Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 1 Содержание ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 3 1. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ САР ........................................................................ 4 1.1. Объект управления. .................................................................................. 6 1.2. Задающее устройство ............................................................................... 6 1.3. Измерительное и сравнивающее устройства ......................................... 7 1.4. Усилительное устройство. ....................................................................... 7 1.5. Корректирующее устройство. ................................................................. 8 1.6. Исполнительное устройство. ................................................................... 8 2. СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ...................................................................... 12 3. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .............................. 16 4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ .......................................... 22 5. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОПЕРАЦИОННОЙ ФОРМЕ ............................................................................ 28 6. ВЗВЕШЕННЫЙ СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ И СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ... 35 6.1. Определение передаточных функций САУ по взвешенному сигнальному графу с помощью формулы Мейсона. .................................. 38 6.1.1. Определение главного оператора. ................................................. 38 6.1.2. Определение контурной передаточной функции. ........................ 44 6.2. Определение передаточных функций САУ с помощью правил преобразования структурных схем .............................................................. 48 6.2.1. Определение главного оператора. ................................................. 48 6.2.2. Определение контурной передаточной функции. ........................ 52 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ......................................... 56 Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 2 ВВЕДЕНИЕ В силу широкого распространения системы автоматического управления инженеру важно знать принцип их работы, что дает возможность в будущем улучшать параметры САР и их качество путем прогрессивных технологий полупроводниковых диодов и приборов, блоков управления, мощных коммутационных устройств, улучшения параметров датчиков. Как теория автоматического управления, так и теория управления входят в науку под общим названием “техническая кибернетика”, которая получила в наше время значительное развитие. Техническая кибернетика изучает общие закономерности сложных динамических систем управления технологическими процессами. Нормальный ход различных технологических и производственных процессов может быть обеспечен лишь тогда, когда те или иные величины, характеризующие эти процессы, удовлетворяют тем или иным условиям. Необходимость поддержания той или иной величины или изменения ее в соответствии с каким-либо законом возникает в самых разнообразных отраслях техники. Сами по себе объекты, в которых протекают те или иные рабочие процессы, часто не обеспечивают их нормального хода, то есть сами по себе объекты не могут устранить отклонения режима от заданного, вызываемого различными причинами. Поэтому такие объекты снабжаются управляющим или регулирующим органом, воздействием на который можно изменить режим их работы, а значит нужным образом управлять объектом. При автоматическом управлении, то есть при управлении без участия человека, воздействие на управляющий орган осуществляет специальное управляющее устройство. Если задача управления состоит в поддержании постоянства тех или иных величин, процесс управления называется регулированием, а управляющее устройство – регулятором. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 3 1. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ САР Схема рассматриваемой системы автоматического регулирования представлена на рис. 1. Данная система автоматического регулирования служит для измерения температуры некоторого объекта. Если быть точными, то она является не системой автоматического регулирования, а следящей системой, так как она производит измерение температуры, но не влияет на ее значение. Системы автоматического управления отличаются друг от друга объектами управления, физической природой управляемых и регулируемых величин, конструкциями элементов управляющих устройств. Но вне зависимости от этих различий можно выделить несколько типов элементов, каждый из которых характеризуется определенной функцией в составе системы: 1) объект управления или регулирования; 2) задающее устройство; 3) измерительное устройство; 4) сравнивающее устройство; 5) усилительное устройство; 6) корректирующее устройство; 7) исполнительное устройство. Элементы 2-7 образуют управляющее устройство или регулятор. Рассмотрим подробнее функциональные элементы системы автоматического измерителя температуры и происходящие в них процессы. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 4 Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 5 R1 R3 Uреак Rреак E ЕТ T R2 Uрасс 0 Ред. Uоп 100 MДВ U IВД Д IЯ Uоп UЭУ UВД Рис.1. Принципиальная схема автоматического измерителя температуры Объект R3 МУ ФЧВ UВЫП 1.1. Объект управления. Объект, в котором осуществляется управление (регулирование), называется объектом управления, а величины, характеризующие процесс, протекающий в объекте управления, называются управляемыми (регулируемыми) величинами. Объект управления вместе с присоединенным к нему управляющим устройством образуют систему автоматического управления (САУ) или автоматическую систему регулирования (АСР). САУ представляет собой систему с обратной связью, в которой отклонения регулируемой величины преобразуется управляющим устройством в воздействия на объект управления. Обратная связь существенно изменяет свойства САУ по сравнению со свойствами самих объектов. Ее наличие лежит в основе всякой автоматической системы. В нашем случае управляющее воздействие с редуктора подается на сопротивление R реак , являющееся объектом управления данной системы. Сигналом обратной связи, то есть управляемой величиной, является напряжение U реак , которое с выхода объекта управления подается на измерительное (и сравнивающее) устройство системы в виде моста. Этот сигнал характеризует реакцию объекта управления на значение управляющего воздействия. 