МБОУ Дорогобужская СОШ №1 (урок формирования умений и навыков)

МБОУ Дорогобужская СОШ №1
Современный урок математики (по курсу «Алгебра» 8 класс)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
(урок формирования умений и навыков)
Урок составила
учитель высшей категории
Картышева В.А.
Дорогобуж
Тема урока: «Решение уравнений с параметром».
Цели урока:
Образовательные: формировать умения решать уравнения с параметром;
совершенствовать навыки анализа, обобщения и систематизации материала.
Развивающие: развивать творческую способность учащихся, логическое
мышление; расширять кругозор.
Воспитательные: формировать устойчивый интерес к математике, путем
введения элементов исследовательской деятельности; воспитывать
ответственность, дисциплинированность, взаимопомощь.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Средства обучения: компьютер, презентация.
Методы урока: словесный, наглядный, практический.
Структура урока: (продолжительность урока - 45 минут)
1. Подготовка к восприятию (1мин).
2. Мотивационная беседа (2мин).
3. Актуализация опорных знаний (8мин).
4. Изучение нового материала (14мин).
5. Физкульт. минутка (2мин).
6. Закрепление изученного материала (14мин).
7. Подведение итогов урока (1мин).
8. Домашнее задание (1мин).
9. Рефлексия (2мин).
Ход урока.
1. Подготовка к восприятию.
Учитель:
- приветствует учащихся,
-проверяет готовность к уроку.
Учитель: тема сегодняшнего урока «Решение уравнений с параметром»
(Слайд 1).
2. Мотивационная беседа.
Учитель: уравнения с параметром стали привычной частью вариантов ЕГЭ
по математике, поэтому актуальность темы урока очевидна для подготовки к
будущей итоговой аттестации. На уроке мы будем работать с заданиями
повышенной сложности. В учебнике Ю. Н. Макарычева « Алгебра -8» мы с
ними встречаемся в главе 3 п.27. под грифом: «Для тех, кто хочет знать
больше». Надеюсь, что этот урок поучит вас мыслить.
Слайд 2:
Важнейшая задача цивилизации Научить человека мыслить.
Т. Эдисон.
3. Актуализация опорных знаний.
Форма работы: фронтальная.
Учитель: назовите общий вид квадратного уравнения.
Ученик: ах2+вх+с=0,где х-переменная , а, в, с-некоторые числа, причем а≠0.
Учитель: какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
Ученик: если в квадратном уравнении ах2+вх+с=0 хотя бы один из
коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным
квадратным уравнением.
Учитель: при каких значениях а уравнение является квадратным? Назовите
это уравнение.
а) (а-1)х3 + 3ах2 + 2х − 5а = 0.
Ответ: при а=1.Квадратное уравнение 3х2+2х-5=0.
б) (2а+4)х3 -2ах2+ах-7=0.
Ответ: при а=-2.Квадратное уравнение 4х2-2х-7=0.
в) (2а-4)х3 -(а-2)х2+ах-3=0.
Ответ: ни при каких а.
Учитель: при каком значении а один из корней уравнения ах2-3х-5=0 равен
1? ( учебник Ю. Н. Макарычева «Алгебра -8. №659).
Ученик: а∗ 12 -3∗1-5=0,
а-3-5=0,
а=8.
Ответ: при а=8.
Учитель: при каких значениях а уравнение 2х2-(а-3)х-5а=0 является
неполным квадратным? Назовите это уравнение.
Ученик: при а =3.Неполное квадратное уравнение 2х2-15=0,
при а=0.Неполное квадратное уравнение2х2+3х=0.
4. Изучение нового материала.
Учитель: откройте учебник на стр.141 и прочтите определение «Что значит
решить уравнение с параметром».
Слайд 3: решить уравнение с параметром – это значит показать, каким
образом для любого значения параметра можно найти соответствующее
множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что
при этом значении параметра корней нет.
(прошу учеников воспроизвести определение). Чувствуете трудность?
Ученик: безусловно.
Учитель: тогда познакомимся с решением уравнений с параметром на
практике (используем презентацию).
Слайд 4: Решите квадратное уравнение х2 -(2а+1)х+а2+а-2=0.
Всегда ли это уравнение квадратное?
Да, это уравнение всегда квадратное.
Слайд 5: Найдите дискриминант уравнения.
Д=в2-4ас
Д=(−2а − 1)2 -4а2-4а+8
Д=4а2+4а+1-4а2-4а+8
√9=3
Д=9
Д> 0
Слайд 6: Примените формулу корней квадратного уравнения.
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
х=
2𝑎
(2а+1)±3
х=
2
2а+1±3
х=
2
х1=а+2; х2=а-1.
Слайд 7: Запишите ответ.
Ответ: х1=а+2; х2=а-1.
Слайд 8: Решите уравнение: ах2+(1-а)х -1=0.
