Учитель математики высшей категории Цапиева Тамара Васильевна город Удомля Тверской области Муниципальное общеобразовательное учреждение «Удомельская средняя общеобразовательная школа № 5 с углубленным изучением отдельных предметов» E-mail: eljvkz88@ mail.ru Телефон: 89201618411 УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ (методическое пособие для учащихся 7-9 класс) СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка. .Уравнения с параметром, сводящие к линейным. .Квадратные уравнения с параметром. Применение теоремы Виета и исследование расположения корней квадратного уравнения относительно нуля. Расположения корней квадратной функции относительно заданных точек. Решение биквадратных уравнений с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль. Пояснительная записка. Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. Без сомнения, задачи с параметрами дают развивающий эффект, научный подход к решению задач. И в то же время наша программа не включает в себя этот важный раздел. С этим противоречием я и столкнулась, так как в наших школьных учебниках не содержится теоретического материала о решении заданий с параметрами, всего несколько упражнений, которые идут со звездочкой и не даются систематически. То есть, возникает противоречие между необходимостью увеличить объем информации, включаемый в общеобразовательную программу и возможностью ее усвоения каждым учеником. Предложенное методическое пособие может быть использовано на уроках математики в 7 - 9 классах. Решение уравнений с параметром. В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра. Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Обычно в уравнении буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение– значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения кроме букв, обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры. .. Многие учащиеся слабо владеют методами их решения, часто воспринимают параметр как величину известную и проводят соответствующие выкладки без должного анализа различных ситуаций, диктуемых параметром. Отсюда неверные выводы, порою даже парадоксальные. Чтобы избежать этого, необходимо тщательно продумывать каждый шаг решения задачи с параметром, логически обосновывать любое преобразование, в котором участвует параметр. Если в уравнении , кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а такое уравнение – параметрическим. Решить уравнение, содержащее параметр-это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным. Рассмотрим уравнение (1) где - неизвестная величина, и - параметры уравнения. Достаточно очевиден следующий результат. Теорема. Если , то уравнение (1) при любом имеет единственное решение если и то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений (именно любое является решением уравнения (1); если и то уравнение (1) не имеет решений (т.е. ). 1). Для каждого допустимого значения параметра уравнение решить Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения параметра Уравнение равносильно такому уравнению: (2) Используя теорему 1, получаем а) если б) если в) если . Ответ. Если если то уравнение (2) равносильно уравнению ⟺ то уравнение (3) равносильно уравнению ⟺ и то из (3) следует, что то то если то 2.) Решить уравнение : Решение. Если не учитывать теории линейных уравнений, то в лучшем случае можно получить ответ , являющийся ошибочным, так как не учтены различные ситуации, связанные с параметром. Правильный же результат запишется так: Если то если то Ответ. Если то если то 3).Решить уравнение: Решение. Если не принять во внимание, что в данном уравнении параметр может принимать любые значения (в том числе и обращаться в нуль), то можно получит результат который является исчерпывающим лишь при . Если же то уравнение приводится к виду решением которого является любое число Ответ. Если то если , то 4).