intv46

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. А. Носов, В. Н. Сачков, В. Е. Тараканов, Комбинаторный анализ (матричные проблемы, теория выбора), Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат.
стат. Теор. кибернет., 1981, том 18, 53–93
Использование Общероссийского математического портала MathNet.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским
соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 176.59.18.135
26 июля 2023 г., 15:44:42
УДК 519.11.
КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
(Матричные проблемы, теория выбора)
В. А. Носов, В. Н. Сачков, В. Е, Тараканов
Настоящий обзор является первым обзором по общей ком­
бинаторной теории в серии «Итоги науки». Бурный рост за
последние 20 лет числа исследований в этой области — факт
общеизвестный. Развитие комбинаторной математики при этом
происходило как вглубь, так и вширь. Наряду с развертыва­
нием большой работы по построению прочного фундамента
комбинаторных исследований было получено огромное коли­
чество конкретных новых результатов как в классических за­
дачах (например, таких, как решение знаменитой проблемы
Эйлера об ортогональных латинских квадратах или проблемы
четырех красок в теории графов), но и в совершенно новых, ра­
нее не известных отраслях теории, родившихся как из внутрен­
них ее потребностей, так и из нужд многочисленных, трудно
обозримых приложений дискретной математики. Все это зара­
нее обрекает на неудачу попытку в одном кратком обзоре дать
сколько-нибудь полную картину современного состояния ком­
бинаторного анализа. Настоящий обзор следует рассматривать
как попытку осветить лишь некоторые, принципиально важные
стороны общей комбинаторной теории, которые являются сей­
час весьма актуальными, о чем, в частности, свидетельствует
обилие публикаций, ЛИШЬ частично отраженное в библиогра­
фии.
В настоящее время принято следующее деление общей
комбинаторной теории на три части: перечисление, конфигура­
ции и проблемы выбора. Все эти части присутствуют в обзоре
в. очень суженном виде. Так, в обзоре мы не касаемся вопро­
сов существования и построения блок-схем, проективных пло­
скостей и родственных им конфигураций (по этому поводу
см. [24, 106]). Мы оставляем в стороне также многие вопросы
перечислительной теории, а также разнообразные связи ком­
бинаторики с теорией вероятностей, отсылая читателя к недав­
но вышедшим монографиям [17—18], а также к сборнику [13].
Не затрагиваются также алгоритмические проблемы комбина­
торики (см. [176]). Все эти вопросы, ввиду обширности' мате­
риала, требуют отдельного обзора. Подробно освещены комби­
наторные аспекты теории перманентов, матриц с неотрмца53
тельными элементами. В части, посвященной латинским квад­
ратам, основное внимание уделяется задачам их перечисления,
проблеме пополнения частичного латинского квадрата, а также
вопросам существования эквидистантных перестановочных таб­
лиц. Относительно более полно (но все-таки, по необходимо­
сти, конспективно) рассматриваются проблемы выбора, в том
числе фундаментальная для них теория матроидов. Здесь
опущены некоторые темы, в частности, теория Рамсея, комби­
наторика конечных структур, приложения. В обзоре рассмат­
риваются, прежде всего, статьи, прореферированные в Рефера­
тивном журнале «Математика» в 1975—1979 гг., однако в це­
лях создания более ясной перспективы часто привлекаются и
более ранние работы. С другой стороны, в разделах, посвя­
щенных проблемам выбора, наличие монографий и обзорных
статей по рассматриваемым вопросам (см. [16, 21, 123, 168,
217]) позволило, отправляясь от них, более строго ограничить
изложение лишь последними годами.
§ 1. ПЕРМАНЕНТЫ
Перманент матрицы A — (a i j), i—1,..., n; / = = 1 , . . . . m, n<m,
с элементами из коммутативного кольца определяется форму­
лой
..,.;. ъ&уйШ
п
регЛ — 2Па/,а(/,>
а 1-1
где суммирование ведется по всем инъективным отображениям
о : [l,n]{to}[l,nt].
Основное внимание уделяется случаю ш - п ,
Одна из известных задач для перманентов связана с вопро­
сом о существовании такого линейного преобразования Т про­
странства (nXtt) -матриц Мп с действительными элементами,
что выполняется тождество
perA-detA для всех АеМп
(1)
(здесь detA —детерминант матрицы A).
В работе [152] было получено отрицательное решение этой
задачи, а именно доказано, что при n > 2 не существует такого
Т, чтобы тождество (1) выполнялось. Поэтому в. дальнейшем
рассматривались либо частные типы преобразований простран­
ства Мп, либо преобразования подпространств Мп. Так, в [139]
рассматривается пространство Яп-симметр«чесиих матриц, над
полем F, являющимся подпадем поля действительных чисел.
Доказывается, что не существует линейного преобразования
пространства Нп со свойством регГ(Л) =cdetA, где п > 3 ,
с — заданное число.
Пусть преобразование Т пространства Мп заключается в
изменении знака некоторых элементов матрицы А.
54
Говорят, что (0, 1)-матрица A - ( a i j ) порядка п обратима
если существует матрица В=(Ьц)
такая, что Ь{}=±Оц и
perA-=det.6. Пусть v(A) — число единиц в матрице A.
В работе [96] установлено, что если A—обратимая матри­
ца порядка п и perA>0, TO
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда су­
ществуют подстановочные матрицы Р и Q такие, что A.=PTnQ,
где 7.=.(itj) —(0, 1)-матрица порядка п такая, что tii=d
ч-Ф.1<1<У</г. В частности, если A обратима, n > 5 , то v(A)<
<п(п—\) и равенство- достигается тогда и только тогда, когда
А имеет нулевую строку или нулевой столбец.
В [144] найдены необходимые и достаточные условия обра­
тимости квадратной (0, 1)-матрицы. Другой вопрос связан с
описанием линейных преобразований пространства Мп, 'сохра­
няющих перманент.
Показано [148], что всякое линейное преобразование Т,
сохраняющее перманент, имеет вид
T(Xy=DPXQL
или T(X)=DPX'QL,
(2)
где ХШп; Р и Q — подстановочные матрицы, D я L — диаго­
нальные, штрих означает транспонирование. Если в качестве
Мп взять Qn — пространство дважды стохастических матриц,
то' в. [169] показано!, что в этом случае преобразование Т, со­
храняющее перманент, имеет вид
T(X)=.PXQ или T{X)=PX'Q.
(3)
В работе [164] изучались линейные преобразования прост­
ранства Мп, 'Сохраняющие не только перманент, но и элемен­
тарные симметрические функции от корней матрицы. В част­
ности, установлено: если Т — линейное преобразование Мп,
perT'(A) —perA и Е2(Т(А))=Е2(А),
где E2(A)—вторая сим­
метрическая функция от корней матрицы A, то
7 , (A);=-i;D- 1 P- 1 APD Либо r ( A ) = ± D - 1 P - 1 A ' P D ,
где D — диагональная, Р — перестановочная матрицы.
Следующий вопрос связан с описанием класса матриц, для
которых справедливо' тождество
perA-B—perA.per-S.
(4)
Группа невырожденных матриц G над полем F называется
перманентной, если для любых A, B&G справедливо тождество
(4). В работах [35—36] показано, что если для любых A, SeG
произведение Адамара А°В' матриц A и В'— невырожденная
диагональная матрица, то G — перманентная группа (произ­
ведение Адамара матриц A = ( a i j ) и 5 = (ft.,) есть матрица
А °В=(щу
bij).
i
Бели G — перманентная группа и Char-F=0 либо CharF—p,
р>п, То' каждая матрица из G имеет 1 -диагональную структу55
py, т. е. в матрице только одна ненулевая диагональ. При этом
под диагональю понимается набор таких элементов, из которых
никакие два »е лежат в одной строке или одном столбце.
В [214] для простого. p>3 и произвольного поля F характе­
ристики р строится циклическая перманентная группа матриц
порядка р, матрицы которой не имеют диагональной структуры.
Аналогичным образом может быть введено понятие перма­
нентной полугруппы. Доказывается [37], что если перманент­
ная полугруппа матриц порядка п над областью целостности R
с CharRi=p, где р==0 или р>п, содержит диагональные матри­
цы с ненулевыми диагональными элементами, то любой эле­
мент полугруппы имеет самое большее одну ненулевую диаго­
наль при условии, что
\R\>n2+n.
Большой цикл работ связан с попытками доказать выдви-'
нутую в 1926 году Ван дер Верденом гипотезу ю. там, что
perA>|r,
(5)
где А — дважды стохастическая (nXn) -матрица; причем paвенство достигается тогда и только тогда, когда A=Jn — 1
Пусть Qn — множество всех дважды стохастических мат.
риц. Еще в работе [153] было доказано, что если функция
perA достигает минимума во внутренней точке пространства
Qn (Bi евклидовой топологии), то гипотеза Ван дер Вардена
справедлива; если же этот минимум достигается на границе
Qn, то у соответствующей матрицы А нулевые элементы не на­
ходятся в одной строке. Установлено также неравенство
1>perA>(n-—n+1) 1 -".
(6)
В работе [72] изучалась структура матрицы, на которой
достигается минимальное значение перманента. В частности,
показано, что все ее нулевые элементы не могут располагать­
ся в двух строках (или столбцах). В [128] рассматривается
множество Й-.*—дважды стохастических матриц, имеющих
нулевые элементы, и доказывается, что функция перманента
имеет локальный минимум на Qn* в некоторой матрице У,
имеющей единственный нулевой элемент, причем рег>---,.
В работе [186] показано, что для любого я существует г
такое, что т1прегЛ Г достигается при А = — , где положеЛ£С1п
II П
но Ar — (aru), A = (atj). Указывается [29] вид дважды стохас­
тической матрицы, имеющей к, 1 < £ < я — 1 , нулей в одной
строке (в одном столбце), наиболее близкой к матрице Уп,
в которой перманент имеет локальный минимум.
Справедливость гипотезы Ван дер Вардена установлена
для всех я, я < 5 ([153,74]). В [90] доказана справедливость
56
этой гипотезы для всех дважды стохастических матриц, имею­
щих собственные числа в секторе — --j^-< а г ё ^ < _ _ г •
Выдвинут ряд гипотез, доказательство которых привело бы
к подтверждению гипотезы Ван дер Вардена. Так, в [1491
выдвинута гипотеза
per A > per ( - ^ = — ) '
(7)
причем при n-S-З равенство достигается только в случае А --=/„.
При. этом неравенство (7) доказано для дважды стохастиче­
ских матриц, лежащих в достаточно малой окрестности /....
В работе [212], анализируя случай n=3, автор строит
контрпример к (7) при п = 3; вместо (7) предлагается другая
гипотеза
per A > per (—££—),
(S)
причем равенство достигается только для A = Jn, из которой
также следует предположение Ван дер Вардена.
В [103] доказано неравенство
1 [ р е Г А - + КрегА.-4'-регА'.Л]>-^-(9>
для AQQn и равенство достигается только в том случае, когда
A — J„ (штрих означает транспонирование).
Выдвинуто предположение, что
.
4 per--А ,
_л!_
per ,4-.4'+per А'-А + 2рет А*^ пп '
,Ю.
*• '
причем равенство достигается в том и только том случае,
когда A=Jn.
Из этого предположения следует гипотеза Ван дер Вардена.
Другая гипотеза (Минк и Ньюмен) состоит в' том, что
справедлива неравенство
Ph(A)>Ph(Jn), A6Q, k=l, 2 , . . . , п
(Л)
где Рь.(А)—сумма перманентных миноров k-vo порядка. Ги­
потеза доказана для п<3. Доказано [187], что если A-?--/., и
собственные значения К матрицы А лежат в секторе —— <
<arg^<.^ , то perA>P s (/„).
В работе [71] выдвинута гипотеза о том, что справедливо
неравенство
Р > (Л)>-."~Д + 1 Ры(А),
k = \,...,n,
AeQn.
(12)
ОНО доказано для &<3 и всех п. Каждое из равенств (11) он
(12) влечет справедливость предположения Ван дер Вардена..
В работе [145] был установлен тот факт, что
;
регЛ<регА(*|/),
(13)
57
где АШп — матрица, на которой достигается минимальное зна­
чение перманента, A(i\j)—матрица,
полученная из А вычер­
киванием строки i и столбца /. Элементарное доказательство
этого факта дано в [165]. Существует предположение, что
матрицы А, для которых (13) справедливо для всех i, j , исчер­
пываются матрицами /„ и -"С—д Un + Pn), где L — единичная
матрица, Р — матрица, отвечающая полиоцикловой подста­
новке.
Доказывается [200], что А ~Кп для вполне неразложимых
матриц А с условием (13) и одним из дополнительных условий:
1) имеющих положительную диагональ, каждый элемент
которой изолирован;
2) один из наименьших положительных элементов изолиро­
ван;
3) обладает изолированным элементом и perA(t|j) =perA
для всех £, /. (Элемент aij называется изолированным, если
после его удаления матрица теряет свойство быть вполне нераз­
ложимой, диагональ матрицы — множество п некодлинеарных
элементов!).
В работе [163] установлено, что если для некоторого'' k,
l.<k<n—2, перманенты всех подматриц порядка к дважды
стохастической матрицы порядка п равны между собой, то
A=Jn. В то же время при k = n—1 этот факт не имеет места.
Обобщение этой работы дано в [83].
Изучается [198] структура дважды стохастической ( n x n ) матрнцы, имеющей т попарно непересекающихся нулевых
.диагоналей (l;<m<n—1),
и с постоянными суммами элемен­
тов но всем остальным диагоналям. Оказывается, что в этом
случае все элементы вне диагоналей совпадают между собой.
С гипотезой Ван дер Вэрдена тесно связана задача полу­
чения нижних оценок для perA, АШп. В работе [151] было
установлено, что perAS--per/„ + /-.."(1—рег/„), где Л,„ —наи­
меньшее собственное значение А. В [150] была получена оцен­
ка perA-S-n-". Она улучшена в работе [186] до perA>n- _ n и в
[91] доказана оценка perA> —
Самостоятельный интерес представляет задача нахождения
хороших оценок для перманента произвольной (0, 1)-матрицы.
Начнем с нижних оценок.
В работе [159] установлена оценка
per А > / 2 ai А — 2/г + 2
и для случая (0,1)-матриц с k единицами в каждом столбце и
каждой строке соответственно —
perA~>n(k—2)+2.
.58
В [95] эта оценка улучшена в следующем виде (для пол­
ностью неразложимых матриц):
.4-1
per A > /{sum} аЛ - 2 л + 2 + 2 (»• -V>
\ij
j
m=-l
где k—-НИЖНЯЯ оценка для числа единиц в каждой строке.
В [108] эта оценка улучшается в виде (также для вполне
неразложимых (ОЛ)-матрщ)
А-З
per A >[ff(_4)-2rt+2] + 2 ( i ! - 1 ) n + l ( A — 2)! --1JR1 +
+ Р-1)!-11/?2где
а(А)=У,а1],
i,i
Ri = R, /?2==-> если 0 < / ? < » + 1 ,
Ri=n, R2=R—n+->
если / ? > n + l ,
Я = о (А) - (Зл - 3) - (k - З) я,
k-НИЖНЯЯ оценка числа единиц в каждой строке.
В работе [162] приведена оценка для вполне неразложимых
(ОЛ)-матриц со строчными суммами г1,..., гп\
per Л > шах гг.