1.2. Задающее устройство Назначение задающего устройства – установление необходимого значения управляемой величины. В данной САР роль задающего устройства играет термопара. На контактах, непосредственно соприкасающихся с объектом, чью температуру необходимо измерять, при некотором возмущении появляется термо – ЭДС. Этот сигнал является задающим воздействием. Термо ЭДС практически линейно зависит от температуры объекта. Вообще на температуру объекта оказывают влияние различные факторы: ЭДС, подключенная к мосту; напряжение на обмотке возбуждения двигателя; опор- Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 6 ное напряжение, приложенное к магнитному усилителю и фазочастотному выпрямителю. Все эти воздействия будут для исследуемого устройства возмущающими. 1.3. Измерительное и сравнивающее устройства Измерительное устройство предназначено для измерения действительного значения управляемой величины, а сравнивающее устройство – для сопоставления этого значения с заданным значением и выявления отклонения управляемой величины от этого заданного значения. В нашем случае это мост, который является одновременно и измерительным и сравнивающим устройством, на выходе которого мы получаем напряжение рассогласования U расс равное разности между задающим сигналом E T , поступающим с термопары, и напряжением собственно моста. Этот сигнал ошибки далее поступает на усилительное устройство. 1.4. Усилительное устройство. Назначением этого элемента схемы является усиление мощности сигнала рассогласования. Усилительное устройство управляет энергией, поступающей от постороннего устройства (в нашем случае это опорное напряжение). Амплитуда сигнала пропорциональна амплитуде . Усилительное устройство автоматического измерителя температуры состоит из магнитного и электронного усилителей. При поступлении сигнала ошибки, появляется напряжение на обмотке возбуждения магнитного усилителя (МУ). В МУ входной сигнал рассогласования преобразуется из постоянного в переменный сигнал U , частота которого пропорциональна частоте переменного опорного напряжения, приложенного к выходу магнитного усилителя. Данное преобразование необходимо, так как переменный Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 7 сигнал лучше усиливается. Полученный сигнал поступает на электронный усилитель, где он усиливается по мощности до величины U ЭУ . 1.5. Корректирующее устройство. Корректирующее устройство применяется для изменения свойств САУ в нужном направлении. В нашем случае роль корректирующего устройства играет фазочастотный выпрямитель (ФЧВ), преобразующий переменный сигнал U ЭУ , поступивший с выхода электронного усилителя, в постоянный сигнал U ВЫП . В ФВЧ фаза поступившего переменного сигнала сравнивается с фазой опорного напряжения U ОП , приложенного к выпрямителю. Если фаза сигнала больше фазы U ОП , то мы имеем отрицательный знак; если меньше – положительный. Выпрямленный сигнал является питанием для двигателя. 1.6. Исполнительное устройство. Предназначено для воздействия на объект управления системы. Исполнительное устройство рассматриваемой системы представляет собой двигатель с редуктором. При появлении напряжения на обмотке возбуждения, вал двигателя начинает вращаться. Угол поворота вала двигателя редуктор преобразует в перемещение S , которое является управляющим воздействием. Движок редуктора двигается до тех пор, пока система не уравновесится. Когда же система достигнет состояния равновесия, возмущающее воздействие будет равно нулю. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 8 Обобщая изложенное: - Управляемая величина: Rреак , [Ом] - Сигнал задания: E T , [ В ] - Сигнал обратной связи: U реак , [ В] - Сигнал рассогласования: U расс , [ В] - Управляющее воздействие: S , [ м] - Возмущающие воздействия: E , [ В] ; U ВД , [ В] ; U ОП , [ В] . Взаимосвязь элементов САУ отражает ее функциональная схема, на которой каждый прямоугольник изображает конкретное техническое устройство, а стрелки соответствуют конкретным физическим величинам, играющим роль сигналов, передающих информацию между элементами схемы. Функциональная схема автоматического измерителя температуры приведена на рис.2. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 9 Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 10 Задающее устройство Термопара ET Uрасс Усилительное устройство Uреак Корректирующее устройство Фазочастотный выпрямитель Магнитный усилитель, Электронный усилитель UЭУ UОП UОП Исполнительное устройство Uвып Двигатель, редуктор UВД Рис.2 Функциональная схема автоматического измерителя температуры Сравнивающее устройство, Измерительное устройство Мост Е S Объект управления Сопротивление Rреак Чтобы выяснить, является ли данная следящая система статической или астатической, необходимо установить, равен ли нулю сигнал ошибки в системе в установившемся режиме работы, когда сигнал задания постоянен и отсутствуют возмущения вследствие окончания переходных процессов. Если установившаяся ошибка равна нулю, то система астатическая, в противном случае – статическая. Проанализируем установившийся режим в автоматическом измерителе температуры. Предположим, что RРЕАК и RT (внутреннее сопротивление термопары) совпадают, т.е. в системе достигнуто состояние равновесия. Движок редуктора занимает какое-то определенное положение. Но, с другой стороны, движок находится в покое тогда, когда вал двигателя не вращается, то есть когда напряжение на выходе фазочастотного выпрямителя равно какому-то постоянному напряжению (в нашей системе роль этого напряжения играет источник ЭДС, подключенный к мосту E ). В свою очередь, это может быть только в том случае, когда напряжение рассогласования U РАСС на входе магнитного усилителя равно нулю. Таким образом, установившийся режим в системе характеризуется нулевой ошибкой и система является астатической. Этот факт подтверждается и тем, что автоматический измеритель температуры представляет собой следящую систему. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 11 2. СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Вид математической модели САР зависит прежде всего от того совместное изменение во времени каких переменных отражает данная модель и какова качественная структура взаимосвязи этих переменных. Структуру взаимосвязи переменных в системе отражает сигнальный граф САУ. Сигнальный граф является направленным графом и как таковой представляет собой совокупность некоторого множества элементов и некоторого множества упорядоченных пар этих элементов. В сигнальном графе роль множества вершин играет множество сигналов в САУ, совместное изменение которых во времени описывается данной математической моделью. Ребра сигнального графа, входящие в некоторую вершину, указывают совокупность значений или законов изменения во времени каких сигналов полностью определяют значения или закон изменения во времени данного сигнала, соответствующего данной вершине. Сигнальный граф полностью определяет структуру системы дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель САУ. Множество вершин сигнального графа задает множество переменных, совместное изменение которых описывается данной моделью. Из них вершины, имеющие хотя бы по одному входящему ребру, соответствуют переменным, функции изменения которых во времени являются решениями дифференциальных уравнений. Такие вершины будем называть внутренними вершинами сигнального графа. Число внутренних вершин равно общему числу уравнений в системе. Вершины, имеющие только исходящие ребра и не имеющие входящих ребер, соответствуют переменным, через которые передается влияние внешней среды на поведение системы, то есть задающему и возмущающим воздействиям. Такие вершины сигнального графа – внешние вершины. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 12 Итак, прежде чем привести сигнальный граф САР составим список его внешних и внутренних вершин. Внешние вершины графа: - температура объекта T [K]; - опорное напряжение, приложенное к выходу магнитного усилителя и к фазочастотному выпрямителю U ОП [B]; - напряжение на обмотке возбуждения двигателя U ВД [B]; - момент сопротивления скорости вращения двигателя M C [Нм]. Внутренние вершины графа: - термо-ЭДС термопары E T [B]; - сигнал рассогласования - напряжение на входе магнитного усилителя U расс [B]; - ток рассогласования I расс [A]; - магнитный поток, создаваемый током рассогласования в обмотке управления МУ Фрасс [Вб]; - ток управления, создаваемый опорным напряжением IУ [A]; - поток, создаваемый током управления ФУ [Вб]; - поток, пронизывающий обмотки МУ ФМУ [Вб]; - переменное напряжение на входе электронного усилителя U [B]; - напряжение на входе фазочастотного выпрямителя U ЭУ [B]; - выпрямленное постоянное напряжение на выходе ФЧВ U ВЫП [B]; - ток якоря двигателя I Я [A]; - вращающий момент двигателя M ДВ [Нм]; - ток обмотки возбуждения двигателя I ВД [A]; - магнитный поток обмотки возбуждения двигателя ФВД [Вб]; - противо-ЭДС якоря Е Я [B]; Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 13 - скорость вращения вала двигателя [рад/c]; - угол поворота стрелки прибора ; - перемещение движка редуктора S [м]; - реактивное сопротивление R реак [Ом]; - напряжение, приложенное к реактивному сопротивлению U реак [B]. Сигнальный граф САР автоматического измерителя температуры изображен на рис.3. Как видно из рисунка, число внутренних вершин сигнального графа значительно превосходит число функциональных элементов САУ. Это объясняется тем, что кроме сигналов на выходах функциональных элементов, роль внутренних вершин играет также ряд сигналов, действующих внутри функциональных элементов. Эти промежуточные сигналы необходимы для того, чтобы сигнальный граф отражал механизмы зависимости физических величин различной природы внутри функциональных элементов системы. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 14 U ОП 5 IУ 6 ФУ T 1 ET 2 U РАСС 3 4 7 ФРАСС I РАСС Ф МУ 8 9 10 U ЭУ U U ВЫП U ВД I ВД15 16 Е ДВ 11 IЯ 14 ФВД 12 M ДВ 13 17 18 S 19 RРЕАК 20 U РЕАК MC Рис. 3. Сигнальный граф САР автоматического измерителя температуры Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 15 3. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Исследование САР или ее элементов связано с изучением процессов, протекающих как в самой системе, так и в ее элементах. Характер и направление протекания процессов соответствуют тем или иным физическим законам, математическая формулировка которых и определяет уравнение, которое может быть положено в основу анализа. Под структурой системы дифференциальных уравнений будем понимать, во-первых, множество функций времени, задаваемых извне, вовторых, множество искомых функций времени (искомых сигналов), относительно которых составляется система дифференциальных уравнений, и, в-третьих, список дифференциальных уравнений с указанием для каждого уравнения, какие функции времени (сигналы) являются для него заданными, а какая функция – искомой. Множество сигналов, задаваемых извне, полностью определяется множеством внешних вершин сигнального графа, а множество искомых сигналов – множеством внутренних вершин. Каждой внутренней вершине соответствует одно уравнение. Причем сигнал, соответствующий этой вершине, является для данного уравнения искомым. Уравнение, соответствующее некоторой вершине сигнального графа, должно определять значение или закон изменения физической величины, символически обозначаемой этой вершиной. При составлении каждого уравнения необходимо отдавать себе отчет, насколько это уравнение идеализирует реальную связь данных переменных. Начнем составление дифференциальных уравнений по данному сигнальному графу на рис.3. Общее число уравнений равно двадцати. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 16 1. Термо-ЭДС согласно законам физики: ET K1T , B где K1 - удельная термоэлектродвижущая сила термопары. K 2. Второе дифференциальное уравнение можно записать как ( ET U РЕАК ) - разность напряжения задания E T и напряжения обратной связи U РЕАК , и умножить на коэффициент. Тогда получим дифференциаль- ное уравнение входного напряжения на магнитном усилителе: U РАСС K2 ET U РЕАК , K2 1 ; 3. Ток в обмотке управления МУ определяется величиной напряжения рассогласования на входе усилителя. В силу того, что обмотка обладает значительной индуктивностью, эта связь имеет инерционный характер и описывается дифференциальным уравнением K3 dI РАСС K4 I РАСС U РАСС , dt где K3 Гн - индуктивность обмотки управления; K4 Ом - ее активное сопротивление. 4. Магнитный поток обмотки управления МУ зависит только от мгновенного значения тока управления I РАСС . Эта связь трудно выражается аналитически. Поэтому представим ее кривой намагничивания : ФРАСС ФРАСС f I РАСС 0 I РАСС ФРАСС f I РАСС ; Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 17 5. Ток в обмотке управления МУ определяется величиной опорного напряжения, приложенного к выходу МУ. В силу того, что обмотка обладает значительной индуктивностью, эта связь имеет инерционный характер и описывается дифференциальным уравнением: K5 dIУ K6 IУ U ОП , dt где K5 Гн - индуктивность обмотки управления; K6 Ом - ее активное сопротивление. 6. Магнитный поток обмотки управления МУ зависит только от мгновенного значения тока управления. Эта связь трудно выражается аналитически. Поэтому представим ее кривой намагничивания : ФУ ФУ f IУ 0 IУ ФУ f IУ ; 7. Общий магнитный поток, создаваемый на обмотках МУ: ФМУ K7 ФРАСС ФУ , K7 1 ; 8. Напряжение на входе электронного усилителя: U K8 dФМУ , K8 1 ; dt 9. Напряжение U ЭУ на выходе электронного усилителя пропорционально напряжению U на его входе (коэффициент пропорциональности равен коэффициенту усиления). Инерционность усилителя учитывать Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 18 не будем, так как по сравнению с инерционностью других элементов системы она достаточно невелика. В итоге мы получили дифференциальное уравнение сигнала на выходе электронного усилителя: U ЭУ K 9U , K9 1 ; 10. Преобразованное (выпрямленное) напряжение на выходе ФЧВ: U ВЫП K10U ЭУ , K10 1 ; 11. Ток I Я , протекающий по обмотке якоря двигателя, определяется разностью напряжений на щетках якоря U ВЫП и противо-ЭДС E ДВ , вырабатываемой вращающимся якорем. Эта связь является инерционной в силу того, что якорь имеет значительную индуктивность и описывается дифференциальным уравнением: K11 dI Я K12 I Я U ВЫП E ДВ , dt где K11 Гн - индуктивность обмотки якоря; K12 Ом - ее активное сопротивление. 