3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 1
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
Вариант 17
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −1
{ 3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 1
𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 0
Вариант 18
𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 = 0
{ 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 5
4𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = 4
Вариант 19
3𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1
{ 4𝑥1 − 5𝑥2 − 𝑥3 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
Вариант 20
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = −1
{ 4𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 1
5𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 = 0
Вариант 21
2𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = −2
{3𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = −1
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
Вариант 22
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
{3𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −2
4𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 0
Вариант 23
3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 2
{ 4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
5𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 = −2
Вариант 24
3𝑥1 − 4𝑥2 − 𝑥3 = 2
{2𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = 1
𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 = 12
Вариант 25
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
{ 5𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 0
6𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = −2
Вариант 26
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 10
{6𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = 3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0
Вариант 27
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = −2
{ 5𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
Вариант 28
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1
{−4𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = −2
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0
Вариант 29
4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 5
{ 4𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 7
3𝑥1 + 𝑥2 − 6𝑥3 = −4
Вариант 30
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 8
{−𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 8
−𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
6
Порядок выполнения работы:
1. Изучить инструкцию к практической работе.
2. Выполнить задание.
3. Оформить отчет.
Вопросы для самоконтроля:
1. Необходимое и достаточное условие существования единственного решения системы
линейных уравнений.
2. Определение обратной матрицы. Условие ее существования.
3. Что такое единичная матрица?
4. Основные методы решения системы линейных уравнений.
5. Правило Крамера.
6. Укажите основные моменты решения Методом Гаусса.
7