Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра прикладной математики и информатики
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания
к выполнению практических работ
Новокузнецк
2023
1
УДК 519(07)
338
Составитель Варламов Вадим
Валентинович
Рецензент
доктор физико-математических наук, профессор, профессор
кафедры естественнонаучных дисциплин СибГИУ
В. В. Коваленко
338 Теория случайных роцессов : методические указания / М-во
науки и высш. образования Российской Федерации, Сиб. гос.
индустр. ун-т, Каф. рикладной математики и информатики
; сост. В. В. Варламов. – Новокузнецк : Издательский центр
СибГИУ, 2023. – URL : http://library.sibsiu.ru. – Текст :
электронный.
Представлены методические указания к решению задач
по дисциплине «Теория случайных процессов». Приведены
необходимые рекомендации к выполнению работ, а также
задания для самостоятельной работы.
Предназначены для обучающихся по направлению
подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика.
Публикуется по решению комиссии по совершенствованию
учебно-методической работы в Институте информационных
технологий и автоматизированных систем (протокол № 2
от 16.01.2023).
Издано в полном соответствии с авторским оригиналом.
© Сибирский государственный
индустриальный университет, 2023
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................ 5
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ .............................................................................................. 6
Тема 1.1 Случайные процессы и их вероятностные характеристики 6
Основные теоретические положения .................................................. 6
Задания для практических занятий ..................................................... 7
Задания для самостоятельной работы............................................... 10
Тема 1.2 Основные классы случайных процессов ............................. 13
Основные теоретические положения ................................................ 13
Задания для практических занятий ................................................... 17
Задания для самостоятельной работы............................................... 19
РАЗДЕЛ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ..................... 20
Тема 2.1 Стационарные случайные последовательности ................. 20
Основные теоретические положения ................................................ 20
Задания для практических занятий ................................................... 21
Задания для самостоятельной работы............................................... 22
Тема 2.2 Цепи Маркова ......................................................................... 23
Основные теоретические положения ................................................ 23
Задания для практических занятий ................................................... 24
Задания для самостоятельной работы............................................... 26
Тема 2.3 Разностные стохастические уравнения ............................... 32
Основные теоретические положения ................................................ 32
Задания для практических занятий ................................................... 34
Задания для самостоятельной работы............................................... 35
РАЗДЕЛ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ................................................. 35
Тема 3.1 Элементы анализа случайных функций .............................. 35
Основные теоретические положения ................................................ 35
Задания для практических занятий ................................................... 37
Задания для самостоятельной работы............................................... 38
Тема 3.2 Стационарные случайные функции ..................................... 39
Основные теоретические положения ................................................ 39
3
Задания для практических занятий ................................................... 40
Задания для самостоятельной работы............................................... 41
Тема 3.3 Стохастические дифференциальные уравнения ................. 42
Основные теоретические положения ................................................ 42
Задания для практических занятий ................................................... 44
Задания для самостоятельной работы............................................... 45
Тема 3.4 Марковские случайные функции ......................................... 45
Основные теоретические положения ................................................ 45
Задания для практических занятий ................................................... 46
Задания для самостоятельной работы............................................... 47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................................... 49
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
МУ по учебной дисциплине «Теория случайных процессов»
предназначены для организации самостоятельной работы обучающихся, формирования практических умений и навыков по данному
разделу высшей математики. Особое внимание уделяется четкости
математической постановки задачи. Рассматриваются основные классы случайных процессов, их основные свойства. Приводятся элементы спектральной теории стационарных случайных процессов и преобразования таких процессов линейной динамической системой.
Главной задачей методических указаний является освоение терминологии и отработка навыков вычисления и интерпретации числовых
характеристик случайных процессов. Перед изучением данного курса
требуется знание курсов математического анализа, функционального
анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Изложение ведется на уровне математической строгости,
достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения
материала будущими инженерами. При изучении данной дисциплины
можно пользоваться рекомендуемой литературой.
Целью практических работ по учебной дисциплине «Теория
случайных процессов» является освоение терминологии и отработка
базовых навыков применения методов данной дисциплины.
В результате выполнения практических работ обучающийся
должен знать базовую терминологию и символику математической
физики, уметь определять и выбирать методы решения конкретных
задач данного раздела высшей математики, владеть навыками решения задач математической физики.
5
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Тема 1.1 Случайные процессы и их вероятностные характеристики
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков определения вероятностных характеристик случайных процессов.
Основные теоретические положения
U ∈ N(m;σ) означает, что случайная величина U распределена по
нормальному закону с математическим ожиданием m и дисперсией
σ 2.
U ∈ R(a; b) − случайная величина U распределена равномерно на
отрезке [a; b]. Математическое ожидание M [U ] =
(b − a ) 2
D[U ] =
12
U ∈ E(λ)
a+b
, дисперсия
2
.
− случайная величина U распределена по экспоненциальному закону с параметром λ. M [U ] = 1 / λ , D[U ] = 1 / λ2 .
U ∈ В(n, p) − случайная величина U распределена по биномиальному закону с параметрами n, p. M [U ] = np , D[U ] = np (1 − p ) .
U ∈ Р(λ) − случайная величина U распределена по закону Пуассона с параметром λ. M [U ] = λ , D[U ] = λ .
σ− среднеквадратическое отклонение, σ 2 − дисперсия.
o
X = X − M [ X ] −центрированная случайная величина или центриро-
ванный случайный процесс.
Пример 1.1. Дифференциальная функция распределения случайной величины Х имеет вид:
0 при х ≤ 1;
f ( x) = 3
x 4 при x > 1.
Найти: а) интегральную функцию распределения; б) вероятность
того, что случайная величина примет значение в интервале (2, 3).
6
Решение. а) Интегральную функцию распределения найдем по
формуле (1.5). Если
х ≤ 1:
F ( x) =
Если
x
х
−∞
−∞
∫ f ( x)dx = ∫ 0 ⋅dx = 0.
х > 1:
х
x
x
3
1
1
F ( x) = ∫ 0 ⋅dx + ∫ 4 dx = 0 + − 3 = 1 − 3 .
x
x
x 1
1
−∞
Таким образом:
0 при х ≤ 1;
F ( x) =
1
1 − x 3 при x > 1.
б) Вероятность того, что случайная величина примет значение в
интервале (2, 3), можно найти двумя способами.
По формуле (1.1):
1
1 19
P(2 < X < 3) = F (3) − F ( 2) = 1 − 3 − 1 − 3 =
.
3 2 216
Или по формуле (1.3):
3
3
1
P (2 < X < 3) = ∫ 4 dx = − 3
х
х
2
3
=−
2
1 1
19
+ 3 =
.
3
216
3 2
Задания для практических занятий
1. Дана функция
0 при x < 0,
p(x ) = − x
cxe при x ≥ 0.
При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х?
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Х.
2. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:
0 при x ≤ 0,
p(x) = 3х2 при 0 < x ≤ 1,
0 при x > 1.
Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.
7
3. Дифференциальная функция распределения случайной величины Х имеет вид:
0 при х < 0;
f ( x) =
−х
при x ≥ 0.
Схе
Найти: а) параметр С; б) вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (2, 3).
4. Дифференциальная функция распределения случайной величины Х имеет вид:
0 при х ≤ 1;
1
f ( x) = х −
при 1 < x ≤ 2;
2
0 при х > 2.
Найти интегральную функцию распределения; математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид
1 cos x при − π ≤ x ≤
2
2
p(x ) =
0 при x < − π и при
2
π,
2
x > π.
2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin 2 X .
6. Случайная величина Х имеет функцию распределения
0 при x ≤ 0,
F (x) = х4 при 0 < x ≤ 1,
1 при x > 1.
Найти математическое ожидание случайной величины Y =
1
2
1
.
X +1
1
π
7. По данным задачи 8.9 (при a = , b = ) найти моду и медиану
распределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется
в промежутке − 1 , 1 ; математическое ожидание и дисперсию Х.
2 2
8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид
1 −x
p(x ) = e
(распределение Лапласа).
2
9. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону
равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рисунок).
8
Написать выражение плотности распределения; построить график
функции распределения; найти числовые характеристики случайной
величины Х: M ( X ), D( X ) , σ( X ) , µ3( X ) . Найти вероятность попадания
a
случайной величины Х в интервал − ; a .
2
р(
х)
–а
0
х
а
10. Случайная величина Х подчинена закону распределения с
плотностью, которая задана формулой
0 при x ≤ 0,
p( x ) = 2x при 0 < x ≤ 1,
0 при x > 1.
Найти коэффициент асимметрии распределения.
11. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величи1
2
ны, распределнной по закону Лапласа с плотностью p( x) = e − x .
12. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1; 4 ),
1
9
8
9
7
9
задана функцией распределения F (x ) = − x 2 + x − . Найти моду и
медиану случайной величины Х.
13. Найти значения M ( X ), D( X ) и σ ( X ) для случайной величины Х,
функция распределения которой
0 при x ≤ 0,
3
1
F ( x ) = x 2 - x 3 при 0 < x ≤ 2,
4
4
1 при x > 2.
14. Кривая распределения случайной величины Х представляет
собой полуэллипс с полуосями а и b. Полуось а известна. Определить
b. Найти M ( X ), D( X ) и функцию распределения F (x) .
