1 0 1. Чему равен ранг матрицы 0 0 (0 2 2 3 −1 0 2 0 1 0 0 Тест №2 3 1 4 ? 2 0) 2. Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений 3𝑥 − 𝑦 = 2 { ? 2𝑥 + 3𝑦 = 5 1) х = 1, у = 1 ; 2) х = 1, у = –1 ; 3) х = –3, у = 3 ; 4) х = 0, у = 1 . 3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 1 3. Запишите расширенную матрицу системы уравнений { . 𝑥 − 3𝑧 = 2𝑤 = 3 4.Приведите пример ступенчатой матрицы с двумя ненулевыми строками и пятью столбцами. 5. Какие определители надо вычислить для того, чтобы найти значение переменной х при решении 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 системы {𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 3 по формулам Крамера? 𝑥+𝑧=1 6. Матрица В получена из матрицы А вычитанием из второго столбца первого. Как получить решение системы Вy = b, если известно решение системы Ах = b? 1) от второй переменной отнять первую; 2) от первой переменной отнять вторую 3) переставить переменные с номерами 1 и 2 4) прибавить к первой переменной вторую 7 . Какие из следующих преобразований системы АХ = В могут изменить множество ее решений? 1) Удаление одного из уравнений; 2) удаление из системы уравнений, которые являются линейными комбинациями оставшихся; 3) замена одного из уравнений линейной комбинацией оставшихся; 4) присоединение к системе суммы всех ее уравнений . 1 2 −2 0 8. Применяя к матрице (1 2 1 1) первый шаг метода Гаусса, получим матрицу: 0 2 1 −2 1 3 2 −1 1 2 −2 0 1 2 −2 0 1 2 −2 0 1 2 −2 0 0 0 3 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1) ( ) ; 2) ( ) ; 3) ( ) ; 4) (0 0 0 1) . 0 2 1 −2 0 2 1 −2 0 0 1 −2 0 2 1 −2 0 1 4 −1 0 3 2 −1 0 0 2 −1 0 3 2 −1 9. Расширенная матрица системы линейных уравнений с пятью неизвестными имеет ранг 3. Какая из следующих матриц может получиться из нее в результате применения метода Гаусса? 1 1 1)( 0 2 0 0 0 0 3 1 0 0 1 0 1 0 2 2 1 1 3 0 | 3 ) ; 2) ( 0 2 1 2 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 2 1 1 3 0 | 3 ); 3) ( 0 2 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 |3) ; 4) ( 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 0 1 0 2 2 0 | 3 ). 2 −1 0 1 10. Расширенная матрица системы линейных уравнений имеет вид 1 0 3 1 0 0 ( 0 2 1 0 0 | 3 ). Тогда эта система: 0 0 0 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 1) несовместна; 2) имеет бесконечное множество решений с двумя параметрами ; 3) имеет единственное решение; 4) имеет бесконечное множество решений с одним параметром 11. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений с шестью неизвестными имеют ранг 4. Тогда эта система: 1) несовместна ; 2) имеет множество решений, зависящее от четырех параметров 3) имеет единственное решение 4) имеет множество решений, зависящее от двух параметров . 1 2 0 −1 1 2 12. (0 0 1 2 0 |0)– расширенная матрица системы линейных уравнений. Тогда общее ре0 0 0 1 −1 2 шение этой системы задается выражением: −2 0 0 −2 0 −2 1 2 2 1 2 1 −2 ; 3) −2 + 𝑎 −2 + b 0 ; 4) −2 + a −2 . 1 1 1 0 1 1 (−1) (−1) (1) (0) (−1) (1) 13. Однородная система линейных уравнений с семью неизвестными имеет 2 линейно независимых решения, а любые 3 ее решения линейно зависимы, чему равен ранг ее матрицы коэффициентов? 14. Общее решение системы линейных уравнений АХ=В задается выражением 2 1) (0) ; 2) 2 −2 1 3 1 2 1 −2 + 𝑢 0 + v 0 , запишите фундаментальную систему решений системы 0 1 1 (1) (1) (0) АХ=0. 15. Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А имеет ненулевое решение. Какие из следующих утверждений верны? 1) строки матрицы А линейно зависимы ; 2) система имеет бесконечно много решений ; 3) определитель матрицы А не равен 0 ; 4) система имеет единственное решение . 16. Даны два вектора a и b. При каком условии длина вектора a – b больше длины векто- ра a + b? 17. Дан вектор а(3, – 2, 3). Укажите любой вектор, ортогональный вектору а. 18.Вектора a, b, c удовлетворяют равенствам a=b×c, b=c×a, c=a×b. Определите углы между векторами и их длину. 19. a ( 1, 2, 0), b (3, 1,1), c (1, 0, ). Подберите параметр так, чтобы вектора a, b, c были компланарны. 20. В какой из следующих пар вектора ортогональны? 1) (-2, 3, 2), (0,2,-3) 2) (–1,3, 0 ), (-3,-2,0); 3) (4, -1, 5), (4, -1, –5), 4) (3,0,-2), (2, 1, – 4) 21. Для каких из ниже перечисленных пар векторов верно равенство (a, b ) a b ? 1) а(-1,4,0), b(3,0,2); 2) а(1,3,0), b(3,9,0); 3) а(1,5,2), b(1,-3,2); 4) а (3,1,7), b(3,2,2). 22. Пусть a b c 0 . Что можно утверждать о векторах a×b, b×c, c×a? 1) они равны 2) они коллинеарны 3) они попарно ортогональны 4) среди них есть и коллинеарные, и ортогональные. 23. Дана прямая x 1 y 2 z 1 = . l m p l , m, p так, чтобы прямая x y 3 z. 2 4 была ортогональна прямой 24. При каких значениях параметра 25. Дана прямая Выберите значения чисел плоскости 3х+2у –z +2=0 и 6х+ у –2z +1=0 параллельны? 3x y 2 z 6 0, 2 x 2 y 2 z 4 0. Пересекает ли эта прямая ось OX ? Если пересека- ет, укажите точку пересечения. 26. Прямая задана уравнениями: x 2t 1, y t 1, z 3t 3 . Приведите пример плоскости, параллельной данной прямой. 27. В уравнении плоскости Ax By Cz D 0 подберите коэффициенты так, чтобы прямая из предыдущего пункта была ей перпендикулярна. 28. Какую кривую описывает уравнение 𝑥2 32 𝑦2 + 52 = 2? (А) эллипс (B) гиперболу (C) параболу (D) пару параллельных прямых 29. Какая из следующих кривых имеет асимптоты? (А) 𝑥2 22 − 𝑦2 42 = 1 (B) 𝑥2 32 + 𝑦2 42 = 1 (C) 𝑥2 22 = 𝑦2 62 (D) 𝑥 2 = 4𝑦 30. Как называются поверхности, заданные этими уравнениями? Изобразите эскизы этих поверхностей. А) x2 y2 z 2 1 a 2 b2 c2 В) x2 y2 1 a2 b2