МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(национальный исследовательский университет)» (МАИ)
Факультет №7 «Робототехнические и интеллектуальные системы»
Кафедра 704
Курсовая работа
на тему «Оценивание параметров первого тона упругих колебаний»
по курсу «Основы статистической динамики
сложных технических систем»
Вариант №3.21(а)
Выполнил:
Студент группы М7О-308С-20
Румянцев П.С.
Дата сдачи:
Принял:
профессор кафедры 704
Красильщиков М.Н.
Проверил:
доцент кафедры 704
Акимов Е.В.
Москва, 2023
1
Оглавление
Задание на курсовую работу ...................................................................................................................... 3
Переход от схемы к системе линейных дифференциальных уравнений .............................................. 4
Расчёт формирующего фильтра ................................................................................................................. 6
Модель динамической системы. Истинная модель движения .............................................................. 7
Расширенный фильтр Калмана .................................................................................................................. 8
Модель движения ................................................................................................................................... 8
Модель измерений ................................................................................................................................. 9
Коррекция ..............................................................................................................................................10
Прогноз ...................................................................................................................................................10
Начальные условия ...............................................................................................................................10
Решение поставленной задачи с помощью алгоритма фильтра Калмана...........................................11
Соотношения расширенного фильтра Калмана и необходимые компоненты ...............................11
Проверка условий наблюдаемости .....................................................................................................13
Схема моделирования ..........................................................................................................................14
Результаты..................................................................................................................................................14
Вывод..........................................................................................................................................................18
Литература .................................................................................................................................................19
2
Задание на курсовую работу
Динамическая система задана своей структурной схемой, рисунок 1.
Рис. 1 Структурная схема динамической системы
Параметры системы имеют следующие известные значения:
𝐾𝑦 = 2,5;
𝑇𝑦 = 0,01 с;
𝐾𝜔 = 0,5;
𝐾ос = 150;
𝐾𝑘 = 40;
𝑇𝑑 = 0,07 с
𝜔𝑦 = 14;
𝜀 = 1,4.
и следующие неизвестные до начала исследований:
𝑎𝑦 = 0,15;
Система находится под воздействием стационарного случайного процесса
𝜂(𝑡) со следующим статистическими характеристиками:
𝑀𝜂 (𝑡) = 0; 𝐾𝜂 (𝜏) = 𝐷𝑒 −𝜆|𝜏| , где 𝐷 = 100; 𝜆 = 10.
Измеряются значения 𝐹 и 𝑞 с ошибками:
Δ𝐹 = 𝑁{0, 𝐷𝐹 }, √𝐷𝐹 = 0,02 и
3
Δ𝑞 = 𝑁{0, 𝐷𝑞 }, √𝐷𝑞 = 7 ∙ 10−5 ,
соответственно.
Требуется:
На основе статистической обработки результатов дискретных измерений
значений 𝐹, 𝑞, выполненных с частотой 10 Гц на основе использования
фильтра Калмана оценить параметр первого тона упругих колебаний 𝑎𝑦
Переход от схемы к системе линейных дифференциальных
уравнений
Перестроим исходную структурную схему к следующему виду:
По схеме составим систему дифференциальных уравнений:
4
𝐾𝑦
𝑋1
𝑑𝑋1 𝐾𝑦
1
=
(𝜂
)
=
+
𝑋
−
𝑋
−
𝑋
4
3
𝜂 + 𝑋4 − 𝑋3 𝑇𝑦 𝑝 + 1
𝑑𝑡
𝑇𝑦
𝑇𝑦 1
𝐹
𝐾𝜔
𝑑𝐹
=
= 𝐾𝜔 𝑋1
𝑋1
𝑝
𝑑𝑡
𝑋3
𝑋3 = 𝐾ос 𝐹
=>
= 𝐾ос
𝐹
𝑑2𝑞
𝑑𝑞
𝑎𝑦
𝑞
=
𝑎
𝐹
−
𝜀
− 𝜔𝑦2 𝑞
𝑦
2
=
𝑑𝑡
𝑑𝑝
𝐹 𝜔𝑦2 + 𝜀𝑝 + 𝑝2
𝑑𝑞
𝑋4
𝑋4 = 𝐾𝑘 𝑞 + 𝑇𝑑
𝑑𝑡
= 𝐾𝑘 (1 + 𝑇𝑑 𝑝)
{
{ 𝑞
Приведём систему к нормальному виду, введя замену 𝑞̇ = 𝜌
𝑑𝑋1 𝐾𝑦
1
(𝜂 + 𝐾𝑘 𝑞 + 𝑇𝑑 𝐾𝑘 𝜌 − 𝐾ос 𝐹) − 𝑋1
=
𝑑𝑡
𝑇𝑦
𝑇𝑦
𝑑𝐹
= 𝐾𝜔 𝑋1
𝑑𝑡
𝑑𝑞
=𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜌
= 𝑎𝑦 𝐹 − 𝜀𝜌 − 𝜔2 𝜌
{
𝑑𝑡
5
Расчёт формирующего фильтра
𝑀ξ (𝑡) = 0; 𝐾ξ (𝑡) = 𝐷𝑒 −𝜇|𝜏| , где 𝐷 = 100; 𝜆 = 10.
