Понятие производной

Лекция 4.
10 класс.
Тема: « Понятие производной (приращение функции, понятие о
касательной к графику функции, мгновенная скорость движения,
производная, понятие о непрерывности функции и предельном
переходе).»
1. Приращение функции (изменение величины)
1)Примеры:
 Сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины;
 Работа есть изменения энергии;
 Средняя скорость- это отношение перемещения к промежутку времени,
за которое было совершено это движение.

Смысл «приращение аргумента» (∆х - обозначение).
∆х=х-х0 , х=х0+∆х, где х- произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности
фиксированной точки х0.
Смысл «приращения функции» ( ∆f- обозначение).
∆у=∆f = f(x) − f(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 + ∆х) − f(𝑥0 ) - приращение функции f в точке х0,
соответствующим приращению ∆х.
f(x) = f(𝑥0 ) + ∆f.
(∆f
есть
функция
от
∆х,
∆f −
приращение зависимой переменной).
Пример1.
f(x) = 2х2 в точке х0=1, если х=0,9; х=1,1.
а) ∆х=х-х0=0,9-1=-0,1.
∆ f = f(x) − f(𝑥0 ) =2(0,9)2-2*12=2(0,92-1)=2*((-0,1)*1,9)=-3,8*0,1=-0,38;
б) ∆х=х-х0=1,1-1=0,1.
∆ f = f(x) − f(𝑥0 ) =2(1,1)2-2*12=2(0,92-1)=2*(1,1-1)(1,1+1)=2*0,1*2,1=0,42.
Пример 2.
f(x) = −
2
х
в точке х0=-2, ∆х=0,1. Найти
∆ f.
х=х0+∆х=-2+0,1=-1,9;
1
∆ f = f(x) − f(𝑥0 ) =
−2
−1,9
− (−
2
20
1
) = 19 − 1 = 19.
−2
Пример 3.
Ребро куба х, приращение ∆х. Найдите ∆Sполн.
а= х + ∆х, S=6а2.
∆S= S(х)- S(а)=6( х + ∆х)2-6х2=6(х2+2х∆х +∆х2)-6х2=12х∆х+6∆х2.
2) Геометрический смысл ∆х и ∆у.
Рассмотреть рис.80 учебника на стр.98.
L - секущая к графику. Она проходит через точки (х0; у0) и (х; у).
у−у0
К=
х−х0
=tq𝛼 =
∆у
∆х
(напоминание у = кх + в, где к = tq𝛼.)
На доске изобразить свой рис. Показать и на этом рисунке приращения аргумента
и функции.
3) Средняя скорость движения за промежуток времени [𝒕𝟎 ; 𝒕𝟎 + ∆𝒕].
Vср.(∆t)=
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥(𝑡0 +∆𝑡)−𝑥𝑡0
∆𝑡
.
Эта формула верна и для ∆t< 0 на промежутке [𝒕𝟎 + ∆𝒕; 𝒕𝟎 ].
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )
∆𝑥
называют средней скоростью
изменения функции на
промежутке с концами х0 и х0+∆𝑥.
𝟐. Понятие о касательной к графику функции.
Гладкая кривая обладает свойством- произвольный её маленький участок
практически не отличается от отрезка некоторой прямой l.
Проходящую через точку (х0;𝑓(𝑥0 )) прямую, с отрезком которой практически
сливается график функции 𝑓
При значениях х, близких к х0 называется касательной к графику функции 𝑓 в
точке (х0;𝑓(𝑥0 )).
Задача. Определите точное положение касательной к графику данной функции в
заданной точке.
Пример.
f(x)=x2 (касательная проходит через две точки (х0; х02) и (х0+∆𝑥; (х0+∆𝑥)2), угловые
коэффициенты секущих, проходящих через точки будут близки к угловому
коэффициенту к, если ∆𝑥 → 0.
2
Угловой коэффициент к(∆𝑥)- секущей, проходящей через точки (х0;у(х0)) и
(х0+∆𝑥; у(х0 + ∆𝑥), равен
К(∆𝑥) =
∆у
∆х
=
∆у
.
∆х
(х0 +∆х)2 −х0 2
2х0 ∆х+(∆х)2
=
∆х
∆х
= 2х0 + ∆х.
Если ∆𝑥 → 0, то К(∆𝑥) = 2х0 , при х0=1 к=2.
Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1;1), то уравнение
касательной у=2х-1. (к=2,х=1,у=1, у = кх+в, 2+в=1, в=-1).