Решить и исследовать в зависимости от параметра уравнение: a(ax 1)3(6a) x Решение: a x a 3 6 x ax, 2 (a 2 a 6) x a 3, (a 3)(a 2) x a 3 возможны три случая: а) если a 2, a 3, т о уравнение имеет единственное решение x 1 ; a2 б) если a 2 , то 0x 5 , а тогда решений нет; в) a 3, то 0 x 0 и уравнение имеет бесконечное множество решений x R . Ответ: при при при a 2, a 3 x 1 a2 a 2 , решения нет; a 3, x R . 5). Для каждого допустимого значения параметра уравнение решить и указать все значения параметра, при которых корни уравнения больше Решение. В данном уравнении допустимыми являются любые значения параметра При каждом значении параметра уравнение равносильно системе ⟺ (3) Решим сначала уравнении системы (3); оно линейно и по теореме 1 имеем: а) если то указанное уравнение равносильно такому уравнению: ⟺ ; б) если то . Найдем теперь те значения параметра при которых найденное решение уравнения удовлетворяет неравенствам из (3). 8∙ ⟺ ⟺ ⟺ Итак, если то данное уравнение имеет единственный корень если же или то данное уравнение корней не имеет . Найдем теперь те значения параметра при которых найденный корень превосходит . Имеем ⟺ ⟺ ⟺ Ответ. Если если или то то Если то корень больше x a x 1 2 x 1 x a 6).Решить уравнение. Решение. Обозначим 1 t 2, t Подставим Откуда xa t, x 1 (t 1) 2 0, t 1, где t 0 получим уравнение t 1 получим xa 1, x 1 x a x 1, x x a 1, то есть 0 x a 1. Возможны два случая: а) если a 1 0, т.е. a 1 , то решения нет; a 1 0, т.е. a 1 , то в) если 0x 0 , значит последнее уравнение имеет бесконечное множество решений x R . Однако надо проверить, что x 1, следовательно, исходное уравнение имеет решение x R, x 1. Ответ: при при a 1, a 1, решений нет то x R, x 1 mx 1 2m3 x2 7).Решить уравнение. Решение: Уравнение равносильно системе: x 2; mx 1 ( x 2)(2m 3; x 2; mx - 1 = 2mx + 3x + 4m + 6; Последнее уравнение перепишем в виде Ax = B ; (m 3) x (4m 7) При m 3 получаем 0x 5 нет корней. 4m 7 единственное решение. m3 Однако надо проверить, что x 2 При m 3 x 2 Ответ: получаем x 4m 7 1 2 4m 7 2m 6 m m3 2 1 2 1 m 3; m 2 при m 3; m нет решения; при x 8).Решить уравнение. Решение: Упростим уравнение. 4m 7 . m3 b 1 2b 2 3b 1 x b x b x 2 b 2 x b ОДЗ: x b b( x b) x b 2b 2 3b 1 0, ( x b)( x b) bx x 3b 2 2b 1 0 , (b 1) x 3b 2 2b 1 , (b 1) x (b 1)(3b 1) , Последнее уравнение является линейным относительно х, и оно равносильно исходному в ОДЗ заданного уравнения. 1) При b 1 уравнение имеет единственное решение x (b 1)(3b 1) 3b 1 . b 1 Полученное решение входит в ОДЗ, если 3b 1 b, 3b 1 b; b b 1 , 2 1 ; 4 Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение x 3b 1, при b 1, b 1 1 , b . 2 4 2) при b 1, линейное уравнение примет вид 0x 0 имеет бесконечное множество решений x R , x 1 3) при b 1 1 ; b 2 4 и, значит, уравнение очевидно решений не имеет. 1 1 x 3b 1 2 4 при b 1, x R , x 1 1 1 при b ; b решений нет. 2 4 Ответ: при b 1, b , b 9).При каком значении а уравнение имеет единственное решение x a a 3x 2 x 1 x 3 x 1, ОДЗ x 3. Решение: Упростим уравнение: ( x a)( x 3) (a 3x)( x 1) 2( x 1)( x 3), x 2 3a ax 3a ax a 3x 2 3x 2 x 2 2 x 6 x 6, 2ax 10 x 2a 6, x(a 5) a 3. Последнее уравнение является линейным относительно х , и оно равносильно исходному в ОДЗ заданного уравнения. При a 5 уравнение имеет единственное решение x a3 a 5 Полученное решение входит в ОДЗ, если a 3 a 5 1, a + 3 3; a - 5 a 1, ОДЗ a 9; Ответ: при a 5, a 1, a 9 Задачи для самостоятельного решения: 1). Найти значения параметра m , при которых уравнение m 2 x m 2 6 4 x m а) имеет единственное решение, б) не имеет решений, в) имеет бесконечное множество решений. Ответ: m ;2 2; a) б) m 2 в) m 2. 2) При каких значениях параметра а уравнение x a a 3x 2 1 x 3 x имеет единственное решение Ответ a 9; a 5; a 1. 