О CУММЕ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ ОТ ДЕЛЕНИЯ
НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА НА ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА,
ЕГО НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИЕ
Введение
В предлагаемой работе поставлена и решена следующая задача: нахождение
асимптотического выражения для суммы дробных частей от деления натурального
числа на все натуральные числа, его не превосходящие, где асимптотика
рассматривается при стремлении делящего числа к бесконечности.
Как следствие, выведена формула асимптотического выражения для суммы целых
частей от деления натурального числа на все натуральные числа, его не превосходящие,
где асимптотика также рассматривается при стремлении делящего числа к
бесконечности.
Полученные результаты автору ранее были неизвестны, несмотря на поиски в
литературе и в интернет. Возможно, получен новый результат или новое доказательство
известного результата.
Ключевые слова: теория чисел; натуральный ряд; двусторонняя О-асимптотика;
формула Эйлера-Маклорена; постоянная Эйлера-Маскерони; числа Бернулли.
Раздел 1. Обозначения и определения
В работе приняты следующие обозначения и определения.
Пусть a, b – вещественные числа. Через 𝒂 и {𝒂} обозначаются соответственно
целая и дробная части 𝒂. В частности, если m, n – натуральные числа, через
𝒎
𝒎
𝒏
и {𝒏}
𝒎
обозначаются соответственно целая и дробная части рационального числа 𝒏 , полученного
при делении m на n.
Если a ≤ b, через [a,b], (a,b], [a,b), (a,b) обозначаются, соответственно, замкнутые и
незамкнутые отрезки вещественных чисел. Естественно, при a = b незамкнутые отрезки
пусты, а замкнутый состоит из одной точки.
Пусть f(n), g(n) – вещественные функции на множестве натуральных чисел и g(n) ≠
0 при всех n. Асимптотика функций (“О-асимптотика” и “о-асимптотика”) будет
пониматься при стремлении аргумента к бесконечности и стандартно обозначаться f(n) =
𝒇(𝒏)
o(g(n)) (о малое от g(n)), если 𝒈(𝒏)→ 0 при n→∞, и f(n) = О(g(n)) (о большое от g(n)), если
𝒇(𝒏)
существует вещественное c > 0, такое, что |𝒈(𝒏)| ≤ c при любом n.
Для получения более точных оценок погрешностей выводимых в работе формул
введём следующее определение двусторонней О-асимптотики.
Определение. Пусть f(n), g(n), h(n) – вещественные функции на множестве
натуральных чисел. Двусторонней О-асимптотикой функции f(n) будем называть
выражение O(g(n), h(n)), если g(n) ≤ f(n) ≤ h(n) при всех достаточно больших n. Будем
обозначать f(n) = O(g(n), h(n)),
Функции g(n), h(n) будем называть асимптотически ограничивающими функциями
для функции f(n).
Пусть f(n) = O(g(n), h(n)), f1(n) = O(g1(n), h1(n)), f2(n) = O(g2(n), h2(n)).
Очевидны следующие арифметические свойства:
1. c٠f(n) = O(c٠g(n), c٠h(n)) при вещественном c ≥ 0
1
2. c٠f(n) = O(c٠h(n), c٠g(n)) при вещественном c < 0. В частности, -f(n) = O(-h(n), g(n))
3. f1(n) + f2(n) = O(g1(n) + g2(n), h1(n) + h2(n))
4. f1(n) - f2(n) = O(g1(n) - h2(n), g2(n) – h1(n))
В работе будут встречаться случаи, когда одна из асимптотически ограничивающих
функций равна нулю, то есть f(n) = O(0, h(n) либо f(n) = O(g(n), 0)
Раздел 2. Формулировка задачи и подготовительные действия
𝑵
Пусть N – натуральное число. Рассмотрим функцию Sum(N) = ∑𝑁
i = 1 { 𝒊 }, то есть
сумму дробных частей от деления N на все натуральные числа, его не превосходящие.
𝑵
𝑵
Замечание 1. Очевидно, что { 𝟏 } = {𝑵} = 𝟎, поэтому сумму можно производить от
i=2 до i = N-1.
В работе будет показано, что
Sum(N) = N(1 – γ + δ(N))
(1.1)
где γ = 0,577215… - постоянная Эйлера-Маскерони [3], δ(N) → 0 при N→∞. Будет также
дана оценка для δ(N).
Замечание 2. Из самых общих соображений ожидаемой “равномерности”
распределения на отрезке [0,1) значений дробных частей от деления числа N на
достаточно “равномерный” набор делителей, казалось бы логичным в формуле (1.1)
𝟏
вместо значения 1–γ ожидать значение 𝟐, поэтому для автора точный вид формулы (1.1)
стал в какой-то степени неожиданным.
Понадобятся следующие леммы.
𝑵
𝒊(𝒊−𝟏)
Лемма 1. Пусть m, N – натуральные числа, 1 < i < N. Тогда 0 ≤ 𝑵 − 𝒊 < 𝑵−𝒊 .
⌊ ⌋
𝒊
Доказательство.