Пример.
f(x)=x2. Х0=-1.
К(∆𝑥) = 2х0 + ∆х. к=2, у=2х.
График проходит через точку (-1;1).
К=2х0+∆х = 2(−1) = −2, (если ∆х → 0).
у= кх+в, следовательно у=-2х+в=-2х-1 (1=-2(-1)+в, в=-1).
3.Мгновенная скорость движения.
На уроках физики, чтобы найти Vмгн (𝑡0 ), зная х(𝑡) вы поступали следующим
образом: Vср.(∆t)=
∆𝑥
∆𝑡
- средняя скорость за промежуток времени длительностью
|∆𝑡|, от t0 до t0+∆𝑡.
Так как тело движется плавно, то если ∆𝑡 → 0, то за этот промежуток времени
скорость практически не изменяется, точка Vср.(t0) практически не отличается от
значения Vмгн (𝑡0 ).
Способ определения Vмгн.
Пусть тело брошено вверх, со скоростью V0. Найдем мгновенную скорость. Высота
его в момент 𝑡 находится по формуле h(t)=𝑣0 𝑡 −
𝑞𝑡 2
2
.
∆ℎ = ℎ(𝑡) − ℎ(𝑡0 )=h(𝑡0 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡0 ).
1) Найдем ∆ℎ:
∆ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) − ℎ(𝑡0 ) = 𝑣(𝑡0 + ∆𝑡) −
𝑞𝑡0 2 +2𝑞𝑡0 ∆𝑡+𝑞(∆𝑡)2
2
2) Vср.(∆t) =
− 𝑣0 𝑡0 +
(𝑣0 −𝑞𝑡𝑜 )∆𝑡−𝑞
∆𝑡
(∆𝑡)2
2
𝑞𝑡0 2
2
𝑞(𝑡0 +∆𝑡)2
2
− 𝑣0 𝑡0 +
= 𝑣0 ∆𝑡 − 𝑞𝑡0 ∆𝑡 −
= 𝑣0 − 𝑞𝑡0 −
𝑞∆𝑡
2
𝑞(∆𝑡)2
2
𝑞𝑡0 2
2
= 𝑣0 𝑡𝑜 + 𝑣0 ∆𝑡 −
.
;
3) при ∆𝑡 → 0 Vср.(∆t) → 𝑣0 − 𝑞𝑡0 .
Vмгн (∆𝑡) = 𝑣0 − 𝑞𝑡0 .
3
Пример.
Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону х(t), в
момент 𝑡0 . Х(t)=-t2+8t, t0=6.
∆𝑥 = 𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡0 ) = 𝑥(𝑡0 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡0 ).
1) ∆𝑥 = −(𝑡0 + ∆𝑡)2 + 8(𝑡0 + ∆𝑡) + 𝑡0 2 − 8𝑡0 = −𝑡0 2 − 2𝑡0 ∆𝑡 − (∆𝑡)2 + 8𝑡0 +
8∆𝑡 + 𝑡0 2 − 8𝑡0 = −2𝑡0 ∆𝑡 − (𝑡0 )2 + 8∆𝑡.
2) Vср.(∆t)=
∆𝑥
∆𝑡
=
−2𝑡0 ∆𝑡−∆𝑡 2 +8∆𝑡
∆𝑡
= −2𝑡0 + 8 − ∆𝑡.
3) при ∆𝑡 → 0 Vср.(∆t) → −2𝑡0 + 8.
Vмгн(∆𝑡) → −2𝑡0 + 8. Vмгн (𝑡0 )=-2*6+8=-4.
4.Производная.
При определении касательной к графику в точке х0 мгновенной скорости
тела, брошенного вверх или по другим законам мы придерживались одной
схеме. В общем виде она может быть записана так:

∆f = f(x) − f(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 + ∆х) − f(𝑥0 )- находим приращение в точке х0;
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )
∆𝑥
;
Выясняем, к какому числу стремится отношение
∆𝑓
∆𝑥
при ∆х → 0.
Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой)
скоростью изменения функции f в точке х0 или производной функции f в точке х0.
Определение. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому
стремится разностное отношение
Обозначение: f/(х0) =
∆𝑓
∆𝑥
∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )
∆𝑥
при ∆х → 0.
.
Пример 1.
f(x)=x3. Найти f/(х0).
