2201 Kretov Kursovaya 1(4)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА»
(САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Институт двигателей и энергетических установок
Кафедра сопротивления материалов
Курсовая работа
«РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРОСТЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ»
Вариант № 309
Выполнил студент группы 2201:
Кретов Кирилл Сергеевич___________
Проверил: доцент
Сургутанов Николай Андреевич_______
САМАРА 2022
ЗАДАНИЕ
Часть 1
В первой части курсовой работы задан стальной ступенчатый брус,
помещённый между двумя опорными поверхностями. Один его конец жестко
закреплен в верхней опоре, другой находится на расстоянии δ от нижней
опорной поверхности. К брусу приложены силы, действующие вдоль оси и,
кроме того, после нагружения изменяется его температура. Заданы размеры
бруса, величины сил, зазор и изменение температуры.
Требуется определить нормальные силы Ν, нормальные напряжения σ
на всех участках бруса и продольные перемещения границ участков u,
построить соответствующие эпюры и подобрать марку стали бруса. Задача
решается для двух случаев: без нижней опорной поверхности и при ее
наличии.
Исходные данные:
𝑑1 = 6 см;
𝑑2 = 8 см;
𝑑3 = 4 см;
𝑙1 = 2 м;
𝑙2 = 1 м;
𝑙3 = 2 м;
𝐹2 = 300 кН;
𝐹3 = -400 кН;
𝐹5 = 700 кН;
δ = 0,2 мм;
ΔT = 20 K.
2
Часть 2
Во второй части работы требуется определить для сложного
поперечного сечения, состоящего из прямоугольной пластины и профиля
Пр100-10, положение главных центральных осей, главные моменты инерции,
моменты сопротивления изгибу, построить эллипс инерции.
.
3
Часть 3
В третьей части курсовой работы заданы схемы балок, размеры и
действующие нагрузки.
Требуется:
1.Построить эпюры Q и M для балок с буквенными данными;
2.Построить эпюры Q и M для балок с числовыми данными;
3.Назначить размеры поперечных сечений балок;
4.Произвести сравнительный экономический
анализ различных поперечных сечений заданной балки;
5.Провести полную проверку прочности заданной балки;
6.Найти перемещение в одном из сечений заданной балки.
4
РЕФЕРАТ
Курсовая работа 44 с, 24 рисунка, 4 источника.
БРУС, НОРМАЛЬНАЯ СИЛА, НОРМАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ,
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ, ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ,
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, ГЛАВНАЯ ОСЬ, ЦЕНТРБЕЖНЫЙ МОМЕНТ, КРГУ
МОРА, ЭЛЛИПС ИНЕРЦИИ, БАЛКА, ЭПЮРА, ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ,
ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ.
Объектам исследования является брус.
Цель работы – расчет бруса на прочность и жёсткость.
Часть 1
Определены нормальные силы N, нормальные напряжения 𝜎 на всех
участках бруса и продольные перемещения границ участков u, построены
соответствующие эпюры и подобраны марки стали. Задача решается для двух
случаев: без нижней опорной поверхности и при наличии ее.
В результате выполнения первой части работы определены нормальные
силы. Вычислены нормальные напряжения и продольные перемещения.
Построены соответствующие эпюры. Определена марка стали бруса.
Часть 2
Определены
центр
тяжести,
моменты
инерции
относительно
центральных осей сложного сечения, составленного из прямоугольника и
профиля равнополочного уголкового сечения.
Определены главные моменты инерции и положение главных
центральных осей аналитическим и графическим методами. Определены
5
моменты сопротивления сечения изгибу. Определены главные радиусы
инерции и построен эллипс инерции.
Эффективность второй части работы заключается в получении навыков
определения геометрических характеристик сложных сечений.
Часть 3
Определены реакции опор, построены эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов, показан характер изогнутых осей для заданных балок.
Для балок с числовыми данными подобраны двутавровые поперечные
сечения. Для одной из числовых балок подобраны также поперечные сечения
в виде круга, кольца, прямоугольника и проведено сравнение масс
полученных сечений.
Для заданной балки с двутавровым сечением проведена полная проверка
прочности, определены прогиб и угол поворота в указанных сечениях.
Эффективность третьей части работы заключается в выборе наиболее
экономичного поперечного сечения балки.
6
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................................................................9
1 Расчет статически неопределимого ступенчатого бруса................................10
1.1 Брус без нижней опорной поверхности.....................................................10
1.1.1 Определение нормальных сил на каждом участке бруса и
построение эпюры N.............................................................................................10
1.1.2 Определение нормальных напряжений на каждом участке бруса и
построение эпюры  ............................................................................................12
1.1.3 Нахождение перемещений границ участков и построение эпюры
u...............................................................................................................................12
1.1.4 Подбор марки стали...........................................................................13
1.2 Брус с нижней опорной поверхностью....................................................14
1.2.1 Раскрытие статической неопределимости.......................................14
1.2.2 Определение нормальных сил на каждом участке и построение
эпюры N..................................................................................................................14
1.2.3 Определение нормальных напряжений на каждом участке бруса и
построение эпюры σ..............................................................................................17
1.2.4 Нахождение перемещений границ участков и построение
эпюры u...................................................................................................................17
1.2.5 Подбор марки стали...........................................................................18
2 Геометрические характеристики сложных сечений.......................................19
2.1 Определение геометрических характеристик каждой части сечения....19
2.1.1 Прямоугольник...................................................................................19
2.1.2 Профиль Пр 100-10 ...........................................................................20
2.2 Определение центра тяжести сложного сечения......................................21
2.3 Определение осевых моментов инерции сложного сечения
относительно центральных осей..........................................................................21
2.4 Определение центробежного момента инерции сложного сечения
относительно центральных осей..........................................................................22
7
2.5 Определение главных центральных моментов инерции сложного
сечения аналитическим способом........................................................................22
2.6 Определение положения главных центральных осей аналитическим
способом.................................................................................................................23
2.7 Определение главных центральных моментов инерции сложного
сечения
и
положения
главных
центральных
осей
графическим
способом..............................................................................................................23
2.8 Построение эллипса инерции.....................................................................24
2.9 Определение моментов сопротивления поперечного сечения изгибу...24
3 Расчет статически определимых балок ............................................................ 26
3.1 Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями .......... 26
3.2 Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными ...................... 31
3.3 Подбор поперечных сечений балки № 131............................................... 36
3.4 Полная проверка прочности балки № 131 ................................................ 38
3.5 Анализ напряженного состояния в 3 опасной точке……………………41
3.5 Определение перемещений в заданном сечении балки №131 ............... 45
Заключение.............................................................................................................48
Список использованных источников...................................................................49
8
ВВЕДЕНИЕ
Расчётную схему большинства машин можно привести к брусу.