𝑵
𝑵
Левая часть неравенства очевидна, так как ⌊ 𝒊 ⌋ ≤ 𝒊 .
𝑵
Для доказательства правой части представим N в виде N = m٠i + p, где m = ⌊ 𝒊 ⌋ , 𝒑 ≤
i-1. Тогда
𝑵
𝑵
𝒊
⌊ ⌋
𝑵
−𝒊=𝒎−𝒊=
𝐢٠𝐦 + 𝐩
𝒎
𝐩
–𝒊 = 𝒎 =
𝒑
𝑵
𝒊
𝒊−𝟏
⌊ ⌋
Лемма 1 доказана.
<𝑵
𝒊
−𝟏
=
𝒊(𝒊−𝟏)
.
𝑵−𝒊
𝑵
Лемма 2. Пусть N –натуральное число. Тогда [√𝑵] ≤ [√𝑵] + 2
Доказательство.
Имеем: N ≤ ([√𝑵] + 1)2 – 1 = [√𝑵]2 + 𝟐[√𝑵] = [√𝑵]([√𝑵] + 𝟐).
Лемма 2 доказана.
𝑵
𝑵
Лемма 3. Пусть N, i – натуральные числа, i ≤ [√𝑵]. Тогда ⌊𝒊+𝟏⌋ < ⌊ 𝒊 ⌋.
Доказательство.
𝑵
𝑵
Очевидно, требуемое неравенство эквивалентно неравенству 𝒊+𝟏 < ⌊ 𝒊 ⌋, которое и
будет доказываться.
𝑵
Пусть 𝑵 = m٠i + p, где m = ⌊ 𝒊 ⌋, 0 ≤ p ≤ i-1.
𝑵
Тогда 𝒊+𝟏 =
𝐦٠𝐢 + 𝐩
𝒊+𝟏
=
𝐦(𝐢+𝟏)−𝐦 + 𝐩
𝒊+𝟏
=m-
𝐦−𝐩
𝒊+𝟏
2
𝑵
= ⌊𝒊⌋ -
𝐦−𝐩
𝒊+𝟏
.
𝑵
𝑵
Отсюда видно, что требуемое неравенство 𝟏+𝟏 < ⌊ 𝒊 ⌋ равносильно неравенству m-p >
𝑵
0. Но p ≤ i-1, то есть m-p ≥ m-i+1 = ⌊ 𝒊 ⌋ – i + 1 >
Лемма 3 доказана.
𝑵
– i ≥ 0, так как i ≤ [√𝑵].
𝒊
𝟏
Лемма 4. Пусть N, i – натуральные числа, i ≤ N. Тогда
Доказательство.
𝑵
𝑵
Пусть 𝒊 = [ 𝒊 ] + b, где b ϵ [0,1). Тогда
𝒊−𝟏
𝑵
𝟏
𝑵
𝒊
[ ]
+
-
𝒃𝒊𝟐
.А
(𝑵−𝒃𝒊)𝑵
𝟏
𝒊−𝟏
𝑵
=
𝑵
𝟏
𝑵
𝒊
[ ]
𝒃𝒊𝟐
𝟏
-
𝑵
𝟏
=
-
𝑵
−𝒃
𝒊
𝟏
-
𝑵
[ ]
𝒊
𝟏
𝑵
=
𝑵
𝟏
-
𝑵−𝒃𝒊
𝒊𝟐
так как 𝟎 ≤ (при b = 0) ≤ (𝑵−𝒃𝒊 )𝑵 < (при 𝐛 = 𝟏) <
+ O (𝟎, 𝑵(𝑵−𝒊) ).
𝑵
𝒊
=
𝒊𝟐
𝒊−𝟏
𝑵
=
𝑵(𝒊−𝟏)+𝒃𝒊
(𝑵−𝒃𝒊)𝑵
=
, то окончательно
𝑵(𝑵−𝒊)
𝒊𝟐
+ O (𝟎, 𝑵(𝑵−𝒊) ).
Лемма 4 доказана.
𝟏
Лемма 5. Пусть N, i – натуральные числа, i ≤ [√𝑵]. Тогда
[
любом d > 0.
Доказательство.
𝑵
𝑵
𝑵
𝑵
Пусть 𝒊+𝟏 = [𝒊+𝟏] + b1, 𝒊 = [ 𝒊 ] + b2, где b1 ϵ [0,1), b2 ϵ [0,1).
Тогда
𝟏
𝑵
[ ]
𝒊+𝟏
𝟏
–
𝑵
[ ]
𝒊
(так как i ≤ [√𝑵]) <
=
𝟏
𝑵
− 𝒃𝟏
𝒊+𝟏
–𝑵
𝒊
𝟏
− 𝒃𝟐
𝟐𝑵+ √𝑵
= O(𝟎,
(𝑵−√𝑵)²
=
𝑵+ 𝒊𝟐 (𝒃𝟏 −𝒃𝟐 )+ 𝒊 (𝒃𝟏 −𝒃𝟐 )
(𝑵−(𝒊+𝟏)𝒃𝟏 )(𝑵−𝒊𝒃𝟐 )
𝑵
]
𝒊+𝟏
–
𝟏
𝑵
𝒊
[ ]
= O (𝟎,
𝟐+𝒅
𝑵
) при
𝑵+ 𝒊𝟐 + 𝒊
< (𝑵−(𝒊+𝟏))(𝑵−𝒊) <
𝟐+𝒅
𝑵
) при любом d > 0.
