Lekciya13

Лекция 13
Момент импульса: операторы, коммутационные соотношения, решение уравнений на
собственные значения
В классической механике момент импульса частицы определяется как L  r  p , поэтому
моменту импульса в квантовой механике отвечает оператор
ˆ
L  rˆ  pˆ
где r̂
и
(1)
p̂ - операторы координаты и импульса частицы. Векторному оператору (1)
соответствуют три оператора проекций вектора момента импульса на координатные оси Lˆ x , Lˆ y
и Lˆ z . Явные выражения для этих операторов можно найти, вычислив проекции векторного
произведения (1)
 

Lˆx   iz  iy 
z 
 y
 
 
Lˆ y   ix  iz 
x 
 z
 
 
Lˆz   iy  ix 
y 
 x
(2)
Наряду с операторами проекций момента импульса (2) можно определить и оператор квадрата
момента импульса
2
2
2
Lˆ2  Lˆx  Lˆ y  Lˆz
(3)
Переходя в выражениях (2), (3) к сферическим координатам, можно получить явные
выражения для операторов Lˆ z и L̂2 в сферических координатах:
Lˆz  i
Lˆ2  
2


(4)
 1
2
1  
 
 sin 2   2  sin    sin    



(5)
Обратим внимание на то, что оператор L̂2 с точностью до множителя совпадает с угловой
частью оператора Лапласа.
Оператор момента связан с преобразованием поворота системы координат. Действительно,
при повороте радиус-вектор преобразуется следующим образом:
r = r    r , где  r = [ , r ]
Преобразуются и функции. Пусть  ( r ) преобразуется в (r ) , причём очевидно:
 (r )  (r ).
Разложим полученную волновую функцию по малому параметру  r :
1
(r ) = (r   r ) = (r )   r  = (r )  [ , r ] = 1  [r , ] (r )
(6)
Из (6) и следует сделанное выше утверждение.
Для анализа свойств момента импульса в квантовой механике, необходимо решить
уравнения на собственные значения и собственные функции операторов L̂2 , Lˆ x , Lˆ y и Lˆ z .
Однако ряд свойств этих уравнений можно выяснить, не решая уравнения, а используя только
коммутационные соотношения между операторами. Такой способ оказывается единственно
возможным при описания спинового момента импульса, операторы которого не выражаются
соотношениями (2), но коммутационные соотношения между которыми такие же, как для
операторов орбитального момента.
Из выражений (2) можно доказать, что
 Lˆx , Lˆ y   i Lˆz


 Lˆ y , Lˆz   i Lˆx


 Lˆz , Lˆx   i Lˆ y


(7)
а также
 Lˆ2 , Lˆx    Lˆ2 , Lˆ y    Lˆ2 , Lˆz   0

 
 

(8)
Таким образом, оператор квадрата момента импульса частицы коммутирует с
оператором проекции момента на любую ось.
Полученные коммутационные соотношения позволяют сделать ряд выводов о
собственных функциях и собственных значениях операторов момента. Во-первых, поскольку
операторы проекций не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных
состояний, в которых проекции одновременно имели бы определенные значения. Коммутация
оператора квадрата момента и его проекции на любую ось означает, что пары операторов
Lˆ2
и Lˆx , Lˆ2
и Lˆ y , Lˆ2
и Lˆz имеют общие собственные состояния. Отсюда сразу следует,
что собственные значения оператора L̂2 вырождены, поскольку в отсутствие вырождения факт
коммутации операторов проекции с оператором момента приводил бы к существованию общих
собственных функций у операторов проекций, а их быть не должно согласно (7). (Строго
говоря, общие собственные функции у операторов проекций момента есть – это любые
функции, зависящие только от модуля радиус-вектора. Однако эти функции не образуют полной
системы в пространстве функций трех переменных).
Найдем решения уравнений на собственные значения и собственные функции
операторов момента импульса частицы. Сначала для оператора проекции момента на одну из
координатных
осей
(обычно
это
делают
на
примере
оси
z,
поскольку решение
соответствующего уравнения в сферических координатах оказывается более простым). В
2
сферических координатах уравнение на собственные значения и собственные функции
оператора Lˆ z имеет вид
i
 (r , ,  )
 lz  (r ,  ,  )

(9)
где lz - собственное значение. Ищем решение уравнения (9) в виде  (r , ,  )  f (r ,  )( )
i f (r , )
( )
 lz f (r ,  )( )

(10)
Из уравнения (10) получаем уравнение для  ( ) удовлетворяет уравнению
i
( )
 lz ( )