1<><л
Из этой оценки вытекает, что per Л > г (А), где г (Л) —
максимальное собственное значение Л. Для действительных
(яX/^-матриц Л-=(а-;), у которых а г г > 2 \aij\ д л я в с е х
iG[l, и], справедлива оценка
У=1,М/
per Л > И (ai; — S; - tt),
i-i
a
где Si = 2 i y
и
суммирование по тем у, для которых
a^-aJt<0,
iJ ==
i 2 , .l a 'yl _ " 1--У-1),и суммирование по тем j , j фг, для кото­
рых а1Гап>0 и | a ^ ( > | a - f | .
Пусть Un{k, А)-класс квадратных (0,1)-матриц порядка n,
имеющих k единиц в каждой строке и каждом столбце.
Известна гипотеза М. Холла, заключающаяся в том, что
lim [ inf per A\ = оо .
л->.-о A£Un(3,3)
В работе [199] было установлено, что per Л > я для всех
Авип (З, З). В [107] доказана оценка р е г Л > л + З для всех
AfiUn(S,3). Оценка работы [109] имеет вид;
59
per Л >3(/г — 1) для всех AeU,.(3,3).
Для произвольного случая в [110] получена оценка per Л >
>
{k-<L){k-\)
n
для
всех
AeUn(ki
к)ш
Ясно, что Для любой квадратной (0,1)-матрицы perA>detA.
Существовало предположение, что для A6Un(k, k) имеет место
строгое неравенство, т. e. perA>detA. Однако в работе [135]
был построен пример матрицы Ле£/П(3,3) (для достаточно боль­
шого n) такой, что per A = detA.
В [134] для матриц А, являющихся матрицами инцидентно­
сти (v, k, Я)-конфигураций, доказано неравенство
per А - | det А | > I {Х~ 1)\k-q)V
•jj-^-.
где
? > Т Т •к _
Известна гипотеза Эрдеша —Реньи, заключающаяся в том,
что
lim [inf (per Л)1/л] > 1.
л->со AQUnf.!t,
k)
В работе [209] доказывается, что
£(ft)>6(4/3)»--. п>Ъ и gr>4/3,
где
£(/i) = infperA, g - l l m ^ ^ ) ) 1 / " .
.4(<и.,(з, 3)
п-к»
Еще для одного частного случая справедливость гипотезы
Эрдеша —Реньи установлена в J126].
Приведем теперь верхние оценки для перманента матриц.
Еще в работе [158] для квадратной (0, 1)-матрицы А порядка
ti было показано, что per А < П r ---i-, где rt — сумма элементов
в строке i, и выдвинута гипотеза о том, что справедливо
неравенство
п
:
регЛ<ГГ(о)!1^.
i—\
После получения ряда частных результатов по этой гипотезе
приведенное неравенство было доказано в работе [3], затем бо­
лее простое доказательство приведено в [194].
Приведем другое неравенство, также использующее строч­
ные суммы гь ..., гп (0,1)-матрицы A. Обозначим через (а ь . . .
60
. . -, а») и (|3.
рп) две такие перестановки чисел т\,..., г„,
что ai<a2< ... <а„ и Pi>p2> •. • --*?-.. Тогда в работе [161]
доказывается неравенство
п
и
IImax(a.. + 1.---i, 0 ) < p e r A < I I min(pi, i),
а в [162] выводится, что перманент вполне неразложимой
(0,1)-матрицы равен наибольшей среди строчных сумм тогда и
только тогда, когда все эти суммы равны двум.
В работе [84] для случая (0,1)-матриц порядка п, имеющих
не менее 3 элементов в каждом
столбце и каждой строке, уста­
новлено неравенство perA<2N~2n, где N — сумма всех элемен­
тов в A. Для случая вполне неразложимых матрицJf_2n
с натураль­
ными элементами доказано неравенство perA<2
+L
Пусть Р==(а(])~ (0,1)-матрица порядка п такая, что ап\ =
= als = a 23 =...=a„_i, n ==l, остальные а^ — О, и пусть а, р, у—
действительные числа.
В работе [160] получена явная формула для перманента
матрицы a/n + PP+y-02 и показано, что
—- < min per A < —•----•
и, в частности, при п>5
m i n p e r A < p e r ( — / „ + 4 - P + — .P-).
a+p+-y=I
\
d
->
о
I
Явное выражение для перманента для одного случая симметри­
ческой матрицы данов [133].
Наиболее эффективным инструментом для вычисления пер­
манента произвольной матрицы является формула Райзера, тре­
бующая для пХ>г-матрицы числа сложений и умножений по­
рядка 0(п2"). Различные методы, сокращающие ЧИСЛО умноже­
ний и сложений, предложены в работах [122, 166].
Получены алгоритмы вычисления перманентов циркулянтных
матриц в [157] и [66].
В работе [166] приведены формулы для вычисления perA че­
рез степенные суммы столбцов матрицы A. В [99] изучается значе­
ние перманента матрицы Шура, т. е. (пХп)-матрицы М — (<%),
где
ayft--=exp(—-j , J, k =
\,...,n.
Если Р„=-рег M„, то показано, в частности, что
Pte=.0;'P„e«(mod2); Pp=p\(modp*),
p — простое число, и другие тождества.
Изучалась структура (0,1)-матриц, перманенты которых при­
нимают значения 1, 2, 3 ([98]). В частности, регЛ==1 тогда и
61
только тогда, когда матрица А получена из верхнетреугольной
матрицы В перестановкой строк и столбцов. Показано также,что для любого целого k существует квадратная (0,1)-матрица
А такая, что perA=fe. При этом получены оценки сверху для
п (k) — минимального порядка соответствующей матрицы A:
n(fe)-g[log2(k—1)] + 2 при k>2. В связи с исследованием дважды
стохастических матриц A таких, что perA 2 = perA, в работе
[202] исследуется структура таких дважды стохастических мат­
риц, для которых существуют перестановочные матрицы Р и Q
такие, что A2=PAQ' или A2—PA'Q'. Другой класс матриц изЙ„ с условием perA —perA изучен в [201].
В работе [179] найдено асимптотическое значение перманента
(0,1)-матрицы A с фиксированными векторами сумм строк и
столбцов (ги . . . , / - „ ) , (s b . . . , sn), соответственно. В частности,
если n—r.<f(n), n—Si<f(n), 1= 1 , . . . , п, f(n) = (logn) 1 - e , TO
при n{to}oo
perA---n!e- L/n (l + 0(n- 1 + e )),
где L = n2—Sr. — число нулей в матрице A, е, б — произвольные
малые положительные числа.
Асимптотическая оценка для числа Zn (0,1)-матриц порядка
п с нулевым значением перманента: ZJf(n){to}l при n{to}{infty}, где
f (n) =n2n*~n+l, получена в работе [82]. Изучались так называе­
мые перманентные корни дважды стохастических матриц, т. е..
корни уравнения
per (л/—A)=0.
В работе [178] была выдвинута гипотеза о том, что если п чет­
но, то многочлен per (л;/—Л) не имеет действительных корней,
если же п нечетно, то он имеет ровно один действительный ко­
рень. В [65] эта гипотеза была опровергнута, где показано, что
для любого k существует дважды стохастическая матрица А
порядка Ък с положительными элементами, для которой мно­
гочлен рег(хГ—A) имеет не менее k различных действительных
корней.
Строится [135] пример дважды стохастической матрицы А
такой, что per (xl—A) имеет п—2 различных корней в интер­
вале (0,1). В [97] установлен следующий факт: Пусть п я t —
целые, п>7, 0<t<n/2. Тогда существует неразложимая дважды
стохастическая матрица А порядка n, .имеющая п—2/ вещест­
венных перманентных корней, причем если t>\, то можно сде­
лать так, что все эти корни различны. Корни ладейных много­
членов матриц изучались в работе [175]. Матрицы, составлен­
ные из ± 1 , рассматривались в [182] и [211]. В [182] изучается
вопрос, о количестве положительных членов в разложении пер­
манента такой матрицы и о том, каково может быть число k,
для которого существует ±1-матрица с к положительными чле62
нами. В [211] устанавливается ряд свойств перманентов
±1-матриц. В частности, если А —- такая матрица, то
per A зз0 (mod 2П/-)
ИЛИ
perA=0(mod2 (n --' / -J,
в зависимости от четности n.
Если perA{ne}n1, n>2, то perA<(n—2) (n— 1)!. Обобщение
понятия перманента на многомерный случай рассматривается в
работе [6].
В работе [213] изучаются так называемые перманентные па­
ры дважды стохастических матриц. Матрицы А, ВШп образу­
ют перманентную пару, если per(aA + (1—а)-6) -= const для всех
а-3[0,1]. Относительно перманентных пар Маркус поставил
вопрос: если матрицы А и В образуют перманентную пару, то
следует ли из этого, что Л = В? Для п — 2 это так. В [213] пока­
зано, что при « > 3 существует бесконечное множество перма­
нентных пар. С другой стороны, не существует перманентной
пары матриц, одна из которых является матрицей перестановки.
В работе [92] изучалась монотонность функции от 9
per((l—6)./„ + 6A), где A^Q-., 06 [0,1]. Доказывается, что если
A — матрица перестановки, либо A — матрица с элементами,
равными -------, кроме диагональных, то имеет место строгое воз­
растание по 0.
§ 2. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
В работах [49, 124, 130, 136] изучаются комбинатор­
ные свойства множества Qn дважды стохастических матриц.
Известно, что Qn представляет собой замкнутый, ограничен­
ный, связный полиэдр размерности (п—1)2 в> евклидовом про­
странстве размерности n2, экстремальными точками которого
являются перестановочные матрицы.
В [124] выясняется для множества симметричных дважды
стохастических матриц вопрос о том, существуют ли у него
экстремальные точки, отличные от симметрических матриц пе­
рестановок. Оказывается, что в этом случае экстремальных
точек существенно больше, чем симметрических матриц пере­
становок.
В работах [136, 59] изучаются экстремальные точки для
полиэдра конечных симметрических матриц с заданными сум­
мами по строкам. Для специального класса дважды стохасти­
ческих матриц, определяемого границами для элементов мат­
рицы, в [130] строятся экстремальные точки.
В [63] изучаются центросимметрические матрицы А— (а..-)
порядка п, т. е. матрицы с условием
ai — a n + -^i, u+i^j, i, }= 1, 2 , . . . , « . .
63
Найдены условия представимости центросимметрических дваж­
ды стохастических матриц в виде выпуклой оболочки центро­
симметрических матриц перестановок.
Кроме того, показано, что центросимметрическая (0,1)матрица, содержащая точно 2k единиц в каждой строке и каж­
дом столбце, может быть представлена в виде суммы k центро­
симметрических матриц, имеющих в каждой строке и каждом
столбце точно 2 единицы,
Любая дважды стохастическая матрица А с помощью алго­
ритма Биркгофа представляется в виде выпуклой суммы v(A)
лодставочных матриц. Для величины v(A) известна оценка
v(A)<a(A)—2n+d+1,
где d (Л)—число положительных членов в A, 0(A)—ранг
покрытия A.
Чисто комбинаторное доказательство этого неравенства да­
но в [114].
В работе [215] установлено, что множество Q^~> всех
дважды стохастических матриц порядка п таких, что A = (ah),
0 < a i ; < — , i, 7 = 1, ti, является выпуклой оболочкой тех матриц
из Я{пт), у которых в точности т элементов каждой строки
и каждого столбца равны —, а остальные элементы равны нулю.
Условие непустогы класса (0, 1)-матриц, определяемого
векторами сумм по строкам и столбцам, дается известным кри­
терием Райзера—Гейла. В [19] дается обобщение этого кри­
терия на случай, когда элементы матрицы принимают значе­
ния 0, Г 2.
В работах [22—23] изучается класс (0, 1)-матриц, опреде­
ляемый числом единиц в строках и столбцах и состоящий из
эквивалентных матриц относительно перестановок строк и
столбцов.
Способ построения квадратных (0, 1) -матриц, имеющих
фиксированное числю (одно и то же) единиц в каждой строке
и каждом столбце с дополнительным условием невырожден­
ности, приведен в [116].
В работах [75, 76, 119] рассматривается класс неотрица­
тельных целочисленных матриц с фиксированной суммой по
строкам и столбцам. Изучаются свойства производящей функ­
ции для чисел Hm,n(r) (mXn)-матриц с суммой по строкам г.
Производящая функция для числа таких матриц с условием
симметрии дана в> [26].
В [11, 38—40, 81] изучается асимптотическое поведение
числа матриц с ограничениями:
— суммы по строкам и столбцам ограничены,
— элементы матриц ограничены,
64
—- определенные множества элементов .матрицы состоят из
нулей.
. .
Так, в работе [И] при n{to}{infty} дается асимптотическое вы-.
ражение Мт>п для числа (0, 1)-матрица размера пХт при не­
которых ограничениях на рост координат векторов сумм строк
(ku k2,.,, ,kn) и векторов сумм столбцов (h,
t2,...,lm):
п
Мт,п=
„
Ш
т
(/-*+/•„); Л Г « 2 . = 2* У . '•''
iml
.П(*/1) - ( / y i )
•t-i
т
А
j—\ •
/al
''
Где'
1) a.—(A—l)2/2, • r2n=0(ti-l+y°>2),
если для всех i, J
kl = l. = k, 1 < A < y ln-/ /z при фиксированном
Y6(0> l);
2) a = (k— l)(l—-1)/.2, rn•== О(nv-iIn6n), _1если для всех i
k.=k, для всех j tj = l>\ и 1 < k < ( i — 1) yln« при фикси­
рованном 76(0, 1);
ЪЩШ'Я
k , /,,...,/ }<у1п
3) a=-=---
rn = О (/avV4-i/- In2 /i),
если
1/4
max{ki ..., n
Л
при
фиксированном
От
Y6(0, (2/3)v4).
В работе [191] рассматриваются d-мерные (0, 1)-матрицы
порядка п, у которых^ сумма элементов по каждой /-мерной
гиперплоскости равна заданному числу г.
Получены необходимые условия существования таких
матриц.
§ 3. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ.
ПОСТРОЕНИЕ И ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ.
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Латинским прямоугольником размера kXn называется таб­
лица того же размера из элементов 1, 2
п, не имеющая'
повторений в 'строках и столбцах. При k=*n имеем латинский
квадрат.
Латинский квадрат называется дважды диагональным,
если обе его диагонали не содержат повторений.
Латинский квадрат называется частичным (не полным), ес­
ли некоторые его элементы не заполнены.
Хорошо' известна нижняя оценка числа латинских квадратов
л1.(л—1)1 ,.,2111
В работе [129] получена нижняя оценка числа дважды::л
диагональных латинсних квадратов, порядка п;
[(26— l)!(2k—2)1.., II]* при n---4k + l, 4k + 3,
[(2A)!(2k—l)! . . . I!] 2
при rc=4k+2, 4k+A. .: • ' ••
5—4489
65
Ироотой метед построения таких квадрате» приведен в
[94], В [31] приведено полное описание всех таких квадрат-»»
порядка, не превосходящего 13.
Таблицы К(3, п>) —. ч.ие<р ладав<дар З-Хп-рряМоугодьииксда,
при пЧЩ приведены в р-аблате [94].. форму-па для числа #(4, п.).
найдена в [4], способ нахождения /С (4, щ) указан в [138], Чис.ло iC(9,9) приведено в [34].
В р%б*хге [Щ приведен метод додсчета так называемых
пол'Ностыа симметричных латанских квадратов, (с точностью до
изоморфизма) :и составлены таблицы таких квадратов до по­
рядка 10 включительно.
С момента появления результатов Эрдешд и Капладасого
[78] и Ямамото; [120] не было существенного прогресса в> ре­
шении сложной задачи определения асимпто-тики числа латин­
ских; гфямоугодьников k^ti при n{to}.oQ.