Поэтому, необходимо уметь рассчитывать брусья на прочность и жёсткость,
подбирать для них марку материала.
В большинстве случаев поперечные сечения брусьев имеют сложную
форму. Поэтому нужно уметь определять геометрические характеристики
сложных сечений. В данной работе рассматривается сложное сечение,
составленное из швеллера и равнополочного уголка. Необходимо определить
геометрические характеристики сложного сечения, используемые при
расчетах элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
В настоящее время среди деталей машин часто встречаются балочные
конструкции. Поэтому необходимо уметь рассчитывать балки на прочность и
жёсткость.
Данная работа является актуальной, так как она позволяет получить
опыт в расчёте балок на прочность, в том числе в подборе различных
поперечных сечений, удовлетворяющих условию необходимой прочности.
9
1 Расчет статически неопределимого ступенчатого бруса
1.1 Брус без нижней опорной поверхности
1.1.1 Определение нормальных сил на каждом участке бруса и
построение эпюры N
Делим брус на участки, границами участков являются сечения, в
которых приложены силы, а также сечения, где площадь изменяется скачком
(рисунок 1).
Обозначим размеры бруса римскими цифрами.
π∙d1 π∙ 62
=
= 28,27 cм2 ;
4
4
lI =
𝑙1
=
2
π∙d2 π∙ 82
АII =
=
= 50,27 cм2 ;
4
4
lII =
𝑙2
2
π∙d2 π∙ 82
АIII =
=
= 50,27 cм2;
4
4
lIII =
π∙d3 π∙ 42
=
=12,57 cм2 ;
4
4
lIV =
АI =
АIV =
π∙d3 π∙ 42
АV =
=
= 12,57 cм2 ;
4
4
lV =
10
= 0,5 м;
𝑙3
2
𝑙3
2
𝑙3
2
2 м;
=0,5 м;
= 1 м;
= 1 м.
Рисунок 1 - Брус без нижней опоры
Для определения нормальной силы N применим метод сечений:
рассекаем брус сечениями, перпендикулярными оси, отбрасываем верхнюю
часть и рассматриваем равновесие оставшейся части (рисунок 2).
Рисунок 2 – Определение нормальных сил на участках
1) ∑ Z = 0;
∑ Z: N1 - F2 - F3 - F5 = 0 ;
NI = F2 + F3 + F5 = 300 – 400 + 700 = 600 кН.
2) ∑ Z = 0;
∑ Z: NII - F3 - F5 = 0;
NII = F3 + F5 = - 400 + 700 = 300 кН.
3) ∑ Z = 0;
∑ Z: NIII - F5 = 0;
NIII = F5 = 700 кН.
4) ∑ Z = 0;
∑ Z: NIV - F5 = 0;
NIV = F5 = 700 кН.
5) ∑ Z = 0;
∑ Z: NV =0;
NV = 0 кН.
Построим эпюру N (рисунок 1).
11
1.1.2 Определение нормальных напряжений на каждом участке бруса и
построение эпюры 
NI
σI =
AI
=
NII
σII =
600∙103
AII
28,27∙10-4
=
σIII =
NIII
σIV =
NIV
σV =
NIV
AIII
300∙103
50,27∙10-4
=
AIV
= 212,2 МПа ;
=
= 59,7 МПа ;
700∙103
50,27∙10-4
700∙103
12,57∙10-4
= 139,2 МПа ;
= 556,9 МПа ;
= 0 МПа .
AIV
Построим эпюру  (рисунок 1) .
1.1.3 Нахождение перемещений границ участков и построение эпюры u
Определим абсолютную продольную деформацию каждого участка по
формуле
∆li =
∆lI =
∆lII =
NI ∙lI
E∙AI
E∙Ai
+ α∙∆T∙li , где i-номер участка.
+ α∙∆T∙lI =
NII ∙lII
E∙AII
NIII ∙lIII
∆lIV =
NIV ∙lIV
E∙AIII
E∙AIV
NV ∙lV
E∙AV
600∙103 ∙2
2∙1011 ∙28,27∙10-4
+ α∙∆T∙lII =
∆lIII =
∆lV =
Ni ∙li
+ 125∙10-7 ∙20∙2 = 2,6 мм ;
300∙103 ∙0,5
11
2∙10 ∙50,27∙10
+ α∙∆T∙lIII =
-4
+ 125∙10-7 ∙20∙0,5 = 0,27 мм ;
700∙103 ∙0,5
2∙1011 ∙50,27∙10-4
+ α∙∆T∙lIV =
+ 125∙10-7 ∙20∙0,5= 0,47 мм ;
700∙103 ∙1
2∙1011 ∙12,57∙10-4
+ 125∙10-7 ∙10∙1 = 3,03 мм ;
+ α∙∆T∙lV = 125∙10-7 ∙10∙ 1 = 0,25 мм .
Перемещения сечений бруса вычислим по формуле ui  ui 1  li , где iномера участка.
12
u0 = 0 мм ;
uI = u0 +∆lI = 0 + 2,6 = 2,6 мм ;
uII = uI +∆lII = 2,6 + 0,27 = 2,87 мм ;
uIII = uII +∆lIII = 2,87 + 0,47= 3,34 мм ;
uIV = uIII +∆lIV = 3,34 + 3,03 = 6,37 мм ;
uV = uIV +∆lV = 6,37 + 0,25= 6,62 мм .
Построим эпюру u (рисунок 1).