3). При каких значениях параметра а уравнение x a a 3x 2 1 x 3 x имеет единственное решение Ответ a 1; a 5; a 9 4). При каких значениях параметра а уравнение x a a 3x 2 x 1 x 2 имеет единственное решение Ответ: a 9; a 5; a 1. Квадратные уравнения с параметрами Рассмотрим теперь квадратное уравнение где - неизвестная величина, уравнения. (1) - параметры (коэффициенты) К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего, значение При указанном значении параметра уравнение (1) принимает вид (2) следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2) является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее. При другие критические значения параметров определяются дискриминантом уравнения. Известно, что при уравнение (1) корней не имеет; при оно имеет единственный корень при уравнение (1) имеет два различных корня и 1). Найти все значения параметра уравнение для которых квадратное а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня. Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения При уравнение имеет два различных корня, т.к. При уравнение корней не имеет, т.к. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к. а это противоречит условию задачи. Ответ: При уравнение имеет два различных корня. При уравнение корней не имеет. 2).Решить уравнение . Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение при Решение. Рассмотрим сначала случай, когда ⟺ (в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением). Таким образом, значение параметра и являются его критическими значениями. Ясно, что при корнем данного уравнения является а при его корнем является Если т.е. и то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: 2 D 1 4a 2 a 2 1 4a 4 4a 2 1 2a 2 1 . При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные значения, причем он обращается в нуль при (эти значения параметра тоже являются его критическими значениями). Поэтому, если то данное уравнение имеет единственный корень При этом значению параметра соответствует корень а значению соответствует корень Если же корня. Найдем эти корни. Ответ. Если то уравнение имеет два различных то если то если то если то , . 3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение х 2 ах 1 0 имеет единственное решение? х3 Решение. Данное уравнение равносильно системе х 2 ах 1 0, х 3. Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем D = а2 - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 — корень уравнения х2 – ах +1 = 0 при а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен от -3. Ответ . а = ±2 или а = -10/3. 4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение (а - 2)x2 + (4 - 2а) х +3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то Ответ, а = 5. 9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах2 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение. При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а2 – 12а положительный. Отсюда получаем -4 <а<1. Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0.Ответ. -4<а<0 или 0<а<1. 10). При каких значениях параметра а уравнение а(а +3)х2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня? Решение. Стандартный шаг — начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение ах2 + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4 (1 + За) положителен при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3. Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0. 11).Решить уравнение : Решение. Сначала заметим, что при данное уравнение равносильно уравнению которое не имеет решений. Если же то можно записать , ⟺ Ответ. Если ⟺ то если то . Задачи на расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра могут быть разнообразные: найти значение параметра, при котором корни положительны, отрицательны, имеют разный знак, больше или меньше какого-либо числа, принадлежат данному отрезку или когда отрезок находится между корнями трехчлена. Применение теоремы Виета и исследование расположения корней квадратного уравнения относительно нуля. Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке. Этих двух теорем ( прямой и обратной ) Теорема Виета Если уравнение x 2 px q 0 имеет корни и x1 ; x 2 то выполнены равенства x1 x2 p; x1 x 2 q . Особенности теоремы: Первое. Теорема верна только для уравнения x 2 px q 0 и не верна для ax 2 bx c 0 В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х2, а потом уже применять теорему Виета. Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0 Обратная Теорема Виета Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения x 2 x 0 Очень важное замечание, облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен. Рекомендации для учащихся ax 2 bx c 0, a 0; D b 2 4ac Условия на корни Корни x1 ; x2 существуют ( и различны) Корни существуют и равны x1 x 2 x 0 ; Причем x0 0; ( x0 0) Корни существуют и x1 0; x 2 0 Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D D 0; D 0, b x1 x 2 2 x0 a 0 ( 0) D 0, c x1 x 2 a 0. Корни существуют и x 0; x2 0 Корни существуют и различны x1 0; x2 0 Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0 ( 0). D 0, b x1 x 2 0, a c x1 x 2 a 0. D 0, b x1 x 2 0, a c x1 x 2 a 0. c 0, b x1 x 2 a 0 ( 0) 1). Установить, при каких значениях параметра уравнение не имеет корней. Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант = имеет различные положительные корни. Раз корни есть, то если они оба положительные, то Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения ⟹ имеет различные отрицательные корни и имеет корни разного знака имеет совпадающие корни 2). При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения a 2x2 8xa 40 будут положительными? Решение. Так как заданное уравнение является квадратным, то a 2 оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть D 0, x1 x 2 0; x x 0. 1 2 D 16 (a 2)(a 4), 4 8 a4 x1 x 2 , x1 x 2 , a2 a2 Так как, а по теореме Виета, То получим систему неравенств 16 (a 2)(a 4) 0, 8 0, a2 a 4 a 2 0; a 2 2a 24 0, a 2 0, a 4 или a 2; 6 a 4 , a 2, a 4 или a 2, откуда Ответ: 6 a 4. 3). Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного уравнения ax 2 2(a 3) x a 20 неположительны. Решение. Так как заданное уравнение является квадратным, то a 0 . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть D 0, x1 x 2 0, x x 0. 1 2 D 4(a 3) 2 4a (a 2) 4(a 2 6a 9) 4a 2 8a 4a 2 24a 36 4a 2 8a 16a 36 а по теореме Виета x1 x 2 2(a 3) , a x1 x 2 a2 a то получим систему неравенств. 16a 36 0, 2(a 3) 0, a a 2 a 0; Ответ: a 0 9 a 4 , a 0 или a 3, a 0 или a 2; откуда a 0 4).При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения 4x 2 28x a 0 равна 22.5 ? Решение. Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться. Имеем x12 x 22 x1 x 2 2 x1 x 2 49 2 a 2 поскольку x12 x22 22.5, то получаем “Ответ” a 53 Однако при найденном значении а исходное уравнение корней не имеет. В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета: вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет. Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при a 49 исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше. Ответ: Таких а не существует. 5). Корни уравнения таковы, что Определить Решение. По теореме Виета части первого равенства в квадрат а получаем Проверка показывает, что значения исходному уравнению. Возведем обе Учитывая, что или удовлетворяют Ответ: 6).При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения значение: x 2 x a 2 4a a 20 принимает наименьшее Решение. Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем D a 2 8 Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а. оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а, т.