Лекция № 5. Квантование сигналов по уровню. Постановка задачи. Процесс преобразования сигнала с непрерывным множеством значений x(t ) в сигнал с дискретными значениями xi (t ) называют квантованием по уровню. По существу, операция квантования заключается в округлении значения непрерывной величины до разрешенных значений шкалы квантования в соответствии с принятым правилом. Обычно диапазон измеряемой величины, ограниченный значениями umin и umax , разбивают на n равных интервалов (шагов) квантования : umax umin / n . (5.1) Из множества мгновенных значений, принадлежащих i му шагу квантования ui 1 u ui , только одно значение ui является разрешенным ( i й уровень квантования). Совокупность величин ui образует дискретную шкалу уровней квантования. Следует иметь в виду, что при выборе ui в качестве его значения принимают либо верхнюю границу интервала квантования, либо нижнюю, либо середину интервала. В результате возникает методическая погрешность квантования, носящая случайный характер и характеризуемая либо ее максимальным значением m max i max u ui , либо среднеквадратичным отклонением для всего диапазона изменения мгновенных значений сигнала. С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантования непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на n шагов квантования и уровни квантования разместить в середине каждого шага (см. рисунок). ui ui 1 u ui 2 u 2 1 Из рисунка, на котором представлена статическая передаточная характеристика преобразования, следует, что максимальная погрешность квантования m равна 2 . Если уровень квантования выбрать равным верхней или нижней границе интервала квантования, то максимальная ошибка квантования возрастет до величины . Оценим величину среднеквадратической погрешности квантования при следующих условиях: во-первых, возможные значения измеряемого сигнала распределены равномерно, во-вторых, измеряемая величина и случайная погрешность независимы. Доказано, что при условии umax umin , закон распределения погрешности квантования не зависит от u и близок к равномерному, т.е. плотность вероятности погрешности характеризуется постоянной величиной p( ) 1 . Тогда погрешность квантования на i м интервале может быть оценена дисперсией и соответствующим среднеквадратическим отклонением: 2 Di 2 i 2 p( )d 2 2 . 12 (5.2) Дисперсия полной ошибки квантования для всей непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала может быть определена как математическое ожидание дисперсий Di i 12 на отдельных шагах квантования: 2 n D p(ui), 12 i 1 i 1 n 2 i (5.3) где величина p(ui) характеризует вероятность попадания мгновенного значения сигнала в пределы данного шага. Так как n p(u) 1, то величина дисперсии i 1 i погрешности будет равна: D 2 2 12 . (5.4) Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещении уровней квантования в середине шага (равномерное квантование) среднеквадратическая погрешность квантования связана с интервалом квантования соотношением: 2 3 . (5.5) Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню реализация, представляющая собой случайный процесс u (t ) , заменяется ступенчатой зависимостью u (t ) . Изменяющуюся во времени погрешность квантования, также представляющую собой случайный процесс, называют шумом квантования: 2 (t ) u (t ) u(t ) (5.6) Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы u (t ) и (t ) эргодическими, среднеквадратическую ошибку равномерного квантования можно определить по реализации 1 (t ) . u (t ) u (t ) u(t ) t ti 1 ti 1 (t ) 2 t 2 T В пределах каждого шага квантования зависимость 1 (t ) можно заменить прямой t tg , где переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середине каждого шага математическое ожидание погрешности квантования равно нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется из дисперсии погрешности: 1 1 2 2 2 , D ( t tg ) dt ( t ) dt T T 2 T T 2 T 12 T 2 T 2 (5.7) и соответствует ранее полученному значению: 2 3 . Наряду с шумом квантования у реальных АЦП, выполняющих функцию квантования, имеются составляющие шума, обусловленные неидеальными характеристиками компонентов, т.е. инструментальные (аппаратурные) составляющие. Суммарная мощность шумов квантования Dш , определяемая величиной дисперсии шума, равна: Dш 2 12 Pш.ин (5.8) где Pш.ин – средняя мощность дополнительных шумов, численно равная дисперсии отклонения реальной передаточной характеристики АЦП по сравнению с идеальной. 3 Квантование сигналов при наличии помех. В реальных условиях на квантуемый сигнал всегда воздействует помеха. Выберем интервал квантования с учетом вероятностных характеристик этой помехи и условия ее аддитивности с сигналом. Очевидно, что мгновенное значение сигнала u , попадавшее ранее в i й шаг квантования и сопоставлявшееся с уровнем квантования ui , в результате действия помехи примет значение ( u ) и может быть поставлено в соответствие другому уровню квантования uk . Такой исход приводит к искажению информации и вероятность его не должна превышать допустимого значения. Обозначим через pi (k ) условную вероятность сопоставления значения сигнала u уровню квантования uk вместо уровня ui при условии, что сигнал u принадлежит i му шагу квантования. Очевидно, что при наличии помехи условная вероятность ошибочного решения pi (k ) >0, а pi (i ) <0. Полная вероятность того, что величина ( u ) останется в пределах i го шага квантования, равна: ui Pi pi (i ) p(u )du . (5.9) ui 1 Эту вероятность можно также найти, используя совместную плотность вероятности p(u, ) двух случайных величин u и : Pi p(u, )dud , (5.10) S где S некоторая область интегрирования, границы которой найдем, исходя из рисунка: u min ui 1 u ui ui 1 max ui u i u u1 u0 Рассмотрим i интервал квантования, в котором границами интегрирования по u являются значения ui 1 и ui . Верхняя max и нижняя min границы интегрирования по определяются из условия, что алгебраическая сумма сигнала и помехи не должна выйти за пределы i го шага квантования. 4 Считая помеху некоррелированной с сигналом, запишем: ui pi (i) max ui1 p(u ) p( )dud , min ui (5.11) p(u )du ui1 где p ( ) – плотность распределения помехи. Знаменатель выражения (5.11) для случая равномерного квантования сигнала, мгновенные значения которого в диапазоне от umin до umax распределены равномерно, равен ui p(u )du (umax umin ) . (5.12) ui1 Определим условную вероятность pi (i ) в предположении воздействия помехи, распределенной по равномерному закону: p( ) 1 a , где a 2 – амплитуда помехи, симметричной относительно мгновенного значения сигнала. Учитывая, что результаты расчета инвариантны относительно номера интервала квантования и зависят от соотношения амплитуды помехи a и величины , найдем pi (i ) при a : 1 max 1 a . pi (i ) d du 1 min a 4 0 (5.13) Аналогично находим pi (i ) при a 2a и a 2 : 1 a 4 , a 2a pi (i) a 2a a , (5.14) Анализ соотношений (5.13) и (5.14) показывает, что нецелесообразно выбирать меньше a , поскольку при (a ) 1 резко возрастает вероятность неправильного квантования сигнала. Аналогично рассчитывают зависимости для случая помехи, распределенной по нормальному закону распределения. Сравнение результатов расчетов показывает, что для вероятности правильного квантования pi (i ) воздействие помехи с нормальным законом распределения эквивалентно воздействию равномерно распределенной помехи при соотношении a 3 п , где п – среднеквадратическое отклонение помехи . 5