1.1.4 Подбор марки стали
|σ|наиб =
|N|наиб
А
≤ [σ] -условие прочности.
 наиб   Т ;
nТ
|σ|наиб = 556,9 МПа ;
σ 𝑇 ≥ 556,9 ∙ 1,5 = 835,35 МПа ;
Cталь 50ХН: σTтаб = 850 МПа,
1.2 Брус с нижней опорной поверхностью
1.2.1 Раскрытие статической неопределимости
После нагружения брус касается опорной поверхности, в которой
возникает сила реакции опоры Rb (рисунок 3).
13
Рисунок 3 - Брус с нижней опорной поверхностью
1.2.2 Определение нормальных сил на каждом участке и построение
эпюры N
Делим брус на участки, границами участков являются сечения, в которых
приложены силы, а также сечения, где площадь изменяется скачком (рисунок
3).
Обозначим размеры бруса римскими цифрами.
π∙d1 π∙ 62
АI =
=
= 28,27 cм2 ;
4
4
АII =
lI = 𝑙𝐼 = 2 м;
π∙d2 π∙ 82
=
= 50,27 cм2 ;
4
4
π∙d2 π∙ 82
АIII =
=
= 50,27 cм2
4
4
lII =
;
lIII =
π∙d3 π∙ 42
АIV =
=
= 12,57 cм2 ;
4
4
АV =
𝑙2
2
lIV =
π∙d3 π∙ 42
=
= 12,57 cм2 ;
4
4
lV =
14
𝑙3
𝑙3
2
𝑙3
2
2
= 0,5 м;
= 0,5 м;
= 1 м;
= 1 м.
Для определения нормальной силы N применим метод сечений:
рассекаем брус сечениями, перпендикулярными оси, отбрасываем верхнюю
часть и рассматриваем равновесие оставшейся части (рисунок 4)
Рисунок 4 - Определение нормальных сил на участках
1) ∑ Z=0 ;
∑ Z: N1-F2 -F3 -F5 +Rb =0 ;
N1=F2+ F3 + F5 -Rb =300 - 400+700-Rb = 600 - Rb кН .
2) ∑ Z=0 ;
∑ Z: NII -F3 -F5 +Rb =0 ;
NII = F3+ F5 - Rb = -400 + 700 - Rb = 300 - Rb кН .
3) ∑ Z=0 ;
∑ Z: NIII -F5 +Rb =0 ;
NIII = F5 -Rb = 700-Rb кН .
4) ∑ Z=0 ;
∑ Z: NIV -F5 +Rb =0 ;
NIV = F5 - Rb = 700 - Rb кН .
5) ∑ Z=0 ;
∑ Z: NV +Rb =0 ;
NV = -Rb кН .
15
Воспользуемся
деформаций:
∆li =
Ni ∙li
дополнительным
уравнением
совместности
+ α∙∆T∙li (1),
E∙A𝑖
∆lI + ∆lII + ∆lIII + ∆lIV + ∆l𝑉 = 𝛿 (2),
Подставим (1) в (2) и получим:
NI ∙lI
E∙AI
+ α∙∆TlI +
NII ∙lII
E∙AII
(600∙103 −𝑅𝑏 )·2
2∙1011 ∙28,27∙10-4
+ α∙∆T∙lII+
+
(700∙103 −𝑅𝑏 )∙1
2∙1011 ∙12,57∙10
-4 +
NIII ∙lIII
E∙AIII
(300∙103 −𝑅𝑏 )∙0,5
2∙1011 ∙50,27∙10-4
(−𝑅𝑏 )∙1
NIV ∙lIV
+ α∙∆T∙lIII+
2∙1011 ∙12,57∙10-4
+
E∙A𝐼𝑉
+ α∙∆T∙lIV +
(700∙103 −𝑅𝑏 )∙0,5
2∙1011 ∙50,27∙10-4
N𝑉 ∙l𝑉
E∙A𝑉
+ α∙∆Tl𝑉 = 𝛿
+
=
= 0,2‧10-3 - 125∙10-7 ∙20∙(2+0,5+0,5+1+1) ;
Rb = 517 кН
Rb = 517 кН подставим в найденные выше зависимости и получим
значения N на каждом участке:
N1 = 600 - 517 = 83 кН ;
NII = 300-574= -217 кН ;
NIII = 700-517= 183 кН ;
NIV = 600 -517= 183 кН ;
NV = - 517 кН.
1.2.3 Определение нормальных напряжений на каждом участке бруса и
построение эпюры σ
σI =
σII =
NI
AI
=
NII
AII
83∙103
28,27∙10-4
=−
= 29 МПа ;
217∙103
50,27∙10-4
= - 43 МПа ;
16
σIII =
NIII
σIV =
NIV
σV =
=
AIII
AIV
NV
AV
=
=−
183∙103
50,27∙10-4
= 36 МПа ;
183∙103
= 145 МПа ;
12,57∙10-4
517∙103
12,57∙10-4
= - 411 МПа .
Построим эпюру  (рисунок 3).
1.2.4 Нахождение перемещений границ участков и построение эпюры u
Вычислим абсолютную продольную деформацию каждого участка по
формуле ∆li =
∆lI =
NI ∙lI
E∙AI
∆lII =
E∙A𝑖
+ α∙∆T∙li , где i-номер участка.
+ α∙∆T∙lI =
NII ∙lII
E∙AII
∆lIII =
∆lIV =
NIV ∙lIV
E∙AIII
E∙AIV
NV ∙lV
E∙AV
83∙103 ∙2
11
-4
2∙10 ∙28,27∙10
+ α∙∆T∙lII =
NIII ∙lIII
∆lV =
Ni ∙li
-217∙103 ∙0,5
11
-4
2∙10 ∙50,27∙10
+ α∙∆T∙lIII =
+ 125∙10-7 ∙20∙0,5 = 0,0171 мм ;
183∙103 ∙0,5
11
2∙10 ∙50,27∙10
+ α∙∆T∙lIV =
+ α∙∆T∙lV =
+ 125∙10-7 ∙20∙2 = 0,7936 мм ;
-4
183∙103 ∙1
11
-4
2∙10 ∙12,57∙10
-517∙103 ∙1
11
-4
2∙10 ∙12,57∙10
+ 125∙10-7 ∙20∙0,5 = 0,2160 мм;
+ 125∙10-7 ∙20∙1 = 0,9779 мм;
+ 125∙10-7 ∙20∙1 = - 1,8065 мм .