Б работе [204] результат Ямамото
К (А, л) - (пХ)*е~^2 V + G <$)). k - о, (*•'->
улучшен следующим образом:
' *.*«ню--*НП-£+°[-Ч£Г-(|)-]]}.
Оценка равномерна для всех £ < - щ . В часдаода, равномерно;
дда, всех, £== Q.(V!b\ при ».--* -*>• спрадздлдвд формула;
/C(k,n)=(n!)»exp{-(*)--~}(l+0(l));
равномерно щ>, к=~о(п). цри n{to} o o ­
l o g y , » > - - ( ! )(-+о(П.,.
Приведи р-ззудвдаты,,, св'яздщще, с цополЖНи^М частичного
датЩСШго -йВаДрата. Известно,, ЩО; ерли в. частичцом латинc-ftOM, щадрйте. цорадка п. aancw.WQ. п мест, то его He всегда
можно ДОПОЛНИТЬ до латинского, квадрата.
$ I960, году б^л.-, видщиута гипотезу ([8Q]) о том, что
частичный латинсвдй щадрат пвдядка п с не более чем п—\
здцщнецвдми, месвд.щ шгдд, можят б.ьпъ,дополнен,до латин­
ского квадрата.
Двдо доказ.-Щ), |15-1ф что м.ожнр построить датинский квад­
рат размера пХп с заданными п—Х диагональными элемен­
тами. Пусть г обозначает число, строк, в которых находятся
л,— 1 заполненных, ячеек ч-а.с.т,ичцого ^атиц^ого квадрата
порядка п, a s ----.едотв,ет£тну$щее. чисда столбцов,. В \{щ
установлено,, что, ееди Г < [ - у ] или-Si<[-|-], то частичный
латинский квадрат мождо дополнить, до .ратдекощ квадрата.
66
Ес;ли мм ищем (^К2й)-ч-астичцый -щ-эдаскйй. прямоугольник
С .шшш^нныш 2n,—Л ячейками-, Tft QK «Щ-F б№& дополнен
до (n X 2/г.)-латинского прямоугольника. Другое достаточное
условие дополнимости частичного латинского квадрата ука­
зано, н фЩ* Щж ч. частичном ттттц
квадрате? размера
«Xw- кайд-дая. линия (т., е. строка, «ли стод^ед) ттт% что
вне $е имеется не более Г-Му- заполненных- мест, ТО такой
квадрат-«.здаа дополнить до латинского,, каадратд,,.
Схда<& усдоще- прведедо в, [67],. Zmw, й частичном литивджом (пХй)-кмдр.ате
найдется такая строка « столбец, что
в этой строке к в1 этом столбце защлнеда да> крайней мере
Г| ]• тъж„То1таиойчастичный латинский кзвдрат также мож­
но дополнить до латинского квадрата.
В работе [64] частичному латинскому квадрату L==(aij)
ставится в- еоотвётетвие трехмерная матрица G— (сци) следую­
щим образом:
Показано, что необходимым условием (н® не достаточным
пополнения, частичного латинского квадрата аадяется условие
S^+2^' u '<(i/(-i/i-|^i+i/4-i/'i-ijc'|)/n,
суммирование ведется по всем Ш, j&J, ЫК для всех I, J,
ATi={l, 2 , . . . , п), при ЭТОМ /', /', К'' — дополнения множеств
/, /, К.
В работах [104] и [103] было получено дальнейшее продвин-едие в рещедии гииотеад Эвдчса. Установлено, что частич-1
ный латинский квадрат порядка п. с задшшенньдаи n—-1 ячейка­
ми можно дополнить до латинского квадрата в случаях:
_
1. Заполненные ячейки находятся самое большее в n-—2Vn
строках (столбцах).
2. Число символов в заполненных ячейках не более, чем
n—2"j/n.
•- •
3. п делится на 4 к п>.556.
4.
п>\\\\.,
И тем самым гипотеза Аванса подтверждается для" больших п.
Множество из п" различных элементов, каждые два из кото­
рых не расположены на одной лшши, называется трансверсалью
латинского квадрата размера цхп.
Подмножество из- г эдементов трансверсали называется ча­
стичной трансаереалыо шрвдка •*.•. •
Известна гипотеза Райаера (196.7 год), о том, что любой ла­
тинский вдадрат нзчетн<?Го но(рядка имеет траневереаль.. Эта
гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.
5*
67
В работе [129]' показано, что в латинском квадрате по­
рядка п ( п > 7 ) имеется, по крайней мере, одна частичная
трансверсаль порядка.не меньше, чем-g'n+ g-»
В [2201] показано, что любой (я Хп)-латинский квадрат имеет
частичную трансверсаль порядка п—fn. Аналогичный результат
установлен в [46]; каждый латинский квадрат имеет частичную
трансверсаль порядка д—г, где г(г+1)<п. К проблеме построен
ния латацских квадратов примыкает проблема построения экви-"
дистантных перестановочных таблиц. Перестановочной таблицей
.называется таблица размера vXr, определенная на г-множестве
•V, такая, что ее строки есть перестановки множества V.
-Расстояние между двумя перестановками определяется г—X,
'если X— число общих переходов данных подстановок. Переста­
новочная таблица А(г, X, v)., у которой расстояние между любы­
ми двумя строками одинаково, называется эквидистантной пе­
рестановочной таблицей, а число X называется индексом табли­
цы. Латинский (пХя)-квадрат соответствует случаю r=% — v=>n.
Пусть R{r,k)—максимальное о, для которого существует
таблица A(г, %, v). Вопрос о нахождении величины R(r, X) к
настоящему времени еще не решен.
В работах [70, 170] были получены следующие верхние гра­
ницы для R (г, %);
R(r, Я,)<тах(Я+2, п- + п+1), где п = г—Х,
R(r, 1)<г(г—3) при г>4,
R (г, 1) <г2—4г— 1 при г>6,
Оценка для R(r, %) при достаточно больших X получена в [207].
B [188] приведены прямые конструкции A (г. X, о) следующих
видов:
1. A (г, 1, 2г—4), если г>5,' отсюда следует R(r, 1)>2r—4,
(г>5).
пень простого числа, п—положительное целое.
B [208] строятся таблицы для ^-степени простого числа
A(.72 + .7 + 2i I, 2-?2 + '9')i что Дает оценку
X(q*+.q + 2,l)>2q* + q.
Показано [111], что R(г, \)>2г—5.
'
B [77] изучается граф G(r, ц), вершинами которого являются
все г\ перестановок степени г, а ребрами соединены только те
перестановки, расстояние между которыми равно |х. Тогда мак­
симальной эквидистантной таблице соответствует клика в графе
О (г, \i). Доказано, что граф G(r,{mu})транзитивен и связен при
{mu}{ne}3.
В работе [146] приведем способ построения эквидистантных
перестановочных таблиц A(n2 + n + l , 2n+l; nz+n+l) на
мно­
жестве точек проективной ПЛОСКОСТИ, И значит, R(n 2 +n+l,
2п+\)>п*+п+\.
Там же строится набор из т подстановок на
п2+п+\ элементах с расстоянием между ними не меньше, чем
2м+1,гдс
/1-1
Здесь .Oj —число беспорядков на i элементах.
§ 4. МАТРОИДЫ
Матроиды (в другой терминологии - пространства независи­
мости, предгеометрии) были введены еще в 1935 г, Уитни
(Whitney Н.) как абстракция понятия линейной независимости
в векторных пространствах над полем. Тогда же (в 30—40-е гг.)
были изучены многие их свойства. Однако особое развитие тео­
рия матроидов получила со второй половины 60-х гг., когда
началась работа по перестройке фундамента комбинаторной ма­
тематики. Если для перечислительных задач роль ведущего
комплекса идей при такой перестройке отводилась теории пере­
числения Редфилда — Пойа — де Брейна, то для экстремальных
задач ту же роль должны были сыграть матроиды. Этим обу­
словлено появление в 60-70-е гг. большого числа публикаций,
посвященных матроидам и их связям с рзаличными, в первую
очередь, экстремальными комбинаторными проблемами.
Матроидом М называется конечное множество S и совокуп­
ность & подмножеств 5 (называемых независимыми множества­
ми), удовлетворяющих следующим условиям:
1) №9>,
2) если Х$9> и УшХ, то П9>,
3) если U, V&W и |U|=-|V|+1, то существует такой
xWW, что VW9>
(здесь 0 — пустое множество). Подмножество YsS, не принад­
лежащее SP, называется зависимым. Базой (или базисом) матроида называется максимальное независимое подмножество.
С матроидом наs S связывается функция ранга р, определенная
на множестве 2 подмножеств S:
pA = max(|X| :Xs=A, Хч9>, AsS).
Рангом рМ матроида М называется ранг множества S (все
базы матроида имеют один и тот же ранг).
Эти понятия обобщают соответствующие понятия из теории
векторных пространств; аналогией с графами подсказано сле­
дующее определение. Циклом матроида М называется мини­
мальное зависимое множество. Семейство Ф всех циклов также
69
ййределмт М-йт-рй-йД, 'а Шё-йно-: ©ййейёШ) Ф йодйй-ожШ% -S 'есть
ММЖ-Шгв'о ЖйкйОб н-ейотброгб матроида М S Шгд& й тойыш
•тотд'а, КбгД'а выйоййёны сМДуйЩЙе у'йкШШ)
1) ш X, Yet, X#Y, то X £ Y,
2) ёсйй С Ь G2"e#, G^C'2 й «•eCi'DCj, -To eym^TByef та-коё
C3e<&, что C 3 S(CiUC 2 )\2.
Примером матроида служит граф G, где S есть множество
ребер графа, а циклы понимаются -в обычном смысле; независи­
мы множества рёбер, не содержащие цикла. Гакой матроид
называется графическим, или матроидом циклов графа. Пример
матроида, играющий существенную роль В общей 'Теорий, дает
проективная плоскость над полем GF(2) из двух элементов,
называемая матроидом Ф'ан'О. Через и% обозначается матроид
на множестве из «элементов, в котором независимы все под­
множества мощности, не большей k(k<n), Такой йатройд на­
зывается равномерным, а в частном случае k = fi (йюбоё под­
множество-независимо) •—.свободным матроидом.
Имеются также Другие ёКййвалентные аксиомы, определяю­
щие матроид: с П5Мо1цью функции ранга, с помощью операции
замыкания на подмножествах, с помощью баз и др.. 'Существен­
ную роль играет операция Замыкания, 'относительно которой
йрй заданном М на S выделяется семейство замкнутых мно­
жеств, которое определяет все основные свойства матроида М.
Операция зШыКайия устанавливает тесную сйязь матроиДов с
алгебраической. теорией структур (иначе, решеток): каждому
матроиду М однозначно соответствует структура '2"(М), кото­
рую образуют его замкнутые множества; эта структура обладает
свойствами полумодулярности и атомности, хорошо известны­
ми в теорий структур. Полумодулярная и атомная структура
называется геометрической. Известно, что и, обратно, каждой
геометрической структуре соответствует матроид на множестве
ее атомов. Однако это соответствие между матроидами и гео­
метрическими структурами неоднозначно. .Выделяется подкласс
матроидов, называемых простыми матроидами или комбинатор­
ными геометриями (иногда просто геометриями), которые пол­
ностью определяются своей структурой замкнутых множеств.
Ё произвольном матройде зависимые одноэлементные множест­
ва называются петлями, зависимые множества вида {x, у),
х,У&$, где '{х} й {у} независимы-,— перешейками. Простой ма­
троид не содержит петель и перешейков. Замкнутые множества
ранга k матроида М ранга г называют иногда fe-плоскостями, а
плоскости ранга г—1 —гиперплоскостями.
Если на S задан матроид М, то c ним связывается еще ряД
матроидов на S.
Пусть Ш ф Ш —^Шжест во баз матроида М, тоща
{S\.8.|ie/} есть Мйожестю бай матршща М* № S-, называемого
двойственным матрошдш. ЦИКЛ дйШ<ет§..гй-нш> MffraftM М*
70
йаЗЫвается коцййлш в М% АШ»огичаый -смысл йМешнт термиftfeii коба'за, Ш Ш й й т. it
Пусть М — матроид на S и T s S ; определим тогда Семейство
надмножеств &"{М\Т)~{Х iXsT, Х'&&>{М)}. @>{М\Т) есть множфётвй независимых множеств матрон-да М\Т на Г, называешг.6 ёуженйе-М (restMctiCn) на йодМйожеетво Т. Обозначим, да.Ale, через &>Щ.Т) все те ;М>дмйожества ХШТ, для которых су­
ществует
такое максйМайьйое йезавйсийое множество
YsS\T,
что XU-/{cdot}3i9'(iVf). Тогда ^(М.~) еСть множество независимых
Мйажейтв Мйтро-йда М.Т иа Г- называемого сжатием (cohtracti.ой) М на йодмйожествб Т, Если М —• матроид на S и "ТШ$, то
минором М называется матроид N на F, получаемый из М йут'ем
любой йОСледовательйоети операций сужения и сжатий.
Изоморфизмом Матройдов М\ на Si и М2 йа S2 называется
взайМИо однозначное соответствие ф: S1.--v.-S-2, сохраняющее не­
зависимость Множеств. Если йрй этом S{=S2 и Mi.=M2, то Ф
называется автоморфизмом. Изучение матройдов обычно про­
изводится «с точйШъю да изоморфизма»;
Итог бурному развитию теории матройдов до 1975 г. подвела
известная монографий УМша [217]. Следует отметить также
фундаментальную моййгра'фйта Эйгнера [30], во второй части
кбторой излагаются основы теорий матройдов с йсйользоВанйем
теоретико-множественного подхода.
Теоретико-структурный
подход наиболее ярко представлен у Крайо й Рота [62].
Базйсь», ЦйКЛы, ранг, СтайдартйЫе конструкций. Разнообра­
зие способов задания структуры матрсщда на множестве продол­
жает стимулировать появление работ, в которых изучаются свя­
зи между различными классами семейств подмножеств, а так­
же различными функциями на подмножествах, определяющими
матройд. Здесь Можно выделить несколько направлений работы:
а) Рассмотрение способов 'определения целочисленной не­
убывающей функции на подмйожествах конечного множества S,
которая может служить ранговой функцией; известно, что ос­
новным свойством функции ранга f является свойство полумо­
дулярности:
f(AUB)+/(AflB)<f(A)+f(B) Для Любых A, £<=S.
Темой ряда работ служат Свойства ранговых функций й со­
отношения между йиМи для различных матройдов, задайных на
.одном й том же S.
б) Характерйзаций матройда С помощью ноВЫх семейств
йоДйнажеств (й Частности, семейства циклов С удаленной точ­
кой).
в) Изучение матройдов М Со специальными Видами баз и
ЦИКЛОВ (например, с базами, дополняемыми дб циклов), Ь. также
йраблема существования «максимальных* циклов (т. е. СЙЙТОЯчцш Й З 7 + 1 элемейтов, если p&Hf м равен г).
71
-: . г) Различные свойства замены для базисов, обобщающие
обычное свойство замены элементов,в .определении, матроида
(см. 3)) на подмножества.