Лемма 5 доказана.
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝒊+𝟏
𝒕
𝒊
Лемма 6. Пусть N, i – натуральные числа, i ≤ N. Тогда ∫ { }dt = N٠(ln
Доказательство.
𝑵
𝑵
𝑵
Очевидно, на отрезке (𝒊+𝟏, 𝒊 ] выполнено равенство { 𝒕 } =
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
𝑵
𝑵
𝑵
𝒊+𝟏
∫ ( 𝒕 − 𝒊)dt = N٠(ln 𝒊 - ln𝒊+𝟏) – i٠( 𝒊 − 𝒊+𝟏) = N٠ln
𝒊
𝑵
𝒕
𝑵
- 𝒊+𝟏 = N٠(ln
-
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
𝟏
).
𝒊+𝟏
𝑵
– i. Поэтому ∫ { 𝒕 }dt =
𝒊+𝟏
𝒊
𝟏
- 𝒊+𝟏)
Лемма 6 доказана.
Лемма 7. Пусть m, n – натуральные числа, m < n, c – вещественное число. Тогда
𝒏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
( 𝒊 + 𝒄) = ∫𝒎( 𝒕 + 𝒄)dt + 𝟐𝒏 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒏𝟐 ) - 𝟐𝒎 + 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒎𝟐 ) .
Доказательство.
𝟏
По формуле Эйлера-Маклорена [1] имеем: ∑𝒏𝒊=𝟏 = ln 𝒏 + γ + β(n), где γ = 0,577215…
∑𝒏𝒊=𝒎+𝟏
- постоянная Эйлера-Маскерони [3], β(n) =
Отсюда ∑𝒏𝒊=𝒎+𝟏
𝒏 𝒅𝒕
𝟏
𝟏
= ∑𝒏𝒊=𝟏
𝒊
𝟏
𝟏
𝟏
𝒊
- ∑𝒎
𝒊=𝟏
𝟏
𝟏
𝒊
𝟏
𝟐𝒏
𝒊
𝑩
– 𝑶(0,𝟐𝒏𝟐𝟐 ), 𝑩𝟐 =
𝟏
𝟏
𝟔
– число Бернулли [2].
𝟏
𝟏
𝟏
= ln n – ln m + 𝟐𝒏 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒏𝟐 ) - 𝟐𝒎 + 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒎𝟐 ) =
∫𝒎 𝒕 + 𝟐𝒏 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒏𝟐 ) - 𝟐𝒎 + 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒎𝟐 ). Прибавлением к каждой части уравнения значения
c(n-m) получается требуемое равенство.
Лемма 7 доказана.
Лемма 8. Пусть N, i – натуральные числа, 1 ≤ i ≤ N. Тогда натуральное p, при
𝑵
𝑵
𝑵
котором выполнено неравенство 𝒑+𝟏 < i ≤ 𝒑 , есть p = ⌊ 𝒊 ⌋
Доказательство.
3
𝑵
Имеем: i ≤
, то есть p ≤
𝒑
𝑵
𝒊
𝑵
. Далее: 𝒑+𝟏 < i, то есть p+1 >
𝑵
, то есть p >
𝒊
𝑵
𝒊
-1
𝑵
Отсюда p = ⌊ 𝒊 ⌋
Лемма 8 доказана.
𝑵
Лемма 9. Пусть N – натуральное число. Тогда [⌊√𝑵⌋+𝟏] = √𝑵 + O(-2,0)
Доказательство.
𝑵
𝑵
Пусть m = ⌊√𝑵⌋. Тогда √𝑵 = m+b1, 𝒎+𝟏 = [𝒎+𝟏] + b2, где b1 ϵ [0,1), b2 ϵ [0,1).
𝑵
Отсюда: √𝑵 - [⌊√𝑵⌋+𝟏] =
𝒎𝟐 +𝒎𝒃𝟏 +𝒎+𝒃𝟏 −(𝒎+𝒃𝟏 )𝟐
+ b2 =
𝒎+𝟏
(𝟏−𝒃𝟏 )(𝒎+𝒃𝟏 )
𝒎+𝟏
+ b2 = O(0,2)
Лемма 9 доказана.
𝑵
Пусть N-натуральное число. Определённый интеграл функции { 𝒕 } по всему
𝑵 𝑵
вещественному интервалу [1,N] обозначим Int(N), то есть Int(N) = ∫𝟏 { 𝒕 }dt.