Перемещения сечений бруса вычислим по формуле ui  ui 1  li , где iномера границ между участками.
u0 = 0 мм,
uI = u0 +∆l𝐼 = 0 + 0,7936 = 0,7936 мм ;
uII = u𝐼 +∆l𝐼𝐼 = 0,7936 + 0,0171= 0,8107 мм ;
uIII = u𝐼𝐼 +∆l𝐼𝐼𝐼 = 0,8107 + 0,2160= 1,0267 мм ;
uIV = u𝐼𝐼𝐼 +∆l𝐼𝑉 = 1,0267 + 0,9779= 2,0046 мм ;
uV = u𝐼𝑉 +∆l𝑉 = 2,0046 − 1,8065= 0,1981 мм .
17
Построим эпюру u (рисунок 3).
1.2.5 Подбор марки стали
|σ|наиб =
|N|наиб
А
≤ [σ] -условие прочности ;
 наиб   Т ;
nТ
|σ|наиб = 411МПа ;
σ 𝑇 ≥ 411∙ 1,5 = 616,5 МПа ;
Материал: 45X ;
2
σTтаб = 700 Мпа.
Определение геометрических характеристик поперечного
сечения бруса
2.1 Определение геометрических характеристик каждого элемента
сложного сечения
Данное сечение сложное. Состоит из: прямоугольника (1) и профиля
Пр-105-4 (2).
Выпишем геометрические характеристики каждого сечения.
2.1.1 Прямоугольник (рисунок 5)
18
δ = 0,4 см,
l = 9 см;
А(1) = δ· l = 3,6 см2;
(1)
𝐽𝑥𝑐
1
(1)
𝐽𝑦𝑐
1
(1)
𝐽𝑥𝑐
1 𝑦с1
=
=
δ· 𝑙 3
12
𝑙· 𝛿 3
12
0,4· 93
=
=
12
9· 0,43
12
= 23,3 см4;
= 0,048 см4;
= 0, т.к. фигура симметричная.
Рисунок 5 – Прямоугольное поперечное сечение
2.1.2 Профиль Пр 105-4
Изобразим профиль так, как он изображен в таблице (рисунок 6):
А(2) = 2,218 см2;
Jx = 5,899 см4;
Jy = 2,768 см4;
Jxy = - 3,202 см4;
19
Рисунок 6 – Профиль прессованный прямоугольный равнополочного
уголкового сечения
Изобразим профиль так, как он дан в задании (рисунок 7):
H = 4 см;
x0 = 2,4 см;
y0 = 2 см;
А(2) = 2,218 см2;
(2)
𝐽𝑥𝑐 = Jy = 2,768 см4;
2
(2)
𝐽𝑦𝑐 = Jx = 5,899 см4;
2
20
(2)
𝐽𝑥𝑐
2 𝑦с2
= - 3,202 см4.
Рисунок 7 – Прямоугольное равнополочное уголковое сечение
2.2 Определение центра тяжести сложного сечения
(2)
= 0, т.к. 𝑦𝑐2 и Y совпадают;
(1)
= 𝑦0 +
𝑥𝑐
𝑥𝑐
(1)
𝑦𝑐
𝛿
2
=
= 2 + 0,2 = 2,2 см;
𝑙
2
(2)
= 4,5 см;
𝑦𝑐 = 𝑙 - x0 = 9 – 2,4 = 6,6 см;
21
𝑥𝑐 =
𝑆𝑦
𝐴
𝑦𝑐 =
(1)
=
𝑆𝑥
𝐴
(2)
(1)
𝑆𝑦 +𝑆𝑦
=
𝐴 (1) +𝐴 (2)
(1)
=
𝐴 (1) +𝐴 (2)
(2)
𝑆𝑥 +𝑆𝑥
𝐴 (1) +𝐴(2)
(2)
𝑥𝑐 ·𝐴 (1) +𝑥𝑐 ·𝐴 (2)
(1)
=
=
2,2·3,6+0
3,6+2,218
(2)
𝑦𝑐 ·𝐴 (1) +𝑦𝑐 ·𝐴 (2)
𝐴 (1) +𝐴(2)
=
= 0,997 см;
4,5·3,8+6,6·2,218
3,6+2,218
=
= 5,301 см;
C ( 0,997; 5,301 ).
2.3 Определение осевых моментов инерции сложного сечения
относительно центральных осей
(1)
𝑏1 = 𝑦𝑐 - 𝑦𝑐 = 4,5 – 5,301 = - 0,801 см;
(2)
𝑏2 = 𝑦𝑐 - 𝑦𝑐 = 6,6 – 5,301 = 1,299 см;
(1)
- 𝑥𝑐 = 2,2 – 0,997 = 1,203 см;
(2)
- 𝑥𝑐 = 0 – 0,997 = – 0,977 см;
𝑎1 = 𝑥𝑐
𝑎2 = 𝑥𝑐
(1)
(1)
𝐽𝑥𝑐 = 𝐽𝑥𝑐 + (𝑏1 )2 · А(1) = 24,3 + (-0,801)2·2,8 = 11,85 см4;
1
(2)
(2)
𝐽𝑥𝑐 = 𝐽𝑥𝑐 + (𝑏2 )2 · А(2) = 2,768 + (1,299)2·2,218 = 6,511 см4;
2
(1)
(2)
𝐽𝑥𝑐 = 𝐽𝑥𝑐 + 𝐽𝑥𝑐 = 26,61 + 6,511 = 33,12 см4;
(1)
(1)
𝐽𝑦𝑐 = 𝐽𝑦𝑐 + (𝑎1 )2 · А(1) = 0,048 + (1,203)2·3,6 = 5,258 см4;
1
(2)
(2)
𝐽𝑦𝑐 = 𝐽𝑦𝑐 + (𝑎2 )2 · А(2) = 5,899 + (-0,997)2·2,218 = 8,104 см4;
2
(1)
(2)
𝐽𝑦 = 𝐽𝑦𝑐 + 𝐽𝑦𝑐 = 5,258 + 8,104 = 13,362 см4.