В [117] и [167] предлагаются алгоритмы для построения
множества всех циклов матроида М при задании множества
всех баз и множества всех баз при заданном множестве цик­
лов, а также порождения всех циклов двойственного матроида
М* по списку циклов М. Интересное свойство пересечения баз
установлено в [68]: если на 5 заданы два матроида М\ и М2 и
для ..натуральногоб числа k известно, что существуют базы
X1. У\ШХ и X2, Г2 -^2 со свойствами |XidX2l<& и |Г|ЛГ2| >К та
существуют базы Ви В2 со свойством j.8iflB2| = <-•
B [131] с помощью конечного аналога преобразования Радо­
на для геометрии ранга, не меньшего 2, устанавливается, что
число ее точек не превосходит числа гиперплоскостей (извест­
но, что гиперплоскости — дополнения коциклов геометрии). •
B [55] для матроидов, заданных на упорядоченных множест­
вах, вводится некоторое новое семейство подмножеств, назван­
ных разомкнутыми циклами, и устанавливается их тесная связь
с хроматическим полиномом (см. ниже) матроида. Из работ по
стандартным конструкциям на матроидах следует отметить
[219], в которой устанавливается следующий результат: Пусть
задано t попарно непересекающихся множеств X i , , . . , Xt соструктурой матроида -Мь М/ и функциями ранга р,, р/, 1~ 1,,.,
. . . , t. Тогда существует матроид М на S=-XiU---UX, такой, что
Mt=M\X, п'М/—М,Х< в том и только том случае, когда
а) все циклы Mf — объединения циклов из М/,
t
б) если wi = pXi—-p'Xi и о.=тах(и ь . . , , vt), то 2oi>2u.
Если при этом все ЛС. бинарны (см. ниже), TO M также бинарен,.
если и только если все циклы Mi—-непересекающиеся объеди­
нения циклов из Mi' для всех i, t=-l, . . . , t.
Представление матроидов. Бинарные матроиды. Графические
матроиды. Одной из самых старых до сих пор нерешенных за­
дач теории матроидов является проблема представления дан­
ного матроида векторами с координатами из поля (иначе назы­
ваемая проблемой координатизации). Назовем матроид М на
множестве 5 предстацимым над полем (телом) F, если сущест­
вует векторное пространство V над F и отображение <р : S{to}V,
сохраняющее функцию ранга. Очевидно, что представимый над,
F матроид описывается матрицей размера гХп, столбцами ко­
торой служат обрдзы элементов 5 при отображении ср (если
| S | = h и ранг М равен г). Проблема представления состоит »
том, чтобы определить, представим ли данный матроид М над.
Заданным полем (телом) F.
. Из общих результатов по проблеме представления следует
отметить результаты работы [206], где доказано, что класс
72
матроидов, представимых над некоторым заданным полем, не
может быть охарактеризован никаким набором запрещенных
миноров, и аналогичные утверждения доказаны для классов
матроидов, представимых над некоторым полем характеристики
О, а также для матроидов, представимых над некоторым телом.
В случае доля ненулевой характеристики положение иное, так
как известна характеризация Татта в терминах запрещенных
миноров бинарных матроидов, т. е. матроидов, представимых
над полем GF(2). Далее в работе [196] (и независимо в [41])
дается следующая характеристика матроидов М, представимых
над полем из трех элементов GF(3) : М представим над GF(3),
если и только если он не имеет в качестве миноров матроида
U25 и матроида Фано, а также двойственных им. (Этот резуль­
тат был известен уже давно, однако доказательства ранее не
публиковались). В теории представления особый интерес пред­
ставляют матроиды, представимые над любым полем (к ним,
как известно, относятся графические матроиды). В [32] дока­
зывается, что для заданной группы О и целого числа Й5~=3 су­
ществует матроид ранга k с группой автоморфизмов G, представимый над любым полем с достаточно большим числом эле­
ментов (он имеет также дополнительное свойство: любое мно­
жество с k—1 элементами независимо). Известен достаточный
признак представимости Татта: если простой матроид G пред­
ставим над GF(2) и некоторым другим полем характеристики,
отличной от 2, то G представим над всеми полями одновремен­
но с помощью вполне унимодулярной матрицы (т. е. матрицы,
все миноры которой равны 0, ± 1 ) . В [54] дается краткое и кон­
структивное доказательство этой важной теоремы. Отметим еще
один результат о представлениях другого типа. Матроид М на
5 называется алгебраическим, если существует такое ииъективное отображение 5 в поле Q, при котором имеется взаимно од­
нозначное соответствие между независимыми подмножествами
М л алгебраически независимыми множествами элементов Q
над некоторым подполем K^Q. Долгое время не существовало
примера неалгебраического матроида. Такой пример был, нако­
нец, найден в [118].
Наряду с общей проблемой представления большой интерес
представляет проблема изоморфизма заданного матроида гра­
фическому матроиду («графического» представления). В каче­
стве подхода к этой задаче проводится интенсивное изучение
бинарных матроидов (т. е. представимых над GF(2)). Известно,
что графические матроиды представимы над любым полем, по­
этому они составляют подкласс класса бинарных матроидов.
Другим подклассом бинарных матроидов является класс матро­
идов, представимых вполне унимодулярной матрицей; такие
матроиды называются регулярными. Этот подкласс также
включает.графические матроиды; он состоит из матроидов,
представимых над любым полем. В статье [218] устанавливается
73
мвивментмостъ для бинарного матройда М т S сйедукэдих
утверждений:
а) каждьш КоцйкЛ М й№еет чё'тйуЮ Мощность;
б) S МшКет быть прйДстамейо Кай ©8ъ%дйШШе йе1ере§е-кающйхсй Коциклов.
В [56] докашвй-зтся бдШШачййя Щ1ёттШШмсШь бййарйых
матроидж; при этом йр<едгеометрйя G ранга f на мнйжвстйе
из п элементов называется однозначно йредетабймой аад полеи F, если G йрёдетавйма матрицей paSMepia fXh над F и все
таййе представления йршктивнб эйзйвалштйы. В [197] пока­
зано, ЧТО бинарйоеть матройда равйосйльйа тему, Ш» для
каждого цикла G и коцикла D мощнШть их пересечений йе
равна 3. Известйо, что Дй'й бинарного Матройда М&жйо> 'опреде­
лить свойство opiBeHtfipyeMOGTH, используй (0,1) -М&трицы йндй-.
дейтности, связьШШдое элементы й -цикла, а также &ШШШтОл
и коциклы матройда. Бинарный матрщд орШйШруём 'тогда й
ТОЛЬКО тогда, когда ой регулярен. В нШШГшйх статьях (см.,
например, [45]) изучалось ВйоДйМое акбиоматйчески йон-ятйе
ориентируемости матройда, более непШсреДствШВД обобщай-щее ншйтйе ораШтйрО&аМйШ) графа, но также равйбсШъное
регуляршети бинарного' матройда. Регулярным матроадам
посвящша также работа [43], где дается ШюДующеё усиление
из&ёйтной ХарактерйстйШ Татта регулярного матройда: 'бййар-ный матроид регулярен тогда и Только тогда-. Когда никакой
его подматроид не есть расширение матройда Ф<ано или двйй•ствеййюго eky.
Ряд рабет пйвледйего времени посвйщей шбствшяо графи­
ческим представлениям и свойствам графических матройдов.
В частности, изучаются матройдальные семейства* т. е. такие
семейства Р -связных графов, что .для любого графа Q йодграфы, изоморфные графам этого семейства, составляют множест­
во циклов некоторого матройда P(G) на множестве ребер G.
В [189] доказывается существование несчетного Множества
матроидальных семейств й дается единый метод построения,
которым получаются все известные в настоящее время м&тройдальные семейства. Интересная конструкция на множестве ре­
бер графа G-----бициклйчесше матройды •--- рассмотрена в
[155] (бицикл---связный подграф, содержащий Ш> Точйостй два
независимых цикла); дается геометрическая характеристика
этих матроидов., а также условия, когда бйцйклйчес-ййй матроад бинарен ййй рёгулярей.
ТрансверсаЛьные и родственные ш йатроиды. С тех пор,
как в 1965 г. Эдмондйом й Фалкершйом была дйказаиа теоре­
ма о том, что частичные трансверсалй (Множества различных
представй-тедей) кайечного семейства <sf ^й^мйоже'стй заданкого' множества 5 образуют систему незавйсймих множеств
матройда М{$Ф) на множестве S, теория тра)Мсй*ё$>салей стала
развиваться в темной ©вязи с теорией матрюиДой^ йэШрай
74
ШШШта -более углубМйй. трайШвать вшгрйсы •& шстемах
щт^&шшш
шШйтё гюдй&ожвгтв. С деу-м ет-эрояь!, -ш>-
ЩЛ {ШличШ-х Ще№Ш№е&$& вдаваМ К ЖйзНй новую №твь
теории матрййдо®, й'-агучаййцуй щатшрьажшьт шаяртщ.,
т. fe. матрйЩы № йа м.1Ш№СтМ 5, Дйй Шторых йущестёуёт та­
кое семейС'тйй йодЖйШёйтв -.а?, что M-=-=M(^) •—•:МШжШ'йо
частичных трансаареа-лей семёйстбй М. Яоко, что тйКаё М ПЮ
М определяемся йё ©дайстШйшм епоШбШ; & йЙШЬй-ег-ся
<траЩйёрйальншд) .й$>ЩЩ»ЖйиШ матрМдД М. ИзучайтСй
различйьге йрёДстйМенйй ^ДМнсй-о .МатрШда й СвяЗй Si-ЩДу
ними. Важной ВДробйемёй -является устаШШеййй критерия
трансверсаймхости штфоид.а.
ХОТИ
эта пркШлёма не ршейа,
Бонда « УёлШ'Щ в ШЧШЬ 70-x "гг. «былоетой-аМйо-,что каждый
Штроид Ш мздожегёт&'ё S й-'ойучаетей как й^ес^чёййё (в -эстёй'тйШйШ ЫШмъ) нёбк&льММ тр&йСвёр сальных матрйВДэв. на S,
.имеющих некоторое сйёЩ&й'ьйое представление. Другое дой-а-зательстйо этой тёорЩь^ не ЙСйойьйу.ющёе -йр-истерйя Ф. ХблЛ-а
существейаМйя сйСШШ: раЩичнйх йредйтайй*Мёй, Да-йй в [44].
'ОстанйвийСя йа -некоторых результатах Ь трайСйерСайях, йй.лучейных й&тФойдШми рассмотрениями' й фйрмули^уёмыШи й
•контексте теории матр-ойдю'в. Типичным таким результатом йв-ЖШся следующая т&фШЙ {156]: Пуш> ^--- (Лю, А\
Ап) —
система йодМйдя^естй
Мйожейтйа
S,
•&
---ШйШа
йёзавйСйМйх
множеств нййото1рог!о ма*ройда й& S с фуйЩйей ранга р; тб'гДа
дйй числа Ы($Ф\Ш) Шз-Ши'&ймЫх (т. е. йршадлежащих Ш)
транСверС&лёй сйстемй: Спра»едл,йв.о неравенство
in
при условии, что N ( ^ , ( f ) > 0 и pAi<pAi+i, i = D,...,rt.—1, и
равенство достигается, 'вели каждое Ai содержится в зайыкаищи Ai+1. Отсюда следуют более ранние оценки Ы{$4>,$), дан­
ные Острандом (Ostrand) и Ултангом (Ulltaftg). В [195] дает­
ся матроидная интёрйретацйй ЙЭВССТЙОЙ теорейы о трайевёрсайях —• теорШЫ Форда й Ф'айк'ерсона о мйнймалъйом разрезе и
максимальном потоке в. сети.
Наряду с трансверсальйьши матроидами, рассматривают­
ся различные их обобщения, среди которых, в первую очередь,
следует отметить гаммоиды. Они определяются следующим об­
разом. Пусть G=(V,E) -—ориентированный граф с множест­
вом вершин V и мйойсеством Дуг Ё. Для заданного множества
B^V рассмотрим все множества A s F ooi свойством: существу­
ет семейство ip(a), аЪА) попарно непересекающихся путей из
каждой вершины А в некоторую соответству-ющую ей .вершину
В. Совокупность всех таких множеств А ©ёоаначим через
L(G,.B); она представляет Собой совокунйость независимых
мйожеств .некоторого матроида йа К называемого строгим
гаммоидбм. ГаМмоиД йолучаЪтся сужением L(0,B) на некого76
рое подмножество множества У. Известно, что ЛГ—строгай
гаммрвд, если и, только если М* — траневерсальный матроид,.
а матроид, двойственный гаммоиду, — снова гаммоид. Частным
случаем гаммоида, когда исходят от паросочетаний в. двудоль­
ном графе, служит дельтоид. Гаммоидам и их дальнейшему
обобщению —• системам сочленения, (linking systems) посвя­
щен ряд работ (см. в том числе [192—193]).
В статье Брилавского [53] была предложена интересная
геометрическая интерпретация трансверсальных матроидов как
множеств тояек симплекса в аффинном пространстве над по­
лем действительных чисел с отношением независимости, совпа­
дающим с аффинной независимостью точек. .Им доказано, что
любой трансверсальный матроид изоморфен такой предгеометрки,-..называемой свободной оимплициальной геометрией. Это
дало толчок к изучению трансверсальных матроидов с геомет­
рической точки зрения (как свободных симплщщальных гео­
метрий) и выделению подклассов трансверсальных матроидов,.
допускающих достаточно, полное исследование. Таков, напри­
мер, класс свободных симплициальных геометрий со стягива­
ющим симплексом, изучаемый в [48]. Из работ, примыкающих
к этому направлению, отметим также [60—-61].
Полиномы на матроидах. Критическая проблема. Отображе­
ния и расширения матроидов. При изучении матроидов особую
роль играют функции', определенные на совокупности всех мат­
роидов М, построенных, на заданном множестве 5 и принимаю­
щие одинаковые значения на изоморфных матроидах. Такие
функции называются матроидными инвариантами. Наиболее
важными среди них являются инварианты Татта—Гротендика — так называются инварианты f со следующими дополни­
тельными свойствами:
а) /(M)-=f(M|(5\e))+f(M.(S\e)), если eQS не есть ни
петля, ни' копетля;
б) f(M)=f(Mi)f(M\S\T),
если -Mi — матроид на " s S —
связная компонента М (о связности см. ниже).
Все инварианты Татта—Гротендика получаются из полино­
ма Татта для матроида М:
Т(М; х, j/) = 2
(x-l)p5-M(y-l)w|-pA,
ACS
где р— функция ранга для М. Через полином Татта выра­
жается хроматический полином Р (М; X) матроида М:
P(M;l) =
(-\fsT(M;\-l,0);l
минимальное натуральное число п, для которого P(Af;n)>0,
называется хроматическим числом %{М) матроида М (эти
определения обобщают соответствующие определения
теории
графов). Величины wh коэффициентов при Ws-A в Р {М; X) на­
зываются числами Уитни первого рода, Пусть матроид М ран76
га г представим над полем GF(<7) из g элементов, k-выборка
линейных функционалов (fi,...,fk)
на векторном пространстве
V{r,q) размерности г над GF(q) называется различающей
множество A---V(r, q), если для каждого е&А найдется индекс
i такой, что fi(e){ne}0 (1<i<k). Критическим числом (или кри­
тической экспонентой) с(М; q) матронда М на множестве S,
представимого над GF(q) с помощью отображения Ф, назы-;
в)ается минимальное А,_для которого существует k-выборка ли-'
-.:нейних:: функционалов,: различающая ф(5) (это число не за­
висит от ф); если такого числа не существует, то с(М; q) = oo.