9
0 при x ≤ −a,
x a 2π
1
2
2
2
F (x ) =
x ⋅ a − x + a ⋅ arcsin +
при − a < x ≤ a,
2
a
2
πa
1 при x > a.
15. Случайная величина х задана плотностью распределения
0 при x ≤ −2,
1
p ( x ) = − x 3 при - 2 < x ≤ 0,
4
0 при x > 0.
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Задания для самостоятельной работы
1. Дана функция
0, если x ≤ − π ,
2
F (x) = cos x, если − π < x ≤ 0,
2
1, если x > 0.
Показать, что данная функция является функцией распределения
некоторой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта
π
случайная величина принимает значения из интервала − ; 0 .
3
2. Дана функция
0, если x ≤ 0,
F ( x ) = x 2 , если 0 < x ≤ 2,
1, если x > 2.
Является ли она функцией распределения некоторой случайной
величины?
3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
F (x ) =
1
1 + x2
(− ∞ < x < +∞ ) ?
4. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:
10
e x при x ≤ 0,
а) F ( x ) =
1 при x > 0.
e − x при x ≤ 0,
б) F ( x ) = x
e при x > 0.
5. Дана функция распределения случайной величины Х:
0 при x ≤ 0,
2
x
при 0 < x ≤ 2,
F (x ) =
4
1 при x > 2.
Найти
плотность
вероятности,
а
также
вероятности
P( X = 1), P ( X < 1), P(1 ≤ X < 2 ) .
6. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [− 1; 3] ,
задана функцией распределения F (x ) = x + . Найти вероятность по1
4
1
4
падания случайной величины Х в интервал [0; 2]. Построить график
функции F(х).
7. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [2; 6], задана функцией распределения F (x ) =
(
)
1 2
x − 4 x + 4 . Найти вероятность
16
того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4; б)
меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.
8. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1; 4 ), задана квадратичной функцией F (x ) = ax 2 + bx + c , имеющей максимум
при х = 4. Найти параметры а, b, с и вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [2; 3] .
9. Функция распределения случайной величины Х имеет вид
0 при x < −1,
F ( x ) = a + b arcsin x при − 1 ≤ x ≤ 1,
1 при x > 1.
Определить постоянные а и b. Найти плотность вероятности случайной величины Х и построить ее график.
10. Плотность распределения вероятностей случайной величины
Х определяется функцией
p(x) = ax2e−kx (k > 0, 0 ≤ x < +∞) .
Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределения
F(х) величины Х.
11
11. Функция р(х) задана в виде
0 при x ≤ 1,
p(x ) = a
x 4 при x > 1.
Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; функцию распределения F(х); вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [2; 3] .
12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
0 при x ≤ π / 6,
p(x) = 3 sin 3x при π / 6 < x ≤ π / 3,
0 при x > π / 3.
Найти функцию распределения F(х).
13. Плотность распределения непрерывной случайной величины
Х в интервале − π ; π равна p(x) = 2 cos2 x ; вне этого интервала р(х) =
2 2
π
0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х
примет два раза значение, заключенное в интервале 0; π .
4
14. Функция распределения случайной величины Х имеет вид
F ( x) = a − b ⋅ arctgx. Определить постоянные а, b и найти плотность
распределения вероятностей р(х).
15. Случайная величина Х имеет плотность
6 (x 2 + x + 1 ) при 0 < x ≤ 1,
p(x ) = 11
0 при x ≤ 0 и при x > 1.
Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
16. Случайная величина Х имеет плотность
π
2
2
cos
х
при
x
≤
,
π
2
p( x ) =
0 при x > π .
2
Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
17. Случайная величина Х задана плотностью распределения
12
π
sin 2 x при x ∈ 0; 2 ,
p(x ) =
0 при x ∉ 0; π .
2
Найти математическое ожидание функции Y = X 2 (не находя
предварительно плотности распределения Y ).
18. Плотность случайной величины Х имеет вид
ae − x при x ≥ 0,
p( x ) =
0 при x < 0.
Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.
19. Случайная величина Х задана плотностью распределения
0 при x ≤ 1,
p(x ) = 6
x 7 при x > 1.
Найти начальные моменты случайной величины Х.
20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид
1 cos x при − π ≤ x ≤
2
2
p(x ) =
0 при x < − π и при
2
π,
2
x > π.
2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin 2 X .
Тема 1.2 Основные классы случайных процессов
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения задач на основные классы случайных процессов.
Основные теоретические положения
Функция X = X(t, ω), где t∈T, ω ∈ Ω (t− время, t ∈ ( −∞ , + ∞ ) или t≥ 0,
Ω− пространство элементарных событий) называется случайным процессом. В дальнейшем случайный процесс X(t, ω) будем обозначать
сокращенно X (t) или X .
Рассмотрим случайные процессы с действительными значениями.
13
При фиксированном значении t = t0 X(t0, ω) является случайной
величиной, которая называется сечением случайного процесса в момент времени t0 .
При фиксированном значении ω = ω 0 X(t, ω0) является неслучайной (обычной) функцией от времени t, которая называется реализацией случайного процесса.
Математическое ожидание случайного процесса
При фиксированном значении t сечение X(t) является случайной
величиной. Пусть для любого t∈Tсуществует математическое ожидание М[X (t)].
Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция от времени t
mX(t) = М[X(t)].
Свойства математического ожидания случайного процесса.
Пусть X(t), Y(t) − случайные процессы, φ(t) − неслучайная функция,
С− константа.
1) mφ(t) = φ(t).
2) mX+Y(t) = mX(t) +mY(t).
3) mСХ(t) =С·mX(t).
4) mX·Y(t) =mX(t)·mY(t), если сечения X(t), Y(t) некоррелированы
при каждом t ∈ (−∞, + ∞) .
5) mφX (t) = φ(t)·mX (t).
Дисперсия случайного процесса
Пусть при каждом фиксированном t для сечения X(t) определена
дисперсия D[X(t)].
Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная
функция от времени t
DX (t)=D[X(t)].
Среднеквадратическим отклонением случайного процесса X(t)
называется величина
σ X (t ) = D X ( t ) .
Свойства дисперсии случайного процесса. Пусть X(t), Y(t) −
случайные процессы, φ(t) − неслучайная функция, С− константа.
1) DX(t)≥0.
2) Dφ(t) = 0.
2
3) DφX (t) = (φ(t)) DX(t).
4) Dφ+X (t) = DX (t).
14
DX+Y(t) =DX (t) +DY (t), если сечения X(t), Y(t) некоррелированы
при каждом t ∈ (−∞, + ∞) .
6)
Корреляционная функция случайного процесса
o
Пусть X (t ) = X (t ) − m X (t ) −центрированный случайный процесс.
Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется
неслучайная функция от двух аргументов t1, t2
o
o
K X (t1, t2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ X (t2 )] .
Нормированной корреляционной функцией случайного процесса
X(t) называется неслучайная функция
ρ X (t1 , t2 ) =
K X (t1, t2 )
.
σ X (t1 ) σ X (t2 )
Свойства корреляционной функции случайного процесса.
Пусть X(t) − случайный процесс, U− случайная величина, φ(t) − неслучайная функция.
1) K X (t1, t2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ X (t2 )] − mX (t1 ) ⋅ mX (t2 ).
2) K X (t1 , t 2 ) = K X (t 2 , t1 ).
3) K X + ϕ (t1 , t2 ) = K X (t1 , t2 ).
4) Kϕ X (t1, t2 ) = ϕ (t1 )ϕ (t2 ) K X (t1, t2 ).
5) KU (t1 , t2 ) = D[U ] .
6) K X (t, t ) = DX (t ).
7)
K X (t1, t2 ) ≤ σ X (t1 ) ⋅ σ X (t2 ) .
8) ρ X (t1 , t2 ) ≤ 1 , ρ X (t, t ) = 1.
Взаимная корреляционная функция случайного процесса
Пусть X(t), Y(t) − случайные процессы. Взаимной корреляционной
функцией случайных процессов X(t), Y(t) называется неслучайная
функция от двух аргументов t1, t2
o
o
K X ,Y (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ Y (t2 )] .
Два случайных процесса X(t), Y(t) называются некоррелированными, если
K X ,Y (t1 , t2 ) ≡ 0 .
Нормированной взаимной корреляционной функцией случайных
процессов X(t), Y(t) называется неслучайная функция
15
ρ X ,Y (t1 , t2 ) =
K X ,Y (t1 , t2 )
.
σ X (t1 )σ Y (t2 )
Свойства взаимной корреляционной функции. Пусть X(t), Y(t) −
случайные процессы, φ(t), ψ(t) − неслучайные функции.
1) K X ,Y (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ Y (t2 )] − mX (t1 ) ⋅ mY (t2 ).
2) K X ,Y (t1 , t2 ) = KY , X (t2 , t1 ).
3) K X + ϕ ,Y +ψ (t1, t2 ) = K X ,Y (t1, t2 ).
4) K ϕ X , ψ Y ( t1 , t 2 ) = ϕ ( t1 )ψ ( t 2 ) K X ,Y ( t1 , t 2 ).
5)
K X ,Y (t1 , t2 ) ≤ σ X (t1 ) ⋅ σ Y (t2 ) .
6)
ρ X ,Y (t1, t2 ) ≤ 1 .
n
Теорема. Если Z (t ) = ∑ X i (t ) , то
i =1
n
K Z (t1, t2 ) = ∑ K X i (t1 , t2 ) + ∑ K X i , X j (t1, t2 ) .
i =1
Следствие.