2.4 Определение центробежного момента инерции сложного сечения
относительно центральных осей
22
(1)
(2)
(1)
𝐽𝑥𝑐 𝑦𝑐 = 𝐽𝑥𝑐𝑦𝑐 + 𝐽𝑥𝑐𝑦𝑐 = 𝐽𝑥𝑐
+
1 𝑦𝑐1
(2)
𝑎1 · 𝑏1 · А(1) + 𝐽𝑥𝑐
2 𝑦𝑐2
+ 𝑎2 · 𝑏2 · А(2) =
= 0 + 1,203·(-0,801)·3,6 + (-3,202) + (-0,997)·1,299·2,218 = -9,544 см4.
2.5 Определение главных центральных моментов инерции сложного
сечения аналитическим способом
𝐽𝑥0 =
=
1
2
𝐽𝑦0 =
=
1
2
1
2
2
2
(𝐽𝑥𝑐 + 𝐽𝑦𝑐 + √(𝐽𝑥𝑐 − 𝐽𝑦𝑐 ) + 4(𝐽𝑥𝑐𝑦𝑐 ) ) =
(33,12 + 13,362 + √(33,12 − 13,362)2 + 4(−9,544)2 ) = 36,98 см4;
1
2
2
2
(𝐽𝑥𝑐 + 𝐽𝑦𝑐 − √(𝐽𝑥𝑐 − 𝐽𝑦𝑐 ) + 4(𝐽𝑥𝑐𝑦𝑐 ) ) =
(33,12 + 13,362 − √(33,12 − 13,362)2 + 4(−9,544)2 ) = 9,505 см4.
Проверка:
𝐽𝑥𝑐 + 𝐽𝑦𝑐 = 𝐽𝑥0 + 𝐽𝑦0 = const.
2.6 Определение положения главных центральных осей аналитическим
способом
tgα0 = −
𝐽𝑥𝑐 𝑦𝑐
𝐽𝑥𝑐 −𝐽𝑦0
=−
(−9,544)
33,12−9,505
= 0,404 → α0 = 21º
2.7 Определение главных центральных моментов инерции сложного
сечения и положения главных центральных осей графическим способом
Построим круг Мора (рисунок 8):
23
Рисунок 8 – Круг Мора
1)𝐷𝑥 (𝐽𝑥𝑐 ; 𝐽𝑥𝑐 𝑦𝑐 );
𝐷𝑥 (33,12; −9,544);
2) 𝐷𝑦 (𝐽𝑦𝑐 ; −𝐽𝑥𝑐𝑦𝑐 );
𝐷𝑦 (13,362; 9,544);
3) 𝐷𝑥 𝐷𝑦 − диаметр круга Мора;
4)𝐷𝑥 ̀ симметрично 𝐷𝑥 относительно оси абсцисс;
5)Луч B𝐷𝑥 ̀;
6)∠𝐴𝐵𝐷𝑥 ̀;
7)OA = 𝐽𝑥0 ;
24
OB = 𝐽𝑦0 .
2.8 Построение эллипса инерции
Определяем главные оси инерции:
𝑖𝑥0 = √
𝑖𝑦0 = √
𝐽𝑥0
𝐴
𝐽𝑦0
𝐴
=√
𝐽𝑥0
𝐴 (1) +𝐴(2)
=√
𝐽𝑦0
𝐴 (1) +𝐴 (2)
=√
36,98
3,6+2,218
=√
9,505
3,6+2,218
= 2,521 см;
= 1,278 см.
2.9 Определение моментов сопротивления поперечного сечения изгибу
Проводим главные центральные оси на общем рисунке. Определяем
|𝑥0 |наиб , |𝑦0 |наиб по рисунку.
Вычисляем моменты сопротивления изгибу:
𝑊𝑥0 =
𝐽𝑥0
36,98
=
= 6,604 см3 ;
|𝑦0 |наиб
5,6
𝑊𝑦0 =
𝐽𝑦0
9,505
=
= 2,88 см3 .
|𝑥0 |наиб
3,3
Строим эллипс инерции.
Общая схема имеет вид (рисунок 9):
25
Рисунок 9 – Сложное сечение
26
3 Расчёт статически определимых балок
3.1 Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями
Рисунок 10 - Схема и эпюры балки № 11.
27
Рисунок 11 - Схема и эпюры балки № 281.
28
Рисунок 12 - Схема и эпюры балки № 551.
29
Рисунок 13 - Схема и эпюры балки № 821.
30
Рисунок 14 - Схема и эпюры балки № 1091.
31
3.2 Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными
Рисунок 15 - Схема и эпюры балки № 11.
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
250∙103
160∙106
= 1563 см3;
Двутавр № 50: 𝑊xтаб = 1589 см3;
|𝜎|наиб =
250 ∙103
1589 ∙10−6
=157,33 мПа;
2
Атаб
двутавра = 100 см .
32
Рисунок 16 - Схема и эпюры балки № 251.
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
82,66∙103
160∙106
= 5 см3;
Двутавр № 1: 𝑊xтаб = 9 см3;
|𝜎|наиб =
82,66 ∙103
9 ∙10−6
=91М Па;
2
Атаб
двутавра = 6 см .
33
Рисунок 17 - Схема и эпюры балки № 371.
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
60∙103
160∙106
= 37,5 см3;
Двутавр № 10: 𝑊xтаб = 39,7 см3;
|𝜎|наиб =
60 ∙103
39,7 ∙10−6
=151,13 мПа;
2
Атаб
двутавра = 12 см .
34
Рисунок 18 - Схема и эпюры балки № 491.
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
40 ∙ 103
160∙106
= 2,5 см3;
Двутавр № 1: 𝑊xтаб = 9 см3;
|𝜎|наиб =
40 ∙103
9 ∙10−6
= 44,4 мПа;
2
Атаб
двутавра = 6 см .
35
Рисунок 19 - Схема и эпюры балки № 131.