е. при a 0; при a 4. Используя теорему Виета, запишем x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 2 a 2 4a 2 2 a 2 a 2 2a 4 Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции (a) a 2 2a 4 на множестве ;0 4; Поскольку при a 0 (a) (0) 4, а при a 4 (a) (4) 12, то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке a 0. Ответ: a 0. Задачи для самостоятельного решения 1). Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного уравнения ax 2 2a 3x a 20 неотрицательны 9 Ответ: a ,2 . 4 2). Вычислить значение выражения уравнения ,где x и x2 -корни 5x 2 13x 170. Ответ: 3). x1 x 2 , x 2 x1 339 85 Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов действительных корней уравнения ax 2 2x 10 больше 6. 2 Ответ: a ;0 0;1 3 4).При каких значениях параметра а уравнение ах2-4х+а=0 имеет: а) положительные корни б) отрицательные корни Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек. Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни ( только один корень ) больше (меньше, не больше, не меньше ) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п. При решении задач, связанных с квадратным трехчленом (1) часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ». Вопрос 1. Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) оба его корня и больше т.е. ? Рис.1 Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны удовлетворять условиям где - абсцисса вершины параболы. Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем Вопрос 2. Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и лежат на разные стороны от т.е. ? Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1). ) ( Рис. 2 Вопрос 3. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и различны и только один из них лежит в заданном интервале Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни и лежат в заданном интервале т.е. Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже. Таблица x1 и x 2 - корни многочлена ( x) ax 2 bx c, D b 2 4ac 0, a 0 Задача 1. При каких значениях параметра корни и уравнения удовлетворяют условию Решение. Воспользовавшись ответом на вопрос 2, получаем, что искомыми значениями параметра является множество решений неравенства ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ Ответ. Задача 2. При каких значениях параметра уравнения множество корней не пусто и все его корни принадлежат (-1, 1)? Решение. Так как в предложенной задаче коэффициент при положителен, то воспользовавшись ответом на вопрос 4, получаем, что искомыми значениями параметра является множество решений следующей системы неравенств ⟺ ⟺ Ответ. Задача 3. При каких значениях параметра уравнения один из корней меньше 1, а другой – больше 2? Решение. Так как в предложенной задаче коэффициент при положителен, то, воспользовавшись ответом на вопрос 5, получаем, что искомыми значениями параметра является множество решений следующей системы неравенств ⟺ ⟺ ⟺ Ответ. Задача4. Найти все значения параметра р, при которых оба корня квадратного уравнения Решение. x 2 3 px 4 p 0 больше 2. Так как уравнение имеет два ( равных или различных ) действительных корня, то дискриминант D 9 p 2 16 p 0 Как известно, графиком трехчлена y x 2 3 px 4 p , стоящего в левой части уравнения, является парабола с ветвями, направленными вверх. А так же оба корня больше 2, то парабола пересекает ось 0х в точках, расположенных правее 2, а тогда получим, что y 2 2 2 3 p2 4 p 4 2 p 0 . Вершина параболы также расположена правее 2, и, значит, ее абсцисса тоже будет больше 2, то есть b 3p 3 p 2. 2a 2 2 Таким образом, получим систему D 0, y 2 0, b 2; 2a 9 p 2 16 p 0, 4 2 p 0, 3 p 2; 2 p(9 p 16) 0, p 2, 4 p ; 3 16 p 0 или p 9 , 4 p 2 3 откуда 16 p 2; 9 Ответ: 16 p 2; 9 Задача5. Найти d, при которых корни уравнения меньше 1. 2x 2 dx 3d 0 Решение: x2 d 3 x d 0 2 2 обратите внимание, на то что по условию корней может быть два или один. Поэтому первое неравенство в системе ( ). d 2 4 6d 0, d 1, 4 d 3d 1 2 2 0, d 0 или d 4, 1 d . 