Математика 3x

Дистанционная олимпиада по математике
№1
х1 + х2 =168
ОД=24
х1
х2
24
144
48
120
72
96
96
72
120
48
144
24
Ответ:(96;72),(120;48),(144;24)
№2
1942+1+9+4+2=1958
Ответ: 1942
№3
х-число, цифра единиц будет написана х раз, десятков х-9 раз, сотен х-99 раз. Тогда общее количество
написанных цифр будет:
х+х-9+х-99=3х-108
и равно: 2х
3х-108=2х
х=108
Ответ: 108.
№4
1
х+
12
1
х+
12
х+
1
х+
1
12
12+12+1
144
25
144
(х+
12
х+
1
144
х=97344
х)= х+16900
1
144
х= х+16900
х=16900
х=16900
х=676:
1
12
Ответ: первоначальная сумма=97344 руб.
№5
𝑧
𝑥+𝑦
𝑧
{
𝑦−𝑥
=2
z,y,x≻0
=3
z=2x+2y
z=3y-3x
2x+2y=3y-3x
5x=y
𝑧
𝑥+5𝑥
𝑧
5𝑥−𝑥
=2
=3
𝑧
6𝑥
𝑧
4𝑥
=2
=3
z=12x
z≻x
№6
У нас есть 103 стороны, значит, нам дан 103-угольник, имеющий 103 вершины. Из каждой вершины можно
провести 103-3 = 100 диагоналей (исключая саму вершину и вершины прилежащие к ней). Тогда общее
количество диагоналей, которое можно провести: 100·103:2=103·50=5150 диагоналей (т.к. каждая диагональ
повторяется дважды)
Ответ: 5150 диагоналей.
№7
L
H
B
C
M
A
AL-биссектриса
ℎ𝑎 =
𝐴𝐿
2
Катет, лежащий против угла 30° = половине гипотенузы, значит угол HLA=30°, угол LAH = 60°
Пусть угол HAB=х°, значит угол HBA=90°-х°, значит угол ABC=90°+х° .
Угол LAM=х+60°
Угол МАВ=2х+120°, значит угол ВАС=180°-(2х+120°)=60°-2х.
Угол С=180°-(90°+х)-(60°-2х)=180°-90°-х-60°+2х=30°+х
Угол В- угол С=90+х-(30+х)=60°
Ответ: 60°.
№8
1
√2+1
+
1
√3+√2
+⋯+
1
√100+√99
=
√2−1 √3−√2
+
1
1
+
√4− √3
√100 − √99
+···+
1
1
= √2 − 1 +√3 − √2 − √4 − √3+···+√100 − √99 = -1+10=9
Ответ: 9
№9
х2 − у2 = 69
(х-у)·(х+у)=69
х-у =69
х+у =1 2х=70 х=35 у=-34 є N
х-у =-69
х+у =-1 2х=-70 х=-35 є N
х-у =1
х+у =69 2х=70 х=35 у=34
=
х-у =-1
х+у =-69 2х=-70 х=-35 є N
х-у =3
х+у =23
2х=26 х=13 у=10
х-у =-3
х+у =-23 2х=-26 х=-13 єN
х-у =23
х+у =3 2х=26 х=13 у=-10 є N
х-у =-23
х+у =-3 2х=-26 х=-13 є N
Ответ: (35;34), (13;10)
№10
По принципу Дирихле, найдется класс, где обязательно будет 34 ученика.
1
1000:30=333
33·30=990
990≺1000