Презентация уравнение касательной и нормали к графику функции

Уравнение касательной
и нормали
к графику функции.
Цель урока:
1)узнать как составлять уравнение касательной к графику
2)Подготовиться к самостоятельному распознаванию типа ключевых
задач для решения задач, требующих исследовательских умений.
3)научиться решать задачи по теме.
Планируемый результат урока:
Уметь составлять уравнение касательной и нормали к графику
функции.
Научиться распознавать опорные типы задач, для решения
более сложных.
y
tg  x  k
B
у

A
х0
х
f(x)
С
y  y0
k
x  x0
х0  х
Касательной к графику функции f(x) в точке
А(х;f(х))
называется прямая, представляющая
предельное положение секущей АВ, (если оно
существует) когда В стремится к А.
A

B
у
С

х
х0
k кас.
х0+ х
Угловой коэффициент касательной
получается из углового коэффициента
секущей в процессе предельного
перехода от В k А
kкас.  lim kсек
f(x)
но
условие В -> А можно
заменить условием х  0
k  f ( x0 )  tg
/

y
 lim k

сек. lim
x
x 0
x 0
 f ( x0 )
/
- Геометрический смысл производной
Значение производной функции y= f(x) в точке касания
Х0 равно угловому коэффициенту касательной к
графику ф-ии y=f(x) в т Х0.
k  f ( x0 )
/
k  tg
tg  f ( x0 )
Пусть в точке А ( х 0 ; у 0 )
проведена касательная
Уравнение любой прямой проходящей через данную точку
имеет вид
0
0
у  у  k(x  x )
k  f ( x0 )
/
Или
y  y 0  f ( x0 )( x  x0 )
y0  f ( x0 )
y к  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
1 3
f ( x)  х  4 х  1
3
х0
у0
М(3;-2)
Задача:
Составить
уравнение
прямой,
имеющую
с
графиком функции f(x),одну
общую точку М(3; -2)
f ( x) 
Решение исходной задачи.

Составьте уравнение
касательной к графику
функции в точке M(3; – 2).
1 3
1 3
f ( x)  х  4 х  1  ( х )'(4 x)'1' 
3
3
1 2
 3x  4 *1  0
3
( x n )'  n * x n1
C' '  0
1 3
х  4х  1
3
Решение.
у к  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )

Алгоритм составления
уравнения касательной:


1.
2.

3.

4.
f (3)  2
2

f ( x)  x  4
f (3)  5
у к  2  5( х  3);
ответ : ук  5х  17;
Типы задач.
1.Задачи на касательную, заданную точкой.
А
2.Задачи на касательную, заданную её
угловым коэффициентом.

tg
f (x )



Если функция дифференцируема в т
х=а, то в этой точке к графику можно
провести касательную и
обратно: если в х=а к графику y=f(x)
можно
провести
невертикальную
касательную,
то,
функция
дифференцируема в т х=а
Это позволяет по графику
ф-ии
находить точки, в которых ф-ия имеет
или не имеет производную.



Написать уравнения всех
касательных к графику ф-ии
у  х 3  3х 2  3
параллельных прямой у = 9х +1
Решение.
3
-1
1. х0 = а
у (1)  (1) 3  3 * (1) 2  3  1
y '  3x 2  6 x
y ' (1)  3(1) 2  6 * (1)  9
yk  1  9( x  1)
yk  9 x  8
k 9
2. у(а)  3a 2  6a  9
3.
а= -1
а=3
4.По алгоритму
Ответ:
ук  9 х  24, yk  9 x  8
Уравнение нормали.

В
А
Нормалью к графику
функции в т.А называется
прямая, проходящая через
данную точку
перпендикулярно
касательной.
условие перпендикулярности двух прямых
kn  
у  у 0  k ( x  x0 )
1
k
kn  
1
f ( x0 )
1
у n  у0  
( x  x0 )
f ( x0 )
1
у  f ( x0 ) 
( x  x0 )
f ( x0 )
Решить самостоятельно.

1). Составить уравнение касательной и нормали
к кривой у  х 3 в точке (2; 8).
Ответ.
2). При каком значении параметра «р»
касательная к графику функции
в точке (1;1) образует с осью ОХ угол
равный 
3
Ответ:
у  рх2
Решение задач (устно)

Найти значение производной в точке х,
если угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в т.х равен 0,18.

Найти тангенс угла наклона к оси
абсцисс касательной в точке (2;2) к
графику функции f ( х )  4 х 2  7 х
Что называется касательной к
графику функции?
 Что называется нормалью к графику
функции?
 Назвать алгоритм составления
уравнения касательной и нормали.
