Математика 2 Определенный интеграл Основные понятия Лектор: доцент отделения математики и информатики Имас Ольга Николаевна a 1. f ( x)dx 0 Основные свойства определенного интеграла. a 2. 3. 4. a a b f ( x)dx f ( x)dx b b a b a k f ( x)dx k f ( x)dx b b a a f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx a b 5. b c b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a c каково бы ни было расположение точек a,b,c. 6. Если функция y=f(x) интегрируема и неотрицательна на [a, b] и a<b, то b f ( x)dx 0 a 7. Если f(x) ≤ g(x) ∀ x∈ [a, b], то b b a a f ( x)dx g ( x)dx 8. b b a a f ( x)dx f ( x) dx 10. Если f ( x ) непрерывна на [a, b], то ∃ с ∈ [a, b] b f ( x)dx f (c)(b a) a f (с) – среднее значение функции на [a,b]. Геометрически: Площадь под кривой f (x) – площадь криволинейной трапеции – равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной среднему значению функции на этом отрезке. b 1 f (c ) f ( x)dx baa 11. Интегралы по симметричному промежутку от четной и нечетной функции. a) Пусть y=f(x) непрерывная четная на [- a, a a a 0 a] функция, тогда f ( x)dx 2 f ( x)dx б) Пусть y=f(x) непрерывная нечетная на [- a, a f ( x)dx 0 a a] функция, тогда Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций) Теорема 2. Если функция y=f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 3. Если функция y=f(x) монотонна и ограничена на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 4. Если функция y=f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода на [a,b], то она интегрируема на [a,b].