12. Вращающий момент на валу двигателя M ДВ определяется мгновенными значениями тока I Я , протекающего по виткам якорной обмотки, и магнитного потока возбуждения ФВД , пересекающего витки якоря: M ДВ K13Ф ДВ I Я , Нм где K 13 - моментная постоянная якоря двигателя. Вб А 13. Угловое ускорение вала двигателя есть производная от угловой скорости его вращения . В свою очередь, угловое ускорение вала пропорционально действующему на него вращающему моменту. В уравнении учитываем, также, момент сопротивления М С : K 14 d M ДВ М С , K14 кг м2 ; dt Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 19 14. Поток на обмотках возбуждения двигателя: ФВД ФВД f I ВД 0 I ВД ФВД f I ВД ; 15. Уравнение связи тока возбуждения двигателя I ВД с напряжением возбуждения U ВД аналогично уравнению 3. для тока управления МУ: K15 dI ВД dt K16 I ВД U ВД , где K 15 Гн - индуктивность обмотки возбуждения двигателя; K 16 Ом - ее активное сопротивление. 16. Якорь двигателя, вращающийся со скоростью в магнитном потоке возбуждения ФВД , фактически представляет собой генератор, вырабатывающий противо-ЭДС: E ДВ K17 Ф ДВ , В с где K 17 - электрическая постоянная якоря двигателя. Вб рад 17. Производная угла поворота прибора пропорциональна скорости вращения вала двигателя: d K 18 , K18 1 ; dt Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 20 18. Перемещение движка редуктора пропорционально углу поворота прибора : м S K19 , K19 ; рад 19. Реактивное сопротивление зависит от перемещения: Ом ; RРЕАК K 20 S , K20 м 20. Сигнал обратной связи, зависящий от объекта управления: В . U РЕАК K 21RРЕАК , K21 Ом Таким образом, мы записали все уравнения, представляющие собой исходную систему уравнений автоматического измерителя температуры. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 21 4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Дифференциальные уравнения могут быть как линейными, так и нелинейными. Нелинейные дифференциальные уравнения вносят значительные затруднения в решение задач, особенно если они имеют высокий порядок. Поэтому очень часто стараются заменить в первом приближении нелинейное дифференциальное уравнение линейным, анализ которого выполняется значительно проще. Методика выполнения такой замены называется линеаризацией. Линеаризация системы дифференциальных уравнений САУ основана на двух предположениях. Во-первых, предполагается, что при номинальной работе системы отклонения внешних воздействий от их постоянных номинальных значений малы, а следовательно, малы и отклонения всех переменных в системе. Здесь необходимо отметить, что это предположение выполняется далеко не всегда. Например, если CAP скорости двигателя предназначена для использования в системе управления приводом прокатного стана, то она должна обеспечивать плавное изменение скорости вращения двигателя в широких пределах, и указать определенный номинальный режим работы системы невозможно. Во-вторых, линеаризация некоторого дифференциального уравнения предполагает, что все функции от переменных, входящие в данное уравнение, не имеют разрывов и являются гладкими при номинальных значениях аргументов. Другими словами, предполагается, что для каждой функции существуют первые производные по всем аргументам в точке, соответствующей номинальному режиму. Дифференциальные уравнения и функции, соответствующие этому условию, называются линеаризуемыми уравнениями и функциями. В противном случае, если хотя бы одна из функций, входящих в уравнения, имеет разрыв в точке номинального режима либо не является гладкой в этой точке, то такое уравнение, а также сама функ- Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 22 ция называется существенно нелинейными. Линеаризация существенно нелинейных уравнений и фикций невозможна. Номинальному значению управляемой величины соответствуют некоторые номинальные значения всех внешних воздействий на систему: сигнала задания и возмущающих воздействий. Если после установления прошло достаточно много времени и все переходные процессы в системе закончились, то в системе установился номинальный режим. Номинальному режиму соответствуют некоторые номинальные значения всех внутренних переменных. Номинальные значения переменных будем обозначать заглавными буквами с верхним нулевым индексом: X (t ) X 0 const . Обычно при построении математической модели САУ вместо абсолютных значений переменных используют их отклонения от номинальных значений. Отклонения переменных будем обозначать соответствующими прописными буквами: x(t ) X 0 (t ) X 0 , u(t ) u(t ) U 0 (как и в исходной системе уравнений, аргумент t переменных величин писать не будем). Очевидно, что в номинальном режиме отклонения всех переменных в системе, а также производные отклонений по времени равны нулю. Линеаризация дифференциального уравнения сводится к линеаризации входящих в него нелинейных функций. Запишем в отклонениях систему дифференциальных уравнений автоматического измерителя температуры, проводя попутно линеаризацию нелинейных уравнений. 1. Это уравнение является линейным. Следовательно переход к отклонениям сводится к замене обозначений полных переменных на обозначения их отклонений: eT K1't , где K1' K1 ; 2. uРасс K2' eT uРеак , где K2' K2 ; Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 23 3. K3' di Расс K4' i Расс u Расс , где K3' K3 , K4' K4 ; dt 4. Зависимость магнитного потока рассогласования от величины тока рассогласования задана графически. Отметив на графике точку номинального режима и проведя касательную к графику в этой точке, получим линеаризованную зависимость магнитного потока от тока в отклонениях. ФРАСС РАСС arctgK5' 0 ФРАСС 0 i РАСС 0 I РАСС I РАСС Вб Тангенс угла наклона к оси i РАСС обозначим K5' . Линеаризо А ванная зависимость примет вид Расс K5' i Расс ; 5. K6' diУ K7' iУ uОп , где K6' K5 , K7' K6 ; dt 6. Аналогично уравнению 4: ФУ У arctgK8' ФУ0 0 iУ IУ0 IУ Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 24 Вб У K8'iУ , K'8 ; А 7. МУ K9' Расс У , где K9' K7 ; 8. u K10' d МУ , где K10' K8 ; dt 9. uЭУ K11'u , где K11' K9 ; 10. uВып K12' uЭУ , где K12' K10 ; 11. K13' di Я K14' i Я uВып - e Дв , где K13' K11 , K14' K12 ; dt 12. Так как вращающий момент на валу двигателя M ДВ является функцией двух переменных ( тока I Я , протекающего по виткам якорной обмотки, и магнитного потока возбуждения ФВД , пересекающего витки якоря), то для линеаризации этой функции необходимо найти ее частные производные при номинальных значениях аргументов: M ВД M ВД 0 K 13 I Я0 , . K13ФВД ФВД IЯ При проведении линеаризации конкретной функции необходимо внимательно относиться к номинальным значениям переменных, отмечая те из них, которые равны нулю в установившемся режиме работы данной САУ. Так как рассматриваемая система является астатической, в ней появляются нулевые номинальные значения переменных. В данном случае номинальное значение тока якоря I Я0 равно нулю в установившемся режиме, следовательно обратиться в ноль соответствующая частная производная вращающего момента: M ВД K13 I Я0 0 , ФВД 0 Поскольку номинальное значение переменной ФВД является константой, то его комбинации можно рассматривать как постоянный коэффициент: M ВД Н м 0 . K13ФВД K15' IЯ А Окончательно в результате линеаризации исходная функция приобретает вид: mДв K15' i Я . Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 25 После линеаризации mДв не зависит от ВД . 13. K16' d mДв mС , где K16' K14 ; dt 14. Аналогично уравнениям 4 и 6: ФВД ВД arctgK17' 0 ФВД i ВД 0 I ВД 0 I ВД Вб Вд K17'iВд , K'17 . А 15. K18' diВд K19' i Вд uВд , где K18' K15 , K19' K16 ; dt 16. Противо-ЭДС якоря двигателя является функцией двух переменных (скорости вращения двигателя , и магнитного потока возбуждения ФВД , пересекающего витки якоря), то для линеаризации этой функции необходимо найти ее частные производные при номинальных значениях аргументов (аналогично уравнению 12): E ДВ E ДВ В с 0 K17 0 0 , K17ФДВ = K20' . ФДВ рад Окончательно в результате линеаризации функция приобретает вид: eДв K20' . После линеаризации e Дв не зависит от ВД . 17. d ' K 21 , где K21' = K18 ; dt 18. s K 22' , где K22' = K19 ; 19. rРеак K23's , где K23' = K20 ; 20. uРеак K24' rРеак , где K24' = K21 . Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 26 Итак, в данном разделе были линеаризованы исходные уравнения, описывающие автоматический измеритель температуры, и записаны в отклонениях от номинальных значений переменных. Это является необходимым этапом для анализа САР. Понятие линейности играет исключительно важную роль не только в теории автоматического управления, но и во всех областях науки, в которых используются математические методы исследования реальных процессов и явлений. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 27 5. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОПЕРАЦИОННОЙ ФОРМЕ Математическая модель САУ в виде системы линейных дифференциальных уравнений позволяет определить, как будет изменяться во времени любая переменная x (t ) в данной САУ соответствующая какой-нибудь внутренней вершине сигнального графа, если задан закон изменения во времени одного из внешних сигналов y (t ) - управляющего и возмущающего воздействия. В этом случае искомая переменная рассматривается как выход модели, а соответствующее внешнее воздействие - как ее вход. Для определения закона изменения во времени данной выходной величины необходимо исключить из системы уравнений все остальные переменные, являющиеся в данном случае промежуточными, и получить одно дифференциальное уравнение, связывающее рассматриваемую выходную переменную, играющую роль неизвестной функции времени в левой части уравнения, с входной переменной, представленной заданной функцией времени в правой части уравнения. Решив это уравнение при начальных условиях, соответствующих заданным значениям выходной переменной начальный момент времени t 0 , получим функцию, отражающую изменение выходной переменной во времени. Однако операции исключения промежуточных переменных из системы дифференциальных уравнений очень трудоемки и громоздки. Поэтому возникает потребность упростить эти операции. С этой целью в линейных математических моделях САУ обычно используют операторную фортку записи линейных дифференциальных уравнений, представляя уравнение каждой связи сигнального графа в виде так называемой, передаточной функции. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 28 Замена дифференциальных уравнений передаточными функциями позволяет представить систем линейных дифференциальных уравнений САУ в виде взвешенного сигнального графа либо в виде структурной схемы. Эти две равносильные формы представления линейной математической модели САУ, которые мы рассмотрим подробно в следующем разделе, во-первых, отличаются от обычной - системы линейных дифференциальных уравнений наглядностью, и во-вторых, позволяют заменить трудоемкую процедуру исключения промежуточных переменных простыми правилами преобразования сигнального графа либо структурной схемы. Для перехода от дифференциального уравнения к соответствующей ему передаточной функции необходимо, прежде всего записать уравнение в операторной форме. Для этого оператор дифференцирования d заменяdt ется символом p , с которым в дальнейшем можно поступать как с сомножителем. Оператор дифференцирования j-го порядка соответствует j-й степени символа дифференцирования p j . В операторной форме записи дифференциальное уравнение примет вид: a n p n xt ...a 1 pxt a 0 xt b m p m yt ...b1 pyt b 0 yt . Вынеся переменные x (t ) и y (t ) за скобки в левой и правой частях, получим операторную форму дифференциального уравнения: a np n ...a 1 p a 0 xt b m p m ...b1 p b 0 yt . По своей форме это уравнение является алгебраическим, а не дифференциальным. Разрешим его относительно искомой переменной x (t ) , разделив обе части ни сомножитель a xt np b a n ... a 1 p a 0 : yt . mp m . .. b 1 p b 0 np n ... a 1 p a 0 Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 29 Мы получили очень наглядную запись линейного дифференциального уравнения. Искомая переменная x (t ) представлена как результат умножения независимой переменной y (t ) на символический коэффициент b Wp a . mp m ... b 1 p b 0 np n ... a 1 p a 0 Этот коэффициент W p называется передаточной функцией данного дифференциального уравнения. Передаточная функция условно и в то же время наглядно отражает структуру и численные значения коэффициентов дифференциального уравнения, связывающего две переменные - независимую (входную) y (t ) и искомую (выходную) x (t ) : x(t ) W p y(t ) . Таким образом, передаточная функция - его один из удобных способов записи линейного дифференциального уравнения. Однако передаточная функция имеет и другой, более глубокий математический смысл. Для единственного ребра, входящего в вершину x сигнального графа и исходящего из вершины y , передаточную функцию W p будем рассматривать как вес данного ребре или, что то же самое, данной связи: y W p x Если зависимость переменной x (t ) от переменной y (t ) выражается не дифференциальным уравнением, а обычной линейной функцией xt Кyt , то передаточная функция совпадает c коэффициентом К, называемым коэффициентом передачи: W p K . Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 30 Коэффициент передачи K играет роль веса направленного ребра (связи), ведущего от вершины y к вершине x сигнального графа, если в вершину x не входят другие ребра: K y x Если коэффициент K отрицателен, то ребро будет иметь отрицательный вес. Запишем в операторной форме систему линеаризованных дифференциальных уравнений автоматического измерителя температуры. Коэффициенты, возникающие при переходе к операторной форме записи, будем нумеровать по порядку K1 , K2 ,... , не связывая с этими обозначениями тот смысл, который был вложен в эти коэффициенты ранее при составлении исходной системы уравнений. Постоянные времени также будем нумеровать по порядку их возникновения T1 , T2 ,... . 