Если
i≠ j
n
Z (t ) = ∑ X i (t )
и
случайные
процессы
i =1
X 1 , X 2 , K , X n попарно некоррелированы, то
n
K Z (t1, t2 ) = ∑ K X i (t1, t2 ) .
i =1
Для двух случайных процессов X (t ) и Y (t ) теорема и следствие
выглядят следующим образом.
K X +Y (t1 , t2 ) = K X (t1 , t2 ) + KY (t1 , t2 ) + K X ,Y (t1 , t2 ) + K X ,Y (t2 , t1 ) . (1)
Если случайные процессы X (t ) и Y (t ) некоррелированы, то
K X +Y (t1, t2 ) = K X (t1, t2 ) + KY (t1, t2 ) .
(2)
Пример 1.1 Найти математическое ожидание mX(t), корреляционную функцию КX(t1,t2), дисперсию DX(t) случайного процесса
Х(t) = U sht – 3е−3t V + t2, где U, V− некоррелированные случайные величины, U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
Решение. Сначала вычислим математические ожидания и дис2
−3+3
(3 + 3)
= 0, D[U ] =
= 3,
персии случайных величин U и V: M [U ] =
2
12
M [V ] = D[V ] = 1.2 .
16
По свойству 2) п.1.2 математическое ожидание от суммы случайных процессов равно сумме математическому ожиданию от слагаемых:
m X (t ) = msh t ⋅U ( t ) + m − 3 e − 3t V ( t ) + mt 2 (t ) .
По свойству 1) п.1.2 математическое ожидание неслучайной
функции равно самой функции. Поэтому mt 2 (t ) = t 2 . По свойству 5)
п.1.2 множитель случайного процесса в виде неслучайной функции
выносится за знак математического ожидания. Следовательно,
msh t ⋅U (t ) = sh t ⋅ M [U ] = 0, m− 3 e −3t V (t ) = −3 e −3t M [V ] = −3.6 e −3t .
В итоге получим
m X (t ) = −3.6 e −3t + t 2 .
Теперь найдем корреляционную функцию. По свойству 3) п. 1.4
прибавление к случайному процессу неслучайной функции t2 не влияет на корреляционную функцию. Поэтому
K X (t1 , t 2 ) = K sh t ⋅U − 3 e −3t V (t1 , t 2 ) .
Так как случайные процессы U sht и –3е−3t V некоррелированы
из-за некоррелированности случайных величин U, V, то по формуле
(2) получаем
K X (t1 , t 2 ) = K sh t⋅U (t1 , t 2 ) + K −3 e−3t V (t1 , t 2 ) .
Теперь по свойству 4) и 5) пункта 1.4 имеем
Ksh t ⋅U (t1, t 2 ) = sh t1 sh t 2 D[U ] = 3 sh t1 sh t2 ,
K −3 e V (t1 , t 2 ) = −3 e −3t (−3) e −3t D[V ] = 10.8 e −3t e −3t .
Таким образом,
K X (t1 , t 2 ) = 3 sh t1 sh t 2 + 10.8 e −3(t1 +t2 ) .
Дисперсию найдем по свойству 6) пункта 1.4:
DX (t ) = K X (t , t ) = 3sh 2t + 10.8e − 6 t .
− 3t
1
2
1
2
Задания для практических занятий
1. Найти корреляционную функцию КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t),
если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы, Z(t) =
t2X(t) −Y(t) sin2t+ cost, и даны корреляционные функции КX (t1,t2) =
1+cos(t2–t1), КY (t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
2. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 81sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 18sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2), дис17
персию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
3. Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величинаU ∈ E(0.4), Y(t) = X′(t).
Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию
KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
4. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 54sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 19sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
5. Х(t) = sh2t – U ch2t, случайная величинаU ∈ E(0.8), Y(t) = X′(t).
Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию
KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
6. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 55sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 20sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin5t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
7. Х(t) = ch2t – U ch2t, случайная величинаU ∈ E(0.4), Y(t) = X′(t).
Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию
KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
8. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 34sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 29sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 3 t X(t) − e–tY(t).
9. Х(t) = sh2t – U ch2t, случайная величинаU ∈ E(0.8), Y(t) = X′(t).
Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию
KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
18
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
10. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 55sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 20sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin5t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
Задания для самостоятельной работы
Найти математическое ожидание mX(t), корреляционную функцию КX(t1,t2), дисперсию DX(t) случайного процесса Х(t):
1. Х(t) = U sht – 3е−3t V + t2, U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
2. Х(t) = U cost – 5е−3t V + t2 , U ∈ R(−5; 5),V ∈ Р(1.4).
3. Х(t) = U tgt– 3е−3t V + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
4. Х(t) = U arctgt– 3е−3t V + t3 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
5. Х(t) = U lnt– costV + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
6. Х(t) = U cht– 3е−3t V + 2t3 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
7. Х(t) = U arcsint– 3е−3t V + t , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
8. Х(t) = U sht– 3е−3t V + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
9. Х(t) = U ctgt– 4е−4t V + t2 , U ∈ R(−4; 4),V ∈ Р(1.2).
10. Х(t) = U sht– 5е−5t V + t4 , U ∈ R(-5; 5),V ∈ Р(2.2).
11. Х(t) = U sint– 3е−3t V + t5 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
12. Х(t) = U sht– 3е−3t V + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
13. Х(t) = U lgt– 8е−8t V +t2 , U ∈ R(−8; 8),V ∈ Р(1.2).
14. Х(t) = U tgt– 2е−3t V + t2 , U ∈ R(−2; 2),V ∈ Р(1.2).
15. Х(t) = U sht– 3е−3t V + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
16. Х(t) = U sht– 3е−3t V + t2 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
17. Х(t) = U sint– 7е−7t V + t2 , U ∈ R(−7; 7),V ∈ Р(2.2).
18. Х(t) = U tgt– 3е−3t V + t4 , U ∈ R(−3; 3),V ∈ Р(1.2).
19. Х(t) = U lnt– 10е−10t V + t3 , U ∈ R(−10; 10),V ∈ Р(4.5).
20. Х(t) = U arctgt– 4е−4t V + t2 , U ∈ R(−4; 4),V ∈ Р(8.2).
19
РАЗДЕЛ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Тема 2.1 Стационарные случайные последовательности
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения задач на стационарные случайные последовательности.
Основные теоретические положения
Пусть X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2)
= 4sint1sint2, KY(t1, t2) = 81sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 18sint1sint2. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1, t2),
дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию ρZ(t1, t2)
случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
Так как X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, то их
математические ожидания равны нулю. По свойствам 1), 2), 5) п.1.2
получаем
mZ (t ) = sin 4t + e −2 t m X (t ) − e − t mY (t ) = sin 4t.
По свойству 3) п.1.4 прибавление неслучайной функции sin 4t к
случайному процессу e– 2 t X(t) − e–tY(t) не меняет его корреляционной
функции, то по формуле (1) получаем
K Z (t 1 , t 2 ) = K e X ( t 1 , t 2 ) + K − e Y ( t 1 , t 2 ) + K e X , − e Y ( t 1 , t 2 ) + K e X , − e Y , ( t 2 , t 1 ) .
− 2t
−t
−2t
−t
−2t
−t
По свойству 4) п.1.4 получаем
K e − 2t X (t1 , t 2 ) = e −2t1 e −2t 2 K X (t1 , t 2 ) = 4 sin t1 sin t 2 e −2(t1 +t 2 ) ,
K e −tY (t1 , t 2 ) = e −t1 e −t2 K Y (t1 , t 2 ) = 81sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) .
По свойству 4) п. 1.5 получаем
K e −2 t X , − e −tY (t1 , t 2 ) = e −2t1 ( − e − t2 )K X , Y (t1 , t 2 ) = −18 sin t1 sin t 2 e −2t1 − t2 .
В итоге имеем
K Z (t1 , t 2 ) = 4 sin t1 sin t 2 e −2(t1 +t2 ) + 81sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) −
− 18sin t1 sin t2 e −2t1 −t2 − 18 sin t1 sin t2 e −2t2 −t1 =
= sin t1 sin t 2 e −(t1 +t2 ) (4 e −(t1 +t2 ) + 81 − 18 e −t1 − 18 e −t2 ).
Дисперсию найдем по свойству 6) п.1.4:
DZ (t ) = sin 2 t e −2t (4 e −2t + 81 − 36 e − t ) = sin 2 t e −2t (2 e −t − 9) 2 .
20
По определению нормированной корреляционной функции
(п.1.4)
ρ Z (t1 , t2 ) =
K Z (t1 , t2 )
σ Z (t1 )σ Z (t2 ) .
σ Z (t ) = DZ (t ) = sin 2t e − 2t (2 e − t − 9) 2 = e − t sint (2 e − t − 9) .
ρ Z (t1 , t 2 ) =
=
sin t1 sin t 2 e −t1 e −t 2 (4 e −t1 e −t 2 + 81 − 18 e −t1 − 18 e −t 2 )
e
− t1
sin t1 (2 e
− t1
− 9) ⋅ e
−t 2
sin t 2 (2 e
e −t1 e −t 2 sin t1 sin t 2 (2 e −t1 − 9)(2 e −t 2 − 9)
e − t1 e − t 2
sin t1 sin t 2 (2 e
− t1
− 9)(2 e
−t2
− 9)
−t 2
− 9)
=
= ± 1.