Всегда ли это уравнение квадратное?
Нет. Если а=0, то уравнение линейное: х -1=0; его корень х=1.
Если а≠ 0, то уравнение квадратное.
Слайд 9: Найдите дискриминант уравнения, если а ≠ 0.
Д=в2-4ас
Д=(1 − а)2 − 4а(−1)
Д=1-2а+а2 +4а
Д=а2 +2а+1 Д=(а + 1)2. √Д=|а + 1|
Слайд 10: Примените формулу корней квадратного уравнения.
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
х=
2𝑎
а−1±|а+1|
х=
2а
а−1+(а+1) а−1+а+1 2а
х1=
2а
=
2а
= =1.
2а
х2=
а−1−(а+1) а−1−а−1 −2
2а
=
2а
1
= =- .
2а
а
Слайд 11: Запишите ответ.
1
Ответ: Если а≠ 0, то х1=1; х2=- .
а
Если а=0, то х=1.
Учитель: Рассмотрим алгоритм решения «квадратного» уравнения с
параметром.
Слайд 12:
1.Найти значения параметра, при которых уравнение не является
квадратным (коэффициент при х2 равен нулю).
2.Решить уравнение при этих значениях параметра.
3.Найти дискриминант уравнения в остальных случаях.
4.Найти корни уравнения при всех значениях параметра.
5. Физкульт. минутка (проводит физорг класса).
6. Закрепление изученного материала.
Учитель: Используя слайд 12, решим упражнение из учебника Ю. Н.
Макарычева «Алгебра-8» №647.стр.143. Вызываю учащегося к доске по
желанию. Учащийся комментирует решение.
Решение: (а-1)х2+2ах+а+1=0.
Если а=1, то уравнение линейное: 2х+2=0; его корень х=-1.
Если а≠1, то уравнение квадратное.
Найдем дискриминант уравнения, если а≠ 1.
Д=в2-4ас
Д=4а2-4(а-1)(а+1), т. к. (а-1)(а+1)=а2-1, то
Д=4а2-4а2+4
Д=4
√Д=2
Применим формулу корней квадратного уравнения.
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
х=
х=
2𝑎
−2а±2
2(а−1)
−2а+2
х1 =
2а−2
= -1
х2=
−2а−2 −2(а+1) а+1
2а−2
=
=
2(а−1)
1−а
Ответ: Если а=1, то х=-1.
Если а≠ 1, то х1 = - 1;
а+1
х2 =
1−а
.
Продолжаем решать упражнения из учебника. Вызываю учащегося к
доске. Учащийся комментирует решение № 645(в).
При каких значениях параметра а имеет единственный корень уравнение:
ах2-6х+1=0?
Решение: ах2-6х+1=0
1
Если а=0, то уравнение линейное: -6х+1=0; его корень х= .
6
Если а≠ 0, то уравнение квадратное.
Найдем дискриминант уравнения, если а≠ 0.
Д=в2-4ас
Д=36-4а
Если Д=0, то уравнение имеет один корень.
36-4а=0
4а=36
а=9
Ответ: 0 и 9.
Далее предлагаю учащимся самостоятельно решить задание.
Слайд 13: Один из корней квадратного уравнения х2 +2ах+2-3а=0 равен 1.
Найдите значение параметра а и второй корень уравнения.
Учитель: оценки получат те учащиеся, кто быстро и верно решат это
задание.
Спустя 4 мин. проверяем решение данного упражнения.
Слайд 14: х1 =1 подставим в уравнение и получим 12+2а∗ 1+2-3а=0
3-а=0, откуда а=3.
а=3 подставим в данное уравнение и получим х2 +2∗ 3х + 2-3∗ 3 = 0
х2+6х-7=0
х1=1 ; х2=-7.
Ответ: а=3, х2=-7.
Учитель: поднимите руки, кто с заданием справился успешно, выставляю
оценки.
7. Подведение итогов урока.
Вспомним алгоритм решения «квадратных» уравнений с параметром.
Включаю слайд 15. Надеюсь, что этот материал повысит ваш уровень
математической культуры.
8. Домашнее задание.
Макарычев Ю.Н. Алгебра: 8кл. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.
Нешков и др. – М.: Просвещение, 2012 .
Глава 3. п. 27. № 645(г), 648.стр.143.
9. Рефлексия.
Учитель: Ребята, посмотрите на текст:
Слайд 16:
Я - понял…
Я – знаю…
Я – умею…
Решать уравнения с параметром.
Учитель: выберите соответствующий смайлик:



Зная, выбранные учащимися смайлики, определяю уровень усвоения
учебного материала.
Литература
1.Макарычев Ю.Н. Алгебра: 8кл. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.
Нешков и др. – М.: Просвещение, 2012 .
2.Макарычев Ю. Н. Изучение алгебры в 7-9 кл.: пособие для учителей / Ю. Н.
Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2012.