2 d 2 24d 0, d 4 , 2d 1, d 24, откуда 1 d 0, d 24. 2 Задача6. При каких значениях параметра между корнями квадратного уравнения а число 2 находится x 2 (4a 5) x 32a 0 . Решение. В предыдущих задачах поиск корней квадратной функции был связан с нахождением дискриминанта. Поступим также и в этой задаче. Имеем D 16a 2 48a 13 D 0; y (2) 0; Ответ: a x R; 17 6a 0; a 17 . 6 17 . 6 Задачи для самостоятельного решения 1). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения x 2 2ax a 2 20 принадлежат отрезку 2; 5 . Ответ: 2 2 a 5 2 2). При каких значениях а только больший корень принадлежит промежутку 1; 0 x 2 4x (a 1)(a 5)0 Ответ: 5 a 4; 2 a 1. 3).При каких а оба корня уравнения х2 –6ах +2-2а+9а2=0 больше 3? 4).При каких а оба корня уравнения х2 –ах=2=0 лежат на интервале (0;3)? 5). При каких а один корень уравнения ах2 +х+1=0 больше 2, а другой меньше 2? Решение биквадратных уравнений Пример 1 x 4 (12a) x 2 a 10. x 2 t , t 0. t 2 (1 2a) x 2 a 2 1 0. t1 - меньший корень t 2 - больший корень Схема решения уравнения 1). Уравнение не имеет решение D0 2). Уравнение имеет одно решение D 0, t1 0, t 2 0. 3). Уравнение имеет два решения D 0, t1 0. 4). Уравнение имеет три решения D 0, t1 0, t 0. 2 D 0, t1 0, t 0. 2 5). Уравнение имеет четыре решения D 0, но 2 x t 0. D 0, t1 t 2 0. D 0, t1 0, t 0. 2 Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение x 4 (a 3) x 2 a 0 не имеет корней ? Решение: Уравнение является биквадратным. x 4 (a 3) x 2 a 0 Сделав замену x 2 t , где t 0, получим новое уравнение t 2 (a 3)t a 0 , оказавшиеся квадратным. Для того чтобы исходное уравнение не имело корней, новое уравнение либо вообще не должно иметь корней, либо оба его корня (равные или различные ) должны быть отрицательными. Найдем дискриминант D a 2 10a 9. Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант D 0, то есть a 2 10a 9 0, откуда 1 a 9. Оба корня будут отрицательными, если D 0, Отрицательно, а произведение положительно, а тогда имеем систему D 0, t1 t 2 0, t t 0; 12 a 2 10a 9 0, a 3 0, a 0; a 1 или a 3, a 0; a 9, a 1 или 0 a 3. a 9, Решением последней системы является промежуток 0 a 1. Объединив промежутки 0 a 1. и 1 a 9. получим промежуток, Итак , исходное уравнение не имеет корней при 0 a 9. 0 a 9. Ответ: 0 a 9. Задача2. В зависимости от значений параметра а определить количество корней уравнения x 4 (12a) x 2 a 2 10. Решение: (1) Полагая y x2 , перепишем уравнение (1) в виде y (1 2a) y a 1 0, 2 2 Откуда находим y1,2 2a 1 5 4a . 2 Таким образом, уравнение (1) будет иметь четыре корня, если значение параметра а удовлетворяют системе неравенств 5 4a 0, 2a 1 5 4a 0. 2 5 Решая последнюю систему, получаем, что a 1, . 4 Очевидно также, что уравнение (1) имеет три корня, если значения a 2 1 0; параметра а удовлетворяют системе 1 2a 0, Далее уравнение (1) имеет два корня, если значения параметра а удовлетворяют ими систем неравенств 2a 1 5 4a 0 2 2a 1 5 4a 0 2 Или система 5 4a 0, 2a 1 0. В первом случае 1 a 1, 5 4 втором a . Теперь, если значение параметра а удовлетворяют системе a 2 1 0, 1 2a 0, Т.е. если a 1, то уравнение (1) имеет одно решение. Наконец, уравнение (1) не будет иметь решений при тех значениях параметра а, которые удовлетворяют совокупности 5 4a 0, 5 4a 0, 2a 1 5 4a 0, 2 Ответ: если 1 a 5 4 , то четыре корня; если если если если то три корня; 1 a 1, a 5 4 , то два корня; a 1, то один корень; a 1, a 5 4 , то нет корней. a 1 Задачи для самостоятельного решения 1). Найти все значения параметра а, при которых уравнение x 4 2(a 1) x 2 a 2 10. а) не имеет корней б) имеет только один корень в) имеет два различных корня г) имеет четыре различных корня Ответ: а) a 1; a 1; б) a 1; в) 1 a 1; г) a 2. . Уравнения с параметром, содержащие модуль. Решить в зависимости от значений параметра а. 1 |x–3|=a По свойству модуля при всех x R левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, при a < 0 уравнение не имеет решений. При a = 0 x = 3. При a > 0 x – 3 = ± a, откуда x = 3 ± a. Ответ: при a = 0 x = 3. при a > 0 x = 3 + a. x = 3 – a. при a < 0 уравнение не имеет решений. При каких значениях параметра a уравнение x = a · | x – 5 | имеет единственное решение, два решения, не имеет решения. Найдите их. Для решения уравнения найдём нули модули x – 5 = 0 x = 5. Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥ 5 и x < 5. 2 1) x ≥ 5, x=a(x–5) 2) x < 5, x=a(–x+5) x ≥ 5, x – ax = – 5a; x < 5, x + ax = 5a; x ≥ 5, x < 5, x ( 1– a ) = – 5a; x ( 1+ a ) = 5a ; Исследуем линейное уравнение Исследуем линейное уравнение в зависимости от параметра a. в зависимости от параметра a. x ( 1– a ) = – 5a ; x ( 1+ a ) = 5a; Если 1– a = 0, т.е. a = 1, то Если 1+ a = 0, т.е. a = – 1, то x · 0 = – 5 Уравнение не имеет x · 0 = – 5 Уравнение не имеет решения. решений. Если 1– a ≠ 0, т.е. a ≠ 1, то Если 1+ a ≠ 0, т.е. a ≠ – 1, то x 5a - уравнение имеет 1 a единственное решение. x ≥ 5, x 5a , a ≠ 1; 1 a x единственное решение. x < 5, x Учтем, что x ≥ 5, т.е. 5a - уравнение имеет 1 a 5a , a ≠ –1; 1 a 5a 5, 1 a Учтем, что x < 5, т.е. 5a 5, 1 a решим методом интервалов решим методом интервалов неравенство. неравенство. Получим a > 1. Т.е. при a > 1 Получим a > – 1. Т.е. при a > –1 уравнение будет иметь уравнение будет иметь единственное решение x решение x 5a 1 a единственное 5a 1 a на промежутке x ≥ 5. на промежутке x < 5. Ответим на поставленные вопросы. Наши решения покажем на координатных прямых. x 5a 1 a одно решение нет решения одно решение 1 a два решения a -1 5a x 1 a При a > 1 уравнение имеет два корня x1 5a ; 1 a x2 5a ; 1 a При a < – 1 уравнение не имеет решения. При – 1< a ≤ 1 уравнение имеет одно решение, т.е. x Ответ: a > 1, x1 5a . 1 a 5a 5a ; x2 . 1 a 1 a a < – 1, решений нет. – 1< a ≤ 1, x 5a . 1 a Решить самостоятельно: При каком a уравнение имеет решения. Найдите их. 1 )x 1 a x 1 2 )x 2 c x 2 3 )x 1 b x 3 3 При каких значениях a уравнение | x + 3| · ( x – 3 ) + a = 0 имеет ровно 3 решения? Найдем нули модуля: x + 3 =0; x = – 3. Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥–3 x <–3 x ≥ – 3, x <–3 ( x + 3) ( x – 3 ) + a = 0; (– x – 3) ( x – 3 ) + a = 0; Исследуем уравнение ( x + 3) ( x – 3 ) + a = 0; x2 – 9 + a = 0; x2 = 9 – a ; при 9 – a ≥ 0, т.е. a ≤ 9 уравнение имеет два корня Исследуем уравнение (– x – 3) ( x – 3 ) + a = 0; – ( x2 – 9 ) = – a ; x2 – 9 = a ; x2 = a + 9; при a + 9 ≥ 0, т.е. a ≥ – 9 x1,2 9 a . уравнение имеет два корня x ≥ – 3; x1,2 a 9 ; a ≥ – 9 x1,2 9 a ; a≤9 x < – 3; Учтем, что x ≥ – 3 9 a 3, при 9 – a ≥ 0 неравенство имеет решение, т.е. a ≤ 9. 9 a 3, Учтем, что x < – 3 a 9 3, решения нет. a 9 3, a 9 3, 9 a 3, 9 a 0, 2 9 a 32 , a + 9 ≥ 0, a + 9 > 9, Т.е. при a > 0 уравнение имеет один корень неравенство имеет решение a ≤ 9; a ≥ 0; т.е. 0 ≤ a ≤ 9; x3 a 9. Т.е. при 0 ≤ a ≤ 9 уравнение имеет два различных корня. x1,2 9 a , при a = 3 уравнение имеет два равных корня x1,2 0 . Ответим на поставленный вопрос. При 0 ≤ a < 9 уравнение имеет 3 корня. x3 a 9 0 нет решения три решения одно решение 9 0 a a x1,2 9 a два два решения решения Ответ: при 0 ≤ a < 9 три корня. При каких значениях a уравнение | x + 3| · ( x – 3 ) + a = 0 имеет ровно 3 решения? (Графический способ). | x + 3| · ( x – 3 ) = – a Построим графики, заданные в левой и правой частях: 1) y = | x + 3| · ( x – 3 ) Найдем нули модуля: x + 3 =0; x = – 3. Раскроем модуль на двух промежутках: x < – 3; x ≥ – 3. x ≥ – 3; x < – 3; 2 y = ( x + 3) ( x – 3 ) = x – 9; y = – ( x + 3) ( x – 3 ) = 9 – x2; 2) y = – a – линейная функция, график прямая, параллельная оси OY. Эскиз графиков. y 9 1 -3 3 0 x y=–a -9 Ответ: 0 < a < 9. 