При этом ρZ(t1,t2) =1, если sin t1 sin t 2 (2 e −t − 9)(2 e −t − 9) > 0 , и ρZ(t1,t2)
= −1, если sin t1 sin t 2 (2 e −t1 − 9)(2 e −t 2 − 9) < 0 .
1
2
Задания для практических занятий
1. Найти корреляционную функцию КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t),
если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы, Z(t) =
t2X(t) −Y(t) sin2t+ cost, и даны корреляционные функции КX (t1,t2) =
1+cos(t2–t1), КY (t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
2. X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, KX(t1, t2) =
4sint1sint2, KY(t1, t2) = 81sint1sint2, KX,Y(t1, t2) = 18sint1sint2. Найти
математическое ожидание mZ(t), корреляционную функцию KZ(t1,
t2), дисперсию DZ(t), нормированную корреляционную функцию
ρZ(t1, t2) случайного процесса Z(t) = sin4t + e– 2 t X(t) − e–tY(t).
3. Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величинаU ∈ E(0.4), Y(t) = X′(t).
Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию
KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя
X(t). Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
4. Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
Z(t) = t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
5. Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные слу21
чайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
Z(t) = t4X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+tg(t2–t1), КY(t1,t2) = 15exp(–|t2–t1|).
6. Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
Z(t) = t2X(t) −8Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
7. Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
Z(t) = 3t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+arctg(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
8. Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
Z(t) = 3t3X(t) −9Y(t), КX(t1,t2) = 1+tg(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
Задания для самостоятельной работы
Дан случайный процесс Z(t). Найти корреляционную функцию
КZ(t1,t2) и дисперсию DZ (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции КX(t1,t2) , КY(t1,t2):
1. Z(t) = t2X(t) −Y(t), КX(t1,t2) = 1+cos(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
2. Z(t) = t2X(t) −Y(t)cost, КX(t1,t2) = 1+cos(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
3. Z(t) =t3X(t) −Y(t), КX(t1,t2) = 1+sin(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
4. Z(t) = 3t2X(t) −tY(t), КX(t1,t2) = 1-cos(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
5. Z(t) = t5X(t) − 4Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
6. Z(t) = t2X(t) −Y(t), КX(t1,t2) = 1+sh(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–|t2–t1|).
7. Z(t) = t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+cos(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
8. Z(t) = t2X(t) −Y(t), КX(t1,t2) = 1+cos(t2–t1)sin(t2–t1), КY(t1,t2) = exp(–
|t2–t1|).
9. Z(t) = 8t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
10. Z(t) = 3t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+arctg(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–
t1|).
11. Z(t) = t4X(t) −8Y(t), КX(t1,t2) = 1+sin(t2–t1), КY(t1,t2) = 10exp(–|t2–t1|).
12. Z(t) = 7t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+cos(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
13. Z(t) = t10X(t) −9Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
14. Z(t) = 3t3X(t) −9Y(t), КX(t1,t2) = 1+tg(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
15. Z(t) = 2t3X(t) −3Y(t), КX(t1,t2) = 1+ctg(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
16. Z(t) = t4X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+sin(t2–t1), КY(t1,t2) = 10exp(–|t2–t1|).
22
17. Z(t) = t2X(t) −8Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
18. Z(t) = t5X(t) −10Y(t), КX(t1,t2) = 1+lg(t2–t1), КY(t1,t2) = 5exp(–|t2–t1|).
19. Z(t) = t4X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+tg(t2–t1), КY(t1,t2) = 15exp(–|t2–t1|).
20. Z(t) = t3X(t) −5Y(t), КX(t1,t2) = 1+ln(t2–t1), КY(t1,t2) = 4exp(–|t2–t1|).
Тема 2.2 Цепи Маркова
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения задач на цепи
Маркова.
Основные теоретические положения
Случайный процесс, эволюция которого после любого фиксированного момента времени t и до момента времени t является условно
независимой при известном состоянии процесса в момент времени t
(в настоящем), называется марковским случайным процессом, а свойство условной независимости «будущего» от «прошлого» при заданном «настоящем» называется марковским свойством или свойством
марковости.
Определение. Пусть ξ (ω , t ) (t ∈ T ) – случайный процесс, конечномерные
функции
плотности
вероятности
которого
f t1 , t2 ,K, tn ( x1 , x2 ,K, xn ) заданы для всех
n > 1 и {t k }∈ T , k = 1, n
:
0 ≤ t1 < t 2 < K < t n . Если при этом условная функция плотности вероятности
f ( xn | xn −1 , xn− 2 ,K, x1 ) = f ( xn | x n−1 ) ,
где xn −1 – состояние в данный момент; x n – состояние в будущем;
x n− 2 , xn −3 ,K, x1 – прошлые состояния, то случайный процесс называется
марковским процессом.
Пример 1. Пример марковского процесса, используемого в модели расчета риска столкновений воздушных судов.
Рассмотрим полет воздушного судна, с которым может произойти катастрофа, которую мы рассматриваем здесь как мгновенное событие. Введем некоторую случайную функцию ξ (ω , t ) , описывающую
состояние воздушного судна
0, если к моменту времени t катастрофы нет,
1, если к моменту времени t катастрофа произошла.
ξ (ω , t ) =
23
Покажем, что ξ (ω , t ) – марковский случайный процесс.
Если в момент времени t ξ (ω , t ) = 0 , то прошлое – нормальный
полет, не дает никакой информации о том, произойдет катастрофа в
будущем или нет. Прошлое не информативно для будущего. Если же
в момент времени t ξ (ω , t ) = 1 , то есть на текущий момент факт катастрофы имеет место, то для описания состояния в будущем неважна
информация из прошлого о том, когда эта катастрофа произошла.
Задания для практических занятий
1. Система s может находиться в одном из четырех состояний
s1 , s2 , s3 , s 4 , размеченный граф которых имеет вид
S1
λ
λ
λ
S2
S3
λ
λ
λ
S4
Требуется:
а) Записать для данной системы уравнения Колмогорова;
б) Получить систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний системы в стационарном режиме (финальных вероятностей);
в) Оценить вероятности состояний системы в стационарном режиме (t → ∞) при λ12 = 4, λ21 = 2, λ13 = 3, λ32 = 1, λ24 = 1, λ43 = 2 .
2. Среднее время безотказной работы компьютера равно
1
λ
, по-
ток отказов (сбоев) – простейший с параметром λ . При сбоях компьютер останавливается и неисправность устраняется. Среднее время
устранения неисправности равно 1 ; поток восстановления компьюµ
тера – также простейший с параметром µ . Определить вероятность
того, что компьютер в момент времени t будет работать, если он в
24
момент t = 0 работал.
. Предприятие реализует две марки однотипных бытовых электроприборов (А и В). Опыт эксплуатации свидетельствует о том, что
для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей,
соответствующих состояниям “работает хорошо” (состояние 1) и
“требует ремонта” (состояние 2):
0,8 0,1
для электроприбора марки А: PA =
;
0
,
6
0
,
3
0,8 0,2
для электроприбора марки В: PA =
.
0
,
7
0
,
3
Элементы матрицы перехода определены на годовой период
эксплуатации.
Требуется:
а) найти вероятности состояний для каждой марки электроприбора после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии как
А, так и В работали хорошо;
б) определить марку электроприбора, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.
В процессе эксплуатации суперкомпьютер может оказываться в
одном из следующих состояний:
s1 - полностью исправен;
s 2 - имеет неисправности в оперативной памяти, при которых
возможно решение большинства задач;
s 3 - имеет существенные неисправности и может решать лишь
ограниченный класс задач;
s 4 - полностью неисправен.
В начальный момент времени суперкомпьютер полностью исправен. Его проверка производится в фиксированные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 . Матрица переходных вероятностей имеет вид:
0,1 0,3 0,2 0,1
0
0
,
2
0
,
5
0
,
3
P=
0
0 0,4 0,6
0
0
0
1
Требуется:
1) построить граф состояний;
2) найти вероятности состояний суперкомпьютера после од25
ной, двух и трех проверок.
3. Рассчитать вектор предельных вероятностей для системы, характеризующейся матрицей переходов:
0,7 0,3
P =
0,6 0,4
Какой процент времени будет находиться система при длительном функционировании в 1-м и 2-м состояниях?
4. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: А – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее
приобрести; В – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся
ее приобрести, и, наконец, С – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При
этом матрица перехода оказалась такой:
0,8 0,1 0,1
Р = 0 0,7 0,3
0
0
1
Вычислить:
а) вероятность того, что семья, не имеющая машины и не собирающиеся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2
года;
б) вероятность того, что семья, не имеющая автомашины и
намеревающаяся ее приобрести, будет ее иметь через 2 года.
5. Две автоматические линии А и В сдаются в аренду по одной и
той же цене. Для них характерны следующие матрицы переходных
вероятностей:
0,8 0,2
;
РА =
0,7 0,3
0,7 0,3
,
PВ =
0,6 0,4
где ε1 - состояние, когда линия работает хорошо, ε 2 - состояние,
когда она требует регулировки. Определить стационарные вероятности для обеих линий. Какую линию стоит арендовать?