Целью работы будет показ “близости” суммы Sum(N) и интеграла Int(N), и дается
оценка возникающей погрешности. Как будет видно, определдённый интеграл Int(N)
вычисляется достаточно просто,
Раздел 3. Вычисление определённого интеграла Int(N)
Для вычисления Int(N) используется разбиение интервала [1,N] на N-1
𝑵 𝑵
вещественных интервалов вида (𝒊+𝟏 , 𝒊 ], где i=1…N-1. Такое разбиение важно тем, что в
𝑵
𝑵
𝑵
пределах интервала (𝒊+𝟏 , 𝒊 ] функция [ 𝒕 ] имеет одно и то же значение (равное i), поэтому
𝑵
𝑵
𝑵
функция { 𝒕 } приобретает простой вид { 𝒕 } = 𝒕 – i, непрерывна на интервале и допускает
явное интегрирование (лемма 6). Также в пределах этого интервала функция
𝑵
{ 𝒕 } монотонно убывает и выпукла вниз, и при подходе к левому, открытому концу
неограниченно приближается к значению 1, а на правом, замкнутом, имеет значение 0. На
𝑵
всём же интервале [1,N] функция { 𝒕 } является кусочно-непрерывной и “интервалы
𝑵
𝑵
непрерывности” (𝒊+𝟏 , 𝒊 ] становятся всё короче при увеличении i (см. пример на рисунке
1).
Для вычисления суммы Sum(N) сначала вычисляется интеграл Int(N), затем из него
выкидываются самые “короткие” интервалы при “больших” i (конкретно, при i > [√𝑵]) и
показывается “малость” их вклада в интеграл, после чего в каждом оставшемся “длинном”
интервале (при i ≤ [√𝑵]) сумма аппроксимируется интегралом по интервалу и
показывается суммарная “малость” погрешности аппроксимации. В итоге окажется, что
искомая сумма Sum(N) и интеграл Int(N) асимптотически ведут себя “одинаково”. Будут
также даны численные оценки всех погрешностей.
4
𝑵
Рисунок 1. Пример графика функции у(t) = { 𝒕 } на интервале (1,N] при N=10
𝑵 𝑵
Пусть N, m – натуральные числа, m ≤ N. Обозначим Fm,N(N) = ∫𝒎 { 𝒕 }dt. Очевидно
из этого определения, что Int(N) = F1,N(N). Целью данного раздела будет вычисление
Fm,N(N) и вывод некоторых следствий, включая получение значения Int(N). Полученные
результаты будут использованы в следующем разделе при выводе значения Sum(N), а
именно – при выводе искомой формулы (1.1).
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝑵
𝑵
𝒎
𝑵
[ ]−𝟏
Очевидно, Fm,N(N) = ∫𝒎 { 𝒕 }dt + ∑𝒊=𝟏
𝑵
∫ 𝑵𝒊 { 𝒕 }dt.
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝑵
𝐚. Оценим первую составляющую − определённый интеграл ∫𝒎 { 𝒕 }dt
𝑵
Рассмотрим рисунок 2. Отрезок AD проведён по касательной к функции у(t) = { 𝒕 } в
точке A. Будем обозначать через SXYZ… площадь любой фигуры XYZ…
𝑵
𝑵
В силу непрерывности и выпуклости вниз функции { 𝒕 } на интервале (m, 𝑵 ] имеем
[ ]
𝒎
следующее соотношение:
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝑵
∫𝒎 { 𝒕 }dt < Sтреуг.ABC
𝟏
𝑵
Но Sтреуг.ABC = 𝟐٠{𝒎} ٠ (
𝑵
𝑵
⌊ ⌋
𝒎
𝒎(𝒎−𝟏)
𝑵−𝒎
𝟏
𝑵
− 𝒎) < 𝟐٠ {𝒎} (
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝑵
𝑵
⌊ ⌋
𝒎
𝑵
𝟏
− 𝒎). А так как по лемме 1
𝑵 𝒎(𝒎−𝟏)
, то получаем оценку сверху: ∫𝒎 { 𝒕 }dt < 𝟐٠{𝒎}
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝑵
𝒎(𝒎−𝟏)
Отсюда получаем: ∫𝒎 { 𝒕 } dt = 𝑶(0, 𝟐(𝑵−𝒎) ).
5
𝑵−𝒎
<
𝒎(𝒎−𝟏)
𝟐(𝑵−𝒎)
𝑵
𝑵
𝒎
⌊ ⌋
−𝒎<
𝑵
Рисунок 2. Оценка интеграла функции у(t) = { 𝒕 } на интервале (𝒎,
б. Далее, используя лемму 6, выводится:
𝑵
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
[ ]
𝒎
[ ]−𝟏
𝒎
∑𝒊=𝟏
𝑵
[ ]−𝟏
𝑵
𝒊+𝟏
𝒎
∫ { 𝒕 }dt = ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝟏
N٠ (ln [𝒎] - ∑𝒊=𝟏
𝒊
N٠(ln
𝒊
𝟏
𝑵
]
𝒊
)=
+ 1).