3.3 Подбор поперечного сечения балки № 131
Необходимо подобрать поперечные сечения:
1) Двутавр;
2) Круг;
36
3) Кольцо;
4) Прямоугольник.
Поперечное сечение подберём из условия прочности при изгибе:
|𝜎|наиб =
|М|наиб
𝑊𝑥
≤ [𝜎]
[𝜎] = 160 Мпа
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
169 · 103
160 · 106
= 1056 см3
1) Двутавровое сечение:
Двутавр № 45:
𝑊xтаб = 1231 см3;
2
Атаб
двутавра = 84,7 см .
2) Круговое сечение:
круга
𝑊𝑥
𝜋𝐷 3
=
32
3 1056 ∙ 32
≥ 1056 см3 => 𝐷 ≥ √
𝜋
= 22,08 см ;
𝐷круга = 22,5 см ;
Акруга =
𝜋𝐷 2
4
𝜋 · 22,52
=
4
= 397,61 см2 .
3) Кольцевое сечение (𝛼 =
𝑊хкольца =
𝜋𝐷 3
32
𝑑
𝐷
= 0,8):
(1 − 𝛼 4 ) ≥ 1056 см3 ;
3 1056 · 32
𝐷≥√
= 26,3 см = 263 мм;
𝜋(1−𝛼 4 )
таб
𝐷кольца
= 273 мм = 27,3 см ;
Акольца =
𝜋𝐷 2
4
(1 − 𝛼 2 ) =
𝜋(27,3)2
4
(1 − 𝛼 2 ) = 210,7 см2 .
ℎ
4) Прямоугольное сечение ( = 2):
𝑏
37
прямоугольника
𝑊х
прямоугольника
𝑊х
3 1056 ∙ 6
b≥ √
4
=
=
𝑏ℎ2
6
ℎ
≥ 1056 см3 , = 2 ⇒
𝑏
𝑏(2𝑏)2
6
4
= 𝑏3 ≥ 1056 см3 ;
6
= 11,7 cм, h = 23,4 cм ;
Апрямоугольника = h ∙ b = 23,4 ∙ 11,7 = 273,78 см2 .
Определим наиболее экономичное с точки зрения массы сечение.
Так как все балки изготовлены из одного материала (сталь 3), наиболее
экономичным будет сечение, которое обладает наименьшей площадью.
Сравниваем массы балок различных сечений:
𝑚двутавра : 𝑚кольца : 𝑚прямоугольника : 𝑚круга = 𝐴двутавра : 𝐴кольца :
𝐴прямоугольника : 𝐴круга =
84,7 ∶397,61∶210,7∶273,78
𝐴𝑚𝑖𝑛
= 1 : 4,69 : 2,5 : 3,2 – наиболее
экономичное сечение двутавр.
3.4 Полная проверка прочности балки №194
𝜎
𝜎3полки
𝜏
𝜏3полки
𝜏3стенки
Рисунок 20. – Распределение нормальных и касательных напряжений по высоте
двутаврового сечений
Проверка проводится для двутаврового поперечного сечения.
I № 45:
38
A = 84,7 см2 ;
𝐽𝑥 = 27696 см4 ;
𝑊𝑥 = 1231 см3 ;
𝑆𝑥∗ = 708 см3 ;
h = 45 см;
b = 16 см;
d = 0,9 см;
t =1,42 см;
1-ая опасная точка: по длине – в сечении, где действует наибольший
момент, по высоте – в точке, наиболее удалённой от нейтральной оси:
|𝜎|1 =
|𝑀|наиб
𝑊𝑥
=
169 ∙103
1231∙10−6
= 137 МП𝑎 < [𝜎] −условие прочности
выполняется.
|𝜏|1 =
𝑄1 ∙ 𝑆 отс 𝑥(1)
𝐽𝑥 ∙ 𝑏
= |𝑆 отс 𝑥(1) = 0| = 0.
2-ая опасная точка: по длине – в сечении, где действует наибольшая
поперечная сила, по высоте – на нейтральной оси:
|𝑄|2 ∙ 𝑆 отс 𝑥(2) |𝑄|наиб ∙ 𝑆𝑥𝑥
55 ∙ 103 ∙ 708 ∙ 10−6
|𝜏|2 =
=
=
= 15,6 МП𝑎;
𝐽𝑥 ∙ 𝑑
𝐽𝑥 ∙ 𝑑
27696 ∙ 10−8 ∙ 0,9 ∙ 10−2
[𝜏]𝐼𝑉 =
[𝜎 ]
√3
= 92,37 МП𝑎;
|𝜏|2 < [𝜏]𝐼𝑉 −условие прочности выполняется.
|𝜎|2 =
|М|2
𝐽𝑥
∙ |𝑦|2 = |𝑦2 = 0| = 0.
3-я опасная точка: по длине – в сечении, где Q и М одновременно
наибольшие, по высоте – в месте перехода от полки к стенке.
Проверяем прочность балки в сечение С:
ℎ
𝑦3 = − ( − 𝑡) = −(22,5 − 1,42) = −21,08 см;
2
прямоугольника
отс
𝑆𝑥(3)
= 𝑆𝑥∗ − 𝑆𝑥
= 𝑆𝑥∗ −
(𝑦3 )2
2
∙ 𝑑 = 708 −
= 𝑆𝑥∗ − 𝑦𝑐 ∙ 𝐴прямоугольника = 𝑆𝑥∗ −
(−21,03)2
2
∙ 0,9 = 508 см3 ;
Определим напряжения в сечении 2:
𝑄32 = 55 кН;
39
𝑦3
2
∙ 𝑑 ∙ 𝑦3 =
М23 = −120 кНм;
𝜎32
𝜏32
𝑀3𝐶
−120 ∙ 103
−2
(
) = 91,3 МП𝑎;
=
∙ 𝑦3 =
−8 ∙ −21,08 ∙ 10
𝐽𝑥
27696 ∙ 10
𝑄3𝐶 ∙ 𝑆 отс 𝑥(3)
55 ∙ 103 ∙ 508 ∙ 10−6
=
=
= 11,2 МП𝑎.