Задания для самостоятельной работы
0,24
P =
0,36
P (2)
P(2) = 11
P21 (2)
1. Задана матрица перехода
Найти матрицу перехода
26
0,76
0,64
P12 (2)
P22 (2)
2. Измерительная система в течение суток может находиться в
одном из двух состояний – исправном (s1 ) и неисправном (s 2 ) . Граф
состояний системы представлен на рисунке:
В результате проведения массовых наблюдений за системой получена матрица вероятностей перехода:
0,1
0,9
,
P =
0,95 0,05
где P11 - вероятность того, что система останется в исправном состоянии; P12 - вероятность выхода из строя системы; P21 - вероятность
перехода из неисправного в исправное состояние; P22 - вероятность
того, что система останется в неисправном состоянии.
Вектор
начальных
вероятностей
состояний
системы:
P(0) = (0 ;1) , т.е. P1 (0) = 0 и P2 (0) = 1 .
Требуется определить вероятности ее состояний через трое суток.
3. Предприятие реализует две марки однотипных бытовых электроприборов (А и В). Опыт эксплуатации свидетельствует о том, что
для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей,
соответствующих состояниям “работает хорошо” (состояние 1) и
“требует ремонта” (состояние 2):
0,9 0,1
для электроприбора марки А: PA =
;
0
,
6
0
,
4
0,8 0,2
для электроприбора марки В: PA =
.
0
,
7
0
,
3
Элементы матрицы перехода определены на годовой период
эксплуатации.
Требуется:
а) найти вероятности состояний для каждой марки электроприбора после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии как
А, так и В работали хорошо;
б) определить марку электроприбора, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.
27
4. Состояние банка (s1 , s 2 , s 3 ) характеризуется одной из процентных ставок: 2%, 3%, 4%, которые устанавливаются в начале каждого
квартала и фиксированы на его протяжении.
Определить вероятности состояний в конце года, если в конце
предыдущего года процентная ставка банка составляла 3%, а размеченный граф состояний имеет вид, приведенный на рисунке:
5. В процессе эксплуатации суперкомпьютер может оказываться
в одном из следующих состояний:
s1 - полностью исправен;
s 2 - имеет неисправности в оперативной памяти, при которых
возможно решение большинства задач;
s 3 - имеет существенные неисправности и может решать лишь
ограниченный класс задач;
s 4 - полностью неисправен.
В начальный момент времени суперкомпьютер полностью исправен. Его проверка производится в фиксированные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 . Матрица переходных вероятностей имеет вид:
0,3 0,4 0,1 0,2
0 0,2 0,5 0,3
P=
0
0 0,4 0,6
0
0
0
1
Требуется:
3) построить граф состояний;
4) найти вероятности состояний суперкомпьютера после одной, двух и трех проверок.
6. Рассчитать вектор предельных вероятностей для системы, характеризующейся матрицей переходов:
0,7 0,3
P =
0,6 0,4
Какой процент времени будет находиться система при длитель28
ном функционировании в 1-м и 2-м состояниях?
7. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: А – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее
приобрести; В – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся
ее приобрести, и, наконец, С – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При
этом матрица перехода оказалась такой:
0,8 0,1 0,1
Р = 0 0,7 0,3
0
0
1
Вычислить:
а) вероятность того, что семья, не имеющая машины и не собирающиеся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2
года;
б) вероятность того, что семья, не имеющая автомашины и
намеревающаяся ее приобрести, будет ее иметь через 2 года.
8. Две автоматические линии А и В сдаются в аренду по одной и
той же цене. Для них характерны следующие матрицы переходных
вероятностей:
0,8 0,2
;
РА =
0,7 0,3
0,7 0,3
,
PВ =
0,6 0,4
где ε1 - состояние, когда линия работает хорошо, ε 2 - состояние, когда она требует регулировки. Определить стационарные вероятности
для обеих линий. Какую линию стоит арендовать?
9. По некоторой цели произведено два выстрела в момент времени t1 и t2 . Возможные состояния цели: s1 - цель невредима; s 2 цель незначительно повреждена; s 3 - цель получила существенное повреждение; s 4 - цель полностью поражена. Размеченный граф состояний цели имеет вид:
29
В начальный момент цель находилась в состоянии s1 . Определить вероятность состояний цели после двух выстрелов.
10. Система s может находиться в одном из четырех состояний
s1 , s 2 , s3 , s 4 , размеченный граф которых имеет вид
Требуется:
а) Записать для данной системы уравнения Колмогорова;
б) Получить систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний системы в стационарном режиме (финальных вероятностей);
в) Оценить вероятности состояний системы в стационарном режиме (t → ∞) при λ12 = 4, λ21 = 2, λ13 = 3, λ32 = 1, λ24 = 1, λ43 = 2 .
11. Среднее время безотказной работы компьютера равно
1
λ
, по-
ток отказов (сбоев) – простейший с параметром λ . При сбоях компьютер останавливается и неисправность устраняется. Среднее время
устранения неисправности равно 1 ; поток восстановления компьюµ
тера – также простейший с параметром µ . Определить вероятность
того, что компьютер в момент времени t будет работать, если он в
момент t = 0 работал.
30
12. Техническое устройство состоит из двух узлов и может
находиться в следующих состояниях:
S0 – оба узла исправны;
S1 – первый узел ремонтируется, второй - исправен;
S2 – второй узел ремонтируется, первый - исправен;
S3 – оба узла ремонтируются.
Граф состояний системы имеет вид
Требуется:
а) написать систему уравнений для финальных вероятностей;
б) решить систему для λ1 = 1; λ 2 = 2 ; µ1 = 2 ; µ 2 = 3 ;
в) оценить время нахождения системы в состояниях s 0 , s1 , s 2 , s 3 ;
г) оценить среднюю эффективность работы системы, если в
полностью исправном состоянии (s 0 ) система приносит в единицу
времени доход 8 у.е., в состоянии s1 - 3 у.е., в состоянии s 2 - 5 у.е. и в
состоянии s 3 - вообще не приносит.
13. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг,
показали, что рыночная цена одной акции акционерного общества А
открытого типа может колебаться в пределах от 1 до 10 д.е. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну акцию этого акционерного общества, будем интересоваться следующими четырьмя состояниями этой системы, характеризующимися рыночной ценой акции:
s1 - от 1 до 4 д.е.,
s 2 - от 4 до 7 д.е.,
s 3 - от 7 до 9 д.е.,
s 4 - от 9 до 10 д.е. включительно.
Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в текущий момент времени, при этом в силу случай31
ных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени. Переходы системы S из
состояние в состояние происходят со следующими плотностями переходов, не зависящими от времени и описывающимися матрицей:
0
0
Λ =
3
0
4 0 0
0 10 0
2 0 1
0 4 0
Требуется:
а) составить долгосрочный прогноз рыночной цены акции;
б) выяснить, стоит ли приобретать акции общества А по цене 7
д.е. за акцию?
14. Система представляет собой счетчик банкнот, который может находиться в трех состояниях:
s1 - счетчик исправен, но не эксплуатируется;
s 2 - счетчик исправен и эксплуатируется;
s 3 - счетчик не эксплуатируется по
причине неисправности.
Граф состояний счетчика имеет вид:
Найти вероятности состояний счетчика в момент t = 1 , если в
начальный момент t = 0 он был исправен, но не эксплуатировался.
Тема 2.3 Разностные стохастические уравнения
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения разностных
стохастических уравнений.
Основные теоретические положения
Стохастический анализ – это раздел математики, в котором
случайные функции изучаются методами математического анализа с
использованием другой метрики
32
Пусть X – множество всевозможных случайных величин, заданных
на вероятностном пространстве (Ω, A, P) со значениями из некоторого
измеримого пространства ( χ , B) . Нас интересует вопрос сходимости
последовательности случайных величин {ξ n (ω )}: ξ n (ω ) ∈ X к случайной величине ξ 0 (ω ) ∈ X . В зависимости от того, как определить близость случайных величин, рассматривают различные типы сходимости. В основу классификации типов сходимости удобно положить
критерий разбиения на классы эквивалентности. Напомним, что эквивалентные с точки зрения какого-либо критерия случайные величины в теории вероятностей не различаются.
Пусть Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величинаU ∈ E(0.4), Y(t) =
X′(t). Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины U: M [U ] = 1 / λ = 1 / 0.4 = 2.5, D[U ] = 1 / λ2 = 1 / 0.42 = 6.25.
Найдем математическое ожидание случайного процесса X(t)
m X (t ) = ch 2t − sh 2t ⋅ M [U ] = ch 2t − 2.5 sh 2t.
Найдем корреляционную функцию случайного процесса X(t)
K X (t1 , t 2 ) = K −sh 2t U (t1 , t 2 ) = (− sh 2t1 )(− sh 2t 2 ) D[U ] = 6.25 sh 2t1 sh 2t 2 .
Найдем дисперсию случайного процесса X(t ) по свойству 6) п.
1.4:
D X (t ) = K X (t , t ) = 6.25 sh 2 2t.
По свойству 1) из п.1.6 получаем
mY (t ) = (m X (t ))′ = (ch 2t − 2.5 sh 2t )′ = 2 sh 2t − 5 ch 2t.
По свойству 2) из п.1.6 получаем
∂2
∂
K Y (t1 , t 2 ) =
(6.25 sh 2t1 sh 2t 2 ) =
(12.5 ch 2t1 sh 2t 2 ) = 25 ch 2t1 ch 2t 2 .