𝑵
[ ]−𝟏
𝑵
𝒎
[ ]
𝑵
[ ] 𝟏
𝑵
𝒎
- 𝒊+𝟏) = N(ln [𝒎] - ∑𝒊=𝟐
Как было указано при доказательстве леммы 7, ∑𝒏𝒊=𝟏
𝒎
Поэтому ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
∫ 𝑵𝒊 { 𝒕 }dt = N٠(1-γ𝒊+𝟏
Окончательно:
Fm,N(N) = N٠(1-γ-
𝟏
𝑵
𝒎
𝟐[ ]
+ O (𝟎,
𝟏
𝑵
𝟐[ ]
𝒎
+ O (𝟎,
𝟏
𝟏
𝑵
𝒎
𝟏𝟐[ ] 𝟐
𝟏
𝒊
𝟏
))
𝒎(𝒎−𝟏)
𝑵
𝒎
𝟏𝟐[ ] 𝟐
𝟏
= ln 𝒏 + γ + 𝟐𝒏 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝒏𝟐 ),
)) + 𝑶(0, 𝟐(𝑵−𝒎) ).
(2.1)
Из формулы (2.1) выводятся следующие следствия, которые будут использоваться
далее:
𝑵
𝑵
[ ]
𝒎
𝟏 𝑵
𝑵
Следствие 1. При m=1 ∫𝒎 { 𝒕 }dt = ∫𝟏 { 𝒕 }dt = 0, поэтому
𝟏
𝟏
Int(N) = F1,N(N) = N٠(1-γ - 𝟐𝑵 + O (𝟎, 𝟏𝟐𝑵 𝟐)).
(2.2)
Следствие 2. Пусть 1 < m < N.
Имеем: F1,m(N) = F1,N(N) – Fm,N(N) =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒎(𝒎−𝟏)
N٠(- 𝟐𝑵 + 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝑵 𝟐) + 𝑵 - 𝑶(𝟎, 𝑵 𝟐 )) + 𝑶( 0, 𝟐(𝑵−𝒎) ) =
𝟐[ ]
N٠(
𝟏
𝑵
𝟐[ ]
𝒎
-
𝟏
𝟐𝑵
+ 𝑶(−
𝟏
𝒎
𝑵
𝟏𝟐[ ] 𝟐
𝒎
,
𝟏𝟐[ ]
𝒎
𝟏
𝟏𝟐𝑵 𝟐
𝒎(𝒎−𝟏)
)) + 𝑶( 0,
𝟐(𝑵−𝒎)
)
Используя лемму 4, получаем:
𝟏
𝑵
𝟐[ ]
𝒎
-
𝟏
=
𝟐𝑵
𝒎−𝟏
𝟐𝑵
𝒎𝟐
+ O (𝟎, 𝟐𝑵(𝑵−𝒎) )
Поэтому:
𝑵
𝒎−𝟏
F1,m(N) = 𝟐 ٠(
𝒎−𝟏
𝟐
𝒎−𝟏
𝟐
𝑵
𝒎𝟐
+ 𝑶 (𝟎, 𝑵(𝑵−𝒎)) + 𝑶(−
𝒎𝟐
+ 𝑶 (𝟎, 𝟐(𝑵−𝒎)) + 𝑶(−
+ 𝑶 (−
𝑵
,
𝟐𝒎𝟐 −𝒎
𝑵
𝟏𝟐[ ] 𝟐 𝟐(𝑵−𝒎)
𝒎
𝑵
,
𝟏
𝑵
𝟏𝟐[ ] 𝟐 𝟏𝟐𝑵
𝒎
𝟏
𝑵
𝟔[ ] 𝟐
𝒎
𝟏
𝒎(𝒎−𝟏)
, 𝟔𝑵 𝟐)) + 𝑶( 0, 𝟐(𝑵−𝒎) ) =
𝒎(𝒎−𝟏)
) + 𝑶( 0, 𝟐(𝑵−𝒎) ) =
𝟏
+ 𝟏𝟐𝑵 )
(2.3)
6
Следствие 3. Если m ≤ [√𝑵] = o(N), формула (2.3) принимает следующий вид:
F1,m(N) =
𝒎−𝟏
𝟐
+ 𝑶 (−
(𝟏+𝒅)𝒎𝟐 (𝟏+𝒅)𝒎𝟐
𝟏𝟐𝑵
,
𝑵
при любом d > 0
)
(2.4)
Раздел 4. Вычисление суммы Sum(N)
𝑵
Пусть N, m, n - натуральные числа, m ≤ n ≤ N. Обозначим 𝑺𝒎,𝒏(N) = ∑𝒏𝒌=𝒎 { 𝒌 }.
Очевидно из этого определения, что Sum(N) = S1,N(N).
Целью является показать “близость” значений 𝑭𝟏,𝑵 (N) и 𝑺𝟏,𝑵 (N), то есть Int(N) и
Sum(N).
Пусть i - натуральное число, i ≤ [√𝑵].
𝑵
𝑵 𝑵
Рассмотрим функцию { 𝒕 } на интервале [[ 𝒊+𝟏], 𝒊 ] (рисунок 3).
𝑵
𝑵
𝑵
Рисунок 3. Пример графика функции у(t) = { 𝒕 } на интервале [ [𝒊+𝟏], 𝒊 ] при i ≤ [√𝑵].
На рисунке 3 отрезок кривой GJ строится параллельным переносом отрезка кривой
AI в точку G.
