Математика 2 Определенный интеграл Основные понятия Лектор: доцент отделения математики и информатики Имас Ольга Николаевна ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пусть задана функция y = f (x) на [a,b]. Задача: найти площадь S криволинейной трапеции под кривой f (x) между a и b. Рассмотрим криволинейную трапецию aABb y y=f(x) B Выберем i [ xi 1 , xi ] Вычислим f (i ), i 1, n xi xi xi 1 Обозначим A произвольно Si f (i )xi n a b x f (i )xi i 1 Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, приближенно заменяет криволинейную трапецию и называется интегральной суммой Римана (T , i ) S Точное значение площади: S lim max xi 0 n f ( )x i 1 i i Определение определенного интеграла Пусть функция y=f(x) определена на [a, b]. 1) Разобьем [a, b] на n частей точками x1 < x2 < … < xk <…< xn-1. T={a=x0, x1, x2, …, xn=b} называется разбиением на отрезке [a, b], каждый отрезок [xk-1, xk] называется элементарным, xk = xk – xk-1 – их длина. 2) На каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] выберем точку k произвольно!!! (k ∈ xk). 3) Вычислим f(k) ∀ k. 4) Составим произведение f (. k) xk , k 1, n Множество 5) Запишем интегральную сумму (T , ) n f ( x ) x k k k 1 6) Перейдем к пределу так, что max x k 0 – интегральная сумма Римана Определенным интегралом или интегралом Римана на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при →0, не зависящий от выбора точки k и способа разбиения b n f ( x)dx lim (T , ) lim f ( )x a 0 0 k 1 k k (продолжили на следующей лекции) Геометрический смысл: Площадь s криволинейной трапеции под кривой f(x) на отрезке [a,b] b s f ( x)dx a Физический смысл: а) путь, пройденный точкой за время от t1 до t2 со скоростью v=v(t). b S v(t )dt б) масса неоднородного стержня длиной от x1 до x2 с линейной плотностью r=r(x). a x2 M r( x)dx x1 в) работа по перемещению точки под действием переменной силы b из точки a в точку b. F =F(x) A F ( x)dx a г) количество вещества, образовавшегося в процессе хим. реакции: скорость реакции, t1 – время начала, t2 – время окончания реакции t2 Q q (t )dt t1 q =q(t) – Из определения: функция, для которой существует называется интегрируемой на отрезке [a, b]. lim (T , ) max x0 Теорема 1. Необходимый признак интегрируемости (Ограниченность интегрируемой функции) Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Следствие: если функция не ограничена на отрезке [a, b], то она не интегрируема на [a, b]. Функция Дирихле 1 , x Q f ( x) 0 , x J (множеству рациональных чисел) (множеству иррациональных чисел)