∂t1 ∂t 2
∂t 2
Дисперсию найдем по свойству 6) п.1.4
DY (t ) = K Y (t , t ) = 25 ch 2 2t.
Найдем нормированную корреляционную функцию
ρ Y (t1 , t 2 ) =
K Y (t1 , t 2 )
25 ch 2t1 ch 2t 2
25 ch 2t1 ch 2t 2
=
=
= 1.
σ Y (t1 )σ Y (t 2 )
25 ch 2 2t1 25 ch 2 2t 2 25 ch 2t1 ch 2t 2
33
Найдем взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) по свойству 3) п.1.6:
K X ,Y (t1 , t 2 ) =
∂
∂
K X (t1 , t 2 ) =
(6.25 sh 2t1 sh 2t 2 ) = 12.5 sh 2t1 ch 2t 2 .
∂ t2
∂ t2
Найдем нормированную взаимную корреляционную функцию:
K X ,Y (t1 , t 2 )
12.5 sh 2t1 ch 2t 2
ρ X ,Y (t1 , t 2 ) =
=
=
2
2
σ X (t1 )σ Y (t 2 )
6.25 sh 2t1 25 ch 2t 2
=
sh 2t1 ch 2t 2 1, если t1 > 0
=
sh 2t1 ch 2t 2 − 1, если t1 < 0.
Задания для практических занятий
1. Доказать, что случайный процесс X (t ) = (U + 2) cos 7t − V sin 7t ,
где U ∈ N (−2, 3), V∈R(−3, 3) , стационарен в широком смысле. Проверить свойство эргодичности для математического ожидания и корреляционной функции.
2. Дана корреляционная функция kX (τ) = exp(−3|τ|)(1+sin3|τ|) стационарного случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ).
3. Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного случайного
процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ): kX(τ) =
ln(5|τ|)(1+ctg2|τ|).
4. Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного случайного
процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ): kX(τ) =
exp(−7|τ|)(1+ch3|τ|).
5. Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного случайного
процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ): kX(τ) =
exp(−4|τ|)(1+ln|τ|).
6. Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного случайного
процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ): kX(τ) =
arcsin(5|τ|)(1+cos3|τ|).
34
Задания для самостоятельной работы
Дана корреляционная функция kX (τ) стационарного случайного
процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X′(t), взаимную корреляционную функцию kX,X′(τ):
1. kX(τ) = exp(−3|τ|)(1+sin3|τ|).
2. kX(τ) = ln(|τ|)(1+cos3|τ|).
3. kX(τ) = exp(−5|τ|)(1+tg3|τ|).
4. kX(τ) = exp(−5|τ|)(1+sin5|τ|).
5. kX(τ) = sin(5|τ|)(1+tg3|τ|).
6. kX(τ) = exp(−8|τ|)tg3|τ|.
7. kX(τ) = ln(5|τ|)(1+tg3|τ|).
8. kX(τ) = arctg(5|τ|)(1+cos5|τ|).
9. kX(τ) = exp(−5|τ|)(1+tg3|τ|).
10. kX(τ) = arcsin(5|τ|)(1+cos3|τ|).
11. kX(τ) = exp(−3|τ|)(1+arctg3|τ|).
12. kX(τ) = exp(−8|τ|)(1+lg|τ|).
13. kX(τ) = ln(4|τ|)(1+ctg3|τ|).
14. kX(τ) = exp(−2|τ|)(1+arccos3|τ|).
15. kX(τ) = sh(5|τ|)(1+cos3|τ|).
16. kX(τ) = ch(3|τ|)(1+ctg3|τ|).
17. kX(τ) = exp(−4|τ|)(1+ln|τ|).
18. kX(τ) = cos(5|τ|)(1+arctg3|τ|).
19. kX(τ) = exp(−7|τ|)(1+ch3|τ|).
20. kX(τ) = ln(5|τ|)(1+ctg2|τ|).
РАЗДЕЛ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Тема 3.1 Элементы анализа случайных функций
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков дифференцирования
случайных функций.
Основные теоретические положения
35
Пусть X(t) − случайный процесс, X ′(t ) − его производная. Тогда
верны следующие свойства.
1) mX ′ (t ) = (mY (t ))′ .
2)
∂2
K X ′ (t1 , t2 ) =
K X (t1 , t2 ) .
∂t1∂t2
∂
∂
K X (t1 , t2 ) , K X ′, X (t1 , t2 ) =
K X (t1 , t2 ) .
∂t2
∂t1
Пример 3.1 X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) –
некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t). Найти
математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2),
дисперсию DY(t), не дифференцируя X(t).
Решение. Сначала найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин U, V:
3) K X , X ′ (t1 , t2 ) =
M [U ] = 10 ⋅ 0.2 = 2, D[U ] = 10 ⋅ 0.2 ⋅ (1 − 0.2) = 1.6, M [V ] = 3, D[V ] = 2 2 = 4.
Найдем математическое ожидание случайного процесса X(t):
m X (t ) = t + 1 + t 2 ⋅ M [U ] − cos 2tM [V ] = t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t.
Найдем корреляционную функцию случайного процесса X(t) по
формуле (2)
K X (t1 , t 2 ) = K t 2 U (t1 , t 2 ) + K −cos 2 tV (t1 , t 2 ) =
= t12 t 22 D[U ] + cos 2t1 cos 2t 2 D[V ] = 1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 .
Найдем математическое ожидание производной случайного процесса X(t)
m X ′ (t ) = (t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t ) ′ = 1 + 4t + 6 sin 2t.
Найдем корреляционную функцию производной случайного процесса X(t)
∂2
K X ′ (t1 , t 2 ) =
1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 = 6.4t1t 2 + 16 sin 2t1 sin 2t 2 .
∂ t1∂ t 2
Найдем взаимные корреляционные функции случайного процесса
X(t) и его производной:
(
K X , X ′ (t1 , t 2 ) =
)
(
)
∂
1.6t12 t 22 + 4 cos 2t1 cos 2t 2 = 3.2t12 t 2 − 8 cos 2t1 sin 2t 2 ,
∂t 2
K X ′, X (t1 , t 2 ) = K X , X ′ (t 2 , t1 ) = 3.2t1t 22 − 8 cos 2t 2 sin 2t1 .
Найдем математическое ожидание случайного процесса Y(t)
mY (t ) = 2m X (t ) − t 2 m X ′ (t ) = 2(t + 1 + 2t 2 − 3 cos 2t ) − t 2 (1 + 4t + 6 sin 2t ) =
= 2 + 2t + 3t 2 − 4t 3 − 6 cos 2t − 6t 2 sin 2t.
36
Найдем корреляционную функцию случайного процесса Y(t) по
формуле (1)
K Y (t1 , t 2 ) = K 2 X (t1 , t 2 ) + K −t 2 X ′ (t1 , t 2 ) + K 2 X , −t 2 X ′ (t1 , t 2 ) + K 2 X , −t 2 X ′ (t 2 , t1 ) =
= 4 K X (t1 , t 2 ) + t12 t 22 K X ′ (t1 , t 2 ) − 2t 22 K X , X ′ (t1 , t 2 ) − 2t12 K X , X ′ (t 2 , t1 ) =
= 6.4t12t 22 + 16 cos 2t1 cos 2t 2 + 6.4t13t 23 + 16t12t 22 sin 2t1 sin 2t 2 −
− 6.4t12 t 23 + 16t 22 cos 2t1 sin 2t 2 − 6.4t13 t 22 + 16t12 sin 2t1 cos 2t 2 =
= 6.4t12 t 22 (1 − t1 )(1 − t 2 ) + 16(cos 2t1 + t12 sin 2t1 )(cos 2t 2 + t 22 sin 2t 2 ).
Найдем дисперсию случайного процесса Y(t) по свойству 6) п.
1.4:
DY (t ) = 6.4t 4 (1 − t ) 2 + 16(cos2t + t 2 sin2t ) 2 .
Задания для практических занятий
1.Пусть Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величинаU ∈ E(0.4), Y(t) =
X′(t). Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY (t1, t2), дисперсию DY (t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1, t2) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t).
Найти взаимную корреляционную функцию KX,Y (t1, t2) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρX,Y(t1, t2).
2. X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t). Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t), не дифференцируя X(t).
3. Даны случайные процессы X(t),Y(t). Найти математическое
ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t),
не дифференцируя X(t): X(t) = 10t+3+ t4U −Vtg2t,где U ∈ В(20, 1.2) ,V ∈
N(3;4) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t5X′(t).
4. Даны случайные процессы X(t),Y(t). Найти математическое
ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t),
не дифференцируя X(t): X(t) = t+5+ t4U −Vlnt,где U ∈ В(20, 0.2) ,V ∈
N(3;10) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=9X(t) –
t2X′(t).
5. Даны случайные процессы X(t),Y(t). Найти математическое
ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t),
не дифференцируя X(t): X(t) = 10t+1+ t3U −V cos2t,где U ∈ В(5, 0.5) ,V
∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) –
t2X′(t).
37
Задания для самостоятельной работы
Даны случайные процессы X(t),Y(t). Найти математическое ожидание mY(t), корреляционную функцию KY(t1,t2), дисперсию DY(t), не
дифференцируя X(t):
1.
X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t).
2.
X(t) = 2t+1+ t2U −Vsin2t,где U ∈ В(8, 0.2) ,V ∈ N(5;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t3X′(t).