Нахождение числа с(М;<7) называется критической проблемой,
которую Крапо и Рота полагают «центральной проблемой эк­
стремальной комбинаторной теории»; к . ней действительно
-СВОДИТСЯ целый ряд нерешенных комбинаторных задач. Число
c(M;q) определяется, если известны значения P(M;qh)
для
всех к, поэтому критическая проблема тесно связана с изучением инвариантов Татта—Грютендика, в частности, хромати­
ческого числа матрешка,, а также коэффициентов, хроматиче­
ского полинома. В работе [52] даются оценки снизу модулей
чисел Уитни связных комбинаторных геометрий, улучшающие
известные оценки Даулинга и Уилоона (матроид связен, если
для любой пары различных его элементов найдется цикл, ко­
торому они принадлежат;' связная компонента—• наибольшее
подмножество, в котором любые два элемента входят в неко­
торый циют). Ряд матроидных инвариантов и их комбинатор­
ные интерпретации изучены в [51] и [56]. В [180] показано,
что %(М) — 1 не превосходит максимальной мощности коцикла
матроида. Там же даны оценки сверху для хроматического
числа регулярного матроида. Интересный результат по крити­
ческой проблеме получен в [142]: если существует покрытие
матроида М в пространстве V(r,<7) коциклами, мощность каж­
дого из которых меньше qk, то критическая экспонента М не
превосходит к.
Полиномы Татта осуществляют связь теории матроидов с
линейными кодами и упаковками, благодаря чему ряд проблем
теории кодирования сводится к критической проблеме. Пусть
I."., — класс всех матриц размера &Xn над GF(q). С каждой
МШд ранга k связывается, во-первых, линейный (n, k) -код
U(-W), с другой стороны — простой матроид G(CM) на столб­
цах М. Весом w(u) вектора и называется число его ненулевых
.компонент. Полином
А
и (г) — 2
KgC/
гЩи)
= 2 -4-2'1
.„I
где At — число векторов иЩ с' w(a) = i, называется весовым
энумератором линейного кода U. В [100J доказывается, что
функция /, определенная на Шч посредством
77
является инвариантом Татта—Гротендика наЭД-и выражается
через ИОДИН0М; Татта для &(€ц). Таким образом. через полином
Т&тта выражается весовой энумератор линейного кода С/.
Сложность критической проблемы заставила искать обход­
ные пущ ее решения. Среди них — изучение отображений матроидо» й связавдыд с ними геометрических структур,, а таще
раещвдредцй комбинаторных геометрий, согласующихся со струк­
турой замкнутых подмножеств исзяодиьщ геометрий. Следует
отметить, однако,, что восстановление СВОЙСТВ расширенной гео­
метрии по двойствам ИСХОДНОЙ возможно далеко не всегда, даже
при наличии тесной связи между ними. Так, результат работы
[50} показывает, что для геометрий G и Я на. множеству 5 из
и\р^Н\р
для всех р не всегда следует, что О^Ц (G изо­
морфна Щ. Тем не менее свойства расширений и связанных с
ними отображений комбинаторных геометрий интенсивно изу­
чаются. Рассматриваются два ОСНОВНЫХ типа отображений
<3{to}# для геометрий, заданных на множествах.? и Т, соответ­
ственно: сильные (слабые) отображения, т. е. функции f: .SU0{to}
{to}rU0 такие, что f(0)=0' и прообраз любого замкнутого (не­
зависимого) множества из Н замкнут (независим) в G, Каждое
сильное отображение является слабым, НО He наоборот. Конст­
рукции, связанные с сильными отображениями (в, TQM Числе
стандартные разложения сильных, отображений), рассматрива­
ются в [125, 143]. Е [173, 174] изучаются сильные отображения
и расширения геометрий на '$, индуцируемые подумодудярными
функциями на множестве подмножеств. .5. Свойства слабых
отображений и связанных Q ними конструкций Ha геометриях
подробно исследуются, в [147, Щ, 15], Рассмотрим следующее
построение на комбинаторных, геометриях., Пусть на 5 заданы
две геометрии G и Н рангов' г и г+1', соответственно, причем
структура замкнутых множеств G получается из, структуры для
Н исключением всех ее гиперплоскостей. Тогда Н называется
наращением G. Эту конструкцию изучал Крапо в конце
60-х гг. Он доказал, в частности, что различные наращения G
обраауют полную структуру, В [14], дастся конструкция наи­
большего элемента в этой структуре, называемого свободным
наращением. О'наращениях см. тзкже [42,, 171].
§ 5. ТРАНСВЕРСАЛИ
Пусть задано (конечное) множество 5 и на нем (конечное)
семейство подмножеств ^ = (A.|t<5/). Пусть, далее, ДЛЯ некото­
рого подмножества / 0 ^ / задана инъективная функция jh /<r-*-.S
такая, что f(i)eAi для всех Ш0 (функция выбора). Множество78
# ( 0 №д вааыметед тогда чаедда-нкЯ травсм-всаладо семейства
$$ (им ча&здщой еистемда прадс.тавдтед.щ)., ЕСЛИ такая функ­
ция о«ред,адт т mm А те* частичная т^анш^р^адь назы­
вается трансверсалью семейства зФ (или системой различима;
представителей)., Научение трансвередлей и частичных традезерсадей — одна ад классических ааД ад к<жб;идатс>рой математи­
ки, имеющая, разнодбраздые математические к технические.
приложения..
Критерий существования трацеверсали у заданного семейст­
ва бщ дан Ф. Холлом в 1935 г. для конечного S: а именно,
ДЛЯ любого / 0 е / должно быть |./о|<| U -Ail. Позднее он был
обобщен Мч Холлом на семейства конечных подмножеств
бесконечного множества S. Актуальной нерешенной задачей
остается нахождение подобного критерия для существования
системы различных представителей, общей для нескольких
семейств подмножеств:,, задавных на S; такая система 'назы-.
вается общей системой представителей, или общей трансверсалыо для этих семейств,. Представляют интерес также раз­
личные- свойства общих трамсверсалей и способы их нахожде­
ния. В [185]' изучаются' общие трансвереали для двух задан­
ных: семейств подмножеств А=.^АЬ . . . , Ап) и 53== (-81,..., Вп)
на множестве S. Число е(Л,33)^\
U А Л U .®[—M'II —
•"-•[.©! |!+» вдзмнается критическим; числом подсемейств i j C i
и .SiSS.. Обозначим через, h (4* Ш минимум критических чисел
по всем непустым подсемействам Л\. и ЗЗй условие &(Л, Щ>0
равносильно существованию общей тражверсали у Л и 38*
Доказывается, что если к(Л, 33)>k>0 и x1, ..., xk — произ­
вольные элементы из ( U А, )т И В Л, то найдется общая
трансверсаль у Л и 33, не содержащая этих элементов. В [47]
рассматривались, совокупности t семейст! Ли... •• Л.ь, где
каждое семейстщо, Ль состоит из, s. кодечщьщ (не обязательно
различных и непустых) множеств A,-(1;),....,, Aj(s),t удовлетворядещих дощднительйо свойству «разделения». Пусть,
s,
Q-— \j{Aj(i)}, Aj(0) = Q\\J Aj(i), ! < / < ! . ; скажем, что Л раз­
деляет
точКИ Q,
еСЛИ | Q'{Ay(Q^)|l</<t}] : < 1
ДЛЯ Любой
t-выборки (av а2, . , . , at), где 0<:'a)<s, 1 </<.•!. Для раз­
деляющих. совокупностей семейств Л = (Ах,.,,. -у Jit) устанавли­
вается, что
а) если, каждое •&% Покрывает Q и |Q|.>s—-s'-1, то общая
тр-ацеверсадь ддя. ^существует, и эта граница —наилучшая
из возмржных.;,
б) если* |.Q;|>(i!+l)'---(-3;+l)'_1—-1, то общая трансверсаль
Существует, и эда граница — наилучщая.
7£
В [69] исследовались дизъюнктные общие трансверсали для
заданных двух семейств, состоящих из непересекающихся под­
множеств!; были обобщены многие из ранее известных резуль­
татов.
Другим направлением было изучение трансверсалей с неко­
торыми дополнительными свойствами. Так, в J2] даны условия
существования г совместных трансверсалей для заданного
семейства из и подмножеств конечного 0 множества. При этом
трансверсали Tv...,Tr,
где r f --=(ti , . . . . t«°) называются
совместными, если tfi =h-У' при i-=--/, l < i , / < r , 1 < k < n .
В 1190] для системы множеств Jf = (Ai\iQl) изучался вопрос
о существовании такого множества В, что B[\At,
At\B^0
для всех iQI и был дан достаточный признак существования
в виде условия типа критерия Ф. Холла. Доказано также, что
если система непустых множеств содержит две непересекаю­
щиеся максимальные частичные трансверсали, то она имеет две
•непересекающиеся трансверсали. Максимальные частичные
трансверсали изучаются также в [183]. Подсемейство $ семей­
ства s&— (А{\Ш) называется максимальным представимым под­
семейством, если множество функций выбора непусто для Ш, но
пусто для любого подсемейства, содержащего .$. Максимальные
представимые семейства характеризуются с помощью критиче­
ских семейств (т. е. с равенством в критерии Ф. Холла).
Теория трансверсалей развивалась в последние годы, как
уже было отмечено, во взаимодействии с теорией матроидов.
Некоторые результаты о трансверсалях в связи с теорией мат­
роидов см. в § 4 ([156, 195]).
§ 6. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИИ.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О (ОД)-МАТРИЦАХ
Задачи о покрытии принадлежат к центральным задачам
комбинаторной математики. Они формулируются в различных
терминах. Приведем одну из общих формулировок. Пусть на
конечном множестве S задана система множеств J> = (Ai\iQl)
со свойством U At=S.
Какова наименьшая по мощности
•6-"
покрывающая подсистема, т. е. система A'—iA^W)
со
СВОЙСТВОМ [J Al = Sf Какова минимальная мощность | / ' | п о д множества / ' с / , для которого существует покрывающая под­
система А'=(Ailie/')?
Задача о покрытии • допускает
естественную интерпретацию в терминах (0,1)-матриц. Если
ввести отношение инцидентности между элементами 5 и под­
множествами из ^ — вхождение элемента в подмножество и
рассмотреть соответствующую матрицу инцидентности А, где
строкам соответствуют подмножества, а столбцам — элементы,
80
то минимальное покрытие определяется выбором наименьшего
возможного числа e строк в A таких, что сумма элементов •.в
каждом столбце соответствующей подматрицьг положительна.
Такое число е называется глубиной матрицы, которая, тем са­
мым, совпадает с мощностью минимального покрытия. Если же
Строки в A выбраны так, что сумма элементов в каждом столб­
це соответствующей подматрицы не меньше заданного числа
а > 0 , то мы приходим к .понятию а-глубины.
Вопрос о нахождении минимального покрытия является весь­
ма сложным. Об алгоритмических его аспектах см. обзор [16].
Алгоритмам покрытия посвящены также работы [5, 25]. В 'связи
с тем, что создание эффективного алгоритма для решения об­
щей задачи покрытия проблематично (см. [1.6]), представляет
интерес рассмотрение различных частных случаев. Интересной
задачей такого рода является задача о покрытии всех /-подмно­
жеств ^-подмножествами в n-злементном множестве 5, 0</--S
<&=-£«. Пусть М('п, k, I, a) —мощность минимального множе­
ства М ^-подмножеств^ такого, что каждое /-подмножество ветречается в множествах из М не менее а раз. В [8] изучено при
l—k—1 асимптотическое поведение М(п, k, l, а). Показано, что
если функция k = k(ti). такова, что k (n)/]/n{to}oo при n.{to}oo, то
М(п, k, k—1, а).~а(& п —\)k~ l . Отсюда следует справедливость
гипотезы Эрдёша об асимптотическом поведении М(п, k, к—\,
а). Был получен в последнее время ряд результатов в общей
задаче о мощности минимального покрытия (а также а-покрытия), которые удобно формулировать в терминах глубины (0,1)матриц (или ширины, которая определяется для - столбцов так
же, как глубина для строк). При тех или иных предположениях
были найдены оценки сверху глубины матриц из достаточно ши­
роких классов (см. [21]). Уделялось внимание также асимптота-,
ческим оценкам a-глубины, которые позволяют лучше предста­
вить себе поведение функции глубины при изменяющихся пара-.
метрах класса матриц. Отметим в этой связи работы [Ш] и [9] .В первой из них, кроме того, прослеживались связи задачи о
глубине матрицы с оценками параметров графов. Во второй —
рассматривался класс A(n, m, k) матриц размера пХт с к еди­
ницами в каждом столбце и изучалось асимптотическое поведе­
ние глубины (а также a-глубины) матриц из этого класса при
различных предположениях о k, m, п. Интересен результат ав­
тора, показавшего, что .при некоторых естественных условиях
почти все матрицы из А (т, п, k) имеют глубину, асимптотиче­
ски совпадающую с максимальной. Эта работа по своему на­
правлению примыкает к [132], где впервые был сформулирован
новый подход к задаче о глубине, а именно, изучение распреде­
ления глубины на множестве всех матриц некоторого класса, и
получены первые результаты такого типа. Из примечательных
частных результатов о ширине отметим факт из [93], где сооб­
щалось, что была исследована на ЭВМ ширина матрицы инци6-4489
81
денпшйвянв для- системы троек, Штейнера-. на 2.7 элемешах, кото­
рая-,, вопреки. сдаианвдлу р-ан-ее предположению^ ©казалась равг
НЕ» Ш. Автары в«0сяя1 предложение; (в. обосноавшакет его). -—
ршсштриаапж задачи о» нахождении щйррны матрицы как
т-естоаьте длят шарика аыетсли-т.ельнай эффйк-швн©е.т.и. в-, целоиис•лентам программировании; а ашлюриимах решения задачи, а
ведЁрыти'и., Q. Б?. Лушашавым< бы«а поставлена задада о ир-атыкании граней единичноло» «-.-мерное®. куба-,, одна, на модификаций
задачи ©- покрытиш Ш [1], мказада,. что зя.а задача не проще, чем
извес-гаая? в теории' кодирования задача ©• построении. кодов
эшдаданщ1Ш1ьной мощности с линейным- к®д<эвьщ расстоянием.
Остащавимея в заключение- на некоторых результатах- экетремалъйог© характера о. (0,1),-матзрицах, непосредственно не свяаашнмх- е: задачей о глубине. (0„1..)1-матрица. порядка п называетеж а-избштач-ной, если не менее: ага2 ее* эльемен/гов:. являются, еди­
ницами (1/г;--*с4:<.1-.);;;, через,, щькп) обозначим такое наибольшеечикл®; k, что! л-иаби-ж .х-нзбылючная. матрица порядка n содержит
©••избыточную.' матрицу порядка- k. В [57]; доказывается, что.
1 — е 1п т
И
1
^
to (2«- (1 - « • ) - ° ) , ^
, ч .
Ф
"
К
2-Inn
01
' ^ In (2с*
(l-a)1-*).
при» любом 8>0 для' всех достаточно больших п.
§ 7 . ШПЕРНЕРОВЫ СЕМЕЙСТВА.
ТЕОРЕМЫ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ МНОЖЕСТВ. Д-СИСТЕМЫ
Пусть задано конечное п-элемеитное. множество S. Семей­
ство .j#-—(A.i|i6/') различных подмножеств- S- называется, шпернеровым семейством (иначе, антицепью;, беспорядком), если
AicAj{Rightarrow}A-i==A-.: для любых i, j&F. Примерами шпериеровых се­
мейств' (ш. е.)' служат многие известные 'еиетемъг множеств,
напригер, все базисы или все циклы матровда на S'. По> из­
вестной теореме Шпервера для максимального. числа т мно­
жеств- в- пи с. справедливо- неравенство
Для ш. с. справедливо также, неравенство Мешалкина.—
Ямамото:
|(гл|):'<*-
<2>
Неравенства (1) и (2) послужили отправной точкой для
многочисленных исследований- семейств подмножеств, задан­
ных- на конечном множестве, на которые стали накладываться
разнообразные ограничения, связанные с пересечениями, a
позднее — и с объединениями-подмножеств', входящих в семей­
ство (см. обзор [1231'). Классическим результатом такого рода
82
является: теорема Эрдёша---Ко—Радо: Если- ш. а М*= (Ai| Ш)
татаво, что | A 4 < k для всех Ш в \Ач№э\Ф0- для всех i, }0
для1 заданного k<^-, то
/гс<
Наряду е ш. с , сходными методами интенсивно исследуются'
семейства с условиями на пересечения, не являющиеся анти­
цепями.