𝑵
Отметим следующие свойства функции { 𝒕 }:
𝑵
𝑵
1. Так как i ≤ ⌊√𝑵⌋, то по лемме 3 ⌊𝒊+𝟏⌋ < ⌊ 𝒊 ⌋, то есть точки A и C - различны. Однако
точки B и C могут совпасть.
𝑵 𝑵
𝑵
𝑵
2. На отрезке ( , ] имеем { } = – i.
𝒊+𝟏 𝒊
𝒕
𝒕
𝑵
𝑵
3. Сумма определенных интегралов ∫ 𝑵𝒊 { 𝒕 }dt (то есть сумма площадей фигур ADG) по всем
𝒊+𝟏
i=1…⌊√𝑵⌋ дает общий интеграл 𝑭
𝑵
,𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
(N) = ∫
𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
𝑵
4. Сумма сумм элементов ряда ∑
[ ]
𝑵
𝒊
𝒌=[
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
]+𝟏
{𝒌}
𝑵
{ 𝒕 }dt
(то есть сумма длин отрезков значений
𝑵
функции { } от BF до CE) по всем i=1…⌊√𝑵⌋ дает общую сумму ряда 𝑺
𝒕
∑𝑵
𝒌=[
𝑵
𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
]+𝟏
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
[
{𝒌} .
7
(N) =
Далее: Int(N) = 𝑭𝟏,𝑵 (N) = 𝑭𝟏,
𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
[
По формуле (2.4) 𝑭𝟏,[
𝑵
]
⌊√𝑵⌋+𝟏
√𝐍−𝟏
𝟐
𝟏𝟑
(N) =
(N) + 𝑭
𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
𝑵
,𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
]−𝟏
(N).
𝟏
+ O(- 𝟏𝟐 - d, 𝟏+d) = (используем лемму 9) =
𝟐
при любом d>0.
+ O(- 𝟏𝟐 - d, 𝟏+d)
Поэтому 𝑭𝟏,𝑵 (N) = 𝑭
𝑵
,𝑵
⌊√𝑵⌋+𝟏
𝟏𝟑
√𝐍−𝟏
𝟐
(N) +
+ O(- 𝟏𝟐 - d, 𝟏+d) при любом d>0
Аналогично, 𝐒𝐮𝐦(𝐍) = 𝑺𝟏,𝑵 (N) = 𝑺
𝑵
]
⌊√𝑵⌋
𝟏,[
(N) + 𝑺
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
(3.1)
(N).
√𝐍
ДОКАЗАТЬ!!! Для дальнейших расчетов положим 𝑺𝟏,[
(N) = 𝟐 + a(N), где
𝑵
]
⌊√𝑵⌋
a(N) = O(-0,03, +0,03) √𝐍 это согласуется с комп. расчетом.
Поэтому 𝑺𝟏,𝑵 (N) = 𝑺
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
√𝐍
𝟐
+ a(N)
(N) +
(3.2)
𝑵
Таким образом, вклад отрезка [𝟏, [⌊√𝑵⌋] ]
как в интеграл, так и в сумму, “мал”,
поэтому достаточно показать “близость” значений 𝑭
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
(N) и 𝑺
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
(N).
Имеем (рисунок 3):
𝑵
∫
[
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
[𝒊]
𝑵
[ ] 𝑵
𝒊
( 𝒕 − 𝒊)dt = SJHCE =
]
𝑵
∫ 𝑵𝒊 { 𝒕 }dt
[ ]
[𝒊]
[
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
{ 𝒕 }dt + {𝒊+𝟏}, так как SGKHA = {𝒊+𝟏}.