3.
X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t).
4.
X(t) = 3t+1+ t4U −V cos2t,где U ∈ В(5, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t3X′(t).
5.
X(t) = 4t+1+ t5U −Vtg2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(4;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=6X(t) – t2X′(t).
6.
X(t) = t+1+4t2U −V cos5t,где U ∈ В(15, 0.2) ,V ∈ N(5;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t4X′(t).
7.
X(t) = 2t+1+ t3U −V ctg2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t).
8.
X(t) = 5t+7+ t4U −V cos2t,где U ∈ В(9, 0.2) ,V ∈ N(3;5) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t4X′(t).
9.
X(t) = 4t+1+ t2U −Varsin2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=9X(t) – t2X′(t).
10. X(t) = 3t+1+ t2U −Vlnt,где U ∈ В(3, 0.2) ,V ∈ N(4;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=5X(t) – t5X′(t).
11. X(t) = 6t+1+ t8U −Vexp(2t),где U ∈ В(6, 0.2) ,V ∈ N(3;9) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t7X′(t).
12. X(t) = 10t+1+ t3U −V cos2t,где U ∈ В(5, 0.5) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t2X′(t).
13. X(t) = t+8+ t4U −Vsin2t,где U ∈ В(10, 1.2) ,V ∈ N(3;4) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=3X(t) – t2X′(t).
14. X(t) = 4t+1+ t2U −Vtg2t,где U ∈ В(12, 1.2) ,V ∈ N(3;4) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=25X(t) – t5X′(t).
15. X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t).
38
16. X(t) = 9t+1+ t3U −Vtgt,где U ∈ В(14, 3.2) ,V ∈ N(3;8) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t2X′(t).
17. X(t) = t+5+ t4U −Vlnt,где U ∈ В(20, 0.2) ,V ∈ N(3;10) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=9X(t) – t2X′(t).
18. X(t) = 3t+6+ t8U −V cos4t,где U ∈ В(10, 4.2) ,V ∈ N(3;4) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t2X′(t).
19. X(t) = t+1+ t2U −V cos2t,где U ∈ В(10, 0.2) ,V ∈ N(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)=2X(t) – t2X′(t).
20. X(t) = 10t+3+ t4U −Vtg2t,где U ∈ В(20, 1.2) ,V ∈ N(3;4) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= X(t) – t5X′(t).
Тема 3.2 Стационарные случайные функции
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков анализа стационарных
случайных функций.
Основные теоретические положения
Пусть X(t) − случайный процесс,
t
Z ( t ) = ∫ X ( s )ds
.
Тогда выполняются следующие свойства.
0
t
1) mZ (t ) = ∫ m X ( s ) ds .
0
t1
t2
2) K Z (t1 , t2 ) = ∫ ds1 ∫ K X ( s1 , s2 ) ds2 .
0
0
t2
t1
0
0
3) K X , Z (t1 , t2 ) = ∫ K X (t1 , s ) ds , K Z , X (t1 , t2 ) = ∫ K X ( s, t2 ) ds .
Пример 3.2 Дан случайный процесс X(t) = (t 2 +1)U, U ∈ N(−3, 5),
t
Z (t ) = ∫ X ( s) ds. Найти математическое ожидание mZ(t), корреляцион0
ную функцию КZ(t1,t2), дисперсию DZ (t), взаимные корреляционные
функции KZ,X (t1,t2), KX,Z(t1,t2), не интегрируя X(t).
39
Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины U: M [U ] = m = −3, D[U ] = σ 2 = 5 2 = 25.
Найдем математическое ожидание случайного процесса X(t)
m X (t ) = (t 2 + 1) M [U ] = −3(t 2 + 1).
Найдем корреляционную функцию случайного процесса X(t)
K X (t1 , t 2 ) = K (t 2 +1)U (t1 , t 2 ) = (t12 + 1)(t 22 + 1) D[ U ] = 25(t12 + 1)(t 22 + 1) .
Найдем математическое ожидание случайного процесса Z(t) формуле 1) п. 1.7:
(
t
m Z (t ) = ∫ ( −3)( s 2 + 1) ds = − s 3 + 3s
)
0
t
0
= −(t 3 + 3t ) .
Найдем корреляционную функцию случайного процесса Z(t) по
формуле 2) п. 1.7:
t1
t2
0
0
K Z (t1 , t 2 ) = ∫ ds1 ∫
25( s12
+ 1)( s22
t1
t2
2
+ 1)ds2 = 25∫ ( s + 1)ds1 ∫ ( s 2 + 1)ds 2 =
2
1
0
t1
0
t2
s13
s23
t13
t 23
= 25 + s1 + s2 = 25 + t1 + t 2 .
3
0 3
0
3
3
Найдем дисперсию случайного процесса Z(t) по свойству 6) п.
1.4:
2
t3
DZ (t ) = K Z (t , t ) = 25 + t .
3
Найдем взаимные корреляционные функции по формуле 3) п. 1.7:
t 23
K X , Z (t1 , t 2 ) = ∫ 25(t + 1)(s + 1)ds = 25(t + 1) + t 2 ,
0
3
3
t
K Z , X (t1 , t 2 ) = K X , Z (t 2 , t1 ) = 25(t 22 + 1) 1 + t1 .
3
t2
2
1
2
2
1
Задания для практических занятий
1. X (t ) =
U
4 + t2
, U ∈ P ( 2),
t
Z (t ) = ∫ X ( s ) ds. Найти корреляционную
0
функцию КY(t1,t2), дисперсию DY(t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1,t2) случайного процесса Y(t)= X(t) + Z(t), не интегрируя
X(t).
40
t
2. Дан
случайный процесс
X (t ),
Z (t ) = ∫ X ( s ) ds.
Найти корреляционную
0
функцию КY(t1,t2), дисперсию DY(t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1,t2) случайного процесса Y(t)= X(t) + Z(t), не интегрируя
X(t): X (t ) =
U
9 − t2
, U ∈ P (3).
t
3. Дан
случайный процесс X (t ), Z (t ) = ∫ X ( s )ds. Найти корреляционную
0
функцию КY(t1,t2), дисперсию DY(t), нормированную корреляционную
функцию ρY(t1,t2) случайного процесса Y(t)= X(t) + Z(t), не интегрируя
X(t): X (t ) = (4t 2 + 8t + 3)U , U ∈ P(4).
Задания для самостоятельной работы
t
Дан случайный процесс
Z (t ) = ∫ X ( s )ds.
X (t ),
Найти корреляцион-
0
ную функцию КY(t1,t2), дисперсию DY(t), нормированную корреляционную функцию ρY(t1,t2) случайного процесса Y(t)= X(t) + Z(t), не интегрируя X(t):
U
, U ∈ P (2).
4 + t2
2. X (t ) = (t 2 + 1)U , U ∈ P (2).
U
, U ∈ P (4).
3. X (t ) =
8 + t2
U
, U ∈ P (3).
4. X (t ) =
(1 + t 2 )(t − 1)
5. X (t ) = (3t 2 + 2)U , U ∈ P (3).
U
, U ∈ P (3).
6. X (t ) =
9 + t2
7. X (t ) = (t 2 + 3t + 1)U , U ∈ P (2).
U
, U ∈ P (3).
8. X (t ) =
(1 + t 2 )
9. X (t ) = (4t 2 + 8t + 3)U , U ∈ P(4).
U
X (t ) =
, U ∈ P (4).
10.
2
(1 + t )(t 2 − 1)
1. X (t ) =
41
U
, U ∈ P (5).
25 + t 2
X (t ) = (t 3 + 3t 2 + t + 2)U , U ∈ P(8).
X (t ) =
11.
12.
13.
X (t ) = (2t 2 + 6t + 1)U , U ∈ P (9).
U
X (t ) =
, U ∈ P (4).
16 − t 2
U
X (t ) = 2
, U ∈ P (5).
t + 3t + 2
U
X (t ) =
, U ∈ P (3).
9 − t2
X (t ) = (t + 1)U , U ∈ P (2).
U
X (t ) =
, U ∈ P (2).
4 + t2
X (t ) = (2t 3 + 3t 2 + 4t + 5)U , U ∈ P (8).
U
X (t ) = 2
, U ∈ P (5).
2t + 6t + 4
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Тема 3.3 Стохастические дифференциальные уравнения
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения стохастических дифференциальных уравнений.
Основные теоретические положения
Стационарная линейная динамическая система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
dn
dm
d n−1
d m−1
an
+
a
+
L
+
a
Y
(
t
)
=
b
+
b
+
L
+
b
n −1
0
m
m−1
0 X (t ) . (12)
n −1
m
m−1
dt n
dt
dt
dt
k
d
= p k . Тогда уравнение (12) принимает
Введем обозначение
k
dt
вид
(a
n
)
(
)
p n + a n −1 p n −1 + L + a0 Y (t ) = bm p m + bm −1 p m −1 + L + b0 X (t ) .
Обозначим
An ( p ) = a n p n + a n−1 p n−1 + L + a0 ,
42
Bm ( p ) = bm p m + bm −1 p m −1 + L + b0 .
Функция
Ф( p ) =
Bm ( p)
An ( p)
называется передаточной функцией стаци-
онарной
линейной динамической системы (12). Функция
B (iω )
называется амплитудно-фазовой частотной характериФ(iω ) = m
An (iω )
стикой, а | Ф(iω ) | 2 называется амплитудно-частотной характеристикой
стационарной линейной динамической системы.