Основные направления, по которым в< последнее время ве­
лась работа по исследованию ш. с :
а) подробно изучались условия на объединение множеств,
входящих в семейство;
б) детально рассматривались ограничения на число мно­
жеств заданной мощности в s4- (параметры семейства);
в) вводились обобщения т . е . (^-семейства в частично упо­
рядоченных
множествах,, рассмотрение мультимножеств с
естественным отношением включения},;
г); рассматривалась структура щ.с.
Остановимся на некоторых конкратиых результатах по
щ. с.
Пусть jsf=(A'i|ie/) — ш. с. ж р$=\Ш&&\ | Д | = / } | , /=-.•
1=1,...., т—- его параметры. В [ДОГ]; при различных ограни­
чениях 'получены неравенства, •связывающие pj;, так, например,
если р^=ртЧ, Q<j<.m/2, то
\т/2\
т
2 im-i\+, 2
т
.
.
2
/ т—\ \ <2' 2 ^< ([да/2] — 1).
В [184] показано,, чгсо- если я,—2k и <Д содержит не более
- Г ul подмножеств мощности k, го'' -^{le}\( r/v» ' i.V/ 21; /•*
В; [89;]{ рассматривались щ. : с. J/ с | Дг,Л;-А/.|>5,,> причем
Q A.. < / ' для; любьщ k множеств, Av. ...., А1г, из Ж\- где
k>%
1
.s{cdot}>l? и. i? имеет единственное-представление' в- виде; i'==/z/- +
+ r + s < (А,./ —целые: числа, 0-{le}r<k); выведены! оценки сверху
для мощност-и А', зависящие от- w, fo, k, r, .s. В* [SSf, исследуется
число &(\,Л)- одновременно неи-ересёка^щих-зя нар- в ИР. с.
(т. е. таких ( % , AV>,). что- Aik f ] ! A H - ч 0 , #== 1, 2V . . . , s).
дается'формула'для минимума s^jlf- /^семейства; в частично
упорядоченных множествах Р вводятся в~ [102] как подмноже­
ства Р, не содержащие цепей длины k + \. «Шпернеровы»' й-сёмейства - k-семейства наибольшей мощности. Подробно изучена
структура множества всех таких k-семейств. Отметим еще ре­
зультат работы [20], где неравенство. (2)- выводится как след­
ствие формулы для суммирования «валентностей; наборов» (не­
которых функций на мультимножествах).
6*
83.
•В работах по семействам А множеств, не связанным усло­
вием «щпернеровостю., обычно также стремятся оценить мощ­
ность Л при ограничениях, связанных либо с пересечениями
членов семейства, либо с их объединениями, либо, наконец,
присутствуют те и другие ограничения. Характерным примером
результата типа «теоремы пересечения» ¥0>кет служить сле­
дующий ([113]); Пусть k, t> 1 и Л1~=(Аи, ..., А-1Г1),,.., -Л---=г(Дп, ..., .Д^,/)--семейства подмножеств, ' из {1,2, ....,#}'>
состоящие каждое из k-элементных попарно различных мнсй
-жеств, . причем Aij1(i]Arij:i^0
для любых ix, j v z2. :j\. Тогда
. I Л, если njk>t,
r i + • ••+/"t<j
•+
/Й_1\
t\k—\r' е с л и n/*{le}-"'
й эти оценки являются наилучшими возможными. Другие об­
разцы «теорем пересечения» дают результаты, из [86—88].
В [87] предполагается, что |A-.-n.Aj|>t для любых i, /6/ и для
заданного числа с > 0 каждый элемент 5 содержится менее чем'
в с \s4-\ членах зФ; полученные результаты дают оценку сверху
для \s&\ и структуру максимального такого семейства,
„ Работы [127, 85] посвящены условиям Ha объединения. Так,
в [127] доказывается, что для мощности т семейства s& =
•= (Ai|iG/) со свойством AiUAi-l^./ для всех i, / справедлива
оценка:
™<([«/2]) + 2"/"Несколько интересных результатов было получено в послед­
нее время о А-системах,- Сильной А-системой (А (£)-системой) на­
зывается система из k множеств, Б которых каждая пара име­
ет одно' и то же пересечение; слабой А-шстемой— система из
k множеств, в которой пересечение каждой пары множеств
имеет одинаковую мощность. Мощности максимальных силь­
ных и слабых А-оисгем исследованы в [27, 203]; в. частности,
для сильных А-шетем получены оценки, и некоторые асимпто­
тические соотношения. В [79] выводится одно достаточное
условие существование l0l
семейства s& на 5, содержащего сла­
бую А-систему: | ^ | •<n. -:n/41oglog'rt> а также достаточное усло­
вие существования в семействе $& трех множеств, образующих
сильную А-систему. Близки к этим исследованиям результаты
работы [210], где изучаются родственные семейства подмно­
жеств.
Б ИБЛ И О Г Р А Ф И Я
• 1. Арлазаров В. Л., Бараев А. М„ Гольфанд Я. Ф., Фараджев И. А., По­
строение с помощью ЭВМ всех латинских квадратов порядка 8. В сб.
«Алгоритм, исслед. в комбинаторике». М., 1978, 129—141 (РЖДат, 1979.
1В592)
84
2. Асратян А. С, О совместных системах различных представителей. В сб.
«Дискрета, анализ». Вып. 27. Новосибирск, 1975, 3—12 (РЖМат, 1976,
1В594)
^
3. Брэгман Л. М., Некоторые свойства неотрицательных матриц и их пер­
манентов. Докл. АН СССР, 1973, 211, № 1, 27—30 (РЖМат, 1973,
10В310)
4. Добровольский М. А., О четырехстрочных латинских прямоугольниках..
В сб. «Материалы межвузовской научной конференции педагогических
институтов центральной зоны». Тула, 1968, 72—75
5. Зюбина Т. К., Исследование одного нового метода решения задачи о
покрытии множества (Ин-т кибернет. АН УССР. Препринт — 76—40).
Киев, 1976, 36 с, ил, —11 к., на ротапринте (РЖМат, 1977, 4В434К)
6. Кононенко А. М„ Феденя О. А., О перманенте многомерных матриц.
Изв. АН БССР. Сер. физ-мат н., 1978, № 4, 5—8 (РЖМат, 1978,
12А616)
7. Коспанов Э. Ш., К задаче о протыкании граней единичного д-мерного
куба. Сб. тр. Ин-т мат. Сиб. отд. АН СССР, 1977, № 31, 57—60
(РЖМат, 1978, 9В525)
8. Кузюрин Я. Я., О минимальных покрытиях и максимальных упаковках
(k—1)-подмножеств /е-подмножествами. Мат. заметки, 1977, 21, № 4,
565—571 (РЖМат, 1977, 9В452)
9. —, Об асимптотических оценках глубины (0, 1)-матриц. Прикл. мат. и
мат. обсспеч. ЭВМ. М„ 1979, 115—119 (РЖМат, 1980; 5В404)
10. Леонтьев В. К., Алгоритм локальной оптимизации для решения некото­
рых комбинаторных задач. В сб. «Вопр. кибернетики». Вып, 15. М.,
1975, 61—67 (РЖМат, 1976, 4В407)
11. Минаев М. П., Павлов А. И., О числе (0,1)-матриц с заданными , сум­
мами по строкам и столбцам. Докл. АН СССР, 1976, 230, № 2, 271—•
274 (РЖМат, 1977, 2В435)
12. Пантелеева Л. И„ Нахождение трансверсалей латинского квадрата.
В сб. «Логич. и игровые задачи на ЭВМ. Мат. обеспечение ЭВМ
«Мир-1». Курск, 1976, 190—194 (РЖМат, 1977, 7В484)
13. Перечислительные задачи комбинаторного анализа (сборник перево­
дов). М„ Мир, 1979, 363 с. (РЖМат, 1980, ЗВ545К)
14. Рввякин А. М., О наращениях комбинаторных геометрий. Вести. Моск.
ун-та. Мат., мех., 1976, № 4, 59—62 (РЖМат, 1977, 2В418)
15. —, Об одной конструкции в категориях комбинаторных геометрий и
отображений. Докл. АН СССР, 1976, 229, № 5, 1055—1058 (РЖМат,
1976, 12В515)
16. Сапоженко А. А„ Асратян А. С, Кузюрин Я. Я., Обзор некоторых ре­
зультатов по задачам о покрытии. Сб. тр. Ип-т мат. Сиб. отд. АН
СССР, 1977, 30, 46—75 (РЖМат, 1978, 5В419)
17. Сачков В. Я., Комбинаторные методы дискретной математики. М„ Нау­
ка, 1977, 320 с. (РЖМат, 1978, 4В321К)
18. —, Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М., Наука, 1978,
288 с. (РЖМат, 1979, 2В7)
19. Соколин С. Г., Об одном классе целочисленных матриц. Вести. ЛГУ,
1977, № 19, 70—75 (РЖМат, 1978, 8В463)
20. Стечкин Б. С, Неравенство Ямамото и наборы. Мат. заметки, 1976, 19,
№ 1, 155-160 (РЖМат, 1976, 7В368)
'21. Тараканов В. Б., О системах представителей. В сб. «Вопр. кибернетики».
Вып. 16. М., 1975, 110-124 (РЖМат, 1976, 6В387)
22. Тышкевич Р. И., Характеризация (0, 1)-матриц, определяемых числом
единиц в строках и столбцах, и униграфических последовательностей.
Докл. АН БССР, 1978, 22, № 7, 592-595 (РЖМат, 1978, 12В916)
23. —, Перечисление (0, 1)-матриц, определяемых числом единиц в строках
и столбцах. Докл. АН БССР, 1979, 23, № 7, 589—591 (РЖМат, 1979,
11В414)
24. Холл М„ Комбинаторика. М„ Мир, 1970, 424 с. (РЖМат, 1971, 1В262К)
85
Йб. Чернышев Ю. О., >№асекш В. Я., К решению задани о покрытии гради­
ентным алгоритмом. Кибернетика, 1976, № 4, ©Б----8в (РЖМат., 1977,
2В421)
26. Юцис А. А., Число симметрических целочисленных неотрицательных мат­
риц с заданными суммами элементов в строках. Liet. mat. .rinkinys,
Лит. мат. сб., 1977, 17, № 1, 205—208 (РЖМат, 1977, 7В465)
27. Abbott Н. L., Mmson D., ;Qn finite Д-systems. П. Discrete Math., 1977,
17, № 2, 12I~--r26 (РЖМат, 1977, 12В587)
28. Abramson M., Promislow D„ Enumeration of arrays -by column .rises. J.
Combin. Theory, '№&, A24, № 2, 247—250 (РЖМат, 19.78, 9B549.)
29. Aohilles £., JPermanents -of doubly stochastic matrices with -fixed zero
pattern. Linear and Multilinear Algebra, 1977, 5, Ш 1, 68—70 .(.РЖМат,
. 1978, 6A390)
30. Aigner M., Kombinatorik. II. Matroide und Transversaltheorie. Berlin e. a.,
Springer, 1976, XIII, 324 S. (РЖМат, 1977, 11B519K)
.31. Atkin A. 0., Hay L., Larson R. G., Construction of Kjiut ¥ik ^designs.
J. Statist Plann. and Interference, 1977, /, № 8, 269—29,7 ((РЖМат,
1978, 6B582)
1
32. Babai L., Vector representable matroids of given rant with .given auto­
morphism group. Discrete Math., 1978, 24, M° 2, M9----125 (РЖМат,
1979, 3B498)
33. Ballet) R, A., Enumeration of totally symmetric latin squares. Util.
Math., 1979, 15, 193—21-6 (РЖМат, 1979, ЦВ417)
34. Bamtnel :S. E., Rothstein / . / T h e number of 9X9 latin .squares. Discrete
Math., 1975, 11, № 1, 93—95 (РЖМат, 1975, 6B447)
35. Beasley L. B.^Commings L. J., Permanent groups. Proc. Amer. Math.
Soc, 19.72, 34, .№ 2, 351—355 (РЖМат, 1973, 3A375)
36. —, —, Permanent groups. II. Proc. Amer. Math. Soc, 1973, 40., № 2,
358-364 (РЖМат, 1974, 6A462)
37. —-, —, Permanent semigroups. Linear and Multilinear Algebra, 197®, 5,
№ 4, 297 ---302 (РЖМат, 1978, 10A265)
38. Bekissy A., Bik&ssy P., Komlds /., Asymptotic enumeration of regular
matrices. 'Stud. sci. math, hung., 1972, 7, № 3-4, 343—353 (РЖМат, 1974,
5B338)
39. Bender E. A., The asymptotic number of non-negative integer matrices
with given tow » d column sums. Discrete Math., 19'74, 10, №> 3-4, .217—
223 (РЖМат, 1975, TBS68,
40. —, Canfield E. R., The asymptotic number of labelled graphs with given
degree sequences. J. Combin. Theory, 1978, A24, № 3, 296—307 (РЖМат,
1978, 11B696)
41. Bixby R. E., On Reid's characterization of the ternary matroids. J.
Combin. Theory, 1979, B26, № 2, 174—204 (РЖМат, 1979, Г2В458)
42. —, Note the solution to a matroid problem of Knuth. Discrete Math.,
1978, 21, № 1, 87—88 (РЖМат, 1978, 8B466)
43. —, A strengthened form of Tutte's characterization of regular matroids.
J. Combin. Theory, 1976, B20, № 3, 216-521 (РЖМат, .1.977, 1B400)
44. —, A simple proof that every matroid is an intersection of fundamental
transversal matroids. Discrete Math., 1977, 18, № 3, '311--312 (РЖМат,
1978, 7B700)
45. Bland R. G., Las Vergnas M., Orientability of matroids. J. Combin.
Theory, 1978, B24, Ш 1, 94—123 (РЖМат, 1978, 7B709.)
46. Brouwer A. E., de Vries A. I., Wieringa R. M. A., A lower bound for
the length of partial transversals in a latin square. Nieuw arch, wisk.,
1978, 26, № 2, 330—-332 (РЖМат, 1979, 3B452)
47. Brown Т. C, Common -transversals. J. Combin. Theory, 1976, A21, № 1,
80—85 (РЖМат, 1977, 1B397)
1
48. Brualdi R. A., Dlnolt G. W., Truncations о principal geometries. "Discre­
te Math., 1975, 12, № 2, 113—138 (РЖМат, 1976, 1B593)
49. *~, Gibson P. И., The convex polyhedra of doubly stochastic matrices. I.
J. Combin. Theory, 1977, A22, № 2, 194--230 (РЖМат, Д'97.7, 12В711)
86
•50. Brulawski Т. H., On the nonreconstnuctibility combinational geometries.
J- Combin- Theory, 1975, B19, № 1, 7 2 - 7 6 (РЖМат, 1976, 2B433)
SI. —, A Qonibtaatorial perspective 'en -the 'Radon 'convexity >theorem. Georn.
Dedic, T976, 5, Же 4, 459—466 (.РЖМат, 1978, 2B410)
•'52. —, Connected -matroids with the smallest Whitney «ambers. ©isctfete
Math., 1977, 18, № 3, 243—252 (РЖМат, 1978, '9B523)
53. —, An affine representation far transversal geometries. 'Stud. Appl.