(11)
при этом функция f ( r ,  ) может быть любой. Из (11) получим
i
( )  Ce
l z
(12)
Таким образом, функция (12) есть решение уравнения (11) для любого фиксированного числа lz
(в том числе и комплексного). Потребуем, чтобы функция  ( ) удовлетворяла физическому
условию периодичности по азимутальному углу  :
(  2 )  ( )
(13)
Условие (13) накладывает ограничение на собственные значения lz :
lz  m
(14)
где m - любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). Таким образом,
собственными значениями оператора Lˆ z являются числа (14), а отвечающими им собственными
функциями, - функции
 m ( )  Ceim
(15)
(которые можно отметить индексом соответствующего собственного значения    m ).
Очевидно, собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны
2
2
0
0
*
 d m ( ) m ( )
 d e
i ( m m )
 mm
(16)
Произвольную постоянную C в (15) можно фиксировать из условия нормировки
 m ( ) 
1 im
e
2
Отметим, что нормировочный коэффициент не зависит от m .
3
(17)
Поскольку оператор квадрата момента коммутирует с оператором любой проекции,
будем искать общие собственные функции операторов L̂2 и Lˆ z
i

2
 (r , ,  )
 lz  (r ,  ,  )

(18)
 1  
 
1
2 
sin


 (r ,  ,  )  l 2  (r ,  ,  )

 sin   
2
2
  sin   


(19)
где lz и l 2 - соответствующие собственные значения. Уравнение (18) имеет «хорошие» решения
f (r , ) exp(im ) для любых целых чисел m при произвольной функции f ( r ,  ) . Поэтому для
поиска совместных решений уравнений (18), (19) нужно подобрать функцию f ( r ,  ) так, чтобы
удовлетворялось уравнение (19). Для функции f ( r ,  ) имеем из (19):
1  
f (r , )  m2 f (r , )
sin

 (l 2 /


2
sin   
 
sin 
2
) f (r ,  )  0
(20)
Поскольку в уравнении (20) ни один из операторов не действует не переменную r , его решение
можно искать в виде f (r , )  R(r )( ) , причем функция R ( r ) не определяется из уравнения и
может быть любой, тождественно не равной нулю функцией модуля радиуса-вектора. Для
неизвестной функции ( ) полярного угла  из (20) получается уравнение
1 d 
d ( )   2
m2 
sin


l

 ( )  0

 
sin  d 
d  
sin 2  
где l 2  l 2 /
2
(21)
- безразмерное собственное значение. Из (21) видим, что собственное значение m
входит в уравнение для функции ( ) , которая, следовательно, может быть отмечена индексом
m : ( )  m ( ) . Таким образом, для нахождения всех функций ( ) необходимо решить
уравнение (21) для всех возможных значений m (любые целые). Однако, поскольку в уравнение
(21) входит m 2 , уравнения для m и m - одинаковы, и, следовательно, m ( )   m ( ) .
Рассмотрим сначала уравнение (21) для m  0 . Введем новую переменную x  cos ,
которая изменяется в интервале 1  x  1 . Очевидно  sin d  dx , sin 2   1  x 2 . В результате
из уравнения (21) получим
1  x  ( x)  2 x( x)  l
2
2
( x )  0
(22)
Будем искать решения уравнения (22) в виде ряда по степеням x

( x )   Cn x n
n 0
4
(23)
Подставляя ряд (23) в уравнение (22), получим




n2
n 0
n 0
n 0
 Cn n(n  1) x n2   Cn n(n  1) x n  2 Cn nx n  l 2  Cn x n  0
(24)
(В первом и втором рядах суммирование, фактически, производится от n  2 , так как первые
два слагаемых равны нулю. В первом ряду нам удобнее написать начало суммирования от
n  2 ; во втором ряду начало суммирования мы оставили, таким же как и в предыдущих
формулах). Меняя в первой сумме индекс суммирования n  k  2 , получим




k 0
n 0
n 0
n 0
 Ck 2 (k  2)(k  1) x k   Cn n(n  1) x n  2 Cn nx n  l 2  Cn x n  0
(25)
Чтобы степенной ряд (25) тождественно равнялся нулю необходимо, чтобы все его
коэффициенты обращались в нуль, то есть
Cn  2 