Если на вход устойчивой стационарной линейной динамической
системы (12) подается стационарный случайный процесс X(t), то в
установившемся режиме на выходе будет стационарный случайный
процесс Y(t). При этом верны следующие формулы.
1) mY =
b0
mX .
a0
2) DY =
1
2
+∞
∫
−∞
Ф(iω ) S X (ω )dω =
2
+∞
∫
Ф(iω ) S X (ω ) dω .
2
0
3) SY (ω ) = Ф(iω ) S X (ω ) .
2
4) kY (τ ) =
+∞
1
2
∫
−∞
Ф(iω ) S X (ω ) e
2
iωτ
dω =
+∞
∫
Ф(iω ) S X (ω ) cos ωτ dω .
2
0
Пример 3.3 На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением y″ + 8y′+
15y=5x′ +10x, подается стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX= 5и спектральной плотностью SX (ω) =
sin7ω/ω. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного
процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
Решение. По формуле 1) п. 2.4 найдем математическое ожидание
b0
10
10
mX = ⋅ 5 = .
a0
15
3
mY =
Дисперсию будем вычислять по формуле 2) п. 2.4:
DY =
+∞
∫ Ф(iω ) S X (ω ) dω .
2
0
Сначала составим передаточную функцию
Ф( p) =
5 p + 10
5 p + 10
=
.
p + 8 p + 15 ( p + 3)( p + 5)
2
Затем найдем амплитудно-частотную характеристику системы
5 iω + 10
− 5 iω + 10
25ω 2 + 100
| Ф(iω ) | = Ф(iω ) Ф(−iω ) =
⋅
=
.
(iω + 3)(iω + 5) (−iω + 3)(−iω + 5) (ω + 9)(ω 2 + 25)
2
Подставив это выражение в формулу дисперсии, получим
43
+∞
25ω 2 + 100
sin 7ω
DY = ∫ 2
⋅
dω.
2
ω
ω
ω
(
+
9
)(
+
25
)
0
Для вычисления этого интеграла разложим амплитудночастотную характеристику на сумму простейших дробей.
25ω 2 + 100
A
B
Aω 2 + 25 A + Bω 2 + 9 B
=
+
=
⇒
(ω 2 + 9)(ω 2 + 25) ω 2 + 9 ω 2 + 25
(ω 2 + 9)(ω 2 + 25)
A + B = 25,
125
525
Aω 2 + 25 A + Bω 2 + 9 B = 25ω 2 + 100 ⇒
⇒ A=−
,B=
.
25
A
+
9
B
=
100
16
16
Таким образом,
25ω 2 + 100
(ω 2 + 9)(ω 2 + 25)
=−
125 1
525
1
+
, и, следо16 ω 2 + 9 16 ω 2 + 25
вательно,
125 +∞ sin 7ω
525 +∞ sin 7ω
DY = −
dω +
dω .
16 ∫0 ω (ω 2 + 9)
16 ∫0 ω (ω 2 + 25)
Каждый из этих интегралов вычислим по формуле 8 приложения
1 (в первом интеграле положим m= 7, a=3, во втором −m= 7, a= 5):
DY = −
125 π
525 π
π
(1 − e −7⋅3 ) +
(1 − e −7⋅5 ) =
(64 + 125 e −21 − 189 e −35 ).
16 2 ⋅ 9
16 2 ⋅ 25
288
Задания для практических занятий
1. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнениемy″+ 4y′+ 4y=5x′, подается
стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией kX
(τ)=16exp(−4|τ|)cos3τ. Найти спектральную плотность SY(ω) случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
2. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный случайный процесс X(t) со спектральной плотностью SX (ω).
Найти корреляционную функцию kY(τ) случайного процесса Y(t) на
выходе системы в установившемся режиме.
а) y ′ + y = 5 x, S X (ω ) =
б) y ′ + 2 y = x,
S X (ω ) =
10
1
1
.
+
2
2
π 4 + (3 − ω ) 4 + (3 + ω )
5
.
π (25 + ω 2 ) 2
44
Задания для самостоятельной работы
На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подается стационарный случайный процесс X(t) со спектральной плотностью SX (ω).
Найти корреляционную функцию kY(τ) случайного процесса Y(t) на
выходе системы в установившемся режиме:
1. y ′ + y = 3 x, S X (ω ) =
2. y ′ + 2 y = x,
S X (ω ) =
10
1
1
+
.
π 4 + (3 − ω )2 4 + (3 + ω )2
5
.
π (25 + ω 2 ) 2
10
1
1
+
.
2
2
π 4 + (9 − ω ) 4 + (9 + ω )
1
1
1
+
.
4. y ′ + y = x, S X (ω ) =
π (3 − ω )2 (3 + ω )2
3. y ′ + 4 y = 5 x, S X (ω ) =
5. y ′ + 3 y = x,
S X (ω ) =
6. y ′ + 4 y = x 2 , S X (ω ) =
4
.
π (16 + ω 2 ) 2
1
1
1
+
.
2
2
π (4 − ω ) (4 + ω)
Тема 3.4 Марковские случайные функции
Цель практической работы – изучение основных теоретических
положений, получение практических навыков решения стохастических дифференциальных уравнений.
Основные теоретические положения
Марковский процесс с дискретными состояниями S0 , S1 ,..., S n называется процессом гибели и размножения, если все состояния процесса
можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний S0 , S1 ,..., S n может переходить только в соседние состояния, а крайние
состояния S0 , S n переходят лишь в состояния S1 и S n−1 соответственно.
Для схемы гибели и размножения справедливы формулы
45
−1
λ1 ⋅ λ2 ⋅ ... ⋅ λn −1
λ1 λ1 ⋅ λ2
P1 = 1 +
+
+ ... +
µ 2 µ 2 ⋅ µ3
µ 2 ⋅ µ 3 ⋅ ... ⋅ µ n
,
⋅
⋅
⋅
...
λ
λ
λ
1
2
n −1
Pk = µ ⋅ µ ⋅ ... ⋅ µ ⋅ P1
2
3
n
где P1 - вероятность нахождения системы в состоянии 1 (начальное состояние).
Задания для практических занятий
1. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнениемy″+ 4y′+ 4y=5x′, подается
стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией
kX (τ)=16exp(−4|τ|)cos3τ. Найти спектральную плотность SY(ω) случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
2. На вход стационарной линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением y″ + 8y′+ 15y=5x′ +10x, подается стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX= 5и спектральной плотностью SX (ω) = sin7ω/ω. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
3. Вывести формулу для вероятностей состояний в схеме гибели и размножения
3. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг,
показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного
общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 д.е. включительно. Рассмотрим 5 состояний акции, характеризующихся ее рыночной ценой:
S1 - от 1000 до 1300 д.е.
S 2 - от 1200 до 1500 д.е.
S 3 - от 1400 до 1600 д.е.
S 4 - от 1600 до 1800 д.е.
S 5 - от 1800 до 2000 д.е. включительно.
В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной це46
ны акции может произойти в любой случайный момент времени, при
этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 д.е. Переходы
системы из одного состояния в другое происходят со следующими
плотностями вероятностей переходов:
0
3
Λ = 0
0
0
2 0 0 0
0 4 0 0
1 0 3 0
0 6 0 5
0 0 8 0
Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее.
Стоит ли приобретать акции по цене 1600 д.е.?
Задания для самостоятельной работы
1. Найти вероятности состояний в установившемся режиме для
процесса гибели и размножения, граф которого имеет вид:
2. Размеченный граф состояний в установившемся режиме для
процесса гибели и размножения имеет вид:
Найти вероятности состояний.
3. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг,
показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного
общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 д.е. включительно. Рассмотрим 5 состояний акции, характеризующихся ее рыночной ценой:
S1 - от 1000 до 1200 д.е.
S 2 - от 1200 до 1400 д.е.
S 3 - от 1400 до 1600 д.е.
S 4 - от 1600 до 1800 д.е.
S 5 - от 1800 до 2000 д.е. включительно.
В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени, при
47
этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 д.е. Переходы
системы из одного состояния в другое происходят со следующими
плотностями вероятностей переходов:
0
3
Λ = 0
0
0
2 0 0 0
0 4 0 0
1 0 3 0
0 6 0 5
0 0 8 0
Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее.
Стоит ли приобретать акции по цене 1600 д.е.?
4. Размеченный граф состояний системы имеет вид:
Найти вероятности состояний и характеристику M [X (t )] на момент времени t = 3 . В начальный момент времени система находилась
в состоянии S1 .
5. Вывести формулу для вероятностей состояний в схеме гибели и размножения
48
1.
2.
3.
4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Миллер Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах
[Электронный ресурс] / Миллер Б.М., Панков А. Р. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Булинский А.В. Теория случайных процессов [Электронный ресурс] / Булинский А. В., Ширяев А. Н. - М. : ФИЗМАТЛИТ,
2005.
Семаков
С.Л.
Элементы
теории
вероятностей
и случайных процессов [Электронный ресурс] : учеб.пособие /
Семаков С.Л. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011.
Тюрин Ю.Н. Анализ данных на компьютере : учебное пособие
для вузов / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. – 4-е изд., перераб. – М.
: Форум, 2010. – 367 с.
49