∞
1
∫ K ξ (τ)𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏
Sξ (ω) =
2π
−∞
∞
0
−∞
−∞
∞
1
50
50
∫ 100 ∗ 𝑒 −10|𝜏| 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏 =
∫ 𝑒 10𝜏−𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏 +
∫ 𝑒 −100𝜏−𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏
Sξ (ω) =
2π
𝜋
𝜋
0
0
∞
50
25 10 + 𝑗𝜔 + 10 − 𝑗𝜔
( ∫ 𝑒 (10−𝑗𝜔)𝜏 𝑑𝜏 + ∫ 𝑒 −(10+𝑗𝜔)𝜏 𝑑𝜏) =
(
)
=
𝜋
𝜋
100 + 𝜔 2
−∞
=
0
5000
𝜋(100 + 𝜔 2 )
|𝑊фф (𝑗𝜔)|2 =
𝑆вых (𝜔)
𝑆вх (𝜔)
𝑆вх (𝜔) = 𝑆𝑣 (𝜔) =
|𝑊фф (𝑗𝜔)|2 =
10000
10000 + 𝜔2
1
2𝜋
=
1
1 + 0,012 𝜔2
Подберём передаточную функцию формирующего фильтра:
𝑊(𝑝) =
|𝑊(𝑗𝜔)|2
𝐾фф
𝑇фф 𝑝 + 1
𝐾фф
𝐾фф
𝐾фф 2
=
∗
=
𝑇фф 𝑗𝜔 + 1 𝑇фф (−𝑗𝜔) + 1 𝑇фф 2 𝜔 2 + 1
𝐾фф = 2√5
𝑇фф = 0,1
6
Модель динамической системы. Истинная модель движения
По схеме составим систему дифференциальных уравнений:
𝐾фф
𝜂
𝑑𝜂 𝐾фф
1
=
=
𝜈−
𝜂
𝜈 𝑇фф 𝑝 + 1
𝑑𝑡 𝑇фф
𝑇фф
𝐾𝑦
𝑋1
𝑑𝑋1 𝐾𝑦
1
=
(𝜂 + 𝑋4 − 𝑋3 ) − 𝑋1
=
𝜂 + 𝑋4 − 𝑋3 𝑇𝑦 𝑝 + 1
𝑑𝑡
𝑇𝑦
𝑇𝑦
𝐹
𝐾𝜔
𝑑𝐹
=
= 𝐾𝜔 𝑋1
𝑋1
𝑝
=>
𝑑𝑡
𝑋3
𝑋3 = 𝐾ос 𝐹
= 𝐾ос
2
𝐹
𝑑 𝑞
𝑑𝑞
𝑎𝑦
𝑞
=
𝑎
𝐹
−
𝜀
− 𝜔𝑦2 𝑞
𝑦
2
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑝
𝐹 𝜔𝑦 + 𝜀𝑝 + 𝑝2
𝑑𝑞
𝑋4
𝑋4 = 𝐾𝑘 𝑞 + 𝑇𝑑
𝑑𝑡
= 𝐾𝑘 (1 + 𝑇𝑑 𝑝)
{
{ 𝑞
7
Перейдём к системе дифференциальных уравнений:
𝑑𝜂 𝐾фф
1
=
𝜈−
𝜂
𝑑𝑡 𝑇фф
𝑇фф
𝑑𝑋1 𝐾𝑦
1
(𝜂 + 𝐾𝑘 𝑞 + 𝑇𝑑 𝐾𝑘 𝜌 − 𝐾ос 𝐹) − 𝑋1
=
𝑑𝑡
𝑇𝑦
𝑇𝑦
𝑑𝐹
= 𝐾𝜔 𝑋1
𝑑𝑡
𝑑𝑞
=𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜌
= 𝑎𝑦 𝐹 − 𝜀𝜌 − 𝜔2 𝜌
{
𝑑𝑡
Расширенный фильтр Калмана
Обсудим использование алгоритма калмановской фильтрации в условиях,
когда модель движения является нелинейной, то есть:
𝑿 = 𝑭𝒊,𝒊+𝟏 (𝑿𝒊 , 𝑼𝒊 , 𝝃𝒊 ), 𝑿𝟎
{ 𝒊
𝒀 =𝑯𝑿 +𝜼
𝒊
𝒊
𝒊
𝒊
Модель движения
Как известно, расширенный фильтр Калмана предназначен для оценивания
вектора состояния 𝑿 нелинейной динамической системы. Очевидно,
непосредственное использование фильтра Калмана в указанных условиях
невозможно. Однако, линеаризуя модель в окрестности оценки, получаемой
из соотношений ФК, мы получим линейные модели в отклонениях от
полученной оценки, к которым калмановские соотношения будут
применимы. Таким образом, формально имеем:
8
Где:
Тогда линеаризованная модель движения системы может быть переписана
следующим образом:
∆𝑿𝒊+𝟏 = 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 ∆𝑿𝒊 + 𝑽𝒊+𝟏,𝒊 ∆𝑼𝒊 + 𝚿𝒊+𝟏,𝒊 𝛏𝒊
Где:
𝚽𝒊+𝟏,𝒊 – матрица Коши (фундаментальная матрица), определяющая изменение
вектора состояния системы в ее собственном движении (без управляющих и
шумовых воздействий) от момента времени 𝑡𝑖 к моменту времени 𝑡𝑖+1 ;
𝑽𝒊+𝟏,𝒊 – матрица влияния вынуждающих воздействий в момент времени 𝑡𝑖 на
вектор состояния системы в момент времени 𝑡𝑖+1 ;
𝚿𝒊+𝟏,𝒊 – матрица влияния случайных воздействий в момент времени 𝑡𝑖 на
вектор состояния системы в момент времени 𝑡𝑖+1 ;
𝑼𝒊 – вектор вынуждающих неслучайных воздействий на систему (например,
управляющих воздействий);
𝛏𝒊 – вектор случайных независимых центрированных воздействий на систему.
Модель измерений
Оценивание выполняется на основе статистической обработки результатов
измерений 𝒀 , линейно связанных с вектором состояния 𝑿 , и искаженных
аддитивной несмещенной ошибкой 𝜼:
𝒀𝑖 = 𝑯𝑖 𝑿𝑖 + 𝜼𝑖
где 𝑯𝑖 – матрица, определяющая линейную связь векторов состояния и
измерений в один и тот же момент времени 𝑡𝑖 .
9
Коррекция
Основу фильтра Калмана составляют соотношения коррекции, являющиеся
результатом минимизации следа ковариационной матрицы апостериорной
плотности распределения линейной (по вектору измерений 𝒀𝑖 ) оценки вектора
состояния системы 𝑿∗𝑖 :
̂ 𝑖 + 𝑷∗𝑖 𝑯𝑇𝑖 𝑫−1
̂
∆𝑿∗𝑖 = ∆𝑿
𝜂𝑖 (∆𝒀𝑖 − 𝑯𝑖 ∆𝑿𝑖 )
{
−1
𝑇 −1
̂ −1
𝑷∗𝑖 = (𝑷
𝑖 + 𝑯𝑖 𝑫𝜂𝑖 𝑯𝑖 )
где 𝑫𝜂𝑖 – ковариационная матрица вектора 𝜼𝑖
Прогноз
Для получения полного рекуррентного байесовского алгоритма оценивания
вектора состояния системы 𝑿 и его ковариационной матрицы 𝑷 на основе
статистической обработки результатов измерений 𝒀 следует дополнить
приведённые выше соотношения коррекции соотношениями прогноза,
основанными на линейных свойствах модели эволюции системы:
̂ 𝒊+𝟏 = 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 ∆𝑿∗𝒊 + 𝑽𝒊+𝟏,𝒊 ∆𝑼𝒊
∆𝑿
𝑻
̂ 𝒊+𝟏 = 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 𝑷∗𝒊 𝚽𝒊+𝟏,𝒊
𝑷
+ 𝚿𝒊 𝑫𝛏𝒊 𝚿𝒊 Т ∆𝒕
Начальные условия
В качестве начальных условий в задачах калмановской фильтрации
используются априорные оценки вектора состояния и ковариационной
матрицы:
̂ 𝟎 = 𝑴[𝑿(𝟎)],
𝑿
̂ 𝟎 = 𝑴[(𝑿(𝟎) − 𝑴[𝑿(𝟎)])(𝑿(𝟎) − 𝑴[𝑿(𝟎)])Т ].