Cn n(n  1)  l 2

(26)
(n  2)(n  1)
Таким образом, для коэффициентов ряда (23) справедливо рекуррентное соотношение (26),
связывающее отдельно четные и нечетные коэффициенты ряда. Два первых коэффициента C0 и
C1 остаются свободными (как произвольные постоянные в общем решении дифференциального
уравнения второго порядка (22)). Для больших значений индекса n рекуррентное соотношение
(26) (независимо от собственного значения l 2 ) имеет вид:
Cn  2  Cn
(27)
то есть определяет геометрическую прогрессию, которая расходится при x  1. Однако при
некоторых значениях l 2
ограниченные решения уравнения (22) все-таки существуют.
Действительно, как следует из (26), если l 2  j ( j  1) , где j - целое неотрицательное число, ряд
(23) «оборвется» на j -ом слагаемом, поскольку коэффициент C j  2 (и все последующие
коэффициенты той же четности) будет равен нулю. В этом случае ряд сводится к многочлену и,
следовательно, будет являться конечной функцией при всех значениях x . При этом, поскольку
для каждого такого значения l 2 , будет обрываться только ряд по четным или только по
нечетным степеням x (в зависимости от четности числа j ), а ряд по нечетным или четным
степеням x обрываться не будет, начальный коэффициент C1 или C0 , определяющий
расходящийся ряд, следует выбрать равным нулю. Таким образом, при l 2 
2
j ( j  1) , где j -
целое число, существуют конечные решения уравнения (22), которые являются либо четными,
5
либо нечетными многочленами от x  cos . Найдем несколько первых собственных функций
( ) , которые можно отметить индексом j .
l 2  0 ( j  0) . В этом случае обращается в нуль коэффициент C2 , и обрывается ряд по четным
степеням. Коэффициент C0 может быть взят любым, коэффициент C1 следует выбрать равным
нулю. Решение имеет вид (первый индекс у функции ( ) есть индекс j , второй - m )
00 ( )  C0
l2  2
(28)
( j  1) . Решение имеет вид
2
10 ( )  C1 x  C1 cos 
l2  6
(29)
( j  2) . Решение имеет вид
2
20 ( )  C0 (1  3x 2 )  C0 (1  3cos 2  )
l 2  12
2
(30)
( j  3) . Решение имеет вид
5 
5



30 ( )  C1  x  x3   C1  cos   cos3  
3 
3



(31)
В принципе, этим методом можно найти любую собственную функцию  j 0 ( ) . Функции
 j 0 (cos  ) (с определенными нормировочными множителями C0 и C1 ) называются полиномами
Лежандра (и, как правило, обозначаются Pj ( x), x  cos  ). Поскольку для m  0 решение
уравнения (11) ( )  const , то функции  (r ,  ,  )  R(r ) j 0 ( ) (при любой функции R ( r ) )
являются общими собственными функциями операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающими собственным
значениям l 2 
2
j ( j  1) и lz  0 . Поскольку функции  j 0 ( ) являются собственными
функциями эрмитовых операторов для них справедливы условия ортогональности
2

0
0
 d  d sin   j 0 ( ) j0 ( )
1
 dxP ( x) P ( x)
j
j
 jj 
(32)
1
(при преобразовании интеграла в (32) сделана замена x  cos ).
Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение (21) для любых целых m .
Приведем здесь только решения. Для фиксированного значения m собственные значения
уравнения (4) имеют вид l 2 
2
j ( j  1) , где j | m |, | m  1|, | m  2 |, ... . Соответствующие им
собственные функции имеют вид
 jm ( )  1  x
6
2

|m|
2
v( x)
(33)
где x  cos , а функции v ( x ) представляют собой многочлены от cos . Функции  jm ( )
|m|
называются присоединенными полиномами Лежандра и обозначаются Pj ( x) (поскольку в
|m|
уравнение (21) входит только величина m 2 , присоединенные полиномы Лежандра Pj ( x)
зависят только от | m | , что и отражено в принятых для них обозначениях) Из проведенного
рассмотрения следует, что каждой паре индексов j и m отвечает единственная (с точностью до
множителя) собственная функция.
Таким образом, общими собственными функциями операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающими
собственным значениям l 2 
2
j ( j  1) и lz  m , являются следующие функции (их принято
называть сферическими или шаровыми функциями и обозначать Y jm (в качестве первого
индекса сферической функции принято указывать не собственное значение квадрата момента
j,
импульса и не квадратный корень из него, а квантовое число
которое принято также
называть моментом импульса частицы):
Y jm ( ,  )  CPj (cos  )eim
|m|
(34)
где C - нормировочная постоянная, которая выбирается так, чтобы интеграл от квадрата модуля
любой сферической функции по полному телесному углу равнялся единице. Все возможные
индексы собственных значений j и m могут быть перечислены так: индекс j - момент
импульса частицы - может принимать целые неотрицательные значения; при фиксированном
индексе j индекс m - проекция момента на ось z принимает все целые значения от  j до j
через единицу (то есть 2 j  1 значений). Очевидно, при таком способе перечисления,
перебираются все те же собственные значения операторов L̂2 и Lˆ z , которые были определены
выше из решения уравнений на собственные значения.
Приведем несколько первых сферических функций (Иногда для сферических функций
используется другой выбор фазовых множителей)
1
4
Y00 
Y11 
Y1 2 
15
sin 2 e2i
32
3
sin ei
8
Y21 
(35)
Y10 
15
cos  sin ei
8
7
3
cos 
4
Y20 
5
1  3cos 2  

16
(36)
(37)
Как собственные функции эрмитовых операторов сферические функции с разными
индексами являются ортогональными и представляют собой базисную систему функций в
пространстве функций углов  и  . Для сферических функций справедливо следующее
условие ортогональности
2

0
0
*
 d  d sin  Y jm ( , )Y jm ( ,  )   jj mm
8
(38)