𝒊
+ SGKHA = ∫
]
Поэтому, используя лемму 7, выводится:
𝑵
∑
O(0,
[ ]
𝒌=[
𝑵
𝟏𝟐([
𝑵
{𝒊+𝟏} -
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
]+𝟏
{𝒌} = ∑
𝑵
)=∫
𝟐
[ ]
[
])
𝒊+𝟏
]
𝑵
𝑵
𝒊
𝒌=[
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝒊
𝑵
[ ]
( 𝒌 − 𝒊) = ∫
[ ] 𝑵
𝒊
[
]+𝟏
𝑵
𝑵
{ 𝒕 }dt + {𝒊+𝟏}+
𝑵
𝟐[ ]
𝑵
𝒊+𝟏
– O(0,
𝑵
)𝑵 𝟐
𝟏𝟐[ ]
𝒊
𝑵
𝑵
( − 𝒊)dt + {𝒊+𝟏} +
] 𝒕
𝑵
𝟐[
𝒊
𝑵
]
+ O(0,
𝒊+𝟏
𝑵
– O(0,
𝑵
𝟐[ 𝒊 ]
𝑵 𝟐
)-
𝟏𝟐[ ]
𝒊
𝑵
𝟏𝟐([
𝑵
𝒊+𝟏
) =∫
𝟐
[
])
𝑵
[ ]
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
𝑵
𝟐[
𝑵
]
+
𝒊+𝟏
𝑵
{ }dt +
] 𝒕
g(N,i),
где g(N,i) =
𝑵
𝟐[
𝑵
]
-
𝒊+𝟏
𝑵
𝑵
𝟐[ ]
𝑵
+ O(0,
Также
𝑵
<𝑵
𝒊
𝒊
[ ]
𝟏
𝑵
𝟏𝟐([
𝒊
𝑵
𝟐[
𝒊
−𝟏
) - O(0,
𝟏𝟐[ ]
𝒊
Используя лемму 5, получаем:
𝟏
𝑵 𝟐
𝑵
]
𝒊+𝟏
-
𝑵
𝑵
𝟐[ ]
<
𝒊
𝑵
])𝟐
)=
𝒊+𝟏
𝑵
𝟐[
𝑵
𝒊+𝟏
]
-
𝑵
𝑵
𝟐[ ]
𝒊
+ O(-
𝑵
𝟏𝟐([
𝑵
,
𝑵
])𝟐 𝟏𝟐[𝑵]
𝒊+𝟏
𝟐
)
𝒊
𝑵(𝑵+ 𝒊𝟐 + 𝒊 )
𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)(𝑵−𝒊)
= 𝑵−𝒊
𝑵(𝑵+ 𝒊𝟐 + 𝒊 )
𝑵(𝒊+𝟏)𝟐
𝑵𝒊𝟐
То есть g(N,i) = O(0, 𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)(𝑵−𝒊)) + O(-𝟏𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)², 𝟏𝟐(𝑵−𝒊)²) =
𝑵(𝒊+𝟏)𝟐
O(- 𝟏𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)²,
𝑵(𝟔𝑵³+𝟕𝑵 𝒊𝟐 −𝟕𝒊𝟑 −𝟕𝒊𝟐 )
)
𝟏𝟐(𝑵−𝒊)²(𝑵−𝒊−𝟏)
𝑵
Значит, ∑
[ ]
𝑵
𝒊
𝒌=[
𝑵
𝒊+𝟏
]+𝟏
𝑵
{𝒌} = ∫
[ ]
[
𝑵
𝒊
𝑵
𝒊+𝟏
]+𝟏
𝑵
{ 𝒕 }dt + {𝒊+𝟏} + O(-
есть, суммируя по всем i ≤ ⌊√𝑵⌋, получается
𝑺
[
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
(N) =
8
𝑵(𝒊+𝟏)𝟐
,
𝟏𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)²
𝑵(𝟔𝑵³+𝟕𝑵 𝒊𝟐 −𝟕𝒊𝟑 −𝟕𝒊𝟐 )
𝟏𝟐(𝑵−𝒊)²(𝑵−𝒊−𝟏)
), то
𝑭
⌊√𝑵⌋
𝑵
[
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
(N) + ∑𝒊=𝟏 {
⌊√𝑵⌋
𝑵
√𝐍
𝟐
Но ∑𝒊=𝟏 {𝒊+𝟏} =
𝑵(𝒊+𝟏)𝟐
⌊√𝑵⌋
𝑵
} +𝑶(− ∑𝒊=𝟏
𝒊+𝟏
⌊√𝑵⌋ 𝑵(𝟔𝑵³+𝟕𝑵 𝒊𝟐 −𝟕𝒊𝟑 −𝟕𝒊𝟐 )
, ∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐(𝑵−𝒊−𝟏)𝟐
𝟏𝟐(𝑵−𝒊)²(𝑵−𝒊−𝟏)
)
+ a(N),
ЗДЕСЬ СЧИТАТЬ ДАЛЬШЕ!!
Поэтому
𝑺
[
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
(N) = 𝑭
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
(N) +𝑶(
−𝟏𝟑−𝒅
𝟏𝟐
⌊√𝑵⌋ ,
𝟏𝟑+𝒅
𝟏𝟐
⌊√𝑵⌋ ) при любом d > 0
(3.3)
Окончательно, объединяя формулы (3.1), (3.2), (3.3), получаем:
Sum(N) = 𝑺𝟏,𝑵 (N) = 𝑺 𝑵
(N) + 𝑶(𝟎, (𝟏 + 𝒅)⌊√𝑵⌋) =
[
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
𝑭
𝑭
𝑵
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
[
𝑵
[
]+𝟏,𝑵
⌊√𝑵⌋
𝑭𝟏,𝑵 (N)-
(N) + 𝑶(
(N) + 𝑶(
−𝟏𝟑−𝒅
𝟏𝟐
−𝟏𝟑−𝒅
𝟏𝟐
⌊√𝑵⌋ ,
⌊√𝑵⌋ ,
𝟏𝟑
√𝐍−𝟏
+ O(−𝟏 −d, 𝟏𝟐
𝟐
−𝟏𝟗−𝒅
𝟏𝟗+𝒅
𝑭𝟏,𝑵 (N) + 𝑶(
𝟏𝟐
√𝑵,
𝟏𝟐
𝟏𝟑+𝒅
𝟏𝟐
𝟐𝟓+𝒅
𝟏𝟐
⌊√𝑵⌋ ) + 𝑶(𝟎, (𝟏 + 𝒅)⌊√𝑵⌋) =
⌊√𝑵⌋ ) =
+d) + 𝑶(
−𝟏𝟑−𝒅
𝟏𝟐
√𝑵,
𝟐𝟓+𝒅
𝟏𝟐
√𝑵 ) =
√𝑵 )
𝟏
𝟏
𝟏
Но по формуле (2.2) 𝐈𝐧𝐭(𝐍) = F1,N(N) = N٠(1-γ - 𝟐𝑵 + O (𝟎, 𝟏𝟐𝑵 𝟐)) = N٠(1-γ) - 𝟐 +
𝟏
O (𝟎, 𝟏𝟐𝑵 ), поэтому окончательно получаем выражение для Sum(N):
𝑵
𝟏
𝒌
𝟐
−𝟏𝟗−𝒅
∑𝑵
𝒌=𝟏 { } = N٠(1-γ) - + 𝑶(