𝑷
На практике вычисление указанных математических ожиданий может быть
̂ 𝟎 должен выбираться вектор,
затруднено, в такой ситуации в качестве 𝑿
наиболее близкий к истинному значению вектора состояния в начальный
момент времени. Что касается ковариационной матрицы, то с точки зрения
устойчивости работы алгоритма фильтра Калмана и с учётом гауссовского
10
̂ 𝟎 важно обеспечить условие |𝑿
̂ 𝟎𝒌 −
распределения априорной оценки 𝑿
̂ 𝟎𝒌,𝒌 для каждого k-го компонента вектора состояния.
𝑋0𝑘 | < 3√𝑷
Решение поставленной задачи с помощью алгоритма фильтра
Калмана
Соотношения расширенного фильтра Калмана и необходимые компоненты
∆𝑿∗𝑖
̂ 𝑖 + 𝑷∗𝑖 𝑯𝑇𝑖 𝑫−1
̂ 𝑖)
= ∆𝑿
𝜂 (∆𝒀𝑖 − 𝑯𝑖 ∆𝑿
𝑖
−1
𝑷𝑖
(̂
∆𝑿̂ 𝒊+𝟏
𝑷∗𝑖 =
{𝑷̂ 𝒊+𝟏
+ 𝑯𝑇𝑖 𝑫−1
𝜂 𝑯𝑖 )
−1
𝑖
= 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 ∆𝑿∗𝒊
= 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 𝑷∗𝒊 𝚽𝑻𝒊+𝟏,𝒊 + 𝚿𝒊 𝑫𝛏 𝚿𝒊 Т ∆𝒕
𝒊
Добавим к левой и правой частям уравнений для коррекции и прогноза
значение вектора состояния на опорной траектории в i-й момент времени,
тогда соотношения примут следующий вид:
̂ 𝑖 + 𝑷∗𝑖 𝑯𝑇𝑖 𝑫−1
̂ 𝑖)
𝑿∗𝑖 = 𝑿
𝜂 (𝒀𝑖 − 𝑯𝑖 𝑿
𝑖
𝑷∗𝑖
{𝑷̂ 𝒊+𝟏
=
−1
𝑷𝑖
(̂
̂ 𝒊+𝟏
𝑿
+
𝑯𝑇𝑖 𝑫−1
𝜂𝑖 𝑯𝑖
)
−1
= 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 𝑿∗𝒊
= 𝚽𝒊+𝟏,𝒊 𝑷∗𝒊 𝚽𝑻𝒊+𝟏,𝒊 + 𝚿𝒊 𝑫𝛏 𝚿𝒊 Т ∆𝒕
𝒊
11
𝑫𝛏𝒊 = 𝟏𝟎𝟎;
𝟎. 𝟎𝟐
𝝈=(
);
𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓
𝑫𝜼𝒊 = (𝟎. 𝟎𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
);
𝟒𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟎
Модель измерений:
𝑌𝑖 = 𝐻𝑖 𝑋𝑖 + 𝜂𝑖 , где
𝒙𝟏
𝑭
𝑿𝒊 = 𝒒
- вектор состояния для основного цикла ФК имеет следующий
𝝆
( 𝒂𝒚 )
вид:
𝑑𝑋1 𝐾𝑦
1
(𝜂 + 𝐾𝑘 𝑞 + 𝑇𝑑 𝐾𝑘 𝜌 − 𝐾ос 𝐹) − 𝑋1
=
𝑑𝑡
𝑇𝑦
𝑇𝑦
𝑑𝐹
= 𝐾𝜔 𝑋1
𝑑𝑡
𝑑𝑞
=𝜌
𝑑𝑡
𝑑𝜌
= 𝑎𝑦 𝐹 − 𝜀𝜌 − 𝜔2 𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑎𝑦
=0
{
𝑑𝑡
Намеренно исключаем из вектора состояния уравнение, содержащее
формирующий фильтр, чтобы сократить размерность 𝑋𝑖 . Так как нас не
интересует оценка на выходе из формирующего фильтра, будем относиться к
этому процессу, как к некому возмущению.