Math., 1975, '54, № 2, '143—1'6'Q (РЖМат, Г975, 12B435')
•54. —, A note 'OIL Tutte's uriteodular representation, i-roc. ftmer. Math. Soc,
1975, 52, 499—502 (РЖМат, 1976, 5B505)
'55. —-, The broken-circuit -complex. Trans. Amer. Math. -Sac, -1977, '234, W2,
417—433 .(РЖМат, 1978, 8B468)
•66. —, Lucas D., Uniquely irepresenta'ble combinatorial geometries. -Gofloq.
int. Teor. comb., Roma, 1973. T. 1. Roma, 1976, 83—104 ('(РЖ'Мат, 1978,
4B326)
51. Burkilt H., M'trsky L., -Combin'atorial problems ;on 'the existence of
large submatrices. II. Discrete Math., 1977, 20, № 2, 103—108 (Я-ЖМат,
1978, 8B460)
•58. Clements G. F., intersection theorems for sets .of subsets of a finite set.
Quart. J. Math., 1976, 27, № Д07, .'325—337 (РЖМат, Т97.7, 4Б440)
59. Converse G., Katz M., Symmetric 'matrices with given row sums. J.
Combm. Theory, 1.975, AM, №. 2, 17H-H76 '(.РЖМат, 1975, 7B.385)
60. Cordovil R., Sur le geometries simpliciales. "C. r. Acad, •sci., 1978, AB286,
№ 25, A1219—A1222 .(РЖМат, 19№, 12B83S)
61. —, Las Vergnas M., Geometries simpliciales uriimadulaipes. ©-recrete
Math., 1979, 26, № з, 213-217 (РЖМат, 1979, 11B390)
62. Старо H, H., Rota в.-С, On the 'foundations of combinatorial theory. II.
Combinatorial geometries. Stud. Appl Math., .t-970, 49, № -2, 1,09—133
(РЖМат, 1971, 3B269)
•63. Cruse А. В., "Some combinatorial properties of oentrosymmetric matrices.
Linear Algebra and Appl., 1977, 16, № 1, 65—77 (РЖМат, Г978, 9A37.1)
64. —, A number-theoretic function related to latin squares. J, 'Combin. Theo­
ry, 1975, A19, № 3, 264—277 (РЖМат, 1976, 4B427)
65. Csitna I., A class of counterexamples on permanents. Pacif. J. Math.,
1971, 37, № 3, 655—656 (РЖМат, 1972,'2B322)
66. Cummings L. I., Wallis J. S., An algorithm for the permanent of circulant matrices. Can. Math. Bull., 1977, 20, № 1, 67—70 (РЖМат, 1978,
2B413)
67. Dacic R., On the completion of incomplete latin squares. Publ. Inst, math.,
1978. 23, 75—80 (РЖМат, 1979, 2B451)
68. Oavies I., On bases of lindependence structures intersecting in a set of
prescribed cardinality. J. London Math. Soc, 1976, 12, № .4, 455—458
(РЖМат, 1976, 10B335)
•69.—, McDiarmid C, Disjoint common transversals and exchange structures.
J. London Math. Soc, 1976, 14, № 1, 5 5 - 6 2 -'(РЖМат, 1977, 4B442)
70. Deza M., MulUn R. C, Vanstone S. A., Orthogonal systems. A.equa't. math.,
1978, 17, № 2-3, 322—330 (РЖМат, Ш 8 , !2B924>)
71. DokoviS D, Z., On a conjecture by van der Waerden. Math. Vesnik,
1967, 4, № .1-9, 272—27:6 (РЖМат, 1968, 7B12)
72. Dubois I., A note on the van der Waerden .permanent conjecture. Can.
J. Math., 1974, 26, '№ 2, '352—354 .'(РЖМат, 19.74, Г1В408)
73. Dalmage A. X., McMaster G. Ev A formula for counting thr,ee-line latin
.rectangles. Proc. 6th Southeast. Conf. Combinatorics, Graph Theory and
•Comput, Boca Raton, 1975, Winnipeg, 19.75, 279—589 (РЖ-Мат, 1978,
12B897)
74. Eherlein P. I„ 'Remarks an ithe van <dar W-aBrden conjecture. "II. -Linear
Algebra and Appl., 1969, 2, ••№ -3, ЗМ-,320 (РЖМат, 1970, .3B280)
75. Edmonds F. Oh., iRectangmtar arrays. Oscreite Math., 1977, T9, № 3, 213—
227 (РЖМат, 1978, 7B722)
•87
76. —у Enumeration of arrays of a given size. Discrete Math., 1977, 18,
№ 1, 1—22 (РЖМат, 1978, 1B472)
77. Eggleton R. В., Hart/nan A., A note on equidistant permutation arrays.
Lect. Notes Math., 1978, №-686, 136—147 (РЖМат, 1979, 6B558)
78. Erdos P., Kaplatisky I., The asymptotic number of latin rectangles. Amer.
J. Math., 1946, 68, № 2, 230—236
79. —, Szemeredi E., Combinatorial properties of systems of sets. J. Combin.
Theory, 1978, A24, № 3, 308-313 (РЖМат, 1978, 12B876)
80. Evans Т., Embedding incomplete latin squares. Amer. Math. Mon„ 1960,
67, № 10, 958—961 (РЖМат, .1961, П А Ш )
81. Everett, С. J., Stein P. R., The asymptotic number of integer stochastic
matrices. Discrete Math., 1971, 1, № 1, 55—72 (РЖМат, 1974, 7B465)
82. —, —, The asymptotic number of (0, 1)-matrices with zero permanent.
Discrete Math,, 1973, 6, №. 1, 29—34 (РЖМат,, 1974, 2B427) ,
83. Foregger Т. H., A note on matrices with constant permanental minorsLinear and Multilinear Algebra, 1979, 7, № 2, 127—128 (РЖМат, 1979,
11A328)
84. —, An upper bound for the permanent of a fully indecomposable matrix.
• Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 49, № 2, 319—324 (РЖМат, 1976, 3B525)
85. Frankl P., Families of finite sets satisfying a union condition. Discrete
Math., 1979, 26, № % 111—118 (РЖМат, 1979, 9B563)
86. —, The proof of a conjecture of G. О. Н. Katona. J. Combin. Theory,
1975, A19, № 2, 208—213 (РЖМат, 1976, 2B435)
87. —, On intersecting families of finite sets. J. Combin. Theory, 1978, A24y
Ш% 146—161 (РЖМат, 197'8, 12B864)
88. —, Families of finite sets satisfying and intersection condition. Bull.
Austral. Math. Soc, 1976, 15, № 1, 73—79 (РЖМат, 1977, 6B399)
89. —, A Sperner-type theorem for families of finite sets. Period, math. hung...
1978, 9, №. 4, 257—267 (РЖМат, 1979, 2B438)
90. Friedland Sh.t Matrices satisfying the van der Waerden conjecture. Line­
ar Algebra and Appl., 1974, 8, № 6, 521—528 (РЖМат, 1975, 7A507)
91. —, A study of the van der Waerden conjecture and its generalizations...
Linear and Multilinear Algebra, 1978, 6, № 2, 123—143 (РЖМат, 1979,.
3A336)
92. —. Mine H., Monotonioity of permanents of doubly stochastic matrices.
Linear and Multilinear Algebra, 1978, 6, № 3, 227—231 (РЖМат, 1979,
5A303)
93. Fulkerson D. R., Netnhauser G. £,., Trotter L. В., Jr., Two computational­
ly difficult set covering problem that arise in computing the 1-width of
incidence matrices of Steiner triple systems. Math, Program. Study 2.
Amsterdam, 1974, 72-81 (РЖМат, 1976, 3B510)
94. Gergely E., A simple method for constructing doubly diagonalized latinsquares. J. Combin. Theory, 1974, A16, № 2, 266—272 (РЖМат, 1974,
9B410)
95. Gibson P. M., A lower bound for the- permanent of a (0, 1)-matrix. Proc.
Amer. Math. Soc, 1972, 33, № 2, 245—246 (РЖМат, 1972, 12B190)
96. —, Conversion of the permanent into the determinant. Proc. Amer. Math.
Soc, 1971, 27, № 3, 471—476 (РЖМат, 1972, 4B301)
97. —-, Real permanental roots of doubly stochastic matrices. Linear Algebraand Appl., 1978, 21, № 3, 289-291 (РЖМат, 1979, 4A413)
98. Gordon В., Motzkin T. S„ Welch L., Permanents of (0, 1)-matrices. J.
Combin. Theory, 1974, A17, № 2, 145—155 (РЖМат, 1975, 2B466)
99. Graham R. L., Lehmer D. H., On the permanent of Schur's matrix. J.
Austral. Math. Soc, 1978, A21, № 4, 487—497 (РЖМат, 1977, 2A421)
100. Greene C, "Weight enumeration and the geometry of linear codes. Stud.
Appl. Math., 1976, 55, № 2, 119—128 (РЖМат, 1977, 2B420)
•1.01..—, Hilton A. I. W., Some results on Sperner families- J. Combiri. Theo­
ry, 1979, A26, № 2, 202-209 (РЖМат, 1979, 9B560)
102. —, Kleitman D. J., The structure of Sperner ^-families. J. Combin. Theo­
ry, 1976, A20, № 1, 41—68 (РЖМат, 1976, 5B501)
8.8
103. Gyires В., On permanent inequalities. Combinatorics. Vol. 1, Amsterdam.
.
e. a., 1978,471-484 (РЖМат, 1979, 12A411)
104. Haggkvist R., A partial solution of the Evans conjecture for latin squa­
res. Dep. Math;,Univ. Umea (Publ.Y, 1976, № 6, 17 pp. (РЖМат, 1977,
2B447)
105. —, A solution of the Evans conjecture for latin squares of large size.
Combinatorics. Vol. 1. Amsterdam e. a., 1978, 495—513 (РЖМат, 1979,
11B422)
106. Halt M., Jr., Construction of block designs. Surv. Combin. Theory. Am­
sterdam e. a., 1973, 251—258 (РЖМат, 1974, 4B287)
107. Hartfiel D. J., A simplified form for nearly reducible and nearly decom­
posable matrices- Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 24, № 2, 388—393
(РЖМат, 1971, 8A292)
108. —, A lower bound on the permanent of a (0, 1)-matrix. Proc. Amer.
Math. Soc, 1973, 39, № 1, 83—85 (РЖМат, 1974, 2B426)
109. —., Crosby J. W., On the permanent of a certain class of (0, 1)-matrices.
Can. Math. Bull, 1971, 14, № 4, 507—511 (РЖМат, 1972, 8B357)
110. —, —, A lower, bound for the permanent of Un(k, k). J. Combin. Theory,
1972, A12, № 2, 283—288 (РЖМат, 1972, 8B360)
111. Heinrich K., van Ress G. H, J., Some constructions for equidistant permu­
tation arrays of index one. Util. Math., 1978, 13, 193—200 (РЖМат,
1978, 12B930)
112. Hilton A. I. W., On double diagonal and cross latin squares. J. London
Math. Soc, 1973, 6, № 4, 679-689 (РЖМат, 1973, 12B376)
113. —, An intersection theorem for a collection of families of subsets of a
finite set. J. London Math. Soc, 1977, 15, № 3, 369—376 (РЖМат, 1978,
1B465)
114. Hlshi Akihiro, An elementary proof of Johnson-Dulmage-Mendelsohn's
refinement of Birkhoff's theorem on doubly stochastic matrices. Can.
Math. Bull., 1979, 22, № 1, ®1—86 (РЖМат, 1979, 'll.B'4116).
115. Hodges I. H., Ranked partitions of rectangular matrices over finite fields.
Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur., 1976, 60, № 1,
6—12 (РЖМат, 1978, 2B423)
116. Houck D. I., Paul M. E., Non-singular 0-1 matrices with constant row
and column sums. Linear Algebra and Appl., 1978, 22, 263—266
(РЖМат, 1979, 9B589)
117. Hull B„ Two algorithms for matroids. Discrete Math., 1975, 13, № 2,
121—128 (РЖМат, 1976, 4B446)
118. Jngleton A. W.t Main R. A., Non-algebraic matroids exist. Bull. London
Math. Soc, 1975, 7, № 2, 144—146 (РЖМат, 1976, 3B506)
119. Jackson D. M., van Rees О. Н, J., The enumeration of generalized doub­
le stochastic non'negative integer square matrices. SIAM J. Comput,
1975, 4, № 4, 474—477 (РЖМат, 1976, 7B380)
120. Jamamoto K., On asymptotic number of latin rectangles. Jap. J. Math,,
1951, 21, 113-119
121. Johnson J. J., Bounds for certain permanents and determinants. Linear
Algebra and Appl, 1974, 8, № 1, 57—64 (РЖМат, 1974, 7A498)
122. Jurkat W. В., Ryser H. J., Matrix factorizations of determinants and per­
manents. J. Algebra, 1966, 3, № 1, 1—27 (РЖМат, 1966, 8A138)
123. ftatona G. О. Н., Extremal problems for hypergraphs. Math. Centre Tracts,
1974, № 56, 13—42 (РЖМат, 1975, 4B409)
124. X,atz M., On the extreme points of certan convex polytope. J. CombinTheory, 1970, S, № 4, 417-423 (РЖМат, 1970, 12B315)
125. Hetty D. G., Kennedy D,, The Higgs factorization of geometric strong
map. Discrete Math, 1978, 22, № 2, 139—146 (РЖМат, 1978, 10B653)
126. Kim Щ Hang, Roush F. W., On a conjecture of Frdos and Renyi. Linear
Algebra and Appl, 1979, 23, 179—189 (РЖМат, 1979, 10B357)
127. Kleitman D. J., Extremal properties of collections of subsets containing
no. two sets and their union. J. Combin. Theory, 1976, A20, № 3, 390—
392 (РЖМат, 1977, 1B394)
8?
128. Rnopp P. I., Sink'horn R., 'Pemranerfts of special Classes «of dotMy sto­
chastic matrices. Linear and Multilinear Algebra, 1976, 4, № 2, 129—
136 ;(,РЖМат, '19,77, ;5A263)
129. Roksma 'К. К., A lower bound for 'the order of a partial transversal in a
latin square. J. Combin- Theory, 1969, 7, № 1, 94—95 (РЖМат, 1969,
12B317,)
130. Koontz W., Convex sets of some doubly stochastic matrices. J. Combm.
Theory,„1978, A24, (Na J„ 111—llllfi •(РЖМат, 197®, 703707)
131. Rung I. P. S., The 'Radon transforms of a combinatorial geometry. I.
J. Combin. Theory, 1979, 26, № 2, 97—102 .(РЖ'Мат., 1979, 11B391.)
132. Lam C. W. 'H., The distribution of 1-widths of (0,1)-matrices. .Discrete
Math., 1977, 20, № 2, 109—122 (РЖМат, 1978, 10B65T)
133. Leakey W. J., Henndon W. C, Phan V. Т., A note on permanents. Linear
and Multilinear Algebra, 1975, 3, № 3,
193—196
-(РЖМат, 1976,
9АЗЩ
134. Levom R. B„ .Lower bounds for .permanmts of incidence matrices. J. Com­
bin. Theory, 1972, A12, № 2, 297-303 (РЖМат, 1972, '8ВЭ58)
135. —, Counterexamples to conjecture of Ryser and de Oliveira. Pacif. J.