4 При каких значениях a уравнение x 2x 6 x 2 8 x 12 a имеет единственное решение? ОДЗ: x2 + 8x + 12 ≠ 0; x ≠ – 6; x ≠ –2; Найдем нули модуля: 2x + 6 = 0; x = –3; Раскроем модуль на двух промежутках: x ≥ –3 и x < –3. 1) x ≥ –3; и 2) x < –3. x 2x 6 a; x 6 x 2 x 2x 6 a; x 6 x 2 x ≥ –3; x < –3. x ≥ –3; x < –3. 3 x 2 a; x 6 x 2 1 a; x 2 3 a; x 6 Исследуем уравнение: 3 a; x 6 3 a x 6 ; 3 ax 6a ; ax 3 6a ; ax 3 6a ; x 6 a; x 6 x 2 x ≠ – 6; Исследуем уравнение 1 a; x 2 1 a x 2; 1 ax 2a ; ax 1 2a ; Если a = 0; 0 ∙ x = 3 решения нет. a ≠ 0; x 3 6a ; a x ≠ –2; Если a = 0; 0 ∙ x = – 1 решения нет. a ≠ 0; x 1 2a ; a единственное решение. x ≥ –3; единственное решение. x < –3; x x 3 6a ; a ≠ 0; a Учтем, что x ≥ –3; т.е. 3 6a 3; a 1 2a ; a ≠ 0; a Учтем, что x < –3; т.е. 1 2a 3; a Решим методом интервалов интервалов неравенство. Получим 0 < a ≤ 1. Т.е. при 0 < a ≤ 1 уравнение будет иметь единственное единственное решение x Решим методом неравенство Получим 0 < a < 1. Т.е. при 0 < a < 1 уравнение будет иметь 3 6a ; a решение x 1 2a ; a Ответим на поставленный вопрос. Наши решения покажем на координатных прямых. нет решения x 1 два решения 3 6a ; a a нет решений 1 0 a 1 2a x ; a нет одно решения решение При a = 1 уравнение имеет одно решение. Учтем ОДЗ x ≠ – 2; x ≠ –6; x ≥ –3; x < –3; x ≠ –6; x ≠ – 2; x ≠ –6; x ≠ – 2; 3 6a ; a ≠ 0; a 3 6a 2; a 0 ; a 3 6a 2a ; 1 2a ; a 1 2a 6; a 0 a 1 2a 6a ; 3 4a ; 1 4a ; x a x 3 ; 4 a 1 ; 4 С учетом ОДЗ 3 /4 0 0 При a 1 /4 1 a 1 a 1 3 и a уравнение имеет одно решение. 4 4 3 4 Ответ: a 1; a ; a 1 - единственное решение. 4 Решить самостоятельно: x 2x 9 a имеет x 12 x 27 2 1 1 единственное решение? Ответ: a ; a ; a . 3 6 2 При каких значениях a уравнение 2 5 При каких значениях параметра a уравнение x 2 22a 1 x 3a 2 6a 0 имеет два различных корня? Так как x 2 x 2 , то сделав замену x y , где y 0 , получим новое квадратное уравнение y 2 22a 1 y 3a 2 6a 0. Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, новое уравнение должно иметь только один положительный корень. Это будет в двух следующих случаях: а) один из корней положителен, другой отрицателен. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был положительным, а произведение корней было отрицательным; б) оба равных корня положительны. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю, а сумма корней была положительной. Таким образом, получим совокупность двух систем. 1) Д > 0, 2) Д = 0, y1 ∙ y2 < 0; y1 + y2 > 0; Ä 2a 12 3a 2 6a a 2 2a 1 a 12 ; 4 y1 y2 22a 1, Так как y1 y2 3a 2 6a , то системы будут иметь вид: a 12 0, 3a 2 6a 0; a 12 0, a a 2 0; a 1, 2 a 0; Откуда 2 a 0 или Ответ: 2 a 0 ; a 1. a 12 0, 22a 1 0; a 12 0, 2a 1 0; a 1, 1 a ; 2 a 1. 6 При каких значениях с уравнение x2 – ( 3c – 2 ) ∙ | x | + 2c2 – c = 0 имеет 4 различных корня? Так как | x |2 = x2, то сделав замену | x | = y, где y ≥ 0, получим новое квадратное уравнение y 2 – ( 3c – 2 ) ∙ y + 2c2 – c = 0. Для того чтобы исходное уравнение могло иметь четыре различных корня новое уравнение должно иметь два положительных корня. Это будет в том случае, когда дискриминант, произведение и сумма корней будут положительны. Таким образом, получим систему неравенств: Д > 0; y1 y2 0; y1 y2 0; Так как Д = ( 3c – 2 )2 – 4∙ ( 2c2 – c ) = 9c2 – 12c + 4 – 8c2 +4c = c2 – 8c +4 y1 y2 3c 2; y1 y2 2c 2 c 0; то система будет иметь вид: c2 – 8c +4 > 0; c 4 2 3;c 4 2 3; 3c – 2 > 0; 2c2 – c > 0; 2 ; 3 1 c ; c 0; 2 c Откуда имеем c 4 2 3; Ответ: c 4 2 3; СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре 8-9.Москва, 2000 2. Г.А. Ястребинецкий. Задачи с параметрами. Москва, 1986 3. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. Киев, 1992 4. В.В.Ткачук. Математика-абитуриенту,т1.Москва, 1994 5. С.Л.Попцов. Как решать задачи с параметром. Тверь, 1999 6. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией М.И. Сканави, Москва, 2003