1. Уравнение не является дифференциальным, поэтому его вид не изменится: eT K1t , W1 p K1 K1' ; 2. Уравнение так же не является дифференциальным, поэтому его вид не изменится: uРасс K2 eT uРеак , W2 p K2 K2' ; eT K2 u Расс eT K2 u Расс K2 u Реак u Реак Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 31 3. Разделим обе части уравнения на K4' и введем обозначения: 1 1 K3' с . K3 ' ,T K4 Ом 1 K4' Заменим оператор дифференцирования d сомножителем p и внесем dt за скобки переменную i Расс : T p 1i 1 Расс K3uРасс . Разделив полученное уравнение относительно i Расс , получим запись дифференциального уравнения в операторной форме (в виде передаточной функции): i Расс K3 K3 u Расс , W3 p . T1 p 1 T1 p 1 4. Расс K4i Расс , W4 p K4 , где K4 K5' . 5. Аналогично уравнению 3: iУ где K5 K5 K5 uОп , W5 p , T2 p 1 T2 p 1 1 1 K6' с . , T K7' Ом 2 K7' 6. Аналогично уравнению 4: У K6iУ , W6 p K6 , где K6 K8' . Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 32 7. Уравнение не является дифференциальным, поэтому его вид не изменится: МУ K7 Расс У , W7 p K7 , где K7 K9' ; У У K7 Расс K7 Расс МУ K7 МУ 8. u K8 p МУ , W8 p K 8 p , где K 8 K 10' ; 9. uЭУ K9 u , W9 p K9 , где K9 K11' ; 10. uВып K10uЭУ , W10 p K10 , где K10 K12' ; 11. i Я K11 K11 uВып e Дв , W11 p , T3 p 1 T3 p 1 1 1 K13' где K11 ' , T3 ' с ; K14 Ом K14 е Дв е Дв 1 uВып 1 uВып е Дв K11 T3 p 1 iЯ uВып K11 T3 p 1 iЯ 12. mДв K12i Я , W12 p K12 , где K12 K15' ; Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 33 mДв K13 K 1 1 ; mДв mC , W13 p 13 , где K13 ' K16 кг м 2 p p 13. 1 mДв mC K13 p K13 p mДв 1 mC mC Вб ; А 14. Вд K14iВд , W14 p K14 15. iВд K15 K15 uВд , W15 p , T4 p 1 T4 p 1 1 1 K18' где K15 ' , T4 ' с ; K19 Ом K19 16. eДв K16 , W16 p K16 , где K16 K20' ; 17. K K17 , W17 p 17 , где K17 K21' ; p p 18. s K18 , W18 p K18 , где K18 K22' ; 19. rРеак K19 s , W19 p K19 , где K19 K23' ; 20. uРеак K20rРеак , W20 p K20 , где K20 K24' . Такой способ количественного описания связей переменных путем приписывания ребрам сигнального графа весов в виде соответствующих передаточных функций приведет нас в следующем разделе к взвешенному сигнальному графу САУ. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 34 6. ВЗВЕШЕННЫЙ СИГНАЛЬНЫЙ ГРАФ И СТРУКТУРНАЯ СХЕМА Взвешенный сигнальный граф и структурная схема являются эквивалентными формами наглядного графического представления системы линейных дифференциальных уравнений САУ. Как взвешенный сигнальный граф, так и структурная схема используют запись дифференциальных уравнений связей в виде передаточных функций. Взвешенный сигнальный граф по своей структуре почти полностью совпадает с исходным сигнальным графом (рис. 3), а каждому ребру приписан вес, имеющий вид некоторой передаточной функции. Взвешенный сигнальный граф автоматического измерителя температуры приведен на рис. 4. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 35 uОп K5 T2 p 1 iУ K6 У t K1 eT K2 K3 T1 p 1 u Расс K7 i Расс K4 Расс K7 МУ u K9 uЭУ K10 uВып K16 e Дв 1 K8 p 1 uВып e Дв K11 T3 p 1 iЯ K12 mДв 1 mДв mC K13 p K17 p K18 s K19 rРеак 1 K2 mC u Реак K20 Рис. 4. Взвешенный граф автоматического измерителя температуры. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 36 Фундаментальное отличие взвешенного сигнального графа от исходного состоит в том, что внутренняя вершина с несколькими входящими ребрами интерпретируется как линейная зависимость переменной х от y1 ,..., y Д Д x(t ) Ki yi (t ) i 1 в то время как в исходном графе такая вершина соответствовала зависимости x (t ) от y1 (t ),..., y Д (t ) произвольного вида. Вершины взвешенного сигнального графа соответствуют отклонениям соответствующих переменных от их номинальных значений. Поэтому они обозначаются маленькими буквами. Порядок построения структурной схемы линейной математической модели аналогичен порядку построения исходного сигнального графа. Сначала слева направо располагают основную цепочку связей переменных от сигнала задания к управляемой величине. Затем внизу справа налево строят цепочку главной обратной связи. После этого в произвольном порядке достраивают остальные связи математической модели. Структурная схема автоматического измерителя температуры приведена на рис. 5. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 37 6.1. Определение передаточных функций САУ по взвешенному сигнальному графу с помощью формулы Мейсона. 6.1.1. Определение главного оператора. Роль входа в данном случае играет температура задания t (задающее воздействие), а роль выхода – реактивное сопротивление rРеак (регулируемая величина). Всякая сквозная передаточная функция от некоторого входа системы к некоторому ее выходу ищется при равенстве нулю всех других входных сигналов, точнее при равенстве нулю их отклонений от номинальных значений. В данном случае следует принять равным нулю значения всех возмущающих воздействий, для чего необходимо удалить из Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 38 взвешенного сигнального графа все внешние вершины, кроме входной вершины t , а также ребра, исходящие из этих вершин. Получается взвешенный сигнальный граф, изображенный на рис. 6. Формула Мейсона, позволяющая вычислить передаточную функцию от любой внешней вершины взвешенного сигнального графа к любой внутренней вершине, имеет вид k W i Wy , x i 1 i , где - определитель сигнального графа; - число прямых путей из вершины y в вершину x ; k W i - передаточная функция i-го прямого пути; i - минор i-го прямого пути. Рассмотрим по порядку вычисление всех элементов, входящих в формулу Мейсона. Прежде всего, найдем определитель сигнального графа . Для этого необходимо выделить все замкнутые контуры. В данном случае сигнальный граф содержит два замкнутых контура (рис. 6). K16 e Дв t K1 eT K2 K3 T1 p 1 u Расс K4 i Расс Расс K7 МУ K8 p u K9 K10 uЭУ uВып 1 K11 T3 p 1 uВып e Дв II iЯ K12 mДв 1 mДв mC K13 p K17 p K18 s K19 rРеак I K2 u Реак K20 Рис. 6. Два контура взвешенного графа. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 39 Эти контуры имеют следующие передаточные функции: W01 p K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 W02 p K11 K12 K13 K16 pT3 p 1 , . Определитель графа представляет собой передаточную функцию, вычисляемую по формуле: 1 W0i W0iW0 j W0iW0 jW0l ... , i i, j i , j ,l где W0i - передаточные функции всех контуров; Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 40 W0iW0 j - произведения передаточных функций всех пар несоприкасаю- щихся контуров; W0iW0 jW0l - произведения передаточных функций всех троек несоприка- сающихся контуров и т. д. Контуры называются несоприкасающимися, если они не имеют общих вершин. Очевидно, что в этом случае они не имеют и общих ребер. Несоприкасающихся пар контуров наш сигнальный граф не имеет, поэтому его определитель: p 1 W01 p W02 p 1 K 2 K 3 K 4 K 7 K 8 K 9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K 20 K11 K12 K13 K16 pT1 p 1T3 p 1 pT3 p 1 Теперь необходимо найти передаточные функции всех прямых путей из вершины t в вершину rРеак и их миноры. В данном случае существует лишь один прямой путь с передаточной функцией W 1 p K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 . Для определения минора прямого пути удалим из графа все вершины, лежащие на этом пути, а также ребра, входящие в удаленные вершины или исходящие из них. В результате получим граф, состоящий из двух изолированных вершин e Дв и uРеак , который не содержит ни одного ребра. Как известно, такой граф называется нуль-графом. Поскольку данный граф не имеет ни одного замкнутого контура, его определитель (минор прямого пути) согласно равен единице: 1 1 . Остается найти главный оператор САР скорости электродвигателя по формуле Мейсона: K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 W p Ф p K KK KKK K K K K K K K K K K K K 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 17 18 19 20 11 12 13 16 pT1 p 1T3 p 1 pT3 p 1 1 1 Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 41 K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 . (1) Для того чтобы перейти к стандартной форме записи передаточной функции, раскроем скобки в знаменателе и введем обозначения: K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 K11 K12 K13 K16 K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 ; K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 1 K11 K12 K13 K16T1 ; a1 K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 T1 T3 a2 ; K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 T1T3 a . 3 K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 Окончательно получим: Ф p K . a3 p a2 p 2 a1 p 1 3 Правильность проведения выкладок при получении передаточной функции можно проверить, сопоставляя единицы измерения символьного коэффициента, выражаемого данной передаточной функцией, с единицами измерения входной и выходной величин. Единица измерения передаточной функции должна быть равна отношению единиц измерения входной и выходной величин. Например, главный оператор системы автоматического измерения температуры связывает реактивное сопротивление rРеак с температурой термопары t : rРеак Ф pt . Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 42 Единицей измерения реактивного сопротивления является ом [Ом], а температуры – кельвин [К]. Следовательно, главный оператор Ф p должен иметь единицы измерения [Ом/К]. Проверим, согласуется ли эта единица измерения с единицей измерения полученной нами сквозной передаточной функции. Прежде всего проверим единицы измерения коэффициентов a1 , a 2 , a3 при операторах дифференцирования p 3 , p 2 , p . Произведения a3 p3 , a2 p 2 , a1 p как суммируемые величины должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью единицы в знаменателе Ф p , т. е. быть безразмерными. В противном случае сумма в знаменателе Ф p теряет физический смысл. Если некоторая величина x измеряется в единицах [ед.], то её n - я dnx производная p x n имеет единицу измерения [ед./сn]. Следовательно, dt n оператор дифференцирования p входит в передаточные функции как сомножитель, имеющий единицу измерения (1/сn). Поэтому сумма в знаменателе сквозной передаточной функции, приведенной к стандартной форме, имеет смысл только тогда, когда коэффициенты ai имеют размерность [сi]. Проверим размерности этих коэффициентов. Произведения коэффициентов K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 и коэффициент K16 имеют одинаковую единицу измерения: c3 A2 м2 кг м м2 кг с 3 А2 м2 кг с 3 А1 м2 кг K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 с2 А . м2 кг с 3 А2 м м2 кг с 3 А2 Произведение коэффициентов K11 K12 K13 имеет следующую размерность: с3 А2 кг м2 сА K11 K12 K13 2 2 2 2. м кг с А кг м кг м Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 43 Соответственно, знаменатель коэффициентов a1 , a2 , a3 : K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 будет измеряться в с А м2 кг 1 кг м2 с2 А c . Постоянные времени Т всегда имеют размерность единицы времени, в данном случае [c]. Поэтому числитель формулы для a1 безразмерен, а числители формул для a 2 и a3 имеют единицы измерения соответственно [c] и [с2]. Таким образом, коэффициент a1 имеет единицу измерения [c], коэффициент a 2 - [c2], коэффициент a3 - [c3], что полностью совпадает с их физическим смыслом. Проверим размерность коэффициента передачи K . Как уже выяснили, знаменатель формулы для K , равный K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 имеет единицу измерения м2 кг с2 А . Произведение коэффициентов K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 в числителе имеет следующую размерность: B c3 A2 м2 кг м м2 кг B м2 кг K м2 кг с2 А2 м с3 А2 K с2 А2 . Поэтому единица измерения коэффициента передачи K равна B м2 кг А с2 В Ом K 2 2 2 . K с А м кг К А К Главный оператор Ф p в целом же имеет такую же размерность Ом К , что полностью совпадает с его физическим смыслом. 6.1.2. Определение контурной передаточной функции. Найдем контурную передаточную функцию автоматического измерителя температуры. Поскольку контурная передаточная функция опреде- Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 44 ляется при равенстве нулю отклонений всех входных сигналов (задающего и возмущающих воздействий) от их номинальных значений, то прежде всего, необходимо удалить из взвешенного сигнального графа все внешние вершины и исходящие из них ребра. Разорвем основной контур САР скорости электродвигателя, например, разорвем цепь обратной связи. Это эквивалентно разделению внутренней вершины uРеак взвешенного сигнального графа на две не связанные друг с другом вершины u' Реак и uРеак (рис. 7). Вновь появившаяся вершина u' Реак является внешней вершиной. Очевидно, что искомая контурная пере- даточная функция есть ни что иное, как сквозная передаточная функция от внешней вершины u' Реак к внутренней вершине uРеак в полученном взвешенном сигнальном графе (рис. 7), взятая со знаком минус. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 45 e Дв K3 T1 p 1 u Расс K4 i Расс Расс K7 МУ K8 p u K9 K10 uЭУ K2 uВып 1 K11 T3 p 1 uВып e Дв u' Реак iЯ K12 K16 mДв 1 mДв mC K13 p K17 p K18 s K19 rРеак K20 u Реак Рис. 7. Сигнальный граф имеет лишь один замкнутый контур, поэтому его определитель: p 1 K11 K12 K13 K16 pT3 p 1 . Из вершины u' Реак в вершину uРеак ведет лишь один прямой путь с передаточной функцией: Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 46 W 1 p K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 , причем минор этого пути равен единице: 1 p 1 . Таким образом, контурная передаточная функция САР скорости вращения электродвигателя K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 W p p W p K K K K p 1 11 12 13 16 pT3 p 1 1 1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 . (2) K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K K K K K 11 12 13 16 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 ; K16 1 K11 K12 K13 K16T1 ; a1 K11 K12 K13 K16 T1 T3 ; a2 K K K K 11 12 13 16 T1T3 . a3 K11 K12 K13 K16 Окончательно получим контурную передаточную функцию САР скорости электродвигателя: W p K . a3 p a2 p 2 a1 p 1 3 Главный оператор САР и её контурная передаточная функция лишь случайно оказались совпадающими по структуре. Однако численные значения их параметров различны и определяются через параметры дифференциальных уравнений. Контурная передаточная функция всегда является безразмерным символьным коэффициентом, поскольку она связывает две величины одной и той же физической природы. Фактически это одна и та же величина, Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 47 характер которой зависит от того, в каком месте разрывается основной контур системы. Знаменатель коэффициентов a1 , a 2 и a3 имеет размерность c А м2 кг 1 K11 K12 K13 K16 . 2 2 кг м с А с Аналогично сквозной передаточной функции, числитель формулы для a1 безразмерен, а числители формул для a 2 и a3 имеют единицы измерения соответственно [c] и [с2]. Таким образом, коэффициент a1 имеет единицу измерения [c], коэффициент a 2 - [c2], коэффициент a3 - [c3], что полностью совпадает с их физическим смыслом. Ранее уже отмечалось, что размерности произведений коэффициентов, составляющих числитель и знаменатель коэффициента передачи K совпадают, то есть сам коэффициент K - безразмерен. Таким образом мы показали, что контурная передаточная функция всегда является безразмерным символьным коэффициентом. 6.2. Определение передаточных функций САУ с помощью правил преобразования структурных схем 6.2.1. Определение главного оператора. Определим сквозную передаточную функцию автоматического измерителя температуры, приняв в качестве входа температуру термопары t (задающее воздействие), а в качестве выхода реактивное сопротивление Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 48 rРеак . После удаления ветвей, связанных с прочими входными сигналами, поскольку они равны нулю, структурная схема примет вид, показанный на рис. 8. K16 t K1 K2 K3 T1 p 1 K4 K7 K8 p K9 K10 K11 T3 p 1 K12 K13 p K17 p K18 K19 rРеак K20 Рис. 8. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 49 Объединим группы последовательно соединенных звеньев, применив правило умножения передаточных функций (рис.9): K16 t K1 K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 p pT3 p 1 T p 1 1 K17 K18 K19 p rРеак K20 Рис.9 Преобразуем соединение обратной связи звеньев в верхней части структурной схемы к одному звену (рис. 10): Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 50 t K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 p K1 pT3 p 1 K11 K12 K13 K16 T p 1 1 rРеак K17 K18 K19 p K20 Рис.10 Снова применим правило умножения передаточных функций к двум последовательно включенным звеньям (рис. 11): t K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K1 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 rРеак K20 Рис.11 Заменим звенья, соединенные по схеме обратной связи, одним звеном (рис. 12): t K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 rРеак Рис.12 Наконец объединим два оставшихся звена, соединенных последова тельно (рис. 13): Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 51 t K1K2 K3K4 K7 K8 K9 K10 K11K12 K13K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1K11K12 K13K16 K2 K3K4 K7 K8 K9 K10 K11K12 K13K17 K18 K19 K20 rРеак Рис.13 Так как полученное выражение для сквозной передаточной функции Фt ,rРЕАК p K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 полностью совпадает с выражением (1), полученным ранее по взвешенному сигнальному графу с помощью формулы Мейсона, то ее стандартная форма не изменится: K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 K11 K12 K13 K16 K1 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 ; K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 1 K11 K12 K13 K16T1 ; a1 K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 T1 T3 a2 ; K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 T1T3 a . 3 K11 K12 K13 K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K17 K18 K19 K20 K16 Окончательно получим: Фt , rРЕАК p K . a3 p a2 p 2 a1 p 1 3 6.2.2. Определение контурной передаточной функции. Простейшая структурная схема контурной передаточной функции автоматической системы, изображенная на рис. 14, эквивалентна исходной структурной схеме, если полагать, что все входные сигналы равны нулю. При этом стрелку, соединяющую вход и выход блока с передаточной Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 52 функцией W p , можно пометить символом любой физической величи- ны, участвующей в передаче сигнала в основном контуре САУ, поскольку для определения контурной передаточной функции безразлично, в каком месте разрывается основной контур. -W(р) Рис. 14 Найдем контурную передаточную функцию системы автоматического измерения температуры, используя структурную схему на рис. 5. Первоначальная структурная схема, соответствующая контурной передаточной функции, представлена на рис.15. K16 K2 K3 T1 p 1 K4 K7 K8 p K9 K10 K11 T3 p 1 K12 K13 p K17 p K18 K19 K20 Рис. 15. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 53 Объединяя все параллельно соединенные элементы этой схемы, получим: K16 K11 K12 K13 pT3 p 1 K 2 K 3 K 4 K 7 K8 K 9 K10 K17 K18 K19 K 20 T p 1 1 Рис.16 Заменим звенья, соединенные по схеме обратной связи, одним звеном (рис. 17): Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 54 K11 K12 K13 pT3 p 1 K11 K12 K13 K16 K 2 K 3 K 4 K 7 K8 K 9 K10 K17 K18 K19 K 20 T p 1 1 Рис.17 Наконец объединим два оставшихся звена, соединенных последовательно (рис.18): K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 Рис.18 Сопоставляя схему на рис.18 со схемой на рис.14 получим выражение для контурной передаточной функции системы: W p K2 K3 K4 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K13 K17 K18 K19 K20 pT1 p 1T3 p 1 T1 p 1 K11 K12 K13 K16 . Нетрудно убедиться, что она полностью совпадает с контурной передаточной функцией (2), найденной по взвешенному сигнальному графу с помощью формулы Мейсона. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 55 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Моттль В.В. Теоретические основы кибернетики. Тула 1982. 2. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. “Машиностроение” 1982. 3. Иващенко Н.И. Автоматическое регулирование “Машиностроение” 1978. 4. Сапожников Р.А. Основы технической кибернетики. - М.: Высшая школа, 1970. 5. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1977. 6. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. - М.: Энергия, 1980. Лист Изм. Лист №докум. Подп. Дата 56