Задачи на нахождение общих элементов и всех элементов

А
Задачи на нахождение общих элементов и всех элементов
заданных множеств (математическое моделирование)
(Костюкович Н.В.)
Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение
учащимися общими методами рассуждений, установление связи теоретикомножественных понятий с окружающей действительностью, активизацию их
мыслительной деятельности, развитие математического языка, выработку
творческого подхода к решению задачи и поможет научить решать задачи на
нахождение общих элементов и всех элементов заданных множеств. Все
задачи легко решаются с использованием различных моделей (кругов,
отрезков и т.д), которые помогут быстро и правильно учащимся решить
задачи.
№1. (1 уровень) Собралось 5 охотников и 8 рыбаков, а всего 10
человек. Может ли быть такая ситуация? Объясните ситуацию с помощью
различных моделей.
№2. (1 уровень) Группа студентов 25 человек отправилась на отдых,
среди них 18 волейболистов и 12 теннисистов. Сколько студентов играют и в
волейбол, и в теннис?
№3. (2 уровень) В магазине «Канцтовары» в первой половине дня 30
человек покупали школьные тетради. 19 человек покупали только тетради «в
клеточку», 18 человек покупали тетради только «в линейку». Были ли среди
30 покупателей те, которые покупали тетради двух видов (в клетку и
линейку)? Если да, то, сколько таких покупателей было?
№4. (2 уровень) В классе 24 ученика, из них 12 учащихся занимаются
танцами, 16 учащихся занимаются в различных спортивных секциях и 5
учеников класса не занимаются танцами и не посещают спортивные секции.
Сколько учащихся класса, посещающие спортивные секции, занимаются
еще и танцами?
№5. (3 уровень) Группа студентов изучает английский и французский
языки, причем, английский язык изучает 15 человек, французский – 12
человек. Оба языка изучают 7 человек. Сколько учащихся в группе по
изучению иностранных языков?
№6. (3уровень) В группе туристов из 100 человек 70 человек знают
английский язык, 45 –знают немецкий язык, и 23 человека знают оба языка.
Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни немецкого языков?
Ответ: 8туристов в группе не знают ни английского, ни немецкого
языков.
№7. (4 уровень) По контрольной работе по математике 8 баллов
получили 48 учащихся 11классов одной из школ города Минска, а по физике
-37 учащихся, по русскому языку - 42 ученика. По математике или физике 75 учащихся, по математике или русскому языку- 76 учащихся, по физике
или по русскому языку - 66 учеников. По всем трем предметам 8 баллов
получили 4 учащихся. Сколько учащихся получили хотя бы одну
«восьмерку»? Сколько учащихся получили только одну «восьмерку»?
Ответ. 94ученика получили хотя бы одну «восьмерку», 65 учеников
получили только одну «восьмерку».
№8. (4 уровень) В оздоровительном лагере 70 ребят старших
отрядов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 изготавливают поделки, 22
увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят изготавливают поделки, в
кружке по изготовлению поделок 6 спортсменов, в драмкружке 8
спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и кружок по
изготовлению поделок. Сколько ребят не изготавливают поделки, не
увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты
только
спортом?
Решение: Условие задачи смоделируем с помощью кругов, тогда в
результате получим: 70 – (27+32-10+22-5-3-3) = 10 – не изготавливают
поделки, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только
спортом заняты 11 человек (22-5-3-3=11).
Ответ: 10 – не изготавливают поделки, не увлекаются спортом, не
занимаются в драмкружке. 11- человек заняты только спортом.
№9. (4 уровень) Каждый из сотрудников фирмы за год был ровно
2раза в театре оперы и балета, при этом спектакль «Иоланта» смотрели 25
сотрудников, спектакль «Аида» - 12 сотрудников, спектакль «Щелкунчик» 23 сотрудника. Сколько сотрудников работает на фирме? Сколько из них
видели спектакли «Иоланта» и «Аида», «Иоланта» и «Щелкунчик», «Аида» и
«Щелкунчик»?
Ответ: всего 30 сотрудников, 7сотрудников, 18 сотрудников, 5
сотрудников.
№10. (5 уровень) Из 100 ребят, отправляющихся в детский
оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на
скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют
кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах
– 5, а на всех трех – 3. Хватит ли 20 –ти велосипедов в прокатном пункте
лагеря для ребят, которые не умеют кататься ни на сноуборде, ни на
скейтборде, ни на роликах?
Решение: Условие задачи смоделируем с помощью кругов, тогда в
результате получим: всеми тремя спортивными снарядами владеют три
человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и
на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на
сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах
умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на
сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 53=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим
теперь, сколько человек умеет кататься только на одном спортивном снаряде.
Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и
другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20
ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13
ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят.
20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном
снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном
спортивном
снаряде.
Ответ: велосипедов в прокатном пункте лагеря для ребят, которые не умеют
кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах хватило.
№11. (5 уровень) В предварительном туре школьной олимпиады по
математике принимало участие 40 учащихся 5-х классов, которым
предложили решить три задачи: №1, №2, №3. Задачу №1 правильно решили
19 учащихся, №2 – 18 учащихся, №3 также 19 учащихся. Задачи №1и №2
решили 7 человек, задачи №2и №3 - 9 человек, задачи №1и №3 - 7 человек,
ни одной задачи не решили 3 ученика. Сколько учеников решили все
задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся
решили по одной задаче?
Ответ: все задачи решили 5 учеников, по две задачи 9 учащихся и по одной23 ученика.
№12. (5 уровень) В спортивной секции по футболу 35 учащихся 5-х
классов, каждый из них, когда едет на тренировку, пользуется хотя бы одним
видом городского транспорт: метро, автобусом, троллейбусом. Всеми тремя
видами пользуются 6 человек, метро и автобусом пользуются 15 учащихся,
метро и троллейбусом – 13, троллейбусом и автобусом – 9. Сколько
учащихся пользуется только одним видом транспорта?
Ответ: 10 учащихся.