𝐽𝑥 ∙ 𝑑
27969 ∙ 10−8 ∙ 0,9 ∙ 10−2
2
𝐶 2
𝐶 2
2
2
𝜎(3)экв
ⅠⅤ = √(𝜎3 ) + 3‧(𝜏3 ) = √91,3 + 3‧11,2 = 93,3 МПа.
Определим напряжения в сечении 1:
𝑄31 = 12,5 кН;
М13 = −156 кНм;
𝜎31
𝜏31
𝑀3𝐶
−156 ∙ 103
−2
(
) = 118,7 МП𝑎;
=
∙ 𝑦3 =
−8 ∙ −21,08 ∙ 10
𝐽𝑥
27696 ∙ 10
𝑄3𝐶 ∙ 𝑆 отс 𝑥(3)
12,5 ∙ 103 ∙ 508 ∙ 10−6
=
=
= 2,5 МП𝑎.
𝐽𝑥 ∙ 𝑑
27969 ∙ 10−8 ∙ 0,9 ∙ 10−2
2
𝐶 2
𝐶 2
2
2
𝜎(3)экв
ⅠⅤ = √(𝜎3 ) + 3‧(𝜏3 ) = √118,7 + 3‧2,5 = 118,8 МПа.
В 1 сечении 3 опасная точка.
Построим эпюры 𝜎 и 𝜏 для 3-ей опасной точки.
𝜎3полки
𝑀3
ℎ
−156 ∙ 103
45
=
∙ (− ) =
∙
(
−
‧ 10−2 ) = 126 МП𝑎;
−8
𝐽𝑥
2
27696 ∙ 10
2
𝜏3полки =
𝑑
0,9
∙ 𝜏3 =
∙ 2,5 = 0,14 МП𝑎;
𝑏
16
𝑆𝑥∗
708
стенки
𝜏3
= отс ∙ 𝜏3 =
∙ 2,5 = 3,48 МП𝑎.
𝑆𝑥(3)
508
40
3.5 Анализ напряженного состояния в 3 опасной точке.
𝜎𝛼 = 𝜎3 = 118,7 МПа
𝜎𝛽 = 0
𝜏𝛼 = 2,5 МПа
𝜏𝛽 = −𝜏𝛼 = 2,5 МПа
𝜎∣ =
=
1
2
1
2
𝜎𝐼𝐼 =
=
1
2
2
(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 + √(𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 ) + 4(𝜏𝛼 )2 ) =
(118,7 + 0 + √(118,7 − 0)2 + 4(2,5)2 ) = 118,8 МПа;
1
2
2
(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 − √(𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 ) + 4(𝜏𝛼 )2 ) =
(118,7 + 0 − √(118,7 − 0)2 + 4(2,5)2 ) = - 0,05 МПа;
41
Проверка: 𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 = 𝜎∣ + 𝜎Ⅱ => 118 = 118 − верно.
tan 𝛼0 =
−𝜏𝛼
−2,5
=
= −0,02
𝜎𝛼 − 𝜎Ⅱ 118,7 + 0,05
𝛼0 = −1°
Рисунок 21. - Круг Мора
42
𝜏наиб =
𝜎∣ + 𝜎𝐼𝐼
118,8 + 0,05
∙ sin 2𝛼 =
∙ sin 2° = 2,07 МПа
2
2
𝜎1 = 118,8
𝜎2 = 0
𝜎3 = −0,05
Определение главных деформаций
𝜀1 =
1
1
∙ (𝜎1 − 𝜇 ∙ (𝜎2 + 𝜎3 )) =
∙ (118,8 − 0,33 ∙ (0 − 0,05))
Е
2 ∙ 1011
= 5,9 ∙ 10−10
𝜀2 =
1
1
∙ (𝜎2 − 𝜇 ∙ (𝜎1 + 𝜎3 )) =
∙ (0 − 0,33 ∙ (118,8 − 0,05))
Е
2 ∙ 1011
= −1,96 ∙ 10−10
𝜀3 =
1
1
∙ (𝜎3 − 𝜇 ∙ (𝜎2 + 𝜎1 )) =
∙ (−0,05 − 0,33 ∙ (0 + 118,8))
Е
2 ∙ 1011
= −1,96 ∙ 10−10
Определение относительного изменения обьема
е = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 5,9 ∙ 10−10 − 1,96 ∙ 10−10 − 1,96 ∙ 10−10 = 1,98 ∙ 10−10
Определение удельной энергии деформаций
43
U=
1
∙ (𝜎1 2 + 𝜎2 2 + 𝜎3 2 − 2μ(𝜎1 𝜎2 + 𝜎2 𝜎3 + 𝜎3 𝜎1 )
2E
1
=
2 ∙ 2 ∙ 1011
∙ (118,82 + 0 + (−0,05)2 − 2 ∙ 0,33(0 + 0 − 118,8 ∙ 0,05)
кДж
= 3,5 ∙ 10−5 3
м
Определение эквивалентных напряжений
𝜎экв = 𝜎1 − 𝜎3 = 118,8 − 0,05 = 118,85 МПа < [𝜎]
𝜎экв = √𝜎1 2 + 𝜎2 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎2 + 𝜎2 𝜎3 + 𝜎3 𝜎1
= √118,82 + 02 + 0,052 − 0 + 0 − 118,8 ∙ 0,05 = 118,8 МПа
44
3.6 Нахождение перемещений в заданном сечении балки № 131
Определить прогиб в середине и угол поворота на правой опоре двутавровой
балки, если материал балки - Сталь 3.
Рисунок 22 – Перемещение на конце балки №131.
Для каждого участка записываем дифференциальное уравнение изогнутой
оси:
45
1 уч.
𝐸𝐽𝑥 𝑦1′′
2 уч.