N٠(1-γ) + 𝑶(
−𝟏𝟗−𝒅
𝟏𝟐
√𝑵 ,
𝟏𝟐
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟐
√𝑵 ,
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟐
√𝑵) =
√𝑵) при любом d>0
(3.4)
Поделив обе части (3.5) на N, полученный результат записывается в следующем виде:
𝟏
𝑵
𝑵
∑𝑵
𝒌=𝟏 { 𝒌 } = 1-γ + 𝑶(
−𝟏𝟗−𝒅 𝟏
𝟏𝟐
√𝑵
,
𝟏𝟗+𝒅 𝟏
𝟏𝟐
√𝑵
)) при любом d>0
(3.5)
Следствие формул (3.4) и (3.5). (Сумма целых частей от деления).
𝑵
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟗+𝒅
∑𝑵
𝒌=𝟏 [ 𝒌 ] = N(ln N + 2γ – 1) + 𝑶(− 𝟏𝟐 √𝑵, 𝟏𝟐 √𝑵) при любом d>0 (3.6)
𝟏
𝑵
𝑵
∑𝑵
𝒌=𝟏 [ 𝒌 ] = ln N + 2γ – 1 + 𝑶(−
𝟏𝟗+𝒅 𝟏
𝟏𝟐
Доказательство.
𝑵
𝑵
𝑵
𝑵
𝑵
∑𝑵
𝒌=𝟏 [ 𝒌 ] = ∑𝒌=𝟏 ( 𝒌 − { 𝒌 } ) = ∑𝒌=𝟏
𝟏
√𝑵
𝑵
𝒌
,
𝟏𝟗+𝒅 𝟏
𝟏𝟐
√𝑵
) при любом d>0
(3.7)
𝑵
- ∑𝑵
𝒌=𝟏 { 𝒌 } = (используем формулу
𝟏
𝑵
Эйлера-Маклорена [1]) = N(ln N + γ + 𝟐𝑵 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝑵𝟐)) - ∑𝑵
𝒌=𝟏 { 𝒌 } = (используем формулу
𝟏
𝟏
𝟏
−𝟏𝟗−𝒅
(3.4)) = N ( ln N + γ + 𝟐𝑵 – 𝑶(𝟎, 𝟏𝟐𝑵𝟐)) – N(1-γ) + 𝟐 - 𝑶(
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟐
√𝑵 ,
𝟏𝟗+𝒅
𝟏𝟐
√𝑵) =
N(ln N + 2γ – 1) + 𝑶(− 𝟏𝟐 √𝑵, 𝟏𝟐 √𝑵) при любом d>0.
Формула (3.6) доказана.
Формула (3.7) получается из (3.6) делением обеих частей на N.
Следствие доказано.
Заключение
9
В предлагаемой работе поставлена и решена следующая задача: нахождение
асимптотического выражения для суммы дробных частей от деления натурального
числа на все натуральные числа, его не превосходящие, где асимптотика
рассматривается при стремлении делящего числа к бесконечности (формулы (3.4) и
(3.5)).
Задача решена путём сведения к задаче нахождения асимптотического выражения
соответствующего определённого интеграла (формула (2.2)) и оценки возникающей
погрешности.
Как следствие, выведено асимптотическое выражение для суммы целых частей
от деления натурального числа на все натуральные числа, его не превосходящие, где
асимптотика также рассматривается при стремлении делящего числа к бесконечности
(формулы (3.6) и (3.7)).
Полученные результаты автору ранее были неизвестны, несмотря на поиски в
литературе и в интернет. Возможно, получен новый результат или новое доказательство
известного результата.
Автор надеется, что предлагаемые результаты и способы решения будут полезны в
других исследованиях.
Ключевые слова: теория чисел; натуральный ряд; двусторонняя О-асимптотика;
формула Эйлера-Маклорена; постоянная Эйлера-Маскерони; числа Бернулли.
Список литературы
1. Википедия. Формула Эйлера — Маклорена — Википедия (wikipedia.org)
2. Википедия. Числа Бернулли — Википедия (wikipedia.org)
3. Википедия. Постоянная Эйлера — Маскерони — Википедия (wikipedia.org)
10