1) ∆𝑓 = (𝑥0 + ∆𝑥)3 − 𝑥0 3 = 𝑥0 3 + 3𝑥02 ∆𝑥 + 3𝑥0 ∆𝑥 2 + ∆𝑥 3 − 𝑥0 3 =
3𝑥02 ∆𝑥 + 3𝑥0 ∆𝑥 2 + ∆𝑥 3 ;
2)
∆𝑓
∆𝑥
=3𝑥02 + 3𝑥0 ∆𝑥 + ∆𝑥 2 ;
3) при ∆х → 0 f/(х0)= 3𝑥02 .
4
Пример 2.
f(x )= кх+в. Найти f/(х0).
1) ∆𝑓 = ( (х0 + ∆х)к + в) − (кх0 + в) = кх0 + к∆х + в − кх0 − в = к∆х;
2)
∆𝑓
∆𝑥
=к;
3) при любых ∆х к − постоянное число, следоательно f/(х0)=(к х + в)/= к.
Функцию, имеющую производную в точке х0 называют дифференцируемой
в этой точке.
Пусть Д1- множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя
каждому х∈ Д1 число f(x), получим новую функцию с областью определения Д1.
Эту функцию называют производной функции у = f(x) и обозначается у/ или f/.
Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.
Таблица производных функций смотри в справочнике.
5. Понятие о непрерывности функции м предельном переходе.
В задаче определения мгновенной скорости в точке 𝑡0 . Vср.(∆t)= 𝑣0 − 𝑞𝑡0 −
𝑞∆𝑡
2
не определена при ∆t=0. Но для числа L=𝑣0 − 𝑞𝑡0 при умножении |∆𝑡| разность
Vср.(∆t)−𝐿 приближается к 0. Vср.(∆t)= 𝑣0 − 𝑞𝑡0 при ∆х → 0 .
Функция f(x)→ L(х0) при х →х0, если разность f(x)− L(х0) сколь угодно мала, то есть
|f(x) − L| становится меньше любого фиксированного h> 0 при уменьшении |∆х|,
где ∆х = х − х0.
Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом.
Мы будем иметь дело с предельным переходом в двух случаях:
1) предельный переход в разностном отношении
∆𝑓
∆𝑥
- нахождении производной;
2) с непрерывностью функции, если f(x)→ f (х0) при х→ х0, о функцию называют
непрерывной в точке х0.
При этом f(x) − L = f(x)−f (х0)= ∆𝑓, получаем |∆ 𝐟| мало при малых |∆х|, то есть
малым изменениям аргумента в точке х0 соответствуют малые изменения
значений функции.
Все известные функции, изучаемые в курсе алгебры непрерывны в каждой точке
своей области определения. Графики таких функций изображаются
непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящим в область
определения на этом и основан способ построения графиков по точкам.
Пример1.
5
Докажите, что линейная функция f(x )= к х+в.
Непрерывна в каждой точке
числовой прямой.
1) показать, что |∆ 𝐟| становится меньше любого фиксированного h> 0 при малых
|∆х|. Но |∆𝑓|=|𝑓(𝑥0 + ∆х) − f(𝑥0 )| = |к(х0 + ∆х) + в − (кх0 + в)| = |к||∆х|.
ℎ
|∆𝑓| < ℎ, ℎ > 0, если взять |∆х| <
при к≠ 0 (при к=0, |∆х| - можно брать
|к|
любое).
Пример 2.
Докажите, что функция f(x )=√х непрерывная в точке х0 при х0> 0.
|∆х| ≤ х0 так будем выбирать ∆х, тогда √х = √х0 + ∆х определен.
Оценим разность √х − √х0 . |∆𝑓| =
|
(√х0 +∆х+√х0 )(√х0 +∆х −√х0 )
√х0 +∆х+√х0
|=|
∆х
√х0 +∆х −√х0
|√х0 + ∆х − √х0 | =
|<
|∆х|
√х0
. Легко видеть, что |∆𝑓| < ℎ, ℎ > 0,
если взять |∆х| < √х0 ℎ, |∆х| < х0 .
Правила предельного перехода.
Правило1.
Если функция f непрерывна в точке х0, то ∆𝑓 → 0, при ∆х → 0 .
Правило 2.
Если функция f имеет производную в точке х0, то
∆𝑓
∆𝑥
→ f/(х0) при ∆х → 0.
Правило 3.
Пусть f(x ) → А, 𝑞(𝑥) → В при х→х0, тогда
а) f(x )+ 𝑞(𝑥) → А + В;
б) f(x )+× 𝑞(𝑥) → А × В;
в)
f(x)
𝑞(𝑥)
А
→ при в≠ 0.
В
6