= 𝑀(𝑧1 ) = −40𝑧1 [к𝐻м];
𝐸𝐽𝑥 𝑦1′ = −20𝑧12 + 𝐶1 [к𝐻м2 ]; (1)
𝐸𝐽𝑥 𝑦1 = −
20 3
𝑧
3 1
+ 𝐶1 𝑧1 + 𝐷1 [к𝐻м3 ]; (3)
𝐸𝐽𝑥 𝑦2′′ =
𝑀(𝑧2 ) = −120 − 45𝑧2 − 2,5𝑧2 [к𝐻м];
𝐸𝐽𝑥 𝑦2′ = = −
𝐸𝐽𝑥 𝑦2 = −
45 2
𝑧
2 2
45 3
𝑧
6 2
−
2.5 4
𝑧
4 2
+ 𝐶2 [к𝐻м2 ]; (2)
2,5
− 20 𝑧25 + 𝐶2 𝑧2 +𝐷2 [к𝐻м3 ]; (4)
Записываем IV граничных условия.
I. При 𝑧2 = 3 м, 𝑦1 = 0, то есть (4) = 0 :
−
45 3 2,5 5
∙3 −
∙ 3 + 𝐶2 ∙ 3+𝐷2 = 0
6
20
𝐷2 = 232,875 − 3𝐶2
II. При 𝑧2 = 3 м, 𝑦2 = 0, то есть (2) = 0 :
−
45 2 2.5 4
∙3 −
∙ 3 + 𝐶2 = 0;
2
4
𝐶2 = 253,125
𝐷2 = −526,5
III. При 𝑧1 = 3 м, 𝑧2 = 0; 𝑦1 = 𝑦2 , прогибы двух участков равны, то есть
(3) = (4) :
20 3
45
2,5
‧ 3 + 𝐶1 · 3 + 𝐷1 = − ∙ 0 −
∙ 0 + 𝐶2 ∙ 0 − 526,5
3
6
20
𝐷1 = −346,5 − 3𝐶1 ;
−
IV. При 𝑧1 = 3 м, 𝑧2 = 0; 𝑦1′ = 𝑦2′ , так как углы поворота сонаправленны, то
есть (1) = (2) :
−20 ∙ 32 + 𝐶1 = −
45 2 2,5 4
∙0 −
∙ 0 + 𝐶2 ;
2
4
𝐶1 = 433,125 кНм2 ;
𝐷1 = −1645,875 кНм2 .
Перепишем выражения (1) – (4) с учётом найденных постоянных
интегрирования:
𝐸𝐽𝑥 𝑦1′ = −20𝑧21 + 433,125 (5) ;
46
𝐸𝐽𝑥 𝑦2′ = −
20 3
𝑧
3 1
+ 433,125𝑧1 − 1645,875
(6) ;
𝐸𝐽𝑥 𝑦1 = −
45 2
𝑧
2 2
−
2.5 4
𝑧
4 2
+ 253,125
𝐸𝐽𝑥 𝑦2 = −
45 3
𝑧
6 2
−
2,5 5
𝑧
20 2
+ 253,125𝑧2 − 526,5
(7) ;
(8) .
Определим перемещения в заданном сечении балки.
Сечение K, в котором необходимо определить прогиб, принадлежит
первому участку. Поэтому прогиб описывается соотношением (5). Сечение K
на первом участке имеет координату 𝑧𝐾 = 3. Значение 𝑧𝐾 = 0 подставим в (5):
𝐸𝐽𝑥 𝑦𝐾 | 𝑧𝐾=0 = −
𝑦𝐾 =
20
3
∙ 0 − 163,125 ∙ 0 − 1645,875 = −1645,875 кН ;
−1645,875 ‧ 103
𝐸𝐽𝑥
=
−1645,875 ‧ 103
2 ‧ 1011 ‧ 27696 ‧ 10−8
= - 0,02 м [𝑧 →, 𝑦 < 0, 𝑦 ↓].
Найденный прогиб покажем на схеме.
Определим угол поворота в заданном сечении балки.
Сечение K, в котором необходимо определить угол поворота,
принадлежит второму участку. Угол поворота на 1-ом участке описывается
соотношением (6). Сечение K на втором участке имеет координату 𝑧𝐵 = 0.
Значение 𝑧𝐵 = 0 подставим в (6):
𝐸𝐽𝑥 𝑦𝐵′ | 𝑧𝐵=0 = −20 ∙ 0 + 433,125 = 433,125 кНм2 ;
𝑦′𝐵 =
433,125‧ 103
𝐸𝐽𝑥
433,125 ‧ 103
= 2 ‧ 1011 ‧ 27696 ‧ 10−8=0,01 рад [𝑧 →, 𝑦 ′ > 0, 𝑦 ′ ↺].
Найденный угол покажем на схеме.
47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После выполнения курсовой работы появился опыт в расчетах
стержневых систем на прочность и жесткость при центральном растяжении
(сжатии), а также умение подбирать для них марку материала.
Во
второй
части
работы
были
определены
геометрические
характеристики сложного сечения аналитическим и графическим способом,
определены главные центральные оси сечения, построен эллипс инерции.
После выполнения третьей части работы появился опыт в построении
эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в статически определимых
балках, что позволяет рассчитывать балки на прочность, подбирать заданные
поперечные сечения, удовлетворяющие условию необходимой прочности.
Проведён сравнительный экономический анализ различных поперечных
сечений заданной балки и установлено, что наиболее экономичным (с точки
зрения минимальной массы) является двутавровое сечение. Появились навыки
нахождения
перемещений
в
заданном
сечении
дифференциального уравнения изогнутой оси.
48
балки
с
помощью
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов: учебник для втузов
[Текст] / В.И. Феодосьев. – М.: МГТУ им. Баумана, 2007. – 512 с.
2 Расчётно-проектировочные и курсовые работы по сопротивлению
материалов [Текст]: учебное пособие для студентов втузов / А.С. Букатый,
В.С. Вакулюк, О.В. Каранаева, [и др.]. – Самара: Изд-во Самарского
университета, 2017. – 138 с.
3 СТО 02068410-004-2018. Общие требования к учебным текстовым
документам [Текст]. - Самара: Изд-во Самарского университета, 2018. – 36с.
4 Расчёты брусьев на прочность и устойчивость [Текст]: учебное
пособие для студентов втузов / Ю. Н. Сургутанова [и др.]. – Самара: Изд-во
Самарского университета, 2017. – 112 с.
49