Math,, 1973, 44, № 2, .603—606 (РЖМат, 1973, 11ВЙ36)
136. Lewin M., On the extreme points of the poly tope of symmetric -matrices
with given row sums. J. Combin. Theory,
1977, A23, № 2, 223—231
(РЖМат, 1978, 2B412)
137. Light F. 'W„ Jr., A procedure for the enumeration of 4-Xft latin rectangles.
Fibonacci Quart., 1973, 11, J№ 3, 241—246 (РЖМат. 1974, 5B333)
138. —, Enumeration of truncated latin rectangles. Fibonacci Quart., 1979, 17,
№ 1, 34—36 (РЖМат, 1979, 9B592)
139. Lim M. H., A note on the relation between the determinant ,and the per­
manent. Linear and Multilinear Algebra, 1979, 7, № '2, 145—147 (РЖМат,
1979, 11A329)
140. Lindner Ch. C, On completing latin rectangles. Can. Math. 'Bull., 1970, 13,
№ 1, 65—68 (РЖМат, 1970, 12B326)
141. —, Embedding orthogonal partial latin squares. Proc. Amer. Math. Soc,
1976, 59, № 1, 184—186 (РЖМат, 1977, 7B481)
142. Lindstrotn B„ On the chromatic number of regular matroids. J. Combin.
Theory, 1978, B24, № 3, 367—369 (РЖМат, 1978, 11B616)
143. —, Note on strong joins and pushout of combinatorial geometries. J,
Combin. Theory, 1978, A25, № 1, 77—79 (РЖМат, 1978, MB617)
144. Little C. H. C, A characterization of convertible ,(0,1)-matrices. J. Com­
bin. Theory, 1975, SI8, № 3, 187—208 (РЖМат, 1976, 1B592)
145. London D., Some notes on the van der Waerden conjecture. Linear Algeb­
ra and Appl., 1971, 4, № 2, 155-160 (РЖМат, 1971, 12A462)
146. Lorimer P., Maximal sets of permutations constructed from projective
planes. Discrete Math., 1979, 25, № 3, 269-273 (РЖМат, 1979, 11B410)
147. Lucas D„ Weak maps of combinatorial geometries. Trans. Amer. Math.
Soc, 1975, 206, 247-279 (РЖМат, 1976, 2B430)
148. Marcus M,, MayF. C, The permanent function. Can. J. Math. 1962, 14,
№ 2, 177-189 (РЖМат, 1962, 11A127)
149. - , Mine H., On a conjecture of B. L. van der Waerden. Proc. Cambridge
Phil. Soc, 1967, 63„ № 2, 305-309 (РЖМат, 1968, 7BJ1)
150. - , - , Some results on doubly stochastic matrices. Proc. Amer. Math.
Soc, 1962, 13., № 4, 571-579 (РЖМат, 1963, 3A166)
151. - , - , Extensions of classical matrix inequalities. Linear Algebra and
Appl, 1968, 1, № 3„ ,421-444 (.РЖМат, 1969, 3A293)
152. - , - , On the .relation between the determinant and the permanent 111.
J. Math., 1961, 5., № 3, 37.6-.381 {РЖМат, Ч962, 5A175)
153. - , Newman M., 'On the minimum of the permanent of ,a doubly stochastic
. matrix. .Duke Math, X, Ш 9 , 26, M I, .61-72 (РЖМат, "960, 1358.)
154. Marica L, Schonheitn I., Incomplete diagonals of 'latin Squares. Can Math
Bull., 1969, 12, № 2, 235 (РЖМат, 1970, 4B314)
90
Ш>. MaUhews I. Д., 'B'icircular mat-olds. Quart. J. Math,, 1977, 28, SNsr 110,
213—227 (РЖМат, 1978, 2E411)
J§6. McDiarmid C. / . H-, Qn the number of -systems of -distinct representatives
in a independence structure. J. Math. Anal, and App'l,, 1 Э.7.3, 53, № 1,
133---136 <(РЖМат, 1976, 7B3.69)
T57. Metropolis N., Stein M. L., Stein P. R., Permanents off cyclic (0,4)-mat­
rices. J. -Combin. Theory, 1 Ш , 7, '№ 4, 291—321 ,(РЖМат, 191®, ®B234)
T58. Mine H., Upper 'bounds for permanents of :(0.,:1;)-matrices. Bull. Amer.
Math. Soc, 1963„ 69, № .6, 789—791 .(РЖМат, .1969,, '9АГ15:)
159. --.л On lower bounds lor the per.manents of (0,1) -matrices. Proc Amer.
Math. Soc, 1969, 22, № 1,117—123 (РЖМат, 1970, 4B312)
16.0. —, On permanents of .circulants. Pa.cit J. Math., 1972, 42, j№ 2, 477—484
(РЖМат, 1973, 5A377)
161. —, Rearrangements. Trans. Amer. Math.
Soc,
1971, 1-59, 497—604
(РЖМат, 1972, 6B241)
162. —-, (0,1)-matrices with minimal
permanents. Isr, J. Math., 1973, 15,
№ 1, 27—30 (РЖМат, 1974, 1B309)
163. —, Subpermanents of doubly stochastic matrices. Linear and Multilinear
Algebra, 1975, 3, Ш 1-2, '91—94 .(РЖМат, 1976, 8A493-)
164. —, The invariance of elementary symmetric functions. Linear and Multili­
near Algebra, 1976, 4, № 3, 209—215 (РЖМат, 1977, 6A265)
165. —, Doubly 'stochastic matrices -with minimal permanents. Paeif. J. Math.,
1975, 58, № 1, 155-157 (РЖМат, 1976, 3A380)
166. —, Evaluation of 'permanents. Proc. Edinburgh
Math. 'Soc, 1979, 22,
.№ 1, 2 7 - 3 2 (РЖМат, 1979., 11B386)
167. Minieka E., Finding the circuits of a matroid. J. Res. Nat. Bur. Stand.,
1976, B80, № 3, 337—342 (РЖМат, 1977, 108316)
168. Mirsky L., Transversal theory. An account of some aspects ol combinatori­
al mathemiaitiics. New York, Acad. Press, 1971. IX, '255 pp. {РЖМат, 1973,
3B343K)
169. Moyls B. N., Marcus M., Mine H., Permanent preservers on the space of
doubly stochastic matrices. Can. J. Math.,
1962, 14, № 2, 190—194
(РЖМат, 1962, ПА128)
170. Mullin R. C„ Nemeth E., An improved bound for equidistant permutation
arrays of index one. Util. Math., 1978, 13,
77—85
{РЖМат, 1978,
12B929)
171. Nguyen Hien Quang, Covering relation in the lattice of erections of a
combinatorial geometry. Proc Nat, Acad. Sci., 1977(1978), 37, 101—102
(РЖМат, 1979, 3B502)
172. —, Projections and weak maps in combinatorial
geometries. Discrete
Math., 1978, 24, № 3, 281--289 (РЖМат, 1979, 7B553)
173. —, Semimodular functions and combinatorial geometries. Trans. Amer.
Math. Soc, 1978, 238, 355—383 (РЖМат, 1978, 11B615)
174. —, Functors of the category of combinatorial geometries and strong maps.
Discrete Math., 1977, 20, № i, 143—158 (РЖМат, 1978, 9B522)
175. Nijenhuis A., On permanents and the zeros of rook polynomials. J. Combin.
Theory, 1976, A21, № 2, 240—244 (РЖМат, 1977, 5B323)
176. —, Wilf H, S., Combinatorial algorithms. New York, Acad. Press, 1975.
XIV, 333 pp. (РЖМат. 1978, 3IB4091K)
177. Oliveira O. N, de, Note on the function рег(Л-5—Л).- Rev, Fac. eigne
Univ. Lisboa, 1970—1971, A13, № 2, 199—201 (РЖМат, 1972, 11B289)
178. —, A conjecture and some problems on permanents. Pacif. J. Math., 1970,
32, № 2, 495—49.9 СРЖМа-г, 1-97:0, 1Ш59:)
179. O'Neil P. E., Asymptotics and'.random matrices with row-sum and •co'lumnsum r-estricjiions. Bull. йшег. Mailx ;Soc, 1969. 7i5, '№ ;6„
127i6—1282
(РЖМат, 1970, 12B324)
180. Oxley I, G,t kotowing, packing and the critical pra>Wem. Quart. X Май..,
1978, 29, № 113, 11—22 (РЖМат, 1'978, 11B607)
91
181. Oyama Tatsuo, Necessary condition fo.r the completion of partial lata'p
squares- J. Oper. Res. Soc Jap., 1978] 21, № 1, 109—123 (РЖМат, 1978,
11B648)
182. Perfect H., Positive diagonals of ± 1 matrices. Monatsh. Math., 1973, 77,
№ 3, 225—240 (РЖМат, 1974, 2B425)
183. Podewski K.-P;Steffens K-, Maximal representable subfamilies. Bull. Lon­
don Math. Soc, 1976, 8, № 2, 186—189 (РЖМат. 1977, 1B398)
184. Purdy G., A result on Sperner collections. Util. Math,, 1977, 12, 95—99
(РЖМат, 1978, 5B423)
185. Razen R. A., Schnitzer F. I., Einige Satze iiber gemeinsame Transversalen
zweier Mengenfamilien. Arch. Math., 1976, 27, № 3, 312—318 (РЖМат,
1977, 3B362)
186. Rothaus 0. S., Study Of the permanent conjecture and some of its genera­
lizations. Isr. J. Math., 1974, 18, №. 1, 7 5 - 9 6 (РЖМат, 1976, 5A376)
187. Sasser D. W., Slater M. L., On the inequality 2#.#.>-2л..-2{/.- and the
van der Waerden permanent conjecture. J. Combin.
Theory, 1967, 3,
№ 1, 25—33 (РЖМат, 1968, 11B304)
188. Schellenberg P. I„ Vanstone S, A., Recursive constructions for equidistant
permutation arrays. J. Austral. Math. Soc, 1977, A24, № 2, 216—223
(РЖМат, 1978, 9B562)
189. Schmidt R., On the existence of uncountably many matroidal families.
Discrete Math,, 1979, 27, № 1, 93—97 (РЖМат, 1979, UB454)
190. Schonheim J., Milner E, C., A Hall-type condition for property B. Proc
6th Southeast. Conf. Combinatorics, Graph Theory, and Comput, Boca
Raton, 1975. Winnipeg, 1975, 523—530 (РЖМат, 1978, 12B873)
191. Schrage G., Some inequalities for multidimensional (0,l)-matrices. Discre­
te Math., 1978, 23, № 2, 169—175 (РЖМат, 1979, 1B578)
192. Schrijver A., Matroids and linking systems. J. Combin. Theory, 1979, B26,
№ 3, 349—369 (РЖМат, 1979, 12B459)
193. —, Matroids and linking systems. Math. Centre Tracts, 1978, № 88, VII,
125 pp., ill. (РЖМат, 1978, 11B614)
194. — f A short proof of Mine's conjecture. J. Combin. Theory, 1978, A25,
l№ 1, 80—83 (РЖМат, 1978, 12B870)
195. Seymour P. D.,. The matroids with the max-flow min-eut property. J.
Combin. Theory, 1977, B23, № 2-3, 189-222 (РЖМат, 1978, 7B708)
ЛЯ6. —, Matroid representation over GF13). J. Combin. Theory, 1979, B26,
№ 2, 159—173 (РЖМат, 1979, 12B455)
• 197. —, The forbidden minors of binary clutters, J, London Math, Soc, 1976,
12, № 3, 356-360 (РЖМат, 1976, 7B366)
198. Slnkhom R., Doubly stochastic matrices which have certain diagonals with
constant sums. Linear Algebra and Appl. 1977, 16, № 1, 79—82 (РЖМат,
1978, 9A372)
'199. —, .Concerning a conjecture of Marshall Hall. Proc. Amer. Math. Soc,
1969, 21, № a, 197--0O1 .(РЖМат, 1970; 2iB342)
200. —, Doubly stochastic matrices with dominant p-minors. Linear and
Multilinear Algebra, 1977, 5, .№ 2, 107—117 (РЖМат, 1978, 6A397)
201. —, Doubly stochastic matrices whose squares decrease the permanent. Li­
near and Multilinear Algebra, 1976, 4, № 2, 123—128 (РЖМат, 1977,
4A386)
' . •
202. —; Doubly stochastic matrices whose squares leave the permanent invari­
ant. Linear and Multilinear Algebra, 1973, /, № 2, 103—118 (РЖМат,
1974, 8B290)
203. Spencer /., Intersection theorems for systems of sets. Can. Math. Bull.,
1977, 20t№ 2, 249—254 (РЖМат, 1978, 3B4.13)
204. Stein С. М., Asymptotic evaluation of the number of latin rectangles. J
Combin- Theory, 1978, A25, № 1, 38—49 (РЖМат, 1978, 11B636)
205. Stein S. K-, •. Transversals of latin squares^ and their generalizations. Pacif. J. Math., 1975, 59, № 2, 567—575 (РЖМат, 1976, 7B387) .
92
206. Vamos P., The missing axiom of matroid theory is lost forever. J. Lon­
don Math. Soc, 1978, 18, № 3, 403—408 (РЖМат, 1979, 6B528)
207. Vatistone S. A., The asymptotic behaviour of equidistant permutation ar­
rays. Can. J. Math., 1979, 31, № 1, 45—48 (РЖМат, 1979, 9B593)
208. —, Schellenberg P. J., A construction for equidistant permutation arrays
of index one. J. Combin. Theory, 1977, A23, № 2, 180—186 (РЖМат, 1978,
1B483)
209. Voorhoeve M., A lower bound for the permanents of certain (0,1)-matri­
ces. Proc. Kon. ned. akad. wetensch., 1979, A82, ,№ 1, 83—86 (РЖМат,
1979, 9B558)
210. Wang Da-Ltin, Wang Ping, Some results about the Chvatal conjecture.
Discrete Math., 1978, 24, № 1, 95—101 (РЖМат, 1979, 2B439)
211. Wang Edward Tsu-hsia, On permanents of (—1,1)-matrices. Isr. J.
Math., 1974, 18, № 4, 353—361 (РЖМат, 1975, 11B343)
:212. —, On a conjecture of M. Marcus and H. Mine. Linear and Multilinear
Algebra, 1977, 5, № 2, 145—148 (РЖМат, 1978, 6A391)
:213. —•, Permanental pairs of doubly stochastic matrices. Amer. Math. Mon.,
1978, 85, № 3, 188—190 (РЖМат, 1979, 2A270)
'214. —, A new class of finite cyclic permanent groups. J. Combin. Theory,
1974, All, № 2, 261—264 (РЖМат, 1975, 2B467)
215. Watkins W., Merris R., Convexes sets of doubly stochastic matrices. J,
Combin. Theory, 1974, A16, № 1, 129—130 (РЖМат, 1974, 6A473)
216. Wells A. L., Jr., On the completion of partial latin squares. J- Combin.
Theory, 1977,. A22, № 3, 313-321 (РЖМат, 1977, 11B551)
217. Welsh D. J. A., Matroid theory. London, Acad. Press, 1976. XI, 433 pp.
(РЖМат, 1978, 2B415K)
218. Wilde P. J., The Euler circuit theorem for binary matroids. J. Combin.
Theory, 1975, В18,,№ 3, 260—264 (РЖМат, 1976, 1B664)
219. —•, Matroids with given restrictions and contractions. J. Combin. Theory,
1977, B22, № 2, 122—130 (РЖМат, 1977, 8B416)
,220. Woolbright D. E., An nXn latin square has a transversal with at least
n — 1n~ distinct symbols, J. Combin. Theory, 1978, A24, № 2, 235—237
(РЖМат, 1978, 9B560)