𝟎
𝑯𝒊 = (
𝟎
𝟏
𝑻𝒚
𝑲𝒘
𝑨=
𝟎
𝟎
( 𝟎
−
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
)
𝟎 𝟎
−𝑲ос ∗
𝑲𝒚
𝑻𝒚
𝟎
𝟎
𝑿𝟐 (𝟓)
𝟎
𝑲𝒌 ∗
𝑲𝒚
𝑻𝒚
𝟎
𝟎
𝟐
−(𝝎𝒚 )
𝟎
𝑻𝒅 ∗ 𝑲𝒌 ∗
𝟎
𝟏
−𝜺
𝟎
𝑲𝒚
𝑻𝒚
𝟎
𝟎
𝟎
𝑿𝟐 (𝟐)
𝟎 )
12
Матрица A зависит от элементов вектора состояния, поэтому постоянно
нуждается в пересчете на каждой итерации фильтра.
В качестве функции 𝑭𝒊,𝒊+𝟏 (𝑿𝒊 , 𝑼𝒊 ) в нашей задаче можно принять решение
методом Эйлера, так как была произведена линеаризация ДУ, тогда расчет
матрицы Φ𝑖+1,𝑖 примет следующий вид:
Φ𝑖+1,𝑖 = 𝑨 ∗ ∆𝒕 + 𝑬, где Е – единичная матрица.
𝑲𝒚
𝑻𝒚
𝚿𝒊 = 𝟎
𝟎
𝟎
(𝟎)
Начальные условия:
𝟎
𝟎
̂𝟎 = 𝟎
𝑿
𝟎
(𝟎)
𝟏
𝟎
̂
𝑷𝟎 = 𝟎
𝟎
(𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎 𝟎. 𝟎𝟏)
Проверка условий наблюдаемости
Для проверки наблюдаемости системы следует вычислить ранг матрицы
наблюдаемости:
13
𝑯
𝑯𝚽𝒊 ,𝒊+𝟏
с=rank 𝑯𝚽 𝟐 𝒊 ,𝒊+𝟏
:
𝐧−𝟏
(𝑯𝚽 𝒊 ,𝒊+𝟏 )
𝐻 – матрица коэффициентов линейной или линеаризованной модели
измерений, Φ𝑖 ,𝑖+1 – фундаментальная матрица динамической системы
(матрица Коши), характеризующая связь вектора состояния в момент
времени𝑡𝑖+1 с вектором состояния в момент времени 𝑡𝑖 , n –размерность
вектора состояния.
В нашем случае система оказалась полностью наблюдаема т.е.
используемая модель измерений, характеризуемая матрицей H, позволяет
уточнять оценки всех компонент вектора состояния.
Схема моделирования
1.
2.
3.
4.
Задаёмся начальными значениями априорной оценки вектора состояния
и ковариационной матрицы.
Формируем оценку вектора состояния и ковариационной матрицы.
Делаем прогноз на основе оценок, полученных в предыдущем пункте.
Повторяем шаги 2 и 3.
Результаты
Рисунок 1. Истинная эволюция компоненты 𝐹
14
Рисунок 2. Истинная и оценённая эволюция компоненты 𝐹
Рисунок 3. Невязка и «трубка» для компоненты 𝐹
15
Рисунок 4. Истинная эволюция компоненты
𝑞
Рисунок 5. Истинная и оценённая эволюция компоненты 𝑞
16
Рисунок 6. Невязка и «трубка» для компоненты 𝑞
Рисунок 7. Истинная и оценённая эволюция компоненты 𝑎𝑦
17
Рисунок 8. Невязка и «трубка» для компоненты 𝑎𝑦
Вывод
Ошибки измерений укладываются в доверительный интервал ±3𝜎, по
полученным графикам можно сделать вывод, что задача оценивания
выполнена успешно. «Истинная» и оцененная траектории вектора состояния
практически совпадают, из чего можно сделать вывод о успешно
проведенной линеаризации модели движения и, соответственно,
корректности работы фильтра Калмана.
18
Литература
1. А. А. Лебедев, В. Т. Бобронников, М. Н. Красильщиков, В. В. Малышев
– «Статистическая динамика и оптимизация управления летательных
аппаратов», 1985г.
2. Е. В. Акимов, С. Е. Кудряшов – «Основы статистической динамики
интегрированных информационных систем летательных аппаратов»,
2023г.
19